TRIGONOMETRIA 4TO 2010

7/18/2019 TRIGONOMETRIA 4TO 2010

http://slidepdf.com/reader/full/trigonometria-4to-2010 1/46

Secundaria4ºINSTITUCIÓN EDUCATIVA DE ACCI¨ ROSA DE LIMA ̈TRIGONO

METRÍA

I.E. Rosa de Lima ¡Un paso adelante!Centro de Inestia"i

ÍNDIC ÍNDIC

E E TRIGONTRIGONOMETRÍOMETRÍ

A 4ºA 4º1.

ÁNGULO

TRIGON

OMÉTRI

CO

PP

áágg

..

44

PP

áá

gg..

99

2.

SISTEMA

DE

MEDICIÓ

N

ANGULA

R

3. LONGITUDDE ARCO Y

SECTOR

CIRCULAR

PP

áá

gg

..11

77

4.

RAZONES

TRIGON

OMÉTRICAS

PP

áágg

..

22

991



Estrategias de A


METRÍA


NG!LOS

TRIGONOMETRI"OS# SISTEMAS DE

MEDIDASANG!LARES

INTROD!""I$N

SÍNTESIS HISTÓRICA DE LA TRIGONOMETRÍA

A diferencia de la Aritmética, el álgebra y la Geometría, que como se sabe alcanzarongran desarrollo desde la época de los babilonios, los egipcios y los griegos.

La Trigonometría solo logra su madurez en los últimos siglos de nuestra era, y esto esmuy eplicable, pues para desen!ol!erse plenamente necesita de una geometría yarazonada, y sobre todo un álgebra sistematizada, para darle toda la fleibilidad ydesarrollo.

ORIGEN"esde el punto de !ista etimol#gico la trigonometría trat# de la $%esoluci#n de Triángulos&,lo cual quiere decir que dados ciertos elementos con!enientes de un triángulo se deben

'allar sus elementos restantes.En realidad nadie pudo sospechar antiguamente que de tan modesto origen pudiese

surgir en el devenir del tiempo una ciencia de tanta importancia como la trigonometría

(y que hoy en día es una herramienta fundamental del análisis matemático) que en un

comienzo fue solo un simple capítulo de la Astronomía.

Pero gracias a su aplicación a las distintas ramas de la matemática y de la física y

so!re todo al empleo invalora!le que de ella hacen la Astronomía y la "eodesia es que

su progreso fue rápido y que pudo llegar tan le#os.

2



A%LI"A"IONES

SISTE$AS DE $EDICION AN&ULAR

ESCALAS TO$ADAS EN 'OR$A AR(ITRARIA )ARA $EDIR AN&ULOS

SISTE$ASE*A&ESI$AL

SISTE$ACENTESI$AL

SISTE$ARADIAL

DO+,-UE SE O(TIENE DIVIDIENDO AL AN&ULO DE UNA VUELTA EN /0 )ARTES I&UALES$EDIDA LLA$ADA &RADO+-UE SE O(TIENE DIVIDIENDO AL AN&ULO DE UNA VUELTA EN 100 )ARTES I&UALESTIENE CO$O UNIDAD DE $EDIDA AL RADIAN2 3UE ES UN AN&ULO CENTRAL 3UE SU(TIENDE UN ARCO DE I&UAL $EDIDA 3UE EL RAD

son

estos son

"45a "45a "45a


METRÍA


La trigonometría es aplicada a lasdistintas ramas de la matemática y de lafísica, y sobre todo al empleo invalorableque de ella hacen la Astronomía y laGeodesia, es que su progreso fue rápido yque pudo llegar tan lejos.

AR&!ITE"T!R AR&!ITE"T!R A DELA DEL

"ONO"IMIENT"ONO"IMIENTOO

LaLa

'ate''ate'(tica(tica

nacenace

c)n e*c)n e*

+)',re+)',re'is')'is')

Nicolás Copérnico (1473 –1543), fue el primero quedemostr# en forma sencilla lasf#rmulas trigonométricas de latrigonometría esférica.

(icolás )opérnico fue unmédico y astr#nomo que cambi#la idea del lugar que ocupaba laTierra en el *ni!erso. +n sufamosa obra De RevolutionibusOrbium Coelestium $"e lasre!oluciones de las esferascelestes&-, proponía que la Tierragiraba diariamente sobre supropio ee y que, a la !ez da una!uelta completa alrededor del/ol, en una #rbita que tardaba un

a0o en recorrer. +sto se oponía ala antigua idea de que el*ni!erso giraba alrededor de laTierra. También fi# métodos paracalcular el tama0o del /istema/olar y los mo!imientos de losplanetas. "e todas maneras, loscientíficos toda!ía tardaron unsiglo en probar sus ideas yaceptarlas plenamente.

NG!LOTRIGONOM-TRI"O

3



O

A

(

O

(

A

SENTIDO ANTI.ORARIOSENTIDO .ORARIO

/01-RTI"E

6 /70,890,

6880,

10,10,

0,60,


METRÍA


DEFINICIÓN: +s la figuraformada por la rotaci#n de un rayoalrededor de su origen, llamado!értice1 desde una posici#n inicialllamado lado inicial 'asta unaposici#n final llamado lado fnal..

S!"#$% A!"#&%'A'#%S!"#$% &%'A'#%

⇒ +stas figuras representan ángulos

trigonométricos donde2+l rayo 3A 4 Lado inicial +l rayo 35 4 Lado (nal 3 4 )*rtice.

⇒ *n rayo puede rotar en sentido antihorario contrario al mo!imiento de las manecillas delrelo- o sentido horario igual al mo!imientode las manecillas del relo-.

1.UN ÁNGULO POSITIO:

+s el que se forma cuando el rayogira en sentido antihorario. Asi lamedida del ángulo trigonométricoserá de valor positivo.

!. UN ÁNGULO NEGATIO:+s el que se forma cuando el rayogira en sentido horario. Asi la medidadel ángulo trigonométrico será devalor negativo.

E"EMPLO2 +n las siguientes figuras obser!arás un

ángulo positi!o 6+ig.- y dos ángulosnegati!os6 +ig./ y +ig.0

Fig. (1) Fig. (2)Fig. (3)

"os o más ángulos trigonométricos serán)3T+%78(AL+/ si2

Tienen el mismo lado inicial. Tienen el mismo lado final. Tienen el mismo origen.$/in tener en cuenta su /+(T8"3 ni su 7+"8"A&.

E"EMPLO2

Los gráficos que se ilustran representan ánguloscoterminales.

NGULO TRIGONOM TRICO

$%&' &* +*,&-/0,*2'/0

ÁNGULOS POSITIOS NEGATIOS

RECUERDA

La magnitud de un ángulotrigonométrico es ilimitada y puedeepresarse por cualquier número real

%-.

∞ medida del ∠ trigonométrico !∞

ÁNGULOS COTERMINALES

4



JU&UE$OSCON:$EROLO08

( O

C

;

A

(

C

; o

90,

;

90,

(

A

C

O

0,6/**<0,

;

(A

C

;


METRÍA


:. 8ndica el orden creciente de los ángulos mostrados.

A- α,β,θ 5- θ,α,β )- β,α,θ

"- β,θ,α +- β,α.θ

;. 8nterpretar $& en funci#n $α& y $β&.

A- β < α

5- β 6 α )- 6β 6 α

"- ;α 6 β+- α 6 ;β

=. "el gráfico, se cumple2

A- θ < β 4:!uelta 5- β 6 θ 4:!uelta

; "- β 6 θ 4:!uelta )- θ 6 β 4:!uelta ; ;

>. )alcular $& en funci#n de $α&, $β&, $θ&

A- 4α<β<θ5- 4α 6β 6θ)- 4α <β6θ

"- 4α 6β<θ+- 46α 6β<θ

?. )alcular $&

A- 6@B5- 6:@B)- 6:@CB"- 6DB+- 6:DB

C. 8ndicar la relaci#n que se cumple entre $φ& y $β&.

A- φ<β4@B5- φ 6β4@B)- φ<β46@B"- 6θ6β4@B+- (.A

E. )alcular $&.

A- =B

5-6=B)- :?B"- :B+-6:B

D. +l gráfico mostrado, indicar la relaci#n que eisteentre $α&, $β&, $θ&

A- β 6α<θ4:DB5- β<α<θ4:DB)- β6α 6θ 4:DB"- α6β 6θ 4:DB

+- (.A.

@. )alcular $& en funci#n de $α& y $β&.

A- α<β5- α6β)- α6;β"- β6α+- 6α6β

:. +n el gráfico mostrado, Fcuál es el !alor de $&.

RECUERDA

• La di=eren"ia de dos%n4los "oterminalessiempre es 4n n>mero

entero de 4eltas.• Si α 5 β son %n4los"oterminales2 siendo β>α

se "4mple?

,./0

α β −

2 nº de 3ue*tas

5



09A

"O

5

A

"

O5

D

"

AO

5

"

A

O

5

OA

"5

"

A

O

OA

"

A

"

O

A

"DO

A

"O


METRÍA


A- 4>?B6 θ5- 4;EB<θ)- 4?>B6 θ"- 4>?B<θ+- 4>>B6 θ

:. +n cada caso, determine $H& en funci#n de los otrosángulos mostrados2

A-

%pta2....................

5-

%pta2....................

)-

%pta2....................

"-

%pta2....................

+-

%pta2....................;. "etermine la relaci#n correcta que se cumple entre

los ángulos mostrados en cada caso2

A-

%pta2....................

5-

%pta2....................

)-

%pta2....................

"-

%pta2....................

+-

6



"

A

O

67 0 58965 0 :89

OA

"65 / :89

6; < =589

D

"

A0=>9

6?5896@> < :89

O

A

"DO

6@BC5 / ;89< 7B=589

A

"

D

6@C < 7589

=5 89

+ 90 6 -@ A

(CO

+ < 10-@

A

(

C

D

E

O

)ASATIE$)OSARACASLA

08

;


METRÍA


%pta2....................

=. Ialle el !alor de $H& en cada caso2

A-

%pta2....................

5-

%pta2....................

)-

%pta2....................

"-

%pta2....................

+-

%pta2....................

>. "el gráfico mostrado. Iallar la m∠)35.

A- J=K 5- JCK )- J>?K"- J=CK +- J:DK

?. "el gráfico mostrado, se0ale lo correcto2

A- β < φ 4 @K 5- φ 6 β 4 @K )- φ 6 β 4 :DK "- β 6 φ 4 @K

+- β < φ 4 :DK

:. )alcular $& del gráfico2

A- : !uelta 6α6β5- : !uelta <α6β )- : !uelta 6α<β"- : !uelta 6α6β

; +- (.A.

;. )alcular $&, en funci#n de $α&, $β& y $θ&.

7



;

;

; O

O

;

;

A

(CO

69;

7;


METRÍA


A- α<β<θ5- α6β<θ)- α6β6θ"- β6α6θ+- β6α<θ

=. "el gráfico, se cumple2

A- α<β4: !uelta ;5- α6β4: !uelta ; )- β6α4: !uelta ;

"- α<β4 B

+- 6α6β4: !uelta ;

>. "el gráfico, se cumple2

A- α<θ4 :!uelta

5- α 6θ4 : !uelta

)- α<θ4 B

"- θ 6α4 : !uelta

?. "el gráfico mostrado calcular el !alor de !erdad delas siguientes preposiciones.

8- α<β<θ4: ! ;88- α6β<θ4 : !

;888- β6α6θ4 : !

;

A- 99 5- )- 9"- 99 +- 999

C. +n el gráfico mostrado Fcuál es el !alor de $&

A- =!<θ

5- >!6θ

)- ?!<θ

>

"- ?!6 θ

>

+- (.A.

E. +n el gráfico mostrado, calcular $&.

A- :!6θ

5- :!<θ

)- θ6;!

"- :!6θ

+- (.A.

D. +n el gráfico mostrado, calcular $&.

A- ?!6θ

5- ?!6θ ;)- ?!6θ

>"- =!6θ

+- ?!6θ D

@. "e acuerdo al gráfico1 se0ale lo correcto respecto a

los ángulos trigonométricos mostrados.

A- α<β<θ4:!uelta

5- α<β 6θ4: !uelta

)- α 6β<θ4: !uelta"- α 6β 6θ4: !uelta

+- α<β 6θ4: !uelta

;

:. +n este caso, )alcular $& en funci#n de los ángulosmostrados.

A- θ<α

5- θ6α

)- α6θ

"- 6θ6α

+- (.A.

::. )on ayuda de la figura mostrada, luego el !alor de$& será.

A- ?B

5- :B

)- :DB"- ;B

8



;

O

Se4ndos&rados $in4tos /0 /0

/0 /0

/00

O


METRÍA


+- =B

:;. "e la figura1 calcular $&.

A- α<β4 @B

5- β 6α4 @B)- β 6α46:DB

"- α 6β4 @B

+- (.A.

Los sistemas de medidasangulares más usadosson tres2"e#agesimal (") $centesimal (C) %radial. (&).

1. SISTEMA SE8AGESIMAL (S/29 I*,-')

• +ste sistema considera al ángulo una !ueltadi!idida en =C partes iguales, denominándose a

cada parte2 'rado se#agesimal (1;)• )ada grado se di!ide en C partes iguales y a

cada parte se denomina minutose#agesimal (1<).

• A su !ez a cada minuto se le di!ide en C partesiguales y cada parte se denomina segundose#agesimal (1<<).

./0

8

"e la circunferencia

⇒ La unidad de medida en este sistema es elgrado se#agesimal :B- y las subunidadesson el minuto y el segundo seagesimal.

7edida del ángulo de una!uelta 4 =CB

:B 4 CM:M 4 CMM:B 4 =CMM

CONERSIONES:

Nara con!ertir de grados aminutos o segundos

seagesimales o !ice!ersa utiliza el siguientediagrama.

!. SISTEMA CENTESIMAL(S/29 F09*')

• +ste sistema considera al ángulo de una !ueltadi!idida en > partes iguales y cada parte sele denomina un grado centesimal (1,)=

• )ada grado se di!ide en : partes iguales y acada parte se denomina minutocentesimal (12 )=

• A su !ez a cada minuto se le di!ide en :partes iguales y a cada parte se denominasegundo centesimal (1S ).

100

8

"e la circunferencia

⇒ La unidad de medida en este sistema es elgrado centesimal :g- y las subunidades sonel minuto y el segundo centesimal.

SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES

Cuáles son lossistemas demedicin angular*

E%UIALENCIASE%UIALENCIAS



&rados Se4ndos$in4tos800 800

800 80080000

8rad

r

r r O

(

A

R

"

S


METRÍA


7edida del ángulo de : !uelta 4 >g

:g 4 : m

:m 4 : s

:g 4 : g

CONERSIONES:

Nara con!ertir de grados a minutos o segundosseagesimales o !ice!ersa utiliza el siguientediagrama.

3. SISTEMA RADIAL (S/29 0&-90).

La unidad de medida de este sistema es elradián.

• "onde A52 es el arco generado por el ángulocentral A35

• +n este sistema la medida del ángulo de una

!uelta es de 2π radianes 2π rad.

La medida de un ángulo de una

!uelta es2=CB 4 >g 4 ;π rad.

A'ora, si tenemos un ángulo $α&cuya medida puede epresarseen los tres sistemas2

"onde• S: (B de grados seagesimales de $α&.

• C: (B de grados centesimales de $α&.• R: (B de radianes de $α&.

/e establece la siguiente relaci#n2

π 9100/0

RC S ==

FORMULAS DE CONERSIÓN• Frmula general de conversin

π

RC S ==

900870

• Frmula de conversin válida slo paragrados se#agesimales % centesimales.

80B

C S =

"ambi*n tenemos para minutos y segundos1

09D

m p=

p 2 (B de minutos seagesimales.m 2 (B de minutos centesimales

9078

nq=

&adián+ /e define comola medida del ángulocentral en una

circunferencia, quedetermina un arco deigual longitud al radio dedic'a circunferencia.

RELACIÓN DE CONERSIÓN ENLOS TRES SISTEMAS

Cmo se relacionan lostres sistemas*

OApréndeteestas f#rmulasP

1!




METRÍA


q 2 (B de segundos seagesimales. n 2 (B de segundos centesimales.

:. Narear la respuesta correcta de grados

seagesimales a centesimales

a- =CK - @g

b- D?K - ?=g C;m >;s

c- =K - ;?g

d- D:K - ===g ==m ==s

e- ;;?K - Dg :>m D:s

f- EC?K - C>m D:s

g- >DK:?Q>& - >g

'- EK;Q - @>g

>>m

>>s

i- =?Q - D?g

;. Narear la respuesta correcta de gradoscentesimales a seagesimales

a- ;Eg - C>DK

b- =Cg - @EK :;Q

c- Dg - =KQ>;Q;D&

d- :E:g - =;Q;>&

e- :Dg - ;>=Kf- E;g - :=K=>Q=&

g- >g:;m - =;K ;>Q

'- :?gEm?s - :?=K=>Q

i- Cm - E;K

=. Narear la respuesta correcta, epresando lossiguientes ángulos en radianes

a- @K - 02π

b- :;Q - 3

π

c- ;:K - 0

π

d- =K - 0

/π

e- >?K - 3

2π

f- :?K - 3

4π

g- >?K - /

2π

'- E?K - /

π

i- =K - -/

2π

- CK - 5

π

>. Narear la respuesta correcta. +presando lossiguientes ángulos en radianes

a- >?g -.rad

/66

/4π

b- :;g - /6

π

rad.

c- Cg - 2

3π

rad.

d- ;Eg - 2

0π

rad.

e- ;>g - 56

/4π

rad.f- :=?g - π5 rad.

g- :g - 56

7π

rad.

'- Dg - /2

8π

rad.

i- C>g - -6

0π

rad.

?. Narear la respuesta correcta, epresando lossiguientes ángulos en radianes

a- /

π

rad. - Dg

b- 2

/π

rad. - ;?g

c- /

π

rad. - :E?g

d- 5

7π rad. - E@g C:m EDs

11



JU&UE$OSCON:$EROLO


METRÍA


e- 8

π

rad. - ?g

f- /6

/-π

rad. - >?g

g- 8

4π

rad. - :?;g DCm C;s

'- :,;? rad. - ;:g

i- ;,> rad. - ;g

- ,=:>:C rad. - :g

C. Narear la respuesta correcta, epresar en gradosseagesimales los siguientes ángulos epresadosen radianes

a- 03

4π

rad. - :K

b- -/

π

rad. - ;;?K

c- 5

0π

rad. - >;K

d- 8

π

rad. - :?K

e- 5

2π

rad. - =?K

f- 2

0π

rad. - :@DK

g- 0

4π

rad. - :=?K

'- -6

--π

rad. - :DK

i- -8

-2π

rad - :?K

E. +presar en grados seagesimales2a- ;>Mb- :;CMMc- =>?DMd- D=?MMe- :C>M

D. +presar en grados seagesimales2a- >B =CM =MMb- :;B =?M :DMMc- =B >;M ;@MMd- :=B =>M =MMe- =;M ;>MMf- ;CB >DM >;MM

@. +presar en grados,minutos y segundosseagesimales2a- >,;?Bb- ;?,;>?B

c- :D,>?=Bd- >,?DDBe- ;>,>CDB

f- ;C,>B

:. +presar en grados centesimales2a- ;Em

b- :;D s

c- ;>?Cm

d- :=>D> s

e- =;;>? s

f- ;=>m

::. +presar en grados centesimales2a- ;>g ;Em == s

b- CDg =?m =E s

c- >Dm > s

d- >?g EDm:? s

e- =g ?m > s

f- E?g ::m

g- @g :Dm

'- =g C@m

:;. +presar en grados, minutos y segundoscentesimales2

a- E>,;>;?g

b- =C,:D@Eg

c- =E,DEg

d- ;:?,;=>;?g

e- :?,;;ED?g

f- =>,:;=g

g- ;?,;g

'- >?,C>g

:. )on!ertir >?@K a grados centesimales

a- >:g b- ?;g c- ?:g

d- ?g e- >??g

;. )on!ertir 8

π

rad. A grados y minutos seagesimales

a- ;?g b- ;;K=Q c- ;?K;?Qd- ;;g=m e- ;;,?K

=. +presar en grados centesimales 2

0π

rad.

a- ::g b- @?g c- @@g

d- :;g e- (.A.

>. F)uál de los ángulos es el mayor

a- ?g b- 5

π

c- >?Kd- ?K e- todas

12




METRÍA


?. 8ndicar $9& o $& según la proposici#n sea !erdaderao falsa respecti!amente

8.6 :K 4 C& -88.6 :m 4 Cs -888.6=,:>:C-K 4 π rad. -

a- 99 b- 9 c- 99d- 99 e-

C. FA cuantos segundos centesimales equi!ale ;>=segundos seagesimales

a- ;s b- =s c- >s d- E?s e- Cs

E. /i2 α 4 ;EK y β 4 =m entonces2

a- α 4 ;β b- α < β c- α >β

d- α 4β e- α <β 4 @K

D. )alcular el ángulo R en radianes si2

/ 4 2

09 / +

1 )4 /

29 0 −

a- -6

π

b- 26

π

c- -66

π

d- /6

π

e- 56

π

@. La suma de los números que epresan las medidas

en grados seagesimales y en grados centesimalesde un ángulo es :@. 'allar su medida en radianes

a- /

π

b- 0

π

c- 5

π

d- 2

π

e- 3

π

:. Los ángulos iguales de un triángulo is#sceles son> J C-K y >-g. Iallar el otro ángulo en radianes.

a- 2

/π

rad. b- /

π

rad c- -6

0π

rad.

d- 0

/π

rad e- 3

π

rad

::. Iallar el ángulo en radianes, si2

0

S

< /

:

4 =;

a- π b- /

π

c- 0

π

d- 5

π

e- 2

π

:;. Iallar el ángulo en radianes. /i2

:

-

S

-

-

−4 @

a- /

π

b- -6

π

c- /6

π

d- 76π

e- -66π

:=. Iallar $%& si2 π2S'

< π/:'

4 D

a- /

π

b- 5

π

c- 2

π

d- 8

π

e- -3

π

:>./abiendo que se cumple: 80 > ?@ = calcular2+ 4 J y-y J J =y-

A- ;: 5- ;; )- ;C "- ;? +- ;>

:?. /abiendo que2

α 4 >K β 4g

50 θ 4rad

3

2π

ordenar de menor a mayor

A- β, α, θ 5- α, θ, β )- β, θ, α"- α, β, θ +- θ, β, α

:. Iallar la medida de un ángulo en el sistema radialsabiendo que el número de grados seagesimalesecede en => a :> !eces el número de sus

radianes. )onsiderar2 π 4 722

A- 3

π

5- 4

π

)- 5

π

"- 6

π

+- 10

π

;. F)uántos segundos centesimales están contenidosen un ángulo que equi!ale a la milésima parte delángulo de una !uelta

A- ;E 5- >= )- =

"- > +- ?

13




METRÍA


=. )alcular el !alor de2

R

R400b −π

, sabiendo que $b& es el número deminutos centesimales que contiene un ángulo y$%& es el número de radianes que contiene el

mismo ángulo.

A- :> 5- := )- :; "- :;? +- ::?

>. Iallar en minutos centesimales2

α 4 ;EA < 5-

/i2;A 8′ ,

;( 9m

A- : 5- :> )- ?; "- :D +- ?

?. F)uántos segundos centesimales contiene unángulo de ,:?EDrad tomar π 4 =,:>:C-

A- ;:C 5- ?:> )- :? "- :C +- :>

C. /i la suma de dos ángulos esg

80 y su diferencia

es 10

π

, luego los ángulos en grados seagesimalesson2

A- ;?K, >EK 5- ?;K, E>K )- ?>K, E;K"- >?K, ;EK +- :DK, >?K

E. Iallar el !alor de en2 :E:K Q :;& 4 = rad.

A- ? 5- ?: )- ?; "- ?= +- ?>

D. Los ángulos de un cuadrilátero son proporcionalesa los números :1 =1 ? y E. "eterminar el mayor deellos en el sistema radial.

A- 8

π

5- 8

3π

)- 8

5π

"- 8

7π

+- 4

5π

@. /e sabe que ;? grados en el sistema $(& equi!alena C grados seagesimales. FA cuántos radianesequi!alen ? grados $(&

A- 25

π

5- 20

π

)- 15

π

"- 10

π

+- 5

π

:. /i2

−=+c

1

s

1n

C

1

S

1

el !alor de $n& es2"onde 2 / 4 Grados seagesimales

) 4 Grados centesimales

A- : 5- ; )- :@ "- :@6: +- ;=

::. 8ndicar !erdadero 9- o falso -, las siguientesproposiciones2

i. :K > g1 -

ii. :K ≥

g1

-iii. :K 4

g1 -

A- 999 5- 9 )- 99"- 9 +- 9

:;. )on!ertir =K>?Q a radianes2

A- 30

π

5- 36

π

)- 20

π

"- 18

π

+- 48

π

:=. /iendo $/& y $)& el número de gradosseagesimales y centesimales respecti!amente quemide un ángulo menor que una !uelta. )alcular dic'o ángulo en radianes, si2

/ 4 :D 6

π

− 1xx

1 ) 4 :

π

+ 1xx

A- ,D 5- ,> )- ,;"- ,= +- ,@@@

:>. *n ángulo tiene $& segundos seagesimales e $y&segundos centesimales. Iallar el !alor de2

+ 4 x2y3

x2y3

−+

A- 157

228

5- 98

152

)- 52

168

"- 52

157

+- 49

152

:?. *no de los ángulos agudos de un triangulorectángulo mide2 E;B . )alcular el otro ángulo agudo

en radianes.

A- .

π

5- 1

π

)- D

π

"- B

π

+- 80

π

:C. /i2 H< ;>-B ⟨⟩ H<C-B, calcular el !alor de $H&.

A- : 5- ; )- :? "- ;? +- =

:E. /i 2 ;g ?m ⟨⟩ π

b

a

rad, calcular 2 ba +

A- : 5- :; )- @ "- > +- D

14



)ASATIE$)OSARACASLA


METRÍA


:D. / 2 /1

π

rad ⟨⟩ aB bM cMM, 'allar + 4 b6c-a

A- 5- : )- @ "- > +- :C

:@. )alcular el !alor de $α& epresado en radianes 2

α 4 :DB < @B < >?B < ;;B =M < ::B :?M < ...

A- ;π rad 5- Cπ rad )- ?π rad"- =π rad +- >π rad

;. /i se cumple que2

=CB ⟨⟩ Ag

5B ⟨⟩ Cg

)alcular 2 7 4 =5 J >A A- ; 5- : )- = "- > +- ?

:. /implificar2 + 4/+

−+S C

S C

;. Iallar la medida de un Sngulo epresado en

radianes, si 2 ;/ 6 ) 4 :C

=. Iallar el Sngulo em radianes , si 29

9=+

C S

>. )alcular la medida radial del ángulo que !erifique lasiguiente relaci#n2

SC C S

D/88=+

?. /implif icar2

C

S C

S

S C −+

+

/iendo / y ) grados seagesimales ycentesimales conocidos.

C. )alcular la medida radial que !erifique la siguiente

relaci#n 2

B0088

8=

−C S

E. Iallar $%& si 27

9=+

π π

CRSR

D. %educir2 RC S

RC S M

900

870

+−−+

=π π

π π

@. "etermine un ángulo en radianes, si se cumple 2

S

C

C

S 88 −=

+

:. /iendo /,) y % lo con!encional simplificar2

C

RS C E

π

π π 0920 −+=

::."eterminar un ángulo en radianes que cumpla con2

9

80

.

B

. π =+

RC RS

:;./iendo /,) y % lo conocido, simplificar2

-+

.10

9S C

C

R

C S − −π π

:=.Iallar un ángulo en el sistema seagesimal quecumple con2

π B

/9

..=+

RC

S

RS

C

:>./i las medidas de un ángulo se cumplen con la

siguiente relaci#n R R

S C C S

−−=

−−

π π

99

99

Iallar la medida del ángulo en el sistemacentesimal.

:?.Iallar el ángulo en radianes que !erifica2

1

90

80

87

80

8B=

++

++

+=

+π π

RC RS C S

15




METRÍA


:. )on!ertir >g al sistema seagesimal

a- >B b- ;>B c- =CBd- ?>B e- :CB

;. π

B rad al sistema seagesimal

a- :B b- ;B c- :DBd- =B e- >B

=. π

!C rad al sistema centesimal

a- ?g b- :g c- :?g

d- ;g e- ?g

>. ?>B al sistema centesimal

a- Cg b- C=g c- E;g

d- E?g e- (.A.

?.

π!4

rad al sistema seagesimal

a- EB b- ?B= c- EB=d- :?B= e- :DB=

C. π

7 rad al sistema seagesimal

a- ;?B=;?:U b-;?B>;?:Uc- =?B>;?;U d-;?B>;?;Ue- ;CB>;?=U

E. /i2π

D09:.

V W !9 C F

1

calcular2 b 6 a

a- : b- ; c- =d- > e- ?

D. /i2π

3!09:.

V W 9 E7 O

F FF

1

)alcular el !alor de2

a- : b- ; c- =d- > e- ?

@. %educir2

E ?

?=

°

F

a- : b- ; c- =d- > e- C

:.+n un triangulo A5)1 se sabe que XA4Cg1

F)uánto mide X)

a- =;B b- >>B c- ??Bd- CCB e- EEB

::.+n un triángulo rectángulo, uno de los ángulos

agudos mide π Y@ rad. F)uánto mide el otro

a- =B b- >B c- ?Bd- CB e- EB

:;.+n un triángulo is#sceles, los ángulos iguales mide

;g

y ; < D-B. F)uál es el !alor de UU

a- ? b- E c- Dd- : e- C

:=.+prese en el sistema centesimal >B=

a- ?g b- Cg c- :Dg

d- :g e- (.A.

:>./i2 <:-g V W B1cual es el !alor de UU.

a- ? b- C c- Ed- D e- @

:?./iendo2π?

09:!C

.V W ? < D-B1

cual es el !alor de UU.

a- : b- ; c- =d- > e- ?

:C. %educir2

E ? ?

?=

° F

F

a- B b- :B c- :d- C: e- =;

:E.)alcular2E =

°3 !

1!C

F

F F

a- : b- ; c- ==d- =? e- @:

:D.%educir2

E, 2

=°

+1

1

1

1F

a- :,;: b- :,=; c- :,>>

16




METRÍA


d- :,?C e- :,EE

:@.+n un A5), los ángulos midenπ?

09:3

. , :>B y

1GCB

? ,

. Ialle .

a- : b- ; c- =

d- > e- ?

;./i2 a < b < c 4 C=ByzU 4 aBbcU < bBcaU < cBabUIallar2

a- b- : c- :d- ; e- =

;:./i2 9.

V W C,

)alcular2 Ub 6 aU

a- : b- ; c- =

d- > e- ?

;;."el gráfico, se0ale lo correcto2

a- a < b 6 q 4 p b- a 6 b 6 q4 p

c- a < b < q 4 p d- a 6 b <q 4 p

e- (.A.

17



Estrategias de A


METRÍA


LONGIT!D DE

AR"O #SE"TOR

"IR"!LAR

La /0,*2/09 es una rama de las matemáticas de antiguo origen, cuyo significado etimol#gico esUla medici#n de los triángulosU ). Se deriva del vocablo ← griego τριγων !trigZno" #tri$ngulo# % &'τρν!metron" #medida#(La trigonometría en principio es la rama de las matemáticas que estudia las

relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Nara esto se !ale de las razonestrigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. +n términos generales,la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante ycosecante. 8nter!iene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica entodos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisi#n. La trigonometría se aplica a otrasramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Nosee numerosas aplicaciones2 las técnicas de triangulaci#n, por eemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas pr#imas, en la medici#n de distancias entre puntos geográficos, y ensistemas de na!egaci#n por satélites.

+l )anadarm ;, un brazo manipulador rob#tico gigantesco de la +staci#n +spacial 8nternacional. +ste

manipulador es operado controlando los ángulos de sus articulaciones. )alcular la posici#n final delastronauta en el etremo del brazo requiere un uso repetido de las funciones trigon#metricas de esosángulos que se forman por los !arios mo!imientos que se realizan.

18

http://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_griego

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_del_espacio

http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo





http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo


http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa



http://es.wikipedia.org/wiki/Astronom%C3%ADa


http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia

http://es.wikipedia.org/wiki/Estrella

http://es.wikipedia.org/wiki/Geograf%C3%ADa


http://es.wikipedia.org/wiki/Sat%C3%A9lite_artificial

http://es.wikipedia.org/wiki/Estaci%C3%B3n_Espacial_Internacional


http://es.wikipedia.org/wiki/Astronauta


http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas


http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa



http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia

http://es.wikipedia.org/wiki/Estrella


http://es.wikipedia.org/wiki/Sat%C3%A9lite_artificial


http://es.wikipedia.org/wiki/Astronauta




A%LI"A"IONES


METRÍA




*na /9* ,/9*909 es un satélite que debe desplazarseen el mismo sentido de rotaci#n de la Tierra1 además para que noperdiese altura poco a poco y completase una !uelta cada ;> 'oras,debía estar a aproimadamente =C [m de altura sobre el ni!el delmar1 para lograrlo el satélite debía tener una !elocidad constante de

=E? mYs, siguiendo una 0/9 0&-90 9-00 -9 T009.

LaLa


nacenace

c)n e*c)n e*+)',re+)',re'is')'is')

',L-L/ ',L-L-

(aci# el :? de febrero de :?C> enNisa 8talia-, y falleci# el D de enerode :C>; en Arcetri cerca delorencia 6 8talia-

A temprana edad, Galileo prometíamuc'o tanto mental comomanualmente. Tenía diecisiete a0oscuando ingres# a la *ni!ersidad deNisa, donde se especializ# en7edicina y estudi# también7atemáticas y )iencias ísicas.

*na !ez cuando toda!ía estudiabaen Nisa, obser!# la regularidad conque oscilaba una lámpara en lacatedral. Apenas pudo esperar 'asta que !ol!i# a su casa paraeperimentar con bolitas de plomoatadas a 'ilos de diferenteslongitudes. "escubri# que,cualquiera que fuese la magnitud dela oscilaci#n o el peso del plomo, labolita necesitaba el mismo tiempopara completar un !iae de ida y!uelta. /#lo el cambio de la longitudafectaba el tiempo de la oscilaci#nperiodo de !ibraci#n-. +staobser!aci#n conduo al in!ento delpéndulo, usado en los reloes yotros instrumentos para medir conprecisi#n el tiempo.

1



9"m

O

&u es una *)ngitud de arc)Fr

r LO

(

A

es la medida de 4n ar"o en 4nidades lineales.

JU&UE$OSCON:$EROLO


METRÍA


La longitud de unacircunferencia estadeterminado por la relaci#nentre su ángulo de giro deuna !uelta ;π rad- y suradior-.

r Lc

π 9=

E"EMPLO: /i queremos 'allar lalongitud de la siguientecircunferencia2 recordemos quela longitud de unacircunfererencia estadeterminada por2

r Lc π 9=

• Nor lo tanto la longitud será2

Lc 4 ;π-;- cm. Lc 4 >π cm.

"onde2 L 4 longitud del arco A5.

r 4 radio de la circunferencia. θ 4 (umero de radianes del angulo.

)uando una rueda gira o !a rodando sobre unasuperficie plana desde una posicion A, Iasta unaposicion 5como se muestra en la figura-.podemosafirmar lo siguiente2

n2 (umero de !ueltas que da larueda al ir de A 'asta5.

e2 Longitud que recorre la rueda.

• /ea el área desector circular2 S

• θ2 ángulo enradianes.

θ

J !π

ÁREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR

La regi#n limitada por los arcos concéntricos y, se denomina trapecio circular y su superficie se

calcula de la siguiente manera2

"onde2 /2 área del trapecio circulara2 Longitud del arco mayor

b2 Longitud del arco menor

LONGIT

!D DEAR"O #SE"TOR

"IR"!LAR

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA

Cmo puedo hallar lalongitud del aro*

LONGITUD DE ARCO

NKMERO DE UELTAS UE DA UNA RUEDA

R

en

π 9=

ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR

"ector circular es laporci#n de círculo limitadopor dos radios y un arco.

2!




METRÍA


1. Iallar $L& siendo A5 un /ector )ircular

!. Iallar $l & siendo A5 un /ector )ircular

considerar π 4 ;;YE-

3. "ada la circunferencia de ;> m de radio.+ncontrar la longitud del arco subtendido por unángulo central de ;Y= radianes

4. Iallar $%& siendo A5 un /ector )ircular

5. +ncontrar el radio de una circunferencia tal que unarco de :? m de longitud, subtiende un ángulocentral de = rad.

. Iallar el \rea del /ector )ircular A5

7. Iallar el \rea del /ector )ircular A5

. Iallar $/& si A5 es un /ector )ircular

B. )alcular la longitud de un arco en unacircunferencia cuyo radio mide ; cm y el ángulocentral que subtiende mide @g.

1. /i A5 y )" son /ectores )irculares.Iallar2 L: < L; < L=

21




METRÍA


11. +n la figura mostrada calcular el !alor del radiodel sector A5, sabiendo que2 L 4 ;πcm

1!. Iallar $L& sabiendo que A" es un /ector )ircular2

13. /iendo $& centro de la circunferencia. Iallar $/ : <

/;&

14. +n el esquema mostrado )3" es un /ector

)ircular. "etermine el área de la regi#n

sombreada.

15. "e la figura mostrada, 'allar $H&, si α 4 $

%

rad. A5 es un /ector )ircular

1. "el gráfico. Iallar el área sombreada. /i A) 4>, 3A 4= ,+3A y )5 son /ectores )irculares

17. Iallar la longitud de un arco que subtiende unángulo central de =B, si la longitud del radio

de la circunferencia es Cm. usar π 4 &

''

-

1. )alcular la longitud del radio de unacircunferencia de ==m de longitud de arco quesubtiende un ángulo central de = radianes.

1B. Iallar la medida del ángulo central cuyo arcocorrespondiente mide :: cm y radio :>cm.

usar π 4 &

''

-

!. "ado un sector circular de arco @J:- cm1 de radio<:- cm y de ángulo central ; J :- radianes.)alcular $&

1. Iallar el área de un sector circular cuyo ángulocentral mide :B y su radio @ m.

!. Iallar el área de un sector circular cuya longitud dearco es D cm y radio > cm.

3. +l ángulo central de un sector circular es ; rad ytiene como longitud de arco > cm. "eterminar suárea.

22



4'

4'

O L=C'=L@


METRÍA


4. "el gráfico mostrado. Iallar el área del sector

circular sombreado.

5. "el sector circular mostrado. )alcular el área

de la figura sombreada.

. "el sector circular mostrado. )alcular L: < L;-

7. "e la figura. calcular $&

. +l perímetro de un sector circular de ?cm deradio es numéricamente igual a : !eces elnúmero de radianes de su ángulo central.Iallar el área de dic'o sector.

B. Iallar el área de un sector circular de radio Dm, que es igual al área de un cuadrado, cuyolado es igual a la longitud de arco del sector.

1. "el gráfico mostrado calcular $& /2 \rea-

11. "el gráfico mostrado calcular2

%

'

(

(

. /i2 A5 4 ;A

:;. Iallar la longitud de un arco que subtiende unángulo central de >?K, si la longitud del radio de la

circunferencia es D m. usar2 π 4 23 + -

:=. )alcular la longitud del radio de una circunferencia

de >D m de longitud de arco que subtiende unángulo central de > radianes.

:>. Iallar la medida del ángulo central cuyo arcocorrespondiente mide :: cm y radio E cm.

:?. "ado el sector circular de arco :; m1 de radio <=- m y ángulo central ; radianes. )alcular $&

:C. Iallar el área de un sector circular cuyo ángulo

central mide =K y su radio C cm.

:E. Iallar el área de un sector circular cuya longitud dearco es :; cm y radio C cm. )alcular el área dedic'o sector circular.

:D. +l ángulo central de un sector circular en = rad ytiene como longitud de arco C cm.

:@. "el sector mostrado circular1 calcular L: < L;-

23



O

rad

, a

O:S=S

Sm6

A

"

DE

H


METRÍA


;. )alcular $& de la figura2

:. +l perímetro de un sector circular de ; cm de radioes numéricamente igual a = !eces el número deradianes de su ángulo central. Iallar el área dedic'o sector.

A- > cm; 5- C cm; )- D cm;

"- : cm; +- :C cm;

;. Iallar el área de un sector circular de radio 8 m,que es igual al área de un triángulo equilátero, cuyolado es igual a la longitud de arco del sector.

A- ; 3 m; 5- 34 m; )- > m;

"- 3 m; +- @ m;

=. "el gráfico mostrado, calcular $&. /2 área-

a. 3 m

b. 62 m

c. 32 m

d. 63 m

e. 33 m

>. Iallar la longitud de un arco que subtiende u ángulocentral de =K, si la longitud del radio de la

circunferencia es C m. usar π 4 7

22

-

A-m

2

π

5- m80 )- :Dπm

"-m

7

22

+- :Dπm

?. )alcular la longitud del radio de una circunferenciade == m de longitud de arco que subtiende unángulo central de = radianes.

A- E m 5- :> m )- :? m"- :: m +- :E m

C. Iallar la medida del ángulo central cuyo arcocorrespondiente mide :: cm y radio :> cm. usar π

4 7

22

-

A-rad

3

π

5-rad

4

π

)-rad

2

π

"-rad

6

π

+-rad

2

3π

E. "ado el sector circular de arco @ J :- cm1 de radio < :- cm y ángulo central J :- radianes.)alcular $&.

A- : 5- ; )- =

"- > +- ?D. Iallar el área de un sector circular cuyo ángulo

central mide :K y su radio @m.

A- ;π m; 5- >?

2m2

π

)- >?π m;

"- =π m; +- :?π m;

@. Iallar el área de un sector circular cuya longitud dearco es D cm y radio > cm.

A- D cm; 5- > cm; )- :; cm;

"- :C cm; +- =; cm;

:. +l ángulo central de un sector circular es ; rad ytiene como longitud de arco > cm. "eterminar suárea.

A- > cm; 5- ; cm; )- D cm;

"- :D cm; +- =; cm;

::. "el sector circular mostrado. )alcular el área de lafigura sombreada2

A- D m;

5- : m;

)- :; m;

"- :> m;

+- :C m;

:;. "el sector circular mostrado.)alcular2 L: < L;-

A- ; m5- > m

)- C m"- D m+- : m

O 3m

4m

4m

L2 6m2 L1O

2m

2m

24



)ASATIE$)OSARACASLA


METRÍA


:=. +l perímetro de un sector circular de ? cm de radioes numéricamente igual a : !eces el número deradianes de su ángulo central. Iallar el área dedic'o sector.

A- ;? cm; 5- ;? cm; )- =; cm;

"- E? cm; +- :;? cm;

:>. Iallar el área de un sector circular de radio D m,que es igual al área de un cuadrado, cuyo lado esigual a la longitud de arco del sector.

A- ; m; 5- > m; )- :C m;

"- D m; +- : m;

:?. "el gráfico mostrado. )alcular $& /2 área-

A- D m5- @ m)- : m

"- :; m+- :D m

:C. "el gráfico mostrado calcular2 1

2

S

S

/i2 A5 4 ;3A

A- ;5- >)- C"- D+- :

1. "etermine el !alor del radio del /ector )ircular A5

A) ;m ) >m C) ?mD) Em E) Cm

!. Iallar $L&, siendo A5 un /ector )ircular

A) ;: ) ;; C) ;D) =: E) >:

3. Iallar el área del /ector )ircular A5

A) :?m; ) :;m; C) =m;

D) ;m;

E) :m;

4. "etermine el !alor de $L: < L; < L=&, si A5 y )"son /ectores )irculares

A) π ) ?π C) :πD) :>π E) :Cπ

5. "e la figura mostrada, calcular el !alor del radio el/ector )ircular A5, sabiendo que L 4 Dπ cm.

A) =cm ) =?cm C) >cmD) >Dcm E) ?;cm

. Iallar $L&, sabiendo que A" es un /ector )ircular

x3S6mS

C

D

B

A

S2S1O

25




METRÍA


A) >µ ) Eµ C) :µD) ?µ E) =µ

7. /iendo $ centro de la circunferencia 'allar $/: </;&

A) $)

*+π

) %,

,&π

C) %,π

D) $)

%,π

E) -

%.π

. "etermine el área de la regi#n sombreada, siendo A5 /ector )ircular

A) ;,?µ; ) =,;µ; C) ;,??µ;

D) ;,;?µ; E) :,?µ;

B. +n el /ector )ircular A5.

Iallar $;& si2 α 4 )

%

rad.

A) =@l ) El* C) ;El

D) :@l+ E) (A

1. /iendo A5 un /ector )ircular, determine el !alor de $/&

A) ;µ; ) Cµ; C) >µ;

D) Eµ; E) ?µ;

11. Iallar La longitud de un arco que subtiendeun ángulo central de >?B, si la longitud delradio de la circunferencia es Dm. usar

', +=π

-

1!. )alcular la longitud del radio de una circunferenciade >Dm de longitud de arco que subtiende unángulo central de > radianes.

13. Iallar la medida del ángulo central cuyo arcocorrespondiente mide ::cm y radio Ecm. usar π4 ;;YE-

14. "ado un sector circular de arco :; m1 de radio <=-m y ángulo central ; radianes. )alcular $&

15. Iallar el área de un sector circular cuyo ángulocentral mide =B y su radio C cm.

1. Iallar el área de un sector circular cuyalongitud de arco es :; cm. y radio C cm.

17. +l ángulo central de un sector circular es =rady tiene como longitud de arco Ccm. )alcular su área

1. "el gráfico mostrado. Iallar el área del sector circular sombreado.

1B. "el sector circular mostrado. )alcular el área de lafigura sombreada.

26



L4 rad

4 u

J u

? u

:>9

r

rad

R A

"

L


METRÍA


!. "el sector circular mostrado. )alcular2 L: < L;-

!1. )alcular $& de la figura

!!. +l perímetro de un sector circular de ;cm, deradio es numéricamente igual a = !eces elnúmero de radianes de su ángulo central.Iallar el área de dic'o sector.

!3. "el gráfico mostrado

)alcular2 '

%

(

(

!4. Iallar el área de un sector circular de un radio de

* m, que es igual al área de un triánguloequilátero, cuyo lado es igual a la longitud de arcodel sector.

!5. "el grafico mostrado calcular $& /2 área-

:. +n la figura mostrada 'allar el !alor de $L&

A- πY; cm5- π cm)- =π cm"- ;π cm+- >π cm

;. "el gráfico mostrado, 'allar el !alor de $θ&

A- :,? rad5- ;,? rad)- : rad"- ,? rad+- ; rad

=. +n la figura el !alor de $r& es2

A- : u5- ; u)- = u"- > u+- ? u

>. Iallar la longitud de arco en un sector circular, deángulo central >?K, sabiendo que la longitud de lacircunferencia es > m.

A- E? m 5- C? m )- ? m"- >? m +- (.A.

?. "el gráfico mostrado 'allar $L& en funci#n de $θ&

A- θ %5- ;θ %

27



ad

8u6=/@8u

@>u

Ju

:u

?u

6=048u6=/?8u@u

'

Jc'

Cc' 4r

L=

A

O

4u

Ju

:u

=u 4u

:

=04=0: @=

4

radA

"

L

>B? rad

4uO

=

4O

=

=u

=uO

A

4urad


METRÍA


)- =θ %"- >θ %+- ?θ %

C. )alcular la medida del ángulo central de un sector circular, cuya longitud de arco mide igual que lalongitud de su radio.

A- ,? rad 5- : rad )- :,? rad"- ; rad +- ;,? rad

E. /e tiene un sector circular cuyo ángulo central mide: rad, su radio ? < =- cm y la longitud de su arcoes > < ?- cm. )alcular el !alor de $&.

A- ,? 5- : )- ;"- = +- (.A.

D. "el gráfico mostrado 'allar el !alor de $&

A- ,?5- :)- ;"- =+- >

@. "ada la figura, 'allar el !alor de $&

A- : rad5- ; rad)- = rad"- > rad

+- ? rad

:. "ada la figura, 'allar el !alor de $&

A- E5- D)- @"- :+- ::

::. +n la figura mostrada el !alor de $r& es2

A- ; cm5- = cm)- > cm"- ? cm+- C cm

:;. +n el gráfico mostrado, calcular el arco A5 enfunci#n de $L&.

A- =LY;5- =LY>)- >LY>

"- ?LY>+- ;L

:=. "el gráfico mostrado 'allar el !alor de $&

A- DY=5- EY=)- CY="- ?Y=+- >Y=

:>. "ada la figura 'allar el !alor de $&

A- :,?5- C)- ="- >+- A y 5

:?. )alcular el ángulo central que corresponde a unarco de ::m, en una circunferencia de Em de radio

tomar π 4 7

22

-.

A- >?K 5- @K )- :=?K"- :DK +- ;EK

:C. "e la circunferencia mostrada, 'allar la longitud deradio en términos de θ y L.

A- ;θYL5- LY;θ)- θY;L"- ;LYθ+- LθY;

:E. "el gráfico mostrado calcular el área de la regi#nsombreada.

A- @ u; 5- :C u;

)- ;? u;

"- =; u;

+- C> u;

:D. "el gráfico mostrado, calcular el!alor de θ, si2 el

área sombreada es Dπ u;

A- πY?5- πY>)- ;πY?"- πY:+- >πY?

:@. +n la figura mostrada, determinar el !alor de $θ&.

A- :5- ;

)- ="- >+- ?

28



: rad

A

"

D

O

A

"

D

E

H

LJ

:

r

A

"

DO

3

3

4u

:u

A

"

D

E

H

1S

2S

3S

@> u

@ rad@>u @4u

A

"

D

O

A

"

D

,aS S

4a

radO

"

D

A

a

E

'

,4a

S

O "

DE

rad= rad

a

,


METRÍA


;. Iallar el área del sector circular, si el ángulo central

mide ?πYE rad y el radio mide ; 7 m.

A- :π m; 5- ;π m; )- =π m;

"- >π m; +- ?π m;

;:. /i la longitud del arco de un sector circular es ;my la del radio es Cm. +ncontrar el área del sector circular.

A- > m; 5- >? m; )- ? m;

"- C m; +- @ m;

;;. "el gráfico mostrado, calcular el área de la regi#nsombreda.

A- > cm; 5- = cm;

)- ; cm;

"- : cm;

+- ? cm;

;=. +n la figura mostrada el área de la regi#n

sombreada es 6

r 2π

. )alcular $L&. A- Eπ5- Dπ)- @π"- :π+- ::π

;>. Iallar el área de la regi#n sombreada.

A- π m;

5- ;π m;

)- ,? πm;

"- πY= m;

+- ;πY= m;

;?. "el gráfico mostrado 'allar 231 SSS −+

A- : u;

5- ; u;

)- = u;

"- > u;

+- ? u;

;C. +n la figura mostrada determinar el área de laregi#n sombreada.

A- = u;

5- ;@ u;

)- > u;

"- >D u;

+- (.A.

;E. "e la figura, 'allar el !alor de a

b

A- 2

5- ;

)- >"- ,?+- D

;D. "el gráfico mostrado 'allar el !alor de $N&, si2 $/& esel !alor del área sombreada.

bS

a9P

23 α=

A- =5- C)- :;"- :Y:;

+- :Y;>

;@. "el gráfico mostrado, calcular la relaci#n entre a yb, dado que las áreas sombreadas son iguales.

A- 6/1

5- ;)- D

"- ; 2

+- = 3

=. /e tiene un sector circular de radio $r& y ángulocentral =CK. F)uánto 'ay que aumentar al ángulocentral de dic'o sector pára que su área no !aríe, sisu radio disminuye en un cuarto del anterior

A- C>K 5- =CK )- ;DK

"- :K +- ;K

2



O , j e t i 3 ) s K

Estrategias de Aprendizaje


METRÍA


RAONES

TRIGONOMETRI"AS

CAPACIDAD:

RAZONAMIENTO Y

COMPRENSIÓN

TAREA 1 VALOR - ACTITUD

RESPONSABILIDAD -

PUNTUALIDAD

DESTREZAS CONTENIDOS MÉTODOS MICROACTITUDES

8dentificaLos elementos de untriángulo rectángulo

en la resoluci#n deproblemas

Nresentandooportunamente sus

trabaos

8dentifica Las C razonestrigonométricas en la resoluci#n deproblemas

Nresentandooportunamente sus

trabaos

n 1003 el amoso sico$matemático % astrnomo

ohann 4einrich Lam5ertpu5lic un tratado so5re laluna de 6enus$ dondellega5a incluso a calcular sur5ita. Federico el 'rande7uiso condecorar a ean Le&ond 89,lem5ert por ha5eréste 5auti:ado la luna de6enus en su honor$ si 5ien

89,lem5ert declincortésmente la distincin.videntemente tal luna nopudo ha5er e#istido ;amás$pues ha5ra sido visi5lecomo una pe7ue<a motaoscura cuando 6enus cru:apor delante del disco solar.Lo 7ue los astrnomos

vieron ueron 7ui:ásestrellas cercanas oimágenes antasmasproducidas por reraccinen las lentes$ o como en elcaso de los astrnomos 7ue=o5servaron> los canales

3!



A%LI"A"IONES


METRÍA




+n la construcci#n de carreteras, puentes, canales y edificaciones,obser!amos que los top#grafos manipulan instrumentos como elteodolito, el metro y las reglas graduadas con el obeto de medir ángulos y distancias generalmente en triángulos, ya que latriangulaci#n es muy empleada para trabaos de topografía que sonindispensables en la preparaci#n y eecuci#n de proyectos de

ingenieria.

LaLa


nacenace

c)n e*c)n e*+)',re+)',re'is')'is')

&,?@"?N"!7 – 1B4 9. C.

rat<stenes fue unmatemático griego,

conocido actualmente porsu famosa :ribaprocedimiento paradeterminar los n=merosprimos del - al !.+ue el primero que midi<la longitud de lacircunferencia de la "ierraformulando dos hip<tesismuy atrevidas para su*poca1

-> La "ierra tiene formaesf*rica/> Los rayos del sol sonlíneas paralelas.

31



"? Cateto

a? Fipoten4sa G? Cateto

H34 es 4na ra#n trionomtri"aK

Es el "o"iente entre las lonit4des de los lados de 4n tri%n4lo re"t%n4lo respe"to de 4no de s4s %n4los a4dos.

aK Fipoten4sa,? Cateto ad5a"ente

c? Cateto op4esto

a ?

@=


METRÍA


PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

+n todo triángulo rectángulo se cumple2

• +l teorema de Nitágoras.

• La longitud de la 'ipotenusa siempre será

mayor que la longitud de los catetos.

• /us angulos agudos son complementarios,suman @B.

• /eaα

cualquier ángulo agudo de untriángulo rectángulo donde 9,,y son losnúmeros de las longitudes de sus lados.

Las A ra:ones trigonométricas de Bα sedefne1

E"EMPLO: )alcular las C %.T. con respecto al ángulo$α&

RAONES

TRIGONOM-TRI

"AS

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

?@u* es untriángulo

rectángulo re

*n triángulo se llamarárectángulo si uno de sus

ángulos es recto.

a9 G9 < "9

a > " > 0a > G > 0

α < β B0,

RAÓN TRIGONOM#TRICA

32




METRÍA


RESOLUCIÓN:

• Iallando el !alor de $a& con el teorema deNitágoras2

a; 4 ?; < :;;

a; 4 ;? < :>>a; 4 :C@a 4 :=

• "eterminando las %.T.con respecto al al ángulo

α2/en α4 ?Y:= ctg α 4 ?Y:;)os α4 :;Y:= sec α 4 :=Y?Tg α 4 :;Y? csc α 4 :=Y:;

:. +n un triángulo rectángulo A5) BL

4@B-, querepresenta2 UaY cU.

a- sen A b- cosA c- tgAd- cotA e- secA

;. +n un triángulo rectángulo A5) BL 4@B-, querepresenta UaYbU

a- senA b- cosA c- tgAd- cotA e- secA

=. +n un triángulo rectángulo A5) BL

4@B-, querepresenta UbYcU.

a- senA b- cosA c- tgAd- cotA e- secA

>. +n un triángulo rectángulo A5) BL 4@B-, querepresenta UcYaU.

a- sen) b- cos) c- tg)d- cot) e- sec)

?. +n un triángulo rectángulo A5) BL 4@B-, querepresenta UbYaU.

a- sen) b- cos) c- tg)d- cot) e- sec)

C. +n un triángulo rectángulo A5) BL 4@B- reducir2+ 4 tgA.tg)

a- : b- ac c- a;

c;

d- aYc e- cYa

E. +n un triángulo rectángulo A5) BL 4@B- reducir2 4 senA.sec) < cosA.csc)

a- ;ac b- ac

c- ;a;c;

d- ; e- >

D. +n un triángulo rectángulo A5) BL 4@B- reducir2

G 4 sen; A < sen

;)

a- ac b- a;<c; c- abc

d- : e- ;

@. +n un triángulo rectángulo A5) BL 4@B- reducir2I 4 tgA < tg)- senAsen)

a- : b- b c- b;

d- ;b; e- ;b

:.+n un triángulo rectángulo A5) BL 4@B- se sabeque2 a 4 = y c 4 >. 3btener el !alor de2

] 4 senA < sen)

a- : b- :,: c- :,;d- :,> e- :,?

::.+n un triángulo rectángulo A5) BL 4@B- se sabeque2 b 4 := y a 4 ?. 3btener el !alor de2

A 4 sec) < tg)

a- : b- ; c- ?

d- :Y? e- :

:;.+n un triángulo rectángulo A5) BL 4@B- se sabeque2 b 4 = y c 4 :. )alcular2 ) 4 secA. tgA

:=.+n un triángulo rectángulo A5) BL 4@B- se sabeque2 c 4 =a. )alcular2

7 4 csc; A < tg)

a- : b- :: c- :;d- := e- :>

:>.+n un triángulo rectángulo A5) BL 4@B- se sabeque2 b 4 =a. )alcular2

Nara 'allar las C %.T. primerotenemos que determinar lalongitud de la 'ipotenusa

33



08

09


METRÍA


+ 4 cot; A < >

a- ? b- @ c- :=d- :; e- :E

:?.+n un triángulo rectángulo A5) BL 4@B- se sabe

que2 a<b 4 =c. )alcular2/ 4 secA < tgA

a- : b- ; c- =d- :Y= e- C

:. +n un triángulo rectángulo, los lados menores miden; y =. )alcular el seno del menor ángulo agudo de

dic'o triángulo.

;. +n un triángulo rectángulo, los lados mayores miden:= y :;. )alcular la tangente del mayor ánguloagudo del triángulo.

=. +n un triángulo rectángulo un cateto es el doble delotro. )alcular la secante del mayor ángulo agudo dedic'o triángulo.

>. +n un triángulo rectángulo la 'ipotenusa es el triplede un cateto. )alcular la cotangente del menor ángulo agudo del triángulo.

?. +n un triángulo rectángulo los catetos están en laproporci#n de ; a =. )alcular el producto de lossenos de los ángulos agudos de dic'o triángulo.

C. /i UaU es un ángulo agudo tal que2seca 4 :,?. )alcular UtgaU.

E. /i2 UaU es un ángulo agudo tal que2

cosa 4 9 Y =. )alcular Utg;aU.

D. /i UaU es un ángulo agudo tal que2tga 4 =. )alcular el !alor de2

+ 4 seca tga

@. /i UaU es un ángulo agudo tal que2/en a 4 ,=. )alcular el !alor de2

N 4 9 cota 6 ; 9 seca

:./iendo UβU un ángulo agudo tal que2cosβ 4 ,@C1 obtener2

+ 4 cscβ < cotβ

::.+n un triángulo rectángulo A5) X54@B-1 reducir2+ 4 tgA tg)

:;.+n un triángulo rectángulo A5) X54@B-1 simplificar2

N 4 sec; A 6 tg; A

:=.+n un triángulo rectángulo A5) X54@B-1 se sabeque2 senA 4 ;sen)calcular UsecAU

:>. +n un triángulo rectángulo A5) X54@B-1 se

sabe que2 tgA 4 ;tg).)alcular2 N 4 senAsen)

:C.+n un triángulo rectángulo A5) X54@B-1 se sabeque la 'ipotenusa es igual al doble de la mediageométrica de los catetos. )alcular la suma de lastangentes de los ángulos agudos del triángulo.

:. /i2 cosα 4 %.

%.

y BV α V @B)alcular2 L 4 cscα J ctgα

;. +n un triángulo rectángulo A5) recto en $)&-reducir2I 4 tg5 < ctg5-; J ctgAJtgA-;

=. +l lado menor de un triángulo rectángulo A5)mide :>m y cosA 4 .@C. )alcular el perímetroy área de dic'a regi#n triangular

>. A partir de la figura mostrada, calcular2( 4 tgα < tgβ

34



17

A

(

C

A (

C

8


METRÍA


?. "el gráfico1 Iallar2

( )

( )β θ

θ α

++

=tg

ctg /

C. "e la figura, 'allar2 $ 'ctg

α

&

E. "e la figura, 'allar2 $ 'ctg

α

&

D. +n el triángulo rectángulo A5). /i2 ;A" 4 )",Iallar2 $)tg;θ&.

@. "el gráfico, calcular2^ 4 ;ctgθ < ctgα

:. Iallar $;tgα&, en la semicircunferencia de centro $&mostrada a continuaci#n2

::. +ncontrar $ θ tg

& del gráfico mostrado

:;."el gráfico mostrado1

calcular UtgθU.

:=. "el gráfico adunto, calcule el !alor de2

φ

φ+=

2

2

Sec

Tan1Z

:>. +n un triángulo rectángulo A5), recto en $5&,reduce2

( )TanCTanASecC

CosA

CsecCo

SenA + +=

:?. "el triángulo rectángulo mostrado, determine el!alor de2

α+α−α

=2Co!1

CosSen"

:. Iallar las C %azones Trigonométricas del ángulo$A& de un triángulo rectángulo A5), recto en $5&.

/abiendo que2 a 4 C1 c 4 D

35




METRÍA


;. Iallar las C %azones Trigonométricas del ángulo$)& de un triángulo rectángulo A5), recto en $5&./abiendo que2 a 4 ?1 c 4 :=

=. /i se cumple que2tg; < ?- . ctg ;: 4 :.Iallar el !alor de $&

>. /i senθ 4 ,

%

.Iallar ctgθ

?. "ado2

Iallar2 >cosθ

C. /i senθ 4 ,===...Iallar $7&,7 4 sec θ < tgθ

E. +n la figura, calcular tgθ

D. /i senθ4 )

%

.

Iallar * . ctgθ

@. /i senθ 4 *%

*.

.)alcular2 + 4 secθ < tgθ

:. /i2 senα 4 )

)

y BV α V @B

)alcular2 ] 4 secα 6 tgα

::. +n un triángulo rectángulo A5) recto en $)&-%educir2

+ 4 senA<cosA-;<cos5J/en5-;

:;. +l lado mayor de un triángulo rectángulo A5)mide ?; cm y Tg) 4 ;,>. )alcular el perímetroy área de dic'a regi#n triangular

:=. A partir de la figura mostrada, calcular2* 4 tgα < tgβ

:>. "el gráfico calcular2( )

( )θ+β

α+θ

= ctg

tg

0

:?. "el gráfico2

)alcular2 $ '

α 1g

&

:C. "el gráfico mostrado. )alcular2 J y.

:E. +n el triángulo rectángulo A5), si2 A" 4 ;)"1calcular $ctg;θ&

7

36




METRÍA


:D. "e la figura.

Iallar2 N 4 ;ctgθ J ctgα

:@. Iallar $/enθ&, si A5 es un cuadrante en el gráfico

adunto.

;. "eterminar $ θ tg & en el gráfico mostrado

• /enα . )scβ 4 : ⇔ α 4 β

• )osα . /ecβ 4 : ⇔ α 4 β• Tgα . )tgβ 4 : ⇔ α 4 β

E"EMPLO:

• /en>B.)sc>B 4 :• Tg=EB.)tg=EB 4 :• /ec;=B.)os;=B 4:

/i α y β son ángulos agudos de untriángulo rectángulo entonces soncomplementarios y se cumplirá que lasrazones de α serán iguales a las co6razones de β o !ice!ersa.

/i2• /enα 4 )osβ⇒ α < β4 @K• Tgα 4 )tgβ ⇒ α < β4 @K• /ecα 4 )scβ⇒ α < β 4 @K

E"EMPLO:• /en=B 4 )osCB• Tg=EB 4 )os?=B• /ec=;B 4 )sc?DB• )os >?B 4 /en>?B• )tg 4 tg@B 6 -

:. Iallar UUsi2 sen csc:B 4 :

a- :B b- ;B c- =Bd- ?B e- :?B

;. Iallar UUsi2 cos; sec;B 4 :.

a- :B b- ;B c- =B

d- ?B e- :?B

=. Iallar UUsi2 tg= cot < >B- 4 :a- ?B b- :B c- :?Bd- ;B e- >B

>. Iallar UUsi2 cos; < :B- sec < >B- 4 :

a- :B b- ;B c- =Bd- >B e- ?B

?. Iallar UUsi2 tg 6 :B- cot?B 6 ;- 4 :

R.T. RECÍPROCAS

P092 +l productoentre dos razonestrigonométricasrecíprocas será igual a launidad siempre y cuandolos ángulos agudos soniguales.

R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

37



JU&UE$OSCON:$EROLO08


METRÍA


a- :B b- ;B c- :?Bd- ;?B e- =?B

C. Iallar U;6yU si2sen csc;y 4 :tgy . ctg;B 4 :

a- :B b- ;B c- >Bd- CB e- DB

E. Iallar UUsi2 sen 4 cos>B

a- :B b- ;B c- =Bd- >B e- ?B

D. Iallar UUsi2 tg; 4 cot>B

a- :B b- :?B c- ;B

d- ;?B e- =B

@. Iallar UUsi2 cos= 4 sen < :B-

a- :B b- :?B c- ;Bd- ;?B e- =B

:.Iallar UUsi2 tg < :B- 4 cot 6 :B-

a- :B b- ;?B c- =Bd- >?B e- ?B

:. Iallar UUsi2 sen 6 y- 4 cos; < y-

a- :B b- ;B c- =B

d- :?B e- >?B

;. Iallar UUsi2 tg; tg>B 4 :

a- ?B b- :B c- :?Bd- ;B e- ;?B

=. Iallar UUsi2 sen 6 :B- sec < :B- 4 :

a- :B b- =B c- ?Bd- >?B e- ??B

>. /iendo2sen < y- 4 cos;B

tg; cot>B 4 :)alcular2 yYa- : b- ; c- :,?d- ;,? e- =

?. /iendo2tg < y- tg>B 4 :tg 6 y- cot:B 4 :

calcular2csc < sec=y

a- : b- ; c- =d- > e- ?

C. )alcular2+ 4 sen>B < ;cos?B- csc>B

a- : b- ; c- =d- > e- ?

E. )alcular2

+ 4 tg:B tgDB

a- : b- ; c- =d- > e- .".

D. )alcular2+ 4 tg:Btg;Btg=B......tgDB

a- : b- ; c- _`=d- ;_`= e- .".

@. )alcular2+ 4 tg>B < =cot?B- cot>B

a- : b- ; c- = d-> e- .".

:.Iallar2+ 4 sec= 6 :B- < cot; < :B-

si2sen; 6 y- 4 cos= < y-

a- : b- ; c- =d- > e- C

::./i2 sen < :B-cosy 4 cosDB 6 - sen;y

calcular2+ 4 cot;y < tg;;y

a- = b- C c- @d- :; e- :?

:;./i2 sen; 6 :B- sec < :B- 4 :tg 6 y- coty 4 :

)alcular2

+ 4 sec; < y- < csc

a- : b- ; c- =

d- > e- ?

:=./i2 sen= < ;y- 4 cos<y-

38



09


METRÍA


)alcular2 + 4 tg;<y- . tg;<;y-

a- : b- ; c- =d- > e- (.A.

:>./i2 sen> sec;y 4 :1calcular2

N 4 tg;<y- < :

a- : b- ; c- =d- > e- ?

:?.)alcular2+ 4 tg:B tg;B tg=B .......... tgD@B

a- : b- ; c- =

d- . e- . Y=

:. /i2 /en=θ 6 =K-)osec;θ 6 :K- 4 :, determine el!alor de $θ&.

;. "etermine el !alor de $β& en2

)os?β < ;K-/ecCK < β- 4 :

=. /i2 Tan>?K < ;α-)ot?α 6 :?K- 4 :, determine el!alor de $α&

>. "etermine el !alor de2

4=/en;=K)osec;=K<;-;Tan:>K)ot:>K6:-

?. )alcule el !alor de2

°°−+°°

°°= 30Co!30Tan2

110secCo10Sen3

26Sec16cos8Z

C. Ialle el !alor de2

174Sec74Cos

216Sec16Cos6

37Co!37Tan3

245Sen45secCo5#

+°°−°°

−°°++°°

=

E. "etermine el !alor de $φ& en2/en=φ 6 :K- 4 )os?φ < ;K-

D. /i2 TanDθ 6 :DK- 4 )ot=θ 6 ;K-, determine el !alor de $θ&.

@. )alcule el !alor de $γ & en2/ec;γ < >K- 4 )osec:?K 6 Eγ -

:. Ialle la co funci#n de2 /en;?K

::. "etermine la co raz#n de2 tan>K

:;. "etermine el !alor de2 4 ;/en;?K/ecC?K 6 :

:=. )alcule el !alor de2 ^ 4 =)os:DK < ;/enE;K-/ec:DK

:>. )alcule el !alor de2

°°+°°

= 20Cos20Sec380Co!

10!an2R

:?. "etermine el !alor de2

°°

−°°°°

=60Cos

30Sen3

10Sec10Cos

70Tan20Tan5"

:C. "etermine el !alor de $φ& en radianes, si se cumpleque2 /en;φ 6 :K-)osec=?K 6 φ- 4 :

:E. Ialle el !alor de $θ& en radianes, si se cumple lasiguiente condici#n2

TanDθ 6 >?K-)otθ 6 =K- 4 :

:D. "etermine el !alor de $α& y $φ& sabiendo que 2/en;α < :>K 6 ?φ-)osecC;K 6 =φ 6 α- 4 :)osEφ 6 :DK 6 Dα-/ec:;K < =φ 6 @α- 4 :

:@. "etermine el !alor de $α& en radianes, si se cumplela siguiente condici#n2

)os;α 6 :K- 4 /en?α 6 >K-

;. Ialle el !alor de $β& en2

Tan=β 6 ;K- 4 )ot:;K 6 >β-

3



a C

1a

,

,

a C

9a9/,0M

a 80

a87,0M

a 8D

1a

81,

/,

a 9

a 7,

79,

a

8Ba ,

7,


METRÍA


;:. )alcule el !alor de $φ 6 γ & en radianes, si se cumpleque.

/ec?φ 6 @γ 6 >DK- 4 )osec=φ < >DK 6 ;γ - /en:;γ < :=K 6 Eφ- 4 )os@φ 6 Dγ 6 :=K-

;;. %educe2 °°

+°°

=42secCo

48Sec3

67Co!

23TanT

;=. "etermine el !alor de2

°°

++°°

=53Co!

37Tan

16

330secCo30Sen"

;>. )alcule el !alor de2

449Cos

41Sen74secCo16Cos

2

−

°°+°°=

;?. "etermine el !alor de $θ& en grados centesimales, sise cumple la siguiente igualdad2

/ec@K 6 θ- J )osec=θ 6 :DK- 4

;C. Ialle el !alor de2 °+α°−α

=62

3$

, si se cumple lasiguiente relaci#n2

/enCα-/ec>α- 4 :

;E. "etermine el !alor de $β& en2

)os:DK < β-)osec;K < β- 4 :

;D. Ialle el !alor de $θ& en la siguiente epresi#n2

Tan=θ < >=K-TanDθ 6 =K- 4 :

;@. /i20%

220&Cos%295&Sen =

γ +°−°−γ

,"etermine el !alor de $γ & en grados centesimales.

:. Triángulo %ectángulo de >?B

;. Triángulo %ectángulo de =B y CB

=. Triángulo %ectángulo de =EB y ?=B

>. Triángulo %ectángulo de ?=BY ; 4 ;C,?B 4 ;CB=M

?. Triángulo %ectángulo de =EBY ; 4 :D,?B4 :DB=M

C. Triángulo %ectángulo de :CB y E>B

E. Triángulo %ectángulo de :>B y ECB

D. Triángulo %ectángulo de DB y D;B

@. Triángulo %ectángulo de =B y DEB

; a

> ? B

> ? B

a ;

a ;

a

> ? B

> ? B

a ;

a

; a

C A B

= A B

a

a =

RAONES TRIGONOM#TRICAS DEÁNGULOS NOTALES

1,9aa

8/,

91a

4!



7a

8a

97,

/9,

a

a 8,

B,

( )8 −

1a

980 +

87,

9,

( )8 + 1a

980 −

1,

/,

a C

812,

9a

88a802,

9a

a2,

a C

89a

9,

/,

a

a882,

a

.9+

8,

,

.9− 8,

,

( )9/ −

9/ + 8,

,

a

98+

992,

( )89 −

a992,

99−

99+

992,

,

JU&UE$OSCON:$EROLO


METRÍA


:.Triángulo %ectángulo de ;DB y C;B

::.Triángulo %ectángulo de =:B y ?@B

:;.Triángulo %ectángulo de :DB y E;B

:=.Triángulo %ectángulo de ?>B y =CB

:>.Triángulo %ectángulo de ;@BY ; 4 :>,?B 4 :>B=M

:?.Triángulo %ectángulo de ;:BY ;4:,?B

:C.Triángulo %ectángulo de CEBY ;4 ==,?B

:E.Triángulo %ectángulo de ;=B y CEB

:D.Triángulo %ectángulo de ;=BY ; 4 ::,?B

:@.Triángulo %ectángulo de E?B y :?B

/i2

/i2

/i2

;.Triángulo %ectángulo de >?BY ; 4 ;;,?B

/i2

/i2

/i2

41



08

09


METRÍA


:. Ialle el !alor numérico de2

o9o9

o9o9

1Se".0Tan9

1Cos/0Sen)

+

−=

;. /implificar20o

0

/0Se".0Cs"9

.0Tan.93

+=

=. Ialle el !alor numérico de2

o9o9

o0

/0Cos.0Sen

.0Sen.0Cs"F

+

+=

>. /implificar2o

oo

0Tan9

0Cs"9/0Se"$

+=

?. /i2 θ 4 :;K, 'alle el !alor numérico de2

%132&Cos5

%34&Tan%63&Sen2' o

oo

+θ−θ+−θ

=

C. Ialle el !alor de2o

oo2

37Sec

60Cos45Sen(

+=

E. Ialle el !alor de2 αα+α

=2Cos

3Sen4Co!)

22

Nara2 α 4 :?K

D. )alcule el !alor de2

φφφφ−φφ

=4Tan*3Sen

2Co!*3Sen3secCo*2Cos+

22

Nara φ 4 :?K

@. )alcule el !alor de2

4/en?H<:K-)os><?K-</en=./ec

9

;B

.Tan=Nara2 4 :K

:. %educe2 6Sec60Cscs45Tan

3Tan

4Cos45Sen

'oo

o

π

ππ

=

::. /i2 θ 4 :K, 'alle el !alor de2

θθθ

θθθ=

2

9Co!6Sec3Tan

2

9Csc6Cos3Sen

+

:;. )alcule el !alor de2o

o

o

o

.CosD

8/Tan.

.DCosB

D1SenE −=

:=. )alcule el !alor de2 $N&, si2α 4 =?K y β 4 :K

%2&Tan2

Cos

%8&Tan%2&CosP

β−α+

β−α

α−β+β−α=

:>. Ialle el !alor de $& en2 < ;- )osCK 4 C

:?. %esol!er2oo9

1Tan-9;+1Se" =+

:. %educir22-8;+

/Cos =+

π

;. /i2 >/ec=EK 4

π

+ /Sen9

Ialle el !alor de $&

=. /i2 /enE?K . )osec :?K < - 4 )ot 1π

Ialle el !alor de $&

>. Ialle el !alor de $& en2

3Tan3x76Csc26Sen4

2 π

−=

π

−

π

42



0

"

A D4 @


METRÍA


?. /iendo $α& y $θ& ángulos agudos, además2

Tan;α 4 )ot;K y)ot=θ 4 TanCK

Ialle el !alor de2 /ecα < θ-

C. /i2 Tan=α < >?K- 4 )ot;α < ;K-)alcule el !alor de2

7 4 /enCα . )os@α . Tan:;α

E. )alcule el !alor de $α& en radianes, si2

)osEK 6 α- 4 ,?

D. )alcule el !alor de $φ&, si2

oo/0Se"-70+Cs" =φ−

@. /i2

Tan =φ

, $ φ & es un ángulo agudo.

)alcular2 φ+φ= 2Cos42Sen3)

:. )alcule el !alor de2

°+°

°−°+°=

53Tan345Cos2

45Tan337Sec445Sec3"

2

22

::. "etermine el !alor de.

° °°+°= 452Sec2 2 60Tan%53Tan53Sec&"

:;. Ialle la suma de !alores de $& que cumplen lasiguiente igualdad2

H; J ;H)osCKTan; CK < ;Tan>?K4

:=. /iendo2°=θ 60Cos

2

1Sen

$θ& es agudo. )alcule el !alor de2 )ot;θ

:>. /iendo2 °=β 30TanCos 2

$β& es agudo. "etermine el !alor de2

β+β= SecTan2,

:?. /iendo2 °=α 45SecTan 2

$α& es agudo. )alcule el !alor de2

α+α= 22 SecSen5+

:. /iendo2 Tanα 4 3

2

1 $α& es agudo. )alcular2

L 4 > )sc;

α 6 =

;. /iendo2 /ecβ 4 7 1 $β& es agudo, calcular2L 4 C)sc;β< Tan;β

=. +n un triángulo rectángulo A5) -. 4 @K-, reducir2

L 4 /ecA . /ec) . /en) . /enA

>. +n un triángulo rectángulo los lados mayores miden= y 5 . )alcular el seno del menor ángulo agudo.

?. +n un triángulo rectángulo un cateto es el doble delotro. /e pide calcular la cosecante del mayor ángulo agudo.

C. +n un triángulo rectángulo la 'ipotenusa y un catetoestán en la proporci#n de > a =. /iendo $θ& el menor ángulo agudo1 calcular2

L 4 /enθ . Tanθ

E. "el gráfico, obtener2 L 4 Tanα . )otθ

D. "el gráfico, 'allar2 %&Tan

%&Cos"

β+θ

θ+α=

43



=

&

O =T

%S

:=

C=?

??

01


METRÍA


@. "el gráfico obtener2 $Tanα&

:. +l perímetro de un triángulo rectángulo es ==D m, sila tangente de uno de sus ángulos agudos es ;,>.F)uánto mide el cateto mayor

::. +n la figura mostrada. Iallar el !alor de2( 4 Tanθ < Tan;θ < Tan=θ

:;. Iallar el !alor de2 4 =/en=CK < >)os?>K- )sc=CK

:=. "eterminar el !alor de2

o

o

o

o

77Co!

13Tan

72Cos

18Sen/ +=

:>. )alcular el !alor de2 Tan;α < ?K-1 si2 /en=α6 :K- )scα < =K- 4 :

:?. /i2 /en:K Tan;α 4)ot=α < :K- )osDK)alcular el !alor de2 /ec;= α 6 :K-

:.6 "el gráfico obtener $Tgθ&

a- :

b- ;c- =

d- >

e- ?

;.6 "el gráfico obtener $;)tgθ&

a- :

b- ;c- =d- >e- ?

=.6 "el gráfico obtener $/ec!φ&

a- :

b- ;

c- =

d- >e- ?

>.6 "el gráfico mostrado, calcular

$tanα&

:

:Y;

:Y>

;

>

?.6 "el gráfico, calcular $tanθ&

a- :Y;

b- ;

c- =

d- =Y;

e- ;Y=

C.6 +n la figura2 A" 4 >")1 calcular $tanθ&

44




METRÍA


a- !

3

b- 3

3

c- 7

3

d- G

3

e- B

3

E.6 A partir del gráfico, 'allar $5(&

a- :;

b- :D

c- ;

d- ;>

e- =

D.6 "el gráfico calcular el !alor de Tgθ

a- :

b- ;

c- =

d- >

e- ?

@.6 "el gráfico, calcular $tanθ&

a- =YE

b- =YD

c- DYE

d- DY:?

e- EY:?

:.6 +n la figura, calcular Tgα, siendo A5) triánguloequilátero

a- :Y>

b- = Y>

c- :Y =

d- :Y;e- (A

::.6 "el gráfico, calcular $tanα&

a- 7

3!

b- 7

4

c- 7

3

d- B

3

e- B

3!

:;.6 "el gráfico, calcular $tanα&, si2 A5)" es un

cuadrado2

a- :

b- ;

c- =

d- >

e- ?

D.6 "el gráfico calcular $tan q&.

a- =Y?

b- >Y?c- =YD

d- :Y;

45




METRÍA

e- ?YD

@.6 "el gráfico, calcular $tanq& , si2

A7 751

; =B

A5) 2) equilátero.

a-

=

; b-

=

= c-

=

>

d-

=

C e-

=

D

:;.6 /i A5 4 5), calcular2 csc cotα − φ

a-

b- :

c- ;

d- =

e- >

:>.6 "el gráfico, calcular2 $senα&

a- : b-

:

: c-

:

: d- :A e- :A :A

:?.6 +n la figura mostrada2 A5)" es un cuadrado1donde $7& es punto medio del lado ). Iallar1 $tg θ &

a- :

b- ;

c- =

d- :Y;

e- :Y=

:C.6 "el gráfico calcular2 $ Tg θ &

a-

=

:: b-

>

:: c-

;

:: d-

:

:: e-E

::

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TRIGONOMETRIA 4TO 2010

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