Tutorial Estima (esp).pdf

8/11/2019 Tutorial Estima (esp).pdf

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ESTIMACION DE RESERVAS Manual ESTIMA

DATAMINE Peru S.A. Pgina N 1

Copyright: Datamine Corporate Limited, UK, 2004Av. Jorge Basadre 592 Of. 703, San Isidro, Lima - PERU.

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Datamine Studio

Estimacin de Leyes

Gua del Usuario

Edicin 2.0


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INDICE

1. INTRODUCCION 3

2. RESUMEN DE ESTIMA 5

3. VOLUMENES DE BUSQUEDA 7

4. DISCRETIZACION DE CELDAS 16

5. METODOS DE ESTIMACION 19

6. MUESTRAS MAS CERCANAS 24

7. INVERSO DE LAS DISTANCIAS 25

8. KRIGING 27

9. ESTIMADOR DE SICHEL'S T 33

10. RESUMEN DEL ARCHIVO DE PARAMETROS DE ESTIMACIO 34

11. CARACTERISTICAS ADICIONALES 36

12. ARCHIVO DE MODELO DE PARAMETROS DEL VARIOGRAM 39

13. OPTIMIZACION DEL TIEMPO DE EJECUCION 46

14. MODELOS ROTADOS Y PLEGADOS 52

15. SALIDAS Y RESULTADOS 55

16. EJEMPLOS 60

APENDI CES

A1. RESUMEN DE LOS PARAMETROS 65

A2. ARCHIVOS Y CAMPOS 67

A3. LIMITES DEL SISTEMA 69

BIBLIOGRAFIA 70


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DATAMINE provee de varias alternativas para la creacin de un modelo de bloques(Manual del usuario - "Introduccin al Modelamiento Geologico en DATAMINE"). Estemanual de usuario para la estimacin de leyes se concentra en los diferentes mtodosde interpolacin tales como; Inverso de las Distancias y Kriging. Esta guia de usuariodescribe la estimacion de leyes usando el superproceso ESTIMA

Las principales caractersticas de ESTIMA son :

- Posee un completo y consistente conjunto de volumenes de busqueda yparmetros de estimacin para todos los mtodos.

- Optimizacin de la velocidad en la busqueda de las muestras

- Multiples leyes pueden ser estimadas en una sola ejecucin.

- Las mismas leyes pueden ser estimadas por diferentes mtodos

- Diferentes volumenes de busqueda y parmetros de estimacin puedenusarse para diferentes leyes.

- Puede trabajarse con ansotropias en volumenes de busqueda rectangular yelipsoidal.

- Un volumen de busqueda dinmico permite aumentar el volumen si es queeste contiene muestras insuficientes.- Restriccin en el nmero de muestras por octantes.

- Restricciones del nmero de muestras por cada campo llave.

- Estimacin por zonas, con parmetros especficos para cada zona

- Amplio rango de tipos de modelos de variograma para kriging Normal yLognormal.


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- Transformacin automtica de datos en caso de que el modelo de entrada seaun modelo rotado.

- Opcin de trabajar con modelos plegados, en todos los tipos de estimacin.

- Estimacin de la celda patrn.

- Actualizacin selectiva de slo parte de los modelos.

Los mtodos de estimacin contenidos en ESTIMA son :

- Muestras ms cercanas- Inverso de las Distancias- Kriging Ordinario- Krigging Lognormal- Kriging Simple- Estimador de Sichel's t.

ESTIMA es un proceso muy completo, el cual requiere de una considerable cantidad deentradas, para esto se cuenta con una macro DATAMINE que facilita su uso. De esta

forma usted puede correr estima como un proceso estandar desde la lnea decomandos, o bien desde la macro, el uso de esta ltima permitir al usuario una mayorfamiliarizacin con este proceso y el conocimiento de todos sus requerimientos.

El modulo ESTIMA incluye mtodos de estimacin tanto del modulo MOD como delmodulo EGS. Del primero incluye el de las Muestras ms cercanas, Inverso de lasdistancias, Estimador de Sichels t y Kriging ordinario con un tipo de variogramaesfrico de una sola estructura. Las opciones adicionales en EGS son una alternativa demodelo de variograma, kriging lognormal y kriging Simple.


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ESTIMA requiere un modelo como prototipo de entrada y un set de datos demuestras, generalmente el prototipo puede ya contener celdas y subceldasrepresentando por ejemplo una estructura geologica, en este caso los valores de leyespodrn interpolarse dentro del conjunto existentes de celdas y subceldas. En cambio siusted tiene un prototipo vacio (que no contiene celdas y/o subceldas), ESTIMA puedecrear estas celdas y subceldas en el rea alrededor de las muestras, de acuerdo a lodefinido en el volumen de busqueda.

Desde este punto en adelante cuando nos refiramos a un modelo de bloques, estepuede contener celdas y subceldas, y una celda completa ser una celda patrn.

Los datos de muestras contienen los datos necesarios que usted usa para estimar lasleyes de las celdas, estos datos debern contener al menos las coordenadas X,Y, Z decada muestra y un valor de ley.

ESTIMA requiere que usted defina un volumen de busqueda, centrado en la celda aestimar, y que contendr las muestras que se usarn en la estimacin de las leyes. Dehecho usted podr definir ms de un volumen de busqueda, de esta forma diferentes

leyes podrn evaluarse con diferentes volumenes de busqueda. Todos los parmetrosque describen el volumen de busqueda se definirn en ESTIMA usando el "a rch i vo deparm etr os de l vo lum en de busqu eda" .

ESTIMA tambin requiere que usted defina un conjunto de parmetros de estimacinpara la ley a ser estimada, esos parmetros se ingresarn a ESTIMA usando "e larch iv o de p arm etr os de est im acin", el que contendr itemnes tales como elmtodo de estimacin, el nmero de referencia del volumen de busqueda y porejemplo la potencia si es que usted utilizar el mtodo del inverso de las distancias.

Asi ya tenemos definido el prototipo del modelo de entrada, y las muestras que caen

dentro de cada volumen de busqueda. Ahora se estimar cada ley definida en en elarchivo de parmetros de estimacin y el resultado se grabar sobre el modelo desalida.


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Un resumen de los archivos usados por ESTIMA son:

PROTO Modelo de prototipo de entradaIN Datos de muestrasSRCPARM Parmetros del volumen de busquedaESTPARM Parmetros de Estimacin

VMODPARM Parmetros del modelo del variogramaSTRING Strings del UnfoldingMODEL Modelo de salidaSAMPOUT Muestras de salida

El resto de la informacin es suministrada al proceso a traves de campos y parmetros.


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Se podrn definir uno o ms volumenes de busqueda usando el archivo de parmetrosdel volumen de busqueda (&SRCPARM). Cada registro en este archivo define unvolumen de busqueda por separado y cada volumen de busqueda tiene un nmero dereferencia nico (campo *SREFNUM). Esto significa que un volumen de busqueda puedeser nico para una ley individual, o puede ser compartido por dos o ms leyes.

Usted define el mtodo para el volumen de busqueda usando el campo *SMETHOD. Alconfigurar SMETHOD igual a 1 se usar un rectangulo tridimensional y asignandole un

valor de 2 trabajar con una elipsoide de busqueda. La nica diferencia en estosvolumenes es que el mtodo rectangular puede seleccionar muestras en las ezquinasdel volumen de busqueda como se ilustra en el diagrama. Todo el resto de ladescripcin del volumen de busqueda se har en terminos del elipsoide de busqueda(valor por defecto).

El largo de los ejes del elipsoide son definidos usando los campos SDIST1, SDIST2 ySDIST3. Inicialmente SDIST1 est a lo largo del eje X, SDIST2 a lo largo del eje Y ySDIST3 a lo largo del eje Z.


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Usted podr definir una, dos o tres rotaciones, y para cada rotacin usted deber

definir tanto el ngulo de rotacin como el eje sobre el cual se realizar la misma. Paraesto el eje X se denominar eje 1, Y como eje 2, y el eje Z como eje 3.

Los ngulos de rotacin son medidos en direccin horaria al mirar desde el lado positivohacia el origen con respecto al eje de rotacin. Una ngulo negativo significa unarotacin en sentido antihorario.

Por ejemplo si la primera rotacin es de A grados alrededor del eje 3 (Z) luego laelipsoide se orientar como se muestra a continuacin :

Si la elipsoide de busqueda es luego rotada B? alrededor del nuevo eje X', el resultadoser :


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Este ejemplo muestra una rotacin convencional de azimut y dip, sin embargo ustedpuede usar cualquier mtodo de rotacin que usted quiera definiendo tanto losngulos de rotacin como sus respectivos ejes, para las tres rotaciones.

Simular con la mano izquierda puede ayudar para un mejor entendimiento de lasrotaciones. Ubiquese mirando hacia en norte con su dedo indice apuntando hacia

enfrente suyo, su pulgar hacia arriba, y su dedo del medio apuntado a traves suyo haciasu lado derecho. Marque el nmero 1 en el dedo del medio, 2 en su indice y 3 en supulgar, asi su dedo del medio representa al eje X y apunta hacia el este, su indice es eleje Y apuntando hacia el norte, y su pulgar es el eje Z apuntando hacia arriba.

Para simular las 2 rotaciones en el ejemplo previo, sujete el dedo pulgar de su manoizquierda con su mano derecha y rote los otros dos dedos en sentido horario. Luego fijesu dedo del medio y rote su dedo indice y pulgar en sentido horario en el plano vertical.Sus dedos estn ahora apuntando a lo largo de los ejes de su elipsoide de busquedarotada.

Los campos SANGLE y SAXIS en el archivo de parmetros del volumen de busquedaen este ejemplo serian; A como SANGLE1 y el eje 3 (Z) como SAXIS1. La segundarotacin se define luego por B como SANGLE2 y 1 (X) como SAXIS2. Finalmente


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SANGLE3 y SAXIS3 reemplazar a la tercera rotacin, si es que esta no existe puede

dejar sin definir estos parmetros o sencillamente asignarle un valor de cero.

Un volumen de busqueda dinmico resulta a menudo muy til, especialmente alcategorizar las reservas en base al nmero de muestras que caen en el volumen debusqueda, por ejemplo:

probadas (medidas) al menos 6 muestras dentro de 20 metrosprobable (indicadas) al menos 4 muestras dentro de 40 metrosposibles(inferidas) al menos 2 muestras dentro de 60 metros

Usted podr hacer esto en una sola corrida de ESTIMA, definiendo tres volumenes debusqueda concentricos y un mnimo y mximo nmero de muestras para cada volumen.El primer volumen de busqueda (el ms pequeo) se definir usando los paramtros debusqueda SDIST1, SDIST2 y SDIST3 como se describieron anteriormente. El segundovolumen de busqueda se define como un multiplo de esos valores, al multiplicarlos porSVOLFAC2. Este valor SVOLFAC2 puede ser 0 >=1, en donde si es cero significar queno se utilizar ni un segundo ni un tercero volumenes de busqueda.

Si SVOLFAC2=1 entonces el segundo volumen de busqueda tendr las mismasdimensiones que el primer volumen, pero en este caso el usuario probablementedefinir un mnimo nmero de muestras inferior al primer volumen.

Similar al caso anterior, SVOLFAC3 es el factor multiplicativo para el volumen debusqueda nmero 3, en este caso este podr tomar el valor de 0, >= SVOLFAC2.

En cada volumen de busqueda usted tambin podr definir el mnimo y mximonumero de muestras, MINNUM1 y MAXNUM1 se aplicarn al primer volumen debusqueda, MINNUM2 y MAXNUM2 se aplicarn al segundo, y MINNUM3 y MAXNUM3para el tercero. Si es que existen ms de MAXNUMn de muestras dentro del volumende busqueda n, entonces slo se seleccionarn aquellas ms cercanas, cercanadefinida en terminos de una distancia transformada y dependiendo del volumen debusqueda la elipsoide se reduce concentricamente, hasta que slo el MAXNUMn de

muestras caen dentro, esto es ilustrado en el siguiente diagrama:


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Las muestras graficadas con x caen fuera del elipsoide de busqueda, y tenemos 14muestras que caen dentro del elipsoide denotadas con o y +. Si el MAXNUM1 es de 5,entonces el elipsoide es reducido hasta que solamente las 5 muestras denotadas con +caen dentro de este. Luego sern estas 5 muestras las usadas para la estimacin delvalor de la celda. El volumen de busqueda 1 es aplicado en primer lugar, si alli existenmenos de MINNUM1 muestras entonces se aplicar el volumen de busqueda 2 y si eneste caso vuelve a ocurrir que existen menos que MINNUM2 muestras entonces seaplicar el tercer volumen de busqueda. Si finalmente en este caso vuelve a ocurrir que

el nmero de muestras es menor a MINNUM3, entonces la celda queda sin evaluar.Usted puede registrar cual es el volumen de busqueda que se ha utilizado para laevaluacin de cada celda al definir el campo SVOL_F del archivo de parmetros deestimacin. Este es un campo numrico aadido al modelo de salida que contiene losvalores 1,2 3 dependiendo del nmero del volumen utilizado en la evaluacin.

Distancias Transformadas: En el caso de que haya un nmero de muestras mayorque MAXNUMn dentro del volumen de busqueda, luego la elipsoide es reducida hastaque el elipsoide contenga solamente el MAXNUMn de muestras. ESTIMA realiza estocalculando una distancia trnsformada para cada muestra, para luego ordenarlas segnesta distancia. Para el clculo de esta distancia, primero se rotan los datos de lasmuestras en el sistema coordenado de la elipsoide. Si en el sistema rotado el origen dela elipsoide es (0, 0, 0) y la muestras tienen coordenadas (X, Y, Z), entonces la distanciatransformada D esta dada por :


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Una muestra que cae en la elipsoide de busqueda puede tener entonces una distanciatransformada de 1, y todas las muestras que caen dentro del elipsoide pueden teneruna distancia transformada menor que 1.

Este clculo de la distancia transformada es ilustrada a continuacin con un ejemploSimple:

El esquema representa las muestras A, B y C rotadas en el sistema coordenado de laelipsoide de busqueda. Los ejes de la elipsoide son SAXIS1=100 y SAXIS2=40 (esteejemplo es bidimensional, de tal forma que los valores de SAXIS3 no son relevantes).Las distancias transformadas de los puntos A, B y C a partir del origen son calculadascomo :

Punto A en X = 0, Y = 20:

Punto B con X = 40, Y = 12:

Punto C con X = 50, Y =0:


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Entonces en este ejemplo, los tres puntos tienen la misma distancia desde el centro

Frecuentemente ocurre que las muestras no se distribuyen uniformemente alrededor dela celda a estimar, y ms bien estn agrupadas. Al usar el volumen de busqueda con elmtodo de reduccin descrito anteriormente puede provocar que muestras tengan unainfluencia indebida para la estimacin de la ley de la celda. Este problema puedesolucionarse al dividir el volumen de busqueda en octantes asegurandose que unmnimo nmero de octantes tengan muestras en l. Al definir 3 planos paralelos a losejes de la elipsoide de busqueda se definirn 8 octantes , esos planos intersectan alorigen del elipsoide, el cual es tambin el centro de la celda que est siendo estimada.

El diagrama anterior ilustra el mtodo por octantes. La elipsoide contiene 16 muestrasdenotadas por O, #, X, y +, y para propositos de este ejemplo todas las muestras estnsobre el plano XY. SI MAXNUM1 es de 16 o mayor, luego todas las muestras sernseleccionadas, sin embargo si MAXNUM1 es igual a 8, luego slo se seleccionarn las 8muestras denotadas por X y + . La ley estimada de la celda puede obviamente ser

sesgada hacia las muestras ubicadas en el N-E del volumen de busqueda.

Si se aplica una busqueda por octantes, con un mximo de 2 muestras por octantes,entonces slo se seleccionarn aquellas dos muestras ms cercanas -en cada octante- al


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centro de la celda seleccionada. Esas muestras se grafican por O y X, lo que resultar

preferible a seleccionar las 8 muestras del rea N-E.

En el diagrama se ilustraron los octantes 1 al 4, los que estn sobre el plano XY, con eloctante 1 sobre el N-E. Del 5 al 8 estn bajo el plano XY,bajo el 1 al 4 respectivamente.

La busqueda por octantes queda definida por 4 valores a definir en el archivo deparmetros del volumen de busqueda. El criterio a usar es que si existen suficientesmuestras en un octante, este es considerado como "completo", y si suficientes octantesestn completos, entonces slo entonces podr estimarse el valor de la celda.

OCTMETH define la busqueda a usar, si vale 0 entonces no se usar busqueda poroctantes, mientras que si vale 1 entonces si se usar.

MINOCTcorresponde al mnimo nmero de octantes a ser completados antes de que lacelda pueda ser estimada.

MINPEROC es el mnimo nmero de muestras en un octante antes de que este seconsidere completo.

MAXPEROCes el mximo nmero de muestras a usar por octante. Si en un octantehay ms que MAXPEROC muestras, slo se considerarn aquellas ms cercanas, para lo

cual se usar la distancia transformada del mtodo de la elipsoide reducida.

MINNUMn y MAXNUMn tambin podrn aplicarse a la busqueda por octantes, eneste caso si el nmero total de muestras es menor a MINNUMn entonces la celda noser evaluada, si por el contrario el nmero total de muestras es mayor que MAXNUMnentonces las muestras sobrantes (segn las distancias transformadas) son removidashasta que se cumpla la restriccin de MAXNUMn. Sin embargo, si el remover lasmuestras causa que el nmero de muestras en un octante sea menor que MINPEROC,entonces las muestras no sern removidas. Finalmente si se hace imposible satisfacerambos criterios; MAXNUMn y las restricciones por octante entonces la celda tampocopodr evaluarse.

Si cada registro en el archivo de muestras es idntificado por un Campo Llave,entonces tambin podr restringirse en el nmero de muestras por valor del campollave. El uso ms usual de esta caracterstica es para prevenir que muestras de un slopozo tengn una influencia sobrestimada para la estimacin de la ley de la celda. En


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este caso el campo llave puede ser el BHID por ejemplo, el nombre del campo llave se

especificar en el campo KEY (ejemplo *KEY(BHID)). El mximo nmero de muestrascon el mismo valor del campo llave se determina usando el campo MAXKEY en elarchivo de parmetros del volumen de busqueda. Si MAXKEY no se define o queda convalor 0, entonces significa que no se utilizar el concepto de campo llave.

Para el caso de busqueda por octantes, MAXKEY se aplicar al nmero de muestrasdentro de cada octante.

El archivo de parmetros para el volumen de busqueda contiene 24 camposmostrados en la tabla ubicada en la pgina siguiente . Todos estos campos sonnumricos y de definicin obligatoria. El valor por defecto para cada campo es el valorusado por el proceso en el caso de que el campo haya sido ingresado como datoausente.

Archivo de Parmetros del Volumen de Busqueda

Nombre delCampo

Valor porDefecto

Descripcin

SREFNUM Nmero de Referencia del Volumen de Busqueda

SMETHOD 2 Forma del V. de B. (1=Rectangular, 2=elipsoidal)

SDIST1 100 Mxima distancia de Busqueda en la direccin 1 (X)SDIST2 100 Mxima distancia de Busqueda en la direccin 2 (Y)

SDIST3 100 Mxima distancia de Busqueda en la direccin 3 (Z)

SANGLE1 0 Primer ngulo de rotacin para el V. de B.

SANGLE2 0 Segundo ngulo de rotacin para el V. de B.

SANGLE3 0 Tercer ngulo de rotacin para el V. de B.

SAXIS1 3 Eje para la primera rotacin (1=X, 2=Y, 3=Z)

SAXIS2 1 Eje para la segunda rotacin

SAXIS3 3 Eje para la tercera rotacin

MINNUM1 1 Mnimo nmero de muestras para el primer V. de B. dinmico

MAXNUM1 20 Mximo nmero de muestras para el primer V. de B. dinmico

SVOLFAC2 0 Factor multiplicador de los ejes para el segundo V. de B. dinmico


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MINNUM2 1 Mnimo nmero de muestras para el segundo V. de B. dinmico

MAXNUM2 20 Mximo nmero de muestras para el segundo V. de B. dinmico

SVOLFAC3 0 Factor multiplicador de los ejes para el tercer V. de B. dinmico

MINNUM3 1 Mnimo nmero de muestras para el tercer V. de B. dinmico

MAXNUM3 20 Mximo nmero de muestras para el tercer V. de B. dinmico

OCTMETH 0 Mtodo de octantes (0=no lo usa, 1=si lo usa)

MINOCT 2 Mnimo nmero de octantes a ser completados

MINPEROC 1 Mnimo nmero de muestras en un octante

MAXPEROC 4 Mximo nmero de muestras en un octante

MAXKEY 0 Mximo nmero de muestras con el mismo valor del campo llave

El archivo prototipo del modelo de entrada describe las coordenadas del centro de lacelda con los campos XC, YC y ZC y las dimensiones de las celdas con los campos XINC,

YINC y ZINC. Para mtodos de estimacin tales como La Potencia del Inverso de lasDistancias basta con usar el centro de las celdas y realizar la estimacin en funcin de

las distancias de cada una de las muestras a partir del centro de las celdas, sin embargoesto significa que usted ignora por completo las dimensiones y la forma de la celda.

Mejor que representar una celda por un slo punto, ESTIMA le permite simular la celdapor un arreglo de puntos tridimensional, distribuidos en forma regular dentro de lacelda. Asi en el caso del mtodo de la Potencia del Inverso de las Distancias, se estimael valor de cada punto discretizado, y luego se calcula la media aritmtica de todos lospuntos como el valor de la celda. Para el clculo de Krigeage los puntos discretizadosse utilizan para calcular la covarianza de la celda con cada una de las muestras quetiene alrededor, lo que es finalmente usado para el clculo de los pesos del krigeage

Ni el mtodo de estimacin de las muestras ms cercanas ni el mtodo del estimador deSichel's t utilizan puntos de discretizacin, el primero se basa en las distancias hasta elcentro de la celda, mientras que el estimador de Sichel's t es una funcin de ladistribucin lognormal.


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Existen dos mtodos para definir la discretizacin de puntos, ambos quedan definidospor el parmetro @DISCMETH

Metodo 1 Si el parmetro @DISCMETH es igual a 1, entonces usted usar losparmetros @XPOINTS, @YPOINTS y @ZPOINTSpara definir el nmero de puntosde discretizacin en las direcciones X, Y y Z respectivamente.

Si usted define un nmero par de puntos en una direccin, entonces los puntos sonespaciados a lo largo de la linea centro, en cambio si usted define un nmero impar depuntos habr un punto sobre la linea centro y los otros podrn ser regularmenteespaciados hacia las esquinas, todo esto se ilustra en forma bidimensional en elsiguiente diagrama:

Mtodo 2 - Espaciamiento definido: Si usted configura @DISCMETH = 2,entonces usted podr definir la distancia entre los puntos de discretizacin, en vez delnmero de puntos, en este caso usted deber definir los parmetros @XDSPACE,@YDSPACE y @ZDSPACE. Al usar este mtodo siempre habr un punto que caersobre el centro de la celda, y los otros se localizarn a las distancias ya especificadas

desde este.


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El diagrama ilustra la localizacin de los puntos de discretizacin usando @DISCMETH =2 con @XDSPACE = 5 y @YDSPACE = 4. En el caso de que se calcule que un punto caesobre el lmite de la celda entonces este no ser creado.

La ventaja del primer mtodo es que usted estar seguro de tomar el mismo nmero depuntos en todas las direcciones, independiente de las dimensiones de la celda. Sinembargo su desventaja es que el espaciamiento en una direccin puede ser muchomayor que en otra direccin, dependiendo ahora si de las dimensiones relativas de lacelda.

La ventaja del segundo mtodo es que al configurar @XDSPACE, @YDSPACE y@ZDSPACE iguales entre si, usted podr obtener un conjunto de puntos dediscretizacin completamente regular sobre la celda. Sin embargo su desventaja es quepara pequeas celdas se reducir enormemente la cantidad de puntos de discretizacin,esto es ms problematico en el caso del krigeage, ya que en este caso el kriging

requiere de un mnimo de puntos de discretizacin antes de que la celda pueda serevaluada.

En general el mtodo ms recomendable es probablemente el primero.


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Como se menciono inicialmente usted puede seleccionar diferentes leyes a estimar, usardiferentes mtodos de estimacin y diferentes parmetros en una sola corrida deESTIMA. Estas diferentes combinaciones de leyes-mtodos-parmetros quedan definidaspor un registro en el arch iv o d e parm etr os de est im acin(&ESTPARM).

Mtodos Disponibles : Los mtodos de estimacin quedan definidos por el campoIMETHOD, el que puede tomar los siguientes valores :

1 Distancias ms Cercanas (NN)

2 La Potencia del Inverso de las Distancias (IPD)3 Kriging Ordinario (OK)4 Kriging Simple (SK)5 Estimador de Sichel's T (ST)

Los siguientes prrafos describen las caractersticas ms comunes de estos mtodos deestimacin, ms algunos detalles especficos de cada mtodo.

Un Ejemplo Simple de un archivo de parmetros de estimacin se muestra msabajo, en este ejemplo la ley de AU es estimada usando el Inverso de las Distancias (2)

y la AG usando un Kriging Ordinario (3).DESCRIPCION NOMBRE DEL

CAMPO AESTIMAR

NUMERO DEREFERENCIADEL V. DE B.

METODO DEESTIMACION

POTENCIA PARAEL METODO IPD

NUMERO DEREFERENCIA DEL

VARIOG.

CAMPO VALUE_IN SREFNUM IMETHOD POWER VREFNUM

TIPO DE CAMPO A (8 Caracteres) N N N N

REGISTRO 1 AU 1 2 2 -

REGISTRO 2 AG 2 3 - 1

Cada estimacin es definida como un registro independiente dentro de este archivo.Usted podr ver en este ejemplo que se han definido diferentes volumenes de busquedapara las dos leyes. El nmero de referencia del volumen de busqueda (SREFNUM) estareferido al campo equivalente en el archivo de parmetros del volumen de busqueda.


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Como se describio anteriormente cada mtodo de estimacin (IMETHOD) tiene un

cdigo numrico. El campo POWER slo se aplica al IPD (IMETHOD=2). Finalmente elnmero de referencia del modelo del variograma queda registrado en un registro delarchivo de parmetros del modelo del variograma, y que ser descrito ms adelante.

El campo VALUE_IN field es un campo alfanumerico de 8 caracteres, y es usado paradefinir las leyes a ser estimadas, que en este caso son AU y AG y que deben existir en elarchivo de datos de muestras. El campo VALUE_OU (alfanumerico de 8 caracteres) esopcional y especifica un nombre para los campos evaluados en el archivo del modelo desalida. Si usted no especifica ningn nombre en este campo o lo deja en blancoentonces se usar el mismo nombre del campo VALUE_IN (tal como en el caso delejemplo previo).

EL campo VALUE_OU es muy til si usted quiere estimar la misma ley por diferentesmtodos o por el mismo mtodo, pero usando diferentes parmetros. Por ejemplo siusted quiere estimar las leyes de AU por IPD y OK, entonces el campo VALUE_OUpuede ser AU-IPD y AU-OK, en ambos casos el campo VALUE_IN ser AU.

DESCRIPC. NOMBRE CAMPOA ESTIMAR ENARCHIVOENTRADA

NOMBRE CAMPOESTIMADO ENARCHIVO DESALIDA

NUMERO DEREFERENCIADEL V. DE B.

METODO DEESTIMACION

POTENCIAPARA ELMETODOIPD

NUMERO DEREFERENCIADEL VARIOG.

CAMPO VALUE_IN VALUE_OU SREFNUM IMETHOD POWER VREFNUM

TIPO DE CAMPO A (8 Caract.) A (8 Caract.) N N N N

REGISTRO 1 AU AU-IPD 1 2 2 -

REGISTRO 2 AU AU-OK 1 3 - 1

Pueden existir ocaciones donde usted quiera usar diferentes parmetros para la mismaley en diferentes reas, por ejemplo el AU puede tener diferentes conjuntos deparmetros de estimacin dependiendo del tipo de roca. Para esto el usuario podrdefinir uno o dos campos "ZONE" (Zonas de Control)y definir diferentes parmetrospara cada combinacin. Estas zonas se definen usando los campos *ZONE1_F y

*ZONE2_F. Por ejemplo si usted quiere tener diferentes parmetros segn tipo de rocay una zona por defecto deber especificar:


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Los campos ROCK y FLTZONE debern existir tanto en el archivo con los datos demuestras como en el archivo del modelo del prototipo, usted no puede usar zonas decontrol si su archivo de modelo de entrada no tiene celdas.Estos campos Zone pueden ser numericos o alfanumericos, si ellos son alfanumericospueden contener un mximo de 20 caracteres (5 palabras). En el siguiente ejemplo elcampo ROCK es alfanumerico y el campo FLTZONE es numerico.

DESCRIPCION

CAMPO AESTIMAR

NUMERO DEV. DE B.

METODO DEESTIM.

TIPO ROCA(ZONE1_F)

ZONE PORDEFECTO

(ZONE2_F)

POTENCIAPARA EL

IPD

NUMEROMODELO

VARIOGR.

CAMPO VALUE_IN SREFNUM IMETHOD ROCK FLTZONE POWER VREFNUM

TIPO A-8 CAR. N N A-4 CAR. N N N

REGIST. 1 AU 1 3 A 1 - 1

REGIST. 2 AU 1 3 B 1 - 2

REGIST. 3 AU 2 2 A 2 2 -

REGIST. 4 AU 2 2 B 2 3 -

REGIST. 5 AU 2 2 - 2 -

En el registro 5 no hay informacin en ninguna de las dos zonas (blanca para el campo

alfanumerico ROCK, y "-" para el campo numerico FLTZONE). Este conjunto deparmetros (la opcin por defecto) se utiliza para estimar algunas celdas cuyos camposROCK y FLTZONE no se definieron explicitamente en el archivo de parmetros deestimacin. Para usar esta opcin por defecto con dos campos Zone, usted deberespecificar ambos valores como datos ausentes.

Si usted tiene dos campos Zone, entonces no le ser posible especificar un campo(explicito) y tener el otro campo como dato ausente, por ejemplo usted no podr tenerROCK como B y FLTZONE como -, ya que en ese caso le aparecer un mensaje deerror.

Si hay slo un campo Zone , luego los parmetros de estimacin correspondientes acampo Zone con valores ausentes se aplicarn a todos los valores cuyo campo Zone nosea especificado de otra manera en el archivo de parmetros de estimacin. Entonces sitodas las zonas son estimadas usando un slo conjunto de parmetros usted slo


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necesitar un registro en el archivo de parmetros de estimacin en cual tenga el

campo Zone con datos ausentes.

En adicin a los campos de leyes, algunos mtodos de estimacin pueden calcularCampos Secundarios. Por ejemplo al krigeage tambin clcula el nmero de muestrasusadas para la estimacin del krigeage y de su varianza. Si usted desea que estoscampos aparezcan en el archivo del modelo de salida, estos campos debern definirseusando el archivo de parmetros de estimacin, por ejemplo:

DESCRIPCION CAMPO AESTIMAR

NUMEROV. DE B.

METODO DEESTIMAC.

NUMEROMUESTRASUSADAS

VARIANZ.ESTIMAC.

NUMERO V.DEB. DINAMICO

DISTANCIAMUESTRA +CERCANA

CAMPO VALUE_IN SREFNUM IMETHOD NUMSAM_F VAR_F SVOL_F MINDIS_F

TIPO A - 8 N N A - 8 A - 8 A - 8 A - 8

REGISTRO 1 AU 1 3 N-AU VAR-AU SVOL-AU MDIST-AU

REGISTRO 2 AG 1 3 N-AG VAR-AG SVOL-AG MDIST-AG

El volumen de busqueda dinmico se describi anteriormente, y este toma los valoresde 1,2 3 dependiendo de cual sea el volumen de busqueda que se va a usar. En elejemplo de arriba los campos SVOL-AU y SVOL-AG pueden crearse en el archivo delmodelo de salida para registrar cual fue el volumen de busqueda dinmico usado para

cada ley.

El clculo de las distancias transformadas de las muestras desde el centro de la celdatambin fue anteriormente descrito y campo MINDIS_F le permitir definir cual elnombre del campo en el cual se grabarn la distancia tranformada de la muestra mscercana, lo que puede llegar a ser muy util, por ejemplo, al momento de categorizar lasreservas. Los otros campos secundarios usados en este ejemplo son NUMSAM_F pararegistrar el nmero de muestras usadas para realizar la estimacin, y VAR_F pararegistrar la varianza de la estimacin, el ltimo campo slo se aplica a algunos de losmtodos de estimacin. Si no hubieron datos ausentes para los valores de AU o AG enel archivo de datos de muestras y ambas variables se estimaron usando los mismos

parmetros del volumen de busqueda, entonces los campos NUMSAM_F, SVOL_F yMINDIS_F pueden tener los mismos valores, en este caso no necesitar especificardiferentes nombres de campos y los registros 1 y 2 podrn definirse como:


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Corresponde al mtodo definido por IMETHOD = 2. El valor estimado por este mtodose calcula ponderando cada muestra por el inverso de la potencia de sus distanciashasta el centro de las celdas. Usted define la potencia requerida usando el campoPOWER, si usted configura POWER como 0 entonces se considerar la media aritmticade las muestras.

Todas las muestras que caen dentro del volumen de busqueda se identifican como sedescribio previamente, y se podr usar restricciones para el mnimo y mximo nmero

de muestras a considerar, finalmente se estima la ley de cada punto discretizado en lacelda. Esto se hace usando la distancia anisotropica tal como se hizo en el mtodoanterior de las distancias ms cercanas. El valor de la celda estimada se clcula endefinitiva como la media aritmtica de los puntos discretizados.

Si una muestra cae exactamente en un punto de la discretizacin entonces su distanciaser de cero y tendr un peso de 100%, esto provocar una desviacin de laestimacin, particularmente si usted tiene tan slo un punto en la discretizacin. Ustedpodr soslayar este problema al especificar un valor positivo para el campo ADDCON.Este valor en primer lugar es normalizado dividiendo el valor por usted especificado por

el largo del eje de anisotropia. El proceso luego sumar el valor de ADDCON a cadadistancia antes de estimar el valor del punto discretizado.

Usted podr usar una ponderacin por largo y/o densidad al especificar los campos*LENGTH_F y/o *DENS_F. Por ejemplo:

Deber verificar que ambos campos (LENGTH y DENSITY) existan en el archivo de datosde muestras. Usted notar que el uso de ambos campos en la ponderacin esequivalente a ponderar por el tonelaje de la muestra.

Si usted usa ponderacin por density y length, entonces el peso Wi para la muestra ipara la estimacin de un punto discretizado:


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En donde

Li es el largo de la muestra i?i es la densidad de la muestra I

es la distancia transformada de la muestra i, desde el puntodiscretizado elevado a la potencia P

La estimacin Ek del punto discretizado es luego dada :

Donde Gi es la ley de la muestra i

El valor de la celda estimada Ec se clcula finalmente como la media aritmtica de todoslos puntos discretizados:

En donde N es el nmero de puntos discretizados

Si se especifico *LENGTH_F y/o *DENS_F, pero algunos registros en el archivo dedatos de muestras no tienen datos para esos campos, entonces la muestra no se usaren la estimacin.

Adems del valor estimado, este mtodo clcula la varianza "V" de las muestras, la cualcorresponde a la clasica varianza estadstica de todas las muestras usadas en laestimacin, se decir:

En dondeGi es la ley de la muestra iNs es el nmero de muestras usadas al hacer la estimacin


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Este campo secundario puede grabarse en el archivo de salida usando el campo VAR_Fdescrito previamente.

El Kriging es el mtodo geostadistico para la estimacin de la ley del volumen. Las dosopciones disponibles para el krigeage en ESTIMA son el Kriging Ordinario y KrigingSimple identificado por el campo IMETHOD en el archivo de parmetros de estimacin:

Kriging Ordinario (OK) IMETHOD = 3

Kriging Simple (SK) IMETHOD = 4

Al igual que el mtodo IPD, el kriging asigna pesos a las muestras a su alrededor. Sinembargo presenta una gran ventaja sobre todos los otros mtodos ya que clcula estospesos considerando minimizar la varianza del error.

Para minimizar la varianza del error, el kriging toma en cuenta la localizacin espacial delas muestras y la relacin espacial con las otras. Por lo tanto si varias muestras estnagrupadas, el kriging lo considerar y sus pesos sern reducidos de acuerdo a esto. Estaes otra ventaja sobre sobre el IPD, en donde los pesos slo dependen de la distancia

de la muestra al punto de estimacin,sin considerar las localizaciones espaciales de lasmuestras.

El clculo de los pesos del kriging se basa en el modelo del variograma, el cual describela correlacin entre dos muestras como una funcin de la distancia entre ellas. Ustedencontrar ms detalles de los modelos de variogramas en la seccin del archivo deparmetros del modelo del variograma.

En el caso de OK se clcula un peso para cada muestra, tal que la suma de esos pesoses igual a 1. En el caso del SK tambin se clcula un peso para cada muestra, pero seasigna un peso de ( 1 - Wi ) para la ley media. El SK no es tan sensible a las

tendencias locales de las muestras como el OK, ya que depende parcialmente de la leymedia, la que se asume conocida y constante a lo largo de un rea. Por lo tanto el OKes el ms comunmente usado. En el caso de que usted desee un mayor detalle de laforma en que el kriging clcula los pesos, consulte las referencias geostadisticas dadasen la bibliografa al final de este manual.


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Las entradas para OK y SK son muy similares y la siguiente descripcin se aplica aambos mtodos (usted encontrar una pequea seccin al final de este capituloespecifica para SK).

ESTIMA permite hacer kriging lineal y lognormal tanto para OK y SK. El campo LOG enel archivo de parmetros de estimacin ser el que define la utilizacin de Kriging linealy Kriging Lognormal .

Para el kriging lineal los pesos son aplicados a las leyes de las muestras, mientras queen el caso del kriging lognormal los pesos se aplican a los logaritmos de las leyes paraluego ser transformados nuevamente. Todas las transformaciones son realizadas dentrode ESTIMA, y usted no necesita hacer las transformaciones logaritmicas usted mismo.Para la transformacin inversa (volver a los valores muestrales) se clcula como:

El algoritmo del kriging lognormal se basa en el mtodo de P.A.Dowd descrito en supublicacin titulada 'Lognormal Kriging - The General Case'.

Los mtodos de clculo son dos; el mtodo de aproximacin de Rendu, y el mtodogeneral. Debe considerarse que el mtodo general es iterativo y puede requerir variassoluciones de la matriz del kriging para cada panel krigeado, esto hace que sea msdemoroso que el mtodo de Rendu. Le recomendamos leer la publicacin de P.A.Dowd,pero de todas formas hemos incluido un resumen de sus conclusiones (debe considerarla variable C como la varianza espacial para un modelo de variograma esfrico).

a. Para pequeos valores de C (


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b. La aproximacin de Rendu's normalmente subestima la varianza del kriging incluso

para paneles relativamente pequeos (por ejemplo con lados del 20% del rango).

c. El kriging Ordinario normalmente sobrestima la varianza del kriging.

d. Todos los mtodos entregan resultados similares para paneles muy pequeos (ladosde un 5% o menor al rango), excepto cuando existe un efecto pepita (Co), en cuyo casoel kriging ordinario es significativamente diferente a los otros.

e. En la medida que crece Co los resultados obtenidos de la aproximacin de Rendu'sse acerca a los obtenidos sin la consideracin de conservacin de la lognormalidad,aunque la aproximacin entrege varianzas del kriging significativamente subestimadas.La significancia de las diferencias en los resultados obtenidos por el KO en comparacincon los otros mtodos aumenta a medida que aumenta el efecto pepita.

Se le recomienda al usuario leer otras publicaciones al respecto de este tema, enparticular las pginas 119-120 del libro "Applied Advanced Geostatistical Ore ReserveEstimation de Michel David, el que muestra el gran cuidado que se deber tomar alaplicar el kriging lognormal.

Si usted selecciona el kriging lognormal, podr seleccionar el uso de la aproximacin deRendu's o el caso general, para lo cual deber configurar el campo GENCASE delarchivo de parmetros de estimacin, en donde :

GENCASE = 0 Usa la aproximacin de RenduGENCASE = 1 Usa el mtodo general

Al seleccionar el caso general, usted deber configurar tres campos ms; DEPMEAN,TOL y MAXITER los que se debern incluir en el archivo de parmetros de estimacincomo se indican a continuacin :

La varianza del kriging lognormal se calcula como una varianza relativa VR , relativa alcuadrado de la media (m) del depsito:


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entonces usted deber especificar la actual media del depsito (m), o darle el valor de

0, en cuyo caso en proceso usar la estimacin krigeada de la celda como la media.

DEPMEAN >0, usa este valor como la media=0, usa la estimacin krigeada como la media

El mtodo del caso general usa un procedimiento iterativo para calcular los pesos delkriging, estos se calculan y comparan con su estimacin previa, y en el caso de quecada nuevo peso este dentro de una cierta tolerancia centrada en el valor previo,entonces el valor es aceptado, y de no ser asi se calcular otro conjunto de pesos.Usted define la tolerancia (campo TOL), y el mximo nmero de iteraciones (campoMAXITER). Si los pesos no convergen antes de MAXITER, entonces finaliza el calculopara la celda y se usa el ltimo conjunto de pesos calculados.

Por cada campoVALUE_IN a estimar por krigeage, deber definirse el correspondientenmero de referencia del variograma (VREFNUM) (en el archivo de parmetros deestimacin), el cual es una referencia del tipo de variograma y de sus parmetrosalmacenados en el archivo de parmetros del modelo del variograma.

Los modelos almacenados en el archivo de parmetros del modelo del variogramapueden ser normales o lognormales. El campo LOG en el archivo de parmetros deestimacin definir si usted usar un kriging lineal o lognormal.

El Kriging al igual que NN y IPD, primero identifica todas las muestras que caendentro del volumen de busqueda, considerando las restricciones del mnimo y mximonmero de muestras. Finalmente se llena la matriz del kriging y se soluciona paracalcular los pesos del kriging y el valor estimado de cada celda. Adems de esto elkriging puede calcular 3 variables secundarias (por cada celda), las que pueden sergrabadas en el archivo de modelo de salida :

- El nmero de muestras usadas para el krigeage- La varianza del kriging- La distancia transformada de la muestra ms cercana

Para poder grabar esas variables secundarias, usted deber definir los nombres de estoscampo en el archivo de parmetros de estimacin, como fue descrito anteriormente.


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Bajo ciertas condiciones los pesos asignados a una o ms de las muestras puede ser

negativo, lo que ocurre generalmente cuando el modelo del variograma tiene un efectopepita muy pequeo y ocurre un efecto pantalla ya que existen muestras (que tapan)entre la celda y la muestra de interes. Es improbable que pesos negativos puedan serun porcentaje importante de los pesos totales. A pesar de que los pesos negativos sonmatemticamente correctos, existe una escuela de pensamiento que consider quepesos negativos son incorrectos y deben asignarseles valores nulos, lo que podr hacerusando el campo KRIGNEGW:

KRIGNEGW = 0 Mantiene los pesos negativos y los usa1 Asigna 0 a los pesos negativos

En el segundo caso, los pesos de las otras muestras son proporcionalmente ajustadospara que la suma de los pesos continue siendo de 1. Algunos chequeos en el mnimonmero de muestras (MINNUMn) son aplicados antes de que los pesos del kriging seancalculados, de tal forma que es factible encontrar menos de MINNUMn muestras.

Debido a complejidades matemticas del kriging, a veces ocurre que la varianza delkriging es ligeramente mayor que la meseta del modelo del variograma. El campoKRIGVARS del archivo de parmetros de estimacin controla el resultado final paraesta varianza, tal que :

KRIGVARS = 0 Mantiene el valor de la varianza > meseta1 le asigna el valor de la meseta

Esto es slo aplicable al kriging lineal, ya que las varianzas del kriging lognormaldependen del valor de DEPMEAN y son entonces frecuentemente mayores a la meseta.

El kriging simple asigna un peso para un valor medio local, y a las muestras alrededor,usted podr usar los campos LOCALMNP y LOCALM_F en el archivo de parmetros deEstimacin para seleccionar como se definir este valor medio local:

LOCALMNP = 1 indica que se usar este campo en el archivo de entrada delmodelo del prototipo para definir la media local

2 calcula la media local como la media aritmetica de todas lasmuestras que caen dentro del volumen de busqueda.

Si usted define LOCALMNP = 1, deber adems especificar el nombre del campo en elarchivo de entrada del prototipo del modelo que defina esta media local. El nombre de


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este campo en el archivo de parmetros de estimacin es LOCALM_F y es campo

alfanumerico de 8 caracteres, como por ejemplo:

DESCRIPC. CAMPO ASER

ESTIMADO

NOMBRECAMPO ENMODELO DE

SALIDA

NUMERODEL

VOLUMENDE BUSQ.

METODODE

ESTIMAC.

METODO PARACALCULAR LAMEDIA LOCAL

EN EL SK

CAMPO DE LAMEDIA LOCALEN ARCHIVOPROTOT. DEL

MODELO

NUMERO DEREFER. DEL

MODELOVARIOGR.

CAMPO VALUE_IN VALUE_OU SREFNUM IMETHOD LOCALMNP LOCALM_F VREFNUM

TIPO A - 8 C. A - 8 C. N N N A - 8 C. N

REGISTRO 1 AU AU - OK 1 3 - 1

REGISTRO 2 AU AU - SK 1 4 1 AU-LMEAN 1REGISTRO 3 AG AG - SK 2 4 2 2

Se estimar el campo AU tanto por OK (IMETHOD = 3) y SK (IMETHOD = 4). Para elcaso de SK, la media local es suministrada por el campo AU-LMEAN en el archivo deentrada del prototipo del modelo. Entonces usted deber tener creado este campoanteriormente, en una previa corrida de ESTIMA por ejemplo, usando IPD con unapotencia de POWER = 0 y un radio de busqueda grande, lo que dar la media aritmeticade todas las muestras que esten dentro del volumen de busqueda.

Alternativamente usted podr asignar esta media en forma simple definiendo medias deacuerdo al tipo de roca o alguna otra caracterstica geologica.

La ley AG puede estimarse tambin usando usando kriging simple . Como LOCALMNP= 2, la media local podr calcularse como la media aritmetica de todas las muestrasque caen dentro del volumen de busqued, la que se calcular antes de que el maximonumero de muestras y restricciones de campos llaves sean aplicados.


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El mtodo definido por IMETHOD =5 es utilizado cuando la distribucin estadstica delas muestras es lognormal. A diferencia del IPD y del kriging este no toma en cuenta ladistancia de las muestras al centro de la celda a estimar, razn por la cual es msrecomendable en la estimacin de grandes celdas cada una de las cuales contiene variasmuestras, y en donde el volumen de busqueda es de aproximadamente el mismotamao que la celda. Ms detalles del mtodo son descritos en el paper de H.S.Sichelque encontrar en nuestra bibliografa.

En resumen el estimador t se define como:

en donde

Gi es la ley de la muestra ia es una constante tal que [Gi+ a] es una distribucin lognormal

Si la distribucin de las muestras sigue una distribucin lognormal de 3 parmetros,usted podr definir la constante aditiva a usando el campo ADDCON en el archivo de

parmetros de estimacin, el mismo campo usado por IPD, pero este tiene unsignificado completamente diferente en este contexto.

Las campos secundarios NUMSAM_F, SVOL_F, VAR_F y MINDIS_F se definen en formaidntica al proceso IPD.


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La siguiente tabla resume los campos en el archivo de parmetros de estimacin, puedenotar que slo los campos VALUE_IN y SREFNUM son obligatorios de definir; y ustedpodr usar el valor por defecto para todos los otros campos de asi lo deseara.

El nombre de los campos Zone son encerrados en {... }, lo que significa que no es elnombre actual del campo en el archivo; el nombre actual que puede usar es el nombredel campo Zone que esta incluido en su archivo de muestras de entrada y en el archivodel prototipo del modelo, tales como ROCK o FLTZONE.

El valor por defecto del campo VALUE_OU es el nombre que usted especifico en elcampo VALUE_IN.


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ARCHIVO DE PARAMETROS DE ESTIMACION

CAMPO TIPO DEFECTO METODOS DESCRIPCION

VALUE_IN A - 8 Todos Nombre del campo a estimar

VALUE_OU A - 8 VALUE_IN Todos Nombre del campo a crear

SREFNUM N Todos Nmero de referencia del volumen de Busqueda

ZONE1_F A o N Todos 1er campo que controla la estimacin por zona

ZONE2_F A o N Todos 2do campo que controla la estimacin por zona

NUMSAM_F A - 8 Todos exepto NN Campo con el nmero de muestras usadas

SVOL_F A - 8 Todos Campo con el volumen de busqueda dinmicoVAR_F A - 8 Todos exepto NN Campo que contiene las varianzas

MINDIS_F A - 8 Todos Campo con la distancia a la muestra ms cercana

IMETHOD N 1 Todos Mtodo de estimacin

ANISO N 1 NN, IPD Mt. de Anis.; 0=iso , 1=vol. de busqueda, 2=usa ANANGLE

ANANGLE1 N 0 NN, IPD Angulo de anisotropia 1



ANDIST1 N 1 NN, IPD Distancia de anisotropia1



POWER N 2 IPD Potencia para la ponderacin de las distancias

ADDCON N 0 IPD, ST Para IPD es la const. Aadida a las distancias y para ST es laconstante aditiva para la lognormalidad

VREFNUM N 1 OK, SK Nmero de referencia del modelo del Variograma

LOG N 0 OK, SK Activador del kriging lognormal, 0=lineal, 1=lognormal

GENCASE N 0 LOG=1 Mtodo del kriging lognormal, 0=Rendu, 1=Caso general

DEPMEAN N 0 LOG=1 Media para el clculo de la varianza lognormal

TOL N 0,01 GENCASE=1 Tolerancia en la convergencia para el kriging lognormal

MAXITER N 3 GENCASE=1 Mximo nmero de iteraciones para el kriging lognormal

KRIGNEGW N 0 OK, SK Pesos negativos del kriging; 0= los mantiene y usa, 1=los ignora

KRIGVARS N 1 KRIGING LINEAL Varia. Krig.> C; 0= las mantiene y usa, 1=les asigna el valor de C

LOCALMNP N 2 SK Mt. Clculo media local; 1=campo en PROTO, 2=calcula la media

LOCALM_F A - 8 SK Nombre del campo con la media local en el PROTO


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Al crear el modelo de bloques geologicos generalmente se utiliza divisiones de celdas deforma de obtener una buena representacin volumetrica de los lmites geologicos. Escomn tambin estimar leyes para cada una de estas subceldas, lo que en algunoscasos puede ser un refinamiento innecesario, como en el caso por ejemplo que susdatos de leyes sean muy escasos o esparcidos, esto consume tiempo ya que muchasveces bastar con la estimacin de la ley en la celda patrn. Esto es particularmentecierto en las primeras estimaciones de ley cuando an no se requiere de un mayordetalle en las estimaciones.

ESTIMA incluye una opcin que permite estimar las leyes de las celdas patrones, lascuales se asignarn a todas las subceldas dentro de la misma. Tambin es aplicable uncontrol Zonal, de tal forma de que si por ejemplo la celda patrn contiene 4 celdas deroca A y 5 celdas de roca B entonces la celda patrn puede estimarse primero usandomuestras de roca A y aplicar este valor a las 4 celdas, despus puede hacer lo mismopara la estimacin segn ala roca B.

Los puntos de discretizacin en la celda patrn pueden calcularse de dos maneras; siusted configura @PARENT = 1, la celda patrn se representar por un completoconjunto de puntos de discretizacin que cubren la celda patrn completa. Sin embargo

al configurar @PARENT = 2, se calcular un completo conjunto de puntos dediscretizacin, pero slo aquellos puntos que caen dentro de una de las celdacorrespondientes sern seleccionados y usados.

En un ejemplo bidimensional tenemos 6 subceldas dentro de la celda patrn, y unconjunto de 5 x 5 puntos de discretizacin se ha superpuesto. Si @PARENT=1 entonceslos 25 puntos (X y O) se usarn para representar la celda, mientras que @PARENT=2significa que slo los puntos con X sern usados.


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En el segundo caso (@PARENT = 2) puede ocurrirque hayan muy pocos o ningn punto de discretizacin que caigan en la celda, paraevitar esto y especificar un mnimo aceptable de puntos de discretizacin se puede usarel parametro @MINDISC, y si este no es alcanzado, entonces el nmero de puntos entodas las direcciones es doblado y los puntos son recalculados.

Las ventajas del segundo mtodo es que provee de una mejor representacin de lasceldas, pero su desventaja es que los tiempos de clculo son un poco mayores.

Si usted configura @PARENT = 0, entonces las caractersticas de las celdas patrones nosern usadas.

Si el modelo del prototipo de entrada tiene celdas que ya incluyen el campo a serestimado, y adems hay insuficientes datos dentro del volumen de busqueda paraestimar una celda, entonces usted tiene una opcin de controlar la accin por el valordel parametro @COPYVAL. Si @COPYVAL = 0, un valor de ley ausente se asigna almodelo de salida. Si @COPYVAL = 1, entonces los valores existentes en el modelo delprototipo de entrada son copiados al modelo de salida.

En ocaciones usted puede querer actualizar las leyes de slo parte de un modelo. Unaalternativa para esto puede ser copiar la parte del modelo que requiere actualizar en unsubmodelo separado, correr ESTIMA en el submodelo y luego sumarlo al modelo inicialusando ADDMOD. Alternativamente si la parte del modelo a ser actualizada puede

definirse como un cuboide, entonces usted puede usar los parmetros @XMIN, @XMAX,@YMIN, @YMAX, @ZMIN, @ZMAX y hacer la actualizacin en el lugar. Usted tambinnecesitar configurar @COPYVAL = 1. Slo las celdas que traslapen este volumen deactualizacin podrn ser estimadas, aunque se utilizen muestras ubicadas fuera delvolumen de actualizacin.


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Cualquier valor de @XMIN, @XMAX etc que ustde suministre, sern ajustados porESTIMA para la celda patrn lmite ms cercana antes de hacer la actualizacin. Losvalores minimos se ajustarn hacia abajo y valores mximos hacia arriba. Si uno o msde los parmetros no son especificados o tienen datos ausentes (por defecto), entoncesse usarn las coordenadas mnimas y mximas del modelo.

Si todos los campos de leyes (como se definieron por VALUE_OU en el archivo deparmetros de estimacin ) y sus correspondientes campos secundarios (como fuerondefinidos por NUMSAM_F, SVOL_F, VAR_F y MINDIS_F) ya existen en el archivo deentrada del prototipo del modelo, se permite una operacin sobre l, lo que significaque el prototipo del modelo de entrada y los archivos de modelos de salida pueden serlos mismos, teniendo:

Si usted especifica esto, entonces el proceso primero chequea para asegurar que elarchivo incluye todos los campos necesarios, para entregar un mensaje de error en elcaso que sea necesario.

Operaciones como la anterior le permitirn usar "Retrieval Criteria" en campos en elarchivo del modelo del prototipo de entrada, los registros que no satisfagan el R.C.quedarn sin alterar en el archivo del modelo de salida. Esto ser muy til para poder

hacer una actualizacin selectiva del modelo.

Tambin deber recordar que si usted tiene diferentes archivos de prototipo del modelode entrada y modelo de salida y usa un R.C., entonces slo aquellos registros quesatisfagan el criterio sern copiados en el modelo de salida.

Si un valor de ley no puede ser estimado debido a insuficiencia de datos en el volumende busqueda, entonces el parametro @COPYVAL define si se le asignar un valor dedato ausente o el valor previo.

Los principales mtodos de estimacin (IPD, OK, etc) fueron descritos previamente. Sin

embargo existen dos opciones adicionales las cuales se especifican usando el campoIMETHOD en el archivo de parmetros de estimacin, pero que actualmente no sonmtodos de estimacin de leyes.


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Si IMETHOD=101, entonces el valor escrito en el campo VALUE_OU en el modelo de

salida es el valor geostadistico F, es decir, el valor promedio del variograma en la celda.Si IMETHOD=102, entonces el valor es el multiplicador de Lagrange calculado cuandose resuelve la matriz del OK . En orden a usar alguna de estas opciones usted puedeconfigurar todos los otros campos y parmetros como si se tratar del OK.

Un modelo de variograma puede constar de una varianza o efecto pepita Co, y hastanueve estructuras individuales Yi (h). El modelo combinado Y (h) tiene la forma:

Cada modelo individual Yi (h) puede ser esfrico, de potencia, exponencial, gausiano oDe Wijsian. Si usted ha seleccionado el kriging como el mtodod de estimacin,entonces usted deber especificar los parmetros del variograma usando el archivo deparmetros del modelo del variograma. Los campos requeridos son los que semencionan en la siguiente tabla:

CAMPO VALOR PORDEFECTO

DESCRIPCION

VREFNUM Numero de referencia del variograma

VANGLE1 0 1er. ngulo de rotacin, que define la orientacin del rango en la elipsoide



VAXIS1 0 1er. Eje de rotacin (1=X, 2=Y, 3=Z)



NUGGET 0 Varianza o efecto pepita

ST1 0 Modelo de variograma para la estructura 1

ST1PAR1 0 Primer parametro de la estructura 1

ST1PAR2 0 Segundo parametro de la estructura 1

ST1PAR3 0 Tercer parametro de la estructura 1

ST1PAR4 0 Cuarto parametro de la estructura 1

............


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ST9 0 Modelo de variograma para la estructura 9

ST9PAR1 0 Primer parametro de la estructura 9

ST9PAR2 0 Segundo parametro de la estructura 9

ST9PAR3 0 Tercer parametro de la estructura 9

ST9PAR4 0 Cuarto parametro de la estructura 9

Todos los campos son numericos y opcionales, con excepcin del nmero de referenciadel variograma. En el caso de que no se incluyan campos en el archivo se usarn losvalores por defecto.

El nmero de referencia del variograma es un indicador dentro del archivo de

parmetros de estimacin, y usted podr usar algn valor numerico para este.

La elipsoide del variograma se usa para definir algunos parmetros anisotropicos, dentrode los cuales el ms comn es el rango del modelo esferico. La elipsoide del variogramase define usando los campos VANGLE1, VAXIS1, etc, de la misma forma en que sedescribi la elipsoide de busqueda en el capitulo respectivo. Ms adelante usted podrencontrar un ejemplo que muestra la aplicacin de estos campos.

Como usted ver , los valores por defecto especifican que no se usar rotacin, de talforma de que si usted desea definir la elipsoide del variograma con la misma direccinque la elipsoide de busqueda, usted deber asegurarse que los campos SANGLE1,SAXIS1,...del archivo de parmetros del volumen de busqueda sean los mismos que loscampos VANGLE1, VAXIS1, etc del archivo de parmetros del modelo del variograma.

El campo STs define el tipo de variograma para la estructura s, y las opciones demodelos que usted tiene son :

1.- Esferico2.- De la Potencia (Lineal)3.- Exponencial4.- Gaussiano

5.- De WijsianEl siguiente campo muestra estos cinco tipos de modelos de variograma, incluyendoadems un modelo esferico de dos estructuras.


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MODELO ESFERICO (TIPO 1): El modelo esferico se define por su rango "a", y la

varianza espacial "C" :

Los cinco campos que usted necesita especificar son:STs = 1 Para especificar el modelo esfericoSTsPAR1 Rango en la direccin 1 (Eje X despus de la rotacin)STsPAR2 Rango en la direccin 2 (Eje Y despus de la rotacin)STsPAR3 Rango en la direccin 3 (Eje Z despus de la rotacin)

STsPAR4 Varianza espacial, CMODELO DE LA POTENCIA (TIPO 2) : El modelo de la potencia se define por unapotencia "a" ( 0 a 2) y una pendiente positiva "C" :

Los cinco campos que usted necesita especificar son:STs = 2 Para especificar el modelo de la potenciaSTsPAR1 Potencia en la direccin 1 (Eje X despus de la rotacin)STsPAR2 Potencia en la direccin 2 (Eje Y despus de la rotacin)

STsPAR3 Potencia en la direccin 3 (Eje Z despus de la rotacin)STsPAR4 Pendiente, C

MODELO EXPONENCIAL (TIPO 3): El modelo exponencial define un parmetro "a"y una varianza espacial "C" :

Los cinco campos que usted necesita especificar son:STs = 3 Para especificar el modelo exponencialSTsPAR1 Parametro a en la direccin 1 (Eje X despus de la rotacin)STsPAR2 Parametro a en la direccin 2 (Eje Y despus de la rotacin)STsPAR3 Parametro a en la direccin 3 (Eje Z despus de la rotacin)


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STsPAR4 Varianza Espacial, C

MODELO GAUSSIANO (TIPO 4): El modelo gaussiano es definido por un parmetro"a" y una varianza espacial "C" :

Los cinco campos que usted necesita especificar son:STs = 4 Para especificar el modelo gaussianoSTsPAR1 Parametro a en la direccin 1 (Eje X despus de la rotacin)STsPAR2 Parametro a en la direccin 2 (Eje Y despus de la rotacin)STsPAR3 Parametro a en la direccin 3 (Eje Z despus de la rotacin)STsPAR4 Varianza Espacial, C

MODELO DE WIJSIAN (TIPO 5): El modelo De Wijsian es definido por el parmetro"C" :

Los cinco campos que usted necesita especificar son:STs = 5 Para especificar el modelo De Wijsian

STsPAR1 Parametro C en la direccin 1 (Eje X despus de la rotacin)STsPAR2 Parametro C en la direccin 2 (Eje Y despus de la rotacin)STsPAR3 Parametro C en la direccin 3 (Eje Z despus de la rotacin)

El siguiente ejemplo ilustra el caso en donde usted necesita realizar tres rotaciones paradescribir la anisotropa. La primera rotacin es en el azimut, de 20 grados en torno deleje Z. La segunda rotacin es en el Dip -alrededor del nuevo eje X, y la rotacin final esde 60 grados alrededor del nuevo eje Y. Los rangos para la estructura 1 son de 100,200 y 300 mts. en las nuevas direcciones X,Y y Z. Los campos son :

VANGLE1 VANGLE2 VANGLE3 VAXIS1 VAXIS2 VAXIS3 ST1PAR1 ST1PAR2 ST1PAR3

20 40 60 3 1 2 100 200 300


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La definicin del modelo del variograma en el proceso KRG3DB permite anisotropias

tanto en el efecto pepita Co como en la varianza espacial, es decir, diferentes valorespara los parmetros en diferentes direcciones.

En teora se puede modelar con anisotropa zonal, en donde la meseta sea diferentepara diferentes direcciones, sin embargo esto puede generar problemas con laestabilidad de la matriz del kriging, lo que finalmente puede dejar celdas sin estimar.

En orden a prevenir estos problemas con la matriz del kriging, la definicin del modelodel variograma en ESTIMA no permite anisotropias en Co o C para los modelos del 1 al4. Un valor anisotropico de C para el modelo De Wijsian (Tipo 5) es soportada ya que laecuacin del modelo no tiene otras variables anisotropicas.

En ESTIMA la anisotropa puede representarse por un modelo de multiestructuras. Elsiguiente ejemplo muestra un modelo esferico de dos estructuras con una meseta de 30para un azimut de 0 y una meseta de 45 para una direccin Este/Oeste.


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El efecto pepita Co es de 5, y todos los ngulos de rotacin (VANGLEn) son de cero.Usted puede ver que se asign al rango 2 (en la direccin N-S) una gran distancia de10000 mts. lo que tiene el efecto de crear una pequea meseta sobre la parte de interesdel modelo del variograma, al plotear la distancia de 10000 mts. el variograma para elsentido N-S puede eventualmente alcanzar la meseta de 45.El conjunto completo de los valores de los campos para este modelo se ingresan en elarchivo de parmetros del modelo del variograma de la siguiente forma.

NOMBRE CAMPO VALOR NOMBRE CAMPO VALOR

VREFNUM 1 ST1PAR1 40

VANGLE1 0 ST1PAR2 40



VAXIS1 3 ST2 1

VAXIS2 1 ST2PAR1 60

VAXIS3 3 ST2PAR2 10000

NUGGET 5 ST2PAR3 60

ST1 1 ST2PAR4 15

Note que en este ejemplo la anisotropa es ortogonal al sistema coordenado, y todoslos ngulos son de cero. En este caso los valores de los ejes son irrelevantes.


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Varias caractersticas includas en ESTIMA se han diseado para minimizar el tiempo deejecucin, algunas de las cuales se activan automticamente mientras que otrasnecesitan ser controladas por el usuario. Es muy recomendado que usted siempre testeelos parmetros de estimacin primero en un pequeo modelo, el cual puede serobviamente una parte del modelo completo o un modelo con un tamao de celda mayory menos subdivisiones. En aquellas caractersticas donde usted tiene opcin siempreseleccione una aproximacin conveniente para el primer test del tiempo de ejecucin.

Uno de los factores que consume una mayor cantidad de tiempo es la seleccin de las

muestras que caen dentro del volumen de busqueda, un super algoritmo de busquedade bloques ha sido implementado para minimizar est parte del proceso, este nonecesita que usted ordene las muestras por algn campo en partcular ya que ESTIMAconfigura sus propios indexadores. Deber preservar sin embargo el criterio de ordenarpor IJK el modelo del prototipo de entrada.

Otra reduccin considerable en los tiempos de ejecucin se debe a la habilidad deESTIMA de estimar multiples variables. Si dos o ms leyes se han estimado usando elmismo vlumen de busqueda y los mismos parmetros de estimacin, entonces elincremento de tiempo para la segunda y subsiguientes leyes es muy pequeo, en el

caso de que diferentes parmetros de estimacin sean usados el proceso invierte untiempo adicional grabando al estimar multiples leyes.

La discretizacin de puntos son usados por el IPD, el OK y el SK, esto permite una mejorrepresentacin pero tambin aumenta los tiempos de proceso, se le recomienda alusuario usar un pequeo nmero de puntos para testear la ejecucin. Por ejemplo siusted est slo usando IPD, entonces usted puede usar un slo punto.

Sin embargo si usted est usando krigeage deber tener al menos dos puntos yprobablemente dos puntos en cada direccin sea mejor, para la corrida final usted podr

insertar ms puntos. El nmero ptimo de puntos depende de una variedad de factores,entre los cuales podeos mencionar el tamao de celda, espaciamiento de las muestras ,parmetros de la variografa, etc, de tal forma que no es posible hacer unarecomendacin que cubra todas las situaciones, sin embargo un total de cerca de 50


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puntos (cerca 4*4*3) es a menudo una buena medida entre la rpidez del proceso y la

representacin.

El tiempo de proceso es tambin una funcin del nmero de muestras usadas al hacercada estimacin. Para mtodos tales como el IPD y Sichel'st la actual forma de clculoes rpida y tal que usar un gran valor mximo de muestras el incremento en los tiemposde proceso es mnimo, sin embargo para el krigeage, cada estimacin involucra unconjunto de n ecuaciones lineales simultneas , tal que n es el nmero de muestrasusadas para la estimacin. El tiempo que toma resolver cada conjunto de n ecuacioneses aproximadamente proporcional a n al cuadrado.

El mximo nmero de muestras que usted puede usar para krigear es 220 para PC -DOS y 1400 para todos los otros computadores. Sin embargo se recomiendamantenerse bajo ese lmite. Bajo circunstancias normales un nmero mximo de 50 esms que adecuado y 25 puede ser recomendable en el mayor nmero de casos.

Calcular la varianza del kriging involucra calcular el valor geostadistico de F (el valorpromedio del variograma en una celda). Para esto la funcin variograma es llamadaaproximadamente n2/2 veces, en donde n es el nmero total de puntos de discretizacinen la celda. Obviamente esto puede consumir bastante tiempo si el nmero de puntoses grande, tiempo que no ser requerido si usted no usa la varianza del kriging en laestimacin de reservas. Si usted no especfica un valor para el campo VAR_F en el

archivo de parmetros de estimacin entonces la varianza no ser calculada. Si lavarianza del kriging es calculada, luego ESTIMA guardar el valor F para una celdapatrn. Entonces el clculo de la varianza para un modelo que contiene muchas celdaspatrones significa un consumo de tiempo mucho menor que cuando contienen muchassubceldas.

Estima incluye una opcin para economizar tiempo que le permite aproximar lasdimensiones de una celda por un nmero discreto de tamaos de celdas. Esto secontrola por los parmetros @FVALTYPE y @FSTEP, de los cuales @FVALTYPE puedetomar uno de los siguientes valores:

=1 Se usar la dimensin exacta de la celda, tal que el valor F se calcula paracada celda del modelo , excepto para la celda patrn en cuyo caso se calcula slo unavez.

=2 Cada celda se aproxima a un nmero discreto de celdas, as como cadacelda es procesada se compara con una tabla para ver en donde el valor de F para ese


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tamao de celda ha sido ya calculado, de tal forma que si este existe luego se utiliza ese

valor, y de no ser asi es calculado y almacenado en la tabla para futuros usos. Estoentrega una enorme mejora en los tiempos de proceso.Usted no puede tener @FVALTYPE=2 si ha seleccionado la estimacin de la celda patrncon puntos de discretizacin dentro de las celdas (@PARENT=2). Si se ha seleccionadoesta combinacin, entonces el parmetro @FVALTYPE ser reconfigurado hasta 1.El parmetro @FSTEP define el tamao de los puntos que se usarn para lasaproximaciones de las dimensiones de la celda. Los valores de F se almacenan parasubceldas cuyas dimensiones son un entero multiple del tamao del punto. Por ejemplosi @FSTEP=2 luego las celdas con dimensiones en el rango :

5


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- El prototipo del modelo tiene una celda patrn de 8*10*12 con 10*10*10 celdas enlas direcciones X,Y y Z respectivamente, es decir que contiene 6490 celdas promediando6.49 celdas por cada celda patrn.- El archivo con los datos contiene 5000 muestras, y cada una de las 1000 celdaspatrones tiene 5 muestras localizadas aleatoriamente dentro de las mismas.

- Se us una elipse de busqueda con ejes de 50*20*10, con un determinado azimut einclinacin.

- El mximo nmero de muestras es de 10

Para las pruebas se usarn diferentes nmeros de puntos de discretizacin y diferentesnmeros de variables en una sola corrida.

Las siguientes dos tablas muestran los tiempos de ejecucin de cada corrida. Para losprocesos PLOD3D, IPDD3D y KRG3DB slo es posible estimar una variable a la vez, porlo cual el tiempo de ejecucin para multiples variables en esos procesos ser igual a lademora por cada variable multiplicado por el nmero de variables.

Para las pruebas se uso un PC Pentium de 100 Mhz con 24 Mb de RAM usando WindowsNT. Usted podr notar que ESTIMA es significativamente ms rpido en todos los casos.

El tiempo de ejecucin para el caso de las muestras ms cercanas es independiente delnmero de puntos de discretizacin, de tal forma que slo puede ejecutarse el caso de1*1*1. En este caso la tabla de resultados muestra que ESTIMA es un 38% ms rpidode POLD3D con una sla variable, pero que este incremento es muy pequeo al trabajarcon varias variables.

En el caso del IPD la diferencia es mucho mayor ya que en el caso de 4*4*4 puntos dediscretizacin para 4 variables ESTIMA ocupa un tiempo de 1808 segundos mientras queIPDDAD toma un tiempo de 84088 segundos, es decir, una mejora de casi un 98%. Enel caso de trabajar con una sola variable la economa en el tiempo es cercana a un

92%.


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INVERSO DE LA POTENCIA DE LAS DISTANCIAS MUESTRAS MAS CERCANAS

ESTIMA

PUNTOSDE

DISCRETIZA-CION

NUMERODE

VARIABLES IPDD3D

IGUALPOTENCIA

DIFERENTEPOTENCIA

POLD3D ESTIMA

1 340 104 104 160 98

2 680 116 154 320 102

3 1020 129 201 480 105

1*1*1

4 1360 143 249 640 110

1 2693 264 2642 5386 276 276

3 8079 290 290

2*2*2

4 10772 303 303

1 9085 702 702

2 18170 715 1379

3 27255 727 2041

3*3*3

4 36340 741 2708

1 21022 1758 17582 42044 1779 3482

3 63066 1786 5200

4*4*4

4 84088 1808 5956

Las principales razones de la sustancial mejora en la velocidad de proceso de ESTIMAen relacin a los otros procesos son :

- Optimizacin del proceso de busqueda- Mtodo mejorado para la discretizacin de las celdas- Multiples variables en una sola corrida


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En el caso del krigeage se uso un modelo de variograma esfrico de una sola estructura

y considerando anisotropias en los rangos. El mismo volumen de busqueda, pero con unmodelo de variograma diferente se uso para cada variable.

Al usar el proceso KRG3DB siempre se calcula la varianza del kriging, lo que consumemucho tiempo de calculo, a pesar de que esta varianza no siempre es requerida. EnESTIMA este calculo es opcional de tal forma que los resultados de las pruebas semuestran incluyendo o no este clculo. En los resultados puede verse que omitir esteclculo puede reducir significativamente el tiempo de ejecucin, en especial para el casoen que se utilice un gran nmero de puntos de discretizacin. Por ejemplo para una solacorrida usando 4*4*4 puntos el tiempo de ejecucin se reduce de 3389 691 segundos.

Como se describi anteriormente en esta seccin, el tiempo consumido para el clculode la varianza puede reducirse aproximando el tamao de la celda y guardando el valorde F. Para los tiempos de ejecucin mostrados en la columna final ("Varianza

Aproximada") las dimensiones de las subceldas se han redondeado al metraje mscercano para el clculo del valor de F. Esto debe recalcar que esta aproximacin tieneslo un pequeo efecto en el valor F y por ende en la varianza, y no afecta la estimacindel kriging. Sin embargo usted puede ver desde la tabla que esto no significasustanciales mejoras en los tiempos de ejecucin.

INCLUYENDO LA VARIANZA EXCLUYENDO

LA VARIANZA

VARIANZA

APROXIMADA

ESTIMACION DE

LA CELDAPATRON. No DEVARIANZA

PUNTOS

DEDISCRETIZA_CION

NUMERO

DEVARIABLES

KRG3DB ESTIMA ESTIMA ESTIMA ESTIMA

1 909 238 215 219 38

2 1818 383 332 342 56

3 2727 525 452 465 75

2*2*2

4 3636 667 572 590 95

1 1414 669 377 418 62

2 2828 1241 657 737 1063 4242 1813 936 1059 150

3*3*3

4 5656 2385 1217 1376 194

4*4*4 1 3389 2371 691 914 110


52/70






2 6778 4644 1286 1732 203

3 10167 6881 1880 2552 295

4 13556 9140 2473 3367 388

El modelo de pruebas contiene 6490 celdas. Si ESTIMA se ejecuta usando laaproximacin de la celda patrn (@PARENT=1), luego slo se re

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