Ufpe Aula 03 Analise No Tempo Sistemas Continuos

8/7/2019 Ufpe Aula 03 Analise No Tempo Sistemas Continuos

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Sinais e SistemasEng. da Computação

Análise no Domínio do Tempo deSistemas Contínuos

Prof. Aluizio Fausto Ribeiro AraújoDepto. of Sistemas de Computação

Centro de Informática - UFPE

ES 413 Sinais e Sistemas

Capítulo 2



1-2Sinais e SistemasEng. da Computação

Conteúdo• Introdução

• Resposta de Entrada Zero

• Resposta ao Impulso Unitário

• Resposta de Estado Zero

• Solução Clássica de Equações Diferenciais• Estabilidade de Sistemas

• Parâmetros e Comportamento do Sistema




Análise no Tempo de SLCT (i)• Introdução

– Serão considerados sistemas diferenciais lineares para análise.

• Serão tratados sistemas lineares invariantes e contínuos notempo (LTIC), descritos por:

)()()()( :polinômio de termosem ou,

: de uso o comrescreverse-Pode .constantes são e onde

)()()()(

)()(

11

1

1

1

1

11

1

1

11

1

1

t xDPt yDQ

)x(t)bDbDbD(b)y(t)aDaDa(D

Dba

t xbdt

t dxb

dt t xd

bdt

t xd b

t yadt

dya

dt

yd a

dt

t yd

N N M

M N M

M N

N N

N N

ii

N N M

M

M N M

M

M N

N N N

N

N

N

=++++= =++++

++++=

=++++

−−

+−−

−−

−−

−

+−−

−−

−

KK

K

K




Análise no Tempo de SLCT (ii)• Introdução

– Valores de M e N , contudo não deve ocorrer M>N pois:

• A expressão anterior atuaria como diferenciador (função detransferência) de ordem ( M-N ). Isto poderia levar o sistemaa instabilidade (BIBO) pois a derivada de uma entradadegrau unitário será ilimitada (função impulso unitário).

• Em geral, um sinal de ruído é rápido, gerando valores altosde derivadas. Logo o diferenciador aumenta seu efeito.

ZeroEstado de Resposta ZeroEntrada de Resposta totalResposta

:por dada é totalresposta sua linear, é definido sistema o Como

frente. para daqui assumida será hipótese Esta

. :utilizar portanto, se,-Recomenda

+=

≤ N M




Resposta de Entrada Zero (i)• Resposta para Condições Internas do Sistema

– Este componente é a resposta do sistema para entrada nula.

( )( ) ( ) 0)(

0)(

que se-tementão ,0 e 0)( hipóteseporComo,

0)()()(

:forma a assume polinômio o forma, Desta

:lexponencia função de proriedade uma é Esta forma. mesma da são e

existem derivadas todaszero, emresultarlinearcombinação a Para

0)(0

21

11

1

0

11

10

02

02

00

0011

1

=−−−=∴=++++=

≠≠=++++=

=⇒=⇒=⇒=

=∴=++++

−−

−−

−−

N

N N N N

t N N

N N

t N N t t t

N N N N

Q

aaaQ

ct y

eaaact yDQ

ec(t)yDec(t)yDec(t)Dyce(t)y

(t)yDQ(t))yaDaDa(D

λλλλλλλλλλλ

λλλ

λλλ

λ

λλλλ

K

K

K

K

K




Resposta de Entrada Zero (ii)• Resposta para Condições Internas do Sistema

Para raízes distintas:

t N

t t

N N

N N

N N

t N N

t N N

t t

N

N N

ececec(t)y

t yct yct ycDQ

(t)yDQ(t)yDQ(t)yDQ(t)yDQ

(t)yDQ

cccc

ect yect yect yect y

(t)yDQN

λλλ

λλλλ

+++=

=+++

======

=====

−

−

−−−

K

K

K

K

K

21

121

210

2211

121

0

121

112211

0

:por dada é geral solução a Assim,

0)]()()()[((

:se-temlinear, é sistema o Como

0)()()()(

:0)( polinômio o menteindividual satisfaz solução Cada

sarbitrária constantes são ,,,, onde

)(,)(,,)(,)(

:por dados ,0)( para soluções possíveis se-Tem




Resposta de Entrada Zero (iii)• Resposta para Condições Internas do Sistema

Para raízes distintas:

sistema. do ticoscaracterís modos dos

linear combinação uma é zero entrada de respostaAcompleta. resposta na

minfluencia Estes modos.ounaturais modos ticos,caracterís modos de

chamadas são zero entrada de sistema no ,1 isexponencia As

s.autovalore e naturais sfreqüência ticos,caracterís valores

ticas,caracterís raízes de chamadas são equação desta raízes As

sistema. do ticacaracterís equação de 0)( e

sistema do ticocaracterís polinômio de )( se-chama Assim,

sistema. do ticascaracterís as com orelacionad é )( polinômio O

,N ,,ie

Q

Q

Q

t ?i K=

=λλ

λ




Resposta de Entrada Zero (iv)• Resposta para Condições Internas do Sistema

Para raízes repetidas:

.) :solução e

,,,,,, :ticoscaracterís modos os tem

)()()()(

:ticocaracterís polinômio o com sistema um para Assim

.) :por dada é solução a Assim,

,,,, :ticoscaracterís modos os tem

,0)( diferencal equação a análogo, modo De

direta ãosubstituiçporprovada ,)()( solução com

,0)()2()( equação a Seja

11

1111

11

210

1

11

1210

12

0

210

02

022

0

t N

t r

t r r

t t t r t t

N r r

t r r

t r t t t

r

t

N r

N r

ececet ct c( c(t)y

eeet tee

Q

et ct c( c(t)y

et et tee

(t)yD

et cct y

(t)yD(t)yDD(t)yDQ

λλλ

λλλλλ

λ

λλλλ

λ

λλλλλλλ

λ

λλλ

++++++=

−−−=

+++=

=−+=

=−=+−=

+

+

+−

−+

−

−

KK

KK

K

K

K




Resposta de Entrada Zero (v)• Resposta para Condições Internas do Sistema

Para raízes complexas:– O procedimento é o mesmo que aquele para raízes reais. Nesta

caso ter-se-á modos característicos complexos e forma desolução complexa.

– Pode-se optar por não se trabalhar com a forma complexa:

?)t (ce(t)y

eeeceeceect y

ec

cec

c

cc

ecect y

t a

t jt jt t jjt jj

jj

t jt j

+=

∴+=+=

==

+=

+−+−−+

−

−+

β

θβθβαβαθβαθ

θθ

βαβα

cos

)(222

)(

:resulta isto ,2

e 2

:conjugados são e se real é resposta a real, sistema um Para

,)(:pares aos ocorrem complexas Raízes

0

)()()()(0

21

21

)(2

)(10




Resposta de Entrada Zero (vi)• Resposta para Condições Internas do Sistema

– Exemplo Calcule a resposta de entrada zero para a equação:

.55 é zero entrada de respostaA

.5,552250

000

:equações de sistema do solução a se-segue ,2

:se-calcula ,constantes asacharPara .

:por dada solução a e , :são ticoscaracterís modos os

;2,1 são ticascaracterís raízes as qual o Para

,023 é sistema do ticacarcaterís equaçãoA

.50,00 para ,)23(

20

21

210

20

10

210

20

10

2210

2210

2

21

2

002

t t

t t

t t

t t

ee(t)y

ccccecec )(y

ccecec)(y

ecec (t)y

ecec(t)y

ee

)(y)(yDx(t)y(t)DD

−−

−−

−−

−−

+−==−=⇒−=−−∴−−=−=

=+∴+==−−=

+=

−=−==++

−===++

&

&

&

λλλλ




Resposta de Entrada Zero (vii)• Resposta para Condições Internas do Sistema

– Exemplo: Calcule a resposta de entrada zero para a equação:

.23 é zero entrada de respostaA

.273)3(370

3.0.30

:é equações de sistema do solução a ),3(3

:se-calcula ,constantes asacharPara .

:por dada solução a e , :são ticoscaracterís modos os

;3,3 são ticascaracterís raízes as qual o Para

,096 é sistema do ticacarcaterís equaçãoA

.70,30 para ,5396

30

2

2100

20

10

10

20

10

33210

3210

33

21

2

002

t

t t t

t

t t

t)e((t)y

cccteecec )(y

cecec)(y

teecec (t)y

t)ec(c(t)y

tee

)(y)(y)x(t)D()y(t)D(D

−

−−−

−

−−

+==⇒−=+−∴−+−=−=

=∴+==−+−=

+=

−=−==++

−==+=++

&

&

&

λλλλ




Resposta de Entrada Zero (viii)• Resposta para Condições Internas do Sistema

– Exemplo: Calcule a resposta de entrada zero para a equação:

−==⇒

−=−−∴==∴+==

+−+−=+=

−−=+−=

=++==+=++

−−

−

−−+−

463,3sen2cos

5sen6cos278.1602cos0cos20

:por dada é solução a ,6sen66cos2

:se-calcula ,constantes asacharPara .6cos

:é forma na soluçãoA., :ticoscaracterís modos os ;6262 são ticascaracterís raízes As

,0404 é sistema do ticacaracterís equaçãoA

.78.160,20 para ,2404

0

00

220

20

)62()62(21

2

002

θθθ

λλ

cc

?c?c)(yc?)(ce)(y

?)t (ce?)t (ce (t)y

?)t (ce(t)y

eej?,j?

)(y)(y)x(t)(D)y(t)D(D

t t

t

t jt j

&

&

&




Resposta de Entrada Zero (ix)• Resposta para Condições Internas do Sistema

– Calculando as constantes:

( ) ( )

( ) ( )

.3

6cos4 é zero entrada de respostaA

32463,3

tan

:fase de ângulo o se-Acha

.416)463,3()2(sencos

:se-temequações duas as se-Somando

)463,3(sen;)2(cos

quadrado ao termosos ambos elevando ,4633sen

2cos

20

1

22222

2222

−=−=

−

=

=∴=∴−+=+

−==−=

=

−

−

π

πθ

t e(t)y

cc?c?c

?c?c

,?c

?c

t




Resposta de Entrada Zero (x)• Resposta para Condições Internas do Sistema

– Condições Iniciais na Prática• Em problemas reais, as condições iniciais devem ser

geradas a partir das situações físicas.

• As condições iniciais imediatamente anteriores a t=0 , emgeral, são diferentes das condições iniciais imediatamenteapós a aplicação da entrada.

• Imediatamente antes da aplicação da entrada, tem-se aresposta de entrada zero.

+− == 0 e 0 :Notações t t




Resposta de Entrada Zero (xi)• Resposta para Condições Internas do Sistema

– Independência das Resposta de Entrada Zero e Estado Zero:• Estes dois componentes do sistema são mutuamente

independentes. Isto é, as duas respostas coexistem sem haverinterferência de uma sobre a outra.

– Condições Auxiliares para Solução de Equações Diferenciais:

• Em geral, para se determinar unicamente y(t) a partir de suaN-ésima derivada, são necessárias N informações (restrições)sobre y(t) . Tais restrições são geralmente chamadas decondições auxiliares e recebem denominação particular para

quando t=0 : condições iniciais.




Resposta ao Impulso Unitário (i)• Fundamentos

– Se for conhecida a resposta de um sistema a uma entradaimpulso, pode-se determinar a resposta do sistema a uma entradaarbitrária x(t ).

– Apresenta-se um método para determinar a resposta ao impulsounitário de um sistema LTIC descrito pela equação diferencial deordem N: Q(D)y(t)=P (D)x(t ). Onde Q(D) e P (D) são polinômios,

onde . Para esta restrição, o caso mais geral é M=N .

– h(t ) é a resposta de um sistema para uma entrada impulso emt=0 , com todas as condições iniciais nulas em . Esta entradagera armazenamento de energia, implicando em condiçõesiniciais não nulas em .

N M ≤

)()(

)()(

11

10

11

1

t xbDbDbDb

t yaDaDaD

N N N N

N N N N

++++==++++

−−

−−

K

K

−

=0t

+=0t




Resposta ao Impulso Unitário (ii)• Fundamentos

– Como não há entrada após o impulso ter sido aplicado, osistema responderá à condição inicial recém-criada.

– Assim, a resposta ao impulso h(t ) é formada a partir dos modoscaracterísticos do sistema:

– Em t=0 pode haver no máximo um impulso, gerando:

– Assumindo x(t ) como um impulso unitário, tem-se que

+≥= 0 ticoscaracterís modos dos termos)( t t h

0 ticoscaracterís modos dos termos(t))( 0 ≥+= t At h δ

. para 0 com ticos,caracterís modos)()(

:resposta como se-tem, para expressão a se-doSubstituin

),()()()(

00

110

11

N M bt bt h

h(t)

t bDbDbt haDaD N N N

N N N

<=+=

+++=+++ −−

δ

δKK




Resposta ao Impulso Unitário (iii)• Fundamentos

– Exemplo: Calcule a resposta ao impulso para o sistema:

2;14324)32()0(

11)()0(

.4,11;15

)()()0(6)(5)()(

)()()0();()0( :impulso ao Devido

0;0 sejam e ;000 iniciais Condições

)()()(6)(5)( )()( e )()( para

)()()( :caract.) modos (só impulso ao Resposta

;3,2 065 é ticacaracterís Equação

0, como ,)1()65(

21

2120

20

1

2110

20

1

21121

121

211

21

32

21

212

02

=−=∴−=−−∴−==−−=

=+∴==+=−==⇒==+

∴+=+++⇒+==

====+=++⇒==

+=−=−=∴=++

=⇒<+=++

+

+

++−−

−−

ccccK ecech

ccK ecech

K K K K K

t t ht K t K t K

t K t K ht K h

K )(hK )h()(h)h(

t t t ht ht ht ht yt t x

t uecect h

bN M x(t)Dy(t)DD

t t

&

&&

&&&&

&&

&&&&

δδδδδ

δδδ

δδδ

λλλλ




Resposta ao Impulso Unitário (iv)

• Resposta Impulso Unitário– Método de Casamento de Impulso Simplificado:

• Busca reduzir procedimento para determinar h(t ).

0)( logo ,0 Para

10,000)0 :iniciais condições

de sistema do ticoscaracterís modos doslinearcombinação é onde

,

:é unitário impulso ao resposta a

)()()()(

)()()()(

:por definido LTIC sistema o Seja

00

12

0

110

11

==⇒<=====

+=

+++=+++∴=

−−

−−

t bbN M

)(y)(y)(y(y

(t)y

(t)]u(t)[P(D)yd(t)bh(t)

h(t)

t xbDbDbt yaDaD

t xDPt yDQ

N n

N nnn

n

n

N N N

N N N

δK&

KK




Resposta ao Impulso Unitário (v)

• Resposta Impulso Unitário– Exemplo: determine a resposta ao impulso h(t) .

)()2()()()()]()([)( Portanto,

),()()( onde ),()]()([)( :se-Lembre

1

1

21

0:que setemAssim,

.1)0(,0)0( :são iniciais condições As

.2)()( :Logo

2,1023:ticacaracterís eq.

),2( ordem segunda de sistema ),()()23(

2

2

1

21

21

221

221

212

2

t ueet ut yt ut yDPt h

t Dyt yDPt ut yDPt h

c

c

cc

cc

yy

ecect yecect y

??)?(?

N t Dxt yDD

t t nn

nnn

nn

t t n

t t n

−−

−−−−

+−=====

−==

⇒−−=+=−

==−−=⇒+=

−=−=⇒=++==++

&

&

&




Resposta de Estado Zero (i)• Introdução

– Resposta para condições inicias nulas.– Uso do princípio da superposição para encontrar a resposta de

um sistema a um sinal de entrada arbitrário x(t ). Considere

. permanece área e )0 para Assim,

.][ altura com pulso um é ][ onde

,limlim)(

:por dado é entrada de sinal o Portanto, .

:expresso é altura com em iniciando pulso umAssim,estreitos; esretangular pulsos de somatório é Entrada

0;tem iniciando largura para ,1 básico Pulso

00

)x(n]? t [x(n?x?t

)x(n)np(t )x(n

)np(t )x(n

)n)p(t x(nt x

x(t))n)p(t x(n

)x(nnt x(t)

? t p(t)

ττττττ

τττ

τττ

ττττ

ττ

ττ

∆∞→⇒→∆∆∆−∆∆

∆∆−∆∆=∆−∆=

∆−∆∆∆=

==

∑∑ →∆→∆




Resposta de Estado Zero (ii)

• Introdução

∑∑

∑

∆−→∆−∆−→∆−

∆−→∆−→→

∆∆−∆=→∆∆−∆

→→

→∆

t ? t

t ? t

?t nh(t x(n??t nd(t x(n?

n?t]h(t [x(n?xn?t]d(t [x(n?x

nt hnt

t ht

(y(t))(x(t))

x(t)

nt nxt x

nt nx

))lim ))lim

)) ))

)( )(

)( )(

Saída Entrada

: entrada a para saída-entradaparo se-Encontra

)()(lim)( Logo,

0 para ),()(:impulso do se-aproxima pulso O

00

0

ττττ

ττττδ

δ

ττδτ

ττδτ

ττ




Resposta de Estado Zero (iii)• Introdução

– Esta é a resposta do sistema y(t ) para uma entrada arbitrária x(t)em termos da resposta ao impulso h(t ). Logo, conhecendo-se esteúltimo, pode-se determinar y(t ) para qualquer entrada.

• Note que a resposta do sistema para qualquer entrada édeterminada pela resposta ao impulso, que por sua vez, é

construída a partir dos modos característicos do sistema.

∫ ∑

∞

∞−

→

−=

∴∆−=

τττ

τττ

d t hxy(t)

n?)h(t x(n?y(t)t

? t

)()(

)lim :Portanto0




Resposta de Estado Zero (iv)• Introdução




Resposta de Estado Zero (v)• Integral de Convolução

– A integral de convolução de duas funções é definida como:

)()]()([)]()([)(:aAssociativ ePropriedad

)()()()()]()([)(

:vaDistributi ePropriedad

)()()()()()()()( variávela mudando se-prova

)()()()(

:Comutativa ePropriedad

:relevantes espropriedad com,)()()()(

321321

3121321

12122121

1221

2121

t xt xt xt xt xt x

t xt xt xt xt xt xt x

t xt xdzzt xzxdzzxzt xt xt xdzd t z

t xt xt xt x

d t xxt xt x

∗∗=∗∗

∗+∗=+∗

∗=−=−−=∗−=⇒−=

∗=∗

−=∗

∫ ∫

∫

∞

∞−

∞−

∞

∞

∞−

ττ

τττ




Resposta de Estado Zero (vi)• Integral de Convolução

. é )( de duração e é )( e )( de (largura) Duração

:Largura da ePropriedad

)()()( :Impulso um com Convolução

)()()(

e )()()()()(

logo ),()()( para :toDeslocamen de ePropriedad

212121

212211

2121

21

T T t cT T t xt x

t xt t x

T T t cT t xT t x

T t ct xT t xT t xt x

t ct xt x

+⇒

=∗

−−=−∗−−=∗−=−∗

=∗

δ




Resposta de Estado Zero (vii)• Integral de Convolução

.0pordenotato que mesmo integral da o será oconsiderad limite O

0 ,0

0,)()()()()()()(

entrada; da início o após iniciada é só respostaA-

zero estado com e causal sistema Para

)()()()()(

:eCausalidad e ZeroEstado de Resposta

00

<≥−=−=∗=

−=∗=

∫ ∫

∫

−−

∞

∞−

t

t d t xhd t hxt ht xt y

d t hxt ht xt y

t t ττττττ

τττ




Resposta de Estado Zero (viii)• Integral de Convolução

– Exemplo: Considere um sistema LTIC cuja resposta ao impulsoh(t ) é dada abaixo. Determine a resposta y(t ) para a entrada x(t ).

)()()( então ,0 para 0)( que Lembrando

0,)1()(

0,)(

:tornase integral a assim ,0,)()()(

:que se-temlogo causais, são sinais os Ambos

)()();()(

2

22

0

22

0

)(2

0

2

t ueet yt t y

t eeeed eeet y

t d eet y

t d t hxt y

t uet xt uet h

t t

t t t t t t

t t

t

t t

−−

−−−−−

−−−

−−

−=<=≥−=−==

≥=

≥−=

==

∫ ∫ ∫

τ

τ

τττ

ττ

ττ




Resposta de Estado Zero (ix)• Integral de Convolução




Resposta de Estado Zero (x)• Integral de Convolução

d d ( )




Resposta de Estado Zero (xi)• Integral de Convolução




Resposta de Estado Zero (xii)• Integral de Convolução

– Resposta a Entradas Complexas: Para um sistema LTIC real ( h(t )real) então a parte real da entrada gera uma resposta realenquanto que a parte imaginária gera uma resposta imaginária.As duas respostas são somadas para gerar a resposta completa.

– Resposta a Entradas Múltiplas: Aplica-se o princípio dasuperposição. Cada entrada é considerada separadamente e a

soma das saídas individuais determina a saída total dos sistema.

)()()(

)(*)()(*)()]()([*)()(

se-temreal, sendo )( para ,)()()(

t jyt yt y

t jxt ht xt ht jxt xt ht y

t ht jxt xt x

ir

ir ir

ir

+=∴+=+=

+=




Resposta de Estado Zero (xiii)• Integral de Convolução: Solução Gráfica

– Possibilita interpretação gráfica que é útil para avaliar a integralde convolução de sinais complexos.

– Permite a visualização do resultado da integral, freqüentementeútil para tarefas tais como amostragem ou filtragem.

– Viabiliza o cálculo da integral para sinais que não possuam

descrição analítica, mas apenas gráfica.– Note que a integral não se faz com respeito a t , que é apenas um

parâmetro do processo (e não a variável independente).

– A integral de convolução só existe para o período de tempo emque a moldura móvel coexiste com o gráfico fixo.

– Pode-se calcular graficamente x(t )*g (t ) ou g(t )*x(t ).

R d E d Z ( i )




Resposta de Estado Zero (xiv)• Integral de Convolução: Solução Gráfica

R d E d Z ( )




Resposta de Estado Zero (xv)• Integral de Convolução: Solução Gráfica




Resposta de Estado Zero (xvi)• Integral de Convolução: Solução Gráfica

– Procedimento Gráfico:

. para )(obterpara , eixo o sobre moldura a deslocando to,procedimen o Repita 5.

. para convolução de

integral davaloro )( é )( e )( de produto o sob áreaA4.

.)(obterpara problema) do tempode unidade (em poreixo do longo ao )( Desloque 3.

.)(obterpara verticaleixo do tornoem moldura

a Rotacione rígida. moldura uma como )( função a Visualize 2.

fixa. )( função a Mantenha 1.

0

00

0

0

t t c

t t

t ct gx

t gt g

g

g

x

∀

=−

−−

−

τ

τττ

ττ

τττ




Resposta de Estado Zero (xvii)• Integral de Convolução: Solução Gráfica

– Exemplo: Determine graficamente a y(t )= x (t )*h (t ).

)()()( Logo,

0,)1()(

logo, ,)(,)( :convoluir a funções As

0,00,)()()(

:0 parasobreporse vãosó sconvoluída serem a funções as Como

)()(),()(

2

22

00

2)(2

)(2

0

2

t ueet y

t eeeed eed eet y

et hex

t t d t hxt y

t

t uet ht uet x

t t

t t t t t t t t

t

t

t t

−−

−−−−−−−

−−−

−−

−=≥−=−===

=−=<≥−=

>==

∫ ∫

∫

ττ

ττ

τττ

τττ

ττ




Resposta de Estado Zero (xviii)• Integral de Convolução: Solução Gráfica

– Exemplo:

Resposta de Estado Zero (xix)




Resposta de Estado Zero (xix)• Integral de Convolução: Solução Gráfica

– Exemplo:




Resposta de Estado Zero (xx)• Integral de Convolução: Solução Gráfica

– Exemplo: Determine graficamente a y(t )= x (t )*h (t ).

t t

t

t t t

t t

t

t

t

t

eet c

d ed ed t gxt c

t

ed ed t gd t gxt c

t

t ue

t uet g

t ue

t uet gt ut x

−−

∞ −−−∞

∞ −∞∞

−

−−−

−=−−=∴−+=−=

≥≥−=−=−=−=

≥<+−−

−=−⇒−−

==

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

211)1(2)(

)2(12.1)()()(

:0 para ocorre ãosuperposiç a ,0 para Cálculo

2)()()()(

:0 para ocorre ãosuperposiç a ,0 para Cálculo

)(2

)(2)(

)(2

)(2)(),(1)(

)(2

0

)(

0

2

0

)(2

00

)(2

)(

2

τττττ

τ

ττττττ

ττ

ττ

ττ

τ

τ

τ




Resposta de Estado Zero (xxi)• Integral de Convolução: Solução Gráfica

– Exemplo:

Resposta de Estado Zero (xxii)




Resposta de Estado Zero (xxii)• Integral de Convolução: Solução Gráfica

– Exemplo:

Resposta de Estado Zero (xxiii)




Resposta de Estado Zero (xxiii)• Integral de Convolução: Solução Gráfica

– Exemplo: Encontre a integral de convolução da figura:

4

42

2

2111

2

1

4

3

1

1

1

1

0

0

0)82(61

32

)1(61

0)(

1.01.31.31.31.0)(

1.3)()()()()( é convoluçãoA

.3)( e 1)( :são acima figura da funções As

≥≤≤≤≤≤≤−

−≤

∞

+−

+

+−

+

∞−

∞

∞−

∞

∞−

+−−−+++=

∴++++=

∴=−=∗===

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

t

t t t

t

t

t

t

t

t t t t t c

d d d d d t c

d d t xgt xt gt c

t t gt x

4 434 42143421

ττττττττ

τττττ

Resposta de Estado Zero (xxiv)




Resposta de Estado Zero (xxiv)• Integral de Convolução: Solução Gráfica

Resposta de Estado Zero (xxv)




Resposta de Estado Zero (xxv)• Integral de Convolução: Solução Gráfica

– Largura da função convoluída: O tempo (largura) que um sinal de

duração T 1 leva para passar completamente por um outro sinal deduração T 2, tempo em que estes sinais tenham algumasuperposição, é dado por T 1 + T2.

– Papel de funções sem existência física: Estas, analiticamentetratáveis como a função impulso ou a função exponencial

incessante, produzem conhecimento sobre o comportamento dosistema e sua resposta a entradas arbitrárias.

Resposta de Estado Zero (xxvi)




Resposta de Estado Zero (xxvi)

– Sistema complexo

composto porsubsistemas maissimples e portantomais facilmentecaracterizados.

Vai-se considerardois tipos deinterconexões:cascata e paralela.

• Integral de Convolução: Sistemas Interconectados

Resposta de Estado Zero (xxvii)




Resposta de Estado Zero (xxvii)• Integral de Convolução: Sistemas Interconectados

– Comutatividade da convolução usada com integrador ideal.

– Diferenciador ideal e integrador ideal para produzir um sistemainversor, recuperando um dado sinal de entrada.

Resposta de Estado Zero (xxviii)




Resposta de Estado Zero (xxviii)• Integral de Convolução: Função Exponencial Incessante

– Função característica: Entrada para qual um sistema responde damesma forma, a exponencial é o único caso.

)( st e

(st)

s

st

sst t sst

st

sH

ssH

d ehsH

esH t yd ehed ehet ht y

t ys

et h

exp incessante entrada

)(

entrada de sinalsaída de sinal

)(:nciatransferêde Função

. devalordado um para constante uma é )(

finita. integral para válido,)()( onde

LTI sistema todode lfundamenta epropriedad uma é esta ,)()()()()()(

:é )( sistema do resposta a então complexa) variáveluma é (

entrada sua e )( impulso ao resposta sua sejam sistema, um Para

=

∞

∞−−

∞

∞−−∞

∞−−

=

==

∴==∗=

∫ ∫ ∫

ττ

ττττ

τ

ττ

Resposta de Estado Zero (xxix)




• Integral de Convolução: Função Exponencial Incessante

– A função de transferência, em geral, só tem sentido para sistemaLTIC. Tal função pode ser expressa em termos de polinômio:

)( st e

)()(

)( é nciatransferêde função a que se-Conclui

)()()()( Como

)(])()[( :polinômio de forma na

resposta, sua e incessante lexponencia a se-doConsideran

sQsP

sH

esQeDQesPeDPes

dt ed eD

eDPeDQsH

st st

st st

st r r

st r st r

st st

=

==⇒==

=

Resposta de Estado Zero (xxix)

Resposta de Estado Zero (xxx)




Resposta de Estado Zero (xxx)• Integral de Convolução: Resposta Total

– Resposta total = Resposta entrada-zero + Resposta estado-zero=

0,)15205()55( totalcorrente

)(10)(,5.0,3,1

corrente, a é saída tensão,de fonte é entrada :RLC circuito :Exemplo

distintos. sautovalore de caso o consideraseguira discussãoA

distintos sautovalore para ,)()(

distintos e repetidos sautovalore para ,)()(

zero estado

32

zero entrada

2

3

N

1k

N

1k

R

1k

1

≥−+−++−=

==Ω==

∗+

∗++

−−−−−

−

=

+==

−

∑∑∑

t eeeee

t uet xF C RH L

t ht xec

t ht xecet c

t t t t t

t

t k

R

t k

t k k

k

k k

4 4 4 4 34 4 4 4 214 4 34 4 21

λ

λλ

Resposta de Estado Zero (xxxi)




p ( )• Integral de Convolução: Resposta Total

0,)15()2510( totalcorrente15)205()55( totalcorrente

)15205()55( totalcorrente

)( forçada respota

3

)( natural resposta

2

322

322

≥−++−= ∴−++−−=

∴−+−++−=

−−−

−−−−−

−−−−−

t eeeeeeee

eeeee

t y

t

t y

t t

t t t t t

t t t t t

n

434214 4 34 4 21φ

Solução Clássica de Equações Diferenciais (i)




• Introdução

– Soluciona-se com componente natural e componente forçado.Para análise e síntese de sistemas este método possui perdas.

• A resposta natural do sistema (solução homogênea ousolução complementar) é formada por todos os termosenvolvendo os modos característicos do sistema.

• A resposta forçada do sistema (solução particular) compõe-sedos termos que não envolvem os modos característicos.

==

∴=+

⇒+==

)()()()(

0)()()()()]()()[(

)()()( totalresposta

t xDPt yDQ

t yDQt xDPt yt yDQ

t yt yt y

nn

n

φφ

φ

Solução Clássica de Equações Diferenciais (ii)




ç q ç ( )

• Resposta Forçada

Método dos coeficientes indeterminados– Método simples de ser calculada para entradas que produzem

número finito de derivadas independentes. Casos importantessão:

• Função exponencial: As derivadas são da mesma tipo.

• Polinômio em t : As derivadas são polinômios em t .

– A resposta forçada é portanto uma combinação linear da funçãode entrada ( x(t )) e suas derivadas.

igualdade. da lados dois dos termosse-igualando calculados

são osdeterminad não escoeficient os ),()()()( t xDPt yDQ =φ

Solução Clássica de Equações Diferenciais (iii)





Método dos coeficientes indeterminados– A tabela mostra algumas funções de entrada e a saída forçada:

t ?r

r

r

r

t ?r

r

r

t ?i

t ?

t ?i

t ?

et t t et t t

t t

k

teN ,,(i??,e

eN ,,(i??,e

)( )(

)cos( )cos(

constante)valor(um

),21

),21

Saída Entrada

01

1

101

1

1ββββααα

θωβθωββ

β

++++++++++

===≠

−

−

−

−KK

K

K

Solução Clássica de Equações Diferenciais (iv)





==

=

∴=++ =+

=∴+=+++++∴

∴=++++=

≥+=++=++

==++==++

−−

++

11

0

5232262

02

52)(2)2(32

)()()23( :se-temacima polinômio o Para

)( é forçada resposta a acima, )( Para

0,)(

:assim ,)2)(1(23 :ticocaracterís Polinômio

.3)0(,2)0( e ,35)( entrada uma para

)()()23( :ldiferencia equação a Resolva :Exemplo -

0

1

2

210

21

2

012

2122

02

01

2

2

221

2

2

2

ββ

β

βββββ

β

ββββββ

βββ

λλλλ

φ

t t t t

t Dxt yDD

t t t yt x

t eK eK t y

yyt t t x

t Dxt yDD

t t n

&

Solução Clássica de Equações Diferenciais (v)




• Solução Clássica de Equações Diferenciais: Resposta Forçada

– Este requer condições para t imediatamente após o instante t=0 ,

porque no instante imediatamente anterior a t=0 , apenas ocomponente de entrada zero existe.

0134)( que se-temFinalmente

34

123120 Para

12)(

01)()()(

:são derivada sua e completa soluçãoA

0,1)( é forçada soluçãoA

2

2

1

21

21

221

221

≥++−=−==∴+−−= ++=⇒=

+−−=≥+++=+=

≥+=

−−

−−

−−

t t eet y

K K

K K K K t

eK eK t y

t t eK eK t yt yt y

t t t y

t t

t t

t t n

&

φ

φ

Solução Clássica de Equações Diferenciais (v)





– Sinal exponencial é do mesmo tipo.

.auxiliares condições pelas calculadas são constantes as onde

,)()( :é )( para sistema do totalResposta

0)()(

por dada é forçada resposta a ,)()( entrada a Para

)()()(

)()(

)()( e )()( :ementeConsequent

que se-lembre ,)(])[(

1

j

t N

j

t j

t

t

t t

t t t t

t r t r t t

K

eH eK t yt x

t eH t y

t uet x

H QP

ePeQ

ePeDPeQeDQ

eeDeDPeDQ

j ζλ

ζφ

ζ

ζζ

ζζζζ

ζζζζ

ζ

ζ

ζζζβζζβ

ζζ

ζβ

∑=

=

⇒≥==

==∴=

⇒====

Solução Clássica de Equações Diferenciais (vi)





– O método clássico, por vezes, é relativamente simples quandocomparado com o método para encontrar os componentes comentrada e estado zero. Contudo, o método clássico apresenta osseguintes problemas:

• Geração de resposta completa, não permitindo a identificação

de cada componente da resposta.• Impossibilidade de ser aplicado a qualquer classe de entradas

(lembre-se da restrição com respeito às derivadas de x(t )).

• As condições auxiliares são definidas para o instanteimediatamente após o zero.

Estabilidade de Sistemas (i)




• Estabilidade BIBO– Exemplo ilustrativo: Um cone acomodado em um de seus

estados de equilíbrio (estados em que o cone pode permanecerpara sempre): colocado sobre sua base circular (i), sobre seuvértice no cume (ii) e sobre sua lateral (iii). Se levementeperturbado em seu estado atual, o cone:

• O cone no estado (i) retorna à sua posição original após aperturbação: Equilíbrio estável.

• O cone no estado (ii) move-se cada vez para mais distante deseu estado original: Equilíbrio instável.

• O cone no estado (iii) nem move-se para mais distante de seuestado original nem volta a seu estado de equilíbrio:Equilíbrio neutro.

• Pequenas perturbações causam resposta pequena (equilíbrioestável) ou respostas ilimitadas (equilíbrio instável).

Estabilidade de Sistemas (ii)




• Estabilidade BIBO

– Se toda entrada limitada produzir saída limitada no sistema, esteé dito estável BIBO. Em contraste, se alguma entrada limitadaresultar em resposta ilimitada o sistema é definido com instávelBIBO.

estável. BIBO é sistema o então ,integrável nteabsolutamefor)( a Se

.)(

é BIBO deestabilida para suficiante e necessária condição a Logo

,)()()( logo limitada, é )( Como

,)()()()()()()()(

LTIC sistema um Para

11

t h

d h

d hK t yK t xt x

d t xht yd t xht xt ht y

∞<

≤⇒∞<<−−≤⇒−=∗=

∫

∫ ∫ ∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

ττ

τττ

ττττττ

Estabilidade de Sistemas (iii)




• Estabilidade BIBO– A condição é necessária mas não suficiente, pois se M>N

então o sistema é instável (derivação de função impulso).– Este é um critério de estabilidade externa pois pode ser

verificada a partir de medidas nos terminais externos.

– A estabilidade externa (BIBO) pode não indicar corretamente aestabilidade interna. Nem sempre o comportamento interno deum sistema pode ser verificado a partir dos terminais externos.

• Existe equivalência entre estabilidade interna e externa parasistema que é controlável (pode-se controlar seu estado apartir de entradas externas) e observável (sabe-se o estado apartir do monitoramento da saída).

• A estabilidade interna implica na estabilidade externa.

N M ≤

Estabilidade de Sistemas (iv)




• Estabilidade Interna (Assintótica)– Um sistema LTI e causal é internamente estável se ele

permanecer em um dado estado (estado de equilíbrio)indefinidamente, na ausência de entrada externa.

• Todo modo característico de um sistema estável surgido comoresultado de condições iniciais diferentes de zero, deve tendera zero quando o tempo tende a infinito.

• Se ao menos um dos modos, crescer com o passar do tempo, osistema é rotulado como instável.

• Se alguns modos nem decrescem a zero nem crescemindefinidamente, enquanto outros modos decrescem a zero,este é um sistema marginalmente estável.

• A estabilidade interna é também chamada de estabilidadeassintótica ou estabilidade no sentido de Lyapunov.

Estabilidade de Sistemas (v)




• Estabilidade Interna (Assintótica)

instável. sistema o tornamrepetidas simaginária raízes queobservarCabe

.,0Re para quando senoides geram modos

se estável nteMarginalme -

.0Re/ , quando modos

se Instável -

.,0Re para quando 0 modos

se estável amenteAssintotic -

:é sistema o que se-tem, e forma da icoscarcteríst modos Para

interna. deestabilida a determinam ticascaracterís raízes das olocalizaçã a

),()()()( :polinômio pelo definido LTIC sistema um Seja

k k

k K

k k

t t

t

t

t

tee

t xDPt yDQ

k k

λλ

λλ

λλ

λλ

∀=∞→

>∃∞→∞→∀<∞→→

=

Estabilidade de Sistemas (vi)





Estabilidade de Sistemas (vii)





Estabilidade de Sistemas (viii)E bilid d I (A i ó i )





– Sumário:

• Um sistema LTIC é assintoticamente estável, se e só se, todassuas raízes características (autovalores), distintas ou comrepetição, estão no semiplano esquerdo.

• Um sistema LTIC é instável, se e só se, uma ou ambascondições forem verdadeiras: (i) ao menos uma das raízescaracterísticas estão no semiplano direito; (ii) existem raízesrepetidas sobre o eixo imaginário.

• Um sistema LTIC é marginalmente estável, se e só se, nãoexistirem raízes características no semiplano direito e

existirem raízes não repetidas sobre o eixo imaginário.

Estabilidade de Sistemas (ix)R l ã E bilid d I E




• Relação entre Estabilidade Interna e Externa

– Estabilidade interna (de entrada zero) é determinada para

condições iniciais não nulas e entrada nula, enquanto que aestabilidade externa (de estado zero) é determinada comcondições iniciais nulas e entrada diferente de zero.

– Estabilidade interna assegura estabilidade externa mas o inversonão é verdadeiro.

Parâmetros e Comportamento de Sistemas (i)• Comportamento Depende dos Modos Característicos




p p

– O comportamento do sistema depende dos modos característicosem termos de módulo, tempo e precisão.

• Tempo de Resposta de um Sistema: A sua Constante de Tempo

– Uma entrada é respondida após algum tempo de sua aplicação.Tal intervalo de tempo é chamado constante de tempo do sistema.

– T h é o tempo pararesponder plenamente aum impulso.

– A rapidez de um sistema éindicada por sua constantede tempo: quanto maior fora constante de tempo, maislento é sua resposta

Parâmetros e Comportamento de Sistemas (ii)Tempo de Resposta de um Sistema: A sua Constante de Tempo




• Tempo de Resposta de um Sistema: A sua Constante de Tempo

λ

λ

λ

λ

11

real. e negativo para ,)()( :modo só um com sistema um Para

)(

)()()(

assim, .)( devalormáximo o caso, no

adequado, tempode instante um em )(ˆ retangular pulso um de largura

pela definida é duração a anterior, exemplo No sistema.qualquer

para sinal um de efetiva duração de única definição uma uma existe Não

0

00

−==

=

=∴=

∫

∫ ∫ ∞

∞

∞−∞∞−

dt AeA

T

t uAet h

t h

dt t hT dt t ht hT

t h

t h

t h

t

hh

Parâmetros e Comportamento de Sistemas (iii)• Constante de Tempo e Tempo de Subida




p p

– Tempo necessário, em um sistema, para a resposta ao degrauunitário subir de 10 % a 90% de seu valor de estado permanente.

• A resposta y(t) ao degrau de um sistema é a convolução deu(t) com h(t) . Se esta for um pulso retangular de largura T h.Tem-se que o tempo de subida T r =T h.

Parâmetros e Comportamento de Sistemas (iv)• Constante de Tempo e Filtragem




– Um sistema com uma constante de tempo T h atua como um filtropassa-baixa com freqüência de corte f c=1/T h. Isto é, sinais deentrada com freqüência superior a f c Hertz são suprimidos. Vejaresultado das convoluções com alta e baixa freqüências.

Parâmetros e Comportamento de Sistemas (v)C t t d T Di ã d P l (E lh t )




• Constante de Tempo e Dispersão do Pulso (Espalhamento)

– A transmissão de um pulso por um sistema causa dispersão ou

espalhamento de pulso. Isto é, o pulso de saída é mais largo que opulso de entrada. Esta característica é importante em sistemas decomunicações nos quais as informações são transmitidas poramplitudes de pulso. Deseja-se evitar que a dispersão causeinterferência ou superposição de sinais.

• Para uma entrada x(t ) com largura de pulso T x tem-se umasaída cuja saída y(t ) tem largura T y. Logo,

T y=T x+T h

• O tempo de espalhamento é igual à constante de tempo ou ao

tempo de subida do sistema.

Parâmetros e Comportamento de Sistemas (vi)• Constante de Tempo e Taxa de Transmissão de Informação




• Constante de Tempo e Taxa de Transmissão de Informação

– Em sistema de comunicações por pulso, que transmitem

informação por amplitude de pulso, a taxa de transmissão deinformação é proporcional a taxa de transmissão de pulso. Paraevitar destruição da informação devido a dispersão dos pulsosdurante sua transmissão através do canal, a taxa de informaçãonão deve exceder a largura de banda do canal de comunicação.

• Como o pulso espalha-se por T h segundos, então dois pulsosconsecutivos devem distar T h segundos para evitarinterferência. Assim, a taxa de transmissão de pulsos não podeultrapassar 1/T h pulsos/segundo.

Exercícios RecomendadosP t MATLAB SCILAB




• Propostos para o MATLAB ou SCILAB– Todos

• Problemas– 2.2-1 até 2.2-7.

– 2.3-1 até 2.3-4.

– 2.4-4 até 2.4-10, 2.4-12, 2.4-14 até 2.4-18, 2.4-22 até 2.4-25,2.4-28 e 2.4-29, 2.4-31, 2.4-34.

– 2.5-1 até 2.5-4.

– 2.6-1 até 2.6-3, 2.6-5 e 2.6-6.

– 2.7-1 até 2.7-2.

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Ufpe Aula 03 Analise No Tempo Sistemas Continuos

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