Uji Chi Square Gabungan-21

8/20/2019 Uji Chi Square Gabungan-21

1/77

MOMEN, KEMIRINGAN DAN KERUNCINGAN, DISTRIBUSI NORMAL,

DISTRIBUSI T, DISTRIBUSI F, DISTRIBUSI BINOMIAL, DISTRIBUSI POISSON,

UJI NORMALITAS DAN HOMOGENITAS, UJI F DAN t, HIPOTESIS, DAN ANOVA

Makalah

Sebagai Salah Satu Tugas dalam Mata Kuliah

ANALISIS STATISTIK

Oleh:

1. Trilius Septaliana KR (20102512011)

2. Aisyah (20102512023)

DOSEN PENGASUH :

Dr. Ratu Ilma I.P.,M.Si

PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS SRIWIJAYA

TAHUN 2011


2/77

BAB 6

MOMEN, KEMENCENGAN DAN KURTOSIS

1.

PENDAHULUAN

Rata-rata dan varians sebenarnya merupakan hal istimewa dari kelompok ukuran

lain yang disebut momen. Dari momen ini pula beberapa ukuran lain dapat diturunkan.

Bentuk-bentuk sederhana dari momen dan ukuran-ukuran yang didapat daripadanya

akan diuraikan di dalam bab ini.

2. MOMEN

Misalkan diberikan variable x dengan harga-harga: x1, x2, …., xn. Jika A =

sebuah bilangan tetap dan r = 0, 1, 2, ……., n, maka momen ke-r sekitar A, disingkat

mr , didefinisikan oleh hubungan:

(1) …………………………… = Σ() Untuk A = 0 didapat momen ke-r sekitar nol atau disingkat momen ke-r:

(2) ……………………………

− =

Dari rumus (2), maka untuk r = 1 didapat rata-rata ̅. Jika A = ̅ kita perolehmomen ke-r sekitar rata-rata, biasa disingkat dengan mr . Jadi didapat:(3) …………………………... = (̅)

Untuk r = 2, rumus (3) memberikan varians s2.

Untuk membedakan apakah momen itu untuk sampel atau untuk populasi, maka

dipakai simbul:

mr dan mr untuk momen sampel dan r dan r untuk momen populasi.

Jadi, mr dan mr adalah statistik sedangkan r dan r merupakan parameter .

Jika data telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka rumus-rumus di

atas berturut-turut berbentuk:

(4) ……………………….. = Σ() (5) ……………………….. − = (6) ………………………..

=

(

̅)


3/77

dengan n = f i, xi = tanda kelas interval dan f i = frekuensi yang sesuai dengan xi.

Dengan menggunakan cara sandi, rumus 4 menjadi:

(7) ………………………

=

dengan, p = panjang kelas interval, ci = variable sandi.

Dari , harga-harga mr untuk beberapa harga r, dapat ditentukan berdasarkanhubungan:

= − ( ) = − 3 +2( )

=

−4

+6(

)

−3(

)

Contoh: Untuk menghitung empat buah momen sekitar rata-rata untuk data dalam daftar

distribusi frekuensi, kita lakukan sebagai berikut.

DATA f i ci f ici 60 – 62

63 – 65

66 – 68

69 – 71

72 - 74

5

18

42

27

8

-2

-1

0

1

2

-10

-18

0

27

16

20

18

0

27

32

-40

-18

0

27

64

80

18

0

27

128

Jumlah 100 - 15 97 33 253

Dengan menggunakan rumus (7), maka:

= = 3 = 0,45 = = 3 = 8,73

=

= 3

= 8,91

=

= 3

= 204,93

Sehingga dengan menggunakan hubungan di atas: = − ( ) = 8,73− (0,45) = 8,53. = − 3 +2( ) = 8,91− 3(0,45)(8,73) +2(0,45) =−2,69 = − 4 +6( ) − 3( ) = 204,93− 4(0,45)(8,91) +6(0,45)(8,73)− 3(0,45) = 199,38

Dari hasil ini, didapat varians s2 = m2 = 8,53.


4/77

3. KEMENCENGAN

Kemencengan atau kecondongan (skewness) adalah tingkat ketidaksimetrisan

atau kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi yang tidak simetris akan

memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya ( ≠ Me ≠ Mo),sehingga distribusi akan terkonsentrasi pada salah satu sisi dan kurvanya akan menceng.Jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kanan daripada yang ke kiri

maka distribusi disebut menceng ke kanan atau memiliki kemencengan positif.

Sebaliknya, jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kiri daripada yang ke

kanan maka distribusi disebut menceng ke kiri atau memiliki kemencengan negatif.

Berikut ini gambar kurva dari distribusi yang menceng ke kanan (menceng

positif) dan menceng ke kiri (menceng negatif).

Mo MoGambar a Gambar b

Gambar 1 Kemencengan Distribusi (a) Menceng ke kanan (b) Menceng ke kiri

Untuk mengetahui bahwa konsentrasi distribusi menceng ke kanan atau

menceng ke kiri, dapat digunakan metode-metode berikut :

1.

Koefisien Kemencengan Pearson

Koefisien Kemencengan Pearson merupakan nilai selisih rata-rata dengan modus

dibagi simpangan baku. Koefisien Kemencengan Pearson dirumuskan sebagai berikut:

= −

Keterangan :

sk = koefisien kemencengan Pearson

Apabila secara empiris didapatkan hubungan antar nilai pusat sebagai : − = 3( −) Maka rumus kemencengan di atas dapat diubah menjadi :

= 3( −) Jika nilai sk dihubungkan dengan keadaan kurva maka :

1)

sk = 0 kurva memiliki bentuk simetris;


5/77

2) sk > 0 nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kanan ( terletak di sebelahkanan M o), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kanan, kurva

menceng ke kanan atau menceng positif;

3)

sk < 0 nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kiri ( terletak di sebelah kiri Mo), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kiri, kurva mencengke kiri atau menceng negatif.

Contoh soal :

Berikut ini adalah data nilai ujian statistik dari 40 mahasiswa sebuah universitas.

Nilai Ujian Statistika pada Semester 2, 2010

Nilai Ujian Frekuensi

31 – 40

41 – 50

51 – 60

61 – 70

71 – 80

81 – 90

91 – 100

4

3

5

8

11

7

2

Jumlah 40

a)

Tentukan nilai sk dan ujilah arah kemencengannya (gunakan kedua rumus tersebut) !

b) Gambarlah kurvanya !

Penyelesaian:

Nilai X f u u

fu fu

31 – 40

41 – 50

51 – 6061 – 70

71 – 80

81 – 90

91 – 100

35,5

45,5

55,565,5

75,5

85,5

95,5

4

3

58

11

7

2

-4

-3

-2-1

0

1

2

16

9

41

0

1

4

-16

-9

-10-8

0

7

4

64

27

208

0

7

8

Jumlah 40 -32 134


6/77

=+ ∑ ∑ = 75,5+10 −3240 = 75,5− 8 = 67,5

= ∑ − ∑ = 10 134

40 − −32

40 = 10(1,62) = 16,2 =+12 − (∑ ) . = 60,5+12

(40) − 128

.10 = 60,5+10 = 70,5

= + + . = 70,5+ 44+5 .10 = 70,5+4,44 = 74,94 a. = = ,,, = −0,46

Oleh karena nilai sk -nya negatif (-0,46) maka kurvanya menceng ke kiri ataumenceng negatif.

b.

Gambar kurvanya :

Gambar 2Kurva menceng ke kiri

2.

Koefisien Kemencengan Bowley

Koefisien kemencengan Bowley berdasarkan pada hubungan kuartil-kuartil (Q1,

Q2 dan Q3) dari sebuah distribusi. Koefisien kemencengan Bowley dirumuskan :

= ( − ) − ( − )( − ) +( − ) atau

= − 2 +

−

Keterangan : sk B = koefisien kemencengan Bowley; Q = kuartil

0

2

4

6

8

10

12

35 45 56 66 76 86 96

Kurva nilai ujian statistik


7/77

Koefisien kemencengan Bowley sering juga disebut Kuartil Koefisien

Kemencengan.Apabila nilai sk B dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan :

1)

Jika Q3 – Q2 > Q2 – Q1 maka distribusi akan menceng ke kanan atau menceng secara

positif.

2)

Jika Q3 – Q2 < Q2 – Q1 maka distribusi akan menceng ke kiri atau menceng secara

negatif.

3) sk B positif, berarti distribusi mencengke kanan.

4) sk B negatif, nerarti distribusi menceng ke kiri.

5) sk B = ± 0,10 menggambarkan distribusi yang menceng tidak berarti dan sk B> 0,30

menggambarkan kurva yang menceng berarti.

Contoh soal :

Tentukan kemencengan kurva dari distribusi frekuensi berikut :

Nilai Ujian Matematika Dasar I dari 111 mahasiswa, 1997

Nilai Ujian Frekuensi

20,00 – 29,99

30,00 – 39,99

40,00 – 49,99

50,00 – 59,9960,00 – 69,99

70,00 – 79,99

4

9

25

4028

5

Jumlah 111

Penyelesaian :

Kelas Q1 = kelas ke -3

=

+

14

−(

∑ )

.

= 39,995+

27,75

−13

25.10 = 45,895

Kelas Q2 = kelas ke -4

= +12 − (∑ ) . = 49,995+55,5− 3840 .10 = 54,37 Kelas Q3 = kelas ke -5

=

+

34 − (∑ )

.

= 59,995+

83,25− 7828

.10= 61,87


8/77

= − 2 + − = 61,87− 2(54,37) +45,89561,87− 45,895 =−0,06 Karena sk B negatif (=

−0,06) maka kurva menceng ke kiri dengan kemencengan

yang berarti.

3. Koefisien Kemencengan Persentil

Koefisien Kemencengan Persentil didasarkan atas hubungan antar persentil (P90,

P50 dan P10) dari sebuah distribusi. Koefisien Kemencengan Persentil dirumuskan :

= ( − ) − ( − ) − Keterangan :

sk P = koefisien kemecengan persentil , P = persentil

4. Keofisien Kemencengan Momen

Koefisien Kemencengan Momen didasarkan pada perbandingan momen ke-3

dengan pangkat tiga simpang baku. Koefisien menencengan momen dilambangkan

dengan α3. Koefisien kemencengan momen disebut juga kemencengan relatif.

Apabila nilai α3dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan :

1)

Untuk distribusi simetris (normal), nilai α3= 0,

2) Untuk distribusi menceng ke kanan, nilai α3 = positif,

3) Untuk distribusi menceng ke kiri, nilai α3= negatif,

4) Menurut Karl Pearson, distribusi yang memiliki nilai α3> ±0,50 adalah distribusi

yang sangat menceng

5) Menurut Kenney dan Keeping, nilai α3 bervariasi antara ± 2 bagi distribusi yang

menceng.

Untuk mencari nilaiα3, dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok.

a. Untuk data tunggal

Koefisien Kemencengan Momen untuk data tunggal dirumuskan :

= =12∑( − )

α3 = koefisien kemencengan momen


9/77

b. Untuk data berkelompok

Koefisien kemencengan momen untuk data berkelompok dirumuskan :

= =1

2∑(

−)

atau = =∑ − 3∑ ∑ +2∑

dalam pemakaiannya, rumus kedua lebih praktis dan lebih mudah perhitungannya.

5.

KERUNCINGAN ATAU KURTOSIS

Keruncingan atau kurrtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang

biasanya diambil secararelatif terhadap suatu distribusi normal.

Berdasarkan keruncingannya, kurva distribusi dapat dibedakan atas tiga macam,

yaitu sebagai berikut :

1)

Leptokurtik

Merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi.

2) Platikurtik

Merupakan distribusi yang memiliki puncak hampir mendatar

3) Mesokurtik

Merupakan distribusi yang memiliki puncak tidak tinggi dan tidak mendatar

Bila distribusi merupakan distribusi simetris maka distribusi mesokurtik dianggap

sebagai distribusi normal.

leptokurtik

mesokurtik

platikurtik

Gambar 3. Keruncingan Kurva


10/77

Untuk mengetahui keruncingan suatu distribusi, ukuran yang sering digunakan

adalah koefisien kurtosis persentil.

1.

Koefisien keruncingan

Koefisien keruncingan atau koefisien kurtosis dilambangkan dengan4 (alpha 4).

Jika hasil perhitungan koefisien keruncingan diperoleh :

1) Nilai lebih kecil dari 3, maka distribusinya adalah distribusi pletikurtik

2) Nilai lebih besar dari 3, maka distibusinya adalah distribusi leptokurtik

3)

Nilai yang sama dengan 3, maka distribusinya adalah distribusi mesokurtik

Untuk mencari nilai koefisien keruncingan, dibedakan antara data tunggal dan

data kelompok.

a.

Untuk data tunggal

∝= 1∑( − ) Contoh soal:

Tentukan keruncingan kurva dari data 2, 3, 6, 8, 11 !

Penyelesaian :

= 6; s = 3,67

- ( − ) 23

6

8

11

-4

-3

0

2

5

256

81

0

16

625

Jumlah 0 978

∝= 1∑( −) = 15978(3,67) = 195,6181,4= 1,08 Karena nilainya 1,08 (lebih kecil dari 3) maka distribusinya adalah distribusi platikurtik.


11/77

b. Untuk data kelompok

∝=

1

∑( −)

atau

∝= ∑ − 4∑ ∑ +6∑ ∑ − 3∑ 2. Koefisien Kurtosis Persentil

Koefisien Kurtosis Persentil dilambangkan dengan K (kappa). Untuk distribusi

normal, nilai K = 0,263. Koefisien Kurtosis Persentil, dirumuskan :

= 12( −) − Contoh soal :

Berikut ini disajikan tabel distribusi frekuensi dari tinggi 100 mahasiswa

universitas XYZ.

a. Tentukan koefisien kurtosis persentil (K) !

b.

Apakah distribusinya termasuk distribusi normal !

Tinggi Mahasiswa Universitas XYZ

Tinggi (inci) frekuensi (f)

60 – 62

63 – 65

66 – 68

69 – 71

72 - 74

5

18

42

27

8

Jumlah 100

Penyelesaian :

Kelas Q1 = kelas ke-3

= +1.4 − (∑ ) . = 65,5+1.100

4 − 2342

.3 = 65,64


12/77

Kelas Q3 = kelas ke-4

=

+

3.4 − (∑ )

.

= 68,5+

3.1004 − 6527

.3 = 69,61

Kelas P10 = kelas ke-2

= +10.100 − (∑ ) . = 62,5+10.100

100 − 5

18.3 = 63,33

Kelas P90 = kelas ke-4

= +90.100 − (∑ )

. = 68,5+

90.100100

− 6527

.3 = 71,28

Koefisien kurtosis persentil (K) adalah :

= 12( − ) − =12

(69,61− 65,64)71,28− 63,33 = 0,25

Karena nilai K = 0,25 (K


13/77

BAB 7

DISTRIBUSI NORMAL

Distribusi normal adalah distribusi dengan variabel acak kontinu atau sering

disebut distribusi Gauss. Jika variabel acak kontinu X mempunyai fungsi densitas pada

X = x dengan persamaan :

() = 1√ 2 ( ) dengan : π = nilai konstan yang bila ditulis dengan 4 desimal π = 3,1416

e = bilangan konstan, bila ditulis hingga 4 desimal, e = 2,7183.

µ = parameter, ternyata merupakan rata-rata untuk distribusi.

σ = parameter, merupakan simpangan baku untuk distribusi.

Nilai x mempunyai batas - ∞ < x < ∞, maka dikatakan bahwa variabel acak X

berdistribusi normal. Sifat-sifat penting distribusi normal :

1) Grafiknya selalu ada di atas sumbu datar X.

2) Bentuknya simetris terhadap x = µ.

3) Mempunyai satu modus, jadi kurva normal, tercapai pada x = µ sebesar

,

.

4) Grafiknya mendekati (berasimtotkan) sumbu datar x dimulai dari x = µ + 3σ ke

kanan dan x = µ - 3σ ke kiri.

5) Luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi.

Untuk setiap pasang µ dan σ, sifat-sifat di atas akan selalu dipenuhi, hanya

bentuk kurvanya saja yang berlainan. Jika σ makin besar, kurvanya makin rendah

(platikurtik) dan untuk σ makin kecil, kurvanya makin tinggi (leptokurtik).

(A)

(B)

(A) kurva normal dengan µ = 10 dan σ = 5, sedangkan (B) kurva normal dengan µ = 20

dan σ = 7.


14/77

Untuk menentukan peluang harga X antara a dan b, yakni P(a


15/77

6) Dari z di kolom kiri maju ke kanan dan dari z di baris atas turun ke bawah, maka

didapat bilangan yang merupakan luas yang dicari. Bilangan yang didapat harus

ditulis dalam bentuk 0,xxxx (bentuk 4 desimal).

Karena seluruh luas = 1 dan kurva simetrik terhadap µ = 0, maka luas dari garis

tegak pada titik nol ke kiri ataupun ke kanan adalah 0,5.

Beberapa contoh, penggunaan daftar normal baku.

Akan dicari luas daerah :

1) Antara z = 0 dan z = 2,15.

Di bawah z pada kolom kiri cari 2,1 dan di atas sekali angka 5. Dari 2,1 maju ke

kanan dan dari 5 menurun, didapat 4842.

Luas daerah yang dicari, dapat dilihat daerah yang diarsir, = 0,4842.

0 2,15

2)

Antara z = 0 dan z = -1,86.

Karena z bertanda negatif, maka pada grafiknya diletakkan di sebelah kiri 0. Untuk

daftar digunakan z = 1,86. Di bawah z kolom kiri dapatkan 1,8 dan di atas angka 6.

Dari 1,8 ke kanan dan dari 6 ke bawah didapat 4686.

Luas daerah = daerah diarsir = 0,4686.

-1,86 0

3) Antara z = -1,50 dan z = 1,82.

Dari grafik terlihat bahwa kita perlu mencari luas dua kali, lalu dijumlahkan.

Mengikuti cara 1) untuk z = 1,82 dan cara di 2) untuk z = -1,50, masing-masing

didapat 0,4656 dan 0,4332. Jumlah = luas yang dicari = 0,4332 + 0,4656 = 0,8988.


16/77

-1,5 0 1,824) Antara z = 1,40 dan z = 2,65.

Yang dicari adalah luas dari z = 0 sampai ke z = 1,40. Dengan cara yang dijelaskan

di atas masing-masing didapat 0,4960 dan 0,4192. Luas yang dicari = 0,4960 –

0,4192 = 0,0768.

0 1,40 2,65

5) Dari z = 1,96 ke kiri.

Luasnya sama dengan dari z = 0 ke kiri (= 0,5) ditambah luas dari z = 0 sampai ke z

= 1,96. Untuk z = 1,96 dari daftar didapat 0,4750. Luas = 0,5 + 0,4750 = 0,9750.

0 1,96

6)

Dari z = 1,96 ke kanan.

Dari gambar 6) dapat dilihat bahwa yang dicari merupakan daerah yang tidak

diarsir. Ini sama dengan luas dari z = 0 ke kanan (= 0,5) dikurangi luas dari z = 0

sampai ke z = 1,96 yang besarnya 0,4750. Luas = 0,5 – 0,4750 = 0,0250.

Untuk mencari kembali z apabila luasnya diketahui, maka dilakukan langkah

sebaliknya. Misalnya, jika luas = 0,4931, maka dalam badan daftar dicari 4931 lalu


17/77

menuju ke pinggir sampai pada kolom z, didapat 2,4 dan menuju ke atas sampai batas z

didapat 6. Harga z = 2,46.

Beberapa bagian luas untuk distribusi normal umum dengan rata-rata µ dan

simpangan baku σ tertentu dengan mudah dapat ditentukan. Tepatnya, jika sebuah

fenomena berdistribusi normal, maka dari fenomena itu :

1) Kira-kira 68,27% dari kasus ada dalam daerah satu simpangan baku sekitar rata-

rata, yaitu antara µ - σ dan µ + σ.

2) Ada 95,45% dari kasus terletak dalam daerah dua simpangan baku sekitar rata-

rata, yaitu antara µ - 2σ dan µ + 2σ.

3) Hampir 99,73% dari kasus ada dalam daerah tiga simpangan baku sekitar rata-

rata, yaitu antara µ - 3σ dan µ + 3σ.

Contoh :

Berat barang siswa dalam suatu tour rata-rata 3,750 gram dengan simpangan

baku 325 gram. Jika berat barang berdistribusi normal, maka tentukan ada :

a)

Berapa persen siswa yang mempunyai berta barang lebih dari 4.500 gram ?

b) Berapa orang siswa yang yang memiliki berat barang antara 3.500 gram dan 4.500

gram, jika semuanya ada 10.000 siswa ?

c)

Berapa siswa yang orang siswa yang berat barangnya lebih kecil atau sama dengan4.000 gram jika semuanya ada 10.000 siswa?

d)

Berapa orang siswa yang berat barangnya 4.250 gram jika semuanya ada 5.000

siswa?

Penyelesaian :

Dengan X = berat barang siswa dalam gram, µ = 3,750 gram, σ = 325 gram,

maka :

a)

Dengan transformasi rumu = −

s untuk X = 4.500 : = −4.500− 3.750325

= 2,31

Berat yang lebih dari 4.500 gram, pada grafiknya ada disebelah kanan z = 2,31. Luas

daerah ini = 0,5 – 0,4896 = 0,0104. Jadi ada 1, 04% dari dari berat barang siswa yang

lebih dari 4.500 gram.


18/77

0 2,31

b) Dengan X = 3.500 dan X = 4.500 didapat :

= 3.500− 3.750325

= −0,77 = 2,31 Luas daerah yang perlu = daerah yang diarsir = 0,2794 + 0,4896 = 0,7690. Banyak

siswa yang berat barangnya antara 3.500 gram dan 4.500 gram diperkirakan ada(0,7690)(10.000) = 7.690.

-0,77 0 2,31

c) Karena beratnya lebih kecil atau sama dengan 4.000 gram, maka beratnya harus lebih

kecil dari 4.000,5 gram.

= 4.000,5− 3.750325

= −0,77Peluang berat barang siswa lebih kecil atau sama dengan 4.000 gram = 0,5 + 0, 2794

= 0,7794.

Banyak siswa = (0,7794)(10.000) = 7794.d) Jika berat 4.250 gram berarti berat antara 4.249,5 gram dan 4.250,5 gram. Jadi untuk

X = 4.249,5 dan X = 4.250,5 didapat :

= 4.249,5− 3.750325

= 1,53.

= 4.250,5− 3.750325

= 1,54

Luas daerah yang perlu = 0,4382 – 0,4370 = 0,0012.

Banyak siswa = (0,0012)(5.000) = 6.


19/77

Antara distribusi binom dan distribusi normal terdapat hubungan tertentu. Jika

untuk fenomena yang berdistribusi binom berlaku :

a)

N cukup besar,

b)

π = P(A) = peluang peristiwa A terjadi, tidak terlalu dekat kepada nol, maka

distribusi binom dapat didekati oleh distribusi normal dengan rata-rata µ = Nπ dan

simpangan baku σ = (1− ).Untuk pembakuan, agar daftar distribusi normal baku dapat dipakai, maka

digunakan transformasi :

= −

(1

−

)

Dengan X = variabel acak dalam distribusi diskrit yang menyatakan terjadinya

peristiwa A. Karena disini telah mengubah variabel acak diskrit dari distribusi binom

menjadi variabel acak kontinu dalam distribusi normal, maka nilai-nilai X perlu

mendapat penyesuaian. Yang dipakai ialah dengan jalan menambah atau mengurangi

dengan 0,5.

Perhatikan distribusi binom oleh distribusi normal sangat berfaedah, antara lain

untuk mempermudah perhitungan.

Contoh :

10% dari siswa tergolong kategori A. Sebuah sampel acak terdiri atas 400 siswa

telah diambil. Tentukan peluangnya akan terdapat :

a) paling banyak 30 orang tergolong kategori A.

b)

Antara 30 dan 50 orang tergolong kategori A.

c) 55 orang atau lebih termasuk kategori A.

Penyelesaian :

Soal ini merupakan soal distribusi binom. Tetapi lebih cepat dan mudah biladiselesaikan dengan distribusi normal. Kita ambil X = banyak siswa termasuk kategori

A. Maka dari segi X ini didapat:

µ = 0,1 x 400 orang = 40 0rang.

Σ = √ 400 0,1 0,9 orang = 6 orang.a) Paling banyak 30 orang dari kategori A, berarti X = 0, 1, 2, ..., 30. Melakukan

penyesuaian terhadap X, maka sekarang X menjadi - 0,5 < X < 30,5, sehingga :


20/77

= −0,5− 406 =−6,57.

=

30,5

−40

6

=

−1,58

Luas daerah yang diarsir adalah 0,5 – 0, 4429 = 0,0571. Peluangnya terdapat

paling banyak 30 orang termasuk kategori A adalah 0,0571.

-1,58 0

b) Untuk distribusi normal, disini berlaku 30,5 < X < 49,5. Bilangan standar z-nya

masing-masing :

= 30,5− 406 =−1,58 = 49,5− 406 = +1,58. Dari daftar distribusi normal baku terdapat peluang yang ditanyakan = 2(0,4429) =

0,8858.

c)

55 orang atau lebih untuk distribusi binom memberikan X > 54,5 untuk distribusi

normal.

Maka

= 54,5− 406

= 2,42

Sehingga kita perlu luas daerah dari Z = 2,42 ke kanan. Dari daftar distribusi

normal baku didapat peluang yang dicari = 0,5 – 0,4922 = 0,0078.

0 2,42

Apabila kondisi populasi digambarkan dalam bentuk kurva, bisa dijumpai

berbagai macam bentuk kurva. Hal ini tergantung dari kondisi penyebaran frekuensi


21/77

skor yang terkumpul. Pada umumnya kondisi populasi dalam dunia pendidikan

berdistribusi normal. Tetapi tidak selamanyapopulasi yang dijumpai akan berdistribusi

normal, oleh karena itu, kita harus hati-hati dalam menghadapi data tersebut. Analisis

statisik untuk data yang berdistribusi normal akan berbeda, dengan demikian maka

interpretasinyapun akan dipengaruhi oleh bentuk distribusinya.

Data populasi akan berdistribusi normal jika rata-rata nilainya sama dengan

modenya serta sama dengan mediannya. Ini berarti bahwa sebagian nilai (skor)

mengumpul pada posisi tengah, sedangkan frekuensi skor yang rendah dan yang tinggi

menunjukkan kondisi yang semakin sedikit seimbang. Oleh karena penurunan frekuensi

pada skor yang semakin rendah dan skor yang semakin tinggi adalah seimbang, maka

penurunan garis kurva ke kanan dan ke kiri akan seimbang.

Kurva normal mempunyai hubungan erat dengan data yang kontinue (interval

mauoun ratio). Distribusi yang normal kurvanya merupakan distribusi yang paling

banyak dijumpai dan digunakan sebagai pengembangan rumus-rumus statistik

parametrik (inferensial statistik). Disamping itu, sifat normal ini yang paling banyak

ditunjukkan oleh sifat populasi.

Distribusi normal mempunyai sifat-sifat yang khusus, yaitu :

1.

Bentuknya simetri dengan sumbu X.2. Nilai rata-rata = mode = media.

3.

Mode hanya satu (unimodal).

4. Ujung-ujung grafiknya hanya mendekati sumbu X atau dengan kata lain tidak akan

bersinggungan maupun berpotongan dengan sumbu X (berasimtot dengan sumbu X).

5.

Kurva akan landai jika rentangan skor besar, sebaliknya jika rentangan skor kecil

maka kurvanya akan meninggi.

6.

Luas daerah kurva akan sama dengan luas satu persegi empat.Bentuk kurva normal tergantung pada distribusi nilai/skor yang akan dibuat

kurvanya. Penyebaran skor dan panjang pendeknya rentangan distribusi berpengaruh

besar atau menentuka bentuk kurvanya. Jika jumlah responden sama, maka kurva

normal dari distribusi skor tersebut akan berbeda bentuknya.

Jenis bentuk kurva yang diakibatkan oleh perbedaan rentangan nilai dan

simpangan baku ada tiga macam, yaitu :


22/77

1. Leptokurtik, merupakan bentuk kurva normal yang meruncing tinggi karena

perbedaan frekuensi pada skor-skor yang mendekati rata-rata sangat kecil.

2.

Platykurtic, merupakan kurva normal yang mendatar rendah karena perbedaan

frekuensi pada skor-skor yang mendekati rata-rata sangat kecil.

3.

Normal, merupakan bentuk kurva normal yang biasa, artinya bentuknya merupakan

bentuk antara leptokurtic dan platykurtic, karena penyebaran skor biasa dan tidak

terjadi kejutan-kejutan yang berarti.

Bentuk ketiga kurva normal itu dapat dilihat pada grafik, berikut ini :

(1)

(2)

(3)

Kurva normal dapat pula dibuat berdasarkan skor yang telah ditransformasikan

ke Z skor. Proses transformasi distribusi skor yang normal akan tetap menghasilkan

distribusi Z skor yang normal pula. Untuk kepercayaan kita, dapat dibuktikan melalui

contoh soal di bawah.

Contoh : 1

Suatu penyebaran nilai matematika siswa pada suatu sekolah menengah pertama

sebagai berikut :

65 65 60 70 70 70 75 75

75 75 80 80 80 85 85 90

Berdasarkan data tersebut di atas buatlah :

1. Perhitungan rata-rata dan simpangan bakunya.

2. Transformasi Z skor.

3. Kurva berdasarkan distribusi skor asli.

4. Kurva berdasarkan distribusi Z skor.

Rumus rata-rata yang digunakan adalah rumus rata-rata hitung yaitu (∑X) : n,

sedangkan simpangan bakunya dihitung dengan rumus = ∑( ) dan rumus


23/77

= √ untuk sejumlah sampel, tetapi jika yang akan dihitung simpangan bakunya merupakan populasi maka pembagi pada perhitungan variance sebesar N.

Jumlah skor adalah 1200

Jumlah responden adalah 16

Jadi, rata-ratanya adalah 1200 : 16 = 75

Jika data di atas merupakan populasi maka σ = 7,91

Jika data di atas merupakan sampel maka Sd = 8,16. Apabila kita menganggap

bahwa skor tersebut adalah skor yang berasal dari populasi, maka Z skornya adalah :

Untuk X = 60 Z skor = (60 - 75) : 7,91 = -1,90

Untuk X = 65 Z skor = (65 - 75) : 7,91 = -1,26

Untuk X = 70 Z skor = (70 - 75) : 7,91 = -0,63

Untuk X = 75 Z skor = (75 - 75) : 7,91 = 0

Untuk X = 80 Z skor = (80 - 75) : 7,91 = 0,63

Untuk X = 85 Z skor = (85 - 75) : 7,91 = 1,26

Untuk X = 90 Z skor = (90 - 75) : 7,91 = 1,90

Berdasarkan distribusi skor asli kurvanya adalah :

4

3

210

60 65 70 75 80 85 90 95µ

Berdasarkan distribusi Z skor kurvanya adalah :

4

3

21

0- - - 0 0,63 1,26 1,90 95

1,90 1,26 0,63µ


24/77

Jelas kini bahwa distribusi skor yang normal akan tetap normal walaupun

dilakukan transformasi ke Z skor. Mengingat kurva normal tersebut simetri, maka garis

tegak lurus pada sumbu X di titik µ akan membagi dua bagian kurva menjadi sama

besar. Luas seluruh daerah di bawah kurva normal adalah 100% atau sama dengan 1

(satu), sehingga belahan kanan kurva normal dan belahan sebelah kiri kurva normal

masing-masing mempunyai luas 0,5 atau 50%. Untuk lebih jelasnya tentang luas daerah

di bawah kurva normal dapat dilihat pada figur di bawah.

Melalui transformasi ke Z skor kita akan dapat mencari luar daerah di bawah

kurva normal, untuk nilai-nilai Z tertentu. Dalam kasus ini kita hanya berpedoman pada

tabel distribusi normal. Tabel ini disamping dapat digunakan untuk menentukan luas

daerah di bawah kurva normal untuk batas titik tertentu, juga dapat digunakan untuk

mencari titik tertentu. Tentunya apabila titik Z yang tidak diketahui, sedangkan luas

daerah di bawah kurva normal diketahuinya. Cara menggunakan tabel ini sangat mudah

karena dalam tabel hanya terdiri dari tiga kolom dan kita tinggal melihat pasangan

angka antar kelompok dalam satu baris yang slah satu angkanya kita ketahui.

-2 -1 0 1 2µ

68, 26%

95,46%

Selanjutnya dapat dijelaskan sebagai berikut :

1. Yang memuat berbagai kemungkinan nilai Z.

2.

Yang menunjukkan luas daerah di bawah kurva antara titik µ atau 0 dengan nilai Z.

3. Yang menunjukkan luas daerah di bawah kurva diluar nilai Z atau luas daerah di

bawah kurva di atass nilai Z.

Pada luas kolom B dan C selalu berjumlah 0,5 karena jumlah B dan C

merupakan setengah dari luas daerah di bawah kurva normal. Penggunaan kolom B dan

C secara serentak (bersama) tidak pernah terjadi kecuali untuk mengontrol kebenaran

angka-angka tersebut. Gunakan salah satu kolom B dan C sesuai dengan kebutuhannya.


25/77

Contoh : 2

a. Jika diketahui Z skor 1,26 hitunglah luas daerah di bawah kurva normal antara µ

dengan titik Z.

b.

Jika diketahui Z skor min 1,90 hitunglah luas daerah di bawah kurva normal antara µ

dengan titik Z.

c. Jika luas daerah di luar titik Z adalah 0,4207 carilah titik Z nya.

d. Jika luas daerah diantara titik Z dengan µ adalah 0,1179 carilah titik Z nya.

Dengan berpedoman pada tabel distribusi normal kita dapat menjawab semua

soal di atas.

1. Lihat pada (tabel distribusi normal) pada kolom a yang mengandung Z 1,26,

kemudian cari jodohnya pada kolom B diperoleh angka 0,3962.

2. Lihat pada kolom A yang mengandung Z 1,90 (tanda minus tidak mempengaruhi

penentuan angka dalam tabel), kemudian cari jodohnya pada kolom B diperoleh

angka 0,4713.

3.

Lihat pada kolom C yang mengandung angka 0,4207, kemudian cari jodohnya di

kolom A diperoleh 0,20.

4. Lihat pada kolom B yang mengandung angka 0,1179, kemudian cari jodohnya di

kolom A diperoleh 0,30.


26/77

BAB 8

DISTRIBUSI T DAN DISTRIBUSI F

1. DISTRIBUSI STUDENT ATAU DISTRIBUSI T

Distribusi dengan variabel acak kontinu lainnya, selain dari distribusi normal,

ialah distribusi Student atau distribusi t . Fungsi densitasnya adalah: () = ………………. (1) berlaku untuk harga-harga t yang memenuhi -∞ t ∞ dan K merupakan bilangan tetap

yang besarnya bergantung pada n sedemikian sehingga luas daerah di bawah kurva

sama dengan satu unit. Pada distribusi t ini terdapat bilangan (n – 1) yang dinamakan

derajat kebebasan, akan disingkat dengan dk.

Jika sebuah populasi mempunyai model dengan persamaan seperti dalam rumus

(1), maka dikatakan populasi itu berdistribusi t dengan dk (n – 1).

Bentuk grafiknya seperti distribusi normal baku, simetrik terhadap t = 0,

sehingga sepintas lalu hamper tak ada bedanya. Untuk harga-harga n yang besar,

biasanya n ≥ 30, distribusi t mendekati distribusi distribusi normal baku, yaitu:

() =− 1√ 2 Untuk perhitungan-perhitungan, daftar distribusi t sudah disusun berbentuk

tabel. Daftar tersebut berisikan nilai-nilai t untuk dk dan peluang tertentu. Kolom paling

kiri, kolom dk, berisikan derajat kebebasan, baris teratas berisikan nilai peluang.

Untuk penggunaan daftar distribusi t, perhatikan

gambar di samping. Gambar ini merupakan grafik

distribusi t dengan dk = (baca: nu) dimana p = (n – 1).

Luas bagian diarsir = p dan dibatasi paling kanan oleh

t p. Harga t p inilah yang dicari dari daftar untuk

pasangan dan p yang diberikan.

0 t p

Contoh penggunaan daftar distribusi t.

1.

Untuk n = 13, jadi dk = 12 dan p = 0,95, maka t = 1,78.


27/77

Ini didapat dengan meliat tabel distrubusi t dengan jalan maju ke kanan dari 12 dan

menurun dari 0,95.

2.

Untuk n = 16, tentukan t supaya luas yang diarsir = 0,95.

-t 0 t

Dari grafik dapat dilihat bahwa luas ujung kiri = 1 – 0,95 = 0,05. Kedua ujung

ini sama luas, jadi luas ujung kanan, mulai dari t ke kanan = 0,025. Mulai dari t ke

kiri luasnya = 1 – 0,025 = 0,975. Harga p inilah yang dipakai untuk daftar.

Dengan = 15 (lihat daftar distribusi t) kita maju ke kanan dan dari p = 0,975

kita menurun, didapat t = 2,13. Jadi, antara t = 2,13 luas yang diarsir = 0,95.

3. Tentukan t sehingga luas dari t ke kiri = 0,05 dengan dk = 9. Untuk ini p yang

digunakan = 0,95. Dengan dk = 9 didapat t = 1,83. Karena yang diminta kurang dari

0,5 maka t harus bertanda negatif. Jadi, t = -1,83.

2.

DISTRIBUSI F

Distribusi F ini juga mempunyai variabel acak yang kontinu. Fungsi densitasnya

mempunyai persamaan:

() = ∙ (

)

() ……………….. (2)Dengan variabel acak F memenuhi batas F 0, K = bilangan tetap yang harganya

bergantung pada 1 dan 2, sedemikian sehingga luas di bawah kurva sama dengan satu,

1 = dk pembilang dan 2 = dk penyebut.

Jadi, distribusi F ini mempunyai dua buah derajat kebebasan. Grafik distribusi F

tidak simetrik dan umumnya sedikit positif. Seperti juga distribusi lainnya, untuk

keperluan perhitungan dengan distribusi F, daftar distribusi F telah disediakan seperti


28/77

daftar distribusi t. Daftar tersebut berisikan nilai-nilai F untuk peluang 0,01 dan 0,05

dengan derajat kebebasan 1 dan 2. Peluang ini sama dengan luas daerah ujung kanan

yang diarsir, sedangkan dk = 1 ada pada baris paling atas dan dk = 2 pada kolom

paling kiri.

Untuk setiap pasang dk, 1 dan 2, daftar berisikan

harga-harga F dengan kedua luas daerah ini 0,01 atau

0,05.

F

Untuk tiap dk = 2, daftar terdiri atas dua baris, yang atas untuk peluang p = 0,05

dan yang bawah untuk p = 0,01.

Contoh:

Untuk pasangan derajat kebebasan 1 = 24 dan 2 = 8, ditulis juga (1, 2) = (24, 8),

maka untu p = 0,05 didapat F = 3,12 sedangkan untuk p = 0,01 didapat F = 5,28

(terdapat pada daftar distribusi F. Ini didapat dengan jalan mencari 24 pada baris atas

dan 8 pada kolom kiri. Jika dari 24 turun dan dari 8 ke kanan, maka didapat bilangan-

bilangan tersebut. Yang atas untuk p = 0,05 dan yang bawah untuk p = 0,01.

Notasi lengkap untuk nilai-nilai F dari daftar distribusi F dengan peluang p dan

dk (1, 2) dan F0,01(24,8) = 5,28.

Meski daftar yang diberikan hanya untuk peluang p = 0,01 dan p = 0,05, tetapi

sebenarnya masih bias didapat nilai-nilai F dengan peluang 0,99 dan 0,95. Untuk itu,

digunakan hubunga:

(

)(

,

) =

1

(,)

Dalam rumus di atas, perhatikan antara p dan (p – 1) dan pertukaran antara derajat

kebebasan (v1, 2) menjadi (2, 1).

Contoh: Telah didapat F0,05(24,8) = 3,12

Maka, ,(,) = , = 0,321.


29/77

BAB 9

UJI NORMALITAS DAN UJI HOMOGENITAS

1. UJI NORMALITAS

Uji normalitas berguna untuk menentukan data yang telah dikumpulkan

berdistribusi normal atau diambil dari populasi normal. Metode klasik dalam pengujian

normalitas suatu data tidak begitu rumit. Berdasarkan pengalaman empiris beberapa

pakar statistik, data yang banyaknya lebih dari 30 angka (n > 30), maka sudah dapat

diasumsikan berdistribusi normal. Biasa dikatakan sebagai sampel besar.

Namun untuk memberikan kepastian, data yang dimiliki berdistribusi normal

atau tidak, sebaiknya digunakan uji statistik normalitas. Karena belum tentu data yang

lebih dari 30 bisa dipastikan berdistribusi normal, demikian sebaliknya data yang

banyaknya kurang dari 30 belum tentu tidak berdistribusi normal, untuk itu perlu suatu

pembuktian. uji statistik normalitas yang dapat digunakan diantaranya Chi-Square,

Kolmogorov Smirnov, Lilliefors, Shapiro Wilk.

1. METODE CHI SQUARE (UJI GOODNESS OF FIT DISTRIBUSI

NORMAL)

Metode Chi-Square atau X2 untuk Uji Goodness of fit Distribusi Normal

menggunakan pendekatan penjumlahan penyimpangan data observasi tiap kelas dengan

nilai yang diharapkan.

i

ii

E

E O X

2

Keterangan :

X 2 = Nilai X2

Oi = Nilai observasi

E i = Nilai expected / harapan, luasan interval kelas berdasarkan tabel normal

dikalikan N (total frekuensi) (pi x N)

N = Banyaknya angka pada data (total frekuensi)


30/77

Komponen penyusun rumus tersebut di atas didapatkan berdasarkan pada hasil

transformasi data distribusi frekuensi yang akan diuji normalitasnya, sebagai berikut:

No

Batas

Interval

KelasSD

X X Z i

pi Oi Ei (pi x N)

1

2

3

dst

Keterangan :

Xi = Batas tidak nyata interval kelas

Z = Transformasi dari angka batas interval kelas ke notasi pada distribusi normal

pi = Luas proporsi kurva normal tiap interval kelas berdasar tabel normal (lampiran)

Oi = Nilai observasi

Ei = Nilai expected / harapan, luasan interval kelas berdasarkan tabel normal

dikalikan N (total frekuensi) ( pi x N )

Persyaratan Metode Chi Square (Uji Goodness of fit Distribusi Normal)

a. Data tersusun berkelompok atau dikelompokkan dalam tabel distribus frekuensi.

b. Cocok untuk data dengan banyaknya angka besar ( n > 30 )

c.

Setiap sel harus terisi, yang kurang dari 5 digabungkan.

Signifikansi

Signifikansi uji, nilai X2 hitung dibandingkan dengan X2 tabel (Chi-Square).

Jika nilai X2 hitung < nilai X2 tabel, maka Ho diterima ; Ha ditolak.

Jika nilai X2 hitung > nilai X2 tabel, maka maka Ho ditolak ; Ha diterima.


31/77

Contoh :

DIAMBIL TINGGI BADAN MAHASISWA DI SUATU PERGURUAN TINGGI

TAHUN 1990

TINGGI BADAN JUMLAH

140 - 144 7

145 - 149 10

150 - 154 16

155 - 159 23

160 - 164 21

165 - 169 17

170 174 6

JUMLAH 100

Selidikilah dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas berdistribusi normal?

(Mean = 157.8; Standar deviasi = 8.09)

Penyelesaian :

1. Hipotesis :

Ho : Populasi tinggi badan mahasiswa berdistribusi normal

H 1 : Populasi tinggi badan mahasiswa tidak berdistribusi normal

2. Nilai α

Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05

3. Rumus Statistik penguji

i

ii

E

E O X

2


32/77

Batas Interval

Kelas SD

X X Z i

pi Oi Ei (pi x N)

139.5 - 144.5 -2.26 - -1.64 0.4881 - 0.4495 = 0.0386 7 3.86

144.5 - 149.5 -1.64 - -1.03 0.4495 - 0.3485 = 0.1010 10 10.1

149.5 - 154.5 -1.03 - -0.41 0.3485 - 0.1591 = 0.1894 16 18.94

154.5 - 159.5 -0.41 - 0.21 0.1591 - 0.0832 = 0.2423 23 24.23

159.5 - 164.5 0.21 - 0.83 0.0832 - 0.2967 = 0.2135 21 21.35

164.5 - 169.5 0.83 - 1.45 0.2967 - 0.4265 = 0.1298 17 12.98

169.5 174.5 1.45 - 2.06 0.4265 - 0.4803 = 0.0538 6 5.38

JUMLAH 100

Luasan pi dihitung dari batasan proporsi hasil tranformasi Z yang

dikonfirmasikan dengan tabel distribusi normal (Lampiran).

427.0

38.5

38.56

23.24

23.2423

94.18

94.1816

1.10

1.1010

86.3

86.3722222

2

i

ii

E

E O X

4. Derajat Bebas

Df = ( k – 3 ) = ( 5 – 3 ) = 25. Nilai tabel

Nilai tabel X 2 ; α = 0,05 ; df = 2 ; = 5,991. Tabel X2 (Chi-Square) pada lampiran.

6. Daerah penolakan

- Menggunakan gambar

- Menggunakan rumus

|0,427 | < |5,991| ; berarti Ho diterima, Ha ditolak

7. Kesimpulan

Populasi tinggi badan mahasiswa berdistribusi normal α = 0,05.

Terima Tolak

0.1628 5.991


33/77

2. METODE LILLIEFORS (N KECIL DAN N BESAR)

Metode Lilliefors menggunakan data dasar yang belum diolah dalam tabel

distribusi frekuensi. Data ditransformasikan dalam nilai Z untuk dapat dihitung luasan

kurva normal sebagai probabilitas komulatif normal. Probabilitas tersebut dicari

bedanya dengan probabilitas komultaif empiris. Beda terbesar dibanding dengan tabel

Lilliefors pada lampiran 4 Tabel Harga Quantil Statistik Lilliefors Distribusi Normal.

No XiSD

X X Z i

F(X) S(X) | F(X)-S(X) |

1

2

3

dst

Keterangan :

Xi = Angka pada data

Z = Transformasi dari angka ke notasi pada distribusi normal

F(x) = Probabilitas komulatif normal

S(x) = Probabilitas komulatif empiris

PERSYARATAN

a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif)

b.

Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi

c. Dapat untuk n besar maupun n kecil.

SIGNIFIKANSI

Signifikansi uji, nilai | F (x) - S (x) | terbesar dibandingkan dengan nilai tabel Lilliefors.

Jika nilai | F (x) - S (x) | terbesar < nilai tabel Lilliefors, maka Ho diterima ; Ha ditolak.

Jika nilai | F(x) - S(x) | terbesar > dari nilai tabel Lilliefors, maka Ho ditolak ; Ha

diterima. Tabel Lilliefors pada lampiran, Tabel Harga Quantil Statistik Lilliefors

Distribusi Normal


34/77

3. METODE KOLMOGOROV-SMIRNOV

Metode Kolmogorov-Smirnov tidak jauh beda dengan metode Lilliefors.

Langkah-langkah penyelesaian dan penggunaan rumus sama, namun pada signifikansi

yang berbeda. Signifikansi metode Kolmogorov-Smirnov menggunakan tabel

pembanding Kolmogorov-Smirnov, sedangkan metode Lilliefors menggunakan tabel

pembanding metode Lilliefors.

No Xi SD

X X Z i

FT FS | FT - FS |

1

2

3

dst

Keterangan :

Xi = Angka pada data

Z = Transformasi dari angka ke notasi pada distribusi normal

FT = Probabilitas komulatif normal

FS = Probabilitas komulatif empiris

PERSYARATAN


b. Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi

c. Dapat untuk n besar maupun n kecil.

SIGINIFIKANSI

Signifikansi uji, nilai |FT – FS| terbesar dibandingkan dengan nilai tabel Kolmogorov

Smirnov.

Jika nilai |FT – FS| terbesar nilai tabel Kolmogorov Smirnov, maka Ho ditolak ; Ha

diterima.


35/77

Tabel Kolmogorov Smirnov pada lampiran 5, Harga Quantil Statistik Kolmogorov

Distribusi Normal.

4.

METODE SHAPIRO WILK

Metode Shapiro Wilk menggunakan data dasar yang belum diolah dalam tabel

distribusi frekuensi. Data diurut, kemudian dibagi dalam dua kelompok untuk

dikonversi dalam Shapiro Wilk. Dapat juga dilanjutkan transformasi dalam nilai Z

untuk dapat dihitung luasan kurva normal.

2

113

1

k

i

iini X X a

DT

Keterangan :

D = Berdasarkan rumus di bawah

ai = Koefisient test Shapiro Wilk (lampiran 8)

X n-i+1 = Angka ke n – i + 1 pada data

X i = Angka ke i pada data

2

1

n

i

i X X D

Keterangan :

Xi = Angka ke i pada data yang

X = Rata-rata data

3

3

1ln

T

d T cbG n

nn

Keterangan :

G = Identik dengan nilai Z distribusi normal

T3 = Berdasarkan rumus di atas

bn, cn, d n = Konversi Statistik Shapiro-Wilk Pendekatan Distribusi Normal

(lampiran)

PERSYARATAN


b. Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi

c.

Data dari sampel random


36/77

SIGNIFIKANSI

Signifikansi dibandingkan dengan tabel Shapiro Wilk. Signifikansi uji nilai T3

dibandingkan dengan nilai tabel Shapiro Wilk, untuk dilihat posisi nilai probabilitasnya

(p).

Jika nilai p > 5%, maka Ho diterima ; Ha ditolak.

Jika nilai p < 5%, maka Ho ditolak ; Ha diterima.

Tabel Harga Quantil Statistik Shapiro-Wilk Distribusi Normal. Jika digunakan rumus

G, maka digunakan tabel 2 distribusi normal.

2. UJI HOMOGENITAS

Uji homogenitas dimaksudkan untuk memperlihatkan bahwa dua atau lebihkelompok data sampel berasal dari populasi yang memiliki variansi yang sama.

Pada analisis regresi, persyaratan analisis yang dibutuhkan adalah bahwa galat

regresi untuk setiap pengelompokan berdasarkan variabel terikatnya memiliki variansi

yang sama. Hipotesis yang diuji adalah sebagai berikut.

H 0 : = =⋯ = H 1 : paling sedikit satu tanda sama dengan tidak berlaku

Ada beberapa metoda yang telah ditemukan untuk melakukan pengujian ini,tetapi di sini hanya akan diberikan sebuah saja yang dikenal dengan nama uji Bartlett .

Pengujian homogenitas data dengan uji Bartlett adalah untuk melihat apakah

variansi-variansi k buah kelompok peubah bebas yang banyaknya data per kelompok

bisa berbeda dan diambil secara acak dari data populasi masing-masing yang

berdistribusi normal, berbeda atau tidak.

Uji Bartlett dilakukan dengan menghitung x2. Harga x2 yang diperoleh dari

perhitungan ( x2hitung) selanjutnya dibandingkan dengan x2 dari tabel ( x2tabel ), bila x

2hitung


37/77

5. Menghitung nilai Bartlett.

6. Menghitung nilai

7.

Menentukan nilai dan titik kritis.

8.

Membuat kesimpulan.

Untuk memudahkan perhitungan, satuan-satuan yang diperlukan untuk uji

Bartlett lebih baik disusun dalam sebuah daftar seperti tabel berikut.

DAFTAR HARGA-HARGA YANG PERLU UNTUK UJI BARTLETT

H 0 : = =⋯ = Sampel

kedk

1

log () log

1

2

.

.

.

K

n1 - 1

n2 - 1

nk - 1

1/ n1 - 1

1/ n2 - 1

1/ nk - 1

log log

log

( − 1) log ( − 1) log

( − 1) log Jumlah

Σ(

−1)

Σ 1

( − 1) -- --

Σ(

−1) log

Dari daftar ini, kita hitung harga-harga yang diperlukan, yakni:

1. Varians gabungan dari semua sampel:

= Σ( − 1) ∙ Σ( − 1) 2. Harga satuan B dengan rumus: = (log)Σ( − 1)

Ternyata bahwa untuk uji Bartlett digunakan statistic chi-kuadrat.

= (ln10){( − 1)log}Dengan ln 10 = 2,3026, disebut logaritma asli dari bilangan 10.

Dengan taraf nyata , kita tolak hipotesis H0 jika ≥ ()() , dimana ()() didapat dari daftar distribusi chi-kuadrat dengan peluang (1−∝) dan = ( − 1).


38/77

Keterangan:

k = banyaknya kelompok

ni = banyaknya data pada kelompok ke-i

n = banyaknya seluruh data

s2i = variansi sampel pada kelompok ke-i

Contoh:

Daftar Pertambahan Berat Badan (dalam kg) Siswa Sekolah T Setelah Percobaan

Pertambahan berat badan karena makanan ke

Data hasil pengamatan

1 2 3 4

12 14 6 9

20 15 16 14

23 10 16 18

10 19 20 19

17 22

Dengan rumus

= ()

, varians untuk tiap sampel kita hitung hasilnya:

= 29,3; = 35,7; = 21,5; = 20,7.Daftarnya menjadi:

Sampel dk1 log () log

1234

4433

0,250,250,330,33

29,321,535,720,7

1,46691,33241,55271,3160

5,86765,32964,65813,9480

Jumlah 14 1,16 -- -- 19,8033

Varians gabungan dari empat sampel itu adalah

= 4(29,3) +4(21,5) +4(35,7) +4(20,7)4+4+3+3

= 26,6

maka log = log26,6 = 1,4249 dan = (1,4249)(14) = 19,9486, sehingga = (2,3026)(19,9486− 19,8033) = 0,063.


39/77

Jika = 0,05, dari daftar chi-kuadrat dengan dk = 3, didapat ,() = 7,81.Ternyata bahwa = 0,063 < 7,81 sehingga hipotesis H 0 : = = = diterima dalam taraf 0,05.

Jika harga yang dihitung cukup dekat dengan harga dari tabel,biasanyadilakukan koreksi terhadap rumus di atas dengan menggunakan faktor koreksi Ksebagai berikut.

= 1+ 13( − 1) 1 − 1 −

1Σ( − 1) Dengan faktor koreksi ini, statistik yang dipakai sekarang ialah:

= 1

dengan di ruas kanan dihitung dengan = (ln10){( − 1)log}.


40/77

BAB 10

DISTRIBUSI BINOMIAL DAN DISTRIBUSI POISSON

1. DISTRIBUSI BINOMIAL

Suatu percobaan sering terdiri atas beberapa usaha, tiap usaha dengan dua

kemungkinan hasil yang dapat diberi nama sukses dan gagal. Percobaan seperti ini

disebut Percobaan Binomial .

Distribusi binomial berasal dari percobaan binomial yaitu suatu proses Bernoulli

yang diulang sebanyak n kali dan saling bebas. Distribusi Binomial merupakandistribusi peubah acak diskrit.

Suatu percobaan binomial ialah yang memenuhi persyaratan berikut :

1. Percobaan terdiri atas n usaha yang berulang

2. Tiap usaha memberikan hasil yang dapat dikelompokkan sukses atau gagal.

3. Peluang sukses, dinyatakan dengan p, tidak berubah dari usaha yang satu ke yang

berikutnya.

4.

Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.

Jika pada percobaan dalam eksperimen itu, )( AP tetap harganya, maka

percobaan yang berulang-ulang dari eksperimen itu dinamakan percobaan Bernoulli.

Sekarang lakukan percobaan Bernoulli sebanyak N kali secara independen, X

diantaranya menghasilkan peristiwa A dan sisanya (N-X) peristiwa A . Jika )( AP

untuk tiap percobaan, )(1 AP , maka peluang terjadinya peristiwa A sebanyak X=x

kali diantara N, dihitung oleh (distribusi binomial) :

x N

x

N x X P x p

)1()()(

Dengan x = 0,1,2,....N, 0


41/77

Distribusi binom mempunyai parameter , diantaranya yang akan kita gunakan

ialah rata-rata dan simpangan baku . Rumusnya adalah :

N dan )1( N

Dengan pengertian bahwa parameter ini ditinjau dari peristiwa A.

CONTOH :

1.

Peluang untuk mendapatkan 6 bermuka G ketika melakukan undian dengan sebuah

mata uang sebanyak 10 kali adalah :

2050,02

12102

12

16

10)6(

1046

X P

Dengan X = jumlah muka G yang nampak

2. 10% dari semacam benda tergolong A. Sebuah sampel berukuran 30 telah diambil

secara acak. Berapa peluang sampel itu akan berisikan benda kategori A :

a. Semuanya

b.

Sebuah

c. Dua

d. Paling sedikit sebuah

e. Paling banyak dua buah

f. Tentukan rata-rata terdapatnya kategori A

Penyelesaian :

a. Kita artikan X = banyak benda kategori A. Maka = peluang benda termasuk

kategori A=0,10.

Semuanya tergolong kategori A berarti X=30

30030 1090,010,030

30)30(

X P

Nilai yang sangat kecil yang atau bisa sama dengan nol.

b. Sebuah termasuk kategori A berarti X=1

1409,090,010,01

30)1(

291

xP

Peluang sampel itu berisi sebuah benda kategori A adalah 0,1409

c.

Di sini X = 2, sehingga :

2270,090,010,02

30

)2(

282

xP


42/77

d. Paling sedikit sebuah benda tergolong kategori A, berarti x=1,2,3,...30.

Jadi perlu ).30(.......)20()1( xP xP xP

Tetapi )30(....)1()0( xP xP xP , sehingga yang dicari adalah

)0(1 xP

Sekarang 0423,090,010,00

30)0(

300

xP

Peluang dalam sampel itu terdapat paling sedikit sebuah benda kategori A adalah :

1-0,0423=0,9577

e.

Terdapat paling banyak 2 buah kategori A,

berarti X=0,1,2. Perlu dicari )2()1()0( X P xP xP .

Di atas, semuanya ini telah dihitung. Hasilnya = 0,0423+0,1409+0,2270=0,4102

f. 3)1,0(30 .

Rata-rata diharapkan akan terdapat 3 benda termasuk kategori A dalam setiap

kelompok yang terdiri atas 30 buah.

PERHITUNGAN DISTRIBUSI BINOMIAL

Exp : Pendekatan normal untuk binomial dengan n = 15, p = 0,4

Menurut Teorema Limit Pusat :

Jika x suatu variabel random binomial dengan mean = np & variansi 2 = np(1 – p).

Jika n cukup besar (n>30) dan p tidak terlalu dekat dengan 0 atau 1, maka :


43/77

Contoh :

Dalam ujian pilihan ganda, tersedia 200 pertanyaan dengan 4 alternatif jawaban

dan hanya 1 jawaban yang benar. Jika seseorang memilih jawaban secara random, berapa peluang dia lulus ujian (syarat lulus : benar paling sedikit 60) ?

Jawab :

x = banyak jawaban yang benar

p = 0,25 = ¼ 1 – p = 0,75

x Bin(200; 0,25)

= n.p = 200x0,25 = 50

2

= n.p(1-p) = 200(0,25).(0,75) = 37,5

= 6,13

P(x ≥ 60) = Luas kurva normal dari x = 59,5 ke kanan

Z1 =13 ,6

50 5 , 59 X 1 = 1,55

A = 0,4394

P(x≥60) = 0,5 – 0,4394

= 0,0606

= 6,06 %


44/77

2. DISTRIBUSI POISSON

Distribusi Poisson dipakai untuk menentukan peluang suatu kejadian yang

jarang terjadi, tetapi mengenai populasi yang luas atau area yang luas dan juga

berhubungan dengan waktu.

Variabel acak diskrit X dikatakan mempunyai distribusi Poisson jika fungsi

peluangnya berbentuk :

Keterangan :

x = 0,1,2,3,....,e = sebuah bilangan konstan yang jika dihitung hingga 4 desimal e=2,7183

= sebuah bilangan tetap.

Ternyata bahwa distribusi Poisson ini mempunyai parameter :

Distribusi Poisson sering digunakan untuk menentukan peluang sebuah

peristiwa yang dalam area kesempatan tertentu diharapkan terjadinya sangat jarang.

Ciri-ciri distribusi Poisson :

1. Percobaan di satu selang tertentu tak bergantung pada selang lain.

2. Peluang terjadinya satu percobaan singkat atau pada daerah yang kecil

(jarangterjadi)

3.

Peluang lebih dari satu hasil percobaan alkan terjadi dalam selang waktu yang

singkat tersebut, dapat diabaikan.

Beberapa contoh :

a.

Banyak orang yang lewat melalui pasar setiap hari, tetapi sangat jarang terjadi

seseorang yang menemukan barang hilang dan mengembalikannya kepada si

pemilik atau melaporkannya kepada polisi.

b. Dalam tempo setiap 5 menit, operator telepon banyak menerima permintaan nomor

untuk disambungkan, diharapkan jarang sekali terjadi salah sambung.

c. Misalkan rata-rata ada 1,4 orang buta huruf untuk setiap 100 orang. Sebuah sampel

berukuran 200 telah diambil.

!)()(

x

e x X P X P

x


45/77

Jika x= banyak buta huruf per 200 orang, maka untuk kita sekarang 8,2 .

Peluangnya tidak terdapat yang buta huruf adalah :

0608,0!0

8,2)0(

8,208,2

ee

p

Sedangkan peluang terdapatnya yang buta sama dengan 0,9392.

Distribusi Poisson dapat pula dianggap sebagai pendekatan kepada distribusi

binom. Jika dalam hal distribusi binom, N cukup besar sedangkan = peluang

terjadinya peristiwa A, sangat dekat kepada nol sedemikian sehingga NP tetap,

Untuk penggunaanya, sering dilakukan pendekatan ini jika 50 N sedangkan 5 Np .

Contoh :

Peluang seseorang akan mendapatkan reaksi buruk setelah disuntik besarnya 0,0005.

Dari 4000 orang yang disuntik, tentukan peluang yang mendapat reaksi buruk :

a. Tidak ada

b. Ada 2 orang

c. Lebih dari 2 orang

d. Tentukan ada berapa orang diharapkan yang akan mendapat reaksi buruk

Penyelesaian :

a.

Dengan menggunakan pendekatan distribusi Poisson kepada distribusi binom, maka

20005,04000 Np

Jika X = banyak orang yang mendapatkan reaksi buruk akibat suntikan itu, maka :

1353,0!0

2)0(

02

e p

b.

Dalam hal ini X = 2, sehingga

2706,0!2

2)2(

22

e p

Peluang ada 2 orang yang mendapat reaksi buruk adalah 0,2706

c. Yang menderita reaksi buruk lebih dari 2 orang, ini berarti X=3,4,5,....

Tetapi 1.....)2()1()0( p p p , maka )2()1()0(1....)4()3( p p p p p .

Harga-harga )0( p dan )2( p sudah dihitung diatas.

2706,0!1

2)1(

12

e p

d. Peluang yang dicari adalah 3235,0)2706,02706,01353,0(1


46/77

Ini tiada lain diminta menentukan rata-rata . Diatas sudah dihitung 2

3. PENGUJIAN HIPOTESIS DALAM DISTRIBUSI NORMAL DAN

DISTRIBUSI POISON

Pada prinsipnya pengujian hipotesis yang berkaitan dengan distribusi normal,

distribusi binomial, maupun distribusi poison adalah sama, perbedaan terletak pada saat

kita merumuskan hipotesis dan melakukan transformasi ke Z skor. Pada saat distribusi

binomial maupun poison kita berhubungan dengan data diskrit, sehingga dalam

pengujian hipotesis adalah mengujinprobabilitas (bukan µ).

Untuk mempermudah pemahaman pengujian hipotesis pada distribusi binomial,

perhatikan contoh berikut :

Suatu hasil penelitian terhadap keberhasilan belajar mahasiswa di perguruan

tinggi dengan nilai yang memuaskan telah terbukti bahwa 80% mahasiswa yang orang

tuanya adalah guru berhasil menyelesaikan program sarjana dengan memuaskan.

Belakangan ini ada isu bahwa keberhasilan anak-anak guru dalam menyelesaikan

program sarjana dengan memuaskan semakin turun. Untuk membuktikan hal tersebut,

maka dilakukan penelitian dengan mengumpulkan sampel sebanyak 100 lulusan

program sarjana yang orangtuanya adalah guru. Dari hasil pengumpulan data ternyata75% dari sampel dapat menyelesaikan program sarjana dengan memuaskan.

Berdasarkan dasar tersebut, apakah kita dapat menarik suatu kesimpulan bahwa

persentase keberhasilan anak guru untuk menyelesaikan program sarjana dengan nilai

memuaskan memang menurun?

Untuk itu marilah kita uji kebenaran dugaan tersebut melalui pengujian

hipotesis. Hipotesisnya adalah :

Ho : P ≥ 0,80H1 : P < 0,80

Apabila kita mengambil alpha sebesar 0,05 maka Z 0,05 adalah 1,645 (lihat

tabel Z). Transformasi ke Z dapat dihitung dengan rumus 5.1.

Z =

Sedangkan standar error dapat dihitung dengan rumus 5.2.

σ p =

(

.

):

Untuk soal di atas, standar error dan transformasi ke Z adalah :


47/77

σp = (0,80 0,20):100 = 0,40

Dengan demikian maka :

Z = ,,, = ,, = −1,25 Dengan memperhatikan hipotesis kita dapat menentukan daerah penerimaan

hipotesis nol, yaitu ≥ −0,05 = -1,645.Oleh karena Z hasil perhitungan > daripada Z tabel, maka kita menerima

hipotesis nol. Dengan demikian maka kita dapat mengambil suatu kesimpulan bahwa :

keberhasilan anak guru dalam menyelesaikan program sarjana dengan nilai

memuaskan menurun.

Kurva yang menggambarkan pengujian hipotesis sebenarnya bisa berupa dua

kurva yang digambarkan secara bersama, sehingga tampak apakah perbedaan rata-rata

populasi dengan rata-rata sampel terletak di daerah penerimaan Ho atau tidak. Jika

kedua rata-rata itu masih terletak di daerah penerimaan hipotesis nol, maka rata-rata

tersebut tidak mempunyai perbedaan yang berarti. Dengan kata lain tidak ada perbedaan

antara rata-rata populasi dengan sampel (penelitian). Sebaliknya, apabila rata-rata data

yang terkumpul tersebut terletak pada daerah penolakan Ho, maka perbedaan antara

kedua rata-rata tersebut sangat besar, sehingga kita dapat mengambil suatu kesimpulan

bahwa terdapat perbedaan yang signifikan antara kedua rata-rata tersebut.

Daerah penerimaan dan penolakan Ho dapat dilihat dalam kurva di bawah ini :

Untuk pengujian hipotesis yang menggunakan one tailed tes daerah alphanya

cukup satu sisi, di kanan atau kiri.

0,025

Daerah penerimaan Ho


48/77

BAB 11

UJI F DAN UJI T

Uji F dikenal dengan Uji serentak atau uji Model/Uji Anova, yaitu uji untuk melihat

bagaimanakah pengaruh semua variabel bebasnya secara bersama-sama terhadap variabel

terikatnya. Atau untuk menguji apakah model regresi yang kita buat baik/signifikan atau tidak

baik/non signifikan.

Jika model signifikan maka model bisa digunakan untuk prediksi/peramalan, sebaliknya

jika non/tidak signifikan maka model regresi tidak bisa digunakan untuk peramalan.

Uji F dapat dilakukan dengan membandingkan F hitung dengan F tabel, jika F hitung >

dari F tabel, (Ho di tolak Ha diterima) maka model signifikan atau bisa dilihat dalam kolom

signifikansi pada Anova (Olahan dengan SPSS, Gunakan Uji Regresi dengan Metode Enter/Full

Model ). Model signifikan selama kolom signifikansi (%) < Alpha (kesiapan berbuat salah tipe

1, yang menentukan peneliti sendiri, ilmu sosial biasanya paling besar alpha 10%, atau 5% atau

1%). Dan sebaliknya jika F hitung < F tabel, maka model tidak signifikan, hal ini juga ditandai

nilai kolom signifikansi (%) akan lebih besar dari alpha.

Uji t dikenal dengan uji parsial, yaitu untuk menguji bagaimana pengaruh masing-

masing variabel bebasnya secara sendiri-sendiri terhadap variabel terikatnya. Uji ini dapat

dilakukan dengan mambandingkan t hitung dengan t tabel atau dengan melihat kolom

signifikansi pada masing-masing t hitung, proses uji t identik dengan Uji F (lihat perhitungan

SPSS pada Coefficient Regression Full Model/Enter). Atau bisa diganti dengan Uji metode

Stepwise.

Pernggunaan Uji F dan t akan dijelaskan lebih lanjut dalam Bab selanjutnya.


49/77

BAB 12

PENGUJIAN HIPOTESIS

1. PENDAHULUAN

Hipotesis adalah asumsi atau dugaan mengenai sesuatu hal yang dibuat untuk

menjelaskan hal itu yang sering dituntut untuk melakukan pengecekannya.

Jika asumsi atau dugaan itu dikhususkan mengenai populasi, umumnya

mengenai nilai-nilai parameter populasi, maka hipotesis itu disebut hipotesis statistik .

Langkah atau prosedur untuk menentukan apakan menerima atau menolak hipotesis

disebut pengujian hipotesis.

2. DUA MACAM KEKELIRUAN

Dalam melakukan pengujian hipotesis, ada dua macam kekeliruan yang dapat

terjadi, dikenal dengan nama-nama :

a) Kekeliruan tipe I : ialah menolak hipotesis yang sehaeusnya diterima,

b) Kekeliruan tipe II : ialah menerima hipotesis yang sehaeusnya ditolak.

Untuk mengingat hubungan antara hipotesis, kesimpulan dan tipe kekeliruan,

dapat dilihat dalam tabel di bawah ini.

TIPE KEKELIRUAN KETIKA MEMBUAT KESIMPULANTENTANG HIPOTESIS

KESIMPULANKEADAAN SEBENARNYA

HIPOTESIS BENAR HIPOTESIS SALAH

Terima Hipotesis BENARKELIRU

(Kekeliruan Tipe II)

Tolak HipotesisKELIRU

(Kekeliruan Tipe I)

BENAR

Agar penelitian dapat dilakukan maka kedua tipe kekeliruan itu kita nyatakan

dalam peluang. Peluang membuat kekeliruan tipe I bisa dinyatakan dengan α (baca :

alfa) atau disebut kekeliruan α, dan peluang membuat kekeliruan tipe II bisa dinyatakan

dengan β (baca : beta) atau disebut kekeliruan β.

Dalam penggunaannya α disebut taraf signifikan atau taraf arti atau sering juga

disebut taraf nyata dengan harga yang biassa digunakan 0,01 atau 0,05. Dengan α = 0,05

atau disebut juga 5%, maka berarti kira-kira 5 dari setiap 100 kesimpulan bahwa kita

akan menolak hipotesis yang seharusny diterima.


50/77

3. LANGKAH-LANGKAH PENGUJIAN HIPOTESIS

Supaya nampak adanya dua pilihan, hipotesis H ini perlu didampingi oleh

pernyataan lain yang isinya berlawanan, yang merupakan tandingan unttuk H dan

dinyatakan dengan A. Pasangan H dan A ini, tepatnya H melawan A, lebih jauh juga

menentukan kriteria pengujian yang terdiri dari daerah daerah penerimaan dan daerah

penolakan hipotesis. Daerah penolakan hipotesis sering pula disebut daerah kritis.

Jika yang diuji parameter (dalam penggunaannya bisa rata-rata µ, proporsiπ, simpangan baku σ dan lain-lain) maka akan didapat hal-hal :

a) Hipotesis mengandung pengertian sama. Dalam hal ini pasangan H dan A adalah :

1) H :

=

2) H :

=

A : = 1 A : ≠ 13) H : = 4) H : = A : > 1 A : 1

Yang biasa dinamakan pengujian komposit lawan komposit .

c) Hipotesis mengandung pengertian minimum.

Perumusan H dan A berbentuk :H : ≥ A :


51/77

mengandung pengertian tidak sama, lebih besar atau lebih kecil. H1 ini harus dipilih

atau ditentukan penelitu sesuai dengan persoalan yang dihadapi.

Pasangan Ho dan H1 yang telah dirumuskan, untuk kita disini akan dituliskan

dalam bentuk :

∶ 0 = ∶ 0 ≠ atau ∶ 0 = ∶ 0 > atau ∶ 0 = ∶ 0 <

Langkah berikutnya, kita pilih bentuk statistik mana yang harus digunakan,

apakah z, t, X, F, atau lainnya. Kemudian berdasarkan pilihan taraf nyata α atau disebut juga ukuran daerah kritis, kriteria pengyjian kita tentukan. Peran hipotesis tandingan dalam penentuan daerah kritis adalah sebagai berikut :

1) Jika tandingan mempunyai perumusan tidak sama, maka dalam distribusi statistikyang digunakan, normal untuk angka z, Student untuk t, dan seterusnya, didapat dua

daerah kritis masing-masing pada ujung-ujung distribusi. Luas daerah kritis adalah

. Pengujian hipotesis ini dinamakan uji dua pihak.

Daerah Penolakan Daerah Penolakan (Daerah kritis) (Daerah kritis)

Luas = 1/2α Daerah Luas = 1/2α Penerimaan

d 1 d 2

Kedua daerh dibatasi oleh d 1 dan d 2 yang didapat dari dari daftar distribusiyang bersanglutan dengan menggunakan peluang yang ditentukan oleh α. Kriteria

yang didapat adalah : terima hipotesis jika harga statistik yang dihitung berdasarkan data penelitian jatuh antara d 1 dan d 2, dalam hal lainnya ditolak.


52/77

2) Untuk tandingan yang mempunyai perumusan lebih besar, maka dalam distribusiyang digunakan didapat sebuah daerah kritis yang letaknya di ujung sebelah kanan.

Luas daerah kritis ini sama dengan α.

Daerah Penolakan Daerah Penolakan (Daerah kritis) (Daerah kritis)Luas = 1/2α Daerah Luas = α

Penerimaan d

Harga d didapat dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan peluang

yang ditentukan oleh α, menjadi batas antara daerah kritis dan daerah penerimaan . Kriteria yang dipakai adalah : tolak jika statistik yang dihitung berdasarkansampel yang tidak kurang dari d. Dalam hal lainnya kita terima . Pengujian inikita namakan uji satu pihak.

3)

Jika tandingan mengandung pernyataan yang lebih kecil, maka daerah kritis adadi ujung kiri distribusi yang digunakan. Luas daerah ini = α yang menjadi batas

daerah penerimaan oleh bilangan d yang didapatkan dari daftar distribusi yang bersangkutan. Peluang untuk mendapat d ditentukan oleh taraf nyata α. Daerah Penolakan (Daerah kritis)

Luas = α DaerahPenerimaan

dKriteria yang digunakan adalah : terima jika statistis yang

dihitungkan berdasarkan penelitian lebih besar dari d sedangkan dalam hal lainnya kita tolak. Dalam hal ini kita mempunyai uji satu pihak, ialah pihak kiri.


53/77

4. MENGUJI RATA-RATA µ : UJI DUA PIHAK

Misalkan suatu populasi berdistribusi normal dengan rata-rata µ dan simpangan

baku σ. Akan diuji mengenai parameter rata-rata µ. Untuk ini bisa diambil sampel acak

berukuran n, lalu hitung statistik dan s. Dibedakan sebagai berikut ;

Jika σ diketahui

Untuk pasangan hipotesisnya ∶ 0 = µ ∶ 0 ≠ µ Dengan µ sebuah harga yang diketahui, maka digunakan statistik :

= ̅ − µ√

Jika σ tidak diketahui

Dalam kenyataannya σ sering tuidak diketahui. Dengan pasangan hipotesis

∶ 0 = µ ∶ 0 ≠ µ maka menggunakan statistik : = ̅ − µ√ H0 kita terima jika

−(

∝)<

<

(

∝) didapat dari daftar normal baku

dengan peluang (1−∝). Dalam hal lainnya, H0 ditolak.5. MENGUJI RATA-RATA µ : UJI SATU PIHAK

Perumusan yang umum untuk uji pihak kanan mengenai rata-rata µ

berdasarkan dan adalah : ∶ 0 = µ

∶ 0 > µ

Misalkan suatu populasi berdistribusi normal dan sampel acak berukuran n. Makadihitung statistik dan s. Didapat hal-hal berikut :

Jika σ diketahui

Jika simpangan baku σ untuk p0opulasi diketahui, seperti biasa digunakan

statistik = ̅ √ . Sketsa untuk kriteria untuk pengujian seperti dalam gambar berikut:


54/77

Daerah Penolakan Daerah Penolakan (Daerah kritis) (Daerah kritis)

Luas = 1/2α Daerah Luas = α Penerimaan

d Selanjutnya menggunakan distribusi normal baku. Batas kriteria didapat dari

daftar normal baku. ditolak jika z ≥ , dengan , didapat dari daftarnormal baku menggunakan peluang (0,5 - ). Dalam hal lainnya diterima. Jika σ tidak diketahui

Jika σ tidak diketahui maka statistik yang digunakan untuk menguji ∶ 0 = µ ∶ 0 > µ Adalah statistik = ̅ √ . Kriteria pengujian didapat dari daftar distribusi

Student t denga dk = (n - 1) dan peluang (1 – ). ditolak jika t ≥ dengan diterima dalam hal lainnya.Jika σ tidak diketahui, maka untuk uji pihak kiri tersebut digunakan statistik t

seperti yang tertera dalam = ̅ √ . Dalam hal ini ditolak jika t ≤ - , dengan didapat dari daftar distribusi Student menggunakan peluang (1 – ) dan dk = (n -1). Untuk t > - , hipotesis diterima.6. MENGUJI PROPORSI µ : UJI DUA PIHAK

Misalkan ada populasi binom dengan proporsi peristiwa A = π. Berdasarkan

sebuah sampel acak yang diambil dari populasi itu, akan diuji mengenai dua pihak.

∶ 0 = µ ∶ 0 ≠ µ dengan sebuah harga yang diketahui. Dari sampel yang berukuran n itu dihitung

proporsi sampel adanya peristiwa A. Dengan menggunakan pendekatan oleh distribusi

normal, maka untuk pengujian ini digunakan statistik z yang rumusnya :

=

−

(1

−

)


55/77

Kriteria untuk pengujian ini, dengan taraf nyata α adalah : terima jika−() < z < () , dimana () didapat dari daftar normal baku dengan peluang (1− ). Dalam hal lainnya ditolak.Contoh:

Kita ingin menguji bahwa distribusi siswa laki-laki dan dan siswa perempuan

yang menguasai statistika adalah sama. Sebuah sampel acak terdiri atas 4.800 orang

siswa adalah 2.458 siswa laki-laki. Dalam taraf nyata 0,05. Betulkah distribusi siswa

laki-laki dan perempuan itu sama?

Jawab:

Jika π = peluang terdapatnya siswa laki-laki, maka akan diuji pasangan hipotesis:

∶ = 12 ∶ ≠ 12 x = 2.458, n = 4.800, dan = didapat,

=

−

(1

−

)

=

2.4584.800

− 0,5

(0,5) (0,5)

4.800

= 1,68

Nilai z dari daftar normal baku dengan α = 0,05 adalah 1,96. Jadi kriteria

pengujian yang dipakai : terima jika z hitung terletak antara -1,96 dan 1,96;sedangkan dalam hal lain ditolak. Harga z = 1,86 ada pada daerah penerimaan sehingga diterima. Kesimpulan : peluang siswa laki-laki dan perempuan sama

besar.

7. MENGUJI PROPORSI : UJI SATU PIHAKJika yang diuji dari populasi binom itu berbentuk:

∶ = ∶ > maka pengujian demikian merupakan uji pihak kanan. Untuk ini pun, statistic yang

digunakan masih statistik z seperti tertera dalam rumus di atas. Yang berbeda hanyalah

dalam penentuan kriteris pengujiannya. Dalam hal ini, tolak H0 jika ≥ ,∝, di


56/77

mana ,∝ didapat dari daftar normal baku dengan peluang (0,5−∝). Untuk 0,6

= 5.426; = 8.500; = 0,6; (1− ) = 0,4, maka diperleh: = − (1− ) =5.4268.500− 0,6 0,6(0,4)

8500

= 2,79

Dengan taraf nyata ∝= 0,01 dari daftar normal baku memberikan , = 2,33.Harga = 2,79 > = 2,33. Maka ditolak dan uji sangat berarti. Inimengatakan bahwa persentase anggota masyarakat golongan A sudah melampaui 60%.

Untuk uji pihak kiri, maka pasangan hipotesis nol dan tandingannya adalah: ∶ = ∶ < Kriteria pengujiannya adalah tolak H0 jika ≤ ,∝, di mana ,∝ didapat

dari daftar normal baku dengan peluang (0,5−∝). Dalam hal lainnya H0 diterima.Contoh:

Akan diuji ∶ = 0,3

∶

< 0,3

Sampel acak berukuran n = 425 memberikan = 0,28. Bagaimana hasil pengujian dengan ∝= 0,05 ?Jawab:

= − (1− ) =0,28− 0,3 0,3(0,7)

425

=−0,90


57/77

Dari daftar normal baku dengan ∝= 0,05 didapat , = 1,64. Untuk uji pihakkiri, maka tolak H0 jika ≤ −1,64. Jelas bahwa =−0,90 ada padadaerah penerimaan H0. Jadi,

:

= 0,3 diterima pada taraf nyata 0,05. Pengujian tak

berarti.

8. MENGUJI VARIANS A. Uji dua pihak

Untuk ini, pasangan H0 dan H1 adalah:

∶ =

∶

≠

Untuk menguji ini dipakai statistik chi-kuadrat,

= ( − 1) Jika dalam pengujian dipakai taraf nyata ∝, maka kriteria pengujian adalah: terima H0

jika ∝


58/77

dan peluang ∝ sedangkan statistik tetap dihitung dengan menggunakan rumus = () .

9. MENGUJI KESAMAAN DUA RATA-RATA : UJI DUA PIHAK

Pasangan hipotesis nol dan tandingannya yang akan diuji adalah :

∶ = ∶ ≠ Untuk ini kita bedakan hal-hal berikut.

Hal A : = = dan diketahuiStatistik yang digunakan jika H0 benar adalah:

= − 1 + 1 dengan taraf nyata ∝, maka kriteria pengujian adalah: terima H0 jika −(∝) <


59/77

Hal C : ≠ dan kedua-duanya tidak diketahui Pendekatan yang digunakan dengan statistik t berikut.

= − + Kriteria pengujiannya adalah : terima hipotesis H0 jika

− + + <


60/77

Hal A. Uji Pihak Kanan

Yang diuji adalah ∶ =

∶

>

Dalam hal =, maka statistik yang digunakan ialah : = − 1 + 1 dengan

= ( − 1) +( − 1) + − 2 Kriteria pengujian yang berlaku ialah terima H0 jika

<

∝ dan tolak H0 jika t

mempunyai harga-harga lain. Dengan = ( + − 2), dan peluang (1−∝).Jika ≠ , maka statistik yang digunakan adalah = − +

Kriteria pengujiannya adalah : tolak hipotesis H0 jika

≥ +

+

Dan terima H0 jika sebaliknya, dengan :

= ; = ; = ∝,() = ∝,() Peluang untuk penggunaan daftar distribusi t ialah (1−∝) sedangkan dk-nya masing-masing ( − 1) dan ( − 1).

Untuk observasi berpasangan, pasangan hipotesis nol H0 dan hipotesis tandingan

H1, untuk uji pihak kanan adalah

∶ = 0 ∶ > 0 Statistik yang digunakan masih statistik

= √ dan tolak H0 jika ≥ ∝ dimana ∝ didapat dari daftar distribusi student dengan

peluang 1

−∝ dan

= (

−1).


61/77

Contoh : untuk mempelajari kemampuan belajar tentang menjumlahkan bilangan, 10

anak laki-laki dan 10 anak perempuan telah diambil secara acak. Dari

pengamatan masa lampau kemampuan belajar anak laki-laki umumnya lebih

baik daripada kemampuan belajar anak perempuan. Hasil ujian yang

dilakukan adalah :

Laki-laki 30 21 21 27 20 25 27 22 28 18

Perempuan 31 22 37 24 30 15 25 42 19 38

Apakah yang dapat disimpulkan dari hasil ujian ini?

Jawab: Dari data di atas, setelah dihitung berdasarkan beda (selisih) tiap pasangan

data, didapat

= 4,4 dan

= 11,34, maka

= √ =4,4

11,34√ 10 = 1,227 Dengan dk = 9 dan peluang 0,95 dari daftar distribusi student didapat , =

1,83. Karena t = 1,22 lebih kecil dari 1,83 maka H0 diterima. Dalam hal ini masih dapat

dikatakan bahwa rata-rata hasil ujian anak laki-laki lebih baik daripada rata-rata hasil

ujian anak perempuan.

Hal B. Uji Pihak Kiri

Perumusan hipotesis H0 dan hipotesis tandingan H1 untuk uji pihak kiri adalah : ∶ = ∶ < Langkah-langkah yang ditempuh dalam hal ini sejalan dengan yang dilakukan

untuk uji pihak kanan.

Jika =, kedua-duanya nilainya tidak diketahui, maka digunakan statistik

=

− 1 + 1

Kriteria pengujiannya adalah tolak H0 jika ≤ ∝ dimana ∝ didapat daridaftar distribusi t dengan = ( + − 2), dan peluang (1−∝). Untuk harga-hargat lainnya, H0 diterima. Jika ≠ , maka yang digunakan adalah statistik

= −

+


62/77

Kriteria pengujiannya adalah : tolak hipotesis H0 jika

≤ +

+

Dimana ,,, semuanya seperti yang telah diuraikan di atas. Jika t lebih besar dari harga tersebut, maka H0 diterima.Untuk observasi berpasangan, hipotesis H0 dan tandingan yang akan diuji

adalah:

∶ = 0 ∶ < 0 Statistik yang digunakan ialah statistik

= √ dan tolak H0 jika ≤ (∝),() dan terima H0 untuk ≤ −(∝),() .11. MENGUJI KESAMAAN DUA PROPORSI : UJI DUA PIHAK

Akan diuji hipotesis

∶ =

∶

≠

Untuk ini digunakan pendekatan oleh distribusi normal dengan statistik :

= − 1+ 1 dengan = dan = 1− .

Jika dalam pengujian ini digunakan taraf nyata ∝, maka kriteria pengujiannyaadalah: terima H0 jika

−(∝)<

<

(∝) dimana

(∝) didapat dari daftar

normal baku dengan peluang (1−∝). Dalam hal lainnya H0 ditolak.

Contoh : Suatu penelitian dilakukan di daerah T terhadap 250 pemilih. Ternyata 150

pemilih menyatakan akan memilih calon R. Di daerah S penelitian dilakukan

terhadap 300 pemilih dan terdapat 162 yang akan memilih calon R. adaph

perbedaan nyata mengenai pemilihan calon R di antara kedua daerah itu ?


63/77

Jawab: Hipotesis yang akan di uji adalah :

∶ =

∶

≠

= = = 0,5673, dan = 1− = 0,4327. Maka, = − 1+ 1=150250 − 162

300

(0,5673)(0,4327) 1250+ 1

300= 1,42

Kriteri pengujian adalah: terima H0 jika −(∝) < < (∝) dimana(∝) = (,) = , = 1,96, sehingga −1,96

Statistik yang digunakan masih berdasarkan pendekatan distribusi normal, jadi

digunakan statistik

= − 1+ 1 Dalam hal ini tolak H0 jika ≥ (,∝) dan terima H0 untuk < (,∝) dengan

∝ = taraf nyata.

Apabila uji pihak kiri, maka hipotesis nol H0 dan tandingannya adalah H1

berbentuk

∶ = ∶ < Dengan statistik yang sama seperti di atas, tolak H0 jika ≤ −(,∝) dan

terima H0 untuk >−(,∝) dengan ∝ = taraf nyata. Untuk kedua-duanya (,∝) didapat dari daftar distribusi normal baku dengan peluang (0,5

−∝).


64/77

BAB 13

ANALISIS VARIANS (ANOVA)

Analisa varians ( Analysis of Varianc) atau yang lebih dikenal dengan istilah

ANOVA adalah suatu teknik untuk menguji kesamaan beberapa rata-rata secara

sekaligus. Tujuannya untuk mengetahui apakah ada perbedaan rata-rata dalam sampel

dengan perbedaan rata-rata antar sampel. Uji yang dipergunakan dalam ANOVA adalah

uji F karena dipakai untuk pengujian dari 2 sampel.Anova dapat digolongkan ke dalam

beberapa kriteria, yaitu :

1. Klasifikasi 1 arah

ANOVA klasifikasi 1 arah merupakan ANOVA yang didasarkan pada pengamatan

1 kriteria.

2. Klasifikasi 2 arah

ANOVA klasifikasi 2 arah merupakan ANOVA yang didasarkan pada pengamatan

2 kriteria.

3. Klasifikasi banyak arah

ANOVA banyak arah merupakan ANOVA yang didasarkan pada pengamatan

banyak kriteria.

1.

ANOVA SATU ARAH (ONE WAY - ANOVA)

Anava atau Anova adalah anonim dari analisis varian terjemahan dari analysis of

variance, sehingga banyak orang yang menyebutnya dengan anova. Anova merupakan

bagian dari metoda analisis statistika yang tergolong analisis komparatif (perbandingan)

lebih dari dua rata-rata.

Uji anova satu arah adalah untuk membandingkan lebih dari dua rata-rata.

Sedangkang gunanya untuk menguji kemampuan generalisasi. Maksudnya dari

signifikansi hasil penelitian (anava satu jalur). Jika terbukti berbeda berarti kedua

sampel tersebut dapat digeneralisasikan, artinya data sampel dianggap dapat mewakili

populasi.

Anova pengembangan atau penjabaran lebih lanjut dari uji-t (

). Uji-t atau

uji-z hanya dapat melihat perbandingan dua kelompok data saja. Sedangkan anova satu


65/77

jalur lebih dari dua kelompok data. Contoh: Perbedaan prestasi belajar statistika antara

mahasiswa tugas belajar (X1), izin belajar (X2) dan umum (X3).

Anova lebih dikenal dengan uji-F (Fisher Test ), sedangkan arti variasi atau

varian itu asalnya dari pengertian konsep “ Mean Square” atau kuadrat rerata (KR).

Rumusnya :

= Dimana :

JK = jumlah kuadrat (some of square)

db = derajat bebas (degree of freedom)

Menghitung nilai Anova atau F () dengan rumus : = = = ∶ ∶ = Varian dalam group

Date post:	07-Aug-2018
Category:	Documents
Upload:	okto-rikardo
View:	217 times
Download:	0 times

Uji Chi Square Gabungan-21

Documents