ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ …gösterilmiştir. Bu sonuçtan halka...

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Selahattin KILINÇ

YAKIN HALKALARDA ASAL VE MAKSİMAL İDEALLER

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ADANA, 2011



Selahattin KILINÇ


MATEMATİK ANABİLİM DALI Bu Tez 04/08/2011 Tarihinde Aşağıdaki Jüri Üyeleri Tarafından Oybirliği/Oyçokluğu ile Kabul Edilmiştir. ………………..................................... ………………………………….…….. Doç. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK Doç. Dr. Zerrin GÜL ESMERİLGİL DANIŞMAN ÜYE …............................................ Doç.Dr. Perihan DİNÇ ARTUT ÜYE Bu Tez Enstitümüz Matematik Anabilim Dalında hazırlanmıştır. Kod No:

Prof. Dr. İlhami YEĞİNGİL Enstitü Müdürü

Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge ve

fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

I

ÖZ


Selahattin KILINÇ


MATEMATİK ANABİLİM DALI

Danışman :Doç. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK Yıl: 2011, Sayfa:53 Jüri :Doç. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK Doç.Dr. Zerrin Gül ESMERİLGİL Doç.Dr. Perihan Dinç ARTUT

Biz bu çalışmada yakın-halkalar teorisinde bazı yakın-halka sınıfları için, asal ve maksimal idealleri inceledik. Reguler, güçlü reguler (stronglyreguler) ve zayıf reguler (s-weaklyreguler) yakın-halkaların her asal idealinin maksimal ideal olduğu gösterilmiştir.

Anahtar Kelimeler:Yakın-hakalar, Reguler yakın-halkalar, Asal ideal, Maksimal ideal


II

ABSTRACT

MSc THESIS

Selahattin KILINÇ

ÇUKUROVA UNIVERSITY INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES

DEPARTMENT OF MATHEMATICS

Supervisor :Assoc. Prof. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK Year: 2011, Pace:53 Jur :Assoc. Prof. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK :Assoc. Prof. Dr. Zerrin Gül ESMERLİGİL :Assoc. Prof. Dr. Perihan DİNÇ ARTUT

In this study, we have investigated the prime and maximal ideals of some specia lclasses of near-rings. Especially we have shown that every prime ideals of regular, strongly reguler and s-weakly reguler are maximal.

Key Words: Near-rings, Regulernear-rings, Prime ideal , Maximal ideal

PRIME AND MAXIMAL IDEALS IN NEAR RING

III

TEŞEKKÜR

Bu çalışmanın her aşamasında bilgi ve tecrübeleriyle beni aydınlatan, değerli

zamanlarını ayırarak çalışmanın tamamlanmasını sağlayan, bilgisi ve kişiliğiyle

örnek aldığım saygı değer danışmanım Doç. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK ’e ;

Çukurova Üniversitesi Matematik Bölümü hocalarına ve araştırma görevlisi

arkadaşlarıma sonsuz teşekkür ve şükranlarımı sunarım. Ayrıca tezim süresince

gerek maddi gerekse manevi desteklerini esirgemeyen annem, babam ve sevgili

eşime sonsuz şükranlarımı sunarım.

IV

İÇİNDEKİLER SAYFA

ÖZ……………………………………………………………………………....I ABSTRACT………………………………………………………………….. II

TEŞEKKÜR………………………………………………………………….III

İÇİNDEKİLER………………………………………………………………IV

1.GİRİŞ……………………………………………………………………… .1

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER………………………………………..3

2.1. Temel Tanım ve Teoremler……………………………………………...3

2.2. N-Gruplar………………………………………………………………12

2.3. Alt Yapılar……………………………………………………………...14

2.4. Homomorfizm ve idealler ………………………………………15

2.5. Reguler ve Strongly(güçlü)Regulers-weakly(zayıf) reguler

Yakın-halkalar............................................................................................... 23

3. MAKSİMAL VE ASAL İDEALLER………………………………… … 29

3.1.Maksimal İdealler………………………………………………… …..29

3.2. Asal İdealler…………………………………………………………….29

4. ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ…………………………………. 37

4.1. Regulerlik……………………………………………………………….37

4.2. Sıfır Simetrik Ünital Durum………………………………………….. ..41

4.3. Strictly maksimal ideal……………………………………………… ...47

KAYNAKLAR………………………………………………………………. 51

ÖZGEÇMİŞ………………………………………………………………… ...53

V

KISALTMALAR VE SEMBOLLER

:Yakın-halka : yakın-halkasının sıfır simetrik kısmı : yakın-halkasının sabit kısmı Γ : -grup (Γ) : Γ ’ dan Γ ’ ya tüm fonksiyonların yakın-halkası (Γ) : Γ ’ da sıfırı koruyan tüm fonksiyonların yakın-halkası (Γ) : Γ ’ da tüm sabit fonksiyonların yakın-halkası : yakın-halkaların sınıfı 0 : sıfır simetrik yakın-halkaların sınıfı c : sabit yakın-halkaların sınıfı 1 : birimli yakın-halkaların sınıfı

N : - grupların sınıfı : yakın-halkasının dağılmalı kısmı : Halka 0 : Γ ’ nun sıfır elemanı (0:Γ) : Γ ’ nun sıfırlayanı ∏ ∈ : yakın-halkalarının direkt çarpımı ∑ ∈ : ideallerinin direkt toplamı < > : kümesi tarafından üretilenideal < > : kümesi tarafından üretilen -altgrup : Bölüm yakın-halkası

1.GİRİŞ SELAHATTİN KILINÇ

1

1. GİRİŞ

Yakın-halkalar halkaların genellemesidir. Kabaca ifade edecek olursak bir ( , +, . ) halkasında + işlemine göre değişmeli olmak zorunda olmayan ve sadece

bir taraftan sağdan veya soldan dağılma kuralı varsa ( , +, . )halkası bir yakın-

halkadır. (Γ, +)bir grup olsun. (Γ) da ΓdanΓya olan tüm dönüşümlerin kümesi olsun.

Toplama, bileşenlerin toplamı ve çapım da fonksiyon bileşkesi olduğundan (( (Γ), +, . )bir yakın-halkadır.

Halka teorisinde çok iyi bilinen bir sonuç, her bir halkanın bazıΓabelyen

gruplarının tüm endomorfizmlerinin kümesi içerisine gömülebileceğidir. Benzer

şekildeher bir yakın-halkanın da herhangi Γ grubunun (Γ) içerisine gömülebileceği

gösterilmiştir. Bu sonuçtan halka teorisi grup dönüşümlerinin liner teorisi olarak

görebiliriz. Diğer yandan yakın-halkalar liner olmayan bir teoridir. İlginç olarak bir

çokliner sonuç uygun değişikliklerden sonra genel duruma taşınabilmektedir.

Örneğin halka teorisindeki primitif halkalar, N. Jacabson’un meşhur yoğunluk

teoremi ile ifade edilebilir. Yakın-halkalar için benzer sonuçlar primitif yakın-

halkalar göz önüne alınarak elde edilmiştir.

Tarihsel olarak, yakın-halka çalışmalarının ilki 1905 yılında Dickson

tarafından aksiyomatik olarak verilmiştir. Dickson tarafından bir tek taraflı dağılma

kuralına sahip cisimlerin varlığı gösterilmiştir. Bunlara da yakın cisim adını

vermiştir.

Halkalar teorisinde bilinen bazı sonuçları yakın halkalara uyarlamak

mümkündür. Halkalar teorisindeki temel teoremleri yakın-halkalar içinde ifade

edebiliriz. Hatta halkalar teorisinde elde edilen bazı sonuçları da yakın-halkalara

taşımamız mümkündür. Halkalar teorisinde her asal idealin maksimal olmadığı fakat

bazı özel halkalar da doğru olduğu bilinen bir gerçektir. Yakın-halkalarda da benzer

bir durum vardır. (Birkenmeier, 1999) sıfır simetrik yakın-halkalarda = ise her

maksimal idealin asal olduğunu yakın-halkalar için de göstermiştir. Acaba ne zaman

1.GİRİŞ SELAHATTİN KILINÇ

2

bir asal ideal maksimal olur sorusunun cevabı yakın-halka çalışanlarını meşgul

etmiştir. Bu bağlamda çeşitli çalışmalar yapılmıştır.

(Booth veGroenewald, 1998) çalışmalarında 1-asal ve 2-asal idealleri

incelemiş ve bu alanda bazı sonuçlar vermişlerdir. ( Mason, G.,1980) de bir

stronglyreguler yakın-halkalarda asal ve maksimal ideallerle ilgilenmiştir. (Daśıć, ,

1987) de strictlymaksimal ideallerle ve (Murty, 1984) de asal ve tamamen asal

idealler üzerinde çalışmıştır.

Yakın-halkaların asal idealleri üzerine ilk çalışmalar, (Van der Walt, 1964),

(Laxton, 1964), ( Ramakotaiah, 1979), ( Beidleman, 1967) ve (Rao, 1979) tarafından

yapılmıştır.

Biz bu çalışmamızda temel olarak yakın-halkalarda asal ve maksimal

ideallerle ilgileneceğiz. Reguler,güçlü(strongly)regulerve zayıf(s-weakly)

regulerhalkalar da asal ideallerin maksimal olduklarını gösteriyoruz.

Bu çalışmamız toplam dört bölümden meydana gelmiş olup her bölünün

içeriği aşağıda özetlenmiştir:

Çalışmamızın ikinci bölümünde tez boyunca kullanılacak olan temel tanım ve

teoremlere yer verilmiştir.

Üçüncü bölümde, yakın-halkalarda asal ve maksimal ideal kavramı ele

alınmıştır. Yakın-halkaların ideallerinin bazı özellikleri gösterilmiş ve aynı zamanda

yakın-halkalardaki asal ideal, tamamen (completely) asal ideal, yarı tam (semi

completely) asal ideal, yarı asal ideal ve strictly maksimal asal ideal kavramları

ayrıntılı bir şekilde incelenmiştir.

Dördüncü bölümde maksimallik kavramı üzerinde durulmuş olup, üçüncü

bölümde yer verilen asal idealler yardımı ile reguler,güçlü(strongly)regulerve

zayıf(s-weakly) reguleryakın-halkalardaki asal ideallerin maksimalliği incelenmiştir.

2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER SELAHATTİN KILINÇ

3

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER

Bu bölümde, tez boyunca kullanacağımız, temel kavramları vereceğiz. Bu

kavramların derli toplu bir şekilde verildiği, yakın-halkalarda temel bir kaynak olan

ilk baskısı 1977 de ikinci baskısı 1983 de yayımlanan (Pillz, 1983) de bulmak

mümkündür. Bu eser yakın-halka çalışan her matematikçi için temel eser kabul

edilmektedir. Çalışmamızda verdiğimiz temel kavramların büyük çoğunluğu için bu

eserden faydalanacağız.

2.1. Temel Tanım ve Teoremler

Halkaların genelleştirilmiş bir hali olan yakın-halkaların, halkalardan farklı olarak,

bir halkada birinci işlem değişmeli iken yakın-halkada birinci işlem değişmeli olmak

zorunda değildir. Ayrıca halkada ikinci işlemin birinci işlem üzerine dağılma özelliği

mevcut iken yakın-halkalarda ikinci işlemin birinci işlem üzerine tek yönlü dağılma

özelliğine sahip olması yeterlidir.

Tanım 2.1.1. Bir kümesi "+" ve "." şeklinde gösterilen iki ikili işlem ile

aşağıdaki şartları sağlıyorsa ( , +, . ) üçlüsüne bir yakın-halka denir.

1. ( , +) değişmeli olması gerekmeyen bir grup

2. ( , . ) bir yarı grup

3. ∀ , , ∈ için ( + ) = +

3. özellikte sağdan dağılma özelliği kullanıldığından bu şartları sağlayan ( , +, . )

üçlüsüne sağ yakın-halka denir. Eğer 3. özellik

∀ , , ∈ için ( + ) = +

alınırsa, bu şartları sağlayan ( , +, . ) üçlüsüne sol yakın-halka denir. Yani dağılma

özelliğinin yönüne göre yakın-halkanın sağ ya da sol olması belirlenir.

Bu çalışma boyunca aksi belirtilmedikçe tüm halkalar sağ yakın-halka olarak

alınacaktır.

Bazı yakın halka örneklerini aşağıdaki gibi verebiliriz.


4

Örnekler 2.1.2.

1. Γ , sıfırı içeren abelyen olması gerekmeyen bir toplamsal grup olsun,

toplama ve birleşme işlemi altında Γ den Γ ya ( Γ ) = { ∶ Γ → Γ }

dönüşümlerinin kümesi bir yakın-halkadır.

Gerçekten de ( ( Γ), +) bir gruptur. ∀ , , ∈ ( Γ ) , ∈ Γ için ( + )( ) = ( ) + ( ) ∈ ( Γ )

kapalılık özelliği sağlanır. ∀ , , ∈ ( Γ ) , ∈ Γ için ; ( + ) + ( ) = ( + )( ) + ( )

= ( ) + ( ) + ( )

= ( ) + ( ) + ( ) = ( ) + ( + )( )

= ( + ( + ))( )

birleşme özelliği sağlanır. ∀ , ∈ ( Γ ) , ∈ Γ için ; ( ) + ( ) = ( )

olacak şekilde ( ) = 0( ) = 0 fonksiyonu sıfır (0) fonksiyonu olduğundan birim elemen özelliği sağlanır. ∀ , ,∈ ( Γ ) , ∈ Γ için ; ( + )( ) = ( ) + ( ) = 0 = −

olacak şekilde ( + )( ) = ( ) + ( ) = 0 = −

fonksiyonu mevcut olduğundan ters eleman özelliği sağlanır.

grup olma özellikleri sağlandığından ( ( Γ), +) gruptur.


5

şimdi bileşke işlemi altında ( ( Γ) nın yarı grup olduğunu gösterelim; ∀ , ,∈ ( Γ ) , ∈ Γ için ; ( ∘ )( ) = ( ) ∈ ( Γ )

olduğundan kapalılık özelliği sağlanır. ∀ , , ∈ ( Γ ) , ∈ Γ için ; ∘ ( ∘ ) = ( ∘ ) ∘

olduğundan birleşme özelliği sağlanır. ( Γ ) birleşme işlemi altında bir yarı gruptur. ∀ , , ∈ ( Γ ) , ∈ Γ için ( + ) ∘ = ( ∘ ) + ( ∘ )

eşitliği sağlandığından bileşke işleminin toplama üzerinde dağılma özelliği sağlanır.

bütün bunlardan ( ( Γ), +, . ) bir yakın-halka olur.

2. ( Γ ) = { ∶ Γ → Γ için (0) = 0 } olarak tanımlanan dönüşüm bir

yakın-halkadır.

Şimdi ( ( Γ ), +) nın grup olduğunu gösterelim; ∀ , ∈ ( Γ ) için; ( + )(0) = (0) + (0) = 0 + 0 = 0

olup + ∈ ( Γ ) ∀ , , ∈ ( Γ ) için; ( + ) + (0) = ( + )(0) + (0)

= (0) + (0) + (0)

= (0) + (0) + (0) = (0) + ( + )(0)

= ( + ( + ))(0)

olup ( + ) + = + ( + )

dır. ∀ ∈ ( Γ ) için; + = ve + = olacak şekilde ∈ ( Γ ) varlığını

gösterelim.

+ =


6

olacak şekilde 0( ) = 0 ise 0(0) = 0 , = 0 ∈ ( Γ ) olur. + = ise = 0 ∈ ( Γ ) ∀ ∈ ( Γ ) için; + = = 0

ve + = = 0

= − olup,grup olma özellikleri sağlandığından ( ( Γ ), +) bir gruptur.

Şimdi bileşke işlemi altında ( Γ ) nın yarı grup olduğunu gösterelim; ∀ , ,∈ ( Γ ) için; ( ∘ )(0) = ( (0)) = (0) = 0

∘ ∈ ( Γ ) olup kapalılık özelliği sağlanır.

∀ , , ∈ ( Γ ) için;

∘ ( ∘ )(0) = (( ∘ )(0))

= (0)

= (0) = (0)

= 0 (( ∘ ) ∘ )(0) = ( ∘ )( (0))

= ( ∘ )(0)

= (0) = (0)

= 0 ( ∘ ) ∘ = ∘ ( ∘ ) olup birleşme özelliği sağlanır. ( ( Γ ),∘) bir yarı gruptur.

Şimdi ikinci işlemin birinci işlem üzerine sağdan dağılmayı sağladığını gösterelim. ∀ , , ∈ ( Γ ) için; (( + ) ∘ )(0) = ( + )( (0)) = (0) + (0) = 0


7

olup (( + ) ∘ ) = ∘ + ∘ dır.

Dolayısıyla ( Γ ) bir yakın-halkadır.

3. ( Γ ) = { ∶ Γ → Γ : } olarak tanımlan

dönüşüm bir yakın-halkadır. ( ( Γ ), +) nın grup olduğunu gösterelim;

∀ , ∈ ( Γ ) , ∈ Γ için; ( + )( ) = ( ) + ( ) = +

olup + sabittir. ∀ , , ∈ ( Γ ) , ∈ Γ için; ( + ) + ( ) = ( + )( ) + ( )

= ( ) + ( ) + ( )

= ( ) + ( ) + ( ) = ( ) + ( + )( )

= ( + ( + ))( ) ( + ) + = + ( + ) olup birleşme özelliği sağlanır. ∀ ,∈ ( Γ ) , ∈ Γ için;

+ = + =

olacak şekilde = 0 ∈ ( Γ ) olduğundan birim eleman özelliği sağlanır. ∀ , ∈ ( Γ ) , ∈ Γ için; + = = 0

ve + = = 0

= − olup, grup olma özellikleri sağlandığından ( ( Γ ), +) bir gruptur.

Şimdi bileşke işlemi altında ( ( Γ ) nın yarı grup olduğunu gösterelim; ∀ , ,∈ ( Γ ) için; ( ∘ )( ) = ( ( )) = ( ) =

olup ∘ ∈ ( Γ ) dır.

∀ , , ∈ ( Γ ) , ∈ Γ için;


8

∘ ( ∘ )( ) = (( ∘ )( ))

= ( )

= ( )

= ( )

= (( ∘ ) ∘ )( ) = ( ∘ )( ( ))

= ( ∘ )( )

= ( )

= ( )

= ( ∘ ) ∘ = ∘ ( ∘ ) olup birleşme özelliği sağlanır. ( ( Γ ),∘) bir yarı gruptur. ∀ , , ∈ ( Γ ) , ∈ Γ için; (( + ) ∘ )( ) = ( + )( ( )) = ( ) + ( )

= +

dolayısıyla ( Γ ) bir yakın-halkadır.

Tez boyunca karşılaşacağımız bazı yakın-halka örneklerini aşağıdaki gibi ifade

edelim.

4. ( Γ ) = { ∶ Γ → Γ , δ ∈ Γ } ve ( ) = 0 ğ = 0 ğ ≠ 0 dönüşümü

bir yakın-halkadır.

5. × = { /ℤ ∶ ℤ ℎ }

“ × +” bilinen matris toplamı ve matris çarpımı aşağıdaki gibi tanımlanırsa ℎ = + + + +

( × , +, . ) bir yakın-halka olur.

6. ℤ tamsayılar kümesi olmak üzere ( ℤ,+ ) bir gruptur. ℤ üzerinde çarpma

işlemi ;


9

∀ . ∈ ℤ ç . = olacak şekilde tanımlanırsa (ℤ, +,∙) üçlüsü bir yakın halkadır.

7. ℤ = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 ( ℤ , + ) bir değişmeli gruptur ∀ ∈ ∶ . =

şeklinde tanımlanan çarpma işlemi ile ( ℤ , +,∙ ) üçlüsü bir yakın-halkadır.

8. Her grup için bir yakın-halk elde edilebilir. Gerçekten ( , +) grubu

üzerine ikinci işlem olarak ∀ , , ∈ için ; = 0

olarak tanımlanırsa, ( , +, . ) üçlüsü bir yakın-halka olur.

9. Her halka aynı zamanda bir yakın-halkadır.

Her küme (+,.) işlemi ile yakın halka olmayabilir. Bunu aşağıdaki örnekten

görebiliriz.

10. ( )={ ∶ R → R ∶ f differensiyellenebilir } integral bileşke

işlemi, toplama ve çarpma işlemleri sırasıyla fonksiyon toplamı ve integral olarak

alınırsa ( ( ), +, . ) yakın-halka olmaz.

Gerçekten ( ) = ve ( ) = olarak seçilirse integralin bileşke işlemi

altında yakın-halka olmayacağı görülebilir.

Şimdi yakın-halkaların temel özelliklerinden bahsedelim.

Önerme 2.1.3. yakın-halkası için aşağıdaki özellikler sağlanır.

a) ∀ , ′ ∈ ∶ 0. = 0 b) ∀ , ′ ∈ ∶ (− ). ( ′) = − . ′ dir.

İspat: a) halkanın ilk iki aksiyomundan 0. = (0 + 0). = 0. + 0.

ve dolayısıyla 0. = 0

olur.

b) −( . ′) elemanı ′ elemanının toplamaya göre tersi olduğundan . ′ − ( . ′) = 0

dır. O halde


10

(− ) ′ + . ′ = (− + ). ′ = 0. ′ = 0 olup (− ) ′ elemanı . ′ elemanının toplamaya göre tersi olup (− ) ′ = − . ′

0larak elde edilir.

Not : Bir N yakın-halkası için her zaman ∀ , ∈ olarak alındığında . 0 = 0 ve (− ) = − eşitlikleri sağlanmayabilir. Örneğin, örnekler 2.1.1 in 1. Örneğinde

verilen ; ( Γ ) = { ∶ Γ → Γ }

yakın-halkasında , ∈ ( Γ ) için , ∘ 0 = 0

olması nin orjinden geçmesiyle ve (− ) ∘ = − ∘

olması ise nin tek fonksiyon olması ile mümkündür.

Tanım 2.1.4. bir yakın-halka olsun.

a) 0={ ∈ : . 0 = 0 } nin sıfır-simetrik parçası olarak adlandırılır.

b) c={ ∈ : . 0 = } = { ∈ ∶ ∀ ′∈ : . ′ = } nin sabit parçası

olarak adlandırılır. ve birer yakın-halkadır.

Örnek 2.1.5 ( ( Γ )) = ( Γ ) ve ( ( Γ )) = ( Γ ) dır. Gerçekten ( ( Γ )) = { ∈ ( Γ ): ∘ 0 = 0}

={ ∈ ( Γ ) ∶ (0) = 0}

= ( Γ )

ve ( ( Γ )) = { ∈ ( Γ ) ∶ ∘ 0 = }

={ ∈ ( Γ ) ∶ sabit }

= ( Γ )

dır.


11

= ise yakın-halkasına 0-simetrik ve = ise yakın-halkasına sabit

yakın halka denir. Örnek 2.1.5 ‘ den görüleceği gibi, ( Γ ) bir 0-simetrik, ( Γ )

bir sabit yakın halkadır.

Teorem 2.1.6. Bir yakın halkası için = + dır.

İspat : ∈ için; [ − ( 0)]0 = + (− )0 0 = 0 + (− )0 0 = 0 + (− 0) = 0

dolayısıyla − ( 0) ∈ dır. Aynı zamanda , 0 ∈ olduğu görülebilir. O halde = [ − ( 0)] + ( 0)

olduğundan ispat tamamlanır.

Tanım 2.1.7. ( , +) bir grup , ( , +) ve ( , +) da iki alt grubu olsun. Eğer ∩ = {0} , − = ve ( , +) alt grubu ( , +)da normal ise, ( , +) grubuna ( , +) alt grubunun ( , +) alt grubuyla bir yarı-direkt çarpımı denir.

Sonuç 2.1.8. Bir ( , +, . ) yakın halkasıiçin, ( , +) grubu, ( , +) nın ( , +) ile

bir yarı direkt çarpımıdır.

İspat : ∈ ∩ olsun. Bu durumda, = 0

olacak şekilde ∈ vardır ve 0 = 0

dır. O halde , 0 = 0 = ( 0)0 = (00) = 0 =

Yani ∩ = {0} dır. Teorem 2.1.6 dan = + dir. Son olarak ( , +) nın ( , +)da normal olduğunu gösterelim. Eğer ∈ ve ∈ ise bu

durumda, ( + − )0 = ( 0) + ( 0) + (− )0 … … … … … … … … … … … … … … … … … . (1)


12

burada, 0 = 0

olduğundan (1) ifadesi, ( + − )0 = ( 0) + ( 0) + (− )0 = ( 0) + (− 0) = 0

halini alır. Bu ise ( , +) nın ( , +) da normal olduğunu gösterir.

Tanım 2.1.9. ( , +, . ) bir yakın-halka olsun.

a) Eğer ∈ ve ∀ , ′ ∈ için

( + ′) = + ′ ise ∈ dağılmalı eleman denir. yakın-halkasının tüm dağılmalı elemanlarının

kümesi :{ ∈ : dağılmalı eleman} ile gösterilir.

b) Eğer ( , +) değişmeli ise ye bir abelyen yakın-halka, ( , . ) değişmeli ise ye bir komutatif yakın-halka, ( , . ) birimli ise ye birimli bir yakın halka denir.

Eğer = ise ye bir dağılmalı yakın-halka denir.

c) Eğer ( − {0}, . )bir grup ise, ye bir yakın cisim denir.

2.2. N-Gruplar

Halkalardaki modül kavramının yakın-halkalara taşınması ile elde edilmiş olan -grup yani üzerinde yakın-modül kavramı aşağıdaki gibi tanımlanır.

Tanım 2.2.1. ( Γ,+ ) sıfırı içeren bir toplamsal grup ve bir yakın-halka olsun.

: × Γ → Γ

( , ) →

∀ , ∈ ve ∀ ∈ Γ için ( + ) = +

ve ( . ) = ( . )

şartları sağlanıyorsa (Γ, ) ikilisine bir -grup yani üzerinde bir yakın-modül

denir. Kısaca ile gösterilir. Eğer birimi 1 olan birimli bir yakın-halka ise ∀ ∈ Γ için;


13

1 =

Şartını sağlayan Γ −grubuna, bir üniter −grup denir.

N ile de - grupların sınıfını göstereceğiz.

Örnek 2.2.2.

a) bir yakın-halka olsun; : × → ( , ′) → ′ dönüşümü ( , +) yı bir -grup yapar ve ile gösterilir.

b) Γ bir grup olsun. Bu durumda , : (Γ) × Γ → Γ ( , ) → ( )

dönüşümü altında , Γ bir (Γ) -gruptur. Gerçekten , ∀ , ∈ (Γ) ve ∀ ∈ Γ için, ( + ) = ( + )( ) = ( ) + ( ) = +

ve ( ) = ( ) = ( ) = ( )

olduğu görülür. −grup kavramıyla ilgili bazı temel özellikler aşağıdaki gibidir.

Önerme 2.2.3. bir yakın halka ve Γ bir −grup olsun. Bu durumda,

a) ∀ ∈ Γ için, 0 = 0

b) ∀ ∈ Γ ve ∀ ∈ için, (− ) = −

c) ∀ ∈ için, 0 = 0

d) ∀ ∈ Γ ve ∀ ∈ için, = 0

İspat :

a) ∀ ∈ Γ için, 0 = (0 + 0) = 0 + 0

ve bu yüzden 0 = 0 olduğu görülür.

b) ∀ ∈ Γ ve ∀ ∈ için, (− ) = (0 − ) = 0 − = 0 − = −

dır.


14

c) ∀ ∈ 0 = (00 ) = ( 0)0 = 00 = 0

dır.

d) ∀ ∈ Γ ve ∀ ∈ için, = ( 0) = (00 ) = 0

elde edilir.

Daha sonra kullanacağımız yakın-halka sınıflarını aşağıdaki gibi sıralayabiliriz. ile yakın-halkaların sınıfını, 0 ile sıfır simetrik yakın-halkaların sınıfını, c ile sabit yakın-halkaların sınıfını, 1 ile birimli yakın-halkaların sınıfını göstereceğiz.

2.3. Alt Yapılar

Tanım 2.3.1. bir yakın-halka ve ( , +) ( , +) nın bir alt grubu olsun. Bu durum

da, ile birlikte . ⊆ ise ye yakın-halkasının alt yakın-halkası denir.

Örnek 2.3.2. ve , yakın-halkasının alt yakın halkalarıdır. Gerçekten, ∀ , ∈ için, ( − )0 = 0 − 0 = 0 − 0 = 0

Yani , ( , +) ( , +) nın bir alt grubudur. ∀ , ∈ için, ( )0 = ( 0) = 0 = 0

olup buradan, ⊆ dır. Bu da ın yakın-halkasının alt yakın halkası

olduğunu gösterir. Benzer şekilde ∀ , ∈ için, ( − )0 = 0 − 0 = −

yani − ∈ olur. Bu da ( , +) nın ( , +) nın bir alt grubu olduğunu gösterir. ∀ , ∈ için, ( )0 = ( 0) = ( ) =

olup bundan dolayı, ⊆ dır. Bu ise in yakın-halkasının bir alt yakın-

halkası olduğunu gösterir.


15

Tanım 2.3.3. bir yakın-halka ve Γ bir -grup olsun. Γ nın Δ ⊆ Δ

şartını sağlayan bir Δ alt grubuna, Γ nın bir -altgrubu denir.

2.4. Homomorfizm ve idealler

Tanım 2.4.1. , ∈ ∀ , ∈ ç ℎ( + ) = ℎ( ) + ℎ( ) ∀ , ∈ ç ℎ( ∙ ) = ℎ( ) ∙ ℎ( )

koşulları sağlanıyorsa ℎ: → dönüşümüne bir yakın-halka homomorfizmi denir.

Bu tanımlarla beraber, monomorfizm, epimorfizm ve otomorfizm kavramları

halkalar teorisinde olduğu gibidir. Eğer yakın-halkasından yakın-halkasına bir

monomorfizim, yani birebir homomorfizm, varsa yakın-halkası ye

gömülebilirdir denir. Aynı tanımlar -gruplar için de geçerlidir.

Örnek 2.4.2. bir yakın-halka ve Γ bir -grup olsun. Bu durumda ∀ ∈ Γ için,

ℎ : → Γ →

dönüşümü bir -homomorfizmdir.

Tanım 2.4.3. bir yakın halka ve , nin bir normal alt grubu olsun. Bu durumda

eğer;

a) . ⊆

b) ∀ , ∈ ve ∀ ∈ için . ( + ) − ∈ Şartları sağlanıyor ise ya yakın-halkasının ideali denir ve ⊲ ile gösterilir.

Eğer sadece a) koşulu sağlanıyor ise ya yakın-halkasının sağ ideali denir, b)

koşulu sağlanıyor ise ya yakın-halkasının sol ideali denir ve sırası ile ⊲ ve ⊲ ile gösterilir.


16

Tanım 2.4.4. bir yakın-halka ve Γ bir -grup olsun. Eğer Γ nın bir Δ normal alt

grubu ∀ ∈ Γ ,∀ ∈ ∆ ve ∀ ∈ için, ( − ) − ∈ ∆

Şartını sağlıyorsa, ∆ ya Γ nın bir ideali denir ve ∆⊲ Γ ile gösterilir.

Not :

a) Bir yakın-halkasının sol idealleri ile nin idealleri çakışıktır.

b) bir yakın-halka ve ⊲ ise, bölüm yakın-halkası, halkalar

teorisinde ki bölüm halkası tanımında olduğu gibi = { + ∶ ∈ }

Şeklinde tanımlanır. Benzer olarak bir -grup ve Δ ⊲ Γ için Γ Δ bölüm -grubu tanımı verilebilir.

c) {0} ve , yakın-halkasının idealleridir. Bunlara nin aşikar idealleri

denir. Benzer şekilde {0 } ve Γ , yakın-halkasının Γ -grubunun aşikar

idealleridir.

d) ve iki yakın-halka ve ℎ ∈ ( , ) ise ç ℎ = { ∈ ∶ ℎ( ) = 0 } kümesine ℎ homomorfizminin çekirdeği denir.

Tanım 2.4.5. Eğer yakın-halkasının, bir alt yakın-halkası için, ⊆ ve ⊆ şartları sağlanıyorsa ye yakın-halkasının bir invaryant alt yakın-

halkası denir. Burada nin yönüne göre sağ yada sol invaryant alt yakın-halka

adını alır.

Önerme 2.4.6. yakın-halka olsun. Bu durumda, a) ⊲ dir, fakat ⊲ olmak zorunda değildir. b) c , nin invaryant alt yakın-halkasıdır, fakat ne sol ne de sağ ideali olmak

zorunda değildir.İspat :

a) ₀ bir sol idealdir bunu gösterelim; ∀ , ∈ ve 0∈ olsun. ( + ₀ − )0 = 0 + ₀0 − 0 = 0


17

olup bu yüzden ( + ₀ − ) ∈ ₀

dır.

[( ( + ₀ ) − ′ ]0 = ( 0 + ₀0) − ′0 = 0

olduğundan. ( + ₀ ) − ′ ∈ ₀ dır.

Şimdi ₀ ın ideal olması gerekmediğini gösterelim; ℝ reel sayılar kümesi, = (ℝ) olsun. ℝ ile de birim dönüşüm gösterilirse,

ℝ ∈ ₀ = (ℝ) dır. 1 ∈ (ℝ) dönüşümü, 1:ℝ ⟶ ℝ ∈ (ℝ)

⟶ 1

olarak tanımlansın. Bu durumda, ∘ 1 = 1 ∉ (ℝ)

olduğundan (ℝ) , (ℝ)’nin bir ideali değildir.

b) nin invaryant alt yakın-halka olduğunu gösterelim. ∀ ∈ ve ∀ ∈ ( )0 = ( )0 = 0 =

buda ∈ ve ∈ olduğunu gösterir. nin ne sağ nede sol ideal olmadığını gösterelim; ( ,+) nın genelde normal alt grubu değildir. Abelyen olmayan Γ grubunu

alalım , ∈ Γ için + ≠ + olacak şekilde seçilsin. Şimdi dönüşümü,

: Γ → Γ ∈ (Γ)

→

ile tanımlansın. ∈ (Γ) birim dönüşüm ise bu durumda, + − (0) =

olur fakat


18

+ − ( ) = + − ≠

olduğundan + − ∉ (Γ)

bu nedenle Γ abelyen ise (Γ) normaldir.

Önerme 2.4.7. bir yakın-halka Γ bir -grup olsun. Bu durumda;

a) ⊲ ⟹ ⊆

b) = ⟺ nin her sol ideali nin bir alt grubudur.

c) = ⟹ her Γ ∈ N

İspat :

a) ⊴ ⟹ ∀ ∈ , ∀ ∈ için; = 0 + ) − 0 ∈

olduğundan ⊆

dir.

b) ⟹ :a dan açık. ⟸:{0} ⊴ ⟹{0} N nin alt grubu ⟹ 0={0}⟹ =

c) Bunun ispatı da b) şıkkında olduğu gibidir.

Tanım 2.4.8. bir yakın-halka, Γ bir -grup, ∆ ve ∆ Γ nun herhangi iki alt kümesi

olsun. Bu durumda, (∆ :∆ ) = { ∈ ∶ ∆ ⊆ ∆ }

İle verilir. ∈ Γ için, kısalık açısından , ({ }:∆) = ( :∆) alınacaktır. (0 : Δ) = ∈ ∶ ∆⊆ {0 } kümesine Δ ⊆ Γ nin sıfırlayanı denir. Herhangi bir karışıklık içermeyen durumlarda,

bu küme (0: Δ) ile gösterilecektir.

Yakın-halkaların idealleri, ideallerin toplamları ve direkt toplamları ile ilgili bazı

özellikler aşağıda verilmiştir.

Teorem 2.4.9. bir yakın-halka ve ( ) ∈ yakın-halkasının ideallerinin bir

ailesi olsun. Bu durumda aşağıdaki kümeler birbirine denktir.


19

a) ların elemanlarını tüm sonlu toplamlarının kümesi b) Farklı ların tüm sonlu toplamlarının kümesi c) ( ,+ ) normal alt gruplarının toplamı d) ( ,+) grubunun ∈

tarafından üretilen alt grubu e) ( , +) grubunun ∈

tarafından üretilen normal alt grubu f) nin ∈

tarafından üretilen ideali.

Bu teoremin ispatı grup ve halka teorisindeki ispatın aynısıdır.

Tanım 2.4.10 Teorem 2.4.9 da a) dan f) ye kadar olan kümelere ( ) ∈ ideallerinin

toplamı denir. ∈

ile gösterilir. ( k={1,2,3, … }, 1+ 2+ 3+…)

Teorem 2.4.9 nun d), f) şartlarından aşağıdaki şonuç görülebilir.

Sonuç 2.4.11 bir yakın olsun. Bu durumda;

a) yakın-halkasının ideallerinin toplamı yine nin idealidir.

b) İdeallerin toplamı asosyatiflik ve değişme özelliklerini korur.

Tanım 2.4.12 bir yakın-halka ve ( ) ∈ yakın-halkasının idealleri olsun. Eğer ∈


20

nın her bir elemanı, farklı elemanlarının bir sonlu toplamı olarak tek türlü olarak

yazılabiliyorsa ∈

toplamına ideallerin bir iç direk toplamı denir. Belirli olması açısından bu toplam ∈

ile gösterilecektir.

Önerme 2.4.13. bir yakın olsun Bu durumda; nin ideallerinin her ( ) ∈ ailesi

için aşağıdaki şartlar birbirine denktir.

a) ların toplamı direktir.

b) ( , +) normal alt grupların toplamı direktir.

c) ∀ ∈ için , ∩ ( ) ∈ , = {0}

Önerme 2.4.14. bir yakın , ( ∈ ) nin ideallerinin ∈

toplamı direkt olacak şekilde, bir ailesi olsun. Bu durumda, , ′ ∈ , , ′ ∈

ve ≠ ise;

a) + = +

b) ( + ) =

c) = 0

d) = 0 ise . = 0 dır.

İspat :

a) ⊲ ve ⊲ olduğundan bunlar aynı zamanda nin birer normal alt

grubudur. Dolayısıyla ∈ ve ∈ için, + − ∈ ve ∈ olduğundan ,


21

− − − ∈ dir. Benzer şekilde, − − ∈ ve ∈ olduğundan, + − − ∈ dir. ∩ = {0} olduğundan, + − − = 0

ve buradan , + = +

elde edilir.

b) ⊲ olduğundan , ∈ ⊆ ve ∈ için, ( − ) − ∈ dir. ⊲ olduğundan, Burada ( − ) ∈ ve ∈ dir. Dolayısıyla, ( + ) − ∈ dır. ≠ için ∩ = {0} olduğundan , ( + ) − = 0

ve buradan , ( + ) =

elde edilir.

c) ∈ ve ∈ için ⊲ olduğundan, ∈ ve 0 ∈ dolayısıyla, − 0 ∈ dir. ⊲ olduğundan ∈ ⊆ , 0 ∈ ve ∈ için,


22

(0 + ) − 0 ∈

yani, − 0 ∈

dir. Yine ≠ için ∩ = {0} olduğundan, = 0

elde edilir.

Bu son ispattan d) şıkkının ispatı hemen görülebilir. Çünkü =

ise 0 = 0 dır.

Önerme 2.4.15. bir yakın-halka ve ⊲ olsun. Eğer ∃ ⊲ için, = + şartı sağlanıyorsa idealine yakın-halkasının bir direkt toplananı denir. ye

yakın-halkasında nın tamamlayıcısı denir.

Teorem 2.4.16. bir yakın-halka ve ⊲ olsun. Eğer bir direk toplanan ise nın

her bir ideali aynı zamanda yakın-halkasının bir idealidir.

Not: Genelde bir yakın-halkasında iki -alt grubun toplamı yine bir -alt grup

değildir. Fakat (Fain, 1968) aşağıdaki sonucu vermiştir.

Önerme 2.4.17. bir yakın-halka ve Γ bir -grup olsun. Eğer Δ , nun bir alt

grubu ve , nun bir ideali ise bu durumda Δ + , nun bir alt grubudur. Yani Γ -grubunun bir -alt grubu ve bir idealin toplamı Γ nun bir -alt grubudur.

İspat : ∀ ∈ ∆ , ∀ ∈ , ∀ ∈ için;

( + ) = ( + ) − + ∈ + ∆= ∆+

bir yakın-halkasında, her zaman = + olduğu daha önce teorem 2.1.6 ile

verilmişti. Aşağıdaki önerme aynı durumun yakın-halkaların sağ idealleri için de

geçerli olduğunu göstermektedir.

Önerme 2.4.18. bir yakın-halka ve ⊲ olsun. Bu durumda ; = ∩ ( + ) = ∩ + ∩ = + dir.


23

İspat : Teorem 2.1.6 da ∀ ∈ için, = − olacak şekilde ∃ ∈ ve ∃ ∈ vardır. ⊲ olduğundan, = 0 = ( − )0 = 0 ∈

dolayısıyla ve idealinin elemanlarıdır. Bu ise = + olduğu

gösterilmiş olur.

2.5. Reguler ve güçlü(strongly) reguler zayıf(s-weakly) reguler yakın-halkalar

Tanım 2.5.1. ∃ ∈ ℕ için k =0 ise ∈ ye nilpotent eleman denir. (ℕ ile doğal

sayılar kümesini gösterir)

Örnekler 2.5.2. a) 2 , ℤ [ ] de nilpotent elemandır. b) = 0 ise ∈ nilpotenttir.

Tanım 2.5.3. ∀ ∈ ℕ için k= eşitliğini sağlayan ∈ var ise ye idempotent

eleman denir.

Tanım 2.5.4. C( )={ ∈ : ∀ ′ ∈ için . ′ = ′ } ise ( , . ) nın (center)

merkezleğeni denir.

Tanım 2.5.5. bir yakın-halka olsu. ∀ , , ∈ olmak üzere = 0 için = 0 özelliği sağlanıyor ise ye (insertion-of-foctors-property ) özelliğine

sahiptir denir.

Önerme 2.5.6. (Bell, 1970), (Heatherly, 1973), (Marin, 1971) , ( Ramakotaiahrao,

1979 ), ∈ yakın-halkası nilpotent elemana sahip olmadan bir yakın-

halkasıdır.

İspat: ∈ için = 0 ise = 0 = 0 dır. Buradan ( ) = 0 olup bu

yüzden = 0 dır. Şimdi; ∀ ∈ ∶ = ( ) = ( ) = 0 = 0


24

Bundan dolayı , özelliğine sahiptir.

Önerme 2.5.7. (Bell 1970) bir yakın-halka, ∈ nilpotent elemanlara sahip

değilse ;

a) Her dağılma özelliğini sağlayan idempotent merkezleyendir.

b) ∈ ise tüm idempotentler ( ) dedir.

İspat : İlk olarak her idempotenti için ∀ ∈ için = olduğunu

gösterelim. Şimdi; ( − ) = 0

önerme 2.5.6 dan, ( − ) = 0

ve özelliğinden, ( − ) = 0

olup buradan; (− )( − ) = (− )0 = 0

dır. Bundan dolayı, ( − ) = ( − ) + (− )( − ) = 0

olup o halde − = 0

dır.

a) Eğer ∈ , ∀ ∈ ise ( − ) = + (− ) = − = 0

olup ( − ) = 0

buradan da ; = =

dir.

b) eğer 1 birim elemanına sahip ise ve yeniden bazı idempotentlerini

düşünecek olursak. (1 − ) = 0

olduğundan dolayı ∀ ∈ ∶


25

(1 − ) = 0

olup , aynı zamanda ( − ) = −

ve (1 − ) = 0

olduğundan dolayı ; ( − ) = ( − ) ( − ) = ( − )(1− ) = 0

olup bundan dolayı; ∀ ∈ için; = =

olur.

Tanım 2.5.8. bir yakın-halka ve ∀ ∈ için = = olacak şekilde bir ∈ varsa varsa ye sol reguler yakın-halka denir.

Örnekler 2.5.9. Aşağıdakiler reguler yakın-halkalardır.

a) (Γ) ve (Γ)

b) Sabit yakın-halkalar

c) Yakın cisimlerin direk toplamı ve direk çarpımı

d) ( , +,⋇) herhangi bir grubu için ( , +) ve ∗ = ğ ≠ 00 ğ = 0

Bütün bunlardan aşağıdaki sonuçları yazabiliriz.

a) Tanım.2.5.8 deki ve birer idempotenttirler.

b) Örnekler 2.5.9 dan çıkartılabilir ki reguler yakın-halkaların abelyen olması

gerekmemektedir.

c) Reguler yakın-halkaların direk toplam ve direk çarpımlarının homomorfik

görüntüleri de regulerdir.

d) Örnekler 2.5.9 nin a) şıkkından reguler yakın-halkaların alt yakın-halkaları

genellikle reguler değildir.

Teorem 2.5.10. (Beidleman,1969), (Ligh, 1970), ∈ olsun. regulerdir ⟺ ∀ ∈ ∃ = ∈ : =


26

İspat: ⇒: = olacak şekilde bir ∈ alalım. Yukarıdaki sonuçların a)

şıkkından = ( )olur. ⇐: ∈ alalım. Daha sonra bazı idempotentleri için = dir. ∈ ve

bazı ∈ ile = dir. Bundan hareketle ∈ , ∈ = ve bazı ler

için = elde edilir. Buradan da = = = = yi elde ederiz ki

bu da istenendir.

Tanım 2.5.11. ∀ ∈ için = 2 olacak şekilde bir ∈ varsa sol

güçlü(strongly) reguler yakın-halka denir.

Burada sol reguler yakın-halka hem reguler hem de sol ğüçlü(strongly) reguler

yakın-halkadır. (sağ güçlü(strongly) reguler yakın-halkada benzer şekilde tanımlanır)

Teorem 2.5.12. ≠ 0 ve birimli reguler bir yakın-halka olsun aşağıdakiler bir

birine denktir:

a) = 0 ın sıfırdan başka nilpotent elemanı yoktur.

b) nin bütün idempotent elemanları (central) merkezleyendir..

c) yakın cisimlerin alt direkt çarpımıdır.

d) Birimli bir reguler yakın-halkanın idempotentleri merkezleyen olup her −altgrup bir sol idealdir.

Örnek 2.5.13. (Γ ) ve µ0 (Γ ) reguler yakın-halkadırlar fakat güçlü(strongly)

reguler yakın-halka değildirler.

Sonuçlar 2.5.14. ( Beidleman, 1967 ), (Ligh, 1970) , (Heatherly,1973) , (Chao,

1975) ,( Marin, 1971 )

a) de sadece 1 ve 0 idempotentler ise birimli (1 ≠ 0) reguler-yakın halkası

bir yakın-cisimdir.

Artan zincir kuralını (descending chain condition) kısaca DDC ile göstereceğiz. yakın-halkası için ideal kümeleri DDC koşulunu sağlıyorsa ye idealler için

DDC koşulunu sağlar denir yada kısaca ye DDCI ya sahiptir denir.

b) Bir reguler yakın-halka, DCCI ile tüm idempotentleri (central) merkezleyen

ise bu yakın-halka yakın cisimlerin sonlu direk toplamlarına eşittir.


27

c) Birimli bir reguler yakın-halkanın tüm idempotentleri (central) merkezleyen

ise bu yakın-halkada her -altgrup bir sol idealdir.

d) Birimli bir reguler yakın-halka eğer tamlık bölgesi ise bir yakın cisimdir.

Sonuç 2.5.15.

a) nilpotent elemanlara sahip değil ise indirgenebilirdir.

b) Eğer nin tüm idempotent elemanları (central) merkezleyen ise ye unital

denir.

c) , özelliğine sahip ise , ∈ için . = 0 ise . = 0 dır.

Tanım 2.5.16. bir yakın halka ve , ∈ alalım. ≡ ∶⟺ ∀ ∈ ∶ =

İse ve ye sağ eşit çarpanlar denir.

Tanım 2.5.17. bir yakın halka olsun. Eğer | /≡| ≥ 3 ve her = + ( ≢ )

eşitliği de bir tek çözümü varsa ye bir planar yakın-halka denir.

Notasyon Eğer ∈ , = { ∈ ∶ ≡ 0 } ise ≢ ile \ yı göstereceğiz.

Önerme 2.5.18. (Anshel-Clay, 1968 ) Her planar yakın-halka sıfır simetriktir.

İspat : ∈ alalım. ∈ ≢ olsun. O halde hem 0 hemde 0 , = 0 + 0

denkleminin çözümü olup 0 = 0 dır. Bu da istenendir.

Önerme 2.5.19. (Anshel-Clay, 1968 ) planar yakın-halka olsun.

a) ∈ sağ sıfır bölen ⟺ ≡ 0 ⟺ ∈

b) ∀ ∈ ≢ , ∀ ∈ , ∃ ∈ ∶ =

İspat :

a) Biz sadece = 0 ( ≠ 0) olduğunu göstermeliyiz buradan ≡ 0 elde

ederiz. Gerçekten ≢ 0 ise hem 0 hem de = 0 + 0

denkleminin çözümü olup bu bir çelişkidir.


28

b) Eğer ∈ ≢ ise = 0 +

Bir tek çözüme sahiptir. Dolayısıyla bu da istenen olup ispat tamamlanır.

Tanım 2.5.20. ∀ ∈ için = olacak şekilde ∃ ∈< 2> var ise ye zayıf

( -weakly) reguler yakın-halka denir.

3. MAKSİMAL VE ASAL İDEALLER SELAHATTİN KILINÇ

29

3.MAKSİMAL VE ASAL İDEALLER

3.1.Maksimal İdealler

Tanım 3.1.1. bir yakın-halka ve Γ bir -grup olsun. nin(Γ nın) aşikar olmayan

ideali yoksa, ye (Γ ya) basitttir denir. Eğer Γ nın 0 ve Γ dışında -alt grubu

yoksa Γ ya -basittir denir. {0} ideali bir yakın-halkasının tüm ideallerinin kümesinde daima minimal

olduğundan aşağıdaki tanımlar halka teorisinde olduğu gibidir.

Tanım 3.1.2. bir yakın-halka olsun. nin tüm sıfırdan farklı ideallerinin

kümesinde minimal olan ideale nin minimal ideali denir.

Benzer olarak, minimal sağ ve sol ideal tanımları verilebilir. Bu tanımların dualleri

maksimal ideal tanımlarıdır.

3.2. Asal İdealler

Yakın-halkalar için ideal kavramı, birbirinden bağımsız olarak (Van der Walt,1964)

ve (Ramakotaiah,1979) tarafından ilk olarak ortaya atılmış ve üzerinde çeşitli

çalışmalar yapılmaya başlanmıştır. bir yakın-halka ve , ⊆ olsun .Bu durumda;

. = { ∶ ∈ ve ∈ }

dır. doğal sayısı için tanımı benzer şekilde tanımlanabilir. bir yakın-halka

ve , ⊲ olsun. Bu taktirde, çarpımı bir ideal olmayabilir. Hatta bu çarpım ( , +) grubunun bir alt yarı grubu dahi olmak zorunda değildir.

Önerme 3.2.1 (maxson, 1967) ve birer yakın-halka olsun. Bu durumda, a) ∀ , , ⊆ için ( ) = ( ) b) ℎ: → bir dönüşüm ve ∀ , ⊆ için ℎ( ) = ℎ( )ℎ( ) ve ∀ ̅, ⊆ için ℎ ( ) ⊇ ℎ-1( ̅) ℎ-1( ) c) ∀ ⊴ , ∀ , ⊆ için ( + )( + ) = +


30

Tanım 3.2.2. bir yakın-halka ve ⊲ olsun. Eğer ∀ , ⊲ için ⊆ olması, ⊆ veya ⊆ olmasını gerektiriyorsa ye yakın-halkasının bir asal ideali

denir.

Notasyon: bir yakın-halka ve S⊆ için <S> ile S kümesi tarafından üretilen

ideali göstereceğiz. Kısalık açısından, bir ∈ için ( { }) yerine < > gösterimi

kullanılacaktır.

Tanım 3.2.3. nin herhangi bir alt kümesi için A( ) ile { ∈ : . =0 }

kümesini göstereceğiz.

Tanım 3.2.4. . ∈ için ∈ ya da ∈ ise nin idealine tamamen

(completely) asal ideal denir.

Tanım 3.2.5. 2∈ için ∈ ise nin idealine yarı tam (semi completely) asal

ideal denir.

Tanım 3.2.6. nin herhangi bir ideali için 2⊆ dan ⊆ ise nin idealine

yarı asal ideal denir.

Önerme 3.2.7. (Wander Walt, 1964) yakın-halkasının bir ideali için

aşağıdakiler birbirine denktir;

a) bir asal idealdir

b) , ⊲ için ⊆ olması ⊆ veya ⊆ olmasını gerektirir.

c) ∀ , ∈ için ∉ ve ∉ ise < >< >⊈ dir.

d) , ⊲ için ⊃ ve ⊃ ise ⊈P dir.

e) , ⊲ için ⊈ ve ⊈ ise ⊈ dir.

İspat :

a⇒b : ⊲ N asal ve ∀ , ⊲ için (IJ)⊆ olsun. ⊆< >⊆

ve asal olduğundan tanım 3.2.2 den ⊆ veya ⊆ dir. Dolayısıyla b⇒a

durumu da elde edilmiş olur. a⇔ e durumu da tanım 3.2.2 den kolaylıkla elde

edilebilir.

a⇒c : ⊲ N asal ve < >< >⊆ olsun. Bu durumda asal olduğundan < >⊆ veya < >⊆ dir. Bundan dolayı ∈ veya ∈ dir.


31

c⇒d : Kabul edelim ki c) sağlansın ve ⊃ ve ⊃ olacak şekilde , ⊲ bulunsun ∈ \ ve ∈ \ alalım bu durumda < >< >⊈

olup dolayısıyla ⊈

elde edilir.

d⇒e : Kabul edelim ki d) sağlansın ve ∀ , ⊲ için ⊃ ve ⊃ olsun. ∈ \ ve ∈ \ alalım buradan < > + ⊃ ve < > + ⊃ olduğundan (< > + )( < > + ) ∉

dır. Bu yüzden ; ∃ ∈ , ∃ ∈ ve ∃ , ∈ için ( + )( + ) ∉

olup dahası ( + ) − + + ( + ) ∉

dir. Fakat ( + ) − ∈

ve ( + ) ∈ ∉

buradan da ⊄

dır.

Önerme 3.2.8. bir yakın-halka ve ( ) ∈ kapsama altında tam sıralı olan nin

asal ideallerinin bir ailesi olsun. Bu durumda. ∈


32

İdeali nin bir asal idealdir. Burada bir indis kümesidir.

İspat : sıralı olduğundan, , ∈ için

≤ ⇒ ≤ bir ideal , ve nin birer ideali olsunsunlar. ⊆ ∈ ⇒ ∀ ∈ ∶ ⊆

olduğundan ∃ ∈ için ⊈ ise ⊆ dır. ∀ ≥ için ⊆ olur.

Eğer < için ⊈ ise ⊆ dır dolayısıyla ⊆ olacaktır ki bu bir

çelişkidir. Bu yüzden ∀ ∈ için ⊆ ve ⊆ ∈

olur.

Önerme 3.2.9. bir yakın-halka , ⊲ bir direkt toplanan ve ⊲ bir asal

ideal ise ∩ da asal idealdir.

İspat : , ⊆ ∩ olsun . ( , ⊲ ) için . . ⊆

ve . ⊲

bu yüzden, ⊆

ya da

⊆

dolayısıyla ⊆ ∩ yada ⊆ ∩ dır.


33

Önerme 3.2.10. bir yakın halka, ⊲ , ⊆ ⊲ ve eğer : → =

kanonik epimorfizm ise asaldır ⟺ ( ) asaldır.

İspat : ⟹ Kabul edelim ki , asal ve ( , ⊲ ) için , ⊆ ( ) olsun.

J1 : ( ) , J2 : ( ) önerme 3.2.1 den . . = ( ). ( ) ⊆ ( . ) ⊆ ( ) = + =

dır. Buradan bir asal ideal olduğundan; ⊆

ya da ⊆

olup buradan da ; = ( ̅) = ̅ ⊆ ( )

ya da ̅ ⊆ ( )

dır. Bu da ( ) ̕ nin asal ideal olduğunu ispatlar. ⟸: Şimdi kabul edelim ki ( ) asal ve ⊆ olsun. Bu durum da ( ). ( ) = ( . ) ⊆ ( )

olup ( ) bir asal ideal olduğundan, ( ) ⊆ ( ) ya da ( ) ⊆ ( ) dır. Dolayısıyla ⊆ + = ( ) ⊆ ( ) = + =

ya da ⊆

dır. Bu da bize nin bir asal ideal olduğunu gösterir.

Tanım 3.2.11. bir yakın-halka olsun. Eğer nin sıfır ideali asal ise ye bir asal

yakın-halka denir.

Örnek 3.2.12.

a)Her tamlık bölgesi yakın-halkası bir asal yakın-halkadır.


34

. ⊆ {0 } ve ≠ {0} , ≠ {0} olup bu bize bazı ∈ ∗ , ∈ ∗ için . = 0 olmasını

garanti eder.

b) , ′ nin bir asal idealıysa {0} bir asal halkadır.

Örnek 3.2.13. bir yakın-halka olsun. Eğer = ise ( , +) nın her normal alt

grubu bir asal idealdir. O halde her sabit yakın-halka bir asal yakın-halkadır.

Önerme 3.2.14. bir yakın-halka olsun. Eğer bir basit yakın-halka ise, ye bir

asal yakın-halka ya da bir sıfır yakın-halka denir.

İspat : Eğer bir basit yakın-halka ise , sıfır ve kendisinden başka ideali yoktur. O

halde asal ideallik tanımından, {0} = {0}, {0}{0} = {0}, {0} = {0}

veya = {0}

durumları olabilir. Buradan ya {0} bir asal ideal ya da = {0} olduğu görülür.

Önerme 3.2.15. nın ideali için bir asal halkaysa ya asal ideal denir.

İspat : önerme 3.2.10. da = alınırsa sonuçelde edilir.

Tanım 3.2.16. ∈ ∈ ç ∈ ise ( ,+) nın alt grubuna − alt grup

denir.

Tanım 3.2.17. ⊂ için ⊂ ⊂ den = , , nin −altgrubu olacak

şekilde bir , −alt grubu var ise nin sağ ideali minimal strict genişleme

özelliğine sahiptir denir.

Tanım 3.2.18. nin bir öz alt sağ ideali −altgrup olarak maksimal ise bu öz alt

sağ ideale strictly maksimal idaeal denir.

Tanım 3.2.19. ∀ , ∈ için ∃ ∈ ( ), ∃ ∈ ( ) : 1. 1∈ ise ⊆ ye

bir − denir

Örnek 3.2.20.

a) ∅ ve aşikar − lerdirler.

b) ∀ ∈ için { , 2, 3, …} bir − dir

Sonuç 3.2.21. nin ideali için, \ bir − ise , nin bir asal

idealidir.


35

Önerme 3.2.22. ( Van der Walt, 1964), (Ramakotaiah, 1979 ) ⊆ , de bir − ve nin ideali ile ∩ = ∅ ise yı içeren ≠ ideali için ∩ = ∅ dır.

İspat : ℐ = { ⊴ : ⊇ ∧ ∩ = ∅} . ∈ ℐ. Zorn lemmasından ℐ , gibi bir

maksimal elemanını içerir. ≠ bir idealdir. gerçekten bir asal idealdir:

Eğer ⊃ ⋀ ⊃ ise bazı ̇ ∈ ∩ ve ̇ ∈ ∩ için ̇ ̇ ⊆

ve ∃ ∈ ̇ ∃ ∈ ̇ : ′ ′ ∈

olup bu yüzden ; ( ) ∩ = ∅ , ( ) ⊈ ∧ ⊈


36

ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ SELAHATTİN KILINÇ

37

4. ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ

Bu bölümde asal ideallerin maksimal ideal olmak zorunda olmadığı ancak reguler ,

güçlü(strongly) reguler ve zayıf(a-weakly) reguler halkalardaki asal ideallerin

maksimal ideal oldukları gösterilmiştir.

4.1. Regulerlik

Lemma 4.1.1.

a) Eğer sol yada sağ güçlü(strongly) regular yakın-halka ise

indirgenebilirdir.

b) Sıfır simetrik yakın-halkalarda . = 0 ⟹ . = 0 ve sağlanır.

İspat :

a) sağ güçlü(strongly) yakın-halka için ; = ². ⇒ = 0.

olup ² = 0 ⇒ = 0

dır. O halde sağ güçlü(strongly) yakın-halka için indirgenebilirdir.

Sol güçlü(strongly) yakın-halka için ;

Eğer ² = 0 ve = ² = . 0

ise 0 = ² = ( . 0) = (0 ) = . 0 =

olup. Bu sol güçlü(strongly) yakın-halka için de nin indirgenebilir olduğunu

gösterir.


38

b) Lemma 4.1.1 in a) şıkkından kolayca görülür.

Lemma 4.1.2. ile bir sol reguler yakın-halka sağ reguler yakın-halkadır.

İspat : sol reguler yakın-halka tanımından ; = ² = ⇒ ( − ) = 0 özelliğini göz önüne alırsak ( − ) = 0

ya da = ²

buradan = = ²

bu yüzden = = ² ²

olup burada = ² olarak seçilirse = ² olur ki bu da = ² ² = =

olmasını gerektirir ki bu da istenendir.

Hatırlatmalar 4.1.3. Eğer sol ve sağ strongly reguler yakın-halka ise ∀ ≠ 0 ∃ , ∶ = ² = ² ise halka teoriden farklı olarak nin dan

farklı seçilmesine gerek yoktur.

Buna rağmen nin sağ ve sol reguler olmasında nin ya eşit seçilmesin de iki

durum söz konusudur; sıfır simetrik ve unital ya da sıfır bölene sahip değildir.

Gerçekten eğer sıfır bölene sahip değil ve sol strongly reguler ise = ² den ( − ) = ³− ² ² = ³ − ³ = 0


39

olup buda ² ≠ 0 ve = ² olmasını gerektirir.

Önerme 4.1.4. Eğer sıfır simetrik ise sol regulerlik sol güçlü(strongly) regulerlik

ile çakışıktır. Buradan sağ regulerlikte elde edilir. Buradan başka eğer unital ise bu

üç şart birbirine eşittir.

İspat : Eğer sol güçlü(strongly) reguler yakın-halka ise her için = ² olacak

şekilde bir ∈ vardır. Buradan hareketle ( − ) = ²− ² = ²− ² = 0

olup lemma 4.1.1 den ( − ) = 0 ( − )² = ( − )− ( − ) = 0

olup indirgenebilirdir buradan da sol regulerdir, Lemma 4.1.2 den de sağ

regulerdir.

Dahası eğer unital ve = ² = ise ve idempotentirler ( önerme

2.5.9 ) dan bunlar central olup bu yüzden = ² dir.

Sonuç 4.1.5. yakın-halkası ile unital ise aşağıdakiler birbirine denktir.

a) Reguler

b) Sağ reguler

c) Sol reguler

d) Sol güçlü(strongly) reguler

İspat :

a⟹b : = den (1− ) = 0 dır. özelliğinden = ² olur o halde = = ²( ) önermeye dayanarak eğer , ile unital ise 1.0=0 dan

1 0=0 dır. Her için 0 = 0 olup bu yüzden sıfır simetriktir.

(Pilz.1983) ın tanımını (Pilz.1983) de aşağıdaki gibi vermiştir;


40

∀ ∈ ∃ ( ) > 1 ∶ n(x)= ise , özelliğine sahiptir.( n= ( ) alınırsa n= )

Bu yakın halka açık olarak hem sağ hem sol güçlü(strongly) reguler yakın-halkadır.

Tanım 4.1.6. Eğer sonlu sıfır simetrik sol (yada sağ) güçlü(strongly) reguler yakın

halka ise özelliğine sahiptir.

Eğer ve , ın elemanı ise ye özelliğine sahiptir denir.

(Pilz,1983) Eğer ∈ sıfırdan başka nilpotent elemana sahip olmayan sonlu bir

yakın halka ise , özelliğine sahiptir.

(Pilz, 1983) önermesinden dolayı sağ (yada sol ) (güçlü(strongly)) regulerdir.

Eğer peryodik yakın halkalardan sonuç çıkaracak olursak halkanın sıfır simetrik

olmasına gerek yoktur. ∀ ∈ ,∃ ≠ ile = ise ye peryodik yakın-halka denir.

Önerme 4.1.6 Bir peryodik sol (sağ) strongly reguler yakın-halka özelliğine

sahiptir.

İspat : Her ∈ için = ² olacak şekilde bir ∈ vardır. Her > için = olsun . Şimdi peryodik olduğundan bazı minimal elemanları için = dir. Bazı ≠ ler için ( gerçekten > + 1 dir aksi taktirde =

çelişkisi elde edilir ki buda nin minimal olması ile çelişir.)

Şimdi − > − 1 ise − 2 + 1 > 0 olup o halde = = den = = =

benzer şekilde − < − 1 den 0 < 2 − 1 − olup bu yüzden = = = =


41

olmasını gerektirir.

Örnek 4.1.7

Eğer bir planar yakın halka ise sıfır simetrik ve her için = 0 olup bazı

ler için de = 0 dır. ( önerme 1.5.21 ve önerme 1.5.22)

Buradan eğer herhangi bir sağ sıfır bölene sahip ise ne reguler de sol

güçlü(strongly) reguler dir. Öte yandan bir integral ise ( 1.5.22 b) den ∀ ≠ 0 ve ∀ için ∃ ile = , özellikle = ² olarak seçilirse sol güçlü(strongly)

reguler yakın-halka olur ve önerme 4.1.1 bu yakın halkadan da elde edilebilir.

4.2. Sıfır simetrik üniter durum

Eğer tüm nilpotent elemanlar merkezleyen (central) ise ye C.N özelliğine

sahiptir denir. Eğer tüm idempotent elemanlar merkezleyen (central) ise ye C.I

özelliğine sahiptir denir. Eğer , CI özelliği ile reguler ise sağ ve sol regulerdir.

Bundan sonraki aşamada yi sıfır simetrik yakın-halka olarak alacağız.

Lemma 4.2.1 , CN özelliğine sahip olsun ;

a) . = 0 ise , ve her için merkezleğen (central) dır.

b) Eğer bir idempotent ve . = 0 ise her için = 0 dır.

İspat :

a) Eğer . = 0 ise = 0 dır Bu yüzden merkezleyen olup benzer

şekilde her için da merkezleyendir.

b) Eğer . = 0 ise a) dan de merkezleyen. ile hesaplanırsa = = 0 olur.

b) şıkkının bir genel sonucu aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

Önerme 4.2.2 Eğer bütün idempotentleri için ve her ∈ için CN özelliğine

sahip ise


42

a) − merkezleğendir.

b) Her dağılma özelliğine sahip idempotent merkezleyendir.

c) ² = ( )²

d) Eğer unital ise = dir.

İspat :

a) ( − ) = 0

Lemma 4.2.1 (b) den her ∈ için ( − ) = 0 dır. ( − ) = ( − )− ( − ) = 0

Olduğundan − merkezleyendir.

b) Eğer e dağılma özelliğine sahip ise ( − ) = −

( eğer dağılma özelliğine sahip ise (− ) = − dir)

ve a) yı kullanırsak ( − ) merkezleğendir. Şimdi ile hesaplama yapılırsa

ifadenin sıfıra eşit olduğu görülür ki buradan da = dir.

c) Lemma 4.2.1 (b) ile ( − ) = 0

dan ( − ) = 0

dır. [( − ) ] = 0

olup bu da ( − ) nin merkezleğen olduğunu gösterir. Şimdi ile hesaplama

yapılırsa ifadenin sıfıra eşit olduğu görülür ki buradan da


43

² = ( )²

dir.

d) ünital olduğundan ² = olup buradan (1 − ) = 0 dır. Lemma 4.1.6

dan (1− ) = 0 ise her için (1 − ) mekezleğendir.

Bu ifade ile hesaplanırsa sıfıra eşit olduğu görülür.

Sonuç 4.2.3 Eğer indirgenebilir ve uniter ise CI özelline sahiptir.

İspat : Önerme 4.2.2 nin a) şıkkının ispatından − nin nilpotent olduğunu

görebiliriz. Bu yüzden indirgenebilir olup buradan da = dir. Ayrıca

önerme 4.2.2 nin d) şıkkından da = olduğu görülebilir.

Teorem 4.2.4 ve Lemma 4.2.5 te üniter ve her -modül uniter olarak kabul

edilecektir.

Teorem 4.2.4 Bir sol güçlü(strongly) reguler yakın halka sol ve sağ regulerdir. Her

birimli , sol -alt grubu bir idempotent tarafından doğrulmuştur ve her sol -alt

grup iki taraflı idealdir. Dahası ( ,+) abelyen ve yakın cisimlerin alt direk

toplamına izomorftur.

İspat : Birinci durum sonuç 4.1.4 ten elde edilir. Teorem2.5.13 den Her birimli

sol -alt grubunun bir idempotent tarafından doğrulduğunu görebiliriz. -alt

grubunun iki yönlü ideal olduğunu göstermeye çalışalım Teorem2.5.15 in d)

şıkkından her -alt grubun bir sol ideal olduğunu biliyoruz. Sağ ideal olduğunu

göstermek için de nin S gibi bir -alt grubunu göz önüne alalım o halde S , nin

bir sol idealidir. ∈ S ve ∈ ise bazı idempotentleri için ∈ = olup

buradan da = ′ dir. Şimdi merkezleğen olduğundan = = ∈ = ⊆ ( ,+) abelyendir çünkü nin elemanları idempotentir. nin yakın cisimlerin alt direkt toplamına eşit oluğunu Teorem 2.5.15 c )den görebiliriz.


44

Lemma 4.2.5. Eğer sol güçlü(strongly) reguler yakın-halka ise her asal ideal

maksimal idealdir.

İspat : bir asal ideal ve bir maksimal ideali için ⊈ olsun.

Şimdi ∈ \ alalım. Buradan 0 = − = (1 − )

Olup bazı elemanları için tamamen asal ideal olduğundan 1 − ∈ ⊆ olup

buradan da ∈ olduğundan 1 ∈ olur ki bu bir çelişkidir. Buda = olmasını

gerektirir ki bir maksimal idealdir.

güçlü(strongly) reguler yakın halkanın bir genellemesi

Lemma 4.2.6 Herhangi 0≠ ∈ için indirgenebilir bir yakın-halka ise

a) A(a) bir yarı tamamen asal idealdir.

b) /A(a) indirgenebilir ve , nın mod A(a) idealine göre kalan sınıfı sıfır

bölen değildir.

c) Herhangi , , … , ∈ için . … = 0 dan < >. < > ⋯ < >= 0 dır.

İspat :

a) , ye sahip ve A(a) bir ideal olsun. Varsayalım ki ² ∈ A(a) olsun . O

halde 0 = = ( ) =

olup bu yüzden ( ) = 0 dır. Bu ise = 0 ve buradan da A(a) bir yarı tamamen

asal idealdir.

b) A(a) bir yarı tamamen asal ideal olduğundan /A(a) indirgenebilirdir. =0 olacak şekilde bir ∈ olduğunu varsayalım o halde =0 ve buradan ∈ A(a) dır. Bu durumda ( )² = =0 olduğundan =0 ve buradan da = 0

dır.


45

c) Bazı ise , , … , ∈ için ise . … = 0 olduğunu varsayalım. indirgenebilir , nin bir S alt kümesi için A(s) bir ideal ∈ A( … ) ise < > ⊆ A( … ) olup bu yüzden < >. … = 0

olup buradan da … < >= 0 dır. ∈ A( … < >) ise < > ⊆ A( … < >) olup bu yüzden < > … < >= 0 olup buradan da … < >< >= 0 dır.

Bu şekilde devam edilirse < >. < > ⋯ < >= 0 elde edilir.

Teorem 4.2.7 indirgenebilir bir yakın halka olsun . Eğer boştan farklı bir m-

system ve nin bir alt kümesi ise 0 ≠ olup , nin tamamen asal ideali için ∩ = ф dir.

İspat : bir maksimal m-system ⊆ ve 0∉ olsun Zorn Lemması

kullanılarak elde edilebilir ve açık olarak ⊆ dır. Önerme 3.2.23 den ∩ = ф

olacak şekilde ≠ asal ideali vardır. Buradan ⊆ \ olup Önerme 3.2.22

den \ bir m-systemdir. nun maksimalliğinden ⁄ ⊆ olup buradan \ = dir. Kolaylıkla doğrulanabilir ki , nin bir minimal idealidir. Şimdi

nin tamamen asal ideal olduğunu göstermeye çalışalım. , ⁄ tarafından doğrulan nin bir çarpımsal alt yarı grubu olsun. Buradan biz 0 ∉ sonucunu çıkarabiliriz. Eğer , , … , ∈ ⁄ değil ise . … = 0

dır. Lemma 4.2.6 dan < >. < > ⋯ < >= 0 ⊆ dir. Bu ise ∈

olması bizim varsayımımız ile çelişir. ={ : ∩ =ф olacak şekilde nin bir ideali } olsun . boştan farklı olmak

üzere Zorn lemmasından nın kapsadığı bir maksimal elemana diyelim . nun

asal olduğunu varsayalım. ve idealleri için ⊆ ve ⊆ ise ∈ ∩ ve ∈ ∩ olur. Buradan da ∈ ve ∈< >< >⊆ olup bu da

< >∩ =ф olmasını gerektirir ki bu da < >⊈ ve ⊈ dır. Önerme 4.2.7

den asaldır. ⊆ \ ⊆ dır . minimal asal ideal olduğundan = \ = olup Buradan da bir yarı-grup ve tamamen asal idealdir.


46

Sonuç 4.2.8 indirgenebilir bir yakın halka olsun. Eğer boştan farklı nin bir

çarpımsal alt yarı-grubu ve 0∉ ise ∩ =ф olacak şekilde nin bir tamamen

asal ideali vardır.

İspat : Her çarpımsal grup bir m-system olduğundan sonuç açıktır.

Şimdi asal ideal olup ta maksimal ideal olan başka bir ideal çeşidine gösterelim.

Teorem 4.2.9 Birimli bir yakın halkası için aşağıdakiler birbirine denktir.

a) bir s-weakly reguler

b) indirgenebilir ve her özalt asal ideal maksimaldır

c) indirgenebilir ve her özalt tamamen asal ideal maksimaldır.

İspat : a⟹b : ∈ için = 0 olduğunu varsayalım bazı ∈< > = 0 için = dır.

Bu yüzden = 0 dır. Bu da her ∈ için = 0 ise = 0 olduğunu gösterir ki

indirgenebilirdir.

Şimdi bir öz alt ideal olsun ve nin maksimal ideali tarafından içerildiğini

varsayalım.

Eğer ∈ \ ise bazı ∈< > için = olacaktır. O halde bazı ∈ için = olup buradan ( − ) = 0 dır.

Lemma 4.2.6 den < − >< >= 0 ⊆ dir. P bir asal ideal ve ∉

olduğundan − ∈ ⊆ dır.

Buradan da ∈< >⊆ olduğundan ∈ olup bu yüzden ∈ dir. Bu ise = olmasını gerektirir ki bu bir çelişkidir.

b⟹c : açık

c⟹a : 0 ≠ ∈ olsun . Lemma 4.2.6 den = ( ) indirgenebilir ve bir

sıfır bölen değildir. nün her öz alt tamamen asal ideali de maksimal idealdir.


47

Şimdi ; − ̅ , ∈ < a2 > gibi tüm elemanlar tarafından doğrulmuş çarpımsal

yarı grup olsun. 0 ∈ olduğunu varsayalım. Eğer sonuç 4.2.6 dan ∩ = ∅

olacak şekilde tamamen asal ideal değilse:

varsayalım ki < >⊆ ise ∈ olup buradan ∈ dir.

buradan herhangi bir ∈< > için − ̅ ∈ ∩ olur ki bu bir çelişkidir.

Varsayalım ki < > ⊈ olsun buradan maksimal + < > = . Buradan

da bazı ∈ ve ̅ ∈ < > için 1 = + ̅ dır.

Bu yüzden 1 − ̅ = ve buradan − ̅ = ∈ ⊆ bir çelişkidir.

Buradan 0 ∈

Şimdi 0 = ( − ) … ( − ) den ∈< > dır. Buradan da

indirgenebilir ve sıfır bölen olmayıp (1 − ) (1 − ) … (1 − ) = 0 dır.

Kendiliğinden görülür ki bazı ∈< > için 1 = ̅ dır.

O halde bazı ∈< > için (1− ) ∈ A(a) olup buradan da = dır.

Sonuç 4.2.10 Birimli bir A halkası için aşağıdakiler birbirine denktir.

a) A bir s-weakly reguler

b) A indirgenebilir ve her özalt asal ideal maksimaldır

c) A indirgenebilir ve her özalt tamamen asal ideal maksimaldır.

4.3. Strictly maksimal ideal

Lemma 4.3.1 bir yakın halka olsun. nin tamamen asal sağ her ideali minimal

strict extencion özelliğine sahiptir ve nin bir strictly maksimal idealidir.

İspat : Tamamen sağ asal ideali minimal strict extencion özelliğine sahiptir.

Buradan nin -alt grubu için ⊆ dur. Her ∈ \ için ⊈ dir.

Buradan ⊆ + ⊆ ve buradan da = + olur. Uygun ∈ ve ∈

için = + yi elde edebiliriz. O halde ∈ için = ( + ) − +


48

ve bu yüzden ( − ) = ( + ) − ∈ den P bir sağ ideal olup fakat ∉ , − ∈ ⊆ den dolayı ∈ ve = olmasını gerektirir ki bu da

bize nin strictly maksimal olduğunu gösterir.

Örnekler.

Örnek 1.: M = {0,1,2,3} aşağıdaki ikili işlemle tanımlı bir yakın halka olsun.

+ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

. 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 1 0

2 0 2 2 0

3 0 3 3 0

{0} , {0,2} ve M birer ideal olup bunları hepsi idempotentir. Fakat M reguler değildir

çünkü her m∈ M için 3m3=0 dır.


49

M yakın halkası-reguler yakın halka olmadığında bu halkanın asal idealler maksimal

ideal değildirler.

Örnek 2 : V = {0,1,2,3} aşağıdaki ikili işlemle tanımlı bir yakın halka olsun.

+ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 0 3 2

2 2 3 0 1

3 3 2 1 0

. 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 1 1

2 0 2 2 2

3 0 3 3 3

V reguler olup sıfırdan başka nilpotent elemanı yoktur.Q1 ={ 0, 1 } , Q2 ={ 0,2 }

birer asal idealdirler. V reguler yakın-halka olduğundan bu asal idealler aynı zaman

da maksimal asal idealdirler.

51

KAYNAKLAR

ANSHEL, M., CLAY,J.R., 1968. Planarityin Agebraic Systems. Bull. Amer. Math. Soc, 74:746-748.

ATAGÜN, A.O., 2006. Yakın-halkalarda Özel Asal İdeallerin Karekterizasyonu ve

İnşası Üzerine. Erciyes Ünv. Fen Bilimleri Ens., Kayseri, Doktora Tezi.

BEIDLEMAN, J.C, 1967. Strictly Prime Distributively Generated Near-rings. Math

2 (100):97-105.

______, 1969. A Note on Reguler Near-rings. J. Indian Math.Soc, 33:207-210.

BELL, H.E., 1970. Near-rings in Which Each Element is a Power of İtself. Bull. Austral. Math. Soc., 2:363-368.

BİRKENMEİER,G.F.,GROENEWALD,N.J., 1999. Near-Rings in which each prime

factor is simple, Mathematica Pannonica,10/2, 257-269.

BOOTH, G.L.,GR0ENEWALD, N.J., 1998. On strongly Prime Near-rings. Indian J.

Math. 40 no.2 :113-121.

CHAO, D.Z., 1975. Near-rings Without Non-zero Nilpotent Elements. Math. Japan, 21:449-454

DAŜIĆ, V., 1987. On a Decomposition of Near-rings in a Subdirect Sum of Near- fields. Publication De L’ınstıtut Mathématıque. 41(55):43-47.

DHEENA, P., 1989. A Generalization of Strongly Reguler Near-rings. Indian J. Pure. Appl. Math. 20(1):58-63.

DHEENA, P., SIVAKUMAR, D., 2004. On Strongly 0-Prime İdeals in Near-rings. Bull. Maaysian Math. Sc. Soc. 27:77-85.

DİCKSON, L.E., 1905. Definations of a Group and a Field by İndependent Postulates. Trans. Amer. Math. Soc. 6:198-204.

FAİN, C.G., 1968. Some Structure Theorems for Near-rings. University of

Oklahoma. Doctoral Dissertation.

HEATHERLY, H.E., 1973. Near-rings Without Nilpotent elements. Publ. Math. Debrecen, 20:201-205.

52

LAXTON, R.R., 1964. Prime İdeals and The İdeal Radical of a Distributively Generated Near-rings. Math.Z. 83:8-17.

LIGH, S., 1970. On Reguler Near-rings. Math. Japon, 15:7-13

KANDASAMY, W.B.V., 2002. Smarandache Near-rings. American Researsh Press,

Rehoboth, Usa. 200s

MARIN, V.G., 1971. Near Algebras Without Nilpotent Elements. Mat. Issled 6, Nr.,4(22):123-139.

MASON, G., 1980. A Generalition of Strongly Reguler Near-rings. Prog. Edinburgh Math. Soc. 23:27-35.

MAXSON, C.J.,1967. On Near-rings and Near-rings Modules. Suny at Buffalo, Doktoral Dissertation.

MURTI, C.V.L.N., 1984. On Strongly Reguler Near-rings. 293-300

PİLZ, G., 1983. Near-rigs. 2nd, Amsterdam, New York, Oxford, North-Holland. 470s.

RAMAKOTAİAH, D., RAO, G.K., 1979. On IFP Near-rings. J. Austral. Math. Soc. 27:365-370.

______, 1978. On Loop Near-rings. Bull. Aust. Math. Soc., 19:917-935

VAN DER WALT, A.P.J., 1964. Prime Ideals and Nil Radicals in Near-rings. Arch. Math. 15:408-414.

YAKABE, I., 1989. Reguler Near-rings without Non-zero Nilpotent Elements. Proc. Japan Acad. 65:176-179.

53

ÖZGEÇMİŞ

1982 yılında Elazğ’ın Arıcak ilçesinde doğdu. İlk ve orta öğrenimini

Adana’da tamamladı. 2007 yılında Selçuk Üniversitesi Eğitim Fakültesi Matematik

Öğretmenliği bölümünden mezun oldu. Aynı yıl Çukurova Üniversitesi’nde yüksek

lisans öğrenimine başladı. 2009 yılında Milli Eğitim Bakanlığı’na bağlı olarak

Gaziantep’in Nurdağı ilçesindeki Sakçagözü Lisesi’ne matematik öğretmeni olarak

atandı ve halen görevine devam etmektedir.

Date post:	31-Mar-2021
Category:	Documents
Upload:	others
View:	2 times
Download:	0 times

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ …gösterilmiştir. Bu sonuçtan halka...

Documents