Una introducci on a la teor a de campos cl asicos...

Una introduccion a lateorıa de campos clasicos

para bachilleratoRicardo Torres Andres

v.051219

Un acercamiento a la

teorıa de campos clasicos parabachillerato

Indice

1 El concepto de campo y su estructura 51.1 Sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 El concepto fısico de campo . . . . . . . . . . . . . 91.3 Campos escalares y campos vectoriales . . . . . 101.4 Cargas y fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Geometrıa de los campos 172.1 Calculo diferencial de campos . . . . . . . . . . . 18

2.1.1 El operador ~∇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.2 Campos escalares a lo largo de curvas . . . . . . . 222.1.3 Integrales de campos vectoriales . . . . . . . . . . 26

3 Introduccion a la dinamica de los campos vectorialesclasicos 433.1 ¿Que es la dinamica de un campo? . . . . . . . . . 433.2 Las ecuaciones de campo . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2.1 Superposicion lineal de campos . . . . . . . . . . 47

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1El concepto de campo y su

estructura

En la fısica moderna, el concepto de campo ha venido a sustituir alconcepto newtoniano de fuerza. Recordemos que una fuerza es un vectorque nos indica, esencialmente, la direccion de la aceleracion que sufre unobjeto cuya masa permanece constante.

Ejercicio 1. ¿Es cierto que la fuerza nos indica la direccion de la aceleracion para unobjeto cuya masa varıa con el tiempo?

No debemos pasar por alto que la propia naturaleza vectorial de lafuerza ya nos esta indicando una valiosa informacion: un vector no escualquier cosa, es un objeto que se comporta de una manera bien definidaal sumarse con otros vectores y multiplicarse por escalares1.

En fısica, ademas, el concepto de vector y el de escalar esta muyasociado a su comportamiento bajo cambios de observadores, lo que desde

1 En efecto, esto es precisamente lo que definimos cuando nos referimos a ellos como elementos de unaestructura que llamamos espacio vectorial. Probablemente a estas alturas ya tendras cierta familiaridadcon ello.

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Capıtulo 1. El concepto de campo y su estructura

un punto de vista matematico es equivalente a considerar un cambio debase para el espacio vectorial.

La fısica es el estudio del cambio y—como sabemos de nuestro curso defısica y matematica en primero de bachillerato— el concepto de derivadase establece precisamente para analizarlo.

Es por esta razon que el concepto fısico de vector surge del enriqueci-miento de las propiedades de la estructura de espacio vectorial a travesde la posibilidad de hacer calculo diferencial sobre el.

Analicemos con algo mas de detenimiento el concepto de vector ligadoal de sistema de referencia.

Sistemas de referencia

Intuitivamente un sistema de referencia siempre esta asociado a unobservador como concepto basico a la hora de estudiar las propiedadesmecanicas de un sistema. De esta manera establecemos un origen deposiciones y tiempos y, con arreglo a ellos, hacemos mecanica a partir delas ecuaciones de Newton.

Desde un punto de vista mas general, podemos definir un sistema dereferencia como sigue:

Definicion 1.1: Sistema de referencia

Un sistema de referencia es un origen de posiciones junto con unorigen de tiempos en el que hemos anclado una base vectorial de R3.

De esta manera, la descripcion cinematica de un cierto movimiento sehace con arreglo a la eleccion de una base para el espacio o para el plano,segun convenga a la naturaleza del sistema que se pretende estudiar.

Ahora que hemos definido lo que es un sistema de referencia surge,de manera casi natural, la pregunta acerca de como se relacionan entre

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sı diferentes sistemas de referencia que describen el mismo movimiento.¿Son todos los sistemas de referencia equivalentes? Es decir, ¿la fısicadepende del sistema de referencia (observador) que describa un ciertofenomeno?

En el planteamiento de esta pregunta, aparentemente trivial, se escon-de una de las mayores revoluciones cientıficas y filosoficas de los ultimossiglos que, en ultima instancia, darıa lugar a la conocida como relatividadespecial, primero; y a su hermana mayor, la relatividad general, algunosanos despues.

Nosotros postergamos el analisis de estas cuestiones hasta que intro-duzcamos los rudimentos basicos de la relatividad especial, algunos temasmas adelante, y nos conformamos con enunciar las definiciones fısicas deescalar y vector.

Definicion 1.2: Escalar

Un escalar es un objeto matematico que permanece inalterado alcambiar de sistema de referencia inercial.

Recordemos que un sistema de referencia inercial (SRI) es un sistemade referencia no acelerado2. Observa que solo vamos a estudiar la relacionentre la fısica que ven los observadores que se mueven entre sı a velocidadconstante (sistemas inerciales). La importancia de los sistemas inercialeses difıcilmente subestimable en tanto que proporcionan una clase privile-giada de sistemas de referencia: aquellos en que son validas las llamadasleyes de Newton3.

2 La existencia de SRI es un tema interesantısimo, pero no tenemos tiempo y tenemos que conformarnoscon esta definicion. La Tierra, por ejemplo, se considera habitualmente un SRI debido a que los efectosde su rotacion son despreciables en la mayor parte de fenomenos de superficie que estudia la fısica.Nota, pues, que la propia definicion de sistema inercial tiene algo de malevola, en cuanto a que hayque establecer un criterio efectivo a la hora de comparar los efectos no inerciales con el fenomeno quese pretende estudiar.

3 Ojo a esto: las leyes de Newton —y me refiero concretamente a la segunda ley— solo son validas ensistemas de referencia inerciales. No debes, ni puedes, aplicar las leyes de Newton si eres un observadorcolocado en un sistema de referencia acelerado.

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Ejemplos de escalares en fısica hay muchos. Para nosotros, por ejem-plo, seran importantes el tiempo, t; y la masa, m. De esta manera, en lafısica que vamos a estudiar por el momento (campos clasicos), la masay el paso del tiempo seran medidos de igual manera en sistemas que semuevan a velocidad constante entre sı (sistemas inerciales).

Definicion 1.3: Vector

En el espacio-tiempo de Galileo, se llaman vectores los objetos acele-racion, velocidad y posicion: objetos matematicos que, bajo cambiosde sistemas de referencia inerciales, se modifican de acuerdo a comodetermine la ley de transformacion de Galileo para la velocidad, v,

v 7→ v + V,

donde V es la velocidad a la que se mueven entre sı los dos sistemasde referencia.

De esta manera, la fuerza —cuya naturaleza viene dada por la ecua-cion de Newton F = ma— se transforma de igual manera que la acele-racion, puesto que m es un escalar y no cambia bajo cambios inerciales.Pero es que si la velocidad cambia segun la ley de transformacion deGalileo, entonces la aceleracion cambia de acuerdo con

a =dv

dt7−→ a′ =

d(v + V )

dt=dv

dt+dV

dt︸︷︷︸=0

= a,

de manera que la aceleracion, y por tanto la fuerza, no cambia cuandose consideran transformaciones inerciales de sistemas de referencia.

Ejercicio 2. Describe matematicamente como estan relacionadas las posiciones de unmismo objeto que ven dos observadores inerciales moviendose uno respecto al otro avelocidad V cuando uno de ellos ve que el objeto se mueve a velocidad v.

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Ojo entonces, porque ahora entendemos que es lo que significa fısica-mente que la fuerza sea un vector. No solo nos estan diciendo que es unconjunto de componentes, sino que nos estan advirtiendo de como cam-bia su descripcion para diferentes observadores inerciales. En este caso:cualquier observador inercial respecto a otro ve la misma mecanica. Yesto es sencillamente brutal: acabamos de establecer lo que se llama unprincipio de relatividad.

Resultado 1 (Principio de relatividad de Galileo). Las leyes de la mecani-ca son las mismas para todos los observadores inerciales.

El concepto fısico de campo

Ahora que hemos visto lo que es una fuerza, junto con algunos otrorudimentos estructurales acerca de las diferencias entre vectores y es-calares definidos como elementos de ciertos conjuntos con leyes que nosindican como cambian cuando cambian los observadores que los describenpodemos pasar a entender que es un campo.

Definicion 1.4: Campo

Un campo es una funcion que nos indica como se distribuye unadeterminada magnitud en el tiempo y en el espacio.

Desde un punto de vista matematico, un campo es una funcion φ quedepende de tantas variables como sea necesario para especificar comple-tamente su cambio a lo largo del espacio y del tiempo.

En nuestro curso estudiaremos campos definidos en un espacio 3+1, esdecir, con tres variables espaciales: x, y, z; y una variable temporal, t. Deesta manera, un campo es un objeto que tiene la forma φ = φ(x, y, z, t),que, de manera equivalente y para ahorrar escritura, indicaremos comoφ = φ(~r, t), puesto que (x, y, z) ≡ ~r.

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Ejemplo 1.1: Campo de Hooke

Cualquier magnitud que hayas tratado en fısica puede describirse como un campo.Pongamos por ejemplo la llamada fuerza de Hooke, FH = −kx, tan usada paraestudiar el comportamiento de los muelles cuando los deformamos una cantidad x.Este es un campo un poco especial en comparacion a nuestra definicion anterior,por el hecho de que solo esta definido en una recta (observa que no depende deltiempo y solo aparece una deformacion a lo largo de la direccion x). Se trata, pues,de un campo unidimensional y estacionario (no depende del tiempo).

Ejemplo 1.2: Campo de temperaturas

Considera ahora la temperatura en cualquier aula un dıa cualquiera de invierno.Esta claro que la temperatura va a variar dependiendo del punto del espacio en elque te encuentres: presumiblemente sera mayor en puntos cercanos a los radiadores,y menor en puntos mas alejados de ellos. Pero es que tambien va a variar respectoal tiempo a lo largo del dıa que consideremos: por la noche la calefaccion estaraapagada y por el dıa, a partir de cierta hora, los radiadores comienzaran a actuar.

Por supuesto la clase no estara definida en todo el universo, ya que tiene unoslımites bien claros que vienen dados por las paredes, pero esto no nos indica masque debemos considerar una funcion de la forma

T = T (~r, t), (x, y, z) ∈ Σ,

donde Σ sera el subconjunto del espacio que forma la clase.

Campos escalares y campos vectoriales

El ejemplo de la temperatura es un caso paradigmatico de lo que seha dado en llamar campo escalar, ya que la magnitud cuya variacion se

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toma en consideracion es un escalar bajo cambios inerciales4. Aunque loscampos escalares puedan parecer ajenos a nuestra experiencia cotidiana,lo cierto es que nos topamos con ellos en muchas ocasiones: un ejem-plo claro y sencillo lo constituye un mapa del tiempo con temperaturasasociadas a cada punto.

Naturalmente, debido a que la variacion de la temperatura se suponecontinua, no tiene ningun interes explicitar la temperatura de todos ycada uno de los infinitos puntos que contiene un mapa geografico deter-minado. Es por esto que habitualmente —como se representa en la figura1.1— solo se dan las temperaturas asociadas a puntos suficientementeseparados, de manera que un observador sensato pueda extrapolar lastemperaturas a puntos mas o menos cercanos de estos lugares.

Figura 1.1: Campo escalar de temperaturas en Espana. Se seleccionan solo algunospuntos representativos del mapa.

Por el contrario, el campo de Hooke representa un ejemplo de campovectorial, en cuanto que la magnitud cuya variacion se considera es un

4 No es facil ver, sin una ecuacion que ligue la temperatura a las velocidades de las partıculas en unsistema, si existe o no diferencia entre la temperatura que mide un cierto observador y la temperaturaque mide otro moviendose a velocidad constante respecto del otro, pero debes creerme si te digo queen nuestras disquisiciones la temperatura es escalar por derecho propio.

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vector bajo cambios inerciales (¡recuerda que cualquier fuerza es un vec-tor!). El hecho de que no le pongamos una flechita se debe a que estamosconsiderando un campo vectorial unidimensional y, por tanto, solo hayque especificar una componente por lo que se suele optar por prescindirde ella.

Ejemplo 1.3: Campo de Hooke tridimensional

En general, la fuerza de Hooke puede escribirse para deformaciones en las tresdimensiones como un campo vectorial estacionario cuya forma es

~FH(~r) = −

k11 k12 k13

k12 k22 k23

k13 k23 k33

·xyz

.A la matriz de los coeficientes k —que, por cierto, es simetrica— se la denominatensor de deformaciones. En el caso unidimensional, la fuerza de Hooke se escribea traves del tensor de deformaciones

FH(x) = −

k 0 00 0 00 0 0

·xyz

= −kx.

En el caso general, las componentes no diagonales de la matriz simetrica asociadaal tensor de deformaciones son las responsables del cabeceo lateral de los muellescuando se los estira en una determinada direccion.

Tambien nos encontramos con campos vectoriales en el terreno de lameteorologıa: los mapas sobre los que se indica la velocidad del vientoson, desde el punto de vista fısico, aplicaciones que llevan a un punto delmapa hacia un espacio vectorial en el que viven los vectores velocidaddel viento. Dicho de otro modo: se asocia a cada punto un vector que noes sino la velocidad del viento en ese punto (ver figura 1.2).

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Figura 1.2: Mapa de viento para norteamerica, centro america y la zona norte de su-damerica. Notad que, al igual que para el campo escalar y con el fin de no abigarrarel mapa, se eligen solo ciertos puntos representativos que dan una idea global del com-

portamiento dinamico del viento.

Cargas y fuerzas

En general, la estructura de un campo fısico es la siguiente: la distri-bucion espacio-temporal de cada magnitud, sea escalar o vectorial, es elefecto o consecuencia de la existencia de una causa que la provoca.

En el caso del campo de Hooke, por ejemplo, una deformacion provocala existencia de una fuerza. En el caso de la temperatura, es la exposi-cion a una fuente de calor y a unos ciertos sumideros la que provoca lasvariaciones a lo largo del espacio dentro de la clase (las fuentes puedenser radiadores, la propia luz procedente del Sol que irradia al aire en elinterior del aula; mientras que los sumideros de calor son todos aquellos

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elementos que provocan la perdida de calor, i.e., las paredes, el suelo, eltecho, las ventanas, etc.).

En general, la estructura subyacente a un campo fısico clasico puederesumirse en estos terminos:

un campo fısico es el efecto que se produce en elespacio-tiempo debido a la existencia de una serie decausas o cargas que pueden ser fuentes o sumideros.

Dos de los ejemplos mas paradigmaticos son los siguientes:

Ejemplo 1.4: Campo gravitatorio

Un campo gravitatorio es un campo vectorial que se genera en una region del espa-cio debido a la existencia de cargas gravitatorias que, comunmente, se denominanmasas. Estos campos pueden ser estacionarios (si son independientes del tiempo),y no-estacionarios (en el caso en el que las distribuciones de las cargas varıen conel tiempo).

Ejemplo 1.5: Campo electrico

Un campo electrico es un campo vectorial que se genera en una region del espaciodebido a la exitencia de cargas electricas. Al igual que en el caso gravitatorio, exis-ten campos electricos estacionarios y campos electricos dependientes del tiempo.

¿Y que pintan las fuerzas en todo esto? Resulta que las fuerzas noson mas que una manera alternativa de representar la interaccion deuna cierta carga externa situada en una region en la que existe un campogenerado por otra carga. Matematicamente esta interaccion se modeliza atraves de una multiplicacion, de forma que se llama fuerza al productode una carga externa por el campo generado por otra.

Cuando una carga se introduce en una region en la que existe uncierto campo generado por otra carga se dice que las cargas se acoplan,

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o, de manera mas precisa, una de las cargas se acopla al campo generadopor la otra.

Por ejemplo, la fuerza gravitatoria nos indica la interaccion de unacierta carga gravitatoria, m, con un campo gravitatorio generado porotra carga, M . La fuerza electrica entre dos cargas no es otra cosa quela interaccion con la que una carga electrica, digamos q1, se acopla a uncampo electrico creado por otra carga q2.

La relacion que existe entre los campos y las fuerzas desde un puntode vista clasico es clara: los campos son objetos esencialmente equivalen-tes a las fuerzas, en tanto que permiten describir la intensidad de unainteraccion en una cierta region del espacio-tiempo.

¿Por que el concepto de campo ha reemplazado al de fuerza? Es difıcilabordar esta pregunta en este curso: la fısica moderna esta enraizada enuna generalizacion del concepto de campo clasico que introduce trans-formaciones entre sistemas de referencia mas generales que las transfor-maciones de Galileo. De una manera informal —para ciertas magnitudesrelacionadas con teorıas mas sofisticadas—, no siempre es tan sencillorelacionar las fuerzas con los campos.

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2La geometrıa de los campos

La propia definicion de campo como objeto extenso en el espacio yen el tiempo —junto con ese enriquecimiento del que hablabamos en laseccion anterior y que nos permite establecer relaciones entre los distintospuntos— da pie a generalizar todas las herramientas que utilizamos parafunciones definidas en la recta real.

Ası, las nociones de continuidad y derivabilidad que ya conoces parafunciones definidas en la recta real —que no son otra cosa mas que mane-ras de comparar el comportamiento de la funcion en distintos puntos—,pueden extenderse a un campo vectorial o un campo escalar, sin pagarmas precio que el de considerar variaciones a lo largo de nuestro espaciode 3 + 1 dimensiones.

Apareceran, por tanto, tres variaciones espaciales y una variaciontemporal; pero, esencialmente, lo que vamos a hacer es lo mismo quesi hicieramos calculo diferencial en la recta, a lo largo de varias rectasdiferentes.

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Capıtulo 2. Geometrıa de los campos

Calculo diferencial de campos

La naturaleza de los campos que vamos a estudiar es vectorial, esdecir, ciertas cargas van a provocar la existencia de campos definidos enel espacio y que se transforman como vectores bajo cambios inerciales.

Desde un punto de vista mas sencillo —pero menos completo—, pue-des considerar que su naturaleza implica que van a requerir de una di-reccion y un sentido para su completa especificacion1.

Para estudiar las variaciones a lo largo de las tres direcciones espa-ciales y a traves de la direccion temporal introduciremos las llamadasderivada parciales, que no son mas que derivadas ordinarias aplicadasa una direccion concreta. De esta manera para un cierto campo esca-lar φ(~r, t) definido en todo el espacio pueden calcularse las variacionessiguientes:

Variacion del campo escalar a lo largo de la direccion x del sistemade referencia considerado:

∂φ

∂x(~r, t).

Variacion del campo escalar a lo largo de la direccion y del sistemade referencia considerado:

∂φ

∂y(~r, t).

Variacion del campo escalar a lo largo de la direccion z del sistemade referencia considerado:

∂φ

∂z(~r, t).

1 Esta nocion es incompleta desde nuestro punto de vista fısico porque, si te fijas, segun nuestra definicionde vector no esta claro que cualquier objeto que tenga direccion y sentido lo sea. Esto no es ningunatonterıa, aunque probablemente en este curso no entremos a valorar estas diferencias.

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Variacion del campo escalar a lo largo de la direccion t del sistemade referencia considerado:

∂φ

∂t(~r, t).

En el caso de un campo vectorial ~E(~r, t) = (E1, E2, E3) cuyas compo-nentes varıan a lo largo del espacio y el tiempo, las variaciones a lo largode cualquiera de las direcciones del espacio se calculan de igual manera,solo que ahora vamos a tener varias componentes, como corresponde a lanaturaleza vectorial del campo. Con todo

Variacion del campo vectorial a lo largo de la direccion x del sistemade referencia considerado:

∂ ~E

∂x(~r, t) =

(∂E1

∂x(~r, t),

∂E2

∂x(~r, t),

∂E3

∂x(~r, t)

).

Variacion del campo vectorial a lo largo de la direccion y del sistemade referencia considerado:

∂ ~E

∂y(~r, t) =

(∂E1

∂y(~r, t),

∂E2

∂y(~r, t),

∂E3

∂y(~r, t)

).

Variacion del campo vectorial a lo largo de la direccion z del sistemade referencia considerado:

∂ ~E

∂z(~r, t) =

(∂E1

∂z(~r, t),

∂E2

∂z(~r, t),

∂E3

∂z(~r, t)

).

Variacion del campo vectorial a lo largo de la direccion t del sistemade referencia considerado:

∂ ~E

∂t(~r, t) =

(∂E1

∂t(~r, t),

∂E2

∂t(~r, t),

∂E3

∂t(~r, t)

).

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Como ves, la notacion se complica y se aumenta el numero de compo-nentes; pero realmente no estamos haciendo nada nuevo: solo extendemoslo que ya sabıamos para funciones en la recta real al caso, mas complejopero no mas complicado, en el que tengamos un espacio mas complicadoformado por varias direcciones.

No se a ti, pero a mı me encantarıa que hubiera alguna forma de podertrabajar solo con campos escalares y no tener que definir las distintasvariaciones posibles para campos vectoriales.

¿Habra alguna manera de evitar trabajar con tantas componentes?Permıteme que deje esta cuestion para mas adelante, aunque te adelantoque, por fortuna, sı existe. La palabra clave sera potencial. Tatuatela enel brazo izquierdo y tus calculos con campos seran mucho mas sencillos.

De momento, y como paso previo a ulteriores sutilezas, permıteme queintroduzca una notacion muy util cuando estudiamos calculo diferencialen varias variables: el llamado operador nabla, que representaremos enadelante por el grafema hebreo homonimo, ∇.

El operador ∇Como ya sabemos que podemos centrarnos en el estudio de campos

escalares, vamos a desarrollar toda la maquinaria centrandonos precisa-mente en ellos.

Definicion 2.1: Operador ~∇

Se denomina operador ~∇ al vector simbolico

~∇ ≡(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

).

El operador ~∇ es muy util puesto que nos permite estudiar muchascaracterısticas de los campos. De una manera cualitativa, representa lavariacion a lo largo de las tres direcciones espaciales de un cierto campoescalar.

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En efecto, cada una de las componentes es precisamente el cambiodel campo respecto a cada una de las direcciones de que consta nuestroespacio. Un momento, ¿de todas? ¿y que pasa con el tiempo? Bueno,como veremos, en la mayor parte de nuestras disquisiciones los camposseran estacionarios, ası que no tendremos necesidad de saber cuanto cam-bian con respecto al tiempo, puesto que ya habremos asumido que estecambio es nulo. Sin embargo, en campos mas complicados esta variaciondebe considerarse y el operador ~∇ debe entenderse como un vector decuatro componentes.

Ejemplo 2.1: Variacion de un campo de temperaturas

Supongamos que un disco bidimensional de radio R se calienta en su punto centrala traves de un soplete durante un cierto tiempo y despues se deja enfriar dandolugar al campo de temperaturas. Si estudiamos la variacion de temperatura a partirde que el soplete deja de calentar resulta que dicho campo tiene la formaa

T (x, y, t) = e−tx+ y√x2 + y2

, (x, y) ∈ Disco.

Si nos preguntamos como cambia la temperatura a lo largo de las dos direccio-nes espaciales x e y, podemos utilizar el operador ~∇ en dos dimensiones, es decir,podemos calcular

~∇T (x, y, t) =

(∂T

∂x,∂T

∂y

).

Un calculo algo dispendioso nos indica

~∇T (x, y, t) = e−t

(y2

(x2 + y2)32

,x2

(x2 + y2)32

),

que nos indica como varıa la temperatura a lo largo de las dos direcciones espaciales.Naturalmente vemos que, con el tiempo, el disco se enfriara progresivamente debidoal factor exponencial que multiplica a todo el resultadob.

a Si has aprendido algo acerca de analisis dimensional en este curso puede que algo de la ecuacionsiguiente te resulte desagradable. Si lo notas, permıteme que lo considere como un ejerciciomatematico sin mayores pretensiones.

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b Nuevamente, espero que sepas abstraerte y que consideres que es imposible que el disco se enfrıehasta el cero absoluto. Un tratamiento cuidadoso del problema —que, por cierto, esta bastantelejos de nuestro curso— tendrıa en cuenta la temperatura ambiente del disco.

Debido a que el operador ~∇ nos muestra el cambio de un campoescalar respecto de variaciones a lo largo de direcciones espaciales, aveces se le llama operador gradiente. Es interesante notar tambien que eloperador ∇ actuando sobre funciones escalares nos devuelve un vector,hecho que no debe caer en el olvido puesto que sera crucial para entenderel concepto de potencial asociado a un campo vectorial.

Variacion de un campo escalar a lo largo de una curva

Acabamos de ver como calcular la variacion de un campo escalar alo largo de las direcciones espaciales, pero ¿como podrıamos hacer masinteresante este resultado extendiendolo a calcular la variacion a lo largode una cierta curva?

El problema fısico asociado es bastante intuitivo: considera, por ejem-plo, que sobre el disco del ejemplo anterior —cuando la temperatura eslo suficientemente baja como para no achicharrarse— se mueve en lınearecta una hormiguita que porta un termometro. El problema entonces esdeterminar cual es la variacion de la temperatura que mide la hormiguitacuando sigue una lınea recta a traves del disco.

Esta claro que si se mueve por alguno de los ejes del sistema dereferencia que hemos elegido la respuesta sera: bien ∂T

∂x , bien ∂T∂y , pero ¿y

si lo hace por una recta cualquiera contenida en el disco? Si pensamos unpoco veremos que cualquier recta puede considerarse como una especie demezcla de direccion x y direccion y. De esta manera, cuando la hormiguitava por el eje x va siguiendo la direccion unitaria (1, 0) y cuando va porel eje y, lo hace en la direccion unitaria (0, 1).

En cada uno de estos casos la variacion del campo de temperatura

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puede calcularse a traves de las expresiones

~∇T (x, y = 0) · (1, 0), ~∇T (x = 0, y) · (0, 1).

¿No es logico pensar que para una direccion cualquiera dada por el vec-tor unitario u la variacion de la temperatura sea precisamente ~∇T · u?La logica de esta proposicion es aplastante y, en efecto, constituye elresultado buscado.

¡Ricemos algo mas el rizo! ¿Y si la hormiguita sigue un camino queno sea una lınea recta a lo largo del disco? ¡Uf! Aquı el asunto se noscomplica, porque tendrıamos que calcular un vector unitario que, en cadamomento, nos indicara cual es la direccion que sigue la hormiguita a lolargo de la recta.

Pero, ¡un momento!, ¿conoces algun objeto que nos diga cual es ladireccion instantanea asociada a una funcion? A mı me suena que esotenıa que ver con la recta tangente a una funcion, que no era otra cosamas que la derivada de la funcion en el punto. Dicho desde un punto devista fısico: la magnitud que nos va a ayudar a deshacer el entuerto noes ni mas ni menos que el vector velocidad de la hormiguita.

Resumiendo, si tenemos una cierta curva sobre el disco cuyos puntosvengan dados en cada momento como ~r(t) =

(r1(t), r2(t)

), entonces la

variacion de la temperatura en cada punto a lo largo de la curva seraalgo como

~∇T(~r(t)

)· 1

||d~r(t)dt ||d~r(t)

dt,

donde ahora la derivada de ~r(t) no es parcial puesto que la curva solo

varıa con el tiempo y se divide por el modulo del vector d~r(t)dt para hacerlo

unitario.Espero que estas cuestiones te hayan ayudado a entender mejor la

potencia de la estructura que hemos creado al hacer calculo diferencialsobre campos. En los siguientes apartados iremos un poco mas al grano

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y veremos como pueden ayudarnos todas estas herramientas a la hora deestudiar caracterısticas fısicas de los campos.

Divergencia de un campo vectorial

Definicion 2.2: Divergencia de un campo vectorial

La divergencia de un campo vectorial ~E(~r, t) es el producto escalar

div ~E ≡ ~∇ · ~E.

La divergencia de un campo vectorial es un escalar bajo transfor-maciones inerciales de sistema de referencia y resulta que es util por losiguiente:

Resultado 2 (Fuentes y sumideros de un campo vectorial). El operadordivergencia actuando sobre un campo vectorial nos indica el caracter delas regiones del espacio segun el caracter del campo:

Una region es una fuente si en ella div ~E > 0.

Una region es un sumidero si en ella div ~E < 0.

Un campo vectorial es solenoidal si div ~E = 0.

¡Ası que el concepto de divergencia nos ayuda a conocer las carac-terısticas fısicas de los campo vectoriales en terminos de las causas quelo provocan!

Ejercicio 3. Calcula la divergencia del campo de Hooke unidimensional y establece larelacion del resultado con los conceptos de fuente y sumidero del campo.

Ejercicio 4. El campo electrostatico creado por una carga puntual q a una distancia rdel sistema de referencia colocado precisamente sobre ella puede calcularse como

~E = Kq

r2ur.

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a) ¿Podrıas relacionar div ~E con los conceptos de fuente y sumidero a partir delsigno de las carga q?Nota: Observa que r2 = x2 + y2 + z2.

b) Demuestra que cualquier campo newtoniano, es decir, de la forma ~g(~r) ∼ ur/~r2

es solenoidal.

Rotacional de un campo vectorial

Definicion 2.3: Rotacional de un campo vectorial

El rotacional de un campo vectorial ~E(~r, t) es el producto vectorial

rot ~E(~r, t) ≡ ~∇× ~E(~r, t).

El rotacional de un campo vectorial esta relacionado con el conceptode campo conservativo. Enunciemos sin demostracion el siguiente resul-tado

Resultado 3 (Campo conservativo). Un campo estacionario es conser-vativo si y solo si

rot ~E(~r) = 0.

Debido a esto, en ocasiones se denominan campos irrotacionales alos campos conservativos. Los campos conservativos son verdaderamenteimportantes en la teorıa de campos porque son precisamente los que nospermiten definir potenciales escalares2.

Ejercicio 5. ¿Es conservativo el campo gravitatorio provocado por una masa puntual?¿Y el campo electrostatico creado por una carga puntual?

Ejercicio 6. Demuestra que un campo definido en la recta (o sea, un campo unidimen-sional) siempre es conservativo.

2 Recuerda tu tatuaje en el brazo izquierdo.

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Para un campo conservativo, ademas, puede calcularse una nuevamagnitud3 denominada energıa potencial, que realmente es un objetoque se calcula —como su nombre indica— a partir del potencial.

Las siguiente seccion tiene como objetivo precisamente trabajar unpoco mas el concepto de campo conservativo. Para ello necesitamos avan-zar en nuestra comprension de la geometrıa asociada a los campos, enconcreto con el calculo de integrales de campos a lo largo de curvas ysuperficies.

Integrales de campos vectoriales

Esta seccion es, probablemente, la mas abstracta de todas estas no-tas. Soy consciente de que todavıa no conoces lo que es una integral4

ni sabes como calcularla, pero los temarios son claros en cuanto al usode magnitudes como el flujo y la circulacion, conceptos que involucrandecisivamente el uso de integrales.

Intentare que estas notas sean lo suficientemente cualitativas para quepuedas entender que es lo que estamos haciendo5 y, tambien, lo suficien-temente potentes como para que, en algun momento conveniente, puedasutilizarlas para ampliar tus herramientas de calculo.

Comenzaremos nuestras andanzas en este terreno volviendo a traer acolacion el concepto de trabajo. La mayor parte de los libros introducenel trabajo de manera operativa y comienzan a calcular resultados para elen el contexto de la mecanica. Pero el trabajo, como cualquier magnitud,es una construccion y, como cualquier construccion, se hace de maneraque responda lo mejor posible a unas necesidades y unos intereses biendeterminados.

En nuestro caso el trabajo se construıa como una magnitud que dabacuenta de la interaccion entre una carga que se movıa siguiendo una cierta

3 Para ti, a estas alturas, deberıa ser nueva solo en sentido literario...4 Aunque probablemente ya hayamos hablado acerca del concepto de sumas infinitas de cosas infinita-

mente pequenas...5 Aunque no sepas como hacerlo.

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trayectoria y un campo definido en el espacio6.La manera mas sencilla de definirlo era a partir de lo que llamabamos

trabajo elemental, que no era sino una multiplicacion de la fuerza porel desplazamiento elemental respecto de un cierto sistema de referencia.Esta definicion comenzaba por calcularse para desplazamientos en unarecta y, posteriormente, se definıa el trabajo a lo largo de una trayectoriacomo una suma de los trabajos elementales extendida a todos los posiblesdesplazamientos a lo largo de la curva que seguıa la carga en el seno delcampo.

Eso es precisamente lo que vamos a generalizar aquı para cualquiercampo: vamos a construir una magnitud que nos cuantifique como es lainteraccion de una carga acoplada a un campo moviendose a lo largo deuna trayectoria.

Fıjate que la construccion de la magnitud trabajo involucra tres con-ceptos: carga, campo7 y trayectoria. Dos de ellos ya nos resultan familia-res: una carga se acopla a un campo e interacciona con el. El conceptode trayectoria sobre un campo es facil de entender de manera intuitiva,pero exige un cierto aparte para que todo quede claro.

Campos definidos en curvas y superficies

Volvamos al ejemplo anterior en el que una incauta hormiguita cami-naba por un disco sobre el que habıa definido un campo escalar de tempe-raturas. En aquel caso estabamos interesado en calcular como cambiabala temperatura a lo largo de una trayectoria seguida por la hormiguita,por lo que introducıamos las potentes herramientas del calculo diferencial.Primero veıamos que es lo que pasaba cuando el camino de la hormigasobre el disco era tan sencillo como podıa ser, es decir, una lınea recta;

6 Ojo con esto: no todas las cargas se acoplan a todos los campos. Una carga electrica no se acopla aun campo gravitatorio, y viceversa. Por ejemplo, un neutron —que no tiene carga electrica pero sıtiene masa— nunca se acoplara a un campo electrico, mientras que un electron —que tiene tanto cargaelectrica como masa— se acoplara tanto a un campo gravitatorio como a un campo electrico.

7 Sı, he hablado antes de fuerza, pero ya sabemos que la fuerza no es mas que el producto del campopor la carga que se acopla a el.

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y luego aumentabamos la complejidad del asunto hasta llegar a la situa-cion mas complicada posible, es decir, el caso en que la hormiga viajasiguiendo una cierta curva sobre el disco.

En el problema que nos ocupa la cosa es mas sencilla, puesto que noqueremos calcular ninguna variacion, sino solo saber cual es el valor dela temperatura para cada uno de los puntos que atraviesa la hormiguitaen su camino a lo largo de la trayectoria. Si la hormiguita estuvieraquieta en el disco —digamos que en el punto (x0, y0)— esta claro que latemperatura que medirıa serıa precisamente

T (~r, t)

∣∣∣∣~r=(x0,y0)

= T (x0, y0, t),

es decir, el valor del campo en ese punto.¿Que sucede si la hormiga comienza a moverse a lo largo de un ca-

mino sobre el disco? La respuesta es bastante intuitiva: si escribimos latrayectoria de la hormiga sobre el disco a traves de un cierto vector deposicion que depende del tiempo, ~r = ~r(t), entonces las medidas que hacela hormiga para la temperatura deben responder a los valores del campoen los puntos que va atravesando, es decir

T (~r, t)

∣∣∣∣curva

= T (~r, t)

∣∣∣∣~r=~r(t)

= T(~r(t), t

),

de manera que el campo pasa de depender de tres variables a solo unavariable temporal. Dicho de otra forma: el valor de la temperatura quemide la hormiguita solo depende del tiempo, que nos dice precisamentesi se halla en un punto o en otro.

Desde un punto de vista formal decimos que hemos restringido losvalores del campo a una cierta curva.

Definicion 2.4: Restriccion de un campo a una curva

La restriccion de un campo a una cierta curva es el conjunto de valores

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que toma el campo cuando nos movemos a lo largo de la curva.

En el caso de la hormiga y el disco esta claro que no vale cualquiertrayectoria, sino solo aquellas que estan contenidas en el disco, es decir,aquellas ~r(t) =

(x(t), y(t)

)tal que x(t)2 + y(t)2 ≤ R2.

Ejemplo 2.2: Restricciones sobre el campo de temperaturas del disco

A modo de ejemplo, calculemos la restriccion del campo de temperaturas defini-do sobre el disco a una trayectoria contenida en el propio disco. Vamos a crearuna trayectoria para la hormiguita que este contenida en el disco de radio R, porejemplo, una trayectoria circular de radio R/2.

Como la trayectoria es una circunferencia, debe cumplir x(t)2 + y(t)2 =(R2

)2,

de donde un posible vector posicion es

~r(t) =(x(t), y(t)

)=

(t,

√R2

4− t2

).

El campo de temperaturas que mide la hormiguita es entonces la restriccion delcampo a la curva ~r(t), es decir

T (~r, t)

∣∣∣∣~r=(t,R

2

4−t2

) = e−tx+ y√x2 + y2

∣∣∣∣(x,y)=

(t,

√R2

4−t2

) = e−tt+√

R2

4− t2

R2

,

que, en efecto, es solo funcion del tiempo.

De igual forma puede calcular el valor de un campo para una super-ficie. La manera de imaginarse esta situacion es considerar, por ejemplo,la clase en la que calculabamos el campo de temperaturas. Estaba cla-ro que podıamos calcular la temperatura en cualquier punto de la clase,pero tambien podemos calcularlo en la superficie de una pelota esfericaque metamos en ella. Tan solo hay que ver como son los puntos de lasuperficie y calcular la restriccion del campo a ellos.

La descripcion de superficies es un tema algo complicado para estecurso, pero nosotros vamos a utilizar una superficie muy especial y muy

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sencilla de tratar debido a su simetrıa: la esfera. La esfera se caracterizapor tener un radio constante, es decir, la distancia de todos los puntosde la superficie al centro de la esfera es constante e igual al radio.

Esto nos facilita mucho la vida, puesto que sabemos que los puntos x,y, z de una esfera cumplen la ecuacion, analoga a la de la circunferenciapero en tres variables,

x2 + y2 + z2 = R2.

De esta forma, si el campo de temperaturas definido en la clase es, porejemplo y desde un cierto sistema de referencia, T (~r, t) = t(x2+y2+z2), latemperatura sobre la superficie de la pelota definida por x2+y2+z2 = R2

sera la restriccion del campo a la superficie, esto es

T (~r, t)

∣∣∣∣x2+y2+z2=R2

= t(x2 + y2 + z2)

∣∣∣∣x2+y2+z2=R2

= tR2.

Definicion 2.5: Restriccion de un campo a una esfera

La restriccion de un campo a una esfera es el valor del campo en lospuntos pertenecientes a la esfera, es decir

T (~r, t)

∣∣∣∣x2+y2+z2=R2

.

La esfera en el espacio tridimensional suele denominarse S2, de ma-nera que a veces escribiremos esta restriccion como

T (~r, t)

∣∣∣∣~r∈S2

.

Ejemplo 2.3: Reformulacion de la variacion de un campo

Consideremos de nuevo el problema de analizar la variacion de un campo escalara lo largo de una curva cualquiera. Vamos a recalcular la variacion del campoescalar φ(~r, t) a lo largo de la curva cuyo vector de posicion es ~γ(t) en terminos de

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restricciones. La variacion del campo escalar a lo largo de la direccion unitaria upodıa calcularse como

~∇φ(~r, t) · u.

Si la direccion unitaria es tangente en cada punto a la curva ~γ, es decir, la direccionunitaria es la derivada normalizada, t ≡ ~γ′(t)/||~γ′||, del vector de posicion tenemosfinalmente(

~∇φ(~r, t) · u)∣∣∣∣

~r=~γ,u=t

=

(∂φ

∂x,∂φ

∂y

)· u∣∣∣∣~r=~γ,u=t

=

(∂φ

∂x,∂φ

∂y

) ∣∣∣∣~r=~γ

· t.

En resumen, vemos que la variacion de un campo escalar a lo largo de unacurva puede escribirse como la restriccion del campo escalar auxiliar ~∇φ(~r, t) · t ala curva ~γ.

Esta variacion del campo escalar φ(~r, t) a lo largo de la direccion tangenteinstantanea en cada punto a la curva ~γ(t) se denomina derivada direccional delcampo φ en la direccion tangente a la curva ~γ(t), y representa precisamente lavariacion del campo a lo largo de la trayectoria dada por esa curva.

Ejercicio 7. Calcula la derivada direccional del campo escalar T (x, y) = x2 + y2:

a) En la direccion tangente al eje x.

b) En la direccion unitaria 1/√

2(1, 1).

b) En la direccion tangente a la recta ~r(t) = (t, t), que divide el primer cuadranteen dos mitades.

Ejercicio 8. Si el campo escalar estacionario T (x, y) del ejercicio anterior representala temperatura sobre una cierta lamina plana:

a) Calcula y representa graficamente la temperatura que mide una persona que semueve a lo largo de la recta ~r(t) = (t, t).

b) Una isoterma de un campo de temperatura es una curva sobre la que la tempe-ratura permanece constante. ¿Cuales son las isotermas del campo T (x, y)?

c) Sin hacer ningun calculo, ¿cuanto vale la derivada direccional del campo T (x, y)en las direcciones tangentes a una isoterma?Pista: Dicho de otra forma: ¿cuanto cambia la temperatura que mide una hormiguita que va

recorriendo una isoterma sobre la lamina?

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Pasemos ahora a definir integrales sobre las restricciones de camposvectoriales a curvas y superficies. Desde un punto de vista cualitativo loque vamos a hacer es sumar los valores de los campos vectoriales a lolargo de todos los puntos pertenecientes a una curva o a una esfera.

Y como una curva y una esfera tienen infinitos puntos, habra quehacer una suma de infinitos terminos infinitamente pequenos8, puestoque cada trozo pequenito de curva o esfera dara una contribucion muypequena.

Esto es precisamente lo que hacıamos cuando construıamos el traba-jo de una fuerza a lo largo de una trayectoria: dividıamos el camino entodos los pequenos desplazamientos elementales posibles a traves de lacurva que seguıa la carga y sumabamos las contribuciones de los traba-jos elementales. Como el trabajo era una magnitud escalar y debıamosconstruirla a partir de magnitudes vectoriales, introducıamos un produc-to que nos permitiera conseguir un numero a partir de dos vectores: elproducto escalar. Veremos que este producto escalar es realmente impor-tante a la hora de definir magnitudes con las que extraer propiedadesimportantes de los campos.

La integral de un campo vectorial a lo largo de una curva

La integral de un campo vectorial ~E(~r, t) a lo largo de una curva ~γes la suma de las proyecciones de las restricciones del campo vectorialsobre la direccion tangente a la curva ~γ(t) en cada punto de la misma.Suele denominarsele integral de lınea del campo a lo largo de la curva, yse simboliza como ∫

~γ

~E · d~l,

donde d~l = ~v(t) dt es el desplazamiento infinitesimal sobre la curva9.

8 Por favor, no lleves esta analogıa demasiado adelante: el concepto de integral esta muy bien definidodesde hace muchos anos y solo pretendo que agarres una idea intuitiva del formalismo.

9 En el contexto de estas notas, estaremos interesados precisamente en que ese desplazamiento seael desplazamiento de una partıcula a lo largo de la curva, por eso —anticipando la aparicion de la

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En terminos informales, estamos calculando una suma extendida atodos los posibles valores de que consta la restriccion del campo ~E a lacurva ~γ, es decir

∫γ

~E · d~l ∼∑t

(~E(~r, t) · ~v(t) dt

)∣∣~r(t)=~γ(t)

=∑t

~E(~γ(t), t) · ~γ′(t) dt.

Naturalmente hay que ser muy cuidadoso al definir esta suma, puestoque se extiende a un conjunto muy grande de puntos t. El procedimientotecnico pasa, como ya vimos10, por hacer una particion del intervalo devalores de t que determina la trayectoria de la partıcula y hacer un pasoal lımite suponiendo que las longitudes de las particiones tienden a cero.Si la suma existe y no depende de como partamos el intervalo total parat, entonces se dice que la suma es una integral ; en este caso la integralde lınea del campo a lo largo de la curva ~γ.

El trabajo de una fuerza sobre una partıcula que se mueve por elespacio es una magnitud que ya conoces desde hace unos anos y que, deforma rigurosa, esta definido a traves de una integral de lınea del campode fuerza a lo largo de la trayectoria de la partıcula. Ya sabemos que elconcepto de fuerza es esencialmente equivalente al de campo en teorıaclasica, ası que podremos generalizar el trabajo ejercido por un camposobre una partıcula de manera casi inmediata.

La idea intuitiva que debemos tener acerca del significado de unaintegral de lınea es la de una suma de pequenos productos escalares delcampo por el desplazamiento de la partıcula en intervalos de tiempo muycortos, sumados a lo largo de la trayectoria entre dos puntos del espacio.En general esta suma existe y nos da cuenta de lo grande que ha sido lainteraccion de la carga externa cuando se ha acoplado al campo.

velocidad— he escrito ~v(t). Fıjate que lo unico que he hecho para escribir esa ecuacion es despejar d~l

en la expresion ~v(t) = d~ldt .

10 De hecho cuando hablabamos del trabajo de una fuerza a lo largo de la trayectoria de una partıculaestabamos calculando una integral de un campo (de fuerza) a lo largo de una curva (la trayectoria).

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Integral de un campo vectorial a traves de una superficie

Sin entrar en demasiados detalles, la integral de un campo vectoriala traves de una superficie es la suma de las proyecciones de la restricciondel campo sobre la normal a la superficie. La integral de un campo vec-torial ~E(~r, t) a traves de una superficie σ suele denominarse integral desuperficie del campo y se representa como∫

σ

~E(~r, t) · d~S,

donde d~S ≡ n · dS es un vector perpendicular a la superficie en cadapunto y cuyo modulo representa un elemento de area infinitesimal.

En este curso estaremos interesados solo en calcular la integral deun campo vectorial extendida a una esfera, es decir, en el caso en queσ = S2. De acuerdo a esto podemos escribir de manera informal∫

S2

~E · d~S ∼∑

~E(~r, t) · n(~r) dS

∣∣∣∣~r∈S2

,

donde la suma se extiende, como indica la restriccion, a todos los puntosde la esfera, caracterizados por el vector ~r(t).

Ademas, nuestra atencion se va a centrar exclusivamente en los lla-mados campos centrales, que solo dependen de la distancia al origen delsistema de referencia y estan dirigidos en la direccion que forma el origencon el punto en el que se calcula el campo (direccion radial), es decir,tales que

~E(~r, t) = ~E(r, t) = E(r, t) ur,

con ur un vector unitario en la direccion radial.Para ellos, resulta que el valor del campo sobre una esfera de radio R

es constante, de manera que los calculos se simplifican enormemente.

Ejemplo 2.4: Integral de superficie de un campo central sobre una esfera

Consideremos el campo vectorial central y estacinario ~E(~r) = E(r) ur sobre una

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esfera de radio R centrada en el origen del sistema de referencia usado para describirel campo. Calculemos la integral de superficie del campo vectorial sobre la esfera:∫

S2

~E(r) · d~S =∑(

E(r)ur · n(r) dS)∣∣∣∣

S2

.

Observemos sin embargo que el vector normal a la esfera, n(r), tiene en cada puntode la esfera precisamente la direccion de ~r, por lo que al calcular el producto escalarcon el campo, que tiene direccion radial, el coseno va a ser identicamente igual ala unidad (recuerda que si dos vectores son paralelos el angulo que forman tieneun coseno igual a la unidad).

Con todo ∫S2

~E(r) · d~S =∑(

E(r) dS)∣∣∣∣S2

.

Pero es que un campo central sobre una esfera de radio R toma un valor constantee igual a E(R), por lo que sale de la suma y resulta∫

S2

~E(r) · d~S = E(R)∑

dS

∣∣∣∣S2

.

La integral ha resultado ser igual a la suma de todas las porciones infinitesimalesde area a lo largo de una esfera. ¡Pero es que esta suma debe valer el area de laesfera!, por tanto ∫

S2

~E(r) · d~S = E(R) · 4πR2.

De este ejercicio aprendemos una valiosa leccion:

Resultado 4 (Integral de un campo central estacionario a traves de unaesfera). El valor de la integral de superficie de un campo vectorial centrala traves de una esfera es igual al valor del campo en la superficie de laesfera por el area de la misma, es decir∫

S2

~E(r) · d~S = E(R) · 4πR2.

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Circulacion y flujo. Teorema de Stokes

En el lenguaje de campos a menudo se refiere la integral de lınea de uncampo vectorial a lo largo de una curva que une los puntos A y B comosu circulacion entre A y B. Es muy importante calcular la circulacion deun campo a lo largo de una curva cerrada.

Definicion 2.6: Circulacion lo largo de una curva cerrada

Se denomina circulacion de un campo vectorial a lo largo de una curvacerrada a la integral de lınea extendida a traves de una trayectoriaque comienza y acaba en el mismo punto. Se calcula como∮

~γ

~E(~r, t) · d~l,

donde el sımbolo∮

hace referencia a que la curva ~γ sobre la cual seextiende la integral de lınea es cerrada.

El concepto de circulacion a traves de lıneas cerradas es fundamentalpuesto que nos permite relacionar el caracter conservativo de un campocon el valor de las integrales extendidas a curvas cerradas. Dicho de otramanera, es una manera de relacionar las caracterısticas de un campo conel valor del trabajo que puede medirse siguiendo a una carga a lo largode una curva cerrada.

Resultado 5 (Campos vectoriales conservativos). Para un campo vecto-

rial conservativo, ~E, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) El campo es irrotacional, es decir, rot ~E = 0.

b) Existe un campo escalar V (~r, t) denominado potencial tal que

~E(~r, t) = −~∇V (~r, t).

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c) Su circulacion a lo largo de cualquier curva cerrada es identica-mente nula, i.e. ∮

~γ

~E(~r, t) · d~l ≡ 0.

Pensando un poco en los apartados a) y c) del resultado anteriorpuede deducirse que si la circulacion de un campo es nula a lo largo de unacurva cerrada particular, debe ser nulo para cualquier curva cerrada11. Deotra forma no tendrıa sentido hablar de campos conservativos sin hacerreferencia a ciertas trayectorias cerradas particularmente especiales.

El calculo de una integral de lınea para un campo y una trayectoriaarbitrarias puede ser complejo, pero la pena se reduce notablemente siconsideramos la circulacion de un campo central a lo largo de una circun-ferencia. La razon se debe a que la circunferencia es una curva cerradaque tiene una gran simetrıa.

Para la circulacion de un campo central a lo largo de una circunfe-rencia centrada en el origen del sistema de referencia respecto al cualcaracterizamos el campo tenemos∮

S1

E(r) ur · d~l ∼∑(

E(r) ur · ~v(t) dt)∣∣∣∣S1

,

donde S1 es una manera abreviada de denotar a la circunferencia.Pero resulta que si el campo tiene direccion radial significa que es

ortogonal a la velocidad sobre la curva (que siempre es tangente a lacircunferencia), de manera que el producto escalar se anula y tenemos∮

S1

E(r) ur · d~l ≡ 0,

es decir: la circulacion de un campo vectorial central a lo largo de unacircunferencia es identicamente nula.

11 Esta es una caracterıstica fundamental de la geometrıa de los campos conservativos que permite esta-blecer una equivalencia entre distintos tipos de curvas en funcion del resultado de integrales de lıneaextendidas a su largo.

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Resultado 6 (Circulacion de un campo central a lo largo de una circun-ferencia). La circulacion de un campo vectorial central a lo largo de unacircunferencia es identicamente nula, i.e.∮

S1

E(r) ur · d~l ≡ 0,

donde S1 es una forma abreviada de denotar a la circunferencia.

Utilizando los apartados del resultado (5) concluimos que

un campo central es siempre un campo conservativo,

la circulacion de un campo central a lo largo de cualquier curvacerrada es nula,

para todo campo vectorial central puede encontrarse un potencial.

Esta ultima proposicion es particularmente util puesto que permiteconcentrarse en el potencial, un campo escalar, en lugar de pensar enel campo vectorial original que tiene tres componentes y que, como vi-mos, puede resultar bastante engorroso de tratar. Debido a esto no escasual que el potencial asociado a un campo conservativo tenga un papelfundamental en la teorıa de campos clasicos.

Analogamente, en el lenguaje de campos, a la integral de superficiede un campo vectorial a traves de una superficie se le denomina flujo delcampo a traves de la superficie. Para caracterizar el comportamiento delos campos es importante calcular el flujo a traves de superficies cerradas.

Definicion 2.7: Flujo a traves de una superficie cerrada

El flujo de un campo vectorial a traves de una superficie cerrada Σ esigual a la integral de superficie del campo a traves de una superficie

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que encierra un volumen. Se calcula como∮Σ

~E(~r, t) · d~S,

donde nuevamente∮

hace referencia a que el flujo se calcula a travesde una superficie cerrada.

En nuestros ejemplos ya hemos calculado el flujo de un campo vec-torial a traves de una superficie cerrada, en concreto hemos calculado elflujo de un campo vectorial central a traves de una esfera (que encierraun volumen y, por tanto, es una superficie cerrada).

De esta forma podemos reescribir nuestro resultado para campos cen-trales estacionarios como∮

S2

E(r) ur · d~S = E(R) · 4πR2.

Al igual que sucedıa con la circulacion de un campo a lo largo decurvas cerradas, calcular flujos a lo largo de superficies cerradas nos dainformacion acerca del campo. En concreto nos permite relacionar elvalor del campo vectorial en la superficie con las fuentes y sumiderosque se encuentran encerradas en el volumen interior, resultado que seconoce como teorema de Gauss y que constituye un caso particular deuna herramienta poderosısima en el terreno de la geometrıa diferencialde campos: el teorema de Stokes.

Este teorema es una verdadera caja de pandora que contiene algunasde las claves para entender la geometrıa diferencial de campos y las ca-racterısticas fundamentales de las estructuras en las que se basan muchasteorıas modernas de gravitacion y partıculas elementales. En resumidascuentas nos indica que el valor de la integral de una cierta funcion enuna cierta region puede expresarse como una suma o una integral de otraaplicacion extendida precisamente a la frontera de la region.

Tendras ocasion de ver que lo que vas a estudiar como teorema fun-damental del calculo, no es otra cosa que un caso especial del teorema

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de Stokes en una dimension: la integral de una funcion en un intervalopuede escribirse como la suma de los valores de su antiderivada en lafrontera del intervalo.

Si decides estudiar alguna carrera tecnica es probable que encuen-tres el teorema de Stokes para tres dimensiones en forma de tres casosparticulares: el teorema de Gauss-Ostrogradski o teorema de la divergen-cia; el teorema de Stokes (homonimo al resultado general) y el teoremade Green que, en realidad, es un caso particular del teorema de Stokesaplicado al plano.

Nosotros no vamos a generalizar estos resultados; pero tendremos oca-sion de particularizar el teorema de Gauss para los campos gravitatorioy electrico, por lo que postergamos su tratamiento en estas notas y ya loveremos en los temas siguientes.

Ejercicio 9. La presencia de ciertas cargas en el espacio da lugar a la existencia de unpotencial estacionario V (~r) = k(x2 + y2 + z2), donde k es una cierta constante.

a) Calcula el campo vectorial, ~E, asociado al potencial escalar. ¿Se trata de uncampo vectorial central?

b) Calcula el rotacional de ~E. ¿Podıas haber anticipado el resultado sin hacer ninguncalculo?

c) Calcula el trabajo necesario para que otra carga externa, qext, efectue un movi-miento circular de radio R = 1 empezando y terminando en el origen.

Ejercicio 10. Para el campo vectorial central y estacionario ~P (r) = r−1 ur:

a) Calcula el flujo a traves de una esfera de radio R.

b) El flujo esta relacionado con la intensidad de un campo: si vamos alejando unacarga externa del punto donde esta situada la carga que origina el campo estaclaro que este sera cada vez menos intenso. ¿Crees que ~P (r) puede representaruna solucion razonable para un campo fısico creado por una carga situada en uncierto punto del espacio?

Ejercicio 11. Muestra que, para un campo gravitatorio creado por una masa puntualM , es decir, para un campo cuya intensidad sea

~g = −GMr2

ur.

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se cumple el llamado teorema de Gauss para la esfera:∮S2

~g · d~S = −4πGM,

donde S2 es una esfera de radio arbitrario que contiene en su interior a la carga gravi-tatoria. Este resultado pone de manifiesto que el flujo a traves de una superficie cerradaesta ıntimamente relacionado con la presencia de cargas en su interior.

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3Introduccion a la dinamica

de los campos vectoriales clasicos

Ahora que ya hemos descrito convenientemente los campos ası comosu variacion a lo largo de curvas y superficies, es momento de entrar enla cuestion de como se producen los campos.

En el capıtulo anterior de estas notas hemos hablado de que los cam-pos los generan las cargas, en un sentido amplio de la palabra, puesto quevimos que la palabra carga se refiere al origen de cualquier interaccion yno solo al concepto habitual de carga electrica.

Sera precisamente este origen el que tendremos que estudiar paraconocer como se producen los campos clasicos.

¿Que es la dinamica de un campo?

Por dinamica nos referiremos a los mecanismos que generan a loscampos, es decir, cuando hablemos de la dinamica de un campo estaremos

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Capıtulo 3. Introduccion a la dinamica de los campos vectorialesclasicos

hablando de analizar los procesos que hacen que el campo exista. Enun sentido muy general ya sabemos que la dinamica de un campo estaıntimamente relacionada con la existencia de fuentes y sumideros para lainteraccion, es decir, a la presencia de cargas.

Naturalmente, la fısica —como ya sabes— es el estudio del cambio,por lo que las ecuaciones que determinan a los campos explicitan suvariacion a lo largo del espacio y el tiempo en terminos de las cargasque los provocan. Las ecuaciones que describen el comportamiento delos campos son —como viene siendo habitual en este curso de fısica—ecuaciones diferenciales1.

Introduccion cualitativa a las ecuaciones de campo

Los campos clasicos que vamos a estudiar seran el campo gravitato-rio y el campo electrostatico. Estos campos son campos vectoriales, demanera que asocian a cada punto del espacio un vector que se denominacampo o intensidad de campo.

En las circunstancias mas sencillas —que son las que vamos a trataren este curso— estos campos son campos centrales, por lo que seranconservativos y podra asociarseles un potencial, de tal forma que permitatrabajar con un solo campo escalar en lugar de con tres componentesespaciales para el vector intensidad de campo.

Como ya sabemos, la variacion de los campos a lo largo del espacio yel tiempo esta ıntimamente relacionada con su derivada temporal y conel operador ~∇, que nos indicaba la variacion del mismo a lo largo de lastres direcciones espaciales.

Comoquiera que la situacion mas sencilla pasa tambien por que los

1 Recordatorio: una ecuacion diferencial es una igualdad que relaciona una o varias funciones con susderivadas.

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campos sean estacionarios podremos restringir nuestro analisis a estudiarla generacion de los campos en terminos de la variacion a lo largo delespacial.

Lo que pretendemos hacer es establecer una igualdad entre un opera-dor aplicado al campo vectorial y las cargas que lo determinan, es decir,analizar la estructura causa-efecto responsable de la generacion del cam-po.

El siguiente argumento es propio de la fısica moderna y hace usode la definicion de vector y escalar que ya hemos tratado en apartadosanteriores. Como las cargas son escalares (la masa y la carga no puedendepender de quien las este observando), esta claro que el operador queactue sobre el campo vectorial ha de proporcionar necesariamente unacantidad escalar.

De todos los operadores que hemos visto que pueden construirse con eloperador nabla, solo uno de ellos es un escalar: la divergencia. No es casualque la hayamos relacionado con la presencia de fuentes y sumideros: esla opcion mas simple que tenemos de construir un escalar a partir de laintensidad de campo.

Ası que la forma que va a tener nuestra ecuacion va a ser, de manerainformal

div ~E(~r, t) ∼ cargas, (3.1)

donde recordamos una vez mas que el termino cargas hace referencia auna carga generica que provoca la existencia de un campo (en nuestrocaso una masa o una carga electrica).

Recordando que para los casos que vamos a tratar —campos esta-cionarios y centrales— puede encontrarse un potencial escalar V (~r, t) talque

−~∇V (~r, t) = ~E(~r, t),

podemos reescribir la ecuacion (3.1) como

div(−~∇V (r, t)

)∼ cargas, (3.2)

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donde ya hemos escrito V (r, t) en lugar de V (~r, t) debido a la hipotesis detrabajo que hemos asumido respecto a usar solamente campos centrales.

Las ecuaciones (3.1) y (3.2) se denominan ecuaciones de campo y soncompletamente equivalentes, en tanto que permiten determinar las ca-racterısticas del campo vectorial ~E a partir de la configuracion de cargasexistente en el espacio.

Naturalmente la ecuacion (3.2) tiene un aspecto mas sencillo puestoque la ecuacion (3.1) involucra la resolucion de tres ecuaciones diferencia-les, una por cada componente del campo vectorial. De cualquier modo,restrigindiendo nuestro estudio a campos centrales ambas ecuaciones sonesencialmente igual de complicadas (o faciles) de resolver debido a que lasimetrıa que involucra el caracter central permite trabajar con una solacomponente del campo2.

A la ecuacion (3.2) se la denomina ecuacion de Poisson para el poten-cial y determina unıvocamente —siempre que se especifique convenien-temente la distribucion espacial y temporal de la configuracion de cargaselectrostaticas o gravitatorias— la solucion para la intensidad de campoen cualquier punto del espacio y en cualquier momento.

Ejercicio 12. Se trata de intentar especificar la forma matematica de los campos vec-toriales generados por una sola carga que cumplen con las condiciones que se expresanen cada apartado. Nota que es muy posible que haya muchos campos que cumplan lascondiciones.

a) Un campo vectorial constante en el espacio y en el tiempo, proporcional a lacarga.

b) Un campo vectorial proporcional al cuadrado de la carga y que decrece espacial-mente con el cubo de la distancia a la misma.

c) Un campo conservativo, proporcional a la carga y que se anula en el infinito.

2 Revisa los ejemplos en el capıtulo anterior si no te lo crees.

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d) Un campo lineal con la carga, inversamente proporcional al cuadrado de su ve-locidad y que, cuando la carga esta parada, coincide con el campo gravitatoriogenerado por una carga puntual.

Ejercicio 13. ¿Un campo conservativo es siempre central? ¿Es siempre cierto el recıpro-co?

Ejercicio 14. Para la funcion V (x, y) = k(x2 − y2):

a) Comprueba que cumple la ecuacion de Poisson.

b) Si V representara un potencial escalar en el plano, ¿que puedes decir de la cargaque lo genera?

c) ¿Crees que tiene sentido que V (x, y) represente un potencial electrostatico o gra-vitatorio?

Ejercicio 15. Desde un punto de vista matematico moderno, una derivacion es cual-quier operador lineal, D, que satisface la regla de Leibniz. Es decir, para cualesquieranumeros reales α y β, se cumple

D(αf + βg) = α Df + β Dg, D(f · g) = Df · g + f · Dg

a) Muestra que la derivada de cualquier constante es nula.

b) Comprueba que el operador ∆ es una derivacion.

Estudiemos ahora que sucede si en lugar de una sola fuente generadoratenemos un conjunto de cargas distribuidas en el espacio.

Superposicion lineal de campos

La ecuacion (3.2) puede desarrollarse escribiendo la forma explıcitadel operador que actua sobre el potencial, es decir,(

∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)·(− ∂

∂x,− ∂

∂y,− ∂

∂z

)V (~r, t) ∼ cargas.

Desarrollando el producto escalar que aparece en el primer miembrode la ecuacion anterior resulta que el operador queda(

∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)·(− ∂

∂x,− ∂

∂y,− ∂

∂z

)= − ∂2

∂x2− ∂2

∂y2− ∂2

∂z2,

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de manera que la ecuacion de Poisson queda en terminos de derivadassegundas como

−(∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)V (~r, t) ≡ ∆V (~r, t) ∼ cargas, (3.3)

donde hemos definido una nueva cantidad, el operador de Laplace o la-placiano, a traves de la identificacion ∂2/∂x2 + ∂2/∂y2 + ∂2/∂z2 ≡ ∆.

Esta es una ecuacion diferencial en derivadas parciales que, para car-gas complicadas, puede resultar extremadamente difıcil de resolver. Nopertenece, ni mucho menos, a un temario de segundo de bachillerato, pe-ro lo importante es notar ciertas caracterısticas que nos van a permitirestudiar cualitativamente el comportamiento de los campos gravitatorioy electrostatico en este curso.

Lo primero es ver que se trata de una ecuacion lineal, en el sentidoque ya vimos en clase, es decir, esta escrita en terminos de un operadorque aplicado sobre una suma de funciones da lugar a la suma de losoperadores aplicados sobre cada sumando, es decir, si un operador O eslineal satisface

O(f1 + f2 + f3 + . . . ) = O(f1) +O(f2) +O(f3) + . . . ,

y esto que parece una propiedad exclusivamente matematica es algo bru-talmente importante en el estudio de los campos que vamos a hacer estecurso.

En efecto, el operador ∆ que actua sobre el potencial V (~r, t) en laecuacion (3.3) es un operador lineal porque, esencialmente, es una sumade derivadas segundas. Y ya sabes por tu curso de matematica que laderivada es un operador lineal3.

¿Y para que sirve todo esto? Permıteme considerar el problema en elque, en lugar de una sola carga, Q1, tenemos varias cargas Q2, Q3, . . . .Para este supuesto la ecuacion de Poisson para el potencial se escribira

∆V (~r, t) ∼ Q1 +Q2 +Q3 + . . . ,

3 ¿Te suena eso de que la derivada de la suma es la suma de las derivadas?

48


de manera que —utilizando el hecho de que el operador ∆ es lineal—podemos considerar que el potencial puede escribirse como una suma depotenciales V1 + V2 + V3 + . . . tal que

∆ (V1 + V2 + V3 + . . . ) = Q1 +Q2 +Q3 + . . . ,

y que representan los potenciales creados individualmente por cada carga,es decir

∆V1(~r, t) = Q1, (3.4)

∆V2(~r, t) = Q2,

∆V3(~r, t) = Q3,...

Si tenemos suerte y sabemos resolver las ecuaciones (3.4), resulta queel potencial en cualquier punto del espacio sera

V (~r, t) = V1 + V2 + V3 + · · · =∑i

Vi,

y el campo asociado

~E(~r, t) = −~∇V (~r, t) = −~∇∑i

Vi =∑i

(−~∇Vi

)=∑i

~Ei(~r, t),

con ~Ei los campos creados por cada carga individual.

En resumen:

Resultado 7 (Superposicion lineal de campos). En teorıa de camposclasicos, el potencial (campo) creado por una configuracion arbitraria decargas es la suma de los potenciales (campos) creados por cada cargaindividualmente.

En ocasiones se habla del principio de superposicion lineal, aunquedesde mi punto de vista no merece la pena elevarlo a la categorıa de

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principio debido a que es una caracterıstica de los campos heredada delcomportamiento lineal de los operadores4.

Incluso en este curso —donde estaremos principalmente interesadosen cargas puntuales, es decir, cargas que no tienen estructura espacialextensa— este principio ayuda enormemente a la resolucion de problemasrelacionados con la determinacion de un campo a partir de las cargas quelo generan, puesto que bastara sumar las contribuciones de los camposgenerados por cada carga individualmente en cada zona del espacio dondenecesitemos evaluar la interaccion.

Ejemplo 3.1: Campo gravitatorio creado por cargas puntuales

El campo gravitatorio creado por una carga gravitatoria estatica y puntual, m, enel origen de un cierto sistema de referencia inercial elegido convenientemente puedeescribirse como el campo vectorial, central y estacionario,

~g(r) = −Gmr2

ur,

donde r es la distancia de la masa al origen y ur es un vector unitario que indicaprecisamente la direccion que forman el origen y la carga.

Si existen dos masas iguales adicionales colocadas a una distancia 2r y 3r detal manera que la direccion que forma el origen con cada una de ellas venga deter-minada por el vector director u′r y u′′r , respectivamente; el campo total provocadopor las tres cargas podra escribirse —en virtud de la superposicion de campos—como

~gtotal(r) = −Gmr2

ur +Gm

4r2u′r +G

m

9r2u′′r = −Gm

r2

(ur +

u′r4

+u′′r9

).

Si una masa externa, M , se coloca en nuestro origen de referencia, resulta quela fuerza gravitatoria que experimentara como resultado de la interaccion con elcampo creado por las tres cargas viene dada por

~F = M~g = −GMm

r2

(ur +

u′r4

+u′′r9

).

4 Que estos deban ser lineales por principio es otro cantar.

50


Como el campo gravitatorio es central resulta que solo importa la distancia alorigen, r, y solo esta sera relevante como direccion espacial. El potencial gravita-torio asociado a una masa puntual debe ser una funcion tal que

− d

drV (r) ur = −Gm

r2ur,

condicion que es satisfechaa por

V (r) = −Gmr.

Tendremos ocasion de ver que, al igual que la fuerza mide la interaccion entreuna carga externa y la configuracion interna de cargas generadoras del campo; paracampos conservativos puede definirse una magnitud adicional denominada energıapotencial que no es mas que el producto del potencial por la carga externa.

En nuestro caso, la energıa potencial gravitatoria de la masa externa M en elcampo generado por las tres masas es igual a

Ep(r) = MV (r) = −GMm

r

(1 +

1

2+

1

3

)= −11

6

GMm

r.

Observa que las caracterısticas matematicas (en terminos de funciones) del po-tencial y de la energıa potencial son identicas: ¡solo hemos multiplicado el potencialpor una constante!

La importancia de estas magnitudes es doblemente resenable: por una partenos permiten olvidarnos del caracter vectorial del campo y trabajar con un solocampo escalar; por otra, la energıa potencial es parte de la llamada energıa total,una cantidad conservada a lo largo del tiempo para una partıcula externa que viajapor un campo. Tendremos ocasion de ver lo util que es esta propiedad.

a ¿Unicamente? Veremos todo esto mas detenidamente, pero es buen momento para que piensesen ello.

Ejemplo 3.2: Energıa cinetica de una masa en un campo gravitatorio

Supongamos que una masa M se mueve en un campo gravitatorio, ~g generado poruna cierta configuracion de cargas que permanecen estaticas. El movimiento de lacarga a traves del campo debe venir regido por la ecuacion de Newton, de manera

51


que se cumplaM~a = ~F .

Calculemos el trabajo efectuado por el campo para que la partıcula viaje entrelos puntos A y B de una cierta trayectoria

W =

∫~γ

~F · ~v dt =

∫~γ

Md~v

dt· ~v dt,

es decir

W = M

∫~γ

~v · d~v =1

2M

∫~γ

d(~v 2) =1

2Mv2

∣∣∣∣BA

=1

2M(v2

B − v2A),

que nos indica que el trabajo es proporcional a la variacion del cuadrado de lavelocidad entre los dos puntos. Definiendo la energıa cinetica como Ec ≡ 1

2Mv2,

la ecuacion anterior nos indica que el trabajo efectuado por el campo para que lapartıcula se mueva en su seno entre los puntos A y B es precisamente la variacionde energıa cinetica entre esos puntos.

Ejemplo 3.3: Balance energetico de una masa en un campo gravitatorio

Como ya hemos avanzado, la energıa ni se crea ni se destruye por lo que estavariacion en la velocidad ha tenido que venir procedente del campo. En efecto,sabemos que la fuerza que sufre la partıcula externa M en el ejemplo anterior sedebe a su acoplo con el campo ~g, de tal forma que puede escribirse ~F = M~g, porlo que el trabajo tambien puede indicarse como

W =

∫~γ

M~g · d~l = M

∫~γ

−~∇V · d~l,

donde hemos escrito ~g = −~∇V porque el campo gravitatorio es conservativo.Sin seguir calculando ya tenemos formulada matematicamente la situacion: la

partıcula gana o pierde velocidad dependiendo de la interaccion con el campo, esdecir:

W =1

2M(v2B − v2

A

)︸︷︷︸cambio en la velocidad

= −M∫ B

A

~∇V · d~l︸︷︷︸interaccion con el campo

.

52


Recordando que Ep ≡MV , podemos escribir la igualdad anterior como

1

2Mv2

∣∣∣∣BA

= −∫ B

A

~∇Ep · d~l,

donde vemos de manera clara que la variacion de energıa cinetica debe correspondera una variacion de la energıa potencial gravitatoria a lo largo de la trayectoria entrelos puntos A y B. Veremos que este resultado no depende para nada de lo que paseentre medias de esos puntos, sino solo de los extremos A y B.

Para hacer el analisis mas claro supongamos que el problema se restringe auna sola direccion, x por ejemplo. Entonces

~∇Ep · d~l =dEpdx

dx,

y resulta que

1

2Mv2

∣∣∣∣BA

= −∫ B

A

dEpdx

dx = −∫ B

A

dEp = EAp − EB

p ,

resultado que es completamente general y que pone el colofon a nuestro calculo: lavariacion de la energıa cinetica de una partıcula moviendose en un campo es iguala la variacion de energıa potencial cambiada de signoa

∆Ec = −∆Ep.

Reescribiendo esta ecuacion como

∆Ec + ∆Ep = ∆(Ec + Ep) = 0,

y llamando E ≡ Ec +Ep a la energıa total de la partıcula, llegamos a enunciar unresultado absolutamente trascendental: la energıa total de una partıcula se conservaa lo largo de un movimiento en el seno de un campo conservativo. ¡Precisamentepor eso se llaman conservativos!

El hecho de que la variacion de energıa potencial para una carga que se muevea lo largo de una cierta trayectoria entre los puntos A y B no dependa del caminoque siga es un reflejo del caracter conservativo del campo.

a Ojo: aquı ∆ no es el operador de Laplace, sino el incremento definido sobre cualquier cantidadcomo ∆f ≡ ffinal − finicial.

53


Ejercicio 16. Deduce, en el Sistema Internacional, las unidades para la intensidad decampo gravitatorio, la intensidad de campo electrostatico, el potencial gravitatorio y elpotencial electrostatico.

Ejemplo 3.4: Conservacion de la energıa total a lo largo de la trayectoria

Considerando la energıa total de una masa externa M acoplada a un campo gra-vitatorio creado por una masa puntual m, es decir,

E =1

2Mv2 −GMm

r,

vamos a mostrar que la energıa se conserva a lo largo de la trayectoria de lapartıcula, es decir, que

dE

dt

∣∣∣∣trayectoria

≡ 0.

Al derivar tendremos que calcular d(v 2)/dt que, usando la regla de la cadena,resulta ser proporcional a la aceleracion. Teniendo en cuenta que sobre la trayecto-ria de la partıcula M debe cumplirse la ecuacion de Newton, F = Ma, es probableque tengamos suficiente para llegar a lo que se pide.

Hagamoslo: primero calculemos la contribucion procedente de la energıa cineti-ca

d

dt

(1

2Mv2

)=

1

2Md(v2)

dt,

por lo que podemos concentrarnos en calcular d(v2)/dt, como anticipabamos. Usandola regla de la cadena encontramos

d(v2)

dt=d(v2)

dv

dv

dt= 2v

dv

dt︸︷︷︸=a

= 2va.

Ahora pasemos a calcular la contribucion de la energıa potencial gravitatoria,

d

dt

(−GMm

r

)= −GMm

d

dt

(1

r

),

54


que nos indica que podemos restringirnos a analizar como cambia con el tiempo1/r. Apliquemos de nuevo la regla de la cadena

d

dt

(1

r

)=

(dr

dt

d

dr

)1

r=

dr

dt︸︷︷︸=v

d

dr

(1

r

)= − v

r2.

Sumando ambas contribuciones obtenemos

dE

dt=M

22va+GMm

v

r2= Mva+GMm

v

r2,

pero si estamos considerando que v, a y r son la velocidad, la aceleracion y laposicion sobre la trayectoria, entonces ha de cumplirse la ecuacion de NewtonF = −GMm/r2 = Ma, de manera que podemos escribir para la suma de las contri-buciones

dE

dt= Mva+ v G

Mm

r2= Mva+ v(−Ma) = 0,

que es precisamente lo que querıamos demostrar. ¡La fısica funciona!

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Date post:	16-May-2020
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