Una Introducción al Método de
Diferencias Finitas. Métodos
Implícitos y Explícitos
Eusebio Ingol Blanco, Ph.D.
Daene McKinney, Ph.D.
Universidad Nacional Agraria la Molina Escuela de Postgrado
Maestría en Ingeniería de Recursos Hídricos
Método de Diferencias Finitas
• Finite-difference method
– Replace derivatives in governing equations with Taylor series approximations
– Generates set of algebraic equations to solve
Taylor Series
• Expresion en series de Taylor de h(x) en un punto t x+Dx cerca a x
• Si se trunca la serie despues del nth termino, el error sera
Primera Derivada- Hacia Adelante
• Considerar una expansión en series de Taylor hacia adelante de una función h(x) cerca al punto x
• Resolver para 1st derivada
h(x)
x
xx D
xD
h(x)
xxx D
xD
Primera Derivada- Hacia Atras
• Considerar una expansión en series de Taylor hacia atras de una función h(x) cerca al punto x
• Resolver para 1st derivada
h(x)
x
xx D
xD
h(x)
xxx D
xD
Segunda Derivada- Central
¢ ¢ h (x)Adicionar y resolver para
Aproximación en Diferencias Finitas
hi+1
h(x)
x
i +1
xD
hi
i
hi-1
i -1
xD
Hacia atras 1st derivada
Hacia adelante 1st derivada
Central 2nd derivada
Grids y Discretización
• Proceso de discretizacion
• Grid definido para cubrir el dominio
• Objetivo es predecir los valores de carga en los puntos de nodo de la malla
– Determinar efectos de bombeo
– Flujo de un rio, etc
• Método D.F
– Popular y fácil de implementar
– Atractivo para simple geometría
i,j
i,j+1
i+1,j
i-1,j
i,j-1
x, i
y, j
Domain
Mesh
Node point
D x
D y
Grid cell
Notation
h(x, y, z,t) = hi, j,kl
Aproximación de Derivadas • Ecuación que rige
• 2nd derivada x
• 1st derivada t
¶2h
¶x2=
S
T
¶h
¶t
Hacia adelante Hacia atras
li ,1
ix,
lt,
1, li
li ,1
1, li
xD
tD
li,
Método Explicito
• Use toda la información del paso de tiempo anterior para calcular el valor en este paso de tiempo
• Procede punto por punto a través del dominio
• Podría ser inestable para largos periodos de tiempo
li ,1
ix,
lt,
1, li
li ,1
1, li
xD
tD
li,
¶2h
¶x2=
S
T
¶h
¶t
Aprox. DF
Método Explicito
hil+1 = hi
l + r hi-1l - 2hi
l + hi+1l( )
l+1 nivel tiempo desconocido
l nivel tiempo conocido
Método Explicito
hil+1 = hi
l + r(hi-1l - 2hi
l + hi+1l )
Dx = 1m, L = 10m, b = 1.5m
hA = 6.1m, hB = 1.5m,
K = 0.5m/d, S = 0.02
Considerar: r = 0.48 r = 0.52
Resultados (Dt = 18.5 min; r = 0.48 < 0.5)
Resultados (Dt = 20 min; r = 0.52 > 0.5)
Método Implícito
• Usa información de un punto en el paso de tiempo anterior para calcular el valor en todos los puntos de este paso de tiempo
• Resuelve para todos los punto en el dominio simultáneamente
• Es mas estable
li ,1
ix,
lt,
1, li
li ,1
1, li
xD
tD
li,
1,1 li1,1 li
1,1 li 1,1 li
¶2h
¶x2=
S
T
¶h
¶t
Aprox. DF
Método Implícito
-rhi-1l+1 + (1+ 2r)hi
l+1 - rhi+1l+1 = hi
l
l+1 nivel tiempo desconocido
l nivel tiempo conocido
