UNA PROPUESTA METODOLÓGICA PARA LA OPTIMIZACIÓN DE … · en el portafolio óptimo. Una propuesta...

13ESTUDIOSGERENCIALES

ABSTRACTThe capital markets offer differentalternatives for investments, whereeach asset have a level of given risk.The job of financial advisors is to ob-tain the greater yield diminishing therisk and on this subject have arisenseveral theories. This paper raises thedevelopment of a model and modifi-cation in Excel that allows to createefficient portfolios using Markowitztheory and also the concept of thestraight line of the capital marketemploying assets of the real market.

KEY WORDSInternational portfolio, efficient fron-tier, risk management, capital mar-ket line, variance, covariance, stoc-ks, fixed income, optimization.

Fecha de recepción: 12-1-2005 Fecha de aceptación: 24-5-2005

UNA PROPUESTA METODOLÓGICAPARA LA OPTIMIZACIÓN DE

PORTAFOLIOS DE INVERSIÓN Y SUAPLICACIÓN AL CASO

COLOMBIANO

GUILLERMO BUENAVENTURA VERAProfesor de tiempo completo de la Universidad Icesi; PhD (C) Nuevas Tendencias en

Administración, Universidad de Salamanca; Magíster en Administración de Empresas, Eafit-Icesi;Magíster en Ingeniería Industrial y Sistemas, Universidad del Valle; Especialista en Finanzas,

Universidad del Valle; Ingeniero Químico, Universidad del [email protected]

ANDRÉS FELIPE CUEVAS ULLOAEstudiante de Décimo Semestre de Administración de Empresas, Universidad Icesi

[email protected]

Rating: A

RESUMENEl mercado de capitales constituye ununiverso oferente de diversas alter-nativas de inversión donde cada ac-tivo tiene un nivel de riesgo dado. Lafunción de los financistas está en lo-grar el mayor rendimiento minimi-zando el riesgo y sobre este tema hansurgido varias teorías. El trabajoplantea la aplicación de un modelo deoptimización en Excel que permitecrear portafolios eficientes a partirde la teoría del portafolio modernode Markowitz y empleando el con-cepto de la línea del mercado de ca-pitales con activos disponibles en elmercado.

Una propuesta metodológica para la optimización de portafolios de inversión y su aplicación al caso colombiano

14 ESTUDIOSGERENCIALES No. 95 • Abril - Junio de 2005

PALABRAS CLAVE

Portafolios internacionales, fronteraeficiente, línea de mercado de capi-

tales, manejo del riesgo, varianza,covarianza, acciones, renta fija, opti-mización.

Clasificación: A


1. INTRODUCCIÓNEl trabajo desarrolla, empleando Ex-cel, los modelos teóricos propuestospor Black (1972), Merton (1973) ymás tarde por Levy y Sarnat (1982),Elton (1995) y Gruber (1997), el re-sumen de los cuales, expuesto porAlexander, Sharp y Bailey (2003),conduce a que el portafolio óptimo sepuede encontrar utilizando principal-mente la línea del mercado de capi-tales (LMC) y no tanto la línea de lafrontera eficiente.

En la composición de portafolios efi-cientes se emplea la función de maxi-mización de la rentabilidad a riesgosdefinidos. También, la configuraciónde un portafolio óptimo utilizando lalínea del mercado de capitales conuna función de maximización de supendiente.

Figuran, como fuente, varios activosfinancieros cuyas cifras de precioshistóricos fueron suministradas por

la compañía Suramericana de Valo-res (Suvalor): Acciones Colombia,Acciones Estados Unidos, AccionesEuropa, Renta Fija Colombia, RentaFija Europa y Renta Fija EstadosUnidos.

La segunda parte de este artículo con-signa el desarrollo del modelo y lasformulaciones matemáticas corres-pondientes. En la tercera parte sedescribe la metodología en detalle yla correspondiente construcción de losmodelos en Excel, mientras que en lasección cuarta se presentan la apli-cación específica y los resultados delestudio.

2. DESARROLLO DE MODELOSY FORMULACIONES

2.1 La frontera eficienteEn un mercado con muchos activosel resultado final de la creación deportafolios tendrá el aspecto mostra-do en la Figura 1.

Figura 1. Muestra de posibles portafolios.

20%

18%

16%

14%

12%

10%

8%

6%

4%

2%

0%0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18

Posibilidades de portafolios

Riesgo

Ren

tabi

lidad

Fuente: Elaboración de los autores, a manera de ejemplo.



Cada punto representa un portafolio,una combinación de activos financie-ros. Se puede observar que algunosson mejores que otros, pues a un ries-go dado presentan mayor rentabili-dad; el procedimiento a seguir enton-

ces, es mirar cuáles son los más efi-cientes (es decir, mejores) dado un ni-vel de riesgo; la forma de estableceresta situación es la construcción de lafrontera eficiente (Ver Figura 2).

Figura 2. Frontera eficiente.

Fuente: Elaboración de los autores a manera de ejemplo.

0.4500

0.4000

0.3500

0.3000

0.2500

0.2000

0.1500

0.1000

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0.0000 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5 000

Rentabilidad Portafolio Eficiente

Riesgo

Los puntos sobre la curva en la Figu-ra 2 representan las diferentes com-binaciones de portafolios eficientes;donde se obtiene bien la mejor renta-bilidad a un riesgo dado, o bien elmenor riesgo a una rentabilidaddada.

Los cálculos de construcción de por-tafolios eficientes emplean las si-guientes modelaciones:

1. Rendimiento promedio de cadaactivo:

Donde Ri es el rendimiento del acti-vo i en un período dado t y T es elnúmero de períodos que se analizan.

2. Riesgo de cada activo, medidocomo la desviación típica o va-rianza de la rentabilidad; estádada por:

3. La covarianza entre los dife-rentes activos, tomados por pa-rejas, la cual representa unamedida de la tendencia de losrendimientos a moverse en la


misma dirección y se obtienemediante la ecuación:

4. La rentabilidad esperada delportafolio P se obtiene así:

Donde Wi es el peso de cada activoen el portafolio, y n es el número deactivos que participan en el portafo-lio.

5. El riesgo de un portafolio P conmúltiples alternativas de in-versión se logra mediante elcálculo de su desviación típica:

Donde σp es el riesgo del portafolio.

La modelación anterior da lugar a laconstrucción de infinidad de portafo-lios, de los cuales son de interés aque-llos que permitan optimizar el riesgoo la rentabilidad, de manera que acada nivel de rentabilidad se tengael menor riesgo posible. Esta formu-lación se conduce de la siguiente ma-nera:

Dado:

Calcular las proporciones Wi que ha-cen:

Teniendo una restricción presupues-taria:

El vector solución W, cuyas n compo-nentes son las proporciones Wi co-rrespondientes a la fracción de la in-versión del portafolio que correspon-de a cada uno de los activos para con-formar un portafolio cuyo rendimien-to esperado es E(RP) y cuyo riesgo glo-bal es mínimo.

Este cálculo se realiza obteniendo elproducto de la inversa de la matrizde los coeficientes por el vector colum-na de los términos independientes.Variando E(Rp) pueden obtenerse losdistintos puntos (E(Rp), σp) que con-forman la frontera eficiente.

Es necesario determinar el punto querepresenta el portafolio de mínimoriesgo, pues el mismo separa el sub-conjunto ineficiente de la fronteraeficiente que se desea construir. Ma-temáticamente la solución se puededar mediante la siguiente función deLagrange:

la cual se presenta en el anexo y pue-de seguirse en Messuti, Álvarez, Gra-ffi (1992).



Figura 3. Conjunto de mínimo riesgo: subconjunto ineficiente y frontera efi-ciente.

FronteraEficiente

PortafoliosIneficientes

Ej

P2

A

PB

VARa VARj

Ea

j

Fuente: Elaboración de los autores, a manera de ejemplo.

La Figura 3 muestra la curva de lafrontera eficiente (AB), donde cadapunto de ella representa un porta-folio eficiente

2.2 La recta del mercadode capitales

Se puede obtener un solo portafolioóptimo sobre la frontera eficiente pormedio del cálculo de la línea delmercado de capitales, donde el por-tafolio óptimo es el punto de tangen-cia entre la línea del mercado de ca-pitales y la frontera eficiente. Comoeste portafolio óptimo está sobre lafrontera eficiente, entonces el puntode tangencia debe estar localizado enla recta con máxima tangente, con-formada con el punto de tasa libre deriesgo r entre y el punto de fronteraeficiente.

El teorema de separación consiste enla determinación del portafolio M

óptimo, lo cual requiere maximizar lapendiente de la recta:

Sujeto a la restricción presupuesta-ria:

Para este cálculo se debe contar conuna tasa libre de riesgo, r, o sea, latasa de interés que posea el menorriesgo de inversión en el mercado (nor-malmente definida por las inversionesen títulos emitidos por el Estado).

Hay que determinar la pendiente dela recta. Gráficamente se puede ex-presar como aquella recta que pasapor r (tasa libre de riesgo) y tiene lamáxima pendiente sin salirse de la


frontera eficiente determinada ante-riormente.

La metodología expuesta por Vélez-Pareja (2001), es la siguiente:.

Cumpliendo:

Wi es la participación de la alternati-va de inversión i en el portafolio,COVij es la covarianza entre las pa-rejas de títulos alternativos de inver-sión, r es la tasa libre de riesgo y n esel número de clases de activos que setoman para la construcción del por-tafolio.

Figura 4. Línea del mercado de capitales (LMC).

La Figura 4 muestra la línea del mer-cado de capitales, la frontera eficien-te y el portafolio óptimo.

3. DISCUSIÓNDE LA METODOLOGÍA

3.1 Construcción de la fronteraeficiente

Basado en el instrumental mostrado,se construye un modelo de configu-ración de portafolios óptimos utili-zando el paquete de Excel propiedadde Microsoft. El modelo que se ha ela-

Rp

borado permite trabajar con múlti-ples activos. En este trabajo desarro-lla una aplicación con seis activos,pero la aplicación también se puedeajustar a n activos con facilidad.

Construcción del modelo de por-tafolio óptimo usando Excel

1. Se debe contar con una tabla dedatos históricos con los activosque se quieren analizar y sus res-pectivas rentabilidades a lo largodel tiempo.



La estructura que se aprecia en lagráfica anterior muestra en la colum-na de B7 a B11 los diferentes activos(X1 - Xn); la matriz conformada desdeC7 hasta E11 tiene las rentabili-dades de cada activo en un períododeterminado.

2. Se calcula la rentabilidad prome-dio de cada activo, la desviacióntípica y su varianza.

Los cálculos del promedio y desvia-ción estándar se realizan por mediode la herramienta Fx, seleccionandola categoría estadística:


3. Se construye una tabla de corre-laciones entre los diferentes acti-

vos, usando la función de ExcelCovar:

Con la función de Excel Covar se cons-truye la siguiente matriz triangular

de covarianzas:

4. Se organiza una tabla que conten-ga las variables mostradas en lasiguiente figura de Excel, dondela columna Activo contiene los

nombres de los diferentes activosy la columna Variable contiene lospesos de cada uno de los activosen el portafolio óptimo.



El anterior gráfico muestra las varia-bles que debe tener la tabla que cal-culará las proporciones que debe te-ner cada activo, donde R es la renta-bilidad esperada de cada activo, «Va-lores» es el peso de cada activo den-tro del portafolio, S es desviación es-tándar, S^2 es la varianza de cadaactivo y «Activo» es el valor simbólicoque toma cada activo.

5. El paso siguiente es pegar la in-formación de la tabla de covarian-zas, como se muestra en el si-guiente gráfico y completarla;para facilitar los cálculos posterio-res se debe trabajar con la matrizcompleta y no con la matriz trian-gular.

Como se ve en la gráfica, la diagonalde la matriz de correlaciones es lavarianza de cada uno de los activos.

6. Para calcular el riesgo de los dife-rentes portafolios se usa la fórmu-la general

que puede ser extendida así:

Para el caso del modelo la funciónSumaproducto realizará el cálculodel riesgo.

• Se hace un Copy-paste de la ren-tabilidad promedio, desviación es-tándar y varianza de cada activo.

Se debe considerar:

a. En todo portafolio, la suma delpeso de cada activo debe dar el100%, para el modelo en las cel-das que representan las rentabi-lidades de cada activo se le asig-na el número 1 y después se su-

man, como se aprecia en la gráfi-ca anterior (celda C6).

b. La celda arriba de los símbolos decada activo debe ser igual a la delos valores de cada uno de los di-ferentes activos, si se mira la grá-fica anterior se tiene lo siguiente:JI = C3.


• La anterior gráfica muestra lafunción Sumaproducto realiza-da en la celda G3, el resultado dela fórmula debe ser arrastrado deG3 a G5 y automáticamente sal-

drán los otros resultados. La ma-triz 1 no cambia cuando se arras-tra de G3 a G5, entonces se debeusar con F4.

• La columna G muestra los resul-tados de la sumaproducto, des-pués de arrastrar el resultado deG3 hasta G5.

• La celda G3 se debe multiplicarcon la columna C3, el resultado selleva a la celda G5.

• El literal A muestra la suma des-de H3 hasta H5

• La fórmula de riesgo del portafo-lio es la raíz cuadrada de la va-rianza, si se tiene la varianza delportafolio en H7. El literal Bmuestra el riesgo del portafolio al



elevar la varianza que se encuen-tra en H7 a la un medio.

7. Para calcular la rentabilidad delportafolio se utiliza la fórmula

Usando la función Sumaproductode Excel se logra calcular la fórmulade Rentabilidad esperada del porta-folio.

8. El planteamiento matemáticopara calcular los portafolios que seencuentran sobre la frontera eficien-te, en caso general es el siguiente:

• Minimizar σp (riesgo esperado

prefijado)

• Sujeto a:

1. E(Rp) Rendimiento esperadodado

2. (X1 + X2 +... + Xn = 1 )Restricción presupuestaria

Utilizando la herramienta Solver deExcel se pueden meter los paráme-tros anteriores para calcular la com-

posición de los diferentes portafoliosóptimos (Ver página 25).

a. Se usa la función Sumaproduc-to entre las celdas de valores y lasde rentabilidades esperadas decada activo.

b. La suma de los pesos de cada ac-tivo debe dar el 100% del portafo-lio. La celda C10 = 100%. Luego,en el solver, se le agrega la res-tricción donde la suma de los va-lores sea igual a 100%.

c. En la celda H12, el inversionistaentra el nivel de riesgo a tolerar,para que el sistema le calcule el


portafolio óptimo a ese nivel deriesgo.

d. La ventana de diálogo de Solverse configura teniendo en cuentalo siguiente:

Celda Objeto: La celda objeto daráel resultado de la rentabilidad espe-rada del portafolio. (RP)

Valor de la celda objetivo: Se se-lecciona Máximo.

Cambiando las celdas: Se seleccio-nan las celdas que se ubican en lacolumna de valor (Celdas que daránlos diferentes pesos de cada activo).

Restricciones

La suma de los pesos de los di-ferentes activos es igual a 1;dondeSuma(C3:C5) = 1, parael uso en Excel C10 = C6.

El riesgo esperado por el inver-sionista es igual a la suma delriesgo de cada uno de los acti-vos del portafolio; donde H8 esla suma del riesgo de cada unode los activos debe ser igual aH12, riesgo esperado por el in-versionista.

• Se hace click en Resolver y se ob-tiene la solución: el peso de cadaactivo dentro del portafolio con larentabilidad esperada del mismo.

• Cada vez que se ingrese un nivelde riesgo el modelo dará una so-lución de portafolio que se ubicaen la frontera eficiente. Se ingre-sa un σp para obtener un Rp. Conlos datos anteriores se puede cons-truir una tabla con diferentes σpy sus Rp obtenidos por el modelo,esto con el fin de graficar la curvade la frontera eficiente.



• En el gráfico de la parte inferiorde la página se observa la tablade los σp ingresados por el inver-sionista y su respectivo RP, obte-nidos por medio de la utilizacióndel modelo.

• Para organizar la tabla hay quetener en cuenta que la variable Xson los datos σp y la variable Yviene dada por los valores Rp.

• Los datos σp deben ser organiza-dos de forma ascendente, de me-nor a mayor riesgo.

3.2 Construccióndel portafolio óptimo

1. El portafolio óptimo se calcula pormedio de la línea del mercado decapitales. Maximizando la rectatangente entre m y r; donde r es

la tasa libre de riesgo y m es unportafolio que se ubica en la fron-tera eficiente, como lo proponeVélez-Pareja (2001).

La maximización de la recta tangen-te entre m y r, se puede hacer usandoel Solver de Excel.

• Se debe establecer la tasa libre deriesgo, r, para luego maximizar elvalor

(rP - r)/ σp

• Se establece una tasa libre de ries-go, celda H12.

• Se escribe la fórmula a maximi-zar, celda H14, donde D8 es RP,

Donde:


H12 es la tasa libre de riesgo y H8es el riesgo σp.

• Usando el Solver de Excel se es-tablece la celda objetivo a maxi-mizar, en la que tenemos la fun-ción tangente:

— Celda objetivo: celda con la fór-mula (RP- Tasa libre de riesgo)/ σp

— Restricción: La suma de los pe-sos de cada activo debe dar el100% del portafolio. La celda C10= 100%. luego en el solver se leagrega la restricción; donde lasuma de los valores sea igual a100%.

— Se hace clic en Resolver y el por-tafolio óptimo que maximiza larecta tangente entre m y r se con-figura.

4. APLICACIÓN DEL MODELOLa aplicación del modelo se configu-ra con seis tipos de activos: dos na-cionales y seis internacionales, de talmanera que se tengan alternativasglobales de inversión.

4.1 Base de datosActivos que conforman el porta-folio

• Renta Fija Colombia: SegúnDTF 90 días, calculada por el Ban-co de la República.

• Acciones Colombia: SegúnIGBC, Simulado IBB hasta di-ciembre de 1987, e IBOMED en-tre diciembre de 1987 y junio 1o.

Incluye dividendos. Fuente: Bol-sa de valores.

• Renta Fija Estados Unidos:Según bonos del Estado a tres me-ses, publicado por Bloomberg y de-valuación del peso según TRM dela Superintendencia Bancaria.

• Renta Fija Europa: Según bo-nos BCE a tres meses, publicadosen Bloomberg, y devaluación delpeso según TRM de la Superinten-dencia Bancaria y tasa oficial delEuro (ajustada con la libra ester-lina), publicada en Bloomberg.

• Acciones Europa: Según BE500(Simulado DAX hasta diciembrede 1996), y devaluación del pesosegún TRM de la Superintenden-cia Bancaria y tasa fija del Euro(ajustada con marco alemán) pu-blicada en Bloomberg. Incluye di-videndos. Fuente: Bloomberg.

• Acciones Estados Unidos: Se-gún S&P-500, y devaluación delpeso según TRM de la Superinten-dencia Bancaria. Incluye Dividen-dos. Fuente: Bloomberg.

La base de datos provista por Sura-mericana de Valores (Suvalor) seencuentra en el archivo personalde los autores.1

4.2 Cálculos

La Tabla 1 muestra la rentabilidadpromedio, el nivel de riesgo de cadaalternativa de inversión y la correla-ción entre los activos.

1. Para su consulta se puede comunicar con los autores del artículo.



Tabla 1. Cifras de los títulos fuente.

La Tabla 2 muestra el cálculo de unportafolio óptimo con un nivel de ries-go dado por el inversionista de 0.10.

El modelo calcula la máxima renta-bilidad posible dado un riesgo de 0.10.


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10.

105

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103

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115

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140

0.15

0.17

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0.26

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0.26

6589

0.26

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0.27

330.

2755

50.

2766

10.

2813

0.28

30.

2868

940.

2904

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2938

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5795

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999.


5. CONCLUSIONESLa metodología expuesta en este tra-bajo permite construir múltiples por-tafolios que se ubican en la fronteraeficiente por medio del análisis ma-temático de la evolución de las ren-tabilidades de los diferentes activosque lo conforman. Asimismo, y de unamanera simple, se puede obtener elportafolio óptimo empleando la con-dición de la línea de mercado de ca-pitales para una economía.

Toda esta modelación se logra en Ex-cel, empleando un conocimiento inter-medio de manejo de este paquete.

El estudio arroja un portafolio am-pliamente dominado (88%) por la ren-ta fija en moneda local. Esto se atri-buye a la gran volatilidad que pre-sentan los otros cinco componentesdel mismo, al involucrar la alta va-riabilidad de las acciones por un ladoy también la alta volatilidad de lostipos cambiarios por el otro.

El resultado obtenido para la aplica-ción de los seis índices de valores (Fi-

4%88%

4% 0% 2%2% Acciones

EuropeasRenta fijaEuropeaRenta fijaEE.UUAccionesEE.UURenta fijaColombiaAccionesColombia

Figura 8. Portafolio óptimo, obtenido por medio de la línea del mercado.

gura 8) constituye una buena guía debúsqueda de portafolios en el medio.Cabe la posibilidad de estudiar en unfuturo la adecuación que los portafo-lios comerciales ofrecidos tienen coneste hallazgo, o aun con resultadosde valores originales diferentes o muyespecíficos.

Es imperativo advertir que en losmodelos de construcción de portafo-lios eficientes la rentabilidad espera-da, más que verse a corto plazo, sebasa en proyecciones a largo plazo yestá sujeta a variaciones debido alcomportamiento futuro de los merca-dos. La probabilidad de obtener larentabilidad esperada aumenta si seanaliza la inversión con un horizontede tiempo amplio. Este enfoque haceparte de la postura financiera prácti-ca de proyectar el futuro con base enlas variaciones del pasado, aunque enello no se puedan prever eventos atí-picos o cataclísmicos o de causa asig-nable no normal que puedan sucederen el futuro.



Obtención del portafolio de mínimo riesgo

La función de Lagrange es:

ANEXO

Donde la función anterior implica minimizar:

Sujeta a las dos restricciones:

y a la restricción presupuestaria:

A efectos de facilitar la derivación de F, se desarrollan todas las sumato-rias de la ecuación 1.

Se anulan todas las derivadas parciales


Dividiendo entre 2 la primera ecuación y ordenando sus términos, resul-ta el siguiente sistema de n+2 ecuaciones lineales con n+2 incógnitas:

Este sistema puede escribirse matricialmente así:



BIBLIOGRAFÍA• Alexander & Sharpe & Bailey.

Fundamentos de inversiones, teo-ría y práctica, Tercera edición,Prentice Hall. 2003.

• Eun, Ch. S. & Resnick, G. Inter-national finance management.Third edition, Mc Graw Hill. 2004.

• Messuti & Álvarez & Graffi. Se-lección de inversiones. EdicionesMacchi. 1992.

• Newbold, Paul. Estadística paralos negocios y la economía. Cuar-ta edición. Prentice Hall. 1997.

• Kolb, Robert W. Inversiones, No-riega Editores. 2000.

• Vélez-Pareja, J.I. «Selección delportafolio óptimo: una nota. Op-timal portfolios selection».www.ssrn.com. 2001.

• www.suvalor.com

• www.corfinsura.com

• www.Bloomberg.com

• www.supervalores.gov.co

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