7/30/2019 Unidad 3. Medidas de Tendencia Central y Dispersion

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Unidad 3. Medidas de tendencia central y dispersión

Para cualquier conjunto de datos estudiados es importante tener un

resumen de la información y sus características. Esta información indica

cómo se comporta la población de datos que tienes. Para resumir la

información se utilizan dos tipos de valores que, en vez de representar cadauno de los datos, representan conjuntos de datos. Estos dos tipos de

indicadores estadísticos son: las medidas de tendencia central, que

muestran hacia qué valores se agrupan o acumulan los datos; y las medidas

de dispersión, que de forma contraria a las anteriores, muestran cómo se

dispersan o separan los datos.

En esta unidad:

• Aplicarás el procedimiento para obtener las medidas de tendencia central y

dispersión en datos agrupados y no agrupados.

Utiliza las medidas de tendencia central y dispersión para describir un

conjunto de datos mediante la representación numérica y gráfica de la

información obtenida en una muestra o población.

3.1. Medidas de tendencia central

Las medidas de tendencia central

Las medidas de tendencia central son los valores que representan un conjunto de datos

de forma tal que te ayudan a saber dónde están acumulados los datos sin indicar cómose distribuyen. Se llaman así porque tienden a ubicarse en la parte central del conjunto

de datos. Las medidas de tendencia central más comunes son: la media aritmética

(conocida como media o promedio), la mediana y la moda.

La media aritmética o, simplemente, media, se denota por  x la letra  μ según se calcule

en una muestra o en la población, respectivamente. La media es resultado de dividir la

suma de todos los valores de los datos entre el número total de datos.

La manera como se organizan los datos: no agrupados y agrupados (por frecuencias o

intervalos),determina la expresión de la fórmula para calcular la media.

Fórmula para datos no agrupados

 

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En estas fórmulas la diferencia radica en que, el total de la población se

representa con la letra N y el total de la muestra se representa con la letra

n.

Fórmula para datos agrupados en frecuencias

Los datos agrupados en frecuencias son aquellos que se organizan en una tabla de

frecuencias, es decir, las tablas que contienen, en una columna, el valor de la variable y,

en otra columna, la frecuencia o el número de veces que se repite cada valor en una

serie de datos.

Las fórmulas para calcular la media con los datos organizados de esta manera son:

Fórmula para datos agrupados en intervalos

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Los datos agrupados en intervalos son los que se organizan dentro de un

rango establecido entre un límite inferior y un límite superior. Recuerda que

las tablas de intervalos muestran el número de datos que abarca cada

intervalo (frecuencia por intervalo). Las fórmulas para calcular la media con

los datos organizados de esta manera son:

Para realizar las actividades de esta unidad, utilizarás los problemas que resolviste en la

Actividad 2: Frecuencias de la Unidad 2. Lo recomendable es que trabajes con las tablas

que ya habías elaborado, si no tienes el archivo puedes descargarlo a continuación.

Da clic en el icono para descargar el documento  Frecuencias.

Con los datos de este problema, tendrás que obtener las medidas de tendencia central y

dispersión que revisarás a lo largo de la unidad, por lo tanto, esta actividad está dividida

en seis momentos.

Es importante que la actividad la realices paso a paso, ya que si tienes dudas sobre el

uso de las fórmulas, puedes consultarlas a tiempo con tu Facilitador(a); además, tendrás

que entregar tu trabajo al final del tema.

3.1.2. Mediana

La segunda medida de tendencia central es la mediana, esta se define

como:

El valor que divide en dos partes iguales una serie de datos, es decir, la

cantidad de datos que quedan a la derecha de la mediana es igual a la

cantidad de datos que quedan a la izquierda. Se representa por Me.

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Para calcular la mediana, debes hacer lo siguiente:

Mediana en datos agrupados por intervalos

Cuando quieres calcular la mediana en datos agrupados por intervalos,

tienes que buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la

mitad de la suma de las frecuencias absolutas, es decir, es necesariolocalizar el intervalo donde se encuentre N/2, para ello utiliza la siguiente

fórmula:

Donde:

Li es el límite inferior del intervalo donde se encuentra la mediana.

es la división de las frecuencias absolutas entre 2.Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior al intervalo de la mediana.

f i es la frecuencia absoluta del intervalo donde se encuentra la mediana.

ai es la amplitud del intervalo.

.

ara cuando la cantidad de valoreses impar 

 

Para cuando la cantidad de valoreses par 

Ordena los valores de menor a mayor y

busca el valor del centro.

Por ejemplo:

1. Supón que tienes los siguientes

valores:

2, 4, 0, 8, 6, 4, 7, 1, 1, 0, 8, 6, 9

2. Ordena:

0, 0, 1, 1, 2, 4, 4, 6, 6, 7, 8, 8, 9

3. El dato que divide a la mitad es:

4, por lo tanto Me: 4

Ordena los valores de menor a

mayor, busca y promedia los

valores del centro.

Por ejemplo:

1. Supón que tienes los siguientes

valores:

5, 7, 2, 3, 1, 6, 9, 8, 6, 4, 7, 1 ,3, 2

2. Ordena:

1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9

3. Busca y promedia los datos del

centro:

4+5=9/2= 4.5, por lo tanto Me: 4.5

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Actividad 2: Medidas de tendencia central. Mediana

1. Retoma el problema que utilizaste en la actividad anterior para obtener la media

aritmética.

2. Con los datos obtenidos, calcula la mediana, incluyendo fórmula y lasoperaciones que realices.

3. Recuerda que en el foro Medidas de tendencia central, puedes plantear tus

dudas sobre el tema.

4. La nomenclatura que debe tener tu archivo es la misma que se definió en la

actividad anterior, EB_U3_MTC_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras

letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la

inicial de tu apellido materno. Recuerda que tu archivo no debe pesar más de 4 MB.

Nota: Todavía no debes enviar tu documento, consérvalo.

3.1.3. ModaLa tercera medida de tendencia central es la moda.

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta, es decir, el valorque se repite más veces en una serie de datos. La moda se denota por Mo.

Cuando todos los valores de la distribución de datos tienen igual número defrecuencia, se dice que no hay moda.

Moda en datos agrupados por intervalosCuando la distribución de datos es por intervalos de clase, primero selocaliza el intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta utilizando la

siguiente fórmula para calcular la moda:

Donde:

Li es el límite inferior del intervalo modal.f i es la frecuencia absoluta del intervalo modal.f i—1 es la frecuencia absoluta del intervalo anterior al intervalo modal.

f i-+1 es la frecuencia absoluta del intervalo siguiente al intervalo modal.

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ai es la amplitud del intervalo.3.2. Medidas de dispersión

A diferencia de las medidas de tendencia central, que miden acumulaciones

en un solo punto, las medidas de dispersión miden el grado de separación oalejamiento que tiene una variable estadística con respecto a una medidade posición o tendencia central. Dicho grado de separación indica lorepresentativa que es la medida de posición con respecto al conjunto totalde datos. A mayor dispersión, menor representatividad de la medida deposición y viceversa.

3.2.1. RecorridoEl recorrido representa la diferencia que hay entre el primero y el últimovalor de la variable, también se le conoce como rango y se denota por Re.

La fórmula para calcularlo es:

donde:máx xi es el valor máximo de la variablemin xi es el valor mínimo de la variable

Por ejemplo:

Si tienes la siguiente distribución de datos: 69, 68, 52, 57, 69, 71, 78, 52,74, 74, 69, 52, 76, calcula el rango, sustituyendo los valores Re=78-52=26

3.2.2. VarianzaLa varianza mide la mayor o menor dispersión de los valores de la variablerespecto a la media aritmética. Siempre es mayor o igual que cero y menorque infinito. Se define como la media de los cuadrados de las diferencias delvalor de los datos menos la media aritmética de éstos.La fórmula de la varianza para datos no agrupados es:

Para calcularla en una población:

Para calcularla en una muestra:

Varianza para datos agrupados por intervalos

La fórmula para calcular la varianza en datos agrupados por intervalos es la siguiente:

Para calcularla en una población: F i  es la frecuencia del intervalo.

Mc i  es la marca de clase del intervalo.

Donde

es la suma de los

cuadrados de los valores

de X menos la media

N, n es el número total de

datos.

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Para calcularla en una muestra

3.2.3. Desviación típica

La desviación típica o estándar muestra qué tan alejado está un dato del valor de la

media aritmética, es decir, la diferencia que hay entre un dato y la media aritmética.

Se denota como

S ó σ

según se calcule en una muestra o en toda la población,

respectivamente.Se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza. Se expresamediante las siguientes fórmulas:

En datos no agrupados

Para una población Para una muestra

 

En datos agrupados por intervalos

es la marca de clase del

intervalo.

Para calcularla en una

muestra:

μ

X

es la media de la distribución de

datos.

N ,n

es el número total de datos de la

distribución.