Matemticas III Unidad III

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3.1 DEFINICION DE FUNCION DE UNA VARIABLE REAL, DOMINIO Y GRAFICACION

En general una funcin es una regla que asigna a cada elemento del dominio un elemento de la imagen. Una funcin con valor vectorial es simplemente una funcin cuyo dominio es un conjunto de nmeros reales y cuya imagen es un conjunto de vectores. En este tema haremos un estudio sobre funciones vectoriales r cuyos valores son vectores tridimensionales. Esto se identifica, que para cada numero t de dominio r hay un valor nico en V3 r(t) si f(t), g(t), h(t) son las componentes del vector r(t) entonces son funciones de valor real llamadas funciones componentes de r y se describen como:

r(t)= f(t)i + g(t)j..Plano r(t) = f (t)i + g(t)j +h(t)..EspacioEmpleamos la letra t para denotar la variable independiente por que representa tiempo en la mayor parte de las aplicaciones de las funciones vectoriales. El calculo de las funciones vectoriales fsicamente de aplica para de mostrarlas leyes de Kepler que describen el movimiento de los planetas alredor del sol.

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EJEMPLO 1:

Si r(t)= < t3, ln (3-t), r(t)= f(t)i + g(t)j +h(t)k

> entonces las funciones componentes son:

Segn nuestro convenio habitual, el dominio de r consta de todos los valores de t para los que esta definida la expresin r (t). Las expresiones t3, ln (3-t), estn definidas cuando 3-t > 0

Por lo tanto el dominio de r es el intervalo: 3 t= 0 -t > -3 / -1 t

r(t)= < t2 ,

,

>

D= [1,5]

1 Ejemplo 2

5

Hallar el lmite de las funciones Lim t-0 cos t, sen t , t ln t Cos t sen t t ln t [1,0,0]

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1 Ejemplo 3

0

0

Calcular el lmite de la siguiente funcin vectorial Limt-1 ( i+ j+ k

=

i+

j+

k

=

i+

j+

k

= ( 2i + j + tan1 k)

=

=

4.- limt= (0, ,

( k)

i+

j + tan-1 k

= en j no existe limite

5. - limt-0 ( = (1i +

i+ j + 1 k)

j+

k

= (1, 1, 1) = (i, j, k)

LIMITES ESPECIALES 1.- Desmuestre el limite cuando

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Limt-0 = Limt-0

i=0 i = Limt-0 . = Limt-0 i

= Limt-0

que cos2 + sen2 = 1 Sen2 = 1- cos

Limt-0 = 1(0)= 1

= Limt-0

. Limt-0

=1.

=

2. - limt-0(t2 I + 3t j + = 0i + 3(0) + = (0, 0, 0) k

k)

3.- limt-1( = i+

i+

j + 2t2 k )

j + 2(1)2 k j+2k

= 1i + = (1,

, 2)

4.- Lim t-0

k

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= Lim t-0

= Lim t-0

= Lim t-0

= Lim t-0

= Lim t-0

= Lim t-0

=

=

5.- limt-0

= limt-0

= limt-0

= limt-0

= limt-0

6.- limt-0

= limt-0 4t

=

=

limt-0

=

(1) =

la propiedad limt-0

=1

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3.3 DERIVACION DE FUNCIONES VECTORIALES Y SUS PROPIEDADDefinicin de derivacin de funciones vectoriales: 1.- si r(t)=f(t)i + g(t) j, donde f yg son funciones derivables de t, entonces: r(t)= f(t) i + g(t) j Plano

2.- si r (t)= f (t) i + g (t) j +h (t) k donde f, g, h son funciones derivables de t entonces: r (t) = f (t) i + g (t) j +h (t) k Espacio

1.- dada la funcin vectorial r(t)= costi +sentj +2tk hallar: a) r (t) b) r (t)c) r (t) r (t) d) r (t) x r (t)

a) r(t) = -senti +costj +2k b) r``(t)= -costi sentjc) r (t) r (t)= sent cost sent cost=0 d) r (t) x r (t)

r (t) x r (t)= 2 senti -2 costj + k

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Tema 3.4

Integracin de funciones Vectoriales

Definicin de la integral de una funcin Vectorial1) Si

donde son funciones continuas en [a,b] la integral definida (o antiderivada) de es:

Y su integral definida sobre el intervalo

es:

Ejemplos: 1) Hallar la integral de la funcin Resolviendo: =2t4-1

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2)

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3)

Sustituyendo en la formula tenemos que:

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4)

5)

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se integra, quedando de la siguiente manera:

Resolviendo

Multiplicar ecuacin 1 por 2 y sumando a ecuacin 2,tenemos:

Sustituyendo en ecuacin 1 tenemos:

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6)

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8)

Integramos por parte obtenemos

y sustituyendo

9) Hallar la primitiva de

que satisface la

condicin inicial de

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Primitiva es calcular su funcin original integrando.

el parametro t=o

como

entonces decimos:

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3.5 LONGITUD DE ARCO

Libro de larson, pagina 1086, Ejemplo 2

Clculo de longitud de arco de una Hlice

Calcular la longitud de arco de un giro de la hlice dada por:

que se muestra en la figura.

Solucin: como es:

la longitud de arco perdida

z t

t=0

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3.6 VECTOR TANGENTE, NORMAL Y BINOMIALDEFINICIN DE VECTOR TANGENTE Seac una curva suave representada por r en un intervalo abierto tangente unitario en t se define como: el vector

; para

1.- Dada la funcin en el punto donde t=0

encuentre el vector tangente

DEFINICIN DEL VECTOR NORMAL PRINCIPAL UNITARIO

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Sea C una curva suave representada por r en un intervalo abierto i si el vector normal principal en t se define como:

2.-

El vector , se denomina vector binomial, este vector tiene la caracterstica que es particular a T y a N; y tambin es un vector unitario

3.- Hallar el vector normal y binomial para una hlice circular cuya funcin vectorial es: Solucin:

cambiando la formula podemos tener:

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Realizando el producto cruz obtenemos lo siguiente:

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL DE LA ACELERACIN Si es el vector posicin de una curva suave C para la que existe N(t), las componentes tangencial y normal de la aceleracin vienen dadas por:

Ntese que , la componente normal de la aceleracin se llama tambin corriente centrpeta de la aceleracin. Problema: Hallar las componentes normal y tangencial de la aceleracin para la funcin posicin

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Solucin: empecemos por calcular la velocidad, la rapidez y la aceleracin.

Por el teorema 11.5, la componente de la aceleracin es:

y puesto que:

y la componente normal es:

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3.7 CURVATURADefinicin de curvatura Sea C unan curvatura suave (en el plano o en el espacio) dada por donde C denota el parmetro de longitud de arco. Se define la curvatura de C como:

Donde T es el vector unitario de la tangente La curvatura es ms fcil de calcular, si se expresa en trminos del parmetro T en lugar s de modo que usamos la regla de la cadena para escribir. y

Como

entonces tenemos que:

Ejemplo 1.- Demuestre que la curvatura de un circulo de radio con centro en el origen es

La magnitud y la derivada serian:

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La curvatura de la curva dada por la funcin vectorial R es:

Ejemplo 2.- Hallar la curvatura de la cubica a la beada (0, 0, 0) j

en

i k

Si entonces derivando obtenemos:

Problema 3.- Hallar la curvatura de la curva definida por:

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Si la funcin de un posicin de un proyectil es

utilizando esta funcin: Resuelva lo siguiente: Una pelota de beisbol es golpeada a 3ft de altura sobre el suelo con una velocidad de 100ft/s y un ngulo de elevacin de . Calcular la mxima altura que alcanza? Salvara una valla de 10ft de altura situacin a 300m de el lugar de lanzamiento? h=3ft Vo=100ft/s = Planteando la formula dada: r(t)=(Vocos )ti+[h+(Vosen )t-1/2gt2]j r(t)=(100cos )ti+[3+(100sen )t-16.1t2]j r(t)=(70.71)j+[3+(70.71t-16.1t2]j Ubicacin de la valla hvalla=10ft Se deriva r1(t)=70.71i+70.71j-32.2tj hmax----v=0 70.71i+70.71j-32.2tj -32.2t=-70.71 t= = 2.19s 3+70.71t-16.1t2

Estos valores se tomaran

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y=3+70.71 (2.19)-16.1 (2.19)2 y=80.63ft Para poder saber cuando llega a la valla se toma la siguiente formula: X=Xo+Vt 300ft=70.71t t= t=4.24s y=3+70.71 (4.24)-16.1 (4.24)2 y=13.37ft Por lo tanto la pelota lograra pasar la valla como 13.31 0

VELOCIDAD ANGULAR Una persona esta sentada en una rueda de la fortuna de 10metros de dimetro que completa una revolucin cada 2 minutos encuentre una ecuacin vectorial que describa este efecto, y calcule las componentes del vector velocidadV=rw-------formula V=velocidad lineal (m/s, ft/s, mph) r= distancia w= velocidad angular (rad/s) v= r w ft* x2+y2=r2 E.G.C x=rcos y=rsen r(t)=5coswti+5senwt r(t)=(5cos t)i+(5sen t)j r1(t)=v(t)=(-5 sen t)i+(5 cos t)j )2+(5 cos t)2 2 /w=2min =w ------constante

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Considerando el movimiento dado por la ecuacin vectorial Demuestre que este es un movimiento en lnea recta en al direccin del vector y relacinelo con el vector de aceleracin, el vector de velocidad.

Rapidez

(t) (t)

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3.8 APLICACIONESMuchos de los fenmenos que existen en la naturaleza pueden ser expresados a travs de formulas o modelos matemticos de tal forma que si estos fenmenos renen las condiciones para expresarse como un vector, entonces su modelo seria una expresin vectorial, de la forma:

En base en lo anterior, el vector velocidad, el vector aceleracin y la rapidez del instante t vienen dados por:

Ejemplo 1.- Calcular el vector velocidad, el vector aceleracin, y la rapidez de una partcula que se desplaza a lo largo de:

Evaluando t=3 segundos

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2.- En el diseo de un prototipo de un Go-kart se tienen los siguientes datos: Masa del vehculo: 360 kg Velocidad mxima: 60 km/h Si el prototipo se probara en una pista circular de 12 metros de radio. Qu fuerza de rozamiento hace falta para impedir que se deslice?

12 m

En este problema se aplica la segunda lay de newton k= curvatura de la pista k=1/12 F=?

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3.- Dada la ecuacin . Encuentre el vector velocidad para el movimiento dado de una partcula. Tambin encuentre la rapidez y los tiempos, si los hay cuando la particula se detiene.

4.-

=

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