UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE INSTITUTO DE CIENCIA Y TECNOLOGIA DE LOS ALIMENTOS / ASIGNATURA : Ingeniería de Procesos III (ITCL 234) PROFESOR : Elton F. Morales Blancas UNIDAD 4: PROPIEDADES TERMOFÍSICAS Guía de Problemas Resueltos (Versión ALFA) 1. Cortes de carne de cordero de 12 x 6 x 3 cm tienen una temperatura inicial de 10ºC. Calcule la temperatura en la cual el 88 % del agua libre del producto se congela. Carne de cordero: Humedad 72% Densidad 1050 Kg. /m 3 DESARROLLO Para poder obtener un resultado es necesario conocer las propiedades térmicas a temperaturas de congelación. Durante la congelación de un alimento, este será tratado como un sistema de tres componentes: agua, hielo y sólidos totales, por este motivo en necesario conocer las fracciones en peso de estos tres componentes. Fracción másica del contenido inicial de agua del producto: Y wz =0.72 Kg/Kg Fracción másica de sólidos totales del producto: De acuerdo a la fórmula 31 en donde: Ywz Ys − = 1 Aplicando la fórmula, se tiene que: Ys = 1 –0.72 Kg/Kg Ys = 0.28 Kg/Kg → Fracción másica de sólidos totales del producto.
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UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE INSTITUTO DE CIENCIA Y TECNOLOGIA DE LOS ALIMENTOS / ASIGNATURA : Ingeniería de Procesos III (ITCL 234) PROFESOR : Elton F. Morales Blancas
UNIDAD 4: PROPIEDADES TERMOFÍSICAS
Guía de Problemas Resueltos (Versión ALFA) 1. Cortes de carne de cordero de 12 x 6 x 3 cm tienen una temperatura inicial de 10ºC. Calcule la temperatura en la cual el 88 % del agua libre del producto se congela. Carne de cordero: Humedad 72%
Densidad 1050 Kg. /m3
DESARROLLO Para poder obtener un resultado es necesario conocer las propiedades térmicas a temperaturas de congelación. Durante la congelación de un alimento, este será tratado como un sistema de tres componentes: agua, hielo y sólidos totales, por este motivo en necesario conocer las fracciones en peso de estos tres componentes. Fracción másica del contenido inicial de agua del producto:
Y wz =0.72 Kg/Kg Fracción másica de sólidos totales del producto:
De acuerdo a la fórmula 31 en donde: Aplicando la fó Ys = 1 –0.72 KYs = 0.28 Kg/
YwzYs −=1
rmula, se tiene que:
g/Kg Kg → Fracción másica de sólidos totales del producto.
Fracción másica de agua no congelable Se estima a partir de la siguiente ecuación .(para el caso de carnes magras con poca grasa, además se encuentra en función de los sólidos):
Sb YY 3.0=
Luego: Yb = 0.3 x 0.28 Yb =0.084 Kg/Kg De acuerdo a la fórmula:
bWWA YYY −= Luego:
084.072.0 −=WAY
KgKgYWA /636.0= Fracción de hielo Se obtiene a partir de:
88.0⋅= WAI YY Ya que debemos obtener la fracción de hielo que corresponde al contenido de agua. Luego:
KgKgYxY
I
I
/56.088.0636.0
==
Tabla resumen:
KgKgYKgKgYKgKgY
KgKgYKgKgY
W
I
S
b
WA
/16.0/56.0/28.0
/084.0/636.0
=====
El punto inicial de congelación puede estimarse mediante la siguiente ecuación 44. Esta ecuación sólo es aplicable a productos con un contenido de humedad mayor a 70%(base húmeda), ya que fue obtenida para soluciones binarias acuosas ideales.
32
TT
ZC
ZC
−=−=
Para podse congenecesarioPara poddonde:
Sabiendo
1λ = -1.
Rg = 46
9.6ZCT −=
Cº74.228.0*901.6
er estimar ala, es nec conocer eler obtener
SM⎢⎢
⎣
⎡=
que:
96 x 103 J/K
2 J /Kg. K
292.38419.001 SSS YYY −+
)28.0(*292.38)28.0(*419.0 32 −+
l temperatura en la cual el 88 % del agua libre del producto esario aplicar la ecuación numero 32, pero para ello es peso molecular efectivo de los sólidos (Ms). respuesta a esta incógnita se aplico la ecuación 43, en
( ) wbWZ
STTRgTT
Rg MYY
Ye FZZ
F
−⎥⎥
⎦
⎤−
−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
111ln
101 λλ
g. K
TF = 273.15 K
λ0 = 869.7024x 103 J/kg. K
YS = 0.28 Kg/Kg
YWz = 0.72 Kg/Kg
Yb = 0.084 Kg/Kg
M W = 18 Kg / Kgmol
( )18084.072.0
28.01
1
15.2731
41.2701
4627024.869
41.27015.273ln
462109603.1 3
−⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−=
−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+
− x
S eM
KmolKgMS /9662.288= Estimación de la temperatura inferior al punto de congelación
A partir de los cálculos obtenidos anteriormente se procede a determinar la temperatura en que se logran las condiciones planteadas, en éste caso la cantidad de agua disponible en el alimento en el proceso de congelación de la carne de cordero cuando se ha llevado a cabo la congelación del 88% del agua libre es de 0,16 (Yw) por lo tanto conociendo éste parámetro se puede evaluar la temperatura en que se logra ésta condición. Mediante la ecuación 32 (Guía propiedades termofísicas de alimentos) el agua total puede ser evaluada para cualquier temperatura debajo del punto inicial de congelación que para éste caso corresponde a 270.41 K (-2.74° C), por lo tanto se puede predecir la temperatura para YW = 0.16 realizando iteraciones que se acerquen a éste valor. YW = 0.16 Kg/Kg
YS = 0.28 Kg/Kg
Yb = 0.084 Kg/Kg
λ1 = -1.96 x 103 J/Kg. K
Rg = 462 J /Kg. K
TF = 273.15 K
λ0 = 869.7024x 103 J/kg. K
M W = 18 Kg / Kgmol
MS = 288.9662 Kg./Kgmol
Ecuación 32-Agua Total YW ( T )
−1
E
T
R L
t
t
c
bSS
wTTRgTT
RgW YY
MM
eTY F
F
+⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−= ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
11ln
1)(01 λλ
jemplo de calculo para iteración a 254.4 K (-18.7° C)
084.028.09662.288
181)(
1
15.2731
45.2541
4627024.869
45.25415.273ln
462109603.1 3
+⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−=
−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+
− x
W eTY
KgKgTYW /16039.0)( =
ABLA 1: Iteraciones de temperatura para YW (T) = 0.16039
T (°C) T (K) YW (T)
-20 253.15 0.1524
-19.5 253.65 0.1565
-19 254.15 0.1589
-18.8 254.35 0.1599
-18.7 254.45 0.1603
ESPUESTA:
os cortes de carne de cordero que inicialmente se encuentran a 10° C
ienen una temperatura de congelación de 270.41 K (-2.74° C) y una
emperatura de 254.45 K (-18.7 ° C) cuando el 88% del agua libre se
ongela.
2 ¿Cuál es la temperatura de congelación del agua para que la actividad de agua de un producto como la zanahoria, sea de 0.4? Composición proximal zanahoria.
Para poder resolver el problema descrito anteriormente se deben seguir los pasos que se muestran a continuación: Calcular el contenido de agua no congelable con la siguiente fórmula para productos vegetales, frutas y hortalizas: Ys = 1 – 0.89 = 0.11
Sb YY ×= 2.0
022.011.02.0 =×=bY Calcular la temperatura de congelación con la siguiente fórmula aplicable a productos con un contenido de humedad mayor a 70% (base húmeda):
-60.5 212.65 0.0267 0.404 RESPUESTA: La temperatura de congelación a la cual la actividad de agua s 0.4 corresponde a –60.5ºC o 212.65ºK e
3. Una planta de alimentos procesa cortes de zanahoria de las siguientes dimensiones: 4x2x1 cm. El producto tiene una temperatura inicial de 20ºC. La temperatura del aire es de –40ºC. Considerar la temperatura en el entro térmico al final del proceso igual a –20ºC.
b)
elación anterior. ¿Cuál serían los requerimientos de refrigeración?.
c a) Calcule los requerimientos de refrigeración.
Si se quiere congelar frambuesas de 25 mm de diámetro en promedio desde 15ºC hasta –10ºC, bajo los mismos parámetros de congelación y operaciones del túnel de cong
tegral correspondiente al calor specífico del agua, cuyos límites son T y Tz.
iere a la temperatura inicial del punto de congelación, en ºC, se transforma a K.
Ahora corresponde la resolución de la ine Para este caso, T=293.15 K, y Tz se determina como sigue, con la ecuación (44), aunque se ref
onociendo los límites de la integral, se puede resolver, con la ecuación (10) nteriormente señalada.
Ca
[ ]
( ) ( )
)/(5105.87357
49921.717247574.2695292147.332921467.222473
434.272
415.293152273.0
334.272
315.29310938.161
234.272
215.2935815.56)34.27215.293(10907.106
443322)(
44333
222
44
3
33
2
22
10
33
2210
33
2210
KgKJCp
x
x
TzTCpTzTCpTzTCpTzTCp
dTTCpdTTCpTdTCpdTCp
dTTCpTCpTCpCp
WWWW
T
Tz
T
Tz
T
Tz W
T
Tz WWW
WWW
T
Tz W
=
−++−+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−+−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−
+++
+++
∫ ∫ ∫∫
∫
e temperaturas de congelación, or lo que el calor específico del hielo, tomando como límites TZ = 272.34 K y D= 233.15 K, se calcula con la ecuación (53) :
YYY
ZC
ZC
SSSZC
273805.0)11.0292.38()11.0419.0()11.0901.6(
292.38419.0901.632
32
+−=⋅−⋅+⋅−=
−+−=T
TT
KTZ 34.272=
Para el caso del calor específico del hielo, aunque no se está trabajando a temperaturas de congelación (20ºC), de igual forma se debe determinar, ya que los límites de la integral sí pertenecen al rango dpT
2210)( TCpTCpCpTCp III ++=
donde: )/)(107086.102(tan
)/)(2839.11(tan)/)(2399.256(tan
42
1
0
KgKJxteconsCp
KgKJteconsCpKgKJteconsCp
I
I
I
−−−
−−−
De este modo, se reemplaza la función de CpI en la integral y se resuelve como igue:
s
[ ] [ ]
[ ( ) ] [ ]
[ ]⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−+⎥
⎦
⎤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎢
⎣
⎡+−−
−++−
++
−
−
−∫
∫
315.233
334.27210*7086.102
215.233
234.2722839.11154.23334.2722399.256
33107086.102
222839.11)(2399.256
)107086.102(2839.112399.256
334
22
334
22
34.272
15.233
24
2210
DZDZDZ
T
T III
TTx
TTTT
dTTxT
dTTCpTCpCpZ
D
)91.0.25764(8933.111767)04168.10042(
)/(813.75961 KgKJ
−++−
lido-líquido del agua a temperatura Tz (272.34 K), utilizando la ecuación (54):
Corresponde determinar la entalpía de cambio de fase sóla
( ) TT 10 λλλ +=
donde: ( )( ) )/(109603.1tan
)/(107024.869tan3
1
30
KgKJxtecons
KgKJxtecons
−−
−
λ
λ
( ) ( )( ) )/(298.335834
34.272109603.1107024.869
34..272
3334..272
KgKJxx
=
⋅−+=
λ
λ
Para el caso de la entalpía de cambio de fase a la temperatura de referencia, iendo ésta 233.15 K, se tiene:
s
( ) ( )( ) )/(455.412658
15.233109603.1107024.869
15.233
3315.233
KgKJxx
=
⋅−+=
λ
λ
Para determinar el contenido de agua no congelada a la temperatura de referencia, YWD, se requiere conocer previamente, entre otras propiedades, el eso molecular aparente de los sólidos:
p
( )MwYbYwz
YseMs FZZ
F
TTRgTTLn
Rg
−⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−=
−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
111
101 λλ
donde :
e Yb de la ecuación (47), como se está trabajando con un roducto vegetal:
bYb
YsYb
onocidas ya todas las incógnitas, se puede resolver la ecuación anterior:
)/(18)(34.272)(15.273
)/(462
molKgMwKTKTKgKJRg
Z
F
====
Además, se obtienp
022.011.02.0
2.0
=⋅=
=
Y C
( )
[ ] ( ))/(74.287
18022.089.0
11.01
18022.089.0
11.01
110896.7
1
15.2731
34.2721
462107024.869
34.27215.273
462109603.1
3
33
KgmolKgMs
eMs
eMs
x
xLnx
=
⋅−
⋅−=
⋅−
⋅⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−=
−
−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+
−
−
Conociendo el valor anterior, se puede calcular ahora el contenido de agua no congelada a la temperatura de referencia:
bSS
WTTRgTTLn
RgWD YY
MMeY F
F
+⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−=
−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
111
101 λλ
Todas estas incógnitas ya se conocen, por lo que se calcula directamente:
[ ]KgKgY
eY
eY
WD
WD
xLnx
WD
/0323.0
022.011.074.287
181
022.011.074.287
181
1666.1
1
15.2731
15.2331
462107024.869
15.23315.273
462109603.1 33
=
+⋅⋅−=
+⋅⋅⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−=
−
−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+
−
Conociendo todos los términos de la ecuación principal (40a), se puede determinar la entalpía a 20ºC:
Cálculo de entalpía a –20ºC. Para determinar el valor de Entalpía a –20ºC se utilizará la ecuación 40 en donde se cumple que T < Tz.
( ) ( ) ( ) ( ) DWD
T
T
T
TISS20 λYTλ TYwdT TCpYwzdTCpYH
D D
−++⋅= ∫ ∫−
Dato:
89.0=WZY
Cálculos:
WZS YY −= 1 89.01−=SY
11.0=SY El valor de Cps es el mismo calculado anteriormente el cual corresponde a:
KgKJCpS /95.1697= Para calcular la integral correspondiente al calor específico del hielo se utilizará la ecuación 53, además se debe considerar que: T = 253.15 K (-20ºC). TD = 233.15 K (-40ºC).
( ) TCpTCpCpTCpI 121110 ++= donde:
KgKJCp /2399.25610 −= 2
11 /2839.11 KgKJCp = 34
12 /107086.102 KgKJxCp −−=
( )32
3
12
2
1110TCpTCpTCpdTTCp
T
TDI ++=∫
( ) ( )
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
+−
+−−=
−
∫
315.23315.253107086.102
215.23315.2532839.11)15.23315.253(2399.256
34
2
x
dTTCpT
TDI
( ) KgKJdTTCpT
TDI /30.37597=∫
Para determinar el valor de Yw (T), se utilizará la ecuación 32.
( ) bSS
WTTRgTTLn
RgW YY
MMeTY F
F
+⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−=
−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
111
101 λλ
Para la resolución se debe conocer en primer lugar los valores de: Rg, Tz, Tf, Ms, Yb, Mw e YS. En este caso se utilizaron los valores obtenidos anteriormente que corresponden a:
)/(18)(15.253)(15.273
)/(462
molKgMwKTKTKgKJRg
F
====
KgmolKgM S /74.287= 022.0=Yb 11.0=SY
Con estos valores se puede determinar el valor de Yw (T).
( )
( ) KgKgTY
eTY
W
xLnx
W
/0497.0
022.011.074.287
181
1
15.2731
15.2531
462107024.869
15.25315.273
462109603.1 33
=
+⋅⋅⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−=
−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+
−
Corresponde determinar la entalpía de cambio de fase sólido-líquido del agua a la temperatura T = 253.15 K, utilizando la ecuación (54): ( ) TT 10 λλλ +=
donde: ( )( ) )/(109603.1tan
)/(107024.869tan3
1
30
KgKJxtecons
KgKJxtecons
−−
−
λ
λ
( ) ( )( ) )/(46.373452
15.253109603.1107024.869
34..272
3334..272
KgJxx
=
⋅−+=
λ
λ
Para el caso de la entalpía de cambio de fase a la temperatura de referencia, siendo ésta 233.15 K, se tiene:
( ) ( )( ) )/(455.412658
15.233109603.1107024.869
15.233
3315.233
KgJxx
=
⋅−+=
λ
λ
El valor de YWD corresponde al mismo valor utilizado anteriormente, el cuál corresponde a:
KgKgYWD /0323.0= Conociendo todos los términos de la ecuación principal (40), se puede determinar la entalpía a -20ºC:
Para calcular los requerimientos de refrigeración se debe dar una base de cálculo, en este caso se dará una base de 1000Kg/h que corresponde al flujo másico. Cálculos:
sKgs
hh
Kgm /2777.03600
110000
=⋅=
Req.refrig= ( ) ( )( )2020
0
−− HHm
Req.refrig= ( )KgJ
sKg 8062.424283251.4421242777.0 −
Req.refrig= 110995 [J/s] REQ.REFRIG= 110.995 [KW]
b) Requerimientos de refrigeración. Dado que el producto tiene una temperatura inicial de 15°C y final de –10°C, para calcular los requerimientos de refrigeración se necesita conocer el valor de entalpía a ambas temperaturas, para esto se utilizarán las ecuaciones de cálculo de entalpía a partir de la composición proximal del alimento, en éste caso frambuesas.
Para el cálculo de la temperatura o el punto inicial de congelación se utilizó la ecuación (44) .
Para el cálculo de la entalpía a 15 °C se utilizará la ecuación (61a), cumpliéndose la condición T>Tz , 15°C>-1.24°C, con TD<Tz (-40°C<-1.24°C).
DWDZWZ
T
TIWZ
T
TWWZ
T
TMM
T
TLL
T
TFF
T
T
T
TCCPP
YYdTTCpYdTTCpY
dTCpYdTCpYdTCpYdTCpYdTCpYTH
Z
DZ
DDDD D
λλ −+++
++++=
∫∫
∫∫∫∫ ∫
)()(
)(
Las ecuaciones utilizadas para el cálculo de los valores de Cp para los distintos componentes son las que se indican a continuación (Tabla 1, guía Fuente CHOI y OKOS):
