UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID E.T.S.I....

Programación y Métodos Numéricos Examen de Laboratorio Carlos Conde, Arturo Hidalgo, Alfredo López Curso 2003- 2004

Universidad Politécnica de Madrid – ETSI Minas – Depto. Matemática Aplic. y Méts. Informát.

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

E.T.S.I. MINAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA Y MÉTODOS INFORMÁTICOS

Asignatura: PROGRAMACIÓN Y MÉTODOS NUMÉRICOS

Examen de Laboratorio (Grupo 3º - Jueves de 16h a 18h) Fecha: 1 – VI – 2004

INSTRUCCIONES Y RECOMENDACIONES

1ª. El presente examen debe realizarse individualmente. Para la resolución de los ejercicios que se proponen puede utilizarse toda la documentación (impresa o informática) que se desee. 2ª. Al finalizar el examen debe entregarse un disquette etiquetado en el que se graben los ejercicios resueltos. En la etiqueta debe figurar el nombre del alumno y el grupo de Laboratorio al que pertenece (Grupo 5º) y la fecha de hoy. 3ª. Al fichero en el que se grabe la solución del examen debe asignársele un nombre formado de la siguiente manera: el primer carácter será la inicial del primer nombre propio del alumno. Tras él se escribirá el primer apellido del alumno (en el caso de ser compuesto escríbase todo junto) seguido de la inicial del segundo apellido. Todas las letras del nombre del fichero se escribirán en mayúsculas. Ejemplo: Una alumna que se llamase EVA MARÍA LÓPEZ-GÓMEZ HEREDIA debe asignar al fichero el nombre ELOPEZGOMEZH. 4ª. En el fichero escribe como primera línea tu nombre y apellidos completos. Además identifica claramente el comienzo y el final de cada uno de los ejercicios. 5ª. Se recomienda grabar periódicamente (cada 5 minutos) para evitar perder el trabajo realizado por bloqueos del ordenador. Asimismo se recomienda no abrir simultáneamente muchas hojas de MAPLE pues ello puede ralentizar el funcionamiento del ordenador llegando incluso a bloquearlo. 6ª. Se recomienda grabar eliminando las respuestas que proporciona MAPLE a las instrucciones. Ello hará que la grabación sea más rápida al ocuparse menos memoria. Recuerda que para eliminar las respuestas de MAPLE puedes seleccionar en la barra de menús de MAPLE la opción “Edit” y en la ventana que se despliegue elegir la opción “Remove_Output” seleccionando en la nueva ventana que se despliegue la opción “FromWorksheet”. Si tienes problemas para realizar esta opción pide ayuda al profesor. 7ª. Lee con atención los enunciados de los ejercicios. Si tienes dudas en la comprensión de los mismos no dudes en solicitar las aclaraciones oportunas al profesor.



1

Primer ejercicio (2.5 puntos)

Dada una función real f(x), derivable en un cierto intervalo [a,b] de , su derivada primera en un punto x* de [a,b] se puede aproximar mediante la fórmula:

( ) ( ) ( )1 0

1 0

' *f x f x

f xx x

−=

−

siendo 0 1 y x x dos puntos, en principio cualesquiera de [a,b]. Si dividimos [a,b] mediante una serie de puntos equidistantes 0 1 2 Nx a x x x b= < < < < =… , es posible aproximar ( )' if x (i = 0, 1, …, N-1) mediante:

( ) ( ) ( )1' , 0,1, , 1i ii

f x f xf x i N

h+ −

= = −…

con b ahN−

= .

Se considera la función: ( ) ( )cos( ) sin 22xf x x= ⋅ y el intervalo [ ],π π− y se

pide escribir un programa MAPLE que:

a) Calcule, mediante la fórmula dada, ( )' if x (i = 0, 1, …, N-1), para N=50, y almacene el resultado en un vector df.

b) Represente en una gráfica conjuntamente f(x) y df, es decir, la función y

su derivada primera aproximada. Solución: Determinar numericamente la derivada de la función f(x) = cos(x/2)*sin(2x). > restart: > with(plots): Warning, the name changecoords has been redefined Declaramos la función f > f:=x->cos(x/2)*sin(2*x);

:= f → x ⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟cos

12 x ( )sin 2 x

Establecemos los valores extremos del intervalo [a,b], el número de subintervalos (N) y el tamaño de los subintervalos (h)



2

> a:=evalf(-Pi); b:=evalf(Pi); N:=50; h:=(b-a)/N;

:= a -3.141592654 := b 3.141592654

:= N 50 := h 0.1256637062

Declaramos los arrays x (puntos dosnde aproximamos la derivada de f) y df (derivadas aproximadas de f) > x:=array(0..N,[]): df:=array(0..N,[]):x[0]:=a: Calculamos las derivadas aproximadas df[i] en cada punto x[i] (i = 0, 1, ..., N-1) > for i from 0 to N-1 do x[i+1]:=x[i]+h; df[i]:=evalf((f(x[i+1])-f(x[i]))/h): od: Dibujamos los resultados. Creamos una secuencia, ptos, para el dibujo, dib1, de las derivadas aproximadas > ptos:=[seq([x[i],df[i]], i=0..N)]: > dib1:=plot(ptos,color=blue,thickness=2, legend="derivada"): Creamos el dibujo, dib2, de la función f(x) > dib2:=plot(f,-Pi..Pi, thickness=2,color=black, legend="función"): Representamos conjuntamente dib1 y dib2 > display(dib1,dib2);



3

> fin_del_ejercicio;

fin_del_ejercicio



4

Segundo ejercicio (2.5 puntos)

Un grafo es un conjunto de puntos (ni, i = 1, 2, …, N) llamados nodos unidos mediante segmentos (lj, j = 1, 2, …, M) llamados arcos. Por ejemplo:

El grafo de la figura precedente consta de 5 nodos (numerados del 1 al 5) y 6 arcos (numerados del 1 al 6). La forma habitual de representar un grafo es mediante su matriz de incidencia, A, en donde las columnas representan los arcos y las filas los nodos, con la siguiente notación:

,

,

1 si el arco pasa por el nodo

0 si el arco no pasa por el nodo i j

i j

a j i

a j i

=

=

Así, la matriz de incidencia para el grafo del ejemplo es:

1 1 0 0 0 01 0 1 0 0 00 0 1 1 0 10 1 0 1 1 00 0 0 0 1 1

A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Se denomina dendrita a un subgrafo que une todos los nodos del grafo pero que

no contiene bucles, por ejemplo:

2

1

4 5

3

1

2

3

5

2

1

4 5

3

1

2

3 6

4

5



5

Por tanto, el conjunto de arcos {1,2,3,5} es una dendrita del grafo ejemplo.

Existen varios algoritmos para determinar una dendrita de un grafo a partir de su

matriz de incidencia. Uno de los más utilizados, el BFS (breadth first search), es el siguiente:

Dados la matriz de incidencia A, el número de nodos, NNOD y el

número de arcos, NARC

Se declaran los vectores STACK(NNOD), EXAM(NNOD), DENDR(NNOD-1) Desde I = 1 hasta NNOD con paso 1 hacer STACK[I] = 0 EXAM[I] = 0 Terminar para I I = 1 J = 1 V =1 EXAM[V] = 1

Mientras I < NNOD hacer

Desde K=1 hasta NARC con paso 1 hacer Si A[V,K] ≠ 0: Desde L=1 hasta NNOD con paso 1 hacer Si A[L,K] ≠ 0 y EXAM[L] = 0 : U = L EXAM[U] = 1 DENDR[I] = K I = I+1 STACK[I] = U Fin condición Terminar para L

Fin condición Terminar para K

J = J+1 V = STACK[J]

Fin bucle condicional Se pide:



6

a) Construir un programa MAPLE que responda al algoritmo dado. b) Aplicarlo al ejemplo.

Solución: Algoritmo BFS > restart: > with(linalg): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected > NNOD:=5: NARC:=6: > A:=matrix(NNOD,NARC,[[1,1,0,0,0,0],[1,0,1,0,0,0],[0,0,1,1,0,1],[0,1,0,1,1,0],[0,0,0,0,1,1]]);

:= A

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

1 1 0 0 0 01 0 1 0 0 00 0 1 1 0 10 1 0 1 1 00 0 0 0 1 1

> EXAM:=vector(NNOD): STACK:=vector(NNOD): DENDR:=vector(NNOD-1): > for i from 1 to NNOD do STACK[i]:=0: EXAM[i]:=0: od: > i:= 1: > j:= 1: > v:=1: > EXAM[v]:= 1: > while i < NNOD do for k from 1 to NARC by 1 do if A[v,k] <> 0 then for l from 1 to NNOD by 1 do if A[l,k]<>0 and EXAM[l]=0 then u:=l: EXAM[u]:=1: DENDR[i]:=k: i:=i+1: STACK[i]:=u: fi: od: fi: od: j:=j+1: v:=STACK[j]:



7

od: > > print(DENDR);

[ ], , ,1 2 3 5

> fin_del_ejercicio; fin_del_ejercicio

Tercer ejercicio (5 puntos)

Dada una matriz cuadrada A de dimensión n, los coeficientes ai de su polinomio característico:

det( )λ−A I pueden determinarse por el método de Leverrier modificado:

( )

1

1

2

3

( 1)( 1) ( ) ( )

1 ( )( 1) ( )2 21 ( )( 1) ( )3 3

1 ( )( 1) ( )

nn

nn

nn

nn

nn i

aa tr tr

tra tr

tra tr

tra tri i

+

−

−

−

−

= − == − = −

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

B AB B B B I A

BB B B I A

BB B B I A

BB B B I A

Por otra parte, las raíces del polinomio de grado n:

20 1 2( ) n

np x a a x a x a x= + + + +…

pueden calcularse utilizando el algoritmo siguiente:



8

Dados n, a(n), maxiter y eps Declarar los vectores e(n) y q(n)

q[0] = -a[n-1]/a[n] e[0] = e[n] = 0

Desde i = 1 hasta n-1 hacer

q[i] = 0 e[i] = a[n-i-1]/a[n-i]

Terminar para i

norma = 2*eps iter = 1

Mientras norma > eps e iter < maxiter hacer Desde i = 0 hasta i = n-1 hacer q[i] = q[i] + e[i+1] – e[i] Terminar para i Desde i = 1 hasta i = n-1 hacer e[i] = q[i]*e[i]/q[i-1] Terminar para i iter = iter + 1

[ ]0

norma en

jj

=

= ∑

Fin de bucle condicional

denominado algoritmo DC (diferencia de cocientes). Se pide: a) Construir un procedimiento MAPLE llamado Leverrier que, utilizando como

variables de entrada: n Dimensión de la matriz A Matriz



9

y de salida: a Vector con los coeficientes del polinomio característico calcule los coeficientes del polinomio característico de la matriz A. b) Construir un procedimiento MAPLE llamado DC que, utilizando como variables

de entrada: n Grado del polinomio a Vector con los coeficientes del polinomio y de salida: q Vector con las raíces del polinomio determine las raíces de un polinomio de grado n. c) Construir un programa MAPLE que, utilizando los procedimientos construidos en

a) y b), permita obtener los valores propios de una matriz cuadrada y aplicarlo a la matriz:

4 2 25 3 22 4 1

A−⎛ ⎞

⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Solución: Determinación de valores propios de una matriz cuadrada utilizando conjuntamente los métodos DC y de Leverrier modificado > restart: > with(linalg): with(plots): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected Warning, the name changecoords has been redefined Procedimiento DC > DC:=proc(n,a,q) description "calcula las raíces, x[i], i=0,1,...,n-1, de un polinomio de grado n y coeficientes a[i] i=0,1,...,n"; local i,j,iter,e,eps,maxiter,norma: e:=array(0..n,[]):



10

eps:=1e-10; maxiter:=100; q[0]:=evalf(-a[n-1]/a[n]); e[0]:=0.; e[n]:=0.; for i from 1 to n-1 do q[i]:=0.; e[i]:=evalf(a[n-i-1]/a[n-i]); od; norma:=2*eps; iter:=1; while norma > eps and iter < maxiter do for i from 0 to n-1 do q[i]:=q[i]+e[i+1]-e[i]; od; for i from 1 to n-1 do e[i]:=q[i]*e[i]/q[i-1]; od; iter:=iter+1: norma:=sum(abs(e[j]),j=0..n); od; end proc: Procedimiento Leverrier > Leverrier:=proc(n,A,a) description "calcula los coeficientes a[i] del polinomio característico de la matriz A de dimensión n"; local B,In,aux,i,j; B:=matrix(n,n): In:=matrix(n,n): for i from 1 to n do for j from 1 to n do if i=j then In[i,j]:=1: else In[i,j]:=0: fi; od; od; a[n]:=((-1)^(n+1)); B:=evalm(A): for i from n-1 to 0 by -1 do aux:=trace(B)/(n-i); a[i]:=evalf(((-1)^n)*aux); B:=evalm((B-aux*In)&*A): od: end proc: >



11

> n:=3: > a:=array(0..n,[]): x:=array(0..n-1,[]): > A:= matrix(n,n,[[4,2,-2],[-5,3,2],[-2,4,1]]);

:= A⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

4 2 -2-5 3 2-2 4 1

> > Leverrier(n,A,a): > DC(n,a,x): > print(a,x);

.. 0 3array( , [ = ( )0 -10. = ( )1 17. = ( )2 -8. = ( )3 1

]) .. 0 2array( , [, = ( )0 5.000000001 = ( )1 2.000000000 = ( )2 0.9999999996

])

> fin_del_ejercicio; fin_del_ejercicio



12

Examen de Laboratorio (Grupo 4º) Fecha: 2 – VI – 2004

Primer ejercicio (2’5 Puntos) El modelo depredador-presa de Lotka y Volterra simula la evolución de la población de una especie depredadora (por ejemplo, zorros) y una especie presa (por ejemplo, conejos) en un ecosistema ideal (cerrado, en el que sólo existan estas dos especies y en el que haya alimento suficiente para la especie presa). Dicho modelo se expresa por el sistema diferencial:

z '(t)f(z(t),c(t) t>0

c '(t)⎫⎧ ⎫

=⎨ ⎬ ⎬⎩ ⎭ ⎭

z(0) = z0 , c(0) = c0 donde z(t) es la población de depredadores en el instante t, c(t) la población de presas en el instante t, z0 y c0 son las poblaciones iniciales que se suponen conocidas y f(z(t),c(t)) es una función vectorial de dos componentes y

dependientes de dos variables (las poblaciones de depredadores y presas). Una forma (aproximada) de conocer la evolución de la población en el periodo (0 , T) consiste en tomar (NP+1) instantes ti en dicho periodo y estimar por el método de Runge - Kutta las poblaciones existentes en el instante ti+1 a partir de las existentes en el instante ti. Más concretamente, partiendo de:

t0 = 0, z0 conocido y c0 conocido se genera: ti+1 = ti + h (i = 0, 1, ...., NP-1)

0

1 0 0

2 0 1 0 1

3 1 2 1 2

10 2 3

1

( , )

( ( / 2) , ( / 2) )

( ( / 4) ( / 4) , ( / 4) ( / 4) )

( 2 , 2 )

( / 6)( 4 )

i i

i i

i i

i i

i i

i i

K f z c

K f z h K c h K

K f z h K h K c h K h K

K f z hK hK c hK hKz z

h K K Kc c

+

+

⎧ ⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪= + +⎪ ⎪⎪ ⎪= + + + +⎨ ⎬⎪ ⎪= − + − +⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪= + + +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭

= −(i 0,1,...,NP 1)

siendo h = T / NP, y f1(z, c) y f2(z, c) las dos componentes de la función vectorial f(z(t),c(t)) .



13

Se pide que calcules según el esquema anterior la evolución de una población de zorros y conejos en un ecosistema ideal en el que inicialmente haya 4 zorros y 20 conejos (z0 = 4, c0 = 20), tomando NP = 5000 y T = 25.0 y sabiendo que la función que rige el equilibrio entre ambas especies está dada por la expresión:

0.16 z 0.03 z cf(z,c)

4.5 c 0.9 z c− ⋅ + ⋅ ⋅⎧ ⎫

= ⎨ ⎬⋅ − ⋅ ⋅⎩ ⎭

Una vez calculados los valores de cada población en los instantes ti, deberá representarse en una misma gráfica las dos secuencias de puntos (ti, zi) y (ti, ci). Solución: > restart: > with(plots): > f:=(z,c)->vector(2,[-0.16*z+0.03*z*c,4.5*c-0.9*z*c]);

:= f → ( ),z c ( )vector ,2 [ ],− + 0.16 z 0.03 z c − 4.5 c 0.9 z c

> np:=5000; T:=25.; := np 5000

:= T 25.

> z:=array(0..np): c:=array(0..np): t:=array(0..np): k0:=vector(2,[]): k1:=vector(2,[]): k2:=vector(2,[]): k3:=vector(2,[]): t[0]:=0.: z[0]:=4.: c[0]:=20.: > h:=T/np: for i from 0 to (np-1) by 1 do k0:=f(z[i],c[i]): k1:=f(z[i]+(h/2)*k0[1],c[i]+(h/2)*k0[2]): k2:=f(z[i]+(h/4)*k0[1]+(h/4)*k1[1],c[i]+(h/4)*k0[2]+(h/4)*k1[2]): k3:=f(z[i]-h*k1[1]+2*h*k2[1],c[i]-h*k1[2]+2*h*k2[2]): t[i+1]:=i*h: z[i+1]:=z[i]+(h/6)*(k0[1]+4*k2[1]+k3[1]): c[i+1]:=c[i]+(h/6)*(k0[2]+4*k2[2]+k3[2]): od:



14

> zorros:=[seq([t[k],z[k]],k=0..np)]: conejos:=[seq([t[k],c[k]],k=0..np)]: > dzorros:=pointplot(zorros,symbol=box,color=red,connect=true): dconejos:=pointplot(conejos,symbol=circle,color=blue,connect=true): > display(dzorros,dconejos,labels=[`tiempo`,`unidades`],labeldirections=[HORIZONTAL,VERTICAL]);

> fin_ejercicio_primero;

fin_ejercicio_primero

Segundo ejercicio (2’5 Puntos) El método de Newton-Raphson para el cálculo de raíces de ecuaciones no lineales consiste, básicamente, en: Dado un valor de x0 se genera la sucesión:

( )( )

ii 1 i

i

f xx x -

f x

∞

+

⎧ ⎫⎪ ⎪=⎨ ⎬′⎪ ⎪⎩ ⎭i=0



15

En ocasiones, evaluar la derivada en cada iteración es “problemático” (valores nulos o muy pequeños, coste de cálculo, ...) En esos casos puede adoptarse una estrategia diferente después de la segunda iteración, dando lugar así al llamado método de la secante. En este ejercicio se pide que escribas un programa MAPLE para obtener una raíz de una ecuación no lineal mediante el método de la secante. Para ello, utilizando la notación empleada anteriormente, debes seguir el siguiente algoritmo:

Utiliza el programa anterior para calcular las raíces de la función :

3( ) 2 5f x x x= − − en el intervalo [2,3]. Solución > secante:=proc(xinic,maxiter,eps,f,z,tol,iter) local aux,x,y,j: x:=xinic: y:= x-f(x)/D(f)(x): j:= 1: while ((j<maxiter) and (abs(x-y)>eps)) do

ALGORITMO

Dados: x, maxiter y ε

MIENTRAS ( ( j < maxiter) Y ( | x – y | > ε ) ) HACER:

FIN BUCLE CONDICIONAL

( )( )′

←f

-yx

xf x

←.f( ) - .f(y y

y)

f( ) -z x

f(x)x

Dada la función f(x) Determinar f’(x)

1º) 2º) x y

3º) y z 4º) j j+1

j 1



16

aux:=(x*f(y)-y*f(x))/(f(y)-f(x)): x:= y: y:= aux: j:= j+1: od: z:=aux: tol:=abs(x-y): iter:=j: end: > save secante,"C:/secante.m": > restart; > read "C:/secante.m": > maxiter:=20; eps:=10.^(-4); f:=x->x^3-2.*x-5.; x:=3.;

:= maxiter 20

:= eps 0.0001000000000

:= f → x − − x3 2. x 5. := x 3.

> secante(x,maxiter,eps,f,sol,tol,iter): > evalf(sol);tol;iter;

2.094551484

0.3907 10-5 6

>

Tercer ejercicio (5 Puntos) Si se quiere calcular los valores propios de una matriz cuadrada cualquiera, es muy ventajoso reemplazarla por una matriz reducida semejante, aplicándole a continuación un procedimiento de tipo iterativo a la matriz reducida. De estas técnicas una de las mas interesantes es la de Hessenberg, que es el objeto de este ejercicio. Se denomina matriz de Hessenberg (superior) a toda matriz

1 ,( )ij i j nA a ≤ ≤= para la cual 0ija = para todo i y j tales que 1<=j<=i-2<=n-2.



17

Sean p y q dos enteros tales que 1<=p<q<=n. Tomaremos n=5, p=2 y q=4 para visualizar los cálculos y razonaremos en el caso general.

1. Definir una matriz cuadrada A de orden n, de elementos ija . 2. Definir la matriz 1 ,( )ij i j nT t ≤ ≤= tal que 0ppt = , 1pqt = , 0qqt = , 1qpt = y

ij ijt δ= (símbolo de Kroneker) en todos los demás casos. 3. Definir las matriz 1 ,( )ij i j nS s ≤ ≤= tal que qps α= (dato real o complejo) y

ij ijs δ= en todos los demás casos.

4. Definir una función Pivote, de argumentos A, k, y n que busque l tal que:

1maxlk ikk i n

a a+ ≤ ≤

=

y devuelve una lista constituida por el elemento lka (llamado pivote) y el inicie l. 5. Escribir una función Permutación, de argumentos A, i, y j que permute

en A las filas de índices i,j y las columnas de índices i,j. 6. Escribir una función Reducción, de argumentos A, k, pivote, l, n que para

i = k+2,....,n calcule: ika

pivoteα =

y sustraiga de la fila de índice i la fila de índice k+1 multiplicada por α . Esta función deberá, además, para cada valor de i, sumar a la columna de índice k+1 la columna de índice i multiplicada por α . Esta función Reducción devolverá la matriz reducida, en la que los elementos de ika (i=k+2,...n) han

sido anulados. 7. Utilizando las tres funciones que vienen de ser definidas, escribir un

procedimiento Hessenberg, de argumento A, que proporcione una matriz de Hessenberg similar a A.

8. Aplicarlo a una matriz real cuadrada de orden 6 cuyos elementos sean generados al azar entre –10 y 10 y expresados con 7 cifras.

Solución: > restart:with(linalg): > Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected > n:=5: f:=(i,j)->a[i,j]: A:=matrix(n,n,f);



18

:= A

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

a ,1 1 a ,1 2 a ,1 3 a ,1 4 a ,1 5

a ,2 1 a ,2 2 a ,2 3 a ,2 4 a ,2 5

a ,3 1 a ,3 2 a ,3 3 a ,3 4 a ,3 5

a ,4 1 a ,4 2 a ,4 3 a ,4 4 a ,4 5

a ,5 1 a ,5 2 a ,5 3 a ,5 4 a ,5 5

> T:=diag(1$5): > T[2,2]:=0: T[2,4]:=1: T[4,4]:=0: T[4,2]:=1: > eval(T);

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

1 0 0 0 00 0 0 1 00 0 1 0 00 1 0 0 00 0 0 0 1

> evalm(T&*A): > evalm(inverse(T)): > evalm(A&*T): > evalm(T&*A&*T): > S:=diag(1$n): S[4,2]:=alpha: eval(S);

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 α 0 1 00 0 0 0 1

> evalm(S&*A): > S1:=inverse(S): eval(S1): > evalm(A&*S1): > Pivot:=proc(A,k,n) local pivot,l,i; pivot:=A[k+1,k]; l:=k+1; for i from k+2 to n do if abs(pivot)<abs(A[i,k]) then pivot:=A[i,k];l:=i fi od; [pivot,l]: end: > Permutation:=proc(A,i,j) local B, linea; B:=A; to 2 do B:=convert(B,listlist); linea:=B[i]; B[i]:=B[j];



19

B[j]:=linea; B:=transpose(B): od; B: end: > Reduction:=proc(A,k,pivot,n) local B,alpha,i,j; B:=A; for i from k+2 to n do alpha:=B[i,k]/pivot; B[i,k]:=0; for j from k+1 to n do B[i,j]:=B[i,j]-alpha*B[k+1,j]: od; B:=addcol(B,i,k+1,alpha): od; B: end: > Hessenberg:=proc(A) local B,pivot,l,n,k,p; B:=A; n:=rowdim(A); for k to n-2 do p:=Pivot(B,k,n);pivot:=p[1];l:=p[2]; if pivot<>0 then B:=Permutation(B,k+1,l); B:=Reduction(B,k,pivot,n); fi od; eval(B): end: > A:=randmatrix(6,6,entries=rand(-10000000..10000000));

:= A

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

-449316 1443958 -1466708 -9494177 -190111 49445556279651 -8515675 -6211942 -9972001 -7020144 88198158355940 6969561 -4145631 -2085325 9530039 7360042

-7909422 -5702248 -4713511 4626396 -9336645 -45825643269370 -2814418 3506921 4734509 5731080 -54747589162767 -1757952 -5761588 8493037 -2818650 -8707130

> A:=map(x->evalf(.1*10^(-5)*x),A);



20

A := -0.4493160000 1.443958000 -1.466708000 -9.494177000 -0.1901110000[ , , , , ,

4.944555000]6.279651000 -8.515675000 -6.211942000 -9.972001000 -7.020144000[ , , , , ,8.819815000]8.355940000 6.969561000 -4.145631000 -2.085325000 9.530039000[ , , , , ,

7.360042000]-7.909422000 -5.702248000 -4.713511000 4.626396000 -9.336645000[ , , , , ,

-4.582564000]3.269370000 -2.814418000 3.506921000 4.734509000 5.731080000[ , , , , ,

-5.474758000]9.162767000 -1.757952000 -5.761588000 8.493037000 -2.818650000[ , , , , ,

-8.707130000]

> C:=Hessenberg(A); C :=

-0.4493160000 12.72427236 -8.911858609 -0.9668842518 1.495268666[ , , , , ,-0.1901110000]9.162767000 -23.50320984 14.48178506 -5.762057362 -0.9972027037[ , , , , ,

-2.818650000][ , , , , , ]0 -40.40229103 24.45995437 -9.650278755 -4.043100487 -11.76974106[ , , , , , ]0 0 5.608346896 -6.918765544 1.805311832 1.90738667[ , , , , , ]0 0 0 -6.039060437 -8.469391351 -11.38781222

[ , , , , , ]0 0 0 0 -6.145423282 3.420452362

> eigenvalues(C); >

+ -5.633057316 8.250334935 I − -5.633057316 8.250334935 I 12.15749413, , ,-7.419387855 7.847707629 -12.77997528, ,

> eigenvalues(A); >

+ -5.633057313 8.250334941 I − -5.633057313 8.250334941 I 12.15749412, , ,-7.419387854 7.847707630 -12.77997527, ,

> eval(A);



21

-0.4493160000 1.443958000 -1.466708000 -9.494177000 -0.1901110000[ , , , , ,4.944555000]6.279651000 -8.515675000 -6.211942000 -9.972001000 -7.020144000[ , , , , ,

8.819815000]8.355940000 6.969561000 -4.145631000 -2.085325000 9.530039000[ , , , , ,

7.360042000]-7.909422000 -5.702248000 -4.713511000 4.626396000 -9.336645000[ , , , , ,

-4.582564000]3.269370000 -2.814418000 3.506921000 4.734509000 5.731080000[ , , , , ,

-5.474758000]9.162767000 -1.757952000 -5.761588000 8.493037000 -2.818650000[ , , , , ,

-8.707130000]

> Fin_ejercicio_3; Fin_ejercicio_3

>



22


Primer ejercicio (2’5 puntos) Considera los puntos (xi, yi) (i = 0, ..., n) definidos como sigue:

xi = i i·cos( )ρ θ , yi = i i.sen( )ρ θ (i = 0, 1, ..., n)

donde

i i C

i

C i C C i

1·V·t si 0 t T2

1 1·V·T ·V·(t T ) si T t2 3

⎧⎪⎪ ≤ ≤⎪⎪⎪ρ = ⎨⎪⎪ − − <⎪⎪⎪⎩

y

i i Ci

C i C i

·t si 0 t T·(3·T t ) / 2 si T t

⎧ ω ≤ ≤⎪⎪θ = ⎨⎪ω − <⎪⎩

donde los instantes ti son (n+1) instantes uniformemente repartidos en un cierto intervalo (0, Tf). Se pide que escribas un programa MAPLE que calcule los puntos (xi, yi) (i = 0, ..., n) definidos como se acaba de detallar y los representes en una gráfica uniéndolos en color azul. Prueba el programa con los datos:

V = 25, ω = 2, Tc = 7, Tf = 12, n = 200. Solución: > restart; > with(plots): Warning, the name changecoords has been redefined > V:=25;omega:=2;TC:=7;n:=200;TF:=12.; x:=array(0..n): y:=array(0..n):

:= V 25 := ω 2 := TC 7

:= n 200 := TF 12.

> h:=TF/n:



23

for i from 0 to 200 by 1 do t:=i*h: if (t <= TC) then rho:=V*t/2: theta:=omega*t: else rho:=(V*TC/2)-(V*(t-TC))/3: theta:=omega*(3*TC-t)/2: fi: x[i]:=rho*cos(theta): y[i]:=rho*sin(theta): od: > ptos:=[seq([x[i],y[i]],i=0..n)]: > pointplot(ptos,color=blue,connect=true);

> fin_del_primer_ejercicio;

fin_del_primer_ejercicio

Segundo ejercicio (2.5 puntos) Programa en MAPLE el siguiente algoritmo que, utilizando el algoritmo de Gram-Schmidt, permite obtener un conjunto de m vectores ortogonales de nR a partir de m vectores dados de dicho espacio. Los m vectores de partida se consideraran dados como las m columnas de una matriz U y los m vectores ortogonales calculados se consideran que forman las m columnas de una



24

matriz V. Con ello el algoritmo de Gram-Schmidt que se pide programar se puede escribir como sigue: ALGORITMO Datos: n, m, matriz U de dimensiones (n, m) Para i desde 1 hasta n con paso 1 hacer: Vi,1 Ui,1 Fin bucle en i. norma1 0 Para i desde 1 hasta n con paso 1 hacer: norma1 norma1 +(Vi,1)2

Fin bucle en i. Para i desde 2 hasta m con paso 1 hacer: Para j desde 1 hasta (i-1) con paso 1 hacer: algo 0 Para k desde 1 hasta n con paso 1 hacer: algo algo + Uk,i · Vk,j

Fin bucle en k. αi,j algo / normaj

Fin bucle en j. normai 0 Para j desde 1 hasta n con paso 1 hacer: Vj,i Uj,i

Para k desde 1 hasta (i-1) con paso 1 hacer: Vj,i Vj,i – αi,k · Vj,k

Fin bucle en k. normai normai + (Vj,i)2

Fin bucle en j. Fin bucle en i. Escribir la matriz V FIN ALGORITMO Utilícese el algoritmo anterior para n = 5, m = 3 y con la matriz U dada por:



25

1 1 11 0 0

U 0 1 00 0 11 1 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Solución: > restart; > with(linalg): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected > n:=5;m:=3; U:=matrix(n,m,[[1,1,1],[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1],[1,1,1]]);V:=matrix(n,m):

:= n 5 := m 3

:= U

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

1 1 11 0 00 1 00 0 11 1 1

> for i from 1 to n by 1 do V[i,1]:=U[i,1]: od: > normj[1]:=0: for i from 1 to n by 1 do normj[1]:=normj[1]+V[i,1]*V[i,1]: od: > for i from 2 to m by 1 do for j from 1 to i-1 by 1 do algo:= 0: for k from 1 to n by 1 do algo:=algo+U[k,i]*V[k,j]: od: alpha[i,j]:= algo/normj[j]: od: normj[i]:=0: for j from 1 to n by 1 do V[j,i]:=U[j,i]: for k from 1 to i-1 by 1 do V[j,i]:=V[j,i]-alpha[i,k]*V[j,k]: od: normj[i]:=normj[i]+V[j,i]**2: od: od:



26

> evalm(V); ⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

1 13

15

1 -23

-25

0 1 -25

0 0 1

113

15

Comprobación de la ortogonalidad de los vectores (no pedida en el enunciado) > for iv from 1 to m by 1 do for jv from 1 to m by 1 do valor:= 0: for k from 1 to n by 1 do valor:=valor + V[k,iv]*V[k,jv]: od: print (iv,jv,valor); od: od;

, ,1 1 3 , ,1 2 0 , ,1 3 0 , ,2 1 0

, ,2 253

, ,2 3 0 , ,3 1 0 , ,3 2 0

, ,3 3 75

> fin_del_segundo_ejercicio; fin_del_segundo_ejercicio



27

Tercer ejercicio (5 puntos) Se pide:

a) Escribir un procedimiento MAPLE en el que dados el valor de dos puntos distintos a y b, se calculen cuatro puntos {x1, x2, x3, x4} y de cuatro coeficientes {c1, c2, c3, c4} definidos como se detalla a continuación:

1a b b ax 0.8611363116·

2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎟ ⎟⎜ ⎜= −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, 1b ac 0.3478548451·

2⎛ ⎞− ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

2a b b ax 0.3399810436·

2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎟ ⎟⎜ ⎜= −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, 2b ac 0.6521451548·

2⎛ ⎞− ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

3a b b ax 0.3399810436·

2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎟ ⎟⎜ ⎜= +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, c3 = c2

4a b b ax 0.8611363116·

2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎟ ⎟⎜ ⎜= +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, c4 = c1

Los puntos se calcularán como elementos de un vector x de cuatro elementos y los coeficientes como elementos de un vector c de cuatro elementos. El procedimiento se llamará pgauss4 y se salvará en un fichero en disquete llamado “pgauss4.m”.

b) Escribir un procedimiento MAPLE en el que dados cuatro puntos {x1, x2,

x3, x4} y cuatro coeficientes {c1, c2, c3, c4} así como dos funciones f y g se calcule el valor:

4

i i ii 1

valor c ·f(x )·g(x )=

=∑

El procedimiento se llamará pescfun y se salvará en un fichero en disquete llamado “pescfun.m”.

c) Escribir un programa MAPLE en el que dadas las funciones:

f1(x) = 1 + x2, f2(x) = x + (x3 /3) , f3(x) = 1 + x + x2 + x3

y los valores a = 0 y b = 3: 1º) Utilice el procedimiento pgauss4 para calcular los cuatro puntos x y pesos c correspondientes a los valores de a y b que se acaban de proporcionar. 2º) Calcule las funciones g1(x), g2(x) y g3(x) definidas como sigue:

g1(x) = f1(x), g2(x) = f2(x) – α2,1·g1(x) , g3(x) = f3(x) – α3,1·g1(x) – α3,2·g2(x)



28

donde los valores αi,j (i = 2, 3; j = 1,.. i-1) se calcularán con ayuda del procedimiento pescfun ya que se corresponden a los valores :

αi,j = 4

k i k j kk 1

c ·f (x )·g (x )=∑

siendo los puntos y pesos {xk} y {ck} (k = 1, .., 4) los calculados con el procedimiento pgauss4.

3º) Dibuje las tres funciones g1(x), g2(x) y g3(x) en el intervalo [a, b] mostrando las tres gráficas en un mismo dibujo y con diferentes colores.

(Valoración de cada apartado: a) 1 punto, b) 1’5 puntos, c) 2’5 puntos)

Solución: a) > restart; > pgauss4:=proc(a,b,x,c) x:=vector(4): c:=vector(4): x[1]:=((a+b)-0.8611363116*(b-a))/2.: c[1]:=0.3478548451*(a+b)/2.: x[2]:=((a+b)-0.3399810436*(b-a))/2.: c[2]:=0.6521451548*(a+b)/2.: x[3]:=((a+b)+0.3399810436*(b-a))/2.: c[3]:=c[2]: x[4]:=((a+b)+0.8611363116*(b-a))/2.: c[4]:=c[1]: end proc: > save pgauss4, "pgauss4.m": > fin_del_primer_procedimiento;

fin_del_primer_procedimiento

b) > pescfun:=proc(x,c,f,g,valor) local resul, i: resul:=0.: for i from 1 to 4 by 1 do resul:=resul+c[i]*f(x[i])*g(x[i]): od: valor:=resul: end proc: > save pescfun, "pesfunc.m": > fin_del_segundo_procedimiento;

fin_del_segundo_procedimiento



29

c) > restart; > with(linalg):with(plots): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected Warning, the name changecoords has been redefined > f[1]:=x-> 1+x*x; f[2]:=x-> x+x*x*x/3; f[3]:=x-> 1+x+x*x+x*x*x;

:= f1 → x + 1 x x

:= f2 → x + x x x x 13

:= f3 → x + + + 1 x x x x x x

> a:=0;b:=3;m:=3; := a 0 := b 3 := m 3

> read "pgauss4.m": read "pesfunc.m": > pgauss4(a,b,x,c): > g[1]:=f[1];

:= g1 f1

> pescfun(x,c,g[1],g[1],norma[1]): > for i from 2 to m by 1 do for j from 1 to (i-1) by 1 do pescfun(x,c,f[i],g[j],algo[i,j]): alpha[i,j]:= algo[i,j]/norma[j]: od: g[i]:=f[i]: for j from 1 to i-1 by 1 do g[i]:=g[i]-alpha[i,j]*g[j]: od: pescfun(x,c,g[i],g[i],norma[i]): od: > vv:=matrix(m,m): > for i from 1 to m by 1 do for j from 1 to m by 1 do pescfun(x,c,f[i],g[j],valor[i,j]): vv[i,j]:=valor[i,j]: od: od:



30

> dib1:=plot(g[1](x),x=a..b,color=blue): dib2:=plot(g[2](x),x=a..b,color=red): dib3:=plot(g[3](x),x=a..b,color=gold): > display(dib1,dib2,dib3);

> fin_del_tercer_ejercicio;

fin_del_tercer_ejercicio



31


Primer ejercicio (2’5 puntos) Considera los puntos (xi, yi) (i = 0, ..., n) definidos como sigue:

xi = i i·cos( )ρ θ , yi = i i.sen( )ρ θ (i = 0, 1, ..., n)

donde

i i C

i2

i C i C C i

1R ·V·t si 0 t T21V·(t T ) ·a·(t T ) si T t2

⎧⎪⎪ − ≤ ≤⎪⎪⎪ρ = ⎨⎪⎪ − + − <⎪⎪⎪⎩

y i i·tθ = ω

donde los instantes ti son (n+1) instantes uniformemente repartidos en un cierto intervalo (0, Tf) y Tc = 2R/V. Se pide que escribas un programa MAPLE que calcule los puntos (xi, yi) (i = 0, ..., n) definidos como se acaba de detallar y los representes en una gráfica uniéndolos en color azul. Prueba el programa con los datos:

R = 25, V = 2, ω = 1, a = 0.05, Tf = 50, n = 800. Solución: > restart; > with(plots): Warning, the name changecoords has been redefined > R:=25;V:=2;omega:=1;a:=0.05; n:=800;TF:=50.; x:=array(0..n): y:=array(0..n):

:= R 25 := V 2 := ω 1

:= a 0.05 := n 800 := TF 50.



32

> h:=TF/n: TC:=2*R/V: for i from 0 to n by 1 do t:=i*h: if (t <= TC) then rho:=R-V*t/2: theta:=omega*t: else rho:=V*(t-TC)+a*(t-TC)*(t-TC)/2.: theta:=omega*t: fi: x[i]:=rho*cos(theta): y[i]:=rho*sin(theta): od: > ptos:=[seq([x[i],y[i]],i=0..800)]: > pointplot(ptos,color=blue,connect=true);

> fin_del_primer_ejercicio;

fin_del_primer_ejercicio

Segundo ejercicio (2.5 puntos) El algoritmo siguiente resuelve sistemas tridiagonales por el método de Gauss en el caso de no necesitarse estrategias de pivotaje durante el proceso de resolución. La notación que se sigue para la matriz del sistema y el vector de segundos términos se recoge a continuación:



33

1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

4 4 4

n 2 n 2 n 2

n 1 n 1 n 1 n 1

n n n

d b 0 0 ... 0 0 0 xa d b 0 ... 0 0 0 x0 a d b ... 0 0 0 x0 0 a d ... 0 0 0 x

·... ... ... ... ... ... ... ...0 0 0 0 ... d b 0 x0 0 0 0 ... a d b x0 0 0 0 ... 0 a d x

− − −

− − − −

⎡ ⎤ ⎧⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎨⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎩

1

2

3

4

n 2

n 1

n

cccc...

ccc

−

−

⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭ ⎩ ⎭

ALGORITMO Datos: n, la matriz tridiagonal S (que forma la matriz del sistema) y el vector de segundo término {ci}1<i<n Salvar el vector c con el nombre corig. Extraer de S los vectores {ai}2<i<n, {di}1<i<n, y {bi}1<i<n-1, Para i desde 2 hasta n con paso 1 hacer: di di – (ai·bi-1 / di-1) ci ci – (ai·ci-1 / di-1) Fin bucle en i. xn cn / dn. Para i desde n-1 hasta 1 con paso -1 hacer: xi (ci - bi·xi+1) / di

Fin bucle en i. Escribir la solución (vector x) Evaluar la norma-2 del error ||S·x – corig||2

FIN ALGORITMO Utilícese el algoritmo anterior con n = 4, para el sistema:

1

2

3

4

x1 1 0 0 1x1 2 1 0 1

·x0 1 3 1 1x0 0 1 4 1

⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭



34

Solución: > restart; > with(linalg): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected > n:=4; S:=matrix(n,n,[[1,1,0,0],[1,2,1,0],[0,1,3,1],[0,0,1,4]]); c:=vector(n,[1,1,1,1]): x:=vector(n):

:= n 4

:= S

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

1 1 0 01 2 1 00 1 3 10 0 1 4

> corig:=vector(n): corig:=evalm(c);

:= corig [ ], , ,1 1 1 1

> a:=vector(n):d:=vector(n):b:=vector(n): > d[1]:=S[1,1]: a[1]:=0: for i from 2 to n by 1 do d[i]:=S[i,i]: a[i]:=S[i,i-1]: b[i-1]:=S[i-1,i]: od: b[n]:=0: > evalm(a);evalm(b);evalm(d);

[ ], , ,0 1 1 1 [ ], , ,1 1 1 0 [ ], , ,1 2 3 4

> for i from 2 to n by 1 do d[i]:= d[i]-a[i]*b[i-1]/d[i-1]: c[i]:= c[i]-a[i]*c[i-1]/d[i-1]: od;

:= d2 1

:= c2 0

:= d3 2

:= c3 1



35

:= d472

:= c412

> x[n]:=c[n]/d[n]; for i from n-1 to 1 by -1 do x[i]:=(c[i]-b[i]*x[i+1])/d[i]: od;

:= x417

:= x337

:= x2-37

:= x1107

> evalm(x); evalm(S&*x);

⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥, , ,

107

-37

37

17

[ ], , ,1 1 1 1

> norm(S&*x-corig,2); 0


Tercer ejercicio (5 puntos) Se pide:

a) Escribir un procedimiento MAPLE en el que dados el valor de dos puntos distintos a y b, se calculen tres puntos {x1, x2, x3} y de tres coeficientes {c1, c2, c3} definidos como se detalla a continuación:

1a b 3 b ax ·

2 5 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎟ ⎟⎜ ⎜= −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, 1b ac 5·18

⎛ ⎞− ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

2a bx

2⎛ ⎞+ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

, 2b ac 8·18

⎛ ⎞− ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

3a b 3 b ax ·

2 5 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎟ ⎟⎜ ⎜= +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, c3 = c1



36

Los puntos se calcularán como elementos de un vector x de tres elementos y los coeficientes como elementos de un vector c de tres elementos. El procedimiento se llamará pgauss3 y se salvará en un fichero en disquete llamado “pgauss3.m”.

b) Escribir un procedimiento MAPLE en el que dados tres puntos {x1, x2, x3}

y tres coeficientes {c1, c2, c3} así como dos funciones f y g se calcule el valor:

4

i i ii 1

valor c ·f(x )·g(x )=

=∑

El procedimiento se llamará pescfun3 y se salvará en un fichero en disquete llamado “pescfun3.m”.

c) Escribir un programa MAPLE en el que dadas las funciones:

f1(x) = 1 + x2, f2(x) = x + (x3 /3) , f3(x) = 1 + x + x2 + x3 , f4(x) = 1

y los valores a = 0 y b = 3: 1º) Utilice el procedimiento pgauss3 para calcular los tres puntos x y pesos c correspondientes a los valores de a y b que se acaban de proporcionar. 2º) Calcule las funciones g1(x), g2(x) , g3(x), y g4(x) definidas como sigue:

g1(x) = f1(x),

g2(x) = f2(x) – α2,1·g1(x) , g3(x) = f3(x) – α3,1·g1(x) – α3,2·g2(x) g4(x) = f4(x) – α4,1·g1(x) – α4,2·g2(x) – α4,3·g3(x)

donde los valores αi,j (i = 2, 3, 4; j = 1,.. i-1) se calcularán con ayuda del procedimiento pescfun ya que se corresponden a los valores :

αi,j = 3

k i k j kk 1

c ·f (x )·g (x )=∑

siendo los puntos y pesos {xk} y {ck} (k = 1, .., 3) los calculados con el procedimiento pgauss3.

3º) Dibuje las cuatro funciones g1(x), g2(x) , g3(x) y g4(x) en el intervalo [a, b] mostrando las cuatro gráficas en un mismo dibujo y con diferentes colores.



37

(Valoración de cada apartado: a) 1 punto, b) 1’5 puntos, c) 2’5 puntos)

Solución: a) > restart; > pgauss3:=proc(a,b,x,c) x:=vector(3): c:=vector(3): x[1]:=((a+b)-sqrt(3./5.)*(b-a))/2.: c[1]:=5.*(b-a)/18.: x[2]:=(a+b)/2.: c[2]:=8.*(b-a)/18.: x[3]:=((a+b)+sqrt(3./5.)*(b-a))/2.: c[3]:=c[1]: end proc: > save pgauss3, "pgauss3.m": > fin_del_primer_procedimiento;

fin_del_primer_procedimiento

b) > pescfun3:=proc(x,c,f,g,valor) local resul, i: resul:=0.: for i from 1 to 3 by 1 do resul:=resul+c[i]*f(x[i])*g(x[i]): od: valor:=resul: end proc: > save pescfun3, "pesfun3.m": > fin_del_segundo_procedimiento;

fin_del_segundo_procedimiento

c) > restart; > with(linalg):with(plots): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected Warning, the name changecoords has been redefined > f[1]:=x-> 1+x^2; f[2]:=x-> x+x^3/3; f[3]:=x-> 1+x+x^2+x^3; f[4]:=x->1;

:= f1 → x + 1 x2



38

:= f2 → x + x13 x3

:= f3 → x + + + 1 x x2 x3

:= f4 → x 1

> a:=0;b:=3;m:=4; := a 0 := b 3 := m 4

> read "pgauss3.m": read "pesfun3.m": > pgauss3(a,b,x,c): > g[1]:=f[1];

:= g1 f1

> pescfun3(x,c,g[1],g[1],norma[1]): > for i from 2 to m by 1 do for j from 1 to (i-1) by 1 do pescfun3(x,c,f[i],g[j],algo[i,j]): alpha[i,j]:= algo[i,j]/norma[j]: od: g[i]:=f[i]: for j from 1 to i-1 by 1 do g[i]:=g[i]-alpha[i,j]*g[j]: od: pescfun3(x,c,g[i],g[i],norma[i]): od: > vv:=matrix(m,m): > for i from 1 to m by 1 do for j from 1 to m by 1 do pescfun(x,c,f[i],g[j],valor[i,j]): vv[i,j]:=valor[i,j]: od: od: > dib1:=plot(g[1](x),x=a..b,color=blue): dib2:=plot(g[2](x),x=a..b,color=red): dib3:=plot(g[3](x),x=a..b,color=gold): dib4:=plot(g[4](x),x=a..b,color=green): > display(dib1,dib2,dib3,dib4);



39





40

Examen de Laboratorio (Convocatoria de Septiembre. Grupos 3º y 4º) Fecha: 22 – IX – 2004

Primer ejercicio (2.5 puntos)

La curva denominada “bruja de Agnesi” debe su nombre a la matemática italiana María Agnesi (Milan, 1718 – Milán, 1799). Su construcción es la siguiente:

Sea una circunferencia de radio r tangente al origen de coordenadas y sea una

tangente a dicha circunferencia paralela al eje Ox. Un punto cualquiera, C, de la curva se obtiene trazando una recta OB que corte a la circunferencia en A. La ordenada de C es la de A y su abcisa la de B.

Así, si las coordenadas del punto B son (bi, 2r), la recta OB es:

2

i

ry xb

=

y la circunferencia:

( )22 2x y r r+ − =

cuya intersección es el punto O de coordenadas (0,0) y el A de coordenadas

(2 3

2 2 2 2

4 8,4 4

i

i i

b r rb r b r+ +

). Por tanto, el punto C de la curva de Agnesi tiene por

coordenadas (3

2 2

8,4i

i

rbb r+

).

Se pide construir un programa MAPLE que calcule 50 puntos a la derecha del origen de coordenadas y otros 50 a la izquierda, de la “bruja de Agnesi” para r = 1 y que represente gráficamente los puntos obtenidos. Nota: El nombre de “bruja” proviene de una mala traducción del italiano. Originalmente, la curva de denominó versoria porque la figura de la curva semejaba el

C A

O

B



41

de la “cuerda que dirige la vela” pero el traductor confundió esta palabra con versiera que significa “bruja”.

Solución: Construir la curva denominada "bruja de Agnesi" x = b; y = 8*r^3/(b^2+4*r^2) > restart: > with(plots): Warning, the name changecoords has been redefined > n:=50: > h:=0.1: > r:=1: > b:=vector(2*n+2): x:=vector(2*n+1): y:=vector(2*n+1): > b[1]:=-50*h: > for i from 1 to 2*n+1 do x[i]:= b[i]; y[i]:= 8*r^3/(b[i]^2+4*r^2): b[i+1]:=b[i]+h: od: > dd:=[seq([x[k],y[k]],k=1..2*n+1)]: > plot(dd, scaling=CONSTRAINED);



42

Segundo ejercicio (2.5 puntos) La resolución de un sistema de ecuaciones lineales de la forma Ax = b puede

realizarse utilizando el método de Gauss con pivote parcial que responde al siguiente algoritmo:

Dada la matriz A, de dimensión (n,n) y el vector b de dimensión n:

Desde i = 1 hasta n-1 con paso 1 hacer:

k = i

PIVOTE = A[i,i]

Desde j = i+1 hasta n con paso 1 hacer:

Si A[j,i] > PIVOTE entonces

k = j; PIVOTE = A[j,i]

Fin condición

Fin del bucle en j

Desde j = i hasta n con paso 1 hacer:

AUX = A[i,j]; A[i,j] = A[k,j]; A[k,j] = AUX

Terminar para j

AUX = b[i]; b[i] = b[k]; b[k] = AUX

Desde j = i+1 hasta n con paso 1 hacer:

m = -A[j,i]/A[i,i]

Desde k = i+1 hasta n con paso 1 hacer

A[j,k] = A[j,k] + m*A[i,k]

Terminar para k

b[j] = b[j] + m*b[i]

Terminar para j

Terminar para i

x[n] = b[n]/A[n,n]

Desde i = n-1 hasta 1 con paso -1 hacer

suma = b[i]

Desde j = i+1 hasta n hacer

suma = suma - A[i,j]*x[j]

Terminar para j

x[i] = suma/A[i,i]

Terminar para i

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43

Se pide:

a) Implementar un programa MAPLE que responda al algoritmo dado b) Aplicar el programa precedente a la resolución del sistema:

3 1

3 2 63 3 4 12

8

y z tx y z tx y z tx y z

− − + = −⎧⎪ − + − =⎪⎨ − + + =⎪⎪ + + =⎩

Solución:

Método de Gauss con pivote parcial > restart: > with(linalg): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected > n:=4: > A:=matrix(n,n,[[0,-1,-1,3],[1,-1,3,-2],[3,-3,4,+1],[1,1,1,0]]);

:= A

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

0 -1 -1 31 -1 3 -23 -3 4 11 1 1 0

> b:=vector(n,[-1,6,12,8]); x:=vector(n): := b [ ], , ,-1 6 12 8

> for i from 1 to n-1 do Búsqueda de la fila pivote k:=i: pivote:=abs(A[i,i]): for j from i+1 to n do if(abs(A[j,i]) > pivote) then k:=j: pivote:= abs(A[j,i]): fi: od: Intercambio de la fila i por la fila pivote



44

for j from i to n do aux:= A[i,j]: A[i,j]:= A[k,j]: A[k,j]:= aux: od: aux:= b[i]: b[i]:= b[k]: b[k]:= aux: Anulación por debajo del elemento A[i,i] for j from i+1 to n do m:= -A[j,i]/A[i,i]: for k from i+1 to n do A[j,k]:= A[j,k] + m*A[i,k]: od: A[j,i]:=0: b[j]:= b[j] + m*b[i]: od: od: Resolución por remonte del sistema triangular superior resultante > x[n]:= b[n]/A[n,n]: > for i from n-1 to 1 by -1 do suma:= b[i]: for j from i+1 to n do suma:= suma - A[i,j]*x[j]: od: x[i]:= suma/A[i,i]: od: > print(A,b,x);

, ,

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

3 -3 4 1

0 2 -13

-13

0 0 53

-73

0 0 065

⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥, , ,12 4 2

125 [ ], , ,1 3 4 2



45

Examen de Laboratorio (Convocatoria de Septiembre. Grupos 5º y 6º) Fecha: 24 – IX – 2004

Primer ejercicio (2’5 Puntos) Se pide calcular y representar 500 puntos (xi , yi) (i = 1, …, 500) cuyas

coordenadas responden a las expresiones:

xi = ρi·cos(θi) , yi = (ρi)2·cos2(θi)·sen(θi)

donde los 500 valores θi repartidos uniformemente en el intervalo [0, 6·π] y los 500 valores están dados por ρi = iθ

Obtén una aproximación de la longitud del tramo de curva dibujado mediante la expresión:

− −=

≈ − + −∑500

2 2i i 1 i i 1

i 1Long (x x ) (y y )

Solución: > restart:with(linalg):with(plots): > n:=500; h:=evalf(6*Pi/(n-1));

:= n 500

:= h 0.03777466118

> for i from 1 to n by 1 do theta:=(i-1)*h: rho:=sqrt(theta): x[i]:=rho*cos(theta): y[i]:=(x[i]**2)*sin(theta): od: > ptos:=[seq([x[i],y[i]],i=1..n)]: pointplot(ptos,color=blue,connect=true,symbol=BOX,thickness=3);



46

> long:=0.: for i from 2 to n by 1 do long:=long+sqrt((x[i]-x[i-1])**2+(y[i]-y[i-1])**2): od: > long;

99.81314613

> fin_del_primer_ejercicio; fin_del_primer_ejercicio

Segundo ejercicio (2’5 Puntos) Denotando por I a la matriz Identidad de dimensiones (n, n) y por vt al

traspuesto del vector v, programa en MAPLE el siguiente algoritmo: ALGORITMO Datos: n, v (vector fila de n elementos), y matriz B (de dimensiones (n, n)) Para i desde 1 hasta n con paso 1 hacer:

nv ||v||2

A I – (1/nv)·(vt·v)

B A-1

v {B11, B12, …., B1,n} Fin bucle en i.



47

Escribir la matriz A resultante. Utiliza el programa anterior con los datos

n = 3, v = {1, 2, 3} , −⎡ ⎤

⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

12 0 1

3.30 1 1

1 1.25B

Solución: > restart:with(linalg):with(plots): > n:=3: v:=matrix(1,n,[1.,2.,3.]): B:=matrix(n,n,[[1,1.25,-1],[-2.,0.,1.],[3.3,1.,1.]]): Id:=matrix(n,n,[[1.,0,0],[0.,1.,0.],[0.,0.,1.]]): > for i from 1 to n by 1 do nv:=norm(v,2): A:=evalm(Id-(1/nv)*evalm(transpose(v)&*v)): B:=inverse(A): for j from 1 to n by 1 do v[1,j]:=B[1,j]: od: od: > evalm(A);

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

-24.96488338 5.406729315 8.1100939785.406729315 -0.125856083 -1.6887841248.110093978 -1.688784124 -1.533176188


Tercer ejercicio (5 Puntos)

Una iteración de método de Halley para resolver una ecuación no lineal, escrita en la forma f(x) = 0, consiste en, partiendo de una aproximación de partida de la solución de la ecuación (que denotamos por “a”) calcular otra aproximación “b” de dicha solución mediante la fórmula:

b = −−2

2.f(a).f '(a)a2.(f '(a)) f(a).f "(a)

Se pide:



48

A) Escribir un procedimiento MAPLE que tomando como datos el punto “a”, la función f, su primera derivada fp y su segunda derivada fs, calcule el valor “b” mediante la fórmula de Halley anterior.

B) Escribir un programa MAPLE que, utilizando el procedimiento anterior realice n iteraciones del método de Halley para resolver una ecuación de la forma f(x) = 0. En cada una de las iteraciones, salvo en la primera, se tomará como valor aproximado de partida el calculado en la iteración anterior. Para la primera iteración se tomará como valor aproximado de partida un valor dado α. Aplica el programa a la resolución de la ecuación:

2x 4e 8 0− − = tomando como valor inicial α = 4 , y realizando n = 100 iteraciones.

Solución: A) > halley:=proc(a,f,fp,fs,b) b:=a - 2*f(a)*fp(a)/(2*fp(a)*fp(a)-f(a)*fs(a)): end proc: > save halley, "A:halley.m":

B) > restart: > read "A:halley.m": > n:=100: alpha:=4.: f:=x->exp(x*x-4)-8; fp:=x->D(f)(x); fs:=x->D(fp)(x);

:= f → x − e( ) − x x 4

8

:= fp → x ( )( )D f x

:= fs → x ( )( )D fp x

> x:=array(0..n): x[0]:=alpha: > for i from 1 to n by 1 do halley(x[i-1],f,fp,fs,x[i]): od: > x[n];

2.465652356

> #Lo que sigue no se pedía en examen with(plots): ptos:=[seq([i,x[i]],i=0..n)]:



49

pointplot(ptos,color=blue,symbol=BOX); Warning, the name changecoords has been redefined



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