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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID E. T. S. DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA Y MORFOLOGÍA DEL TERRENO

MODELO CONSTITUTIVO BASADO EN

LA TEORÍA DE LA PLASTICIDAD GENERALIZADA CON LA

INCORPORACIÓN DE PARÁMETROS DE ESTADO PARA

ARENAS SATURADAS Y NO SATURADAS

TESIS DOCTORAL

DIEGO GUILLERMO MANZANAL

Ingeniero Civil

MADRID, 2008

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID E. T. S. DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA Y MORFOLOGÍA DEL TERRENO

MODELO CONSTITUTIVO BASADO EN

LA TEORÍA DE LA PLASTICIDAD GENERALIZADA CON LA

INCORPORACIÓN DE PARÁMETROS DE ESTADO PARA

ARENAS SATURADAS Y NO SATURADAS

TESIS DOCTORAL

DIEGO GUILLERMO MANZANAL Ingeniero Civil

Directores de Tesis:

MANUEL PASTOR PÉREZ Dr. Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos

JOSÉ ANTONIO FERNÁNDEZ MERODO

Dr. Ingeniero Industrial

MADRID, 2008

Título de Tesis:

“MODELO CONSTITUTIVO BASADO EN LA TEORÍA DE PLASTICIDAD

GENERALIZADA CON LA INCORPORACIÓN DE PARÁMETROS DE

ESTADO PARA ARENAS SATURADAS Y NO SATURADAS”

Autor: D. Diego Guillermo Manzanal

Directores: D. Manuel Pastor Pérez

D. José Antonio Fernández Merodo

Tribunal nombrado por el Mgfco. y Excmo. Sr. Rector de la Universidad

Politécnica de Madrid, el día .......... de ................... de 2008.

Presidente D. ..............................................................................................

Vocal 1º D. ................................................................................................

Vocal 2º D. ................................................................................................

Vocal 3er D. .................................................................................................

Secretario D. ..............................................................................................

Realizado el acto de defensa y lectura de la tesis el día ............de ...................

de 2008 en .................., los miembros del tribunal acuerdan otorgar la

calificación de: .....................................................................................................

EL PRESIDENTE LOS VOCALES

EL SECRETARIO

Resumen

El estudio desarrollado en esta tesis está centrado en la modelización constitutiva de

los suelos granulares saturados y parcialmente saturados desde la perspectiva de los

parámetros de estado. La ecuación constitutiva basada en la Plasticidad Generalizada

ha sido extendida con el objeto de reproducir el comportamiento tenso-deformacional

de los suelos granulares con un único juego de constantes intrínsecas para diferentes

densidades, presiones de confinamiento y condiciones de saturación.

El modelo constitutivo propuesto combina la formulación versátil y jerárquica de la

Teoría de la Plasticidad Generalizada con los conceptos de Estado Crítico. El principio

de tensiones efectivas es utilizado para introducir el efecto de la desaturación en las

variables de tensión. El concepto de parámetro de estado ha sido incorporado para

tener en cuenta la dependencia del comportamiento de los suelos granulares con la

densidad y la presión de confinamiento.

Los efectos de la succión en la definición del estado crítico han sido analizados

detalladamente, proponiendo modificaciones de las relaciones existentes basadas en

datos experimentales obtenidos de la literatura. Se ha propuesto una expresión del

módulo plástico en función de un parámetro de cementación para tener en cuenta los

efectos de endurecimiento y reblandecimiento provocados por cambios de las

condiciones de saturación. El modelo constitutivo desarrollado tiene una formulación

hidro-mecánica acoplada a través de la relación entre el grado de saturación y la

succión normalizada. El modelo considera el efecto del índice de poros y la histéresis

hidráulica en el comportamiento hidráulico. Para verificar las relaciones propuestas ha

sido realizado un estudio paramétrico del efecto del índice de poros y de la presión

confinamiento, y una serie de simulaciones cualitativas de las principales trayectorias

de tensiones en suelos parcialmente saturados.

Se ha realizado un programa de ensayos de laboratorio con el objeto de evaluar las

mejoras introducidas en la ecuación constitutiva y establecer un procedimiento

sistemático para la calibración de los parámetros del modelo en el caso de suelos

saturados. El suelo ensayado es una arena típica del subsuelo de la ciudad de Madrid

denominada “Arena de Miga”. El modelo ha sido también calibrado utilizando

resultados experimentales ya publicados de la arena Toyoura, la arena Banding, la

arena Kurnell y el Caolín “Speawhite”.

Modelo constitutivo basado en la Teoría de la Plasticidad Generalizada con la incorporación de parámetros de estado para arenas saturadas y no saturadas

Los ensayos reproducidos cubren un rango importante de densidades, presiones de

confinamiento y succiones en suelos saturados y parcialmente saturados. Todas las

simulaciones realizadas con el modelo constitutivo unificado predicen con exactitud los

resultados experimentales durante el proceso deformacional y en el estado residual.

Los resultados demuestran la capacidad del modelo acoplado para predecir, de una

forma unificada, las principales características de los suelos saturados y parcialmente

saturados sujetos a carga monótona.

Abstract

The study developed in this thesis is focused on constitutive modelling of saturated and

partially saturated granular soils from state parameters point of view. The Generalized

Plasticity constitutive equation has been extended in order to reproduce stress-strain

behaviour of granular soils with a single set of intrinsic model constants for different

densities, confining pressures and saturation conditions.

The proposed constitutive model is combining versatile and hierarchical formulation of

Generalized Plasticity Theory with the critical state framework. The effective stress

principle has been used in order to introduce the effect of unsaturation into stress

variable. The state parameter concept has been incorporated to take into account the

dependant of granular soil behaviour on density and confining pressure.

The suction effects on the critical state definition have been analyzed in detail,

proposing some modifications of existing relations based on several experimental data

from relevant literature. For hardening and softening effect caused by change on

saturation condition to be take into account, an expression of plastic modulus function

of a bonding parameter has been proposed. The developed constitutive model has a

hydro-mechanical formulation through the relation of saturation degree and normalized

suction. The model also considered the void ratio and hydraulic hysteresis effect on

hydraulic behaviour. To verify the proposed relations, a parametric study of void ratio

and confining pressure effect has been performed, as well as a series of qualitative

simulations of main stress path on partially saturated soils.

An experimental program has been carried out with the aim to evaluate the proposal

improvements on the constitutive equation and establish a systematic calibration

procedure of constants model in case of saturated soils. The tested soil is a typical

sand of subsoil of the City of Madrid know as “Arena de Miga”. The model has also

been calibrated by using experimental result reported in literature for Toyoura sand,

Banding sand, Kurnell sand and Speawhite kaolin. The simulated test are covering a

wide range of densities, confining pressures and suctions on saturated and partially

saturated soils. All the performed simulations by the unified constitutive model fit with

precision to experimental result during deformational process and on residual state.

The results show the coupled model capability to predict in an unified manner the main

features of saturated and partially saturated soils subject to monotonic loading.


Agradecimientos

Ante todo quiero agradecer a mis directores de tesis, Manuel Pastor y José Fernández

Merodo, por haberme permitido formar parte de un grupo de investigación entusiasta,

profesional y humano. A Manuel Pastor por haberme iniciado en el estudio de los

modelos constitutivos y su aplicación a la mecánica de los suelos, por las invaluables

ideas aportadas a esta tesis y por el aliento trasmitido durante todos estos años. A

José Fernández Merodo por su continua supervisión, sus comentarios constructivos y

su espíritu crítico que me permitieron orientar esta investigación.

Al personal del Laboratorio del Geotecnia del CEDEX en general y en particular al

Director del Laboratorio en los inicios de mi tesis, Vicente Cuellar, por colaborar en los

primeros pasos de esta investigación. Al Director del Laboratorio de Geotecnia del

CEDEX, Fernando Pardo, por poner todos los medios a mi disposición para la

elaboración de esta tesis. A Jesús Sáez y José Estaire por sus comentarios y

colaboración. Al personal técnico del laboratorio y en especial a Clemente Arias y José

Luís Toledo por su disposición y amistad. A Encina Polo y Eva Rodríguez por su

colaboración con la recopilación bibliográfica.

Al grupo de Geotecnia del DISTART de la Universidad de Bolonia y su director D.

Guido Gottardi, por permitirme realizar una estancia de investigación y poner los

medios técnicos para la realización de los ensayos. A Laura Tonni, Investigadora del

DISTART por sus valiosos comentarios, sugerencias y por el apoyo recibido durante

los cuatro meses de estancia. Al personal técnico del Laboratorio de Geotecnia del

DISTART, Gianfranco Maltoni y Luca Capuzzi y, en especial a los alumnos Simone

Lani y Simone Gemelli por su colaboración en la realización de los ensayos. Al Prof.

Marchi y su familia por todas sus atenciones.

Quiero agradecer a la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de la

Patagonia (Argentina) y en especial al Prof. Roberto Aguirre, Director del

Departamento de Ingeniería Civil, por el estímulo y apoyo recibido para realizar estos

estudios.

A Marcos Arroyo, Profesor de la Universidad Politécnica de Cataluña y, a David Toll y

Domenico Galipolli, profesores de la Universidad de Durham por enviarme bibliografía

valiosa para la realización de esta tesis.

Quisiera hacer una mención especial a la Agencia Española de Cooperación

Internacional y a la Fundación Agustín Betancourt por proporcinamerme financiación

durante el desarrollo de la tesis.

A la secretaria del Departamento de Ingeniería y Morfología del Terreno de E.T.S. de

Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de Madrid, Sra. Maria del Carmen Lacalle,

por su atención.

Asimismo quiero agradecer por el apoyo y los buenos momentos a los amigos que me

han dado estos años de investigación. En particular a mis compañeros de despacho

Guillermo, Mila y Esther; a Cristina S., Silvia, Svetlana y Jesús, que contribuyeron con

sus experiencias, a los integrantes del grupo de Ingeniería Computacional por

contribuir a un ambiente de trabajo divertido y alentador Bouchra, Cristina, Maribel,

Valentina, Mokthar, Pablo, Sabatino y Tomás, a los amigos del grupo de Bolonia

Michela, Marcos, Luca, Claudio, Gianfranco y Laura, y a mis compañeros de la

Escuela de Caminos Alfonso, Manuela, Carola y Gonzalo.

Finalmente quiero agradecer a mi familia. En particular a mis padres por su cariño y

por su apoyo incondicional en cada nuevo emprendimiento, y especialmente a Nikolina

por el estímulo diario y compresión durante todo este tiempo.

Índice general

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS ............................................................ 1 1.1 Introducción .................................................................................................. 1 1.2 Objetivos de la investigación ........................................................................ 3 1.3 Estructura de la tesis .................................................................................... 3

CAPÍTULO 2 ESTADO DEL CONOCIMIENTO............................................................ 5

2.1 Introducción .................................................................................................. 5 2.2 Comportamiento saturado de los suelos granulares .................................... 6

2.2.1 Introducción ................................................................................... 6 2.2.2 Comportamiento a Compresión ..................................................... 6 2.2.3 Comportamiento a Cortante........................................................... 8

2.3 Parámetro de estado y estado crítico ......................................................... 12 2.3.1 Estado crítico / Estado estable en suelos granulares .................. 12 2.3.2 Contracción – dilatancia............................................................... 21 2.3.3 Estado de transformación de fase/ Estado característico............ 25 2.3.4 Parámetros de estado.................................................................. 25

2.4 Fundamentos de los modelos constitutivos ................................................ 29 2.4.1 Introducción ................................................................................. 29 2.4.2 Teoría de elasticidad.................................................................... 33 2.4.3 Teoría clásica de plasticidad....................................................... 34 2.4.4 Avances sobre la teoría clásica ................................................... 43 2.4.5 Modelos constitutivos para suelos granulares ............................. 50

2.5 Modelos constitutivos en suelos granulares con incorporación de parámetros de estado ................................................................................. 56

2.5.1 Introducción ................................................................................. 56 2.5.2 Influencia del estado inicial en la expresión de la dilatancia........ 58 2.5.3 Influencia del estado inicial en la relación de tensiones

máxima......................................................................................... 60 2.5.4 Influencia del estado inicial en la formulación implícita o

explícita de la superficie de fluencia ............................................ 62 2.5.5 Principales modelos constitutivos con parámetro de estado ....... 63 2.5.6 Simulaciones con el modelo de Li & Dafalias (2000)................... 67

2.6 Comportamiento parcialmente saturado de los suelos granulares............. 71 2.6.1 Introducción ................................................................................. 71 2.6.2 Estado tensional en suelos parcialmente saturados.................... 71 2.6.3 Comportamiento hidráulico. Relación succión-grado de

saturación..................................................................................... 83 2.6.4 Comportamiento volumétrico ....................................................... 85


2.6.5 Comportamiento a cortante ......................................................... 88 2.6.6 Comportamiento hidro-mecánico................................................. 91

2.7 Modelos constitutivos en suelos parcialmente saturados con parámetro de estado................................................................................... 93

2.7.1 Breve reseña de los principales modelos .................................... 93 2.7.2 Modelos constitutivos para suelos parcialmente saturados

unificados ..................................................................................... 95 2.8 Conclusiones .............................................................................................. 96

CAPÍTULO 3 MODELO CONSTITUTIVO PROPUESTO BASADO EN LA

PLASTICIDAD GENERALIZADA .................................................................... 97 3.1 Introducción ................................................................................................ 97 3.2 Teoría de Plasticidad Generalizada............................................................ 98

3.2.1 Introducción ................................................................................. 98 3.2.2 Fundamentos ............................................................................... 98

3.3 Modelo constitutivo original para suelos granulares ................................. 100 3.4 Modelo PZ: simulación arena Toyoura ..................................................... 107 3.5 Modelo Pastor - Zienkiewicz modificado.................................................. 111

3.5.1 Introducción ............................................................................... 111 3.5.2 Estado crítico y parámetros de estado....................................... 112 3.5.3 Bases de la modificación ........................................................... 115 3.5.4 Regla de flujo ............................................................................. 115 3.5.5 Dirección de carga y descarga .................................................. 121 3.5.6 Comportamiento elástico ........................................................... 124 3.5.7 Módulo plástico .......................................................................... 124 3.5.8 Ecuación constitutiva elasto-plástica ......................................... 127

3.6 Conclusiones ............................................................................................ 127 CAPÍTULO 4 DESCRIPCIÓN DEL MATERIAL Y PROGRAMA DE ENSAYOS .... 129

4.1 Introducción .............................................................................................. 129 4.2 Aspectos generales .................................................................................. 130 4.3 Ensayos de identificación ......................................................................... 131

4.3.1 Granulometría, peso específico y clasificación.......................... 131 4.3.2 Índices de Atterberg................................................................... 132 4.3.3 Densidad mínima y máxima....................................................... 132 4.3.4 Ensayo de difracción de rayos X................................................ 133 4.3.5 Curva de compactación ............................................................. 135

4.4 Programa de ensayos............................................................................... 135 4.4.1 Procedimientos de ensayo......................................................... 136 4.4.2 Evaluación del índice de poros de la probeta ............................ 138 4.4.3 Resultados de los ensayos ........................................................ 139 4.4.4 Estado crítico ............................................................................. 151 4.4.5 Dilatancia y relación de tensiones máxima................................ 154

4.5 Conclusiones ............................................................................................ 158

II

Índice general

III

CAPÍTULO 5 CALIBRACIÓN Y VALIDACIÓN DEL MODELO CONSTITUTIVO PROPUESTO...................................................................... 159 5.1 Introducción .............................................................................................. 159 5.2 Procedimiento de calibración.................................................................... 160

5.2.1 Aspectos Generales................................................................... 160 5.2.2 Constantes de Estado Crítico .................................................... 160 5.2.3 Constantes elásticas.................................................................. 161 5.2.4 Constantes de dilatancia............................................................ 162 5.2.5 Constantes del vector dirección................................................. 164 5.2.6 Constantes del módulo plástico ................................................. 165

5.3 Calibración y validación para la arena de miga ........................................ 166 5.3.1 Constantes del modelo .............................................................. 166 5.3.2 Predicciones de ensayos de laboratorio .................................... 172

5.4 Arena Toyoura .......................................................................................... 182 5.5 Arena Banding .......................................................................................... 187 5.6 Arena Kurnell ............................................................................................ 197 5.7 Estudio paramétrico del índice de poros y la presión de

confinamiento............................................................................................ 204 5.8 Conclusiones ............................................................................................ 207

CAPÍTULO 6 EXTENSIÓN DEL MODELO CONSTITUTIVO PROPUESTO

PARA SUELOS PARCIALMENTE SATURADOS......................................... 209 6.1 Introducción .............................................................................................. 209 6.2 Base del modelo parcialmente saturado................................................... 210

6.2.1 Tensión efectiva......................................................................... 210 6.2.2 Parámetro de cementación........................................................ 211

6.3 Fundamentos termodinámicos.................................................................. 211 6.3.1 Proceso reversible ..................................................................... 212 6.3.2 Proceso irreversible ................................................................... 214

6.4 Perspectiva experimental del modelo propuesto para suelos parcialmente saturados............................................................................. 215

6.4.1 Estado crítico en suelos parcialmente saturados....................... 215 6.4.2 Preconsolidación en suelos parcialmente saturados................. 225 6.4.3 Respuesta hidráulica ................................................................. 228

6.5 Parámetro de estado en suelos parcialmente saturado ........................... 230 6.6 Formulación general del modelo constitutivo propuesto para suelos

parcialmente saturados............................................................................. 231 6.6.1 Aspectos generales ................................................................... 231 6.6.2 Formulación unificada................................................................ 232 6.6.3 Predicciones cualitativas............................................................ 238

6.7 Simulación y validación del modelo .......................................................... 245 6.7.1 Calibración de parámetros......................................................... 245 6.7.2 Simulaciones sobre ensayos de laboratorio .............................. 246

6.8 Conclusiones ............................................................................................ 265


CAPÍTULO 7 CONCLUSIONES Y FUTURAS INVESTIGACIONES ...................... 267 7.1 Aspectos generales .................................................................................. 267 7.2 Modelo constitutivo propuesto .................................................................. 267 7.3 Extensión del modelo propuesto a condiciones parcialmente

saturadas .................................................................................................. 271 7.4 Futuras investigaciones ............................................................................ 274

CAPÍTULO 8 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................. 277 ANEXO A MODELOS CONSTITUTIVOS .................................................................. 297

A.1 Modelo Constitutivo de Bardet (1986) ................................................... 297 A.2 Modelo Constitutivo de Wang et al. (1990)............................................ 299 A.3 Modelo Constitutivo “Nor-sand” (1993).................................................. 302 A.4 Modelo Constitutivo de Bahda, Pastor y Saitta (1997) .......................... 306 A.5 Modelo Constitutivo de Wan y Guo (1998) ............................................ 310 A.6 Modelo Constitutivo “Severn Sand” - Gajo & Wood (1999) .................. 315 A.7 Modelo Constitutivo de Li y Dafalias (2000) .......................................... 321 A.8 Modelo Constitutivo de Wang et al. (2002)............................................ 325 A.9 Modelo Constitutivo de Li et al. (1999) .................................................. 329 A.10 Modelo Constitutivo de Ling & Liu (2003) .............................................. 332

IV

Índice de figuras

Figura 2.1 Influencia de la densidad en el comportamiento a compresión

edométrica. (Pestana & Whittle, 1995) ....................................................... 7

Figura 2.2 a) Modelo conceptual del comportamiento a compresión de los

suelos friccionales. b) Comparación entre la compresión isótropa y

la compresión edométrica de la arena Dog´s Bay. (Pestana &

Whittle, 1995) .............................................................................................. 7

Figura 2.3 a) Esquema de ensayo triaxial de compresión y de extensión. b)

Esquema de las trayectorias de tensiones seguidas en el proyecto

VELACS (Arulmoli et al., 1992)................................................................... 8

Figura 2.4 Resultados típicos de un ensayo triaxial drenado con diferentes

densidades.................................................................................................. 8

Figura 2.5 Esquema del ensayo triaxial de compresión drenado en función de

la relación de tensiones vs. (a) deformación axial. (b) índice de

poros. .......................................................................................................... 9

Figura 2.6 Esquema de la variación del índice de poros en función de la

deformación axial para arenas con diferentes densidades en un

ensayo triaxial. ............................................................................................ 9

Figura 2.7 Esquema del comportamiento de un suelo sometido a corte no

drenado. .................................................................................................... 10

Figura 2.8 Esquema de presiones intersticiales en un ensayos triaxial no

drenado. .................................................................................................... 12

Figura 2.9 Determinación del Estado Cuasi Estable. (Ishihara, 1993)....................... 15

Figura 2.10 Determinación de la línea de división inicial para la arena Toyoura

(Ishihara, 1993) ......................................................................................... 16

Figura 2.11 a) Influencia del estado inicial en el Estado Crítico. b) Influencia de

la preparación de la muestra en el Estado Crítico. (Been, Jefferies &

Hachey, 1991)........................................................................................... 16

Figura 2.12 Línea de Estado Estable para la arena Toyoura. (Ishihara,1993) ............ 17

Figura 2.13 Influencia de los ensayos triaxiales realizados con control de carga y

con control de deformación en el Estado Crítico. (Been, et al. 1991)....... 17


Figura 2.14 Línea de Estado Crítico para la arena Ottawa en ensayos con

cargas de compresión y de extensión. (Vaid et al., 1990) ........................ 18

Figura 2.15 Diferentes Líneas de Estado Crítico para la arena Nevada con 6%

de contenido de finos. (Yamamuro & Lade,1998)..................................... 19

Figura 2.16 Influencia del contenido de finos en el Estado Crítico. (Zlatovic &

Ishihara, 1995) .......................................................................................... 19

Figura 2.17 Estado Crítico de las arenas Toyoura y Erksak a) escala semi-Log

b) escala aritmética. (Verdugo,1992, Been et al.,1992)............................ 20

Figura 2.18 Línea de Estado Crítico para la arena Toyoura a) escala semi-Log b)

escala ( / )atme p p α′− (Li & Wang, 1998) .................................................. 20

Figura 2.19 Esquema del comportamiento dilatante y contractivo............................... 21

Figura 2.20 Esquema de la dilatancia de Rowe (Yang & Li, 2002).............................. 22

Figura 2.21 Definición del parámetro de estado. (Been & Jefferies, 1985).................. 26

Figura 2.22 Definición del Índice de Estado Is . (Ishihara, 1993) ................................. 27

Figura 2.23 Esquema de ensayo uniaxial. ................................................................... 36

Figura 2.24 Esquema de comportamiento perfectamente plástico y con

reblandecimiento....................................................................................... 36

Figura 2.25 Superficies de rotura de Mohr-Coulomb y Drucker-Prager....................... 37

Figura 2.26 Superficie de rotura propuesta por Lade et al. (1975). ............................. 37

Figura 2.27 Comparación entre las superficies de rotura de Mohr Coulomb, Lade

y Matsuoka- Nakai. ................................................................................... 37

Figura 2.28 Superficies de fluencia y potencial plástico en el espacio de

tensiones................................................................................................... 40

Figura 2.29 Esquema de las superficies con endurecimiento isótropo a) Drucker

et al. 1975 b) Lade & Duncan, 1975. ........................................................ 43

Figura 2.30 Modelo con endurecimiento cinemático de Mróz (Chen & Baladi,

1985) ......................................................................................................... 44

Figura 2.31 Modelo de múltiples superficies a) Múltiples superficies de carga b)

Variación del módulo plástico. (Mróz & Norris,1982) ................................ 45

Figura 2.32 Modelo de endurecimiento mixto tipo Prevost. (Chen & Baladi, 1985)..... 46

Figura 2.33 Esquema del modelo de superficie límite en un ensayo uniaxial.............. 47

Figura 2.34 Superficie de fluencia y superficie límite en un espacio de tensiones.

(Dafalias & Popov, 1975) .......................................................................... 47

Figura 2.35 Forma de las superficies de fluencia propuesta por Drucker et al.

(1957)........................................................................................................ 51

VI

Índice de figuras

VII

Figura 2.36 Esquema de las superficies de fluencia propuestas por diMaggio &

Sandler (1971). ......................................................................................... 51

Figura 2.37 a) Esquema de las superficies de fluencia propuestas por Lade

(1977). b) Esquema para la determinación de la deformación

plástica total. (Lade, 1988)........................................................................ 53

Figura 2.38 a) Esquema de las superficies de fluencia propuestas por Vermeer

(1978). b) Variación de la superficie de fluencia con el parámetro de

endurecimiento para la arena “River Sand”. ............................................. 53

Figura 2.39 Comportamiento típico de arenas densas y sueltas sometidas a

corte triaxial de compresión. (Yang & Li, 2004) ........................................ 56

Figura 2.40 Comportamiento no drenado de una arena (a) diferentes densidades

y (b) igual densidad y diferentes presiones confinamiento. (Li &

Dafalias, 2000) .......................................................................................... 57

Figura 2.41 Datos experimentales de ensayos triaxiales de varias arenas y

presiones de confinamiento diferentes en el pico de tensiones.

(Bolton, 1986)............................................................................................ 60

Figura 2.42 Ángulo de fricción máxima de varias arenas sometido a esfuerzos

de corte en función del parámetro de estado. (Been & Jefferies,

1986) ......................................................................................................... 61

Figura 2.43 Influencia del valor inicial del parámetro de estado en la relación de

tensiones, en la deformación volumétrica y en la relación de

tensiones máximas. (Wood et al.,1994).................................................... 61

Figura 2.44 Influencia de la presión de confinamiento y de la densidad en el

ángulo de fricción movilizado máximo. (Yang & Li, 2004) ........................ 68

Figura 2.45 Comparación entre ensayos triaxiales no drenados y la predicción

del modelo de la arena Toyoura para Dr = 63.7%. ................................... 69


del modelo de la arena Toyoura para Dr = 37.9%. ................................... 69


del modelo de la arena Toyuora para Dr = 18.5%. ................................... 69

Figura 2.48 Simulación del módulo plástico en licuefacción estática para Dr =

18.5%........................................................................................................ 70

Figura 2.49 Esquema de fases componentes de un suelo parcialmente saturado...... 71

Figura 2.50 Geometría del menisco en partículas esféricas ........................................ 72

Figura 2.51 Esquema plano de dos esferas unidas por un menisco ........................... 73

Figura 2.52 Variación de ω con la succión................................................................... 74


Figura 2.53 Esquema ideal de fuerzas entre dos partículas ........................................ 75

Figura 2.54 Curvas características suelos – agua de diferentes suelos (Según

Vanapalli et al. 1999) ................................................................................ 83

Figura 2.55 Esquema de las ramas primarias y secundarias de humedecimiento

y secado.................................................................................................... 84

Figura 2.56 Ensayo de compresión isótropa a succión constante (Rampino et al.,

2000). ........................................................................................................ 86

Figura 2.57 Ensayo de humedecimiento bajo carga constante (Escario & Sáez,

1973) ......................................................................................................... 87

Figura 2.58 Ciclos de humedecimiento y secado sobre un Caolín compactado

bajo carga isótropa. (Ensayos realizados por Buisson, publicados en

Wheeler et al. 2003).................................................................................. 88

Figura 2.59 Ensayos de corte directo bajo succión controlada sobre la arena de

miga (Escario & Sáez,1986) ..................................................................... 89

Figura 2.60 Ensayo de compresión drenado a 200kPa de succión (Rampino et

al., 2000) ................................................................................................... 92

Figura 2.61 Efecto de la historia hidráulica en la resistencia en corte directo (Han

et al., 1995) ............................................................................................... 93

Figura 3.1 Superficie de fluencia y de potencial plástico a) arenas sueltas, b)

arenas medias y densas (Pastor et al., 1985)......................................... 104

Figura 3.2 Comparación entre resultados de ensayos triaxiales no drenados

(Verdugo & Ishihara, 1996) y la simulación de modelo original de

Plasticidad Generalizada para Dr = 63.7%. ............................................ 108







Figura 3.5 Comparación entre resultados de ensayos triaxiales drenados


Plasticidad Generalizada para p = 100kPa............................................ 109 0



Plasticidad Generalizada para p = 500kPa............................................ 109 0

Figura 3.7 Datos en Estado Crítico de la arena Toyoura de Verdugo & Ishihara

(1996) a) e-logp´ y b) e-(p/pa)^ζ. ............................................................ 113

VIII

Índice de figuras

IX

Figura 3.8 Datos en Estado Crítico de la arena Kurnell (Russell & Khalili, 2004)

a) e-logp´ y b) e-(p/pa)^ ζ........................................................................ 113

Figura 3.9 Datos en Estado Crítico en el plano q-p´ a) arena Toyoura (Verdugo

& Ishihara, 1996) y b) arena Kurnell (Russell & Khalili, 2004) ................ 113

Figura 3.10 Parámetro de estado definido por Been & Jefferies (1985) .................... 114

Figura 3.11 Variación de la relación de tensiones en la fase de transformación.

(Li & Dafalias, 2000)................................................................................ 116

Figura 3.12 Comparación de la expresión de dilatancia del modelo original y

modificado............................................................................................... 117

Figura 3.13 Variación de la dilatancia con el parámetro de estado para

diferentes densidades en ensayos triaxiales drenados simulado con

el modelo modificado. ............................................................................. 118

Figura 3.14 Variación de la dilatancia con la relación de tensiones para

diferentes densidades en un ensayo triaxial drenado............................. 118


diferentes presiones de confinamiento en un ensayo triaxial no

drenado. .................................................................................................. 119


diferentes densidades y una presión de confinamiento de 2000kPa

en ensayo triaxial no drenado................................................................. 120

Figura 3.17 Datos experimentales de la arena Toyoura de la relación de

tensiones - dilatancia. (Yang & Li, 2004) ................................................ 120

Figura 3.18 Rango de variación de la razón de índices de poros inicial y critico....... 122

Figura 3.19 Influencia de la densidad en la superficie de fluencia para una

presión de confinamiento dada y de la presión de confinamiento

sobre la superficie de fluencia para una densidad dada......................... 123

Figura 3.20 Variación del módulo plástico para una presión de confinamiento de

2000kPa y diferentes densidades iniciales en un ensayo triaxial no

drenado. .................................................................................................. 126

Figura 4.1 Curvas granulométricas de la arena de miga. ........................................ 131

Figura 4.2 Carta de Plasticidad de Arena de Madrid (Sopeña, 1996)...................... 132

Figura 4.3 Análisis de DRX Muestra 4478 por fracción Retenido #50,100 y 200 .... 134

Figura 4.4 Curvas de compactación muestras 4478 y 4479. ................................... 135

Figura 4.5 a) ensayos de compresión isótropa de la muestra 4478-C de la

arena de miga b) Ensayos de compresión edométrica de diferentes

densidades de la arena de miga. ............................................................ 140


Figura 4.6 Resultados de ensayos triaxiales drenados de la muestra 4479-A

para las presiones de confinamiento de 50kPa, 150kPa y 300kPa. ....... 142

Figura 4.7 Resultados de ensayos triaxiales drenados de la muestra 4479-B


Figura 4.8 Resultados de ensayos triaxiales drenados de la muestra 4479-C


Figura 4.9 Resultados de ensayos triaxiales drenados de la muestra 4479-D


Figura 4.10 Resultados de ensayos triaxiales drenados de la muestra 4479-E


Figura 4.11 Resultados de ensayos triaxiales drenados con consolidación

isótropa y anisótropa de la muestra B4478-C......................................... 145

Figura 4.12 Resultados de ensayos triaxiales no drenados de la muestra 4479-A


Figura 4.13 Resultados de ensayos triaxiales no drenados de la muestra 4479-B


Figura 4.14 Resultados de ensayos triaxiales no drenados de la muestra 4479-C


Figura 4.15 Resultados de ensayos triaxiales no drenados de la muestra 4479-D


Figura 4.16 Resultados de ensayos triaxiales no drenados de la muestra 4479-E


Figura 4.17 Resultado de ensayos triaxiales no drenados sobre las muestras

B4478-C y B4478-CE para dos presiones de confinamiento inicial........ 149

Figura 4.18 Resultados de ensayos triaxiales no drenados con consolidación

isótropa y anisótropa de la muestra B4478-C......................................... 150

Figura 4.19 Valores finales en ensayos triaxiales drenados y no drenados sobre

la arena de miga en el plano q - p´. ......................................................... 151

Figura 4.20 Valores iniciales y finales de ensayos triaxiales sobre la muestra

4479 de la arena de miga a) drenados y b) no drenados ...................... 152

Figura 4.21 Valores finales de ensayos triaxiales drenados y no drenados sobre

la arena de miga. .................................................................................... 153

Figura 4.22 Variación de la dilatancia en ensayos triaxiales drenados sobre la

arena de miga. ........................................................................................ 156

Figura 4.23 Relación de η con el parámetro de estado en el punto de

transformación de fase............................................................................ 156 TF

X

Índice de figuras

XI

Figura 4.24 Influencia del índice de poros y la presión de confinamiento en la

relación de tensiones máxima para la arena de miga............................. 157

Figura 4.25 Relación de η con la dilatancia máxima y el parámetro de estado

inicial en muestras de arena de miga. .................................................... 157 máx

Figura 5.1 Ajuste de datos experimentales en estado crítico de la arena B en

dos escalas diferentes (datos experimentales de Castro, 1969). ........... 161

Figura 5.2 Efecto del parámetro m en la trayectoria de tensiones no drenada de

una arena densa. .................................................................................... 163

Figura 5.3 Efecto del parámetro d en las trayectorias de tensiones no drenada

de una arena densa ................................................................................ 164 0

Figura 5.4 Puntos finales de los ensayos triaxiales drenados y no drenados en

el plano q – p´. ......................................................................................... 167

Figura 5.5 Puntos finales de los ensayos triaxiales drenados y no drenados en

el plano ( / )atme p p ζ′− . ........................................................................... 167

Figura 5.6 Ajuste de valores experimentales de dilatancia en ensayos triaxiales

drenados con la ecuación del modelo..................................................... 169

Figura 5.7 Estimación de las constantes h y h ....................................................... 170 1 2

Figura 5.8 Ajuste de la ecuación del módulo plástico del modelo de Plasticidad

Generalizada con un ensayo triaxial drenado......................................... 171

Figura 5.9 Línea de Estado Crítico de la arena de miga y estados iniciales de

los ensayos simulados............................................................................ 172

Figura 5.10 Comparación entre resultados de ensayos triaxiales drenados de la

muestra 4479-E de la arena de miga y las predicciones de modelo

de Plasticidad Generalizada propuesto. ................................................. 173


muestra 4479-D de la arena de miga y las predicciones de modelo



muestra 4479-C de la arena de miga y las predicciones de modelo



muestra 4479-B de la arena de miga y las predicciones de modelo



muestra 4479-A de la arena de miga y las predicciones de modelo




muestra 4478-C de la arena de miga y las predicciones de modelo


Figura 5.16 Comparación entre resultados de ensayos triaxiales no drenados de

la muestra 4479-E de la arena de miga y las predicciones del

modelo de Plasticidad Generalizada propuesto...................................... 176


la muestra 4479-D de la arena de miga y las predicciones del



la muestra 4479-C de la arena de miga y las predicciones del



la muestra 4479-B de la arena de miga y las predicciones del



la muestra 4479-A de la arena de miga y las predicciones del



la muestra 4478-C de la arena de miga y las predicciones del


Figura 5.22 Línea de Estado Crítico de la arena Toyoura y estados iniciales de

los ensayos simulados. ........................................................................... 183


(Verdugo & Ishihara, 1996) y la simulación de modelo propuesto de









(Verdugo & Ishihara, 1996) y la predicción de modelo propuesto de

Plasticidad Generalizada para p ´ = 100kPa. ......................................... 186 0

XII

Índice de figuras

XIII


(Verdugo & Ishihara, 1996) y la predicción de modelo propuesto de

Plasticidad Generalizada para p ´ = 500kPa. ......................................... 186 0

Figura 5.28 Línea de Estado Crítico de la arena B y estados iniciales de los

ensayos simulados.................................................................................. 188

Figura 5.29 Comparación entre los resultados de ensayos de compresión

isótropa de la arena Banding (Castro, 1969) y la simulación de

modelo para e = 0,71 y e = 0,79............................................................ 189 o o

Figura 5.30 Comparación entre el resultado de ensayo triaxial no drenado

(Castro, 1969) y la simulación de modelo para p ´= 980kPa y a)

Dr=35% y b) Dr=42%. ............................................................................. 190 0



Dr=45% y b) Dr=53%. ............................................................................. 190 0



Dr=35% y b) Dr=42%. ............................................................................. 191 0



Dr=47% y b) Dr=65%. ............................................................................. 191 0


(Castro, 1969) y la simulación de modelo propuesto de Plasticidad

Generalizada para p ´= 980kPa y distintas densidades. ....................... 192 0


(Castro, 1969) y la simulación de modelo propuesto de Plasticidad

Generalizada para p ´= 392kPa y distintas densidades. ....................... 193 0

Figura 5.36 Comparación entre el resultado del ensayo triaxial drenado

(Castro, 1969) y la predicción de modelo para p ´=49kPa y Dr= 4%...... 193 0


(Castro, 1969) y la predicción de modelo para p ´=98kPa y Dr=95%..... 194 0


(Castro, 1969) y la predicción de modelo para p ´=98kPa y Dr= 1%...... 194 0


(Castro, 1969) y la predicción de modelo para p ´=98kPa y Dr 40%...... 194 0


(Castro, 1969) y la predicción de modelo para p ´=392Pa y Dr=98%. ... 194 0



(Castro, 1969) y la predicción de modelo para p ´=392Pa y Dr=23%. ... 195 0


(Castro, 1969) y la predicción de modelo para p ´=980Pa y Dr= 2%. .... 195 0


(Castro, 1969) y la predicción de modelo para a) p ´ = 98kPa y b)

p ´ = 392kPa y distintas densidades. ...................................................... 196 0

0


(Castro, 1969) y la predicción de modelo para densidades bajas y

distintas presiones de confinamiento iniciales. ....................................... 196

Figura 5.45 Línea de Estado Crítico de la arena Kurnell y estados iniciales de los

ensayos simulados.................................................................................. 198

Figura 5.46 Comparación entre los resultados de ensayos de compresión

isótropa de la arena Kurnell (Russell & Khalili, 2004) y la predicción

del modelo............................................................................................... 201


(Russell & Khalili, 2004) y la predicción de modelo para presiones

de confinamiento de 50 a 300kPa........................................................... 201


(Russell & Khalili, 2004) y la predicción de modelo para presiones

de confinamiento de 400 a 2400kPa....................................................... 202

Figura 5.49 Comparación entre resultados de ensayos triaxiales de compresión

a p´ constante (Russell & Khalili, 2004) y la simulación de modelo

propuesto de Plasticidad Generalizada para p ´= 300kPa y

p ´=200kPa. ............................................................................................ 202 0

0


(Russell & Khalili, 2004) y la simulación de modelo propuesto para

p ´= 300kPa y distintas densidades. ....................................................... 203 0


(Russell & Khalili, 2004) y la simulación de modelo propuesto para

p ´= 460-480kPa y distintas densidades................................................. 203 0

Figura 5.52 Estudio paramétrico de efecto del índice de poros inicial en ensayos

de compresión triaxial drenados. ............................................................ 204

Figura 5.53 Variación de la dilatancia y el módulo plástico del modelo en función

del índice de poros inicial........................................................................ 205

Figura 5.54 Variación del módulo plástico en función del índice de poros inicial

en las cercanías del Estado Crítico......................................................... 206

XIV

Índice de figuras

XV

Figura 5.55 Estudio paramétrico de efecto de la presión de confinamiento en

ensayos de compresión triaxial drenados............................................... 206

Figura 6.1 Líneas de Estado Crítico “Speswhite Kaolin” diferentes succiones

(reinterpretación de datos de Sivakumar, 1993). .................................... 216

Figura 6.2 Línea de Estado Crítico con χ = χ(S , S ) (reinterpretación de datos

de Sivakumar, 1993). .............................................................................. 217 r r0

Figura 6.3 Análisis de estado crítico para distintas succiones con χ = χ(S ) y

χ=χ ( S ) (datos de Toll, 1990). ............................................................... 218

r

re

Figura 6.4 Análisis de estado crítico para distintas succiones con χ = χ(S ) y

χ=χ ( S ) (datos de Maâtuok, 1993). ....................................................... 218

r

re

Figura 6.5 Comparación entre tensión desviadora crítica calculada y

experimental (datos de Sivakumar, 1993). ............................................. 219


experimental (datos de Maâtuok et al., 1995)......................................... 219


experimental (datos de Toll, 1990).......................................................... 220

Figura 6.8 Líneas de Estado Crítico para distintas succiones (datos extraídos

de Sivakumar (1993)).............................................................................. 222

Figura 6.9 Normalización de LEC (datos de Sivakumar (1993)).............................. 222

Figura 6.10 Relación de g(ξ) para distintos datos experimentales en estado

crítico....................................................................................................... 223

Figura 6.11 Relación entre p” saturada y no saturada y ξ en estado crítico para

dos suelos: a) la grava “Kiunyu” (Datos de Toll (1990)) y b) Suelo

limoso (Datos de Maâtuok et al. (1995)). ................................................ 223

Figura 6.12 Relación entre p” saturada y no saturada y ξ en estado crítico

(Datos de Chiu, 2001). ............................................................................ 223

Figura 6.13 Relación entre p” saturada y no saturada y ξ en estado crítico para

LEC en escala ( / )atme p p ζ′− . ................................................................. 225

Figura 6.14 Líneas de compresión isótropa a succión constante interpretados

con la presión efectiva (datos de Sivakumar (1993)).............................. 226

Figura 6.15 Relación entre p” saturada y no saturada y ξ en estado de

compresión isótropa limite (Sivakumar, 1993). ....................................... 226

Figura 6.16 Relación entre p” saturada y no saturada y ξ en estado de

compresión isótropa limite y en estado crítico (Sivakumar, 1993)......... 227


Figura 6.17 Datos Experimentales Sr – e (según Sivakumar, 1993) y Sr – s* de

compresión isótropa................................................................................ 229

Figura 6.18 Datos experimentales Sr – e (según Sivakumar, 1993) y Sr – s* en

estado crítico........................................................................................... 229

Figura 6.19 Curva para los datos experimentales en estado crítico de Kiunyu

Gravel...................................................................................................... 230

Figura 6.20 Influencia del parámetro β en la ramas secundarias............................. 238 w

Figura 6.21 Simulación del modelo de carga isótropa a succión constante a)

variación del índice de poros y b) variación del grado de saturación. .... 239

Figura 6.22 Simulación de un ensayo de humedecimiento a tensión neta

constante: a) variación de la deformación volumétrica b) variación

del grado de saturación........................................................................... 240

Figura 6.23 Variación de la tensión efectiva principal ζ = p” y la función ζ ·J

durante una trayectoria isótropa de humedecimiento a tensión neta

constante................................................................................................. 240

máx S

Figura 6.24 Simulación del modelo de un ensayo isótropo de humedecimiento y

secado a presión neta constante. ........................................................... 241

Figura 6.25 Simulación de un ensayo triaxial no drenado (volumen constante)

para diferentes succiones. ...................................................................... 243

Figura 6.26 Simulación del modelo de ensayo triaxial drenado a igual succión

(s=10kPa) y grado de saturación sobre la rama principal de

humedecimiento SrW y sobre la rama principal de secado SrD............. 244

Figura 6.27 Comparación curva succión – grado de saturación adoptada y datos

experimentales obtenidos por Russell (2004)......................................... 247

Figura 6.28 Comparación entre ensayos triaxiales drenados no saturados a

s=cte (Russell & Khalili, 2006) y la simulación del modelo en los

planos sq ε− y v sε ε− . ............................................................................ 249



planos sq ε− y v sε ε− . ............................................................................ 250



planos sq ε− y v sε ε− ............................................................................. 251



planos sq ε− y v sε ε− ............................................................................. 252

XVI

Índice de figuras

XVII


ω=cte (Russell & Khalili, 2006) y la simulación del modelo en los

planos sq ε− y v sε ε− (s = 50kPa)......................................................... 253 0



planos sq ε− y v sε ε− (s = 100kPa)....................................................... 254 0







Figura 6.36 Valores de estado crítico de ensayos de corte triaxial para

”Speswhite kaolín” (ensayos realizados por Sivakumar,1993). .............. 258

Figura 6.37 Valores de estado crítico normalizados en el plano e – lnp” para

“Speswhite kaolin” (ensayos realizados por Sivakumar,1993). .............. 258

Figura 6.38 Calibración de la ecuación (6.36) para distintas succiones. ................... 259

Figura 6.39 Calibración de parámetro Ω para diferentes succiones. ......................... 259

Figura 6.40 Influencia del índice de poros en relación grado de saturación –

succión en estado crítico......................................................................... 260

Figura 6.41 Comparación entre simulaciones del modelo propuesto y resultados

de ensayos triaxiales de isótropos a succión constante (Datos de

Sivakumar, 1993). ................................................................................... 261


de ensayos triaxiales de compresión drenada a succión constante

(Datos de Sivakumar, 1993). Condiciones iniciales: 26C: v =2,079

s =0 p =75kPa; 9C: v =2,18 s =200kPa p =100kP; 17C:

v =2,188 s =300kPa p =100kP ........................................................... 262

0

0 net 0 0 net

0 0 net


de ensayos triaxiales de compresión a volumen constantes a una

succión de 200kPa y diferentes tensiones principales iniciales

(Datos de Sivakumar,1993). ................................................................... 263



de ensayos triaxiales de compresión a tensión neta y succión

constante “Speswhite Kaolin” (s = 200kPa)( Datos de Sivakumar,

1993). ...................................................................................................... 264

XVIII

Índice de tablas

Tabla 2.1 Relaciones de la dilatancia por diferentes autores. .................................. 24

Tabla 2.2 Expresiones de dilatancia con incorporación de parámetros de

estados...................................................................................................... 59

Tabla 3.1 Parámetros del modelo constitutivo de Pastor et al. (1990) ................... 107

Tabla 3.2 Parámetros del modelo PG original para simular la arena Toyoura ....... 110

Tabla 4.1 Clasificación de los suelos de Madrid según el contenido de finos ........ 130

Tabla 4.2 Composición mineralógica de la arena de miga ..................................... 134

Tabla 4.3 Humedades y densidades secas iniciales .............................................. 136

Tabla 4.4 Datos experimentales de ensayos edométricos ..................................... 140

Tabla 4.5 Datos experimentales de ensayos triaxiales drenados en la arena de

miga ........................................................................................................ 141

Tabla 4.6 Datos experimentales de ensayos triaxiales no drenados en la

arena de miga ......................................................................................... 145

Tabla 5.1 Valores en el punto de transformación de fase de distintos ensayos

triaxiales en la arena de miga ................................................................. 168

Tabla 5.2 Valores en el punto de tensiones máxima en ensayos triaxiales

drenados en la arena de miga ................................................................ 170

Tabla 5.3 Parámetros del modelo de PG propuesto para la arena de miga........... 171

Tabla 5.4 Propiedades índice de la arena Toyoura ................................................ 182

Tabla 5.5 Estados iniciales de la arena Toyoura .................................................... 182

Tabla 5.6 Parámetros del modelo de PG propuesto para la arena Toyoura .......... 184

Tabla 5.7 Propiedades índice de la arena B.......................................................... 187

Tabla 5.8 Parámetros del modelo de PG propuesto para la arena B. .................... 188

Tabla 5.9 Estados iniciales de la arena B. .............................................................. 188

Tabla 5.10 Propiedades índice de la arena Kurnell .................................................. 197

Tabla 5.11 Estados iniciales de ensayos simulados de la arena Kurnell.................. 198

Tabla 5.12 Parámetros del modelo de PG propuesto para la arena Kurnell ............ 200

Tabla 6.1 Valores de las constantes a y b para distintos suelos ............................ 223

Tabla 6.2 Estados iniciales no saturados de arena Kurnell .................................... 247

Tabla 6.3 Parámetros del modelo de PG propuesto para el caolín “Speswhite” .... 260

Tabla 6.4 Estados iniciales simulados del caolín “Speswhite”................................ 261


XX

Capítulo 1

Introducción y objetivos

1.1 Introducción

El análisis de los problemas geotécnicos en la actualidad cuenta con tres ejes

importantes: a) los ensayos in situ y de laboratorio, b) el análisis teórico y c) la

modelización numérica.

El primer eje nos ofrece una base práctica para identificar el suelo, caracterizarlo y

determinar sus propiedades físicas, químicas y mecánicas. Es la base para un análisis

teórico consistente y una modelización numérica acertada. El análisis teórico en

geotecnia cuenta en la actualidad con distintos planteamientos, entre otros se

encuentran los enfoques basados en la experiencia denominados modelos empíricos o

los enfoques teóricos que consideran al suelo un medio continuo, un medio discreto o

una combinación de ambos. Los análisis basados en la continuidad del medio han

permitido incorporar la formulación matemática de la Teoría de la Elasticidad, de la

Plasticidad y de la Viscoelasticidad al estudio de los suelos y dieron origen a las

ecuaciones constitutivas en este campo. El desarrollo de la modelización numérica a

través de programas de elementos finitos y ecuaciones constitutivas adecuadas a un

plano multiaxial permite estudiar los problemas geotécnicos desde una perspectiva

general.

Durante muchos años, el estudio de estos tres ejes se ha desarrollado principalmente

en el marco de la mecánica de suelos saturados, esencialmente el análisis teórico y la

modelización numérica.


Sin embargo, hay una importante gama de problemas geotécnicos donde es

fundamental el estudio en condiciones de saturación parcial como por ejemplo son: el

análisis de los efectos de la compactación en grandes terraplenes, los fenómenos de

infiltración y evaporación de la superficie y su influencia en las cimentaciones de

construcciones de alto valor histórico, la importancia de la de-saturación rápida y su

efecto en los deslizamientos rápidos de laderas, entre otros. La modelización numérica

de estos problemas de ingeniería requiere ecuaciones constitutivas adecuadas que

reproduzcan los comportamientos de los suelos en un marco general.

Las ecuaciones constitutivas en materiales parcialmente saturados han sido

desarrolladas principalmente para los suelos finos expansivos y no expansivos.

Usualmente se formulan en función de una pareja de valores de tensiones

independientes (tensión neta y la succión) y el tensor de deformación del esqueleto

sólido. Las condiciones de saturación están expresadas únicamente a través de la

succión y los parámetro del modelo dependen de la succión, de la densidad y de la

trayectoria de tensiones. Por lo tanto, la respuesta tenso-deformacional de un suelo

con condiciones iniciales distintas es tratada como si fueran materiales diferentes, con

parámetros del modelo distintos. En los últimos años, la creciente disponibilidad de

datos experimentales y de nuevos enfoques teóricos, que extienden el principio de

tensiones efectivas a los suelos parcialmente saturados e incorporan funciones del

grado de saturación en la estructura del modelo para lograr el acoplamiento hidro-

mecánico, permiten generalizar la ecuación constitutiva. Estos nuevos enfoques están

formulados principalmente en condiciones isótropas y describen de forma cualitativa el

comportamiento hidro – mecánico del suelo.

El presente trabajo está centrado en el análisis teórico del comportamiento de los

suelos granulares en condiciones saturadas y no saturadas en el marco de la Teoría

de Plasticidad Generalizada (Zienkiewicz & Mróz, 1984). Esta teoría cuenta con gran

aceptación dentro de la Ingeniería de Terremotos y los modelos constitutivos basados

en ella predicen adecuadamente el comportamiento monótono y dinámico de los

suelos granulares saturados. En los últimos años se iniciaron distintas líneas de

investigación para extender la ecuación constitutiva propuesta por Pastor, Zienkiewicz

& Chan (1990) al comportamiento monótono de los suelos granulares cementados y

los suelos finos no saturados (Tamagnini & Pastor, 2004, Fernández Merodo et al.

2004, Fernández Merodo et al. 2005).

2

Capítulo 1 Introducción y objetivos

La dependencia de los parámetros de la ecuación constitutiva con la trayectoria de

tensiones, las condiciones iniciales y la condiciones de saturación de los materiales

granulares son aspectos que aún no han sido abordados de forma concluyente.

1.2 Objetivos de la investigación

El objetivo principal del presente estudio es proponer una generalización de la

ecuación constitutiva de Plasticidad Generalizada para los suelos granulares en

condiciones saturadas y parcialmente saturadas, para ello se pretende:

• relacionar la ecuación constitutiva de Plasticidad Generalizada con el

concepto de parámetros de estado proporcionando un modelo unificado,

independizando los parámetros del modelo de las trayectorias de tensiones,

de las condiciones de densidad y presión de confinamiento a las que puede

estar sometido un suelo granular.

• proponer una alternativa para predecir la respuesta hidro-mecánica de los

suelos granulares parcialmente saturados desde la perspectiva de la

modelización unificada, incorporando nuevos desarrollos teóricos a la

ecuación constitutiva de Plasticidad Generalizada.

1.3 Estructura de la tesis

La presente tesis está estructurada en ocho capítulos donde la introducción y la

presentación de objetivos de la investigación están abarcados en el Capítulo 1.

En el Capítulo 2 se realiza una revisión bibliográfica de los principales aspectos que

aborda esta tesis. Se analiza el comportamiento de los suelos granulares saturados y

parcialmente saturados sometidos a diversas trayectorias de tensiones y la influencia

de las condiciones iniciales en el comportamiento mecánico. Se comparan también

diferentes propuestas sobre la existencia del estado crítico y los conceptos de

transformación de fase en suelos granulares.

3


Se presenta una recopilación de los principales parámetros de estado para suelos

saturados adoptados por diferentes autores. Se desarrollan los fundamentos teóricos

de las relaciones constitutivas en geomateriales y los aspectos principales de los

modelos que incorporan parámetros de estado en su formulación.

En el Capítulo 3 se presentan los conceptos de la Teoría de Plasticidad Generalizada

y los fundamentos del modelo Pastor–Zienkiewicz para suelos granulares.

Posteriormente se indican las bases de las modificaciones propuestas y la formulación

general del modelo unificado para suelos en condiciones saturadas.

En el Capítulo 4 se describen las características de la arena de miga y se presenta

una serie de ensayos realizados sobre la misma en condiciones saturadas.

Seguidamente se presenta un análisis de los resultados experimentales en función de

la ecuación constitutiva propuesta en el marco del estado crítico.

En el Capítulo 5 se desarrolla un procedimiento de calibración del modelo constitutivo

propuesto en el Capítulo 3. Se calibra el modelo para la arena de miga basado en los

datos experimentales obtenidos en el Capítulo 4. Posteriormente se calibran las

arenas de Castro (1969), Verdugo & Ishihara (1996) y Russell (2004) a partir de

resultados experimentales ya publicados bajo diferentes condiciones de carga, presión

de confinamiento y densidad.

En el Capítulo 6 se amplía el modelo constitutivo propuesto en el Capítulo 3 a las

condiciones parcialmente saturadas. Basado en los fundamentos termodinámicos

presentados por Tamagnini & Pastor (2004), se incorpora en la formulación un

parámetro de cementación debido a la succión. Se presenta un análisis de diversos

suelos en condiciones parcialmente saturadas en el marco del estado crítico y del

parámetro de estado. Se presenta la formulación unificada del modelo constitutivo de

Plasticidad Generalizada junto a simulaciones cualitativas y cuantitativas de las

principales trayectorias de tensiones no saturadas para diferentes condiciones

iniciales.

En el Capítulo 7 se establece la relación de los trabajos realizados y se presentan las

conclusiones. Finalmente se proponen diferentes líneas de investigación para futuros

estudios.

En el Capítulo 8 se indica la bibliografía utilizada.

4

Capítulo 2

Estado del conocimiento

2.1 Introducción

En el presente capítulo se realiza una recopilación de las principales aportaciones en

el área del conocimiento específico de esta tesis. El mismo está estructurado en siete

secciones. La presente introducción es la primera sección.

En la segunda sección se analizan los suelos granulares saturados sometidos a

diversas trayectorias de tensiones monótonas así como la influencia de las

condiciones iniciales en su comportamiento mecánico.

Posteriormente, en la tercera sección se abordan los conceptos de estado crítico y

transformación de fase en suelos granulares y se presenta una recopilación de los

principales parámetros de estado para suelos saturados adoptados por diversos

autores.

Los fundamentos teóricos de las relaciones constitutivas en geomateriales y los

principales avances de los últimos años se presentan en la cuarta sección. En la

quinta sección se analizan de forma crítica los aspectos principales de los modelos

para suelos saturados que incorporan el parámetros de estado en su formulación.

Por último, se presentan los aspectos más importantes del comportamiento de los

suelos granulares parcialmente saturados (Sección 2.6) y se ofrece una breve reseña

de los modelos constitutivos más relevantes (Sección 2.7).


6

2.2 Comportamiento saturado de los suelos granulares

2.2.1 Introducción

Para el desarrollo de un modelo constitutivo para un determinado material es

necesario conocer con certeza el comportamiento del mismo cuando está sometido a

diferentes condiciones de carga. En la presente sección se analiza el comportamiento

a compresión isótropa y edométrica de las arenas y el comportamiento a corte triaxial

bajo carga monótona drenada y no drenada.

2.2.2 Comportamiento a Compresión

Los primeros estudios para analizar el comportamiento a compresión de las arenas

han sido realizados usando ensayos edométricos (Terzaghi & Peck, 1948; Schultze &

Moussa, 1961). Los mismos mostraron que las arenas son relativamente

incompresibles a tensiones bajas y el cambio volumétrico es debido principalmente al

acomodamiento de la estructura del suelo. Sin embargo, este comportamiento cambia

para presiones altas, donde el cambio de volumen es importante y se debe

principalmente a la rotura de partículas.

Otros trabajos confirman este comportamiento en compresión isótropa (Lee & Seed,

1967; Coop, 1990; Pestana & Whittle, 1995; Jefferies & Been, 2000).

Los factores principales que afectan la compresión de las arenas (Pestana & Whittle,

1995) son:

• la densidad de la arena y su fábrica,

• la mineralogía y la estructura,

• las propiedades físicas (tamaño de partículas, angularidad y granulometría),

• las condiciones de tensión (compresión isótropa o edométrica),

• la compresión secundaria (Creep).

La influencia de los tres primeros factores se puede observar en la Figura 2.1, donde

se muestran datos de ensayos edométricos de tres arenas distintas:

Capítulo 2 Estado del conocimiento

7

F igura 2.1 Inf luenc ia de la dens idad en e l compor tamiento a compres ión edométr ica.

(Pestana & Whi t t le , 1995)

Basado en este comportamiento, Pestana & Whittle (1995) presentan un modelo

conceptual para interpretar el comportamiento a compresión isótropa y edométrica de

los suelos arenosos en primera carga (Figura 2.2a). En la figura se observa que una

arena con densidades iniciales de formación distintas converge a una única línea

compresión límite cuando es sometida a cargas elevadas de compresión. Esta línea es

denominada curva de compresión límite (CCL o LCC)

En la Figura 2.2b se muestra que la CCL en compresión isótropa es paralela a la línea

de compresión edométrica para la arena Dog´s Bay.

F igura 2.2 a) Modelo conceptua l de l compor tamiento a compres ión de los suelos

f r icc ionales. b) Comparac ión ent re la compres ión isót ropa y la compres ión edométr ica de la arena Dog´s Bay. (Pestana & Whi t t le , 1995)


8

2.2.3 Comportamiento a Cortante

Dentro de la gran cantidad de ensayos de laboratorio que se han desarrollado para el

estudio experimental de los suelos, el ensayo triaxial (Figura 2.3a) es sin duda el

ensayo más extendido en la Mecánica de Suelos. Permite determinar la resistencia al

corte bajo trayectorias de tensiones en extensión y compresión (Figura 2.3b); con

diferentes condiciones de drenaje (drenado o no drenado) y con diferentes condiciones

de carga (monótona o cíclica). Los ensayos triaxiales se pueden realizar con control de

deformaciones o con control de cargas.

F igura 2.3 a) Esquema de ensayo t r iax ia l de compres ión y de extens ión. b) Esquema de las t rayector ias de tens iones seguidas en e l proyecto VELACS (Aru lmol i et a l . ,

1992) .

2.2.3.1 Comportamiento Drenado

El comportamiento drenado de las arenas en la célula triaxial a una presión de

confinamiento dada está condicionado por su estado de compacidad. En la Figura 2.4

se observa la influencia de la densidad inicial en el comportamiento de una arena.

F igura 2.4 Resul tados t íp icos de un ensayo t r iax ia l drenado con d i ferentes densidades.

Ten

sión

des

viad

ora,

q

Deformación axial, ε1

1

2

3

e3>e2>e1

3

2

1

Def

orm

ació

n vo

lum

étric

a, ε

v


Dila

taci

ónC

ontra

cció

n

σ1

σ1

σ3σ3

p´= ( + 2 )/3q = ( - )

σ σσ σ

1

1 3

3

εv 1 3

s 1 3

= + 2 = 2/3( - )

ε εε ε ε

Ensayo triaxial de compresión

Ensayo triaxial de extensión

σ1

σ3

σ3

σ1

p´= ( + 2 )/3q = ( - )

σ σσ σ

3 1

3 1

ε ε εε ε

3 1

3 1

v

s

= + 2 = 2/3( - )ε


9

En el Caso 1 correspondiente a una arena densa, la respuesta tensión desviadora –

deformación axial está dada por un pico marcado y un posterior reblandecimiento

hasta que se estabiliza la tensión desviadora para grandes deformaciones (20% o

más). Este pico de la tensión desviadora es menos marcado si se representa en

función de la relación de tensiones, como se indica en la Figura 2.5.

F igura 2.5 Esquema del ensayo t r iax ia l de compres ión drenado en func ión de la re lac ión de tens iones vs. (a) deformación ax ia l . (b) índ ice de poros.

La variación volumétrica representada en la Figura 2.4 por el incremento de la

deformación volumétrica, o en la Figura 2.6 por la variación del índice de poros, indica

claramente un comportamiento dilatante en el Caso 1 con un incremento marcado del

índice de poros.

Al principio del ensayo se producen pequeñas contracciones, luego el índice de poros

crece hasta deformaciones grandes donde no se observan cambios apreciables de

volumen.


Índi

ce d

e po

ros,

e 3

2

1

F igura 2.6 Esquema de la var iac ión de l índ ice de poros en func ión de la deformación

ax ia l para arenas con d i ferentes dens idades en un ensayo t r iax ia l .

El Caso 2 tiene un comportamiento similar al Caso 1, pero sin llegar a desarrollar un

pico en la tensión desviadora tan marcado. Al principio del ensayo se producen

variaciones volumétricas de contracción y llegado un cierto punto, comienza una

respuesta dilatante hasta alcanzar un índice de poros similar al Caso 1. Esto implica

que no se producen variaciones volumétricas para grandes deformaciones.

Rel

ació

n de

tens

ione

s, q

/p´


1 2

3

Rel

ació

n de

tens

ione

s, q

/p´

Índice de poros, e

12

3


10

Por último, en el Caso 3 observamos que la tensión desviadora aumenta de forma

monótona, hasta alcanzar un valor estable a medida que aumenta la deformación

axial. En este caso, desde el comienzo del ensayo se produce una reducción del

volumen de la muestra (Figura 2.4 b) o lo que es equivalente, una reducción del índice

de poros (Figura 2.6)

Para los ensayos de corte drenados es interesante representar la relación de

tensiones en función del índice de poros porque se obtiene una visión conjunta de la

respuesta tensión-deformación y la variación volumétrica (Figura 2.5). También, se

observa que para distintas densidades todas las muestras parecen converger en un

único punto. Este punto fue definido por Casagrande (1936) como el “índice de poros

crítico”.

Otro aspecto a destacar es la variación creciente de la pendiente inicial en el plano

1q ε− a medida que disminuye el índice de poros, lo que indica un incremento de

rigidez con la densidad en régimen elástico

2.2.3.2 Comportamiento No Drenado

La Figura 2.7 muestra un esquema en los planos q p′− y 1q ε− de los diferentes tipos

de comportamiento de una arena con diferentes densidades sometida a esfuerzos de

corte no drenado con igual presión de confinamiento.

F igura 2.7 Esquema del compor tamiento de un suelo somet ido a cor te no drenado.

Tensión Efectiva Principal, p´

Tesi

ón D

esvi

ador

a, q

Deformación Axial

Tesi

ón D

esvi

ador

a, q

3

2

1

3

2

1


11

En el plano 1q ε− está representado el endurecimiento del suelo en el Caso 1, el cual

se manifiesta con un crecimiento continuo de la tensión desviadora q a medida que

progresa la deformación hasta llegar a un valor estable. Este comportamiento es típico

de una arena densa en un ensayo de corte no drenado.

En la trayectoria de tensiones q - p´, la tensión desviadora q es continuamente

creciente y la tensión efectiva principal p´ comienza disminuyendo levemente hasta

alcanzar un mínimo para luego continuar creciendo. La Figura 2.8 muestra la variación

de las presiones intersticiales. Se observa que la densificación del material genera un

aumento de las presiones interticiales (comportamiento contractivo) hasta alcanzar un

máximo, a partir del cual la presión intersticial disminuye continuamente

(comportamiento dilatante).

El cambio de comportamiento contractivo a dilatante fue definido por Ishihara et al.

(1975) como “Estado de Transformación de Fase” para ensayos no drenados, o por

Luong (1982) como “Estado Característico” para ensayos drenados. Si este estado se

une a través de una línea al origen de coordenadas del plano q - p´, se obtiene la

denominada Línea de Transformación de Fase o Línea Característica. Este concepto

será útil más adelante para analizar los modelos constitutivos en las arenas.

En el caso 2 se representa una arena de densidad media a baja. Si analizamos el

esquema q – ε1, se observa que la tensión desviadora crece hasta un valor de pico

para luego disminuir a un mínimo relativo denominado Estado Cuasi Estable (Alarcón-

Guzman & Leonards, 1988; Ishihara 1993, Verdugo & Ishihara, 1996) para luego subir

hasta un valor constante a medida que progresa la deformación.

En el plano q – ε1, , el ensayo 3 muestra el incremento inicial de la tensión desviadora

hasta un máximo de resistencia, para luego ir disminuyendo continuamente hasta un

valor de q residual o crítico, que se mantiene constante a medida que progresa la

deformación axial. Ishihara (1993) muestra varios ensayos donde la resistencia

residual de la arena Toyoura con densidades pequeñas es muy baja o nula. El estado

residual de las arenas fue bastante estudiado y discutido dentro del concepto de

Estado Crítico (Roscoe, et al., 1958; Schofield & Wroth, 1968) o Estado Estable de

Deformación (Castro 1969; Poulos, 1981) y serán analizados con más detalle más

adelante.


12

Si analizamos el ensayo 3 en el plano q - p´, se observa que la trayectoria de tensiones

alcanza un desviador máximo para luego, ir disminuyendo continuamente hasta

alcanzar la resistencia residual del material. Conjuntamente se produce un aumento

importante de las presiones intersticiales, como muestra la Figura 2.8. Este

comportamiento observable en las arenas en estado suelto está aceptado dentro de la

literatura con la denominación de “licuefacción estática” (Castro, 1969).


Incr

emen

to d

e pr

esió

n in

ters

ticia

l, Δu

1

2

3

F igura 2.8 Esquema de pres iones in ters t ic ia les en un ensayos t r iax ia l no drenado.

De estos tres casos se pueden destacar los conceptos de Estado Crítico o Estado

Estable, Estado Cuasi Estable, el concepto de Estado de Transformación de Fase o

Estado Característico y los conceptos de licuefacción estática, los mismos serán

analizados con más detalle en el apartado siguiente.

2.3 Parámetro de estado y estado crítico

2.3.1 Estado crít ico / Estado estable en suelos granulares

Estado Crít ico

Para grandes deformaciones cuantificables alrededor del 20%, se observa que tanto

un suelo contractivo como un suelo dilatante tienden a un índice de poros crítico

(Figura 2.5b; Figura 2.6). Casagrande (1936) introdujo este concepto para ensayos

drenados en arenas. Luego Rendulic, en arcillas saturadas normalmente consolidadas,

observó que había una única línea en el espacio p q e′ − − denominada Línea de

Estado Crítico (CSL o LEC). Roscoe et al. (1958) definieron el estado crítico para

arcillas en condición drenada, como el estado donde el suelo continúa deformándose

bajo tensión desviadora e índice de poros constante.


13

Estado Estable de Deformación

Otro concepto introducido por Castro (1969) estudiando las arenas en condiciones no

drenadas es el Estado Estable de Deformación. El concepto de Estado Estable es

utilizado para analizar la estabilidad estructural en suelos granulares sujetos a carga

no drenada monótona o cíclica. Se basa en que una arena tiene una única Línea de

Estado Estable (SSL) en el plano e - p´. Se supone que esta línea es independiente de

la trayectoria de tensiones seguida durante el ensayo y que se puede determinar a

través de los ensayos triaxiales no drenados.

El Estado Estable de las arenas (Steady State, SS (Castro, 1975)) como concepto, es

similar al Estado Crítico de las arcillas (Roscoe et al., 1958) donde la arena continúa

deformándose sin cambio de volumen y sin cambio de tensión desviadora.

Si bien Poulos (1981) define el “Estado Estable de Deformación” como: “El estado

Estable de deformación puede ocurrir en cualquier masa particulada y para cualquier

condición de carga y drenaje que pueda vencer la estructura original y llevarla a una

nueva estructura de flujo (“flow structure”). Esta estructura nueva no depende de la

estructura inicial para un suelo dado, pero si depende de (1) la tensión efectiva

principal durante el flujo al Estado Estable y (2) de la velocidad de deformación”. En

definitiva la definición de Poulos (1981) y la expresada por Castro (1969) diferencia al

Estado Crítico del Estado Estable en la velocidad de deformación.

Salden et al. (1985) consideran que esta diferencia puede explicarse porque los

ensayos de Castro (1969) fueron realizados con control de carga. Sin embargo, no se

han encontrado diferencias sustanciales entre ensayos realizados con control de carga

y con control de deformaciones (Castro et al., 1982). Por lo tanto, a efectos prácticos

Salden et al. (1985) proponen considerar ambos estados como un mismo concepto.

Si analizamos los invariantes de tensión y deformación en el plano triaxial, tanto para

el Estado Crítico como para el Estado Estable, éstos pueden ser expresados de la

siguiente manera:

´ 0; 0; 0; 0v sdp dq d dε ε= = = ≠ (2.1)

La tensión desviadora movilizada una vez alcanzado el Estado Estable (SS) o Estado

Crítico (CS) se denomina resistencia residual.


14

2.3.1.1 Línea de Estado Crít ico en arenas (LEC)

El análisis de la Línea de Estado Crítico en arenas (LEC) puede dividirse en dos

aspectos importantes:

• la unicidad de la LEC

• la forma de la LEC

Unicidad de LEC

La unicidad de la Línea de Estado Crítico fue estudiada por diferentes autores,

investigando los distintos aspectos que tienen influencia en su localización en el plano

e - p´, estos aspectos se resumen en:

• la influencia de la condición de drenaje. (Castro, 1969; Casagrande, 1975;

Alarcón-Guzmán & Leonards, 1988, Been et al., 1991, Ishihara, 1993;

Verdugo & Ishihara, 1996),

• la influencia del nivel de tensiones (Konrad, 1990a,1990b,1993),

• la influencia del método de preparación de las muestras. (Been et al., 1991;

Ishihara, 1993, Verdugo & Ishihara, 1996),

• la influencia de la velocidad de deformación. (Casagrande, 1975; Poulos et

al. 1988; Been et al., 1991),

• la influencia de las trayectorias de tensiones en compresión y extensión.

(Vaid et al., 1990),

• la influencia del contenido de finos. (Been & Jefferies, 1985; Zlatović &

Ishihara, 1995; Yamamuro & Lade, 1998, Lade & Yamamuro, 1997,

Thevanayagam & Mohan, 2000).

La unicidad de la LEC ha sido objeto de discusión durante varios años desde los

primeros trabajos de Castro (1969) en licuefacción de arenas, donde propone tres

líneas diferentes (Línea F, Línea P y Línea L) que dividen el espacio e - p´ en una

región de endurecimiento, una región de transición y una de reblandecimiento.

Posteriormente, Casagrande (1975) y Alarcón-Guzmán et al. (1988) dividen el espacio

utilizando dos líneas: la línea F que representa los estados últimos para ensayos

triaxiales consolidados no drenados y la línea S que representa los estados últimos en

ensayos triaxiales drenados. Konrad (1990a, 1990b, 1993) indica que el Estado Crítico

en muestras no drenadas depende de la densidad inicial y del nivel de tensiones,

definiendo un límite superior e inferior a través de la Línea UF y la Línea LF. Luego,

Ishihara (1993) define el Estado Cuasi Estable aclarando que la existencia un mínimo

en la resistencia no drenada de arenas sueltas, no implica alcanzar el estado crítico.


15

El Estado Cuasi Estable (Alarcón-Guzmán & Leonards, 1988; Ishihara, 1993) se

produce en arenas sueltas bajo grandes tensiones de confinamiento; y representa la

tensión de corte mínima alcanzada por el material. Se producen marcadas

deformaciones iniciales con comportamiento contractivo hasta alcanzar un mínimo

relativo de la tensión desviadora, seguido por un comportamiento dilatante donde

parece adquirir resistencia hasta aproximarse al Estado Estable. La resistencia mínima

observada está ligeramente afectada por la presión de confinamiento inicial (punto P y

Q Figura 2.9).

F igura 2.9 Determinac ión de l Estado Cuasi Estab le . ( Ish ihara, 1993)

Este mínimo de resistencia coincide con la definición del concepto de Transformación

de Fase definido por Ishihara et al. (1975) como el punto de cambio del

comportamiento contractivo a dilatante. Este estado implica el comienzo de la

dilatación o disminución de la presión de poros y el incremento de la tensión

desviadora adicional a medida que se desarrolla el corte no drenado (Caso 2 Figura

2.7). Para alcanzar el Estado Cuasi Estable se requieren deformaciones axiales

moderadas del orden de 5% a 20%.

Ishihara (1993) define una línea de división entre los estados iniciales con (Estados

Cuasi Estables) y sin (Estado Estable) ocurrencia de este mínimo de resistencia para

ensayos de compresión triaxial no drenados ( Figura 2.10).


16

F igura 2.10 Determinac ión de la l ínea de d iv is ión in ic ia l para la arena Toyoura

( Ish ihara, 1993)

Been et al. (1991) presentan un estudio donde apoyan la hipótesis de la unicidad del

Estado Crítico, y muestran que las condiciones de drenaje y el nivel de tensiones no

influyen en determinar una única Línea de Estado Crítico (Figura 2.11a). Este hecho

también fue confirmado por Poulos et al. (1988).

F igura 2.11 a) In f luenc ia de l estado in ic ia l en e l Estado Cr í t ico. b) Inf luenc ia de la preparac ión de la muest ra en e l Estado Crí t ico. (Been, Jef fer ies & Hachey, 1991)

Mooney et al. (1998) presentan un trabajo experimental sobre arenas densas en

condiciones drenadas donde concluyen que no hay un único Estado Crítico ( e p′− ),

debido a la formación de bandas de corte cuando la muestra alcanza la resistencia

máxima. Está claro que las arenas con densidades muy bajas mantienen un

comportamiento contractivo mientras son sometidas a esfuerzos cortantes, y

presentan un incremento continuo de la presión de poros bajo condiciones no

drenadas. En estas condiciones, en la probeta no se presentan discontinuidades. En el

caso en que la muestra tienda a un comportamiento dilatante, se formarán bandas de

corte donde el índice de poros no es conocido pero domina el comportamiento de la

misma. Hay varios autores que estudian este hecho entre los que se puede destacar a

Desrues et al. (1996).


17

Sin embargo, Poulos et al. (1988) indican que las estructuras con carácter dilatante

requieren mayores deformaciones (20 a 30%) para cambiar las posiciones relativas de

las partículas y alcanzar el Estado Crítico.

Poulos et al. (1988) indican que la forma de preparación de la muestra no influye en

encontrar una única Línea de Estado Crítico. Lo mismo es confirmado por Been et al.

(1991) en la Figura 2.11b e Ishihara (1993) en la Figura 2.12 .

F igura 2.12 Línea de Estado Estab le para la arena Toyoura. ( Ish ihara,1993)

Been et al. (1991) desestiman los estudios anteriores (Casagrande, 1975, Alarcón-

Guzmán & Leonards, 1988) que defienden que la Línea de Estado Crítico puede ser

influenciada por la velocidad de carga. Presentan ensayos realizados con control de

carga y con control de deformaciones, como se muestra en la Figura 2.13. Este hecho

también fue confirmado por Poulos et al. (1988).

F igura 2.13 In f luenc ia de los ensayos t r iax ia les rea l izados con cont ro l de carga y con

cont ro l de deformación en e l Estado Cr í t ico. (Been, et a l . 1991)


18

Vaid, Cheng & Kuerbis (1990) presentan el efecto de la trayectoria de tensiones en la

determinación de la Línea de Estado Crítico en el plano e p′− , donde concluyen que

si bien en las trayectorias de tensiones de compresión llegan a una única Línea de

Estado Crítico, en las trayectorias de tensiones de extensión la misma varía en función

de índice de poros inicial de la arena Ottawa (Figura 2.14).

F igura 2.14 Línea de Estado Cr í t ico para la arena Ot tawa en ensayos con cargas de

compres ión y de extens ión. (Vaid et a l . , 1990)

La influencia del contenido de finos para la determinación del Estado Crítico fue

estudiada por Been & Jefferies (1985); Zlatović & Ishihara (1995); Lade & Yamamuro

(1997); Yamamuro & Lade (1998) y Thevanayagam & Mohan (2000).

Been & Jefferies (1985) muestran que la pendiente de la Línea de Estado Crítico en

e p′− aumenta con el contenido de finos lo cual indica que se produce mayor

compresibilidad al aumentar el contenido de finos.

Lade & Yamamuro (1997) estudiaron la arena Nevada con la incorporación de 6% de

finos con tres densidades distintas y observaron que las Líneas de Estado Crítico no

coinciden (Figura 2.15).

Zlatović & Ishihara (1995) muestran la variación de la Línea de Estado Crítico en

función del contenido de limos incorporados a la arena Toyoura. En la Figura 2.16 se

observa que para un índice de poros determinado, el suelo va perdiendo resistencia a

medida que el contenido de limos aumenta hasta aproximadamente 30%. Sin

embargo, la resistencia aumenta para contenidos de limos mayores que el 30%.

Igualmente la arena limpia es más resistente que el limo puro.


19

F igura 2.15 Di ferentes Líneas de Estado Cr í t ico para la arena Nevada con 6% de

conten ido de f inos. (Yamamuro & Lade,1998)

F igura 2.16 In f luenc ia de l conten ido de f inos en e l Estado Cr í t ico. (Z latov ic &

Ish ihara, 1995)

Forma de LEC

En un inicio se consideró que la Línea de Estado Crítico para las arenas en el plano

loge p′− era una línea recta (Been & Jefferies, 1985) como es asumido para las

arcillas. Esto es una simplificación que se podría admitir para presiones de

confinamiento bajas. Sin embargo, para un rango superior de presiones de

confinamiento la Línea de Estado Crítico en loge p′− es no lineal.

Verdugo (1992) indica que la forma de la Línea de Estado Crítico está relacionada

directamente con la escala de representación en el plano e - p´. En la Figura 2.17 se

representa la Línea de Estado Crítico para la arena Toyoura y la arena Erksak en

escala logarítmica ( loge p′− ) y aritmética (e - p´).


20

F igura 2.17 Estado Cr í t ico de las arenas Toyoura y Erksak a) escala semi-Log b)

esca la ar i tmét ica. (Verdugo,1992, Been et a l . ,1992)

En la escala semi-logarítmica se observa que para presiones bajas ( 0 a 500kPa)

ambas arenas tienen un Estado Crítico casi lineal. Para presiones medias (500kPa a

2000kPa) la LEC cambia levemente de pendiente con una forma no lineal y para

presiones altas (>2000kPa) cambia fuertemente de pendiente y la función es lineal

nuevamente. En el caso de la escala aritmética, no se presenta este cambio brusco de

pendiente. Se observa una pendiente inicial no lineal y luego, a medida que aumenta

la tensión principal p´, una pendiente lineal.

Otra forma de representar la Línea de Estado Crítico fue presentada por Li & Wang

(1998). Proponen una representación en el plano ( / )atme p p α′− , donde patm es la

presión atmosférica y α es un parámetro de ajuste que toma el valor de 0,70. Esta

representación permite obtener una pendiente recta, como muestra la Figura 2.18 para

la LEC de la arena Toyoura presentada por Verdugo & Ishihara (1996).

F igura 2.18 Línea de Estado Cr í t ico para la arena Toyoura a) escala semi-Log b)

escala ( / )atm

e p p α′− (L i & Wang, 1998)


21

2.3.2 Contracción – dilatancia

En un material granular, su comportamiento está ligado a la variación de su estructura

durante el proceso de carga. En la Figura 2.19 se observa en forma esquemática el

proceso de contracción - dilatancia de un material compuesto por esferas cuando se

somete a esfuerzo cortante. La contracción es una densificación del material en carga

drenada y un aumento de la presión intersticial en carga no drenada. La dilatancia es

el efecto inverso.

F igura 2.19 Esquema del compor tamiento d i latante y cont ract ivo

El concepto de dilatancia es generalmente tratado en el marco de las arenas densas,

que dilatan (aumentan de volumen) a medida que el esfuerzo cortante aumenta hasta

la rotura. La definición analítica de la dilatancia en el plano triaxial está dada por:

v

s

ddd

εε

= (2.2)

donde

( )1 3 1 3223v sd d d d d dε ε ε ε ε ε= + ⋅ = − (2.3)

Esta definición no se limita a las arenas densas.

El primero en documentar el concepto de dilatancia fue Reynolds (1885),

posteriormente Taylor (1948) presenta sus trabajos analizando la fricción en las

arenas, pero es Rowe (1962) quien marca el inicio de la “Teoría de la Dilatancia”, que

después muchos modelos adoptan, modifican o amplían para simular el cambio de

volumen de una arena sometida a esfuerzo cortante.

La expresión propuesta por Rowe (1962) relaciona la velocidad de deformación

plástica volumétrica 1v

d dε ε con el cociente de tensiones principales mayores y

menores 1 3R σ σ′ ′= para un ensayo triaxial de compresión, según:


22

1

1 vdR Kd

εε

⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.4)

Rowe expresó que para una muestra de suelo que está siendo sometida a esfuerzo

cortante, la relación entre el trabajo realizado por las tensiones aplicadas y el trabajo

realizado por las tensiones disipadas para cualquier incremento de deformación debe

ser igual a una constante K. La hipótesis realizada para desarrollar esta expresión se

basa en que la relación entre la energía aplicada y disipada en el suelo es mínima.

Si consideramos una muestra sometida a un ensayo triaxial de compresión (Figura

2.20), donde aσ es la tensión axial asociada a la energía aplicada, y rσ es la tensión

radial asociada a la energía disipada; y ambas están relacionadas coaxialmente con

los incrementos de deformación axial adε y deformación radial rdε respectivamente,

la relación tensión – dilatancia de Rowe es:

2

i a a

f r r

E dKE d

σ εσ ε

= =−

(2.5)

Donde K está relacionada con el ángulo de fricción fφ por la expresión:

´ ´

2´

1 sintan

4 2 1 sinf f

f

Kφ φπ

φ

⎛ ⎞ +⎜ ⎟= + =⎜ ⎟ −⎝ ⎠

(2.6)

donde el ángulo de fricción fφ se encuentra entre el ángulo de fricción intrínseco entre

partículas μφ (Figura 2.20) y el ángulo de fricción crítico o residual; f CSμφ φ φ≤ ≤ .

F igura 2.20 Esquema de la d i latanc ia de Rowe (Yang & L i , 2002)


23

Los incrementos de deformación y de tensión en el plano triaxial:

( )1 3

21 33

2v

s

d d dd d d

ε ε εε ε ε

= + ⋅

= ⋅ − (2.7)

1 3

1 3

´ ´

´ ´

23

d ddp

dq d d

σ σ

σ σ

+ ⋅=

= − (2.8)

La ecuación (2.2) puede escribirse en función de relación de tensiones de los

invariantes ´p qη = y de los incrementos de deformación volumétrica vdε y de

deformación de corte sdε de acuerdo a lo expresado en las ecuaciones (2.7) y (2.8):

( ) ( )( ) ( )

3 2 9 12 1 3 2 1

v

s

K Kdd K K

ηεε η

+ − −=

− − + (2.9)

En el Estado Crítico en compresión triaxial donde 2 3σ σ= , se obtiene:

( ) ( )1 3 1 32

cs cs

cs cs

q M pMσ σ σ σ

= ⋅

− = ⋅ + (2.10)

y teniendo en cuenta la relación entre las tensiones principales efectivas 1σ ′ y 3σ ′ en el

estado crítico último, donde el ángulo de fricción fφ toma el valor de CSφ , se obtiene:

1

3

1 sin1 sin

CS

CSCS

φσσ φ

⎛ ⎞ +=⎜ ⎟ −⎝ ⎠

(2.11)

Relacionando las ecuaciones (2.10) y (2.11), se puede expresar la relación de

tensiones en estado crítico M en función del ángulo de fricción CSφ como:

6sin

3 sinCS

CS

M φφ

=−

(2.12)

o como:

3sin

6CSMM

φ =+

(2.13)


24

Reemplazando la ecuación (2.13) en (2.6) y luego reemplazando en (2.9), se obtiene:

( )9

9 3 2v

s

Mdd M M

ηεε η

−=

+ − (2.14)

Dado que las deformaciones plásticas son mayores que las deformaciones elásticas,

la expresión anterior puede ser modificada según:

( )9

9 3 2

pvps

Mddd M M

ηεε η

−= =

+ − (2.15)

Basándose en esta última definición de la dilatancia, varios autores expresaron

diferentes expresiones para representar la respuesta volumétrica de sus modelos

como muestra la Tabla 2.1.

Tabla 2.1 Relac iones de la d i latanc ia por d i ferentes autores.

Autores Expresión propuesta

Rowe (1962) ( )9

9 3 2M

dM M

ηη

−=

+ −

Schofield & Wroth (1968) d M η= −

Roscoe & Burland (1968) ( )2 2

2M

dη

η

−=

Nova & Wood (1979) ( )1d Mημ

= −

Pastor et al. (1985) ( ) ( )1 g gd Mα η= + ⋅ −

Gajo & Wood (1999) ( )1 dd A Mcv k ψ η= ⋅ ⋅ + ⋅ −⎡ ⎤⎣ ⎦

Li & Dafalias (2000) ( )0 mdd MeM

ψ η= −

Estas expresiones serán analizadas de forma detallada cuando se analicen los

modelos constitutivos de diferentes autores(Sección 2.5.5).


25

2.3.3 Estado de transformación de fase/ Estado característico

El estado de transformación de fase fue definido por Ishihara et al. (1975) como el

lugar donde la trayectoria de tensiones de un ensayo no drenado cambia su dirección

en el espacio p q′ − . Esto sería equivalente al valor mínimo que p′ puede alcanzar en

el caso 1 y 2 de la Figura 2.7. Asimismo definió la Línea de Transformación de Fase

que divide el espacio de tensiones en dos subespacios:

• debajo de la Línea de Transformación de Fase se producen incrementos

positivos de la presión intersticial, 0u∂ > (Comportamiento contractivo),

• sobre la Línea de Transformación de Fase se producen incrementos

negativos de la presión intersticial, 0u∂ < (Comportamiento dilatante).

En ensayos triaxiales drenados, Luong (1978, 1980, 1982) define el Estado

Característico como el estado de tensiones donde el volumen cambia de contractivo a

dilatante. Todos estos puntos se encuentran sobre una línea denominada Línea

Característica que divide el espacio de tensiones en:

• debajo de la Línea Característica, se producen comportamientos

contractivos, 0vdε > ,

• Sobre la Línea Característica, se producen comportamientos dilatantes,

0vdε < .

Conceptualmente la Línea de Transformación de Fase y la Línea Característica

representan lo mismo.

2.3.4 Parámetros de estado

El comportamiento de los suelos granulares para un rango importante de

deformaciones debe ser especificado en función de dos aspectos importantes: la

densidad y la presión de confinamiento inicial. Por ello, varios autores expresaron

diferentes parámetros o índices que relacionan estas dos características con la Línea

de Estado Crítico (LEC). Uno de los primeros trabajos que relaciona las condiciones

iniciales del suelo con una línea de referencia se debe a Wroth & Bassett (1965),

posteriormente Uriel (1975) realiza una analogía entre las vibraciones armónicas y la

respuesta triaxial de los suelos granulares deduciendo un parámetro de estado en

función de la porosidad.


26

Basado en el trabajo de Wroth & Bassett (1965), Been & Jefferies (1985) definieron un

parámetro de estado de la siguiente forma:

ce eψ = − (2.16)

donde e es el índice de poros en condiciones iniciales y ec es el índice de poros en

Estado Crítico, que se determina en el plano e - p´ sobre la Línea de Estado Crítico

(LEC o CSL) para la presión inicial ´p según muestra la Figura 2.21

rela

ción

de

vaci

os, e

log p

CSLEstado 1

Estado 2

(Contractante)

(Dilatante)ψ < 0

ψ > 0

ψ = ec - e

F igura 2.21 Def in ic ión de l parámetro de estado. (Been & Jef fer ies, 1985)

Este parámetro mide la distancia entre su estado actual y su estado crítico,

combinando la influencia del índice de poros y la presión de confinamiento. Arenas

limpias con igual valor del parámetro de estado muestran un comportamiento

relativamente similar.

Valores positivos de ψ están asociados a los comportamientos contractivos, mientras

que valores negativos de ψ representan a los comportamientos dilatantes. Ishihara

(1993) considera que ψ es muy sensible a pequeños cambios del índice de poros a

medida que el mismo aumenta (arenas sueltas), por lo que destaca la ventaja de su

utilización en arenas de densidad media a densa bajo presiones de confinamiento

relativamente altas; pero su uso es menos conveniente a medida que la tensión de

confinamiento es mayor o el índice de poros es mayor.

Ishihara (1993) estudió un índice de estado alternativo para la arena Toyoura basado

en dos líneas de referencia: la Línea de Consolidación Normal y la Línea de Estado

Cuasi Estable (Alarcón-Guzmán & Leonards, 1988; Ishihara, 1993), definido de la

siguiente manera:

0

0s

c

e eIe e

−=

− (2.17)


27

donde e0 es el índice de poros para el cual la resistencia residual es igual a cero en un

ensayo a compresión triaxial no drenado. En el caso de la arena Toyoura este valor es

0,93. Se considera factible la determinación de e0 a través de la extrapolación de Línea

de Estado Estable (SSL) o de la Línea de Estado Cuasi Estable (QSSL) hasta el valor

nulo de la presión de confinamiento (Figura 2.22). es es el índice de poros en el Estado

Cuasi Estable para una presión de confinamiento dada. Este índice incluye

características como la influencia de la preparación de las muestras.

F igura 2.22 Def in ic ión de l Índ ice de Estado sI . ( Ish ihara, 1993)

Bahda (1997) y Bahda, Pastor & Saitta (1997) presentan dos parámetros de estado

denominados, parámetro de estado volumétrico vI definido en el plano e - p´ y

parámetro de estado desviador dI definido en el plano q - p´; los cuales no solo están

relacionados con el estado inicial del material, sino que varían durante el ensayo. Los

mismos tienen la siguiente expresión:

´´

ssv

df

pIp

I ηη

=

= (2.18)

donde pss´ es tensión efectiva principal en el Estado Estable correspondiente al índice

de poros actual y p´ es la tensión efectiva principal. fη es la pendiente del Estado

Estable en el plano q - p´ y η es la relación de tensiones q/p´. Estos parámetros están

en el marco de un modelo de plasticidad generalizada.


28

Wan & Guo (1998) adoptaron la Línea de Estado Crítico presentada por Ishihara

(1993) para la arena Toyoura y expresaron un parámetro de estado que mide la

desviación del Estado Crítico como el cociente entre el índice de poros en el

transcurso del ensayo y el índice de poros crítico para una determinada densidad,

según se expresa en la siguiente ecuación:

( )dcs

ef ee

α⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.19)

donde α es introducido para tener en cuenta factores como la fábrica inicial, la

anisotropía inducida y la geometría de las muestras según se expresa en Wan & Guo

(1999).

Wang et al. (2002) introducen el concepto de “Índice de Presión de Estado” que

relaciona la presión en Estado Crítico pc´ con la presión efectiva principal actual p´ de

la siguiente manera:

pc

pIp

′= (2.20)

donde cp se determina a partir del índice de poros actual hasta cruzar la Línea de

Estado Crítico. Esta definición es válida para condiciones drenadas y no drenadas. En

el caso de las condiciones no drenadas el índice de poros no varía, y por lo tanto cp es

constante.

Si se considera que la Línea de Estado Crítico está dada por la siguiente expresión:

( )logc ce pλ= Γ − ⋅ (2.21)

El parámetro de Been & Jefferies (1985) se puede relacionar con el parámetro de

Wang et al. (2002) de la siguiente manera:

( ) ( ) ( )log log logc c pe e p p Iψ λ λ ψ λ= − = Γ − ⋅ − Γ − ⋅ = ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (2.22)

Y si se considera que la Línea de Estado Crítico viene dada por la expresión que

propusieron Li & Wang (1998) :


29

0c

c sa

pe ep

ξ

λ⎛ ⎞

= − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.23)

donde 0e es el índice de poros para p´=0; pa es la presión atmosférica , sλ y ξ son

constantes; se puede relacionar el índice de estado de Ishihara (1993) con Ip a través

de la expresión:

( )( )

( )

1

0 110

10

0

as

p p sc cc c c

as

e e pp f e e epI I Ip e ep f e e e p

ξ

ξξ

ξ

λ

λ

−

⎡ ⎤−⋅⎢ ⎥= ⎫ ⎡ ⎤−⎪ ⎣ ⎦= = = =⎬ ⎢ ⎥−= ⎪ ⎣ ⎦⎡ ⎤⎭ −⋅⎢ ⎥

⎣ ⎦

(2.24)

Estas expresiones que relacionan los parámetros de estado serán de gran utilidad en

la formulación unificada del modelo constitutivo propuesto.

2.4 Fundamentos de los modelos constitutivos

2.4.1 Introducción

La mayoría de los modelos constitutivos en geotecnia están formulados desde la

hipótesis de que el suelo es un medio continuo. Por lo tanto, se deben cumplir las tres

ecuaciones básicas de la Mecánica de Medios Continuos (Malvern, 1969; Spencer

1980):

• Ecuación de equilibrio de tensiones.

• Ecuación de compatibilidad de deformaciones.

• Ecuación constitutiva que relaciona tensiones y deformaciones.

Las tensiones en los suelos están representadas por un tensor de tensiones efectivas

de segundo orden según:

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

σ τ ττ σ ττ τ σ

⎡ ⎤⎢ ⎥′ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

σ (2.25)

El tensor de tensiones (ec. (2.25)) es simétrico ( xy xyτ τ= ; xz zxτ τ= y zy yzτ τ= ) y puede

ser expresado por una componente volumétrica y una componente desviadora según:


30

0 00 00 0

xx xy xz xx xy xz

yx yy yz yx yy yz

zx zy zz zx zy yy

p pp p

p p

σ τ τ σ τ ττ σ τ τ σ ττ τ σ τ τ σ

′ ′ ′ ′⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥′ ′ ′ ′ ′= = + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥′ ′ ′ ′⎢ ⎥ −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

σ (2.26)

o también

p′ ′= +σ I s (2.27)

donde ′σ es el tensor de tensiones efectivas, I es el tensor identidad, s es el tensor

de tensiones desviadoras y p′ es la tensión efectiva principal dada por:

( )13 xx yy zzp σ σ σ′ ′ ′ ′= + + (2.28)

Las defroamciones pueden expresarse en notación matricial utilizando un tensor de

segundo orden según:

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

ε ε εε ε εε ε ε

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ε (2.29)

donde xy yxε ε= ; xz zxε ε= y zy yzε ε= . También se puede dividir en dos componentes,

una volumétrica y otra desviadora:

0 03 3

0 03 3

0 03 3

v vxx xy xz

xx xy xzv v

yx yy yz xz yy yz

zx zy zzv v

zx zy zz

ε εε ε εε ε ε

ε εε ε ε ε ε εε ε ε ε εε ε ε

⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ε (2.30)

o también

13 vε= +ε I e (2.31)

donde ε es el tensor de segundo orden de deformación, I es el tensor identidad, e

es el tensor de deformación desviadora y vε es la deformación volumétrica dada por:

( )v xx yy zzε ε ε ε= + + (2.32)

Una de las hipótesis básicas de muchos modelos constitutivos es la isotropía, que

significa que las propiedades del material no varían con la dirección. Por ello, la

formulación se realiza en función de los invariantes de tensión y deformación

conjugados.


31

Los invariantes de tensión más comunes son la tensión efectiva principal p´, la tensión

desviadora J o q, y el tercer invariante J3´ o el ángulo de Lode θ . Las expresiones de

los mismos en función de las tensiones principales son:

1º invariante de tensiones:

( )1 2 31 1tr( )3 3

p σ σ σ′ = = + +σ (2.33)


( ) ( ) ( ) ( )1

2 122 2 2

1 3 2 3 1 21 1:2 6

J σ σ σ σ σ σ⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′ ′ ′ ′ ′= = − + − + −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦s s (2.34)

o

( ) ( ) ( )1

22 2 21 3 2 3 1 2

12

q σ σ σ σ σ σ⎡ ⎤′ ′ ′ ′ ′ ′= − + − + −⎣ ⎦ (2.35)


3

3 1 2 31 tr( )3

J s s s′ = =s (2.36)

o

1 2 3

1 3

1 1tan 2 13 3

σ σθσ σ

− ⎡ ⎤⎛ ⎞′ ′−= −⎢ ⎥⎜ ⎟′ ′−⎝ ⎠⎣ ⎦

(2.37)

Los invariantes de deformación asociados a los invariantes de tensión son la

deformación volumétrica vε , la deformación desviadora sJ o sε , y el tercer invariante

de deformación 3J y están expresados según:

1º invariante de deformación:

1 2 3vε ε ε ε= + + (2.38)


( ) ( ) ( )1

22 2 21 3 2 3 1 2

26sJ ε ε ε ε ε ε⎡ ⎤= − + − + −⎣ ⎦ (2.39)

o

( ) ( ) ( )1

22 2 2

1 3 2 3 1 22 1 2:3 2 3sε ε ε ε ε ε ε⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − + − + −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

e e (2.40)


( )3 1 2 3detJ e e e= =e (2.41)


32

Plano Triaxial

Para reproducir los datos experimentales de ensayos triaxiales de un suelo, conviene

expresar los incrementos de deformación y de tensión en función de los invariantes de

tensión q - p´ y los invariantes de deformación s vd dε ε− respectivamente.

Espacio de Tensiones:

( )1

1 1 3

12 2 2

´ ´

3 : ´

p I I tr

q J J

′ ′= =

′ ′= =

σ

s s (2.42)

donde

( )13´= ´ ´tr−s σ σ (2.43)

s representa el tensor de tensiones desviadoras, ´σ representa el tensor de tensiones

efectivas y ( )13 ´tr σ representa la traza de tensor de tensiones efectivas

Espacio de Deformaciones:

( )( )2 1

3 2 :v

s

d tr d

d d d

ε

ε

=

=

ε

e e (2.44)

donde

( )13d d tr d= −e ε ε (2.45)

e representa el tensor de deformaciones desviadoras, ε representa el tensor de

deformaciones totales y ( )tr dε representa la traza del tensor de deformaciones

totales.

En el caso particular de compresión triaxial, los espacios de tensiones y

deformaciones están expresados de forma incremental según:

( ) ( )1 3 1 31´ ´ 2 ´ ´ ´3

dp d d dq d dσ σ σ σ= + = − (2.46)

( )1 3 1 3223v sd d d d d dε ε ε ε ε ε= + = − (2.47)

Queda ahora relacionar las tensiones y deformaciones a través de la ecuación

constitutiva para obtener una formulación general del comportamiento del suelo. Es

aquí donde toman importancia las consideraciones de elasticidad y plasticidad,

comportamiento lineal y no lineal. A continuación se describirán brevemente las

hipótesis básicas de las teorías de la elasticidad y la plasticidad.


33

2.4.2 Teoría de elasticidad

Cuando la deformación del material se recupera totalmente tras eliminar la carga

aplicada, se dice que el material tiene un comportamiento elástico. La expresión que

relaciona las deformaciones y las tensiones en la elasticidad lineal es la denominada

Ley de Hooke. Para predecir el comportamiento elástico de un material isótropo basta

definir dos constantes, E y μ , que son: el módulo de Young y el coeficiente de Poisson

respectivamente.

Para caracterizar el comportamiento elástico en los suelos, es más conveniente utilizar

dos constantes alternativas a las anteriores como son el módulo volumétrico K y el

módulo tangencial G que se relacionan con E y μ por la siguiente expresión:

( ) ( )3 1 2 2 1E EK G

μ μ= =

− + (2.48)

A través de K y G el comportamiento elástico es dividido en un cambio de tamaño

sin cambio de forma (comportamiento volumétrico) y en un cambio de forma a

volumen constante (comportamiento desviador). Las deformaciones elásticas en el

plano triaxial están expresadas por:

1 1

3e ev sd dp d dq

K Gε ε′= = (2.49)

donde evdε es el incremento de deformación elástica volumétrica; e

sdε es el incremento

de deformación elástica desviadora; dp´ es el incremento de tensión principal o

presión de confinamiento; dq es el incremento de tensión desviadora. La ventaja de la

ecuación (2.49) radica en que las deformaciones están desacopladas, o sea que

incrementos de la tensión principal no generan deformaciones desviadoras e

incrementos en la tensión desviadora no produce deformaciones volumétricas. Aunque

el suelo no se comporta de esta forma desacoplada, esta división es muy ventajosa

para definir un modelo constitutivo.

La elasticidad lineal isótropa ( G cte= y K cte= ) es la forma más simple para simular el

comportamiento tenso-deformacional de los suelos sometidos pequeñas cargas. Sin

embargo, no es la más adecuada dado que el comportamiento es claramente no lineal.

Hay varios autores que expresaron modelos elásticos no lineales, entre los cuales se

puede mencionar el Modelo Hiperbólico ( Duncan & Chan, 1970).


34

Hardin & Richart, 1963; Hardin & Black, 1966, 1968 y Richart et al., 1970 estudiaron la

no linealidad a través de la dependencia de G y K con el nivel de tensión y

deformación del suelo. Los mismos proponen distintas expresiones para los módulos

elásticos en función del índice de poros y de la presión de confinamiento. El principio

básico es que el suelo se comporta de forma diferente ante cambios en la tensión

principal y cambios en la tensión desviadora, por ejemplo ante incremento en la

tensión efectiva principal, la resistencia volumétrica usualmente aumenta y bajo

incrementos de la tensión desviadora la resistencia tangencial disminuye. Este

enfoque es conocido como modelo hipoelástico y en un ciclo de tensiones cerrado la

respuesta elástica no es conservativa. Otro enfoque son los modelos hiperelásticos

que cuentan con una formulación termodinámicamente consistente. Mira et al. (2008)

presentan una aplicación de los modelos hiperelásticos al modelo constitutivo de

Pastor et al. (1990).

En la mecánica de suelos, la elasticidad fue utilizada principalmente para el análisis de

tensiones y deformaciones de una masa de suelo bajo zapatas o estructura de

fundación. Igualmente, cuando se trataba de problemas de capacidad portante de

fundaciones, o de problemas de contención de suelos o estabilidad de taludes, se

recurrió a la plasticidad perfecta. Hoy en día, la unión de estos problemas fue realizada

por la gran variedad de modelos constitutivos que integran las deformaciones elásticas

para pequeñas cargas, deformaciones plásticas en descarga, ciclos de histéresis y

grandes deformaciones en la rotura. A continuación repasaremos los conceptos de la

teoría de la plasticidad clásica y los avances más significativos de las distintas teorías

para estudiar el comportamiento de los suelos en general. Posteriormente se

desarrollarán los principales modelos constitutivos para suelos granulares basados en

los conceptos de las teorías anteriores. La Teoría de Plasticidad Generalizada será

presentada en el Capítulo 3.

2.4.3 Teoría clásica de plasticidad

La teoría de la plasticidad nace orientada a metales (Tresca 1864) y su estructura

matemática, tal como se la conoce hoy en día, se debe a Hill (1950). Las primeras

aplicaciones de la teoría de la plasticidad a los suelos llegan con los trabajos de

Drucker et al. (1957) y Roscoe & Burland (1968). Igualmente los trabajos de Coulomb

(1773) introduce el concepto del comportamiento a rotura de los suelos, que luego se

utilizan en la teoría de plasticidad perfecta y los métodos de equilibrio límite.


35

Con el objeto de repasar los conceptos fundamentales, partimos del análisis de la

respuesta típica en tensión – deformación de un material sometido a carga uniaxial

como se muestra en la Figura 2.23, donde observamos:

• comportamiento lineal y reversible para tensiones – deformaciones cercanas al

origen el cual puede ser representada por la teoría elasticidad lineal,

• el punto A representa el punto de fluencia o límite elástico del material a partir

del cual las deformaciones contienen una componente irreversible,

• la respuesta con incrementos de tensiones a partir del punto A tiene una forma

no lineal,

• en descarga y recarga se observa respuestas paralelas a las cercanas al

origen,

• las deformaciones al final del proceso de carga y descarga están compuestas

por una componente reversible y una componente irreversible,

• en recarga la respuesta es reversible hasta alcanzar el nuevo punto de fluencia

(Pto B),

• en el caso de la figura el material, una vez alcanzado el punto de fluencia A,

continúa tomando carga hasta el punto de fluencia B. Para estos materiales se

dice que tienen endurecimiento plástico,

• el material llega a rotura cuando se trata de incrementar la tensión y el material

fluye indefinidamente,

• hay materiales como los metales que, una vez alcanzado el punto de fluencia

A, no toman más carga y continúan deformándose, se les llama materiales

perfectamente plásticos (Figura 2.24),

• también hay materiales como los suelos, que en ciertas circunstancias puede

producirse una disminución de la resistencia a medida que la deformación

aumenta. Este comportamiento se conoce con el nombre de reblandecimiento

plástico (Figura 2.24).

Basado en estos conceptos y extendiendo los mismos a un espacio multiaxial, la

Teoría Clásica de Plasticidad para un material isótropo está definida por los siguientes

conceptos:

• coaxialidad en tensiones y deformaciones,

• superficie de rotura,

• superficie de fluencia,

• superficie de potencial plástico y regla de flujo,

• ley de endurecimiento y reblandecimiento.


36

Se les denomina coaxiales a aquellos materiales donde los ejes principales de los

incrementos de tensiones coinciden con los ejes principales de deformaciones.

tens

ión

deformación

def. elástica def. plástica

dσ

dεdεpdεe

A

B

F igura 2.23 Esquema de ensayo un iax ia l .

BA

deformación

tens

ión

tens

ión

deformación

A B

reblandecimiento

F igura 2.24 Esquema de compor tamiento per fectamente p lást ico y con

reb landecimiento.

2.4.3.1 Superf ic ie de Rotura

Es la función que determina el límite de los estados tensionales posibles de un medio.

Si el medio es isótropo, la rotura no se ve afectada por una rotación de ejes. Por lo

tanto, la función que define la superficie de rotura puede escribirse en función de los

invariantes de tensiones. En suelos, la superficie de rotura más conocida y más

antigua (1773) es la propuesta por Coulomb, en función de dos parámetros: la

cohesión c′ y el ángulo de resistencia al corte φ′ . Al igual que el Criterio de Rotura de

Drucker – Prager las superficies dependen de la tensión principal. La diferencia

principal entre ambas es la forma que toman en el plano octaédrico en un espacio de

tensiones de tres dimensiones (Figura 2.25).

Hay algunas superficies basadas en datos experimentales en suelos, como la

presentada por Lade (1977), o la propuesta Matsuoka & Nakai (1974), que son

versiones sin vértices del criterio de Mohr – Coulomb (Figura 2.26 y Figura 2.27).


37

Mohr - Coulomb

Drucker - Prager

θ = +30º

θ = -30º

σ1

σ3 σ2

F igura 2.25 Super f ic ies de ro tura de Mohr-Coulomb y Drucker-Prager .

F igura 2.26 Super f ic ie de rotura propuesta por Lade et a l . (1975) .

F igura 2.27 Comparac ión ent re las super f ic ies de ro tura de Mohr Coulomb, Lade y

Matsuoka- Nakai .

Se desarrollaron otras superficies de rotura como la superficie propuesta por Tresca

(1864) que depende únicamente de la tensión de corte máxima, o la propuesta por von

Mises dependiente del segundo invariante de tensión. La formulación de las mismas

puede encontrase en varios textos (Zienkiewicz et al. ,1999; Pott & Zdravković, 1999;

Di Prisco & Pastor, 2000).

Lade

Mohr Cou lombMatsuoka - Naka i

1σ

2σ3σ


38

2.4.3.2 Superf ic ie de Fluencia

Considerando la existencia de una Superficie de Fluencia que encierra los estados de

deformación recuperables ante cambios en el estado de tensiones, la misma se define

como:

( , ) 0f =σ k (2.50)

donde el criterio de fluencia está dado por:

( , ) 0f <σ k : el estado de tensiones se encuentra dentro de la superficie de fluencia;

los incrementos de tensiones sólo generan incrementos elásticos del tensor

deformación.

( , ) 0f =σ k : el estado de tensiones alcanzó a la superficie de fluencia; cualquier

incremento de tensiones positivo (carga) producirá deformaciones irreversibles;

incrementos de tensiones negativos (descarga) o tangentes a la superficie de fluencia,

desarrollarán deformaciones elásticas.

( , ) 0f >σ k : son estados de tensiones imposibles.

Si analizamos la carga y descarga como producto escalar del vector normal a la

superficie de fluencia n y el tensor de tensiones, se obtiene:

f

f

∂∂=∂∂

σn

σ

(2.51)

donde:

12f f f∂ ∂ ∂⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠σ σ σ (2.52)

: 0>n σ Carga (2.53) : 0=n σ (2.54) : 0<n σ Descarga (2.55)


39

2.4.3.3 Superf ic ie de Potencial Plást ico y Regla de Flujo

Considerando la existencia de una superficie de potencial plástico que va cambiando

según la regla de flujo plástico, la misma se define como:

( , ) 0g =σ m (2.56)

donde 11 22 33 12 13 23( , , , , , ,...)σ σ σ σ σ σσ es el tensor de tensiones y 1( ,..., )nm mm son las

variables que describen el cambio de la función potencial plástico.

La dirección del flujo plástico es colinear con el gradiente de la función g y está

caracterizada por un vector normal que se define:

g

g

g

∂∂=∂∂

σn

σ

(2.57)

La dirección de flujo plástico es función del estado tensional total y es independiente

de los incrementos de tensiones.

La regla de flujo fija la dirección del vector incremento de deformación plástica en el

espacio de direcciones principales, mediante una función que liga sus componentes

con las tensiones. En sólidos con potencial plástico, la regla de flujo se deriva de la

condición matemática de gradiente del campo potencial. Entonces la regla de flujo está

definida por:

p

( , )ggd dλ

∂=

∂

σ nε

σ (2.58)

donde:

0 carga0 descarga 0p

dd d

λ

λ

> →

< → → =ε

Si se supone que la superficie de fluencia coincide con la superficie de potencial

plástico, entonces la ley de flujo plástico es asociada ( f g= ) y en el caso que no

coincidan es no asociada ( f g≠ ).


40

F igura 2.28 Super f ic ies de f luenc ia y potenc ia l p lást ico en e l espac io de tens iones.

Los incrementos de deformación total se descomponen, una vez alcanzada la

superficie de fluencia, como la suma de una deformación irrecuperable o plástica, pdε

y una deformación recuperable o elástica edε :

e pd d d= +ε ε ε (2.59)

donde

: ed d=σ D ε (2.60) reemplazando, se obtiene:

: ( )pd d d= −σ D ε ε (2.61)

donde D es el tensor constitutivo.

La superficie de fluencia inicial y los estados tensionales siguientes debidos a la carga

plástica deben satisfacer la ecuación (2.50), entonces la condición de consistencia

está definida por:

0

: : 0

ff fd d

∂ =∂ ∂

+ =∂ ∂

σ kσ k

(2.62)

Despejando dσ de la ecuación (2.62) se obtiene:

f dd f

∂∂=

∂∂

kkσ

σ

(2.63)

Combinando la ecuación (2.63) y la ecuación (2.58) en la ecuación (2.61) y

despejando dλ , se obtiene:

superficie de fluencia

superficie de potencial plásticopdε

ngn

dσ


41

( ): :

1: : :

f dd

f g f dλ

χ

∂∂=

∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

D εσ

D kσ σ k

(2.64)

donde se define la amplitud del flujo plástico por el módulo plástico como:

1 :fH d

dλ∂⎛ ⎞= − ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

kk (2.65)

Ahora reemplazando en la ecuación (2.58) y posteriormente en la ecuación (2.61) se

obtiene el módulo de deformación elastoplástico, según:

: :

: :

e e

ep e

e

g f

f g H

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⊗⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠= −∂ ∂

+∂ ∂

D Dσ σD DD

σ σ

(2.66)

Otra forma de presentar el módulo plástico y las deformaciones plásticas es a través

de vectores normales. De las ecuaciones (2.58) y (2.62) se obtienen las siguientes

relaciones:

1 Tfd dH

λ ∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠σ

σ (2.67)

p 1 Tg fd d

H∂ ∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

ε σσ σ (2.68)

Y si se reemplaza la superficie de fluencia y de potencial plástico por sus respectivos

vectores normales expresados por las ecuaciones (2.51) y (2.57), se obtiene:

( )p 1 Tgd d

h=ε n n σ (2.69)

donde h es módulo plástico normalizado y está expresado por:

f gh H ∂ ∂

=∂ ∂σ σ (2.70)

La Teoría de Plasticidad Clásica no admite la existencia de deformaciones plásticas

dentro de la superficie de fluencia, lo que conlleva a la no existencia del módulo

plástico en descarga ni el vector de flujo plástico en descarga.


42

Esto supone una limitación importante cuando se quieren reproducir ensayos cíclicos

tras la primera carga, tanto en la descarga como en los sucesivos ciclos donde se

producen deformaciones plásticas o en trayectorias de tensiones a η = cte donde se

producen deformaciones plásticas volumétricas.

2.4.3.4 Ley de Endurecimiento

La ley de endurecimiento es una relación empírica, independiente de la trayectoria de

tensiones, que indica la dependencia de la expansión de la superficie de fluencia, o del

nivel energético, con el trabajo plástico desarrollado. Esta ley de endurecimiento

permite calcular, a partir del incremento de tensiones, la magnitud del vector

incremento de deformación plástica.

La ecuación (2.65) del Módulo Plástico define el tipo de plasticidad que puede

desarrollarse:

• 0H = Plasticidad perfecta,

• 0H > Plasticidad con endurecimiento,

• 0H < Plasticidad con reblandecimiento.

Igualmente la variación del parámetro k y su dependencia indica como varía la

superficie de fluencia:

• si ( )pf d=k ε Plasticidad con endurecimiento- reblandecimiento en

función de la deformación plástica acumulada,

• si ( )pf W=k Plasticidad con endurecimiento-reblandecimiento en

función del trabajo plástico acumulado.

Un problema de la Teoría Clásica de Plasticidad es determinar cómo va variando la

superficie de carga, una vez alcanzada la superficie de fluencia inicial. Este

inconveniente está resuelto por las leyes de endurecimiento o reblandecimiento que

definen la forma de las superficies post fluencia. Se han definido varias leyes de

endurecimiento para el comportamiento de la superficie de fluencia, entre las cuales

están:

• endurecimiento isótropo,

• endurecimiento cinemático,

• endurecimiento mixto.


43

2.4.4 Avances sobre la teoría clásica

2.4.4.1 Modelos con múlt iples superf ic ies de carga

Endurecimiento Isótropo

La ley de endurecimiento supone que la superficie de fluencia se expande

uniformemente a medida que se desarrollan deformaciones plásticas. La expresión

analítica está dada por:

( ) ( ) 2, 0f F k= − =σ k σ (2.71)

donde 2 0k > es un escalar que rige el tamaño de la superficie y depende de la

historia de deformaciones plásticas.

Drucker el al. (1957) presentaron uno de los primeros modelos de superficie de

fluencia con endurecimiento isótropo (Figura 2.29 a). Las superficies están

representadas por conos del tipo von Mises que evolucionan hasta llegar a la

superficie de rotura.

Otro modelo con endurecimiento isótropo fue presentado por Lade & Duncan (1975),

en el cual las formas de las superficies de fluencia y rotura se basan en datos de

ensayos en un equipo triaxial con probeta cúbica; donde se tiene en cuenta la

influencia de la tensión principal intermedia (Figura 2.29 b).

F igura 2.29 Esquema de las super f ic ies con endurec imiento isót ropo a) Drucker et a l .

1975 b) Lade & Duncan, 1975.

Estos modelos generan un dominio elástico grande. Por ejemplo, para el primer ciclo

de cargas, no es posible predecir la deformación irreversible acumulada ni el aumento

de la presión de agua de poros en la licuefacción durante un ensayo no drenado. Por

ello los modelos elastoplásticos con endurecimiento isótropo se usan para representar

historias de cargas monótonas simples.

a) b)


44

Cuando la historia de cargas es más compleja, como por ejemplo cargas repetitivas,

se deben tener en cuenta otros aspectos como, la anisotropía o los efectos de

histéresis. Entonces es preciso aplicar formulaciones más avanzadas entre las cuales

se encuentran: los modelos con endurecimiento cinemático (Mróz et al., 1979), la

Teoría de Superficie Límite (Wang et al., 1990) o la Teoría Generalizada de la

Plasticidad (Pastor et al., 1990).

Endurecimiento Cinemático

Se supone que durante la deformación plástica la superficie de fluencia se traslada en

el espacio de tensiones sin variar su forma, tamaño y orientación. A medida que

aumenta el estado de tensiones al que se somete el material, las superficies

alcanzadas por las trayectorias de tensiones se trasladan hasta alcanzar una nueva

superficie de fluencia. La expresión analítica está dada por:

( ) 2, ( ) 0f F k= − − =σ k σ α (2.72)

donde k es una constante y α es el vector posición del centro de la superficie de

carga que cambia con la deformación plástica. Se supone por simplicidad que α varía

linealmente con los incrementos de deformación plástica pdε .

F igura 2.30 Modelo con endurec imiento c inemát ico de Mróz (Chen & Balad i , 1985)

Estos modelos son una alternativa a los modelos de endurecimiento isótropo para

realizar una representación más real del comportamiento de los suelos bajo cargas

cíclicas. Se deben principalmente a Mróz (1967) quien fue el primero en desarrollar

esta teoría para los metales. De manera independiente, Iwan (1967) introdujo un

modelo similar con varias superficies de fluencia.


45

Mróz (1967) introdujo varias superficies de fluencia con un módulo de endurecimiento

constante asociado a cada superficie, definiendo un “Campo de módulos de

endurecimiento”. Dentro de la primera superficie de fluencia el comportamiento es

elástico y una vez alcanzada debido al aumento del estado tensional el

comportamiento pasa a ser elastoplástico. El módulo plástico asociado a esta

superficie es aplicado y esta superficie se mueve dentro de la trayectoria de tensiones

hasta alcanzar la próxima superficie. Aquí se aplica el módulo plástico asociado con la

nueva superficie y ambas continúan a través de la trayectoria de tensiones hasta

alcanzar una nueva superficie.

En la Figura 2.30 se muestra el proceso de carga para un estado tensional P1. El punto

de tensión se ha trasladado desde el interior de la superficie de fluencia f0 hasta

alcanzar f1. En P1 el módulo plástico se obtiene por una regla de interpolación entre el

valor k0 correspondiente a la superficie interior, y el valor kr correspondiente a la

superficie exterior rf que actúa como una superficie límite.

F igura 2.31 Modelo de múl t ip les super f ic ies a) Múl t ip les super f ic ies de carga b)

Var iac ión de l módulo p lást ico. (Mróz & Norr is ,1982)

Endurecimiento Mixto

Prévost (1977) presentó un modelo que tiene un endurecimiento isótropo y cinemático,

siguiendo las mismas reglas de Mróz (1967) para analizar el comportamiento no

drenado de las arcillas. Mróz, Norris & Zienkiewicz (1978, 1979) presentaron una

aplicación a suelos bajo carga monótona y cíclica en condiciones drenadas y no

drenadas pero reduciendo las superficies a dos: una superficie límite y otra con

endurecimiento cinemático.


46

F igura 2.32 Modelo de endurec imiento mix to t ipo Prevost . (Chen & Balad i , 1985)

La ley de endurecimiento cinemático o mixto se utilizan para tomar en consideración la

anisotropía y los procesos de histéresis bajo ciclos de carga – descarga- recarga.

Durante varios años se desarrollaron modelos con endurecimiento cinemático con

variaciones, por ejemplo (Mróz & Norris, 1982) presentaron un modelo con infinitas

superficies de carga. Recientemente Gajo & Wood (1999) introdujeron un modelo

unificado para simular el comportamiento de las arenas con endurecimiento

cinemático. Manzari & Dalafias (1997) incluyen en su modelo el endurecimiento

cinemático y isótropo pero en el marco de la Teoría de Superficie Límite.

2.4.4.2 Modelos de Superf ic ie Límite (Bounding Surface)

Los modelos generalizados de superficie límite fueron introducidos por Dafalias &

Popov (1975) y Krieg (1975) de forma independiente para predecir el comportamiento

de los metales. Su característica principal se debe a que el número de superficies

consideradas se reduce a dos, lo que es una simplificación considerable a los modelos

de múltiples superficies. Estos modelos fueron ampliados a los suelos en Dafalias &

Herrmann (1982). Otro modelo con ideas similares fue propuesto por Hashiguichi &

Ueno (1977) y ampliado por Hashiguichi et al. (1988).

Revisando los conceptos de este modelo para un ensayo uniaxial de un material

sometido a un ciclo de carga y descarga en los ejes tensión – deformación plástica

como se representa en la Figura 2.33, se observa que al comienzo la respuesta es

elástica hasta alcanzar el punto de fluencia Fσ .


47

´

σ

dεp

A

B

BÁ´

σ

δ

σBS

σ+δσ

σBS+δσBS

BS

BS

σF

F igura 2.33 Esquema del modelo de super f ic ie l ími te en un ensayo un iax ia l .

A partir de Fσ la respuesta se hace asintótica a la línea BS y se mide a través de las

distancias AA´; BB´ denotadas como δ , que representa la distancia entre estado

tensional y la línea límite BS.

Analizando la carga plástica desde el punto A hasta el punto B en la línea límite BS, la

imagen del punto A está representada por el punto imagen A´, el cual se traslada al

punto imagen B´. Por lo tanto, δ tiene una función continua decreciente con el

aumento de la carga plástica. Dado un incremento en el estado tensional se obtiene

una relación con sus respectivos puntos imagen dada por:

BS

BS

d dS Sσ σ

= (2.73)

donde S es la pendiente de la línea tangente al punto de tensión. Durante el proceso

de descarga los puntos imagen están representados en la línea límite BS´.

Si se generalizan los conceptos de estado límite, con los conceptos de la teoría de

plasticidad clásica en un espacio de tensiones 3D, se puede representar el límite como

una hipersuperficie llamada “superficie límite”, como se indica en la Figura 2.34:

F igura 2.34 Super f ic ie de f luenc ia y super f ic ie l ími te en un espac io de tens iones.

(Dafa l ias & Popov, 1975)


48

La ecuación de la superficie límite se expresa según:

( ), 0pBSf =σ ε (2.74)

donde σBS representa el tensor de tensiones imágenes y εp el tensor de deformaciones

plásticas. Como se observa en la Figura 2.34, los vectores normales a la superficie de

fluencia y a la superficie límite son colineales:

BS=n n (2.75) y la distancia δ se puede expresar:

BSδ = σσ (2.76)

Los conceptos de criterio de fluencia de la Teoría Clásica de Plasticidad se mantienen

en este modelo, donde la dirección perpendicular a la superficie de fluencia y la

dirección del flujo plástico están definidas por:

BS

BS

f

f

∂∂

=∂

∂

σn

σ

(2.77)

BS

g

BS

g

g

δδδ

δ

=σn

σ

(2.78)

La regla de flujo plástico, que relaciona los incrementos de deformación plástica con

los incrementos de tensión está definida por la ecuación (2.63).

La amplitud del flujo plástico H en un modelo de superficie límite está dada para dos

casos posibles:

• Para 0δ =

• Para 0δ ≠

En el primer caso el estado tensional coincide con la superficie límite. Por lo tanto no

hay diferencia con la Teoría Clásica de Plasticidad y se obtiene el módulo plástico

aplicando la condición de consistencia expresada en la ecuación (2.62) de donde se

obtiene un módulo plástico límite BSH .


49

El segundo caso, es más general, el módulo plástico se obtiene de aplicar una regla

de interpolación que será función de BSH y la distancia δ . De esta forma se puede

obtener una transición continua del módulo plástico desde el comportamiento

puramente elástico (hasta alcanzar Fσ en uniaxial) donde 0δ ≠ y positivo; hasta el

comportamiento elastoplástico donde se alcanza el valor de BSH y 0δ = .

Varios modelos constitutivos han sido desarrollados basándose en la “Teoría de

Superficie Límite” (TSL) . Dafalias (1986); Dafalias & Herrmann (1986); y Anandarajah

& Dafalias (1986) presentaron la formulación general del modelo para suelos

cohesivos isótropos y anisótropos.

Pastor et al. (1985) presentaron una regla de interpolación usando el Estado Crítico

como superficie límite, una regla de flujo no asociada e incorporando la predicción de

deformaciones plásticas en descarga para arenas.

Bardet (1986) desarrolló otro modelo constitutivo para arenas bajo carga monótona

basado en la TSL. Wang et al. (1990) presentaron un modelo constitutivo de superficie

límite hipoplástico para predecir el comportamiento cíclico de las arenas. Whittle

(1993) incorpora los conceptos de superficie límite al modelo anisótropo MIT-E3 para

arcillas normalmente consolidadas y Pestana (1994) hace lo propio para el modelo de

arenas MIT-S1. Más recientemente Li et al. (1999) y Wang et al. (2002) presentaron un

modelo unificado para arenas con capacidad para predecir su comportamiento bajo

cargas monótonas y cíclicas.

2.4.4.3 Modelos sin superf ic ie de carga explíc i ta

Valanis (1971) presentó la teoría endocrónica para describir el comportamiento de los

metales. Esta teoría no requiere la especificación de superficie de fluencia ni ley de

endurecimiento. Los primeros trabajos de aplicación de la teoría endocrónica al

estudio del comportamiento cíclico de suelos se encuentran en Cuellar (1974), Cuellar

et al. (1977) y Bazant & Bhat (1976) donde el suelo se consideró como isótropo y

homogéneo.

La hipoplasticidad es otra teoría que no se basa en los principios de la

elastoplasticidad, y tiene como objetivo describir los fenómenos inelásticos sin utilizar

los conceptos de superficies de fluencia, superficies de potencial plástico, condiciones

de consistencia, etc. No distingue entre deformaciones elásticas y pláticas.


50

La ecuación constitutiva en hipoplasticidad está expresada a través de incremento de

tensión como función de los incrementos de deformación, de la tensión actual y del

índice de poros. (Kolymbas ,2000a,b). Desde los inicios de esta teoría (Kolymbas,

1977), se han presentado algunos modelos constitutivos entre los que se puede

nombrar a Bauer & Wu (1993), Bauer (1996), Gudehus (1996), Masin & Herle (2005).

Los modelos denominados incrementales no lineales (Darve et al., 1986, Darve &

Dendani, 1988, Darve & Roguéis, 2000) introducen un tensor constitutivo dependiente

de los incrementos de tensión y no distinguen entre deformaciones elásticas y

plásticas.

Los modelos basados en la Teoría de Plasticidad Generalizada en la que se basa esta

tesis no requieren la definición explícita de la superficie de fluencia y del potencial

plástico. Los fundamentos y su formulación son presentados junto con el modelo

modificado en el Capítulo 3.

Hasta aquí se han presentado algunas de las teorías más representativas, que fueron

base de modelos constitutivos subsiguientes. Más detalles se pueden encontrar en

Cambou & Di Prisco (2000). A continuación se analizan los principales modelos en

suelos granulares, para luego introducirnos en los modelos desarrollados en los

últimos 10 años.

2.4.5 Modelos constitutivos para suelos granulares

Uno de los primeros modelos constitutivos en suelos de carácter elastoplástico es sin

duda el modelo presentado por Drucker et al. (1957), que introduce una superficie de

fluencia del tipo cono (Tipo Drucker – Prager) y una superficie de fluencia esférica

centrada en el eje hidrostático (Figura 2.35). Esta última superficie salva el

inconveniente que tienen los modelos de tipo cono que no reproducen deformaciones

plásticas para trayectorias de tensiones a cteη = . Igualmente incorpora la deformación

volumétrica plástica como parámetro de endurecimiento para obtener la evolución de

las superficies de carga.

De este primer trabajo derivan los denominados modelos de superficie de carga

cerrada (tipo “cap”), que dieron origen a los modelos para arcillas normalmente

consolidadas y ligeramente sobreconsolidadas denominados “Cam Clay” (Schofield &

Wroth, 1968), y “Cam Clay modificado” (Roscoe & Burland, 1968).


51

F igura 2.35 Forma de las super f ic ies de f luenc ia propuesta por Drucker et a l . (1957) .

Para suelos granulares uno de los modelos basados en los conceptos vertidos por

Drucker et al. (1957) es el modelo introducido por DiMaggio & Sandler (1971), que

utiliza una superficie de rotura que se une a una superficie de fluencia de forma

elíptica que se expande o contrae en función de la disminución o del aumento de la

deformación volumétrica plástica (Figura 2.36). Estos modelos están basados en el

postulado de normalidad de Drucker y por lo tanto utilizan una regla de flujo asociada.

F igura 2.36 Esquema de las super f ic ies de f luenc ia propuestas por d iMaggio &

Sandler (1971) .

Si se utiliza una superficie de fluencia tipo Mohr Coulomb o de otro tipo y una regla de

flujo asociada en suelos granulares bajo corte drenado, la dilatancia es mucho mayor

que la obtenida en los ensayos experimentales (Lade & Duncan, 1975). Es por ello,

que varios autores (Lade 1977; Vermeer, 1978; Nova & Wood, 1979; Pastor et al.,

1985) adoptaron una regla de flujo no asociada basándose en los trabajos

experimentales de Poorooshasb et al. (1966, 1967) y Tatsuoka & Ishihara (1974).

Es así que a partir de la década de los setenta comienzan a incorporarse estos

conceptos a los modelos constitutivos para arenas. Lade & Duncan (1975) introducen

un modelo constitutivo elastoplástico con una regla de endurecimiento isótropa.


52

La superficie de fluencia toma la misma forma que la superficie de rotura y ambas son

determinadas experimentalmente. Lade (1977) mejora el modelo incorporando la

superficie de fluencia y la superficie de rotura curvas, agrega una superficie de fluencia

esférica y una regla de endurecimiento – reblandecimiento dependiente del trabajo

plástico para cada superficie (Figura 2.37 a).

Dentro de estas dos superficies se considera el domino elástico. La relación que

propone el modelo es función del módulo de elasticidad E y el coeficiente de Poisson

μ . Se supone que E varía en el espacio de tensiones y que μ es constante. El marco

que utilizaron para determinar el módulo elástico es el principio de conservación de la

energía (Lade & Nelson, 1987) asegurando que no se produce una disipación de

energía en un ciclo de carga –descarga – recarga, conocido como modelo

hiperelástico. La expresión es función del primer y segundo invariante de tensión:

( )

226 131 2 3atm

atm atm

p qE M pp p

λ

μμ

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎛ ⎞⎢ ⎥= ⋅ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (2.79)

donde M y λ son parámetros adimensionales del material. Esta ecuación genera en

el plano triaxial contornos de E = cte que varían desde círculos para 0μ = hasta una

línea recta para 0.5μ = .

El dominio elastoplástico está dividido en tres zonas diferentes y controladas por dos

mecanismos de endurecimiento asociados a cada superficie de fluencia, por lo que el

autor divide la deformación plástica en dos componentes: una asociada al colapso cdε

y otra a la expansión pdε . Ambas deformaciones plásticas están asociadas a la

superficie esférica y la superficie tipo cono respectivamente. Entonces tenemos tres

situaciones posibles:

• Expande sólo la superficie cónica: deformaciones plásticas de expansión.

• Expande sólo la superficie esférica: deformaciones plásticas de colapso.

• Expande ambas superficies: Deformaciones plástica de expansión y colapso.

En el caso donde ambas superficies expanden se puede observar en la Figura 2.37 b

como se obtiene el incremento de deformación plástica para cambiar desde el punto A

al B.


53

Las deformaciones plásticas de expansión tienen una regla de flujo no asociada,

mientras que las deformaciones plásticas de colapso tienen una regla de flujo

asociada.

F igura 2.37 a) Esquema de las super f ic ies de f luenc ia propuestas por Lade (1977) .

b) Esquema para la determinac ión de la deformación p lást ica tota l . (Lade, 1988)

Otro modelo que presenta un doble mecanismo de endurecimiento es el presentado

por Vermeer (1978). El primer mecanismo está representado por una superficie de

fluencia que tiene la forma de un cono curvo con vértice en el origen, basada en la

determinación experimental de Tatsuoka & Ishihara (1974) en ensayos triaxiales. Esta

se expande hasta la rotura, donde coincide con el criterio de Matsuoka & Nakai (1974)

(Figura 2.38b). La segunda superficie de fluencia es un plano recto, como indica la

Figura 2.38 a), y está asociada a las deformaciones volumétricas plásticas. El modelo

utiliza como regla de flujo no asociada la ecuación de tensión – dilatancia de Rowe

(1962), y requiere 7 parámetros de calibración para carga monótona en compresión

triaxial.

F igura 2.38 a) Esquema de las super f ic ies de f luenc ia propuestas por Vermeer

(1978) . b) Var iac ión de la super f ic ie de f luenc ia con e l parámetro de endurec imiento para la arena “River Sand” .

a) b)

a) b)


54

Nova & Wood (1979) introducen un modelo elastoplástico para arenas bajo carga

triaxial de compresión. En función de los resultados experimentales, proponen una ley

de dilatancia dividida por dos funciones, una línea recta y una hipérbola, por lo tanto la

regla de flujo propuesta esta dada por:

( )2

12

14 2

PTLPTL

PTL

Md M

MMd

η ημ

ημ η

= − >

= ⋅ < (2.80)

donde μ y PTLM son constantes del modelo. De esta regla de flujo, por aplicación de

la plasticidad clásica, derivan dos funciones de potencial plástico:

( )

1

2 2 2

11 2

04 2

PTL

g

PTLc

MMp pg qp

MMg q p p

μμ

μ ημ

ημ

−⎡ ⎤⎛ ⎞′ ′⎢ ⎥≡ − − >⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

′≡ + − = <

(2.81)

Como se observa en la ecuación, el modelo adopta una regla de flujo no asociada

para 2Mη > y una regla de flujo asociada para 2

Mη < . La elección de la regla de flujo

asociada para valores bajos de la relación de tensiones η se debe a que las arenas

sometidas a compresión isótropa no desarrollan deformaciones desviadoras (dεsp) y el

comportamiento estaría gobernado por la rotura de partículas.

La expresión de la superficie de fluencia para 2Mη > viene dada por:

lnPTLu

pf q p M mp

⎛ ⎞′′ ′= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.82)

donde pu es un parámetro de endurecimiento y varía en función de la presión de

preconsolidación pc:

exp21

cu

p Mpmμ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ (2.83)

En el caso de que PTLM m′= , la superficie de fluencia es idéntica a la expresada en el

modelo Cam Clay.


55

La regla de endurecimiento está dividida en dos: una asociada a las deformaciones

volumétricas plásticas, vh , y otra asociada a la deformación desviadora, dh :

v u

du

ph

Dh p

λ κ

λ κ

=−

=−

(2.84)

donde D es un valor positivo para reproducir el endurecimiento y se convierte en cero

cuando comienza el reblandecimiento. Pastor et al. (1985) presentan una función

continua para D, basado en la propuesta de Wilde (1977). El valor de PSLM es la línea

de transformación de fase, que divide el comportamiento contractivo y dilatante. En el

modelo de Nova & Wood (1979) esta línea se adopta igual a la pendiente de Estado

Crítico. Extensiones del modelo se pueden ver en Nova & Hueckel (1981).

Los modelos de DiMaggio & Sandler (1971), Lade (1977), Vermeer (1978), Nova &

Wood (1979) han incorporado cambios en las superficies de fluencia, superficies de

rotura y en las reglas de endurecimiento con respecto a los modelos basados en los

conceptos de Estado Crítico propuestos para las arcillas normalmente consolidadas

(Drucker et al., 1957; Roscoe & Burland, 1968;Schofield & Wroth, 1968). Los mismos

predicen con bastante aproximación el comportamiento de las arenas bajo carga

monótona.

Cuando es preciso reproducir el comportamiento de las arenas bajo cargas cíclicas

donde pueden ocurrir fenómenos como la movilidad cíclica, la licuefacción o la

densificación, hay que incorporar los conceptos vertidos por la Teoría de Superficie

Límite, la Teoría de Plasticidad Generalizada, o la Teoría Endocrónica. Es así que los

modelos como el presentado por Bardet (1983, 1986,1988), Pastor et al. (1985,1990) y

Wang et al. (1990), incorporan la predicción de cargas cíclicas basados en teorías

distintas.

La formulación y las principales características de los modelos constitutivos

presentados en Bardet (1986) y Wang et al. (1990) pueden verse en el anexo A. El

modelo constitutivo presentado por Pastor et al. (1990) se ser consultado en el

Capítulo 3 junto a las modificaciones propuestas.


56

2.5 Modelos constitutivos en suelos granulares con incorporación de parámetros de estado

2.5.1 Introducción

Los materiales granulares son conocidos porque exhiben un comportamiento

mecánico que depende de la densidad y de la presión de confinamiento a través de

todo el rango de deformaciones; desde las deformaciones muy pequeñas producidas

por las estructuras de ingeniería a deformaciones muy grandes asociadas a la rotura.

Observando un ensayo de corte triaxial con carga monótona en condiciones drenadas,

las arenas densas tienen un comportamiento dilatante seguidas de reblandecimiento;

mientras que las arenas sueltas tienen un comportamiento contractivo con

endurecimiento. (Figura 2.39)

F igura 2.39 Compor tamiento t íp ico de arenas densas y suel tas somet idas a cor te

t r iax ia l de compres ión. (Yang & L i , 2004)

En un ensayo de corte triaxial con carga monótona en condiciones no drenadas como

se muestra en la Figura 2.40, es claramente observable que las trayectorias de

tensiones de las arenas sueltas o densas dependen no sólo de su densidad, sino

también de la presión de confinamiento.


57

F igura 2.40 Compor tamiento no drenado de una arena (a) d i ferentes dens idades y (b)

igua l dens idad y d i ferentes pres iones conf inamiento. (L i & Dafa l ias , 2000)

Por ejemplo, para una determinada densidad (o índice de poros inicial), una arena se

comportará como suelta para presiones de confinamiento suficientemente altas, y

como densa para presiones de confinamiento suficientemente bajas. (Figura 2.40 (b))

En el caso de la Figura 2.40 (a) observamos lo mismo que indicamos para el

comportamiento drenado, que ante una misma presión de confinamiento una arena

suelta tiene un comportamiento contractivo, mientras que una arena densa tiene un

comportamiento dilatante.

Los modelos constitutivos para arenas que se desarrollaron en la década de los

noventa inclusive, no incluyen generalmente el índice de poros o la densidad relativa

como un parámetro de los modelos. En Saada & Bianchini (1988) se recopilan varios

modelos constitutivos donde se observa lo previamente mencionado. Una de las

limitaciones más importantes de dichos modelos es que sus parámetros son

dependientes de la densidad y de la presión de confinamiento. Esto deriva que la

formulación de la superficie de fluencia, el ángulo de fricción movilizado máximo y la

relación de la dilatancia dependan de la densidad.

Esto implica que la respuesta tenso-deformacional y la resistencia para una arena con

condiciones iniciales distintas es tratada como si fueran materiales diferentes, con

parámetros del modelo distintos. Los modelos que incorporan el índice de poros como

un parámetro de estado no tienen este inconveniente.

A continuación analizaremos los aspectos fundamentales de la influencia de las

condiciones iniciales en la formulación de distintos modelos constitutivos.

a) b)


58

2.5.2 Influencia del estado inicial en la expresión de la dilatancia

Observando la trayectoria de tensión no drenada mostrada en la Figura 2.40

presentada por Li y Dafalias (2000), se observa claramente que la dilatancia no puede

depender únicamente de la relación de tensiones η, como expreso Rowe (1966),

debido a que para una misma relación de tensiones η, hay un valor positivo de

dilatancia para el suelo en estado suelto y otro negativo para el suelo en estado denso.

La mayoría de los modelos constitutivos de suelos granulares hasta la década de los

noventa inclusive, adoptan una regla de flujo expresando la dilatancia como función de

la relación de tensiones, como se indica en la Tabla 2.1.

Analizando la respuesta volumétrica, Ishihara et al. (1975) denominaron como el

Estado de Fase de Transformación ( PTSMη = ; 0d = ) cuando el comportamiento de la

muestra cambia de contractivo para PTSMη < a dilatante para PTSMη > en un ensayo

de corte no drenado. Manzari y Dafalias (1997) denominaron la línea que representa

PTSM como “Línea de Dilatancia” o “Relación de Tensiones de Dilatancia” y expresan la

necesidad de que la misma sea variable con los estados iniciales de la muestra e

indican que PTSM no es una constante y es distinto del valor de la pendiente de la

Línea de Estado Crítico (LEC) CSM .

Es así como varios autores basados en la expresión original de Nova & Wood (1979)

donde la dilatancia se expresa como diferencia entre PTSM η− , expresaron una nueva

formulación de la dilatancia en función de los parámetros de estado o el índice de

poros inicial de suelo, incorporando la variación de PTSM .

La regla general que adoptan es la siguiente:

• arena en estado denso PTS CSM M<

• arena en estado suelto PTS CSM M>

• arena en Estado Crítico PTS CSM M=


59

Las distintas expresiones de dilatancia mostradas en Tabla 2.2 adoptan una variación

de PTSM de forma lineal (Manzari & Dafalias, 1997; Gajo & Wood, 1999) o de forma

exponencial (Li & Dafalias, 2000).

Además se observa que, cuando la muestra alcanza el Estado Crítico, las expresiones

de Manzari & Dafalias (1997), Gajo & Wood (1999), Li & Dafalias (2000) y Wang et al.

(2002) toman la forma propuesta por Nova & Wood (1979).

Otras expresiones de la dilatancia en función de las condiciones iniciales de la muestra

se observan en la literatura, como las propuestas por Bolton (1986) en función del

índice de densidad o la propuesta por Wan & Guo (1998), Bahda et al. (1997) en

función del índice de poros o también la que indican Been & Jefferies (2004).

De esta forma la respuesta volumétrica medida a través de la dilatancia es una función

de los estados inicial de la muestra y coherente con la condición de estado crítico.

Tabla 2.2 Expres iones de d i latanc ia con incorporac ión de parámetros de estados

Autores Relación

Bahda, Pastor & Saitta (1997) ( )2 2

CSd e M η= −

Manzari & Dafalias (1997) ( )[ ]CS dd A M k ψ η= ⋅ + ⋅ −

Wan & Guo (1999) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )sin sin 3 6 3 6

1 sin sin 6 6 9m CS CS CS

CS m CS CS

CS CS

CS CS

e e M M e ed

e e M M e e

α α

α α

φ φ η η

φ φ η η

− + − += =

− + + −

Gajo & Wood (1999) ( )[ ]1CS dd A M k ψ η= ⋅ ⋅ + ⋅ −

Li & Dafalias (2000) ( )mCSd A M e ψ η= −

Wang et al. (2002) ( ) ( )[ ]{ }0 00.5 1

b

CS PCS P

d A M M M IM I

ηη

β= ⋅ + − ⋅ −

+ −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠


60

2.5.3 Influencia del estado inicial en la relación de tensiones máxima

La correlación entre la relación de tensiones máxima y la relación de tensiones de

rotura o crítica, y su variación con la densidad fue presentada por Bolton (1986)

basada en una revisión de datos experimentales (Figura 2.41), en función de los

ángulos de fricción movilizado máximo y crítico según la expresión:

( )max 3 10 ln 1CS DI pφ φ′ ′ ′ ′− = ⋅ −⎡ ⎤⎣ ⎦ (2.85)

donde Pφ′ es el ángulo de fricción movilizado máximo; CSφ′ es el ángulo de fricción de

rotura o crítico; ID es el índice de densidad relativa inicial y p´ es la presión de

confinamiento en la falla o rotura.

F igura 2.41 Datos exper imenta les de ensayos t r iax ia les de var ias arenas y pres iones

de conf inamiento d i ferentes en e l p ico de tens iones. (Bol ton, 1986)

Been & Jefferies (1986) presentaron una correlación del ángulo de fricción máximo en

función de parámetro de estado ψ , como se muestra en la Figura 2.42.

Estos datos experimentales utilizaron Wood et al. (1994) para introducir una función

lineal del parámetro de estado (ψ ) para determinar la relación de tensiones máximas

( pη ), según :

p CSMη ψ= + (2.86)


61

F igura 2.42 Ángulo de f r icc ión máxima de var ias arenas somet ido a esfuerzos de

cor te en func ión de l parámetro de estado. (Been & Jef fer ies, 1986)

En la Figura 2.43 se observan los efectos de los diferentes valores del parámetro de

estado inicial en la relación tensiones η, en el cambio de volumen y en la relación de

tensiones máximas.

F igura 2.43 In f luenc ia de l va lor in ic ia l de l parámetro de estado en la re lac ión de tens iones, en la deformación vo lumétr ica y en la re lac ión de tens iones máximas.

(Wood et a l . ,1994)


62

Otros modelos utilizaron expresiones lineales similares a la anterior como Manzari &

Dafalias (1997) y Gajo & Wood (1999), las mismas serán desarrolladas en el Anexo A.

Esta modificación, que se realiza en los modelos constitutivos, persigue simular la

relación de tensiones máximas, el posterior reblandecimiento hasta alcanzar la

relación de tensiones de rotura o crítico para todo el rango de densidades con el

siguiente criterio:

• p CSMη > para estado denso

• p CSMη < para estado suelto

• p CSMη = para estado crítico

2.5.4 Influencia del estado inicial en la formulación implícita o explícita de la superficie de fluencia

Bahda et al. (1997) presenta una formulación explícita de la superficie de fluencia (o

de carga) en función del índice de poros ( e ) y el parámetro de estado ( dI ) para

incorporar la dependencia de la densidad y la presión de confinamiento.

( )2

2 1 0n

dc

pf Ip

⎛ ⎞′= + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.87)

donde

0eff

en ne

= (2.88)

donde n depende de esta manera de la densidad inicial; eeff es el índice de poros a

partir del cual la resistencia de la arena es nula, similar al expresado en el índice de

estado de Ishihara (1993).

Otros autores, en vez de incorporar el índice de estado en la formulación de la

superficie de fluencia, realizaron una normalización del espacio q - p´ en función del

parámetro de estado, como por ejemplo Gajo & Wood (1999).

Es claro que las condiciones iniciales van a afectar el tamaño de la superficie de

fluencia inicial y su posterior evolución en función de las reglas de endurecimiento –

reblandecimiento.


63

2.5.5 Principales modelos constitutivos con parámetro de estado

A continuación se realizan breves comentarios de los distintos modelos que incorporan

los conceptos anteriores, como también sus ventajas y inconvenientes. En el Anexo A

se pueden encontrar detalles de la formulación de los mismos.

Jefferies (1993) presenta un modelo basado en la Teoría de Estado Crítico para

arenas incorporando el parámetro de estado ψ. Es uno de los primeros modelos en

tratar a una misma arena con un único juego de constantes. El mismo fue desarrollado

para predecir el comportamiento drenado de las arenas bajo carga monótona. Es un

modelo plástico perfecto con regla de flujo asociada, por lo que no puede predecir la

carga no drenada en arenas muy sueltas.

Bahda et al. (1997) introducen un modelo dentro de la teoría de elastoplasticidad con

doble superficie de carga, adaptado a la Teoría de Plasticidad Generalizada e

incorpora el concepto de parámetros de estado para estudiar el comportamiento cíclico

de las arenas. Utiliza los conceptos de la Teoría de Superficie Límite para determinar

las deformaciones plásticas dentro de la superficie de fluencia a través de una regla de

extrapolación.

Wan & Guo (1998) presentaron un modelo unificado en el marco de la plasticidad

clásica, incorporando la dependencia del índice de poros y de la presión de

confinamiento en el comportamiento de los suelos granulares. Dado que se trata de un

modelo basado en la Teórica Clásica de Plasticidad, no se pueden predecir las

deformaciones plásticas bajo carga cíclica, ya que no tiene ningún mecanismo para

simular las deformaciones plásticas dentro de la superficie de fluencia.

Gajo & Wood (1999) presentan un modelo de superficie límite con endurecimiento

cinemático representado por conos con vértice en el origen del plano q - p´. Los

autores proponen dos superficies: a) la superficie límite está dada por la superficie de

resistencia máxima en el plano q - p´ y b) la superficie de fluencia encierra todos los

estados de tensiones elásticos. La superficie de fluencia se mueve dentro de la

superficie límite a través de la regla de endurecimiento cinemático y una regla de

traslación. Este modelo difiere del modelo plástico de superficie límite de Manzari &

Dafalias (1997) en que se utiliza un estado de tensiones normalizado por el parámetro

ψ .


64

En los últimos años, Dafalias y colaboradores presentaron una serie de modelos

basados en los conceptos de parámetro de estado. Los primeros trabajos se remontan

al trabajo de Crouch, Wolf & Dafalias (1994) donde introducen un modelo basado en la

Teoría de Estado Crítico con bastante precisión para arenas bajo carga monótona.

Pero, quizás por su simplicidad y forma conceptual de explicar los fenómenos, el

modelo propuesto por Li & Dafalias (2000) resume los conceptos de todos los modelos

presentados (Crouch et al., 1994; Manzari & Dafalias, 1997; Li et al., 1999, Wang et

al., 2002). El mismo se basa en la dependencia de la dilatancia con las características

internas del material, a través del parámetro de estado propuesto por Been & Jefferies

(1985). De esta manera logran un modelo unificado del comportamiento monótono de

los suelos granulares para un rango importante de densidades y presiones de

confinamiento.

El modelo es presentado en el marco de los modelos de estado crítico en el espacio

triaxial, y simula con bastante aproximación los ensayos triaxiales de compresión

realizados por Verdugo & Ishihara (1996) en la arena Toyoura. La superficie de

fluencia del modelo es un cono con vértice en el origen de coordenadas del espacio q -

p´. Se considera la deformación plástica nula a lo largo de una trayectoria de tensiones

constante debido a que el modelo no tiene una superficie de fluencia como la

superficie propuesta por Vermeer (1978) y luego utilizada por Wang et al. (1990). Esta

simplificación es resuelta por Li (2002), quien propone una extensión a un espacio

multiaxial con una superficie de fluencia adicional similar a la propuesta por Wang et

al. (1990). La misma está tratada como una superficie límite, que permite predecir la

deformación plástica para incrementos de la tensión de confinamiento para cteη = .

Este hecho está fundado en que las deformaciones plásticas son pequeñas, pero

considerablemente mayores a las deformaciones elásticas.

Wang, Dafalias y Li (2002) presentan una modificación del modelo de Superficie Límite

Hipoplástico presentado por Wang et al. (1990), donde se incorpora el concepto de

índice de presión (Ver Sección 2.3.4). Se resalta cómo la Línea de Transformación de

Fase (Ishihara, 1975) y la relación de tensiones de rotura dependen del parámetro de

estado denominado índice de presión, Ip. Los mismos definen la “línea de dilatancia”

como la unión de los puntos de transformación de fase en la trayectoria de tensiones

de distintos ensayos triaxiales no drenados sobre una misma arena. Li et al. (1999)

modificaron el modelo constitutivo hipoplástico para arenas de Wang et al. (1990),

incorporando el parámetro de Been & Jefferies (1985).


65

Liu & Ling (2002) y Ling & Liu (2003) presentan una modificación del modelo de

Pastor, Zienkiewicz & Chan (1990) para tener en cuenta los efectos del nivel de

tensiones y la densificación. Recientemente presentaron otra versión mejorada del

modelo (Ling & Yang, 2006), donde incorporan los conceptos presentados en Li &

Dafalias (2000) e introducen la dependencia del índice de poros en el módulo plástico

isótropo. El modelo predice con precisión tanto la carga monótona como la carga

cíclica. Tonni et al. (2006) presenta otra modificación en el modelo Pastor –

Zienkiewicz, incorporando el módulo plástico isótropo propuesto por Jefferies & Been

(2000) para reproducir el comportamiento monótono en ensayos triaxiales drenados de

los suelos de Venecia. Las bases de las modificaciones sobre el modelo PZ

propuestas en esta tesis y desarrolladas en el Capítulo 3 fueron presentadas en

Manzanal, Fernández Merodo & Pastor (2006).

Otros modelos que se encuentran en la bibliografía con conceptos similares son:

Cubrinovski & Ishihara (1998) utilizando el Índice de Estado presentado por Ishihara

(1993). Gudehus (1996) describe matemáticamente los cambios en el comportamiento

de estado de un material granular basado en la teoría de hipoplasticidad presentada

por Kolymbas (1991). Incorpora a la ecuación constitutiva la dependencia de la

densidad (pyknotropy) a través de dos parámetros fb y fe que dependen del índice de

poros, e según:

d c

d ec d

e e ef fe e e

α β⎛ ⎞− ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠ (2.89)

donde ed es el índice de poros máximos y ed es el índice de poros en estado crítico, α

es un parámetro que varía entre 0,1 <α <0,3 y β es un exponente constante con un

rango entre 1 <β <1,1. Tienen en cuenta la dependencia de la presión (barotropy) a

través de un parámetro fb.

Crouch et al. (1994) presentaron un modelo incorporando las mismas constantes para

todas las densidades, pero la simulación ante carga cíclica no era muy precisa. Luego

Crouch & Wolf (1994) presentaron un modelo de Superficie Límite basado en la Teoría

de Elastoplasticidad. En el plano loge p′− adoptaron el concepto de estado crítico bi-

lineal propuesto por Been et al. (1991). Si bien es un modelo estructurado y jerárquico

para simular el comportamiento de arcillas, limos y arenas bajo carga monótona o

cíclica, requiere una cantidad de 25 parámetros de calibración, lo que lo convierte en

un modelo complicado de implementar.


66

Pestana (1994) desarrolló un modelo constitutivo bajo el mismo marco para arenas y

arcillas que busca predecir un amplio rango del comportamiento de los suelos. El

modelo MIT-S1, según indica Pestana (1994) y Pestana & Whittle (1999), tiene los

siguientes aspectos principales similares a los anteriores modelos MIT:

• modelo elastoplástico para suelos normalmente consolidados con una

superficie de fluencia simple, flujo no asociado, y regla de flujo para

determinar la evolución de la anisotropía,

• las pequeñas deformaciones son consideradas a través de ecuaciones no

lineales, y además considera la histéresis en la respuesta tensión -

deformación en los sucesivos ciclos de carga - descarga - recarga,

• supone un modelo de Plasticidad de Superficie Límite para los suelos

sobreconsolidados.

Las deformaciones incrementales las divide en elásticas y plásticas. Las

deformaciones elásticas son consideradas isótropas y las deformaciones plásticas se

obtienen a partir de aplicar la regla de flujo de la plasticidad clásica (Ver Sección

2.4.3.3). Incorpora explícitamente el índice de poros como una variable de estado para

definir la función de la superficie de fluencia. Pestana (1994) supone que los cambios

en la apertura de la superficie de fluencia están dados por el ángulo de fricción

movilizado de las arenas sometidas a cortante φm´, el cual es considerado dependiente

de la densidad y la presión de confinamiento a lo largo del ensayo. Para ello supone el

ángulo de fricción movilizado φm´ en función del índice de poros e :

( ) ( ) ( )cotan cotan 45 2 cotan cotan 45 2 pm CS mr CS eφ φ φ φ⎡ ⎤′ ′ ′ ′= + + − + ⋅⎣ ⎦ (2.90)

Manzari y Dafalias (1997) introducen un modelo basado en la Teoría de Estado Crítico

que utiliza el parámetro de estado ψ para unificar las constantes del modelo para las

distintas densidades y presiones de confinamiento inicial. Se lo puede definir, como un

modelo elastoplástico de superficie límite con endurecimiento isótropo y cinemático.

Varios modelos posteriores se han desarrollado basados en la ecuación lineal de la

dilatancia y la relación de tensiones máximas en función de ψ introducidas en este

modelo.


67

2.5.6 Simulaciones con el modelo de Li & Dafalias (2000)

La formulación completa del modelo se puede consultar en el Anexo A. En este

apartado se destacan las principales características del modelo basado en los

conceptos expresados anteriormente.

La expresión de la dilatancia propuesta tiene la siguiente forma:

( )0PTS

CS

dd MM

η= ⋅ − (2.91)

donde

( )expPTS CSM M mψ= ⋅ (2.92)

MPTS es la pendiente de la relación de tensión en el punto de transformación de fase, y

es variable con el parámetro de estado ψ (ecuación (2.92)). Esta ecuación es una

variación a la expresión lineal presentada por Manzari y Dafalias (1997), basada en los

conceptos mostrados en 2.5.2 donde se cumple que:

• para ψ < 0 (Estados densos) la pendiente de la relación de transformación

de fase es menor que la pendiente de la relación de tensión en Estado

Crítico; PTS CSM M< ,

• para ψ > 0 (Estados sueltos) la desigualdad se invierte; PTS CSM M> ,

• para ψ = 0 se cumple que alcanza el estado crítico y ambas pendientes

son iguales; PTS CSM M= .

En la Figura 2.44 se puede observar la variación del ángulo de fricción movilizado

máximo con el índice de poros y la presión de confinamiento en ensayos drenados

(Yang & Li , 2004).

Para tener en cuenta esta variación, Li & Dafalias (2000) expresaron el módulo

plástico a través de la siguiente formulación:

( ) ( )1 2

p PS

h h e GK M η

η− ⋅ ⋅

= ⋅ − (2.93)

donde

( )expPS CSM M n ψ= ⋅ − ⋅ (2.94)


68

h1; h2; n : son parámetros del modelo; G: es el módulo tangencial; MPS: es el pico virtual

de la relación de tensiones y se expresa como una función del parámetro de estado ψ.

Uno de los primeros trabajos donde se consideró la incorporación del parámetro de

estado en la formulación del módulo plástico fue Wood et al. (1994). De esta forma se

puede simular la relación de tensión máxima y el posterior reblandecimiento en el

comportamiento de las arenas densas (Ver Sección2.5.3).

En esta expresión se cumple:

• para ψ > 0 (Estados Densos) la pendiente de la relación de tensiones en el

pico es mayor que la relación de tensiones en el estado crítico; PS CSM M> ,

• para ψ < 0 (Estados Sueltos) la relación de tensiones no supera el valor

del estado crítico; PS CSM M< ,

• para ψ = 0 ambas pendientes coinciden en el Estado Crítico; PS CSM M= .

F igura 2.44 In f luenc ia de la pres ión de conf inamiento y de la dens idad en e l ángulo

de f r icc ión movi l izado máximo. (Yang & L i , 2004)

A continuación se presentan los ensayos sobre la arena Toyoura realizados por

Verdugo & Ishihara (1996) y las simulaciones de los mismos según la relación

incrementos de tensión y deformación de Li y Dafalias (2000). Las ecuaciones se

programaron en Visual Basic con los parámetros presentados por los autores.


69

Las simulaciones de los ensayos triaxiales de compresión no drenados bajo carga

monótona para un rango importante de presiones (100kPa a 3000kPa) y densidades

(Dr = 18.5% a 63.7%) son precisas, tanto en los diagramas de trayectoria de tensiones

como en el plano de tensión - deformación axial.

Toyoura Sand (Dr = 63,7%)

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500


Tens

ión

Des

viad

ora,

q


0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Deformación Axial

Tens

ión

Des

viad

ora,

q

F igura 2.45 Comparac ión ent re ensayos t r iax ia les no drenados y la predicc ión de l

modelo de la arena Toyoura para Dr = 63.7%.


0

500

1000

1500

2000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500


Tens

ión

Des

viad

ora,

q


0

500

1000

1500

2000

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Deformación Axial

Tens

ión

Des

viad

ora,

q


modelo de la arena Toyoura para Dr = 37.9%.

Toyoura Sand (Dr = 18.5%)

0

200

400

600

800

1000

1200

0 500 1000 1500 2000 2500 3000


Tens

ión

Des

viad

ora,

q


0

200

400

600

800

1000

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Deformación Axial

Tens

ión

Des

viad

ora,

q


modelo de la arena Toyuora para Dr = 18.5%.


70

Las diferencias entre los resultados de los ensayos y las simulaciones del modelo son

bajas. Simula con buena aproximación la liquefacción estática (Figura 2.47),

manteniendo el módulo plástico siempre positivo a medida que crece la relación de

tensiones. Pastor, Zienkiewicz & Chan (1987) resaltan este concepto dado que la

licuefacción estática no se corresponde con un reblandecimiento del material.

Toyoura Sand Dr = 18.5%

0

0,4

0,8

1,2

1,6

0 50000 100000 150000 200000 250000 300000

Módulo Plástico,Kp

q/p

po´= 1000 kPa

po´= 2000 kPa

F igura 2.48 Simulac ión de l módulo p lást ico en l icuefacc ión estát ica para Dr = 18.5%.

El modelo requiere 11 parámetros para simular el comportamiento de las arenas en el

plano triaxial. La tabla con las constantes adoptadas para las simulaciones se

encuentran en el Anexo A junto con el desarrollo de la formulación del mismo.

Hasta aquí se han descrito los modelos más relevantes de los últimos años que

incorporan al estudio de las arenas los conceptos de parámetros de estado para

unificar los parámetros constitutivos de las mismas y predecir su comportamiento

mecánico. En el Capítulo 3 se aplican algunos de los principios desarrollados

anteriormente al modelo presentado por Pastor, Zienkiewicz & Chan (1990).


71

2.6 Comportamiento parcialmente saturado de los suelos granulares

2.6.1 Introducción

En ésta sección se desarrollan los aspectos principales del comportamiento hidro-

mecánico de los suelos parcialmente saturados. Primero se analizan las fuerzas

intergranulares entre partículas y el efecto de la succión. Posteriormente se desarrolla

el estado tensional en un medio poroso multifásico basado en el concepto de la Teoría

de Mezclas. Además se hace una breve reseña del concepto de tensión efectiva en

suelos parcialmente saturados y los cambios que se han producido en los últimos

años.

2.6.2 Estado tensional en suelos parcialmente saturados

2.6.2.1 Fuerzas capi lares y succión

La composición trifásica un suelo granular parcialmente saturado se divide en: la fase

sólida conformada por las partículas sólidas y el agua adsorbida, la fase líquida

conformada por el agua libre y los meniscos de agua, y la fase gaseosa conformada

por el aire. (Figura 2.49) Los meniscos de agua son lo que Fredlund & Morgenstern

(1977) denominaron membrana contráctil y la consideraron una fase adicional.

F igura 2.49 Esquema de fases componentes de un suelo parc ia lmente saturado

Los efectos de la interacción aire – agua están relacionados con los fenómenos de

tensión superficial a través de la ecuación de capilaridad de Young- Laplace:


72

1 2

1 1a w su u T

r r⎛ ⎞

− = +⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.95)

Esta ecuación relaciona la diferencia de presiones actuantes en la interfase, la tensión

superficial ( sT ) y los radios de curvatura en dos planos perpendiculares ( 1r , 2r ). au es

la presión del aire de poros, wu es la presión del agua de poros y su resta se

denomina succión matricial.

Fuerzas capi lares

La fuerzas intergranulares debido al menisco fueron estudiadas por Haines (1925) y

Fisher (1926) suponiendo al suelo como partículas esféricas de igual tamaño, unidas

por un menisco con un radio interior ( intr ) y un radio exterior ( extr ) (Figura 2.50).

F igura 2.50 Geometr ía de l menisco en par t ícu las esfér icas

Las fuerzas producidas en las partículas debidas al menisco se pueden descomponer

en: a) la succión actuando en el área del menisco; y b) la tensión superficial actuando

a lo largo del perímetro de la interfase aire-agua. La misma se expresa como:

( ) 2int inta w sF u u r T rπ π= − + ⋅ (2.96)

Fisher (1926) la expresó en función de θ según:

2

1 tan2

sRTF πθ

=⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.97)


73

donde θ es el ángulo que forma el centro de la esfera con el desarrollo del menisco

(Figura 2.51). Cabe aclarar que en el desarrollo de la ecuación anterior el ángulo de

contacto sólido – agua (α ) es nulo.

F igura 2.51 Esquema p lano de dos esferas un idas por un menisco

La ecuación (2.97) se puede expresar en función de los radios de curvatura intr y extr

reemplazando la ecuación (2.95) en (2.96) :

2

int intint

1 1 2s sext

F T r T rr r

π π⎛ ⎞

= − + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.98)

donde 1 intr r= − . Reordenando se obtiene:

( )intints ext

ext

rF T r rr

π= + (2.99)

Considerando 0α = según la geometría de la Figura 2.51 se obtiene:

( ) ( )2 22intext extR r R r r+ = + + (2.100)

o en función del ángulo θ :

int

1 coscos

1 cos tan 2tancos 1 tan 2

extr R

r R R

θθ

θ θθθ θ

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ − ⎞⎛ ⎞= − = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.101)


74

Despejando de la ecuación (2.100) intr y reemplazando en la ecuación (2.99), se

obtiene la fuerza capilar como:

( ) ( )12 2

1 tan 2s sF RT RTπ ω πθ

⎛ ⎞= − = ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

(2.102)

donde ω es la razón entre intr y R . Igualmente se puede reescribir la ecuación (2.95)

según:

2int

1 1 2 3sa w s

ext

Tu u Tr r R

ωω

⎛ ⎞ −⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(2.103)

Resolviendo la ecuación cuadrática en ω y tomando la raíz positiva se obtiene la

expresión de ω en función de la succión según:

23 3 81

2s s sT T T s

s R R Rω

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= − + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (2.104)

En la Figura 2.52 se aprecia la variación de ω en función de la succión. Cuando la

succión en nula, ω es igual a 2/3 (ecuación (2.103)).

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

Succión, s [kPa]

ω

0,002mm0,01mm0,06 mm2mm60mm

F igura 2.52 Var iac ión de ω con la succ ión


75

Realizando un análisis similar a Kohgo et al. (1993) sobre las ecuaciones (2.102) y

(2.103) en conjunto, se puede obtener el rango de variación de F. En la ecuación

(2.103), la succión es nula cuando ω es igual a 2/3. Reemplazando este valor en la

ecuación (2.102), se obtiene el rango inferior de la fuerza capilar: ( )0 3sF s RTπ= = y el

rango superior se obtiene cuando la succión tiende a infinito y es igual a

( ) 2 sF s RTπ= ∞ = . Por lo tanto los incrementos de la succión producen un incremento

de las fuerzas capilares en el rango mencionado.

En la Figura 2.53 se representa un esquema de fuerzas actuantes sobre un elemento,

donde Nσ es la fuerza normal entre partículas debido a las fuerzas externas, *N es la

suma de la fuerzas normal entre partículas debido a las fuerzas externas más las

fuerzas capilares. En la figura no se muestran las fuerzas tangenciales. Es claro que

un incremento de la succión produce un incremento de las fuerzas capilares las cuales

producen un incremento de la fuerza de unión *N haciendo más estable el equilibrio

entre partículas.

F igura 2.53 Esquema ideal de fuerzas ent re dos par t ícu las

Este efecto de incremento de la fuerza capilar con la succión puede ser representado

a través de la tensión capilar actuante en un área igual a 24R :

( )24

sTR

πσ ωΔ = − (2.105)

donde el valor inicial es:

0 3sT

RπσΔ = (2.106)


76

Reemplazando la ecuación (2.104) en (2.105) y dividiendo por (2.106) se obtiene:

2

0

3 3 83 124 2

s s sT T T ss R R R

σσ

⎧ ⎫⎡ ⎤Δ ⎪ ⎪⎛ ⎞⎢ ⎥= − − + +⎨ ⎬⎜ ⎟Δ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ (2.107)

donde esta función varía entre 1 para la succión nula y 1,5 para la succión tendiendo a

infinito. Esta ecuación tiene el mismo rango de variación que la función f(s) presentada

por Gallipoli et al. (2003a). Sin embargo, los autores no indican la expresión de forma

explicita. La ecuación representa el incremento de la tensión capilar debido a un

incremento de succión.

Un análisis alternativo del efecto de la succión en el estado tensional es presentado

por Lu & Likos (2006), donde incorporan el concepto de curva característica de

succión.

Parámetros de estado en suelos parcialmente saturados

Según Gallipoli et al. (2003a), se puede tener en cuenta el efecto del incremento de la

tensión capilar con los incrementos de succión a través un parámetro de cementación

ξ (ecuación (2.107)) y del número de meniscos por unidad de volumen de la fracción

sólida. Este último está representado por el factor (1 - Sr ):

( )( )1 rf s Sξ = − (2.108)

Los autores presentan una expresión matemática en función del parámetro de

cementación ξ que relaciona los índices de poros en estado saturado (es) y

parcialmente saturado (e) a igual tensión efectiva en condiciones de consolidación

isótropa (plano e – p”). La misma está expresada por:

( )1 1 exps

e a be

ξ= − −⎡ ⎤⎣ ⎦ (2.109)

Varios años antes Pandian et al. (1992), basados en un trabajo de Nagaraj & Murthy

(1985), presentaron un parámetro de estado generalizado para suelos parcialmente

saturados donde relacionan el índice de poros de la muestra con el índice de poros en

el límite líquido según:


77

logrL

e S a b pe

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.110)

logrL

e S a b qe

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.111)

donde p es la tensión total y q es la resistencia al corte.

En el capítulo 6 se analizan varios datos experimentales en función del parámetro de

cementación propuesto por Gallipoli et al. (2003a) y se propone una expresión

alternativa a la ecuación (2.109) con el objeto de integrar los parámetros de estado en

suelos saturados y parcialmente saturados.

2.6.2.2 Estado tensional en un medio poroso mult i fase

Para el desarrollo de esta sección se adoptan la convención de signos de la mecánica

de medios continuos donde las componentes del tensor de tensiones de tracción son

positivas. Para el caso general de un elemento representativo de volumen de un medio

poroso multifase conformado por una fase sólida y N fases fluidas se puede suponer el

tensor de tensiones totales de Cauchy actuante como la suma de las tensiones

actuantes en cada fase:

nfases

(s) ( )

1

α

α=

= + ∑σ σ σ (2.112)

donde (s)σ y ( )ασ son los tensores de tensiones parciales de Cauchy correspondientes

a la fase sólida y al fluido de la fase (α). Las mismas se pueden relacionar con las

tensiones de cada material según:

(s)

s(1 n)= −σ σ (2.113)

( ) nSα

α α=σ σ (2.114)

donde Sα es el grado de saturación de la fase y n es la porosidad que verifica:

1

n N

nα

α

α=

= ∑ (2.115)

Por otro lado, los tensores de tensiones parciales ( )ασ pueden descomponerse en una

componente hidrostática y otra desviadora según:


78

( ) nS p nSα

α α α α= − +σ Ι s (2.116)

donde s es el tensor de tensiones desviadoras e I es el tensor identidad

1

(1 ) ( )N

sn nS pα

α α αα =

= − + − +∑σ σ I s (2.117)

Definiendo la presión intersticial media ( p ) y tensión desviadora media ( s ) de la fase

fluida α como:

1( )

N

p S pα

α αα =

= ∑ (2.118)

1( )

N

s S sα

α αα =

= ∑ (2.119)

Entonces, el tensor de tensiones totales se puede escribir según:

(1 ) sn np n= − − +σ σ I s (2.120)

Si se supone que las fases fluidas no tienen componente viscosa, la parte desviadora

es despreciable:

(1 ) sn np= − −σ σ I (2.121) Para el caso particular de los suelos parcialmente saturados que están compuestos

por tres fases, una sólida, una fase gaseosa (aire) y una fase líquida (agua), la

ecuación (2.118) se expresa como:

a a w wp S p S p= + (2.122)

En la ecuación anterior sus componentes son: aS es el grado de saturación de la fase

gaseosa (aire), medido como la razón del volumen de aire entre el volumen total del

elemento representativo, wS es el grado de saturación de la fase líquida (agua), ap es

la presión de poros de la fase gaseosa y wp es la presión de poros de la fase líquida.


79

En el caso que el elemento representativo de volumen se encuentre saturado

( 1 0w aS S= = ) la ecuación (2.121) se simplifica:

(1 ) s wn np= − −σ σ I (2.123)

En un medio de dos fases (sólido-fluido) las deformaciones en la fase sólida se deben

a un tensor de tensiones efectivas ′σ (Terzaghi, 1936) según:

wp′= −σ σ I (2.124) Combinando las dos últimas ecuaciones y despejando ′σ , se obtiene:

( ) ( )( )1 1s w w s wn np p I n p′ = − − + = − +σ σ I σ I (2.125)

donde se define por analogía con las tensiones efectivas sobre el esqueleto sólido del

suelo las “tensiones efectivas” que actúan sobre las partículas sólidas:

efs s wp= +σ σ I (2.126)

Combinando las ecuaciones (2.125) y (2.126) :

( )1 efsn′ = −σ σ (2.127)

y generalizando para mezclas de partículas sólidas y Nα fases fluidas, se obtiene:

1

Nefs s sS p p

α

α αα =

= + = +∑σ σ I σ I (2.128)

Relacionando estas dos últimas ecuaciones se obtiene:

(1 ) (1 ) (1 )s sn n p n np p′ = − + − = − − +σ σ I σ I I (2.129)

y recordando la ecuación (2.121) se obtiene:

1

N

p S pα

α αα =

′ = + = + ∑σ σ I σ (2.130)


80

Para el caso particular de los suelos parcialmente saturados que están compuestos

por tres fases, una sólida, una fase gaseosa (aire) y una fase líquida (agua), la tensión

efectiva se expresa:

( )a a w wS p S p′ = + +σ σ I (2.131)

2.6.2.3 Tensiones Efectivas

En los suelos saturados el principio de tensiones efectivas propuesto por Terzaghi

(1936) es ampliamente aceptado para analizar y modelar su comportamiento

mecánico.

La extensión del principio de tensiones efectivas a los suelos parcialmente saturados

se debe al trabajo de Bishop (1959) que propuso:

( )ij ij a ij a w iju u uσ σ δ χ δ′ = − + − (2.132)

donde ijσ ′ es la tensión efectiva, ijσ es la tensión total, au es la presión del aire en los

poros, wu es la presión de agua en los poros y χ es un escalar que varía entre 1 para

suelos saturados y 0 para suelos totalmente secos, el cual depende del grado de

saturación, del tipo de suelo y de los efectos de histéresis debido a cambios de

humedad o tensión. La expresión ( a wu u− ) se denomina succión matricial.

Reordenando la ecuación anterior se obtiene:

( )1ij ij a ij w iju uσ σ χ δ χ δ′′ = − − − (2.133)

Esta expresión coincide con la ecuación (2.131) deducida de la Teoría de Mezclas

para rSχ = y adoptando la convención de signos usual en geotecnia.

La aproximación de una única tensión efectiva para modelar el comportamiento de los

suelos parcialmente saturados fue objeto de diferentes objeciones en la década de los

sesenta, las cuales están reportadas por Gens (1995) y Wheeler & Karube (1995).

Jennings & Burland (1962) cuestionaron la ecuación anterior, dado que tenia una

limitación para predecir el cambio volumétrico debido al humedecimiento en suelos

colapsables.


81

Bishop & Blight (1963) aceptaron las limitaciones que supone el uso del principio de

tensiones efectivas en suelos parcialmente saturados para predecir el cambio

volumétrico y adoptaron finalmente dos tensiones de estado independientes como la

tensión neta y la succión matricial.

Fredlund & Morgenstern (1977) indican que para describir el comportamiento de un

suelo parcialmente saturado bastan dos variables tensionales independientes. Las

posibles combinaciones son: la tensión neta (σ - ua) y la succión matricial (ua - uw); la

tensión efectiva (σ - uw) y la succión matricial (ua - uw) o la tensión neta (σ - ua) y la

tensión efectiva (σ - uw).

Basado en estos conceptos los modelos constitutivos para suelos parcialmente

saturados usualmente se formulan en función de una pareja de valores de tensiones

independientes conocido como enfoque bitensorial. Entre los modelos más

reconocidos con este enfoque están los de Alonso et al. (1990), Wheeler & Sivakumar

(1995) y Cui & Delage (1996).

Jommi (2000) define la tensión media del esqueleto sólido como la diferencia entre la

tensión total y la presión equivalente del fluido, donde el grado de saturación (Sr)

reemplaza al factor χ de la ecuación de tensión efectiva propuesta por Bishop (1959).

El trabajo de Jommi (2000) está asociado al grupo de modelos para suelos

parcialmente saturados formulados en función de un único tensor de tensiones. Entre

ellos se pueden nombrar los trabajos de Khogo et al. (1993), Jommi & di Prisco (1994),

Bolzon et al. (1996), Loret & Khalili (2000) y Tamagnini & Pastor (2004).

Todos estos modelos constitutivos desarrollados para los suelos parcialmente

saturados son una extensión de las leyes constitutivas de los suelos saturados en el

marco de la elastoplasticidad.

Como indican Tamagnini & Pastor (2004), los modelos constitutivos que se formulan

en función de la ecuación (2.132) y los modelos bitensoriales tiene la misma estructura

para definir la deformación total pero los incrementos de succión en los primeros están

definidos como una variable interna, mientras que en los segundos es una variable

externa.


82

Esto implica que los modelos bitensoriales son definidos en un espacio de tres

invariantes: la tensión neta, la tensión desviadora y la succión, mientras que los otros

son definidos en función de dos invariantes: la tensión principal de Bishop y la tensión

desviadora. Esto se desarrolla de forma más detallada cuando se explica el modelo de

plasticidad generalizada para suelos parcialmente saturados en el Capítulo 6.

Los modelos que incorporan solamente la tensión de Bishop modificada en la

estructura de un modelo constitutivo saturado no representan comportamientos

específicos de los suelos parcialmente saturados como el colapso debido al

humedecimiento. Ejemplos de estos modelos son Bolzon et al. (1996), según indican

Fernández Merodo et al. (2005) o Gudehus (1995), según indican Wheeler & Karube

(1995).

Jommi (2000) explica que los modelos constitutivos en función de la ecuación (2.132)

deben realizar modificaciones en la estructura original de las leyes constitutivas

saturadas para describir aspectos del acoplamiento hidro-mecánico de los suelos

parcialmente saturados.

El fenómeno de colapso en los suelos parcialmente saturados se puede interpretar

desde el punto de vista macroscópico como la inestabilidad de la estructura del

esqueleto sólido y la misma es independiente de las variables tensionales adoptadas

en el modelo constitutivo porque está relacionada con un mecanismo plástico. En

suelos saturados sueltos, los fenómenos de colapso se modelan en el marco de la

elastoplasticidad, adoptando el tensor de tensiones efectivas. Por lo tanto no hay

razones para creer que una única variable de tensión no debe ser utilizada en los

modelos de suelos parcialmente saturados (Jommi, 2000).

El principio de tensiones efectivas propuesto por Bishop es clave para realizar la

extensión de un modelo constitutivo para suelos saturados a suelos parcialmente

saturados. Sin embargo, para completar el modelo se debe incorporar los efectos de la

succión como se observó en la sección 2.6.2.1. Este aspecto será desarrollado en el

capítulo 6.


83

2.6.3 Comportamiento hidráulico. Relación succión-grado de saturación

Durante años el comportamiento de los suelos parcialmente saturados ante

variaciones de humedad fue estudiado en la agricultura. De aquí provienen las

primeras relaciones succión-humedad conocidas como curvas de retención o curvas

características agua-suelo. El objeto de las mismas era representar el almacenamiento

de agua en un suelos parcialmente saturado suponiendo al suelo incompresible y

despreciando la tensión neta. Juca (1993) y Pham et al. (2005) realizan una extensa

recopilación de diferentes relaciones y la evolución histórica de las mismas.

En la Figura 2.54 están representadas cuatro curvas características suelo-agua en

función del tipo de suelo. Se observa que a medida que el suelo es más fino el valor

de entrada de aire es mayor. El valor de entrada de aire se conoce como el valor de la

succión para el cual comienza la desaturación. Vanapalli et al. (1999) presentan un

programa de ensayos donde determinan las curvas características de un suelo

compuesto por 28% arena, 42% limo y 30% arcilla bajo diferentes condiciones de

humedad y tensión. Los autores indican que el almacenamiento de agua en el suelo

está influenciado por el agua libre dentro del macro poro y el agua adsorbida en el

micro poro. Romero & Vaunat (2000) han llegado a conclusiones similares donde

indican que las variaciones del índice de poros debidos a cambios en el estado

tensional (cambios de succión o cambios de tensión neta) producen cambios en la

curva de retención.

F igura 2.54 Curvas caracter ís t icas suelos – agua de d i ferentes suelos (Según

Vanapal l i e t a l . 1999)


84

Gallipoli et al. (2003b) presentan una expresión modificada de la curva de retención

propuesta por van Genuchten (1980), donde el grado de saturación no depende solo

de la succión sino también del volumen específico del suelo según:

( ){ }1 1mn

rS v sψφ−

⎡ ⎤= + − ⋅⎣ ⎦ (2.134)

donde φ, ψ, n, y m son parámetros de ajuste. Fredlund & Xing (1994) presentaron una

ecuación alternativa a la propuesta por van Genuchten (1980), la cual está expresada

en la sección 6.4.3, donde se analiza la modelización de la curva de retención con la

incorporación del índice de poros en su formulación.

Otro aspecto, muy conocido y comprobado por varios autores, es la histéresis

hidráulica que presenta la curva característica agua - suelo. En la Figura 2.55 se

observa que una muestra con igual grado de saturación puede tener valores diferentes

de succión según su historia hidráulica. Partiendo de un suelo en estado seco y

procediendo a su humedecimiento, la trayectoria hidráulica seguida será la rama

primaria de humedecimiento. En cambio, la rama primaria de secado es la trayectoria

hidráulica seguida por un suelo saturado a medida que disminuye su humedad. Estas

dos ramas son los límites de todas las situaciones intermedias. Las trayectorias

intermedias se conocen como rama secundaria de humedecimiento y secado según

corresponda.

Rama primaria secado

Rama primaria humadecimiento

Ramas secundarias

s [kPa]

Sr

F igura 2.55 Esquema de las ramas pr imar ias y secundar ias de humedecimiento y

secado


85

2.6.4 Comportamiento volumétrico

El comportamiento volumétrico de los suelos parcialmente saturados fue estudiado por

varios autores. Se encuentran una gran cantidad de ensayos edométricos e isótropos

realizados en mezclas de suelos finos no expansivos, arcillas naturales expansivas, y

en menor cantidad sobre arenas y gravas.

Entre los diversos ensayos isótropos se pueden dividir según las siguientes

trayectorias de tensiones:

1. succión constante con ciclos de aumento / disminución de la tensión neta

2. tensión neta constante y disminución de la succión (humedecimiento)

3. tensión neta constante y aumento de la succión (secado)

4. tensión neta constante y ciclos de aumento/ disminución de la succión

En el caso de los ensayos edométricos las trayectorias son en función de la tensión

vertical neta y la succión.

Se ha demostrado en la trayectoria de tensión (1) de carga y descarga a succión

constante, que la succión tiene un efecto de incremento de la rigidez del suelo. Esto

fue demostrado en ensayos edométricos por Dudley (1970) y ensayos isótropos por

Josa (1988), Rampino et al. (2000) entre otros.

En la Figura 2.56 se observa un aumento de la rigidez con la succión en ensayos

triaxiales isótropos a succión constante sobre arena limosa realizados por Rampino et

al. (2000). Este aspecto también fue comprobado por Sivakumar (1993) en ensayos

isótropos sobre un caolín.

Además, se observa una disminución de la compresibilidad con el aumento de la

succión a través de una disminución de la pendiente ( λ ). Esto también fue sugerido

en Alonso et. al. (1987). Sin embargo, Wheeler & Sivakumar (1995) muestran una

serie de ensayos sobre un caolín, donde la compresibilidad ( λ ) aumenta a medida

que aumenta la succión. Entre otros autores que confirman este aspecto se

encuentran Maâtouk et al. (1995) y Ng & Chiu (2001) que presentan ensayos isótropos

sobre un limo y una arena limosa respectivamente.


86

F igura 2.56 Ensayo de compres ión isót ropa a succ ión constante (Rampino et a l . ,

2000) .

En la trayectoria de descarga que se muestra en la Figura 2.56 se observa que el

suelo aumenta su volumen específico para las distintas succiones. Este

comportamiento de descarga elástica es similar al observado en los suelos saturados.

No se observa una variación importante de la pendiente de descarga para las

diferentes succiones.

Otro aspecto importante que se muestra en la Figura 2.56 es la variación del grado de

saturación con la tensión neta a lo largo del ensayo. Se observa un incremento

irreversible del grado de saturación durante la carga y un retorno elástico en la

descarga. También presenta un ciclo de histéresis entre la carga – descarga y recarga.

Este aspecto lo analizaremos en la sección 2.6.6.

El comportamiento de un suelo parcialmente saturado sometido a un proceso de

humedecimiento (2) es función de sus condiciones iniciales (densidad y tensión neta).

Un suelo con un determinado índice de poros inicial puede experimentar

deformaciones de colapso para una tensión neta alta, expansiones para una tensión

neta baja o en una situación intermedia donde inicialmente se producen un aumento

del volumen (expansión) y luego disminución del mismo. Esto fue comprobado

experimentalmente por Escario & Sáez (1973) (Figura 2.57) y Josa (1988) entre otros

autores.


87

F igura 2.57 Ensayo de humedecimiento ba jo carga constante (Escar io & Sáez, 1973)

El comportamiento volumétrico dependiente de la tensión neta y la succión en

trayectorias de humedecimiento y en trayectorias de carga isótropa fue representado

por Matyas & Radhakrishna (1968) a través de las “Superficies de Estado”. Los

mismos realizaron una serie de ensayos de compresión isótropa y anisótropa bajo dos

trayectorias: a) succión constante y tensión neta creciente (carga isótropa) y b) tensión

neta constante y disminución de la succión (humedecimiento). Las “Superficies de

Estado” están representadas en los planos e p s− − y Sr p s− − . Hay una serie de

expresiones matemáticas para dichas superficies entre las que se pueden nombrar las

expresadas por Lloret & Alonso (1985). Se ha demostrado que no existe una única

superficie de estado en función del índice de poros, la tensión neta y la succión para

trayectorias de aumento de succión (secado) o descarga.

En las trayectorias de tensión neta constante y en los ciclos de disminución y aumento

de la succión (ciclos de humedecimiento y secado) se observa dos aspectos

importantes: a) las ramas de humedecimiento siguen el comportamiento expresado en

el punto (2), pudiendo presentarse: un aumento del índice de poros (expansión), una

disminución del índice de poros (colapso) o ambos (expansión y colapso), en función

de las condiciones iniciales de la muestra; y b) en la rama de secado se observa

siempre una disminución del índice de poros. Ejemplos de este tipo de

comportamientos fueron presentados por varios autores. (Pousadas, 1984; Alonso et

al.,1995; Wheeler et al., 2003)


88

F igura 2.58 Cic los de humedecimiento y secado sobre un Caol ín compactado ba jo

carga isót ropa. (Ensayos rea l izados por Buisson, publ icados en Wheeler et a l . 2003)

2.6.5 Comportamiento a cortante

El comportamiento a cortante de los suelos parcialmente saturados fue estudiado

desde los años sesenta hasta la fecha por varios autores tanto en ensayos de corte

directo como en ensayos triaxiales. Se han sucedido distintas interpretaciones que

llevaron a distintas expresiones de la resistencia al corte en los suelos parcialmente

saturados. Una de las primeras expresiones se debe a Bishop et al. (1960), los cuales

presentan la resistencia al corte para suelos parcialmente saturados bajo el criterio de

rotura tipo Mohr – Coulomb y la tensión efectiva de Bishop (1959) según:

( )( ) tana a wc u u uτ σ χ φ′ ′= + − + − ⋅ (2.135)

Esta expresión no tuvo aceptación por lo indicado en la sección 2.6.2 referente a la

validez de la tensión efectiva en suelos parcialmente saturados.

Basado en el mismo criterio de rotura, Fredlund et al. (1978) proponen una expresión

para la resistencia última de los suelos parcialmente saturados en función de la

tensión neta (σ - ua) y la succión matricial (ua - uw) como variables:

( ) ( )tan tana a w bc u u uτ σ φ φ′ ′= + − ⋅ + − ⋅ (2.136) donde c´ y φ´ son los parámetros saturados de cohesión y ángulo de rozamiento, y φb

es el ángulo de rozamiento asociado a la succión. Este ángulo es considerado

constante.


89

Escario & Sáez (1986, 1987) demuestran que φb no es constante con la succión por lo

tanto el aumento de la resistencia con la succión no es lineal como lo expresa la

ecuación (2.136). En la Figura 2.59 se observa el incremento no lineal de la resistencia

al corte con los incrementos de succión en ensayos de corte directo bajo succión

controlada sobre la arena de miga. Este comportamiento fue confirmado por Gan et al.

(1988) y Jucá (1989, 1993). En la Figura 2.59 a) se observa que la succión incrementa

la cohesión aparente del suelo pero no se produce variación del ángulo de rozamiento

con la succión.

F igura 2.59 Ensayos de cor te d i recto ba jo succ ión cont ro lada sobre la arena de miga

(Escar io & Sáez,1986)

En la misma serie de ensayos de Escario & Sáez (1986), pero sobre arcillas, se

observa que el ángulo de rozamiento interno aumenta a medida que crece la succión,

por lo tanto la pendiente en el plano τ − (σ−ua) aumenta con la succión.

La resistencia al corte interpretada en el plano tensión desviadora – tensión neta fue

presentada como una extensión de un modelo tipo Cam Cay modificado para suelos

parcialmente saturados por Alonso et al. (1990) según:

( ) ( )a a wq M p u M k u u= ⋅ − + ⋅ ⋅ − (2.137)

donde M es la pendiente del estado crítico en el plano q p− , p es la tensión neta (p

- ua), (ua - uw) es la succión matricial y k es una constante. Se observa que este criterio

considera que la resistencia última aumenta con la succión de forma lineal como la

ecuación (2.136) y que el ángulo de rozamiento no varia con la succión (M = cte)


90

Otra interpretación de la resistencia al corte se debe a Toll (1990). La misma se basa

en una serie de ensayos triaxiales a humedad constante sobre una grava y tiene la

siguiente expresión:

( ) ( )a a w a wq M p u M u u= ⋅ − + ⋅ − (2.138)

donde Ma y Mw son dos funciones de grado de saturación y se pueden equiparar con

φ´ y φb según la interpretación dada por Fredlund. El autor utiliza una técnica de

regresión múltiple para determinar la contribución de cada expresión de Ma y Mw en

función del grado de saturación.

Posteriormente Wheeler & Sivakumar (1995) presentan una serie de ensayos triaxiales

sobre un caolín de donde se deduce la siguiente ecuación para interpretar la

resistencia al corte:

( ) ( ) ( )as sq M p u μ= − + (2.139) donde ( )sM y ( )sμ son dos funciones de la succión que se determinan

experimentalmente.

En los últimos años se ha presentado una serie de interpretaciones de la resistencia al

corte incorporando la tensión efectiva de Bishop según:

( )( )a a wq M p u u uχ= − + − (2.140)

Según los autores el parámetro χ toma diferentes funciones. Desde las más simples,

donde χ = Sr (Jommi & di Prisco, 1994; Bolzon et al., 1996; Tamagnini & Pastor, 2004)

a otra que incorporan más parámetros. Entre estas últimas destaca las propuestas por

Khogo et al. (1993):

( )( )2

1 e

e c ee

e e

para s sa s s

para s ss s a

χ

<⎧⎪ −= ⎨ >⎪ − +⎩

(2.141)

donde es es la succión de entrada de aire, cs es la succión crítica y ea es un

parámetro del material.


91

Loret & Khalili (2000) emplean una formulación de χ como el mejor ajuste de una serie

de ensayos recopilados en Khalili & Khabbaz (1998). La misma es función de la

succión de entrada de aire es según:

0,55

1

ee

e

s para s ss

para s s

χ

−⎧⎛ ⎞⎪ >⎜ ⎟= ⎨⎝ ⎠⎪ <⎩

(2.142)

Cabe destacar que las expresiones anteriores de χ son función de la succión

únicamente. Este tipo de formulación no permite incorporar directamente los efectos

de la histéresis hidráulica dentro de la formulación como ocurre cuando χ es función

del grado de saturación. Este tema se aborda con más detalle en el Capitulo 6.

Por último, Tarantino & Tombolato (2005) proponen una expresión de χ en función del

grado de saturación del macro poros, basado en los trabajos previos de Romero &

Vaunat (2000), según:

w wm

rMwm

e eSe e

χ −= =

− (2.143)

donde ewm es el índice de poros de agua microestructural, que según indican Romero &

Vaunat (2000) representa la separación entre el macro poro y la porosidad

intragranular de un material arcilloso.

2.6.6 Comportamiento hidro-mecánico

La influencia de la curva de retención en el comportamiento mecánico de un suelo

parcialmente saturado no ha sido tenida en cuenta en el desarrollo de los modelos

constitutivos iniciales. Toll (1990) indicó que la resistencia al corte y la succión están

fuertemente influenciadas por el grado de saturación. Además resalta que la

incorporación del contenido de agua o el grado de saturación son esenciales para

representar el comportamiento de un suelo parcialmente saturado.

Rampino et al. (2000) presentan una serie de ensayos triaxiales drenados con

medición de los cambios del contenido de agua en una arena limosa densa. En la

sección 2.6.4 se mostró la variación del grado de saturación debido a una carga y

descarga isótropa a succión constante.


92

En la Figura 2.60 se observa la respuesta para una trayectoria de tensiones 3q p∂ ∂ =

a succión constante. Todos los ensayos muestran un flujo de agua saliente durante las

deformaciones volumétricas de compresión y un ingreso de agua para deformaciones

volumétricas dilatantes.

F igura 2.60 Ensayo de compres ión drenado a 200kPa de succ ión (Rampino et a l . ,

2000)

La Figura 2.56 y Figura 2.60 muestran que los cambios irreversibles del contenido de

agua están acoplados a las deformaciones volumétricas del esqueleto sólido.

Recientemente, varios autores (Vanuat & Romero, 2000; Wheeler et al. 2003; Sun et

al. 2007) demostraron como el acoplamiento que existe entre el comportamiento

mecánico e hidráulico se puede cuantificar a través de la incorporación de la curva de

retención y de los efectos de histéresis en la formulación del modelo.


93

Uno de los trabajos que expone el efecto de la histéresis hidráulica en la resistencia al

corte fue presentado por Han et al. (1995). En la Figura 2.61 se muestra la curva de

dos ensayos de corte directo sobre muestras a igual succión, pero con distinta historia

hidráulica. Una alcanza la succión de ensayo a partir de una trayectoria de

humedecimiento, y la otra a partir de una trayectoria de secado.

F igura 2.61 Efecto de la h is tor ia h idráu l ica en la res is tenc ia en cor te d i recto (Han et

a l . , 1995)

Esto implica que la incorporación de la histéresis hidráulica produce histéresis en el

comportamiento al corte. Sabiendo que a igual succión el grado de saturación sobre la

rama principal de humedecimiento es menor que el grado de saturación sobre la rama

de secado (SrW < SrD), se observa que el valor de la tensión desviadora máxima para

SrD es mayor. Este aspecto requiere más evidencias experimentales que lo confirmen.

2.7 Modelos constitutivos en suelos parcialmente saturados con parámetro de estado

2.7.1 Breve reseña de los principales modelos

Los modelos constitutivos para suelos parcialmente saturados tuvieron un especial

auge en la década de los noventa. Entre los modelos más destacados se encuentran

los modelos de Alonso et al. (1990), Wheeler & Sivakumar (1995); Cui & Delage

(1996); Sivakumar & Wheeler (2000a,b), dentro del grupo modelos formulados en

función de una pareja de valores de tensiones independientes, y los modelos de

Khogo et al. (1993) y Jommi & di Prisco (1994), Bolzon et al. (1996) formulados en

función de un único tensor de tensiones.


94

En Wheeler & Karube (1995) y Gens (1995) se presenta una revisión de los modelos

constitutivos iniciales en suelos parcialmente saturados.

El modelo de Alonso et al. (1990) como otros desarrollados en términos de la tensión

neta, la succión y el volumen especifico, pero sin incorporar el grado de saturación y

los efectos histéresis, tiene problemas para reproducir ciertas trayectorias de tensiones

asociadas a incrementos de succión o ciclos de humedecimiento y secado.

En los últimos años, se desarrollaron modelos constitutivos que incorporan el

acoplamiento mecánico y hidráulico en su formulación. Vanapalli et al. (1996) presenta

un modelo con incorporación de la curva de retención para predecir la resistencia al

corte en un suelo parcialmente saturado. Incorpora la expresión de Fredlund & Xing

(1994) en el marco de un modelo tipo Mohr-Coulomb. Wheeler (1996) presenta una

extensión al modelo Wheeler & Sivakumar (1995) incorporando una función del

volumen especifico de agua, el cual define el contenido de agua en el suelo.

Vanuat et al. (2000) presentan un modelo con acoplamiento hidro-mecánico formulado

en tensiones independientes basado en el modelo BBM (Barcelona Basic Model).

Incorporan los efectos de la curva de retención y su dependencia con el índice de

poros, y los efectos de histéresis hidráulica ante ciclos de humedecimiento y secado.

Esto lo realizan incorporando una superficie de fluencia asociada a los cambios del

contenido de agua durante el secado y otra durante el humedecimiento. El modelo se

presentó solo en condiciones isótropas de tensiones. Buisson & Wheeler (2000)

incorporan la influencia de la histéresis hidráulica en un estado de tensiones isótropo

de forma conceptual. Proponen dos superficies de fluencia que tienen asociada el

aumento (SI) y disminución (SD) de la succión, una superficie asociada a la

compresión plástica de los poros llenos de agua (CW) y por último una superficie (CA)

asociada a la compresión plástica de los poros de aire. Geiser et al. (2000) presenta

una extensión del modelo HISS-δ1 para los suelos parcialmente saturados.

Tamagnini & Pastor (2004) y Fernández Merodo et al. (2004,2005) presentan una

adaptación del modelo original de Pastor et al. (1990) a los suelos parcialmente

saturados. Está formulado en tensiones efectivas de Bishop con χ = Sr e incorpora una

función de endurecimiento en función del grado de saturación, como realizó Tamagnini

(2004) sobre un modelo tipo Cam-Clay. Los conceptos de este modelo y las

modificaciones introducidas en el mismo se desarrollan en el Capítulo 6.


95

2.7.2 Modelos constitutivos para suelos parcialmente saturados unificados

Con el término “unificado” se hace referencia a los modelos constitutivos que requieren

un único juego de parámetros para reproducir diferentes trayectorias de tensiones,

condiciones de saturación, densidad y presiones de confinamiento. Chiu & Ng (2003)

presenta una adaptación del modelo constitutivo de Alonso et al. (1990) para

incorporar el parámetro de estado en su formulación basado en los trabajos previos de

Li & Dafalias (2000). Si bien no alcanza la unificación de los parámetros del modelo

para las diferentes succiones, representa con bastante precisión el comportamiento

triaxial de una arena limosa y una arena con gravas.

Sun et al. (2003) presentan un modelo 3D basado en los conceptos SMP para suelos

compactados con diferentes densidades. El estado tensional se supone como las

suma de la tensión neta y la denominada tensión de succión. Esta última esta

representada por una función hiperbólica de la succión. Incorpora las líneas de

compresión normal para diferentes succiones con convergencia un punto N, el cual no

varía con la succión. Realiza predicciones solamente en arcillas. Sun et al. (2007)

presentan una modificación al modelo incorporando en forma explicita la curva de

retención y asumiendo las tensiones efectivas de Bishop con χ = Sr. El modelo tiene la

capacidad para predecir la influencia de la densidad en el comportamiento

parcialmente saturado de una arcilla para trayectorias isótropas y trayectorias de corte

con inclusión de un humedecimiento a un determinado nivel tensional.

Gallipoli et al. (2003a) presenta un modelo con la incorporación un parámetro de

cementación (ξ) asociado a las fuerzas capilares como se desarrolló en la sección

2.6.2.1. El mismo permite la unificación de los parámetros para las diferentes

succiones. Las trayectorias de tensiones que predice el modelo son: ciclos de carga y

descarga isótropa, y ciclos de humedecimiento y secado bajo carga isótropa.

Basado en los conceptos termodinámicos de Housby (1997), Wheeler et al. (2003)

presenta un modelo para trayectorias isótropas en función de la tensión efectiva

Bishop y la succión modificada ( *s n s= ⋅ ). Incorpora una función bi-lineal para las

ramas principales de humedecimiento y secado y una función lineal para la rama

secundaria. Define tres superficies de fluencia (SI, SD y LC) con flujo asociado y

presenta solo simulaciones cualitativas en el plano isotropico.


96

Russell & Kalili (2006) presentan un modelo basado en la teoría de superficie límite

para arenas y arcillas incorporando el parámetro de estado en una regla de flujo no

asociada. Está formulado en tensiones efectivas con χ igual a la ecuación (2.142) y el

acoplamiento entre las distintas fases se realiza en función lo expresado en Loret &

Khalili (2000). Se presentan simulaciones de ensayos triaxiales de una arena no

saturada en condiciones drenadas y no drenadas.

Otro modelo que unifica los parámetros para diferentes condiciones iniciales fue

presentado recientemente por Li (2007a, 2007b).

2.8 Conclusiones

Se ha presentado una revisión bibliográfica de los temas principales que aborda el

presente estudio.

Se ha realizado una reseña de las relaciones constitutivas más relevantes en

geomateriales y los principales avances de los últimos años en la modelización de los

suelos granulares.

Se analizaron detalladamente el comportamiento de los suelos granulares saturados

para diferentes condiciones iniciales en el marco del estado crítico y de los parámetros

de estado, estudiando los diferentes enfoques encontrados en la literatura técnica.

Los modelos constitutivos con incorporación de parámetros de estado fueron

analizados en el presente capítulo. En el Anexo A se presentan los detalles de la

formulación y se indican las ventajas e inconvenientes de cada uno. Las principales

características del modelo constitutivo de Li & Dafalias (2000) han sido estudiadas y se

han programado la ecuación constitutiva para simular el comportamiento de la arena

Toyoura.

El comportamiento hidro-mecánico de los suelos parcialmente saturados ha sido

expuesto. El estado tensional de los mismos ha sido desarrollado basado en la teoría

de mezclas de un medio poroso. Las fuerzas capilares y la influencia de la succión en

los parámetro de estado ha sido analizado y se ha presentado una breve reseña de los

principales modelos constitutivos para suelos parcialmente saturados.

Capítulo 3

Modelo constitutivo propuesto basado en la Plasticidad Generalizada

3.1 Introducción

En el presente capítulo se propone un modelo constitutivo del tipo Plasticidad

Generalizada para simular diferentes trayectorias de carga en condiciones saturadas

para un rango importante de presiones de confinamiento y de densidades con un único

juego de constantes intrínsecas para cada material .

Se inicia el desarrollo presentando los fundamentos de la Teoría de Plasticidad

Generalizada y la formulación del modelo original Pastor – Zienkiewicz con sus

principales ventajas e inconvenientes. Posteriormente se presentan las bases de las

modificaciones propuestas y su formulación basada en los parámetros de estado.

El modelo ha sido calibrado en el Capítulo 5 para una serie de arenas presentadas en

la literatura como la arena Toyoura, la arena Banding y la arena Kurnell. Igualmente,

para su calibración se utiliza un programa de ensayos de laboratorio sobre una arena

típica del subsuelo de Madrid denominada “arena de miga”, el cual se presenta en el

Capítulo 4

En el Capítulo 6 el modelo constitutivo propuesto se extiende a condiciones no

saturadas, logrando una generalización del modelo a diferentes condiciones de

saturación, densidad, presión de confinamiento y trayectoria de tensiones para un

suelo con un único juego de parámetros para cada material.


3.2 Teoría de Plasticidad Generalizada

3.2.1 Introducción

La formulación de la Teoría de la Plasticidad Generalizada se debe a Zienkiewicz &

Mróz (1984) y Mróz & Zienkiewicz (1984), y fue posteriormente formalizada con un

modelo constitutivo para arenas y arcillas bajo diversos condiciones de carga por

Pastor et al. (1985,1987,1990) y Zienkiewicz et al. (1985). La ventaja principal radica

en su capacidad de simular la respuesta tensión - deformación en distintas

condiciones iniciales bajo carga monótona y cíclica, tanto en condiciones drenadas

como no drenadas, sin requerir la definición explícita de la superficie de fluencia y del

potencial plástico. Además, no requiere leyes de consistencia para determinar el

módulo plástico, sino que se obtiene a través de expresiones analíticas en función del

comportamiento del material.

3.2.2 Fundamentos

El comportamiento elastoplástico de un material se define especificando la relación

entre los incrementos de tensión y deformación:

:d d=ε C σ (3.1)

donde y son los incrementos de los tensores de segundo orden de tensión y

deformación total respectivamente y C es un tensor de cuarto orden que depende de

la trayectoria de tensiones; de la dirección del incremento de tensión aplicado m y de

las variables de estado:

dσ dε

( , , )=C C m σ α (3.2)

Dado que el material se comporta de forma distinta durante los procesos de carga y de

descarga, la Teoría de Plasticidad Generalizada propone desdoblar la ecuación (3.1)

para tener en cuenta este fenómeno:

(3.3) :Ld =ε C σd

d (3.4) :Ud =ε C σ

98

Capítulo 3 Modelo constitutivo propuesto basado en la Plasticidad Generalizada

99

a

y define un vector dirección n en el espacio de tensiones, igual que en la teoría de

plasticidad clásica, que distingue entre la carga y la descarga:

(3.5)

: 0 Carga: 0 Carga Neutr: 0 Descarga

e

e

e

ddd

>

=

<

σ nσ nσ n

donde dσe es el incremento de tensión elástico y está dado por el incremento de

tensión que se produciría si el material fuera elástico. Para asegurar la condición de

continuidad entre el proceso de carga y descarga, la Teoría de Plasticidad

Generalizada sugiere la siguiente expresión para el tensor constitutivo:

1 1L e U e

gL gUL UH

= + ⊗ = + ⊗C C n n C C n nH

p

d

(3.6)

donde es un tensor de cuarto orden que caracteriza el comportamiento elástico del

material, n

eC

g es un tensor unitario arbitrario que define la dirección del flujo plástico y

HL/U son magnitudes escalares denominadas módulo plástico en carga (L) y en

descarga (U).

Los incrementos de deformación total se han descompuesto en dos sumandos, uno

elástico y otro plástico:

(3.7) ed d d= +ε ε ε

con

(3.8) :e ed =ε C σy

( )//

1 :pgL U

L U

dH

= ⊗ε n n σd

d

(3.9)

quedando la relación entre los incrementos de deformación total y los incrementos de

tensión:

(3.10) / :epL Ud =ε C σ

Para reproducir el comportamiento elastoplástico de un material de acuerdo a TGP se

deben conocer los siguientes parámetros:


eC Tensor de comportamiento elástico

n Vector que distingue entre situaciones de carga y descarga

gn Vector de dirección del flujo plástico en carga y descarga

/L UH Módulos plásticos en carga y descarga

La inversión del tensor nos da el equivalente como: epC epD

/

/ /

= −+

e egL Uep e

T eL U gL UHD n nD

D Dn D n (3.11)

3.3 Modelo constitutivo original para suelos granulares

En esta sección se desarrolla las principales características del modelo constitutivo

Pastor – Zienkiewicz – Chan, basado en la Teoría Generalizada de la Plasticidad

presentado en Pastor et al. (1985) y ampliado en Pastor et al. (1990).

La formulación en el plano triaxial de los espacios de tensiones y deformaciones están

expresados en forma incremental según:

( )

( )1

1 3

1´ ´ 23

´ ´

dp d d

dq d d

3´σ σ

σ σ

= +

= − (3.12)

(1 3

1 3

223

)

ε ε ε

ε ε ε

= +

= −

v

s

d d d

d d d (3.13)

Para simular el comportamiento elástico, el modelo define las constantes elásticas en

función de y se expresan de la siguiente manera: ´p

3

es

ev

dqdG

dpdK

ε

ε

=

= (3.14)

100


101

donde

00

00

´´´´

pG GppK Kp

=

= (3.15)

G0 y K0 son los parámetros elásticos del modelo y representan el módulo elástico

tangencial o de corte y el módulo elástico volumétrico respectivamente.

El comportamiento plástico del modelo está definido por los términos que intervienen

en las siguientes ecuaciones:

(/

1ε ′= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅pv gv v s

L U

d n n dp nH

)dq (3.16)

(/

1ε ′= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ps gs v s

L U

d n n dp nH

)dq (3.17)

que son:

• la dirección del flujo plástico (ngv , ngs),

• la dirección de carga y descarga (nv , ns),

• el módulo plástico HL/U.

La dirección del flujo plástico representada por el vector unitario ng determina la

dirección en la que se producirá la deformación plástica al aplicar un incremento de

tensiones en el suelo y se puede expresar como:

( ),T

g gv gsn n=n (3.18)

donde en el plano triaxial viene dado por:

2

2

1

11

ggv

g

gs

g

dn

d

nd

=+

=+

(3.19)


gd representa la dilatancia del suelo y se expresa según:

( ) (1p

vg gp

s

ddd

ε )gMα ηε

= = + ⋅ − (3.20)

gM es la pendiente de la Línea de Estado Crítico en el plano q p′−

gα es una constante del material que se determina a partir diagrama d η−

Esta ley de dilatancia fue sugerida en Pastor, Zienkiewicz & Leung (1985) de acuerdo

a los resultados de los ensayos de Frossard (1983). Existen varias expresiones de la

dilatancia en la literatura como se expresaron en la Tabla 2.1.

La función de la dilatancia expresada en la ecuación anterior es cero (dg = 0) cuando

η = Mg; coincidiendo con el concepto de los modelos de Estado Crítico donde, una vez

alcanzado el mismo, no hay variaciones de deformación volumétrica mientras que el

material experimenta deformaciones desviadoras.

Desde el punto de vista de la Teoría Clásica de la Plasticidad, es necesario definir una

función de potencial plástico g de forma explícita, para poder determinar la regla de

flujo, en el caso de la Teoría de Plasticidad Generalizada no es necesario.

Igualmente podemos deducir la función del potencial plástico a partir de la ecuación de

la dilatancia propuesta, donde:

´

pv

ps

gdpgdq

ε

ε

∂=

∂∂

=∂

(3.21)

entonces:

( ) (´ 1p

vg gp

s

gd pd gd

q

ε )gMα ηε

∂∂= = = + ⋅ −∂∂

(3.22)

102


103

a lo largo de la superficie nos queda:

´´g

g gd dp dqp q

0∂ ∂= + =

∂ ∂ (3.23)

´

´

gdqp

g dpq

∂∂ = −∂∂

(3.24)

Reemplazando la ecuación (3.22) en (3.24) obtenemos:

( )1´g g

q dM´

qp dp

α⎛ ⎞

+ ⋅ − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.25)

Integrando esta última ecuación obtenemos la función de potencial plástico (Figura

3.1):

1 ´´ 1 1

1 ´

g

gg g

pg q p Mp

α

α⎛ ⎞ ⎡

≡ − ⋅ + ⋅ −⎜ ⎟⎤

⎢ ⎥⎜ ⎟+ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (3.26)

La dirección de carga y descarga está definida por el vector unitario n. En el caso de

suelos granulares Pastor, Zienkiewicz & Leung (1985) definen una regla de flujo no

asociada ng ≠ n expresado al vector dirección de carga y descarga en el plano triaxial

según:

2

2

1

11

fv

f

f

dn

d

nsd

=+

=+

(3.27)

donde

( ) ( )1f f fd Mα η= + ⋅ − (3.28)


Conocido el vector normal, de la misma forma que lo realizamos para la superficie de

potencial plástico, es posible obtener por integración la función de la superficie de

fluencia (Figura 3.1):

1 ´´ 1 1

1 ´

f

ff f

pf q p Mp

α

α⎛ ⎞ ⎡

≡ − ⋅ + ⋅ −⎜ ⎟⎤

⎢ ⎥⎜ ⎟+ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (3.29)

F igura 3.1 Super f ic ie de f luenc ia y de potenc ia l p lást ico a) arenas suel tas, b) arenas

medias y densas (Pastor et a l . , 1985)

Los valores de Mg y Mf expresados en las ecuaciones anteriores dependen del ángulo

de Lode θ , como sugirieron Zienkiewicz et al. (1977):

/6sin

3 sin cos3CS

g fCS

M φφ θ

=± ⋅ (3.30)

Para el caso de los suelos granulares que tienen un flujo no asociado, Pastor et al.

(1985) proponen como primera aproximación de la relación f

g

MM la siguiente

expresión:

f

rg

MD

M≈ (3.31)

Para la definición del módulo plástico en carga no es necesario aplicar la condición de

consistencia que se requiere en la Teoría Clásica de la Plasticidad, sino que se

formulan expresiones empíricas adecuadas, basadas en el comportamiento

experimentalmente observado, sugeridas por Pastor et al. (1986):

104


105

( )0 ´L DMH H p H f η= ⋅ ⋅ ⋅ (3.32)

( ) ( )0

4

11 1 ef g

fM

β ξη ηηη

− ⋅β⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − ⋅ − + ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (3.33)

fH vH sH

11f f

f

Mηα

⎛ ⎞= + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.34)

donde ξ es la deformación plástica de corte acumulada:

psdξ ε= ∫ (3.35)

Analizando los términos de la expresión (3.32), tenemos:

H0 es un parámetro multiplicador que expresa las deformaciones plásticas desde el

comienzo del proceso de carga (η = 0).

´p es el valor de la tensión volumétrica.

ηf define una superficie cónica no simétrica en el espacio de invariantes de tensiones

que actúa como un límite de estados posibles máximos y mínimos.

μ y αf son parámetros adimensionales.

Hv es una función decreciente hasta el valor nulo cuando el estado tensional alcanza el

Estado Crítico η = Mg cuando sobrepasa la LEC toma valores negativos. Esto implica

que el módulo plástico disminuye y las deformaciones plásticas aumentan.

Hs caracteriza la degradación del material bajo la deformación plástica de corte

acumulada. Es una función decreciente asintótica a cero a medida que la deformación

progresa, evita que el módulo plástico en carga tome el valor nulo una vez que el

recorrido tensional cruza la LEC por primera vez.


Permite reproducir adecuadamente los picos y posterior reblandecimiento en la curva

tensión – deformación, como es el caso de ensayos triaxiales drenados de arenas

densas. Las condiciones residuales se dan sobre la LEC. Esta ley fue sugerida por

Wilde (1977), que tomó la idea de los Modelos Endocrónicos, posteriormente aplicada

por Pastor et al. (1985).

HDM es una función de memoria que se puede expresar según:

max

DMHγ

ζζ

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦ (3.36)

HDM tiene en cuenta un doble mecanismo de endurecimiento inducido por la

deformación plástica a través de la función movilizada ζ :

1

111

g

g g

pM

α

ηζα

−⎡ ⎤⎛ ⎞

′= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟+⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (3.37)

Para el caso isótropo pζ ′= .

El módulo plástico en descarga supone que existen deformaciones plásticas desde el

inicio de la descarga y viene expresado por:

0

0

1

1

u

g gu u

u

gu u

u

M MH H para

MH H para

γ

η η

η

⎛ ⎞= ⋅ >⎜ ⎟

⎝ ⎠

= <

u (3.38)

En la Tabla 3.1 se indican los parámetros del modelo constitutivo y en Zienkiewicz et

al. (1999) se describe un método de calibración en función de los datos

experimentales (pág. 235). Mayores detalles del modelo presentado se puede

encontrar en Pastor et al. (1985,1986,1987,1990,1992) y diferentes aplicaciones en

Pastor et al. (2002, 2004a, 2004b, 2004c), Fernández Merodo et al. (2004) y Estaire

Gepp (2004)

106


107

Tabla 3.1 Parámetros de l modelo const i tu t ivo de Pastor e t a l . (1990)

Parámetros Descripción

0G Módulo Tangencial (kPa)

0K Módulo Volumétrico (kPa)

gM Pendiente de la CSL

gα Pendiente en el diagrama d η−

fM Función de la densidad relativa y la pendiente de CSL

fα Se toma igual a gα

0H Multiplicador del módulo plástico en carga

1β Multiplicador de ajuste. Se toma igual a 4,2

0β Multiplicador de ajuste. Se toma igual a 0,2

γ Parámetro de ajuste

0uH Multiplicador del módulo plástico en descarga.

uγ Parámetro de ajuste.

3.4 Modelo PZ: simulación arena Toyoura

En el caso de las arenas, que tienen una respuesta diferente según el estado de

densidad inicial, el modelo requiere un múltiple juego de parámetros para reproducir su

comportamiento a diferentes densidades, debido a que no incorpora la densidad

relativa o el índice de poros como parámetro del modelo. Esta limitación hace que sus

parámetros sean dependientes de la densidad, la presión de confinamiento y la

trayectoria de tensiones, tratando una misma arena en diferentes estados iniciales o

bajo trayectorias de tensiones distintas como un material distinto. Para representar la

dependencia de las constantes de modelo PZ original con las condiciones iniciales se

ha utilizado una serie de resultados de ensayos triaxiales con deformación controlada

sobre la arena Toyoura, presentados por Verdugo & Ishihara (1996), y se compararon

con los resultados de la simulación del modelo original. Los estados iniciales y las

propiedades índice (Gs, D50, emáx, emín, Cu,) de esta arena están presentadas en el

Capítulo 5 junto con las simulaciones del modelo constitutivo modificado.


La elección de esta arena se debe a que se cuenta con ensayos trixiales drenados y

no drenados para un rango importante de densidades (Dr = 4.5 % a Dr = 63,7%) y de

presiones de confinamiento (100 a 3000kPa).

En la Figura 3.2, Figura 3.3 y Figura 3.4 se presentan los resultados de los ensayos no

drenados (líneas y puntos) junto a las simulaciones (líneas) realizadas con el modelo

original en los planos y q p′− 1q ε− . Se observa que el modelo predice con exactitud

la trayectoria de tensión para todas las densidades. En el caso de arenas de densidad

media y suelta predice la tensión máxima alcanzada con bastante exactitud, pero

sobrestima levemente el pos-pico. En arenas densas sometidas a presiones de

confinamiento bajas no captura con exactitud el proceso deformacional hasta alcanzar

el Estado Crítico. Esto se debe principalmente a que el índice de poros crítico y la

relación de tensiones críticas no se alcanzan conjuntamente.

En la Figura 3.5 y Figura 3.6 se presentan los mismos resultados en ensayos

drenados.


0

1000

2000

3000

4000

0 1000 2000 3000 4000


Tens

ión

Des

viad

ora,

q

Resultados de ensayosSimulación Modelo


0

1000

2000

3000

4000

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Deformación Axial

Tens

ión

Des

viad

ora,

q

F igura 3 .2 Comparac ión ent re resul tados de ensayos t r iax ia les no drenados (Verdugo

& Ish ihara, 1996) y la s imulac ión de modelo or ig ina l de Plast ic idad Genera l izada para Dr = 63.7%.


0

500

1000

1500

2000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500


Tens

ión

Des

viad

ora,

q



0

500

1000

1500

2000

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Deformación Axial

Tens

ión

Des

viad

ora,

q



108


109


0

200

400

600

800

1000

1200

0 500 1000 1500 2000 2500 3000Tensión Efectiva Principal, p´

Tens

ión

Des

viad

ora,

q



0

200

400

600

800

1000

1200

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Deformación Axial

Tens

ión

Des

viad

ora,

q



Toyoura Sand (p´=100kPa)

0

50

100

150

200

250

300

0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05

Indice de poros, e

Tens

ión

Des

viad

ora,

q


0

50

100

150

200

250

300

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3Deformación Axial

Ten

sión

des

viad

ora,

q

e = 0.831 (eny)e = 0.917 (eny)e = 0.996 (eny)e = 0.831 (sim)e = 0.917 (sim)e = 0.996 (sim)

F igura 3 .5 Comparac ión ent re resul tados de ensayos t r iax ia les drenados (Verdugo & Ish ihara, 1996) y la s imulac ión de modelo or ig ina l de Plast ic idad Genera l izada para

p0 = 100kPa.


0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1Indice de poros, e

Tens

ión

Des

viad

ora,

q


0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600


Tens

ión

Des

viad

ora,

q


F igura 3.6 Comparac ión ent re resu l tados de ensayos t r iaxia les drenados (Verdugo & Ish ihara, 1996) y la s imulac ión de modelo or ig ina l de Plast ic idad Genera l izada para

p0 = 500kPa.


Los parámetros utilizados para simular cada combinación de densidad y presión de

confinamiento están expresados en la Tabla 3.2. La calibración de las constantes se

realizó según lo indicado en Zienkiewicz et al. (1999).

Tabla 3.2 Parámetros de l modelo PG or ig ina l para s imular la arena Toyoura

e0 p0[kPa] Kevo Geso Mg α g Mf α f H0 μ β0 β1

P arámetros ensayos no drenados0,735 100 25000 200000 1,25 0,45 0,65 0,45 176 4 4,2 0,2

1000 25000 250000 1,25 0,45 0,87 0,45 120 4 4,2 0,2 2000 20000 250000 1,25 0,45 0,95 0,45 60 4 4,2 0,2 3000 15000 300000 1,25 0,45 0,85 0,45 35 4 4,2 0,2

0,833 100 40000 50000 1,25 0,45 0,49 0,45 800 4 4,2 0,2 1000 30000 60000 1,25 0,45 0,50 0,45 520 4 4,2 0,2 2000 30000 140000 1,25 0,45 0,54 0,45 80 4 4,2 0,2 3000 30000 160000 1,25 0,45 0,56 0,45 21 4 4,2 0,2

0,907 100 30000 35000 1,25 0,45 0,47 0,45 1500 4 4,2 0,2 1000 30000 50000 1,25 0,45 0,47 0,45 75 4 4,2 0,2 2000 50000 120000 1,25 0,45 0,47 0,45 20 4 4,2 0,2

Parámetros ensayos drenados 0,831 100 35000 50000 1,25 0,45 0,45 0,45 10000 4 4,2 0,2 0,917 6500 10000 1,25 0,45 0,43 0,45 3500 4 4,2 0,2 0,996 2000 5000 1,25 0,45 0,43 0,45 3000 4 4,2 0,2 0,810 500 450 35000 1,25 0,45 0,44 0,45 10000 4 4,2 0,2 0,886 20000 30000 1,25 0,45 0,43 0,45 3000 4 4,2 0,2 0,960 15000 20000 1,25 0,45 0,43 0,45 750 4 4,2 0,2

Por lo tanto, para simular las 17 condiciones iniciales de la arena Toyoura indicadas en

la Tabla 3.2, el modelo requiere de 11 constantes para cada condición inicial. El

inconveniente principal no es únicamente la cantidad de parámetros sino en el tiempo

requerido para su calibración. Igualmente, el modelo no captura adecuadamente el

proceso deformacional hasta alcanzar el Estado Crítico (Figura 3.2 y Figura 3.3). Estos

inconvenientes son superados con el modelo constitutivo modificado desarrollado en la

sección siguiente.

110


111

3.5 Modelo Pastor - Zienkiewicz modificado

3.5.1 Introducción

Como se expresó en el Capítulo 2, el comportamiento mecánico de los suelos

granulares presenta una fuerte dependencia de la densidad y de la presión de

confinamiento en todo el rango de deformaciones; desde deformaciones muy

pequeñas como las producidas por las estructuras de ingeniería a deformaciones muy

grandes asociadas a la rotura.

Una de las limitaciones más importantes de muchos modelos es que sus parámetros

son dependientes de la densidad y de la presión de confinamiento, como el modelo PZ

expuesto en la Sección . Esto significa que la formulación de la superficie de

fluencia, la tensión movilizada máxima y la relación de la dilatancia dependan de la

densidad. Por lo tanto, la respuesta tenso-deformacional de una arena con

condiciones iniciales distintas es tratada como si fueran materiales diferentes, con

parámetros del modelo distintos. Los modelos que incorporan el índice de poros dentro

de un parámetro de estado no tienen este inconveniente

3.3

. Esto ha llevado a varios

autores (Jefferies, 1993; Pestana, 1994; Manzari & Dafalias, 1997; Bahda et al., 1997;

Wan & Guo, 1998; Gajo & Wood, 1999; Li & Dafalias, 2000; Li, 2002; Wang et al.,

2002; Yang & Li, 2004) a expresar relaciones que incluyan esta doble dependencia del

comportamiento de las arenas y así poder desarrollar un marco teórico en el cual una

misma arena posea un único juego de propiedades intrínsecas.

Desde los primeros trabajos de Wroth & Bassett (1965) y Uriel (1975), se han

desarrollado diferentes formulaciones del parámetros de estado (Ver Sección 2.3.4).

Dichas formulaciones han permitido relacionar la variación de la densidad o de la

presión de confinamiento en función de un estado de referencia, como puede ser el

Estado Crítico, que se determina a partir de los ensayos convencionales como se

indicó en la Sección 2.3.1.

En esta sección se propone una extensión del modelo constitutivo Pastor-Zienkiewicz

para las arenas, teniendo en cuenta el concepto de parámetro de estado que nos

permite simular el comportamiento de una arena para un rango importante de

densidades y presiones de confinamiento con un único juego de parámetros

constitutivos. Parte de este trabajo se ha presentado en Manzanal et al. (2006).


3.5.2 Estado crít ico y parámetros de estado

El concepto de Estado Crítico (Casagrande, 1936; Roscoe et al. 1958; Schofield &

Wroth 1968) o Estado Estable (Poulos, 1981; Ishihara, 1993) es fundamental para

representar la relación entre la densidad relativa (Dr) o índice de poros (e) y la presión

de confinamiento (p´). En la Sección 2.3.1 fue explicado que, sin importar la densidad

inicial de una arena, la misma alcanza su estado último o de rotura sin variaciones en

la deformación volumétrica (η = MCS ; dεv=0 ) sobre la Línea de Estado Crítico. Como

se explicó en el Capítulo 2, se acepta la existencia de una única Línea de Estado

Crítico (Been et al., 1991) para las arenas en el plano q – p´:

R gq M pR′= ⋅ (3.39) y en el plano e p′− :

atm

atm

e e pp

ξ

λ⎛ ⎞′−

= ⎜ ′⎝ ⎠⎟ (3.40)

Esta última expresión fue propuesta por Li & Wang (1998) basados en los datos

experimentales de Verdugo & Ishihara (1996) sobre la arena Toyoura, como muestra

la Figura 3.7b.

La Figura 3.7a muestra los datos en Estado Crítico de la arena Toyoura en el plano e –

log p´ (símbolos). Se observa que para presiones bajas ( 0 a 400kPa) los datos se

alinean en una línea recta, en cambio para presiones medias (400kPa a 1000kPa) la

LEC cambia levemente de pendiente con una forma no lineal y para la presiones altas

(>1000kPa) cambia fuertemente de pendiente y la función es lineal nuevamente. Lo

mismo se observa en la Figura 3.8a. para la arena Kurnell (Russell & Khalili, 2004).

Según indican varios autores (Been et al. 1991, Pestana, 1994, Jefferies & Been,

2000) el cambio brusco de la pendiente de la LEC en el plano e-logp´ para tensiones

de confinamiento altas está influenciado por la rotura de partículas. Muchos modelos

constitutivos adoptan una LEC bi-lineal como se muestra en línea continua en Figura

3.7a. (Crouch & Wolfl, 1994) o una LEC tri-lineal como Russell & Khalili, 2004. Los

datos experimentales en Estado Crítico de la arena Toyoura y la arena Kurnell

interpretados con la ecuación (3.40) (Figura 3.7b y Figura 3.8b ) no muestran este

cambio de pendiente, pero no significa que la rotura de partículas a presiones

confinamiento altas no se produzca. Como indicamos en el Capítulo 2, el fenómeno de

rotura de partículas está influenciado por la mineralogía y las propiedades físicas

(tamaño de partículas, angularidad y granulometría).

112


113

La Figura 3.9 muestra los valores en Estado Crítico de la arena Toyoura y la arena

Kurnell en el plano q – p´. Independientemente de la tensiones efectivas principales se

observa que ambas arenas se alinean con una pendiente Mg, según la ecuación

(3.39).

Arena Toyouraa)

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

1

0,01 0,1 1 10Tensión efectiva principal , p´ [MPa]

Índi

ce d

e po

ros,

e

Arena Toyourab)

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

1

0 2 4 6 8 10 12

Tensión efectiva principal , (p"/pa)^ξ [MPa]Ín

dice

de

poro

s, e

F igura 3.7 Datos en Estado Cr í t ico de la arena Toyoura de Verdugo & Ish ihara (1996)

a) e - logp´ y b) e - (p/pa )^ζ .

Arena Kurnella)

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

10 100 1000 10000 100000

Tensión efectiva principal, p´ [kPa]

Índi

ce d

e po

ros,

e

TCD

TCU

Arena Kurnellb)

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 5 10 15 20Tensión efectiva principal, (p´/pa)^ξ [kPa]

Índi

ce d

e po

ros,

e

TCD

TCU

F igura 3.8 Datos en Estado Cr í t ico de la arena Kurnel l (Russel l & Khal i l i , 2004)

a) e - logp´ y b) e - (p/pa )^ζ .

Arena Toyoura

a)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5Tensión efectiva principal , p´ [MPa]

Tens

ión

desv

iado

ra, q

[Mpa

]

Arena Kurnell

b)

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20Tensión efectiva principal , p´ [MPa]

Tens

ión

desv

iado

ra, q

[MPa

]

F igura 3.9 Datos en Estado Cr í t ico en e l p lano q-p´ a) arena Toyoura (Verdugo &

Ish ihara, 1996) y b) arena Kurnel l (Russel l & Khal i l i , 2004)


Incorporando en el plano e – p´ la Línea de Estado Crítico como línea de referencia de

todos los estados posibles de densidad y presión de confinamiento de una arena, la

expresión del parámetro de estado propuesta por Been & Jefferies (1985) esta dada

por: atme

s c atmatm

pe e e ep

ξ

ψ λ⎛ ⎞′

= − = − + ⋅⎜ ′⎝ ⎠⎟ (3.41)

En la Figura 3.10 se indica el significado gráfico de la expresión anterior.

a

pp

ξ⎛ ⎞′⎜ ⎟⎝ ⎠

Tensión principal efectiva

LEC

maxe

mine

Índi

ce d

e po

ros,

e

0sψ >

0sψ <

a tme

F igura 3.10 Parámetro de estado def in ido por Been & Jef fer ies (1985)

Este parámetro mide la distancia entre el estado actual y el estado crítico, combinando

la influencia del índice de poros y la presión de confinamiento. Arenas limpias con

igual valor del parámetro de estado muestran un comportamiento relativamente

similar.

Valores positivos de ψ están asociados a comportamientos contractivos, mientras que

valores negativos de ψ significan comportamientos dilatantes

En el marco de la Plasticidad Generalizada, se puede reproducir el comportamiento

tensión – deformación del suelo de una manera unificada incorporando la variación de

la densidad por medio de la ecuación (3.41).

114


115

3.5.3 Bases de la modificación

Como se mencionó en el Capítulo 2, hay cuatro aspectos fundamentales a tener en

cuenta para estudiar el comportamiento de los suelos granulares desde un punto de

vista unificado, que se resumen en:

• el acoplamiento de las deformaciones volumétricas con las deformaciones

de corte, descriptas a través de la expresión de la dilatancia y su variación

con la densidad y la presión de confinamiento,

• la relación entre la tensión máxima alcanzada y el comportamiento pos-pico

y su dependencia con el estado inicial de suelo,

• la forma explícita o implícita de la superficie de fluencia asociada al

parámetro de estado,

• la dependencia del módulo plástico isótropo con las condiciones de

densidad.

En función de las premisas indicadas se presentan a continuación las modificaciones

realizadas en la estructura del modelo.

3.5.4 Regla de flujo

Como ya se ha mencionado, la dilatancia no puede depender únicamente de la

relación de tensiones η dado que toma un valor positivo o negativo, según el estado

del material.

La mayoría de los modelos constitutivos para suelos granulares hasta la década de los

noventa inclusive, adoptan una regla de flujo expresando la dilatancia como función de

la relación de tensiones. Estos modelos consideran la Línea de Transformación de

Fase (MPTS) constante e igual a la Línea de Estado Crítico (Tabla 2.1).

Como se expuso en la Sección 2.3.3 el punto de transformación de fase se alcanza

cuando el comportamiento de la muestra cambia de contractivo (η < MPTS) a dilatante

(η > MPTS).


La relación de tensiones alcanza el punto de transformación de fase (η = MPTS) cuando

ocurre la máxima compresión del material. Por lo tanto, la dilatancia es nula (d = 0).

Li & Dafalias (2000) muestran que MPTS no es constante y que es distinto del valor de

la pendiente de la Línea de Estado Crítico Mcs. Esta variación con el estado inicial se

muestra claramente en la Figura 3.11 donde los cuadrados rojos indican el punto de

transformación de fase en el plano q - p´ y se obtienen como el valor mínimo de

tensión efectiva principal. MPTS es mayor cuando la arena es más suelta.

Variación MPTS


0

1000

2000

3000

4000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500


Tens

ión

Des

viad

ora,

q

F igura 3.11 Var iac ión de la re lac ión de tens iones en la fase de t ransformación. (L i &

Dafa l ias , 2000)

Basados en la expresión original de Nova & Wood (1979), donde la dilatancia se

expresa como diferencia entre MPTS - η, varios autores expresaron una nueva

formulación de la dilatancia en función de los parámetros de estado o el índice de

poros inicial de suelo, incorporando la variación de MPTS (ver Capítulo 2).

La regla general adoptada es la siguiente:

• arena en estado denso PTS CSM M< ,

• arena en estado suelto PTS CSM M> ,

• arena en Estado Crítico PTS CSM M= .

La dilatancia debe ser nula cuando alcanza el Estado Crítico (d = 0 para η = MPTS y e =

ecs), pero puede ser nula sin alcanzar el Estado Crítico. En ese caso, la muestra se

encuentra en el estado de transformación de fase (d = 0 para η ≠ MPTS y e ≠ ecs) por lo

tanto la expresión adoptada es:

116


117

(0g PTS

g

ddM

)η η= ⋅ − (3.42)

donde

( )expPTS g sM mη ψ= ⋅ (3.43)

donde y son constantes del modelo, 0d m sψ es el parámetro de estado definido por la

ecuación (3.41), η es la relación de tensiones y gM representa la pendiente de la LEC

en el plano . q p′−

ηPTS es la relación de tensiones en el punto de transformación de fase, el cual depende

del parámetro de estado ψs. La ecuación (3.42) es válida para ψs < 0 (estados densos)

donde la pendiente de la transformación de fase es menor que la pendiente del estado

crítico, ηPTS < Mg; para ψs > 0 (estados sueltos) donde la desigualdad se invierte (ηPTS >

Mg) y para ψs = 0 donde se alcanza el estado crítico y ambas pendientes son iguales,

ηPTS = Mg .

La expresión anterior muestra la existencia de una familia de curvas η − d para

diferentes densidades y presiones de confinamiento. La Figura 3.12 muestra la

variación típica de la relación de tensiones η con la dilatancia para estados densos (ψs

< 0 ) y estados sueltos (ψs > 0) basado el la expresión (3.42). También se muestra la

relación η − d, usando la ecuación original de Pastor et al. (1990).

0,00

0,50

1,00

1,50

-0,50 0,00 0,50 1,00 1,50

d

η / M

g

Estado Crítico

EstadoTransformaciónde fase

Ψ >0

Modelo Original

Ψ <0

F igura 3.12 Comparac ión de la expres ión de d i la tanc ia de l modelo or ig ina l y

modi f icado.


En la Figura 3.13 se representa la variación de la expresión modificada de la dilatancia

durante un ensayo drenado para diferentes densidades iniciales de la arena Toyoura

en función del parámetro de estado. En el caso de la arena en estado suelto (e0 =

0,996 y ψs0 > 0) la dilatancia va disminuyendo hasta el valor nulo, donde alcanzan

conjuntamente el estado crítico en ψs = 0. Para el caso de la arena con

comportamiento dilatante (e0 = 0,81) se observa que la dilatancia toma el valor nulo sin

alcanzar el estado crítico donde se produce un cambio del comportamiento contractivo

al dilatante (Punto de Transformación de Fase). Luego converge al Estado Crítico,

donde el valor de parámetro de estado es igual a cero (ψs = 0) y la dilatancia se anula.

Toyoura Sand p´=100kPa

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

-0,5 0 0,5 1 1,5

Dilatancia, d

Pará

met

ro d

e es

tado

eo = 0.831

eo = 0.917eo = 0.996

F igura 3.13 Var iac ión de la d i latanc ia con e l parámetro de estado para d i ferentes dens idades en ensayos t r iax ia les drenados s imulado con e l modelo modi f icado.

En la Figura 3.14 se representa la variación de la dilatancia en función de la relación

de tensiones. Para la arena en estado suelto (e0 = 0,996), la dilatancia converge a cero

a medida que la relación de tensiones se acerca al valor de estado crítico (Mg = 1.25).

Para la arena en estado denso, la dilatancia toma el valor nulo en el punto de

Transformación de Fase y en el Estado Crítico.

Toyoura Sand p´=100kPa

-0,4

0

0,4

0,8

1,2

1,6

0 0,4 0,8 1,2

Relación de tensiones, q/p

Dila

tanc

ia, d

1,6

eo = 0.831

eo = 0.917

eo =0.996

F igura 3.14 Var iac ión de la d i latanc ia con la re lac ión de tens iones para d i ferentes

densidades en un ensayo t r iax ia l drenado

118


119

En la Figura 3.15 se muestra la relación de tensiones en función de la dilatancia para

tres densidades (Dr = 63.7%, Dr = 37.9%, Dr = 18.5%) y para diferentes presiones de

confinamiento iniciales. El valor mínimo de la dilatancia es menor a medida que

disminuye la presión de confinamiento.

Toyoura Sand Dr = 63,7% e = 0.735

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

-1 -0,5 0 0,5 1

Dilatancia, d

q/p

po´= 100 kPapo´= 1000 kPapo´= 2000 kPapo´= 3000 kPa

Toyoura Sand Dr = 37% e = 0,833

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5

Dilatancia, d

q/p

po´= 100 kPapo´= 1000 kPapo´= 2000 kPapo´= 3000 kPa

Toyoura Sand Dr = 18,5% e = 0,907

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5

Dilatancia, d

q/p

po´= 100 kPa

po´= 1000 kPa

po´= 2000 kPa


pres iones de conf inamiento en un ensayo t r iax ia l no drenado.


En la Figura 3.16 se observa como aumenta la dilatancia a medida que el índice de

poros decrece para una presión de confinamiento de 2000kPa. En la arena suelta

mostrada (e0 = 0,907) se observa que la dilatancia es siempre positiva, debido a su

comportamiento contractivo.

Toyoura Sand p´= 2000kPa

0

0,4

0,8

1,2

1,6

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5

Dilatancia, d

Rel

ació

n de

tens

ione

s, q

/p e = 0.735

e = 0.833

e=0.907


dens idades y una pres ión de conf inamiento de 2000kPa en ensayo t r iax ia l no drenado

En todos los casos, las muestras llegan al estado crítico de la arena Toyoura con Mg =

1.25 y dilatancia nula.

En la Figura 3.17 se muestra la variación de la dilatancia según datos experimentales

de la arena Toyoura presentados por Verdugo & Ishihara (1996). Se observa que la

forma de las simulaciones previamente mostradas son similares a los datos

experimentales.

F igura 3.17 Datos exper imenta les de la arena Toyoura de la re lac ión de tens iones -

d i la tanc ia. (Yang & L i , 2004)

120


121

En el modelo se adopta una regla de flujo no asociada por lo que las direcciones n y ng

son diferentes. El vector dirección ng = (ngv; ngs)T se expresa igual que en el modelo

original modificando la expresión de la dilatancia dada por la ecuación (3.42):

2

2

1

11

ggv

g

gs

g

dn

d

nd

=+

=+

(3.44)

Pastor et al., (1985) adoptaron la regla de flujo no asociada, basados en los trabajos

experimentales de Poorooshasb et al. (1966, 1967) y Tatsuoka & Ishihara (1974),

debido a que la dilatancia con el flujo asociado es mayor que la obtenida en los

ensayos experimentales en suelos granulares bajo corte drenado.

3.5.5 Dirección de carga y descarga

Varios autores demostraron la influencia de las condiciones iniciales en la formulación

de la superficie de fluencia. Bahda et al. (1997) propuso una superficie de fluencia en

función del índice de poros (e) y el parámetro de estado (Id) para incorporar la

dependencia de la densidad y la presión de confinamiento (Sección 2.5.4).

Como mencionamos en la Sección 3.2, los modelos basados en la Teoría de la

Plasticidad Generalizada no requieren definición explícita de la superficie de fluencia ni

del potencial plástico. Ambas superficies están expresadas por los vectores dirección n

y ng.

Por consiguiente, se modifica la expresión del vector dirección de carga y descarga

reemplazando la expresión original de df (ec. (3.28)) según:

( )( )02 2

1, E1 1

T

ff f s

ff f

d dd M mMd d

xp ψ η⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⋅⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

n donde ⋅ − (3.45)

Se observa que la expresión de df es similar a la ecuación (3.42) reemplazando Mg por

Mf.


Zienkiewicz et al. (1999) mencionan que de alguna manera Mf y Mg están relacionadas

a través de la densidad relativa (Dr(%)). Con el objetivo de unificar los parámetros

para todas las densidades, se propone la siguiente variación en función de la razón

entre el índice de poros inicial y el índice de poros en estado crítico según:

0

1 2f

q qg c

M eh hM e

β

ψ ψ⎛ ⎞

= − ⋅ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

donde (3.46)

donde y son parámetros del modelo, β es una constante igual 1,8 y 1h 2h qψ es un

parámetro de estado que tiene un rango de variación según:

maxmin

max minq

eee

β

e

β

ψ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

≤ ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(3.47)

donde ψq alcanza su valor más bajo, cuando la relación entre f gM M es igual a la

unidad y por lo tanto el flujo es asociado. Para cada estado inicial se puede determinar

ψq y estimar f gM M en función de las sugerencias expresadas en Zienkiewicz et al.

(1999). En la Figura 3.18 se muestra la interpretación gráfica del mismo.

F igura 3.18 Rango de var iac ión de la razón de índ ices de poros in ic ia l y cr i t ico

Wan & Guo (1998) utilizan un parámetro de estado similar a ψq para modificar la

expresión de dilatancia de Rowe (1962). En el presente estudio este parámetro se

utiliza para incorporar la variación de Mf con las condiciones iniciales.

122


123

A partir de la expresión modificada del vector dirección se puede deducir la nueva

expresión superficie de fluencia, como se realizó en la Sección 3.3. En la Figura 3.19

se muestra la influencia que tiene la densidad y la presión de confinamiento en la

forma de la superficie de fluencia.

Las condiciones iniciales van a afectar el tamaño de la superficie de fluencia inicial y la

posterior evolución vendrá dada por las reglas de endurecimiento – reblandecimiento.

Estados densos

Estados sueltos

0

500

1000

1500

2000

2500

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

p (kPa)

q (k

Pa)

0

200

400

600

800

1000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

p (kPa)

q (k

Pa)

F igura 3.19 In f luenc ia de la dens idad en la super f ic ie de f luenc ia para una pres ión

de conf inamiento dada y de la pres ión de conf inamiento sobre la super f ic ie de f luenc ia para una dens idad dada.


3.5.6 Comportamiento elástico

El comportamiento elástico en el modelo original incorporaba la dependencia de los

módulos tangencial y volumétrico con la presión de confinamiento. Para el modelo

modificado se introduce la relación de Richard et al. (1970) como hicieron Li & Dafalias

(2000), donde el módulo tangencial y el módulo volumétrico dependen de la presión de

confinamiento y del índice de poros según:

1 1 é e

s ves ev

d dq dG

ε ε= ⋅ = ⋅ dpK (3.48)

donde

( )

( )

2

0

2.971es eso

eG G p p

e−

′ ′= ⋅ ⋅ ⋅+ (3.49)

y

( )

( )

2

0

2.971es eso

eK K p p

e−

′ ′= ⋅ ⋅ ⋅+ (3.50)

El módulo volumétrico se puede relacionar con el módulo tangencial a través de la

Teoría de la Elasticidad con la siguiente expresión:

( )

( )12

3 1 2eso esoK Gνν

+= ⋅

− (3.51)

donde los parámetros del modelo pueden ser la pareja y o y esoG esoK esoG ν .

Recientemente Mira et al. (2008) han incorporado al modelo PZ original una

formulación hiperelástica para describir la respuesta reversible del suelo basado en la

conservación de la energía libre. La propuesta realizada en esta tesis se encuadra

dentro de los modelos hipoelásticos como se explico la sección 2.4.2.

3.5.7 Módulo plástico

Como se expuso en el Capítulo 2, varios autores consideran que las deformaciones

plásticas son dependientes de las condiciones iniciales. Las modificaciones

propuestas tienen en cuenta la dependencia con la densidad y la presión de

confinamiento en: a) el módulo plástico isótropo y, b) la relación entre la tensión

máxima y el comportamiento pos-pico.

124


125

Jefferies & Been (2000) indicaron que las deformaciones plásticas en compresión

isótropa dependen de las condiciones iniciales y de la rotura de granos, y proponen un

módulo plástico función de ψs. En el modelo PZ original el comportamiento plástico

isótropo (η = 0) es función únicamente de la presión de confinamiento y H0 es una

constante (ecuación (3.32)). Por lo tanto, para incorporar la dependencia del módulo

plástico isótropo con la densidad y la presión de confinamiento se propone una nueva

relación:

0L aH H p p H′ ′= ⋅ ⋅ ⋅ DM (3.52)

donde

0 0 0exp qH H β ψ′ ′⎡ ⎤= ⋅ − ⋅⎣ ⎦ (3.53)

donde H0´ y β0´ son parámetros constitutivos y, ψq es el parámetro de estado

introducido en la Sección 3.5.5. La componente HDM no se modifica y es igual a la

expresada por la ecuación (3.36).

Introduciendo H0 como función de ψq, se mejora la capacidad del modelo para predecir

las deformaciones plásticas en compresión isótropa con un único juego de parámetros

constitutivos. Tonni et al. (2006) presentan un expresión similar a la expresada por

Jefferies & Been (2000) para simular el comportamiento de los suelos de Venecia y

Ling & Yang (2006) proponen una expresión de 0H función del índice de poros.

Cuando la trayectoria de tensiones incluye la componente desviadora (η ≠ 0) la

expresión del módulo plástico se generaliza en función del parámetro de estado

según:

( )0 ;L a DMH H p p H f η ψ′ ′= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (3.54)

donde

( )( ) ( )

; 1

; f v s

f

f H H H

η ψ η

η ψ η

0

0

= =

= ⋅ + ≠

para

para (3.55)

En el modelo original la función f depende únicamente de la relación de tensiones η.


La incorporación del parámetro de estado permite tener en cuenta la dependencia del

pico de tensiones y el comportamiento pos – pico con las condiciones iniciales según

indicó Bolton (1986) (Sección 2.5.3).

Se propone una nueva expresión de la componente volumétrica Hv del módulo plástico,

está depende del parámetro de estado ψs según:

0v v pH H η η⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦ (3.56)

donde

( )expp g v sMη β ψ= ⋅ − ⋅ (3.57)

donde p gMη < para estados sueltos ( )0sψ > y p gMη > para estados densos ( )0sψ < .

La expresión ηp es similar a la presentada por Li & Dafalias (2000). Hv0 y βv son

parámetros del modelo.

Las componentes de fH y sH (ecuación (3.55)) no se modifican y son iguales a las

expresadas en el modelo original (Sección 3.3).

En la Figura 3.20 se muestra la variación del módulo plástico en función del índice de

poros en las simulaciones realizadas sobre ensayos triaxiales no drenados.

Toyoura Sand po = 2000kPa

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 50000 100000 150000 200000 250000 300000

Módulo plático, H

q/p

eo´= 0,735

eo´= 0,833

eo´= 0,907

F igura 3.20 Var iac ión del módulo p lást ico para una pres ión de conf inamiento de

2000kPa y d i ferentes dens idades in ic ia les en un ensayo t r iax ia l no drenado.

126


127

El procedimiento de calibración del modelo es presentado en el Capítulo 5. Se calibran

cuatro arenas, incluida la arena Toyoura, y se realiza un estudio paramétrico de las

ecuaciones propuestas.

3.5.8 Ecuación constitutiva elasto-plástica

La relación constitutiva elastoplástica, que se presentó en la Sección 3.2.2, basada en

la Teoría de Plasticidad Generalizada según las ecuaciones (3.10) y (3.11) se puede

expresar en el plano triaxial según:

1/ 3 0 1

0 1/gs s gs vs

gv s gv vv L

n n n nd G dn n n nd K H

εε

⎧ ⎫⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪= +⎨ ⎬⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥q

dp⎡ ⎤⎢ ⎥′⎣ ⎦⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎣ ⎦

(3.58)

o

2

2

9 33 0 130 3

sgs s gs v

vgv s gv vL s gs v gv

dG n n GKn ndq GdGKn n K n ndp K H Gn n Kn n

εε

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪= + ⎢⎨ ⎬⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥′ + + ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎥ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ (3.59)

Los parámetros del modelo modificado son: 2 constantes que describen el

comportamiento elástico, 3 constantes que definen el Estado Crítico en el plano q p′−

y , 2 constantes para tener en cuenta la variación de la dilatancia, 6 constantes

para definir el comportamiento plástico.

e p′−

3.6 Conclusiones

El modelo constitutivo unificado propuesto en el presente capítulo se basa en la

combinación de la Teoría de la Plasticidad Generalizada y la Teoría del Estado Crítico

en los suelos granulares saturados.

La nueva ecuación constitutiva del modelo Pastor – Zienkiewicz depende de dos

parámetros de estado (ψs y ψq ), para tener en cuenta la influencia de la densidad y de

la presión confinamiento en el comportamiento de los suelos granulares. Las

expresiones de la dilatancia, del módulo elástico, del módulo plástico y del vector de

carga y descarga han sido modificadas para simular el comportamiento monótono de

los suelos granulares con un único juego de constantes del modelo.


El modelo constitutivo requiere de 13 constantes para su calibración, en función de

ensayos triaxiales drenados y no drenados, como se desarrollará en el Capítulo 5.

128

Capítulo 4

Descripción del material y programa de ensayos

4.1 Introducción

En el presente capítulo se presenta las características geotécnicas principales del

material utilizado en el programa de ensayos, así como la descripción de los equipos y

los procedimientos de ensayo.

Los resultados de los ensayos triaxiales drenados y no drenados sobre la arena de

miga han sido utilizados para confirmar las ecuaciones adoptadas en el modelo

constitutivo propuesto. Se analiza la variación de la dilatancia y la relación de

tensiones máximas con la densidad y la presión de confinamiento así como los valores

residuales de los diferentes ensayos en el marco del estado crítico.

El procedimiento de calibración de los parámetros del modelo propuesto será

presentado de forma detallada en el siguiente Capítulo.

Los ensayos presentados en la presente tesis han sido realizados con los equipos del

Laboratorio de Geotecnia del CEDEX (España) y con los equipos del Laboratorio de

Geotecnia del DISTART de la Universidad de Bolonia (Italia).


4.2 Aspectos generales

La ciudad de Madrid está situada en una zona que abarca las cuatro unidades

geotécnicas definidas como arena de miga, tosco, peñuela y yesos. (Escario,1985).

Rodríguez Ortiz (2000) indica que en la ciudad de Madrid en la dirección NO-SE se

distingue las formaciones detríticas de naturaleza arenosa en los niveles superiores y

más arcillosas o tosquizas en los niveles inferiores (Facies Madrid), los cuales van

pasando progresivamente a las formaciones arcillosas activas (peñuelas), para

terminar en las facies evaporíticas (yesos – Facies Central). Las formaciones detríticas

son comúnmente clasificadas en función de su contenido de finos según expresa De la

Fuente (1984).

Tabla 4.1 Clas i f icac ión de los suelos de Madr id según e l conten ido de f inos

Denominación % Finos (<0.008 mm)

Arena de miga < 25

Arena tosquiza 25 – 40

Tosco arenoso 40 – 60

Tosco 60 – 85

Tosco arcilloso 85 – 100

El material elegido para validar el modelo constitutivo modificado es la arena de miga,

que está constituido por las arcosas miocenas y arenas cuarzo - feldespáticas del Plio-

cuaternario. Presentan un color característico marrón - ocre o amarillento con granos

subangulosos y subredondeados. Se distinguen tres unidades de menor a mayor

porcentaje de finos: Las Matas, Las Rozas y El Pardo. Estas tres unidades cubren la

mayor parte del casco urbano de la ciudad y representa el 29% del término municipal.

En Escario (1985) y Rodríguez Ortiz (2000) se puede encontrar una descripción

geotécnica detallada de la cuenca de Madrid con los parámetros geotécnicos de las

distintas unidades que la conforman.

En la sección siguiente se presentan los ensayos de identificación de la arena de miga

realizados en la presente tesis. Las muestras han sido tomadas de dos localizaciones

diferentes de la ciudad y están identificadas con los números 4478 y 4479.

130

Capítulo 4 Descripción del material y programa de ensayos

131

4.3 Ensayos de identificación

4.3.1 Granulometría, peso específico y clasificación

En la Figura 4.1 se muestra la curva granulométrica de las muestras 4478 y 4479 de la

arena de miga con los límites inferior y superior propuesto por De la Fuente & Oteo

(1986). Se puede observar que el suelo cubre un amplio rango de tamaño de

partículas. Su composición es: 17% de gravas, 59% de arena, 16% limo y 8% de

arcilla.

El porcentaje del pasante del tamiz UNE80 es de 24%, similar a lo expresado por

varios autores que indican que la arena de miga oscila entre un 5 al 25% de contenido

de finos. El diámetro medio ( 50D ) es igual a 0,4mm, el coeficiente de uniformidad ( )

es igual a 75 y el coeficiente de curvatura ( ) es igual a 5,33. Esto nos indica que el

material cubre un rango importante de tamaño de partículas.

uC

cC

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0,0010,010,1110Tamaño de las particulas [mm]

% q

ue p

asa

Lim. Inf.

Lim. Sup.

M 4478

M 4479

F igura 4.1 Curvas granulométr icas de la arena de miga.

El peso especifico de las partículas ha sido determinado de acuerdo a la norma UNE y

toma el valor de 2,62.


4.3.2 Índices de Atterberg

El límite liquido, límite plástico y el índice de plasticidad dieron respectivamente 32.5,

25 y 7.5 para la muestra 4479 y 28.5, 21.7 y 6.8 para la muestra 4478. Para su

determinación se utilizaron las partículas menores de 425 μm .

En la Figura 4.2 se observa la ubicación de las muestras 4478 y 4479 en la carta de

plasticidad junto con la región propuesta por Sopeña (1996) para la arena de miga y la

arena tosquita.

F igura 4.2 Car ta de Plast ic idad de Arena de Madr id (Sopeña, 1996)

4.3.3 Densidad mínima y máxima

La densidad mínima y máxima de la arena se determinó usando la norma UNE 103-

105-93 y UNE 103-106-93 respectivamente. Estas normas recomiendan realizar el

ensayo para un contenido de finos (pasante del tamiz 0.080mm) menor al 10%. A

pesar de que las muestras ensayadas superan este valor, se mantuvo el

procedimiento indicado en la norma según lo expresado en Thevanayagam & Mona

(2000) para una arena limosa. La densidad mínima y máxima obtenidas son

respectivamente 1,16 g/cm3 y 1,75 g/cm3 para la muestra 4479 y 1,15 g/cm3 y 1,68

g/cm3 para la muestra 4478.

132


133

4.3.4 Ensayo de difracción de rayos X

Para estimar la composición mineralógica de la arena se realizaron ensayos de

difracción de rayos X (DRX). El espesor entre capas de un mineral es lo que

caracteriza a cada mineral. El principio de DRX es determinar el espaciado entre las

capas y así determinar de que mineral se trata. El equipo utilizado pertenece a los

Laboratorios Centrales del CEDEX.

Se realizó un tamizado del suelo para separar los diferentes tamaños de partículas.

Luego las partículas se trituraron hasta pasar por el tamiz de 160 micras. En la Figura

4.3 se observan los difractogramas de cada fracción indicando cualitativamente que

minerales componen cada una de las fracciones.

M - 4 4 7 8 R e t e n i d o T a m i z 1 0

Lin

(Cou

nts)

0

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

2 - T h e t a - S c a l e

3 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7

d=15

.328

99

d=9.

9873

8

d=7.

2058

1

d=3.

3299

2

d=3.

2402

6

d = 3 .178 1 2

C u a r z o

M i c a s

F e l d e s p a t o s

Esm

ectit

as

C a o l i n i t a

M - 4 4 7 8 R e t e n i d o T a m i z 1 6

Lin

(Cou

nts)

0

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

6 0

7 0

8 0

9 0

1 0 0

1 1 0

1 2 0

1 3 0

1 4 0

1 5 0

1 6 0

1 7 0

1 8 0

1 9 0

2 0 0

2 - T h e ta - S c a l e

3 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7

d=14

.798

70

d=9.

9092

6

d=3.

2244

9

d=3.

3383

2

d=7.

1633

2

C u a r z oM i c a s F e l d e s p a t o sEsm

ectit

as

C a o l i n i t a

M - 4 4 7 8 R e t e n i d o T a m i z 3 0

Lin

(Cou

nts)

0

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

2 - T h e ta - S c a l e3 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7

d=15

.326

75

d=9.

9946

8

d=7.

1633

2

d=3.

3215

5

d = 3. 23 5 1 4

C u a r z o

M i c a s


Esm

ectit

as

C a o l i n i t a


M - 4 4 7 8 R e t e n i d o T a m i z 5 0

Lin

(Cou

nts)

0

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

6 0

7 0

8 0

9 0

1 0 0

1 1 0

1 2 0

1 3 0

1 4 0

1 5 0

1 6 0

1 7 0

1 8 0

1 9 0

2 0 0

2 1 0

2 2 0

2 3 0

2 4 0

2 5 0

2 6 0

2 7 0

2 8 0

2 9 0

3 0 0

2 - T h e ta - S c a l e3 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7

d=10

.063

79

d=15

.511

26

d=3.

1781

2

d=3.

3215

5

d=7.

0849

1

d=4.

9696

7

d=4.

2428

9

d=3.

6525

1

d=1.

9872

6

C u a r z o

M i c a s F e l d e s p a t o s

Esm

ectit

as

C a o l i n i t a

M - 4 4 7 8 R e t e n i d o T a m i z 1 0 0

Lin

(Cou

nts)

0

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

6 0

7 0

8 0

9 0

1 0 0

1 1 0

1 2 0

1 3 0

1 4 0

1 5 0

1 6 0

1 7 0

1 8 0

1 9 0

2 0 0

2 1 0

2 2 0

2 3 0

2 4 0

2 5 0

2 - T h e ta - S c a l e3 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7

d=3.

3395

2

d=3.

1716

6

d=9.

9128

8

d=15

.152

13

d=7.

1659

3

d=4.

4449

3

C u a r z o

M i c a s

F e l d e s p a t o sEsm

ectit

as

C a o l i n i t a

M - 4 4 7 8 R e t e n i d o T a m i z 2 0 0

Lin

(Cou

nts)

0

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

6 0

7 0

8 0

9 0

1 0 0

1 1 0

1 2 0

1 3 0

1 4 0

1 5 0

2 - T h e t a - S c a l e

3 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7

d=2.

9328

4

d=3.

1479

6

d=3.

3299

2

d=4.

2155

6

d=15

.326

75

d=10

.142

87

d=4.

4599

7

d=2.

5629

6

d=1.

7995

2

d=1.

9957

8

C u a r z o

M i c a s


E s m e c t i t a s

C a o l i n i t a

Figura 4.3 Anál is is de DRX Muest ra 4478 por f racc ión Retenido #50,100 y 200

El análisis cuantitativo está expresado en la Tabla 4.2. En la misma se observa que la

composición mineralógica promedio de la muestra es: 55% de Feldespatos, 22% de

Micas, 12 % de Esmécticas, 7% de Cuarzo y 4% de Caolinita.

Tabla 4.2 Composic ión minera lóg ica de la arena de miga

Ret. T 10

Ret. T 16

Ret. T 30

Ret. T 50

Ret. T100

Ret. T200

Pasa T 200 Mineral

% +/- % +/- % +/- % +/- % +/- % +/- % +/-Cuarzo 6,7 1,6 6,3 1,7 10,1 2,9 6,5 1,9 8,9 2,9 8,4 2,6 6,9 2,2 Feldespatos 67,0 2,7 55,9 2,1 52,1 1,8 53,4 2,3 47,2 2,8 47,9 1,3 57,6 2,4 Micas 18,1 1,5 18,4 1,6 27,1 3,0 22,5 3,0 26,5 2,9 19,6 2,2 15,8 2,2 Esmectitas 6,2 1,4 14,5 1,4 8,6 1,4 14,5 1,7 14,2 1,6 17,5 2,1 15,0 1,4 Caolinita 2,0 0,7 4,9 0,7 2,1 0,7 3,1 0,7 3,2 0,7 6,6 0,8 4,7 0,7

Este análisis mineralógico coincide con el análisis que reporta López Corral (1977).

134


135

4.3.5 Curva de compactación

El ensayo Proctor Normal fue realizado de acuerdo a la norma UNE 103500-1994. La

densidad seca máxima de la arena de miga encontrada en esta investigación fue de

1,97 g/cm3 con una humedad óptima de 12,3% para la muestra 4479 en el ensayo de

compactación Proctor Normal. Para la muestra 4478, la densidad seca máxima

encontrada fue de 1,96 g/cm3 con una humedad óptima de 8,8%. Igualmente, sobre

las muestras se efectuaron ensayos de compactación Proctor Modificado según la

norma UNE 103501-1994. La densidad seca máxima hallada fue de 2,02 g/cm3 y 2,09

g/cm3 con una humedad óptima de 9,2% y 11,4% para las muestras 4478 y 4479

respectivamente. En la Figura 4.4 se observan las curvas de compactación de cada

muestra para los dos tipos de energía.

Arena de miga

Sr = 100%

Sr = 80%

Sr = 60%

1,30

1,40

1,50

1,60

1,70

1,80

1,90

2,00

2,10

2,20

4 6 8 10 12 14 16 18 20

Humedad (%)

Den

sida

d se

ca, [

g/cm

3]

Proctor Normal M 4479

Proctor Modif icado M 4479

Arena de miga

Sr = 100%

Sr = 80%

Sr = 60%

1,30

1,40

1,50

1,60

1,70

1,80

1,90

2,00

2,10

2,20

4 6 8 10 12 14 16 18 20

Humedad (%)

Den

sida

d se

ca, [

g/cm

3]

Proctor Normal M 4478

Proctor Modif icado M 4478

F igura 4.4 Curvas de compactac ión muest ras 4478 y 4479.

4.4 Programa de ensayos

En el presente programa de laboratorio se han realizado ensayos de compresión

edométrica e isótropa y ensayos triaxiales de compresión drenados y no drenados con

un rango de presiones de confinamiento de 50kPa a 500kPa e índices de poros

comprendidos entre 0,34 y 0,43. En total se han realizado 35 ensayos con los equipos

del Laboratorio de Geotecnia del CEDEX y 12 ensayos con los equipos de Laboratorio

de Geotecnia del DISTART de la Universidad de Bolonia (Italia). A continuación se

presenta el procedimiento de ensayos seguido en cada laboratorio.


4.4.1 Procedimientos de ensayo

4.4.1.1 Laboratorio de geotecnia del CEDEX

La preparación de las muestras en la serie de ensayos realizados en el Laboratorio de

Geotecnia del CEDEX se efectuó con un molde de 76,2mm de altura y 38mm de

diámetro interior. Se utilizó el material que pasa el tamiz Nº4 de la serie ASTM (o el

equivalente UNE 5), el cual se seco al horno a 105 ºC.

Las diferentes probetas fueron preparadas por compactación con una energía

equivalente al Proctor Normal utilizando diferentes humedades según se indica en la

Tabla 4.3. Se tomaron 5 puntos de la curva de compactación, dos de la rama seca,

dos de la rama húmeda y el valor correspondiente a la densidad seca máxima.

Tabla 4.3 Humedades y dens idades secas in ic ia les

γd ω Denominación [g/cm3] [%]

M-4479-A 1,82 7 M-4479-B 1,89 9,3

M-4479-C 1,97 12,3

M-4479-D 1,89 13,4

M-4479-E 1,82 14,6

M-B4478-C 1,96 8,8

M-B4478-CE 1,71 8,8

El material fue compactado en el molde sin membrana para evitar el punzado de la

misma. El proceso se desarrolló en 5 capas con 10 golpes por cada una. En la unión

de cada capa se realizó un raspado para evitar que se produjeran discontinuidades

entre las capas.

Luego, la muestra fue colocada en la célula triaxial y sometida a una tensión efectiva

de 20kPa. La presión de confinamiento inicial y la presión de cola aplicada son de 50

kPa y 30 kPa respectivamente.

El proceso de saturación fue llevado a cabo aumentando la presión de confinamiento y

la presión de cola a la vez; en escalones de 50 kPa. Se mantuvo cada escalón hasta

que la variación en la medida del cambio de volumen se estabilizó. En cada escalón

fue medido el coeficiente B de Skempton. Este procedimiento se repitió hasta alcanzar

la presión de cola de 600kPa y un valor del coeficiente B de 0,96.

136


137

Luego se realizó la consolidación isotrópica aumentando la presión de confinamiento

mientras que la presión de cola fue mantenida en 600kPa. Las tensiones efectivas de

confinamiento aplicadas en esta serie de ensayos fueron de 50, 150 y 300 kPa.

Se realizaron los ensayos triaxiales drenados y no drenados con control de

deformaciones sobre la muestra 4479. La velocidad de deformación aplicada fue de

0.014%/min equivalente a 0,01mm/min.

4.4.1.2 Laboratorio de geotecnia del DISTART

Para la serie de ensayos realizados en el Laboratorio de Geotecnia del DISTART de la

Universidad de Bolonia el procedimiento seguido es descrito a continuación. El

material utilizado en estos ensayos corresponde a la muestra 4478 y llevan en su

numeración una B antecediendo el número de muestra (B4478).

Para la preparación de las muestras de esta serie de ensayos fue utilizado un molde

de 100mm de altura y 50mm de diámetro interior por dos métodos diferentes. En el

primer método, las probetas fueron realizadas por compactación dinámica aplicando

una energía por unidad de volumen equivalente al ensayo Proctor Normal

(E=0,562J/cm3). Las probetas fueron preparadas en 10 capas con 12 golpes por capa,

con la densidad seca y la humedad indicada en la Tabla 4.3 .

Con el propósito de obtener muestras con densidades más bajas dos probetas fueron

preparadas por el método de compactación estática en 10 capas con una humedad del

8,8% y con una densidad seca equivalente al 87,7% de la densidad seca de la

muestra B4478-C. Estas probetas están identificadas con la numeración B4478-CE.

Una vez colocada la probeta, con el pistón de carga en posición y con la célula triaxial

llena de agua, se procedió a conectar por la parte inferior de la probeta una fuente de

anhídrido carbónico (CO2) con una presión de 5kPa. En la parte superior de la probeta

fue aplicado un vacío controlado de 5kPa.

Este procedimiento busca reemplazar el aire dentro de la probeta por anhídrido

carbónico para mejorar el proceso de saturación de la muestra. La duración de la

recirculación de CO2 en las muestras ensayadas fue de 60 minutos.


Posteriormente, inició una recirculación de agua a través de la probeta. Para ello

fueron utilizados dos sistemas de control digital del volumen y la presión (CDVP) con

motores paso a paso que permiten mantener la presión de celda en 50kPa y la presión

de cola de 30kPa, mientras el agua circula de la parte inferior a la parte superior de la

probeta. Conectada la parte superior de la probeta a una bureta a presión atmosférica,

se recogió el agua recirculada durante aproximadamente 12 horas.

Finalizada la recirculación de CO2 y H2O se inició la saturación de la muestra

incrementando la presión de la celda y la presión de cola en rampa. Manteniendo la

tensión efectiva en 20kPa fue aplicado un gradiente de presión de 10kPa/h a 25kPa/h

en la celda y en la parte inferior de la muestra hasta alcanzar la presión de cola

deseada. Para presiones de confinamiento iniciales de 500kPa la presión de cola

adoptada fue de 380kPa y para el resto de 300kPa. Los valores de B de Skepmton

obtenidos con este procedimiento fueron del orden de 0,98 – 0,99.

La consolidación isótropa de las muestras fue realizada en rampa con un gradiente de

la presión de celda de 25kPa/h hasta alcanzar la presión de confinamiento deseada y

verificar la estabilización de la variación volumétrica. En esta serie de ensayos se

trabajó con tensiones efectivas de 150kPa, 300kPa y 500kPa.

Los ensayos se realizaron con control de deformación con una velocidad de

deformación de 0.014%/min equivalente a 0,01mm/min hasta alcanzar una

deformación axial del 25%.

4.4.2 Evaluación del índice de poros de la probeta

Verdugo & Ishihara (1996) proponen dos métodos para evaluar la variación del índice

de poros tras obtener la saturación. El primer método se basa en la medición directa

del diámetro y la altura después de la precolación de agua desairada a través de la

probeta. Sin cerrar la celda y con la probeta conectada por la parte superior e inferior a

dos contenedores cerrados respectivamente, se aplica una presión de vacío sobre el

sistema de – 20 kPa. Ambos contenedores se encuentran por de bajo de la posición

de la probeta. Luego se sube uno de los contenedores hasta 50cm sobre la parte

superior de la probeta y se inicia el flujo de agua a través de la misma. La saturación

finaliza cuando no se observan burbujas en el contenedor conectado a la parte

superior. Luego se miden directamente las dimensiones de la probeta.

138


139

El segundo método propuesto está pensado para evaluar el índice de poros en

ensayos triaxiales no drenados. Este consiste en evaluar el contenido de agua una vez

finalizado el ensayo, abriendo el drenaje y midiendo el contenido de agua que drena

(VF-VI) a medida que se aumenta la presión de la celda hasta su valor máximo. Luego,

se recupera el material de la probeta y se determina la humedad remanente. En

probetas densas, Verdugo & Ishihara (1996) no encontraron diferencias considerables

entre los dos métodos, pero el método de análisis del contenido de agua muestra

menos dispersión para probetas de densidad baja. Este método se ha utilizado en la

serie de ensayos sobre la muestra B4478 para determinar el índice de poros al

finalizar el ensayo según la expresión:

F I f S

fS

V V We

Wω− + ⋅

SG= ⋅ (6.1)

donde FV y IV son el volumen final e inicial respectivamente, medido en el CDVP que

controla la presión y el volumen de la probeta, ω es la humedad y el peso seco de

la probeta al finalizar el ensayo. En los ensayos realizados sobre la muestra 4479 se

midió directamente la humedad y el peso seco al finalizar el ensayo sin medir V

SW

F y VI.

Se calcula el índice de poros en las distintas etapas de ensayo a partir de la

deformación volumétrica medida según:

1f v

v

ee

εε

+ Δ=

− Δ (6.2)

4.4.3 Resultados de los ensayos

A continuación presentamos los resultados de los ensayos isotrópicos, edométricos,

triaxiales drenados y no drenados junto con el análisis de los resultados de los

mismos. Se realiza la interpretación de los resultados utilizando los ejes p´, q, εv, y ε1

La presión efectiva de confinamiento o tensión efectiva principal p´ queda definida por

( ) 3a rp σ σ′ ′ ′= − y la tensión desviadora por q aq rσ σ′ ′= − , donde aσ ′ es la tensión

efectiva axial y rσ ′ es la tensión efectiva radial. La deformación volumétrica εv queda

definida por la siguiente expresión 2v a rε ε ε= + .


Los ensayos de compresión isótropa de la muestra 4478-C se presentan en la Figura

4.5 a) en el plano e – ln p´. Se realizaron tres ensayos isótropos donde la presión de

consolidación alcanzada fue de 150, 300 y 500kPa. Se puede observar que la

compresibilidad de las muestras ensayadas es baja como es típico en las arenas. No

se presenta el cambio de pendiente de la curva de compresión asociado a la rotura de

partículas. Esto se debe principalmente a que las presiones de confinamiento

alcanzadas son relativamente bajas comparadas otras las arenas cuarzo-feldespaticas

que presentan un cambio de curvatura (Pestana, 1994). En la Figura 4.5 b) se observa

un comportamiento en los ensayos edométricos sobre la misma muestra con tres

índices de poros diferentes, uno con la humedad optima (4478-C), dos en la rama

seca de la curva de compactación (4478-A y B) y dos en la rama húmeda (4478-D y

E). Se observa que para tensiones verticales del orden de 1000kPa la compresibilidad

de la muestra crece levemente. Para confirmar que este comportamiento se debe a la

rotura de partículas es necesario realizar ensayos a presiones de confinamiento

mayores tanto en ensayos edoméricos como en ensayos de compresión isótropa. En

la Tabla 4.4 se recogen los valores de humedad inicial, índice de poros y el rango de

tensiones verticales de los ensayos edométricos.

Arena de miga

a)

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

10 100 1000

Tensión principal efectiva, p' [kPa]

Índi

ce d

e po

ros,

e

Arena de miga

b)

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

1 10 100 1000 10000

Tensión efectiva vertical [kPa]

Índi

ce d

e po

ros,

e

4478-A EDO4478-B EDO4478-C EDO4478-D EDO4478-E EDO

F igura 4.5 a) ensayos de compres ión isót ropa de la muest ra 4478-C de la arena de

miga b) Ensayos de compres ión edométr ica de d i ferentes dens idades de la arena de miga.

Tabla 4.4 Datos exper imenta les de ensayos edométr icos

Muestra ω [%]

Tensión vertical[kPa]

Índice de poros inicial

Índice de poros final

4478-A EDO 6,1 60-1570 0,456 0,400 4478-B EDO 7,2 60-1570 0,393 0,337 4478-C EDO 8,8 20-1570 0,348 0,303 4478-D EDO 10,4 25-1570 0,397 0,345 4478-E EDO 12,4 10-1570 0,373 0,348

140


141

De la Figura 4.6 hasta la Figura 4.10 se presentan los resultados en los planos q – ε1,

εv – ε1, η – ε1 y e –p´ de los ensayos triaxiales drenados sobre la muestra 4479 para las

diferentes condiciones iniciales (A-E). La Tabla 4.5 presenta los datos experimentales

resumidos.

Tabla 4.5 Datos exper imenta les de ensayos t r iax ia les drenados en la arena de miga

Humedad inicial

Presión de Confinamiento en saturación

Presión de cola

Coef. Skempton

Presión de confinamiento

Índice de Poros antes

del corte

Índice de Poros

después del corte

ω po´ uo po´

Muestra

[%] [kPa] [kPa] B

[kPa] ec ef

4479-A TCID 6,79 20 600 0,95 50 0,405 0,437 4479-A TCID 6,79 20 600 0,94 150 0,405 0,402 4479-A TCID 6,84 20 600 0,94 300 0,405 0,379 4479-B TCID 9,50 20 600 0,92 50 0,394 0,445 4479-B TCID 9,20 20 600 0,91 150 0,392 0,414 4479-B TCID 9,15 20 600 0,91 300 0,363 0,364 4479-C TCID 12,2 20 600 0,93 50 0,362 0,426 4479-C TCID 12,2 20 600 0,93 150 0,361 0,403 4479-C TCID 12,2 20 600 0,92 300 0,346 0,358 4479-D TCID 12,9 20 600 0,91 50 0,365 0,430 4479-D TCID 13,1 20 600 0,9 150 0,365 0,392 4479-D TCID 13,0 20 600 0,91 300 0,35 0,359 4479-E TCID 14,5 20 600 0,91 50 0,378 0,427 4479-E TCID 14,0 20 600 0,94 150 0,352 0,375 4479-E TCID 14,0 20 600 0,95 300 0,351 0,352

B4478-C TCID 8,71 20 450 0,97 150 0,424 0,404 B4478-C TCID 8,60 20 330 0,98 300 0,394 0,367 B4478-C TCID 8,58 20 360 0,98 500 0,399 0,355

La respuesta tensión desviadora – deformación axial para presiones de confinamiento

de 50kPa y los distintos índices de poros (muestras 4479- A a E) está dada por un pico

en la tensión desviadora y un posterior reblandecimiento, a medida que crece la

deformación axial. Este comportamiento se observa también en las muestras

ensayadas a presiones de confinamiento de 150kPa y 300kPa.

En la muestra 4479-A con p0´= 300kPa, la tensión desviadora aumenta de forma

monótona y la variación volumétrica disminuye hasta alcanzar un valor estable al

finalizar el ensayo (Figura 4.6). Es la única probeta de esta serie de ensayos sobre la

muestra 4479 que presenta un comportamiento contractivo. En el resto de las probetas

ensayadas se observa un comportamiento contractivo inicial y luego hay un aumento

de volumen a medida que progresa la deformación axial.


A presiones de confinamiento bajas el comportamiento dilatante se acentúa, como se

observa en el plano e –lnp´. Este comportamiento es característico de las arenas

densas. Por lo tanto, el parámetro de estado inicial es negativo.

En el plano η – ε1 se observa como aumenta la relación de tensiones movilizada hasta

un valor máximo y luego tiende al valor final entre 1,35 a 1,65. No todas las muestras

llegan al final del ensayo con δq =0, lo que nos indica que no se ha alcanzado el

estado residual del material pero la variación es pequeña por lo tanto el Estado Crítico

está cercano. Este mismo efecto se observa en el plano εv – ε1 , donde no se estabiliza

la variación de la deformación volumétrica (δεv≠0) al finalizar el ensayo.

La Figura 4.8 presenta el comportamiento drenado de la muestra 4479-C. En las

probetas con un índice de poros inicial de 0,362 y 0,361 para las presiones de

confinamiento de 50kPa y 150kPa respectivamente, se observa la movilización de un

pico de tensiones para deformaciones bajas (< 2%) en concordancia con la

deformación volumétrica máxima. A medida que progresa la deformación axial, el

comportamiento post-pico o reblandecimiento tiende al valor residual acompañado con

deformaciones volumétricas negativas (dilatancia). Un comportamiento similar

presentan las muestras 4479-B y D con valores de la tensión desviadora máxima algo

inferiores. (Figura 4.7 y Figura 4.9)

Arena de miga

0

200

400

600

800

1000

1200

0 5 10 15 20Deformación axial [%]

Ten

sión

des

viad

ora,

q

[kPa

]

4479-A TCID 300 eo = 0,4054479-A TCID 150 eo = 0,4054479-A TCID 50 eo = 0,405

-4

-3

-2

-1

0

1

2

30 5 10 15 20

Deformación axial [%]

Def

orm

ació

n vo

lum

etric

a [%

]

0,00

0,40

0,80

1,20

1,60

2,00

0 5 10 15Deformación axial [%]

Rel

ació

n de

tens

ione

s, q

/p´

20

0,35

0,37

0,39

0,41

0,43

0,45

0,47

0,49

0 200 400 600 800


Índi

ce d

e po

ros,

e

F igura 4.6 Resul tados de ensayos t r iax ia les drenados de la muest ra 4479-A para las

pres iones de conf inamiento de 50kPa, 150kPa y 300kPa.

142


143

0,35

0,37

0,39

0,41

0,43

0,45

0 200 400 600 800Tensión efectiva principal, p´ [kPa]

Índi

ce d

e po

ros,

e

Arena de miga

0

200

400

600

800

1000

1200

1400


Ten

sión

des

viad

ora,

q

[kPa

]4479-B TCID 300 eo = 0,3634479-B TCID 150 eo = 0,3924479-B TCID 50 eo = 0,394

-4

-3

-2

-1

0

1

2

30 5 10 15 20


Def

orm

ació

n vo

lum

etric

a [%

]

0,0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0


Rel

ació

n de

tens

ione

s, q

/p

0

F igura 4.7 Resul tados de ensayos t r iax ia les drenados de la muest ra 4479-B para las


0,30

0,35

0,40

0,45

0 100 200 300 400 500 600 700 800Tensión efectiva principal, p´ [kPa]

Índi

ce d

e po

ros,

e

Arena de miga

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 5 10 15 20


Ten

sión

des

viad

ora,

q

[kPa

]

4479-C TCID 300 eo = 0,3464479-C TCID 150 eo = 0,3614479-C TCID 50 eo = 0,362

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

20 5 10 15 20


Def

orm

ació

n vo

lum

etric

a [%

]

0,00

0,40

0,80

1,20

1,60

2,00


Rel

ació

n de

tens

ione

s, q

/p´

20

F igura 4.8 Resul tados de ensayos t r iax ia les drenados de la muest ra 4479-C para las



Arena de miga

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 5 10 15 20


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[k

Pa]

4479-D TCID 300 eo = 0,3504479-D TCID 150 eo = 0,3654479-D TCID 50 eo = 0,365

-7

-6-5

-4

-3

-2

-1

0

12

30 5 10 15 20


Def

orm

ació

n vo

lum

étric

a [%

]

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0 100 200 300 400 500 600 700Tensión efectiva principal, p´[kPa]

Índi

ce d

e po

ros.

e

0,00

0,40

0,80

1,20

1,60

2,00


Rel

ació

n de

tens

ione

s, q

/p´

20

F igura 4.9 Resul tados de ensayos t r iax ia les drenados de la muest ra 4479-D para las


0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0 100 200 300 400 500 600 700 800


Índi

ce d

e po

ros,

e

Arena de miga

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 5 10 15 20


Ten

sión

des

viad

ora,

q

[kPa

]

4479-E TCID 300 eo = 0,3514479-E TCID 150 eo = 0,3524479-E TCID 50 eo = 0,378

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

30 5 10 15 20


Def

orm

ació

n vo

lum

étric

a l[%

]

0,00

0,40

0,80

1,20

1,60

2,00


Rel

ació

n de

tens

ione

s,q/

p´

20

F igura 4.10 Resul tados de ensayos t r iax ia les drenados de la muest ra 4479-E para

las pres iones de conf inamiento de 50kPa, 150kPa y 300kPa.

La Figura 4.11 muestra los resultados de los ensayos triaxiales drenados con

consolidación isótropa para presiones de confinamiento de 150kPa, 300kPa y 500kPa

de la muestra B4478-C. Todas los ensayos muestran un comportamiento contractivo

con disminución del índice de poros.

144


145

Arena de miga

0

250

500

750

1000

1250

1500

1750

2000

0 5 10 15 20


Ten

sión

des

viad

ora,

q

[kPa

]4478-C TCID 150 e = 0,4244478-C TCID 300 e = 0,3944478-C TCID 500 e = 0,399

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0 200 400 600 800 1000Tensión efectiva principal, p´ [kPa]

Índi

ce d

e po

ros,

e

F igura 4.11 Resul tados de ensayos t r iax ia les drenados con consol idac ión isót ropa y

an isót ropa de la muest ra B4478-C

Los resultados de los ensayos triaxiales no drenados sobre la muestras 4479 se

presentan de la Figura 4.12 a la Figura 4.16 en los planos q – p´, q – ε1 , η – ε1 y Δu– ε1.

La Tabla 4.6 presenta los datos experimentales resumidos.

Tabla 4.6 Datos exper imenta les de ensayos t r iax ia les no drenados

en la arena de miga

Humedad inicial

Presión de Confinamiento en saturación

Presión de cola

Coef. Skempton

Presión de confinamiento

Índice de Poros antes

del corte

Índice de Poros

después del corte

ω po´ uo B po´ ec ef Muestra

[%] [kPa] [kPa] [kPa] 4479-A TCIU 7 20 600 0,92 50 0,410 0,410 4479-A TCIU 7 20 600 0,94 150 0,389 0,389 4479-A TCIU 7 20 600 0,93 300 0,388 0,388 4479-B TCIU 9,3 20 600 0,91 50 0,401 0,401 4479-B TCIU 9,3 20 600 0,9 150 0,380 0,380 4479-B TCIU 9,3 20 600 0,91 300 0,356 0,356 4479-C TCIU 12,3 20 600 0,92 50 0,350 0,350 4479-C TCIU 12,3 20 600 0,94 150 0,331 0,331 4479-C TCIU 12,3 20 600 0,93 300 0,320 0,320 4479-D TCIU 13,4 20 600 0,92 50 0,375 0,375 4479-D TCIU 13,4 20 600 0,91 150 0,367 0,367 4479-D TCIU 13,4 20 600 0,91 300 0,346 0,346 4479-E TCIU 14,6 20 600 0,92 50 0,385 0,385 4479-E TCIU 14,6 20 600 0,94 150 0,374 0,374 4479-E TCIU 14,6 20 600 0,93 300 0,356 0,356

B4478-CE TCIU 8,8 20 380 0,98 150 - - B4478-CE TCIU 8,8 20 300 0,98 300 0,445 0,445 B4478-CE TCIU 8,8 20 380 0,99 500 0,440 0,440 B4478-C TCIU 8,8 20 380 0,985 150 0,400 0,400 B4478-C TCIU 8,8 20 380 0,99 300 0,389 0,389 B4478-C TCIU 8,8 20 380 0,98 500 0,375 0,375 B4478-C TCAU 8,8 20 380 0,976 500 (η =0,5) 0,416 0,416 B4478-C TCAU 8,8 20 380 0,982 300 (η =0,5) 0,403 0,403 B4478-C TCAU 8,8 20 380 0,981 150 (η =0,5) 0,420 0,420


En el plano q – ε1 se observa el crecimiento continuo de la tensión desviadora q, a

medida que progresa la deformación. Este comportamiento es típico de una arena

densa en un ensayo de corte no drenado.

En la trayectoria de tensiones q - p´, la tensión desviadora q es continuamente

creciente y la tensión efectiva principal p´ comienza disminuyendo levemente hasta

pasar por un mínimo, para luego continuar creciendo (Figura 4.14, Figura 4.15 y Figura

4.16). Esta trayectoria de tensión es típica para las arenas densas, alcanzando el valor

final de la relación de tensiones entre 1,45 – 1,58, como se observa en el plano η – ε1.

Arena de miga

0

100

200

300

400

500

600

0 200 400 600 800


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[k

Pa]

4479-A TCIU 300 eo = 0,3884479-A TCIU 150 eo = 0,3894479-A TCIU 50 eo = 0,410

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

Deformación axial [%]]

Ten

sión

des

viad

ora,

q [k

Pa

20

]

-100

-60

-20

20

60

100

140

1800 5 10 15


Var.

pres

ión

inte

rstic

ial [

kPa]

200,00

0,40

0,80

1,20

1,60

2,00


Rel

ació

n de

tens

ione

s, q

/p´

F igura 4.12 Resul tados de ensayos t r iax ia les no drenados de la muest ra 4479-A para


En el plano Δu– ε1 puede observarse que se produce una densificación del suelo que

genera un aumento de presiones intersticiales (comportamiento contractivo) hasta

alcanzar un máximo, a partir del cual la presión intersticial disminuye continuamente

(comportamiento dilatante). Este máximo se alcanza en el punto de transformación de

fase y es variable con la presión de confinamiento y con la densidad. Para

p0´=300kPa, la muestra 4479-A con e0 = 0,405 (Figura 4.12) alcanza la presión de

poros máxima para una deformación de 4% y la muestra 4479-C con e0 = 0,346

(Figura 4.14) el máximo se alcanza al 1% de deformación.

146


147

Arena de miga

0

200

400

600

800

1000


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[k

Pa]

4479-B TCIU 300 eo = 0,3564479-B TCIU 150 eo = 0,3804479-B TCIU 50 eo = 0,401

0

200

400

600

800

1000

0 5 10 15 20


Ten

sión

des

viad

ora,

q [k

Pa]

-100

-60

-20

20

60

100

140

1800 5 10 15 20


Var.

pres

ión

inte

rstic

ial [

kPa]

0,00

0,40

0,80

1,20

1,60

2,00

0 5 10 15 20


Rel

ació

n de

tens

ione

s, q

/p´

F igura 4.13 Resul tados de ensayos t r iax ia les no drenados de la muest ra 4479-B para


Arena de miga

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 200 400 600 800 1000 1200 1400


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[k

Pa]

4479-C TCIU 300 eo = 0,3204479-C TCIU 150 eo = 0,3314479-C TCIU 50 eo = 0,350

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 5 10 15 20


Ten

sión

des

viad

ora,

q [k

Pa]

-270

-210

-150

-90

-30

30

90

1500 5 10 15


Var.

pres

ión

inte

rstic

ial [

kPa]

20

0,00

0,40

0,80

1,20

1,60

2,00

0 5 10 15 20


Rel

ació

n de

tens

ione

s, q

/p´

F igura 4.14 Resul tados de ensayos t r iax ia les no drenados de la muest ra 4479-C para



Arena de miga

0

200

400

600

800

1000

1200

0 200 400 600 800 1000 1200Tensión efectiva principal, p´ [kPa]

Tens

ión

desv

iado

ra, q

[k

Pa]

4479-D TCIU 300 eo = 0,3464479-D TCIU 150 eo = 0,3674479-D TCIU 50 eo = 0,375

0

200

400

600

800

1000

1200


Ten

sión

des

viad

ora,

q [k

Pa]

-140

-100

-60

-20

20

60

100

140

1800 5 10 15 20


Var

. pre

sión

inte

rstic

ial [

kPa]

0,00

0,40

0,80

1,20

1,60

2,00


Rel

ació

n de

tens

ione

s, q

/p´

F igura 4.15 Resul tados de ensayos t r iax ia les no drenados de la muest ra 4479-D para


Arena de miga

0

200

400

600

800

1000


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[k

Pa]

4479-E TCIU 300 eo = 0,3564479-E TCIU 150 eo = 0,3744479-E TCIU 50 eo = 0,385

0

200

400

600

800

1000


Ten

sión

des

viad

ora,

q [k

Pa]

-100

-60

-20

20

60

100

140

1800 5 10 15 2


Var.

pres

ión

inte

rstic

ial [

kPa]

00,00

0,40

0,80

1,20

1,60

2,00


Rel

ació

n de

tens

ione

s, q

/p´

F igura 4.16 Resul tados de ensayos t r iax ia les no drenados de la muest ra 4479-E para


La Figura 4.17 presenta los ensayos triaxiales no drenados sobre las muestras

B4478-CE preparadas con el 87% de la densidad seca máxima y la muestra B4478-C

preparada con la densidad máxima (ver Tabla 4.3).

148


149

Para una presión de confinamiento de 500kPa la muestra B4478-CE presenta un

comportamiento contractivo con incremento de la presión intersticial mucho más

acentuado que la muestra B4478-C. Esta serie de ensayos también alcanza el punto

de transformación de fase donde se produce la máxima presión intersticial para luego

tener un comportamiento de tipo dilatante con una disminución de la misma. La

presión intersticial de la muestra B4478-C al final del ensayo no se estabiliza,

indicando que no se ha alcanzado el estado residual del material.

En la muestra B4478-CE en el plano q – ε1, observamos que la tensión desviadora

crece hasta un valor máximo, luego disminuye levemente hasta un mínimo relativo y

por último crece hasta finalizar el ensayo. Este comportamiento es característico de las

arenas de densidad media y el valor mínimo fue denominado Estado Cuasi Estable

(Alarcón-Guzman & Leonards, 1988; Ishihara 1993, Verdugo & Ishihara, 1996). Para

las muestras ensayadas a p0´= 300kPa y p0´= 500kPa el valor mínimo de tensión

desviadora fue alcanzado para deformaciones axiales del orden 5%. Este mínimo de

resistencia coincide con el punto de transformación de fase donde se produce cambio

del comportamiento contractivo a dilatante.

Arena de miga

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 5 10 15 20 25


Tens

ión

devi

ador

a, q

[KPa

]

B4478-CE 500 eo = 0,440B4478-CE 300 eo = 0,445B4478-C 500 eo = 0,375

Arena de miga

0,00

0,40

0,80

1,20

1,60

2,00

0 5 10 15 20 25


Rel

ació

n de

tens

ione

s, q

/p

B4478-CE 500 eo = 0,440B4478-CE 300 eo = 0,445B4478-C 500 eo = 0,375

Arena de miga

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 100 200 300 400 500 600 700

Tensión principal efectiva, p´ [kPa]

Tens

ión

devi

ador

ica,

q [K

pa]

B4478-CE 500 eo = 0,440B4478-CE 300 eo = 0,445 B4478-C 500 eo = 0,375

Arena de miga

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 5 10 15 20 25


Var.

pres

ión

inte

rstic

ial [

kPa]

B4478-CE 500 eo = 0,440B4478-CE 300 eo = 0,445B4478-C 500 eo = 0,375

F igura 4.17 Resul tado de ensayos t r iax ia les no drenados sobre las muest ras B4478-

C y B4478-CE para dos pres iones de conf inamiento in ic ia l .


Al finalizar el ensayo la relación de tensiones de todas las muestras alcanza valores

comprendidos entre 1,40 y 1,46, como se observa en el plano η – ε1.

En la Figura 4.18 se comparan los resultados de los ensayos triaxiales no drenados

con consolidación isótropa y anisótropa (η = 0,5) para las presiones de confinamiento

de 150kPa, 300kPa y 500kPa.

Se observa que las muestras consolidadas de forma anisótropa alcanzan una tensión

desviadora ligeramente superior a las muestras consolidadas de forma isótropa. Para

la presión de confinamiento de 150kPa (B4478-C TCIU 150; B4478-C TCAU 150) las

muestras experimentan una contracción inicial pequeña y luego la presión efectiva

aumenta continuamente hasta finalizar el ensayo. Como es de esperar, a medida que

aumenta la presión de confinamiento inicial (300kPa – 500kPa), el comportamiento

contractivo es mucho más acentuado y el punto de transformación de fase puede

observarse con claridad en el plano q – p´.

0

200

400

600

800

1000

0 100 200 300 400 500 600


Tens

ión

devi

ador

a, q

[Kpa

] B4478-C TCIU 500 eo = 0,375 B4478-C TCAU 500 eo = 0,416

B4478-C TCIU 300 eo = 0,389 B4478-C TCAU 300 eo = 0,403B4478-C TCIU 150 eo = 0,400 B4478-C TCAU 150 eo = 0,420

0

200

400

600

800

1000


Ten

sión

dev

iado

ra, q

[kPa

]

F igura 4.18 Resul tados de ensayos t r iax ia les no drenados con consol idac ión isót ropa

y an isót ropa de la muest ra B4478-C.

150


151

4.4.4 Estado crít ico

El estado residual de las arenas fue bastante estudiado y discutido dentro del

concepto de Estado Crítico, como se indicó en el Capítulo 2.

El concepto de estado crítico es alcanzado cuando el suelo sigue deformándose sin

cambio de volumen y sin cambio de tensión desviadora en ensayos triaxiales

drenados, o sin cambio de la presión efectiva y sin cambio en la tensión desviadora en

el corte no drenado. Esto implica que los invariantes de tensión y deformación en el

plano triaxial cumplen con la siguiente condición en ese punto:

´ 0; 0; 0; 0v sdp dq d dε ε= = = ≠ (4.3)

Cuando esto ocurre, si se representan los valores últimos en el plano , se

obtiene una relación de tensiones crítica M

´q p−

cs, y cuando se representan en el plano

( / )ae p p ζ− se obtiene la Línea de Estado Crítico con pendiente λ y ordenada igual a

la presión atmosférica eatm. La determinación de estos parámetros se efectúa en el

Capítulo 5, junto con el procedimiento de calibración de constantes del modelo.

La Figura 4.19 muestra los valores finales de los ensayos realizados en el plano

. Como puede observarse, todos los ensayos se alinean sobre una única línea. ´q p−

Arena de miga

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 200 400 600 800 1000 1200

Tensión efectiva principal, p´[kPa]

Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kP

a]

4479 TCD

4479 TCU

4478 TCU

4478 TCD

F igura 4.19 Valores f inales en ensayos t r iax ia les drenados y no drenados sobre la

arena de miga en e l p lano q - p´ .


No todos los ensayos alcanzan el verdadero Estado Crítico, dado que se observan

cambios de la presión de poros (por lo tanto, de la tensión efectiva principal) para

deformaciones axiales de 20% en los ensayos triaxiales no drenados (Figura 4.14,

Figura 4.15 y Figura 4.16). Sin embargo, la mayoría de los ensayos muestran un

decrecimiento de la variación de la presión de poros hacia el final del ensayo,

indicando que el Estado Crítico está cercano. Esto se puede observar tanto en la

Figura 4.19, como en la Figura 4.20 b) donde los valores finales tienden a alinearse en

el plano q-p´ y e – (p´/pa)ζ. Se observa un comportamiento similar en ensayos triaxiales

drenados que presentan cambios en la variación volumétrica al finalizar el ensayo. Sin

embargo, los valores finales en el plano q - p´ y en el plano e - p´ tienden al Estado

Crítico. En la Figura 4.20 a) se observa esta tendencia en las muestras 4479 en

estado denso (líneas en color negro) y de la muestras 4478 en estado suelto (líneas

en color rojo).

Arena de miga

a )

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00

Tensión efectiva principal, (p´/ pa)^ζ

Índi

ce d

e po

ros,

e

Arena de miga

b)

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0 1 2 3


Índi

ce d

e po

ros,

e

4

F igura 4.20 Valores in ic ia les y f ina les de ensayos t r iax ia les sobre la muest ra 4479

de la arena de miga a) drenados y b) no drenados

152


153

La Figura 4.21 presenta los valores finales de las muestras ensayadas en condiciones

drenadas y no drenadas en el plano e - ln p´. Se observa que las muestran tienden a

un estado residual único sin importar la condición de drenaje (Been et al., 1991).

Cuando la muestra alcanza la resistencia máxima, el índice de poros no es

representativo para determinar el Estado Crítico en los ensayos triaxiales drenados

donde se forman bandas de corte.

Arena de miga

LEC

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00


Índi

ce d

e po

ros,

e

4479 TCD

4479 TCU

4478 TCU

4478 TCD

F igura 4.21 Valores f inales de ensayos t r iax ia les drenados y no drenados sobre la

arena de miga.

En el Capítulo 5 se adopta una Línea de Estado Crítico en los planos q - p´ y e –

(p´/pa)^ζ en función de estos datos experimentales.


4.4.5 Dilatancia y relación de tensiones máxima

Como se ha definido en el Capítulo 2, la dilatancia es la razón entre los incrementos

de deformación volumétrica plástica y de deformación desviadora plástica. A partir de

los ensayos triaxiales drenados tenemos una serie de mediciones de deformación

axial desde el comienzo del corte hasta el 20%; por lo tanto, la dilatancia queda

expresada según Been & Jefferies, (2004):

( ) ( )( ) ( )

, 1 , 1 1 1

, 1 , 1 1 1

/

/ 3v i v i i i

is i s i i i

p p Kd

q q Gε ε

ε ε+ − + −

+ − + −

− − −=

− − − (4.4)

En la Figura 4.22 se muestra la variación de la dilatancia en el plano η – d y d - ε1 para

la muestra 4479. La evolución de la dilatancia mostrada confirma su dependencia con

la densidad y la presión de confinamiento, y que no existe una única relación entre η y

d sino una familia de curvas en función del nivel de tensión y densidad.

Para las muestras en estado denso ensayadas se observa que la dilatancia toma

valores positivos para pequeñas deformaciones alcanzando el valor nulo en el punto

de transformación de fase. Como se indicó en el Capítulo 2, para los ensayos

realizados este punto varía con la presión de confinamiento y con la densidad. Para

las muestras 4479-E, D, C y B el punto de transformación de fase se alcanza para

deformaciones que varían entre 1 y 3% para una presión de confinamiento de 50kPa

y, entre 4 y 6% para presiones de confinamiento de 300kPa. Mientras que en la

muestra 4479-A no se produce el cambio de comportamiento contractivo a dilatante

para la presión de confinamiento de 300kPa. El punto de transformación de fase está

asociado con la compresión máxima de las muestras.

A partir de la evaluación del valor del parámetro de estado y de la relación de

tensiones en ese punto se puede calibrar la constante m de la ecuación de dilatancia

adoptada en el modelo constitutivo unificado presentado en el Capítulo 3 como se

observa en la Figura 4.23. La variación de la relación de tensiones en el punto de

transformación de fase en función del parámetro de estado confirma la expresión

(3.43) propuesta en la sección 3.4.4.

154


155

Arena de Miga

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

-1 -0,5 0 0,5 1

Dilatancia, d

Rel

ació

n de

tens

ione

s, q

/p´

4479-E TCD3004479-E TCD1504479-E TCD50

Arena de Miga

-1,00

-0,75

-0,50

-0,25

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

0 5 10 15 20


Dila

tanc

ia, d

4479-E TCD3004479-E TCD1504479-E TCD50

Arena de Miga

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

-1 -0,5 0 0,5 1

Dilatancia, d

Rel

ació

n de

tens

ione

s, q

/p´

4479-D TCD3004479-D TCD1504479-D TCD50

Arena de Miga

-1,00

-0,75

-0,50

-0,25

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

0 5 10 15 20


Dila

tanc

ia, d

4479-D TCD3004479-D TCD1504479-D TCD50

Arena de Miga

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

-1 -0,5 0 0,5 1

Dilatancia, d

Rel

ació

n de

tens

ione

s, q

/p´

4479-C TCD3004479-C TCD1504479-C TCD50

Arena de Miga

-1,00

-0,75

-0,50

-0,25

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

0 5 10 15 20


Dila

tanc

ia, d

4479-C TCD3004479-C TCD1504479-C TCD50

Arena de Miga

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

-1 -0,5 0 0,5 1

Dilatancia, d

Rel

ació

n de

tens

ione

s, q

/p´

4479-B TCD3004479-B TCD1504479-B TCD50

Arena de Miga

-1,00

-0,75

-0,50

-0,25

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

0 5 10 15


Dila

tanc

ia, d

20

4479-B TCD3004479-B TCD1504479-B TCD50


Arena de Miga

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

-0,40 -0,20 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80

Dilatancia, d

Rel

ació

n de

tens

ione

s, q

/p´

4479-A TCD3004479-A TCD1504479-A TCD50

Arena de Miga

-0,50

-0,25

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

0 5 10 15 20


Dila

tanc

ia, d

4479-A TCD3004479-A TCD1504479-A TCD50

F igura 4.22 Var iac ión de la d i latanc ia en ensayos t r iax ia les drenados sobre la arena

de miga.

Arena de miga

ηTF = 1,52e2,50ψs

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

-0,10 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04

Parámetro de estado, ψ sTF

ηTF

F igura 4.23 Relac ión de ηTF con e l parámetro de estado en e l punto de t ransformación de fase.

En el plano η – d (Figura 4.22) la dilatancia es nula por primera vez en el punto de

transformación de fase, pasando a tomar valores negativos hasta alcanzar su valor

máximo, y luego se reduce hasta el Estado Crítico cuando η = Mcs. Este valor máximo

se alcanza con deformaciones pequeñas (3 al 5%) para presiones de confinamiento de

50kPa.

Esto confirma lo indicado en el Capítulo 2: para presiones de confinamiento bajas las

arenas tienen un comportamiento fuertemente dilatante en el inicio del proceso de

carga mostrando una fuerte curvatura en el plano η – d. Menor es la presión de

confinamiento, mayor será el valor máximo de la dilatancia alcanzado.

156


157

La Figura 4.24 presenta la influencia del índice de poros y de la presión de

confinamiento en la relación de tensiones máxima en los ensayos triaxiales realizados

sobre la arena de miga. Confirmando lo expresado por varios autores, la relación de

tensiones máxima tiende a decrecer según aumenta el índice de poros (Figura 4.24

a)). En la Figura 4.24 b) se observa como la relación de tensión máxima disminuye

con la presión de confinamiento.

Arena de miga

a)

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

0,340 0,360 0,380 0,400 0,420

Índice de poros inicial, e

ηmax

po = 50kPa

po = 150kPapo = 300kPa Arena de miga

b)

1,00

1,10

1,20

1,30

1,40

1,50

1,60

1,70

1,80

1,90

2,00

0 50 100 150 200 250 300 350

Presión de confinamiento inicial, po [kPa]

ηmax

4479-C4479-A

F igura 4.24 In f luenc ia de l índ ice de poros y la pres ión de conf inamiento en la

re lac ión de tens iones máxima para la arena de miga

La Figura 4.25 representa la disminución de la relación de tensiones en el pico,

mientras que la dilatancia máxima decrece y el parámetro de estado inicial se acerca

al valor nulo. En la Figura 4.25 b) se confirma la ecuación (3.54) adoptada por el

modelo constitutivo modificado, donde el pico de tensiones es dependiente del

parámetro de estado ψs0 a través de una función exponencial. También podría ser

expresado por una función lineal del parámetro de estado, como indican Wood et al.

(1994).

Arena de miga a)

ηp =1,5 -0,5553*dmax

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

2,20

-0,60-0,50-0,40-0,30-0,20-0,100,00

dmax

ηmax

Arena de miga b)

ηp = 1,50*e-2,5827ψ

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

2,20

-0,07-0,06-0,05-0,04-0,03-0,02-0,010,00

ψo

ηmax

F igura 4.25 Relac ión de ηm á x con la d i la tanc ia máxima y e l parámetro de estado

in ic ia l en muest ras de arena de miga.


4.5 Conclusiones

La arena de miga ha sido ensayada para determinar las propiedades tenso-

deformacionales que permitan calibrar el modelo constitutivo propuesto en el Capítulo

3.

Los resultados de los ensayos realizados confirman la dependencia del

comportamiento mecánico con la densidad y con la presión de confinamiento,

mostrando una fuerte variabilidad de la dilatancia y la relación de tensiones máximas

con el parámetro de estado.

El comportamiento para grandes deformaciones de la arena de miga ha sido

interpretado en el marco de los conceptos de Estado Crítico. Se ha demostrado que

los valores residuales de los ensayos realizados tienden a una referencia única en los

planos q - p´ y e – (p´/pa)^ζ.

En el Capítulo 5 se presentará un procedimiento de calibración del modelo constitutivo

para suelos saturados a partir de este programa de ensayos.

158

Capítulo 5

Calibración y validación del modelo constitutivo propuesto

5.1 Introducción

La modificación de la formulación del modelo constitutivo Pastor – Zienkiewicz dentro

del marco del Estado Crítico y la incorporación de los conceptos de parámetro de

estado permiten simular el comportamiento de diversas arenas en distintas

condiciones iniciales con un único juego de parámetros.

En el presente capítulo se desarrolla un procedimiento de calibración del modelo. En la

Sección 5.3 se realiza la calibración para la arena de miga y se predice su

comportamiento según los ensayos de laboratorio sobre las muestras 4478 y 4479

presentados en el Capítulo 4.

Igualmente, el modelo ha sido calibrado con diversas arenas de la literatura

demostrando su capacidad de simular el comportamiento tenso-deformacional bajo

diferentes condiciones de carga, de presión de confinamiento y de densidad con un

único juego de constantes intrínsecas para cada arena. Se han realizado 93

simulaciones para 4 arenas distintas: arena Toyoura (Verdugo & Ishihara, 1996), arena

Banding (Castro, 1969); arena Kurnell (Russell, 2004) y la arena de miga.

Por último, se presenta un análisis de sensibilidad del modelo, variando el índice de

poros y la presión de confinamiento iniciales en ensayos triaxiales drenados de la

arena Banding.


5.2 Procedimiento de calibración

5.2.1 Aspectos Generales

Para realizar la calibración del modelo propuesto se requieren determinar 13

constantes que se pueden separar de acuerdo a su función: 2 constantes para

determinar los módulos elásticos, 3 constantes para determinar el estado crítico, 2

constantes para determinar la dilatancia dependiente del parámetro de estado, y 6

constantes para determinar el modulo plástico. La gran mayoría de las constantes

pueden ser determinadas a partir de ensayos de laboratorio estándar. A continuación

se desarrolla un procedimiento sistemático para la calibración de todos los parámetros

en función de los datos experimentales.

5.2.2 Constantes de Estado Crítico

Las constantes de estado crítico son: la relación de tensiones crítica (Mg), el índice de

poros a presión atmosférica (eatm) y la pendiente de la Línea de Estado Crítico (λ) en el

plano ( ae p p )ζ′− donde ζ es un parámetro de ajuste y su rango se encuentra entre

0,60 – 0,80. (Li, 1998).

La relación de tensiones crítica se puede estimar a través de los datos experimentales

en tres ensayos no drenados en el plano q - p´ como la pendiente que une los valores

residuales. Igualmente se puede obtener desde datos experimentales en ensayos

drenados en un gráfico dilatancia ( ) en función de la relación de tensiones (d η ) como

el valor que toma la relación de tensiones cuando la dilatancia es nula en condiciones

residuales.

Las constantes eatm y λ se obtienen ajustando los valores residuales de los datos

experimentales a una línea recta en el plano ( ae p p )ξ′− , donde λ es la pendiente y

eatm es la abscisa a la presión atmosférica (Figura 5.1a). Como se indicó en el Capítulo

2, la forma de la LEC puede variar según la escala adoptada. En Figura 5.1 se

muestra el ajuste de los datos experimentales en estado crítico de la arena Banding

(Castro, 1969) utilizando dos escalas diferentes. Es importante destacar que la

determinación de LEC es fundamental para la posterior determinación del parámetro

de estado.

160

Capítulo 5 Calibración y validación del modelo constitutivo propuesto

161

Arena Banding

e = 0,724-0,0136(p/pa)^0,60

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

Tensión efectiva principal, (p/pa)^ζ

Indi

ce d

e po

ros,

e

Arena Banding

e =0,778 -0,0159*Ln(p´)

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1 10 100 1000

Tensión efectiva principal, p´

Indi

ce d

e po

ros,

e

F igura 5.1 A juste de datos exper imenta les en estado cr í t ico de la arena B en dos

escalas d i ferentes (datos exper imenta les de Cast ro, 1969) .

Para obtener estos tres parámetros (Mg, eatm y λ) se necesitan como mínimo tres

ensayos triaxiales drenados o no drenados a presiones de confinamiento y densidades

distintas.

5.2.3 Constantes elásticas

Las constantes elásticas del modelo se determinan a partir de ensayos de laboratorio:

el parámetro elástico Geso se determina a partir del ajuste de la pendiente inicial en el

plano q- εs o a través de ensayos en columna resonante o ensayos “bender test” (Dyvik

& Madshus, 1985; Greening & Nash, 2004). El coeficiente de Poisson ν está

relacionado con Kevo a través de:


( )12

3 1 2evo esoK Gνν

+= ⋅

− (5.1)

Kevo se puede calibrar en ensayos de compresión isótropa o ajustando la pendiente

inicial en el plano p´- εv en ensayos triaxiales drenados o de compresión isótropa,

como se explica en Zienkiewicz et al. (1999).

5.2.4 Constantes de dilatancia

Las constantes asociadas a la ecuación de la dilatancia d0 y m (ec. (3.42)) se pueden

obtener directamente de los datos experimentales según indican Li & Dafalias (2000).

El punto de transformación de fase medido en ensayos drenados o no drenados donde

la dilatancia es nula, permite obtener el parámetro de una forma simple: m

( )00 expg TFg

dd M mM

ψ ηTF⎡ ⎤= = ⋅ ⋅ −⎣ ⎦ (5.2)

El valor de se obtiene despejando de la ecuación anterior y determinando el

parámetro de estado en el punto de transformación de fase (ψ

m

TF) y la relación de

tensiones en el estado de transformación de fase (ηTF) desde los datos

experimentales.

La constante d0 se determina suponiendo que las deformaciones elásticas son

pequeñas y despreciables, por lo tanto las deformaciones totales son

aproximadamente iguales a las deformaciones plásticas en los ensayos drenados:

p

vp

v

s s

d dd d

ε εε ε

≈ (5.3)

En este caso la ecuación de la dilatancia se expresa como:

( )exp mod 0 expvg

s g

dd d M mM

εψ η

εΔ ⎡ ⎤= ≈ = ⋅ ⋅ −⎣ ⎦Δ (5.4)

El parámetro se calibra a partir de una aproximación por mínimos cuadrados de las

curvas

0d

exp1d ε− y mod

1d ε− .

162


163

Cabe destacar que los valores de d0 y m obtenidos desde los datos experimentales

varían ligeramente con la densidad y la presión de confinamiento.

Con la idea de obtener el efecto que tienen los parámetros d0 y m en las simulaciones

se presenta un simple análisis de sensibilidad de los mismos en el comportamiento no

drenado de una arena densa con condiciones iniciales: 0 02000 0,735p kPa e= = .

En la Figura 5.2 se observa el efecto que produce el parámetro m en la trayectoria de

tensiones no drenada de una arena densa. Valores de m crecientes producen una

disminución de la tensión efectiva principal mínima o lo que es lo mismo una

disminución de las presiones intersticiales del material. Para este análisis d0 toma el

valor de 0,90.

m = 0

m = 0,75

m = 1,5

m = 2,25

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

1500 2000 2500 3000


Tesi

ón D

esvi

ador

a, q

F igura 5 .2 Efecto de l parámetro m en la t rayector ia de tens iones no drenada de una arena densa.

El efecto que produce la variación de d0 en la trayectoria de tensiones no drenada se

observa en la Figura 5.3. El valor de m adoptado es 1,50. Contrariamente a lo

expresado en la variación de m, valores de d0 decrecientes producen una disminución

de la tensión efectiva principal mínima.


do = 0,30

do = 0,50

do = 0,70

do = 0,90

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

1500 2000 2500 3000


Tesi

ón D

esvi

ador

a, q

F igura 5 .3 Efecto de l parámetro do en las t rayector ias de tens iones no drenada de una arena densa

5.2.5 Constantes del vector dirección

Los parámetros y definen el vector de carga y descarga como función del índice

de poros inicial y el índice de poros crítico. Se requieren como mínimo 3 ensayos

triaxiales a dos presiones de confinamiento y dos densidades distintas, cubriendo el

rango de interés de la simulación.

1h 2h

El parámetro de estado qψ tiene el siguiente rango:

maxmin

max minq

eee

β

e

β

ψ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

≤ ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(5.5)

entonces

1 2f

qg

Mh h

Mψ= − ⋅ (5.6)

Cuando la relación f gM M sea aproximadamente igual a la unidad, qψ es igual valor

mínimo, lo que equivale a considerar un flujo plástico asociado.

Para los distintos valores de índice de poros y presión de confinamiento podemos

determinar el valor del parámetro de estado qψ y la relación fg

MM . β es constante e

igual a 1,80.

164


165

Verdugo & Ishihara (1996) justifican la utilización de los valores del índice de poros

máximo y mínimo para determinar el rango de índices de poros de una arena y

muestran que la variación de los mismos con el aumento de la presión de

confinamiento no es marcado. Por lo tanto el rango de variación de ψq se puede

considerar adecuado para calibrar los parámetros y . 1h 2h

5.2.6 Constantes del módulo plástico

Las constantes H0´ y β0´ relacionadas con el modulo plástico se pueden determinar a

partir de ensayos de compresión isótropa ajustando la respuesta volumétrica y

utilizando la siguiente expresión:

1

v gL

dpd nK H

ε v vn dp′

′= + (5.7)

donde

21 1g

gv 2

f

g f

d dn n

d= =

+ d+ (5.8)

y ( )

0 0( ) ( ) 0 expg fd d d mη η sψ= = ⋅ ⋅ (5.9) y

0 0expL qH H p p Hβ ψ′ ′ ′ ′⎡ ⎤= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦ a DM (5.10)

Las constantes asociadas a las ecuaciones de Hv y Hs se aproximan en dos pasos.

Como primera aproximación del parámetro vβ , se anula la ecuación (3.54) y se

obtiene:

1 ln g

v ps p

Mβ

ψ η⎛ ⎞

= ⋅ ⎜⎜⎝ ⎠

⎟⎟ (5.11)

donde psψ y pη son los valores de η y sψ en el estado de tensiones máximas o de

pico en un ensayo de corte drenado de una arena densa.

El segundo paso se realiza por el método de mínimos cuadrados. En un ensayo triaxial

drenado las deformaciones desviadoras totales se pueden expresar como:


e p

s sd d d sε ε ε= + (5.12)

donde,

(13s gs v

L

dqd n n dpG H

ε ′= + ⋅ ⋅ + )sn dq (5.13)

Considerando las deformaciones elásticas muy pequeñas y reordenando los términos

de la ecuación anterior, se obtiene:

3

Lp

vs sgs s

Hdq dqnd d n nε ε

≈ =⎛⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞ (5.14)

A partir de los datos experimentales la ecuación anterior se ajusta por mínimos

cuadrados. En la expresión (5.14) es función de en la cual los parámetros que

faltan ajustar son H

LH

v0, βv, β0 y β1. El rango aproximado de variación de βv ha sido

obtenido a partir de la ecuación (5.11) para los ensayos que presentan picos de

tensiones. Las constantes 0β y 1β se pueden adoptar el rango de variación en función

de los valores indicados en Zienkiewicz et al. (1999) y Hv0 es función del ajuste.

5.3 Calibración y validación para la arena de miga

En la presente sección se desarrolla el procedimiento de calibración de las constantes

del modelo constitutivo de Plasticidad Generalizada propuesto para predecir el

comportamiento de la arena de miga en función de los datos experimentales que se

han presentado en el Capítulo 4.

5.3.1 Constantes del modelo

Los valores residuales de los ensayos triaxiales drenados (TCD) y no drenados (TCU)

de la muestra 4479 han sido representados en el plano q - p´. Como muestra la Figura

5.4 los valores se ajustan bastante bien a una recta que pasa por el origen con

pendiente . 1,50=gM

166


167

En la Figura 5.5 se muestran los valores finales en el plano ( ae p p )ζ′− para los

ensayos drenados y no drenados de la muestra 4479. La recta que ajusta mejor con

los datos experimentales tiene una pendiente 0,0308λ = y una ordenada a de

.

1p kP′ = a

0,45atme =

Arena de miga

q = 1,50p´R2 = 0,9918

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 200 400 600 800 1000 1200


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kP

a]

TCD

TCU

F igura 5.4 Puntos f ina les de los ensayos t r iax ia les drenados y no drenados en e l

p lano q p′− .

Arena de miga

LEC

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0 200 400 600 800 1000 1200

Tensión efectiva principal, (p´/ pa)^ξ

Índi

ce d

e po

ros,

e TCD

TCU

F igura 5.5 Puntos f ina les de los ensayos t r iax ia les drenados y no drenados en e l

p lano ( )ae p p ζ′− .


La constante m es determinada en función de lo expresado en la Sección 5.2.4. En la

Tabla 5.1 se muestran los ensayos que presentan un punto de transformación de fase

durante el proceso de carga. En los ensayos no drenados este punto corresponde al

valor mínimo de tensión efectiva principal (pTF´), donde se determinan la tensión

desviadora y el índice de poros. Luego se determinó el índice de poros crítico para pTF´

y se calcula la relación de tensiones y el parámetro de estado en el mismo punto.

Reemplazando los valores obtenidos en la ecuación (5.2) se obtiene el valor del

parámetro m. Como se observa en la Tabla 5.1 el parámetro m tiene un rango de

variación para la arena de miga entre 0,304 a 5,355.

Tabla 5.1 Valores en e l punto de t ransformación de fase de d is t intos ensayos

t r iax ia les en la arena de miga

Nº Ensayo po´ eTF qTF p´TF ηTF eCS ψsTF m

4479-A CD 150 0,403 468,2 303,2 1,544 0,394 0,009 3,267 4479-B CU 50 0,386 92,7 62,6 1,481 0,428 -0,042 0,304 4479-C CU 300 0,337 438,2 308,8 1,419 0,393 -0,056 0,984 4479-C CU 150 0,351 182,0 148,6 1,225 0,413 -0,062 3,239 4479-C CU 50 0,344 65,0 55,7 1,168 0,430 -0,086 2,921 4479-D CU 300 0,379 344,1 246,7 1,395 0,400 -0,021 3,370 4479-D CU 150 0,394 205,8 146,1 1,408 0,414 -0,020 3,173 4479-D CU 50 0,379 88,5 60,1 1,472 0,429 -0,050 0,377 4479-E CD 300 0,388 1102,6 661,8 1,666 0,360 0,028 3,816 4479-E CU 150 0,409 161,0 108,4 1,485 0,420 -0,011 0,964 4479-E CU 50 0,409 58,7 44,4 1,324 0,432 -0,023 5,355

En ensayos drenados el punto de transformación de fase se encuentra donde se

produce el cambio del comportamiento contractivo a dilatante como se ha explicado en

el Capítulo 2.

La constante d0 se obtiene según la ecuación (5.4) ajustando por mínimos cuadrados

los valores experimentales de dilatancia con la ecuación de dilatancia del modelo en

función de la deformación desviadora. Los valores experimentales de la dilatancia se

calculan como la razón del incremento de deformación volumétrica plástica y el

incremento de deformación desviadora plástica (Ver Sección 4.4.5). En la Figura 5.6

se observa el ajuste de dos ensayos triaxiales drenados a dos presiones de

confinamiento donde d0=1.31 para la muestra 4479-E(150kPa) y d0=1.08 para la

muestra 4479-E(300kPa). Para la arena de miga en ensayos drenados los valores de

d0 obtenidos se encuentran en un rango entre 0,50 y 1,35.

168


169

Dado que los parámetros asociados a la dilatancia se obtienen a partir de ensayos

triaxiales drenados, el valor exacto se obtiene haciendo un análisis de sensibilidad en

los ensayos triaxiales no drenados como se ha mostrado en la Sección 5.2.4.

Arena de miga

-1,40

-1,00

-0,60

-0,20

0,20

0,60

1,00

1,40

0 5 10 15 20

Deformación desviadora [%]

Dila

tanc

ia, d

4479-E (300kPa) ensayo 4479-E (300kPa) modelo

3

Arena de miga

-1,40

-1,00

-0,60

-0,20

0,20

0,60

1,00

1,40

0 5 10 15 20

deformación desviadora [%]

Dila

tanc

ia, d

4479-E (150kPa) ensayo 4479-E (150kPa) modelo

F igura 5.6 A juste de va lores exper imenta les de d i la tanc ia en ensayos t r iax ia les

drenados con la ecuac ión de l modelo.

Las constantes h1 y h2 se aproximan obteniendo la relación /f gM M Dr≈ para el rango

de densidades de trabajo. De igual manera se determina para cada densidad y dos

presiones de confinamiento el parámetro ψq ( Figura 5.7). En el caso de ensayos no

drenados donde se produce liquefacción estática el modelo es sensible a los cambios

de estas constantes. En arenas densas como la arena de miga, la relación fg

MM es

cercana a la unidad. Los valores adoptados son h1 = 1.02 y h2 = 0.15


Arena de migarango inferrior

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

ψq

Mf /

Mg

p´ = 50kPa

p´=300kPa

F igura 5.7 Est imación de las constantes h1 y h2

La constante elásticas Geso se determina a partir de ajustar la pendiente inicial en el

plano sq ε− y el módulo elástico inicial Keso es aproximado en función de la pendiente

inicial en el plano vp ε′ − en ensayos triaxiales drenados. Un vez determinados Geso y

Keso, se ajusta el valor de H0´ y β0´ a partir de la ecuación (5.10) con los datos de

ensayos de compresión isótropa.

Para la determinación de la constante βv se utilizó la ecuación (5.11) y los ensayos

triaxiales drenados que presentan un reblandecimiento al final del ensayo. Obteniendo

el valor máximo de la relación de tensiones y el parámetro de estado en dicho punto

se calcula el valor aproximado de (n Tabla 5.2).

Tabla 5.2 Valores en e l punto de tens iones máxima en ensayos t r iax ia les

drenados en la arena de miga

Nº Ensayo po´ η P ψsP n

4479-C D 300 1,617 -0,01881 3,99 4479-C D 150 1,752 -0,03051 5,09 4479-C D 50 1,864 -0,03859 5,63 4479-D D 150 1,662 -0,02096 4,89

Por último, para la arena de miga se adoptaron los valores de β0 y β1 iguales a 0,20 y

4,2 respectivamente y se ajustaron los datos experiméntales según la ecuación (5.14)

para obtener Hv0. La Figura 5.8 presenta la calibración de la constante Hv0 para un

ensayo triaxial drenado de la arena de miga a una presión de confinamiento de

300kPa y un índice de poros de 0,61. El valor obtenido del ajuste por mínimos

cuadrados es de Hv0 = 18,2.

170


171

Arena de miga

-1,E+04

-5,E+03

0,E+00

5,E+03

1,E+04

2,E+04

2,E+04

3,E+04

3,E+04

0 5 10 15 20

Deformación desviadora [kPa]

H L

4479-C TDC300 Ensayo 4479-C TCD300 Modelo

F igura 5.8 A juste de la ecuac ión de l módulo p lást ico de l modelo de Plast ic idad

Genera l izada con un ensayo t r iax ia l drenado.

La Tabla 5.3 presenta resumidos todos los parámetros del modelo propuesto

calibrados para la arena de miga y utilizados en las simulaciones de la sección

siguiente.

Tabla 5.3 Parámetros de l modelo de PG propuesto para la arena de miga.


esoG 70 Módulo tangencial

evoK 37 Módulo volumétrico

gM 1.5 Pendiente de la LEC en el plano q p′−

atme 0.45 Intersección de LEC para 1p kPa=

λ 0.0308 Pendiente de LEC en el plano e p′−

ξ 0.6 Parámetro de ajuste de LEC. Varia de 0.6 a 0.8

1h 2h 1.02/0.15 Constantes de variación de fM con el parámetro de estado

0d 0.65 Multiplicador de la dilatancia

m 2.52 Parámetro asociado a la línea de transformación

0H ′ 80 Parámetro de endurecimiento plástico isótropo

0β′ 1.1 Parámetro asociado al m. plástico isótropo y su variación con parámetro de estado

0vH 25 Constante del módulo plástico volumétrico para 0η ≠

vβ 3.98 Parámetro asociado a la resistencia de pico


5.3.2 Predicciones de ensayos de laboratorio

En la Figura 5.9 se muestran los estados iniciales de las muestras simuladas y la

Línea de Estado Crítico adoptada para las simulaciones. El conjunto de estados

iniciales se encuentran por debajo de LEC por lo que la arena se encuentra en estado

denso con parámetro de estado inicial (ψs0) negativos. Se simularon 18 ensayos

triaxiales no drenados y 18 ensayos triaxiales drenados.

Arena de Miga

LEC

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0 100 200 300 400 500 600

Tensión Efectiva Principal, (p´/pa)^ξ

Índi

ce d

e po

ros,

e

4479 TCIU 4479 TCID B4478 TCIU B4478TCID

F igura 5.9 Línea de Estado Cr í t ico de la arena de miga y estados in ic ia les de los

ensayos s imulados

De la Figura 5.10 a la Figura 5.15 el modelo reproduce el comportamiento tenso –

deformacional de los ensayos de laboratorio triaxiales consolidados drenados (TCD),

usando el mismo juego de parámetros dados en la Tabla 5.3 para las distintas

densidades y presiones de confinamiento. En el caso de presiones de confinamiento

bajas (p´=50kPa) y densidades muy altas como se observa en la Figura 5.13 y Figura

5.14, la respuesta volumétrica (dilatación) es un poco inferior a la experimental.

El comportamiento no drenado presentado en las Figura 5.16, Figura 5.17 y Figura

5.18 es simulado con bastante precisión, tanto en las trayectorias de tensiones

como en la relación tensión desviadora – deformación axial. La variación de la presión

intersticial en función de las deformaciones axiales simuladas es muy cercana a los

datos experimentales. Las

´q p−

Figura 5.19 y Figura 5.20 presentan las predicciones del

modelo de las muestras 4479-A y 4479-B. En la Figura 5.21 se presentan las

predicciones de los ensayos no drenados sobre la muestra 4478-C. En general todas

las simulaciones capturan el comportamiento de la arena de miga a compresión

triaxial. Los resultados experimentales son identificados con símbolos y las

simulaciones en línea continua.

172


173

Arena de miga

0200400600800

100012001400160018002000

0 5 10 15 20


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa

]

p´= 300kPa e = 0,351p´= 150kPa e = 0,352p´= 50kPa e = 0,389

Ensayo Arena de miga

0200400600800

100012001400160018002000

0 5 10 15 20


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa

]

Predicción

Arena de miga

-7-6-5-4-3-2-10123


Def

orm

ació

n vo

lum

étric

a [%

]


-7-6-5-4-3-2-10123


Def

orm

ació

n vo

lum

étric

a [%

]

Predicción

F igura 5 .10 Comparac ión ent re resul tados de ensayos t r iax ia les drenados de la

muest ra 4479-E de la arena de miga y las pred icc iones de modelo de Plast ic idad Genera l izada propuesto.

Arena de miga

0200400600800

100012001400160018002000

0 5 10 15 20


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa

]



0200400600800

100012001400160018002000

0 5 10 15 20


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa

]

Predicción

Arena de miga

-7-6-5-4-3-2-10123


Def

orm

ació

n vo

lum

étric

a [%

]


-7-6-5-4-3-2-10123


Def

orm

ació

n vo

lum

étric

a [%

]

Predicción


muest ra 4479-D de la arena de miga y las pred icc iones de modelo de Plast ic idad Genera l izada propuesto.


Arena de miga

0200400600800

100012001400160018002000

0 5 10 15 20


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kP

a]



0200400600800

100012001400160018002000

0 5 10 15 20


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kP

a] Predicción

Arena de miga

-7-6-5-4-3-2-10123


Def

orm

ació

n vo

lum

étric

a [%

]


-7-6-5-4-3-2-10123


Def

orm

ació

n vo

lum

étric

a [%

] Predicción


muest ra 4479-C de la arena de miga y las pred icc iones de modelo de Plast ic idad Genera l izada propuesto.

Arena de miga

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 5 10 15 20


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kP

a]



0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 5 10 15 20


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kP

a] Predicción

Arena de miga

-7-6-5-4-3-2-10123


Def

orm

ació

n vo

lum

étric

a [%

]


-7-6-5-4-3-2-10123


Def

orm

ació

n vo

lum

étric

a [%

] Predicción


muest ra 4479-B de la arena de miga y las pred icc iones de modelo de Plast ic idad Genera l izada propuesto.

174


175

Arena de miga

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 5 10 15 20


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kP

a]



0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 5 10 15 20


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kP

a] Predicción

Arena de miga

-5-4-3-2-1012345


Def

orm

ació

n vo

lum

étric

a [%

]


-5-4-3-2-1012345


Def

orm

ació

n vo

lum

étric

a [%

] Predicción


muest ra 4479-A de la arena de miga y las pred icc iones de modelo de Plast ic idad Genera l izada propuesto.

Arena de miga

0

250

500

750

1000

1250

1500

1750

2000

0 5 10 15 20


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kP

a]



0

250

500

750

1000

1250

1500

1750

2000

0 5 10 15 20


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kP

a] Predicción

Arena de miga

-3

-2

-1

0

1

2

3

40 5 10 15 20


Def

orm

ació

n vo

lum

étric

a [%

]


-3

-2

-1

0

1

2

3

40 5 10 15 20


Def

orm

ació

n vo

lum

étric

a [%

]

Predicción


muest ra 4478-C de la arena de miga y las pred icc iones de modelo de Plast ic idad Genera l izada propuesto.


Arena de miga

0

200

400

600

800

1000

1200

0 100 200 300 400 500 600 700


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa

]



0

200

400

600

800

1000

1200

0 100 200 300 400 500 600 700

Tensión efectiva principal, p´[kPa]Te

nsió

n de

svia

dora

, q [k

Pa]


Predicción

Arena de miga

0

200

400

600

800

1000

1200

0 5 10 15 20


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa

] p´= 300kPa e = 0,356p´= 150kPa e = 0,374p´= 50kPa e = 0,385

Arena de miga

0

200

400

600

800

1000

1200


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa


Arena de miga

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15 20


Pres

ión

inte

rstic

ial,

Δu [k

Pa] p´= 300kPa e = 0,356

p´= 150kPa e = 0,374p´= 50kPa e = 0,385

Arena de miga

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15 20


Pres

ión

inte

rstic

ial,

Δu [k

Pa] p´= 300kPa e = 0,356

p´= 150kPa e = 0,374p´= 50kPa e = 0,385

F igura 5 .16 Comparac ión ent re resul tados de ensayos t r iax ia les no drenados de la muest ra 4479-E de la arena de miga y las pred icc iones de l modelo de Plast ic idad

Genera l izada propuesto.

176


177

Arena de miga

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 200 400 600 800


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kP

a]



0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 100 200 300 400 500 600 700


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kP

a]


Predicción

Arena de miga

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 5 10 15 20


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kP

a]


Arena de miga

0

200

400

600

800

1000

1200

1400


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kP

a]


Arena de miga

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15 20


Pre

sión

inte

rstic

ial,

Δu [k

Pa]


Arena de miga

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15 20


Pre

sión

inte

rstic

ial,

Δu [k

Pa]


F igura 5 .17 Comparac ión ent re resul tados de ensayos t r iax ia les no drenados de la muest ra 4479-D de la arena de miga y las pred icc iones de l modelo de Plast ic idad



Arena de miga

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 200 400 600 800 1000 1200


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kP

a]



0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 200 400 600 800 1000 1200


nsió

n de

svia

dora

, q [k

Pa]


Predicción

Arena de miga

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 5 10 15 20


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa

]


Arena de miga

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa

]


Arena de miga

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

0 5 10 15 20


Pres

ión

inte

rstic

ial,

Δu [k

Pa]


Arena de miga

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

0 5 10 15 20


Pres

ión

inte

rstic

ial,

Δu [k

Pa]


F igura 5.18 Comparac ión ent re resu l tados de ensayos t r iaxia les no drenados de la muest ra 4479-C de la arena de miga y las pred icc iones de l modelo de Plast ic idad


178


179

Arena de miga

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 100 200 300 400 500 600 700


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kP

a]


Ensayo

Arena de miga

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 5 10 15 20


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa


Arena de miga

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20


Pres

ión

inte

rstic

ial,

Δu [k

Pa] p´= 300kPa e = 0,356

p´= 150kPa e = 0,380p´= 50kPa e = 0,401

Arena de miga

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 100 200 300 400 500 600 700


nsió

n de

svia

dora

, q [k

Pa]


Predicción

Arena de miga

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 5 10 15 20


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa


Arena de miga

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20


Pres

ión

inte

rstic

ial,

Δu [k

Pa] p´= 300kPa e = 0,356

p´= 150kPa e = 0,380p´= 50kPa e = 0,401

F igura 5.19 Comparac ión ent re resul tados de ensayos t r iax ia les no drenados de la muest ra 4479-B de la arena de miga y las pred icc iones de l modelo de Plast ic idad



Arena de miga

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 50 100 150 200 250 300 350


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kP

a]



0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 50 100 150 200 250 300 350


nsió

n de

svia

dora

, q [k

Pa]


Predicción

Arena de miga

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 5 10 15 20


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa


Arena de miga

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 5 10 15 20


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa


Arena de miga

-200-150-100

-500

50100150

200250300

0 5 10 15 20


Pres

ión

inte

rstic

ial,

Δu [k

Pa]


Arena de miga

-200-150-100

-500

50100150

200250300

0 5 10 15 20


Pres

ión

inte

rstic

ial,

Δu [k

Pa]


F igura 5.20 Comparac ión ent re resul tados de ensayos t r iax ia les no drenados de la muest ra 4479-A de la arena de miga y las pred icc iones de l modelo de Plast ic idad


180


181

Arena de miga

0100200

300400500600700

800900

1000

0 100 200 300 400 500 600


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kP

a]



0100200

300400500600700

800900

1000

0 100 200 300 400 500 600


nsió

n de

svia

dora

, q [k

Pa] Predicción

Arena de miga

0100

200300400500

600700800

9001000

0 5 10 15 20


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa


Arena de miga

0100

200300400500

600700800

9001000


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa


Arena de miga

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20


Pres

ión

inte

rstic

ial,

Δu [k

Pa]


Arena de miga

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20


Pres

ión

inte

rstic

ial,

Δu [k

Pa]


F igura 5.21 Comparac ión ent re resul tados de ensayos t r iax ia les no drenados de la muest ra 4478-C de la arena de miga y las pred icc iones de l modelo de Plast ic idad



5.4 Arena Toyoura

Verdugo & Ishihara (1996) presentaron una serie de resultados de ensayos triaxiales

con deformación controlada sobre la arena Toyoura para diferentes presiones de

confinamiento e índice de poros iniciales. Estos han sido utilizados también para

demostrar la capacidad de predecir del modelo con un único juego de parámetros. La

arena Toyoura es una arena de cuarzo y feldespato, fina, uniforme, de partículas

subredondeadas a subangulares, cuyas características de identificación se encuentran

expresadas en la Tabla 5.4:

Tabla 5.4 Propiedades índ ice de la arena Toyoura

50D uC máxe míne sG

0,17mm 1,7 0,977 0,597 2,65

Para estudiar el comportamiento de la arena Toyoura bajo carga triaxial monótona de

compresión, Verdugo & Ishihara (1996) presentaron 9 ensayos no drenados y 6

ensayos drenados.

El rango de densidades varía entre Dr = 4,5 % y Dr = 63,7% y el rango de presiones

de confinamiento entre 100 y 3000kPa. En la Tabla 5.5 se presentan los estados

iniciales de los ensayos simulados.

Tabla 5.5 Estados in ic ia les de la arena Toyoura

Ensayo po´ [kPa] e ψo

TCU0118 100 0,907 -0,00813188 TCU0137 100 0,833 -0,08213188TCU0163 100 0,735 -0,18013188TCU1018 1000 0,907 0,06756461TCU1037 1000 0,833 -0,00643539TCU1063 1000 0,735 -0,10443539TCU2018 2000 0,907 0,12662066TCU2037 2000 0,833 0,05262066TCU2063 2000 0,735 -0,04537934TCU3037 3000 0,833 0,10303916TCU3063 3000 0,735 0,00503916TCD01L 100 0,996 0,08086812TCD01M 100 0,917 0,00186812TCD01D 100 0,831 -0,08413188TCD05L 500 0,960 0,08421135TCD05M 500 0,866 -0,00978865TCD05D 500 0.810 -0,06578865

182


183

En la Figura 5.22 se encuentran dichos estados iniciales referenciados con la Línea

de Estado Crítico (LEC) de la arena Toyoura. Los estados iniciales que se localizan

por encima de la LEC tienen un comportamiento contractivo y valores positivos del

parámetro de estado, y mientras que los localizados por debajo de la LEC tienen un

comportamiento dilatante y parámetros de estado negativos.

Para la calibración de los parámetros del modelo constitutivo propuesto se ha seguido

el procedimiento indicado en la Sección 5.2. Las constantes de Estado Crítico en los

planos y ′−q p ( ae p p )ζ′− y las constantes elásticas se obtuvieron de la literatura.

Las constantes de la ecuación de la dilatancia se determinaron a partir de los ensayos

triaxiales no drenados con Dr = 63,7% y para las presiones de confinamiento de

1000kPa, 2000kPa y 3000kPa. (Figura 5.23).

Las constantes h1 y h2 se obtuvieron analizando todo el rango de densidades y

presiones de confinamiento como se ha indicado en la Sección 5.2 y luego se

comprobaron en la simulación de los ensayos triaxiales no drenados de densidad

inicial 18,5%, especialmente en aquellos donde se produce liquefacción estática.

vβ se determinó según lo indicado en la Sección 5.2. En este caso, se obtuvo por

prueba y error, debido a que no se dispone los datos incrementales de los ensayos.

0vH

0β

y 1β toman los valores 4,2 y 0,20 respectivamente.

Arena Toyoura

CSL

e máx

e mín

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500


Índi

ce d

e po

ros,

e

TCU

TDC

F igura 5.22 Línea de Estado Cr í t ico de la arena Toyoura y estados in ic ia les de los

ensayos s imulados.


La Tabla 5.6 presenta los parámetros del modelo de Plasticidad Generalizada

propuesto.

Tabla 5.6 Parámetros de l modelo de PG propuesto para la arena Toyoura














La Figura 5.23 presenta la simulación del comportamiento no drenado de la arena

Toyoura para una densidad elevada (Dr = 63,7%) y para un rango de presiones de

confinamiento de 50kPa a 3000kPa. El modelo predice con exactitud la trayectoria de

tensiones y la respuesta tenso–deformacional tanto para deformaciones pequeñas

como para las deformaciones asociadas a la tensión desviadora crítica (ε1 > 0,2).


0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500


Tens

ión

Des

viad

ora,

q

ensayopredicción


0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Deformación Axial

Tens

ión

Des

viad

ora,

q

F igura 5.23 Comparac ión ent re resul tados de ensayos t r iax ia les no drenados

(Verdugo & Ish ihara, 1996) y la s imulac ión de modelo de Plast ic idad Genera l izada propuesto para Dr = 63.7%.

184


185

Comparando la simulación del modelo propuesto (Figura 5.23) con la simulación

realizada con el modelo original (Figura 3.2), se demuestra que el modelo constitutivo

propuesto mejora la predicción de la respuesta tensión – deformación con un único

juego de constantes. Esto mismo se observa para la simulación de los ensayos no

drenado de la arena Toyoura para densidades medias (Figura 5.24) y bajas (Figura

5.25).


0

500

1000

1500

2000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500


Tens

ión

Des

viad

ora,

q

ensayopredicción


0

500

1000

1500

2000

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Deformación Axial

Tens

ión

Des

viad

ora,

q


(Verdugo & Ish ihara, 1996) y la s imulac ión de modelo propuesto de Plast ic idad Genera l izada para Dr = 37.9%.


0

200

400

600

800

1000

1200

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500


Tens

ión

Des

viad

ora,

q

ensayopredicción


0

200

400

600

800

1000

1200

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Deformación Axial

Tens

ión

Des

viad

ora,

q


(Verdugo & Ish ihara, 1996) y la s imulac ión de modelo propuesto de Plast ic idad Genera l izada para Dr = 18.5%.

La Figura 5.26 y Figura 5.27 presentan las simulaciones del modelo propuesto para

ensayos triaxiales drenados para presiones de confinamiento de 100kPa y 500kPa

respectivamente. El modelo predice con exactitud el comportamiento de las arenas

densas reproduciendo la tensión desviadora máxima y crítica en el plano q –e y q –ε1.

Lo mismo se observa para densidades medias y bajas.



0

50

100

150

200

250

300

350

0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05

Indice de poros, e

Tesn

ión

Des

viad

ora,

q


0

50

100

150

200

250

300

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Deformación Axial

Tens

ión

Des

viad

ora,

q


F igura 5.26 Comparac ión ent re resul tados de ensayos t r iax ia les drenados (Verdugo &

Ish ihara, 1996) y la pred icc ión de modelo propuesto de Plast ic idad Genera l izada para p ó = 100kPa.


0

400

800

1200

1600

0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1Indice de poros, e

Tens

ión

Des

viad

ora,

q


0

400

800

1200

1600


Tens

ión

Des

viad

ora,

q


F igura 5.27 Comparac ión ent re resul tados de ensayos t r iax ia les drenados (Verdugo &

Ish ihara, 1996) y la pred icc ión de modelo propuesto de Plast ic idad Genera l izada para p ó = 500kPa.

186


187

5.5 Arena Banding

Castro (1969) presenta una serie de ensayos triaxiales sobre la denominada arena B

cuyo nombre comercial es “Banding Sand”. Esta arena cuarzosa de partículas

subredondeadas a subangulares tiene una granulometría uniforme y no contiene finos.

En la tabla siguiente se presentan algunos parámetros de identificación.

Tabla 5.7 Propiedades índ ice de la arena B


0,17mm 1,8 0,84 0,50 2,65

La elección de esta arena para verificar la capacidad de simulación del modelo

modificado de Plasticidad Generalizada se debe a la importancia del trabajo de Castro.

Por primera vez fueron presentados ensayos sobre arenas muy sueltas donde se

reprodujo lo que hoy conocemos como licuefacción estática.

En esta sección se simulan 8 ensayos triaxiales de compresión no drenados con

presiones efectivas iniciales de 392kPa y 980kPa para un rango de densidades de

29% a 64% y 7 ensayos triaxiales de compresión drenados con un rango presión de

49kPa a 980kPa y densidades entre 21% a 98%.

A partir de la interpretación de los datos presentados por Castro (1969) se obtuvieron

los parámetros de estado crítico en el plano e p′− . En el plano q se adoptó la

pendiente del estado crítico igual a M

p′−

g = 1,20 que corresponde al ángulo de fricción

30ºφ = indicado por el autor. El resto de los parámetros se obtuvieron según lo

indicado el la Sección 5.2 y están presentados en la Tabla 5.8.

La Tabla 5.9 presenta el estado inicial de los ensayos simulados y la Figura 5.28 se

encuentran dichos estados iniciales referenciados con la Línea de Estado Crítico

(LEC) de la arena B en el plano a

ppe ′− .


Tabla 5.8 Parámetros de l modelo de PG propuesto para la arena B.












0β′ 1.1 Parámetro asociado al m. plástico isótropo y su variación con el parámetro de estado



Arena B

CSL

e máx

e mín

0,450

0,500

0,550

0,600

0,650

0,700

0,750

0,800

0,850

0,900

0 200 400 600 800 1000 1200


Índi

ce d

e po

ros,

e

TCU

TDC

F igura 5.28 Línea de Estado Cr í t ico de la arena B y estados in ic ia les de los ensayos

s imulados.

188


189

Tabla 5.9 Estados in ic ia les de la arena B.

Ensayo po´ [kPa] e ψo

TCU0429 392 0,740 0,04368441 TCU0443 392 0,694 -0,00231559 TCU0447 392 0,681 -0,01531559 TCU0464 392 0,623 -0,07331559 TCU0496 392 0,518 -0,17831559 TCU1035 980 0,723 0,04917184 TCU1042 980 0,699 0,02517184 TCU1045 980 0,685 0,01117184 TCU1053 980 0,660 -0,01382816 TCD0521 49 0,793 0,07481178 TCD0121 98 0,768 0,05435616 TCD0140 98 0,705 -0,00864384 TCD0195 98 0,518 -0,19564384 TCD0423 392 0,762 0,06568441 TCD0498 392 0,506 -0,19031559 TCD1032 980 0,730 0,05617184

La Figura 5.29 muestra la simulación del modelo (linea continua) junto a los resultados

de ensayos de compresión isótropa (símbolos) para dos índices de poros eo= 0,71 y

eo = 0,79.

Arena B

0,64

0,68

0,72

0,76

0,8

0,84

1 10 100 1000 10000

Tensión principal efectiva, p´

Índi

ce d

e po

ros,

e

F igura 5.29 Comparac ión ent re los resu l tados de ensayos de compres ión isót ropa de la arena Banding (Cast ro , 1969) y la s imulac ión de modelo para eo= 0,71 y eo = 0,79.

Las simulaciones del modelo se dibujan en línea continua. En la Figura 5.30 y Figura

5.31 se comparan los resultados en el caso de densidades bajas a medias para una

presión de confinamiento de 980kPa. En la Figura 5.32 y la Figura 5.33 se comparan

los resultados para un rango de densidades mayores y una presión de confinamiento

de para la tensión de 392kPa. El modelo predice con exactitud la licuefacción estática

para ambas presiones reproduciendo el aumento de la presión intersticial y la

disminución de la tensión desviadora hasta alcanzar valores muy pequeños.


F igura 5.30 Comparac ión ent re e l resu l tado de ensayo t r iax ia l no drenado (Cast ro,

1969) y la s imulac ión de modelo para p ó = 980kPa y a) Dr = 35% y b) Dr = 42%.

F igura 5.31 Comparac ión ent re e l resu l tado de ensayo t r iax ia l no drenado (Cast ro,

1969) y la s imulac ión de modelo para p ó = 980kPa y a) Dr = 45% y b) Dr = 53%.

Arena B Dr = 35%

0

100

200

300

400

500

600

0 200 400 600 800 1000 1200


Tens

ión

Des

viad

ora,

q

Arena B Dr =35%

0

100

200

300

400

500

600

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08

Deformación Axial

Tens

ión

Des

viad

ora,

q

Arena B Dr = 35%

0

200

400

600

800

1000

1200

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08

Deformación Axial

Pres

ión

de p

oros

, u

Arena B Dr = 42%

0

100

200

300

400

500

600

700

0 200 400 600 800 1000 1200


Tens

ión

Des

viad

ora,

q

Arena B Dr = 42%

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08

Deformación Axial

Tens

ión

Des

viad

ora,

q

Arena B Dr = 42%

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08

Deformación Axial

Pres

ión

de p

oros

, u

Arena BDr = 45%

0

100

200

300

400

500

600

700

0 200 400 600 800 1000 1200


Tens

ión

Des

viad

ora,

q

Arena B Dr = 45%

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08

Deformación Axial

Tens

ión

Des

viad

ora,

q

Arena B Dr = 45%

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 0,02 0,04 0,06 0,08

Deformación Axial

Pres

ión

de p

oros

, u

Arena BDr = 53%

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 200 400 600 800 1000 1200


Tens

ión

Des

viad

ora,

q

Arena BDr = 53%

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

Deformación Axial

Tens

ión

Des

viad

ora,

q

Arena BDr = 53%

0

100

200

300

400

500

600

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

Deformación Axial

Tens

ión

Des

viad

ora,

q

190


191

F igura 5.32 Comparac ión ent re e l resu l tado de ensayo t r iax ia l no drenado (Cast ro, 1969) y la s imulac ión de modelo para p ó = 392kPa y a) Dr = 35% y b) Dr = 42%.

F igura 5.33 Comparac ión ent re e l resu l tado de ensayo t r iax ia l no drenado (Cast ro, 1969) y la s imulac ión de modelo para p ó = 392kPa y a) Dr = 47% y b) Dr = 65%.

Arena B Dr = 29%

0

50

100

150

200

250

300

0 100 200 300 400 500


Tens

ión

Des

viad

ora,

q

Arena BDr = 29%

0

50

100

150

200

250

300

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

Deformación Axial

Tens

ión

Des

viad

ora,

q

Arena BDr = 29%

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

Deformación Axial

Pres

ión

de p

oros

, u

Arena BDr = 43%

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 100 200 300 400 500


Tens

ión

Des

viad

ora,

q

Arena BDr = 43%

0

100

200

300

400

500

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

Deformación Axial

Tens

ión

Des

viad

ora,

qArena BDr = 43%

0

100

200

300

400

500

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

Deformación Axial

Pres

ión

de p

oros

, u

Arena B(Dr = 64%

0

200

400

600

800

1000

1200

0 200 400 600 800 1000


Tens

ión

Des

viad

ora,

q

Arena BDr = 64%

0

200

400

600

800

1000

1200

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

Deformación Axial [%]

Tens

ión

Des

viad

ora,

q

Arena BDr = 64%

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

Deformación Axial

Pres

ión

de p

oros

, u

Arena BDr = 47%

0

100

200

300

400

500

0 100 200 300 400 500


Tens

ión

Des

viad

ora,

q

Arena BDr = 47%

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08

Deformación Axial

Tens

ión

Des

viad

ora,

q

Arena BDr = 47%

0

100

200

300

400

500

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08

Deformación Axial

Pres

ión

de p

oros

, u


En la Figura 5.34 y la Figura 5.35 se muestran las simulaciones anteriores agrupadas

por presiones de confinamiento. Se observa el efecto de la densidad sobre el

comportamiento no drenado. En el caso de la Figura 5.34, densidades inferiores al

53% tienen un comportamiento netamente contractivo con un aumento monótono de la

presión de poros.

Arena Bpo´= 980kPa

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 200 400 600 800 1000 1200


Tens

ión

Des

viad

ora,

qDr = 53%Dr = 45%Dr = 42%Dr = 35%

Arena Bpo´= 980kPa

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08

Deformación Axial

Tens

ión

Des

viad

ora,

q

Dr = 53%Dr = 45%Dr = 42%Dr = 35%

Arena Bpo´= 980kPa

0

200

400

600

800

1000

1200

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08

Deformación Axial

Pres

ión

de p

oros

, u

Dr = 53%Dr = 45%Dr = 42%Dr = 35%

F igura 5.34 Comparac ión ent re resul tados de ensayos t r iax ia les no drenados (Cast ro ,

1969) y la s imulac ión de modelo propuesto de Plast ic idad Genera l izada para p ó = 980kPa y d is t intas dens idades.

Cuando la presión de confinamiento cambia de 980kPa (Figura 5.34) a 392kPa (Figura

5.35) se observa que el valor límite de densidad del comportamiento netamente

contractivo se reduce a 43%. La respuesta tensión – deformación para la densidad de

65% es sobreestimada, mientras que la predicción para el resto de las densidades es

muy buena.

192


193

Arena Bpo´= 392kPa

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 200 400 600 800 1000


Tens

ión

Des

viad

ora,

q

Dr = 64%Dr = 47%Dr = 43%Dr = 29%

Arena Bpo´= 392kPa

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 0,02 0,04 0,06 0,08

Deformación Axial

Tens

ión

Des

viad

ora,

q

Dr = 64%Dr = 47%Dr = 43%Dr = 29%

Arena Bpo´= 392kPa

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08

Deformación Axial

Pres

ión

de p

oros

, u

Dr = 64%Dr = 47%Dr = 43%Dr = 29%

F igura 5.35 Comparac ión ent re resul tados de ensayos t r iax ia les no drenados (Cast ro ,

1969) y la s imulac ión de modelo propuesto de Plast ic idad Genera l izada para p ó = 392kPa y d is t intas dens idades.

El comportamiento drenado de la arena B es reproducido también por el modelo con

exactitud como se observa desde la Figura 5.36 a la Figura 5.42. Para las distintas

presiones de confinamiento iniciales y para densidades iniciales bajas (Dr = 14 a 32%)

el modelo subestima levemente la tensión desviadora máxima. Sin embargo, la

respuesta volumétrica, representada por el índice de poros, es simulada con exactitud.

Arena B po´= 49kPaDr = 14%

0

50

100

150

200

0 0,05 0,1 0,15 0,2

Deformación Axial

Tens

ión

Des

viad

ora,

q


0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0 0,05 0,1 0,15 0,2

Deformación Axial

Índi

ce d

e po

ros,

e

F igura 5 .36 Comparac ión ent re e l resul tado de l ensayo t r iax ia l drenado (Cast ro ,

1969) y la pred icc ión de modelo para p ´ = o 49kPa y Dr = 14%.



0

100

200

300

400

500

600

0 0,05 0,1 0,15 0,2

Deformación Axial

Tens

ión

Des

viad

ora,

q


0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0 0,05 0,1 0,15 0,2

Deformación Axial

Índi

ce d

e po

ros,

e



Arena Bpo´= 98kPa Dr = 21%

0

50

100

150

200

250

300

0 0,05 0,1 0,15 0,2

Deformación Axial

Tens

ión

Des

viad

ora,

q

Arena B po´= 98kPa Dr = 21%

0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

0,85

0 0,05 0,1 0,15 0,2

Deformación Axial

Índi

ce d

e po

ros,

e



Arena Bpo´= 98kPaDr = 40%

0

50

100

150

200

250

300

0 0,05 0,1 0,15 0,2

Deformación Axial

Tens

ión

Des

viad

ora,

q


0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

0 0,05 0,1 0,15 0,2

Deformación Axial

Índi

ce d

e po

ros,

e



Arena B po´=392kPa

0

400

800

1200

1600

2000

0 0,05 0,1 0,15 0,2

Deformación Axial

Tens

ión

Des

viad

ora,

q

Dr = 98%

Arena B po´ = 392kPa

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,05 0,1 0,15 0,2

Deformación Axial

Índi

ce d

e po

ros,

e Dr = 98%

F igura 5.40 Comparac ión ent re e l resul tado de l ensayo t r iax ia l drenado (Cast ro ,

1969) y la pred icc ión de modelo para p ´ = o 392Pa y Dr = 98%.

194


195

Arena Bpo´ = 392kPa

Dr = 23%

0

500

1000

1500

0 0,05 0,1 0,15 0,2

Deformación Axial

Tens

ión

Des

viad

ora,

qArena B

po´ = 392kPa Dr = 23%

0,5

0,55

0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0 0,05 0,1 0,15 0,2

Deformación Axial

Índi

ce d

e po

ros,

e




Dr = 32%

0

500

1000

1500

2000

2500

0 0,05 0,1 0,15 0,2

Deformación Axial

Tens

ión

Des

viad

ora,

q


Dr = 32%

0,5

0,55

0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0 0,05 0,1 0,15 0,2

Deformación Axial

Índi

ce d

e po

ros,

e



En la Figura 5.37 y la Figura 5.40 se muestra la predicción del pico de tensión y el

posterior reblandecimiento del material para estados iniciales densos. La capacidad

del modelo de reproducir la variación del pico de tensiones con la densidad y el nivel

tensional se observa con claridad en la Figura 5.43 donde se exponen los datos

experimentales simulados agrupados por presión de confinamiento.

La simulaciones representadas en función de la relación de tensiones y el índice de

poros son precisas como se muestra en la Figura 5.43. No obstante no alcanzan el

índice de poros crítico. Como se mostrará en el estudio paramétrico de la arena B el

índice de poros crítico se alcanza para deformaciones del orden de 40%.

En la Figura 5.44 se expone una comparativa de la arena para densidades iniciales

bajas (Dr = 14% a 32%) y presiones de confinamiento iniciales de 49 a 980 kPa.


Arena Bpo´= 98kPa

0

100

200

300

400

500

600

0 0,05 0,1 0,15 0,2Deformación Axial

Tens

ión

Des

viad

ora,

q Dr = 21%Dr = 40%Dr = 95%

Arena Bpo´= 98kPa

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,05 0,1 0,15 0,2

Deformación Axial

Índi

ce d

e po

ros,

e

Dr = 21%Dr = 40%Dr = 95%

Arena Bpo´= 98kPa

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8

Índice de poros, e

Rel

ació

n de

tens

ione

s. q

/p´

Dr = 21%

Dr = 40%

Dr =95%

Arena B po´=392kPa

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0 0,05 0,1 0,15 0,2

Deformación Axial

Tens

ión

Des

viad

ora,

q Dr=23%Dr = 98%


0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,05 0,1 0,15

Deformación Axial

Índi

ce d

e po

ros,

e

0,2

Dr = 23%

Dr = 98%

Arena B po´= 392kPa

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Índice de poros, e

Rel

ació

n de

tens

ione

s, q

/p´

Dr = 23%

Dr = 98%

F igura 5.43 Comparac ión ent re resul tados de ensayos t r iax ia les drenados (Cast ro , 1969) y la pred icc ión de modelo para a) po´ = 98kPa y b) po´ = 392kPa y d is t in tas

densidades.

Arena B

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 0,05 0,1 0,15 0,2Deformación Axial

Tens

ión

Des

viad

ora,

q

po´ = 49kPa Dr = 14% po´= 98kPa Dr = 21% po´= 392kPa Dr = 23% po`= 980kPa Dr = 32%

Arena B

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,05 0,1 0,15 0,2

Deformación Axial

Índi

ce d

e po

ros,

e

po´= 49kPa Dr = 14% po´= 98kPa Dr = 21% po´= 392kPa Dr = 23% po´= 980kPa Dr = 32%

F igura 5.44 Comparac ión ent re resul tados de ensayos t r iax ia les drenados (Cast ro ,

1969) y la pred icc ión de modelo para dens idades ba jas y d is t intas pres iones de conf inamiento in ic ia les.

196


197

5.6 Arena Kurnell

Russell (2004), Russell & Khalili (2004) y Russell & Khalili (2006) presentan una serie

de ensayos triaxiales drenados y no drenados saturados y no saturados sobre la arena

Kurnell proveniente de las dunas australianas. Estos datos se utilizaron para calibrar el

modelo propuesto para suelos saturados y no saturados. En esta sección se presenta

solamente las simulaciones de las muestras saturadas y en el Capítulo 6 se muestran

las simulaciones para los estados no saturados. La arena Kurnell es una arena

predominantemente de cuarzo, fina y uniforme, cuyas características de identificación

se encuentran expresadas en la Tabla 5.10:

Tabla 5.10 Propiedades índ ice de la arena Kurnel l .


0,31mm 1,83 0,92 0,60 2,65

Los ensayos saturados y no saturados se realizaron en moldes de 50 mm de diámetro

y 51 mm de altura. La arena seca se vertió con embudo de alturas variables para

obtener diferentes índices de poros. Detalles del procedimiento se encuentran en

Russell (2004).

Se realizaron predicciones de 6 ensayos triaxiales de compresión no drenados con

presiones de confinamiento iniciales de 300kPa y 480kPa para un rango de

densidades entre el 4% a 62%. Además se simularon 10 ensayos triaxiales de

compresión drenados con un rango de presiones de 50kPa a 2395kPa y densidades

entre el 58% y 83% y dos ensayos triaxiales de compresión a dp´ = 0. Los datos de los

distintos estados iniciales simulados se presentan en la Tabla 5.11 indicando el valor

del parámetro de estado inicial.

En la Figura 5.45 se muestra la relación de los estados iniciales, los puntos

experimentales de estado crítico y la Línea de Estado Crítico (LEC) de la arena Kurnell

en el plano a

ppe ′− adoptada para la simulación. De aquí se determinaron los

parámetros , atme λ y ξ .


Tabla 5.11 Estados in ic ia les de ensayos s imulados de la arena Kurnel l .

ENSAYO po [kPa] eo ψo

50D 50 0,677 -0,23391 115D 114,5 0,685 -0,21240 157D 156,5 0,67 -0,22028 242D 242 0,735 -0,14284 301D 301 0,73 -0,14028

200D-CP 200 0,719 -0,16469 300D-CP 300 0,652 -0,21841

410D 410 0,72 -0,13773 760D 760 0,661 -0,16349

1010D 1010 0,671 -0,13351 1417D 1417 0,654 -0,12181 2395D 2395 0,641 -0,07703 300U-D 300 0,721 -0,14941 300U-M 300 0,83 -0,04041 300U-L 300 0,917 0,04659 486U-D 486 0,773 -0,07676 462U-M 462 0,858 0,00578 481U-L 480 0,907 0,05663

Se adoptó el valor de la pendiente del estado crítico en el plano indicado por

Russell (2004): que corresponde a

- ′q p

1,475=gM 36ºφ =CS para ensayos triaxiales de

compresión. Para la constante elástica ν se adoptó el valor sugerido por los autores

igual a 0,30 y se determinó como la pendiente inicial de los ensayos drenados y

no drenados.

esoG

Kurnell Sand

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 2 4 6

Tensión principal efectiva, (p"/pa)^ξ [kPa]

Índi

ce d

e po

ros,

e

8

LECPuntos en ECTCPCTCUTCD p <300kPaDrenados p > 300kPa

F igura 5.45 Línea de Estado Cr í t ico de la arena Kurnel l y estados in ic ia les de los

ensayos s imulados.

198


199

La constante asociada a la ecuación de la dilatancia se obtiene según la ecuación m

(5.2) en ensayos no drenados de densidad media en el plano (- ′q p Figura 5.50 y

Figura 5.51).

Para estimar las constantes y se utilizó la ecuación 1h 2h (5.6) y los distintos estados

de densidad inicial. Luego el ajuste final de las constantes se realiza como un

procedimiento de prueba y error con los ensayos no drenados en densidades bajas.

La constante se obtuvo de la od Figura 5.47 y la Figura 5.48 como la pendiente media

inicial de los ensayos drenados en el plano ε ε−v s . Si se cuenta con toda la serie de

datos se puede determinar según lo indicado en la Sección 5.2.

El valor adecuado de H0´ y β0´ se determinaron por un procedimiento de prueba y

error para ajustar las simulaciones con los resultados experimentales en ensayos

triaxiales drenados y no drenados.

La constante βv se obtuvo de los ensayos triaxiales drenados realizados a presiones

de confinamiento bajas donde las muestras exhiben un comportamiento de pico y

luego un reblandecimiento a medida que se aproximan al estado crítico. Se aplicó la

ecuación (5.4) a los ensayos que muestran este comportamiento en la Figura 5.47 y

Figura 5.48 y se obtuvo un rango de variación del parámetro. 0vH se obtuvo por

prueba y error, debido a que no se dispone los datos incrementales de los ensayos. 0β

y 1β toman los valores 4,2 y 1,8 respectivamente.

En la Tabla 5.12 se muestran todos los parámetros adoptados para la simulación de

los ensayos triaxiales drenados, triaxiales a ′p constante y triaxiales no drenados en

condiciones saturadas.

La Figura 5.46 presenta la comparación entre los resultados experimentales en

ensayos de compresión isótropa y las predicciones del modelo para cuatro índice de

poros diferentes. La compresibilidad inicial de todas las muestras es baja hasta

alcanzar los 1000kPa. Las muestras con índice de poros 0,690 y 0,709 presentan un

cambio de pendiente a medida que la presión de confinamiento crece con una

densificación del material.


Tabla 5.12 Parámetros de l modelo de PG propuesto para la arena Kurnel l








1h 2h 1/0.55 Constantes de variación de fM con el parámetro de estado







En la Figura 5.47 y Figura 5.48 se presentan en línea continua las simulaciones de los

ensayos triaxiales de compresión drenados y con símbolos de igual color los datos

experimentales. Las simulaciones del modelo reproducen el pico de tensiones y el

posterior reblandecimiento al alcanzar el estado crítico en el plano ε− sq para las

muestras sometidas a presiones de confinamiento bajo (<300). El pico de tensiones es

acompañado con una pequeña compresión inicial para luego llegar al estado crítico

con una dilatación positiva (plano v sε ε− ). Cabe destacar que para alcanzar el estado

crítico se requieren deformaciones desviadoras del orden del 40%. Para las muestras

sometidas a presiones de confinamiento mayores a 300kPa (Figura 5.48) se observa

que el pico de tensiones es menos pronunciado y la simulación de la expansión

volumétrica va disminuyendo hasta ser netamente contractiva en la muestra sometida

a una presión de confinamiento inicial de 2395kPa.

La Figura 5.49 muestra la predicción del modelo de ensayos triaxiales a presión de

confinamiento constante. En la Figura 5.50 y Figura 5.51 se presentan las

simulaciones de los ensayos triaxiales de compresión no drenados en los planos

ε− sq y . Las simulaciones son representadas en línea continua. ′−q p

200


201

Arena Kurnell

0,4

0,45

0,5

0,55

0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

10 100 1000 10000

Tensión principal efectiva, p" [kPa]

Índi

ce d

e po

ros,

e

eo = 0,774 pred.eo = 0,738 pred.eo = 0,709 pred.eo = 0,690 pred.

F igura 5.46 Comparac ión ent re los resu l tados de ensayos de compres ión isót ropa de

la arena Kurnel l (Russel l & Khal i l i , 2004) y la pred icc ión de l modelo.

Kurnell Sand

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 0,1 0,2 0,3 0,4

Deformación desviadora

Tens

ión

desv

iado

ra,q

[kPa

] 50D 115D 157D 242D 301D

-0,14

-0,12

-0,1

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0

0,020 0,1 0,2 0,3 0,4


Def

orm

ació

n vo

lum

étric

a

50D 115D 157D 242D 301D

F igura 5.47 Comparac ión ent re resul tados de ensayos t r iax ia les drenados (Russel l &

Khal i l i , 2004) y la pred icc ión de modelo para pres iones de conf inamiento de 50 a 300kPa.


Kurnell Sand

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0 0,1 0,2 0,3 0,4


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa

]

410D 760D 1010D 1417D 2395D

-0,07

-0,06

-0,05

-0,04

-0,03

-0,02

-0,01

0

0,01

0,02

0,03

0,040 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4


Def

orm

ació

n vo

lum

étric

a

410D 760D 1010D 1417D 2395D

F igura 5.48 Comparac ión ent re resul tados de ensayos t r iax ia les drenados (Russel l &

Khal i l i , 2004) y la pred icc ión de modelo para pres iones de conf inamiento de 400 a 2400kPa.

-0,14

-0,12

-0,1

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0

0,020 0,1 0,2 0,3 0,4


Def

orm

ació

n vo

lum

étric

a

300D-CP200D-CP

Kurnell Sand

0

100

200

300

400

500

600

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4Deformación desviadora

Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa

]

300D-CP200D-CP157D

F igura 5.49 Comparac ión ent re resul tados de ensayos t r iax ia les de compres ión a p´

constante (Russel l & Khal i l i , 2004) y la s imulac ión de modelo propuesto de Plast ic idad Genera l izada para po´= 300kPa y po´= 200kPa.

202


203

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 200 400 600 800 1000

Tensión Efectiva Principal, p´ [kPa]

Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa

]

300U-D300U-M300U-L

Kurnell sand

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa

]

300U-D300U-M300U-L


(Russel l & Khal i l i , 2004) y la s imulac ión de modelo propuesto para po´= 300kPa y d is t intas dens idades.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 200 400 600 800 1000

Tensión Efectiva Principal, p´ [kPa]

Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa

]

486U-D462U-M481U-L

Kurnell sand

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa

]

486U-D462U-M481U-L


(Russel l & Khal i l i , 2004) y la s imulac ión de modelo propuesto para po´= 460-480kPa y d is t in tas dens idades.

Las simulaciones presentadas sobre la arena Kurnell nos permiten asegurar que el

modelo constitutivo propuesto predice con exactitud un rango amplio de presiones de

confinamiento en condiciones drenadas (50kPa a 3000kPa), asi como trayectorias de

tensiones a presión de confinamiento constante y trayectorias de tensiones de corte no

drenado.


5.7 Estudio paramétrico del índice de poros y la presión de confinamiento

En la Figura 5.52 se muestra el efecto de la variación del índice de poros inicial para la

predicción del modelo de ensayos triaxiales de la arena B a una presión de

confinamiento de 100kPa. El índice de poros varía entre sus valores mínimo y máximo

( . 0,50 0,80oe = a )

Se observa que a medida que el índice de poros aumenta, el pico de tensiones

disminuye y se requiere mayores deformaciones para movilizar el valor de tensiones

máximo.

Cuando el índice de poros se acerca al valor mínimo se observa un aumento del

comportamiento dilatante después de alcanzar la tensión máxima. En los planos η - ε1

y εv - η de la Figura 5.52 el modelo simula un reblandecimiento a medida que

aumentan las deformaciones axiales hasta alcanzar el Estado Crítico para

deformaciones muy grandes (>25%).

TCDpo´/ pa = 1

0,50

0,60

0,650,70

0,75

0,80

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,000 5 10 15 20 25


Rel

ació

n de

tens

ione

s. η

TCDpo´/ pa = 1 0,50

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

60 5 10 15 20 25


Def

orm

ació

n Vo

lum

etric

a,

[%]

TCDpo´/ pa = 1

0,50

0,600,65

0,70

0,75

0,80

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6

Deformación Volumetrica [%]

Relación de tensiones. η

TCDpo´/ pa = 1

LEC

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0Tensión Efectiva Principal, (p´/ pa)^ξ

Índice de poros, e

F igura 5 .52 Estud io paramétr ico de efecto de l índ ice de poros in ic ia l en ensayos de

compres ión t r iax ia l drenados.

204


205

La Figura 5.53 ilustra la variación de la dilatancia y el módulo plástico con la relación

de tensiones y con el parámetro de estado. En el ensayo drenado de muestras sueltas

( ) se observan valores positivos de dilatancia que se acercan a las condiciones

de estado crítico a medida que se desarrolla la deformación. Mientras que para índices

de poros menores que el crítico (

0,70e >

0.71ce < ) la dilatancia alcanza un valor mínimo

( ) y luego aumenta hasta la condición de Estado Crítico con dilatancia nula. Este

valor mínimo es coincidente con el pico de tensiones que se observa en la

0gd <

Figura 5.52.

El módulo plástico es monótonamente decreciente durante todo el ensayo. En la

Figura 5.52 se observa dicha variación en función del índice de poros inicial. Para

muestras densas ( 0sψ < ) el módulo plástico alcanza el valor nulo en coincidencia con

el pico de tensiones y en el Estado Crítico. Se observan valores negativos del módulo

plástico para gMη > (Figura 5.54) asociados al reblandecimiento producido luego del

pico de tensiones.

TCDpo´/ pa = 1

0,50

0,60

0,65

0,70

0,750,80

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0-0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8

Dilatancia, dg

Rel

ació

n de

tens

ione

s

TCDpo´/ pa = 1

0,500,60

0,65

0,70

0,75

0,800,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0-500000 0 500000 1000000 1500000 2000000 2500000

Módulo plástico H [kPa]

Relación de tensiones

TCDpo´/ pa = 1

0,50

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

-0,3

-0,2

-0,2

-0,1

-0,1

0,0

0,1

0,1

0,2

-0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Dilatancia, dg

Pará

met

ro d

e es

tado

TCDpo´/ pa = 1

0,50Se representan los

valores f inales

0,60

0,650,70

0,75

0,80

-0,3

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

-1000 -500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000


Parámetro de estado

F igura 5.53 Var iac ión de la d i latanc ia y e l módulo p lást ico de l modelo en func ión del

índ ice de poros in ic ia l .


TCDpo´/ pa = 1

0,50

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,01,2

1,4

1,6

1,8

2,0-1000 -500 0 500 1000 1500 2000 2500



F igura 5.54 Var iac ión de l módulo p lást ico en func ión de l índ ice de poros in ic ia l en

las cercanías de l Estado Crí t ico .

En la Figura 5.55 se expone el efecto de la presión de confinamiento en las

simulaciones de ensayos triaxiales de compresión drenados sobre la arena B para un

índice de poros inicial . 0 0,60e =

Para presiones de confinamiento bajas, donde el índice de poros inicial es menor que

el crítico, se evidencia la formación de un pico de tensiones para deformaciones

axiales menores al 2,5%. El reblandecimiento post- pico es correlacionado con un

comportamiento dilatante como se indica en el plano 1 vε ε− y el Estado Crítico se

alcanza para deformaciones importantes (>25%)

TCDeo = 0,60

50150

300 6001200

20003000

5000

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,600 5 10 15 20 25


Rel

ació

n de

tens

ione

s

TCDeo = 0,60 50

150300

600

1200

2000

3000

5000

-6

-4

-2

0

2

4

60 5 10 15 20 25


Def

orm

ació

n Vo

lum

etric

a [%

]

TCDeo = 0,60

50

150 300 600 12002000

3000

5000

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60-6 -4 -2 0 2 4 6

Deformación Volumetrica [%]


TCDeo = 0,60

LEC

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

0,0 4,0 8,0 12,0 16,0Tensión Efectiva Principal, (p´/ pa)^ξ

Índice de poros, e

F igura 5 .55 Estud io paramétr ico de efecto de la pres ión de conf inamiento en ensayos

de compres ión t r iax ia l drenados.

206


207

En el plano se representan las simulaciones hasta un 25% de deformación axial.

Cabe mencionar que para alcanzar el Estado Crítico se requieren deformaciones del

orden del 30% al 40%.

e p′−

A medida que la presión de confinamiento aumenta, disminuye la dilatancia

(comportamiento contractivo) y la tensión máxima movilizada y, la deformación axial

donde se alcanza la tensión máxima aumenta (>7,5% para p´>300kPa).

5.8 Conclusiones

Se ha demostrado la capacidad del modelo constitutivo propuesto para predecir, con

exactitud, el comportamiento de los suelos granulares bajo diferentes condiciones de

carga, presión de confinamiento y densidad con un único juego de constantes

intrínsecas de cada arena.

El procedimiento de calibración ha permitido calibrar la arena de miga a partir de la

serie de ensayos realizados en la presente tesis. Igualmente, se calibraron la arena

Toyoura, la arena Banding y la arena Kurnell para un rango de presión de

confinamiento de 50kPa a 3000kPa y para un rango de densidades de 10% a 95%

Todas las simulaciones presentadas predicen con exactitud el comportamiento en

pequeñas deformaciones como en las deformaciones asociadas al estado crítico. Las

trayectorias de tensiones no drenadas de arenas sueltas que presentan el fenómeno

de liquefacción estática y de arenas densas con comportamiento dilatante son

simuladas adecuadamente.

Las ecuaciones modificadas de la dilatancia, y del módulo plástico en función del

parámetro de estado han sido verificadas a partir del estudio paramétrico del efecto del

índice de poros y la presión confinamiento en ensayos drenados. Las modificaciones

propuestas simulan adecuadamente la relación de tensiones máxima y el

reblandecimiento en los ensayos drenados de las arenas densas.


208

Capítulo 6

Extensión del modelo constitutivo propuesto para suelos parcialmente

saturados

6.1 Introducción

Durante muchos años, el estudio del comportamiento geotécnico de los suelos se ha

desarrollado esencialmente en el marco teórico de la mecánica de suelos saturados.

Sin embargo, hay una importante gama de problemas geotécnicos donde el estudio en

condiciones de saturación parcial es fundamental.

Los modelos constitutivos para suelos parcialmente saturados que se desarrollaron en

la década de los noventa tienen las mismas desventajas que los modelos para suelos

saturados, tal como indicamos en la Sección 2.6. Los parámetros son función de las

condiciones iniciales (presión de confinamiento, densidad, succión, grado de

saturación) y de la trayectoria de tensiones. Por lo tanto, son necesarios diferentes

juegos de constantes del modelo para un mismo material.

En este capítulo se estudia cómo la incorporación de los conceptos de parámetros de

estado y los cambios realizados en la formulación del modelo propuesto de Plasticidad

Generalizada para suelos saturados se pueden adaptar para estados parcialmente

saturados incorporando la succión y el grado de saturación en la ecuación constitutiva.

Se presenta el modelo constitutivo unificado en función del parámetro de estado para

condiciones saturadas y no saturadas. Además, se demuestra la capacidad del

modelo propuesto de predecir una amplia gama de trayectorias de tensiones con un

único juego de constantes para cada suelo.

Capítulo 6 Extensión del modelo constitutivo propuesto para suelos parcialmente saturados

6.2 Base del modelo parcialmente saturado

6.2.1 Tensión efectiva

Como se indicó en el Capítulo 2, en los últimos años ha aumentado el interés en

principio de tensiones efectivas para la modelización de suelos parcialmente

saturados. Este principio, conocido como el enfoque de Bishop o enfoque unitensorial,

tiene la ventaja de que una sola variable de tensión relaciona los cambios de la tensión

total, la presión de poros y la presión de aire.

La expresión que propone Bishop (1959) como la extensión del principio de tensiones

efectiva de Terzaghi para los suelos parcialmente saturados está definida como:

( )ij ij a ij a w iju u uσ σ δ χ′′ = − + − δ (6.1) donde ïjσ ′′ es la tensión efectiva, ijσ es la tensión total, es la presión del aire en los

poros, es la presión de agua en los poros y

au

wu χ es un escalar que varia entre 1 para

suelos saturados y 0 para suelos totalmente secos, el cual depende del grado de

saturación, del tipo de suelo y de los efectos de histéresis debido a cambios de

humedad o tensión. La expresión ( )a wu u− se denomina succión matricial.

Se puede escribir la ecuación (6.1) en el plano triaxial según:

p p sχ′′ = + ⋅ (6.2)

donde p es la tensión neta y es la succión matricial. s

La adopción de la tensión efectiva con el enfoque Bishop tiene consecuencias directas

sobre la estructura del modelo. Una característica importante que incorpora el enfoque

de Bishop es la continuidad en la transición entre las condiciones saturadas y

parcialmente saturadas. Cabe destacar que la incorporación de las tensiones efectivas

en el modelo constitutivo no es suficiente para modelar todos los comportamientos de

un suelo parcialmente saturado, como se indicó en el Capítulo 2. En la Sección 6.3 se

justifica lo expresado desde el punto de vista termodinámico, y en la Sección 6.6 se

muestra la formulación adaptada a los cambios de las condiciones de saturación.

210


De aquí en adelante, cuando se haga referencia a la tensión efectiva, esta será la

tensión efectiva bajo el enfoque uni-tensorial de Bishop según la ecuación

generalizada (6.1) o la ecuación en el plano triaxial (6.2).

6.2.2 Parámetro de cementación

Como expresamos en el Capitulo 2, incorporar solamente la ecuación (6.1) dentro de

la formulación de un modelo constitutivo saturado no representa el comportamiento

mecánico de un suelo parcialmente saturado. En la Sección 2.6.2.1 se demostró que

la succión produce un incremento adicional de las fuerzas capilares en el contacto de

las partículas y se puede cuantificar este efecto a través del parámetro de

cementación ξ expresado:

( ) ( ) (0

1 rS f s S )1 rσξσ

Δ= ⋅ − = ⋅ −

Δ (6.3)

donde la función ( ) 0f s σ σ= Δ Δ representa el incremento de la fuerza capilar debido a

un incremento de la succión y está expresada por la ecuación (2.107). La expresión

representa el número de meniscos por unidad de volumen de la fracción

sólida, como indicarón Gallipoli et al. (2003a)

(1 Sr− )

La influencia de ξ en la determinación del estado crítico y el aumento de las tensiones

de pre-consolidación y su variación con los efectos de histéresis hidráulica del suelo se

analizan en la Sección 6.4.

6.3 Fundamentos termodinámicos

Los fundamentos de la ecuación constitutiva para suelos parcialmente saturados y la

incorporación de la tensión efectiva de Bishop en la formulación basada en la Teoría

de la Plasticidad Generalizada (Tamagnini & Pastor, 2004) se basan en una

combinación de la teoría de mezclas (Bowen, 1976) y la teoría de homogenización del

volumen local (Hassanizadeh & Gray, 1979).

211


Se puede considerar un sistema termodinámico (Coussy, 1995) a un elemento

representativo de suelo esquematizado como un material multi-fase (sólido, agua y

aire)

La función de energía libre expresada en formulación lagrangiana para un proceso

isotérmico se define como:

Ψ

WΨ = − Φ (6.4)

El incremento del trabajo realizado por unidad de volumen de suelo en un proceso de

deformación isotérmica se puede escribir como:

W = Ψ + Φ (6.5)

donde es el incremento de energía libre y Ψ Φ es el incremento de entropía.

La energía libre asociada con el esqueleto sólido se puede expresar como la suma de

dos componentes, una asociada a los procesos reversibles ( 0Φ = ) y otra, a los

procesos irreversibles ( ): 0Φ ≠

Rd d d IΨ = Ψ + Ψ (6.6)

Este desacoplamiento se puede interpretar como la suma de una función de las

deformaciones elásticas ( ( )eR ijd εΨ ) más una función de las deformaciones plásticas

asociadas a las fuerzas capilares ( ( )pI ij sd εΨ ). Este análisis fue realizado por

Tamagnini & Pastor (2004), basado en Hassanizadeh & Gray (1990).

6.3.1 Proceso reversible

En un proceso reversible no se produce disipación, por lo tanto el incremento de

entropía será nulo ( 0Φ = ) y la ecuación (6.5) se expresa como:

( )RR ijW eε= Ψ (6.7)

El trabajo realizado por las tres fases componentes (sólido, agua y aire) en función de

lo expresado por Coussy (1995) y Daglas et al. (1997) puede expresarse según:

212


ij ij a a w wW d u dv u dvδ σ ε= + + (6.8)

donde:

wv es el contenido volumétrico de agua y está expresado por:

wv nSr= (6.9)

av es el contenido volumétrico de aire y está expresado por:

( )1av n Sr= − (6.10)

y son la presión de poros de aire y agua respectivamente. au wu

La porosidad puede ser expresada como la suma de los volúmenes parciales de las

dos fases fluidas (agua y aire):

wn v va= + (6.11)

Derivando las ecuaciones (6.9), (6.7) y (6.11) y combinándolas obtenemos:

ij ijdn dε δ= − (6.12)

w r ij ijdv S d ndSrε δ= − + (6.13)

a ij ij ij ij rdv d Srd ndSε δ ε δ= − + − (6.14)

Estas ecuaciones se basan en las siguientes hipótesis:

• incompresibilidad de los granos sólidos (6.12),

• incompresibilidad del agua de los poros ( w cteρ = ),

• variación de la densidad del aire despreciable ( 0aρ = ).

Reemplazando las ecuaciones (6.12), (6.13) y (6.14) en (6.8) se obtiene:

213


( ) ( )ij ij a ij ij r ij ij r w r ij ij rW d u S d ndS u S d ndSδ σ ε ε δ ε δ ε δ= + − + − + − + (6.15)

reordenando

( )( ) ( )ij a ij r a w ij ij a w rW u S u u d u u ndSδ σ δ δ ε= − + − − − (6.16)

igualando las ecuaciones (6.7) y (6.16) para un proceso reversible ( 0δΦ = ) queda:

( )( ) ( )ij a ij a w ij ij a wW u Sr u u u u nSrδ σ δ δ εΨ = = − + − − − (6.17)

donde la energía libre del esqueleto sólido puede expresarse en función de las

derivadas parciales

ijij

SrSr

εε

∂Ψ ∂ΨΨ = +

∂ ∂ (6.18)

comparando las dos últimas ecuaciones se obtiene:

( )ij a ij a w ij ijij

u Sr u uσ δ δε

∂Ψ σ ′′= − + − =∂ (6.19)

y

( a wu u nSr

)∂Ψ= − −

∂ (6.20)

donde ijσ ′′ es la tensión efectiva de Bishop presentada en la Sección 6.2. Queda

demostrado a través de la expresión (6.17) que ijσ ′′ es una variable conjugada con las

deformaciones del esqueleto sólido para un proceso reversible. Igualmente la succión

normalizada con la porosidad es una variable conjugada con los cambios del grado de

saturación.

6.3.2 Proceso irreversible

Ahora si analizamos un proceso irreversible donde el incremento de entropía no es

nulo ( 0δΦ ≠ ), el trabajo plástico realizado por unidad de volumen del suelo queda

expresado según la ecuación (6.5) como:

( )( ) ( )2p p p

ij ij ij s ijW d Sr pδ σ ε ε δ ε′= = Ψ + Φ (6.21)

214


Despejando el término de disipación de energía ( )pijδ εΦ y expresando la energía libre

en función de las fuerzas capilares, queda:

( )p

ij sp pij ij ij p

ij s

Sr sSr s

εδ ε σ ε

ε∂∂Ψ ∂′Φ = −

∂ ∂ ∂ (6.22)

Por los tanto la disipación de energía es producida por las tensiones efectivas sobre el

esqueleto del sólido y la energía libre acumulada debido a las fuerzas capilares.

El término de la energía libre acumulada de la ecuación (6.22) representa el

fundamento termodinámico de la ecuación constitutiva para suelos parcialmente

saturados en TPG presentado por Tamagnini & Pastor (2004) debido a que:

• explica los procesos de histéresis hidráulica a través de la incorporación de

una segunda componente en la energía libre relacionada con el grado de

saturación (ec.(6.6)) como realizaron Daglas et al. (1997),

• relaciona termodinámicamente el fenómeno de colapso con las fuerzas

capilares y no con las tensiones de Bishop como realizaron Bolzon et al.

(1996). Este comentario será analizado en la Sección 6.6.

6.4 Perspectiva experimental del modelo propuesto para suelos parcialmente saturados

6.4.1 Estado crít ico en suelos parcialmente saturados

La unicidad de la Línea de Estado Crítico en suelos parcialmente saturados

interpretada en función de la tensión efectiva con el enfoque de Bishop ha sido

estudiada por distintos autores recientemente. Khalili et al., 2004; Tarantino, 2007;

Nuth & Laloui, 2007 reinterpretaron los datos experimentales en los planos q p′′− y

con funciones diferentes del parámetro lne p′′− χ como se ha desarrollado en el

Capítulo 2.

215


En esta sección se pretende reinterpretar los datos experimentales de la literatura

basados en aceptar la unicidad de la LEC en condiciones saturadas y proponer una

función del parámetro χ .

6.4.1.1 Anál isis del estado crít ico en el plano desviador

En el modelo original de Plasticidad Generalizada para suelos parcialmente saturados

(Tamagnini & Pastor, 2004; Fernández Merodo et al. 2005) se adoptó el parámetro χ

igual al grado de saturación como realizaron recientemente Nuth & Laloui (2007). Para

ilustrar el efecto de χ = Sr se representa en la Figura 6.1 los datos experimentales en

el plano y el plano netq p− q p′′− obtenidos por Sivakumar (1993) con el suelo

“Speswhite Kaolin”. La interpretación en tensión efectiva se realizó manteniendo el

valor experimental de la tensión desviadora y aumentando en cada punto en estado

crítico la tensión neta con el factor s Sr⋅ , según:

( )c cp p Sr s′′ = + ⋅ (6.23)

Speswhite kao lin (Sivakumar, 1993)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 50 100 150 200 250 300

Tensión principal neta, pnet [kPa]

Tens

ión

desv

iado

ra, q

s = 0

s = 100

s = 200

s = 300

χ = Sr q = 0,8139p"

0

100

200

300

400

500

600

0 100 200 300 400 500 600 700

Tensión principal efectiva, p"

Tens

ión

desv

iado

ra, q

s = 0

s = 100

s = 200

s = 300

F igura 6.1 L íneas de Estado Cr í t ico “Speswhi te Kaol in ” d i ferentes succ iones

( re in terpretac ión de datos de Sivakumar, 1993) .

Se observa que los diferentes puntos en estado crítico del plano q – pnet se alinean

ligeramente por debajo de la LEC saturada en el plano q p′′− en función de la succión.

La diferencia entre esta interpretación y la realizada por Nuth & Laloui (2007) se basa

en que ellos adoptan un CSM como ajuste de los valores saturados y no saturados. En

cambio, en los datos analizados en esta sección la LEC saturada se considera como

una referencia única para cada material como se indicó en el Capítulo 2 y 3.

216


Con el objetivo de lograr un mejor ajuste de los puntos experimentales en estado

crítico, interpretamos los datos con un parámetro χ en función el grado de saturación

residual (Vanapalli et al. 1996, Karube & Hawai, 2001) según: 0Sr

0

01eSr SrSr

Srχ

−= =

− (6.24)

En la Figura 6.2 observamos un mejor ajuste de los datos de estado crítico

parcialmente saturado con la LEC saturada. Una expresión similar a la ecuación (6.24)

fue propuesta por Tarantino (2007) en función del grado de saturación de los

macroporos basado en los trabajos previos de Romero & Vaunat (2000) (Ver Capítulo

2).

Speswhite kaolin (Sivakumar, 1993)

0

100

200

300

400

500

0 100 200 300 400 500 600

Tensión efectiva principal, p" [kPa]

Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa

]

s = 0s = 100s = 200s = 300

F igura 6.2 L ínea de Estado Cr í t ico con ( )0,Sr Srχ χ= ( re in terpretac ión de datos de Sivakumar, 1993) .

Realizando el mismo análisis para los ensayos triaxiales presentados por Toll

(1988,1990), en la Figura 6.3a se observa una dispersión importante cuando se utiliza

Srχ = para succiones mayores a 100kPa.

Pero, interpretando los mismos datos con el parámetro ( )0,Sr Srχ χ= según la

ecuación (6.24) y con un grado de saturación residual Sr0= 0,45, obtenido como

parámetro de ajuste, los puntos en estado crítico para distintas succiones se alinean

con la LEC saturada.

217


Kiunyu Gravel(To ll, 1990)

χ = Sr

q = 1,62p"

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 100 200 300 400 500 600 700


Tens

ión

desv

iado

ra, q

s = 0

s < 25

s < 100

s < 250

s < 550

χ = Sre

q = 1,62p"

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 100 200 300 400 500 600


Tens

ión

desv

iado

ra, q

s = 0s < 25

s < 100s < 250

s < 550

F igura 6.3 Anál is is de estado cr í t ico para d is t in tas succ iones con ( )Srχ χ= y

( )eSrχ χ= (datos de Tol l , 1990) .

De forma similar los datos en estado crítico para distintas succiones aportados por

Maâtouk et al. (1995) se separan de la LEC saturada para succiones mayores a

150kPa cuando Srχ = , efecto que se reduce considerablemente con la aplicación de

la ecuación (6.24) donde el ajuste con la LEC saturada es muy buena (Figura 6.4).

Silty so il(M aatouk, 1993) χ = Sre

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 200 400 600 800 1000


Tens

ión

desv

iado

ra, q

s = 0s = 80s = 150s = 400s = 600

χ = Sr

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 200 400 600 800 1000


Tens

ión

desv

iado

ra, q

s = 0

s = 80s = 150

s = 400s = 600

F igura 6.4 Anál is is de estado cr í t ico para d is t in tas succ iones con ( )Srχ χ= y

(datos de Maâtuok, 1993) . ( eSrχ χ= )

Desde el punto de vista del modelo constitutivo, para obtener la tensión desviadora

residual del material con el enfoque Srχ = sólo se requerirá un parámetro, CSM .

En cambio, con el enfoque ( )0,Sr Srχ χ= se requiere un parámetro adicional ( )

según:

0Sr

0

01CSSr Srq M p s

Sr⎛ ⎞⎛ ⎞−

= +⎜ ⎜ ⎟⎜ −⎝ ⎠⎝ ⎠⋅ ⎟⎟ (6.25)

218


Para el “Speatwhite Kaolin” presentado Sivakumar (1993) la diferencia entre los dos

enfoques no parece importante (Figura 6.5). Sin embargo cuando el rango de

succiones es mayor (~300-600kPa), la diferencia parece acentuarse y justifica la

utilización de un parámetro adicional (Figura 6.6 y Figura 6.7).

Speswhite kaolin

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 100 200 300 400 500

Tensión desviadora medida, q [kPa]

Tens

ión

desv

iado

ra c

alcu

lada

, q

[kPa

]

Enfoque con Sr

Enfoque con Sre

F igura 6.5 Comparac ión ent re tens ión desv iadora cr í t ica ca lcu lada y exper imenta l

(datos de Sivakumar, 1993) .

Dado que no se encuentra disponible la información de , su valor fue determinado

ajustando por mínimos cuadrados los datos experimentales y los datos calculados por

la ecuación (6.25).

0Sr

(6.24)

Silty so il

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 200 400 600 800 1000 1200 1400


Tens

ión

desv

iado

ra c

alcu

lada

, q

[kPa

]

Enfoque con SrEnfoque con Sre


(datos de Maâtuok et a l . , 1995) .

219


Kiunyu Gravel

0

200

400

600

800

1000

0 200 400 600 800 1000


Tens

ión

desv

iado

ra c

alcu

lada

, q

[kPa

]

Enfoque con Sr

Enfoque con Sre


(datos de Tol l , 1990) .

Esta revisión de ensayos triaxiales de compresión en condiciones saturadas y no

saturadas para distintos tipos de suelos, desde gravas (Toll, 1990) a suelos finos

(Sivakumar, 1993), nos permite demostrar que la aplicación de la tensión efectiva con

el enfoque de Bishop es adecuada para el análisis de los estados últimos o críticos de

en el plano . La elección del parámetro q p′′− χ como función de y , expresado

en la ecuación (6.24), permite ajustar bastante bien los datos experimentales y permite

postular que

Sr 0Sr

CSM es válida tanto para condiciones saturadas, como para condiciones

parcialmente saturadas. Khalili et al. (2004) han llegado a conclusiones similares, ellos

expresan el parámetro χ como una función del cociente entre la succión matricial y de

la succión en la entrada de aire ( )es . Esta última definición tiene la desventaja de no

incorporar los efectos de la histéresis hidráulica como indicaremos más adelante.

6.4.1.2 Anál isis de Estado Crít ico en el plano volumétrico

En la Sección 2.6 se presentaron las principales características de los suelos

parcialmente saturados y los modelos constitutivos desarrollados en los últimos años.

La mayoría de los modelos adoptan la tensión neta y la succión como variables de

tensión y esto influye en la definición del estado crítico. En esta sección analizamos los

ensayos triaxiales de la literatura en función de la presión efectiva de Bishop y se

propone una relación entre el suelo en estado saturado y parcialmente saturado.

220


La ubicación en el plano del estado crítico en el marco de la tensión efectiva

con el enfoque de Bishop depende directamente de la succión, como se muestra en la

Figura 6.8.

ln "e p−

Desde la perspectiva de los parámetros de estado, la definición del Estado Crítico y la

influencia del nivel de saturación son fundamentales para el modelo constitutivo que se

presenta. La LEC es una línea de referencia donde los diferentes estados iniciales del

suelo se aproximan a medida que aumenta la deformación plástica desviadora. El

parámetro de estado representa esta distancia inicial y, a valores iguales del mismo se

esperan comportamientos similares.

Asumiendo la existencia de la Línea de Estado Crítico en el plano para

distintas succiones, se comprueba experimentalmente que para un índice de poros

dado la presión efectiva crítica del suelo parcialmente saturado esta relacionada con la

presión efectiva crítica del suelo en estado saturado según:

lne p′′−

( )expunsat satCS CSp p g ξ′′ ′′= ⋅ ⎡ ⎤⎣ ⎦ (6.26)

donde

( ) ( ) 1g a exp bξ ξ= ⋅ ⎡ ⋅ − ⎤⎣ ⎦ (6.27) donde ξ es el parámetro de cementación, presentado en la Sección 6.2.2. La función

( )g ξ alcanza el valor nulo para estado saturado ( )0ξ = y es función del grado de

saturación y de la succión. Los parámetros a y b se ajustan a partir de los datos

experimentales.

Esta función nos permite normalizar las LEC para distintas succiones con la LEC

saturada, hecho que nos interesa desde el punto de vista de la modelización

constitutiva para unificar los parámetros del modelo para las distintas succiones.

Para comprobar lo anteriormente expresado recurrimos a la Figura 6.8, donde se

muestran las Líneas de Estado Crítico para distintas succiones a partir de los ensayos

de laboratorio realizados sobre “Speatwhite Kaolin” por Sivakumar (1993). Si

aplicamos la expresión (6.26) a los datos experimentales, los mismos se alinean sobre

la LEC saturada, como se muestra en la Figura 6.9.

221



0,8

0,85

0,9

0,95

1

1,05

1,1

1,15

1,2

10 100 1000

Tensión principal efectiva, pb [kPa]

Índi

ce d

e po

ros,

e

s = 0

s = 100

s = 200

s = 300

F igura 6.8 L íneas de Estado Cr í t ico para d is t in tas succ iones (datos ext ra ídos de

Sivakumar (1993)) .


0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

10 100 1000Tensión principal efectiva, pb [kPa]

Índi

ce d

e po

ros,

e

LEC No saturada normalizada

LEC Saturada

F igura 6.9 Normal izac ión de LEC (datos de Sivakumar (1993)) .

Para verificar que la expresión (6.26) se puede extrapolar a otros suelos, se analizaron

los datos experimentales en Estado Crítico sobre la grava “Kiunyu Gravel” (Toll, 1990);

sobre un suelo limoso (Maâtuok et al.,1995) y sobre dos suelos, una arena con limos

de origen volcánico y una arena con gravas origen granítico por Chui (2001).

En la Figura 6.10 se ilustra la relación entre la presión efectiva crítica en estado

saturado y parcialmente saturado para los suelos mencionados. Puede observarse

que la tendencia de los distintos suelos para diferentes succiones sigue lo expresado

en la definición de la relación ( )g ξ .

En la Figura 6.11 y la Figura 6.12 compara la tendencia experimental y el ajuste de la

ecuación (6.26) propuesta para cada material. La Tabla 6.1 presenta los valores de las

constantes a y b adoptadas.

222


0123456789

10

0,0 0,5 1,0 1,5ξ

ln(p

unsa

t / p

sat)

Toll (1990)Sivakumar (1993)Maatouk (1995)Chiu (2001) VChiu (2001) G

F igura 6.10 Relac ión de ( )g ξ para d is t intos datos exper imenta les en estado cr í t ico.

Grava Kiunyu

0

1

2

3

4

5

6

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0ξ

ln (p

unsa

t / p

sat)

EnsayosModelo

Suelo limoso

0

2

4

6

8

10

12

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4ξ

ln(p

unsa

t / p

sat)

EnsayosModelo

F igura 6.11 Relac ión ent re p′′ saturada y no saturada y ξ en estado cr í t ico para dos suelos: a) la grava “K iunyu” (Datos de Tol l (1990)) y b) Suelo l imoso (Datos de

Maâtuok et a l . (1995)) .

Suelo volcanico

0123456789

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0ξ

ln(p

unsa

t / p

sat)

EnsayosModelo

Suelo granitico

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0ξ

ln(p

unsa

t / p

sat)

EnsayosModelo

F igura 6.12 Relac ión ent re p′′ saturada y no saturada y ξ en estado cr í t ico (Datos

de Chiu, 2001) .

Tabla 6.1 Valores de las constantes a y b para d is t in tos suelos

Autores Tipo de suelo a b

Toll (1990) Grava 2,656 1,410 Maâtuok et al.(1995) suelo limoso 0,053 5,478

Chiu (2001) arena limosa 3,599 1,482 Chiu (2001) arena con gravas 0,052 6,245

223


El procedimiento para obtener cada curva es siempre el mismo: Se determinan las

condiciones de estado crítico para las muestras saturadas y se adopta una LEC que

se ajusta con los datos experimentales. Luego, se determina la tensión efectiva crítica

según la ecuación (6.23) para los datos parcialmente saturados. En un segundo paso,

se comparan la tensión efectiva crítica no saturada y con el valor de la tensión efectiva

sobre la LEC saturada para el mismo índice de poros.

Por ejemplo, Toll (1990) realizó ensayos triaxiales a humedad constante sobre la grava

laterítica Kiunyu en muestras de 100mm de diámetro y 200mm de altura. Estas fueron

compactadas a diferentes condiciones de humedad (17% a 26.3%) y llevadas al

estado crítico por compresión sin permitir el flujo de agua. El autor presenta la tensión

desviadora, la tensión neta, la succión, el índice de poros y el grado de saturación al

final de cada ensayo. También presenta datos de estado crítico de ensayos saturados

no drenados. Adoptando la función ( )f s adecuada a la microestructura del suelo, se

obtiene el parámetro de cementación en función ( ) ( )1ξ = ⋅ − rf s S y con la ecuación

(6.27) y la relación de tensiones efectivas saturadas y no saturadas en estado crítico

se calibran los parámetros a y b. En éste caso 2,656a = y 1,41b = .

A partir de la ecuación (6.26), la ecuación de Estado Crítico en el plano se

puede expresar como:

( )lne p′′−

( ){ }ln expc atme e p gλ ′′= − ⋅ ⋅ ⎡− ⎤ξ⎣ ⎦ (6.28) donde es la tensión efectiva definida para suelos parcialmente saturados y p′′ ( )g ξ

esta dado por la expresión (6.27). Se advierte que la expresión anterior es igual a la

ecuación de Estado Crítico para suelos saturados cuando el factor ξ es igual a cero.

En el caso de trabajar con los datos experimentales en estado crítico en una escala

distinta a la logarítmica, por ejemplo la escala utilizada en el modelo saturado

( )ζ′′ ap p , observamos que la relación entre las tensiones efectivas saturadas y

parcialmente saturadas obtenidas a partir de la ecuación (6.26) puede escribirse:

( )1ζ

ξ⎛ ⎞′′

= +⎜ ⎟′′⎝ ⎠

unsatCS

satCS

p gp (6.29)

224


donde la función ( )g ξ tiene la misma forma que la expresión (6.27). En la Figura 6.13

se muestra el ajuste de los datos experimentales de Toll (1990) en función de una LEC

en el plano ( )ζ′′− ae p p . Los valores que adquieren los parámetros a y b son 0,88 y

2,47 respectivamente.

Kiunyu Gravel

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0ξ

(pun

sat /

psa

t)ÊnsayosM odelo

p”unsat

p“sat

ζ

Kiunyu Gravel

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0ξ

(pun

sat /

psa

t)ÊnsayosM odelo

p”unsat

p“sat

ζ

F igura 6.13 Relac ión ent re p′′ saturada y no saturada y ξ en estado cr í t ico para

LEC en escala ( )ζ′′ap p .

Para obtener los valores del índice de poros críticos parcialmente saturado se debe

combinar la ecuación (6.29) y la ecuación:

c atma

pe ep

ζ

λ⎛ ⎞′′

= − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.30)

6.4.2 Preconsolidación en suelos parcialmente saturados

Un aspecto importante para modelar el comportamiento de los suelos parcialmente

saturados es el aumento de la presión de preconsolidación con la succión y su

enfoque en función de la presión efectiva y de los parámetros de estado. Alonso et al.

(1990) definió la superficie LC (loading-collapse) para tener en cuenta este aspecto.

Wheeler & Sivakumar (1995) mostraron la relación directa que hay entre la líneas de

compresión isótropa y la definición de la mencionada superficie.

En el presente trabajo se analizaron los datos de compresión isótropa de Sivakumar

(1993) en función de la presión efectiva de forma similar a lo realizado en la Sección

6.4.1 con los datos experimentales en estado crítico (Figura 6.14)

225



0,8

0,9

1

1,1

1,2

1,3

1,4

10 100 1000


Índi

ce d

e po

ros,

e

s = 0

s = 100

s = 200

s = 300

F igura 6.14 Líneas de compres ión isót ropa a succ ión constante in terpretados con la

pres ión efect iva (datos de Sivakumar (1993)) .

Una relación entre las presiones efectivas saturadas y no saturadas en compresión

isótropa para un índice de poros dado es propuesta:

( ){ }exp exp 1unsat satICL ICLp p a b ξ′′ ′′= ⋅ ⋅ ⎡ ⋅ − ⎤⎣ ⎦ (6.31)

Esta expresión proporciona una buena correlación con los datos experimentales, como

puede observarse en la Figura 6.15.

Cabe destacar que las ecuaciones (6.26) y (6.31) son iguales pero sus parámetros de

ajuste para estado crítico y para compresión isótropa a y b pueden ser distintos. Si se

realiza un ajuste conjunto de los datos (isótropos y críticos con el mismo peso) se

obtiene una única relación para estado crítico e isótropo como se muestra Figura 6.16.

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0,0 0,2 0,4 0,6ξ

ln(p

unsa

t / p

sat)

Ensayos LCIModelo

F igura 6.15 Relac ión ent re saturada y no saturada y p′′ ξ en estado de compres ión isót ropa l imi te (S ivakumar, 1993) .

226


Caolín Speswhite

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

ξ

ln(p

unsa

t / p

sat)

EnsayosModelo

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0ξ

ln(p

unsa

t / p

sat)

Ensayos LECEnsayos LCI

F igura 6.16 Relac ión ent re saturada y no saturada y p′′ ξ en estado de compres ión

isót ropa l imi te y en estado cr í t ico (S ivakumar, 1993) .

Es importante mencionar que Gallipoli et al. (2003a) realiza un enfoque similar

relacionando los índices de poros saturados y no saturados en compresión isótropa a

través de una función de ajuste como se indicó en el Capítulo 2.

El presente enfoque, que relaciona las presiones efectivas saturadas y parcialmente

saturadas en el estado de compresión isótropa y estado crítico, permite no sólo

incorporar la rigidización con la succión al modelo, emulando la “loading-collapse” de

Alonso et al. (1990), sino también incorporar la línea de estado crítico parcialmente

saturada como una línea normalizada a los estados saturados. Esto es fundamental

para la determinación del parámetro de estado para suelos parcialmente saturados (

Sección 6.5).

Específicamente en el modelo propuesto se incorpora la ecuación (6.31) en el factor

de memoria DMH presentado por Pastor & Tamagnini (2004). Este factor cuenta con

un doble mecanismo de rigidización inducido por la succión y la deformación plástica y

su ecuación tiene la forma:

max s

DMJH

γζ

ζ⋅⎛ ⎞

= ⎜⎝

⎟⎠

(6.32)

donde la función sJ es modificada para incorporar el parámetro ξ en su formulación

según:

( )expsJ c g ξ= ⎡ ⋅ ⎤⎣ ⎦ (6.33)

227


6.4.3 Respuesta hidráulica

Para modelar el comportamiento hidráulico - mecánico de los suelos parcialmente

saturados se requiere incorporar la variación del grado de saturación a través de las

curvas de retención s Sr− .

Esta incorporación dentro del modelo propuesto se realiza admitiendo que la variación

de la deformación volumétrica causado por las variaciones del estado tensional, influye

directamente en el grado de saturación (Vanuat et al., 2000; Karube & Hawai, 2000;

Galipolli et al., 2003b) (Sección 2.6.3). La variación del estado tensional puede ser

debida a variaciones en las condiciones de saturación (succión) o a la variación de las

tensiones principales. También, se tiene en cuenta la histéresis hidráulica de las ramas

primarias y secundarias de la curva de retención s Sr− , debido a los ciclos de

humedecimiento y secado.

Como primer paso analizamos la influencia del índice de poros en la relación succión –

grado de saturación sin tener en cuenta los efectos de la histéresis hidráulica. Para

ello incorporamos la siguiente relación basados en los trabajos de Gallipoli et al.

(2003):

( *)Sr f s= (6.34) donde *s es la succión normalizada y está dada por:

*s e sΩ= ⋅ (6.35) donde s es la succión matricial, e es el índice de poros y Ω es un parámetro del

modelo. Para ilustrar el concepto de la succión normalizada, la Figura 6.17 muestra

por una parte, la variación del en función del índice de poros según los datos

experimentales presentado por Sivakumar (1993) para compresión isótropa y

diferentes valores de succión y, por otra parte la variación del grado de saturación en

función de la succión normalizada propuesta en la ecuación (6.35). Observamos en

este último caso que para un valor de

Sr

Ω igual a 6,60 y utilizando una escala

logarítmica los puntos se distribuyen sobre una única curva. En la Figura 6.18 se

observa la misma tendencia para datos experimentales en estado crítico.

228


40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

0,9 1,0 1,0 1,1 1,1 1,2 1,2 1,3

Índice de poros, e

Gra

do d

e sa

tura

ción

, Sr

s = 100

s = 200

s = 300

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

10 100 1000Succión Normalizada

Gra

do d

e sa

tura

ción

, Sr

s = 100

s = 200

s = 300

F igura 6.17 Datos Exper imenta les Sr e− (según Sivakumar, 1993) y de

compres ión isót ropa. *Sr s−

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

0,8 0,9 1,0 1,1 1,2Índice de poros, e

Gra

do d

e sa

tura

ción

, Sr

s = 100

s = 200

s = 300

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

10 100 1000Succión Normalizada

Gra

do d

e sa

tura

ción

, Sr

s = 100

s = 200

s = 300

F igura 6.18 Datos exper imenta les Sr e− (según Sivakumar, 1993) y en estado cr í t ico .

*Sr s−

El concepto de succión normalizada se apoya en la hipótesis de una única expresión

entre y Sr *s como se observa en las figuras anteriores. La expresión de *s puede

ser aplicada en conjunto con cualquier curva de retención succión – humedad (o grado

de saturación) de la literatura. En este caso se ha implementado la ecuación propuesta

por Fredlund & Xing (1994), que se expresa según:

( )0

*ln exp 1

mnsSr

a p

−⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥= +⎨ ⎬⎜ ⎟⋅⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

(6.36)

donde , y son parámetros de modelos, y es la presión atmosférica. a n m 0p

En la Figura 6.19 se presenta el ajuste de la ecuación (6.36) en función de la succión

normalizada y los datos de grado de saturación críticos en ensayos triaxiales a

humedad constante presentados por Toll (1990). En la Sección 6.7.2.2 se presenta la

calibración de la ecuación (6.36) para el caolín “speaswhite” mostrado en la Figura

6.18.

229


Kiunyu Gravel

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0,1 1,0 10,0 100,0 1000,0 10000,0

succión normalizada, s* [kPa]

Gra

do d

e sa

tura

ción

, Sr

F igura 6.19 Curva para los datos exper imenta les en estado cr í t ico de Kiunyu Gravel

*Sr s−

La ecuación (6.36) dentro de la estructura del modelo permite obtener los cambios de

grado de saturación cuando se producen deformaciones volumétricas irreversibles

debido a cambios de tensión.

El concepto de histéresis de las curvas de retención se analiza en la Sección 6.6

indicando la formulación específica del modelo.

6.5 Parámetro de estado en suelos parcialmente saturado

En los suelos saturados el parámetro de estado busca relacionar las condiciones

iniciales del suelo (presión de confinamiento y densidad) con un estado de referencia

más o menos estable y determinable desde el punto de vista experimental. En los

suelos parcialmente saturados las condiciones iniciales no solo son la presión de

confinamiento y la densidad, sino que se incorpora tambien la succión y el grado de

saturación.

El estado de referencia para los suelos parcialmente saturados es la LEC normalizada

presentada en la Sección 6.4.1.2. Por lo tanto, se mantiene para los suelos

parcialmente saturados la definición de los parámetros de estado para suelos

saturados:

230


( )

( )

cs s

q sc

e e

ee

β

ψ

ψ

= −

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

(6.37)

El índice de poros crítico del suelo parcialmente saturado se determina a través de la

relación entre la presión efectiva del suelo parcialmente saturada y la presión efectiva

saturada, presentada en la Sección 6.4.1.2 según:

( )( ) 1

1c atma

pe e gp

ζ

λ ξ−⎛ ⎞′′

= − ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠ (6.38)

El parámetro de cementación ξ y los parámetros de estado ψs y ψq permiten unificar

los parámetros del modelo para las diferentes condiciones iniciales de los suelos

saturados y parcialmente saturados. En estado saturado ( 0s = y ) el parámetro

de cementación es nulo.

1rS =

6.6 Formulación general del modelo constitutivo propuesto para suelos parcialmente saturados

6.6.1 Aspectos generales

Uno de los principales atractivos de la Teoría de la Plasticidad Generalizada

(Zienkiewicz & Mroz, 1984) es que permite una formulación versátil y jerárquica de los

modelos basados en ella. La extensión para suelos parcialmente saturados de la

formulación unificada del modelo propuesto en el Capítulo 3 cubre los siguientes

aspectos fundamentales de la modelización de este tipo de suelos:

• incorporar un parámetro de estado adecuado con el objetivo de unificar los

resultados experimentales para diferentes succiones y condiciones iniciales

(densidad y presión de confinamiento),

• identificar la succión como un efecto de cementación (bounding) dentro de la

estructura del suelo,

231


• simular la deformación plástica volumétrica debido a trayectorias de

humedecimiento y secado,

• adecuar la formulación de los incrementos de la tensión de pre-

consolidación con los incrementos de succión y su dependencia con la

trayectoria de succiones a través de una función de memoria,

• incorporar la formulación de la curva succión – humedad (o Grado de

Saturación) y su dependencia con el índice de poros y el efecto de la

histéresis hidráulica,

• incorporar los efectos de la succión en el estado residual.

6.6.2 Formulación unificada

El modelo de Plasticidad Generalizada presentado en esta sección es una extensión

para los suelos parcialmente saturados del modelo desarrollado en el Capítulo 3 desde

la perspectiva de los parámetros de estado. Se basa en los trabajos previos en

modelos para suelos parcialmente saturados de Tamagnini & Pastor (2004) y

Fernández Merodo et al. (2005) donde se supone que la deformación total es la suma

de tres términos:

e p

ij ij ij ij sd d d dσpε ε ε ε= + + (6.39)

donde eijε es el tensor de deformación elástica, p

ij σε es el tensor de deformación

plástica debida a cambios de tensiones y pij sε es el tensor de deformación plástica

acoplado debida a cambios de succión.

Gens (1995) demuestra como los modelos constitutivos basados con enfoque bi-

tensorial (Alonso et al. 1990; Sivakumar & Wheeler, 1995) o los basados en el

enfoque de Bishop (Khogo et al., 1993; Jommi & di Prisco, 1994) definen la

deformación total según la ecuación (6.39).

El desacoplamiento de las deformaciones plásticas debido a los cambios del tensor de

tensiones y las debidas a los cambios de succión se basan en lo expresado por

Tamagnini (2004) y Tamagnini & Pastor (2004): la regla de endurecimiento es función

de las deformaciones plásticas y de una segunda variable independiente como pueden

ser la succión o el grado de saturación.

232


En el contexto de la Teoría de la Plasticidad Generalizada la deformación plástica

pueden escribirse:

//

1 1:pgL U gL U

L U b

d dH H

ε σ ′′= ⊗ +n n n / ds (6.40)

La ecuación constitutiva para suelos saturados y parcialmente saturados queda

expresada por:

( ) 1

//

1 1: :egL U gL U

L U b

d d dH H

ε σ σ−

′′ ′′= + ⊗ +D n n / dsn (6.41)

o

( )/ /

/ / / /

e e egL U L U gL Ue

T e T eL U gL U b L U gL U

Hd d

H H Hσ ε

⎛ ⎞′′ = + +⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

D n nD D nD

n D n n D n/ ds (6.42)

Para definir el modelo constitutivo en el marco de la Plasticidad Generalizada se debe

determinar en cada punto del espacio tensorial el vector dirección de carga n , el

vector dirección de flujo plástico en carga y descarga , el módulo plástico debido a

cambios de tensión

/gL Un

/L UH y el módulo plástico debido a cambios de succión sH . En

este capítulo se analiza cada uno de estos términos desde la perspectiva de los

parámetros de estado y del parámetro de cementación.

6.6.2.1 Estado Crít ico

Como se indicó anteriormente, la definición del estado crítico es fundamental en la

formulación del modelo. Se adopta en el plano q p′′− una línea recta de pendiente

MCS para estados saturados y parcialmente saturados según:

0

01CSSr Srq M p s

Sr⎛ ⎞⎛ ⎞−

= +⎜ ⎜ ⎟⎜ −⎝ ⎠⎝ ⎠⋅ ⎟⎟ (6.43)

La ecuación (6.43) fue justificada en la Sección 6.4.1.1 utilizado varios datos

experimentales de la literatura.

En el plano ( ae p p )ζ′′− también se considera una línea recta con ordenada en

igual a y pendiente 1p kP′′ = a atme λ según:

233


( )( 11c atm

a

pe e gp

ζ

λ )ξ−⎛ ⎞′′

= − ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.44)

( ) ( ) ( )( )1 1g a exp b f s Srξ ξ ξ= ⋅ ⎡ ⋅ − ⎤ = −⎣ ⎦ (6.45)

donde ξ es el parámetro de cementación presentado en la Sección 6.2.2 y la función

( )g ξ se presentó en la Sección 6.4.1.2. Los parámetros y se calibran a partir de

los datos experimentales.

a b

6.6.2.2 Elasticidad

El módulo elástico empleado es igual al presentado en el Capítulo 3 para suelos

saturados, este depende del nivel de tensión y de la deformación del suelo a través de

la presión efectiva y del índice de poros según:

( )

( )( )

( )

2

0

2.97 12;1es eso ev es

eG G p p K G

e 3 1 2νν

− +′′= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

+ − (6.46)

donde y esoG ν son constantes elásticas del modelo.

6.6.2.3 Regla de f lujo

El modelo asume un flujo no asociado donde la regla de flujo expresada por la

ecuación de la dilatancia para suelos parcialmente saturados está dada por:

( )0

g TF sg

ddM

η η⎡ ⎤= −⎣ ⎦ (6.47)

El valor de ( )TF sη incorpora una dependencia con la succión a través del parámetro de

estado ψs(s) como se indica el la ecuación (6.48):

( ) ( )( )expgTF s s sM mη = ⋅ ψ (6.48)

donde ψs(s) representa la distancia entre el estado actual del suelo y el estado crítico

para determinada succión en el plano ( ae p p )ζ′′− , como se expresó en la Sección

6.5.

234


La expresión de la dilatancia (6.47) determina la dirección de los incrementos de

deformación plástica a través del vector:

2 2

1; ;1 1

T

T gg gv gs

g g

dn n

d d

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

n (6.49)

El vector dirección de carga es distinto a , dado que el flujo es no asociado. Por

simplicidad, la expresión de n es similar a la ecuación (6.49):

n gn

[ ]2 2

1; ;1 1

T

T fv s

f f

dn n

d d

⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

n (6.50)

donde

( )( )0 expf f q sf

dd M mM

ψ η⎡ ⎤= −⎣ ⎦ (6.51)

fM está relacionado con gM de la misma forma que en el modelo saturado.

6.6.2.4 Módulo Plástico

Para incorporar los efectos de rigidización y reblandecimiento debido a los cambios de

succión, dos módulos plásticos HL/U y sH tienen que ser definidos como se indicó en la

ecuación constitutiva (6.41). HL/U es el módulo asociado a los cambios de tensión

efectiva y tiene una forma similar al expresado en el Capítulo 3 (ec. 3.54): p′′

( )0 0 ;L DMH H p p H f η ψ′′= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (6.52)

( ); 1 paraf η ψ η 0= = (6.53)

( ) ( ); f v sf H H Hη ψ η 0= ⋅ + ≠para (6.54)

donde Ho, Hv, Hf y Hs tiene la misma expresión que en el Capítulo 3 (ec 3.53, ec. 3.56

y 3.33) incorporando su variación con la succión a través de la los parámetros de

estado ( )q sψ y ( )s sψ y la relación de tensiones q pη ′′= .

Reescribiendo sus expresiones, obtenemos:

235


( )0 0 0exp q sH H β ψ⎡ ⎤′ ′= ⋅ − ⋅⎣ ⎦ (6.55)

( )( )0 expv v p p g v s sH H Mη η η β ψ⎡ ⎤= ⋅ − = ⋅ ⋅⎣ ⎦ con (6.56)

El módulo plástico asociado a los cambios de succión (ver ecuación bH (6.41)) se

expresa según:

( ){ }220 0 1 expb f DMH w H p p H H w g ξ′′= ⋅ ⋅ ⋅ = − − ⎡ ⎤⎣ ⎦con (6.57)

donde w es una nueva expresión en función del parámetro de cementación. En

trayectorias de secado w se impone igual a la unidad. En la sección 6.6.3.2 y 6.6.3.3

se analiza el módulo plástico para trayectorias de colapso y ciclos de humedecimiento

y secado.

El concepto de superficie de carga y colapso expresado por Alonso et al. (1990) se

expresa según la ecuación (6.32) indicado por Tamagnini & Pastor (2004).

max SDM

JH ζζ

⋅⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦ (6.58)

DMH tiene en cuenta un doble mecanismo de endurecimiento inducido por la succión

a través de la función SJ y por la deformación plástica a través de la función

movilizada ζ :

1

111 g

pM

αηζα

−⎡ ⎤⎛ ⎞′′= −⎢ ⎥⎜ ⎟+⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(6.59)

donde maxζ es el máximo valor que puede adoptar la ecuación (6.59). En el presente

trabajo la función SJ se modifica como función del parámetro ξ que representa el

efecto de cementación entre partículas debido al menisco. La nueva expresión está

dada por:

( )expSJ c g ξ= ⎡ ⋅ ⎤⎣ ⎦ (6.60) donde

( ) ( ) ( )( )1 1g a exp b f s Srξ ξ ξ= ⋅ ⎡ ⋅ − ⎤ = −⎣ ⎦ (6.61)

236


Los fundamentos de esta ecuación fueron explicados en la Sección 6.4.2 y se basan

en datos experimentales.

6.6.2.5 Ecuación hidrául ica

Como se señaló en el Capítulo 2, los ciclos de humedecimiento y secado bajo tensión

neta constante introducen deformaciones plásticas volumétricas y variación del grado

de saturación del suelo.

El modelo incorpora dos curvas características límite expresadas en función de la

succión normalizada *s y el grado de saturación según la ecuación de Fredlund &

Xing (1994). Cabe aclarar que se podría utilizar cualquier otra ecuación, como la

expresada por van Genutchen (1980) incorporando la succión normalizada y

calibrando sus parámetros.

Sr

Estas dos curvas características se conocen con el nombre de rama primaria de

secado ( *,d )s Srζ y rama primaria de humedecimiento ( )*,w s Srζ ; y actúan como límite

de todas la ramas secundarias. La ecuación de las ramas secundarias tiene la forma:

* sdSr Kds

= (6.62)

donde Ks puede ser considerado constante en una primera aproximación (Fernández

Merodo et al. 2005) o puede ser una función de la distancia entre la rama primaria

( )*,d s Srζ o ( *,w )s Srζ (según nos encontremos en una trayectoria de secado o

humedecimiento) y el centro de proyección según Li (2005): *I

ln * ln * *ln * ln * * *

w

ss I s dK Srs I s ds

β−⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟−⎝ ⎠ (6.63)

El centro de proyección corresponde a la succión normalizada donde se inicia o se

produce un cambio en el ciclo de humedecimiento o el ciclo de secado; y representa el

impacto de la historia de la trayectoria hidráulica. *s es la succión normalizada en la

rama primaria y *s es la succión normalizada actual del suelo.

237


Combinando la ecuación (6.62) y (6.63) se obtiene:

* ln * ln ** ln * ln * *

wds s I ds *s s I s

β−⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ (6.64)

A medida que *s se acerca a *s , la rama secundaria se hace asintótica a la rama

primaria dado que *ds ds≈ *

*

y asegurando que todas las ramas secundarias están

dentro de las ramas primarias. Cuando *s I= la relación *dSr ds = ∞ y la pendiente

inicial de la rama secundaria es horizontal. Li (2005) propone algunos refinamientos a

la formulación variando la pendiente inicial y agregando parámetros al modelo. wβ es

un parámetro del modelo y controla la amplitud del lazo de histéresis de las ramas

secundarias, como se muestra en la Figura 6.20.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1 10 100 1000 10000

Succión Normalizada, s*

Gra

do d

e sa

tura

ción

, Sr

beta_w = 2beta_w = 4RP secadoRP humedicimiento

F igura 6.20 In f luenc ia de l parámetro wβ en la ramas secundar ias

Al incorporar la succión normalizada *s e sΩ= ⋅ , se incorpora la dependencia del índice

de poros de la ramas primarias de secado y humedecimiento. Como el índice de poros

depende de la tensión principal entonces las ramas primarias dependen de la tensión

principal (Sheng, Sloan & Gens, 2004; Gallipoli et al., 2003b).

6.6.3 Predicciones cualitativas

A continuación mostramos la capacidad de predeccion del modelo para diferentes

trayectorias de tensiones. Estas se realizaron con parámetros de modelo genéricos

con el objetivo de demostrar cualitativamente la formulación propuesta. En la siguiente

sección se muestra las simulaciones sobre ensayos reales.

238


6.6.3.1 Ensayo de compresión isótropa a succión constante

En la Figura 6.21a) se muestra la simulación del modelo para un ensayo isótropo a

succión constante con dos ciclo de carga (0-A y B-C) y descarga (A-B y C-D). En la

Figura 6.21a) se muestra una disminución del índice de poros irreversible durante la

primera carga acompañado por un aumento irreversible del grado de saturación

(Figura 6.21 b)). Durante el proceso de descarga A-B se observa que el grado de

saturación disminuye levemente asociado con los incrementos elásticos del índice de

poros. Durante la recarga B-C el incremento del grado de saturación es inicialmente

pequeño y posteriormente aumenta de forma acusada. Este comportamiento está

asociado con la variación volumétrica observado en el plano índice de poros – tensión

efectiva. Un comportamiento similar fue mostrado por Rampino et al. (2000) para una

arena limosa y se puede ver en el Capítulo 2.

0

A

a)

DC

B

0,7

0,8

0,9

1

1,1

1,2

1,3

1,4

100 1000


Índi

ce d

e po

ros,

e

A

0

DC

B

b)

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

100 1000


Gra

do d

e sa

tura

ción

, Sr

F igura 6.21 Simulac ión de l modelo de carga isót ropa a succ ión constante a)

var iac ión del índ ice de poros y b) var iac ión de l grado de saturac ión.

6.6.3.2 Ensayo de colapso

La Figura 6.22 muestra la predicción en condiciones isótropas de un ensayo de

colapso a tensión neta constante y variando la succión de 3500kPa a cero. Durante el

humedecimiento la succión disminuye, el grado de saturación aumenta y la tensión

principal efectiva disminuye (Figura 6.23). Por lo tanto, en una trayectoria de descarga

de tensiones, el segundo término de la ecuación constitutiva (6.41) se anula y nos

queda:

1

vb

dpdK H

ε gn ds′′

= + (6.65)

Esto es consistente con lo expresado por Pastor et al. (1990) para suelos saturados.

239


En la ecuación (6.57) el módulo Hb es el encargado de reproducir la expansión y el

colapso que se observa en la Figura 6.22. Analizando la misma figura detalladamente

tenemos que en la etapa inicial del humedecimiento (punto A) se produce una

expansión elástica del material (HDM >1) hasta que el término de colapso (segundo

término) de la ecuación (6.65) prevalece sobre el primero (HDM =1) y las deformaciones

plásticas de compresión aumentan hasta que la succión se anula. Sáez & Escario

(1973) presentan una serie de ensayos de colapso con un comportamiento similar.

(Ver Sección 2.6.4)

b)

A

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

10 100 1000 10000

Succión, s [kPa]

Gra

do d

e Sa

tura

ción

, Sr

a)

A

B

-0,015

-0,010

-0,005

0,000

0,005

0,010

0 1000 2000 3000 4000

Succión, s [kPa]

Def

orm

ació

n vo

lum

étric

a

F igura 6.22 Simulac ión de un ensayo de humedecimiento a tens ión neta constante:

a) var iac ión de la deformación vo lumétr ica b) var iac ión de l grado de saturac ión.

A

B

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 200 400 600 800 1000 1200


Succ

ión,

s [k

Pa]

F igura 6.23 Var iac ión de la tens ión efect iva pr inc ipa l pζ ′′= y la func ión max SJζ durante una t rayector ia isót ropa de humedecimiento a tens ión neta constante.

240


6.6.3.3 Ciclo de humedecimiento y secado

En la Figura 6.24 se muestran dos ciclos y medio de humedecimiento y secado en

condiciones isótropas. La simulación se realiza a una tensión neta constante de

10kPa. Durante el primer ciclo de humedecimiento (A-B) la succión varia de 400kPa a

50kPa. Se observa un aumento del índice de poros (Figura 6.24 a)) acompañado de

un incremento del grado de saturación (Figura 6.24 b)). Durante el proceso de secado

la succión varia de 50kPa a 400kPa (B-C) y se producen cambios irreversibles en el

índice de poros con una disminución del grado de saturación. En el ciclo de

humedecimiento (C-D y E-F) y secado (D-E) la variación volumétrica tiene la misma

tendencia que durante el primer ciclo pero su magnitud disminuye. También es

importante destacar la influencia del índice de poros en los bucles del grado de

saturación – succión, los cuales ascienden a medida que el índice de poros disminuye

(Figura 6.24 b). En la Sección 2.6.4 se muestra un ensayo con ciclos de

humedecimiento y secado.

La ecuación constitutiva (6.41) para las trayectorias isótropas de humedecimiento

(descarga) queda expresada según la ecuación (6.65) y las trayectorias de secado

(carga) según:

1 1

v gv vL b

dpd n n dpK H H

ε gvn ds′′

′′= + + (6.66)

manteniendo las características expresadas anteriormente. Alonso et al. (1995)

muestran un comportamiento similar al mostrado en la Figura 6.24 en una arcilla.

a)

F

E

D

C

B

A

0,8

0,85

0,9

0,95

1

1,05

1,1

1,15

1,2

1,25

1,3

10 100 1000Succión, s [kPa]

Índi

ce d

e po

ros,

e

b)

F

D

B E

CA

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

10 100 1000

Succión, s [kPa]

Gra

do d

e Sa

tura

ción

, Sr

F igura 6.24 Simulac ión de l modelo de un ensayo isót ropo de humedecimiento y

secado a pres ión neta constante.

241


6.6.3.4 Ensayo de corte tr iaxial a volumen constante

En un ensayo a volumen constante no saturado se aumentan y para mantener

la succión constante, de manera que el volumen de la muestra permanece constante

durante el corte. Se pueden encontrar mayores detalles del procedimiento de

laboratorio en Sivakumar (1993). En el caso saturado se corresponde con un ensayo

no drenado.

au wu

Se realizaron 5 simulaciones variando la succión desde 0 hasta 1200kPa de una

muestra a una presión de confinamiento inicial de 300kPa y con un índice de poros

inicial de 0,905. En la Figura 6.25 se muestran las simulaciones en (a) el plano q p′′−

y (b) el plano sq ε− .

A medida que la succión disminuye hasta cero, la capacidad resistente decrece hasta

producirse la liquefacción estática (Castro, 1969). (Figura 6.25 (a)). Este

comportamiento de disminución de la presión de confinamiento y aumento de la

tensión desviadora hasta un valor máximo para luego reducirse a valores muy bajos,

es acompañado con incrementos importantes de la presión intersticial en condiciones

saturadas. En condiciones no saturadas (coexistencia de la fase aire y agua) la

posibilidad de liquefacción estática disminuye, debido al efecto de endurecimiento que

produce la succión.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 50 100 150 200 250 300 350


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kP

a]

s = 0s = 100kPas = 300kPas = 600kPas =1200kPa

(a)

242


0

50

100

150

200

250

300

350

400

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10

Deformación desviadora, εs

Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kP

a]

s = 0s = 100kPas = 300kPas = 600kPas =1200kPa

(b)

F igura 6.25 Simulac ión de un ensayo t r iax ia l no drenado (vo lumen constante) para d i ferentes succ iones.

En la literatura no se encuentran datos experimentales que confirmen este fenómeno

por lo que sería interesante estudiar los efectos de la desaturación en ensayos a

volumen constante a diferentes succiones sobre arenas sueltas que presentan el

fenómeno de liquefacción estática en condiciones saturadas. Esto podría contribuir al

estudio de los efectos de las lluvias en los deslizamientos rápidos de laderas.

6.6.3.5 Ensayo de corte tr iaxial drenado

En la Figura 6.26 se muestran las simulaciones de dos ensayos triaxiales drenados a

succión constante. Uno, con un grado de saturación inicial sobre la rama principal de

humedecimiento SrW y el otro, con un grado de saturación sobre la rama principal de

secado SrD (Figura 6.26 d). Esto implica que la incorporación de la histéresis hidráulica

produce histéresis en el comportamiento mecánico al corte. Sabiendo que a igual

succión el grado de saturación sobre la rama principal de humedecimiento es menor

que el grado de saturación sobre la rama de secado (SrW < SrD) (ecuación (6.43)), se

obtiene que para SrD el valor de la tensión desviadora que predice el modelo será

mayor. Esto puede observase en la Figura 6.26 a).

El efecto de la histéresis hidráulica también afecta a la deformación volumétrica

(Figura 6.26 b) y la ecuación de la dilatancia (Figura 6.26 c).

243


En Figura 6.26 d) muestra un pequeño incremento del grado de saturación asociado a

la contracción inicial y luego el grado de saturación es monótonamente decreciente a

medida que la deformación volumétrica disminuye (es equivalente a una expansión).

Este efecto es mayor sobre la muestra con r rS S D= .

En Han et al. (1995) se muestran ensayos de corte en una arena limo-arcillosa

sometida a corte directo de dos muestras a igual succión y distintos grados de

saturación, confirmando lo expresado anteriormente (Ver sección 2.6.6). Para clarificar

este aspecto se requieren esfuerzos adicionales en experimentación.

b)

-0,1

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0

0,02

0 0,1 0,2 0,3 0,4


Def

orm

ació

n vo

lum

étric

a

SrD

SrW

a)

0

50

100

150

200

250

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40Deformación desviadora

Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa

]

SrD

SrW

c)

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00Relación de tensiones, η

Dila

tanc

ia, d

SrD

SrW

d)

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40Deformación desviadora

Gra

do d

e sa

tura

ción

, Sr

SrDSrW

F igura 6.26 Simulac ión de l modelo de ensayo t r iax ia l drenado a igual succ ión (s =

10kPa) y grado de saturac ión sobre la rama pr inc ipa l de humedecimiento SrW y sobre la rama pr inc ipa l de secado SrD.

244


6.7 Simulación y validación del modelo

6.7.1 Calibración de parámetros

La incorporación de los conceptos de parámetros de estado al modelo Pastor –

Zienkiewicz, como se explicó en el Capítulo 3, permite simular un suelo saturado en

distintas condiciones iniciales con un único juego de parámetros. Apoyándose en la

formulación propuesta, este Capítulo presenta una extensión del modelo a los suelos

parcialmente saturados con la misma premisa: obtener una formulación general del

modelo en distintas condiciones de saturación (succión, grado de saturación),

densidad y presión de confinamiento con un único juego de parámetros.

En este apartado se presenta un breve sumario del procedimiento de calibración del

modelo. En la Sección 6.4 se presentó las principales características del procedimiento

de calibración para suelos parcialmente saturados. Las constantes del modelo para las

condiciones saturadas se calibran según lo expresado en el Capítulo 5.

En la Sección 6.7.2 se presentan las simulaciones del modelo para diferentes

trayectorias de tensiones, presiones de confinamiento, densidades y succiones con un

único juego de constantes intrínsecas para cada suelo. Para la calibración del modelo

propuesto se requieren determinar 3 constantes asociadas al efecto de la succión, y 6

constantes para simular la relación succión – grado de saturación. Es importante

recalcar que la estructura del modelo es jerárquica. Esto significa que para trayectorias

simples no se requiere calibrar todas las constantes.

Las constantes asociadas al estado crítico no saturado (a y b) se obtienen

relacionando las tensiones efectivas críticas en condiciones saturadas y no saturadas,

como se explicó en la Sección 6.4.1.2. Se ajusta por mínimos cuadrados la relación

obtenida por la ecuación (6.29) y la obtenida por ensayos experimentales.

La constante asociada a los efectos de “sobreconsolidación” debido a la succión (c) se

ajusta a partir de ensayos isótropos, como se indicó en la Sección 6.4.2.

Las seis constantes restantes están directamente asociadas con la curva succión –

grado de saturación. Las constantes aw/d, nw/d y mw/d se determinan por un

procedimiento de regresión presentado por Fredlund & Xing (1994).

245


βw controla la amplitud del lazo de histéresis de las ramas secundarias como se mostró

en la Figura 6.20 en la Sección 6.6.2.5. El grado de saturación residual Sr0 se puede

estimar directamente desde la curva s - Sr como la asíntota de la curva a medida que la

succión aumenta. Por último, se evalúa el parámetro Ω ajustando los valores de

succión e índice de poros utilizando una única curva s*- Sr. En la Sección 6.4.3 se

mostró la calibración de los ensayos de laboratorio de Sivakumar y Toll en estado

crítico.

A continuación se presentan las simulaciones sobre dos suelos para verificar

cuantitativamente las predicciones del modelo.

6.7.2 Simulaciones sobre ensayos de laboratorio

6.7.2.1 Arena Kurnel l

Russell (2004) presenta una serie de ensayos triaxiales saturados y no saturados

sobre la arena Kurnell de las dunas australianas. Estos datos fueron utilizados para

calibrar el modelo propuesto para suelos saturados en el Capítulo 5, en la presente

sección se muestra la calibración de los parámetros no saturados y las simulaciones

en los casos parcialmente saturados.

La arena Kurnell es una arena predominantemente de cuarzo, fina y uniforme. En

(Russell & Khalili, 2006) se presentan ensayos triaxiales no saturados drenados y no

drenados a succión constante.

En los ensayos drenados se permite el flujo de agua en la muestra y se mantiene la

succión constante. Los ensayos no drenados o a humedad constante permiten el

drenaje de la fase aire manteniendo la fase agua no drenada. Detalles del

procedimiento pueden ser encontrados en Russell (2004).

Se simularon 8 ensayos drenados (utilizando una numeración finalizada en D) y 8

ensayos no drenados (numeración finalizada en U) para un rango de succiones entre

50 y 400kPa. Los datos de los distintos estados iniciales simulados se presentan en

Tabla 6.2:

246


Tabla 6.2 Estados in ic ia les no saturados de arena Kurnel l .

ENSAYO po [kPa] eo so

5050L-D 50 0,77 51 1005D-D 102 0,658 51 50100L-D 50 0,763 100

100100D-D 100 0,687 100 50200L-D 51 0,78 198

100200D-D 101 0,697 200 50400L-D 50 0,764 400

100400D-D 100 0,663 400 5050L-U 50 0,771 50

10050D-U 100 0,676 50 50100L-U 49 0,777 98

100100D-U 98 0,674 100 50200L-U 49 0,747 201

100200D-U 100 0,688 199 40410L-U 40 0,771 410

100400D-U 96 0,683 403

Los parámetros de la curva s - Sr se obtuvieron ajustando los datos experimentales con

la ecuación de Fredlund & Xing (1994) según se muestra en la Figura 6.27. Los puntos

de desecación (color verde) se obtuvieron por dos técnicas: papel de filtro (cuadrados)

y placa de presión (rombos). La dependencia con el índice de poros de la curva s - Sr

para la arena Kurnell es muy baja (Russell & Khalili, 2006) y por ello se adopto el

parámetro de la ecuación (6.35) igual a 2,1. Los parámetros de la ecuación de

Fredlund & Xing (1994) adoptados para la rama principal de desecación son ad=0,05,

nd = 6 y md = 0,80 y para la rama principal de humectación son aw=0,03, nw = 10 y mw = 1.

El valor del grado de saturación residual es igual a 0,009.

Ω

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1 10 100 1000 10000succión, s [kPa]

Gra

do d

e sa

tura

ción

, Sr

RP desecación

RP humectación

F igura 6.27 Comparac ión curva succ ión – grado de saturac ión adoptada y datos

exper imenta les obten idos por Russel l (2004)

247


Dado que los valores críticos saturados y no saturados en el plano e - p” son muy

cercanos, los parámetros que relacionan la tensión principal efectiva saturada y

parcialmente saturada (ec. (6.29)), a y b, han sido calibrados como el mejor ajuste de

los ensayos drenados sobre las muestras parcialmente saturadas, adoptando

y . 0,20=a 2=b

En estas simulaciones se despreció el efecto de “sobreconsolidación” producido por la

succión y se adoptó HDM = 1.

Los demás parámetros del modelo pueden consultarse en la Tabla 5.1.

De la Figura 6.28 a la Figura 6.31 se presentan las simulaciones de ensayos triaxiales

drenados junto con los resultados de los ensayos de laboratorio en los planos q – εs y

εv− εs.. Las simulaciones están representadas en línea continua. Se observa un

comportamiento con un pico de tensiones propio de las arenas densas acompañado

con una pequeña contracción inicial. A medida que las deformaciones desviadoras

aumentan, se presenta un reblandecimiento y un aumento de volumen. El estado

estable o residual es alcanzado para una deformación desviadora del orden de 40%.

La variación del grado de saturación en estas simulaciones presenta un

comportamiento similar al mostrado en las simulaciones cualitativas del corte drenado

(Sección 6.6.3), debido a que depende de la succión y del índice de poros según la

ecuación (6.36). Inicialmente hay un pequeño incremento de Sr y una contracción, y

luego disminuye a medida que el índice de poros crece hasta alcanzar el estado

crítico. Al tratarse de una arena, los valores de grado de saturación son pequeños para

el rango de succiones ensayado (50-400kPa). Esto se observa en la curva s - Sr

(Figura 6.27).

248


Kurnell Sand

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa

]

10050D-D ensayo 5050L-D ensayo

10050D-D modelo 5050L-D modelo

-0,14

-0,12

-0,10

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0,00

0,020 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4


Def

orm

ació

n vo

lum

étric

a

F igura 6.28 Comparac ión ent re ensayos t r iax ia les drenados no saturados a s=cte (Russel l & Khal i l i , 2006) y s imulac ión de l modelo en los p lanos sq ε− y v sε ε− .

249


Kurnell Sand

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa

]

50100L-D ensayo 100100D-D ensayo50100L-D modelo 100100D-D modelo

-0,14

-0,12

-0,10

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0,00

0,020 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4


Def

orm

ació

n vo

lum

étric

a


250


Kurnell Sand

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa

]

50200L-D ensayo 100200D-D ensayo

50200L-D modelo 100200D-D modelo

-0,12

-0,10

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0,00

0,020 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4


Def

orm

ació

n vo

lum

étric

a


251


Kurnell Sand

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa

]

50400L-D ensayo 100400D-D ensayo

50400L-D modelo 100400D-D modelo

-0,14

-0,12

-0,10

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0,00

0,020 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4


Def

orm

ació

n vo

lum

étric

a


De la Figura 6.32 a la Figura 6.35 se presentan las simulaciones de ensayos triaxiales

no drenados (a humedad constante) junto con los resultados de los ensayos de

laboratorio en los planos q – εs y εv − εs.. Las simulaciones están representadas en

línea continua. El grado de saturación puede definirse utilizando la relación:

w

re w GSe e

s⋅= = (6.67)

252


donde es un índice de poros relativo introducido por Toll (1995), es el contenido

de humedad de la muestra y Gs es el peso específico de las partículas sólidas. Dado

que el ensayo se desarrolla a humedad constante entonces

we w

0wde = y la succión varía

en función del grado de saturación. De la Figura 6.33 a la Figura 6.35 se muestra la

variación de la succión simulada por el modelo.

Kurnell Sand

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa

]

5050L-U ensayo 10050D-U ensayo5050L-U modelo 10050D-U modelo

-0,12

-0,10

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0,00

0,020 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4


Def

orm

ació

n vo

lum

étric

a

F igura 6.32 Comparac ión ent re ensayos t r iax ia les drenados no saturados a ω=cte (Russel l & Khal i l i , 2006) y s imulac ión de l modelo en los p lanos sq ε− y v sε ε− (s0 =

50kPa) .

253


Kurnell Sand

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa

]


-0,12

-0,10

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0,00

0,020 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4


Def

orm

ació

n vo

lum

étric

a

50100L-U

100100D-U

50

100

150

200

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4


Succ

ión,

s [k

Pa]


100kPa) .

254


Kurnell Sand

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa

]


-0,12

-0,10

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0,00

0,020 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4


Def

orm

ació

n vo

lum

étric

a

50200L-U

100200D-U

100

150

200

250

300

350

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4


Succ

ión,

s [k

Pa]


200kPa) .

255


Kurnell Sand

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa

]


-0,14

-0,12

-0,10

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0,00

0,020 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4


Def

orm

ació

n vo

lum

étric

a

40410L-U

100400D-U

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4


Succ

ión,

s [k

Pa]


400kPa) .

256


Las simulaciones del modelo unificado se ajustan bien a los datos experimentales

presentados por Russell & Khalili (2006) para la arena Kurnell en condiciones

parcialmente saturadas.

6.7.2.2 Speatwhite Kaolín

Es difícil encontrar en la literatura una serie de ensayos con diversas trayectorias de

tensiones y diferentes succiones sobre un único suelo como la presentada por

Sivakumar (1993). Por ello, se consideró idónea la elección de esta serie de ensayos

para demostrar la capacidad del modelo para predecir diferentes trayectorias de

tensiones. Se presentan las simulaciones sobre ensayos triaxiales drenados a succión

constante, ensayos triaxiales a volumen y succión constante, ensayos triaxiales a

presión de confinamiento y succión constante y ensayos triaxiales isótropos.

Los parámetros del modelo se determinaron usando los datos presentados por

Sivakumar (1993) sobre muestras compactadas con 25% de humedad preparados en

moldes de 50mm de diámetro y 100mm de altura. El procedimiento de compactación

fue realizado en 9 capas en forma estática hasta una carga de 400kPa (velocidad de

desplazamiento 1.5mm/min).

En la Figura 6.36 en el plano q p′′− se presentan los valores finales de los ensayos de

corte triaxial de ”Speswhite Kaolín”. Se observa que los valores no saturados se

ajustan bastante bien a la línea de estado crítico saturada (Mg = 0,814) según la

ecuación (6.43) donde la presión efectiva p′′ es función del parámetro χ que esta

dado por:

0

01r

r

Sr SS

χ−

=− (6.68)

En esta relación Sr0 representa el grado de saturación residual. Dado que no existen

datos disponibles de la relación succión – grado de saturación para esta serie de

ensayos, se tomó un valor de Sr0 = 0,40. Este valor es similar a los datos presentados

por Vanuat et al. (2000) para otro caolín.

257


q = 0,814p"

0

100

200

300

400

500

600

0 100 200 300 400 500 600 700


Tens

ión

desv

iado

ra, q

s = 0

s = 100

s = 200

s = 300

F igura 6.36 Valores de estado cr í t ico de ensayos de cor te t r iax ia l para ”Speswhi te

kaol ín” (ensayos rea l izados por S ivakumar,1993) .

La LEC saturada se ajusta a una línea recta en el plano lne p′′− y queda definida por

los parámetros 0,11λ = y 1,518atme = . En la Figura 6.37 se muestran los datos

experimentales en estado crítico no saturados normalizados a la LEC saturada a

través de la ecuación (6.44). Las constantes a = 3,03 y b = 1,27 se han obtenido

calibrando la función g(ξ), como se mostró en la Sección 6.4.1.2. Cabe destacar que

esta calibración se realizó con los datos en estado crítico y en compresión isótropa,

como se explicó en la Sección 6.4.2. La constante asociada al endurecimiento debido

a la succión es igual a la unidad ( 1c = ).

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

10 100 1000Tensión principal efectiva, p" [kPa]

Índi

ce d

e po

ros,

e

s = 0

s = 100

s = 200

s = 300

F igura 6.37 Valores de estado cr í t ico normal izados en e l p lano para “Speswhi te kaol in” (ensayos rea l izados por S ivakumar,1993) .

lne p′′−

Para las simulaciones y la calibración del caolín se adoptó la LEC según la ecuación

(6.28).

258


Durante la etapa de ecualización de las muestras se produjo un flujo de agua hacia el

interior de las muestras. Para estos ensayos se consideró que las muestras siguen

una trayectoria de humedecimiento, despreciando la histéresis hidráulica.

Analizando el grado de saturación en estado crítico, primero se calibró la ecuación

(6.36) de la curva s - Sr para cada succión (100kPa, 200kPa y 300kPa) en función de

la variación con el índice de poros (Figura 6.38). Los parámetros son: aw=0,96 n =

1,5928 y m =0,3455. Luego se calibró el parámetro Ω para los distintos índices de poros

(Figura 6.39) y su valor es . Un procedimiento similar propone Gallipoli (2000)

con la curva característica de van Genuchten (1980).

6,6Ω =

En la Figura 6.39 y la Figura 6.40 se muestra el efecto del índice de poros en la curva

succión-grado de saturación (ec. (6.36)). El modelo predice el incremento/disminución

del grado de saturación con disminución/incremento del índice de poros (Ver Sección

6.6.3).

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3

Índice de poros, e

Gra

do d

e sa

tura

ción

, Sr

s = 100s = 200s = 300s = 100 sims = 200 sims = 300 sim

F igura 6.38 Cal ibrac ión de la ecuac ión (6 .36) para d is t in tas succ iones .

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

10 100 1000 10000

Succión Normalizada

Gra

do d

e sa

tura

ción

, Sr

s = 100

s = 200

s = 300

F igura 6.39 Cal ibrac ión de parámetro Ω para d i ferentes succ iones.

259


1,04

0,99

0,91 0,89

1,07

1,16

1,13

0,99 1,03

0,93 0,87

0,93

1,05

1,13

0,95

0,89

e = 0,80

e = 0,90

e = 1,00e = 1,05

e = 1,10e =1,15

60

65

70

75

80

85

90

95

100

0 100 200 300 400succión, s [kPa]

Gra

do d

e sa

tura

ción

, Sr

F igura 6.40 In f luenc ia de l índ ice de poros en re lac ión grado de saturac ión – succ ión

en estado cr í t ico.

La calibración de los parámetros saturados están expuestos en la Tabla 6.3 el

procedimiento realizado es el mismo expresado en el Capítulo 5.

Tabla 6.3 Parámetros de l modelo de PG propuesto para e l cao l ín “Speswhi te” .


esoG 90 Módulo tangencial (kPa)

evoK 54 Módulo volumétrico (kPa)

Pendiente de la LEC en el plano q p′− gM 0,8139

Intersección de LEC para 1p kPa= atme 1,5177

Pendiente de LEC en el plano e p′− λ 0.11

1h 2h 1/0.4 Constantes de variación de fM con el parámetro de estado


m 5,6 Parámetro asociado a la línea de transformación


0β′ 0,5 Parámetro asociado al m. plástico isótropo y su variación con parámetro de estado

Constante del módulo plástico volumétrico para 0η ≠ 0vH 6,0

vβ 0,50 Parámetro asociado a la resistencia de pico

260


Para este material se simularon tres ensayos triaxiales de compresión drenados

( 3q pΔ Δ = ) a succión constante (Figura 6.42), cuatro ensayos triaxiales de

compresión a volumen constante y succión constante (Figura 6.43), un ensayo triaxial

de compresión a tensión neta constante ( 0pΔ = ) y succión constante (Figura 6.44), y

cuatro ensayos triaxiales de compresión isótropa (Figura 6.41).

Las simulaciones se presentan en línea continua y los ensayos con símbolos. En

general el ajuste entre ensayos y simulación es muy bueno.

Tabla 6.4 Estados in ic ia les s imulados de l cao l ín “Speswhi te”

Nº Ensayo pneta

[kPa] s0

[kPa] v0 Sr0

[%] p"

[kPa] 2A 200 200 2,1617 67,25 334,51 3A 100 200 2,0669 73,43 246,86 4A 150 200 2,1267 69,60 289,20 5A 300 200 1,9903 78,44 456,88 6B 100 200 2,1718 65,81 231,63

26C 75 0 2,0789 100,00 75,00 9C 100 200 2,1804 66,37 232,73

17C 100 300 2,188 61,17 283,50 24C 40 - 150 0 2,1153 42,08 - 12B 50 - 200 100 2,2015 32,28 - 2A 50 - 200 200 2,2128 29,04 -

15A 50 - 250 300 2,2183 26,90 -

1,9

1,95

2

2,05

2,1

2,15

2,2

2,25

10 100 1000


Volu

men

esp

ecific

o, v

s = 300s = 200s = 100s = 0

F igura 6.41 Comparac ión ent re s imulac iones del modelo propuesto y resu l tados de ensayos t r iax ia les de isót ropos a succ ión constante (Datos de Sivakumar, 1993) .

261


c)

1,9

1,95

2

2,05

2,1

2,15

2,2

2,25

50 100 150 200 250


Volu

men

esp

ecífi

co, v

17C

9C26C

b)

1,9

1,95

2

2,05

2,1

2,15

2,2

2,25

0 5 10 15 20 25 30 35

Deformación axial, ε1 [%]

Volu

men

esp

ecífi

co, v 17C

9C

26C

Speswhite kao lin

a)

0

50

100

150

200

250

300

350

0 5 10 15 20 25 30 35

Deformación axial, ε1 [%]

Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa

]17C

9C

26C

F igura 6.42 Comparac ión ent re s imulac iones del modelo propuesto y resu l tados de

ensayos t r iax ia les de compres ión drenada a succ ión constante (Datos de Sivakumar, 1993) . Condic iones in ic ia les: 26C: v0 =2,079 s0=0 pn e t=75kPa; 9C: v0 =2,18

s0=200kPa pn e t=100kP; 17C: v0=2,188 s0=300kPa pn e t=100kP

262


Speswhite kaolin

a)

0

50

100

150

200

250

300

0 2 4 6 8 10 12

Deformación Axial, ε1 [%]

Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa

]

3A

4A

2A

5A

b)

0

50

100

150

200

250

300

0 2 4 6 8 10 12

Deformación Axial, ε1 [%]

Var

. pre

sión

inst

ertic

ial [

kPa]

3A

4A

2A

5A

c)

0

50

100

150

200

250

300

0 50 100 150 200 250 300 350


Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa

]

3A

4A

2A

5A

F igura 6.43 Comparac ión ent re s imulac iones del modelo propuesto y resu l tados de ensayos t r iax ia les de compres ión a vo lumen constantes a una succ ión de 200kPa y

d i ferentes tens iones pr inc ipa les in ic ia les (Datos de Sivakumar,1993) .

263


Speswhite kaolin

a)

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Deformación Axial, ε 1 [%]

Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa

]

c)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 5 10 15 20 25 30

Deformacón axial, ε1 [%]

Var.

pres

ión

inst

erst

icia

l [kP

a]

b)

0

50

100

150

200

250

2 2,05 2,1 2,15 2,2

Volumen especif ico, v

Tens

ión

desv

iado

ra, q

[kPa

]

F igura 6.44 Comparac ión ent re s imulac iones del modelo propuesto y resu l tados de

ensayos t r iax ia les de compres ión a tens ión neta y succ ión constante “Speswhi te Kaol in” (s = 200kPa)( Datos de Sivakumar, 1993) .

264


6.8 Conclusiones

El modelo constitutivo propuesto en el Capítulo 3 ha sido ampliado para predecir el

comportamiento de los suelos parcialmente saturados. Esta generalización de la

ecuación constitutiva, dependiente del parámetro de estado, a las condiciones de

saturación parcial permite la modelización hidro-mecánica de los suelos granulares

bajo diferentes trayectorias de tensiones con un único juego de constantes.

Las expresiones propuestas están contrastadas con los datos experimentales

presentados por varios autores y por una serie de simulaciones de las principales

trayectorias de tensiones seguidas por los suelos parcialmente saturados. El modelo

es capaz de reproducir deformaciones volumétricas de expansión y colapso en

trayectorias de humedecimiento, deformaciones plásticas en trayectorias de secado, la

variación reversible e irreversible del grado de saturación en ciclos de carga y

descarga isótropa y la variación del mismo en ciclos de humedecimiento y secado. El

modelo tiene en cuenta la influencia de la histéresis hidráulica sobre los procesos de

carga isótropa y desviadora.

El modelo constitutivo unificado para condiciones saturadas y no saturadas se ha

calibrado con los datos experimentales de la arena Kurnell presentados por Russell &

Khalili (2006). Se ha demostrado la capacidad del modelo de simular diferentes

trayectorias de tensiones bajo un amplio rango de succiones y diferentes presiones de

confinamiento y densidades. Igualmente se han presentando simulaciones sobre los

datos experimentales de Sivakumar (1993), demostrando la capacidad del modelo

para predecir el comportamiento de los suelos finos no expansivos.

Los resultados demuestran la capacidad del modelo acoplado para predecir, de una

forma unificada, las principales características de los suelos saturados y parcialmente

saturados sujetos a carga monótona.

265


266

Capítulo 7

Conclusiones y futuras investigaciones

7.1 Aspectos generales

Esta tesis propone una generalización de la ecuación constitutiva presentada por

Pastor, Zienkiewicz & Chan (1990) para reproducir el comportamiento tenso-

deformacional de los suelos granulares en condiciones saturadas y no saturadas para

diferentes estados iniciales y trayectorias de tensiones con un único juego de

constantes intrínsecas para cada material.

Los trabajos presentados pueden dividirse en dos áreas: la modificación de la

ecuación constitutiva de Plasticidad Generalizada para suelos saturados basado en el

concepto de parámetros de estado y la ampliación del modelo propuesto a las

condiciones de saturación parcial.

7.2 Modelo constitutivo propuesto

El modelo constitutivo propuesto se basa en la incorporación de los conceptos de

Estado Crítico dentro del marco de la Teoría de Plasticidad Generalizada. El Estado

Crítico actúa como un estado de referencia de los diferentes estados iniciales del suelo

a medida que aumenta la deformación plástica desviadora.


Los modelos constitutivos basados en la Teoría de la Plasticidad Generalizada

cuentan con una formulación versátil y jerárquica que permiten caracterizar el

comportamiento de las arenas desde una perspectiva unificada con la incorporación

de los conceptos de parámetros de estados. Se ha propuesto la utilización de dos

parámetros de estado, ψs y ψq, para tener en cuenta la dependencia del

comportamiento de los suelos granulares con la densidad y con la presión

confinamiento.

La modificaciones propuestas en la formulación del modelo constitutivo pueden

resumirse:

• La dependencia de la dilatancia con las características internas del material

durante el proceso deformacional mostrada por varios autores y confirmada

con los ensayos realizados sobre la arena de miga ha sido integrada en una

ecuación exponencial como función del parámetro de estado ψs, según lo

expresado por Li & Dafalias (2000) (ecuación (3.42)). Esta expresión ha

permitido tener en cuenta el comportamiento contractivo de las arenas

sueltas con valores positivos de la dilatancia como también, el

comportamiento contractivo – dilatante de las arenas densas variando de

valores positivos iniciales a valores negativos hasta alcanzar el Estado

Crítico con d = 0. En el caso de las arenas densas, la ecuación de la

dilatancia propuesta alcanza un primer valor nulo en el Estado de

Transformación de Fase cuando se produce el cambio de comportamiento

contractivo a dilatante o, lo que es lo mismo, cuando se produce la máxima

compresión del material. La función lineal de la relación de tensiones y la

dilatancia (η - d) expresada por la ecuación original (3.20) ha sido

reemplazada por una familia de curvas que dependen del índice de poros y

de la tensión efectiva principal a través de la ecuación (3.42). La

modificación propuesta de la ecuación lineal original de dilatancia requiere

una constante adicional del modelo.

• Para tener en cuenta el aumento de la relación de tensiones máxima con la

disminución del índice de poros y la presión de confinamiento, así como la

influencia de la densidad y del estado tensional, la componente del modulo

plástico volumétrico (Hv) ha sido modificada proponiendo una función

exponencial del parámetro de estado ψs (ecuación (3.54)).

268

Capítulo 7 Conclusiones y futuras investigaciones

269

Esta función es decreciente a medida que el parámetro de estado decrece

y ha sido ajustada con los datos experimentales sobre la arena de miga,

requiriendo la calibración de dos constantes adicionales a partir de ensayos

triaxiales drenados. La expresión del módulo plástico Hv+Hs mantiene las

características del modelo original, donde el módulo plástico toma valores

negativos cuando se produce el reblandecimiento post-pico en arenas

densas, mientras que el módulo plástico es siempre positivo y decreciente

hasta cero en el caso de liquefacción estática de arenas sueltas.

• Se ha propuesto una nueva función que incorpora la dependencia lineal del

flujo plástico no asociado con la densidad y el nivel tensional a través del

parámetro de estado ψq (ecuación (3.45)). De esta forma la constante Mf del

modelo original es ahora una función variable que permite reproducir

adecuadamente su dependencia con el índice de poros y la presión de

confinamiento en las diferentes trayectorias de tensiones. En arenas con

densidades muy bajas la función Mf alcanza su valor mínimo y en arenas

con densidades altas tiende a la relación de tensiones crítica Mg. Para

determinar el rango de variación del parámetro de estado se adoptan los

valores experimentales del índice de poros mínimo y máximo, como se

indicó en la Sección 5.2.5.

• El comportamiento a compresión de los suelos granulares y su variación con

la densidad ha sido aproximado a través de una función exponencial de ψq

modificando la constante H0 del modelo original (ecuación (3.55)). Esta

función incorpora el concepto de infinitas líneas de compresión isótropa

expresado por Jefferies & Been (2000), sin embargo no tiene en cuenta el

efecto aparente de la rotura de granos para presiones de confinamiento

elevadas expresado por otros autores. La expresión propuesta está en la

línea de lo expresado por Tonni et al. (2006) y Ling & Yang (2006) que

incorporan expresiones alternativas de H0.

Los ensayos realizados sobre la arena de miga fueron utilizados para determinar un

procedimiento de calibración del modelo propuesto. Este procedimiento sistemático

está explicado en el Capítulo 5 y se requieren seis pasos:


• Se realiza la calibración de la línea de estado crítico en condiciones

saturadas en los planos q - p´ y ( ae p p )ζ′− a partir de ensayos triaxiales

drenados y no drenados.

• Las constantes asociadas a la ecuación de la dilatancia se ajustan

identificando los puntos de transformación de fase de cada ensayo y

ajustando los datos experimentales durante el proceso deformacional

asumiendo que las deformaciones elásticas son pequeñas y despreciables.

• La dependencia del vector dirección de carga y descarga con las

condiciones iniciales requiere de la calibración de dos constantes a partir de

ensayos triaxiales que cubran todo el rango de presiones de confinamiento y

densidades estudiado.

• Las constantes elásticas se pueden calibrar en ensayos de compresión

isótropa o ajustando la pendiente inicial en el plano vp ε′ − en ensayos

drenados de compresión triaxial.

• Las constantes del módulo plástico isótropo se ajustan a partir de los

ensayos de compresión isótropa una vez determinados las constantes

elásticas.

• La calibración de las constantes del módulo plástico volumétrico y desviador

requieren de dos pasos. Primero se determinan los valores experimentales

de la relación de tensiones y el parámetro de estado ψs en el pico de

tensiones para calcular el parámetro βv a partir de la ecuación (5.9) y, luego

a partir de un ajuste por mínimos cuadrados se estima el valor de la

constante Hv0.

Siguiendo este procedimiento el modelo ha sido calibrado con diversas arenas,

demostrando la capacidad de simular el comportamiento tenso-deformacional bajo

diferentes condiciones de carga, presión de confinamiento y densidad con un único

juego de trece parámetros intrínsecos para cada arena.

270


271

Se han presentado 93 simulaciones para 4 arenas distintas en condiciones saturadas:

arena Toyoura, arena Banding, arena Kurnell y la arena de miga cubriendo un rango

de presiones de confinamiento de 50kPa a 3000kPa y un rango de densidades de 10%

a 95% en trayectorias de tensiones isótropas, no drenadas, drenadas con dq/dp´= 3 y

drenadas con dp´ = 0.

Se ha realizado un estudio paramétrico del efecto del índice de poros y de la presión

confinamiento que permite asegurar que el modelo reproduce las principales

características del comportamiento de los suelos granulares saturados, tanto durante

el proceso deformacional como en estado residual para un rango importante de

presiones de confinamiento e índice de poros con un único juego de parámetros.

7.3 Extensión del modelo propuesto a condiciones parcialmente saturadas

La extensión del modelo constitutivo propuesto a diversas condiciones de saturación

desarrollada en el presente trabajo se fundamenta en los conceptos expresados por

Tamagnini & Pastor (2004), donde las deformaciones plásticas se descomponen en

las deformaciones debido a los cambios de tensión total y las debidas a los cambios

de succión. Igualmente se adoptó el concepto de tensión efectiva con un enfoque

unitensorial donde se relacionan los cambios de la tensión total, la presión de poros y

la presión de aire con una sola variable de tensión. Esto permite aplicar los principios

de la mecánica de medios continuos a los medios multi-fase donde el material en

estado saturado es una condición particular.

El modelo constitutivo propuesto con el parámetro de estado se ha ampliado a las

condiciones de saturación parcial permitiendo la modelización hidro-mecánica de los

suelos granulares.

Los principales aspectos que han sido desarrollados pueden resumirse de la siguiente

forma:


• Admitiendo la unicidad de la Línea de Estado Crítico en condiciones

saturadas, se analizaron diferentes datos experimentales en Estado Crítico

para diferentes succiones en el plano q – p”; los resultados observados

permitieron proponer una expresión del parámetro χ como función del grado

de saturación actual y del grado de saturación residual del suelo, según la

expresión (6.24). Esta expresión confirma que la aplicación de la tensión

efectiva con el enfoque de Bishop es adecuada para el análisis de los

estados últimos o críticos de diferentes suelos y permite afirmar que MCS es

válida tanto para las condiciones saturadas, como también para las

condiciones parcialmente saturadas.

• El efecto del incremento de las fuerzas intergranulares debido a la succión

ha sido tenido en cuenta a partir del parámetro de cementación propuesto

por Gallipoli et al. (2003a) (ecuación (6.3)). Este ha sido integrado en la

ecuación constitutiva de Plasticidad Generalizada para unificar los

parámetro de estado propuestos anteriormente y cuantificar el efecto del

endurecimiento debido a la succión.

• Se ha propuesto la normalización de las Líneas de Estado Crítico para

diferentes succiones en el plano e – (p”/pa)^ζ a partir de una función del

parámetro de cementación ξ (ecuación (6.29)). La expresión propuesta

relaciona las tensiones efectivas en Estado Crítico en condiciones saturadas

y no saturadas para un índice de poros dado por ( unsat satCS CSp p′′ ′′ )^ζ . Esta

hipótesis fue ratificada en la presente tesis con los datos experimentales de

varios autores y diferentes materiales, tanto en el plano e – (p”/pa)^ζ como

en el plano e – lnp”. La relación entre la ecuación (6.29) y la Línea de Estado

Crítico saturada propuesta en el Capítulo 3 permite unificar el concepto de

parámetro de estado para suelos saturados y parcialmente saturados,

elemento fundamental para la unificación de las constantes de la ecuación

constitutiva para diferentes succiones y grados de saturación.

272


273

• En la formulación de la curva característica fue incorporada la succión

normalizada con el índice de poros según la ecuación (6.35). Esto permite

tener en cuenta el concepto expresado por Vaunat et al. (2000) y Karube &

Kawai (2000), que indican que la variación de la deformación volumétrica

con el estado tensional influye en la determinación del grado de saturación.

El concepto de succión normalizada se funda en la hipótesis de una única

expresión entre y Sr *s , lo cual fue corroborado en el presente trabajo

utilizando la curva característica propuesta por Fredlund & Xing (1994)

(ecuación (6.36)) y reinterpretando los datos experimentales presentados

por Toll (1990) y Sivakumar (1993). Esta ecuación, acoplada con la

ecuación constitutiva elasto-plástica de Plasticidad Generalizada, permite

predecir la variación del grado de saturación durante variaciones reversibles

e irreversibles del índice de poros durante carga y descarga isótropa y

trayectorias de humedecimiento a presión neta constante. Igualmente

predice la variación del grado de saturación en trayectorias de tensiones de

corte, como se demostró en la Sección 6.6.3, en concordancia con los datos

experimentales de Rampino et al. (2000).

• Para tener en cuenta la histéresis hidráulica de la curva característica, se

proponen dos curvas límites función de la succión normalizada

denominadas rama principal de humedecimiento y secado respectivamente

(ecuación (6.36)). Basado en los trabajos de Li (2005), se adopta una regla

de interpolación no lineal entre las ramas principales para obtener las ramas

secundarias. Al ser función de *s las ramas primarias y secundarias son

dependientes del índice de poros. La relación propuesta, acoplada con la

ecuación constitutiva, es capaz de predecir los ciclos de humedecimiento y

secado y la variación del grado de saturación con la succión y el índice de

poros. Igualmente el modelo predice la histéresis en el comportamiento al

corte en muestras con igual succión pero distinta historia hidráulica. Estos

conceptos requieren mayor cantidad de datos experimentales sobre suelos

granulares para su confirmación.

• Se ha propuesto una nueva expresión de la función de endurecimiento

debido a la succión dependiente del parámetro de cementación (ecuación

(6.60)). La expresión modifica el factor HDM del modelo original de Pastor &

Tamagnini (2004).


El efecto de esta función en el modelo es similar al efecto de la superficie

LC (“loading – collapse”) propuesta por Alonso et al (1990) y ratificada por

datos experimentales.

Para verificar la capacidad del modelo constitutivo se han presentado una serie de

simulaciones cualitativas (Sección 6.6.3) de las trayectorias de tensiones más

significativas en los suelos parcialmente saturados. El modelo es capaz de reproducir

deformaciones volumétricas de expansión y colapso en trayectorias de

humedecimiento, deformaciones plásticas en trayectorias de secado, la variación

reversible e irreversible del grado de saturación en ciclos de carga y descarga isótropa

y la variación del mismo en ciclos de humedecimiento y secado. El modelo tiene en

cuenta la influencia de la histéresis hidráulica sobre los procesos de carga isótropa y

desviadora, como indicó Han et al. (1995). Se ha realizado una simulación del efecto

de la disminución de la succión en una arena suelta hasta alcanzar la liquefacción

estática.

El modelo constitutivo propuesto para condiciones saturadas y no saturadas ha sido

calibrado con los datos experimentales de la arena Kurnell presentados por Russell &

Khalili (2006). Se ha demostrado que el modelo es capaz de simular diferentes

trayectorias de tensiones bajo un amplio rango de succiones y diferentes presiones de

confinamiento y densidades. Se han presentando también simulaciones sobre los

datos experimentales de Sivakumar (1993), demostrando la capacidad del modelo

para predecir el comportamiento de los suelos finos no expansivos.

7.4 Futuras investigaciones

La unificación de la ecuación constitutiva de Plasticidad Generalizada para suelos

granulares saturados y parcialmente saturados para un rango importante de

densidades y presiones de confinamiento con único juego de parámetros para cada

material presentada en la presente tesis, representa una mejora significativa en la

modelización de este tipo de suelos. Sin embargo, hay varios aspectos de interés para

futuras investigaciones:

274


275

• A nivel experimental se requiere una mayor cantidad de ensayos sobre

suelos granulares parcialmente saturados en diferentes trayectorias de

tensiones. Sería interesante estudiar los efectos de la desaturación en

ensayos a volumen constante a diferentes succiones sobre arenas sueltas

que presentan el fenómeno de liquefacción estática en condiciones

saturadas. Esto podría contribuir al estudio de los efectos de las lluvias en

los deslizamientos rápidos de laderas. En la Sección 6.6.3.4 se presenta la

simulación cualitativa de este fenómeno con el modelo unificado. Otro

aspecto interesante que requiere una mayor atención es el efecto de la

histéresis hidráulica en el comportamiento de los suelos en trayectorias de

tensiones que incluyan la componente desviadora.

• El comportamiento dinámico de los suelos granulares parcialmente

saturados y su modelización son aspectos que aún no se han abordado de

forma concluyente. La licuefacción de los suelos inducida por terremotos ha

sido estudiada principalmente en suelos saturados y podría ser interesante

analizar la influencia del grado de saturación y de la succión en la ocurrencia

de estos fenómenos.

• Desde el punto de vista de la modelización constitutiva, la extensión del

modelo unificado del plano triaxial a un plano multiaxial con la incorporación

del tercer invariante de tensión según propone Pastor et al. (1990) es un

elemento importante para la generalización de la ecuación constitutiva que

permitiría simular trayectorias de tensiones de extensión, ensayos de corte

simple o problemas en deformación plana.

• La formulación de la Teoría de Plasticidad Generalizada tiene un vasta

aplicación en problema de ingeniaría con carga dinámica, por lo que la

extensión de la ecuación constitutiva propuesta a ciclos de carga y descarga

drenada y no drenada es un elemento esencial para simular fenómenos

como la movilidad cíclica, la liquefacción dinámica o la densificación tanto en

condiciones saturadas como parcialmente saturadas.


• Otro aspecto interesante a estudiar es la predicción de suelos naturales con

anisotropía inherente. Para reproducción de este fenómeno se podría

incorporar al modelo actual el concepto de rotación de la superficie

propuesto por Dafalias (1986).

• El acoplamiento con el efecto de la temperatura al modelo hidro – mecánico

propuesto puede ser de gran interés para el estudio de problemas

geoambientales. Los modelos Termo – Hidro - Mecánicos (THM) permiten

estudiar problemas como la remediación de zonas contaminadas, el

almacenamiento de residuos peligrosos o el movimiento de contaminantes.

• El procedimiento de calibración y determinación de las constantes del

modelo puede ser mejorado utilizando métodos de optimización avanzados

tal y como se describe en Ledesma et al. (1996), Feng et al. (2004) o Desai

& Chen (2006).

• La implementación de la ecuación constitutiva dependiente del parámetro de

estado en un programa de elementos finitos nos permitiría mejorar la

capacidad del mismo en el análisis hidro – mecánico de problemas de flujo y

deformación en suelos no saturados.

276

Capítulo 8

Referencias Bibliográficas

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Cyclic Strength of Sands”, Journal of Geotechnical Engineering, 114(10),

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Anexo A

Modelos constitutivos

En el presente anexo se exponen de forma detallada los modelos constitutivos para

suelos granulares saturados mencionados en el Capítulo 2.

A.1 Modelo Constitutivo de Bardet (1986)

Bardet (1986) introduce un modelo simple que describe el comportamiento no lineal e

irreversible de las arenas basado en la Teoría de Superficie Límite. El comportamiento

elástico es considerado no lineal con separación de las variables volumétrica y

desviadora; ambas dependiente de p′ .

La forma de la superficie límite está basada en la existencia de la Línea de Estado

Crítico en las arenas y de la Línea Característica (Luong, 1978). Esta línea, como

indicamos anteriormente, es similar a la Línea de Transformación de Fase (Ishihara et

al., 1975) y sobre la misma la variación volumétrica es nula. El modelo considera a

ambas líneas coincidentes en el plano q p′− por lo tanto la deformación plástica

volumétrica debe ser nula en Línea de Estado Crítico (LEC). Por ello, se adopta una

superficie límite tipo elipse (Figura A.1) que asegura una normal vertical en LEC:

222 0

1q p AfM ρ

⎛ ⎞−⎛ ⎞= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠A = (A.1)

Donde M es la pendiente de la Línea de Estado Crítico en el espacio de tensiones.

A es la coordenada en el eje y define la posición de la superficie límite. p′


La misma se obtiene por la intersección de la LEC en el plano e p′− y la línea de

expansión con pendiente que pasa a través del estado κ ( , )e p′ y ρ es la relación de

forma de la elipse.

F igura A.1 Esquema de la super f ic ie l ími te y punto imagen en Bardet (1986)

El punto imagen se obtiene por una regla de interpolación radial en el espacio de

tensiones (Figura A.1), según:

p A q Aγ γ η= = (A.2)

Reemplazando la ecuación (A.2) en la ecuación (A.1) se obtiene el escalar γ .

El modelo original (Bartet, 1986) utiliza una regla de flujo asociada, es modificado por

Bardet (1988) incorporando una regla de flujo no asociada para la determinación de

las deformaciones plásticas. Asimismo cambia la superficie límite, incorporando la

superficie propuesta por Lade (1977). El punto imagen es determinado por una regla

de interpolación desviadora, que es la intersección de la superficie de rotura de Lade

con una línea recta que pasa por el estado tensional y su componente hidrostática.

Esta regla es similar a la utilizada en el modelo de Wang et al. (1990) que desarrollado

en A.2. El módulo plástico se obtiene por interpolación lineal y tiene la siguiente forma:

0

max

1 pb o

c

eH H hM Mηδ η

λ κ δ δ+

= + −− − (A.3)

donde:

bH es el módulo plástico en el punto imagen, δ es la distancia entre el punto imagen

y el punto tensional, cM es función del ángulo de fricción residual en compresión, pη

es función del ángulo de fricción movilizado máximo y es una constante del modelo. 0h

298

Anexo A Modelos constitutivos

Como se observa, el módulo plástico depende de p′ y η para simular el pico de

tensiones ( pη η= ) y el posterior reblandecimiento hasta alcanzar el Estado Crítico,

donde el módulo plástico es nulo.

Las constantes del modelo varían con la densidad de la muestra; son 9 constantes en

el modelo original y 10 en el modelo modificado.

A.2 Modelo Constitutivo de Wang et al. (1990)

Wang et al. (1990) formulan un modelo constitutivo para arenas dentro del marco de la

Teoría de Hipoplasticidad y Superficie Límite (Dafalias ,1986). Asimismo combinan el

concepto de superficie de descarga propuesto por Mróz & Zienkiewicz (1984).

La característica hipoelástica del modelo divide los incrementos de deformación

elástica en una componente desviadora y en una componente volumétrica.

El carácter hipoplástico del modelo introduce la dependencia de la dirección de los

incrementos de deformación plástica con la dirección de los incrementos de tensión.

La respuesta hipoplástica está formada por dos mecanismos, uno asociado a los

incrementos de la tensión desviadora y otro a los incrementos de la tensión

volumétrica.

Ambos mecanismos producen una respuesta volumétrica y desviadora, por lo que el

modelo define: el módulo plástico tangencial ( ) y volumétrico ( ) debido a los

incrementos de tensión desviadora ( ) y el módulo plástico tangencial (

rH rK

dr pH ) y

volumétrico ( pK ) debido a los incrementos de tensión volumétrica ( ) . La expresión

de la deformación plástica se escribe:

dp

( ) ( )1 1 1 1:3 3

pD N

r r p p

d pd h pH K H K

⎛ ⎞⎛ ⎞= + ⋅ + + ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ε n I r n r I mp dp (A.4)

donde Dn es un vector unitario que define la dirección de los incrementos de

deformación plástica y es un vector unitario en el espacio de tensiones que indica Nn

299


la dirección de carga. La expresión ( )mh p p dp− indica que el mecanismo debido a

los incrementos de tensión volumétrica actúa solo cuando mp p= ; que es la máxima

carga volumétrica en la historia de tensiones.

Se define una superficie de rotura del tipo cono donde y deben ser nulos.

Analíticamente está expresada por:

rH rK

( ) ( )fF R R g θ= − ⋅σ (A.5)

Al igual que lo explicado anteriormente, se introduce una superficie que representa el

máximo valor alcanzado por el material de la siguiente manera:

( ) ( )BS m BSf R R g θ= − ⋅σ (A.6)

Una vez que la trayectoria de tensiones del material alcanza el valor máximo

representado por dicha superficie, la misma actúa como superficie de carga.

En la Figura A.2 la superficie de carga proyectada en el plano desviador está

representada con líneas punteadas. La misma está definida, como lo indicó Dafalias

(1986), por un índice de carga ( L )

F igura A.2 Super f ic ies de l modelo const i tu t ivo de Wang et a l . (1990)

300


Estas dos superficies están asociadas al mecanismo de incrementos de tensiones

desviadoras ( d ). r

También se define una superficie de fluencia asociada al mecanismo de incrementos

volumétricos ( ) que está representada por una recta vertical en el plano dp q p′−

similar a la propuesta por Vermeer (1978):

( )c mf p p p= − (A.7)

donde mp es la máxima tensión que soportó el material en su historia tensional.

Los módulos elásticos adoptan la expresión propuesta por Richard et al. (1970) :

0

00

2,9731atm

atm

e pG p Ge p−

= ⋅ ⋅+ (A.8)

01

atmatm

e pK ppκ

+= ⋅ (A.9)

Los módulos plásticos asociados a la tensión desviadora se definen como:

( ) ( )exp 1m

f BSr r

m

RH G h

Rρθ α ξρ

⎡ ⎤⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ (A.10)

donde

ξ es la deformación acumulada y a través del signo de α reproduce el

reblandecimiento ( 0α < ) o endurecimiento ( 0α > )

rh es una constante del modelo.

01

r atmm at

e

m

pK pw pκ⋅

+= (A.11)

( ) ( )1

exp

bap

matm f f

R Rp Rwk p R Rθ α ξ

⎛ ⎞ ⎛ −⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ R

⎞⎟⎟− ⎠

(A.12)

donde:

301


a

atm

pp

⎛ ⎞⎜⎝ ⎠

⎟ toma en cuenta el efecto de la sobreconsolidación.

p

f

R RR R

⎛ ⎞−⎜⎜ −⎝ ⎠

⎟⎟ gobierna los cambios de signo de la dilatancia y permite predecir la tensión

desviadora máxima y la tensión de rotura.

rk es una constante del modelo.

Este modelo no reproduce bien la tensión para grandes deformaciones, debido a que

no incluye los conceptos de Línea de Estado Crítico en el plano e p′− .

La dilatancia en el modelo está dada por:

3 32 2

bapp mv r r

ps r r m f m

m R Rd RH hG pdd K K k p R Rεε

⎛ ⎞ −⎛ ⎞ ⎛= = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠

⎞⎟⎠

(A.13)

El modelo requiere 17 parámetros para reproducir con bastante precisión el

comportamiento de las arenas bajo carga monótona y cíclica.

Los modelos constitutivos desarrollados hasta aquí reproducen historias de cargas

más complejas que los modelos iniciales pero tienen el problema de que requieren

más de un juego de constantes para simular el comportamiento de una sola arena en

diferentes condiciones iniciales. A continuación se desarrollan los modelos

constitutivos unificados.

A.3 Modelo Constitutivo “Nor-sand” (1993)

Jefferies (1993) presenta un modelo basado en la Teoría de Estado Crítico para

arenas incorporando el parámetro de estado ψ . Es uno de los primeros modelos en

tratar a una misma arena con un único juego de constantes. El mismo fue desarrollado

para predecir el comportamiento drenado de las arenas bajo carga monótona.

Es un modelo plástico perfecto con regla de flujo asociada, por lo que no puede

predecir la carga no drenada en arenas muy sueltas.

302


A.3.1 Superficie de Fluencia

Cuenta con una superficie de fluencia única que se deduce de la regla de flujo

propuesta por Nova (1982):

( )1

1 1

1 ln 0

N N

CS

i

iCS

M pf N siN p

pf M si Np

η

η

−⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥ 0N= − + − ⋅ ≠⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞

= − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

=

(A.14)

La superficie de fluencia de “Nor-Sand” se encuentra entre las superficies de Cam

Clay y Cam Clay Modificada.

A.3.2 Regla de Flujo

La regla de flujo no incorpora el índice de poros en la formulación, éste hecho es una

limitación del modelo para predecir los distintos ensayos a que puede estar sometido

la arena. La expresión adoptada es:

( ) (11

pvss

ddd Nε )M ηε

= = ⋅ −− (A.15)

A.3.3 Regla de Endurecimiento

La regla de endurecimiento tiene un límite máximo asociado al punto imagen en

función de datos experimentales.

min 3,5 id ψ= ⋅ (A.16)

El punto imagen está asociado a la superficie de fluencia que va variando según se

realiza el proceso de carga (Figura A.3) y llega a la rotura cuando el punto imagen se

encuentra con la Línea de Estado Crítico. El punto imagen esta ligado al concepto de

parámetro de estado y es función del índice de poros crítico según:

ln ii c

pp

ψ ψ λ⎛ ⎞

= + ⋅ ⎜⎝

⎟⎠

(A.17)

303


F igura A.3 Esquema del modelo const i tut ivo Nor-Sand. (Jef fer ies , 1993)

La formulación de la regla de endurecimiento está dada por:

( ,maxi

is

dp h p pdε

= ⋅ − )i (A.18)

donde es una constante del modelo en la primera formulación. Jefferies & Shuttle

(2002) presentan una modificación de la regla de endurecimiento, teniendo en cuenta

la variación de la pendiente de la línea de transformación de fase propuesta por

Manzari y Dafalias (1997):

h

( )1 2 exp 1PTSi

CS CS

Mh H HM

ηψ⎛ ⎞

= + ⋅ ⋅ ⋅ −⎜⎝ ⎠M ⎟ (A.19)

donde

PTS CS iM M ψ= + (A.20) A pesar de que el modelo se funda en el concepto de normalidad introducido en los

postulados de estabilidad de Drucker, que implica que el material se comporta como

perfectamente plástico, el reblandecimiento pos-pico puede ser simulado con el

modelo Nor-Sand, como se indica en la Figura A.4.

F igura A.4 Predicc ión de endurec imiento y reb landecimiento con deformaciones de

cor te. (Jef fer ies , 1993)

304


La forma simple de este modelo del tipo Cambridge hace que la predicción de

procesos carga – descarga – recarga no estén incluidos. Simula con cierta

aproximación el comportamiento de la Arena Brasted en condición triaxial, pero con

menos precisión en el caso ensayos de deformación plana, como muestran Jefferies &

Shuttle (2002).

La formulación multiaxial se puede encontrar en Jefferies & Shuttle (2002). En el Plano

triaxial, “Nor-Sand” requiere la calibración de 9 parámetros para predecir el

comportamiento drenado de una arena bajo carga monótona, los cuales son:

Tabla A.1 Parámetros de modelo const i tu t ivo “Nor-Sand” .

305

Elásticos Descripción

0G Módulo de Rigidez al Cortante de referencia a 100atmp kPa=

g Exponente debido al nivel de tensiones

ν Relación de Poisson

Estado Crítico Descripción

CSM Relación de tensión crítica en compresión triaxial

0CSe Índice de poros a 1atmp kPa=

Pendiente de LEC en el plano loge p′− CSλ

Plásticos Descripción

1H Constantes del módulo plástico de endurecimiento - reblandecimiento.

2H

χ Relaciona la dilatancia mínima con ψ


A.4 Modelo Constitutivo de Bahda, Pastor y Saitta (1997)

Bahda et al. (1997) introducen un modelo dentro de la teoría de elastoplasticidad con

doble superficie de carga, adaptado a la Teoría de Plasticidad Generalizada e

incorpora el concepto de parámetros de estado para estudiar el comportamiento cíclico

de las arenas. Asimismo utiliza los conceptos de la Teoría de Superficie Límite para

determinar las deformaciones plásticas dentro de la superficie de fluencia a través de

una regla de extrapolación.

A.4.1 Comportamiento Plástico

Para obtener la deformación plástica proponen dos mecanismos dependientes de la

posición del punto de tensión. Cada uno asociado a una superficie de fluencia a través

de los vectores normales a dichas superficies, según:

(1 11

1 :p Tg fd

h=ε n n σ)d (A.21)

(2 22

1 :p Tg fd

h=ε n n σ)d (A.22)

donde: y son los módulos plásticos asociados a cada mecanismo. 1h 2h

gn es el vector unitario normal a la superficie de potencial plástico. El modelo supone

una única superficie de potencial plástico pero flujo no asociado.

1fn y 1fn son los vectores unitarios normales a cada superficie de fluencia.

Esto hace que la deformación plástica dependa de cada mecanismo y de la regla de

endurecimiento de cada superficie por lo que el modelo define 4 zonas para

determinar las deformaciones plásticas.


Para el mecanismo 1 la superficie de fluencia es función del parámetro de estado, dI

definido en la sección 1 y está dada por los vectores unitarios según:

306


( )( ) ( )

( ) ( )

2

1 2 22

1 2 22

1

1

1

dpf

d d f

d fqf

d d f

n n In

n n I I

In

n n I I

η

η

η

− +=

⎡ ⎤− + +⎣ ⎦

=⎡ ⎤− + +⎣ ⎦

(A.23)

donde es una función de la densidad. n fη es la relación de tensiones en el estado

crítico

El mecanismo 2 define una superficie desviadora similar a la propuesta por Vermeer

(1978) dependiente a la vez del parámetro de estado, dI y definida por los siguientes

vectores unitarios:

( )

( )

2 22

2 22

1

1

1

p df

d f

fqf

d f

InI

nI

η

η

η

−=

+

=+

(A.24)

donde

0 0d

f

I ηη

= (A.25)

donde 0η es la relación de tensiones máxima en descarga. 0dI es el valor de dI al

comienzo de la descarga.


La expresión de dilatancia propuesta es función de η y del índice de poros inicial y

tiene la forma:

( )2 2cd e η η= − (A.26)

donde cη es la relación de tensiones en el estado de transformación de fase.

El vector unitario de la superficie de potencial plástico es función de la dilatancia

(Pastor et al., 1990).

307


A.4.4 Módulo Plástico

El módulo plástico introducido en la formulación del modelo no se determina a partir de

la condición de consistencia, sino a través de funciones empíricas asociadas con el

comportamiento del material, de forma similar a lo realizado en los modelo de

plasticidad generalizada.

El módulo plástico de cada mecanismo es función del parámetro de estado según:

1 1 21 0 0 2 0 1

2 1 22 0 0 2 0 1

f f

f f

h h h h

h h h h

= +

= +

n n

n n (A.27)

donde

( )

( ) ( )

1 10 0

2 2 00 0 d v

h H p I t

h H D I H Hd

′= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ + (A.28)

( ) ( )

0

20 01

v v

cd d d

f

d d

H I

H H I

D I I

ηη

2

=

⎛ ⎞= −⎜⎜

⎝ ⎠

= −

⎟⎟ (A.29)

( )I t es una función de extrapolación.

En Bahda (1997) se muestran diferentes simulaciones donde se observa que el

modelo predice el comportamiento cíclico de las arenas con bastante precisión

(Figura A.5).

F igura A.5 Predicc ión y resu l tados exper imenta les de un ensayo de c íc l icos (Bahda,

1997)

308


En el caso de carga monótona sobre arenas densas en el plano tensión desviadora –

deformación axial, se pierde precisión en la simulación. Esto se debe principalmente a

que el modelo no predice el estado crítico (Figura A.6). El modelo requiere de 11

parámetros para su calibración.

F igura A.6 Resul tados de la s imulac ión de la Arena Toyoura. (Bahda, 1997)

Tabla A.2 Parámetros de ca l ibrac ión de l modelo const i tut ivo de Bahda et a l . (1997) .

Elásticos Descripción Pendiente elástica en el plano e p′− κ

ν Coeficiente de Poisson

309


Pendiente de la LEC en el plano q p′− fη

Intersección de LEC para 0p = en el plano e p′− atme

Pendiente de LEC en el plano e p′− λ Pendiente de la línea de transformación de fase en la arena en estado denso en el plano q p′− cη

Plásticos Descripción 01H Son módulos plásticos auxiliares. Están asociados a la variación

de deformación volumétrica plástica. 02H

0dH Controla el dominio dilatante

0n Cambia la forma de la superficie de carga

γ Asociado a la superficie límite para controlar la descarga


A.5 Modelo Constitutivo de Wan y Guo (1998)

Wan & Guo (1998) presentaron un modelo unificado en el marco de la plasticidad

clásica, incorporando la dependencia de el índice de poros y la presión de

confinamiento en el comportamiento de los suelos granulares.

A.5.1 Superficie de Rotura

El modelo adopta un criterio de rotura tipo Mohr - Coulomb según la ecuación (A.30)

para el plano triaxial y para el plano multiaxial adopta el criterio de rotura de Matsuoka

– Nakai :

( ) ( )1 3 1 31 1 sin2 2

F σ σ σ σ= − − + φ (A.30)


El modelo requiere dos superficies de fluencia para representar el mecanismo de corte

y de compresión isótropa.

El mecanismo de corte es representado por una superficie de fluencia, que tiene la

misma forma que la superficie de rotura, pero dependiendo del ángulo de fricción

movilizado. Mientras que el mecanismo de compresión está dado por una superficie

vertical igual a la expresada por Vermeer (1978):

0 0cf p p= − = (A.31)

La misma depende de las deformaciones volumétricas plásticas, por lo cual su

variación está asociado a la componente de corte y de compresión. Esto hace que

ambas superficies estén acopladas.

En caso de necesitar modelar una trayectoria de tensiones isótropas, la superficie

vertical debe ser reemplazada por una superficie curva.

310



La regla de flujo se considera asociada en el proceso de compresión hidrostática y no

asociada para el mecanismo de corte. Entonces, la función de potencial plástico está

dada por dos funciones según:

( ) ( )0

1 3 1 3 sinc c

s m

g f p pg σ σ σ σ ψ

= = −

= − − − ⋅ (A.32)

donde

sinpv

m ps

ddεψε

= − (A.33)

mψ es el ángulo de dilatancia movilizado para un determinado nivel de tensión; con

este parámetro se determina la variación volumétrica. Por lo tanto, si el esfuerzo de

corte induce aumento de volumen, entonces corresponden a 0mψ > y si inducen

contracción, entonces corresponde a 0mψ < .

F igura A.7 Esquema del c r i ter io de ro tura, super f ic ie de f luenc ia y potenc ia l p lást ico

de l modelo de Wan & Guo (1998) .

Hasta aquí el modelo no presenta cambios con respecto a otros modelos basados en

la plasticidad clásica. La singularidad del modelo está dada en la expresión de la

dilatancia, la cual es modificada a partir de la relación propuesta por Rowe (1962).

Incorpora la dependencia de la densidad o el índice de poros durante el proceso

deformacional de la siguiente manera:

311


*

*

sin sinsin1 sin sin

mm

m

φ φψφ φ−

=− ⋅ (A.34)

donde

*sin sin CS

CS

ee

α

φ φ⎛ ⎞

= ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

(A.35)

Esta ecuación es consistente con la ecuación de Rowe (1962) cuando la relación de

vacío alcanza el estado crítico.

( CSe e )α es una medida de la desviación del índice de poros durante el ensayo,

teniendo como referencia para una determinada presión de confinamiento, el índice de

poros crítico.

Esta modificación tiene en cuenta la dependencia con el índice de poros inicial y está

representada en la Figura A.8. A través del parámetro α se pueden expresar los

cambios en la fábrica y las trayectorias de tensiones. Los autores muestran varias

formas de determinar el parámetro α y su influencia en Wan & Guo (1999).

F igura A.8 Esquema de re lac ión tens ión – d i la tanc ia . (Wan & Guo, 1998)

312


A.5.4 Ley de endurecimiento - reblandecimiento

La ley de endurecimiento y reblandecimiento para el mecanismo de corte está dada

por la siguiente función:

sin sinps

m Cps CS

d ea d e

βε

Sφ φε

−⎛ ⎞

= ⋅ ⋅⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ (A.36)

( )df e

donde y a β son constantes del modelo. Esta expresión representa una variación

hiperbólica del ángulo de fricción movilizado con la deformación plástica desviadora y

la deformación volumétrica a través de la relación ( )df e . Esta relación puede

representar tanto el endurecimiento como el reblandecimiento, dependiendo si el

índice de poros es mayor (estados sueltos) o menor (estados densos) que el crítico.

Los autores expresan la variación de la deformación plástica volumétrica debida a la

compresión hidrostática, es decir, el endurecimiento producido por el incremento de

las deformaciones irrecuperables volumétricas, como una función exponencial que

relaciona el índice de poros con la presión de confinamiento:

0 expm

l

pe eh

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= ⋅ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(A.37)

El modelo adopta una función exponencial para el índice de poros críticos en función

del nivel de tensión:

0 expCSn

CS CSCS

pe eh

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= ⋅ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(A.38)

Wan & Guo (1999) expresan que también se puede adoptar una función lineal en

escala semi logarítmica ( ) para rangos de presión de confinamiento bajas (50

a 1000kPa) como por ejemplo para la Arena Toyoura presentada por Ishihara (1993) y

Verdugo & Ishihara (1996), como muestra la

lne ′− p

Figura A.9.

313


0 expCSn

CS CSCS

pe eh

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= ⋅ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

00

lnCS CS CSpe ep

λ⎛ ⎞′

= − ⎜ ⎟′⎝ ⎠

F igura A.9 Línea de estado cr í t ico de la Arena Toyoura.

Para obtener en forma explícita la relación tensión - deformación incremental, se

realizan los pasos requeridos por la Teoría Clásica de Plasticidad (regla de flujo, ley de

endurecimiento – reblandecimiento, la condición de consistencia).

En la Figura A.10 se presenta la comparación entre la simulación y los datos

experimentales de ensayos triaxiales de compresión drenados bajo carga monótona,

con buena aproximación. Asimismo en Wan y Guo (1998) se presenta la simulación de

ensayos triaxiales de extensión.

Dado que se trata de un modelo basado en la Teórica Clásica de la Plasticidad, no se

pueden predecir las deformaciones plásticas bajo carga cíclica, ya que no tiene ningún

mecanismo para simular las deformaciones plásticas dentro de la superficie de

fluencia.

F igura A.10 Comparac ión ent re s imulac ión y ensayos t r iax ia les drenados para

d i ferentes pres iones a) arena densa y b) arena suel ta . (Wan y Guo, 1998)

314


El modelo requiere 11 parámetros.

Tabla A.3 Parámetros de l Modelo Const i tu t ivos de Wan y Guo (1998) .


0G Módulo de Rigidez al Cortante

ν Relación de Poisson


CSφ Ángulo de Fricción en Estado Crítico o Residual

Índice de poros a presión de confinamiento nula o índice de poros máximo 0CSe

CSh Parámetro del modelo

CSn Parámetro del modelo


a Tienen en cuenta la influencia de la densidad en la dilatancia, la contracción en el modo desviador y el endurecimiento y reblandecimiento

α

β

lh Describen el comportamiento en el modo de compresión hidrostático m

A.6 Modelo Constitutivo “Severn Sand” - Gajo & Wood (1999)

El modelo se encuentra dentro de los modelos de conos con vértice en el origen del

plano como se indica en la q p− Figura A.11. Los autores lo clasifican como un

modelo superficie límite con endurecimiento cinemático, donde la superficie límite está

dado por la superficie de resistencia máxima o rotura en el plano y por otra

superficie de fluencia que encierra los estados de tensiones elásticos. La superficie de

fluencia se mueve dentro de la superficie límite a través de la regla de endurecimiento

cinemático y una regla de traslación.

q p−

315


q

p

αmc

me

Mcv

Mev

β

σc

σ

F igura A.11 Esquema de las super f ic ies de ro tura y de f luenc ia . (Gajo & Wood, 1999)

Este modelo difiere del modelo plástico de superficie límite de Manzari & Dafalias

(1997) en que usa un estado de tensiones normalizado por el parámetro ψ introducido

por Been & Jefferies (1985) de la siguiente manera:

qqr

= (A.39)

donde 1r k ψ= − ⋅ (A.40) La ecuación (A.39) tiene en cuenta las variaciones de la superficie máxima de

resistencia y de la superficie de fluencia con la densidad y la presión de confinamiento,

haciendo que sean ahora superficies del tipo cono con un tamaño constante y lados

rectos (Figura A.11).

A.6.1 Superficie de Rotura

En el estado crítico, para deformaciones muy grandes, la superficie de máxima

resistencia coincide con la superficie de estado crítico. En el plano de trayectorias de

compresión, queda:

6 sin3 sin

CSC

CS

M r φφ

⎛ ⎞⋅= ⋅⎜ −⎝ ⎠

⎟ (A.41)

donde CM es la pendiente de los puntos de la resistencia máxima de compresión y CSφ

es el ángulo de fricción en estado crítico, también llamado ángulo de fricción residual.

316


La expresión de la superficie de rotura está dada por:

( ) CSF q M p= − ⋅σ (A.42)

donde la relación de tensiones de compresión crítica CSM es:

6 sin3 sin

CSCS

CS

M φφ

⋅=

− (A.43)

A.6.2 Superficie de fluencia

Para el tamaño de la superficie de fluencia se supone como una fracción de la

superficie de estado crítico expresado de la siguiente manera:

1r =

sin sinY R CSφ φ= ⋅ (A.44) donde Yφ es el ángulo de fricción de la superficie de fluencia cuando 0ψ = y R es un

parámetro del modelo. La pendiente de la superficie de fluencia en compresión con

respecto a su eje es:

6 sin3 sin

YC

Y

m φφ

⋅=

− (A.45)

Para otros valores de el tamaño de la superficie varía de la misma forma que lo

hace la superficie de resistencia máxima:

r

6 sin3 sin

CSC

CS

Rm rR

φφ

⋅ ⋅= ⋅

− ⋅ (A.46)

Por lo tanto en el espacio normalizado q p− la superficie de fluencia y de rotura

tienen un tamaño constante, dependiendo de Yφ y CSφ .

Entonces la expresión de la superficie de fluencia queda expresada por:

( , ) Cf t m s= − ⋅σ α (A.47) donde

p q

q p

t q ps q p

α α

α α

= ⋅ − ⋅

= ⋅ + ⋅ (A.48)

317


donde α define la posición del eje de la superficie de fluencia a través del vector

unitario de la siguiente manera:

{ }sin , sinT

q pα β α β= = =α (A.49) Igualmente permite tener en cuenta la anisotropía inicial de las muestras y en el caso

más simple se considera coincidente con el eje p′ .

Como en el caso de los modelos basados en la Teoría de la Plasticidad Generalizada,

la superficie de fluencia es definida a través del vector unitario , definido en el plano

normalizado

nq p− :

2 2

1 ,1 1

T

qp

ηη η

η

⎡ ⎤−= ⎢ ⎥

+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

=

n (A.50)


La expresión de la dilatancia propuesta es similar a la introducida por Manzari &

Dafalias (1997) donde la línea de transformación de fase varía con el parámetro de

estado de forma lineal según:

( )1CS dd A M k ψ η= ⋅ ⋅ + ⋅ −⎡ ⎤⎣ ⎦ (A.51)

donde A y son parámetros del modelo. Puesto que el modelo supone no

asociatividad, la superficie de potencial plástico no se define explícitamente, sino a

través de un vector unitario normal a la misma según:

dk

2 2

1 ,1 1

Td

d d

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

+ +⎣ ⎦m (A.52)

de la misma forma que lo realizon Pastor et al. (1985).

A.6.4 Regla de endurecimiento - reblandecimiento

Esta regla implica que la superficie de fluencia sólo se podrá mover en la dirección

cq q− a través de:

318


( )q cb n q q= ⋅ − (A.53)

cq es la tensión conjugada en la superficie de rotura en el plano triaxial, b define la

distancia a la que se reencuentra la superficie de fluencia de la superficie de rotura, y

asegura que ambas superficies no se crucen. Cuando el estado tensional se acerca a

la superficie de rotura y para que no se produzcan discontinuidades, se define una

relación de endurecimiento hiperbólico de la siguiente forma:

( ) 21TP P B ζ

ζ⋅∂

∂ ∂ =+

ε ε (A.54)

donde

1maxb

bζ = − (A.55)

( ) ( )max q CV EV c eb n M M m m= ⋅ + − − ⋅ p⎡ ⎤⎣ ⎦ (A.56)


Integrando la ecuación (A.54), podemos deducir el módulo plástico:

2

maxbH

B b=

⋅ (A.57)

Teniendo en cuenta los incrementos de las tensiones en el espacio normalizado a

través de las relaciones (A.39), queda la siguiente relación constitutiva elastoplástica:

*

*

e T ee

T edH

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅= − ⋅⎜ + ⋅ ⋅⎝ ⎠

D m n Dσ D εn D m

d⎟ (A.58)

donde es el vector unitario que indica la dirección del flujo plástico en el plano

normalizado y viene expresado por:

*m

1* 0 (1 ) /

0 0e kq e r− +⎡ ⎤

= + ⎢ ⎥⎣ ⎦

m m D (A.59)

eD es el tensor de rigidez en el plano normalizado y se expresa como:

319


( )23

1 10

e

G kq K vk k

K

λψ ψ

⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟−= − ⎝⎜

⎜ ⎟⎝ ⎠

D p ⎠⎟ (A.60)

La particularidad del modelo es la utilización de la normalización en función del

parámetro de estado que permite unificar la formulación para los diferentes estados

iniciales. Combina de forma simple los conceptos de estado crítico, parámetro de

estado, y el endurecimiento cinemático para predecir con cierta precisión el

comportamiento de la arena de Hostun en un amplio rango de densidades (15% al

100%) y presiones de confinamiento (50 a 600kPa). La mayor discrepancia en la

simulación se obtiene en los ensayos triaxiales monótonos de compresión no

drenados, donde sobrestima la tensión desviadora máxima para una presión de

confinamiento de 200kPa y un amplio rango de densidades según se muestra en la

Figura A.12 a. Para un rango amplio de presiones de confinamiento en los ensayos

triaxiales drenados se predicen mejor las arenas densas (Figura A.12 b) que las

arenas sueltas (Figura A.12 c).

a) b) c)

F igura A.12 Comparac ión de s imulac ión y ensayos t r iax ia les de compres ión a) No

drenados con p0=200kPa. b) drenados con e0 =0,57-0,59 c) drenados con e0=0,8-0,84

320


Según muestra la Tabla A.4, el modelo en el plano triaxial cuenta con 10 parámetros.

El mismo año de publicación de este modelo se presentó la formulación extendida al

espacio multiaxial en Gajo & Wood (1999b).

Tabla A.4 Parámetros de l modelo Severn-Trend Sand. (Gajo& Wood, 1999)


G Módulo de rigidez al cortante

K Módulo volumétrico


CSφ Ángulo de fricción en Estado Crítico o residual

vλ Intersección de LEC para 1p kPa=

Pendiente de LEC en el plano lnv p− λ


R Relación entre las superficies de fluencia y rotura

B Multiplicador del módulo plástico

Parámetro de ajuste entre el parámetro de estado y la presión de confinamiento k

A Multiplicador de la regla de flujo

Parámetro de ajuste del parámetro de estado en la regla de flujo dk

A.7 Modelo Constitutivo de Li y Dafalias (2000)

El modelo propuesto por Li & Dafalias (2000) se basa en la dependencia de la

dilatancia en las características internas del material, a través del parámetro de estado

propuesto por Been & Jefferies (1985).

A.7.1 Comportamiento Elástico

Las deformaciones elásticas se dividen en el plano triaxial en deformación elástica

desviadora y deformación elástica volumétrica:

321


1 1 ´

3e es v

es ev

d dq dG

ε ε= ⋅ = ⋅dpK (A.61)

Hay varios trabajos donde se demuestra la dependencia el módulo elástico tangencial

con el índice de poros y la presión de confinamiento (Hardin & Richard, 1963; Hardin &

Black, 1966, 1968; Richard et al., 1970). Los mismos están basados en ensayos de

muestras en columna resonante, estudiando la propagación de las ondas

longitudinales y torcionales en columnas de arena a distintas densidades y presiones

de confinamiento. Para este modelo se adoptó la expresión de Richard et al. (1970)

empleada por varios modelos actuales (Li et al. 1999; Gajo & Word, 1999), cuya

expresión es:

( )( )

2

0

2.971es eso

eG G p p

e−

′ ′= ⋅ ⋅ ⋅+ (A.62)

El módulo volumétrico está relacionado con el módulo tangencial a través de la Teoría

de Elasticidad por la siguiente expresión:

( )( )

123 1 2ev esK G

νν

+= ⋅

− (A.63)


Los incrementos de deformación plástica están relacionados con el índice de carga ,

definido por Dafalias (1986), y un vector unitario que indica la dirección de los

incrementos de deformación plástica,

L

gn .

p

gd L= ⋅ε n (A.64) donde

(A.65) ( )1; Tg d=n

y en el plano triaxial la expresión se descompone en:

1 1p p

s vp p

d p d d d pK K

dε η ε′= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ η′ (A.66)

donde es la dilatancia y es el módulo plástico. d pK

322


A.7.3 Superficie de fluencia

La superficie de fluencia del modelo es un cono con vértice en el origen de

coordenadas del espacio : q p′−

´f q pη= − ⋅ (A.67) La simplificación principal del modelo, es considerar la deformación plástica nula a lo

largo de una trayectoria de tensiones constante. Esto se debe a que no considera una

superficie de fluencia para cambios en p′ bajo cteη = , como la superficie propuesta

por Vermeer (1978) y luego utilizada por Wang et al. (1990). Esta simplificación es

salvada por Li (2002), quien propone una superficie de fluencia adicional similar a la

propuesta por Wang et al. (1990). La misma está tratada como una superficie límite,

que permite predecir la deformación plástica para incrementos de la tensión de

confinamiento para cteη = . Este hecho esta fundado en que las deformaciones

plásticas son pequeñas, pero considerablemente mayores a las deformaciones

elásticas.


La expresión de la dilatancia tiene la siguiente forma:

(0PTS

CS

dd MM

)η= ⋅ − (A.68)

donde

( )expPTS CSM M mψ= ⋅ (A.69)

PTSM es la pendiente de la relación de tensión en el punto de transformación de fase,

y es variable con el parámetro de estado ψ según la ecuación (A.69)

.


Li & Dafalias (2000) expresaron el módulo plástico a través de la siguiente formulación:

( ) (1 2

p

h h e GK )PSM η

η− ⋅ ⋅

= ⋅ − (A.70)

donde

( )expPS CSM M n ψ= ⋅ − ⋅ (A.71)

323


1h ; ; n : son parámetros del modelo, : es el módulo tangencial 2h G

PSM : es el pico virtual de la relación de tensiones y se expresa como una función del

parámetro de estado ψ . Un de los primeros trabajos donde se consideró la

incorporación del parámetro de estado en la formulación del módulo plástico fue Wood

et al. (1994). De está forma, se puede simular la relación de tensión máxima y el

posterior reblandecimiento en el comportamiento de las arenas densas.

Li (2002) presenta una extensión del modelo anterior para un espacio multiaxial en el

marco del modelo de superficie límite (Dafalias, 1986) y extendido por Wang et al.

(1990) con predicciones bajo carga cíclica.

En la Tabla A.5 se presentan los 11 parámetros que el modelo requiere para simular el

comportamiento de las arenas en el plano triaxial.

Tabla A.5 Parámetros de l Modelo Const i tu t ivo de L i & Dafa l ias (2000) y va lores

adoptados la s imulac ión de la Arena Toyoura.


G 125 Módulo de rigidez al cortante

ν 0.05 Coeficiente de Poisson


CSM 1.25 Pendiente de la LEC en el plano q p′−

0e 0.934 Intersección de LEC para 1p kPa=

sλ 0.019 Pendiente de LEC en el plano lnv p−

ξ 0.7 Parámetro de ajuste de LEC

Dilatancia Descripción


m 3.5 Parámetro asociado a la línea de transformación de fase


1h 3.15 Parámetro de la regla de endurecimiento

2h 3.05 Parámetro de la regla de endurecimiento

n 1.1 Parámetro asociado a la resistencia de pico

324


A.8 Modelo Constitutivo de Wang et al. (2002)

Otro modelo que toma los conceptos hasta aquí expresados, es el propuesto por

Wang, Dafalias y Li (2002). El mismo es una modificación del modelo de Superficie

Límite Hipoplástico presentado por Wang et al. (1990), donde se incorpora el concepto

de índice de presión. Se resalta cómo la Línea de Transformación de Fase (Ishihara,

1975) y la relación de tensiones de rotura dependen de otro Parámetro de Estado: el

Índice de Presión, pI .


Como se describió anteriormente, la expresión del comportamiento plástico propuesta

por Wang et al. (1990) tiene dos mecanismos: uno asociado a la deformación

desviadora y otro a la deformación volumétrica. En este modelo modificado se

desestima la generación de deformaciones plásticas asociadas al mecanismo cteη = .

Por lo tanto la expresión de la deformación plástica queda definida por:

( )

( )

1 :

1 :3

ps N D

r

pv N

r

d pdH

d pdK

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

ε r n n

ε r n I (A.72)

donde

Dn es el vector normal unitario que indica la dirección del flujo plástico en el espacio

de tensiones.

rH es el módulo plástico tangencial para carga monótona

rK es el módulo plástico volumétrico para carga monótona, y tienen la forma

siguiente:

CS

r rMH Gh η

η−

= (A.73)

rKKw

= (A.74)

donde

325


( )( )

1a b

p

r m CS CS

Mpwk p M M

ηηη

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(A.75)

donde , , a ,b ,rh rk CSM y pM son parámetros del modelo. G es el módulo elástico

tangencial, es el módulo elástico volumétrico y K mp es la presión principal máxima

preexistente. El valor de CSM y pM que son constantes en el modelo de Wang et al.

(1990) son modificadas de acuerdo a los cambios que se explican a continuación.

A.8.2 Cambios en la regla de flujo

En la Figura A.13 los autores definen la “línea de dilatancia” como la unión de los

puntos de transformación de fase en la trayectoria de tensiones de distintos ensayos

triaxiales no drenados sobre una misma arena. Como se observa en la figura, esta

línea no es en general una línea recta y debe pasar por el punto de estado crítico.

Desde el punto de vista experimental, se define como el estado de tensiones de corte

donde cualquier incremento de la misma produce un comportamiento dilatante en el

suelo. La expresión matemática que proponen es una función lineal de pI , según:

( )0 0d pM M M M I= + − ⋅ (A.76)

F igura A.13 L íneas de d i la tanc ia y de ro tura en func ión de Ip . (Wang et a l , 2002)

326


Esta última ecuación, es similar a la presentada por Manzari & Dafalias (1997), con la

diferencia que la relación lineal de estos últimos está en función de parámetro de

estado ψ .

dM M k ψ= + ⋅ (A.77)

A.8.3 Cambio en la regla de endurecimiento - reblandecimiento

Basandose en el concepto de que las arenas densas tienen un pico en la relación de

tensiones mayor que el valor de la relación de tensiones en el estado crítico ( p Mη > ),

y en el concepto introducido por Wood et al. (1994) sobre la existencia de un pico

virtual de rotura que es variable con la densidad y la presión de confinamiento, Wang

et al. (2002) presentan una expresión en función de pI , según:

( )0,51p b pM M Iη β ⎡ ⎤= = + ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦ (A.78)

donde β es un parámetro del modelo y cumpliendose:

) 1

) 1

) 1

p b

p

p b

a I M Mb I M Mc I M M

b

= =

<

> <

> (A.79)

El caso a) es el estado crítico, el caso b) son arenas densas en general o arenas

sueltas a bajas presiones de confinamiento, y el caso C) son arenas densas a altas

presiones de confinamiento.

Las expresiones (A.76) y (A.1) reemplazan en el modelo original los valores

constantes de la relación de transformación de fase ( pM ) y relación de tensiones

rotura o estado crítico ( CSM ) respectivamente.

En la Figura A.14 se observa la variación de la relación de tensiones de rotura y la

relación de tensión – dilatancia en función del Índice de Estado a lo largo de un ensayo

triaxial drenado.

327


F igura A.14 Var iac ión de la re lac ión de tens iones de ro tura y d i la tanc ia . (Wang et a l ,

2002)

Con estos cambios, la expresión para la nueva regla de flujo o dilatancia del modelo

queda expresada según:

( ) ( )[{ }0 00.5 1

b

CS PCS P

d A M M M IM I

η ] ηβ

= ⋅ + −+ −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅ − (A.80)

donde

23

a

r

r m

Gh pAKk p

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (A.81)

El modelo captura bastante bien los comportamientos dilatantes y contractivos de la

Arena Toyoura en condiciones diferentes de densidad y confinamiento con un único

juego de parámetros. Para calibrar el modelo se requieren 12 parámetros

determinados a partir de ensayos triaxiales monótonos, según indica la Tabla A.6.

328


Tabla A.6 Parámetros de l modelo const i tu t ivo de Wang et a l . (2002) .

329


0G Módulo de rigidez al cortante

K Módulo volumétrico


Pendiente de LEC en plano q p′− M

Pendiente de LEC en plano e p′− sλ

0e Índice de poros para c atmp p=

ξ Exponente de calibración


0M M Ordenada al origen de la recta de rotura

a

b Constante de calibración

rh Se determina a partir del ensayo triaxial de compresión no drenado

rk Se determina a partir del ensayo triaxial drenado a p = cte

β Constante de calibración

A.9 Modelo Constitutivo de Li et al. (1999)

Li et al. (1999) modificaron el modelo constitutivo hipoplástico para arenas de Wang et

al. (1990), incorporando los siguientes conceptos:

• Para alcanzar el Estado Crítico se debe cumplir la condición de relación de

tensiones últimas ( Mη = ) y alcanzar simultáneamente el índice de poros

crítico. Adopta la Línea de Estado Crítico en el plano e p′− :

c

c atm catm

pe ep

ξ

λ⎛ ⎞′

= − ⋅⎜ ′⎝ ⎠⎟ (A.82)


• La dilatancia no esta únicamente relacionada con la relación de tensiones η

(Rowe, 1966), sino que depende de la deformación volumétrica plástica.

Modifica la expresión propuesta por Li (1997) donde la dilatancia depende

de la densidad, adoptando la expresión de Manzari & Dafalias (1997)

dependiente de ψ :

( ){ }0 1 exp sgn nd d mψ ψ⎡ ⎤= ⋅ − ⋅⎣ ⎦ (A.83)

donde , y son parámetros del modelo. Esta expresión se anula

( ) una vez alcanzado el estado crítico (

0d n m

0d = 0ψ = ).

• La relación de tensiones en la Transformación de Fase (Ishihara, 1975) es

una función exponencial con el parámetro de estado ψ de Been & Jefferies

(1985).

• No toma en cuenta la superficie cerrada tipo Vermeer (1978) la cual se

utiliza para simular el efecto de la consolidación de las arenas en el modelo

original. Esto simplifica mucho el algebra de los incrementos de deformación

plástica quedando:

( ) (1 1:p p p ):s v D Dr r

d d d pd pdH K

ε ε= + = +ε n r n r nD (A.84)


De acuerdo a los cambios indicados anteriormente la dilatancia queda expresada

como:

3 32 2

bap mmr r

r r m f m

R RRH hG pdK K k p R R

⎛ ⎞ −⎛ ⎞ ⎛= = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠

⎞⎟⎠

(A.85)

Donde

( )exp sgn np fR R mψ ψ⎡ ⎤= ⋅ ⋅⎣ ⎦ (A.86)

pR valor de la relación de tensiones en la transformación de fase.

mR valor de la relación de tensiones máximas en la historia de tensiones del material.

330


fR valor de la relación de tensiones de rotura. Es comparable con el valor de M en

el plano triaxial.

De esta forma el cambio propuesto asegura que la Línea de Transformación de Fase

es una función exponencial del parámetro de estado ψ , según:

• 0ψ = entonces p fR R= condición de estado crítico

• 0ψ < entonces p fR R< condición de estado denso

• 0ψ > entonces p fR R> condición de estado suelto

Se presenta una serie de comparaciones entre ensayos experimentales presentados

por Verdugo (1996) y la simulación del modelo. El ajuste de ambos es bastante bueno,

aunque se encuentra un problema para predecir el reblandecimiento en el corte

drenado debido a que en el modelo no diferencia entre la relación de tensiones

máxima y la relación de tensiones crítica. Este hecho es salvado en Wang et al.

(2002), pero utilizando el índice de presión ( pI ) como parámetro de estado.

En la Figura A.15 se presenta una simulación con el modelo original, utilizando un

único juego de parámetros para distintas presiones de confinamiento. Se observa que

éste no predice adecuadamente la respuesta tensión - deformación para grandes

deformaciones. En la Figura A.16, se observa claramente el efecto que tiene la

incorporación de la dilatancia dependiente del parámetro de estado y los conceptos de

estado crítico.

F igura A.15 Comparac ión ent re los ensayos y la s imulac ión con e l modelo or ig ina l .

(L i et a l . 1999)

331


F igura A.16 Comparac ión ent re los ensayos y la s imulac ión con e l modelo

modi f icado. (L i et a l . 1999)

A.10 Modelo Constitutivo de Ling & Liu (2003)

Ling & Liu (2003) y Liu & Ling (2002) presentan una modificación en el modelo de

Pastor, Zienkiewicz & Chan (1990) para tener en cuenta los efectos del nivel de

tensiones y la densificación. Esta modificación si bien no incorpora ningún parámetro

de estado, logra según los autores unificar los parámetros del modelo para cada

densidad inicial de una misma arena. Las variaciones introducidas están divididas en

dos aspectos fundamentales:

a) El módulo tangencial y el módulo volumétrico se adoptan según la

expresión de Hardin & Richard (1963) según la siguiente expresión:

maxG maxK

max 0

max 0

atm

atm

pG Gp

pK Kp

′= ⋅

′= ⋅

(A.87)

332


b) El módulo plástico bajo carga monótona es modificado incorporando la

dependencia del ángulo de fricción movilizado con la presión de confinamiento, según

la expresión de Duncan et al. (1980), quedando la siguiente expresión:

LH

(4

0 1Latm f

pH H H Hp

ηη

⎛ ⎞′= ⋅ ⋅ − ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠)v s (A.88)

(10 00

1exp 1

1p g

sp g

MH k

M)s atmp p

ηβ β ξ

η−

′= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ −⎡ ⎤⎣ ⎦− (A.89)

6sin

3 sin sinm

pm

φηφ θ

=− (A.90)

( )0 logm m m atmp pφ φ φ ′= −Δ ⋅ (A.91) Los cambios realizados no logran unificar el modelo para todas las densidades y

presiones de confinamiento, pero realiza una primera aproximación. El modelo

requiere la calibración de 11 parámetros.

En Ling & Yang (2006) presenta un versión mejorada donde predicen el

comportamiento monótono y cíclico de diversas arenas de la literatura.

333


334

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