UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS - UFPEL INSTITUTO DE FÍSICA E MATEMÁTICA - IFM DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA PROF. REJANE PERGHER 100301 - CÁLCULO 1 1. Introdução 1.1 Números Reais R Conjuntos numéricos: - Números Naturais: N 1,2,3,... - Números Inteiros: Z ..., −2, −1,0,1,2,... - Números Racionais: Q x\x m n , com m ∈ Z, n ∈ Z ∗ - Números Irracionais: Q ′ . Não podem ser escritos em termos de uma fração. Ex.: , e, 2 ,... - Números Reais: R Q ′ Q 1.2 Intervalos: - Intervalo aberto limitado: a, b x ∈ R\a x b . Representação gráfica: - Intervalo fechado limitado: a, b x ∈ R\a ≤ x ≤ b . Representação gráfica: - Intervalo semi-aberto ou semi-fechado limitado: a, bx ∈ R\a x ≤ ba, bx ∈ R\a ≤ x b- Intervalo aberto ilimitado: a, x ∈ R\x a−, bx ∈ R\x b- Intervalo fechado ilimitado: a, x ∈ R\x ≥ a−, bx ∈ R\x ≤ b1.3 Valor Absoluto: Seja a ∈ R : | a | a, se a ≥ 0 −a, se a 0 | a | da,0distância do ponto a até a origem. | a − b | da, bdistância entre a e b. | a − b | a − b, se a ≥ b b − a, se b a Propriedades: 1) | x | a −a x a 2) | x | a −a x ou x a Ex.: | x | 2 , ou seja, dx,02. Se x 1, então d1, 01, mas d−1,01 também! Logo, −2 x 2. 1.4 Desigualdades: i) a b b − a é positivo 1
- Números Irracionais: Q ′ . Não podem ser escritos em termos de uma fração.Ex.: π,e, 2 , . . .
- Números Reais: R = Q ′ ∪ Q
1.2 Intervalos:- Intervalo aberto limitado: a,b = x ∈ R\a < x < b. Representação gráfica:- Intervalo fechado limitado: a,b = x ∈ R\a ≤ x ≤ b.Representação gráfica:- Intervalo semi-aberto ou semi-fechado limitado: a,b = x ∈ R\a < x ≤ b
a,b = x ∈ R\a ≤ x < b- Intervalo aberto ilimitado: a,∞ = x ∈ R\x > a
−∞,b = x ∈ R\x < b- Intervalo fechado ilimitado: a,∞ = x ∈ R\x ≥ a
−∞,b = x ∈ R\x ≤ b
1.3 Valor Absoluto:Seja a ∈ R :
|a | =a, se a ≥ 0
−a, se a < 0
|a | = da, 0 = distância do ponto a até a origem.|a − b | = da, b = distância entre a e b.
|a − b | =a − b, se a ≥ b
b − a, se b > a
Propriedades:1) |x| < a −a < x < a
2) |x| > a −a > x ou x > a
Ex.: |x| < 2 , ou seja, dx, 0 < 2.Se x = 1, então d1, 0 = 1, mas d−1,0 = 1 também! Logo, −2 < x < 2.
1.4 Desigualdades:i) a < b ⇔ b − a é positivo
1
ii) a > b ⇔ a − b é positivoiii) a ≤ b ⇔ a < b ou a = b
iv) a ≥ b ⇔ a > b ou a = b
Inequações do 1∘ Grau:Exemplos: Determine todos os intervalos que satisfaçam as inequações abaixo. Faça a representação gráfica:i) 7 < 5x + 3 ≤ 9 Resp.: 4/5, 6/5ii) |7x − 2| < 4 Resp.: −2/7,6/7iii) 2 > −3 − 3x ≥ −7 Resp.: −5/3,4/3iv) |x + 12| > 7 Resp.: −∞,−19 ∪ −5,∞
Podemos definir função da seguinte maneira:Uma grandeza y é uma função de outra grandeza x, se a cada valor de x estiver associado um único valor de y.
Dizemos que y é a variável dependente e x é a variável independente. Escrevemos y = fx, onde f é o nome dafunção.
O domínio da função é o conjunto dos possíveis valores da variável independente.A imagem é o conjunto correspondente de valores da variável dependente.Uma função pode ser representada por tabelas, gráficos e fórmulas.
exemplo: No verão de 1990, a temperatura, no estado do Arizona, ficou alta durante todo o tempo (tão alta, de fato, quealgumas empresas aéreas decidiram que talvez não fosse seguro aterrissar seus aviões lá). As altas diárias de temperaturana cidade de Phoenix, de 19 a 29 de junho são dadas na tabela abaixo:
Data 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
Temperatura oC 43 45 46 45 45 45 49 50 48 48 42
Tabela 1. Temperatura em Phoenix, Arizona, junho de 1990
Trata-se de uma função: cada data tem uma única temperatura mais alta, associada a ela.
2.2. Gráfico de uma função:
O gráfico da função f em um plano xy é o conjunto de pontos x,y, onde x pertence ao domínio de f e y é o valorcorrespondente fx de f.
-2 -1 1 2 3
10
20
x
f(x)
2.3. Tipos de Funções:
1) Funções polinomiais:
a) Função Linear: fx = mx + b
onde x é a variável independente e m e b são constantes (números reais).⋅ A constante m é a inclinação da reta determinada por y = fx.⋅ b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo vertical.⋅ zero ou raiz da função é a abscissa do ponto em que a reta corta o eixo horizontal.
Observe que:⋅ Se m = 0, a função linear fx = b é uma função constante. Desenhe seu gráfico!⋅ Se b = 0, então temos fx = mx. Trata-se de um conjunto de retas com inclinação m, todas passando na origem 0,0.
Por exemplo: y = −2x, y = −x, y = − 12
x, y = 12
x, y = x, y = 2x.
3
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
Coeficiente Angular de uma reta: O coeficiente angular ou inclinação de uma reta não vertical pode ser determinado, seconhecermos dois de seus pontos, a partir da expressão:
m =y2 − y1x2 − x1
Equação de uma reta de coeficiente angular conhecido:
y − y1 = mx − x1
Exemplo 1: A equação da reta que passa pelo ponto 3,−2 e tem coeficiente angular 23 é? Resposta: y = 2
3 x − 4.
Exemplo 2: Determine a equação da reta que passa pelos pontos −3,−5 e 2,−2. Resposta: y = 35 x − 16
5 .
Exemplo 3: Dada a função fx = 2x + 4, esboce o gráfico da função, mostrando os interceptos vertical e horizontal.Resp.:
-2 -1 0 1 2
2
4
6
8
x
y
Exemplo 4: A média de pontos obtidos num teste psicotécnico aplicado em determinada empresa vem decrescendoconstantemente nos últimos anos. Em 2000, a média foi de 582 pontos, enquanto que em 2005, a média foi de 552 pontos.a) Defina a função do valor da média em relação ao tempo. Resposta: y = −6x + 582b) Se a tendência atual se mantiver, qual foi a média de pontos obtida em 2010? Resposta: 522 pontosc) Em que ano, a média é de 534 pontos, nestas condições? Resposta: Em 2008.
LISTA DE EXERCÍCIOS 2:
1) Faça o gráfico da função abaixo, determinando o domínio, a imagem e as raízes de cada função:a) y = −1b) y = 2 − x
c) y = x2 + 1
Respostas:
4
a. D = ℜ, Im = −1 b. D = ℜ, Im = ℜ c. D = ℜ, Im = ℜ.
2) Determine a equação da reta que passa pelo ponto (-2,1) e cujo coeficiente angular é . Resposta: y = x2+ 2.
3) Determine a equação da reta que passa pelos pontos (-3,-5) e (2,-2). Resposta: y = 3x − 165
.
4) Dados os pontos A−2,4 e B2,−1, calcule:a) A inclinação da reta que liga os pontos A e B;b) A equação da reta que passa pelos pontos A e B;c) O intercepto vertical e o intercepto horizontal da reta obtida em (b);d) o esboço do gráfico.
5) Alex é vendedor em uma loja de programas de computador, a CompHouse, e seu salário é composto de um valor fixode R$900,00 mais uma comissão de R$10,00 por programa vendido. Bruno é vendedor na loja concorrente, a SoftMouse,e recebe um fixo de R$440,00 mais R$30,00 por programa vendido.a) Escreva uma expressão para o salário recebido, em função do número de programas vendidos, para cada vendedor.b) No mês de fevereiro, Alex vendeu 19 programas. Quanto recebeu de salário?c) No mesmo mês, Bruno recebeu salário de R$1220,00. Quantos programas vendeu?d) Em março, Alex e Bruno venderam a mesma quantidade de programas, mas Bruno recebeu salário maior que Alex.Quantos programas, no mínimo, cada um vendeu? Esboce o gráfico das duas funções no mesmo sistema de eixos parauma melhor análise.
6) Uma empresa de aluguel de automóveis oferece carros a R$ 40,00 por dia e 15 centavos o quilômetro rodado. Oscarros do seu concorrente estão a R$ 50,00 por dia e 10 centavos o quilômetro rodado.(a) Para cada empresa, obtenha uma fórmula que dê o custo de alugar o carro por um dia em função da distânciapercorrida.(b) No mesmo sistema de eixos, esboce os gráficos de ambas as funções.(c) Como você deve decidir que empresa está com o aluguel mais barato?
b) Função Quadrática:
Uma função quadrática é da forma fx = ax2 + bx + c
Exemplo 1: Esboce o gráfico de fx = x2 − 1. Resposta:
-4 -2 2 4-1
1
2
3
4
5
x
y
Observação: Esta curva é chamada parábola. Uma parábola pode ter a concavidade voltada para cima (a > 0) ouconcavidade voltada para baixo (a < 0).
Elementos da Parábola:
Raízes: Calcula-se por Báskhara (são os valores onde a parábola intercepta o eixo x).
−b ± b2 − 4ac
2a
.
5
Vértice: é onde se encontra o valor máximo (se a < 0) ou o valor mínimo (se a > 0) da função.
xv = − b2a
e
yv = − Δ4a
= − b2 − 4ac4a
.
Exemplo 2: Esboce o gráfico de fx = x2 + 2x − 3, mostrando os elementos da parábola, o domínio e a imagem.
Exemplo 3: Esboce o gráfico de fx = −x2 + 5x − 6, mostrando os elementos da parábola, o domínio e a imagem.
Respostas:
Exemplo 2: Exemplo 3:
-4 -2 2
5
10
x
y 0 1 2 3 4 5
-6
-4
-2
0
x
y
Exemplo 4: A temperatura de uma certa região em função do tempo x é Cx = −0,15x2 + 3,8x + 12 graus centígrados.a) Qual era a temperatura às 14 horas? Resposta: 35,8 ∘C.b) De quanto a temperatura aumentou ou diminuiu entre 19 e 22 horas? Resposta: Diminuiu 7,05∘C.
c) Função Cúbica:
fx = ax3 + bx2 + cx + d
Exemplo 1: Esboce o gráfico de fx = x3. Resposta:
-2 -1 1 2
-5
5
x
y
Exemplo 2: Suponha que o custo total, em reais, para fabricar q unidades de um certo produto seja dado pela função:Cq = 1
27 q3 + 5q2 + 125q + 250.
a) Calcule o custo de fabricação de 20 unidades.Resposta: C20 = 1
Observação: Vejamos o caso particular, das funções polinomiais da forma y = fx = xn:
1) para n ímpar: x,x3,x5,x7.
-3 -2 -1 1 2 3
-15
-10
-5
5
10
15
x
y
∙ Identifique-as, escolhendo uma cor diferente para cada uma delas.∙ O que você observa?
2) para n par: x2,x4,x6
-2 -1 1 2
-5
5
10
x
y
∙ O que você observa?
LISTA DE EXERCÍCIOS 3:
1) Um tomate é jogado verticalmente para o alto, no instante t = 0, com velocidade de 15 metros por segundo. Sua alturay, acima do solo, no instante t (em segundos), é dada pela equação y = −5t2 + 15t. Faça uma análise da função quadráticadefinida por esta equação, isto é:∙ esboce um gráfico da posição versus tempo;∙ determine os zeros desta função e interprete o que representam;∙ determine as coordenadas do ponto mais alto da curva e interprete o que este ponto representa;∙ responda: durante quanto tempo ocorreu o movimento do tomate ?
2) O lucro de uma empresa é expresso por Lx = −x2 + 4x + 5, onde x é a quantidade de produtos vendidos num mês.a)Determine a quantidade na qual o lucro é máximo. Resposta: 2b)Qual é o valor máximo para o lucro? Resposta: 9.c) O lucro ou o prejuízo da empresa se forem vendidos 10 produtos num mês. Resposta: prejuízo de $ 55.d) Faça o gráfico.
3) Esboce os gráficos das funções e determine seus zeros:(a) hx = 10 − x2 (b) lx = x2 − 2x + 4
4) Uma caixa retangular de base quadrada, tem volume 125. Expresse a área A, de sua superfície total, como função daaresta x , de sua base.(Lembre-se: o volume de uma caixa retangular pode ser obtido pelo produto da área de sua base pela altura, a área da
7
superfície total de uma caixa retangular é obtida pela soma das áreas de todas as suas faces).
5) Expresse a área de um quadrado como função de seu perímetro.
6) Considere o gráfico abaixo para responder as perguntas a seguir.
-10
-5
0
5
10
y
-10 -5 5 10x
(a) Quantos zeros tem a função? Dê suas localizações aproximadas.(b) Dê valores aproximados para f2 e f4.(c) A função é crescente ou decrescente na vizinhança de x = −1 ? E na vizinhança de x = 3 ?(d) O gráfico é côncavo para cima ou para baixo na vizinhança de x = 5 ? E na vizinhança de x = −5 ?(e) Dê os intervalos (aproximados) onde a função é crescente.
7) Se fx = x2 + 1, encontre:(a) ft + 1 (b) ft2 + 1 (c) f2 (d) 2ft (e) ft2 + 1
8) Esboce o gráfico de uma função definida para x ≥ 0 com as seguintes propriedades. (Existem várias respostaspossíveis.)(a) f0 = 2.(b) fx é crescente para 0 ≤ x < 1.(c) fx é decrescente para 1 < x < 3.(d) fx é crescente para x > 3.(e) fx → 5 quando x → ∞.
9) Relacione as seguintes fórmulas com os gráficos apresentados a seguir:
( ) y = −x ( ) y = x3 − 4x − 2 ( ) y = −28 + 34x − 9x2
( ) y = −x2 + x − 2 ( ) y = x2 + 2 ( ) y = 2x − 6
-4 -2 2 4
-6
-4
-2
2
x
y
(1)
-3 -2 -1 1 2 3
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
(2)
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
(3)
8
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
(4)
1 2 3 4
-4
-2
0
2
4
x
y
(5)
-4 -2 2 4-1
1
2
3
4
5
x
y
(6)
10) Uma empresa de aluguel de automóveis oferece carros a R$ 100,00 por dia e 50 centavos o quilômetro rodado. Oscarros do seu concorrente estão a R$ 160,00 por dia e 30 centavos o quilômetro rodado.(a) Para cada empresa, obtenha uma fórmula que dê o custo de alugar o carro por um dia em função da distânciapercorrida.(b) No mesmo sistema de eixos, esboce os gráficos de ambas as funções.(c) Como você deve decidir que empresa está com o aluguel mais barato ?
2) Função Módulo:
fx = |ax + b |
Exemplo 1: Esboce o gráfico de fx = |x|.
Exemplo 2: Esboce o gráfico de fx = |x − 1|.
Exemplo 3: Esboce o gráfico de fx = |2x + 1|.
Respostas:
Exemplo 1: Exemplo 2: Exemplo 3:
-4 -2 0 2 4
2
4
x
y
-2 0 2 4
1
2
3
4
x
y
-4 -2 0 2
2
4
6
x
y
3) Função Racional:
fx =pxqx
Exemplo 1: Esboce o gráfico de fx = 1x .
Exemplo 2: Esboce o gráfico de fx = 1x − 2
.
Exemplo 3: Esboce o gráfico de fx = 1x + 2
.
9
Respostas:
Exemplo 1: Exemplo 2: Exemplo 3:
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
-2 2 4
-10
-5
5
10
x
y
-4 -2 2
-10
-5
5
10
x
y
Exemplo 4: Supõe-se que a população de uma certa comunidade, daqui a x anos, será de Px = 30 − 5x + 2
milhares.
a) Daqui a 10 anos, qual será a população da comunidade? Resposta: 29,58 mil habitantes.b) De quanto a população crescerá durante o 10o ano? Resposta: 30 habitantes.c) Ao longo desse tempo, o que acontecerá ao tamanho da população? Resposta: Crescerá até 30 mil habitantes.
4) Função Raiz Quadrada:
fx = ax + b
Exemplo 1: Esboce o gráfico da função fx = x .
Exemplo 2: Esboce o gráfico da função fx = x − 3 .
Respostas:
1)
0 1 2 3 40
1
2
x
y
2)
4 6 8
-1
0
1
2
3
x
y
5) Funções Trigonométricas:
Os primeiros estudos sobre Trigonometria tiveram origem nas relações entre lados e ângulos num triângulo e datam demuito tempo.(Trigonon : triângulo e metria : medição). Nosso objetivo principal, agora, é o estudo defunções trigonométricas. Podemos definí-las usando o círculo unitário, que é a definição que as torna periódicas ou comrepetições. Essas funções são muito importantes, pois inúmeros fenômenos que ocorrem em nossa volta são periódicos: onível da água em uma maré, a pressão sangüinea em um coração, uma corrente alternada, a posição das moléculas de artransmitindo uma nota musical, todos flutuam com regularidade e podem ser representados por funções trigonométricas.
Medida de arcos de circunferênciaUsamos, basicamente, duas unidades de medidas para arcos de circunferência:
∙ GrauUm grau corresponde a 1
360da circunferência onde está o arco a ser medido.
10
∙ RadianoUm radiano corresponde à medida do arco de comprimento igual ao raio da circunferência onde está o arco a ser medido.É importante lembrar que o arco de uma volta mede 360∘ ou 2π rad π ≈ 3,14.Exemplo: Quantos graus correspondem, aproximadamente, a um arco de 1rad ?
Definição 1: Considere um ângulo t, medido em radianos, num círculo de equação x2 + y2 = 1. Seu lado terminalintercepta o círculo num ponto Px,y. O seno de t é definido como sendo a ordenada do ponto P e o co-seno de t édefinido como sendo a abscissa do ponto P. Isto é:
sent = y e cos t = x.
Sobre o círculo de raio 1, marque um ponto P e identifique o seno e o cos seno do ângulo que ele representa, em cada umdos seguintes casos:
a) P ∈ 1o quadrante b) P ∈ 2o quadrante c) P ∈ 3o quadrante d) P ∈ 4o quadrante
Observe que à medida que o ponto P movimenta-se sobre o círculo, os valores de sent e cos t oscilam entre −1 e 1.
Como consequência imediata da definição, temos que;
sen2t + cos2t = 1.
Veja, no mesmo sistema de eixos cartesianos, os gráficos das funções f e g , definidas, respectivamente, porft = sent e gt = cos t. Identifique cada uma delas.
-6 -4 -2 2 4 6 8
-1
1
x
y
A amplitude de uma oscilação é a metade da distância entre os valores máximo e mínimo.
O período de uma oscilação é o tempo necessário para que a oscilação complete um ciclo.
A amplitude de cos t e sent é 1 e o período é 2π.
11
Definição: Consideremos um número qualquer t , com cos t ≠ 0. A função tangente é definida por
tan t = sin tcos t
.
∙ Observe o gráfico da função f , definida por ft = tan t
-4 -2 2 4
-10
10
x
y
LISTA DE EXERCÍCIOS 4:
1) Relacione cada gráfico com a função que ele representa:
( )∙ Qual a amplitude e o período de cada uma das funções?
2) Idem para:
( 1 ) Fx = cos x + 2 ( 2 ) Gx = 1 − cos x ( 3 ) Hx = cos x2
( 4 ) Lx = cos x2
( 5 ) Mx = 4cos 2x ( 6 ) Nx = 4cos 12
x
12
2 4 6-1
0
1
x
y
( )
2 4 6 8 10 12
-4
-2
0
2
4
x
y
( )
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
( )
2 4 6
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
y
( )
2 4 6
-2
0
2
x
y
( )
-10 -5 5 10
-4
-2
2
4
x
y
( )
3) Localize, no círculo trigonométrico, o ângulo de π2
e determine o seno , o cosseno e a tangente do mesmo.
4) Um disco realiza 33 rotações por minuto. Qual é o período de seu movimento ? R: 6033 = 1. 8182 s
5) Complete, determinando uma fórmula para descrever oscilações do tipo:
-4 -2 2 4 6
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
fx =
-5 5 10
-1.0
-0.5
0.5
1.0
x
y
gx =6) Determine o domínio, a imagem, a amplitude, o gráfico e o período das funções:a)y = 2sinx Resp.:D = ℜ, Im = −2,2, A= 2, período= 2π.b)y = 2 + sinx Resp.:D = ℜ, Im = 1,3, A=1, período=2π.c)y = sin3x Resp.:D = ℜ, Im = −1,1,A=1, período=2π/3.d)y = cos2x Resp.:D = ℜ, Im = −1,1,A=1, período=π.e)y = cosx + π/2 Resp.:D = ℜ, Im = −1,1,A=1, período=2π.f)y = 1 + 2 cosx + π Resp.:D = ℜ, Im = −1,3,A=2, período=2π.
6) Função exponencial:
Definição: é uma função real, com base a positiva e diferente de 1, definida por
fx = ax
Exemplo 1: Esboce o gráfico de fx = 2x.
Exemplo 2: Esboce o gráfico de fx = 12
x.Res.:
13
1)
-4 -2 0 2 4
10
20
30
x
y
2)
-4 -2 0 2 4
10
20
30
x
y
Exemplo 3: Um determinado veículo automotivo tem seu valor depreciado de tal forma que após t anos de utilizaçãoporde ser descrito pela função Vt = 15.000e−0,08t + 600.a) Qual era o preço do veículo novo? Resposta: 15.600b) Quanto o veículo valerá após 10 anos? Resposta: 7.339,93
Exemplo 4: A função exponencial natural fx = ex é um caso particular da função exponencial de base a qualquer. Vejaesta função na calculadora científica. Calcule alguns valores de x, inclusive x = 1.
Exemplo 5: Se o custo anual y de manutenção de um computador está relacionado com o seu uso mensal médio x (emcentenas de horas) pela equação y = 35.000 − 25.000e−0,02x, qual é o custo anual de manutenção, em reais para o usomensal médio de 200 horas? Resposta: R$ 10.980,26
7) Função Logarítmica:
Definição: A função logarítmica de base a, a ≥ 1, é uma função real, definida por
fx = logax
Exemplo 1: Esboce o gráfico da função fx = log2x.
Exemplo 2: Esboce o gráfico da função fx = log 12x.
Exemplo 3: A função logarítmica natural fx = lnx é um caso particular da função logarítmica de base a qualquer,porque lnx = logex. Veja esta função na calculadora científica. Calcule alguns valores de x, inclusive x = 1. Esboce ográfico.Respostas:
1)
1 2 3 4 5
-2
0
2
x
y
2)
1 2 3 4 5
-2
0
2
x
y
3)
2 4 6 8 10
-4
-3
-2
-1
0
1
2
x
y
Propriedades:1) lnA.B = lnA + lnB
2) ln AB = lnA − lnB
3) lnAr = r lnA
4) se logax = y então ay = x
5 Mudança de base: logab =log b
log a= lnb
lna
Exemplo 4: Uma máquina tem depreciação exponencial dada pela fórmula V = V0eat. Sabendo que, em 2005, seu valor
14
era de R$ 14.500,00 e em 2014 era de R$ 9.800, calcule seu valor em 2007. Resposta: R$ 13.291,00
LISTA DE EXERCÍCIOS 5:
1) A taxa segundo a qual um funcionário do correio classifica a correspondência é função de sua experiência. Calcula-seque o funcionário, após t meses de trabalho, consiga classificar Qt = 700 − 400e−0,5t cartas por hora.a) Quantas cartas um funcionário novo conseguirá classificar por hora?b) Quantas cartas um funcionário com 6 meses de experiência classificará por hora?
2) Quando certa máquina tem ’t’ anos de utilização, seu valor de revenda é calculado pela função Vt = 480e−t/5 + 400.a) Qual era o preço da máquina nova?b) Quanto a máquina valerá após 8 anos?
3) Um modelo simples de crescimento populacional afirma que a taxa de crescimento em cada instante de tempo éproporcional à população neste instante. Sendo Pt a população no tempo t, Po a população inicial e r a taxa decrescimento, temos a relação Pt = Poert. Pelo censo de 1980, a população brasileira era de 120 milhões de habitantes.Se a taxa de crescimento populacional é de 2,5%. Qual será a população brasileira no ano de 2000? Resposta: 197,84milhões.
4) Uma máquina tem depreciação exponencial dada pela fórmula V = voeat. Sabendo que, em 2015, seu valor era R$14.500,00 e hoje é R$ 9.800,00, calcule seu valor em 2010.
Uma das aplicações da função exponencial ou logarítmica está no estudo dos juros compostos. Quando um capital,chamado principal P, é aplicado num determinado período, produzindo um juro que é incorporado a ele para produzirnovo juro no período seguinte, tem-se um juro composto, isto é, juro sobre juro.
C = C01 + it
Onde C0 é o capital iniciali é a taxa de juro anual, na forma centesimalt é o tempo medido em anosC é o montante = principal + juros
5) Um capital de $ 1.000,00 é aplicado a 6% ao ano em 10 anos. Determine o montante após 10 anos. Resposta: $1.790,84.
6) Uma pessoa deposita R$ 3.000,00 numa caderneta de poupança. Sabendo que a taxa de juros é de 6% ao ano, calcule omontante, sem correção monetária, no final de 2 anos. Resposta 3.370,80.
7) Queremos que nosso capital triplique em 18 meses. Que taxa anual, em porcentagem, devemos cobrar para que issoocorra: Resposta: 108,4% a.a.
8) Uma máquina é depreciada exponencialmente. Inicialmente, valia R$ 9.000,00, após 10 anos, seu valor era de R$3.500,00. Encontre uma fórmula para esta depreciação a calcule seu valor após 6 anos.Resposta: Aproximadamente R$ 5.105,00.
8) Função par:
f−x = fx
Exemplos:
15
1) Função módulo: fx = |x| 2) Função quadrática: fx = x2
-4 -2 0 2 4
2
4
x
y
-4 -2 0 2 4
10
20
x
y
9) Função Ímpar:
f−x = −fx
Exemplos:
1) Função identidade: fx = x 2) Função cúbica: fx = x3
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
-3 -2 -1 1 2 3
-20
-10
10
20
x
y
10) Função periódica: fx = fx + T = fx + 2T =. . .Exemplo: As funções trigonométricas: função seno e função cosseno.
11) Função definida por partes:
Há funções que são definidas por mais de uma expressão.Exemplo 1:
fx =
2x + 3 se x < 0
x2 se 0 ≤ x < 2
1 se x ≥ 2
-2 -1 1 2 3
-2
2
4
x
y
Exemplo 2: A função valor absoluto |x| =x se x ≥ 0
−x se x < 0é uma função definida por duas sentenças.
16
LISTA DE EXERCÍCIOS 6:
1. A função degrau de Heaviside, H, é definida por Hx =0 se x < 0
1 se x ≥ 0. Construa seu gráfico.
2. Considerando a função H, definida acima, determine a função Hx − 1 e construa seu gráfico.
3. Represente graficamente a função g, definida por gx =
0 se x < 1
1 se 1 ≤ x < 2
2 se 2 ≤ x < 3
3 se 3 ≤ x < 4
4 se x ≥ 4
e determine:
a) g−1 b) g1 c) g2,5 d) g4 e) g5
4. Construa o gráfico da função h, definida por hx = |x2 − 4| − 3 e responda às seguintes questões:a) Quais os zeros de h ?b) Quais os valores de x que tornam hx um número positivo ?c) Quais os valores de x que tornam hx um número negativo ?
Resposta: Gráfico
-4 -2 2 4-2
2
4
6
8
10
x
y
12) Função Composta:
Dadas duas funções f e g, a função composta de f e g ,denotada por f ∘ g é definida por
f ∘ gx = fgx
Exemplo 1: Dadas as funções fx = x e gx = x − 1, encontre a composição de funções f ∘ gx.Resposta: f ∘ gx = fx − 1 = x − 1
Exemplo 2: A análise das condições da água de uma pequena praia indica que o nível médio diário de substânciaspoluentes presentes no local será de Qp = 0,6p + 18,4 unidades de volume, quando a população for p milhares dehabitantes. Estima-se que, daqui a t anos, a população seja de pt = 6 + 0,1t2 mil habitantes.a) Expresse o nível de substâncias poluentes em função do tempo. Resposta: Qt = 22 + 0,06t2
b) Qual será o nível de substâncias poluentes daqui a 2 anos? Resposta: 4,72 unidades de volumec) Em quanto tempo, aproximadamente, o número de substâncias poluentes será de 5 unidades de volume? Resposta: 7anos.
13) Função Inversa:
Exemplo 1: Encontre a função inversa de fx = 2x.
17
Solução: escrevendo y = 2x, então reslvemos a equação para x, 2x = y x = y/2. Finalmente, trocamos x por y
temos: y = x/2.
Exemplo 2: As funções exponencial y = ex e logarítmica y = lnx são inversas.
Observe que o gráfico da função inversa é obtido refletindo-se o gráfico de fx em torno da reta y = x.
Exemplo 1:
-4 -2 2 4
-10
-5
5
10
x
y
Exemplo 2:
-2 -1 1 2
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
Exemplo 3: Encontre a função inversa de fx = x3 + 2.Solução: Escrevendo y = x3 + 2, então resolvemos a equação para x, x3 = y − 2 x = 3 y − 2 . Finalmente,trocamos x por y, obtemos y = 3 x − 2 .
LISTA DE EXERCÍCIOS 7:
1) Construa o gráfico das funções:
a) fx = 5/2 b)fx = 2x + 1 c)fx = 5 − 3x
d)fx = −x2 + 8x − 7 e)fx = 2x + 1 f)fx = lnx + 1
Respostas:
a)
-4 -2 0 2 4
2
3
x
y
b)
-3 -2 -1 1 2 3
-5
5
x
y
c)
-2 2 4
-5
5
x
y
d)
2 4 6 8
-5
0
5
10
x
y
e)
-4 -2 0 2
2
4
x
y
f)
-2 -1 1 2 3
-4
-2
2
x
y
2) Um ciclista, com velocidade constante, percorre uma trajetória retilínea conforme o gráfico:
18
-1 0 1 2
2
4
6
x
y
Em quanto tempo percorrerá 15 Km? Resposta: 6 min.
3) Escreva a função do 2o grau representada pelo gráfico:
-1 1 2 3 4 5
5
x
y
Resposta:fx = x2 − 4x + 3
4) O custo para a produção de x unidades de certo produto é dado por C = x2 − 40x + 1600. Calcule o valor do customínimo. Resposta: C = 1200.
5) Dada a função fx = |x − 2| − 1, construa o gráfico e dê o conjunto imagem de f. Resposta: Imf = y ∈ ℜ\y −1.
6) Um estudo das condições ambientais de certa cidade indica que a taxa de poluição do ar será cp = 0.4p + 1 partespor milhão, quando a população for p milhares de habitantes. Imagina-se que a população, daqui a t anos, seja dada pelafunção pt = 8 + 0.2t2 milhares.a) determinar a função da poluição do ar em função do tempo.b) calcule a taxa de poluição do ar daqui a 3 anos. Resp.: 4,92 partes por milhão/anoc) quando a taxa de poluição do ar alcançará 6,2 partes por milhão? Resp.: 5 anos
7) Encontre uma fórmula para a função inversa.a) fx = 10 − 3x , b) fx = ex3
, c) fx = lnx + 3, d) y = 2x2 + 2.Resposta: a) f−1x = − 1
3 x2 + 103 . b) f−1x = 3 lnx c) f−1x = ex − 3, d) f−1x = x−2
2 .
8) A estimativa da população de uma cidade em x(t) = 750 +25t +0,1t² milhares de pessoas a partir do presente, é obtidapor t anos. Ecologistas estimam que o nível médio de monóxido de carbono no ar, acima da cidade, será de n(x) = 1 +0,4x ppm (partes por milhão) quando a população for x milhares de pessoas. Expresse a função nível de monóxido decarbono no tempo t. Encontre o nível de monóxido de carbono em 2006.Resposta: n(t) =301 +10t + 0,4t², 331.36ppm, respectivamente.
3. LimitesO conceito de limite é o alicerce sobre o qual todos os outros conceitos do cálculo estão baseados. Usamos a palavra limiteno nosso cotidiano para indicar, genericamente, um ponto que pode ser eventualmente atingido mas que jamais pode serultrapassado.
Exemplos:
19
a) Injetando ininterruptamente ar em um balão de borracha, haverá um momento em que ele estoura. Isso porque existeum Limite de elasticidade da borracha.b) Um engenheiro ao construir um elevador estabelece o Limite de carga que este suporta.c) No lançamento de um foguete, os cientistas devem estabelecer um Limite mínimo de combustível necessário para quea aeronave entre em órbita.
É importante ter em mente que o limite pode ser um ponto que nunca é atingido mas do qual pode-se aproximar tantoquanto desejar. Iniciaremos por estudá-los de uma forma intuitiva.
Limites descrevem o que acontece com uma função fx à medida que sua variável x se aproxima de um númeroparticular a. Para ilustrar este conceito, vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1: Suponha que você quer saber o que acontece com a função fx = x2 + x − 2x − 1
à medida que x se aproxima de
1. Embora fx não esteja definida em x = 1, você pode obter uma boa idéia da situação avaliando fx em valores de x
cada vez mais próximos de 1 , tanto à esquerda quanto à direita. Isto pode ser feito através de uma tabela de valores.
x fx
0.9 2. 9
0.99 2. 99
0.999 2. 999
0.9999 2. 999 9
donde podemos concluir que, para valores próximos de 1, à sua esquerda, fx se aproxima do número 3 e escrevemos:
limx→1−
fx = 3 ,
lendo: “o limite de fx quando x tende a 1 pela esquerda é 3.
De forma análoga, investigamos o limite à direita. Vejamos:
x fx
1.1 3. 1
1.01 3. 01
1.001 3. 001
1.0001 3. 0001
donde podemos concluir que, para valores próximos de 1, à sua direita, fx se aproxima também do número 3 eescrevemos:
limx→1+
fx = 3 ,
lendo: “o limite de fx quando x tende a 1 pela direita é 3".
Concluimos que:
limx→1
fx = 3
Graficamente temos:
20
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
Observe que o gráfico da função fx = x2 + x − 2x − 1
representado acima é uma reta com um ”buraco” no ponto (1,3).
No caso da função fx = x2 + x − 2x − 1
, a qual concluimos quex→1lim fx = 3 tabelando valores à esquerda e à direita de
1, este também pode ser determinado de forma algébrica, ou seja,
x→1lim fx =
x→1lim x2 + x − 2
x − 1=
x→1lim
x + 2x − 1x − 1
=x→1lim x + 2 = 1 + 2 = 3
Propriedades:1) O limite é único.2) Se lim
x→afx = L e lim
x→agx = M existem e c é um número real qualquer, então:
a) limx→a
fx ± gx = limx→a
fx ± limx→a
gx = L ± M
b) limx→a
c. fx = c limx→a
fx = cL
c) limx→a
fxgx = limx→a
fx limx→a
gx = LM
d) limx→a
fxgx
=limx→a
fx
limx→a
gx= L
M, para M ≠ 0
e) limx→a
fxn = limx→a
fxn = Ln
f) limx→a
c = c
LIMITES LATERAIS:
- Limite pela direita: - Limite pela esquerda:
limx→a+
fx limx→a−
fx
Teorema 1: Se os limites à direita e à esquerda são diferentes limx→a−
fx = A e limx→a+
fx = B, então o limite limx→a
fx não
existe.
Notamos que no exemplo 1 obtivemos para a função fx = x2 + x − 2x − 1
,os limites laterais iguais, isto é,
x→1−
lim fx = 3 =x→1+
lim fx e por este motivo afirmamos quex→1lim fx = 3. Nem sempre isso ocorre. Vejamos um segundo
exemplo.
Exemplo 2: Dada a função fx =x + 1 se x < 3
6 se x ≥ 3, cujo gráfico está representado a seguir
21
-6 -4 -2 2 4 6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
temos:x→3−
lim fx = 4 ex→3+
lim fx = 6 logo, conclui-se que ∄x→3lim fx, pois os limites laterais são distintos.
Exemplo 3: Dada a função fx = 1x , vamos verificar o comportamento da função quando tomamos valores próximos de
x = 0. Embora fx não esteja definida em x = 0, pode-se obter uma idéia da situação avaliando fx em valores de xcada vez mais próximos de 0 , tanto à esquerda quanto à direita, como foi feito no exemplo 1, através de uma tabela,
x fx
−0.1 −10
−0.01 −100
−0.001 −1000
−0.0001 −10000
−0.00001 −100000
donde podemos concluir que, para valores próximos de 0, à sua esquerda, fx decresce indefinidamente (sem limitação)e escrevemos:
limx→0−
fx = −∞ ,
De forma análoga, investigamos o limite à direita.
x fx
0.1 10
0.01 100
0.001 1000
0.0001 10000
0.00001 100000
donde podemos concluir que, para valores próximos de 0, à sua direita, fx cresce indefinidamente (sem limitação) eescrevemos:
limx→0+
fx = +∞
Concluimos então que ∄x→0lim fx , usando o argumento de que os limites laterais são distintos.
O gráfico da função fx = 1x está abaixo representado
22
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
Observação 1: Devemos enfatizar que os símbolos +∞ e − ∞, como usados aqui, descrevem uma maneira particularna qual o limite não existe; eles não são limites numéricos e, conseqüentemente, não podem ser manipulados usandoregras de álgebra. Por exemplo, não é correto escrever +∞ − +∞ = 0.
Observação 2: Se limx→a
fx , onde a não é ponto crítico ( a0
, por exemplo) ou ponto de descontinuidade, então o limite
existe e é fa. Caso contrário, devemos calcular os limites laterais.
Exemplo 4: Determine, se existir, o limite de:a) lim
x→1
xx − 1
b) limx→−2
x2 − 9x + 2
:
c) Calcule limx→0
fx onde fx =−1, se x = 0
x, se x ≠ 0
Teorema 2: (Limite no infinito) Se n ∈ N , então limx→±∞
1xn = 0
Teorema 3: (Limite Infinito) Se n ∈ N , então limx→0+
1xn = ∞ e lim
x→0−
1xn =
+∞, se n é par
− ∞, se n é ímpar
OBS.: Se n é par, limx→0+
1xn = lim
x→0−
1xn , então lim
x→0
1xn existe.
Se n é ímpar, limx→0+
1xn ≠ lim
x→0−
1xn , então lim
x→0
1xn não existe.
Exemplo: y = 1x2
-2 -1 1 2
-2
2
4
6
8
10
x
y
Expressões Indeterminadas:
23
00
, ∞∞ , ∞ − ∞, 00,∞0, 1∞
LISTA DE EXERCÍCIOS 8:
1) Explique com suas palavras o significado da equação
é possível diante da equação anterior que f2 = 3? Explique.
2) Para a função cujo gráfico é dado, determine o valor solicitado se existir. Se não existir, explique por quê.
3) Para a função cujo gráfico é dado, determine o valor solicitado se existir. Se não existir, explique por quê.
4) Para a função cujo gráfico é dado, determine o valor solicitado se existir. Se não existir, explique por quê.
24
5) Dado que
Encontre se existir, o limite. Se não existir, explique por quê.
6) Calcule os limites:
a) limx→∞
2x − 5x + 8
Resp.: 2
b) limx→−∞
2x3 − 3x + 54x5 − 2
Resp.: 0
c) limx→3
x2 − 9x − 3
Resp.: 6
d) limx→1
x − 1x − 1
Resp.: 1/2
e) limx→2
x3 − 4xx3 − 3x2 + 2x
Resp.: 4
f) limx→9
x − 9x − 3
Resp.: 6
g) limx→1
x2 + x − 2x − 1
Resp.: 3
7) Calcule os limites:
25
a)limx→3
x − 5x3 − 7
l)limt→∞
t2 − 2t + 32t2 + 5t − 3
b)limt→2
t2 − 52t3 + 6
m) limx→−∞
5x3 − x2 + x − 1x4 + x3 − x + 1
c)limr→1
8r + 1r + 3
n)limx→3+
xx − 3
, limx→3−
xx − 3
, limx→3
xx − 3
d)limx→1
x2 − 1x − 1
o)limy→0
1 − 1 + y
7y
e)limx→0
x + 2 − 2
x p)limt→0
4 − t + 22
9 − t + 32
f)limx→0
|x|x q)lim
x→−1 x2 + 3x + 2
x + 1
g)limx→0
x3 − xx r)lim
x→03x + 12 − 1
x3 − 3x
h)limx→∞
2x − 1x − 2
s)limx→1
x − 1x − 1
i)limx→∞
2xx2 − 1
t)limh→0
x + h2 − x2
h
j)limx→∞
x2 − 10x + 1 u)limx→∞
−x3 + 3x2
x3 − 1
k)limx→−2
x3 − 3x + 2x2 − 4
v)limx→0+
|x|x2 , lim
x→0−
|x|x2 , lim
x→0
|x|x2
Respostas do exercício 7)a)− 1
10 i)0 q)1b)− 1
22 j)+∞ r)−2c) 3
2 k)− 94 s) 1
2d)2 l) 1
2 t) 2x
e) 12 2
m)0 u)−1
f)∄ n)+∞,−∞,∄ v)+∞,+∞,+∞g)-1 o)− 1
14h)2 p) 2
3
4. Continuidade
Um grupo importante de funções de uma variável real é o das funções contínuas, isto é, funções que têm limite, emcada ponto de seu domínio, igual ao valor da função no ponto. O gráfico uma função contínua não tem quebras, saltos oufuros, ou seja, pode ser traçado sem levantar a ponta do lápis do papel.
Definição: Dizemos que uma função f é contínua no ponto a, se as seguintes condições forem satisfeitas:i) f é definida no ponto aii) lim
x→afx existe
iii) limx→a
fx = fa
Se f não satisfizer alguma destas condições, dizemos que a função f é descontínua em a ou que f tem umadescontinuidade no ponto a.
Dizemos que uma função f é contínua em um intervalo, se f for contínua em todos os pontos desse intervalo.
Exemplo 1: fx = 1x + 1
é contínua em x = −1?
26
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
Exemplo 2: fx =
1x2 , se x ≠ 0
1 , se x = 0é contínua em x = 0 ?
-4 -2 2 4-1
1
2
3
4
5
x
y
Exemplo 3: Em qual dos seguintes intervalos fx = 1x − 2
é contínua?
a) [ 2, ∞ b) (-∞, +∞ c) (2, ∞ d) [1 , 2]
Teorema: Todos os polinômios são contínuos para todo valor de x. Uma função racional é contínua em qualquer pontoonde ela é definida, isto é, em todos os pontos, exceto naqueles para os quais um ou mais de seus denominadores seanulam.
Exemplo 4: Esboce o gráfico de fx = x3 + 3x − 1e verifique se f é função contínua para todo x.Resp.:
-3 -2 -1 1 2 3
-10
-5
5
10
x
y
Assíntota Vertical:
A linha reta vertical x = a é chamada de assíntota vertical do gráfico da função f se pelo menos uma das seguintescondições for válida:i) lim
x→a+fx = +∞
27
ii) limx→a−
fx = +∞
iii) limx→a+
fx = −∞
iv) limx→a−
fx = −∞
Assíntota Horizontal:
A linha reta horizontal y = b é chamada de assíntota horizontal do gráfico de uma função f se pelo menos uma dasseguintes condições for válida:lim
x→+∞fx = b ou lim
x→−∞fx = b.
Traçado de Gráficos de Funções Racionais:
1o Passo: Se a função racional é dada como uma soma de quociente de polinômios, reunimos os termos num únicoquociente de polinômios, tomando o mínimo múltiplo comum.2o Passo: Determinar lim
x→∞fx e lim
x→−∞fx. Se esses limites são um número finito L, então y = L é uma assíntota horizontal.
3o Passo: Determinar os valores de x para os quais o numerador da função é zero. São os pontos onde o gráfico interceptao eixo dos x.4o Passo: Determinar os valores de x para os quais o denominador da função é zero, que é onde a função tende a ∞ ou −∞,determinando uma assíntota vertical.5o Passo: Os valores de x encontrados no 3o e 4o passos são os pontos onde a função pode mudar de sinal. Esses pontosdeterminam os intervalos. Determinamos, então, se a função é positiva ou negativa em cada um desses intervalos,calculando seu valor num ponto de cada intervalo.
Exemplo 5: Ache as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função f e trace-o:
1) fx = 3xx − 1
2) fx = 2x2 − 12x2 − 3x
3) yx = x2
x + 2
4) yx = x2 + 1x2 − 1
5) yx = 3xx2 − 4
6) yx = 2x2
9 − x2
Respostas:
1)
-4 -2 2 4
5
x
y
2)
-4 -2 2 4-2
2
4
x
y
3)
-6 -4 -2 2 4
-20
-10
10
x
y
4)
-4 -2 2 4
-5
5
x
y
5)
-4 -2 2 4
-2
2
x
y
6)
-6 -4 -2 2 4 6
-5
5
x
y
LISTA DE EXERCÍCIOS 9:
1) Dados os gráficos de f(x) e g(x) abaixo, estabeleça os números nos quais as funções são descontínuas e explique porquê.
28
f(x) g(x)
2) Faça o gráfico e determine, se existirem, os valores de x nos quais a função fx é descontínua:
a)fx =x
x2 − 1,se x ≠ ±1
0 ,se x = ±1b)fx =
0 ,se x ≤ 0
x ,se x > 0c)fx =
x2 − 4x + 2
,se x ≠ −2
1 ,se x = −2
d)fx =x + 3 ,se x ≠ 3
2 ,se x = 3e)fx =
x2 − 4 ,se x < 3
2x − 1 ,se x ≥ 3f)fx =
x + 6 ,se x ≤ −4
16 − x2 ,se −4 < x < 4
6 − x ,se x ≥ 4
g)fx =2x − 1 ,se x ≠ 2
0 ,se x = 2h)fx =
|x|x ,se x ≠ 0
1 ,se x = 0i)fx =
1x + 5
,se x ≠ −5
0 ,se x = −5
Gráficos:
a)
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
x
y
b)
-4 -2 0 2 4
2
4
x
y
c)
-4 -2 2 4
-6
-4
-2
2
x
y
d)
-4 -2 2 4
5
x
y
e)
-2 2 4
-5
5
10
x
y
f)
-4 -2 2 4
-2
2
4
x
y
g)
-4 -2 2 4
-5
5
x
y
h)
-4 -2 2 4
-2
-1
1
2
x
y
i)
-6 -4 -2 2
-2
2
x
y
3) Faça o gráfico e determine, se existirem, os valores de x, nos quais a função é descontínua:29
a) fx =
3 − x , se x < 1
4 , se x = 1
x2 + 1 , se x > 1
b) fx =x2 − 1 ,se x < 1
4 − x ,se x ≥ 1c) fx =
1x + 1
, se x > −1
1 , se x = −1
x + 1 , se x < −1
d) gx =
3 − x2 , se x < 1
1 , se x = 1
x + 1 , se x > 1
e) gx =1
x2 − 1, se x ≠ ±1
0 , se x = ±1f) fx =
3x − 1 ,se x ≤ 1
3 − x ,se x > 1
g) gx = 1x2 − x
h) yx = x2
x2 − 4i) yx = x2
x2 − x − 2Gráficos:
a)
-2 -1 0 1 2 3
5
10
x
y
b)
-4 -2 2 4
5
10
x
y
c)
-4 -2 2 4
-2
2
4
x
y
d)
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
x
y
e)
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
f)
-4 -2 2 4
-2
2
x
y
g)
-4 -2 2 4
-5
5
x
y
h)
-4 -2 2 4
-5
5
x
y
i)
-4 -2 2 4
-5
5
x
y
5. Derivadas
Taxa de Variação de uma Função (Seções 2.7 e 2.9 pág. 149 a 173 Cálculo, 5a edição, vol. 1, Stewart)
Taxa de variação média
Sejam x e y quantidades variáveis e suponha que y depende de x, tal que y = fx, onde f é uma função conveniente.Para calcularmos a taxa de variação de y por unidade de variação de x naturalmente começaremos por considerar umavariação em x, digamos △x. Esta variação em x provoca uma variação em y, digamos △y. Desta forma, podemos definir
taxa de variação média como: Tvm =△y△x
Exemplo 1: A tabela abaixo dá a população P dos EUA (em milhões de habitantes) no século XIX, a intervalos t de 10anos.
a) Qual a taxa de variação média da população dos EUA no período que vai de 1800 a 1850?b) Qual a taxa de variação média da população dos EUA no período que vai de 1840 a 1850?
Velocidade Média
Por exemplo, se numa viagem você dirigir 150km em 3h, então, dividindo 150km por 3h, conclui-se que você dirigiu,em média, 50km em 1h, isto é 50km/h. Isto não lhe indica, por exemplo, que após 1h de viagem você tenha percorridoexatamente 50km. Você pode ter parado num sinal de trânsito ou pode ter viajado a 55km/h !
Na tentativa de resolver matematicamente este problema, suponhamos que podemos descrever a distância percorridapor um objeto como uma função do tempo. Isto é, para cada valor do tempo t podemos associar um número d querepresenta a distância percorrida pelo objeto. Por exemplo, dt = 2t + 1 é uma função que descreve o movimento de umobjeto que se move ao longo de uma reta em termos do tempo t. Assim, se t for medido em segundos (seg) e d em metros(m), então, após 2seg, o objeto está a 5m (d2 = 2.2 + 1) ao longo da linha de movimento; 3seg mais tarde, isto é,quandot = 5seg, o objeto está a 11m ao longo da linha de movimento (d5 = 2.5 + 1).
A velocidade média, Vm, de um objeto em movimento é a razão (ou taxa) entre a distância percorrida pelo objeto e otempo gasto para percorrer esta distância.
Vm = △d△t
No exemplo dado, no intervalo de tempo que vai dos 2seg aos 5seg temos:
Vm = 11 − 55 − 2
= 2m/s ou Vm =dt + △t − dt
△t=
d2 + 3 − d25 − 3
= 2m/s.
Exercício: Sabendo que um objeto movimenta-se ao longo de uma linha, de acordo com a equação d = 3t − 2, faça umaanálise deste movimento, no intervalo de tempo que vai de 3seg a 7seg, determinando:a) △t ;b) △d;c) a velocidade média Vm do objeto quando este se desloca do ponto em que está aos 3seg do início do movimento, aoponto em que está aos 7seg.
Velocidade Instantânea
Consideremos, agora, o problema de determinar a velocidade de um objeto em movimento, num determinado instante t , oque significa determinar sua velocidade instantânea. O que podemos fazer, é imaginar intervalos de tempo △t cada vezmenores, para que as velocidades médias correspondentes possam dar-nos informações cada vez mais precisas do que sepassa no instante t. Somos, assim, levados ao conceito de velocidade instantânea Vt (ou taxa de variação instantâneado deslocamento), no instante t, como sendo o limite de Vm, quando △t tende a zero, isto é
Vt = lim△t→0
dt + △t − dt△t
Exemplo 3: Sabendo que um objeto movimenta-se ao longo de uma linha, de acordo com a equação d = 3t − 2,determine a velocidade instantânea para t = 3seg.
Exemplo 4:Uma bola é lançada de uma ponte, para o alto, e sua altura, y (em metros), acima do solo, t segundos depois, édada por y = −5t2 + 15t + 12.a) A ponte fica a que altura acima do solo?b) Qual é a velocidade média da bola durante o primeiro segundo?c) Obtenha um valor aproximado para a velocidade em t = 1seg.
31
d) Esboce um gráfico da função e determine a altura máxima atingida pela bola. Qual deve ser a velocidade no instante emque a bola atinge o topo?e) Use o gráfico para determinar o instante t em que a bola atinge sua altura máxima.
Coeficiente Angular da Reta Tangente a uma Curva
Para calcular o coeficiente angular da reta tangente a f em x0, tomamos a reta secante passando por P = x0, fx0 eum segundo ponto Q = x, fx qualquer. Aproximando x de x0 , a reta secante se aproxima da reta tangente.
Temos o coeficiente angular da reta secante:
ms =Δf
Δx=
fx − fx0x − x0
, para x ≠ x0. Então, ao x → x0, teremos o coeficiente angular da reta tangente:
m = limx→x0
fx − fx0x − x0
desde que o limite exista e seja finito.
Mudança de variável: se x − x0 = Δx x = Δx + x0.
Assim,fx − fx0
x − x0=
fΔx + x0 − fx0Δx
E, ao x → x0, Δx → 0 :
dfx0dx
= limx→x0
fx − fx0x − x0
= limΔx→0
fΔx + x0 − fx0Δx
Exemplo: Considere a função fx = x2
a) determine o coeficiente angular da reta tangente à curva da f, no ponto 1,1;b) determine a equação da reta tangente à curva da f, no ponto 1,1;c) construa o gráfico da curva da f e da reta tangente determinada, num mesmo sistema de eixos.
Observação: O coeficiente angular da reta tangente a f em x0 representa a taxa de variação instantânea de f em x0,também chamado de derivada de f em x0.
dfx0dx
= limΔx→0
Δf
Δx= lim
Δx→0
fΔx + x0 − fx0Δx
. chamada fórmula de Leibniz.
Notações para a Derivada:
32
y ′, f ′x, Dxfx, Dxy,dfx
dxou
dy
dx
Exemplos: Usando a fórmula de Leibniz, calcule a derivada das funções:1) fx = 2x + 1 em x = 2 :2) fx = x2 em x = 1 : E em x = 2 ?3) fx = 3x2 + 12 , em x = 2.
OBS.: Funções deriváveis são contínuas, mas nem toda função contínua é derivável.
Exemplo 4: Usando a primeira fórmula estudada, calcule a derivada da função abaixo em x = 2 :
fx =7 − x , se x > 2
3x − 1 , se x ≤ 2
A Derivada Como Uma Função:
Se considerarmos a derivada de f em x e fizermos x variar, obtemos a função derivadadf
dx, onde
dfxdx
é o coeficiente
angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto x, fx.dfx
dx= lim
Δx→0
fx + Δx − fxΔx
, obtida substituindo x0 por x.
Exemplo 1: Calcule a derivada de fx = 1x para x ≠ 0 :
Exemplo 2: Calcule a derivada de fx = 3x2 − 4 :
LISTA DE EXERCÍCIOS 10
1) Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal, onde s cm é a distância orientada da partícula a partir doponto 0 em t segundos. Ache a velocidade instantânea vt cm/s em t segundos e então ache vt1 para o valor de t1 dado:
a) s = 3t2 + 1; t1 = 3 Resp.: 6t; 18
b) s = 14t
; t1 = 12
Resp.: − 14t2 ;−1
c) s = 2t3 − t2 + 5; t1 = −1 Resp.: 6t2 − 2t; 8
d) s = 2t4 + t
; t1 = 0 Resp.: 84 + t2 ; 1
2
2) Um objeto cai do repouso de acordo com a equação s = −16t2, onde s cm é a distância do objeto ao ponto de partidaem t segundos e o sentido positivo é para cima. Se uma pedra cai de um edifício com 256 cm de altura, achea) a velocidade instantânea da pedra 1s. depois de iniciada a queda; Resp.: −32 cm/sb) a velocidade instantânea da pedra 2s. depois da queda; Resp.: −64 cm/sc) quanto tempo leva para a pedra atingir o solo? Resp.: 4sd) a velocidade instantânea da pedra quando ela atinge o solo. Resp.: −128 cm/s.
3) Uma bola de bilhar é atingida e movimenta-se em linha reta. Se s cm for a distância da bola de sua posição inicial após tsegundos, então s = 100t2 + 100t. Com qual velocidade a bola atingirá a tabela da posição inicial que está a 39 cm?Resp.: 160 cm/s.
4) Se uma bola for impulsionada de tal forma que ela adquira uma velocidade inicial de 24 cm/s ao descer um certo planoinclinado, então s = 24t + 10t2, onde o sentido positivo é o de descida do plano inclinado.
33
a) Qual será a velocidade instantânea da bola em t1 s.? Resp.: 24 + 20t1.b) Quanto tempo levará para que a velocidade aumente para 48 cm/s? Resp.: 1,2 s.
5) Uma frente fria aproxima-se de uma região. A temperatura é T graus t horas após a meia-noite eT = 0,1400 − 40t + t2 , 0 ≤ t ≤ 12.a) Ache a taxa de variação média de T em relação a t entre 5h e 6h: R.: T=-2,9 graus/hb) Ache a taxa de variação de T em relação a t às 5h: R.: -3 graus/h.
6) Uma bola é atirada verticalmente para cima a partir do chão, com velocidade inicial de 64 m/s. Se o sentido positivo dadistância do ponto de partida é para cima, a equação do movimento é s = −16t2 + 64t com t em segundos e s em metros.a) Ache a velocidade instantânea da bola ao fim de 1s. R.: 32 m/sb) Quantos segundos a bola leva para atingir o seu ponto mais alto? R.: 2 sc) Qual a altura máxima atingida pela bola? R.: 64 md) Decorridos quantos segundos a bola atinge o solo? R.: 4 se) Ache a velocidade instantânea da bola quando ela chega ao chão. R.: -64 m/s.
Regras de Diferenciação (Capítulo 3 pag. 183, 5a edição, Cálculo Vol.1 James Stewart)
Derivada de funções polinomiais e exponenciais (seção 3.1 pag. 183)
Derivada da função constante:ddx
c = 0
Derivada da potência de x :ddx
xn = n.xn−1, onde n ∈ Q
Derivada do produto de uma constante por uma função:
ddx
cv = c. ddx
v
Derivada da soma ou diferença de funções:
ddx
u + v = ddx
u + ddx
v
Derivada da função Exponencial Natural:
d
dxex = ex
Derivada da função Logaritmo:
d
dxlogax = 1
x lna; d
dxlnx = 1
x
Regra da Potência
ddx
ax = ax lna
34
Exemplo 1: yx = 2x.Solução: d
dx2x = 2x ln2 = 2x. 0.69
LISTA DE EXERCÍCIOS 11Exercícios ímpares 3 ao 35, seção 3.1 pag. 191 do livro texto.
Respostas exercícios ímpares
35
Regra do Produto e do Quociente (seção 3.2 pag. 192)
Regra do produto: Se as funções f e g têm derivadas em x, então seu produto também tem derivada e vale:
ddx
fx. gx = fx ddx
gx + gx ddx
fx
Exemplo 2: ddx
x3 + 3x − 14x12 − 6
Regra do quociente: Se as funções f e g têm derivadas em x e se gx não é zero, então o quocientefxgx
também tem
uma derivada em x e vale:
ddx
fxgx
=gx
dfxdx
− fxdgx
dxgx2
Exemplo 3: Calcule a derivada de d
dx x2
2x − 1 :
LISTA DE EXERCÍCIOS 12
1) Usando a definição de derivada (fórmula de Leibniz), calcule as seguintes funções:
a)fx = 2x2 + x, em x = 3 Resp.: f ′3 = 13b)gx = 1
x + 2, em x = 5 Rep.: g ′5 = − 1
49c)hx = x + 5 , em x = 4 Resp.: h ′4 = 1
6d)fx = − x2
4Resp.: f ′x = − x
2e)fx = 5x − 3 Resp.: f ′x = 5f)gx = x2 Resp.: g ′x = 2x
Derivada de Funções Trigonométricas:(seção 3.4, pág. 210)
d
dxsenx = cos x d
dxtanx = sec2x
d
dxcos x = −senx d
dxcos secx = −cos secxcotx
d
dxtanx = sec2x d
dxsecx = secx tanx
Exemplos:a) Diferencie y = x2senx.
b) Um objeto na extremidade de um mola vertical é esticado 4 cm além de sua posição no repouso e solto no instantet = 0. Sua posição no instante t é s = ft = 4cos t. Encontre a velocidade no instante t e use-a para analisar o movimentodo objeto.
LISTA DE EXERCÍCIOS 13
Exercícios ímpares 1 ao 15, seção 3.4 pág. 215 do livro texto.
Respostas
37
Regra da Cadeia (para funções compostas, seção 3.5 pag. 217):
Na última unidade vimos como diferenciar polinômios e funções racionais. Mas, frequentemente, precisamosdiferenciar potências dessas funções. Por exemplo, se y = fx2, da derivada do produto de funções, dá
dy
dx= d
dxfx. fx
= fx. f ′x + f ′x. fx
e, agrupando os termos, obtemos:dy
dx= 2fxf ′x.
É surpresa que a derivada de fx2 não seja simplesmente 2fx, como poderíamos esperar por analogia com afórmula Dxxn = nxn−1, com n = 2? Há um fator adicional, f ′x, cuja origem pode ser explicada escrevendo-seg = fx2, na forma
g = u2 com u = fx .
Entãodg
dx= d
dxfx2 ,
dg
du= 2u = 2fx e
dudx
= f ′x ,
de modo que a forma da derivada na equação toma a forma
ddx
gux = ddu
gu. ddx
ux
A equação acima - a regra da cadeia - é válida para duas funções diferenciáveis quaisquer y = gu e u = fx. Nestecaso, u ′x é chamada derivada da função interna.
Exemplo 1:Se
y = 3x + 517 ,
não seria prático achar o desenvolvimento binomial da 17a potência de 3x + 5. O resultado seria um polinômio com 18termos e alguns coeficientes teriam até 14 algarismos! Mas, se escrevermos
y = u17 com u = 3x + 5 ,
entãodg
du= 17u16 e du
dx= 3 .
Assim, a regra da cadeia fornece
38
ddx
3x + 517 =dy
dx=
dy
du. du
dx= 17u16 . 3
= 173x + 516. 3 = 513x + 516 .
Exemplo 2: a) yx = x2 + 4 , b) yx = x2x3 + 2x10, c) yx = 3xx2 + 7
9d) y = e2x e)
y = ln2x2f) y = e−3x3x2 + 13 Resposta.: y ′ = −3e−3x3x2 + 13 + 18xe−3x3x2 + 12
A Regra da Cadeia para as funções trigonométricas
Se u = fx então:
d
dxsenu = cos u.Dxu
d
dxcotgu = −cos ec2u.Dxu
d
dxcos u = −senu.Dxu d
dxsecu = secu. tgu.Dxu
d
dxtgu = sec2u.Dxu
d
dxcos ecu = −cos ecu. cotgu.Dxu
Exemplos: Calcule a derivada de:
1) y = cos2x R.: y ′ = −2cos xsenx
2) y = sen34x R.: y ′ = 12sen24xcos4x
LISTA DE EXERCÍCIOS 14
Exercícios ímpares 7 ao 35, seção 3.5 pag. 223 do livro texto.
39
Respostas
Diferenciação Implícita (seção 3.6, pág. 226)
Até agora, nossas funções envolvendo duas variáveis foram expressas, de maneira geral,na forma explícita y = fx.Em outras palavras, uma das duas variáveis era dada isolada em função de outra. Por exemplo,
y = 3x − 7, s = −16t2 + 20t, u = 3cos w
estão todas escritas em forma explícita, e dizemos que, y, s e u são funções de x, t e w, respectivamente. Muitas funções,no entanto, não são dadas de forma explícita, sendo definidas apenas implicitamente por determinada equação. Por
exemplo, a função y = 1x pode ser definida implicitamente pela equação xy = 1. Suponha que você quer achar
dy
dxnessa equação. Acontece que isso é, de fato, razoavelmente simples, e você provavelmente começaria resolvendo aequação para y (isto é, isolando y).
40
Forma implícita Forma explícita Derivada
xy = 1 y = 1x = x−1 dy
dx= −x−2 = −1
x2
Esse método funciona bem quando é fácil isolar a variável dependente. No entanto, não podemos usá-lo nos casos em que
não sabemos isolar y como função de x. Por exemplo, como encontrardy
dxna equação
x2 − 2y3 + 4y = 2
onde é difícil expressar y como função de x explicitamente? Para fazer isso, usamos diferenciação implícita, ondesupomos que y é uma função de x.
Para entender como encontrardy
dximplicitamente, você precisa compreender que a derivação está sendo feita em relação
a x. Isso significa que, ao derivar termos envolvendo apenas x, derivamos como de hábito. Mas, ao derivar termosenvolvendo y, precisamos usar a Regra da Cadeia, já qie estamos supondo que y está definido, implicitamente, comofunção de x.Estude os próximos exemplos com atenção. Note, em particular, como a Regra da Cadeia é utilizada para introduzir o
termody
dx.
Exemplo 1:
Encontredy
dxdado que y3 + y2 − 5y − x2 = −4.
1. Derive ambos os lados da equação em relação a x. Não deixe de lembrar que, ao derivar termos que contém y, devemosaplicar a Regra da Cadeia.
ddx
y3 + y2 − 5y − x2 = ddx
−4
ddx
y3 + ddx
y2 − ddx
5y − ddx
x2 = ddx
−4
3y2 dy
dx+ 2y
dy
dx− 5
dy
dx− 2x = 0
2. Junte os termos contendody
dxno lado esquerdo da última equação obtida.
3y2 dy
dx+ 2y
dy
dx− 5
dy
dx= 2x
3. Fatoredy
dxdo lado esquerdo da equação.
dy
dx3y2 + 2y − 5 = 2x
4. Isoledy
dxna última equação.
dy
dx= 2x
3y2 + 2y − 5
Observação:
Note, que a diferenciação implícita produz uma expressão parady
dxque contém x e y.
Exemplo 2:Determine a inclinação da reta tangente ao gráfico de 3x2 + y2 2
= 100xy no ponto 3,1.
Para obter a inclinação pedida, vamos determinardy
dx. Para maior praticidade, trocaremoa a notação
dy
dxpor y ′.
41
3x2 + y2 2 ′= 100xy ′
32x2 + y22x + 2yy ′ = 100xy ′ + y1
12xx2 + y2 + 12yx2 + y2y ′ = 100xy ′ + 100y
12yx2 + y2y ′ − 100xy ′ = 100y − 12xx2 + y2
y ′12yx2 + y2 − 100x = 100y − 12xx2 + y2
y ′ =100y − 12xx2 + y212yx2 + y2 − 100x
Logo, a inclinação da tangente no ponto 3, 1 é:
m3, 1 =1001 − 12332 + 12 12132 + 12 − 1003
= 139
.
A curva 3x2 + y2 2= 100xy dada neste exemplo é chamada lemniscata
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-3 -2 -1 1 2 3x
Exemplo 3:
Determinedy
dxpara senxy = 2x + 5.
Derivando toda expressão senxy ′ = 2x + 5 ′, obtemos cosxyxy ′ + y. 1 = 2, depois isolamos y ′.cosxyxy ′ + ycosxy = 2xcosxy.y ′ = 2 − ycosxy
y ′ =2 − ycosxy
xcosxy
Exercícios:
1 Encontredy
dxdado que x2 − 2y3 + 4y = 2.
2 a) Se x2 + y2 = 25, encontredy
dx;
b) Encontre uma equação tangente ao círculo x2 + y2 = 25 no ponto 3,4.
Derivada das funções trigonométricas inversas (pág. 231)
A função inversa da função seno é dada por:
y = sen−1x significa seny = x. Diferenciando seny = x implicitamente em relação a x obtemos cos y.dy
1.4) yx = exp−x Resp.: y ′′x = exp−x1.5) yx = 1 − x3 Resp.: y ′′x = 61 − x
2) Ache f4x se fx = 2x − 1
. Resp.: f4x = 48x − 15
3) Ache f5x se fx = cos2x − sin2x. Resp.: f5x = −32sin2x + cos2x
4) Dada x2 + y2 = 1, mostre qued2y
dx2 = − 1y3 .
5) Dada x2 + 25y2 = 100, mostre qued2y
dx2 = − 425y3 .
6) Dada x3 + y3 = 1, mostre qued2y
dx2 = − 2xy5 .
7) Uma partícula está se movendo ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada. Ache a velocidade e aaceleração em função do tempo t.
44
a) s = 16
t3 − 2t2 + 6t − 2 Resp.: v = t2
2− 4t + 6;a = t − 4
b) s = 12516t + 32
− 25
t5 Resp.: v = − 200016t + 322 − 2t4;a = 64000
16t + 323 − 8t3
c) s = 9t2 + 2 2t + 1 Resp.: v = 18t + 22t + 1−
12 ;a = 18 − 22t + 1
−32
d) s = 49
t32 + 2t
12 Resp.: v = 2
3t
12 + t
−12 ;a = 1
3t−
12 − 1
2t−
32
8) Exercícios ímpares 5 ao 20, seção 3.7, pág. 239 do livro texto.
Calcule a derivada primeira e segunda das seguintes funções
Respostas
Derivada de funções logaritmicas (seção 3.8, pág. 242)
ddx
logax = 1x lna
45
Demonstração: Se y = logax, então ay = x. Derivando a equação implicitamente com respeito a x, tem-se
aylnady
dx= 1,
dy
dx= 1
ay lna= 1
x lna.
Exemplo 1: Diferencie y = lnx3 + 1. Resposta: 3x2
x3 + 1.
Diferenciação Logarítmica
Passos:1) Tome o logaritmo natural em ambos os lados de uma equação y = fx e use as propriedades dos logaritmos parasimplificar.2) Diferencie implicitamente em relação a x.3) Resolva a equação resultante para y ′.
Exemplo 2: Diferencie y =x3/4 x2 + 1
3x + 25 . Resposta: y 34x
+ xx2 + 1
− 153x + 2
.
Exemplo 3: Diferencie y = x x .
Solução: Use a diferenciação logaritmica:
lny = lnx x = x lnx e derive implicitamente
Resposta: y ′ = x x 2 + lnx2 x
.
LISTA DE EXERCÍCIOS 17
Excercícios: seção 3.8, pág. 247, exercícios 3 ao 20 do livro texto.
Calcule as derivadas usando as regras adequadas
46
Respostas
Funções Hiperbólicas (seção 3.9, pág. 248)
Certas combinações das funções exponenciais ex e e−x surgem frequentemente em aplicações da matemática e, por isso,merecem nomes especiais. Elas são análogas às funções trigonométricas e possuem a mesma relação com a hipérbole queas funções trigonométricas têm com o círculo. Por isso são chamadas funções hiperbólicas, particularmente senohiperbólico, cosseno hiperbólico e assim por diante.
Definições:
47
senhx = ex − e−x
2cos sechx = 1
senhx
coshx = ex + e−x
2sechx = 1
coshx
tghx = senhxcoshx
cotghx = coshxsenhx
Gráficos: senhx, coshx e tanhx.
-4 -2 2 4
-50
50
x
y
-4 -2 0 2 4
20
40
60
x
y
-4 -2 2 4
-1
1
x
y
A aplicação mais famosa é o uso do cosseno hiperbólico para descrever a curva formada por um fio suspenso entre doispontos, chamada função catenária, y = c + acoshx/a.
Derivadas de funções Hiperbólicasd
dxsenhx = coshx d
dxcos sechx = −cos sechxcothx
d
dxcos hx = senhx d
dxsechx = − sechx tanhx
d
dxtanhx = sech2x d
dxcothx = −cos sech2x
LISTA DE EXERCÍCIOS 18
Exercícios ímpares 30ao 47, seção 3.9, pág. 254 do livro texto.
Enconte a derviada das seguintes funções hiperbólicas
48
Respostas
6. Aplicações da derivada
Taxas Relacionadas (seção 3.10, pág. 255)
São problemas envolvendo taxas de variação de variáveis que estão relacionadas.
Exemplo 1: Uma escada com 10 u.c. (unidades de comprimento) está apoiada numa parede vertical. Se o pé da escada forpuxado horizontalmente, afastando-se da parede a 1 u.c. por segundo, qual a velocidade com que a escada está deslizandopara baixo na parede, quando seu pé está a 6 u.c. da parede? (Resp. − 3
4 u. c/s Exemplo 2 pág. 256).
Exemplo 2: Um tanque tem a forma de um cone invertido com 4 m. de altura e uma base com 2 m. de raio. A água flui notanque a uma taxa de 2 m3/min. Com que velocidade o nível da água estará se elevando quando sua profundidade for de 3m.? (Exemplo 3, pág. 256).
( Use as relações: Volume do cone = πr2h3
e rh
= 24
)
Exemplo 3: Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindo a direção oeste a 50 mi/h e ooutro seguindo a direção norte a 60 mi/h. Qual a taxa segundo a qual eles se aproximam um do outro no instante em que oprimeiro carro está a 0,3 mi do cruzamento e o segundo a 0,4 mi? (Exemplo 4 pág. 257). Resp: -78 mi/h.
49
LISTA DE EXERCÍCIOS 19
1. Duas variáveis x e y são funções de uma variável t e estão relacionadas pela equação: y2 − 3xy + x2 = 25. Se a taxade variação de x em relação a t é igual a 1 quando x = 0, então determine qual a taxa de variação de y em relação a tneste mesmo instante.RESPOSTA: y ′ = 3
2 .
2. Uma escada de 6m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada começa a escorregarhorizontalmente à taxa constante de 0,6 m/s, com que velocidade o topo da escada percorre a parede quando ele está a 4mdo solo.
RESPOSTA: −3 510 m/s.
3. Às 8h o navio A está a 25 km ao sul do navio B. Se o navio A está navegando para o oeste à 16km/h e o navio B estánavegando para o sul a 20km/h então determine a razão em que a distância entre os navios está variando às 8h30min.RESPOSTA: −172/17Km/h.
4. Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4m de altura e raio da base 2m. Se a água entra notanque à razão de 0,001m3/min, calcule a razão em que o nível de água está subindo quando a altura é 1m.RESPOSTA: 4/1000 m/min.
5. Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diâmetro varia à razão de 0, 01cm/min. Determine a taxa à qual aárea de uma das faces varia quando o diâmetro é 30cm. (A = πr2RESPOSTA:0,15π cm2/min.
6. Suponha que uma bola de neve esteja se derretendo, com raio decrescendo à razão constante, passando de 30cm para20cm em 45 minutos. Qual a variação do volume quando o raio está com 25cm. ( V = 4
3 πr3RESPOSTA:-5000π/9 cm3/min.
7. Uma pessoa que solta um papagaio segura a corda a 1, 5m do solo. A corda é liberada à razão de 0, 6m/s na medida emque o papagaio se move horizontalmente a uma altura de 33,5m. Supondo que a corda fique sempre tensa, determine ataxa à qual o papagaio está se movendo no instante em que foram liberados 38m de corda. RESPOSTA:1,112 m/s
Diferencial (pág. 264)
Estudaremos agora a relação entre o incremento Δy e a derivada. Isto ocorre quando precisamos fazer uma estimativada variação em fx devida a uma variação em x. A variação em x (variável independente) é chamada de incremento Δx,isto é, x varia de x para x + Δx. A variação em y (variável dependente), onde y = fx , é chamada de incremento Δy, paraobtê-lo devemos subtrair o valor inicial de y de seu novo valor:
Δy = fx + Δx − fx
Vejamos, agora, qual a alteração que ocorre no valor de y, se este continuasse a variar à taxa fixa f ′x, enquanto ovalor da variável independente passa de x para x + Δx. A esta alteração de y, chamaremos de diferencial de y erepresentaremos
dy = f ′xΔx ou dy = f ′xdx
Note que dy é uma função linear, por isso é chamada aproximação linear do incremento Δy.
Exemplo 1: Comparando Δy e dy Considere a função fx = x2. Encontre:
50
a) dy quando x = 1 e dx = 0,01; b) Δy quando x = 1 e Δx = 0,01; c) compare dy e Δy.
Exemplo 2: O raio de uma esfera tem 21 cm, com um erro de medida possível de no máximo 0, 05 cm. Qual é o erromáximo cometido ao usar esse valor de raio para computar o volume da esfera (V = 4
3 πr3? Resposta: 277 cm3.
Nota: Embora o erro possível possa parecer muito grande, uma idéia melhor dele é dada pelo erro relativo, que écomputado dividindo-se o erro pelo volume total. No caso do exemplo anterior:ΔVV
≈ dVV
= 3 drr
Assim, o erro relativo no volume é cerca de três vezes o erro relativo no raio. No exemplo 3, o erro relativo no raio é
aproximadamente drr =
0,0521
≈ 0,0024 e produz um erro relativo de cerca de 0,007 no volume. Os erros também
podem ser expressos como erros percentuais de 0,24% no raio e 0,7% no volume.
LISTA DE EXERCÍCIOS 20
1) a) encontre a diferencial dy e b) calcule dy para os valores dados de x e dx.a) y = x2 + 2x, x = 3, dx = 1/2. Resp.: b) dy = 4.b) y = ex/4, x = 0, dx = 0,1. Resp.: b) dy = 0,025.c) y = 4 + 5x , x = 0, dx = 0,04. Resp.: dy = 0,05.d) y = 1/x + 1, x = 1, dx = −0,01. Resp.: dy = 0,0025.
2) Use as diferenciais para estimar o número dado.a) 2,0015 Resp.: 32,08.b) 8,062/3 Resp.: 4,02.c) 99,8 Resp.: 9,99.
3) A aresta de um cubo tem 30 cm, com um possível erro de medida de 0,1 cm. Use diferencias para estimar o erromáximo possível, o erro relativo e o erro percentual ao computara) o volume do cubo. Resposta: 270 cm3, 0,01, 1%.b) a área da superfície do cubo. Resposta: 36 cm2, 0,006, 0,6%.
4) O raio de um disco circular é 24 cm, com um erro possível de 0,2 cm.a) Use diferenciais para estimar o erro máximo na área do disco calculado. Resp. : 9,6π.b) Qual o erro relativo e o erro percentual? Resp. : 0.016; 1,6%.
Formas Indeterminadas e a Regra de L’Hôspital
Se limx→a
fx = 0 = limx→a
gx , diz-se que o quocientefxgx
tem a forma indeterminda 00
em x = a.
Se limx→a
fx = ∞ = limx→a
gx , diz-se que o quocientefxgx
tem-se a forma indeterminada ∞∞ em x = a.
Outras formas indeterminadas podem aparecer quando se quer calcular o limite. Resumindo, são 7 as formasindeterminadas
00
, ∞∞ , ∞ − ∞, 1∞, 00, ∞0, 0 ⋅ ∞.
Primeira Regra de L’Hôspital
51
Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I, exceto possivelmente em um número a em I. Suponha que, paratodo x ≠ a em I, g′x ≠ 0.
Então, se limx→a
fx = 0 = limx→a
gx e se limx→a
f ′xg ′x
= L , então, limx→a
fxgx
= L.
Observação: A regra também é valida se a ou L forem substituidos por +∞ ou −∞ .
Exemplo 1: Calcule limx→0
sen2xx .
Solução: Temos uma forma indeterminada 00 . Agora, limx→0
d
dxsen2xd
dxx
= limx→0 2 cosx2 x = 0.
Logo, pela primeira regra de L’Hôspital, limx→0
sen2xx = 0 .
Exemplo 2: Calcule limx→0
ex − e−x
senx.
Solução: Novamente, temos a forma indeterminada 00 e lim
x→0
d
dxex − e−x d
dxsenx
= limx→0
ex + e−x
cosx= 2
Logo, pela primeira regra de L’Hôspital, limx→0
ex − e−x
senx= 2.
Segunda Regra de L’Hôspital
Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I, exceto possivelmente em um número a em I. Suponha que, paratodo x ≠ a em I, g′x ≠ 0.
Então, se limx→a
fx = ∞ ou −∞ , limx→a
gx = ∞ ou −∞ e se limx→a
f ′xg ′x
= L , então, limx→a
fxgx
= L.
Observação: Os números a e L podem ser ∞ ou −∞ .
Exemplo 1: Calcule limx→0+
x lnx
Solução: Aqui temos uma indeterminação do tipo 0−∞. Para podermos aplicar uma das regras de L’Hôspital, devemostransformá-la em uma das indeterminações ∞
∞ ou 00
.
limx→0+
x lnx = limx→0+
lnx1x
= − ∞∞ .
Agora, aplicando a segunda regra de L’Hôspital, limx→0+
d
dxlnx
d
dx
1x
= limx→0+
− x = 0.
Portanto limx→0+
x lnx = 0
Exemplo 2: Calcule: limx→∞
ex
x
Solução: limx→∞
ex
x = ∞∞ . Assim, pela segunda regra de L’Hôspital, lim
x→∞
d
dxex
d
dxx
= limx→∞
ex = ∞.
Portanto, limx→∞
ex
x = ∞
52
LISTA DE EXERCÍCIOS 21
Exercícios: Faça os exercícios ímpares 5 ao 23 página 313 do livro texto.
Calcule o limiteRespostas
Derivadas e Gráficos (Seção 4.3, pág. 296)
O que a Derivada nos diz, graficamente?
Muitos problemas práticos são formulados em termos de encontrar o valor máximo ou mínimo de uma função f emum certo intervalo, como veremos nos exemplos que serão abordados aqui. Desta forma, num primeiro momento, éimportante saber como determinar estes valores.
Por exemplo, observe o gráfico abaixo:
53
x
y
Neste exemplo, o pico pode ser caracterizado em termos de retas tangentes ao gráfico. O pico é o único ponto dográfico no qual a tangente é horizontal, isto é, no qual o coeficiente angular da tangente é zero.
∙ Qual seria o coeficiente angular de uma reta tangente ao gráfico, à esquerda do pico ?∙ Qual seria o coeficiente angular de uma reta tangente ao gráfico, à direita do pico ?Quando f ’é positiva, a tangente está inclinada para cima; quando f ’é negativa, a tangente está inclinada para baixo.
Se f ’=0, então, a tangente está na horizontal. Assim, o sinal da f ’nos diz se a f está crescendo ou decrescendo.
Se f ′ > 0 em um intervalo, então a f é crescente neste intervalo.
Se f ′ < 0 em um intervalo, então a f é decrescente neste intervalo.
Se f ′ = 0 em um intervalo, então a f é constante neste intervalo.
Exemplo 1: Considere a função fx = x2 − 6x + 5 :
-1 1 2 3 4 5 6
-4
-2
2
4
x
y
Sua derivada, 2x − 6, se anula em x = 3. De fato, observe no gráfico, que a reta tangente à curva nesse ponto, éhorizontal.
Novamente, observando o gráfico, concluímos que a função é decrescente até o ponto 3,−4 e crescente, a partirdele. Escrevemos:
f é decrescente em −∞; 3
f é crescente em 3;+∞
Pontos Críticos:
O ponto x0 é um ponto crítico de uma função f, se f é definida em um intervalo aberto contendo x0 e a derivada f ′x0 ézero ou não existe.
Exercício: Ache os pontos críticos da função fx = 4x2 − 3x + 2. Resp.: 3/8
54
-3 -2 -1 0 1 2 3
10
20
x
y
Observe que quando uma função passa de crescente para decrescente, ou de decrescente para crescente, ela passa porum extremo (máximo ou mínimo) local. Freqüentemente, as palavras máximo e mínimo são usadas para significarmáximo e mínimo locais. Usam-se as expressões máximo absoluto ou mínimo absoluto, para designar o máximo ou omínimo da função em todo o seu domínio.
Uma função pode não ter máximo nem mínimo. Por exemplo, fx = 1x . Construa seu gráfico e verifique !
Teste da Derivada PrimeiraO que foi discutido até aqui, pode ser resumido pelo Teste da Derivada Primeira, que nos permite determinar
máximos ou mínimos de uma dada função:Seja f uma função e a um número de seu domínio, tal que f ′a = 0, ou não existe f ′a. Se f ′x for positiva à
esquerda e negativa à direita de a, então a, fa será um ponto de máximo de f. Ao contrário, se f ′x for negativa àesquerda e positiva à direita de a, então a, fa será um ponto de mínimo de f.
Se fa é o máximo absoluto (ou mínimo absoluto) de uma função contínua f no intervalo fechado x1,x2 , a é tal quef ′a = 0 ou não existe f ′a , ou ainda, poderemos ter a = x1 ou a = x2 . Em outras palavras, o máximo ou o mínimoabsoluto de uma função em um intervalo, podem ocorrer nos extremos deste intervalo.
Exercícios: Calcule os valores máximos e mínimos absolutos das funções:
1) fx = 23 − x em −1,2 R.: Mín.: (2,2) Máx.: (-1,8)2) fx = 2x + 5
3em 0,5 R.: Mín.: (0,5/3) Máx.: (5,5)
3) fx = −x2 + 3x em 0,3 R.: Mín.: (0,0) e (3,0) Máx.: (3/2,9/4)4) fx = x3 − 3x2 em −1,3 R.: Mín.: (-1,-4) e (2,-4) Máx.: (0,0) e (3,0)5) fs = 1
s − 2em 0,1 R.: Mín.: (1,-1) Máx.: (0,-1/2)
6) Explique porque a função fx = 1x2 tem um máximo em 1,2 mas não em 0,2.
7) Explique porque a função fx = 1x + 1
tem um mínimo em 0,2 mas não em −2,0.
LISTA DE EXERCÍCIOS 22
Exercício: Ache os pontos críticos das funções e Trace seus gráficos.
1) fx = 4x2 − 3x + 2 2) fx = 2x + 5 3) st = 2t3 + t2 − 20t + 4
7) Exercícios: Resolva os exercícios ímpares do número 15 ao 30 da página 286 do livro texto.
Encontre os valores máximos e mínimos locais e absolutos e esboce o gráfico.
31 ao 46: Encontre os pontos críticos da função
56
Respostas
O que a Derivada Segunda nos diz, graficamente?
Veja o gráfico da função f definida por fx = x − 13 :
-2 -1 1 2 3
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Observe que à esquerda do ponto 1, 0 a curva da f é voltada para baixo (côncava para baixo) e à sua direita, acurva é voltada para cima (côncava para cima). Portanto, no ponto 1,0 há uma mudança na concavidade do gráfico.Este ponto é dito ponto de inflexão da função f.
Assim como o sinal da derivada primeira de uma função nos dá informações a respeito do crescimento da mesma, osinal da derivada segunda nos dá informações a respeito de sua concavidade, quais sejam:
57
f ′′x < 0 para x ∈ a;b ⇒ f é côncava para baixo em a;b
e
f ′′x > 0 para x ∈ a;b ⇒ f é côncava para cima em a;b
Seja f uma função e x0 um número de seu domínio, tal que f ′′x0 = 0 ou não existe f ′′x0. O ponto x0, fx0 éponto de inflexão da f se houver uma reta tangente, bem como, uma mudança de concavidade em x0, fx0.
Teste da Derivada Segunda
O que foi discutido acima, pode ser resumido pelo Teste da Derivada Segunda, que nos permite determinarmáximos ou mínimos de uma dada função:
Seja f uma função e a um número de seu domínio, tal que f ′a = 0, ou não existe f ′a.
Se f ′′x for positiva a, fa será um ponto de mínimo de f. Se f ′′x for negativa, então a, fa será um ponto demáximo de f.
LISTA DE EXERCÍCIOS 23
1) Calcule os valores máximos e mínimos das funções:a) fx = −x2 + 3x em 0,3 R.: Mín.: (0,0) e (3,0) Máx.: (3/2,9/4)b) fx = x3 − 3x2 em −1,3 R.: Mín.: (-1,4) e (2,-4) Máx.: (0,0) e (3,0)c) fs = 1
s − 2em 0,1 R.: Mín.: (1,-1) Máx.: (0,-1/2)
2) Explique porque a função fx = 1x2 tem um máximo em 1,2 mas não em 0,2.
3) Trace o gráfico das seguintes funções, encontrando os pontos críticos, os pontos de inflexão, os intervalos onde afunção é crescente, decrescente, onde a função têm concavidade voltada para cima e onde têm concavidade voltada parabaixo:
a) fx = x3 + 7x2 − 5x b) fx = 2x3 − 2x2 − 16x + 1 c) fx = x4 + 4x3 − 2x2 − 12x
Exemplo 1: Deve-se construir uma caixa com base retangular, usando um retângulo de cartolina com 16cm de largura e21cm de comprimento, cortando-se um quadrado em cada canto. Determine as dimensões desse quadrado para que acaixa tenha o volume máximo possível.
Comecemos por fazer um desenho da peça de cartolina, onde introduzimos a variável x para denotar o comprimentodo quadrado a ser cortado de cada canto. Nosso objetivo é maximizar o volume V da caixa a ser construída, dobrando-se acartolina ao longo das retas pontilhadas.É importante perceber que existe, no contexto do problema, uma infinidade de caixas que podem ser fabricadas com apeça de cartolina, em questão. Você deve se perguntar que forma a caixa deve ter para que isto seja possível. Ela deve seralta, baixa, ou quase cúbica? Você pode até calcular alguns volumes bastando, para isto, lembrar que suas dimensões sãox , 21 − 2x e 16 − 2x , para conseguir desenvolver uma visão intuitiva de quais são as dimensões procuradas. Por exemplo:
Se x = 2 teremos V = 2 × 17 × 12 = 408 cm3
Se x = 0,7 teremos V = 0,7 × 19,6 × 14,6 = 200, 312 cm3
Se x = 2,8 teremos V = 2,8 × 15,4 × 10,4 = 448 ,448 cm3
De forma genérica, o volume V da caixa na figura (ii) é dado por:
V = x16 − 2x21 − 2x = 2168x − 37x2 + 2x3 .
Esta equação exprime V como função de x. Passemos à determinação dos valores críticos de V:DxV = 2168 − 74x + 6x2 = 43x − 28x − 3.
Os valores críticos são, portanto, 283
e 3 . Como 283
está fora do domínio de x, resta o valor crítico 3 .
59
Aplicamos o Teste da derivada primeira e, como:V′0 = 336 > 0 ⇒ V é crescente à esquerda de 3V′4 = −64 < 0 ⇒ V é decrescente à direita de 3 ,concluímos que o máximo de V ocorre em x = 3.
Verifiquemos, finalmente, a existência de máximos e mínimos nos pontos extremos. Como o domínimo da função é ointervalo 0;8 , e, como V = 0 se x = 0 ou x = 8, o máximo de V não ocorre em nenhum dos pontos extremos dodomínio. Conseqüentemente, deve-se cortar de cada canto um quadrado de 3cm de lado para se obter a caixa de volumemáximo.
LISTA DE EXERCÍCIOS 24
1) A potência P de uma bateria de automóvel é dada por P = VI − I2r, para uma voltagem V, corrente I e resistênciainterna r da bateria. Que corrente corresponde à potência máxima? Resp.: I = V
2r
2) A tosse faz com que a traquéia se contraia, afetando assim a velocidade com que o ar passa por ela. Suponha que avelocidade do ar ao tossir seja descrita pela fórmula v = kR − rr2; onde k é uma constante, R é o raio normal da traquéiae r é o raio da mesma durante a tosse. Que raio produz a maior velocidade? Resp.: r = 2R
3
3) A concentração C de uma certa substância química no fluxo sangüíneo em t horas após ser injetado no músculo é dadapor C = 3t
27 + t3 . Em que instante a concentração será máxima? Resp.: ≈ 2,38 horas.
4) Após a administração de uma substância química, sua concentração no fluxo sangüíneo do paciente durante umintervalo de duas horas é da forma C = 0,29483t + 0,04253t2 − 0,00035t3 , onde C é medido em miligramas e t é otempo em minutos. Encontre os intervalos abertos em que C cresce ou decresce. Em que instante a concentração serámáxima? Resp.: Crescente quando 0 < t < 84,3388 minutos. Decrescente quando 84,3388 < t < 120 minutos.
5) Que número positivo x minimiza a soma de x e seu inverso?Resp.: x = 1.
6) Um fazendeiro dispõe de 200 m de cerca para cercar dois currais adjacentes. Quais devem ser as dimensões para que aárea cercada seja máxima?Resp.: x = 25m, y = 100
3 m.
7) Deseja-se fazer uma caixa aberta com uma peça quadrada de material de 6 polegadas por 6 polegadas cortando-sequadrados iguais de cada canto e dobrando-se os lados. Ache o volume da maior caixa que pode ser feita desta maneira.Resp.: v = 16 pol3
8) Uma quadra para prática de educação física consiste em uma região retangular com um semicírculo em cadaextremidade. O perímetro da quadra deve ter 200 m. Ache as dimensões que maximizem a área da região retangular.
60
Resp.: x = 50m,y = 100π m
9) Uma viga de madeira tem seção transversal de altura h e largura w. A resistência da viga é diretamente proporcional àsua largura e ao quadrado de sua altura. Quais são as dimensões da viga mais resistente que pode ser cortada de uma torade seção circular de 24 polegadas de diâmetro. (Sugestão: S = kh2w, onde k é uma constante de proporcionalidade.)Resp.: h = 384 ; w = 192 .
