US Federal Reserve: 199826pap

8/14/2019 US Federal Reserve: 199826pap

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P

R e v i s i t e d : M o n e y - B a s e d I n a t i o n F o r e c a s t s

w i t h a C h a n g i n g E q u i l i b r i u m V e l o c i t y

A t h a n a s i o s O r p h a n i d e s a n d R i c h a r d P o r t e r

B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m

M a y 1 9 9 8

A b s t r a c t

T h i s p a p e r i m p l e m e n t s r e c u r s i v e t e c h n i q u e s t o e s t i m a t e t h e e q u i l i b r i u m l e v e l o f M 2

v e l o c i t y a n d t o f o r e c a s t i n a t i o n u s i n g t h e P

m o d e l . T h e r e c u r s i v e e s t i m a t e s o f e q u i l i b r i u m

v e l o c i t y a r e o b t a i n e d b y a p p l y i n g r e g r e s s i o n t r e e s a n d l e a s t s q u a r e s m e t h o d s t o a s t a n d a r d

r e p r e s e n t a t i o n o f M 2 d e m a n d , n a m e l y a m o d e l i n w h i c h t h e v e l o c i t y o f M 2 d e p e n d s o n t h e

o p p o r t u n i t y c o s t o f h o l d i n g M 2 i n s t r u m e n t s . E q u i l i b r i u m v e l o c i t y i s d e n e d a s t h e l e v e l o f

v e l o c i t y t h a t w o u l d b e e x p e c t e d t o o b t a i n i f d e p o s i t r a t e s w e r e a t t h e i r l o n g - r u n a v e r a g e

( e q u i l i b r i u m ) v a l u e . W e s i m u l a t e t h e a l t e r n a t i v e m o d e l s t o o b t a i n r e a l - t i m e f o r e c a s t s o f

i n a t i o n a n d e v a l u a t e t h e p e r f o r m a n c e o f t h e f o r e c a s t s o b t a i n e d f r o m t h e a l t e r n a t i v e m o d e l s .

W e n d t h a t , w h i l e a P

m o d e l a s s u m i n g a c o n s t a n t e q u i l i b r i u m v e l o c i t y d o e s n o t p r o v i d e

a c c u r a t e i n a t i o n f o r e c a s t s i n t h e 1 9 9 0 s , a m o d e l b a s e d o n o u r t i m e - v a r y i n g e q u i l i b r i u m

v e l o c i t y e s t i m a t e s d o e s q u i t e w e l l .

K e y w o r d s : I n a t i o n , M 2 v e l o c i t y , q u a n t i t y e q u a t i o n .

J E L C l a s s i c a t i o n S y s t e m : E 3 0 , E 5 0



1 I n t r o d u c t i o n

G i v e n a n e s t i m a t e o f r e a l p o t e n t i a l o u t p u t , Q

, a n d a n e s t i m a t e o f e q u i l i b r i u m v e l o c i t y , V

,

P

i s d e n e d a s t h e e q u i l i b r i u m l e v e l o f p r i c e s s u p p o r t e d b y t h e c u r r e n t q u a n t i t y o f m o n e y

i n c i r c u l a t i o n , M :

P

M V

Q

A s H a l l m a n , P o r t e r a n d S m a l l ( 1 9 9 1 ) s h o w e d , P

c a n p o t e n t i a l l y p r o v i d e a u s e f u l a n c h o r

f o r t h e p r i c e l e v e l a n d a s s u c h b e u t i l i z e d a s a t o o l f o r p r e d i c t i n g i n a t i o n . T h e f r a m e w o r k

f o r u n d e r s t a n d i n g t h e m o n e t a r y d y n a m i c s o f i n a t i o n r e l i e s o n t h e s i m p l e i d e a t h a t i f t h e

c u r r e n t p r i c e l e v e l , P , d e v i a t e s f r o m i t s e q u i l i b r i u m l e v e l , P

, t h e n i n a t i o n w i l l t e n d t o

m o v e s o a s t o c l o s e t h i s g a p b e t w e e n t h e a c t u a l a n d e q u i l i b r i u m p r i c e l e v e l s | t h e p r i c e g a p .

H o w e v e r , i m p l e m e n t a t i o n o f t h e f r a m e w o r k r e q u i r e s a r m u n d e r s t a n d i n g o f w h a t t h e

l e v e l o f e q u i l i b r i u m v e l o c i t y i s . M u c h o f t h e o r i g i n a l a p p e a l o f t h e H a l l m a n , P o r t e r a n d S m a l l

s t u d y w a s b a s e d o n t h e s i m p l i c i t y o f t h e i r d e n i t i o n o f V

. U s i n g M 2 , t h e y s h o w e d t h a t

a s s u m i n g a c o n s t a n t e q u i l i b r i u m v e l o c i t y f o r t h e i r s a m p l e ( 1 9 5 5 t o 1 9 8 8 ) w a s a s u c i e n t l y

a c c u r a t e r e p r e s e n t a t i o n d e s p i t e t h e w a v e s o f n a n c i a l i n n o v a t i o n w h i c h h a d t a k e n p l a c e

d u r i n g t h a t t i m e p e r i o d . A s m o n e t a r y p r a c t i t i o n e r s a n d t h e o r i s t s h a v e a l w a y s r e c o g n i z e d ,

h o w e v e r , t h e c o n t i n u o u s i n n o v a t i o n i n n a n c i a l m a r k e t s i m p l i e s t h a t s u c h p r e s u m e d o b s e r v e d

c o n s t a n c i e s c a n n o t b e t a k e n f o r g r a n t e d .

1

B y n o w i t i s w e l l k n o w n t h a t t h e p r e s u m p t i o n o f c o n s t a n c y o f t h e e q u i l i b r i u m v e l o c i t y o f

M 2 i s n o l o n g e r v a l i d . A s e a r l y a s 1 9 9 1 t h e s t a b i l i t y o f t h e h i s t o r i c a l s t a t i s t i c a l r e l a t i o n s h i p s





w h e r e

1

m e a s u r e s t h e r e s p o n s e o f v e l o c i t y t o m o v e m e n t s i n t h e o p p o r t u n i t y c o s t o f m o n e y

a n d e i s a s t a t i o n a r y z e r o m e a n e r r o r t e r m . I n t h i s s e t t i n g t h e s t a b i l i t y o f V

c a n b e

e x a m i n e d i n a s t r a i g h t f o r w a r d m a n n e r . I f V

w e r e a c o n s t a n t , i t c o u l d b e e a s i l y e s t i m a t e d

f r o m t h e ( p o p u l a t i o n ) r e g r e s s i o n :

V =

0

+

1

g

O C + e

w h e r e , o f c o u r s e , a n e s t i m a t e o f V

c o u l d b e o b t a i n e d a s t h e e s t i m a t e d p a r a m e t e r

0

.

H a l l m a n , P o r t e r a n d S m a l l i m p l i c i t l y r e l i e d o n t h e s t a b i l i t y o f m o n e y d e m a n d a n d t h e

a b s e n c e o f a n y t r e n d i n t h e m o v e m e n t o f

g

O C o v e r t h e s a m p l e p e r i o d i n w h i c h t h e y d e v e l o p e d

t h e P

m o d e l . S p e c i c a l l y , i f i n t h e a b o v e p o p u l a t i o n r e g r e s s i o n t h e e r r o r t e r m , e , a v e r a g e s

a b o u t z e r o a n d d e p a r t u r e s o f O C f r o m i t s n o r m ,

g

O C , a l s o a v e r a g e a b o u t z e r o , t h e n i t i s

i m m e d i a t e f r o m t h i s r e g r e s s i o n t h a t t h e s a m p l e m e a n o f V ,

V , w i l l g i v e a g o o d e s t i m a t e o f

V

, w h i c h i s t h e e s t i m a t e t h a t H a l l m a n , P o r t e r , a n d S m a l l s e l e c t e d . H o w e v e r , i f V

s h i f t s

u p a s i t a p p a r e n t l y h a s i n t h e e a r l y 1 9 9 0 s , t h e r e v i s e d e s t i m a t e o f V

n e e d s t o e m b o d y s o m e

o f t h e u p w a r d d r i f t o f t h e v e l o c i t y e r r o r e w h i c h o c c u r r e d t h e n .

D e n i n g t h e o p p o r t u n i t y c o s t o f M 2 h o l d i n g s a s t h e r a t e o n t h e t h r e e - m o n t h t r e a s u r y

b i l l m i n u s t h e a v e r a g e r a t e p a i d o n M 2 b a l a n c e s , t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n M 2 v e l o c i t y a n d

t h e o p p o r t u n i t y c o s t i s s h o w n i n g u r e 1 .

3

A s c a n b e s e e n , b e t w e e n 1 9 6 0 a n d u n t i l a b o u t

1 9 9 0 , M 2 v e l o c i t y a n d o p p o r t u n i t y c o s t m o v e d t o g e t h e r q u i t e c l o s e l y a n d c o u l d l i k e l y b e

d e s c r i b e d b y t h e s i m p l e r e g r e s s i o n a b o v e . I n d e e d , t h e r e l a t i o n s h i p i m p l i c i t i n t h i s d i a g r a m

h a s f o r m e d t h e b a s i s f o r m o d e l s o f M 2 d e m a n d , i n c l u d i n g t h e m o d e l s i n M o o r e , P o r t e r a n d



s e e n , t h e a s s u m p t i o n o f a c o n s t a n t V

f o r t h i s p e r i o d i s n o t i n c o m p a t i b l e w i t h t h i s m o d e l .

T h e p o i n t e s t i m a t e f o r V

c a n b e r e a d a s t h e v a l u e o n t h e t t e d l i n e c o r r e s p o n d i n g t o t h e

h i s t o r i c a l n o r m o f t h e o p p o r t u n i t y c o s t . S t a r t i n g i n a b o u t 1 9 9 1 , h o w e v e r , t h e o b s e r v e d

v e l o c i t y o f M 2 a p p e a r s c o n s i s t e n t l y o u t s i d e t h e c o n d e n c e b a n d o b t a i n e d b a s e d o n t h e

a s s u m p t i o n o f a c o n s t a n t V

. T h e s e r e s u l t s s u g g e s t t h a t b y 1 9 9 1 , t h e c o n s t a n c y o f V

o u g h t t o h a v e b e e n s e r i o u s l y q u e s t i o n e d | a s w a s i n d e e d t h e c a s e .

U n l i k e H a l l m a n , P o r t e r a n d S m a l l w h o p o s i t t h e V

i s a c o n s t a n t , h o w e v e r , m o n e y

d e m a n d m o d e l s i n c l u d i n g M o o r e , P o r t e r a n d S m a l l t y p i c a l l y a l l o w f o r t h e p o s s i b i l i t y o f a

t r e n d i n V

. T h i s c a n b e e a s i l y c a p t u r e d b y s p e c i f y i n g

V =

1

+

1

g

O C +

2

T I M E + e

w h e r e V

=

0

+

2

T I M E . A s i t t u r n s o u t , a s m a l l p o s i t i v e t r e n d d o e s a p p e a r i n t h e

d a t a . A l t h o u g h s t a t i s t i c a l l y s i g n i c a n t , i t i s v e r y s m a l l c o m p a r e d t o t h e m o v e m e n t s o f

v e l o c i t y a f t e r 1 9 9 1 . C o n s e q u e n t l y , t h e p o s s i b l e o m i s s i o n o f a t r e n d i n c o m p u t i n g V

c a n n o t

b y i t s e l f a c c o u n t f o r t h e a p p a r e n t n o n - c o n s t a n c y o f e q u i l i b r i u m v e l o c i t y . N o n e t h e l e s s , f o r

l a t e r c o m p a r i s o n s , w e w i l l u s e b o t h f o r m u l a t i o n s | i n c l u d i n g a n d e x c l u d i n g a t r e n d | a s

b e n c h m a r k s .

A n o t h e r i n t e r e s t i n g e l e m e n t i n g u r e 2 i s t h a t i n c o n t r a s t t o t h e r a p i d l y i n c r e a s i n g

v e l o c i t y d u r i n g t h e 1 9 9 2 - 1 9 9 4 p e r i o d , w h i c h w a s n o t a s s o c i a t e d w i t h c o r r e s p o n d i n g l y l a r g e

m o v e m e n t s i n o p p o r t u n i t y c o s t s , m o v e m e n t s i n v e l o c i t y a n d o p p o r t u n i t y c o s t s s i n c e t h e n

a p p e a r t o f o l l o w a t r a j e c t o r y r o u g h l y p a r a l l e l t o t h e r e l a t i o n s h i p d e p i c t e d b y t h e s o l i d l i n e



r e a l t i m e , o f c o u r s e , t h e e s t i m a t e d s i z e o f t h e s h i f t w o u l d n e e d t o b e r e - e s t i m a t e d w i t h e a c h

a d d i t i o n a l q u a r t e r o f d a t a . A n d s i n c e c o n s i d e r a b l e u n c e r t a i n t y m i g h t p r e v a i l f o r s e v e r a l

q u a r t e r s r e g a r d i n g t h e t i m i n g o f t h e s h i f t , t h e s a m e r e g r e s s i o n c o u l d b e u s e d t o o p t i m a l l y

d e t e r m i n e t h i s t i m i n g . T o a l l o w f o r s u c h a s h i f t i n V

w e s i m p l y a d d t h e v a r i a b l e D ( ) i n

t h e e q u a t i o n a n d e s t i m a t e

V =

0

+

1

g

O C +

2

T I M E +

3

D ( ) + e

w h e r e D i s a d u m m y v a r i a b l e t h a t i s d e n e d p a r a m e t r i c a l l y o n a n u n k n o w n q u a r t e r , ,

s u c h t h a t i t e q u a l s 0 b e f o r e q u a r t e r a n d 1 s t a r t i n g w i t h t h a t q u a r t e r . T o o b t a i n p o i n t

e s t i m a t e s o f V

t h a t a r e r e l e v a n t f o r f o r e c a s t i n g , s t a r t i n g i n 1 9 9 0 w e e s t i m a t e t h i s r e g r e s s i o n

r e c u r s i v e l y b y a d d i n g o n e a d d i t i o n a l q u a r t e r o f d a t a a t a t i m e . F u r t h e r , i n e a c h s t e p , w e

a l l o w t h e r e g r e s s i o n t o s e l e c t t h e q u a r t e r i n w h i c h t h e s h i f t i n t h e i n t e r c e p t m a y h a v e

o c c u r r e d , , w h i c h t s t h e d a t a b e s t .

U s i n g t h i s s i m p l e t e c h n i q u e w e o b t a i n r e c u r s i v e e s t i m a t e s o f V

w h i c h c o u l d h a v e b e e n

u s e d t o c o n s t r u c t m o r e a c c u r a t e e q u i l i b r i u m p r i c e s t h a n t h o s e o b t a i n e d u s i n g t h e c o n s t a n t

V

a s s u m p t i o n . W e c a r r y o u t t h i s p r o c e d u r e t w i c e , o n c e t o o b t a i n a s e r i e s w h i c h a l l o w s f o r

a o n e - t i m e b r e a k i n V

f r o m a c o n s t a n t t o a n e w l e v e l , a n d a s e c o n d t i m e a l l o w i n g a l s o f o r

t h e p r e s e n c e o f a t i m e t r e n d i n t h e r e g r e s s i o n .

2 . 2 U s i n g R e g r e s s i o n T r e e s t o D e t e r m i n e V *

A n o t h e r w a y o f e n d o g e n o u s l y g e n e r a t i n g t i m e - v a r y i n g v a l u e s o f V * i n v o l v e s r e g r e s s i o n t r e e s



o n a c o n s t a n t v a l u e o f v e l o c i t y w i t h i n e a c h r e g i o n . O n e w a y o f r e p r e s e n t i n g t h e i n f o r m a t i o n

f r o m t h i s r e c u r s i v e a l g o r i t h m i s a s a t r e e ( s e e g u r e 3 ) w i t h v a r i o u s n o d e s o r b r a n c h p o i n t s

a n d t e r m i n a l n o d e s , c a l l e d l e a v e s , p l a c e d a t t h e e n d o f t h e n o d e s .

I n g e n e r a l , t r e e - b a s e d m o d e l s c a n b e i n t e r p r e t e d a s r e g r e s s i o n s o n d u m m y v a r i a b l e s ,

w h e r e t h e d u m m y v a r i a b l e s a r e e n d o g e n o u s l y , r e c u r s i v e l y d e t e r m i n e d . T h e y h a v e s e v e r a l

a d v a n t a g e s : ( a ) t h e y a r e i n v a r i a n t t o m o n o t o n e t r a n s f o r m a t i o n s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i -

a b l e s ; ( b ) t h e y a r e m o r e a d a p t a t c a p t u r i n g n o n - a d d i t i v e b e h a v i o r ; ( c ) t h e y a l l o w m o r e

g e n e r a l i n t e r a c t i o n s a m o n g i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s . I n p a r t i c u l a r , t r e e s a l l o w u s t o m o d e l

r e l a t i v e l y a b r u p t s h i f t s i n r e l a t i o n s h i p s , p e r h a p s e n a b l i n g u s t o t r a c k c h a n g e s i n e q u i l i b r i u m

v e l o c i t y n o n - p a r a m e t r i c a l l y . I n a d d i t i o n s i n c e t h e t r e e s o n l y d e p e n d o n t h e r a n k s o f t h e

u n d e r l y i n g d a t a , i n c o n s t r u c t i n g o u r t r e e - b a s e d e s t i m a t e s w e d o n o t n e e d t o t a k e a s t a n d o n

w h e t h e r t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n v e l o c i t y a n d o p p o r t u n i t y c o s t s i s l i n e a r o r l o g a r i t h i m i c .

T o i l l u s t r a t e t h e s e c o n c e p t s , g u r e 3 d i s p l a y s t w o p a n e l s w h i c h r e p r e s e n t a l t e r n a t i v e s w a y s

o f v i e w i n g t h e e m p i r i c a l e s t i m a t e s o f a r e g r e s s i o n t r e e i n w h i c h t h e G D P v e l o c i t y o f M 2 ,

V 2 , i s t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d O C a n d T I M E a r e t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s , b a s e d o n

d a t a f r o m t h e e n t i r e s a m p l e f r o m 1 9 5 9 : 2 t o 1 9 9 7 : 4 . T h e t o p p a n e l o f g u r e 3 s h o w s t h e t r e e

s t r u c t u r e o f t h e e s t i m a t e s ; t h e f u l l t r e e i s a n 1 1 - w a y p a r t i t i o n o f t h e d a t a , t h a t i s , i t h a s

1 1 d i e r e n t t e r m i n a l v a l u e s o f v e l o c i t y d e p e n d i n g o n t i m e a n d o p p o r t u n i t y c o s t s .

6

T h e t o p

n o d e , c a l l e d t h e r o o t , i s d e s i g n a t e d b y a n o v a l ; t h e a v e r a g e v a l u e o f v e l o c i t y f o r t h e w h o l e

p e r i o d ( 1 . 7 4 8 ) i s l i s t e d i n s i d e t h e o v a l . A s w e m o v e d o w n t h e t r e e t h e v a l u e s o f O C a n d

T I M E a r e s u c c e s s i v e l y s p l i t i n t o n e r b r a n c h e s , a s i n d i c a t e d o n t h e p a t h s b e t w e e n n o d e s



b o x e s .

T h e l o w e r p a n e l i n g u r e 3 r e p r e s e n t s m u c h o f t h e s a m e i n f o r m a t i o n i n a w a y t h a t r e v e a l s

t h e t i m e s e r i e s s t r u c t u r e m o r e r e a d i l y s i n c e t i m e i s p l o t t e d a l o n g t h e x - a x i s .

7

F o r e x a m p l e ,

i n t h e r s t 6 p e r i o d s o f t h e s a m p l e p e r i o d , t h e v a l u e o f t h e r e g r e s s i o n t r e e i s 1 . 7 4 , t h a t i s ,

t h e v a l u e o f t h e G D P v e l o c i t y o f M 2 , d o e s n o t d e p e n d o n t h e l e v e l o f o p p o r t u n i t y c o s t s .

T h e r e a f t e r , h o w e v e r , t h e l e v e l o f t h e o p p o r t u n i t y c o s t d o e s m a t t e r w i t h a t h r e e - w a y s p l i t

( 3 v a l u e s o f v e l o c i t y d e p e n d i n g o n t h e l e v e l o f o p p o r t u n i t y c o s t s ( O C ) u n t i l t h e l a t e 1 9 8 0 s ,

a n d a t w o - w a y s p l i t t h e r e a f t e r ) . A s e s t i m a t e d , t h e t r e e p r o v i d e s a t i m e - v a r y i n g r e l a t i o n s h i p

b e t w e e n o p p o r t u n i t y c o s t s a n d v e l o c i t y i n w h i c h a b r u p t c h a n g e s m a y o c c u r .

T h e e s t i m a t e d r e g r e s s i o n t r e e d o e s n o t n e c e s s a r i l y g i v e u s a V

c o n c e p t d i r e c t l y , e x c e p t

i n t h e r s t 6 p e r i o d s , b e c a u s e t h e s u m m a r y m e a s u r e o f v e l o c i t y i n m o s t o f t h e t e r m i n a l

n o d e s d e p e n d s o n t h e l e v e l o f o p p o r t u n i t y c o s t s . T h e r e a r e t w o a l t e r n a t i v e w a y s t o p r o c e e d

t o f a s h i o n a n e s t i m a t e o f V

f r o m s u c h a t r e e . W e c o u l d p r u n e t h e t r e e b a c k t o h a v e a

s m a l l e r n u m b e r o f s p l i t s o r b r a n c h e s , a n d h o p e t h a t t h e n u m b e r o f t i m e p e r i o d s i n w h i c h

v e l o c i t y d o e s n o t d e p e n d o n o p p o r t u n i t y c o s t s i n c r e a s e s . F o r e x a m p l e , g u r e 4 s h o w s t h e

s p l i t s f o r t e n d i e r e n t p o s s i b l e s p l i t s f r o m e l e v e n ( t h e f u l l t r e e ) d o w n t o t w o s p l i t s . A s t h e

n u m b e r o f s p l i t s o r p a r t i t i o n s b e c o m e s s m a l l , t h e r e g i o n s i n w h i c h v e l o c i t y a t a g i v e n t i m e

p e r i o d o r s e t o f t i m e p e r i o d s d o e s n o t d e p e n d o n o p p o r t u n i t y c o s t s i n c r e a s e w i t h o n l y o n e

r e g i o n w h e n t h e r e a r e f o u r p a r t i t i o n s , a n d n o r e g i o n s w i t h e i t h e r t w o o r t h r e e p a r t i t i o n s ,

7

T h e s e e l e v e n r e c t a n g l e s r e p r e s e n t c o n t o u r s o f a s t e p f u n c t i o n t h a t h a s a c o n s t a n t v e l o c i t y v a l u e w i t h i n

e a c h r e c t a n g u l a r r e g i o n i n O C

T

T I M E s p a c e a n d i s z e r o e l s e w h e r e . I n a r e g r e s s i o n t r e e w i t h a d e p e n d e n t

v a r i a b l e t h a t t a k e s o n n u m e r i c a l v a l u e s a s i n o u r a p p l i c a t i o n u s i n g V 2 , t h e u n d e r l y i n g s t a t i s t i c a l m o d e l p o s i t s

t h a t e a c h o b s e r v a t i o n , s a y y , i s d i s t r i b u t e d a s n o r m a l w i t h m e a n a n d c o n s t a n t v a r i a n c e w h e r e t h e s t e p



t h e t o p p a n e l s i n t h e g u r e . A l t e r n a t i v e l y , w h e n t h e p a r t i t i o n s d e p e n d o n t h e o p p o r t u n i t y

c o s t , i n e a c h q u a r t e r w e c o u l d s e l e c t t h e v a l u e c o r r e s p o n d i n g t o t h e h i s t o r i c a l a v e r a g e o f t h e

o p p o r t u n i t y c o s t a s o u r e s t i m a t e o f V

.

T h e t w o - w a y p a r t i t i o n g i v e s u s a r e p r e s e n t a t i o n o f V

a s h a v i n g a c o n s t a n t v a l u e a

l i t t l e o v e r 1 . 7 u n t i l t h e e a r l y 1 9 9 0 s w h e n i t s h i f t s u p t o a v a l u e b e t w e e n 1 . 9 a n d 2 . 0 . T h e

t h r e e - w a y p a r t i t i o n a d d s a n e a r l i e r s t e p i n 1 9 7 8 . S i n c e t h e t r e e r e g r e s s i o n d o e s n o t h a v e

t h e c a p a b i l i t y o f d i r e c t l y r e p r e s e n t i n g a l i n e a r t i m e t r e n d , t h e p r e s e n c e o f s u c h a t r e n d i n

t h e v e l o c i t y d a t a w o u l d b e c a p t u r e d b y s p l i t t i n g v e l o c i t y i n t h e m i d d l e o f t h e f u l l s a m p l e

p e r i o d , w h i c h i s w h a t o u r e s t i m a t e s d o i n t h e s a m p l e m i d p o i n t o f 1 9 7 8 . M o s t n o t a b l e , a t

l e a s t g i v e n o u r i n t e r e s t i n f o r e c a s t i n g i n a t i o n i n t h e 1 9 9 0 s , i s t h e f a c t t h a t t h e r i g h t - m o s t

p a r t o f t h e t r e e , c o r r e s p o n d i n g t o t h i s m o r e r e c e n t p e r i o d , r e m a i n s i n v a r i a n t t o t h e n u m b e r

o f p a r t i t i o n s t h a t a r e u s e d s o t h a t o u r V

e s t i m a t e s d o n o t a p p e a r t o d e p e n d o n t h e n u m b e r

o f l e a v e s i n t h e t r e e , t h a t i s t h e r e s u l t s h o l d u n d e r b o t h p a r s i m o n i o u s a n d p r o i g a t e t r e e

p a r a m e t e r i z a t i o n s .

2 . 3 E s t i m a t i o n

I n g u r e 5 , w e p r o v i d e e s t i m a t e s o f V

o b t a i n e d f r o m r e c u r s i v e e s t i m a t i o n u s i n g t h e t e c h -

n i q u e s d e s c r i b e d a b o v e . A s i n d i c a t e d t h e r e , w e a r e i n t e r e s t e d i n d e t e r m i n i n g h o w t h e v a r i o u s

e s t i m a t e s o f V

e v o l v e i n r e a l t i m e a s t h e y a r e f e d m o r e o b s e r v a t i o n s , s o w e w i l l u p d a t e t h e

e s t i m a t e s q u a r t e r l y a s e a c h n e w o b s e r v a t i o n b e c o m e s a v a i l a b l e .

8

T h e f o u r a l t e r n a t i v e t i m e -

v a r y i n g e s t i m a t e s s h o w n w i t h d a s h e d a n d d o t t e d l i n e s c o r r e s p o n d t o t h e c a s e s o f a c o n s t a n t



t h e x e d c o n s t a n t e s t i m a t e . T h i s r e s u l t i s n o t s u r p r i s i n g s i n c e , a s a l r e a d y m e n t i o n e d , a s l i g h t

u p w a r d t r e n d w o u l d a p p e a r t o p r o v i d e a b e t t e r c h a r a c t e r i z a t i o n o f V

d u r i n g t h e 1 9 6 0 - 1 9 8 8

p e r i o d o v e r w h i c h t h e c o n s t a n t V

i s c o m p u t e d . S e c o n d , a n d m o s t i m p o r t a n t , c o m p a r e d

w i t h t h e x e d V

e s t i m a t e a l l f o u r a l t e r n a t i v e r e c u r s i v e e s t i m a t e s s h o w a d r a m a t i c u p w a r d

s h i f t i n e q u i l i b r i u m v e l o c i t y d u r i n g t h e 1 9 9 2 - 1 9 9 4 p e r i o d . T h e e x a c t t i m e a t w h i c h t h i s

c h a n g e i s m o s t n o t i c e a b l e d i e r s q u i t e s i g n i c a n t l y i n t h e f o u r e s t i m a t e s , w i t h e s t i m a t e B

i n d i c a t i n g a m a j o r s h i f t a s e a r l y a s 1 9 9 2 , D i n 1 9 9 3 , a n d e s t i m a t e C d e t e c t i n g a l a r g e c h a n g e

o n l y i n l a t e 1 9 9 4 . T h i r d , d e s p i t e t h e i m p o r t a n t t i m i n g d i e r e n c e s i n t h e f o u r e s t i m a t e s

d u r i n g t h e 1 9 9 2 - 9 4 p e r i o d , i t a p p e a r s t h a t b y t h e e n d o f t h e s a m p l e t h e f o u r a l t e r n a t i v e

e s t i m a t e s a r e i n s u b s t a n t i a l a g r e e m e n t w i t h o n e a n o t h e r .

O v e r a l l , w h i l e i t w o u l d b e d i c u l t t o j u d g e t h e r e l a t i v e m e r i t s o f t h e s e e s t i m a t e s o f V

w i t h s u c h a s h o r t s a m p l e , t h e r e c u r s i v e e s t i m a t e s s h o u l d b e n o t e d m o r e f o r t h e i r s i m i l a r i t y

r e l a t i v e t o t h e c o n s t a n t V

e s t i m a t e s , i n s t e a d o f t h e i r d i e r e n c e s . T h e n e x t s t e p , t h e n , i s

t o u s e t h e s e e s t i m a t e s t o c o n s t r u c t t h e i m p l i e d t i m e s e r i e s f o r P

a n d a s s o c i a t e d i n a t i o n

f o r e c a s t s .

3 I n a t i o n f o r e c a s t s

U s i n g t h e a l t e r n a t i v e c o n c e p t s o f V

s h o w n i n g u r e 5 , w e n e x t t u r n o u r a t t e n t i o n t o t h e

i n a t i o n f o r e c a s t s c o r r e s p o n d i n g t o t h e i m p l i c i t a l t e r n a t i v e e s t i m a t e s o f P

. W e c o n c e n t r a t e

o n t h e s i m p l e s t s p e c i c a t i o n o f t h e i n a t i o n e q u a t i o n i n H a l l m a n , P o r t e r a n d S m a l l w h i c h

c a n p r o v i d e o n e - y e a r - a h e a d f o r e c a s t s o f i n a t i o n ( t h e i r e q u a t i o n 1 4 ) :



w e n e e d t o r e e s t i m a t e t h i s e q u a t i o n . E n d i n g t h e s a m p l e i n 1 9 8 8 f o r c o m p a r a b i l i t y , w e u s e

o v e r l a p p i n g q u a r t e r l y d a t a f r o m 1 9 6 0 : 1 t o 1 9 8 8 : 4 . T h i s y i e l d s a n e s t i m a t e o f o f 0 : 1 6

w i t h a s t a n d a r d e r r o r o f 0 . 0 4 1 ( o b t a i n e d u s i n g t h e a s y m p t o t i c c o r r e c t i o n f o r t h e m o v i n g

a v e r a g e e r r o r t e r m ) .

1 0

F i g u r e 6 s h o w s t h e i n - s a m p l e i n a t i o n f o r e c a s t s o b t a i n e d f r o m t h i s e q u a t i o n a s w e l l a s t h e

o u t - o f - s a m p l e f o r e c a s t s b a s e d o n t h e a s s u m p t i o n o f c o n s t a n c y f o r e q u i l i b r i u m v e l o c i t y . A s

c a n b e s e e n , w h i l e t h e f o r e c a s t a p p e a r s t o m o v e c l o s e l y w i t h r e a l i z e d i n a t i o n f o r m o s t o f t h e

s a m p l e , s i n c e a b o u t 1 9 9 2 f o r e c a s t e d i n a t i o n d i v e r g e s f r o m a c t u a l i n a t i o n w i t h t h e f o r e c a s t

e r r o r b e c o m i n g p r o g r e s s i v e l y w o r s e u n t i l a b o u t 1 9 9 5 . T h e p a t t e r n o f e r r o r s s u g g e s t s t h a t

o v e r t h i s p e r i o d , P

w a s c o n s t r u c t e d u s i n g a n e s t i m a t e o f e q u i l i b r i u m v e l o c i t y w h i c h w a s

l i k e l y s y s t e m a t i c a l l y s m a l l e r t h a n i t s h o u l d h a v e b e e n . T h i s a s s e s s m e n t , i s i n a g r e e m e n t

w i t h t h e e s t i m a t e d u p w a r d s h i f t i n g V

i m p l i e d b y t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n v e l o c i t y a n d

o p p o r t u n i t y c o s t s .

S t a r i n g i n 1 9 9 0 , g u r e 7 p r o v i d e s t h e a l t e r n a t i v e f o r e c a s t s b a s e d o n t h e f o u r t i m e -

v a r y i n g c o n c e p t s o f V

s h o w n i n g u r e 5 . A s c a n b e s e e n , a l l o w i n g f o r t h e t i m e v a r i a t i o n i n

t h e e s t i m a t e o f V

d u r i n g t h i s p e r i o d w o u l d h a v e y i e l d e d s u b s t a n t i a l l y b e t t e r f o r e c a s t s o f

i n a t i o n e s p e c i a l l y a f t e r 1 9 9 2 . O f t h e f o u r a l t e r n a t i v e e s t i m a t e s , i t a p p e a r s t h a t E s t i m a t e B

( o b t a i n e d b y e s t i m a t i n g a o n e - t i m e s h i f t i n V

a n d a l l o w i n g f o r a t i m e t r e n d ) a n d E s t i m a t e

D ( o b t a i n e d f r o m t h e f u l l r e g r e s s i o n t r e e ) w o u l d h a v e r e s u l t e d i n t h e s m a l l e s t f o r e c a s t e r r o r s

d u r i n g t h i s p e r i o d . A s s h o w n i n t a b l e 1 f o r t h e s e t w o f o r e c a s t s , t h e m e a n e r r o r w a s o n e -

q u a r t e r o f a p e r c e n t o r l e s s a n d t h e m e a n a b s o l u t e e r r o r w a s a b o u t h a l f a p e r c e n t . I n d e e d ,



w h e n t h e c o r r e c t s p e c i c a t i o n s h o u l d a c c o u n t f o r a o n e - t i m e s h i f t i n v e l o c i t y . I f t h e r e w e r e

a o n e - t i m e s h i f t i n e q u i l i b r i u m v e l o c i t y f r o m V

1

t o V

2

, t h e n t h e a s s o c i a t e d f o r e c a s t e r r o r

i n f o r e c a s t i n g i n a t i o n u s i n g t h e o r i g i n a l V

e s t i m a t e , V

1

, w o u l d b e

( l o g ( V

2

) l o g ( V

1

) )

S i n c e t h e e s t i m a t e d = : 1 6 a n d t h e s h i f t i n V

a p p e a r s t o b e f r o m a b o u t 1 . 7 t o 2 , t h e

i m p l i e d i n a t i o n f o r e c a s t e r r o r i s a b o u t t w o a n d a h a l f p e r c e n t p e r f o u r - q u a r t e r p e r i o d .

I n d e e d , a s s h o w n i n g u r e 7 , t h i s i s c o n s i s t e n t w i t h t h e m a g n i t u d e o f t h e r e c e n t f o r e c a s t

e r r o r s c o r r r e s p o n d i n g t o t h e f o r e c a s t o b t a i n e d f r o m t h e c o n s t a n t V

s p e c i c a t i o n .

3 . 1 A l t e r n a t i v e N o n - S t r u c t u r a l A p p r o a c h e s

T h e P

f r a m e w o r k d e p e n d s o n o n l y t w o p a r a m e t e r s , V

, t h e e q u i l i b r i u m v e l o c i t y , a n d ,

t h e c o e c i e n t i n d i c a t i n g w h a t f r a c t i o n o f t h e l a g g e d g a p b e t w e e n t h e l o g o f t h e p r i c e l e v e l

a n d t h e l o g o f P

i s e x p e c t e d t o c l o s e o v e r t h e n e x t f o u r q u a r t e r s . T h e f o r e c a s t i n g r e s u l t s

s u g g e s t t h a t o f t h e s e t w o p a r a m e t e r s , t h e b e h a v i o r o f o n l y o n e h a s b e e n p r o b l e m a t i c a l ,

n a m e l y V

. B y r e l a x i n g t h e a s s u m p t i o n t h a t t h i s p a r a m e t e r i s c o n s t a n t b u t l e a v i n g t h e

o t h e r p a r a m e t e r x e d w e w e r e a b l e t o r e s t o r e t h e a c c u r a c y o f t h e m o d e l . T h e s p e c i c a t i o n

a n a l y s i s p r e s e n t e d a t t h e e n d o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n s u g g e s t s t h a t a t r i a l - a n d - e r r o r p r o c e s s

c o u l d a l s o l e a d t o t h e e v e n t u a l d i s c o v e r y t h a t s e t t i n g V

= 2 : 0 w o u l d h a v e c o r r e c t e d t h e

f o r e c a s t i n g p r o b l e m s o f P

f r a m e w o r k .

T h i s r e s u l t r a i s e s t h e q u e s t i o n h o w w e l l a s i m p l e r a p p r o a c h t h a t u p d a t e s V

b a s e d o n



E s t i m a t e s A a n d B a s a b o v e . A s w o u l d b e e x p e c t e d , t h i s m e t h o d w o u l d a l s o e v e n t u a l l y p i c k

u p t h e u p w a r d m o v e m e n t i n t h e e q u i l i b r i u m v e l o c i t y . H o w e v e r , t h e r e c o g n i t i o n i s d e l a y e d

( b y a t l e a s t o n e y e a r ) , r e s u l t i n g i n a m a r k e d d e t e r i o r a t i o n i n t h e f o r e c a s t a c c u r a c y o f t h i s

a l t e r n a t i v e .

4 C o n c l u s i o n s

O u r p a p e r l a y s o u t a s t r u c t u r a l s t r a t e g y c o n s t r u c t i n g r e a l - t i m e e s t i m a t e s o f V

. T h e e s t i -

m a t e s w e o b t a i n g o q u i t e f a r i n r e s t o r i n g t h e f o r e c a s t i n g a c c u r a c y o f t h e P

m o d e l . T h a t

t h e s t a b i l i t y o f t h e P

a p p r o a c h c o u l d b e r e s t o r e d i n t h e f a c e o f f a i r l y m a s s i v e c h a n g e s i n

t h e n a n c i a l s e r v i c e i n d u s t r y t h a t o c c u r e d o v e r t h i s p e r i o d , s u g g e s t s t o u s t h a t t h i s s i m p l e

d y n a m i c v e r s i o n o f t h e q u a n t i t y e q u a t i o n i s s t i l l w o r t h h a v i n g i n t h e m o n e t a r y p r a c t i t i o n e r s '

t o o l k i t .



D a t a A p p e n d i x

I n c o n s t r u c t i n g t h e d a t a f o r t h i s p a p e r w e f o l l o w H a l l m a n , P o r t e r a n d S m a l l ( 1 9 9 1 ) b u t

m a k e a l l o w a n c e s f o r t h r e e c h a n g e s t h a t n e e d t o b e t a k e n i n t o a c c o u n t t o u p d a t e t h e r e s u l t s .

F i r s t , w e u s e t h e n e w r e d e n e d v e r s i o n o f M 2 . E a r l y i n 1 9 9 6 t h e F e d e r a l R e s e r v e m a d e a

s m a l l c h a n g e i n t h e d e n i t i o n o f M 2 , e x c l u d i n g o v e r n i g h t R P s a n d E u r o d o l l a r s f r o m t h i s

b r o a d m e a s u r e b u t i n c l u d i n g t h e m i n M 3 . ( S e e W h i t e s e l l a n d C o l l i n s , 1 9 9 6 . ) A l t h o u g h t h i s

c h a n g e d o e s n o t a p p e a r t o h a v e c h a n g e d t h e s t a t i s t i c a l p r o p e r t i e s o f t h e a g g r e g a t e i n m a j o r

w a y s i t i s n o t i c e a b l e i n o u r a n a l y s i s i n t w o w a y s . F i r s t , i t r e s u l t e d i n a n o v e r a l l i n c r e a s e i n

t h e v e l o c i t y o f t h e a g g r e g a t e . S e c o n d , a s o v e r n i g h t R P s a n d E u r o d o l l a r s w e r e n o t n e a r l y a s

n e g l i g i b l e l a t e i n o u r s a m p l e p e r i o d a s e a r l i e r , i t m a k e s e s t i m a t e s o f a p o s i t i v e o v e r a l l t r e n d

i n t h e e q u i l i b r i u m v e l o c i t y o f M 2 m o r e n o t i c e a b l e . I n o u r e s t i m a t i o n , w e u s e t h e q u a r t e r l y

s e a s o n a l l y a d j u s t e d d a t a f o r t h e r e d e n e d M 2 s e r i e s w h i c h a r e a v a i l a b l e o n a c o n s i s t e n t

b a s i s f r o m 1 9 5 9 . W e c o n s t r u c t t h e o p p o r t u n i t y c o s t o f M 2 a s t h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e

y i e l d o n t h e t h r e e - m o n t h T r e a s u r y b i l l a n d t h e a v e r a g e r a t e p a i d o n M 2 b a l a n c e s . O n t h e

B E A s i d e o f t h e l e d g e r , t h e r e w e r e t w o i m p o r t a n t r e l e v a n t c h a n g e s r e g a r d i n g i n c o m e a n d

p r i c e c o n c e p t s u s e d i n b a s i c m a c r o d i s c u s s i o n s o f p o l i c y . I n 1 9 9 2 t h e B E A s w i t c h e d r s t t o

a G D P i n c o m e c o n c e p t i n s t e a d o f G N P , a n d m o r e r e c e n t l y t h e u s e o f a c h a i n - t y p e p r i c e

d e a t o r f o r G D P . G i v e n t h e c h a n g e s a d o p t e d b y t h e B E A , w e m o d i e d t h e c o n c e p t s o f P

a n d Q c o m m e n s u r a t e l y . F i n a l l y , f o r p o t e n t i a l o u t p u t , Q

, w e r e l y o n t h e e s t i m a t e s m a d e

b y t h e C o n g r e s s i o n a l B u d g e t O c e . ( T h e E c o n o m i c a n d B u d g e t O u t l o o k , U n i t e d S t a t e s

G o v e r n m e n t P r i n t i n g O c e , 1 9 9 8 . )



R e f e r e n c e s

C l a r k , L i n d a A . a n d D a r y l P r e g i b o r n , \ T r e e - B a s e d M o d e l s " i n J o h n M . C h a m b e r s a n d

T r e v o r J . H a s t i e , e d i t o r s , S t a t i s t i c a l M o d e l s i n S , W a d s w o r t h a n d B r o o k s , 1 9 9 1 .

F e i n m a n , J o s h u a , a n d R i c h a r d D . P o r t e r , \ T h e C o n t i n u i n g W e a k n e s s i n M 2 , " F e d e r a l

R e s e r v e B o a r d , F i n a n c e a n d E c o n o m i c s D i s c u s s i o n S e r i e s , N o 2 0 9 , S e p t e m b e r 1 9 9 2 .

H a l l m a n , J e r e y , R i c h a r d D . P o r t e r , a n d D a v i d H . S m a l l , \ I s t h e P r i c e L e v e l T i e d t o t h e

M 2 M o n e t a r y A g g r e g a t e i n t h e L o n g - R u n ? , " A m e r i c a n E c o n o m i c R e v i e w , ( S e p t e m b e r

1 9 9 1 ) , p . 8 4 1 - 8 5 8 .

H a r d l e , W o l f g a n g , A p p l i e d N o n p a r a m e t r i c R e g r e s s i o n , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 0 .

K o e n i g , E v a n F . , \ T h e P

M o d e l o f I n a t i o n , R e v i s i t e d , " F e d e r a l R e s e r v e B a n k o f D a l l a s

W o r k i n g P a p e r 9 4 - 1 4 , S e p t e m b e r 1 9 9 4 .

M o o r e , G e o r g e R . , R i c h a r d D . P o r t e r , a n d D a v i d H . S m a l l , \ M o d e l i n g t h e D i s a g g r e g a t e d

D e m a n d s f o r M 2 a n d M 1 : T h e U . S . E x p e r i e n c e i n t h e 1 9 8 0 s " i n F i n a n c i a l S e c t o r s i n

O p e n E c o n o m i e s : E m p i r i c a l A n a l y s i s a n d P o l i c y I s s u e s , e d i t e d b y P e t e r H o o p e r e t a l ,

B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e S y s t e m , W a s h i n g t o n D C , 1 9 9 0 .

O r p h a n i d e s , A t h a n a s i o s , B r i a n R e i d a n d D a v i d H . S m a l l , \ T h e E m p i r i c a l P r o p e r t i e s o f a

M o n e t a r y A g g r e g a t e T h a t A d d s B o n d a n d S t o c k F u n d s t o M 2 , " T h e F e d e r a l R e s e r v e

B a n k o f S t L o u i s R e v i e w , 7 6 ( 6 ) , N o v e m b e r / D e c e m b e r 1 9 9 4 , p . 3 1 - 5 1 .

W h i t e s e l l , W i l l i a m C . , a n d S e a n C o l l i n s , \ A M i n o r R e d e n i t i o n o f M 2 , " F e d e r a l R e s e r v e

B o a r d , F i n a n c e a n d E c o n o m i c s D i s c u s s i o n S e r i e s , 9 6 - 7 , F e b r u a r y 1 9 9 6 .



T a b l e 1 : S u m m a r y E r r o r S t a t i s t i c s f r o m I n a t i o n F o r e c a s t s

T i m e - V a r y i n g V

E s t i m a t e s M e m o I t e m :

| | | | | | | | | | | | | C o n s t a n t V

S t a t i s t i c C o n s t a n t V

A B C D 1 9 6 1 : 1 { 1 9 8 9 : 4

M e a n E r r o r 1 : 6 5 0 : 4 4 0 : 2 2 0 : 5 4 0 : 0 3 0 : 1 5

S t a n d a r d D e v i a t i o n

o f E r r o r 1 : 1 4 0 : 6 1 0 : 4 7 0 : 8 4 0 : 5 9 1 : 0 5

M e a n A b s o l u t e

E r r o r 1 : 7 4 0 : 6 6 0 : 4 4 0 : 8 1 0 : 4 6 0 : 7 8

N o t e s : T h e 2 8 o u t - o f - s a m p l e f o r e c a s t e r r o r s ( 1 9 9 1 : 1 t o 1 9 9 7 : 4 ) a r e d e n e d a s i n a t i o n o v e r

t h e f o u r q u a r t e r s e n d i n g w i t h q u a r t e r t m i n u s t h e f o r e c a s t f o r t h e c o r r e s p o n d i n g p e r i o d ,

i n p e r c e n t . C o n s t a n t V

i s e s t i m a t e d a s t h e m e a n o f V 2 o v e r t h e p e r i o d f r o m 1 9 6 0 : 1 t o

1 9 8 8 : 4 ; E s t i m a t e A a l l o w s f o r a o n e - t i m e s h i f t i n t h e i n t e r c e p t ; E s t i m a t e B a l l o w s f o r a t i m e

t r e n d a n d a o n e - t i m e s h i f t i n t h e i n t e r c e p t ; E s t i m a t e C a l l o w s f o r a t w o - b r a n c h r e g r e s s i o n

t r e e ; E s t i m a t e D a l l o w s f o r a f u l l r e g r e s s i o n t r e e e v a l u a t e d a t t h e a v e r a g e o p p o r t u n i t y c o s t

o f h o l d i n g M 2 .



F i g u r e 1

V e l o c i t y a n d O p p o r t u n i t y C o s t o f M 2

1.55

1.60

1.65

1.70

1.75

1.80

1.85

1.90

1.95

2.00

2.05

2.10

1960 1963 1966 1969 1972 1975 1978 1981 1984 1987 1990 1993 19960

2

4

6

8

Percentage Points

M2 Velocity

(Left Hand Scale)

M2 Opportunity Cost(Right Hand Scale)



F i g u r e 2

S c a t t e r P l o t o f t h e S h i f t i n M 2 V e l o c i t y i n R e l a t i o n t o i t s O p p o r t u n i t y C o s t

••

•

•••• ••• •

••• • •

•••

•

••••

•••

••

•• •

••• •

• •• ••

••

••

••

•• •• •

•• •

••

••

••

• ••••

•••

• • • •

••

••• •

••

••

•

•

••

•

•••

•

••

••

• •••

•••••

••• •

••

•• ••

•

•••

••••

•••••

••

••• • •

••

••

••••••

••• ••••

1.5

1.7

1.9

2.1

2 4 6

V2

Opportunity Cost

1997:Q1

1996:Q1

1995:Q1

1994:Q1

1993:Q1

1992:Q1

1991:Q1



F i g u r e 3

R e g r e s s i o n T r e e f o r F u l l D a t a S a m p l e

date<1992Q3

date>=1992Q3

1.748

date<1978Q1

date>=1978Q1

1.710

date<1960Q3

date>=1960Q3

1.672

1.739

OC<3.462

OC>3.462

1.666

OC<1.855

OC>1.855

1.658

date<1962Q3date>=1962Q3

1.651

1.679

1.643

1.672

1.702

OC<3.522

OC>3.522

1.758

date<1988Q4

date>=1988Q4

1.741

OC<1.630

OC>1.630

1.718

1.690

1.733

1.783

1.810

OC<1.655

OC>1.655

1.996

1.901

2.034

1.74 O C

6

4

2.03

1.81

1 73

1.70

1 67



F i g u r e 4

T r e e P a r t i t i o n s

Eleven-way Partition

O C

O C

O C

O C

O C

O C

V V

timetime

time

time

time

time

timetime

Full PartitionTen-way Partition

Nine-way Partition

2.03

1.90

1.81

1.78

1.73

1.69

1.70

1.66

1.74

6

4

2

1990198019701960

Eight-way Partition

2.03

1.90

1.81

1.781.72

1.70

1.66

1.74

6

4

2

1990198019701960

Seven-way Partition

2.03

1.90

1.81

1.781.72

1.671.74

6

4

2

1990198019701960

Six-way Partition

2.03

1.90

1.81

1.781.72

1.67

6

4

2

1990198019701960

Five-way Partition

2.03

1.90

1.81

1.74

1.67

6

4

2

1990198019701960

Four-way Partition

2.03

1.90

1.761.67

6

4

2

1990198019701960

Three-way Partition

2 . 0

1 . 8

1 . 6

1990198019701960

Two-way Partition

2 . 0

1 . 8

1 . 6

1990198019701960



F i g u r e 5

A l t e r n a t i v e E q u i l i b r i u m V e l o c i t y E s t i m a t e s

1.7

1.8

1.9

2.0

2.1

1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

V2

Constant V*

Estimate AEstimate BEstimate C

Estimate D



F i g u r e 6

I n a t i o n F o r e c a s t A s s u m i n g F i x e d E q u i l i b r i u m V e l o c i t y

0

2

4

6

8

10

12

1960 1963 1966 1969 1972 1975 1978 1981 1984 1987 1990 1993 1996

Percent

Actual

Forecast



F i g u r e 7

A l t e r n a t i v e I n a t i o n F o r e c a s t s

0

1

2

3

4

5

1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

Percent

Actual

Constant V*

Estimate A

Estimate BEstimate C

Estimate D

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