Uso de Marcadores Difusos para Solucionar el Problema de laCoplanaridad en la Calibracion de la Camara en 3D. Aplicacion en

Identificacion Forense por Superposicion Craneofacial

Oscar Ibanez1 Oscar Cordon1 Sergio Damas1 Jose Santamarıa2

1 European Centre for Soft Computing, {oscar.ibanez,oscar.cordon,sergio.damas}@softcomputing.es2 Departamento de Ciencias de la Computacion, Universidad de Jaen, jslopez@ujaen.es

Resumen

La Superposicion Craneofacial es un procesoforense cuyo objetivo es identificar a personasdesaparecidas a partir de fotografıas y de uncraneo encontrado. Las tecnicas mas avanza-das usan un modelo 3D del craneo.

La segunda etapa de esta compleja tecnicaforense, el emparejamiento craneo-cara, tratade encontrar la pose mas adecuada del mode-lo 3D del craneo que sera proyectado sobre lafotografıa. Esta segunda etapa se puede mo-delar como un problema de calibracion de lacamara, problema ampliamente referenciadoen la bibliografıa de vision por ordenador.

Esta contribucion se centra en el estudio dela coplanaridad del conjunto de marcadoresusados para guiar el emparejamiento craneo-cara. Ademas, se propone el uso de marcado-res difusos para evitar situaciones de copla-naridad

Palabras Clave: Superposicion craneofa-cial, marcadores difusos, calibracion de lacamara.

1. INTRODUCCION

En antropologıa forense, la superposicion craneofacial(SC) es un proceso en el que fotografıas de una personadesaparecida son comparadas con un craneo encontra-do. Proyectando este sobre una fotografıa (o, inclusomejor, haciendo corresponder un modelo 3D del craneocon la fotografıa de la cara), el forense trata de deter-minar si se trata de la misma persona.

En [4] los autores presentan un enfoque metodologicode este proceso, identificando las siguientes tres etapas:

La primera etapa conlleva la construccion de un mode-lo digital del craneo de manera precisa. Este problemaya fue abordado con exito en nuestros trabajos me-diante el uso de metaheurısticas para el registrado delas diferentes vistas del craneo [12].

En la siguiente etapa de la tarea de identificacion, co-nocida como emparejamiento craneo-cara, se trata desuperponer el modelo 3D del craneo sobre la fotografıade la cara mediante el emparejamiento de dos conjun-tos de puntos radiometricos (puntos antropometricosfaciales en la cara del sujeto y puntos antropometricoscraneales en el modelo 3D del craneo obtenido) [10].

A continuacion, comienza la tercera etapa, ayuda a latoma de decisiones, en donde se analizan los diferentestipos de emparejamientos entre marcadores logradosen la etapa anterior.

La SC es un proceso que implica mucho tiempo de tra-bajo y para el que no hay una metodologıa sistemati-ca ya que cada experto suele aplicar su propio proce-so. Por lo tanto, hay un fuerte interes en el diseno demetodos automaticos que den soporte al antropologoforense en la realizacion de esta tarea.

La propuesta aquı presentada se centra en la segundaetapa del proceso de superposicion craneofacial, for-mulada por Ibanez y colaboradores [9] como un pro-blema de registrado de imagenes (RI) [14] y abordadopor medio de algoritmos evolutivos (AEs) [2].

En todos esos trabajos previos los autores no llegarona estudiar la influencia que tiene el conjunto de marca-dores proporcionados por el experto forense para guiarla superposicion, sobre el emparejamiento craneo-cararesultante, motivo de este trabajo.

Ademas, proponemos el uso de conjuntos difusos paramodelar un nuevo tipo de marcador, marcador difuso oincierto, que permitan a los expertos forenses localizarun mayor numero de puntos cefalometricos, y ası evitarla coplanaridad de estos.

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Este artıculo se ha estructurado de la siguiente for-ma. La Seccion 2 resume la modelizacion utilizada enla etapa de emparejamiento craneo-cara, ası como losaspectos mas importantes del problema de coplana-ridad en vision por ordenador. A continuacion, en laSeccion 3 se presenta un estudio experimental sobre elcomportamiento de diferentes AEs cuando son guia-dos por un conjunto de marcadores coplanares. En laSeccion 4 se presenta nuestra propuesta basada en eluso de marcadores difusos. La experimentacion sobrecasos de estudio reales se presenta en la Seccion 5 paraposteriormente, en la Seccion 6, analizar los empare-jamientos resultantes. Finalmente, en la Seccion 7 seagrupan una serie de conclusiones y trabajos futuros.

2. PRELIMINARES

2.1. EMPAREJAMIENTO

CRANEO-CARA

Como ya se ha mencionado, el objetivo de esta etapaes lograr una adecuada superposicion del modelo 3Ddel craneo sobre la fotografıa de la cara de la perso-na desaparecida mediante el emparejamiento de paresde marcadores. En [9], los autores formularon esta ta-rea como un problema de optimizacion numerica re-lacionado con el registrado de imagenes (RI). De estemodo, dos conjuntos de marcadores guıan la busque-da automatica de los parametros de la transformacionque logre el preciso emparejamiento de dichos puntos.Esta transformacion se corresponde con una proyec-cion 3D/2D, modelada en [9] como un conjunto deoperaciones geometricas, definidas por doce parame-tros/incognitas.

Formalmente, la formulacion del emparejamientocraneo-cara es la siguiente: dados dos conjuntos demarcadores faciales 2D y craneales 3D, F y C, respec-tivamente, ambos compuestos de N puntos, la tarea deemparejamiento trata de resolver el sistema de ecua-ciones con las siguientes doce incognitas: una rotacionrepresentada por un eje (dx, dy, dz) y un angulo (θ),un centro de masas (rx, ry, rz), un vector de traslacion(tx, ty, tz), un escalado uniforme (s), y una funcion deproyeccion 3D/2D dada por un campo de vision (φ).Estos doce parametros determinan la transformaciongeometrica f que proyecta cada punto craneometricoCi del modelo 3D sobre su correspondiente punto ce-falometrico Fi en la fotografıa:

F = f(C) = C ·(A·D1 ·D2 ·Rθ ·D−12 ·D−1

1 ·A−1)·S ·T ·P (1)

donde R = (A·D1 ·D2 ·Rθ ·D−1

2·D−1

1·A−1) representa

una matriz de rotacion para orientar el craneo a lamisma pose que tiene la cara en la fotografıa. S, T ,y P son las matrices de escalado uniforme, traslacion,proyeccion perspectiva, respectivamente1.

1Se recomienda [7], para aquellos lectores interesados en

Por otro lado, en [9], los autores adaptaron tres AEspara resolver el problema de emparejamiento: dos va-riantes de un algoritmo genetico (AG) de codificacionreal y la estrategia evolutiva CMA-ES.

La funcion objetivo a minimizar por estos algoritmosde busqueda/optimizacion es el error medio2:

EM =

∑N

i=1||f(cli) − fli||

N(2)

donde || · || es la distancia Euclıdea 2D, N es el nume-ro de marcadores considerados (proporcionados por losexpertos forenses), cli se corresponde con cada puntocraneometrico 3D, mientras que fli hace referencia alos puntos cefalometricos 2D, f es la funcion que defi-ne la transformacion proyectiva 3D-2D, y f(cli) repre-senta cada punto craneometrico cli una vez proyectadosobre el plano imagen/foto.

2.2. COPLANARIDAD EN VISION POR

ORDENADOR

El problema de emparejamiento craneo-cara puede serclaramente relacionado con otro problema ampliamen-te estudiado en vision por ordenador (VO), el proble-ma de la calibracion de la camara (CC) [6]. El proposi-to de la CC es estudiar la relacion entre coordenadas3D del mundo real y sus correspondientes coordenadas2D de la imagen adquirida mediante una camara. Lamayorıa de las aproximaciones de CC distinguen dosetapas:

Determinar los parametros intrınsecos: centro deproyeccion y distancia focal de la camara.

Determinar los parametros extrınsicos: transfor-macion rıgida (rotacion y traslacion) que relacionael sistema de coordenadas de la camara al sistemade coordenadas del mundo real.

Dentro de los metodos mas usados para determinarlos conjuntos de parametros intrınsecos y extrınsicosesta la transformacion lineal directa (DLT, del inglesdirect linear transformation), propuesto originalmen-te por Abdel-Aziz y Karara [1]. En este metodo, losparametros de la camara se obtienen a partir de corres-pondencias entre pares de puntos de referencia 3D/2D.

En el problema de emparejamiento craneo-cara no sesuelen conocer los parametros internos de la camaracon la que se tomo la fotografıa de la persona desapa-recida, por lo que deben ser tambien estimados durante

una descripcion mas detallada de las matrices de la ecua-cion 1 y de su relacion con las doce incognitas del problema.

2Notese que el error cuadratico medio se descarto debi-do al efecto negativo que este tiene cuando los rangos dela imagen se normalizan entre [0,1], como es nuestro caso.

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Figura 1: Poses frontal y lateral del caso sinteticode craneo humano. Los puntos craneometricos y cefa-lometricos se han resaltado mediante cırculos blancos.

el proceso de optimizacion. Si bien la mayorıa de lostrabajos en VO que abordan el problema de CC usanpuntos de referencia no coplanares, el escenario es mu-cho mas complejo con la coplanaridad de estos [11],situacion en la que estamos mas interesados. Ademas,no es un problema que se haya estudiado profunda-mente en la comunidad cientıfica, siendo el trabajo deTsai [13] uno de los primeros que estudio el problemaen profundidad, ası como uno de los mas citados. Enun primer paso, el metodo lleva a cabo una estima-cion lineal de los parametros de CC. Dicha estimacionse utilizara como la inicial para una segunda etapa endonde se usa una estimacion no-lineal basada en elmetodo de Levenberg-Marquardt, que hara un refina-do de los parametros3. Por contra, es bien sabido queeste tipo de metodos de optimizacion no-lineales sonmuy dependientes de la inicializacion siendo muy fre-cuente su convergencia a optimos locales. Esta situa-cion nos llevo a pensar nuevamente en el uso de AEspara abordar el problema de manera mas robusta.

3. COPLANARIDAD EN EL

EMPAREJAMIENTO

En esta seccion se presenta un estudio experimentaldel comportamiento de un AE abordando el problemade emparejamiento craneo-cara cuando el conjunto demarcadores proporcionados es coplanar. En particular,de entre los tres disenos evolutivos diferentes propues-tos en [9] para resolver el problema, hemos optado porel AG generacional de codificacion real (RCGA) conlos siguientes operadores: seleccion por torneo, cru-ce binario simulado (SBX, del ingles simulated binary

crossover) y mutacion aleatoria. La funcion objetivo aminimizar viene dada por la Ecuacion 2.

Este estudio preliminar se centra en un caso sintetico.Como primera aproximacion al problema de la copla-naridad, hemos preferido simplificarlo considerando elmismo objeto, es decir, el modelo 3D de craneo y una

3Aquellos lectores interesados en una descripcion masdetallada del metodo de Tsai pueden dirigirse ahttp : //people.csail.mit.edu/people/bkph/articles/Tsai Revisited.pdf

Figura 2: Mejor superposicion resultante en la pose la-teral (izquierda), y para la pose frontal usando siete(centro) y ocho (derecha) marcadores. Cruces y cırcu-los indican la localizacion de los puntos craneometricosy cefalometricos, respectivamente.

imagen 2D del mismo. Se ha obtenido un modelo 3D,y se han considerado dos proyecciones del mismo, unarotada (lateral) y otra frontal, que se utilizaran co-mo la imagen 2D sobre la que superponer el modelo3D. Con respecto al conjunto de marcadores, se loca-lizaron siete puntos craneometricos simulando el pro-ceso seguido por los expertos forenses. Aunque dadaslas caracterısticas de un craneo no es comun tener unconjunto de puntos completamente coplanares, pode-mos tratarlo como tal por tener todos sus puntos unvalor de profundidad muy similar. Los puntos cefa-lometricos se corresponden directamente con los pun-tos craneometricos proyectados sobre el plano imagen.La Figura 1 muestra las dos imagenes consideradas yel conjunto de puntos de referencia usados.

En cuanto a la pose lateral, la imagen mas a la iz-quierda de la Figura 2 muestra el mejor resultado delRCGA con siete marcadores. Notese que, no hay dife-rencias apreciables entre el modelo 3D proyectado y laimagen 2D.

El comportamiento del AE para el caso de la posefrontal y los mismos siete marcadores es bastante dife-rente (Figura 2, centro). La distribucion casi coplanarde estos marcadores hace que el sistema de ecuacionesque rige la transformacion 3D-2D sea indeterminado,y por lo tanto, no es posible encontrar una transforma-cion que empareje adecuadamente craneo y cara. Sinembargo, anadiendo un nuevo marcador en un planodiferente al del resto, el sistema de ecuaciones pasaa ser determinado y el AE es capaz de encontrar unmınimo global que se corresponde con un adecuadoemparejamiento (Figura 2, derecha).

Teniendo en cuenta que tanto en el caso de la pose late-ral como frontal ambos comparten el mismo conjuntode puntos craneometricos casi coplanares, este simplecaso de estudio nos lleva a las siguientes conclusiones.El inadecuado comportamiento del procedimiento deoptimizacion del emparejamiento craneo-cara se debeprincipalmente a: i) el uso de un conjunto de puntoscraneometricos coplanar o casi coplanar; y ii) el pa-

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ralelismo entre el plano que contiene los puntos cra-neometricos y el plano imagen de la camara.

Por tanto, para resolver estas es necesario el estudiode alternativas mas robustas.

4. MARCADORES DIFUSOS PARA

LA COPLANARIDAD

En el problema de SC, los expertos forenses han usa-do durante siglos marcadores precisos (un punto) paraidentificar los diferentes puntos antropometricos (cra-neales y faciales). Sin embargo, por culpa de oclusio-nes de zonas de la cara debido a la perspectiva o a lapresencia de otros objetos, y tambien por la baja cali-dad/resolucion/estado conservacion de las fotografıas,muchos de los marcadores faciales no pueden ser loca-lizados en la fotografıa. En el modelo 3D del craneo sepueden localizar de manera precisa todos los marca-dores dada la resolucion de los escaneres usados.

En [8] se propone el uso de marcadores difusos paraabordar el problema de la incertidumbre en la locali-zacion de marcadores faciales. Esta aproximacion per-mite a los expertos forenses usar una figura geometrica(una elipse en el artıculo) para delimitar una pequenazona de la imagen en donde con toda seguridad se en-contrara el punto fisonomico que se corresponde con elmarcador. Por lo tanto, usando marcadores difusos enlugar de, o ademas de, marcadores precisos, los exper-tos pueden localizar un mayor numero de marcadorescon el adecuado nivel de confianza (usando marcado-res difusos de diferente tamano). Dado que los forensesson incapaces de situar un numero suficiente de mar-cadores precisos solo en la fotografıa, el uso de masmarcadores faciales (difusos) eliminara la coplanari-dad en el nuevo conjunto de puntos craneometricoscorrespondiente.

Siguiendo la idea de metricas espaciales descrita en[5], hemos usado el marco basado en conjuntos difusospropuesto en [8] para modelar los marcadores difusosy la distancia de estos a marcadores precisos.

Si bien la distancia entre un par de marcadores preci-sos se calcula mediante la distancia Euclıdea, en el casoen el que uno de los marcadores sea difuso (conjuntode puntos), se trata de calcular la distancia de un pun-

to x a un conjunto difuso F de la siguiente manera,

d∗(x, F ) =m∑

i=1

di · αi

/ m∑i=1

αi

donde, di = d(x, Fαi) es la distancia del punto x al

conjunto de puntos del α-corte Fαi.

Por lo tanto, la funcion de objetivo a minimizar es laque se muestra en la Ecuacion 2):

fuzzy ME =

N∑i=1

d∗(f(cli), F i)

N(3)

donde N es el numero de marcadores considerados, cli

se corresponde con cada punto 3D craneometrico , f

es la funcion de transformacion 3D-2D, f(cli) repre-senta la posicion de los puntos craneometricos cli unavez han sido proyectados al plano imagen, es decir, ununico punto. F i representa el conjunto difuso corres-pondiente a cada marcador difuso.

5. EXPERIMENTACION

En la Seccion 5.1 se presenta el diseno experimentalseguido. En las Secciones 5.2 y 5.3 se analizan los re-sultados en dos casos de estudio reales, donde la poseque tiene la persona desaparecida en la fotografıa esfrontal.

5.1. DISENO EXPERIMENTAL

El primer caso de estudio real tuvo lugar en Cadiz. Lafamilia de la desaparecida proporciono una fotografıa4.La pose de la cara es casi frontal y el correspondienteconjunto de marcadores es casi coplanar. El segundocaso de estudio real tuvo lugar en Granada. En estecaso solo se dispone de una imagen de la cara de ladesaparecida, tambien en una pose casi frontal. Parala adquisicion de los modelos 3D del craneo se utilizo ellaser-escaner VI-910 de Konica-Minolta.

Los expertos forenses nos proporcionaron dos conjun-tos de marcadores distintos por cada caso de estudio.El primero compuesto por puntos precisos (solo aque-llos marcadores cuya localizacion es precisa) y el se-gundo compuesto por puntos difusos (elipses de ta-mano y orientacion variable). Es importante destacarque el uso de marcadores difusos posibilito que los ex-pertos fueran capaces de localizar mas marcadores.

En todos los experimentos se utilizo la mejor confi-guracion de parametros del RCGA, segun [9]: numerode generaciones = 600, tamano de poblacion = 1,000,parametros η del SBX = 1, probabilidad de mutacion= 0.2, probabilidad de cruce = 0.9, y tamano de tor-neo = 2. Para todas las pruebas se consideraron 30ejecuciones del algoritmo. Para conjuntos de marcado-res precisos, la funcion de evaluacion viene dada porla Ecuacion 2. En el caso de conjuntos de marcadoresdifusos, la funcion de evaluacion es la definida en laEcuacion 3.

4Por motivos legales esta ha sido procesada.

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Figura 3: Caso de estudio 1. modelo 3D del craneo(izquierda) y fotografıa de la persona desaparecida conmarcadores precisos (izquierda) y difusos (derecha).

Figura 4: Caso de estudio 1. Mejores resultados deemparejamiento craneo-cara usando nueve marcadoresprecisos (izquierda) y catorce difusos (derecha).

5.2. CASO DE ESTUDIO 1

En este primer caso (Figura 3), los antropologos iden-tificaron nueve y catorce marcadores siguiendo un en-foque preciso y difuso, respectivamente. Estos marca-dores adicionales juegan un rol esencial a la hora deresolver el problema de la coplanaridad ya que, sus co-rrespondientes puntos craneometricos (como por ejem-plo el marcador mas elevado), se situan en un planoque no es paralelo al plano imagen de la camara.

Para poder realizar una comparativa visual, en la Figu-ra 4 se muestra el mejor resultado usando marcadoresprecisos y difusos.

5.3. CASO DE ESTUDIO 2

En este segundo caso de estudio real, la unica foto-grafıa disponible es la que aparece en el pasaporte (Fi-gura 5). Como es normal en los pasaportes, incluyeun sello de agua que hace mas difıcil aun una locali-zacion precisa de puntos cefalometricos. Por lo tanto,el uso de marcadores difusos puede ayudar a localizarun mayor numero de marcadores faciales. De hecho, sibien los expertos forenses solo localizaron seis marca-dores de manera precisa, fueron capaces de identificardieciseis marcadores difusos (Figura 5).

La Figura 6 muestra la mejor solucion encontrada paraambas aproximaciones.

Figura 5: Caso de estudio 2. Modelo 3D del craneo(izquierda) y fotografıa de la desaparecida con puntoscefalometricos precisos (centro) y difusos (derecha).

Figura 6: Caso de estudio 2. Fila superior. Mejor empa-rejamiento con marcadores precisos (izquierda) y difu-sos (derecha). Fila inferior. Imagen binaria resultantede aplicar el operador XOR sobre las imagenes del me-jor emparejamiento, usando marcadores precisos (iz-quierda) y difusos (derecha).

6. DISCUSION

Teniendo en cuenta resultados cualitativos, es decir,analizando visualmente los emparejamientos craneo-cara obtenidos, se identifica claramente la mejora enel proceso de emparejamiento cuando se incluye el usode marcadores difusos (Figuras 4 y 6). El equipo de an-tropologos forenses confirmaron que los resultados ob-tenidos eran suficientemente buenos para poder usar-los en la ultima etapa del proceso de SC.

Dado que no es posible un comparacion cuantitativade la calidad de los emparejamientos craneo-cara enbase a los valores de la funcion objetivo (diferente encada caso), se diseno un nuevo metodo que posibilitaun analisis cuantitativo mas en correspondencia con loque los expertos forenses consideran un buen empare-jamiento. Para ello, los antropologos forenses segmen-taron manualmente el contorno de la cara en la foto-grafıa. A continuacion, se obtiene una imagen binariatanto de los bordes de la cara como del craneo, unavez proyectado. Despues, se aplica el operador logicoXOR considerando las dos imagenes binarias resultan-tes en el paso anterior. Finalmente, el error asociadoa un emparejamiento craneo-cara se calcula como el

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porcentaje del contorno de la cara que no es cubier-to por el area que ocupa el craneo proyectado. Porejemplo, la Figura 6 muestra el resultado de aplicarel operador XOR sobre la mejor superposicion del se-gundo caso de estudio. El error obtenido para los doscasos de estudio puede verse en la Tabla 1. Hay quetener en cuenta que, si bien este metodo posibilita unacomparativa cuantitativa, esta esta ligada al procesode valoracion subjetiva del forense.

Tabla 1: Error de desviacion del area de los mejoresemparejamientos craneo-cara mediante las dos aproxi-maciones estudiadas.

Tipo de Marcadores Caso 1 Caso 2

Precisos 49,18 % 48,03 %

Difusos 24,17 % 41,35 %

7. CONCLUSIONES

Hemos propuesto el uso de marcadores difusos paraabordar el problema de la coplanaridad en el empa-rejamiento craneo-cara. Se han probado los beneficiosdel uso de este tipo de marcadores en comparacion conlos tradicionales precisos. Los resultados muestran co-mo mediante el uso de marcadores difusos se eliminala coplanaridad del conjunto de marcadores, posibili-tando la obtencion de emparejamientos adecuados.

Como unica desventaja, el uso de marcadores difusos,y en concreto el calculo de distancias entre puntos di-fusos y precisos, conlleva un mayor tiempo de compu-to del AG: de los 20-40” por ejecucion en el caso deusar marcadores precisos a los 2-4’ para el caso difuso.Sin embargo, este tiempo es todavıa significativamentemucho menor que el empleado por los expertos foren-ses a la hora de realizar la misma tarea de maneramanual, en la cual pueden llegar a invertir 24 horaspor cada caso de estudio.

Por otro lado, estos resultados tienen que ser confir-mados en un estudio mas extensivos, con un mayornumero de casos y usando otras definiciones para dis-tancias entre un punto y un conjunto difuso [3].

Finalmente, planeamos abordar la ultima etapa delproceso de superposicion, es decir la etapa de ayuda ala toma de decisiones, mediante el uso de logica difusa.

Agradecimientos

Este trabajo esta parcialmente soportado por el Minis-terio de Ciencia y Tecnologıa (ref. TIN2009-07727) yla Consejerıa de Innovacion, Ciencia y Empresa de laJunta de Andalucıa (ref. TIC1619), incluyendo fondosFEDER.

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