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8/3/2019 Vaclav Hlavaty- The Elementary Basic Principles of the Unified Theory of Relativity
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MATHEMA T I C S : V . HLA VA T
A c k n o w l e d g m e n t s . - T h e a u t h o r s w i s h t o t h a n k C r e i g h t o n Buck f o rs u g g e s t i n g t h e g e o m e t r i c a l i n t e r p r e t a t i o n o f t h e f o r w a r d i n t e r p o l a t i o ns c h e m e ; J o h n Tukey f o r g i v i n g t h e a u t h o r s t h e b e n e f i t o f h i s e x p e r i e n c ew i t h t h e s o l u t i o n o f " s t i f f " e q u a t i o n s ; A l b e r t S c h a e f f e r , K e n n e t h A r n o l da n d J . B a r k l e y R o s s e r f o r t h e i r i n t e r e s t i n t h i s p r o b l e m .
* T h i s w o r k was c a r r i e d o u t u n d e r C o n t r a c t N O r d - 9 9 3 8 w i t h t h e Navy B u r e a u o fO r d n a n c e .A s s u m i n g t h e v a l u e o f a ( x , y ) t o b e i n d e p e n d e n t o f y .
THE ELEMENTARY BASIC PRINCIPLES OF THE UNIFIEDTHEORY OF RELATIVITY*
B y VACLAV H L A V A T . YDEPARTMENT OF M A T H E M A T I C S , I N D I A N A U N I V E R S I T YC o m m u n i c a t e d by T . Y . T h o m a s , J a n u a r y 1 4 , 1 9 5 2
1 . I n t r o d u c t i o n . - T h e u n i f i e d t h e o r y o f r e l a t i v i t y e x p o s e d r e c e n t l y b yE i n s t e i n ' i s b a s e d o n t h r e e p r i n c i p l e s : ( A ) Th e i n t r o d u c t i o n o f a n o n -s y m m e t r i c t e n s o r g A y i n t h e s p a c e X4 o f t h e r e l a t i v i t y ; ( B ) t h e i n t r o d u c t i o no f a n o n - s y m m e t r i c c o n n e c t i o n r F , b y m e a n s o f
a x y g w , = r , g , + r J ' g @ ( 1 )a n d f i n a l l y ( C ) t h e i n t r o d u c t i o n o f a ( s e e m i n g l y ) o v e r d e t e r m i n e d s y s t e mo f c o n d i t i o n s i m p o s e d o n t h e r F , w h i c h y i e l d s g A , .I n t h e s u b s e q u e n t s e c t i o n s w e w i l l d e a l w i t h e a c h o f t h e s e b a s i c p r i n c i p l e s .H o w e v e r , w e c o n f i n e o u r s e l v e s t o r e s u l t s o n l y . The c o r r e s p o n d i n g d e t a i l e dp r o o f s w i l l b e g i v e n i n a s u b s e q u e n t s e r i e s o f t h r e e p a p e r s i n t h e J o u r n a lo f R a t i o n a l M e c h a n i c s a n d A n a l y s i s .2 . P r i n c i p l e A . - D e n o t e b y h x , , ( k ] , , ) t h e s y m m e t r i c ( t h e s k e w s y m -m e t r i c ) p a r t o f g A F a n d b y g , h , k t h e c o r r e s p o n d i n g d e t e r m i n a n t s . T h r o u g h -o u t t h i s p a p e r w e a s s u m e h # 0 . I f n = 4 a n d i f h x , , i s o f t h e s i g n a t u r e+++- t h e n t h e r e a r e i n g e n e r a l t w o s e t s o f b i v e c t o r s B 1 , B 2 t o t a l l yp e r p e n d i c u l a r , w h i c h a r e p r i v i l e g e d i n t h e s e n s e t h a t t h e y a r e p o l a r c o n -j u g a t e w i t h r e s p e c t t o t h e c o n e h x , , a s w e l l a s w i t h r e s p e c t t o t h e l i n e a rc o m p l e x k ) , , , o f b i v e c t o r s . C l o s e l y c o n n e c t e d w i t h t h e m a r e f o u r s e t s o f( i m a g i n a r y ) b i v e c t o r s e a c h o f t h e m b e i n g p o l a r s e l f c o n j u g a t e w i t h r e s p e c tt o h ) , , , a n d k ) , , , .P r o j e c t i n g t h i s c o n f i g u r a t i o n f r o m a n a r b i t r a r y p o i n t P o f o u r s p a c eX 4 i n t o t h e i d e a l s p a c e H 3 o f t h e t a n g e n t s p a c e T 4 ( P ) o f X 4 a t P , o n e o b t a i n sa l i n e a r l i n e c o m p l e x K c o n t a i n i n g a l i n e a r l i n e c o n g r u e n c e C ( w h o s e a x e s
V O L . 3 8 , 1 9 5 2 2 4 3
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MATHEMA T I C S : V . HLA VA T Y 'a r e t h e i d e a l l i n e s o f B 1 ( P ) a n d B 2 ( P ) ) . B o t h l i n e m a n i f o l d s K a n d Ca r e d e f i n e d i n t r i n s i c a l l y , b y m e a n s o f g , , , o n l y .I n a n o t h e r p a p e r 2 I h a v e s h o w n t h a t t h e p r o j e c t i v e t h r e e - d i m e n s i o n a ls p i n o r s p a c e , S 3 , a s s o c i a t e d w i t h t h e ( c e n t e r e d ) f o u r - d i m e n s i o n a l v e c t o rs p a c e o f t h e ( s p e c i a l ) t h e o r y o f r e l a t i v i t y i s f u l l y c h a r a c t e r i z e d b y a l i n e a rl i n e c o m p l e x a n d a l i n e a r l i n e c o n g r u e n c e c o n t a i n e d i n i t . A l s o t h e s em a n i f o l d s a r e d e f i n e d i n t r i n s i c a l l y . I d e n t i f y i n g t h e s e m a n i f o l d s w i t h Ka n d C we ma y i d e n t i f y H 3 a n d S 3 . T h i s i d e n t i f i c a t i o n i s n o t a f f e c t e d b yt h e c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n s ( w h i c h a r e d i f f e r e n t i n H s a n d S 3 ) b e c a u s ei n b o t h c a s e s t h e l i n e m a n i f o l d s a r e d e f i n e d i n t r i n s i c a l l y . H e n c e t h ei n t r o d u c t i o n o f a n o n - s y m m e t r i c t e n s o r g x , , i n X 4 l e a d s i n t h e m o s t n a t u r a lw a y t o t h e t h e o r y o f t h e s p i n o r s p a c e o f t h e r e l a t i v i t y t h e o r y .
3 . P r i n c i p l e B.-In t h e s u b s e q u e n t s e c t i o n s w e d e n o t e b y{>} t h eC h r i s t o f f e l s y m b o l s o f h ) , , , , b y H . , , i t s c u r v a t u r e t e n s o r , b y V , , t h e s y m b o lo f c o v a r i a n t d e r i v a t i v e w i t h r e s p e c t t o } . M o r e o v e r w e p u t A -a2~ ~~Xh x J a V V , . a n d O A = O h a X P w h e r e O h ) ' = h x I L ( P ) . T h e c u r v a t u r e t e n s o ro f r w i n l b e d e n o t e d b y P . ' . I f n = 4 t h e n e w " " d e n o t e s t h e f o u r v e c t o rR i c c i d e n s i t y ( w i t h c o m p o n e n t s + 1 , - 1 , 0 ) .
The e q u a t i o n s ( 1 ) s p l i t i n t w o s y s t e m s( a ) r , {= } + S ) - h a ' ( S a k , +;,,k, )( b ) = 2 S 8 , 6 X 1 W , , , a , , ( 2 )w h e r e X , X , , , i s a t e n s o r , f u n c t i o n o f h ] , , , a n d k , , . C o m p u t i n g S . t Y f r o m( 2 ( b ) ) a n d s u b s t i t u t i n g i t i n ( 2 ( a ) ) o n e o b t a i n s t h e s o l u t i o n r , o f ( 1 ) . An e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r ( 2 ( b ) ) t o a d m i t e x a c t l y o n e s o l u t i o n i s g 0 0 . As u f f i c i e n t c o n d i t i o n f o r ( 2 ( b ) ) t o a d m i t more t h a n o n e s o l u t i o n SY i s g = 0 .H o w e v e r , t h e r e a r e c a s e s w h e r e ( 2 ( b ) ) d o e s n o t a d m i t a n y s o l u t i o n S a y p( a n d c o n s e q u e n t l y ( 1 ) d o e s n o t a d m i t a n y s o l u t i o n r F ) .4 . A l m o s t R i e m a n n i a n S p a c e . - O u r s p a c e X . w i l l b e t e r m e d a n a l m o s tR i e m a n n i a n s p a c e R n i f k x , = e K ) , , , S ) , = e s,, w h e r e e - O 0 i s a c o n s t a n ta n d K x , , s , a r e t e n s o r s d i f f e r e n t f r o m z e r o . I n R . w e o b t a i n f r o m ( 2 ( b ) ) 3( a ) s , - = h& ( V a K W , ; + V - V ; K a c . ) ( m o d e ) ( 3 )a n d( b ) r} + E [ S > , - h l ' ( s c ? k, + s A y k x ) ] ( m o d e 2 ) . ( 3 )
2 4 4 P R O C . N . A . S .
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S u b s t i t u t i n g f r o m ( 3 ( a ) ) i n ( 3 ( b ) ) we o b t a i n t h e s o l u t i o n r T , o f ( 1 ) .5 . P r i n c i p l e C . - I f n = 4 t h e c o n d i t i o n s= 0 P j ) , J = 0 e w ' 4 ' P 4 X = 0 ( 4 )
r e p r e s e n t 4 + 6 + 6 = 1 6 d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s f o r 1 6 u n k n o w n s h . o a n dk x , . T h e s e c o n d i t i o n s r e d u c e i n 1 ? t o( a ) = 0 ( m o d e ) , ( V x =h - V , , )( b ) A K x , , + h a $ ( H ^ X : K p , + 2 H p , , x , K , A , O ) = 0 ( m o d e )( c ) V [ P I P I + 2 e P x f ( h P ] a H ` a , K p - K a , p H x , ' , g h a l ) =_ 0 ( m o d e ) ( 5 )w h e r e I P = e ` # P V " K , , , i s ( u p ' t o a n u m e r i c a l f a c t o r ) t h e E i n s t e i n e l e c t r i cc u r r en t v e c t o r d e n s i t y . I n o r d e r t o f i n d a s o l u t i o n o f ( 5 ) w e i n t r o d u c e an e i g h b o r h o o d N E ( P ) o f a g e n e r a l p o i n t P ( x ) N 0 ( P ) i s t h e s e t o f a l l p o i n t sw h o s e c o o r d i n a t e s x ' s a t i s f y t h e c o n d i t i o n I ( x ' - x ' ) 1 < e . I f
h A r = O h / F + ' e h ' i n N e ( P ) ( 6 )t h e n ( 5 ) r e d u c e s t o
0 A K = 0 ( m o d e ) , a = 0 ( m o d e ) .I t i s n o t d i f f i c u l t t o f i n d a s o l u t i o n K X , o f t h i s s y s t e m . T h u s f o r i n s t a n c eK - - A ( z - t ) Ku -B(x + i y ) , K X p O f o r X A 6 1 2 , 3 4 ( m o d e )i n N ( P )i s a s o l u t i o n , p r o v i d e d B i s a n a n a l y t i c ( r e g u l a r ) f u n c t i o n o f x + i y ( a n d' h i = h r = ' h u = - . h O 4 = 1 , t h e r e m a i n i n g 0 h x , , = 0 ) .
6 . T h e F i r s t E i n s t e i n C o n d i t i o n s . - I f w e p u tR x S = x a r i ; - r X $ r - 2 ( 8 x ~ ~ ~ ~ ~( , ) + 8 x r ( a ) rS(
t h e n E i n s t e i n ' s c o n d i t i o n s i m p o s e d on t h e r ' , p a r eS , t A = 0 , R X p = O ( 7 )
a n d r e p r e s e n t i n t h i s f o r m n + n 2 c o n d i t i o n s f o r n 2 u n k n o w n s h x a n d k , " .s l t i n ( n + l ) . ( n - i )o w e v e r , i n R X t h e y s p l t i n n ( 2 + n 2 = n 2 c o n d i t i o n s n a m e l y( a ) H,, = 0 ( m o d e 2 ) , ( b ) A K x , , + h a z ' H 4 K p p = 0 ( m o d e ) . ( 8 )
T h i s s y s t e m a d m i t s a s o l u t i o n h = , , o h X , , ( m o d e 2 ) i n N . ( P ) w h e r e o ' i sa n e x p l i c i t l y d e f i n e d f u n c t i o n o f p o s i t i o n . M o r e o v e r w e h a v e i n t h i s
V O L . 3 8 , 1 9 5 2 2 4 5
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MA.THEMATICS: V . HLA VAT Pc a s e H = , , x 0 ( m o d _ 2 ) i n N . ( P ) . H e n c e a c o o r d i n a t e s y s t e m ma y b ef o u n d f o r w h i c h h x , a r e c o n s t a n t i n N E ( P ) s o t h a t ( 8 ( b ) ) r e d u c e s t o ' A K ) , 0( m o d e ) i n N . ( P ) . M o r e o v e r o n e o b t a i n s t h e s a m e c o n d i t i o n i f ( 6 ) h o l d s ,o r i f o n e a s s u m e s t h a t t he s e t o f b i v e c t o r s B 1 ( B 2 ) g e n e r a t e s a n o n - h o l o n o m i cs u r f a c e w h i c h d i f f e r s o n l y mod e i n N . ( P ) f r o m a s e t o f h o l o n o m i c s u r f a c e s .H o w e v e r , i n t h i s c a s e ( 8 ( a ) ) l e a d s t o h k , , = h , , ( m o d e 2 ) i n N . ( P ) w h i l ei f ( 6 ) h o l d s t h e e q u a t i o n ( 8 ( a ) ) r e d u c e s t o
o A h ) =-- h a x a b h L + a x a b X ) h ' P p - ? x P I ) x X h a l ) ( m o d e ) . ( 9 )I t i s n o t d i f f i c u l t t o f i n d a n o n - t r i v i a l s o l u t i o n o f ( 9 ) . I n p a r t i c u l a r i f
a 1 a .o h ) a - h a -OXaX h ( m o d e ) 't h e n ( 9 ) r e d u c e s t o
o A h I -=0 ( m o d e ) ( 1 0 )I f O h l , = 0 h k n = 0 h 3 3 = - h 4 4 = 1 ( a n d t h e r e m a i n i n g O h ) , = 0 ) , t h e n( 1 0 ) a d m i t s a s o l u t i o nh= p , , ( x + i y , z - t ) ( m o d e ) i n N E ( P )w h e r e p p,,, a r e a r b i t r a r y ( r e g u l a r ) f u n c t i o n s o f x + i y .7 . T h e S e c o n d E i n s t e i n C o n d i t i o n s . - A n y s o l u t i o n o f ( 8 ) i s a l s o a s o l u -t i o n o f t h e s e c o n d E i n s t e i n s y s t e m
S x , ,= R ( I x ) = 0 & X [ R 1 , X ] = 0 ( 1 1 )w h i c h ( f o r n = 4 ) r e p r e s e n t s 4 + 1 0 + 4 = 1 8 c o n d i t i o n s f o r 1 6 u n k n o w n s .T h i s s y s t e m r e d u c e s i n R 4 t o( a ) H, 0 ( m o d E 2 )( b ) A I T + e w I ( H : , V K e p - 4 H , V p K , , p ) h " 3 0 ( m o d e ) . ( 1 2 )I n a l l c a s e s m e n t i o n e d i n s e c t i o n ( 6 ) we o b t a i n t h e s a m e s o l u t i o n f o r h ) , . . .w h i l e ( i n t h e s e c a s e s ) t h e e q u a t i o n ( 1 2 ( b ) ) r e d u c e s t o ' A I " = 0 ( m o d e ) .I f O h l , = h 2 2 = 0 h 3 3 = - 0 h 4 4 = 1 t h e r e m a i n i n g 0 h , , , = 0 , t h e n I F - f " ( x +i y , z-t) ( m o d e ) i n N e ( P ) i s a s o l u t i o n o f t h i s e q u a t i o n , p r o v i d e d t h a tf v i s a n a l y t i c ( r e g u l a r ) i n x + i y .
* P r e p a r e d u n d e r Army C o n t r a c t D A - 3 3 - 0 0 8 - O r d - 2 2 4 .1 E i n s t e i n , A . , T h e M e a n i n g o f R e l a t i v i t y , P r i n c e t o n U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 5 0 ,A p p e n d i x I I .2 H l a v a t O , V . , " S p i n o r S p a c e a n d L i n e G e o m e t r y , " C a n a d i a n J . M a t h . , 3 , 4 4 2 - 4 5 9( 1 9 5 0 ) , a n d " S p i n o r S p a c e a n d L i n e G e o m e t r y I I " ( t o b e p u b l i s h e d i n t h e J o u r n a l o f
2 4 6 P R O C . N . A . S .
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MATHEMA T I C S : M. MORSER a t i o n a l M e c h a n i c s a n d A n a l y s i s ) w h e r e t h e D i r a c e q u a t i o n s a r e i n t e r p r e t e d by meanso f t h e c o m p l e x a n d t h e c o n g r u e n c e m e n t i o n e d a b o v e .3A B ( m o d e m ) i s t h e a n a l y t i ca l d e sc r i p t i o n o f t h e s t a t e m e n t t h a t t h e d i f f e r e n c eA - B i s o f t h e m a g n i t u d e o r d e r o f e m " m ' > m .
4 I t i s w o r t h w h i l e t o s t r e s s t h a t ( 9 ) and ( 1 0 ) a r e c o v a r i a n t e q u a t i o n s [ t h a n k s t o ( 6 ) ] .I n p a r t i c u l a r ( 1 0 ) c a n n o t b e e n f o r c e d by a p r o p e r c h o i c e o f c o o r d i n a t e s !
HOMOLOGY RELA TIONS ON REG ULAR ORIENTABLEMANIFOLDSB y MARSTON MORSE
I N S T I T U T E FOR ADVANCED STUDYC o m m u n i c a t e d J a n u a r y 2 5 , 1 9 5 2
1 . I n t r o d u c t i o n . - T h e t h e o r e m s s t a t e d i n 1 9 2 7 b y M o r s e i n ' r e f e r e n c e 1a r e b e c o m i n g i n c r e a s i n g l y s i g n i f i c a n t i n q u e s t i o n s o f h o m o l o g y , h o m o t o p ya n d c a t e g o r y . S t u d i e s r e l a t e d t o t h e u n s o l v e d S c h o e n f l i e s p r o b l e m b yM o r s e a n d B a i a d a a r e b a s e d o n t h e s e t h e o r e m s . I t i s f o r t h i s r e a s o nt h a t t h e u n p u b l i s h e d p r o o f s o f t h e s e t h e o r e m s a s w r i t t e n i n 1 9 2 7 w i l l b eh e r e g i v e n w i t h r e l a t i v e l y o b v i o u s e x t e n s i o n s w h e r e b y c h a i n s o v e r t h ef i e l d o f i n t e g e r s mo d 2 a r e r e p l a c e d b y c h a i n s o v e r a n y f i e l d c L . Th e c o n -n e c t i v i t i e s u s e d i n r e f e r e n c e 1 w i l l h e r e b e r e p l a c e d b y t h e d i m e n s i o n sR 1 o f t h e r e s p e c t i v e h o m o l o g y g r o u p s , a l w a y s u s i n g c y c l e s o v e r ( D .
The c o m p l e x e s i n v o l v e d w i l l b e s i m i l a r t o t h o s e u s e d i n r e f e r e n c e 2 .T h e y a r e b r o k e n up i n t o c e l l s w i t h t h e p r o p e r t i e s o f " B l o c k - k e t t e n " o fr e f e r e n c e 5 , p a g e 7 8 . The r a n k s o f t h e i n c i d e n ce m a t r i c e s w i l l b e d e t e r -m i n e d " r e l a t i v e " t o c I , r e p l a c i n g t h e e l e m e n t s a o f a m a t r i x b y e a , w h e r e ei s t h e u n i t i n ( D , a n d e v a l u a t i n g t h e s u b d e t e r m i n a n t s o f t h e r e s u l t a n tm a t r i x a s e l e m e n t s i n ( D .2 . R e g u l a r M a n i f o l d s a n d R e g i o n s . - A r e g u l a r n - m a n i f o l d E j . i n aE u c l i d e a n ( n + r ) - s p a c e E + , , n > 0 , r > 0 i s a c l o s e d , c o m p a c t , c o n n e c t e dH a u s d o r f f s u b s p a c e o f E . + , s p e c i a l l y r e p r e s e n t a b l e a s f o l l o w s . L e t U b ea n a r b i t r a r y o p e n s e t i n a E u c l i d e a n s p a c e E n w i t h r e c t a n g u l a r c o o r d i n a t e su = ( u l , . . . , u s ) . L e t y = ( y i , . . , Y n + r ) s i m i l a r l y r e p r e s e n t a p o i n t i nE n + r . L e t P b e a n a r b i t r a r y p o i n t o f E n . Some n e i g h b o r h o o d N ( P )o f P r e l a t i v e t o E n s h a l l b e t h e h o m e o m o r p h o f a n o p e n s e t U e E n u n d e r am a p p i n g o f u e U o n t o [ a / 1 ( u ) , . . . , l I n + r ( u ) ] e E n + , r w h e r e t h e f u n c t i o nsy 6 i a r e o f c l a s s C m , m > 0 , a n d p o s s e s s a f u n c t i o n a l m a t r i x o f r a n k n . B ya r e g u l a r s u b r e g i o n o f En w i l l b e m e a n t a c l o s e d n o n - e m p t y s u b s e t o f Enb o u n d e d b y a f i n i t e s e t o f d i s j o i n t r e g u l a r ( n - 1 ) - m a n i f o l d s . U n l e s so t h e r w i s e s t a t e d a l l m a n i f o l d s i n c l u d i n g b o u n d a r i e s o f r e g i o n s a r e t o b er e g u l a r a n d g i v e n b y r e p r e s e n t a t i o n s o f c l a s s C " ' . O t h e r r e g u l a r r e p r e -s e n t a t i o n s o f a l o w e r c l a s s ma y s o m e t i m e s b e u s e d .
X OL. 3 8 , 1952 2 47
