Vacuous truthFrom Wikipedia, the free encyclopedia

Contents

1 Adjoint functors 11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Spelling (or morphology) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Solutions to optimization problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Symmetry of optimization problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Formal denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.1 Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.2 Universal morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.3 Counit-unit adjunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.4 Hom-set adjunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Adjunctions in full . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.1 Universal morphisms induce hom-set adjunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4.2 Counit-unit adjunction induces hom-set adjunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4.3 Hom-set adjunction induces all of the above . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5.1 Ubiquity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5.2 Problems formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5.3 Posets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6.1 Free groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6.2 Free constructions and forgetful functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6.3 Diagonal functors and limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6.4 Colimits and diagonal functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6.5 Further examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7.1 Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7.2 Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7.3 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7.4 Limit preservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7.5 Additivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8 Relationships . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

i

ii CONTENTS

1.8.1 Universal constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8.2 Equivalences of categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8.3 Monads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.10 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Antecedent (logic) 172.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Atomic formula 183.1 Atomic formula in rst-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Binary decision 204.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Binary relation 215.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.1.1 Is a relation more than its graph? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.1.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.2 Special types of binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.2.1 Difunctional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.3 Relations over a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.4 Operations on binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.4.1 Complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.4.2 Restriction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.4.3 Algebras, categories, and rewriting systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.5 Sets versus classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.6 The number of binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.7 Examples of common binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.10 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.11 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6 Category theory 316.1 An abstraction of other mathematical concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.2 Utility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.2.1 Categories, objects, and morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.2.2 Functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

CONTENTS iii

6.2.3 Natural transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.3 Categories, objects, and morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6.3.1 Categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.3.2 Morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.4 Functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.5 Natural transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.6 Other concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.6.1 Universal constructions, limits, and colimits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.6.2 Equivalent categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.6.3 Further concepts and results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.6.4 Higher-dimensional categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.7 Historical notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.10 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.11 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.12 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7 Classical logic 417.1 Examples of classical logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.2 Non-classical logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427.4 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

8 Composite number 438.1 Types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438.2 Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

9 Consequent 489.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

10 CornishFisher expansion 4910.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4910.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4910.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

11 Counterexample 5111.1 In mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

iv CONTENTS

11.1.1 Rectangle example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5111.1.2 Other mathematical examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

11.2 In philosophy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5211.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5211.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5211.5 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

12 Counterfactual conditional 5412.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5412.2 Reversal of clauses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5512.3 Psychology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

12.3.1 Comprehension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5512.3.2 Reasoning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5512.3.3 Psychological accounts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

12.4 Philosophical treatments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5512.4.1 Connective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5612.4.2 Possible world semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5612.4.3 Other accounts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5712.4.4 Within empirical testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

12.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5712.6 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5812.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

13 Degeneracy (mathematics) 6113.1 In geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

13.1.1 Conic section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6113.1.2 Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6113.1.3 Rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6113.1.4 Polyhedron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6213.1.5 Standard torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6213.1.6 Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6213.1.7 Other . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

13.2 Elsewhere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6213.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6213.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

14 Domain of discourse 6314.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6314.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6314.3 Universe of discourse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6314.4 Booles 1854 denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6314.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

CONTENTS v

14.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

15 Element (mathematics) 6515.1 Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6515.2 Notation and terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6515.3 Cardinality of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6615.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6615.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6615.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6715.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

16 Empty product 6816.1 Nullary arithmetic product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

16.1.1 Justication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6816.1.2 Relevance of dening empty products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6816.1.3 Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

16.2 Nullary Cartesian product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6916.2.1 Nullary Cartesian product of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

16.3 Nullary categorical product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6916.4 In logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7016.5 In computer programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7016.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7016.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7016.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

17 Empty set 7217.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7217.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

17.2.1 Operations on the empty set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7517.3 In other areas of mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

17.3.1 Extended real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7517.3.2 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7517.3.3 Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

17.4 Questioned existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7617.4.1 Axiomatic set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7617.4.2 Philosophical issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

17.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7717.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7717.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7717.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

18 Empty sum 7818.1 Relevance of dening empty sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

vi CONTENTS

18.1.1 An example: empty linear combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7818.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

19 Existence 8019.1 Etymology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8019.2 Historical conceptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

19.2.1 Early modern philosophy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8119.3 Predicative nature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

19.3.1 Semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8219.4 Modern approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

19.4.1 Existence in the wide and narrow senses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8319.4.2 European views . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8319.4.3 Anti-realist arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

19.5 Dharmic middle way view . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8419.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8419.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8519.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8519.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

20 Existential quantication 8720.1 Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8720.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

20.2.1 Negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8820.2.2 Rules of Inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8920.2.3 The empty set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

20.3 As adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8920.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9020.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9020.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

21 Expression (mathematics) 9121.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9121.2 Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9121.3 Syntax versus semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

21.3.1 Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9121.3.2 Semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9221.3.3 Formal languages and lambda calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

21.4 Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9221.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9321.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9321.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

22 False (logic) 94

CONTENTS vii

22.1 In classical logic and Boolean logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9422.2 False, negation and contradiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9422.3 Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9422.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9522.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

23 First-order logic 9623.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9623.2 Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

23.2.1 Alphabet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9723.2.2 Formation rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9923.2.3 Free and bound variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10023.2.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

23.3 Semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10123.3.1 First-order structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10223.3.2 Evaluation of truth values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10223.3.3 Validity, satisability, and logical consequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10323.3.4 Algebraizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10323.3.5 First-order theories, models, and elementary classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10423.3.6 Empty domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

23.4 Deductive systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10523.4.1 Rules of inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10523.4.2 Hilbert-style systems and natural deduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10523.4.3 Sequent calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10623.4.4 Tableaux method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10623.4.5 Resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10623.4.6 Provable identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

23.5 Equality and its axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10723.5.1 First-order logic without equality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10723.5.2 Dening equality within a theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

23.6 Metalogical properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10823.6.1 Completeness and undecidability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10823.6.2 The LwenheimSkolem theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10823.6.3 The compactness theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10923.6.4 Lindstrms theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

23.7 Limitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10923.7.1 Expressiveness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10923.7.2 Formalizing natural languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

23.8 Restrictions, extensions, and variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11023.8.1 Restricted languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11023.8.2 Many-sorted logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11023.8.3 Additional quantiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

viii CONTENTS

23.8.4 Innitary logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11123.8.5 Non-classical and modal logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11123.8.6 Fixpoint logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11223.8.7 Higher-order logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

23.9 Automated theorem proving and formal methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11223.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11323.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11323.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11423.13External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

24 Free variables and bound variables 11724.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

24.1.1 Variable-binding operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11824.2 Formal explanation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

24.2.1 Function expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12024.3 Natural language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12024.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12124.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

25 Functor 12225.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

25.1.1 Covariance and contravariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12225.1.2 Opposite functor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12325.1.3 Bifunctors and multifunctors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

25.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12325.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12425.4 Relation to other categorical concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12525.5 Computer implementations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12525.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12525.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12525.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12625.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

26 Grammatical modier 12726.1 Premodiers and postmodiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12726.2 Types of modiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12726.3 Ambiguous and dangling modiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12826.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12926.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

27 Ground expression 13027.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13027.2 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

CONTENTS ix

27.2.1 Ground terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13027.2.2 Ground atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13127.2.3 Ground formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

27.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

28 Image (mathematics) 13228.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

28.1.1 Image of an element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13328.1.2 Image of a subset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13328.1.3 Image of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

28.2 Inverse image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13328.3 Notation for image and inverse image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

28.3.1 Arrow notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13328.3.2 Star notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13328.3.3 Other terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

28.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13428.5 Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13428.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13528.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13528.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

29 Interpretation (logic) 13629.1 Formal languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

29.1.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13629.1.2 Logical constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

29.2 General properties of truth-functional interpretations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13729.2.1 Logical connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

29.3 Interpretation of a theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13829.4 Interpretations for propositional logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13829.5 First-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

29.5.1 Formal languages for rst-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13829.5.2 Interpretations of a rst-order language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13929.5.3 Example of a rst-order interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13929.5.4 Non-empty domain requirement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14029.5.5 Interpreting equality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14029.5.6 Many-sorted rst-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

29.6 Higher-order predicate logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14129.7 Non-classical interpretations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14129.8 Intended interpretations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

29.8.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14229.9 Other concepts of interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14229.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

x CONTENTS

29.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14329.12External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

30 List of logic symbols 14430.1 Basic logic symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14430.2 Advanced and rarely used logical symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

30.2.1 Poland and Germany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14530.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14630.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14630.5 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14630.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

31 Logic 14731.1 The study of logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

31.1.1 Logical form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14731.1.2 Deductive and inductive reasoning, and abductive inference . . . . . . . . . . . . . . . . . 14831.1.3 Consistency, validity, soundness, and completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14931.1.4 Rival conceptions of logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

31.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14931.3 Types of logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

31.3.1 Syllogistic logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15131.3.2 Propositional logic (sentential logic) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15131.3.3 Predicate logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15131.3.4 Modal logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15231.3.5 Informal reasoning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15231.3.6 Mathematical logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15331.3.7 Philosophical logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15331.3.8 Computational logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15331.3.9 Bivalence and the law of the excluded middle; non-classical logics . . . . . . . . . . . . . 15431.3.10 Is logic empirical?" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15531.3.11 Implication: strict or material? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15531.3.12 Tolerating the impossible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15531.3.13 Rejection of logical truth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

31.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15631.5 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15731.6 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15931.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

32 Logical conjunction 16132.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16232.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

32.2.1 Truth table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

CONTENTS xi

32.3 Introduction and elimination rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16332.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16432.5 Applications in computer engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16532.6 Set-theoretic correspondence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16532.7 Natural language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16532.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16632.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16632.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

33 Logical connective 16733.1 In language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

33.1.1 Natural language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16733.1.2 Formal languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

33.2 Common logical connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16833.2.1 List of common logical connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16833.2.2 History of notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16933.2.3 Redundancy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

33.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17033.4 Order of precedence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17133.5 Computer science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17133.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17133.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17133.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17233.9 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17233.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

34 Logical constant 17334.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17334.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17334.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

35 Logical equivalence 17435.1 Logical equivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17435.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17435.3 Relation to material equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17535.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17535.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

36 Logical truth 17636.1 Logical truths and analytic truths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17636.2 Truth values and tautologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17736.3 Logical truth and logical constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17736.4 Logical truth and rules of inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

xii CONTENTS

36.5 Non-classical logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17736.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17736.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17836.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

37 Material conditional 17937.1 Denitions of the material conditional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

37.1.1 As a truth function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18037.1.2 As a formal connective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

37.2 Formal properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18137.3 Philosophical problems with material conditional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18137.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

37.4.1 Conditionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18237.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18237.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18237.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

38 Mutatis mutandis 18438.1 Etymology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18438.2 Plain English . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18438.3 Quotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18538.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18538.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

39 Natural number 18639.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

39.1.1 Modern denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18839.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18839.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

39.3.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18839.3.2 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18839.3.3 Relationship between addition and multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18939.3.4 Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18939.3.5 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18939.3.6 Algebraic properties satised by the natural numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

39.4 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19039.5 Formal denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

39.5.1 Peano axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19039.5.2 Constructions based on set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

39.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19239.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19239.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

CONTENTS xiii

39.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

40 Open sentence 19740.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

41 Paradoxes of material implication 19941.1 Paradox of entailment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

41.1.1 Understanding the paradox of entailment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20041.1.2 Explaining the paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

41.2 Simplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20141.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20141.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

42 Polish notation 20242.1 Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20242.2 Computer programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20342.3 Order of operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20342.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20442.5 Polish notation for logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20442.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20442.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20542.8 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

43 Power set 20643.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20643.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20743.3 Representing subsets as functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20743.4 Relation to binomial theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20843.5 Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20843.6 Subsets of limited cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20843.7 Power object . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20943.8 Functors and quantiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20943.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20943.10Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20943.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21043.12External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

44 Predicate (mathematical logic) 21144.1 Simplied overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21144.2 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21144.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21244.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21244.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

xiv CONTENTS

45 Predicate logic 21345.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21345.2 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21345.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

46 Presheaf (category theory) 21546.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21546.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21546.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21546.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

47 Principle of explosion 21747.1 Symbolic representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21747.2 Arguments for explosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

47.2.1 The semantic argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21847.2.2 The proof-theoretic argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

47.3 Addressing the principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21947.4 Use . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22047.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22047.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

48 Projection (linear algebra) 22148.1 Simple example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

48.1.1 Orthogonal projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22248.1.2 Oblique projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

48.2 Properties and classication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22348.2.1 Orthogonal projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22448.2.2 Oblique projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

48.3 Canonical forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22648.4 Projections on normed vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22748.5 Applications and further considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22748.6 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22748.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22848.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22848.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22848.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

49 Property (philosophy) 22949.1 Essential and accidental properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22949.2 Determinate and determinable properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22949.3 Lovely and suspect qualities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22949.4 Property dualism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22949.5 Properties in mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

CONTENTS xv

49.6 Properties and predicates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23049.7 Intrinsic and extrinsic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23149.8 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23149.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23149.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23149.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

50 Proposition 23250.1 Historical usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

50.1.1 By Aristotle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23250.1.2 By the logical positivists . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23250.1.3 By Russell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

50.2 Relation to the mind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23350.3 Treatment in logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23350.4 Objections to propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23350.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23450.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23450.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

51 Propositional formula 23551.1 Propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

51.1.1 Relationship between propositional and predicate formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . 23651.1.2 Identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

51.2 An algebra of propositions, the propositional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23651.2.1 Usefulness of propositional formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23751.2.2 Propositional variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23751.2.3 Truth-value assignments, formula evaluations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

51.3 Propositional connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23851.3.1 Connectives of rhetoric, philosophy and mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23851.3.2 Engineering connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23851.3.3 CASE connective: IF ... THEN ... ELSE ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23851.3.4 IDENTITY and evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

51.4 More complex formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24051.4.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24051.4.2 Axiom and denition schemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24151.4.3 Substitution versus replacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

51.5 Inductive denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24151.6 Parsing formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

51.6.1 Connective seniority (symbol rank) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24251.6.2 Commutative and associative laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24351.6.3 Distributive laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24351.6.4 De Morgans laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

xvi CONTENTS

51.6.5 Laws of absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24451.6.6 Laws of evaluation: Identity, nullity, and complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24451.6.7 Double negative (Involution) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

51.7 Well-formed formulas (ws) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24451.7.1 Ws versus valid formulas in inferences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

51.8 Reduced sets of connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24551.8.1 The stroke (NAND) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24551.8.2 IF ... THEN ... ELSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

51.9 Normal forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24751.9.1 Reduction to normal form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24751.9.2 Reduction by use of the map method (Veitch, Karnaugh) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

51.10Impredicative propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24951.11Propositional formula with feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

51.11.1 Oscillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25051.11.2 Memory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

51.12Historical development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25151.13Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25351.14References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

52 Propositional function 26152.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

53 Quantier (logic) 26253.1 Mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26253.2 Algebraic approaches to quantication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26253.3 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26353.4 Nesting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26453.5 Equivalent expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26453.6 Range of quantication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26553.7 Formal semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26553.8 Paucal, multal and other degree quantiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26753.9 Other quantiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26753.10History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26853.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26853.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26853.13External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

54 Rule of inference 27054.1 The standard form of rules of inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27054.2 Axiom schemas and axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27154.3 Example: Hilbert systems for two propositional logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27154.4 Admissibility and derivability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

CONTENTS xvii

54.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27254.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

55 Rule of replacement 27455.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

56 Satisability 27556.1 Reduction of validity to satisability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27556.2 Propositional satisability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27556.3 Satisability in rst-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27656.4 Satisability in model theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27656.5 Finite satisability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27656.6 Numerical constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27756.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27756.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27756.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27756.10Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

57 Sequent 27857.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

57.1.1 The form and semantics of sequents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27857.1.2 Syntax details . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27957.1.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27957.1.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28057.1.5 Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

57.2 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28057.2.1 History of the meaning of sequent assertions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28057.2.2 Intuitive meaning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

57.3 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28157.4 Etymology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28157.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28257.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28257.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28357.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

58 Set (mathematics) 28458.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28558.2 Describing sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28558.3 Membership . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

58.3.1 Subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28758.3.2 Power sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

58.4 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28858.5 Special sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

xviii CONTENTS

58.6 Basic operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28958.6.1 Unions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28958.6.2 Intersections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29058.6.3 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29058.6.4 Cartesian product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

58.7 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29358.8 Axiomatic set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29358.9 Principle of inclusion and exclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29458.10De Morgans Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29458.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29558.12Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29558.13References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29558.14External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

59 Supervaluationism 29659.1 Example abstraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29659.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29659.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29659.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

60 T-schema 29860.1 The inductive denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29860.2 Natural languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29860.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29960.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29960.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

61 Tautology (logic) 30061.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30061.2 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30161.3 Denition and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30161.4 Verifying tautologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30261.5 Tautological implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30261.6 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30261.7 Ecient verication and the Boolean satisability problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30361.8 Tautologies versus validities in rst-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30361.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

61.9.1 Normal forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30461.9.2 Related logical topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

61.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30461.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

62 Theorem 305

CONTENTS xix

62.1 Informal account of theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30562.2 Provability and theoremhood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30662.3 Relation with scientic theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30662.4 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30662.5 Layout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30762.6 Lore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30862.7 Theorems in logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

62.7.1 Syntax and semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30962.7.2 Derivation of a theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30962.7.3 Interpretation of a formal theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31062.7.4 Theorems and theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

62.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31062.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31062.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31162.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

63 Theory (mathematical logic) 31663.1 Theories expressed in formal language generally . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

63.1.1 Subtheories and extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31663.1.2 Deductive theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31663.1.3 Consistency and completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31663.1.4 Interpretation of a theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31763.1.5 Theories associated with a structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

63.2 First-order theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31763.2.1 Derivation in a rst order theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31763.2.2 Syntactic consequence in a rst order theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31863.2.3 Interpretation of a rst order theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31863.2.4 First order theories with identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31863.2.5 Topics related to rst order theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

63.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31863.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31963.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31963.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

64 Topos 32064.1 Grothendieck topoi (topoi in geometry) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

64.1.1 Equivalent denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32064.1.2 Geometric morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32164.1.3 Ringed topoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32164.1.4 Homotopy theory of topoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

64.2 Elementary topoi (topoi in logic) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32264.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

xx CONTENTS

64.2.2 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32264.2.3 Logical functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32364.2.4 Explanation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32364.2.5 Further examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

64.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32564.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32564.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

65 Triviality (mathematics) 32765.1 Trivial and nontrivial solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32765.2 Triviality in mathematical reasoning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

65.2.1 Trivial proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32865.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32865.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32965.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32965.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

66 Type theory 33066.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33066.2 Basic concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33066.3 Dierence from set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33166.4 Optional features . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

66.4.1 Normalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33166.4.2 Dependent types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33166.4.3 Equality types (or identity types) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33266.4.4 Inductive types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33266.4.5 Universe types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33266.4.6 Computational component . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

66.5 Systems of type theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33366.5.1 Major . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33366.5.2 Minor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33366.5.3 Active . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

66.6 Practical impact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33366.6.1 Programming languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33366.6.2 Mathematical foundations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33366.6.3 Proof assistants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33466.6.4 Linguistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33466.6.5 Social sciences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

66.7 Relation to category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33466.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33566.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33566.10Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

CONTENTS xxi

66.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

67 Universal generalization 33767.1 Generalization with hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33767.2 Example of a proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33767.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33767.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

68 Universal instantiation 33968.1 Quine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33968.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33968.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

69 Universal quantication 34169.1 Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

69.1.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34269.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

69.2.1 Negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34269.2.2 Other connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34369.2.3 Rules of inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34469.2.4 The empty set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

69.3 Universal closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34469.4 As adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34569.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34569.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34569.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

70 Vacuous truth 34670.1 Scope of the concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34670.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34670.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34770.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34770.5 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34770.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

71 Well-dened 34871.1 Well-dened functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

71.1.1 Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34871.2 Well-dened notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34971.3 Other uses of the term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34971.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34971.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

71.5.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

xxii CONTENTS

71.5.2 Books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

72 Well-formed formula 35072.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35172.2 Propositional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35172.3 Predicate logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35272.4 Atomic and open formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35272.5 Closed formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35372.6 Properties applicable to formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35372.7 Usage of the terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35372.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35372.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35372.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35472.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35472.12Text and image sources, contributors, and licenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

72.12.1 Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35572.12.2 Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36672.12.3 Content license . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

Chapter 1

Adjoint functors

For the construction in eld theory, see Adjunction (eld theory). For the construction in topology, see Adjunctionspace.

In mathematics, specically category theory, adjunction is a possible relationship between two functors.Adjunction is ubiquitous in mathematics, as it species intuitive notions of optimization and eciency.In the most concise symmetric denition, an adjunction between categories C and D is a pair of functors,

F : D ! C and G : C ! D

and a family of bijections

homC(FY;X) = homD(Y;GX)

which is natural in the variables X and Y. The functor F is called a left adjoint functor, while G is called a rightadjoint functor. The relationship F is left adjoint to G (or equivalently, G is right adjoint to F) is sometimeswritten

F a G:

This denition and others are made precise below.

1.1 IntroductionThe slogan is Adjoint functors arise everywhere. (Saunders Mac Lane, Categories for the working mathematician)The long list of examples in this article is only a partial indication of how often an interesting mathematical construc-tion is an adjoint functor. As a result, general theorems about left/right adjoint functors, such as the equivalence oftheir various denitions or the fact that they respectively preserve colimits/limits (which are also found in every areaof mathematics), can encode the details of many useful and otherwise non-trivial results.

1.1.1 Spelling (or morphology)One can observe (e.g. in this article), two dierent roots are used: adjunct and adjoint. From Oxford shorterEnglish dictionary, adjunct is from Latin, adjoint is from French.In Mac Lane, Categories for the working mathematician, chap. 4, Adjoints, one can verify the following usage.' : homC(FY;X) = homD(Y;GX)

1

2 CHAPTER 1. ADJOINT FUNCTORS

The hom-set bijection ' is an adjunction.If f an arrow in homC(FY;X) , 'f is the right adjunct of f (p. 81).The functor F is left adjoint for G .

1.2 Motivation

1.2.1 Solutions to optimization problems

It can be said that an adjoint functor is a way of giving the most ecient solution to some problem via a method whichis formulaic. For example, an elementary problem in ring theory is how to turn a rng (which is like a ring that mightnot have a multiplicative identity) into a ring. The most ecient way is to adjoin an element '1' to the rng, adjoinall (and only) the elements which are necessary for satisfying the ring axioms (e.g. r+1 for each r in the ring), andimpose no relations in the newly formed ring that are not forced by axioms. Moreover, this construction is formulaicin the sense that it works in essentially the same way for any rng.This is rather vague, though suggestive, and can be made precise in the language of category theory: a constructionis most ecient if it satises a universal property, and is formulaic if it denes a functor. Universal properties comein two types: initial properties and terminal properties. Since these are dual (opposite) notions, it is only necessaryto discuss one of them.The idea of using an initial property is to set up the problem in terms of some auxiliary c