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| Date post: | 17-Jan-2017 |
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Variables aleatoria
Parte I
MSc Edgar Madrid Cuello
Departamento de Matemática, UNISUCRE
Estadística I
2016
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IVariables aleatoria 2016 1 / 8
Novena sección
De�nición (Variables aleatorias)
Una variable aleatoria es simplemente una variable que toma valores
numéricos que dependen del resultado de una operación aleatoria.
Ejemplo (Dado)
Consideremos la operación aleatoria de lanzar un dado. Sea la variable
aleatoria X que representa el número de puntos que se muestran en la cara
superior.
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Novena sección
De�nición (Variables aleatorias)
Una variable aleatoria es simplemente una variable que toma valores
numéricos que dependen del resultado de una operación aleatoria.
Ejemplo (Dado)
Consideremos la operación aleatoria de lanzar un dado. Sea la variable
aleatoria X que representa el número de puntos que se muestran en la cara
superior.
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Novena sección
De�nición (Variables aleatorias)
Una variable aleatoria es simplemente una variable que toma valores
numéricos que dependen del resultado de una operación aleatoria.
Ejemplo (Dado)
Consideremos la operación aleatoria de lanzar un dado. Sea la variable
aleatoria X que representa el número de puntos que se muestran en la cara
superior.
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Novena sección
Ejemplo (Tamaño de familia)
Supongamos que se escoge aleatoriamente una familia de una cierta
población, y sea la variable aleatoria Y que indica el número de hijos de la
familia elegida. Los valores posibles de Y son 0, 1,2, 3,... La probabilidad
de que Y tenga un valor concreto es igual al porcentaje de familias con ese
número de hijos. Por ejemplo, si el 23% de las familias tienen dos hijos,
entonces
Ejemplo (Medicaciones)
Después de sufrir cirugía cardiaca, los pacientes generalmente reciben
diversas medicaciones. Sea la variable aleatoria X que indica el número de
medicaciones que recibe un paciente después de recibir cirugía cardiaca. Si
conocemos la distribución del número de medicaciones por paciente para
toda la población, entonces podemos especi�car la probabilidad de que Xtenga un cierto valor o esté entre un cierto intervalo de valores. Por
ejemplo, si el 52% de todos los pacientes reciben 2, 3, 4 o 5 medicaciones,
entonces
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Novena sección
Ejemplo (Tamaño de familia)
Supongamos que se escoge aleatoriamente una familia de una cierta
población, y sea la variable aleatoria Y que indica el número de hijos de la
familia elegida. Los valores posibles de Y son 0, 1,2, 3,... La probabilidad
de que Y tenga un valor concreto es igual al porcentaje de familias con ese
número de hijos. Por ejemplo, si el 23% de las familias tienen dos hijos,
entonces
Ejemplo (Medicaciones)
Después de sufrir cirugía cardiaca, los pacientes generalmente reciben
diversas medicaciones. Sea la variable aleatoria X que indica el número de
medicaciones que recibe un paciente después de recibir cirugía cardiaca. Si
conocemos la distribución del número de medicaciones por paciente para
toda la población, entonces podemos especi�car la probabilidad de que Xtenga un cierto valor o esté entre un cierto intervalo de valores. Por
ejemplo, si el 52% de todos los pacientes reciben 2, 3, 4 o 5 medicaciones,
entonces
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Novena sección
Ejemplo (Alturas de hombres)
Sea la variable aleatoria X que indica la altura de un hombre elegido
aleatoriamente de una cierta población. Si sabemos la distribución de las
alturas de la población, entonces podemos especi�car la probabilidad de
que X esté en un cierto intervalo. Por ejemplo, si el 46% de los hombres
tienen alturas entre 1.65m y 1.78m, entonces
No obstante, podemos ver la altura verdadera como una
variable continua.Para modelar las distribuciones de variables
aleatorias continuas, como el nivel de glucosa en sangre o el
diámetro de árboles, utilizaremos curvas de densidad
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Novena sección
Ejemplo (Alturas de hombres)
Sea la variable aleatoria X que indica la altura de un hombre elegido
aleatoriamente de una cierta población. Si sabemos la distribución de las
alturas de la población, entonces podemos especi�car la probabilidad de
que X esté en un cierto intervalo. Por ejemplo, si el 46% de los hombres
tienen alturas entre 1.65m y 1.78m, entonces
No obstante, podemos ver la altura verdadera como una
variable continua.Para modelar las distribuciones de variables
aleatorias continuas, como el nivel de glucosa en sangre o el
diámetro de árboles, utilizaremos curvas de densidad
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Novena sección
Ejemplo (Alturas de hombres)
Sea la variable aleatoria X que indica la altura de un hombre elegido
aleatoriamente de una cierta población. Si sabemos la distribución de las
alturas de la población, entonces podemos especi�car la probabilidad de
que X esté en un cierto intervalo. Por ejemplo, si el 46% de los hombres
tienen alturas entre 1.65m y 1.78m, entonces
No obstante, podemos ver la altura verdadera como una
variable continua.Para modelar las distribuciones de variables
aleatorias continuas, como el nivel de glucosa en sangre o el
diámetro de árboles, utilizaremos curvas de densidad
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Novena sección
Media y varianza de variables aleatorias
En el caso de una variable aleatoria discreta, podemos calcular la media
poblacional y la desviación típica poblacional si conocemos la distribución
de probabilidad de dicha variable aleatoria.
La media de una variable aleatoria discreta se de�ne como
µX =∑
xiP (X = xi )
siendo xi los valores que toma la variable aleatoria, y la suma se realiza
sobre todos los posibles valores.La media de una variable aleatoria se
conoce también como valor esperado y se expresa frecuentemente como
E(X); es decir, E(X) = µX
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Novena sección
Media y varianza de variables aleatorias
En el caso de una variable aleatoria discreta, podemos calcular la media
poblacional y la desviación típica poblacional si conocemos la distribución
de probabilidad de dicha variable aleatoria.
La media de una variable aleatoria discreta se de�ne como
µX =∑
xiP (X = xi )
siendo xi los valores que toma la variable aleatoria, y la suma se realiza
sobre todos los posibles valores.La media de una variable aleatoria se
conoce también como valor esperado y se expresa frecuentemente como
E(X); es decir, E(X) = µX
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Novena sección
Media y varianza de variables aleatorias
En el caso de una variable aleatoria discreta, podemos calcular la media
poblacional y la desviación típica poblacional si conocemos la distribución
de probabilidad de dicha variable aleatoria.
La media de una variable aleatoria discreta se de�ne como
µX =∑
xiP (X = xi )
siendo xi los valores que toma la variable aleatoria, y la suma se realiza
sobre todos los posibles valores.La media de una variable aleatoria se
conoce también como valor esperado y se expresa frecuentemente como
E(X); es decir, E(X) = µX
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Novena sección
Media y varianza de variables aleatorias
En el caso de una variable aleatoria discreta, podemos calcular la media
poblacional y la desviación típica poblacional si conocemos la distribución
de probabilidad de dicha variable aleatoria.
La media de una variable aleatoria discreta se de�ne como
µX =∑
xiP (X = xi )
siendo xi los valores que toma la variable aleatoria, y la suma se realiza
sobre todos los posibles valores.La media de una variable aleatoria se
conoce también como valor esperado y se expresa frecuentemente como
E(X); es decir, E(X) = µX
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Novena sección
Media y varianza de variables aleatorias
En el caso de una variable aleatoria discreta, podemos calcular la media
poblacional y la desviación típica poblacional si conocemos la distribución
de probabilidad de dicha variable aleatoria.
La media de una variable aleatoria discreta se de�ne como
µX =∑
xiP (X = xi )
siendo xi los valores que toma la variable aleatoria, y la suma se realiza
sobre todos los posibles valores.La media de una variable aleatoria se
conoce también como valor esperado y se expresa frecuentemente como
E(X); es decir, E(X) = µX
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Novena sección
Ejemplo (Vértebras de peces)
En una cierta población de escorpiones de agua dulce, Cottus rotheus, la
distribución del número de vértebras de la cola, X, se muestra en la Tabla
la media de X es:
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Novena sección
Ejemplo (Dado)
Consideremos el lanzamiento de un dado perfectamente equilibrado, de
forma que cada una de sus seis caras tiene la misma probabilidad de salir, y
sea X la variable aleatoria que representa el número de puntos que se
muestran. El valor esperado, o media de X es
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Novena sección
Para calcular la desviación típica de una variable, se calcula primero la
varianza, σ2 , de dicha variable aleatoria y después se extrae la raíz
cuadrada de la varianza, obteniéndose así la desviación típica, σ.La varianza de una variable aleatoria discreta se de�ne como:
σ2X =∑(
xi − µX)2P (X = xi )
siendo xi los valores que toma la variable aleatoria, y la suma se realiza
sobre todos los posibles valores.
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Novena sección
Para calcular la desviación típica de una variable, se calcula primero la
varianza, σ2 , de dicha variable aleatoria y después se extrae la raíz
cuadrada de la varianza, obteniéndose así la desviación típica, σ.La varianza de una variable aleatoria discreta se de�ne como:
σ2X =∑(
xi − µX)2P (X = xi )
siendo xi los valores que toma la variable aleatoria, y la suma se realiza
sobre todos los posibles valores.
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