UNIVERSIDAD DON BOSCO

Segundo trabajo

cooperativo Estadística I

Integrantes:

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Contenido VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS ............................................................................................ 3

Definición .............................................................................................................................. 3

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD Y FUNCIONES DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD .................... 3

FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD .............................................................................. 3

Definición. ............................................................................................................................. 3

Ejemplo 1 ............................................................................................................................... 4

FUNCION DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA .............................................................................. 5

Definición. ............................................................................................................................. 5

Ejemplo 2 ............................................................................................................................... 5

VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA ................................................. 6

Definición. ............................................................................................................................. 6

Ejemplo 3 ............................................................................................................................... 6

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Definición

Si el rango de una variable aleatoria X contiene un intervalo (ya sea finito o infinito) de

números reales, entonces X es una variable aleatoria continua.

En algunos ejemplos, la variable aleatoria en realidad es discreta, pero como el rango de todos

los valores posibles es muy grande, puede resultar más conveniente utilizar un modelo basado

en una variable aleatoria continua. Por ejemplo, una escala digital puede mostrar el peso de

una pieza redondeado hasta el centésimo de gramo más cercano. Si bien sólo son posibles

datos redondeados hasta centésimos de gramo, tal vez sea conveniente pensar el peso de la

pieza como una variable aleatoria continua. Como otro ejemplo, es posible medir la corriente

hasta el micro ampere más cercano. Dado que sólo es posible un número entero de micro

amperes, la variable aleatoria es discreta. Sin embargo, tal vez sea más conveniente suponer

que las mediciones de corriente corresponden a calores de una variable aleatoria continua.

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD Y FUNCIONES DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD

FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD

Definición.

Una función fx(x) es una función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua

X si para cualquier intervalo de números reales [x1 , x2]

La propiedad (1) es necesaria debido a que el resultado de una integración puede ser un

número negativo si la función que se integra toma valores negativos, y a que una probabilidad

nunca es negativa, esto es, . La propiedad (2) se debe a que la probabilidad de que X

tome algún valor dentro de su rango es uno.

La función de densidad de probabilidad también puede interpretarse de la siguiente manera.

Sea un intervalo pequeño en el rango de X. Entonces,

El valor de esta integral es aproximadamente igual a . Después de dividir ambos

miembros entre , se tiene que

El valor de puede interpretarse como la probabilidad de que X tome un valor dentro de

un intervalo pequeño de longitud alrededor de x dividida entre la longitud del intervalo.

Esto es, puede interpretarse como la densidad de probabilidad alrededor del punto x.

Una consecuencia de que sea X una variable aleatoria continua es que, para cualquier valor en

el rango de X, por ejemplo x,

Este resultado se desprende de inmediato del hecho de que

Si X es una variable aleatoria continua, entonces, para cualquier x1 y x2

Ejemplo 1

Sea la variable aleatoria continua X la corriente medida en mili amperes, en un conductor

delgado de cobre. Supóngase que el rango de X es [0.20 mA] y que la función de densidad de

probabilidad de X es ¿Cuál es la probabilidad de que una medición

de corriente sea menor que 10 mili amperes?

La figura siguiente ilustra la función de densidad.

La probabilidad perdida está señalada con el área

sombreada de color azul.

FUNCION DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA

Para variables aleatorias continuas también puede emplearse un método alternativo de

descripción de la distribución de una variable discreta.

Definición.

La función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua X es

La extensión de la definición de a todos los números reales, permite definir la función de

distribución acumulada para todos los números reales. El ejemplo que sigue ilustra la

definición.

Ejemplo 2

Para la medición de corriente en el alambre de cobre del ejemplo anterior, la función de

distribución acumulada de la variable aleatoria X está formada por tres expresiones. Si ,

entonces . Por tanto,

Y

Finalmente,

Por consiguiente,

Y la grafica representativa es

VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA La media y la varianza de una variable aleatoria continua se definen de manera similar al caso

de la variable aleatoria discreta. En las definiciones, la integración remplaza a la sumatoria.

Definición.

Supóngase que X es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad

La media de X, denotada por

La varianza de X, denotada por es

Así mismo, la desviación estándar de X es

Ejemplo 3

Para la medición de corriente en el alambre de cobre del primer ejemplo, la media de X es

Para la varianza de X hacemos lo siguiente

BIBLIOGRAFÌA

Probabilidad y estadística aplicada a la Ingeniería (1996), Douglas C. Montgomery y

George C. Runger, Mc Graw Hill.

http://www.youtube.com/results?search_query=funcion+de+densidad+de+probabilid

ad&oq=funcion+de+densidad&gs_l=youtube.3.0.0l6.12071.15539.0.17301.10.7.0.0.0.2

.184.806.2j5.7.0...0.0...1ac.1.XBqY1HB75j8

http://personales.unican.es/gonzaleof/Sociales_2/aleatorias.pdf