+ All Categories
Home > Documents > Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

Date post: 15-Dec-2015
Category:
Upload: endless-love
View: 18 times
Download: 1 times
Share this document with a friend
Description:
Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows
212
Transcript
Page 1: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��������� � ��� ���

��������� � �����������

��

���� ������ �� ��������� ��� ��� �� ��� ��

�!��� �� ���"���#��

��$�� %&&'

����������� ������� �� ��� ������

������� ����� ��� ������ �����

�� �� ������

Page 2: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�(��"��)*� #��)!�#"� �� ���� �� ��+��� ( +(��(���)(" #��)!�#"� ,��!� �(� (� ���

)(���(" !�)�����)� ��� �-�(���)� �� �����(���)(" �����) �� () �)!��#������"�. ��/

�� �)����. �)+��!�� 0��� ,��� ( ���� ����(!�1 $� (##"��) ��� ��(""�, ,(���

(##��2��(���) �� ��� 0�, +(��(�"�� ���� +(��(���)(" #��)!�#"� �� ����!�� �� ()/

����� �)� ,���� )(���(" !�)�����)� (�� ��� ��(""�, ,(��� �-�(���)� �� �����)1

$��)�(�� ����� (�� (���� �� ��� ��)!���)(" �� ���� +(��(���)(" #��)!�#"� �� ��(�

��� )(���(" !�)�����)� )�, �)!"��� ���)�(�� ()� �)���(" !�)�����)� (� ,�"" (� ���

�-�(���)� �� �����)1 � -�(���� �� +(��(���)(" #��)!�#"�� ��� ��(""�, ,(��� 0�,�

�� ����+�� �� ���) 3� �)��� ��()������1 ����� #��)!�#"�� (�� ����4�� �� �+�

����� #��)!�#"�� ��� ���(�� ��(""�, ,(��� 0�,� �� (�����) ��(� ��� 0�, +(��(�"��

�� )�� ��#�)� �) ����1 �(��(���)(" #��)!�#"�� (�� ("�� ����+�� ��� -�(�� �)�/

����)���)(" ��(""�, ,(��� 0�,� 5 ���� ����/��#�)��)� ()� ����/�)��#�)��)�

5 ()� ��� ���(�� ��(�� ���!�)��)���� 0�,�1

�##��2��(���)� �� !�)��)���� ()� ���!�)��)���� 0�,� �) !�())�"� �� +(���)

���(��� ()� ���(�) ��� #��4"�� (�� !("!�"(��� ���) 4)��� �"���)� (##��2��(/

���)� ��� ( ��"�!���) �� ��� +(��(���)(" #��)!�#"�� ��+�"�#��1 �##��2��(���)� ��

���(�� !�)��)���� 0�,� (�� !("!�"(��� �) 42�� ���� ���) ���� ��� -�(�� �)�/

����)���)(" ()� ��� �,�/����)���)(" �����"(���)�1 ������� �� �)��(��) (�(#/

��+� ���� �) �)� ����)���) ���) ��� +(��(���)(" #��)!�#"�� (�� ("�� ������� ()� ()

(" ������ �� �+�) ��� �)��(��) (##��2��(���)� �) () (�(#��+� ��� �� ���(��

���!�)��)���� -�(�� �)�/����)���)(" 0�,�1 �##��2��(���)� (�� ("�� ���)� ���

����/��#�)��)� -�(�� �)�/����)���)(" 0�,�1

��������

Page 3: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

� ,��"� "�6� �� ��()6 �1 �1 71 $(�)�� ()� �1 1 ������ ��� ����� ��"# ()�

�)!���( ���)� ����) ��� "(�� ����� ��(��. ()� ��� ����� ��� ������ ,��!� �(�

�(�� ��� ���� �� �)8��(�"�1

� ��()6 �� #(��)�� ()� �()�#(��)�� ��� ����� "�+� ()� ��� ���) ����� ,��)

� )��� ����1 �� ������� ()� ������ � ��()6 ��� ���(" ��##���1

� ("�� ��()6 �� !�""�( ��� �) ��� �(����(��!� ��#(����)� ()� ����� ����)��

�) ��(��) 1

� (!6)�,"�� � ��!��#� �� () ���� ����(�!� �����)����#1

��

����� �� � ��

Page 4: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

91% ���� ����(!� �"�,� :

919 ��� ��(""�, ;(��� �##��2��(���) %<

9191% ���+(���) �� ��� ��(""�, ;(��� �-�(���)� %%

91919 ��� �(� �)(��!� �)("� � %=

91' ��� >�(�� )�/����)���)(" ��(""�, ;(��� �##��2��(���) %?

91@ �-�(���)� ��� ���(�� ��(�� ��(""�, ;(��� �"�,� %&

91@1% �,�/����)���)(" �"�,� 9<

91@19 >�(�� )�/����)���)(" �"�,� 99

91= ��� �"�, �(��(�"� ��(#�� 9@

91? ��!�)��)���� �"�,� ''

91?1% ��!�)��)���� �"�,� �) )� ���)���) ''

���

�������� �

����� �� � �� ��

�� �� ���

� �������� �

� �������� ����� ������� �

��������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � �

� � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � �

Page 5: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

91?19 ��!�)��)���� �"�,� �) �,� ���)���)� '&

'1% �(��(���)(" ���)!�#"�� ��� ���� ����(!� �"�,� @'

'1%1% 3�6�*� ���)!�#"� @@

'1%19 �(��"��)*� ���)!�#"� @?

'19 ��(""�, ;(��� �"�,� =%

'191% ��(""�, ;(��� ���)!�#"�� ���� ���� ����(!� ���)!�#"�� =9

'1919 ������� ��)!���)("� =@

'1' ��)��)���� �(��(�"�� =:

'1'1% ��)��(" �(��(���)(" ���)!�#"�� ���)�/����)���)(" �"�, =:

'1'19 ��)��(" �(��(���)(" ���)!�#"�� ����,�/����)���)(" �"�, =&

'1@ ��!�)��)���� �(��(�"�� ?9

'1@1% ��)��(" �(��(���)(" ���)!�#"�� ��� )�/����)���)(" �"�, ?9

'1@19 ��)��(" �(��(���)(" ���)!�#"�� ��� �,�/����)���)(" �"�, ?@

'1= ����/��#�)��)� ��(""�, ;(��� �"�,� ?&

'1=1% $��)�(�� ��)�����)� ?&

'1=19 � >�(���� �� ��)!���)("� :9

'1=1' ��)���(�)�� ()� ��!�#��!(" ���)!�#"�� :A

'1? ����/�)��#�)��)� ��(""�, ;(��� �"�,� A'

'1?1% ���(�� ���)!�#"�� ���� �)���(�� ���)!�#"�� A@

'1?19 ��)���(�)�� ()� ��!�#��!(" ���)!�#"�� A&

'1: >�(�� )�/����)���)(" ��(""�, ;(����"�,� &9

'1:1% ����/��#�)��)� �"�,� &'

'1:19 ��)���(�)�� ()� ��!�#��!(" ���)!�#"�� &:

�+

� ��������� ������� � �

� � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � �

Page 6: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

'1:1' ����/�)��#�)��)� �"�,� %<%

'1:1@ ��)���(�)�� ()� ��!�#��!(" ���)!�#"�� %<'

'1A ��!�)��)���� �"�,� %<=

'1A1% �,�/����)���)(" �"�,� %<?

'1A19 )�/����)���)(" �"�,� %%<

@1% ��� ��)���(�)�� B�* ���)!�#"� %%@

@1%1% ��� �" ������ %%?

@1%19 ����� $��)�� %9=

@19 ��� �)!�)���(�)�� B�* ���)!�#"� %9A

@1' ��� ��)���(�)�� B#* ���)!�#"� %''

@1'1% ��� �" ������ %''

@1'19 ������ %':

@1@ ��� ��)���(�)�� B#* ���)!�#"� 5 ��(#��+� ���� %'A

@1= ��!�)��)���� �"�,� 5 ��� ��)���(�)�� B�* ���)!�#"� %@@

@1=1% ���� ,��� )� ��+�) ���� %@?

@1=19 ��(#��+� ����� %=?

=1% ��� ��)���(�)�� B#* ���)!�#"� %?'

=19 ��� ��)���(�)�� B�* ���)!�#"� %:<

?1% �,�/����)���)(" ���� ����(!� �"�,� %::

+

����!������ � "���� # $��� ���� %&���� '�� � �������

( ����!������ � ������ )�$��� ���� %&���� '�� �

���� �*+

* ����& � ���������� ��*

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � �

Page 7: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

?1%1% ��� ��)!���)(" %::

?1%19 ��� �" ������ %A<

?19 ����/��#�)��)� >�(�� )�/����)���)("�"�,� %A:

+�

� ������� , ����� �-�

, . � � � �+�

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � �

Page 8: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

������� �

���� ����

��� ������ � �� � ��� ���� �� ������ ���������� ��� ������� ������ �� ��

�������� ��� ���� � ������� �� ������� � ��� ����� ��� ��������� ��� �� ���

������ ��� �� ���� ������ ���� ���� � ���� ���� � ����� ����� �� ���� ������

��� ���� ���� �������� ����� �� ���� � � �� ����� ���� � ��� ������� � �� �

����� ��� ��� �� �� ������ ����� � � ����� ���� ������ ����� ���� �� �� ���

�������� ��� ��������� �� � ������ ��� ����� ���� ���� ������� � ����� �� ��

��� �� � �������� �� � ���� � �� ��� �������� ����� ����� ���������

���� ���� ������ ��� � � �� � ���� � � �� �������� ���� ��� ������ �

� ��� �� ��� ����� ��� � ��� ����� ��� ������ �� ��� ������ ���� �� �� � ��

����������� �������� ���� �� �� � �� � ���� � ���� ��� ������� ��� �����

�������� ���� ������� �� ��� ��� ��� �� � ��� �� ���� �� �� ���� �� �� ���

��� ���� �� ��� ����� ��� � ����� ����� ��� � �� ��� !����� ��� ����� ���

�� ��� ����� ��� ��� ��� ��� �� ����� ���� ��� � � �� �� � ��� ���� ����� ��

�� �� ��� ���� ����� � ��� ��� �� ���� �� �� ���� ��� ���� ����� � �� ������� ��

��� �� ��� � ���� ������

"

Page 9: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

#�$� %"&'() ������ ���� � ��� �� ���� �� �� ��� � �� �� ��� �������� %���

#������ �� ���� ��) � ��$�� �� �� ��� �� � ��������� �� � ��� �� *������� +�

������ �������� ��� �� �� ������� ���� � ��� ��� ����� ��� ������ �� � ��� ������

���� ��� ������� ���� � ��� � � ��� �� ���� �� �� ��� ��� ����� �� �� �$� ���

���������� �� ���� ���� ���� ������ ��� ������� ���� � ��� � #�$�+� �� �� ���

��� #������+� ����� ��� ���� �� � ��� �� � ��� �� ��� �� ��� ���� � �� ������

��� ��� ��� ��� ���� � ��� $ ���� � ��� ������ ���� � ���� #�$� ������

���� ��� � ��� ��� �� ��� ��� �� �� ��� ����� ����� ������� �� ��� �� ��� ���� �

��� � � ��������

,� ����+� ��� �� ���� �� �� ��� � ���� ��� ����� �� %���� �� ������� -���

��� � %"&./)) ���� �� ��� #������ ��� ��� � 0������ ������� ��� $ ��� � ��� �����

� �� ����� �� � � ������ ��� ������� ���� � ��� � ��� ��� �� ���� �� �� ��� ���

#�������+� ����� ��� � �� ��� 1���� %"&..) ���� ���� ���� ��� ��� � ����� ���

,� ���� �� ������ �� �� � ����� ��� ���� � ����� ���� ��� ���� ���� ��� ��

������� � 1��� � %"&2&) ��� � 1�� ��� ��� 3� ��� %"&'.)� ���� ���� � �� �

��� ���� � ��� ���� ��� ,������� � ��� ��� 1���� %"&.2) ��� ��� ����� ���

����� � �� ��� �� �� � ���$�� � ����� �� ��� � ���� ���� �� ����� �� �� ,� �

���+� �� �� ���� 4� �� � ���� � ,� ����+� �� �� ��� � ������� �� � �� � �� �� ���

����� ������� ���� � ��� ��� ��� ����� ��� ������ �� � ��� ������ ���� ��� �� �

�� �� ��� ��� �� ���������� �� � �� #�$�+� �� �� ���� � ��� ���� ����� ��� ���

�� ��� ��� �� �� ��� � � ��� ����� ������� �� ������ ��� ��� ������ ��� ���

��� � ����

����� � � �� �� � ������� ������� ��� ������ ���� ��� ������� ��� ���

���� ��� ������� ����� ������ �� �� �� ��� ������ ���� � ���$�� %1��$��

5

Page 10: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

%"&2())� 1������ ����� ������ � �� ������ �� �� �� ����� � ��� ���� ���

������ ���� � � ���������� ����� ��� �� � ����� � ���� ������� � �� ���

��������� �� � ������ ����� � ��� �� ��� ���� �� ��� ��� �� � ��������� � ���

��� ������� 4� �� � ���� � ������� ����� ������ �� �� ������ ����� � ���� �����6

�� � � ��� ��� � ������ ���� � ������� �� �� ���� ���� � ���� �������� ��� ����

� ��� ���� ������ �� ��� �� ��� �� �� � � ��� � ��� ������ ��� ��� ����$ �� �

����� �� ������� �������� ��� ��� ��� � ���� �� �� ������ �� ��� �� �������

����� ���� ��� ���� ����� ����� � � ������� � ������ ���� �� �������� �� ����� ��

� ���� ������ �� ��� ��� ��� ��� �� ������� � �� �� �� ���� ��� � ��� �����

! �������� �� ���� � ��� ���� � 7 8������ 9 7 � ������� �� ��� ��� ��� ��

� ��� ��� �� ���� �� �� ���� ���������� �� �� ����� � ��� ���� ��� ������ ����

��� �� ������� ����� ����� ,� ����+� �� �� ��� ��� � �� ��� ���� �� � #�$�+�

�� �� ��� ��� ���� �� ��� ����� �� �� ��� � ��� ����� ��� ��� *� ������ �� ��

��� ��� ����� � ����� � ��� ���� ���� �� ��� � ������� ����� ������������ � �

���� ��� �� ��� �� ��� �� ���� �� �� ���� �� �� ��� ��� ���� �� ����� ��� � ���

������� ����� ����� ��� � �� ��� 4� � ����� ���� ,� ����+� �� �� ��� ���

��� �� ��� ���� �� � #�$�+� �� �� ��� ��� ������ ���� ��� ���� �� ��� ��� ���

��� �� ���� �� �� ���� �� ������� ����� �� �� ��� ��� ��� �� ���� : 0�����

����������� ��� � ��� ��� �� ���� �� �� ��� �� ������� ����� ��� ��� ������ �����

�� ��� ��� �� � � ������ �������� � #������� �������� ��������� �� 1�����

%"&.()� ��� ��� �� ���� �� �� ���� �� ������� ����� ���� ��� �������� �� ���

��� � �� � �������� ���� �� ���� ��� �� ��� ��� �� ������� �� �� �� ��� �����

��� �� ��� �� �� ��� ������� ��� �� � � �� ������� ���� � ���� � ��� ����� ���

�������� �� � � ��� �� ���� �� �� ���� ��� ��� �� ��� ��� �� ��� �� �� ���

9

Page 11: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

������� �� ���� � �� �� ���� ��� ����� �� ��� �� $���� ������

����� �� �������� �� ����� ����� ������ � ����� �� �� ����� ���� ���� � ���

�� ��� � ��� ��� ��� ����� ��� �� � ��� �� ���� ���� � ��� � � ��������

�� � ������ ���� ��� �� �� � ������ ������� ����� ����� �� �� ��� ���� �����

� ��� ���� �� ��� ��� �� ���� �� �� ���� �� ����� ���� ��� ������� �� ���

�� �� ���� �� � � ��������� �����

;������ ��� �� ���� �� �� ���� ��� ������� �� �$ �� ��� ������ �� ���� ���

������� ����� ��� � ���� ��� � ��� ����� � ��� �� ��� �� ���� �� �� ���� ��

� � ��������� ��� � � ���������� ���� ��� � ��� ���� �����

! ����� � � ���� ��� �� ���� �� �� ���� ��� �� ��� ��� �� ������� � �� ���

��� �� ��� �� ��� �� ��� �� ��� � ��� ������� ���� � ���� ! ������ �� � �����

������� ��� �� �� ���� � ���������� ��� � �� �� �� � �� ��� ��� �� � ��� ������

��� �� ���� �� �� �����

��� ���� ���� �� � 8������ 9 ����� � �� ��� ��� ��� �� � ��� �� ���� �� �� ����

�� ������ � ����� ����� ����� ���� �� �� ���� �� �� ����� � ������� � �����

��� � 0����� �� ����� ��� � ������� ����� ��� ��� ��� � � ��� ��� � ��� ��� �

������ �� ��� � ����� �� �� �� �� �� ��� � ����� �� �� ��� ����� ��� � �� ��

��� �������� �� ��� ���� � ���� �� �� ������ ��� ������ � ��� ��� ��� �����

�� � ���� � �� � ��� � ����� �� ��� <�� � ��� ��� ���� � ��� � ���� � ���

������ �� � ��� ��� �� ���� �� �� ���� ��� ��� ������ ��� ��� ��� �� �������

���� � ��� �� �$ �� �� ������ �� ����� ��� ��� �� ��� � ��� ��� ��� ����� ��

��� � ����� �� ���

��� ��� ���� � ��� ���� � � ��������� � �� �� �� ��� ��� �� ���� �� �� ����

�� �������� ������ ��� ����� ��� �� ���� � ��������� ��� = �> ����� %���

?

Page 12: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

1����� ��� ; � %"&(9)) ��� �� ���� �� ���� � ������ ��� ����� ��� � � ��� �

� ���� �� �� ��� �� ������ �� ��� ��� ����� � ���� � �� �� ���� ��� ��� �� ��

��� ��� �� ���� �� �� ��� �� �������� ��� ��������� � ��� ������ ���� ��� �� ��

������ �������� � �������� �� ����� �� ��� �� �� ���� ��� �� �� � ���� ��

������ ���� �� �� ��� >��� ���� ��� � ��� ��� �� ����� �� �� ���� ��� �� ��

$���� �� �� �� ������ ��� � ���� ���� ��� ������� ���� ��� ������ ���� ����

�� �� �� � ���� �� � ���� ��� � ���� ���� ����� ��� ��� � ���� �� ���������� ��

�� � ���� ����� ���� � � �� � � � ���� ��� ���� ����� ��� ��� >��� ���� � ���

������� �������� �� ��� ����� ��� � ���� �� �������� ��� � ���� ���� �����

��� ��� � ���� �� ���������� �� �� � ���� ����� ������ � ��� >��� ���� � ����

������� ��� ��� � ����� � ���� �� ���$ ��� ���� ��� � � �� �� � ��� ����

������ ������� �� � ��� � �� �� ������ ��� � ���� ���� �� �� �� ��� ���� ����

���������� �� �� � ���� ����� ��� �� ���� �� �� ��� � ���� ����� � �� ������� ��

��� �� ��� � ���� ������

��� ��������� � ��� ������ ��� ��� ���� �� ���� �� ��� �� ��� ���� �

����� ���� �� ����� ��� ��� � �� �� � ��� � ����� ��� ��� � ���� ����� ��� ���

������ �� �� @�����+� ������

4� 8������ ?� ��� ����� ��� �� ������ �� �� � � ���������� ���� ���

� ��� ���� ���� � ������� ����� ��� ���������� 1������ ���� ��� � ��� ���� �

���� ��� �� ���� �� �� ���� ��� ���� ����� ��� ���� �� �������� ������ �� ��� ��

���� ����� ��� � ����� ����� ���� �� ���� ��� ����� �� �� ��� 4� ��� � ����� �

���� ���� ��� ��� � �� �� � ��� ������ �� �� �� ��� � ����� �� �� ���� ��� �����

�� � � �������� �������� ��� � ��� ����� ��� ������ �� ��� �� �� ��� � ����

�� � � � ��� ��� �� ���� �� �� ��� �� ��� ��� �� ������� ���� � ���� ��� ���

2

Page 13: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

���� � ��� ��� ���� ��������� �� ������� ���� � ��� �� ��� �� ���� �� ����

� ��� �� ��� ��� �� ���� 4� � ��� ����� ��� ����� ���� � ��� ����� �� ��������

� ����� �� ��� ��� ����� �� ���� ���� � ����� �� ������� �� �������� ������

�� ��� �� ��� ���� ����� ����� � ��� ����� �� ��� ����� �� ��� ������ �� ���

�� ��� � ����� �� �� �� �� �� ��� ��� ���� � ���� � ��� ������� � �� �� ��

������ �� �� �� ��� ��� � �� � ��� � ����� �� �� � ���� �����

8������ 2 ����� � �� ��� �� ������ �� ��� �� ������ ��� � ��� ���� ���

� ����� ������� ����� ����� �� ������ �� ��� ����� ��� � 8������ ?�

4� 8������ ' ��� ������ ���� ��� ��� � ��� ��� �� ���� �� �� ���� ��� ����

� ������ 4� �� ������ �� ����� ��� �������� � ��� ������� ����� ������ �

� �� �� ��� ������ ���� � ���� �� � #�$�+� �� �� ��� �� ������ ����� ���� �

���� �� �������� ������ �� ��� � �� � ����� ; ����� �� ����� �� �� ��������

������ �� ��� �� � � ��������� ���� ��� � ��� ���� ������� ����� ���� �

���� ������

'

Page 14: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

������� �

���� ��� ����� �������

�� ���� ����� �� � ������ �������� �� �������������� ������ �� �� ���

���������� ������� � � �� ��� � �� � ���� �� ���� ��� ����� ��

�� ����� � ������ ����� ���� � �������� ����� �� ����������� �� � �� �

�������������� ������ ��� � ����� �� ��� ���� ���� �� � �� ��� �� �����

������ ���� � ������ ���������� ����� ���� �� �� ������� ���� �������� �����

��� ���� ����������� ������ � ����� � �� �� � ������ �� ������� ��

������� ������� �� ����� ����� !������ ���� ����� �� ���� ���� �� �������

��� ���� ��� ���� ���� � ���������

�� ���� ������ �� � ������ �������� �� ������ �� � � �� ��� � �� � ����

�� ����� �� � �� �� ��� �� �� � ����������� ��� ������� � ��� ��

������ �� ��� �� �� � �������������

"� � � � �������� ����������� ���� ��� �� ��������� ����� ����

�� � ������ � ������� �� �� �� � ����� ��� �� � �� ���� #������ ��

$

��� ���� ����� �� ��

� � � �

Page 15: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

x

yz

h(x,y)

(x,y,t)

D

%�� � &�'( �� ������ �� �� �� � ���� ������

������ )� ������� ��� � �� ����� �� �� ��� ��� ������ �� ��

� ����� * + , ��� * + ,� ��� �� �� -���� ����� ��� � ��

��� ��� �� �� �-���� ����� �� �� �� � ���� ���� �� ����� ���

* .� �� ����� �� %�� � &�'�

�� �� ������ ) �� ������ �� ������ �� �� ���� �� ����������� ��

���� ��� ����� �� "� * + , � �� / ����� �������� ���

* + ,� ��� �� ����������� �� ���� �� ���

0 * . +& ',

��� �� ������ 0 �� � �� ��

0 +& &,

"� � �� ������ �� �� � ��� � �������� �� ��� ������ �� � �� ������

����� � �� �������� ���� ��� �� ��������� ��� �� 0 * 0+ , � �� � ��

��� �� ��� �� ����������� �� ����� � � ����� �� ���� ��

*' 0 0 0 + , +& 1,

2

� ��

� � �� � � � �� �� � �

�� �� �� �

� � �

� � �

��

��

�� �

� �

� � �� �� �� �

�� �� �� � �

� �

� �

� �

� �

Page 16: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��� �� �� �������� ��������� �� ������ ��� �� � �� ��

3 0 +& 4,

�� ��� �� ������������ �� ����

* 0 +& 5,

��� ��� * + ,� ��� �� ����� �� ������� �������� ������ ��

����������� �� ���� � ����� ��� ������������ ��� ��� � ������ ��

0 * . +& 6,

�� �������� ������ �� �� ����������� �� ����� � � ����� ��� ������������

��� ��

03 3

'

&0 0 3 * . +& $,

��� �� ��������� � ������ �� ������� �� ���������� ��� �� ������� ���� ��

���� /� ����� +&�$, �� ����� �� 7��� ��� � ����� �� �� ���8 �� ������

���� ������ ��� ������� 0 ���� �

/� ������ +&�',� +&�1, ��� +&�5, ����� �� ������ �� �� ������ )� % ����

� ����� �� ��� �� �� �� ������ �� )�

7��� ���9� � ����� ���� ��� �� �� ������� �� � ���� ���������� �� ��

�� � ����� * � �� � �� ��� � 0 �� ��� �� �� � � ��������� �� �� ���

��� ��������� �� � 7��� ���9� � ����� ����

3'

&0 0 3 * . �� * +& 2,

�� �� ������ �� ) ������ ����� ��� �� �� ��� �� ����������� �� ����

� ����� �� ����� �� � �� ����� ���������� ���� ��� �� + , * . �� ��

:

��

��

�� �� �

� �

� � �� �� �� � �

� � �

�� �� � �� � �

� �

� � �

� �� � �� � �� �

� �� �� �� �

� �

� �

� ��

��

Page 17: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

� ����� �� �� �� ������ �� ��� ���� �� ���� �� ����� �� � �����

* . +& :,

� �� � ����� � +"��� +':1&,,�

�� � ����� �� �� �� � ���� �� ���� �� * .� �� � �� -�������

�� � ���� ��������� ��

+ , * .

����� ��� � ������� ��

3 3 * . �� * +& '.,

�� � ����� �� �� �� �� �� ���� �� 3 * .� ���� ���� �� ���������

�� ��� ��� ���� �� �� �� ��

+ 3 , * .

��

3 3 * . �� * +& '',

/� ����� +&�:, ���� ���� �� ��� ������ �� ����� ������ ����� ��� �� �� ����

/� ������ +&�',� +&�1,� +&�5,� +&�2,� +&�'., ��� +&�'', ������� � �� �� ��

� ������ �������� �������������� ��� �� �� ��������� ������ )�

!������ ���� ����� �;�� �� ����������� �� �� � ���� ���� �� ���� ��

������ ��� �� ���� ��� �� � �� ��� ���� ��� ������������� ����� ����

�� �� ������� � �� �� �� ���� � �� � ���� � �� �� �� � ����� �� �� ���������

'.

��� ��� ���� � ���� ���� ����� �

��

���

� �

��� � �

� � � � � �� �

� �

��� � �

� � � � �� �

� � �

� �

Page 18: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�� �������� ����� �� ����� �� � �� ������ �� ����� �� � ���������

������ �� �� ���������� ������ ����������� /��� ������ ��� � ��� ��� �� ��

�� ������� �� ��� �� ��� �� � �� ������� ����� �� �� ��� ������� ����

�� ����� ����� ������� ���� ����� ��� � ������ �� ��� ���� ���� ��

� �� ��� � �� ����������� +!��-� +':5$,,� ���� ���

0+ , * + , +& '&,

��� �� �������� � ���� ��� � ��� �� �� �� ��� ��� ���������

/� ����� +&�'&, ��� � �� �� ������ � ��������� ������ �������

��� �� ��� �� * + ,� � �� ��

*'

0

���� ����� �� ������� ����

*'

&+& '1,

��� + , �� �� � �� ��� �� �������� + , ��� �� ��� � ���� �� * 3 �

/� ����� +&�'&, ����� ���� 0 0 �� ������� �� ��� ��� ���� +& 1, � ��

���������� �� �� ���� ������� �� �� ��� ��������� �� ���� ������� ��

� �� �� �� �� ���������� �������� �� �������� ��� � �� ������� �� ��

��� ���� ��� ���� ����� ������� �� ���� ��� � �� ������� ! ����� ����

+&�'&, ���� +& 1, ���� �� �� �� ����� �� ����� ���� ������� ���� ������ ��

������� ���������� �� �� � �� ������� �� ���� ���� ��� �������� ������ ����

� �� �� ���� �������� ������ ���� ��� � ��� �� ��� ��� � � �������

''

� �� �� �� � �� � � � �

� � �� �� �

��

� ���

� �� � �

� �� �� � �� � � � � �

� � �

� �

� �

� �

� �

����� �������� � �� ������ ��� �������

Page 19: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��

* . * . ��� * . +& '4,

�� � ������ �� ������� ���� ������ �� ����� �� � ����� ���� +&�'4, ����

�� � ������ �������� �� �������������� ������ < +&�',� +&�1,� +&�5,� +&�2,�

+&�'., ��� +&�'',�

�� ;�� �� +& '4, �� �� ��������������� ��������� +&�5, �� ���� �� �������

������� + , �� ����� �� �� ������� ������� + , ��� �����������

����� �� ������� ���� �� ������ ��

* +& '5,

��� * + , �� �� ������� �� �� �� �� ������ � �� ���� * + ,�

��� �� ������ �� ���� ��

+& '6,

�� �������� +&�'&, ����� ���� �� ��� ��� �������� �� �� ��������

���� �� ����� � � ����� +&�1, ��� � ������ ��

3 + , * +& '$,

%�� ������������ ���� ��� ����� � +&�'5,� ��� ����� �� �������

+ , *'

&+ ,

������ +&�'$, ��� � ������ ��

3'

&+ , *

��� ������������ ��

3 * +& '2,

'&

� � � �

� �� �� �� � � �� �� �

�� �

�� �� � �

��

�� �

� � �� �

� � �

� � ��

� � �� �

� � �

� � �

� � � �

� � �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

Page 20: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��� �� �� ���� � ��� ����� ����� �� �� �� ���� ��� ������ � ��

��

* 3'

&+& ':,

/� ����� +&�'2, �� �� � ����� �� ����������� �� ����� � �� ������� �����

�� �������� ������ �� +&�'2, �� ��� ������ �� �� ����������� �������

����� ������ ���� ���� ��� ������������ ���� ���� �� ���� ��

3 * +& &.,

��� �� ��������� � ������ �� ��� �� ������� ���� � /� ����� +&�&., ��

�� 7��� ��� � ����� ��� ������� �����

%�� �� ����� ��� ��� ��� �� � ������ � ���� � �� � ��������� ���� ���

�� �� �� ����������� �� ����������� �� ����� � � ����� �� ���� ��

3 * . +& &',

���������� +&�&', ���� ���� �� ��� ��� ���� +&�'5, �����

3 * . +& &&,

��� �� ��������� � ������ �� ��� ����� �� ������� ���� � /� ����� +&�&&,

�� ��������� ���� +&�&., ��� �� ��� * ��������� �� +&�&&, �� �������� ���

��� �� ������� ���� ����� �� � ������ �� ������ �� ����� ���

��� ������� ���� �� �� ��������� ����� ���� * . �� * �

�� ����������� �� ���� � ����� ��� �� � ���� ��� +&�', ��� � ������

��

3 3 * .

'1

� �� � � �

� � ��� �

� �

� � �

� �

� � � �

� �

�� �

� � �

� �

� �

� �

� � �

Page 21: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

���������� ���� �� �� � �� ��� �� � ���� + , ����

+ 3 3 , * . +& &1,

/� ������ +& '4, ���� ���� ��� �� ������� �� �� +&�&1, ��� �

������� ��

+ 3 , 3 = > * .

���� � ����� ���� ��� ��� ���� �� -������� �� ����� ���������� ��

��� ��� ���� �� �� �� � ���� ��� �� ��� +&�'., ��� +&�'',� +&�&1, �����

3 3 3 * .

?���� .� �� ����������� �� ���� � ����� ��� ������� ���� ��� � ������

��

3 * . +& &4,

���

* +& &5,

��� � ����� �� ���� ��� ����� ���� ���� �� ��� �� ������ �� �������

���� ��� ��������� �� ���� � �������� �� !����� & & &�

/� ������ +&�'5,� +&�'2, ��� +&�&4, �� �� � ������ �� ������ ��� �������

���� ���� �� �������� �� �� ���� � � � ��� � �� ��� � ������� �� ��

���� � ��� �� �� ���������� ������ ���������� ��� �

"� � �� ������ �� �� �� �� ������ ��� ����� ��� � ��

��� �� �� ���������� ���� "� @ � �� �� ����� �� � ���� ��� �������

���� ���� ����������� �� ����� �� ��� �������� ������� �� �� �� �����

�� ���� ��� ������ �� �� ����� � �� � ���� ���� �� * .� ��� �� ��

� ����� ������ �� �� �� ������

'4

�� �

� �� � �

� �

� � �

� �

� � � � � � � �

� � � �

� �

� �

� � �

� � �

� �

�� �

� �

� � �

� �

� �

� � �

� � �

� �

�� � �

� � �

� ��

� �

� �

Page 22: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�� �� ��� �� ������ ��� �� �� � �� �� � � � �� ����� � ������� ���

+ ,� �� @� � �� ����

* �� @ +& &6,

��� . �� �� �� ���� �� �� ������ ��� �� �� ���� ��� � ��� ����

�� �� �� ����� �� �� ������� ���� ����

!��-� +':5$, �� �� ����������� ����������� +&�'&, �� ���� �� �������

���� � ������ ��� ���� ����� �� ��� � ������ �� � �� ������� ����

���� ������ �� ���� ����� ��� �� ��� �������� �� �� ���� � ������� +&�',�

+&�1,� +&�5,� +&�2,� +&�'., ��� +&�'',� �� ����� �� ���� �� � ������ �����

�� ����� ��� �� ��� �� � �� �� � �� ��� ���� � ������ ���������� ������

�� ������� ���� � ������ �� ������� �� � ����� �� ����� ���� �����

�� �� ������� ������� ����� ��� ���� � �� �� ����� ����� ����

������������ �� �� � ���� �����

�� ���� ���� �� � ������ �� ������ ��� ������� ���� ��� � ������ �� ��

��� ���� �� �� � ������ �� ������ ��� � ��������� ��� ��� �� -���� �� ��

��� �������� ������� +!��-� +':5$,,�

�� ��������������� ��������� +&�'5,� �� ����������� �� ����� � � �����

+&�'2, ��� �� ����������� �� ���� � ����� +&�&4, ��� ������� ���� ��� �

�������� �� ���

* +&�&$,

3 + , *'

3 +&�&2,

'5

� �� �� �

� � � �

��

��

� � ��

� �

� � �

� � ��

����� ��� �� ������� ������

Page 23: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

3 + , * . +&�&:,

��������� ��� �� ��� �� � �� ���� �� +&�'1,� /� ������ +&�&$,<+&�&:,

��� � ������ �� �� � ������ �������� � �������������� ��� ��� �� �����

���� �� ��� �� ������ ��� �� ��� �� +&�&2, �� ��� ��� �� �� � ����

���� �� �� � ��� �� ��� %�� �� ����� ��� ��� �� � ������ � ���� � �� �

��������� �� ������� ��� �� +&�&2, �� ��� ��� +&�&2, �� �� � �� ����� �

����������� � ����� ��� ��� ���� ����� �� ��� �������� ����������� � �����

+&�'1,� ����� � �� �� � � ������ �� �� A������9 � �� �� A���������9 �������

+#� ���� ��� %�������� +':42,,�

�� #���� 1 ����������� ������� ��� ������� ���� ���� �� ����� ���

� ��� ���� ��� �� #���� 4� �� ����� � ������ ������������ �� �����

�� ����� B���������� ������� ��� ��������� ��� ���� ��� �� �����

���� ��� ��� ��� ����� 7����� +':&:,� !��� +':61, ��� C���� +'::.,�

�� ������� �� ������� ���� ����� ���� ��� �������� ������ � ���������

���� ���� ������� ��� ����������� ������� ��� ������� �����

%�� ������ ��� ������� �� ������ ��� � ��������� �� ��-��� �� ��� ��

���� ���� �� �� ����� �� �� ��� �������� ��� ��� �����

#������ � ������ ����� ����� ��� �� ������� = > �� �� ������ "�

+ , � �� ������ �� �� ������� � �� �� ��� ���� �� = >� ��� �

���� �� ������ �� �� ������ ��� ������������ ��� ���� �� �� �������� ��� �

'6

��� ��� ���� ����������� �� ���� � ����

���� ����� �

� � � �

� � �

� �

� �

� � � �

� � � � � �

��

Page 24: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

0 2 4 6 8 10

x

y

5

0

-5

%�� � &�&( ��� * . * '. ��� + , * 6 3 4 ' �

�� ����� �� ���� �� ������� � �� �� ����� �� ���� ��

* + , ( = > 8+ ,

&

+ ,

&+& 1.,

���� ������ ���� �� ������ �� � ������ ������� � ������ �� � �� ��� ��

� ��� ������������� �� �� ���������� �� � ��� ������������

%�� � &�& ����� ��� �� ���� * . * '. ��� + , * 634 '

�� � ������ �� � ��� ������������� ������� ���� ������ ��� � �����

���� �� � �� ������� ���� � ������ �� !����� & & ' �� ��� ���� ���� �� ���

�������� �� � ������� �� ��� ����� "� �� ��� �������� � �� �� ����

* + ,� * + ,� * + ,� * + , ��� * + ,� ��� ��

�� ������������� ���� ��� ��� �� �� ������� �� �� ���������� �� ����

�������� ���� ���� ������� ������� ��� ����� �� ����� ����� �� ��

��� ������� �� �� ��� ���� ������� ������� ��� ���� �� �� ��� ���

���������� �� ������ ���� ������ ��- ���� ����� �� ��� ���� �� ��� ��

� ��� ������������� �� ��������������� �� ������ �� +&�'5, ��� +&�'2,

�� ����� �� � �� ��� �� +&�&4, �� ����� �� + ,�

�� �� �� � ��� ������������� ������� ���� � ������ �� ������ �� ����

'$

� � � � � �

� �

� �� � � � � � �� �

�� �

� �

� � � � � � �

� �

� �

� � �� � � � �� � � � �� � � � �� � �� � �

� ��

� � �

� �

� � �

� �

�� �

��

Page 25: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��

* ��������������� ��������� +&�1',

3 * ����������� �� ����� � +&�1&,

3'+ , * . ����������� �� ���� +&�11,

��� �� ���� ���� � �� ���� ��

* +& 14,

��� �� ����� � �� ���� ��

* 3'

&+& 15,

�� �������� ������ �� �� ����������� �� ����� � � ����� +&�1&, ��

3 * +& 16,

��� �� ����� �� �� +&�1',�

"� �� � ������ � ���� � � ��������� ��� �� ����������� �� �����

� � � ����� �� ���� ��

3 * . +& 1$,

���������� +&�1$, ���� ���� �� ����

3 * . +& 12,

��� �� ��������� � ������ �� ��� �� ������� ���� � /� ����� +&�12, ��

��������� ���� +&�16, ��� �� ����� ��� ��� ������� ���� �� �� �������

�� ���� ���� * . �� * �� �� ���� �� ������� ������� �� �

(* +& 1:,

'2

� �

� �� �

��

�� �

� �� �

� �� � �

� � ��� �

� � �

� � � �

� �

� � �

� � ���� �

� � �

� �

� �

Page 26: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�� �� ����� ���������� ��� � ��� ������������� ��� �� ����� ��� ����

�� ��

* �� * +&�4.,

* �� * +&�4',

��� -���� � ������� + , ��� + ,� /� ������ +&�4., ��� +&�4', ��� � �����

���� �� �������������� ������� ���� �� ����� ��������� +&�&6, ���� �� ����

���� ��� �� ��� ��� ���� �� �� ������ ���� ��� ���� ����� ���� ����

��� ��� �� �������� ������ �� ������ ������ �� ��� ������

/� ������ +&�1',<+&�11, ����� �� ������ �� � ��� ������������� �������

����� D���� ���� �� ��������������� ��������� +&�1', ��� ���� ���������

�� ������

�� � ������ �� ������ ��� ����� ���� ������� ���� ��� � ����� ���� ��

��������� � ������ �� !������ & & ��� & 1� �� ���� ������ �� ����� ����

� ������ �� ����� �� ��� ���� ���� ��� �� �� ��� �������� �� �������

�� ���� �� ������� ������� � ������ �� ��� � ������� ��� ������� ���

������ � ��� �� ������������ ����� �� ��� ���� ��� � �� �� ����

�� � ������ �� �������

':

��� !��� �� � ����" ���� ���� � ����

�� ��

� � � � �

� � � � �

� � � �

� �

� �

Page 27: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

%���� ��� � ���� �� ��� �������� �� ��� ���� ���� ���� ���� ��� * + ,

��� * + ,� ��� * + , ��� * + , �� �� � ������� +&�':,

��� +&�&5,�

�� ����� ���� ������� �� �� ����������� �� ����� � � ����� +&�'2,

��� �� ����������� �� ���� � ����� +&�&4, ��� � ��������� ������ ��

* +&�4&,

��� * . +&�41,

��������� �� ����� �� �� ������� ������� �� ��� � �� �� ����

�� ��������������� ��������� +&�'5, ��� �� �������� ����������� �� ����� �

� ����� +&�&.,� E�;��������� � ������ +&�'5, ��� +&�&., ���� ���� �� ���

����

* +&�44,

��� 3 * . +&�45,

��������� 7� �� ����� ���� ��� ����� . ��� .� �� �� ����

� ������ +&�44, ��� +&�45,� ����� �

* ��� * . +& 46,

������ � �� � �� �� ����

+ , * + , 3 0+ , +& 4$,

��� 0+ , �� �� ��������� � ������ ��� + , �� � �� ���� * �

?���� +&�4$, �� � ����� � ��� �� +&�'5, ����

* 0 +& 42,

&.

� � �� �

�� � � � �� � �� �

� � �

� �

� � �

� � � �

� �� �� � � �� � � � �� � � �

� �� � � �� � �

�� �

� �

� � � �

� �

� �

�� �

� �

� ��

����� ���� ��������� !����

Page 28: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

����� �� �� ��������������� ��������� ��� ����� ����

!��������� �� �������� ����������� �� ����� � � ����� ��� ����� ����

3 * +& 4:,

�� ������� �� � ����� ���� +&�4$, ���� +&�&.,� /� ����� +&�4:, ����� ���� ��

� ������ � �� ������� * 3 � ��� + 3 , * . ���� +&�4&,� �� ��

�� ���� �� ������� ����������� �� ����� �� �� ������� � �� � �� �� ����

+ , * + + , 3 + ,, 3 0+ , +& 5.,

��� 0+ , ��� � ����� � �� �� ������� ������� ��� ����� ����

"� �� � ������ � ��� � ��������� ��� �� ����������� �� ����� �

� ����� ��� ����� ��� �� ���� ��

* +& 5',

���� ����� ���� �� ���� �� �� ���� � ��������� * F ���� ���� ��� � ��

���� ������� �� �������� ������ +&�&&, �����

3 F * . +& 5&,

�� � �� ���� �� ������� ����������� �� ����� �� �� ������� ������� � ��

� �� �� ����

+ , * F 3 G+ , +& 51,

�� ��������������� ��������� �� ���

* G +& 54,

��� G+ , �� ����� � �� �� ������� ������� ��� ����� ��� �� ���� ����

&'

� � ��� �

� � � �� � ��

� �� �� � � �� � �� �� � � � �� � � �

� �� �

� � �

� � �

� � � �

� �� �� � �� � �� � � �

� �

� �� �

� �

Page 29: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�� �� ����� ��������� ��� ����� ��� �� ���� ��

* �� @

��� @ �� �� �� ����� �� �� ������ ��� + , �� � �� �� @� %��

���������� ���� ����������� �� ���� �� � ������ � �� �������

@ * .

/� ������ +&�4&,� +&�41, ��� +&�42, �� �� � ������ �� ������ ��� ����

������� ������� ���� ����� �� � ������ ��� ����� ���� � ��� ���

���������� ���� ��� � ����� ���� �� ����������� ��������� � ��

����� �� � ������� ������

%�������� �� ��������� �� �� ����� ���� � ������ �� ��� ���������� ��� �

���� �� ��� �������� �� ������� �� ���� ���� ��� * + , ��� * + ,�

��� * + , ��� * + , �� �� � ������� +&�14, ��� +&�15,� �� ��

!����� & 4 '� �� ����� �� �� ������� ������� �� � �� � �� ��

���� �� � ������ �� �������

?���� . ��� .� �� ����� ���� ����� �� �� ����������� �� ���

��� � � ����� ��� �� ����������� �� ���� � ����� ��� � ������ ��

* +&�55,

��� + , * . +&�56,

��������� ��� ������ �� ���������

&&

� � �

� � �� �

� � �

� � � �

� � � � � �

� � �

� ��

�� �

� �

� �

� �

����� "��� #��� ��������� !����

� �

Page 30: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

E�;��������� ���� ���� �� �� ��������������� ��������� +&�1', ��� ��

�������� ����������� �� ����� � � ����� +&�16, ����

* +&�5$,

��� 3 * . +&�52,

��������� �� �� ���� . ��� .� �� ������� ������� � �� �������

* . ��� * .

������ � �� � �� �� ����

+ , * + , 3 0+ , +& 5:,

��� 0 �� �� ��������� � ������ ��� * .�

�� �� ��� ����� � ��� ������������� ����

* 0 +& 6.,

�� ��� �� �� �������� � ������ �� +&�5:, ��� � �� �� ���� ��

�������� ����������� �� ����� � � ����� +&�16,� ! ����� ���� ��� �� +&�16,

���� +&�5:, ����

* 3

��� 3 *�������� ���� +&�55,� �� � �� ���� ��

+ , * + + , 3 + ,, 3 0+ ,

��� 0+ , �� ����� � �� �� ������� ������� ��� ������������� ����� ����

"� �� � ������ � ���� � � ��������� ��� �� ����������� �� �����

� � � ����� ��� ����� � ��� ������������� ������ �� ���� ��

* .

&1

� �

� � �

� �� � � � � � � � �

� �

� � �

� � ���

� �� �

� �� � � � �� � � � � �

� �

� �

� ��

�� �

� �

�� ��

Page 31: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

����� ��� �� ��� ���� * F� ��� F �� �� ��������� ��������� �� ��������

������ �� �� ����������� �� ����� � � ����� ��

3 F * .

�� � �� ������� ������� ��� ���� ��� � �� �������

+ , * F 3 G+ ,

���

* G

��� G+ , �� ��� �� ������� ������� ��� ��� ���� ��������

�� �� ����� ���������� ��� ����� ��� �� ���� ��

* �� *

* �� *

��� ��� �� ���� ���������� �� ���� �� � ��������� ���� �� ������

������ �� ���� � ����� +&�56,� ��� � �� �������

*

��� * + , ��� * + ,�

/� ������ +&�55,� +&�56, ��� +&�6., �� �� � ������ �� ����� � ��� ���

���������� ������ ��� ������� �����

�� ���� ������ ����� �� �� �� ���� �� ��� �������� < ��� ��� ������� <

�� �� ���������� �� ���� ��� ���� ���� �� ����� �� ���� �� �� ��� �����

�� ������ �� �������� ����

&4

��# ��� �� � $��%�� &����

� � �

� � �

� �� � �� � �

� �

� �

� � � � �

� � � � �

� �

� �

� � � � �

� � � � � �

Page 32: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

Q1g

32

v

3 2E2E00

( 2E3 )

%�� � &�1( �� � � ������ �� ��� �������� �

�� � ������� �� ���� ���� � ��� ����� � +&�14, ��� +&�15, ��� � ��

�� ���� ��� �� �� �������� � � ��� �� � ������� �� �� �� ��� �� ��

���� ��������� % �������� ��-��� * ��� * � �� ����������� ����

���� ��� �������������� �����

H��������� �� � ������ �� ���� ��� ���� * � ! ����� ���� ���� ����

�� � ������ �� ���� ��� ���������� ����

*'

&+& 6',

�� ���� �� �� ��������� �� ���� ��� � �������� �� ���� �� %�� � &�1�

I��� �� ������ �� �� � �� ������� �� +&�6', ����� ��� �� �� ����� .

��� . �� �������� ������ ���� �� ������ �� ��� �� �� � ������ �� ��

������ ���������

D���� ���� �� ������� ��� �� ���� . & � �� ���� &

���� ���� +&�6',� �� ���� ���� � �� �� � ������� ���� �� �� ����������

�� ��� ����� �� ������ ��� ��� �������� �� � ����������� ������ ���

&5

� �

� �

� � �

�� � �

� �

� �

� � � �

� � � �

� �

Page 33: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�� ��� � �� ������� ���� +&�15,� �� ���

* &

�� -���� �� �� ����� ������� ��� �� �� ����� � ������� ��������� �� � ���

���� ���� �

D���� ���� ����� ��� ��� � �� ���� ��� ��� �� �� ���� . �

�� ���

*' &

1+& 6&,

�� �� -���� �� �� �������� ���� ���� �� ��� �� �� ������� �� ����� ��

�������� ���� ��� ��� �� �� �� �������� ������� ��� �� ���� ��

*&

1+& 61,

� ��� �� ���� � ��������� �� � ��������� ������ �� ����� �� ��� ����

�� ����� ���� �� �������� ��������

� ������� ���� �� ������ ��� �� � ����� ���� * ���� �� � ������ �� �

+&�15,� �� ��� �� ������� ������� � ��� � ���� ��� � �������� �� ���

* +& + ,, +& 64,

�� ���� �� �� ��������� �� ���� ��� � �� �� ���� �� %�� � &�4� ��

������ �� �� ��� ����� �� � �� ���� . ��� .� �� ������� �� �� ���

������ �� ������� �������

�� �� %�� � &�1� �� ���� ��� �� %�� � &�4 ��� �� �� ���� . �

�� ��� �� ��� �� ������ �� �� ���� . � �� ���� ���� ����

+&�64,� �� �� ��� �� ���

*

&6

� �

��

��

��� �

� � �

� � �� �� �

� � �

� �

� �

��

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

Page 34: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

Q

1g

32( 2E

3 )

00 2E

3gEg

d

%�� � &�4( �� � � ������ �� ��� �������� �

�� -���� �� �� ����� ��� ��� �� �� ����� � ��������� ��� ��� � ��� ����

���� � �� ��� �� �� ��� ����� ��������� �� �� �������� ���� ��� �

� �� �� +&�6&,� �� ����� �� �������� ��� ��� �� ���� ��

*&

1+& 65,

�� �������� ��� � �� ��� ��� ������� ������� �� ����������

*&

1* +& 66,

�� ����� � ��� �� ���� �� � �������� �� �� �������� � ��� �� ���� � �������

* +& 6$,

! ����� ���� +&�6$, ���� +&�15, ����� �� � ������� �� �������� ������� ��� ��������

���� �� ���� �� +&�61, ��� +&�65,�

%��� +&�15, � ��� �� �� ���� ��������� �� � � ���������

���8 �������� �� �� ��� ��� �� �� ���� . � �� ��� �� � ����������

%��� %�� �� &�1 ��� &�4� ��� �� ���� ���� � ��� ������� ��� ��������

��� ��� �� ���� �� ������ ��� ��� �� ������� < ���� ����� ��������

&$

� � �

� �

��

�� �

���

� � �

��� �

� � �

� �

� �

� �

� �

Page 35: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�� �������� ���� �� �� �� �� ���� . ��� �� ��� ������ ��� � ��

��� < �� ����������� �� � � ��������� ��� ��� �� �� � � ��������� ����

�� �� ��� �� ����� � ��� ������������� ������� ���� ������ �� ���

������� ������ %�� �� &�1 ��� &�4� ��� � �� �� �� � ����������� ��� �

�� ���������� �� ��� ��� ������� �� � ������ �� ������ ������� �������

�� � ������ �� ������ ��� ����� � ��� ������������� ��� �� ���� ��

*

+ , * .

����� �� � ������ +&�55, ��� +&�56,� ���� ��� ����������� �� ����� � ���

����������� �� ����� ��� � ������ ��� � �������� �� ���

* F

��� *

��� F ��� �� ���������� �� � � ��� ��� * + ,�

�� �� �� + , ��� + , �� ���� ��� �� = >� �� ��� � �� ���� ���

���� ��� �� -���� �� ��� ���� �� �� ������� = >� ���� ���

* F 3 +&�62,

* +&�6:,

!�� ���� ��� � ��� �� ������� �� �� �� � ���� �� ����� %�� � &�1 �� � ������

������ ��� �������� ��� ��� �� ��� �� �� �� � ���� �� ����� %�� � &�4 ��

� ������������ ��� �������� � �� � �� ��� ���� ���� � �� ���������� ��

���� ������� ��� ��� ��� � �� �� ���� ��� � ������

&2

� � � �

� �� �

�� �

� �� �

�� �� �

� � � � �

� � � � � � � � �

� � � �

� � ��

���

��

� � � �

� �

Page 36: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�� �� � ������ � ��� �� �� � �� �� �������� �� ���� ���� �� +&�62,

�� ���� �������� ��� �� ��� ����� �� ��� �� �� �� � ��� �� %�� �� &�1 ���

&�4 ��� �� � #������ � ������ ���� ������ ������ �� � ����� ��

���� � �� ���� + , * ��� ��� + ,� �� ���� �� � �� � ������

�� ���� �� %�� � &�&� J����� ����� �� ������� ���� �� ���� �� * � ��

������ ������� + ���� +&�6:,, ��� ��� ���� %�� � &�1� � � ��������� ����

������ ��� � � ��������� ���� ����� �� ��� � I�� �� ���� �� ����� �

������ ��� �� ����� ������ �� ������� �� ���� �� � ���������

������ ��� �� � ��������� ������� �� ��� � !��������� ���� %�� � &�4�

������ ����� �� ������ ���� * � � ��������� ���� ����� ��� ������

��� � � ��������� ���� ������ ��� ������ �� �� ���� �� ������ ���

����� �� ���� ��� �

C�� .� ��� ����������� ��� � �� ��� ��� � ������� ���� �� � ���

���� �� +&�6', ��� +&�64,� #������ �� � �� �� %�� � &�1 �� � � ������������

��� �������� � ���� �� �� � ���� ����� �� ��-��� �� � � ������ �� ���

�� � ����� +&�6',� �� ��� ���� ��� �� �� � ���� ���� �� ��� ����

�� ��������� ���� � ������ +&�62, ��� +&�6:,� �� ��� � ���� ��-� � ����

�� ������ ��� � ����� �� �� � ����� � ������� � ���� �������� ��

� � ������ �� ��� � �� � �� �� � ����� +&�64,� ����� �� ��������� ��

�� � ����� �� ��� ���� � ���� �� ������� �� ����� �� ����� �� �

�������� ������ ������ �� �� ��� ������� �� ������ �� ������ ����� ��

������� ��� ��� �� ��� ���� ������ �� ������ ���� ���� ���� ���� ��

�� ����� �� �� ������� �� �� ��������� �� �

&:

� �

� � � � � � �

� � �

� �

� � �

� �

� � �

� � �

� � �

� �

���

���

Page 37: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

%�� �� ���� * F 3 � ��� �� -����� �� ���� ��� �� � ������ ��

������ + , ������ ��� �� ��� �� �� �������� ���� ��� � ���� ��

+&�6&,� ���� �� �� �� �� ����� � ������ ��� �� �� ���� ��� ����� �

���� �� �� �� �� ����� � ������ �� �� ������� %��� +&�6:, �� ����� �

������� F+ , �� ��� ���� � ��� ����� � ������ � � ��� �� ������ ��

F+ , * *& F 3 + ,

1

�� + , F+ , ��� ��� �� = > ��� �� ��� ����� ����-�� �� + , F+ ,

��� ��� �� = > ��� �� ��� ������ ������ � ��������� �� ������ � ���������

���� ��� � �� ������� �� + , * F+ , �� � ����� ��� ���� �� = > ��� ��

��� �� �������� �� ���� ���� ��� ��� �� �� ���������� �� ������������ ����

�� ��� � ������ ���� +&�62, ��� +&�6:,� ���� � ��� ���� �������� ����

��� � �������� �� � ����� ���� ���� �� �� ������ �� ���� ���� �� ����������

���� ���� �� � ���� �� + , * .� ?���� �� � ������ �� ���� ��� +&�14, ���

�� ����������� �� ���� � ����� +&�11, �� �� ������ �� ������ �� ������� ���

�� ���� �� ��� � ���� �� ���� ��

* +& $.,

?���� +&�15, �� � ����� � ��� �� +&�62, ��� ��;��������� ���� ���� ��

����

3 *

��� � ����� ���� ��� � ���� +&�$.,� ��� ���������� �����

' * 3 +& $',

1.

� � ��

� � �

� � �

� ���

��� �

� �� ��

� � � � � � � � � � � � � �

� � � �

� � � � � � �

� � �

�� �

� �

�� �� �

��

����

� � �

� �

��

� ���

� �

� �

� �

� � �

� �

Page 38: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

/� ����� +&�$', ����� ���� ��� � ��� �� ��������� ���� ��� � ����� +&�6$, ��

����� �� �� ������ ��� � ������ � ��� � �� � � �� ����

3 * .

�� � ��� � ������ ���� . �������� ��� ��� �� ���� �� � ���� ��� * .�

#�������� �� * . ��� * . �� � ���� ��� ���� * ��� �� ���

�� �������� �� * .� ���� ��� �� � �� ��� ��� ����� ���� � ����� � �� �

����� � �� ���� ����� %�� � ������ ��� . � ����� +&�$', ������

��� �����������8 ��� ����� �� �� ��� ������ �� ����� �� ������ ����� �

-������ �� ��� ���� �� ������ ��� ���������� ����� �� �� ��� ���� ����� ��

�� ������ ���� ������� ����������� �� ��� ����� ���������

I� � ���� ��� ������� ���� �� �������� ��� ���� ������� � � ������

����� �� �� ����� ��� � ��� ���������� ��������� � � �������� ������ ��

��� ����� � �� ����� ��� ���� ������ �� ���� �� ��� �� ��� ����� ����� ����

��� � ��� �� ��� �� ��� �������� �� ��������� � � +�� �� ��� �� ����� ���

K ��, < �� �� ������� �� !����� & 6� �� ��� ����� �� � �� ��

* 3 +& $&,

��� � ��� ������������� ���� ��� �� �� ��� � ���� �� +&�'1,� ?���� ��

� ������ �� ���� � +&�15,� �� � ����� � ��� * ��� ����������

����

*'

&

'

&31

&+& $1,

/� ����� +&�$1, ��� � �� �� ���� � ��� ������� ���� �� �� � � ������ ��

��� � � � � ��� ��������� ���������� �� ���� ���� � ��� �

1'

���

� �

� �

� � ��

� � � �

� � �

��

� � � �

� � � �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

Page 39: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

P

QQ*

%�� � &�5( �� � � ������ �� ��� �������� �

�� ��� ������� ���� �� %�� � &�5 �� ����� �� �������� �� � ������

�� � ������ +&�6', ��� +&�$1,� �� ������ �� �� ����� �� ��-���� ��� ��� ��

� & ' ��� � �� �� �� ������ ����� ���� ���

*'

'

&

1* ' � � �

*'

&&

13

&

1* 3 ' � � � & '

��� �� & ' ����� + ,� ���� ��

*'

&

*'

&

'

&31

&

��� * ' � � � & '� ���� �� � �� ��� �� � � ������ �� ��� ��� ��

� � �� �� ���� �� %�� � &�5 �� �� �� �������� ����� ��� ��� ��� �� � ���

���-� �� �������� ���� �� � ��������� + �, ������ ��� �� � ���������

+����, ������ �� ��� � ���

�� ��������� ���� ��������� � � ��� �� ���� ��� �� !����� & 6�

1&

� � �

� �

�� � � ��

� �

��

� �� � � � � �

� � � �

�� �

��

� � �

� � � � � � �

����

�� �

���

� ��

� � �

� �

��

� � �

� �

Page 40: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

���� ����� ���� �� ���� ���� ���� �� � ������ �� ������ ��� ������ � � �����

�� ���� ������ � ������ �� ������ ��� ��������� � � ���� �� ������� ���� ��

���������

�� �� ������ �� ������� �� ��� ��� �������� ��� ������ ���� �� ����

��� ��� ����� �� � ��� �� �� ���� ��� � ��� �������� �� � ������ ����� ���

����� ���� �� �� �� ����� �� � � ��� ����� ����� ��� � ��� �� �����

���� ��� � ��� ���������� ������ � ������ �� � ������ � � ��� �� �� �������

�� � �� ���� ������� � ��������� ��� ��� ��� ��

�� ��;������ � ������ �� !������ & &� & 1 ��� & 4� ����� ���� �� ��� ��

������� ����� �� ���� ����� ��� ������ � � ��� ������ �� ����� �� ��������� ���

�� ��;������ � ������ �� ����� ��� ��� ���� � ������ �� ��� �� �����

�� ������� ��� � ������� -���� �� K � ����������� ���� �� ��� � �� ��

��� �������� �� �� ��� �� �� ��������� ��� �� ���� ��� � �� �� ���� ����

�� ���� ����� ���� ����������� ��������� � � ���� �� ��������� ��

���������� ��������� ��� ���� -���� �� � ����� ��� K �� �� K � ����������

��� � ��� ������������� ��� �������������� ���� �� ���� �� !������ & 6 '

��� & 6 &�

�� � ��� ������������� ������ � ����� ��� K � �������� �� � ���� +� ��� ��

, ��� �� ��� ��� ������� �� �� ������� ���� ��� �� ��������� � ��

#������ �� ������ ����� ����� ��� �� ������� = > �� �� �����

��� ��� ������ ������� ������ + ,� "� + , � �� ������� �� ��

11

��' (��� ����� �� �� ��

� � �

� �

� �

� � � �

� � � � � ��

��$�� ������������ !���� �� #�� ���������

Page 41: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

����� ��� K �� ��� �� � ������ �� ������ ��� ������ � � ��� ���� �� ��

��� �������� + , ��� + ,� �� � �� + , + , �� ��� ��������

�������

* ����������� �� ����� � +&�$4,

+ , * . ����������� �� ���� +&�$5,

��� ��� �� � �� �� +&�14, ��� +&�15,� �� �����

�� �� ������� �� �� ����� ��� K �� � �� ��� �������� � �� ������� ��

K � ���������� ����� �� ��������� �������� �� ����������� �� ���� ���

����� �� ����� �� � ��������� ���� �� K � ���������� �� ���� ��

= > * . +&�$6,

��� = > * . +&�$$,

���� !��-� +':5$,� ��� �� �� ��� ����� � �� �� +&�$&,� �� ����-��

= > ���� �� K � �� �� ��� �� �� � ������ �� �� ���� � ���� ��� ���

����� = > * � ��� 3 ����� �� ��� �� ��� ��

��� �� � �� ����� K � ��������� �� ���� ��

= > * .

����� ����� ���� �� ���� �� ��� ������� �� � K �� E���� ����� ��

���������� ���� ��� �� �� ���� �� �� �� ���� �� ��� �����

= > . +& $2,

����� �� K ��� � �� �� ���� ����� �� ������� ��������� ���� ��� � �������

���� ��� ���� ���� �� � �� ��� �� �� K ��

14

� � � � � � � � � � � �

� �� �

�� �

� �

�� �

� � � � � �

� �

� � � �

� � � �

� � � �

� �

� � � �

� �

�� �

Page 42: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

/� ������ +&�$4,<+&�$2, ����� �� ������ �� � � ��� ������������� �����

��� ���� ��� ���� � ��������� ��� �� �� ���� � �� ������ ���� �� K �

���������� +&�$6,<+&�$2, ��� � �� �� ��� �� ������ �� ������� �� ��

����� ��� K �� ���� ��� � ��� ������ ���� �� ���� �� %�� � &�5 �����

����� ��� ������ ���� ��� ��� �����

�� �� ���� �� �� ��� ������� ���� ��� �� �� ���� ���� � ������ +&�$4,

��� +&�$5, ��� � ����� ��� ��� � ���� � ����� ��� ������� ������ ��

K � ���������� +&�$$, ��� +&�$2, �� �� ��� ����� �� +&�$4, ��� +&�$5, ���� ��

���������� �� ��� ���� ��� � �� ������� �� ��������

?���� � ������ +&�$5, ��� +&�$$, ���� �� ��������� �� �� �� ������ ��

+ , *+ ,

= > +& $:,

%��� � ����� +&�$4,

+ , + , * �������� + , + ,

��� ���� ���� = > * . � ����� +&�$2, ����

= > .

�� � ��

* = ,

��� * + >

��� ��� �� ��������� � �� ���� �

�� %�� � &�6� ����� ����� �� ��������� �� ���� ��� ��� �������� ��� �

�� � �� * 3 + , ��� * 3 + ,� ��� �� ���� �� �����������

15

� �

� �

� ���

� �� � � � � �

� � �� � � � � � � � � �

� �� � �

� �� � � � � �

� �� � � � � � �

� � � � �

� �

� � � �� � � � �� �

� �

� �

� �

� �

� �� �

Page 43: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

P

Q

E=E1

E=E2

Qs

Ps

%�� � &�6( �� � � ������ �� ��� ��� �������� ��� � �� �

��� * ��� * � �� �� ���� �� ��������� ��� �� � ��� ���� ����

* 3 + , �� ���� ��� ���� * 3 + , �� � ���� D���� ���� ��

���� �� ���������� ��� �� �� �� � ��������� ������ �� �� ��� �����������

�� ��� �� �� � ��������� ������ �� �� ��� ����������� �� � �� K �

��������� +&�$2, �� �� ���� ���� �� ������ �� � ���� ��� �� ��� �� �� ���� ���

�� � ��������� ��� �� ������ � ��������� ��� �� ��� ��������� �� �� ����

��� �� �� ��������� ��� �� ������ � ����������

"� �� ����� ��� � �� ���� � � ��������� ��� �� ��������� � � ����

������� �� * 3 �� ���� ��� * 3 �� � ���� ��� � ����� ��

�� � ��� ����������� �� * 3 ��� * 3 �� %�� � &�6� ��

����� ���� ���� K �� ��� � �� ���� ��� �� �� ��������� ���� � ��� �

�� ��� �� ���� ��� �� ������� �� �� ��������� ��� �� �� ������� = > ���

� �� ��� %��� +&�$:, �� ������� �� �� ��������� ���� � ����� �

+ , * +& 2.,

���� ���� �� ������ � ������ + , �� -����� �� ��� �� ��� � ���� �����

16

� � �

� � � �

� � �� � � � �� �

� �

� � �� � � ��

� � �� � � ��

� � �

� � �

� ���

��

� � �

� �

� �

� �

Page 44: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��� �� ��� ������ ��� ������ ��������

'� �� + , �� ��� �� ������� �� �������� � ����� +&�2.,�

&� ��� �� �� ��� �� �� + , ����� ����� � +&�2.,�

1� ��� �� ��� ���� �� ��� �� �� + , ����� ����� � +&�2.,�

#�� ' ����� �� ������� �� �� ����� ��� K �� �� #�� & ��� �� �� ��� ����

���������� � ����� ��� K � �� �� ����� ���� * 3 �� ���� ���

* 3 �� � ���� �� #�� 1 ��� �� ��� ���� �� ���� �� �� ������

����� ����� � �� K � ���������� +&�$6,<+&�$2,� �� ����� �� ���������� ��

����� ��� ���������� �� �� ��� ��� ����� #�� 1 ��� ��� ��� ��

� ��� ��� ���� �� �� � ������ �� � ���� �� ���� +&�2., �� ��� ��

�������� �� + ,� %�� �� ��� �� �-��� � ������ ������������ ��

��������� � � ���� �� ���� ����� ���������L�������� �������� ������� �� ���� ��

%�� � &�&� �� �� ���� �� ����� ���������� ����� �� � �� ��� �� � ��������

�� �� ���� �� ����� � ������ < �� ������ ������� �� ���� ���� ������

��� ��� ����� � ��� �������� ����� �� �� ������� ��� ���� � �� ����

��� ������� +&�2.,� �� ��� �� �� ������ �� �� ���� �� �� ��� �����

��� �� �� ���� ��� �� �� ������ ������ ��� �� ���� �� �� � ��� ���� ��

��������� ���� �� ��� �� �������� �� �� ������ ������ ����� �� ��������� ���

�� �� �� �� �������� ������ �� �� ������� I������� ��� � �� ���������

+&�$2,� �� ��� �� �� ���� ����-��

�� ��� ��� ��� ���� �� �� ��������� � � �������� ��� �� ����� �� ������

�� %�� � &�$� �� ���� �� ���� ��� �� ���� �� � %�� �� ��������� � ���������

��� �� ��� ���� ���� ����� �� � ��� �� �� �������� ������ �� ��� �� ��

1$

� � � �

� � � �

� � � �

� � ��

� � ��

� � �

� � �

� � �

Page 45: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

P

Q

E=E1

E=E2

Qe Qo

%�� � &�$( %��� ��� ��� � ��������� � � �������� ����

�������� ���� ��� * � �� ��� � �� ���� � ��������� �� ��� ��

��������� ��� �� ��� � �� �� ��� ���� ����-� ����� �� � ��������� ������ ����

�� ����� �� ������� �� �� ��������� ���� �� ��� ���� ���� ��� ������� ��

�� � ��������� ������ �� �� � �� ���� �� ���� ��� � ��� �� ���� ���

�� �� � ��� �� �� �������

%�� �� ���� ���� �������� ����� ��� � �� ��� %�� � &�$ ��� � ��

�� � � � ���� �� ������ � ��� ����������� ���� �� ���� ��������� ��� ��

���� %�� �� ��� �� � �������� ��� � ����� ��� K � ��� ��� � ������ �� ��

���� +F ,� ��� F �� �� ������� �� �� ������ ������� "� � �� ����

�� �� ��� �� ���� ��� �� � �� ���� �� � ���� � ��������� ��� �� ��

������ ������ �� ��� ���� �� � ��� ��� ��� ������� �� �� � � �� ��

� ��� ���� �� ��� * �� ���� �� ��������� ��� �� �� ��� ��������

�� ��� * �� �� ����� � ���� �� � ��� ���� � ��������� � � ��� ���

������ �� ����� � ��� �� �� � ��� �� ������� ��� �� ��������� ���

��� ����� �� �� ������ � ���� �� %�� � &�$ �� �� � �� ����������� ��

12

� �

�� � � �

� �

� � �

� �

� �

� � �

Page 46: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

dept

h

jump near throat

jump near outlet

distance along channel

%�� � &�2( H��� �� ������ � ��� �����

* ������� ���� �� � �� ����������� �� * �� �� ���� * �

��� �� ���� * �� �� ����� � ���� �� � ��� ����� ��� � ������

�� � ��������� � � ���� %��� +&�64,� ���� �� ���� ���� �� ��� �� � ��� ��

� ���������� �� ����� � ��� ����� � ��� � �� ��� ����� � ��� ����� �

�������� � ��� ����� %�� � &�2 ����� �� ���� �� ����� � ��� ����� �

� ��� ���� ��� �� ������ ����� �� %�� � &�&�

!�� ������� ������ ��� � �� �� ��� ��� � ������� ���� ������������

� ������ � ����� H� ��� �� ����� ��� �� ��� ��� ���� �� ��� ����� ��

����� �� �� �� ���� �� �������� ���� � E�������� � � ������� �� � ��

������� �� ��� �������� �� ���� ������

�� ��� ��������� � ����� ��� K � �� � � �� �� �� ��� ����� ���-� �

��������� ��� �� �� ��� ��� ������� �� �� ���� ����� �� ����� ��� K ��

����� ������� �� ���������� �� ����� ��� ���� �� � ��������� ��� �� �

1:

� � � � � �

� �

��

� �

��$�� ������������ !���� �� ��� ����������

Page 47: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

������ ���� ���� ����� ��� K �� ����� ���� ������ �� ���� ����� �� ��

������ �� �� ��� ���

#������ � ����� ��������� � � ������� ���� ��� �� � ������ � "� @ �

�� ��� ��� �� ������� ��� ��� �� ��� �� ��������� � �� ���� ��� �� ���

��� ��� K �� ���� �� @ � �� ��� �������� ������� �� ��;������ � ������

* ��������������� +&�2',

* ����������� �� ����� � +&�2&,

* . ����������� �� ���� +&�21,

��� �� ���� ��� ���� ��� �� � �� �� +&�':, ��� +&�&5,� �� �����

�� �� � �� @ �� ��� �������� �� ����� �� �� �������������� K �

����������� "� � �� ��� ������ ����� �� �� ��� @ ��� �� � �� ���

��������� ������ ��� �� K � ����������

= > * . +&�24,

= > * . +&�25,

= > * . +&�26,

= > . +&�2$,

��� � �� �� ���� #������- +':$6,� ��� �� �� �������������� ���

����� ���� ��

* 3 + , +& 22,

���� �� ��� � � �� �� +&�'1,� �� ������ = > ����� �� ����� ��

�� ��� �� �� � ������ �� �������� �� ��� @ � ���� ��� ��� ���� = > *

� ��� 3 ����� �� ��������� ��� �� �� ��������� ��� ���

����� �� ����� ����

4.

� �

� � � �

� �

� �

� �

� �

� � �

� � � � � �

� �

� � � �

� �

� �

� �

� ��

� ��

Page 48: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

D

x

y

x

y

D D

s

eo

%�� � &�:( E����� ��� �������������� ��������� � � �����

�� ��� ��� �� ��� ���������� +&�24,M+&�26, ���� ���� �� ��� �� ��

��� ������ �� ������� �� ���� ��� ������ �� @ ��� �� ������� ��

������� ��������� �� @ �� ������� �� �������� �� K �� /� ������ +&�24,

��� +&�25, �� �� �������������� �� ������� �� �� ������������� K �

���������� +&�$6, ��� +&�$$,� /� ����� +&�26, �� � A�� ����9 ����������

�� ��� K � ��������� +&�2$,� �� �������������� �� ������ �� +&�$2,�

����� ���� �� ���� �� ��� ������� �� �������� �� ����� ��� K ��

#������ �� ������ ������ ���� ��� ���� �� �� � �� @ � �� �� %�� � &�:�

"� � �� � ������� �� �� �� ���� ��� �� @ ��� �� � �� � �������

�� �� �� � ��� ���� ��� �� � ����� �� ����������� �� ����� � ��

�� ����� � ��

* 3

4'

� � �

� �

� � ���

Page 49: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��� �� � ��������� �� � ����� �� ����������� �� ����� � �� ��

����� � ��

* 3

��� �� � �������� � �� ���� �

�� �� �� ������������� ��� �� ��� �� � ��������� ���� �� ����� ���

K �� ���� �� �� � ��� � ��������� ���� �� ����� ��� K �� ���� �� �� �

4&

� �

� � ���

� � � �

� �

Page 50: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

������� �

������� ����� ��

��� ������� � ��� �� ��� �� � ������ ��������� � ������ �� ����� ��

� ��� �� �� �������� � �� ��� ���� � ����� �� ��� ��� �� ����� � �����

� ��� ���� ���� ������� �� ����� �� ���� � �� ������ ��� �� ��� � �� ��

�� �������� � �� ��� � ���������� �� �������������� � ��� ��� �� ���� �����

�� ��� ���� � ������ ���������� �� �� ���� � �� ����� ������������� ��

�������������� ������ �� ���������� � �� �� �� ������������� � �� ���� � �

�� ���� �� �� �� � ������ � �� ��� � ���������� ������������� � ������������

�� ���� � �� ���� �� ������� �� �� �������������� � ���

�� ��� ������ �� ��� ���� � ���� ��� � ����� � � ��������� ���������������

����������� ���� ��� ��� ��� �� �� ����� � �� �� � �� � ��������� �

�� � �� ��� � ���������� ������ ������ ������� ��� ������� ���������� ���

!

��� ��������� ��� ����� �� ���� ����� �

����

Page 51: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�� �� ������� ��� ���

"� �� � ���� � ������� ��� ������ � �� #� ��� $� �� �� �� ��

���� "� % & ' ( �� �� �� � � ��� �� � �� ����������� ����� ��

���� ������ � �� �� ��� �� �� ���������� ���� ���� �� �� �� �����

� �� ��� ��� �� ���� �� ����������� �������� � ����� �� )����� $ *�

��� +�������� ��� ��� '$�,( �� ��� ��� �� ���� ����� � ���������� �� �� ����

�������� - � ������ � �� ������� ����� � � � ���

- & . .*

$- - '! *(

����� - �� ������ �� '$�$(�

"�/� '*01,( ���� �� ���������� '!�*(� �� -� � �� " �� ��� � ������ '��

����� �� � �� " �� ��� �( �� � �� ��� � ���������� "�/�2� ��������� � �

� �� �� ���� � ����������� ���� �� � � �� ����� ����� � ���� ��

�������� � ���� ��� �� �� ����� �������������� � ��� �� %� �� �������

� �� ��� � ��������� ��

- ' ( & . .*

$- - & 3 '! $(

"� �� � �� ���� �� �� �� ���� � & 3 �� & 3 �� �� � �� �

����� ���� � % '� ��� �� �� ����� �� � �� �� 4 5( �� � ��

���� � 4 5 �� �� ���� �� ���������� �� %� ����� ����� ��

)��� 6� � 7 ��� ������� �� 8����� ����� �� '9������ �� :���� '*0;$(( �

������ �� �����������

�� �� � �

� �� � �

�� � �

� � � � � �

�� �� � � � � � � � �� �� �� ��

� � �� ��

� � �� �

� � � � � �

��

� �

� �

����� ����� �� �����

� �

�� � � � � � �

� �

��

� �

� ��

� � � �

� �

Page 52: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

- & . .*

$- -

' ' . . (( ' ' . . ((

- & 3

����� ������ �� � �� � ���������

- & 3 �� % '!�!(

. .*

$- - & 3 �� & '!� (

. . & 3 �� & '!�<(

. . & 3 �� & '!�1(

�� ' (� =�� ��� '!�!( �� �� ��� ��� � ������� ��� � � �� �� ���� �

��� � ���� � ��� '$�1(� =�� ���� '!� (>'!�1( �� ����� ��� � '$�;(� '$�*3(

�� '$�**(� ����� �� ���� ��� ��� �������� '$�<( � � ���� ������� �� ��

������� �� ��� ��� ��� ��� �� ��������� �� /���� �� ��� ��� �� ��������

�� �� �������� � ?��� ��� ������ �� ���� ������������ ���� �� � �� ��� �

��������� '!�$( ����� �� �� ��������� ��� ���� � ��� ��� �� ���� @� �

��� �� � �� ��� � �� � ������� ����� �� �� ���� � ��������� � � �� �

����������

@���� � ����� '!�*( � ����� �� �������� �� ���� � �� ������� ����� �

������ ������� ��� � ������� �� � �� ��� �� ���� ��� �� �� ����

������ ���� ��� ��� �� ������� ��� � �������� �� �� ��� � �� ������

����� � '!�*(� �� ������� ����� ��� � �� ��� � �� ��� � ��������� '!�$(� ��

����� �� �� � � ��� �� �� � �� � �� ������ � ������� ����� ��� ��

'!�$( ��� �� ��� ������ � �� �� � � �� � ��������� � '!�$(�

"�/�2� ��������� � � �� ������� � ������� ���� ��� ��� � � �� � ������

<

�� � �� � � � �

�� � � � � � � �� � � � � �

�� � �� �� �� �� �

� �

� � � � � ��

� � � � � � � ��

� � � � � � ��

� � � �

� � � � �

� �

� � � � � �����

� �

� ��

� �

� � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � �

� � � � �

� �

� �

��

� �

� �

Page 53: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

���� ��� ������� � �� ��� � ��������� ����� ������� ��� ��

. .*

$. - - & 3 '! ,(

����� - & ' - - - ( �� " �� ��� ��������� �� & ' ( �� �� ����

�������� ��� ������ � �� '!�,( ������� �� � � �� - � ��� � �� � ���������

� '!�,( ��

- - & 3

- &

& -

�� % '! ;(

. .*

$. - - & 3 �� & '!�0(

. - . - - & 3 �� & '!�*3(

- . - . - & 3 �� & '!�**(

�� ' (� �� ���� ����� �� � �� ����� �� ����� '!�!(>'!�1( ���� �������

��� '!�$(� =�� ���� '!�;( ������ �� ����� ��� � '!�!(A �� ��������� - ��

�������� �� '! ;( � �� �������������� � � �� ��� ������ B���� '! ;( ��

'! ;( � '!�0(>'!�**( � � �� ���������� � �� ��� ��� ��� ��� �� ��������� ��

/���� �� ��� ��� �� �������� �� �� �������� � �� ��� ������ �� ����

������������

C �����2� ���������� �� �� �� ���� � ���� �� ����� ��

& 3 '! *$(

����� �� " �� ��� � & � �� ����������� ������� �� /����� ��

����� � �������� � �� ���� ��� � ����� ����� ����������� ����� � �� �

1

� � � � � �� �� �� �� �

� �� �� �� ���

� �

� � � � � ��

�� � � � � � � ��

� � � � � � ��

� � � �

� � �� �

� � � � �

� �

� �

����� ������� � �� �����

�� � � � � � � � � �

�����������������

� � �

�� �

� �

��

� � �

� �

� � �

� � �

� � �

� �

� �

� � � �

� �

� �

� �

� � � �

Page 54: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

� ����� � � �� ����� ����� � � � �� �� ������� ' ( ��� �

&*

$D D

& ' � � � ( �� ����� ������ �� ������� & ' � � � D � � � D (�

��� ��������� '!�*$( �������� �� ��� � " �� ��� ��� ���� � ������

E ����� ����� ��� � C �����2� ��������� � ���� ��� �������� �� ��� �

" �� ��� � ������� ��� �� ����� �� ������� � ���� � ����� ��� ��

������ �� & ' (� ����� �� �� ���� � ��� ��� � � � ������ ���

� ��� ��������� ���� ��� �� � ��� �� �� ���� � �� ����� ����� �� ��

���� ��� �� ��������������� ���� ��� �� � ����� ��� ���� �� ��� �� ���� ���

�������� �� �� �����

)�� ������������ ����� F������ �� G��� � '*01;( � �� ����� � ��� � �

� ������� C �����2� ��������� � �������� �� ������� �� � � ��������

�� ������� � � ��� ��� ���� �� " �� ��� � ����

)��� �� ��� � ���� � ����� �� =����� � � �����/ �� ���� ����� � �

�� " �� ��� � ������ F ���� '*0;;( ��������� �� � ��� ��� � C �����2�

��������� ��� ��� � �����/ � �� ����� C���� ����� � � � ����� C �����2�

��������� �� �� =����� � ����� �� ������ ��� /�� ���� �� � ������� ���

� � �� �� ������� �� �� " �� ��� � ����� ��� ��� ����� ��� �� � ����� ��

���� �� �� � �� �� �� ������ �� =����� � ������� ��� �������� ����� ��

��� ������ ��� �� ���� �� �� �� '�� � �� � ����� ���� �� �� ��� �� ���

��� �� ����( �� ����������� ������� ��� � � �� �� �� ��� �� �� ��� ��

�������� H�� � � � ����� ��� �� � ���� ������� ��� � � �� ����� ��� �

�� �������� ������� � �� � �� ��� � ��������� '!�*$(�

)�� �� ��� ��� �� �������� �� ��������� �� /����� ������ �� ����� �

,

� � � �

� � �

� � � � � � � � � � �

� �

�� �

� � �

��

� � �

� �

� � � � � �

� � � �

Page 55: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

������ �� �� ��� �� �� ����� ��� �� ��

*

$'! *!(

��� ������ � '!�*!( �� �������� �� " �� ��� � �� ��� � ��� "�/� '*01,(

����� � ��� ��� � �� " �� ��� � �� ������� � �� ��������� ������

��� � �� ��� � ��������� �� C �����2� ��������� �� ��� �� � ������� ��� �

� ���

��� � �� ��� � ��������� �� ��� ��� �� ���� � ��� �� C �����2� ����������

���� '!�*!( � �� " �� ��� �� ���I�� � �� ����� �� � ������� ��� � � ��

�� � ������ ��� ����� �� � � �� �������� �� ��� �� ������ � �� �����

" �� ��� �����������

�� �� ���� ��� �� % ������� ��� � � �� �� ����� �� - & 3 '��� ���

'$�*((� ��� /���� �� ��� ��� �� �������� �� �� ���

' . . ( & 3 '! * (

�� � ���� � ���� �� �� ��� ����� �� ��� ��� �� �� �� �������� � ��

��� ������ �� ��� ��

' . . ( & 3 '! *<(

����� ��������� ��� ��� �� ������� �� �� � �� ��� � ��������� ����� ����

�������

��� ������� ��� � � �� ����������� �� �� �� ����� '$�*(� '!�* ( ��

'!�*<( ��� �� ������ � � ����� ��� ����� �� " �� ��� ���������� &

' (� & ' ( �� & ' (� ��� ��� ���� � �� ���� �

�� ������ � '!�*!( ��

-

;

� � � �� �� ��

� �� �� � �

�� �� �

� �� �� �� � � � �� �� � � � �� �� �

� �

� �

� � � � ��

� � � � �

� � � �

� �

Page 56: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

����� �� ���� % �� ' (� ��

' . . ( . ' . . (

����� �� ���� �� ' (� ��� � �� ��� � ��������� � ��� �� C �����2�

��������� �� �������

' ( &*

$. - '!�*1(

. ' . . ( . ' . . ( & 3

E� �� �� � �� � "�/�2� ��������� '!�$( �� � �� ���� �� ������ � � ���� ��

�� � �� � �� �� ����� ���� �� �� �� ��� ����� ����� ��� � �� � ���������

� '!�*1( �� ����� ��

- &

- & 3

�� % '! *,(

. - ' (*

$- & 3 �� & '!�*;(

. . & 3 �� & '!�*0(

' ( - ' ( & 3 �� & '!�$3(

. . & 3 �� & '!�$*(

' ( - ' . ( & 3 �� & '!�$$(

�� ' (� ��� ���� �� ����������� �� ���������� ��������� ���������

� �� ������� ����� �� ��� ���� '!�*,(>'!�$$( ������ �� ����� ��� �

'!�;(>'!�**( �� ����� � '!�!(> '!�1(� )�� ���������� � �� ��� �� " �� ���

��������� �� ��� ������ � & � �� � '! *,( ����� �� ��� � ���� ��� ���

�������� '$�<(� ����� ����� '!�$3( �� '!�$$(� �� " �� ��� ���������� ��

� � �� �������� � & �� & �

0

� � �

� � �� �� � � �� �� � �

� � � �

�� �� � �� �� � � � � � ��

� � �� �� � � �� �� � �� �� ��

� �

� � � � � � ��

� �� �� � � ��

� � � � � ��

�� �� � � ��

� � � � � ��

� � � �

� � ��

� �

� �� � ��

� � �

� � �

� � �

� �

� �

� �

�� � � �� � � � � �

�������

� �

� � � � � � � � �

� �

� � � � � � � � �

� � �

� �

� � � �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� � � �

� �

� � � �

Page 57: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

=�� ��� '!�*1(� ��� � �� � ������ ����� � � �� ����� � �� ��

� �� � ��� ��� '!�,(� ����� �� ���� �� �� � �� � ����� �� � % ��

���� �� � ��� � �� ��� � ��������� '!�*1(� ��� � �� � � ��� � �

�� �� �� ���� � ����

.*

$. - - ' (

' ' . . (( ' ' . . (( & 3

B���� �� ���������� �������

& - ' ( &

����� �� �� ����� ����� �� � %� ��� � �� � � ������ ���� �� ��

��� ��� & �� & � ����� �������� � �� ����

' ' . (( ' ' . . ((

� ������ � � J ������ �� � �� � ����� �� � % �� - �� ������ �� '! ;(

��� '!�*1( �������

. .*

$. - -

. . & 3

����� �� I�� '!�,( ��� ���� ����� �� ����� ��� � �� ���� �� ������ �

� ���� �� J �� ���� �� �� �� ����� �� ���� � � �� ���������

6�������� � '!�*1( �� ����� ���� � � ��� �� ���� ��� ��� �������� �� ����

������ & - ��� �� ����� ��� �� �������� ��������� � � �� ����� �

�� �� � �� � "�/�2� ��������� '!�$(� � ����� ����� �� ���� ����� � � ��

��������� � ������

<3

� � �

� � � � �

� � � � � ��

�� � �� �� � �� �� �� � �� �� ��

� � � �� �� �� �� �� �� ���

� �

� � � � �

�� �� �� � �� �� �� � �� �� ��

� � � � � �� �� ��

�� �� �� �� �� �� �� �

� �

� �

� � � � �

� � � � �

� �

�� � � �� � � � �

� � � � � � �

� � � �

�� �� � � � � � � �� � � � � �� � �

� �

� � � � � � � � �

� �

� �

� �� � � � � � � �

� �

��

� �

� �

� �

� �

� �

� � � � �

� � �

� � � �

� �

Page 58: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

���� C �����2� ��������� � � �� � ��� � ���� '!�*1( ������ �� ��� �������

& �� ����� '!�$3( �� '!�$$( � ������ �� " �� ��� ���������� �� �

� � � �� � �� � ��������� �� ���� ��� ��� �������� �� �� ������� ��� �

� �� ��� ��� �� �� ��� �� % �� ����� �� ��������� �� �� ��� ��� �� ��

�� ����

��� � � ��� � C �����2� ��������� � ���� ��� �� ����� �� F������ ��

G��� � '*01;( �� ������������ ����� �� � � �� �� ������� ��� � � �� ��

�� ���� ����� ��� �� �� ��������� �� ������ ��� �� ���� ����� ��� �����

��� �� � ������ � � ���� �� �� ��� � ������ ������� ��� �� � ������ ��

������� ��� � � ����� ��������� �� �� ������ ������� � ���� ��� � ���

��� �� ����� �� ������ ���� �� ��� � �� ������� ��� � � ����� � ���� ��

�� ����� �� ���������

7 �� ��� � ���������� �� �� ���� � �� ���� � � �� ���������� ��� �� �����

� ����� ��� ���������� �� F����� !�* �� ��� ��� �� ���� � � �� �������� ��

������� �� �� ���� � �� ������� ��� � �� � �� ����� �� C �����2� ���������

� � �� ������ ������� � �� � �� ���� � �� ���� � �� ������ ����� �� � �

��� ���� � ���� � F����� $�$�$� ���� ������ �� �� ��� �� ��� ������

<*

��� ������ ����� ����

� �� � �

Page 59: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

#������� �� �� � �� ��� � ���������� �� ��� ��� �� ���� K �� L��������2 �����

����� '!�,( �� �� LC �����2 ��������� '!�*1(� ��� ���� � ������� �� �� ����

� �� ������� ��� � ���� ���������� �� � ���� �� �� � �� ���� �� ���� ���

��������� � ������� ��� ��� ������� ����� � & ' ( ������� �

������ & ' (� & - �� ���� ��� �� & � ����� �� ������

�� '$�*1(� �� �� " �� ��� ��������� - �� ���� ��� �� & ' (� �����

& ' (�

6 /��� ���� ���������� �� �� ������ � � �� L��������2 ��������� '!�,(

�� �� �� ��� �� ����� � ���� ������ �� ������ � ' ( ������ ��

&*

$.

*

$. . ' (

'! $!(

����� & . �� �� � � ���� �����

E������� � � �� ���� � ���� �� �� ����� �� � �� �� � ��

� �� � ��������� � & 3 ��

. . & 3

&

&

. & 3

�� M '! $ (

����� M & ' (� ����� ��� ���� �� ����������� �� ����� �� ����

���� ��� � ������� ��� ��� '$�$3(� �� ���� ��� ��� �������� '$�*<(� ��

�������� � � �� ��� '$�$<( �� �� ������� ��� � � �� ��� ��� '$�$ ( ��

�� ���� � �� ����

<$

� � �� �� �� �

�� �� � �

� ��

�� �� �

� � � �� �

� � � � � � �� �� ���

� � �

� � �

��

��

� � � � �

� � �

����� ������� ����� �� ����� ���� ���� ������� �� �

�����

� � � � � � �

���������������������������

� ��

� � �

� �

��

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� � � �

� �

� �

� � �

Page 60: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

@�� �������� '!�*1( K �� LC �����2 ���������� B���� �� ��������� � ��

�� ���� � �� ������� ��� �� ����� � ���� � � �� � ����� �� �� �� ����

�� �� �� & �� & � � �� �������� ������ ��� '$�* (� �� /�

�� � �� � ���� ���� ������� ��� ����� �� �� ������ � & ' ( �����

��

&*

$

*

$. . ' . ' (( '! $<(

E������� � �� � �� ���� � ���� �� �� �� �� �� ��� ����� ����� �� � �� �

��������� � & 3 ��

. . & 3

&

. ' ( & 3

�� M '! $1(

����� ������ �� ����� ��� � '!�$ (�

���� �� L��������2 �� LC �����2 ��� ��� �� ���������� ������ � L�� ����

� ��2 ���������� ���� �� � �� ���� �� ������� �� ����� �� ���� � �� ������

+� ����� �� ���������� ������ �� ����� ��� �� � ��� �� ������ �

'!�$!( � � �� �� �� ���� � ����

&*

$

*

$. . ' . (

J 4 5

� ��� �� & �� �� ������ �� '!�$!( �� '!�$<( �� �� � ��� � �����

����� �� �����

<!

� � � � � �

� � �� �

� � � � �� � � �� �� ��

��

� �

��

� � � � �� � �� �� ��

� � �� �� ���

� �

� �

� � � � �

�����������������

� � � �� � �� � � �

� ��

� ��

� �

� �

��

��

� � �

� � �

� �

� � � �

� �

� �

Page 61: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

+���� ����������� � �� ��� � ���������� ��� ����� �� ��������� � � �� � ����

������ �� L��������2 �� LC �����2 ������ �� �� ���� �� �� ���� � �� ���

��� �� ������� �� ������� � �� ����� ��� � �� ��� � ���������� ��� ����� ��

����� ����� �� ����� �� ������� ������ ��� � � ��� �� ��� �� � �� ���

��� � �� ��� � �����������

)��� �������� '!�$!(� ����� � � ������� ��� �� ��� ��� �� ��������� � ���

�� � ���������� �� �� ��������� E� �� ���� �� ������ ������������ ��

������ � � �� �� ��� � � ���� ����� ������ ����� ���� E� ����� ����

����� ��� � �� ���� �� ���

.*

$.

� � �� ����� �

.

���� ������� �� ��� � � ��� � �� ���� )��� �� �������� � � '$�*0(�

�� � ��

&* *

$

����� ����� �� �� �������� � ��� ������ ' ( �� ���� �� ���������

�� �� �� L��������2 � ����

' ( &*

$

*

$'! $,(

��� ����� �� � �� ������ � ����� ��������� �� ���

' ( ' . ( . ' ( '! $;(

<

� �

! �

! !

! �

� !

� �

� !

!

� ! � ! � �

� � �

����� ������� �� ���� ��

� �

� �

� �

� �

� �

� � �

� � �

Page 62: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

����� �� �� ����� �� � '!�$!( �� � /��� �� ���������� ������� ����� E

������ � ��� ����� �� '!�$;( ���� �� ������� � � L�2 ������ � �� ���� ��

�� ���� � �� ����

��� LC �����2 ������ � '!�$<( �� ������� ����� ���� ��� ������ �� /��

� �� ���� � ������ �� �� ��� � � �� ��� � �� �� ��� � ����� ���

�� ������ � '$�$<(� � �� & � �� �� ������ ' ( �� ������ �

��

' ( &*

$

*

$'! $0(

6 /��� ���� ���������� �� �� ����� �� � '!�$<( ������ �� ����������

' ( . . ' . ( '! !3(

E ������ � ��� ����� �� '!�!3( ���� �� ������� � � � L�2 ������ � ��

���� �� �� ���� � �� ����

��� �������� � �� ����� ��� � �� L�2 �� L�2 ������ �� �� ����� � ��

� ��� � � ��� �� ��������� �� �� ���

������ . ��������� ������� ��� � �

)�� �� L�2 ������ � '!�$;( ��

. ���������������� ��� �

�������

.������������� ��� ���

��������

�� �� �� L�2 ������ � '!�!3( ��

. .��������� ������� ��� � � ��

����� ���� �� �� ����� ��� � �� L�2 �� L�2 ������ �� ������ �������

� �� � ����� ����� �� � �� ��� � ���������� � ��� �� ���� ������ ��� )��

<<

" � �

" � �

� �

" � � �� �

" ��

� �

� �

� �

� �

�� �

� �

Page 63: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�� ����� � L�2 � �� ��� � ��������� �� ����� ���� � � ��� �� ������� ���

� ������� ��� ���� �� ����� & � �� ���� ��� ���� �� �����

& � �� ���������� '!�$;( �������

' (

����� ������� �� �� � �� ��� ����� #���� ���� � �� ��� � ���������� ��

�� � ��� �� ���� �� �� �� F������ !�<� !�1 �� !�,�

�� F����� !�< ����� �� ���� ���� �� ���� � �� L�2 �� L�2 ������ �� ��

� � �� ���� ����� �� �� ������ ���� � ���� �� �� �� �� ��� ����� ����

�� ������� ��� ����� ������ ��� ����� ����� ��� �� ��� �� � '!�$;( ��

'!�!3( �� ������ �� �� � "������� � ������ ���� ��� �� ����������

� �� ������ � ���� ����� ������ � ����� ���� �� ������� ����

� �� ��� � ���������� ��� �� � ������������ �� ���� � �� ����� �� ����

�������� ��� � ��� �� � �� � ��������� � � �� � �� ��� � ��������� ����

��� � � �� ����� � ��� � �� ������������ �� ���� � �� ������ � � �

�� ���� � ����� � �� � �� � ��������� � ����� � �� ���� � �� � �� ��� �

���������� ���� �� � �� � ��������� �� � �� ������� � �� � � �� �� ����

������ ���� ���� ����� � � �� ��� � ���������� ���� ��� ���� �� �� �� � �

�� �� �� ������������� � �� ���� � �� ����� �� ���������� �� F����� !�!� ���

� �� � ��������� � ����� � � �� ��� � ���������� �� �������������� �������

������ ���� �� ������� �� F����� !� �

<1

! �

� � �

Page 64: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�� ��� ������ �� � �� � ��������� � ����� � ��� � � �� ��� � ���������

����� �������� �� � ��� � �� ���� � �� ���� �� �������� E�� � �� � �� ����

�� ������ � �� ����������

��� ����� � � �� ��� � ���������� �� ������� � � ����� �� ��� �� �� ���

��������� �� ����� � �� �� � � �� ������������� ���������� �� �� ����

� �� ����� �� �� ���� �� ��� �� �� �� �� ����������� �� ��� � ��� � ���

������� � �� ���� � ���� �� ������������ �����

"� �� ��� �� � ����� ��� � �� ������� �� ' ( N 4 5A 4 5

�� �� ���� � �� ����� �� ������� � ���� �������� ������ �� �� ���������

�� ���� �������� �� ����

"� ' ( � � � ' ( �� �� � ������� ����� ���� ����������� �� �����

���� ��� �� � �� ���� � �� ���� � �� ������ ��� �� ������ � �� ���

����� ��� ������� � �� � ����� ��� �� �� �� ��������� �������� �� ��

�� ���� � �� �����������

#������� ����� � ������ � � �� ���

' � � � ( & ' � � � � � � � � � (

. 4 ' � � � (5 . 4 ' � � � (5 '!�!*(

����� �� �� & * � � � � "� �� ������� �� ��

�������� ��� �� �� ���� �������� ��� ��� ������ � ���� ��������

<,

��� ������ ���������

�� � � � � � � � � �

� �� � � � � �� �

� �

� � � � � # �� �� � � � � � � � � � � � � � � �� ��

�� �� � � � � �� � �� �� � � � � ���

� � � � �� �

#

� � � �

� �

����� �� ���� �������� �� �� ����� ���

��!��� �� �� ����

� �� �

�� � �� � ��

��

��

����

�� ����

��

� � � �

� � � � �

� �

� �

Page 65: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

B���� � ���� ������ �� ����� ��� �� � ��� �� ��� � �� ��� � '!�!*( � �

�� ����� �

& ' ( ' (

. ' . ( . ' . (

���� �� � �� � ��������� � & 3 ��

N ' ( ' ( & 3 ' ( A ' ( '!�!$(

N ' . ( & 3 & 3 * A ' ( '!�!!(

N ' . ( & 3 & 3 * A ' ( '!�! (

�� & * � � � � =�� ���� '!�!$( �� �� =���� ��� ���� � �� � �� ��� �

��������� �� ��� ���� '!�!!( �� '!�! ( �� � �� � ����� �� ����������

��� ������� ' ( ����� � ��� �� ������ � '!�!*( � �� � ��� ��

��� ������ � � �� ���� �� �� ��� � ��� ��� ���� '!�!$( �� �� ��� ��

' ( N ' (A ' ( �� �� ����� �� ��������� '!�!!( �� '!�! (�

�� F����� !�, � �� ��� � ���������� �� ������� ����� � �� � ���� � �� � ����

������� ������� ����� '!�!$(K'!�! (� �� ��� ���� � ������������ �� �� ����

��������� � ����� �� �� ���� � ���

��� ����� � ��� � ������ � �� �� �� � � �� �� ������������� � �� ����

� �� ��� ��

' � � � ( & ' � � � � � � ( . 4 ' � � � (5

'! !<(

����� �� ����� � ������� ��� ������ �� ���� �� �

<;

�� # # # �� �� ��

# �� �� � # �� ��

��

�� # # # � � � � � � � � �

�� # $ � � � � � �

�� � # $ � � � � � �

� � ��

� �� �

�� � � � � � � � � �

� � � � � # �� � � � � � � � � � �� �� � � � � �

� � �

� �

� � � �

� � �

� � �

� � � �

� � ��� �

� �� � � �� �

� � � � � �

� � �

� � �

� � � � � �

� � � � �

� � � � �

�� � �

� � �

��

�� ��

� � � �

� �

� �

� � � �

� � � � �

� �

� �� ��

� �� � ��

� �� ��

� � �� �

� � �� �

Page 66: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��� ��� � �� ��� � '!�!<( � � �� ����� �

& . .

����� � ���� ������ �� ����� ��� �� � ��� ��� � �� � ��������� � & 3

�� �������

N & 3 ' ( '!�!1(

N . & 3 & 3 * '!�!,(

�� & * � � � �

��� ��� �� �� ������������ � ��� �� ������ �������� ���� �� �� ��

�� ��� )�� �� ����� � ������������ � �� ���� ������� � �� ����� �����

���� �� �� ����� � 4 5� "� ' ( � � � ' ( �� �� � � � �� ����

�� �� ' ( � � � ' ( �� ����� � �� ����� ����� & ' ( ��

& * � � � � ��� � �� ���� �� �� ������ � �� �������� ��� �������

� � �� �

#������� ������ � � �� ���

' ( & ' (

. ' ( J . 4 ' (5 '!�!;(

����� & * � � � � & * � � � �� J �� �� ����� �� � � "� �� �������

�� �� �������� ��� ��� ������ � ���� ������� �� �� �� ����

�������� ��� ��� ������ � �� ��������

<0

�� #�

��# �� �� # �� �

��

�� # # � � � � �

�� # $ � �

� � ��

� ��

� � � � � �� �� � � � � �� �� � �

�� �� � � � �� �� � � � � �

� � � � �

� � �

� � � % �� �� �� � � � � � � � � �� �� ��

& �� �� �� � � � �� ' �� �� �� � � �� ���

� � �� ( � � � �

& ' %

� �

����� �� ���� �������� �� �� ����� ���

"���!��� �� �� ����

� ��� � � ��� �

� ���

� � �� � � �

� � �

� � �

� �

� �

� � � ��

� � �

� �

� �

� �� � �� � � ��

�� �

�� �

� �

�� ��

� �

� � �

� � �

� � �

� � � �

� �

� � � �

� �

� � ��

� �

Page 67: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

B���� � ���� ������� �� ���������� ������ �� ����� ��� �� � �� �� ���

� �� ��� � �� ������ � '!�!;( � � �� ����� �

& ' (

.

. . . . J

. ' . ( . .

����� �� ��� ����� �� �� ��� �� ���� � � �� ����� �� J �� �� ��������

�� ��� �� �����

' (

��� � �� � ��������� � & 3 �� ����� ��

N ' ( & 3 ' ( A ' ( '!�!0(

N & ' ( A ' ( '!� 3(

N . & 3 ' ( J A ' ( '!� *(

N . & ' ( J A ' ( '!� $(

N ' . ( & 3 & 3 * A ' ( '!� !(

N . & & 3 * A ' ( '!� (

�� & * � � � �� & * � � � � =�� ���� '!�!0( �� '!� 3( �� �� =��

��� ��� ���� � �� � �� ��� � ��������� �� ��� ���� '!� *(K'!� ( �� � �� �

����� �� ����������

��� ������� �� & * � � � �� �� & * � � � ����� � ��� �

�� � ��� �� ��� ������ � � �� ���� �� �� ������� ��� � ��� ��� ����

13

�� % % % ��

% % % � �� �� ��

& % �� & % � � ��

' % �� ' % � �� ���

% � % � % �

% � � % � � %

��

�� % % % �� � � � � � � �

� % % % �� � � � � � � �

�� & % �� � � � � � �

� & % �� � � � � � �

�� ' % $ � �� � ��

� ' % $ � �� � ��

� � �� ( � � �

� � � �� ( � � � �

� �

� �

� � �

� � �

� � � �

� � � �

� � �

� � �

� � �

� �

� � � ��� �� � �

� � ��� �� �

� � �� �� �

� �� �

� ���

� �

� � � � �

�� �

� � �

�� �

� � �

���

�� ���

�� �

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�� �

��

� �

� � � � �

� � �

� � �

� �

� � � � �

� � �

� �

��

��

� �

� �

��

��

��

��

��� ��

�� ��

� �

� �

� � �

� � �

� � � �

� � �

� �

� � �

� �

� � �

� �

� �

� � � �

� � �

� �

� �

� � ��

� � ��

� � � �

� �� � ��

� � �� �� � �� ��

� � � �� � � � � � �

� � ��

� � ��

� �

� �

� � �� �

� � ���

Page 68: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

'!�!0(K'!� (� �� F������ !�<�* �� !�<�$ � �� ��� � ���������� �� ������� �����

� �� � ���������� ����� �� '!�!0(K'!� (� �� �� ��� ���� � ����� �� ����

�������� �� ���� � �� �����

��� ����� � ��� � ������ � �� �� �� � � �� ���� � �� ��� ��

' ( & ' ( . ' ( J '! <(

����� �� ����� � � �� ���� �� & * � � � �� �� & * � � � ��

������� � �� �����

B���� � ���� ������ �� �� ���������� ������ �� ��� � �� ��� � '!� <(

� � �� ����� �

& .

. . . . J

����� ������ �� � �� � ���������

N & 3 ' ( '!� 1(

N & ' ( '!� ,(

N . & 3 ' ( J '!� ;(

N . & ' ( J '!� 0(

�� & * � � � �� & * � � � �

B���� �� ������ � ��� ������ �� � �� � ��������� � �� � �� ��� � �����

����� �� ��������� �� ���� � �� ����� � � �� ����� ���� ������ ����

1*

� � � % �� �� � � � � � �� �� & �� �� � � � �

� � � �� ( � � �

� �

�� % % �� % % � �� ��

& % �� & % � � �

�� % % �� � ��

� % % �� � ��

�� & % �� � �

� & % �� � �

� � �� ( � � �

� �

� �

� �

� �

� �

� � �

� � ��� �� �

� ��� �� �

� ��

� � � � � �

� �

� � �

�� �

� � �

�� �

� � �

� �

� � �

� �

� �

��

��

� �

��

��

��

�� ��

��� ��

� � � �

� � �

� �

� � �

� �

� �

� �

� �

� � � �

� � � �

� �

� �

� �

� �

Page 69: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�� ��� ������ ����� � �������� � �� �� ���� � �� � �� ��� � ���������� �������

�� ������������ � �� ���� �� ������� H��� �������������� ������������

���� ���� �� ���������� �� �� ��� ������� � � F����� !�!� ����� �� ��������

��� �� ���� �� �� ������ �����

"� �� ����� � 4 5 � �� � ��� �� �� ��� �� ���� ����� �� ����� �� �

�� ����� � ������ � �� ����� �� �� �� �� ���� �� �� ������� � ���

����� �� "� ' ( & * � � � �� �� � ������� ������ �� 4 5� � ������

E����� � �� � �� �� ��������� �� 4 ( ' 5� ���� ����� �� ���

�� ���� � �� � �� ������������ �� ���� �

#������� ������ � � �� ���

M ' � � � ( & . ' � � � � � � (

. 4 ' � � � (5 '!�<3(

B���� � ���� ������ �� ��� � �� ��� � M �� ����� ��

M & . .

. . '!�<*(

����� �� ���������� ������ �� ���� � �� . ������ �� ���� �

� ��� ��� ���� ���� �� ��� � �� � �� ���� � �� �� �� � � �� ��

��� � �� � �� ��� � �� ������� � �� ������������ �

1$

��� ��� ����� ���������

� � � �

� � � � �� � � �

� � � � � � �

� �

� � � � � � � # �� � � � � � � � � � ��

�� � � � �

�� # �� # �� ��

�� �� # �� # �

� � �

� �

� � �

��#�� �� ���� �������� �� �� ����� ���

��!��� �� �� ����

�� � �

�� � ��� ��� �

� � �

� �

� �

�� �

��

� � � �

� �

� � � �

� �

� �

� �

� �

� � � �

��

��

� �

� �

�� �

�� �

Page 70: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

E������� ����� ��� �� � �� � �� ���� � '!�<*( ������

M & .

. . . . 4 5 '!�<$(

��� � � � �� ��� M � �� � �� ��� �� ���� �� ����� ��

M & . ' (

����� �� �� ��� ����� ��� �� �� ��� ����� �

' . (

��� ���� � �� ���� ���������� �� ���� �� ����� �� � � � �� ���� �� �����

���� � �� ����������� �� ��� � �� � �� � �� ���� � ���

M & M & M

� �� ��� �� �� � �� � �� ���� � ��� �� ���O����� � ���� ���� �� ��

� �� ��� � ��������� ���� ���� � �� �������� I��� ���������� F�������� ��

�� '!�<$( ������

M & .

. . . M . '!�<!(

����� �� �� �/�� 4 5 ����� �� �� ��� �� �� ������ �� �������� ���

�� ���� � �� ����� �� ��� �� �� ����� 4 5 & � �����

������ �� �� ���� � �� . �� ����� � ������

����� ��� '!�<!(� �� � �� � ��������� � M & 3 ��

N & 3 ' ( ' ( '!�< (

1!

��

�� #�

��# �� ��

# �� # �� �� #

�� � �

�� �� � � �� �

� ��

�� �� �� �

��

�� #�

��# �� ��

# �� # �� �� # # � �

� � # # #

� � �

��

�� # # � � � � � � � �

� � � �

� �

�� � ���� � ���� � �� �

���

��� ��� ���

�� � ���� � ���� � �� � ���

� � �

� � �

� � �

� �

��

� � �

��

� � � � �

� � � ��

��

��

��

� �

� � �

� � �

��

��

� �

� �

� � �

� �

� � � �

��

�� ��

��

�� �� ��

� �

� �

� �

� �

�� �

� � �

��

� �

� � �

�� �

� � � � � �

� � �

� �

� �

��

� � �

Page 71: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

N . & 3 & 3 * '!�<<(

M N & 3 '!�<1(

N & 3 '!�<,(

�� & * � � � � =�� ���� '!�< ( �� �� =���� ��� ���� �� '!�<<( �� ������

�� ��������� �� � =�� ���� '!�< ( �� '!�<<( �� ������ � � ��

������������� � �� � ��������� �� ��������� � �� ����� ������� �� F����� !�!�

=�� ���� '!�<1( �� '!�<,( �� ��� � �� ������������� �� �� �� ����

� � �� �������� � ���� �� ������ � ���� ����� � ����������� �� ��

����� � ' (� � ��� ��� ���� �� ��� ���� � �� ��� '!�<1( �� '!�<,(

������������� � � �� � ���� ������ �� ��� � �� �� =���� ��� ���� '!�< ( ��

������� �� �� ����� � ' ( ��������� �� ����� � ������������

��� � �� � ��������� � � �� ��� � ��������� ��� ������������ � �� �����

������ �� �� ����������� �� ������� �� ��� ������� ��� ����� �� ����� �

� � � �� ������������� � � �� �� F����� !� �*� ��� ��������� �� � ��

�� ���������� �� � �� ���� �� ������������ ����� ����� �� �� ��� �� �

����� ��� ���� � � � ���� �� �����

"� �� �� ��� �� �� �� �� �� ���� ����� �� ����� �� � �� ������ �

�� � �� ����� �� �� �� J �� �� ����� �� � � � ������ "� J �� ������

��� �������������� ����� ����� ������� ��� �� ������ �������� �� �

� �� )����� !�*�

1

�� # $ � �

�� # �

�� # # � �

� � ��

� �

� � �

� � �

� ��

� � �

��#�� �� ���� �������� �� �� ����� ���

"���!��� �� �� ����

� ������ � �

� � �

� � � ��

��

��

� �

��

� �

� �

� �

� � ��

� � �

Page 72: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

D

x

y

x

y

+

D D

- s

-+

)����� !�*N ��� ������������ � ��� ���

"� & ' ( �� & * � � � �� & ' ' ( ' (( �� & * � � �

�� �� �� � � �� ����� � �� ����� ��� �� �� ������ � �� ���������

�� �� ��� ��� �� �� � � �� ������������ ����� �� ����� J �

#������� ������ � � �� ���

M ' J ( & . ' (

. . ' ( J '!�<;(

����� & * � � � � & * � � � � J �� �� � � � J ����� ������ �� J

�� �� � � ����� ������ �

��� ��� � �� ��� � M �� ����� ��

M & . . ' (

. . ' (

. . . J

. . J J '!�<0(

1<

� � �� � � � �� � �� � � � �� � � � � �

� �

� � � � % �� �� � � � � � �� ��

& �� �� � � � �

� � �� ( � � � �

�� % �� % ��

% � % � �� ��

& �� & � �

% �� �� % �� �� & � & � �� �

�� � � � ��� � �

�� � � � ���� �� �

�� � ��� � �� � � � � �

� � � � �

� �

� � �� �

� � � �

� �

� �

� � � �

� � �

� �

�� �� � �

� �

��

��

� �

� �

��

��

� ��� ��

� �

� �

� �

� � �

� �

� �

� �

� �

� �

Page 73: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

D-+ D D+- DD

+s ss

)����� !�$N 7 �� ��� � J �

����� �� �� ������ � �������� �� J �� �� � �� ��� J . J > ���

)����� !�$ > �� J �� �� �� ��� �� �� ����� � J � ���� �� �� � �� ��� �

J � ��� ����������� �� . ����� � � �� ������� �� �� �� �� �� ��

�� ����� � J � ������������

E������� �� ���������� ������ � �� ' ( �� ' ( ���� �� '!�<0(

������

M & .

.

. . . . . J

. . J J

. .

J

#������� ���� �� �� ����� J � "� �� �� ����� ����� � ��� �����

����� �� � �� ���� �� �� �������� � � �� ��� ���� � �� �� ��� �� J ���

�������� �� � �� ������ �� � ���� �� ����� � ���� �� ��� �� � �

11

�� � �

� �

�� �

�� % % ��

% % � �� ��

& % �� & % � �

% �� �� % �� �� & � & �

% �� % �

% �� % � �

��

� ��

� �

� �

�� � � � ���� �� �

�� � ���� �� �� � � � � �� �� �

� � �

� � �

� �

� �

� � �

�� �

� � �

�� �

�� �� � �

��

��

��

��

� �

��

��

� �

� �

� �

��

��

� ��� ��

� �

��� ��

��

��

� �

� �

� � �

� � �

� � �

� �

� �

� �

� �

� � � �

� � �

� �

Page 74: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�� ����� �� ���� � � ����� � ���� J �� �� � �� ��� � � ���

& J

E� �� �� ������������� � � �� ��� ���� ��� ��� �� � ���� � �� � �� ����

�� ����� ���� � �� ����������� �� �� ���� �� ����� �� � � � �� ����� "�

�� �� ����� ����� � ���� �� J � ����� �� � �� ���� �� �� ��������

� � �� ��� ���� ����� �� ����� ���� �� � � � �� ���� � �� ���

� �� ���� �� �� ����� J �� ����� ��

M & . . & * � � �

M & . . & * � � �

����� ������ �������� ��� �� �� �������� � �� �������� ��� ��

�� �������� � � E� �� �� ������������� � � ��� ���� � �� ���� ����� � �

� �� ���� �� ��� � �� ����������� �� ����������� � ���

M & M & M

M & M & M

���� �� ��� � �� ��� � � � �� ����� �

M & .

.

. . . . . J

. J

.

1,

��

% �� �� % �� �

�)

�� �� �� �) � � ���

� � �� �) ( � � ��

�� �� �� �

� � �

�� % % ��

% % � �� ��

& % �� & % � �

& & �

% % *�

*�%

*

*� ��

% % *�

*�%

*

*� ��

� �

� � �

� � �

������� ��� ���

������� ��� ���

��������

�������

�������

�� � � � ���� �� �

�� � ���� �� �� � � �� � � � �

� � � � �

��

� ���

��

��

� ��

��

��

� � �

� � �

� �

� � �

�� �

� � �

�� �

��

�� �

��

�� �

��

��

� �

� �

� �

� � � �

� � � �

� � �

� � �

��

��

� ��� ��

��� ��

��

��

� �

�� � �

�� � �

� �

� �

� �

� � �

� � �

� � �

� � �

� �

� �

� �

��

��

� ��

� ��

� �

� �

� � � �

� � �

� �

Page 75: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

.

. .

. M . M J

��� � �� � ��������� � M & 3 ��

N & 3 ' ( '!�13(

N & ' ( '!�1*(

N . & 3 ' ( J J '!�1$(

N . & ' ( J J '!�1!(

N ' ( & 3 '!�1 (

N . ' ( & 3 '!�1<(

M N & 3 '!�11(

M N & 3 '!�1,(

�� & * � � � �� & * � � � � ����� �� �� �/�� 4 5 ����� �� �� ���

�� �� �� ��� �������� �� �������� J ��� � � ��� ��� � ��� ����

'!�13(K'!�1!( �� �� � �� � �� � �� � ��������� �� ��������� � �� ����� �

������� �� F����� !�!�$ ������� ���� � � ����� � ��� �� �� ����� � ��

J� '!�13( �� '!�1*( �� � ��� �� �� ��� � ��� �� '!�1$( �� '!�1!(

�� � ��� �� J �� J ��� � ���� =�� ���� '!�1 ( �� '!�1<( ���� ��� ��

� �� ��� �� �� ������� � �� ���� � ����������� J �� ��� ���� '!�11( ��

'!�1,( �� �� ����� � � ����� �� ���O����� � �� � � � �� ���� �� ��

� �� ���� ��� �����

1;

% *�

*)%

*

*) �)

% *�

*)%

*

*) �)

% % �� % % � �

��

�� % % �� � � � �

� % % �� � � � �

�� & % �� � �

� & % �� � �

�� % % *�

*�%

*

*� �

�) % *�

*)%

*

*) �

�� % �

� % �

� � �� ( � � �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

�� � � ��� � � �

�� �� � �

� � � ��� � �

� �� �

��

�� �

��

�� �

�� �

�� �

� � �

� �

� � �

� �

��

�� �

��

�� �

� �

� �

� �

� �

� � � �

��

��

� �

� �

�� ��

��

��

� �

��

��

�� �� �

�� �� �

� �

� �

� � �

� � �

� � � �

� �

� � �

� � �

� � �

� �

� �

� �

� �

� �

� � � �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

Page 76: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��� �������� �� ������� � �� �� � ��� ����� ��� ����� � ����������� �� ��

� �� � ��������� � ��� �� ���� � � �� ��� � ����������� ����� �� ���� ��

��� ������ �� �� ��� ����� ������� � ��� �� ��� � ������ �� � �� �

��������� � � �� ��� � ���������� �� �� ���� � �� �����

��� ����� ��� � � �� ��� � ���������� �� ������������ ����� �� �� ����

� �� �� �������� ���� ����� �� ������ �� ��� �� �� F����� !�$�$�

��� � �� ��� � ���������� �� �� ���� � �� ���� ���������� �� � � �� �� ����

���� � �� � �� ���� � ���� �� ����� ���� � �� ��� ��� � ����� ����

�� ��� ������ ����� �� ���� �� ���� � �� ������ �� � F����� !�$�$ ��

� �� ���� ����� �� �� ������ ���� ?��� �� �� �� �� �� ��� ����� ���� ��

������� �� ��� � � ����� �� ��������� �� �� ���� � �� ���� �� ��������

)��� �������� �� ������ � ��� �� ����� �� '!�$;( > �� L�2 ������ ��

� �� �� ���� �� ����� �� � �� ��� � ��������� �� ���� � �� ���� �����

�� �� � ���� �� ����� ����� �� � �� ���� �� ���� ��� � �� ����

����� �� ����� �� �� �� ����� �� � �� ��� �� �� �� ���� ��� � ��

���� �� �� �� �� ���� � �� �� � ���� �� � ���� � � �� ���� �����

�� � �� � ��������� '!� *(K'!� ( � �� ����� � ������������ � � �� ��� �

��������� �� F����� !�!� ����� �� ������ �� /�� � �� �� ����� �� �

�� L�2 ������ � �� �� ��� � ��� ���������� ����� �� ��������

G�� ��� ���� ��� �� ����� �� J � ��� �� �� ������� ��� �� � ��� � �

J & J .J � ����� ����� �� ��������� �� �� ����� �� J �� �� �� J

10

��� ���� !���!�� ������ ����� ����

� �

%

& '

��$�� %�� !��& '� !����

� � � �

� �

Page 77: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�� ' (� F���� ��� �� ��� �� �� ������� ��� �� � ��� � � & . �

�� ��������� �� ��� ����� ���� �� �� ����� �� �� �� ��

�� �

�� ��� � � � �� �������� � ������� L�2 ������ � ��� ����� �� �����

"� �� ������ � ' ( �� ����� ��

& ' ' ( ' . ( . ' ((

. J . ' ( J

. ' ' (( ' ' ((

. '!�1;(

����� & ' ( �� & ' ( �� ����� ������� �� J �� J �������

����� �� & ' ( �� & ' ( �� & * $ �� ����� ������� ��

�� ������������

��� � �� � ��������� � �� ������� L�2 ��������� & 3 ������� �����

��� ���� '!�!0(K'!� (� ��

. &

& 3

. & 3

. & 3

&

�� M

& 3 �� J �� ' (

& 3 �� J �� ' (

& 3 �� �� & * $

& 3 �� �� & * $

,3

� � � � � � �

� � � �

� !� � �� �

� � ! � ! � �� �� ��

+ � �� # � ��

� � � � �� ��

�� ���

# # �� �� � + + �� �� �

�� � � � �� � � � �

�� �

! �

��

+ � � � � �

# � � � � �

� � � � �

� � � � �

� � �

� � � � �

� � �

� �

� �

� �

� �

� � �� � � �� � � � � �

�������������������������������������

� ��

�� �

�� �

� �

� � � �

� �

� � �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� � �

� �

� �

� �

� �

Page 78: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

����� M & ' (�

&*

$ �� &

* *

$

���� �� ��� �� ��������� �� M ��

*

$. & ��

* *

$& 3

����� ������ ����

& �� & .*

$

�� � �� � � ���� � �� � ��������� �� M �� �� ������� ��� � �� �� ��

���� ��� ��� ��������� ��� � � ��� � �� � ��������� �� �� �� �� ���

����� �� ���������� ��� ��� � ���� �� �������� �� �� ���� � ��������

� � �� ��� �� J �� �� ������ �� �������� �� �� ������� ����� � ��

J � ��� �� ' (� ��� ��� ����� ��������� �� �� ���� �� �������

����� �� �� �� ������������ �� ���� � �� �� � ����� ����� � �

��������� �� �� ����� ��� �� �� ��� � ����� ����� ��� ������� /�������� �

�� ������� �� �� � ����

#������� ��� �� L�2 ������ � > � ��� ����� �� '!�!3(� ��� ��� ��

�� ��� �� ����� �� �� � �� ������� ��� ��� � �� �� L�2 ���������� �

������� ������ � ����� �� ���������� B���� �� � �� �������� & ' (�

& ' (� & ' ( �� & ' ( �� & * $� ������ ������ �

' ( � � �� �������� � �����

& ' ' ( . . ' . ((

. ' ( J J

' ' (( ' ' ((

'!�10(

,*

� � � � �

*

* !

*

*! !

!

! � �

� ! � �

� � � �

� �

# # �� �� �

+ + �� �� � �� � � � �� � � �

� � ��

� " � � �� � �� �� ��

+ � �� # � ��

� � �� ��

� � � � �� ��

� � � � �

� � � �

� �

� � � � � �

� � � �

� � � �

� � � �

� � �� � � �� � � � � �

� � � �

� ��

�� �

�� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

�� � � �

�� � � � � �

� � � �

� �

� � � �

Page 79: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��� � �� � ��������� � �� L�2 ��������� & 3 � � �� ������� �����

'!�!0(K'!� ( �� �� ����� ��

. & 3

&

. & 3

�� M

& 3 �� J �� ' (

& 3 �� J �� ' (

& 3 �� �� & * $

& 3 �� �� & * $

��� ��� �� � �� � ��������� �� �� ��� �� � � �� ������� �

*

$. & 3 &

�� � � ����� '$�$<(� �� ��� ���� � ����� �� �� ���� ��� ��� ��������

� �� � �� ���� �������� ��� ����� �� ��������� �� ������ � � ���� � ��

L�2 ����������

���� ���� ���� �� ������ ��� '!�1;( �� '!�10(� ����� � �� � ���������

� �� ��� � �� ��� �� �� ��� ���� � ����� �� �� ��� �� � �� �������

������ ��� ���������� ��������� �� � �� ��� �� ������� ����� � �� ��

����� �� � �� ��� ��� �� ��������� �� �� ���� �� ������� ����� � ����

������� � �� ��� �� �� ���� � �� �� � �����

E �������� � "������� � ������ � � �� ���� � ����� � �� �� � ����

��� �� ����� � �� � � �� � ��������� � ���� ��� � �� ���� �� ��� ���� �

,$

��

" �

"

��

+ � � � � �

# � � � � �

� � � � �

� � � �

� � � �

� �

� �

� �

� �

� � � �

��$�� ( )������ �� �� ���� ��

�����������������

� �

� � �

� �

� �

� �

� � ��

Page 80: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

������������ ����� �� �� ���� � ��� ��� ���� ������ �� > � ��� �� ��

�� ������� > � �� ��� �� ���� ��������� �� ���� ������������ �������

��� �� L��������2 �� LC �����2 ������ �� �� �������������� � ��� ��� ��

����� ��� ����� ������ �� �� ��� ������

+� ������� �� ���������� ������ �� ����� ��� �� � ��� �� L�2 ����

��� � '!�1;( � � �� ��������� �� �� ���

& ' ' ( . . . ' . ((

. ' ( J J

' ' (( ' ' ((

'!�,3(

#��� ���� ��� ��� � � ����� �� '!�10(� ������� � ���� �� ��� �������

������ �� �� ������� ' ( �� ' ( ���� �

' ( & ' ( .

�� � ���� ����� � � �� �������� ������� ����� '$�*0( �� '$�$<(� ��� ��� ��� ��

�� � "������� � ����� ��� � �� ��� ������

��� "������� � ����� ' ( � ' (� ��� �� � �� � ���� � ���

���� �� � ������ �� ������ ��

' ( & ' ( '! ,*(

�� �� ���� �

& &

B���� '$�*0( � � �� ��������� ��� '!�,*( �� ��

' ( &*

$.

*

$'! ,$(

,!

"

� � ! !� �� � �� �� ��

+ � �� # � ��

� � �� ��

� � � � �� ��

� ! " � �

" � � � ! !�

, � � � ! ! �

, � � !� �!

, � , !

,

, � � � �

� �

� � � � � �

� � � �

� � �� � � �� � � � � �

� ��

�� �

�� �

��

� �

� �

� �

� �

� �

� � � �

� � � �

� �

� � � �

� �

� �

� � �

� �

Page 81: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

@���� � �� ��� � � �� � � ������ � ���� � ������

��� ������ �� ��� "������� � ����� � ' (� ��� ���� ��

� ������ �� � � ����� '$�$<(� �� � � ����

' ( & ' ( '! ,!(

��� �� ��� ����� ����

& &

=�� ���� '!�,*( �� '!�,!( ����� �� �������� ���������� �

' ( & ' ( & ' ( .

�� � ����

��� �������� � ������ � � �� ��� ���� �� �� � � �� ��������

������� �� "������� � ������ F���� & �� & � ��� � ��

�� ��� ���� � �� ����� �� � ����� ��� � ��

' ( & . ' ( '! , (

��

& &

E ���� ������ ' ( �������� ������ �� �� � ������� ��� �� ��

"������� � ������ �� �� ����� ��� ��� � �� �� ����� ������� � ����

� �� ����� � ��� �� ����� ���������� �� �� ������ �� ������ ��� ��

���

' ( &*

$. & & .

*

$'! ,<(

�� � � �� � ���� � ��� ������ ��� ������ �� ��� �� � �� ��

' ( ' ( & '!�,1(

,

,

, " � � �

, � � " � �

, " � ,

" � � , � � � ! !�

, "

� !

" � � !� �!

" � " !

- �!

" ,

- �

- �! � � � � � ! � �

- "

� ! - �!

� �

� �

� �

� � � �

� � � � � � �

� �

� � � �

� � � � � � �

� � � �

Page 82: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

' ( ' ( & '!�,,(

��� ������� �� � � �� ���� � � ��� �� ������ ��� �� � �� �

��������� � �� ��� � �� ���� � ����� ������� �� ��� ���� � ����� ��

�� ���� � ��� ��� ������ �� � � �� ����� �� �� ��������� �� �� ��

�� ����� ��� � '!�1;( �� '!�10(� ��� ������� �� � ��� '!�,1( � ������� ��

�� �� ����� �� � '!�1;( �� '!�,!( � ������� �� �� �� ����� �� � '!�10(

�� �� �� ������ ��� �� ��� � � �� ���� ����� �� ��������� � �� �

'$�*0( �� '$�$<(� E������ '!�,*( ����� �� ���� � ������� �� �� '!�1;( ��

'!�,,( ����� �� ���� � ������� �� �� '!�10( � ����� �� �� ��� �� � ���

� �� ������ �� ����� ����� ��� )�� ��� ��� ����� ��� �� � �� �� ��

���������� ������ � � �� ���� �� �� LP2 ������ � ����� �� �� ���������

'!�,,( ��� '!�10( � ���� �� ������ � ����� �� ��������� '!�,1( ��� '!�1;(�

"� �� ������ � ' ( �� ������ ��

& ' ' ( ' . ((

. J . ' ( J

. ' ' (( ' ' ((

. '!�,;(

���� �� � �� � ��������� � �� LP2 ��������� & 3 ��

&

& 3

. & 3

. & 3

�� M

,<

" � � - �! !�

- ,

"

"

!

"

� !� � ��

� - �! � ! � �� �� ��

+ � �� # � ��

� � � � �� ��

�� ��

��

-

- �

! �

��

� �

� � �

� � � � �

� � �

� � �� � � �� � � � � �

���������������������������

� ��

�� �

�� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �� ��������

� �

� �

Page 83: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

& 3 �� J �� ' (

& 3 �� J �� ' (

& 3 �� �� & * $

& 3 �� �� & * $

��� ��� �������� �� M ��

&

���� � ��� ���� '$�*0( �� '$�$<( �� ������� �� LP2 ��������� ������ ��

������� ��� � �� �� �� ���� ��� ��� �������� � � �� � ��������� �� M �

�� ����� �� � �� ����� �� ��������� �� �� �� �� ����� ���� �� ��

�� ��� ����� ���� � �� �� ���� ��� �� L�2 �� L�2 �����������

@�� �������� ��������� � ��� �� �� ������ � "� �� ������ � ' (

�� ����� ��

& ' ' ( . . . ' . ((

. ' ( J J

' ' (( ' ' ((

'!�,0(

��� � �� � ��������� � �� L:2 ��������� & 3 ��

. &

. & 3

&

. & 3

�� M

,1

+ � � � � �

# � � � � �

� � � � �

� � � �

, � � �� �

� , � � �� � �� �� ��

+ � �� # � ��

� � �� ��

� � � � �� ��

��

,

, �

��

� �

� �

� �

� �

� �

� � � � � �

� � � �

� �

� � �� � � �� � � � � �

���������������������������

� �

� � �

� ��

�� �

�� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �� ��������

� �

� � � �

� � � �

� �

� �

Page 84: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

P(Q,E)

R(v,d)

r(Q,d)p(v,E)

d

E

Q

vd

E

Q

v

-- -

Qd

v

E

Q E

d v

- -

& 3 �� J �� ' (

& 3 �� J �� ' (

& 3 �� �� & * $

& 3 �� �� & * $

��� ��� �� ��������� �� M � � �� ����� �

. & ��*

$. & 3

���� �� � �� � ��������� � �� L:2 ��������� ������� �� ��� ���� � �����

�� �� ���� � �� �� �� � �� ����� �� ��������� � �� ���� ���������� ���

�� L�2� L�2 �� LP2 �����������

F� ���� ����� �� �� � ������ �� '!�1;(� '!�10(� '!�,;( �� '!�,0(� � ���

�� �� ��� ������� � � �� � ��� ����� �� �� ���� � �� ��� ���� � �

�� ������� � �� � �� � ��������� � �� ��� � �� ����� )����� !�! ����� ��

��� ���� ������ �� � � �� ��������

)����� !�!N E �� �� � "������� � �������

,,

+ � � � � �

# � � � � �

� � � � �

� � � �

� � �

" - ,

" - ,

� �

� �

� �

� �

� � � �

� �

� � �

� �

� �

� �

� � � � �

Page 85: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

7 �� ��� � ���������� � � �� ����� ���� �� ������� ���� � �� ���� ����� � ���

��� �� ���� � �� � �� � ���������� ��� ���������� ����� ���� �� ��� � � ����

� �� �� ��� ����� � �� � ��������� � � �� � ��������� '#��� � �� C�����

'*0<!((� ����� �� ����� � � �� �� ����� �� � �� ���� � �� L�2� L�2� LP2 �� L:2

���������� � F������ !�<�* �� !�<�$ � � �� ����� ����A ���� ���� ����� ���

����� ������� � �� ��� � ���������� ����� �� �������� �� �� ����� � �� ������

������� �� ������ �����

��� ������ � '!�1;(� ���� �� �� L�2 ���������� � � � ����� �� ����� ��� ���

�� ����� �� ������� ��� � ������� ��� ��� �� �� ���� ��� ��� ������

��� ���������� � ����� � �� � � ����� �� �� L�2 ��������� � � ��� ���� ��

���������� ���� � � �� ���� �� ���������

& .

&

'! ;3(

����� ������ �� �� ������ � �������� � ������ � ' (� ��� ����

�� ���� ��������� �� ����� ��

& M' ( . J

. ' ( J . ' ' (( ' ' ((

. & 3 '!�;*(

�����

M' ( & ' . ( &*

$.

*

$

,;

! �

� � � ��

�� � �� �� �� + � ��

# � �� � � � � �� ��

�� �� �

� �

� � � � � �

� � �

� �

��$�� '� ���� �! � ! *��������� �� �����

�������

�� � � � �� � � � � � � � �

� �

��

� �

� �� �

�� �

� �

� � �

� �

��

�� �

� �

�� �

� �

��������� �� ��� �� ���������

� �

Page 86: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��� � �� � ��������� ��

*.

*

$.

*.

*

$& 3

�� M

*.

*

$. & 3 �� J �� ' (

*.

*

$. & 3 �� J �� ' (

& 3 �� J �� ' (

*.

*

$. & 3 �� �� & * $

& 3 �� �� & * $

*.

*

$. & 3 �� �� & * $

�� ��� � ����� � � �� ���������� � ������� ��� � � ��� ����� �� ���� �

� �� �� ��� ��� +���� �� ��������� �� ����� �� � �� �

� J & J �� & ��� '!�;*( �������

M' ( . J . & 3

'! ;$(

�� ����� �� ������ � ������� �� �� � �� ��� �����

E ����� ���� L�2 ��������� � � �� ��������� � � ��� ������� ��� � � ��

�� ���������

&

&

'! ;!(

�� ���� ����� & ' (� �� ��������� ��� ��� ��� '!�10(� ��� ���

������ ������ � ������� �� �� �� �� � �� ��� � ��������� �� ����� ��

,0

��

� + � � � � �

� � � � � �

# � � � � �

� � � � � �

� � � � �

� � � � �

� �

� �� �� �� + � �� �� ��

� �

�� �� �

� � � �

� �

� �

� �

� �

� � �

� � �� � � � �

� �� �

� � � ������

� ������

�� � � � � � � � �

�������

� �

� �

� � �

� �

� �� �

� � � � � �

� � �

� � �

� �

� �

� �

� �

� �

�� �

�� �

� � �

� �

Page 87: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

'M' ( . ( . ' . ( J

. J ' ' (( ' ' ((

& 3 '!�; (

�����

M' ( & ' ( &*

$

*

$' (

��� � �� � ��������� ��

. .*

$& �� M

. & 3 �� J �� ' (

*

$. & 3 �� J �� ' (

*

$. & 3 �� J �� ' (

& 3 �� �� & * $

. & �� �� & * $

. & �� �� & * $

& 3 �� J J �� & * $

& 3 �� J J �� & * $

& 3 �� J J �� & * $

& 3 �� J J �� & * $

����� J �� �� ����� �� � �� J �� �� ����� �� � ��� �� �� �����

��������� �� ��� �

��� � �� � �������� �� M �� �������� ��� � �� ��� ��� � ������� ���

� ������� > �� �� ����� �� ��� ��� ��� ����� ��� ��� ���� ��� ���

;3

� " � �� �� �� + � ��

# � �� �� ��

� � �� �� �

" " �

� ��

+ � � � � �

� � � � � �

# � � � � � �

� � � �

� � � �

� � � � �

� � � �

� � �

# � � � �

# � � �

� �

.

� � � � � �

� � � �

� �

� �

� � � �

� � � �

� �

� �

� � �

� � � �

� � �

� � � �

�� � � � �� � � � � � � � �

� �

� �

��

��

�� �

�� �

�� �

� �

� �

� �

� �

� �

� � �

� � � �

� � �

� � � �

� � �

� �

� �

� �

��

� �

�� �

� �

� �

� �

� �

�� �

� �

� �

� �

� �

� � �

� � �

� �

� � �� �

��

� � � �

� � �

� � �

� � �

Page 88: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�������� � � �� ������� � ����������� � �� ������� ��� � ������� ��

�� ����� �� ��������� ����� ������ � �� ��� �� ���� ��� � & �

� J & J �� & � '!�; ( ������� � � �� ��� � ��������� ���������

������ � � ����� � �����

'M' ( . ( . J

& 3 '!�;<(

��� � �� ��� � ���������� '!�;$( �� '!�;<( � � �� ��������� � �������� ��

G� ��� ��� ��� � �� � � �� ����� ��� � ����� �� �� ��� �� �� ��

� �� ���� �� ��� ��������� �� �� � �� � ���������� �� �� ��� ��� � �� ����

���������� ��� ����� �� ��������� ��� ������ ���������� �� � �� � �� �

����� �� ��������� � '!�;$( �� ����� �� � �� ���� � ������ � � �� J

�� ����� � ������ � � �� �� & ����� � �� '!�;<( ��������� ��

�� �� ������� � ������ � � �� J �� �������� � ������ � � �� ��

& �

@�� �������� �� ���� �� � �� ��� � ���������� > � ��� �� �� � ���

����� ��� � �� LP2 �� L:2 ������ �� �� �� ����������� �� ����� � �� ����

������ � ' ( . ��������� ������� ��� � � �� ��

������ � ' (.���������������� ��� �

�������

.������������� ��� ���

��������

����� �� �� �������� � ���� �� L�2 �� L�2 � �� ��� � ���������� � ��

����� ���� � ������ �� ���� ��� � �� ���� ����� �� �� ������������� � � �

;*

� �

� �

� " � �� �� �� # � ��

� � �� ��

� � � � �

� � � �

- ,

� �

� ! �

� � � �

� �

�� � � � �� � � �

� �

� �

��

�� �

� �

� �

� �

� �

� �

��������� �� ��� �� ���������

� � �

� �

� �

Page 89: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

����� ����� �� LP2 �� L:2 ���������� �� �� ������ �� � ��� �� ������� �

������ �� ��� � �� ���� C������� �� �������� ������� � � �� ��������

#������� �� LP2 ������ � '!�,;(� "� J & J �� & � �� ����� ��

�� � �� ���� � � ��� ������� ��� � ������� ����� �� ��� � '!�;3(� ����

�� � �� ��� � ��������� �������

' ' . ( ( . J

. & 3 '!�;1(

����� �� � �� ���� �� �� � ��� � �� � ��������� �� ����� ��

&

' ( . & 3

�� M

& 3 �� J �� ' (

& 3 �� �� & * $

��� ��� �� ��������� � � �� ������� �

&

. & 3

�� M

����� �� �� ���� ��� ��� �������� �� �� ������� ��� � � �� ��� ����

�� �� L:2 ������ � '!�,0( �� J & J �� & �� ����� �� ��

� �� ���� � � ��� ������� ��� � � �� �� �������� '!�;!(� ���� �� � �� ��� �

��������� �������

' ' ( . ( . J

& 3 '!�;,(

;$

� �

� - � � �� �� �� + � ��

�� �� �

-

-

��

+ � � � � �

- � � �

��

� �

� , � � �� �� �� # � ��

� � �� �� �

� �

� � �

� �

� �

� �

� � � �

�� � � � �� � � �

�������

�������

�� � � � �� � � �

� ��

�� �

� �� �

� � �� �

� �

� ��

��

�� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� � �

� �

� � � �

� �

Page 90: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

����� �������� ������ � � �� � ��� � �� � ��������� �� ����� ��

&

. &

�� M

. & 3 �� J �� ' (

& �� �� & * $

& 3 �� J �� & * $

��� ��� �� ��� ���� ��

' ( &

. . &

�� M

�� ������ � ����� �� ������� ��� � �������� ����� ������ ��� �� � �� �

�������� �� �� � ������� �� ���� ��� ��� �������� �� �� 4 5�

��� ����� ���� LP2 �� L:2 ���������� '!�;1( �� '!�;,( �� �������� � �����

�� ����� �� � ������� ��� � ������� �� '!�;1( �� � �� � �������� �

'!�;,( �� �� ������� ��� � � �� ����� �� �� '!�;,( �� � �� � �������� �

'!�;1(� ��� ���� ��� ��� �������� �� � �� � �������� � ��� �����������

��� ���������� �� � � � ��������� ����� ��� � � �� ��� � ���������� �����

� �� � ��������� ������� �� ������������ �� ���� � �� ��� ���� � ������

G� ��� ���/ � ���� ���� ���������� � �� �� � � ����������

;!

��" ���� �!���!�� ������ ����� ����

,

, �

��

, � # � � � � �

� � � � �

# � � �

��

� � � � � � �

� �

� � �

� �

� �

� �

� �������

� �������

� �

� �

� �

� �

��

� �

� �

� � �

� �

� �

� �

� � � �

� �

Page 91: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�� #� ��� $ �� ��� ���� � ����� �� �������������� �� ���� � �� ���� ��

������� ��� �� ��� ���� �� ������������ ����� �� � /��� �� ��������

� �� � �� ��� � �� ���� > � �� ���� ������� ���� �� ������� > ��

���������� � ���� ��� ����� � �� �� ��� � �� ��� �� �� �� ������

� �� ���������� � ��� ������ �� ����� � ��� �� ������� �

' ( & - . -' ( '! ;;(

'��� ��� '$�<3((� ����� �� ���� � ������ - �� �� �� �� ������� � � �

��� � �� ��� � ���������� �� �������������� ����� � � �� ������� ���

�� � �� ��� � ���������� �� ������������ ����� � F����� !�< �� ����� �

� �� �� ��� �� ������� � �� ��� � �� ���� �� ���������� � ��� ��

� �� � �� ��� '!�;;(� G�� ������� ��� ������� ����� �� ������� ��

����� �� ��� ������ � ��� �� �� ���������� �� ������������ ��� � � ��

�� �� ���

#������� �� ��� ������ �� '!�1;(� '!�10(� '!�,;( �� '!�,0(� ��� ����� ��

������� ' (� ' (� ' ( �� ' ( �� & * $ ��� �� �� �� ���

� �� �� � �������� ��� ���� �� � �� �� ������ �� �� � �� � ���������

�� ������ ���� �� ���� � ������� ����� �� �������� �� �� � �� ��� ��

J � E� � �� ��� �� ��� ������ ���������� � ���� ��� �� ���� ��� ��

������ M' (� ��� ������ ���� �� ���� � ������� ����� �� ��������

�� �� J � ��� � �� ��� � ��� ��� �� /���� ��� '!�;;( �� ��� ��

����������� ��� �� ���� ��� �� -' ( & - . - ' (� ��� �������

�� �� �� ��� ����� �� ��������� �� �� ���� �� ��� �� �� �����

�� ���� ���� �� � �� ��� ��� �� ��� � �� & & M' (� ��� �������

;

�� �� � !� �� �

! ! �

+ �� �� � # �� �� � �� � � �� � � �

+

+

+ �� � #

# # �� �� � !� # �� �

�� �

��+�� ����!& �� ����� ���� , ���!& �� �����

� �

� �

� �

Page 92: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�� ���� ��� ����� �� ��������� �� �� � �� ��� '!�;;( �� /���

& -' ( & -

����� & � �������� �� ��� �� �������� �� � & -

�� �����������

)��� �������� �� L�2 ���������� ��� ������ � � ����� �� '!�1;(� �����

�� �� � � ��������� �������

& ' ( . - . M J

. - J M -

����� & ' (� �� ������� ��� �����

M' ( & - ' (*

$-' . (

�� �

-' ( & - ' (*

$- & - ' (

*

$-' . ( & M' (

E���� ��

M' ( & -' (*

$-' . (

�� �

' ( & -' (*

$- & -' (

*

$-' . ( & M' (

�� M & -� ����

& ' ( . M . M M J

. M M J M - '!�;0(

;<

� � �

! � � !��

� � � � � � � !�

� � �! �� �� + �� �

# �� � � ! �� ���

� � � �

# �� � # �� � ! � �

# �� �� � �� # �� � � !� � # �� � ! � � �# �� �

�� � �� � ! � �

�� �� � �� �� � � !� � �� � ! � � � �� �

� � �! �� �� �+ �

� # � � ! �� ��

� � � � � �

� � �

� �

� �

� �

� �

� � � � � �� �� �� � � � �

� � � � �

� � � � �

� � � � �� � � �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� � � � � �

��

� �

� � �

��

� � �

� �

�� �

��

� �

� � �

� �

� �

� � �

� �

Page 93: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

@���� � �� �� � ��� �� '!�;0( �� ���� � �� �� � � � �� ���� �����

E���� �������� �� ������ � ���� �� ���� � ����?��� ��������� �����

� � �� �� ��� � � ����� )�� ���� �� �� ����� �� M �� ��� �� ���������� ��

�� L�2 ������ � �� ��� �� �� �� �� � � � �� ��� � ��������� �� ����� �

& ' ' ( . ' (( . J . ' ( J

'! 03(

����� & ' ( �� �� �� /���� ������ & - . � �� ����������

��� ������� ��� � ������� '$� $(�

+� �� � �� ������� �� �� � � ���� � '!�10(� '!�,;( �� '!�,0( � � ��

����� ��� �� ����� �� ����� �� ����� '!�03( � � ������� ��� '!�;0( ��

�� �� � � L�2� LP2 �� L:2 ������ �� � � �� �����

& ' ' ( . . (

. ' ( J J '!�0*(

& ' ' ( . (

. ' ( J J '!�0$(

& ' ' ( . . . (

. ' ( J J '!�0!(

����� & ' (� & ' ( �� & ' (�

��� � �� � ��������� � �� �� �� � � � �� ��� � ���������� & 3�

& 3� & 3 �� & 3 �� ������� � ������� �� �� ���� � �� ��� ����

� ����� '$� !( �� '$� ;( �� �������� '$�$<( �� '$�*0(� =�� ��� '$� $( ��

� ����� �� ��� ����� �� ������ �� ��� ���� � /���� ������ & - . �

����� - �� ����� ���� ��

;1

� �! �� �� + � # � �

� � � � ! ! ! �

� " � � !� �� ��

+ � # � �

� - �! �� ��

+ � # � �

� , � � !� �� ��

+ � # � �

� � � �� � � � � � � �� �

��

�� �� ��

! ! ! �

!

� �

� �

� �

� �

� � � �

� �� �

� �� �

� �� �

�� �

� �

� �

� �

� �

� � � � � �

� � �

� � � � �

� �

� �

� � � �

� �

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

Page 94: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��� � �� � ��������� � & 3� �� L�2 ���������� ��

. &

&

& 3

��

& 3 �� J

& 3 �� J

�� ��� ��� ��� �����

*

$. & ��

��� � �� � ��������� � & 3� �� L�2 ���������� ��

&

. & 3

& 3

��

& 3 �� J

& 3 �� J

�� ��� �� ��� ���� �����

&

. & 3

��

��� � �� � ��������� � & 3� �� LP2 ���������� ��

&

& 3

��

& 3 �� J

& 3 �� J

;,

��

��

+ �

# �

! �

��

"

" !

��

+ �

# �

� !

��

-

��

+ �

# �

� �

� �

�����������������

� �

�����������������

�������

�������

� �

� �

� �

�� � � �

� �

� �

� �

Page 95: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�� ��� ��� ��� �����

& ��

����� �� ������ � �� ����� '$�$<( �� '$�*0(�

��� � �� � ��������� � & 3� �� L:2 ���������� ��

. &

. & 3

&

& 3

��

& 3 �� J

& 3 �� J

�� ��� �� ��� ���� �����

. &

. & 3

��

���� �� � �� � ��������� � �� � �� ��� � ���������� �� �� �� � � ���

���� ������� ��� �� ���������� �� ���� �� ������ ������� �� �� �� � �

��� ���� �� �� ���� � �� > '$� !( �� '$� ;(� �� ����� � �� ��� ���� ��

��������� �� �� ���� � '$� !( �� '$� ;( � �� ������ �� � ����� �� �� L�2

��������� � & ' (� �� �� L�2 ��������� � & �� �� �� LP2

��������� � & . �� & �

������� ��� �� � �� L�2 �� L�2 ������ �� '!�03( �� '!�0*( � � �� �������

��� �� L��������2 �� LC �����2 ��� ��� �� ������ �� �� ������� �����

���� � � ������� �� �� ���� � �� ������� ��� �� ��� ����������� �� ��

��� �� �������� � �� �� � � ��������� � � �� � �� ���� ��� �����

;;

��

!

��

,

, !

��

+ �

# �

� !

� !

! � �

� �

���������������������������

�������

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� � �

� �

� � �

� � � �

Page 96: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�� �������� �� �� ������ � ������� � ����� �� ���� � �� ��� ��� ��

������ �� �� ���� �� ��� �� �� � �� � � � ����� �� ���� ���� ����

� �� ������ �� �� ���� �� ��� �� �� ���� � �� �� F����� !�<�

��� � �� ��� � ���������� �� �� �� ����� � � �� ����� ���� �� �� � �� � �

� �� ���� �� ���� �� ����� ���� �� F����� !�<� ��� � �� ��� � ����������

�� ������������ ����� � �� ���� � �� � ��������� ����� � � �� ���� �

����� ��� > ������ �� �� � ��� > ������� ��� � � ��� ������� ��� � ������

�� �� �� ���� ��� ��� ��������� )�� �� � �� ��� � ���������� �� �� ��

��� ���� �� I�� �� > ������� ��� � � �� �� �� ���� ��� ��� ��������

> ����� ������� ��� � ������� �� � ����� ����������

#������� �� ����� ��� � �� ������ �� '!�03(K'!�0!(� �� F����� !�< ���� ���

� � �� ��� �� �� ������� � �� ����� ��� � �� L�2 �� L�2 ������ �� > ���

���� ��������� � ������ � ' ( �� ' ( ���� ������� � ������� ���

� � �� �� ���� ��� ��� ��������� )�� �� �� ���� �� L�2 �� LP2 ������ ��

������ ����� � �������� � ��� �� ����� ��� � � �� ��������� � �������

� �� ���� ������� � ������� ��� � � �� �� �� ���� ��� ��� ������

���� ����� �� /���� ������� ���� �� L�2 ��������� ���� �� ����� ���� ��

���� ��� ��� �� �� LP2 ��������� �� ������� ��� � � ���

"� J & J� ���� �� L�2 ��������� ����� ���� �� ���� ��� ��� �� ����

��� � � ���� �� �� ����� ��

' ( . J & 3 '! 0 (

;0

� � � !

!

� �! �� �� + � �

��+�� '� ���� �! � ! *��������� �� �����

�� � � �

��

��������� �� ��� �� ���������

� �

� �

Page 97: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��� �� � �� � ���������

* *

$& 3 ��

* *

$& 3 �� J

�� ��� � ����� �� ������� ��� � � �� �� �

"� J & J �� & �� J� ���� �� ����� ���� LP2 ��������� ��

������ � � ���� �� �� ����� ��

' ( & 3 '! 0<(

����� �� ����� ���� �� & 3 �� �� �� & �� J� ��� � �� ��� �

��������� '!�0<( � � � �� ���� � �� � �������� �� ���� ��� ��� ���������

���� �� L�2 �� LP2 �� �� ���������� ����� � �� � �� ��� ������� � �� L�2

�� L�2 ���������� �� ���� �� ��� '!�;$( �� '!�;<( > ��� �� ��� ������ ��

� ��� � �� ��� �� �� �������� � �� �� ����� ������ � ������

��� � ����� � ��� ������� ������ �� L�2 �� L�2 ���������� '!�;$( �� '!�;<(

�� ���� �� ��� � � �� �������� �� � ������ � ���������� �� �� �� ����

��� L�2 �� L�2 ������ �� '!�03( �� '!�0*( � ��� �� ����� ���� �� � ���

� �� ������ �� I�� ��� ������ �� � �� �������� � ����� ��� �� � �� �

���������� ��� ��� ������� � �� L�2 �� L�2 ���������� �� ���� �� ����� ��

����� � �� ����� ��� ����� ����������� �� �� ���

������ � ' ( �� ' ( . ��������� ������� ��� � �

�� ���� �� � �� ���� �� ����� ���� � � ��� �� ����� � ������� ��� � � ���

�� �� � �� � �� L�2 ���������� ���� ��� ���� �� ������� � ' ( �� ' (

� � � �� �� ����� �� ���� � ��� � �� ���� �� �� �� �� ����� ������ �

03

! ��

! + �

+

� - �! �� �� �

� +

� � � !

� � � !

� �

� � � �� �

�� � �

� � � �

� � �

� �

� � � �

� �

� �

Page 98: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

'!�03( �� �������� ������ �� ���� ��������� � ������ � �� ���

����� �� /���� ������ �� �� ������ � �� ��� � �� �������� �� �� �

������ � ����� ��� ��� ����� �� ��� ������ � ��� � �� ��� �� � ��

����� ���� L�2 �� LP2 ���������� �� �� �� ����� ������ �� � �� ��� �������

� �� ����� ���� L�2 �� L�2 ���������� �� ���� �� ����� �� ���� � �����

�������� � �� ��������� �� I�� ��� � �� ����

)�� �� � �� � ���� � ����������� ���� � ����� �� ������ �� ���� ��

�� ����� ���� L�2 �� LP2 ���������� '!�0 ( �� '!�0<( �� �� ����� � + �� �2�

������� '+ �� � '*0$0((� ����� �� � � ��� ���� � �����

��� ������ ������� �� �� �� � ��� �� ����� � ������ � ���

� �� ��� �� ��������� �� ���� ��� ��� �������� �� ������� ��� � � �� � ��

� ������ ��� ������ ��� ������� �� �� � �� ���� �� � ��� �� ������� �

������ � ��� � �� ���� C������ �� L�2 �� L:2 ���������� �� �� �� �����

� � �� ����� ���� � ���� �������� � �����������

"� J & J� ���� ����� ����� �� L:2 ��������� � � ��� �� ���� ��� ���

�������� �����

' ' ( . ( . J & 3 '! 01(

����� ������� �� �� � ��� � �� ��� � ��������� '!�01( � � � �� � ���������

. & 3

& 3

��

& 3 �� J

0*

!

!

-

� !

" �

,

� , � � !� �� �� + �

, !

,

��

, + �

�� � � �

� �������

��

��������� �� ��� �� ���������

Page 99: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�� ������ � ����� �� ������� ��� � � �� �� �� ���

' ( & 3

"� J & J �� & �� J� ���� ����� ����� �� L�2 ��������� � � ���

������� ��� � � �� �����

' ' ( . ( & 3 '! 0,(

����� & 3� ����� � � � � �� � ���������

. & 3

�� �� ���� ��� ��� �������� �� �

��� L�2 �� L:2 ���������� �� �������� � ����� �� ����� �� � ��� ���������

�� � �� � �������� � �� ����� B���/� �� ����� ���� L�2 �� LP2 ����������

������ �� L�2 �� L:2 ���������� �� ������ �� � �� � �� ���� ����� �����

������ � �� � �������� �� � ���

�� �� � �� � � � � �� ��� � ���������� �� ������������ �� ���� � ��

���� ���� ������� ��� ���������� �� ��� ��� �� ���� �� F����� !�$� �� � /���

�� �� ���� � �� ������� ���� �� �� �� ������������� � ������� ��� � �

�� ������ � '!�1;(� '!�10(� '!�,;(� '!�,0( �� '!�03(K'!�0!( � ���� ������ ��

����� ������������� � �� ��� � ���������� � �� � ���� � �� � ��������� ��

��� ���� � ���� �� �� �� �� �� �� ������������� � ������

0$

��# $���� %� !������� ������ �����

����

+

� " � � !� �� �� �

" !

�� � �

� �

� �

Page 100: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��� ��� �� � �� ������� �� �� �� ����

& ' ( N 4 5A' (

$

' (

$

� �� F����� $�!�

#������� �� ������ �� '!�1;(� '!�10(� '!�,;( �� '!�,0( �� ������������ �� ��

��� � �� ����� #������������ ������ �� �� �� �� ������������� � ���� � �

�� ������� ��� ���� �� ������� � �� � �� ��� � �� ���� �� ����������

� � � ��� �� ��������� & ' (� & ' (� & ' (� & ' (

�� & ' ( �� ���� ������������ � ������� ��� ����� �� ���� ���� ��

���� ��� �� ���� ������������� � ��������� � ��� ���� ���� �� ' (

�� '!�10( �� '!�,0( �� �� �� '!�1;( �� '!�,;(� �� ����� �� ��� ������

� � � �� �� �� ���

��� ����� �� ������� ��� ��� �� ���������� � �� ������� �� �� ��

������������ � ������ �� & ' ( �� & ' ( �� ������ �� J

�� J ������������ ����� J & J . J �� �� ����� �� � � �� �� � �� �

��������� � �� ������������� � �� ��� � ���������� �� ������ �� ��������

� �� ���� � �������� � � �� ��� �� J � ��� ��� �� ?��� �� �� ������

� J ����� ���� �� �� �� ���� ����� ����� ����� ���� �� �� ���� �������� ��

����� �� ��������� �� ���� ��������� �� ����� J ������� �� � �� � ��

����� �� ����� ����� ���� �� �� ���� �� � �� /� J & J� ��� ����� ��

������ ��� �� � �� ��� ' ( & ' ( ����� ' ( & ' (

���� �� ' ( & 3 ����������

)�� �� ����� �� ���� �� �� �� �� �� �� ������ �� '!�1;(� '!�10(�

0!

� �� � � � � � �/ �

�/ �

� ! ! �� � � � �� � � � �� � � � �� �

�� �

/�

+ + �� �� � # # �� �� �

+

+

+ + � � � + � + � � � + �

+ �� �

� �

� � �

��-�� "����!��� !� � ����

� � ��� �

� �

� � �

� � � �

� �

Page 101: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

'!�,;( �� '!�,0( �� ����� �� ������� �� & ' ( �� & ' (

�� & * $ ������ �� �� � �� � ��������� � �� � �� ��� � ����������� �����

����� �� ��������� �� �� ����������� �� � "� & �� � ��

�� ������������� � � �� ���� �� ����� �� ������ �� � ����� �� & ' (

�� �� & * $� ������

6 /��� �� ���� ���������� ��� '!�1;(� '!�10(� '!�,;( �� '!�,0( �� ����

�� ��� ��� ������ � ������ �� ������������� � ������ �� ' (�

' (� ' ( �� ' ( ����� ��

& ' ' ( ' . ( . ' ((

. ' ( ' ( . '!�0;(

& ' ( . . .*' (

. ' ' (( ' ' ((

' ' (( ' ' (( '!�00(

& ' ' ( ' . ((

. ' ( ' ( . '!�*33(

& ' ( . . . .*' (

. ' ' (( ' ' ((

' ' (( ' ' (( '!�*3*(

��� ������� ' (� ' (� ' ( �� ' ( �� �� ������������� �

������� �� � ' (� ' (� ' ( �� ' ( '������ �� '!�$,(� '!�$0(�

'!�,<( �� '!�,$((� � �����

' ( &*

$

*

$'!�*3$(

0

�� � � � �� �

� �

� � � � �

� �

� � �

� 0 !��� �� ��

0 �� �� 0 !��� �� 0 �� �� ��

0 ��! � ! � � � / �� ��

+ / + / �� / ���

0 " �� � �� �/

/� / �� ��

/ + � / + � ��

� � / ���

0 - ��! � � ! � / �� ��

+ / + / �� / ���

0 , �� � �� �� �/

/� / �� ��

/ + � / + � ��

� � / ��

�� ! " �� � - ��! , �� �

� ! " � � - �! , � �

�� !

! � �

� � �

� � � � � �

� � � � �

� � � � � �

� � �

� � � � � �

� � � � �

� � � � � �

� �� � � � � � � � ��� � � � � �� � � � � � � � ��� � � �

� �

� � � �

� �

�� �

�� � � �

�� �

�� �

�� � � �

�� �

�� �

�� � � �

�� �

�� �

�� � � �

�� �

� �

� � �

� �

� �

� �

� �

��

�� �

� �

�� �

� �

� � � �

� �

� �

� �

� �

Page 102: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

' ( &*

$

*

$'!�*3!(

' ( &*

$.

*

$'!�*3 (

�� ' ( �� ������ �� ������ ��� �� ���

&*

$. & & .

*

$'! *3<(

��� � �� � ��������� � & 3� & 3� & 3 �� & 3 � � ��

������� ��� �� ����� � ����� � '!�!$(K'!�! ( �� �� � �������

)�� �� L�2 ��������� & 3�

. & 3

& 3

. ' ( & 3

. & 3

& 3

�� ' ( �� ' (

& 3 �� ' (

& 3 �� ' (

& 3 �� ' ( �� & * $

)�� �� L�2 ��������� & 3�

. & 3

& 3

. ' ( & 3

�� ' ( �� ' (

& 3 �� ' (

& 3 �� ' (

& 3 �� ' ( �� & * $

0<

" �� ��

� � �

, �� � � � �

- ��! � �

- � �� � � �� � ! � �

�0 �0 �0 �0

�0

- �

� /�

! �

� � � � � � � �

+ � � � � � �

+ � � � � � �

� � � � � �

�0

" �

"

� /�

� � � � � � � �

+ � � � � � �

+ � � � � � �

� � � � � �

� � �

� � �

� �

� �

� � �

� � �

� �

�������������������������������������

�����������������

� � �

� �

� �

� �

� � � �

� �

� � �

� �

� �

� �

� � � �

��

� �

� � �

� � � �

�� �

� �

� �

� �

� �

� �

Page 103: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

)�� �� LP2 ��������� & 3�

& 3

& 3

. & 3

. ' ( & 3

�� ' ( �� ' (

& 3 �� ' (

& 3 �� ' (

& 3 �� ' ( �� & * $

)�� �� L:2 ��������� & 3�

. & 3

. & 3

& 3

. ' ( & 3

�� ' ( �� ' (

& 3 �� ' (

& 3 �� ' (

& 3 �� ' ( �� & * $

���� � �� �� � � �� � ��������� �������� �� ��� ���� � ����� �� ����

�������� �� �� ������������� � �� ���� � �� ���� ��� ������� ��� � � ��

��� ��� '$�!!( �� ������� �� � �� ��� ��� ������� ��� � ������� ��� ����

�� �� ����� �� ���� �� ������� �� �� � �� � ��������� � �� L�2 �� LP2

���������� �� �� �� L�2 ��������� �� ��� ���� & �� & . ��

������ �� �� �� L:2 ��������� �� ��� ��� & . �� ��������� ���

01

�0

-

- �

! �

� /�

� � � � � � � �

+ � � � � � �

+ � � � � � �

� � � � � �

�0

, �

, �

� /�

� � � � � � � �

+ � � � � � �

+ � � � � � �

� � � � � �

� �� ! � �

! � �

� � �

� � �

� �

� �

� � �

� � �

� �

���������������������������

���������������������������

� �

� � �

� �

� �

� �

� � � �

� � �

� �

� �

� �

� � � �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

Page 104: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

����� �� ��������� �� � �� � �� �� �� � ��� � ��� �� �� � �� ��� ����

�� ����� �� ' (� �� �� �� ���� �� ' ( & �

��� � �� ��� � ���������� �� ���� �� �� �� ������������� � ���� � � �� ����

�� ���� �� �� � �� � �� � �� ������������� � �� ��� � ���������� �� ���

��������� � ����� �� � ����� �� ����� ���� L�2 �� L�2 ���������� ����� �� ���

������ � � ��� ����� �� ����� ���� LP2 �� L:2 ���������� ����� �� �������� �

� ��� ����� � � �� ��������

��� L�2 ��������� ������������� � �� ������ � '!�0;( � � �� ������� �

��������� ����� ������� �� I�� ��� � �� ��� �� ����� ����� �� � �� ���� �

� ��� �� ������� ��� � ������� ��� ���� �� �� ����� �� ���� �� ��

������������� � ������� � �� ���� ��� ��� ��������� � ��� �� ���������

& .

&

'! *31(

��� ����� ���� L�2 ��������� �� ����� ��

& M' ( . ' ( ' (

. & 3 '!�*3,(

����� & ' ( ��

M' ( &*

$.

*

$

0,

� � � � � � � � � � �

! �

�0 � / �� �� + / + / ��

/ �� �

0 0

� � �

� � �

��-�� '� ���� �! � ! *��������� �� �����

�������

�� � � � � � �

� �

� �

��

�� � � �

�� �

� �

� �

� � � �

� �

� �

��

� �

��������� �� ��� �� ���������

�� �

Page 105: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��� � �� � ��������� � & 3 ��

*.

*

$.

* *.

*

$& 3

�� ' ( �� ' (

.*

.*

$& 3 �� ' (

.*

.*

$& 3 �� ' (

.*

.*

$& 3 �� ' ( �� & * $

����� ���������� � ������� ��� � � �� �� �� ��� �� �� ����� �� ���������

�� �

��� L�2 ���������� ������������� � �� ������ � '!�00(� � � �� ����� ����

� � ��� ������� ��� � � �� �� ���������

&

&

'! *3;(

�� ���� ������ ' (� ��� ����� ���� L�2 ��������� ������� �� �� ��

�� ����� ��

& M' ( .

. . .

& 3 '!�*30(

�����

M' ( &*

$

��� � �� � ��������� � '!�*30( �� ����� ��

Q .*

$Q . & 3 �� ' ( �� ' (

0;

�0

/ � /

� � � � � � � �

+

� � � � � �

+

� � � � � �

� � � � � � �

1 �� � 1

�0 � " 1 1

/� / �� ��

/ +1

// +

1

/��

1

/

1

/ / �� �

" 11

1 / 1

/

1

/ � � � � � � � � �

� � � �

� �

� �

� � � �

� � �

� � �� � � � �

� � � ������� � � ������� ������

�������

�� � � �

� �� � �������� � �������

� �� � �������� � �������

� �

� �

� �

� �

� � �

� �

� � � �

� � � �

� � �

� �

��

��

��

��

� �

� �

� �

�� �

�� �

� �

� �

�� �

� �

� �

Page 106: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

. & 3 �� ' (

. & 3 �� ' (

*

$Q . & 3 �� ' (

*

$Q . & 3 �� ' (

& 3 �� ' ( �� & * $

' . Q( & 3 �� ' ( �� & * $

����� Q & � ��� ��� � ���� ��������� �� �� ������� ��� � �������

��� ��� �� �� ��� ��� ��� ��� ��� & �� �� ������� �� �� ������ ���

������ � ��� � �� �� �� ������������� � ����

��� � �� ��� � ���������� '!�*3,( �� '!�*30( �� �������� � �� � �� � �� �

�������� �� � '!�*3,( �� �� ����� �� � '!�*30( �� �� � �� � �������� ��

� '!�*30( �� �� ����� �� � '!�*3,(�

��� LP2 ��������� ����� ���� � � ��� ������� ��� � ������� �� ���������

'! *31( ��

& ' ' . ( (

. ' ( ' ( . &3 '!�**3(

����� � � �� � �� � ���������

& 3

' ( . ' ( & 3

�� ' ( �� ' (

& 3 �� ' (

00

+1

/� � � � �

+1

/� � � � �

1

/ � � � � � �

1

/ � � � � � �

1

/� � � � � �

� � � � � �

�0 � - �� � � / �� ��

+ / + / �� / �� �

-

- /�

� � � � � � � �

+ � � � � � �

� � � �

� � � �

� �

� � � � � �

��

� � �

����������� ������� �����������

�� �� � � � �

�������

��

��

��

��

��

� �

� � � �

��

�� �

�� � � �

�� �

� �

� �� � � �

� �

� �

� �

� �

�� �

�� �

� �

��

� �

� �

�� �

��������� �� ��� �� ���������

� �

Page 107: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

& 3 �� ' (

& 3 �� ' ( �� & * $

�� ������ � ����� �� �� ��� ��� � ������� ��� � � ���

��� L:2 ��������� ����� ���� � � ��� ������� ��� � � �� �� ���������

'!�*3;( ��

& ' ( .

. . .

& 3 '!�***(

����� � � �� � �� � ���������

& 3

. & 3

�� ' ( �� ' (

. & 3 �� ' (

. & 3 �� ' (

. & 3 �� ' (

. & 3 �� ' (

& 3 �� ' ( �� & * $

' ( & 3 �� ' ( �� & * $

�� ������ � ����� �� �� ��� ��� � ������� ��� � ��������

���� �� ����� �� �� '!�**3( �� ��� � �� � �� � ��������� � '!�***( ��

�� ����� �� �� '!�***( �� ��� � �� � �� � ��������� � '!�**3(� � ��� ����

����� ���� LP2 �� L:2 ���������� �� �������� � �� �� ����� ������ � ������

*33

+ � � � � � �

- � � � � � �

�0 � , ��1

/

1

/�

1

/� / �� ��

/ +1

// +

1

/��

1

/

1

/ / �� �

,

, � �

� � � � � � � �

+1

/� � � � �

+1

/� � � � �

, � � � � � �

, � � � � � �

1

/� � � � � �

� � � � � � �

� � �

� �

� �

� � � �

� �

� � �

� � �

� �

�� � �

� �� � �������� � �������

� �� � �������� � �������

� �

� �������

����������� ���� ��������

� �

� � �� � � �

��

� � �

��

��

��

� �

��

��

��

��

��

� �

� � � �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

��

�� �

�� �

Page 108: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

)������ �� �� �������������� �� �� ������������� � ���� � � �� ������� ���

��� ��� �� ������ �� �� ������������ ������������� � ���� '!�0;(K'!�*3*(

�� ��� �� ������ �� �� �� �� ������������ � ���� '!�03(K'!�0!(� �� ���

� ��� �� ��������� �� � ����� � �� ������ � ��� � �� ���� �� ������� �

���� �� �� �� ������������ ������������� � � �� � ������ �� ����������

� �� �� � � � � ���� �� �� ������������ � � ��� ��� ����� �� ���

������ � �� '!�0;(K'!�*3*( �� ��� ������ � �� '!�03(K'!�0!( � � ��� ��

�� �� ���

��� ������ �� �� �������������� �� �� ������������� � �� ���� � ��

����� ������� �� ����� � ���� � ��� � � �� ����� �

& ' ' ( . ' (( . ' ' ( ' (( '!�**$(

& ' ' ( . ( . ' ' ( ' (( '!�**!(

& ' ' ( ( . ' ' ( ' (( '!�** (

& ' ' (. ' (. ( . ' ' ( ' (( '!�**<(

����� & ' (� & ' (� & ' ( �� &

' (�

��� ����� �� ������ & ' ( �� ��� ������ � � �� �� � ����

' ( & &

' ( & &

�� ' ( & 3 ��������

�� ���������� ��� ������� ��� � � ��� ����� & ' ( �� & ' (�

��� ������ �� �� /���� ������ & - . � ����� - �� ����� ���� ��

*3*

� �

� �

2 ��! � � / �� +/ � � �

2 " �� � !� � / �� +/ � � �

2 - ��! � / �� +/ � � �

2 , �� � � � !� / �� +/ � � �

2 2 ���� 2 2 ���� 2 2 �� 2

2 �� ����

+ + �� �� �

+ �� �� � + � � �

+ �� �� � � � �

+ �� �� � �

/ / � / / �

! ! ! � !

� �

� �

� �

� � �

��-�� "����� !��� !� � ����

����

�� � �

�� � �

�� � �

�� � �

!�

� �

� � � �

� � � � � � �

Page 109: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�� ����� � � ��� ������� ��� � ��������

��� � �� � ��������� � & 3� & 3� & 3 �� & 3 � � ��

������� ��� �� ����� � ����� � '!�!1( �� '!�!,( �� �� � �������

)�� �� L�2 ��������� & 3�

. & 3

& 3

' ( & 3

�� ' (

' ( & 3

' ( & 3

)�� �� L�2 ��������� & 3�

& 3

. & 3

' ( & 3

�� ' (

' ( & 3

' ( & 3

)�� �� LP2 ��������� & 3�

& 3

' ( & 3

�� ' (

' ( & 3

' ( & 3

*3$

�2 �2 �2 �2

�2

/�

� � � �

+ � � �

+/ � � /

�2

"

" !

/�

� � � �

+ � � �

+/ � � /

�2

-

/�

� � � �

+ � � �

+/ � � /

�����������������

�����������������

�������

� �

� � �

� �

� � �

� �

� � �

� � � �

Page 110: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

)�� �� L:2 ��������� & 3�

. & 3

. & 3

& 3

' ( & 3

�� ' (

' ( & 3

' ( & 3

���� � �� �� � � �� � ��������� ��� ��� �� ������� ��� � � �� ��� ����

�� ����� & � ��������� �� ������� � �� ���� �� �� � ��� � �� L�2 �� L�2

����������� �� ��� �� ����� �� ��������� ' ( & �� ' ( & � �

��� �� ��� ���� � ������ � ��������� #������ ��� � ������� �� �������

��� ����� & - . �

��� � �� ��� � ���������� �� �� �� �� �� ������������� � ���� � � �� ����

�� ���� �� �� � �� � � � �� ������������ � ���������

��� L�2 ��������� � ��� �� �� ������ � '!�**$( � � �� ����� ���� � ������

�� ���� ��� � �� ��� �� ��������� & ��� �� ����� ��� ��� ����� ����

L�2 ��������� �� ����� ��

& ' ( . ' ' ( ' (( & 3 '! **1(

*3!

�2

, �

, !

/�

� � � �

+ � � �

+/ � � /

� � + � �

! ! �

�2 � �! / �� +/ � � �

��-�# '� ���� �! � ! *��������� �� �����

���������������������������

�� �

� �

� � �

� �!�

��

�� � �

���������� �� ��� �� ���������

Page 111: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

����� & ' (� ����� � � �� � �� � ���������

* *

$& 3 �� ' (

* *

$& 3

* *

$& 3

�� ��� � ����� �� �� ������� ��� � � �� ��� ����

��� LP2 ��������� � � �� ����� ���� � � ��� ������� ��� � � �� �� �����

����� & �� 4 5� ��� ����� ���� LP2 ��������� �� ����� ��

& ' ( & 3

����� & � ����� � � �� � �� � ��������� ����� ��� �� �� /����

��������

)�������� �� ����� ��� � �� ������������ � �������� � ����������� �� L�2 �����

����� � � �� ����� ���� � � ��� ������� ��� � � �� �� ��������� &

�� �� L:2 ��������� � � �� ����� ���� �� ��������� & ��� �� ����� ��

� �� ������ �� ��� ����� ���� ���������� �� ����� ��

& ' ' ( . ( & 3 '! **,(

����� & � ����� � � �� � �� � ��������

. & 3 �� ' (

������� � ������ � �� � ��

& ' ' ( . ( . ' ' ( ' (( & 3

*3

2 2

! / � � � �

+

! �

+/

! / �

�/ +/ � � �

�2 � - ��! / �� �

� � !

�2 � " �� � !� / �� �

" ! � � � �

! � �

�2 � , � � !� / �� +/ � � �

� �

� �

� �

� � � �� � � ������� � � ������

�� �

�� �

�� �

� �

� �

� � �

��

!�

!�

��

!�

� �

��

�� � �

� �

� �

� �

� �

���������� �� ��� �� ���������

Page 112: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

����� � � �� � �� � ���������

' ( & 3

. & 3

�� ' (

' ( & 3

' ( & 3

� ��� ������� ��� � � �� �� �� �������� � � ������ � �� ��

�� ��� �� �� ����� �� ��������� �� �� � �� ����

��� ���������� � �� ����� ���� � �� ��� � ���������� � �������� �� ���

��������� � ���� �� ������������ ������������� � ���� � � �� �������� �

�� �� �� ������������� � � �� ����� ���� �� ������ ��� ���� �� ��� ��� ���

'�� ������� ��� � � �� ��� ���( ����� � � �� ���� � ����� ���

��� � �� ��� � ���������� ���������� �� � �� ���� � ��� �� ��������� �� ����

� �� ���� ������ �� �������� �� � �� � ��������� ����� ����� ��� �� � ��

�� �� ���������� ������� �� � �� ���� � �� ���� ������ � �� �������� ����

�� ��� ������ � �� ��� � ���������� �� �������������� ������������ ���� ��

��� �� �� ���������� �� ��������

�� �� � �� ��� � ���������� � F������ !�1 �� !�, �� �� �� � � �� ����

� �� ���� �� ������� ��� � ������� ��� ��� �� � ����� ��������� ��

��������� & - . �� � ����� - �� ���� � �� �� �� ������ ������

�� ����� '$�!<( �� '$�*0(� ��������� �� ������ �� ��� ����� ���������� �� ����

��������� � �� ������������ �� )�� ������������ ���� ���� �� I��� �� ��

*3<

��& ��� ����� ����

/,

, !

� � � �

+/ /, �

+/ /, �

! �

! ! � � ! !

� �

� �

�������

� �

� � �

� � �

Page 113: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

� ��� � �� �������� �� ����������� �� ��� ������� �� ���� �� ����� ���

�� � �� ��� � ���������� �� ������������ �����

"� �� ��� �� �� � �� ���

& ' ( N 4 5A' (

$

' (

$

� ��� �� ����� ����� ���� �� ��� ��� �� �� ���� & �� �� � ��

�� ���� & �

#������� ������������ ��� �� ����� � � ������ & ���� �� &

����� ����� �� �� ���� �� ���� � � "� �� �� ����

��� �� ����?�� � �� � �� ���������� ���� ���� �� ���� � ��

4 5� ����� �� �������������� ���� & ���������� �� �� ���� ����

� �� ����������� �� & ���������� �� �� ���� ����� F�������� ����

� ���� �� �� ������ ��� �� ������ �� '!�**$(K'!�**<( �� '!�03(K'!�0!( ��

������� �� � �� ���� � �� ������������ ������ ������ �� ����� �������������

� �� ��� � ���������� � �� � � �� � ��������� �� ��� ���� � ������������

����� �� ��� �� �� �����������

"� J �� �� ���� �� ����� ����� �� ��� �� ������������� E����� � �

������� ��� �� �� ������� �� � ����� ������� �� ���� ����� ��

�� �� ���� ����� ���

��� ������ �� �� ������������ ���� �� �� ����������� ������� ���

'!�03(K'!�0!(� ��

*31

!

� �� � � � � � �/ �

�/ �

� �

� �

� ! ! !

! ! ! ! 3 !

� �

� � � ! !

! !

� � � �

� � �

��.�� "���!��� �� �� ����

� � ��� �

� � � � �

� � �

� � �

Page 114: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

& ' ' ( . ' ((

. ' ' ( . ' ((

. J . J '!�**;(

& ' ' ( . (

. ' ' ( . (

. J . J '!�**0(

& ' ' ( (

. ' ' ( (

. J . J '!�*$3(

& ' ' ( . ' ( . (

. ' ' ( . ' ( . (

. J . J '!�*$*(

����� & ' J (� & ' J (� & ' J ( �� &

' J (� ��� ������ � �� ����� �� J �� �� ������ �� '!�03(K

'!�0!( �� /�� � �� J� �� ����� ����� �� � � �� �� ����� �� ������

�� �� � ?��� �� �� � �� � �� ����� �� ����� ����� ���� �� �� ���A J ��

�� ���� ����� �� �� J �� �� ���� ����� ���

��� � �� � ��������� � & 3� & 3� & 3 �� & 3 � � ��

������� ��� �� ����� � ����� � '!�13(K'!�1,(�

��� � �� � ��������� � �� L�2 ��������� & 3 ��

. &

&

& 3

��

*3,

4 �! �� ��

� ! �� ��

+ � + � �

4 " � � ! � �� ��

" � � ! � �� ��

+ � + � �

4 - �! �� ��

- �! �� ��

+ � + � �

4 , � � ! � �� ��

, � � ! � �� ��

+ � + � �

4 4 � � � 4 4 �� � � 4 4 � � 4

4 �� � � �

� +

�4 �4 �4 �4

�4

� � �

� �

� �

� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �

�����������������

��

��

��

��

��

��

��

��

� � �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� � � � � � �

� � � �

� � �

� � �

� �

� �

� �

� �

� � �

� � �

� � � �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

Page 115: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

& 3 �� J J

. & 3

& 3

4 5 & 3

����� �� �� �/�� 4 5 & � . ������ �� ������� � ���� � J ��

�� ����� � ����� ��� ��� ��� � ���� ��������� �� �� � �� � �� ��

��������� � �� �� �� � ��� ��� � ��� �� �� �� �� J �� J � B����

�� & � �� � �������� �� � � ���� � �� � ��������� � � �� �������

4 . ' ( ' (5 & 3

4 5 & 3

4 5 & 3

����� �� �� �������� I��� ��������� '$�; (K'$�;1( �� ������������ �� ����

� �� �����

��� � �� � ��������� � �� L�2 ��������� & 3 ��

&

. & 3

& 3

��

& 3 �� J J

. . & 3

& 3

4 5 & 3

*3;

+ �

*

*)�

*

*)�

� �

�4

"

" !

� � �

+ �

" !� *

*��

*

*)�

� � �

� �� �

�����������������

� �� �

� �

� � � �

� �

� �

� � �

� �

� � �

� �

� �

� � � �

� �

� �

� � �

� �

� �

� � �

Page 116: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��� � �� � ��������� � �� LP2 ��������� & 3 ��

&

& 3

��

& 3 �� J J

. & 3

& 3

4 5 & 3

��� � �� � ��������� � �� L:2 ��������� & 3 ��

. &

. & 3

&

& 3

��

& 3 �� J J

. ' ( . . & 3

& 3

4 5 & 3

B���� �� ��� �������� ������ �� � �� � '!�, (� '!�,1( �� '!�,*(�

�� � � ���� � �� � ��������� � & 3� & 3 �� & 3 � � ��

���� � �� �� � �� � �� � � ���� � �� � ��������� � & 3� ����

�� � �� ��� � ���������� � ��� �� �� ������ �� '!�**;(K'!�*$*( � �� � ����

� �� � ��������� �� ��� ���� � �� ���� � �� ������ ��������� �� I���

��������� �� ������������

*30

�4

-

� � �

+ �

- *

*��

*

*)�

�4

,

, !

� � �

+ �

, !� *

*��

*

*)�

" - ,

�4 �4 �4

�4

� �

�������

� �� �

���������������������������

� �� �

� �

� �

� �

� �

� � �

� �

� � �

� �

� �

� �

� �

� �

� � � �

� �

� �

Page 117: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

"� �� �� ������� � �� ����������� �� ' (� ���� �� ������ �� ��

������������ ��� �� ��� ���������� ������� ��� '!�**$(K'!�**<(� ��

& ' ' ( . ' ((

. ' ' ( . ' ((

. ' ' ( ' (( '!�*$$(

& ' ' ( . (

. ' ' ( . (

. ' ' ( ' (( '!�*$!(

& ' ' ( (

. ' ' ( (

. ' ' ( ' (( '!�*$ (

& ' ' ( . ' ( . (

. ' ' ( . ' ( . (

. ' ' ( ' (( '!�*$<(

����� & ' (� & ' (� & ' ( �� &

' (�

��� � �� � ��������� � & 3� & 3� & 3 �� & 3 � � ��

������� ����� '!�< (K'!�<,( �� �� � �������

)�� �� L�2 ��������� & 3�

. & 3

& 3

' ( & 3

�� ' ( ' (

**3

� � � �

5 ��! � � / ��

��! � � / ��

+/ � � �

5 " �� � ! � � / ��

" �� � ! � � / ��

+/ � � �

5 - ��! � / ��

- ��! � / ��

+/ � � �

5 , �� � � � ! � / ��

, �� � � � ! � / ��

+/ � � �

5 5 ���� � � 5 5 ���� � � 5 5 �� � � 5

5 �� ���� � �

�5 �5 �5 �5

�5

/�

� � � � � � �

� �

� �

��.�� ��!��� �� �� ����

��

��

��

��

�����������������

� � �

��

��

� � �

��

��

� � �

��

��

� � �

��

��

� � �

� � �

� � � �

� � � � � � �

� � � �

Page 118: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

' ( & 3

' ( & 3

4 5 & 3

4' . ( 5 & 3

����� 4 5 & � �� . ������ �� ���� � �� �� �� ����A

�� ����� �� � ��� �� 4 ( �� �� ' 5�

)�� �� L�2 ��������� & 3�

& 3

. & 3

' ( & 3

�� ' ( ' (

' ( & 3

' ( & 3

4 5 & 3

4' . ( 5 & 3

)�� �� LP2 ��������� & 3�

& 3

' ( & 3

�� ' ( ' (

' ( & 3

' ( & 3

4 5 & 3

4 5 & 3

***

+ � � �

+/ � � / �

/� �

�� / �

� � �

! ! � � � ! � � �

�5

"

" !

/�

� � � � � � �

+ � � �

+/ � � / �

/� �

" !� /

�5

-

/�

� � � � � � �

+ � � �

+/ � � / �

/� �

/-

� � � �

�����������������

�������

� � �

� � � � � �

� � � � � �

� � � �

� � �

� � � �

� � �

� � �

Page 119: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

)�� �� L:2 ��������� & 3�

. & 3

. & 3

& 3

' ( & 3

�� ' ( ' (

' ( & 3

' ( & 3

4 5 & 3

4' . . ( 5 & 3

���� �� � �� � ��������� ������� �� ��� ���� � �� ���� � �� ����� ��

' ( �� ' ( �� ����� �� ��������� �� �� � �� ��� �� � ���

��� I��� �������� �� � �� � �� �� �� �������� � �� I��� �� �� � �� ���

'$�,,(� B���� ������������� � �������� � �� ��� ���� '!�, (� '!�,1( �� '!�,*(�

����� ��� � � � �� � �� ������ I��� �������� �� � �� � �� � � ��

���������� � �� �������� � �� I��� �� �� � ��� � �� ��� ������ ������ ��

'$�,$(� �� �������� �� ���� � ����������� � � �� �������� '$�,1(�

**$

�5

, �

, !

/�

� � � � � � �

+ � � �

+/ � � / �

/� �

, �� !� /

� � � � � � � �

" - ,

���������������������������

� � � �

� � �

� � � � � �

Page 120: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

������� �

����� ����� � �����

������ ������� ������ �����

����

��� ��������� ��� ����� � �� �� ��� ���� �� ������ ����� ��� �������

� ������ ����� ����� ���������� ��� � ������ ������ ���� ������ ��

���� ���� ���� ��� � ����� ��������� ��� ����� � ������� ���������

��� � ��� ��������� � ������ ����� ��� � ������

��� ������� � ��� �� ����� ���������� �� ��� �������� �� �� �

��� �� ��� � ��� �� ����� � ��� ��������� ��� ����� � �� �� ��� ���

��������� ������ � ��� ������ ����� ������� � �� ����������� ��

���� ��� �� ��� �� ��� � ��� �� ����� ��� �������� ���� ����� � �

�������� � � ���� �������� ��� �� ���� ������ ��� ��������� � ������

����� ��� ������� � ����� � ���� ������ ����� �� ���! ����� � ����

� ���� ������� ��� ��� ���� � ��� �������

""�

Page 121: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��� ����� ���� ��������� ��� ����� ���� ���� ��� ��� #�$ �� #�$ ��� �����

����� ��� �� ����� %��""&' �� %��""�'� ��� ������� ������ � �����

��� �����! %��""(' �� %��""�'! ��� ����� �� � �������� �� ��� ���� �

������ ��������� �� �������� �����������! ����� ���� �����! � ���

��� ��� �� ����� � �� � � ����� ��� ������� #�$ ��� ���� �� ��� ����

� ������� ����������� �������� ������

��� ��� �� �� � ���� ������ �� ���� ���� ������� ����������� �

��� ����� ��� � ������ ��� ������� #�$ ��� ���� �� ���� � �������

����������� � ��� ����� � ���� ���� � ���� �� ��� � �� ��� �� ��

��� ����� � ��� ��� ������� ���� �������� �� ������� � ���� � ����� ��

����������� ��� ����� ����� ������ �������� ������

��� ����� � ��� ������� � �� ������� ��� ����� ���� ������� % '

�� ) * �� ���������� ���� ����� % ' �� ) *! ����� ��

��� �� ��� � �� ����� ������

��� #�$ ��� ���� ����� ��� �� ���� %��""�'! ���� �������� ������� �

������� ��� ������� � ���� ������! � �� ���� � ������� �����������

� ��� ����� � ���� �� ������ ����� �� � � �����

��� �� ���� � ��� ������� ��� ���� %��""�' �� ���� ��

% ' + % % ' , ' %- "'

����� �� ��� .� �� ��� � ! �����!

% ' +% '

�� ) * %- &'

""-

� �

� � � � � � � � � � � �

� � � �� � � � ���

� �

� ���

� �� � � � �

� �

� � � �

��

�� �

��� ��� ���� ��� ��� ��������

��

Page 122: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��� ��� ������� � ���� ������! ��

% ' + / , % ' �� ) * %- �'

�������� � ������� � ������� ��� �� � ��� ����� �� /

��� �� ������ ��� ���� ������ � �� � ��� ����� ��������� ���� ��! �����

�� ��� ��� �� ��� ���� ������� 0��� ��� ������ � �� � ����� ��������� ��

+ ��� ����� � ��� ����� � �� ���� �� ��� %&��-'� ���! ���� %&��1'!

+ % '

�� / + % ' ,"

&% ' % '

2� � ����� �� � ����� �� � ���� �� / ���� �������

" & / , % '

�% ' �� ) * %- -'

���� %&�(&' �� %&�1('�

��� �� �� ��� � �������� + 3 �� ��� ����� � ���� � ��� �����

��� ����� � ��� �������� ����� � � �� ��������� �� ������� ���

�� � ����������

+

2�� ��� ������ � ! %��"3�'!

+ %- 1'

��� � �� ������� �� ! ���� �� %���� %&��-''! �� �� ��� �� ��

����� ���� �� �� ������� �� ! ���� ��! �� ��� �� �� ��� ���� ��� ����! ��

��� �� �� ����� ���� �� � ��� ���� � ) *! ��� �� �� ��������� + 3

�������� ��! �� ��� �� �� ��� ���� �� � ��� ���� � ) *! ��� ��������

""1

� �� � � � � � �

� �

� � �

�� � � �� �

���

�� �� � � � � � �

� ��

� �

��� � ��

��

���

� �� � ��

� ��

� � � � ��

� � � �

� �

� �

� � �

� � �

� �

���

��

� ��

�� �

��

��

� ���

��

Page 123: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�� �� ��������� � � ��� �� �� ���� �� �� ������� ���� � ��� ����

��� ����� ��������� ����� ��� ���! �� ��� ��� ���� �� �� ����� ���� �� ���

����� � ��� ����! �� �� � ������� � ��� ������� ��� �������� �� ��

�������� � ��������� �

��� ����� ���� ���� �� �������� ����������� � �� � ���������� ��

��� �� ���� %-�"' ���� ������ ������� �� �� � �� ��� ����������

� ��� ������� �� ��� � �� �������� ���� ����� � � �������� � ���

�����������

4�� ��� ������� ) * �� ������� �� " ������� �������� �� ��� ����

� � � ���� ��

+% "'

% "'% ' , + " � � � %- ('

4�� % ' � � � % ' �� ���� ������ ����� �� ���! ����� ��� ���� ����

�� %-�('! �� ���

% ' + % ' %- �'

�� ��� ���������� � ! ����� ��� % + " � � � ' ��� ���������� � ���

�����! � �� ����������

5����� ��� ���� �������� ����� � ��� �� ���� %-�"'!

% ' + % ' ,

����� + % � � � ' �� �� ��� ���� �� %-�&' �� %-��'�

��� ���������� �� ��� � %-��' �� � ���������� � ��� �� � ����

�� �������� ���� ����� � � �������� � � ���� ��� ��� �� ����� ���

""(

� �

� � � �

� � � �

��

�� � � � � � �

� � � � � �

� � � � �

� � � � � �

� � �� � � � ���

� � � � �

�� �

� �

� � � �

� �

��

� � ��

����� ��� ���� ��

Page 124: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

������ ��� � �������

% ' + + % , ' + 3 + " � � � %- 6'

����� �� ��� ��� � ����� � ��� ��� � ������� %-�6'� 7� �������

����� ������ ������� ������ � �� �� � ������� �� � �� ��� ����� ��

������ ��� ��� � ����������� � � ���� �� ��� ����� ��� �� ����

������ 8 � ��� � ����������� ��� ���� �� �� �� � ��� � �����������

����� ���� �� ��� ��� ��� � ��� ��� � �� �� ���� �� �� � ��� � ���

���� ����� �� � ������� ����������! ���� ��! � ���������� � ���������

���

��� ������ ��. %-�6' �� ����� ���� 9���$� ������ ��� :� ���

�� ���� ��

% ' + + + + %- ;'

�� �� ��� <����� � �

0��� � ���������� � ��� ����� ! 9���$� ����� ������� �

������� ����������

+ , %- "3'

�����

% ' + % ' %- ""'

���� ������ � ����� � � ����������� � � ��� �� ��� �� �������� ����

��� ����� � %- "&'

��� + �� + " � � � ��� ��� ������ � ��� ���������� � ��� �������

���� %-��' ��� � ��.� % ' ��������� ��� :� ��� �� ��� �� �� ���

""�

���

��� � � �� � � � �

� ���

��

� �

�� ��� � � � �� �

� �

� �

�� �

� � � � � �

� �

� �

��

�� �

���

� � �

�� � � �

� � �

� � �

��

���

��

�� �

� �

� �

� � �

� � � �

� �

Page 125: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�� ������ ���� ��� ��� 0������ ����������! ����� �� �� ������� ���� ���

���� ����� �� �� ��� ����� �� �������� �� ��= ����� ����� ���� ��� ����

������ �����! �� � ����� ���� ����� � � %-�"&'! �� ��>� ����

4�� ? ������� %?' + �� ��� 3 �� �� � ���� ��� ���� +

@ ? ���� ��� ��� ?! ����� �� � ����������

��� A����� ���� ��� ���� ����������� � ��� ����� � �� ����

�� �������� � � ���! ����� ������ 3 �� � ���� 9���$� ����� ��

�������� ���� ������ ������� ? %:�� �� B���� %";6&''�

2�� %-�;' ��� ��� ��� � � �������� ���� ������! ����� �� ���

������ �� ��� C��� %-�1' �� � �� ��� ����! �� ��� ���������� ����� �

) * �� ��� ���� �� �������� ��� 9��� �������! �� ������� ������ ��

��� ����� � %-�6' ��������� � A�����������! �� ��� ���������� ����� ��

����� ���� �� � ) * �� ��� ��������! �� ������� ������ �� ��� ����� �

%-�6' �������� �

����! ���� ������ �� / �� ! �� �� �������! ���� 9���$� �����! �

������� ���� ������ ����������� � ��� ����� � �� � � ���� ��

����� ��� ��� � ��� ������ ����� ���� �� � ��� ���� ���� � ��� ���� ��

� ��� ���� ����� ��� �� ��� � ��� ����� ������ ���� ��� ������

���������� � �� � ���� ��� ����������� ! �� ������ ��� %-�"3'

�� %-�""'! ���� ������ ��� ��� ���� �� ����� � ��� ����� ���� �� ������

2� �� � ��� � �����! / �� ! �� ����������� ���� �� ������� 8 �

�������� � ��� ���� �� �� �� ��� ���� � ����� ���� �� ��D ��� �� �

� ��������� ��� � ����� �� ��� �� ��� ���������

� ��� �� �� ��� � � ���������� �� ���� ����� � ����� ��� ��� ���� ��

""6

� � �

� �

� � �

� � �

� �

� ��

� � � �

� � � �

� � � ����

� �

� �

� �

� � � �

� � � �

� �

� � �

Page 126: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�� ����� ���� �� ��� �� �� � ����������! � ��� ���������� �����!

�� � ������� ���� ��� ��� ��� ���� �� �� ����� ���� �� ������ ��� :� ��� ��

������� �� 9���$� ����� ��� ���� � ����� � ��� ������

��� �������� �� ���������� ��� �������� �� ���� ���� �� %-�('! ����

+ 3! + "3 �� + &"� �� ���� � ����� �� ��� ��� �������D ���

����! �� + " � � � ! ����� � ����� ��� ����� ����� �����������

�� ��� �� �! �� + " � � � "! ����� ��� ����� ��� ����� ����

������������ ��� ����� �� ��� ��� ����� ��

% ' +) *

3 ) *

% ' +

) *

) *

3 ) *

+ & � � � " %-�"�'

% ' +) *

3 ) *

��

% ' +" % '

3 % '

+ " � � � " %- "-'

�� ��� ��� � 2����� -�"�

2� ��� ����� �� ��� ����� �� %-�"�'! �� ��������� �� %-�""' �� �����

��� .�� �� ���� 0������ �������� �� �� . ����������� 2� ��� �����

�� ��� ����� �� %-�"-'! �� ������ �� %-�""' �� ������ ������

��� ����� �� ���� � �� ����������� � ��� � � ����� � ��>����

"";

� � �

� � � � �

� � � � �

� �

� �

� �� � � �

� � � �

� �

� �

� �� � � �

� �

� �� � � �

� � � �

� � � � �

� �

� �

� �� � � �

� � � �

� �� � � �

� � � �

� � � � �

�� �

��� ��� �

�� �

��

� �

��

� �� �

� �� �

� �

� �� �

� �

��

� �

� �

� �� �

� �

��

��

����

� ��

��

��

��

�������������������������������������������

���������

Page 127: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

xi-1x1 x2 xn-1 xnxi+1xi

xi xi+1

b)

a) i(x) i=2,...,n-11(x) n(x)

i(x)

0

1

0

1i=1,...,n-1

l l l

c

2����� -�"@ 7���������� ����� �� ��� ' ��� ����� ����� �� ' ��� �����

�����

������ ������� ������� �� ��� ��� �������� ����� ���

% ' + ( , - " & � ) * �� + & - ( 6 %-�"1'

% ' +( , - "

( , - "

� ) *

� ) *

�� +"

&"

&& %-�"('

E��� ��� ������ � ����� �� ������� ����� ��� + 3 � + % ' ��

��������� � ������� ��� ����������� ����� � �� % ' @+ % ' % '! � ����

% ' + 3! �� ��� ���� / � �� / @+ / , % '� ���� �� � ������� �

�� ��� ���� ��� ����������� ����� �� ��� ������� ���� ���

% ' + 3 � ) * %-�"�'

% ' + � ) * %-�"6'

% ' + -% ' % '

% , '� ) * %-�";'

"&3

� �

� �� �

� �� � � � � � � � �

� �� � �

�� �

� � � � �

� �

� � � � � �

� � �� �

� � � � � �

� � !� �

� �� � � �

� � !� � � �

� �� � �

� ��

��� �

���

� �

� �

��

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �� �

� �

� �

� �

� �

� ����������

� � � �� � � �

Page 128: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��� ����� / �� ���� ��� ����� 13� ���� � �������� ���� � �����

����� ������ ��� ����� � ���� �� �� ���� ���� �������

" & / , % '

% '� ) *

��� %-�-'� 2� ��� ��� + ���� �� F���

" & /

�����

+ �� % '

����! �� ��� ���� ������� �� ��� %-�"1' �� %-�"('! ���� ���� � ����� �� �

���� ! �����

+&3

�%- &3'

A ����� � + ������ ��� ��� � ��� ���� �� �� ��� ��� � ������ ��������

A ����� � + "3 �� ���� � ���� �������� � � ���� �� ����

��� ������ ���������� � ��� ����� ��������� ������� ��� ����

������ ����� �� � ���������� � ��� ���� �� � � ����� ���� �� ���

��� �� � ��� ���� �� ����������� ��� ������ �� ��� ����� �� +

" � � � ! ����� �� ��� ���� �� �����! ���� �� %&�(1'� ���� ���! �� + !

+ � ��� ����� ���� �� ����������� ��� ������ �� ��� �����

�� + " � � � � ��������� ��� ��� � ������� �� ���� � ������� ����

��� ����� � � 9���$� ����� ���� � ������� :� ����

4�� ��� ����� � ��� 9��� ������� �� "3 � 5����� ��� ���� ����

������� + � C��� ��� ��� ����� ����� ����� �� ��� %-�"�' 9���$�

����� ������ � ��� ����� ���� �� ���������� ��� ��� ������ ���������

�� + " �� + " � � � � "1 �������� �� ���� �� �� �� � ��������

"&"

��

�� � � �

�� � � �

� �

��

��

� � �

� �

� �

� � � �

� � � � � �

� � � �

� � � �

� �

� � � � �

�� �

� � ��

��

�� �

�����

� �

��

� ���

� �

� �

� �

� �

Page 129: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

0.0

2.5

5.0

dept

h

0 5 10x

0

5

10

brea

dth

0 5 10x

a) b)

2����� -�&@ ' G�� ����� ����� ����� ����������� � ���� ���� �� '

% '�

�� � ���� �� ��� ��� ���� �� ����������� ��� ������! ���� + - ��

+ " � � � ! � "3 �������� �� ���� �� �� �� � �������� �� � ���� �� ���

2����� - & ���� ��� ���� ������ ����������� � ��� ����� �� ��� ���� ��

�� � ���� �� ��� �������� ���� ����� ������ ��� �� �� ���� ���

��� ����������� � ��� ��� ���� �� ��� �� ��� ���� �� ���������� ���

����� ���� �� ���! �� ��� �� ������ � ���� �� �� ���� + "3 �� + !

����� �� ����� �� %-�&3'� 2����� - & ���� � ����� ��������� � ���

������� �� �� ���� ��� &" ���� ���� ���� �� %-�('� ��� ����� � ��� ����

��� ����� �������� �� ���� � ��� ����� �� ��� ������� ���� � ��� ������ � ���

�� ���� �� ����������� ��� ��� � ��� ���� �� ����� ����� �� ��� ����� �

���� ��� ��� + 1�

2����� -�� ���� �������� ������� �� + ���� + � 1�

C��� ��� ��� ����� ���� ����� �� ��� %-�"-'! � ��� ���� ���� +

"&&

� �

� �

� � � �

� � �

� �

� � �

� �

� �

Page 130: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

0.0

2.5

5.0

dept

h

0 5 10x

0

5

10

brea

dth

0 5 10x

a) b)

2����� -��@ ' G�� ����� ����� ����� ����������� � ���� ���� �� ' % '

���� + � 1�

�� + ! ��� ����� ���� �� ����������! ���� + " �� + " � � � !

�� ��� ����� "- �������� �� ���� �� �� �� � �������� �� � ���� �� ��

����� ��� ��� ���� �� ����������! ���� + - �� + " � � � ! �� ��� �����

"3 �������� �� ���� �� �� �� � �������� �� � ���� �� ��� 2����� -�-

���� ����� ����������� �� 2����� -�- �� ��� ���� ��������

5����� ��� ���� ���� + �� + �� + 3 &� 2����� -�1

���� ��� ��� ���� �� �� ����� ���� �� ��� ����� ����� ����������� �� + "3

�� + � �� ��� ������ ��� ���� ��� ����� � ��� ���� ���� 9�� � ����

��� ����� ������ ��� ���� �������� ���� ��� ��� + 1� ��� �������

�� ��� � 2����� -�1 � H��� + " �� + " � � � ��� ����� ���� ��

����������� ��� ��� ����� ( �������� � ��� + "3 ��� �� 1 �������� �

��� + � � ���� C��� + - �� + " � � � ��� ��� ���� �� ����������� ���

��� ����� � �������� � ��� + "3 ��� �� � �������� � ��� + � � ����

"&�

� � � �

� � � � � � � �

� � � � �

� � � � ! �

� � � � � � �

� � � � � �

� �

� �

� �

� �

� � ��

� � �

� ��

Page 131: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

0.0

2.5

5.0

dept

h

0 5 10x

0

5

10

brea

dth

0 5 10x

a) b)

0.0

2.5

5.0

dept

h

0 5 10x

0

5

10

brea

dth

0 5 10x

a) b)

2����� -�-@ ' G�� ����� ���� ����� ����������� � ���� ���� �� '

% '�

2����� -�1@ ' G�� ����� ����� ����� ����������� �� + �� +

���� + 3 & �� ' % '�

"&-

� �

� �

� � � � �

! � � �

� �

� � �

� �

Page 132: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

A ���� ��� �� ��� ��� ����� ���� ����������� � � �� �� �������

��� ��� ����� ���� �����������! ����� ���� %-��' ��

%-�"-' �� �������� ��� %-�6'! ����� ������� � ��� ������ ����� ����� ��

����� ��� ���� �� � ����� ����� ���� �� ����

��� ���������� � ��� ���������� ��� ����� �� ���� ��� � ����

���� %-�6'! ���� ��!

% , ' + 3 + " � � � " %- &"'

��� ��� � ����� � �������� ��� ������

, + 3

��� ��� ������� � %��"3�'! ���� �� %&��-' �� ����� %&��1'� ����

% , ' + 3 + " � � � " %- &&'

������ ��� %-�&&' ��� %-�&"' �����

% ' + 3 + " � � � "

�� �

% ' + 3 + " � � � " %- &�'

���� %-�"-'�

I�� �� ��� ��>��������� �� � ������� ) * �� ����! ���� ���

E�� J���� ������!

+ % ' %- &-'

"&1

� � � �� � � � �

� �

� � � �� � � � �

� � � � �� � � � � �

� � � �� � � � � �

� � � � �

� � � � � �� " �

� �

� �

� � �

��

��

��

��

�� �

��

�� �

� �

� �

�� � �

��

� �

��

����� ���� �����

��������

�����

Page 133: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�� % ' ������ % ' �� % '! ����� + ! ��� %��"3�'� ���� �� ��

��� �������� ����� ���� �� 3 �� �� �� ��� �������� ��� ���� ��

3 � ) *� ��������! ����������� %-�&-' �� %-�&�' � ����

% ' + 3

������� ���� + 3 �� �� ����� � ��� %��� + ?' � % ' �� ��������

��� ���� �� � ����� ���� �� ���! �� � 3�

9� �� ���� ) * �! �� ) *!

% ' + % ' % ' + % ' % ' + % ' % '

����

% ' % ' + % '

% '���

+ % ' ���

����� ��� + ��� % ' �

�������� ��� ������ � ��� ���� ��

+ %-�&1'

+

% ' ���

��� % ' ��� % '

+ ��� % ' ��� % '

���� ��!

K ��� % '

�����! �� ��� �������� �� ���� %-�('! K + �

"&(

# � � � � � � � �

� � � � �

� � � � �

� � � �� " � �� �

� � � � � � �

� �

� � � � � � � �

� � �� � � � � �� � � � � � � � �

� � � � �� � � �� ��

� � � ��

� � � �

� � �

� � � � ��

� � ��

� � �

� � � � �

� � � � � �

� � � � � � �

� �

� � �

� � � �

� � �

� � � �

� �

� � � �

� � � � �

� � � �

� � � � �

��

��

�� � �

�� � �

� �

� � � �

�� �

� ��

� � � ��

� ��

�� �

� � ��

� �

�� �

� � ��� �

� � ��� �

� �

��

��

�� ��

��

��� �

� �

��

����

� �

���

��

����

���

� � �

� � � � � �

� � � � �� �� � �

� � �� � � �

��

� �

� � �

� �

� �

� �

� �

��

�� ��

��

��

��

� � �

Page 134: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

���� �� ��� � ���� �� ���

K ��� ���� �� ����� ���� �� ��� ���� �� ����� ���� ��

� ( 3&6 "3 6 (36 "3 & (6� "3 1 3;� "3

1 " 6�3 "3 � 1&" "3 " "66 "3 & (1- "3

; � &-; "3 " 113 "3 - 66& "3 " &"6 "3

"� � ";6 "3 � &-; "3 & ";& "3 1 ��& "3

�� " 13- "3 � 13- "3 " 3�6 "3 & 631 "3

(1 � &;� "3 " �&& "3 1 313 "3 " �6& "3

"&; � 1;& "3 6 1�; "3 & -;" "3 ( 6(3 "3

&1� " �6& "3 - &1& "3 " &�� "3 � -"� "3

1"� 6 6�6 "3 & "&" "3 ( "(- "3 " �31 "3

"3&1 - -�" "3 " 3(3 "3 � 3�� "3 6 1&3 "3

����� -�"@ ����� �� ��� ����� ���� ����� ������������

���� ��� ��� ����� ���� ����� ���������� ������ ������� ���� �

��� ����� �

��� ���� �� �� ������ �� ��� ����� ���� ����������� �����

���� ��>���� ������ � ��� �� ��� ������� + ! ����� �� %-�"1'! ��

+ ! ����� �� %-�"�'� ��� ����� / + 13 �� ��� + ! ����� ��

%-�&3'! �� + "3 ��� �������� ��� ������� ��� ���� � ����� -�"! ��� ��� �

�� � �� ���! ��� ���� ����� �� ������ ! ���� �� ��� ������� ����� K ������

��� ���� ��� �������

��� ����� �� ��� �������� ��� ����� ����� ����������� ��� ����

� ����� -�&� � � �� ��� ���� ��� ����� � �� ����� �������� �

"&�

� �

� �

� � � �

� �

���

� � � �

���

� � � �

���

� � � �

���

� � � �

���

� � � �

���

� � � �

���

� � � �

���

� � � �

���

� � � �

���

� � � �

� �

��

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

Page 135: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

���� �� ��� � ���� �� ���

K ��� ���� �� ����� ���� �� ��� ���� �� ����� ���� ��

� " "�6 "3 ; &"� "3 " 36� "3 � ;�1 "3

1 & 36� "3 & 36- "3 ( (3( "3 ; ((6 "3

; - �;1 "3 1 "&& "3 " "11 "3 " �(; "3

"� ; 6&1 "3 " &�1 "3 & 6-& "3 - �"- "3

�� & �3- "3 � "�1 "3 ( 616 "3 " &-; "3

(1 1 1;1 "3 � (1� "3 " (1" "3 � ;�( "3

"&; " &63 "3 & &�- "3 - -3" "3 " -1� "3

����� -�&@ ����� �� ��� ����� ����� ����� ������������

2���� ������ ������� �� ��� ���� �� �� ��� ��� ��� �������! �� ���� ��

�� ��� ���� �����! � �� ������ ���� ��� � ������� #�$ ��� ����! �����

��� �� ���� %��""�'� ��� ����� ���� ���� �� � ������ ������ � ���

�������� � �� �� -�"�

5����� ��� ���� ����� �� ��� ���� %-�('! ���� + 3! + "3 �� + &"�

4��

% ' + % ' % ' + % ' % ' + % ' %- &('

�� ����������� � ��� ���� ��! ����� �� ��� ��� �������! ����� ������!

����� ��� % + " � � � ' ��� ���� ������ ����� �� ���� ����������� %-�&('

"&6

� �

� � �

� � � � � � � � � � � � $ � $ � �

� � � � �

� �

� �

� �

� �

��� ��� ����� ��� ��� ��������

���

� � � �

���

� � � �

���

� � � �

���

� � � �

���

� � � �

���

� � � �

���

� � � �

�� �� ��

� � �

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

Page 136: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�� ��� �� ���� %��""�' ������ ��� ���� �������� �����

% ' + % ' , , % ' % '

%- &�'

����� + % � � � ' ! + % � � � ' ! +% � � � ' �� % ' + / ,

% '� ��� ���������� ! �� ��� �� ������ �� �����

+ 3 + 3 + 3 �� + " � � � %- &6'

4�� ��� �� ��� ��� ����� ����� ����� �� ��� ����� �� %-�"�'� ���

������� %- &6' �����

, % % ' % '' + 3 + " � � �

��� � ��� �� �������� ��

+

+ 3 + & � � � "

+

� ��!

+ %- &;'

����� �� � ���� ������ �� �� � ���� " �� �� ���� ��

���� �� ���� ������ �L��� ��� ������ �� � ��. " �� �� �������

���! ���� ��� ������ ���� + ! ��� ����� � %-�&;' �� ������ ��

��������� �� �� �� ������ ���� 0������ �������� �� �� . �����������

M������ %- &6' �����

% , ' + 3 + " � � �

"&;

� � � � � � � � $ � � �� �� $ � $ � �

� � �� � � � � $ � � $ �

�� �

��

���

��

���

��

�$� � � �

� � � �� �� � � � � � � � ��

� � � � �� �� �

� � � � �� � � � � �

� � � � �� �� �

% � �

% � � � �

% �

� � %

� � � �� � � � ��

� �

� �

� � �

��

� � � �

�� �

� �

�� �

� �

�� � �

� �

� �

�� �

� � �

���

��

� �

� �

� � � � �

� �

� �

� �

��

Page 137: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��� �! � �� .�! � �� ����� �� �� ��� ����� � �� �� -�"�

M������ %- &6' ����

+ 3 + " � � �

��� � ��� �� ������ ��

+

+ + & � � � "

+

� ��

+ %- �3'

����� �� � ������ �� �� � " �� ��� 7 � �� ���

.� � �� �� ������ ���� ���� ��� ������ �� � ��. " �� �������

��� �� � ������� �� �� �� ��� ������� ������� �� ��� ������� � � �

��� ������! ��� ! �� ��� ���� ������������ ���� �� ����� �� ��������� � ������

��� ��������� ���� � �� ������� ��� ����� �� ��� �������

B������ �� ���� �� �� � � ���� ���� + ! ����� �� %-�"1'! ��

+ ! ����� �� %-�"�'! ��� ��� � 2����� -�(� ��� ����� / �� ��.� � ��

13� ��� ��� ����� ����� ���������� � ��� ���� �� �� ��� � 2����� -�( �

��� ��� ����� ����� ����������� � ��� ��� ��� ������� �� ����� �� �

����� ���� �� �� ��� ���� � 2������ -�( �� -�( ! ����� ������� 2����� -�(

���� ��� ��� ����� ���� ���������� � ��� ����� ���� �� ��� ��� �������

�� ��.�� ��� ������� � ��� ��� ����� ����� ��� ��� ������� ����������

� �� � ������� ) * �� + " � � � "� ��� 9��� ������� � ��

"�3

� �

� $ � � �� � � � ��

$ � � � �� � � � ���

$ � � � �� � � � �� � � � � �

$ � � � �� � � � ���

% � �

% � � � � � �

% �

$

$

$

� �

� �

� & �

� � � � � � � �

��

��

��

� �

�� �

�� �

� �

�� �

�� �

� �

� �

� �

��� �

��

� �

� �

� �

��

� � �

� � �

� � �

� � �

��

��

� �

� �

� �

Page 138: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

0.0

2.5

5.0

dept

h

0

10

20

0 5 10

x

0

5

10

Phi

/100

00

0 5 10

x

0

5

10

velo

city

mas

s flo

w

0 5 10

x

0 5 10

x

a) b)

c) d)

2����� -�(@ ' E��� ��! ' ��� ��� �������! ' ����� �� ' ��� ��� �������

����� �� + 8 ����� ���� �� ����

������ ����� "� ��������! ���� + " �� + " � � � ! ���� � ����� � �

"3 �

5�������� ������� �� ��� ��� ���� �� �� ��� ���� � 2����� -��� ���

9��� ������� ������ ��� + - �� + " � � � � 6 ���������

9�� � ���� ��� ��� ��� ���������� �� � ����� �������� ���� ��� ���

+ 1! ��� ����� ��� ������� �� ����������� ���� ����� �� ��� ���� ���� ��

������� � ����� � � ���� ����������� � ���� �� �� ����� � %-��3'�

I� � ������ ��� ����� � ���� ���� ��� ����������� � �� ������� 8

2����� -�6 ���� ��� ����� ���� �� ������ �� + ("�

����! ������� ����������� � ��� � ��� ��������� � �� �������� ����

��� � ������� #�$ ��� ����! � ��� ��� � ��� ��� ��� ������� %�� ��������

"�"

� � & �

� �

� � � � �

� � � � �

� �

Page 139: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

0.0

2.5

5.0

dept

h

0

0

10

20

mas

s flo

w

0 5 10

x

0

5

10

Phi

/100

00

0 5 10

x

0

5

10

velo

city

0 5 10

x

5 10

x

a) b)

c) d)

0.0

2.5

5.0de

pth

0

0

10

20

mas

s flo

w

0 5 10

x

0

5

10

Phi

/100

00

0 5 10

x

0

5

10

velo

city

0 5 10

x

5 10

x

a) b)

c) d)

2����� -��@ ' E��� ��! ' ��� ��� �������! ' ����� �� ' ��� ��� �������

����� �� + 8 ��� ���� �� ����

2����� -�6@ A� 2����� -�( 8 + ("�

"�&

� � & �

� �

�� �

Page 140: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��� ��� ���' �� �� � ������ <����� � ��������� ��� ���� ������ ��� � ������

��� ��� ��� ������� ���! ���� ��! ��� #�$ ��� ����! ����� ��� �� ����

%��""&'! ������� �� + � ���� ���� ������� ��� ���� � ���. �

���������� � %�� �������� ' ���� ����������� ��� ���� ��

��� � ����� ������� ����� �� ���� ����

��� �� ���� � ��� ������� #�$ ��� ���� %��""(' �� ���� ��

% ' + % ' , % % ' % '' %- �"'

����� % ' + / , % ' �� ��� ����� / �� ��� ���� ������

��� ��� ��� ������� � � ������ ����� �� �� ��� �� �� ��� � ��������

+ 3� ��� ����� � ��� �������� ����� � � �� ���� �� �� �������

+

2�� ��� ������ � ! %��"3&'!

+" �

&%- �&'

����! ��� %-��&'! �� ��� �� �� ����� ���� �� � ��� ���� � ) * ��� ���

����� � + 3 �������� �� �� ��� �� �� ��� ���� �� � ��� ���� �

) * ��� ����� ��������� �

��� �������� �� �������� � ���������� � ��� ��� ��� ������� ����

%-��"' �� ������� � ���� � �� �� -�"�

"��

$

$

� $ ' $ � � �� �� $ � $ � �

� �� � �

$

�� �

� �

�$' � ��

'

'�

$

� � �

$ �� �

� � � �

��

�� � �

� �

� �

�� �

� �

� �

� �

� ��

��� ��� ���� ��� ��� ��������

� �

���

� �

� �

����� ��� ���� ��

� �

� �

Page 141: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

4�� ��� % + " � � � '! ���� �� %-�('! ���� ��� ����� 4�� ��� ���� ������

���������� � ��� ��� ��� ������� �� ���� ��

% ' + % '

����� ��� ��� ��� ��� ����� ����� ����� �� ��� %-�"�' �� ��� ��� ������

����� � ��� ������ ���� ��� ���� �������� ����� � ��� �� ���� � ���

������� #�$ ��� ���� �� ���� ��

% ' + % ' , % ' % '

����� % ' + /, % ' �� + % � � � ' � ��� ���������� � ��� ��� ���

������� �� ��������� �� ��� ��� � ����� � �� ��������! ���� ��! ���

��� � ��������

% ' + + , % % ' % '' + 3 + " � � �

%- ��'

��� ����� � ��� ������ ��� � ������� %-���' �� ��� ���� 9���$�

������ ��� :� ��� �� ���� ��

% ' + + + +

��� � �� ��� <����� � �� ��� ��� ��� � � �������� ���� ������! ����

������ � 2�� %-��&' �� ������� ������ �� ����� ��� ���� �� ���

�� ������� ������ �� ����� ����� ���� �� ����

0��� � ������ ���������� � ��� ����� 9���$� ����� ���

�� �� � ����� � � ����������� ���

+ , %- �-'

"�-

� � � � �

$ � $ � � �

� $

� ' $ � � �� �� $ � $ � �

� �� � $ � � $

���

�$' � � �� �� � � � � � � � �

� ���

�$

� �

�$ �$' � � � �� �

' � �

� �

� �

� �

� �

��

�� � � � � �

���

� � �

�� � � �

� �

� � �

��

��

� � �

�� �

� �

� �

� �

� �

� �

� � �

� �

� �

Page 142: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�����

% ' + % ' %- �1'

��� ����� � ��� ���

��� ����� � %- �('

��� :� ��� �� ��� �� �� ��� ��������� ��� ���� ��� :� ��� �� ���������

�� %-��1' �� ����� �� 0������ �������� �� �� . ����������� ��� ������

���������� �� ���� ��

+ % "' + " � � �

����� �� ������� � ����� ��� � ��������� ������� ��� ���������� ���

�� �� ������ �� � ���������� � ��� ���� �� � � ����� ���� �� ��� 4��

+ �� ! ����� �� ����� �� %&�(�'� ���! �� ! ���

���������� ���� �� ��� ���� ��� 4�� + ��� � ���! �� !

��� ���������� ���� �� ����� ���� ���

��� �������� �� ���������� ��� ���� %-�('! ���� + 3! + "3 ��

+ &"� ��� ����� / �� ���� ��.� � �� 13� A���������� � ��� �

����� ���� �������� ���� �� %-�"1' �� %-�"(' �� ���� ������ ���� ���

����� + 3 ���� �� %-�"�' �� %-�"6' ��� ��������

2� + ��� ����� � ���� �� �� ���� + ! ����� �� ���� �� %-�&3'!

�� ���� � ���� �������� � ���� �� ��� �� + "3 �� ���� � ���� �������� �

� ���� �� ����

5����� ��� ���� ���� ������� + �� ��� ��� ����� � � %-��('

�� "3 � ��� ����� ������ � ��� ��� ���� �� ���������� � - ��������!

���� + "! �� � ��� ����� ���� �� ���������� � 1 ��������! ���� + 1!

"�1

� �

�$ �

$ � � � � ��

& & & � &

& & � &

� �

� � � � �

� �

� � �

��

� � ��

� �

� � ��

� �

� �

� �

��

��

��

���

��

���

� �

� �

��

� ��

� �

��

��

� �

� �

� � �

Page 143: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

0 5 10

x

0

5

10

0 5 10

x

0

5

10

velo

city

a) b)

phi/1

2

2����� -�;@ ' J�� ��� ������� �� ' ��� ��� ����������� �� + ��

+ �

�� � ���� �� ���� 2� ���� �� ��� ��� ����� ������ � ��� ��� ���� ��

���������� � � ��������! ���� + "! �� � ��� ����� ���� �� �������

���� � 6 ��������! ���� + 1� B������ �� ��� ���� �� ��� ��� ���

� 2����� -�;� 2����� -�; ���� ��� ��� ����� ����� ��� ��� ������� �������

�����! ��� �� ��� �������� � ����� ���� �� �� �� ��� ���� ��� �

��� ���� �� ��� 2����� -�; ���� ��� ��� ����� ���� ��� ��� ���������

��� ������� ��� ��� �������� � ��� ��� ��� ������� ����������� � �� �

������� 9�� � ���� ��� ��� ��� ����������� ��� ������������ ��������

���� ��� ��� + 1 �� �� ���� ��� �� ��� � � ���� ���� ������� ��

����������� ����� �� ��� ��� �������� ���� ���� ����

2� + �� + ���� + 3 & 2����� -�"3 ���� ��� ��� �����

����� ����������� � ��� ��� ��� ������� �� ��� ���� �� �� ����� ���� ��

"�(

� � � �

� �

� � � � ! �

� �

� � �

Page 144: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

0 5 10

x

0

5

10

0 5 10

x

0

5

10

velo

city

a) b)

phi/1

1

2����� -�"3@ ' J�� ��� ������� �� ' ��� ��� ����������� �� +

�� + ���� + 3 &�

��� ���� + "3� ��� �������� ��� ����� ���� ����������� � ���

��� ��� ��� ���� � 2����� -�"3 �

��� ���� � ��� ����������� � ��� ��� ���! ������� � �� �� -���"! ��

����� ��

+

����� -�� ���� ��� ����� �� ��� ����� ���� ��� ��� �����������

� ��� ���� ���� + �� + � ��� ����� / �� ���� ��� �����

13! + ! ����� �� %-�&3'! �� ���� � ������ ��� ���� �� ����������� ��

+ "3 ���� �� ��� � ���� �� ������������ � � �� ��� ����! �� ��� ����

�� �����! ��� ����� � � � �� ������

"��

� � � �

� � !

$ $ ��

� � � �

� �

$

� �

� �

� � �

�� � � ��

����� �����

� �

Page 145: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

���� �� ��� � ���� �� ���

K ��� ���� �� ����� ���� �� ��� ���� �� ����� ���� ��

� � &(( "3 & �-- "3 " ;�� "3 " --- "3

1 " 16& "3 " �1& "3 6 ;"- "3 ( 1-; "3

; � �6& "3 ( (1� "3 - --; "3 � &(" "3

"� � 6(" "3 � &;( "3 & &&� "3 " (�& "3

�� " ;&� "3 " (-3 "3 " ""- "3 6 "(- "3

(1 ; 1;� "3 6 "�; "3 1 1(; "3 - 36& "3

"&; - �;- "3 - 36- "3 & �6- "3 & 3-" "3

&1� & �;( "3 & 3-" "3 " �;& "3 " 3&" "3

1"� " ";6 "3 " 3&3 "3 ( ;(" "3 1 "3� "3

"3&1 1 ;6� "3 1 "33 "3 � -6" "3 & 11& "3

����� -��@ ����� �� ��� ����� ���� ��� ��� ������������

��� ����������� ������� � ��� � ���� ������ ���� ��� ��� ����� ���

���� ������� ���� ���� �� ��� ���� %-�('� ���� �� �� � ����� � ��������

��������� ����� ���� ��� ������� #�$ ��� ���� %��""(' �� ������������

��� ����� � �������� ��������� ����� �� ��� �������� ���������

��� � ��� ��� ��� ������� ���� %��""(' �� ������� � ��� ����� � �� �� -��

� ���� � ���� ������ ������ �� ��� ��� ��� ������� �� ����������� ��

��� �� ���� %-��"' �� ��� ������ � ��� ���������� � ��� ������ ��� ���

"�6

� �

��� ��� ���� ��� ��� �������� � �� �����

����

���

� � � �

���

� � � �

���

� � � �

���

� � � �

���

� � � �

���

� � � �

���

� � � �

���

� � � �

���

� � � �

���

� � � �

��

� �

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

Page 146: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�� � ���� ��� �� ���� �� �������� ���� ����� � � ��������� ��� ��>��� �

���� �� ���� ��� ������ � ��� ������ ���� ���� ��� ��� ������ � �����

4�� ��� ���� � �������� ) * �� ������� �������� �� " �������

�������� ) * % + " � � � "' �� ��� ���� % + " � � � ' ����� ��

%-�('� ��� ���

% ' + % ' , % ' , % '

�� ��� ���� ������ ������ � ��� ��� ��� ������� ! ����� ���� �����

��� ��� ��� ��� ����� ����� ����� �� ��� ���� ��

% ' +) *

3 ) *

% ' +

) *

) *

3 ) *

+ & � � � "

% ' +) *

3 ) *

��� ��� ��� ������ � ��� ���������� �� ��� ���� ���� �� + % � � � '

�� ��� �� �� � ���� �����

��� ��� ���� ����� � ��� �� ���� � ��� ������� ��� ����! � ���� ���!

��

% ' + , , % ' , % ' % '

����� + % � � � ' ! �� + / , � ��� ������ ���� ������

"�;

� � � �

� � � � � � � � � � � �

$ �� $ � �� � � � $ � �� � � � � � $ � �� � � �

$

� �� � � �

� �

� �� � � �

� � � �

� �� � � � � �

� �

� �� � � �

� �

� �� � � �

� � � �

� � � � �

� �� � � �

� �

� �� � � �

� � � �

$ � � � �

� � ' $ � � �� �� $ � � $ � � �

$ � � $ $ ��

�� �

��� ��� �

�� �

� �

� � �

� � � � � � � � �

� � � �

� �� �

� �� �

� �

� � �

� �� �

� �

� �

� ��

��

��

� � � �

��� �� �

� � �

� �� �

� �

� ��

��

��

����

� ��

��

�������������������������������������������

�� � � � ��

� �

� � �

� �

Page 147: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

����� �� ��� ��� ��� ������� �� ��� �� �����

% ' + + , , , ) * + 3 + " � � �

%- ��'

�� ���� ��� ���� �� ���� �� %-�('� ���� �� �� ���� 9���$� �����!

�� � �� �� -���

9�� ������ �� ��� ������ ���� ���� ��� ��� ��� �� �����

% ' +

+ ) * , , , , + 3

+ & � � � " %-��6'

�� % + & � � � "'! �� 9���$� ������ ��� :� ��� �� ��� % &' % &'

������ ���� ��

% ' + +

+

, , , ,

,

��� � �� ��������� � ���� ��� ������

% ' + % '

�� ����� �� �� 0������ �������� �� �� . ����������� A ����� � �

����������� � �� �������� ����

+ ,

"-3

� ���

�$' � � �� �� � � � � �

( ���

��

'� '�$

��� �� ��

�$

��

� � � � �

� � � � � � �

� � ���

�� ��

'�$

��� '

�$

���

'�$

��

�$

��'

� $

�� ��� ��

��� $

�� ���

� � � �

� � �

� �

� �

��

�� � � �

��

��

��

��� �

� �

� �

�� �

��

� �

� �

� � �

� � �

��

�� � �

�� � � � �

���

� � � �

�� � �� �� �

��

� � �

� ��

� ��

� �

� � � �

� � �

� �

� � �

� �

� �

� � �

Page 148: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��� �� ��� �� �������� ����

��� ����� � %- �;'

��� �� ����� �� � ����� � %-���' �� �� ��� �� ����! ���� ���

����� �� ��� ������� ���� �� ��� ������ ���������� � M������

%-��6' ��� ��� ����� ���� � ����� ��� ���� �������! ��� ������ ����������

���� ���� ��� ������ � ��� ����� �� ��� ������� ��������

���� �� ��� �� �������� ����

��� % ' %- -3'

����� �� ���� ��� ��� ��� ����� ������ �� ������ �������� ��� ����

��� � ��� ���� ����

��� ����� / �� ������� ��� ����� 13� ��� �� ������ � ���� �� �� ���� +

! ���� �� %-�&3'! ��� � �������� ���� �� ���! �� + "3! ��� � ��������

�������� � � ���� �� ���! ��� �������� ��� ������ �� ����� � ����

%-�-3' �� ���� %-�-3' ����� �� ���� ��� 1N ������ �� �� ������ ���������

B������ ��� ���� �� ��� ���� ���� + 3! + "3 �� ������� + !

�����

% ' + 6 , & �1

��� � �� ��� � 2����� -�""� ��� ���� ����� ���� ��� ������ � ����� + 3 ��

+ %������ %-�"�''�

��� ����� � ��� 9��� ������� �� �� ��.� � �� "3 �� %-��;'

� �� "3 ! ����� �� ��� ����� � ���� ����� ��� ����������� �

��� ���� �� �� ����� ���� �� ��� ����� �� + ! ������� �� ��� �������� � ���

��� ����� ����� ����������� � ��� ��� ��� �������! �� + 1 � �� "" ���

"-"

�� �

� � (

� �

� � � �

� �)�

� �

� �

� �

� � � �

��

�� �

� �

� �

��

� �

� �

� �

� �

Page 149: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

0 5 10x

0

5

10

brea

dth

2����� -�""@ ��� ������� �� �� % '�

��� � 2����� -�"&� ��� ��� �������� ��� ��� ������ � ��� ���� �����

��� ��� ���� �� ���������� ���� + 1! 2����� -�"& ! �������� &6 ���� � �����

���� � ����� �� ��� ���� ���� ���� ���� ��� ����� ������ �������� ��

������� ��� ��� ���� �� ����������� ���� + � �� ""! 2������ -�"& ��

-�"& ����� ������! ��� ����� ����� � ��� � ��������! ��� ���� ���� ����

���� �������� ������ ��� ��� + 1! ������� ���� �� � ����� ��� ���

������ ��� ����� ���� �� ����������� ���� + 1! � �� ""! 2������ -�"& !

-�"& �� -�"& ����� ������! ��� ����� ����� � ��� � ��������D ����� ��

��� ������ ��� � ��� ���� ���� � ����� �����

����� -�- ����� ��� ����� � ��� ���������� ������ �� ������ ! �

��� ���� ���� �� ���� ��� ���� ����� �� ����� 2� ������! ���

�������� ����� �� ����������� �������� ����! �������� �� �����

��� ��� ����� 2� ��� ����� ���� �� ����������� ����� �� � ������ ���������

� ��� ���� ���� + 1! � �� ;� 2� ��� ��� ���� �� ����������� ���

"-&

� �

� �

� &

*

� �

� +

� �

� �

Page 150: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

0 5 10

x

0

5

10

velo

city

0 5 10

x

0

5

10

velo

city

0 5 10

0

5

10

velo

city

0 5 10

x

0

5

10

velo

city

0 5 10

0

5

10

velo

city

0 5 10

x

0

5

10

velo

city

x

x

a) b)

c) d)

e) f)

2����� -�"&@ J�� ��� ����������� �� ' �� ' + 1! ' �� ' + � �� '

�� ' + ""

"-�

� � � & � � *

+ �

Page 151: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

���� ����� �������� �����

K ��� ���� �� ����� ���� �� ��� ���� �� ����� ���� ��

� � �&& "3 & ��3 "3 � �&& "3 & ��3 "3

1 " 6&( "3 " 1�- "3 " (36 "3 " 1�& "3

� " &"& "3 " 31- "3 " &36 "3 " 31� "3

; ; 3-1 "3 � 6�( "3 ; 3�3 "3 � 6�1 "3

"" � &"" "3 ( &63 "3 � &3- "3 ( &63 "3

&" � 1�( "3 � """ "3 � 1�1 "3 � """ "3

�" & ��� "3 & 3(( "3 & ��( "3 & 3(( "3

����� -�-@ 5������ � ����� �� ��� ����� ���� ��� ��� ���������

����

��������� �� ��� ��� �� ���� + 1! � �� ; ��� �� �� ������ ��

+ "" �� ��������� �� + &" �� �"�

���� �� �� ��� #�$ ��� ����! ����� ��� �� ���� %��""�'! ������� �

������� ��� ������� � ���� ������ �� ���� � ������� ����������� �

��� ������ � ��� ����� ������ ����� ���� ���� � � ����� � � �����

���� ������ ���������� � ��� ����� � � ��� ���� ��� ���� �� �������

�� ��� ��� � ��� ������D ���� �������� ��� ��� � ��������� ������

��� �� ���� � ��� #�$ ��� ���� �� ��� ����� �� %��"&�'! �������

"--

� �

� �

��� ��������� ��! � ��� ���� ���

��� ��������

���

� � � �

���

� � � �

���

� � � �

���

� � � �

����

� � � �

����

� � � �

����

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

Page 152: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

� ������� ������� � ����! ��

% ' + % % ' , ' , % % ' , ' %- -"'

����� % ' + � ��� ����������� ���� ����� �� ������� ���� � ����

��� ����� ! ����� �� %&��1'! ��� ��� ���� ����� � ) ' �� ���

���� ����� � % *� ��� ������ � �� ��� ���� �� ��� ������

����� ��! ��� %&��6'! ��� �� � ���� � ��� ������ ����� �

��� ���� ������� � ���

, + 3 � % '

, + 3 � % ' %-�-&'

) , * + 3

����� ��� �= ���� � ��� ���� ������� � ������ ���� � ���� ���

�������! ���� ��! ��� ������

, + , %- -�'

�� ������� ��������� � �� � ����� ��! � ��� �� �! �� ����� �� ������� �

���� � �������� ���� ������� %-�-�'� � �� ��� �������� ���� %-�-�' �� ����

��� � ����� ���� � ��� ������ F��� ���� %- -&' � �! �� �������� ���������

%-�-�' �� �� ��� ���! � ���� � ������� ����������� � ��� ����� �

��� ����� ������ ����� ���! %- -&' ���� �� ��� �� � ��� ����

��� ����� � ���� ����������� �� ����� ���� � �� �� -�" �

���� ���� ������ ������� �� � ��� ����� � ��� ���� ����� ��

����� ��� ��� ������ ��� ����������� �� � ���� �������� ����� � %-�-"'�

��� ��� �� ��� � ��������� ��� ���� �� ������� ������ �����������

"-1

� �� � � �� � � � �� � �� � � � ���

� � �

� � �

� � �

� � � � �

� � � � �

� � �

� �

�� � �� �� � ��

� � � �

��

��

��

��

� �

� � �

� � � � �

� �

� � � �

� � � �

� � � � � �

� �

� ��

� � � �� �

� �

� �

Page 153: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

���� �� ��������� � ���� � ������� %- -&' � A �������� ����� ���� ��

���� � �� �� -�1�"� ��� ����� �� ��� ������� � �� �� -�1�& � ���� �

�������� �������� ����������� ����� ����� ��� � ��� ������ ���� ���

��� ������� ���� %- -&' �

4�� ��� ���� � ��� ������ ) * �� ������� �� " ��F� �� �������

�������� ) * �� ��� ���� % + " � � � ' ����� �� %-�('� 7� � �����

��� ���� �� ��� �� ���� ��� ������ ���������� � ��� ����� � ���

��� ������ �� ��� ����� � ��� �� ������ � ��� � ���� ����� � ���

�������� F��� ���� � �� ���� ��� 4�� �� ��� ������ ����� �� ��� F���

������

��� ����� �������� ���� ����������� � ��� �� � ��� � �� �����

��� F��� ��� �������� ���������� �� �����! �� ���� � � ��� ������! ��

��� ����� � ��� �������� F����

4�� ��� ���������� � ��� ����� � ��� ����F��� ���� ) * ��

% ' + % '

�����

% ' +) *

3 ) *

% ' +

) *

) *

3 ) *

+ & � � � "

"-(

� � � �

� � � � � � � �

� � �

� � � � � �

� �

� �

� �� � � �

� � � �

� �

� �

� �� � � �

� �

� �� � � �

� � � �

� � � , �

�� �

��� ��� �

� �

� � �

��

��

��

��

� �� �

� �� �

� �

��

��

� �� �

� �

��

��

����

� ��

��������������������������������

����� ���� �� � ��� ���� ���

Page 154: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

% ' +) *

3 ) *

4�� ��� ���������� � ��� ����� � ��� ����F��� ���� ) * ��

% ' + % '

�����

% ' +) *

3 ) *

% ' +

) *

) *

3 ) *

+ , " � � � "

% ' +) *

3 ) *

��� �������� �� � �� ������ 2������ ��� �� ���� ������ �����������

�� ��� ������� �� ���� ��� ������ � + % � � � ' �� +

% � � � ' �� � ����

% ' + % % ' , ' , % % ' , '

�� �������� ���� ����� � � �������� � �� � ���� �������� ����� ���

�� ���� � �������

+ 3 + " � � � �� + 3 + � � �

���� 9���$� �����! �� ��� ����� � �� �� -�"� ��� ������ ���������� �

���� �� ����� ���� �� � ���� ���� ��� ����� ���� �� �� � ��� ���� �����

��� F��� �� ����������� �� ��� ������ ���������� � ���� �� ��� ���� ���

"-�

� �

� �

� �� � � �

� � � �

� � �

� � � � � �

� �

� �

� �� � � �

� � � �

� �

� �

� �� � � �

� �

� �� � � �

� � � �

� , � � � �

� �

� �

� �� � � �

� � � �

� � � � � �

� � � �

� � � �� � � � �� � �� � � � ��

��

��� � � ,

��

��� ,� � ��

�� �

�� �

��� ��� �

�� �

��

� �� �

� �

� �

��

� �

��

��

��

� �� �

� �

��

� �� �

� �� �

� �

��

� �� �

� �

� � � � ��

��

��

� ��

��

��

��

� �

��

��

��

��

����

��

��

��

����

� ��

��

�����������

�������������������������������������������

� �� �

��

� �

� �

� �

Page 155: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��� �� � ����� � ��� �������� �� � ����� ��� ����� � �� �������

��� F��� ���� %- -&' � � �� ��� ��� � ����� � ��� F��� �� �� ���

��� � ����� ���! ��� %- -&' !

% % ' , ' % % ' , ' + 3

� ��� ���������� ��������

% % ' , ' % % ' , ' ����� � %- --'

�� ��� ��� ���� ����� �! ��� ��� ���������� ����� ��� ��� ��� ��

�� ��� ���������� ����� � ��� �������� F���� � %-�--' �� � ��������

��� � �� ���������� � ��� F��� ����� �� ��� ���� ��� F��� ����!

�� ������

��� ������

% ' , % ' + 3 %- -1'

�� ����� �� ! ��� ����� � ��� ���� �� ��� � ���� �� �� ��� F��� ��

�� ���� ��� � ���� ������ � ��� �� ����� �� ����� ��� F���� ���

������� � ���� ������ �����

% ' % ' + ) *

��! �� � % ' �� ��� � �� ��� ����! ���� � �� ���� � �� ��� ���

� ��� ���� ����� ��� ���� �� �� � 2�� ��� ��� ���� � 5������ & ��

��� ��� � ��� ���� �� �� ��� ���� ����� ���� �� ������� � ����

% ' + %- -('

� �� �����! �� ���� ��! � ���� � ����� ����� �� �

"-6

� �

� �� � � � �� � �

� �� � � � �� � � � �

� � � � � � � � � �

� �

� � � � �� � � � �

� � � �

� ���

� � �

� � �

� �

� � � �

��

��

��

��

��� �

�� �

�� �

��

��

��

� �

��

��

��

� �

� �

��

Page 156: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��� �� ��� ��� � ��� ����� %-�-1' �� �������� ��� ����� � ���

������ ����� �� ��� ��� �������� �� ������� � �� �� ��� ��� �

��� ������ �� ��������

4�� ? �� � ���������� � ��� ��� � ����� � ��� �������� F����

2�� ��� ������� � ���� ������ ��� ���� �� �� ? � �� �� ������ �

�� ? + � ��� �� ��� ���� ���� � ��� F��� ���� �� ����� ���� �� ��

��� ����� ���� ���� �� ��� ���� ��� A����� ���� � �� ��� ��� ����� ���

��� ������ � ��� ����� �� ���� ����������� ������ ���� � ? � �� �� ������

���� ��� ������� � ���� �� %&��-' �� ����� %&��1'�

4�� �� ��� ����� ���� �� ����� �

+ ,"

&

?

���� ��! ��� �� ��� � ���� ������ 3 �� � 4�� �� ��� ��� ���� �� �����

+ ,"

&

?

���� ��! ��� �� ��� � ���� ������ �� � ��� ���������� �����! ��

+ ? ! �� � ���������� � �� �� � ���������� � �

2����� -�"� ��� ������ � �� ������ ! ����� �� %&��&'! ������ ����

�� �� + �� + ! ���� ! ��� ���� � ���� ����� ��� ��

����� ���� ��� ��� �����

% ' + % ' ,

��� � �� ��� ��� ����� ���� �� ��� � � ��� ���� �� + ? ! ��

% ' + % ' ,

"-;

� �

���

��

���

��

� � � � � �

-

� �

- � � �� � � �

� �

- � � �� � � �

� �

���

� �

��

��

� ���

��

� � � �

� �

� �

��

��

��

� � �

� �

� �

� �

� � �

Page 157: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

P

QQs QQs

E=Ee

E=Eo

P+

P-

2����� -�"�@ ����� �� � �� �� ? ?�

��� � �� ��� ��� ��� ���� �� ��� � � ��� ���� �� + ? � � �� ���

��� ��� � ������ � �� ���! ����� ������ %-�-1' �� ! �� ���������

� ���� ��� ����� � �� ��� � ��� �� ����� �� ������ ��

2� �� ����� � ? ! ���� � ��� ���� 3 ? ! �� � �� ���

���� ��� ���� ���� ���� ��� ����� ���� �� ��� � � % ' �� + ! �� ���

�� ��� ��� + ? ����� ��� �� ����� ��� ������ � � ��� �� ��� ����

���� ���� ��� ��� ���� �� ��� � � % ' �� + ! �� ��� �� ��� ���

+ ? ����� ��� �� ����� ��� ����� � � ������

2����� -�"� ? �� ���� ��� ��� � ���� ����� � ���� �� ? �� ��� F��� ��

� ����� �� ����� �� ��� ����� + ! �� ��� ��� � ������ �� � ��

! ������ ���� ������ ? �� ? �� ���� �� � ��������� ? � B�������

��� �� ��� �� ������ ? + ! �������� ��� �������� ����� ��

"13

- - � � �

� � � �

� � �

� - -

� �

- - �

� �

- - �

� �

� �

� � -

- � � �

� � -

� �

� ���

��

� � �

� �

� �

� ��

� ��

Page 158: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

P

QQsQQs

E=Ee

E=Eo

P+

P-

2����� -�"-@ ����� �� � �� �� ? ?�

�� ���� ��� ��� � ������ �� ������ � ����� � � ������ � ! �� �

���� ������ ��� ������� ����� � �� ?� ���� ���� ������� ���� ���������

����� � ���� ��� ��� � ����� � ��� ���� �� �� ��� F���! ��� ��� �! ����

��� ������� � ���� ������! � �� ���� �� ��� ����� � ��� F����

2����� -�"- ����� � ������� � ��� ����� �� ? ������� ��� ?� �����

�� ����� �� �� ��� �� ����� ������ � �� � ����� � + ���

?� � �� � ������� � ���� ���� � ����� � 3 ������ �� ��� �

% ' + % ' ��! ��� �� �� � � ����� ��� �����! ��� ���� �� ����� ����

� ����� ��� ����� � � ����� ���� ��� � �� � � ��� ����� �� �� � ������

�� � ��� � ��� ���� ���! ������ ? + ! ����� ��� ������� � 2����� -�"��

��� ������� �� �������� ��>���� � ��� ���������� ���� M����� %&�(-'

"1"

- - � � �

- �

� �

� �

- - � �

� � � � �

- � - �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

Page 159: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

����� � �������� �� �� � �� �� � ! ���� ��!

+ & % '

4��

+ & % ' �� + & % '

����� �� ��� ���������� � ��� ���� � ! ��� ���������� �

��� F��� �����! �� �� ��� ���������� ��� ���� � � 4��

% ' + % ' ,

�� % ' + % ' , �

2����� -�"1 ���� � �.�� � � ��� ����� �� � ����� � �� � �� ��

� �� �� ��>���� ������ � ! � 9�� � ���� �� ��� ��� ����

�� + �� �� ��� ��� ���� �� + � 9�� ��� ���� ������ �

�� � �������� ����� � ��� ���� �� % ' + � ��� ��� � ������ ��

� ��� �� ����� ����� ��� ����� � ��������� � ����� %-�-1'� �����

��� ��� ������� �������� �������

"� ? �� ? � ���� ? ���% '�

&� ? �� ? � ���� ? �

�� ? �� ? � ���� ?�

-� ? �� ? � ���� ?�

����� ��������� ��� ���� �� ���� ��� �� �� ���� �� ����� � ��� ����

�� + �� ������ ���� � ���� ��� ����� ���� �� ��� � �� ���� ��

����� � ��� ���� �� + �� ������ ���� � ���� ��� ��� ���� ��

"1&

� �

� � ��

� � �� � � �� �

� � � �

� � �

- � � �� � �

- � � �� � �

- - -

� � -

� � - � � �

� � �

- - �

� � � � � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � �

� � � � � � � � �

� � � � � � � � �

-

� � -

� �

� �� �� �

��

� �� �

��

�� � �

�� � �

� �� �

��

� �� �

��

� �

� ��

� ��

� �

��

��

� �

� ��

� ��

� �

� ��

� ��

� ��

��

� �

��

� �

� �

Page 160: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

P

Q

E=Ee

E=Eo

Pe

Po

QeQo QQs

2����� -�"1@ ����� �� � �� ������

��� �� ���� " �� &! ������� ?! �� ��� � � �������� ���

���� % ' ?� ��� ����� � � ��� ������� ���� %-�-1' ������

���� ���� ����! ��� � �� ���� �� �� �� ��� � ��� ����� ���� �� �����

� + , � ���� �� ��� � % '� ���� � �� - ��

3 ������! �� �� � ������ � � ����� ���� ��! ����� %-�-1' � ���� � �������

���������� � ��� ���� �� �� ��� F��� ��� ������ ��� ����������!

������� ���� �� �� ���� ��� �� � ��� ������ � �� ��� ��= �����

��� ������� � ���� �������� & �� � �� �� ��� ��� ���������� �

��� F��� ����� �� ���� ��� � ��� � ���� F��� ������

��� �������� �� ������� � �� �� ��� F��� �� � �� ������ 2������!

������ ���� + "! ��� �������� ����� � �� ��� ���� %-�-1'

�� %-�-('� ���! ������� �� .����� ��� ��� ���� � ��� & �� ��!

"1�

- -

� � � � �

� � � � � �

�� � � �

� �

� �

, � �

� �

��

� �

��

�� �

��

� �

��

��

� � �

� ��

Page 161: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��� ����� � �� ���� � % '% ' 3 ��� ���� ������

�� � 7�������� ��� �� ��� �� �������� ���� ��� �� �� ���! �����

% '% ' 3� ���! �� ! ��� ����� �

��� �� � �� ���� � ��� F��� ����� �� D �������� + "�

7 � ��� ����� � ��� �� � �� ���� � ��� F��� ����� ��� ���

����������� � ���� ���! �� ���� � � ��� ���� ������ �����������

�� ��� �� �� ������ ��� ������ ���� ��! �� %-�--' �� ����� � ��������!

%-�-1' �� %-�-(' ��� ���� � ������� �� ��� �� ��� �� �������� ����

%-�--' �� ��������� ��� ���������� ����� ��� ��� ��� ��� �� �� �

���������� � ��� F��� ������

��� �������� �� ������� � � ���� ���� + 3! + "3 �� + &"� ���

����� �� ���� �� ���� ��� ����� 13 �� ��� ���� �� �� ���� + ! �����

�� ����� �� %-�&3'! � ���� � ���� �� �� � � ���� ���� ������� + !

����� �� %-�"1'� ��� ����� �� ����� �� ���� �� �� � ��� �� �� ���� �

���� � ��� ����� � ! ���� ��� ������� � ���� �� %&��-' �� ����� %&��1'�

2�� ��� ������� � ���� ������ % ' + ! ��� � ������

+ ,"

& % '

��� ��� ����� ����� ���������� � ��� ��� ����� ����� ����� ����

+ - (; �� ������� + �� ���� � 2����� -�"( � 2� � ����� �

��� 9��� ������� � "3 �� ��� F��� ���� %-�--' � "3 ! ���

����� ������ � � �������� ��� ����� � ��� ��� ������! � ���

�� � �� ��� �� �� ��� ��� ������ ��� ��� ���D � ���� ��� �� �� ��

����� "(� ����� �������� ������� "1! 6 �� 6 9��� ��������� ��� ������

���������� ��� ������ ������� ���� �� ���� ��� ������ + " % + " � � � '

"1-

� � � � � � �

� � .

� � � � � � � � � � ,

. , .

� �

� �

� � �

� �

� � �

� �

����

� � �

� � � �

� � � � ,

� �

� � � � � � � �

�� �

�� �

�� �

� �

��� �

�� �

�� �

��

���

� �

� �

��

���

� �

� ��

� �

� �

��

��

��

� �

��

��

� �

� �

� �

� ��

��

��

� �

��

��

� �

Page 162: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

0.0

2.5

5.0

dept

h

0 5 10

x

0

5

10

brea

dth

0 5 10

x

a) b)

2����� -�"(@ ' G�� ����� ����� ����� ���������� �� + - (; �� ' % '�

�� + - (; % + � � � '� 7 � ��� ����� � ��� �� � ���������� ���

F��� ����� �� ��� ��������� ����������� � ��� ���� ������ ������

��� ��� ���������� ��� ������� ���� �� ��� ���� ����� � 9���$� �����

� �� ��� ���������� ��� �� ����� 2����� -�"( ���� ��� ������� �

��� ��� ����� ����� ���������� �� + � 6( �� ��� � 2����� -�"��

���� ������ � � �������� ��� ����� � �� &3! ��� � �� ���� ��� �� ���

�������� � �� ���� � ���������� ��� F��� �����! �������� "1! - �� -

9��� ���������

��� �������� � ���� �� �� �������� ����������� � ��� ����� �� ����

����� ��� � �����! ����� ��� ����������� ��� ����� ����� �

��� � ��� � ��� ���� ���� �� ��� � ��� ����� ��� � ������ ���� ��� ��

�������! ���� ��� F��� ���� %- -&' ! � �� � � ��� ���� %- -&' �� ���

���������� ��������� �� �� -�1�& ���� ����� �� �������! �� ������ ��� �

"11

� � � � �

� � ,� � �

� �

� �

��

� �

� �

� �

Page 163: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

0.0

2.5

5.0

dept

h

x

0 5 10

2����� -�"�@ G�� ����� ����� ����� ���������� �� + � 6(�

��� ������ ���� ���� � ���! � ���� � ������� ��������� ������

��� ���� � ��� ������ ) * �� ������� �� " ������� �������� �� ���

���� % + " � � � ' ����� �� %-�('� 2���� ������ ����������� � ���

����� ��� �������� ���������� �� � ������� ) * �� ��� F��� ����

%- -&' �� ���� �� �� � ������ �� � ������� ��� ��� ����� � �����

F��� �� ���� ������ ����������� ����� �� � ���! �� � �� �� -�1�"!

����� ���� �� " ����������� ����� �� ��� & ������ ���� �����

4��

% ' + % ' , % ' %- -�'

�� ��� ���� ������ ���������� � � ��� �� ������ ) *! �����

% ' +) *

3 ) *

+ " � � � "

"1(

� � � �

� � � � �

� � �

� �

� � � � � � � �

� � � � �

� �

� �

� �� � � �

� � � �

� � � � �

� �

�� �

��

� �

� �

��

��

��

��

� �

��

� �� �

� �

��

��

��

����

��

�����������

����� ���� ��� �����

Page 164: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

% ' +) *

3 ) *

+ " � � � "

4�� �� ��� ����� � ��� �� ��� � �� ��� ������ ���������� �

��� ����� � ��� �������� F���� ���! � ��� ������ ) *!

+ �� , "

�� + �� !

����� �� ��� ����� � ��� ����� �� ���� �� �� ��� ����� �� ������

��� ���� ������ ����� �� � ������ �� ���� �� ��� ������ � +

% ' �� � ����

% � � � ' + % ' ,

, % ' ,

����� % ' + ! �� �������� ���� ����� � � �������� � % + " � � � "'�

��� ������ � ��� " ���� � ������ �������

+ 3 + 3 + " � � � "

�� � ���� �� �.��! ��� ��� ���� 9���$� ������

7 � ��� ���� ��� �� ������ ��� ������ ���� ��� F��� ���� ��

������� �� �� � ������ ��� �

% ' , % ' , ����� � %- -6'

�����

+ + ��

+ + �� +

+ + ��

"1�

� �

� �

� �� � � �

� � � �

� � � �

,

� � �

� ,

� ,

� � �

� � � � �� � � � ��

� �� � � � �� �

� � � � � �

��

���

��

��� � � � �

� �� � � � �� � � � �

� � ,�

� � ,�

� � ,�

�� �

��

��

� �� �

� �

� �

� �

��

��

� �

� �

� �

��

� � �

��

��

��

��

��

��

� �

����

��

��

� �

��

� �

� � � �

� �

� �

� �

�����������

� �� � � �

� �� � � �

� � � �

� �

��

��

� �

� �

Page 165: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�� ��� + & � � � " �� � ��� ���� ����� �! ��� �������� ���������� �����

��� ��� ���� � %-�-6' �� � �������� �� � ����� ���� ����� � ���

% ' , % ' + 3 %- -;'

�� ����� �� �� ��� �� ����� � ��� ���� ��� �� ��� ��� ����

��� ������� � ���� ��� �� ���� ���

��� ���� ��� ����� � ��� F��� ����� � ��� ������� ���� ����� ��

%-�(' �� ��� � ��� ���� ��� �� � �� �� -�1�"� ��� ���������� � ���

F��� ����� �� �������� ��.� � �� D ������ %-�-;' ��� ������ ��� ��

���������� � ��� �� ��� �� �������� ���� �� ��� ���������� �

��� F��� ����� �� ��� ������� �� .����� ��� ��� ���� � �� � ����

��� � ��� ���� % '% ' 3 �� ��� � ���! ��

! + �� ��� ����� � ��� �� ��� � ���� �� ���� � ����������

��� F��� �����D �������� + "�

H��� ���� ��� " ���� ������ ����������� %-�-�' ��� �� ������

��� �� ����! ���� ��� ������ ��� ������� ���� �� ��� ������ ����� �

9���$� ������ � %-�-6' �� � �������� �� ��� � ��� ���� & � � � "!

��� ������ ���� ���� ��� ��������� ���� %-�-;'� ��� �� ��� �� ��������

���� %-�-6' �� �������� �� ��� � ��� ���� & � � � "� A ���������� �

��� ����� �� ��� ����� ������ ����� �� ��� ��� ��� ����

��� �������� �� ������� � � ���� ����� + 3! + "3 �� + &"�

��� ������� + �� ���� �� %-�"1'� ��� ����� �� ���� �� ���� ���

����� 13 �� ��� ���� �� �� ���� �� ���� ��� ����� ��� � ����� ��� �� �

�� ���� �� �� ��� ���� �����! ���� �� + ! ����� �� ����� �� %-�&3'�

��� ������ ����������� � ��� ����� ���� � 9���$� ����� ��� ��� �����

"16

� � � �

� � � � � � � � � �

� � �

� �

� � � � � . � � �

� � , .

, .

, �

� � � �

� � � �

� � �

� �

� � �

� �

� � � � �

� � �

���

�� �

��

��

� � �

�� �

��� �

�� �

��

���

� �

�� �

� � � �

��

��

��

� �

��

��

��

� �

Page 166: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

0.0

2.5

5.0

dept

h

0 5 10x

0.0

2.5

5.0

dept

h

0 5 10x

a) b)

2����� -�"6@ G�� ����� ����� ����� ����������� �� ' + � 6( �� ' +

- (�

" �� ��� ��� ��� ���� ���� � �� ��� ����� � ��� ����� ����� �� ���

��� ��� ����� ���� � �

2����� -�"6 ���� ��� ������ �� + �� ��� ����� ����� + � 6(�

��� ��� ��� ����� ��� ��� ��� ������ � ��� ���� ����! ���� ��� &3

����������� ��� F��� ������ 2� � ����� � ��� 9��� ������� � "3

�� ��� F��� ���� %-�-6' � "3 ��� �������� ������ � � ��������

��� ������ � ��� ���� ���� 2����� -�"6 ���� ��� �������� ������

�� + - (� <��� �� "6 ����������� ��� F��� ����� ��! �� ��� ����

����� ��! ��� �������� ������ � � �������� ��� ������ � ��� ����

����

"1;

� � � �

� �

� � � �

� �

� �

� �

� �

Page 167: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

������� �

����� ����� � ��������

����� ������� ������ �����

����

�� ���� ����� �� ��������� ����������� ������� ��� �� ������ ����� ��

�� �� ����� ������������ �� ���� ��������� ������� ���� ����� ��

���� �� �� ������� �� �� ���� �� �� ����� � �� �������� ���

��������� �����

�� ����������� �� �� ��������� ����������� ������� ��� ��� ���� ����!

"��#�$! "��#%$! "��#&$ �� "��#�$! ��

" $ ' " $ ( ) "&�*$

" $ ' " " $ ( $

" $ ' " $

" $ ' " " $ ( $ ( ) "&��$

*�+

� � � ��� �� �� � � �

� � � � � �� �� ���

� � �� �� ���

� �� � � �� � �� �� �� � � �

��

��

� � �� �� �� � �

� �

� �

Page 168: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

���! �� �� ! �� ���� ��� �� �,��� �� ������ ' + ��

�� ' �� )! ��� �� ���� -��� �� �������� ! �� ! �� �� ! ��

���������� ' ��� -� ��� � �� ��� �� �� �������� " $ '

. ( " $! ��� . �� � /���� ���������

�� �� ����������� ������� -�� �� �� �� ����������! ! �� ����

������ " ( $ ' + �� �� " ( $ ' �� )! ���� ��! ' + ��

�� ' + �� )� ���� ��� - ����� �� ������ - ����� ����� � ��

�����-� ' " $! ���� ����! ' " $� ��� ' " $ ���

" $ ' + �� )�

�� ���� ����� �� ���������� �� �� �� ����� ������������ �� ��

������ ������� ! ���� ����� ������������ �� �� ������ �� ��

����� ' ! �� �� �� �� ����� ������������ �� �� �� �� ��

"�� ��� ���� �� $� �� ����������� ������� -�� �� �� � ���

�,��� �� ���������� �� ������ �� -��� �� ��� �������

0� �� ����� �� �� ��-�� - �� ������

' " $ 1 2 34" $

" $

��� " $! �� -�� �� �� �� ������! �� � �������� �� - 5� � �� ������

��� �� ���� �� � ���� ����� �� ��� ' + �� �� ��� �� ���� �� �� ������

. ' " $ 1 2 34 +" $

�� ����� � ! �� ��� ��� �� ����� . -��� �� ����� �� � ����

���� � �� �������� " $ �� �� �� �� �� ��� -��� �� ��� ' +! ��

��� ���� �� 5������ �� �� ��� ��������� ������ �� �

�� -��� �� �������� �� ��/� �� - 6�� �� �� ������ �� � �� . �� ��

*�*

� � �

� �

� � � �� �

� �� �� � �

� � �

� � � �

� �

� � �� � � � � � �� � ��

�� � ��

� � �

� � �

� �� � � � � � �� �

�� �

� �

� �� � � � � � � �� �

� �

� �� � �

� �

� �

� �

� � � �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� � ��

� � ��

� �

� �

� �

� �

� � � � � �

� �

� �

� �

� � �

� �

Page 169: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

x=xe x=xo

y=0

7���� &�*1 8���� �� ���������� ��� ��� ' # �� ' %�

������ ����� �� �� ���� ������ ) "�� ' $ �� �� -��� �� ) �� �� ��

����� ������ ) "�� ' $ ���� ����

) ( ) ' +

��� ��������� ���� ����������� �� �����

�� ����� . �� ������� ���� � ���������� ��� ����� �� ' �����

' " $ (

' " $

"& �$

��� ' * � � � �� ' * � � � � �� ����� ���� - �� ��� �� ��

����������� �� . � 9� ���� �� � ��� ��� ' # �� ' % �� ���� ��

7���� &�*�

�� ����������� ���� �� ������� �� ���� �� �� �������� �� ��

������� ������ ������� �� �� ��������� �� ��� �� ���� �� 5���

���� -���� ��������� �� ��-������ ���� �� ����������� �� � �� 5���

��������� ������� �� �� �����������! ����� �� ���� �� ! �� �� - �� ����

������ ���� ���� �� ���������� �� �� ������� �� �� ������������� ��

*��

� �

� �

� �

� � �

� � ��

� � � � �

� � � �

� � � � � � �� �

� � �

� �

� �

� �

� � �

� � �

� � �

� �

� �

� �

�� ����

�� ����

�� �� ��

� �

� �

� �

��

� �

Page 170: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

i

i

7���� &��1 9 ���� ��������� ����� ����� -���� ���������

-���� ��������� ����� � �� �� ���� ��������� ����� ������ �� -����

�������� ������� ��� �� � ��������� �� �� �� ������� �� �� �� �� !

6�� �� ��� ���� �� � �� ����� ��� ��� ���������� ����� 9� ���� �� �

� ���� -���� �������� ��� �� ������� ��� �� �� ���� �� 7���� &���

�� ���������� ! 5� - "&�*$! �� �� �� ����� ������������ �� ��

������ ������� � : ����� ���� �� ������ �� ���� �������� �� ��

��� - ����� ���� �� ������� - ��-�������� ��������� �� �� ������� ����

,������� �� ��� � �� � ���� ��� ����������� ����������

0� �� ����������� �� �� ������ ������� -

" $ ' " $ "& �$

��� �� �� �� ���� ��������� ����� ����� -���� ��������� 5� ��

�� ��� ���� - �� ����� "&��$ �� �� �� �� ����� �� �� �� �� � ��

*��

� �

� �� � � � �� � �

� �

��

� �

��

��� ��� ���� ��� ��� ��������

Page 171: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�� ��� �

��-��������� "&��$ ���� "&�*$ ���� �� 5��� ��������� ������ �� �� �����

������! ���� ��!

" $ ' " $ ( ) ( )

��� ' " � � � $ ! " $ ' . ( " $ �� . �� �������� - !

�� ����� ���� - �� ���������� ��� � �� 5��� ���� �������� �� ���� -

�� ����� �����5�

" $ ' ' ( ) ( ) ' +

��� ' * � � � �� �� ���� ����� ;����<� ���� �� �� ��� �� �� -����

�� =���-��� �� ���� -

" $ ' ' ' '

���

'( (

( (

�� �� ������ 5��� ��� ����� ��-�������� ��� �� �� 5��� ��� ����� ���

��������� ����

>��� �� ������� ����������� �� �� �������� � �,��� �� ��������

����� �� ����� ! ����� ;����<� ���� ! ����

' ( "& &$

���

" $ ' " $ "& �$

*��

� � � �� �� �� � � � � �

� � � � � �� � � �� �� � � �

���

��� � �� �� � � � �

� � � �

� ���

��

� �

�� ��� � � �� �� �

�� � � � � �

� � � � � �

� �

� �

� � �

� �

�� �

� � � �

���

� � � �� � � �

� �

� � ��

��

��

��

��

� � ��

� � �

� � �

� �

� �

��

��

��

� � � �

� � � �

� � � � �� � �

� �

��

�� �

� �

� �

� �

� �

�� �

��

� �

�� �

� �

� �

� � �

� � �

Page 172: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�� ����� �� ������� �����

���

���������� "& %$

?���� �� ����� ����� -���� ���������! 5� �� � ���������� ��� ! �� ���

����� � �� �� =���-��� �� �� ����� ' " � � � $ �� ��������� ���

��� ���� �� �� �� ������� ����� �

�� =���-��� �� �� ����� ��� �������! �� �� ��� �� �� ��� ��������� ����

��! �������� �� �� � ������ �� -�� � 8,������ "&��$ �� ����� - ����

@����� ��� ����� � ����� ����� ���A���� ��� ��� ���� ">���-

�� B�� 0��� "*#C#$$! ���� ���� �� ��� �� 5���� �� ������ �� ��

��� ����� - ��� ������� �����! ���� ��! - �� ������ ' ���" � � � $�

�� � ���

" $ " $ " $ ' " $ " $

�� ���� ��� - �� ���A���� ��� ��� ���� � ��� �� �������� ��

"&��$ �� ���� -

' " $

�� D�� �� ���� ����� �������� ����� - �� ����� �� �������� ���

�� �� ���A���� ��� ��� ��������� �� �� � �������� �� ��� ��

��� �������� �� � ��� ����� �� ������ ���� ����� �� �������� ��� ��

�� ���A���� ��� ��� �������� "E���� "*#C%$$�

�� ������� ����������� �� �� ���� -

' ' * � � � "& C$

��� �� ������ � ���� ����� ������ ����� �� �������� -��� ������

��� �� �� ����������� �� ��-�������� �� �� ����������� ���� �� ��� . ��

*�&

��

��

� � � � �

� �

� � � � �

� � � � �

� �

� � �

� �

�� �

� �� � � � ��

��

��

��

� � � � � �

� �

� � �

� ��

��

� � �

� �

��� ������ ���

� �

� �

��

��

� �

� � �

� � � � � �

� �

� � �

Page 173: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��/� �� - &+�

�� -��� �� �������� �� ���� �� ���� " $ ' ! ��� �� �

��������! �� �� ���� -��� �� ) �� " $ ' �� �� ����� -��� ��

) ! ���� �� ��������� ���� ����������� �� ����� �� �� �� ���� -��� �� ��������

����� ���� �� ��� �� ������� ������ �� ���� �� ����� -��� ����� ������

�� ����� � ��� - ��� �� �� ��5���� ���� ������ ����� ��� �������� ������

�� � �� � ����6����� - ��� ��� -�� � 5��� ������ �� ��� ������ �� �� � ��

��������� �� D��� �� �� ��� ���� -��� �� �������� �� �� � � �� � ������

�� 5��� �����! �� �� ����� - ���� ���� �� ��� ��� �� �� �������

2+!*+3 �� �� ���� �� �� �������� �� 2 +3 �� 2*+ 3! ��� ' ��

' *+ ( ! ��� ��� ���-� � : ����� ����� �D��� ����� �� ��

������������� ���� - ����� �� -��� �� �������� 5� �-�� ��� -

��� � � �� �������� �� ���� �� ���� *+�

�� -�� �� ��������� �� �� ��

" $ '� ( � * 2+ *+3

*+ 2 +3 2*+ *+ ( 3

"&�#$

" $ '

*+ 2 +3

� ( � * 2+ C3

� ( � 2C *+ ( 3

"&�*+$

" $ '

� ( � * 2+ �3

� ( � 2� *+3

*+ 2 +3 2*+ *+ ( 3

"&�**$

�� �� �� ��� -��� �� ����� ��� ' + �� ��/� �� - � ������� 6��!

������� ��� �� � ����6����� ������ - �

*��

� � �

� � �

� � �

� � � � � � �

� � � �

� �� �

� �� � �

� �

� ��

� �

� � �

� �

� �

� �

� �� � �

� ���

� � �

��

��

��

���������

� �

�������������������

� �� �

�������������������

� �� �

� �

� � �

� �

� �

� �

� �

� � �

Page 174: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

0� �� ��� �� ����� - 5� - "&��$ ���� ' & �� ' �� ����� � ��

������ ���� -�� �� �� �� ' +� ;����<� ���� ! ���� � ������� ��

"&�%$ �� *+ ! ������� �� �� ��-�������� ����������� �� � ���������! �,������

%! %! % �� � ���A���� ��� ��� ���������! ���� � ������� �� *+ � F� � �5�

��� ���� ' # �� ' %! �� ����� �� ��� ��������! ;����<� ����

������� �� �� ��-�������� ����������� �� � ��������� �,������ �#! �%! �� ��

% ���A���� ��� ��� ���������� �� -��� ���� �� ���� - "&�C$ ���� ' +�

9 ����� �������� ������ ����������� ��� - ����� ���� ��

������ ������� ����������� ����� ' �� ��� ���������� �����

�� ������ ������������ ��� �� �-�� ��� ���� �� ����� �� 7���� &��! ��

����� �� �� ����� �� ��� ���� -��� ����� ���������� �� �� �������

�� � :��� �� �� ������������ ���-�� �� ���� �� �� ���� �������� ����

�� � ������� �� �� -�� �� ������ �� ���� ��������� ������

�� -��� �� ��� ������ �� 6�� ��� ������ �� ������ �� ! ' ���

2 3! �� ������ �� ���� �� � ���� ! ' +� �� ����� �� �� � ! ��

�� -�� �� ����� ��� �������! �� ����� -��� �� �� ��� �5�

��� ! �� ��������� �� ������� � ��� ������ "���� ��++ �� ����$ �� ��

������� � ��� ���� "���� ���C �� ����$�

7���� &�� ����� ������� ��� ������ ��� -�� �� ���� ' +� ��

����������� �� �� ��� ���� ' & �� ' � ������� �� � ;���� ���������!

�,������ *�! *�! *� �� * ���A���� ��� ��� ���������� �� ����������� ���

' # �� ' % ���� ������� �� � ;���� ���������! �,������ �+! �C! �% ��

*� ���A���� ��� ��� ���������� �� -��� ���� �� ���� - "&�C$ ���� ' +

�� �� �������� �� *+ ��� �� ;���� ��������� �� *+ ��� �� ���A����

*�%

� �

� �

� �

� �

� �

� � � �

� �

� �

� �

� � �

� �

� �

� ��

� �

� �

Page 175: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

scale: v=5

scale: v=5

0 10

100

a)

b)

scale: v=5

scale: v=5

a)

b)

0 10

100

7���� &��1 ��-�������� ����� �������� ������ ������������ �� � ������

���� -�� �� �� ' + ��� $ ' & �� ' � �� $ ' # �� ' %�

7���� &��1 ��-�������� ����� �������� ������ ������������ �� � ������

���� -�� �� �� ' + ��� $ ' & �� ' � �� $ ' # �� ' %�

*�C

� � ! � � " � �

� � ! � � " � �

Page 176: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

scale: v=5

a)

b)

c)

-5 15

-10 20

-15 25

7���� &�&1 ��-�������� ����� �������� ������ ������������ �� � ������

���� -�� �� ��� $ ' &! $ ' *+ �� $ ' *&�

��� ��� ����������

�� �� � �� ��������� �� D��� �� �� ��� �� ���� -��� �� �������� ��

� ������ �� 5��� �����! ������������ �� ���� �� ������� ����� ��� �D���

����� �� �� ����� � ����� � �� ������ ���� -�� �� � 9�����������

��� ' &! *+ �� *& �� ���� �� 7���� &�&� �� ��� - �� ���� ���������

���� & �� *& ��� �� ����� D�� �� �� ����������� �� �� ����� -��� ��

���� ' & �� ' *&� 9��� ����� ���� �� ������ �� �� ������ -���

' *& �� ' & �� -��� ' *& �� ' �& �� �������� ������� �� ��

������ �� �� ������ �� ��

�� ����� - ����-� �� ����� ������������ �� ����������� ���� -

*�#

� ! � " � # �

� �

� �

� �

� � � �

� �

Page 177: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��/��� �� �� ���� ��� � �� "&�C$! ��� ��

�� ������� �������� � �� � ��������� ������ ��� � ��� ���� ���� ����� ��

�� .� G����! �� =���-��� �� �� 5��� ��� ����������� ������������

�� "&��$ ���� - ���� ��� - �� ��������� �� �� ���A���� ��� ���

���� ! ���� �� ��� - ���� �� >���- �� B�� 0��� "*#C#$�

�� ���������� �� �� ��������� HI< ������! ���� - "&��$! �� �� �� �����

������������ �� �� ������ ������� �� �� �� �� �� ���� : ����� ����

�� ������ �� ���� �������� �� �� ��� - ����� ���� �� ������� -

��-�������� ��������� �� �� ������� ���� ,������� �� ��� � �� � ���� ���

����������� ����������

0�

" $ ' " $ �� " $ ' " $ "& *�$

- ������������ �� �� ������ ������� �� �� ��! ��� �� �� ��

���� ��������� ����� ����� -���� ��������� 5� ����� �� �� ��

�� �� ������� �� �� ��������� ���� ����� �� �� - ����� �

��-��������� "&�*�$ ���� "&��$ ���� �� 5��� ��������� ������ �� �� �����

������! ���� ��!

" $ ' " $ ( ( ) ( )

��� ' " � � � $ ! ' " � � � $ �� �� �� ����������� �� . �

�� ������� �� �� ����������� �� ���� ����� �� �� ��� ����� ��

*%+

� # � � � � #

� �

� �

� �� � � � �� � � �� � � � �� �

� � � � � � �� �� �� � � � � �

� � � � � � � � � �

� �

� �

��� �

� �

��

� ��

� �

� � � � �

� �

��� �

� � �

���

� �

� �

� �

� �

� �

� � � � � ���

� � � �

�� �

� �

��

��� ��� ���� ��� ��� ��������

Page 178: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��������� ���� ���� �� ����������! ���� ��! �� ������

" $ ' ' ( ) ( ) ' +

" $ ' ' " $ ' +

��� ' * � � � �

�� �������� �� ���� ����� ;����<� ���� � �� =���-��� �� ���� -

" $ '

���

'

'

'

'

��� ' * � � � �� ' * � � � �

>��� ������� ������������ �� �� �� ;����<� ���� �� �

� �,��� �� ������������!

' (

���

" $ ' " $ "& *�$

�� �,��� � � ���

���

���������� ��

���

���������� "& *�$

*%*

� ���

��� � �� �� � � � � �

� ���

��� � � �� �� �

� � � �

� � � �

� � � � �� ���

� � � � �� ���

� � � � �� ���

� � � � �� ���

� � � � � � � �

� �

� � � �

��

��

��

�� �

�� �

� � � �

� �� �

� �

��

���

� � � �

� � ��

� � � �

� � ��

� � � �

� � � ��

� � � �

� �

� �

��

��

��

��

� �

� �

��

��

� � � �� �

� �� �� �� �

� �

� �

� �

� �

��� ������ ������ ������ ���

��

� �� �

��

��

� �

� � �

� �

� �

� �

��

� �

�� �

�� �

�� �

� �

� �

� � �

��

Page 179: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��� ��� ���5 �������� �� =���-��� �� �� ����� �� ������ �����

% ���� >������� ,�� ����� ��� ���������� ��� ���������

�� =���-��� �� � ������ �� -�� �� "&�*�$ �� ���� ! ��� �� ���

�� 5���! ����� � ����� ����� ���A���� ��� ��� ���� ! ���� �� ��

��� �������� ������ ' ���" � � � $�

�� ������� ����������� �� �� ���� - "&�C$ �� �� ������� ��������

���� �� �� ���� - ' J! ��� ' * � � � ! ��� J �� � ��������� �� �����

�� J �� ! �� "&�C$! ���� - ��������� ���� �� ������! ���� ��! �� J �� ������

� ���� ������� ��� �� � ��-�������� �� ��� ���� - ���� � ���� �� ��

���� + ! ��� ' ��� �� �� 5� - "����$� �� J

��� � ���� ������� ��� �� � ����������� �� ��� ���� �� �� �� ����

��� � ! ��� ' ��� �

�� �������� . �� ���� �� ���� &+� �� -��� �� �������� �� 5� ��

�� ��� �� �� �� ������ &�*! ���� ��! " $ ' �� ) �� " $ '

�� ) 4 �� ��/� �� - *+� �� ������ -�� ��� ����� � �� �� ���� ����

- "&�#$! "&�*+$ �� "&�**$� �� �� �� ��� -��� �� ����� ��� ' + ��

��/� �� - � ������� 6���

����� � �� ������ ���� -�� �� �� �� ' &� ���! ���� ' # ��

' �! ;����<� ���� ! ���� � ������� �� *+ �� "&�*�$! ������� �� ��

���������! ���� � ������� �� �� ���A���� ��� ��� ��������� �� & *+ � F� �

�5� ��� ���� ' *% �� ' & ;����<� ���� ������� �� �� ���������!

���� �� ��� �������� �� -���� �� -��� ���� �� ������� ��� �� J' � & ��

' +�

�� ������ ��� ' # �� ' � �� ���� �� 7���� &��� 7���� &�� �����

*%�

� � � � �

� � � � � � �

� � �

� � # # # # �

# � � � # #

� � � � � �

� � �

� �

� � !

� �

� �

��� �

� �

� � �

��� � ��� �

� � ���

�� � �

��� ���

� � �

����

�� � �

���

� � �

� �

��

� �

� � � �

� � ��

� �

� �

��

��

� �

Page 180: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

scale: v=5

4.14

4.78 4.784.14

b)

a)

-5 15

7���� &��1 ��-�������� ������������ ��� ' # �� ' � $ ����� �����

�� �� $ ����� �������� ������ �

�� ����� ����� �� ����������� �� 7���� &�� �� ����� ��������

������ �����������! �������� ����� ' ! ��� �� ������ ���� ��

�������� ��� ��������! �� ������ -��� ����� ���������� �� �� ����

���� �� �� ��� ����� �� ��� �� �� �� ���� ��*� �� ��%C �� ��

� � �� �� �� ���� *�C# �� ��C#�

7���� &�% ����� �� ������� ��� ������ ��� ' *% �� ' &� �� ���

�� -��� ��+� �� ��C& �� �� � � �� -��� *��� �� ���*�

����������� ������������ �� - ����� - ����� �� �������

���� �� ���� "&�*�$ ��� ! ��� " $ �� �� 5���! �� - ������

��� ��������� ����� ��� J �� ! ������� ��� �� ����������� ����

*%�

� � !

"

"

� �

� � �

� �

� �

� �

� �

��

��

Page 181: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

scale: v=5

4.85

4.03

a)

b)

-5 15

4.85

4.03

7���� &�%1 ��-�������� ������������ ��� ' *% �� ' & $ ����� �����

�� �� $ ����� �������� ������ �

�� ���� ����� ��� ���������� �� ���� ����� ��� - �� �� ����� �����

�������� �� ���� ��������� ������� ���� ����! ��� �� ���� �� ��-���������

:��� ���� � �� ������������ �� �� ������ �� �� ��� �� ��� �����

�������� ��� - ����� �� ��������

����� � �� �� ���������� ���� �� �� ������� ����� �� ��

- �� ��� �� �� ����� 0� - �� � �� ���� �� �� ������

����������� ����� ! �� �� ������ &�*! - ����� �� H< ������ -�� ��

"&�*$� 0� - �� � �� ���� �� �� ������� ��� �����������

*%�

� � !

"

� �

� �

��

��

Page 182: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

����� ! �� �-��! - ����� �� HI< ������ -�� �� "&��$� ���

'

" ( $

��� ' �" *$" *$ �� �� ���-� �� ����� �� �� �����! �� � �����

�� �� �D��� -��� �� ��� ������ �������������

����� � �� ������ ���� -�� �� " $! ���� - "&�#$! ��� ' &! ��

�� �� ��� �� -��� �� ����� ��� ' + - � ������� 6��� �� �����

�� ��� ��� � ���� �D��� ����� �� �� �� ���� �� ��-� &�*� �� ������

������ ����! �� �� ���-� �� ����� �������! �� �D���� -��� ��

������������ ��� ���� �� ��� ������� �����

# � � # *+

*� & � � *+

*% & � � *+

��-� &�*1 B���� �� ��� ������� �� �

*%&

$

� �

� �

% � �

� � �

$ � �

� � $

$ � �

��

�� �

��

�� �

���� ����

� �

Page 183: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

������� �

����� ���� ��� ���

�� ������ � ��� ��� ���������� �������� �� ����� ���� ������ ����

��� �� ��� ��� ��� ��������� ������ �� ������ �� �� ��� �� �������

������������ �� ��� ���������� ���� ���� ��� ������� ���� ����������

�������� �� ������ � ����� ��� �� ��� �� ������� ���������� ������� ��

���� ������� ��� ��� ������ �� �������� ����

��� ������������ �������� � �� ���� ��� ���� �� ������� �� ��� ������

���� � ������� �� ����� �� � ����� ���� ��� ��������� �� �������� ��!

��������� �� ��� ������ ���� � ��� ������� ���������� � ����������� �� ���

�������� "#�$�%� ��� ���������� �������� "��&%� ���� �� '�(�) �������� "'�(�

"$*+&%% � ���,�� �� ������� �� ��� � ������ �� ����!��������� ��� �����

��� �� �� �������� ���������� ���� �� ���� ��������� �� �� ������������

�� ����!���������� ��� ��� �� �������� ���� �� ��� �� ��� �� ���������� ���

������� �� ��� �������� ����� ���� ��� ��������� �� ������ ���� ������

��� ��������� �� ��� ������� ��������� �� ��� �������� � �����������

�� -������ +�$ ��� ���������� �� "��&% � ������ �� � ���������� ���� ��!

$&+

��

Page 184: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�������� ���������� �������� �� � �� ������ ��������� ��� � ������ ��

����!����������� ��� ����� ��� �� ��� ��������� ���� �� ��� ������� ��

���� � ������ �� �������� �� ��� ������� ��������� ��� ��� ��� ���.�����

��������� � /� ������� � ���� �� ������ ��� �������� �� ������ � ��

������� ������������ �� ��� ����� ��� ���� ��� ��� �����������

�� -������ +�# ��� 0�) ���������� �� ����!��������� ��� ���!����������

������ ���� ��� "��*1% � ��� �� �� ������� �� ��( ������������ �� ����!

��������� ��� �� � ������� �� ����� ������ ������� ��� ������ ����� ��

���� ��� ���������� "��*1% �� ��� ����������

��� ���������� �� ��� ����,�� ����� �� '�(�) �������� "��&% � ����� ��

2 2$

#2 3 "+ $%

���� 4 " %� 4 " %� 4 " %� 4 " % ��� 3 �

��,��� �� "#�#%� ��� ���������� "+�$% � ��� �� -������ +�$�$ �� ����� � ����������

����� �� � �� ������ ��������� �� ��� ,� �������� ��� � ������ �� ����!

����������� ������ �� ��� ��� ���������

��� � ���� ���������� � �������� ��� "+�$% �� ,� ��(��� ��� ��������

���� ��� ��� ������� �� ����������� �� ���� ��� ���������� ��� ���� �������

��� ���� ������ ���� ��� ������ � � ������� �� ����� ������ ������ � ����

��� ������� �� �������� �� ��� ��������� ��� ���� ��� ��� ������� ����

$&&

� � �� � � � �� �� �� � �

� � � � � � � � � � � � � � � �

� �

� �

��� ������� ���� ���� ������� ����

� � � � � � � � ���

� �

��

� �� �� � � �

� �

����� ��� ���� ��

Page 185: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

����� �� ��� �� ���������� �� � ��� ������ �� ��� �� ������� ��� �

���� �������� ��� �� ������� ����� �� ��� �������� ����� �� ��� ����� ���

������ �������� �� ��� ��������

5�� ��(� ��� �������� ���� ��� ��� ����� ��� ��� ��� ��� ���� �����

���� ��� ��� ������� ��� ��� ������ �� ��� ��� ����� ����� ��� �������

����� 4 6 �� ����������� �� ����� ���� �� 4 " % ��� 4 " %� ���

�������� �� ��� �������� ��������� ���� ����� �� ���� ���� �� �� ��������

��� ��� � ����� �� �� ���������� �� ��� "#� %�

4 3

7� �������� ��� �

3

����� ������ ���� � �� ��� ���

" % 4 8" % 2 " %

�� ������ �������� 8 ��� � ����

3 4 3 8 ��� 4

'��

8 4$

4$" " % " %%

���� 4 � ����� ��(��� ���� ���������� ���� ��� ���������� "+�$%

��� ���������� ���� ����� �� ���� ����

8 $

#2 3 8 "+ #%

$&1

� � � � � � � �

��

� � � � � � � �

� � � �

��

� ��

�� � �� � � � �� �� ��� �

� � � � � ��

��

� � �

� � �

�������������� �� �

� �

� �

� � � �

� �

� �

� �

Page 186: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

'�� �� ��� ������

4 " % 9 : ;" %

#

" %

#

���� " %� �� : ;� � ��� ������ �� ��� ������� ��� � � ����� ������

�������� �� � '�� � ��� ����� �� ���� ����� ��� ������� ����� 4 6� ������

�� ��� ��������� ������

<�� ��(� ��� �������� ����� �� ��� ������� ��� �� ��� ������� �� ����!

������� �� ��� ��������� ��� ���,�� ��� ������� � ������� ��� ��������

" % ������ 4 " %� ���� 4 " %� ��� �������� ��������� 8" %

������ 8" % ��� " % ������ " %� ��� ������ 3 � ������� �� ��

���!���������� ��������� 8 �

=�(��� ���� ���������� �� "+�#% ��� ���������� ���� ����� �� ����

8 $

#2 8 8

/ ��� ,��� ���� �� ��� ���������� �� ��� � ���� ����������� ������� ���

��� �� ����� � ���� �������� �� ��� ���������� �� ��� �������� ���� ��

����� �� ��� ��� �� ��� �������� ���� �� �� 4 ��� 4 �

��� � ���� ���������� �

" % 4 8 $

#2 8

2 "+��%

���� ��� ������� �� ���� �� � ��� �� ����� ��� ��� 8 �������� �� ���

�������� ��������� �� ���� ������ �� ����������

$&*

� � � � � � �� �

� �

� � � � �

� � �

� � � � � � � � � � �

� � � � � � � �

�� � �� � � � � �� ���

� � � �

� � � � �� � � � � �� ��

� � �� � � ��

��

� �

� �

� � � � ��

� � � � ��� �

� �

� �

��

� �

� �

� �� �

� �

� �� �

� �

� � �

� � �

� � �

� � �

� ������������� �� �

� � � �

� � � �

�������� ����

� � � � �

� �

� �

� �

� �

��

��

Page 187: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��� ������ ��������� �� 4 6 �� ����� ��

8 4

8 " % 4 6

�� " %> " " % " %%

4 6 �� 4 " % �� " %

2 4 6 �� 4 " % �� " %

" % 4 6 �� " " % " %%

" % 4 6 �� " " % " %%

8 2$

#8 4 6 �� 4 " % �� " %

����� ��� ����������� ��� ������������� ��������� ��� ��� ���������� �� ��

� ������ �� " % ��� " " % " %%� ��� ��������� �� �� ��� ���

��� ��� ������ ��� ��������� �� �� ��� ������ ��� ������� ���� �������

��������� �� ��� ���.����� ��������� �� �������� �� ��� ����� ��� ������ �����!

��� ��� ��� ������� ��� ����� ���������� � � ����� <����� ���� ��� ,�

�� ������ ��������� �� ��� �� �������� �� ��� ������� ��� � ����� ���

��� ������ ��������� � ��� �� ��� �������� �� �

��� ���� ,���� ������� ������ ��� � ��� �� ������ � ��� � ��� ���� ��

������� �� ���������� �� ����� ��� ���������� � ��� � ,��� ������ ?����

�������� "�� �������� /������� "$*&*%� �(����� ��� @���.� "$*&�%% ����

���� ��������� �� ���������� ��� �� ������ ���� ��� ������� �� ��� ���

����� � ������� �� ���> ��� ��A����� �� ������ �� ��� �������� �� ���

�������� �� ��� ��� ������ ��� ������ ��� ��� �� ������� ��� ��� �����

$16

��

� �

� � � � � � � �

�� � � � � � � �

�� � � � � � � �

� � � � � � � � �

� � � � � � � � �

� �� � � � � � � � � �

� � � � � � � �

� � � � �

� � �

� � �

� � � � �

� � � � �

� �

� �

�� � �

� �

� �

� � � �

� � � �

� � �

� � �

� �

� � �

����� ��� ��� �����

Page 188: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

� ���� �� ��� ������ ��� �� ���������� ��� ������� �� � �������� B��� ��

-������ �� �

��� ���������� "+��% ������ �� ��� ���� �������� " %� " % ��� " %�

/ ���������� ��������� �� ���� ��� �������� ��� �� ������ �� ��(��� ���

���������� 4 8 �� "+��%� ������

8" % 4 8 $

#8 8

2 "+��%

��� ���������� �������� ���������� �� "+��% � � �������� �� ��� ����������

�������� �� "+��%� ��������� �� ����� ��� ������������� ���������� ��� ����!

�� ��������� �� 8 4 6 ��

8 8 4 6 �� " %> " " % " %% "+� %

4 6 �� 4 " % �� " % "+�+%

2 4 6 �� 4 " % �� " % "+�&%

" % 4 6 �� " " % " %% "+�1%

" % 4 6 �� " " % " %% "+�*%

8 $

#8 8 4 6 �� 4 " % �� " % "+�$6%

'��

" % 4 " % "+ $$%

�� �� ������������ �� " % ��� ���

" % 4 " % "+ $#%

�� �� ������������ �� " %� ���� ��� �� ��� ���!���������� ��������

����� ��� �������� "��$�%� ��� �� ���!���������� �������� ����� ���

$1$

� � � � � � �

� � � � �� �� � � �� ��

� � �� � � ���

��

� � � � � � � � � � �

� � � � � � � � �

� � � � � � � � �

� � � � � � � � �

� � � � � � � � �

� �� �� � � � � � � � �

� � � � � �

� �

� � � � � � � �

� � � �

� � � �� �

� �

� �

� �� �

� �

� �� �

� �

� � � �

� � � �

� � � � � �

� � � � � �

� �

� �

��

� �

� �

� �

� � �

� � �

� �

� �

� � � �

� � � �

� � �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

��

��

��

��

Page 189: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

z=-h

z=

x=xe x=xo

h

5���� +�$9 C������ �� � �������� ��� �� 4 $$ ��� 4 �

��������� �� ������� �� ����� � ����� �� 5���� �#� ��� ��� �� 4 $ � � �

��� ��� �� 4 $ � � � �� ������� �� ��� ������� ��� �� �� �� �����������

��� ������ �� ���������� �� "+��% � �������� ���� �������� ������� ����

��� ��������� �� �� 4 ������

4$

$" % 2

4$

$" % 2 " % " %

�� 4 $ � � � ��� 4 $ � � � � /� ������� � ����� �� 5���� +�$� <����� ����

��� ��� ������ �� ��� ��(���� �������� � '�� 8 �� ��,��� ��

8" % 4 " % " %

-���������� "+�$$% ��� "+�$#% ���� "+��% ���� ��� ,���� ���������� �����

�� ��� ����������� ���� ��

" % 4 8 $

#8 8

2

���� 4 " � � � % ��� 4 " � � � % � ��� ������� ��� ��

����� ��� ���� � �������� ���� ����� �� ���������

$1#

� �

� � �

� � �

� ��

��

�� � �

��

�� � � � � �

� � � �

� �

� � � � � � �

� � �� � � � � �� ��

� � �� � � ��

� � � �

� �

� � � �� ��� � ���

� � � �

� �

� � �

� �

� �

� ��

� ��

��

��

� � � �

� �

��

��

� �

� �

�� ��

�� �� �� �� �� �� �� ��

��

� � � �

� �

��

� �

� �

� � � �

Page 190: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

'��

" % 4 4 8 8

2 4 $ � � � "+�$�%

���� ��� ����� 4 " � � � % ��� �� ������ �

" % 4 " % 2 " %

����

" % 4 8 8 "+ $�%

� �������� ������� ��,���� ��� ������ ��� 4 " � � � % �����

" % 4 "+ $ %

��� ���������� � �������� ���� ����� �� �������� �� �� 4 � ����

�� ��

" % 4 " % "+ $+%

�������� �� � ,��� � ��� �� ���������� ��� "+�$+%� '�� 4 �� "+��%�

���� ��� ������� �� "+�$+% ���� �� ������������ �� ��� �������� ��������

"+� %D"+�*%� �� ��� ����� ������� ���� ���� ������ ��������� �� ��� ����� ��

��� �������� �� �� 8 4 6�

��� ������ ����� �� ,�� � ���� �� �� ,�� ��� ���� � ��������

���� ����� �� �������� �� � ��� ����� �� ���� �� �������� ��� ������ ��

/������� "$*&*%� ����� � �� � ���������� ������ �� ��� �� � ���� ���������

��� ,���� ���������� ����� �� ��� ���������� "+��% ��� �� ������ �

" % 4$

#" % 2 " % 2 " %

$1�

� �

�� � � � �� ��

� � �� � � �� � �

� �

!

! � � � � �� �� �

" "

" � � �� � � ��� �

! � �

� �

� ��

� �

� ! #

� �� �

�� � �

� �

��

��

� �� � �

� �� � �

��

� �

��

� �� � �

� �� � �

� �

� �

� �

� � �

� � �

� �

� �

� �

� �

� � � �

� � � �

��

��

��

��

� �

� � � � �

� � �

� �

� � � � � � � �

Page 191: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

���� " % ��� " % �� ��,��� �� "+�$�% ��� "+�$ % ���

" % 4 8

����� ���������� �� ���� "+�$+% ����

8" % 4$

#" % " % " % 2 " %

��� ��� �� ����� �� ������ 4 6 �� 4 $ � � � �

�� ��� ���� ��� ������ �� ��� �� -������ �� �� ���������� ��� ������� ��

� �������� B��� � ������� �� ��� ��� ����� ���� �� -������ �� ��� ������

��������� ����� � �������� �� ��� �������� �� ��� B��� ������� � ��� �������

�� ������� ��� ������������ �� ��� B���� �� ��� ��� ����� ��� ��� ������

��������� "+�$6% � ��� �� ��� �������� �� ��� ������� �� ��� ��� ����� ��� ��

������� � ���� �� �� "+�$6% �� ,�� ��� ������������ �� ��� ��� ������

'�� �� �� ������������ �� � ����� ���� "+�$+%� �� ������������

�� ��� �� ���������� ���

" % 4 " % "+ $&%

�� ��� ���B����� ������� �������

/� ������� ������������ �� � �������� ���� "+�$6%� � ������� ������

��� ���� �� ��� ��� �� ��� ������� " %� ���� 4 �� ��� �� ��� ����

$ � � � � ������ ��� ������� �� ��� ��� ����� �������� ���� ��� ���

E 4

8 8

���� � ��� ����� �� ������� �������� ���� �

8" % 4 " %

$1�

!

# �� �� ���

� ! #

� �

! �

� � � � �

� �

$ �

� � � � � � �

� �

���� ����

��

��

� �

� � �

��

�� �

� �

� �

��

��

��

��

� �

� � � � �

� � �

� � �

Page 192: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

� �� ������������ �� ��� � ��� ��� �� ������� � ���� E � �� ���

��� ����������� �� ��� ���������� ���� �� ��� �� ���� � ��� ������� ��

� ������� ��

4$ 8 $

#E 2

���� 6 $ � � ��������� �������� <����� ���� �� 4 $ ���� � ���

������ �� ��� ��� ����� ����� 4 6 ���� ��� ���� �� ��� ����� " % � E �

��� "+�$6%� ��� ������������ ��� ��� �� ���������� ��� "+�$&% ��� ���

���� � ������� �����

��� ��������

�� ��� ����,�� ���������

��� ������� ������������ �� � ����� ��

4 " % " % �� 4 $ � � �

���� � ��� ������������ �� ��� ������ ���� ����� �� ��� ����� �������

���������� ���� ��� ��������� 0) �������� "��$$&%� � �� -������ ��$�

��� �������� � ����������� �� ��� ������

" % 9 : #6 �6; : " % " %;

����

" % 4: #6 6; :$6 �6;

$ :6 $6;

��� ������ �������� � ��,��� �� " % 4 $6 �� : #6 �6;� ��� ������� 8

� ����� ��� ����� 6� 4 ��� 4 �

��� �������� ����� �� ��( ��������� ���� ��� �������� �

������� F� ���� ��������� ������ ��� ��� ��� ������ ����

$1

� � �

��

� � � % �

& % % �

� � � �

� � &

� � � � � � �

� �

� � � � � � � �

� �' �

' �

� � � �

� �

� � (

� �

� � � �

��� ���

� � � � �

��� ������ ���

��

��

� �

� � � � � � � �

� �

� �

� � � � � �

� � �

� � �

� �

�� �

��

��

��

���� � �

���� � �

��

��

� �� �

� �

Page 193: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

scale: v=5

0

4.38

-20 30

5���� +�#9 G������� ������� �������� ������������ �� � ��������� ��� �!

���� ����

����� ������������ $6 � �� ��� ����� 4 6 6 �� ��� ��������� ��������

��� ������ ����� ����� ��� �� �������� �� ������� ������������ �� ���

����,�� ������� ���� E ��� ��� �� � ��� ���� ������������ �� ��� ����

�� ��� �� ��� ������� " %�

5���� +�# ��� ��� �������� ������� ������������ �� ��� �������� �� ���

����� ������� ���� 4 6 �� �� ��� ���� �� ��� �������� ���� ���

����� �� ������� ����� �� & 6 $6 � �� ��� �� ��� ���� ��� ������������ ��

��� �������� ����� �� ����� ������������ ��� ��������� �� �� ��� ������ ���

��� ����� ��� ������ ��� ������� ���� ��� ������� ��������� �� ��� ����

�� ��� ������� � 6�$� ���� �� �� ��� ������������ ��� ������� ��������� ��

�������� � �� ���� ��� ����� �� ��� ���.����� ��������� �� ����������

$1+

% �

� �

' � � �

��� ���

� �� �

��

Page 194: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�� ��� ������ � ��������� ����� �� ��� 0�) �������� ���� �� "��*1% � ���

�� ������� �� �������� �� ��������� ������������ �� ����!��������� ���

���!���������� ��� �� ������ �����

��� ���������� �� ��� ��������� 0�) �������� "��$6&% � ����� ��

" % 4 8" % 2 " % " %

2 "+�$1%

����

8" % 4$

#2

$

#

" % �� : ; � ��� ������ �� ��� �������� " % ��� " % �� �������

�������� �� ��� ��������� �� ��� �� ��� �� ��� � ����������� ��� " %

��� " % �� ���� ������� �������� �� ��� ����� �� ���� �� ���� ���

�����������

/� ������������ �� ��� �������� ��������� � �������� �� �������� ���

�������� �� ������ � '�� ��� ������ �� ��� �������

" % 9 : ;> : ;

�� �������� ���� ����� �������� ������� ���� ��� ��� �� ����� ��,��� ��

4$

$" % 2

4$

$" % 2

�� 4 $ � � � ��� 4 $ � � � �

$1&

) * + * � �� � � �* � �* �

* � * � � ��

+ *�

* �� *

� � � � � � �

� � � �

� �

*

� � � �

��

�� � �

��

� � � �

��� ������������ ��� ������� ����

����

� � � � �� � �

� �

��

�� � � �

�� �

� �

� � � �

� �

� �

� � � �

� �

� � �

� � �

� � � �

��

��

� �

��

� � �

� �

�� ��

�� �� � � �

�� �

Page 195: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

'��

" % 4 " % "+ $*%

�� �� ������������ �� � ���� ��� �� ���!���������� �������� �����

��� ��������� � �� 5���� �#� ��� �� ������� �� ��� �������� �� ��

���������� ��� 4 � ��� ,���� ���������� ����� �� "+�$1% � �������� ��

���������� "+�$*% �� �� "+�$1% �� ����

" % 4 8" % 2

2

���� 4 " � � � % �

��� ������������ �� � ����� �� "+�$*%� ���� ���,�

" % 4 4$

2$

#2

2 2 4 6 "+�#6%

�� 4 $ � � � �

F�� ��� �� ������ "+�#6% � �� ���� <�����) ������� H���� �� ������!

������ �� �� ������� ������������ � �������� ���

4 2

����

" % 4 " % "+ #$%

���

" % 4$

2 2

2 2$

#

$11

* � * � � �

* �

*

� ��

*

� + * � �� � � �* � �* �

* � * � � ��

* *

*

, �

* �* �� *

*

�� �� �

� � � � � � � � � � � � ��

� �

� � �

��

*

*

* �� * �

�� �� � �

� � � � � ���� � ���� �� � ��� ��� �

� � � �� �� � � � � �

�� � � �� �� � �

��

� �

��

��

��

��

��

��

��

� ��

�� � � � � � � �

�� � � �

� � �

� � �

��

� ��

��

��

� � ��

��

� �

� �

� � � � � �

��

� �

� �

��

� � �

� �

� �

� �

� � �

� � �

Page 196: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��� I������� � ������� ��� ������ ��� "+�#$% � ������ ���� � ���

����,����� ���� ��� ��!����������� ���B����� ������� ������� ���� ��� ��!

������������ ����� 4 ����" � � � %� 7��� ��� 4 " � � � % ��

��������� �������� ��� ���� � ��������� �����

���

����������� "+ ##%

�� ��� ����,�� ���������

��� ������� ������������ � ����� ��

4 2 " % E 4 $ � � � "+ #�%

�� ��� ������� ��� E�

'�� 4 6� 4 $6� 4 6 ��� 4 $6� ��� �������� � ����������� ��

� ������� ���� " % 4 $6 ��� " % 4 6 �� :6 $6;� ��� ������� ��������

" %� " %� " % ��� " % ��� ���� �� �� �������� ���� � �� ������

��J����� ���� ��,���� " %� ��� ����� �� :6 $6; �� ��� ���� � K�� " %

��� " % �� ��,��� �� " % 4 " % 4 8� ���� 8 6 � ����� ��� ���������

� ��� ���������� ��� ��

8 3 8 2$

#4 6

���� 3 � ����� ��� ����� 6 ��� 4 $6� ���� �� ��� �� ��� ����� ��

��� ������� �� � ����� ���� ��� ���� ����� 3 4 6 ��� �� ��� �� �����

4 $6� ��� �������� " % ��� " % �� ��,��� ��

" % 4

$6 8 :6 #;

$6 8"� % :# �;

$6 :� $6;

$1*

� �

- � � � , ,

�*

*& �

*� �

� �. � � � � � �

. �

� �

� � � � �

� � � � � �

� � � � �

� � � � � � � � /

�� �� �

� � � �

� � �

��� ������ ���

� � �

� � ��

��

��

��

� �

� �

� �

��

� �

� � �

��� �

� �

� �

��

� �

� �

� � �

� � �

� �

� �

Page 197: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

" % 4

$6 8 :6 #;

$6 8"� % :# �;

$6 :� $6;

���� 8 � � ����� ������� �� ��� ���� 6 8 $6�

���� �� ��� �������� ��� ����!���������� �� ��� ������� ��� � ��� �� ���

������ �� ��� �� ��� �� ����� ��� ������ ���� ����� ��� ��������� ����� �����

����� �� �������� �� ������� �� ��(��� �� ������� ����� ��� ���� ����� 6�

��� ����� �� �� ��� �� ����� ��� ������ �� $6� ���� ���� ����� �� ���������

�� ���� � ��� � � ����� ����� ��� ����� �� ��� �� ��� �� ����� ��� ������

����� �� ������ �� :6 �; ��� ���� ������ �� ���� ������� ������ ��� ���

����� ���� �� �������� ���������� �� ���� �� � ����� �����

'�� 4 * ��� 4 *� ���� ��� �������� ������� �� � ��������� �����!

������� �� � <����� �������� �� 8 4 6� �� <����� �������� �� 8 4 $ ���

�� <����� �������� �� 8 4 �� �� � �������� �� "+�##% �� $6 � ��� �������

������������ �� �� ���� ���� ����� �� "+�#�%� ���� 4 # ��� E 4 6�

��� ����� �� �� ���� ������� ��� �� ������� �� � ����� �� ������ ��

��� �������� ��(�� ��� ��� ���� ����� ������ �� ��� �������� ��� ��������

������� �������� ������������ �� 4 * ��� 4 *� �� ��� ���� ��� 8 4 6�

8 4 $ ��� 8 4 �� �� ���� �� 5���� +��� ��� ������ �� ��� ��� �� ����

������� � ������� ���������� �� ��� ���������� ��������� � �� ���� ��������

<����� ���� �� 5���� +�� ��� ��� � ������� � � �������� �� ��� �����

������� ���� ��� �� ��� ������� ��������� ��� ����� �� �����������

�� ����� �� 5���� +�� �� ��� �� ��� ���� ��� �A��� �� �������� ��� �� ���

�� ����� ��� ������ �� :6 �; � �� ����� ��� �������� ����� ��� ����� ���

$*6

� �

� �

� �

. � �

*

� � �

� �

*

0

� �

"

� � �

��

��

� �

� �

� � �

� �

� ��

Page 198: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

�A��� � ��� ��������� �� 5���� +�� � ���� ��� �������� �� ��� �� ��� ��

����� ��� ������ � �����

��� ���� �� ��� �������� � ������� ��������� �� ������� ������� ���!

������ ����� �� �������� ���� ��� ������� �� ��������� �� ������ �������

���� ��� �� �� ������� �� ��� � ��� ������� ��� �� ������������ �� �����

���� ��� ����� �������� ���� �� ��������� ���� �� ���� ��� ���������� "+�$1%

�� �������� � ���� ���� ��� ������� �� ����������

-���������� ������������ ��� �� �������� �� ���� �� ���������

������ �� ���� "+�#$% �� � ���� " % � ����,�����

$*$

#

� �� �� �

Page 199: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

scale: v=5

b)

c)

0 100

0 100

10

0 100

10

t

x

5���� +��9 ����!��������� ��������� �������� ������� �������� ��������!

���� �� % 8 4 6� % 8 4 $ ��� % 8 4 ��

$*#

0 � " � # �

Page 200: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

������� �

��� ��� �������

��� ������ ��� �� ��� ��� ��������� �� ���� ������ ��� �� ������� �� �� ����

��� � � �������� ���������� ��� ���� �������� ���� ��� ��� ���������� ��

���������� ������� ��� ���� ������� �� � ��� �� ��� ������ ��� � ��������

�� ����� ���������� ������� �� ���� �� �������� �������� ������������ ��

���� ������� �� �� ���������� ������� ��� ���������������� ���� ������� �� �

��� ������ �� ������ � ��� ���� �� ������ ������� ��� ���� ���� �� ��

������������ �� ���� ���� �� � ��� ��������� �� ������� ! " ��� #! ���

������ # ��� �������� �� �������� ��� ����������� ���������������� �����$

�� � �� � ������ �� �������� ��������

� � ���������� ������� ��� ������ ���������������� �� � ��� ���� % ���

����� �� &������'� ������! (��)*+! ��� ��� ����� ����� �� ,���'� ������

(,��� ()-#.++� /$ ����������� ��� �������� �$ ����� ���� ���� ��������

����! ��������� ��� ����������� ��� ������ �� ��� ������� ���������� ���

������ �� �������� �������$ �����! ����� � � ������� ��� ������� �� ����

���������� ������� ��� ���� ����� ��� ������ �� �������� �������� �� ���

)-�

Page 201: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

���������� �� ��� � � ���� ���� ������� ������� �� ���� �$ ���� �� � ���

���������� �� �� �������� �� ����� �� ��� ��� ���������! ������ �$ (��*.+

��� (��*-+ ���������$! ��� ������ �� ��� ������������ � �! (*�*0+ ��� (*�* +!

��� ��� �������������$ ���������! (*�)"+�

��� �������� ��� ��� ����� �� �������$ �������� ������� ��� ��$ ��

������� �� �� � ,��������� ������$ ����� ��� ���� �� � ���� �� ��� ��1������

��� ��� ������� ��� ������� �����$ �� � ������ �� ���� ����� /$ �����������

���� ��� ��� ������ �$ ����� �� � ,������� ���������! � � ������� ���������

% ������� �$ ��� % ��� �����������! �� ���� ! ! ��� ���������� �

2������ �� ��������� ������ �� ��� ������� �$ � ����� ��� �� ,������� ����������!

�� ��� � �� 3����� ���� ��� �������� ��� ��� ����� �� �� ������ ��� ��� ����

�� �� � ���� �� ��� ���� �����$ �� � ������ �� ���� �����

/��4���� ��� /� ��� ()-5.+ �������� ������������ � � ��� �$�����$ ���

������ �� &��������� �$�����! �������� ���� ����! ��� ���� ���$ ������ ����

���������! � � �� ���� % ��������� �$ ���� �� � &��������� ������$ ��� � ��

����� % ���� ��� ����� �� ��� ��������� ��� ���������$! ���� ���� ��������

��������� ��� ������ ��������� ���� �� ���� �������

� ��� �� ���� ���������� % ����� �� ��� ! ! ��� ��������� % �� ����

����� �� ��� � � ���������� ������� ���� ��� ���������� ������� ��� ������

���������� ���� ������� �� � ��� ��� � � ���������� ��������� �$ ������������

��� ��� ��� ! ���������$! �� ����� ���������� ����� ��� ,������� ������

������ /$ ������ ��� ��������� ���� ��� �� �� ���������� �� ����! ����������

��� �����$ ����� �� � ��� �������� ����! ������������ ��� ���������� �� ��� 6'

������ ��� �����$ �� �� ������$ �������������$! ������ (��- +! ��� ������������

)-

� �

� �

� �

� � � � � �

� �

� � � �

� � � �

Page 202: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��� ���������� �� ��� 67' ������ ��� �����$ �� �� ������$ ��� ������������ ��

���� �2������ ��� � �������$ ��������� �� ��� ���� �� ! ������ (��-"+! ���

��� �$������ �����$ ��$ �� ������� �� �������$ (��- + ��� (��-"+ �� ������

�� /������'� ��������� (/������ ()-*-++� 8� � ()-#�+ ����������� ��� ����

�������� ��� ��� ����� �������! �� ��� ������� �� ,������� ����������! ���

���������������� �����$ �� � �� ������ ������ 9�� ��� ���� ���� �� ����� �����

������ �������! �$! ��� �����! ,��� ��� �����$ ()-"#+ ��� :����$ ()--0+!

�� �������� ��������� �������� �� ��� �2������� �� ������ ��� ����������

��� �� ��

3�� ��� ���� �� ���� ���� ����� ����� ��� ����� ���������� ������� %

��� 6�' ��� 6;' ������� ��� � �� ����� ����������� �������� % ���� ��$ ��

���� �� ��������� �������� �� ��� ���� ���� �2�������� ����� �������

��� �� �������� ���� ����� ���$ ������� ���������� �� ��� ���� �� �� ���

��� ���� �� ���� ������$ ��� ���������� ������������ �� ��� ����! ����� ���

����������� 6' ��� 67' ��������

��� ������������ �� ���������� ������� ��� ������ ������������ �� ����

�������� �� � ������ ������ �������� ������! ���� ��� ��������� ��� �

���������! ��� ��� ��������! ��� �������� ������� ��� ���� �� ����������

������� ��� �����$ ����� �� ��

��� ����������� 6�' ������ (��)).+ ��� �����$ 2���� �������������� ��

������ �� ��$ ��� ������� % ��� ���� �� �� % ���� ����� �� � ����

��� ��������� ��� �������� �� �������� �� �������� ������������ �� ���

���� ��������� ��� ����������� 6' ������ ��� �����$ �� (��- + ��� ��� ����

���� �� ��� ���������� ������ ��� �����$ 2���� �������������� ��

)-"

Page 203: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��� ����� ��� ����� ���$ ��� ����� �� ��$ ��� ������� ���� % ��� �����

��$ �������� <���� ���������� ������� ��� ���� �� �! ����$! ��� ������

�������� 6�' ������ ��� �����$ 2���� �������������� �� ! ���� ������ �� ���

����! ���� �� ��� ������$ ������� ���������! ��� 6;' ������ ��� �����$ ��

����������� �� ������$ �������������$! ���� ������ �� ��� ���� ��� ������$ ��

������ ���������! ��� ����������� 6' ������ ��� �������$ 2���� ��������������

�� ��� � ������� �� ,���'� ���� ������� ������ (,��� ()-#.++! ���� ������

�� ��� ������$ ������� ��� ��� ������ �� ��� ���� ��������

��� ���� ����� �������� �� ���� �� � �� ��� ���������� ������� ��� ��!

�� ��� ���! ���������� ��� �������� �� ��� ���������� ������� ��� ��������

�� ��������� �� ����� �� ����� ������ ����� ��������� % ���� ��� ����� ���

���� ��� �������� ����� ��������� �� ��� ��������� ��� ���� ��� ����� �����

��������� �� � � ����������� ��� ��������� �� ��� �������� ��� ���������� ��

��� ����� ���� ����� ��� ���������� �� ��� ���������� ������� �� �� ���������$

��� ������ �� ���������� �� ��� ����� ���������� ���� ������ �$ ��� �����

������ ����� ���������� =� ���� ���� ���� ���� �� ��� �� ���� ���� �� �2�������!

�� ���� ��� �� ���� �� ����������

��� ������ ������ �� ���� ����� ��������� ���� �� �2������� �� >� ���'�

������! ���� ��� 2�������� ����������� �� ��� ��������� �������! �����

�� ������ ����� ��?�����$ ���� �� ��� �������� ��� @������� �� ���� ���� ��

�$������� ��� ������ ���! �� ����! ���������� ��� ��� �2������� ��������� ����

��� ���������� ��� �����$ 2���� �������������� �� � 3�� ���������� @��������

��� ����� �� ��� ����������� �� ����� ����� A������� ���������� ��� ����

������������! ��� ��� �������������� ������� �� �������� ������� @�������� ���

)-#

Page 204: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

����� �� ����� ����� � �������������� ���4����� �������� �������

=� ���� �$ �� �� ������ �� ��� ������������ �� ��� ���� ���� ��������

�� ����� ���� ��� �� �� �����������

� �����$ ��1����� ������ �� ����� �� ����� �� ��������� �������������

�� � ��� �� ����� � ������� �� ,���'� ������ ��� ���� ������� �� � �� �����

����� �� � ���� �� ��� ���������$ ������$ ��� ���������� �� ���� ����

�����$� ��� ����������� 6�' ������ ��� �����$ 2���� �������������� �� ��

���� �� �������� ������������ �� ������������� ���� ���������� =� ���� �����

��� �� �������� % ���� �� ��� 6�' ������ ���� ��� ������$ ������� �� ���

������� �� ,���'� ������ % ��� ������� �� ����� �� ��� ����� ������ �����

��������� ��� ��� ����� �� ��� ��������� ��� ����� ��� ���� ��� ����������

��� ���������$ ��� ������ �� ���������� �� ��� ���������� ��� ���������� ��

��� �$������ 4�� �� ��� ������������� ���� ��� ��� ���� ������� �� ��� ���� ��

,���'� ������ �� ������� ��� �$ � ������ �������� �� ��� �������� ������

���������� �� ��� ������������ ���������� �������� ��� ������ ����� ��

��� � �� ����������� ������������� ���� ��������� ��� �� ��� ��������� ��

����������� ��� ������ �� ��� ���� ������� ��� � �� ���� ���� ��� ���������$

������$ ��� ���������� �� ���� ���� �����$� =� ���� ��� ���� ��� ������

����� ������$ �� �� ���������� �� � ������� ��� ���� ��� ������ ��������� ����

��$ ������� ���� ��� ������� �������� �� ��$ ����� �� ���������� �� ��� ����

���� ���� ��� ��������� �� ����! �� ��� �������� ������ �� ����������� �� ���

������� �� ��������� ��� �������! �� � ��� ���������

��� ����������� 6�' ������ ��� �����$ 2���� �������������� �� �� ���� ��

8������ �)�* �� ������ �� ����� ����� �� ��� ���� ��� �������� ����������� ��

)-.

Page 205: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��� ���� ��������� ��� ���� ��� �������� ����������� �� ����� �� ��������

�����$! �� ��� ����! �� ��� ���� �� �� � >������� ���������� ��� ����

��� ���� ��� ����� ����������� �� ��� ����! ��������� ����� ��� �����������

6�' ������! �� 2���������$ ����������! �� ��� ����! �� ��� ����� ��������

��� ����� �� ��� ���� ��� �������� ����������� �� ��� ������$! ������� ����

��� ���� ��� ����� ����������� �� ��� ������$ ������� ��������� ����� ���

����������� 6' ������ ��� �����$ 2���� �������������� �� ! �� ���������� ��

8������ ���*� ��� ���� ��� �������� ����������� ��� �� ���� �� ��������

�����$! �� ��� ����! �� ��� ������$ �� ��� �� ! ����� �������� �����������

��� ���������$ �� ��� ����� �������������� ������� ��� �� �� � ������!

���� ��� �� ����� �$ ������ (*�""+ ��� (*�"#+ �� ���� ��� ����� �� �����$ ���

���� �� �� ���� ���� ��� ���� ������ (*�� + ��� (*��"+ �����������$ �� ����

��� ����� �� ��� ���� ��� ������$ �� ���� ����! ������ ��� ����� ����������

�� �� ��� � ����� ��� ���������� �� ��� ������������ ��������� ���� 6' ��� 6�'

���������� ��� �����$ 2���� �������������� �� � ��� ����� �������� �� ��� � ��

���������� ���� ���� �2������� ��� ��� ��� � ��� �� ��� � ������������

������������ ������ �� ���$��� �� ���� �$�

��� ���� ������ �� ������ ����� ������ ��� ����� ������ ������������!

���� �� �� 8����� ��� 3�� ()-.�+ ��� &����� ()-5.+! ������ �� �������$��� �

����! �� ���� ��� �������� ��� ��� ��� ����� ������� ��� ��� ����� ������

����� ���� ������ �$ ��� ����� ������ ����� ��������� �� ��������� �$ ���

����������� ������� �� ����� ��� �������� ���� ������ ��������� �� ���������

� �������� ���������� =� ��� ���� ���� ���� �� ��� ��� ���� ������ �� �����

���$ ���� � ���� ����� ������ ��� ��������� �� ��� ����������� 6' ������ �� ���

)-5

Page 206: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

��������� �� ��� ����������� 6;' ������! ���� �� ���� ��� ���� �� ������ "

�� �������� ������������ �� ��� �� �������� �� � � ����������� &� ���� ���

� � ������� ���� ���� ���� �� ������������ ��� ��� ������$ ���! �$ ��������

��� ������$ ������������ ���� ������ ��1����� �����! �� ��� �� ���� ����! ��

��� ���� �� ������! ��� ��1������ ��� ��� ��� � � ������������ ����������

�� �������� �� �������� �� 8������ � ���� ���� ��� ����������� 6' ����

��� ��� �����$ 2���� �������������� �� �� �������� ������������ �� ���

������$ ������� �� �� ������� ����� ��� ����������� �� ��� ����� ������

�������� ���� ���� ��� 6' ��������� �� ���������$ ��� ������ �� ���������� ��

��� ��������� �� ��� �������� ��� ��� ������ �� ���������� �� ��� ��������

�� ��� ������� ����� �� ��� ���� �� ���� ��� �������� �� ������� ��� �����

�� ��� ������$ �����������! ��������� ���� ��� ����������� �� ��� ������$

�������! �� ��� � �� �� �������! ��� ��$ �����$! ��� ������� ��� ���

������������ ����� ��� �� ����������� ������ �� � ���� ������ ���� ��� ���

���� ������ �� ������

=� ������ # �� �������� �� ��������� ��� ���������� ������������ �� �����

�������� ������$ ������� ��������� ����� ��� ����������� 6' ������ ��� �����

�������� 2���� �������������� �� � :��� ���� ������� �� ��������! ���� ��!

��� � �������� ��� �� ��������� �������$ ��������� ��������� �������� ���

���������! ��� ������� �� ���$ �������� �� ������� ��� �������$ ��������� �� �

���������� �$� =� �������� ��� �������$ ��������� ���� �� ���� ���� � �������

�����$ ������ ���! �� �� ����������� �� �� �� ����� ����� ��������� (#�)5+!

���� ������� ���� �� �����������

��� �������$ ��������� ��2����� ��� ��� ����� �� ���� �� �� ��� ���� ���

)--

��

Page 207: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

����� ����� �� ��� ������! ���� ��� ��� ���� ������� ����� ����������! ���

����� �� ��� ���� �� ����$ ���� �� ��� ������ �� ��� ������ ��� ��� ������

=� ����� �� �������� ���� ��� ��������� ��� ������� �� ��� ��� ���� ���� ��

��� � �� ������� �� ������ ��� ������ ���� ��?���$ �� �������� �� ������ #

�$ �������� ���� ��� �� �� ������$ ��������������� ��� ���� �� ������� �� ���

������� �����$ ����� ������ ��� ��� �� ��� ���� �������� ��� �������$ ���������

��� ��� ���� �� ���� ���� �� ������ ����������$ ��� ����! �� ��������! ��

�� ��������$ ����! ���� ��� ����� �� ���� ����������! ��� ���� ������ �� ����

����� ��� ������ �� ��� ��������

� ������� ����� ���� ����� �� ���� �� �� ��� ��� �����2���� �� ��

� �������� �� ����! ����� ��� ���� �� ��� ���� ������$ ��� ��� ���������� �� ���

���� �� �� ���� ��� ����� ��� ����� 9���� ��� ���� �������� �� ��� ���

�� ��� ���� ������� ��� �� ������� ���� ���� ���� ��� ����� ������ ������

����� ��� ���������� ��� ������������� �� ������� �� ������ � �� �� ���� ����

<�� ��������$ �� �� �������� � ���$ ��� ���� ������� ��� �� ��� ��� �������$

�������� ��� ���� �� ��� ��� ���� �2�� �� ��� ��$������ �������! ����� ��

� &� ����! ���� ��� �� �����������$ �������� ������� �� ��� ��B� ��

��� ������ ���� ��� �� ��������$ �� ����������� � ��?�����$ ��� �����

��� ����� ���� ��� 4��� ������$ ����C �� �� ������ �� &������'� ����

��� (��)*+� =� ��� ������ ����! &������'� ������! ��� ���������� ���������

�� ��� ������ ��� ��� �����! ����� ���� �� ��1������� �2������� �� ������� <���

����� �2������� ���� ���� ���������� ��$ �������$ ��� ������ ���������� ��$ ��

����� =� ��� ���� �$ ��� ���������� ������� ��� ���� ����! �������

���� &������'� ������ ��� ,���'� ������! ���� ���� �� ��� �2������� �� ���

*00

���

Page 208: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

���� ��� ���� ���� �� � �� ��� ������ �� �����������! �������� ���� ����������

������ �� ��� ������ ��� ��� ����� �� ���� ��� ���� �������$ ����� ��� ������

(��� �������� ��� ������� ��� � �� ��� ���� ���������� ��� �� ����� ����� ���

���������+�

=� ����� �� ��� ��� ���������� ������� ��� ������������� ���� ���� ��

�������� ������������� ������������! �������$ ����� ��� ����� �� ������ �

�� ���� ����B��� ���������� ��� �� �� �� ��� ���� ���������� ��� �� ���������

���� �� ���� ����� ��� ��� ��� ������� �� ��� ��� ����� &� ����! �� ��� ��

���� ���� ���� ��$ �������� ��� ����� ����� ����� ��� �������� �� ��� ���� ��

��� ���� ������� ��� ������$ ��� ��������� ���� ��� ��2����� ��� ��� �������$

������

��� �������� ������� ���$�� �� ���� ������ ���� ���� ��������� �� ����

������� ������������ �� ���������� �����$ �� � ���� ��� ��$ ����������!

��� ���� 2���� �������������� ��� � ������������ �� �! �� ��$ ���������

���! ��� 2���� �������������� �� �� 8������ �� ��� �������� �� �����������

������������� �����$ 2���� �������������� �� �� &� ����! �� ��������� �����!

��� �������� �� ��� ������� �� ��� ������������� ���� ������� ��?�������

=� ����� �� ����������� ��� �������$ �� ��� ���� ���� ����������� ��

���� ������� �� � �� ��� �� ����� �� ���� ����� ������ ������������ �� ����

������� �� �� ��� �������� ����� �� 8������ #�)! ���� ������� �� ��������

���� �� �����������! ���� ��� �$ ������� ����� �������! ��� ����� �����

�� ��������� ()-.-+ ��� =���� � ��� :����B� ()-.�+! �� ����� �� ������ ��

������ ���� ������������ ��� ����������

<���� ����������� ��� ������ ��� ������ ���������� ����������� ������

*0)

Page 209: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

������� �� � ������������ �� � ��� ������������ �� ������������� �� � ��

� ������������� =� ��� ���� ����! �� �� ������ �� ���� �� ���� ��� ���������

��� �� �2������� �������� ���� ��� ����� ���������� �������� �� ��� ����������

�$ >� ���'� ������! ��� @������� �� ��������� �� ���� � ���� ������������ �����

��2�� ��� ������ � �$���� ��� �� ��������� ������ ���� �� ������������C �����

�� ��� � ��������$ ���� ��� @������� ��$ �� �������� �� �������� �� �����

����� ������������� �� � �� � � ���������� ���� �� ����� �� ��� ������ ���

����������� ������������� �� � �� ��� ���������! ���� ��! �$ ���������� � �

���������� �������� % ��� ���������� ��� ��� ����������� % ��� ������ ����

�� � �����! ���� ������� �� ���������� ����� ��� � ������������ 4�� ������

������ ��$ ���� �������� ����� ��� ���������� ������� �� 8������ ��5 ���

��$ �� ��� �� �������� ������������ �� �� � ��� � ������������$ ���� ����

��� ��������� ������ ��� ������! �����! �� �������� ����� ���������� �������!

���� ��������� �� �����

*0*

Page 210: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

����������

��������� � � ���� � �������� ����� ������� ������ ��� ��� ����������� ��

��� ���� � ���� � �������� !��

"������ # � �$�� %���� �� � ��&�������� �'������ ����� ������ �� ��� ���(

����������� ������ �� � ���)�������� ���� ��� ��� ���������� �����������

)������� *��+, -

"��.���� / " ��� "����� 0 � �-�� 1������������ ��������� �� ���(

����������� #������� �2����� $,3+$�*

�������4 5 � ��,� 6���7� ����� ��� 8���� 9���

9�����

������� : ��� ;��������� < � �=-�

>�����������

������� : ��� #������ 1 � �*3�

>�����������

6�������� # � �-?� �$�� ��� �������(@����2

6���� 6 # ��� A�� 9��� � ; � �-�� �$�� ��� /��

��� #�)4��� 8��������2 5����� "��������� ���2����� 80�

#�7��� / : � �-��

5������� #���� B�7������ ���&�� %

>4�7��� � ��� @����C� < � ��3� ;����� ������� ������ �))���� �� ����2���

�� ��� ���� � �)�����2 ����� ��+ -�

$?3

��������� ��������

����� �� ���� ��� �

����� �� ���� ��� �

��������� ����������

���������� ���� �� ����� �� ���

������ �� ������������ �� ���� !��� "�

��������� ���������

�����# ������������

$�� ������ %������ ������ ����� ������ �� & �����

������ %������ ���� ����

'��� (� )��� ����� %�*�

���

���

Page 211: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

������ 9 @ ��� :���� : 1 � �-$� �$�� ��� �������(

@����2

9��� # � �3$� �,�� ��� ���� 8��� 5����

9�4� � � �,�� � ����������� )�����)�� ��� ���� ���� � ���� �������

3�*+3��

9��� 5 B ��� �����2 / � � �*,� /�� ����������� ������ �� �2����2������

,+$

����� ��� 0����� : � �-*� @��4�2 ���)������ ���(������ 7�����2 �����

* �+*3

0����� : � �--� #���������� ���� ���������

$$*+$*,

0���7�� : 9 ��� @������ 6 " � �,-� A���������� )�����)��� �� ���������

��������� +$*

0����� � �*�� ������������ )�����)��� �� ��������� ���� ���������

$*+$,3 0)���7��(A����7

0����� � � �,3� � ����)����� ����������� )�����)��� ��� )������ �����

=-*+*?=

0����� � � �-�� ���� 8��� 5����

0��4�� � �*�� >�����������

0����7 6 ��� ;�! 6 � ��3�

5������� #���� B�7������ ���&�� %

$?=

)�������� ���� ���

+ �� ������

(� ����

�����

,����� (� ����� ����� �����

(� ���� �����

���� �� � ���� �����

����� �� ���� ��� �

+������

�� �� ��� !'''-"

(� ����� �����

��#���� �� ������� �����������

����� �� ���

�� ���� ��� �� ��� ������ %������ ������

��

���

��

��

Page 212: Variational Principles and the Finite Element Method for Channel Flows

@����� � � �-�� :�������� ��7������� ������ ��� ��� 6����4�� ���� �����!

==�+=*�

@�!��2 : � ��?� 0��������2 )�����)��� ��� ���)���� ����� �������� ���

���)�������� ��� �� ����� � 8��� �� :�����7

$?*

'����� (� )����� �����

���&� $�����


Recommended