Vektorgeometri for gymnasister

Per-Anders Svensson

http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html

Fakulteten for teknik

Linneuniversitetet

Rata linjens och planets ekvationer II

Innehall

Rata linjens ekvation – repetition

Planets ekvation pa parameterform

Planets ekvation pa normalform

Normalformen i ortonormerade system

2(21)

Rata linjens ekvation – repetitionI ett givet koordinatsystem (O, ex, ey, ez)for rummet galler att varje rat linje kanframstallas pa parameterform

x = x0 + tαy = y0 + tβz = z0 + tγ.

Detta ar ekvationen for den rata linje somgar genom punkten P0 = (x0, y0, z0) ochsom har vektorn v = (α, β, γ) som s.k. rikt-ningsvektor.

bP0

v

Analogt ges ekvationen pa parameterform for en linje i planet som

{

x = x0 + tαy = y0 + tβ.

3(21)

Vi aterger resonemanget for hur man kan harleda ekvationen paparameterform for en rat linje i rummet:Lat ett koordinatsystem (O, ex, ey, ez) for punkterna i rummet varagivet.

For att entydigt kunna bestamma enlinje L i rummet, behover vi kanna till

• en punkt P0 = (x0, y0, z0) pa L

• en riktningsvektorv = (α, β, γ) 6= 0 for L.

En punkt P = (x, y, z) ligger pa L, om

och endast om−−→P0P = tv for nagot t.

L

bP0

v

bP

−−→

P0P

Ekvationen−−→P0P = tv blir (x − x0, y − y0, z − z0) = (tα, tβ, tγ) pa

koordinatform. Vi jamfor koordinat for koordinat och far rata linjensekvation pa parameterform:

x = x0 + tαy = y0 + tβz = z0 + tγ.

Nar vi harnast ska harleda ekvationen for ett plan i rummet, kommervi resonera pa ett liknande vis.

4(21)

Planets ekvation pa parameterform

For att kunna lokalisera ett plan i rummet, behover vi kanna till• En punkt P0 som ligger i planet• Tva vektorer v1 och v2 som bada ar parallella med planet, meninte med varandra (vi sager att v1 och v2 spanner upp planet).

Lat P vara en godtycklig punkt i rummet. Da ligger P i planet, om

och endast om vektorn−−→P0P kan skrivas som en linjarkombination

av v1 och v2, d.v.s. det ska finnas reella tal t1 och t2 sadana att−−→P0P = t1v1 + t2v2.

bP0

v1

v2

b P

−−→P0P

5(21)

Vi infor ett koordinatsystem (O, ex, ey, ez) for rummets punkter (intenodvandigtvis ortonormerat). Antag vi i detta koordinatsystem harP0 = (x0, y0, z0) och P = (x, y, z), samt att v1 = (α1, β1, γ1) och

v2 = (α2, β2, γ2). Ekvationen−−→P0P = t1v1 + t2v2 blir da pa

koordinatform

(x − x0, y − y0, z − z0) = t1(α1, β1, γ1) + t2(α2, β2, γ2)

= (t1α1 + t2α2, t1β1 + t2β2, t1γ1 + t2γ2).

Jamfor vi koordinat for koordinat sa far vi planets ekvation pa

parameterform:

x = x0 + α1t1 + α2t2

y = y0 + β1t1 + β2t2

z = z0 + γ1t1 + γ2t2.

Vi kallar t1 och t2 for parametrar. Nar t1 och t2 genomloper alla reellatal, kommer P = (x, y, z) att genomlopa alla punkter i planet, ochinga andra.

6(21)

ExempelPlanet med ekvationen

x = −1 + 3t1 − 3t2

y = 3 − 2t1 + 2t2

z = 2 + t1 − 5t2

innehaller punkten P0 = (−1, 3, 2) och spanns upp av vektorernav1 = (3, −2, 1) och v2 = (−3, 2, −5) (som vi noterar inte ar parallella).Ligger nagon av punkterna P = (5, −1, 0) eller Q = (1, 2, 1) i dettaplan?

Losning.Om P ligger i planet, maste det finnas varden pa t1 och t2 sa att

5 = −1 + 3t1 − 3t2

−1 = 3 − 2t1 + 2t2

0 = 2 + t1 − 5t2

⇐⇒

3t1 − 3t2 = 6−2t1 + 2t2 = −4

t1 − 5t2 = −2⇐⇒

{

t1 = 3t2 = 1.

Punkten P ligger alltsa i planet. Avgor pa egen hand ifall samma sakgaller for Q.

7(21)

ExempelBestam en ekvation pa parameterform for det plan som innehaller detre punkterna P = (1, 0, 3), Q = (−1, 2, 3) och R = (6, −2, 1).

Losning.Vi behover tva icke-parallella vektorer som spanner upp planet, samten punkt som ligger i planet.Som vektorer kan vi valja

−−→PQ = (−2, 2, 0) och

−→PR = (5, −2, −2).

Om vi som punkt i planet valjer P , sa far vi ekvationen

x = 1 − 2t1 + 5t2

y = 2t1 − 2t2

z = 3 − 2t2.

Precis som nar vi plockar fram en rat linjes ekvation paparameterform, kan vi fa olika ekvationer beroende pa hur vi valjerpunkter och vektorer.

8(21)

Planets ekvation pa normalform

Pa forra forelasningen konstaterade vi att rata linjer i planet kanframstallas pa normalform (forutom parameterform). Vi har da enekvation av typen

ax + by + c = 0,

dar minst ett av talen a och b ar skilt fran noll.Om det koordinatsystem (O, ex, ey) vi anvan-der oss av ar ortonormerat, d.v.s. om (ex, ey)ar en ON-bas, sa ar n = (a, b) en normalvek-

tor till en linje med ekvationen ax+by+c = 0.Linjens riktningsvektor ar alltsa da ortogonalmot n.

ax + by + c = 0

n = (a, b)Vi ska nu se att aven ett plan i rummet kan skrivas pa s.k.normalform, och att en motsvarande geometrisk tolkning som ovankan goras, sa fort vi anvander ett ortonormerat system.

9(21)

Betrakta det plan som innehaller punkten P0 = (x0, y0, z0) och spannsupp av vektorerna v1 = (α1, β1, γ1) och v2 = (α2, β2, γ2). LatP = (x, y, z) vara en godtycklig punkt i rummet. Da spanner de tre

vektorerna v1, v2 och−−→P0P = (x − x0, y − y0, z − z0) upp en

parallellepiped i rummet, vars volym (sanar som pa tecknet) ar likamed determinanten av den matris, vars kolonnvektorer utgors

av v1, v2 och−−→P0P .

bP0

v1

v2

bP

−−→

P0P

v2

Speciellt intressant blir det om denna determinant ar noll. Detta skerom och endast om punkten P ligger i planet.

10(21)

Detta betyder alltsa P = (x, y, z) ligger i planet, om och endast om

∣

∣

∣

∣

∣

∣

α1 α2 x − x0

β1 β2 y − y0

γ1 γ2 z − z0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0.

Genom att berakna determinanten med hjalp av Sarrus’ regel, sa farvi efter litet rakningar att ekvationen ovan kan skrivas som

Ax + By + Cz + D = 0, (1)

dar A, B, C och D ar konstanter som beror av koordinaternafor v1 = (α1, β1, γ1), v2 = (α2, β2, γ2) och P0 = (x0, y0, z0).

Notera att om A = B = C = 0, sa maste ocksa D = 0 for att (1) skavara sant. Men i sa fall blir (1) inget annat an ekvationen 0 = 0, somju inte staller nagra som helst krav pa x, y och z. Alltsa maste minstett av talen A, B och C vara skilt fran noll.

11(21)

Vi har darmed atminstone delvis bevisat foljande sats:

SatsOberoende av vilket koordinatsystem for rummet som anvands, sa kan

varje plan beskrivas med hjalp av en ekvation pa formen

Ax + By + Cz + D = 0, (2)

dar minst ett av de tre talen A, B och C ar skilt fran noll. Omvant

beskriver varje sadan ekvation ett plan i rummet.

Vad vi inte har bevisat ar en ekvation pa formen (2) kan tolkas somett plan: Vi vet att minst ett av talen A, B och C ar skilt fran noll;lat oss anta att C 6= 0. Om vi da satter x = t1 och y = t2, sa blir

Cz = D − Ax − By = D − At1 − Bt2 ⇐⇒ z =D

C−

A

Ct1 −

B

Ct2,

d.v.s. vi far

x = t1

y = t2

z = DC

− AC

t1 − BC

t2,

vilken ar ekvationen for ett plan pa parameterform, narmare bestamtdet plan som gar genom punkten (0, 0, D/C) och spanns upp avvektorerna (1, 0, −A/C) och (0, 1, −B/C). Nu ar satsen helt bevisad!

12(21)

Definition (Normalform)Ekvationen for ett plan pa formen

Ax + By + Cz + D = 0,

dar minst ett av de tre talen A, B och C ar nollskilt, kallas for planetsekvation pa normalform.

I stallet for normalform sager man ibland affin form.

13(21)

Exempel

Skriv en ekvation pa normalform for planet

x = t1 − 2t2

y = 2 − 2t1 + 3t2

z = −1 + t1 + 5t2,d.v.s. det plan som innehaller punkten P0 = (0, 2, −1) och spanns uppav vektorerna v1 = (1, −2, 1) och v2 = (−2, 3, 5).

Lat P = (x, y, z) vara en godtycklig punkt i rummet. Da

spanner v1, v2 och−−→P0P = (x, y − 2, z + 1) upp en parallellepiped, vars

volym (sanar som pa tecken) ges av determinanten

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −2 x−2 3 y − 2

1 5 z + 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

14(21)

Volymen (determinanten) blir noll, om och endast om P ligger iplanet. Vi far

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −2 x−2 3 y − 2

1 5 z + 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0 ⇐⇒ −13x − 7y − z + 13 = 0,

dar determinanten kan beraknas med hjalp av Sarrus’ regel. Planetsekvation pa normalform blir alltsa

−13x − 7y − z + 13 = 0

(eller om man sa vill 13x + 7y + z − 13 = 0).

15(21)

Alternativ losning.

Vi utgar fran planets ekvation pa parameterform och forsoker losa detsom ett ekvationssystem med avseende pa t1 och t2:

x = t1 − 2t2

y = 2 − 2t1 + 3t2

z = −1 + t1 + 5t2

⇐⇒

t1 − 2t2 = x−2t1 + 3t2 = y − 2

t1 + 5t2 = z + 12

−

⇐⇒

t1 − 2t2 = x−t2 = 2x + y − 27t2 = −x + z + 1.

I de tva sista ekvationerna kan vi nu losa ut t2 och satta dessa tvauttryck for t2 lika med varandra:

2 − 2x − y =−x + z + 1

7⇐⇒ 7(2 − 2x − y) = −x + z + 1

⇐⇒ 13x + 7y + z − 13 = 0.

Vi far samma ekvation 13x + 7y + z − 13 = 0 for planet som vi fickmed ”determinantmetoden”.

16(21)

ExempelSkriv en ekvation pa parameterform for planet 4x − 3y + z + 1 = 0.

Losning.Analogt med motsvarande problem for rata linjer i planet, doper viom tva av variablerna x, y och z till parametrar t1 och t2, och losersedan ut den tredje variabeln. Satter vi t.ex. x = t1 och y = t2 sa blirz = −1 − 4x + 3y = −1 − 4t1 + 3t2, vilket ger

x = t1

y = t2

z = −1 − 4t1 + 3t2.

Detta ar planet genom punkten P = (0, 0, −1) som spanns upp avvektorerna v1 = (1, 0, −4) och v2 = (0, 1, 3).

17(21)

Normalformen i ortonormerade system

Vi paminner an en gang om att vi i ett ortonormerat koordinatsystemi planet kan tolka vektorn n = (a, b) som en normalvektor till den ratalinjen som pa normalform har ekvationen ax + by + c = 0.

Nagot liknande galler aven for ett plans ekvation pa normalform:

SatsI ett ortonormerad koordinatsystem galler att ett plan, som pa

normalform har ekvationen

Ax + By + Cz + D = 0,

har vektorn n = (A, B, C) som normalvektor, d.v.s. for varje vektor v

som ar parallell med planet galler att n · v = 0.

Ax + By + Cz + D = 0

n = (A, B, C)

18(21)

Bevis.Lat v vara en godtycklig vektor som ar parallell med planet, och satt

n = (A, B, C).

Vi vill visa att n · v = 0.

I och med att v ar parallell med planet kan vi hitta punkterP0 = (x0, y0, z0) och P1 = (x1, y1, z1), som bada ligger i planet, ochsom ar sadana att

v =−−−→P0P1 = (x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0).

Da bade P0 och P1 ligger i planet, galler savalAx0 + By0 + Cz0 + D = 0 som Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0. Darmed blir

0 = (Ax1 + By1 + Cz1 + D) − (Ax0 + By0 + Cz0 + D)

= A(x1 − x0) + B(y1 − y0) + C(z1 − z0).

Hogerledet ovan kan vi tolka som skalarprodukten n · v, eftersomkoordinatsystemet ar ortonormerat. Alltsa ar n · v = 0, vilket skullebevisas.

19(21)

Vi kan nu redogora for en tredje metod att omvandla ett plansekvation fran parameterform till normalform.

Exempel

Vi tittar pa samma ekvation pa parameterform

x = t1 − 2t2

y = 2 − 2t1 + 3t2

z = −1 + t1 + 5t2

som tidigare, men med tillagget att koordinatsystemet nu arortonormerat. Vi soker en ekvation pa normalform

Ax + By + Cz + D = 0.

Eftersom koordinatsystemet ar ortonormerat, kan vektornn = (A, B, C) tolkas som en normalvektor till planet. Da planetspanns upp av v1 = (1, −2, 1) och v2 = (−2, 3, 5), ska n varaortogonal mot saval v1 som v2. Vi kan darfor som n valjavektorprodukten v1 × v2 av v1 och v2 (se definitionen avvektorprodukt i kapitel 5).

20(21)

Formeln for berakning av vektorprodukt ger

v1 × v2 = (1, −2, 1) × (−2, 3, 5) =

(∣

∣

∣

∣

−2 13 5

∣

∣

∣

∣

,

∣

∣

∣

∣

1 15 −2

∣

∣

∣

∣

,

∣

∣

∣

∣

1 −2−2 3

∣

∣

∣

∣

)

= (−13, −7, −1)

Alltsa ar n = (A, B, C) = (−13, −7, −1) vilket sa har langt gerekvationen

−13x − 7y − z + D = 0

for planet. Det aterstar att bestamma D. Men eftersom punktenP = (0, 2, −1) ligger i planet, sa maste koordinaterna for denna punktuppfylla planets ekvation, vilket ger

−13 · 0 − 7 · 2 − (−1) + D = 0 ⇐⇒ −13 + D = 0 ⇐⇒ D = 13,

och vi far pa nytt ekvationen −13x − 7y − z + 13 = 0 (eller13x + 7y + z − 13 = 0, om man sa vill).

21(21)