Úvod do Boundary Elements Method Jiˇrí Bouchalabou10/archiv/Bouchala_BEM.pdf · 1. Uvod.´ •...

- p. 1/46

Úvod do "Boundary Elements Method"

Jirí Bouchala

Katedra aplikované matematiky

[email protected]

www.am.vsb.cz/bouchala

SNA’07, 22.-26. ledna 2007

1. Uvod.• Klasickea slabe resenıPDR.• Dirichletovauloha na kouli.• Dirichletovauloha navnejsku koule.• Gaussovaveta.• Greenovyformule.

Úvod do BEM. 1. Úvod - p. 2/46

1. Úvod.



Vnit rní a vn ejší okrajová úloha.

−∆u = f v Ω,

+

okrajové podmínky na ∂Ω

(

u = g na ∂Ω,du

dn= h na ∂Ω, ...

)

;

Ω ⊂ RN ... omezená oblast s dost hladkou hranicí (N ≥ 2).

−∆u = f v RN \ Ω,

+

okrajové podmínky na ∂Ω,

+

podmínky v ∞(

u = O( 1

‖x‖N−2

)

pro ‖x‖ → ∞)

.



Prıklad. −∆u = f v Ω,

u = 0 na ∂Ω.

Klasicke resenı: u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω), ...

∫

Ω

∇u∇v dx =

∫

Ω

fv dx.

Slabe resenı: u ∈ W 1,20 (Ω), ...

Platı: u je dost hladké slabé rešení ⇒ u je klasické rešení.

Neplatı: u je klasické rešení ⇒ u je slabé rešení.



Prıklad.

−∆u = f v B1(0) ⊂ R2,

u = 0 na ∂B1(0).

−∆u(x, y) =2

√

1 − x2 − y2+

x2 + y2

√

(1 − x2 − y2)3=: f(x, y),

u(x, y) :=√

1 − x2 − y2 ∈ C∞(B1(0)) ∩ C(B1(0)),

u je klasickým rešením.

Ale!∫

B1(0)|∇u|2 dxdy =

∫

B1(0)

(−x√

1−x2−y2

)2

+(

−y√1−x2−y2

)2

dxdy =

= 2π∫ 1

0r2

1−r2 r dr = 2π∫ 1

0

(− 1

2(r+1) + 12(1−r) − r

)dr = ∞,

a proto u /∈ W 1,20 (B1(0)); u není slabým rešením.



Rešení Dirichletovy úlohy pro Laplaceovu rovnici na kouli.

(DK)

∆u = 0 v BR(x0),

u = ϕ na ∂BR(x0),

kde

R > 0, x0 ∈ RN , BR(x0) = x ∈ R

N : ‖x − x0‖ < R,

ϕ ∈ C(∂BR(x0)

).

Veta. Bud’

u(x) :=

ϕ(x), x ∈ ∂BR(x0),

1κN ·R

∫

∂BR(x0)

ϕ(y) R2−‖x−x0‖2

‖x−y‖N dSy, x ∈ BR(x0),

kde κN je povrch jednotkové koule v RN .

Pak u ∈ C∞(BR(x0)

)∩ C

(BR(x0)

)je jediným (klasickým)

rešením úlohy (DK) a platí ‖u‖∞ ≤ ‖ϕ‖∞.

κN = 2πN/2

Γ(N/2),

Γ(k) = (k−1)!, Γ(k + 12 ) = (2k−1)!!

2k

√π,

(2k − 1)!! = (2k − 1)(2k − 3) · · · 3 · 1.

κ1 = 2, κ2 = 2π,

κ3 = 4π, κ4 = 2π2,

κ5 = 83π2, κ6 = π3,

κ7 = 1615π3, κ8 = 1

3π4,...



Rešení Dirichletovy úlohy pro Laplaceovu rov. na vn ejšku koule.

(DVK)

∆u = 0 v RN \ BR(x0),

u = ϕ na ∂BR(x0), ϕ ∈ C(∂BR(x0)

),

u = O( 1

‖x‖N−2

)

pro ‖x‖ → ∞.

Veta. Bud’

u(x) :=

ϕ(x), x ∈ ∂BR(x0),

1κN ·R

∫

∂BR(x0)

ϕ(y) ‖x−x0‖2−R2

‖x−y‖N dSy, ‖x − x0‖ > R.

Pak u ∈ C∞(R

N \ BR(x0))∩ C

(R

N \ BR(x0))

je jediným(klasickým) rešením úlohy (DVK).



Veta (Gauss). Necht’ Ω ⊂ RN , kde N ≥ 1, je omezená

oblast s dost hladkou hranicí. Pak

∀u ∈ C1(Ω) ∀i ∈ 1, ..., N :

∫

Ω

∂u

∂xi

dx =

∫

∂Ω

u ni ds

(n = (n1, n2, ..., nN ) ... jednotkový vektor vnejší normály).

N = 1

∀u ∈ C1(〈a, b〉) :

∫ b

a

u′ dx = [u]ba = u(b) − u(a),

∀u, v ∈ C1(〈a, b〉) :

∫ b

a

(uv)′ dx = [uv]ba, a proto

∫ b

a

u′v dx = [uv]ba−∫ b

a

uv′ dx.



∫

Ω∂u∂xi

dx =∫

∂Ωu nids

Dalsı dusledky Gaussovy vety:

N = 2

Veta (Green). Bud’ Ω ⊂ R2 a (f1, f2) : R

2 → R2 trídy

C1 na Ω. Pak∫

Ω

(∂f2

∂x− ∂f1

∂y

)

dxdy =

∫

(∂Ω)

(f1, f2) ds.

N = 3

Veta (Gauss - Ostrogradskij). Bud’ Ω ⊂ R3

a (f1, f2, f3) : R3 → R

3 trídy C1 na Ω. Pak

∫

Ω

(∂f1

∂x+

∂f2

∂y+

∂f3

∂z

)

dxdy dz =

∫

(∂Ω)

(f1, f2, f3) ds.



∫

Ω∂(uv)∂xi

dx =∫

∂Ωuv nids

∀u, v ∈ C1(Ω) :

∫

Ω

∂u

∂xi

v dx = −∫

Ω

u∂v

∂xi

dx +

∫

∂Ω

uvni ds

⇓

∀u, v ∈ C2(Ω) :

∫

Ω

∂2u

∂x2i

v dx = −∫

Ω

∂u

∂xi

∂v

∂xi

dx +

∫

∂Ω

∂u

∂xi

vni ds

⇓

∀u, v ∈ C2(Ω) :

∫

Ω

∆u·v dx = −∫

Ω

∇u∇v dx+

∫

∂Ω

du

dnv ds

... 1. Greenova formule

⇓

∀u, v ∈ C2(Ω) :

∫

Ω

(∆u · v − u · ∆v

)dx =

∫

∂Ω

(du

dnv − u

dv

dn

)

ds

... 2. Greenova formule

2. Harmonickefunkce.• Elementarnıresenı Laplac.rovnice.

Úvod do BEM. 2. Harmonické funkce. Elementární rešení Laplaceovy rovnice - p. 11/46

2. Harmonické funkce.



Definice. Bud’ Ω ⊂ RN omezená oblast. Rekneme, že

funkce u ∈ C2(Ω) je harmonická v Ω, platí-li: ∆u = 0 v Ω.

Bud’ Ω ⊂ RN neomezená oblast. Rekneme, že funkce

u ∈ C2(Ω) je harmonická v Ω, platí-li:

∆u = 0 v Ω a soucasne u = O(

1‖x‖N−2

)

pro ‖x‖ → ∞.

m

(∃K > 0) (∃R > 0)(∀x ∈ R

N , ‖x‖ > R)

: |u(x)| ≤ K

‖x‖N−2.

Prıklady.

Funkce u := 1 je harmonická v každé oblasti, je-li N = 2. Funkce u := 1 je harmonická v každé omezené oblasti

a není harmonická v žádné neomezené oblasti, je-li N > 2. Funkce u(x, y) := x2 − y2 je harmonická v každé omezene

oblasti v R2.



Veta. Bud’ N > 2. Definujme

v(x, y) :=1

‖x − y‖N−2: R

N × RN → R.

Pak pro každé y ∈ RN je funkce x 7→ v(x, y) harmonická

v každé oblasti, která neobsahuje bod y.

Veta. Bud’ N = 2. Definujme

v(x, y) := ln1

‖x − y‖ : R2 × R

2 → R.

Pak pro každé y ∈ R2 je funkce x 7→ v(x, y) harmonická

v každé omezene oblasti, která neobsahuje bod y.



Definice. Funkci

v(x, y) :=

1(N−2)κN

1‖x−y‖N−2 , je-li N ≥ 3,

12π

ln 1‖x−y‖

, je-li N = 2,

nazýváme elementárním rešením Laplaceovy rovnice(tj. rovnice ∆u = 0).

Veta. Pro každé y ∈ RN platí

∆xv(x, y) =N∑

i=1

∂2v

∂x2i

(x, y) = −δy ≡ δ(x − y)

(derivace je treba chápat ve smyslu distribucí).

3. Potencialy.• Veta o trechpotencialech.• Definicepotencialu.• Vlastnosti:- objem. pot.,- p. jedn. vrst.,- p. dvojvrstvy.

Úvod do BEM. 3. Potenciály - p. 15/46

3. Potenciály.



Veta (o trech potencialech).Bud’ Ω ⊂ R

N (N ≥ 2) omezená oblast s dost hladkou hranicí,v : R

N × RN → R elementární rešení Laplaceovy rovnice

a u ∈ C2(Ω). Pak pro každé x ∈ Ω platí

u(x) = −∫

Ω

∆u(y)v(x, y) dy+

∫

∂Ω

v(x, y)du

dn(y)− dv

dny

(x, y)u(y) dsy.

Speciálne: je-li navíc ∆u = 0 v Ω, je

∀x ∈ Ω : u(x) =

∫

∂Ω

v(x, y)du

dn(y) − dv

dny

(x, y)u(y) dsy.

Dusledek (veta o regularite).Bud’ Ω ⊂ R

N (N ≥ 2) libovolná oblast, u ∈ C2(Ω), ∆u = 0 v Ω.Pak u ∈ C∞(Ω).



u(x) = −Ω

∆u(y)v(x, y)dy +∂Ω

v(x, y) dudn

(y) − dvdny

(x, y)u(y)dsy.

V dalším uvažujme pouze prípad N ≥ 3.

Definice.

v(x) :=∫

∂Ωµ(y) 1

‖x−y‖N−2 dsy

... potenciál jednoduché vrstvy,

w(x) :=∫

∂Ωσ(y) d

dny

(1

‖x−y‖N−2

)

dsy

... potenciál dvojvrstvy,

ϕ(x) :=∫

Ω(y) 1

‖x−y‖N−2 dy

... objemový (Newtonuv) potenciál;

µ, σ, ... hustoty (príslušných potenciálu).



ϕ(x) :=∫

Ω(y) 1

‖x−y‖N−2 dy

Veta (vlastnosti objemoveho potencialu).Bud’ Ω ⊂ R

N (N ≥ 3) omezená oblast s dost hladkouhranicí a bud’ ∈ L∞(Ω). Pak potenciál ϕ je spojitý a spojite diferencovatelný v R

N ,

harmonická funkce v každé oblasti G ⊂ RN \ Ω.

Je-li ∈ C1(Ω), je ϕ ∈ C2(Ω),

∀x ∈ Ω : −∆ϕ(x) = (N − 2)κN(x).

Uvedený výsledek nám umožnuje konstruovat partikulárnírešení Poissonovy rovnice a prevést tak okrajovou úlohu proPoissonovu rovnici na okrajovou úlohu pro Laplaceovurovnici: −∆u0 = f ∈ C1(Ω)

−∆u = 0

⇒ −∆(u + u0) = f ;

u0(x) =1

(N − 2)κN

∫

Ω

f(y)1

‖x − y‖N−2dy.



ϕ(x) :=∫

Ω(y) 1

‖x−y‖N−2 dy, ∈ C1(Ω) ⇒ −∆ϕ(x) = (N − 2)κN(x).

Prıklad. Objemovým potenciálem koule Br(0) ⊂ R3

s hustotou := 1 je funkce

ϕ(x) =

2π3

(3r2 − ‖x‖2), je-li ‖x‖ ≤ r,

4π3

r3

‖x‖, je-li ‖x‖ > r.

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6

x‖x‖

ϕ(x)

r = 1

Odtud plyne, že jedním z rešení rovnice ∆u = 1 naBr(0) ⊂ R

3 je funkce

u(x) := − 1

4π

2π

3(3r2 − ‖x‖2) =

1

6‖x‖2 + konst.,

takže taky (napr.) funkce u(x) := 16‖x‖2.



v(x) :=∫

∂Ωµ(y) 1


Veta (vlastnosti potencialu jednoduche vrstvy).Bud’ Ω ⊂ R

N (N ≥ 3) omezená oblast s dost hladkou hrani-cí a bud’ µ ∈ L1(∂Ω). Pak potenciál v je harmonickou funkcív oblastech Ω a R

N \ Ω.

Je-li µ ∈ C(∂Ω), je potenciál v spojitý v RN a pro každé x ∈ ∂Ω

platí:

[

dvdnx

(x)]

i:= lim

α→0−

dvdnx

(x + αnx) = (N−2)κN

2 µ(x) + dvdnx

(x),

kde dvdnx

(x) :=∫

∂Ωµ(y) d

dnx

(1

‖x−y‖N−2

)dsy;

[

dvdnx

(x)]

e:= lim

α→0+

dvdnx

(x + αnx) = − (N−2)κN

2 µ(x) + dvdnx

(x).

(

Takže[ dv

dnx

(x)]

i−

[ dv

dnx

(x)]

e= (N − 2)κNµ(x).

)



v(x) :=∫

∂Ωµ(y) 1


Prıklad.

Potenciálem jednoduché vrstvy na sfére ∂Br(0) ⊂ R3

s hustotou µ := 1 je funkce

v(x) =

4πr, je-li ‖x‖ ≤ r,

4π r2

‖x‖, je-li ‖x‖ > r.

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12

x‖x‖

v(x)

r = 1



w(x) :=∫

∂Ωσ(y) d

dny

(1

‖x−y‖N−2

)

dsy

Veta (vlastnosti potencialu dvojvrstvy).Bud’ Ω ⊂ R

N (N ≥ 3) omezená oblast s dost hladkou hrani-cí a bud’ σ ∈ L1(∂Ω). Pak potenciál w je harmonickou funkcív oblastech Ω a R

N \ Ω.

Je-li σ ∈ C(∂Ω), je w|∂Ω ∈ C(∂Ω) a pro každé x ∈ ∂Ω platí:

we(x) := limx → x

x ∈ RN \ Ω

w(x) = (N−2)κN

2 σ(x) + w(x),

wi(x) := limx → x

x ∈ Ω

w(x) = − (N−2)κN

2 σ(x) + w(x).

(

Takže we(x) − wi(x) = (N − 2)κNσ(x).)



w(x) :=∫

∂Ωσ(y) d

dny

(1

‖x−y‖N−2

)

dsy

Prıklad.

Potenciálem dvojvrstvy na sfére ∂Br(0) ⊂ R3

s hustotou σ := 1 je funkce

w(x) =

−4π, je-li ‖x‖ < r,

−2π, je-li ‖x‖ = r,

0, je-li ‖x‖ > r.

–12

–10

–8

–6

–4

–2

01 2 3 4 5

x‖x‖

w(x)

r = 1

4. Metodapotencialu.• VnitrnıDirichletovauloha.• VnejsıNeumannovauloha.• VnejsıDirichletovauloha.• VnitrnıNeumannovauloha.

Úvod do BEM. 4. Metoda potenciálu (neprímá metoda) - p. 24/46

4. Metoda potenciálu.



Vnit rní Dirichletova úloha.

Bud’ Ω ⊂ RN (N ≥ 3) omezená oblast s dost hladkou hranicí

a g ∈ C(∂Ω). Uvažujme problém

(Di)

∆u = 0 v Ω,

u = g na ∂Ω.

Hledejme (klasické) rešení u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω) problému (Di) vetvaru potenciálu dvojvrstvy s neznamou hustotou σ ∈ C(∂Ω), tj.

u(x) :=

∫

∂Ωσ(y) d

dny

(1

‖x−y‖N−2

)

dsy, x ∈ Ω,

g(x), x ∈ ∂Ω.

Protože potenciál dvojvrstvy je na Ω harmonickou funkcí (tj. splnujeLaplaceovu rovnici automaticky), jde pouze o to urcit hustotu σ

tak, aby platilo, že u ∈ C(Ω), tzn. aby pro každé x ∈ ∂Ω:

g(x)= ui(x) = − (N−2)κN

2σ(x)+

∫

∂Ωσ(y) d

dny

(1

‖x−y‖N−2

)

dsy,



(Di): ∆u = 0 v Ω, u = g na ∂Ω.

tj. aby

(♥) ∀x ∈ ∂Ω :

σ(x)− 2(N−2)κN

∫

∂Ωσ(y) d

dny

(1

‖x−y‖N−2

)

dsy = − 2(N−2)κN

g(x).

(

(♥) ... Fredholmova integrální rovnice druhého druhu.)

Veta. Pro každou funkci g ∈ C(∂Ω) existuje práve jedno(klasické) rešení úlohy (Di). Tímto rešením je funkce

u(x) :=

∫

∂Ωσ(y) d

dny

(1

‖x−y‖N−2

)

dsy, x ∈ Ω,

g(x), x ∈ ∂Ω,

kde σ je rešením rovnice (♥).



Vnejší Neumannova úloha.



(Ne)

∆u = 0 v RN \ Ω,

[du

dn

]

e= g na ∂Ω,

u = O( 1

‖x‖N−2

)

pro ‖x‖ → ∞.

Hledejme (klasické) rešení u ∈ C2(RN \ Ω) ∩ C(RN \ Ω) problému(Ne) ve tvaru potenciálu jednoduché vrstvy s neznamou hustotouµ ∈ C(∂Ω), tj.

u(x) :=

∫

∂Ω

µ(y)1

‖x − y‖N−2dsy.

Protože potenciál jednoduché vrstvy je na RN \ Ω harmonickou

funkcí, jde pouze o to urcit hustotu µ tak, aby pro každé x ∈ ∂Ω :

g(x) =[

dudn

(x)]

e= − (N−2)κN

2 µ(x) +∫

∂Ωµ(y) d

dnx

(1

‖x−y‖N−2

)

dsy,



(Ne): ∆u = 0 v RN \ Ω,

[dudn

]

e= g na ∂Ω, u = O

(1

‖x‖N−2

)

...

tj. aby

(♦) ∀x ∈ ∂Ω :

µ(x)− 2(N−2)κN

∫

∂Ωµ(y) d

dnx

(1

‖x−y‖N−2

)

dsy = − 2(N−2)κN

g(x).

(

(♦) ... adjungovaná rovnice k (♥).)

Veta. Pro každou funkci g ∈ C(∂Ω) existuje práve jedno(klasické) rešení úlohy (Ne). Tímto rešením je funkce

u(x) :=∫

∂Ω µ(y) 1‖x−y‖N−2 dsy,

kde µ je rešením rovnice (♦).



Vnejší Dirichletova úloha.



(De)

∆u = 0 v RN \ Ω,

u = g na ∂Ω,

u = O( 1

‖x‖N−2

)

pro ‖x‖ → ∞.

Podobne jako u (Di): funkce

u(x) :=

∫

∂Ωσ(y) d

dny

(1

‖x−y‖N−2

)

dsy, x ∈ RN \ Ω,

g(x), x ∈ ∂Ω,

je (klasickým) rešením úlohy (De), je-li hustota σ ∈ C(∂Ω) taková,že pro každé x ∈ ∂Ω:

g(x)= ue(x) = (N−2)κN

2σ(x) +

∫

∂Ωσ(y) d

dny

(1

‖x−y‖N−2

)

dsy,



(De): ∆u = 0 v RN \ Ω, u = g na ∂Ω, u = O

(1

‖x‖N−2

)

...

tj. že

(♠) ∀x ∈ ∂Ω :

σ(x)+ 2(N−2)κN

∫

∂Ωσ(y) d

dny

(1

‖x−y‖N−2

)

dsy = 2(N−2)κN

g(x).

Tentokrát je situace složitejší, muže se totiž stát, že rovnice (♠)nemá rešení. I v takovémto prípade má sice úloha (De) rešení, totovšak nemá tvar potenciálu dvojvrstvy.

K této situaci dochází proto, že potenciály dvojvrstvy tvorí príliš"malou" cást množiny všech harmonických funkcí v R

N \ Ω.

U obecné harmonické funkce totiž požadujeme, aby byla

O(

1‖x‖N−2

)

pro ‖x‖ → ∞,

zatímco potenciál dvojvrstvy je

O(

1‖x‖N−1

)

pro ‖x‖ → ∞.



(De): ∆u = 0 v RN \ Ω, u = g na ∂Ω, u = O

(1

‖x‖N−2

)

...

Pokusme se rešení najít ve tvaru souctu potenciáludvojvrstvy a jednoduché harmonické funkce s rustem

O(

1‖x‖N−2

)

pro ‖x‖ → ∞.

Umísteme pocátek soustavy souradnic dovnitr Ωa hledejme u ve tvaru:

u(x) :=

∫

∂Ωσ(y) d

dny

(1

‖x−y‖N−2

)

dsy + 1‖x‖N−2

∫

∂Ωσ(y) dsy,

x ∈ RN \ Ω,

g(x), x ∈ ∂Ω.

Už víme, že ∀σ ∈ C(∂Ω) je takto definovaná funkce u

harmonická v RN \ Ω. Zbývá tedy urcit σ ∈ C(∂Ω) tak, aby

pro každé x ∈ ∂Ω:

g(x) = ue(x) = (N−2)κN

2 σ(x)+∫

∂Ωσ(y)

[d

dny

(1

‖x−y‖N−2

)

+ 1‖x‖N−2

]

dsy,



(De): ∆u = 0 v RN \ Ω, u = g na ∂Ω, u = O

(1

‖x‖N−2

)

...

tj. aby

(♠♠) ∀x ∈ ∂Ω :

σ(x) + 2(N−2)κN

∫

∂Ωσ(y)

[d

dny

(1

‖x−y‖N−2

)

+ 1‖x‖N−2

]

dsy = 2(N−2)κN

g(x).

Veta. Pro každou funkci g ∈ C(∂Ω) existuje práve jedno (kla-sické) rešení úlohy (De). Tímto rešením je funkce

u(x) :=

∫

∂Ωσ(y) d

dny

(1

‖x−y‖N−2

)

dsy + 1‖x‖N−2

∫

∂Ωσ(y) dsy,

x ∈ RN \ Ω,

g(x), x ∈ ∂Ω,

kde σ ∈ C(∂Ω) je rešením rovnice (♠♠).



Vnit rní Neumannova úloha.



(Ni)

∆u = 0 v Ω,[du

dn

]

i= g na ∂Ω.

Pozorovanı 1.Je-li funkce u klasickým rešením úlohy (Ni), je i každá z funkcí

vc(x) := u(x) + c,

kde c ∈ R, rešením (Ni).

Pozorovanı 2.Bud’ u dost hladké rešení úlohy (Ni) a v := 1.Z 1. Greenovy formule

∫

Ω∆u ·v dx = −

∫

Ω∇u∇v dx+

∫

∂Ωdudn

v ds

pak vyplývá, že0 =

∫

∂Ωdudn

ds =∫

∂Ωg ds.



(Ni): ∆u = 0 v Ω,[

dudn

]

i= g na ∂Ω.

Rešení u hledejme ve tvaru potenciálu jednoduché vrstvys hustotou µ ∈ C(∂Ω), tj.

u(x) :=

∫

∂Ω

µ(y)1

‖x − y‖N−2dsy.

Pro µ pak musí platit, že pro každé x ∈ ∂Ω :

g(x) =[

dudn

(x)]

i= (N−2)κN

2 µ(x) +∫

∂Ωµ(y) d

dnx

(1

‖x−y‖N−2

)

dsy,

tj. že

(♣) ∀x ∈ ∂Ω :

µ(x) + 2(N−2)κN

∫

∂Ωµ(y) d

dnx

(1

‖x−y‖N−2

)

dsy = 2(N−2)κN

g(x).

(

(♣) ... adjungovaná rovnice k (♠).)



(Ni): ∆u = 0 v Ω,[

dudn

]

i= g na ∂Ω.

Veta. Podmínka∫

∂Ωg(x) dsx = 0

je podmínkou nutnou a postacujıcı, aby úloha (Ni)(s okrajovou podmínkou g ∈ C(∂Ω)) mela rešení.Toto rešení je jednoznacne až na konstantu urceno vztahem

u(x) :=∫

∂Ω µ(y) 1‖x−y‖N−2 dsy,

kde µ je rešením rovnice (♣).

5. Prımemetody.• Smısena DNuloha.• Steklov -Poincareoperator.• Slabehranicnı resenıDN ulohy.

Úvod do BEM. 5. Prímé metody (v R3) - p. 36/46

5. Prímé metody.



Smíšená Dirichletova - Neumannova úloha.

Bud’ Ω ⊂ R3 omezená oblast s dost hladkou hranicí

∂Ω = Γ1 ∪ Γ2 a bud’ g1 ∈ C(Γ1) a g2 ∈ C(Γ2).Uvažujme problém

(DNi)

∆u = 0 v Ω,

u = g1 na Γ1,[du

dn

]

i= g2 na Γ2.

Z vety o trech potenciálech vyplývá:je-li u ∈ C2(Ω) (klasickým) rešením (DNi), je

∀x ∈ Ω : u(x) =

∫

∂Ω

v(x, y)du

dn(y) − dv

dny

(x, y)u(y) dsy,

kde v : R3 × R

3 → R je elementární rešení Laplaceovy

rovnice, tj. funkce v(x, y) := 14π

1‖x−y‖ .



(DNi): ∆u = 0 v Ω, u = g1 na Γ1,[

dudn

]

i= g2 na Γ2.

Zjistili jsme: je-li u ∈ C2(Ω) rešením úlohy (DNi), je

pro každé x ∈ Ω :

u(x) =∫

∂Ω14π

1‖x−y‖

dudn

(y) dsy −∫

∂Ω14π

ddny

(1

‖x−y‖

)u(y) dsy.

Problém: dudn(y) = ? na Γ1, u(y) = ? na Γ2.

Všimneme si:

∫

∂Ω14π

1‖x−y‖

dudn

(y) dsy ... potenciál jednoduché vrstvy

s hustotou 14π

dudn

∈ C(∂Ω),

∫

∂Ω14π

ddny

(1

‖x−y‖

)u(y) dsy ... potenciál dvojvrstvy

s hustotou 14π

u∈ C(∂Ω).



(DNi): ∆u = 0 v Ω, u = g1 na Γ1,[

dudn

]

i= g2 na Γ2.

∀x ∈ Ω : u(x) =∫

∂Ω14π

dudn

(y) 1‖x−y‖ dsy −

∫

∂Ω14π

u(y) ddny

(1

‖x−y‖

)dsy.

Limitním prechodem (Ω ∋ x → x ∈ ∂Ω) dostaneme, že pro každéx ∈ ∂Ω platí:

u(x) =∫

∂Ω14π

dudn

(y) 1‖x−y‖ dsy −

(− 4π

214π

u(x) +∫

∂Ω14π

u(y) ddny

(1

‖x−y‖

)dsy

),

tj.

∀x ∈ ∂Ω : 12u(x) =

∫

∂Ω14π

1‖x−y‖

dudn

(y) dsy −∫

∂Ω14π

ddny

(1

‖x−y‖

)u(y) dsy.

︸︷︷︸︸︷︷︸

=: V (dudn

)(x) =: K(u)(x)

Takže na ∂Ω platí

12u = V (du

dn)−K(u).



(DNi): ∆u = 0 v Ω, u = g1 na Γ1,[

dudn

]

i= g2 na Γ2.

∀x ∈ Ω : u(x) =∫

∂Ω14π

dudn

(y) 1‖x−y‖ dsy −

∫

∂Ω14π

u(y) ddny

(1

‖x−y‖

)dsy.

Nyní proved’me limitní prechod pro "derivaci podle vnejší normály".Z predpokladu u ∈ C2(Ω) a z vlastností potenciálu jednoduchévrstvy plyne, že

∀x ∈ ∂Ω :[

dudnx

(x)]

i= du

dn(x) =

= 4π2

14π

dudn

(x) +∫

∂Ω14π

dudn

(y) ddnx

(1

‖x−y‖

)dsy − d

dnx

∫

∂Ω14π

u(y) ddny

(1

‖x−y‖

)dsy,

tzn., že pro každé x ∈ ∂Ω platí:

12

dudn

(x) =∫

∂Ω14π

ddnx

(1

‖x−y‖

)dudn

(y) dsy − ddnx

∫

∂Ω14π

ddny

(1

‖x−y‖

)u(y) dsy.

︸︷︷︸︸︷︷︸

=: K ′(dudn

)(x) =: D(u)(x)



(DNi): ∆u = 0 v Ω, u = g1 na Γ1,[

dudn

]

i= g2 na Γ2.

Zjistili jsme, že pro rešení u ∈ C2(Ω) úlohy (DNi) na ∂Ω platí:

1

2u = V (

du

dn) − K(u),

1

2

du

dn= K ′(

du

dn) + D(u).

Dá se dokázat, že existuje V −1, a proto z první rovnostivyplývá, že

du

dn= V −1

(1

2I + K

)(u).

Dosadíme-li tento vztah do druhé z výše uvedených rovností,dostaneme ( na ∂Ω ) rovnost

dudn =

[(12I +K ′)V −1

(12I +K

)+D

](u)

︸︷︷︸

=: S ... Steklov - Poincaré operátor.



(DNi): ∆u = 0 v Ω, u = g1 na Γ1,[

dudn

]

i= g2 na Γ2.

dudn = S(u) :=

[(12I +K ′)V −1

(12I +K

)+D

](u),

kdeV (λ)(x) :=

∫

∂Ω14π

1‖x−y‖

λ(y) dsy,

K(u)(x) :=∫

∂Ω14π

ddny

(1

‖x−y‖

)u(y) dsy,

K ′(λ)(x) :=∫

∂Ω14π

ddnx

(1

‖x−y‖

)λ(y) dsy,

D(u)(x) := − ddnx

∫

∂Ω14π

ddny

(1

‖x−y‖

)u(y) dsy.

Dá se ukázat, že

V : H− 1

2 (∂Ω) → H1

2 (∂Ω), K : H1

2 (∂Ω) → H1

2 (∂Ω),

K ′ : H− 1

2 (∂Ω) → H− 1

2 (∂Ω), D : H1

2 (∂Ω) → H− 1

2 (∂Ω)

S : H1

2 (∂Ω) → H− 1

2 (∂Ω)

jsou spojitými lineárními operátory.



dudn

= Su − Nf .

Uvažujme problém

(DNi)

−∆u = f v Ω,

u = 0 na Γ1,

du

dn= g na Γ2,

kde Ω ⊂ R3 je omezená oblast s dost hladkou hranicí

∂Ω = Γ1 ∪ Γ2, Γ1 má "kladnou mıru", g ∈ L2(Γ2), f ∈ L2(Ω).

Slabým rešením úlohy (DNi) rozumíme funkciu ∈ W := v ∈ H1(Ω) : Tv = 0 na Γ1 takovou, že

∀v ∈ W :∫

Ω∇u∇v dx =

∫

Ωfv dx +

∫

Γ2gTv ds.

Slabým hranicnım rešením úlohy DNi rozumíme funkciu ∈ W := v ∈ H

1

2 (∂Ω) : v = 0 na Γ1 takovou, že

∀v ∈ W : 〈Su, v〉 = 〈Nf, v〉 +∫

Γ2gv ds.

Literatura.

Úvod do BEM. Literatura - p. 44/46

Literatura.

Literatura.


P. Drábek: Integralnı rovnice, SNTL, Praha, 1991;

L. C. Evans: Partial differential equations, GraduateStudies in Mathematics, Volume 19, AmericanMathematical Society, Providence, Rhode Island, 1998;

J. Francu: Parcialnı diferencialnı rovnice, skripta VUT,Brno, 2003;

O. John, J. Necas: Rovnice matematicke fyziky, skriptaMFF UK, Praha, 1981;

A. Kufner, O. John a S. Fucík: Function spaces, Academia,Praha, 1977.

C. Johnson: Numerical solution of partial differential

equations by the finite element method, CambridgeUniversity Press, 1995;

K. Rektorys a spol.: Prehled uzite matematiky II,Prometheus, Praha, 1995;

Literatura.


M. Renardy, R. C. Rogers: An introduction to partial

differential equations, Springer – Verlag, New York, 1993;

M. Rokyta, O. John, J. Málek, M. Pokorný, J. Stará: Uvod

do teorie parcialnıch diferencialnıch rovnic,www.karlin.mff.cuni.cz/ rokyta/vyuka/skripta-pdr/, 2004;

M. Sadowská: Resenı variacnıch nerovnic pomocı

hranicnıch integralnıch rovnic, diplomová práce, VŠB-TUOstrava, 2005;

O. Steinbach: Stability estimates for hybrid coupled domain

decomposition methods, Springer – Verlag, Heidelberg,2003;

A. Ženíšek: Funkcionalnı analyza II, skripta VUT, Brno,1999;

Príspevek vznikl za podpory grantu GACR 201/07/0294.

Date post:	31-Oct-2019
Category:	Documents
Upload:	others
View:	1 times
Download:	0 times

Úvod do Boundary Elements Method Jiˇrí Bouchalabou10/archiv/Bouchala_BEM.pdf · 1. Uvod.´ •...

Documents