Boài döôõng HS gioûi Toaùn 8BAØI 15:Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A (AC > AB), ñöôøng cao AH. Treân tia HC

laáy HD = HA. Ñöôøng vuoâng goùc vôùi BC taïi D caét AC taïi E.a) Chöùng minh AE = AB.b) Goïi M laø trung ñieåm cuûa BE. Tính goùc AHM.

Giaûia) Keû EF AH. Ta coù = 900 , = 900 , = 900

Töù giaùc EFHD laø HCN => EF = AHXeùt AHB vaø EFA coù: ; EF = AH; => AHB = EFA ( g.c.g) => AB = AE

b) Noái MA, MH, MD. Xeùt AMH vaø DMH coù:

AH = HD (gt) MH caïnh chung DM = AM = ( ñöôøng TT öùng vôùi caïnh huyeàn)

=> AMH = DMH (c.c.c) => => = 450

* BAØI 16:Cho tam giaùc ABC coù chu vi baèng 18. Trong ñoù BC laø caïnh lôùn

nhaát. Ñöôøng phaân giaùc goùc B caét AC ôû M sao cho . Ñöôøng

phaân giaùc goùc C caét AB ôû N sao cho . Tính caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC.

Giaûi Ta coù: BM laø phaân giaùc => => AB = (1)

CN laø phaân giaùc => => AC = (2)Maø : AB + BC + AC = 18 (3)Töø (1), (2) vaø (3) => + BC + = 18 => BC = 8 ; AB = 4; AC = 6

BAØI 17: Phaân tích caùc ña thöùc sau thaønh nhaân töû:a) x2 + 6x + 5b) x4 + 2007x2 + 2006x + 2007.c) (x + 1).(x + 2).(x + 3).(x + 4) + 1.

BAØI 18: Cho bieåu thöùc: A = (x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠ )a) Ruùt goïn bieåu thöùc A.b) Tính giaù trò cuûa A vôùi x = 6022.c) Tìm x ñeå A < 0.d) Tìm giaù trò nguyeân cuûa x ñeå A nhaän giaù trò nguyeân.

Giaûia) ÑKXÑ: x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠ A =

1

1

1

M

DH

F

CB

A

M

C

N

B

A

b) Thay x = 6022 vaøo A ta coù: A = = 2007 c) A nhaän giaù trò nguyeân khi x nguyeân vaø x – 1 chia heát cho 3. Ta coù: x – 1 = 3k => x = 3k + 1 (vôùi k nguyeân) Vaäy vôùi x = 3k + 1 (k nguyeân) thì A nhaän giaù trò nguyeân. BAØI 19:

Giaûi phöông trình: Giaûi

(123 – x)

123 – x = 0 Vì x = 123Vaäy nghieäm cuûa p.t laø x = 123

BAØI 20 :Cho tam giaùc ñeàu ABC, goïi M laø trung ñieåm cuûa BC. Moät goùc xMy baèng 600 quay quanh ñieåm M sao cho 2 caïnh Mx, My luoân caét caïnh AB vaø AC laàn löôït taïi D vaø E. CM:

a) BD.CE = b) DM, EM laàn löôït laø tia phaân giaùc cuûa caùc goùc BDE vaø CED.c) Chu vi tam giaùc ADE khoâng ñoåi.

Giaûia) Trong BDM ta coù: ; Vì = 600 neân ta coù: => BMD ~ CEM (g.g) (1) => => BD.CE = BM.CM

Vì : BM = CM = => BD.CE =

b) Töø (1) => maø BM = CM neân ta coù:

=> = 600

=> BMD ~ MED (c.g.c) => => DM laø phaân giaùc CM töông töï ta coù: EM laø phaân giaùc c) Keû MH AB; MI DE; MK AC vuoâng DHM = vuoâng DIM ( CH- GN) => DH = DI vuoâng MEI = vuoâng MEK (CH – GN) => EI = EK CVADE = AD + DI + IE + AE = AD + DH + EK + AE = AH + AKMaø: vuoâng AHM = vuoâng AKM (CH – GN) AH = AK => CVADE = 2AH ( khoâng ñoåi)

2

KH

I E

D

C

y

M

x

B

A

BAØI 21 :Cho x + = a. Tính:x2 + ; x3 + ; x4 + ; x5 + Giaûi

a) x2 + = = a2 – 2

b) x3 + = = = a(a2 – 2 – 1) = a(a2 – 3)

c) x4 + = (x2)2 + = - 2 = (a2 – 2)2 – 2 = a4 – 4a2 – 4 – 2 = a4 – 4a2+2

d) x5 + =

= =

= a = a(a4 – 4a2 + 2 – a2 + 2 + 1) = a(a4 – 5a2 + 5) = a5 – 5a3 + 5

BAØI 22 : Giaûi phöông trình baèng caùch ñaët aån phuï: 3

Ñaët y = => x2 + = = y2 – 2Ta coù phöông trình: 3(y2 – 2) – 13y + 16 = 0 3(y2 – 2) – 13y + 16 = 0 3y2 – 6 – 13y + 16 = 0 3y2 – 13y + 10 = 0 3y2 – 10y – 3y + 10 = 0 3y(y – 1) – 10(y – 1) = 0 (y – 1)(3y – 10) = 0 y = 1 vaø y =

* y = 1 x + = 1 => x2 – x + 1 = 0 > 0 x Vaäy p.t VN.* y = x + 3x2 – 10x + 3 = 0 (3x – 1)(x – 3) = 0

P.t coù 2 nghieäm laø x = vaø x = 3. * BAØI 23: Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû (duøng pp theâm bôùt cuøng 1 haïng töû)

a) a4 + 4b4 = a4 + 4a2b2 – 4a2b2 + 4b4 = (a2)2 + 2.2a2b2 + 4b2 – 4a2b2

= (a2 + 2b2)2 – (2ab)2 = (a2 + 2b2 – 2ab)(a2 + 2b2 + 2ab)b) a4 + a2 + 1 = a4 + a2 + a2 – a2 + 1 = (a2)2 + 2a2 + 1 – a2

= (a2 + 1)2 – a2 = (a2 – a + 1)(a2 + a + 1) BAØI 24 :

Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû (duøng pp ñaët bieán phuï)a) Q = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 Ñaët: Y = x2 + x + 1 ta coù:

3

Q = Y(Y + 1) – 12 = Y2 + Y – 12 = Y2 – 3Y + 4Y – 12 = (Y – 3)(Y + 4)Trôû veà bieán x ta ñöôïc: Q = (x2 + x + 1 – 3)(x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 5)b) P = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 = (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3)

– 24 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 24 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 4 + 2) – 24Ñaët Y = x2 + 5x + 4 ta ñöôïc: P = Y(Y + 2) – 24 = Y2 + 2Y – 24 = Y2 + 6Y – 4Y – 24 = (Y + 6)(Y – 4)Trôû veà bieán x ta ñöôïc: P = (x2 + 5x + 4 + 6)(x2 + 5x + 4 – 4) P = (x2 + 5x + 10)(x2 + 5x ) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10)

*BAØI 25: Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû (duøng pp phoái hôïp nhieàu pp)

a) x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + 1 = (x10 + x8 + x6) + x4 + x2 + 1) = x6(x4 + x2 + 1) + (x4 + x2 + 1) = (x4 + x2 + 1)(x6 + 1)

= (x4 + x3 – x3 + x2 + x2 – x2 + x – x + 1)[(x2)3 + 13] = [(x4 + x3 + x2) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1)][(x2)3 + 1] = [(x2 + x + 1)(x2 – x + 1)][(x2 + 1)(x4 – x2 + 1)]

b) a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc = ab2 + ac2 + bc2 + ba2 + (ca2 + cb2 + 2abc) = ab(b + a) + c2(a + b) + c(a2 + b2 + 2ab) = (a + b)[(ab + c2) + c(a + b)] = (a + b)(ab + c2 + ac + bc) = (a + b)(b + c)(c + a)

*BAØI 26:Cho töù giaùc ABCD coù AD = BC. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB, CD. Tia MN caét tia AD ôû E vaø caét tia BC ôû F. CM:

.Giaûi

Goïi I laø trung ñieåm cuûa BD, ta coù: BF // IN => AE // MI => Xeùt MNI coù: IM = IN (2 ñöôøng trung bình)=> MNI caân taïi I=> =>

* BAØI 27:Cho hình vuoâng ABCD. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB,

BC. Caùc ñoaïn thaúng caét nhau taïi I. CM: IA = AD.Giaûi

Töø A keû AP DN caét DC taïi K, caét DN taïi I. Xeùt MCB vaø NDC coù: DC = BC ; NC = BM ; = 900

=> MCB = NDC (c.g.c) => Maø: = 900

=> = 900 => MC DN Ta laïi coù: AK DN => AK // MC

4

B

I

C

M

N

FE

D

A

K

PI N

M

C

B

D

A

Xeùt ADK vaø CBM coù: AD = BC ; ; = 900

=> ADK = CBM (g.c.g) => DK = BM Maø M laø trung ñieåm cuûa AB => K laø trung ñieåm cuûa CD DP = IP ( PK laø ñöôøng TB DIC) DAI caân taïi A => AD = AI*BAØI 28: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, ñöôøng cao AH chia caïnh huyeàn thaønh 2 ñoaïn coù ñoä daøi 9 cm vaø 16 cm. Tính chu vi tam giaùc ABC.

Giaûi

Xeùt ABH vaø CBA coù: chung ; AÂ = = 900

=> ABH ~ CBA (g.g) => => AB2 = CB.BH = 25. 9 = 225 => AB = 15 (cm)Aùp duïng ÑL Pitago trong vuoâng ABC ta coù:

AC2 = BC2 – AB2 = 252 – 152 = 625 – 225 = 400 AC = 20 (cm)

Chu vi ABC: AB + AC + BC = 15 + 20 + 25 = 60 (cm) BAØI 29: Giaûi phöông trình: 3x4 – 13x3 + 16x2 – 13x + 3 = 0

GiaûiChia 2 veá cho x2 ta coù: 3x2 – 13x + 16 = 0

3 + 16 = 0

Ñaët: x + = y => x2 + = y2 – 2

3(y2 – 2) – 13y + 16 = 0 (y – 1)(3y – 10) = 0

* y = 1 => x + = 1 PT naøy VN.

Vì: x2 – x + 1 = > 0

y = => (3x – 1)(x – 3) = 0

Vaäy p.t ñaõ cho coù 2 nghieäm laø x = vaø x = 3. *BAØI 30: Chöùng minh raèng:

a) (vôùi a, b > 0)

b) (vôùi a, b, c > 0)c) (a2 + b2)c + (b2 + c2)a + (c2 + a2)b ≥ 6abc (vôùi a, b, c > 0)

Giaûic)Ta coù: (a – b)2 ≥ 0 => a2 + b2 ≥ 2ab (a2 + b2)c ≥ 2abc

5

16cm9cm CHB

A

Töông töï ta coù: (b2 + c2)a ≥ 2abc (c2 + a2)b ≥ 2abc

(a2 + b2)c + (b2 + c2)a + (c2 + a2)b ≥ 6abcXaûy ra ñaúng thöùc a = b = ca) Ta coù:(a - b)2 ≥ 0 <=> a2 + b2 -2ab ≥ 0

a2 + b2 ≥ 2ab

b) Ta coù: VT = = Theo KQ caâu a, ta coù:

VT ≥ 6 *BAØI 31: Giaûi baát phöông trình sau: < 0

< 0

< 0 < 0 ÑKXÑ : x ≠ 0 ; x ≠ -5

Neáu x > 0 thì x(x + 5) > 0 > 0 Vaäy BPT voâ nghieäm.

Neáu -5 < x < 0 thì x(x + 5) < 0 < 0 Vaäy BPT coù nghieäm laø -5 < x < 0*Neáu x < - 5 thì x(x + 5) > 0 > 0 Vaäy BPT voâ nghieäm.Vaäy BPT ñaõ cho coù nghieäm -5 < x < 0* BAØI 32: Giaûi phöông trình: = 91)Neáu x < -1 thì x – 4 < 0 vaø x + 1 < 0 => = -x + 4 vaø = -x – 1

P.t trôû thaønh: -x + 4 – x – 1 = 9 (ÑK: x < -1) <=> x = -3 (TMÑK) 2) Neáu -1 ≤ x ≤ 4 thì x – 4 ≤ 0 vaø x + 1 ≥ 0 => = -x + 4 vaø = x + 1 P.t trôû thaønh: -x + 4 + x + 1 = 9 (ÑK: -1 ≤ x ≤ 4) 0x = 4 VN 3) Neáu x > 4 thì x – 4 > 0 vaø x + 1 > 0 => = x – 4 vaø = x + 1 P.t trôû thaønh: x – 4 + x + 1 = 9 (ÑK: x > 4) x = 6 (TMÑK) Vaäy p.t ñaõ cho coù taäp nghieäm laø S = BAØI 33 : Ruùt goïn caùc bieåu thöùc: (n laø soá nguyeân döông)

a) A =

Ta coù:

6

Do ñoù: 2A = = 1 - => A =

b) B =

Keát quaû: B = *BAØI 34: Giaûi vaø bieän luaän phöông trình:

m(x + 3) – 2(m + 1) = 3m – 4x mx + 3m – 2m – 2 = 3m - 4x => (m + 4)x = 2(m + 1)

Bieän luaän:- Neáu m + 4 ≠ 0 m ≠ -4 ta coù: x = - Neáu m + 4 = 0 m = -4 p.t trôû thaønh: 0x = -6 VN- Khoâng coù giaù trò naøo cuûa m ñeå p.t coù VSN.

* BAØI 35: Cho A = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 – a4 – b4 – c4

a) Phaân tích A thaønh nhaân töû.b) CMR: Neáu a, b, c laø 3 caïnh cuûa tam giaùc thì A > 0.

Giaûia) A = 4a2b2 – (a4 + 2a2b2 + b4 + c4 – 2b2c2 – 2a2c2 ) = (2ab)2 – (a2 + b2 – c2 )2 = (2ab + a2 + b2 – c2 )(2ab – a2 – b2 + c2 ) = [(a + b)2 – c2][-(a – b)2 + c2 ] = (a + b + c)(a + b – c)(c + a – b)(c – a + b)b) Neáu a, b, c laø caùc caïnh cuûa tam giaùc thì: a + b + c > 0 ; a + b – c > 0 ; c + a – b > 0 ; c – a + b > 0 => A > 0* BAØI 36: Tính giaù trò cuûa ña thöùc:a) P(x) = x7 – 80x6 + 80x5 – 80x4 +……….+ 80x + 15 taïi x = 79b) Q(x) = x14 -10x13 + 10x12 – 10x11 +………..+ 10x2 – 10x + 10 taïi x = 9

Giaûia) Ta coù: P(x) = x7 – 79x6 – x6 + 79x5 + x5 – 79x4 – x4 +………..+79x +

x + 15 = x6(x – 79) – x5(x – 79) + x4(x – 79)- ………….. –x(x – 79) + x + 15Thay x = 79 vaøo ta coù: P(79) = 94

b) Ta coù: Q(x) = x14 – 9x13 – x13 + 9x12 + x12 – 9x11 - ………….. + 9x2 + x2 – 9x – x + 10 = x13(x – 9) – x12(x – 9) + x11(x – 9) - …………. + x(x – 9) – x + 10Thay x = 9 vaøo ta coù: Q(9) = 1

BAØI 37: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, trung tuyeán AM. Keû MD AB ; ME AC.

a) CM : DE = AM.b) CM: ADE ~ ABC.

Giaûia) Ta coù: AÂ = 900 (gt) ; = 900 ( MD AB) ; = 900 ( ME

AC) Töù giaùc ADME laø HCN. => DE = AM (2 ñöôøng cheùo HCN)

b) Ta coù MB = MC (gt) MD // AC (2 caïnh ñoái HCN)

D laø trung ñieåm cuûa AB.

7CM

E

B

D

A

CM töông töï ta coù: E laø trung ñieåm cuûa AC.=> DE laø ñöôøng TB cuûa ABC => DE // BC => ADE ~ ABC

* BAØI 38: Cho tam giaùc ABC coù AB = AC = 9cm. Tia phaân giaùc goùc B caét ñöôøng cao AH ôû I. Bieát . Tính chu vi tam giaùc ABC.

GiaûiTa coù: BI laø phaân giaùc .Aùp duïng t/c ñöôøng phaân giaùc trong ABH ta coù: => => BH = 6 cmTa laïi coù: ABC caân taïi A coù AH laø ñöôøng cao neân cuõng laø trung tuyeán.

BC = 2BH = 2.6 = 12 cmChu vi ABC = 9 + 9 + 12 = 30 cm

*BAØI 39:Tìm caùc giaù trò nguyeân cuûa x ñeå giaù trò cuûa phaân thöùc sau cuõng laø soá nguyeân.

A = ÑKXÑ: x ≠ -2 Ta coù: A = (3x – 10) +

A nguyeân nguyeân 3 (x + 2) x + 2 Ö (3) x + 2 = ± 1 ; ± 3

* x + 2 = 1 x = -1 (TMÑK)* x + 2 = -1 x = -3 (TMÑK)* x + 2 = 3 x = 1 (TMÑK)* x + 2 = -3 x = -5 (TMÑK)Vaäy vôùi x { -5 ; -3 ; -1 ; 1 } thì A coù giaù trò nguyeân.

* BAØI 40:Cho x 0. Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc: A =

Tìm x ñeå A coù GTNN.Giaûi

Ta coù: A = = = 2001 +

Vì : (x – 1)2 ≥ 0 vaø x2 > 0 Neân: 2001 + GTNN cuûa A laø 2001 x = 1

BAØI 41: Cho hình vuoâng ABCD coù ñoä daøi caïnh laø a, taâm O. Keû ñöôøng thaúng d baát kì qua O, d khoâng truøng vôùi AC, BD. Keû AM, BN, CP, DQ laàn löôït vuoâng goùc vôùi d.Tính AM2 + BN2 + CP2 + DQ2 theo a.

GiaûiXeùt vuoângAMO vaø vuoâng ONB coù:

OA = OB (t/c ñöôøng cheùo hình vuoâng) (cuøng phuï )

=> AMO = ONB (CH-GN) => BN = OM

8

99

CH

I

B

A

Q

P

M

N

d

O

C

B

D

A

CM töông töï ta coù: CPO = OQD => CP = OQAM2 + BN2 + CP2 + DQ2 = (OA2 – OM2) + (OB2 – ON2) + (OC2 – OP2) + (OD2 – OQ2)

= (OA2 + OB2 + OC2 + OD2) – (OM2 + ON2 + OP2 + OQ2) = (OA2 + OB2 + OC2 + OD2 ) – [(BN2 + (OB2 – BN2) + (OC2 – CP2) + CP2 ] = OA2 + OB2 + OC2 + OD2 – OB2 – OC2 = OA2 + OD2 = AD2 = a2

* BAØI 42:Cho tam giaùc nhoïn ABC, M laø ñieåm thuoäc mieàn trong cuûa tam giaùc, caùc ñöôøng thaúng AM, BN, CM laàn löôït caét caùc caïnh BC, CA, AB taïi Q, N , P.

a) CM: .

b) CMR: Toång khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa ñieåm M thuoäc mieàn trong tam giaùc ABC.

Giaûia) Keû MH BC ; AK BC

MH // AK => MHQ ~ AKQ =>

Ta laïi coù: =>

b) CM töông töï caâu a ta coù: ;

=> = = = 1 (haèng soá)Vaäy: toång khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa ñieåm M thuoäc mieàn trong tam giaùc ABC.

*BAØI 43: Cho x ≠ 0. Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc: B =

Ta coù: B = Ñaët: y = x + 1 => x = y – 1

B = = = =

Ñaët: t = => B = 1 – t + t2 = t2 – t + 1 = (t - )2 + ≥

GTNN cuûa B laø t =

t = y = 2 y = 2 x + 1 = 2 x = 1 Vaäy GTNN cuûa B laø x = 1

9

M

Q H K C

P N

B

A

*BAØI 44:Cho tam giaùc ABC caân taïi A, O laø trung ñieåm cuûa BC. Laáy 2 ñieåm M , N treân 2 caïnh BA, CA thoaû maõn: BM.BN = OB2 = OC2.CM: Ba tam giaùc MBO, OCN vaø MON ñoàng daïng.

Giaûi *Xeùt MBO vaø OCN coù: (gt) => => MBO ~ OCN (c.g.c) (1) * Xeùt OCN vaø MON coù: ( do MBO ~ OCN) => Ta laïi coù: Vaø: Maø : => => OCN ~ MON (c.g.c) (2) Töø (1) vaø (2) => MBO ~ OCN ~ MON BAØI 45 : Phaân tích ña thöùc sau thaønh nhaân töû:x(y2 – z2) + y(z2 – x2)

+ z(x2 – y2) = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 = (xy2 – yx2) + (yz2 – xz2) + (zx2 – zy2) = xy(y – x) + z2(y – x) –z(y2 – x2) = (y – x)[xy + z2 – z(y + x)] = (y – x)(xy + z2 – zy – zx) = (y – x)[x(y – z) – z(y – z)] = (y – x)(y – z)(x – z) *BAØI 46: Cho bieåu thöùc: A =

a) Ruùt goïn A.b) CM: A > 0 vôùi moïi x.

Giaûia) Ta coù:

x4 – x3 + x – 1 = x3(x – 1) + (x – 1) = (x – 1)(x3 + 1)x4 + x3 – x - 1 = x3(x + 1) – (x + 1) = (x + 1)(x3 – 1)x5 – x4 + x3 – x2 + x – 1 = (x5 – x2) – (x4 – x) + (x3 – 1)

= x2(x3 – 1) – x(x3 – 1) + (x3 – 1) = (x3 – 1)(x2 – x + 1)

A =

= MTC = (x – 1)(x + 1)(x2 – x + 1)(x2 + x + 1) A = = = = =

A =

10

32 1

1

1

CO

N

B

M

A

b) Ta coù: x4 + x2 + 1 = => A = vôùi

moïi x BAØI 47: Cho bieåu thöùc: B = a) Ruùt goïn B.b) Tính giaù trò cuûa B khi |x| = .c) Vôùi giaù trò naøo cuûa x thì B < 0.d) Vôùi giaù trò naøo cuûa x thì B = 2.

Giaûia) ÑKXÑ: x ≠ 0 ; x ≠ 2 ; x ≠ -2 KQ: B =

b) |x| = => x = ± KQ: B = vaø B =

c) KQ: x > 2 KQ: x =

*BAØI 48: Giaûi phöông trình: (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) = 120 (x2 – 5x +4)(x2 – 5x + 6) = 120Ñaët: t = x2 – 5x + 5 ta coù: (t – 1)(t + 1)- 120 = 0 t2 – 121 = 0 t = 11 vaø t = - 11* t = 11 x2 – 5x + 5 = 11 (x – 6)(x + 1) = 0 x = 6 vaø x = -1*t = - 11 x2 – 5x + 5 = -11 x2 – 5x + 16 = 0 Vì: x2 – 5x + 16 = (x - )2 + ≥ 0 Neân: PTVNVaäy p.t ñaõ cho coù 2 nghieäm laø x = 6 vaø x = - 1.*BAØI 49:Cho tam giaùc ABC. Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC; N laø trung ñieåm cuûa AC. Caùc ñöôøng trung tröïc cuûa BC vaø AC caét nhau taïi O; H laø tröïc taâm; G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC. CM:a) ABH ~ MNO.b) AHG ~ MOG.c) Ba ñieåm H, G, O thaúng haøng.

Giaûia) Xeùt ABH vaø MNO coù: AH // OM ; AB // MN

=> (1) Ta laïi coù: ON // BH; AB // MN => (2) Töø (1) vaø (2) => ABH ~ MNO (g.g)

b) Xeùt AHG vaø MOG coù: (SLT) (3) ; = 2 => (4)

Töø (3) vaø (4) => AHG ~ MOG (c.g.c)c) Ta coù: AHG ~ MOG => Maø: A, G, M thaúng haøng (G laø troïng taâm) => H, G, O thaúng haøng.

BAØI 50 :Cho hình thang caân ABCD (AB = CD vaø AB // CD). Goïi M, N, P, Q laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB, BC, CD, DA.

11

OGH

M C

N

B

A

a) CM: MP laø phaân giaùc cuûa .b) Hình thang caân ABCD phaûi coù theâm ñieàu kieän gì ñoái vôùi

ñöôøng cheùo ñeå = 450.c) CMR: Neáu coù theâm ñieàu kieän ñoù thì hình thang caân coù ñöôøng

cao baèng ñöôøng trung bình cuûa noù.Giaûi

a) Ta coù: MA = MB (gt) ; NB = NC (gt) MN laø ñöôøng TB ABC MN // AC vaø MN = AC (1)

CM töông töï ta coù: QP // AC vaø QP = AC (2) => MNPQ laø HBH (*) Ta laïi coù: QM = BD (QM laø ñöôøng TB ABD)Maø: AC = BD (2 ñöôøng cheùo HT caân) => QM = MN (**)

Töø (*) vaø (**) => MNPQ laø hình thoi. MP laø phaân giaùc . b) MN NP => AC BDb) Töø AC BD MNPQ laø hình vuoâng MP = QN

Maø: MP = AH => AH = QN

BAØI 51 :Giaûi vaø bieän luaän phöông trình sau (vôùi a laø tham soá): a(ax + 1) = x(a + 2) + 2 a2x + a = ax + 2x + 2 x(a2 – a – 2) = 2 – a x(a + 1)(a – 2) = 2 – a x = * Neáu (a + 1)(a – 2) ≠ 0 => a + 1 ≠ 0 vaø a – 2 ≠ 0 => a ≠ -1 vaø a ≠ 2PT coù 1 nghieäm laø x =

Neáu (a + 1)(a – 2) = 0 a + 1 = 0 hoaëc a – 2 = 0 => a = -1 hoaëc a = 2+ Neáu a = -1 p.t trôû thaønh: 0x = 3 (VN)+Neáu a = 2 p.t trôû thaønh: 0x = 0 (VSN)KL: -Neáu a ≠ -1 vaø a ≠ 2 thì p.t coù 1 nghieäm x =

- Neáu a = - 1 thì p.t VN- Neáu a = 2 thì p.t coù VSN

12

H

Q

P

N

M

C

B

D

A