Multiplication
Multiplier un polynôme par un terme constant
Exemples :
Multiplier un polynôme par un monome
Exemples :
Division
Diviserer un polynôme par un terme constant
Exemples :
Diviserer un polynôme par un monome
Exemples :
5.5 Multiplier et diviser un polynôme par un terme constant 245
Exemple 2 Diviser un binôme et un trinôme par un terme constant
Calcule chaque quotient.a) b)
Solutions
!3m 2 " 15mn ! 21n 2
!34s 2 ! 8
4
Méthode 1
a)
Utilise des carreaux algébriques.Dispose quatre carreaux s2 et huit carreauxunitaires négatifs sur 4 rangées égales.
Chaque rangée contient un carreau s2 etdeux carreaux unitaires négatifs.
Donc, # s2 ! 2
b)
Pense aux multiplications.Par quoi !3 est-il multiplié pour obtenir
!3m2 " 15mn ! 21n2 ?(!3) $ ? # !3m2 " 15mn ! 21n2
Puisque (!3) $ 1 # !3, alors (!3) $ (1m2) # !3m2
Puisque (!3) $ (!5) # 15, alors (!3) $ (!5mn) # "15mnPuisque (!3) $ 7 # !21, alors (!3) $ ("7n2) #!21n2
Donc,
# m2 ! 5mn " 7n2
Méthode 2
a)
Écris le quotient sous la forme de la sommede 2 fractions.
# "
Simplifie chaque fraction.
# $ s2 " (!2)
# 1 $ s2 ! 2# s2 ! 2
b)
Écris le quotient sous la forme d’unesomme de 3 fractions.
# " "
Simplifie chaque fraction.
# m2 " (!5mn) " (7n2)# m2 ! 5mn " 7n2
!3m 2 " 15mn ! 21n 2
!3
!3m 2 " 15mn ! 21n 2
!3
4s 2
44s 2 ! 8
4
4s 2 ! 84
4s 2 ! 84
!21n2
!315mn
!3!3m2
!3
!3m2 " 15mn ! 21n2
!3
44
!84
!3m2 " 15mn ! 21n2
!3
4s2 ! 84
!
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5.5 Multiplier et diviser un polynôme par un terme constant 245
Exemple 2 Diviser un binôme et un trinôme par un terme constant
Calcule chaque quotient.a) b)
Solutions
!3m 2 " 15mn ! 21n 2
!34s 2 ! 8
4
Méthode 1
a)
Utilise des carreaux algébriques.Dispose quatre carreaux s2 et huit carreauxunitaires négatifs sur 4 rangées égales.
Chaque rangée contient un carreau s2 etdeux carreaux unitaires négatifs.
Donc, # s2 ! 2
b)
Pense aux multiplications.Par quoi !3 est-il multiplié pour obtenir
!3m2 " 15mn ! 21n2 ?(!3) $ ? # !3m2 " 15mn ! 21n2
Puisque (!3) $ 1 # !3, alors (!3) $ (1m2) # !3m2
Puisque (!3) $ (!5) # 15, alors (!3) $ (!5mn) # "15mnPuisque (!3) $ 7 # !21, alors (!3) $ ("7n2) #!21n2
Donc,
# m2 ! 5mn " 7n2
Méthode 2
a)
Écris le quotient sous la forme de la sommede 2 fractions.
# "
Simplifie chaque fraction.
# $ s2 " (!2)
# 1 $ s2 ! 2# s2 ! 2
b)
Écris le quotient sous la forme d’unesomme de 3 fractions.
# " "
Simplifie chaque fraction.
# m2 " (!5mn) " (7n2)# m2 ! 5mn " 7n2
!3m 2 " 15mn ! 21n 2
!3
!3m 2 " 15mn ! 21n 2
!3
4s 2
44s 2 ! 8
4
4s 2 ! 84
4s 2 ! 84
!21n2
!315mn
!3!3m2
!3
!3m2 " 15mn ! 21n2
!3
44
!84
!3m2 " 15mn ! 21n2
!3
4s2 ! 84
!
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5.5 Multiplier et diviser un polynôme par un terme constant 245
Exemple 2 Diviser un binôme et un trinôme par un terme constant
Calcule chaque quotient.a) b)
Solutions
!3m 2 " 15mn ! 21n 2
!34s 2 ! 8
4
Méthode 1
a)
Utilise des carreaux algébriques.Dispose quatre carreaux s2 et huit carreauxunitaires négatifs sur 4 rangées égales.
Chaque rangée contient un carreau s2 etdeux carreaux unitaires négatifs.
Donc, # s2 ! 2
b)
Pense aux multiplications.Par quoi !3 est-il multiplié pour obtenir
!3m2 " 15mn ! 21n2 ?(!3) $ ? # !3m2 " 15mn ! 21n2
Puisque (!3) $ 1 # !3, alors (!3) $ (1m2) # !3m2
Puisque (!3) $ (!5) # 15, alors (!3) $ (!5mn) # "15mnPuisque (!3) $ 7 # !21, alors (!3) $ ("7n2) #!21n2
Donc,
# m2 ! 5mn " 7n2
Méthode 2
a)
Écris le quotient sous la forme de la sommede 2 fractions.
# "
Simplifie chaque fraction.
# $ s2 " (!2)
# 1 $ s2 ! 2# s2 ! 2
b)
Écris le quotient sous la forme d’unesomme de 3 fractions.
# " "
Simplifie chaque fraction.
# m2 " (!5mn) " (7n2)# m2 ! 5mn " 7n2
!3m 2 " 15mn ! 21n 2
!3
!3m 2 " 15mn ! 21n 2
!3
4s 2
44s 2 ! 8
4
4s 2 ! 84
4s 2 ! 84
!21n2
!315mn
!3!3m2
!3
!3m2 " 15mn ! 21n2
!3
44
!84
!3m2 " 15mn ! 21n2
!3
4s2 ! 84
!
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254 MODULE 5 : Les polynômes
Exemple 2 Diviser un monôme et un binôme par un monômeCalcule chaque quotient.
a) b)
Solutions
30k2 ! 18k!6k
!10m2
2m
Méthode 1
a)
Utilise des carreaux algébriques.Dispose dix carreaux !m2 de manière àformer un rectangle dont l’une desdimensions est 2m.Les carreaux-guides qui forment l’autredimension représentent !5m.
Donc, " !5m
b)
Pense au processus de multiplication. !6k # ? " 30k2 ! 18kPuisque !6k # (!5k) " 30k2 et !6k # ($3) " !18k,alors !6k # (!5k $ 3) " 30k2 ! 18k
Donc, " !5k $ 3
Méthode 2
a)
Pense au processus de multiplication. 2m # ? " !10m2
Puisque 2 # (!5) " !10 et m # m " m2, alors 2m # (!5m) " !10m2
Donc, " !5m
b)
Écris le quotient sous la forme d’unesomme de 2 fractions.
" $
Simplifie chaque fraction.
" # $ #
" (!5) # k $ 3 # 1
" !5k $ 3
k2
k30!6
30k2 ! 18k!6k
30k2 ! 18k!6k
30k2 ! 18k!6k
kk
!18!6
!18k!6k
30k2
!6k30k2 ! 18k
!6k
30k2 ! 18k!6k
!10m2
2m
!10m2
2m
!10m2
2m
!10m2
2m
!
Exprimetes idées
1. Pourquoi est-il impossible de modéliser le produit (2c)(4c) à l’aided’une addition répétée ?
2. Quand une expression polynomiale de multiplication comporte destermes négatifs, pourquoi est-il impossible d’effectuer la multiplicationà l’aide d’une représentation visuelle ?
3. Comment vérifier l’exactitude d’un quotient ?
m
m
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254 MODULE 5 : Les polynômes
Exemple 2 Diviser un monôme et un binôme par un monômeCalcule chaque quotient.
a) b)
Solutions
30k2 ! 18k!6k
!10m2
2m
Méthode 1
a)
Utilise des carreaux algébriques.Dispose dix carreaux !m2 de manière àformer un rectangle dont l’une desdimensions est 2m.Les carreaux-guides qui forment l’autredimension représentent !5m.
Donc, " !5m
b)
Pense au processus de multiplication. !6k # ? " 30k2 ! 18kPuisque !6k # (!5k) " 30k2 et !6k # ($3) " !18k,alors !6k # (!5k $ 3) " 30k2 ! 18k
Donc, " !5k $ 3
Méthode 2
a)
Pense au processus de multiplication. 2m # ? " !10m2
Puisque 2 # (!5) " !10 et m # m " m2, alors 2m # (!5m) " !10m2
Donc, " !5m
b)
Écris le quotient sous la forme d’unesomme de 2 fractions.
" $
Simplifie chaque fraction.
" # $ #
" (!5) # k $ 3 # 1
" !5k $ 3
k2
k30!6
30k2 ! 18k!6k
30k2 ! 18k!6k
30k2 ! 18k!6k
kk
!18!6
!18k!6k
30k2
!6k30k2 ! 18k
!6k
30k2 ! 18k!6k
!10m2
2m
!10m2
2m
!10m2
2m
!10m2
2m
!
Exprimetes idées
1. Pourquoi est-il impossible de modéliser le produit (2c)(4c) à l’aided’une addition répétée ?
2. Quand une expression polynomiale de multiplication comporte destermes négatifs, pourquoi est-il impossible d’effectuer la multiplicationà l’aide d’une représentation visuelle ?
3. Comment vérifier l’exactitude d’un quotient ?
m
m
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254 MODULE 5 : Les polynômes
Exemple 2 Diviser un monôme et un binôme par un monômeCalcule chaque quotient.
a) b)
Solutions
30k2 ! 18k!6k
!10m2
2m
Méthode 1
a)
Utilise des carreaux algébriques.Dispose dix carreaux !m2 de manière àformer un rectangle dont l’une desdimensions est 2m.Les carreaux-guides qui forment l’autredimension représentent !5m.
Donc, " !5m
b)
Pense au processus de multiplication. !6k # ? " 30k2 ! 18kPuisque !6k # (!5k) " 30k2 et !6k # ($3) " !18k,alors !6k # (!5k $ 3) " 30k2 ! 18k
Donc, " !5k $ 3
Méthode 2
a)
Pense au processus de multiplication. 2m # ? " !10m2
Puisque 2 # (!5) " !10 et m # m " m2, alors 2m # (!5m) " !10m2
Donc, " !5m
b)
Écris le quotient sous la forme d’unesomme de 2 fractions.
" $
Simplifie chaque fraction.
" # $ #
" (!5) # k $ 3 # 1
" !5k $ 3
k2
k30!6
30k2 ! 18k!6k
30k2 ! 18k!6k
30k2 ! 18k!6k
kk
!18!6
!18k!6k
30k2
!6k30k2 ! 18k
!6k
30k2 ! 18k!6k
!10m2
2m
!10m2
2m
!10m2
2m
!10m2
2m
!
Exprimetes idées
1. Pourquoi est-il impossible de modéliser le produit (2c)(4c) à l’aided’une addition répétée ?
2. Quand une expression polynomiale de multiplication comporte destermes négatifs, pourquoi est-il impossible d’effectuer la multiplicationà l’aide d’une représentation visuelle ?
3. Comment vérifier l’exactitude d’un quotient ?
m
m
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5.5 Multiplier et diviser un polynôme par un terme constant 243
Exemple 1 Multiplier un binôme et un trinôme par un terme constant
Calcule chaque produit.a) 3(!2m " 4) b) !2(!n2 " 2n ! 1)
Solutions
Méthode 1
Utilise des carreaux algébriques.a) 3(!2m " 4)
Forme 3 rangées de deux carreaux !met de quatre carreaux unitaires positifs.
Il y a six carreaux !m et douze carreauxunitaires positifs. Donc, 3(!2m " 4) # !6m " 12
b) !2(!n2 " 2n ! 1)Forme 2 rangées de un carreau !n2, dedeux carreaux n et de un carreau unitairenégatif.
Ce modèle représente 2(!n2 " 2n ! 1).
Retourne les carreaux.
Il y a deux carreaux n2, quatre carreaux !net deux carreaux unitaires positifs.Donc, !2(!n2 " 2n ! 1) # 2n2 ! 4n " 2
Méthode 2
Utilise la distributivité.Multiplie chaque terme à l’intérieur desparenthèses par le terme à l’extérieur desparenthèses.a) 3(!2m " 4) # 3(!2m) " 3(4)
# !6m " 12
b) !2(!n2 " 2n ! 1) # (!2)(!1n2) " (!2)(2n) " (!2)(!1)# 2n2 " (!4n) " 2# 2n2 ! 4n " 2
!
Cette stratégie peut également servir à multiplier un binôme ou un trinôme par un terme constant à l’aide de carreaux algébriques. Pour calculer un produit de façon symbolique, on utilise une propriété appelée la distributivité.
1
11
1111–m –m
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5.5 Multiplier et diviser un polynôme par un terme constant 243
Exemple 1 Multiplier un binôme et un trinôme par un terme constant
Calcule chaque produit.a) 3(!2m " 4) b) !2(!n2 " 2n ! 1)
Solutions
Méthode 1
Utilise des carreaux algébriques.a) 3(!2m " 4)
Forme 3 rangées de deux carreaux !met de quatre carreaux unitaires positifs.
Il y a six carreaux !m et douze carreauxunitaires positifs. Donc, 3(!2m " 4) # !6m " 12
b) !2(!n2 " 2n ! 1)Forme 2 rangées de un carreau !n2, dedeux carreaux n et de un carreau unitairenégatif.
Ce modèle représente 2(!n2 " 2n ! 1).
Retourne les carreaux.
Il y a deux carreaux n2, quatre carreaux !net deux carreaux unitaires positifs.Donc, !2(!n2 " 2n ! 1) # 2n2 ! 4n " 2
Méthode 2
Utilise la distributivité.Multiplie chaque terme à l’intérieur desparenthèses par le terme à l’extérieur desparenthèses.a) 3(!2m " 4) # 3(!2m) " 3(4)
# !6m " 12
b) !2(!n2 " 2n ! 1) # (!2)(!1n2) " (!2)(2n) " (!2)(!1)# 2n2 " (!4n) " 2# 2n2 ! 4n " 2
!
Cette stratégie peut également servir à multiplier un binôme ou un trinôme par un terme constant à l’aide de carreaux algébriques. Pour calculer un produit de façon symbolique, on utilise une propriété appelée la distributivité.
1
11
1111–m –m
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5.6 Multiplier et diviser un polynôme par un monôme 251
Le produit de deux nombres ayant le même signe est positif.Donc, quand un carreau est placé dans une rangée et une colonne où lescarreaux-guides ont le même signe, ce carreau est positif.
Il y a huit carreaux !c2 et douze carreaux c . Donc, !4c(2c ! 3) " !8c2 # 12c
Exemple 1 Multiplier un binôme par un monômeCalcule chaque produit.a) 2x(3x # 4) b) !2x(!3x # 4)
Solutions
Méthode 1
a) 2x(3x # 4)À l’aide de carreaux algébriques, forme un rectangle dont les dimensionssont 2x et 3x # 4.
Pour remplir le rectangle, il faut six carreauxx2 et huit carreaux x.Donc, 2x(3x # 4) " 6x2 # 8x
Méthode 2
a) 2x(3x # 4)Utilise une représentation visuelle. Trace un rectangle dont les dimensions sont2x et 3x # 4.Divise ce rectangle en 2 rectangles plus petits.
L’aire du rectangle A est de 2x(3x) " 6x2
L’aire du rectangle B est de 2x(4) " 8xL’aire totale est de 6x2 # 8xDonc, 2x(3x # 4) " 6x2 # 8x
!
–c
c
c
–1–1–1
–c –c –c
x
x
x
x x 1 1 1 1
2x A B
3x 4
WNCP9_SE_U5_249-263.qxd:WNCP9_SE_U5_249-263 1/31/10 12:03 PM Page 251
5.6 Multiplier et diviser un polynôme par un monôme 251
Le produit de deux nombres ayant le même signe est positif.Donc, quand un carreau est placé dans une rangée et une colonne où lescarreaux-guides ont le même signe, ce carreau est positif.
Il y a huit carreaux !c2 et douze carreaux c . Donc, !4c(2c ! 3) " !8c2 # 12c
Exemple 1 Multiplier un binôme par un monômeCalcule chaque produit.a) 2x(3x # 4) b) !2x(!3x # 4)
Solutions
Méthode 1
a) 2x(3x # 4)À l’aide de carreaux algébriques, forme un rectangle dont les dimensionssont 2x et 3x # 4.
Pour remplir le rectangle, il faut six carreauxx2 et huit carreaux x.Donc, 2x(3x # 4) " 6x2 # 8x
Méthode 2
a) 2x(3x # 4)Utilise une représentation visuelle. Trace un rectangle dont les dimensions sont2x et 3x # 4.Divise ce rectangle en 2 rectangles plus petits.
L’aire du rectangle A est de 2x(3x) " 6x2
L’aire du rectangle B est de 2x(4) " 8xL’aire totale est de 6x2 # 8xDonc, 2x(3x # 4) " 6x2 # 8x
!
–c
c
c
–1–1–1
–c –c –c
x
x
x
x x 1 1 1 1
2x A B
3x 4
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252 MODULE 5 : Les polynômes
b) !2x(!3x " 4)Utilise des carreaux algébriques.Forme un rectangle en disposant d’abordles carreaux-guides : • deux carreaux !x représentent une
dimension • trois carreaux !x et quatre carreaux
unitaires positifs représentent l’autre
Pour remplir le rectangle, il faut six carreauxx2 et huit carreaux !x.Donc, !2x(!3x " 4) # 6x2 ! 8x
b) !2x(!3x " 4)Utilise la distributivité.Multiplie chaque terme à l’intérieur desparenthèses par le terme à l’extérieur desparenthèses.!2x(!3x " 4) # !2x(!3x) " (!2x)(4)
# 6x2 ! 8x
Pour diviser un polynôme par un monôme, il s’agit d’effectuer le processus inversede la multiplication de ces polynômes.
! Pour calculer le quotient de , dispose huit carreaux x2 de manière à former un rectangle dontl’une des dimensions est 4x.
Les carreaux-guides qui forment le côté gauche du rectangle sont des carreaux x.
Il y a 2 carreaux-guides x.
Donc, # 2x8x2
4x
8x 2
4x
–x
–x
–x
–x –x 1 1 1 1
x x x x
x
x
x
x x x
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