+ All Categories
Home > Documents > web.cse.ohio-state.eduweb.cse.ohio-state.edu/~soundarajan.1/courses/788/matsuoka93analysis.pdf! "#...

web.cse.ohio-state.eduweb.cse.ohio-state.edu/~soundarajan.1/courses/788/matsuoka93analysis.pdf! "#...

Date post: 09-Jul-2020
Category:
Upload: others
View: 1 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
24
Transcript
Page 1: web.cse.ohio-state.eduweb.cse.ohio-state.edu/~soundarajan.1/courses/788/matsuoka93analysis.pdf! "# $&%(') * + ,)$& - . 0/#12 ! 3 - 546 !7! 8 9 9 7":;< 7!37! 8= >@? ACB DFE GIH.JKELDMJNAPORQTSVUW?

����������� ��������������������������������! "�����#� �$&%(')�*�+��,)$&��� ���-�.�0/#12�!����3��������-�546���!7!�8�� 9 9� ��7":;�<��7!3���7!��8=

>@?�ACB DFE GIH.JKELDMJNAPORQTSVUW?�Q XYE�ACQ[Z]\^EYQ J`_a>b�cedgfPhji+k*lmcednhjo+fqp�crcts�u6v(p�kMs+f)wxkIyzfqs+{V|`cN}-cN~

��{V��ctwgdx�;{Vs+dzft�W��s8��f)wx��cedgkMf)smb��KkF{Vs��K{)����i+{��(s+kM��{VwnhjkMd �;ft�a�<f)p��)f

�-��� �x�^�t��������t�n���t�x�j�¡ t¢K£¤�N�¥�g¦§¢K¨N���¥�t�n�r©«ª`¬e­ ®¯©±°Y²nª)³ ­��^�q¦¡´ µnª)³�¬�® ¶nªe©¤·g²g°¸©F¶nª¹³j¶nª`´�°�®�²n©«ª`°F´º£¤�¹» ¢��q»¯¨N¼�½

¼¥�j���<¢��]¾��g» ���¥¿��¥�¥�jÀ��a¢^ÁF�¥�j�»¯¢K�`Ãt£«»¯��Ä0£¤�Y�r�g�K» �º¢��¥�N�x¼gÅ)¼¥�j�¥¨eÆ[�¥£¤�NÇ�£¤�È©«ª`¬e­ ®¯©±°Y²nª)³ ­É²nª)¶nÊ-²nË̵!Ä0�e�j¼¥�¼¥�¯½�¦�� Ít�N£¤�¥£¤¢��e�.¢nÁ)£[�e�N�j¼¥£¤�¥�g¦WÀ��j�¥�N¢`¦`���n¼¥�L�e�g»¯�x�¥���n¼¥¿!£¤�z¢K¼�¦`�j¼.�¥¢�À�n£[�e���n£¤�!�¥�N�Σ[�e�Y�xÇK¼¥£[��¿�¢nÁq» ¢K�t»¯¨N¼�½¼¥�j���.¢��]¾��g» �Y�^Ï�Ð0�N�*�n�N¢KÀ�nƤ¿�£¤�+���j¼¥£¤¢K¨N�gÅ��n�.£¤�+»¯¢K¨NÆ«¦W�N¨NƤƤ£ÑÁF¿Ò�¥�N�L�P�x�N�¯Íq�Y�8¢nÁe£¤�N�N�x¼¥£[���n�t» �0�nƤ�Y¢KÇK�j�¥�N�x¼gÏÓ��jÔK�x¼��nÆ� N¼¥¢K q¢K���nÆ[�*�q�^Ô]�<�q�j�j�ºÀ�K¦���ÁF¢K¼0¼¥�j��¢KÆ[Ô�£¤�NÇ(�Y�e�W�^�e¢KÀ�^Ƥ¿PÕ`�N¢KÄ��jÔK�j¼gÅVÄ0�a�n¼¥Ç�¨e�a�Y�q�n�0�¥�N¢K�¥� N¼¥¢K q¢��¯�^Ƥ�<��¨�ÖP�j¼*ÁF¼¥¢KÀ&�Y�e��£[�q»¯¢KÀ� NƤ�j�¥�j�N�x�¥�<Ä0�N£«»¯���nƤƤ¢�Ä0�*¼¥¢V¢KÀ×ÁF¢K¼�»¯¢K¨N�N�¥�j¼¥� Øe�nÀ� NƤ�j�^Ï*ÙÚ�aÇK£¤ÔV��^��¢KÔn�j¼¥ÔV£¤�jÄ6�n�t¦��¥�N�a�n�t�nÆ[¿��¥£¤��¢nÁ8£¤�N�N�x¼¥£[���n�t»¯�a�n�N¢KÀ�nÆ[¿�Å`�^�q¦-¼¥�xÔV£¤�jÄ6���jÔV�x¼��nÆe N¼¥¢K q¢K���nƤ�LÁF¢�¼IÀ�£[�e£Ñ½À�£[Ûx£[�eÇ��¥�N�I¨N�NÄÎ�n���¥�g¦a�¯ÖP�g»¯��¢^Á)�¥�N£¤�� N�N�x�N¢KÀ��j�e¢��.Ï8���z q�^¼¥�¥£«»¯¨NÆ«�n¼gÅ�Ä��L e¼¥¢� �¢����<ÜÝ t�n¼¥�¥£«�nƱÞ.��¢�Ƥ¨N�¥£¤¢K�N�¨N�¥£¤�NÇ(Ü�ßxÞW³j¶nÊÒàqá]°Y²g°¸©Ý¶nª)²nË)® ­«âÒ­�³�°¸©F¶nªeÅ`�n�t¦ãÜ�ä�Þ�°¸® ²^ª`´g²]³�°¸©Ý¶nª`´�£¤��åaå�æ0ç§Æ«�n�NÇK¨t�nÇK�j�^Ï

è é�ê-ë�ìLíîÚï�ð0ëÎñ íêòjó)ôqõKög÷Ýø�ùeó�únõ-û¸ü(ý þPÿ�����û���ÿ���� �������Nÿ��¸ÿ��Vý���� ÿ�û���^õ����)õKó�ø�÷Ýù������ �"!$#&%nõ^ú]ø'(!aög÷ÝõKó�ø�õ*),+-�.����,�����`ÿ]ü�/0���1ûÝüºÿ]ü2�.ÿ�3xû���4��5Èû&�6�87��¯ý*��)ý9�.7,�:3;7<1qÿ�� ÿ�=>��ü�ÿ@?BA$ 7Ný¯þ�ÿ���û��6�87�� ýC��)ý9�¸ÿ��VýD� � ÿ�ûÝü63;7,�3(���D�¯ÿ"�3(58E-���Fý¯þ�7,���`þ�:���5F�G�H�������I���`ÿ]ü-û&F��ü�ÿ ý�7<1���5F��ü2�I3^þF�`ü�JLKGKM��I1ON@�:���4�FýC����P�+G��� ÿRü�ÿ�Q@��ÿ��ý�û���R/�ûMý(ûÝüSI��ý����*���ý�7T3(7��ü¥û.1qÿ"�U7,V�W�ÿ�3^ýjüU�Nü$V.ÿgû& �X��� )ûMýU7��L3(7�I3;� �D� ÿ��3(5Y?-AZ�¯ÿ�3gÿ"�ý-V��¯ÿ�ÿ�1[7��L�G�GJ]\^��!$#&%^õgúKø'(!!ög÷FõKó�ø�õ*)_0`eó�ú��)ögö õ]ó�ø�a�öD`CbNö�ù@cdcº÷Ýó@b�+ ��� ���I���`ÿ]üe��ý¯ý ÿ��6��ýÎý�7U� �D7�fNû.1qÿ0�:��gqû��6���h3;7��i����ýC��ý�û�7�I�������1G�67<1qÿ;�«û�����7�j�ÿ���ý þ �D7,���Nþk3(7��3(����� ÿ"I3;5l7��m7,V<W�ÿ�3gýjü"Ezû�n�I���¯ý�û3;�Y�.����/-7�� �T3(���D� ÿ��ý����D7`ýD7`ýo5Y�.ÿpA�qrJtsvu"7�Iw]xT=zy��� �������Nÿºÿ(gPþ)û�V)ûMýjü9��� ÿ�����=�Cû4�¸ÿd��ÿ]ü üD���Nÿ��I�Nü ü¥û���:���ý¯ÿ"�3(5T7��r����ÿ�� ÿ6{}|Lü�ÿ�3;7,�1Pür�z7,�-ý�jt7X3;7,�3;� �D� ÿ��ý7�V W�ÿ�3^ýjü]��7<3"�Vý ÿ�1X7,p��ü�ÿ������*��ý¯ÿS�Pþ<5)ü¥û.3����8�7�1)ÿG7��0�d�6�Y�Fý�û3;7��i����ý¯ÿ"�"~�y@���>?Neÿ�feÿ��*���v� ÿKü�ÿ����*3jþ�ÿ��xü�/�þ 7�jÒÿ�feÿ���/�þ���fNÿS��7�û��ý¯ÿ�1�7��Pý9�o����V.ÿ^ûMýU�z�*������ÿ�qý*����û4�&5I+�ý¯þ�ÿd3(7�Y��û3^ýjürV+ÿ�ýoj�ÿ�ÿ�

û��þ�ÿ���ûMýC���3gÿ}��I1�3(7�I3;� �D� ÿ��3(5Èû&��G�Z�.����,�����NÿKü�~��</t���@/v���</v���</e����?�xT7,� ÿRü2�.ÿ�3jû4�83����4�&5�/v3(7��3(����� ÿ"Pý7�V W�ÿ�3^ýjü���I1�û&Pþ�ÿ���ûMý*���3gÿ�ü�ÿ�ÿ��ºû������5-þI��fNÿ]3(7�Y��û3^ý�û����3jþ����*�,3^ý¯ÿ"��ûÝü�ý�û.3nü�/Ký¯þ�ÿ�� ÿ"V 5Wû��þqû&VqûMý�û���zý¯þ�ÿgû&�Iü¥û��d�Y��=ýC���ÿ�7���ü$�.ü�ÿSj�ûFý¯þ�7,��ý�þ�ÿ���f�5�V � ÿ���P����`ÿG7���ÿ��3�����ü2�<���ý�û&7,�?���ÿ�þI��fNÿd3(7�û��ÿ�1§ü2��3gþ��6��þPÿ" 7���ÿ��7,��`ü÷FóPôqõKög÷Fø�ùeó�ú^õ(ùeóI`�cãù�����û���G�GJt\�?<��ýjü$� û&I����ü2�)û3xû�7���ü��I���¯ÿ]ü�ÿ��3gÿþ��`ür�.ÿ��xü2�I��1)ÿ�1[���GJt\���� ���I���`ÿ]ü-ó�`eøý�7�ü2� ����7,� ýÒû��þ�ÿ���ûMý*���3gÿ$�`ü����z� �1 ����ÿ�qý*���I��� �������Nÿr�¸ÿ��VýD� � ÿ�?�N�7���ÿL7��Îý¯þ�ÿÉÿ(gI���i�<�Mÿ]ü����¯ÿr�����ºû��«ûMÿ]ü�7��A�3gýD7,����� ���I���`ÿ]ü�~4������/@\��G�$svu� �~¡����/@\0��7<3;7��o~¡�����>/����1d���Ýü27I/,A�qrJtsvu��,~�y@� /�y����>?v �þ�ÿ�� ÿU��� ÿ�7Ný¯þ�ÿ������GJt\��� �������NÿKüWý¯þ��VýU1Y7:����7�feû1)ÿWû�Pþ�ÿ"��ûFýC��I3^ÿ�/I5tÿ�ýr��� ÿ��7`ý�3;7,�3gÿ"���ÿ�1Xj�ûMý þ§ý¯þ�ÿS� �D7,V<�Mÿ"�Âü�7��t3(7�<�Pû.3gýjü-¢�.7���ý þ 7tü�ÿS�.����,�����NÿKü�/8j�ÿSV+ÿ;�«ûMÿ"fNÿ�ý¯þ��Vý-ý¯þ�ÿ61tû4£X3(�<�Mý�ûMÿKür� � ÿ]ü�ÿ��ý¯ÿ�1Úû�Èý þqû¸üL������ÿ������ ÿd� ���f�7Vû.1 ��VY�FÿÉû&���C��3gý�û3^ÿ�?¤R¥�¦]§,¨�©�ª�§�«¡¬�­z®�¨2¯-¬�°�±�²4¦(³z´z®�µ2¦(¶]¬·°�¸�§�¦"¦(¹r¦(°$µ2¦(°�µ2ª�³z³z¨2°�´�º�º�»&µ2¦(¶�©�ª�´¬�°�¸�¨2¯"¬�´z¨2¯$§�¼r½�ª"«�¾e¸(®�±"¿ÀzÁ ®�¼�­¬�µD±�«�¶L±�¬�«�±C¯�¯�³z¨2­>­2Â]Ã�».Ä�»�ÅLÆ�¦(°�¸(¦�Ç�È�ª�°�¹"¼�¦*»�¹"ª@Ç�¥<¦(¹"¼(¦SÅ(ÅDÄ"ÇÊÉ*±C©�±C°@¿ Á ®�¦(°�¨LË(Ä�»Ä(Ì�ÅDÍ�»Í�Å(Å(Å�Î�¦CÏ(¨2³z­z¨D±C­]ÐvÌ"ÅR».Ä�»Ä(Ì"ÅDÍ�».Í"Å(Å(ÅDÑ8¨2Ò,¿�Ó�ÅCË(Ì"¿�Ô<»&¶-±�¬�«&ÂÖÕ2¶L±C´z­zª@Ç ¼"¦(°�¨2×D±2Ø�±"ÙDÚ�¬�­2¿ ­2¿ ª"»&´z¦(¹�¼;¦�¿ ±Cµ(¿ Û.©

Page 2: web.cse.ohio-state.eduweb.cse.ohio-state.edu/~soundarajan.1/courses/788/matsuoka93analysis.pdf! "# $&%(') * + ,)$& - . 0/#12 ! 3 - 546 !7! 8 9 9 7":;< 7!37! 8= >@? ACB DFE GIH.JKELDMJNAPORQTSVUW?

�oPþ�ÿ���ûFýC���3^ÿ9�� 7��:���&5Âÿ"Pý*�Kû4�¸üt�Âü�ÿ"fNÿ�� ÿS1Y�*��jLV��,3CP��.7��aý þPÿS1qÿ"fqÿ(��7�� ��ÿ"qýt7��e����D�`ÿ"=YüD3����Mÿd��I1 3(7��6=�<�Mÿ(g�ü25Pü�ý¯ÿ"�Âü�û&����GJt\������,�����NÿKü�/IV.ÿ�3"���.ü�ÿ�ý¯þ�ÿ"�¯ÿ@/8ý¯þ�ÿS�,� ÿ��Vý¯ÿ]ü�ýUV.ÿ��ÿ(�.ýjür7�����ü¥û���Âý¯þ�ÿ��G�h�.�*����ÿ�=jL7,�DP ��� ÿ�û��þ�ÿ���ûMý*���3gÿ}���1 ÿ��3�����ü2�<���ý�û&7,�? ��ý(ûÝü�ý¯þ�ÿ�� ÿ;�.7,� ÿrÿ]ü ü�ÿ��ý�û.����ý¯þ��Výi3*�Mÿ��� ���:���&�@���:�Vý�û�7,�7��û��þ�ÿ���ûMýC���3gÿ$���1�3;7,�3(���D�¯ÿ"I3;5dV.ÿ��,3^þqûFÿ�f�ÿ�1�û&67��*1qÿ"���.7���������Nÿ�=¥üD3����MÿÉü25)ü�ý ÿ��Âü<ý�79V.ÿ�3;7,.ü�ý��D��3gý¯ÿ�1ij�ûMý¯þ�G�GJ]\O�������I���`ÿ]ü�?��rY�z7,� ý���I��ý¯ÿ;��5Y/Ê� � ÿ"fNû�7��.üUjL7���PRþ���fVÿm����D�Nÿ(�&5T�ÿ����Mÿ�3^ý¯ÿ�1§ý þPÿd���D7,��ÿ��9������&5)ü¥û¸üU7��ý¯þ�ÿp����7�VY�Fÿ��T/U���1���ÿ�� ÿ(�&5 � �D7,�Ê7eü�ÿ�1��,1<=�þ�7<3Èü27��&�Pý�û�7��ü�ý¯þ��VýX���¯ÿ���� �<�«û.3���VY�Fÿ}�z7,�X3^ÿ�� ý*�Kû� ýD5���ÿKü�7������7�VY�Fÿ��Âü�/ÊV���ý$�NüLj!ÿGj�û��4�<ü�ÿ�ÿ�/Ê��� ÿ�û&I��� �<�«û.3���VY�Fÿ��z7,�U7Ný¯þ�ÿ��xü�?U�o�ü�ý ÿ���18/Êj!ÿS���D�,��ÿ�ý¯þ��Vý�j�ÿS�m�.ü�ýL���jü�ý��I����5��nÿ���I1�3"��ý¯ÿ���7���û��nÿÉý þPÿ�3;7,<�Pû.3gýxü�/<���1�V��`ü�ÿ�1�7�rý¯þ�ÿ���I����5Pü¥ûÝü�/tÿ(g �<��7,� ÿWû������û.1qÿ����Lü27�����ý�û�7��ûÝü*û��>��3gýL��7eü ü¥û&VY�Fÿ�? �þ�ÿ�� ÿ��:�]û��1qÿ"��7���ý¯þ�ÿL�����.ÿ��0ûÝü�7�������qû���ÿ�1��Nü��.7��4��7�jzü���Lû��xü�ý"/�jaÿ]��û�fqÿL���7�feÿ��DfNûFÿ�j 7��+û��þPÿ"��ûMýC��I3^ÿ

�� 7��:����5Y? ��ÿpj�û4�4�ý þPÿ" ��� ÿKü�ÿ"Pý:�7,�=�ýD��û&fNû.���ÿ;g����6�Y�FÿKü�j!þPÿ"� ÿÈý¯þ�ÿF���C��ý¯þ�ÿ��Úü¥û&�6�Y�CûÝü�ý�û.3�+i��� ÿ�feû�7���ü����7���7eüD���Ýüv�.7,�Òü27����Pý�û�7��ü]��� ÿ]�«û&�ºûMý¯ÿ�1�û�ºý þPÿ^û��������Y�Cû3���V)û4�«ûFý�5�?�Wÿ(gPývj!ÿ]j�û��4�Ö������&5���ÿL���1�3���ý¯ÿ"�,7���û��nÿaý¯þ�ÿ3����.ü�ÿWû��þPÿ"��ûFýC��I3^ÿ����7��:����5��67,� ÿ$�Nÿ��ÿ��*���4��5Y? �Lû�����4�&5�/�j�ÿWÿ;g����ºû��ÿ(ü27��ãÿU��Vý ÿKü�ýt���D7,��7tüD���¸ü]�.7���ÿgûFý¯þ�ÿ��ü27���fNû& �T7��m3(7�qý��D7��4�«û���Úý þPÿãû��þ�ÿ���ûMý*���3gÿ����7�������5�����7�V<�Mÿ��TE�û������� ý�û3(�<�����/Öj!ÿd7�� �xü�ÿ(�&ftÿ]üL���D7,�Ö7eü�ÿ��üD3^þPÿ"��ÿ$jaþ)û3^þ���ý�û4�Cû��nÿ]üL�ãü2�.ÿ�3jû.�����.7,�D� 7��aú(`@c��8�qø�ùeø�÷`Nó�ù@��ö�õ��aõgúKø�÷`Nó(û&��G�GJt\�?

� é�ê�����ìIñ�ë��-ê�ð���� êºí���� �"! ñgê$#%#%&('

�rPÿS7��Òý¯þ�ÿS� ��û���ÿd3(7��3gÿ"��.ü�û&����GJt\ ûÝüG�(��ó�únôqö2`eó�÷*)^ùeø�÷`Nó67��t3(7��3(����� ÿ"PýL7,V�W�ÿ�3gýxü��tj!þPÿ"��:3(7�I3;� �D=� ÿ��ým7,V<W�ÿ�3gýºûÝü�û����3^ÿ�� ýC�]û� ü�ýC��ý¯ÿ@/IûFý�3"����,3"3gÿ"�Pý67,<��5 � ü2��V.ü�ÿný67��zûFýjüºÿ"Pý�û�� ÿRü�ÿný67�����ÿKü üD���`ÿ]ü�û�7��C1)ÿ��-ý�7}�:�Kû�)ýC�]û� ûMýxü!û&Pý ÿ��D�����û&Pý ÿ�����ûMýo5�?U�¹ÿS3����4�<ü2��3gþ��:� ÿ]ü�ý���û3^ý�û�7�p7,��,3"3gÿ"�Pý*��V<�Mÿi�ãÿ]ü üD���`ÿ]üzý þPÿ�;��ó�únôqöD`eó�÷*)^ùNø�÷&`eó�ú�`eó<�^ø�ö¥ùe÷Fó�ø�7����93;7,�3(���D�¯ÿ"�ýv7,V<W�ÿ�3^ý"?��I7,�0ÿ(gI���6�<�Mÿ@/<3(7��ü¥û.1qÿ"�t��V�7�� �1)ÿ�1iV���+�ÿ���j�ûMý þ��ÿný þ 7<1�ü-,�.0/�132}���154768/�132�/�j!þPÿ"� ÿ�,�.9/�132;ü�ýD7,� ÿKüS�� ûMý ÿ�� û&6ý þPÿ�V���+�ÿ��m���1:4;6</�132�� ÿ��67�fNÿKüÉý¯þ�ÿ7��1qÿ]ü�ýU7,�ÿ�E+ý¯þ�ÿ��/�ý þPÿºü25YI3^þ���7�qû�����ý�û�7�p3(7��ü�ýD�C�]û��ý�û¸ü!ý¯þ���ýr7��ÿm3"�� �7`ý=4768/�132S�.�D7,� �6V �9+�ÿ��Uj!þ�7eü�ÿü�ýC��ý¯ÿ�ûÝü-õ�c=�8ø>�����1p3��� �7Ný>,�.9/?132-û&PýD7i�mV��9++ÿ"�-j!þ�7eü�ÿ�ü�ýC��ý¯ÿA@;�<�.�NûÝü]�«û&Ptÿ"j�û¸ü�ÿ$� �D7Nþqû&VqûFý¯ÿ�1Ö?�o}�67tü�ý9�G��Jt\���� ���I���NÿKü�/)ý þPÿS���D7,���C���6��ÿ��zÿ;g<�<�«û.3jûMý2��5�� �D7��,�*���ÂüWý¯þ�ÿS��ÿný¯þ�7<1�ü!ý�7:3;7,�ý��D7��Îý¯þ�ÿ

ü�ÿ�ýv7��Ö��3�3^ÿ���ýC��V<�Mÿ���ÿ]ü üD���NÿKü��.7��Iÿ��,3^þS7,V<W�ÿ�3gý�/Vû�i7,�*1)ÿ��0ý�7ã÷c��8�¤õ�cºõKó�øqý¯þ�ÿ�7�V W�ÿ�3^ýU#¯õnôqùCBK÷`Nö�ý¯þ��VýÒüD�Vý�ûÝüR�.5ý¯þ�ÿ�ü25��3gþ��D7,)û�����ý�û&7,�3;7,.ü�ý��*�Kû&Pý�?�D���ó�únôqöC`eó�÷*)^ùeø�÷&`eó;ú;`")eõÒû¸ü�ý¯þ�ÿ-ý ÿ��D� j!ÿ$�.ü�ÿ-ýD7i� ÿ;�¸ÿ��!ýD7�ý¯þ�ÿ���7��¯ý�û�7�7���ý¯þ�ÿ6��ÿ�ý¯þ�7<1�3;7<1qÿ�j!þPÿ"�¯ÿi7,V�W�ÿ�3gý�V.ÿnþ���feû�7��Uj�ûMý¯þ�� ÿKü2�.ÿ�3gý-ý�7 ü25Y�3gþ���7�)û�����ý�û&7, ûÝüS3(7�PýD��7��4�Fÿ�1Ö?G �þPÿü25YI3^þ �D7�qû�����ý�û�7�93;7<1qÿ]�6�.ü�ý�����jU��5Pü8V.ÿÉú;`eó<�^÷��^ø�õKó�øFE0÷ÝøÝô�ý þPÿ�ü25YI3^þ �D7�qû�����ý�û�7�93;7��ü�ýD�C�]û��ýÖ7�����S7�V W�ÿ�3^ý"E7Ný¯þ�ÿ��Dj�ûÝü�ÿ-ý þPÿG7,V�W�ÿ�3^ý-�ºû��NþPý-��3�3^ÿ���ýr�d��ÿKü üD���`ÿý¯þ���ý�ûMýL�¯ÿ�������5Rü�þ 7��Y�.1��7`ýU�,3"3gÿ"�Pý�/<� ÿKü2�<�Mý�û����û�p�ãü�ÿ"=�:���ý�û.3�����ÿ��D�D7,�L1Y����û���G���D7,���C��� ÿ;g)ÿ�3(��ý�û�7�;G�?IHWÿ�� ÿ�/Nû&67��*1qÿ"�Òý�7m���D7,���C��� ý þPÿ-ü25YI3jþ��D7,)û����Vý�û�7�:3;7<1qÿ@/ý¯þ�ÿG� �D7,���*���6�ºû���m�.����,�����`ÿG�6��ü�ýt���D7,feû1)ÿ-ü27,��ÿG� ��û��ºûMý�û�fqÿKü0�.7��-7�V�W�ÿ�3gýD=zj�ûÝü�ÿ�ü25��3gþ��D7,)û�����ý�û&7,�/)ü2�I3^þ�Nü(ü�ÿ��:���Pþ�7,� ÿ]ü�/Ö���I���*1Pü�/Îÿ�ýC3,?4Eej�ÿd� ÿ;�¸ÿ��(ýD7;ý¯þ�ÿ�üD3gþ�ÿ"�ãÿm�.7��S��3jþ)ûMÿ"fNû���X7�V�W�ÿ�3gý�=>j�ûÝü�ÿ�ü25YI3^þ �D7�qû�����ý�û�7��.ü¥û���ãý þ 7tü�ÿ�����û��ºûMý�û&ftÿ]ü0û&Rý þPÿ���� ���I���Nÿm�Nü�ý¯þ�ÿi�(��ó�ú�ôtöC`eó�÷*)^ùeø�÷`Nó}�gúnôqõ�cãõL7��0ý¯þ�ÿ$�����,�����Nÿ�?

�r<�.7��¯ýD� ���ý¯ÿ;��5�/KûFý*þ��`ü0V.ÿnÿ"6��7�û��ý¯ÿ�1G7,��ýÒý¯þ��VýL�(��ó�únôqöD`eó�÷�)gùeø�÷`NóÂú*`�)eõzúnùeó�óI`Nøv#¯õ-õ�JzõgúKø�÷�B]õ����-÷FóPôtõ]öC'÷Fø�õ;)KE0÷ÝøÝôY`��)ø�ó�`eó<'�ø�ög÷�BK÷Ýù��Îú��¤ù,�*��ö�õ�'2)eõ�L�ó�÷Fø�÷&`eó<�;?- �þqû¸üU3(7�<�Pû.3gý"/Ij!þ)û3gþ j!ÿ-þ���fNÿS3(7�û��ÿ�1p�Nü(÷FóPôqõKög÷Fø�ùeó�ú^õùeó�`@cºù@����û���G�GJ]\]/8þ��`ü�V.ÿ�ÿ��û1qÿ"qý�û4��ÿ�1�VY56ü�ÿ�fNÿ"�*���t�¯ÿ]ü�ÿ����*3jþPÿ"�xü�~4����/e�,� /������>/v���Mý þ 7�� �NþF�T3(7��i��� ÿ�=þ�ÿ�.ü¥û�fqÿ9��I����5Pü¥ûÝü!þ��NüL�7`ýUV.ÿnÿ"p�Vû&fNÿ� 5qÿný!ý�7:7,���UPY 7�j��Mÿ�1<�Nÿ�?��R�þPÿ"��ûMýC��I3^ÿd���7�������5rû¸üL�67,� ÿºü�ÿ"ftÿ"�¯ÿý¯þ���rý¯þ�ÿ�feû�7����ý�û�7��7��v3C��Nü ü�ÿ��3����.ü2�Y�.�Vý�û�7,Âû�Rü�ÿ�Q���ÿ��ý�û.���e���r=.��� ���I���`ÿ]ü�ý¯þ��Vý�þ��Nü�V�ÿnÿ"���7Vû&Pý ÿ�1i7��PýV�5:N@�5<1)ÿ���~¡��y,��/,V.ÿ�3�����ü�ÿ�û�Rü27���ÿ$7��0ý¯þ�ÿ-üD3gþ�ÿ���ÿ]ü�ûMýÒû¸ü���7eü ü¥û&VY�FÿÉý�7i3;�¯ÿ��Vý ÿ9�S�`ÿ"Pÿ"�C����3(7�� �ý¯ÿ"� ÿ(gI���6�<�Mÿj!þPÿ"� ÿMG�-$wB7��Iý þPÿG�I��� ÿ�qýt��ÿ�ý¯þ�7<1PüL3"��XV+ÿWû��þ�ÿ���ûMý ÿ�1Ö?v�¹ÿrj�û4�4�v1qÿ;�¸ÿ"��ý¯þ�ÿ��67�� ÿ91)ÿný*�Kû4�Fÿ�1��������5Pü¥ûÝü7���û&Pþ�ÿ���ûFýC���3^ÿU�� 7��:���&56� �ý�û���ý¯þ�ÿr���ý¯ý ÿ��!ü�ÿ�3^ý�û�7��ü�Etþ�ÿ�� ÿ@/�jaÿ�û1)ÿ��ý�û4�z5�ý þPÿU�.7�����7�j�û����ü¥ûMý�����ý�û�7��ü]j!þPÿ"� ÿý¯þ�ÿGV.ÿ��ÿ(�.ýjür7��Îû&Pþ�ÿ���ûMý*���3^ÿÉûÝü]�&7eü�ý3�N"O ª�µ2®]±�¯"¬�­z´¬�°�µ2´¬·¦(°t§�¨2´zØʨ2¨2°0´z®�¨8­z¼"°�µ2®�³z¦(°�¬·×D±C´¬�¦(°]µ2¦(°�­>´.³�±D¬·°�´z­ ±C­�±�­z©@¨2µR¬QP,µD±C´¬·¦(°]Ï"¨2³z­zª�­Y´.®�¨8§�¨2®�±CÏ;¬�¦(³ ¦C²,´z®�¨�±Cµ2´zª�±�«µ2¦�¯�¨�´.®,±C´�¬�¶�©"«·¨2¶�¨2°�´z­�¬�´2Ç@®�±CÏ;¨�°�¦(´�§,¨2¨o°mµR«·¨D±C³«�¼S±C¯�¯�³z¨2­z­>¨2¯�¬·°S´z®�¨�©�³z¨2Ï(¬�¦(ª�­�«�¬·´z¨2³�±C´zª�³z¨2­0´.¦�¦(ª�³e¹"°�¦(Ø8«·¨2¯�¸(¨SR,¬�°�²�±Cµ2´2Ç´z®�¨�´z¨2³z¶UT�­z¼"°�µ2®�³z¦(°"¬�×D±C´¬·¦(°-µ2¦(°�­>´.³R±�¬·°�´z­WV"®�±C­�§�¨2¨2°�µ2¦(°"²4ª�­.¬·°�¸*«·¼rª�­>¨2¯L´z¦-¶t¨D±C°�§�¦;´.®U¬·°�Ï(±C³¬·¦(ª�­8µ2¦(°�´z¨2Ò�´z­�¿

Page 3: web.cse.ohio-state.eduweb.cse.ohio-state.edu/~soundarajan.1/courses/788/matsuoka93analysis.pdf! "# $&%(') * + ,)$& - . 0/#12 ! 3 - 546 !7! 8 9 9 7":;< 7!37! 8= >@? ACB DFE GIH.JKELDMJNAPORQTSVUW?

��?��zÿ;�I)ûMý�û�7�p7��t�m�ÿ"j&ü2� V83*��Nü ü����Ê7��t3C��Nü ü�� Pÿ�3gÿ]ü ü¥ûMý*�Vý ÿKü�� ÿ�=R1qÿ;�I)ûMý�û�7,.ür7�����ÿný þ 7<1�ü�û��� �Nüj�ÿ(�����Nü�ý¯þ�7eü�ÿ�û�ÚûMýjüL���3gÿ]ü�ý�7��r3*��Nü ü�ÿKü�?

� ?-xT7�1tû4�83���ý�û&7,p7��]�d�ÿ�j ��ÿ�ý¯þ�7�1�� 7��t3C��Nü ü�� j�ûFý¯þ)û�§ý¯þ�ÿû��þPÿ"��ûMýC���3gÿ�þqûFÿ��*���C3^þ@5�û��3;� �U�67�1<=û4�83���ý�û�7��7��aý þPÿX�¥ü�ÿ�ÿ��ºû�����&5[����¯ÿ;���ý¯ÿ�1�+U��ÿný þ 7<1�üÉû��V�7`ý þ��I���¯ÿ"�ý$��I1�1)ÿKüD3^ÿ��1)ÿ��ý$3*��Nü ü�ÿKüG7����?

� ?��zÿ;�I)ûMý�û�7� 7��-�}��ÿný þ 7<1�� �ºû��`þ�ýL�.7��C3^ÿ�ý¯þ�ÿd7`ý þPÿ"�9��ÿný þ 7<1�üd�¸û&I3*����1eû& �Rý¯þ�7eü�ÿ�ý�7}V.ÿ:1)ÿ(���ÿ�1�Vý�ý þPÿ�ü2� V�3C�.�`ü ü�ÿ]ü!û&Èý þPÿi�.��ý���� ÿ�+aýD7X�z7�����7�j �Úü2�.ÿ�3xû4�83i� �D7`ýD7<3(7��0j!þqû.3gþ�jt7,�<�1[ 7Ný�þ���fNÿSV.ÿ�ÿ��¯ÿ�Q��)û�� ÿ�1Èþ��,1 ý þI��ým��ÿný þ 7<1��7`ý�ÿ;gtû¸ü�ý¯ÿ�1Ö?Xw��3�����ü��Y���ý¯ÿ�1F1)ÿ(��qûFý�û�7��7��9cº÷��'�÷Ýó¹ú��¤ù��*�^õ��GjL7,�<�1ý¯þY�.ü�V.ÿ�fqÿ��D5:1tû4£X3;�Y�Fý"?�r�ÿ}�7`ý*��V<�MÿX�>��3gýºûÝü�ý þI��ýãý þPÿ 7<3�3;� �D� ÿ��3gÿp7��zû��þ�ÿ���ûMý*���3gÿp���7,�:����5 )eõ"��õKóI)��X`eó ý¯þ�ÿ§ü25��3gþ��D7,=

)û�����ý�û&7,müD3^þ�ÿ���ÿ�7��Wý þ�ÿ���� �������Nÿ�E0û��7`ý þPÿ"�mjL7,�*1�ü�/e�¯ÿ"=�1)ÿ(��)ûMý�û&7,.üdjL7,�<�1�V.ÿ}� ÿ�Q��)û�� ÿ�1��z7,�:3*��`ü ü�ÿ]üû������G�GJ]\���� �������Nÿ�ý¯þ��Vý��,1<7��Pý ÿ�1p�63gÿ"�¯ý*�Kû&Èü25��3gþ��D7,)û����Vý�û�7,§üD3^þPÿ"��ÿ�/<j!þ)û4�Mÿ�ý þPÿ���ü�ÿ��:��qý�û3"������5û1)ÿ��ý�û.3����>+�3*��Nü ü�ÿKü�3;7,�<�1iV�ÿzüD���¸ÿ;��5�û��þPÿ"��ûFý¯ÿ�1�û&}���7Ný¯þ�ÿ��������,�����Nÿ!ý þI��ý�� �D7�fNû1�ü���Úÿ�qý�û�� ÿ(��561tû +�ÿ�� ÿ�)ýü25YI3^þ �D7�qû�����ý�û�7�;üD3jþ�ÿ"�ãÿ@?- �þqû¸ü�û&�i�<�«ûFÿKüWý¯þ��Výzý¯þ�ÿ�þPÿ���� ýL7��Òý¯þ�ÿS� �D7�VY�Fÿ�� û¸ü!ý þPÿºü�ÿ"�����ý�û3"���v3(7�Y��û3^ýjüV.ÿnýDj�ÿ�ÿ� ý¯þ�ÿ}1qÿ]üD3(��û���ý�û&7,.ü�7��-7�V�W�ÿ�3^ý�=>j�û¸ü�ÿÂü25Y�3gþ���7�)û�����ý�û&7,����1 û��þPÿ"��ûMýC���3gÿ�j�ûMý¯þ)û�¡ý þPÿi�����,�����Nÿ�/��I1X 7NýU7, þ 7�j�ý¯þ�ÿ$�.����,�����Nÿ$��ÿ���ý���� ÿKü$��� ÿÉû&�i�<�Mÿ"��ÿ��ý¯ÿ�1����1qÿ"���ÿ��Vý¯þ�?txT7,� ÿ"7�fNÿ���/tûFý�ûÝür 7Ný�û&�6��ÿ�=1tû�Vý ÿ(�&5m7�VYfeû�7���ü�j!þPÿ�ý¯þ�ÿ������ ÿ�feû�7���ü�ý¯ÿ�3gþ�)ûQ@�Pÿ]üv1)ÿ"ftÿ;��7,��ÿ�1û��3(7��3(����� ÿ"Pý�u�1tûÝü�ýD��û&V ��ý¯ÿ�1G�����,�����NÿKü���I1ü25Pü�ý¯ÿ"��üL��� ÿ9��� �<�«û.3���VY�Fÿ�?

é�ê�����ìIñ�ë��-ê�ð���� êºí���� �gñ ��� ñxê ë ��� '2ì�� �ñ íï�� '2ìLí�� í��F� ����aÿ�3gÿ"Pý2��5�/�ü�ÿ"ftÿ"�*���Ö����7��87tüD���Ýü�þI��fNÿGV.ÿnÿ"p�:�,1)ÿ$�.7��zÿ ++ÿ�3gý�û�fqÿ(��5}������7�j�û& �ãü25Y�3gþ���7�)û�����ý�û&7,p3(7<1)ÿ�ý�7:V.ÿû��þ�ÿ���ûMý¯ÿ�1�V��`ü�ÿ�1F7�Ff�����û&7,�.ü�ü25YI3xþ �D7,)û����Vý�û�7�müD3jþ�ÿ���ÿKü��Yÿ(gI���6�<�MÿKüd���¯ÿ�~��</t���</L����/v�,� /v�,���>/0���67,��7Ný¯þ�ÿ��xü(+C?�N�7���ÿ��o���Fý¯þ�7,���`þ��7`ýt�����>+v7���ý þPÿ]ü�ÿL���D7,�Ö7eüD���Ýü0ÿ"�6�Pþ��`ü¥û��nÿ�1�ü�ý��D7,��m3(7�PýD��7���7�fNÿ��0ý¯þ�ÿ�3(7�Y��û3^ýjü� ? PÊ?��<?�û��þPÿ"��ûFýC��I3^ÿd���7,�:����5Y/)ÿS+�ÿ�3^ý�û&ftÿ;��5}3C��]û��ºû���Âý¯þ���ýÉü25Y�3gþ���7�)û�����ý�û&7,p3(7<1)ÿd3���pV.ÿû��þPÿ"��ûFý¯ÿ�1X�.7,����4�]3(7��6�67,����1�u�7����ÿ�3^ÿKü üD���D5�3"�`ü�ÿ]ü�? �L<�.7�� ý���I��ý¯ÿ;��5�/�ûFýzûÝü$��7tü ü¥û�V<�MÿºýD7§ü�þ�7�j×ý þI��ý�ü2�I3jþp���D7,�Ö7eüD���Ýüü�ý�û��4�*ü2��+�ÿ"�U�.�D7�� û��þPÿ"��ûMýC���3gÿd���7��:����5 ¢ û&§ý¯þ)ûÝü-ü�ÿ�3^ý�û�7��/�j!ÿ��.7,� ý�û4�.5Rý þqû¸ü�3*��]û�� V�5:��� ÿKü�ÿ"Pý�û���ãý þPÿ��3gý������0�R3;7,���ý¯ÿ���+Yÿ(gI���6�<�Mÿ]ü�7��0�� 7��:����5�7�3"3(���D�¯ÿ"�3gÿ�?q�ÿ(�.7�� ÿdj!ÿS� �D7<3gÿ�ÿ�1Ö/�þ 7�jÒÿ�fNÿ"��/ÊjaÿS�:��PNÿ6����7Vû��ýzý¯þ��Vý-ý¯þ�ÿ6���D7,��7tüD���¸ü-ü�ÿ(�Mÿ�3gý ÿ�1�þPÿ"�¯ÿ����¯ÿ�3(7��ü¥û.1Y=

ÿ�� ÿ�1¡ýD7�V.ÿp� ÿ���� ÿKü�ÿ"qýC��ý�û&fNÿ�7��93gÿ"�¯ý*�Kû&l3*��Nü ü�ÿKüd7��ü25YI3^þ �D7�qû�����ý�û�7�müD3^þPÿ"��ÿKü�/0���1¡ý þPÿ û�)ý¯ÿ�)ý�û�7�F7��ý¯þ�ÿ �R3;7,��qý¯ÿ"��+�ÿ;g����6�Y�Mÿ]üWûÝü-ýD7Âû4�����.ü�ý��*�Vý ÿ6j!þ��Vý-ý�5Y�Pÿ�7���û��þPÿ"��ûMýC���3gÿ6�� 7��:���&5�j-7��Y�.1 7�3"3(���U�z7,��ü2��3gþüD3^þPÿ"��ÿKü�?���ÿ91<7K��$  û�qý¯ÿ"�1rýD7X3C��]û�� ý þI��ý��6�I��� ý�û3;�Y�.���L����7��87tüD����ûÝüL�.ü�ÿ;�MÿKü ü-¢ �NüU�6�:��ý¯ý ÿ��L7��t��>��3gý�/�ü27���ÿ91<7ãÿ"�6V 7I1Y5��,7�7<1Úû1)ÿ��`ü�ý þI��ýr3;7,�<�1XV.ÿ��.ü�ÿ�1p�NüL�mV��Nü¥ûÝü�7����m�67�� ÿ93(7��6�<�Mÿný ÿºü27�����ý�û�7,�?

����� ���������� "!$#&%'������ )(+*',�-/.�0� 213�543%'.�67 "89.�*:��%'�<;>= ?@%'A�(B 2CEDF;HGJIK*�C&;�LM(ONP!$#&������67�54Q 2(B(B%SR: "TU )6V )��43��*:.�W��<4X0���. Q V430�*�C�(ONZY�%[430\!+#&��1X )(B(B��*P.�(ONZ]^��13 26O4`_a 7;b���c )6ed�<fg67%[43��*:.�(

�Rn7,�*1)ÿ��Rý�7����]û� ý¯þ�ÿ�� ÿ���1)ÿ����Ñü�û�.ü¥û��NþPý�û�)ý�7�ý¯þ�ÿ����D7,V<�Mÿ"� /Uj�ÿ �I�xü�ýX��� ÿKü�ÿ"PýÚü¥û��6�<�Mÿ§ÿ(gI���i�<�Mÿ]ü�7��û��þ�ÿ���ûMýC���3gÿ����7,�:���«ûFÿKüS7<3�3;� �D��û���;û���G��Jt\h�����,�����NÿKü�?�N�7���ÿ67��zý¯þ�ÿKü�ÿ�3"�`ü�ÿ]ü(þ���fNÿ����&�¯ÿ��,1<5�V.ÿnÿ"��7�û�Pý ÿ�1:7,��ý-V�5�ý¯þ�ÿ���� ÿ�feû�7���ü�� ÿ]ü�ÿ����C3^þPÿ"�xü�?

hPi5j)i5j k$lZmonqpVr

N@7,��ÿ �G��Jt\n��� ���I���`ÿ]ü�������7,j�ÿ���3gþp7�V�W�ÿ�3gý(ý�7RþI��fNÿ6�Úü27[3"�����Mÿ�1��.#*`")@���4/���§û&Pý ÿ��DI���0��ÿný þ 7<1�j�ûMý þûMýxü�7,jL�ý¯þ�� ÿ���1�7��03;7,�ý��D7��o?v �þ�ÿGV�7<1Y5rý¯þ��¯ÿ��,1X� ÿ��:�]û�.üL�,3^ý�û�fqÿWû��D� ÿKü2�.ÿ�3gý�û�fqÿ$7��Îý þPÿÿ(gPý¯ÿ"���������ÿKü üD���`ÿ

Page 4: web.cse.ohio-state.eduweb.cse.ohio-state.edu/~soundarajan.1/courses/788/matsuoka93analysis.pdf! "# $&%(') * + ,)$& - . 0/#12 ! 3 - 546 !7! 8 9 9 7":;< 7!37! 8= >@? ACB DFE GIH.JKELDMJNAPORQTSVUW?

� ÿ�3^ÿ���ý�û&7,�?S �þ�ÿdV87<1<5Rû¸üzýD5��)û3"������5}�.ü�ÿ�1�ý�7[3(7�qý��D7��0��ÿKü üD���`ÿi�¯ÿ�3gÿ"�Pý�û�7��ü�/Ê�.ü2�����4�&5§û�Èý þPÿm�>�`ü�þ)û�7��7��A�1 � �Ñü r p � p���� ü�ý*�Vý ÿ���ÿ"Pý�?eAL��ý¯ÿ"�t� ÿ�3^ÿgû�feû���i�d��ÿKü üD���`ÿ@/tý¯þ�ÿ$V�7�1<5�ý¯þ�� ÿ���1�ýC��Ptÿ]ü�7�rý¯þ�ÿ$� ÿKü2�Ö7,.ü¥û�V)û4�«ûFýo57��zû��f�7,Peû����ý¯þ�ÿ}��ÿ�ý¯þ�7<1 3;7,�D� ÿKü2�Ö7,�1eû& �6ý�7�ý þPÿ ��ÿKü üD���`ÿ@?��o2ü27���ÿ������,�����NÿKü�/Òý þPÿ V�7<1Y5¡ý¯þ��¯ÿ���1ü2�.ü2�.ÿ��1PüL1<����û& �m��ÿ�ý¯þ�7�1����D7<3gÿ]ü ü¥û����/<j!þ)û4�Mÿ�û��7Ný¯þ�ÿ��xü�ý þPÿ$VÖ7<1Y5�ý þ � ÿ��,1X�D� .ü0û&I1)ÿ���ÿ��1qÿ"qý2��567��Iý¯þ�ÿý¯þ�� ÿ���1Pü]�z7,�L��ÿKü üD���Nÿ�����7I3gÿ]ü ü¥û����?A$��ÿ"��û.3�� ~¡���81tûÝüD3;��ü ü¯ÿKü<ý¯þ�ÿ�1eû�£X3(�<�Mý�5d7���û�qý ÿ����C��ý�û& �-û��þPÿ"��ûMýC���3gÿ�j�ûFý¯þ������,�����NÿKü<ý¯þ���ý-���4�&7�jOV�7<1<=

ûMÿ]ü����r61)ÿ(��qû& �9�ü2��V83C�.�`ü ü��.�D7�� ���7`ý þPÿ"�t3C��Nü ü�/`ý þPÿr1qÿ;�I)ûMý�û�7�d7��8ý¯þ�ÿzü2��V83*��`ü ü��.ü2�I���4�&59� ÿ�Q@�qû&�¯ÿ�øz`eø�ù@�öjõ�'2)eõ�L<ó�÷Ýø�÷`Nó:7���ý¯þ�ÿ6V�7<1<5 ?S �þ)ûÝüWûÝü$�*�Vý þPÿ"�97,V�feû�7,�.ü�/ÊV.ÿ�3�����ü�ÿi7`ý þPÿ"��j�ûÝü�ÿ�ý þPÿd�ÿ"jt�&5[��1 1)ÿ�1[�¸ÿ��VýD� � ÿ]ü3���� 7NýtV.ÿ$��ü¯ÿ�1Ö?vA$��ÿ���û3"�9��7Vû&Pýxüe7���ý�ý¯þ��Vý�ý þqû¸ü���7tü�ÿKü�1tû4£X3(�<�MýD5(û&�� �D7��,�*���i�ºû& �9V+ÿ�3����.ü�ÿ!þ���feû���m�1tû +�ÿ�� ÿ��ýtV87<1<5}��ÿ����ü�ý þI��ýzý¯þ�ÿd1Y5YI���ºû3GV.ÿ�þI��fNû&7,�t7���ü2�I3^þT�d�ÿ�j 7�V�W�ÿ�3^ý-�:��5:V.ÿ�ýD7`ý*������5T1eû*++ÿ"� ÿ�qý�.�D7�� ý¯þ�ÿ$7��1X7�Pÿ]ü�/tý¯þ���ü�ü�ÿ�feÿ�� ÿ(�&5ºû��ý¯ÿ"�o��ÿ���û���Gj�ûFý¯þX�.7,�D�:���Ö�¯ÿ��`ü27�)û� �:��V�7,��ý�ý¯þ�ÿ����D7,���C���T?vA$��ÿ���û3"�ü�ýC��ý¯ÿ]ü!ý þI��ý"/Ê���¸ý¯ÿ"��û�qûFý�û���Iÿ(g �.ÿ���û���ÿ"Pýxü�j�ûMý¯þ û&Pþ�ÿ���ûMý*���3gÿ�û�§ý þPÿ��G�GJt\ �����,�����Nÿ9\-���$svu� �/)ûFýUj-�Nü1)ÿ�3xû1qÿ�1� 7Ný�ý�7[��1Y7��Pý-û��þ�ÿ���ûMýC���3gÿ}�Nü9�}� ��û��ºûFý�û�fqÿi�������I���`ÿi�¸ÿ��VýD� � ÿ���?}AU�7`ý þPÿ"�9� ÿ(���ý¯ÿ�1F1tû4£X3(�<�Mýo5j!ÿS�87�û�qý�7��Pý-ûÝüÉý þI��ý�ü2��3^þ�� ÿ�=R1qÿ;�I)ûMý�û�7,.ü$� ÿ�Q@�qû&�¯ÿ�ý�7NýC���]PY�7�jt�Fÿ�1<�`ÿi7��U���1���3�3^ÿKü üý�7;ý¯þ�ÿÂü�5��3jþ �D7�=)û�����ý�û&7,F3(7<1)ÿ�7��!ý¯þ�ÿ6��I3^ÿKü�ýD7,�m3*��`üjü�ÿKü�?: �þ��.ü�/Ê 7NýG7�<��5Èý¯þ��Vý(ý¯þ�ÿ�5�3��� �7NýGV.ÿãû��þPÿ"��ûMý¯ÿ�18/eV���ýG���¸ü27ÿ��3"���.ü2�Y�.�Vý�û�7, 7��03C�.�`ü ü<û&�6�Y�Mÿ"��ÿ��ýC��ý�û&7,�û¸ü�V �D7�Ptÿ"�j�ûMý¯þp� ÿ]ü2�.ÿ�3^ýaý�7Âü25YI3^þ �D7�qû����Vý�û�7�}3(7�.ü�ý��*�Kû&Pýxü�?A-ü9�� ÿ(gI���6�<�Mÿ�7��!ý¯þ�ÿ �¡V�7<1<5Ê�e���7,�:����5�/e3(7�.ü¥û1)ÿ��m���I�xü�ý�=¸û�����jü�ýD=z7��Pý9V�7,���1qÿ�1�V��9++ÿ"�m3C�.�`ü ü9�Nü

û4�����.ü�ý��*�Vý ÿ�1Úû�5��û������¯ÿ���?��¥ýzþ��`üWý�j�7i��� V<�«û.3S��ÿný þ 7<1�ü�/7,�.9/?1326���1 4;6</�132YE7,�.9/?132ãü�ýD7,� ÿ]ü��� ûMý ÿ�� û�ý¯þ�ÿ�V���+�ÿ��:��I1 476</�1 2X� ÿ"�67,fNÿ]ü-ý¯þ�ÿ 7��1)ÿKü¯ým7,�ÿ�?B tjL7Rû�.ü�ýC��I3^ÿ�f�����û��V<�Mÿ]ü�����I1��8.9/B3;7,���ýý þPÿý�7NýC���-Y���mV�ÿ��xüS7��!ûMý ÿ��ÂüÉû&�ü�ÿ"� ý¯ÿ�1����1�� ÿ��67�fNÿ�1Ö/�� ÿ]ü2�.ÿ�3^ý�û�fqÿ(�&5�/���I1��,3^ýi�`üÉû&I1tû3^ÿKüû��ý�7Rý¯þ�ÿ�V �9++ÿ"�¢ ý þ�ÿ��&7<3���ý�û�7�p7��0ý¯þ�ÿSPÿ;g)ý!ûFý¯ÿ�� ý�76V+ÿG� ��ý!ûÝü�û&I1)ÿ(gPÿ�1 V�5}� �Bcd`�)������76Y+����1 ý¯þ��VýU7��0ý¯þ�ÿS7��.1qÿ]ü�ýûMý ÿ�� VY5����8.0/Tcd`�)������76Y+C?I�r��7�}3;�¯ÿ��Vý�û�7��/tý¯þ�ÿ$V���+�ÿ��0û¸ü0û&rý¯þ�ÿÉÿ��6��ýo5�ü�ýC��ý¯ÿ@/<���1�ý¯þ�ÿ$7�Y��5d��ÿ]ü üD���Nÿ��3�3^ÿ���ýC��VY�Mÿû¸ü ,�.9/�1 2�EÖ���D��û�feû���K4768/�132d��ÿKü üD���`ÿ]ü���� ÿS 7Ný��,3"3gÿ"�Pý ÿ�1[V ��ýUPtÿ"�Pý!û&§ý¯þ�ÿd��ÿKü üD���`ÿdQ@�Pÿ"��ÿ�� =>� �D7<3gÿ]ü ü�ÿ�1Ö?v� þ�ÿ��� ,�.0/�132$��ÿKü üD���`ÿ�ûÝü�����7<3^ÿKü ü�ÿ�1Ö/`ý¯þ�ÿ�V��9++ÿ"�0ûÝü� 7$��7� �Nÿ��Òÿ"�i��ýD5G���1d3"����,3"3gÿ"�PýV�7Ný¯þ ,�.0/�132����1�476</�1 2U��ÿ]ü üD���NÿKü�/�� ÿ���3gþ)û���G�d�¡����� ý�û���o�<�� 7� =�ÿ��6��ý�5d���1��7,�=�.�<�4��+�ü�ý*�Vý ÿ�?e� þ�ÿ�rý þ�ÿV���+�ÿ��ºûÝüG�.�<�4�o/IûFýi3��� 7�Y�&5���3�3^ÿ���ý 476</?132�/t���1F���¸ý ÿ��6� �D7<3^ÿKü ü¥û���6ý¯þ�ÿ 476</�1 2T��ÿKü üD���Nÿ�/0ûMýmV+ÿ�3(7���ÿKü����� ý�û.���������Kû��?

inoutget()

put()

A Bounded-Buffer Object

��û&�,���¯ÿ�� ��A q]7,���1qÿ�1}qt��+�ÿ����rV�W�ÿ�3^ý�Lû��,��� ÿL�ÉûÝü��91)ÿ(��qûFý�û�7��7��e3C�.�`ü ü�������.��mj!þqû.3gþ�û��6�Y�Fÿ���ÿ"qýjü�ý¯þ�ÿ$��V�7�fNÿL1)ÿKüD3;��û�V.ÿ�1iV.ÿ�þI��fNû&7,��/���û�fqÿ�

j�ûMý þT��§ÿ(gPý¯ÿ"I1)ÿ�1 ü25YPý*��g}7���J-KGKh�z7,�L� ÿ���1qÿ"�L�>���ºû4�«û.����ûMýo5Y?t� r7Ný¯ÿý¯þ��Vý�/.ü27���ÿ$�Cû�V+ÿ"� ýo5�ûÝü�ý*��Pqÿ"}j�ûMý þý¯þ�ÿºü25YPý*��gT���1§ü�ÿ��:��qý�û.3nü]¢ �.7��!û�.ü�ýC��I3^ÿ�/�JLKGK 1Y7tÿ]üL�7`ýU���D7,feû1)ÿ-ý¯þ�ÿ�N@�����4�FýC����P�=R�,�Âü�ýD5��Fÿ��3.�, 6���.ü�ÿ���1Y7Bf�����û.��V<�Mÿ@/tjaþ�7tü�ÿ}��ÿ���)û���¹ü�þ 7��Y�.1�V.ÿT7�V�fNû&7,�.üºý�7�ý¯þ�7tü�ÿ �>���ºû��«û���ºû�h�G� ����7��,�*���6��û& �I?�+*?w�g �Y�Cû3xûMýU��ÿKü üD���`ÿG�¯ÿ�3gÿ"�Pý�û�7� ûÝüL�:��1)ÿ9j�ûMý þ)û�Rý þPÿSVÖ7<1Y5}�.ü¥û���ãý þPÿ���6��06 �8/ ��I1"!#� ��6 ,9/Úü�ý*�Vý¯ÿ"��ÿ��ýjü�? �þPÿ�476</�1 26��ÿKü üD���`ÿ�ûÝü��,3"3gÿ"�Pý ÿ�1�VY5Rý þPÿi���jü�ý�! � ��6 ,9/�ü�ýC��ý¯ÿ"��ÿ��ý!û�Èý þPÿiV�7<1Y5§û4��ý¯þ�ÿdV �9+�ÿ��ÉûÝü$ 7Nýÿ��6��ý�58Etý¯þ�ÿ� ý¯þ�ÿS�,3^ý�������,�������6 � � 4768/�1329��ÿ�ý¯þ�7�1ÂûÝü<û�<f�7,Peÿ�1�j�ûMý þRý þPÿ$�</%!&��/Úü�ý*�Vý ÿ���ÿ"Pý�? �r��7�rûFýjü

' ¥Ö®�¨�³z¨2µ2¨2°�´IÏ"¨2³z­¬�¦(°]¦C² Á º�º)($µD±�«¡«�¨2¯ Á ºvº)(#*,+�¬�°�µ2¦(³z©,¦(³�±C´z¨2­�¬·°�®�¨2³¬·´�±C°�µ2¨(¿ Á ³z¦(©,¨2³I§,¦"¯�¼�³z¨R»&¯�¨ P�°"¬�´¬�¦(°]¬�­�«·¨R²4´�±C­�´z®�¨³z¨2­z©,¦(°�­.¬·§"¬�«�¬·´z¼�¦*²�´z®�¨�©�³z¦(¸(³�±C¶�¶�¨2³2¿

y

Page 5: web.cse.ohio-state.eduweb.cse.ohio-state.edu/~soundarajan.1/courses/788/matsuoka93analysis.pdf! "# $&%(') * + ,)$& - . 0/#12 ! 3 - 546 !7! 8 9 9 7":;< 7!37! 8= >@? ACB DFE GIH.JKELDMJNAPORQTSVUW?

ý¯ÿ"�D�ºû�I��ý�û&7,�/�ý þPÿi�¯ÿ]ü2�<�Mý�7���ý¯þ�ÿ6��ÿ�ý¯þ�7<1 û& f�7<3���ý�û&7,�ûÝü�1eû&�¯ÿ�3gý2��5T� ÿ�ý������ÿ�1 ýD7Úý¯þ�ÿ63"�����Mÿ���? HWÿ�� ÿ�/+ûMýzû¸üQ@�qûMý ÿ�7�VYfeû�7���ü<ý¯þ��VýÒû&T�� 5�ü2��V83C�.�`ü ü�ÿ]ü�7�� ������.��8/)ý¯þ�ÿ-ÿ"qý�û�� ÿ � � ��� 132��6��ü�ýtV.ÿG� ÿ�=�1)ÿ;�I�ÿ�1ãû&}7��*1qÿ"��ý�7��3�3;7,��Pý��z7,�!ý¯þ�ÿ��ÿ�j��&5X��1 1)ÿ�1X��ÿný þ 7I1}1)ÿ(��)ûMý�û&7,.ü�?

�������������� ��������������������������! #"%$'&)(�*,+.-!/10�23�4�563�487:9 5�7 �� ���;�<�=?>�@�A�B

C ���� 3ED �F 9G3!H ����� ��JILKM�

3�4ONP9 5�NRQ BSF 9G3!H C�T 9�D�U �?��V C 5 I�KM�W���X&Y/10�2[Z%(�*\$]/^Z�_

3�4G`�` BS ���a/cbXZd(�2fe� G_gZ!*X/h0�"./'bXZd-�(�i'iJ$'&)0�_d$j/^/1Z�k3�4�5 C�T 9�D�U ���?V�l U�5 I�KM�m���a2[Z!_d0�n!Z%(�*:$j/^Z�_

9 5�`�` BS ���a/cbXZd2oZ!/1 �2Y*:n!(�i' �Z%0�"%/cbXZd-�(�i'iJ$'&.0�_d$j/^/1Z�kF 9G3!H � 9�H�p I�Kq�

� 9?9 C �� U � U�D�5 �

� D�D�U C 5 l U�5 I�K�r�s U�4 IXt!I 3L4PN�NR9 5 K�K� 5 � T 5 C�T 9�D�U ����V�l U�5 I�KuB

9 T� D�D�U C 5 C 5 I�K�r�s U�4 IXt!I 9 5MN63�4O` <�=�>�@aK?K

� 5 � T 5 C�T 9�D�U ����V C 5 I�KuBS�S�S�S

��û&�,���¯ÿr�9�F�zÿ;��qûMý�û�7�d7���q]7���I1)ÿ�1iq]�9++ÿ"�tJ���Nü ü�j�ûMý þ6q]7<1<56�o �þ�ÿ$3(7<1)ÿ�� ÿ(�.�Vý ÿ�1�ýD7m�,3"3gÿ]ü ü¥û����ý¯þ�ÿ]�&7�3���������*��5Âü�ý�7��C���Nÿ$�.7���û�.ü�ÿ�� ý�û�7�p���1�� ÿ"�67,f����8û¸ü�7,�ºûMý ý¯ÿ�1��z7,�LV��¯ÿ"fNûFý�5�?�+ �þ�ÿ�� ÿ}���¯ÿ§ü�ÿ�fqÿ��*���0�����,�����NÿKüºý þI��ý����4�&7�j V�7<1<5Bj�ûMý þqû& 7�VYW�ÿ�3gýxü��C~ �@/-�����>?�~��"���r���Ýü27�ÿ]ü ü�ÿ��ý�û���4�&5

���4��7�jWü]V�7<1tûMÿKürj!þPÿ"Rý þPÿi� ��7�jl�Fÿ�fNÿ;�R��üD3xþPÿ"��ÿÉûÝü���ý�û��«û���ÿ�1Ê+C?

hPi5j)iwv xzy|{ � n �3n �P} p7r r?~��[p6� p��Xp�{ � nql|�SrA$k��I����7��,7���üRü¥ûFý����Vý�û�7,�7I3�3;� �xüãû4�i� �.����,�����Nÿ ���4��7�jWü�ÿ(g �Y�Cû3xûMý[��û�Pý ÿ���û�7���+G� ÿ�3^ÿ���ý�û&7, 7��m��ÿ]ü üD���NÿKüj�ûMý þqû� ����ÿný þ 7<1Ö/Òû� ý þI��ýãý þPÿp�ÿ�j���5 ��1 1)ÿ�1���ÿ�ý¯þ�7<1�1qÿ;�I)ûMý�û�7,.ü63"��� 7Ný:V.ÿRÿ"Pý�û�� ÿ(�&5���3�3;7,��Pý ÿ�1�.7���?0 �þPÿ"� ÿ(�.7�� ÿWûMýtjL7,�<�1iV.ÿS1eû4£X3;�Y�Fý�ý�7(û&I3;7,�D��7��C��ý¯ÿ�û��þPÿ"��ûFýC��I3^ÿWû��ý�7���� �������NÿKü<ý¯þ��Vý-���4�&7,jmû��ý¯ÿ"��û�7,���ÿKü üD���Nÿ�� ÿ�3^ÿ���ý�û&7,.ü�?0w�gI���6�<�Mÿ]üL7��*ü2��3jþ��.����,�����NÿKür��� ÿ�A�qrJtsvu��,~�y@� /<yI�;�����1pJLN�N�Ad~¡������? �þ�ÿ�� ÿ���� ÿ����Ýü27L�����,�����NÿKü+ý þI��ýÎÿ(gPý¯ÿ"I1�ü+ÿ(gqûÝü�ý�û����ü�ÿ�Q@�Pÿ"qý�û.�����G�������,�����NÿKü�j�ûMý¯þÿ(g �<�«û3xûMýÖ��ÿ]ü üD���Nÿ

� ÿ�3^ÿ���ý�û&7,rü�ýC��ý¯ÿ"��ÿ��ýjüLû��7��C1)ÿ��ÒýD7m�,3^þqûFÿ�fNÿ<û&qý¯ÿ"�D=z7�VYW�ÿ�3gýt3(7�I3;����� ÿ��3;5�/eü2��3jþ��`ü�J�7�I3;� �D� ÿ��ýtJLKGKS~4�"���>/q]��þ ��ÿný�?����R?4�ÑüLÿ(gPý¯ÿ"�ü¥û&7,�ýD7�JLKGKS~4�����>/�7,�e �� �<�Mÿ]N@���,3^ÿrN��:���4�Mý*���&PÊ~¡������?�87,�+ý¯þ�ÿKü�ÿ0��� �������NÿKü�/Kþ 7�j�ÿ"fNÿ"�"/ý¯þ�ÿS��ÿKü üD���`ÿ]ü�ÿ(g �<�«û3xûMýo�&5}�¯ÿ�3gÿ^û�fqÿ�1���� ÿS 7NýU� �D7<3gÿ]ü ü�ÿ�1 feû�ºý¯þ�ÿS 7��D�:���v��ÿný þ 7<1p1tûÝü2���Vý*3jþ}��ÿ�3gþ���)ûÝü2�7��aý þPÿ�VI�Nü�ÿS�.����,�����Nÿ�?6A-ü9�}�¯ÿ]ü2�<�Mý"/+û��þPÿ"��ûMýC��I3^ÿ����1�3(7��i�d��qû3"�Vý�û�7� ���¯ÿ�ýD7`ý*���4�&5 ü�ÿ"�����*�Vý ÿ�1T�.�D7,�ý¯þ�ÿGV.ÿ���û� )û���I/�3"���.ü¥û���ãþ�ÿ���f�5�V � ÿ���P����Nÿ$7��Iÿ��3����.ü2�Y�.�Vý�û�7,�?

hPi5j)i h �:~ �a��x�y|{�� p7r r nql��:r

A$�@�]û��/Ê�ãü¥û��ºû�����$� �D7,V<�Mÿ"�M7<3�3;� �xü��z7,����� �������NÿKürj�ûFý¯þ§ü25��3gþ��D7,)û����Vý�û�7�;üD3jþ�ÿ���ÿ]ü�ÿ(g � � ÿ]ü ü�ÿ�1Âû�pf�����û�=��PýxüL7��r\���ý¯þ�wvg<���¯ÿ]ü ü¥û�7��ü�~��,���>?6A�1�1tûMý�û&7,�������5�/8ý þ�ÿ67���û&�Vû&I���0�I��ý¯þ ÿ;g<��� ÿKü ü¥û�7�¡ü2��+�ÿ"�jüÉý þPÿi�«û��ºûFýC��ý�û�7�

Page 6: web.cse.ohio-state.eduweb.cse.ohio-state.edu/~soundarajan.1/courses/788/matsuoka93analysis.pdf! "# $&%(') * + ,)$& - . 0/#12 ! 3 - 546 !7! 8 9 9 7":;< 7!37! 8= >@? ACB DFE GIH.JKELDMJNAPORQTSVUW?

ý¯þ���ýãû¸üºû��6�Ö7eü�ÿ�1�V 5¡ý¯þ�ÿ§ÿ(g ���¯ÿ]ü ü¥û�fqÿ}��7�j�ÿ"�i7��m\��Vý þlwvg<��� ÿKü ü¥û�7�.ü:j�ûMý þ�� ÿKü2�.ÿ�3gýÂý�7l3(7��6�Y�Fÿ(g ü25Y =3gþ��D7,)û����Vý�û�7�l3;7,.ü�ý��*�]û�qýjüd7��97,V�W�ÿ�3gýxü�? �I7���û&�ü�ý*���3gÿ@/�ý¯þ�ÿ§ý¯ÿ;g)ýD�I���r�Fÿ���`ý þ�7��(ý þPÿp���Vý þ ÿ(g � � ÿ]ü ü¥û�7,7��aý þPÿ6��V87�feÿdV�7,���1qÿ�1�V �9++ÿ"��ÿ;gI���6�<�Mÿ�j-7��Y�.1 V+ÿºÿ"�7,�D�67,�.ü$�.7��9�:�.���D�`ÿ ������� /�V.ÿ�3"���.ü�ÿ�7,�ÿ6�d��ü�ý��3�3;7,��Pý9�z7,�Âÿ"fNÿ��D5F��7eü ü¥û&VY�Fÿ[3;7,�dV)û�I��ý�û&7,.üd7��Éû��ý¯ÿ"�o�Fÿ���fNÿ�1 ,�.0/)ü6��I1 4768/)ü�E-�67�� ÿÈü2�.ÿ�3xû4�Ê3"������5�/Òý þPÿÿ(g ���¯ÿ]ü ü¥û�fqÿ$�87�j�ÿ��L7��Iý¯þ�ÿS7,��û���û�����v\��Vý þ}w�g ���¯ÿ]ü ü¥û�7��üaûÝü��Cû��ºûMý ÿ�1Úý�7Âý þPÿG�¯ÿ"�,�<����zÿ(g ���¯ÿ]ü ü¥û�7��/ jaþ�ÿ"�¯ÿ��`üý¯þ�ÿGV�7,��I1)ÿ�1XV���+�ÿ����¯ÿ�Q��)û�� ÿS�m�67��¯ÿ$�Ö7�j�ÿ"�o�z�Y�Ê�.����,�����Nÿ�3*��`ü ü]�z7,�U3;7,�3jû¸ü�ÿ91)ÿKüD3;��û&�Pý�û�7��?0 �þ)ûÝü�3���}V.ÿ� ÿKü27���fqÿ�1 j�ûMý þB�����,��ÿ"qý�û���Úý þPÿãý¯ÿ"���Âü�û�Èý þPÿi�I��ý¯þ ÿ(g ���¯ÿ]ü ü¥û�7��j�ûMý þ �������*1Pü���I1�ý¯þ�ÿ�� ÿ"V 5����4�&7�j�û���3(7��1eûFý�û�7�I����ü25YI3^þ���7�qû�����ý�û�7��~¡{���?vA$§ÿ(gI���i�<�Mÿi�G�GJ]\���� �������Nÿ�j�ûMý þT��� ����ÿ��ý¯ÿ�1}\���ý¯þpw�g � � ÿKüjü¥û�7,ûÝü�\��D7�3;7��R~������>? !ÿ"ftÿ"� ý¯þ�ÿ(�Mÿ]ü ü�/Ký¯þ�ÿ�7���û&�Vû�����Y���D7,V<�Mÿ"��ûÝü� 7Nýv� ÿKü27���fNÿ�18/�V+ÿ�3����.ü�ÿ�7��ÿ�ü�ý�û4��� 3"����7`ý0��3�3;7,��qý�.7��!ý¯þ�ÿ��ÿ�j���5}�,1�1)ÿ�1 ��ÿ�ý¯þ�7Y1�ü<û� ý¯þ�ÿ�ü2� V�3C��Nü ü���Y�Mÿ]ü ü�ý¯þ�ÿÿ��ý�û�� ÿ$���Vý þRÿ;g<��� ÿKü ü¥û&7,ÚûÝü�� ÿ�=R1qÿ;�I�ÿ�1Ö?

hPi5j)i�� �Kn�� p����Kp��� �{&p�� n�� �a~ � nql|�Sr�rPÿ-fNÿ��D5Éû��6��7�� ýC��Pýv3C�.�`ü ü¥û��Ê3"�Vý�û�7�S7���û&Pþ�ÿ���ûMý*���3gÿ��� 7��:���&5-ûÝü�ûMýjü�7<3"3(���D�¯ÿ"I3^ÿ<û��ý þPÿWü25��3gþ��D7,)û����Vý�û�7�üD3^þPÿ"��ÿKü�û& f�7���feû���G7��.ÿ��*��ý�û�7�.ü�j�ûFý¯þ���ÿ]ü üD���Nÿ�Pqÿ�5Pü�?e��ÿL� ÿ;�¸ÿ"�aýD7�ý¯þ)ûÝüL�NüÒý þPÿ�)e÷Fö�õgúKø��Võ��S� ��õgúK÷ L�ú ùNø�÷&`eóùeó�`@cºù@����?  �þPÿp����û��:���D5l� ÿ��`ü27���.7��X�� 7��:���&5mûÝürý þI��ýÂý¯þ�ÿ�Pÿ"j���5O��1�1qÿ�1�Ptÿ"5)üãû� ý¯þ�ÿ6ü2��V83C�.�`ü ü�ÿ]ü3���� 7Ný V.ÿF��3�3;7,��qý¯ÿ�1��z7,�Rû� ý þPÿ6ü�5��3gþ��D7,)û�����ý�û&7, üD3jþPÿ"��ÿ�7��ãý þPÿ���ÿný þ 7<1�ü�û��þPÿ"��ûFý¯ÿ�1��z��7�� ý þPÿ����� ÿ��ýt��ÿný þ 7<1�ü�?0s�����,�����NÿKü�ÿ"�6�Y�&7�5Nû& ��ý þqû¸ü�ý�5Y�PÿG7��Iü25Y�3gþ���7�)û�����ý�û&7,RüD3^þPÿ"��ÿKü<ü2�I3^þ}�`ü$N@�"rAd~¡��{����7��v�$ LxB~4��{���jL7,�<�1Éü2�9+�ÿ��8�.�D7��×ý¯þ�ÿ�û&Pþ�ÿ���ûMý*���3gÿ��� 7��:���&5!û���ý þPÿ"5Uj!ÿ"�¯ÿIý�7UV.ÿ0ÿ;g)ý ÿ��1)ÿ�1ý�7�û��3(7��D��7,�*��ý¯ÿû��þ�ÿ���ûMýC���3gÿ@?t� �I7��!ý¯þ�ÿ-ÿ;g����6�Y�Fÿ�7��Iý¯þ�ÿ9���7,�:����5:7I3�3;� �D��û���ij�ûMý þ}V�7�� �1)ÿ�1XV �9+�ÿ��xü�/�ü�ÿ�ÿ�~4�����>?�+

����� Y 13*:D��� )��(KWU�54X0����������! #"�$&%('*),+-$-��./+- �"102)3G���z� �*�!ÿný�?����R�Ìü�����7���7eüD����3����4�Mÿ�1ý¯þ�ÿ$#xõnôqùCBK÷&`eö*ùY#(�gø�öjùeúKø�÷`NóI~4���"�@��ý¯ý ÿ��6��ýjü+ýD7�ü27���fqÿ�ý þPÿ���V�7,fNÿ0� �D7�VY�Fÿ��Âü�/ÿKü��.ÿ�3jû.������5rý¯þ�ÿ$� �D7�VY�Mÿ"�Mj�ûMý¯þ 1eû�� ÿ�3gýLPtÿ"5ãü2��ÿ�3xû4�83���ý�û�7�.ü�/Nû�Rý þPÿG3(7�Pý ÿ(gPýt7��Îý þPÿ^û������ ���I���`ÿ$ASJt $KGKS? �þPÿ�ÿ]ü ü�ÿ��3gÿ�7���ý¯þ�ÿgû��9���D7,��7tüD���ÒûÝü-ýD7p�Nü ü¥û���§û.1qÿ"Pý�û4�.ÿ��xüÉý�7�ùeúxúxõW�8ø-�gõ]ø�(/������ÿ(�&5�/�ý¯þ�ÿ�ü�ÿný97��-Pqÿ�5Pü$7����ÿKü üD���NÿKü�ý¯þ���ýr3"�� V+ÿS�,3"3gÿ"�Pý ÿ�1XV 5:�� 7,V�W�ÿ�3gý�?

�Lû��,��� ÿ��6ûÝürý þPÿ 1)ÿ;�I)ûMý�û&7,n7���ý þPÿ�V�7,��I1)ÿ�1Y=>V �9++ÿ"�X7�VYW�ÿ�3^ýXj�ûMý¯þnV.ÿnþ���feû�7��X��V�ü�ýD�C��3gý�û�7��ü�? � ÿV��`ü¥û3"���4��5}�,1<7,��ýr��ü¥û��6�<�MÿSA�3gýD7,�D=�Cû�PNÿr�.����,�����Nÿ�/Ij!þPÿ"� ÿ�VY5F�

4 w���3gþ�7�VYW�ÿ�3^ý�ûÝüÉü¥û�����Fÿ-ý þ � ÿ���1qÿ�1ÂûR? ÿ@?4/���}7�V�W�ÿ�3gýr3"��}7�Y�&5X��3�3^ÿ���ý-7�PÿS��ÿ]ü üD���Nÿ9��ýr�ºý�û���ÿ@?4 x;ÿKü üD���Nÿ$�I�Nü ü¥û���(ûÝü��`ü25Y�3jþ �D7� 7���ü�/����1���ÿ��1eû& �9��ÿKü üD���`ÿ]ü���� ÿ$�<��,3^ÿ�1�û�rý þPÿ$��ÿ]ü üD���Nÿ�Q���ÿ���ÿ@?4  �þPÿGPÿ;g)ý��¡V.ÿ�þI��fNû&7,����7��Òý þPÿG7,V<W�ÿ�3^ý�û¸ü!ü2�+ÿ�3jû4�.ÿ�1Xj�ûMý þRý þPÿ � 6 � �,5 6m����û��ºûMý�û�ftÿm�¥ü�ÿ�ÿ�V+ÿ;��7�j�+*? �þ�ÿ � 6/6 !87 �&� ��ü�ýC��ý¯ÿ"��ÿ��ýjü$1qÿ�3C�.��� ÿºý þ � ÿnÿ�ü�ÿnýxü$7��LPNÿ�5Pü$I����ÿ�1 6�50,9/ � / ,�!���/�� !��I/Ö���1�� .%� �[�Nü2=

ü¥û���Pÿ�1Úý�7:9 ,�.0/<;@/�9 ,�.9/>= 4768/<;�/����1?9 4768/<;�/<� ÿKü2�.ÿ�3gý�û&ftÿ;��5�?v �þPÿ�ü25��3^þ �D7,)û����Vý�û�7�RüD3jþ�ÿ���ÿÉÿ"�i�<��7�5)ü<ý þPÿ� 6#���,5 6�ü�ýC��ý¯ÿ"�ãÿ"�ý�ý�7i1)ÿKü¥û&�,��Vý ÿ9��ü�ÿnýL7��v��ÿ�ý¯þ�7<1�Pqÿ"5)ü��,3"3gÿ"�Pý*��V<�Mÿ�û� ý¯þ�ÿ��ÿ(gPýWü�ý*�Vý ÿ�?v��ÿ�3"������ü2��3gþ��ü�ÿný�ý þPÿ�ó�õ ��øÒùeúxúgõ"�+ø��^õKø(?0 �þqû¸ü!ü�ÿný�ûÝü] 7Nýr�����xü�ý�=�3*��Nü ü�f������Pÿ@E,�*��ý¯þ�ÿ���/��� 7Ný¯þ�ÿ��@�Võ���ûÝüL1)ÿ]ü¥û��,���ý¯ÿ�1Úý�7ÿ���3^þ�Pÿ;g)ýU�,3"3gÿ"�Pýzü�ÿnýU�Vý!ý¯þ�ÿG�I�xü�ý-�����¯ýL7����i3*��`üjüL1qÿ;�I)ûMý�û�7,�?

3G���.���C�61)ÿKüD3;��û&V.ÿKüaû��~������Îþ 7�jkV.ÿ�þI��fNû&7,�U��V.ü�ý��*��3gý�û�7�;ü�ÿ"��fqÿKüL�NüL�:3C�Fÿ���Èü27��&�Pý�û�7�RýD7�ý þ�ÿm���7,�:����5ÿ(gPþ)û�V)ûMý¯ÿ�1 û� ý¯þ�ÿ�A%� ��.��Èÿ(gI���6�<�Mÿ@E�ý þPÿ"�¯ÿ@/>A%� ��.��ÈþI�Nü$7,�ÿ6�,1�1tûMý�û&7,������ãÿ�ý¯þ�7<1 � ! �</Èý¯þ��Výzû¸ü-ü¥û��ºû4����ý�7�476</S¢ ý þPÿ$1tû +�ÿ�� ÿ��3gÿWû¸ü0ý¯þ��Vý<ûMý0� ÿ"�67,fNÿ]ü�ý¯þ�ÿr��Nü�ýIûFý¯ÿ�� ���¯ÿ"fNû&7,�.üR��5d� ��ýÒû�)ý�7(ý¯þ�ÿLV��9++ÿ"�Òû�.ü�ý ÿ���1d7��ý¯þ�ÿ-�I�xü�ý"?��R ��û&�,���¯ÿ$� /,�ÿgûFý¯þ�ÿ��?,�.9/d�7,��4768/m�ÿnÿ�1ºýD79V+ÿr�¯ÿ"=�1)ÿ(���ÿ�1�û�(A%����.��Ê/�j!þPÿ"�¯ÿ��`ü0�¯ÿ"=�1)ÿ(��)ûMý�û&7,.ü7��G�����Wý¯þ�ÿ �ãÿ�ý¯þ�7�1�üdj!ÿ�� ÿ��ÿ�3^ÿKü üD����5��.7���ý¯þ�ÿT3;7,�6�����*�Vý�û�fqÿ���� ���I���NÿRý¯þ���ý�3;7,�<�1�7,<��5mü2�.ÿ�3xû4�z5�ý þPÿ��ÿný þ 7<1XPqÿ�5Pü�?B ¾�«·´z®�¦(ª�¸(® O +#C�¾T¯�¦"¨2­8°�¦(´I­>ª�©�©@¦(³z´�¬·°�®�¨2³¬·´�±C°�µ2¨(Ç�´.®�¨2³z¨�¬�­�±C°r¨2Ò"´z¨2°�­¬�¦(°rµD±�«�«·¨2¯ O ¬�°�± * O ¥ED Í-F�ØÖ®"¬�µ2®-¨2¶t©�«·¦(¼"­�©�±C´z´z¨2³z°¶L±C´zµ2®"¬·°�¸d¦C²t¶�¨2´.®�¦�¯p°�±*¶t¨2­�±C°�¯T±C³z¸(ª�¶t¨2°�´z­�¬�°}´z®�¨S­¬�¶]¬¡«4±C³�¶L±C°�°�¨2³�±C­$´z®�¨S©�±C´z® ¨2Ò�©�³z¨2­>­¬�¦(°@¿�+°�®�¨2³¬�´>±*°�µ2¨m±C°�¯¯�¨R«�¨2¸�±C´¬·¦(°�±C³z¨$­¬�¶�ª"«4±C´z¨2¯iª�­¬�°�¸�´z®"¬�­]­zµ2®�¨2¶�¨(¿G¥�®�¨r©�±C´z®d¨2Ò"©�³z¨2­z­.¬·¦(°�±*°�¦(¶L±�«·¼SØ�¨�®�±CÏ(¨�¯�¬·­zµ2ª�­z­z¨2¯m¬�° O ¨2µ2´&¬�¦(°�Ä"¿¡Å;¿ ÄØ�¦(ª"«·¯r¦"µ2µ2ª�³8²4¦(³8´z®"¬�­�­>µ2®�¨2¶�¨(¿

{

Page 7: web.cse.ohio-state.eduweb.cse.ohio-state.edu/~soundarajan.1/courses/788/matsuoka93analysis.pdf! "# $&%(') * + ,)$& - . 0/#12 ! 3 - 546 !7! 8 9 9 7":;< 7!37! 8= >@? ACB DFE GIH.JKELDMJNAPORQTSVUW?

�������������� ��������������������������! #"%$'&)(�*,+.-!/10�23�4�563�487:9 5�7 �� ���;�<�=?>�@�A�B

� U s�� F 3E9 T �U ��C 5�p N � C 5 S BC � T 5X3 ��� N � C 5�7 l U�5 S B�� ���� N ��l U 5 S B

C ���� 3ED �F 9G3!H ����� ��JILKM�

3�4ONP9 5�NRQ B� U?D�9 � U�U ��C 5�p B

SF 9G3!H C 5 I�KM�

3�4G`�` B����X&Y/10�2oZ)(�*:$j/1Z!_3 � I 3�4PN�NR9 5�` � 3���U K�� U�D�9 � U �� ����JBU �?� U � U�D�9 � U C � T 5X3 ���JB

SF 9G3!H l U�5 I�KM�

9 5�`�` B����a2[Z�_g0�n!Z%(�*:$j/1Z!_3 � I 3�4PN�NR9 5 K�� U�D�9 � UqU ��C 5�p BU �?� U � U�D�9 � U C � T 5X3 ���JB

SS

��������������� ���� ����� ���������Z��?/^Z!*Xk�& ����� ��� U s�� F 3E9 T �

��V U ��C 5�p N T U�4 � � U � U ��C 5�p B��V C � T 5X3 ��� N � C 5�7 l U�5�7 ����� 5 S T U�H�U � 3L4�U � C � T 5X3 ���JB��V��� ���� N � l U�5�7 ����� 5 S T U�H�U � 3�4�U �W�� ����JB

C ���� 3ED �F 9G3!H ����� ��JILKM�S3�4�5 ����� 5 I�KM�

3�4 � B,���a2oZ!_g0?n!Z)/'bXZ%ic( &Y/ $]/^Z!_3 � I 3�4PN�NR9 5 K�� U�D�9 � U ��V U ��C 5�p BU �?� U � U�D�9 � U ��V C � T 5X3 ���JB

SS

��û���� � ÿ9�0��� ����.��}���1 A%����.��:j�ûMý þTq�ÿnþ���feû�7��tA$V�ü�ýD�*�,3^ý�û�7��ü

Page 8: web.cse.ohio-state.eduweb.cse.ohio-state.edu/~soundarajan.1/courses/788/matsuoka93analysis.pdf! "# $&%(') * + ,)$& - . 0/#12 ! 3 - 546 !7! 8 9 9 7":;< 7!37! 8= >@? ACB DFE GIH.JKELDMJNAPORQTSVUW?

�r<�.7��¯ýD� ���ý¯ÿ;��5�/tûFýzûÝür��7eü ü¥û&VY�Fÿºý�7X3;�¯ÿ��Vý ÿd�:�7,�=�ýD��û&fNû.���03(7�� �ý¯ÿ"� ÿ(gI���6�<�MÿG7��Òû&Pþ�ÿ���ûMý*���3gÿd�� 7��:���&5j�ûMý þ}V.ÿ�þI��fNû&7,�L��V.ü�ý��*�,3^ý�û&7,.ü�?tJ�7,.ü¥û1)ÿ��U3;�¯ÿ��Vý�û���i�i3*��Nü ü A%����.�� � /I�ãü2��V83C�.�`ü ü�7�� � � ��.��8? A%����.�� � þ��Nü7�PÿL��1�1eûMý�û�7�I���<��ÿný¯þ�7�1�4;6</ � /�j!þqû.3jþS�¯ÿ"�67,feÿKü+ý þPÿ�ýDj�7U7��.1qÿ]ü�ýÎûMý ÿ��Âü8�z�D7,��ý¯þ�ÿ�V���+�ÿ��Òü¥û��d�Y�FýC��Pÿ"7,�.üR��5�?� r7Ný�û.3gÿ-ý þ��Výzý¯þ)ûÝüL3"��� 7Ný-V.ÿd1<7,�ÿGj�ûFý¯þ§ü2�I3"3gÿ]ü ü¥û�fqÿ$��ÿKü üD���`ÿ]üzü�ÿ"I1�ü�7���476</8/�V.ÿ�3����.ü�ÿ 4768/X��ÿ]ü üD���NÿKü�.�D7�� 1eû*++ÿ"�¯ÿ"�ý�7,V<W�ÿ�3gýjüG�:��5pV.ÿºû��ý ÿ��2�Mÿ��;fNÿ�1Ö?�+� �þPÿ�3;7,�D� ÿKü2�Ö7,�1eû& ��ü25YI3jþ��D7,)û����Vý�û&7,�3(7��ü�ýD�*�Kû��ýU�z7,�4768/ � � ÿ�Q@�qû&�¯ÿ]ü-ý¯þ���ýG�Vý��Mÿ��`ü�ý-ý�j�7ÂûFý¯ÿ"��üÉÿ;gtû¸ü�ý"?mA-ü��T3(7��ü�ÿ�Q���ÿ��3gÿ@/�ý þPÿi�I��� ý�û���<ü�ýC��ý¯ÿ��6�.ü�ýrV.ÿ������D=ý�ûFý�û�7��ÿ�1 û&PýD7Úýoj�76¢ ý¯þ�ÿ�ü�ý*�Vý ÿºû&�j!þqû.3gþ§ÿ;g���3gý2��5�7,�ÿ�ûMý ÿ�� ÿ;gtûÝü�ýxü�/����1Èý þPÿi�¯ÿ"�:�Kû&qû& ��ü�ýC��ý¯ÿ]ü�?i e7�:�Kû&Pý*�Kû&d3(7��ü¥û¸ü�ý¯ÿ"I3;5mj�ûMý þºý þPÿr�ÿ�jl3(7��ü�ýD�*�Kû��ý"/�j�ÿ��ÿnÿ�1d�� 7Ný¯þ�ÿ��t��3�3^ÿ���ý*ü�ÿ�ý A ���& 6zý þI��ý��¯ÿ"� � ÿ]ü�ÿ�qýxüý¯þ�ÿ��.7,�D��ÿ"��ü�ýC��ý¯ÿi��ý¯þ�ÿ � 6,6�!87 ��� �X1)ÿ(��qûFý�û�7�.ü<û�:��û������¯ÿGy<+*?] �þ�ÿ��/�ý¯þ�ÿ���ÿný þ�7Y1�ü 4;6</X��I1 ,�.0/�cd���^ø#xõRö õ�'2)eõ�L�ó�õD)p� ��û���� � ÿ y<+*?5HWÿ�� ÿ@/0�7`ý�û3^ÿRý þI��ý G�-$w 7���ý þPÿ ��ÿný þ 7<1�ü���ÿ;g�3^ÿ���ý�ý¯þ�ÿrû&qûFý�û���«û���ÿ���+zû&� � ��.��X3"�� V+ÿ�û��þPÿ"��ûMý¯ÿ�1�¢ ý¯þ�ÿ9�� 7��:����5rþ��`ü�7I3�3;� �D� ÿ�1 �����Kû&���?

��������������� ����J� ����� ����q��� ������ o"��z$ &)(,&� G�Y-Lic(�&#&.0�".�L���! o"� U s�� F 3E9 T �

��V U ��C 5�p N T U�4 � � U � U ��C 5�p B��V 9�4�U N � C 5�7 l U�5 S B��V C � T 5X3 ��� N � C 5�7 l U�5�7 l U�5 � S T U�H�U � 3L4�U � C � T 5X3 ���JB��V��� ���� N � l U�5�7 l U�5 � S T U�H�U � 3�4�U �W�� ����JB

C ���� 3ED �F 9G3!H ����� ���� I�KM� 3�4RN�9 5�NRQ B � U�D�9 � U �� U ��C 5�p B SF 9G3!H l U�5 � I�Kq� 9 5�`�N �JB����ak�Z�� *�$j/1$j0�* 0�" e�Z!/�

3 � I 3�4PN�NR9 5 K � U�D�9 � U ��V U ��C 5�p BU �?� UO3 � I 3L4RN�NR9 5q`� K�� U�D�9 � U ��V 9�4�U BU �?� U � U�D�9 � U ��V C � T 5X3 ����B

S�����abXZ "�0�iji'0� �$j*�e�2[ZL��k�Z�� *XZ�&./cbXZ%_gZ!/'bX0�k�&.$j*\�L� �� o"��F 9G3!H l U�5 I�KM� 9 5�`�` B

3 � I 3�4PN�NR9 5 K � U�D�9 � U ��V U ��C 5�p BU �?� UO3 � I 3L4RN�NR9 5q`� K�� U�D�9 � U ��V 9�4�U BU �?� U � U�D�9 � U ��V C � T 5X3 ����B

SF 9G3!H C 5 I�KM� 3�4�`�` B

3 � I 3�4PN�NR9 5�` � 3���U K � U�D?9 � U ��V��� ����JBU �?� UO3 � I 3L4RN�NR9 5q`� K�� U�D�9 � U ��V 9�4�U BU �?� U � U�D�9 � U ��V C � T 5X3 ����B

SS

�Lû��,��� ÿ�y7�v�oPþ�ÿ���ûMý*���3gÿGA$ 7��:����5}j�ûFý¯þpq<ÿnþ���feû�7��tA$V.ü�ý��*�,3^ý�û&7,.ü

���q� Y 13*:D��� )��(KWU�54X0�� ��13( 4/d ?@��%'(B(B��.�R *',�8>6V67 )��49�F 74X("= �@0 ��'��#����� � +�) �7,�d�«û&�ü27�9���1SN`û���`þ�~¡����������7���7eü�ÿ��züD3jþ�ÿ���ÿ*ý¯þ��VýÎÿ"Pþ����3^ÿKü 3G���z� �*� �Ñü+û&�ý¯þ�ÿgû&�ÖA�3^ý�7,�D=>VI�Nü�ÿ�1G� ÿ(�.ÿ�3gý�û&ftÿ��� �������Nÿd3����4�Mÿ�1��-7tü�ÿný¯ý ÿ�?t�o �L7eü�ÿ�ý¯ý ÿ�/�ý¯þ�ÿd�,3"3gÿ"�Pý�ü�ÿ�ýjüL3"��pV.ÿ�ýD�¯ÿ��Vý ÿ�1p�Nü����xü�ý�=�3*��Nü ü�7,V�W�ÿ�3gýxüU3"�����Mÿ�1õKó�ùY#;�¤õ�)��^õKø�;? ��ÿ6ü�þ 7�j ý¯þ��VýRý¯þ)ûÝü}1eû*++ÿ"�¯ÿ"�3gÿ ûÝürÿKü ü�ÿ"qý�û���o/-V.ÿ�3�����ü�ÿ ý¯þ�ÿ^û��X���D7,��7tüD���S3"��O��7<3"���«û��nÿ�R���Mý þ 7�� �Nþ 7Nýaÿ;�«û��ºû����ý¯ÿ,+*ý¯þ�ÿ���ÿ�ý¯þ�7<1�� ÿ"=�1)ÿ(��qûFý�û�7��ü�û�;ü27���ÿ93"�`ü�ÿ]ü�?v��ÿ����Ýü27Âü�þ 7�j9/tþ 7�j�ÿ"fVÿ"��/eý þI��ýý¯þ�ÿ"�¯ÿS��� ÿ(ü¯ý�û4����7`ý þPÿ"��3"�`ü�ÿ]ü�ý¯þ��VýLj-7��<�1�� ÿ�Q@�qû&�¯ÿS�i3;7��ü¥û1)ÿ"�C��VY�Fÿ9���67,��Pýt7��v� ÿ"=�1qÿ;��qûMý�û�7��ü�?

��� ¨2µ2¨2°�´&«�¼(Ç�´z®�¨2¼S®�±CÏ;¨�©�³z¦(©�¦;­z¨2¯6±U¶t¦(³z¨$±C¯�Ï�±C°�µ2¨2¯S­zµ2®�¨2¶�¨�µD±�«�«·¨2¯ ��Z#bX(�n!$j0�2d&YZ�/j& Ç<ØÖ®�¬·µ2®G¬�­]­¬�¶�¬�«4±C³�¬�°S¨2­z­>¨2°�µ2¨L´z¦¥I¦(¶]«¡¬�°�­z¦(°$±*°�¯ O ¬·°�¸(®CV ­�¨2°�±C§�«·¨�­>¨2´z­�Ø�¨e¯�¬·­>µ2ª�­z­8°�¨2Ò"´2¿

Page 9: web.cse.ohio-state.eduweb.cse.ohio-state.edu/~soundarajan.1/courses/788/matsuoka93analysis.pdf! "# $&%(') * + ,)$& - . 0/#12 ! 3 - 546 !7! 8 9 9 7":;< 7!37! 8= >@? ACB DFE GIH.JKELDMJNAPORQTSVUW?

HWÿ"�¯ÿãûÝüS�XV���ûMÿ;�-7�fVÿ"�DfNûMÿ"j 7�� �-7tü�ÿný ý¯ÿ�j�ûMý¯þ�� ÿKü2�.ÿ�3gý(ý�7�ü25YI3^þ���7�qû�����ý�û�7�6üD3^þ�ÿ���ÿKü��9���Fý¯þ�7,���`þ ûMýxü7���û&�Vû�����0ü25YPý*��grûÝü$V��`ü�ÿ�1 7,�N@=�ÿ;g<��� ÿKü ü¥û&7,.ü�/Êj�ÿSj�û4����3;7,�ý�û&���ÿ�ý�7:�.ü�ÿS7,���mJLKGK^V��`ü�ÿ�1§ü25YPý*��g}j�ûMý¯þý¯þ�ÿ��.7�����7�j�û& ��ÿ;g)ý ÿ�.ü¥û�7��ü��

4  �þPÿ � 6#���,56aü�ýC��ý¯ÿ"��ÿ��ýÖ�7,j6ü2�+ÿ�3jû4�.ÿ]ü+ý¯þ�ÿ��ÿ;g)ýIü�ýC��ý¯ÿ���I1�ý¯þ�ÿ]Pÿ;gPýLÿ"I��V<�Mÿ�1�ü�ÿ�ýe7��Pý¯þ�ÿ]7,V�W�ÿ�3gý3�� 6#���,5 6 1 � õKó�ù<#;�¤õ;),'R�^õKø���� 1 � ó�õ3Ev'R�gø�ùNø�õ�� 2�2

4 A$ºÿ"I��VY�Fÿ�1�ü�ÿ�ýÎûÝü����û&�ü�ý*���3gÿ�7��e3C��Nü ü � ! � �06<Etþ�ÿ�� ÿ�ý þPÿr3(7��ü�ýD�D�I3^ý�7��]��1<7,��ýjü��(ü2�.ÿ�3xû���.ü25��ýC��gjaþ�ÿ�� ÿ"VY5X��ü�ÿ�ý-7�����ÿKü üD���`ÿGPtÿ"5)ü<ýD7iV.ÿ�ÿ����VY�Fÿ�1 ��� ÿ(ü2�.ÿ�3jû���ÿ�1F�

� �!�� �06 1 � cãõ��C�^ù�bNõ ��õ������ 2 �þ�ÿ�� ÿ6��� ÿÂü�ÿ"fqÿ��*���v7��+ÿ��*��ý�û�7�.ü�1)ÿ(���ÿ�1[�.7��(ý¯þ�ÿºÿ"I��VY�Fÿ�1 ü�ÿný�/Lü2��3gþ��`ü$��qû&7,���� +C/+û��ý¯ÿ"�jü�ÿ�3gý�û�7��I+*/)ÿ�ýC3�?

4 �Ri7,�*1)ÿ��Òý�7�ü2�.ÿ�3jû��.5ºý¯þ�ÿ��ÿ(gPý*ÿ"I��VY�Fÿ�1ãü�ÿný��.7��0���7,V�W�ÿ�3gý�/,j�ÿaý�5Y�qû.3����4��591)ÿ(���ÿU������û&f,��ý¯ÿ-��ÿný¯þ�7<1�.7,�!ÿ��,3^þrÿ����VY�Mÿ"=Yü�ÿ�ý �

� �!�� �06 � cºõKøÝôY`�)��<132 � �76</ .�� � !�� � 6�1 � cºõ��*�gù�bNõ��Võ������ 2�24  �þPÿ"� ÿ���� ÿÉý�j�79PNû��1�ü�7��e��ÿný þ 7<1�ü�/��8��#��[÷ÝúL���1��+ög÷�BKùeø�õ�?0 �þPÿ$����VY�«û.3r��ÿný þ 7<1�üt��� ÿWû��f�7,Peÿ�1��`ü���¯ÿ]ü2�Y�FýU7��0�6��ÿ]ü üD���NÿS� ÿ�3^ÿ���ý�û�7� �.�D7,� ��§ÿ;g)ý ÿ��D����v7,V<W�ÿ�3gý�?rx;ÿ]ü üD���Nÿºü�ÿ��1eû& ��ûÝü$�`ü25Y�3jþ �D7� 7���ü�/���1�7,<��5 ý¯þ�7eü�ÿp��ÿKü üC���NÿKü�jaþ�7eü�ÿ�3(7��D�¯ÿ]ü2��7,�1tû� � ��ÿný þ 7<1�ü:���¯ÿ�3(���D�¯ÿ"qýo�&5 �Ñÿ����VY�Fÿ�1Ö�0V�5mý¯þ�ÿÿ����V<�Mÿ�1Rü�ÿ�ýr3"��pV.ÿS�,3"3gÿ"�Pý ÿ�1Ö?L�L§ý þPÿG7`ý þPÿ"�!þI��I1Ö/�ý¯þ�ÿ�����û�f���ý¯ÿ$��ÿný þ�7Y1�üU��� ÿÉû&Pý ÿ��DI����ý�7�ý¯þ�ÿ7,V<W�ÿ�3^ý����1p3���pV+ÿS7�Y�&5rû� f�7�PNÿ�1:�.�D7�� j�ûMý¯þ)û�§ý þPÿS����VY�«û.3d��I1 ����û�f��Vý ÿ���ÿný þ 7<1�ü$7��Òý þPÿºüD���ãÿ7,V<W�ÿ�3^ýr�NüL�d�.��I3^ý�û&7,p3����4�R?

r7�j9/,3;7,.ü¥û1)ÿ���1qÿ;��qû���I/Kû�6��1�1eûMý�û�7�ºýD7 476</ � /,��ÿ�ý¯þ�7<1 6*50,9/ ��� jaþ)û3jþd3^þ�ÿ�3CPPü�j!þ�ÿný¯þ�ÿ"�Iý¯þ�ÿ�V��9++ÿ"�ûÝüÿ��6��ý�5T7����7Ný"?X �þPÿ���ÿný þ 7<1�ûÝü�û� ÿS+�ÿ�3^ý�ü�ý*�Vý ÿ(�FÿKü ü�/�ý¯þ��Vý-ûÝü�/�ûMým1<7tÿKü��7`ým� ++ÿ�3gý(ý¯þ�ÿrü�ýC��ý¯ÿ�7��!ý¯þ�ÿV���+�ÿ���?U �þ<��ü�/�ý¯þ)ûÝür��ÿKü üD���`ÿ�ü�þ 7��Y�.1p���&jr��5)ü�V.ÿd��3�3^ÿ���ýC��VY�Fÿ-û&��� ÿ]ü2�.ÿ�3^ý�û�fqÿ�7���7,V�W�ÿ�3gýzü�ýC��ý¯ÿ��R�Nü��&7,��X�`ü7Ný¯þ�ÿ��9��ÿný þ 7<1�üd��� ÿ� 7Nýÿ;g)ÿ�3(��ý�û& � +C?X �þ�ÿ��/�û�F����û&I3xû��<�MÿãûMýjüS1qÿ;�I)ûMý�û�7,¡ü�þ�7,�<�1�V�ÿºû&I1)ÿ��.ÿ"I1)ÿ��ý�7��1)ÿ(��qûFý�û�7��ü�7��I7`ý þPÿ"�v��ÿ�ý¯þ�7<1Pü�/tü¥û��3gÿ<ý¯þ�ÿ�ÿ ++ÿ�3gýxü�7,�ý þPÿ�7�VYW�ÿ�3^ý*ü�ýC��ý¯ÿ-VY5�7`ý þPÿ"�v��ÿ�ý¯þ�7<1Pü����¯ÿ*û&��� ÿ;�Mÿ�fY��qýý�7:6�50,0/ ��� ?iqt�Pý-ý¯þ)ûÝüÉûÝü$�7`ý-ý¯þ�ÿ63��Nü�ÿi¢ û�Èý þPÿ�1)ÿ(��qûFý�û�7��ü$7�� � � ��.�� ���1 A%� ��.�� � � ��û������¯ÿ��Y+C/Êj!ÿ3��� 7,V.ü�ÿ��DfqÿÉý¯þ�ÿ$�z7��4�&7,j�û���eü��

4 ��ÿ}�6�.ü�ýi7�feÿ��D��û1qÿ ÿ�fqÿ"��5�ü¥û& ���Mÿp����û&f��Vý ÿ}��ÿ�ý¯þ�7<1Pü�ý¯þ��Vý6�¯ÿ�ý����D�ü��� ÿ"I��V<�Mÿ�1 ü�ÿ�ýÚü27�ý¯þ��VýºûMýÿ����V<�Mÿ]ü�ý¯þ�ÿ�6�5 ,9/ ��� ��ÿný þ 7<1��o���4�Îý¯þ�ÿ�����û�f��Vý ÿ$��ÿný þ 7�1�ü�7�� A%� ��.�� � û� ��û���� � ÿ9�Y+C?4 ��ÿS�m�.ü�ýU�.ÿ��2�.7��D� ÿ(gPý¯ÿ"�ü¥û&ftÿd3"�`ü�ÿd��I����5Pü¥ûÝüL7��t7�VYW�ÿ�3gý(ü�ýC��ý¯ÿG�.7���ý þPÿS�ÿ�j���5��,1�1)ÿ�1 ��ÿný þ 7<1T¢ý¯þ)ûÝü<ûÝü��ÿ�3^ÿKü üD���D5Âÿ"ftÿ"�û4�0ý¯þ�ÿ���ÿ�ý¯þ�7�1ÂûMýjü�ÿ;�4�01<7tÿKü��7Nýr� ++ÿ�3gýzý¯þ�ÿ�ü�ýC��ý¯ÿ�7��Iý þPÿG7,V�W�ÿ�3gý�? �þ�ÿ9��1YfY��eýC���`ÿG7��0ÿ����V<�Mÿ�1Y=¥ü�ÿnýxüL7�fVÿ"�LV.ÿnþ���feû�7��-��V�ü�ýD�C��3gý�û�7��üaûÝü�ý þI��ýr� ÿ"=�1)ÿ(��qûFý�û�7� 7��Òý¯þ�ÿ-�.ùNö¯õKó�ø

cºõKø¸ô�`,),�(/Ö���Mý¯þ�7�� �Nþ���I��f�7�û1���V<�Mÿ�/�3���6ü27���ÿný�û&��ÿKü�V.ÿ�3(7�Y��Pÿ�1�j�ûMý¯þ)û��� ��û�f���ý¯ÿS��ÿ�ý¯þ�7<1Pü�V�5rû��þ�ÿ���û�=ýC���3gÿ@?� �þ)ûÝüLûÝüÒü¯ÿnÿ��û� ��û���� � ÿL� /,j!þ�ÿ�� ÿr7,<��56�o������ý¯þ�ÿ�+�� ��û�f���ý¯ÿ]��ÿ�ý¯þ�7<1Pü0ü2��3gþd�Nü 6�50,0/ � ��I1 � . � �9��� ÿ� ÿ�=R1qÿ;�I�ÿ�1Ö?v �þqû¸ü��87tü ü¥û�V)û4�«ûFýo5-ûÝü]1Y��ÿ!ýD7(ý¯þ�ÿ]���jü�ýD=�3*��`ü ü0I��ý���� ÿL7���ÿ"I��V<�Mÿ�1�ü�ÿ�ýjü�1)ÿ���û�fqÿ�1S���ý����C���4�&59�z��7��ý¯þ�ÿd� ÿ;��ÿ�3gý�û�fNÿG��� ���I���Nÿ6���*3jþ)ûMý ÿ�3^ý����¯ÿS7����-7tü�ÿný ý¯ÿ@?���ÿ$��ÿnÿ;�*ý¯þ��Vý�� ÿ;��ÿ�3gý�û�fqÿ9���C3^þqûFý¯ÿ�3gý���� ÿûÝü!ÿ]ü ü�ÿ��ý�û.���û���G�GJ]\��������I���`ÿ]ü�~ y�����/����1 ý¯þ)ûÝü<û¸ü�7,�ÿ-ÿ;g����6�Y�Fÿ�7��Iþ�7,j ûMý�3���}V.ÿG��ü¯ÿ�1Úý�7�ÿ��þI��I3^ÿ�ý¯þ�ÿ91)ÿKüD3;��û���=ý�û&ftÿS��7�j�ÿ"�U7����G�GJ]\��.����,�����Nÿ]ü�?��Ê7��zÿ����V<�Mÿ�1Y=¥ü�ÿnýxü!û&��I���¯ý�û3;�Y�.����/�þ�7�j*ÿ"fNÿ"�"/8ý þPÿ"� ÿ:��� ÿd�7,�=�ý���û&fNû���3��Nü�ÿ]üUj!þ�ÿ�� ÿrü2�I3jþ�� ÿ�=�1)ÿ(��)ûMý�û&7,.ü�/�ÿ"fNÿ"Èý¯þ�7,���Nþ 3;7,<�I�ÿ�1Ö/ÖjL7��Y�.1 Pÿ"ftÿ"� ý¯þ�ÿ(�Mÿ]ü üLV�ÿd7�fVÿ"�Djaþ�ÿ(�&�ºû���Âû�3(7��6������ûÝü27�RýD7i��ÿ�ý¯þ�7�1X�,�����*1�ü�jaÿG1eûÝüD3;�.ü ü<û� ý¯þ�ÿ��ÿ(gPýWü�ÿ�3gý�û�7,�?

Page 10: web.cse.ohio-state.eduweb.cse.ohio-state.edu/~soundarajan.1/courses/788/matsuoka93analysis.pdf! "# $&%(') * + ,)$& - . 0/#12 ! 3 - 546 !7! 8 9 9 7":;< 7!37! 8= >@? ACB DFE GIH.JKELDMJNAPORQTSVUW?

�������������� ����������������q���������! #".$'&%(�*z+.-!/10�23�4�5O3�487:9 5�7 �� ���;�<�=�>�@�A�B

C�T 3 F � 5�U �@ 4 ����� UMU ��C 5?p I�KM� T U�5 T 4RU�4 ����� U I�; C 5 AXK S B@ 4 ����� U C � T 5 3 ��� I�KM� T U�5 T 4RU�4 ����� U I�; C 5�7 l U�5 AXK S B@ 4 ����� U �� ���� I�KM� T U�5 T 4RU�4 ����� U I�;wl U�5 AXK S B

C ���� 3ED �F 9G3!H ����� ��JILKM� 3�4PNR9 5MNRQ B� U�D�9 � U I U ��C 5�p I�K 7 I 3�487�9 5�7 �? ��XK�KuB

SF 9G3!H C 5 I�KM�3 � I 3�4�N�NR9 5q` � 3 ��U K�� U�D�9 � U I��� ���� I�K 7 I 3�487�9 5�7 �� ��XK�KuBU ��� U � U�D�9 � U I C � T 5X3 ��� I�K 7 I 3�487�9 5�7 �� ��XK�KuB

SF 9G3!H l U�5 I�KM�P��� � $j_g$'i'(�2 /10�� �/���� � � �

S

��� �abXZdZ!*X/^$]2[Z��u2#$]n!(�/1Z)_gZ�/cbX0�k�& _g ?&Y/ ��Z%2[ZL��k�Z�� *�Z#k��������������� ����J� ����� ����C�T 3 F � 5�U �@ 4 ����� UMU ��C 5?p I�KM�T U�5 T 4 @ 4 ���X� U I U ��C 5�p� K ` �� C U T U ��C 5�p I�K S B

@ 4 ����� UM9�4�U ILKM�T U�5 T 4 @ 4 ���X� U I�l U�5�7 C 5�7�U ��C 5�p� K S B

@ 4 ����� U C � T 5 3 ��� I�KM�3 � I 3�4�N�NR9 5q`� K

T U 5 T 4 �� C U T�C � T 5X3 ��� ` @ 4 ����� U I U ��C 5�p� KuBU ��� U

T U 5 T 4 �� C U T�C � T 5X3 ��� I�K ` @ 4 ����� U I�l U�5 � 7�U ��C 5�p� K S B@ 4 ����� U �� ���� I�KM�T U�5 T 4 �� C U T �� ���� ILK `PU�4 ���X� U I U ��C 5�p� K S B

C ���� 3ED �F 9G3!H ����� ���� I�KM� 3�4PNO9 5MNRQ Bz� U�D�9 � U �� U ��C 5�p B SF 9G3!H l U�5 � I�Kq� 9 5M`�N �JB,����(�k�k�$j/1$j0�* 0�"|e?Z!/����3 � I 3�4�N�NR9 5 K � U�D�9 � U I U ��C 5�p ILK 7 I 3�487�9 5�7 �� ��XK�K BU ��� UO3 ��I 3�4RN�N�9 5�`� K � U�D�9 � U I 9�4�U I�K 7 I 3�487�9 5�7 �� �� K�KuBU ��� U � U�D�9 � U I C � T 5X3 ��� I�K 7 I 3�487�9 5�7 �� ��XK�KuB

S��� � (�$j*G&�/^(��?$j*�ez-�(�&�Z%(�*�(�i���&Y$ &)$'&.*XZ�-oZ�&#&�(�2��3�4�5�U ��C 5�p� ILKu;wAR�q���\(�k�k�$j/1$j0�* 0�"%Z!_��u/��������3 � I 3�4�N�NR9 5 K � U�D�9 � U I U ��C 5�p ILK 7 I 3�487�9 5�7 �� ��XK�K BU ��� UO3 ��I 3�4RN�N�9 5�`� K � U�D�9 � U I 9�4�U I�K 7 I 3�487�9 5�7 �� �� K�KuBU ��� UO3 ��I 3�4RN�N�9 5 K � U�D�9 � U I��� ��?� I�K 7 I 3�487�9 5�7 �� G�XK�KuBU ��� U � U�D�9 � U I C � T 5X3 ��� I�K 7 I 3�487�9 5�7 �� ��XK�KuB

SS

�Lû��,��� ÿ9�0���%� ��.�� � j�ûMý¯þpw����V<�Mÿ�1Y=�NNÿ�ýjü

���

Page 11: web.cse.ohio-state.eduweb.cse.ohio-state.edu/~soundarajan.1/courses/788/matsuoka93analysis.pdf! "# $&%(') * + ,)$& - . 0/#12 ! 3 - 546 !7! 8 9 9 7":;< 7!37! 8= >@? ACB DFE GIH.JKELDMJNAPORQTSVUW?

HWÿ"�¯ÿ@/��Mÿ�ý:��üãû4�4�&��ü�ýD�C��ý¯ÿ§ý þqû¸ü6V�5B�Nÿ��ÿ��*���«û��^û��� ý þPÿp��ÿ�ý¯þ�7<1�� ÿ�=R1qÿ;�I)ûMý�û�7��ü�7��(ý¯þ�ÿ§ÿ����V<�Mÿ�1Y=¥ü�ÿnýxü�? �þPÿ�����û&f,��ý¯ÿi��ÿný þ 7<1�ü�� ÿnýD� �D)û� �[��Èÿ"I��VY�FÿÂü�ÿ�ýS3;7,�D� ÿKü2��7��1ÈýD7Úý þPÿ �[ü�ý*�Vý ÿKü��e1eû¸ü�ý�û���,�)ûÝü�þ�ÿ�1���ýG3*��`ü ü�B? �r 1)ÿ(��)û� �B� ��ÿný þ 7I1 c �VýX3*��Nü ü���'R�;��#;/-��ü2��V�3*��Nü üd7��`��/�ý þPÿp�.ü�ÿ���Pÿ�ÿ�1�ü�ýD7�3^þPÿ�3CPÊ/��.7��ÿ���3^þp�[ü�ýC��ý¯ÿ@�4/ jaþ�ÿný þPÿ"�U�,1�1eûFý�û�7�p7��&� û��3(���jü������¯ý�ûMý�û&7,)û���:7��0ý¯þ��Výzü�ýC��ý¯ÿ�?��>��ü27�/Pý¯þ�ÿ���� ÿ�1tû3"�Vý¯ÿGj!þqû.3gþ1)ÿný ÿ��D�ºû��ÿKü�ý þPÿÈü�ý*�Vý ÿp�:��5FPÿ�ÿ�1 ýD7BV.ÿp�I���¯ý�ûMý�û�7,�ÿ�1Ö?k�R ��û&�,���¯ÿ�{ /aý þqû¸üºûÝü�1Y7��ÿ}�z7,�Âý þPÿp����û�f��Vý ÿ��ÿný þ 7<1�ü��</%!8/76 ��ý¯þ��D7,���`þ �</%!8/76 �? �Rn7,��� 6*50,9/ ��� ÿ(gI���i�<�Mÿ@/�ü¥û��3gÿÈý þPÿ���ÿný þ 7<1�jU�Nü:����jU��5Pü��3�3^ÿ���ýC��VY�Mÿ@/ � !��%�06�1������ �S6�50,9/ ��� �������32�þ��,1Úý�7:V.ÿS�,1�1)ÿ�1 ý�7:A�s�s6ý¯þ�ÿS� ��û�f��Vý ÿ���ÿ�ý¯þ�7<1Pü�7�� A%����.�� � ?�I���¯ý þPÿ"�D�i7�� ÿ�/Ê7�6ü2�.ÿ�3jû��.5eû� �Rý¯þ�ÿd�ÿ(gPýGV.ÿ�þI��feû�7,�$7�����/8ý þPÿd���D7,���*���6��ÿ��9�d��ü�ý�W2�I1<�`ÿ�j!þqû.3jþp7��!ý¯þ�ÿü�ýC��ý¯ÿ]üL���67����ý þ�7eü�ÿ����V.ÿ;�Mÿ�1��8/%!</76 ��ý þ �D7,���Nþ �</ !</76 RûÝüL��� ���D7,����û��ý¯ÿ�/I1qÿ"�+ÿ"I1tû���i7� ý¯þ�ÿm3;����� ÿ�)ýü�ýC��ý¯ÿG7��0ý¯þ�ÿ�7�V�W�ÿ�3^ý�� ��û���� � ÿS{�+*?

�������������� ��8��������� .�w&Y G�d$'&.(,&� ���-Lic(�&#&.0�"� ��� *�&�/^(?*�-�Z�� (�2Y$j(��LicZ�� Z�� *X$j/1$j0�*G&��

C�T 3 F � 5�U �@ 4 ����� U � 5 � 5GU V I�KM�3 � I � _gZ!/'bX0�k�� $ &)(�-�-oZ �u/^(��LicZ�KT U 5 T 4 @ 4 ����� U I � _gZ�/cbX0�k��YK ` �� C U T � 5 � 5�U V I�K

U ��� UT U 5 T 4 �� C U T � 5 � 5�U V I�K S B

������Z��XZo(�/G"�0�2� 5 � 5�U V��6/cbX2o0� Ee�bR� 5 � 5�U V 4�� �

C ���� 3ED �� /�� �aZ�� � _gZ�/cbX0�k�� I � (�2]e�&�� � � �'K �T U�5 T 4 � n!(�i' �Z��?B3 � I�� ����Z�-�/J$'&)$]*:&�/^(�/1Z! K � U�D�9 � U Io� 5 � 5�U V I�K 7 � *�Z� M&�/1(�/^Z��#K BU ��� UO3 ��I�� �"��Z�-!/h$'&%$j*�&Y/1(�/1Z �JK�� U�D�9 � U Io� 5 � 5�U V � I�K 7 � *�Z� q&Y/1(�/^Z��YKuB

� � �U ��� UO3 ��I�� �"��Z�-!/h$'&%$j*�&Y/1(�/1Zd*uK� U�D�9 � U Io� 5 � 5�U V 4 I�K 7 � *�Z� &�/^(�/1Z��YKuB

SS

��û���� � ÿ9{0�!#zÿ��ÿ��*����A$I����5Pü¥ûÝür7���w�I��V<�Mÿ�1[Neÿný�ÉÿKü2�)ûMý ÿ�ûMýxü8�Cû��ºûMýC��ý�û&7,.ü�/�jaÿ]1Y7�ü�ýD�D7,����&5���3(PY 7�jt�Fÿ�1<�`ÿ�ý þPÿ�ü¥û&�,)û4�83���I3^ÿ]7��)�-7eü�ÿ�ý¯ý ÿ*û�S��7Vû&Pý�û���t7,��ý

ý¯þ���ýIý¯þ�ÿ-�I�xü�ý�=R3C��Nü ü¥û����ý ÿ�3^þ )ûQ@�Pÿ-� �D7�feû1)ÿKü�ý¯þ�ÿ��Ö7eü ü¥û&Vqû4�CûMýo597��8ÿ"Y�.���D�Vû& �(ý¯þ�ÿL3*��Nü ü�7���ü25��3gþ��D7,)û����Vý�û�7,üD3^þPÿ"��ÿKü.ý¯þ��Výv3"��SV.ÿ<üD���¸ÿ;��5Éû&Pþ�ÿ���ûMý ÿ�1Ö?vs��Vý ÿ���7��/�j!ÿ�j�û4��� 1)ÿKüD3;��û�V.ÿ��t�67��¯ÿ<ÿ;���V�7,�*��ý¯ÿ�ü25��3jþ���7�)û�����ý�û&7,üD3^þPÿ"��ÿWû��ý¯ÿ��1)ÿ�1i�z7,���>����� ý�û������5�+0� ÿKü27���feû���ãý þPÿ�û��þPÿ"��ûFýC��I3^ÿd���7,�:����5�?

����$ Y 13*:D��� )��(KWU�54X0 Q V4X0�*�C&%>A�%'13C�(A I��ý����*����ü25��3jþ �D7�qû�����ý�û�7�müD3^þPÿ"��ÿ�ûÝüºý�7 �Vý ýC��3gþ ��� � ÿ�1eû.3���ý¯ÿRýD7�ÿ��,3^þF��ÿný þ 7<1��`ü6���,�����C1Ö/Òý¯þY�.ü�:��Peû���;ÿ���3gþ�7,V<W�ÿ�3^ýS�T3;7,�1eûFý�û�7�����-3(��ûMý�û3����]� ÿ"�Vû&7,��.�z7,�(ÿ;g����6�Y�Mÿ@/t~4��y�/e�,���]���1§û&I1tû�feûÝü¥û�V<�Mÿ�7,V�W�ÿ�3^ýjüû��~4�����.+*?m�¹ÿû4�����.ü�ý��*�Vý ÿ�ý þqû¸ür�.7�� � � ��.�� ���1 A%� ��.�� � û�5��û���� � ÿ �@?�HWÿ"�¯ÿ@/Öj�ÿºÿ"�i�<��7�5;ý¯þ�ÿS�z7��4�&7,j�û���ü25YPý*��g �

� cºõKøÝôY`,)�ó�ù�cãõ�� 1 � @;`eö(cºù@�Îùeözb��YcãõKó�ø� � 2('�6 6 1 � b��)ùeöD)�� 2 � � #*`�)��d`W@9cºõKø¸ô�`,)6)eõ�L�ó�÷Ýø�÷&`eó �*)

j!þPÿ"� ÿtb@�qùeöC)�û¸ü��LV87�7��Fÿ����ÿ(g � � ÿ]ü ü¥û�7�Sjaþ�7tü�ÿÒý ÿ��D�Âüe��� ÿ<ÿgûMý þPÿ"�v3;7,.ü�ýC��qýjü87���û�.ü�ýC��I3^ÿ]f�����û.��V<�Mÿ]üIVÖ7,��I1ý�7}� ��û��ºûFý�û�feÿ9f�������ÿKü�?�x;ÿ�ý¯þ�7Y1 5§ûÝüWû��f�7�PNÿ�1 7,<��5}j!þPÿ" b��)ùeö2)�ÿ"f����&�I��ý¯ÿ]ü�ý�7�+#� . 6 ?-�I7��!û�.ü�ý*���3gÿ@/�û�

���

Page 12: web.cse.ohio-state.eduweb.cse.ohio-state.edu/~soundarajan.1/courses/788/matsuoka93analysis.pdf! "# $&%(') * + ,)$& - . 0/#12 ! 3 - 546 !7! 8 9 9 7":;< 7!37! 8= >@? ACB DFE GIH.JKELDMJNAPORQTSVUW?

3C�.�`ü ü ������.��8/)ý¯þ�ÿG�,�����*1[�,� � �8.9/�K���� �76�+t�Vý ýC�,3^þ�ÿ�1�ýD7 ,�.9/�132d�`ü ü2��� ÿKü�ý¯þ���ý>,�.0/�132-û¸üL�7`ý�û�Yf�7�PNÿ�1j!þPÿ"Èý þPÿiV �9++ÿ"�zû¸ür�.�<�4�R?�A-ü-ü�þ�7,jL û�5��û���� � ÿ���/Ö���4�*ý¯þ�ÿd��ÿ�ý¯þ�7�1�ü�1qÿ;�I�ÿ�1��Vý � � ��.��[��� ÿ�û��þPÿ"��ûMý¯ÿ�1V�5 A%����.�� � j�ûMý þ�7,��ýr�� 5:3^þ�����`ÿ]üÒýD7ãý þPÿG��ÿný þ 7I1Pü�7��aý þPÿG���I���C1�ü�?

�������������� ����������������3�4�5O3�487:9 5�7 �� ���;�<�=�>�@�A�B

C ���� 3ED �F 9G3!H ����� ��JILK � 3�4RN�9 5�NRQ B SF 9G3!H C 5 I�K r s U�4 I 3�4���9 5M` � 3 ��U KM� 3�4�`�` B SF 9G3!H l U�5 I�K r s U�4 I 3�4���NR9 5M` K � 9 5�`�` B S

S

��� ������ o"%$'&)( &Y G��-�ic(�&#&.0�"%�����! #"��������������� ����J� C ���� 3ED ����� ��R�C ���� 3ED �F 9G3!H ����� ���� I�KF 9G3!H l U�5 � I�KWr�s U�4 I 3�4���NR9 5q` �GKM� 9 5�`�N �JB SF 9G3!H�U ��C 5�p� I�K r�s U�4 I 5 T U K � T U�5 T 463�4RN�NR9 5 B S

S

��û���� � ÿi�C� �%����.��X���1 A%����.�� � j�ûFý¯þpx;ÿný þ 7<1 #r�����C1�ü �þ)ûÝü-üD3gþ�ÿ"�ãÿd1<7tÿKüG� �D7,feû1)ÿd�� ÿ(�Fÿ������ý�ü27�����ý�û&7, ýD7Úý¯þ�ÿ 476</ � u 6�5 ,9/ ��� ÿ(gI���6�<�Mÿ@?��I� � ý¯þ�ÿ"���67��¯ÿ@/

���Mý¯þ�7,���Nþl� ��Kû&ftÿ�û&�i�<�Mÿ"��ÿ��ýC��ý�û&7,F7��9�,�����*1�ü�ûÝü6�7`ý6�.ü2�I���4��5 fNÿ"�D5�ÿ;£X3jûMÿ"qý�/IûFý�3"���V.ÿ û��6����7�f�ÿ�1j�ûMý þ§ý¯þ�ÿ9�.ü�ÿS7������D7,���C��� ý��*��.üR�.7��D����ý�û&7,�~¡�����v��I1 7Ný¯þ�ÿ��U7��Pý�û��ºû����Vý�û�7�§ý¯ÿ�3gþ�qû.Q���ÿKü�EI���1§ü¥û��3gÿ�ý¯þ�ÿ"5���¯ÿG��ü2�����4��5�û�YfeûÝü¥û�V<�MÿÉýD7ãý þPÿG����7��,�*���6�ãÿ"��/tý¯þ�ÿ$�.�<�4�eV.ÿ��ÿ(�.ý-7��Îû��þ�ÿ���ûMý*���3gÿS3����V+ÿ���ý¯ý*�Kû&Pÿ�1�j�ûMý þ 7���ýüD��3(��û4�83gÿ]ü<û� ÿ(£X3jûFÿ��3(5 ?

Hr7�j�ÿ�fNÿ"��/^ý¯þ�ÿ����D7,V<�Mÿ"� ûÝü+ý¯þ���ý�ý¯þ�ÿ�7I3�3;� �D� ÿ��3gÿ07��qû��þPÿ"��ûFýC��I3^ÿ��� 7��:���&5�ü�ý�û4�4�<3��� �7`ý�V+ÿ0� � ÿ"fNÿ�qý ÿ�1Ö? �þqû¸ü�ûÝü��91tû +�ÿ�� ÿ��ýePNû&I1i7����� 7��:���&59�z�D7,� ý þPÿr7,�ÿ]ü�j!ÿ�þI��fNÿ!ü27��>���t1eû¸üD3(�.ü ü�ÿ�1�û��ý þqûÝü0�I���.ÿ���?e�¹ÿ-j�û��4���û�ftÿý�j�7�ÿ(gI���6�<�Mÿ]ü��t7,�ÿûÝüÉý¯þ�ÿd1)ÿ(��qûFý�û�7�p7��Òý þPÿ 4�4;6</�132d��ÿný þ 7<1Ö/Ö��I1 ý þPÿS7Ný¯þ�ÿ��!û¸ü!ý þPÿd1)ÿ(��qûFý�û�7�7��Iý¯þ�ÿ93*��Nü ü�������� �NüL�Xcã÷��'�÷Fó�ú��¤ù,�C�;?

�Lû��xü�ýmj�ÿ�3(7��ü¥û.1qÿ"�i1)ÿ(��qû& � 4 � ����.��Ê/0�Èü2� V83*��Nü ü97�� � ����.��Ê/0��1 1tû������ü¥û& ���Mÿ���ÿ�ý¯þ�7<18/�4�476</?132�? �þPÿ�V.ÿ�þ���feû�7��G7��=4�4768/�132rûÝüS���&�i7tü�ý(û1)ÿ��ý�û.3����<ýD7�ý¯þ��Vým7��=476</?132�/ej�ûMý þ¡ý¯þ�ÿRü27��Mÿrÿ(gI3^ÿ���ý�û�7�¡ý þI��ý(ûMý3���� 7NýGV.ÿ���3�3^ÿ���ý¯ÿ�1§û&�6��ÿ�1tû�Vý ÿ(�&5����¸ý ÿ��(ý þPÿãû�Yf@7@3"�Vý�û�7,�7��>,�.9/Ê?TN@�I3^þ�� 3;7,�1tûMý�û&7,��.7��-û��f�7@3"��ý�û�7�3���� 7Ný0V.ÿr1eû¸ü�ý�û�����qûÝü�þ�ÿ�1dj�ûMý þ���ÿný¯þ�7<1i�,�����C1�ü����1ãý¯þ�ÿ!ü�ÿný�7��8û�.ü�ý*���3gÿ�fY����û��VY�FÿKü���f��Kû����VY�Mÿ*û&�������.������7,�ÿ�EIj!ÿ��ÿ�ÿ�1 ý�7X1)ÿ(���ÿd��§ÿ;g)ýD�C�ºû&�ü�ý*���3gÿSf�����û.��V<�Mÿ�!&��/76&�%�3,�.0/Ê?-A-üL�:3;7,.ü�ÿ�Q@��ÿ��3gÿ@/ÊV�7`ý þ 476</�1 2��I1 ,�.9/?1329�d��ü�ýtV.ÿG�¯ÿ"=�1)ÿ(���ÿ�1 �`ü<û& ��û���� � ÿS�<?�� ÿ� 7Ný¯ÿý¯þ��Vý!ý¯þ�ÿ�������&7,��7,�.ü!ü¥ûMýD�I��ý�û&7,p���¸ü27i7<3"3(���jü�.7��U�,3"3gÿ"�Pýzü�ÿnýLVI�Nü�ÿ�1§üD3jþ�ÿ���ÿ]ü�? �þ�ÿ�� ÿ��Nü27� �.7,�Éý¯þ�ÿd���7,�:����5}7<3�3;� �D� ÿ��3gÿû¸ü!ý þI��ýUjaÿS3��� �7NývWo��1<�`ÿ�ý¯þ�ÿºü�ýC��ý¯ÿG�z7,����3�3^ÿ���ý�û& �Âý¯þ�ÿ

4�4;6</m��ÿ]ü üD���Nÿrj�ûFý¯þ�ý¯þ�ÿr�,�����*1�1qÿ�3C�.���*�Vý�û�7��üIû�$� ����.��Ê?v �7�V.ÿr�67,� ÿÉü2�.ÿ�3xû4�83�/ 4�4768/(ûÝü]�ãø�ö ùeúxõ�'2`eóI�·�G`Nöôq÷��^øz`eö(��'2`eó������gõKó �g÷Ýø�÷�B]õU��ÿ�ý¯þ�7�1�üLj�ûMý¯þp� ÿ]ü2�.ÿ�3^ýzý�7Âû&�ü�ý*���3gÿ]üL7�� ������.��ÊEÊj�ÿSj�û4����1)ÿ(��ÿ��zý þPÿd1tûÝüD3;��ü ü¥û&7,��Pý�û4��ý¯þ�ÿ��ÿ(gPýWü�ÿ�3gý�û�7��?��ÿiPÿ;g)ýG3;7��ü¥û1)ÿ"�ý þPÿ���� ���3*��Nü ü�/Öj!þ)û3^þ§ûÝü9��F��V.ü�ý��*��3gýicã÷��'�÷Fó[3C��Nü ü�~¡���>? �!û�� ÿ�3gý-û�.ü�ýC��I3^ÿKü�7��

��� ��X���¯ÿ$�7Nýr3(� ÿ��Vý ÿ�1ÖE��C��ý¯þ�ÿ���/)ý þ�ÿ$� ���D�87eü¯ÿ$7��������ºûÝü�ýD7mV+ÿm�¡�ºû4gPÿ�1<=Ýû��ý�7I�,7Ný¯þ�ÿ"�r3*��Nü ü�ÿKü*û� 7,�*1)ÿ���ýD7��1 1 ý þPÿS3����I��Vqû��«ûMýD567����&7Y3;Peû� �6��p7�VYW�ÿ�3gý�?t�R��������Ê/Ê�6�I�]û��L7�����ÿný þ�7Y1�ü � � ��T���1 .# � �����Úþ���fVÿý¯þ�ÿ�.7��4��7�j�û���m�z� �3gý�û�7�I���«ûMýD5 �t���7�VYW�ÿ�3gý�/Ê� ��7���,3"3gÿ"��ý�û���Úý þPÿ�� � ��}�ãÿ]ü üD���`ÿ@/Êj�û��4�vV.ÿ�� �&7<3(P�ÿ�1Ö�4/PûR?Tÿ�?4/Êj�û��4�ü2�.ü2�.ÿ��1�ý¯þ�ÿ$� ÿ�3^ÿ���ý�û&7, 7����z� � ý¯þ�ÿ�����ÿKü üD���`ÿ]ü����ý�û4��ûMýt� ÿ�3^ÿgû&ftÿ]ü����1���3�3^ÿ���ýjü<ý¯þ�ÿ�. %� ����6��ÿ]ü üD���Nÿ�?��¥ýjüü25YI3^þ �D7�qû�����ý�û�7�T3;7,.ü�ý��*�]û�qý�ûÝü9��``úxù@�¤÷*)^õD)Éûo? ÿ@?4/PûMý!ûÝüL�7Ný$� +�ÿ�3^ý¯ÿ�1 V�5���ÿný¯þ�7<1�üL7��*ý þPÿd3*��Nü ü�ûMý!ûÝürV.ÿgû& �

���

Page 13: web.cse.ohio-state.eduweb.cse.ohio-state.edu/~soundarajan.1/courses/788/matsuoka93analysis.pdf! "# $&%(') * + ,)$& - . 0/#12 ! 3 - 546 !7! 8 9 9 7":;< 7!37! 8= >@? ACB DFE GIH.JKELDMJNAPORQTSVUW?

���ze��L���! o"%$'&%(d&Y G��-�i'(�&o&.0�"%������ o" �$j/'b,e!e?Z!/ ������������Wl������ ���� ����� ����

� 9�9 ����� 5�U T C 5 BC ���� 3ED �

F 9G3!H l������ ���I�KM�M��� 5GU T C 5�N ������� U S B

��� � Z�� *X$j/1$j0�*\0�" e!e?Z!/ ���F 9G3!H l�l U�5 I�KWr�s U�4 IXtw��� 5�U T C 5���� I 3�4 ��NR9 5q`� K�K

� 9 5�`�` B:� � 5�U T C 5�N ������� U B S

��� �abXZ "L0�ijic0� h$j*�e�_gZ!/'bX0Ek�& _g ?&Y/ ��Z%2[ZL��k�Z�� *�Z#kF 9G3!H C 5 I�K r s U�4 I 3�4 �M9 5�` � 3 ��U K� 3�4�`�` B:��� 5�U T C 5qN � T U B SF 9G3!H l U�5 I�K r s U�4 I 3�4 ��NP9 5�` K� 9 5�`�` B:��� 5�U T C 5qN ������� U B S

S

��û&�,��� ÿ9�0�v�R�þ�ÿ���ûMýC���3gÿGAU�7�������5}j�ûMý þ #U�����*1Püt¢ ý¯þ�ÿ 4�4;6</:��ÿ�ý¯þ�7�1

�ºû4gPÿ�1Âû��ý�7I?� þPÿ" ��� ��rûÝü����ºû4gPÿ�1<=Ýû��ý�7I�tý¯þ�ÿd1qÿ;�I)ûMý�û�7�p7��)� ����.��Rý�7:3(� ÿ���ý¯ÿ�ý¯þ�ÿd3C�.�`ü ü �&� � ��.��Ê/Ij�ÿS���¯ÿG�«û&Ptÿ;��5

ý�76�`ü ü2����ÿ-ý þI��ýÒûMý-jL7��Y�.1i 7Ný-�3+�ÿ�3^ýaý þPÿ�1)ÿ(��)ûMý�û&7, 7��e7Ný¯þ�ÿ��L��ÿ�ý¯þ�7Y1�ü�/�ü¥û&I3^ÿÉý¯þ�ÿ-ü�ýC��ý¯ÿG7��Îý þPÿG7,V<W�ÿ�3gýj�ûMý þ6� ÿ]ü2�+ÿ�3^ýÒý�7$� � ��i���1 .# � �����ºûÝü0ýD7`ý*���4�&567,� ý þ 7��,7�I���.ýD7(ý¯þ�ÿÉÿS+�ÿ�3^ý07��e7`ý þPÿ"����ÿKü üD���`ÿ]ü�?IHr7�jÒÿ�fNÿ"�"/ý¯þ)ûÝüaûÝü��7`ýzý¯þ�ÿd3��Nü�ÿ�¢ ���jü�ý�/�j!ÿ$�6�.ü�ýr��1 1 �� û�.ü�ýC��I3^ÿSf,����û��V<�Mÿ � �����76 � j!þ)û3^þrû&I1tû3���ý¯ÿ]üLj!þ�ÿný þPÿ"�ý¯þ�ÿd7�V�W�ÿ�3^ýzûÝüS3(���D�¯ÿ"qýo�&5 � �&7<3(P�ÿ�1Ö�Ê7��m�¡��<��7<3(Peÿ�1Ö�4E8ý¯þ)ûÝü�ûÝü$7,V�fNû&7,�.üR��5}�ÿ�3^ÿKü üD���D5 ü¥û&I3^ÿ�ûMýÉûÝüÉû��6��7tü ü¥û�V<�Mÿý�7T1eû¸ü�ý�û�����qûÝü¯þ V.ÿ�ý�jÒÿ�ÿ� ý¯þ�ÿºý�j�7Úü�ýC��ý¯ÿ]üU7Ný¯þ�ÿ��Dj�ûÝü�ÿ@?i �þPÿ"�/�ý¯þ�ÿ�û��þ�ÿ���ûMý ÿ�1���ÿný þ 7<1�ü-ü2�I3^þ��`ü ,�.9/T7��4768/T�6��ü�ýUV.ÿd7�fNÿ��D��û1�1qÿ" û��7,�*1)ÿ��-ý�7 ��3�3;7,���ý-�z7,� � �����76 � � ��û���� � ÿ6�Y+C? �I���¯ý þPÿ"�D�i7�� ÿ�/Ê�����0��ÿný þ 7I1Püj!þqû.3gþ�jL7��Y�.1�V+ÿS1qÿ;�I�ÿ�1Rû�Rý þPÿºü2��V83C�.�`ü ü�ÿ]ü�7�� �&������.����6��ü�ýU���¸ü27���3�3;7,��Pý��z7,� �#����;6 � ?t �þqûÝü-j-7��Y�.1�7`ýzþ���fNÿ�V.ÿ�ÿ�p�ÿ�3^ÿKü üD���D5�û��0j!ÿ$j!ÿ�� ÿÉýD7:V.ÿd1qÿ;�I)û���Âÿ(gI�,3^ýo�&5Âý þPÿºüD���ãÿG��ÿný þ 7I1Pü<û&§ý¯þ�ÿ(ü2��V�3*��Nü ü�7��� � ��.��Ê?� e7Âü2� �6�:����û��nÿ@/)ý þPÿÿS+�ÿ�3^ý-7��v�ºû4gqû���,=¸û� ������}3��� �7`ýUV.ÿ���7<3����«û��nÿ�1�û� ������.��Ê?� þY5�þ��`üL�� 7��:���&5:7<3"3(����� ÿ�1rþ�ÿ�� ÿ��XA$�@�]û��/ � � ��:���1 . � � ��X���¯ÿþ)ûÝü�ý�7��D5�=z7�<��5Âü�ÿ"�ü¥ûFý�û�fqÿ$��ÿný þ =

7<1�ü�?i�R��,1�1tûMý�û&7,�/����Mý þ 7�� �Nþ�Pÿ^ûMý¯þ�ÿ"�97���ý þPÿ"� 3�����ü�ÿi�I��� ý�ûMý�û�7�qû& �T7��!ü�ýC��ý¯ÿKü�/Îý þPÿ"5T�67<1tû4�.5Èý þPÿrü25��=3gþ��D7,)û����Vý�û�7�63(7�.ü�ý��*�Kû&qýjü�7���ý¯þ�ÿL��ÿ�ý¯þ�7<1Pü0ý þ��Výt��� ÿ$����� ÿ��,1<561qÿ;�I�ÿ�1Ö/Vû&�ý¯þ)ûÝü�3"�`ü�ÿrV87Ný¯þ�,�.0/i��I1�4768/Ê? �þ �.ü�/Ê��ÿ�ý¯þ�7Y1����I���*1PüG7�� � ����.��;þI��1 ý�7TV.ÿ��67Y1tû4�.ÿ�1�û&�7,�*1)ÿ��(ýD7 �:�]û��ýC�]û��3;7,.ü¥ûÝü�ý¯ÿ"�3(5�j�ûMý¯þ ý þPÿ�ÿ�j 3(7�.ü�ý��*�Kû&Pýxü�?

� � ê � � ! �Lñ�� í��¡é+ê ���<ìIñ�ë���êºðI� � ê�íM� � �"!

��ÿ-þ���fNÿ(ü�ÿ�ÿ�§ý þ �D7�� �Nþ§ÿ(gI���6�<�Mÿ]ü!ý¯þ���ýaý¯þ�ÿS���¯ÿ"fNû&7,�.üL���D7,�87tüD���ÝüU��� ÿ9�7NýÉü2�<£X3jûFÿ�qý��.7�����f@7Vû1tû���ãý þ�ÿû��þ�ÿ���ûMýC���3gÿd�� 7��:����5Y?v��ÿ�V.ÿ;�«ûFÿ�fqÿÉý¯þ��Výzý þPÿ^û��zü�þ 7�� ýC3(7��ºû���eü$��� ÿS1Y��ÿ�ý�7ºû�.ü2�Y£X3xûMÿ��ýr�������5Pü¥ûÝü�7��Òý¯þ�ÿü¥ûMýD�I��ý�û&7,�E)ý þI��ýÒûÝü�ý�7�üD��5�/tý¯þ�ÿ�3;7,<�Pû.3gýLjaÿWý�� ÿ��Vý!þPÿ"�¯ÿzûÝüL1qÿ�ÿ��<��5���7 7`ý ÿ�1ãû&Rý þPÿ-ü�ÿ"�:���ý�û.3nü]7��Iü25YI3^þ �D7�=)û�����ý�û&7,�3(7��ü�ýD�C�]û��ý;uVüD3¯þPÿ"��ÿKüLfqÿ"�jü�ÿ]üzü�ÿ"�:���ý�û3�üL7��0û��þPÿ"��ûFýC��I3^ÿ�/e���1���I����5Pü¥ûÝüWûÝü-�I�xü�ý��ÿ�3^ÿKü üD���D5}�.7����3gþ)ûMÿ�feû���i��ü2�Y£X3xûMÿ��ýo�&5:3C�Fÿ���;ü27�����ý�û&7,�? �þ�ÿ�� ÿ6��� ÿºý¯þ�� ÿnÿd� ÿ��`ü27��ü$j!þ�5Âû&Pþ�ÿ���ûFýC���3^ÿ:�� 7��:���&5T7<3"3(���jü�/e1qÿ"�.ÿ��1tû���X7,�j!þ��Vý�ý þPÿ�ü2� V83*��Nü ü

1)ÿ(��qûFý�û�7� ÿ��ýC�]û4�ÝüG7, þ�7,j�ý¯þ�ÿp�gø�ùNø�õ97��Wý þPÿ�7�V�W�ÿ�3^ýG����7�Fj!þqû.3jþ6ý þPÿ���ÿKüjüD���NÿKüd��� ÿ��,3"3gÿ"�Pý*��V<�Mÿ}��� ÿ�67<1eû���ÿ�1F�

4 ��~8��� n � nql|�:no� ��l�� � �XpJ{ ��~ � � p ���~ � p7r ¢ 4;6</ � /94�4768/

���

Page 14: web.cse.ohio-state.eduweb.cse.ohio-state.edu/~soundarajan.1/courses/788/matsuoka93analysis.pdf! "# $&%(') * + ,)$& - . 0/#12 ! 3 - 546 !7! 8 9 9 7":;< 7!37! 8= >@? ACB DFE GIH.JKELDMJNAPORQTSVUW?

����������� 9�D�� �������������� 9�9 ��� 9�D���U�H B

C ���� 3ED �F 9G3!H � 9�D�� I�Kq��� 9�D���U�HqN ������� U S BF 9G3!H � 9�D�� I�KWr�s U�4 IXtw� 9�D���U�H S ��� 9�D��qN � T U S BF 9G3!H 4 � 9�D�� I�K r�s U�4 Io� 9�D���U�H KM��� 9�D��qN ������� U S B

S

���:ic�L���! o"%$'&%(d&� ���-�i'(�&o&.0�"%�L� �� o" �$j/'b�� 0!- � _g$ � ��$j*���������q������� ���� ����� �� 7 � 9�D�� �C ���� 3ED �

F 9G3!H ������� ���I�KuB��� �abXZ "L0�ijic0� h$j*�e�_gZ!/'bX0Ek�& _g ?&Y/ ��Z%2[ZL��k�Z�� *�Z#kF 9G3!H C 5 I�K r s U�4 IXtf� 9�D���U�H���� I 3�4 ��9 5q` � 3 ��U K�KM� 3�4�`�` B S BF 9G3!H l U�5 I�K r s U�4 IXtf� 9�D���U�H���� I 3�4 ��NR9 5q`� K�KM� 9 5�`�` B S B

S

��û���� � ÿS�9���R�þ�ÿ���ûMýC���3gÿGAU�7�������5�j�ûMý¯þ #U�I���C1�ü]¢ ý þPÿ ��� ��X3*��Nü ü

4�� n5r � l �,���l�� � �� 'ph�:r n � n�Sp8� p7r r+l ��� �XpJ{ ��~ � � p ���~ � pVr ¢ 4�4768/Ê/ � ����

4 } l:mon�� �a~ � nql|�Hl ��� �XpJ{ ��~ � � p ��?~ � p7r ¢ � � ��

 �þ�ÿ�ý¯þ��¯ÿ�ÿd3�����ü�ÿ]üU��� ÿS�¯ÿ;���ý�û�fNÿ;��5�û��1qÿ"�+ÿ"I1)ÿ�)ý"E �.7��zÿ(gI���6�<�Mÿ@/�ý þPÿ 4�476</}�I��� ý�ûMý�û�7��üWý¯þ�ÿºü�ýC��ý¯ÿKü$�`üj!ÿ(�����Nü�V.ÿ^û� ��þ)ûÝü�ý�7��D5�=>7,<��5;ü�ÿ�.ü¥ûMý�û�fNÿ@?

$���� Y %'1B4X�<4X��*P.���.�R *', �o4X%[4X )(

 �þPÿ A ����.�� � ÿ;g����6�Y�FÿWû��NNÿ�3gý�û�7, �<?¡��ûÝü��i���7,�:����5:3"���.ü�ÿ�1XVY5��.ùNögø�÷Fø�÷`Nó�÷Fó�bm`W@(ùeú^ú õW�8ø�ùY#��[õG�gø�ùeø�õ"�(?��R7�V W�ÿ�3^ý�=z7���ûMÿ�)ý¯ÿ�1 ��� �������NÿKü�/e���7�VYW�ÿ�3gý-ûÝü(üC�Kû1�ý�7;þ���f�ÿ�ü27���ÿ}�¤ü�ýC��ý¯ÿ@�4?i �þPÿ"�/�7,�ÿ�3���F3(7��ü¥û.1qÿ"��ý þPÿ�[ü�ÿ�ýG7��aü�ý*�Vý ÿKü��e���7,V�W�ÿ�3gýG3"�� þ���feÿ�?m �þqûÝü�ü�ÿnýG3"���V.ÿ������ ý�ûFý�û�7�Pÿ�1 û&PýD7 1tûÝüWo7�û�qýü�� V.ü�ÿnýxü���3"3(7��C1tû���ý�7;ý þPÿ�ü�5��3gþ��D7,)û�����ý�û&7,�3(7��ü�ýD�C�]û�)ý�7��!ý¯þ�ÿd7�V W�ÿ�3^ý"E�û� ý þPÿiV�7,��I1)ÿ�1�V���+�ÿ"�ÿ;g����6�<�MÿKüWû��Neÿ�3^ý�û&7,F�</ý¯þ�ÿ"�¯ÿ���� ÿÉý¯þ��¯ÿ�ÿ�1tûÝü�ý�û& ���qû¸ü�þI��V<�Mÿ-ü�ÿnýt7��Iü�ýC��ý¯ÿ]ü�/<��I1)ÿ���j!þqû3^þ��¯ÿ]ü2�.ÿ�3^ý�û&ftÿÉü�ÿnýxü]7��v��3�3^ÿ���ýC��VY�Mÿ��ãÿ]ü üD���`ÿ]ü3��� V.ÿ�1qÿ;�I�ÿ�1F�aõ�c��+øz��/���ùeögø�÷Ýù@��/@��I1 @;�<����?� �þ)ûÝü<û¸üt3;7,�3gÿ"�PýD�����4�&5�û��4���.ü�ý��*�Vý ÿ�1XVY5�ý þPÿr�Fÿ(��ý-� ÿ�3^ýC�� ���MÿG7����û&�,���¯ÿ��"� ?

r7�j9/�j!þPÿ" �[�ÿ�jM��ÿ�ý¯þ�7�1�ûÝü:��1 1)ÿ�1�û� ý¯þ�ÿ�1)ÿ(��qûFý�û�7� 7��(ý¯þ�ÿ;ü2��V83C�.�`ü ü�/�ý þPÿp����� ý�ûMý�û&7,)û����7��ý¯þ�ÿºü�ÿný�7���ü�ýC��ý¯ÿ]ü�û&§ý¯þ�ÿd�I��� ÿ�qý�3*��Nü üL�:��5:�ÿnÿ�1 ý�7:V+ÿG�z� � ý¯þ�ÿ��$�I���¯ý�ûMý�û�7,�ÿ�1Úû�Èý þPÿºü2��V83C�.�`ü ü�E8ý þqû¸ü�ûÝüV.ÿ�3"����ü�ÿ�ý þPÿWü25��3gþ��D7,)û����Vý�û�7�93;7,.ü�ý��*�Kû&Pýe7��8ý¯þ�ÿ]Pÿ"j���ÿ�ý¯þ�7<1S�:��5� 7NývV.ÿ����D7,�.ÿ"�o�&59V.ÿL��3�3;7,��qý ÿ�1��z7,�û� ý¯þ�ÿ������¯ý�ûMý�û&7,)û���m7��0ý¯þ�ÿ������ ÿ"Pýt3C�.�`ü ü�?��R 7,���aÿ;gI���6�<�Mÿ�/ jaþ�ÿ"Rý þPÿ-4;6</ � 1 29��ÿný þ 7<1XjU�`ü��,1�1)ÿ�1ãû&A%� ��.�� � /��m�����¯ý�ûMý�û&7,)û���i7�� ������������� ����û�PýD7��������� 9��I1!�����"�#����� �#��jU�`ü]�ÿ�3^ÿKü üD����5�û� 7,�*1)ÿ��!ý�7:1tûÝü�ý�û& ���qû¸ü�þý¯þ�ÿ�ü�ýC��ý¯ÿ9��ý-j!þ)û3^þ�7,<��5�7,�ÿ�ÿ(�Fÿ���ÿ�)ý�ûÝü<û&Rý þPÿGV �9+�ÿ���?

�I7��v��3�3^ÿ���ý*ü�ÿný�VI�Nü�ÿ�1ãü25��3jþ���7�qû�����ý�û&7,ºüD3^þPÿ"��ÿKü�/Vý þqû¸üIü�ý*�Vý ÿ������ ý�ûFý�û�7�)û� �ÉûÝü��.ü2�I���4��5d1eû¸ü�ý�û�����qûÝü�þ�ÿ�1��ý�ý¯þ�ÿ�ý ÿ��D�ºû���Vý�û�7��7���ý¯þ�ÿ��ãÿ�ý¯þ�7<1�üUj�ûMý þ6ü27���ÿ:3;7,�1tûMý�û&7,����<ü¯ýC�Vý ÿ���ÿ"Pýxü�/Ê����7,�j!þ)û3^þ§ý¯þ�ÿ67�VYW�ÿ�3^ýjü�¡V.ÿ�3(7���ÿ��0ý¯þ��VýÂü�ýC��ý¯ÿ�?� �þ)ûÝü�ûÝü�ü�ÿ�ÿ�B�.7,��ÿ;g����6�Y�Fÿrû� ý¯þ�ÿ}1)ÿ(��qûFý�û�7�.üd7��=,�.9/���I1 4768/���ÿ�ý¯þ�7�1�ü-û&��û&�,���¯ÿp�<? �aÿ�Q��)û�� ÿ���ÿ"qý9�.7��i��ÿ�ý¯þ�7�1�� ÿ�=�1)ÿ(��)ûMý�û&7,.ü��z7�����7,jzüS��Vý����*������5�/t�Nüdj�ÿrþ���fNÿ�û��4���.ü�ý��*��ý¯ÿ�1 û&��û&�,���¯ÿiy�/�V+ÿ�3�����ü�ÿãý¯þ�ÿdPÿ"j ����� ý�ûFý�û�7�qû& �}�6��ü�ýUV.ÿ��,3"3(7�� �ý¯ÿ�1X�.7��zû&B���4�*ý þPÿi��ÿný¯þ�7�1�ü�?�r7Ný¯ÿºý þI��ý"/ý¯þ)ûÝü*ûÝü] 7Ný-� ÿ]ü27��&fNÿ�1iV�5m�:��PNû& �i��3�3^ÿ���ýWü¯ÿnýjü0���jü�ýD=�3*��Nü ü�f������Pÿ]ü�/�V.ÿ�3"���.ü�ÿÉý¯þ)ûÝü]����� ý�ûFý�û�7�)û� �:3���� 7NýtV.ÿ� ++ÿ�3gý ÿ�1XV 5�ý þPÿG7,�8ÿ��*�Vý�û�7��ür� ��7�Rý þPÿS�,3"3gÿ"�PýD=Yü�ÿ�ýr1��Vý*�<?

��y

Page 15: web.cse.ohio-state.eduweb.cse.ohio-state.edu/~soundarajan.1/courses/788/matsuoka93analysis.pdf! "# $&%(') * + ,)$& - . 0/#12 ! 3 - 546 !7! 8 9 9 7":;< 7!37! 8= >@? ACB DFE GIH.JKELDMJNAPORQTSVUW?

Set of Possible States

for b-buf

full

empty

partial

Set of Possible States

for x-buf2

x–full

x–empty

x–partial(get2 acceptable)

x–one(get2 not acceptable)

Partitioning of State

��û&�,���¯ÿ��"�0�LJ07��3gÿ"�PýD�I�����>�����.ü�ý��*�Vý�û�7�}7��Iý þPÿiNNý*�Vý ÿ9\���� ý�ûMý�û�7�qû& �mA$�7,�:����5

 �þ)ûÝüd����� ý�ûFý�û�7�)û����ûÝüd�7Ný�������7�VY�Fÿ�� �.7��6��ÿný¯þ�7�1����I���C1�ü�/�V+ÿ�3�����ü�ÿ ý¯þ�ÿ�5 ��� ÿp��V<�Mÿ§ý�7B1tû�� ÿ�3^ýo��5Wo��1<�`ÿGjaþ�ÿný þPÿ"�zý þPÿG��ÿKü üD���`ÿ�ûÝüU��3�3^ÿ���ýC��V<�Mÿ�7��L 7Ný-��I1)ÿ��Éý¯þ�ÿ93;� �D� ÿ��ýaü�ýC��ý¯ÿ@?] �þ���ü�/tÿ"ftÿ"�û4�0ý¯þ�ÿSPÿ"j��ÿný þ 7<1�ü�j!ÿ�� ÿL��1�1qÿ�18/Ný¯þ�ÿr�,�����*1�ü�jt7��Y�.1S�7`ý�Pÿ�ÿ�1iV.ÿr� ÿ�=�1)ÿ;�I�ÿ�1Ö/,���D7,feû1)ÿ�1�ý¯þ��VýÎûFý0jL7��Y�.1S�7`ýt�3+�ÿ�3^ýý¯þ�ÿ������ ý�ûMý�û&7,)û���G7��8ý þPÿ���ÿ�ý¯þ�7<1PüIû��ü2��3gþd�$jU��5-ý¯þ��VýIý þ�ÿU3;7,�1eûFý�û�7�61)ÿ" 7Ný¯ÿ�1SV�59�U�,�����C1�û����3^ÿ�� ýC�]û���ÿný þ 7<1XjL7,�<�1��7d��7,��Nÿ��UV.ÿGf,���«û.18E)ý þ)ûÝüL3gÿ"� ýC�]û�Y�&5Âþ�7��.1Pü]�z7,�L�67eü�ýU3��Nü�ÿKür7���û��þPÿ"��ûFýC��I3^ÿ�?

$���� � ��( 4X*:1B;Fd *:.��5; �� 2.�(B�543���o ).� 2(B(K*', �o4X% 4X 2(

� þ�ÿ��ý�j�7G1tû +�ÿ�� ÿ�)ý0feûMÿ"jWüIû���67<1qÿ;�«û���(ý¯þ�ÿ��¤ü�ýC��ý¯ÿ@�@7���7,VYW�ÿ�3^ýjü�?��L�ÿaûÝü0ý þPÿ�õ ��ø�õKögó�ù@� BK÷Ýõ3E�/�j!þPÿ"�¯ÿWý þPÿü�ýC��ý¯ÿ�ûÝü�3"����ý���� ÿ�1(û�I1tû�� ÿ�3gýo�&59V�5-ý¯þ�ÿ�ÿ(gPý¯ÿ"�DI����7�V.ü�ÿ��Df���V<�Mÿ]V+ÿ�þI��feû�7��v7��8ý þPÿ�7�V�W�ÿ�3gý�?� �þ)ûÝü�feûMÿ�j¡ûÝü0ý*��Peÿ�V�5�ý þPÿr�67�1)ÿ(�¸ü�7��������C���4�Mÿ;�«û¸ü2� V��`ü�ÿ�1�7��� �D7<3gÿ]ü ü�3����3(�<�«ûo/)ü2�I3jþ��NüLJLJLNI~��,���Ö���1�A�3gýD7,�xü�~4���>Etý þPÿ"�¯ÿ@/tý¯þ�ÿÿ�Q@�)û�f����Fÿ��3gÿ]7��8ý�j�7U7�V W�ÿ�3^ýjü���� ÿL1)ÿný ÿ��D�ºû��ÿ�1ãü27��Mÿ;��5�j�ûMý þºþ�7,j6ý¯þ�ÿ"59� ÿKü2��7�I1�ý�7-ÿ(gPý¯ÿ��D�����ÿ;g �.ÿ���û���ÿ��ýjü�/��I1m 7Nývj�ûMý¯þ�þ�7�jmý¯þ�ÿgû���û��ý¯ÿ"������Pü�ýD����3^ý����¯ÿ]ü���� ÿL3;7,.ü�ý��D��3gý ÿ�1���?vA$ 7Ný¯þ�ÿ���ûÝü�ý¯þ�ÿ-÷Ýó�ø�õ]ögó�ù@� BK÷Ýõ3E�/�j!þPÿ"� ÿý¯þ�ÿÉü�ýC��ý¯ÿaûÝü�3"����ý���� ÿ�1iV�5(ý¯þ�ÿrf,�������Vý�û�7�d7���ý þPÿÉü�ýC��ý¯ÿrf�����û.��V<�Mÿ]üLû��ý¯þ�ÿ�û&�6�Y�Mÿ"��ÿ�)ýC��ý�û�7�d7���ý þPÿr7�V W�ÿ�3^ý"E�.7��!ÿ(gI���6�<�Mÿ@/��:Jt���¯ý ÿKü¥û.�� �87�û�qýt7�V�W�ÿ�3^ýr3"�� þ���fNÿ��df����&�I��ý�û�7�Rü2��3gþÚý¯þ��Vý�ûFýjü���=�3(7�7��*1eû&I��ý¯ÿûÝüL� /���I1ûMýxü��@=�3;7�7,�*1tû���Vý ÿÉûÝüL� ?t�o �þ�ÿS�,3^ý�������ü�ÿ"�:��)ý�û3�ü0û¸ü��67,� ÿ93;7,�6�<�«û.3���ý¯ÿ�1�V�5�ý¯þ�ÿ$���,3^ýaý þI��ýaý þPÿGf,�������Vý�û�7�3(7��<�1XV.ÿm���7`ý þPÿ"�-7�VYW�ÿ�3^ý"/���I1 ý þ��Vý-7�VYW�ÿ�3^ýjü�þ���feÿ$��ÿný¯þ�7<1�ü�j�ûFý¯þ� �� ����1�� � �" ���� ÿ(��ÿ�� ÿ��3^ÿKü�?�+ �þ�ÿRýDj�7�feûMÿ"jWüd7� ü�ýC��ý¯ÿp��� ÿp�7`ýºû1qÿ"�ý�û3"���oE�ý¯þ�ÿ�� ÿT��� ÿÈü�ÿný67���ü�ýC��ý¯ÿ]üdj!þ 7tü�ÿ§ÿ(�Mÿ"��ÿ�qýxü63����V+ÿ

1tûÝü�ý�û& ���qû¸ü�þPÿ�1p��I1)ÿ"��ý¯þ�ÿºÿ;g)ý ÿ��D����0feûMÿ"jG/�V��Pýzû¸üWû�I1tûÝü�ý�û���,�)ûÝü�þ���V<�Mÿi� �1qÿ"��ý þPÿ�û��ý¯ÿ��D����vfeûMÿ�j9?9�2ûMý þ��ÿný þ 7<1��������*1Pü�/�û������� ý�û3(�<����"/�7,<��5mý¯þ�ÿ ���ý¯ý ÿ��Úü�ý*�Vý ÿKü���� ÿ�1eû¸ü�ý�û�����qûÝü�þ���VY�Fÿ�/tV.ÿ�3�����ü�ÿp���I���*1Pü���� ÿ�.ü2�I���4��5SV�7�7��Fÿ���ºÿ(g ���¯ÿ]ü ü¥û�7��ü�3(7��ü¥û¸ü�ý�û& ��7��Ê3(7��ü�ý*���ýe7,V<W�ÿ�3gývf�������ÿKü�/Kû�.ü�ýC���3gÿ]f�����û.��V<�Mÿ]ü87��8ý þPÿ]7�V�W�ÿ�3^ý"/��I1�f�����û&7,�.ü�����ûMý þ ��ÿ�ý�û3�u;�&7,��û3"���t7,��ÿ��*�VýD7,�xüd��7`ý þPÿ"��ü25��ýC��3gý�û3d3"�Vý ÿ���7,��ûMÿ]ü(ü2��3gþ��`üS��ÿKü üD���`ÿ�Pqÿ�5Pü���� ÿ�.ü2�I���4��5F�7`ýi���4��7�j�ÿ�1�+*?� �þPÿ"�/�ûMým�z7�����7,jzü-ý þI��ýãý þPÿ"� ÿrÿ(gqûÝü�ýÂü27,��ÿRü25YI3^þ �D7�qû�����ý�û�7�F3(7��ü�ýD�C�]û��ý�ý¯þ���ý3���� 7NýUV.ÿ�ü��+ÿ�3xû4�.ÿ�1 j�ûMý þ��6�Vû&ftÿ";ü�ÿ�ýU7��0û�.ü�ýC��I3^ÿSf�����û.��V<�MÿKüL���1 ��ÿný¯þ�7<1 ���I���C1�ü���ý þqûÝüaûÝür� � ÿ�3xûÝü�ÿ;��5ý¯þ�ÿþqûÝü�ýD7,�D5�û�<�.7����:��ý�û�7� ý¯þ��Vý�1<7i�7`ýL�:��)û4�¸ÿ]ü�ý�ûFýjü�ÿ;�4�Îû� ý¯þ�ÿSf����&�Pÿ]ü�7��Iý þPÿ�û�.ü�ýC��I3^ÿSf,����û��V<�Mÿ]ü�?� þPÿ";ü2��3jþ}�:1tûÝü�ý�û&I3^ý�û&7, V.ÿ�3;7,��ÿ]ü�Pÿ�3gÿ]ü üD���D5�/tý þPÿ�ü�ýC��ý¯ÿS7��Iý¯þ�ÿG7,VYW�ÿ�3^ý-��I1)ÿ��!ý þPÿû�)ý¯ÿ"������ÖfeûMÿ"j

�6�.ü�ý�V.ÿ��¡� ÿ;�I�ÿ�1Ö�Òû�h7��C1)ÿ��Rý�7 �:�Vý*3gþ ý þ�ÿ6ü�ýC��ý¯ÿ�7���ý¯þ�ÿÈÿ(gPý¯ÿ"�DI���SfeûMÿ"jG? ��7,�Âý þqû¸ü}� ���D��7eü�ÿ@/zý¯þ�ÿ��ÿný þ 7<1�üÉû���}�I��� ÿ�qýG3*��Nü ü$�6��ü�ýUV+ÿi�67<1eû4�.ÿ�18EÎý¯þ���ýzûÝü-ýD7 üD��5�/8ý¯þ�ÿÂü¯ýC�Vý ÿd7��aý þPÿi7,V<W�ÿ�3^ý�û¸ü�ôt÷��gø>`Nö(��'`eó������gõ]ó<�g÷Ýø�÷ BKõ6j�ûMý¯þ�� ÿ]ü2�.ÿ�3^ýÂý�7�ý¯þ�ÿ û��ý¯ÿ"���������5 1eû¸ü�ý�û���,�)ûÝü�þ���VY�Mÿ 7,�ÿ]ü�?h �þ)ûÝüºû¸ü�û4�4���.ü�ýD�C��ý¯ÿ�1¹û��7�� ����¯ÿ"fNû&7,�.ü 4�4768/�ÿ(gI���6�<�MÿÉû&�Neÿ�3^ý�û&7,}� /<j!þ�ÿ�� ÿ-ý þPÿ-ü�ý*�Vý ÿ�� û��6��ÿ�1eû��ý¯ÿ;��5:���¸ý ÿ��U�,3"3gÿ"�Pý�û��� ,�.9/��m3"����7`ý� ¥�¦�§,¨�¶�¦(³z¨�©�³z¨2µR¬·­>¨(Ç;´z®�¨�¨��"ª"¬�Ï�±�«�¨2°�µ2¨8³z¨R« ±C´¬�¦(°-¦C²@¦(§"Û.¨2µ2´z­8±C³z¨�´z¼"©"¬�µD±�«¡«�¼0¯�¨ P�°�¨2¯-§�¼0´z®�¨ �!$'&�$j_g ?ic(�/1$j0�* ³z¨R«4±C´¬·¦(°�¿�º�°�¨µ2¦(ª"«�¯S¯�¨ P�°�¨L­z¨2Ï"¨2³�±�«�µR«4±C­z­>¨2­�¦C²�§"¬·­.¬·¶�ª"«4±C´¬·¦(°G³z¨R«4±C´¬·¦(°�­2Ç<¼;¬·¨R«�¯"¬�°�¸�Ø�¨D±C¹(¨2³�¦(³�­>´.³>¦(°�¸(¨2³�¨��"ª"¬·Ï"±�«·¨2°�µ2¨2­�±Cµ2µ2¦(³z¯�¬·°�¸G´z¦$®"¬�­³z¨��"ª"¬·³>¨o¶�¨2°�´z­�Ç"¨(¿ ¸�¿�Ø�®�¨2´z®�¨2³�¦(§"Û.¨2µ2´�µ2¦(°�¸(³zª�¨2°�µ2¨�¬·­�³z¨��"ª"¬·³z¨2¯�Ç�¨2´zµ(¿

���

Page 16: web.cse.ohio-state.eduweb.cse.ohio-state.edu/~soundarajan.1/courses/788/matsuoka93analysis.pdf! "# $&%(') * + ,)$& - . 0/#12 ! 3 - 546 !7! 8 9 9 7":;< 7!37! 8= >@? ACB DFE GIH.JKELDMJNAPORQTSVUW?

V.ÿ91tûÝü�ý�û���,�)ûÝü�þ�ÿ�1Xj�ûMý¯þ ý¯þ�ÿ�ü�ÿnýU7���û�.ü�ýC��I3^ÿ�f�����û.��V<�Mÿ]üt��f��]û4���VY�FÿWû� � � ��.��Ê/ �¯ÿ�Q@�qû���û����ý¯þ�ÿ9��1 1tûMý�û�7, 7����Èû&�ü�ý*���3gÿ�f�����û.��V<�Mÿ�!���/76&�%�3,�.0/Ê?[N`û��3gÿ�ý¯þ�ÿ�� �D7��+ÿ��9f��������Vý�û�7,�7��aý þqû¸ü�f�����û.��V<�Mÿd�6�.ü�ý�V.ÿ}1<7,�ÿãû����4�aý¯þ�ÿ���ÿný þ 7<1�ü�/Iý þPÿ�� ÿ�Q@�)û�� ÿ���ÿ"qýjü�7��U��ÿný þ 7<1��67I1eû��Ê3"�Vý�û�7�B���D7eü�ÿp�o �þ�ÿRü¥ûMýD���Vý�û&7,�ûÝü�ü�û��ºû4����9�z7,���3�3^ÿ���ýÉü�ÿ�ýUVI�Nü�ÿ�1§üD3^þ�ÿ���ÿKü<û&§ý¯þ)ûÝür�¯ÿ]ü2�.ÿ�3^ý"/Pû�§ý þI��ýzý¯þ�ÿM4�476</Rÿ(gI���i�<�MÿSjL7��Y�1X� ÿ�Q@�qû&� ÿm3;7,.ü¥û1)ÿ��*��VY�Fÿ� ÿ�=R1qÿ;�I)ûMý�û�7,.ü�?�+*?vAr�Ýü276 7Ný�û.3gÿ�ý¯þ���ýA4�4;6</:����� ý�ûFý�û�7�.ü�ý¯þ�ÿ(ü�ý*�Vý ÿ9�Nü�jaÿ;�4�R?

$��q� Q *�C��5fc6V% 4X��*P. *',�896767 2�&4X%'D��� b�o43%[4X

 �þPÿ���ÿný þ 7<1�üWû� ý¯þ�ÿ ������Èÿ(gI���6�<�Mÿ�û& Neÿ�3^ý�û&7,�� ��� ÿrôq÷��^øz`eö(��'2`NóI���}�^õKó<�^÷Fø�÷�BKõÉû&B�Rü¥û��ºû4�.���9�:�� �ÿ���Nü=4�476</Ê?6 �þ�ÿ61tû +�ÿ�� ÿ��3^ÿS�.�D7,��4�476</Rû¸üÉý¯þ��Vý�ý þPÿ�ÿ;g)ÿ�3(��ý�û�7��7���ý¯þ�ÿd��ÿ�ý¯þ�7�1�üWû� ������T�67�1tû4�.ÿKüÉý þPÿü�ÿ�ý-7���ü�ý*�Vý ÿKü���I1)ÿ��Lj!þ)û3gþÚý¯þ�ÿ9��ÿ�ý¯þ�7<1Pü<û&Pþ�ÿ���ûMý ÿ�1X�z��7�� ý¯þ�ÿ������¯ÿ"Pý-3;7,�<�1 V.ÿ�û��f�7,P�ÿ�1p� ��û���� � ÿ��,��+C? �þI��ýÒûÝü�ýD7ãüD��5�/��ºû�gtû����=Ýû��7��������ºû��ý��D7�1Y��3gÿ]ü����ÿ��D=z���C�]û��ÿ�1 1tûÝü�ý�û&I3^ý�û�7���z7,�!ý¯þ�ÿ-ü�ÿnýt7��*ü�ý*�Vý ÿKü]� �1)ÿ��j!þqû.3gþ 4768/X��7,� ,�.9/�+Îû� �&������.��:3"�� V.ÿWû��f�7,PNÿ�18?v �þ)ûÝü]j-7��<�1iI��ý����*���4�&56� ÿ�Q@�qû&�¯ÿÉý þPÿ��i7I1eû��Ê3"�Vý�û�7��7��ý¯þ�ÿr��ÿný þ 7�1i���I���*1Pü*ý�7m�,3"3(7�� �ýe�z7,��ý þPÿr�ÿ�j ü25YI3^þ �D7�qû�����ý�û�7�63;7,.ü�ý��*�]û��ý"?�� r7`ý ÿÉý¯þ��Vý�/@���Mý þ 7�� �Nþ�ý¯þ�ÿþ)ûÝü�ý�7��D5�=>7,<��5;ü�ÿ"�ü¥ûMý�û�fqÿ�3gþ����*��3gý ÿ���ûÝü�ý�û3nüL1tû1 �7`ý�3;7,��ÿû�)ý�76�Y�.��5��.7�� ������8/�j�ÿ93;7,�<�1 ÿ��`ü¥û���5}�`ÿ"Pÿ"�*�Vý ÿ�63��Nü�ÿ-ý þI��ýr1<7)ÿ]ü!ü27�E��z7,�!ÿ;g����6�Y�Mÿ@/<j!ÿ�3;7,�<�1 1qÿ;�I�ÿ9�d�ºû4g =Ýû�p3*��`ü ü � � ����8/<j!þqû.3gþ�jL7��Y�.1�7,<��5}������7�j��7<3;PNû& �m7��0��}7�V�W�ÿ�3gý�û&�6��ÿ�1tû��ý¯ÿ(�&5X���¸ý ÿ��!ý¯þ�ÿd�,3"3gÿ"�Pý*���3gÿG7�� ,�.9/8?�+

≡ get acceptable

Set of Possible States

for b-buf

Set of Possible States

for lb-buf

full

empty

partial

full

empty

partial

��û&�,���¯ÿ��,� �tJ�7�I3^ÿ���ý������e�>�4�&��ü�ýD�C��ý�û&7,p7��Iý þPÿiNNý*�Vý ÿ9xT7<1tû4�83���ý�û�7�}A$�7,�:����5

$���$ !$#&%'������ 2(�*',$89.�%'�<;&(B��(�*',�89.�*:��%S�5;�� 6767A�1313 ).�67

#!û�ftÿ" ý þPÿF��V87�fNÿ�3���ý¯ÿ"�,7���û�����ý�û�7�.ü�/Gj�ÿB3;7,�<�1h��I����5��nÿ ý¯þ�ÿ¡ÿS+�ÿ�3gý�û&fNÿ��ÿ]ü ü}7���ý¯þ�ÿ¡ü25��3gþ��D7,)û����Vý�û�7,üD3^þPÿ"��ÿKü�/-��I1n3(� ÿ���ý¯ÿ��� ÿ(gI���6�<�Mÿ�7��m���7,�:����5l7<3"3(��� ÿ��3gÿ@?HNeÿnÿpA$���+ÿ"I1tû4g A �.7��XV���ûMÿ(�i�������5Pü¥ûÝü7�:D���ó�únôqöD`eó�÷�)g÷Ýó@b��-úKø�÷&`eó<�0j!þ)û3gþXjr�Nü]�¯ÿ�3gÿ"qýo�&5:���D7,��7tü�ÿ�1Ö~¡������?

� '2ìLí�� í��F� ��� �KíÉì���í��gï�ëÎñ íê��5ë�í"ë ��� é+ê ���<ìIñ�ë���êºðI� � êºí�� � � !

�aÿ�3gÿ"Pý2��5�/Vý þPÿ"�¯ÿWþ��`ü�V.ÿ�ÿ�i�6�I3jþi� ÿKü�ÿ����*3jþºý þI��ýÒþI��fVÿ-� �D7���7eü�ÿ�1ºýD79�ºû�qû&�ºû��nÿaý¯þ�ÿ!ÿ +�ÿ�3^ý07���û��þPÿ"��ûMýC��I3^ÿ�� 7��:����5�û&��G�GJ]\���� ���I���NÿKü�/NÿS+�ÿ�3^ý�û�fqÿ(�&5m���4��7�j�û� �!û&Pþ�ÿ���ûMý*���3^ÿL7��Lü25YI3^þ���7�qû�����ý�û&7,d3;7�1qÿ�û��f�����û&7,�.üü¥ûMýD�I��ý�û&7,.ü�?v��ÿGj�û��4��V���ûMÿ(��5��¯ÿ"fNûFÿ�j�ý¯þ�ÿ�� �Nü�j!ÿ(�4���Nü�����7�fNû.1qÿ$7�� �L7�jL�� �D7��87tüD���Ýü�?

��{

Page 17: web.cse.ohio-state.eduweb.cse.ohio-state.edu/~soundarajan.1/courses/788/matsuoka93analysis.pdf! "# $&%(') * + ,)$& - . 0/#12 ! 3 - 546 !7! 8 9 9 7":;< 7!37! 8= >@? ACB DFE GIH.JKELDMJNAPORQTSVUW?

�Z��� ��0���D�%2;o%S��%oLq(KY 13*:�c*:(B%S�

Neþqû&VI��5,��V��m����7���7tü�ÿKüU�ÂüD3^þ�ÿ���ÿ$V��`ü�ÿ�1 7, ��Pÿ"=z���*�Kû��ÿ�1�û��þ�ÿ���ûMý*���3gÿS7��<ü25Y�3jþ �D7�qû����Vý�û�7�;üD3^þPÿ"��ÿKü�/�ü27ý¯þ���ýaý¯þ�ÿd���67���qý-7��03(7<1)ÿý¯þ��VýU�6��ü�ýtV.ÿG� ÿ�=R1qÿ;�I�ÿ�1p3"�� V.ÿS�ºû�)û��ºû���ÿ�1Ö?v�R ý¯þ�ÿS����7���7eü�ÿ�1Úÿ(gPý¯ÿ�.ü¥û�7�7��-A�qrJtsvu��X~¡�����Òý�7rû��3(7�����7��*�Vý ÿºû&Pþ�ÿ���ûMý*���3gÿ@/Ö��ÿ�ý¯þ�7<1PüS��� ÿ:3"��ý¯ÿ���7���û��nÿ�1 û��ý�7��+ög÷&cãùNö(��/�ú(`Nó �gø�ö�ùe÷Fó�ø>/��I1 ø�öjùeó<�g÷Ýø�÷`NóT��ÿný þ 7<1�ü�?XA ��ÿný¯þ�7<1�7��U7�Pÿ�3"�Vý ÿ���7,�D5 �:��5ÈþI��f�ÿºûFýjü93;7,���ý¯ÿ"������� ýxü�j�ûMý¯þ û1)ÿ"Pý�û3����Pqÿ�5Pü�û&�7Ný¯þ�ÿ��-3"�Vý ÿ���7,��ûMÿ]ü�/<���1ãÿ���3gþ�7���ý þPÿ"�H3"���V+ÿÉü�ÿ"�I���*�Vý¯ÿ;��5:1)ÿ;�I�ÿ�1Êu^û&Pþ�ÿ���ûMý ÿ�1Êu"7�f�ÿ��D��û1�1qÿ"�?v �þ�ÿ3���ý¯ÿ"�,7���û����Vý�û�7, 7��v��ÿný þ 7I1PüL��� ÿ9�Nü]�.7�����7�jWü��

4 A �+ög÷&cºùeö(�6cãõKøÝôY`�)Wû¸ü��¯ÿ]ü2�87�.ü¥û�VY�Fÿ$�z7,�!ý¯þ�ÿ-ý*�`ü2P�7`ý þ�ÿ��!ý¯þ��� 7,V�W�ÿ�3^ý�=zj�ûÝü�ÿ�ü25YI3^þ �D7�qû����Vý�û�7��?4 A ú(`Nó �gø�ö�ùe÷Fó�ørcºõKøÝôY`,)��,3^ýjüd�`ü9�p�ãÿ�ý¯þ�7<1����I���*18? N�û&I3^ÿãûMýi3���FV.ÿ�� ÿ�=R1qÿ;�I�ÿ�1 û��1qÿ"�.ÿ��1qÿ"�ýo��57��Iý þ�ÿ9����û��:���D5}��ÿ�ý¯þ�7<1Pü�/I7,<��5Rý þPÿd3;7,.ü�ý��*�]û�PýL��ÿný þ 7<1�üL�ÿnÿ�1 ý�76V+ÿG7,fNÿ"�D��û.1 1)ÿ�Úû�§ý þPÿÿ�fqÿ�)ýý¯þ��Vý�ý þPÿi�,�����*1�ü$7���ý þPÿi�ãÿ�ý¯þ�7�1�ü$7���ý þPÿi�I��� ÿ��ý�3C��Nü ü$�6��ü�ýUV.ÿ63^þI����`ÿ�1���ý¯þ�ÿ63;7,�D� ÿKü2�Ö7,�1tû� �� ��û��:����5���ÿný þ 7<1�üL���¯ÿG� ��3+�ÿ�3gý ÿ�1Ê+C?

4 A ø�ö�ùeó<�^÷Fø�÷`eó�cºõKøÝôY`�)i1qÿ�ý¯ÿ"���ºû&Pÿ]ü!þ�7,j×ý þPÿi��ÿKü üD���`ÿ]üU���¯ÿ�1qÿ;�Mÿ"�@��ý¯ÿ�18?��¥ýjü$� ÿ�=R1qÿ;�I)ûMý�û�7� ���4��7�jWü1Y5YI���ºû3��67Y1tû4�83���ý�û&7, 7��0ý¯þ�ÿd1qÿ;�Mÿ"�@��ý�û�7� �I��ý¯þ�?

q]5;ü�ÿ"�I���*�Vý�û���ãý¯þ�ÿºü25YI3^þ �D7�qû����Vý�û�7�T3;7<1qÿG�z��7��M7`ý þPÿ"�U����� ýjür7����ãÿ�ý¯þ�7�1 1)ÿ(��qûFý�û�7��ü�/�ý þPÿd���67,��Pýt7��� ÿ�=R1qÿ;�I)ûMý�û�7,.ü�û¸ü��ºû�)û��ºû���ÿ�1Ö?UNNþ)û�V���5����:�i���Ýü27Âü�þ 7�jzü<û��~¡�,���Îý¯þ��Vý!þqû¸ü�ý�7���5Y=z7�Y�&5;ü�ÿ�.ü¥ûMý�û�fNûFý�5:3"������Ýü27V.ÿ-þ���I1��Mÿ�1�j�ûMý þT�d�67<1qÿ]ü�ýr���67,��Pý�7��v3(7I1qÿG� ÿ�=�1)ÿ;�I)ûMý�û�7,.ü*û� ý¯þ�ÿ93(7��3(����� ÿ"PýÒû&�6�Y�Mÿ"��ÿ��ýC��ý�û&7,�7��v���=���ýD� ÿnÿ@?

�Z��� Q 2(B )R:A� 217LM(�Y 13*:�c*:(B%S�

x;ÿKü¯ÿ����Pÿ"�9� �D7,��7tü�ÿKüS�:�ÿ�j �.7��D�:���CûÝü2�T~¡�Y�"���.7����67<1)ÿ(�«û& �[3(7��3(����� ÿ"Pý�ü25Pü�ý¯ÿ"��ü"/����1��� �G�GJt\ �.���=���I���`ÿ�3"�����Mÿ�1�x[���I1)ÿ�/�j!þ)û3^þºû¸ü�V��`ü�ÿ�1i7,Úý¯þ)ûÝü��z7,�D�:���«ûÝü2�T?v �þPÿr�.����,�����`ÿ$��7tü ü�ÿKü ü�ÿ]üÒý þ�ÿ��.ÿ(gqû�V)û4�«ûFý�5ºý�7����7�fNû.1qÿ$3*�Mÿ����ü�ü27�����ý�û�7��ü0�.7��U��ü27,��ÿ$7���ý þPÿ,+0���7�������7���ü<ÿ;g����6�Y�FÿKü]jaÿWþ���fNÿ-� � ÿ]ü�ÿ��ý¯ÿ�1�û&rý¯þ)ûÝü]�I���.ÿ���?x;ÿ]ü�ÿ�����ÿ����ÑüS�.7��D�:���«û¸ü2� ûÝü��T�&7,��û3p3����4�Fÿ�1 ý¯þ�ÿ��R3(7��3(����� ÿ"Pý�+G� ÿ�jL��ûMý�û� ����7��Vû.3�/tj!þ)û3gþn�Rx;ÿ]ü�ÿ�����ÿ��

ü�ýC��ý¯ÿ]ü-ý þI��ý;+U�67eü�ým�67<1)ÿ(�ÝüG7��U3(7�I3;����� ÿ��ýG3;7,�6���Pý*�Vý�û�7� 3����V.ÿ6� ÿ"�@���C1)ÿ�1F�`üÉûFýjü(ü2�.ÿ�3jû.����û&�ü�ý*��qý�û��=ý�û&7,.ü�?mA 3(7�I3;� �D� ÿ��ý�ü25)ü�ý ÿ�� û¸ü�1)ÿ"��û&ftÿ�1X�.�D7,� ��û�.ü�ýC��qý�û.�Vý�û�7,.ü$7���+mcd`�)@�Y�¤õ��;/8ý¯þ��Vým���¯ÿ�3(7��6��7eü�ÿ�1�7��ø�õKö(cm�$��I1[�¯ÿ"jL��ûFý¯ÿd�D�<�MÿKü�?6J�7��i����ýC��ý�û�7�����D7<3gÿ�ÿ�1�üUV�5;ü¥û��6�<�Mý*���ÿ�7���üÉü¥û��6�<�«û4�83���ý�û&7,�7���ý ÿ��D�Âü$jaþ�ÿ�ý¯þ�ÿ"�¯ÿS��� ÿ���� �<�«û3"��V<�MÿG� ÿ�jL��ûMý¯ÿ$�D�<�Mÿ]ü�?0 �þPÿ"�¯ÿS��� ÿÉýDjt7(ý�5Y�Pÿ]ü�7��v�67<1Y�<�Mÿ]ü�/3@;�)ó�úKø�÷`eó�ù@�<���1p�;���gø�õ�cd?0 �þ�ÿ� ÿ�jL��ûMý�û& �ºû�Èü25Pü�ý¯ÿ"�M�67<1Y�<�Mÿ]üU��� ÿG 7Nýzÿ�Q@�I��ý�û&7,����o/tûR? ÿ@?4/I1Y7PÿKü��7`ý!ÿ(gPþqû&VqûMýzý þPÿiJÒþ ���*3jþ = �-7eü ü¯ÿ��t���D7,��=ÿ�� ýD5�?� �þ)ûÝüm���4�&7,jzü�ý¯þ�ÿ}�67<1)ÿ(�«û& � 7��U��þPÿ"�7,��ÿ��7�2ü2�.ÿ�3jû��Ê3Úý�7B3(7�I3;� �D� ÿ�qýi3;7,�6����ýC��ý�û�7��ü�/�ü2��3gþF�Nü�7,�=�1)ÿný ÿ��D�ºû�)ûÝü�ý�û.3d3gþ�7�û3gÿ@?m �þ�ÿ6x[���I1)ÿS�.����,�����Nÿ�~������>/�VI�Nü�ÿ�1�7�Èý þqûÝür�z�C����ÿ�jL7���P8/Ê����7�fNû.1qÿ]ü9`<#&%nõ^ú]ø'`eög÷FõKó�ø�õ�)pcd`�)@�Y�¤õ��L�.7���ÿ��Nü�ÿ�7��L� �D7��,�*���6�ºû���Rû�F3(7��3(����� ÿ"Pý�7�VYW�ÿ�3^ý�=z7���ûMÿ"Pý ÿ�1Èü�ýD5��Fÿ�? �I7,�9�,3^ý�������ÿ(g =ÿ�3;��ý�û�7��/e7�VYW�ÿ�3^ý�=z7���ûMÿ��ý¯ÿ�1p�67I1Y�<�Mÿ]ü9��� ÿi�I�xü�ý(ý��*��.üR���ý¯ÿ�1�û��ý�7 ü25Pü�ý¯ÿ"� �67<1Y�<�Mÿ]ü�EIý þPÿ"�/v3;7,�6���Pý*�Vý�û�7�����7<3^ÿnÿ�1Pü�j�ûMý þ}3;7,�3(���D�¯ÿ"qýt� ÿ�jL��ûMý�û& �i��3"3(7��C1tû����ý�7�ý þ�ÿ�� ÿ�jL��ûMý¯ÿ����<�Mÿ]ü�7��Îý¯þ�ÿ-ýD�C��.üR��Vý ÿ�1:�i7<1<�<�Mÿ�?��R�=þ�ÿ���ûMý*���3gÿ�ûÝüL���Ýü27ãü2��� �Ö7,� ý¯ÿ�1ãû� 7,V�W�ÿ�3^ý�=z7���ûMÿ�)ý¯ÿ�1��67�1<�Y�FÿKü�1eû&�¯ÿ�3gý2��5�j�ûFý¯þpx[����1qÿ@�Ñü�7��C1)ÿ"��=¥ü27,� ý¯ÿ�1�ýD5���ÿü�ý��D��3gýD� � ÿ@?�oPþ�ÿ���ûFýC���3^ÿU�� 7��:���&5ºûÝü���f�7�û1)ÿ�1û&}x[���I1)ÿ�û&rý¯þ�ÿ-�.7��4��7�j�û& ��jr��5 ��ý¯þ�ÿ�3(7�I1tûMý�û�7��ü��<���3gÿ�1�7��ý þPÿ

� ÿ�jL��ûMý¯ÿ����<�Mÿ]üt3"�� ü�ÿ��Dftÿ$�Nüt�d�,�����*1ÖEtý¯þ���ü�/tü�ýC��ý¯ÿ"=z����� ý�ûFý�û�7�)û� �6���7,�:����5:1<7)ÿ]ü��7`ý-����ûÝü�ÿ@?v�R}��1�1eûFý�û�7��/� ÿ�jL��ûMý¯ÿp�D�<�MÿKü63"���V.ÿTfqÿ��D5��.ÿ(gqû�V<�Mÿ@/t7,��ÿ��*��ý�û����7� ý¯þ�ÿ§ý¯ÿ"��� ü�ýD�D�I3^ý����¯ÿ]ü:�Nüd���xü�ý�3*��`ü ü�f����&�Pÿ]ü�~¡�,{��>? �þ �.ü�/Ný¯þ�ÿ�� ÿWûÝür�R����V.ÿ^ûMýÒû��6�<�«û3xûMý;+��¡� ÿ(�.ÿ�3^ý�û�fqÿ���3�������V)û4�«ûFý�5�û�}x[���I1)ÿ@/@j!þ)û3^þ:���4�&7,j2þ)ûÝü�ý�7��D5ºû�<�.7����:��ý�û&7,ý�76V+ÿÿ��3(7<1)ÿ�1Xj�ûMý þqû�§ý þ�ÿ-ý¯ÿ"�D� ü�ý��D�I3^ý���� ÿÉû����ü�ý��*�]û��`þ�ýo�z7,�Djt���C1Xj-��5,?��I7,��ÿ(gI���6�<�Mÿ@/)ûFý�ûÝü!ü¥û&�6�Y�Mÿ�ýD71)ÿ(��Pÿ��:�����*����ÿ�ý���û3�3C�.�`ü ü$j!þqû.3gþ���1 1�üÉý¯þ�ÿS��7I3CPNû& �T3����I��Vqû��«ûMýo5§ý�7T���DVqûFý��*���D5�3C��Nü ü�ÿKü�?6 �þ�ÿ�� ÿ�û¸ü-ü�ý�û4���jL7,�DP�Pÿ�ÿ�1)ÿ�1 ýD7XV.ÿd1<7,�ÿ�/8þ�7,j�ÿ�f�ÿ"�"/�ý�7Úü�ÿ�ÿºý þPÿ�ÿ;g)ý ÿ��1 7��-��� �<�«û.3���Vqû��«ûMýo5}7��tx[����1qÿ�ýD7X7`ý þPÿ"��3*��`ü ü�ÿ]ü7��Îû��þPÿ"��ûMýC��I3^ÿ9���7,�:����5 ?

���

Page 18: web.cse.ohio-state.eduweb.cse.ohio-state.edu/~soundarajan.1/courses/788/matsuoka93analysis.pdf! "# $&%(') * + ,)$& - . 0/#12 ! 3 - 546 !7! 8 9 9 7":;< 7!37! 8= >@? ACB DFE GIH.JKELDMJNAPORQTSVUW?

�Z�q� ��1 � ��A�.�C�(OLM( Y 13*P� *:(B%S�

�I�����&� �1S���D7,��7tü�ÿKü��$�.�*����ÿ�jt7��DP-û��j!þ)û3jþd�67tü�ýo�&5i3;7,�3^ÿ�qýD�C��ý¯ÿ]ü�7,rü25YI3^þ �D7�qû�����ý�û�7�d3(7<1)ÿ��z7,�Òý þPÿ$1)ÿ�=��û�fqÿ�1X�¸ûo? ÿ�?�/<7�fNÿ"�D��û.1 1)ÿ�Ö+���ÿ�ý¯þ�7�1�ü�~¡������?IHWÿ$� �D7���7eü�ÿ]üL�m1)ÿKü¥û����û� j!þqû.3gþrü25YI3^þ �D7�qû����Vý�û�7��3(7��ü�ýD�C�]û��ýjü�NÿnýÎû&I3;�¯ÿ��`ü¥û& ����5�� ÿKü�ýD��û3gý�û�fqÿ*û��ü2��V83C�.�`ü ü�ÿ]ü�?vq��`ü�û3����4��5Y/�7,�ÿ!ü2�.ÿ�3xû4�.ÿKü��$�,�����*1�ý þI��ýe�Vû&ftÿ]ü�ý þPÿ�3(7��1eûFý�û�7���I1)ÿ��Lj!þqû.3gþ ý¯þ�ÿ���ÿ�ý¯þ�7<1 ú^ùeó�ó�`eø]#xõ(ùeú^úgõ"�+ø�õD)@/tûR?Tÿ�?t�;ó�õobeùNø�÷�BKõL�������*18?>�I���¯ý þ�ÿ��D�67,� ÿ�/Pý¯þ�ÿ����I���*1 ÿ(g =���¯ÿ]ü ü¥û�7��ü]��� ÿ$�,3"3(���m�<���ý¯ÿ�1i���&7,��(ý¯þ�ÿ�û&Pþ�ÿ���ûMý*���3gÿ$3jþ��Kû&�ü27(ý¯þ��Vý�/,��û�fqÿ������ÿ�ý¯þ�7<1ij�ûFý¯þ�ý¯þ�ÿrI����ÿE5e/���4�.ý þPÿr���I���C1�ü��z7,�Òý þPÿr��ÿný þ 7<1�ü�û��ý þPÿ$���3gÿ]ü�ý�7��03*��Nü ü�ÿKü0j�ûFý¯þ�ý¯þ�ÿrI����ÿ 5}���1ij!ÿ�� ÿ�ý¯þ<��ü�7�fNÿ��D��û1�1qÿ"�6�.ü�ýaÿ�fY��������ý¯ÿý�7M@^ù@���^õÉû�p7,�*1)ÿ��$�.7��zý¯þ�ÿd��ÿKü üC���Nÿ 5ÈýD7XV.ÿd�,3"3gÿ"�Pý ÿ�1Ö?� �þ �.ü�/�ý¯þ�ÿ9� ÿ"=z�.ü�ÿd7�Y��5}jL7���PPüû� ý¯þ�ÿ$jU��5�ýD7m�¯ÿ]ü�ý���û3^ýaý þPÿS3(7�I1tûMý�û�7��ü]� �1)ÿ��Lj!þqû.3gþrý þPÿ$��ÿ]ü üD���NÿKüL��� ÿ9��3�3^ÿ���ýC��VY�Fÿ�?I�I��������I1�ü���7�û��ýjü7��Pý(ý¯þ��Vý�ý þqû¸üÉûÝü�� ÿ��`ü27�I��V<�Mÿ��Vû&ftÿ"Èý þI��ý�ûFýãü�þ 7��<�1�V.ÿ���7eü ü¥û&VY�Fÿd�z7,�ãü2���.ÿ"�C3*��Nü ü�7,��ÿ��*��ý�û�7��üý�7TjL7,�DP7���o���4��+<ü2��V�3*��Nü ü!ü�ýC��ý¯ÿ�/qûR? ÿ@?4/tû��t��p���3gÿ]ü�ý�7��-7��.ÿ"�C��ý�û&7, ûÝü��7Nýaÿ����VY�Fÿ�1Âû�p�i�����¯ý�û3;�Y����zü�ýC��ý¯ÿ@/)ý¯þ�ÿ�p�1)ÿ���û�fqÿ�1�7��.ÿ��*��ý�û�7� j�ûFý¯þ ÿ(gPý¯ÿ"I1)ÿ�1 V.ÿ�þI��feû�7,��j�û4�4�����Ýü27ºû��3(����û�I3;7��ü¥ûÝü�ý ÿ��3(5�û�§ý þI��ýWü�ý*�Vý ÿ�?�o��,1�1eûFý�û�7��/<7,�ÿ�3;7,�<�1�� ÿ(��ÿ��ÒýD7m7`ý þPÿ"�t��ÿ�ý¯þ�7�1Pü0j�ûFý¯þ)û�rý þPÿ$�������*1�ÿ;g<���¯ÿ]ü ü¥û�7��ü�Eqû�rý þqû¸ü�3��Nü�ÿ�/Pý¯þ�ÿ

��ÿný þ 7<1ÚûFýjü�ÿ;�4�ÒûÝür 7Ný!û��f�7,P�ÿ�18/IV��Pý!û�.ü�ý¯ÿ��,1Ö/�ûMýxüL���I���*1���ü(+-��� ÿ�ÿ�f��������Vý ÿ�1 ���1 ý¯þ�ÿS� ÿKü2�<�Mý�û& �}V�7�7��Fÿ���f����&�Pÿ�û¸üd�¯ÿ�ý����DPÿ�18?l�r�ÿrûÝüd���Ýü27���V<�MÿRýD7�1)ÿKüC3(��û�V.ÿ§ü25��3jþ �D7�qû�����ý�û�7� 3;7,.ü�ý��*�Kû&Pýxü(ý þI��ýãü�þ�7,�<�1¹þ 7��1��qû��.7,�D�d��5F�z7,�X���4����ÿný þ 7I1Pü�ý�7BV.ÿ�1)ÿ(��Pÿ�1¹û��ü2��V83*��`ü ü�ÿ]ü�/�ÿ;g�3^ÿ���ý:�.7��X��ü�ÿný:7��S3^ÿ�� ý*�Kû� ÿ;g�3^ÿ���ý�û&7,��ÿný þ 7<1�ü�?m �þ)ûÝü����4��7�jzüL7�Pÿãý�7X���D7,���C��� ý¯þ�ÿ ��� ��T�ºû4gqû��=�3C�.�`ü üWû���Úü¥û&��û�����ü�ýD�C��ý¯ÿ"�,5��R����V.ÿgûFý�þ����*1Y=3(7<1)ÿ�1@��5�+]�NüLj�ÿ$� � ÿ]ü�ÿ��ýtV+ÿ;��7�j9?qt5[���4�]��ÿ���.ü�/�ý þPÿ����D7,V<�Mÿ��9û� û��þPÿ"��ûFýC��I3^ÿ6�� 7��:����5§û¸ü-ý¯þ��Vý-ûMýzû¸ü��7`ý97,<��5Èý¯þ�ÿ61)ÿ���û�fqÿ�1p7,�.ÿ"�D=

��ý�û�7��üdV���ý����Ýü27�ü�ÿnÿ��ºû& ����5F� �� ÿ(���ý¯ÿ�1��ãÿ�ý¯þ�7<1Püãý¯þ��Vý6��û&�`þ�ý(û���,1<fqÿ�� ý¯ÿ"Ný2��5 � ÿ�Q��)û�� ÿ}� ÿ�=R1qÿ;��qûMý�û�7��ü�?Wÿ�fqÿ�� ý þPÿ;�MÿKü ü�/��Ê��������I1Ö�Ñü�jL7���PãûÝü�fY��������VY�Fÿ�û&}��7�û��ý�û���97,��ýaý þI��ý-� ÿ��.ü�ÿ$�:��5m7��L�:��5d 7Ný-V.ÿG��7eü ü�û�VY�Fÿj�ûMý þ 7��PýU3gÿ"�¯ý*�Kû&T�Nü ü2� �6��ý�û&7,.üL��VÖ7,��ýaþ�7�jO7,�.ÿ"�*�Vý�û�7��üL���¯ÿS1)ÿ���û�fqÿ�1Ö?

�Z��$ � A�19Y 13*P�c*:(B%'��(

�'i��Zi5j � �'p�� r p�l�����E� p���p��&� n� p �����u�:n � p����� �� pVr �þPÿ���V�7,feÿ�� �D7��87eüD���ÝüLþI��fNÿ�û1)ÿ"Pý�û4��ÿ�1Wý þI��ý��C��++ü�ÿ"�I���*�Vý�û�7�S7��8ü25��3jþ���7�)û�����ý�û&7,S3(7I1qÿv�.�D7,�5ý¯þ�ÿ]�ãÿ�ý¯þ�7<13(7<1)ÿ@/,���1i�R�Y+v� ���xü�ý�=�3*��Nü ü¥û������7��.ü25YI3^þ���7�qû�����ý�û�7��üD3gþ�ÿ���ÿ]ü8Ptÿ�ÿ��.ü�3(7<1)ÿ]�¯ÿ"=�1)ÿ(��)ûMý�û&7,.ü0ü2�:���4�o?��L�������xü�ý����7���7eüD���IûÝüS����7���Úý¯þ)ûÝür�«û&Pÿm¢ V 5Rÿ"�i�<��7�5eû� �X���¯ÿ;�.ÿ�3gý�û�fqÿG��� ���I���`ÿ@/Öj�ÿºÿ"I3"���.ü2�Y�.�Vý ÿºý¯þ�ÿ61tû +�ÿ�� ÿ��ýü25YI3^þ �D7�qû�����ý�û�7� üD3jþPÿ"��ÿKüãû� ý¯þ�ÿ���ÿný*��=.�Mÿ�fqÿ(�o? w�£X3xûMÿ��3;5mûÝü��:�Kû&Pý*�Kû&Pÿ�1�VY5mÿ��6�<��7�5Nû& ��ý þPÿp�.�<�"5� ÿgû��Ê3"�Vý�û�7, ��ÿ�3^þ���)ûÝü2� 7��Iý þPÿG� ÿ(�.ÿ�3^ý�û�fqÿr�����,�����Nÿ�?A-ü����ÿ(gI���6�<�Mÿ@/"j!ÿ0� � ÿKü¯ÿ�qýe�aüD3^þPÿ"��ÿ�j!þ�ÿ�� ÿ�j!ÿ0����PNÿ*ý¯þ�ÿ]�,�����*1�ü��I�xü�ý�=R3C�.�`ü ü�7,VYW�ÿ�3^ýjü�û�ý¯þ�ÿ���ÿ�ýC��=

�Mÿ"ftÿ;�R?mN`û��3gÿ����I���*1Pü����¯ÿ�û��6�6� �ÿ�ý�7�ü�ýC��ý¯ÿi�I���¯ý�ûMý�û�7,)û���I/Öj!ÿd�Vý ý¯ÿ"�6�Pý�ýD7 ÿ^ûMý þPÿ"�G��f�7Vû1[7,���ºû�)û��ºû���ÿý¯þ�ÿ6�� 7��:���&5}�.7��zþ)ûÝü�ý�7��D5�=>7,<��5Èü�ÿ�.ü¥ûMý�û&ftÿS3��Nü�ÿ�ü2��3gþ��Nü ��� ��Ê?9 �þ�ÿd�:�]û�§û.1qÿ���ûÝüÉýD7:�:��)û����Y�.�Vý¯ÿãý¯þ�ÿ���I���C1�ü�û&:�-þ�7,�67��`ÿ"Pÿ"7,�.ü�jU��5(ÿ;g�3^ÿ���ýv�z7,��ü2�.ÿ�3jû���Ê�ãÿ�ý¯þ�7<1PüIû��ý¯þ�ÿÉü2� V83*��Nü ü�ÿKü�j!þ�ÿ�� ÿWý¯þ�ÿ�ÿ(gI3gÿ"��ý�û�7��ü7<3�3;���"?��¹ÿ����¸ü27ãÿ"I3"���.ü2�<���ý¯ÿ���ÿ�ýC��=z7��.ÿ��*��ý�û�7��ür7, ý¯þ�ÿ��������*1Pü�û�Rý þPÿG��ÿný*��=.�Mÿ�fqÿ;�87��Iý þPÿG7,V�W�ÿ�3gý�?A�qrJtsvu/�r� ~¡��y,��/�����G�GJt\ �����,�����Nÿ�j�ûMý¯þ������@#nög÷&)���õ��aõxúKø�÷�BKõ �(ö�únôq÷Fø�õxúKøz�)ö¥õ�/�ûÝü-ÿ"�6�Y�&7,5Nÿ�1[�.7��

ý¯þ)ûÝü���� �D��7tü�ÿ�?0 �þ�ÿ�cºõ]ø�ù@`Y#&%nõxúKø@7�����d7�VYW�ÿ�3gý ��/@1)ÿ" 7Ný¯ÿ�1d�Nü�� 5 6</%! ���Ê/�ûÝü��U��ÿ�ýC��=�Mÿ"ftÿ;�Y� ÿ"� � ÿKü�ÿ"�ýC��ý�û�7�7��aý þPÿ�ü�ýD�D�I3^ý����¯ÿ���I1�3;7,�6���Pý*�Vý�û�7,�7�� ��? HWÿ�� ÿ�/�� 5 68/%! ���RûÝüÉûFýjü�ÿ;�4�r�p�R3;7,�3(���D�¯ÿ"Pý�+-7�VYW�ÿ�3gý�� #aû&ftÿ"��/ jaÿ$3"�� �:��)û����Y�.�Vý ÿ-ý¯þ�ÿG�,�����*1�üt�NüL�9���xü�ýr3*��`üjü2=z7,V<W�ÿ�3gýLj�ûFý¯þ �¯ÿ;�.ÿ�3gý�û�fqÿL7��+ÿ"�*�Vý�û�7,.ü]fNû.��� 56</%! ���Ê?��û&�,���¯ÿG�"�Wû4�4���.ü�ýD�C��ý¯ÿ]ü�þ 7�j�ý¯þ�ÿ���� ��9�ºû4gqû��3C��Nü ü�3"��iV.ÿ�� �D7��,�*���i��ÿ�1Sj�ûMý þºý þqû¸üIü�ýD�*�Vý¯ÿ"��5Ê~¡������?t� H!ÿ"� ÿ�/j!ÿ���1Y7���ý���SA�qrJtsÖ=�����ºû4�&5(ü25�)ýC��g ��� 1������ 2��nû��1eû.3���ý¯ÿ]üe�UsÖ�*N�\�=.�«û�Pqÿ0ÿ;g<��� ÿKü ü¥û&7,�/,���1i��� ����������� �������Ê�û��1tû3���ý¯ÿ]üL�m��ÿ]ü üD���Nÿ-ýD�C��.ü2�ºûÝü ü¥û�7��? �76�ûÝü<û1)ÿ��ý�û.3�����ý�7 ��6�� ��û��N��:���4�Mý*���&PÊ?�+�o�7,�*1qÿ"��ýD7m� ÿnýC�]û��ý þPÿÉÿ;£X3jûMÿ"�3(567���1tû�� ÿ�3^ýt��ÿKü üD���`ÿG1eûÝü2����ýC3gþ)û���I/,�(ý¯ÿ�3gþ�qû.Q���ÿrjaþ)û3jþ�j!ÿL3"�����+ý þPÿ! C�¦(´z¨�´.®,±C´�´z®"¬�­�±C­z©,¨2µ2´�¦C²Ö³z¨#"�¨2µ2´¬�Ï�¨L±C³zµR®"¬�´.¨2µ2´zª�³>¨ $ ´.®�¨ $j*Xk�$jn!$jk? �(�i ����(�&�Z#k ±C³zµ�®"¬�´z¨2µ2´zª�³z¨%$ Øe±C­P�³z­z´�¬�°�´z³z¦(¯�ª�µ2¨2¯Ø8¬·´z®$¾vÈ'& (#* � D Ä)( F�¿I¾vÈ*& (#* � Í�±�«�­z¦0²4¨D±C´zª�³z¨2­�³z¨#"�¨2µ2´¬�¦(°$¦C²�¦;§"Û.¨2µ2´ e�2[0� �a& ¿ O ¨2¨ D ÍCÓ F,²4¦(³�¯�¨2´�±�¬¡«�­2¿

���

Page 19: web.cse.ohio-state.eduweb.cse.ohio-state.edu/~soundarajan.1/courses/788/matsuoka93analysis.pdf! "# $&%(') * + ,)$& - . 0/#12 ! 3 - 546 !7! 8 9 9 7":;< 7!37! 8= >@? ACB DFE GIH.JKELDMJNAPORQTSVUW?

I D ��������� 9�D��;�� 5 � 5GU Io<�� F U�H ��� �� T H �GK!A

I N � ;���� 9�D�� AIo<�� F U�H ��� �� T H � � N ;?; � U�5 ��� U A ��N�N ;��wl U�5 ������?�l� �� T H ��A�AXK��� ��ZLic0� q-�(� �&�Z�&./cbXZd_dZ!/1(�0�����Z�-�/J/10z��Z%-�0!Z!2 -#Zok,/10 ��� U 5 �������� U�D�5 S;�; � U�5 ��� U A ��N�N ;���� U�5 ������� l� �� T H �ht ������A�A;�; � U�5 ��� U A ��N�N ;���� U�5 �l� �� T H t �1 4 � 9�D�� ��� 5 A�A?A

��� *X0�/ $j*Xn!0��?ZYk �*X/^$ iJ/cbXZ e� G(�2[k,$ &.&YZ�/ /10 � 5 �$]/cb ��� 9�D��I N � ;��1 4 � 9�D � A�r�s U�4 ���

;�; � U�5 ��� U A ��N�N ;���� U�5 U � D sX�l� �� T H tz<�� F U�H �� �� T H ��A�AXK�K

��û&�,���¯ÿ��"�0�&�Éÿ(��qûFý�û�7�p7���sÖ7<3(P�xRû4gtû&�J���Nü ü

)@��ó�ù@cº÷Fú��+öD`CbNö�õ��*�^÷&`eó�`W@i)eõDbNö¥õxõ6`W@�ö õ��aõ ú]ø�÷�BK÷Ýøz����~¡�,���ÎûÝü���� �<�«ûFÿ�1ÖEÖV��`ü¥û.3����4��5Y/�j!ÿS�67<1eû��.5§ý¯þ�ÿd� ÿ(�.ÿ�3^ý�û�fqÿ���C3^þqûFý¯ÿ�3gý���� ÿ�7������7,V<W�ÿ�3gý�7, 1qÿ"�:���1dj!þ�ÿ���9�67��¯ÿWÿ;���V�7,�*�Vý ÿ$� ÿ(�.ÿ�3^ý�û�feÿL7��.ÿ��*��ý�û�7�ãûÝü��ÿ�3^ÿKü üD���D5<?��R7�� �-ÿ(gI���6�<�Mÿ@/�ý þPÿ�1qÿ;�>���Y�MýU��ÿ�ýC��7,V�W�ÿ�3gýU7��t7,V<W�ÿ�3gýjüWû¸üU��§û�.ü�ýC��I3^ÿS7���ý¯þ�ÿ63C�.�`ü ü � �3/76#� �768/%! ��� ���06 �8/Ê?�RÚý¯þ)ûÝü�3��Nü�ÿ�/���ÿKü üD���Nÿ�1eû¸ü2�I��ýC3jþ)û���GjL7��Y�.1iV.ÿ$ftÿ"��5�ÿ(£X3xûMÿ��ý"/�V+ÿ�3�����ü¯ÿ!ý þPÿ�1tûÝü2���Vý*3gþ)û���9�ãÿ�3jþ���)ûÝü2��û¸üþ����*1Yj�û&�¯ÿ�1 û��ýD7�ý þPÿ�ü25)ü�ý ÿ�� j�ûFý¯þ�f�����û&7,�.ü$7,��ý�û&��û�����ý�û�7�6üD3^þ�ÿ���ÿKü�?9 �þPÿd���D7,V<�Mÿ"�T/�þ�7,j�ÿ�f�ÿ���/�û¸üzý þI��ý7�Y��5¡ö õ]÷ L<ú ùeø�÷`eó[�¸ûR?Tÿ�?�/8ý�7X7�V�ýC�]û�Èý þPÿ�3(7��i����ýC��ý�û�7�����<ü�ý*�Vý ÿd7��!ý¯þ�ÿd7�VYW�ÿ�3^ýU�.�D7,� ý¯þ�ÿd��ÿ�ýC��=�Mÿ"ftÿ;�0�`ü�����jü�ýD=�3*��`üjü�7,V<W�ÿ�3gý;+U7��aý þPÿ��,�����C1�üWûÝü���7tü ü¥û�V<�Mÿ@/����1§ûFýzûÝüÉû&�6��7eü ü¥û&VY�Mÿ�ýD7 �67<1tû4�.5 ��I1 ö�õ �aõxúKø]��ûR? ÿ@?4/�ý�7� ++ÿ�3gýzý¯þ�ÿ63;7,�6���Pý*�Vý�û�7�I���*ü�ýC��ý¯ÿSV 5p�¡� ÿ;��ÿ�3gý�û� �I�8ý¯þ�ÿd1��Vý*��û&PýD7ãý þPÿi��ÿnýC��=�Fÿ�fNÿ;�>+�ý¯þ�ÿS�,�����C1�ü�?� �þqû¸ü�ûÝü�7`ýaü2�<£X3jûMÿ"�ý"/�V.ÿ�3"���.ü�ÿÉý þPÿS1qÿ;�I)ûMý�û�7��7�� ������ºû& ��û&�,��� ÿd�"�9� ÿ�Q��)û�� ÿKü�ý þI��ý�ý¯þ�ÿ��������*1Pü]V.ÿG�i7<1tû4�.ÿ�1Ö? �7X�,3xþqûMÿ"fNÿ�ý¯þ�ÿ63"������Vqû4�CûMý�5RýD7:� ÿ(�.ÿ�3^ý�ý¯þ�ÿd���I���*1Pü�/�j�ÿ�þ���fNÿ�ý þPÿd3*��`ü ü �;6</%! �������06#�</Ê/�j!þqû3jþ�þI�Nü

ý¯þ�ÿ�3�������V)û4�«ûFýo5���ýÂý¯þ�ÿ[3;7tü�ýi7��ÿ;£X3jûMÿ"�3(5 7���ÿ(gPÿ�3;�Pý�û�7��?n �þ�ÿ��/��,��6</ �<4 . !&� � ��I1�7Ný¯þ�ÿ��:��ÿ�ý¯þ�7<1Püj!þqû.3gþãþI��feÿ!ü¥û1)ÿ�=�ÿS+�ÿ�3^ýjü�7�ºý þPÿr���I���C1�ü�û& ���3/76 ���76</ ! �������06 �</61Y5Y����ºû3"������5Âú�`]õKö¥úgõ��Lý þPÿr��ÿný*��7�VYW�ÿ�3gý�.�D7�� � � /76 � �;6</%!#������� 6 �</�ý�7 �76</%!#�������06 �</67�T1)ÿ��:��I1Ö?v �þqû¸üL������7�jzü��.ü�ý�7m�:�]û�qý*�Kû�Úý¯þ�ÿÉÿ(£X3xûMÿ��3;5����7�fNû.1qÿ�1�V 5 ���3/76#� �76</ ! �������06 �</��.7,�}�67eü�ýrû�.ü�ýC��I3^ÿKü�7���ü2��V83C��Nü ü�ÿ]ü:7�� ��� ��Ê? �R^��1 1tûMý�û�7,�/zý¯þ�ÿ3(7tÿ"�*3jû�7���ÿnÿ�1 ý�7 V.ÿT�.ÿ"�2�.7�����ÿ�1�7,<��5 7�I3^ÿ�E!ý¯þ�ÿ�� ÿ(�z7,� ÿ�/!ü2� V.ü�ÿ�Q@��ÿ��ým�¯ÿ;��ÿ�3gý�û�fqÿ}7��.ÿ��*��ý�û�7��ü�7, ý¯þ�ÿ���I���C1�ü$��ÿ@? �I?4/�� � �����+0j�û4����� ÿ�Q@�)û�� ÿ$�«ûFý¯ý2�Mÿ�7�f�ÿ�� þ�ÿ���18?I��7,�-1)ÿný*�Kû��Ýü�/�ü�ÿ�ÿ6~��,���>?

�'i��Ziwv >� � ��~ ��� n ��x � n��9n#� ~ � nMl|�El @ ��.� � ��� l��:n��u~ � nql|� +lZmPpVr �þPÿÉü�ÿ�3(7�I1m� �D7���7eüD����ûÝü]�zý�7NýC���4�&5i1tû +�ÿ�� ÿ"Pýe7�Pÿ@/Vû��j!þ)û3gþSj!ÿ���ý¯ý¯ÿ"�6�PýÒýD7 r*�.�%��~ ��� n �a~ � � ���9n#�:n��9n�� p�a� p �E~!��l ��%�@l #"@r*�.� � ��� l��:n��u~ � nMl|� �Xl:mPpHn � r p � ?ixT��3gþp7���ý þPÿ��.ÿ��D=z7�VYW�ÿ�3^ý��&7<3����«û���ÿ�1 ü25��3gþ��D7,=)û�����ý�û&7,�3(7<1)ÿ<ûÝü�ÿ"�i�<��7�5�ÿ�1ýD7ü27���ftÿ<ý þPÿ�û�Pý ÿ��D=z7�V@W�ÿ�3gý�3(7�7��C1tû���Vý�û�7�d����7�VY�Fÿ��T/�jaþ�ÿ"�¯ÿ-�m�<�Mý�û&�Y�Fÿ�7�V�W�ÿ�3gýxü3(7��6�.ÿný ÿ��.7��9�¯ÿ]ü27�� �*3gÿ]ü(ÿ"�3�����ü2�<���ý¯ÿ�1�j�ûMý þqû&F7�VYW�ÿ�3gýxü6�Yý¯þ�ÿ6VÖ7,���1qÿ�1�V��9++ÿ"�(ûÝüS�[3C�.�`ü ü¥û.3ºÿ;g����6�Y�Fÿ�+*?HWÿ�� ÿ@/Iû���ý¯þ�ÿrû&Pý ÿ��D=z7�VYW�ÿ�3^ý�3(7�.ü¥ûÝü�ý¯ÿ"I3xûMÿ]ü6��� ÿ ���]û��ýC�]û��ÿ�1 ø�ö�ùeó<� �PùNö�õ]ó�øz����j�ûFý¯þ�7,��ýãý þPÿ Pÿ�3gÿ]ü ü¥ûMýD5��.7���.ÿ��D=>7,V�W�ÿ�3gý���7<3����«û��nÿ�1Rü25YI3^þ �D7�qû�����ý�û�7�}3;7�1)ÿ�/��� 7��:���&5X1<7tÿKü��7Ný-7�3"3(����û� ý¯þ�ÿ$���jü�ýL�Y�.�,3^ÿ�?�o 7�� �}� �D7Ný�7Ný�5Y�Pÿ��G�GJ]\ �������I���`ÿ%$'&)(!*�+-,�.0~��,���>/Uj!ÿ§ýC��Ptÿ§ý þPÿF��������7��,3xþ 7����(��ó�ø�ùeúKø�÷Fúnù@�4���

öjõD)��)úK÷Ýó@b�`eöÒõ��[÷cº÷Ýó�ùeø�÷Fó�bÒý þPÿ0Pÿ�ÿ�1��z7,�Iü25Y�3gþ���7�)û�����ý�û&7,�3;7�1)ÿ�j�ûMý þ�ý¯þ�ÿ<ÿ��6V�ÿ�1�1qÿ�1ý��*���üD��3gý�û�7,��¸ÿ��VýD� � ÿ7��Lý þ�ÿ(ü25Pü�ý¯ÿ"� /qû�.ü�ý¯ÿ��,1�7���û��fNÿ�)ý�û���9f�����û�7��.ü�Pÿ"j ü25YI3^þ���7�qû�����ý�û�7�RüD3jþ�ÿ���ÿ]ü�j!þ)û3^þ6�ºû&�`þ�ý]3"���.ü�ÿG5Nÿný�� 7Ný¯þ�ÿ��9���7,�:����5 ?`�!ûÝü�ýD��û&V ��ý¯ÿ�1§ýD�C��.üD�,3^ý�û�7�.ü$�>��3jû4�CûMýo5�ü2�����Y�Fÿ���ÿ��ý¯ÿ�1 j�ûMý¯þ���ÿný þ 7I1p���I���C1�ü9��� ÿºý¯þ�ÿV��`ü¥û3�ü25Y�3gþ���7�)û�����ý�û&7,§üD3gþ�ÿ���ÿG7���7�V W�ÿ�3^ýjü�?��L�ÿS�ÿnÿ�1 7Nýzÿ��6�<��7,5��,�����C1�üU�NüL7��¸ý ÿ��/ÊV.ÿ�3"���.ü�ÿû��ý¯ÿ"��=/ ¥Ö®"¬�­�´z¨2µ2®�°�¬ �"ª�¨�¬·­�±�«·­>¦�¨2¶�©"«�¦(¼(¨2¯-¬·°�¦(©�´¬·¶]¬�×R¬·°�¸�µ2¦(¶�©"¬�«·¨2³�²4¦(³�¾�È*& (#* � Í"Â<²4¦;³�¯�¨2´�±�¬¡«�­2Ç�­>¨2¨ D Í"Å F

���

Page 20: web.cse.ohio-state.eduweb.cse.ohio-state.edu/~soundarajan.1/courses/788/matsuoka93analysis.pdf! "# $&%(') * + ,)$& - . 0/#12 ! 3 - 546 !7! 8 9 9 7":;< 7!37! 8= >@? ACB DFE GIH.JKELDMJNAPORQTSVUW?

7�V W�ÿ�3^ýãü25��3gþ��D7,)û����Vý�û�7,��z7,�m�:�]û��ýC�]û�)û���Úû&Pý ÿ�����ûFýo5§ûÝü9�7�j û��6�<�«û3xûMý(û&¡ý¯þ�ÿRýD�C��.üD�,3^ý�û�7���>��3jû��«ûMýD5�7��ý¯þ�ÿ�ü25)ü�ý ÿ��T?v�2ûFý¯þRü2��3gþ���ü�ý��*�Vý ÿ���5�/Nû&Pþ�ÿ���ûMý*���3gÿS���7,�:����5ºû¸ü]�Mÿ]ü ü��«û&Ptÿ;��5�ýD7m7<3�3;� ��/�ü¥û&I3^ÿ-ý þPÿ"� ÿWûÝü]�Mÿ]ü ü� ÿ�Q@�qû&�¯ÿ"��ÿ��ý��.7��U1qÿ]üD3(��û�V)û���i7�V�W�ÿ�3^ý�=>j�û¸ü�ÿ(ü25YI3^þ���7�qû�����ý�û�7��?� ûMý¯þ}�dV�7�� �1qÿ�1�V���+�ÿ���/��z7,�!ÿ(gI���6�Y�Mÿ@/�7,<��5rý¯þ�ÿÉÿKü ü�ÿ"�ý�û���v�>���I���*1qÿ�1�+ ,�.9/X��I1 4;6</:��ÿ�ý¯þ�7<1PüL��� ÿ

�ÿ�3^ÿKü üD����58E@3;7,�6�Ö7,���1S��ÿný þ 7<1�ü�PY 7�jL�ý�7m3�����ü¯ÿL���7,�:���«ûFÿKü�/tü2�I3^þd�`ü?4;6</ � /@���¯ÿ- 7���7� �Nÿ����ÿ�3^ÿKü üD����5Y? �þqû¸üWûÝüLV.ÿ�3�����ü�ÿij�ûFý¯þ $ &)(!*�+),�. 7�Pÿd3"����.ÿ"�2�.7���� ü2��3�3^ÿKü ü¥û�feÿM4;6</)üÉýD7Âý¯þ�ÿdV �9+�ÿ��Uj�ûMý þ����I���*��qý ÿnÿ7��-�VýD7,�ºû3xûMýD5}j�ûFý¯þ�7,��ýG�� 5}���D7,���C���6�ºû��� 7��aü25YI3^þ �D7�qû�����ý�û�7��3(7<1)ÿ�ü2��3gþ��Nür��7�3CPeû����?9��ÿS� ÿ(�¸ÿ"�(ý¯þ�ÿ� ÿ���1qÿ"�xü�ý�7:�ãü�ÿ"�I���*�Vý¯ÿS�����.ÿ����.7��aý þPÿS1qÿ�ýC�]û4�Ýü-7�� $ & (!* +),�.�~¡�����>?����ÿd�:��Pqÿ6�}�7`ý ÿ�ý þI��ý"/Iü¥û&I3^ÿrý¯þ�ÿ:��V�7�fNÿºý�j�7[��� ���D7@��3jþPÿ]ü9���¯ÿ��7`ým3(7�PýD�*�,1tû3^ý�7���5�/�j!ÿ63������ü�ÿ

V�7Ný¯þp����� �D7��,3^þPÿ]üÒýD7ãÿ^ûMý þPÿ"�zÿ(�Cû��ºû���Vý ÿ�7��r��ýt�Fÿ��Nü�ý-�ºû�)û��ºû���ÿ-ý þPÿû&Pþ�ÿ���ûMý*���3gÿS���7�������5Y?�+

� & í(ê�ð �gï`�Lñ í(ê �-ê�î���ï�ëÎï�ì��� í�ì�� �þPÿ$����û���ÿG7,VYW�ÿ�3^ý�û�fqÿ$7������GJt\F�.����,�����Nÿ]ü0ûÝü<ý�76����7�fNû.1qÿr�:��gtû��6��� 3;7,�6���Pý*�Vý�û�7,�������7,j�ÿ��Òý þ �D7�� �Nþ3(7��3(����� ÿ"I3;5 7���7,V<W�ÿ�3gýjü"?�A!ý�ý þPÿ üD����ÿrý�û���ÿ�/L�G�GJ]\h�.����,�����NÿKüd���4��7�j ý¯þ�ÿRü25)ü�ý ÿ�� ýD7[V.ÿ��.ÿ(gqû�V<�Mÿ��I1�1<5�����ºû3"���4��5[3;7�Y���,���*��V<�Mÿ@?� �þqû¸ü-ÿS+�ÿ�3gý�û&ftÿ;��5T3"����ý���� ÿKü-ý þPÿ�ÿKü ü�ÿ"qý�û����� �D7,�.ÿ"� ý�ûMÿ]ü�7��r3;7,�3(���D�¯ÿ"Pý3(7��6���Pý*�Vý�û�7,�����ü25)ü�ý ÿ��Âü�/ jaþ)û3^þ}���¯ÿþqû&�`þ<��5}3(7��6�Y�Fÿ(gT���1��6�.ü�ý-3gþ��� �Nÿ����1Úÿ�f�7���fNÿÉýD7���1 ����ýaý�7�ý¯þ�ÿ� ÿ�Q@�qû&�¯ÿ"��ÿ��ýjü]7��Îý þPÿG�.ü�ÿ���?tN@7,��ÿ�û1)ÿ��Nü�ý¯þ��Vý!þI��fNÿ-�I7�� ��ûÝü�þ�ÿ�1Âû� ý¯þ�ÿ�ü�ÿ�Q@�Pÿ"Pý�û�����G�hj�7,�2�1Ö/��I��� ý�û3;� =����2��5ºû��þ�ÿ���ûMýC���3gÿ@/`þ���fNÿWü¥û��ºû4�.���t7�V�W�ÿ�3gý�û�fNÿKü"E,V��Pýt��Y�z7,� ý�����Vý ÿ(��5Y/@�Nü�j�ÿWþI��fVÿÉü�þ�7,jL�/`ü25��3^þ �D7,)û����Vý�û�7�3(7�.ü�ý��*�Kû&PýxüU��I1;û��þPÿ"��ûFýC��I3^ÿ�þ���fNÿ�3(7�Y��û3^ý�û��� 3^þI���*�,3^ý¯ÿ"��û¸ü�ý�û3�ü�/Ê���1 ý¯þ���üaûMýzûÝüS1eû�£X3(�<�Mý�ýD7 3(7��6Vqû&Pÿý¯þ�ÿ"� û���[3C�Mÿ����j-��5�? �mÿ�þ���f�ÿ��������5���ÿ�1�f�����û�7��.ü-ý�5Y�Pÿ]ü97��!û��þPÿ"��ûMýC���3gÿp���7,�:����5B��I1�1eûÝüD3;�.ü ü�ÿ�1ü�ÿ"ftÿ"�C���8��� ���D7@��3jþ�ÿKü0ýD7(ûMýxü�ü27�����ý�û�7��?t�r� ��ý�j�79� �D7���7eüD���Ýü*û������� ý�û3(�<����tj!ÿ�� ÿG�C��+e�I�xü�ýD=�3C�.�`ü ü�3(7�.ü�ý��D�I3;=ý�û&7,�7��Wü25YI3jþ��D7,)û����Vý�û�7�6üD3gþ�ÿ"�ãÿ]ü$j�ûMý¯þ ö�õ��!õxúKø�÷`eóÂû���G�GJ]\n��� ���I���`ÿ]ü�/����1F�o��+!û��3(7��D��7,�*�Vý�û�7��7��ø�öjùeó<�^ùNúKø�÷&`eó<�G�Nüm��VI�Nü¥û3rü25Y�3gþ���7�)û�����ý�û&7,¡üD3gþ�ÿ"�ãÿXjaþ)û3jþmü�5�qý*�,3^ý�û3"���4��5 � ÿ�1Y��3gÿ]ü97���ÿ(�«û&�ºû�I��ý¯ÿ]ü�ý¯þ�ÿ�ÿnÿ�1��z7,�zü25��3gþ��D7,)û����Vý�û�7�}3(7<1)ÿSj�ûFý¯þ ý¯þ�ÿ-ÿ"�6VPÿ�1 1)ÿ�1ÚýD�C���üD��3gý�û�7����ÿ���ý����¯ÿG7��Òý þPÿ�ü25)ü�ý ÿ��T?�o�3(7�I3*���.ü¥û�7��/�û&�7��C1)ÿ��r�.7,�d�G�GJ]\O�������I���`ÿ]ü!ýD7XV.ÿd�.üD��V<�Mÿm�.7,�r����D�Nÿ�=¥üD3����Mÿd���D7,���C���6�ºû����/8ý þPÿ

û��þ�ÿ���ûMýC���3gÿ]���7,�:����5��ÿnÿ�1Pü8�67��¯ÿ*ý¯þ�7,�D7�� �Nþ-ý þPÿ"7��¯ÿ�ý�û3"������I����5Pü¥ûÝü�/��Y�&��ü�1)ÿ���û�fY�Vý�û�7,�7��I�t��7<7<1ü27�����ý�û&7,�?��ÿ$�ÿnÿ�1 ý�7Âü�ý���û�fNÿG7, ý¯þ�ÿ$�z7�����7,j�û���tü��

4 wÒü�ý*��V<�«ûÝü�þ)û���i�d�67,� ÿ���� ÿ�3xûÝü�ÿ���I1:�.7����:����1qÿ;�I)ûMý�û�7�}7��v3C��Nü ü¥û4�83���ý�û&7, 7���û��þPÿ"��ûFýC��I3^ÿ����7��:����5Y?AL�Fý¯þ�7,���`þ�~¡�,���Ê�:�,1)ÿ-ü27���ÿ$� � ÿ(�Cû��ºû�����D5d�z7,�D�:������I����5Pü¥ûÝü�/NûMýÒû¸ü�ü�ý�û4�4�8û&I3;7,�6�<�Mÿ�ý¯ÿWû�Úý¯þ��VýÒûMýt7�<��5ý�� ÿ���ýjü0ý þPÿG���7,�:����5�ý þI��ý07<3"3(���xü�j�ûMý þRü�ýC��ý¯ÿr����� ý�ûFý�û�7�)û� �I?0 �þ�ÿ$jt7���PºýD7,jL���*1Pü�ýD5���ÿÉý¯þ�ÿ�7��D5d�.7���,3^ý�û�feÿ�7,V�W�ÿ�3gýxü�~¡� �;��/@��I1i� ÿ�3^ÿ�qý�j-7��DP9V�5�A$�ãÿ"��û3��-ÿ�ý"?0���R?ÎýD7�ü�ÿ"�I���*�Vý ÿ!ý þPÿWü2� V�ý�5Y�qû& �-þqûFÿ��*���*3^þ�5�.�D7,� ý þPÿû��þ�ÿ���ûMýC���3gÿþqûMÿ"�*���*3gþ<5ºû�§ý þPÿd\��G�$s[�����ºû4�&5}7��t�G�GJt\��������I���`ÿ]ü�~¡� /<y,�v3;7,�<�1§ü�ÿ"��fNÿ�`üL�dVI�Nü¥ûÝü�7��v�67��¯ÿS3(7��6� � ÿ�þPÿ"�ü¥û&ftÿr�z7,�D�:���CûÝü2�T?

4 �I���¯ý þPÿ"��û1)ÿ"Pý�û4�Ê3"�Vý�û�7�$7��Ê���`ÿ"Pÿ"�*���Y3*��Nü ü87��8ü25YI3jþ��D7,)û����Vý�û�7�(üD3jþ�ÿ���ÿ]ü8j�ûMý¯þG� ÿKü2�.ÿ�3gý�ýD7����7�������53C��Nü ü¥û4�83���ý�û&7,.ü�? Ar�Mý þ 7�� �Nþ�j!ÿ§ý���ûMÿ�1 ý�7BV�ÿ��`ü}3;7,�6���¯ÿ�þPÿ"�ü¥û&ftÿ��Nü6�Ö7eü ü¥û&VY�MÿpV�5l3���ý¯ÿ"�,7���û��gû& ����1�ü�ÿ(�Mÿ�3gý�û���m� ÿ����¯ÿ]ü�ÿ�)ýC��ý�û�fNÿÉü25YI3jþ��D7,)û����Vý�û�7,rüD3^þPÿ"��ÿKü�/��.7����:���8�������5Pü¥ûÝü]�ºû��Nþqý0���D7,feû1)ÿ��67��¯ÿû�.ü¥û��`þ)ýjü]�.7����.���¯ý þPÿ"�zü2� V�=�3"�Vý ÿ���7,��û����Vý�û�7��?

4 \��D7,�.ÿ"�G1)ÿ"fNÿ(�&7,����ÿ�qýU7��v�.����,�����`ÿ]ü9�z�¸ÿ��VýD� � ÿKü(+�ý þI��ý�ÿ^ûMý¯þ�ÿ��-ý�7NýC���4��5T��f�7�û1X7,���ºû�qû&�ºû��nÿû&Pþ�ÿ���û�=ýC��I3^ÿ9�� 7��:���&5�/�VI�Nü�ÿ�1�7�Rý þPÿd��V�7,f�ÿÉýDjt7i��I����5Pü¥ûÝü�?

� � � �<ì�!êºðI�g�� ß���¨NÆ� <ÇK�t�NÏ������������������r¶ �]­ Ët¶"!#�ζnª)³ á�®¯® ­¯ª`°���¶nÊÒàqá]°¥²x°�©F¶nª©«ª%$�©¤´�°¸®¯©'& á]°Y­(�)�qµ^´�°Y­ ÊW´ ÏeÐ0�N�+*º��Ð6ç+¼¥�x�¥�gÅ

ß-, .0/NÏ

���

Page 21: web.cse.ohio-state.eduweb.cse.ohio-state.edu/~soundarajan.1/courses/788/matsuoka93analysis.pdf! "# $&%(') * + ,)$& - . 0/#12 ! 3 - 546 !7! 8 9 9 7":;< 7!37! 8= >@? ACB DFE GIH.JKELDMJNAPORQTSVUW?

� ä �*ã�j�NÀ��x� � �¥£¤���n�t¦ <�t�n�t¦ãÐ�¼¥£¤ t�n�¥�N£¸Ï����n���º�^�e�¥�¥¼��K»¯�¥£[¢K�Â�n�q¦ºÀ��g»¯�q�n�N£¤�¥À×£[�rÓ�£¤�t���KÓ�Ð!Ï�������®¯¶g³¥­�­�n©Cª��x´¶"! � ������� � ���nÅ`ÔV¢KƤ¨NÀ��aä��`ÅN t�nÇK�j�0ä0/����`ä����NÏeÓ`� �aç�� ����*¢��¥£«»¯�j�^Å �æ�* ç�¼¥�j���gÅ`Ó��j e�Y�xÀ��N�j¼Wß-,0. .NÏ

� � -çLÏ <À��j¼¥£«»j�NÏã���N�e�j¼¥£¤���n�t» ���n�t¦ �¥¨N�N�¥¿� N£¤�NÇ�£¤�È�� q�^¼��nƤƤ�jÆI¢K�K¾��g» ��½�¢�¼¥£¤�j�e�Y�^¦rÆ«�^�eÇK¨t�nÇK�]Ïã�����ή�¶^³�­�­�n©«ª��g´(¶"!�)���+���� ���jÅÎÔ�¢�Ƥ¨NÀ��ãä��0/�¢^Á��­�³�°¸á`®�­! !¶g°Y­�´�©Cª �ζnÊ<àqá]°Y­ ®%��³¯©Ý­ ª)³ ­ Å� q�^ÇK�x�(ä��#"#�`ä#"]äNÏ�Ó� e¼¥£[�eÇK�j¼�½%$��j¼¥Æ«�nÇtÅß-, .��NÏ

� " -ç�£¤�j¼¥¼¥�+ ÒÀ��x¼¥£±»x�`Ï 6 t�n¼��nƤÆ[�xÆe¢K�V¾��g»¯��½¸¢K¼¥£¤�j�e�Y�^¦!Æ«�n�NÇK¨t�nÇK�*Ä0£¤�Y��£¤�N�N�x¼¥£[���n�t»¯���^�q¦É�¥¨N�e�¥¿V N£¤�NÇtÏt���&��®¯¶g³�­�­�n©Cª��g´¶"! � ������� � '�(nÅ`ÔV¢KƤ¨NÀ��aä��`ÅN t�nÇK�j��ß-/Nß)�)ß(/0.NÏeÓ`� �aç�� ����*¢��¥£«»¯�j�^Å �æ�* ç�¼¥�j���gÅ`å�» �Y¢K�P�j¼aß-, ,�*NÏ

� � -ç�£¤�j¼¥¼¥� <À��j¼¥£«»j�NÏ+�Ò�j��£[ÇK�e£[�eǧ�n� ¢���¾��^»¯��½¸¢K¼¥£[�x�N�¥�g¦§ N¼¥¢KÇK¼��nÀ�À�£¤�NÇ;Ʊ�n�eÇ�¨q�^ÇK�ÂÄ0£[�¥�6�q�j�q�^Ô�£¤¢K¨N¼��nÆ*�¥¨e�N�¥¿V `½£[�eÇtÏÚ���,��®¯¶^³�­�­�n©«ª��g´º¶"!-°F¬e­%���.- ��³�¬e¶n¶nË /0�¶n®21g´�¬e¶�à ¶nª43+¶ná�ª��]²g°¸©Ý¶nª`´�¶"! �)&65x­j³�°87 �0®¯©F­ ª`°Y­ �&+²nª��náe²��]­�´9 �:�;-:/�3��+�<>=#?@ !¶�¶n® �#A�© 5)1]­ ®�¬e¶ná]°8?)°Ý¬N­: W­�°F¬e­ ®¯Ë±²nª��g´2? �Ú²nµ�?8BC'�'�(nÅK�N¨NÀz�N�x¼D" .0,�£[�!�P�^»¯�¥¨N¼¥�E�*¢K�Y�x�L£[��æ�¢�Àz½ N¨N�¥�x¼ÒÓN» £[�x�t»¯�VÅ` t�nÇK�j� /�*�� ,�*NÏeÓ` N¼¥£¤�NÇK�j¼�½%$L�j¼¥Æ«�nÇtÅCF)�j�N¼¥¨q�^¼¥¿ºß-, ,NßKÏ

� / ���¼¥�jÇK¢�¼¥¿ GaÏ� Ò�q¦�¼¥�jÄ0�<�n�t¦&Fe¼¥�g¦IH�ÏeÓN»¯�e�N�j£«¦��x¼gÏ�æ�¢��q»¯�j e�Y�<�n�t¦��e¢K���n�¥£¤¢��e�IÁM¢K¼Ò» ¢K�t»¯¨N¼�¼¥�j�N�� N¼¥¢KÇK¼��nÀ�À�£¤�NÇtÏ��� � �ζnÊ<àqá]°¸©Cª�� �qá�®KJ�­ µg´ Å�ßL��Ü�ßxÞNM ����"O�NÅ�*��^¼�»��rß-, .��NÏ

� � �P)ÏeçLÏ�H��n�N��¢K¨N��ÅQ��Ï�Fe�j¼��n¨t¦�Å`�^�q¦ºæ�Ï�HL�x�Y¢K¨e¼¥�N�]Ï �RK�YÄL¢�¦��jÇK¼¥�j�x�0¢nÁ8ÁF¼¥�j�g¦`¢KÀ�R�n N N¼¥¢V�K»¯�ÁM¢K¼* t�n¼��nÆ[Ƥ�jÆ� N¼¥¢n½ÇK¼��^À�À�£¤�eÇeÏ8���S�ή ¶g³�­�­�n©Cª��x´�¶"!Ò°F¬e­TB�'�'�(�U)���D�VU ª`°Y­ ®¯ª)²g°¸©Ý¶^ªP²^Ë ��¶nª(!x­ ® ­ ª)³�­�¶^ª �ή ¶W�n®�²nÊÉÊz©Cª��T+²nª��nát²��K­�´ Å t�nÇK�j�<ä0/Nß2�`ä���*NÅ�ß-,0,�*NÏ

� . ���£[Æ«�K¦VHL¼��K»¯�q�ã�n�t¦ Ù £¤Æ¤Æ[£«�nÀ æ΢�¢ � Ï *º£ÌØ`£¤��½¸�q�^���g¦ £[�e�N�j¼¥£¤���n�t»¯�]Ï;���,��® ¶g³�­�­�n©«ª��g´º¶"! �+�<� �� � � '�(nÅ�ÔV¢KÆ̽¨NÀ��Wä��NÅ` t�nÇK�j�E��*����C�NßKßKÏeÓ�� �!çD� X�Y�*¢K�¥£±»¯�x�gÅ �æ�* ç+¼¥�x�¥�gÅeåa»¯�¥¢K�q�j¼!ß-,0,�*NÏ

� , �PV�g�n��½�ç�£¤�j¼¥�ZHL¼¥£¤¢K�!�n�t¦ � £¤�N¢K¼¥£.[0¢K�N�jÛ^� ÄI�NÏa���e�N�j¼¥£¤���^�q»¯��n�t¦��¥¿��t»��N¼¥¢K�N£¤Ûg�n�¥£[¢K��£[�R»¯¢K�t» ¨N¼¥¼¥�j�e��å�å�ç*Ïz����ή ¶g³�­�­�n©Cª��x´�¶"!D� � �+�<�\� �>�jÅ^ÔV¢KƤ¨NÀ��Lä��0/΢nÁ]+­�³�°¸á`®�­; !¶g°Y­�´Î©«ª ��¶^Ê<àqá]°Y­ ® ��³¯©Ý­ ª)³ ­ ů q�nÇ��x�;������"O*NÏ^Ó� N¼¥£¤�NÇK�j¼Y½$��j¼¥Æ«�nÇeÅ)ß-,0.��`Ï

� ßN* �ç�Ï ÉÏ�HΨN�e¼gÅ ��Æ[�x�^�Ò£¤��» ��Ít�xƱ¦�Å]�n�t¦-æ�Ï�G!Ï�_��n¼¥� � �]Ï �¦e¦�£¤�NÇ�»¯¢K�q»¯¨N¼¥¼¥�j�q»¯¿z�¥¢z�!�¥���n�Y£«»j�nƤƤ¿z�¥¿V e�¯½¸���gÁF�<¢K�K¾��g»¯��½¢K¼¥£[�x�N�¥�g¦- e¼¥¢KÇ�¼¯�^À�À�£¤�NÇ-Ʊ�n�eÇ�¨q�nÇ��VÏ8���`��® ¶g³�­�­�n©«ª��g´!¶"!�°F¬e­XB�'����#��� � �CU�a<�D �� b0�¶^®21g´�¬e¶�à ¶nª �)&65x­j³�°87c<²g´g­ � �ζnª)³ á`®¯®¯­ ª`°d��®¯¶)�n®�²nÊÉÊz©Cª��nÅ.Ô�¢KÆ[¨eÀ���ä#"tÅ� t�nÇK�j�ãß(.��`äNßKÏ�Ó�� �aç�� ��e�0¢K�¥£«»¯�j�^Å �æ *9ç+¼¥�x�¥�gÅ Ò e¼¥£[Æß-, .0,NÏ

� ß�ßIG!Ï]f!Ï�æ0�nÀ� e�t�xÆ[ÆL�n�t¦ ÉÏg�WÏ]f<�n�t�x¼¥À�n�N��ÏzÐ0�N���¥ q�g» £ÑÍP»j�n�Y£¤¢K�R¢nÁI N¼¥¢`»¯�x�¥�a�¥¿��t»¯�e¼¥¢��e£[Û^�n�Y£¤¢K���N¿º t�n�¥�r�¯Ø�½ N¼¥�j���¥£¤¢K�N�gÏ����h.­�³�°¸á�®�­d !¶g°Y­�´!©«ª ��¶^Ê<àqá]°Y­ ®+��³ ©Ý­¯ª)³¯­¯ÅVÔ�¢KÆ[¨eÀ��Éß-/NÅ` t�nÇK�j� .0,��)ßN*KäNÏ`Ó� e¼¥£[�eÇ��x¼�½%$��j¼¥Æ«�nÇeÅ)ß-,��#"tÏ

� ßjä I�Ò�x�N£¤�ºæ0�n¼¥¢�À��xÆÝÏ ÇK�j�N�x¼��^Æ�À�¢t¦��jÆÒÁM¢K¼�»¯¢K�t»¯¨e¼¥¼¥�j�N���n�t¦¡¦�£¤�¥�¥¼¥£[�e¨N�¥�g¦ ¢K�K¾��^»¯��½¸¢K¼¥£[�x�N�¥�g¦§ N¼¥¢KÇK¼��nÀ�À�£[�eÇtÏ������®¯¶g³�­�­ �^©Cª��g´É¶ !!°Ý¬N­�B�'���� ��� � �CU�a<�D �� i0�¶n®21g´�¬e¶�à�¶nª �)&65g­ ³�°87jc<²g´x­� ��¶nª)³¯á`®¯® ­¯ª`°��® ¶)�n®�²nÊzÊÉ©«ª��nÅÔV¢KƤ¨NÀ��aä#"eÅN t�nÇK�j�WßL*�ä��)ßL*#"eÏ`Ó`� �aç�� ����*¢��¥£«»¯�j�^Å �æ�* ç�¼¥�j���gÅ < N¼¥£¤ÆLß-,0.0,`Ï

� ßN� <�N�¥¢K�N£¤¢æ�¢K¼¥¼��K¦�£L�n�t¦h�P�x�Y£¤Ûj£«�k���j¢K�t�n¼�¦�£¸ÏWç��^¼��nƤƤ�jÆ[£¤�¥À&£¤�r¢K�K¾��^»¯��½¸¢K¼¥£[�x�N�¥�g¦º e¼¥¢�ÇK¼��nÀ�À�£¤�NÇ�Æ«�n�NÇK¨t�nÇK�j�^Ïa����ή ¶g³�­�­�n©Cª��x´*¶"!I°F¬e­:B�'�'�(dU)���D��Ujª`°Y­¯®¯ªP²x°�©F¶nª)²nË��ζnª(!g­ ®¯­ ª)³�­0¶nª^�ή ¶)�n®�²nÊzÊÉ©«ª���+²nª��^át²��]­�´ Å^ q�^ÇK�x��ä��Nß)��ä0.�*NÅß-, ,�*NÏ

� ßK" I�zÏ�Ò�g»¯¢K¨t» �t�n���É�j�gÏL�nÆÝÏ ��¥¿��t» �N¼¥¢K�N£¤Ûg�n�¥£[¢K�§À��g»¯�q�^�e£[��À ÁM¢K¼�¥¿V N�^¦È¢K�K¾��^»¯�¥�£[�6�R¦�£¤�¥�¥¼¥£[�e¨N�¥�g¦È��¿V���Y�xÀãÏ������®¯¶g³�­�­ �^©Cª��g´É¶ !!°Ý¬N­�B�'���� ��� � �CU�a<�D �� i0�¶n®21g´�¬e¶�à�¶nª �)&65g­ ³�°87jc<²g´x­� ��¶nª)³¯á`®¯® ­¯ª`°��® ¶)�n®�²nÊzÊÉ©«ª��nÅÔV¢KƤ¨NÀ��aä#"eÅN t�nÇK�j�WßL*����)ßL*��`Ï`Ó`� �aç�� ����*¢��¥£«»¯�j�^Å �æ�* ç�¼¥�j���gÅ < N¼¥£¤ÆLß-,0.0,`Ï

� ßN� I�<�n¼��n£[� ���x�t�n�N£.�n�q¦ºÙ £¤Æ¤Æ[£«�nÀe�ÉÏ�GI¢V¢KÀ��]Ï ��¬e­��ζnª)³ á`®¯®¯­ ª`°)�l��® ¶W�n®�²nÊÉÊz©Cª����²nª��nát²L�]­ ÏLç�¼¥�x�N�¥£±» ��f<�nÆ[ƸÅß-, .0,NÏ

� ß(/ ZP]¢K�e�mf*¢KÇKÇ��n�t¦ Ó��¥�jÔV�x�rÙÚ�j£¤�¥�j¼gÏå�Ð)*�M8�^ e NƤ¿V£¤�NÇ�¢K�K¾��^»¯�¥�W�Y¢����n� � �gÏ���n��®¯¶g³�­�­�n©Cª��g´-¶"! � ������� � �>�jÅÔV¢KƤ¨NÀ��aäKä`ÅN t�nÇK�j�E�0. .����0,��`Ï`Ó`� �aç�� ����*¢��¥£«»¯�j�^Å �æ�* ç�¼¥�j���gÅeåa»¯�¥¢��q�j¼Wß-,0.��`Ï

� ßN� I�Ò�x�N�N£¤� ��Ïpoa�xÁF¨N¼����n�q¦,o<�x¨N�NÇ,fÒ�n�h���j�]Ï ���N�e�j¼¥£¤���n�q»¯��£¤� �» �Y¢K¼��t�n���g¦6»¯¢K�q»¯¨N¼¥¼¥�x�N��¢��]¾��g» ��½�¢�¼¥£¤�j�e�Y�^¦Æ±�n�eÇ�¨q�nÇ��x�gÏ����h��®�¶g³�­�­�n©Cª��x´W¶"!X� � � ��\� ��'nÅV t�nÇK�j�WßL�`ß)�)ßq"O�NÏeæ0�nÀ��N¼¥£«¦�ÇK��r*�N£¤Ô��j¼¥�¥£¤��¿-ç+¼¥�x�¥�gÅ�ß(,0.0,NÏ

� ß(. If*�j�e¼¥¿`�P£[�x�P�j¼¥À�n��Ïæ�¢K�q»¯¨N¼¥¼¥�j�e��¢K�K¾��^»¯��½¸¢K¼¥£[�x�N�¥�g¦� N¼¥¢KÇK¼��nÀ�À�£[�eÇ�£¤� �» �2�NßKÏ(�¸� � £¤�N¢K¼¥£.[0¢K�N�jÛg�gÄI�(�n�t¦*��n¼¥£¤¢�Ð+¢ � ¢�¼¥¢tÅ^�^¦�£¤�Y¢K¼¥�gÅ �)&65x­j³�°87 �0®¯©F­ ª`°Y­�#��¶nª)³ á�®¯®�­ ª`°s�ή ¶)�n®�²nÊzÊÉ©«ª��nÅx t�nÇK�j��,��C�0/NÏ^Ð0�N� *º��Ð�ç�¼¥�j���gÅ`ß-,0.��NÏ

� ß(, �Ó`�Y�xÔV�j� t*Ï]�P¨q»j»¯¢tÏaçL�n¼��nÆ[Ƥ�jÆ8 N¼¥¢KÇK¼��nÀ�À�£[�eÇ�£¤�Â�(Ô�£[¼¥�¥¨t�nÆ8¢K�V¾��g»¯�<�¥ q�K»¯�]Ïa���n��®¯¶j³�­�­�n©Cª��x´¶ !%� ������� � �>�jÅÔV¢KƤ¨NÀ��aäKä`ÅN t�nÇK�j�<ä0/L���#"tÏ`Ó�� �aç�� ����*¢K�¥£±» �j�gÅ �æ�* ç+¼¥�x�¥�gÅtå�»¯�¥¢K�q�j¼!ß-,0.��NÏ

� �

Page 22: web.cse.ohio-state.eduweb.cse.ohio-state.edu/~soundarajan.1/courses/788/matsuoka93analysis.pdf! "# $&%(') * + ,)$& - . 0/#12 ! 3 - 546 !7! 8 9 9 7":;< 7!37! 8= >@? ACB DFE GIH.JKELDMJNAPORQTSVUW?

� ä�* �Ó`ÔV�j�q¦&Fq¼ � Æ[¨e�t¦PÏÒ���N�e�j¼¥£¤���n�t» �W¢nÁI�¥¿��t»¯�e¼¥¢��e£[Û^�^�¥£¤¢K��»¯¢K�N�¥�¥¼��n£¤�N�¥�*£[�R»¯¢K�t» ¨N¼¥¼¥�j�e�0¢K�V¾��g»¯��½¸¢K¼¥£¤�j���¥�g¦º e¼¥¢KÇ�¼��nÀz½À�£[�eÇ�Æ«�n�NÇK¨t�nÇK�j�gÏ���� ��®¯¶^³�­�­�n©«ª��g´!¶"!d� � � ���� '��]Å�ß-,0,Nß�Ï0ÜF�¥¢(�^ e q�g�n¼�Þ Ï� ä`ßIf*£«¦��j�e£ � ¢�*��^��¨N�t�n¼��NÅ^ÓN�n�¥¢����N£ *��n�¥�¥¨N¢ � �NÅ^�^�q¦ � £¤�N¢K¼¥£�[�¢��e�jÛg�gÄI�NÏ�å��V¾��g»¯��½¸¢K¼¥£¤�j���¥�g¦�»¯¢K�t»¯¨e¼¥¼¥�j�N��¼¥�¯Ãt�^»¯�¥£[Ô��

Ʊ�n�eÇ�¨q�nÇ��x�<»j�n�º�t�a£¤À� NƤ�jÀ��x�N�¥�g¦-����»¯£¤�j���¥Æ[¿�Ï���� �qá &¯ÊÉ©¤°Ý°Y­ �W°Y¶ �+������� � '��]Å�ß-,0,Kä`Ï� ä�ä �Óe�^�¥¢K�¥�e£ *��n�¥�¥¨N¢ � �R�n�t¦ÈÓN�n�¥¢K¼¥¨ o��nÄÎ�n£¸Ï r0��£[�eÇÚÐ�¨N eÆ[��Ó` t�K»¯��»¯¢KÀ�À�¨N�e£«»j�n�Y£¤¢K�È£[�6¦`£[���Y¼¥£¤�N¨e�¥�g¦È¢K�K¾��g»¯��½

¢K¼¥£[�x�N�¥�g¦�Æ«�^�eÇK¨t�nÇK�j�gÏÒ���`��® ¶g³�­�­�n©«ª��g´É¶"! � ������� � ���nÅ)ÔK¢KÆ[¨eÀ��Wä��NÅt t�nÇK�j��ä��0/��`ä0.��NÏ)Ó�� �aç�� ��+�*¢��¥£«»¯�j�^Å �æ * ç�¼¥�j�¥�^ÅeÓ��x N�¥�jÀ��N�x¼!ß-,0.0.`Ï

� ä�� �Óe�^�¥¢K�¥�e£�*��n�¥�¥¨e¢ � �NÅgo��j�RÙ � � £¤���NÅ8�^�q¦ � £¤�N¢K¼¥£.[0¢K�N�jÛ^�xÄ0�NÏÓ�¿��t»¯�N¼�¢��e£[Û^�^�¥£¤¢K�Ú» ¢��e�¥�¥¼��n£[�e�Y��Ä0£[�¥�R£¤�N�e�j¼¥£Ì½���^�q»¯��M�Ù �t�n�+£¤���N¢K�+ q¢K�¥�¥£¤�NƤ��� ��¢�Ä0�t�n�+£¤���ÂÐ��g»Y�N�e£±»x�^Æ�GI�x t¢K¼¥�0ßL*NÅ��<�j t�n¼¥�¥À��j���.¢nÁq���`ÁM¢K¼¥À�n�¥£[¢K�-ÓN»¯£¤�j�q»¯�]Å�¥�N� r0�e£¤ÔV�j¼¥��£[��¿�¢nÁ�Ð+¢ � ¿]¢eÅ)ß-,0,�*NÏ

� ä " �Óe�^�¥¢K�¥�e£ *��^�¥�¥¨e¢ � �NÅeÐÎ� � ¨N¢(Ù �n���^�q�n�N�]Å8�n�t¦ � £[�e¢�¼¥£.[0¢K�e�jÛg� Ä0�`Ï f*¿��N¼¥£«¦�ÇK¼¥¢K¨N r¼¥�¯Ãq�g»¯�¥£¤ÔV�W�n¼�»¯�e£[�¥�g» �Y¨e¼¥�ÁM¢K¼�¢K�K¾��g»¯��½¸¢K¼¥£¤�j�e�Y�^¦�»¯¢K�t» ¨N¼¥¼¥�j�e�Ò¼¥� Ãt�g» �Y£¤Ô��� e¼¥¢KÇ�¼��nÀ�À�£¤�NÇtÏz������®¯¶g³�­�­�n©Cª��g´É¶ !��)���+���� ' B]Å)�e¨NÀz�N�j¼ �Nßjä£[� ���g»¯�¥¨N¼¥� �*¢K�¥�j�*£[��æ�¢KÀ� N¨e�¥�j¼0ÓN» £[�x�t»¯�]ÅN t�nÇK�j�<ä��Nß2�`ä���*NÏeÓ� e¼¥£[�eÇ��x¼�½%$��j¼¥Æ«�nÇeÅtß-,0,`ßKÏ

� ä�� �Óe�^�¥¢K�¥�e£ *��n�¥�¥¨N¢ � �z�n�t¦ � £¤�N¢K¼¥£@[0¢K�e�jÛg�xÄ0�NÏ *ã�j���^Ƥ�jÔ��jÆ)�¥¢KƤ¨N�¥£¤¢K���¥¢-£[�e�N�j¼¥£¤���n�t»¯�W�n�N¢KÀ�nÆ[¿�£[��» ¢��q»¯¨N¼¥¼¥�x�N�¢K�V¾��g»¯��½¸¢K¼¥£¤�j���¥�g¦ÉÆ«�^�eÇK¨t�nÇK�j�gÏ)���&��® ¶g³Y­�­�n©Cª��g´�¶"!I°F¬e­:� � � ��g/ � ������� � '�(`0�¶n®21g´�¬e¶�à�¶nª �<­Câ*­¥³�°¸©Ý¶^ª�²nª���r­�°Y²nˤ­qJ�­ Ë��!®�³�¬�©±°Y­�³�°¸á�®�­�´�©«ª �)&65g­ ³�°87 �I®¯©Ý­¯ª`°¥­�T��®¯¶)�n®�²nÊÉÊz©Cª��nÅ`å�»¯�¥¢K�q�j¼�ß-,0,�*`Ï

� ä / ZP]¢K�� *º�j���jÇK¨N�j¼gÏÎÜÝ q�j¼¥�¥¢K�q�^Æ8»¯¢KÀ�À�¨N�N£«»j�n�¥£¤¢��qÞ Ï� ä�� ZP]¢K�� *º�x�¥�jÇK¨N�x¼gÏ Æ[¢KÇK£«»j�nÆ��¥�N�j¢K¼¥¿º¢nÁ�»¯¢K�t» ¨N¼¥¼¥�j�e��¢���¾��^»¯�¥�gÏI������®�¶g³�­�­�n©Cª��g´z¶"!��+�<� �� � � '�(nÅtÔV¢KƤ¨NÀ��Wä��NÅ

 t�nÇK�j�WßL*Nß2�)ßKßL�NÏeÓ�� �aç�� �� �0¢K�¥£±» �j�gÅ� Òæ�* ç�¼¥�j���gÅeåa»¯�¥¢K�t�x¼!ß-,0,�*NÏ� ä . IG0¢��e£[� *ã£[Ƥ�N�x¼gÏ ��¶nÊzÊÉá�ªe©Ý³ ²g°¸©Ý¶nª�²nª�� �ζnª)³ á`®¯®�­ ª)³¯µ�Ï�ç+¼¥�x�N�¥£±» ��f<�nÆ[ƸÅ�t��NÇKƤ�WæÎƤ£ÌÖP�gÅ�ß-,0.0,NÏ� ä , ZP��¨e¼¥Ç��x�`�*�j�NÀ��x¼gÅg�Ò£¤�j�¥�j¼ fÒ�n�t�n�.Å]Fq¼¥£¤�g¦��xÀ�^�e� *��n�¥�¥�j¼¥��Å]�<£[�j�¥�j¼aÙ ¿��N¼��n�N£¤�jÛVÅ.�n�t¦hfWÏ]�Ò£¤�j�¥�j¼TG0¢�À��q�K»¥�.Ï

o<�x¿Â»¯¢K�t»¯�x N�¥�<¢nÁI�Y�e�W�W�<æ� �ÓãÀ�¨NƤ�Y£«»¯¢KÀ� e¨N�¥�j¼< N¼¥¢x¾��^»¯�gÏ U)���D� �P®�²nª`´x²]³�°¸©Ý¶nª`´z¶nª ��¶"!�°%Aβn®�­T��ª��n©«ª)­j­ ®¯©«ª��nÅßL�VÜ".KÞNM ,NßL��� ,�ä��NÅ <¨NÇK¨e�¥�!ß-,0.��`Ï

� ��* �æ��N¼¥£¤�¥�¥£«�n� �*�j¨e�¥£¤¨N�gÏ�Ó�¿��t»¯�e¼¥¢��e£[Ûx£[�eÇ��K»¯�¥£¤¢K�N�gÏ;���,��®¯¶^³Y­�­�n©Cª��g´�¶"!I�)� � ���� '#B]ÅÎÔK¢KÆ[¨eÀ��&�Nßxä�¢nÁ �­�³�°¸á`®�­ !¶g°Y­�´a©Cª �ζnÊ<àqá]°Y­ ®+��³ ©F­ ª)³j­¯ÅV q�^ÇK�x��ßKß-.��qßL�KäNÏeÓ� e¼¥£[�eÇK�j¼�½%$��j¼¥Æ«�nÇtÅqß-,0,NßKÏ

� �`ß�å���»j�n¼g�0£¤�j¼¥���Y¼��n��Û��n�t¦ *º£«»¯�q�^�xÆ]çL�^ q�n�Y�e¢KÀ�^�^ÏjÐL¢xÄI�n¼�¦��.���Y¿� N�L�¥�e�j¢K¼¥¿�¢nÁe�K»¯�¥£¤ÔV��¢K�K¾��^»¯�¥�gÏ^���!��® ¶g³Y­�­�n©Cª��g´Î¶"!°F¬e­pB�'�'�(E�)���+�<�D7 �+�<� �� � 0�¶n®21g´�¬e¶�àã¶nª �)&65x­j³�°87%c�²x´g­ �#�ζnª)³ á`®¯®¯­ ª`°s�ή ¶)�n®�²nÊzÊÉ©«ª���? ��°F°Y²#Aβ�?��βnª)² �]²L?�Ò³�°� DB�'�'�(nÅNÔV¢KƤ¨NÀ��aäz¢nÁ � ���� �r­�´�´x­ ª��]­ ®¯Å` t�nÇK�j� .0,�� ,��NÏ� �æ�*�ç�¼¥�j���gÅ < N¼¥£¤ÆLß-,0,NßKÏ

� ��ä *RÏtçL�^ q�n�Y�e¢�À�n�^Ï�æ�¢K�t» ¨N¼¥¼¥�j�q»¯¿�£¤�¥��¨N�j��£[�º¢K��¾��g» ��½�¢�¼¥£¤�j�e�Y�^¦- e¼¥¢�ÇK¼��nÀ�À�£¤�NÇ(Æ«�^�eÇK¨t�nÇK�j�gÏI���h�zÏeÐ0��£±»��N¼�£[�¥Ûj£¤�gÅ�g¦�£¤�¥¢K¼gÅ �)&65g­ ³�°)�I®¯©Ý­¯ª`°¥­ �#$z­qJn­ ˱¶�àtÊ­ ª`°¸Å`»¯�t�n e�Y�x¼�ßxä`ÅN t�nÇK�j�<ä�*����`ä#"O�`ÏQr0�e£[Ô]�j¼¥�¥£¤���a¦�� ���j�e�jÔV�VÅ)ß(,0.0,NÏ

� ��� It��¥�¥¨N¿N�(Ó��N£¤�t�n¿V�nÀ�NÏZG0�j¨N�¥�(¢^Á*»¯¢K�q»¯¨N¼¥¼¥�x�N��¢K�K¾��^»¯�ɦ��j��» ¼¥£[ e�Y£¤¢K�N�^Ï���4H�Ï *ã�j¿K�j¼gÅ PqÏ.ç8¢K�Y�¥�j¼gÅ *RÏ�Ð8¢ � ¢K¼¥¢tÅ�n�t¦IPqÏ�HÎ�jÛj£¤Ô�£[�.Å`�g¦`£[�¥¢K¼¥�gÅ@��® ¶ ³�­�­�n©Cª��g´!¶"!%���+�< ����? �qµ �^ª)­ µ�Å` t�nÇK�j�<ä��#"#��ä0/0/NÅ��*¢KÔK�jÀa�q�j¼aß(,0,�*NÏ

� � " <Æ«�^�ÈÓ��e¿`¦`�j¼gÏnt��t»x�n N�¥¨eƱ�n�¥£[¢K�È�n�t¦§£¤�N�N�x¼¥£[���n�t»¯�VÏ ���Y��®¯¶g³�­¥­�n©Cª��x´�¶"! �+�<� �� � � ���nÅ�Ô�¢KÆ[¨eÀ��ºäNßKÅΠt�nÇK�j��0.L�O"O�NÏeÓ�� �!çD� X� �0¢K�¥£«»¯�j�^Å �æ * ç+¼¥�x�¥�gÅtÓ��j e�Y�xÀ��N�j¼Wß-, .0/NÏ

� ��� �æ��N¼¥£¤�LÐ+¢KÀ�Ƥ£[�e�¥¢K���n�q¦�$Ò£¤�N�x�j��Ó�£¤�NÇK��Ï)���N�e�j¼¥£¤���^�q»¯�<�n�t¦É��¿V�q»¥�e¼¥¢K�N£¤Ûg�n�Y£¤¢K�ÉÄ0£[�¥�^t��t�n�eÆ[�g¦V½�Ó��x�Y�^Ï)���&�ή ¶j³�­�­��7©«ª��g´É¶"! � ������� � ��'nÅ`Ô�¢�Ƥ¨NÀ��aä#"eÅV q�nÇ��x�!ßL*����)ßKßjäNÏeÓ`� �aç�� ����*¢K�Y£«»¯�x�gÅ �æ�*�ç�¼¥�j�¥�^Åeå�» �Y¢K�q�j¼Wß-, .0,NÏ

� � / <�t�n�t¦�Ð�¼�£[ q�^�¥�N£¸Å�t�¼¥£±» HÎ�j¼¥ÇK�]Å)�n�t¦ *º�x�NÀ��j� � ��£[�gÏ <��£¤À� NƤ�jÀ��x�N���n�Y£¤¢K�(¢nÁ�¢K��¾��g» ��½�¢�¼¥£¤�j���¥�g¦º» ¢��q»¯¨N¼¥¼¥�x�N� N¼¥¢KÇK¼��nÀ�À�£[�eÇ�Æ«�n�NÇK¨t�nÇK�WÓ��W�� zÏ���¶"!�°%Aβn® ­�� ��®�²]³�°¸©F³�­W²nª�������à)­ ®¯©F­ ª)³¥­ Å)ß(,�Üj�KÞqM ä�������ä��0/NÅ�*��n¼�»¯�rß-,0. ,NÏ

� ��� ZP��n�-Ô��^�-¦��x�^HL¢K���n�t¦æ��N¼¥£¤�:���gÖP¼��NÏ)ç�G*å�æ0å �DM��! q�^¼��nƤƤ�jÆe¢K�K¾��g»¯�LƱ�n�eÇ�¨q�nÇ��*Ä0£¤�¥�( e¼¥¢K�Y¢N»¯¢KÆ[�^Ï)���&�ή ¶g³¥­�­��7©«ª��g´É¶"! � ������� � ��'nÅ`Ô�¢�Ƥ¨NÀ��aä#"eÅV q�nÇ��x�),����)ßL*Kä`ÏtÓ�� �aç�� ����*¢K�¥£±»¯�x�gÅ �æ�*�ç�¼¥�j�¥�^Åeåa»¯�¥¢��q�j¼Wß-,0. ,NÏ

� � . Io��j�-Ù�� � £¤���!�n�t¦ � £[�e¢K¼¥£�[�¢K�N�jÛ^�xÄ0�`Ï �P£[�eÇK¨N£¤�¥�¥£±»I��¨N N q¢K¼¥�¥�LÁF¢�¼*¦��jÔK�xÆ[¢K eÀ��j����¢nÁ8¢K¼¥Ç]�n�e£[Û^�^�¥£¤¢K�t�nÆe£¤��ÁF¢K¼¥À�x½�¥£[¢K�º�¥¿��¥�¥�jÀ��gÏ���� ��®¯¶^³�­�­�n©«ª��g´!¶"! ��� � � �+� �qÅ��*¢�Ô]�jÀW�e�j¼Wß-, ,NßKÏ

� � , Ð�� � ¨e¢�Ù �n���n�t�n�q�!�n�q¦ � £¤�N¢K¼¥£@[0¢K�N�xÛg�xÄ0�NÏ�GI� Ãt�g» �Y£¤¢K��£¤���n��¢K�K¾��^»¯��½¸¢K¼¥£[�x�N�¥�g¦º»¯¢K�t» ¨N¼¥¼¥�j�e��Ʊ�n�NÇK¨q�^ÇK�]Ï0�¸��ή ¶g³�­�­�n©Cª��x´�¶"! � ������� � ���nÅVÔV¢KƤ¨NÀ��<ä��NÅ` t�nÇK�j����* /����NßL�`Ï`Ó`� �aç�� ��Y�0¢K�¥£±» �j�gÅ� Òæ�* ç�¼¥�x�¥�gÅ`Ó��x N�¥�jÀ��N�x¼ß-, .0.NÏ

���

Page 23: web.cse.ohio-state.eduweb.cse.ohio-state.edu/~soundarajan.1/courses/788/matsuoka93analysis.pdf! "# $&%(') * + ,)$& - . 0/#12 ! 3 - 546 !7! 8 9 9 7":;< 7!37! 8= >@? ACB DFE GIH.JKELDMJNAPORQTSVUW?

� "�* *��n�¯�^�e£[¼¥¢�[Ò�n�¥¨eÇ�£¸ÅãÓN�n�¥¢K�¥�N£ *��n�¥�¥¨e¢ � �`Åã�n�t¦ � £¤�N¢K¼¥£k[0¢K�N�jÛ^�xÄÎ�NÏ �H�æ:� �n¢K�Qt�*�½j"�M �N�xÄ �¥¢nÁF��½ÄÒ�n¼¥���n�t�n¼�¦�Ä0�n¼¥���n¼�»¯�e£[�¥�g»¯�¥¨e¼¥�*ÁF¢�¼<¢K�K¾��g»¯��½¸¢K¼¥£¤�j�N�¥�g¦�»¯¢K�t» ¨N¼¥¼¥�j�e�0»¯¢KÀ� N¨N�¥£¤�NÇ-¢����n��� Ø`�¥�j�q¦��g¦º¦e�^���gÃt¢KÄ6��¨�½ q�j¼�»¯¢KÀ� N¨e�Y�x¼gÏe���&��® ¶g³�­Y­�n©Cª��g´Ò¶"! �g°F¬#��� � U ª`°Y­ ®¯ª)²g°¸©F¶nª)²nË �ζnª(!x­ ® ­ ª)³�­Ò¶nª �qá^àq­ ®�³¥¶nÊÒàqáV°¸©«ª��nÏ �æ�*RÅ`ß-,0,KäNÏÜÝ�Y¢(�n N q�g�n¼�Þ Ï

� "eß � £¤�N¢K¼¥£:[0¢��e�jÛg�gÄI�NÅ��^¦�£¤�Y¢K¼gÏ ��c �; �)�!ª � &65x­j³�°87 �0®¯©F­ ª`°Y­� �ζnª)³ á�®¯® ­¯ª`°#�qµ^´�°Y­ ÊÉÏ¡æ�¢KÀ� e¨N�¥�j¼ºÓ�¿��¥�¥�jÀ��Ó��j¼¥£¤�j�^Ï`Ð0�N� *º��Ðmç�¼¥�j�¥�^Å�ß-,0,�*NÏ

� "]ä � £¤�N¢K¼¥£>[΢K�N�xÛg�xÄ0�NÅ P]�g�n�`½�ç�£[�j¼¥¼��EHL¼¥£¤¢K�xÅ`�n�t¦Zt+�¥�¥¨e¿`��Ó��N£¤�t�n¿K�nÀ�NÏqå��K¾��^»¯��½¸¢K¼¥£[�x�N�¥�g¦É»¯¢K�t»¯¨e¼¥¼¥�j�N�� N¼¥¢KÇK¼��^Àz½À�£[�eÇ㣤� �H�æ:� �NßKÏ���l�ή ¶ ³¯­�­�^©Cª��g´(¶"! �+����� � � ���nÅ�Ô�¢KÆ[¨eÀ��ä`ßKÅ� t�nÇK�j�Éä��0.L�`ä0/0.NÏ�Ó�� �aç�� �� �0¢K�¥£±» �j�gÅ �æ * ç�¼¥�j�¥�^ÅeÓ��x N�¥�jÀ��N�x¼!ß-,0.0/`Ï

� "�� � £¤�N¢K¼¥£:[0¢��e�jÛg� Ä0�Ú�n�t¦§Ð�� � ¨e¢ÚÙ �n���n�t�n�N�VÏ <�È£¤�N�¥¼¥¢]¦`¨t»¯�¥£¤¢K�6�¥¢Ú¢K�K¾��g»¯��½¸�t�n���g¦È¼¥�¯Ãq�g»¯�¥£¤ÔV�㻯¢K�t» ¨N¼¥¼¥�j�e�»¯¢KÀ� N¨e���n�¥£¤¢��e�gÏÎ������®¯¶j³�­�­�n©«ª��g´W¶"!!°F¬e­ B�'����#��� � �CU#a<����� b0�¶n®21g´�¬e¶�à ¶nª � &65x­j³�° 7%c<²g´g­ � ��¶nª)³ á�®¯® ­¯ª`°�ή ¶)�n®�²nÊÉÊz©Cª��^ÅVÔ�¢KÆ[¨eÀ��<ä#"eÅN t�nÇK�j�E��*L���#"tÏeÓ�� �!çD� X� �0¢K�¥£«»¯�j�^Å Òæ�* ç+¼¥�x�¥�gÅ� Ò e¼¥£[ÆÎß(,0.0,NÏ

� � � � �!ê�îÚñ ��� � ê � � !��Îñ�� í�� ë ��� ��!�êºð���ìLí(ê�ñ���ñxê���� ðIëÎñ í(ê`�Ó�¿��t» �N¼¥¢K�N£¤Ûj£¤�NÇ �»¯�¥£[¢K�e� � ��* �ÄÒ�n�*¼¥�g»¯�j���¥Æ¤¿( N¼¥¢K q¢K�¥�g¦ãÄ0�N£«»¯�(� Ø`�¥�j�q¦��<�q�j�q�^Ô�£¤¢K¼Ò�n�N���Y¼��K»¯�¥£¤¢K�N�gÏÎ�����nÆ[�¥¢(��¨N N q¢K¼¥�¥�À��j�¥�N¢N¦RÇK¨t�n¼�¦���£¤�R�¥�N�ÁF¢K¼¥À ¢nÁ* N¼¥�^»¯¢K�t¦�£¤�¥£[¢K�e�gÏmF.£[ÇK¨N¼¥�ÚßL��£[���¥�N��¦�� Ít�N£¤�¥£[¢K�§¢nÁ��º�q¢�¨e�t¦`�g¦R�e¨�ÖP�j¼�£[�ÈÓ�¿���½»¯�e¼¥¢��e£[Ûx£[�eÇ �»¯�¥£[¢K�N�^Ï8ÐI�e��ÁM¢K¨N¼ � �x¿VÄ�¢K¼�¦��I£[�º�¥�N��À��j�¥�N¢t¦º¦��¯Íq�N£¤�Y£¤¢K���n¼¥�W�n�IÁM¢KƤÆ[¢KÄ0� M���� ������������� ���������� ��!"��#�$% �&�&'��)(+*�,�-/.1032)4+5�,76�8 #�9:% ��4+5�,7* 9 ,/; # -/4+.=< $ (���4+5&,?>7,�4@5&< %BA < % 2C� #�$% 4@5&,?*�<�(+4D; # -/4+.=< $ (�� #�$�%B9 ,E(+*�,�-/4+.=F ,�GH2�IJC2 $ -�5 9 < $ .=KE. $ 67LM-/4+.=< $ (N(+8�*&*< 9 4+(N. $ 4 9/# ;O< A�P ,�-/4Q-�< $ -/8 9+9 , $ -/2C� #�$%BA ,E5 # FC.=< 9R#�A (S4 9:# -/4+.=< $ (N.H(N8�(S, % 4+<T,/U-/G=8 % ,>78�4+8 # G=G=27. $ 4+, 9 0V, 9 . $ 6Q<�*W, 9:# 4+.H< $ (�I

J�. $ -/,?J�2 $ -/5 9 < $ .=KE. $ 6XLY-�4+.H< $ (N8�4+.=GH.=KE, A ,�5 # F .=< 9M#�A (+4 9:# -/4+.=< $ (���< $ ,7-/<�8�G % -/< $�P ,�-/4+8 9 ,Z4+5 # 4R4+5�, #�$ <�> # GH.=,E(* 9 ,�(+, $ 4@, % . $ JC,�-/4+.=< $7[ I \]-/<�8�G % <-E-/8 9 I�^O4_.=( # G=.H4+4+G=, A .=4 % .1`a-/8�G=4�� A ,�- # 8&(+,b>7<�(+4_<�0�4@5&,b* #�9 4+.=4@.=< $ . $ 6].=( #�A (S< 9+A , %. $ 4+5�,c6�8 #�9:% (�d�.=4_.=(e5&<�fg,EF�, 9 ��*�<�(+(+. A G=,b4+<N- 9 , # 4+, # >78&4@8 # G�,/U-/G=8�(+.=< $ -/< $% .=4+.H< $ 4@5 # 4e- #�$&$ <�4 A , 9 ,/h�,�-/4+, % 4@<]4+5�,6�8 #�9:% (��E4+5�8&( 9 ,�ij8 9 . $ 6 9 ,�; % ,/k $ .=4+.H< $ (�I�LR( #�$ ,/U # >7*�G=,j��fl, % ,/k $ , # -�G # (+(m"�n ��"���o�"�o�p�q��r ��o"�o�p�q r�s s"�!�t��fl5�.u-/5,/U�4+, $% (_4+5�,mq&��rC��o"�o�p�q r�s s"�!N-/G # (+(vfl.H4+5 # >7,E4+5&< % !�"���o�p�w���o o�x&"���fl5�.u-/5 9 ,E4+8 9S$ (_4+5�,c>7. %�% G=,b,�GH,E>7, $ 4+(�<�0�4+5&,A 8�yW, 9 ,/U-/G=8 % . $ 674+5�,Z5&, #�%)#�$% 4 # .=GzIc{l5&8�(���!�"���o�p�w���o o�x&"Z(S5�<�8�G %�$ <�4 A ,Z. $ F�<�|�, % fl5�, $ 4@5&, A 8�yW, 9 -/< $ (+.=(+4+(<�0}G=,E(+(Z4+5 #�$ 4+5 9 ,E,~,EG=,E>7, $ 4+(�Ia�&8 9 4+5&, 9 >7< 9 ,j��(S8�*�*�<�(+,~4+5 # 4Z4+5�,~.=>7*�G=,E>7, $ 4 # 4+.=< $�% ,E4 # .=G=( 9 ,�ij8�. 9 ,~4+5 # 4Q4+5�, 9 ,,/U�.=(+4RkF�,�< 9 >7< 9 ,Z,EG=,E>7, $ 4+(}03< 9 !"��jo�p�wW��o o�x&"74+< A ,?>�8�4+8 # G=G=2T. $% ,E*�, $% , $ 4}0 9 <�> A <�4+5)�Cr�� #�$�% �"����z4+5�.=(# GH4+, 9+$# 4@.=FC,}* #�9 4+.H4+.=< $ . $ 6~- #�$&$ <�4 A , 9 ,/h,�-�4@, % 4+<74+5&,R6�8 #�9:% (/��Im�_.H6�8 9 ,?� [ .=(g4+5�, 9 ,�(+8�G=4+. $ 6�(+8 A -/G # (+( % ,�k $ .=4+.=< $<�0}"�n �"���o"�o�p�q&��r ��o"�o�p�qCr�s s�"�!�t�IR�}, 9 ,j� $ <�4+.u-/,Z4+5 # 4 $ <�4R< $ GH2a4@5&,~ ����� �r�! !"��W ���p& ������ !�� xa* #�9 4R5 # F�,N4+< A ,,/U�4+, $% , % � A 8�4 # G=(+<Q4+5�,c>7,E4+5�< % (b4@5&,E>7(+,�GHFC,E(_>X8�(+4 # GH(S< A , 9 ,/; % ,/k $ , % �z4@5&,g* 9 ,�-/< $�% .=4@.=< $ * #�9 4:�EI�{l5�, 9 ,�i�8&. 9 , %9 ,/; % ,/k $ .H4+.=< $ <�-E-/8 9 (_0V< 9 4+5�,c( # >7, 9 , # (+< $X# (v4+5�,c< 9 .H6�. $# G A ,E5 # FC.H< 9e#�A (S4 9:# -�4@.=< $ (���4+5�,c* #�9 4+.H4+.=< $ . $ 6Y<�0�(+4 # 4@,�(�I

���

Page 24: web.cse.ohio-state.eduweb.cse.ohio-state.edu/~soundarajan.1/courses/788/matsuoka93analysis.pdf! "# $&%(') * + ,)$& - . 0/#12 ! 3 - 546 !7! 8 9 9 7":;< 7!37! 8= >@? ACB DFE GIH.JKELDMJNAPORQTSVUW?

��������������� � U � ��� ��� U T����T���� ��� U��

���������������� "!�#$��%� �&�%�� "'�()� �* �'�(+�� �$,-������/.$�

�������T�T U ����0 ���1�� ��T���� ��%� �"2" "'�� 3�3��1��� � �*4� U U � U � U65�U � � �� U7 ���8�6��T����6������T������8�6��

��8������ 7�U ���" "9*: U � S��8�������� �/�6�* "9;�� � S

������/�6� �5�U � 7 ���*�� ��<=�%� � U � U5�> �

5 �?� � 7 �%� : <)2A@"���1�� > ���T U 9 U?B ��� � U ����������� �/�6��� S���?�8�6�� 9C�%� `�` �)31DE����� U � U5�U � �*� �*� �/�6�"���;�� ��D�3 S���1��� 9;2 `�` � S

5�U � 7 ���&�%� �": U ��< > �5 �?� � 7 �%� : <)2AF"' > ���T U 9 U?B ��� � U ��������� 7�U ���$� S���?�8�6�� 9"3�DWT U ��?T�� U � U5XU � �"��T�� 5*7�U �������*�� �"D�3"� � `�` � S���1��� 9;2 ����� S

U � �G���6�� � U � ��� ��� U TH�

��������� U�B � U � � U � ������ � U � ��� ��� U T�IC�%� 7�U T���� �J���6�� � U � ��� ��� U TH��������T�T U ����0 ���1�� ��T���� �

� U7 ���8�6��T����6������T������8�6��K3�3&L Z�MqZON1P%QSR1T%UWV L T�Z�XYT$Z%V�[\[YZ^]�_�`�_aUW_�_1QcZ��8������ 7�U ��� ���� � ���/�/�6������ � � 5 ����� � U A9*: U �$(b�� �$(dT U ��� � 5 ����� � U � U � U65�U � � � S��8������ 7�U ��� ���� � � 5 ����� � U "9*: U �$( T U ��� � 5 �����/� U � U � U5�U � � � S��8�������� �/�6������ � � 5 ����� � U "9;�� �$( T U ��� � 5 �����/� U � U � U5�U � � � S

������/�6� �5�U � 7 ���&�%� �$,c.qT U ��� � 5 ����� � U � U � U5�U � � �d< > �

5 �?� � 7 �%� : <)2AF� �e > ���T U 9 U?B ��� � U ��������� 7�U ��� ����/� ��� �/�6������ � � 5 �����/� U � S���?�8�6�� 9"3�D [oZ�XfR [ L XhgXZd_aUW_�_/Q'ZdZ%Q'Z!_gZ L XYTiV-Zkj�ROZ%ZON1P%QhR _�U L?l XfM$V

Z%Q'Z!_gZ L XWT$Z=[mV�_njoV1XSgpgXZ%]�_q] L _rXs]�UtQ D�3 S���1��� 9;2" AI�� S

3�3 [[Z=`-_�Zsu L UWXsUYV L TiV-Zvj�V�XhgiwxR/X�] L _ l Z�Xh_gZXSg8V�_�TiU L j%V�R L _�Z^_�`-j�R^y|Z[5�U � 7 ���*�� ��<=�%� � U � U5�> �

5 �?� � 7 �%� : <)2A@"���1�� > ���T U 9C��z<-2�F� C{ >U�B ���6 � U ����������� �/�6�

U �1� U�U�B ��� � U ����������� �/�6���1�� � � 5 ����� � U � S���?�8�6�� 9C�%� `�` �)31D ]�_�_�Z%Q'Z!_gZ L X|XsVpXf]�UhQ�VmZ}jROZ D�3 S���1��� 9;2 `�` � S

5�U � 7 ���&�%� �": U ��< > �5 �?� � 7 �%� : <)2AF"' > ���T U 9C��z<-2�F� C{ >U�B ���6 � U ��������� 7�U ���

U �1� U�U�B ��� � U ��������� 7�U ��� �1�� � � 5 ����� � U � S���?�8�6�� 9"3�D [oZ�XfR [ L Z=QcZ�_gZ L X8Z%[OV�_~gXZ%]�_+V-Zij�R^Z D�3*� � `�` � S���1��� 9;2 ����� S

U � �G���6�� � U � ��� ��� U TH�

�������$���E� ���i�%��� �1�=����� �H� ��� ����� �/���;� �z� � ���6� � ��� ����� � �J� � �%� ���H�

���


Recommended