Week of October 28 ‐ November 3: Statistical Tests Part I

Learning objectives By the end of this week, you should be able to:• Understand the role of testing in statistical inference,• Understand the structure of a statistical test,• Calculate and interpret p‐values and make appropriate conclusions 

for a test of a single proportion and a single mean.

Topics• statistical significance• specifying null and alternative hypotheses, including one‐sided and 

two‐sided alternatives• calculating the test statistic for tests for a proportion and a mean• calculating the p‐value for tests for a proportion and a mean• interpreting and making conclusions based on p‐values

The inferential process continued:

Statistical testing:I think my parameter in the theoretical world is a particular value.  Do the data support or contradict this?

Suppose that a manufacturer claims to be able to produce coins that land heads more than half the time.  Also suppose that you are asked to toss one of their coins 16 times and then assess whether the manufacturer has truly produced a coin that lands heads more than half the time.  You would be reasonably convinced that the coin truly lands heads more than half the time:

1) If more than half (8) of your 16 tosses landed heads2) If at least 10 of the tosses landed heads3) If at least 12 of the tosses landed heads4) If at least 14 of the tosses landed heads5) If all 16 of the tosses landed heads6) There’s no outcome in 16 tosses that would convince you. 

You flipped the coin 16 times, and got 14 heads.If it is actually the case that the manufacturer’s coin is equally likely to come up heads or tails, which phrase do you believe best completes the sentence:It would be _____________ for 14 out of 16 coin flips to come up heads just by chance.

1) Impossible2) Very surprising3) Somewhat surprising4) Not at all surprising

You flipped the coin 16 times, and got 14 heads.If it is actually the case that the manufacturer’s coin is equally likely to come up heads or tails, which phrase do you believe best completes the sentence:It would be _____________ for 14 out of 16 coin flips to come up heads just by chance.

1) Impossible2) Very surprising3) Somewhat surprising4) Not at all surprising

For which of the possible completed sentences above, could you legitimately conclude that the data provide reasonably convincing evidence that the manufacturer was able to produce a coin that lands heads more than half the time?

P‐values

A quiz question:A poll is carried out to see if the people in a population are more in support of John or Mary, where John and Mary are two politicians. The result of the poll is that 42% of the participants expressed support for John. Let p denote the true percentage of support for John in the population. The appropriate null and alternative hypotheses for a relevant statistical test are:

A. H0: p>0.5 versus HA: p=0.5

B. H0: p=0.5 versus HA: p>0.5

C. H0: p=0.5 versus HA: p≠0.5

A quiz question:Suppose that we are interested in testing the following hypotheses about a proportion: H0: p=0.5 versus HA: p≠0.5. Some data are collected and the value of the test statistic is 2.4. Which of the following is true about the p‐value?A. Less than 0.01B. Between 0.01 and 0.05C. Between 0.05 and 0.1D. Greater than 0.1

Example:

Iron‐deficiency anemia is an important nutritional health problem.  A dietary assessment was performed on 51 boys aged 9 to 11 years of age whose families were below the poverty level.  The mean daily iron intake among these boys was found to be 12.50 mg with standard deviation 4.75 mg.  Suppose the mean daily iron intake among a large population of 9 to 11 year‐old boys from all income strata is 14.44 mg.  

Do we have evidence that the mean iron intake among the low‐income group is different from that of the general population?

Using Statistical Softwaret‐test output from R:

> library(BSDA)> tsum.test(12.50, 4.75, 51, mu=14.44)

One‐sample t‐Test

data:  Summarized xt = ‐2.9167, df = 50, p‐value = 0.005285alternative hypothesis: true mean is not equal to 14.4495 percent confidence interval:11.16404 13.83596sample estimates:mean of x 

12.5 

From this output, you should be able to identify:• H0 and HA• The estimate of the mean based on the data.• The test statistic.• The P‐value.

R commands (which you are not responsible for).

This is a two‐sided confidence interval, as we’ve already discussed.  How is it consistent with the results of the statistical test?

A research article reports the results of a new drug test.  The drug is to be used to decrease vision loss in people with Macular Degeneration.  The article gives a p‐value of 0.04 in the analysis section.  Here are three different interpretations of this ‐value.  Indicate if each interpretation is valid or invalid.

1. The probability that the drug is not effective.

2. The probability that the drug is effective.

3. The probability of getting results as extreme as or more extreme than the ones in this study in repeated sampling.

4. The probability of getting results as extreme as or more extreme than the ones in this study if the drug is actually not effective.

Is it possible to have a P‐value that is:

• > .5 ?

• > 1 ?