6s-1 LP Metode Simpleks

William J. Stevenson

Operations Management

8th edition

OPERATIONSRESEARCH

Enos

6s-2 LP Metode Simpleks

DualSelasa, 08 Nopember 2005

6s-3 LP Metode SimpleksKaidah Transformasi Untuk Memperoleh Dual· Persoalan maksimalisasi selalu terkait dengan persoalan minimalisasi.

· Persoalan asal disebut “Primal”, persoalan yang terkait disebut “Dual”

6s-4 LP Metode Simpleks

· Arah optimalisasi dual selalu berlawanan dengan arah optimalisasi primal: Maksimalisasi dalam primal menjadi minimalisasi dalam dual dan sebaliknya.

· Tanda pertidaksamaan dari kendala teknis adalah terbalik. Kendala non-negativitas tidak berubah.

· Baris matriks koefisien dari kendala dalam primal berubah menjadi kolom untuk matriks koefisien dalam dual.

6s-5 LP Metode Simpleks

• Vektor baris dari koefisien dalam fungsi obyektif dalam primal berubah menjadi vektor kolom konstan untuk kendala dalam dual.

• Vektor kolom konstan dari kendala primal menjadi vektor baris dari koefisien-koefisien untuk fungsi obyektif dalam dual.

• Variabel keputusan primal (xj) menjadi variabel keputusan dual (zi)

6s-6 LP Metode Simpleks

·Dalil Dual:· Nilai optimal dari fungsi obyektif primal selalu sama dengan nilai optimal dari fungsi obyektif dual, jika terdapat suatu penyelesaian optimal yang memungkinkan.· Jika suatu variabel keputusan primal mempunyai nilai bukan nol, maka variabel slack yang berkaitan dalam program dual harus mempunyai nilai optimal sama dengan nol.

6s-7 LP Metode SimpleksKeunggulan Dual· Jika persoalan minimalisasi dapat diselesaikan berdasarkan prosedur maksimalisasi, langkah-langkah akan lebih sederhana.

· Jika soal primal mengandung tiga variabel keputusan, penyelesaian secara dual akan menyederhanakan menjadi dua variabel.

6s-8 LP Metode Simpleks

Contoh 1:·Soal Primal:Maksimumkan: = g1x1 + g2x2

+ g3x3

Kendala a11x1 + a12x2 + a13x3 b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 b3

x1, x2, x3 0

6s-9 LP Metode SimpleksDual yang bersesuaian:Minimumkan: C = b1z1 + b2z2 + b3z3

Kendala a11z1 + a21z2 + a31z3 g1

a12z1 + a22z2 + a32z3 g2

a13z1 + a23z2 + a33z3 g3

z1, z2, z3 0

6s-10 LP Metode Simpleks

Contoh 2:Maksimumkan = 5x1 + 3x2

Dengan kendala:6x1 + 2x2 365x1 + 5x2 402x1 + 4x2 28x1, x2 0

6s-11 LP Metode Simpleks

Dual yang bersesuaian :Minimumkan

C = 36z1 + 40z2 + 28z3

Dengan kendala6z1 + 5z2 + 2z3 52z1 + 5z2 + 4z3 3z1, z2, z3 0

6s-12 LP Metode Simpleks

Nilai Marginal dan Lagrangian Multiplier dalam Dual

· Fungsi obyektif:

· Nilai marginal:332211

3

1i zbzbzbzb

1z1b

3z3b

2z2b

6s-13 LP Metode Simpleks

·Primal:Maksimumkan: = g1x1 + g2x2 + g3x3

Kendala a11x1 + a12x2 + a13x3 b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 b3

x1, x2, x3 0

6s-14 LP Metode Simpleks

• = g1x1 + g2x2 + g3x3a11x1 + a12x2 + a13x3 b1a21x1 + a22x2 + a23x3 b2a31x1 + a32x2 + a33x3 b3

C = b1z1 + b2z2 + b3z3a11z1 + a21z2 + a31z3 g1a12z1 + a22z2 + a32z3 g2a13z1 + a23z2 + a33z3 g3z1, z2, z3 0

6s-15 LP Metode Simpleks

Dual :Minimumkan: C = b1z1 + b2z2 + b3z3

Kendalaa11z1 + a21z2 + a31z3 g1a12z1 + a22z2 + a32z3 g2a13z1 + a23z2 + a33z3 g3z1, z2, z3 0

6s-16 LP Metode Simpleks

Contoh:Maksimumkan = 14 x1 + 12 x2 + 18 x3

Dengan kendala: 2x1 + x2 + x3 2 x1 + x2 + 3x3 4

x1, x2, x3 0

6s-17 LP Metode Simpleks

Dual :Minimumkan C = 2z1 + 4z2

Dengan kendala2z1 + z2 14 z1 + z2 12 z1 +3z2 18 z1, z2 0

2x1 + x2 + x3 2x1 + x2 +3x3 4 x1, x2, x3 0

6s-18 LP Metode Simpleks

Karena persoalan yang diperoleh berbentuk minimalisasi, maka soal tersebut harus diselesaikan dengan langkah-langkah algoritma minimalisasi.1. Kurangkan variabel surplus (s) dari setiap persamaan kendala 2z1 + z2

14 z1 + z2 12 z1 +3z2 18

-s1-s2-s3

6s-19 LP Metode Simpleks

2. Tambahkan variabel Artificial pada setiap persamaan kendala

2z1 + z2 14 z1 + z2 12 z1 +3z2 18

-s1-s2-s3

+ A1+ A2+ A3

6s-20 LP Metode Simpleks

3. Buat tabel simpleks awal: z1 z2 s1 s2 s3 A1 A2 A3 K

2 1 -1 0 0 1 0 014 1 1 0 -1 0 0 1 012 1 3 0 0 -1 0 0 118

-2 -4 0 0 0 -M -M -MNilai negatif dari fungsiObjective dalam dual

M adalah nilai yang sangat besar untuk menghindari solusi non-feasible

6s-21 LP Metode Simpleks

4. Selesaikan kolom yang mengandung variabel A: Tambahkan Mx(I + II + III) ke baris IV z1 z2 s1 s2 s3 A1 A2 A3 K 2 1 -1 0 0 1 0 0 14 1 1 0 -1 0 0 1 0 12 1 3 0 0 -1 0 0 1 18-2 -4 0 0 0 -M -M -M

6s-22 LP Metode Simpleks

Baris IV + M(baris I + baris II + baris III)

Z1

211-2

-2 +M(2+1+1) = 4M-2

Z1

211

4M-2

6s-23 LP Metode Simpleks

Baris IV + M(baris I + baris II + baris III)

Z2

113-4

-4 +M(1+1+3) = 5M-4

Z2

113

5M-4

6s-24 LP Metode Simpleks

Baris IV + M(baris I + baris II + baris III)

s1

-1000

0 + M(-1+0+0) = -M

s1

-100-M

6s-25 LP Metode Simpleks

Baris IV + M(baris I + baris II + baris III)

s2

0-100

0 + M(0 -1 + 0) = -M

s2

0-10-M

6s-26 LP Metode Simpleks

Baris IV + M(baris I + baris II + baris III)

s3

00-10

0 + M(0 + 0 -1) = -M

s3

00-1-M

6s-27 LP Metode Simpleks

Baris IV + M(baris I + baris II + baris III)

A1

100-M

-M + M(1 + 0 + 0) = 0

A1

1000

6s-28 LP Metode Simpleks

Baris IV + M(baris I + baris II + baris III)

A2

010-M

-M + M(0 + 1 + 0) = 0

A2

0100

6s-29 LP Metode Simpleks

Baris IV + M(baris I + baris II + baris III)

A3

001-M

-M + M(0 + 0 + 1) = 0

A3

0010

6s-30 LP Metode Simpleks

Baris IV + M(baris I + baris II + baris III)

K

141218-0 + M(14 + 12 + 18) = 5M-4

K

141218

44M

6s-31 LP Metode Simpleks

K

141218

44M

A3

001

0

A2

010

0

A1

100

0

s3

00-1

-M

s2

0-10

-M

s1

-100

-M

Z2

113

5M-4

Z1

211

4M-2

6s-32 LP Metode Simpleks

5. Menentukan elemen pivotTentukan nilai baris indikator yang terbesar (tidak termasuk nilai baris indikator pada kolom konstant) disebut kolom pivot

Tentukan rasio terkecil dari nilai kolom konstan dengan nilai elemen kolom pivot yang seletak disebut elemen pivot

Baris yang mengandung elemen pivot dikalikan dengan kebalikan nilai elemen pivot. (Jika elemen pivot = a11, maka baris dimana a11 tersebut berada dikali dengan 1/a11

6s-33 LP Metode Simpleks

K

141218

44M

A3

001

0

A2

010

0

A1

100

0

s3

00-1

-M

s2

0-10

-M

s1

-100

-M

Z2

113

5M-4

Z1

211

4M-2Karena 5M-4 merupakan nilai terbesar pada baris indikator, maka kolomnya disebut kolom pivot

6s-34 LP Metode Simpleks

K

141218

44M

A3

001

0

A2

010

0

A1

100

0

s3

00-1

-M

s2

0-10

-M

s1

-100

-M

Z2

113

5M-4

Z1

211

4M-2Karena 18/3 merupakan rasio terkecil, maka 3 menjadi elemen pivot

6s-35 LP Metode Simpleks

K

141218

44M

A3

001

0

A2

010

0

A1

100

0

s3

00-1

-M

s2

0-10

-M

s1

-100

-M

Z2

113

5M-4

Z1

211

4M-2

Kalikan baris III dengan 1/3

6s-36 LP Metode Simpleks

K

14126

44M

A3

00

1/3

0

A2

010

0

A1

100

0

s3

00

-1/3

-M

s2

0-10

-M

s1

-100

-M

Z2

111

5M-4

Z1

21

1/3

4M-2

6s-37 LP Metode Simpleks

K

14126

44M

A3

00

1/3

0

A2

010

0

A1

100

0

s3

00

-1/3

-M

s2

0-10

-M

s1

-100

-M

Z2

111

5M-4

Z1

21

1/3

4M-2

Tiga nilai elemen lainnya pada kolom yang sama, dijadikan = 0. Tentukan rumusnya dan berlakukan Terhadap elemen-elemen lain pada baris yang sama

6s-38 LP Metode Simpleks

· Baris I – 1 x (baris III)· Baris II – 1 x (baris III)· Baris IV – (5M-4) x (baris III)· Jika semua langkah ini telah diselesaikan dan baris indikator masih mengandung elemen yang bernilai positif, maka perhitungan dilanjutkan ke iterasi kedua, ketiga, dan seterusnya.