WINTERLOGIK2017-18

André Fuhrmann

Goethe-Universität Frankfurt am Main

Frankfurt am Main im Februar 2018

© A. Fuhrmann

Goethe-Universität

Frankfurt

am

Main

InstitutfürPhilosophie

Logik

imW

inter20017-18

Einführung

And

réFuh

rmann

00einfueh

rung171017.0948

Vorlesu

ng

Di12–14undMi10–12,HZ6

Spre

chstunde

Prof.

Dr.

André

Fuhrm

ann

I.G.Farben

,Zim

mer

2.557

nach

Voranmeldung

Fra

genzurVorlesu

ng

Auch

sehrgerneper

Email:

fuhrm

ann(at)em

.uni-frankfurt.de

oder

über

dasOLAT-Forum.

2

“Die

Philosophie

istheu

tebesten-

fallsdort

wodie

Mathem

atikbei

den

Babyloniern

war.”

Kurt

Gödel

(1906-1978)

3

Dank

Dank

StudentenundTutoren,die

seit2006diese

Vorlesungin

Frankfurt

begleitet

haben

,bin

ichsehrzu

Dan

kverpflichtet.

Von

den

Tutorenmöchte

ichinsbesonderenen

-nen

:KatayunBahremand,MariaBätzing,SerkanGören,Dominik

Kauß,Tim

König,

MatthiasHoch,Melvin

Keilbar,

Katrin

Öchsner,Clemen

sRosenbaum,Sophie

Sieben

-list

undAlexander

Umstadt.

Dankenmöchte

ichauch

meinen

Kollegen

Manfred

Kupffer

undEdeZim

mermann,

die

ander

Frankfurter

Konzeptioneiner

Logik

fürPhilosophen

undKognitiveLin-

guisteneinen

wichtigen

Anteilhatten

&haben

.

Schließlich

seiauch

ErnaMamane†undMariaNicolosi

fürdie

organisatorischeBe-

treu

ungder

Winterlogik

gedankt.

AF

imW

inter2016-17

4

??

??

•Logik

ist(w

ieEthik,oder

Metaphysik,oder

Sprachphilosophie,oder

PolitischePhi-

losophie,oder

Ästhetik,oder

...)

eineigen

ständiges

Geb

ietin

der

Philosophie.

•W

iedie

meisten

anderen

philosophischen

Geb

iete,stehtes

inBeziehungen

zubes-

timmtenNachbardisziplinen

:Linguistik,Inform

atik,Mathem

atiku.a.

•W

iein

den

meisten

anderen

philosophischen

Gebieten,setzen

gültige

Forschungsleistungen

inder

Logik

heute

einen

hohen

GradanSpezialisierungvo-

raus.

—Um

solches

Spezialw

issengehtes

indieserEinführungnicht.

•In

den

meisten

philosophischen

Gebietenwerden

heu

telogischeMittel(“form

ale

Methoden

”)verw

endet.Daskannggf.

meh

r(T

heoretischePhilosophie)oder

weniger

(PraktischePhilosophie,Ästhetik,Philosophiegeschichte)der

Fallsein.

•Wer

ganzoh

nelogischeMitteldasteht,dem

bleibteingroßer

Teilder

modernen

Philosophie

dauerhaft

verschlossen

.

•Wer

sich

einwen

igmit

Logik

vertrautmacht,der

wirdnichtnurdie

Theorien

an-

derer

besserverstehen

,sondernauch

anseinen

eigen

enmitmeh

rPhantasieund

Erfolg

basteln.

5

??

•Ein

(verbreitetes)Mißverständnis:EineEinführungin

die

Logik

dientnichtdazu

“logisch

den

ken

”zu

lernen

.Wen

nSie

hiersitzen

,dannkönnen

Sie

dasschon(m

ehr

oder

wen

iger).

Wen

nSie

hierfertig

sind,dannwerden

Sie

esnichtbesserkönnen

als

zuvor–jeden

fallsin

keinem

praktischen

Sinne.

·Vgl:

EineEthik-V

orlesungmachtau

sniemandem

einen

besserenMen

schen

,oder?Sie

lernen

dort

Theorien

kennen

.Obsiedanach

handelnkönnen

oder

wollen,stehtau

feinem

anderen

Blatt

·Vgl:

Ein

Ästhetik-Sem

inarmachtauskeinem

Banauseneinen

geschmackvo

llen

Ken

ner.Auch

dort

lernen

sienurTheorien

kennen

.Obsiediese

dannrichtig

anwen

den

können

,undobsiesich

zuden

theoretischau

sgezeichneten

Werken

tatsächlich

hingezogen

fühlen,dasbleibtoffen.

SchwerlichsindGrundsätzeundAnleitungen,selbst

wennwirsieaufgeschlossenen

Gem

ütesaufnehmen,je

mächtiggenug,

unsgeradew

egszum

Handelnzu

führen,

wennwirnichtunsere

Seele

durchErfahrungzu

dem

Wandel

üben

undausbilden,zu

dem

wirsieanhaltenwollen:anderenfalls

wirdsie,

wennsiezurtätigenBew

ährung

schreiten

soll,

ohneZweifelin

die

Klemmegeraten.

Montaigne,

Essais

(1595),Über

geistigeÜbung

6

??

•In

dieserVorlesunglernen

Sie

auch

“nur”

Beschreibungsm

ittelundTheorien

ken-

nen.Um

deren

folgerichtigeAnwendungmüssen

Sie

sich

dannin

jedem

Fallerneu

tbem

ühen

(üben

!).

•Diese

Vorlesungführt

beispielhaft

vor,

welchen

Ansprüchen

strenges

Argumentieren

–au

chin

der

Philosophie!–genügen

muß.WasdiesenAnsprüchen

nichtgen

ügt,

dürfen

Sie

kritisieren

.Wer

hinterdiesenAnsprüchen

zurückbleiben

möchte,sollte

bessernichtPhilosophie

studieren.

7

??

•In

dieserVorlesunggehtes

um

die

Teile

der

Logik,die

Philosophen

(aber

auch

Lin-

guisten)kennen

müssen

,um

sich

mitmodernen

philosophischen

(undauch

linguis-

tischen

)Theorien

kompetentzu

befassen

.

·Diese,fürunsrelevantenTeile

der

Logik

gehen

einerseitsoft

über

den

früher

geleh

rten

Kanondeu

tlichhinaus.

·Andererseitsenthieltder

klassischeKanonvieles,

was

m.E.entbeh

rlichist(z.B.

die

Einübungin

bestimmte

Kalkülarten

).

•W

irwerden

Logik

hieralseinuniverselles

Beschreibungsm

ittelkennen

lernen

,in

dem

sich

Folgerungsverhältnisse

sicher

undrelativschnellfeststellenlassen

.

•Wen

nSie

sich

alsPhilosophmit

Logik

beschäftigen

,erschließen

Sie

sich

einen

wichtigen

undrasantsich

entw

ickelnden

Zugangzu

philosophischen

Problemen

.

•Die

logischeAufbereitungphilosophischer

Problemeerzeugtspannen

deQuerverbin-

dungen

zuanderen

Fächern.(L

ogik

istso

etwaswie

einelinguafranca

vielerDiszi-

plinen

.)

•Logik

istschließlich

auch

selbst

alsgem

einsamer

Kernallervernünftigen

Theorieb

il-

dungeinspannen

des

philosophisches

Them

a.

8

Literatur

Literatur

...wirdim

Prinzipnichtben

ötigt,daeinSkriptzu

rVerfügungsteht(s.u.).Spezielle

Literaturwirdgelegentlichin

der

VLangegeb

en.

Gute

leichte

Kost

(Deutsch

)

•Beckermann,Einführungin

die

Logik

•vonKutscheraundBreitko

pfEinführungin

die

moderneLogik

•Strobach,Einführungin

die

Logik

VierKlassiker(d

erM

ath

ematischenLogik)

•Kleen

e,Introductionto

Metamathem

atics

•Men

delson,Introductionto

Mathem

aticalLogic

•Shoen

field,Mathem

aticalLogic

•Smullya

n,First-O

rder

Logic

9

Literatur

Auch

gut

•Andrews,

AnIntroductionto

Mathem

aticalLogic

andTypeTheory

•Ebbinghaus,

Flum

&Thomas,

Einführungin

die

mathem

atischeLogik

•Fried

richsdorf,Einführungin

die

klassischeundintensionale

Logik

SpeziellfürLinguistenbzw.In

form

atiker

•Dow

ty,Wall&

PetersIntroductionto

MontagueSem

antics

•Fitting,First-O

rder

Logic

andAutomatedTheorem

Proving

•Makinson,Sets,

Logic

andMathsforComputing

•Schöning,Logik

fürInform

atiker

Mengenth

eore

tischerHinterg

rund

•Halm

os,

NaiveSet

Theory

(auch

dt.

als

NaiveMen

genlehre)

•Hamilton,Numbers,SetsandAxioms

10

Literatur

Viele

dieserBücher

sindteuer

oder

vergriffen

oder

beides.Wen

nSie

sich

nureines

leistenkönnen

oder

möchten,em

pfehle

ich:

Dover

Publications.

Ca.10Euro

(neu

/gebrauchtab1,94+

3,00Euro)

bei

einem

bekan

ntenAnbieterim

Internet.

11

Literatur

Ferner

empfehle

ichals

Einführungs-

undBegleitlektüre:

•Graham

Priest,Logic:A

VeryShort

Introduction,

Oxford

University

Press

2000—

EUR

6,99.

12

Literatur

DasSkript

•...wirdnach

jeder

Vorlesungjeweils

aktualisiertaufder

OLAT-Seite

der

Vorlesung

abgelegt.

•Ein

vollständiges,“altes”Skriptausdem

Winter2016-17finden

Sie

dort

eben

falls

(undaufmeiner

HomepagefürStudenten).

Währendeiner

Vorlesungsreihearbeite

ichan

dem

Skript;“k

lausurrelevan

t”istim

mer

nurdasjeweils

aktuelle

Skript.

•Eben

fallsaufder

OLAT-Seite:die

Dateisymbol.pdfmiteiner

Tabelle

der

meisten

inder

Vorlesungverwen

deten

logischen

Symbole,

und

•eineBesprechungeiniger

Leh

rbücher

der

Logik

indeutscher

Sprache.

13

Literatur

OLAT

OLAT

istdie

Internet-Lernplattform

der

Universität.

Hierfinden

Sie

wichtigeInfor-

mationdazu:

http://okapi.uni-frankfurt.de/index.php?title=E-Learning

Undso

kommen

Sie

aufdie

Anmeldeseite

vonOLAT:

https://olat-ce.server.uni-frankfurt.de/olat/auth/RepositoryEntry/

5383127071?1

(Klicken

Sie

einfach

einmalaufdie

Zeilenin

farbiger

Schreibmaschinen

schrift!Wen

nSie

mit

dem

Internet

verbunden

sind,dannmüßte

sich

jetztdie

gen

annte

Seite

inIhrem

Browseröffnen

.)

Sie

melden

sich

anmit

Ihrem

HRZ-N

utzern

amenundPasswort.

14

Literatur

OLAT

bietet

•Anmeldungzu

den

Tutorien

•Diskussionsforum

zurVorlesung

•Dow

nload-B

ereich

fürSkripte

u.ä.

•Kalender

•Bekanntm

achungen

undeiniges

meh

r.

Haben

Sie

Schwierigkeiten

mit

der

Anmeldungoder

andereFragen

zuOLAT,so

wen-

den

Sie

sich

bitte

anIhrenTutor.

15

TeilnahmeundSch

eine

TeilnahmeundSch

eine

Grundsätzlich

kannjeder

Interessierteander

Vorlesungteilneh

men

.

•Teilnahmeschein:MöchtenSie

sich

die

(bloße)

Teilnahmebescheinigen

lassen

,fertigen

Sie

bitte

einen

Laufzettelan

,aufdem

Sie

sich

nach

jederVLdie

Teil-

nahmevo

nmir

bestätigen

lassen

.(T

eilnahmescheinewerden

nurausgestellt,wen

nmindestens75%

der

VLen

nachweislichbesuchtwurden

.)

•Leistu

ngssch

ein:MöchtenSie

einen

Leistungsscheinerwerben

,dannmüssen

Sie

(erfolgreich)an

der

Klausurteilneh

men

.

·L3-Studentenkönnen

zwischen

dieser,

“Großen

”Logik

undder

“Kleinen

”Logik

wählen.

·ZurKlausurmelden

Sie

sich

bitte

soan,wie

esgleichbeschrieb

enwird.

·ZurVLwerden

Tutorien

angeb

oten.

16

Die

Tutorien

Die

Tutorien

...beginnen

erst

abMontag,dem

30.Okt.

Näch

steW

och

eSamstag,28.10,ab12Uhr:

Bitte

rufenSie

die

Seite

dieserVer-

anstaltungim

OLAT

aufundschreiben

Sie

sich

verbindlich

ineinTutorium

Ihrer

Wahlein!

Jed

esTutorium

istfürmaxim

al20Teilnehmer

geöffnet.

Eines

der

Tutorien

am

Mittw

och

istfürLinguistenreserviert

undwirdso

angezeigt.

Diese

können

sich,fallsgew

ünscht,auch

inanderen

Tutorien

einschreiben

.

17

Die

Vorlesung

Die

Vorlesung

•...isteinschließlich

der

Tutorien

offen

füralleStudentenmit

Philosophie

imNeb

en-,Bei-,oder

Anwendungsfach;

•...istPflichtfüralleStudentender

Philosophie

imHauptfach;

•...istPflichtfüralleStudentender

Kognitiven

Linguistikim

Hauptfach.

•L3-Studentenkönnen

zwischer

dieser,

Großen

Logik

undeiner

Kleinen

Logik

(Dr.

Seitz)wählen.

Ichbin

Ihnen

dankbar,

...

•wen

nSie

pünktlichko

mmen

,

•wen

nSie

nichtvor

der

Zeitgeh

en,

•wen

nSie

nichtzw

ischen

durchden

Saalverlassen

,

•wen

nSie

Fragen

anmichrichten

undprivate

Unterhaltungen

aufspäterverschieben

.

18

Ach

tung!

Ach

tung!

Die

Vorlesunggehterst

inder

nächsten

Wocheweiter.

Morgen

,am

Mittw

och,findet

keineVorlesungstatt!

19

Die

Klausur

Die

Klausur

Term

in

Die

Klausurfindet

imFeb

ruarstatt.

AnmeldungzurKlausu

r

Sie

studierenPHIL

OSOPHIE

IMHAUPT-oderNEBENFACH

(BA

oder

MA

mod)?

Dannmelden

Sie

sich

bitte

soan,wie

[HIE

R]beschrieb

en.

Bitte

beachtenSie,daßSie

daselektronischeAnmeldeverfahrennurnutzen

können

,wennSie

zuvo

rIhrenAntragaufZulassungzu

rPrüfunggestellthaben

.(D

amitwird

sozusagen

einCP-K

onto

fürSie

eröffnet.)

20

Die

Klausur

Sie

studierenPHIL

OSOPHIE

FÜR

DASLEHRAM

T?

Dannneh

men

Sie

ander

PrüfungohneAnmeldungteil.Die

Ergeb

nisse

teilen

wir

Ihrem

Prüfungsamtmit.

Sie

studierenLIN

GUIS

TIK

oder

PHIL

OSOPHIE

als

ANW

ENDUNGS-oder

BEIF

ACH

oder

einFach,in

dasSie

einephilosophischeVeranstaltungeinbringen

können

?

Bitte

melden

Sie

sich

nichtbei

der

PHILPROM

an!Wenden

Sie

sich

andasfürSie

zuständigePrüfungsamtbzw

.die

StudienberatungfürIhrHauptfach.Nim

mtIhr

PrüfungsamtkeineAnmeldungen

entgegen

,schreiben

Sie

die

Klausureinfach

ohne

Anmeldungmit.Nach

der

BenotungholenSie

sich

inmeinem

Sekretariateinen

Leis-

tungsnachweis(”Schein”)ab,den

Sie

Ihrem

Prüfungsamtvo

rlegen.W

irgeben

keineNotenauto

matischanIh

rPrü

fungsa

mtweiter.

21

Die

Klausur

Rück

trittvonderKlausu

r

Jed

eran

gem

eldeteKandidatkannbis

zueinerW

och

evorder

Klausur,

d.h.bis

zum

XXX,12Uhr,

vondieserzurücktreten

.Diesgeschiehtschriftlich

(per

Email)

dort

(undnurdort!),woSie

sich

angem

eldet

haben

.Wer

aufdiese

Weise

vonder

Klausurzu

rücktritt,

kanndasModulin

einem

der

kom

men

den

Sem

esterwiederholen.

Wen

nSie

aneiner

Klausur,

fürdie

Sie

angem

eldet

sind,nichtteilneh

men

,so

giltdie

Klausurals

nichtbestanden.

22

Die

Klausur

Wiederh

olungderKlausu

r

Zum

Wiederholungstermin

(wirdnoch

bekan

ntgegeb

en)kannan

treten

,wer

den

Erst-

term

innichtwahrgen

ommen

hat,

weil

–es

eineÜberschneidungmitan

deren

Prüfungsterminen

gab(N

achweis!,Haupt-

fach

gehtin

der

Regel

vor!),oder

–er

durchKrankheitverhindertwar

(Attest!),oder

–in

der

Erstprüfungleider

keineau

sreichen

deLeistungerbrachtwurde.

Nachweise

bzw

.Atteste

schickenSie

bitte

andaszuständigePrüfungsamt(undnur

dorthin!),welches

dannüber

die

ZulassungzurNachklausurentscheidet.Unabhängig

davon

teilen

Sie

meinem

Sekrariat(Fr.

Nicolosi)bitte

mit,obSie

ander

Nachklausur

teilneh

men

möchten. V

IELVERGNÜGEN

UND

VIE

LERFOLG!

Diese

Folienfinden

Sie

inOLAT/Vorlesungsfolien

.

23

Goethe-Universität

Frankfurt

am

Main

InstitutfürPhilosophie

Logik

imW

inter2017-18

Sprachen

And

réFuh

rmann

01sprach

en171025.0943

ZurEinführung

ZurEinführung

Worum

gehtes

inder

Logik?

·Wasistdaszentrale

Them

a,

·die

zentrale

Frage,

um

die

alles

kreist?

“THEBEST

WAYTO

DISCOVERWHAT

LOGIC

ISABOUT”

ISSIM

PLY

BYDOING

LOGIC.”

ArthurPrior(Form

alLogic,195

5)

2

ZurEinführung

Logik

als

TheoriedesFolgern

s

Arg

umentiere

n:VonPrämissenzu

Konklusionen

übergeh

en.

Zum

Beispielso:

AnFreitagenmitprimen

Datenfälltder

Markt

Heute

istFreitag,

der

11.

11istprim

Also

Heute

fälltder

Markt

Gute

Argumente

überzeugen

,weil

•die

Prämissenwah

rsindund

•der

ÜbergangzurKonklusionzw

ingendist.

(D.h.,es

wäre

unvernünftig,die

Prämissenzu

akzeptieren

unddie

Konklusion

abzu

lehnen

.)

•Die

Prämissenprüfen...–oftnurem

pirisch

möglich.

•Den

Übergangprüfen...

Prüfen,obdie

Konklusionausden

Prämissenzw

ingendfolgt.

3

ZurEinführung

Folgeru

ngen:Zwingende(“logische”)Übergängevo

nAussagen

(Prämissen)zu

wei-

terenAussagen

(Konklusionen

).(W

orinbestehtder

Zwang?–Später.)

PRÄM

ISSEN⇒

KONKLUSIO

N

Die

zentrale

Frage:

Was

istlogisches

Schließen

(Folgern)?

Gen

auwelcheÜbergänge

vonPrämissenzu

Konklusionen

haben

die

Eigen

schaft,

einen

gültigen

Schlußdarzustellen?

4

Zwei

(?)

Theorien

des

Folgerns

Zwei

(?)Theo

rien

des

Folgerns

Semantisch

Beispiel1:

Aus

Aufdem

EiistgrüneSoße

und

GrüneSoßeen

thältÖl

folgtAufdem

EiistÖl

Den

n,wie

kön

nte

eineSituation,in

der

das

Eiin

grüner

Soßeliegtnichtzu

gleicheine

Situationsein,in

der

esin

Ölliegt–gegeb

en,daßgrüneSoßenuneinmalÖlenthält?

Der

Schlußistzw

ingen

dweilwir

wissen,wasdie

Sätzebedeutenundunsdiese

Be-

deu

tungen

etwaso

vorstellenmüssen

:

5

Zwei

(?)

Theorien

des

Folgerns

Schwarz:Die

Situationen

,in

den

endaeinEiliegt.

Grün:Die

Situationen,in

denen

etwasin

grüner

Soßeliegt.

Rot:

Die

Situationen

,in

den

enetwas(u.a.)

inÖlliegt.

Essiehtso

aus,

als

folgertenwir

aufgrundsemantischenW

issens(W

issenüber

Be-

deu

tungen

).Danach

müßte

eineTheoriedes

FolgernseinesemantischeTheoriesein.

6

Zwei

(?)

Theorien

des

Folgerns

Synta

ktisch

Beispiel2:

Aus

Jeder

Fechen

heimer

istFrankfurter

und

Jeder

Frankfurter

isteinEintracht-Freund

folgtJeder

Fechen

heimer

isteinEintracht-Freund

•Offenbarwieder

eingü

ltiger

Schluß(w

ennauch

kein

gutesArgument).

•W

irkönntenunsdie

Inklusionsverhältnisse

(Fechen

heimer/Frankfurter/Eintracht-

Freund)vorstellen

...oder

•folgen

des

beobachten:Wen

nBsp.2gü

ltig

ist,dannau

ch

Beispiel3:

Aus

Jeder

Abgeordneter

istgewählt

und

Jeder

Gew

ählteistdem

okratischlegitimiert

folgtJeder

Abgeordneteistdem

okratischlegitimiert

und...

7

Zwei

(?)

Theorien

des

Folgerns

Beispiel4:

Aus

Jeder

LuchsisteinHund

und

Jeder

HundisteinSäugetier

folgtJeder

LuchsisteinSäugetier

Den

njeder

Schlußder

Form

Aus

Jedes

AisteinB

und

jedes

BisteinC

folgtjedes

AisteinC

istzw

ingen

d.(U

nddaBsp.2vo

ndieserallgem

eingü

ltigen

Form

ist,

istauch

2gü

ltig.)

8

Zwei

(?)

Theorien

des

Folgerns

Wir

haben

soeb

eneinewichtigeEinsichtin

die

Naturlogisch

guter(“gü

ltiger”)

Schlüssegew

onnen

:

•WenneinSchlußgü

ltig

ist,dannistjeder

Schlußvonder

gleichen

Form

ebenso

gültig!

Daseröffnet

die

Möglichkeit

einen

“Katalog”gültiger

Schlußform

enau

fzustellen.1

Nunistaber

die

Form

eines

Argumenteseinrein

synta

ktischerAsp

ekt.

(GeeigneteMaschinen

–die

keineBed

eutungen

kennt–

können

Form

enerkennen

,oft

besserals

wir.)

Alsoreichtrein

syntaktischeInform

ationau

s,um

gültigeArgumente

erkennen

.

•Jetzt

siehtes

soaus,

als

obeineTheoriedes

FolgernskeinesemantischePerspektive

bräuchte;siekannrein

syntaktischverfahren.

1Sch

on

die

frühesten

logisch

enTheo

riesind

von

dieserArt,zB

Aristoteles’

Syllogistik.

Dazu

später

meh

rin

einem

Exkurs.

9

Zwei

(?)

Theorien

des

Folgerns

Verdacht:

Esscheintmindestenszw

eiTheorien

des

logischen

Folgernszu

geben

:

•Folgernau

fgrundsemantischen

Gehalts;

•Folgernau

fgrundsyntaktischer

Form

.

—Hoffen

tlichstim

men

die

beiden

Theorien

letztlichüberein!

10

Zwei

(?)

Theorien

des

Folgerns

Spra

cheals

Medium

desFolgern

s

Zwei

Aspekte

jeder

Sprache:

•“Konstruieren”:Form

,Grammatik,Synta

x.

•“Interpretieren

”:Bed

eutung,Inhalt,Semantik.

Dersy

nta

ktischeAsp

ekt

BasisEinfachsteZeichen

(Grundzeichen

),möglicherweise

verschieden

erArten

(syntaktischer

Kategorien

).

Sch

ritt

Regelnzu

rKonstruktionneu

erZeichen

ausgegeb

enen

Zeichen

.

Resu

ltatDasUniversum

möglicher

Zeichen

(der

betrachtetenSprache).

11

Zwei

(?)

Theorien

des

Folgerns

DersemantischeAsp

ekt

BasisEinfachste“O

bjekte”(B

edeu

tungen),

aufdie

sich

Zeichen

der

betra-

chtetenSprachebeziehen

können

.

Sch

ritt

Operationen

undRegelnzu

rKonstruktionneu

erObjekte

ausgegeb

enen

Objekten.

(Z.B.Bed.von“Peter”+

Bed.vo

n“gehen”>

Bed

.von“Peter

geht”.)

Resu

ltatDasUniversum

möglicher

Objekte

(aufdie

mansich

inder

betrachteten

Sprachebeziehen

kann).

Bem

erkung.

Sem

antikistalsoeineau

f-eine-Sprache-bezogen

eOntologie*–einere-

duktive

Theorieeines

Universumssolcher

Gegen

stände,

aufdie

sich

die

betrachtete

Spracheüberhauptbeziehen

kann.

*Lehre

vondem

,wases

gibt.

12

Zwei

(?)

Theorien

des

Folgerns

EinigeBeispiele

•Rauch-oder

Klopfzeichen

•Spracheder

Autofahrer(H

andzeichen

,Blinken

,Hupen

)

•Morse-Alphabet

•Ziffernsystem

e(arabisch,römisch)

•Programmiersprachen

(Lochkarten

,...,Pascal,Prolog,C,etc.)

•Schachnotation

•NatürlicheSprachen

•Teile

natürlicher

Sprachen

(zB

gesprochen

eSpracheder

Arithmetik)

“Einsum

einsverm

ehrt,ergibtzw

ei.”

•Formalisierte

Teile

natürlicher

Sprachen

(symbolischeSpracheder

Arithmetik)

“1+1=2.”

13

Zwei

(?)

Theorien

des

Folgerns

Ausb

lick

Wir

werden

sowoh

lsyntaktischeals

auch

semantischeTheorien

des

logischen

Folgerns

betrachten:

–Folgernaufgrundsyntaktischer

Muster;

–FolgernaufgrundvonBed

eutungszusammen

hängen.

Dannwerden

wir

zeigen

,wie

diese

beiden

Theorietypen

manchmal(d.h.im

Erfolgs-

fall)verblüffen

dexaktzusammen

passen

,d.h.im

Grundedasselbebeschreiben

:

•Die

syntaktischeunddie

semantischeTheorielogischen

Folgernszeichnet

die

glei-

chen

Schlüsseals

logisch

“gelungene”

aus.

14

Zwei

(?)

Theorien

des

Folgerns

Bevor

wir

diestun,solltenwir

unsaber

vergew

issern,wovon

wir

sprechen

(Folgernin

einer

Sprache).W

irmüssen

fragen:

•Was

istdie

Synta

xeiner

Sprache?

•W

ieläßtsich

die

Syntaxeiner

Spracheexaktan

geb

en?

Undnatürlich

•Was

istdie

Semantikeiner

Sprache?

•W

ieläßtsich

die

Sem

antikeiner

Spracheexaktangeb

en?

15

Zwei

(?)

Theorien

des

Folgerns

Die

Antw

ortenaufdiese

Fragen

werden

notw

endigerweise

soallgemeinausfallen

,wie

esder

Allgem

einheitsanspruch

der

Logik

erfordert.

(Logisches

Folgernsollja

immer

funktionieren,gleichgü

ltig

worüber

Sie

geradesprechen

.)

Achtung:“Allgem

ein”heißthiernichtnur

abstrakt

)-:,

sondernauch

einfach

(-:,

d.h.einigen

wen

igen

Bedingungen

gehorchen

d.Diese

Bed

ingungen

werden

wir

inder

Regel

rechtabstrakt

form

ulieren

—weshalb

eswichtigfürdasVerständnis

ist,sich

stetseinfacheBeispiele

vorAugen

zuhalten.

InsbesonderesolltenSie

sich

immer

klarunddeu

tlichvorAugen

führen,daß

–obwohllogischeNotationaufdem

Papierzu

nächst

frem

dartig

aussieht,

–logischeNotation(durchAbstraktion)einfach

nurStrukturenhervorheb

t,mit

den

enSie

als

Sprecher

einer

(konkreten)Spracheschonvöllig

vertrautsind.

16

Beispiel:

Ein

Hüpfspiel

Beispiel:Ein

Hüpfspiel

17

Beispiel:

Ein

Hüpfspiel

Zwei

Kinder,Xaver

undYara,hüpfenvo

neinem

Feldzu

einem

anderen

.Das

Spielfeldisteinzw

eifach

geteiltes

Quadrat,bestehtalso

(einfacher

als

aufdem

Photo)

ausvierTeilfeldern:

Währenddie

Kinder

hin

undher

hüpfen,schreibtsich

einJungeam

Randedes

Feldes

etwas

auf:

Xa1−

b1Yb1−

a2

Yb1−

b2Ya2−

b2

...

18

Beispiel:

Ein

Hüpfspiel

Wir

beobachten:

◦Am

AnfangstehtXaver

untenlinksundYarastehtau

fdem

Feldrechts

neb

enihm.

◦Xaver

hüpft

aufdasFeldvonYara.Daraufhin

hüpft

Yaravondiesem

Feldaufdas

Feldlinksoben

◦Der

Jungeschautzu

undnotiert:

Xa1−

b1Yb1−

a2.

Wir

verm

uten,daßer

aufschreibt,was

ergeradegesehen

hat.

Aber

woraufachteter

undin

welcher

Sprachemachter

seineNotizen?

Nach

weitererBeobachtungundetwas

Überlegungübersetzen

wir

so:

Xa1−

b1bed

eutet:

Xaver

(X)hüpft

(−)vonFelda1nach

Feldb1

–wob

eidie

Felder

durcheinKoordinatensystem

bezeichnet

werden

:

19

Beispiel:

Ein

Hüpfspiel

Xa1−

b1Yb1−

a2

/Yb1−

b2Ya2−

b2/

...

Logiker

(undeinigeLinguisten)würden

die

Syntaxder

Spracheetwaso

beschreiben

.

Basis:

Gru

ndzeichen(L

exikon)1,2,a,b,X

,Y,−

,mit

folgen

den

Sorten

Lin

(Linienzeichen)1,2

Rei

(Reihen

zeichen

)a,b

Nam

(Eigennamen)X,Y

Hüpfzeichen−

Sch

ritt:Form

ationsregeln

(Grammatik)

1.WennxeinLin

undyeinRei

ist,dannistxyeinFeldzeichen

(Pos).

2.WennxundyPossind,dannistx−

yeinHandlungszeichen

.

3.WennxeinHandlungszeichen

ist,dannsindXxundYxSätze.

20

Beispiel:

Ein

Hüpfspiel

Soistdie

Hüpfspielnotationvollständig

&richtigbeschrieb

en.D.h.wen

nwed

erwir

noch

der

Jungesich

irren,dann

•entsprichtalles,was

der

Jungehinschreibt,

diesenRegeln,und

•die

Regelngenerierenalle

Ausdrücke,

welcheder

Jungejemals

hinschreiben

könnte.

Niemandverw

endet

tatsächlich

einesolcheNotation.Aber

jelänger

die

Hüpfsequen

zensind,die

manaufzeichnen

oder

jeko

mplizierterdie

Spielregelnsind,

die

manangeb

enmöchte,um

sonützlicher

wirdeinesolcheNotation!

DasnächsteBeispielführt

einesehrnützliche“Hüpfnotation”vo

r...

21

Beispiel:

Syn

taxder

Sch

ach

notation

Beispiel:Syn

taxder

Sch

ach

notation

22

Beispiel:

Syn

taxder

Sch

ach

notation

23

Beispiel:

Syn

taxder

Sch

ach

notation

Schachpartienbestehen

oft

auslangen

Zugsequen

zen.Die

Regelnsinddeu

tlichko

m-

plizierterals

bei

den

meisten

Hüpfspielen.Dalohntes,sich

eineeigen

eNotation

auszuden

ken.

Hieristeintypischer

Partieanfangin

einer

solchen

Notation:

1.Bd2–

d4Sg1

–f3

2.Bc2–c4Be7–e6

3.Lc1–g

5Lf1–e7

4.Sb1–

c3usw

.

Wie

die

Hüpfnotation,so

istdie

Schachnotationnichts

anderes

als

einekleineSprache

–im

Prinzipnichtan

dersals

jedean

dereSprache.

Beobachtungen:

·FortlaufendnummerierteZeilen:Eskommtoff

enbaraufdie

Reihen

folgean

.

·Jed

eZeile

istvo

nder

Form

n.B

1,B

2.

·Jed

esB

iistvonder

Form

FP1−P2.

·Jed

esPiistvonder

Form

Kleinbuchstabe

Ẑahl.

24

Beispiel:

Syn

taxder

Sch

ach

notation

Wen

nwir

unsden

Fortgangder

Partieansehen

,dannstellenwir

fest,daßes

offenbar

vierArten

vonGrundzeichen

(Lexikon)gibt:

Basis: Linienzeichen

(Lin)a,

b,c,

d,e,

f,g,

h

Reihen

zeichen

(Rei)1,

2,3,

4,5,

6,7,

8

Figurenzeichen

(Fig)(B

),S,L,T,D,K

das“Hüpfzeichen

”−

Sch

ritt

(Grammatik):

Die

Grundzeichen

können

kombiniert

werden

zuweiteren

wichtigen

Zeichen

gruppen

:

Positionen

(Pos):

Wen

nm∈Lin

undn∈Rei,dannmn∈Pos

(zB

d1).

Aktionen

(Akt):Wen

np∈Pos,dann−p∈Akt(zB−d3).

Agenten(A

g):

Wen

nF∈Fig

undp∈Pos,dannFp∈Ag(zB

Dd1).

Zug(Z

g):

Wen

nx∈Agundy∈Akt,dannxy∈Zg(zB

Dd1-d3).

(Konvention:W

irkönnen

vereinbaren,dasFigurenzeichen

B(fürBauer)nichthinzu

-schreiben

.)

25

Beispiel:

Syn

taxder

Sch

ach

notation

Schließlich

können

wir

die

syntaktischen

Kategorien

defi

nieren,au

fdie

esunsletztlich

ankommt:

WasisteinZugpaar?—

Ein

ZugpaaristeinPaarvo

naufeinanderfolgenden

Zügen.

Was

isteinePartie?—

EinePartieisteine(endliche)

FolgevonZugpaaren.

DreiBeobachtungen.

1.Aufder

Basisdes

Lexikonsvo

nGrundzeichen

gen

eriert

diese

Grammatikalle

Zeilen(Züge)

unseresBeispiels

–undviele

weitere.

2.DasZeichen

S(fürSpringer),beispielsweise,bestimmt,fürsich

betrachtet,

keine

bestimmte

Figuraufdem

Brett.Esgibt(anfangs)

vierSpringer,zw

eiweiße

undzw

eischwarze.

(Dasistandersals

bei

der

Hüpfnotation,woX

undY

ein-

deu

tig“Figuren”bezeichnen

.)Deshalb

müssen

wir

immer

ausdrücken

können

,um

welchen

Ses

sich

handelnsoll.Dastunwir,indem

wir

dasFelddes

Springers

angeb

en(unterder

Annahme–wieder

andersals

imHüpfspiel!

–,daßkeinezw

eiFigurensich

einFeldteilen

können

!).

26

Beispiel:

Syn

taxder

Sch

ach

notation

3.Die

syntaktischeAnalyse

lehntsich

hierandie

umgangssprachlicheParaphrase

an.Sg1−

f3istin

etwa2kurz

für

Springeraufg1ziehtnach

f3.

NADJ

VADV

NP

VP

(=Ag)

(=Akt)

Die

syntaktischeAnalyse

eines

Zugskönnen

wir

als

einen

Baum

darstellen

:

Zug

/Agen

t/

Fig

∖ Pos /Linie

∖Reihe

∖Aktion

/ −∖ Pos /

Linie

∖Reihe

2Die

Sach

eisteinwen

igkomplizierter,

daSwie

wie

einPrädikatfunktioniert

undSf3

einesoge-

nannte

Ken

nzeichnungist.

Davonsp

ätermeh

r.

27

Beispiel:

Syn

taxder

Sch

ach

notation

Alsoz.B.:

Sf3−

d4

/Sf3

/ S∖ f3 / f

∖ 3

∖ −d4 / −∖ d4 / d

∖ 4Tatsächlich

istdie

Darstellungeines

Ausdrucksals

Baum

indem

·alleKnotenregelgerechterzeugtsindund

·alleBlätter

ausdem

Lexikonstammen

einBew

eisdafür,

daßder

Ausdruck

“gut”

ist!

Syntaxistim

KernBaumkonstruktion.

Manchesagen,daßdasauch

fürdie

Logik

gilt:

“LOGIC

ISAT

ROOTSALLABOUT

TREES.”

(RaymondSmullya

n)

28

Beispiel:

Syn

taxder

Sch

ach

notation

DENKPAUSE:

Zeichnen

Sie

den

Konstruktionsbaum

fürLc1–g

5!

Hiernoch

einmaldie

Vorlage:

Zug

/Agen

t/

Fig

∖ Pos /Linie

∖Reihe

∖Aktion

/ −∖ Pos /

Linie

∖Reihe

29

Beispiel:

Syn

taxder

Sch

ach

notation

Die

wichtigstePunkte

•Prämissen,Konklusion,logisches

Folgern

•Syntax:Form

eines

Ausdrucks

•Sem

antik:Bed

eutungeines

Ausdrucks

•Syntaktischer

Aufbaueiner

Sprache

Basis:

Grundbausteine(L

exikon)

Regelnder

Zusammen

setzung(G

rammatik)

•Zusammen

setzungals

Baum

dargestellt(K

noten,Blätter)

30

Beispiel:

Syn

taxundSem

antikdes

Zeh

nersystem

s

Beispiel:Syn

taxundSem

antikdes

Zeh

nersystem

s

Synta

x

•Grundzeichen

(Ziffern):

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

•Idee:Jed

eVerkn

üpfungvonZiffernisteinZahlzeichen

.

Definition1.EsseiZ0={1

,2,3,4,5,6,7,8,9,0}die

Men

geder

Grundzahlzeichen

.Dannsolldie

MengeZ

der

Zahlzeichen

die

folgenden

Bedingungen

erfüllen

:FüralleZeichen

xundy,

1.wennx∈Z0,dannx∈Z;

2.wennx∈Z

undy∈Z,dannxy∈Z;

3.Z

istdie

kleinsteMen

ge,

welchedie

Bed

ingungen

1–2erfüllt.

(Konvention:Zahlzeichen

der

Form

0xschreiben

wir

sohin:x.Diese

Konvention

dürfen

Sie

beliebig

oft

anwenden!Also:0020→

020→

20,oder

auch

000→

00→

0.)

Über

Mengen

unddasZeichen∈

(lies:

istin)erfahrenSie

bald

meh

r.

31

Beispiel:

Syn

taxundSem

antikdes

Zeh

nersystem

s

Manbeachte

...

(a)den

Unterschiedzw

ischen

Konstanten,0,1,2,...,undVariablen

,xundy;

(b)die

Bindungder

Variablendurchdie

Wendung“fürallex...”

(“Quantor”

genannt);

(c)die

abschließen

deBedingung3:“...die

kleinsteMen

ge,

welche...”

Ad(a)(K

onstantenundVariablen

).Den

Unterschiedzw

ischen

Konstantenund(verschieden

enArten

von)Variablen

exakt

zuerklärenistnichtso

ganzeinfach.W

ireignen

unshierden

Unterschieddurchintu-

itiven

Gebrauch

an.(A

ugustinus:

“WasistZeit?

Solangeniemanddanach

fragt,

weiß

iches.”)

Idee:Konstantenbezeichnen

fest

bestimmte

Gegen

stände;

Variablenbezeichnen

unbestimmtbeliebigeGegen

stände(m

eist

einer

bestimmtenArt).

EineKonstante

ist

wie

einreservierter

Sitz;

aufeineVariable

kannsich

jeder

setzen

.W

ichtigistjedoch,

... 32

Beispiel:

Syn

taxundSem

antikdes

Zeh

nersystem

s

Ad(b)(V

ariablen

bindung).

...daßim

mer

deu

tlichist,wie

der

Geb

rauch

vonVariablenzu

verstehen

sei.

Für

einen

Ausdruck

wie

wen

nx∈Z0,dannx∈Z

istdasnichtso

ohneweiteresklar.

Was

füreinx??

Sprechen

wir

hier

·über

alles,wofürxsteh

enkönnte,d.h.über

allex,

·über

höchsten

soder

mindestenseinx,

·über

die

meisten

x,oder

·über

einbestimmtesx,daswir

zuvo

rschonerwähnthaben??

Manvergleiche

x+

y=

y+

x

ineinem

Arithmetik-Leh

rbuch.Hierden

kenwir

unsim

mer

gleich

diejenigeVariablen-

Bindunghinzu

,welchedie

Allgem

einheitau

sdrückt:

fürallexundy...(D

ieserKon-

ventionwerden

wir

unsim

folgen

den

oftbed

ienen

.)W

ieauch

immer,obexplizitoder

durchKonvention,die

Verwen

dungvonVariablenohneAngabeihrerBindung(durch

einen

“Quantor”)ergibtkeinesinnvolleAussage.

33

Beispiel:

Syn

taxundSem

antikdes

Zeh

nersystem

s

Ad(c).

(“die

kleinsteMen

ge,welche...”)

Die

Abschlußklausel3istwichtig,den

nalleindurch

1.wennx∈Z0,dannx∈Z,und

2.wennx∈Z

undy∈Z,dannxy∈Z,

wirdkeinebestimmte

Men

gedefi

niert.

Anmerkung.Das

war

übrigensau

chschonso

bei

den

Defi

nitionen

vonPosition,

Aktion,Zug,etc.

bei

der

Hüpf-undder

Schachnotation.Stren

ggenommen

,hätten

wir

auch

dahinzu

fügen

müssen

:Die

Mengeder

Positionen

etc.

ist,die

kleinsteMen

ge,

welche...

DENKPAUSE:

Warum

nicht?

·Finden

Sie

zunächst

zwei

Mengen,die

1–2erfüllen

!

·Überlegen

Sie

sich

sodann,warum

esunen

dlich

viele

Men

gen

gibt,welchedie

Bedingungen

erfüllen

!

34

Beispiel:

Syn

taxundSem

antikdes

Zeh

nersystem

s

Alleindurch

1.wennx∈Z0,dannx∈Z,und

2.wennx∈Z

undy∈Z,dannxy∈Z,

wirdalsokeinebestimmte

Men

gedefi

niert.

(Wir

können

die

Men

geder

Zahlzeichen

beliebig

mit“Fremdlingen

”anreichern,oh

ne

1oder

2zu

verletzen.)

Aber

woh

erwissenwir

den

n,daßdurchdie

weitere

Bed

ingung,

3.Z

istdie

kleinsteMen

ge,

welchedie

Bed

ingungen

1–2erfüllt,

genaueineMengebestimmtwird?Könnte

esnichtsein,daßwir

einPhantom

definiert

haben,daßdie

Definitionwitzlos,

weilleer

oder

garwidersprüchlich

ist?

(Vgl.

“Sei

Maxdie

größte

natürlicheZahl...”)

Hiergiltes

Überzeugungsarbeitzu

leisten,d.h.einen

Bew

eiszu

liefern...

35

Beispiel:

Syn

taxundSem

antikdes

Zeh

nersystem

s

Bed

ingung3der

Defi

nitionfordert:

•Die

Men

geder

Zahlen,Z,seidie

kleinsteMenge,

welchedie

Bedingungen

1–2

erfüllt.

Damithierüberhauptetwas

definiert

wird,setzen

wir

offenbarzw

eierleivo

raus:

(a)EsgibtmindestenseineMen

ge,

welchedie

Bed

ingungen

erfüllt;und

(b)Esgibthöchsten

seinekleinsteMenge,

welchedie

Bed

ingungen

erfüllt.

Dassiehtschrecklich

subtilaus,

istab

ereigentlichganzeinfach.

(a)(...

mindestens...)

isttrivial:

Wir

bauen

einfach

ausden

Zifferndurch

VerknüpfungeineMen

geau

f.(D

akönnen

wir

dannauch

noch

Fremdlingehinein-

stecken

–HauptsacheBedingungen

1und2sinderfüllt.)

36

Beispiel:

Syn

taxundSem

antikdes

Zeh

nersystem

s

Um

(b)(...

höchsten

...)

zubew

eisen,wagen

wir

einmaleineHypothese:

(1)Sei

Fdie

Familie

aller

Men

gen

,die

die

Bed

ingungen

1.wennx∈Z0,dannx∈Z,und

2.wennx∈Z

undy∈Z,dannxy∈Z,

erfüllen

(alsoauch

solchemitFremdlingen

neb

enden

Zahlzeichen

.)

(2)Sei

M=

⋂ F,der

Schnittvo

nF

(=der

gemeinsameKernallerMen

gen

inF.)

(3)Beobachtung:M

selbst

erfülltdie

Bedingungen

1–2.(Ü

bung!)

Hypothese:

Mistdie

kleinsteMen

ge,

welchedie

Bed

ingungen

erfüllt.

(4)Angen

ommen

,die

Hypotheseistfalsch.Danngäbees

eineMen

geN∈F,welche

inM

echtenthalten

ist(N

⊂M

).

(5)Danngäbees

also

einx∈

M,welches

nichtin

Nist.

Aber

xwäre

dannin

allen

Men

gen

inF

enthalten

,alsoauch

inN

–W

iderspruch.

(6)Alsokanndie

Hypothesenichtfalsch

sein.M

=⋂ F

isttatsächlich

die

kleinste

Menge,

welchedie

Bedingungen

1–2erfüllt.

QED

—quod

eratdem

onstrandum.

InBildern...

37

Beispiel:

Syn

taxundSem

antikdes

Zeh

nersystem

s

38

Beispiel:

Syn

taxundSem

antikdes

Zeh

nersystem

s

39

Beispiel:

Syn

taxundSem

antikdes

Zeh

nersystem

s

40

Beispiel:

Syn

taxundSem

antikdes

Zeh

nersystem

s

41

Beispiel:

Syn

taxundSem

antikdes

Zeh

nersystem

s

DreiBem

erkungen

1.DasisteinBew

eisdurchre

ductioadabsu

rdum

(=Rückführungaufetwas

Unmögliches):

Wir

neh

men

dasGegenteilvon

dem

an,waswir

bew

eisenwollen(Z

iel),undzeigen

,daßunsdannsichereZusatzannahmen

ineinen

Widerspruch

verstricken.Schem

a-

tisch:

Zielfalsch

(?)

(sichere)

Zusatzannahmen

· · ·W

iderspruch

Ziel(!)

42

Beispiel:

Syn

taxundSem

antikdes

Zeh

nersystem

s

2.W

irsagten

“EsseiM

der

Schnittaller

Men

gen

inF”

Offenbarsetzen

wir

hierdie

Existen

zundEinzigkeitdes

Schnitteseiner

(nichtleeren)

Men

genfamilie

voraus.

AlleArgumente

beruhen

eben

immer

aufgew

issenVoraus-

setzungen

.Die

hierbem

ühtenVoraussetzu

ngen

sindTeilder

Men

genlehre.Diese

könntenwir

hinterfragen

.Dannwäre

unserGegen

standnichtlänger

Logik

(bisher

eigentlich:abstrakte

Syntax),sondernMen

gen

lehre.Auch

interessant...

Allgem

eingilt:Wen

nim

mer

wir

etwas

untersuchen

,dannbed

ienen

wir

unsth

eo-

retischerM

ittel,die

damitselbst

nichtautomatischzu

mUntersuchungsgegen

stand

werden

müssen

(undes

imselben

Atemzu

gauch

garnichtwerden

können

).In

der

Logik

istdie

sogen

annte

naiveMen

gen

lehre

norm

alerw

eise

einsolches

Mittel,nicht

Gegen

standder

Untersuchung.

43

Beispiel:

Syn

taxundSem

antikdes

Zeh

nersystem

s

3.Ein

wen

igM

engenlehre

brauchtmanoffenbar,

um

schonsehreinfacheFra-

gen

bezüglich

der

Syntaxsehreinfacher

Sprachen

klarunddeu

tlichbeantw

ortenzu

können

.Men

gen

lehre

isteinechtesElemen

tarhandwerkszeug—

auch

fürPhilosophen

!Dasmüssen

wir

unsalsoeinmaletwas

genauer

ansehen

...

44

Goethe-Universität

Frankfurt

am

Main

InstitutfürPhilosophie

Logik

imW

inter2017-18

Mengen

And

réFuh

rmann

02men

gen

171107.1158

Elemen

tareszu

elem

entarenGrundbeg

riffen

Elemen

tareszu

elem

entarenGrundbeg

riffen

Mengen

HiersindeinigeObjekte

(“Elemente”): ♣♦♥♠

(1)

Diese

Objekte

können

wir

zueinem

neu

enObjektzu

sammen

fassen

.EineArt

der

Zusammenfassung,nennen

wir

Menge:

{♣,♦,♥,♠}

(2)

Wir

haben

hierdie

Elemente

einfach

explizitangegeb

en.Aber

dieselbeMengekönnen

wir

auch

durcheineBeschreibungangeb

en;z.B.so:

{x:xisteineSpielkartenfarbe}

(3)

Zwei

Mengesindgleich,wen

nsiedieselben

Objekte

enthalten

.1

1KeineEntitätohneIden

tität!

2

Elemen

tareszu

elem

entarenGrundbeg

riffen

Men

gen

fassen

Objekte

zueinem

neu

enObjektzu

sammen

.Wen

n

M={♣

,♦}undN

={♥

,♠},

DannsindM

undN

Objekte,die

wir

eben

fallszu

einer

Men

gezu

sammen

fassen

können

:L={M

,N},

d.h.L={{♣,♦},{♥

,♠}}

.

Hieristdie

Men

geA,die

nurau

sdem

Objekt♠

besteht:

A={♠}

Undhieristdie

Men

geB,die

nurau

sder

Men

geA

besteht:

B={A}={{♠}}

DasObjekt♠

istnichtdasselbeObjektwie

die

Men

geA.Daher

sindauch

AundB

verschieden

eObjekte

(Men

gen

):

♠�={♠}�={{♠}}

!

Oder,wie

einKommilitoneeinmaltreff

endbem

erkte:Ein

Sack

istkeineBanane,

und

alsoisteinSack,in

dem

eineBananeist,auch

keinSack,in

dem

einSack

miteiner

Bananeist...

3

Elemen

tareszu

elem

entarenGrundbeg

riffen

{B}�=

B

{{B}}�={B}

4

Elemen

tareszu

elem

entarenGrundbeg

riffen

Wir

können

die

vierObjekte

auch

anderszu

einem

neu

enObjektzu

sammen

fassen

;z.B.zu

einer

Folge:

〈♣,♦,♥,♠〉

(4)

BeachtenSie

die

spitzenKlammern!(M

anchmalbenutzen

wir

aber

auch

rundeKlam-

mernfürFolgen

.Jenach

Lust

undLaune–niemals

jedoch

geschweifteKlammern:

die

sindfürMen

gen

reserviert.)

(4)istnichtdieselbeFolgewie

z.B.

〈♦,♥,♠,♣〉

(5)

Mit(5)können

Sie

zBdie

Reihen

folgeder

Wertigkeitder

Karten

richtigangeb

en;mit

(4)nicht.

(4)istauch

nichtdieselbeFolgewie 〈♣

,♦,♦,♥,♠〉

(6)

(6)könnte

zBdie

Reihenfolgeder

Karten

aufIhrerHandsein:Sie

haben

zwei

Karos.

Daswäre

danneinean

dereHandalsdie

in(4)dargestellte.

5

Elemen

tareszu

elem

entarenGrundbeg

riffen

Allgem

einsagen

wir,daßzw

eiFolgen

S=

(s1,s

2,...,s

n)undT

=(t

1,t

2,...,t

m)

gleich

sind,wen

nsiedieselben

Objekte

aufdieselbeWeise

anordnen

,also

s 1=

t 1,s 2

=t 2,...,s n

=t m

.

(Natürlichkönnen

auch

Mengen

Elemente

vonFolgen

sein.)

Men

gen

unterscheiden

also

gröber

als

Folgen:

{♣,♦}={♦

,♣}={♦

,♦,♣}

〈♣,♦〉�=

〈♦,♣〉�=

〈♦,♦

,♣〉

Men

gen

sindim

Gegensatz

zuFolgen

kommutativ(linke

Gleichung)undidem

potent

(rechte

Gleichung).

6

Elemen

tareszu

elem

entarenGrundbeg

riffen

Elementb

eziehung,Enth

altensein

WennxeinElementder

MengeM

ist,dannschreiben

wir

x∈M

undlesen:

xistin

M.

AlsozB

:♣∈{♣

,♦,♥}

♦∈{♣

,♦,♥}

♥∈{♣

,♦,♥}

Wir

sagen

auch

manchmalxseiin

M“enthalten

”.Aber

eigentlichwollen

wir

die

Red

evom

Enthalten

sein

füreinVerhältnis

zwischen

zwei

Men

genundnichtfüreines

zwischen

Men

genundihrenElemen

tenreservieren.

7

Elemen

tareszu

elem

entarenGrundbeg

riffen

Wen

njedes

Elementin

Mzu

gleichauch

inN

ist,dannsagen

wir,daßM

inN

ent-

haltenistoder

daßM

einTeiloder

eineTeilmengevonN

ist.

Dasschreiben

wir

so:

M⊆

N.

Daßalles,

was

inM

ist,auch

inN

ist,schließtnatürlichau

chden

Grenzfallein,daß

MundN

gleichsind.DiesenFallschließen

wir

aus,

wen

nwir

sagen

,daßM

inN

ech

tenth

altenist.

Dasschreiben

unddefinierenwir

so:

M⊂

Ngdw

M⊆

NundM�=

N

HiersindeinigeBeispiele:

{♥,♠}⊆{♦

,♠,♥}

{♦,♠

,♥}⊇{♥

,♠}

{♠,♥}⊂{♦

,♠,♥}

{♦,♠

,♥}⊃{♥

,♠}

♠∈{♦

,♠,♥}

{♠}⊆{♦

,♠,♥}

{♦,♠

,♥}⊆{♦

,♠,♥}

Die

ersten

zwei

Beispiele

zeigen

,daßSie

dasSymbol

auch

einfach

umdrehen

können

.Sie

beh

auptendanndie

Inklusionin

umgedrehterRichtung–istja

klar.

8

Elemen

tareszu

elem

entarenGrundbeg

riffen

DENKPAUSE:

Welcheder

dreiMen

gen

istdie

kleinste?

a={♦}

b={♣

,♦}

c={♦

,♠}?

(Antw

ort)

Warum?

9

Elemen

tareszu

elem

entarenGrundbeg

riffen

Die

“Grö

ße”vonM

engen

Erste

Frage:Welcheder

dreiMen

gen

istdie

kleinste?

a={♦}

b={♣

,♦}

c={♦

,♠}?

Natürlicha.Warum?—

Zwei

möglicheAntw

orten:

•Weilawen

iger

Elemen

tehatalsbundc.

•Weilain

bundin

cechten

thalten

ist.

Zweite

Frage:Welcheder

dreiMengen

istdie

größte?

n={x

:xisteinenatürlicheZahl}

g={x

:xisteinegeradenatürlicheZahl}

p={x

:xisteinePrimzahl}?

Natürlich(?)n.Warum?

10

Elemen

tareszu

elem

entarenGrundbeg

riffen

—Zwei

möglicheAntw

orten

:

•WeilnmehrElemen

tehatalsgundp.

•Weilgundpin

nechten

thalten

sind.

Die

ersteAntw

ort

wäre

jetztfalsch!–AlledreiMen

gen

sind,was

die

Anzahlder

Ele-

mente

betrifft,

gleich

groß!

n:

01

23

45

67

...

g:

02

46

810

1214

...

p:

23

57

1113

1719

...

•AlledreiMengen

haben

unendlich

viele

Elemente.

•Die

Elemente

können

Sie

abzählen:“D

asistdie

erstenatürliche/gerade/prime

Zahl;dasistdie

zweite

...;dasistdie

dritte....”

•Die

dreiMengensindalso

abzählbarunendlich

.

11

Elemen

tareszu

elem

entarenGrundbeg

riffen

Frage:Gleichviele

natürliche,

geradeundprimeZahlen?W

iekanndassein?Nur

die

Hälfte

der

natürlichen

Zahlensinddoch

gerade,

undnoch

wen

iger

sindprim!W

iekönnen

dadie

dreiMen

gen

gleichgroßsein?

Antwort:Naja,wen

nwir

über

endlicheMengen

sprächen,dannhätten

Sie

recht.

Aber

mitunen

dlichen

Mengen

verhältes

sich

anders.

•Eineunen

dlicheMen

geN

kanndurchauseineechte

Teilm

engeM

haben

,die

genügen

dviele

Elemente

enthält,um

jedem

Elementin

der

Obermen

geN

eines

aus

Mandie

Seite

zustellen.Wen

ndiese

Art

vollständiger

undeindeu

tiger

Paarung

möglich

ist,dannsinddie

beiden

Mengen

gleichgroß.

•Gen

audaswollenwir

unter“gleichgroß”verstehen

:

Mengen

sindgenaudanngleichgro

ß,wen

nzw

ischen

ihnen

eine1:1-Paarung

möglich

ist.

12

Elemen

tareszu

elem

entarenGrundbeg

riffen

DaßunendlicheMengen

gleichgroßeechte

Teilm

engen

haben,kannmangeradezuals

die

wesentlicheEigen

schaft

unen

dlicher

Men

gen

ansehen

(Ded

ekind):

•EineMen

geistunendlich

gdw

siegleich

große(im

1:1-Sinn)echte

Teilm

engen

enthält.

Merke:Wen

nnichtandersangegeb

en,dannistbei

Wen

dungen

wie

“Mistdie

kleinste/größte

Mengeso,daß...”

immer

aneinen

Vergleichder

relevantenMen

gen

imSinneder

Inklusionsverhältnisse,

nichtder

Mächtigkeit(=

Anzahlder

Elemente)ged

acht.

•“M

istkleiner

als

N”:(m

eist)M

istin

Nenthalten

.

•“M

istkleiner

als

N”:(seltener)M

enthältwen

iger

Elemente

als

N.

13

Elemen

tareszu

elem

entarenGrundbeg

riffen

Relationen

Betrachtenwir

noch

einmaldie

natürlichen

,die

geraden

unddie

primen

Zahlen:

n:

0,1,

2,

3,4,

5,

6,7,

...

g:

0,

2,4,

6,8,

10,

12,

14,

...

p:

2,

3,5,

7,11

,13

,17,

19,

...

Wen

nwir

diese

“Matrix”senkrechtlesen,dannkönnen

wir

zBbeobachten,daß0

über

0undauch

über

2steht,so

wie

5über

10undauch

über

13steht.

Wir

stellen

hiereineim

mer

wiederkehrendeBeziehung,die

Relation

xsteht(unmittelbar)

über

y,kürzer

xRy(oder

Rxy)

fest.Diese

Relationpaart

Zahlenin

einer

bestim

mtenReihen

folge.

Also

0mit

0,0mit

2(nicht2mit0!),1mit2(nicht2mit

1!),2mit3(...!)

usw

.

MaW

eineRelationisteigentlichnichts

anderes

als

eineM

engevonPaare

n.Und

Paare

sindnatürlichFolgen,die

ausnurzw

eiGlied

ernbestehen

.Also

R={〈0,0〉,〈0,2〉,〈1,2〉,〈2,3〉,〈2,4〉,〈4,5〉,...}

14

Elemen

tareszu

elem

entarenGrundbeg

riffen

Diese

Men

geR

vonPaarenkönntenwir

auch

sobeschreiben:

R={〈x,y〉:

xsteht(unmittelbar)

über

y}

(Bitte

störenSie

sich

nichtdaran,daßwir

den

Buchstaben

Rsowoh

lverw

enden

,um

anzu

deu

ten,daßzw

eiElemente

inder

Relationzu

einander

steh

en—

0R2oder

R02

—alsauch,um

die

Men

geallersolchen

Paare

zubezeichnen

—R

={...}.)

Daswarnuneinezw

eistelligeRelation;Rxy.Natürlichgibtes

auch

dreistellige,

vier-

stellige,

usw

.Relationen

.

HieristeinBeispielfüreinedre

istelligeRelation:

S={〈x,y,z〉:

xsteht(unmittelbar)

über

y,undysteht(unmittelbar)

über

z}

Alsoin

unserem

Beispiel

n:

0,1,

2,3,

4,5,

6,7,

...

g:

0,

2,4,

6,8,

10,

12,

14,

...

p:

2,

3,5,

7,11

,13

,17

,19

,. ..

haben

wir

S={〈0,0,2〉,〈1,2,3〉,〈2,4,5〉,〈3,6,7〉,〈4,8,11〉,〈5,10,13〉,...}

15

Elemen

tareszu

elem

entarenGrundbeg

riffen

Ganzallgem

einbetrachtet,sindRelationen

alsonichts

als

MengenvonFolgen:

{〈−〉,〈−〉,...,〈−〉,〈−〉}.

DENKPAUSE:

Defi

nierenSie

die

dreistelligeRelation

S={〈x,y,z〉:

xstehtunmittelbarüber

y,undystehtunmittelbarüber

z}

mitHilfe

der

zweistelligen

Relation

U={〈x,y〉:

xstehtunmittelbaruntery}.

Also

Sxyzgdw

...;oder

S={〈xyz〉:

...}

16

Elemen

tareszu

elem

entarenGrundbeg

riffen

[Antw

ort:

Sxyzgdw

UzyundUyx,bzw

.S={〈xyz〉:

UzyundUyx}.]

Funktionen

Bestimmte

(zweistellige)

Relationen

verdienen

besondereBeachtung.Dassindsolche

Relationen

,die

ihre

linke

Koordinate

immer

mitgenaueiner

rechtenKoordinaten

paaren.Eineso

“eindeu

tige”

RelationR

erfülltdie

Bed

ingung

(Fun)

wen

nRxyundRxz,danny=

z

Die

Bed

ingungschließtfolgen

des

Bildaus:

17

Elemen

tareszu

elem

entarenGrundbeg

riffen

(Fun)

wen

nRxyundRxz,danny=

z

Wen

nwir

zBmitder

RelationU,“xstehtunmittelbaruntery”,die

geraden

(x)und

die

natürlichen

(y)in

Beziehungsetzen

,dannstellenwir

fest,daßU

die

Bed

ingung

(Fun)erfüllt.

Die

RelationU

bildet

die

geraden

Zahlenaufdie

natürlichen

Zahlenab

;d.h.siegibtjeder

geraden

Zahlxgenaueinenatürlicheyandie

Hand.(Indiesem

SinnezähltU

die

geraden

Zahlenab,sieindiziert

siemit

den

natürlichen

Zahlen–

beginnen

dmit0.)

•SolcheeindeutigabbildendenRelationen

nenntmanFunktionenoder

einfach

Abbildungen.

•EineFunktionistim

mer

darstellbarals

eineMengevonPaaren,welchedie

o.g.Be-

dingung(Fun)erfüllt.

18

Elemen

tareszu

elem

entarenGrundbeg

riffen

EineFunktionfbildet

Arg

umente

auseiner

Men

geA

(zB

die

geraden

Z.)in

Werte

auseiner

möglicherweise

anderen

MengeB

(zB

die

nat.

Z.)ab

.Dasdeu

tenwir

soan:

f:A−→

B.

Weitere

Beispiele

vonFunktionen

:

(1)

u:Mengeder

Anko

mmenden

−→{E

U,n

EU}.

Bildet

jeden

Anko

mmen

den

xaufdie

Eigenschaft

EU-B

ürger

oder

nichtEU-B

ürger

zusein

ab(zB

bei

der

Paßko

ntrolleam

Flughafen).

Oder

(2)

v:Mengeder

Medaillen−→

Men

geder

Teilneh

mer

amWettbew

erb.

FürjedeMed

aille

mbesagtv(m

)=

N.N

.,daß

mvonN.N

.gew

onnen

wurde.

Oder

(3)

w:Men

geder

Kleinbuchstaben

−→Mengeder

Großbuchstaben.

D.h.,w(a)=

A,w(b)=

B,w(c)=

C,u.s.w

.(ohne‘ß’).

Diese

Beispiele

illustrieren

(unternorm

alenAnnahmen

)dreiTypen

von

Funktionen

... 19

Elemen

tareszu

elem

entarenGrundbeg

riffen

Esseif:A−→

BeineFunktion(m

itArgumentbereich

AundWertebereich

B).

•fis

surjektivgdw:

Fürallebin

Bgibtes

einain

Aso,daßf(a)=

b.(Jed

esElementin

BistWerteines

Elementesin

Aunterf;B

kannausA

unterf

erzeugtwerden

.)

•fistinjektivgdw:

Füralleaunda′in

A:Wenna�=

a′ ,dannf(a)�=

f(a

′ ).

(Distinkte

Argumente

erhalten

unterfdistinkte

Werte;fallsb=

f(a),dannläßt

sich

beindeu

tigunterfnach

Azurückverfolgen

.)

•fistbijektivgdw:

fistsurjektivundinjektiv.

(Jed

esElementin

BistWertunterfgenaueines

Argumentesin

A;die

Zuordnung

istin

beideRichtungen

eindeu

tig(“ein-eindeu

tig”).)

(Funktionen

solcher

Art

nen

nen

wir

auch

Surjektionen

,Injektionen

bzw

.Bijektionen

.)

20

Elemen

tareszu

elem

entarenGrundbeg

riffen

21

Elemen

tareszu

elem

entarenGrundbeg

riffen

Wen

neineFunktionf:A−→

Bbijektivist,

danngibtes

eineFunktiong:B−→

Aderart,daß(fürallea∈A,b∈B) g(b)=

agdw

f(a)=

b

(undumgekeh

rt).

D.h.gkehrt

fum,weshalb

gauch

die

Umkehrfunktionvonf

gen

anntundmitf−1notiertwird.

22

Elemen

tareszu

elem

entarenGrundbeg

riffen

Schreiben

wir

ffürdie

Funktion,welchedie

geraden

Zahlenau

fdie

natürlichen

ab-

bildet

(die

geraden

Zahlen“abzählt”),dannsiehtdasso

aus:

f(0)=

0f(2)=

1f(4)=

2f(6)=

3f(8)=

4usw

.

ImBild(f

vonuntennach

oben):

Offen

sichtlichistfinjektivundsurjektiv,alsobijektiv(ein-eindeu

tig).

Die

Umkehrungvon

f(hier:

vonob

ennachunten)gibtzu

jeder

Positionin

der

Abzählungdie

dazu

gehörigegeradeZahlan.

23

Elemen

tareszu

elem

entarenGrundbeg

riffen

...undum

noch

einmaldara

ufzurü

ckzukommen:

n=

{0,

1,2,

3,4,

5,6,

7,...}

g=

{2,

4,6,

8,10

,12

,14,

16,

...}

p=

{3,

5,7,

11,

13,

17,

19,

23,

...}

Wan

nzw

eiMen

gen

die

gleicheAnzahlvonElementenenthalten

,d.h.gleichgroß

(“mächtig”)sind,können

wir

jetztau

chso

beschreiben

:

•Zwei

Mengen

sindgenaudanngleichmäch

tig,wen

nes

einebijektive(=

injektive

undsurjektive)Abbildung)zw

ischen

ihnen

gibt.

Offensichtlichgibtes

zwischen

NundbestimmtenTeilm

engen

vonN

(wie

goder

p)

eineBijektion.Deshalb

istN

nach

der

Dedekind’schen

Defi

nitioneineunen

dlich

große

Menge:

EineMen

geistunendlich

gdw

siesich

bijektivau

feineechte

Teilm

engeabbilden

läßt.

24

Elemen

tareszu

elem

entarenGrundbeg

riffen

DENKPAUSE:

Finden

Sie

jeeinBeispielfüreinesurjektive,eineinjektive

undeinebijektive

Abbil-

dung!(L

egen

Sie

erst

AundB

fest

undbeschreiben

Sie

dann,was

ftut!)

25

Men

gen

operationen

Men

gen

operationen

•MitZahlenkönnen

Sie

operieren:Sie

können

addieren,subtrahieren,multiplizieren

,poten

zieren

undvielesmeh

r.

•MitMen

gen

können

Sie

dasauch.Nurhaben

diese

Operationen

hiernatürlicheine

ganzeigeneBedeutung.

•Sie

können

Mengen

vere

inigen(“addieren”):

{♣,♦}∪

{♥,♠}={♣

,♠,♦

,♥}

(Aufdie

Reihen

folgekommtes

bei

Men

gen

,wie

wir

wissen,nichtan.)

Allgem

einer:

M∪N

={x

:x∈M

oder

x∈N}

Def.∪

26

Men

gen

operationen

•Sie

können

diejenigen

Elemente

ausMen

gen

herausfischen

,die

den

Men

gen

gemein-

sam

sind.Dasnenntmanschneiden:

{♦,♣}∩

{♠,♦}={♦}

Allgem

einer:

M∩N

={x

:x∈M

undx∈N}

Def.∩

•Dasallesgehtau

chin

großem

Stil(V

ereinigungundSchnitteiner

Men

gen

familie):

⋃ {M

1,M

2,...,M

n}=

M1∪M

2∪···∪

Mn

⋂ {M

1,M

2,...,M

n}=

M1∩M

2∩···∩

Mn

•Diese

zwei

Defi

nitionen

decken

nurden

endlichen

(n!)

Fallab.Aber

sielassen

sich

leichtzu

munen

dlichen

Fallerweitern.Sei

FeinebeliebigeMengevonMengen.

Dann

⋃ F={x

:xistin

mindestenseiner

der

Men

gen

inF}

27

Men

gen

operationen

[Aufgabe:(a)Defi

nierensieden

Schnitt⋂ F

vonF.(b)Überzeugen

Sie

sich

davon

,daßausIhrerDefi

nitiondie

richtigeDefinitionvonM∩N

folgt.]

•Sie

können

Mengen

subtrahiere

n:

{♣,♦

,♥}−

{♦}={♣

,♥}

Allgem

einer:

M−

N={x

:x∈M

undx/∈N}

Def.−

◦Im

Kontextlegen

wir

meist

eineMen

geU

als

dasUniversum

(Grundmen

ge,

Be-

reich)der

jeweils

inBetrachtkom

men

den

Objekte

fest.Soschreiben

wir

dannein-

facher

NfürU−

N

undnen

nen

Ndie

Komplementä

rmengevonN

(inU).

(Nergänzt

(“komplementiert”)N

zum

Universum

U,d.h.N∪N

=U.)

28

Men

gen

operationen

•Sie

können

Pro

dukte

vonMen

gen

bilden

,d.h.“m

ultiplizieren

”.Dazu

bilden

sie

einfach

die

Mengealler

Paare,wobei

der

einePartner

immer

ausder

einen

Menge,

der

andereausder

anderen

Men

gekommt.

Aber,Achtung!,wie

Sie

jetztwissen,

kommtes

bei

Paaren(2er-Folgen!)

aufdie

Reihenfolgean–an

dersalsbeim

Multi-

plizieren

zweier

Zahlen.

{♣,♠}×

{♦,♥}={〈♣,♦〉,〈♣

,♥〉,〈♠

,♦〉,〈♠

,♥〉}

Allgem

einer:

M×

N={〈x,y〉:

x∈M

undy∈N}

Def.×

Übrigen

s:Wen

nm

undndie

Anzahlder

Elemente

inM

bzw

.N

sind,dannenthält

M×N

genaum·n

Elemente.(E

shatalso

doch

einwen

igmit

Multiplikationzu

tun.)

29

Men

gen

operationen

DENKPAUSE:

M×

N={〈x,y〉:

x∈M

undy∈N}

“Klar,

bei

Folgen

kommtes

aufdie

Reihenfolgean.Deshalb

istnatürlich

{♣,♠}×

{♦,♥}

nichtgleich

{♠,♣}×

{♦,♥}”,

sagte

neulich

jemandin

der

U-B

ahn.—

Stimmtdas?

(Zwei

Wegezu

einer

Antw

ort:einschnellerWeg

undeinlangsamer

Weg.Suchen

Sie

erst

den

schnellen!)

30

Men

gen

operationen

DENKPAUSE:

M×

N={〈x,y〉:

x∈M

undy∈N}

“Klar,

bei

Folgen

kommtes

aufdie

Reihen

folgean

...

{♣,♠}×

{♦,♥}

�={♠

,♣}×

{♦,♥}”(??)

SchnellerWeg:{♣

,♠}={♠

,♣}und{♦

,♥}={♦

,♥}.

Der

Defi

nitionvon

M×

N(blätternSie

zurück!)

istes

gleichgü

ltig,wie

wir

die

Men

gen

MundN

hinschreiben

.

Langsamer

Weg:Bilden

Sie

die

jeweiligen

Produktm

engen

undüberzeugen

Sie

sich,

daßsiedieselben

Elemente

enthalten

.

Was

der

Mannin

der

U-B

ahnmeinte

war

dies:

{♣,♠}×

{♦,♥}

�={♦

,♥}×

{♣,♠}!

(Die

Men

gen

produktoperationistnichtkommutativ.)

31

Men

gen

operationen

•Schließlich

können

Sie

Men

gen

auch

potenziere

n.In

diesem

FallsammelnSie

ein-

fach

alleTeilm

engen,die

inder

betrachtetenMen

geenthalten

sindundsteckensie

zwischen

Men

gen

klammern.Also...

ErsterSchritt:Teilm

engen

bilden

∅⊆{♣

,♦,♥}

{♣}⊆{♣

,♦,♥}

{♦}⊆{♣

,♦,♥}

{♥}⊆{♣

,♦,♥}

{♣,♦}⊆{♣

,♦,♥}

{♣,♥}⊆{♣

,♦,♥}

{♦,♥}⊆{♣

,♦,♥}

{♣,♦

,♥}⊆{♣

,♦,♥}

ZweiterSchritt:Teilm

engen

einsammeln

℘({♣,♦

,♥})

={∅

,{♣},{♦},{♥},{♣

,♦},{♣

,♥},{♦

,♥},{♣

,♦,♥}}

32

Men

gen

operationen

Allgemeiner:

℘(M

)={N

:N⊆

M}

Def.℘

Übrigen

s:Wen

nm

die

Anzahlder

Elemente

inM

ist,danngibt2m

immer

die

An-

zahlder

Elemente

von℘(M

)an

—weshalb

manchestatt

℘(M

)au

ch2M

schreiben

.

DENKPAUSE:

Bilden

Sie

die

Potenzm

engevon{0

,1,2}!

33

Men

gen

operationen

Offen

sichtlicheFrage:Warum

istden

ndie

leereMen

gein

der

Potenzm

engejeder

Men

gemit

drin?

Offen

sichtlicheAntwort:Dasmußwohlander

Definitioneiner

Potenzm

engeliegen.

Schauen

wir

unsdiese

Defi

nition(℘(M

)={N

:N⊆

M})also

noch

einmalan

(mit

∅nunschon

fürN

eingesetzt):

∅∈℘(M

)gd

w∅⊆

M.

Um

hierweiterzukommen,fragen

wir

uns,

wasdie

rechte

Seite

eigentlichbed

eutet:

∅⊆

Mgdw

(fürallex)

wen

nx∈∅,

dannx∈M

.

Jetzt

istklar:∅⊆

Mkannnuruntereiner

Bedingungfalsch

werden

:

Esistnichtder

Fall,daß:(fürallex)wen

nx∈∅,

dannx∈M

,

d.h.es

gibteinx:x∈∅aber

x/∈M

.

Frage:

Kanndiese

Bed

ingungeintreff

en??

—Falls

nicht,dannkann∅⊆

Mnie

falsch

sein,fürbeliebiges

M.Undwasnichtfalsch

sein

kann,mußja

dannwohlwahrsein,

oder?

34

Exk

urs:Der

Satz

vonCantor

Exk

urs:Der

Satz

vonCantor

Mitdem

,waswir

bisher

über

Abzählbarkeit,Funktionen

undPoten

zmen

gen

gelernt

haben

,können

wir

schonzu

einem

interessantenResultat,

dem

Satz

vonCantor,

kom-

men

.

•WennM

eineMen

geist,dannsei|M|d

ieAnzahlder

Elemente

inM

.

•Erinnerung:|℘

(M)|=

2|M

| .ZB:|℘

(∅)|=

20=

1(Festlegungim

Grenzfall),|℘

({a})|=

21=

2usw

.

•FürjedenatürlicheZahlnistn<

2n.

•Fürjedeen

dlicheMen

gegibtes

einenatürlicheZahlnso,daßdie

MengenEle-

mente

enthält.Also:

•Fürjedeen

dlicheMengeM

gilt:|M|<

|℘(M

)|.Die

Anzahlunen

dlicher

Men

gen

(zB

N)läßtsich

nichtdurcheinenatürlicheZahl

angeb

en.Was

passiert

also

indiesem

Fall?

35

Exk

urs:Der

Satz

vonCantor

Georg

Cantor(1845-1918),

deu

tscher

Mathem

atikerundPhilosoph

CANTORSSATZ.Fürbeliebige(!)Men

gen

Mgilt:

|M|<

|℘(M

)|.

Bew

eis

Beobachtung:Fürjedes

xin

Mgibtes

dasElement

{x}in

℘(M

).(E

twasanspruchsvoller

form

uliert:

Die

Abbildungf:M−→

℘(M

)mitf(x)={x}istinjek-

tiv.)Alsowissenwir: |M|≤

|℘(M

)|.

Esbleibtzu

zeigen

:|M|�=

|℘(M

)|./...

36

Exk

urs:Der

Satz

vonCantor

Nehmen

wir

an–reductio

adabsurdum!–,

daß

(1)|M|=

|℘(M

)|.Danngibtes

fürjedes

Elementin

℘(M

)eines

inM

.D.h.

(2)es

gibteineFunktiong:M−→

℘(M

),die

surjektivist.

(Zum

Beispielso:

Hierhatadie

Eigenschaft

a/∈g(a)[={b}].)

Manbetrachte

nundie

Men

geN

={x∈M

:x/∈g(x)},d.h.

(3)x∈N

gdw

x∈M

undx/∈g(x).

(Nach

dieserDef.istim

Beispiela∈N.)

37

Exk

urs:Der

Satz

vonCantor

(3)x∈N

gdw

x∈M

undx/∈g(x).

Offensichtlichist

(4)N⊆

MundalsoN∈℘(M

).

Ausder

Surjektivität

vongund(4)folgt,

(5)daßes

einy∈M

gibt,so

daßN

=g(y).

Isty∈N

[=g(y)]?

Wen

nja

(y∈N),dann(nach

3⇒

)y/∈N.

Wen

nnein(y

/∈N),dann(nach

3⇐

undy∈M

)y∈N.

Entw

eder

istab

ery∈N

oder

y/∈N

–einedritteMöglichkeit

bestehtnicht.

Injedem

Fallerhalten

wir

einen

Widerspruch.Alsoistdie

Annahme

(1)|M|=

|℘(M

)|falsch;d.h.|M|<

|℘(M

)|—

QED.2

2Quod

eratdem

onstrandum,lat.

–waszu

bew

eisenwar.

38

Exk

urs:Der

Satz

vonCantor

Fürdie

Men

geN

der

natürlichen

Zahlenistnach

Cantors

Satz

die

Men

ge℘(N

)ein

einfaches

Beispieleiner

überabzählbarunen

dlichen

Men

ge.

AusCantors

Satz

ergibtsich

die

historischersteParadoxie

des

intuitiven

Men

genbe-

griffs:

Canto

rsPara

doxie

Kannes

eineMen

geU

aller

Men

gen

geb

en?Wen

nja,dannkannes

jeden

fallskeine

MengeM

geb

en,die

größer

(mächtiger)istals

U;d.h.

füralleM

:|M|≤

|U|.

Wen

nwir

aber

fürM

die

Menge℘(U

)einsetzen

,dannerhalten

wir

|℘(U

)|≤|U|.

DaswidersprichtCantors

Satz.Alsokannes

keineMen

geallerMen

gen

geben

.

Offenbargibtes

nichtzu

jeder

Eigen

schaft

(zB

eineMen

gezu

sein)eine

entsprechen

deMen

ge(die

Men

geder

Elemente,welchedie

Eigen

schaft

haben

).W

irwerden

gleicheineweitere

Paradoxie

kennen

lernen

,die

dasgleicheErgeb

nis

nahelegt

(die

RussellscheParadoxie).

39

Zusammen

fassung:EinigeGrundbeg

riffeder

naiven

Men

gen

lehre

Zusammen

fassung:EinigeGrundbeg

riffeder

naiven

Men

gen

lehre

Men

gen:“Ansammlungen”vo

nObjekten(E

lemen

ten).

Auch

Men

gen

selbst

können

Elemente

vonMen

gen

sein.

Ein

Elementxistin

der

Men

geA:x∈A.

EineMen

geA

istin

der

Men

geB

enthalten

:A⊆

B,d.h.A

istTeil(men

ge)

vonB.

WennA⊆

Baber

A�=

B,dan

nistA

inB

echtenthalten

,A⊂

B.

Schnitt:

A∩B

—alle

Elemente,die

AundB

gem

einsam

sind:

A∩B

:={x

:x∈A

undx∈B}.

Schnitteiner

Men

gen

familie

F:⋂ F

—alle

Elemente,die

allen

Men

gen

inF

gem

ein-

sam

sind.

Vereinigung(oder

“Summe”):

A∪B

oder

auch

⋃ F—

alleElemente,die

inA

oder

inB

(bzw

inmind.einer

der

Men

gen

inF)sind:

A∪B

:={x

:x∈A

oder

x∈B}.

40

Zusammen

fassung:EinigeGrundbeg

riffeder

naiven

Men

gen

lehre

Subtraktionbzw

.Komplemen

tärbildung:

A−

B(auch

A\B)—

alleElemente

inA,

die

nichtin

Bsind:

A−

B:={x

:x∈A

undx/∈B}.

Bzw

.B

—alle

Elemente

(des

“Universums”),die

nichtin

Bsind.

Potenzm

enge

vonA:℘(A

)—

Die

Men

ge(Fam

ilie)allerMen

gen

,die

Teilvo

nA

sind,

“angefangen”mit∅,

der

leeren

Men

ge:

℘(A

)={X

:X⊆

A}.

(Kartesisches)Produkt

A×B:Mengealler

Paare

(a,b),wob

eidie

ersteKoordinate,a,

ausder

MengeA

unddie

zweite

Koordinate,b,

ausder

MengeB

stammt:

A×

B={(a,b):a∈A

undb∈B}.

Natürlichlassen

sich

auch

Produkte

ausmeh

rals

zwei

Men

gen

bilden

.Diese

ergeb

endannMen

gen

ausTripeln,Quadrupeln,Quintupelnusw

.Z.B.:

A×

B×