Wireless Sensornetworks Concepts, Protocolls and Applications

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Zoya Dyka/Peter Langendörfer

e-mail: dyka [ at ] ihp-microelectronics.comweb: www.tu-cottbus.de/systeme

Übungen: RSA und ECC, Teil 2

Chair Systemswww.tu-cottbus.de/systeme

Monday, 09. January 2012winter term 2011/12 – Wireless Sensor Networks

Chapter 6 – Page 2

- EC- Operationen mit EC-Punkten- kryptographische Operationen

ECC (Elliptic Curve Cryptography)



ECC

EC: y2=x3+ax+b

Kryptographie =>keine reelle Zahlen !!!

sondern:Elemente aus GF(p), z.B. GF(5)



ECC

“modulo”= n=5 { 0, 1, 2,

3, 4}7 mod 5 = 2

2+4 mod 5 = 1 2-3 mod 5 = 4

2·3 mod 5 = 3+3 mod 5 =1

(2/3) mod 5 = ? = 2·3-1 mod 5 ... 3-1 mod 5 = ?3 · 3-1 = 1 mod 53 · 0 = 0 ≠ 1 3 · 1 = 3 ≠ 13 · 2 = 1

2/3= 2·2 = 4



ECC

EC:y2=x3+x+1

x y2 y2 mod 5 y - y-y mod

5EC-Punkte

0 1 1 1 -1 4 (0,1) (0,4)

1 3 3 -- -- -- (1,∞)

2 11 1 1 -1 4 (2,1) (2,4)

3 31 1 1 -1 4 (3,1) (3,4)

4 69 4 2 -2 3 (4,2) (4,3)

x und y aus { 0, 1, 2, 3, 4}

0

1

23

4GF(5)EC über GF(5)

9 E

C-P

unkt

e:

„or

der

“ o

f E

C r

= 9



ECC

EC: y2=x3+ax+b

y2+xy=x3+ax2+b

y2=x3+x+1

reelle Zahlen !!!



ECC

EC: y2=x3+x+1x y2 y2 mod 5 y - y

-y mod 5

EC-Punkte

0 1 1 1 -1 4 (0,1) (0,4)

1 3 3 -- -- -- (1,∞)

2 11 1 1 -1 4 (2,1) (2,4)

3 31 1 1 -1 4 (3,1) (3,4)

4 69 4 2 -2 3 (4,2) (4,3)

x und y aus { 0, 1, 2, 3, 4}

0

1

23

4GF(5)

9 E

C-P

unkt

e:

„or

der

“ o

f E

C r

= 9

EC über GF(5): EC-Punkte aus { A1, A2, ... , A9}



ECC

EC: y2=x3+x+1EC-Punkte

A1=(0,1) A2=(0,4)

A9=(1,∞)=O

A3=(2,1) A4=(2,4)

A5=(3,1) A6=(3,4)

A7=(4,2) A8=(4,3)

A2 A4 A6

A8

A7

A1 A3 A5

A3+A8= ?A1+A1= 2A1=?A1+A1+A1= 3A1=?A1+A1+...+A1= kA1=?A1-A1= O

→ EC-Punkt-Addition→ EC-Punkt-Verdopplung

→ EC-Punkt-Multiplikation (kP-Operation)



ECC

3113

212

3

1

21

12

12

33

2211

y)3

)2

2

3)1

::

,:

,,,:

xxy

xxx

y

ax

xx

yy

QPwennQPwenn

QPyxSOutput

yxQyxPInput

EC-Punkt-Addition EC-Punkt-Verdopplung

EC-Punkt-Multiplikation = kP-Operation= eine Reihe von EC-Punkt- Additionen und Verdopplungen



ECC

EC:y2=x3+x+1

A2 A4 A6

A8

A7

A1 A3 A5

A5+A8= ?

15mod2321y)3

25mod432)2

25mod34

13)1

3113

221

23

12

12

xxy

xxx

xx

yy

A5+A8= (2,1)=A3

EC-Punkte

A1=(0,1) A2=(0,4)

A9=(1,∞)

A3=(2,1) A4=(2,4)

A5=(3,1) A6=(3,4)

A7=(4,2) A8=(4,3)



ECC

EC:y2=x3+x+1

EC-Punkte

A1=(0,1) A2=(0,4)

A9=(1,∞)

A3=(2,1) A4=(2,4)

A5=(3,1) A6=(3,4)

A7=(4,2) A8=(4,3)

A2 A4 A6

A8

A7

A1 A3 A5

A1+A1= ?

25mod4031y)3

45mod003)2

35mod2

15mod

12

103

2

3)1

3113

221

23

1

21

xxy

xxx

y

ax

A1+A1= (4,2)=A7



ECCEC: y2=x3+x+1

EC-Punkte

A1=(0,1) A2=(0,4)

A9=(1,∞)=O

A3=(2,1) A4=(2,4)

A5=(3,1) A6=(3,4)

A7=(4,2) A8=(4,3)

A2 A4 A6

A8

A7

A1 A3 A5

A1+A1+A1= ?

A1+A1+A1= 3∙A1=2∙A1+A1=A7+A1=A3

A1+A1+A1+A1= 4∙A1=2∙(2∙A1)=2∙A7=A6

5∙A1=4∙A1+A1=A6+A1=A56∙A1=4∙A1+2∙A1=A47∙A1=4∙A1+2∙A1+A1=A88∙A1=2∙(2∙(2∙A1))=A29∙A1=A9=O10∙A1=A9+A1=O+A1=A1



EC-Parameter: y2=x3+x+1orderein festgelegtes EC-Punkt G (z.B. G=A1)

privat_key: Zufallszahl kpublic_key: k∙G=P und alle EC-Parameter

encryption:( R=d∙G ; S=d∙P+M )

decryption: ( R; S)→ M=S-k∙R=(x,y)

d ist ZufallszahlM=(x,y), x ist message

EC und Kryptographie



ECC

Hausaufgabe:1) berechnen k:k=(MatrikelNr mod 5)

wenn (MatrikelNr mod 5)=0k=((MatrikelNr+2) mod 7)

oderk=((MatrikelNr+3) mod 7)

wenn (MatrikelNr mod 5)=1k=((MatrikelNr+4) mod 7)

2) berechnen: k∙A2=?

auf freie Wahl



Chapter 6 – Page 16

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