1 Departamento de Engenharia da Produo, Universidade Federal de So Carlos UFSCar, Rod. Washington Luiz, Km 235, CP 767, CEP 13565-905, Sao Carlos, SP, Brasil, e-mail: brunojen@gmail.com; morabito@ufscar.br; dsyamashita@gmail.com

Recebido em 4/5/2011 Aceito em 23/1/2012Suporte financeiro: CAPES, CNPq, FAPESP.

abstract: This paper presents a case study of production scheduling in the aeronautical industry. Tasks must be scheduled in assembly fixtures with several adjacent workstations, taking into account special constraints where simultaneous processing of the tasks is allowed (adjacency constraints). Such constraints arise due to a space limitation in the fixture. This paper is a continuation of a previous work published in Silva, Morabito and Yanasse (2011), where the objective of the problem was to minimize the makespan. Here, the problem is studied more broadly, where the workforce qualification is represented in four stages, with the objective of minimizing the total amount of workforce needed in each stage, and each stage is modeled as an integer linear programming problem. These models were implemented using an optimization software, and several computational experiments were performed in order to validate the proposed models. The results suggest that productivity gains can be achieved with the models developed in this work.keywords: Scheduling. Aeronautical industry. Assembly in jigs. Linear programming. Adjacency constraints.

Resumo: Este trabalho estuda um caso prtico de programao da produo na indstria aeronutica. Tarefas devem ser programadas em gabaritos de montagem com vrias estaes de trabalho adjacentes entre si, levando em considerao restries especiais de processamento simultneo destas tarefas (restries de adjacncia). Tais restries surgem devido s limitaes de espao fsico no gabarito. Este estudo uma continuao do estudo anterior publicado em Silva, Morabito e Yanasse (2011), em que este problema foi inicialmente abordado do ponto de vista de minimizar o makespan para processar todas as tarefas. Aqui o problema visto de forma mais abrangente no contexto de qualificao de fora de trabalho com quatro fases, em que o objetivo minimizar as necessidades de mo de obra para executar a programao em cada fase, sendo que cada fase de qualificao representada por um modelo de otimizao linear inteira. Estes modelos foram implementados em um software de otimizao e vrios experimentos computacionais foram realizados para verificar a aplicao da abordagem. Os resultados sugerem que existem ganhos de produtividade importantes que podem ser explorados utilizando os modelos desenvolvidos neste trabalho.Palavras-chave: Programao da produo. Indstria aeronutica. Montagem em gabaritos. Programao linear inteira. Restries de adjacncia.

Otimizao na programao de montagens na indstria aeronutica

Assembly scheduling optimization in the aeronautical industry

Bruno Jensen Virginio da Silva1 Reinaldo Morabito1

Denise Sato Yamashita1

1IntroduoA indstria aeronutica caracterizada tipicamente

pelo emprego de alta tecnologia no projeto, na produo e na operao dos seus produtos. A produo de avies, particularmente a montagem de estruturas aeronuticas, predominantemente manual e dependente de mo de obra especializada e cara. Alm disso, a indstria aeronutica utiliza dispositivos fixos chamados gabaritos (NIU, 1988) para produo de partes e componentes montados, com

a finalidade de garantir que as condies de projeto do produto sejam mantidas durante as montagens dos avies. Os gabaritos so especficos, ou seja, cada parte do avio possui gabaritos especficos para ser montada, so caros e precisam de um grande tempo para sua produo. A utilizao adequada da mo de obra e dos gabaritos de produo uma necessidade de qualquer fabricante de avies para se manter competitivo no mercado.

Gest. Prod.

Silva et al.

Este trabalho estuda um caso de montagem na indstria aeronutica, utilizando um caso prtico presente em uma fabricante de avies no Brasil. Operadores com diferentes graus de especializao devem montar peas componentes de um subconjunto, que um pequeno conjunto de peas montadas, em gabaritos com vrias estaes de trabalho adjacentes. Conforme mencionado, em decorrncia de restries de espao fsico no gabarito, montagens em estaes de trabalho adjacentes no podem acontecer simultaneamente, implicando em restries de adjacncia para a programao da produo no gabarito. Os objetivos deste estudo so obter a capacidade mxima de um gabarito, levando em conta os nveis de qualificao dos operadores e definir curvas de mo de obra (definidas na seo 4), que indicam quantas pessoas so necessrias na equipe de montagem para produzir avies em diferentes cadncias. Para isso, modelos matemticos de programao de produo so utilizados para apoiar as decises envolvidas.

Na indstria aeronutica, medida que avies vo sendo produzidos, a quantidade necessria de horas-homem para se montar cada avio tende a diminuir, fenmeno esse conhecido na literatura como curva de aprendizagem (NAHMIAS, 2008; ANZANELLO; FOGLIATTO, 2007). Diferente da literatura clssica, na qual o processo de aprendizagem pode ser modelado como uma funo matemtica (e.g., uma curva de aprendizagem exponencial decrescente), neste trabalho, ele retratado genericamente como 4 fases, combinando aprendizagem e qualificao da fora de trabalho com caractersticas distintas (descritas em mais detalhes na seo 3).

Convm salientar que o presente estudo uma continuao do estudo anterior descrito em Silva, Morabito e Yanasse (2011), que tratou deste problema de programao em gabaritos e apresentou um modelo de programao matemtica para encontrar a cadncia mxima de produo de um gabarito apenas na fase de prottipo, que corresponde primeira das 4 fases mencionadas acima (fase 1 da aprendizagem). Tal modelo foi inspirado em formulaes matemticas conhecidas da literatura de problemas de programao de job shop. No presente artigo, outros modelos de otimizao so apresentados para representar as demais fases da produo seriada (fases 2, 3 e 4 da aprendizagem), inspirados em formulaes matemticas da literatura de gerenciamento e programao de projetos com tempo restrito. Estes modelos foram formulados como programas lineares inteiros e foram implementados e resolvidos com o aplicativo GAMS/CPLEX (BROOKE; KENDRICKD; ROSENTHAL, 1998), utilizando dados reais coletados no setor de montagem de um fabricante brasileiro de avies.

No temos conhecimento de outros trabalhos na literatura que tenham estudado a programao de montagens de partes e componentes em gabaritos na indstria aeronutica com o presente enfoque. Este trabalho est organizado da seguinte maneira: na seo 2, apresenta-se uma breve reviso de literatura relacionada; na seo 3, apresentam-se os modelos matemticos desenvolvidos para abordar o problema; na seo 4, apresentam-se os resultados computacionais obtidos com estes modelos; e, finalmente, na seo 5, apresentam-se as concluses deste estudo e algumas perspectivas para pesquisa futura.

2Reviso de literaturaAlgumas aplicaes de tcnicas de pesquisa

operacional na indstria aeronutica podem ser encontradas na literatura, por exemplo, em Dale (2001), Chikong, Chang e Lin (2006) e Abuabara e Morabito (2008, 2009). Neste estudo, foi realizada uma pesquisa bibliogrfica procurando trabalhos que estudaram especificamente programao de montagens em gabaritos na indstria aeronutica. Foram encontrados apenas dois trabalhos, Scott (1994) e Heike et al. (2001), que estudaram a programao de montagens estruturais nesta indstria, porm, estes trabalhos no trataram da programao de montagens em gabaritos. Aparentemente, a programao de montagens na indstria aeronutica ainda um tpico de pesquisa muito pouco explorado na literatura de programao (scheduling), especialmente a montagem em gabaritos com restries de adjacncia.

No entanto, a programao da produo com restries de adjacncia aparece na literatura de scheduling, em outras aplicaes bem diferentes da indstria aeronutica, e tambm com diversas nomenclaturas. Por exemplo, Weintraub et al. (2007) estudaram a programao da produo com restries de adjacncia na programao de colheitas de florestas; Santos et al. (2007, 2011) estudaram na programao de rotao de culturas; Gandham, Dawande e Prakash (2008) estudaram aplicaes no contexto de telecomunicaes; e Irani e Leung (1996, 2003) estudaram na programao de semforos. Assim como o problema de programao em gabaritos, todos esses outros problemas tm em comum uma mesma restrio: se uma tarefa foi designada a um recurso, outras tarefas que utilizam outros recursos no podem ser processadas ao mesmo tempo devido s restries de adjacncia. Como nenhuma das abordagens propostas nestes trabalhos pode ser diretamente aplicada no problema de programao em gabaritos, optamos por investigar possveis abordagens baseadas na literatura de gerenciamento e programao de projetos.

A programao da produo tem como objetivo distribuir as tarefas aos recursos ao longo do tempo,

Gest. Prod.

Otimizao na programao de montagens na indstria aeronutica

resource constrained project scheduling problem e MMTCPSP multi-mode resource constrained project scheduling problem, respectivamente). Nesse problema, tarefas podem ser executadas de formas diferentes, ou seja, consumindo quantidades e ou tipos de recursos diferentes em cada modo e, assim, apresentando duraes diferentes dependendo do modo de execuo escolhido. Esse tipo de problema foi estudado, por exemplo, em Yamashita e Morabito (2007a, b, 2009).

3Modelagem matemticaNesta seo, descreve-se cada uma das 4 fases de

aprendizagem/qualificao dos operadores envolvidas no problema de programao em gabaritos na empresa aeronutica estudada, e modela-se cada uma destas fases com base nas formulaes conhecidas para os problemas RCPSP e TCPSP.

3.1 Apresentao do problemaA seguir, o problema de programao em gabaritos

resumidamente descrito; para mais detalhes deste problema o leitor pode consultar Silva (2010) e Silva, Morabito e Yanasse (2011). A montagem estudada neste trabalho refere-se montagem de um subconjunto, formado por 8 peas. Cada pea montada individualmente em um gabarito e, numa etapa posterior de montagem, so unidas, formando o subconjunto em estudo. Cada avio produzido utiliza dois desses subconjuntos. Cada uma das 8 peas recebe um nome, referente ao nmero da posio em que elas so montadas no subconjunto. A Figura 1 apresenta as peas que compem o subconjunto e os seus respectivos nmeros.

O gabarito utilizado para montar cada uma das peas do subconjunto formado por 8 estaes. Cada estao possui um nmero em que montada a respectiva pea. Assim, a pea 1 montada na estao 1, a pea 2 na estao 2, e assim sucessivamente. A restrio de adjacncia acontece porque, devido s limitaes de espao fsico, enquanto um operador est montando

de forma a atender todos os prazos acordados a um custo aceitvel (MORTON; PENTICO, 1993). J a programao de projetos aplicada nos casos em que os produtos a serem produzidos so feitos apenas uma vez ou poucas vezes, com duraes bem definidas no tempo (MORTON; PENTICO, 1993). Um dos principais problemas de programao de projetos aquele em que, dados:

uma quantidade limitada de recursos disponveis; um conjunto de tarefas a serem executadas, com

relaes de precedncia entre si; e a quantidade de recursos consumidos por cada

tarefa.consiste em alocar os recursos s tarefas respeitando todas as restries, de maneira a otimizar um determinado objetivo.

Esse problema conhecido como problema de programao de projetos com restries de recursos (RCPSP resource constrained project scheduling problem) (PINEDO, 2008). Um tipo especial de RCPSP o caso em que o recurso limitado o tempo, ou seja, dado um horizonte de tempo, o problema consiste em determinar quais recursos sero necessrios para cumprir o projeto. Esse chamado de problema de programao de projetos com restrio de tempo (TCPSP time constrained project scheduling problem) (PINEDO, 2008). Estes dois problemas esto relacionados no conhecido trade-off entre prazo de tempo e recursos requeridos para execuo do projeto. Quanto maior a quantidade de recursos, menor o tempo necessrio para executar o projeto, porm maior o custo associado quantidade de recursos utilizados no projeto. Quanto maior o tempo utilizado para executar o projeto, menor o custo com os recursos utilizados para executar o projeto, porm maior o custo de oportunidade. Brucker et al. (1999) apresentaram uma extensa reviso dos mtodos utilizados para resolver esses problemas de programao de projetos.

Uma outra classe de problemas de programao de projetos tambm utilizada neste trabalho o caso em que o RCPSP ou o TCPSP possui mltiplos modos de execuo (MMRCPSP multi- mode

Figura 1. Subconjunto e as suas respectivas peas.

Silva et al.

Figura 2. Gabarito mltiplo com restries de adjacncia utilizado na montagem do subconjunto.

Figura 3. Rede de precedncia da montagem de um subconjunto.

A montagem das peas do subconjunto foi divida em 4 fases. A fase 1 a fase de prottipo, em que os tempos de produo so desconhecidos ou estimados, e a rede de precedncia das tarefas ainda no est bem definida. Nessa fase, a preocupao determinar a capacidade mxima de produo do gabarito, com a finalidade de dimensionar a rea de produo com a capacidade adequada para atender s cadncias de montagem previstas. Nas fases 2, 3 e 4, o avio est em produo seriada. Em cada uma dessas fases, a equipe de montagem possui diferentes graus de aprendizagem, treinamento e polivalncia. Na fase 2, a equipe formada por dois grupos de operadores: os operadores especializados e os operadores no especializados. Os operadores especializados so capazes de executar apenas as operaes de montagem dos gabaritos, enquanto a equipe no especializada capaz de executar apenas as montagens de bancada. Na fase 3, a equipe especializada capaz de executar as operaes de montagem no gabarito e nas bancadas, enquanto a equipe no especializada capaz de executar apenas as operaes de montagem nas bancadas. Finalmente, na fase 4, a diviso entre operadores especializados e no especializados se desfaz, j que todos so capazes de executar qualquer operao de montagem.

3.2 Fase 1Na fase 1, a produo em srie no foi iniciada

ainda. Os tempos de operao so estimados com base na produo dos prottipos. O objetivo nessa fase encontrar qual a capacidade mxima de produo do gabarito, dada a rede de precedncia e as duraes conhecidas do projeto. Portanto, o objetivo minimizar o tempo total para completar as tarefas, ou makespan. Conforme mencionado, um modelo matemtico para representar a fase 1 foi apresentado recentemente em Silva, Morabito e Yanasse (2011) com base em formulaes de programao da produo em job shops. O estudo desta fase no ser objeto do presente trabalho, cujo foco est nas fases 2, 3 e 4. No entanto, convm observar que, uma vez encontrado o makespan na fase 1, podem ser utilizados qualquer um dos modelos das fases 2, 3 e 4 (apresentados adiante) para determinar qual a mo de obra mnima necessria para executar o programa com este makespan, ou seja, podem-se utilizar os modelos de programao de projetos com restrio de tempo para nivelar os recursos.

3.3 Fase 2Na fase 2, inicia-se a produo em srie dos avies

e os operadores so divididos em duas equipes. A equipe especializada realiza apenas as montagens de gabarito, enquanto a equipe no especializada executa apenas as montagens das bancadas. O objetivo ento

uma pea, por exemplo, na estao 3, as estaes 2 e 4 no podem ser utilizadas para outras montagens, pois ficam bloqueadas. A Figura 2 apresenta o gabarito utilizado para montar as peas deste subconjunto.

Cada pea do subconjunto precisa executar pelo menos duas operaes, uma no gabarito da Figura 2 e uma operao em bancadas ao lado do gabarito. Para montar um subconjunto inteiro, so necessrias 15 tarefas, com duas operaes cada uma. Como cada avio precisa de dois subconjuntos, cada avio precisa de 30 tarefas, ou 60 operaes, para estar completo nessa montagem. A Figura 3 apresenta a rede de precedncia destas tarefas. As operaes em branco so as operaes no gabarito e as operaes em cinza so as operaes nas bancadas.

Gest. Prod.

Otimizao na programao de montagens na indstria aeronutica

ck quantidade disponvel do recurso k pj durao da tarefa j mojw quantidade de mo de obra do tipo w

utilizada para executar a tarefa j v

w custo unitrio da mo de obra do tipo w

Alm disso, define-se o seguinte conjunto de pares de tarefas (h, j), sendo h j.

H = {(h, j) | a tarefa h precede a tarefa j}. G = {j | a tarefa j executada no gabarito}As variveis de deciso do modelo da fase 2 so:

1 se a tarefa termina no tempo 0 caso contrriojt

j tx

=

aw quantidade de mo de obra do tipo w a ser

disponibilizadaSendo que, neste caso particular da fase 2 (com

W = 2), temos que: a1 quantidade de mo de obra de gabarito a ser

disponibilizada a2 quantidade de mo de obra de bancada a ser

disponibilizadaEnto, o modelo matemtico para a fase 2 dado

por:

1

Ww w

wMin v a

=

(1)

11 para = 1,...,

Tjt

t =x = j J

(2)

( )( )para todo

jh

h h j j

dd

ht j jtt r p t r p

t.x t p .x

h, j H= + = +

(3)

( )b

1 para todo

t+p j

jk jb kj G = t

rec x c k,t

(4)

1

1 para todo ( )

t+p jJjw jb w

j= b=tmo x a w, t

(5)

minimizar o custo ou a quantidade total de mo de obra utilizada para executar o programa de produo, dentro de um tempo determinado pelo tempo de ciclo da montagem do subconjunto.

Para apoiar as decises de programao da fase 2, prope-se a seguir um modelo matemtico inspirado no clssico TCPSP (seo 2). Neste modelo, as restries de adjacncia so representadas por meio de um artifcio, no qual cada posio do gabarito composta de dois recursos fictcios. Assim, cada pea que ser montada em uma estao de trabalho do gabarito utiliza os dois recursos dessa estao e mais um recurso de cada estao adjacente. Desta forma, quaisquer outras peas que so montadas nas estaes adjacentes no tm os dois recursos fictcios disponveis e, portanto, no podem ser montadas ao mesmo tempo.

A Figura 4 apresenta um exemplo ilustrativo. Nesse exemplo, apresentado um gabarito com oito estaes de trabalho, formadas por dois recursos fictcios. Considere que a tarefa 1, em azul, utiliza os dois recursos da estao 2 e um recurso das estaes adjacentes 1 e 3. Dessa forma, as estaes 1 e 3 esto bloqueadas enquanto a pea 2 montada na estao 2 do gabarito. Considere tambm que uma outra tarefa, a tarefa 2, em verde, utiliza a estao 4 e, dessa forma, utiliza os dois recursos dessa estao, mais um recurso de cada estao adjacente, ou seja, as estaes 3 e 5. Dessa forma, note que as estaes 1, 3 e 5 ficam bloqueadas pelas tarefas 1 e 2 ao utilizarem as estaes 2 e 4, devido s restries de adjacncia entre as estaes.

O modelo matemtico para a fase 2 pode ser formulado da seguinte maneira. Sejam os seguintes parmetros:

j tarefa j = 1,...,J t tempo t = 1,...,T k tipo de recurso, k = 1,...,K w tipo de mo de obra, w = 1,...,W rj tempo em que a tarefa j est disponvel, sendo

que 1 rj T e inteiro dj tempo de entrega da tarefa j, sendo

que 1 dj T e inteiro recjk quantidade de recurso k necessria para

executar a tarefa j

Figura 4. Representao dos recursos e utilizao dos postos de trabalho do gabarito.

Silva et al.

aw quantidade de mo de obra do tipo w a ser

disponibilizadaSendo que, neste caso da fase 3 (W = 2): a1 quantidade de mo de obra de gabarito a ser

disponibilizada a2 quantidade de mo de obra de bancada a ser

disponibilizadaPor convenincia, definimos J={1,...,J}. O modelo

matemtico para a fase 3 dado por:

1

Ww w

w=Min v a (8)

1 11 para = 1,...,

I Tjti

i= t=x = j J (9)

( )( )

1 1

para todo

jh

h h j j

ddI Ihti j jti

i r p i r pt.x t p .x

h, j H= + = +

(10)

1

1 rec para todo (k, t)

t+p jIjki jbi k

i = j G b = tx c

(11)

1 1

para = 1 e = 1, = 1,...,

t+p t+pj j

jw jbi jwi jbi wj G b = t j J' \G b t

mog x + mob x a

i w t T =

(12)

1

para = 2 e = 2, = 1,...,

t+p j

jwi jbi wj J' \G b = t

mob x a

i w t T

(13)

0 = 1, ..., + -2

= + 1,...,

= 1,..., = 1,...,

jti j j

j

x = t r p

t d T

j Ji I

(14)

0 , = 2, = 1,...,jtix = j G i t T (15)

{0 1} = 1,..., ; = 1,..., ;

= 1,..., ; = 1,...,jtix , ;

Z ;+

w

j J t T

i I a w W (16)

A funo objetivo (8) minimiza o custo total de mo de obra utilizada. As restries (9)-(16) tm as mesmas finalidades do modelo (1)-(7) da fase 2 apresentado na seo 3.3, porm adaptados para mltiplos modos de execuo.

3.5 Fase 4Na fase 4, todos os operadores disponveis na rea

de montagem podem realizar qualquer tarefa; logo, a mo de obra considerada apenas um nico recurso.

0 1 2

1

para 1

jt j j

j

x = t , ...,r p

t d ,...,T

j ,...,J

= +

= +

=

(6)

}{ + = = =0 1 1 1jt wx , ; j ,...,J ;t ,...,T ;a Z ;w ,...,W (7)A funo objetivo (1) minimiza o custo de mo de

obra utilizada. Como no presente trabalho esse custo foi considerado igual para as duas equipes, a funo objetivo (1) ento minimiza a quantidade total de mo de obra utilizada. As restries (2) garantem que cada tarefa seja alocada uma e somente uma vez em todo o horizonte de planejamento. As restries (3) garantem que as relaes de precedncia entre as tarefas sejam respeitadas. As restries (4) limitam a quantidade de recursos disponveis, sendo que t = b o momento de trmino da tarefa j. As restries (5) limitam a quantidade de mo de obra utilizada. As restries (6) garantem que as datas de entrega e de chegada das tarefas sejam obedecidas. Finalmente, as restries (7) referem-se ao domnio das variveis de deciso.

3.4 Fase 3Na fase 3, a equipe especializada pode realizar

tanto as montagens de gabarito, quanto as montagens de bancada. Entretanto, a equipe no especializada pode montar apenas as operaes de bancada. Deste modo, a diviso em duas equipes ainda se mantm. Para representar a fase 3, foi utilizado um modelo matemtico baseado no MMTCPSP (seo 2), em que, para as tarefas de bancada, existem dois modos de execuo. O primeiro modo utiliza uma mo de obra especializada, enquanto que o segundo modo utiliza uma mo de obra do grupo no especializado. O objetivo do problema continua sendo minimizar a quantidade total de mo de obra utilizada. Alm dos parmetros definidos anteriormente na seo, considere tambm os seguintes parmetros adicionais para o modelo da fase 3 (alguns deles esto repetidos por convenincia):

I modo de execuo, i = 1,...,I recjki quantidade do recurso k necessria para

executar a tarefa j no modo de operao i mogjw quantidade de mo de obra do tipo w

utilizada para executar a tarefa j no gabarito mobjwi quantidade de mo de obra do tipo w

utilizada para executar a tarefa j no modo de execuo i na bancada

As variveis de deciso do modelo da fase 3 so:

1 se a tarefa termina no tempo no modo0 caso contrriojti

j tx

Gest. Prod.

Otimizao na programao de montagens na indstria aeronutica

Nessa fase, os operadores que eram especializados em bancadas j esto habilitados a trabalhar tambm no gabarito e ento, a equipe toda formada por operadores totalmente flexveis. O objetivo minimizar o tamanho da equipe, explorando a flexibilidade de todos os operadores. Note que a soluo tima do modelo matemtico (1)-(7) da fase 2 com W = 2 (i.e., dois tipos de mo de obra) na seo 3.3, considerando o mesmo nmero de tarefas e durao de cada operao, a mesma quantidade de gabaritos e as mesmas datas de entrega e disponibilidade, um limitante superior para a soluo da fase 4. De fato, o problema da fase 4 tambm pode ser representado pelo modelo (1)-(7) da seo 3.3, com a diferena que na fase 4 no existem dois tipos de mo de obra, mas apenas um tipo (i. e., W = 1).

4Resultados computacionaisOs problemas implementados neste trabalho

utilizaram os dados do exemplo 3 recentemente apresentados em Silva, Morabito e Yanasse (2011). Esse exemplo contempla dados coletados na fase de prottipo e na fase de produo em srie. Alm da rede de precedncia representada pelo conjunto de tarefas, necessrio conhecer a durao de cada tarefa, as relaes de adjacncia e identificar as tarefas que utilizam a mesma estao de trabalho no gabarito. Alm disso, foi considerado que todas as tarefas esto disponveis para serem iniciadas no momento t = 0 e todas tm o mesmo prazo de entrega, igual ao makespan do projeto. Os modelos matemticos apresentados na seo 3 foram implementados em linguagem de programao matemtica GAMS 23.0 (BROOKE; KENDRICKD; ROSENTHAL, 1998) e resolvidos com o CPLEX 11. O computador utilizado foi um Intel i7, com a opo do CPLEX para processamento em paralelo ativada, utilizando 4 ncleos (threads), e 12 GB de RAM. O tempo computacional mximo para o CPLEX resolver cada modelo foi limitado em 600 minutos (i.e., 10 horas).

Resultados computacionais da fase 1 para este exemplo foram apresentados em Silva, Morabito e Yanasse (2011). O tempo mnimo para completar a montagem no gabarito foi de 162 unidades de tempo (u.t.), sendo necessrias 13 pessoas. No presente trabalho, so apresentados os resultados computacionais das fases 2, 3 e 4 para este mesmo exemplo. Para cada uma destas fases, foram gerados 126 problemas-teste, variando-se apenas o tempo total para completar o projeto, ou seja, variando-se a cadncia de produo de avies por perodo de tempo entre a maior cadncia possvel e a menor cadncia j praticada. A maior cadncia possvel corresponde ao makespan encontrado na soluo da fase 1, ou seja, 162 u.t. A menor cadncia j praticada pela empresa em questo foi 288 u.t. Todos os outros dados para os modelos das fases 2, 3 e 4, como duraes das tarefas

e rede de precedncia, so os mesmos do modelo da fase 1 em Silva, Morabito e Yanasse (2011).

4.1 Resultados computacionais da fase 2Conforme mencionado, o modelo matemtico

(1)-(7) da fase 2 foi resolvido para vrios problemas-teste, partindo-se do problema-teste com menor tempo de durao de projeto, 162 at 288 u.t., com a finalidade de avaliar o impacto da variao de cadncia de produo na quantidade de mo de obra utilizada. O problema-teste com tempo de projeto de 288 u.t. possui 17.866 variveis binrias e 8.295 equaes, e foram necessrios 49 minutos para o CPLEX encontrar a soluo tima, apresentada na Figura 5. A Figura 5 apresenta o grfico de Gantt da soluo do problema-teste com 288 u.t., apresentando separadamente as tarefas referentes s montagens de bancada e gabarito. Cada linha das tarefas de gabarito corresponde a uma estao de trabalho do gabarito e cada linha das tarefas de bancada corresponde a uma bancada diferente. Cada tarefa precisa de uma pessoa para ser executada, ento, o nmero de tarefas sendo executadas em paralelo em qualquer momento do grfico representa a quantidade de operadores executando montagens. Perceba que as tarefas de montagem no gabarito apresentam um padro com vrios espaos em branco, o que significa que aquela estao de trabalho do gabarito est ociosa, seja por restrio de adjacncia, precedncia ou disponibilidade de mo de obra.

A Figura 6 apresenta a variao da quantidade de mo de obra utilizada durante o programa, em cada uma das duas equipes de montagem. Note que so necessrias 3 pessoas na equipe especializada e 5 pessoas na equipe no especializada, totalizando 8 pessoas. A Figura 7 apresenta a variao da quantidade total de mo de obra durante a execuo do programa. Perceba na Figura 7 que, embora sejam necessrias 8 pessoas no total, em nenhum momento as 8 pessoas trabalham simultaneamente. Em apenas alguns poucos momentos, so necessrios 7 operadores trabalhando ao mesmo tempo, como, por exemplo, nos momentos 83 u.t. e 124 u.t.

A Figura 8 apresenta o tamanho timo da equipe de montagem em funo do tempo para completar o projeto. Perceba que os pontos apresentam um padro de degraus, ou seja, aceitam-se somente quantidades inteiras de pessoas nas equipes. Perceba tambm que, para uma certa quantidade de pessoas na equipe, existem vrios tempos de projeto ou cadncias de produo que so possveis de serem atendidos. Assim, pode-se ter uma medida da capacidade de reao de uma equipe, aumentando-se a sua velocidade de produo, sem alterar a quantidade total de operadores. Esta curva da Figura 8 chamada de curva de mo de

Silva et al.

Figura 8. Tamanho timo das equipes de montagem em funo do makespan para a fase 2.

Figura 9. Tempo computacional para cada um dos makespan na fase 2.

Figura 6. Variao do nmero de operadores no gabarito e na bancada para a fase 2 do subconjunto para o makespan 288 u.t.

Figura 7. Variao do nmero de operadores na fase 2 para o makespan 288 u.t.

Figura 5. Grfico de Gantt com o programa de produo na fase 2 para o makespan 288 u.t.

obra. Cada degrau da curva um tamanho de equipe que atende a um intervalo de makespan.

Considere, por exemplo, a equipe de tamanho 9. Ela consegue montar avies com makespan entre 190 e 209 u.t. Assim, por exemplo, se o makespan do projeto 190 u.t., qualquer pequena variao que necessite de um makespan menor vai precisar de uma pessoa a mais, ou seja, 10 pessoas, para poder finalizar a montagem dentro do prazo. Se, ao contrrio, o makespan precisar aumentar, basta utilizar uma soluo com o makespan novo e no preciso alterar o tamanho da equipe. Caso o makespan seja de 209 u.t., uma diminuio no makespan tolervel, pois ele

Gest. Prod.

Otimizao na programao de montagens na indstria aeronutica

Figura 10. Grfico de Gantt com o programa de produo na fase 3 para makespan 288 u.t.

pode diminuir at 190 u.t. sem alterar o tamanho da equipe. Nesse caso, se o makespan precisar ser apenas um pouco maior, a equipe ter uma pessoa sobrando. Dessa forma, a curva de mo de obra permite ao responsvel pela rea entender melhor qual a capacidade de reao da equipe, caso seja necessrio algum plano de contingncia.

A Figura 9 apresenta a variao do tempo computacional para encontrar a soluo dos problemas-teste estudados. Perceba que vrios problemas-teste alcanaram o tempo computacional mximo, 600 minutos, consequentemente, o CPLEX no foi capaz de provar a otimalidade da soluo encontrada dentro do tempo estipulado. Ainda assim, em casos especficos, possvel deduzir o valor da soluo tima por meio de comparao com limitantes superiores e inferiores. Para isto, basta conhecer as solues timas dos problemas-teste com makespan imediatamente maior e menor. Se esses forem iguais, ento a soluo do problema-teste, do qual no se conhece a otimalidade, s poder ser a mesma dos dois problemas-teste vizinhos.

4.2 Resultados computacionais da fase 3

Nessa fase, a equipe especializada pode fazer qualquer montagem, enquanto a equipe no especializada realiza apenas as montagens de bancada. O programa de produo do problema-teste com makespan 288 u.t. apresentado na Figura 10. A Figura 11 apresenta a variao da quantidade de mo de obra executando as operaes de bancada e gabarito. A Figura 12 apresenta a variao na quantidade total de mo de obra. Note que so necessrias 5 pessoas no total para executar o programa, com 3 pessoas

Figura 11. Variao do nmero de operadores no gabarito e na bancada para a fase 3 para o makespan 288 u.t.

Figura 12. Variao do nmero de operadores no exemplo 3 na fase 3 para o makespan 288 u.t.

Silva et al.

Figura 13. Tamanho das equipes de montagem em funo do makespan para a fase 3.

Figura 14. Tempo computacional para cada um dos makespan na fase 3.

Figura 15. Grfico de Gantt com o programa de produo na fase 4 para o makespan 288 u.t.

Figura 16. Variao do nmero de operadores no gabarito e na bancada para a fase 4 para o makespan 288 u.t.

na equipe especializada e 2 pessoas na equipe no especializada.

A Figura 13 apresenta a variao da quantidade de mo de obra em funo do makespan. Como nessa fase utilizado o modelo de programao de projetos com mltiplos modos de execuo, esperado um desempenho computacional pior em relao ao modelo da fase 2, que utiliza o modelo monomodo. Por isso, vrios problemas-teste da fase 3 apresentam solues piores do que os respectivos problemas-teste da fase 2. A Figura 14 apresenta o tempo computacional

necessrio para encontrar as solues apresentadas na Figura 14. Perceba que muitos problemas-teste alcanam o tempo computacional mximo, de 600 minutos. Isso significa que as solues encontradas com esse tempo computacional no tm otimalidade comprovada.

4.3 Resultados computacionais da fase 4

Na fase 4, no existe mais diviso em duas equipes, ou seja, considera-se que a equipe de montagem capaz de realizar qualquer montagem. A Figura 15 apresenta

Gest. Prod.

Otimizao na programao de montagens na indstria aeronutica

projetos para resolver esse problema e que os tempos computacionais, embora em alguns casos sejam da ordem de vrias horas, so aceitveis para o contexto de decises envolvidas na prtica de uma empresa aeronutica. Os experimentos computacionais tambm mostraram que existe potencial de ganho de produtividade ao utilizar estes modelos para otimizar a programao da montagem. Em comparao com a prtica da empresa, os resultados indicam que possvel reduzir at 30% a mo de obra utilizada, sem comprometer, significativamente, o atendimento aos prazos estabelecidos.

As chamadas curvas de mo de obra so tambm um resultado interessante deste estudo. Com elas, possvel avaliar com preciso e rapidez qual o impacto no efetivo da montagem estudada para diferentes variaes de cadncia de produo. Tambm possvel montar planos de contingncia com certa facilidade e rapidez, para saber qual a quantidade de mo de obra necessria para tratar uma situao imprevista na programao da produo. Algumas perspectivas interessantes para pesquisa futura a partir do presente estudo seriam a considerao de incertezas nos parmetros dos modelos utilizando, por exemplo, tcnicas de programao estocstica e otimizao robusta.

AgradecimentosOs autores agradecem aos dois revisores annimos e

ao Prof. Horcio H. Yanasse os seus teis comentrios e sugestes. Os autores agradecem tambm empresa que colaborou com esta pesquisa e permitiu a coleta de dados necessria ao estudo. Essa pesquisa contou com o apoio financeiro da CAPES, CNPq e FAPESP.

RefernciasABUABARA, A.; MORABITO, R. Modelos de programao

inteira mista para o planejamento do corte unidimensional de tubos metlicos na indstria aeronutica agrcola. Gesto & Produo, v. 15, n. 3, p. 605-617, 2008.

ABUABARA, A.; MORABITO, R. Cutting optimization of structural tubes to build agricultural light aircrafts. Annals of Operations Research, v. 169, n. 1, p. 149-165, 2009. http://dx.doi.org/10.1007/s10479-008-0438-7

ANZANELLO, M. J.; FOGLIATTO, F. S. Curvas de aprendizado: estado da arte e perspectivas de pesquisa. Gesto & Produo, v. 14, n. 1, p. 109-123, 2007. http://dx.doi.org/10.1590/S0104-530X2007000100010

BROOKE, A.; KENDRICKD, M. A. R. R.; ROSENTHAL, R. GAMS: A Users Guide. Washington: GAMS Development Corporation, 1998. 276 p.

BRUCKER, P. et al. Resource-constrained project scheduling: notation, classification, models, and methods. European Journal of Operational Research, v. 112, p. 3-41, 1999. http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(98)00204-5

CHIKONG, H.; CHANG, H-M.; LIN, C-H. Simulation and analysis for layout of aerospace sheet metal process with

Figura 18. Tamanho timo das equipes de montagem em funo do makespan.

Figura 19. Tempo computacional para cada um dos makespan na fase 4.

Figura 17. Variao do nmero de operadores na fase 4 para o makespan 288 u.t.

o programa de produo para o problema-teste com makespan de 288 u.t. A Figura 16 apresenta a variao da quantidade de operaes de gabarito e de bancada ao longo do programa. A Figura 17 apresenta a variao da quantidade de operadores ao longo do programa. Note que nesse caso so necessrios no mximo 5 operadores para executar o programa.

A Figura 18 apresenta a variao da quantidade de mo de obra em funo do makespan. A Figura 19 apresenta o tempo computacional para encontrar as solues apresentadas na Figura 18. Como essa fase utiliza o modelo de programao de projetos com restrio de tempo, os tempos computacionais so menores que no caso da fase 3.

5ConclusesOs modelos matemticos propostos neste estudo

para representar o problema de montagem em gabaritos com restries de adjacncia mostraram que possvel utilizar abordagens baseadas em programao de

Silva et al.

lean concept. Materials Science Forum, v. 505-507, p. 907-912, 2006. http://dx.doi.org/10.4028/www.scientific.net/MSF.505-507.907

DALE, R. Offline programming and simulation help Boeing use giant automated riveter on C-17 aircraft. Industrial Robot: An International Journal, v. 28, n. 6, p. 478-482, 2001.

HEIKE, G. et al. Mixed model assembly alternatives for low-volume manufacturing: the case of the aerospace industry. International Journal of Production Economics, v. 72, p. 103-120, 2001. http://dx.doi.org/10.1016/S0925-5273(00)00089-X

GANDHAM, S.; DAWANDE, M.; PRAKASH, R. Link scheduling in wireless sensor networks: distributed edge-coloring revisited. Journal of Parallel and Distributed Computing, v. 68, p. 1122-1134, 2008. http://dx.doi.org/10.1016/j.jpdc.2007.12.006

IRANI, S.; LEUNG, V. Scheduling with conflicts and applications to traffic signal control. In: ACM SYMPOSIUM ON DISCRETE ALGORITHMS, 1996, Atlanta. Proceedings... ACM, 1996.

IRANI, S.; LEUNG, V. Scheduling with conflicts on bipartite and interval graphs. Journal of Scheduling, v. 6, p. 287-307, 2003. http://dx.doi.org/10.1023/A:1022908509269

MORTON, T. E.; PENTICO, D. W. Heuristic scheduling systems: with applications to production systems and project management. New York: John Wiley & Sons, 1993.

NAHMIAS, S. Production and operations analysis. 4th ed. Mcgraw-Hill: New York, 2008.

NIU, M. C. Y. Airframe structural design: practical design information and data on aircraft structures. Hong Kong: Hong Kong Conmilit Press Ltda, 1988.

PINEDO, M. L. Scheduling: theory, algorithms and systems. 3rd ed. New-Jersey: Prentice-Hall, 2008.

SANTOS, L. R. et al. Um Modelo para a programao de rotaes de culturas. Pesquisa Operacional, v. 27,

n. 3, p. 535-547, 2007. http://dx.doi.org/10.1590/S0101-74382007000300007

SANTOS, L. M. R. et al. Crop rotation scheduling with adjacency constraints. Annals of Operations Research, v. 190, n. 1, p. 165-180, 2011. http://dx.doi.org/10.1007/s10479-008-0478-z

SCOTT, H. A. Modeling aircraft assembly operations. In: WINTER SIMULATION CONFERENCE, 1994, San Diego. Proceedings... San Diego: Society for Computer Simulation International, 1994.

SILVA, B. J. V. Programao de montagens em gabaritos com restries de adjacncia na indstria aeronutica. 2010. 118 f. Dissertao (Mestrado em Engenharia de Produo)-Universidade Federal de So Carlos, So Carlos, 2010.

SILVA, B. J. V.; MORABITO, R.; YANASSE, H. H. Programao de montagens em gabaritos com restries de adjacncia na indstria aeronutica. Produo, v. 21, n. 4, p. 696-707, 2011. http://dx.doi.org/10.1590/S0103-65132011005000055

WEINTRAUB, A. et al. (Eds.). Handbook of operations research in natural resources. New York: Springer, 2007. (International series in operations research & management science, v. 99).

YAMASHITA, D. S.; MORABITO, R. Um algoritmo exato para o problema de programao de projetos com custo de disponibilidade de recursos e mltiplos modos. Pesquisa Operacional, v. 27, n. 1, p. 27-49, 2007a.

YAMASHITA, D. S.; MORABITO, R. Um algoritmo branch-and-bound para o problema de programao de projetos com custo de disponibilidade de recursos e mltiplos modos. Gesto & Produo, v. 14, n. 13, p. 545-555, 2007b.

YAMASHITA, D. S.; MORABITO, R. A note on time/cost tradeoff curve generation for project scheduling with multi-mode resource availability costs. International Journal of Operational Research, v. 5, n. 4, p. 429-444, 2009. http://dx.doi.org/10.1504/IJOR.2009.025702

Gest. Prod.