45
Review
无源导电介质中麦克斯韦方程组及波动方程
00
H E j EE j H
HE
σ ωεωµ
∇× = +
∇× = −
∇⋅ =
∇ ⋅ =
−=−=
ωεσε
ωσεε jjc 1
0ˆ j zxE a E e γ−=
2 2
2 2
00
E EH H
γ
γ
∇ + =
∇ + =
jγ β α= −
2
2
1 12
1 12
µε σα ωωε
µε σβ ωωε
= + −
= + +
θηωεσ
εµ
ωσε
µη jcc ej
j=
−=
−=
−21
1
0 ~4πθ =
cµηε
<
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Review
导电媒质中的能量传播
趋肤深度和表面电阻
电磁波的极化
平面电磁波的极化形式
电磁波极化特性的工程应用
12
2
1 2 1
1 1p
dzvdt
ωβ µε µεσ
ωε
= = = <
+ +
221ˆ cos
2azm
av zc
ES a e θη
−=
, ,av m av ew w>
σωε
µσπωµσαδ
f121
===
传入导体的电磁波实功率全部转化为热损耗功率
ˆˆ( )yx jj jkzx xm y ymE a E a E e eφφ −= +
)cos(
)cos(
yymy
xxmx
kztEE
kztEE
φω
φω
+−=
+−=
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Review
电介质中均匀平面电磁波的相关参数可以近似为
良导体中，有关表达式可以用泰勒级数简化并近似表达为
εµηµεωβ
εµσα ≈≈≈ ,,
2
4)1(2
22,2,2
π
σωµ
σωµη
ωµσπλ
µσωυωµσβα
j
c
p
ej =+=
====
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第21讲 平面电磁波(III)
介质色散
导体色散
相速和群速
平面电磁波向理想导体的垂直入射
平面电磁波向理想介质的垂直入射
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介质色散
再看色散• 色散名称来源于光学
• 不同频率的光在同一介质中有不同的折射律，即具有不同的相速度
• 当可见光透过三棱镜时，三棱镜的另一边会出现赤橙黄绿青蓝紫七色光谱
• 介质的色散是指介质的参数与频率有关
• 波的色散是指波的相速与频率有关
• 一个任意波形的信号总可以看成是由许多时谐波叠加而成，每一时谐波传播的相速是由介质参数μ、ε、σ确定。
• 若介质参数与频率有关，则是色散介质
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介质色散
介质的色散
• 洛仑兹色散介质模型
• 非极性分子：
电子和原子核电荷总量相等
正负电荷中心重合
对外不呈现电偶极矩
在外场作用下， 正负电荷发生位移，其中心不再重合，形成电偶极矩
假设位移 r，电子电荷e 电子在外场作用下所受作用力为：
分子 重离子(原子核)
轻离子(电子)
( )F e E v B= + ×
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介质色散
电子在外电场作用下的运动规律满足：
设电场是时谐场，即E=Re[Emejwt]，则上式的解为：
若单位体积内有N个电子，则
2202( )d r drm r eE
dt dtγ ω+ + =
阻尼力 弹性恢复力
Re[ ]jwtmr r e=
2 20( )
mm
Eerm jω ω ωγ
=− +
2
2 20( )
mm m
ENeP Nerm jω ω ωγ
= =− +
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介质色散
单位体积内分子电矩的总和—极化强度
2
2 20( )
mm m
ENeP Nerm jω ω ωγ
= =− +
0m e mP Eε χ=
2
2 20 0
1( )e
Nem j
χε ω ω ωγ
=− + 极化率
相对介电常数
2 220
2 2 2 2 20 0
( )1 1( )r e
jNem
ω ω ωγε χε ω ω ω γ
− −= + = +
− +
2 220
2 2 2 2 20 0
2
2 2 2 2 20 0
( )1( )
( )
r
r
Nem
Nem
ω ωεε ω ω ω γ
ωγεε ω ω ω γ
−′ = +− +
′′ = −− +
波的传播速度
波的衰减特性
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介质色散
自由原子的吸收频率几乎全部在紫外光谱区，一般介质的折射率在从射频波谱直到紫外光谱区内都是大于1的；
反常色散区介电常数的虚部很大，能量被电离子吸收很多，损耗很大
介电常数虚部随频率的变化曲线称为介质的吸收曲线。
2 220
2 2 2 2 20 0
2
2 2 2 2 20 0
( )1( )
( )
r
r
Nem
Nem
ω ωεε ω ω ω γ
ωγεε ω ω ω γ
−′ = +− +
′′ = −− +
rε ′rε ′′
0ω
正常色散正常色散 反常色散
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导体色散
导体色散的模型• 无外加电场时，导体的晶格上有固定的正离子，而在其周围有运动的自由电子，它们处于平衡状态。
• 当有外加电场作用时，引起自由电子向外电场方向的飘移，受到晶格上正离子的碰撞和阻挡，飘移电子的动量转移到晶格点上变成正离子的热运动，同时电子的运动也受到阻尼作用
• 对于时谐场，即E=Re[Emejwt]，可以获得上式的稳态解，从而获得导体的电导率
2
2( )d r drm q eEdt dt
+ =
2 /Ne mq j
σω
=+
2Nemq
σ =当频率低于红外波段
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导体色散
金属原子的电子谐振频率远落于紫外光谱以外，导体的介电常数可以认为是ε0，即导体的等效复介电常数εc为：
2
0 0 ( )cNej j
m q jε ε σ ε
ω= − = −
+
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相速与群速
对于理想介质
• 相速度与频率无关
• 非色散介质
若β与ω不满足正比关系，则相速度与频率相关，成为色散介质。
• 当频率足够高时，ε是ω的函数，因而β是ω的复杂函数，介质成为色散介质；
• 对于导电介质，相速度与频率相关，是色散介质。
• 良导体中的相速：
pv ωβ
=
β ω µε=
µσω
βωυ 2
==p
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相速与群速
空间、时间上无限延伸的单一频率电磁波称为单色波
• 单一频率的正旋电磁波不传递任何信息
• 理想的单频正旋电磁波不存在
有限时间、空间传播的电磁波是由不同频率的正旋波(谐波)叠加而成，称为非单色波
• 非单色波传播过程中，各谐波分量相速不同造成其相对相位发生变化，引起信号波形变形；
• 携带信息的电磁波是具有一定带宽的已调制非单色波，包络的传播速度才是信号的传递速度
• 非单色波在色散介质中各个单频分量以不同的相速传播，非单色波携带信号的传递速度是多少？
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相速与群速
若色散介质中存在两个正旋线极化电磁波：
合成电磁波的场强表达式为
1 0 0 0
2 0 0 0
cos[( ) ( ) ]cos[( ) ( ) ]
E E t zE E t z
ω ω β β
ω ω β β
= + ∆ − + ∆
= −∆ − −∆
00, ββωω <<∆<<∆
0 0 0
0 0 0
0 0 0
( ) cos[( ) ( ) ]cos[( ) ( ) ]
2 cos( )cos( )
E t E t zE t zE t z t z
ω ω β β
ω ω β β
ω β ω β
= + ∆ − + ∆
+ −∆ − −∆
= ∆ − ∆ −
角频率ω0振幅cos(t△ω- z△β)向z方向行进的行波
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相速与群速
0 0 0( ) 2 cos( )cos( )E t E t z t zω β ω β= ∆ − ∆ −
群速(Group Velocity)vg是包络波上某一恒定相位
点推进的速度。
调制波的等相位面
.constzt =∆−∆ βω
βωυ
∆∆
==dtdz
g)/( smdd
g βωυ =
Δω→0
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相速与群速
相速与群速的关系
• 根据傅利叶分析可知，对于时变电磁场，它们的某一分量可以表示为：
• 若在色散介质中传播，每一频率分量的相速度及相移常数不同，信号在传播过程中可能会畸变
• 设信号带宽足够窄，中心角频率ω0
01( ) ( )
2j tt e dωψ ψ ω ω
π+∞
−∞= ∫
01( ) ( )
2j tt e dωψ ω ψ ω
π+∞ −
−∞= ∫
0
00
1( ) ( )2
j tt e dω ω ω
ω ωψ ψ ω ω
π+∆
−∆= ∫
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相速与群速
ψ0(ω)沿z传播：
将β(ω)在附近展开成泰勒级数并只取前两项
( )0( ) ( ) j z
z e β ωψ ω ψ ω −=
0
0 0( ) ( ) ( ) dd ω ω
ββ ω β ω ω ωω =
≈ + −
0
0
1( , ) ( )2
j tzz t e d
ω ω ω
ω ωψ ψ ω ω
π+∆
−∆= ∫
0 0( )( )
0 01( , ) ( )
2
dj t zj t z dz t e e dβωωω β ω
ωψ ψ ω ω ω
π−+∆−
−∆= +∫
gp
pp
pp
pg v
ddv
vv
ddv
vdvd
dd
ωω
ββ
ββ
βωυ +=+===
)(pv ωβ
=
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相速与群速
−
=
ωω
ddv
v
vv
p
p
pg
1
0<ωd
dvp
0pdvdω
=
0pdvdω
>
vg<vp，这类色散称为正常色散
vg>vp，这类色散称为非正常色散
vg=vp，无色散
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平面电磁波向理想导体的垂直入射
介质占据的是有限区域，必须考虑电磁波传播途径上不同
介质分界面的效应。
电磁波在传播过程中只要介质波阻抗发生变化，在介质分
界面上会有一部分电磁能量被反射回来，形成反射波
另一部分能量可能透过分界面继续传播，形成透射波
为分析方便，仅考虑不同介质分界面为无限大平面的情况
由于任意极化的入射波总可以分解为两个相互垂直的线极
化波
只讨论线极化均匀平面电磁波在无限大介质分界面上的传
播特性
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平面电磁波向理想导体的垂直入射
导体
Incident
Reflected
10
1
1ˆ jk zi y iH a E e
η−=
10ˆ jk z
i x iE a E e−=
10ˆ jk z
r x rE a E e=
10
1
1ˆ jk zr y rH a E e
η= −
Ei0为z=0处入射波(Incident Wave)的振幅，k1和η1为媒质1的相位常数和波阻抗
1
11111 ,
εµωηεµω ==k
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平面电磁波向理想导体的垂直入射
为使分界面上的切向边界条件在分界面上任意点、任何时刻均可能满足，设反射与入射波有相同的频率和极化，且沿-az方向传播。
媒质1中总的合成电磁场为
利用切向电场连续：
分界面反射系数：
1 1
1 1
1 0 0
1 0 01
ˆ ( )1ˆ ( )
jk z jk zi r x i r
jk z jk zi r y i r
E E E a E e E e
H H H a E e E eη
−
−
= + = +
= + = −
0 0ˆ ( ) 0x i ra E E+ =
0
0
1r
i
EE
Γ = = −
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平面电磁波向理想导体的垂直入射
利用分界面上入射电场和反射电场的关系，z<0区域里
z>0中无电磁场，理想导体表面两侧的磁场切向分量不连续，分界面上存在面电流。
根据磁场切向分量的边界条件n×(H2-H1)=JS，得面电流密度为
1 1 0 1
01 1 1
1
ˆ( , ) Re[ ] 2 sin sin
ˆ( , ) Re[ ] 2 cos cos
j tx i
j t iy
E z t E e a E k z tEH z t H e a k z t
ω
ω
ω
ωη
= =
= =
0 01
1 10
2ˆˆˆ 0 2 cosi iS z y x
z
E EJ a a k z aη η
=
= × − =
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平面电磁波向理想导体的垂直入射 任意时刻t, z<0区的合成电场E1和磁场H1都在距理想导体
表面的某些固定位置处存在零值和最大值：
11
1 max
11
1 max
( , ) 0( 0,1,2...)
2( , )
( , ) 0(2 1) (2 1) ( 0,1,2...)
2 4( , )
E z tk z n z n n
H z t H
H z tk z n z n n
E z t E
λπ
π λ
= − ⇒ = − = = − + ⇒ = − + ⋅ =
=
=
=
=
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平面电磁波向理想导体的垂直入射
最大值发生的位置只与z坐标有关，不随时间发生改变，称为波腹点
零值发生的位置同样不随时间变化，称为波节点
不论任何时刻，波腹点处的电场振幅总是最大，波节点处的振幅总是零
磁场振幅也是驻波分布，且分布特性恰与电场相反
理想导体表面是电场的波节点磁场的波腹点
波腹点和波节点位置固定，即位置不随时间变化的电磁波称为驻波
两个振幅相等，方向相反的行波合成的结果必是驻波
驻波电场的波腹点和波节点都每隔λ/4交替出现
两个相邻波节点的距离为λ/2
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平面电磁波向理想导体的垂直入射
驻波不传输能量，其坡印廷矢量的时间平均值为
• 没有单向流动的实功率，而只有虚功率
驻波的坡印廷矢量的瞬时值
• 每隔λ/4能量流动方向改变一次
• 电能和磁能在两个节点之间进行交换，不发生电磁能量的单向传输
2* 0
1 1 1 1 11
41 ˆRe Re sin cos 02
iav z
ES E H a j k z k zη
= × = − =
20
11
ˆ( , ) ( , ) ( , ) sin 2 sin 2iz
ES z t E z t H z t a k z tωη
= × =
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平面电磁波向理想介质的垂直入射
当入射波到达介质分界面
• 一部分入射波被界面反射形成反射波
• 另一部分入射波透过分界面进入区域II成为透射波
分界面两侧电场强度切向连续，仍假设反射和透射波电场强度矢量也只有x分量，即均为x方向极化
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平面电磁波向理想介质的垂直入射
区域Ⅱ中只有透射波，其电场和磁场分别为
• Et0为z=0处透射波的振幅
• k2和η2为媒质2的相位常数和波阻抗
2
2
0
02
ˆ1ˆ
jk zt x t
jk zt y t
E a E e
H a E eη
−
−
=
=
2 2 2
22
2
,k ω µ ε
µηε
=
=
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平面电磁波向理想介质的垂直入射
利用分界面电场强度切向分量连续的边界条件
利用理想介质分界面磁场强度切向分量连续的边界条件
反射系数
透射系数
000 tri EEE =+
0 0 01 2
1 1( )i r tE E Eη η
− =
0 2
0 2 1
2t
i
ETE
ηη η
= =+
0 2 1
0 2 1
r
i
EE
η ηη η
−Γ = =
+T=Γ+1
可正可负Γ
T始终为正
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平面电磁波向理想介质的垂直入射
区域Ⅰ(z<0)中任意点的合成电场强度和磁场强度
1 1
1 1
1 1 1
1
1
1 02
0
0
0 1
0 1
ˆ ( )ˆ (1 )ˆ [(1 ) ( )]ˆ [(1 ) 2 sin ]ˆ ( 2 sin )
jk z jk zi r x i
jk z j k zx i
jk z jk z jk zx i
jk zx i
jk zx i
E E E a E e e
a E e e
a E e e e
a E e j k z
a E Te j k z
−
−
− −
−
−
= + = +Γ
= +Γ
= +Γ +Γ −
= +Γ + Γ
= + Γ
1 1
1
1 01
0 11
1ˆ ( )
1ˆ [ 2 cos ]
jk z jk zi r y i
jk zy i
H H H a E e e
a E Te k z
η
η
−
−
= + = −Γ
= + Γ
驻波
行波
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平面电磁波向理想介质的垂直入射
区域Ⅰ中电场强度和磁场强度的模为(设Ei0=Em为实数)
正负号分别对应于Γ>0(η2>η1)和Γ<0(η2<η1)
模值是z的周期函数
周期为λ/2
2/11
2
111
2/11
211
)2cos21(1
)2cos21(
zkEHH
zkEEE
m
m
ΓΓ+==
Γ±Γ+==
η
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平面电磁波向理想介质的垂直入射
Γ>0(η2>η1)
• 在分界面或离分界面半波长整数倍处为电场波腹点、磁场波节点
• 在分界面或离分界面λ1/4的奇数倍处为电场波节点、磁场波腹点
2/
,....)2,1,0(22
1
1
λ
π
⋅−=
=−=
nz
nnzk 1 max
1 min1
(1 )1 (1 )
m
m
E E E
H H Eη
= = + Γ
= = − Γ
1
1
2 (2 1) ( 0,1,2,....)(2 1) / 4
k z n nz n
πλ
= − + == − + ⋅
1 min
1 max1
(1 )1 (1 )
m
m
E E E
H H Eη
= = − Γ
= = + Γ
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平面电磁波向理想介质的垂直入射
Γ<0(η2<η1)
• 电场、磁场的波腹点、波节点位置与Γ>0相反,即 电场的波腹点对应于Γ>0(η2>η1)时的电场的波节点
磁场的波腹点对应于Γ>0(η2>η1)时的磁场的波节点
电场的波节点对应于Γ>0(η2>η1)时的电场的波腹点
磁场的波节点对应于Γ>0(η2>η1)时的磁场的波腹点
磁场强度的模值和电场强度的模值最大值最小值位置恰好
互换
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平面电磁波向理想介质的垂直入射
驻波比
• 为反映行驻波状态的驻波成分大小，定义行驻波电场强度的最大值与最小值之比为驻波比
• VSWR (voltage standing wave ratio)
• Γ=-1~1，所以S=1~∞• 当|Γ|=0、S=1时，为行波状态，区域Ⅰ中无反射波，因此全部入射波功率都透入区域Ⅱ
max
min
11
ESE
+ Γ= =
− Γ
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平面电磁波向理想介质的垂直入射
区域II中电磁波仅有透射波
• 区域II中的电磁波为z向传播的行波
2
2
2 0
2 02
ˆ1ˆ
jk zt x i
jk zt y i
E E a TE e
H H a TE eη
−
−
= =
= =
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平面电磁波向理想介质的垂直入射
区域Ⅰ中，入射波向z方向传输的平均功率密度矢量为
反射波向-z方向传输的平均功率密度矢量为
区域Ⅰ中合成场向z方向传输的平均功率密度矢量为
2* 0
,1
1 1ˆRe2 2
iav i i i z
ES E H aη
= × =
2 220*
, ,1
1 1ˆRe2 2
iav r r r z av i
ES E H a S
ηΓ = × = − = − Γ
22 2* 0
1 1 1 ,1
1 1ˆRe (1 ) (1 )2 2
iav z av i
ES E H a Sη
= × = − Γ = − Γ
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平面电磁波向理想介质的垂直入射
区域Ⅱ中向z方向传输的平均功率密度矢量为
• 区域I中的入射功率等于区域I中的反射功率和区域II中透射功率之和
• 能量守恒
2 220* 1
2 , ,2 2
1 1ˆRe2 2
iav av t t t z av i
T ES S E H a T Sη
η η = = × = =
2 211 , , 2
2
(1 )av av i av i avS S T S Sηη
= − Γ = =
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平面电磁波向理想介质的垂直入射
例1 右旋圆极化波由空气向理想介质平面(z=0)垂直入射，媒质的电磁参数为ε2=9ε0，ε1=ε0，μ1=μ2=μ0。 试 求
反射波、透射波电场强度及相对平均功率密度； 它 们各是何种极化波。
[解] 设入射波电场强度矢量为
则反射波和透射波的电场强度矢量为
10 1 0 0
1 ˆˆ( ) ,2
jk zi x yE a ja E e k ω µ ε−= − =
10ˆˆ( )
2jk z
r x yE a ja E eΓ= −
20 2 2 2 0 0ˆˆ( ) , 3
2jk z
t x yTE a ja E e k ω µ ε ω µ ε−= − = =
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平面电磁波向理想介质的垂直入射
反射系数和透射系数
相对平均功率密度
5.02,5.012
2
12
12 =+
=−=+−
=Γηη
ηηηηη T
%7525.011
%255.0
2
,
,
22
,
,
=−=Γ−=
==Γ=
iav
tav
iav
rav
SS
SS
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平面电磁波向理想介质的垂直入射
例2 频率为f=300MHz的线极化均匀平面电磁波，其电场强度
振幅值为2V/m，从空气垂直入射到εr=4、μr=1的理想
介质平面上，求：
(1) 反射系数、透射系数、驻波比；
(2) 入射波、反射波和透射波的电场和磁场；
(3) 入射功率、反射功率和透射功率。
[解] 设入射波为x方向的线极化波，沿z方向传播
介质1波阻抗
介质2波阻抗π
εµ
εµηπ
εµη 60
4,120
0
002
0
01 =====
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平面电磁波向理想介质的垂直入射 (1)反射系数、透射系数和驻波比
(2)入射波、反射波和透射波的电场和磁场
2 1 2
2 1 2 1
121 2, , 23 3 1
T Sη η ηη η η η
+ Γ−Γ = = − = = = =
+ + − Γ
1 11
22 2
2
21 2300
20.5 4r
c m kf
f MHzv c m kf f
πλ πλπλ πλε
= = ⇒ = == ⇒ = = = ⇒ = =
ˆxa ˆxa
ˆxa ˆxa
ˆxa ˆxa
ˆya ˆya
ˆya ˆya
ˆya ˆya
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平面电磁波向理想介质的垂直入射
(3) 入射波、反射波、透射波的平均功率密度为2
20,
12 2
20 0,
1 12 2
20 0,
2 2
1ˆˆ /2 60
| | 1ˆˆˆ /2 2 540
| | 2ˆˆˆ /2 2 135
iav i z z
r iav r z z z
t iav t z z z
ES a a W m
E ES a a a W m
E TES a a a W m
η π
η η π
η η π
= =
Γ= − = − = −
= = =
2, , , ,(1 )av i av r av i av tS S S S− = − Γ =
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