Zadaniazmechanikigrunt¶ow - pg.gda.planiem/dyd-zips/Zadania-niemunis.pdf · pomocnicze maja,duze_...

southnorth1986 CPTU1 CPTU2 CPTU8 CPTU91965 CPT1 CPT3

4

2

-2

-4

-6

-8

-10(101) (105)

Water Table + 1.80MG

A'1

A''1

A2 (A) (8) (9)(1) (7)

(6)

(a)

(109) (113)

(I)(2)

(2)(111)

(3)(5) (2) (4)

(C)(110)

(2 bis)

(g)

(A'1)

(J)

(J)

(II)

(III)

(108)

B1

B2

B3

B4

B5

B6

B7 - B10

MG MADE GROUND DRAWING SCALE0 4 m

TIP RESISTANCE

EXCESS PORE PRESSURE

A'1

A''1

A2

B1, B2, B3

B4, B5

B6

B7-B10

CLAYEY SILT

SILTY SAND AND SANDY SILT

GRAY SAND

UPPER CLAY

INTERMEDIATE CLAY

INTERMEDIATE SAND

LOWER CLAY

-12

-14

-16

-18

-20

-22

-24

SEALEVEL

CPT2 CPT5 CPT6 CPT7 CPT8 CPT9 CPT10

0 4 MPa

0 400 kPaCPTU - excess pore pressure

CPT and CPTU - tip resistance

Zadania z mechaniki gruntowi zarys materiaÃlow pomocniczychAndrzej Niemunis

2Zadania z Mechaniki Gruntow, A.Niemunis, PG

Spis tresci

1 MateriaÃly pomocnicze i zadania 5

1.1 Wst ↪ep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Cechy fizyczne gruntu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 MateriaÃly pomocnicze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 WytrzymaÃlosc gruntow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10


1.3.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Woda gruntowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16


1.4.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5 Napr ↪ezenia w osrodku gruntowym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30


1.5.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.6 Parcie i odpor gruntu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32


1.6.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.6.3 Zadanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.7 Obliczenia osiadan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36


1.7.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.8 Nosnosc podÃloza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38


1.8.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.9 Statecznosc skarp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40


1.9.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.10 Konsolidacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43


1.10.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3

4 SPIS TRESCIZadania z Mechaniki Gruntow, A.Niemunis, PG

RozdziaÃl 1

MateriaÃly pomocnicze i zadania

1.1 Wst ↪ep

Niniejsze notatki do cwiczen prosz ↪e uzywac na wÃlasne ryzyko, b ↪ed ↪e wdzieczny za uwagi, zyczenia i informacje oewentualnych bÃl ↪edach i pomysÃly na nowe zadania. Prosz ↪e pisac na adres [email protected]. MateriaÃlypomocnicze maj ↪a duze luki a w cz ↪esci oferuj ↪a nadmiar informacji nie wymagany na kolokwiach wiosna 2003.

Zalecana literatura

1. Zygmunt Glazer (1985+): Mechanika gruntow, Wydawnictow Geologiczne, Warszawa

2. Zenon WiÃlun (1982+): Zarys geotechniki, Wydawnictow Komunikacji i Ãl ↪acznosci, W-wa

3. Bolt A.,Cichy W.,Topolnicki M., Zadroga B. (1982+): Mechanika gruntow w zadaniach

4. Lambe T.W., Whitman,R.V. (1978): Mechanika Grunow, Arkady, Warszawa

5. PN-74/B-02480 Grunty Budowlane. PodziaÃl nazwy symbole i okreslenia

6. PN-88/B-04481 Grunty Budowlane. Badania probek gruntu

7. PN-76/B-03001 Konstrukcje i podÃloza budowli. Ogolne zasady obliczen.

8. PN-83/B-02482 Fundamenty budowlane. Nosnosc pali i fundamentow palowych.

9. PN-83/B-03010 Sciany oporowe. Obliczenia statyczne i projektowanie.

10. PN-81/B-03020 Posadowienia bezposrednie budowli. Obliczenia statyczne i projektowanie

1.2 Cechy fizyczne gruntu

1.2.1 MateriaÃly pomocnicze

5

61.2.

CE

CH

YF

IZY

CZ

NE

GR

UN

TU

Zadania

zMechanikiGruntow,A.N

iemunis,PG

Definicje dot. gruntu jako mieszaniny wody,mineraÃlu, i powietrza i zwi ↪azki ci ↪ezarowo obj ↪etosciowe:

V = Vs + Vp Vp = Vw + Va

n = Vp/V na = Va/V nw = Vw/V

e = Vp/Vs ea = Va/Vs ew = Vw/Vs

ρ = mm/V ρd = ms/V ρs = ms/Vs

ρ′ = Vs(ρs − ρw)/V w = mw/ms Sr = wn/wr

Indeksy oznaczaj ↪a:

n = w stanie naturalnym

r = w stanie nasycenia porow wod ↪a

m = w stanie mokrym (woda + szkielet)

s = dot. szkieletu gruntowego

w = dot. wody

a = dot. powietrza

p = dot. porow (powietrze + woda)

t′ = z uwzgl ↪ednieniem wyporu

dane s↪a ρs, ρw oraz:

szukane: w; Sr w, na w;Sr = 1 n, nw e, (ew) ρr ρ, (w, Sr) ρd (w, Sr)

wr - - wn · ρw

(1 − n) · ρse ·

ρwρs

(ρs − ρr) · ρw

ρs · (ρr − ρw)(ρs − ρ) · ρw

ρs · (ρr − Sr · ρw)ρwρd

−ρwρs

w w w wnw · ρw

(1 − n) · ρsew ·

ρwρs

−(ρs − ρ) · Sr · ρw

ρs · (ρ − Sr · ρw)Sr ·

(ρwρd

−ρwρs

)

nwρs

wρs + Srρw

wρs + naρww · ρs + ρw

wρsw · ρs + ρw

n e1 + e

ρs − ρrρs − ρw

1 −ρ

(1 + w) · ρs1 −

ρdρs

e wSr

·ρsρw

wρs + naρw

ρw(1 − na)wρsρw

n1 − n e

ρs − ρrρr − ρw

(1 + w)ρs

ρ− 1

ρs

ρd

− 1

ρr − −(1 + w)ρsρw

wρs + ρw(1 − n) · ρs + nρw

ρs + eρw

1 + e ρrρs − ρw

1 + w ·ρρs

+ ρw

(

1 −ρwρs

)

· ρd + ρw

ρ (1 + w)Srρwρs

wρs + Srρw

(1 − na)(1 + w)ρs

wρs

ρw

+ 1− (1 − n)ρs + nwρw

ρs + ewρw

1 + e − ρ (1 + w)ρd

ρdSrρwρs

wρs + Srρw

(1 − na)ρsρw

wρs + ρw

ρsρwwρs + ρw

(1 − n)ρsρs

1 + e ρsρr − ρwρs − ρw

ρ1 + w ρd

Srwwr

(1 − na)wρs

w · ρs + naρw1 nw

newe 1

wρρs

ρw [(1 + w)ρs − ρ]wρdρs

ρw(ρs − ρd)

ρ′Srρw

wρs + Srρw(ρs − ρw)

ρw(1 − na)wρs + ρw

(ρs − ρw)ρwSr

wρs + ρw(ρs − ρw) (1 − n)(ρs − ρw))

ρs − ρw

1 + e ρr − ρwρ

(1 + w)ρs(ρs − ρw)

ρdρs

(ρs − ρw)

Table 1.1: Zaleznosci mi ↪edzy niektorymi parametrami. Powyzsze wzory zostaÃly sprawdzone przez studentow V sem. gr. 2 (KBI) WBL Polit. Gdanskiej(jesien 1997)

ROZDZIAÃL 1. MATERIAÃLY POMOCNICZE I ZADANIA 7Zadania z Mechaniki Gruntow, A.Niemunis, PG

Analiza granulometryczna

frakcje to zawartosci procentowe (wagowo) cz ↪astek w danym zakresie srednic. Frakcje zredukowane to tez zawartosci

0.001 0.002 0.006 0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.6 1 2 6 10 20 1000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

a. areometryczna analliza sitowa

il

pyl piasek zwir kam.

srednica ziarna d w [mm]

wag

owa

zaw

orto

sc m

niej

szyc

h od

d w

[%]

50

Rys. 1.1: Krzywa przesiewu

procentowe ale po uprzednim odsianiu frakcji kamienistej i zwirowej. Wskaznik roznoziarnistosci U definiuje si ↪ejako

U = d60/d10 (1.1)

Im wi ↪eksze U tym lepsze parametry gruntu, dobrze zag ↪eszczalny, wytrzymaÃly.

Grunt wysadzinowy to taki ktory ma wi ↪ecej niz 10% cz ↪astek o sred. mniejszej od 0.02 mm. Minimalna gÃl ↪ebokoscposadowienia budynkow wynosi 0.5 m. Jesli grunt jest ”wysadzinowy” to nalezy posadawiac ponizej gÃl ↪ebokosciprzemarzania np w Gdansku co najmniej 1m pod naziomem. Uwaga, wysadzinowe s ↪a tez wszystkie grunty organ-iczne.

Stan gruntu czy rodzaj gruntu

Rodzaj gruntu obejmuje cechy gruntu nie ulegaj ↪ace zmianie, tj. rodzaj gruntu okreslaj ↪a cechy przyjmowane wzagadnieniach inzynierskich jako niezmienne. S ↪a to

1. skÃlad granulometryczny mowi jaki jest procentowy (wagowo) udziaÃl cz ↪astek iÃlowych (< 2µm), pyÃlowych(< 0, 05mm), piaskowych (< 2mm), zwirowych (< 40mm) i kamieni (> 40mm)

2. (tylko dla g. spoistych) granice konsystencji wL wP i wS , czyli charakterystyczne wilgotnosci gruntu.

• powyzej wilgotnosci wL (= granica pÃlynnosci) grunt przypomina pÃlyn a ponizej - plastelin ↪e (jest for-mowalny).

• ponizej wilgotnosci wP (= granica plastycznosci) grunt staje si ↪e zwarty (zaczyna p ↪ekac)

• ponizej wilgotnosci wS (= granica skurczalnosci) grunt przy dalszym suszeniu przestaje si ↪e kurczyc(wyschni ↪ety na kamien).

O ile naturalna wilgotnosc gruntu w = eρw/ρs moze si ↪e zmieniac (w przypadku gruntu nasyconego wilgotnoscjest miar ↪a wskaznika porowatosci e czyli zag ↪eszczenia) i tyle charakterystyczne wilgotnosci wL, wP , wS (tj.granice konsystencji) s ↪a dla okreslonego rodzaju gruntu (tj. danego uziarnienia i skÃladu mineralogicznego)niezmienne. Okreslenia mokry lub suchy nie opisuj ↪a rodzaju lecz stan gruntu.

3. wskaznik plastycznosci Ip = wL−wP czyli przedziaÃl wilgotnosci w jakim grunt jest formowalny Jesli wartoscIp jest duza, mowi si ↪e ze grunt jest ”dÃlugi”, w przeciwnym przypadku - ”grunt krotki”.

4. Dla okreslenia g ↪estosci upakowania ziaren gruntow sypkich uzywa si ↪e charakterystyczne wskazniki porowatosci

• maksymalny stopien porowatosci emax ≈ 1 (dla piasku)

• minimalny stopien porowatosci emin ≈ 0.5 (dla piasku)

• ”ulubiony” (=krytyczny) stopien porowatosci ekryt. ≈ 0.7 ustala si ↪e sam przy scinaniu poniewaz gruntyluzne e > ec w trakcie scinania zag ↪eszczaj ↪a si ↪e a g ↪este e < ec - rozluzniaj ↪a

Powyzsze dotyczy tylko grunow sypkich a scisÃle opis procedury ustalania emax i emin w laboratorium opisujePN-88/B-04481. W gruntach spoistych granice emax, emin, lez ↪a wyzej (typowo mi ↪edzy ca. 1.4 a 2.5) alezamiast mowic luzny i zag ↪eszczony odnosi si ↪e wilgotnosc naturaln ↪a z w do granic konsystencji wL, wP , wS .Dla danego rodzaju gruntu charakterystyczne s ↪a tylko wartosci ekstremalne emax, emin lub granice konsystencjiale ani wskaznik porowatosci e ani wilgotnosc naturalna w.

8 1.2. CECHY FIZYCZNE GRUNTUZadania z Mechaniki Gruntow, A.Niemunis, PG

5. Zawartosc cz ↪esci organicznych i stopien ich rozkÃladu

6. SkÃlad mineralogiczny. Waznym parametrem zwi ↪azanym z tym skÃladem jest jest np. tzw. g ↪estosc wÃlasciwaszkieletu gruntowego ρs i wsp. aktywnosci IA = IP /fi gdzie fi jest frakcj ↪a iÃlow ↪a gruntu (zawartosc % cz ↪asteko srednicy < 2µm). PrzykÃladowe wartosci dla roznych mineraÃlow:

• m ↪aczka kwarcowa IA = 0

• Kaolin IA = 0, 4

• Illit IA = 0, 9

• Ca-Montmorylonit IA = 1.5

• Na-Montmorylonit IA = 7

Stan gruntu obejmuje jego chwilowe wÃlasciwoc, ktore Ãlatwo mog ↪a ulec zmnianie czyli:

1. napr ↪ezenie σ

2. wskaznik porowatosci: jawnie jako e lub w postaci ukrytej jako:

• g ↪estosc obj ↪etosciowa szkieletu ρd =ρs

1 + e, porowatosc n =

e

1 + e

• wskaznik zag ↪eszczenia (g. sypkie)

ID =emax − e

emax − emin(1.2)

• wilgotnosc (przy zaÃlozniu peÃlnego nasycenia, zwykle g. spoiste) w = eρwρs

• stopien plastycznosci (g. spoiste) IL lub stopien konsystencji IC

IL =w − wPwL − wP

, (1.3)

IC = 1− IL (1.4)

gdzie w = eρwρs

a wP i wL to specyficzne dla danego rodaju gruntu wilgotnosci na granicy plastycznosci

(grunt przechodzi z kruchego w formowalny) i na granicy pÃlynnosci (grunt przechodzi z formowalnego wpÃlynny). Dla glin i iÃlow nasyconych Sr = 1 (w naszym klimacie gliny s ↪a przewaznie nasycone ze wzgl ↪eduna podci ↪aganie kapilarne > 10m) zamiast stopnia zag ↪eszczenia e uzywa si ↪e (zwyczajowo) wilgotnosci

w = eρwρs

.

• Zawoalowan ↪a miar ↪a zag ↪eszczenia jest stopien prekonsolidacji OCR= σp/(γz), ktory jest opisany w dalszejcz ↪esci. Im wi ↪ekszy OCR tym lepsze zag ↪eszczenie.

3. stopien nasycenia porow wod ↪a Sr = w/(ρwe)

Niektore parametry mechaniczne s ↪a specyficzne dla danego rodzaju gruntu, np. resztkowy k ↪at tarcia wewn ↪etrznegoφr, wspoÃlczynnik parcia spoczynkowego K0, wspoÃlczynniki scisliwosci Cc oraz Cs. Inne parametry zalez ↪a odchwilowego stanu zag ↪eszczenia (np. maksymalny k ↪at tarcia wewn ↪etrznego φp, spojnosc ”efektywna” c′ i ”niez-drenowana” cu) Wg normy PN-81/B-03020 wszystkie parametry gruntu potrzebne do obliczania nosnosci i osiadanfundamentow mozna okreslic za pomoc ↪a tamze podanych diagramow korelacyjnych na podstawie na podstawieparametrow wiod ↪acych IL i ID gruntu.

PodziaÃl gruntow budowlanych: patrz zeszyt do laboratorium albo PN-74/B-02480

• rodzime

1. skaliste tj. skaÃla: lita; maÃlo-; srednio-; bardzo sp ↪ekana. Wg wytrzymaÃlosci: mi ↪ekka (SM) < 5 MPa <twarda(ST),

2. nieskaliste mineralne

(a) kamieniste (K) d50 > 40 mm : wietrzelina (KW) , wietrzelina gliniasta (KWg), Rumosz (KR), Rumoszgliniasty (KRg), Otoczaki (KO)

(b) gruboziarniste d90 > 2 mm : zwir (z), zwir gliniasty (zg), PospoÃlka (Po), PospoÃlka gliniasta (Pog)

(c) drobnoziarniste frakcje 2mm > piaskowa 0.05 mm > pylasta > 2 µm > iÃlowa nazewnictwo mieszaninpowyzszych frakcji na laboratorium, np. piasek pylasty, pyÃl piaszczysty (glina = f. piasekowa + f. iÃlowa).→ Trojk ↪at Fereta (w zeszycie do lab.) Inne podziaÃly drobnoziarnistych:

i. stan: luzny, sredniozag szczony, zag ↪eszczony b.zag ↪eszczony (wg ID do 33, 67, 80, 100% )

ii. rodzaj: niespoisty; maÃlo-, srednio, zwi ↪e zÃlo-, bardzo spoisty (wg wzrastaj ↪aceg oIp )


iii. stan: zwarty, poÃlzwarty; twardo-,-,mi ↪ekkoplastyczny; pÃlynny (w < ws a dalej wg IL do 0, 25, 50,100% )

3. nieskaliste organiczne podziaÃl: grunt prochniczy (H), NamuÃl (Nm), Torf (wg zawartosci cz ↪esci organicznychIom odpowiednio 2,5,30%)

• nasypowe: nasyp budowlany (NB), nasyp niekontrolowany (NN)

PodziaÃl iÃlow wg skÃladu mineralogicznego: kaolinit (sprzedawalny), illit (poÃlyskliwy), montmorylonit (p ↪eczniej ↪acy),chloryt (mocny).

Na praktycznie cz ↪esto stosowanym diagramie Casagrande’a z osiami odci ↪etych wL i rz ↪ednych Ip ponizej wykresuIp(wL) = 0, 73(wL − 0, 2) (tzw. linia A) znajduj ↪a si ↪e grunty o niekorzystnych wÃlasciwosciach jako podÃloze bu-dowlane, w tym grunty organiczne i pyÃly.Niestety, wi ↪ekszosc praktycznie istotnych parametrow gruntu jak np. ci ↪ezar, sztywnosc, scisliwosc, wytrzymaÃlosc,przepuszczalnosc wody, podci ↪aganie kapilarne wody, skÃlonnosc do peÃlzania, wrazliwosc na drgania, opornosc elek-tryczna zalez ↪a przenoszenie / tÃlumienie drgan zarowno od rodzaju jak i od stanu gruntu. Musimy zatem badaczarowno rodzaj jak i stan podÃloza, a badanie stanu gruntu jest technicznie kÃlopotliwe bo Ãlatwo go naruszyc wtrakcie pobierania i transportu probek.

1.2.2 Zadania

Zadanie

Nasycon ↪a (Sr = 1) probk ↪e gruntu scisni ↪eto w edometrze tak, ze jej pionowe odksztaÃlcenie wyniosÃlo 10% i cz ↪escwody zostaÃla wycisni ↪eta. Wilgotnosc pocz ↪atkowa probki wynosiÃla w = 20% oblicz koncowa wilgotnosc probki poscisni ↪eciu.

Zadanie

Do dyspozycji mamy piknometr o pojemnosci V , dokÃladn ↪a wag ↪e i piec do suszenia gruntu. Opisz sposob post ↪epowaniaw celu obliczenia ρs gruntu.

Zadanie

Do dyspozycji mamy cylinder o obj. V do wycinania probki in situ, dokÃladn ↪a wag ↪e i piec do suszenia gruntu. Opiszsposob post ↪epowania w celu obliczenia ρd gruntu.

Zadanie

Narysuj krzyw ↪a przesiewu dowolnego piasku P i dla takiej krzywej narysuj odpowiedni ↪a krzyw ↪a uziarnienia dlawarstwy filtracyjnej F, ktor ↪a nalezaÃloby obsypac filtr uj ↪ecia wody. Uziarnienie warstwy filtracyjnej F musi speÃlniacnast ↪epuj ↪acy warunek Terzaghiego

d15P <1

4d15F < d85P (1.5)

Zadanie

Wyprowadzic zaleznosci mi ↪edzy parametrami fizycznymi stanu gruntu a nast ↪epnie policzyc przykÃlad wyprowad-zonym wzorem podstawiaj ↪ac realistyczne dane. Przy wyprowadzaniu wzorow mozna korzystac tylko z definicji. Powyprowadzeniu zapami ↪etac numer(y) i z tabeli. Numery bior ↪a udziaÃl w losowaniu nagrod!

10 1.3. WYTRZYMAÃLOSC GRUNTOWZadania z Mechaniki Gruntow, A.Niemunis, PG

dane s ↪a ρs, ρw oraz:

szukane: w, Sr w, na n, nw e, ew ρr ρ (w, Sr) ρd (Sr)

wr 0 0 1 2 3 4 5

w w w 1 2 2 6 7

n 8 9 n 10 10 11 12

e 13 14 14 e 15 16 12

ρr 13 17 na = 0 18 19 ρr 20 21

ρ 22 23 24 25 25 ρ 26

ρd 26 27 28 28 29 30 ρd

Sr 30 31 32

ρ′ 33 34 35 36 37 38 i = 39

Zadanie

Pryzma piasku (pocz ↪atkowa wilgotnosc w = 15%, k ↪at nachylenia stozka φ = 30◦, wysokosc stozka h = 1, 4 m wsk.porowatosci e ≈ 0, 8) po ulewnym deszczu hR = 30 mm zwi ↪ekszyÃla wilgotnosc. Oszacuj zmian ↪e wilgotnosci bior ↪acdla opadu deszczu podstaw ↪e stozka i zakÃladaj ↪ac ze woda ani nie odpÃlywa ani nie wysycha. Do piasku po deszczudodano swiezego piasku o masie m2 = 4 t i wilgotnosci w = 10%. Ile wody trzeba teraz dolac do powi ↪ekszonejpryzmy aby otrzymac optymaln ↪a wilgotnosc wPr = 16% znan ↪a z badania Proctor’a? Ile wyniesie stopien nasyceniaSr po zag ↪eszczeniu piasku do ρPr = 1, 80g/cm3 przy w = wPr? Prosz ↪e przyj ↪ac ρs = 2, 65 g/cm3. Obj ↪etosc stozkawynosi V = 1

3πr2h .

r

h

Rys. 1.2: Geometria pryzmy (=stozka) piasku.

1.3 WytrzymaÃlosc gruntow


1. WytrzymaÃlosc jest to zdolnosc do przenoszenia obci ↪azen scinaj ↪acych tj. roznicy w napr ↪ezeniach gÃlownych.Jesli wszystkie napr ↪ezenia gÃlowne byÃlyby sobie rowne to nawet sama woda gruntowa mogÃlaby je przenosic.

2. Zasada tarcia ze sprawdzaniem wszystkich pÃlaszczyzn, daje warunek Coulomba, tj. w zadanym punkcieosrpodka gruntowego musi byc speÃlniona nierownosc

|τ | < σn tanφ dla dowolnie nachylonego przekroju (1.6)

3. KoÃlo Mohra i jego biegun pozwalaj ↪a na Ãlatwe graficzne dodawanie (superpozycja) dwu stanow napr ↪ezenia(np. geostatycznego i dodatkowego od fundamentu).

4. Warunek Coulmba wyrazony przez napr ↪ezenia gÃlowne ma postac

(σ1 − σ3) < (σ1 + σ3) sinφ, gdzie σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 (1.7)

Gdyby grunt miaÃl dodatkowo spojnosc c, tj. jesli warunek Coulmba dla pojedynczej pÃlaszczyzny miaÃlbypostac τ < σ tanφ+ c to w napr ↪ezeniach gÃlownych rownowazne kryterium przyjmuje postac

(σ1 − σ3) < (σ1 + σ3) sinφ+ 2c cosφ, gdzie σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 (1.8)

5. WpÃlyw trzeciego (posredniego) napr ↪ezenia gÃlownego σ2 na wytrzymaÃlosc jest pomijalny.


P T

T11

11

1

2

22

T

200150

T

100

22

xx

T'

T'

11

T'12

T'12 T'12

T'11

T'22

12

22

x'x'

��

50

n

t

t

t

t

n

Rys. 1.3: Konstrukcja bieguna koÃla Mohra (rozci ↪aganie dodatnie, T = −σ ).

-200 -150 -100

-75

-150-200

-50

-50

Pol

Pol

Pol

-200 -150 -100 -50

-200 -150 -100 -50

A

A+B

B

Tn

Tn

Tn

Tt

Tt

Tt

Rys. 1.4: Superpozycja dwu napr ↪ezen za pomoc ↪a koÃl Mohra (rozci ↪aganie dodatnie, T = −σ ).

6. Napr ↪ezenie efektywne σ′ opisuje siÃly miedzy ziarnami szkieletu gruntowego. Napr ↪ezenie caÃlkowite σ, efekty-wne σ′ i cisnienie wody w porach u s ↪a zwi ↪azane zaleznosciami

σ = σ′ + u (1.9)

τ = τ ′ (1.10)

WytrzymaÃlosc i zmiany obj ↪etosci gruntu (np. osiadanie) zalez ↪a tylko od napr. efektywnych. Gdy woda niemoze odpÃlyn ↪ac z gruntu przy sciskaniu (np. w glinie ze wzgl. na zbyt maÃla przepuszczalnosc k) a nasyceniejest peÃlne (Sr = 1) wowczas woda przejmuje caÃle(!!) dodane napr ↪ezenie normalne ∆σ = ∆u ale nie przejmujezadnych roznic napr ↪ezen tj. zadnych nap ↪ezen scinaj ↪acych. Te ostatnie musi przeniesc szkielet gruntowytj. ∆τ = ∆τ ′ Bez wzrostu efektywnego napr ↪ezenia normalnego ∆σ′ wzrost ∆τ ′ jest grozny gdyz warunekτ = σ′ tanφ moze byc stosunkowo szybko osi ↪agni ↪ety i grunt ulega uplastycznieniu (poslizg). Poslizg buta naskorce od banana tÃlumaczy si ↪e analogicznie.

7. Parametry gruntu φ i c do wzoru Coulomba τ < σ tanφ + c mozna okreslic albo w aparacie skrzynkowym(zalety: prostota, wady: niejednorodny i nieznany stan napr ↪ezenia wewn ↪atrz skrzynki) albo stosuj ↪ac aparattrojosiowego sciskania i interpretuj ↪ac poslizg zgodnie z (σ1 − σ3) < (σ1 + σ3) sinφ + 2c cosφ Wygodnie jestprzedstawic wyniki za pomoc ↪a koÃla Mohr’a, Nachylenie (do pÃlaszczyzny na ktor ↪a dziaÃla σ1) powierzchnisci ↪ecia (na ktorej τ = σ tanφ + c) ortzymuje si ↪e prowadz ↪ac lini ↪e prost ↪a od bieguna koÃla Mohra do punktustycznosci koÃla z lini ↪a Coulomba. Nachylenie to wynosi i wznosi η = 45◦ + φ/2

8. Poj ↪ecie sciezki napr ↪ezenia: Rysowanie kolejnych koÃl Mohra jest uci ↪azliwe. Poniewaz fizyczne kierunkinapr ↪ezen gÃlownych nie zmieniaj ↪a si ↪e wygodnie jest nanosic kolejne zmiany napr ↪ezenia pionowego i poziomego


τ

σ

τstrefa scinania

τ

σ

σ = σ (A -a)/A + P/A

σ

σ

σσ

στ 3 3

3

3

3

1

1

u

gumowa membrana

tlok

komora trojosiowa

a) aparat skrzynkowy b) aparat trojosiowy

a A

P

Rys. 1.5: Aparat skrzynkowy i aparat trojosiowy do pomiaru parametrow wytrzymaÃlosciowych φ i c gruntu.

(diagram Rendulica).Cz ↪esto stosowan ↪a alternatyw ↪a jest diagram p− q gdzie

p =1

3(σ′1 + σ′2 + σ′3) (1.11)

q = σ′1 − σ′3 (1.12)

9. Rodzaje badan w aparacie trojosiowym:sciskanie: σ′1 > σ′2 = σ′3tzw. ’rozci ↪aganie’ σ′1 < σ′2 = σ′3Przewaznie bada si ↪e probki caÃlkowicie nasycone wod ↪a i mierzy albo cisnienie wody porowej nie pozwalaj ↪acjej wypÃlywac z probki (tzw. badanie niezdrenowane bez odpÃlywu wody z porow gruntu i przy staÃlej obj ↪etoscitj. e = const) albo obj ↪etosc wycisni ↪etej wody przy u = const (tzw. badanie zdrenowane z odpÃlywem).

10. Dylatancja i kontraktancja jest to zmiana obj ↪etosci w trakcie czystego scinania napr ↪ezeniem τ . Pojawieniesi ↪e dylatancji jest wazn ↪a roznica jakosciowa zachowania gruntu w porownaniu do stali, w ktorej scinanie τpowoduje jedynie odksztaÃlcenia postaciowe = τ/G). Casagrande zaproponowaÃl poj ↪ecie porowatosci kryty-cznej ekr. Grunty luzne (e > ekr ) maj ↪a tendencj ↪e do zageszczania si ↪e w trakcie scinania a zag ↪eszczone(e < ekr ) chc ↪a zwi ↪ekszyc swoj ↪a obj ↪etosc. Grunt o porowatosci krytycznej (e = ekr ) nie chce jej zmieniac.Piaski luznie nasycone wod ↪a s ↪a szczegolnie niebezpieczne bo przy szybkim scinaniu chc ↪a si ↪e zag ↪escic a touniemozliwia obecnosc wody. Wzrasta zatem cisnienie wody u co przy staÃlym napr. caÃlkowitym σ = constpowoduje spadek σ′(= σ − u). Niezaleznie od tego wzrasta τ = τ ′. Mamy zatem, zwazywszy kryteriumCoulomba τ ′ < σ′ tanφ, zjawisko jednoczesnego wzrostu τ ′ i spadku σ′ = σ − u co moze prowadzic doszybkiego wyczerpania si ↪e wytrzymaÃlosci gruntu. Zjawisko okresla si ↪e terminem upÃlynnienie gruntu.

Scinanie gruntu zageszczonego -> dylatancja luznego -> kontraktancja

Rys. 1.6: Efekt dylatancji i kontraktancji.

Grunt zag ↪eszczony jest dobrze upakowany, (’zaz ↪ebiony’) i ma pewn ↪a nadwyzk ↪e wytrzymaÃlosci w stosunkudo gruntu o krytycznym wsk. porowatosci. Nadwyzk ↪e t ↪e traci w miar ↪e scinania na skutek dylatancji (ro-zluzniania).

11. Dla gruntow spoistych tradycyjnie nie uzywa si ↪e poj ↪ec luzny i zag ↪eszczony. Mowi si ↪e natomiast o tzw.wspoÃlczynniku prekonsolidacji OCR = σp/γz, gdzie γz jest pionow ↪a skÃladow ↪a napr ↪ezenia geostatycznego aσp jest to tzw. napr ↪ezenie prekonsolidacji. Grunt normalnie skonsolidowany (NC) odpowiada OCR=1 tj.stanowi luznemu. Stan krytyczny odpowiada OCR≈ 2 a stan zag ↪eszczony wyzszym wartosciom OCR.

Napr ↪ezenie prekonsolidacji definiuje si ↪e jako miejsce zaÃlamania si ↪e krzywej scisliwosci z badania edome-trycznego, czyli jako napr ↪ezenie uplastycznienia gruntu przy edometrycznym sciskaniu, rys.1.7. Przy kontyn-uowaniu obci ↪azenia w edometrze nast ↪epuje trwaÃle zag ↪eszczenie gruntu i granica uplastycznienia σp przesuwasi ↪e w kierunku wyzszych wartosci.


σ σp

e

doci enie spr yste

przeci enie (plastyczno )

Rys. 1.7: Edometryczna krzywa scisliwosci

Kryterium wytrzymaÃlosciowe Coulomba

Prawo Coulomba okresla jak duze mog ↪a byc w okreslonym punkcie ciaÃla napr ↪ezenia styczne:

w dowolnie nachylonym przekroju przechodz ↪acym przez rozpatrywany punkt ciaÃla musi byc speÃlnionywarunek

|τ | < σ tanφ+ c (1.13)

Wielkosc tanφ jest analogiczna do wspoÃlczynnika tarcia µ w zagadnieniach kontaktowych (tarcie mi ↪edzy dwomaciaÃlami staÃlymi). Na pÃlaszczyznie koÃl Mohra napr ↪ezenia (pary τ, σ) speÃlniaj ↪ace warunek Coulomba (1.13) lez ↪a

c cot

cr

p

max

max

max

min

min

45o

o

o

P

=tan

+c

Rys. 1.8: Warunek Coulomba na pÃlaszczyznie koÃl Mohra. Na rysunku przyj ↪eto geotechniczn ↪a konwencj ↪e znakow(sciskanie dodatnie). Zwroc uwag ↪e na zwroty skÃladowych scinaj ↪acych τ pod i nad osi ↪a σ.

we wn ↪etrzu klina o wierzchoÃlku w punkcie −c cotφ i kraw ↪edziach nachylonych pod k ↪atem φ do osi σ. Wielkoscφ [◦] nazywa si ↪e k ↪atem tarcia wewn ↪etrznego a c [kPa] to spojnosc (cohesion) gruntu analogiczna do adhezji wzagadnieniach kontaktowych. Rysuj ↪ac koÃlo Mohra ze srodka p = 1

2 (σmax +σmin) najwi ↪ekszy promien r = 12 (σmax−

σmin), przy ktorym caÃle koÃlo lezy jeszcze we wn ↪etrzu klina, (speÃlnia kryterium Coulomba) ma dÃlugosc

r = (p+ c cotφ) sinφ. (1.14)


St ↪ad Ãlatwo wyrazic warunek Coulomba w napr ↪ezeniach gownych

1

2(σmax − σmin) ≤ 1

2(σmax + σmin) sinφ+ c cosφ (1.15)

Nierownosc (1.15) nazywamy niekiedy warunkiem Coulomba-Mohra choc jest to tylko inna postac warunku (1.13).Stosuj ↪ac kryterium Coulomba w postaci (1.15) nie musimy sprawdzac wszystkich przekrojow (nachylen).

Z poÃlozenia bieguna P koÃla Mohra wynika, ze pÃlaszczyzny, dla ktorych zachodzi rownosc |τ | = σ tanφ+c (przekrojenajbardziej wyt ↪ezone), musz ↪a byc nachylone pod k ↪atem η = 45◦ + φ/2 do pÃlaszczyzny Π, tj. pÃlaszczyzny na ktor ↪adziaÃla maksymalne napr ↪ezenie normalne. Zauwaz, ze maksymalne napr ↪ezenie styczne τmax = 1

2 (σmax − σmin) = rwyst ↪epuje na innej pÃlaszczyznie - przy nachyleniu 45◦.

Orientacyjne parametry niektorych materiaÃlow:

piasek zag ↪eszczony φ = 38◦ c = 0 kPa

piasek - wytrzymaÃlosc resztkowa φ = 30◦ c = 0 kPa

glina∗ φ = 27◦ c = 20 kPa

woda (nie przenosi scinania) φ = 0◦ c = 0 kPa

j ↪eczmien φ = 25◦ do 31◦ c = 0 kPa

cukier φ = 28◦ do 36◦ c = 0 kPa

rzepak φ = 21◦ do 28◦ c = 0 kPa

WytrzymaÃlosc gruntow spoistych

Do okreslenia wytrzymaÃlosci glin lub iÃlow zazwyczaj posÃlugujemy si ↪e zmodyfikowanym, dwuliniowym kryteriumwytrzymaÃlosciowym z parametrami efektywnymi φ′s, φ

′, c′, rys. 1.9. Kryterium Coulomba-Mohra przyjmuje postac

� '

�

�

�prekonsolidacji

p 2

�

p 1

�s

,

trwale zmniejszenie objetosci gruntu powoduje zwiekszenie a przez to zwiekszenie spojnosci c' i cucu

� ,

c'

Rys. 1.9: Kryterium wytrzymaÃlosci glin wg Krey’a i Tiedemann’a. Z chwil ↪a przekroczenia przez σ′ napr ↪ezeniaσprekonsolidacji wielkosci te rosn ↪a razem (σ′ = σprekonsolidacji). Okreslenie grunt prekonsolidowany mowi, ze stannapr ↪ezenia w gruncie jest mniejszy od maksymalnego napr ↪ezenia sciskaj ↪acego (efektywnego) wywartego juz na tengrunt w przeszÃlosci. Zauwaz, ze efektywne napr ↪ezenia rozci ↪agaj ↪ace s ↪a w gruntach niedopuszczalne (ostrze c cotφ′

klina Coulomba zostaÃlo ”odci ↪ete”).

zaproponowan ↪a przez Krey’a i Tiedemann’a

σmin ≥ 0 rozci ↪aganie nie jest dopuszczalne1

2(σ′max − σ′min) ≤ 1

2(σ′max + σ′min) sinφ′ + c′ cosφ′ dla σ′ < σprekonsolidacji (1.16)

1

2(σ′max − σ′min) ≤ 1

2(σ′max + σ′min) sinφ′s dla σ′ = σprekonsolidacji (1.17)

Dla glin i iÃlow normalnie skonsolidowanych efektywne napr ↪ezenie geostatyczne σ′ = γz i napr ↪ezenie prekonsoli-dacji σp s ↪a identyczne σ′ ≈ σp a dla gruntow prekonsolidowanych σp > γz. Typowa wartosc k ↪ata φ′s caÃlkowitejwytrzymaÃlosci gruntu wynosi φ′s ≈ 27◦. Dla glin prekonsolidowanych φ′ ≈ 15◦ i c′ ≈ 1

4cu. Parametr cu = σp tanφ′sokresla wytrzymaÃlosc (maksymalne napr ↪ezenie styczne τ) gruntu nasyconego dla warunkow obci ↪azenia bez odpÃlywuwody z porow. Kryterium wytrzymaÃlosciowe takiego gruntu ma postac

|τ | ≤ cu albo σ′max − σ′min ≤ 2cu (1.18)


WytrzymaÃlosc w takich warunkach nie zalezy ani od napr ↪ezenia efektywnego ani od napr ↪ezenia caÃlkowitego (!!!) ajedynie od σp. W przypadku szybkiego obci ↪azenia zadanego w formie napr ↪ezenia caÃlkowitego σ mamy rownowaznekryterium

σmax − σmin ≤ 2cu poniewaz z definicji σmax − σmin = σ′max − σ′min (1.19)

Czasem dla warunkow bez drenazu (undrained) stosuje si ↪e dwa parametry wytrzymaÃlosciowe cu i φu. Te parametrystosuje si ↪e (coraz rzadziej) w kryterium Coulomba-Mohra w analogicznej formie

1

2(σmax − σmin) ≤ 1

2(σmax + σmin) sinφu + cu cosφu (1.20)

przy czym wytrzymaÃlosc jest tutaj odniesiona do napr ↪ezen caÃlkowitych (!!). Zwykle zachodzi φu = 0 co sprowadzasi ↪e do rownania (1.19). Jesli k ↪at φu jest wi ↪ekszy od zera, swiadczy to ze nie caÃle napr ↪ezenie normalne przechodzina wod ↪e. Przyczyn ↪a tego moze byc fakt, ze grunt jest tylko cz ↪esciowo nasyconych (Sr < 100%) lub ze warunek’niezdrenowania’ nie jest dokÃladnie speÃlniony. Z rys. 1.9 otrzymamy zwi ↪azki

cu = σp tanφ′s = σp tanφ′ + c′. (1.21)

1.3.2 Zadania

Zadanie

Dany jest stan napr ↪ezenia σ w postaci diagonalnej:

σ =

x 0 0

0 100 0

0 0 100

(1.22)

Jaka moze byc maksymalna, a jaka minimalna wartosc skÃladowej x napr ↪ezenia σ aby speÃlnione byÃlo kryteriumCoulomba-Mohra przy parametrach c = 0 i φ = 30◦?

Rozwi ↪azanie: Dla osrodka niespoistego (c = 0) warunek (1.15) mozna Ãlatwo przeksztaÃlcic do postaci

σmax

σmin≤ 1 + sinφ

1− sinφ(= Kp = 1/Ka = 3, 0) (1.23)

sk ↪ad otrzymamyx

100≤ 3, 0 i

100

x≤ 3, 0 a zatem 33 1

3 < x < 300.

Zadanie

W okreslonym punkcie w przestrzeni warunek Coulomba (ze spojnosci ↪a) w formie |τ | ≤ σ tanφ + c nalezaÃlobysprawdzic dla wszystkich, dowolnie nachylonych przekrojow przechodz ↪acych przez ten punkt. Aby t ↪e procedur ↪euproscic wyprowadz rownowazny warunek

σmax − σmin ≤ (σmax + σmin) sinφ+ 2c cosφ (1.24)

zapisany za pomoc ↪a napr ↪ezen gÃlownych. Skorzystaj z konstrukcji koÃla Mohra.

Zadanie

Oblicz napr ↪ezenie poziome maksymalne σh max i minimalne σh min na gÃl ↪ebokosci z > 0 w poÃlprzestrzeni z materiaÃluCoulomba ( φ 6= 0, c 6= 0 ) zakÃladaj ↪ac ze skÃladowe poziome napr ↪ezenia s ↪a sobie rowne (= σh ) i ze napr ↪ezeniepionowe σv = γz jest napr ↪ezeniem gÃlownym. Narysuj koÃla Mohra dla obu ekstremalnych stanow napr ↪ezenia i koÃloMohra dla stanu geostatycznego ”K0” tj. przy σh = K0γ · z z K0 = 1− sinφ. Wszystkie koÃla Mohra przedstawicna tym samym wykresie i dla tej samej gÃl ↪ebokosci z.

Zadanie

Wykazac ze linie warunku Coulomba przedstawione na diagamie p, q s ↪a nachylone pod k ↪atem qp = MC = 6 sinφ/(3−

3 sinφ) jesli σ1 > σ2 = σ3 i pod k ↪atem ME = −6 sinφ/(3 + 3 sinφ) jesli σ1 = σ2 > σ3. Wskazowka: wyrazic σmaxi σmin przez p i q i wstawic do warunku Coulomba dla napr ↪ezen gÃlownych.

16 1.4. WODA GRUNTOWAZadania z Mechaniki Gruntow, A.Niemunis, PG

Zadanie

Dodaj napr ↪ezenie podane w postaci diagonalnej σ = diag[100; 10; 10] [kPa] z pierwszum kierunkiem gÃlownym(odpowiadaj ↪acym 100 kPa) odchylonym o 30◦ od pionu i pierwotne napr ↪ezenie geostatyczne σ = γ·z·diag[1,K0,K0].GÃl ↪ebokosc z = 5m, ci ↪ezar obj ↪etosciowy gruntu γ = 20kN/m3 a wspoÃlczynnik parcia spoczynkowego K0 =0, 6. Okresl k ↪at tarcia wewn ↪etrznego φ′ potrzebny do przeniesienia sumarycznego obci ↪azenia. Oblicz nachyle-nie pÃlaszczyzn na ktorych wyt ↪ezenie τ/σ jest maksymalne. Do rozwi ↪azania wykorzystaj koÃla Mohr’a (z biegunem).Wszystkie napr ↪ezenia s ↪a efektywne, sciskanie jest dodatnie a spojnosc c′ = 0.

Zadanie

Trzy probki NNS gruntu poddano scinaniu w aparacie skrzynkowym przy obci ↪azeniach normalnych σ′ o wartosci100 kPa 200 kPa i 300 kPa. Napr ↪ezenie scinaj ↪ace τ przy zniszczeniu probek wynosÃlo 60 kPa i 100 kPa i 150 kPa.Oszacuj parametry φ′ i c′ (graficznie albo minimalizuj ↪ac kwadrat bÃl ↪edu) i okresl parametry φs i cu (wg hipotezywytrzymaÃlosciowej Krey’a Tiedemann’a) jesli wiadomo z badania edometrycznego, ze napr ↪ezenie prekonsolidacjiwynosi σp = 300 kPa.

Zadanie

W gruncie o parametrach γ = 20 kN/m3 i K0 = 0.5 dodac do stanu geostatycznego na gÃl ↪ebokosci 1.5 m napr ↪ezenieσ = diag[50, 0, 0]kPa o kier. gÃlownym odpowiadaj ↪acym 50 kPa odchylonym od pionu o k ↪at 30◦. Dodawanieprzeprowadzic za pomoc ↪a koÃl Mohra. Przyj ↪ac pÃlaski stan odksztaÃlcenie i zaÃlozyc, ze napr ↪ezenie gÃlowne prostopadÃledo pÃlaszczyzny deformacji jest posrednim z napr ↪ezen gÃlownych (co do wartosci). Wyznaczyc nachylenie pÃlaszczyzny

o najwi ↪ekszym stosunku τ/σ i okreslic jaki k ↪at tarcia wewn ↪etrznego jest potrzebny do przeniesienia sumarycznegostanu napr ↪ezenia. Narysuj nachylenie przekrojow na ktorych wartosc skÃladowej stycznej jest maksymalna |τ | =maxi przekrojow z |τ/σ| =max.

Zadanie

W aparacie skrzynkowym stwierdzono ze wytrzymaÃlosc sp ↪ekanej zwartej gliny przy scinaniu rownoleÃlym do widocznychpÃlaszczyzn sp ↪ekan opisuj ↪a parametry wytrzymaÃlosci resztkowej c′1 = 0 i φ′1 = 30◦ a wzdÃluz dowolnej innejpÃlaszczyzny - parametry c′2 = 100kPa i φ′1 = 20◦.

Do badania w aparacie trojosiowego sciskania wyci ↪eto walcow ↪a probk ↪e ze sp ↪ekaniami nachylonymi pod k ↪atem 45◦

do pionowej osi probki, Oblicz maksymalne obci ↪azenie pionowe σ′v probki:a) ze wzgl ↪edu na wytrzymaÃlosc wzdÃluz sp ↪ekanb) ze wzgl ↪edu na wytrzymaÃlosc samej zwartej masyjesli skÃladowa pozioma σ′h napr ↪ezenia wynosi 100 kPa.

1.4 Woda gruntowa


Kapilarnosc

Nie interesuje nas ani woda zwi ↪azana chemicznie (np w gipsie) ani woda bÃlonkowa (czyli kilka warstw atomowychbezposrednio przy powierzchni ziaren), a jedynie woda, ktora bierze udziaÃl w przepÃlywie i w normalnych warunkachmoze ulec wysychaniu.

Woda kapilarna pnie si ↪e na wysokosc hc wynikaj ↪ac ↪a z rownowagi energetycznej (. . . ) Ta wysokosc wylicza si ↪e z

Tπd = γwhcπd2

4(1.25)

gdzie T = 73 · 10−6 kN/m jest tzw. napi ↪eciem powierzchniowym. W gruncie rozrozniamy wysokosc podci ↪aganiakapilarnego czynn ↪a hcC i biern ↪a hcB , przy czym hcC < hcB . W wodzie kapilarnej istnieje siÃla wyporu (dziaÃlaj ↪acado gory identycznie jak pod ZWG). Woda kapilarna ”zawiesza si ↪e” na wysokosci hc obci ↪azaj ↪ac szkielet gruntowyefektywnym napr ↪ezeniem pionowym ∆σ′ = γwhc. Hydrostatyczne cisnienie wody w gruncie (tj. gdy woda niepÃlynie) wynosi

u = γwz, (1.26)

gdzie z jest gÃl ↪ebokosci ↪a ponizej ZWG. Wzor jest wazny takze do wysokosci hc powyzej ZWG czyli dla ujemnychwartosci z az do z = −hc wÃl ↪acznie. W wodzie kapilarnej uzyskujemy zatem z (1.26) u < 0, czyli woda kapilarnajest rozci ↪agana.


Woda naporowa wyst ↪epuje nawiercony poziom wody lezy ponizej poziomu po ustabilizowaniu (efekt jak w studniartezyjskiej). Woda gruntowa wÃlasciwa wyst ↪epuje na duzym obszarze na zasadzie naczyn poÃl ↪aczonych. Woda

zaskorma wyst ↪epuje lokalnie w odizolowaniu od wody gruntowej wÃlasciwej. Woda reliktowa jest to np. wodazamkni ↪eta w soczewkach piaskowych w glinie.

PrzepÃlyw wody wolnej

Powodem przepÃlywu wody nie s ↪a roznice cisnienia wody u ale roznice naporu h. Napor to suma wysokosci cisnieniai wysokosci poÃlozenia, czyli h = u/γw + z, gdzie u to cisnienie wody a z wysokosc poÃlozenia nad umownym(dowolnym ⊥ do siÃly grawitacji) poziomem odniesienia. Pewn ↪a analogi ↪e do prawa Bernouliego otrzymamy, jesli donaporu dodamy jeszcze wysokosc pr ↪edkosci tj. czÃlon v2/2g. W geotechnice zakÃladamy ze pr ↪edkosc wody jest maÃlai wysokosc pr ↪edkosci pomijamy.

W stanie nasyconym przepÃlyw wody w gruncie opisuje prawo Darcy

vi = −k∂h/∂xi (1.27)

gdzie ∂h/∂x = ∇h oznacza gradient h czyli tzw gradient hydrauliczny. Przy jednowymiarowych zagadnieniachprzepÃlywu piszemy

v = ki = k∆h

∆l(1.28)

gdzie k jest staÃlym dla okreslonego gruntu wspoÃlczynnikiem filtracji.

Orientacyjne wartosci wspoÃlczynnika filtracji k

rumosz, zwir, grubo i rownoziarniste piaski 10−1 . . . 10−3 m/s

piaski roznoziarniste 10−3 . . . 10−4 m/s

piaski drobne roznoziarniste, less 10−4 . . . 10−5 m/s

piaski pylaste, gliniaste, muÃlki 10−5 . . . 10−6 m/s

gliny namuÃly, iÃly piaszczyste 10−6 . . . 10−8 m/s

iÃly, zwarte gliny ilaste 10−8 . . . 10−10 m/s

W uogolnionym przypadku osrodka o anizotropowej przepuszczalnosci (zwykle woda Ãlatwiej filtruje w kierunkupoziomym) k moze byc tensorem i wowczs predkosc v jest niekoniecznie rownolegÃla do gradientu ∂h/∂x.

A A

AA

1

1

1

2

2

2

3

3

3

L L L L

h

x x

hi

ii

i

Rys. 1.10: Filtracja rownolegÃla i prostopadÃla do uwarstwiwewnia

Filtracja rownolegÃla do warstw: mamy kA =∑kiAi, gdzie Ai pole i-tej w-wy ⊥ do kier. przepÃlywu (identyczny

gradient hydrauliczny ii w kazdej w-wie). Zast ↪epczy wspoÃlczynnik filtracji przy uwastwieniu rownolegÃlym dokierunku filtracji wynosi zatem

k =

∑kiAi

∑Ai

(1.29)

Filtracja ⊥ do warstw: mamy identyczne przekroje Ai = A i tak ↪a sam ↪a pr ↪edkosci filtracji vi = kiii = v w kazdejw-wie. Sredni spadek hydrauliczny i i sredni wspoÃlczynnik filtracji k speÃlniaj ↪a rownanie

ki = kiii = const, (1.30)

przy czym z warunku zachowania masy wynika k1i1 = k2i2 = . . . kiii. Sredni gradient hydrauliczny wynosi

i =

∑iiLi

∑Li

=

∑

=ii︷︸︸︷

(ki/ki)Li∑Li

(1.31)


st ↪ad po podzieleniu obu stron przez ik zast ↪epczy wspoÃlczynnik k przy filtracji poprzecznej wynosi

k =

∑Li

∑(1/ki)Li

(1.32)

Dla okreslenia filtracji w przestrzeni 3D uzywamy poj ↪ecia gradientu przestrzennego naporu h, czyli

vi = −k ∂h∂xi

lub v = −k ∂h∂x

= −k∇h = −k

(∂ /∂x1)

(∂ /∂x2)

(∂ /∂x3)

h (1.33)

Warunek zachowania masy (zakÃladamy osrodek gruntowy jest nasycony i ze g ↪estosc wody nie zmienia si ↪e) oznacza,ze w szescianiku dx1dx2dx3 nie moze wody przypywac ani ubywac, czyli

∑dvi = 0

1

1 1

2

2

2

2

x

x

v

2v + dx

v 1v + dx1dxdx

1

1 v x

2

2 v x

Rys. 1.11: Warunek zachowania masy

z czego otrzymujemy

∇v = 0 (1.34)

sk ↪ad podstawiaj ↪ac prawo Darcy uzyskamy rownanie

3∑

i=1

ki∂2h

∂x2i

= 0 (1.35)

Ostatnia postac nazywa si ↪e rownaniem Laplace’a pola o potencjale h. Linie ekwipotencjalne to takie na ktorychnapor jest staÃly h = const. Prostopadle do nich lez ↪a linie pr ↪adu. S ↪a one styczne do wektora pr ↪edkosci v =−k(∂h/∂x).

Konstruowania siatek hydraulicznych:

• Narysowac skrajne linie pr ↪adu wzdÃluz brzegow nieprzepuszczalnych || do linii pr ↪adu i ⊥ do linie ekwipotenc-jalnej.

• Narysowac linie kontaktu z wod ↪a woln ↪a jako skrajne linie ekwipotencjalne hpocz i hkoniec odpowiadaj ↪acepocz ↪atkowj i koncowej wysokosci naporu

• Podzielic roznic ↪e mi ↪edzy hpocz i hkoniec na np. noczek = 10 rownych cz ↪esci i narysowac przypuszczalneposrednie linie ekwipotencjalne pami ↪etaj ↪ac o prostopadÃlosci do skrajnych linii pr ↪adu.

• wrysowac posrednie linie pr ↪adu prostopadle do linii ekwipotencjalnych. Liczb ↪e linii pr ↪adu dobrac tak abypowstaÃla siatka filtracji tworzyÃla ± kwadratowe oczka.

• sukcesywnie poprawiac ksztaÃlt siatki (prostopadÃlosc linii i kwadratowosc oczek) koryguj ↪ac jesli trzeba liczb ↪ekanaÃlow lub oczek w kanale.

Jako pojedynczy kanaÃl definiujemy obszar mi ↪edzy dwoma s ↪asiednimi liniami pr ↪adu. Przez kazde oczko jednegokanaÃlu filtruje ta sama ilosc wody czli v = const. Wydatek z jednego kanaÃlu to ilosc wody filtruj ↪aca przez i-teoczko sieci o szerokosci bi

qi = vibi = const (1.36)

czyli

k∆h/n

libi = const (1.37)

tyle samo wody przepÃlynie przez kazde oczko kanaÃlu w jedn. czasu. ZakÃladamy ze oczka s ↪a ± kwadratowe, tj.b ≈ l gdzie b to wymiar poprzeczny.


PrzepÃlyw przez caÃl ↪a siatk ↪e (liczony na 1 mb ) wg.

q = k(hpocz − hkoniec)mkanalow

noczek(1.38)

gdzie mkanalow to liczba kanaÃlow ktorymi woda filtruje a noczek to liczba oczek sieci w jednym kanale mowi ↪aca naile rownych cz ↪esci podzielilismy caÃlkowit ↪a roznic ↪e naporow hpocz − hkoniec.Jesli na odcinku x kanaÃlu wodoprzepuszczalnosc kx jest np. 10-krotnie mniejsza to w celu zapewnienia zachowaniamasy tj. v = vx musimy zwi ↪ekszyc na odcinku x spadek hydrauliczny tj. rysowac zamiast kwadratow prostok ↪atyo wymiarach b/l ≈ 10. Tak mozna oszacowac pr ↪edkosc filtracji przy obeconosci ekranow iniekcyjnych.

Wyznaczanie wspoÃlczynnika filtracji

Wspolczynnik filtracji mozna oszacowac na empirycznym wzorem Hansena,

k[m/s] = 0, 01d210 [mm] (1.39)

na podstawie krzywej przesiewu. Dla iÃlow zamiast prawa Darcy uzywa si ↪e czasami jego zmodyfikowanej wersji ztzw. gradientem stagnacji i0.

v =

{

0 dla i < i0

k(i− i0) dla i >= i0(1.40)

Wyznaczanie wspoÃlczynnika k w laboratorium jest kÃlopotliwe bo pobranie miarodajnych probek NNS jest trudne.

Wyznaczanie laboratoryjne przy zmiennej roznicy naporow h(t)

Q = −dh

dt· a = k

h(t)

L·A (1.41)

przekroje rurki i probki: a,A wysokosc probki L. Jako rozwi ↪azanie otrzymujemy

k =aL

A(t2 − t1)ln(h1/h2) (1.42)

gdzie h1 i h2 odpowiadaj ↪a chwilom czasowym t1 i t2, odpowiednio.

Metoda probnego pompowania in situ. Dla stanu osiowosymetrycznego i przy studni zupeÃlnej (dochodz ↪acej donieprzepuszczalnej warstwy) mamy na podstawie zaÃlozenia Dupuit o poziomym przepÃlywie

k =Q

π

ln(r1/r2)

h21 − h2

2

(1.43)

gdzie h1 i h2 odpowiadaj ↪a wysokosciom sÃlupow wody (mierzonym od stropu warstwy nieprzepuszczalnej) w od-legÃlosci r1 i r2 od osi studni, por. rys. 1.12.

Hydromechaniczne uj ↪ecia wody

W osiowosymetrycznym zagadnieniu pompowania wody ze studni zupeÃlnej (okr ↪agÃla zlewnia i dno stoi na nieprze-puszczalnej warstwie)stosujemy zaÃlozenie Dupuit (maÃly spadek, linie ekwipotencjalne prawie pionowe ) dla przepÃlywustacjonarnego, ze spadek hydrauliczny dla przekroju oddalonego od osi studni o r jest rowny nachyleniu ZWG:

vh = −kdh

dr(1.44)

Ilosc wody dopÃlywaj ↪acej do pojedyncza studnia zupeÃlna

Q = 2πrvh = −2πrhkdh/dr (1.45)

Dla warunkow brzegowych z(r0) = z0i z(r1) = z1 otrzymamy (rozwi ↪azujemy przez rozdzielenie zmiennych)

Q =πk

ln(r1/r0)(h2

1 − h20) (1.46)

Empiryczny wzor na promien leja depresyjnego ma postac

R[m] = ∆h0[m]√

k[m/s] (1.47)


Rrr0

hh

Hf

naziom

k=0

ii

max

filtr

Rys. 1.12: Studnia zupeÃlna

jesli osi ↪agni ↪eto przepÃlyw stacjonarny (niezalezny od czasu). Lej depresji propaguje w czasie t wg wzoru

R = 3

√

Hkt

n(1.48)

gdzie n oznacza porowatosc.

Praktycznie wazny przypadek szczegolny rownania (1.46) to

Q =πk

ln(R/r0)(H2

1 − h2f ) (1.49)

z oznaczeniami jak na rys. 1.12.

Jesli studnia nie jest zupeÃlna to zwi ↪ekszamy wydatek Q o 20%.

UWAGA: Waznosc wzoru na wydatek studni jest ograniczona maksymalnym nachyleniem krzywej depresji. Tomaksymalne nachylenie Sichardt ustaliÃl empricznie

imax =1√k15

czyli maksymalny wydatek studni o promieniu r liczonym wÃl ↪acznie z obsypk ↪a zwirow ↪a (jesli taka jest) i przyzanurzonej wysokosci studni h (troch ↪e wi ↪ecej niz gÃl ↪ebokosc wody w studni) wynosi

Qmax = 2πrhk imax

Jesli teoretyczny wydatek np. ze wzoru (1.46) lub (1.49) jest wi ↪ekszy niz Qmax to studnia nie b ↪edzie w staniesci ↪agn ↪ac takiej ilosci Q wody. Uj ↪ecie wody nalezy wowczs przeprojektowac:(a) zwi ↪ekszaj ↪ac promien r0 lub(b) zwi ↪ekszaj ↪ac liczb ↪e studni daj ↪acych wymagany sumaryczny wydatek Q.

SiÃla filtracji

SiÃla filtracji jest to siÃla j na jednostk ↪e obj ↪etosci gruntu wywierana na szkielet gruntowy przez przepÃlywaj ↪ac ↪a wod ↪e.SiÃl ↪e j obliczamy ze wzoru

j = γwi (1.50)

Jest ona skierowana rownolegle do wektora pr ↪edkosci wody. Nieco myl ↪aca jest nazwa ”cisnienie spÃlywowe” bo jjako siÃla obj ↪etosciowa ma jednostk ↪e kN/m3 a nie kPa. SiÃla j nie zalezy bezposrednio od wspoÃlczynnika filtracji kco moze byc intuicyjnie niezrozumiaÃle. Przy przepÃlywie w kierunku poprzecznym do dwu warstw gruntu np. o dwuroznych wodoprzepuszczalnosciach k1 i k2 z zasady zachowania masy wynika ze pr ↪edkosc filtracji w obu warstwachjest identyczna a zatem v1 = k1i1 = v2 = k2i2, czyli tam gdzie jest mniejsze k konieczny jest wi ↪ekszy gradient i coz koleji powoduje wi ↪eksz ↪a siÃl ↪e filtracji j i jest zgodne z oczekiwaniem.

Jesli szkielet gruntowy znajduje si ↪e pod wod ↪a dziaÃla na niego z jednej strony siÃla wyporu γ−γ ′ skierowana ku gorzei dodatkowo siÃla filtracji j, ktora przy przepÃlywie wody do gory moze spowodowac unoszenie gruntu (kurzawk ↪e,przebicie hydrauliczne sufozj ↪e). Zjawiska te s ↪a niebezpieczne i wymagane wspoÃlczynniki bezpieczenstwa s ↪a tuwysokie. Krytyczny gradient zast ↪epczy

ikr = γ′/γw (1.51)

przy przepÃlywie do gory wynosi


• ikr = 0.1 grunty gliniaste;

• ikr = 0.2 piaski grube

• ikr = 0.4 otoczaki i zwir

• ikr = 0.33 pospoÃlka

Gradienty hydrauliczne groz ↪ace sufozj ↪a (wymywanie drobnych cz ↪astek) s ↪a mniejsze w gruntach roznoziarnistych:

U = d60/d10 ikr

30 0.25

25 0.28

20 0.31

15 0.35

10 0.45

W gruntach spoistych sufozja wyst ↪epuje bardzo rzadko.

1.4.2 Zadania

Zadanie

0,00

-6,00

-9,00

-11,00

-15,00

-4,00

-2,00

+-

w0

w1

w2

10,00

H(t=0)

Zwir k = e = 0,4

Pyl k = ?

Il k = 0

Rys. 1.13: Przekroj przez wykop

W celu odwodnienia wykopu z jego dna wypompowyana jest woda z pr ↪edkosci ↪a 7 ls mb co pozwala na utrzymanie

ZWG pod dnem wzkopu na z = -9,00 m. Wskutek awarii w dostawie pr ↪adu poziom wody pod wykopem podnosisi ↪e. Nalezy okreslic przebieg tego procesu w czasie.W szczegolnosci nalezy wykonac

• rysunek siatki hydraulicznej

• oszacowanie wodoprzepuszczalnosci k w-wy pyÃlu

• Okreslenie czasow po ktorych poziom ZWG w wykopie b ↪edzie wynosiÃl

- w0 = -9,00 m

- w1 = -6,00 m

- w2 = -4,00 m


0,00

-6,00

-9,00

-11,00

-15,00

-4,00

-2,00

+-

w0

w1

w2

10,00

H(t=0)

Zwir k = e = 0,4

Pyl k = ?

Il k = 0

0

1

2

34

5

6

Rys. 1.14: Siatka hydrauliczna

Rozwi ↪azanie

Ze wzgl ↪edu na k = ∞ w zwirze mamy wod ↪e wolna (bez siatki filtracji). W w-wie pyÃlu rysujemy 3 kanaÃly sk ↪ad przykwadratowej siatce mamy 6 oczek

nkanal = 3 (1.52)

noczek = 6 (1.53)

czyli

q = nkanal k∆H

noczek(1.54)

Z racji symetrii pod lew ↪a sciank ↪a szczeln ↪a filtruje drugie tyle czyli liczba kanaÃlow jest 2nkanal a wydatek wznosi

q = 7(0, 1 m)

3

s m= 0, 007

m3

m s(1.55)

przy roznicy naporow

∆H = H(t = 0) = 7, 00 m (1.56)

St ↪ad dla warstwy pyÃlu wspoÃlczynnik filtracji obliczmy z

q = 2 k ∆Hnkanalnoczek

(1.57)

k =q

2 ∆H

noczeknkanal

=0, 007 m3

m s2 · 7, 00 m

· 6

3= 0, 001

m

s(1.58)

W trakcie podnoszenia ZWG z w0 = -9,00 m do w1 = -6,00 m musimy uwzgl ↪ednic ze

• roznica naporow b ↪edzie coraz mniejsza czyli mamy nieznan ↪a funkcj ↪e H(t)

• filtruj ↪aca woda wypeÃlnia tylko pory a nie caÃly przekroj wykopu

Filtruj ↪aca woda

q = 2 k H(t)nkanalnoczek

(1.59)


spowoduje nast ↪epuj ↪ac ↪a pr ↪edkosc spadku H(t) (wazne tylko od w0 do w1)

q = A

(

−dH(t)

dt

)

n (1.60)

= −A dH(t)

dt

e

1 + e(1.61)

Przez A oznaczamy przekroj 1mb wykopu i zakÃladamy ze ZWG poza wykopem pozostaje na z = -2,00 m = const.

eliminuj ↪ac q z powyzszych rownan otrzymamy

2 k H(t)nkanalnoczek

= −A dH(t)

dt

e

1 + e(1.62)

co roziw ↪azujemy przez rozdzielenie zmiennych

1

H(t)dH(t) = −2 k

nkanalnoczek

1

A

1 + e

edt (1.63)

H1∫

H0

1

H(t)dH(t) = −2 k

nkanalnoczek

1

A

1 + e

e

t1∫

t0

dt (1.64)

[ln (H(t))]H1

H0= −2 k

nkanalnoczek

1

A

1 + e

e[t]t1t0

(1.65)

ln (H1)− ln (H0) = −2 knkanalnoczek

1

A

1 + e

e(t1 − t0) (1.66)

t1 − t0 = − ln

(H1

H0

)A

2 k

noczeknkanal

e

1 + e(1.67)

t1 = t0 − ln

(H1

H0

)A

2 k

noczeknkanal

e

1 + e(1.68)

(1.69)

Podstawiaj ↪ac

t0 = 0, 00 m (1.70)

H0 = 7, 00 m (1.71)

H1 = 4, 00 m (1.72)

otrzymamy:

t1 = 0, 00− ln

(4, 00

7, 00

)

· 10, 00 · 1, 00

2 · 0, 001· 6

3· 0, 4

1 + 0, 4(1.73)

= 1599 s (1.74)

= 27 min (1.75)

W kolejnym kroku obliczamy zalewanie wykopu wod ↪a czyli wzrost ZWG z w1 = -6,00 m do w2 = - 4,00 m.Obliczenie jest analogiczne jedynie czynnik e

1+e jest juz niepotrzebny a zatem

t2 = t1 − ln

(H2

H1

)A

2 k

noczeknkanal

(1.76)

(1.77)

co podstawiaj ↪ac

t1 = 1599 s (1.78)

H1 = 4, 00 m (1.79)

H2 = 2, 00 m (1.80)


daje

t2 = 1599− ln

(2, 00

4, 00

)

· 10, 00 · 1, 00

2 · 0, 001· 6

3(1.81)

= 1599 + 6931 (1.82)

= 8530 s (1.83)

= 142 min (1.84)

Zadanie

Oblicz cisnienia dziaÃlaj ↪acego od wody na kraw ↪edzie konstrukcji wodnej z rys. 1.15. Jaka ilosc wody b ↪edzie filtrowacpod 1mb jazu jesli k = 10−4m/s.

Rys. 1.15: Przekroj przez jaz.

Rozwi ↪azanie:

Rys. 1.16: Siatka hydrauliczna z roznic ↪a potencjaÃlu podzielon ↪a na 8 rownych cz ↪esci.


Z roznicy mi ↪edzy interpolowan ↪a wysokosci ↪a naporu a wysokosci ↪a poÃlozenia otrzymujemy

u0 = 10 · (7, 00− 0 · 0, 25− 5, 00) = 20, 00kN

m2(1.85)

u1 = 10 · (7, 00− 1 · 0, 25− 3, 80) = 29, 50kN

m2(1.86)

u2 = 10 · (7, 00− 2 · 0, 25− 3, 00) = 35, 00kN

m2(1.87)

u3 = 10 · (7, 00− 3 · 0, 25− 3, 00) = 32, 50kN

m2(1.88)

u4 = 10 · (7, 00− 4 · 0, 25− 3, 00) = 30, 00kN

m2(1.89)

u5 = 10 · (7, 00− 5 · 0, 25− 3, 00) = 27, 50kN

m2(1.90)

u6 = 10 · (7, 00− 6 · 0, 25− 3, 00) = 25, 00kN

m2(1.91)

u7 = 10 · (7, 00− 7 · 0, 25− 3, 20) = 20, 50kN

m2(1.92)

u8 = 10 · (7, 00− 8 · 0, 25− 4, 00) = 10, 00kN

m2(1.93)

co zostaÃlo przedstawione graficznie na rys. 1.17.

Rys. 1.17: Cisnienia wody pod jazem.

Zadanie

Z nieskonczenie dÃlugiego zbocza o nachyleniu β wys ↪acza sie woda. Kierunek filtracji jest nachylony pod k ↪atemβ/2. Ci ↪ezar obj ↪etosciowy gruntu z uwzgl ↪ednieniem wyporu γ′ i ci ↪ezar wody s ↪a znane. Oblicz maksymalne nachyle-nie skarpy jesli wytrzymaÃlosc gruntu na scinanie okreslona jest przez φ (spojnosc c = 0). Statecznosc skarpy zprzepÃlywem mozna rozpatrywac jako zdolnosc gruntu do przeniesienia siÃl zsuwaj ↪acych dziaÃlaj ↪acych na przekrojrownolegÃly do naziomu, rys. 1.18.

β

β/2

j = γ iw

σ

τ

γ '''τ/σ < tan φ

Rys. 1.18: Skarpa z wys ↪aczaj ↪ac ↪a si ↪e wod ↪a


Zadanie

Rozwi ↪az analogiczny problem jak w zadaniu powyzej przy zaÃlozeniu, ze woda filtruje rownolegle do zbocza (czylinie wys ↪acza si ↪e).

Odpowiedz: Maksymalne nachylenie skarpy wynosi tanβ =γ′ tanφ

γ′ + γw

Zadanie

Ze studni zupeÃlnej o promieniu r i wysokosci H m pompujemy wod ↪e ze staÃl ↪a wydajnosci ↪a Q Jak b ↪edzie zmieniacsi ↪e poziom wody hf (t) =? w studni dla t > t0 jesli zasi ↪eg leja depresyjnego powi ↪eksza si ↪e zgodnie z R = 3

√

Hkt/n.Porowatosc n i wspoÃlczynnik filtracji gruntu s ↪a dane.

Zadanie

Oblicz napr ↪ezenie efektywne i caÃlkowite w srodku kapilarnie podci ↪agni ↪etego sÃlupa wody o wysokosci 2 m (tj. nawysokosci 1 m nad ZWG). Dane γ′ = 10 oraz γr = 20kN/m3. Nad poziomem podciagania kapilarnego przyj ↪ac 3metrow ↪a warstw ↪e gruntu o ci ↪ezarze γ = 20kN/m3. Dodatkowo policz napr ↪ezenie efektywne i caÃlkowite na gÃl ↪ebokosci1 m pod ZWG. W obu przypadkach przyj ↪ac dla napr ↪ezen efektywnych wspoÃlczynnik parcia spoczynkowego K0 =0.5.

Zadanie

Okreslic wspoÃlczynnik k przepuszczalnosci gruntu na podstawie wynikow badania filtracji w aparacie o zmiennymnaporze wody. W chwili t0 = 0 rozpocz ↪ecia badania roznica naporow przed i za probk ↪a wynosiÃla h = 60cm aw chwili t1 = 30 sek h = 10cm. Wysokosc probki (=dÃlugosc drogi filtracji) L = 2cm, powierzchnia przekrojuprobki A = 36 cm2, powierzchnia przekroju pipety a = 2 cm2. W szczegolnosci skontrolowac poprawnosc rownania

a[cm ]

A[cm ]

L

h 2

2

Rys. 1.19: Aparat o zmiennym naporze do badania filtracji gruntow maÃlo przepuszczalnych. (Jesli wartosci k s ↪aci ↪agle zbyt maÃle i sÃlup wody w pipecie praktycznie stoi wspoÃlczynnik filtracji wyznacza si ↪e na podstawie przebiegukonsolidacji gruntu.)

opisuj ↪acego przebieg badaniak ·Al · a h(t) = −dh(t)

dt

i je rozwi ↪azac, tj. okreslic niewiadom ↪a funkcj ↪e h(t), przyjmuj ↪ac stosowne warunki pocz ↪atkowe i koncowe.

Zadanie

k

k

kkk

hhh

1 1

2 2

3 3

v

h

Rys. 1.20: WspoÃlczynnik filtracji poziomej i pionowej gruntu uwarstwionego


Dany jest blok gruntu o wymiarach 1x1x1 m wyci ↪ety z uwarstwionego poziomo gruntu. Blok skÃlada si ↪e z 3 warstwo grubosciach h1 = 1, h2 = 2, h3 = 3m (h1 + h2 + h3 = 6m) posiadaj ↪acych rozne wspoÃlczynniki przepuszczalnoscik1, k2, k3. Obliczyc zast ↪epczy wspoÃlczynnik filtracji dla tego pakietu trzech warstw:a) dla przepÃlywu pionowego, prostopadle do pÃlaszczyzn kontaku kvb) dla przepÃlywu poziomego rownolegÃlego do powierzchni styku khPrzyj ↪ac realistyczne wartosci przykÃladowe k dla piasku, gliny i pyÃlu podstawic do wyprowadzonych wzorow iporownac wyniki.

Zadanie

Obliczyc ilosc wody filtruj ↪acej pod zpor ↪a na rys. 1.21. Dlaczego w obr ↪ebie zainiektowanej przegrody siatka nieskÃlada si ↪e z kwadratow lecz z 35 w ↪askich prostok ↪atow? (Odpowiedz: ”bo tam jest mniejszy wsp. k” nie jestprecyzyjna.) Po co zaprojektowano dren po stronie odpowietrznej zapory?

drenrd

zen

iniektowana przegroda

uszczelnienie

Rys. 1.21: Siatka filtracji pod zapor ↪a, rys. wg. W.Fellin’a IGT Innsbruck.

Zadanie

Wymagany wspoÃlczynik bezpieczenstwa na przebicie hydrauliczne wynosi Fmax = γ′/j = 2. Sprawdz czy dlasytuacji jak na rys. 1.22 warunek ten jest speÃlniony jesli ∆H = 5 m a γ ′ = 10 kN/m3. Nalezy okreslic usrednion ↪asiÃl ↪e filtracji j z zaznaczonego obszaru. W tym celu prosz ↪e okreslic spadki hydrauliczne i na odcinkach A’A i B’B.i wzi ↪ac ich sredni ↪a. Spadek ∆H zostaÃl podzielony na 10 rownych cz ↪esci a na rys. 1.22 przedstawiono jedynie 5ostatnich linii ekwipotencjalnych.

zwg

B

Rys. 1.22: Czy filtracja pod sciank ↪a szczeln ↪a spowoduje przebicie hydrauliczne?

Zadanie

Scianki szczelne wbito pod poziom dna rzeki na gÃl ↪ebokosc 6 m aby zredukowac siÃly filtracji pod jazem. Obliczcisnienia wody w punktach A i B i sprawdz czy na odcinku BK moze powstac kurzawka, rys. 1.23. Przyjmijv = const na drodze filtracji PABK


+10

+2

-2

-6

0 P K

A

B

AB=7m

Rys. 1.23: Scianka szczelna przed jazem wydÃluza drog ↪e filtracji

Zadanie

Oblicz cisnienie przy ostrzu scianki szczelnej rozdzielaj ↪acej wod ↪e wysok ↪a (+11m) po lewej i wod ↪e nisk ↪a (+1m) poprawej. Poziom dna po obu stronach jest rozny i wynosi (±0 m) po lewej i (-2 m) po prawej stronie. Ponizej

poziomu (-6m) zalega 10 krotnie mniej przepuszczalna warstwa. Scianka jest wbita w t ↪e w-w ↪e na 0,5 m tj. rz ↪ednaostrza wynosi (-6,5 m). Sprawdz mozliwosc wyst ↪apienia kurzawki od strony niskiej wody.

+11

+1

-2

0

0,1k

k-6-6.5

Rys. 1.24: Scianka szczelna

Zadanie

W koron ↪e skarpy na wysokosci (+6 m) wbita jest na gÃl ↪ebokosc 3 m scianka szczelna, rys. 1.25 Zbocze opada podk ↪atem 45◦ do rz ↪ednej (±0 m). Ponizej tej rz ↪ednej zalega poziomo horyzont gruntu nieprzepuszczalnego ( k = 0). Poprawej stronie scianki do poziomu jej wbicia (+ 6m) stoi woda niska. Po lewej stronie scianki stoi woda spı ↪etrzonado rz ↪ednej (+9m). Naszkicuj siatk ↪e filtracji i oszacuj ile litrow wody przepÃlynie pod 1 mb scianki w ci ↪agu 1 sekundyprzyjmuj ↪ac k = 10−3 m/s.

+6 +6

+9

0

k=10 m/s

k=0

-3

Rys. 1.25: Filtracja w skarpie pod sciank ↪a

Zadanie

Narysuj siatk ↪e hydrauliczn ↪a i oblicz wydatek z 1mb przy roznicy naporu h = 5m. wspoÃlczynnik k = 10−3m/s.Szerokosc wlotu do szczeliny wynosi 1 m. Rys.1.26.


1

1

1

1

h

korek z piasku

Rys. 1.26: Narysuj siatk ↪e hydrauliczn ↪a i oblicz wydatek

Zadanie

Narysuj siatk ↪e hydrauliczn ↪a i oblicz ile wody przepÃlynie pod 1mb sciany o grubosci 1m wbitej na g ↪ebokosc 2m.WspoÃlczynnik k = 10−3 m/s. Rys. 1.27.

Rys. 1.27: Narysuj siatk ↪e hydrauliczn ↪a i obliczy wydatek

Zadanie

ZWG lezy 10 m pod naziomem a wysokosc podci ↪agania kapilarnego w ile wynosi 5 m. Ci ↪ezar obj ↪etosciowy gruntudo gÃl ↪ebokosci 5 m (licz ↪ac od naziomu) wynosi γ = 20 kN/m3 a ci ↪ezar obj ↪etosciowy gruntu z uwzgl ↪ednieniem wyporuwynosi γ′ = 10 kN/m3. Dla punktow A i B na gÃl ↪ebokosciach 8 m i 15 m oblicz:

• napr ↪ezenie efektywne pionowe σ′v i napr ↪ezenie efektywne boczne σ′h przyjmuj ↪ac wsp. parcia spoczynkowegoK0 = 1− sinφ = 1

2 .

• cisnienie wody u

• napr ↪ezenie caÃlkowite pionowe σv i napr ↪ezenie caÃlkowite boczne σh

Na podstawie obliczonych wartosci narysuj koÃla Mohra dla napr. caÃlkowitego i efektywnego. Zaznacz bieguny.

Zadanie

Ponizej ZWG wyci ↪eto probk ↪e gruntu cylindrem stalowym, wyci ↪agni ↪eto j ↪a na powierzchni ↪e, wycisni ↪eto z cylindra,tak, ze staÃla niepodparta. Na takiej niepodpartej z boku probce mozna byÃlo postawic obci ↪azenie pionowe 200kPa, przy czym obci ↪azenie to przykÃladane byÃlo bardzo wolno, tak, zeby ew. wyciskana woda zd ↪azyÃla odparowaca podcisnienie kapilarne nie zmniejszyÃlo si ↪e. Jesli wiadomo ze grunt ma parametry wytrzymaÃlosciowe φ = 30◦ ic′ = 0 wykaz, ze wysokosc podci ↪agania kapilarnego tego gruntu wynosi 10 m.

Wskazowka: Jakie jest cisnienie wody i napr ↪ezenie efektywne i naprezenie caÃlkowite w niepodpartej probce tuzprzed przyÃlozeniem obci ↪azenia pionowego (ci ↪ezar wÃlasny probki mozna pomin ↪ac).

Zadanie

Oblicz potrzebny wydatek studni zupeÃlnej wywierconej w srodku kwadratowego wykopu 14x14x5 m aby obnizycpierwotny poziom zwg z 2m ppt na gÃl ↪ebokosc 1m ponizej narozy wykopu tj. 6m ppt w ci ↪agu 3 dni. Dane:H = 15m, k = 10−3m/s R = 3

√

Hkt/n, n = 0.2, rys. 1.28. Sprawdz jak ↪a wysokosc hf b ↪edzie miaÃla wowczaswoda w pojedynczej studni o promieniu r = 10cm wywierconej w srodku wykopu. Sprawdzic czy nie naruszony

jest warunek i < imax =1

15√k[m/s]

30 1.5. NAPR ↪EZENIA W OSRODKU GRUNTOWYMZadania z Mechaniki Gruntow, A.Niemunis, PG

H

pierwotne ZWG wykop

Rys. 1.28: Oblicz potrzebny wydatek pompy.

Zadanie

Ile wody dopÃlynie do rowu ’zupeÃlnego’ o dÃlugosci 10 m. Konce rowu potraktowac jako poÃlowki studni os-iowosymetrycznej a sam row jako 10 metrowy odcinek wykopu o nieskonczonej dÃlugosci. Dane: H = 15m,k = 10−3m/s, hf = 5 m. Zasi ↪eg depresji wokoÃl koncow rowu wynosi R = 3000s[m/s]

√k[m/s], a wzdÃluz rowu

L = s/0.005, gdzie s = H − hf . Szerokosc rowu przyj ↪ac = 1 m.Wskazowka: Rozszerzyc zaÃlozenie Dupuit dla zagadnienia pÃlaskiego. Ilosc wody przepÃlywaj ↪aca przez przekroj 1mb oddalony o x0 od rowu wynosi

q = kh(x0)dh

dx

∣∣∣∣x=x0

(1.94)

gdzie h jest wysokosci ↪a ZWG mierzon ↪a od stropu w-wy nieprzepuszczalnej.

1.5 Napr ↪ezenia w osrodku gruntowym


W gruncie zadowalamy si ↪e rozwi ↪azaniami b. przyblizonymi z bÃl ↪edami nierzadko rzedu kilkudziesi ↪eciu procentniedopuszczalnymi np. dla stali.

• skomplikowane i trudne do wyznaczenia parametry materiaÃlowe: Grunt jest materiaÃlem silnie nieliniowym(zaleznosc σ − ε) st ↪ad trudnosci.

• skomplikowany rozkÃlad przestrzenny parametrow. Trudnosci opisu wynikaj ↪a rowniez z faktu cz ↪esciowo niez-nanej struktury geologicznej

• nieznane parametry stanu gruntu (stan napr ↪ezenia i stan zag ↪eszczenia) wpÃlyw historii geologicznej (np.prekonsolidacja = obci ↪azenie pionowe mog ↪ace spowodowac znaczne napr ↪ezenia poziome do dzisiaj zablokowane).

Popularne uproszczenia:1) teoria liniowej spr ↪ezystosci do obliczenia osiadan2) teoria plastycznosci do obl. nosnosci granicznejlub skomplikowane geometrycznie i materiaÃlowo modele w rozwi ↪azaniach MES’em.

1. PoÃlprzestrzen gruntowa o nieskonczonej gÃl ↪ebokosci, pÃlaszczyzna graniczna

2. Zasada superpozycji

RozkÃlad napr ↪ezen w gruncie od obci ↪azenia siÃl ↪a skupion ↪a

SkÃladowa pionowa napr ↪ezenia od pionowej siÃly skupionej Q ma wartosc

σzz =3Qz3

2πR5(1.95)

Powyzszy wzor Boussinesq’a mozemy stosowac takze do obci ↪azenia rozÃlozonego o wyiarach B × L gdzie (B < L)poczynaj ↪ac od odlegÃlosci R przekraczaj ↪acej dwukrotnie wi ↪ekszy wymiar obci ↪azenia w planie tj. dla R > 2L


Wszystkie skÃladowe w ukÃladzie walcowym i przy skrotach: ξ = r/R i ζ = z/R maj ↪a wartosci

σzz

σrr

σθθ

σrz

=Q

2πR2

3ζ3

3ζξ2 − 1−2ν1+ζ

(1− 2ν)( 11+ζ )− ζ

3ζ2ξ

(1.96)

gdzie ν wsp. Poissona.

R r

x

y

z

ψβ

σrr σ θθ

σzz

σ rz

Q

Rys. 1.29: Napr ↪ezenia od siÃly skupionej Q

Wyprowadzenie wzorow dla prostok ↪atnego ukÃladu wspoÃlrz ↪ednych nie jest natychmiastowe (przez skÃladowe kon-trawariantne, i fizyczne we wspoÃlrzednych krzywoliniowych) i dlatego podajemy tylko gotowy wynik Niech c = cosψi s = sinψ, gdzie ψ jest poziomo mierzonym k ↪atem od osi x, rys. 1.29, wowczas

Txx = c2Trr + s2Tθθ (1.97)

Txy = cs(Trr − Tθθ) (1.98)

Tyy = s2Trr + c2Tθθ (1.99)

Txz = cTrz (1.100)

Tyz = sTrz (1.101)

Tzz = Tzz (1.102)

(1.103)

RozkÃlad napr ↪ezen w gruncie od obci ↪azenia liniowego

Napr ↪ezenie w poÃlprzestrzeni spr ↪ezystej od obci ↪azenia liniowego p rozci ↪agni ↪etego wzdÃluz osi y (os z skierowana jestpionowo w doÃl). UkÃlad jest jednorodny w kier. y czyli PSO w pÃlaszczyznie xz. WspoÃlrz ↪edne kartezjanskie

σzz

σxz

σxx

σyy

=2p

πR

c3

c2s

cs2

νc

(1.104)

gdzie ν to wsp. Poissona, c = z/R = cosβ i s = x/R = sinβ PozostaÃle skÃladowe w PSO s ↪a zawsze zerowe tj.σxy = σyz = 0

RozkÃlad napr ↪ezen w gruncie od obci ↪azenia rozÃlozonego prostok ↪atnego

Do obliczania skÃladowej pionowej σz napr ↪ezenia od obci ↪azenia powierzchniowego q przyÃlozonego na gÃl ↪ebokosciod ktorej startuje rz ↪edna z za gÃl ↪ebokosci z pod poziomem obci ↪azenia jest liczone za pomoc ↪a stabelaryzowanychwspoÃlczynnikow zaniku napr ↪ezen η = σz/q. Zanik napr ↪ezenia z gÃl ↪ebokosci ↪a z zalezy od mniejszego wymiaru B(w planie) prostok ↪ata obci ↪azenia i od jego ksztaÃltu L/B. W normie PN-81/B-03020 znajdziemy diagramy typuη = η( LB ,

zB ). W przyblizeniu (pomijaj ↪ac zaleznosc η od L/B) mozna przyj ↪ac liniowy zanik η od wartosci η = 1

dla z/B = 0 do η = 0 dla z/B = 4

32 1.6. PARCIE I ODPOR GRUNTUZadania z Mechaniki Gruntow, A.Niemunis, PG

R

x

y

z

σzz

σxx

σyy

σzx

β

p

Rys. 1.30: Napr ↪ezenia od obci ↪azenia liniowego p

Praktycznie wazny jest wspoÃlczynnik zaniku ηn( LB ,zB ) dla napr ↪ezen pod naroznikiem fundamentu wiotkiego (w

przyblizeniu ηn = 14 dla z/B = 0 do ηn = 0 dla z/B = 4). Ponadto w literaturze mozna znalezc inne wspoÃlczynniki

zaniku, np. wspoÃlczynnik ηs(LB ,

zB ) dla sredniego napr ↪ezenia pionowego pod fundamentem sztywnym, wspoÃlczynniki

dla obci ↪azenia trojkatnie rozÃlozonego itd.

1.5.2 Zadania

Zadanie

Z zasady superpozycji napr ↪ezen obliczyc napr ↪ezenie na gÃl ↪ebokosci z pod kominem K od prostok ↪atnego obci ↪azeniaq = 70kPa rozÃlozonego na prostok ↪acie L = 20m B = 10m. Komin znajduje si ↪e w odlegÃlosci

√42 + 22 m od

naroznika prostok ↪ata na przedÃluzeniu jego przek ↪atnej (tj. poza prostok ↪atem).

Zadanie

Obok starego komina o srednicy fundamentu d = 4m posadowionego na gÃl ↪ebokosci -2 m pod powierzchni ↪a terenuplanowany jest nowy komin o wadze Q = 6000 kN. PodÃloze jest praktycznie niescisliwe z wyj ↪atkiem wartwy iÃluna gÃl ↪ebokosci od -6 do -8 m. IÃl ma edometryczny moduÃl M0 = 30 Mpa. Oblicz wzorem Boussinesq’a napr ↪ezeniadodatkowe pod starym kominem i jego przechyÃlk ↪e w wyniku scisni ↪ecia warstwy iÃlu jesli nowy komin ma stan ↪acrowniez na gÃl ↪ebokosci -2 m a odlegÃlosci od srodka nowego komina do blizszej kraw ↪edzi starego wynosi 4m.

1.6 Parcie i odpor gruntu


Do uzupelnienia w przyszlosci

Parcie spoczynkowe

Stan spoczynku jest punktem wyjsciowym wielu obliczen geotechnicznych. Stan napr ↪ezenia w gruntach normalnieskonsolidowanych okresla si ↪e wg.

σ′v = γz (1.105)

σ′h = K0σ′

v (1.106)

W obliczeniu parcia spoczynkowego nie uwgl ↪ednia si ↪e spojnosci. W poÃlempirycznym we wzorze Jaky’ego K0 =1− sinφ φ jest wartosci ↪a resztkowego k ↪ata tarcia wewn ↪etrznego zmierzon ↪a w warunkach z drenazem.

Parcie spoczynkowe gruntu normalinie skonsolidowanego i nasyconego wod ↪a i bez mozliwosci jej odpÃlywu dla analizyw napr ↪ezeniach caÃlkowitych przyjmuje si ↪e wartosc szacunkow ↪a

σhσv

= 0, 85 (1.107)

co odpowiada w przyblizeniu 0, 85 ≈ (K0γ′ + 1 · γw)/γ. Dla gruntow prekonsolidowanych z OCR=σp/(γz) > 1

napr ↪ezenia boczne mog ↪a nawet przewyzszyc pionowe:

σ′hσ′v

= OCR ·K0 − (OCR− 1) ·KU gdzie KU =ν

1− ν (1.108)


Rys. 1.31: Definicja wspoÃlczynnika K0 = σ11/(γz) dla nachylonego naziomu.

a wspoÃlczynnik Poissona dla gruntow wynosi ok. ν = 0, 2.

Parcie spoczynkowe przy nachylonym naziomie |ε| < φ np. dla nieskonczenie dÃlugiego zbocza oblicza si ↪e wg wzoru

K0 = σ11/(γz) = (1− sinφ) + [cosφ− (1− sinφ)]|ε|φ. (1.109)

ktory wyraza iterpolacj ↪e mi ↪edzy wartosciami 1 − sinφ dla |ε| = 0 a cosφ dla |ε| = φ. Wartosc cosφ wynika zwarunku stanu granicznego1.

Jesli sciana porusza si ↪e w kierunku od gruntu parcie spoczynkowe E0 stopniowo spada do wartosci parcia czynnegoEa przy przemieszczeniu rz ↪edu 0,3% wysokosci sciany. Jesli sciana porusza si ↪e w kierunku do gruntu wowczasparcie spoczynkowe E0 rosnie do wartosci granicznego odporu Ea przy przemieszczeniu ok. 3% wysokosci sciany.W przypadku scian oporowych uwzgl ↪ednia si ↪e na ogoÃl tylko poÃlow ↪e teoretycznej wartosci odporu ze wzgl ↪edu nafakt ze tak duze przemieszczenia konieczne do mobilizacji peÃlnego odporu s ↪a praktycznie niedopuszczalne.

ZaÃlozenia:

• pionowa (β = 0) i gÃladka (δ = 0) sciana

• poziomy (ε = 0) naziom o skoku wysokosci H

• Parametry gruntu: γ, c, φ

Zebranie siÃl:

• Ci ↪ezar klina odÃlamu (nachylonego do poziomu pod k ↪atem ηa = 45◦+φ/2 , ktory wynika z rozwi ↪azania zadaniana maksimum funkcji Ea(η)) wynosi

G =1

2γH ·H

√

Ka (1.111)

gdzie√Ka = tan(45◦ − φ/2). W przypadku gruntow uwarstwionych nalezy policzyc G ci ↪ezar klina.

• Obci ↪azenie powierzchniowe pionowe klina odÃlamu Qv. Jesli jest to obci ↪azenia pionowe qv rownomiernierozÃlozone na naziomie to

Qv = H√

Kaq (1.112)

• obci ↪azenie siÃl ↪a filtracji J = jA, gdzie A oznacz obj ↪etosc (wewn ↪atrz klina odÃlamu), w ktorym filtruje woda.Wektor j jest sredni ↪a siÃl ↪a filtracji w A. Wypadkowy wektor siÃly filtracji ma skÃladowe J = {Jh, Jv}.

• obci ↪azenie siÃlami poziomymi Qh (np. od trz ↪esienia ziemi, od zakotwien, od skÃladowej poziomej qh obci ↪azenianaziomu, itp.) dziaÃlaj ↪acych na klin odÃlamu.

1T↪e ostatni

↪a wartosc mozna wyprowadzic, traktuj

↪ac σ11 jako skÃladow

↪a napr

↪ezenia dziaÃlaj

↪ac

↪a rownolegle do nachylonego naziomu.

Z rownan rownowagi Naviera

3∑

j=1

∂σij/∂xj − fi = 0 (1.110)

w pÃlaskim stanie odksztaÃlcenia w pÃlaszczyznie x1, x2 i przy zaÃlozeniu jednorodnosci pola napr↪ezenia w kierunku x1 i x3 (tj. ∂t/∂xi = 0

dla i = 1,3) mozna okreslic stosunek σ12/σ22 a nast↪epnie za pomoc

↪a koÃla Mohra (okreslic biegun) wyznaczyc kierunki gÃlowne i stosunek

σ11/γz

34 1.6. PARCIE I ODPOR GRUNTUZadania z Mechaniki Gruntow, A.Niemunis, PG

Wypadkow ↪a parcia czynnego Ea na mur oporowy liczymy ze wzoru

Ea = (G+Qv + Jv) ·√

Ka +Qh + Jh − cH√

Ka (niepotrzebne skreslic) (1.113)

wynikaj ↪acego z rownowagi siÃl dziaÃlaj ↪acych na klin odÃlamu. Jesli warunki α = δ = η = 0 nie s ↪a speÃlnione wzorna Ka staje si ↪e bardziej skomplikowany, patrz PN-83/B-03010. Jesli ci ↪ezar gruntu i opor tarcia nie s ↪a siÃlamidominuj ↪acymi wowczs Ka nalezy zrewidowac (rozwi ↪azac zadanie na maksimum funkcji Ea(η)) najniekorzystniejszyk ↪at nachylenia klina odÃlamu.

Wypdkow ↪a odporu liczymy analogicznie zast ↪epuj ↪ac wsz ↪edzie (tez w obliczeniu G = 12γ · H · H

√Kp) klin parcia

klinem odporu o nachyleniu do poziomu ηp = 45◦ − φ/2 czyli w miesce√Ka wstawiaj ↪ac

√Kp = tan(45◦ + φ/2)

Wypadkowa odporu wynosi

Ep = (G+Qv + Jv) ·√

Kp +Qh + Jh + cH√

Kp (niepotrzebne skreslic) (1.114)

W gruntach uwarstwionych srednie wartosci parametrow, zarowno dla parcia jak i dla odporu, nalezy obilczac jako

γ =

∑γiFi

∑Fi

(1.115)

c =

∑ciLi

∑Li

(1.116)

φ =

∑φiNi

∑Ni

(1.117)

zgodnie z rys. 1.32.1

2

3L

L

L

F

F

FFF

1FF

2FF

333FFFFFFF33

22η N

N

N1

2

3

H

Rys. 1.32: Usrednienie parametrow gruntu do obliczenia parcia i odporu

RozkÃlad ea(z) parcia (odporu ep(z)) na wysokosci sciany z zalezy od sposobu jej podparcia tj. jakie s ↪a oczekiwaneprzemieszczenia sciany. Od tego rozkÃladu zalezy rowniez poÃlozenie wypadkowej parcia/odporu. Przy przesuwie zobrotem wokoÃl podstawy mozna parcie od G rozÃlozyc w formie trojk ↪ata a od Qv w formie prostok ↪ata. Oczywiscie∫H

0ea/p(z)dz = Ea/p.

W przypadku szybko odkopanej sciany oporowej dla parcia gruntu spoistego mozna zaÃlozyc warunki bez drenazui rozpatrywac parcie w napr ↪ezeniach caÃlkowitych z wykorzystaniem parametrow cu 6= 0 i φu = 0. Klin odÃlamu mawowczas k ↪at η = 45◦, a parcie jednostkowe i caÃlkowite (jesli pomin ↪ac obci ↪azenia poziome w zasi ↪egu klina odÃlamu)wynosi

ea = σh = σv − 2cu (1.118)

Ea = Qv +1

2γH2 − 2cuH (1.119)

Dla odporu liczymy w analogicznych warunkach

ea = σh = σv + 21

4cu, Ea = Qv +

1

2γH2 + 2

1

4cuH (1.120)

przy czym 4-krotnie zredukowana wartosc spojnosci cu przy odporze wznika z silnej anizotropii i z duzych przemieszczenpotrzebnych do zmobilizowania peÃlnego odporu, praktycznie niedopuszczalnych przy scianach oporowych.

Po sprawdzeniu statecznosci krotkotrwaÃlej nalezy w przypadku odkopanej sciany oporowej pod dziaÃlaniem parciagruntu spoistego sprawdzic statecznosc dÃlugotrwaÃl ↪a licz ↪ac parcie od napr ↪ezen efektywnych i od wody a nast ↪epnieje dodaj ↪ac

Ea =√

Ka(Qv +1

2γ′√

KaH2)− 2

√

Kac′H +

1

2γwH

2w (1.121)

gdzie Hw jest wysokosci ↪a od podstawy muru do ZWG.

Parcie od wody na scianke szczeln ↪a przyjmuje si ↪e w sposob uproszczony bez uwzgl ↪ednienia spadku cisnienia nadrodze filtracji ale i bez zwi ↪ekszenia ci ↪ezaru gruntu w wyniku pionowych siÃl filtracji. BÃl ↪edy popeÃlniane w wynikuobu tych uproszczen w przyblizeniu znosz ↪a si ↪e.


1.6.2 Zadania

1.6.3 Zadanie

Wysokosc podci ↪agania kapilarnego w gruncie wynosi 5 m a jego parametry wytrzymaÃlosciowe maj ↪a wartosci φ′ =30◦ i c′ = 0. Jak gÃl ↪eboki wykop o pionowych scianach moze stac niepodparty w warunkach dobrej pogodyprzyjmuj ↪ac γ = 20kN/m3. Jaki jest powod osuni ↪ecia si ↪e sciany niepodpartego wykopu po ulewnym deszczu?

Wskazowka: skorzystaj z warunku Ea = 0.

Zadanie

Oblicz wypadkowe minimalne parcie czynne poziome dla gruntu spoistego nasyconego wod ↪a (Sr = 1) przy szybkimodkopaniu scianki szczelnej o wysokosci H = 5m. Parametry gruntu ( dla napr. caÃlkowitych ) φu = 0◦, cu = 20kPa,γr = 20kN/m3. Wskazowka: Parametry caÃlkowite (’u ’ = niezdrenowane) dotycz ↪a mieszaniny grunt - wodatraktowanej jako jedna substancja. Poziom wody gruntowej przyj ↪ac na poziome terenu.

Zadanie

Oblicz parcie czynne (wypadkow ↪a) dziaÃlaj ↪ace na scian ↪e oporow ↪a szczelinow ↪a wprowadzon ↪a w grunt na gÃl ↪ebokoscH = 5m w grunt spoisty o parametrach efektywnych(!) φ′ = 30◦, c′ = 20 kPa, ci ↪ezarach γ = γr = 20kN/m3

γ′ = 10kN/m3 a nast ↪epnie odkopan ↪a. Uwzgl ↪ednic cisnienie wody wyst ↪epuj ↪acej juz 2m pod poziomem gornegonaziomu i wpÃlyw obci ↪azenia liniowego P = 100kN/mb lez ↪acego w zasi ↪egu klina odÃlamu. ZaÃlozyc ze sciana jestidealnie gÃladka (δ = 0). Przyj ↪ac sredni ci ↪ezar gruntu wg

γ =∑

γiFi/∑

Fi (1.122)

Zadanie

Okresl graficznie graniczn ↪a siÃl ↪e odporu przed pÃlyt ↪a kotwi ↪ac ↪a zakÃladaj ↪ac koÃlow ↪a lini ↪e poslizgu przed pÃlyt ↪a wg rysunku1.33. Parametry gruntu: φ′ = 30◦, c′ = 20 kPa, γ = 20kN/m3

Wskazowka: Zacznij od oszacowania ci ↪ezaru G bryÃly odporu i poÃlozenia jej srodka ci ↪ezkosci. Nast ↪epnie oszacujsiÃl ↪e od spojnosci C i promien jej dziaÃlania. Suma tych siÃl i nieznanej siÃly F ma dac reakcj ↪e styczn ↪a do koÃla tarciao promieniu r = R sinφ.

Rys. 1.33: odpor przed pÃlyt ↪a

Zadanie

Obliczyc wypadkow ↪a parcia czynnego i parcia spoczynkowego dziaÃlaj ↪acego na pionow ↪a (β = 0), gÃladk ↪a (δ = 0)scian ↪e muru oporowego o wysokosci h = 5, 0 m. Gorny naziom jest poziomy (ε = 0) i obci ↪azony rownomiernieprzez q = 10 kPa. Uwarstwienie podano na rys. 1.34.

36 1.7. OBLICZENIA OSIADANZadania z Mechaniki Gruntow, A.Niemunis, PG

Rys. 1.34: Parcie gruntu na gÃladk ↪a scian ↪e oporow ↪a. Parametry poszczegolnych warstw: Pd = Piasek drobny:γ = 17 kN/m3, φ = 30◦; G = Glina twardoplastyczna (prekonsolidowana): γ = 20 kN/m3, φ = 17◦, c′ = 20 kPa.

Zadanie

Obliczyc parcie i odpor gruntu dziaÃlaj ↪acy na nachylon ↪a β = 10◦, szorstk ↪a δa = 12φ, δp = − 1

2φ scian ↪e o wysokosci

h = 4m. Parametry gruntu: γ = 20 kN/m3, φ = 35◦, ε = −10◦

Uwagi:

• wysokosc zast ↪epcz ↪a przyj ↪ac jako: hz =qγ

cos ε cosβcos(β + ε)

• wspoÃlczynniki parcia i odporu przyj ↪ac wg PN-83/B-03010.

• przy odporze pami ↪etac o wspoÃlczynniku korekcyjnym wg PN-83/B-03010 albo liczyc Kp wg tablic Caquot’a-Kerisel’a np. z ksi ↪azki Z.Glazera.

Zadanie

Oblicz wypadkowe minimalne parcie czynne poziome dla gruntu spoistego nasyconego wod ↪a (Sr = 1) po okresie1 roku po odkopaniu scianki szczelnej o wysokosci H = 5m. (tj po wyrownaniu si ↪e cisnienia wody do do wartoscihydrostatycznej). Parametry gruntu ( dla napr. efektywnych ) φ′ = 30◦, c′ = 0 kPa,γr = 20kN/m3, γ′ = γw = 10.Parametry efektywne dotycz ↪a samego szkieletu gruntowego. Parcie hydrostatyczne od wody gruntowej nalezypoliczyc osobno i dodac do wypadkowej parcia gruntu. Poziom wody gruntowej przyj ↪ac na poziome terenu.

Zadanie

Okresl graficznie graniczn ↪a siÃl ↪e odporu przed pÃlyt ↪a kotwi ↪ac ↪a zakÃladaj ↪a c koÃlow ↪a lini ↪e poslizgu przed pÃlyt ↪a wgrysunku 1.33. Parametry gruntu: φ′ = 30◦, c′ = 20 kPa, γ = 20kN/m3

1.7 Obliczenia osiadan


Metoda odksztaÃlcen jednoosiowych

s =

∫ zK

o

ε(z)dz = s′′ + s′ = λ

∫ zK

o

qwtη(z)

M(z)dz +

∫ zK

o

qdodη(z)

M0(z)dz (1.123)

gdzie qwt to napr ↪ezenie wtorne (doci ↪azenie) do wartosci wczesniej przyÃlozonego obic ↪azenia (dla g. spoistych do σp)a qdod to wartosc obci ↪azenia przekraczaj ↪acego wczesniej przyÃlozone czyli przeci ↪azenie. (. . . )

Metoda odksztaÃlcen trojosiowych

Trzy moduÃly E,M,Es = E/(1− ν2) Osiadanie

s = qBω/Es (1.124)

ω = 1 dla koÃlowego f. wiotkiego jesli osiadania szacujemy pod srodkiem. Sposob obl osiadan t ↪a metod ↪a dla g.uwarstwionych jest w zbiorze Mech. Gr. w Zadaniach Bolt Cichy ... s. 211


1.7.2 Zadania

Zadanie

Rys. 1.35: Osiadanie od obci ↪azenia warstwy torfu. Parametry poszczegolnych warstw: G = Glina twardoplastyczna:γ = 20 kN/m3, Mo = 20 MPa, ν = 0, 35, β = M0/M = 0, 6; T = Torf: γ = 10 kN/m3, M0 = 2 MPa, ν = 0, 3,M = 10, 0MPa ; Pd = Piasek drobny: γ′ = 10 kN/m3, Mo = 80 MPa, ν = 0.3, β = M0/M = 0, 8.

Oblicz osiadanie warstwy torfu przyjmuj ↪ac obci ↪azenie q = 300 kPa rownomiernie rozÃlozone na powierzni fun-damentu o wymiarach L × B zagÃl ↪ebionego na 1 m, rys. 1.35. Porownac cztery obliczenia: fundament szty-wny/wiotki(osiadanie pod srodkiem) i przy zaÃlozeniu ”jednoosiowych/trojosiowych” odksztaÃlcen. Wymiary: B = 2m, L/B = 2. Prosz ↪e napisac od ktorej chwili liczone s ↪a osiadania, jak ↪a wartosc wspoÃlczynnika odpr ↪ezenia λ przyj ↪etodo obliczen i dlaczego.Wskazowki:PrzykÃlady obliczen i materiaÃly pomocnicze (diagramy wzory) wg: ”Mechanika Gruntow w zadaniach” Bolt, Cichy,Topolnicki, Zadroga. Wartosc λ zalezy tego jak dÃlugi czas upÃlyn ↪aÃl od wykonania wykopu do ukonczenia stanusurowego, tu prosz ↪e przyj ↪ac λ = 0.

Zadanie

Dla danych z poprzedniego zadania obliczyc caÃlkowite osiadanie fundamentu tj. uwzgl ↪edniaj ↪ac wszystkie warstwy.Prosz ↪e zaÃlozyc peÃlne odpr ↪ezenie od wykopu (λ = 1) fundament potraktowac jako sztywny a obliczenia przeprowadzicprzy zaÃlozeniu odksztaÃlcen jednoosiowych. Korzystaj ↪ac z normy PN-81/B-03020 oszacowac jak duze b ↪ed ↪a osiadania,ktore wyst ↪api ↪a po zakonczeniu budowy. Czy obliczone osiadanie jest dopuszczalne dla fundamentow typowej haliprzemysÃlowej?

Zadanie

Zbiornik na rop ↪e o srednicy 20 m i wysokosci 20 m posadowiono bezposrednio na 10 metrowej warstwie normalnieskonsolidowanego iÃlu o parametrach Mo = 20MPa i M = 60MPa. Ponizej przyj ↪ac podÃloze nieodksztaÃlcalne (b.zag ↪eszczony zwir). Obliczyc osiadania przy wypeÃlnieniu zbiornika do wysokosci 15 m jesli uprzednio zbiornik byÃlnapeÃlniany jedynie do poziomu 10 m a przez dwa ostatnie lata staÃl pusty. Przyj ↪ac prostoliniowy wykres zanikunapr ↪ezen z η = 1 w poziomie posadowienia i η = 0 na gÃl ↪ebokosci 4B = 80 m. Ze wzgl ↪edu na drobne przewarstwieniaiÃlu warstewkami piasku konsolidacja (osiadanie w czasie) przebiega b. szybko i jej wpÃlyw mozna pomin ↪ac.

Zadanie

PÃlyta fundamentowa 8 m x 12 m w 2 m wykopie zostaÃla obci ↪azona pionowo p = 100 kN/m2 (wÃl ↪acznie z ci ↪ezaramwÃlasnym). Oblicz osiadania.

Poniewaz wykop wykonano w krotkim czasie wspolczynnik odpr ↪ezenia λ = 0 czyli nie trzeba uwzgl ↪edniac odpr ↪ezeniaa nast ↪epnie doci ↪azenia gruntu ci ↪ezarem wykopu. PodÃloze skÃlada si ↪e z gliny o mi ↪azszosci 10 m (Rys. 2a) naniepodatnym podÃlozu. ZWG lezy na gÃl ↪ebokosci -10 m.

38 1.8. NOSNOSC PODÃLOZAZadania z Mechaniki Gruntow, A.Niemunis, PG

Glina

PiasekRys. a) Geometria

1.38

1.42

1.46

1.50

100 200 300

Probka -8 mProbka -4 m

Cc = 0,1Cs = 0,02

σp,-4=100 kPa

σp,-8=200 kPa

e = 1,5γ z = 80 kPa

γ z = 160 kPa e = 1,431

σ [kPa]

e

Rys. b) Wykresy scisliwosci probek

Aby okreslic napr ↪ezenie prekonsolidacji σp pobrano probki NNS z gÃl ↪ebokosci -4 m i -8 m i zbadano je w edometrze.Wyniki przedstawiono na rysunku b.

UÃlatwienie: Wystarczy obliczyc odksztaÃlcenie na podstwie zmiany porowatosci na gÃl ↪ebokosciach -4 m und -8 mjako miarodajne dla dwu 4 m warstw. Napr ↪ezenie dodatkowe ∆σ na gÃl ↪ebokosci policzyc przy liniowym wykresiewsp. zaniku napr ↪ezen do gÃl ↪ebokosci 4B.

Zadanie

Na skutek budowy podziemnego garazu osiadania przylegÃlego zabytkowego budynku spowodowaÃly prawdopodob-nie jego zarysowania. Dla czterech kolejnych scian nosnych odlegÃlych od siebie o 5 m pomierzono osiadania

10, 5, 4, 1 mm. Oblicz promien R =(1 + y′2)3/2

y′′krzywizny ugi ↪ecia/wypi ↪etrzenia. Narysuj, w ktorej cz ↪esci bu-

dynku spodziewasz si ↪e zarysowan i o jakim przebiegu. Porownaj R z wartosciami dopuszczalnymi dla ugi ↪eciaR > 3 km a dla wypi ↪etrzenia R > 4km a wartosc przechylenia porownaj z dopuszczaln ↪a wartosci ↪a tan θ = 0, 3%(dla budynkow do 11 kondygnacji wg PN-81/B-03020).

1.8 Nosnosc podÃloza


Normowy warunek nosnosci fundamentu ma postac

Nr ≤ mQfNB (1.125)

gdzie Nr to pionowa skÃladowa obci ↪azenia obliczeniowego (ze wspoÃlczynnikami obci ↪azenia γf ), m = 0, 9 jestwspoÃlczynnikiem korekcyjnym a QfNB jest nosnosci ↪a obliczon ↪a na podstawie parametrow gruntu: c, φ, γD, γBw ktorych uwzgl ↪ednieniono redukuj ↪ace wspoÃlczynniki materiaÃlowe γm.

QfNB = LB[NC · c · sC · iC +ND · γD ·D · sD · iD +NB · γB · B · sB · iB

](1.126)

gdzie dla obci ↪azenia o nieznacznym nachyleniu Hr/Nr dziaÃlaj ↪acego na niewielkim mimosrodzie eB , eL obliczamy:

L = L− 2eL, B = B − 2eB , D = min. zagÃl ↪ebienie (1.127)

ND = exp(π tanφ)1 + sinφ

1− sinφ, NC = (ND − 1) cotφ, NB =

3

4(ND − 1) tanφ (1.128)

sC = 1 + 0, 3B/L, sD = 1 + 1, 5B/L, sB = 1− 0, 25B/L (1.129)

iB = [1− i]3 , iD = [1− 0, 7i]3, iC = iD −

L(1− iD)

B sinφ(1.130)

gdzie i =Hr

Nr + LBc cotφoznacza obliczeniowe (zredukowane spojnosci ↪a) nachylenie wypadkowej obci ↪azenia.


W przypadku gdy sÃlaby grunt zalega nie bezposrednio pod poziomem posadowienia ale nieco nizej nalezy przeprowadzicdodatkowe sprawdzenie metod ↪a fundamentu zast ↪epczego wg PN-81/B-03020, zaÃl ↪acznik 1. Jesli podÃloze jest uwarst-wione ale brak jest zdecydowanie sÃlabej warstwy mozna usrednic parametry warstw

γB = γ1(1− x2) + γ2x2 (1.131)

c = c1(1− x) + c2x (1.132)

φ = φ1(1− x)2 + γ2(2− x)x, (1.133)

gdzie x = D2/DB wg oznaczen na rys. 1.36 a stosunek DB/B mozna szacowac wg tabeli

φ 20 30 40

DB/B 0,85 1.05 1.4

Rys. 1.36: Fundament na gruncie uwarstwionym.

ZakÃlada si ↪e ze kierunki mimosrodu i nachylenia redukuj ↪a nosnosc niezaleznie. W przypadku skosnej podstawyfundamentu i nachylonoego naziomu nosnosc redukuje si ↪e dodatkowo zgodnie z PN-83/B-03010 zaÃl ↪acznik 2.

1.8.2 Zadania

Zadanie

Norma PN-81/B-03020 dopuszcza sytuacj ↪e, kiedy wypadkowa siÃla obci ↪azaj ↪aca fundament znajduje si ↪e poza rdze-niem podstawy fundamentu, czyli np. eB > B/6. Narysuj dla takiej sytuacji dwuliniowy wykres napr ↪ezen podfundamentem pami ↪etaj ↪ac, ze na styku fundament - grunt nie moze byc napr ↪ezenia rozci ↪agaj ↪acego, czyli nie moznastowowac wzoru σ = N/A+M/W . Oblicz maksymale napr ↪ezenie sciskaj ↪ace pod fundamentem .

Zadanie

Rys. 1.37: Nosnosc podÃloza z warstw ↪a torfu. Parametry poszczegolnych warstw: G= Glina: γ = 20 kN/m3,φu = 0◦, cu = 40kPa φ′ = 25◦, c′ = 0, γm = 1 ± 0, 1; T= Torf: γ = 10 kN/m3, φu = 0◦, cu = 15kPa φ′ = 30◦,c′ = 0, γm = 1± 0, 1; Ps= Piasek sredni: γ = 20 kN/m3, φ = 32◦, γm = 1± 0, 1

Sprawdzic nosnosc fundamentu bezposrednio pod stop ↪a wg PN-81/B-03020 ze srednimi parametrami wytrzymaÃlosciowymipodÃloza. Nast ↪epnie sprawdzic nosnosc fundamentu zast ↪epczego w stropie warstwy torfu metod ↪a podan ↪a w zaÃl ↪acznikuZ 1 do PN-81/B-03020. Obliczenia przeprowadzic dla dwu wariantow przykÃladania obci ↪azenia:

40 1.9. STATECZNOSC SKARPZadania z Mechaniki Gruntow, A.Niemunis, PG

• wolnego (z odpÃlywem wody)

• szybkiego (bez odpÃlywu wody

Przyj ↪ac ze torf i glina s ↪a caÃlkowicie nasycone wod ↪a podci ↪agan ↪a kapilarnie. Dane:L = 10m, B = 2m, eL = 0m, eB = 0.30m, nachylenie Hr/Nr = tan 8◦, Rr = 5 MN h1 = 1, 0m h2 = 0.6m .

1.9 Statecznosc skarp


Stan napr ↪ezenia w skarpie o nieskonczonej dÃlugosci

Rozpatrzmy pole σ(x) napr ↪ezenia w poÃlprzestrzeni z nachylonym pod k ↪atem β naziomem. Os x1 jest skierowanaprostopadle do naziomu a os x2 lezy wzdÃluz linii spadku zbocza, rys. 1.38. SiÃla ci ↪ezkosci odpowiada wektorowif = γ[cosβ, sinβ]. Jak poprzednio, zakÃladamy jednorodnosc σ(x) w kierunkach x2 i x3 poniewaz zbocze jest z

zaÃlozenia nieskonczenie dÃlugie. Mamy zatem∂σij∂x2

= 0 i∂σij∂x3

= 0. Rownania Naviera (1.110) przyjm ↪a postac

∂σ11/∂x1 − γ cosβ = 0

∂σ21/∂x1 − γ sinβ = 0

∂σ31/∂x1 = 0

a po scaÃlkowaniu i uwzgl ↪ednieniu nieobci ↪azonego naziomu t|x1=0 = n · σ|x1=0 = 0 (rownanie Cauchy’ego) jakowarunku brzegowego otrzymamy

σ11 = γx1 cosβ

σ21 = γx1 sinβ

σ31 = 0

Nieokreslone pozostaj ↪a σ22 i σ33. Wykorzystuj ↪ac warunek Coulomba z φ = 30◦ c = 0 mozemy oszacowac przedziaÃlw jakim moze lezec napr ↪ezenie σ22. Dla uproszczenia zakÃladamy ze skÃladowa σ33 jest napr ↪ezeniem gÃlownymposrednim tzn. σmax i σmin lez ↪a w pÃlaszczyznie O, x1, x2.Przedstawimy rozwi ↪azanie graficzne na ustalonego x1. Dopuszczalne koÃla Mohra musz ↪a przechodzic przez punkt(σ, τ) = (γx1 cosβ, γx1 sinβ) i lezec wewn ↪atrz klina Coulomba.

� x 1f 1

x 2

f 2

�minimalne

koloM

ohra

x1sin �

x1cos �

�

��

��

�

�

�

=

=

P

maksymalne

Rys. 1.38: Najwi ↪eksze i najmniesze dopuszczalne koÃlo Mohra dla zbocza nachylonego pod k ↪atem β i przy ustalonejrz ↪ednej x1.

Ze wzgl ↪edu na kryterium Coulomba musi byc speÃlniony warunek β ≤ φ. W szczegolnym przypadku β = φ mozliwejest tylko jedno koÃlo Mohra dla danego x1, ktore jednoczesnie przechodzi przez punkt (γx1 cosβ, γx1 sinβ) i nie”wystaje” poza klin Coulomba. A zatem w przypadku β = φ rownania Navier’a, zaÃlozenie jednorodnosc wzdÃluznaziomu i warunek Coulomba wystarczaj ↪a do okreslenie caÃlego pola σ(x) z wyj ↪atkiem skÃladowej σ33.

WspoÃlczynnik bezpieczenstwa definiujemy jako stosunek maksymalnej siÃly tarcia Tf (wg wytrzymaÃlosci gruntu) isiÃly sci ↪agaj ↪acek T

η =TfT

=tanφ

tanβ(1.134)


Jesli spÃlywa woda rownolegle do β to siÃla filtracji sciaga zbocze a wypor zmniejsza ci ↪ezar gruntu. Wsp. bez-pieczenstwa w napr. efektywnych (duzy wspoÃlczynnik filtracji) wynosi:

η =tanφ

tanβ· 1

1 + γw/γ′(1.135)

Skarpa o wyskokosci h

β

υ

Rys. 1.39: Skarpa o wyskokosci h

Jesli mamy skarp ↪e o wysokosci h i nachyleniu β do poziomu przy φ 6= 0 i c 6= 0 to w oparciu o prostoliniow ↪alini ↪e poslizgu nachylon ↪a do poziomu pod k ↪atem ϑ z kryterium Coulomba mozemy otrzymac rozwi ↪azanie Francais(1820): siÃla sci ↪agaj ↪aca siÃla T normalna N i maksymalna siÃla oporu Tf na linii poslizgu

T = G sinϑ =1

2γh2(cosϑ− cosβ) sinϑ

N = G cosϑ =1

2γh2(cosϑ− cosβ) cosϑ

Tf =

C︷︸︸︷

ch

sinϑ+

N tanφ︷︸︸︷

1

2γh2(cotϑ− cotφ) cosϑ tanφ

Funkcja η = Tf/T opisuj ↪aca wsp. bezpieczenstwa osi ↪aga minimum mniej wi ↪ecej dla

ϑ =1

2(φ+ β)

Zakrzywione linie poslizgu

Rozwi ↪azanie Collin’a (1847) zakÃladaÃlo lini ↪e poslizgu w ksztaÃlcie cykloidy a rozwi ↪azania Fellenius’a (1918) w ksztaÃlciekoÃla.

Metody z koÃlow ↪a lini ↪a poslizgu:

1. Metoda bezpaskowa z koÃlow ↪a lini ↪a poslizgu, grunt bez tarcia (c 6= 0, φ = 0). ZakÃlada si ↪e ze wpÃlyw rozkÃladunapr ↪ezenia wzdÃluz linii poslizgu jest pomijalny.

Szukamy minimalnego wsp. bezpieczenstwa ktory definiuje si ↪e przez stosunek statycznych momentow siÃlwzgÃl ↪edem zaÃlozonego srodka obrotu:

η =Mutrzymuj ↪ace

Mobracaj ↪ace=

(r · c · ψ0) · rG · rG + P · rP

gdzie G to wypadkowa ci ↪ezaru gruntu a P to wypadkowa obci ↪azenia naziomu (wektory) a przez G i Roznaczamy dÃlugosci tych wektorow. Ramiona rG i rP dziaÃlania siÃl wypadkowych G i P mierzy si ↪e od srodkaobrotu M prostopadle do linij dziaÃlania tych siÃl.

2. Metoda bezpaskowa z koÃlow ↪a lini ↪a poslizgu, grunt z tarciem i ze spojnosci ↪a (c 6= 0, φ 6= 0). ZakÃlada si ↪e, zewpÃlyw rozkÃladu napr ↪ezenia wzdÃluz linii poslizgu jest pomijalny.

SiÃl ↪e od spojnosci na caÃlej linii poslizgu obliczamy jako wektorow ↪a caÃlk ↪e∫

c ds daj ↪ac ↪a wypadkow ↪a o dÃlugosci

C = r · c · 2 · sin(ψ0/2) (1.136)

dziaÃlaj ↪ac ↪a rownolegÃla do siecznej Ãluku poslizgu. Wypadkowa siÃla spojnosc C dziaÃla na ramieniu

rC =rψ0

2 sin(ψ0/2)(1.137)

42 1.9. STATECZNOSC SKARPZadania z Mechaniki Gruntow, A.Niemunis, PG

wyliczonym tak aby moment wzgl ↪edem srodka koÃla poslizgu tj. punktu M pozostaÃl niezmieniony czyli

C · rC = r · (c · r ·Ψ0) (1.138)

Wektorowo dodajemy2 wszystkie znane obci ↪azenia (w tym ci ↪ezar G, siÃl ↪e filtracji J, siÃly powierzchniowe P)i siÃl ↪e spojnosci C. Wszystkie te siÃly maj ↪a znane linie dziaÃlania i wartosci a zatem Ãlatwo mozna obliczycwypadkow ↪a R. Reakcja gruntu (siÃla normalna + siÃla tarcia ale bez spojnosci) jest zaczepiona (z zaÃlozenia) wpunkcie przeci ↪ecia linii dziaÃlania R z koÃlow ↪a lini ↪a poslizgu. Reakcja tarciowa gruntu moze byc odchylona odprzechodz ↪acego przez ten punkt promienia co najwyzej o k ↪at φ , poniewaz |T/N | < tanφ a spojnosc jest juzuwzgl ↪edniona w R. Rysuj ↪ac z punktu M tzw. koÃlo tarcia o promieniu r sinφ mozemy stwierdzic, ze skarpajest niestateczna, gdy linia dziaÃlania reakcji gruntu −R nie przetnie koÃla tarcia.WspoÃlczynnik bezpieczenstwa mozna w przyblizeniu zdefiinowac jako

ηM =Mutrzymuj ↪acy

Mobracaj ↪acy=r sinφ

rR(1.139)

gdzie rR jest ramieniem dziaÃlania siÃly R mierzonym od punktu M prostopadle do linii dziaÃlania R.

3. Metody paskow (Felleniusa i Bishopa). BryÃla o koÃlowej linii poslizgu, (c 6= 0, φ 6= 0).BryÃl ↪e dzielimy na pionowe paski niekoniecznie rownej szerokosci bi umazliwiaj ↪ace przyj ↪ecie roznych parametrowgruntu i ci ↪ezarow. Na kazdy pasek dziaÃlaj ↪a nast ↪epuj ↪ace siÃly, rys. 1.40

R

R

N

E

β

E

Ti+1

E i+1

i

i

i

E i

i Ri

i i

i i

Ti i

i

N i

r

bδ

E

Ri Ti

N i

δ = β

wielobok sil dzialajacych na pasek nr i

M

∆

Fellenius

i

E

Ri Ti

N i

δ = 0

∆

Bishop

Rys. 1.40: Rownowaga siÃl w pasku

• siÃly zewn ↪etrzne Ri (ci ↪ezar + siÃla filtracji + . . . )

• SiÃly Ei i Ei+1 od s ↪asiednich paskow

• SiÃla normalna Ni na linii poslizgu

• SiÃla styczna Ti na linii poslizgu

Dla kazdego (i-tego) paska zakÃladamy ze cz ↪astkowa siÃla oporu (od tarcia i od spojnosci) wynosi maksymalnie:

Ti < Tfi = cibi/ cosβi +Ni tanφi, (1.140)

gdzie βi to odchylenie od pionu promienia biegn ↪acego od M do srodka podstawy i-tego paska. Dodatni k ↪atβi przyjmuje si ↪e w cz ↪esci skarpy poruszaj ↪acej si ↪e ku doÃlowi.

SiÃla pionowa Ni moze byc obliczona z warunku rownowagi dla pojedynczego paska. Jest to mozliwe po zro-bieniu zaÃlozen dotycz ↪acych siÃl Ei i Ei+1 dziaÃlaj ↪acych na pionowych sciankach kazdego paska. Ich wypadkowa∆E = Ei + Ei+1

• dziaÃla w kierunku odchylonym o δi = βi od poziomu wg metody Felleniusa = Krey’a = Taylor’a,

• dziaÃla poziomo δ = 0 wg metody Bishopa.

WspoÃlczynnik bezpieczenstwa definiuje si ↪e jako

ηM =Mutrzymuj ↪acy

Mobracaj ↪acy=r∑

(cibi/ cosβi +Ni tanφi)∑RirRi

(1.141)

gdzie rRi jest ramieniem obci ↪azenia Ri mierzonym od M prostopadle do Ri.

Konstruuj ↪ac wielobok siÃl dla pojedynczego paska uwzgl ↪edniamy na ogoÃl tylko skÃladow ↪a pionow ↪a siÃly Ri =Gi + Pi co powoduje niedoszacowanie Ni (rozwi ↪azanie po stronie bezpiecznej), rys. 1.41 Wg. zaÃlozenia

2uwaga, siÃly nalezy przesuwac tylko po liniach ich dziaÃlania do punktu przeci↪ecia z inn

↪a siÃl

↪a i z tego punktu startuje wektorowa

suma (wypadkowa) tych dwu siÃl.


E

Ti

N i

∆

Fellenius

E

Ri

T = N tanφ + c b /cos βi i i i i

N i

∆

Bishop

i i

G+

P i i

G+

P i i

G+

P

Rys. 1.41: Obliczenie Ni od skÃladowej pionowej Ri

Felleniusa mamy

Ni = (Gi + Pi) cosβi (1.142)

a przy zaÃlozeniu Bishopa z sumy skÃladowych pionowych

(Ni tanφ+ cibi/ cosβi) sinβi +Ni cosβi = Gi + Pi

(przy zaÃlozeniu peÃlnej mobilizacji tacia i spojnosci na dnie paska) otrzymamy

Ni =−cibi tanβi +Gi + Picosβi + sinβi tanφi

(1.143)

Uwaga na rys ↪e skurczow ↪a o gÃl ↪ebokosci hc = 4c/(γ√Ka) Uwaga na deszcz (dodatkowy ci ↪ezar dziaÃla jak b. szybkie

obci ↪azenie bez drenazu → liczyc na warunki bez drenazu tj. cu przy φ = 0 ) Uwaga na stare pÃlaszczyzny zlus-trzenia. Uwaga na spadek spojnosci na skutek Ãlugowania soli. Zabezpieczenia: drenaz, dyblowanie, gwozdziowanie,kotwienie, sadzenie roslinnosci (ale nie drzewa w bezposrednim s ↪asiedztwie konstrukcji).

1.9.2 Zadania

Zadanie

Oblicz wspoÃlczynnik bezpieczenstwa nieskonczenie dÃlugiego zbocza nachylonego pod k ↪atem β. Woda filtrujepoziomo od gruntu wys ↪aczaj ↪ac si ↪e na powierzchni zbocza (na powierzchni przyj ↪ac cisnienie wody = zero). Parame-try wytrzymaÃlosciowe gruntu wynocz ↪a (φ 6= 0, c = 0)

1.10 Konsolidacja


Teoria konsolidacji wg Terzaghiego

Zmienna podstawowa to cisnienie wody jako funkcja czasu i przestrzeni u(t, z).

ZakÃladamy ze przyÃlozone obci ↪azenie caÃlkowite jest staÃle. Z zasady napr ↪ezen efektywnych wynika ze tylko

T ′ = ∂σ′/∂t = −∂u/∂t (1.144)

ma wpÃlyw na zmian ↪e obj ↪etosci gruntu. Prawo Hooke’a i definicja odksztaÃlcenia

D = T ′/M = ∂v/∂z

ale przy sciskaniu, dla okreslonego przekroju z

vszkieletu = −vwody

bo obj ↪etosc si ↪e zmienia kosztem wyciskanej wody. Prawo Darcy

v = −k∂(u/γw)/∂z

Po poÃl ↪aczeniu:∂u/∂t = cv∂u/∂z

2

44 1.10. KONSOLIDACJAZadania z Mechaniki Gruntow, A.Niemunis, PG

gdzie wsp. konsolid cv = kM/γw Rozwi ↪azanie (patrz Z.Glazera, Mech. Gruntow) podaje si ↪e w formie stopniakonsolidacji

µ(t, z) = ε(t)/ε∞ (1.145)

w danym punkcie z jako funkcji czasu. Cz ↪esciej uzywa si ↪e sredniego stopnia konsolidacji

µ(t) =

∫ h

0

µ(t, z)dz (1.146)

w funkcji czasu t. Praktyczniej jest podawac wykresy typu µ(Tv) gdzie w miejsce czasu t uzywamy bezwymiarowegotzw. czynnika czasowego Tv

Tv = cvt/h2 (1.147)

gdzie h to wysokosc w-wy filtrowanej jednostronnie. Dla w-wy filtrowanej dwustronnie nalezy przyj ↪ac, ze h jestpoÃlow ↪a wysokosci warstwy (folia umieszczona w srodku nie zmieni przebiegu konsolidacji). W przybilzeniu moznaprzyj ↪ac zakonczenie konsolidacji przy

Tv( ¯µ = 0.98) ≈ 4 (1.148)

1.10.2 Zadania

Zadanie

Okreslic czas konsolidacji i wspoÃlczynnik filtracji w-wy namuÃlu o mi ↪azszosci H = 2m pod nasypem, q = 60 kParozÃlozonym na b. duzej powierzchni (jednoosiowe odksztaÃlcenie). Pod namuÃlem znajduje si ↪e w-wa praktycznienieprzepuszczalnego iÃlu.W edometrze zbadano scisliwosc tego namuÃlu przy zwi ↪ekszeniu obci ↪azenia z 20 na 80 kPa. Wzi ↪eto probk ↪e namuÃluo wysokosci h = 2cm i badano j ↪a przy drenazu gornej i dolnej powierzchni. Ostateczne osiadanie probki wyniosÃlo1mm. Stabilizacja osiadania nast ↪apiÃla po 5 min.

Date post:	28-Feb-2019
Category:	Documents
Upload:	dinhphuc
View:	215 times
Download:	0 times

Zadaniazmechanikigrunt¶ow - pg.gda.planiem/dyd-zips/Zadania-niemunis.pdf · pomocnicze maja,duze_...

Documents