मॉडयल 9

गणित णिकषििास‍तर

विदयालयी विकया म गवित एक महतिपिण सयान रखतया ह। पयारविक सतर पर, यह एक अवनियायण विषय ह। बहत स लोग यह मयानत ह वक यह बचचो क िीतर डर, िय और तनयाि पदया करतया ह। हयालयावक ककया क अिलोकन, अकसर इस ओर इियारया करत ह वक इस विषय कया विकि तनयाि को पदया करतया ह। इस सरोकयार को सबोवित करन क मदनजर, यह मॉडयल विदयाथी-क वरित विकि क मयाधयम स पयावमक और उचच पयावमक सतर क बचचो म, गवित म दकतया और कौिल विकवसत करन पर जोर दतया ह, विसम मलययाकन को समवकत वकयया गयया ह और इसम विविनन कमतयाओ ियाल सिी बचच ककया क तनयािमकत ियातयािरि म ियावमल होत ह।

अणिगम क उदशय

इस मॉडयल क अधययन क बयाद अधययापक —• मलययाकन सवहत विकि की उन कयायणनीवतयो क बयार म, िो बचचो को अविगम म सलगन

करन क वलए अपनयायी िया सकती ह, को ियानन एि पयोग करन म सकम होग।

• रयाजय की पयाठयचययाण क सया अविगम पररियामो म दी गई दकतयाओ और कौिलो कया सबि ियानन म सकम होग।

• ककया सतर क अविगम पररियामो को पयापत करन म बचचो की मदद करन क वलए उवचत िकविक विजयान की पवरिययाओ कया सचयालन करन म सकष‍याम होग।

• सिी बचचो दयारया अविगम पगवत को वनरतर सवनव‍चचत करन क वलए विकि पवरिययाओ क सया मलययाकन को एकीकत करन म सकम होग।

गणित की परकणत को समझनागवित न हम विचयारो को वनियाणररत करन, सटीक होन और हमयार दवनक िीिन म सयावनक अिियारियाओ कया उपयोग करन म मदद की ह। इस पयाकवतक विजयान, इिीवनयररग, वचवकतसया और सयामयाविक विजयान सवहत कई कतो म एक आि‍चयक उपकरि क रप म दवनयया िर म उपयोग वकयया ियातया ह। गवित न किल दवनक िीिन की वसवतयो म मदद करतया ह, बवलक तकण , अमतण वचतन और कलपनयािीलतया को िी विकवसत करतया ह। इस पकयार, विदयालयी पयाठयरिम म इसकया एक महतिपिण सयान ह और दसिी ककया तक यह एक अवनियायण विषय क रप म पढयायया ियातया ह।

260 वनषठया — पविकि पकि

मॉडयल 9

स‍कक ली गणित णिकषा की कछ समस‍याए• बचचया — िब म दो पयाकवतक सखययाओ को आपस म गिया करतया ह तो गिनफल दोनो

सखययाओ स बडया होतया ह, लवकन िब म दो विननो को गिया करतया ह तो गिनफल छोटया होतया ह। म समझ नही पयातया ह वक कयो!

• बहत स बचच गवित स डरत ह और इस विषय म असफलतया स ियिीत रहत ह। ि िलदी ही गवि त की गिीर पढयाई स विमख हो ियात ह।

• यह पयाठयचययाण किल इसस विमख होन ियालो क वलए ही वनरयाियािनक नही ह, बवलक यह पवतियाियाली बचचो क वलए िी कोई चनौती नही पि करती।

• समसययाए, अभययास ि मलययाकन पदधवत ययावतक और दहरयािगरसत ह। इसम सगिनया पर अतयविक जोर वदयया गयया ह। इसम सयावनक वचतन िस गवितीय कतो को पययाणपत सयान नही वदयया गयया ह।

• अधययापको म आतमवििियास ि तययारी की कमी ह और उनह आि‍चयक मदद िी नही वमल पयाती।

(राष‍टरीय पाठयचयाया की रपरखा, 2005)

पकरव-पाथणमक (णरदालय-पकरव) स‍तर पर बचचो क बीच सखयातमक कौिल णरकणसत करना• सखयया-पिण कौिल — िगथीकरि, शिीबदधतया, रिमबदधतया और पतयक स अलग-अलग

सचयार (वयिहयार) ऐस कौिल ह िो सखययातमक कौिल और कमतयाओ क विकयास कया आियार बनत ह।

• बचचो स अपवकत ह वक ि िसतओ की वगनती करन स पहल सखयया-पिण कौिल म सकम हो। एक बचच को सखयया-पिण कौिलो को मजबत करन क वलए पययाणपत समय और अिसर वदए ियान चयावहए। बचच क सया िसतओ क िगथीकरि (एक यया एक स अविक वििषतयाओ क आियार पर), मतण िसतओ क रिम (अलग-अलग तरीको स) और पतयक स अलग-अलग सचयार स सबवित पयायोवगक गवतविवियया की ियानी चयावहए, कयोवक य कौिल उस बचच क वलए एक आियार बनयात ह िो वगननया सीख रहया ह।

• पिण-पयावमक सतर पर आप अपन बचच क िरआती गवित कौिल और कमतयाओ को विकवसत करन म वनमनवलवखत तरीको स मदद कर सकत ह, िस — सखयया बोि करयानया (आग और पीछ की वगनती सटीक रप स करन की कमतया और बवनययादी कयाययो क मयाधयम स सखययाओ क बीच सबिो को दखनया); सखयया को दियाणनया (िबदो, वचतो, पतीको और िसतओ कया उपयोग करक, िस— बलॉक, ककड आवद); सयावनक बोि (आकवत, आकयार, सयान, वसवत, वदिया और आियागमन कया विचयार); मयाप (अपन तरीक स उपयोग दयारया और बयाद म इकयाइयो कया उपयोग करक लबयाई, ऊचयाई, िजन और समय कया पतया लगयानया); अनमयान (वकसी चीज की रयावि यया आकयार क बयार म अचछया अनमयान लगयान की कमतया); पटनण (सखययाओ, आकवतयो, वचतो की वयिसया— िो एक तयावकण क तरीक स दोहरयाए ियात ह) और समसयया-समयाियान (समसयया क दयारया सोचनया और यह पहचयाननया वक एक ही उततर पयापत करन क एक स अविक तरीक हो सकत ह।

261गवित विकिियासत

मॉडयल 9

• बचचो म उपरोकत कमतयाओ को विकवसत करन म मदद करन क वलए यह आि‍चयक ह वक बचचो को िो अनिि घर स वमलत ह, उनकया उपयोग कवतम पररवसवतयो को बनयान क बियाय बहतर तरीक स हो। उदयाहरि क वलए, िगथीकरि की कमतया क वलए, बचचो को अिसर पदयान वकए ियान चयावहए।

• ऐस अिसर विसम ि िसतओ, लोगो और सयामवगरयो कया िगथीकरि कर सक । सबस पहल दो समहो म सपषट रप स अिलोकन करन योगय वििषतयाए सयामन रखी ियाए, िस— रग और आकयार और बयाद म उनह अविक समहो म विियावित कर ोडी िवटल वििषतयाओ पर िगथीकत करन क वलए कहया ियाए, िस— आकयार, वसवत, अविविनययास इतययावद।

इसस हमयार सयामन एक महतिपिण प‍चन आतया ह वक विदयालयी सतर पर गवित की विकया कया मखय लकष‍य कयया ह? कयया हम किल विदयाव णयो म सखययातमक कौिल विकवसत करनया चयाहत ह और उनह रोजगयार योगय ियसक बनयानया चयाहत ह यया कयया हम उनह सोचन ियाल ऐस वयवकत बनयानया चयाहत ह िो लब समय तक समयाि क सयामयाविक और आव णक विकयास म योगदयान दग? समयाि म वचतनिील वयवकतयो क विकयास क वलहयाि स विदयालयी सतर पर गवित विकि कया बहत अविक महति ह।

इस मॉडयल म हम उन तरीको पर चचयाण करन िया रह ह विनस हम विदयाव णयो को गवित क बयार म विचयार करन और उनकी पवरिययाओ को समझन म मदद कर सकत ह। आइए, इस सियाल क सया िर कर वक ‘गवित कयया ह’। गवित िबद कया अगरजी मल म मवटकस, दरअसल गरीक िबद ‘म मया’ स वलयया गयया ह, विसकया अ ण ह विजयान। ऑकसफोरया डरकशनररी म गवित को “सयान, सखयया और मयातया क विजयान” क रप म पररियावषत वकयया गयया ह। मखय रप स गवित मयाप, पटनण और समरपतया की ियाच क अधययन कया एक तरीकया ह। इस पदधवत म चचयाण की ियान ियाली अिियारियाओ की पररियाषयाओ कया सयािियानीपिणक वनमयाणि और मयानयतयाओ कया एक सपषट वििरि पसतत वकयया गयया ह िो तकण कया आियार बनयात ह। इन पररियाषयाओ और मयानयतयाओ स तकण क अनपयोग दयारया वनषकषण वनकयाल ियात ह।

इसम आगमनयातमक और वनगमनयातमक तकण ियावमल ह और सयािणिौवमक रप स वकसी िी

पसतयाि को सयामयानय वकयया िया सकतया ह।

इसकया जयान पर बरहयाड म हर िगह और हर समय एक िसया रहतया ह।

इसकी अपनी सिय की ियाषया ह। उदयाहरि क वलए, गवितीय अिियारियाओ क पद, पतीक, सत और वसदधयात

इसम अमतण अिियारियाओ कया मतण रप म रपयातरि ियावमल ह। इसक जयान को, विजयान और इसकी विविनन ियाखयाओ क अधययन म लयाग वकयया ियातया ह।

यह एक सटीक विजयान ह। इसकया जयान हमिया सपषट, तयावकण क और वयिवसत होतया ह और इस आसयानी स

समझया िया सकतया ह।गणित की पकणत

262 वनषठया — पविकि पकि

मॉडयल 9

पराथणमक सतर पर गणितएक समयाि क रप म, हम इसकी सरयाहनया करनी चयावहए वक समगर रप स समयाि क वलए पयावमक विदयालय क अधययापक कया कयाम वकतनया महतिपिण ह। पयावमक अधययापक एक बडी वि ममदयारी वनियातया ह और किल िही यह अतर बतया सकतया ह वक विदयालय क बयाद क िषयो म बचचया कस और कयया सीखतया ह। पयावमक सतर पर विकि क वलए एक विविषट पकयार की वििषजतया की आि‍चयकतया होती ह विसम जयान और कौिल दोनो ियावमल होत ह। इस तरह की वििषजतया एक लबी समय अिवि म पयापत की ियाती ह और वकसी कयाम क बयार म सोचन और वकसी विकि म सियार क वलए वनरतर पययास करन क मयाधयम स पयापत की ियाती ह। इस सतर पर बचचो की सोच मतण िसतओ क आस-पयास पमख रप स घमती ह िो उनक पररवचत सदियो म िी मौिद ह। इस पकयार, सिी विकि-अविगम पवरिययाओ को मतण िसतओ क हर-फर स बचचो को उलझयान पर धययान क वरित करनया चयावहए। इस सतर पर विकिियासत म विविनन अिियारियाओ, दकतयाओ और कौिल स वनपटन क दौरयान गवतविवियो क वनमनवलवखत अनरिम ियावमल ह—

स‍कक ली गणित का दिवन• बचच गवित स ियिीत होन की बियाय उसकया आनद उठयाए।

• बचच महतिपिण गवित सीख; गवित म सतो ि ययावतक पवरिययाओ स आग िी बहत कछ ह।

• बचच गवि त को ऐसया विषय मयान विस पर ि बयात कर सकत ह; विसस सपषि हो सकतया ह; आपस म विस पर चचयाण कर सकत ह और विस पर सया-सया कयाम कर सकत ह।

• बचच सया णक समसययाए उठयाए और उनह हल कर।

• बचच अमतण कया पयोग सबिो को समझन, सरचनयाओ को दख पयान और चीजो कया वििचन करन, कनो की सतयतया यया असतयतया को लकर तकण करन म कर पयाए।

• बचच गवि त की मल सरचनया को समझ। सकली गवित क सिी मल तति— अकगवित, बीिगवित, रखयागवित, वतकोिवमवत; अमतण की पियाली, सघटन और सयामयानयीकरि क वलए पदधवत महयया करयात ह।

• अधययापक ककया म पतयक बचच क सया इस वि‍चियास क आियार पर कयाम कर वक पतयक बचचया गवित सीख सकतया ह।

(राष‍टरीय पाठयचयाया की रपरखा, 2005)

अनभरगवित म नयी अिियारिया िर करन स पहल बचचो को मतण िसतओ, वखलौनो और सीखन की अनय सयामवगरयो की तोड-फोड स सीखन क अनिि दनया अिियारिया क पवत उनकी रवच बढयान म सहयायक होतया ह। इस सतर क अनििो कया ककया क कमर क अदर और ककया क बयाहर की गवतविवियो क सया मजबत सबि होनया चयावहए। बचचो को वदए ियान ियाल कयायण

263गवित विकिियासत

मॉडयल 9

अनिषी िली क होन चयावहए तयावक ि अपन दवनक िीिन क सया सीखन स सबि बनया सक । उदयाहरि क वलए, सखययाओ को िोडन क वलए बचचो को अपन आस-पयास स िसतओ क दो समह वदए ियात ह और ि दोनो समहो की िसतओ को वमलयान क बयाद वफर स वगनत ह। पयारि म एक ही पकयार की िसतओ क समह, िस— सब यया कोई और फल पदयान वकयया ियानया चयावहए तयावक ि सबो को आपस म वमलयान क बयाद इनकी कल सखयया वगन सक । बचचो को ऐस समहो को आपस म वमलयान क बयाद इसम वि‍चियास हयावसल करन और सखययाओ कया योग पतया लगयान क बयाद, समसयया पसतत करन कया अिसर पदयान कर। यवद आप ियानत ह वक 235 + 367 = 602 ह, तो 234 + 369 वकतनया होगया? आपको इसकया उततर कस वमलया? अब 5384 म वकसी एक अक को बदल द। सखयया बढी यया घट गई? अब बचच को कछ सयामयानय गिो ियाली िसतओ क विविनन समहो को वमलयान क वलए कह, िस— लडको क एक समह और लडवकयो क एक समह को िोडग तो विदयाव णयो/बचचो कया समह बन सकतया ह। पयारि म सखययाओ कया योग वमल-िल समह म सिी िसतओ को पनः वगनन स पयापत होतया ह। बयाद म बचच सिी िसतओ को पनः वगनन क अपन तरीक विकवसत कर सकत ह।

भाषासिी बचचो को ियावबद क रप स उनक अनििो, वटपपवियो और पररकलपनया कया ििणन करन क वलए उवचत अिसर पदयान कर। इस तरह की चचयाण क दौरयान बचच ियाषया क कौिल कया विकयास िी करग, िस— प‍चनो को तययार करनया, विषय स सबवित नए िबदकोि और िबदयािली पयापत करनया। उदयाहरि क वलए, िब पयाच वसतयारो क समह को तीन वसतयारो क एक समह क सया िोडया ियातया ह, तो अत म पयापत समह म वसतयारो की कल सखयया आठ ह।

णचतरातमक पस‍तणतबचचो को वचत की वययाखयया करन और सगत ियानकयारी खोिन म सलगन कर। इस तरह क वचतो म एक समसयया और इसक समयाियान िी वदखयाए िया सकत ह। उदयाहरि क वलए,

उचच ककयाओ म इसस बचचो को गवितीय विचयारो/समयाियानो को आरखीय/वचतयातमक रप स पसतत करन क वलए सीखन की सवििया वमलगी।

पतीकअत म बचचो को पतीको कया उपयोग करक ियानकयारी दियाणन और वययाखयया करन क अिसर पदयान वकए ियान चयावहए।उदयाहरि क वलए,

5 + 3 = 8

और बनयाए

264 वनषठया — पविकि पकि

मॉडयल 9

विदयाव णयो को पतीको क रप म उनक अिलोकनो कया पवतवनविति करन और उनह इसक सया अ ण सलगन करन क वलए पोतसयावहत कर। सया ही, उनह गवितीय वयिक यया समीकरि बनयान क वलए मौवलक कयाययो क सकतो क सया पतीको को सबवित करन क वलए पोतसयावहत कर।

यह बचचो को उनक विचयारो को सटीक और सपषट तरीक स पसतत करन म मदद करगया। उनम पढन और वलखन स सबवित अनय गिो यया कमतयाओ कया विकयास, विचयारो की अविवयवकत और समसयया कया समयाियान एकीकत तरीक स होगया।

गणित क साथ भाषा और पयावररि अधययन का समकनविदयालय की पयारविक ककयाओ म, अयाणत ककया 1 और 2 म, बचच किल एक यया दो ियाषयाओ और गवित कया अधययन करत ह। लवकन आस-पयास क ियातयािरि को समझ ियान की उनकी जररत, ियाषया, सपषि क अचछ सयािन क रप म और समसयया समयाियान म गवितीय विचयारो क उपयोग को इन दो विषयो म ही समवकत वकयया गयया ह। खयासकर िब पयारविक गवित कया विकि-अविगम हो रहया ह तो अधययापको को गवित, ियाषया और पययाणिरि अधययन स सबवित सीखन क पवतफल क सया-सया बचच क सियाागीि विकयास पर धययान क वरित करनया चयावहए िो वक बचच क सदिण और पररिि क उदयाहरिो क मयाधयम स एकीकत तरीक स विकवसत वकए ियात ह। उदयाहरि क वलए, सखययाओ क बयार म बयात करत समय, यह चचयाण कर वक य सखययाए उनक आस-पयास कहया होती ह; ि अपन दवनक िीिन म सखययाओ और सखययातमक सवरिययाओ कया उपयोग कस कर सकत ह; ि सखयया कया नयाम और पतीको कया उपयोग वकए वबनया विविनन वसवतयो कया ििणन कस कर सकत ह? आवद। इस तरह की चचयाण स उनह महसस होनया चयावहए वक गवितीय िबदयािली और पतीक वकसी िी ियाषया क मजबत वहसस ह। उदयाहरि क वलए, मयापो क बयार म चचयाण करत समय उपयोग की ियान ियाली इकयाइयया दवनक उपयोग क मयाधयम स विकवसत की ियाती ह और वकसी िी ियाषया म सचयार क वलए आियार बनयाती ह।

बचच क वलए सकली विकया उन कई प‍चनो क उततर पयान की पवरियया ह िो उसक मन म उठत ह, िब िह अपन चयारो ओर क ियातयािरि स अनिि पयापत करतया ह। बचच को उसकी इस पिण विजयासया क सया सकल क अदर और बयाहर, विषयो की सीमयाओ क पयार, आनदयायक अविगम करन दनया चयावहए।

उचच पराथणमक सतर पर गणितउचच पयावमक सतर पर गवित एक बडी चनौती ह और इस बचच क अनिि और पययाणिरि क करीब होन और अमतण होन की दोहरी िवमकया वनियानी होती ह। बचच अकसर विचयारो क मयामल म कयाम करन म अकल सकम नही होत ह। उनह अ ण खोिन क वलए अपन अनिि स िड सदिण और/यया मॉडल की सवििया की आि‍चयकतया होती ह। यह सतर हमयार सयामन सदियो कया उपयोग करत हए बचचो को इसम ियावमल करन की चनौती पसतत करतया ह, लवकन

265गवित विकिियासत

मॉडयल 9

िीर-िीर उनह इस तरह की वनिणरतया स दर ल ियातया ह। यदवप यह अिसया हमयार सयामन बचचो को उनक ही सदियो म वयसत रखन और सया-ही-सया इस वन िणरतया स िीर-िीर दर ियान िसी चनौती पसतत करती ह। िस-िस हम मयाधयवमक विदयालय म आग बढग, बचच स अपकयाए अविक होगी। उदयाहरि क वलए, ककया 5 तक क बचचो न उन सखययाओ की कलपनया की, विनक मयाधयम स गिनया (पयाकवतक सखयया) की िया सकती ह और ककया 6 म बचच क सयामन ॠियातमक सखययाओ और पियााको (integers) कया विचयार आतया ह। बचच दयारया सखयया म विविनन पटनण दख गए ह और हो सकतया ह वक उसन इनह सयामयानयीकत िी वकयया हो। उचच पयावमक सतर पर बचच अकगवित क सयामयानयीकरि क रप म बीिगवित सीखनया िर करत ह। यह सखययाओ क वलए पतीको/अकरो को वलखकर और उन सयामयानयीकरिो िो सखयया पटनण क अिलोकन क बयाद दख गए ह, क पमयािो को सयावपत करक सटीक तरीक स सयामयानयीकरि म मदद करतया ह। इसक अलयािया, इस सतर पर जययावमवत क अधययन कया उद‍चय वद-आययामी (2D) और वत-आययामी (3D) आकयारो कया वि‍चलषि करनया ह, तयावक वकनयारो, िीषयो और सतहो क आियार पर उनक गिो कया पतया लगयायया िया सक। बचचो को गिो क सयामयानयीकरि पर वनयम बनयान म सकम होनया चयावहए, िस वक एक आयतयाकयार आकयार (बहिि) क आतररक कोिो कया योग 180º क पया‍चिया� की सखयया स 2 गनया कम ह, एक वतिि और इसक सियाागसम वतिि एक समयानयातर चतिणि बनयात ह। इसवलए एक वतकोि क कतफल कया मयाप समयानयातर चतिणि क कतफल कया आिया होतया ह। बयाद म बचच स उममीद की ियाती ह वक िह इन सयामयानयीकरिो क वलए पमयाि विकवसत कर िो ककया 10 और 12 तक ियारी रहतया ह

शकषणिक परणरियाएगवित की विकया को कई कयारक पियावित कर सकत ह, लवकन अधययापक गवित अविगम म महतिपिण िवमकया वनियात ह। इसवलए, आि‍चयक ह वक हम यह समझ वक गवित कया पियािी विकि कसया होतया ह और अधययापक इस पटनण को तोडन क वलए कयया कर सकत ह। समयाि म आम ियारिया यह ह वक यवद गवित कया अधययापक गवित अचछी तरह स ियानतया ह, तो िह गवित पढयान क वलए सबस अचछया वयवकत ह। लवकन “गवित वसखयान क बयार म ियाननया”, को कयया कहया ियाए? किल गवित क जयान स वकसी वयवकत म गवित वसखयान की कमतया बनयान म मदद नही वमलती। उनह गवित पढयान क कत म सिकत जयान होनया चयावहए। गवित क जयान और गवित को कस पढयायया ियाए, इसक जयान को एक सया आमतौर पर ‘िकविक सयामगरी जयान’ (पी.सी.क.) क रप म ियानया ियातया ह। गवित को रवचपिण बनयान क वलए कछ पमख आि‍चयक वरिययाए वनमनवलवखत ह—●● ियागीदयारी●● िडयाि●● अिलोकन●● पररकलपनया गढनया और उनकया सतययापन करनया

266 वनषठया — पविकि पकि

मॉडयल 9

●● समसयया खडी करनया●● समसयया सलझयानया●● द‍चय बनयानया और दियाणनया●● सबि बनयानया●● वयिवसत तकण पदधवत●● गवितीय सचयार

रयाष‍टीय उपलवबि सिवकि, 2017, िो अविगम पररियामो पर आियाररत या, म ककया 3, 5 और 8 क वलए गवित म रयाष‍टीय सतर पर सही पवतवरिययाओ कया पवतित (औसतन) वनमनयानसयार पयायया गयया ह—ककया 3 — 64%ककया 5 — 53%ककया 8 — 42%कयया हम रयाजयो/सघ रयाजय कतो की औसत उपलवबि और वजल की औसत उपलवबि क बयार म ियानत ह? अविक वििरि http://www.ncert nic.in/programmes/NAS/SRC.html पर उपलबि ह। हम गवित म अपन विदयाव णयो क अविगम पररियामो को बहतर बनयान क बयार म वचतन करन की आि‍चयकतया ह।

ककषावार अणिगम पररिामककषा 1विदयाथी —●● विविनन िसतओ को िौवतक वििषतयाओ, िस— आकवत, आकयार तया अनय

अिलोकनीय गिो, िस— लढकनया, वखसकनया क आियार पर समहो म िगथीकत करत ह। ●● 1 स 20 तक की सखययाओ पर कयायण करत ह।

■ 1 स 9 तक की सखययाओ कया उपयोग करत हए िसतओ को वगनत ह। ■ 20 तक की सखययाओ को मतण रप स, वचतो और पतीको दयारया बोलकर वगनत ह। ■ 20 तक सखययाओ की तलनया करत ह, िस— यह बतया पयात ह वक ककया म लडवकयो

की सखयया यया लडकया की सखयया जययादया ह।●● दवनक िीिन म 1 स 20 तक की सखययाओ कया उपयोग िोड (योग) ि घटयान म करत ह।

■ मतण िसतओ की मदद स 9 तक की सखययाओ क िोड तथय बनयात ह। उदयाहरि क वलए, 3+3 वनकयालन क वलए 3 क आग 3 वगनकर यह वनषकषण वनकयालत ह वक 3+3=6

■ 1 स 9 तक सखययाओ कया पयोग करत हए घटयान की वरियया करत ह, िस— 9 िसतओ क एक समह म स 3 िसतए वनकयालकर िष िसतओ को वगनत ह और वनषकषण वनकयालत ह वक 9 – 3 = 6

267गवित विकिियासत

मॉडयल 9

■ 9 तक की सखययाओ कया पयोग करत हए वदन-पवतवदन म उपयोग होन ियाल िोड तया घटयाि क प‍चनो को हल करत ह।

●● 99 तक की सखययाओ को पहचयानत ह एि सखययाओ को वलखत ह।●● विविनन िसतओ/आकवतयो क िौवतक गिो कया अपनी ियाषया म ििणन करत ह, िस—

एक गद लढकती ह, एक बयाकस वखसकतया ह आवद।●● छोटी लबयाइयो कया अनमयान लगयात ह, अमयानक इकयाइयो, िस— अगली, वबततया, ििया,

कदम आवद की सहयायतया स मयापत ह।●● आकवतयो तया सखययाओ क पटनण कया अिलोकन, विसतयार तया वनमयाणि करत ह।

उदयाहरि क वलए, आकवतयो/िसतओ/सखययाओ की वयिसया, िस—

■ 1, 2, 3, 4, 5, ....... ....... ....... ■ 1, 3, 5, ....... ....... ....... ■ 2, 4, 6, ....... ....... ....... ■ 1, 2, 3, 1, 2, ....... , 1, ....... , 3, .......

●● आकवतयो/सखययाओ कया पयोग करत हए वकसी वचत क सबि म सयामयानय सचनयाओ कया सकलन करत ह, वलखत ह तया उनकया अ ण बतयात ह। (िस, वकसी बयाग क वचत को दखकर विदयाथी विविनन फलो को दखत हए यह नतीिया वनकयालत ह वक एक वििष रग क फल अविक ह।)

●● िनय की अिियारिया को समझत ह।

ककषा 2विदयाथी—●● दो अको की सखयया क सया कयायण करत ह।

■ 99 तक की सखययाओ को पढत तया वलखत ह। ■ दो अको की सखययाओ को वलखन एि तलनया करन म सयानीय मयान कया उपयोग

करत ह। ■ अको की पनरयािवतत क सया और उसक वबनया दो अको की सबस बडी तया सबस

छोटी सखयया को बनयात ह। ■ दो अको की सखययाओ क िोड पर आियाररत दवनक िीिन की समसययाओ को हल

करत ह। ■ दो अको की सखययाओ को घटयान पर आियाररत दवनक िीिन की समसययाओ को

हल करत ह। ■ 3–4 नोट तया वसकको (समयान/असमयान मलयिगण क) कया पयोग करत हए 100 रपय

तक की मयान ियाली खल मरिया को दियाणत ह।

268 वनषठया — पविकि पकि

मॉडयल 9

●● मलित 3D (वत-विमीय) तया 2D (वद-आययामी) आकवतयो की उनकी वििषतयाओ क सया चचयाण करत ह।

■ 3D (वत-विमीय) आकवतयो, िस— घनयाि, बलन, िक, गोलया आवद को उनक नयाम स पहचयानत ह।

■ सीिी रखया एि घमयािदयार रखया क बीच अतर करत ह। ■ सीिी रखया कया खडी, पडी, वतरछी रखया क रप म पदिणन करत ह।

●● लबयाइयो/दररयो तया बतणनो की ियाररतया कया अनमयान लगयात ह तया मयापन क वलए एकसमयान परत अमयानक इकयाइयो, िस— छड/पवसल, कप/चममच/बयालटी इतययावद कया पयोग करत ह।

●● सयामयानय तलया कया पयोग करत हए िसतओ की तलनया ‘स ियारी’/‘स हलकी’ िबदो कया उपयोग करत हए करत ह।

●● सपतयाह क वदनो तया िषण क महीनो को पहचयानत ह।●● विविनन घटनयाओ को घवटत होन क समय (घटो/वदनो) क अनसयार रिम स वदखयात ह,

िस— कयया कोई बचचया घर की तलनया म सकल म जययादया समय तक रहतया ह?●● सकवलत आकडो स वनषकषण वनकयालत ह, िस— ‘समीर क घर म उपयोग म आन ियाल

ियाहनो की सखयया एविलीनया क घर म उपयोग वकए ियान ियाली ियाहनो की तलनया म अविक ह’।

ककषा 3विदयाथी—●● तीन अको की सखयया क सया कयायण करत ह।

■ सयानीय मयान की मदद स 999 तक की सखययाओ को पढत तया वलखत ह। ■ सयानीय मयान क आियार पर 999 तक की सखययाओ क मयानो की तलनया करत ह। ■ दवनक िीिन की समसययाओ को हल करन म 3 अको की सखययाओ कया िोड

तया घटयाि करत ह (दोबयारया समह बनयाकर यया वबनया बनयाए) (िोड कया मयान 999 स अविक न हो)।

■ 2, 3, 4, 5 तया 10 क गिन तथय बनयात ह तया दवनक िीिन की पररवसवतयो म उनकया उपयोग करत ह।

■ विविनन दवनक पररवसवतयो कया आकलन कर उवचत सवरिययाओ कया उपयोग करत ह।

■ ियाग क तथयो को बरयाबर समह म बयाटन और बयारबयार घटयान की पवरियया क रप म समझत ह। उदयाहरि क वलए, 12 ÷ 3 म 12 को 3−3 क समह म बयाटन पर कल समहो की सखयया 4 होती ह अिया 12 म स 3 को बयारबयार घटयान की पवरियया िो वक 4 बयार म सपनन होती ह।

269गवित विकिियासत

मॉडयल 9

●● छोटी रयावियो को समह अिया वबनया समह क िोडत तया घटयात ह। ●● मलय सची तया सयामयानय वबल बनयात ह।●● वद-आययामी आकवतयो की समझ अविणत करत ह।

■ कयागज को मोडकर, डयाट वगरड पर, पपर कवटग दयारया बनी तया सरल रखया स बनी वद-आययामी आकवतयो को पहचयानत ह।

■ वद-आययामी आकवतयो कया ििणन िियाओ की सखयया, कोनो की सखयया (िीषण) तया विकियो की सखयया क आियार पर करत ह, िस— वकतयाब क किर की आकवत म 4 ििया, 4 कोन तया 2 विकिण होत ह।

■ वदए गए कत को एक आकवत क टयाइल की सहयायतया स वबनया कोई सयान छोड िरत ह।

●● मयानक इकयाइयो, िस— सटीमीटर, मीटर कया उपयोग कर लबयाइयो तया दररयो कया अनमयान एि मयापन करत ह। इसक सया ही इकयाइयो म सबि की पहचयान करत ह।

●● मयानक इकयाइयो गरयाम, वकलोगरयाम तया सयाियारि तलया क उपयोग स िसतओ कया ियार मयापत ह।

●● अमयानक इकयाइयो कया पयोग कर विविनन बतणनो की ियाररतया की तलनया करत ह।●● दवनक िीिन की वसवतयो म गरयाम, वकलोगरयाम की मयापो को िोडत और घटयात ह। ●● कलडर पर एक वििष वदन तया तयारीख को पहचयानयात ह। ●● घडी कया उपयोग करत हए घट तक समय पढत ह। ●● सरल आकवतयो तया सखययाओ क पटनण कया विसतयार करत ह। ●● वसवत वचहो (टली मयाकसण) वचह कया पयोग करत हए आकडो कया अविलखन करत ह

तया उनको वचतयालख क रप म पसतत कर वनषकषण वनकयालत ह।

ककषा 4विदयाथी—●● सखययाओ की सवरिययाओ कया उपयोग दवनक िीिन म करत ह।

■ 2 तया 3 अको की सखययाओ कया गिया करत ह। ■ एक सखयया स दसरी सखयया को विविनन तरीको स ियाग दत ह, िस— वचतया दयारया

(वबदओ कया आरखन कर), बरयाबर बयाटकर, बयार-बयार घटयाकर, ियाग तया गिया क अतसाबिो कया उपयोग करक।

■ दवनक िीिन क सदिण म मरिया, लबयाई, ियार, ियाररतया स सबवित चयार सवरिययाओ पर आियाररत प‍चन बनयात ह तया हल करत ह।

●● विननो पर कयायण करत ह। ■ एक वदए गए वचत अिया िसतओ क समह म स आिया, एक चौयाई, तीन चौयाई

ियाग को पहचयानत ह।

270 वनषठया — पविकि पकि

मॉडयल 9

■ सखययाओ/सखययाको की मदद स विननो को आिया, एक चौयाई तया तीन चौयाई क रप म पदविणत करत ह।

■ वकसी विनन की अनय विनन स तलयतया वदखयात ह। ●● अपन पररिि म विविनन आकवतयो क बयार म समझ अविणत करत ह।

■ ितत क क रि, वतजयया तया वययास को पहचयानत ह। ■ उन आकवतयो को खोित ह विनकया उपयोग टयाइल लगयान म वकयया िया सकतया ह। ■ वदए गए ियाल (नट) की मदद स घन/घनयाि बनयात ह। ■ कयागज मोडकर/कयाटकर, सययाही क िबबो दयारया, परयाितणन समवमवत पदविणत करत ह। ■ सरल िसतओ क िीषण द‍चय (Top View), सममख द‍चय (Front View), पया‍चिण

द‍चय (Side View) आवद कया वचतयाकन करत ह। ●● सरल जययावमतीय आकवतयो (वतिि, आयत, िगण) कया कतफल तया पररमयाप एक दी

हई आकवत को इकयाई मयानकर जयात करत ह, िस— वकसी टबल की ऊपरी सतह को िरन क वलए एक िसी वकतनी वकतयाबो की आि‍चयकतया पडगी।

●● मीटर को सटीमीटर एि सटीमीटर को मीटर म बदलत ह। ●● वकसी िसत की लबयाई, दो सयानो क बीच की दरी, विविनन िसतओ क ियार, रिि कया

आयतन आवद कया अनमयान लगयात ह तया ियासतविक मयाप दयारया उसकी पवषट करत ह।●● दवनक िीिन म लबयाई, दरी, िजन, आयतन तया समय स सबवित प‍चनो को चयार

मलित गवितीय सवरिययाओ कया उपयोग कर हल करत ह। ●● घडी क समय को घट तया वमनट म पढ सकत ह तया उनह a.m. और p.m. क रप म

वयकत करत ह। ●● 24 घट की घडी को 12 घट की घडी स सबवित करत ह। ●● दवनक िीिन की घटनयाओ म लगन ियाल समय अतरयाल की गिनया, आग/पीछ वगनकर

अिया िोडन/घटयान क मयाधयम स करत ह। ●● गिया तया ियाग म पटनण की पहचयान कर सकत ह। (9 क गिि तक)●● समवमवत (Symmetry) पर आियाररत जययावमतीय पटनण कया अिलोकन, पहचयान और

विसतयार करत ह। ●● इकटया की गई ियानकयारी को सयारिी, दड आलख क मयाधयम स पदविणत कर उनस

वनषकषण वनकयालत ह।

ककषा 5विदयाथी—●● बडी सखययाओ पर कयायण करत ह।

■ पररिि म उपयोग की ियान ियाली 1,000 स बडी सखययाओ को पढत तया वलखत ह।

271गवित विकिियासत

मॉडयल 9

■ 1,000 स बडी सखययाओ पर, सयानीय मयान को समझत हए चयार मल सवरिययाए करत ह।

■ मयानक एलगोररदम दयारया एक सखयया स दसरी सखयया को ियाग दत ह। ■ िोड, घटयाि, गिन तया ियागफल कया अनमयान लगयात ह तया विविनन तरीको कया

पयोग कर उनकी पवषट करत ह, िस— मयानक एलगोररदम कया पयोग कर यया वकसी दी हई सखयया को अनय सखययाओ क िोड तथय क रप म वलखकर सवरियया कया उपयोग करनया। उदयाहरि क वलए, 9,450 को 25 स ियाग दन हत 9,000 को 25 स, 400 को 25 स तया अत म 50 को 25 स ियाग दकर वितन िी ियागफल पयापत हो, उन सिी को िोडकर उततर पयापत करत ह।

●● विनन क बयार म समझ अविणत करत ह। ■ समह क वहसस क वलए विनन सखयया बनयात ह। ■ एक वदए गए विनन क समतलय विनन की पहचयान कर सकत ह तया समतलय विनन

बनयात ह। ■ वदए गए विननो 1/2, 1/4, 1/5 को दिमलि विनन म तया दिमलि विनन को

विनन रप म वलखत ह, िस — लबयाई और मरिया की इकयाइयो कया उपयोग करक यह ियाननया वक ` 10 कया आिया ` 5 होगया।

■ विनन को दिमलि सखयया तया दिमलि सखयया को विनन म वलखत ह।●● कोिो तया आकवतयो की अिियारिया की खोिबीन करत ह।

■ कोिो को समकोि, नयन कोि, अविक कोि म िगथीकत करत ह और उनह बनया सकत ह एि पहचयान सकत ह।

■ अपन पररिि म उन 2D आकवतयो को पहचयानत ह विनम अकरो की तरह ि आकवतयो घिणन तया परयाितणन समवमततया हो।

■ ियालो कया पयोग करत हए घन, बलन, िक बनयात ह।●● सयामयानयतः पयोग होन ियाली लबयाई, ियार, आयतन की बडी तया छोटी इकयाइयो म

सबि सयावपत करत ह तया बडी इकयाइयो को छोटी ि छोटी इकयाइयो को बडी इकयाई म बदलत ह।

●● जयात इकयाइयो म वकसी ठोस िसत कया आयतन जयात करत ह, िस वक एक बयालटी कया आयतन िग क आयतन कया 20 गनया ह।

●● पसया, लबयाई, ियार, आयतन तया समय अतरयाल स सबवित प‍चनो म चयार मल गवितीय सवरिययाओ कया उपयोग करत ह।

●● वतििीय सखययाओ तया िगण सखययाओ क पटनण पहचयानत ह।●● दवनक िीिन स सबवित विविनन आकडो को एकवत त करत ह तया उनह सयारिी एि

दड आलख क रप म पसतत करत ह और उनकी वययाखयया करत ह।

272 वनषठया — पविकि पकि

मॉडयल 9

ककषा 6विदयाथी—●● बडी सखययाओ स सबवित समसययाओ को उवचत सवरिययाओ (िोड, घटया, गिन, ियाग)

क पयोग दयारया हल करत ह।●● पटनण क आियार पर सखययाओ को सम, विषम, अियाजय सखयया, सह अियाजय सखयया

आवद क रप म िगथीकरि कर पहचयानत ह। ●● वििष वसवत म महततम समयापितणक यया लघततम समयापितणक कया उपयोग करत ह। ●● पियााको क िोड तया घटया स सबवित समसययाअो को हल करत ह। ●● पसया, लबयाई, तयापमयान आवद स सबवित वसवतयो म विनन तया दिमलि कया पयोग

करत ह, िस— 7½ मीटर कपडया, दो सयानो क बीच 112.5 वकलोमीटर की दरी आवद। ●● दवनक िीिन की समसययाओ, विनम विनन तया दिमलि कया िोड/घटया हो, को हल

करत ह।●● वकसी वसवत क सयामयानयीकरि हत चर रयावि कया विविनन सवरिययाओ क सया पयोग

करत ह, िस— वकसी आयत कया पररमयाप विसकी िियाए x इकयाई तया 3 इकयाई ह, 2(x+3) इकयाई होगया।

●● अलग-अलग वसवतयो म अनपयात कया पयोग कर विविनन रयावियो की तलनया करत ह, िस— वकसी वििष ककया म लडवकयो एि लडको कया अनपयात 3:2 ह।

●● एकक विवि कया पयोग विविनन समसययाओ को हल करन क वलए करत ह, िस— यवद 1 दिणन कयावपयो की कीमत दी गई हो तो 7 कयावपयो की कीमत जयात करन हत पहल 1 कयापी की कीमत जयात करत ह।

●● जययावमतीय अिियारियाओ, िस— रखया, रखयाखड, खली एि बद आकवतयो, कोि, वतिि, चतिणि, ितत आवद कया अपन पररिि क उदयाहरिो दयारया ििणन करत ह।

●● कोिो की समझ को वनमनयानसयार वयकत करत ह— ■ अपन पररिि म कोिो क उदयाहरि की पहचयान करत ह। ■ कोिो को उनक मयाप क आियार पर िगथीकत करत ह। ■ 45°, 90°, 180° को सदिण कोि क रप म लकर अनय कोिो क मयाप कया अनमयान

लगयात ह।●● रवखक समवमवत क बयार म अपनी समझ वनमनयानसयार वयकत करत ह—

■ वद-आययामी (2D) आकवतयो म, िह समवमत आकवतयया पहचयानत ह विनम एक यया अविक समवमत रखयाए ह।

■ समवमत वद-आययामी (2D) आकवतयो की रचनया करत ह।●● वतििो को उनक कोि तया िियाओ क आियार पर िगथीकत करत ह, िस— िियाओ

क आियार पर विषमबयाह वतिि, समवदबयाह वतिि, समबयाह वतिि आवद।●● चतिणिो को उनक कोि तया िियाओ क आियार पर विविनन समहो म िगथीकत करत ह।

273गवित विकिियासत

मॉडयल 9

●● अपन पररिि म वसत विविनन 3D िसतओ की पहचयान करत ह, िस— गोलया, घन, घनयाि, बलन, िक आवद।

●● 3D िसतओ/आकवतयो क वकनयार, िीषण, फलक कया ििणन कर उदयाहरि दत ह।●● आयतयाकयार िसतओ कया पररमयाप तया कतफल जयात करत ह, िस— ककया कया फिण,

चयाक क वडबब की ऊपरी सतह कया पररमयाप तया कतफल।●● दी गई/ सकवलत की गई सचनया को सयारिी, वचतयालख, दड आलख क रप म पदविणत

कर वयिवसत करत ह और उसकी वययाखयया करत ह, िस— विगत छह मयाह म वकसी पररियार क विविनन सयामवगरयो पर हए खचण को।

ककषा 7विदयाथी—●● दो पियााको कया गिन/ियाग करत ह।●● विननो क ियाग तया गिन की वययाखयया करत ह।

उदयाहरि क वलए, की वययाखयया कया क रप म करत ह। इसी पकयार

की वययाखयया इस रप म करत ह वक वकतन वमलकर बनयात ह?●● पररमय सखयया स सबवित दवनक िीिन की समसययाओ को हल करत ह।●● दवनक िीिन स सबवित समसययाअो, विनम पररमय सखयया िी ियावमल ह, को हल

करत ह।●● बडी सखययाओ क गिन तया ियाग को सरल करन हत सखययाओ क घयातयाक रप कया

पयोग करत ह। ●● दवनक िीिन की समसययाओ को सरल समीकरि क रप म पदविणत करत ह तया हल

करत ह।●● बीिीय वयिको कया योग तया अतर जयात करत ह।●● उन रयावियो को पहचयानत ह िो समयानपयात म ह, िस वक विदयाथी यह बतया सकत ह वक

15, 45, 40, 120 समयानपयात म ह, कयोवक कया मयान क बरयाबर ह।●● पवतित को विनन तया दिमलि म एि विनन तया दिमलि को पवतित म रपयातररत

करत ह।●● लयाि/हयावन पवतित तया सयाियारि बययाि म दर पवतित की गिनया करत ह।●● कोिो क िोड को रखीय, परक, सपरक, आसनन कोि, िीषयाणविमख कोि क रप म

िगथीकत करत ह तया एक कोि कया मयान जयात होन पर दसर कोि कया मयान जयात करत ह।●● वतयणक रखया दयारया दो रखयाओ को कयाटन स बन कोिो क िोड क गििमण कया सतययापन

करत ह।●● यवद वतिि क दो कोि जयात हो तो तीसर अजयात कोि कया मयान जयात करत ह।

274 वनषठया — पविकि पकि

मॉडयल 9

●● वतििो क बयार म दी गई सचनया, िस SSS, SAS, ASA, RHS क आियार पर वतििो की सियाागसमतया की वययाखयया करत ह।

●● पमयान (सकल) तया परकयार की सहयायतया स एक रखया क बयाहर वसत वबद स रखया क समयातर एक अनय रखया खीचत ह।

●● एक बद आकवत क अनमयावनत कतफल की गिनया इकयाई िगण वगरड/गरयाफ पपर क दयारया करत ह।

●● आयत तया िगण दयारया वघर कत क कतफल की गिनया करत ह।●● दवनक िीिन क सयाियारि आकडो क वलए विविनन पवतवनवि मयानो, िस समयातर मयाधय,

मयावधयकया, बहलक की गिनया करत ह।●● ियासतविक िीिन की वसवतयो म पररितणनिीलतया को पहचयानत ह, िस विदयाव णयो की

ऊचयाइयो म पररितणन यया वसककया उछयालन िसी वरिययाओ म वचट (हड) यया पट (टल) क आन की अवनव‍चचततया।

●● दड आलख क दयारया आकडो की वययाखयया करत ह, िस गवमणयो म वबिली की खपत सवदणयो क मौसम स जययादया होती ह, वकसी टीम दयारया पम 10 ओिर म बनयाए गए रनो कया सकोर आवद।

ककषा 8विदयाथी—●● पररमय सखययाओ म योग, अतर, गिन, तया ियाग क गिो कया एक पटनण दयारया

सयामयानयीकरि करत ह।●● दो पररमय सखययाओ क बीच अनक पररमय सखययाए जयात करत ह।●● 2, 3, 4, 5, 6, 9 तया 11 स विियािन क वनयम को वसदध करत ह।●● सखययाओ कया िगण, िगणमल, घन, तया घनमल विविनन तरीको स जयात करत ह।●● पियााक घयातो ियाली समसययाए हल करत ह।●● चरो कया पयोग कर दवनक िीिन की समसययाए तया पहवलयया हल करत ह।●● बीिीय वयिको को गिया करत ह, िस (2x – 5 ) (3x2 + 7) कया विसतयार करत ह।●● विविनन सिणसवमकयाओ कया उपयोग दवनक िीिन की समसययाओ को हल करन क वलए

करत ह।●● पवतित की अिियारिया कया पयोग लयाि तया हयावन की वसवतयो म छट की गिनया,

िी.एस.टी. (GST), चरििवदध बययाि की गिनया क वलए करत ह, िस यवद अवकत मलय तया ियासतविक छट दी गई हो तो छट पवतित जयात करत ह अिया रिय मलय तया लयाि की रयावि दी हो तो लयाि पवतित जयात करत ह।

●● समयानपयात तया वयतरिमयानपयात (direct and inverse proportion) पर आियाररत प‍चन हल करत ह।

275गवित विकिियासत

मॉडयल 9

●● कोिो क योग क गििमण कया पयोग कर चतिणि क कोिो स सबवित समसययाए हल करत ह।

●● समयातर चतिणि क गििमयो कया सतययापन करत ह तया उनक बीच तकण दयारया सबि सयावपत करत ह।

●● 3D आकवतयो को वद-आययामी समतलो, िस कयागज क पनन, ‍चययामपट आवद पर पदविणत करत ह।

●● पटनण क मयाधयम स यलर (Euler's) सबि कया सतययापन करत ह।●● पमयान (सकल) तया परकयार क पयोग स विविनन चतिणिो की रचनया करत ह।●● समलब चतिणि तया अनय बहिि क कतफलो कया अनमयावनत मयान इकयाई िगण

वगरड/गरयाफ पपर क मयाधयम स करत ह तया सत दयारया उसकया सतययापन करत ह।●● बहिि कया कतफल जयात करत ह।●● घनयाियाकयार तया बलनयाकयार िसतओ कया पषठीय कतफल तया आयतन जयात करत ह।●● दड आलख तया पयाई आलख बनयाकर उनकी वययाखयया करत ह।●● वकसी घटनया क पिण म घवटत होन यया पयास यया वसकको की उछयाल क आकडो क आियार

पर िविषय म होन ियाली ऐसी घटनयाओ क घवटत होन कया अनमयान लगयात ह।

पराथणमक सतर पर गणित म आकलनपयावमक सतर पर गवित सीखन क मलययाकन पर धययान क वरित वकयया ियानया चयावहए वक बचच कस सीखत ह। मलययाकन इन वबदओ पर वकयया ियाएगया—●● बचच गवित कस सीखत ह, इसकी समझ पर;●● गवितीय अिियारियाओ और दवनक िीिन म उनक अनपयोग क विकयास पर;●● बचचो क सयामयाविक वयवकतगत गिो क विकयास पर;

आइए, अब हम इस बयात पर वचतन कर वक गवित म मोट तौर पर वकसकया आकलन वकयया ियानया चयावहए। इन कतो को नीच वदए गए आरख म पसतत वकयया गयया ह।

गवित क पवत रवच

अिियारियाए और पवरिययाएगवितीय सचयार

गवितीय तकण (रीजवनग)

सयामयाविक वयवकतगत गि

समसययाओ को हल करन क वलए गवितीय जयान कया

उपयोग करनया

णकसका आकलन णकया जाना चाणिए?

276 वनषठया — पविकि पकि

मॉडयल 9

पयावमक सतर पर गवित पढयात समय सबस सयामयानय प‍चन यह ह वक, ‘गवितीय विकि क सबि म वकसकया आकलन वकयया ियानया चयावहए?’

सिय स प‍चन कर वक िह कयया ह विसकी आपको तलयाि ह? िहया तक गवित क अविगम कया सियाल ह, यवद हम विदयालयी गवित क वययापक पररपकष‍य को दख, तो आमतौर पर यह सिीकयार वकयया ियातया ह वक बचचो को गवित क बयार म ‘सियाद करन, बयात करन, आपस म चचयाण करन, सया कयाम करन क वलए’, क रप म कछ खोिनया होगया।

विदयाथी कया वनमनवलवखत कमतयाओ क सबि म आकलन वकयया ियानया चयावहए वककयया ि इसम सकम ह—●● गवितीय तथयो, आकडो इतययावद को समवकत करन और उसस वनषकषण वनकयालन म यया

वफर उसक कयारि ियानन म;●● सबिो को समझन, सरचनयाओ को दखन, तयावकण क रप स कनो क सही और गलत

होन कया तकण दन क वलए अमतण वचतन करन म;●● गवित की विविनन ियाखयाओ िस अकगवित, बीिगवित, जययावमवत, आकडो क

पबिन, कतवमवत आवद की मल सरचनया को समझन म;●● अमतण और सयामयानयीकरि स सबवित समसययाओ स वनपटन क विविनन तरीको स

पररवचत होन म;●● दवनक िीिन की वसवतयो स सबवित समसययाओ को हल करन क वलए इस सतर पर

सीखी गई गवितीय अिियारियाओ को लयाग करन म;●● सयामवहक गवतविवि करत समय एक-दसर कया सहयोग और सहयायतया करन म;

मॉडयल म विदयालय आियाररत आकलन (School Based Assessment) म दवनक विकि-अविगम की पवरिययाओ क सया एकीकत करन क वलए बतयाए गए मलययाकन क विविनन उपकरिो (टलस) कया वििकपिण रप स उपयोग वकयया ियानया ह। अविगम क पररियामो म वनियाणररत ियावछत दकतयाओ को परया करन क वलए पयारविक सतर पर गवित क विकि-अविगम को दियाणन क वलए कछ उदयाहरि नीच वदए गए ह।

नमकना 1यह गवतविवि पी-सकल क अवतम िषण यया ककया 1 की िरआत म आयोवित की िया सकती ह।

सीखन क परतिफल1 स 9 िसतओ ियाल समहो क वलए सखयया क नयामो कया उपयोग करनया

गतितिति का उदशयबचचया यह करन म सकम होगया—●● वदए गए समह क अनरप सखयया कया नयाम बतयान म●● 1 स 10 तक रिम म सखयया क नयाम बतयान म

277गवित विकिियासत

मॉडयल 9

आिशयक सामगीउपयकत सयामगरी उपलबि करयायी िया सकती ह िो कवितया/कहयानी, शवय-द‍चय सयामगरी क परक ह।

परतरिया●● आमतौर पर बचच ककया म पिि करन स पहल ही सखयया क सपकण म आत ह। उदयाहरि

क वलए, उनहोन सनया होतया ह वक बड लोग अपन दवनक िीिन म सखययाआ क नयाम कया उपयोग कर रह ह, िस— मझ एक और वबवसकट की आि‍चयकतया ह, मझ 5 रपए द, हम 2 वदनो क बयाद दयादी क घर ियाएग, आवद।

●● कछ बचच पहल स ही सखयया क नयाम (ययादवचछक और/यया रिम म) ियान सकत ह। इस गवतविवि कया उद‍चय बचचो को सखयया क नयाम यया वगनती क नयामो स पररवचत करयानया ह, तयावक ि एक सदिण कया उपयोग कर सक विसस बचचया एक सह-सबि बनया सक।

●● विदयाव णयो को सखयया क नयामो को रिम स समझन म मदद करन क वलए ककया म छोटी कवितयाओ (एक ककया 1 क विदयाव णयो क वलए उपयकत), गयान, खल यया कहयावनयो आवद विसम सखयया क नयाम (ययादवचछक और रिम म वदए गए) ियावमल ह, ययाद करयाए िया सकत ह।

●● नीच एक कवितया दी गई ह। अधययापक अपनी सयानीय ियाषया म ऐसी कई कवितयाए ल सकत ह।

एक एक एकएक छोटा बचचाएक रोटरी खाओ।(उन िसतओ को वदखयाए िो 1 की सखयया म मौिद ह, िस— नयाक, आकयाि म सरि

आवद और बचचो को िरीर क उन वहससो और िसतओ को छन यया वदखयान क वलए कह िो सखयया 1 म मौिद ह।)

दो दो दोदो छोट बचचडचडियाघर जाओ।(उन िसतओ को वदखयाए िो 2 क समह म मौिद ह, िस— आख, सयाइवकल क दो

पवहए आवद और बचचो को िरीर क उन वहससो और िसतओ को छन यया वदखयान क वलए कह िो 2 क समह म मौिद ह।

तरीन तरीन तरीनतरीन हर तोतआजाद उि।चार चार चार

278 वनषठया — पविकि पकि

मॉडयल 9

चार भख डपलअडिक खाना चाह।

पाच पाच पाचपाच ह मिमडकखया जा रहरी छत म।(कवितया और िसतओ क समह को सखयया 9 तक िोडनया ियारी रख)ककया म उन सिी बचचो को इस गवतविवि म ियाग लन कया अिसर पदयान कर, िो ियाग

लन म सकोच करत ह। विविनन कमतयाओ ियाल बचचो को उनकी कमतयाओ क अनसयार उदयाहरिो को उदधत करन क वलए कहया ियानया चयावहए।

नमकना 2पयावमक विदयालय क विदयाथी आमतौर पर कोि की जययावमतीय अिियारिया को समझन म कवठनयाइयो कया अनिि करत ह। ि कवठनयाइयो कया अनिि कयो करत ह? जययादयातर समय यह कवठनयाई उस समय होती ह िब अधययापक अिियारिया को समझन म विदयाव णयो की मदद करतया ह। कछ मयानक पयाठयपसतको म दी गई गवितीय िबदयािली कया उपयोग करत हए एक कोि को पररियावषत करन क बियाय, हम विविनन और दवनक िीिन म वदखयायी दन ियाली वसवतयो कया उपयोग करनया चयावहए, िस—●● सडक क चौरयाह पर, क ची म, घडी क कयाट आवद म●● टबल टॉप क कॉनणर, मयावचस क कोन आवद म●● हया यया पर क झकन पर●● बचचो क पयाकण म ढलयान, रप, छत, पहयाडी, रलि वसगनल, सलयाइड इतययावद पर●● दरियाजया खोलन और बद करन, ियाइपर, छत कया पखया, पवहय की तीवलयया आवद म

ऐसी पररवसवतयया कोि की अिियारिया को वयिवसत तरीक स विकवसत करन क वलए बहत सयार अिसर पदयान करती ह। यह बहत महतिपिण ह वक कोि की अिियारिया को समझया ियाए, कयोवक यह आरविक ककयाओ म जययावमतीय स सबवित वि षयो को समझन म मल अिियारिया कया कयाम करती ह। इसवलए यह उदयाहरि कछ ऐसी गवतविवियया सझयातया ह विनस कोि की अिियारिया और अ ण समझन म मदद वमल तया कोिो को नयन कोि, समकोि और अविक कोि म िगथीकत वकयया िया सक। इसम सीखन की पगवत ियानन क वलए आकलन स सबवित कछ गवतविवियया िी ह।

परमख िारणाएकोि, कोि कया मयाप, कोिो कया िगथीकरि, कोिो की तलनया

279गवित विकिियासत

मॉडयल 9

सीखन क परतिफल●● कोि क विचयार की वययाखयया करतया ह।●● कोिो को समकोि, नयन कोि और अविक कोि म िगथीकत करतया ह।

अविगम क इन पररियामो को पयापत करन क वलए विदयाव णयो को उन समहो म विियावित वकयया िया सकतया ह विनम छयात-छयातयाओ की सखयया लगिग बरयाबर होगी। समह वनमनवलवखत गवतविवियो म सलगन हो सकत ह।

गणतणरणि 1●● विदयाव णयो स घडी क दोनो कयाटो को अलग-अलग समय पर दखन और दोनो कयाटो क

बीच क खल सयान कया ििणन करन क वलए कह।

●● सवनव‍चचत कर वक घवडयया ऐसी हो वक घडी क कयाटो (ययानी सई), उन पर सखयया आवद को हयाो स छन क बयाद महसस वकयया िया सकतया हो।

●● विदयाव णयो को घडी क कयाटो क बीच बनन ियाल कोि क सदिण म वनरीकि करन और उस वयकत करन क वलए कह, पसतत वचत वदखयाए। कयया विदयाथी ऐसी िसतओ की पहचयान कर सकत ह विनम कोि क मयाप और उनक सबि ियावमल ह?

●● इस गवतविवि को विदयाव णयो को 1 स 12 तक अलग-अलग सखययाओ स वनवदणषट कर एक गोल म वयिवसत करक िी वकयया िया सकतया ह। विदयाथी उिरी सखयया ियाल कयाडण को हया म पकड सकत ह। इस कयाडण पर उिरी सखयया को पहचयान कर कोि कया अनमयान लगयान म अनय विदयावणयो की मदद कर सकत ह।

●● क रि वबद वनियाणररत वकए िया सकत ह।●● घडी क हया बनयान क वलए विदयाव णयो की दो पवकतयया क रि स वनकलती हई और दो

अलग वदियाओ म ियाती हई, ितत की सीमया की ओर एक कोि बनयात हए बनयाए िया सकत ह।

●● क रि और सीमया पर खड य बचच अपनी वसवत और उनक दयारया पकड गए कयाडण क बयार म बतयात रहग।

●● कोि को एक यया दोनो पवकतयो को वफर स वयिवसत करक बदलया िया सकतया ह।●● वििष आि‍चयकतया ियाल विदयाथी सीमया-रखया कया वहससया यया सई की िरी बन सकत ह।

280 वनषठया — पविकि पकि

मॉडयल 9

गणतणरणि 2विदयाव णयो स क ची, कपयास, वडियाइडर आवद िसतओ कया वनरीकि करन को कह और सिय क िबदो म कोि बनन क सदिण म खल वहसस कया ििणन करन क वलए कह।

गणतणरणि 3विदयाव णयो को कमर म एक दरियाि क खल वहसस और बद होन ियाल वहसस कया वनरीकि करन को कह और सिय क िबदो म इसकी गवत क दौरयान, विविनन वबदओ पर दरियाि की गवत स बनन ियाल कोिो क सदिण म ििणन करन क वलए कह। बचचो को िसतओ को छन और वबदओ पर बन कोि क बयार म विचयार करन क अिसर पदयान वकए ियान चयावहए।

गणतणरणि 4विदयाव णयो को वकसी बॉकस क ढककन क खल वहसस और बद होन ियाल वहसस कया वनरीकि कर उसस बनन ियाल कोिो कया ििणन सिय क िबदो म करन क वलए कह।

अधययापक इस तरह की गवतविवियो कया इसतमयाल कोि की अिियारिया समझयान क वलए कर सकत ह। कोि एक ऐसया वचत ह िो एक ही वबद स वनकलती हई वकरिो स बनतया ह। इन वकरिो को कोि की िियाए कहत ह और िो सयामयानय वबद ह, उस िीषण कहत ह।

इस बयात पर जोर वदयया िया सकतया ह वक कोि कया नयामकरि करत समय, िीषण हमिया बीच म होतया ह; और िियाए घमती ह।

गणतणरणि 5●● विदयाव णयो स लकडी/पलयावसटक/झयाड की सीक और समयान

रप स कयाटी गई रबर की कछ नवलयो को लयान क वलए कह।●● उनह नीच वदखयाए गए अनसयार रबर की नवलयो क टकडो कया

उपयोग करत हए छडो को िोडन क वलए कह, तयावक कोिो की मयाप को समझयायया िया सक। इसक अलयािया, विदयाथी क ची यया वडियाइडर कया उपयोग कर सकत ह।

●● विदयाव णयो को छडो क इन िोड म खल सयान दखन क वलए पोतसयावहत कर (एक समय म वकसी िी दो को ल)।

●● यह धययान द सक ग वक वचत (i) और (ii) यया (ii) और (iii) यया (iii) अौर (iv) यया (iv) और (v) यया (v) और (vi) म, यह तय करनया आसयान ह वक “कौन-सया खलया वहससया अविक बडया ह”

(i) (ii)

(iii) (iv)

(v) (vi)

281गवित विकिियासत

मॉडयल 9

यया “कौन-सया खलया वहससया छोटया ह”। अयाणत जययावमतीय िबदो म, यह तय वकयया िया सकगया वक कौन-सया कोि बडया यया छोटया ह।

●● उनह दखन दीविए वक छडो क मयामलो म िोड क खल वहससो (i) और (iii) यया (ii) और (v) यया (iv) और (vi) म यह तय करनया मव‍चकल ह वक कौन-सया खलया वहससया अविक बडया ह यया कौन-सया खलया वहससया छोटया ह। दसर िबदो म, कौन-सया कोि बडया यया कौन-सया छोटया ह।

●● ऐसी गवतविवियया विदयाव णयो म विविनन पकयार क कोिो को मयापन की आि‍चयकतया क कयारि की यया करयायी िया सकती ह।

●● इस पकयार की गवतविवियया दवषटबयावित विदयावणयो दयारया िी की िया सकती ह।

गणतणरणि 6●● जययावमवत बॉकस स एक चयादया अिया कोिमयापक (पॉ‍टकटर) वनकयाल और इस

विदयाव णयो को वदखयाए। चयाद पर उिरी लयाइनो और सखययाओ को सपिणनीय होनया चयावहए, तयावक बचच उन पर उगवलयया घमयाकर उनह पढ सक । सपिण क मयाधयम स सिी विदयाव णयो को यह महसस करन द वक सयामयानय चयादया अिणिततयाकयार ह।

●● विदयाव णयो को चयाद क वकनयार पर (0°–180° और 180°–0°) दो पकयार क सकल दखन क वलए कह।

●● विदयाव णयो को बतयाए वक कोि को “वडगरी” (पतीकयातमक रप स ° क रप म वनरवपत) म मयापया ियातया ह। इसक सया ही विदयाव णयो को बतयाए वक कोिो को मयापन क वलए चयाद कया उपयोग वकस पकयार स वकयया ियातया ह।

●● विदयाव णयो स उपरोकत कोिो को मयापन यया कछ कोिो को बनयान और उनह मयापन क वलए कहया िया सकतया ह।

●● बचचो को पलयावसटक/लकडी की छडो को िोडकर, कोि बनयाकर वदखयाए। बचचो स उनक बीच क खल सयान को मयापन क वलए िी कहया िया सकतया ह।

●● विदयाव णयो को इस पकयार क कोिो को मयापन म मदद कर और उनह चयाद क वकनयार पर दो पकयार क सकल की आि‍चयकतया और उपयोग क बयार म बतयाए।

गणतणरणि 7●● विदयाव णयो को अपनी पसतको, कयापी, कमर आवद क पतयक कोन पर बन कोिो को

दखन क वलए पोतसयावहत कर और यह तय करन द वक कयया पतयक वसवत म चयाद कया उपयोग करक कोि को मयापया िया सकतया ह। उनह अपन आस-पयास स ऐसी िसतओ को चनन और उन पर चचयाण करन की अनमवत द।

●● उनह पतयक कोन पर चयाद कया उपयोग करक कोि को मयापन द और इस नोट करन क वलए कह।

●● 90° क कोि ियाल कोि क वलए ‘समकोि’ िबद कया पररचय द।

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

282 वनषठया — पविकि पकि

मॉडयल 9

गणतणरणि 8●● विदयाव णयो को छयात-छयातयाओ क चयार यया पयाच वमवशत समहो म विियावित वकयया िया

सकतया ह।●● पतयक समह को नीच वदए गए कोिो कया सट कयागज बनयाकर यया कटआउट बनयाकर

वदयया िया सकतया ह।

(i) (ii) (iii)

(iv) (v) (vi) (vii)

●● पतयक समह को चयाद कया उपयोग करक कोिो को मयापन और चयाटण पपर म नोट करन क वलए पोतसयावहत कर।

●● उनह मयापो कया अिलोकन करन द और यह िी समझन द वक आकवत (i), (vii) और (v) म वदए गए कोि समकोि ह।

●● उनह यह िी दखन को कह वक कोि (iii) और (iv) एक समकोि स कम (उसस छोट) ह और वफर 0° स बड ह; और कोि (ii) और (vi) एक समकोि स बड (स बड) ह और 180° स कम ह। (यह कयागज कया उपयोग करक हया स बनयाए हए चयाद क मयाधयम स वकयया िया सकतया ह, िसया वक ककया 6 की रया.ि.अ.प.प. की गवित की पयाठयपसतक म िी वदखयायया गयया ह)

●● विदयाव णयो को बतयाए वक कोि (iii) और (iv) को नयन कोि और (ii) और (vi) को अविक कोि कहया ियातया ह।

●● विदयाथी, ककया 1 स 8 क वलए गवित म (रया.ि.अ.प.प. दयारया पकयावित) गडित डकट और परयोगशाा मनअ म दी गई गवतविवियया िी कर सकत ह। इसी पकयार कया पययागियालया मनअल रयाजय सतर पर अनय ियाषयाओ म िी उपलबि होगया।

द वषटबयावित विदयाव णयो क वलए उपरोकत गवतविवियो को करन हत वििष रप स वडजयाइन वकए गए रलर, चयादया और कपयास ह।

283गवित विकिियासत

मॉडयल 9

आकलन— गलत िारिाए और सहायक उपकरिकोिो की तलना करना●● विदयाथी वनमनवलवखत पकयार स कोिो क एक िोड की तलनया कर सकत ह—

A B

●● कछ विदयाथी कह सकत ह वक कोि A, कोि B स बडया ह, कयोवक कोि A की िियाए कोि B की तलनया म अविक लबी ह। यवद ऐसया ह तो हो सकतया ह वक िह कह वक कोिो की तलनया िियाओ की लबयाई क अनसयार नही की गई ह। उनह बतयाए वक कोिो की तलनया दोनो िियाओ क बीच क खल सयान क अनसयार की ियाती ह।

●● इसी पकयार, विदयाव णयो को वनमनवलवखत कोिो क एक िोड की तलनया करन क वलए कह—

QP

●● कछ विदयाथी कह सकत ह वक कोि Q, कोि P स बडया ह, कयोवक कोि Q की चयाप कोि P की चयाप स बडी ह। यहया वफर स यह इवगत वकयया िया सकतया ह वक कोिो की लबयाई चयाप (आकण ) की लबयाई क अनसयार नही ह। उनकी तलनया दोनो िियाओ क बीच क खल सयान क अनसयार की ियाती ह।

कोि मापना●● विदयाव णयो स वनमन पकयार क कोिो को मयापन क वलए कह।

(i) (ii)

(iii) (iv)

284 वनषठया — पविकि पकि

मॉडयल 9

●● कछ विदयाथी कोि (iii) को 30° क बियाय 150° मयाप सकत ह। इसी तरह, कछ विदयाथी कोि (iv) को 120° क बियाय 60° तक मयाप सकत ह। यवद ऐसया ह तो विदयाव णयो को चयाद क वकनयार पर उवचत सकल कया उपयोग करन क वलए कह।

●● कछ विदयाथी इस कोि को चयाद स वकसी एक ििया की रखया पर रखन क बियाय सीि वकनयार पर रखकर कोि को मयाप सकत (0°–180° यया 180°–0°) ह। यवद ऐसया ह, तो विदयाव णयो को उवचत तरीक स चयाद कया उपयोग करन की विवि बतयाए।

समकोि●● विदयाव णयो स वनमनवलवखत म स समकोि की पहचयान करन क वलए कह—

A C

D

B

E F

●● कछ विदयाथी किल कोि A को समकोि क रप म पहचयान सकत ह। हयालयावक, इस मयामल म; कोि A, F और C समकोि ह और अनय समकोि नही ह। इसकया अ ण ह वक विदयाथी कोि F यया C को समकोि क रप म नही पहचयान रह ह। इसकया कयारि यह हो सकतया ह वक विदयाव णयो को अकसर समकोिो क नमनया उदयाहरि वदए ियात ह। नतीितन, ि कोि की अनय पसतवतयो को नही पहचयानत ह। इसवलए, इस कमी को दर करन क वलए, अधययापक को सिी पकयार क अविविनययासो म समकोि और अनय कोिो को पसतत करनया होगया।

उचच पराथणमक सतरनमकना 3सीखन क परतिफल●● इस उदयाहरि म हम एक पिण सखयया को एक विनन सखयया क सया और वकसी अनय

विनन सखयया स विियािन की अिियारिया पर चचयाण करग।

एक तिनन सखया क साथ एक पणण सखया का तििाजनआइए, हम दख वक वनमनवलवखत वसवत म कस समयाियान पया सकत ह— हमयार पयास 2 चॉकलट ह। पतयक चॉकलट ½ ियागो म टटी हई ह। सिी विदयाव णयो को चॉकलट कया एक-एक टकडया वदयया ियानया ह। वकतन विदयाव णयो को चॉकलट वमलगी?

285गवित विकिियासत

मॉडयल 9

पययाणपत चचयाण क बयाद विदयाव णयो को इस वनषकषण पर पहचनया चयावहए वक हम दोनो चॉकलट म आि टकडो कया पतया लगयान की आि‍चयकतया ह और इसवलए 2 ÷ ½ वनकयालया ियानया चयावहए।

ि आग पतया लगया सकत ह वक ऐस टकडो की सखयया 4 ह।यह 2 ÷ ½ = 4 ह, अयाणत 4 विदयावणयो को चॉकलट कया एक-एक टकडया वमलगया।इसी पकयार, तब कयया होगया िब चॉकलट को ियागो म बयाट वदयया ियाएगया। तब

उपरोकत चचयाण की तरह पररियाम पयान क वलए हम 2 ÷ करनया होगया, विसकया वनषकषण होगया— 2 ÷ = 6

इसी तरह 2 ÷ ¼= 8इनह 2 ÷ ½ = 4; 2 ÷ = 6; 2 ÷ ¼ = 8 क रप म वलखया िया सकतया ह; और इसी

तरह आग िी विियावित कर सकत ह। विदयाव णयो स पछया िया सकतया ह वक कयया ि इसम कोई पटनण दखत ह। यवद हया, तो उनस 3 ÷ ¼ = ?; 2 (½) ÷ = ? पछया िया सकतया ह।

विदयाव णयो को पटनण कया वनरीकि करन और एलगोररदम (ियाग विवि) खोिन क वलए पररत वकयया िया सकतया ह।

णलणित समस‍या — एक विदयालय म सयातिी ककया म 5 खड ह। कत भरमि पर ियान क वलए ककया अधययापको को अपनी सबवित ककया को 5/6 ि ियागो म विियावित करन क वलए कहया गयया। यवद पतयक ियाग को एक बस की आि‍चयकतया होती ह, तो कत भरमि क वलए वकतनी बसो की आि‍चयकतया होगी?

समािान — कत भरमि क वलए आि‍चयक बसो की सखयया 5 खडो म कल ियागो क बरयाबर ह। यह वदयया गयया ह, इसवलए

5 ÷ 56

= 5 × 65

= 6

इस पकयार, कत भरमि क वलए 6 बसो की आि‍चयकतया होगी।

नमकना 4

सीखन क परतिफलएक विदयाथी दो पियााको को गिया करतया ह।

यह विदयाथी पियााको को िोडन और घटयान क बयार म अिगत ह। गिन की अिियारिया को अब पि वकयया ियानया ह। ऐसया करन क वलए विदयाथी को कछ गवतविवियो म सलगन वकयया िया सकतया ह विसस विदयाव णयो को पियााको की गिन पवरियया को समझन म मदद वमलगी।

286 वनषठया — पविकि पकि

मॉडयल 9

बचच, पटनण क बयार म पययाणपत रप स ियानत ह। हम उन गवतविवियो क बयार म सोच सकत ह िो पटनण और उन अिियारियाओ पर आियाररत ह िो पहल स ही विदयाव णयो को जयात ह। इसस ि दो पियााको क गिनफलो की अिियारिया को विकवसत कर सक ग।

आइए, गिनफलो क पकयार क सया िर कर— िनयातमक पियााक × ॠियातमक पियााक = ॠियातमक पियााक

गणतणरणि 1एक अिसया 2 × (−3) ल।

बचचो न अपनी पयावमक ककयाओ म पयाकवतक सखययाओ कया गिन सीखया ह। तब सखयया को िोडन की अिियारिया कया उपयोग वकयया गयया या। उदयाहरि क वलए, 2 × 3 कया अ ण 3 को दो बयार िोडनया होगया, अयाणत 3 + 3 = 6। अधययापक विदयाव णयो को इस पवरियया को ययाद करन क वलए कह सकत ह। कछ और उदयाहरिो पर चचयाण की िया सकती ह, िस— 5 × 4, 6 × 8 आवद।

इसस विदयाव णयो को सखययाओ को िोडनया वसखयान क बयाद ही पररवचत वकयया ियातया ह।विदयाव णयो स अब चचयाण करन क वलए कहया िया सकतया ह वक कयया इसी पवरियया कया

उपयोग 2 × (−3) खोिन क वलए कर सकत ह। ि पियााको को िोडन क बयार म ियानत ह। पययाणपत चचयाण क बयाद ककया इस नतीि पर पहच सकती ह।

इस पकयार, 2 × (−3) = (−3) + (−3) = −6चचयाण क दौरयान यह दखया िया सकतया ह वक विदयाथी पयावमक ककयाओ म अधययन वकए

गए अको की गिया क विचयार को िोडन म सकम ह यया नही। इस कस कर सकत ह, इस पर चचयाण हो सकती ह।

एक िनयातमक और ॠियातमक पियााक क गिनफल कया एक विचयार दन क वलए इसी तरह क उदयाहरि वदए िया सकत ह।

ऐसया करन कया एक और तरीकया वनमन गवतविवि म सझयायया गयया ह।

गणतणरणि 2इसम −3 को दो बयार िोडन कया विचयार िी वकयया िया सकतया ह, िसया सखयया-रखया म वदखयायया गयया ह। −3 × 2

−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

ॠियातमक वदिया म −3 को दो बयार िोडन कया अ ण ह (−3) + (−3) और हम −6 तक पहचत ह। −3 × 3

−4 −3 −2 −1 0 −7 −6 −5 −9 −8 1 2 3 4 5 6 7 8 9

287गवित विकिियासत

मॉडयल 9

(−3) + (−3) + (−3) कया अ ण होगया ॠियातमक वदिया की ओर −3 को तीन बयार िोडनया। इस पकयार, हम −9 तक पहचत ह।

पियााको को िोडन की इस द‍चय पसतवत स विदयाव णयो कया धययान आकवषणत होगया और ि न किल गिनफलो को खोिन म सलगन होग, बवलक गिनफल क सकत की वययाखयया िी करग।

विदयाव णयो को अपनया वनषकषण वनकयालन क वलए पररत वकयया िया सकतया ह। ऐस विविनन गिनफलो क उदयाहरि ल।

विदयाथी, वकसी अनय गवतविवि म िी सलगन हो सकत ह तयावक उनह एक ही अिियारिया पयापत करन कया एक अलग तरीकया वमल सक।

गणतणरणि 3पटनण कया उपयोग उसी पररियाम पर पहचन क वलए वकयया िया सकतया ह।−3 × 2 पयापत करन क वलए, हम कहत ह, 3 × 2विदयाव णयो को यह जयात ह वक—

3 × 2 = 6 …(1)2 × 2 = 4 …(2)1 × 2 = 2 …(3)0 × 2 = 0 …(4)

यह दखन क वलए चचयाण की िया सकती ह वक कयया 6, 4, 2, 0 गिनफलो को पयापत करन म कछ पटनण विकवसत होत ह? यह इस तथय क वलए तय वकयया िया सकतया ह वक चरि (2) म, 4 = 6 − 2; चरि (3) म, 2 = 4 − 2; चरि (4) म, 0 = 2 − 2; तयातपयण यह ह वक पतयक रिवमक चरि म गिनफल स 2 घटयायया िया रहया ह। इसवलए इस तकण को आग बढयात हए, −1 × 2 = 0 − 2 = −2 −2 × 2 = (−2) − 2 = −4 −3 × 2 = (−4) − 2 = −6तो अत म हम (−3) × 2 = −6 पयापत करत ह।

इस पदधवत कया उपयोग करक ऐस गिनफलो की अविक सखयया पर चचयाण की िया सकती ह।

अब हम (ॠियातमक पियााक) × (ॠियातमक पियााक) कया उदयाहरि लत ह। इस पर चचयाण की िया सकती ह वक कयया पहल की गवतविवियो म इसतमयाल की ियान ियाली तकनीक कया इसतमयाल यहया िी वकयया िया सकतया ह। पटनण की पवरियया क बयार म अत म सोचया िया सकतया ह।

आइए, हम गिनफल (−3) × (−2) ल।

288 वनषठया — पविकि पकि

मॉडयल 9

गणतणरणि 4आइए, हम (−3) × 3 = −9 … (1) स िर कर।अब पहल की गवतविवियो म विदयाव णयो को यह पतया ह वक—

(−3) × 2 = −6 … (2)(−3) × 1 = −3 … (3)(−3) × 0 = 0 … (4)

विदयाव णयो को पयापत गिनफलो क पटनण कया वनरीकि करन क वलए कह। यहया आप यह आकलन कर सकत ह वक विदयाव णयो न एक ॠियातमक पियााक क गिनफल और इस पवरियया स ठीक पहल वकए गए िनयातमक पियााक क बयार म समझ वलयया ह अिया नही, और ि इस यहया लयाग करन म सकम ह यया नही। इसक अलयािया, अधययापक यह िी दख सकत ह वक विदयाथी गिनफलो म पटनण दख पया रह ह यया नही और ि इस आग कस बढया सकत ह।

यह दखया िया सकतया ह वक चरि (2) म, −6 = (−9) + 3; चरि (3) म, −3 = (−6) +3; चरि (4) म, 0 = (−3) + 3

इस पटनण को दखन क बयाद हम इस और आग बढयात ह, िस— (−3) × (−1) = 0 + 3 = 3 (−3) × (−2) = 3 + 3 = 6तो अत म हम (−3 × (−2) = 6 वमलतया ह।विदयाव णयो को अभययास करन क वलए कछ और उदयाहरि वदए िया सकत ह। विदयाव णयो

को उदयाहरि बनयान और इनह एक-दसर को दन क वलए िी पोतसयावहत वकयया ियानया चयावहए।विदयाव णयो स पियााक क पकयार (ययानी, िनयातमक यया ॠियातमक) क बयार म पछया िया

सकतया ह, िो उनह चचयाण वकए गए उपरोकत दोनो गिनफलो म वमलत ह। विदयाव णयो दयारया वकए गए अिलोकन कया आकलन वकयया िया सकतया ह। इसम वनमनवलवखत क बयार म विदयाव णयो स पछया िया सकतया ह—

गिनफलो क वलए पयापत पियााक कया सकत कयया ह, (−1) × (−1); (−1) × (−1) × (−1); (−1) × (−1) × (−1) × (−1); (−1) × (−1) × (−1) × (−1) × (−1);

(−1) × (−1) × (−1) × (−1) × (−1) × (−1), (−2) × (−3) (−5) ...........दो पियााको क गिनफल को पि करन क बयाद यह आि‍चयक ह वक विदयाव णयो को इस तरह क गिन की आदत हो। दो पियााको को गिया करन क वलए किल अभययास दन क बियाय उनह खलन क वलए एक खल वदयया िया सकतया ह विसम कई बयार पियााको को गिया करन की आि‍चयकतया होती ह।

िलखल, विदयाव णयो को रोमयाच, खिी, हतयािया और आनद की ियािनया द सकत ह। गवित पढयान म खलो कया उपयोग करन स गवित क पवत बहतर दवषटकोि, उननत परिया और बचचो की

289गवित विकिियासत

मॉडयल 9

समसयया सलझयान की कमतयाओ क विकयास म सहयायतया वमलती ह। गवितीय खल खलत समय होन ियाली गवितीय चचयाणए गवितीय समझ क विकयास की ओर ल ियाती ह।

कयागज की एक बडी िीट पर (सयाप-सीढी यया ितरि क खल क समयान) 19 पवकत यो और 11 सतिो क सया छोट बकस खीच ियात ह। उनम −104 स 104 तक सखययाए वलखी ियाती ह।●● एक लया ल, विसम दो नील और दो लयाल पयास (डयाइस) रख। रगीन पयास म स एक पर

डॉटस की सखयया िनयातमक पियााक कया पवतवनविति कर सकती ह और दसर रग क पयास स ॠियातमक पियााक कया। विदयाव णयो को इसक बयार म वनिणय लन की अनमवत दी िया सकती ह। ितणमयान उदयाहरि म लयाल रग क पयास पर डॉटस की सखयया िनयातमक पियााक और अनय रग ॠियातमक पियााक कया पवतवनविति करत ह।

●● ककया को विविनन समहो म विियावित कर। समह कया आकयार विदयाव णयो की मदद स तय वकयया िया सकतया ह। पतयक समह म विदयाथी खल खलग। मयान लीविए समह कया आकयार 4 ह।

●● पतयक वखलयाडी अपन कयाउटर 0 अक पर लगयाएगया।●● पतयक वखलयाडी ल म पयासया डयालगया और इस दख वबनया दो पयास वनकयालगया। पयास एक

ही रग यया विविनन रगो क हो सकत ह।●● वखलयाडी को बयाहर वनकयाल गए पयास पर सखययाओ को गिया करनया होगया।●● यवद पयास एक ही रग क हो तो सखययाओ कया गिनफल िनयातमक होगया, अनयया यह

ॠियातमक होगया। ●● यवद गिनफल िनयातमक ह तो वखलयाडी को कयाउटर को 104 की ओर ल ियानया चयावहए

और यवद यह ॠियातमक ह तो कयाउटर को −104 की ओर ल ियानया चयावहए●● िो 104 यया −104 तक पहल पहचतया ह, िह विितया होतया ह।

इस खल को खलत समय विदयाथी कई बयार पियााक को गिया करग और अपन समह म दसरो को ऐसया करत हए दखग। विदयाथी पियााक क गिन स सबवित तथयो स िी पररवचत होग।

एक अधययापक क रप म आपको यह ियानन कया अिसर वमलतया ह वक कयया विदयाथी पियााक क गिनफल क सया कयाम करन म सकम ह।

नमकना 5सीखन क परतिफलविदयाथी घनयाकयार िसतओ कया पषठीय कतफल वनकयालन म सकम होतया ह।घनयाकयार िसतओ कया आयतन जयात करन म सकम होतया ह।

अतिगम क उदशयइस गवतविवि क परया होन क बयाद विदयाथी—

घन और घनयाि बनयाए और उनक पषठीय कतफल क वलए सत पयापत कर।घनयाि कया आयतन जयात करन क वलए एक सत पयापत कर।

290 वनषठया — पविकि पकि

मॉडयल 9

गणतणरणि 1सामगी की आिशयकिाकयाडणबोडण, रलर, कटर, सलो टप, सकच पन/पवसल, सफद पपर, चयाटण पपर

परतरियाविदयाव णयो को पतयक समह म चयार विदयाव णयो क समहो म विियावित वकयया िया सकतया ह।विदयाव णयो को कयाडणबोडण, रलर, कटर, सलो टप, सकच पन/पवसल, सफद पपर, चयाटण पपर आवद वदए ियान चयावहए।

विदयाव णयो को वचत 1 म दियाणए अनसयार ििया a इकयाई क छह समयान िगयो को वमलयाकर एक आकवत बनयान क वलए पोतसयावहत वकयया ियानया चयावहए।

वचत 2 म दियाणए अनसयार एक ठोस बनयान क वलए पवकतयो क वनियान क सया िगयो को मोड।

चचाण/ परदरणनयह चचयाण की िया सकती ह वक वचत म वकस तरह कया ठोस पयापत वकयया गयया ह। यह एक घन ह। विदयाथी बतया सकत ह वक यह घन कयो ह। इसस अधययापक को यह दखन कया अिसर वमलगया वक विदयाव णयो को वकसी घन की वििषतयाओ क बयार म पतया ह यया नही।

घन कया पतयक फलक ििया ‘a’ कया एक िगण ह। इसवलए, घन क एक फलक कया कतफल a2 होतया ह।

एक घन म कल पषठो की सखयया 6 होती ह।इसवलए, एक घन कया पषठीय कतफल 6a2 होतया ह।

गणतणरणि 2तिचार-तिमरणघनयाकयार िसत म वकतनी िियाए होती ह?

विदयाथी, अपन पररिि म इस तरह क विविनन आकयार, रबड, बॉकस, कमर आवद क बयार म अिलोकन और चचयाण करन क बयाद, घनयाि क बयार म बयात कर सकत ह और उपरोकत प‍चनो कया िियाब द सकत ह। इसस अधययापक को यह िी पतया चलगया वक विदयाव णयो को घनयाि क बयार म वकतनया पतया ह।

वचत 3 म वदए गए घनयाि की िियाओ a, b और c कया वनरीकि कर—विदयाव णयो न 2D आकयार क कतफलो क बयार म सीखया ह। उनह यह बतयान क वलए कहया

िया सकतया ह वक पतयक फलक कया आकयार कयया ह? कयया सिी फलक एक ही आकयार क ह? इनम स कौन-स एक समयान ह और कौन-स नही ह?

अब विदयाथी वदए गए आययामो क सया 3D आकयार क बयार म बयात कर सकत ह।

aa

डचतर 1

डचतर 2

291गवित विकिियासत

मॉडयल 9

वकसी ठोस क पषठीय कतफल क बयार म ियानन क वलए पययाणपत समय और चचयाण की िया सकती ह। विदयाव णयो को यह महसस करनया चयावहए वक यह सिी फलक क कतफलो कया योग ह।

घनयाि क सयामन/पीछ क ियाग कया कतफल a और b इकयाई = ab होतया हआग और पीछ क फलक कया कल कतफल = ab + ab = 2abदोनो िियाओ क फलक कया कल कतफल a और c इकयाई = ac + ac = 2ac हिीषण और वनचल फलक कया कल कतफल b और c इकयाई = bc + bc = 2bcकल पषठीय कतफल = 2ab + 2bc + 2ca = 2(ab + bc + ca)यवद a = b = c तो कल पषठीय कतफल = 2a2+2a2+2a2= 6a2

गणतणरणि 3

सामगी की आिशयकिाएक घनयाि कया ियाल, पलयावसटक/वमटी, कटर, रलर, कयाडणबोडण

परतरियालबयाई l, चौडयाई b और ऊचयाई h ियाल घनयाि कया एक ियाल ल (मयान ल वक l=4, b=4, h=3)●● इस एक खलया घनयाि बनयान क वलए मोड।●● इस घनयाि को वमटी/पलयावसटक स िर और ियाल को हटया द।●● कयाडणबोडण म घनयाि को रख और इसकी लबयाई l क सया चयार बरयाबर टकडो म कयाट ल।

(वचत 4)●● इसकी चौडयाई b क बरयाबर टकडो क सया घनयाि कयाट। (वचत 5)●● घनयाकयार को तीन बरयाबर टकडो म कयाट विसकी ऊचयाई h ह। (वचत 6)।

डचतर 4 डचतर 5 डचतर 6

तिचार-तिमरणघनयाि को इकयाई लबयाई क घनो म विियावित वकयया गयया ह।

बनन ियाल इकयाई घनो की सखयया 48 ह, विस 4 × 4 × 3 क रप म वयकत वकयया िया सकतया ह।

डचतर 3

b

ca

292 वनषठया — पविकि पकि

मॉडयल 9

विदयाथी 1 × 1 × 1 पररमयाप ियाल घन क आयतन क बयार म बतया सकत ह।घनयाि कया आयतन = 4 × 4 × 3 घन इकयाइयया ह, अयाणत l × b × hइसी पकयार, विदयाव णयो को 2, 4, 4 इकयाइयो क विविनन पररमयापो क घनयाि बनयान क

वलए कहया िया सकतया ह; उनस 3, 4, 5 इकयाइयो और घन की सखयया आवद कया वनरीकि करन क वलए कह।

इस गवतविवि कया उपयोग घनयाि क आयतन क सत को समझयान म वकयया िया सकतया ह िो वक l × b × h ह। चचयाण क दौरयान अधययापक यह दख सकत ह वक विदयाथी सयामयानयीकत सत कस अपनयात ह।