5. Determinantes Twinkle, twinkle, little bat!How I wonder what you’re at!

Up above the world you fly,Like a teatray in the sky.

Twinkle, twinkle little bat!

How I wonder what you’re at!

Lewis Carroll’s, Alice’s Adventures in Wonderland.

Definicao

Seja A uma matriz de ordem n, o determinante de A representa-se pordet(A) ou |A|, e e um numero definido por:

• se n = 1, isto e A = (a11) entao det(A) = a11,• se n > 1, entao

det(A) = a11det(M11)− a12det(M12) + · · ·+ (−1)1+na1ndet(M1n)

onde M1j denota a matriz n − 1 obtida de A retirando-lhe a linha 1 e acoluna j .

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 1 / 12

Exemplo

A =

(2 1

−4 3

), det A = |A| = 2× 3− 1× (−4) = 10

B =

(1 3 2

−2 4 03 0 9

),|B| = 1×

∣∣∣∣4 00 9

∣∣∣∣−3×∣∣∣∣−2 0

3 9

∣∣∣∣+2×∣∣∣∣−2 4

3 0

∣∣∣∣ =

= (4× 9− 0)− 3(−2× 9− 0× 3) + 2(−2× 0− 4× 3)= 36 + 54− 24 = 66

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 2 / 12

Exemplo

A =

(2 1

−4 3

), det A = |A| = 2× 3− 1× (−4) = 10

B =

(1 3 2

−2 4 03 0 9

),|B| = 1×

∣∣∣∣4 00 9

∣∣∣∣−3×∣∣∣∣−2 0

3 9

∣∣∣∣+2×∣∣∣∣−2 4

3 0

∣∣∣∣ =

= (4× 9− 0)− 3(−2× 9− 0× 3) + 2(−2× 0− 4× 3)= 36 + 54− 24 = 66

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 2 / 12

Exemplo

A =

(2 1

−4 3

), det A = |A| = 2× 3− 1× (−4) = 10

B =

(1 3 2

−2 4 03 0 9

),|B| = 1×

∣∣∣∣4 00 9

∣∣∣∣−3×∣∣∣∣−2 0

3 9

∣∣∣∣+2×∣∣∣∣−2 4

3 0

∣∣∣∣ =

= (4× 9− 0)− 3(−2× 9− 0× 3) + 2(−2× 0− 4× 3)= 36 + 54− 24 = 66

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 2 / 12

Exemplo

A =

(2 1

−4 3

), det A = |A| = 2× 3− 1× (−4) = 10

B =

(1 3 2

−2 4 03 0 9

),|B| = 1×

∣∣∣∣4 00 9

∣∣∣∣−3×∣∣∣∣−2 0

3 9

∣∣∣∣+2×∣∣∣∣−2 4

3 0

∣∣∣∣ =

= (4× 9− 0)− 3(−2× 9− 0× 3) + 2(−2× 0− 4× 3)= 36 + 54− 24 = 66

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 2 / 12

DefinicaoSeja A uma matriz de ordem n.

Ao det(Mij) chama-se menor principal de A.

A (−1)i+j det(Mij) chama-se complemento algebrico do elemento aij de A.

Exemplo Dada a matriz A =

(1 3 2

−2 4 03 0 9

)o complemento algebrico de

9, que esta na 3a linha e 3a coluna e

(−1)3+3 det

(1 3

−2 4

)= 10

Note-se que o valor do determinante de uma matriz e determinado por umdesenvolvimento que envolve elementos da 1a e os seus complementos algebricos.

Prova-se que o valor do determinante de uma matriz pode ser obtido considerando

o desenvolvimento segundo qualquer linha ou coluna da matriz.

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 3 / 12

DefinicaoSeja A uma matriz de ordem n.

Ao det(Mij) chama-se menor principal de A.

A (−1)i+j det(Mij) chama-se complemento algebrico do elemento aij de A.

Exemplo Dada a matriz A =

(1 3 2

−2 4 03 0 9

)o complemento algebrico de

9, que esta na 3a linha e 3a coluna e

(−1)3+3 det

(1 3

−2 4

)= 10

Note-se que o valor do determinante de uma matriz e determinado por umdesenvolvimento que envolve elementos da 1a e os seus complementos algebricos.

Prova-se que o valor do determinante de uma matriz pode ser obtido considerando

o desenvolvimento segundo qualquer linha ou coluna da matriz.

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 3 / 12

DefinicaoSeja A uma matriz de ordem n.

Ao det(Mij) chama-se menor principal de A.

A (−1)i+j det(Mij) chama-se complemento algebrico do elemento aij de A.

Exemplo Dada a matriz A =

(1 3 2

−2 4 03 0 9

)o complemento algebrico de

9, que esta na 3a linha e 3a coluna e

(−1)3+3 det

(1 3

−2 4

)= 10

Note-se que o valor do determinante de uma matriz e determinado por umdesenvolvimento que envolve elementos da 1a e os seus complementos algebricos.

Prova-se que o valor do determinante de uma matriz pode ser obtido considerando

o desenvolvimento segundo qualquer linha ou coluna da matriz.

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 3 / 12

Teorema de LaplaceSeja A = (aij) uma matriz de ordem n. Entao

det(A) =n∑

j=1

(−1)(k+j)akj det(Mkj), (1 ≤ k ≤ n)

ou

det(A) =n∑

i=1

(−1)(i+l)ail det(Mil), (1 ≤ l ≤ n)

Exemplo Dada a matriz A =

1 2 −1 30 1 0 10 1 4 −11 0 2 4

tem-se, fazendo o

desenvolvimento segundo a 1a coluna:

det(A) = +1×det

1 0 11 4 −10 2 4

+0+0-1×

2 −1 31 0 11 4 −1

= · · · = 18

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 4 / 12

Teorema de LaplaceSeja A = (aij) uma matriz de ordem n. Entao

det(A) =n∑

j=1

(−1)(k+j)akj det(Mkj), (1 ≤ k ≤ n)

ou

det(A) =n∑

i=1

(−1)(i+l)ail det(Mil), (1 ≤ l ≤ n)

Exemplo Dada a matriz A =

1 2 −1 30 1 0 10 1 4 −11 0 2 4

tem-se, fazendo o

desenvolvimento segundo a 1a coluna:

det(A) = +1×det

1 0 11 4 −10 2 4

+0+0-1×

2 −1 31 0 11 4 −1

= · · · = 18

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 4 / 12

Propriedades• Se D = (dij) e uma matriz diagonal, de ordem n, entaodetD = d11 × · · · × dnn.Consequentemente det(In) = 1.• Se A = (Aij) e uma matriz triangular, de ordem n, entaodetA = a11 × · · · × ann.

TeoremaSeja A = (Aij) uma matriz de ordem n. Entao det(AT ) = det(A).

TeoremaSeja A = (Aij) uma matriz de ordem n. Se todos os elementos de umalinha e/ou coluna sao iguais a zero entao det(A) = 0.

TeoremaSeja B resulta de A por multiplicacao dos elementos de uma linha oucoluna de A por um n0 α, entao det(B) = α det(A).

TeoremaSe A e uma matriz de ordem n, entao det(αA) = αn det(A).

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 5 / 12

Propriedades• Se D = (dij) e uma matriz diagonal, de ordem n, entaodetD = d11 × · · · × dnn.Consequentemente det(In) = 1.• Se A = (Aij) e uma matriz triangular, de ordem n, entaodetA = a11 × · · · × ann.

TeoremaSeja A = (Aij) uma matriz de ordem n. Entao det(AT ) = det(A).

TeoremaSeja A = (Aij) uma matriz de ordem n. Se todos os elementos de umalinha e/ou coluna sao iguais a zero entao det(A) = 0.

TeoremaSeja B resulta de A por multiplicacao dos elementos de uma linha oucoluna de A por um n0 α, entao det(B) = α det(A).

TeoremaSe A e uma matriz de ordem n, entao det(αA) = αn det(A).

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 5 / 12

Propriedades• Se D = (dij) e uma matriz diagonal, de ordem n, entaodetD = d11 × · · · × dnn.Consequentemente det(In) = 1.• Se A = (Aij) e uma matriz triangular, de ordem n, entaodetA = a11 × · · · × ann.

TeoremaSeja A = (Aij) uma matriz de ordem n. Entao det(AT ) = det(A).

TeoremaSeja A = (Aij) uma matriz de ordem n. Se todos os elementos de umalinha e/ou coluna sao iguais a zero entao det(A) = 0.

TeoremaSeja B resulta de A por multiplicacao dos elementos de uma linha oucoluna de A por um n0 α, entao det(B) = α det(A).

TeoremaSe A e uma matriz de ordem n, entao det(αA) = αn det(A).

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 5 / 12

Propriedades• Se D = (dij) e uma matriz diagonal, de ordem n, entaodetD = d11 × · · · × dnn.Consequentemente det(In) = 1.• Se A = (Aij) e uma matriz triangular, de ordem n, entaodetA = a11 × · · · × ann.

TeoremaSeja A = (Aij) uma matriz de ordem n. Entao det(AT ) = det(A).

TeoremaSeja A = (Aij) uma matriz de ordem n. Se todos os elementos de umalinha e/ou coluna sao iguais a zero entao det(A) = 0.

TeoremaSeja B resulta de A por multiplicacao dos elementos de uma linha oucoluna de A por um n0 α, entao det(B) = α det(A).

TeoremaSe A e uma matriz de ordem n, entao det(αA) = αn det(A).

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 5 / 12

Propriedades• Se D = (dij) e uma matriz diagonal, de ordem n, entaodetD = d11 × · · · × dnn.Consequentemente det(In) = 1.• Se A = (Aij) e uma matriz triangular, de ordem n, entaodetA = a11 × · · · × ann.

TeoremaSeja A = (Aij) uma matriz de ordem n. Entao det(AT ) = det(A).

TeoremaSeja A = (Aij) uma matriz de ordem n. Se todos os elementos de umalinha e/ou coluna sao iguais a zero entao det(A) = 0.

TeoremaSeja B resulta de A por multiplicacao dos elementos de uma linha oucoluna de A por um n0 α, entao det(B) = α det(A).

TeoremaSe A e uma matriz de ordem n, entao det(αA) = αn det(A).

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 5 / 12

TeoremaSe B resulta de A por troca de duas linhas ou duas colunas entaodet(B) = − det(A).

TeoremaSe A e uma matriz de ordem n. Se B resulta de A adicionando a uma linha(coluna) um multiplo de outra linha (coluna), entao det(B) = det(A).

TeoremaSejam A e B matrizes de ordem n.Entao det(AB) = det(A). det(B).

TeoremaSejam A e uma matriz de ordem n. Se A e invertıvel entao:

det(A) 6= 0,

tendo-se det(A−1) =1

det(A).

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 6 / 12

TeoremaSe B resulta de A por troca de duas linhas ou duas colunas entaodet(B) = − det(A).

TeoremaSe A e uma matriz de ordem n. Se B resulta de A adicionando a uma linha(coluna) um multiplo de outra linha (coluna), entao det(B) = det(A).

TeoremaSejam A e B matrizes de ordem n.Entao det(AB) = det(A). det(B).

TeoremaSejam A e uma matriz de ordem n. Se A e invertıvel entao:

det(A) 6= 0,

tendo-se det(A−1) =1

det(A).

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 6 / 12

TeoremaSe B resulta de A por troca de duas linhas ou duas colunas entaodet(B) = − det(A).

TeoremaSe A e uma matriz de ordem n. Se B resulta de A adicionando a uma linha(coluna) um multiplo de outra linha (coluna), entao det(B) = det(A).

TeoremaSejam A e B matrizes de ordem n.Entao det(AB) = det(A). det(B).

TeoremaSejam A e uma matriz de ordem n. Se A e invertıvel entao:

det(A) 6= 0,

tendo-se det(A−1) =1

det(A).

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 6 / 12

calculos com determinantesPode calcular-se eficientemente o valor do determinante de uma matriz, usandoeliminacao Gaussiana.Sabendo que:* o valor do determinante de uma matriz, nao se altera se for realizada aoperacao de substituicao de uma linha pela sua soma com outra previamentemultiplicada por um numero,* o valor do determinante de uma matriz ”troca”de sinal se forem trocadas duaslinhas,tem-se que, realizando uma sequencia finita de operacoes elementares sobre umamatriz, sendo a matriz A = (aij), de ordem n, transformada na matriz U = (uij)triangular superior, vem:

det(A) = (−1)lu11u22 . . . unn

sendo l o numero de trocas d linhas efectuadas.

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 7 / 12

calculos com determinantesPode calcular-se eficientemente o valor do determinante de uma matriz, usandoeliminacao Gaussiana.Sabendo que:* o valor do determinante de uma matriz, nao se altera se for realizada aoperacao de substituicao de uma linha pela sua soma com outra previamentemultiplicada por um numero,* o valor do determinante de uma matriz ”troca”de sinal se forem trocadas duaslinhas,tem-se que, realizando uma sequencia finita de operacoes elementares sobre umamatriz, sendo a matriz A = (aij), de ordem n, transformada na matriz U = (uij)triangular superior, vem:

det(A) = (−1)lu11u22 . . . unn

sendo l o numero de trocas d linhas efectuadas.

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 7 / 12

Exemplo∣∣∣∣∣∣

1 0 11 4 −10 2 4

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

1 0 10 4 −20 2 4

∣∣∣∣∣∣= −

∣∣∣∣∣∣

1 0 10 2 40 4 −2

∣∣∣∣∣∣= −

∣∣∣∣∣∣

1 0 10 2 40 0 −10

∣∣∣∣∣∣=

= −1× 2× (−10) = 20

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 8 / 12

resolver sistemas - regra de CramerTeoremaSeja Ax = b um sistema de n equacoes em n incognitas. Entao:

(i) se det(A) 6= 0 o sistema Ax = b tem solucao unica,

(ii) se det(A) 6= 0 a solucao x = (xi ) pode ser obtida de

xi =det(A(i))

det(A), (i = 1, . . . , n)

em que A(i) denota a matriz A substituindo a coluna i pelo vector b dos

termos independentes.

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 9 / 12

Exemplo

x + y + z = 2y + z = −1

−x + y = −1A =

1 1 10 1 1

−1 0 −1

, b =

2−1−1

, detA = −4

A(1) =

0@ 2 1 1−1 1 1−1 0 −1

1A , A(2) =

0@ 1 2 10 −1 1

−1 −1 −1

1A , A(3) =

0@ 1 1 20 1 −1

−1 0 −1

1AdetA(1) = −1, detA(2) = 0, detA(3) = 4

x(1) =−4

−4= 1, x(2) =

0

−4= 0, x(3) =

4

−4= −1

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 10 / 12

Exemplo

x + y + z = 2y + z = −1

−x + y = −1A =

1 1 10 1 1

−1 0 −1

, b =

2−1−1

, detA = −4

A(1) =

0@ 2 1 1−1 1 1−1 0 −1

1A , A(2) =

0@ 1 2 10 −1 1

−1 −1 −1

1A , A(3) =

0@ 1 1 20 1 −1

−1 0 −1

1AdetA(1) = −1, detA(2) = 0, detA(3) = 4

x(1) =−4

−4= 1, x(2) =

0

−4= 0, x(3) =

4

−4= −1

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 10 / 12

Exemplo

x + y + z = 2y + z = −1

−x + y = −1A =

1 1 10 1 1

−1 0 −1

, b =

2−1−1

, detA = −4

A(1) =

0@ 2 1 1−1 1 1−1 0 −1

1A , A(2) =

0@ 1 2 10 −1 1

−1 −1 −1

1A , A(3) =

0@ 1 1 20 1 −1

−1 0 −1

1AdetA(1) = −1, detA(2) = 0, detA(3) = 4

x(1) =−4

−4= 1, x(2) =

0

−4= 0, x(3) =

4

−4= −1

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 10 / 12

Exemplo

x + y + z = 2y + z = −1

−x + y = −1A =

1 1 10 1 1

−1 0 −1

, b =

2−1−1

, detA = −4

A(1) =

0@ 2 1 1−1 1 1−1 0 −1

1A , A(2) =

0@ 1 2 10 −1 1

−1 −1 −1

1A , A(3) =

0@ 1 1 20 1 −1

−1 0 −1

1AdetA(1) = −1, detA(2) = 0, detA(3) = 4

x(1) =−4

−4= 1, x(2) =

0

−4= 0, x(3) =

4

−4= −1

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 10 / 12

Exemplo

x + y + z = 2y + z = −1

−x + y = −1A =

1 1 10 1 1

−1 0 −1

, b =

2−1−1

, detA = −4

A(1) =

0@ 2 1 1−1 1 1−1 0 −1

1A , A(2) =

0@ 1 2 10 −1 1

−1 −1 −1

1A , A(3) =

0@ 1 1 20 1 −1

−1 0 −1

1AdetA(1) = −1, detA(2) = 0, detA(3) = 4

x(1) =−4

−4= 1, x(2) =

0

−4= 0, x(3) =

4

−4= −1

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 10 / 12

uma nova matriz - matriz AdjuntaDefinicaoSeja A uma matriz de ordem n. Seja cij o complemento algebrico do elemento aij

de A. A transposta da matriz quadrada, de ordem n, cujo elemento na posicao(i , j) e cij chama-se matriz adjunta de A e representa-se por Adj(A), isto e:

Adj(A) = (cij)T

Exemplo

Seja A =

2 1 00 −1 −1

−1 4 0

e calculemos a matriz adjunta de A

Adj(A) =

4 1 −10 0 −9

−1 2 −2

T

=

4 0 −11 0 2

−1 −9 −2

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 11 / 12

uma nova matriz - matriz AdjuntaDefinicaoSeja A uma matriz de ordem n. Seja cij o complemento algebrico do elemento aij

de A. A transposta da matriz quadrada, de ordem n, cujo elemento na posicao(i , j) e cij chama-se matriz adjunta de A e representa-se por Adj(A), isto e:

Adj(A) = (cij)T

Exemplo

Seja A =

2 1 00 −1 −1

−1 4 0

e calculemos a matriz adjunta de A

Adj(A) =

4 1 −10 0 −9

−1 2 −2

T

=

4 0 −11 0 2

−1 −9 −2

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 11 / 12

uma nova matriz - matriz AdjuntaDefinicaoSeja A uma matriz de ordem n. Seja cij o complemento algebrico do elemento aij

de A. A transposta da matriz quadrada, de ordem n, cujo elemento na posicao(i , j) e cij chama-se matriz adjunta de A e representa-se por Adj(A), isto e:

Adj(A) = (cij)T

Exemplo

Seja A =

2 1 00 −1 −1

−1 4 0

e calculemos a matriz adjunta de A

Adj(A) =

4 1 −10 0 −9

−1 2 −2

T

=

4 0 −11 0 2

−1 −9 −2

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 11 / 12

um novo modo de calculara inversa de uma matriz

TeoremaSeja A uma matriz de ordem n.

(i) A matriz A e invertıvel se e so se |A| 6= 0.

(ii) Se A e invertıvel tem-se

A−1 =1

det(A)Adj(A)

Exemplo

Seja A =

2 1 00 −1 −1

−1 4 0

, tendo-se |A| = 9, calculemos a matriz inversa de A

A−1 =1

9

4 0 −11 0 2

−1 −9 −2

=

4/9 0 −1/91/9 0 2/9

−1/9 −1 −2/9

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 12 / 12

um novo modo de calculara inversa de uma matriz

TeoremaSeja A uma matriz de ordem n.

(i) A matriz A e invertıvel se e so se |A| 6= 0.

(ii) Se A e invertıvel tem-se

A−1 =1

det(A)Adj(A)

Exemplo

Seja A =

2 1 00 −1 −1

−1 4 0

, tendo-se |A| = 9, calculemos a matriz inversa de A

A−1 =1

9

4 0 −11 0 2

−1 −9 −2

=

4/9 0 −1/91/9 0 2/9

−1/9 −1 −2/9

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 12 / 12

um novo modo de calculara inversa de uma matriz

TeoremaSeja A uma matriz de ordem n.

(i) A matriz A e invertıvel se e so se |A| 6= 0.

(ii) Se A e invertıvel tem-se

A−1 =1

det(A)Adj(A)

Exemplo

Seja A =

2 1 00 −1 −1

−1 4 0

, tendo-se |A| = 9, calculemos a matriz inversa de A

A−1 =1

9

4 0 −11 0 2

−1 −9 −2

=

4/9 0 −1/91/9 0 2/9

−1/9 −1 −2/9

Maria Antonia Forjaz () DMat 8 de Dezembro de 2009 12 / 12