Tomai Akvinsk'i o species molhemoiico 25

TOMAS AKVINS KY

A SPECIES MATHEMATICA

JOZEF MATULA

Tom65 Akvinskj' svoj im obdivuhodnfm dielom patri medzi najvfznamnej -

Sich predstavitel'ov vrcholnej scholastiky . Zaobercl sa takmer v5etki'mi s6-

dobfmi filozoficko-teologickj'mi othzkami a svoj z6ujem diastodne obracal

lieL na otdzkumatematiky. Akvinsk6ho v5ak nezaujimali konkr6tne matema-

tick6 alebo geometrick6 problemy; svoju pozornost' venoval problematike

statusu matematickfch entit a postaveniu matematiky v r6mci trojidn6ho

delenia vied. Othzka,ktorej venoval svoju pozomost', stivisela s postavenim

matematickfch entit v hierarchickej stavbe cel6ho univerza.r Pre dejiny

matematiky nie je urdite Akvinskj'zaujimavou osobnost'ou, ale pokus o po-

rozumenie jeho tvah o matematickfch entit6ch poskytuje Sir5i obraz o jeho

Specihckom mysleni.2Skrimanie matematiky v diele Tom55a Akvinsk6ho moZno vidiet' na po-

zadi urdit!'ch historickj'ch predpokladov a srivislosti. Okrem Aristotelovej

Metaflzilq3 bol pre Akvinsk6ho nepochybne urdujricim dielom Boethiov

spis De Trinitate,a ku ktor6mu napisal vfklad, v ktorom sa objavuje trojidn6

delenie vied. Je zaujimavl, Ze Akvinsky bol pravdepodobne jedinym

vyznamnfm mysliteLom 1 3, storodia, ktor!' sa pokrisil komentovat' Boethio-

ve trakt5ty De Trinitate a De Hebdomadibus.5 Pre porovnanie treba pripo-

menrit, 2ev 12. storodi boli tieto traktilty komentovan6 vel'mi dasto amedzirokmi 1120-1200 existovalo okolo 20 koment6rov k spisu De Trinitate.6

Akvinsk6ho vjklad je doposiali m6lo docenenym dielom, je v ilom vidiet'jeho originalitu vykladu nielen Boethiovho diela, ale rie5enia mnohych filo-zofick!'ch a teologickj'ch ot6zok. Akvinskf analogicky prijima Boethiove

dlenenie vied, podl'a ktor6ho sa teoretick6 (kontemplativne) vedy delia na

fyziku, matematiku a teol6giu.? Podl'a Boethia sa jednotliv6 vedy zaobetajiformami (for a) a dlenenie viedkoreiponduje s hierarchiou foriem vo svete,

na r6znych stupioch oddelenosti od l6tky (materia).8 Akvinsky je neuspoko-jenj' s vj'chodiskami Boethiovho dlenenia, teda s predpokladom, Ze vedy sa

delia podla stupiovitosti, hierarchidnosti foriem. Objektom vied nie sri for-my v boethiovskom zmysle, ale kaLdh veda m6, podl'a Akvinskdho, svoj

26 Filosofie iislo

vlastnj' predmet (subiectum), ktorym sa jednotliv6 vedy od seba odli5ujir.

Met6dy jednotlivlch vied sa tak odliSujf predmetom a Akvinskf odmieta

n6zor,2e by existovalajedna univerz6lna met6da pre vietky vedy. Napriklad

astron6miu, optiku alebo udenie o harm6nii lokalizuje medzi matematiku

afyzilrlu-.e Zatiat do fyzickhrealitazohr6va urditu materi6lnu rolu, matematika

zohr6va form6lnu rilohu v Struktfire fi'chto Speci6lnych vied.'0 Triadick6 dlene-

nie vied zodpoved6 analogicky trojidnej Struktur6cii I'udskfch mohfcnosti.rl

Uchopovanie matematickfch entit zodpoved6 predstavivosti (imaginatio),

prislu5nej du5evnej schopnosti, ktor6 v tomto kontexte nem6 kreativnu irlohu,

ale sk6r pasivnu schopnost' vybavit napr. geometri ck! obrazec. Matematick6

entify samotnl prich6dza}(t prostrednictvom zmyslov a st6vajri sa predme-

tom imagin6cie. Podobne ako predstavivost'i matematick6 entity stoja na

,,rozluani" medzi Szicky existujricimi vecmi a oblast'ou inteligibiln6ho. Ma-tematick6 formy (species) sa m6Zu abstrahovat'od zmyslovej l6tky, ale nieod inteli gibilnej l6tky.' 2 L6tku zmyslo vt nazyv a Akvinskj' l6tkou telesnou,pokial'podlieha zmyslovfm kvalit6m, ako napr. teplote, chladu, twdosti apod.

L6tkou inteligibilnou nazj'va substanciu, pokial podlieha kvantite. V substan-

cii je teda sk6r kvantita neZ zmyslov6 kvality. Quantitates (disla, rozmeryatvary) sri vymedzenim kvantity a m6Zu sa pozorovat' apoznhvaf bezzmys-lovlch kvalit , to znameni ako abstrahovan6 od zmyslovej l6tky. '3 Pre Akvin-sk6ho je tak matematika vedou o kvantite, ktor6 je abstrahovan6 z konkr6t-nych veci. Matematik sa pokri5a uchopit' geometrick6 obrazce alebo disla

ako entity oddelen6 od procesov zmeny a pohybu, ktor6mu podlieha Szickysvet.ra Matematick6 entita nie je podobou, obrazom alebo replikou reality,ktor6 existuje mimo l'udskt mysef, ale je naopak ddsledkom I'udskeho sp6-

sobu pozn6vania veci, ktor6 existujt mimo I'udskri mysel'.r5

Pr6ve Akvinsk6ho udenie o rilohe predstavivosti v matematike je vetmiddleZit6 pre pochopenie I'udskj'ch mohricnosti. Imaginatio je vnritornj'mzmyslom (sensus interior), ktor!'abstrahuje od zmyslov!'ch kvalit (qualita-res). Akvinsk!'si kladie ot|zku, di mdZeme matematick6 entity, ktor6 nie sri

zmyslov6, uchopit' prostrednictvom imagin6cie.r6 Matematika je najiste.jSou

vedou, pretoZe jej predmety sir oddelen6 od zmyslovej l6tky, ale i napriektomu sri predstavitelh6.rT Doslovapi5e, Ze matematick6 entity ako disla, diary,geometrick6 itvary a pod. prich6dzajri skrze zmysly (sensus) a st6vajfi sa

predmetmi predstavivosti (imaginatio).rs V matematike sa irsudok (iudicium)zavr5uje v imaginativnom akte v tom zmysle, Ze matematicky ninor sapozer6na ddkazy, ktor6 poskytuj e imagin6cia. I e

V popise met6dzhkladnlch oborov vied Akvinsky prijal i klasickir termi-nol6giu Boethia.2o Prirodn6 fiozofta,filosofia naturalls, postupuje rationa-

Tomoi Akvinsky o species mothemotico

biliter, matematika postupuje disciplinabiliter (podta spdsobu udenia)2r

a metafyzika postupuj e intele ctual it er. Ked Akvinskj' piSe, Ze matematika

postupuje podl'a spdsobu udenia (disciplina), nepopisuje tak matematickri

met6du priamo, ale poukazuje na to, Le matematick6 vedy sa dajir naudit'

najjednoduch5ie, a preto sf najpresnej5ie a najistej5ie.22 V matematike teda

dosahujeme najviidsej istoty (certitudo) - matematika je istejSia neZ prirodn6

{iozofra,pretoZe abstrahuje od zmyslovfch kvalit materi6lnych veci. Meta-

fyzlka je sice najistej5ia vzhlladom k jednoduchosti jej predmetov, pretoZe

tie str viac oddelen6 od zmyslovej l6tky, ale nieje najistej5ou vedou vzhla-dom k urditej slabosti lludsk6ho intelektu a z podstatnEho d6vodu, Ze objekty

metafuziky nie sir priamo poznatetn6. M6Zu byt'poznatelh6 iba s vel'kfmiprobl6mami avldy s men5ou istotou neZ matematick6 entity. Akvinsk!'takcitlivo reaguje na prirodzen6 schopnosti dloveka a na hranice I'udsk6ho po-

znania.Povalu matematickfch entit je moZne poodhalit' na miestach, kde sa

Akvinskj' vysporiadava so zloZirlmi ot|zkami o povahe tudskej duSe. Na

otlzke o schopnosti oddelenej dule (anima separata)23 pozn|vat ukazuje,Le

matematick6 entity stoja v jeho te6rii uchopovania povahy veci medzi sve-

tom telesnfm, zmyslovym a oblast'ou inteligibilneho. Tirto problematikunaznaduje na niektorj'ch miestach, ktor6 sa tlkajir pr6ve kontextov noetic-

k!ch. Matematick6 entity nie sf zmyslovlimi kvalitami azdrovehnie sit bez

l6tkovosti (ako sri napr. ens, unum, potentia alebo actus). Marematick6 entity

nemdZu existovat' bez l61*y preto, Le imaterialita matematickfch entit je

roz5irenim imateriality intelektu6lnych konceptov prirodnych veci.2a

Akvinskj' v Quaestiones disputatae De Anima reaguje nan6zot,ktorytvrdi, Le Liadna konedn6 sila sa nem6Ze rozprostriet' do nekonedn6ho mnoZ-

stva veci. Ak by sme teda uvaZovali, Ze existuje oddelen6 du5a, tak jej sila je

konedn5, pretoZejej esencia, podstataje konedn6, a preto sa nemdZe rozpro-striet do nekonedn6ho mnoZstva veci. Ale podet prirodnfch, stvorenfch veci sa

m6Ze ch6pat' ako nekonedn!, pretole species disel, tvarov a proporcii je neko-nedn6 (infinitas specierum quae est in numeris, figuris et proportionibus).zsPreto du5a nemdZe poznat vSetky prirodn6 veci.

Akvinsk6ho reakcia na toto tvrdenie spodiva v tom, Ze tento argument jeirelevantnf, pretoZe netrvdme na tom, Ze by duda poznala v5etky stvoren6veci individu 6lne, Injinitas specierum quae est in numeris, figuris et propor'tionibus nestoji v rozpore s pozn6nim l'udskej du5e. Species tvaru, disla

a veci nie je aktu6lne, ale iba potenciSlne nekonedn6. Sila konednej intelek-tu6lnej podstaty sa mdZe rozprostierat'do nekonednj'ch objektov, pretoZe

intelektu6lna slla (virtus intellectiva) je v urditom zmysle nekonedn6, pokial'

27

28 Filosofie iis/o

nie je obmedzenh l6tkou. Preto m6Ze poznaf obecn6, ktor6 je v urditomzmysle nekonedn6 - ako obecn6 totiZ m6ze podfa svojej povahy potenci6lneobsahovat' nekonedny podet j ednotlivin.26

Akvinsky taktieZ venoval svoju pozornost'zaujimavej otlzke di na mate-matick6 entity je mozn6 aplikovat' n6uku o tom, Ze kazd6 sricno je dobr6(bonum chhpanl v tomto kontexte ako jedna z transcendent6lii). M6Zu mate-matick6 entity vlastnit'dobro?27 ot6zka dobra matematicklich entit je zvlililt-nym pripadom Sirsieho metafuzick6ho probl6mu.2s Udenie o transcendent6li-ach ch5pe prim6me veci, ktor6 majir svoje bytie mimo intelekt - prirodzen6veci, ktor6 sir rozdelen6 podl'a kategorii. preto m6Ze tvrdit', Ze matematick6entity sir dobr6 na zhklade ich bytia (esse) vo veciach. vlastn6 bytie diaryalebo disla je dobr6, ale v tomto pripade sa uZ nejedn6 o abstraktn6 matema-tick6 entity, ale o konkr6tne objekty. Na druhej strane sa domnieva, Ze nie jemoln6, aby matematick6 entity vlastnili dobro, pretoze ak by matematick6entity boli oddelen6 od reality, bolo by v nich dobro, totiZ samo ich bytie.2eAle matematick6 entify nie sri subsistujrice entity, majri oddelenir existenciuiba v rozume. Matematickd objekty st abstrahovan6 od pohybu a l6tky, doztamenS, Ze sf abstrahovan6 i od ciella(finis),lebo iba to, do sa pohybuje, samdZe dostat'k svojmu ciel'u a v Akvinsk6ho n6uke je cief z6rovei dobrom.Predstava finality (konednosti) a dobra je rovnak6. y In III Metaphysico-rum30 Akvinskj' pi5e o dobre matematickych objektov odlisne ako v summaTheologiae. Na tomto mieste tvrdi, Le v disle alebo v diare nie je dobrochSpanb s ohl'adom na dobro a koniec. Dobroje v tychto objektoch ch6pan6ako ich bytie. Preto sa domnieva, Ze je chybn6 tvrdif ,iedobro v matematic-kjrch objektoch neexistuje. v tejto sfivislosti treba pripomenrit', Ze sa nejedn6o dve miesta, ktor6 by si odporovali. v kaZdej z uvedenych pasdhi satotii,Akvinsky pozerS na dobro matematic(ich entit z in6ho aspektu. V prvompripade sazd6, ze matematick6 objekty skutodne nevlastnia dobro, pretoZe sirspojen6 s abstrakciou, ktor6 umoZiluje matematick6 objekty uchopit', ale rov-nako abstrahuje od ciel'a (/inis-bonum). v druhom pripade viak Akvinsk!zd6raduje, Ze to, do je dobr6, je dobr6 vd aka svojmu bytiu (esse-bonum).il

Z6verom tohoto kr6tkeho prispevku moZno povedat', ze Akvinsk6ho ch6-panie disla sa doposial' venovalo m6lo pozornosti a detailnej Eia anallza to-hoto probl6mu by prispiela ku komplexnejsiemu pochopeniumatemuiiky u.stredoveku. Matematika nie je vrcholom a ciel'om l'udsk6ho snaZenia, alev stvorenom univerze odhal'uje kr6su stvoren6ho sveta azrkadlivedn6 for-my.32 Tom65 Akvinskf ukazuje na mnohfch miestach , L,e jehocestaje smero-vanim k Bohu, k prejavomjeho l6sky a odhalovanim kr6sy vtelenej v dislo,tvar alebo v proporciu. iislo objavuje taktieZ v teologickom kontexte, kde

Akvinskj' zddraziuje nielen absolirtnu jednotu Boha, ale taktieL zjavenie sa

jedinej boZskej podstaty v troch boZski'ch osob6ch.33

Pozndmky:

1 . G. A. Molland, Colonizing the world for mothematics' The diversity of medieval

strategies, rn Mathematics and its applications to science and natural philosophy in

the Middle Ages. Essays in honor of Marshall Clagett, vyd. E. Grant, J. E. Murdoch,

Cambridge 1987, str. 45-66. Napriklad problematike symboliky disla 6 pozri Studiu

K. White, Creation, Numbers, and Nalures. On Aquinas' Quodlibet 8.1.1 , in: Medie'

val Masters. Essays in Memory of Msgr. E. A. Synan, vyd. R. E' Houser, Houston

1999, str. 179-190.2. V tejto suvislosti je potrebne zddraznit' urdit6 skeslenia ylkladu Akvinsk6ho udenia,

ku ktor6mu doch6dzalo predov5etkj'm z ideologickj'ch pridin, napriklad v diele

A. Kolmana, Ddjiny matematilqt ve starovdku, preklad M. Hedrlinov6' Praha 1968'

str.193.3. Aristoteles, Metafuzika 6.1; Boethius, Quomodo trinitas unus Deus ac non tres dii,in

PL 64,2-30; J. J. Sanguineti, La Filosofia de la Ciencia segdtn Santo Tbmas, Pamplo-

na 1977, str. 129_212; P. Merlan poznamen6va: ,,The mathematica or quadrivales

were also encompassed within the Aristotelian concept of the tripartition of theorethi-

cal knowledge, corresponding to the tripartition of being, into physical, mathematical

and theological, or the three states or spheres of being, namely of ideas (theological),

mathematical and physical, persisted through the Middle Ages and was clearly set

forth in the thirteenth century by Thomas Aquinas. It was also in evidence in the

tripanite character of the curriculum of the Faculry of Arts at Paris, in the three

divisions of natural philosophy into physica, mathematica, and metaphysica (the divi-ne science)." (P. Merlan, From Platonism to Neopldtonism,2.vyd., The Hague 1960,

str. 94-95); P. Kirbe, The Boethian De Institutione Arithmetica and the Quadriviumin the Thirteenth Century University Milieu at Paris,in Boethius and the Liberal

Arts. A collection of Essays,vyd.M.Masi, Berne 1981, str. 67-80;Commentaries on

Boethius by Thierry of Chartes and his School,vyd. N. M. Hiiring, Studies and Texts

20, Toronto, 1971 (Commentum ntper Boethii librum De Trinitatell,l-16, str. 68*73;

Lectiones in Boethii librum De Trinitate II, l*14, str. 154-157).

4. Pozri De Trinitate, q. 5-q. 6. J. A. Weisheipl poznamen6va: ,,[The division and metho-

dology ofspeculative sciences] For all the ancients, including Boethius, there are onlythree generically distinct speculative sciences worth talking about: natural science,

mathematics, and metaphysics, each hierarchically distinct from the other by a certain

abstraction from matter in such way that mathematics is more abstract than natural

science, and metaphysics more abstract than mathematics." (J' A. Weisheipl, FrlarThomas D'Aquino. His Life, Thought, and Worl<s, Oxford 1974, str. 134-135); d'alej

pozri: H. F. Stewart, Boethius. An Essay, New York, tepr. 1974, (De Trinitate) str.

111-112; Boethius, The Theological Tractates,lat.-angl', prel. H. F. Stewart, E' K.

Rand, Cambridge, MA 1962,2-31; A Concordance of Boethius. The Five Theologi-

cal Tractates and The Consolation of Philosophy, zostavil L. Cooper, Cambridge'

30 Filosoteie dislo

MA 1928; Boethius, Die Thelogtchen Traktate, lat.-nem., prel. M. Elsiisser, Ham-burg, 1988, str. 6-8: De trinitate II: Nam cum tres sint speculdtiyae portes, naturalis,in motu inabstracta awtrc(aiperoo (considerat enim corporum formas cum mate-ria, quae a corporibus actu separari non possunt, quae corpord in motu sunt ut curnterra deorsum ignis sursum fertur; habetque motum forma maleriae coniuncta), ma-thematica, sine motu inabstactd (haec enimformas corporum speculatur sine mate-ria ac per hoc sine motu, quae formae cum in materia sint, ab his separari nonpossunt), theologica, sine motu abstracta atque separabilis (nam dei substantia etmateria et molu caret), in naturalibus igitur rationabiliter, in mathematicis discipli-nalitef in divinis intelleclualiter versari oportebit neque diduci ad imaginationes,sed potius ipsam inspicere formam quae vere forma neque imago est et qude esse

ipsum est el ex qua esse est.

5. S. Neumann, Gegenstand und Methode der theoretischen Wssenschaften nach Tho-mas von Aquin auf Grund der Exposilio super librum Boethii de Trinitate, Miinchen,1965, str. 8-9.

6. D. C. Hall, The Trinity. An Analysis of St. Thomas Aquinas' Expositio of the DeTrinitate of Boethius, Leiden 1992, str. 35-37; L. Elders, Faith and Science. AnIntroduction to St. Thomas'Expositio in Boethi De Trinitate, Rome 1974, str. 13-15.

7. K. Norberg, Abstraction and Separation in the Light of the Historical Roots of Tho-mas' Trtpartition of the Theoretical Sciences, tn: Knowledge and the Sciences inMedieval Philosophy. Prcceedings of the Eighth International Congrcss of MedievalPhilosophy (S.I.E.P.M.), Helsinki, 24 * 29 August 1987,vol.III, ryd. R. Ty<irinoja,A. I. Lehtinen, D. F6llesdal, Helsinki 1990, str. 144-153; M. Grabmann, Die theolo-gische Erkenntnis- und Einleitungslehre des hl. Thomas von Aquin auf Grund seinerSchrift In Boethium de Trinitate, Freiburg 1948, str. 1-32.

8. R. Mclnemy, Boethiw and Saint Thomas Aquinas, trt: Rivista di Filosofia Neo-scholastica 64 (197 4), str. 219145.

9. K problematike scienta media pozi In Boeth. De Trin. q. 5, a. 3 ad 5-7; In II Phys.lect.3;In I Post. Anal.lect.25;Summa Theologiaell-ll,q.9 a.2 ad,3; Akvinslci twdi,napr. v Summa Theologiae alebo v 1n Boeth, De Trin, i,e in scientiis mediis 1e vddiiaafinita k matematike neZ k fyzike; In Boeth. De Trin. q. 5, a. 3 ad 6: ...inde est quod derebus naturalibw et mathematicis tres ordines scientiarum inveniuntur Quaedamenim sunt pure naturales, quae considerant proprietates rerum naturalium, in quan-tum huiusmodi, sicut physica et agricultura et huiusmodi. Quaedam vero sunt puremathematicae, quae determinant de quantitatibus absolute, sicut geometria de mag-nitudine et arithmetica de numero. Quaedam vero sunt mediae, quae principiamathematicd ad res naturales applicant, ut musica, astrologia et huiusmodi. Quaetamen magis sunt affines mathematicis, quia in earum consideratione id quod estphysicum est quasi materiale, quod autem est mathemdticum est quasi formale. Y InII Phys. zast|va opa(ny ndzor,ked' blizkost' k fuzike zdv6vodiuje cielbm rj'chto vied,ktorim je &zick6 univerzum. V5eobecne pre Akvinsk6ho nezohrivaji tieto 5pecifick6discipliny v hierarchii vied nejaky podstatnj'qiznam. St. Thomas Aquinas, The Divi-sion and Methods of the Sciences. Questions V and VI of his Commentary on the DeTrinitate of Boethius, rivod, pom. aprekl. A. Maurer, Toronto 1986a, str. x-xii,43,45.

10. U samotn6ho Aristotela je moln6rozoznaf medzi matematicklimi n6ukami, ktor€ sriblizkl fyzike, predov5etkym vo Fyzike 194a8*l2.Napr.v Metafyzike 1073b34 je

Tomdi Akvinsk'i o species mothemotico

astronomia matematicki disciplina, ktor6 je blizk6 filozofii. U Aristotela doch{dzamedzi jeho z6kladnj'mi n6ukami k urditlm prechodom. J. Patodka, Aristoteles, jehopledchidci a dddicovd, Praha 1964, str. 143.

11. Sensus - Imaginatio - Intellectus: Physica - Mathematica - Metaphysica.

12. In Boeth. De Trin. q. 5, a. 3 ad 4: ...mathematica non abstrahuntur a qualibet materia,sed solum a mateia sersibili. Partes autem qudntilatis, a quibus demonstratio sumpta

quodammodo a causa materiali videtur sumi, non sunt mdteria sensibilis, sed perti-nent ad materiam intelligibilem, quae etiam in mathematicis invenitur Rozdiel medzil6tkou zmyslovou a inteligibilnou pozri Aristoteles, Metafyzika, VII, 10, 1036a9-12;K. Rahner, Geist in Welt. Zur Metaphysik der endlichen Erkenntnis bei Thomas von

Aquin,knsbntck 1939, str. 70.

13. R. J. Deferrari, A Lexicon af St. Thomas Aquinas, Baltimore 1948, str. 673; Summa

Theologiae I-II, q. 35 a. 8 contra; Surnma contra Gentiles III, cap. 12; Summa Theo-logiae l, q. 85 a. 1 ad 2: ...species autem mathematicae possunt abstrahi per intel-lectum a materia sensibili non solum individuali, sed etiam communi; non lamen

a materia intelligibili communi, sed solum individuali, Materia enim sensibilis diciturmateria corporalis secundum quod subiacet qualitatibus sensibilibus, scilicet calidoet frigido, duro et molli, et huiusmodi. Materia vero intelligibilis dicitur substantiasecundum quod subiacet quantitati. Manifestum est autem quod quantitas prius ineslsubstantiae quam qualitates sensibiles. Unde quantitates, ut numeri et dimensioneset Jigurae, quae sunt terminationes quantitatum, possunt considerari absque qualita-tibus sensibilibus, quod est eas abstrahi a materia sensibili, non tamen possuntconsiderari sine intellectu substantiae quantitati subiectae, quod esset eas abstrahia materia intelltgibili communi. Possunt tamen considerari sine hac vel illa substan-tia; quod est eas abstrahi a materia intelligibili individuali. Quaedam vero sunt quaepossunt abstrahi etiam a materia intelligibili communi, sicut ens, unum, potentia etactus, et alia huiusmodi, quae etiam esse possunt absque omni materia, ut patet insubstantiis immaterialibus. Et quia Plato non consideravit quod dictum est de duplicimodo abstractionis, omnia quae diximus abstahi per intellectum, posuit abstractaesse secundum rem.

14. In II Phys.,lec.3.15. T. C. Anderson, lrrstotle and Aquinas on the Freedom of the Mathematician,in: The

Thomist 36 (1972), str.231-255.16. F. M. Manzanedo, La Imaginacion y la Memoria segin Santo Tomas, Roma, 1978, str.

74-77.17.D. C. Hall, The Trinity. An Analysis of St. Thomas Aquinas'Expositio of the De

Trinitate'of Boethius,Leiden 1992, str" 100.18.ln Boeth. De kin. q.5,a.2.: ...quorum iudicium non dependet ex his quae sensu

percipiuntur, quia quamvis secundum esse sint in materid sensibili, tamen secundumrationem dffinitivam sunt a materia sensibili abstractd. Iudicium autem de un-aquaque re potissime fit secundum eius dffinitivam rdtionem. Sed quia secundumrationem dffinitivam non abstahunt a qualibet materia, sed solum a sensibili etremotis sensibilibus condicionibus remanet aliquid imaginabile, ideo in talibus opor-tet quod iudicium sumatur secundum id quod imaginatio denxonstrat. Huiusmodiautem sunt mathematica. Et ideo in mathematicis oportet cognitionem secundumiudicium terminari ad imaginationem, non ad sensum, quia iudicium mathematicunl

3l

32 Filosofie dis/o

superat apprehensionem sensus. Unde non est idem iudicittm quandoque de lineamathematica quod est de linea sensibili, sicut in hoc quod recta linea tangit sphae-

ram solum secundunt punctum, quod convenit rectae linede separatde, non autemrectae lineae in materia.

19. Ked'dkvinsk! pi5e, Ze matematick6 entity sri predstavitelh6, musime si uvedomit', Ze

md na mysli eukleidovskou geometriu.20. K vieobecn6mu prehl'adu problematiky dlenenia vied v obdobi stredoveku pozri

J. Weisheipl, Medieval Classification of the Sciences, in: Medieval Studies 27 (1965),str.54-91^

21.,,L'esata traduzione di disciplinabiliter crea in realtd qualche imbarazzo, perch6

in esso risuonano tanto il senso di disciplina come corrispodente latino po0rprge inrotflpq (Boezio stesso, nella propria traduzione dell'Isagoge utilizza disciplinaper 6nrotlp'q), quanto quello - forse ancora pii percepibile all'epoca di Tommasodi disciplina come apprendimento." - Tommaso D'Aquino, Commenti a Boezio,ivoda prekl. P. Porro, Milano 1997, str.28; M.-D. Chenu, Towqrd Understanding St.

Thomas, prekl. A. M. Landry, Chicago 1964, str. 104.

22. Akvinsk6ho charakteristika sa opiera o etymol6giu slova matematika - ,,mathei"znamen|,,udit' sa".

23. A. C. Pegis, The separated soul and its ndture in St. Thomas, in: St. Thomas AquinasCommemorative Studies, Toronto 1974, str. 13l-i58.

24. Summa Theologiae I, q. 85 a. 1.

25.Quest. Disp. De Anima, a. 18 ad 3: ...nulla virtus finita potest super infinita. Sedvirtus animae separqtae est "finita, quia et essentia eius finita est. Ergo non potestsuper infinita. Sed naturalia intellecta sunt infinita; nam species numerorum et figu-ratunx et proportionum inJinitae swxt. Ergo anima separata non cognoscit omnianaturalia.

26. Quest. Disp. De Anima. a. i8 ad 3: Ad tertiunr dicendum quod ratio illa non pertinetad prcpositum, eo quod non ponimus quod anima separata cognoscat omnia natura-lia in speciali. Unde non repugn.at eius cognitioni infinitas specierum quae est innumeris, figuris et proportionibus. Quia tamen eodem modo posset concludere haecratio contra cognitionem angelicam, dicendum est, quod species Jigurarum et nunxe-

rorum el huiusmodi, non sunt infinitae in actu, sed in potentia tantum. Nec est etidminconveniens quod virtus substantiae intellectualis fnitae ad huiusmodi infinitaextendat se; quia virtus intellectiva est quodammodo infnita, in quantum non estterminata per materiam. Unde et universale cognoscere potesl, quod quodammodoest infinitunt, in quantum de sui ratione, potentia continet inJinita.

27 . Summa Theologiae I, q. 5 a. 3; Summa contra Gentiles II, cap. 41; In I. Sent. d. 8 q. Ia.3; De Veritate q.8 a.4 ad 5; J. A. Aertsen, Medieval Philosophy and the Transcen-dentals. The Case of Thomas Aquinas, Studien und Texte zur Geistesgeschichte des

Mittelalters LII, Leiden 1996, str.308-310.28. Napr. Aristoteles, Metafyzika 996a35-bl.29. Summa Theologicae I, q. 5 a. 3 ad 4'. ...mathematica non subsistunt separata secun-

dum esse, quia si subsisterent, esset in eis bonum, scilicet ipsum esse ipsorum. Suntqutem mdthematica separata secundum rationem tantum, prout abslrahuntur a motuet a materia, et sic abstrahuntur a ratione finis, qui habet rationem moventis. Non est

autem inconveniens quod in aliquo ente secundum rationem non sit bonum vel ralioboni, cum ratio entis sit prior quam ratio boni. Ponl aj De Veritate, q.21 a.2 ad 4.

30. In III Metaphysicorum lect. 4, 386: Unde in eis non consideratur bonum sub nomineboni etfinis. Consideratur tamen in eis id quod est bonum, scilicet esse et quod quidest. Unde falsum est, quod in mathematicis non sit bonum, sicut ipse infra in nonoprobat.

3 1 . V tomto kontexte sa jednd o zloLi$ metafuzickj' probl6m, ktorj' sirvisi s Akvinsk6horeflexiou Dionysia Areopagilv- bonum est dffisivum sui esse (Summa Theologiae l,q.5 a.4: bonum est diffusivum sui esse, ut ex verbis Dionysii accipituri quibus dicitquod bonum est ex quo omnia subsistunt et sunt. Sed esse dilfusivum importat rationemcausae elficientis. Ergo bonum habet rationem causae effrcientrs). Pozri L. Dewan,St. Thomas and the Causality of Godb Goodness, in: Laval Thtologique et Philoso-phique 34 (1978), str. 291-304.

32. ,,Mathematical constructions admit of the greatest clarity, for they are creations of ourown mind and they are not obscured by the complications and uncertainities ofthe realworld. So they eminently display the clearness, definiteness, and proportion that arethe hallmarks of beauty." - A. A. Maurer, About Beauty. A Thomistic Interpretation,Houston, 1983, str. 68.

33.De Potentia q. 9 a. 5. (islo lnumerus) sa objawje v spojeni z jednotkou (u.nitas).Predstava jednotky oznaduje bytie, ktor6 je nerozdelen6. Ak sa niedo nazyva jedno.neryluduje sa fim, Ze existuje in€ bytie, s ktorj'm toto jedno rytv6ra mnohost'. Totojedno je popretim oddelenosti, nie mnohosti, do m6 d6sledky v Akvinskdho pojatimultitudo. D6leZitosf disla moZno vidiel v problematike, ktor6 srivisi s problematikouparticip6cie (species sunt ut numeri). Pozri R. A. Velde, Participation and Substan-cialily in Thomas Aquinas, Leiden 1995, str.227-228.