INTRODUCCIÓNEl término matemático de función data del siglo XVII, cuando el cálculo se encontraba en sus primeras etapas de desarrollo. Este importante concepto es ahora la espina dorsal de los cursos más avanzados de matemáticas y su aplicación abarca todos los campos de la ciencia. En esta guía estudiaremos el concepto de función, sus características, sus propiedades y algunas de sus aplicaciones. Para esto necesitaremos emplear procesos numéricos algebraicos y gráficos.

OBJETIVOSAl finalizar el desarrollo de la presente guía deberás estar en capacidad de:

1. Definir el concepto de función.2. Representar de diferentes maneras el concepto de función.3. Identificar el concepto de dominio y el rango de una función dada.4. Diferenciar los gráficos y las características de las funciones más comunes.5. Cuando se nos pregunta para que se usan las matemáticas, en ocasiones nos quedamos cortos con las

respuestas y explicaciones que damos y olvidamos todos aquellos fenómenos y situaciones donde las matemáticas intervienen sin ser vistas por muchos. Debemos ser conscientes que estamos rodeados de fenómenos que solo pueden ser leídos y vistos con los ojos de la razón. Las matemáticas son hoy reconocidas como un lenguaje que hace visible lo invisible, un lenguaje permite comprender, con los “ojos de la razón”, aquellos fenómenos que modelan e intervienen en la naturaleza.

6. Podríamos citar diferentes ejemplos que nos permiten acercarnos a esa afirmación de que las matemáticas son un lenguaje que hace visible lo invisible, por ejemplo, sin matemáticas no hay modo de entender qué es lo que mantiene a un avión a reacción de gran tamaño en el aire. Como todos sabemos muy bien, los objetos metálicos de gran tamaño no se mantienen por encima del suelo sin algo que los soporte. Pero cuando se mira a una aeronave volando sobre nuestras cabezas, no se ve nada que lo sostenga. Se necesitan las matemáticas para “ver” que es lo que sostiene a un aeroplano en las alturas. En este casa lo que nos permite ver lo invisible es una ecuación descubierta por el matemático Daniel Bernoulli a comienzos del siglo XVII.

7. Y ¿Cuál es la causa de que otros objetos, caigan al suelo cuando los soltamos?, la gravedad responderíamos la mayoría. Pero eso no es más que dar un nombre al fenómeno y no nos ayuda a entenderlo. Se trata de algo invisible y hasta mágico. Para comprender la gravedad hace falta verla. Eso es exactamente lo que hizo Newton en el siglo XVII con sus ecuaciones del movimiento y de la mecánica.

8. La lectura de la naturaleza está asociada al lenguaje de las matemáticas, al planteamiento de diseños que intentan modelar y simular fenómenos que solo son posibles verlos mediante este lenguaje. El siguiente esquema muestra el proceso de modelación que se hace con las matemáticas.

9. Cada una de las interacciones que interviene en el esquema corresponde a una competencia que se desarrolla con el estudio de las matemáticas y en conjunto nos permiten obtener modelos matemáticos que nos permiten entender lo que sucede a nuestro alrededor.

10. La siguiente tabla explica cada una de las interacciones del esquema planteado.

INTERACCIÓNES

1 Inducción matemáticaA partir de ciertas observaciones y datos, se construye un modelo

matemático, una conjetura una hipótesis, una traducción al idioma matemático. La formulación y la construcción de modelos abstractos inspirados por situaciones reales es lo que hace progresar la ciencia teórica.

2

Deducción matemáticaMediante la deducción matemática, se derivan algunas conclusiones acerca del modelo matemático, se demuestran teoremas y se  hacen predicciones matemáticas.

3InterpretaciónLas conclusiones matemáticas se interpretan, se describen y se aplican en relación al problema real que se estudia.

4

VerificaciónLas predicciones se comparan con los datos iniciales y se determina el grado de exactitud del modelo que (provisionalmente) se acepta, se rechaza o se ajusta. Y vuelve a empezar el ciclo.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

Para hablar acerca de una función, se requiere asignarle un nombre. Usualmente se emplean letras como f, g, h,… Una función es una regla que asigna a cada elemento x en un conjunto A exactamente un elemento, llamado f(x), en un conjunto B.

Por ejemplo, si hablas de la regla f que duplica un numero, entonces cuando se escribe f(2), se entiende aplicar la regla f al número 2. Al aplicar la regla se obtiene que f(2)=4. El numero 2 pertenece al conjunto A y el numero 4 pertenece al conjunto B.

El símbolo f(x) se leen “f de x” y se llama el valor de f en x o la imagen de x bajo f. El conjunto A se llama dominio de la función y esta conformado por todos los valores que puede tomar x. El conjunto B se denomina el Rango de f es el conjunto de los valores posibles de f(x) cuando x varia a través de el dominio.

El símbolo que representa un número arbitrario en el dominio de una función f se llama variable independiente. El símbolo que representa un número en el rango de f se llama variable dependiente. Es útil considerar una función como una máquina que procesa datos numéricos. Si x está en el dominio de la función f, entonces cuando se introduce x en la máquina, es aceptada como una entrada y la maquina produce una salida f(x) de acuerdo con la regla de la función. Así, su puede considerar al dominio como el conjunto de las entradas posibles y el rango como el conjunto de las salidas posibles. Ver figura

EJEMPLO DE REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN.

Dada la función f ( x )=x2−6 x+5 . Representarla de forma numérica y gráficamente.

Representación numérica

Para realizar la representación numérica de una función, debemos tener presente que esta está conformada por dos variables (dependiente y la independiente). Al visualizar y entender el comportamiento de la variable independiente podemos, por procedimientos algebraicos, cual es el dominio de la función, es decir, cuales son los valores que puede tomar la variable independiente y que no indeterminar la función, por ejemplo:

Si tenemos la función f ( x )=1

x , aquí la variable x no puede ser cero porque obtendríamos la expresión

f (0)=10 , la cual es indeterminada. Otro ejemplo es la función f ( x )=√ x , la cual se indetermina cuando x

toma un valor menor que cero.

Al observar nuestro ejemplo,f ( x )=x2−6 x+5 , vemos que la variable x no tiene ninguna restricción, sea cual sea el valor que asuma x, esta no generará ninguna indeterminación. Es decir el dominio de ella es el conjunto de todos lo numero reales.

Esto nos hace pensar que al realizar una representación numérica de la función, podremos asignarle a la variable x cualquier valor Real. Asignemos valores entre -3 y 9 incluidos estos dos valores.

x f(x)-3-2-10123456789

Al evaluar la función con los valores dados, debemos ser muy cuidadosos con las operaciones entre números reales que realizamos, debemos tener muy presente las propiedades de los números reales y las jerarquía que tienen las operaciones entre ellas, por ejemplo, en la operación 5 – 3 x 2, la operación jerárquica, entre la resta y el producto, es el producto, por esta razón el resultado de la expresión es – 1 y no 4.

Si evaluamos la función f ( x ) en x = -3, obtenemos:

f ( x )=x2−6 x+5f (−3 )=(−3)2−6(−3 )+5f (−3 )=9+18+5f (−3 )=32

Al completar la tabla obtenemos:

x f(x)-3 32-2 21-1 120 51 0

Decrecimiento

Crecimiento

2 -33 -44 -35 06 57 128 219 32

Si miramos con atención, la representación numérica nos da mucha información acerca del comportamiento de la

función, por ejemplo, al aumentar el valor de x en el intervalo [-3, 3] la función f ( x )muestra un comportamiento de decrecimiento y al variar x en el intervalo [3, 9] la función muestra un comportamiento de crecimiento. Este comportamiento numérico se verá reflejado en la gráfica.

Representación Grafica

Para realizar la representación gráfica, debemos ubicar cada una de las parejas ordenadas que obtuvimos en le representación numérica en el plano cartesiano, y tomando como referencia los puntos ubicados trazamos la curva continuamente para darle forma a la representación gráfica.

Al observar la representación gráfica de la función podemos detectar otras características de la misma.

EJERCICIOS

1. Complete las tablas

a. f ( x )=2 ( x−1 )2

x f(x)-10123

b. f ( x )=|2 x+3|x f(x)-3-2013

2. Evalúe la función en los valores indicados

a. f ( x )=2 x+1 ;f(1), f(-2), f(½), f(a), f(-a), f(a+b)

b. f ( x )=x2+2 x ;

f(0), f(3),f(-3),f(a),f(-x), f ( 1

a )c.

g( x )=1− x1+x ;

g(2), g(-2), g(½), g(a), g(a-1), g(-1)

d.h( x )=t+ 1

t ;

h(1), h(-1), h(2), h(½), h(x), h( 1

x )

e. f ( x )=2 x2+3 x−4 ;

f(0), f(2), f(-2), f (√2 ) , f ( x+1 ) , f(-x)

f. f ( x )=x3−4 x2;

f(0), f(1), f(-1), f ( 3

2 ),

f ( x2 )

, f ( x2 )

g. f ( x )=2⋅|x−1|;

f(-2), f(0), f ( 1

2 ), f(2), f(x+1),

f ( x2+2 )

3. Evalúe la función definida por partes en los valores indicados

a.f ( x )={ x2 si x<0

x+1 si x≥0f(-2), f(-1), f(0), f(1), f(2)

b.f ( x )={ 5 si x≤2

2x−3 si x>2f(-3), f(0), f(2), f(3), f(5)

c.

f ( x )={x2+2 xx

−1

si x≤−1si −1<x≤1si x>1

f(-4), f (−3

2 ), f(-1),f(0), f(25)

1. Encuentre el dominio de la función

a. f ( x )=2 x

b. f ( x )=x2+1

c.f ( x )= 1

x−3

d.f ( x )= x+2

x2−1

e.f ( x )= x 4

x2+x−6

f. f ( x )=4√x+9

g. f ( x )=√7−3 x

2. Trace la gráfica de la función construyendo primero una tabla de valores.

a. f ( x )=2

b. f ( x )=2 x−4

c. f ( x )=−x+4 , si −3≤x≤3

d.f ( x )= x−3

2

e. f ( x )=−x2

f. g ( x )=x3−8

g. g ( x )=√ x+4

h.F ( x )=1

x

i. H ( x )=|2 x|

j. G ( x )=|x|+x

k. f ( x )=|2x−2|

l.g ( x )= 2

x2

m. g ( x )=4 x2−x4

OPERACIONES CON FUNCIONES

Estudiar las operaciones con funciones es de suma importancia porque la mayoría de las funciones que encontrará en el cálculo y en la vida real pueden crearse mediante la combinación o modificación de otras funciones, este conocimiento nos entrega herramientas básicas que se aplican al cálculo. En esta guía de trabajo descubrirá que las funciones tienen su propia álgebra con base en las mismas operaciones que aplicamos a los números reales (suma, resta, multiplicación y división).Construyamos una nueva función aplicando algunas de las operaciones mencionadas.

Se han f y g dos funciones definas como f ( x )=x2+9 y g ( x )=3 x+5 , entonces

f ( x )+g ( x )=( x2+9 )+(3 x+5 ) f ( x )+g ( x )=x2+9+3 x+5f ( x )+g ( x )=x2+3 x+14

La nueva función y=x2+3 x+14 es la función suma f +g .De manera similar,

f ( x )∗g ( x )=( x2+9 )∗(3 x+5 )

f ( x )∗g ( x )=3 x3+5x 2+27 x+45

La nueva función y=3 x3+5 x 2+27 x+45 es la función producto f∗g

Ejemplo de aplicación Un fabricante de productos químicos advierte que el costo por semana de producir x toneladas de

cierto fertilizante está dado por C ( x= )=20000+40 x dólares y el ingreso obtenido por la venta

de x toneladas está dado por I ( x )=100 x−0 . 01 x2. Encuentre la función que representa la

utilidad para esté fabricante.

Solución:

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

DEFINICIÓN: Suma, resta, multiplicación y división de funciones

Sean f y g dos funciones con dominios que se intersecan; entonces, para todos los valores de x

en la intersección, las combinaciones algebraicas de f y g están definidas mediante las siguientes reglas:

Suma: ( f +g ) (x )=f ( x )+g (x )

Diferencia: ( f −g ) ( x )= f ( x )−g ( x )

Producto: ( f∗g ) ( x )= f (x )∗g (x ) en ocasiones de omite el punto

Cociente: ( f

g ) ( x )= f (x )g ( x ) , siempre que g ( x )≠0

En cada caso, el dominio de la función resultante consta de los números que son comunes a ambos

dominios de f y de g , pero los números x para los cuales g ( x )=0 deben excluirse del

dominio del cociente f /g .

Ejemplo 1: Sea f ( x )=x2 y g ( x )=√ x+1

Determine las fórmulas para las funciones f +g ,f −g ,f∗g ,f /g , gg . Proporcione el dominio de cada una.

Solución: primero debemos determinar el dominio de cada función, entonces por simple inspección

podemos determinar que el dominio de la función f son todos los números reales; ahora

observamos la función g , de la cual podemos decir que los valores de x apropiados para que esta

función tenga sentido deben ser x+1≥0 ; luego x≥−1 de donde obtenemos el intervalo

[−1 ,∞) . Estos dominios se traslapan: la intersección es el intervalo [−1 ,∞) . Haciendo las operaciones pedidas tenemos:

1. ( f +g ) (x )=f ( x )+g (x )=x2+√x+1 con dominio [−1 ,∞)

2. ( f −g ) ( x )= f ( x )−g ( x )=x2−√ x+1 con dominio [−1 ,∞)

3. ( f∗g ) ( x )=f (x )∗g (x )= x2 √x+1 con dominio [−1 ,∞)

4. ( f

g ) ( x )= f (x )g ( x )

= x2

√x+1 aquí se debe tener en cuenta que el dominio establecido [−1 ,∞) incluye a -1 pero para esta operación se produciría un cero en el denominador y la división por cero no está definida por lo tanto se debe excluir este valor del dominio quedando el nuevo dominio

(−1 ,∞ ) .

5. ( gg ) ( x )=g ( x ) g ( x )=(√ x+1 ) (√ x+1 )=(√x+1 )2 con dominio [−1 ,∞) .

Observe que podríamos expresar a ( gg ) ( x ) sencillamente como x+1 . Esto sería bueno, pero la

simplificación no cambiaría el hecho de que el dominio de ( gg ) ( x ) es por definición el intervalo

[−1 ,∞) . Bajo otras circunstancias, la función h ( x )=x+1 tendría como dominio todos los números reales, pero bajo éstas no; es un producto de dos funciones con dominios restringidos.

Ejemplo 2: Sea f ( x )=√x+2 y g ( x )=√ x−3

Determine las siguientes funciones f +g ,f −g ,f∗g ,f /g . Proporcione el dominio de cada una.

Solución: Determinemos el dominio de cada función. El dominio de f consta de todos los

números tales que x+2≥0 ; luego x≥−2 de donde se obtiene el intervalo [−2 ,∞) ; ahora

observamos la función g , donde los valores de x deben ser x−3≥0 ; luego x≥3 de donde

se obtiene el intervalo [3 ,∞). Estos dominios se traslapan: la intersección es el intervalo [3 ,∞). Haciendo las operaciones pedidas tenemos:

1. ( f +g ) (x )=f ( x )+g (x )=√x+2+√ x−3 con dominio [3 ,∞).

2. ( f −g ) ( x )=f ( x )−g ( x )=√x+2−√x−3 con dominio [3 ,∞).

3. ( f∗g ) ( x )= f (x )∗g (x )= (√x+2 ) (√ x−3 )=√( x+2 ) ( x−3 )=√x2−3 x+2 x−6=√ x2−x−6 con

dominio [3 ,∞).

4. ( f

g ) ( x )= f (x )g ( x )

= √ x+2√x−3

=√ x+2x−3 debemos excluir del dominio el número 3, ya que el

denominador, g , tiene el valor 0 cuando x=3 . Así el dominio de el cociente consta de todas las

x mayores que 3, es decir el dominio es el intervalo (3 ,∞ ) .

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Considere la función y= (2x+3 )2 . Si escribimos y=f (u )=u2y u=g (x )=2 x+3 ,

entonces, por un proceso de sustitución, podemos obtener la función original:

y= f (u )= f ( g ( x ) )=(2 x+3 )2 . Este proceso es una composición. En general, suponga que f

y g son dos funciones y que x es un número del dominio de g . Al evaluar g en x , obtenemos

g ( x ) . Si g ( x ) está en el dominio de f , entonces podemos evaluar f en g ( x ) y obtener así la

expresión f ( g ( x ) ) . Si hacemos esto para toda x tal que x esté en el dominio de g y g ( x ) esté

en el dominio de f , la correspondencia resultante de x a f ( g ( x ) ) será una función compuesta.Observe esta información de manera grafica

DEFINICIÓN: Composición de funciones

Sea f y g dos funciones tales que el dominio de f interseca al rango de g . La composición de

f de g , denotada f ∘g (léase “f compuesta con g ”) se define mediante la regla

f ∘g ( x )=f ( g ( x ) ) .

El dominio de f ∘g es el conjunto de números x en el dominio de g tales que g ( x ) está en el

dominio de f .

EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA

Ejemplo: suponga que f ( x )=2x2−3 y g ( x )=4 x . Determinar:

1. ( f ∘g ) (1 ) 2. ( g ∘f ) (1 ) 3. ( f ∘ f ) (−2 ) 4. ( g ∘g ) (−1 )

Solución:

1. ( f ∘g ) (1 )= f (g (1 ))= f ( 4 )=2 (16 )−3=29

2. ( g∘f ) (1 )=g ( f (1 ))=g (−1 )=4 (−1 )=−4

3. ( f ∘ f ) (−2 )= f ( f (−2 ) )= f (5 )=2 (25 )−3=47

4. ( g∘g ) (−1 )=g (g (−1 ) )=g (−4 )=4 (−4 )=−16

Escriba el proceso que se debió realizar para obtener los resultados anteriores1.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________4

.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ejemplo: Determinación de una función compuesta y su dominio

Suponga que f ( x )=√x y g ( x )=x3−1 . Determine

1. ( f ∘g ) 2. ( g ∘f ) 3. ( f ∘ f ) 4. ( g ∘g )Solución: Determinemos las funciones

1. ( f ∘g ) ( x )=f ( g ( x ) )=f ( x3−1 )=√ x3−1 el dominio de esta función es el intervalo

[1 ,∞)porque:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ( g ∘f ) ( x )=g ( f ( x ) )=g (√x )=(√x )3−1=x3

2−1 el dominio de esta función es el

intervalo[ 0 ,∞)porque:________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. ( f ∘ f ) (x )=f ( f ( x ) )=f (√ x )=√√ x=4√x el dominio de esta función es el intervalo

[ 0 ,∞)porque:________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. ( g ∘g ) ( x )=g ( g ( x ) )=g ( x3−1 )= ( x3−1 )3−1 el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales porque: _______________________________________________________________________________________________________________________

IMPORTANTE: Algunas técnicas del cálculo requieren determinar las componentes de una

función compuesta. Por ejemplo, la función H ( x )=√ x+1 es una composición de las funciones

f y g , donde f ( x )=√x y g ( x )=x+1 ya que H ( x )=(f ∘g ) ( x )=f ( g ( x ) )= f ( x+1 )=√x+1

Ejercicio: Determina los componentes de una función compuesta, es decir encuentra las funciones

f y g tales que f ∘g=H donde H ( x )=( x2+1 )50.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Si comparas con otros compañeros notaras que no hay unas funciones f y g únicas para realizar

la composición de H , lo usual es que haya una alternativa “natural” para f y g que nos viene primero a la mente.

Ejercicios

En los problemas 1 al 10, para las funciones dadas f y g, determine las siguientes funciones y el

dominio de cada una:

(a) f + g (b) f – g (c) f ∙ g (d) f/g

1. f ( x )=3 x+4 ;g (x )=2 x−3 2. f ( x )=2x+1; g ( x )=3 x−2

3. f ( x )=x−1; g ( x )=2 x2 4. f ( x )=2x2+3 ;g ( x )=4 x3+1

5. f ( x )=√x ;g ( x )=3 x+5 6. f ( x )=|x|; g ( x )=x

7. f ( x )=1−1x

; g ( x )=1x 8. f ( x )=2x2−x ;g ( x )=2 x2+ x

9. f ( x )=2 x+313 x−2

;g ( x )= 4 x 13 x−2 10. f ( x )=√x+1 ;g ( x )=2

x

11. Dadas f ( x )=3 x+1 y ( f +g ) (x )=6−12

x, determine la función g.

12. Dadas f ( x )=1x y ( f /g ) ( x )=(x+1) /(x2−x), determine la función g.

En los problemas del 13 al 16, utilice el método de suma de ordenadas para hacer la gráfica de cada

función en el intervalo [ 0,2 ].

13. f ( x )=|x|+ x2 14. f ( x )=|x|+√x 15. f ( x )=x3+x 16.

f ( x )=x3+x2

En los problemas del 17 al 26, para las funciones dadas f y g, determine:

(a) (f • g)(4) (b) (g • f)(2) (c) (f • f)(1) (d) (g • g)(0)

17. f ( x )=2x ;g ( x )=3 x2+1 18. f ( x )=3 x+2 ;g (x )=2 x2−1

19. f ( x )=4 x2−3 ; g ( x )=3−12

x2

20. f ( x )=2x2; g ( x )=1−3x2

21. f ( x )=√x ;g ( x )=2 x 22. f ( x )=√x+1 ;g ( x )=3 x

23. f ( x )=|x|; g ( x )= 1x2+1

24. f ( x )=|x−2|;g (x )= 3x2+2

25. f ( x )= 3x2+1

; g (x )=√x 26. f ( x )=x3 ; g (x )= 2x2+1

En los problemas 27 al 36, para las funciones dadas f y g determine:

(a) f • g (b) g • f (c) f • f (d) g • g

Indique el dominio de cada función compuesta.

27. f ( x )=2x+3 ;g (x )=3 x 28. f ( x )=−x ; g ( x )=2x−4

29. f ( x )=3 x+1 ;g ( x )=x2 30. f ( x )=√x ;g ( x )=x2−1

31. f ( x )=√x+1 ;g ( x )= 1x2 32. f ( x )=x+ 1

x; g (x )=x2

33. f ( x )=x2 ;g (x )=√x 34. f ( x )=2x+4 ;g ( x )=12

x−2

35. f ( x )= 12 x+3

; g ( x )=2 x+3 36. f ( x )=ax+bcx+d

; g ( x )=mx

En los problemas del 37 al 43, muestre que (f • g)(x) = (g • f)(x) = x

37. f ( x )=2x ;g ( x )=12

x 38. f ( x )=4 x ;g ( x )=14

x

39. f ( x )=x3 ; g (x )=3√3 40. f ( x )=x+5 ; g ( x )=x−5

41. f ( x )=2x−6 ; g ( x )=12(x+6) 42. f ( x )=4−3 x ; g ( x )=1

3(4−x )

43. f ( x )=1x

; g ( x )=1x

En los problemas del 44 al 47, utilice f ( x )=x2 , g ( x )=√x+2 , y h ( x )=1−3x para determinar la

función compuesta indicada.

44. f ∙(g ∙ h) 45. ( f ∙ g)∙ h 46. ( f +g)∙ h 47. ( f ∙ h )+(g ∙h)

En los problemas del 48 al 52, sean f ( x )=x2 , g ( x )=3 x+2 , yh ( x )=√ x+1. Exprese cada función

como una composición de f, g y/o h.

48. F ( x )=9x2 49. G ( x )=3 x2 50. p ( x )=3√x+3

51. q ( x )=x+2√ x+1 52. Q ( x )=√√x+1+1

En los problemas del 53 al 58, determine funciones f y g de modo que f ∙ g=H .

53. H ( x )=(2 x+3)4 54. H ( x )=(1+x2)3 /2 55. H ( x )=√ x2+x+1

56. H ( x )=|2 x2+3| 57. H ( x )=(4−x2)−4

58. El área S (en metros cuadrados) de la superficie de un globo inflado con aire caliente está dada

por

S (r )=4 π r2

Donde r es el radio del globo (en metros). Si el radio r crece con el tiempo t (en segundos) según la

fórmula r (t )=23

t 3, siendo t ≥ 0, determine el área S de la superficie del globo como una

función del tiempo t.

59. El volumen V (en metros cúbicos) del globo descrito en el problema 58, está dado por

V (r )=43

π r3. Si el radio r es la misma función de t que apareció en ese problema, determine el

volumen V como función del tiempo t.

60. Ambiente. El petróleo que se derrama de cierto tanque forma un círculo. Si el radio r (en pies)

del derrame después de t horas es r ( t )=200√ t, determine el área A cubierta por petróleo

como una función del tiempo t.

61. Costo de producción. El precio p de cierto producto y la cantidad vendida x cumplen la

ecuación de demanda

p=−14

x+100 0 ≤ x ≤ 400

Suponga que el costo C de producir x unidades de dicho artículo es

C=√ x+600

Si todos los artículos producidos son vendidos, determine el costo C como función del precio

p. [Sugerencia. Despeje x en la ecuación de demanda, y después forme la composición.]

62. Costo de un artículo. El precio p de cierto artículo y la cantidad vendida x cumplen la ecuación

de demanda

p=−15

x+200 0≤ x ≤1000

Suponga que el costo C de producir x unidades de dicho artículo es

C=√ x+400Si todos los artículos producidos se venden, determine el costo C como función del precio p.

CLASIFICACION DE FUNCIONES

Las funciones matemáticas se clasifican según su forma algébrica, la cual determina características graficas de la función. A continuación encontraras las funciones más utilizadas en el estudio de las matemáticas.

Escribe ejemplos algébricos y reconoce las gráficas de cada una de las funciones presentadas en el mapa conceptual anterior.