Análise de Regressão

Prof. Cláudio Serra, Esp. 1

AAnnáálliissee ddee

RReeggrreessssããoo

11..11 IInnttrroodduuççããoo

Análise de regressão é uma técnica de modelagem utilizada para analisar a relação entre

uma variável dependente (Y) e uma ou mais variáveis independentes X1, X2, X3,..., Xn.

O objetivo dessa técnica é identificar (estimar) uma função que descreve, o mais

próximo possível, a relação entre essas variáveis e assim podermos predizer o valor que

a variável dependente (Y) irá assumir para um determinado valor da variável

independente X.

Exemplos de relação entre variáveis são o consumo em relação à taxa de

inflação; a produção de leite e temperatura ambiente; a resistência de um material e sua

composição química; o número de peças com defeitos e a experiência; receita e gasto

com publicidade e etc.

O modelo de regressão poderá ser escrito genericamente como:

),...,3,2,1( XnXXXfY ,

onde o termo representa uma perturbação aleatória na função, ou o erro da

aproximação. O número de variáveis independentes varia de uma aplicação para outra,

quando se tem apenas uma variável independente chama-se Modelo de Regressão

Simples, quando se tem mais de uma variável independente chama-se de Modelo de

Regressão Múltipla. A forma da função (f .) também varia, podendo ser representada

por um modelo linear, polinomial ou até mesmo uma função não linear.

A figura abaixo mostra um modelo linear para representar a relação entre a

produção de leite e o índice pluviométrico de um município.

CCaapp.. 11

Produção de Leite x índice

Pluviométrico y = 0.8x + 8.9

R2 = 0.7853

20

25

30

35

20 22 24 26 28 30


Por sua vez, os dados somente de exportação de carne de frango poderão ser

representados por um modelo polinomial conforme é mostrado na figura abaixo.

11..22 RReeggrreessssããoo LLiinneeaarr SSiimmpplleess

Este modelo é utilizado quando existe uma relação linear entre a variável independente

e a variável dependente (neste caso apenas uma). A função que expressa esse modelo

será dada pela forma abaixo:

ii XbbY 10 ,

O gráfico acima é uma representação desse modelo. Verifica-se pelo mesmo que

nem todos os pontos tocam a reta, e essa diferença é o erro (), que pode ter sido

ocasionado por um erro de leitura dos dados; uma venda abaixo do preço real de

mercado; uma produção abaixo do esperado por uma estiagem não comum; retração do

consumo por uma subida inesperada na taxa de juros; e assim vai.

Mas supõe-se que em média esses erros tendem a se anular, ou seja:

0E i

Uma vez escolhido o modelo de regressão, deve-se estimar seus parâmetros, neste

caso os coeficientes da equação da reta, 10 ,bb . Isso pode ser feito a partir da aplicação

do Método dos Mínimos Quadrados.

Tirando a média sobre a equação acima, temos:

XbbY 10

uma vez que a média dos erros é zero.

Exportações de carne de frango

y = 1.5329x3 - 25.198x2 + 157.04x + 79.16

R2 = 0.9914

-

500

1,000

1,500

2,000

2,500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

20

22

24

26

28

30

32

34

20 22 24 26 28 30


Subtraindo as duas equações temos:

iii XXbbbYY ))(()( 100

Chamando de y e x as diferenças centradas nas médias, )( YYi e )( XX i

respectivamente, temos que:

iii xby 1

ou ainda,

iii xby 1

Fazendo a soma dos quadrados dos erros,

2

1

2

iii xby

22

11

222 iiiii xbyxby

como b1 é uma constante,

22

11

222 iiiii xbyxby

Como o objetivo é estimar uma equação que minimize os erros, devemos então derivar

a equação acima em relação a b1 e igualar a zero. E como não se tem os verdadeiros

valores e sim uma amostra , ou seja o valor a ser determinado é um estimador do

verdadeiro valor populacional, a nova nomenclatura para b1 será 1b . Com isso temos:

2

1ˆ220 iii xbyx

Que pode ser reescrita como:

21

ˆ

i

ii

x

yxb

E o estimador ob , pode ser calculado a partir de:

XbYbo 1ˆˆ

Sendo que a equação de estimativa será dada por:

XbbY o 1ˆˆˆ


EExxeemmpplloo 11 –– RReeggrreessssããoo LLiinneeaarr SSiimmpplleess

Em uma determinada região do país foram coletados os índices pluviométricos e

a produção de leite do tipo c. Sabendo-

se que existe uma previsão para o

próximo ano de um índice

pluviométrico de 24mm determine

então a produção de leite dessa região.

Resolução

Y X y x y2 x

2 xy

1970 26 23 -2.9 -2 8.41 4 5.8

1971 25 21 -3.9 -4 15.21 16 15.6

1972 31 28 2.1 3 4.41 9 6.3

1973 29 27 0.1 2 0.01 4 0.2

1974 27 23 -1.9 -2 3.61 4 3.8

1975 31 28 2.1 3 4.41 9 6.3

1976 32 27 3.1 2 9.61 4 6.2

1977 28 22 -0.9 -3 0.81 9 2.7

1978 30 26 1.1 1 1.21 1 1.1

1979 30 25 1.1 0 1.21 0 0

Soma 289 250 0 0 48.9 60 48

Média 28.9 25 0 0 4.89 6 4.8

21

ˆ

i

ii

x

yxb , assim 8.0

60

48ˆ1 b

e XbYbo 1ˆˆ , que 9,825.8.09,28ˆ ob

Assim a equação pode ser escrita como:

XY 8.09.8ˆ

Anos

Produção de Leite

C (1.000.000

litros)

Índice

pluviométrico

(mm)

1970 26 23

1971 25 21

1972 31 28

1973 29 27

1974 27 23

1975 31 28

1976 32 27

1977 28 22

1978 30 26

1979 30 25


Mas será que a equação do exemplo foi bem estimada, ou melhor, será que ela

representa bem a relação entre as variáveis? Uma maneira de avaliar é através da

diferença entre os valores amostrais reais (Y) e os valores estimados ( Y ), essa diferença

damos o nome de resíduo. Continuando o exemplo,

CCoonnttiinnuuaaççããoo ddoo eexxeemmpplloo 11

Y X y x y2 x

2 xy Y Y- Y (Y- Y )

2

1970 26 23 -2.9 -2 8.41 4 5.8 27.3 -1.3 1.69

1971 25 21 -3.9 -4 15.21 16 15.6 25.7 -0.7 0.49

1972 31 28 2.1 3 4.41 9 6.3 31.3 -0.3 0.09

1973 29 27 0.1 2 0.01 4 0.2 30.5 -1.5 2.25

1974 27 23 -1.9 -2 3.61 4 3.8 27.3 -0.3 0.09

1975 31 28 2.1 3 4.41 9 6.3 31.3 -0.3 0.09

1976 32 27 3.1 2 9.61 4 6.2 30.5 1.5 2.25

1977 28 22 -0.9 -3 0.81 9 2.7 26.5 1.5 2.25

1978 30 26 1.1 1 1.21 1 1.1 29.7 0.3 0.09

1979 30 25 1.1 0 1.21 0 0 28.9 1.1 1.21

Soma 289 250 0 0 48.9 60 48 289 0 11

Média 28.9 25 0 0 4.89 6 4.8 28.9 0 1

Podemos perceber que as diferenças (Y- Y ) são relativamente pequenas. Uma análise

mais cuidadosa pode ser feita através da aplicação de testes estatísticos, nesse caso

ANOVA (teste de variância) e teste t-Student.

Começaremos pela ANOVA, para tanto vamos precisar montar a tabela abaixo:

Tabela ANOVA

Soma dos Quadrados Graus de Liberdade (g.l.) Quadrados Médios (QM) Teste F

SQE= 22

1ˆ

ixb

SQR= 2

YY

1

n-2

SQE/g.l.

SQR/g.l.

SQEmed/SQRmed

SQT= 2

iy n-1 SQE/g.l + SQR/g.l.

Obs: O grau de liberdade em relação ao SQE é devido a termos apenas uma variável independente; Em

relação a SQT, os graus devem ser iguais a variância amostral, ou seja, n-1 (onde n é o número da

elementos da amostra); E o grau de liberdade para SQR seria dado pela diferença entre este, ou seja n-2.

Onde,

Soma dos quadrados dos totais de y centrado

2

iySQT

Soma dos quadrados explicados

22

1

22

1

2 ˆˆˆiii xbxbYSQE


Soma dos quadrados dos resíduos

2

YYSQR

Um outro parâmetro utilizado constantemente é o coeficiente de determinação, R2,

que explica percentualmente a relação entre as variáveis do problema.

SQT

SQER 2

CCoonnttiinnuuaaççããoo ddoo eexxeemmpplloo 11 -- AANNOOVVAA

Tabela ANOVA

Soma dos Quadrados Graus de Liberdade (g.l.) Quadrados Médios (QM) Teste F

SQE=38.4

SQR=11.0

1

8

38.4

1.38

27.83

SQT=49.4 7 7.06

Agora que já temos o valor de F, precisamos testar a hipótese nula que as variâncias são

diferentes, ou seja,

Ho = 12

Adotaremos um nível de significância () de 5%. Com esse valor e os números de graus

de liberdade, acha-se na tabela um valor crítico de 5.32.

Como o F calculado é maior que o F crítico então se rejeita a hipótese Ho, o que

também quer dizer que as variâncias são iguais, e conseqüentemente o modelo de

regressão é válido.


EExxeemmpplloo 22 –– RReessoolluuççããoo ddoo EExxeemmpplloo 11 vviiaa EExxcceell

Resolução

A variável dependente (Y) será o índice

pluviométrico, sendo a produção de leite

tipo c a variável independente (X).

O gráfico dos dados do exemplo 1

pode ser visto ao lado. Pelo gráfico o

ajuste linear pode ser possível, mas talvez

um ajuste polinomial seria mais indicado,

mas de qualquer forma, será testado um

ajuste linear.

Será utilizada a ferramenta Regressão do

software Excel, que pode ser acionado pelo

seguinte caminho: Ferramenta Análise de

Dados Regressão.

Em “Intervalo Y de entrada:” devemos

selecionar na planilha o conjunto de células da

variável dependente. Por sua vez, em “Intervalo X

de entrada:” devemos selecionar na planilha o

conjunto de células da variável independente.

Nesta janela, também podemos selecionar as

opções relativas aos resíduos.

Uma vez selecionado as células, basta clicar no botão de “Ok” que serão gerados

os dados na planilha.

Para o exemplo em questão, podemos destacar das tabelas geradas, as seguintes

informações:

Na estatística padrão: R-quadadro = 0.7852

Na Anova: gl total =9 F=29.25


Pluviométrico

20

25

30

35

20 22 24 26 28 30


E por fim: Interseção 8.9 Variável X1 0.8

Assim a equação do modelo poderá ser escrita como:

iXY 18.09.8ˆ

O resultado é mostrado graficamente abaixo. Então para um índice de 24mm a

produção de leite seria de 28.1 milhões de litros de leite.

É importante ressaltar que o ajuste não foi tão bom, seria importante verificar

um novo modelo.

Uma outra maneira de fazer essa análise, porém sem as mesmas informações

seria utilizar o recurso de Adicionar Linha de Tendência... No menu Gráfico da barra de

menu do Excel.

Selecionado o modelo Linear, clicamos na aba “Opções” e marcamos as opções:

Exibir equação no gráfico e Exibir valor do R-quadrado no gráfico.


Pluviométrico y = 0.8x + 8.9

R2 = 0.7853

20

25

30

35

20 22 24 26 28 30

Não se esqueça, para inserir uma

Linha de tendência o gráfico deve

estar selecionado previamente.


EExxeemmpplloo 22 –– SSéérriiee TTeemmppoorraall ddaa PPrroodduuççããoo ddee CCaarrnnee ddee FFrraannggoo nnoo

BBrraassiill ((11998899--22000033))

De acordo com a Associação Brasileira de Exportadora dos Produtores e

Exportadores de Frango, ABEF, a produção brasileira de carne de frango (em

mil toneladas) para o mercado interno e externo no período de 1989 a 2003 é

dada pela tabela abaixo:

Resolução

O primeiro passo para avaliar se os dados podem ser ajustados por um modelo

linear é plotar suas variáveis em um gráfico.

Pelo gráfico percebe-se uma tendência que a relação entre a produção de carne

de frango (variável dependente, Y) e o tempo (variável independente, X) seja

Ano Mercado Interno Exportação Total

1989 1,811 244 2,055 1990 1,968 299 2,267 1991 2,200 322 2,522 1992 2,351 372 2,727 1993 2,710 433 3,143 1994 2,930 481 3,411 1995 3,617 429 4,050 1996 3,483 569 4,052 1997 3,812 649 4,461 1998 4,262 612 4,875 1999 4,755 771 5,526 2000 5,070 907 5,977 2001 5,486 1,249 6,736 2002 5,917 1,600 7,517 2003 5,921 1,922 7,843

Fonte: ABEF - Associação Brasileira dos Produtores e Exportadores de Frangos

(www.abef.com.br).

Prod.de carne de frango

-

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

0 5 10 15 20


dado por uma equação linear. Para determinar essa equação será utilizado o

software Excel.

No Excel será utilizada a ferramenta Regressão que é um módulo do Suplemento

Análise de Dados.

Acionando-se essa ferramenta, o passo seguinte será preencher a caixa de

diálogo da Regressão conforme os

dados.

Onde na opção Intervalo Y de

Entrada deverá ser colocado o valor

da variável dependente, e na opção

Intervalo X de Entrada, deverá ser

colocado os valores da variável

independente.


Após o preenchimento das caixas de diálogo basta pressionar o botão de Ok, e o

resultado aparecerá em uma nova planilha. A figura abaixo mostra o resultado

para o exemplo em questão.

Dessa planilha se destacam os seguintes valores:



E por fim: Interseção 1146,99 Variável X 416,30


iXY 130,41699,1146ˆ

Pode-se agora plotar os dados dos valores verdadeiros com os valores do

modelo.

Também se pode fazer prognóstico para valores futuros. Por exemplo, para o

ano de 2004 o modelo prevê uma produção de 7.807 toneladas de carne de

frango.

0.00

2000.00

4000.00

6000.00

8000.00

10000.00

1 3 5 7 9 11 13 15

RegressãoLinear

Prod.Carne eFrango


Uma outra maneira de fazer essa análise, porém sem as mesmas informações

seria utilizar o recurso de Adicionar Linha de Tendência... no Menu Gráfico da

barra de menu do Excel.

Selecionado o modelo Linear, clica-se na aba Opções e marca-se as

opções: Exibir equação no gráfico e Exibir valor do R-quadrado no gráfico.

Produção brasileira de carne de frango – milhões de toneladas

y = 416.3x + 1147

R2 = 0.9688

2

3

4

5

6

7

8

9

1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

AnoMilh

ões

de t

onela

das

Fonte: ABEF (www.abef.com.br).

Não se esqueça, para inserir uma

Linha de tendência o gráfico deve

estar selecionado previamente.


11..33 RReeggrreessssããoo LLiinneeaarr MMúúllttiippllaa

Em algumas situações mais do que uma variável independente (X1,X2,...,Xn)

pode ser necessária para predizer o valor da variável independente (Y). O modelo

matemático para esse caso é dado abaixo:

ikikiii XbXbXbbY ...2210

Que para as n observações poderá se escrito da forma:

112121101 ... kk XbXbXbbY

222222102 ... kk XbXbXbbY

... ... ... ... ... ... ...

nknknnn XbXbXbbY ...2210

Que forma na realidade um sistema linear, que podermos escrever na forma de

matriz como:

kkknnn

k

k

b

b

b

XXX

XXX

XXX

Y

Y

Y

.......

1

............

1

1

...

2

1

2

1

2

2222

1211

3

2

1

Que escrevendo ainda em outra em sua forma mais compacta temos:

bXY

O estimador para b será dado por:

YXXXb '1'ˆ

Pela equação acima, há necessidade que o produto X’X, tenha uma matriz

inversa, o que implica na condição obrigatória que nenhuma coluna da matriz X seja

combinação linear das outras.


EExxeemmpplloo 33 –– MMaannuutteennççããoo ddoo ccaammiinnhhããoo

Uma agroindústria quer saber o custo de manutenção de seus caminhões durante

o corrente ano, para tanto foram coletadas informações de quilometragem e

tempo do caminhão. A tabela abaixo nos mostra esses valores.

Resolução

Nesse caso será feito diretamente análise sem plotar o gráfico. O procedimento

no software Excel é: Ferramenta Análise de Dados Regressão. No campo

Intervalo X de Entrada deve ser preenchida com a faixa de valores das variáveis

independentes, que nesse caso são a quilometragem e o tempo do caminhão.

Da planilha de resultados se destacam os seguintes valores:


Erro padrão: 2.106


E por fim: Interseção 17.73 Variável X1 4.06 e X2 98.507


iXiXY 2507.98106.473.17ˆ

Assim para um caminhão com 5 anos com quilometragem de 10.000 milhas, o

custo de manutenção será de $550.89.

Custo de

ManutençãoQuilometragem

(x1000)

Tempo do

caminhão

(em anos)

832 6 8

73 7 7

647 9 6

553 11 5

467 13 4

373 15 3

283 17 2

189 18 1

96 19 0


11..44 RReeggrreessssããoo NNããoo LLiinneeaarr

Nem sempre a relação entre a variável independente (X) e a variável dependente

(Y) possui uma relação linear, em certos casos essa relação é não-linear.

A figura abaixo mostra algumas dessas formas. Nesses casos, pode-se através de

mudanças de variáveis resolver o problema utilizando basicamente as equações já

mencionadas nesse material. Para os interessados nesses procedimentos sugere-se a

leitura das referências indicadas no final do texto.

Para efeito de demonstração da Regressão-Linear será utilizado o Excel através

do seu recurso de Tendência, todavia conforme já mencionado, esse não dá informações

estatísticas sobre o ajuste.

EExxeemmpplloo 44 –– SSéérriiee TTeemmppoorraall ddaa PPrroodduuççããoo ddee CCaarrnnee ddee FFrraannggoo nnoo

BBrraassiill ((11998899--22000033))

De acordo com a Associação Brasileira de Exportadora dos Produtores e

Exportadores de Frango, ABEF, a produção brasileira de carne de frango (em

mil toneladas) para o mercado interno e externo no período de 1989 a 2003 é

dada pela tabela abaixo:

Ano Mercado Interno Exportação Total

1989 1,811 244 2,055 1990 1,968 299 2,267 1991 2,200 322 2,522 1992 2,351 372 2,727 1993 2,710 433 3,143 1994 2,930 481 3,411 1995 3,617 429 4,050 1996 3,483 569 4,052 1997 3,812 649 4,461 1998 4,262 612 4,875 1999 4,755 771 5,526 2000 5,070 907 5,977 2001 5,486 1,249 6,736 2002 5,917 1,600 7,517 2003 5,921 1,922 7,843

Fonte: ABEF - Associação Brasileira dos Produtores e Exportadores de Frangos

(www.abef.com.br).


Resolução

Nesse exemplo será avaliada somente a produção para o mercado externo, o

gráfico que representa essa produção ao longo do ano pode ser visto logo abaixo.

Analisando o gráfico acima, verifica-

se que o ajuste linear talvez não seja o

melhor modelo para representar esses

dados. Assim, escolhe-se dentre os

prováveis o modelo polinomial de 3o

grau.

Além disso, na aba Opções marca-se

as caixas Exibir equação no gráfico e

Exibir valor de R-quadrado no gráfico.

Com isso feito o resultado pode ser visto na figura seguinte. Repare na qualidade

do ajuste, o valor do coeficiente de determinação foi de 0.99.

Assim, pode-se então

estimar a produção para o

mercado externo de carne

de frango para 2004. O

valor previsto por esse modelo é dá ordem de 2419.87, pelo site da ABEF

(www.abef.com.br) verificou-se que essa associação previa 2115, e a exportação

real em 2004 foi de 2470.

Produção para o mercado interno de carne de

frango

y = 1.5329x3 - 25.198x2 + 157.04x + 79.16

R2 = 0.9914

-

500

1,000

1,500

2,000

2,500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Dados reais

Ajuste Polinomial

Produção para o mercado interno de carne de

frango

-

500

1,000

1,500

2,000

2,500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Dados reais


Rebanho bovino brasileiro – efetivo por estado(Mil cabeças)

Regiões 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Norte 13,317 15,362 15,847 17,067 17,966 19,183 17,983 19,298 21,099 22,431 24,518 27,284 30,429 RO 1,719 2,826 2,774 3,286 3,470 3,928 3,937 4,331 5,104 5,442 5,664 6,605 8,040

AC 400 404 409 445 465 471 853 863 907 930 1,033 1,673 1,817

AM 637 648 640 689 747 806 734 771 809 826 843 864 895

RR - 346 349 - 286 282 400 378 425 481 480 438 423

PA 6,182 6,626 6,990 7,435 7,539 8,058 6,751 7,539 8,337 8,863 10,271 11,047 12,191

AP 70 71 62 73 86 93 64 66 75 77 83 87 84

TO 4,309 4,441 4,624 5,139 5,374 5,544 5,243 5,351 5,442 5,813 6,142 6,571 6,979

Nordeste 26,190 26,669 26,912 22,527 22,825 23,174 23,882 23,831 21,981 21,875 22,567 23,414 23,891 MA 3,900 3,949 3,931 4,020 4,102 4,162 3,936 3,905 3,937 3,966 4,094 4,483 4,776

PI 1,974 2,046 2,029 1,982 2,054 2,135 1,730 1,737 1,751 1,756 1,779 1,792 1,804

CE 2,621 2,625 2,602 2,098 2,186 2,266 2,400 2,411 2,114 2,168 2,206 2,194 2,230

RN 956 966 930 566 646 722 935 941 793 755 804 788 839

PB 1,345 1,315 1,320 859 975 1,054 1,305 1,303 929 886 953 918 952

PE 1,966 1,952 1,923 1,271 1,349 1,362 1,954 1,682 1,470 1,420 1,516 1,673 1,753

AL 891 961 959 802 822 834 839 956 900 815 779 843 816

SE 1,030 1,047 1,058 908 815 797 946 946 918 937 880 866 863

BA 11,505 11,808 12,160 10,022 9,877 9,841 9,838 9,950 9,168 9,171 9,557 9,856 9,856

Sudeste 36,323 36,724 37,231 37,627 37,604 37,168 36,605 36,977 37,074 36,899 36,852 37,119 37,924 MG 20,472 20,764 21,066 21,034 20,707 20,146 20,148 20,378 20,501 20,082 19,975 20,219 20,559

ES 1,665 1,766 1,829 1,935 1,919 1,968 1,816 1,936 1,938 1,882 1,825 1,665 1,683

RJ 1,924 1,932 1,942 1,967 2,004 1,905 1,843 1,837 1,881 1,866 1,959 1,977 1,981

SP 12,263 12,262 12,394 12,690 12,974 13,148 12,798 12,827 12,753 13,069 13,092 13,258 13,701

SUL 25,326 25,272 25,451 25,727 26,429 26,641 26,421 26,683 26,600 26,190 26,298 26,784 27,537 PR 8,617 8,542 8,499 8,607 8,912 9,389 9,880 9,897 9,767 9,473 9,646 9,817 10,048

SC 2,994 3,057 3,047 3,017 2,960 2,993 3,098 3,087 3,090 3,053 3,051 3,096 3,118

RS 13,715 13,673 13,905 14,103 14,556 14,259 13,443 13,700 13,743 13,664 13,601 13,872 14,371

Centro-Oeste 45,946 48,109 48,788 52,186 53,420 55,061 53,398 54,627 56,402 57,227 59,641 61,787 65,567 MS 19,164 19,543 20,395 21,800 22,244 22,292 20,756 20,983 21,422 21,576 22,205 22,620 23,168

MT 9,041 9,891 10,138 11,682 12,654 14,154 15,573 16,338 16,752 17,243 18,925 19,922 22,184

GO 17,635 18,574 18,148 18,581 18,397 18,492 16,955 17,182 18,118 18,297 18,399 19,132 20,102

DF 106 102 107 124 124 123 115 123 110 110 112 113 113

Brasil 147,102 152,136 154,229 155,134 158,243 161,228 158,289 161,416 163,154 164,621 169,876 176,389 185,347

Fonte: IBGE – Pesquisa Pecuária Municipal (www.ibge.gov.br).

Date post:	23-Jan-2023
Category:	Documents
Upload:	independent
View:	0 times
Download:	0 times

Análise de Regressão

Documents