Aspectos Matem¶ aticosdeVibra»c~oes Mec^ anicas Hamilton Leckar Departamento de Matem¶atica Aplicada-UFF Rua M¶ ario Santos Braga, s/n 24020-140 Niter¶ oi (RJ) E-mail: gmaha°@vm.ufi.br Fax: 55 21 717 8269 Rubens Sampaio Departamento de Engenharia Mec^ anica-PUC-Rio Rua Marqu^ es de S~ ao Vicente, 225 22453-900 Rio de Janeiro (RJ) E-mail: [email protected]Homepage: http://www.mec.puc-rio.br/prof/rsampaio/rsampaio.html Fax: 55 21 294 9148
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Aspectos Matem¶aticos de Vibra»c~oesMecanicas
Hamilton LeckarDepartamento de Matem¶atica Aplicada-UFF
O estudo de vibra»c~oes em Mecanica Aplicada ¶e relevante devido a sua importanciatecnol¶ogica.
Em geral, a dinamica de uma estrutura ¶e descrita por um sistema de equa»c~oesdiferenciais parciais obtidas de leis f¶³sicas apropriadas e de um conjunto de condi»c~oes:condi»c~oes de contorno, condi»c~oes no interior e condi»c~oes iniciais.
Uma das formas de controlar a dinamica de uma estrutura, por exemplo, umsat¶elite, ¶e atrav¶es do conhecimento de suas freqÄuencias naturais e modos normais devibra»c~ao, de forma exata ou aproximada.
Para analisar matematicamente um problema de vibra»c~oes, isto ¶e, responder aquest~ao de existencia e unicidade de solu»c~oes ou a existencia de modos normais devibra»c~ao, existem diferentes contextos conforme a complexidade do problema.
Alguns problemas simples como o das vibra»c~oes transversais de uma viga longa e¯na, bi-engastada ou pinada-livre, no modelo cl¶assico de Euler-Bernoulli, podem serresolvidos em termos de uma formula»c~ao forte ou pontual. Um problema para essamesma viga, suportando um carregamento com uma ou mais massas pontuais, tem umtratamento mais adequado por meio de uma formula»c~ao variacional. No caso de umaestrutura mais complexa, por exemplo, uma viga em rota»c~ao, no qual as condi»c~oessuplementares do problema n~ao s~ao facilmente estabelecidas, a formula»c~ao usando oprinc¶³pio variacional de Hamilton ¶e, em geral, mais adequada.
Usamos comumente o m¶etodo de Galerkin ou o m¶etodo de elementos ¯nitos paraaproximar numericamente as frequencias e modos de vibra»c~ao da estrutura bem comopara simula»c~oes num¶ericas da sua dinamica. Neste caso, uma formula»c~ao fraca doproblema ¶e prefer¶³vel.
Estas Notas, extremamente resumidas, devido µa limita»c~ao de p¶aginas, descrevemalguns problemas cl¶assicos de vibra»c~oes mas tocam tamb¶em em problemas atuais emque elementos piezo-el¶etricos s~ao incorporados µa estrutura como atuadores ou sensores.O tratamento matem¶atico desses problemas ¶e bem mais complexo e o controle dadinamica de uma estrutura com elementos piezo-el¶etricos ¶e um problema tecnol¶ogicoimportante. As equa»c~oes que governam o comportamento piezo-el¶etrico n~ao foraminclu¶³das nas Notas. Se o problema despertar interesse, faremos a sua apresenta»c~ao emuma outra oportunidade.
No cap¶³tulo 1 dessas Notas damos uma breve descri»c~ao do modelo de vigas de umaforma sistem¶atica. Apresentamos os modelos de Euler-Bernoulli, Vlasov e Timoshenko.Os modelos de Euler-Bernoulli e Timoshenko s~ao usados rotineiramente na pr¶aticade Engenharia. Damos alguns exemplos de modelos menos conhecidos, num deleslevamos em conta a existencia de uma for»ca axial conhecida (distribu¶³da ao longo doeixo da viga), em outro consideramos uma situa»c~ao onde h¶a acoplamento entre °ex~aoe tor»c~ao devido µa forma da se»c~ao transversal da viga, que tomamos como constantepara simpli¯car a apresenta»c~ao.
Estudamos alguns exemplos de problemas cl¶assicos de vigas para os tres modelos.Fazemos uma compara»c~ao das freqÄuencias obtidas para uma viga pinada-pinada e bi-engastada nos modelos de Euler-Bernoulli e Timoshenko. A maior enfase foi dada aproblemas que permitiam uma solu»c~ao simples e ajudavam na compreens~ao dos con-
2
ceitos b¶asicos. Usamos o teorema espectral na resolu»c~ao dos problemas de autovalorescorrespondentes.
No cap¶³tulo 2 descrevemos um contexto de existencia e unicidade de solu»c~oesem uma formula»c~ao variacional abstrata para problemas de vibra»c~oes mecanicas n~aoamortecidos encontrados por exemplo em [8, 27, 36, 40]. Problemas de vibra»c~oes devigas com distribui»c~ao de massas pontuais ou vigas sobre as quais estejam coladas pla-cas atuadoras ou sensoras de material piezo-el¶etrico s~ao dados a ¯m de exempli¯caraplica»c~oes do m¶etodo.
No cap¶³tulo 3 cont¶em, tendo como base a abordagem de Banks et al. em [2, 3],por exemplo, um formalismo para tratar sistemas com amortecimento, no qual, o a-mortecimento ¶e descrito em termos de formas sesquilineares, conforme a equa»c~ao (3.4).Tal tratamento difere daquele encontrado em [27], citado no cap¶³tulo 2, para tratarsistemas sem amortecimento.
Por ¶ultimo, no cap¶³tulo 4 discutimos uma situa»c~ao de grande importancia tec-nol¶ogica: o da viga em rota»c~ao (rota»c~ao plana). Descrevemos um exemplo desse tipode problema atrav¶es do princ¶³pio de Hamilton.
O objetivo das Notas foi despertar o interesse de alguns matem¶aticos pelos proble-mas que nos apaixonam e encontrar neles interlocutores dispostos a nos ajudarem aentender um pouco mais sobre esse assunto facilmente.
3
Cap¶³tulo 1
Problemas cl¶assicos de vibra»c~oes
1.1 Modelos de vigas
O principal objetivo nesta se»c~ao ¶e o de estudar problemas de vibra»c~oes de vigas. Ostres modelos b¶asicos que ser~ao utilizados s~ao os de Euler-Bernoulli, Vlasov e Timo-shenko. No modelo de Euler-Bernoulli, que ¶e o mais simples, o cisalhamento e a in¶erciade rota»c~ao s~ao desprezados. Faz-se a suposi»c~ao de que as se»c~oes transversais planaspermanecem sempre planas e perpendiculares ao eixo longitudinal da viga ap¶os de-°ex~ao. No modelo de Vlasov despreza-se o cisalhamento, por¶em se considera a in¶erciade rota»c~ao. No modelo de Timoshenko, mais complexo, sup~oe-se tamb¶em que as se»c~oestransversais planas permanecem planas, mas n~ao necessariamente perpendiculares aoeixo longitudinal da viga pois h¶a um giro da se»c~ao em rela»c~ao a essa perpendicular, de-vido ao cisalhamento. Quando as dimens~oes da se»c~ao transversal da viga s~ao pequenasem compara»c~ao com o seu comprimento (vigas longas e esbeltas), o modelo comumenteusado para estudar as de°ex~oes ¶e o de Euler-Bernoulli. Nos casos em que as dimens~oesda se»c~ao transversal n~ao s~ao pequenas em compara»c~ao com o comprimento da viga,situa»c~ao em que o cisalhamento deve ser considerado, o modelo de Timoshenko ¶e omais indicado. Para altas freqÄuencias o modelo de Euler-Bernoulli n~ao fornece bonsresultados e o modelo de Timoshenko deve ser usado, independentemente da geometriada viga.
1.1.1 Dedu»c~ao dos Modelos
Uma viga ¶e uma estrutura mecanica que pode ser descrita, num dado instante, por um¶unico parametro espacial, logo ¶e um objeto unidimensional. Associado a cada pontoda viga est¶a um corpo r¶³gido, a se»c~ao correspondente ao ponto.
Na teoria de vigas se utiliza a hip¶otese de pequenas deforma»c~oes que diz que a con-¯gura»c~ao de referencia da viga n~ao se modi¯ca muito devido ao carregamento impostoe por isso varia»c~oes de geometria podem ser desprezadas. Isso implica que no lugar dese trabalhar num dom¶³nio vari¶avel se toma um dom¶³nio ¯xo e as equa»c~oes s~ao lineares.
Vejamos agora uma forma sistem¶atica de equacionar os modelos de viga que tratare-mos. Consideremos um elemento de viga. Sejam
u(x; t) a posi»c~ao do ponto x no instante t;
4
Figura 1.1: Viga engastada-livre (Cantilever). Um elemento de viga
Ã(x; t) a posi»c~ao angular da se»c~ao associada ao ponto x.
No ponto x representado na ¯gura, consideramos uma for»ca V (x; t) denominada for»cacortante, e um momento M(x; t); denominado momento °etor, que representam a a»c~aodos pontos que est~ao µa esquerda de x.
Para achar as equa»c~oes que governam a dinamica da viga vamos fazer o balan»co dequantidade de movimento linear e angular:
Zx+±
x
½(®)A(®)@2u
@t2(®; t) d® = V (x+ ±; t)¡ V (x; t) +
Zx+±
x
f(®; t) d® :
Substituindo V (x+ ±; t)¡ V (x; t) =@V
@x(x; t)± + o(±; x; t) e fazendo ± ! 0,
½(x)A(x)@2u
@t2(x; t) =
@V
@x(x; t) + f(x; t) : (1.1)
Fazendo o balan»co de momentos com rela»c~ao ao ponto x,
Zx+±
x
½(®)I(®)@2Ã
@t2(®; t) d® = M(x+±; t)¡M(x; t)+V (x+±)±+
Zx+±
x
f(®; t)(®¡ x) d®
temos
½(x)I(x)@2Ã
@t2(x; t) =
@M
@x+ V (x; t) : (1.2)
Nessas equa»c~oes aparecem os seguintes parametros:
5
½(x) densidade volum¶etrica do material no ponto x;
A(x) ¶area da se»c~ao r¶³gida associada ao ponto x;
I(x) momento de in¶ercia da se»c~ao no ponto x;
f(x; t) for»ca aplicada na dire»c~ao vertical no ponto x no instante t.
As equa»c~oes (1.1) e (1.2) relacionam o movimento da viga, descrito pelo par (u; Ã) comos esfor»cos (for»ca, momento) descritos pelo par (V;M).
Para completar a formula»c~ao de um problema de viga necessitamos ainda prescrever:
a) as hip¶otese constitutivas que relacionam (u;Ã) com (V;M);
b) as condi»c~oes nos contornos da viga.
As condi»c~oes de contorno mais freqÄuentes s~ao:
² Engastamento: u = 0,@u
@x= 0 na extremidade.
A condi»c~ao u = 0 a¯rma que a extremidade est¶a ¯xa e@u
@x= 0 que a inclina»c~ao ¶e nula
(poderia tamb¶em ¯xar outros valores).
² Simplesmente apoiada ou pinada: u = 0, M = 0:
Neste caso uma das condi»c~oes ¶e dinamica, M = 0, que diz que o momento na extremi-dade ¶e nulo. Essa ¶e uma condi»c~ao de contorno n~ao essencial, como veremos adiante.
² Livre: M = 0, V = 0.
Nesse caso temos duas condi»c~oes dinamicas, os esfor»cos s~ao nulos.
² Deslizante: V = 0,@u
@x= 0.
² extremidade ¯xada a uma mola linear, amortecedor ou massa:
Quando a extremidade da viga se desloca transversalmente, u sendo o deslocamentoe à o giro da se»c~ao, a for»ca resistiva devida µa mola, amortecedor e massa s~ao propor-
cionais a u,@u
@t,@2u
@t2, respectivamente. Essa for»ca resistiva ¶e equilibrada pela for»ca de
cisalhamento V , logo:
V = a
"ku+ c
@u
@t+m
@2u
@t2
#
onde a = ¡1 para a extremidade esquerda e +1 para a extremidade direita. Al¶emdisso o momento °etor ¶e zero: M = 0.
Se na extremidade temos uma for»ca torsional, amortecedor rotacional ein¶ercia de rota»c~ao as express~oes equivalentes s~ao:
6
(a) (b)
Figura 1.2: (a) Engastada-pinada; (b) Pinada-pinada.
8><>:
M = a
"ktà + ct
@Ã
@t+ I0
@2Ã
@t2
#
V = 0 :
Vejamos agora as tres teorias lineares de vigas mais usadas:
1) Euler-Bernoulli
Vamos neste caso desprezar a in¶ercia de rota»c~ao, o que da equa»c~ao (1.2) fornece uma
rela»c~ao entre M e V : V = ¡@M
@x:
E vamos adotar a hip¶otese constitutiva de que o momento ¶e proporcional a curvatura
linearizada, isto ¶e: M = E(x)I(x)@2u
@x2:
E(x), o m¶odulo de elasticidade, ¶e uma propriedade caracter¶³stica do mate-rial no ponto x.
I(x) ¶e o momento de in¶ercia da ¶area da se»c~ao.
As duas equa»c~oes (1.1), (1.2) fornecem ent~ao:
½(x)A(x)@2u
@t2+
@2
@x2
ÃE(x) I(x)
@2u
@x2
!= f(x; t) : (1.3)
2) Vlasov
Esta ¶e uma teoria de viga intermedi¶aria. Nesse caso n~ao desprezamos a in¶ercia de
rota»c~ao, tomaremos à =@u
@x: A equa»c~ao (1.2) do balan»co de momento angular fornece
ent~ao:
V = ½(x)I(x)@3u
@x@t2¡ @M
@x:
Para M conservamos a hip¶otese feita anteriormente.Temos ent~ao:
½(x)A(x)@2u
@t2+ E(x)I(x)
@4u
@x4¡ ½(x)I(x)
@4u
@x2@t2= f(x; t) ; (1.4)
que ¶e uma equa»c~ao hiperb¶olica.
3) Timoshenko
Nesse caso, consideramos as hip¶oteses constitutivas
M(x; t) = EI@Ã
@x(x; t)
V (x; t) = kGA
Ã@u
@x¡ Ã
!(x; t)
onde
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Figura 1.3: Tipos de se»c~oes de vigas. Gs centro de massa; Es centro de cisalhamento.
k(x) ¶e o coe¯ciente de cisalhamento e G(x) ¶e o m¶odulo de cisalhamento.
As equa»c~oes (1.1), (1.2) s~ao escritas na forma:
8>>>>>><>>>>>>:
½A@2u(x; t)
@t2+
@
@x
ÃkGA
ÃÃ(x; t)¡ @u(x; t)
@x
!!= f(x; t)
½I@2Ã(x; t)
@t2+ kGA
ÃÃ(x; t)¡ @u(x; t)
@x
!¡ @
@x
ÃEI
@Ã(x; t)
@x
!= 0 :
(1.5)
Nesse modelo à ¡ @u
@x¶e o angulo de cisalhamento.
Observa»c~ao 1.1 1. A se»c~ao r¶³gida associada a um ponto x da viga desempenha umpapel fundamental na teoria. Se»c~oes usuais s~ao dadas na ¯gura 1.3.
Dois tipos de propriedades da se»c~ao s~ao de relevancia:
i) tipo de material: E(x), G(x), ½(x)
ii) forma e magnitude da se»c~ao: I(x), k(x), A(x)
O coe¯ciente de cisalhamento k depende da forma da se»c~ao. Por exemplo, k =5
6
para se»c~oes retangulares e k =9
10para se»c~oes circulares.
2. N¶umero de parametros de cada modelo: O modelo de Euler-Bernoulli (1.3) ¶e
descrito por apenas um parametro c =
sEI
½A(coe¯cientes constantes). O modelo
de Vlasov (1.4) ¶e descrito por dois parametros: c e r =
sI
A. O modelo de
Timoshenko ¶e descrito por tres parametros: c, r =
sI
Ae
skG
½:
Energias
² Energia da viga de Timoshenko:
ET (t) =1
2
Zl
0
8<:½A
"@u
@t
#2+ I½
"@Ã
@t
#2+ kGA
ÃÃ ¡ @u
@x
!2
+ EI
"@Ã
@x
#29=;dx :
8
² Energia da viga de Vlasov:
EV (t) =1
2
Zl
0
8<:½A
"@u
@t
#2+ I½
"@2u
@x@t
#2+ EI
"@2u
@x2
#29=;dx :
² Energia da viga de Euler-Bernoulli:
EEB(t) =1
2
Zl
0
8<:½A
"@u
@t
#2+ EI
"@2u
@x2
#29=;dx :
1.1.2 Amortecimento
Vamos considerar dois tipos de amortecimento, aqueles que resultam em dinamicaslineares.
a) Amortecimento viscoso
- que modela a in°uencia de um meio externo (ar ou um °uido).Esse tipo de amortecimento ¶e proporcional a velocidade. Logo, se c e cn s~ao cons-
tantes temos: 8>><>>:
½A@2u
@t2=
@V
@x¡ c
@u
@t+ f
½I@2Ã
@t2=
@M
@x+ V ¡ cn
@Ã
@t
b) Amortecimento viscoel¶astico
Nesse caso as equa»c~oes podem mudar de tipo, assim como mudam algumas das con-di»c~oes de contorno: as condi»c~oes dinamicas.
A modelagem ¶e feita introduzindo nas equa»c~oes constitutivas um termo que re-presenta uma taxa de varia»c~ao. Esse modelo traduz um comportamento material daestrutura, em oposi»c~ao ao modelo anterior que representa a in°uencia do meio externo.
Por exemplo, no modelo de Euler-Bernoulli a taxa de varia»c~ao da curvatura linea-rizada. Nesse caso fazemos:
M = EI@2u
@x2+ cvI
@3u
@x2@t
onde cv ¶e uma constante.Logo a equa»c~ao resultante ¶e:
½A@2u
@t2+
@2
@x2
ÃEI
@2u
@x2+ cvI
@3u
@x2@t
!= f :
Nesse caso V = ¡@M
@x= ¡ @
@x
ÃEI
@2u
@x2+ cvI
@3u
@x2@t
!:
Modelos mais complexos podem ser constru¶³dos considerando tamb¶em a dinamicado meio externo e introduzindo termos de acoplamento. Esses modelos s~ao tratadosem Ac¶ustica, e em Aeroelasticidade. Nesse caso temos equa»c~oes para a viga, ou maisgeralmente, para a estrutura e tamb¶em para o meio externo (em geral um °uido).
9
1.1.3 Compara»c~ao entre os espectros
Vamos calcular o quociente de Rayleigh para os tres modelos:
1) Para o modelo de Timoshenko, temos
RT =
Zl
0
8<:kGA
ÃÃ ¡ @u
@x
!2
+ EI
Ã@Ã
@x
!29=;dxZ
l
0
n½Au2 + ½IÃ2
odx
; (1.6)
2) Para o modelo de Vlasov, temos
RV =
Zl
0
EI
Ã@2u
@x2
!2
dx
Zl
0
8<:½Au2 + ½I
Ã@u
@x
!29=;dx
; (1.7)
3) Para o modelo de Euler-Bernoulli, temos
REB =
Zl
0
EI
Ã@2u
@x2
!2
dx
Zl
0
½Au2dx: (1.8)
O primeiro autovalor, em cada caso, ¶e dado, respectivamente por:
¸T = minHT
RT ;
¸V = minHV
RV ;
¸EB = minHEB
REB :
(1.9)
Consideremos em HT o v¶³nculo à =@u
@x: Comparando RT e REB vemos que, com o
v¶³nculo, os numeradores ¯cam iguais enquanto que o denominador de RT ¶e maior, emface do termo adicional. Logo
¸EB ¸ ¸T :
Nos demais casos o argumento ¶e similar.
1.2 Problemas de vibra»c~oes de vigas no modelo de
Euler-Bernoulli
No estabelecimento de um problema cl¶assico t¶³pico para uma viga de comprimento lmodelada pela equa»c~ao (1.3), s~ao necess¶arias quatro condi»c~oes de contorno, duas em
10
cada extremidade, x = 0 e x = l (pois ocorrem derivadas de at¶e quarta ordem deu(x; t) em rela»c~ao a x). Al¶em disso, a equa»c~ao ¶e de segunda ordem no tempo, portanto¶e tamb¶em necess¶ario se conhecer as condi»c~oes iniciais, que correspondem a con¯gura»c~aoinicial e a velocidade inicial da viga, dadas por
u(x; 0) = u0(x);@u
@t(x; 0) = u1(x) (1.10)
onde u0 e u1 s~ao fun»c~oes conhecidas.As condi»c~oes de contorno s~ao caracter¶³sticas do problema. Elas s~ao geralmente
dadas em termos da de°ex~ao u(x; t), da inclina»c~ao@u(x; t)
@xem rela»c~ao a con¯gura»c~ao
de referencia da viga (no repouso), do momento M(x; t)
M(x; t) = E(x) I(x)@2u(x; t)
@x2
ou da for»ca cortante V (x; t)
V (x; t) = ¡@M(x; t)
@x= ¡ @
@x
ÃE(x) I(x)
@2u(x; t)
@x2
!
aplicada µa se»c~ao da viga na extremidade considerada. A viga da ¯gura, por exemplo,est¶a engastada na sua extremidade x = 0 e livre na extremidade x = l (engastada-livre),se
u(0; t) = 0;@u
@x(0; t) = 0
na extremidade x = 0, e
E I@2u
@x2(l; t) = 0;
@
@x
ÃE I
@2u
@x2
!(l; t) = 0 (1.11)
na extremidade x = l.A condi»c~ao de ser livre signi¯ca que a for»ca e o momento s~ao nulos. As condi»c~oes
s~ao traduzidas em deslocamento via as hip¶oteses constitutivas. Mudando as hip¶oteses,mudam as equa»c~oes (1.11).
Outras condi»c~oes de contorno usuais:
A viga ser simplesmente suportada ou pinada numa de suas extremidades, quer dizer:A de°ex~ao e o momento s~ao nulos; as condi»c~oes de contorno nessa extremidade,digamos x = 0, s~ao dadas por
u(0; t) = 0;
ÃEI
@2u
@x2
!(0; t) = 0 :
Se na extremidade x = l, a viga ¶e deslizante ao longo da dire»c~ao x (no plano devibra»c~ao da viga, a posi»c~ao n~ao ¶e prescrita, o que corresponde a extremidadepoder se deslocar ao longo de uma guia, como acontece com algumas cortinas,por exemplo) a inclina»c~ao e a for»ca cortante s~ao nulas em x = l. Essas condi»c~oess~ao dadas por
@u
@x(l; t) = 0;
@
@x
ÃE I
@2u
@x2
!(l; t) = 0 :
11
1.2.1 C¶alculo das freqÄuencias e modos de vibra»c~ao
Isto corresponde exatamente a encontrar solu»c~ao por separa»c~ao de vari¶aveis. Isto ¶e,vamos procurar solu»c~oes de (1:3) na forma
u(x; t) = X(x)T (t) : (1.12)
Substituindo formalmente (1:12) em (1:3) temos,
¡ 1
T
d2T
dt2=
1
½A
1
X
d2
dx2
ÃE I
d2X
dx2
!= ¸ (1.13)
sendo ¸ uma constante a ser determinada.Da¶³, X e T devem satisfazer, respectivamente, as seguintes equa»c~oes:
¢ ¢T + ¸T = 0 ; (1.14)
e1
½A(E I X 00)
00
= ¸X (1.15)
onde ()¢ :=@
@te ()0 :=
@
@x:
A equa»c~ao (1:15) com condi»c~oes de contorno apropriadas corresponde a um proble-ma de autovalores para o operador linear n~ao-limitado A de dom¶³nio D(A), subespa»codo espa»co de Hilbert H = L2(0; l), munido do produto escalar
(X; Y )H=Z
l
0
½AX(x)Y (x) dx ;
com valores
AX =1
½A(E I X 00)
00
pertencentes a H, para todo X 2 D(A).
Coe¯cientes ½A, E I constantes:
Neste caso a equa»c~ao (1.15) se escreve na forma
E I
½A
d4X
dx4= ¸X :
Esta equa»c~ao e a equa»c~ao (1.14) s~ao de f¶acil resolu»c~ao:Denotando
As fun»c~oes X(x) devem satisfazer as condi»c~oes de contorno. Impondo essas condi»c~oes,obtemos uma equa»c~ao que determina uma in¯nidade de solu»c~oes ¯:
¯1 · ¯2 · : : : · ¯n · : : : ;
em que para cada ¯n se determinam constantes (n~ao todas nulas) an1; an
2; an
3e an
4que
de¯ne uma fun»c~ao n~ao nula (autofun»c~ao)
Xn(x) = an1sen¯nx+ an
2cos¯nx+ an
3senh¯nx+ an
4cosh¯nx (1.19)
satisfazendo as condi»c~oes de ortogonalidade
Zl
0
½AXm(x)Xn(x) dx = ±mn :
Tamb¶em, a cada ¯n, corresponde um autovalor ¸n = ¯4nque por sua vez, de (1.17)
fornece uma correspondente fun»c~ao do tempo
Tn(t) = Ancos!nt+ Bnsen!nt :
Temos ¯nalmente, para cada n ¸ 1, uma solu»c~ao da equa»c~ao (1.3) na forma de produto
un(x; t) = (Ancos!nt+ Bnsen!nt)Xn(x)
cada qual satisfazendo as condi»c~oes de contorno do problema.A solu»c~ao do problema de valor inicial e de contorno da viga ¶e obtida usando a
superposi»c~ao dessas solu»c~oes un(x; t) na forma de uma s¶erie de Fourier
u(x; t) =1Xn=1
(Ancos!nt+ Bnsen!nt)Xn(x)
onde as constantes An e Bn s~ao determinadas a partir das condi»c~oes inicias dadas em(1.10), por integra»c~ao termo a termo, usando o fato de que as autofun»c~oes Xn(x) s~aoortogonais.Modos de vibra»c~ao
Para n ¸ 1, a fun»c~ao Xn(x) de (1.19) ¶e denominada o n-¶esimo modo de vibra»c~ao eo correspondente valor !n,
!n = ¯2n
qEI=½A (1.20)
obtido de (1.16) ¶e a n-n¶esima freqÄuencia natural ou pulsa»c~ao pr¶opria do problema.
Caso da viga pinada-pinada
(EB)
8>>>>>><>>>>>>:
Consideramos uma viga de comprimento l = 1, de se»c~ao plana retangular cu-jas dimens~oes s~ao dadas em fun»c~ao de um paramero h > 0. Sua expessura hy¶e igual a h e sua profundidade hz s~ao sempre inferiores a 0; 1. Supomos parasimpli¯car que o momento °etor da viga ¶e EI = 1 e que sua densidade linearde massa ½A ¶e igual a 1 :
13
Supomos a viga pinada nas extremidades x = 0 e x = 1. Como condi»c~oes iniciais emt = 0 de¯nimos
u(x; 0) = u0(x) ;¢
u (x; 0) = u1(x) : (1.21)
O problema da viga pinada-pinada nesse caso consiste de resolver a equa»c~ao
satisfazendo as condi»c~oes iniciais.Problema: Achar as freqÄuencias naturais e os modos de vibra»c~ao da viga pinada
em x = 0 e em x = 1.De (1.15) e (1.16), devemos resolver a equa»c~ao X 0000 = !2X satisfazendo X(0) =
X(1) = 0; X 00(0) = X 00(1) = 0 ; levando em conta (1.22). De (1.18) os modos devibra»c~ao nesse caso s~ao dados por X(x) = a1sen¯x+a2cos¯x+a3senh¯x+a4cosh¯x :Impondo as condi»c~oes de contorno, temos diretamente que a2 = a4 = 0 e que existemconstantes a1; a3 n~ao simultaneamente nulas se o determinante do sistema
(a1 sen¯ + a3 senh¯ = 0
¡a1 ¯2 sen¯ + a3 ¯
2 senh¯ = 0
¶e nulo. Isto ¶e, se sen¯ = 0, ou seja, se ¯ = ¯n = n¼ ; n ¸ 1 e da¶³, o n-¶esimo modo devibra»c~ao da viga pinada-pinada ¶e
Xn(x) = senn¼x ; (1.23)
e de (1.20), as freqÄuencias naturais s~ao
!n = n2¼2 ;
para todo n ¸ 1 :
Caso da viga bi-engastada
Consideramos uma viga como em (EB). Supomos a viga bi-engastada com condi»c~oesiniciais em t = 0 dada em (1.21). O problema da viga bi-engastada nesse caso consistede resolver a equa»c~ao
para todo n ¸ 1 : Os tres primeiros modos de vibra»c~ao est~ao plotados na ¯gura 1.4.
Caso da viga pinada numa extremidade e carregada com uma massa m naoutra
Consideramos uma viga como em (EB). Supomos a viga pinada-livre com condi»c~oesiniciais em t = 0 dadas em (1.21). O problema consiste de resolver a equa»c~ao
¢¢
u (x; t) + u0000(x; t) = 0
com as seguintes condi»c~oes de contorno
u(0; t) = 0; u00(0; t) = 0 (pinada em x = 0)
u00(1; t) = 0; m¢ ¢
u (1; t)¡ u000(1; t) = 0 ( massa m em x = 1)
)(1.24)
15
satisfazendo as condi»c~oes iniciais.Problema: Achar as freqÄuencias naturais e os modos de vibra»c~ao da viga.De (1.14),(1.15) e (1.16), devemos resolver a equa»c~ao
X 0000 = !2X
comX(0) = 0; X 00(0) = X 00(1) = 0
1
m
X 000(1)
X(1)=
¢¢
T (t)
T (t)= ¡¸
levando em conta (1.24).Neste caso,
D = fX 2 C4([0; 1]) : X(0) = 0; X 00(0) = X 00(1) = 0; m¸X(1) +X 000(1) = 0g :
Note que
Z1
0
(¡X 0000(x)X(x))dx =Z
1
0
(X 00(x))2dx+m¸(X(1))2; (X 2 D) :
Vejamos que 0 n~ao ¶e auto-valor do problema: Se tivermos ¸ = 0, a ¶ultimacondi»c~ao em D ¶e X 000(1) = 0 : Impondo as condi»c~oes de contorno a X = 1 + c2x +c3x
2 + c4x3; temos de imediato que X = 0.
Auto-valores ¸ > 0 do problema:Seja X(x) = c1cosh ¯x + c2senh ¯x + c3cos ¯x + c4sen ¯x um modo de vibra»c~ao
do problema, correspondente a uma freqÄuencia !. Das condi»c~oes de contorno X(0) =X 00(0) = X 00(1) = 0 temos imediatamente c1 = c3 = 0. Das condi»c~oes de contornom¸X(1) + X 000(1) = 0, existem constantes n~ao simultaneamente nulas c2; c4 se o de-terminante do sistema"
¯2senh ¯ l ¡¯2sen ¯ lm¯4senh¯ l + ¯3cosh ¯ l m¯4sen ¯ l ¡ ¯3cos ¯ l
# "c2c4
#= 0 (1.25)
for igual a zero. O c¶alculo deste determinante nos d¶a a seguinte equa»c~ao caracter¶³stica:
sen ¯ l + tgh¯ l(2m¯ sen¯ l ¡ cos ¯ l) = 0 ;
e suas solu»c~oes positivas denotamos por ¯1; ¯2; : : :, n ¸ 1 : Temos assim, um conjuntodiscreto enumer¶avel crescente de auto-valores do problema, a saber
f¸ = !2
n= ¯n
4 : n ¸ 1g :
Os modos de vibra»c~ao correspondentes s~ao Xn(x) =sen¯nl
senh¯nlsenh(¯nx) + sen(¯nx).
Veja as ¯guras 1.5 e 1.6. Finalmente observamos que o problema para uma vigade Euler-Bernoulli pinada-livre (cantilever) se deduz deste problema, simplesmentefazendo o valor da massa m igual a 0.
16
Figura 1.5: Viga de Euler-Bernoulli pinada em x = 0 com uma massa m = 1 em x = 1.(!1 = 10:7144; !2 = 40:3986; !3 = 89:7730:)
Figura 1.6: Viga de Euler-Bernoulli pinada-livre. (!1 = 15; 4182; !2 = 49:9649; !3 =
104:2477:)
17
Caso de coe¯cientes ½A, E I vari¶aveis:
Neste caso por separa»c~ao de vari¶aveis como em (1.12), nos d¶a a equa»c~ao (1.13), a qualpodemos escrever na forma
¡ 1
T
d2T
dt2=
(E I)00
½A
X 00
X+ 2
(E I)0
½A
X 000
X+
(E I)
½A
X 0000
X= ¸
a derivadad
dxdenotada por ()0, que nos leva aos problemas (1.14) e (1.15). S¶o que
agora a equa»c~ao (1.15) tem coe¯cientes vari¶aveis e tem solu»c~ao dada por uma f¶ormulaan¶aloga a (1.18). Na pr¶atica, ¶e mais dif¶³cil de explicit¶a-la. Torna-se necess¶ario ent~ao, ouso de aproxima»c~oes num¶ericas para o problema neste caso. Para isto, usaremos umaformula»c~ao fraca do problema.
Observamos que para X e Y fun»c~oes de H = L2(0; l) su¯cientemente regulares, porexemplo, possuindo derivadas cont¶³nuas at¶e a quarta ordem no intervalo 0 · x · l,aplicando o operador A a X(x), multiplicando o resultado por ½(x)A(x)Y (x), inte-grando de 0 a l, e usando a f¶ormula de integra»c~ao por partes, temos
Zl
0
½(x)A(x) (AX(x))Y (x)dx
=Z
l
0
(E(x) I(x))X 00(x)Y 00(x)dx+ termos de fronteira(1.26)
Consideramos a forma bilinear a(X; Y ) de¯nida para X e Y fun»c~oes que al¶em daspropriedades acima, s~ao tais que os termos de fronteira na integral (1.26) ¶e nulo, pelaf¶ormula
a(X;Y ) =Z
l
0
(E(x) I(x))X 00(x)Y 00(x)dx :
Vemos que a forma bilinear a ¶e sim¶etrica, isto ¶e
a(X;Y ) = a(Y;X)
e ¶e n~ao-negativa, ou sejaa(X;X) ¸ 0
para todos tais X e Y .
Observa»c~ao 1.2 No caso do modelo com amortecimento viscoso e sem for»camento,
½A¢¢
u +b¢
u +(EIu00)00 = 0 ; (1.27)
a substitui»c~ao de u = T (t)X(x) implica
½A
¢ ¢T
T+ b
¢T
T+
(E I X 00)00
X= 0
e o problema n~ao ¶e separ¶avel posto que ½, A e b dependem de x.
18
No caso particular onde existe uma constante ® com b(x) = ®½(x)A(x), o problema¶e separ¶avel e temos ent~ao:
8<:
(E I X 00)00 = ¸½AX¢ ¢T +®
¢T +¸T = 0 :
Com ½ = 1, E I = 1, b = b(¿(t)) e f = P0 + P1 cos(t), a equa»c~ao (1:27) com ascondi»c~oes de contorno u(0; t) = u(l; ¿) = 0; u0(0; t) = u0(l; ¿) = 0 determina um pro-blema n~ao separ¶avel (conforme a se»c~ao 14:2 em [6]). Este problema ¶e retomado nocap¶³tulo 3.
1.2.2 Operador diferencial associado no sentido cl¶assico
Para obtermos uma solu»c~ao da equa»c~ao (1:3) na forma (1:12), precisamos em primeirolugar, resolver as equa»c~oes (1:14)(1:15). Em particular, precisamos resolver o problemade autovalores (1:15) : As condi»c~oes de contorno impostas a u em cada problema consi-derado, implicam as condi»c~oes de contorno para X em (1:15). Portanto essas condi»c~oesde contorno devem participar da de¯ni»c~ao do dom¶³nio D do operador A associado aoproblema. Isso caracteriza uma classe de fun»c~oes admiss¶³veis e um problema de auto-valores para a equa»c~ao (1:15), como veremos em seguida.
Denotemos por Ck([0; l]); (k = 0; 1; : : :) o espa»co vetorial das fun»c~oes cont¶³nuas ek-vezes continuamente diferenci¶aveis sobre [0; l] :
Consideramos o operador linear (no sentido cl¶assico ou forte) A de C0([0; l]), comdom¶³nio D ½ C4([0; l]), por
(AX)(x) =1
½(x) A(x)(E(x) I(x)X 00(x))
00
(1.28)
onde ½; A 2 C0([0; l]); ½ A > 0 e EI 2 C2([0; l]) :
Exemplo 1.1 (Viga bi-engastada) Neste caso, a equa»c~ao (1:15) juntamente comas condi»c~oes de contorno equivale ao problema de autovalores AX = ¸X onde A ¶e ooperador linear de¯nido por (1:28) com dom¶³nio
D = fX 2 C4([0; l]) : X(0) = X(l) = 0; X 0(0) = X 0(l) = 0g :
Exemplo 1.2 (Viga pinada-livre) De modo an¶alogo, consideramos o operador li-near de¯nido por (1:28) com dom¶³nio
D = fX 2 C4([0; l]) : X(0) = 0; EIX 00(0) = EIX 00(l) = 0; [(E IX 00)0](l) = 0g :
Exemplo 1.3 (Viga engastada-livre) Operador linear de¯nido por (1:28) com do-m¶³nio
D = fX 2 C4([0; l]) : X(0) = 0; X 0(0) = 0; EIX 00(l) = 0; [(E IX 00)0](l) = 0g :
19
Exemplo 1.4 (Viga engastada em x = 0 com uma massa m em x = l) Come»ca-mos com o operador linear de¯nido por (1:28) com dom¶³nio
D = fX 2 C4([0; l]) : X(0) = 0; X 0(0) = 0; EIX 00(l) = 0g :
Al¶em disso, temos a seguinte condi»c~ao de contorno:
mX(l)¢ ¢T ¡T [(EI)X 00]0(l) = 0 ; 8t ¸ 0 :
Da equa»c~ao (1:15), temos o problema de autovalores AX = ¸X mais a condi»c~ao
[(EI)X 00]0(l) + ¸mX(l) = 0 :
Se, em particular, ½A = 1 e EI = 1, os autovalores ¸ > 0 do problema AX = ¸X s~aoas quartas potencias das ra¶³zes ¯ da equa»c~ao
sen ¯ l + tgh ¯ l (2m¯ sen¯ l + cos ¯ l) = 0 (¸ = ¯4) :
Operador adjunto formal
Observa»c~ao 1.3 O espa»co C0([0; l]) ¶e suposto imerso no espa»co L2([0; l]) das fun»c~oes(classe das iguais quase sempre) mensur¶aveis cujo quadrado ¶e integr¶avel sobre (0; l),
munido do produto interno (X; Y ) =Z
l
0
½(x)A(x)X(x)Y (x)dx :
O produto de dualidade do espa»co D, como subespa»co normado de L2([0; l]), com seudual D¤ = f! : D ! C; ! ¶e linear e cont¶³nua g ser¶a denotado por (X;!)D;D¤ = !(X).Em particular, a todo Y 2 D, podemos associar o elemento ! = !Y 2 D¤ de¯nido por
!Y (X) :=Z l
0
½(x)A(x)X(x)Y (x)dx = (X; Y ) ; (X 2 D) :
Observe que !Y = (¢ ; Y ) e !Y (X) = !X(Y ) :Chama-se operador adjunto formal de A, relativamente ao produto de dualidade
(X;!)D;D¤ ; a um operador eA de D¤ em D¤ satisfazendo para X 2 D e ! 2 D¤ ;
(AX;!)D;D¤ = (X; eA(!))D;D¤ + termos de fronteira :
Em particular, para todo X e Y de D
(AX;!Y )D;D¤ = (X; eA(!Y ))D;D¤ + termos de fronteira :
Dizemos que o operador A ¶e formalmente auto-adjunto se, para todo Y 2 D ;eA(!Y ) = !AY : Equivalentemente, para todos X e Y de D,
(AX;!Y )D;D¤ = (X;!AY )D;D¤ + termos de fronteira.
Lema 1.1 O operador A de (1:28) ¶e formalmente auto-adjunto.
Observa»c~ao 1.4 Observamos que os operadores nos exemplos 1:1 ¡ 1:3 s~ao auto-adjuntos (os termos de fronteira s~ao nulos) enquanto que o operador do exemplo 1:4n~ao ¶e auto-adjunto.
1.3 Problemas de vibra»c~oes de vigas no modelo de
Timoshenko
Um problema de vibra»c~oes de uma viga modelada por (1.5) ¶e de¯nido levando em contaas condi»c~oes a que a viga est¶a submetida.
a) Condi»c~oes iniciais: Devemos estabelecer a priori posi»c~ao e velocidade :
u(x; 0) = u0(x) e@u
@t(x; 0) = u1(x); (1.29)
e fornecer tamb¶em informa»c~oes sobre o estado das se»c~oes transversais, isto ¶e:
Ã(x; 0) = Ã0(x) e@Ã
@t(x; 0) = Ã1(x) : (1.30)
21
b) Condi»c~oes de contorno: S~ao as condi»c~oes as quais a viga est¶a submetida, porexemplo, em suas extremidades e geralmente s~ao de¯nidas em termos das fun»c~oesu(x; t), Ã(x; t), do momento °etor M(x; t) ou da for»ca cortante V (x; t).
Por exemplo, a viga engastada-livre da Figura 1.1 tem as condi»c~oes de contorno seguintes:
² Na extremidade engastada x = 0:
u(0; t) = 0 ; Ã(0; t) = 0
pois o deslocamento e a varia»c~ao no angulo da se»c~ao transversal neste ponto s~aonulos.
² Na extremidade livre x = l:
M(l; t) = E(l)I(l)@Ã
@x(l; t) = 0
e
V (l; t) = k(l)G(l)A(l)
(@u
@x¡ Ã
)(l; t) = 0
porque tanto o momento como a for»ca cortante nesse ponto s~ao nulos.
Caso de uma viga simplesmente suportada ou pinada em x = 0:
² Deslocamento nulo em x = 0, isto ¶e,
u(0; t) = 0;
² Momento nulo em x = 0, isto ¶e,
M(0; t) = E(0)I(0)@Ã
@x(0; t) = 0 :
Os problemas homogeneos para uma viga de comprimento l, de extremidades x = 0e x = l s~ao considerados a partir de combina»c~oes de condi»c~oes de contorno como asdescritas acima.
1.3.1 C¶alculo de freqÄuencias e modos de vibra»c~ao
Isto consiste usar o m¶etodo de separa»c~ao de vari¶aveis para resolver o problema da vigamodelada pelo sistema (1.5). Tentamos achar uma solu»c~ao na forma
u(x; t) = T (t)Y (x) ; Ã(x; t) = T (t)µ(x) : (1.31)
Substituindo formalmente no sistema (1.5), temos8>>>>><>>>>>:
¢¢T
T+
[(kGA) (µ ¡ Y 0)]0
½A Y= 0
¢¢T
T+
(kGA) (µ ¡ Y 0)¡ [(E I) µ0]0
½I µ= 0 :
(1.32)
22
Usando um parametro de separa»c~ao ¸, temos
¢ ¢T +¸T = 0(
[(kGA) (µ ¡ Y 0)]0 ¡ ¸ ½A Y = 0(kGA) (µ ¡ Y 0)¡ [(E I) µ0]0 ¡ ¸ I½ µ = 0 :
(1.33)
Se A denota o operador diferencial matricial
AÃ
Yµ
!=
0BB@
1
½A
n[(kGA) (µ ¡ Y 0)]
0
o1
½I
n(kGA) (µ ¡ Y 0)¡ [(E I) µ0]
0
o1CCA
ent~ao, o sistema (1:33) equivale ao seguinte problema de autovalores
AU = ¸U ; U =
ÃYµ
!:
Denotando as componentes de A como A1 e A2 com
8>>>>><>>>>>:
A1U =1
½A
n[(kGA) (µ ¡ Y 0)]
0
o
A2U =1
½I
n(kGA) (µ ¡ Y 0)¡ [(E I) µ0]
0
o
podemos de¯nir para U =
ÃYµ
!e U0 =
ÃY0µ0
!um produto
(AU;U0) = (A1U; Y0) + (A2U; µ0)
tal que
(A1U; Y0) =Z
l
0
(½A)
(1
½A
n[(kGA) (µ ¡ Y 0)]
0
o)Y0(x) dx
(A2U; µ0) =Z
l
0
(½I)
(1
½I
n(kGA) (µ ¡ Y 0)¡ [(E I) µ0]
0
o)µ0(x) dx :
Integrando por partes, supondo por exemplo, que as fun»c~oes U e U0 s~ao nulas em x = 0e em x = l, obtemos uma forma bilinear a(U;U0) := (AU;U0) cont¶³nua, sim¶etrica n~aonegativa.
Caso de coe¯cientes EI, ½A, ½I e kGA constantes e termo de for»camentof = 0
Eliminando a fun»c~ao µ de (1.34), temos uma equa»c~ao diferencial de quarta ordemcorrespondente a um problema de autovalor generalizado polinomial do segundo grauem ¸:
EIY 0000 +µ(½I +
½AEI
kGA)Y 00 ¡ ½AY
¶¸+
½A½I
kGAY ¸2 = 0 : (1.35)
Notamos que do modelo de Timoshenko dado por (1.5), neste caso de coe¯cientes cons-tantes com termo de for»camento nulo, a fun»c~ao Ã(x; t) pode ser eliminada e obtemosa seguinte equa»c~ao diferencial parcial linear de quarta ordem na inc¶ognita u(x; t):
EI@4u
@x4+ ½A
@2u
@t2¡µ½I +
½AEI
kGA
¶@4u
@x2t2+
½A½I
kGA
@4u
@t4= 0 (1.36)
que n~ao ¶e separ¶avel em geral. Isto ¶e, substituindo u(x; t) = Y (x)T (t) nessa equa»c~ao,obtemos
EIY 0000T +µ½AY ¡
µ½I +
½AEI
kGA
¶Y 00
¶d2T
dt2+
½A½I
kGAYd4T
dt4= 0 : (1.37)
Vemos desta equa»c~ao que n~ao temos uma constante de separa»c~ao como em (1.13)(1.14)e em (1.32)(1.33). Uma excess~ao acontece no caso em que a viga ¶e pinada nas extre-midades. Existem fun»c~oes
u(x; t) = senn¼x
lei!nt
satisfazendo as condi»c~oes de contorno neste caso:
u(0; t) = u(l; t) = 0;@Ã
@x(0; t) =
@Ã
@x(l; t) = 0
desde que !n satisfa»ca a seguinte equa»c~ao caracter¶³stica
½I
kGA!4
n¡Ã1 +
n2¼2
l2I
A+
n2¼2
l2EI
kGA
!!2
n+
EI
½A
n4¼4
l4= 0 : (1.38)
Da equa»c~ao (1.35) vemos que se o sistema (1.34) tem um par de fun»c~oes Y (x) ; µ(x)como solu»c~ao, para algum ¸, ent~ao Y (x) deve ser uma solu»c~ao de (1.35), para algum¸.
Observa»c~ao 1.5 De (1.37), notamos que separa»c~ao de vari¶aveis na equa»c~ao (1.36)corresponde a encontrar uma fun»c~ao u(x; t) = Y (x)T (t) onde
d2T
dt2+ ¸T = 0 ;
d4T
dt4+ ¸
d2T
dt2= 0
e Y (x) satisfaz a equa»c~ao (1.35).
24
Caso da viga de Timoshenko pinada-pinada
(T)
8>>>>>><>>>>>>:
Consideramos uma viga de comprimento l = 1, de se»c~ao plana retangular cu-jas dimens~oes s~ao dadas em fun»c~ao de um paramero h > 0. Sua espessura hy
¶e igual a h e sua profundidade hz s~ao sempre inferiores a 0; 1. Supomos parasimpli¯car que o momento °etor da viga ¶e EI = 1 e que sua densidade linearde massa ½A ¶e igual a 1 :
Suporemos a viga pinada nas extremidades x = 0 e x = 1 com condi»c~oes iniciais emt = 0 dadas por (1.29)(1.30).
Das hip¶otese sobre EI e ½A e rela»c~oes f¶³sicas, temos
½I =h2
12; kGA =
4
h2: (1.39)
Este problema segundo o modelo de Timoshenko consiste de resolver o sistema (1.5)para as fun»c~oes u(x; t) e Ã(x; t) satisfazendo as condi»c~oes (1.29)(1.30) e as condi»c~oesde contorno seguintes:
Nos concentraremos no problema seguinte: \Achar as freqÄuencias naturais e os modosde vibra»c~ao da viga de Timoshenko pinada-pinada."
Usando os parametros (1.39), devemos resolver para Y (x) e µ(x), o sistema (1.34),que no caso ¶e 8>><
>>:µ0 ¡ Y 00 ¡ h2
4¸Y = 0
µ ¡ Y 0 ¡ h2
4µ00 ¡ ¸
h4
48µ = 0
(1.40)
com Y (0) = Y (l) = 0; µ0(0) = µ0(l) = 0 :Como j¶a observamos anteriormente, o modo de vibra»c~ao da de°ex~ao Y nesse caso
coincide com o modo de vibra»c~ao Xn(x) = senn¼x em (1.23) do problema an¶alogopara o modelo de Euler-Bernoulli, com freqÄuencia natural
p¸n = !n, satisfazendo a
equa»c~ao (1.38), que no caso ¶e:
!4
n¡Ã48
h4+
16n2¼2
h2
!!2
n+
48n4¼4
h4= 0 : (1.41)
Agora, substituindo Y (x) = senn¼x na primeira equa»c~ao de (1.40), temos
µ(x) =
Ãn¼ ¡ h2
4n¼!2
n
!cos n¼x : (1.42)
Substituindo esta express~ao de µ na segunda equa»c~ao de (1.40), a mesma ¶e satisfeitase, e somente se, !n ¶e tamb¶em uma solu»c~ao da equa»c~ao (1.41).
Temos duas solu»c~oes positivas !2
n:
!2
n=
1
2
0B@48
h4+
16n2¼2
h2§8<:Ã48
h4+
16n2¼2
h2
!2
¡ 448n4¼4
h4
9=;
1=21CA
25
que corresponde a duas ra¶³zes positivas
!n;(1) =
26412
0B@48
h4+
16n2¼2
h2¡8<:Ã48
h4+
16n2¼2
h2
!2
¡ 448n4¼4
h4
9=;
1=21CA3751=2
(1.43)
e
!n;(2) =
26412
0B@48
h4+
16n2¼2
h2+
8<:Ã48
h4+
16n2¼2
h2
!2
¡ 448n4¼4
h4
9=;
1=21CA
3751=2
: (1.44)
Modos e freqÄuencias de vibra»c~ao
Para cada n ¸ 1 temos de (1.42), (1.43) e (1.44):
FreqÄuencia natural !n;(1)
Modo de vibra»c~ao correspondente
8><>:
Yn;(1) = senn¼x
µn;(1) =
Ãn¼ ¡ h2
4n¼!2n;(1)
!cos n¼x
FreqÄuencia natural !n;(2)
Modo de vibra»c~ao correspondente
8><>:
Yn;(2) = senn¼x
µn;(2) =
Ãn¼ ¡ h2
4n¼!2n;(2)
!cos n¼x
:
Ordenamos todas as freqÄuencias f!n;(i); i = 1; 2g de forma crescente e chamamos a novaseqÄuencia de f!ng. Usando o MATLAB com h = 0; 1, plotamos nas ¯guras 1.7-1.8 osquatro primeiros modos (a1Y1; µ1); : : : ; (a4Y4; µ4) onde ai := max
0·x·1µi(x); (1 · i · 4);
associados as quatro primeiras freqÄuencias !1; : : : ; !4.Observamos que neste caso, !j = !j;(1); 1 · j · 12; !13 = !1;(2), etc.Na tabela 1.1, comparamos as dez primeiras freqÄuencias de vibra»c~ao da viga (T)
segundo os modelos de Euler-Bernoulli e de Timoshenko, em fun»c~ao da expessura h.Vemos que as freqÄuencias no modelo de Timoshenko s~ao menores que as freqÄuencias
correspondentes no modelo de Euler-Bernoulli. Esta diferen»ca aumenta µa medida quea expessura da viga cresce.
Caso da viga de Timoshenko bi-engastada
(T)
8>>><>>>:
Consideramos uma viga de comprimento l = 1, de se»c~ao plana retangularcujas dimens~oes s~ao dadas em fun»c~ao de um paramero h > 0. Sua expes-sura hy = h e sua profundidade hz s~ao sempre inferiores a 0; 1. Supomospara simpli¯car que EI = 1 e que sua densidade linear de massa ½A = 1 :
Suporemos a viga bi-engastada com condi»c~oes iniciais em t = 0 dadas por (1.29)(1.30).Analogamente, neste caso temos
½I =h2
12; kGA =
4
h2:
26
Figura 1.7: Viga de Timoshenko pinada-pinada. (h = 0; 1; !1 = 9; 7; !2 = 37; 2:)
Figura 1.8: Viga de Timoshenko pinada-pinada. (h = 0; 1; !3 = 78; 4; !4 = 129; 3:)
Tabela 1.1: Compara»c~ao das freqÄuencias da viga (T) pinada-pinada onde ½A = 1 e EI = 1,
em fun»c~ao do parametro h.
27
Figura 1.9: Viga de Timoshenko bi-engastada. (h = 0; 01; !1 = 22; 3583; !2 = 61; 5772)
O problema para a viga no modelo de Timoshenko consiste de resolver o sistema (1.5)para as fun»c~oes u(x; t) e Ã(x; t), que no caso ¶e8>>>>>><
>>>>>>:
@2u(x; t)
@t2+
4
h2
Ã@Ã(x; t)
@x¡ @2u(x; t)
@x2
!= 0
h2
12
@2Ã(x; t)
@t2+
4
h2
ÃÃ(x; t)¡ @u(x; t)
@x
!¡ @2Ã(x; t)
@x2= 0
impondo as condi»c~oes de contorno
u(0; t) = 0; Ã(0; t) = 0u(1; t) = 0; Ã(1; t) = 0
)bi-engastada
e satisfazendo as condi»c~oes iniciais.Tamb¶em nesse caso nos concentraremos no problema seguinte: \Achar as freqÄuencias
naturais e os modos de vibra»c~ao da viga de Timoshenko bi-engastada."Uma aproxima»c~ao num¶erica deste problema foi calculada usando o m¶etodo dos
elementos ¯nitos, programado em MATLAB. Nas ¯guras 1.9-1.10 plotamos os quatroprimeiros modos de vibra»c~ao quando h = 0; 01. Na tabela 1.2, comparamos as dezprimeiras freqÄuencias de vibra»c~ao da viga (T) segundo os modelos de Euler-Bernoullie de Timoshenko, em fun»c~ao da expessura h.
Vemos que as freqÄuencias no modelo de Timoshenko s~ao menores que as freqÄuenciascorrespondentes no modelo de Euler-Bernoulli e s~ao ainda menores µa medida que aexpessura da viga cresce.
Compara»c~ao das freqÄuencias de Euler-Bernoulli, de Vlasov e de Timoshenkopara uma viga pinada-pinada.
O modelo de Vlasov no caso da viga (T), pode ser resolvido por separa»c~ao de vari¶aveis.
Se as freqÄuencias s~ao denotadas por wv, temos a f¶ormula wvn =2p3n2¼2
ph2n2¼2 + 12
:
Na tabela 1.3 est~ao calculadas com oMatlab para cada expessura h = :4; :3; :2; :1; :01da viga, na primeira linha as quatro primeiras freqÄuencias !1; : : : ; !4 de Euler-Bernoulli
28
Figura 1.10: Viga de Timoshenko bi-engastada. (h = 0; 01; !3 = 120; 5726; !4 = 199; 0115)
Tabela 1.2: Compara»c~ao das freqÄuencias da viga (T) bi-engastada onde ½A = 1 e EI = 1,
em fun»c~ao do parametro h.
29
Tabela 1.3: Compara»c~ao das freqÄuencias de Euler-Bernoulli, Vlasov e Timoshenko para uma
viga pinada-pinada, em fun»c~ao do parametro h.
da viga, na segunda linha as quatro primeiras freqÄuencias wv1; : : : ; wv4 de Vlasov, naterceira linha as quatro primeiras freqÄuencias inferiores de Timoshenko !1;(1); : : : ; !4;(1)
e na quarta linha as quatro primeiras freqÄuencias superiores de Timoshenko !1;(2);: : : ; !4;(2). Vemos que µa medida que h decresce, as freqÄuencias !i;(1) · wvi tendem a !i
enquanto que as freqÄuencias !i;(2) se tornam muito grandes.
1.3.2 Operador diferencial associado no sentido cl¶assico
Sejam
A1U =1
½A
n[(kGA) (µ ¡ Y 0)]
0
o(1.45)
e
A2U =1
I½
n(kGA) (µ ¡ Y 0)¡ [(E I) µ0]
0
o(1.46)
30
as componentes do operador diferencialA : D = C2([0; l])2 ½ L2(0; l)2 ¡! C0([0; l])2 ½L2(0; l)2 com o produto escalar
(U;Z) = (U1; Z1) + (U2; Z2)
onde
(U1; Z1) =Z l
0½AY (x)Z1(x) dx e (U2; Z2) =
Z l
0½Iµ(x)Z2(x) dx :
Exemplo 1.5 (Viga de Timoshenko bi-engastada )
Como primeiro exemplo consideraremos o caso de uma viga de Timoshenko bi-engastada.As condi»c~oes de contorno correspondentes nesse caso s~ao:
u(0; t) = u(l; t) = 0 ; Ã(0; t) = Ã(l; t) = 0 :
Considerando kGA , EI e I½ independentes de x, o operador do problema ¶e dado pelopar de equa»c~oes (1.45)(1.46) que neste caso se reduzem a
A1U =1
½Af(kGA) µ0 ¡ (kGA)Y 00g
e
A2U =1
I½f¡(E I) µ00 ¡ (kGA)Y 0 + (kGA) µg
Lema 1.2 O operador A correspondente neste caso tem dom¶³nio
D = fÁ 2 C2([0; l]);Á(0) = Á(l) = 0g2
e A ¶e sim¶etrico e positivo.
De fato, fazendo as contas (com o argumento x no integrando omitido por simplicidade),temos
(A1U; Z1) =Z l
0(¡(kGA)Y 00 + (kGA) µ0) Z1 dx;
(A2U;Z2) =Z l
0(¡(E I) µ00 ¡ (kGA)Y 0 + (kGA) µ) Z2 dx
da¶³,
(AU;Z) = ¡Z l
0((kGA)Y 00 Z1 + (E I) µ00 Z2) dx
+(kGA)Z l
0(µ0 Z1 ¡ Y 0 Z2) dx+ (kGA)
Z l
0µ Z2 dx ;
(1.47)
(U;AZ) = ¡Z l
0((kGA)Z 00
1 Y + (E I)Z 00
2 µ) dx
+(kGA)Z l
0(Z 0
2 Y ¡ Z 0
1 µ) dx+ (kGA)Z l
0Z2 µ dx :
DeZ l
0(µ0 Z1 ¡ Y 0 Z2) dx =
Z l
0(Z 0
2 Y ¡ Z 0
1 µ) dx, temos a igualdade.
31
Figura 1.11: Viga submetida a uma for»ca axial.
Para ver que A ¶e positiva, notemos que
(AU; U) =Z
l
0
³(kGA) (Y 0)2 + (E I) (µ0)2
´dx
+(kGA)Z
l
0
µ2 dx+ (kGA)Z
l
0
(µ0 Y ¡ Y 0 µ) dx
que, deZ
l
0
µ0 Y dx = ¡Z
l
0
Y 0 µ dx, temos a desigualdade
(AU; U) = (E I)Z
l
0
(µ0)2 dx+ (kGA)Z
l
0
(Y 0 ¡ µ)2 dx ¸ 0 : (1.48)
As condi»c~oes de contorno implicam que h¶a igualdade apenas se U = 0 :O problema de autovalores AU = ¸U corresponde neste caso a( ¡(kGA)Y 00 + (kGA) µ0 ¡ ½A¸Y = 0
¡(E I) µ00 ¡ (kGA)Y 0 + (kGA¡ I½ ¸) µ = 0:
Veja mais detalhes no exemplo 1.8.
1.4 Outros modelos de vigas
a) Modelo de viga de Euler-Bernoulli com for»ca axial T
No caso de existir uma for»ca axial T (x) a equa»c~ao se modi¯ca do seguinte modo:
½A¢¢
u +(EIu00)00 ¡ (Tu0)
0
= f :
Vejamos o exemplo de uma for»ca axial constante P : Temos da ¯gura 1.11, T = ¡P0 e
½A¢¢
u +(EIu00)00
+ P0u00 = 0 :
Um caso mais interessante ¶e quando a for»ca T ¶e vari¶avel da forma ¡P0¡" cos!t : Se ! ¶euma das freqÄuencias naturais da viga ent~ao podemos ter uma situa»c~ao de instabilidade.
b) Modelos acoplados
Se a se»c~ao transversal da viga tem apenas um eixo de simetria (ou se n~ao tem eixode simetria) ent~ao o centro de massa da se»c~ao G e o centro de cisalhamento E n~aocoincidem (como ocorre no caso da se»c~ao ter dois eixos de simetria). Nesse caso temosum acoplamento da °ex~ao (deslocamento vertical) com a tor»c~ao da se»c~ao (rota»c~ao).
32
Se µ descreve a rota»c~ao da se»c~ao e u o deslocamento vertical temos um modelo dotipo: 8>>>><
>>>>:
@2
@x2
ÃEI
@2u
@x2
!+ ½A
@2u
@t2¡ ½Ah
@2µ
@t2= 0
@
@x
ÃGJ
@µ
@x
!+ ½Ah
@2u
@t2¡ I½
@2µ
@t2= 0
sendo GJ a rigidez µa tor»c~ao da viga, I½ ¶e o momento de in¶ercia polar da se»c~ao em tornodo eixo X (i. ¶e. em torno de um eixo passando pelos centros de cisalhamento), h sendoa distancia entre o centro de massa e o centro de cisalhamento (suposto constante).
1.5 Um contexto abstrato para problemas de vibra-
»c~ao
Sejam H e V espa»cos de Hilbert reais separ¶aveis. Sejam H¤ e V¤ seus respectivos duaistopol¶ogicos. Sejam esses espa»cos escolhidos tais que V ¶e compactamente imerso em H.
Temos o seguinte contexto:( V ½ H (imers~ao compacta e densa)H ´ H¤ (via teorema de representa»c~ao de Riesz)
) V ½ H ´ H¤ ½ V¤ (imers~oes compactas e densas) :
9>=>; (1.49)
Do Teorema de Rellich (conforme [36]), a imers~ao H1() ½ L2() ¶e compacta e densapara aberto limitado. Da¶³, temos com H = L2() e V = H1(), a seguinte situa»c~aoexemplo:
H1() ½ L2() ½ (H1())¤ :
Observamos que se f 2 H e se Z 2 V, ent~aohf; Zi
V;V¤= (f; Z)
H:
Uma forma sesquilinear sobre V ¶e uma aplica»c~ao a : V £ V ! C tal que, para todoU; Y; Z; W 2 V e ® 2 C,
² cont¶³nua se existe uma constante ¯ tal que para todo U; Z 2 V :
ja(U;Z)j · ¯ kUkkZk :
² coerciva ou V-el¶³ptica se existe uma constante ± > 0 tal que para todo U 2 V :
a(U;U) ¸ ± kUk2 :
33
Uma forma sesquilinear hermiteana, cont¶³nua e coerciva dada sobre V ¶e, em particular,um produto escalar sobre V :
Seja a uma forma sesquilinear hermiteana, cont¶³nua e coerciva sobre V : Do teoremade representa»c~ao de Riesz, temos:
(a) Dado U 2 V, existe um ¶unico f 2 V¤ (f := AU) tal que
a(U;Z) = (U;Z)V = hf; ZiV¤;V ; 8Z 2 V : (1.50)
(b) Dado f 2 V¤ existe um ¶unico U 2 V (U := A¡1f) satisfazendo (1:50) :
Assim, a de¯ne um isomor¯smo linear A 2 L(V;V¤) com inverso A¡1 2 L(V¤;V) ondea rela»c~ao (1:50) ¶e v¶alida. O operador A ¶e dito associado µa forma a(U;Z) mediante(1:49) e vale a seguinte rela»c~ao:
a(U;Z) = hAU;ZiV¤;V = hf; Zi
V¤;V (8U;Z 2 V) : (1.51)
Denotamos por AH ; a restri»c~ao de A 2 L(V;V¤) ao conjunto dos U em H\V cujaimagem AU perten»ca a H : Mais explicitamente, AH ¶e tal que:
D(AH) = fU 2 H : AU 2 Hge para cada U 2 D(AH) ; AHU = AU : Al¶em disso, como A¡1 : V¤ ! V ½ H existe,a aplica»c~ao A¡1
H¶e de¯nida de H em H :
Prova-se (veja a se»c~ao I.5 de [40]) que:G = A¡1
H2 L(H) ¶e um operador compacto hermiteano positivo-de¯nido.
Como conseqÄuencia do teorema espectral aplicado a G = A¡1
H, temos o seguinte
Lema 1.3 O operador A¡1
Htem uma in¯nidade enumer¶avel de autovalores ºi; i =
1; 2; : : :, tais que º1 ¸ º2 ¸ : : : ¸ ºk ¸ : : : ! 0 e os autovetores associados formamuma base ortonormal de H :
Al¶em disso, escrevendo ºi :=1
¸i
(¸i := !2
i ), temos o
Teorema 1.1 O operador A possui uma in¯nidade enumer¶avel de autovalores posi-tivos
¸i = !2
i ; i = 1; 2; : : : ;
satisfazendo0 < ¸1 · ¸2 · : : : · ¸k · : : : ! 1;
com a conven»c~ao de repeti»c~ao dos autovalores segundo suas multiplicidades.Os autovetores correspondentes ei podem ser escolhidos de modo a constituir simul-taneamente, uma base ortonormal de H, ortogonal de V e ortogonal de V¤ : As normass~ao respectivamente
keik2H = 1 ; keik2V = !2
i ; keik2V¤ =1
!2
i
: (1.52)
Al¶em disso, para todo ¸ diferente de ¸i ; i = 1; 2; : : : ; o resolvente (A¡ ¸ Id)¡1 ¶e umoperador limitado de V¤ em V :
34
Observa»c~ao 1.6 Um resultado an¶alogo ao teorema 1.1 ¶e ainda v¶alido, com pequenasmodi¯ca»c~oes, no caso que a forma bilinear a(u; v) n~ao ¶e V-el¶³ptica por¶em existe umreal n~ao negativo ° e um real positivo ±, tais que a satisfaz a desigualdade
a(u; u) + ° (u; u)H ¸ ±(u; u)V ; 8u 2 V :
Para isso, aplica-se o teorema 1.1 a forma bilinear cont¶³nua, sim¶etrica e coerciva(u; v) ! a(u; v) + ° (u; v)H. Os autovalores neste caso satisfazem
¡° < ¸1 · ¸2 · : : : · ¸k · : : : ! 1;
os quais correspondem a uma base hilbertiana ortonormal feigde H a qual ¶e base or-togonal de V, etc.Esta observa»c~ao ser¶a aplicada no modelo da viga de Timoshenko do exemplo 1.8.
1.5.1 Exemplos
Vamos aplicar os resultados da se»c~ao anterior a alguns problemas de vigas:
Exemplo 1.6 (Viga bi-engastada de Euler-Bernoulli ) Seja H = L2(0; l), es-pa»co das fun»c~oes complexas X, cujo valor absoluto ¶e quadrado integr¶avel a Lebesguesobre (0; l), munido do produto escalar
(X; Z)H =Z
l
0
½(x)A(x)X(x)Z(x)dx :
onde ½A ¶e uma fun»c~ao real cont¶³nua por partes e limitada sobre (0; l) para a qual existeum real ¯1 > 0 tal que ½(x)A(x) ¸ ¯1 para todo x 2 (0; l) :
Seja V o espa»co de Sobolev H2
0(0; l) das fun»c~oes X de L2(0; l) que possuem derivadas
fracas X 0 e X 00 em L2(0; l) e, al¶em disso, X e X 0 quando restritas (no sentido de tra»cos)aos extremos x = 0 e x = l, s~ao nulas. Consideraremos sobre V, a norma usual
kXkV =³kXkL2(0;l) + kX 0kL2(0;l) + kX 00kL2(0;l)
´1
2 : (1.53)
O espa»co V ¶e adequado para o estudo do problema da viga bi-engastada.Para isto, de¯nimos sobre V, a seguinte forma sesquilinear hermiteana,
a(X;Z) =Z l
0E(x)I(x)X 00(x)Z
00(x)dx ; (X;Z 2 V) (1.54)
onde E e I s~ao fun»c~oes reais de classe C2 em [0; l] e existe um real ¯2 > 0 tal queE(x)I(x) ¸ ¯2, para todo x 2 (0; l) :A forma sesquilinear a ¶e cont¶³nua: Existe ° > 0 tal que
ja(X;Z)j · ° kXk2V kZk2V ; (X; Z 2 V)e V-el¶³ptica: Existe ® > 0 tal que
a(X;X) ¸ ® kXk2V; (X 2 V) :
Isto decorre da seguinte
35
Proposi»c~ao 1.1 (desigualdade de Poincar¶e)
9C > 0 tal queZ l
0
Ã@u
@x
!2
dx ¸Z l
0u2dx; 8u 2 H1(0; l) com u(0) = 0 ou u(l) = 0 :
Da¶³, existe C > 0 tal que
kX 00kL2(0;l) ¸ C kXkV ; (X 2 V)e de (1.54) Z = X:
Pelo teorema de representa»c~ao de Riesz, existe um operador bijetivo A 2 L(V;V¤) ;tal que
hAX;ZiV¤;V = a(X;Z) ; 8X;Z 2 V
e assim, estamos nas condi»c~oes do teorema 1:1: Existe uma seqÄuencia de autovalorespositivos ¸1 · ¸2 · : : : ! 1 e uma seqÄuencia de autovetores correspondentes feig que¶e uma base ortonormal de H,base ortogonal de V e de V¤ tal que
Z l
0
½(x)A(x) ei(x) ej(x) dx = ±ij ;Z l
0
E(x)I(x) e00i (x) ej00(x) dx = ¸i ±ij ;
se X 2 D(AH) = fX 2 H2
0(0; l) = V : (EI)X 00 2 H2(0; l)g temos para todo Z 2 V
(denotando AH por A)
hAX;ZiV¤;V = (AX;Z)H = a(X;Z) =
Z l
0
½(x)A(x)AX(x)Z(x)dx
e de (1:54) temos
AX =1
½A[(EI)X 00]
00; 8X 2 D(AH) :
Exemplo 1.7 (Viga engastada-livre de Euler-Bernoulli) O espa»co H neste caso¶e considerado o mesmo do exemplo 1:6 e
V = fX 2 H2(0; l) : X(0) = 0; X 0(0) = 0g :Temos tamb¶em neste caso a imers~ao V ½ H compacta e densa, decorrente do teoremade Rellich. A norma usual de V ¶e dada por (1:53) :
De¯nimos sobre V como em (1:54) a seguinte forma sesquilinear hermiteana positivade¯nida
a(X;Z) =Z l
0
E(x)I(x)X 00(x)Z00(x) dx ; (X;Z 2 V)
a qual ¶e um produto escalar em V equivalente a (1:53) em virtude da proposi»c~ao 1.1.Pelo teorema de representa»c~ao de Riesz, existe um operador A 2 L(V;V¤) bijetivo
tal quehAX;Zi
V¤;V = a(X;Z) ; 8X;Z 2 V :
Pelo teorema 1:1, existe uma seqÄuencia ¸1 · ¸2 · : : : ! 1 de autovalores e umaseqÄuencia de autovetores correspondentes feig de A, que ¶e uma base ortonormal de H,base ortogonal de V e de V¤ ; tal que
Z l
0
½A(x) ei(x) ej(x) dx = ±ij ;Z l
0
E(x)I(x) e00i (x) ej00(x) dx = ¸i ±ij :
36
Se X 2 D(AH) = V \ Y onde
Y = fX 2 L2(0; l) : (EI)X 00; ((EI)X 00)0 2 H1(0; l); (EI)X 00(l) = 0; ((EI)X 00)0(l) = 0gtemos para todo Z 2 V (denotando AH por A)
hAX;ZiV¤;V = (AX;Z)H = a(X;Z) =
Z l
0
½A(x)AX(x)Z(x)dx
e de (1:54)
AX =1
½A[(EI)X 00]
00; 8X 2 D(AH) :
Exemplo 1.8 (Viga bi-engastada de Timoshenko) Consideramos o modelo doexemplo 1.5. O espa»co H neste caso ¶e o produto cartesiano L2(0; l)2 com o produtointerno
(X; Z)H =Z l
0
(½AY (x)Z1(x) + I½ µ(x)Z2(x)) dx :
O espa»co V ¶e H10(0; l)
2.Da equa»c~ao (1.47) temos que ¾A(X; Z) := (AX; Z)H ¶e uma forma bilinear sim¶etrica
e cont¶³nua.Por outro lado, de (1.48) temos a igualdade
¾A(X; X) = (E I)Z l
0(µ0(x))2 dx+ (kGA)
Z l
0(Y 0(x)¡ µ(x))2 dx (1.55)
mostra que ¾A(X; Z) ¶e positiva sobre V.Observa»c~ao 1.7 Embora n~ao tenhamos coercividade de ¾A(X; Z), ¶e poss¶³vel acharduas constantes positivas ° e ±, tais que
¾A(X; X) + ° jXj2H¸ ±jjXjj2V
De fato: Em primeiro lugar usaremos a seguinte desigualdade elementar
jY 0 ¡ µj2L2(0;l) + jµj2L2(0;l) ¸1
2jY 0j2L2(0;l)
v¶alida para toda Y e µ de H1(0; l). De (1.55), temos
e o resto decorre da proposi»c~ao 1.1 extendida a H10(0; l)£H1
0(0; l).Da¶³, podemos aplicar o teorema 1.1, segundo a observa»c~ao 1.6.
37
Cap¶³tulo 2
Problemas de vibra»c~oesconservativos
2.1 O contexto V ½ H
Sejam V e H espa»cos de Hilbert separ¶aveis veri¯cando as hip¶oteses de (1:49) : SejaA 2 L(V ;V¤) associado a uma forma sesquilinear a hermiteana cont¶³nua e coerciva,
como em (1:51) : Consideramos k ¢ kV = a(¢; ¢) 12 =< ¢; ¢ >1
2
V¤;V como norma de V.Nosso prop¶osito nesta se»c~ao ¶e o de estudar o problema:
d2u
dt2+A u = 0 (2.1)
u(0) = Á ;du
dt(0) = Ã ; (2.2)
onde (2:1) ¶e uma igualdade em V¤. Os dados iniciais Á e à s~ao funcionais linearescont¶³nuos sobre V , isto ¶e, pertencem a V¤.
A formula»c~ao variacional do problema ¶e: Achar u tal que
A equa»c~ao (2:3) denomina-se princ¶³pio dos trabalhos virtuais relativo µa equa»c~ao(2:1) :
Para a resolu»c~ao de (2:1)¡(2:2), onde Á 2 V e à 2 H, tomamos uma base feig de Vconstitu¶³da de autovalores de A conforme (1:52) (a qual ¶e ortonormal em H, ortogonalem V e em V¤), sendo ¸i = !2
ios autovalores associados. Introduzimos as nota»c~oes:
2.1.1 Problemas com distribui»c~ao de massas pontuais
Consideramos por exemplo uma viga de Euler-Bernoulli de comprimento l, engastadaem x = 0 e livre em x = l : As vibra»c~oes transversais u(x; t) de um ponto da viga s~aodescritas pela equa»c~ao
½A@2u
@t2(x; t) +
@2M
@x2(x; t) = 0 ; 0 < x < l ; t > 0; (2.6)
as condi»c~oes de contorno
u(0; t) = 0;@u
@x(0; t) = 0 (engaste em x = 0);
M(l; t) = 0; V (l; t) = 0 (livre em x = l)
e as condi»c~oes iniciaisu(x; 0) = u0(x);
¢
u (x; 0) = u1(x) (2.7)
onde
M(x; t) = EI@2u
@x2(x; t) ; (2.8)
39
¶e o momento °etor ,
V (x; t) = ¡@M
@x(x; t)
¶e a for»ca cortante. Al¶em disso, ½A ¶e a densidade linear de massa do material da vigae EI representa a rigidez da viga µa °ex~ao.
Admitindo n massas mi concentradas nos pontos da viga de coordenada xi, temosque considerar as 2n condi»c~oes de salto:
8><>:
[u(x; t)]x=xi
= u(xi + 0; t)¡ u(xi ¡ 0; t) = 0
mi
@2u
@t2(xi; t) =
@M
@x(xi + 0; t)¡ @M
@x(xi ¡ 0; t) ; (i = 1 : : : ; n)
onde u(xi § 0; t) denotam, respectivamente, os limites laterais direito e esquerdo deu(x; t) em xi. Da¶³, movimento da viga ¶e descrito pela equa»c~ao
½A@2u
@t2+
@2M
@x2+
nX
i=1
mi
@2u
@t2(xi; t)±(x¡ xi) = 0 : (2.9)
onde ±(x¡ xi) denota a medida de Dirac concentrada em xi.
Caso Particular: Viga de Euler-Bernoulli engastada nas extremidades x = 0e x = l, com uma massa m concentrada em x = l=2 :
A equa»c~ao (2:9) do movimento, neste caso particular, ¶e
½A¢¢
u (x; t) + (E I u00)00
(x; t) +m¢¢
u (x; t) ±(x¡ l=2) = 0 (2.10)
que de forma equivalente ¶e
(½A+m±(x¡ l=2))¢¢
u (x; t) + (E I u00)00
(x; t) = 0 : (2.11)
Formula»c~ao Variacional do Problema
A equa»c~ao formula»c~ao variacional de (2:11) ¶e uma igualdade no dual de V = H20(0; l):
Achar u(¢; t) 2 L2(0; l) tal que:
(8v 2 V; 8t > 0) ; < (½A+m±(x¡ l=2))¢¢
u; v >L2(0;l) + < E I u00; v00 >L2(0;l)= 0 :(2.12)
O formalismo V ½ H ´ H¤ ½ V¤ :Tomaremos neste caso H = L2(0; l) munido do seguinte produto escalar
Consideramos m : V ! V¤ e A : V ! V¤ de¯nidas para u; v 2 V quaisquer por
< m(u); v >V¤;V= (u; v)H
e < A u; v >V¤;V= (E I u00; v00)L2(0;l) :
40
A equa»c~ao (2:10) pode ser escrita na seguinte forma:
m
Ãd2u
dt2
!+Au = 0 :
Consideremos a forma bilinear ¾A : V £ V ! R de¯nida para u; v de V quaisquer por¾A(u; v) =< Au; v >V¤;V : Temos que ¾A ¶e sim¶etrica, cont¶³nua e coerciva sobre V .
Da¶³, a equa»c~ao (2:12) pode ser escrita na forma equivalente³¢¢u ; v
´H+ ¾A(u; v) = 0 ; para todo v de V ;
que corresponde a (2.3).
2.1.2 Problemas com atuadores e sensores piezo-el¶etricos
Consideramos por exemplo uma viga de Euler-Bernoulli de comprimento l, engastadaem x = 0 e livre em x = l como na se»c~ao 2.1.1. As vibra»c~oes transversais u(x; t) de umponto da viga s~ao descritas por (2.6)-(2.7).
Recordamos que ½A ¶e a densidade linear de massa do material da viga e EI repre-senta a rigidez da viga µa °ex~ao. Se um par de placas piezoceramicas1 s~ao coladas naviga (em lados opostos) numa dada posi»c~ao para produzir (ou sentir) apenas °ex~ao, acontribui»c~ao das mesmas ¶e MP (x; t) na forma de um momento de excita»c~ao. Estandoas placas atuadoras situadas sobre lados opostos da viga entre x = x1 e x = x2 eexcitada por uma voltagem v(t), temos
H(x¡xi) ¶e a fun»c~ao degrau unit¶ario em xi; i = 1; 2 e KB ¶e um parametro dependendodo material piezoceramico da placa, das propriedades materiais da viga, bem comoda sua geometria. Quando o novo momento M obtido por adi»c~ao de (2:13) a (2:8) ¶esubstitu¶³do na equa»c~ao (2:6) da viga temos8>>><
>>>:½A
@2u
@t2+
@2
@x2
ÃEI
@2u
@x2(x; t)
!= KB (±0(x¡ x1)¡ ±0(x¡ x2)) v(t)
u(0; t) = 0 ;@u
@x(0; t) = 0 ; M(l; t) = 0 ;
@M
@x(l; t) = 0 ;
onde ± a distribui»c~ao de Dirac e ()0 representa a deriva»c~ao parcial em rela»c~ao a x.Este sistema tem uma formula»c~ao variacional:
para toda Á 2 V = f» 2 H2(0; l) : »(0) = 0; »0(0) = 0g ; onde Hi = H(x ¡ xi) ; i =1; 2 :
1Placa de pequena expessura, feita de um material que, excitado por uma corrente el¶etrica (cor-respondente a uma dada diferen»ca de potencial), possui a propriedade de se contrair ou se expandir,dependendo do sentido em que a corrente a atravessa (lados opostos possuem polaridades opostas).Vice-versa, quando for»cada mecanicamente a se contrair ou se expandir, emitem um sinal el¶etricocaracter¶³stico.
41
Esta equa»c~ao pode equivalentemente ser escrita como
(¢¢u; Á)H + a(u; Á) =< f; Á >V¤;V ;
com
a(Ã; Á) :=< EIÃ00; Á00 >L2(0;l) e f(t) = KB
³±0x1
¡ ±0
x2
´v(t) onde ±a := ±(x¡ a) ;
a qual constitui uma representa»c~ao formal para as vibra»c~oes da viga, que como na se»c~ao2.1.1, corresponde a formula»c~ao variacional de (2.5).
42
Cap¶³tulo 3
Problemas de vibra»c~oes n~aoconservativos
Uma classe de modelos estruturais descritos abstratamente por equa»c~oes diferenciaisparciais de segunda ordem no tempo, com amortecimento e com termos de for»camentoou operadores de controle que s~ao descont¶³nuos no contexto cl¶assico desses sistemas,podem ser formulados num contexto abstrato de espa»cos de Hilbert de modo a seconstitu¶³rem problemas bem postos: com existencia, unicidade e dependencia cont¶³nuacom respeito aos dados iniciais.
Exporemos na pr¶oxima se»c~ao a formula»c~ao variacional abstrata ou fraca desse novocontexto [2, Cap¶³tulo 4], visando aplic¶a-lo em alguns exemplos.
3.1 O contexto V ½ W ½ H
Consideremos dois espa»cos de Hilbert complexos separ¶aveis V e H tais que:( V ½ H (imers~ao cont¶³nua e densa)H ´ H¤ (via teorema de representa»c~ao de Riesz)
) V ½ H ´ H¤ ½ V¤ (imers~oes cont¶³nuas e densas) :
9>=>;
SejaW um espa»co de Hilbert imerso continuamente emH com V continuamente imersoem W . Mais explicitamente, temos a seqÄuencia de inclus~oes cont¶³nuas e densas
V ,! W ,! H »= H¤ ,! W¤ ,! V¤ ;
onde, em particular,
hu; viV¤;V
= hu; viW¤
;W(8u 2 W¤ ; v 2 V) :
Consideramos o seguinte problema abstrato de valores iniciais( ¢¢u +A2
¢u +A1 u = f em V¤ ;
u(0) = u0 ;¢u (0) = u1 ;
(3.1)
onde A1 ¶e um isomor¯smo linear de V em seu dual topol¶ogico V¤, determinado poruma forma sesquilinear hermiteana cont¶³nua e coerciva ¾1 sobre V, A2 ¶e um operador
43
linear de W em seu dual topol¶ogico W¤, associado a uma forma sesquilinear cont¶³nua¾2 sobre o espa»co de Hilbert W tal queexistem constantes k2 > 0 ; ¸0 ¸ 0 tal que
Note que para ¾1 existe uma constante positiva k1 tal que
Re ¾1 (v; v) ¸ k1 jvj2V (8v 2 V) : (3.3)
Temos neste caso,¾1(u; v) = hA1 u; viV¤;V
(8u; v 2 V) ;¾2(u; v) = hA2 u; viW¤
;W(8u; v 2 W) ;
como em (1:51) :O termo de for»camento f ¶e suposto em L2((0; T );W¤) :
Temos a seguinte formula»c~ao variacional do problema (equivalente a (3:1)):
8<:
D¢¢u (t); v
EH+ ¾2(
¢u (t); v) + ¾1(u(t); v) = hf(t); vi
W¤;W
(8v 2 V) ;u(0) = u0 ;
¢u (0) = u1 :
(3.4)
Note que hf; viV¤;V
= hf; viW¤
;Wposto que f 2 L2((0; T );W¤) :
Teorema 3.1 (Teorema 4.1 de [2]) Suponhamos que ¾1 e ¾2 satisfazem as con-di»c~oes descritas acima. Sejam u0 2 V e u1 2 H.Ent~ao, existe uma ¶unica solu»c~ao u(t) de (3:4) tal que
u 2 L2((0; T );V) ; ¢
u 2 L2((0; T );W) e¢¢
u 2 L2((0; T );V¤) :
Al¶em disso, as solu»c~oes de (3:4) dependem continuamente de (u0; u1; f), isto ¶e, a apli-ca»c~ao
V £H£ L2((0; T );V¤) ¡! L2((0; T );V)£ L2((0; T );W)
dada por
(u0; u1; f) ! (u;¢
u)
¶e cont¶³nua.
Prova: Seja f»ig1i=1 um conjunto linearmente independente e total de V. Para cadam, seja Vm o subespa»co gerado por f»1; : : : ; »mg e sejam v0m ; v1m 2 Vm escolhidostais que v0m ! v0 em V e v1m ! v1 em H, quando m ! 1.
Seja vm(t) =mXi=1
´im(t) »i a ¶unica solu»c~ao do sistema linear de dimens~ao ¯nita
8>><>>:
D¢¢vm (t); »j
EH+ ¾2
³¢vm (t); »j
´+ ¾1 (vm(t); »j) = hf(t); »jiW¤;W
vm(0) = v0m¢vm (0) = v1m ;
(3.5)
44
onde j = 1; 2; : : : ;m : Multiplicando a equa»c~ao por¢
¹jm (t) e somando nos ¶³ndices j,temosD¢¢vm (t);
¢vm (t)
EH+ ¾2
³¢vm (t);
¢vm (t)
´+ ¾1
³vm(t);
¢vm (t)
´=
Df(t);
¢vm (t)
EW¤;W
:
Temosd
dt¾1 (vm(t); vm(t)) = 2Re ¾1
³vm(t);
¢vm (t)
´;
que implica
d
dt
nj ¢vm (t)j2
H+ ¾1 (vm(t); vm(t))
o+ 2Re ¾2
³¢vm (t);
¢vm (t)
´
= 2ReDf(t);
¢vm (t)
EW¤;W
:
Ap¶os integra»c~ao, temos desta igualdade
j ¢vm (t)j2
H+ ¾1 (vm(t); vm(t)) +
Z t
0
2Re ¾2³¢vm (s);
¢vm (s)
´ds
= j ¢vm (0)j2
H+ ¾1 (vm(0); vm(0)) +
Z t
0
2ReDf(s);
¢vm (s)
EW¤;W
ds :
Usando (3.2), (3.3) e " > 0 arbitr¶ario, levando a desigualdade
¯¯Df(s); ¢
vm (s)EW¤;W
¯¯ · 1
4"jf(s)j2
W¤ + " j ¢vm (s)j2
W
µa equa»c~ao acima, teremos
j ¢vm (t)j2
H+ k1 jvm(t)j2V +
Z t
0
2 (k2 ¡ ") j ¢vm (s)j2
Wds
· jv1mj2H + c1jv0mj2V + 2¸0
Z t
0
j ¢vm (s)j2
Hds+
Z t
0
1
2"jf(s)j2
W¤ds :(3.6)
Lembrando que v0m ! v0 em V e v1m ! v1 em H (e portanto as seqÄuencias s~aolimitadas respectivamente em V e em H) e ¯xando " tal que 2 (k2 ¡ ") = ± > 0, n¶osconclu¶³mos que para todo m su¯cientemente grande, (3.6) pode ser substitu¶³da por
j ¢vm (t)j2
H+ k1 jvm(t)j2V + ±
Z t
0
j ¢vm (s)j2W ds
· (M + 1) + 2¸0
Z t
0
j ¢vm (s)j2
Hds
(3.7)
onde
M ´ jv1j2H + c1jv0j2V +Z t
0
1
2"jf(s)j2
W¤ds :
Levando em conta apenas o primeiro termo do membro esquerdo de (3.7) e usando
a desigualdade de Gronwall, temos que f ¢vmg ¶e limitada em C ((0; T ) ; H). Usan-
do novamente (3.7) e usando que f ¢vmg ¶e limitada desta forma, temos que fvmg ¶e
limitada em C ((0; T ) ; V). Mais uma vez usando (3.7) e que f ¢vmg ¶e limitada desta
45
forma, temos que f ¢vmg ¶e limitada em L2 ((0; T ) ; W). Ent~ao, podemos achar umasubseqÄuencia fvmk
g e fun»c~oes limites v 2 L2 ((0; T ) ; V) e v 2 L2 ((0; T ) ; W) tais que
vmk! v fracamente em L2 ((0; T ) ; V)
¢
vmk! v fracamente em L2 ((0; T ) ; W) :
(3.8)
Por outro lado, temos
vmk(t) = vmk
(0) +Z t
0
¢
vmk(s) ds (3.9)
no sentido de V (e ent~ao, no sentido de W e H) . Al¶em disso, vmk(0) = v0mk
! v0 nosentido de V e ent~ao no sentido de W enquanto que para cada t,
Z t
0
¢
vmk(s) ds !
Z t
0
v(s) ds
fracamente em W. Ent~ao, tomando o limite no sentido fraco de W em (3.9), obtemos
v(t) = v(0) +Z t
0
v(s) ds
no sentido de W . Assim,¢
v (t) existe, quase sempre, no sentido de W, com¢
v (t) = v 2L2 ((0; T ) ; W) e v(0) = v0. Resta mostrar que v ¶e de fato uma solu»c~ao de (3.4).
Nesta dire»c~ao, tomamos em considera»c~ao o sistema (3.5) e seja à 2 C1[0; T ] arbi-tr¶aria, satisfazendo Ã(0) = 0. De¯namos Ãj(t) = Ã(t)»j, onde as »j s~ao as de (3.5).Multiplicando (3.5) por Ã(t) e ¯xando j < m, obtemos por integra»c~ao,
Z T
0
nD¢¢
vm (t); Ãj(t)EH+ ¾2
³¢vm (t); Ãj(t)
´+ ¾1 (vm(t); Ãj(t))
odt
=Z t
0
hf(t); Ãj(t)iW¤;Wdt :
Integrando por partes no primeiro termo, empregando a convergencia de (3.9), asinclus~oes de ¾2 (¢; Ãj(t)) 2 W¤ e ¾1 (¢; Ãj(t)) 2 V¤ para cada t e tomando limites desubseqÄuencias quando m = mk ! 1 nesta equa»c~ao, obtemos
Z T
0
½¿¡ ¢
v (t);¢
Ãj (t)ÀH
+ ¾2³¢v (t); Ãj(t)
´+ ¾1 (v(t); Ãj(t))
¾dt
=Z t
0
hf(t); Ãj(t)iW¤;Wdt+ hv1; Ãj(0)iH
(3.10)
para cada j. Lembrando que Ãj(t) = Ã(t)»j e que al¶em disso restringindo à de modoque à perten»ca a C1
0(0; T ), temos de (3.10) que
Z T
0
¢
ÃD¡ ¢
v (t); »j(t)EHdt
+Z T
0
Ã(t)n¾2
³¢v (t); »j(t)
´+ ¾1 (v(t); »j(t))¡ hf(t); »j(t)iW¤;W
odt = 0
para cada »j. Isto implica para cada »j
d
dt
D¢v (t); »j(t)
EH+ ¾2
³¢v (t); »j(t)
´+ ¾1 (v(t); »j(t)) = hf(t); »j(t)iW¤;W
: (3.11)
46
Como f»jg ¶e total em V n¶os temos que¢¢v (t) 2 L2 ((0; T ); V¤) e para todo Á 2 V
D¢¢v (t); Á
EV¤;V
+ ¾2³¢v (t); Á
´+ ¾1 (v(t); Á) = hf(t); Ái
W¤;W
que ¶e a equa»c~ao (3.4).
N¶os j¶a temos v(0) = v0 e para provar que¢v (0) = v1 n¶os voltamos a (3.10) a qual
¶e v¶alida para todo Ãj(t) = Ã(t) »j; Ã 2 C1[0; T ], Ã(T ) = 0. Integrando por partes noprimeiro termo em (3.10) e usando (3.11), obtemos
D¡ ¢
v (t); Ãj(t)EH
¯¯t=Tt=0
= hv1; Ãj(0)iHou D
¢v (0); »j
EH
Ã(0) = hv1; »jiH Ã(0) para todo j :
Disto se segue que¢v (0) = v1 e assim, v ¶e a solu»c~ao do problema de valor inicial (3.4).
A dependencia cont¶³nua dos dados se segue das estimativas usadas para a prova daexistencia. De volta a (3.6), n¶os vemos que essa estimativa implica
¯¯ ¢v (t)
¯¯2H· Km + 2¸0
Z t
0
¯¯ ¢v (s)
¯¯2Hds
onde Km ´ jv1mj2H + c1 jv0mj2V +1
2"jf jL2((0; T );W¤) : Assim, usando a desigualdade de
Gronwall, temos ¯¯ ¢v (t)
¯¯2H· Km e2¸0t :
Por outro lado, esta desigualdade em (3.6) nos d¶a
k1 jvm(t)j2V + ±Z t
0
¯¯ ¢v (s)
¯¯2Wds · Km +Km2¸0
Z t
0e2¸0sds
· KmC1
onde C1 ¶e constante. Integrando sobre (0; T ) n¶os obtemos
k1 jvmj2L2((0;T );V) + ±T¯¯ ¢v
¯¯2L2((0;T );W)
· KmC2
onde C2 ¶e tamb¶em constante. Lembrando que v1m ! v1 em H, v0m ! v0 em V e u-sando a semi-continuidade fraca de semi-normas, juntamente com convergencias fracasem (3.8), n¶os podemos tomar limites esta ¶ultima desigualdade para obter
k1jvj2L2((0;T );V) + ±j ¢v j2L2((0;T );W)
·½jv1j2H + c1jv0j2V +
1
2"jf j2L2((0;T );W¤)
¾C2 :
(3.12)
Sendo a aplica»c~ao (v0; v1; f) ! (v;¢v) linear, esta estimativa implica a continuidade,
como a¯rmada no teorema.Finalmente, abordamos a quest~ao da unicidade da solu»c~ao de (3.4), observando que
(3.12) mostra que solu»c~oes constru¶³das atrav¶es do processo de passagem ao limite feito
47
acima, s~ao obviamente, ¶unicas. No entanto, devemos nos certi¯car de que quaisquersolu»c~oes constru¶³das a partir dos mesmos dados v0 , v1 e f coincidem. Para isto, ¶esu¯ciente mostrar-mos que apenas a solu»c~ao v ´ 0 ¶e obtida dos dados v0 = 0 , v1 = 0e f = 0. Com esse objetivo, seguimos argumentos usuais. Seja v a solu»c~ao de (3.4),correspondente a v0 = 0 , v1 = 0 e f = 0 e de¯na para s ¯xado por¶em arbitr¶ario em(0; T ),
Ã(t) =
8<:
¡Z s
t
v(»)dx t < s
0 t ¸ s
tal que Ã(T ) = 0. Pode ser veri¯cado que à 2 V para cada t e ent~ao, n¶os podemosescolher Á = Ã(t) em (3.4) para obter
D¢¢v (t); Ã(t)
EV;V¤
+ ¾2(¢v (t); Ã(t)) + ¾1(v(t); Ã(t)) = 0 : (3.13)
Desde que¢
à (t) = v(t) para quase todo t < s; n¶os temosZ s
0
½D¢¢v (t); Ã(t)
EV¤;V
+D
¢v (t); v(t)
EV¤;V
¾dt
=Z s
0
d
dt
D¢v (t); Ã(t)
EV¤;V
dt
=D
¢v (t); Ã(t)
EV¤;V
¯¯t=s
t=0
= 0 :
Integrando (3.13) e usando esta ¶ultima identidade, n¶os obtemosZ s
0
½D¢v (t); v(t)
EV¤;V
¡ ¾2(¢v (t); Ã(t))¡ ¾1(v(t); Ã(t))
¾dt = 0
que pode ser equivalentemente escrita comoZ s
0
d
dt
njv(t)j2
H¡ ¾1(Ã(t); Ã(t))
odt = 2Re
Zs
0
¾2(¢v (t); Ã(t))dt :
Como Ã(s) = 0 e v(0) = 0, teremos
jv(s)j2H+ ¾1(Ã(0); Ã(0)) = 2Re
Zs
0
¾2(¢v (t); Ã(t))dt : (3.14)
Al¶em disso, ded
dt¾2(v(t); Ã(t)) = ¾2(
¢v (t); Ã(t)) + ¾2(v(t); v(t)), se segue que
Zs
0
¾2(¢v (t); Ã(t))dt =
Zs
0
¾2(v(t); v(t))dt+ ¾2(v(t); Ã(t))jt=s
t=0
= ¡Z
s
0
¾2(v(t); v(t))dt
posto que Ã(s) = 0 e v(0) = 0. usando isto em (3.14), n¶os temos
jv(s)j2H+ ¾1(Ã(0); Ã(0)) = 2Re
Zs
0
¡¾2(v(t); v(t))dt :
48
Levamos em considera»c~ao as hip¶oteses de (3.2) e (3.3) e obtemos ent~ao
jv(s)j2H+ k1 jÃ(0)j2V · 2¸0
Zs
0
jv(t)j2Hdt
oujv(s)j2
H· 2¸0
Zs
0
jv(t)j2Hdt
para s arbitr¶ario em (0; T ). Novamente, usando a desigualdade de Gronwall conclu¶³mosque v(t) = 0 para t 2 (0; T ).
Observa»c~ao 3.1 Grande parte dos exemplos de viga para o modelo de Euler-Bernoullicom v¶arios tipos de amortecimento (Kelvin-Voigt, viscoso ou n~ao, raiz-quadrada oumem¶oria espacial) podem ser tratados no contexto desse teorema. O mesmo acontecese considerarmos o modelo de Timoshenko dado pelo sistema (1.5). Veja a se»c~ao 4.5de [2].
3.1.1 Viga com amortecimento viscoso
Consideramos o problema para a viga de Euler-Bernoulli de comprimento l, engastadaem x = 0 e em x = l, onde h¶a amortecimento viscoso. O problema ¶e dado pela equa»c~ao
Este problema n~ao ¶e separ¶avel na forma u(x; t) = U(x)T (t) se b ¶e uma fun»c~aopositiva gen¶erica, como foi discutido na observa»c~ao 1.2. Por outro lado, a equa»c~ao podeser transformada num sistema de primeira ordem, o qual ¶e separ¶avel formalmente. Emesmo assim, o problema correspondente n~ao ¶e auto-adjunto. Vemos em seguidacomo aplicar teorema 3.1 a este problema.
Formula»c~ao variacional de (3:15)(3:16)
Tomamos V = H20(0; l); H = L2(0; l) com a nota»c~ao
hu ; viH:= (½Au ; v)L2(0;l) :
Consideramos W = L2(0; l) sem peso e temos a seguinte formula»c~ao variacional doproblema:
Achar u(:; t) 2 V tal que
D½A
¢¢
u; vEL2(0;l)
+Db
¢
u ; vEL2(0;l)
+ hE I u00 ; v00iL2(0;l) = 0 ; 8v 2 V : (3.17)
49
Escrevendo
m : V ¡! V¤
u 7¡! m u ; hmu; viV¤;V = h u; vi
H= (½Au; v)L2(0;l) ;
B; A : V ¡! V¤
hB u; viV¤;V = (b u; v)L2(0;l) ; hAu; vi
V¤;V = (E I u00; v00)L2(0;l) ;
temos, com u ´ u(x; t) = ut(x), a equa»c~ao (3:17), equivalente a
D¢¢u; v
EH+
DB ¢
u ; vE
| {z }
¾2(¢
u; v)
+ hAu ; vi| {z }
¾1(u; v)
= 0 ; 8v 2 V :
As formas bilineares ¾1 e ¾2 s~ao sim¶etricas e cont¶³nuas, ¾1 satisfaz (3.3) e ¾2 satisfaz(3.2) se b 2 L1(0; l) logo, podemos aplicar o teorema 3.1.
3.1.2 Problemas amortecidos com distribui»c~ao de massas pon-tuais
Consideramos o exemplo em [3] de uma viga de Euler-Bernoulli de comprimento l,engastada em x = 0 e livre em x = l : As vibra»c~oes transversais u(x; t) de um pontoda viga s~ao descritas pelo sistema
½A@2u
@t2+ °
@u
@t+
@2M
@x2= 0 ; 0 < x < l ; t > 0;
u(0; t) = 0 ;@u
@x(0; t) = 0 ; M(l; t) = 0 e
@M
@x(l; t) = 0 ; (3.18)
onde ½A ¶e a densidade linear de massa, ° ¶e o coe¯ciente de amortecimento viscoso e M¶e o momento interno. No caso em que a viga ¶e considerada simples com Kelvin-Voigtou taxa de amortecimento r¶³gido, M ¶e composto de duas componentes que representama rigidez a °ex~ao (com coe¯ciente EI) e amortecimento (com coe¯ciente cDI):
M(x; t) = EI@2u
@x2(x; t) + cDI
@3u
@x2@t(x; t) :
Admitindo n massas mi concentradas nos pontos da viga de coordenada xi, temosque considerar as condi»c~oes
[u(x; t)]xi= u(xi + 0; t)¡ u(xi ¡ 0; t) = 0
mi
@2u
@t2(xi; t) =
@M
@x(xi + 0; t)¡ @M
@x(xi ¡ 0; t)
9>=>; (i = 1; : : : ; n) :
Da¶³, o movimento da viga ¶e descrito pela equa»c~ao
½A@2u
@t2+ °
@u
@t+
@2M
@x2+
nXi=1
mi
@2u
@t2(xi; t)±(x¡ xi) = 0 :
50
O problema neste caso pode ser escrito na forma (3.4) com f = 0, considerando
H = L2(0; l) com < Á; Ã >H=< ½AÁ; Ã >L2(0;l) +nX
i=1
mi Á(xi)Ã(xi) ;
V = W = fÁ 2 H2(0; l) : Á(0) = 0; Á0(0) = 0g ;¾2(Á; Ã) =< °Á;Ã >L2(0;l) + < cDIÁ
00; Ã00 >L2(0;l) e ¾1(Á;Ã) =< EIÁ00; Ã00 >L2(0;l) :
3.1.3 Problemas amortecidos com atuadores e sensores piezo-el¶etricos
Consideramos o exemplo em [3] de uma viga de Euler-Bernoulli de comprimento l,engastada em x = 0 e livre em x = l : As vibra»c~oes transversais u(x; t) de um pontoda viga s~ao dadas pela equa»c~ao
½A@2u
@t2+ °
@u
@t+
@2M
@x2= 0 ; 0 < x < l ; t > 0; (3.19)
onde ½A ¶e a densidade linear de massa, ° ¶e o coe¯ciente de amortecimento viscosoe M ¶e o momento interno e as condi»c~oe de contorno (3.18). No caso em que a viga¶e considerada simples com Kelvin-Voigt ou taxa de amortecimento r¶³gido, M ¶e com-posto de duas componentes que representam a rigidez a °ex~ao (com coe¯ciente EI) eamortecimento (com coe¯ciente cDI):
M(x; t) = EI@2u
@x2(x; t) + cDI
@3u
@x2@t(x; t) : (3.20)
Se um par de atuadores piezoceramicos ¶e colado na viga (em lados opostos) paraproduzir (ou sentir) apenas °ex~ao, a contribui»c~ao do mesmo ¶e MP (x; t) na forma deum momento de excita»c~ao. Para uma placa atuadora situada sobre a viga entre x = x1e x = x2 e excitada por uma voltagem v(t), temos
H ¶e a fun»c~ao degrau unit¶ario em 0 e KB ¶e um parametro do material piezoceramicodependendo das propriedades materiais da viga e da placa bem como da geometria.Quando o novo momento M obtido por adi»c~ao de (3:21) a (3:20) ¶e substitu¶³do naequa»c~ao (3:19) da viga temos
½A@2u
@t2+ °
@u
@t+
@2
@x2
ÃEI
@2u
@x2(x; t) + cDI
@3u
@x2@t(x; t)
!
= KB (±0(x¡ x1)¡ ±0(x¡ x2)) v(t)
sendo ± a distribui»c~ao de Dirac e ()0 representa a deriva»c~ao parcial em rela»c~ao a x.Este problema tem uma formula»c~ao variacional
para todo Á 2 V = f» 2 H2(0; l) : »(0) = 0; »0(0) = 0g, Hi = H(x¡ xi) ; i = 1; 2 :Como na se»c~ao 3.1.2 tomando H = L2(0; l) com < Á; Ã >H=< ½AÁ; Ã >L2(0;l), V=
W , ¾2(Á;Ã) =< °Á;Ã >L2(0;l) + < cDIÁ00; Ã00 >L2(0;l), ¾1(Á; Ã) =< EIÁ00; Ã00 >L2(0;l) e
f(t) = KB
³±0
x1¡ ±0
x2
´v(t), ±a := ±(x¡a), temos a representa»c~ao (3.4) para as vibra»c~oes
da viga.
52
Cap¶³tulo 4
Viga em rota»c~ao
At¶e esse ponto discutimos modelos de vigas levando em conta que a con¯gura»c~ao dereferencia n~ao se movia num referencial inercial. As vibra»c~oes eram movimentos depequena amplitude em torno da con¯gura»c~ao de referencia.
Por¶em, nas aplica»c~oes mais relevantes tecnologicamente da teoria de vigas a con-¯gura»c~ao de referencia n~ao pode ser considerada est¶atica num referencial inercial, defato a con¯gura»c~ao de referencia est¶a sujeita a grandes rota»c~oes de corpo r¶³gido.
Esse ¶e o caso quando modelamos como viga o bra»co de um robo, as palhetas deuma turbina, a h¶elice de um helic¶optero, etc.
As equa»c~oes que descrevem a dinamica n~ao s~ao mais as mesmas. Mostraremos aseguir, no cso de uma rota»c~ao plana, como se altera o modelo.
Daremos uma descri»c~ao breve do Princ¶³pio de Hamilton para sistemas mecanicosgerais e apresentamos uma aplica»c~ao para o caso de uma viga em rota»c~ao. As ex-press~oes para as energias cin¶etica e potencial e o princ¶³pio dos trabalhos virtuais s~aodeterminados e, em seguida, o Princ¶³pio de Hamilton ¶e aplicado para estabelecer asequa»c~oes dinamicas do movimento, [39].
Consideramos uma estrutura constitu¶³da de um bra»co de robo modelado como umaviga de comprimento L, conforme a Figura 4.1. Uma de suas extremidade est¶a ligadaao eixo de um motor, por exemplo, e a outra extremidade livre cont¶em uma massaconcentrada Mp (que pode ser pensada como a garra de um robo manipulador). Comum torque ¿ o motor for»ca um movimento de rota»c~ao, descrito por um angulo ®, daviga em torno do eixo.
4.1 Modelagem exata usando o C¶alculo das Varia»c~oes
Diversos m¶etodos s~ao comumente usados para modelar o problema de uma viga emrota»c~ao. O Princ¶³pio de Hamilton tem a vantagem de prover as informa»c~oes sobre asequa»c~oes dinamicas bem como sobre as condi»c~oes de contorno do problema.
4.1.1 Recorda»c~ao do Princ¶³pio de Hamilton
Denotemos por T , V eWnc respectivamente, a energia cin¶etica total, a energia potencialtotal e o trabalho total devido µas for»cas n~ao-conservativas. Suponhamos que a trajet¶oria
53
Figura 4.1: Con¯gura»c~ao de uma viga em rota»c~ao
Figura 4.2: Part¶³cula de massa m sob a in°uencia de uma for»ca resultante constante f
de uma part¶³cula de massa m descrita por r(t) sob a a»c~ao da for»ca f sofra uma varia»c~aoin¯nitesimal ±r entre os instantes t1 e t2.
Denotemos o trabalho virtual realizado pela resultante das for»cas f como ±W = f ¢±r.
Da¶³, temos Zt2
t1
±Wdt =Z
t2
t1
f ¢ ±rdtque pelo Princ¶³pio de D'Alembert, nos d¶a
Zt2
t1
±Wdt =Z
t2
t1
m¢¢
r ¢±rdt
que integramos por partes e obtemos:
Zt2
t1
f ¢ ±rdt = m¢
r ¢±rit2t1
¡Z
t2
t1
m¢
r ¢± ¢
rdt
= ¡Z
t2
t1
m¢
r ¢± ¢
rdt
54
pois ±r(t1) = ±r(t2) = 0 : Ent~ao,
Zt2
t1
³f ¢ ±r+m
¢
r ¢± ¢
r´dt = 0 :
Por outro lado,
r ¢ ± ¢
r=1
2±·³
¢
r´2¸
= ±T ;
logo Zt2
t1
(±T + f ¢ ±r)dt = 0 :
Se o sistema ¶e n~ao-conservativo, f ¢ ±r = ¡±(V ¡Wnc) :De¯nindo
±J =Z t2
t1
(±T ¡ ±V + ±Wnc)dt ;
ent~ao podemos enunciar matematicamente o Princ¶³pio de Hamilton como
±J = ±µZ t2
t1
(T ¡ V +Wnc)dt¶= ±
µZ t2
t1
Ldt¶= 0 ;
onde L = T ¡ V +Wnc ¶e o lagrangeano do sistema.Em palavras:
A integralZ t2
t1
Ldt ¶e estacion¶aria sobre o caminho real da part¶³cula, em
rela»c~ao µa todos os caminhos vizinhos que o sistema pode ser imaginadotomando entre os instantes t1 e t2, desde que as con¯gura»c~oes inicial e¯nal do sistema sejam prescritas.
4.1.2 Aplica»c~ao na dedu»c~ao do modelo da viga em rota»c~aopinada no eixo e com uma massa na extremidade livre
O princ¶³pio ¶e aplicado na forma
±J =Z t2
t1
±(To) +Z t2
t1
±(Tb) +Z t2
t1
±(Tp)¡Z t2
t1
±(V ) +Z t2
t1
±(Wnc) = 0 ; (4.1)
onde a energia cin¶etica total T foi decomposta em uma soma To + Tb + Tp sendo To aenergia cin¶etica do eixo, Tb a energia cin¶etica da viga e Tp a energia cin¶etica da massana extremidade livre da viga.
O referencial inercial tem origem no eixo da estrutura e ¶e denotado por fx0; y0g:S~ao usados dois outros referenciais que acompanham o movimento de rota»c~ao da viga,de acordo com o modelo considerado. Se a viga ¶e engastada no eixo, isto ¶e, restrita an~ao se deslocar e n~ao se inclinar em rela»c~ao µa sua con¯gura»c~ao em repouso, usa-se oreferencial ortogonal fxc; ycg tendo origem no eixo da estrutura e xc tangente µa viga naorigem. A de°ex~ao de um ponto da viga nesse referencial ¶e denotada por w¤(x; t). Sea viga ¶e pinada no eixo da estrutura, isto ¶e, restrita apenas a n~ao se deslocar naqueleponto, usa-se o referencial ortogonal fxp; ypg com origem no eixo da estrutura, com xp
55
Figura 4.3: Referencial determinado pelo centro de gravidade G do sistema
partindo da origem e passando pelo centro de gravidade da viga. A de°ex~ao de umponto da viga nesse referencial ¶e denotada por w(x; t).
Denotaremos, respectivamente, a in¶ercia do eixo e a in¶ercia da massa na extremi-dade livre da viga por Jo e Jp; a massa na extremidade livre por Mp; o comprimentoda viga por L; a densidade linear da viga por ½A onde A denota a ¶area da sua se»c~aotransversal; o m¶odulo de elasticidade (m¶odulo de Young) da viga por E; o momentode in¶ercia da viga por I.
4.1.3 C¶alculo dos termos de energia
Energia cin¶etica
Da Figura 4.3, considerando pequenas de°ex~oes, temos aproximadamente:
®(x; t) ¼ qo(t) + arctg(w(x; t)
x) ¼ qo(t) +
w(x; t)
x:
Note que quando x ¼ 0, temos ®(x; t) ¼ qo(t)+w0(0; t) : Al¶em disso, podemos escrever
r =
"x cos®x sen®
#: (4.2)
A energia cin¶etica associada com a viga suposta uniforme (½ = constante) ¶e
Tb =1
2
Z h
0
¢
r T ¢ ¢
r dm =1
2½Z h
0
¢
r T ¢ ¢
r dx :
De (4.2), temos
Tb =1
2½Z L
t1
³¢
qo x+¢
w´2
dx : (4.3)
56
A varia»c~ao ±Tb ¶e obtida aplicando o c¶alculo das varia»c~oes:
Z t2
t1
±Tb(¢
qo;¢
w) dt =Z t2
t1
Ã@Tb
@¢
qo±
¢
qo +@Tb
@¢
w±
¢
w
!dt
e integrando por partes, usando que ±qo e ±w s~ao nulas em t1 e em t2, temos
Z t2
t1
±Tb(¢
qo;¢
w) dt = ¡Z t2
t1
@
@t
Ã@Tb
@¢
qo
!±qo dt¡
Z t2
t1
@
@t
Ã@Tb
@¢
w
!±w dt :
Da¶³ e de (4.3)
Z t2
t1
±Tb(¢
qo;¢
w) dt =Z t2
t1
ÃZ L
0
½(¢¢
qo x+¢¢
w) x dx ±qo +Z L
0
½(¢¢
qo x+¢¢
w) dx ±w
!dt :
(4.4)
Sendo a velocidade angular do eixo dada por¢
® (0; t) =¢
qo +¢
w 0(0; t), a energia cin¶eticado eixo ¶e
To =1
2Jo
¢
®2
(0; t) =1
2Jo (
¢
qo +¢
w 0(0; t))2 :
Com procedimento an¶alogo ao caso da energia cin¶etica na viga, levando em conta agora
que To depende das fun»c~oes¢
qo e¢
w 0(0; t) que s~ao nulas em t1 e em t2, temos
Z t2
t1
±To dt = ¡Z t2
t1
³Jo (
¢¢
qo +¢¢
w 0(0; t) ±w0(0; t)) + Jo (¢¢
qo +¢¢
w 0(0; t)) ±qo´dt : (4.5)
A energia cin¶etica Tp, da massa na extremidade livre da viga, tem uma componentetranslacional relativa µa rota»c~ao da viga em torno do eixo da estrutura e uma compo-nente rotacional relativa ¶a rota»c~ao da massa em torno da extremidade livre da viga.
A componente translacional da energia ¶e igual a1
2Mp
¢
r T ¢ ¢
r jx=L, sendo ¢
r jx=L a
velocidade da massa na extremidade livre da viga. Com rela»c~ao a componente rota-cional da energia, ela depende da velocidade angular da massa em torno da extremi-dade livre da viga e ¶e dada pela varia»c~ao de inclina»c~ao da extremidade da viga. Poroutro lado, a posi»c~ao de um ponto qualquer da viga relativa ao referencial inercial ¶edada por y(t) = qo(t)x + w(x; t). Assim, a inclina»c~ao da extremidade livre da viga ¶ey0(t) = qo(t) +w0(x; t) e da¶³, temos que a velocidade angular da massa na extremidade¶e
¢
y0
(t) jx=L= ¢
qo (t)+¢
w0
(L; t):
Coletando esses dados temos que a energia cin¶etica da massa na extremidade livre daviga ¶e
Tp =1
2Mp
¢
r T ¢ ¢
r jx=L +1
2Jp (
¢
y0
)2(t)
=1
2Mp (
¢
qo L+¢
w (L; t))2 +1
2Jp (
¢
qo +¢
w 0(L; t))2
57
que depende das fun»c~oes¢
qo,¢
w (L; t) e¢
w0
(L; t) : Procedendo com nos casos anteriorestemosZ t2
t1
±Tp dt = ¡Z t2
t1
µJp(
¢¢
qo +¢¢
w0
(L; T )) ±w0(L; t) +Mp(¢¢
qo L+¢¢
w (L; T ))±w(L; t)
+(Mp(¢¢
qo L+¢¢
w (L; T ))L+ Jp(¢¢
qo +¢¢
w0
(L; T )) ±qo
¶dt :
(4.6)
Energia potencial
A energia potencial da estrutura ¶e gerada a partir da energia armazenada como energiael¶astica da viga e pode ser expressa como
V =Z L
0
1
2EI(w00)2 dx :
Integrando por partes duas vezes em rela»c ao a x, temos
Z t2
t1
±V (w00) dt =Z t2
t1
ÃEIw00±w0jL
0¡ EIw000±wjL
0+Z L
0
EIw0000 ±w dx
!dt : (4.7)
Trabalho n~ao-conservativo
O trabalho n~ao-conservativo na estrutura ¶e devido ao torque externo aplicado a vigano eixo da estrutura. Da¶³, o trabalho virtual ¶e dado por
Wnc = ¿ ®(0; t) = ¿ (qo + w0(0; t)) :
Sua varia»c~ao ¶e dada por
Z t2
t1
±Wnc(qo; w0(0; t) dt =
Z t2
t1
(¿ ±qo + ¿ ±w0(0; t)) dt : (4.8)
4.1.4 Equa»c~oes de movimento e condi»c~oes de contorno
Substituindo os segundos membros das equa»c~oes (4.4) - (4.8) nos respectivos segundosmembros de (4.1), temos a varia»c~ao total, ±J = 0; na forma:
Z t2
t1
µ¿ ¡ Jo(
¢¢
qo +¢¢
w0
(0; t)) + MpL(¢¢
qo L+¢¢
w (L; t))
¡Jp(¢¢
qo +¢¢
w0
(L; t))¡Z L
0
½(¢¢
qo x+¢¢
w)xdx
!±qodt
¡Z t2
t1
Z L
0
(EIw0000 + ½(¢¢
qo x+¢¢
w))dx±wdt¡Z t2
t1
(EIw00(L; t) + Jp(¢¢
qo +¢¢
w0
(L; t))±w0(L; t)dt
+Z t2
t1
(EIw000(L; t))¡Mp(¢¢
qo L+¢¢
w (L; t))±w(L; t)dt¡Z t2
t1
EIw000(0; t)±w(0; t)dt
+Z t2
t1
(EIw00(0; t)¡ Jo(¢¢
qo +¢¢
w0
(0; t)) + ¿)±w0(0; t)dt = 0 :
(4.9)
58
Da¶³, e do fato de que as varia»c~oes ±qo e ±w(x; t) s~ao arbit¶arias, as equa»c~oes de movimentono caso da viga pinada no eixo, s~ao:
¿(t)¡ J¢¢
qo (t)¡ ¹(t) = 0 (4.10)
onde
J = Jo +MpL2 + Jp + ½A
Z L
0
x2dx ;
¹(t) = Jo¢¢
w0 (0; t) +MpL¢¢
w (L; t) + Jp¢¢
w0 (L; t) + ½AZ L
0
¢¢
w (x; t)xdx
eEIw0000(x; t) + ½A
³¢¢
qo x+¢¢
w (x; t)´= 0 : (4.11)
Essas equa»c~oes s~ao complementadas com as seguintes condi»c~oes de contorno:
For»ca cortante nula na extremidade livre da viga
EIw00(L; t) + Jp
µ¢¢
qo +¢¢
w0 (L; t)¶= 0; (4.12)
Momento °etor nulo na extremidade livre da viga
EIw000(L; t) +Mp
³¢¢
qo L+¢¢
w (L; t)´= 0; (4.13)
For»ca cortante nula no eixo da estrutura
EIw00(0; t)¡ Jo
µ¢¢
qo +¢¢
w0 (0; t)¶+ ¿(t) = 0; (4.14)
Deslocamento nulo no eixo da estrutura
w(0; t) = 0 : (4.15)
Da equa»c~ao (4.10), temos¢¢
qo=¿(t)¡ ¹(t)
J: Substituindo na equa»c~ao (4.11), temos
½A¢¢
w (x; t) + EIw0000(x; t) = ½A
ÿ(t)¡ ¹(t)
J
!x : (4.16)
No caso particular onde ¿ = 0, o problema (4.10),(4.11),(4.12)-(4.15) possui modosnormais de vibra»c~ao e a solu»c~ao do problema ¶e obtida por superposi»c~ao, atrav¶es dom¶etodo de separa»c~ao de vari¶aveis, conforme [39]. No caso em que ¿ 6= 0, em parti-cular ¿ constante positiva, nos parece mais indicado usar o funcional do princ¶³pio deHamilton para fazer aproxima»c~oes num¶ericas da solu»c~ao do problema.
59
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