Date post: | 26-Apr-2023 |
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2
CARGA ELÉCTRICA
Existen dos tipos de carga: la carga positiva y la carga negativa. Los átomos están formados por un núcleo donde se concentra la carga positiva (protones) y una corteza donde reside la carga negativa (electrones). La materia ordinaria es neutra: el número de cargas positivas coincide con el de cargas negativas, pero la existencia de las cargas puede ponerse de manifiesto con algunos experimentos sencillos (aparición de cargas por frotamiento, electroscopio…).
C 10602177.1 19e
La unidad de carga en el sistema internacional es el Culombio (C).La carga eléctrica está cuantizada: se presenta en la naturaleza en múltiplos de la unidad fundamental de carga, la más pequeña carga libre que puede medirse, que corresponde a la carga de un electrón –e o de un protón +e,
La carga eléctrica es una propiedad intrínseca de la materia que se manifiesta a través de fuerzas de atracción o repulsión que determinan las interacciones electromagnéticas (relacionadas con campos eléctricos y magnéticos).
3
LEY DE COULOMBLa fuerza ejercida por una carga puntual sobre otra actúa a lo largo de la línea que las une. Esta fuerza varía inversamente con el cuadrado de la distancia que las separa y es proporcional al producto de las cargas. La fuerza es repulsiva si las cargas son del mismo signo y atractiva en caso contrario.
12212
2112
ur
qqkF
-229 CmN 109 k
12r
12u 12F
12r
12u
12F
Observación: cuando signo(q1) = signo(q2) y 1212 Fu tienen el mismo sentido
Sistemas de cargas
2q
1q
3q
1q 2q
1q 2q
Se aplica el principio de superposición:La fuerza sobre cada carga es la suma (vectorial) de las fuerzas ejercidas sobre ella por el resto de las cargas.
12F
32F
23F
13F
12u
13u21u 23u
32u
31u
12212
2112
ur
qqkF
23223
3123
ur
qqkF
13213
3113
ur
qqkF
21221
2121
ur
qqkF
31231
2131
ur
qqkF 322
32
3132
ur
qqkF
21F31F
Sumando los términos de esta
columna se obtiene la fuerza sobre la carga 2
Sumando los términos de esta
columna se obtiene la fuerza sobre la carga 1
Sumando los términos de esta
columna se obtiene la fuerza sobre la carga 3
4
Las líneas de campo se llaman también líneas de fuerza porque su tangente muestra la dirección de la fuerza ejercida sobre una pequeña carga positiva de prueba. La densidad de líneas en cualquier punto (número de líneas por unidad de área perpendicular a las líneas) es proporcional a la magnitud del campo en dicho punto.
Si una carga positiva muy pequeña (carga de prueba) se abandona libremente en un campo eléctrico, seguiría una trayectoria denominada línea de campo. La dirección tangente a esta línea en cada punto es la del campo eléctrico, ya que es la dirección de la fuerza ejercida sobre la carga de prueba.
CAMPO ELÉCTRICO
12212
2112
ur
qqkF
12r
12u 12F
1q 2q12
212
1
2
1212 u
rqk
qFE
Ley de Coulomb
12E Fuerza
por unidad
de carga (N/C)
12E12r
12u
1qPunto fuente
2qPunto campo
El campo creado por una carga
puntual es radial e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia
r
r2
r3
rE 4/2 rErE
9/3 rErE
Cálculo del campo eléctrico debido a un grupo de cargas puntuales en posiciones fijas
Principio de
superposición
X
Y
1q
2q
3qm 1
m 1
Ejemplo: sistema de cargas de la figura. Cálculo del campo en origen coordenadas.Cargas X (m) Y (m) Culombios
1 1 1 -1,25E-052 -1 0 5,00E-063 0 -1 5,00E-06
N/C 1020.1 5E
º45
5
Dos cargas positivas de igual magnitud. Líneas de campo. El campo eléctrico en cualquier punto es tangente a la línea de campo correspondiente.
Dos cargas de igual magnitud, una positiva y otra negativa (dipolo eléctrico). Líneas de campo. El campo eléctrico en cualquier punto es tangente a la línea de campo correspondiente.
LÍNEAS DE CAMPO
Las líneas de campo o bien nacen en las cargas positivas y mueren en las cargas negativas, o bien nacen en las cargas positivas y van al infinito, o bien vienen del infinito y mueren en las cargas negativas.
Cargas positivas: fuentes de campoCargas negativas: sumideros de campo
6
1. Las líneas de campo eléctrico empiezan en las cargas positivas (o en el infinito) y terminan en las cargas negativas (o en el infinito). Las cargas positivas se denominan por esta razón fuentes de campo, y las cargas negativas son sumideros de campo.2. Las líneas deben dibujarse espaciadas uniformemente entrando a o saliendo de cada carga puntual.3. El número de líneas entrantes o salientes de una carga negativa o positiva debe ser proporcional a la magnitud de la carga.4. La densidad de líneas (número de líneas por unidad de área perpendicular a las líneas) en cualquier punto debe ser proporcional al valor del campo en ese punto.5. A grandes distancias de un sistema de cargas dotado de carga neta las líneas de campo deben dibujarse radiales e igualmente espaciadas, como si proviniesen de un único punto donde estuviese concentrada la carga neta del sistema.6. Dos líneas de campo no pueden cruzarse, puesto que si lo hicieran esto indicaría que en el punto de intersección el campo eléctrico tiene dos direcciones diferentes (recordemos que la dirección del campo en cada punto es tangente a la línea de campo que pasa por allí).
Reglas para trazar las líneas de campo eléctrico
LÍNEAS DE CAMPO
En la figura se muestran las líneas de campo eléctrico para dos esferas conductoras. ¿Cuál es el signo y la magnitud relativa de las cargas en ambas esferas?
8
DIPOLO ELÉCTRICOEs una configuración de dos cargas de igual magnitud q y signos contrarios separadas por una distancia d. Denominamos momento dipolar eléctrico p al producto de la magnitud de la carga q por la distancia d, y asignamos carácter vectorial a esta magnitud denominando al vector de módulo p cuyo origen es la carga negativa y cuyo extremo es la carga positiva.
p
dqp
dqp
¿Cuánto vale el campo de un dipolo en un punto lejano medido sobre la línea que definen las dos cargas? x
22 dxqk
xqkE
22
11 dxx
qk
22
222 2 dxx
xdxdxqk
dx
222 dxxxddqk
xxd 22
xdx 3 2xdqkE 3 2
xpkE
El campo eléctrico en presencia de dipolos varía de forma inversamente proporcional al cubo de la distancia
422 xdxx
9
dq dV
rru
CAMPO ELÉCTRICO EN DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGA
P
rurdqkEd 2
Ed
dVdq
rurdVkEd 2
V
rurdVkE 2
Determinar el campo eléctrico producido en un punto por una distribución continua de cargas requiere dividir la distribución en un gran número de partes elementales, determinar el campo asociado a cada una de esas partes y luego sumar las contribuciones de todas ellas.
Densidad volumétrica de carga (C/m3) Densidad superficial de carga (C/m2)dSdq
ruEd
dq
rP
S
rurdSkE 2
Densidad lineal de carga (C/m)drdq
ruEd
dqr
P
L
rurdrkE 2 dl
dS
10
CAMPO ELÉCTRICO EN DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGAEjemplo. Calcular el campo eléctrico producido por una barra de longitud L que contiene una distribución de carga lineal uniforme de C/m en un punto alineado con la barra y situado a la distancia a de su extremo.
L a
PC/m
dldq
dl
dq rru
rdqkEd 2
L
rurdlkE 2 Ed
ru
Ll
l
rulaL
dlkE0
2 laLr
Ll
lr laL
uk
0
1
l
2
laLdlCambio de variable:
laLzzdz
11
2zlaL
dldz
Resolución de la integral
Ll
l
r laLdluk
0
2
aLaukE r
11 rr u
aLaqku
aLaLkE
0l
Alternativa
a
PC/m
2/L2/L0l
laLr
2
2/
2/
22/
Ll
Ll
rulaL
dlkE
2/
2/
22/
Ll
Ll
r laLdluk
2/
2/ 2/1
Ll
Llr laL
ukE
aLauk r
11
dl
dql
r ru Ed
rr uaLa
qkuaLa
LkE
11
Una magnitud física...ECarácter vectorial... Una superficie...
S
Flujo de E a través de la superficie
S
E
SE cos SE
CANTIDADESCALAR
CONCEPTO DE FLUJO DE UN CAMPO VECTORIAL
SdSd
E
E
Definición integral
S
SdE
12
LEY DE GAUSS
Sale Sale Sale
Sale
Sale
SaleSale
EntraEntraEntra
Entra
Entra
Entra Entra
Entra
Entra
EntraSale
Sale
Sale
SaleSale
Sale
Sale
Sale SaleSale
Sale
El flujo neto del campo eléctrico estático a través de cualquier superficie cerrada es igual a 4k veces el valor de la carga neta encerrada por dicha superficie. QkSdE
S
4
Flujo neto Carga neta
Reformulación de la ley de Gauss en términos de la permitividad del vacío 0
00 4
1QSdEk
S
13
APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS
La ley de Gauss es muy útil para determinar el campo eléctrico en situaciones de alta simetría. * Campo eléctrico de una carga puntual
* Campo eléctrico de una distribución superficial de carga sobre un plano indefinido* Campo eléctrico de una distribución lineal indefinida de carga
* Campo eléctrico de una esfera dieléctrica cargada con densidad uniforme* Campo eléctrico de una corteza conductora cargada
* Campo eléctrico en la vecindad de la superficie de un conductor
14
+ ++
+
+
++++
++
+
+
+
* Cálculo del campo eléctrico en la vecindad de la superficie de un conductor en equilibrioConductor cargado con una carga total Q. Su forma es arbitraria.
1. ¿Dónde se encuentra la carga?Respuesta: la carga está en la superficie y solo en la superficie, pues esta es la forma de minimizar la repulsión electrostática.2. ¿Cómo está repartida la carga?
+++++
++
Respuesta: La carga está repartida en forma desigual, de un modo que depende de las características de curvatura de la superficie en cada punto. Esto implica que en cada punto la densidad superficial de carga será en general distinta.
dSdq
Carga total = Q
3. ¿Qué dirección tiene el campo eléctrico creado por esta carga en la inmediata vecindad de la superficie del conductor?
Respuesta: La dirección del campo eléctrico en todo punto de la superficie es siempre perpendicular a ella, independientemente de la forma que tenga el conductor. Explicación: como el conductor está en equilibrio (es decir, las cargas situadas en la superficie no se desplazan), el campo eléctrico en la superficie no puede tener ninguna componente paralela a la misma, pues en este caso las cargas se desplazarían arrastradas por dicha componente del campo, en contra de la hipótesis de conductor en equilibrio.
Carga interior = 0
15
?? E
* Cálculo del campo eléctrico en la vecindad de la superficie de un conductor en equilibrioConductor cargado con una carga total Q. Su forma es arbitraria.
+ ++
+
+
++++
++
+
+
+
Carga interior = 0
+++++
++
dSdq
Carga total = Q3. ¿Qué dirección tiene el campo eléctrico creado por esta carga en la inmediata vecindad de la superficie del conductor?Respuesta: La dirección del campo eléctrico en todo punto de la superficie es siempre perpendicular a ella, independientemente de la forma que tenga el conductor. Explicación: como el conductor está en equilibrio (es decir, las cargas situadas en la superficie no se desplazan), el campo eléctrico en la superficie no puede tener ninguna componente paralela a la misma, pues en este caso las cargas se desplazarían arrastradas por dicha componente del campo, en contra de la hipótesis de conductor en equilibrio.
+ ++
+
+
++++
++
+
+
+
16
* Cálculo del campo eléctrico en la vecindad de la superficie de un conductor en equilibrioConductor cargado con una carga total Q. Su forma es arbitraria.
+ ++
+
+
++++
++
+
+
+
Carga interior = 0
dSdq
Carga total = QCálculo del campo: aplicaremos el teorema de Gauss
E
++
++
Usamos como gaussiana un cilindro cerrado muy estrecho (bases muy pequeñas) y normal a la superficie conductora, con su base exterior muy ceñida a dicha superficie.
q
S
E
++
++ S
Vista de
perfilq
Argumentos para la aplicación del teorema de Gauss1. No hay flujo a través de la superficie lateral del cilindro porque el campo es perpendicular la la superficie.2. No hay flujo a través de la base interior del cilindro porque el campo dentro del conductor es cero.
qkSdES
4
SEdSEdSESdEexteriorBaseexteriorBaseS
qkSE 4
0
E
kSqkE 44
nuE
0
Vector normal a la superficie en cada punto
17
r
E
Q
ArBr
B
A
POTENCIAL ELÉCTRICOCalculemos el trabajo necesario para trasladar a lo largo de un camino arbitrario una pequeña carga q entre dos puntos A y B situados en el seno del campo eléctrico creado por la carga puntual Q.
BE
AE
ru
lddr
lddr
ru
E
drr
r
ldEqdW
ldEq
dW
Trabajo cuando la carga q se desplaza dl
Trabajo por unidad de carga asociado al desplazamiento dl
dldr
cos
dldr cos
ldurQk r
2 cos12 dl
rQk
drrQk
qdW
2
ldur
ldEq
dW
rurQkE 2
El trabajo elemental por unidad de carga sólo depende de la carga que crea el campo (Q) y de la variación en la posición dr, pero no del valor de la carga que se mueve en el seno del campo (q) ni de la trayectoria dl.
Definimos la variación elemental de potencial eléctrico dV asociada con dr como:
B
A
r
r
BA drrQkV 2
drrQkdV
qdW
2
Diferencia de potencial entre B y A
ABBA VVV
El signo se explica después
AB rrQk 11
18
POTENCIAL ELÉCTRICO / 2
AB
r
r
BA rrQkdr
rQkV
B
A
11 2
ABBA VVV
Diferencia de potencial entre B y A
Q
ArBr
B
A
AE
BE
Nótese que cuando la distancia rB > rA, el término 011
AB rr
En consecuencia, la diferencia de potencial ABBA VVV es negativa cuando Q > 0 y positiva en caso contrario.
Esto significa que el potencial decrece a medida que nos alejamos de una carga positiva y crece según nos alejamos de una carga negativa: la razón de que se haya definido anteriormente la variación elemental de potencial con el signo negativo es precisamente para que esto sea así.
drrQk
qdWdV 2
Referencia para potencial cero. Si adoptamos el convenio de que el potencial en un determinado punto A sea igual a cero, entonces podemos definir el potencial en cualquier otro punto B con arreglo a esa referencia. Criterio: cuando rA entonces VA = 0
ABABBA rr
QkVVV 11 B
B rQkV
0 AA Vr
Cerca de las cargas positivas el potencial es alto (rB pequeño, VB positivo de gran valor absoluto); cerca de las cargas negativas el potencial es bajo (rB pequeño, VB negativo de valor absoluto grande)
Unidades para el potencial eléctrico
voltio1C 1J 1
CargaTrabajo
19
POTENCIAL ELÉCTRICO / 3
AB
r
r
BA rrQkdr
rQkV
B
A
11 2
Q
ArBr
B
A
AE
BE
trayectoria 1
trayecto
ria 3
El trabajo por unidad de carga para trasladar cualquier carga entre dos puntos cualesquiera A y B de un campo eléctrico estático no depende de los detalles de la trayectoria seguida, sólo es función de los puntos inicial y final. Por eso, la diferencia de potencial entre dos puntos de un campo eléctrico estático sólo es función de los puntos considerados: no depende de la trayectoria que los une.
Los campos vectoriales que tienen esta propiedad se llaman campos conservativos: el campo eléctrico estático es un campo conservativo.
trayectoria 2
La diferencia de potencial entre los puntos B y A es una propiedad intrínseca del campo
....221
traytraytray qW
qW
qW
BAAB VVV
20
POTENCIAL ELÉCTRICO / 4SUPERFICIES y LÍNEAS EQUIPOTENCIALES
Una superficie equipotencial está formada por el conjunto de todos los puntos que tienen el mismo valor de potencial en el seno de un campo eléctrico. Una línea equipotencial es la intersección de una superficie equipotencial con un plano. Obviamente, todos los puntos de una línea equipotencial también tienen el mismo potencial, ya que pertenecen a una misma superficie equipotencial.Ejemplo: las líneas equipotenciales de cargas puntuales aisladas son circunferencias concéntricas alrededor de dichas cargas, ya que el potencial a una distancia r de una carga puntual aislada es:
rQkV
B
A
Cuestión: ¿Cuál es el trabajo si una carga de prueba se desplaza desde el punto A hasta el punto B?
22
POTENCIAL ELÉCTRICO / 5LÍNEAS EQUIPOTENCIALES DEL DIPOLO ELÉCTRICO
Ilustración líneas equipotenciales: Wikipedia
dqp
Las líneas de un campo eléctrico son perpendiculares a las equipotenciales
1V
2V
3V
4VSimilitud con los
mapas de
isobaras
1V
2V
3V
4V
Cuestión 1. Dibujar la trayectoria aproximada de una carga positiva de
prueba abandonada en el punto A.
A
B
Cuestión 2. Dibujar la trayectoria aproximada de
una carga positiva de
prueba abandonada en el punto B.
23
POTENCIAL ELÉCTRICO / 6POTENCIAL ELÉCTRICO EN EL EJE DEL DIPOLO: APROXIMACIÓN PUNTOS LEJANOS
dqp dqp
dxqk
xqkVx
dx
dxxqkVx
11
x0x
dxxpk
dxxdqkVx
2 xpkVx
Cuando
x
xV
0x
dxxqkVx
11
25
POTENCIAL ELÉCTRICO. EJEMPLO
Q
Q
PPPPP rr
QkrQk
rQkVVV
11
A
BC
D
Considere el dipolo eléctrico de la figura, donde Q = 1 nC. La distancia entre las cargas es de 2 mm.
1. Determinar el potencial en los puntos A, B, C, D (constante de Coulomb k = 9109 Nm2/C2).
2. Calcular el trabajo realizado por el campo eléctrico cuando una carga de +10-3 nC se mueve de A hasta B.
1. Para cualquiera de los puntos se verifica:
donde P = A, B, C o D yLas distancias se miden en mm sobre la escala
C/mN 910109 299 Qk
V 351813
111
1 109
22223
AV
V 131822
120
1 109
22223
BV
V 152921
123
1 109
22223
CV
V 497510
112
1 109
22223
DV
mm 1
1 m
m
2. Trabajo asociado al desplazamiento de una carga de 10-3 nC. J 102.235181318 1010 1010 99393 AB VVW
Interpretación: la carga positiva de +10-3 nC se mueve desde un punto donde el potencial es mayor (A) hasta otro de potencial menor (B): el signo negativo del trabajo resultante indica que es el propio campo eléctrico el que suministra el trabajo necesario, independientemente del camino que siga la carga.
26
Carga puntual
Distribución lineal indefinida, con
densidad lineal de carga Dos placas paralelas
indefinidas, con densidad superficial de carga ,
separación dDistribución uniforme de
carga sobre un disco de radio R, con densidad superficial de
carga , a lo largo del eje perpendicularCascarón esférico
cargado con carga Q y radio R
Dipolo eléctrico
Anillo cargado uniformemente de radio R, a lo largo del
eje perpendicularEsfera maciza no conductora de radio R cargada uniformemente
CAMPO Y POTENCIAL ELÉCTRICO PARA DIVERSAS CONFIGURACIONES DE CARGA
27
EL CAMPO ELÉCTRICO COMO GRADIENTE DE POTENCIAL.
En un campo escalar a cada punto del espacio se le asigna un valor de la propiedad escalar que se considera.El gradiente de un campo escalar es un vector, definido en cada punto del mismo, que indica en qué dirección varía más rápidamente la propiedad escalar. La dirección de este vector es siempre perpendicular a las líneas equipotenciales, y su sentido es el del crecimiento del valor escalar. Campo eléctrico: es igual al gradiente de potencial cambiado de signo (ya que el campo eléctrico está dirigido desde las cargas positivas hacia las negativas).
VgradE
V 400V 003
V 002
V 005
10 cm VgradE
¿Cuál es el valor del
campo eléctrico?