��UNLV Gaming Research & Review Journal � Volume 17 Issue 2
Casino Games and the Central Limit Theorem1
Ashok Singh, Ph. D.* $QWKRQ\�)��/XFDV��3K�'�
Rohan J. Dalpatadu, Ph.D.Dennis J. Murphy, Ph.D.
Abstract
7KH�FHQWUDO�OLPLW�WKHRUHP��LQ�VLPSOH�WHUPV��VWDWHV�WKDW�WKH�SUREDELOLW\�GLVWULEXWLRQ�RI�WKH�PHDQ�RI�D�UDQGRP�VDPSOH��IRU�PRVW�SUREDELOLW\�GLVWULEXWLRQV��FDQ�EH�DSSUR[LPDWHG�E\�D�QRUPDO�GLVWULEXWLRQ�ZKHQ�WKH�QXPEHU�RI�REVHUYDWLRQV�LQ�WKH�VDPSOH�LV�µVXI¿FLHQWO\¶�ODUJH��0RVW�DSSOLHG�VWDWLVWLFV�ERRNV�UHFRPPHQG�XVLQJ�WKH�QRUPDO�DSSUR[LPDWLRQ�IRU�WKH�SUREDELOLW\�GLVWULEXWLRQ�RI�WKH�VDPSOH�PHDQ�ZKHQ�WKH�QXPEHU�RI�REVHUYDWLRQV�H[FHHGV�����,W�LV�FRPPRQO\�NQRZQ�LQ�WKH�GLVFLSOLQH�RI�VWDWLVWLFV�WKDW�ODUJHU�VDPSOHV�ZLOO�EH�QHHGHG�ZKHQ�WKH�XQGHUO\LQJ�SUREDELOLW\�GLVWULEXWLRQ�LV�KHDYLO\�VNHZHG��+RZHYHU��WKH�PLQLPXP�QXPEHU�RI�VDPSOHV�QHHGHG�IRU�WKH�&/7�WR�\LHOG�D�UHDVRQDEOH�DSSUR[LPDWLRQ��ZKHQ�WKH�GLVWULEXWLRQ�EHLQJ�VDPSOHG�LV�KHDYLO\�VNHZHG��LV�QRW�NQRZQ��7KH�%HUU\�(VVHHQ�WKHRUHP�GRHV�SURYLGH�DQ�XSSHU�ERXQG�RQ�WKH�HUURU�LQ�DSSUR[LPDWLQJ�WKH�SUREDELOLW\�GLVWULEXWLRQ�RI�WKH�VDPSOH�PHDQ�E\�WKH�QRUPDO�GLVWULEXWLRQ��EXW�WKLV�XSSHU�ERXQG�WXUQV�RXW�WR�EH�RI�QR�YDOXH�ZKHQ�DSSOLHG�WR�VORW�JDPHV��7KH�SD\�RXW�SUREDELOLW\�GLVWULEXWLRQV�RI�PDQ\�FDVLQR�JDPHV�VXFK�DV�VORWV�DUH�KHDYLO\�VNHZHG��\HW�WKH�&/7�LV�XVHG�IRU�FDOFXODWLQJ�µFRQ¿GHQFH�OLPLWV¶�IRU�WRWDO�FDVLQR�ZLQ��RU�UHEDWHV�RQ�ORVVHV��IRU�WKHVH�JDPHV��:H�ZLOO�XVH�0RQWH�&DUOR�H[SHULPHQWV�WR�VLPXODWH�WKH�SOD\�RI�D�IHZ�VORW�JDPHV�DQG�WKH�WDEOH�JDPH�RI�EDFFDUDW�WR�HVWLPDWH�WKH�SUREDELOLW\�GLVWULEXWLRQ�RI�WKH�PHDQ�SD\RXW�IRU�VDPSOH�VL]HV�DV�ODUJH�DV��������DQG�FRPSDUH�LW�WR�WKH�QRUPDO�GLVWULEXWLRQ�
Introduction
7KH�ODZ�RI�ODUJH�QXPEHUV��//1��DQG�WKH�FHQWUDO�OLPLW�WKHRUHP��&/7��DUH�WKH�FRUQHUVWRQHV�RI�LQIHUHQWLDO�VWDWLVWLFV��7KH�//1�HQVXUHV�WKDW�DV�WKH�QXPEHU�RI�UDQGRP�VDPSOHV�FROOHFWHG�IURP�D�SUREDELOLW\�GLVWULEXWLRQ�LV�LQFUHDVHG��WKH�VDPSOH�PHDQ�FRQYHUJHV�WR�WKH�WUXH�SRSXODWLRQ�PHDQ��DQG�WKH�&/7�JXDUDQWHHV�WKDW�WKH�VDPSOLQJ�GLVWULEXWLRQ�RI�WKH�PHDQ�ZLOO�EH�*DXVVLDQ��SURYLGHG�WKHUH�DUH�D�VXI¿FLHQW�QXPEHU�RI�LQGHSHQGHQW�REVHUYDWLRQV��7KH�ODZ�RI�ODUJH�QXPEHUV�ZDV�XWLOL]HG�E\�WKH�&KHYDOLHU�GH�0HUH����������������DQ�DVWXWH�JDPEOHU��VHH�0D[ZHOO���������DQG�¿UVW�SURYHQ�E\�-DNRE�%HUQRXOOL�LQ�������%DXHU���������,Q�������$EUDKDP�GH�0RLYUH�LQWURGXFHG�WKH�FRQFHSW�RI�WKH�*DXVVLDQ�GLVWULEXWLRQ�DV�DQ�DSSUR[LPDWLRQ�WR�WKH�ELQRPLDO�GLVWULEXWLRQ��7KLV�UHVXOW��QRZ�FDOOHG�WKH�WKHRUHP�RI�GH�0RLYUH�±�/DSODFH��)HOOHU���������LV�D�VSHFLDO�FDVH�RI�WKH�&/7��7KH�&/7�LV�LQYRNHG�LQ�GHULYLQJ�IRUPXODV�IRU�FRQ¿GHQFH�LQWHUYDOV�LQ�HVWLPDWLRQ�SUREOHPV�DQG�FULWLFDO�UHJLRQV�LQ�K\SRWKHVLV�WHVWLQJ�SUREOHPV��
7KHUH�DUH�PDQ\�SUDFWLFDO�DSSOLFDWLRQV�RI�WKH�FHQWUDO�OLPLW�WKHRUHP��7KH�&/7�SURYLGHV�MXVWL¿FDWLRQ�IRU�PDQ\�SURFHGXUHV�LQ�VWDWLVWLFDO�SURFHVV�FRQWURO�DQG�VWDWLVWLFDO�TXDOLW\�
���7KLV�UHVHDUFK�ZDV�FRQGXFWHG�ZLWK�IXQGLQJ�VXSSRUW�IURP�WKH�&DHVDUV�)RXQGDWLRQ
$VKRN�6LQJK��3K��'�
3URIHVVRU8QLYHUVLW\�RI�1HYDGD�/DV�9HJDV
:LOOLDP�)��+DUUDK�&ROOHJH�RI�+RWHO�Administration
�����0DU\ODQG�3DUNZD\�/DV�9HJDV��19�������
Email: DNVLQJK#XQOY�QHYDGD�HGX
$QWKRQ\�)��/XFDV��3K�'��3URIHVVRU
:LOOLDP�)��+DUUDK�&ROOHJH�RI�+RWHO�Administration
8QLYHUVLW\�RI�1HYDGD��/DV�9HJDV(PDLO��$)/�#FR[�QHW
5RKDQ�-��'DOSDWDGX���3K�'�$VVRFLDWH�3URIHVVRU
8QLYHUVLW\�RI�1HYDGD�/DV�9HJDVDepartment of
Mathematical Sciences�����0DU\ODQG�3DUNZD\�/DV�9HJDV��19�������
Email: GDOSDWDG#XQOY�QHYDGD�HGX
'HQQLV�-��0XUSK\��3K�'�Senior Statistician
$',�19��,QF�Email:
GMPXUSK\����#\DKRR�FRP
&RUUHVSRQGLQJ�DXWKRU
&DVLQR�*DPHV�DQG�WKH�&HQWUDO�/LPLW�7KHRUHP
�� UNLV Gaming Research & Review Journal � Volume 17 Issue 2
FRQWURO��7KH�FRQFHSW�RI�6L[�6LJPD�GHULYHV�IURP�WKH�FHQWUDO�OLPLW�WKHRUHP��7KH�EHVW�NQRZQ�SUDFWLFDO�DSSOLFDWLRQ�RI�WKH�//1�DQG�WKH�&/7�LV�WKH�FDVLQR�JDPLQJ�LQGXVWU\��7KH�SUR¿WDELOLW\�RI�DOO�RI�WKH�FDVLQR�JDPHV�LV�JXDUDQWHHG�E\�WKH�//1�DQG�WKH�&/7��,Q�RWKHU�ZRUGV��WKHVH�WZR�WKHRUHPV�HQVXUH�WKDW��LQ�WKH�ORQJ�UXQ��DQ\�FDVLQR�JDPH�ZLOO�UHVXOW�LQ�D�SRVLWLYH�FDVLQR�ZLQ��SURYLGHG�WKH�JDPH�FDUULHV�D�SRVLWLYH�H[SHFWHG�YDOXH��)RU�H[DPSOH��VRPH�YLGHR�SRNHU�JDPHV�KDYH�RIIHUHG�D�SRVLWLYH�H[SHFWHG�YDOXH�IRU�WKH�SOD\HU��LI�SOD\HG�SHUIHFWO\�
Applications of the central limit theorem exist in the gaming literature as well. -RKQVRQ��������XVHG�WKH�FHQWUDO�OLPLW�WKHRUHP�WR�FDOFXODWH�RSWLPDO�NHQR�VWUDWHJLHV��(WKLHU�DQG�/HYLQ��������KDYH�GHULYHG�D�YDULDWLRQ�RI�WKH�FHQWUDO�OLPLW�WKHRUHP�DQG�SURYLGHG�D�VLPSOL¿HG�SURRI�RI�7KRUS�DQG�:DOGHQ¶V�WKHRUHP�RI�FDUG�FRXQWLQJ��
7KH�DSSUR[LPDWH�QRUPDOLW\�RI�WKH�VDPSOH�PHDQ�IRU�ODUJH�VDPSOHV�LV�URXWLQHO\�XVHG�IRU�FDOFXODWLQJ�FRQ¿GHQFH�OLPLWV�RQ�DFWXDO�FDVLQR�ZLQ�IURP�D�WDEOH�JDPH��RU�DFWXDO�FDVLQR�ZLQ�IURP�D�JLYHQ�SOD\HU��+DQQXP�DQG�&DERW��������7KH�3$5��SUREDELOLW\�DFFRXQWLQJ�UHSRUW��VKHHW�RI�HYHU\�VORW�JDPH�RQ�D�FDVLQR�ÀRRU�LQFOXGHV��DPRQJ�RWKHU�WKLQJV��FRQ¿GHQFH�OLPLWV�RI�SD\EDFN�SHUFHQWDJH�IRU�JLYHQ�QXPEHUV�RI�JDPHV�SOD\HG��+DQQXP�DQG�&DERW��������+DUULJDQ�DQG�'L[RQ���������7KH�&/7�LV�DOVR�XVHG�IRU�FDOFXODWLQJ�UHEDWH�RQ�DFWXDO�ORVV��+DQQXP�DQG�&DERW��������
7KH�SUREDELOLW\�GLVWULEXWLRQ�RI�WKH�SD\RXWV�IURP�D�W\SLFDO�VORW�JDPH��KRZHYHU��LV�KHDYLO\�VNHZHG��DQG�WKH�QXPEHU�RI�VDPSOHV��L�H���WKH�QXPEHU�RI�SXOOV�RU�VSLQV��ZRXOG�QHHG�WR�EH�ODUJHU�WKDQ�����WKH�PDJLF�QXPEHU�UHFRPPHQGHG�E\�PRVW�DSSOLHG�VWDWLVWLFV�WH[WERRNV��:HEVWHU��������2WW�DQG�/RQJQHFNHU��������'HYRUH��������WR�QDPH�D�IHZ��IRU�WKH�QRUPDO�DSSUR[LPDWLRQ�WR�\LHOG�DFFXUDWH�UHVXOWV��,Q�WKLV�DUWLFOH��ZH�XVH�0RQWH�&DUOR�VLPXODWLRQ�H[SHULPHQWV�IURP�D�IHZ�VORW�JDPHV�DQG�WKH�WDEOH�JDPH�RI�EDFFDUDW�WR�FRPSDUH�WKH�DSSUR[LPDWH�UHVXOWV�REWDLQHG�IURP�WKH�&/7�WR�WKH�UHVXOWV�IURP�VLPXODWLRQ�experiments.
%\�ZD\�RI�H[DPSOHV��WKLV�VWXG\�VHHNV�WR�GHPRQVWUDWH�WKH�DSSOLFDELOLW\�RI�WKH�//1�DQG�WKH�&/7�WR�FRPPRQ�SUREOHPV�IDFLQJ�PRGHUQ�JDPLQJ�RSHUDWRUV��,Q�GRLQJ�VR��WKH�¿QGLQJV�ZLOO�VKLQH�D�OLJKW�RQ�WKH�YLDELOLW\�RI�SRSXODU�KHXULVWLFV�WKDW�DUH�URXWLQHO\�HPSOR\HG�LQ�WKH�JDPLQJ�LQGXVWU\��7KH�RXWFRPHV�RI�SOD\�DUH�VLPXODWHG�DQG�DQDO\]HG�DW�sample sizes that are meaningful to gaming operators.
CLT and the Berry-Esseen Theorem
7KH�&/7�VWDWHV�WKDW�WKH�SUREDELOLW\�GLVWULEXWLRQ�RI�WKH�PHDQ�RI�D�UDQGRP�VDPSOH�IURP�D�SRSXODWLRQ�ZLWK�PHDQ�ȝ�DQG�¿QLWH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�ı�DSSURDFKHV�WKH�QRUPDO�GLVWULEXWLRQ�DV�WKH�VDPSOH�VL]H�Q�LV�LQFUHDVHG�
��ZKHUH� �LV�WKH�VWDQGDUG�QRUPDO�FXPXODWLYH�GLVWULEXWLRQ�( ) ( ) ( )/xP x x x
nP
V�
d o) )
7KH�%HUU\�(VVHHQ�7KHRUHP��VHH��IRU�H[DPSOH��*XW��������SURYLGHV�DQ�XSSHU�ERXQG�RQ�WKH�HUURU�LQ�WKH�DERYH�DSSUR[LPDWLRQ�
0XFK�ZRUN�KDV�EHHQ�GRQH�WR�DFFXUDWHO\�GHWHUPLQH�WKH�YDOXH�RI�WKH�FRQVWDQW�&��WKH�EHVW�YDOXH�RI�&�LQ������ZDV��������ZKLFK�ZDV�UHSODFHG�E\��������LQ�������*XW���������7KH�FXUUHQW�EHVW�YDOXH�LV���������GXH�WR�6KYHWVRYD���������:H�KDYH�FDOFXODWHG�WKH�
3
�_� �& �ZKHUH� ���
�LV�WKH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ��DQG�&�LV�D�Fonstant.
3 33
/
max| ( ) ( ) , (| - | )PV
J J PV
V
� �) d
� f
xn
F x x E Xn
��UNLV Gaming Research & Review Journal � Volume 17 Issue 2
%HUU\�(VVHHQ�XSSHU�ERXQG�IRU�WKH�VDPSOH�VL]H�Q�RI��������LQ�WKH�HUURU�RI�DSSUR[LPDWLRQ�SURYLGHG�E\�WKH�&/7�IRU�WKH�IRXU�VORW�JDPHV�FRQVLGHUHG�LQ�WKLV�SDSHU��VHH�$SSHQGL[�$���WKHVH�UHVXOWV�DUH�VKRZQ�LQ�7DEOH���EHORZ�
7DEOH����%HUU\�(VVHHQ�XSSHU�ERXQG�LQ�WKH�HUURU�RI�DSSUR[LPDWLRQ�SURYLGHG�E\�&/7Slot game ȝ 6WDQGDUG�GHYLDWLRQ�ı Ȗ� 8SSHU�ERXQG
123�
����������������
��������������������
����������������������������
1.331.331.331.33
&OHDUO\�WKH�XSSHU�ERXQG�SURYLGHG�E\�%HUU\�(VVHHQ�WKHRUHP�IRU�D�VDPSOH�VL]H�RI�100000 is of no practical value in the present situation.
Methodology
0RQWH�&DUOR�VLPXODWLRQ�ZDV�XVHG�WR�VLPXODWH�WKH�SOD\�RI�Q�KDQGV�IRU�D�VORW�JDPH�DQG�DOVR�WKH�WDEOH�JDPH�RI�EDFFDUDW��DQG�WKH�SUREDELOLW\�GLVWULEXWLRQ�RI�WKH�VLPXODWHG�SD\EDFN��IRU�VORW�JDPHV��RU�SOD\HU�ZLQ�ORVV��IRU�EDFFDUDW��ZDV�HVWLPDWHG�E\�WKH�KLVWRJUDPV�RI�WKH�VLPXODWHG�PHDQV��7KH�FRHI¿FLHQWV�RI�VNHZQHVV�DQG�NXUWRVLV��6KDUPD��-�.���������5XSHUW���������ZKLFK�HTXDO���IRU�DQ\�QRUPDO�GLVWULEXWLRQ��DUH�XVHIXO�PHDVXUHV�IRU�DVVHVVLQJ�GHSDUWXUHV�IURP�QRUPDOLW\�DQG�KDYH�EHHQ�LQFOXGHG�LQ�WKH�GHVFULSWLYH�VWDWLVWLFV�RI�WKH�VLPXODWHG�UHVXOWV��7KH�5�SURJUDPPLQJ�ODQJXDJH��5�&RUH�7HDP��������ZDV�XVHG�WR�FRGH�DOO�RI�WKH�VLPXODWLRQ�H[SHULPHQWV�XWLOL]HG�LQ�WKLV�VWXG\��$OO�JUDSKV�LQ�WKLV�SDSHU�ZHUH�programmed using the ggplot2 package in R.
,Q�1HYDGD��IRU�WKH�FDOHQGDU�\HDU�HQGHG�'HFHPEHU�����������RYHU�����RI�WKH�6WDWH¶V�WRWDO�JDPLQJ�ZLQ�FDPH�IURP�VORW�PDFKLQHV��1HYDGD�*DPLQJ�&RQWURO�%RDUG���������'XULQJ�WKH�VDPH�UHSRUWLQJ�SHULRG��EDFFDUDW�SURGXFHG�PRUH�ZLQ�WKDQ�DQ\�RWKHU�WDEOH�JDPH��%RWK�VORWV�DQG�EDFFDUDW�VHUYH�DV�SHUHQQLDO�UHYHQXH�MXJJHUQDXWV�IRU�1HYDGD�FDVLQRV��%HFDXVH�RI�WKHVH�FRQWULEXWLRQV��WKLV�VWXG\�H[DPLQHV�WKH�HIIHFWV�RI�WKH�//1�DQG�&/7�RQ�these two areas of the casino.
Slot Games
,Q�DQ�HDUOLHU�VWXG\��/XFDV�DQG�6LQJK���������WKH�SD\�WDEOH�RI�DQ�DFWXDO�VORW�JDPH�ZDV�PRGL¿HG�WR�FUHDWH�WZHOYH�GLIIHUHQW�YHUVLRQV�RI�WKH�VDPH�VORW�JDPH��ZLWK�IRXU�SD\EDFN�SHUFHQWDJHV�����������������DQG������DQG�WKUHH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQV���������DQG����FRLQV���0RQWH�&DUOR�VLPXODWLRQ�ZDV�XVHG�WR�VKRZ�WKH�LQDELOLW\�RI�SOD\HUV�WR�GHWHFW�GLIIHUHQFHV�LQ�WKH�SD\EDFN�SHUFHQWDJHV��,Q�WKLV�VWXG\��ZH�KDYH�XVHG�IRXU�RI�WKHVH�VORW�JDPHV�FRUUHVSRQGLQJ�WR�WKH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�RI����FRLQV��DQG�LQYHVWLJDWHG�WKH�HIIHFW�RI�DQ�LQFUHDVH�LQ�WKH�QXPEHU�RI�VSLQV�RQ�WKH�DFWXDO�SD\EDFN�WR�D�SOD\HU�ZKR�ZDJHUV�RQH�FUHGLW�DQG�SOD\V�RQH�OLQH�RQ�HDFK�VSLQ��7KH�IRXU�SD\�WDEOHV�H[DPLQHG�LQ�WKLV�VWXG\�FDQ�EH�IRXQG�LQ�$SSHQGL[�$�$�EULHI�GHVFULSWLRQ�RI�WKH�VLPXODWLRQ�IROORZV�
���*HQHUDWH�Q�UDQGRP�QXPEHUV�IURP�WKH�VORW�JDPH�SD\�WDEOH��ZKLFK�UHSUHVHQW�WKH�DFWXDO�DPRXQWV�SDLG�EDFN�WR�D�SOD\HU�DIWHU�Q�VSLQV�
���&DOFXODWH�WKH�PHDQ� x �RI�WKH�VDPSOH�RI�VL]H�Q�REWDLQHG�LQ�6WHS����7KLV�VDPSOH�PHDQ�UHSUHVHQWV�WKH�DFWXDO�DYHUDJH�SD\EDFN�WR�D�SOD\HU�DIWHU�Q�VSLQV�
$�ODUJH�QXPEHU��1��RI�LWHUDWLRQV�RI�WKH�DERYH�WZR�VWHSV�\LHOGV�1�YDOXHV�RI�WKH�VDPSOH�
PHDQ�� � ����� �Nx x x1 2 ���7KH�SUREDELOLW\�GLVWULEXWLRQ�RU�WKH�VDPSOLQJ�GLVWULEXWLRQ�RI�WKH�
&DVLQR�*DPHV�DQG�WKH�&HQWUDO�/LPLW�7KHRUHP
�� UNLV Gaming Research & Review Journal � Volume 17 Issue 2
VDPSOH�PHDQ�LV�HVWLPDWHG�IURP�WKHVH�1�VDPSOH�PHDQV��7KH�QXPEHU�RI�LWHUDWLRQV�1�XVHG�LQ�WKLV�VWXG\�ZDV���������DQG�VL[�YDOXHV�RI�WKH�VDPSOH�VL]H�Q�ZHUH�LQFOXGHG�LQ�WKLV�VWXG\����������������������������������DQG�������8VLQJ�����DV�WKH�DYHUDJH�QXPEHU�RI�WULDOV�RU�VORW�SXOOV�SHU�KRXU��+DQQXP�DQG�&DERW���������WKH�DERYH�VDPSOH�VL]HV�FRYHU�WKH�DYHUDJH�VORW�SOD\�WLPH�UDQJH�RI����PLQXWHV������VSLQV��WR���KRXUV�������VSLQV���7KH�GHVFULSWLYH�VWDWLVWLFV��KLVWRJUDPV��DQG�QRUPDO�TXDQWLOH�TXDQWLOH��T�T��SORWV�ZHUH�XVHG�WR�DVVHVV�WKH�QRUPDOLW\�RI�WKH�SUREDELOLW\�GLVWULEXWLRQ�RI�WKH�VDPSOH�PHDQ�LQ�HDFK�FDVH�
$V�PHQWLRQHG�HDUOLHU��WKH�3$5�VKHHW�RI�D�VORW�JDPH�LQFOXGHV�����FRQ¿GHQFH�OLPLWV�RI�WKH�SD\EDFN�SHUFHQWDJH�IRU�Q�JDPHV�SOD\HG��FDOFXODWHG�IURP�WKH�IROORZLQJ�&/7�EDVHG�approximate formula:
3D\EDFN�3HUFHQWDJH���9,�¥Q�
ZKHUH�9,�LV�WKH�����YRODWLOLW\�LQGH[�RI�WKH�VORW��JLYHQ�E\��9,� ������[�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ��,W�VKRXOG�EH�QRWHG�WKDW�LQ�WKH�DERYH�IRUPXOD��WKH�WUXH�H[SHFWHG�SD\EDFN�DQG�WUXH�VG�DUH�EHLQJ�XVHG��DQG�WKHUHIRUH�WKH�UHVXOW�LV�QRW�D�µFRQ¿GHQFH�LQWHUYDO¶��EXW�LQ�IDFW�EHKDYHV�UDWKHU�OLNH�D�VHW�RI�TXDOLW\�FRQWURO�OLPLWV�IRU�WKH�DFWXDO�DYHUDJH�SD\EDFN�IURP�Q�hands.
,Q�WKLV�SDSHU��WKH�����DSSUR[LPDWH�FRQWURO�OLPLWV�REWDLQHG�IURP�WKH�DERYH�IRUPXOD�DUH�FRPSDUHG�WR�WKH�HTXDO�WDLOHG�QRQ�SDUDPHWULF�����FRQ¿GHQFH�OLPLWV�REWDLQHG�IURP�VLPXODWLRQV��$Q\�GLIIHUHQFHV�KLJKOLJKW�WKH�H[WHQW�WR�ZKLFK�WKH�VLPXODWHG�VDPSOH�VL]HV�SURGXFHG�UHVXOWV�GHYLDWH�IURP�WKRVH�FDOFXODWHG�E\�WKH�SRSXODU�IRUPXOD�
Baccarat
,Q�WKH�VWDQGDUG�IRUP�RI�EDFFDUDW��WKH�GHDOHU�GHDOV�WZR�FDUGV�HDFK�WR�WKH�%DQN�KDQG�DQG�WKH�3OD\HU�KDQG��DQG�D�JDPEOHU�FDQ�EHW�RQ�HLWKHU�RI�WKH�WZR�KDQGV�WR�ZLQ��RU�WKDW�D�WLH�ZLOO�RFFXU��2I�FRXUVH��ZKHQ�GLFWDWHG�E\�WKH�UXOHV��HLWKHU�RU�ERWK�RI�WKHVH�WZR�KDQGV�PD\�UHFHLYH�D�WKLUG�FDUG��EHIRUH�D�ZLQQLQJ�RXWFRPH�LV�GHWHUPLQHG��7KH�SD\RXW�RQ�WKH�3OD\HU�KDQG�LV���WR����ZKLOH�ZLQQLQJ�%DQN�ZDJHUV�DUH�SDLG�DW�D�UDWH�RI������WR����DVVXPLQJ�WKH�VWDQGDUG����FRPPLVVLRQ�RQ�ZLQQLQJ�%DQN�ZDJHUV��:LQQLQJ�WLH�EHWV�DUH�SDLG�DW�D�UDWH�RI���WR����,Q�WKH�HYHQW�RI�D�WLH�KDQG��D�EHW�RQ�HLWKHU�WKH�%DQN�RU�WKH�3OD\HU�ZLOO�SXVK��L�H���WKH�EHW�ZLOO�QHLWKHU�ZLQ�QRU�ORVH��7KH�SUREDELOLWLHV�RI�D�ZLQQLQJ�3OD\HU�EHW��D�ZLQQLQJ�%DQN�EHW��DQG�D�ZLQQLQJ�WLH�EHW�DUH�NQRZQ��6HH�.LOE\��)R[��DQG�/XFDV��������
3UREDELOLW\�WKDW�WKH�3OD\HU�KDQG�ZLQV� ����������
3UREDELOLW\�WKDW�WKH�%DQN�KDQG�ZLQV� ����������
3UREDELOLW\�WKDW�WKH�WZR�KDQGV�DUH�WLHG� ����������
7KH�H[SHFWHG�YDOXH�RI�D�VLQJOH�XQLW�ZDJHU�RQ�WKH�3OD\HU�KDQG�LQ�EDFFDUDW�LV�����������DQG�WKH�SHU�XQLW�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�LV��������
� ,Q�RUGHU�WR�JHQHUDWH�UHVXOWV�RI�D�VHTXHQFH�RI�Q�KDQGV�RI�EDFFDUDW��LQ�ZKLFK�D�SOD\HU�ZDJHUV���XQLW�HDFK�WLPH�RQ�WKH�3OD\HU�KDQG��Q�UDQGRP�QXPEHUV�ZHUH�JHQHUDWHG�IURP�WKH�DERYH�SUREDELOLW\�GLVWULEXWLRQ�DQG�WKH�VDPSOH�PHDQ�ZDV�FDOFXODWHG��%\�UHSHDWLQJ�WKH�DERYH�VWHSV�D�ODUJH�QXPEHU��1��RI�WLPHV��1�YDOXHV�RI�WKH�VDPSOH�PHDQ��
� ����� Nx x x1 2 ��ZHUH�REWDLQHG��7KH�QXPEHU�RI�LWHUDWLRQV�1�XVHG�ZDV���������DQG�WKH�VDPH�VL[�YDOXHV�RI�WKH�VDPSOH�VL]HV�Q��L�H��KDQGV��ZHUH�LQFOXGHG�LQ�WKLV�VWXG\����������������������������������DQG�������7KH�GHVFULSWLYH�VWDWLVWLFV��KLVWRJUDPV��DQG�QRUPDO�TXDQWLOH�TXDQWLOH��T�T��SORWV�ZHUH�XVHG�WR�DVVHVV�WKH�QRUPDOLW\�RI�WKH�SUREDELOLW\�GLVWULEXWLRQ�RI�WKH�VDPSOH�PHDQ�LQ�HDFK�FDVH��,Q�DGGLWLRQ��WKH�&/7�EDVHG�����
��UNLV Gaming Research & Review Journal � Volume 17 Issue 2
FRQ¿GHQFH�OLPLWV�DUH�FRPSDUHG�WR�WKH�QRQ�SDUDPHWULF�����FRQ¿GHQFH�OLPLWV�REWDLQHG�IURP�VLPXODWLRQV��WR�KLJKOLJKW�DQ\�UHOHYDQW�GLIIHUHQFHV��7KDW�LV��WKH�OLPLWV�FRPSXWHG�E\�WKH�&/7�EDVHG�IRUPXOD�DQG�DUH�FRPSDUHG�WR�WKRVH�SURGXFHG�E\�WKH�VLPXODWLRQV��IRU�HDFK�sample size.
Results
7KH�UHVXOWV�RI�RXU�VLPXODWLRQ�H[SHULPHQWV�ZLWK�WKH�VORW�JDPHV�DQG�EDFFDUDW�DUH�summarized in this section.
Slot Games
7DEOHV�����VKRZ�WKH�GHVFULSWLYH�VWDWLVWLFV��LQFOXGLQJ�WKH�VDPSOH�VNHZQHVV�DQG�NXUWRVLV��RI�VLPXODWHG�DYHUDJH�SD\EDFNV���)LJXUHV���������DQG���VKRZ�WKH�VDPSOH�KLVWRJUDPV�RI�REVHUYHG�SD\EDFN�YDOXHV��DQG�)LJXUHV���������DQG���VKRZ�WKH�FRUUHVSRQGLQJ�QRUPDO�T�T�SORWV��,W�VKRXOG�EH�NHSW�LQ�PLQG�WKDW�WKH�WUXH�VNHZQHVV�DQG�NXUWRVLV�YDOXHV�IRU�D�QRUPDO�GLVWULEXWLRQ�DUH�ERWK�HTXDO�WR����DQG�WKH�QRUPDO�T�T�SORW�RI�D�VDPSOH�JHQHUDWHG�IURP�D�QRUPDO�GLVWULEXWLRQ�VKRXOG�IDOO�DORQJ�WKH���o�OLQH��,W�FDQ�EH�VHHQ�IURP�7DEOHV�����that:
�L��IRU�HDFK�RI�WKH�IRXU�VORW�JDPHV��WKH�REVHUYHG�DYHUDJH�SD\EDFN�IURP�Q�VORW�SXOOV�HTXDOV�WKH�FRUUHVSRQGLQJ�WUXH�SD\EDFN�SHUFHQWDJH�IRU�D���FUHGLW�ZDJHU��IRU�H[DPSOH��WKH�VDPSOH�PHDQ�RI�VLPXODWHG�SD\EDFNV�IURP�*DPH���HTXDOV�WKH�WUXH�SD\EDFN�RI������HYHQ�IRU�����VORW�SXOOV��NHHSLQJ�LQ�PLQG�WKDW�WKLV�����SXOO�DYHUDJH�ZDV�FRPSXWHG�IURP�WKH�UHVXOWV�RI���������WULSV��HDFK�FRPSULVHG�RI�����SXOOV��VHH�7DEOH����
�LL��IRU�HDFK�RI�WKH�IRXU�VORW�JDPHV��WKH�REVHUYHG�PHGLDQ�SD\EDFN�IURP�Q�VORW�SXOOV�LV�VPDOOHU�WKDQ�WKH�FRUUHVSRQGLQJ�WUXH�PHDQ��ZLWK�WKH�JDS�EHWZHHQ�WKH�WZR�YDOXHV��REVHUYHG�PHGLDQ�DQG�WUXH�SD\EDFN��GHFUHDVLQJ�DV�WKH�QXPEHU�RI�VORW�SXOOV�Q�LV�LQFUHDVHG�
�LLL��ERWK�WKH�VNHZQHVV�DQG�WKH�NXUWRVLV�YDOXHV�GHFUHDVH�DV�Q�LV�LQFUHDVHG��EXW�HYHQ�IRU�VDPSOHV�RI�VL]H�������ERWK�VNHZQHVV�DQG�NXUWRVLV�DUH�TXLWH�IDU�IURP����LQGLFDWLQJ�D�VHULRXV�GHSDUWXUH�IURP�QRUPDOLW\�LQ�WKH�SUREDELOLW\�GLVWULEXWLRQ�RI�VDPSOH�PHDQ�RI�Q�VORW�SXOOV�IURP�DQ\�RI�WKH�IRXU�JDPHV�FRQVLGHUHG�LQ�RXU�VLPXODWLRQ��DQG�
�LY��WKH�UDQJH�RI�DYHUDJH�REVHUYHG�SD\EDFNV�VKULQNV�DV�WKH�QXPEHU�RI�VSLQV�LV�LQFUHDVHG�DV�FDQ�EH�VHHQ�IURP�WKH�PLQLPXP�DQG�PD[LPXP�DYHUDJH�SD\EDFNV�
)LJXUH���VKRZV�WKDW��IRU�VORW�JDPH����WKH�VDPSOH�KLVWRJUDPV�RI�REVHUYHG�SD\EDFNV�IRU�WKH�VL[�VDPSOH�VL]HV�FRQVLGHUHG�DUH�KLJKO\�VNHZHG��WKH�VDPH�FDQ�EH�VHHQ�IURP�WKH�FRUUHVSRQGLQJ�QRUPDO�T�T�SORWV�RI�REVHUYHG�SD\EDFNV��VKRZQ�LQ�)LJXUH����
)LJXUHV�����VKRZ�WKDW�WKH�VDPH�FRQFOXVLRQV�FDQ�EH�GUDZQ�IRU�DOO�RI�WKH�RWKHU�WKUHH�VORW�JDPHV�LQFOXGHG�LQ�WKLV�VLPXODWLRQ�VWXG\��
7DEOH���VKRZV�WKH�����FRQ¿GHQFH�OLPLWV�IRU�SD\EDFN�SHUFHQWDJH�FDOFXODWHG�IURP�WKH�&/7�EDVHG�DSSUR[LPDWH�IRUPXOD��&/7�FROXPQ��DQG�WKH�VDPH�REWDLQHG�IURP�VLPXODWHG�SD\EDFN�DYHUDJHV��6,0�FROXPQ��E\�FDOFXODWLQJ�WKHLU�ORZHU�DQG�XSSHU������TXDQWLOHV��,W�FDQ�EH�VHHQ�IURP�7DEOH���WKDW��LQ�HDFK�FDVH��WKH�����FRQ¿GHQFH�LQWHUYDOV�REWDLQHG�IURP�VLPXODWLRQV�DUH�QDUURZHU��L�H���PRUH�DFFXUDWH��WKDQ�WKH�RQHV�REWDLQHG�IURP�WKH�&/7�EDVHG�approximate formula.
&DVLQR�*DPHV�DQG�WKH�&HQWUDO�/LPLW�7KHRUHP
50 UNLV Gaming Research & Review Journal � Volume 17 Issue 2
7DEOH����'HVFULSWLYH�VWDWLVWLFV�RI�DYHUDJH�SD\EDFN�IURP�Q�VORW�SXOOV�IURP�VORW�JDPH��n Minimum Maximum Mean Median sd Skewness Kurtosis
10025050010002000����
0.10��������0.53�������
�����������������������������
������������������������
�����������������������
1.21��������������������
�����������������������������
���������������������������������������
7DEOH����'HVFULSWLYH�VWDWLVWLFV�RI�DYHUDJH�SD\EDFN�IURP�Q�VORW�SXOOV�IURP�VORW�JDPH��n Minimum Maximum Mean Median sd Skewness Kurtosis
10025050010002000����
0.100.32����0.53��������
����������������12.21��������
������������������������
������������������������
1.21����0.550.30.25����
�������������������������������
���������������������������������222.11
7DEOH����'HVFULSWLYH�VWDWLVWLFV�RI�DYHUDJH�SD\EDFN�IURP�Q�VORW�SXOOV�IURP�VORW�JDPH��n Minimum Maximum Mean Median sd Skewness Kurtosis
10025050010002000����
0.10��������������������
112.30�����������������������
������������������������
������������������������
1.25��������������������
��������������������20.25�����
���������������������������������������
7DEOH����'HVFULSWLYH�VWDWLVWLFV�RI�DYHUDJH�SD\EDFN�IURP�Q�VORW�SXOOV�IURP�VORW�JDPH��n Minimum Maximum Mean Median sd Skewness Kurtosis
10025050010002000����
0.13����0.50������������
�����������23.3212.22��������
������������������������
������������������������
1.25����0.50������������
������������������������������
���������������������������������������
51UNLV Gaming Research & Review Journal � Volume 17 Issue 2
7DEOH��: &RPSDULVRQ�RI�����FRQ¿GHQFH�OLPLWV�IRU�SD\EDFN��IURP�Q�VORW�SXOOV�FDOFXODWHG�IURP�WKH�&/7�EDVHG�IRUPXOD��&/7�FROXPQ��DQG�WKH�VDPH�REWDLQHG�IURP���������VLPXODWLRQV��6,0�FROXPQ�
Game 1 Game 2 Game 3 *DPH��n &/7 SIM &/7 SIM &/7 SIM &/7 SIM100
250
500
1000
2000
����
/���8���/���8���/���8���/���8���/���8���/���8���
�������������������������������������������0.531.23
��������0.53����������������1.12����������������
�����3.11�����2.30���������0.20������������0.551.25
����������������������������1.15�����������1.02
�����3.15������������������������������������������
������������������������������������1.1����1.05
�����������������������������������������������1.32
�������������������1.32����1.21����1.13��������
Baccarat7KH�VLPXODWLRQ�UHVXOWV�IRU�EDFFDUDW�DUH�YHU\�GLIIHUHQW�IURP�WKH�RQHV�SUHYLRXVO\�
UHSRUWHG�IRU�WKH�VORW�JDPHV��7DEOH���VKRZV�WKH�GHVFULSWLYH�VWDWLVWLFV�RI�DYHUDJH�SD\EDFN�IRU�Q�ZDJHUV�RI���XQLW�HDFK�RQ�WKH�SOD\HU�KDQG��3HU�/XFDV��.LOE\���������WKH�WUXH�KRXVH�DGYDQWDJH�RI�WKH�SOD\HU�KDQG�EHW�LQ�EDFFDUDW�LV���������DQG�WKH�DYHUDJH�VLPXODWHG�SOD\HU�ZLQ�RI�Q�ZDJHUV�LV�YHU\�FORVH�WR���������IRU�HDFK�Q��PRUHRYHU��WKH�VLPXODWHG�VNHZQHVV�DQG�NXUWRVLV�YDOXHV�DUH�YHU\�FORVH�WR����7KH�KLVWRJUDP�SORWV��)LJXUH����DQG�WKH�QRUPDO�T�T�SORWV��)LJXUH�����RI�VLPXODWHG�DYHUDJH�SOD\HU�ZLQ�DOVR�LQGLFDWH�WKDW�WKH�SUREDELOLW\�GLVWULEXWLRQV�RI�WKH�DYHUDJH�SOD\HU�ZLQ�IURP�VLPXODWLRQ�DUH�TXLWH�FORVH�WR�WKH�QRUPDO�GLVWULEXWLRQ��7DEOH���VKRZV�WKDW�WKH�����FRQ¿GHQFH�OLPLWV�IRU�WKH�WUXH�SD\EDFN�SHUFHQWDJH�FRPSXWHG�XVLQJ�WKH�&/7�EDVHG�IRUPXOD�DUH�TXLWH�FORVH�WR�WKH�FRUUHVSRQGLQJ�YDOXHV�REWDLQHG�IURP�VLPXODWLRQV�
Conclusions and Limitations
,W�LV�JHQHUDOO\�NQRZQ�WKDW�VWDWLVWLFV�LQ�JHQHUDO�DQG�VWDWLVWLFDO�VLPXODWLRQ�LQ�SDUWLFXODU�GR�QRW�SURYLGH�SURRI�RI�D�K\SRWKHVLV�RU�D�UXOH�RI�WKXPE��VHH��IRU�H[DPSOH��(KQLQJHU�DQG�%URFNULHGH���������VLPXODWLRQ�FDQ�RQO\�EH�XVHG�WR�SURYLGH�HYLGHQFH�LQ�IDYRU�RI�D�UXOH�RI�WKXPE��RU�WR�GHPRQVWUDWH�WKDW�WKH�UXOH�RI�WKXPE�GRHV�QRW�DOZD\V�ZRUN��7KH�VLPXODWLRQV�XVHG�LQ�WKLV�SDSHU�FOHDUO\�VKRZ�WKDW�WKH�WKXPE�UXOH�RI�Q������IRU�WKH�&/7�WR�SURYLGH�D�JRRG�QRUPDO�DSSUR[LPDWLRQ�WR�WKH�SUREDELOLW\�GLVWULEXWLRQ�RI�WKH�VDPSOH�PHDQ�GRHV�QRW�ZRUN�LQ�WKH�FDVH�RI�D�KHDYLO\�VNHZHG�SUREDELOLW\�GLVWULEXWLRQ�VXFK�DV�D�W\SLFDO�VORW�JDPH��DQG�WKDW�WKH�QRUPDO�DSSUR[LPDWLRQ�LV�YDOLG�HYHQ�IRU�PRGHUDWH�VDPSOH�VL]HV�ZKHQ�WKH�JDPH�KDV�D�V\PPHWULF�SUREDELOLW\�GLVWULEXWLRQ�RI�SD\RXWV��H�J���WKH�WDEOH�JDPH�RI�EDFFDUDW��
&DVLQR�*DPHV�DQG�WKH�&HQWUDO�/LPLW�7KHRUHP
52 UNLV Gaming Research & Review Journal � Volume 17 Issue 2
7DEOH����'HVFULSWLYH�VWDWLVWLFV�RI�DYHUDJH�SOD\HU�ZLQ�IURP�Q���XQLW�ZDJHUV�RQ�WKH�SOD\HU�KDQG�LQ�EDFFDUDWn Minimum Maximum Mean Median Skewness Kurtosis
10025050010002000����
������������������������������������������
������0.2500������0.1100������0.0500
������������������������������������������
������������������������������������������
0.0010�����������������������������������
0.01000.0200���������������������0.0100
7DEOH����&RPSDULVRQ�RI�����FRQ¿GHQFH�OLPLWV�IRU�SD\EDFN�SHUFHQWDJH�IURP�Q���XQLW�ZDJHUV�RQ�SOD\HU�KDQG�LQ�EDFFDUDW�FDOFXODWHG�IURP�WKH�&/7�EDVHG�IRUPXOD��&/7�FROXPQ���DQG�WKH�VDPH�REWDLQHG�IURP���������VLPXODWLRQV��6,0�FROXPQ�n &/7 SIM
10025050010002000����
������������������������������������������
������0.1302������������������������
������������������������������������������
������0.1000������0.05000.03000.0200
53UNLV Gaming Research & Review Journal � Volume 17 Issue 2
)LJXUH����+LVWRJUDPV�RI�DYHUDJH�SD\EDFNV�IURP�6ORW�*DPH���IRU�Q�VORW�SXOOV��Q� ����������������������������DQG��������UHVXOWV�RI���������VLPXODWLRQV�
)LJXUH�����1RUPDO�T�T�SORWV�RI�DYHUDJH�SD\EDFNV�IURP�6ORW�*DPH���IRU�Q�VORW�SXOOV��Q� ����������������������������DQG��������UHVXOWV�RI���������VLPXODWLRQV�
&DVLQR�*DPHV�DQG�WKH�&HQWUDO�/LPLW�7KHRUHP
�� UNLV Gaming Research & Review Journal � Volume 17 Issue 2
)LJXUH����+LVWRJUDPV�RI�DYHUDJH�SD\EDFNV�IURP�6ORW�*DPH���IRU�Q�VORW�SXOOV��Q� ����������������������������DQG��������UHVXOWV�RI���������VLPXODWLRQV�
)LJXUH����1RUPDO�T�T�SORWV�RI�DYHUDJH�SD\EDFNV�IURP�6ORW�*DPH���IRU�Q�VORW�SXOOV��Q� ����������������������������DQG��������UHVXOWV�RI���������VLPXODWLRQV�
55UNLV Gaming Research & Review Journal � Volume 17 Issue 2
)LJXUH����+LVWRJUDPV�RI�DYHUDJH�SD\EDFNV�IURP�6ORW�*DPH���IRU�Q�VORW�SXOOV��Q� ����������������������������DQG��������UHVXOWV�RI���������VLPXODWLRQV�
)LJXUH�����1RUPDO�T�T�SORWV�RI�DYHUDJH�SD\EDFNV�IURP�6ORW�*DPH���IRU�Q�VORW�SXOOV��Q� ����������������������������DQG��������UHVXOWV�RI���������VLPXODWLRQV�
&DVLQR�*DPHV�DQG�WKH�&HQWUDO�/LPLW�7KHRUHP
�� UNLV Gaming Research & Review Journal � Volume 17 Issue 2
)LJXUH����+LVWRJUDPV�RI�DYHUDJH�SD\EDFNV�IURP�6ORW�*DPH���IRU�Q�VORW�SXOOV��Q� ����������������������������DQG��������UHVXOWV�RI���������VLPXODWLRQV�
)LJXUH����1RUPDO�T�T�SORWV�RI�DYHUDJH�SD\EDFNV�IURP�6ORW�*DPH���IRU�Q�VORW�SXOOV��Q� ����������������������������DQG��������UHVXOWV�RI���������VLPXODWLRQV�
��UNLV Gaming Research & Review Journal � Volume 17 Issue 2
)LJXUH�����+LVWRJUDPV�RI�DYHUDJH�SOD\HU�ZLQ�IRU�Q�ZDJHUV�RI���XQLW�RQ�WKH�SOD\HU�KDQG�LQ�EDFFDUDW���Q� ����������������������������DQG��������UHVXOWV�RI���������VLPXODWLRQV�
)LJXUH������1RUPDO�T�T�SORWV�RI�DYHUDJH�SOD\HU�ZLQ�IRU�Q�ZDJHUV�RI���XQLW�RQ�WKH�SOD\HU�KDQG�LQ�EDFFDUDW���Q� ����������������������������DQG��������UHVXOWV�RI���������simulations.
&DVLQR�*DPHV�DQG�WKH�&HQWUDO�/LPLW�7KHRUHP
�� UNLV Gaming Research & Review Journal � Volume 17 Issue 2
)LJXUH������3ORWV�RI�WKH�&/7�EDVHG�IRUPXOD�DQG�VLPXODWHG�FRQWURO�OLPLWV�IRU�WKH�IRXU�VORW�JDPHV�DQG�QXPEHU�RI�VORW�SXOOV�� ����������������������������DQG������
)LJXUH������3ORWV�RI�WKH�&/7�EDVHG�IRUPXOD�DQG�VLPXODWHG�FRQWURO�OLPLWV�IRU�WKH�SOD\HU�KDQG�EHW�LQ�EDFFDUDW��DQG�QXPEHU�RI�KDQGV�SOD\HG� ����������������������������DQG������
��UNLV Gaming Research & Review Journal � Volume 17 Issue 2
Appendix A
3UREDELOLW\�GLVWULEXWLRQV�RI�WKH�IRXU�VORW�JDPHV
3$<287�)25���&5(',7�:$*(5
(9(17 3UREDELOLW\ ����*DPH ����*DPH ����*DPH ����*DPH
123�5����10111213��15��������20212223��25��������30313233��35��������������������
������������������������������������������������������������������������0.000013������������������������0.0013150.000110��������0.0000530.000051����������������������������������������0.0000100.000001������������������������������������������������������������������������0.000013������������������������0.0013150.000110����������������0.000051����������������
1113�����151510102020����100100����100100250
1100022225�������1020������������
1223�555551112102020������������100100300
1100022225�������1020������������
123�5555551511102020������������100100250
1100022225�������1020������������
2335�������10102020������������100100250
1100032225�������1020������������
&DVLQR�*DPHV�DQG�WKH�&HQWUDO�/LPLW�7KHRUHP
�� UNLV Gaming Research & Review Journal � Volume 17 Issue 2
Appendix A
3UREDELOLW\�GLVWULEXWLRQV�RI�WKH�IRXU�VORW�JDPHV
3$<287�)25���&5(',7�:$*(5
(9(17 3UREDELOLW\ ����*DPH ����*DPH ����*DPH ����*DPH��������50515253��55������������������������������������������
0.000003��������0.0000030.0000100.000001��������������������������������0.001232��������������������������������0.000012��������������������������������0.000115����������������0.000051����������������0.000003��������0.0000030.0000100.000001��������
�050501502502222�����151510102020������������1001002502500
��50501502502222��������102020������������1001002502500
��5050150250222223333��10102020������������1001002502500
��50501502501222�55����10102020������������1001002502500
References%DXHU��+HLQ]���������3UREDELOLW\�7KHRU\��9ROXPH����RI�'H�*UX\WHU�6WXGLHV�LQ�
0DWKHPDWLFV��:DOWHU�GH�*UX\WHU�3XEOLVKLQJ�
ýLVDU��3HWDU�DQG�ýLVDU��6DQMD�0DUDYLü���������6NHZQHVV�DQG�.XUWRVLV�LQ�)XQFWLRQ�RI�6HOHFWLRQ�RI�1HWZRUN�7UDI¿F�'LVWULEXWLRQ�$FWD3RO\WHFKQLFD+XQJDULFD�9RO�����1R�������������������
'DYLGVRQ��,���DQG��$PLQLDQ��0����������8VLQJ�WKH�&HQWUDO�/LPLW�7KHRUHP�IRU�%HOLHI�1HWZRUN�/HDUQLQJ��,Q�7KH��WK�$UWL¿FLDO�,QWHOOLJHQFH�DQG�0DWKHPDWLFV�6\PSRVLXP�
'HYRUH��-D\�/����������3UREDELOLW\�$QG�6WDWLVWLFV�)RU�(QJLQHHULQJ�$QG�7KH�6FLHQFHV��&HQJDJH�/HDUQLQJ������
(WKLHU��6�1��DQG�/HYLQ��'DYLG�$����������2Q�WKH�IXQGDPHQWDO�WKHRUHP�RI�FDUG�FRXQWLQJ��ZLWK�DSSOLFDWLRQ�WR�WKH�JDPH�RI�WUHQWH�HW�TXDUDQWH��9RO���������������
��UNLV Gaming Research & Review Journal � Volume 17 Issue 2
(KQLQJHU��'RXJODV�DQG�%URFNULHGH��:D\QH����������'HFLVLRQ�%\�'HEDWH��,'($�3UHVV������
)HOOHU��:LOOLDP��������$Q�,QWURGXFWLRQ�WR�3UREDELOLW\�7KHRU\�DQG�,WV�$SSOLFDWLRQV��9ROXPH�,���UG�(GLWLRQ��:LOH\�
+DQQXP��5REHUW�&��DQG�&DERW��$QWKRQ\�1����������3UDFWLFDO�&DVLQR�0DWK���QG�(GLWLRQ��7UDFH�3XEOLFDWLRQV�
+DUULJDQ��.HYLQ�$��DQG�'L[RQ��0LNH����������3$5�6KHHWV��SUREDELOLWLHV��DQG�VORW�PDFKLQH�SOD\��,PSOLFDWLRQV�IRU�SUREOHP�DQG�QRQ�SUREOHP�JDPEOLQJ��-RXUQDO�RI�*DPEOLQJ�,VVXHV��9RO���������������
-RKQVRQ��5RJHU�:����������2SWLPDO�.HQR�6WUDWHJLHV�DQG�WKH�&HQWUDO�/LPLW�7KHRUHP��7HDFKLQJ�6WDWLVWLFV��9RO��������������
.LOE\��-���)R[��-����/XFDV��$�)����������&DVLQR�2SHUDWLRQV�0DQDJHPHQW���QG�(GLWLRQ��1HZ�<RUN��:LOH\������
/XFDV��$�)���.LOE\��-����������,QWURGXFWLRQ�WR�&DVLQR�0DQDJHPHQW��6DQ�'LHJR��*DPPD������
/XFDV��$�)���6LQJK��$�.����������(VWLPDWLQJ�WKH�DELOLW\�RI�JDPEOHUV�WR�GHWHFW�GLIIHUHQFHV�LQ�WKH�SD\EDFN�SHUFHQWDJHV�RI�UHHO�VORW�PDFKLQHV��$�FORVHU�ORRN�DW�WKH�VORW�SOD\HU�H[SHULHQFH��81/9�*DPLQJ�5HVHDUFK��5HYLHZ�-RXUQDO���������������
0D[ZHOO��0ROO\���������$�0DWKHPDWLFDO�3HUVSHFWLYH�RQ�*DPEOLQJ��7KH�0,7�8QGHUJUDGXDWH�-RXUQDO�RI�0DWKHPDWLFV��5HWULHYHG�RQ�)HEUXDU\����������IURP�KWWS��ZZZ�PDWK�PLW�HGX�SKDVH��8-0�YRO��LQGH[�KWPO
1HYDGD�*DPLQJ�&RQWURO�%RDUG���������*DPLQJ�5HYHQXH�5HSRUW��'HFHPEHU�������5HWULHYHG�RQ�0DUFK���������IURP�KWWS���JDPLQJ�QY�JRY�GRFXPHQWV�SGI��JB��GHF�pdf
2WW���/\PDQ�5���DQG�/RQJQHFNHU��0LFKDHO�7����������$Q�,QWURGXFWLRQ�WR�6WDWLVWLFDO�0HWKRGV�$QG�'DWD�$QDO\VLV��&HQJDJH�/HDUQLQJ������
5�&RUH�7HDP���������5��$�ODQJXDJH�DQG�HQYLURQPHQW�IRU�VWDWLVWLFDO��FRPSXWLQJ��5�)RXQGDWLRQ�IRU�6WDWLVWLFDO�&RPSXWLQJ��9LHQQD��$XVWULD����,6%1����������������85/�KWWS���ZZZ�5�SURMHFW�RUJ��
5XSSHUW��'DYLG���������6WDWLVWLFV�DQG�)LQDQFH��$Q�,QWURGXFWLRQ��6SULQJHU�����
6KDUPD��-�.����������%XVLQHVV�6WDWLVWLFV���QG�(GLWLRQ��3HDUVRQ�(GXFDWLRQ��,QGLD������
6KYHWVRYD��,�*����������6KDUSHQLQJ�RI�WKH�8SSHU�%RXQG�RI�WKH�$EVROXWH�&RQVWDQW�LQ�WKH�%HUU\�(VVHHQ�,QHTXDOLW\��7KHRU\�RI�3UREDELOLW\��,WV�$SSOLFDWLRQV��9RO����������553.
9HOXFKDP\��6XUHVK�.����������$�*UDSKLFDO�$SSURDFK�IRU�9HUL¿FDWLRQ�RI�WKH�&HQWUDO�/LPLW�7KHRUHP��0�6��7KHVLV��8QLYHUVLW\�RI�1HYDGD��/DV�9HJDV�
:HEVWHU��$OOHQ�/����������$SSOLHG�6WDWLVWLFV�IRU�%XVLQHVV�DQG�(FRQRPLFV��$Q�(VVHQWLDOV�9HUVLRQ��7KLUG�(GLWLRQ��,UZLQ�0F*UDZ�+LOO������
:LFNKDP��+DGOH\���������JJSORW���HOHJDQW�JUDSKLFV�IRU�GDWD�DQDO\VLV��6SULQJHU��1HZ�York.
&DVLQR�*DPHV�DQG�WKH�&HQWUDO�/LPLW�7KHRUHP