COLLECTION [SSN 0429 - 3460 C Om m I SA RAT À ['É NE R FR0301490 ÉTUDE pHÉNOMÉNOLOGIQUE ET MODÉLISATION DU COMPORTEMENT DU BAIN DE FUSION EN SOUDAGE TIG EN VUE D'UNE APPLICATION AU >44444CONTRÔLE DU PROCÉDÉ - ' ~~~~~par Francois-Xavier TISSOT DIRECTION DES TECHNOLOGIES AVANCÉES C E N TRE DT U DES E T D E R EC HE RC HE S S U R LE SMATÉERI1AU X DÉPA RTEME NT D ES P ROCÉ DÉ S 4 ~~~ET SY STÈM ES AVAN CS S ERVIC E D ES TEC HN IUES AVANCÉE S z J,,. ~ LABORATOIRE MODERNE DE SOUDAGE C EA a ca y 4~~~~~4 D 1R C T 1 N D E 1 4 R'4 T 1 AllirS ENT 1QU T TE N1Q 4 $IE
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C Om m I SA RAT À ['É NE R FR0301490
ÉTUDE pHÉNOMÉNOLOGIQUE
ET MODÉLISATION DU COMPORTEMENT
DU BAIN DE FUSION EN SOUDAGE TIG
EN VUE D'UNE APPLICATION AU
>44444CONTRÔLE DU PROCÉDÉ
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Francois-Xavier TISSOT
DIRECTION DES TECHNOLOGIES AVANCÉES
C E N TRE DT U DES E T D E R EC HE RC HE SS U R L E SMATÉERI1AU X
DÉPA RTEME NT D ES P ROCÉ DÉ S4 ~~~ET SY STÈM ES AVAN CS
S ERVIC E D ES TEC HN IUES AVANCÉE S
z J,,. ~ LABORATOIRE MODERNE DE SOUDAGE
C EA a ca y
4~~~~~4 D 1R C T 1 N D E 1 4 R'4 T 1
AllirS ENT 1QU T TE N1Q 4 $IE
RAPPORT CEA R 5808 - François-Xavier TISSOT
"ÉTUDE PHÉNOMÉNOLOGIQUE ET MODÉLISATION DU COMPORTEMENT DU BAIN DEFUSION EN SOUDAGE TIG EN VUE D'UNE APPLICATION AU CONTRÔLE DU PROCÉDÉ".
Résumé - Le Laboratoire Moderne de Soudage du Commissariat à lEnergie Atomique (CEA-CEREM/LMS)participe depuis plusieurs années à l'automatisation et à la robotisation des procédés de soudage. En particulier, unsystème d'asservissement du procédé TIG appelé "SYLVA-RC" a été développé pour compenser les effetsd'éventuelles perturbations ou de dérives en ajustant, en temps réel, les paramètres du procédé. La largeur endroitdu cordon, mesurée par analyse d'images, est ainsi maintenue à une valeur de consigne préalablement fixée.Pour chaque cas de soudage, les paramètres de réglage sont déterminés d'après les évolutions transitoires desdimensions du bain en réponse à une modification des conditions de soudage autour d'une position nominale (pointde fonctionnement). Toutefois, chacune de ces lois empiriques ne permettant pas d'interpréter ni de prévoir lesévolutions observées, un modèle de connaissance basé sur les équations de la physique est développé. Ce modèleest base sur la résolution analytique de l'équation de la chaleur appliquée au cas dune source à répartitiongaussienne d'énergie, se déplaçant à la surface d'une tôle d'épaisseur finie.Parallèlement, une approche numérique est réalisée au moyen du code par éléments finis MARCUS, afin devérifier que les effets des hypothèses adoptées sur la géométrie du bain (les mouvements de convection dans lebain, la chaleur latente de fusion et de solidification, et la dépendance en température des propriétésthermophysiques du matériau sont négligés) sont constants pour de petites variations autour du point defonctionnement.Il est alors montré que le comportement du bain autour du point de fonctionnement donné peut être simulésimplement à partir du modèle analytique limité au transfert de chaleur par conduction. Les conditions d'utilisationdu modèle sont optimisées à partir d'une étude paramétrique détaillée.Cette approche est validée expérimentalement en considérant différentes configurations de soudage de tôles d'acierinoxydable de faible épaisseur. En particulier, dans le cas d'une perturbation géométrique introduite sous la formed'une variation brusque de l'épaisseur de la tôle, le modèle prédit correctement le comportement transitoire du bainfondu.
1998 - Commissariat à lEnergie Atomique - FranceRAPPORT CEA R 5808 - François-Xavier TISSOT
"PHENOMENALOGICAL STUDY AND MODELLING 0F WELD BEHAVIOUR FOR THE CONTROL0F GTA PROCESS BY COMPUTER AIDED WELDING"
Summary - The CEA-CEREM/LMS has been working on automation of arc welding processes for years.Particularly, a computer aided welding (CAW) systemn called "SYLVARC' was developed to compensate theeffects of any eventual disturbance, by means of a real-time control of the welding parameters. Images analysis ofthe topside weld pool permits to maintain its width at a nominal value.For each welding case, the control parameters have to be determined by considering the transient changes in theweld pooî shape following a shift of the welding operating conditions around the nominal working setpoint.However, each corresponding empirical law do not allow any prediction nor any interpretation of the variationswhich are displayed. Thus, a theoretical model has been developed in this study. by using an analytical solution ofheat conduction equations in the case of a gaussian heat source, moving at constant speed at the surface of a thickplate.In paralleI, a numerical approach using the finite elements code MARCUS has been carried out to validate theassumption that the eventual effects which could come fromn the chosen hypothesis (convection flows in the melt,latent heat transfers and temperature-dependence of the thermo-physical properties of the material are neglected)are constant for small variations around the working setpoint.This has shown that the weld behaviour around the working setpoint is easily predicted by the analytical model ifrestricted to conduction heat transfers. The using conditions of the model have been optimised as a result of athorough parametric study.Experimental validations of the approach have been carried out focusing on the welding of stainless steel plates oflow thickness. Particularly, in the case of a sharp step in the plate thickness, there is a good agreement of tesimulation with the transient behaviour of the weld pool.
1998 - Commissariat à lEnergie Atomique - France
UNI VERSITE D'AIX-MARSEILLE
Institut Universitaire des Systèmes Thermiques Industriels
Thèse
présentée pour obtenir le grade de:
DOCTEUR DE L'UNI VERSITE D'AIX-MIARSEILLE
Spécialité: MECANIQUE-ENERGETIQUE
par
François-Xavier TISSOT
Etude phénoménologique et modélisation
du comportement du bain de fusion en soudage TIG
en vue d'une application au contrôle du procédé
Soutenue le 17 décembre 1997 devant la commission d'examen:
Thèse préparée au sein du CEREM/Laboratoire Moderne de Soudageau Centre d'Etudes de SACLAY du Commissariat à l'Energie Atomique
- Rapport CEA-R-5808 -
CEA SaclayDirection des Technologies Avancées
Centre d'Études et de Recherches sur les MatériauxDépartement des Procédés et Systèmes Avancés
Service des Techniques AvancéesLaboratoire Moderne de Soudage
ÉTUDE PHÉNOMÉNOLOGIQUE ET MODÉLISATIONDU COMPORTEMENT DU BAIN DE FUSION EN SOUDAGE TIG
EN VUE D'UNE APPLICATION AU CONTRÔLE DU PROCÉDÉ
par
François-Xavier TISSOT
- Juillet 1998 -
REMERCIEMENTS
Au terme de ce travail, il m 'est agréable de remercier toutes les personnes qui ont contribuéà son élaboration.
J'exprime ma profonde reconnaissance à Madame Diane de PR UNELE qui m 'a proposé cesujet et m 'a accepté dans son laboratoire. Je la remercie pour la confiance qu 'elle a sum 'accorder tout au long de ces trois années passées au sein du Service des TechniquesAvancées. Ces remerciements s 'adressent également à Monsieur Alain GA UTHIER dont lesnouvelles fonctions de chef du Laboratoire Moderne de Soudage l'ont amené à prendre encharge la responsabilité de cette thèse. Je le remercie pour sa confiance ainsi que pour lapriorité qu 'il a su accorder à ce travail. Je tiens à remercier tout particulièrement IsabelleTOSELLO qui a eu la lourde tache de me suivre et de m 'orienter dans mon travail tout enassurant le bon fonctionnement et le développement de 'activité de modélisation dont elleavait la responsabilité.
Ce travail de thèse a été réalisé en collaboration avec l'Institut Universitaire des SystèmesThermiques Industriels de Marseille. Je remercie Monsieur le Professeur MIARTIN,directeur du laboratoire UA 165, pour avoir accepté d 'être mon directeur de thèseuniversitaire et pour m 'avoir accueilli à 'occasion de dfférents sj ours dans sonlaboratoire. Je tiens également à remercier vivement Marc MEDALE pour m 'avoiraccompagné dans toute la partie numérique de ce travail. Sa compétence et les nombreuxconseils qu 'il a pu me donner auront permis de faire avancer ce travail de manière efficace.Je le remercie surtout pour ses qualités humaines et sa grande gentillesse.
Je tiens à remercier ici tous les membres du jury. J'exprime ma profonde gratitude àMonsieur le Professeur MARYA, de 'Ecole Centrale de Nantes, pour avoir accepté desuivre ce travail et d'en être un des rapporteurs. J 'exprime également mes plus vifsremerciements à Monsieur le Professeur LA URENT, de 'INSA de Lyon, pour avoir acceptéd 'être rapporteur ainsi que pour le temps qu 'il a consacré à la lecture de ce rapport. Mesremerciements s 'adressent également à Messieurs FABBRO, DELA UNA Y et OCCELLI pourtout Il'intérêt qu 'ils ont porté à ce travail ainsi que pour leur participation au jury.
Je remercie tous les agents du LMS qui ont été amenés, de près ou de loin, à participer à cetravail. Je tiens à remercier tout particulièrement Michel BARRAS pour tout ce qu 'il afait etpour la qualité de ces réalisations. Je le remercie surtout pour sa bonne humeur. Je tiens àremercier vivement Dan ièle A YRA UL T dont les compétences en langue an glaise m 'ont étégrandement utiles, pour sa confiance et son soutien sincère. Mes plus vifs remerciementss 'adressent également à Alain DILLET pour le temps qu 'il m 'a consacré et à FrançoisCASTILAN pour sa disponibilité et son efficacité. Je remercie également tous les autresmembres du laboratoire, Christophe CHAGNOT Arnaud DELAMAS, Pierre GRELNER, YannPERROT Michel MERCURJO, Stéphane POUPIN et Jean-Marie VAN CRAEYNEST pourleur aide respective ainsi que pour l'accueil chaleureux qu 'ils m 'ont réservé. Enfin, jeremercie vivement Marie-Lise LEONARD et Annie BLANCHARD pour leur extrêmegentillesse et pour leur aide efficace.
Merci à André et Julie pour leur action respective.
2
TABLE DES MIATIERES
R ESU M ..................................................................................
TABLE SM T ER S...............DES..............M........T........E.......E................
NOTATIONSS E ............................UTILISE........................ES.............
I.I T OD C I N......INT.................ODU................T.........ON.............I...... l
1. 1 ENJEU D'UNE MODÉLISATION EN SOUTIEN AU CONTRÔLE TEMPS REEL DU SOUDAGE .................. l
1.2 PRINCIPE DU CONTRÔLE DU PROCÉDÉ DE SOUDAGE: CAS DU SYSTÉME SYLVARC..................12
1.3 MODÉLISATION APPLIQUÉE AU CONTRÔLE DU PROCÉDÉ.......................................14
11.4 A C H ................DÉM ARCHE.................................................. 5...1
2. PROCESSUS THERMOPHYSIQUES EN SOUDAGE TIG ................................... 17
22. N RO U T O ..............NTRODUCTION....................................................1
2.2 RI C PED S UPGRIG ....NCIPE.............DU.......S.....UDAGE.............................7
2.3 REPRÉSENTATION DE L'APPORT D'ÉNERGIE ................................................ 20
2.3. Distribution énergétique de la source à la surface de la pièce ............................. 20
22.3. 1Ditrbu in e aDisittrier ie...ution........de.....la....densité..........d'énergie...............
2.3. 1.2 Caractéristiques d'une source à répartition gaussienne.......................................2 1
2.3.1.3 Validation de la représentation gaussienne................................................... 25
2.3.2 Rendement du procédé............................................................26
2.4 DIFFUSION DE LA CHALEUR PAR CONDUCTION THERMIQUE....................................27
2.4. 1 Etude dans un cas simplifié ........................................................ 27
2.4.2 Ecart de température maximal dans le bain............................................ 28
2.4.3 Temps caractéristique de diffusion de la chaleur par conduction thermique ................... 28
2.5 DIFFUSION DE LA CHALEUR PAR CONVECTION DANS LE BAIN FONDU ............................ 30
A N N EX ES ......................................................... 164................... 6
NOTATIONS
Symboles Définitions unités utilisées
coordonnées spatio-temporellesx,y, z coordonnées dans le repère cartésien fixe mmX~ YZ coordonnées dans le repère mobile (lié à la source) mmR distance radiale, telle que R-~'X-i- Y2-+Z2 (analyse 3D) mmr distance radiale réduite, telle que r='--+ Y' (analyse 2D) mmt temps s
conditions opératoires de soudageV vitesse de soudage cm. min-1
U tension de soudage Vj ~~~intensité du courant de soudage A
parc ~rendement du transfert énergétique sans unitéEp épaisseur de la tôle mm
Qs densité d'énergie ou énergie surfaciqueJ.nt0 temps caractéristique d'une source à répartition gaussienne s
a ~~~paramètre de répartition d'une source à répartition gaussienne mmk ~~coefficient de concentration d'une source à répartition gaussienne mm-,
)'o ~rayon de la source circulaire équivalente ou « rayon moyen » d'une mmsource à répartition gaussienne
rb ~~rayon conventionnel d'une source à répartition gaussienne mm
pertes thermiquesHg/oba/ coefficient d'échange thermnique global (rayonnemrnt +convection) W.M-2.OC-
Hrax coefficient d'échange par rayonnement W.m 2'. 0C-1&iP ~coefficient d'échange par convection (face supérieure de la tôle) W.m-2.OC-I
coefficient d'échange par convection (face inférieure de la tôle) WM2O-
caractéristiques thermophysiques du matériaup ~~~masse volumique kg.m--
chaleur massique J.kg ̀ OC-'
/k ~conductivité thermique W.m' ôC-I
a ~~~diffusivité thermique m 2
Tf température « de fusion » (en pratique température du liquidus) Oj3 ~~coefficient de dilation volumique OC
v vi~~~scosité dynamique m2 s
viscosité cinématique kg.s'. m'
d T gradient de tension de surface N. m-'CAH/at chaleur latente de fusion J.kg'
£ ~~~coefficient d'émissivité sans unité
Tsélection température de sélection des propriétés thermnophysiques o
températuresT(X, Y, Z, t) température du point de coordonnées (X,Y,Z) à l'instant t o
TO température initiale de la tôle o
TM température moyenne de la tôle o
caractéristiques géométriques du bain de fusionL m ax largeur maximale du bain de fusion en face endroit mm
Imax largeur maximale du bain de fusion en face envers nm
Long longueur du bain de fusion en face endroit nm
long longueur du bain de fusion en face envers mmFront distance au front avant mmLx largeur du bain à l'abscisse x dans le repére mobile mmXmax abscisse de largeur maximale (Lmax) mmL]OOO largeur maximale de l'isotherme 1 0000C mm
nombres sans dimensionPr nombre de PrandIt sans unité
Re nombre de Reynolds sans unité
Gr nombre de Grashof sanis unité
St nombre de Stanton sans unité
Pe nombre de Peclet sans unitéNU nombre de Nusselt sans unité
paramètres liés à la régulationK ~gain statique mm.A-'
T- constante de temps s
-6 3 constante de temps de la réponse du premier ordre s
fonctions mathématiqueserf fonction erreur
K ,KI .1 fonctions de Besselo
1o
1. INTRODUCTION
1.1 Enjeu d'une modélisation en soutien au contrôle temps réel du soudage
Le Laboratoire Moderne de Soudage du Commissariat à l'Energie Atomique (CEA) étudiedepuis plusieurs années des voies techniques susceptibles de permettre la robotisation desprocédés de soudage à lare. Dans ce contexte, un système d'asservissement du procédé TIGappelé « SYLVARC » a été développé. Ce système permet de compenser les effetsd'éventuelles perturbations ou de dérives pouvant intervenir au cours de l'opération desoudage. Ces perturbations sont d'origines diverses : elles peuvent être liées au dispositif debridage de la pièce soudée (pompage thermique), à la géométrie de la pièce (surépaisseur),elles peuvent également intervenir sous la forme d'une modification des conditions desoudage (fluctuation de la vitesse, par exemple), des conditions d'accostage (déformationsde la pièce).
Le principe de fonctionnement de ce système est basé sur la visualisation de la scène desoudage en face endroit. Un régulateur Proportionnel Intégral (Pl) placé dans la boucle decommande corrige en temps réel l'intensité du courant de soudage délivrée par le générateurafin de maintenir un paramètre observable, comme la largeur du bain par exemple, à unniveau de consigne préalablement fixé. Les paramètres de réglage du régulateur sontdéterminés expérimentalement pour chaque cas de soudage d'après les lois de variation dubain, en fonction d'une modification des conditions de soudage.
Dans le cas du régulateur PI. ces paramètres de réglage sont le gain statique qui caractérise lavariation roportionnelle de la réponse par rapport à l'entrée et la constante de tempsintégrale. Ces deux paramètres sont déterminés à partir de l'identification de la réponse dusystème à une sollicitation en entrée (réponse à un dirac, à un échelon ou à un signal d'entréeplus complexe).
Ace our, l'application du système SYLVARC, dans une configuration de soudage donnée,demande donc une connaissance aussi exacte que possible des lois de comportement du bainet, plus précisément, de l'évolution temporelle de largeur du bain, en réponse à unemodification des conditions de soudage autour de leur' valeur nominale (point defonctionnement). Cependant, une approche purement empirique des lois de comportement nepermet pas d'interpréter les phénomènes observés. Il apparaît alors indispensable de couplerl'approche expérimentale à une modélisation théorique du comportement du bain.
L'objectif de ce travail est ainsi d'établir un modèle de connaissance adapté à uneapplication au contrôle du procédé qui permette de décrire, d'une manière simplifiée, lecomportement du bain en régime permanent et en régime transitoire. Dans ce cadre lamodélisation permet de fournir une aide dans la détermination des paramètres de réglage ducontrôleur de régulation. Elle constitue également un outil de simulation du procédé trèsutile pour évaluer rapidement divers axes de développement du système de contrôle(recherche de nouveaux paramètres observables ou commandables, par exemple).
1.2 Principe du contrôle du procédé de soudage cas du système SYLVARC
Le développement actuel de l'automatisation des procédés de soudage est lié aux exigencesde qualité et de productivité de plus en plus marquées, ainsi qu'au développement denombreuses applications où l'intervention de l'homme est limitée voire impossible.
L'automatisation repose sur la reproductibilité du procédé et le maintien des paramètres decommande à des valeurs constantes. Cependant, toute variation survenant au cours del'opération de soudage est une source potentielle de perturbations. Quand ces perturbationssont identifiées ou anticipées, leurs effets peuvent être limités.
En pratique, il est souvent nécessaire de contrôler le bon déroulement de l'opération etéventuellement d'agir sur les paramètres de commande en temps réel. Dans certain cas,l'intervention de ' opérateur qualifié peut être remplacée par un système automatiquepermettant d'observer et d'analyser la situation réelle.
En effet, si l'homme est capable de suivre globalement le déroulement de l'opération et dedécider des actions nécessaires à sa bonne exécution, son appréciation ne peut s'effectuerque sur des effets significatifs et la compensation manuelle ne convient qu'à desperturbations lentes. De plus, la qualité de la soudure dépend alors de l'habileté et de lavigilance de l'opérateur qui effectue un travail qui peut être long et répétitif.
Pour réaliser une compensation de manière automatique, il convient d'intégrer une capacitéd'observation et une expertise analogue au savoir faire du soudeur qualifié dans un systèmequi peut réagir de manière certes moins polyvalente, mais plus rapide, plus précise et plusrégulière.
De ce fait, il convient de mettre en oeuvre une instrumentation qui peut prendre en compteune réalité qui n'est pas entièrement décrite par le seul enregistrement des paramètres decommande. On utilise pour cela, par exemple, des profiléromètres, des capteursthermographiques ou des caméras vidéo avec leurs optiques spécifiques, présentant chacunun domaine d'application privilégié.
L'adaptabilité du procédé consiste à agir sur les paramètres de soudage afin de garantir unesoudure de qualité optimale. En tout état de cause, pour réaliser cette adaptabilité, il faut,après avoir établi les conditions d'une observation adéquate, intégrer une connaissance desrègles de comportement de commande du procédé, de la même façon qu'un opérateuracquiert sa qualification.
D'une manière générale, les choix s'orientent actuellement vers une connaissance précise ducomportement du bain pour évaluer sur un joint les risques de défauts comme le manque depénétration, les caniveaux, les soufflures,... L'asservissement sur des dimensions précisessemble encore un peu prématuré aujourd'hui.
Sans entrer dans le détail, on peut signaler qu'il existe actuellement plusieurs voies derecherche mesure des oscillations du bain [AND94, BAR941, mesure optique dans levisible [PRU90, CHA94, DIL89, SUZ9I, PAT94, ZHA95I, mesure par triangulation laserdu cordon ou du bain B01941, mesure infrarouge autour du bain [D0U95, MAS92.
1 2
C0092], mesure par ultrasons [GRA95],... DOUMANIDIS propose un résumé complet desdifférentes démarches engagées au cours des vingt dernières années (tableau 1 -1).
Rescarchers Y'ear Mlethod Miodel Control Inputs Outputs Sensor Remarks
DorofeJd- 1982 GMAW 2nd order w/2 MPAC velocity back-bead infrared Measurabiity.Tomizuka- zeros temperature catisality.
Langari ____ ______ identification -Hardt-Garlows- 1985 GTAW non linear linear PI current. pool cross optical back- Fuli penetration. n-Bates. Weinert thermal velocit - section bead temperature a identification
Doumanidis- 1988 G MA W analvtical. multivariable double torch heaî-affected IIR pyromneiry Timeshared multi-Hardt FDM. exper, adoptive posser zone and camera torch configuration
tableau 1-1 récapitulatif des axes de recherche engagés sur le contrôle du procédé desoudage, d'après [DO U94]
Quelles qu'elles soient, ces différentes approches ont des objectifs analogues et cherchentessentiellement à évaluer le comportement du bain pour obtenir une profondeur depénétration constante. en évitant ou en prévoyant les défauts éventuels. Elles sont appliquéesgénéralement à un procédé spécifique du type TIG ou MJG. Des solutions différentesapparaissent quant au choix des paramètres mesurés, des paramètres de commande, et autype d'asservissement réalisé (tableau 1 - 1).
D'une manière générale, on définit trois types de paramètres les « observables », les« résultants » et les « commandables ». Ils sont reliés par des équations issues d'unemodélisation empirique ou théorique. Les paramètres résultants et les paramètres
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observables sont en général les variables à asservir. Les paramètres commandables sont lesvariables contrôlées et utilisées pour réaliser l'asservissement.
Dans le cas d'un système de visualisation optique par la face endroit tel que le systèmeSYLVARC, la largeur du bain, la position du front avant, la position de la torche sont, parexemples, des paramètres directement observables. Il est alors nécessaire de déterminerprécisément les relations de causes à effets entre les paramètres résultants et les paramètrescommandables, par le biais d'une modélisation théorique. Une démarche itérative peutensuite conduire à modifier le choix des paramètres utilisés et affiner les méthodes demesure et le scénario d'asservissement.
1.3 Modélisation appliquée au contrôle du procédé
Dans le cadre d'une application au contrôle du procédé, les modèles utiles sont de typestatique et de type dynamique. Les premiers sont utilisés pour la recherche du point defonctionnement (géométrie de bain à des conditions de soudage nominales données), alorsque les seconds, sont nécessaires pour analyser la compensation à des perturbations(régulation), à des changements de point de consigne (asservissement), à l'évolution dunsystème à par-tir d'un point de départ donné ou l'optimisation de paramètres et detrajectoires.
Selon J.M. FLAUS [FLA94], dans la catégorie des modèles dynamiques, on distingue d'unepart les modèles dits de connaissance » qui sont élaborés à partir des lois de la physique etdont l'objectif principal est d'expliquer un phénomène par une relation mathématique. Ilspermettent de reproduire le comportement du système réel en simulation sur un granddomaine de fonctionnement. D'autre part, on distingue les modèles dits « decomportement » ou « en boîte noire » qui sont des modèles empiriques linéaires dont lavalidité reste limitée à de petites variations autour du point de fonctionnement. Enfin, desmodèles intermédiaires, dits « en boîte grises », constituent un hybride entre les deux typesprécédents on peut les considérer comme des modèles de connaissance simplifiés.
D'une manière générale, en automatique, pour concevoir une loi de commande linéaireautour d'un point de fonctionnement, ou pour régler un régulateur de type PID, on peut selimiter à un modèle en boîte noire. Par contre. si l'on souhaite valider le schéma decommande en simulation, le système peut être simulé avec un modèle de type « deconnaissance » pour obtenir un comportement plus représentatif.
Dans notre cas, la démarche de modélisation analytique apparaît finalement comme uncomplément indispensable à l'approche expérimentale qui traite le comportement du procédéen « boite noire ». La modélisation analytique fondée sur l'analyse des phénomènesphysiques (modèle de connaissance) permet de comprendre en partie les lois qui déterminentle comportement du procédé et l'effet des variations des paramètres.
La solution analytique implique toutefois plusieurs hypothèses simplificatrices concernantles différents phénomènes physiques mis en jeu. Il est alors utile de débuter notre étude parune analyse thermophysique du problème afin d'évaluer l'importance relative des différents
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phénomènes concernés et de vérifier ainsi la légitimité des hypothèses adoptées dans lemodèle.
1.4 Démarche
Dans un premier temps, avant d'aborder la modélisation proprement dite. nous nousintéressons à l'analyse des principaux phénomènes thermo-physiques mis en jeu au cours del'opération de soudage. Cette analyse fait l'objet de la deuxième partie du rapport danslaquelle nous comparons, pour une configuration simplifiée, leurs influences respectives surle mode de transfert d'énergie.
La troisième partie du rapport est consacrée aux différentes solutions qui nous sont offertespour modéliser le transfert d'énergie en cours de soudage, que ce soit par une approcheanalytique ou bien par une approche numérique.
En raison des capacités de calcul des machines actuelles, la modélisation numérique estaujourd'hui communément employée. L'utilisation de codes de calculs adaptés permet eneffet d'obtenir assez rapidement une distribution des températures dans la pièce chauffée,tout en offrant la possibilité de considérer des configurations de soudage proches de laréalité. Cette méthode exige toutefois une grande rigueur dans la définition et dansl'évaluation des conditions initiales et des conditions aux limites du système considéré.
Malgré les nombreux avantages que peut apporter le calcul numérique à la simulation dubain de fusion, il est plus intéressant, dans un premier temps, de considérer une approchesimplifiée en utilisant les expressions analytiques du transfert de chaleur. L'intérêt d'une telledémarche est double. D'une part, la simplicité relative des équations obtenues autorise leurprogrammation sur du matériel informatique d'usage courant de type PC, aisémentintégrable dans une chaîne de contrôle. D'autre part, bien que nécessitant un grand nombred'hypothèses simplificatrices, la résolution analytique permet de maîtriser une partie del'aspect phénoménologique du problème (établissement d'un modèle de connaissance),facilitant ainsi l'interprétation et la critique des résultats obtenus.
Le principe de la modélisation analytique du soudage peut se résumer de la façon suivanteil s'agit d'un modèle thermique dans lequel on identifie l'enveloppe du bain de fusion à uneisotherme dont la température est supposée proche du liquidus de l'alliage considéré. Lemodèle que nous utilisons est basé sur la résolution de l'équation de la chaleur appliquée aucas d'une source impulsionnelle à répartition gaussienne d'énergie imposée à la surface d'unsolide semi-infini. L'application du principe de superposition permet de simuler alors ledéplacement d'une source continue. L'application de la méthode des sources/images permetde prendre en compte l'épaisseur finie de la tôle et les effets de bord sur l'axe transversal.
En choisissant l'approche analytique. nous abordons le problème en admettant quel'influence des hypothèses adoptées dans le modèle est constante pour de petites variationsautour d'un point de fonctionnement. On ne considère donc pas, dans un premier temps, lesmouvements de convection dans le bain, 'énergie absorbée ou libérée au cours deschangements de phase ainsi que la dépendance en température des propriétés thermo-
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physiques du matériau. Les effets respectifs de ces hypothèses simplificatrices sur lecomportement du bain sont étudiés à par-tir d'une approche numérique.
Cette approche numérique est réalisée à l'aide du code par éléments finis MARCUS. Nousabordons le problème à travers une analyse tridimensionnelle purement conductive, c'est àdire sans prendre en compte les mouvements de convection dans le bain, et une analysebidimensionnelle dans laquelle les transferts par conduction thermique et convection sontconsidérés.
La validation du modèle est réalisée dans un cas de référence correspondant au soudage d'unacier inoxydable de faible épaisseur. Il s'agit de confronter les résultats obtenus aux mesuresexpérimentales de la géométrie du bain en régime permanent, aux lois de comportement dubain dans les régimes permanent et transitoire ainsi qu'au champ de température au sein del'ensemble de la pièce soudée.
La quatrième partie du rapport présente les différentes mesures de température et dedimensions du bain, ainsi que les principaux résultats utiles à la validation du modèle. Laconfrontation du modèle aux résultats expérimentaux fait l'objet de la cinquième partie durapport. Dans cette même partie sont discutées les valeurs adoptées pour chaque paramètredu modèle, qu'il soit d'origine physique ou mathématique. En effet, l'expression analytiquedu champ de température fait appel à un certain nombre de paramètres physiques ouparamètres de calcul, dont on ne maîtrise pas de manière précise les valeurs numériques.Nous présentons donc des solutions pour, soit s'affranchir des paramètres en question, soitpréciser la valeur à prendre en compte dans la modélisation.
Enfin, nous terminons ce travail en considérant le cas d'une perturbation introduite sous laforme d'une variation de l'épaisseur de la pièce soudée. L'objectif poursuivi ici est triple. Laconfrontation modèle/expérience doit permettre de mettre en évidence l'apport d'un systèmede contrôle du procédé pour maintenir un niveau de qualité préalablement défini du cordonde soudure. Du point de vue de la modélisation, elle permet de vérifier l'adaptation dumodèle thermique à une variation de l'épaisseur de l'éprouvette d'essai. Enfin, cetteconfiguration de soudage permet d'envisager de nouveaux paramètres d'observation dans lecadre di, développement du système de contrôle.
2. PROCESSUS THERMOPHYSIQUES EN SOUDAGE TIG
2.1 Introduction
Ce chapitre est consacré, à partir d'une analyse très simplifiée, à l'étude des principauxprocessus thermo-physiques mis en jeu au cours du soudage par le procédé TIG, ou plusgénéralement lors de la fusion d'un volume de métal sous l'action d'un arc électrique. Uneanalyse phénoménologique du problème est essentielle dans la mesure où la qualité dutransfert de chaleur entre l'arc électrique, le bain, et la partie solide détermine en grandepartie la morphologie et le comportement du bain de soudage. Dans le cadre dudéveloppement d'un modèle de connaissance adapté à la problématique du contrôle duprocédé, il est nécessaire d'établir quels sont les processus qui régissent principalement letransfert d'énergie et quelles hypothèses on peut adopter.
Après avoir décrit le principe du procédé TIG, la première partie de ce chapitre aborde lamanière d'envisager l'apport énergétique dans un modèle, aussi bien du point de vue de ladistribution de l'énergie dans la source que du rendement du transfert énergétique. Unedeuxième partie analyse plus précisément les différents mécanismes de transferts de chaleurdans et hors du bain de soudage et compare la contribution de chaque processus dans le casd'une configuration simplifiée d'un bain hémisphérique. La dernière partie présente unemise en équation des phénomènes à considérer dans le modèle.
2.2 Principe du soudage TIG
Le premier brevet du procédé TIG (Tungsten Inert Gas) a été déposé en 1924 par DEVERS etHOBART aux Etats-Unis. La Northrop Aircraft Corp l'utilise dès 1942 pour le soudage desièges d'avion en alliage de magnésium. Pendant la seconde guerre mondiale, son emploi estétendu au soudage d'alliages légers utilisés en aéronautique. Le procédé TIG est introduit enFrance par la SAF à partir de 1948.
Le principe du procédé TIG consiste à établir un arc électrique entre une électrode réfractaireet la pièce à souder sous la couverture d'un gaz inerte qui assure simultanément la protectionde l'électrode et de la zone fondue contre l'oxydation par l'air ambiant. Les gaz deprotection les plus souvent utilisés sont l'argon, l'hélium ou un mélange des deux.
Le soudage TIG est un procédé de soudage dit par fusion. Il consiste à former un bain fonduqui se solidifie pour former une jonction solide constituant la soudure. Selon les casd'application, les pièces peuvent être soudées en utilisant un supplément de matière apportéesous la forme de fil ou de baguette. Si cet apport est de même composition que le métal debase, nous parlons de soudage homogène;- dans le cas contraire, il s'agit de soudagehétérogène.
Dans le cas du procédé de soudage à l'arc, l'énergie calorifique provient du plasma résultantde l'arc électrique formé entre deux électrodes la pièce à souder est chargée positivement(anode) et l'électrode en tungstène négativement (cathode).
17
L'arc ainsi formé est constitué d'électrons et de particules lourdes comme des ions ou desatomes neutres du gaz de protection et d'éléments métalliques provenant des électrodes. Legaz ionisé a une conductivité électrique élevée, ce qui permet le passage d'un courant.L'échauffement par effet Joule ainsi produit, maintient le gaz dans un état ionisé et doncconducteur, permettant l'entretien de l'arc. La conductivité électrique du plasma étantétroitement dépendante de la température, l'arc est maintenu dans une zone étroite entre lacathode et l'anode (figure 2-1).
cahode
zoneliquide aoe
figure 2-1 schéma de principe du soudage TIC
L'arc se décompose en trois régions distinctes (figure 2-2) la région cathodiqueimmédiatement adjacente à la cathode, la colonne de plasma, et la région anodique adjacenteà la surface de l'anode. Les régions cathodique et anodique ont une épaisseur proche de0. 1 mm. tandis que celle de la colonne de plasma est de l'ordre de quelques millimètres.
. Cinlea
-t.10 nn, ionch.1
figur 2-2on atructuedelacéctiu
Au point cathodique, région très chaude de l'électrode, des électrons sont émisthenmiquemrent. A partir de ce point, les électrons présentent des trajectoires divergentes quise dirigent vers l'anode. La for-te divergence du courant à la cathode induit une augmentationsignificative des forces électromagnétiques (forces de Lorentz) qui pilotent ainsi le fluxcathodique. Un écoulement de gaz à forte vitesse s'effectue alors sur la surface anodique. Leplasma rencontre la surface du métal en agissant à la fois comme un flux de chaleur sur lasurface et une source non uniforme de courant à travers le métal de base. La combinaison duflux cathodique et de l'effet joule contribue au transfert par convection de la chaleur et d'uneforce de pression sur la surface de l'anode. A l'anode les électrons sont condensés, restituantainsi une énergie proportionnelle à la fonction de travail caractéristique du matériauanodique. La contribution électronique à l'apport de chaleur sur l'anode est de 70 % du fluxthermique total.
Dans le cas du soudage TIG, le bain de fusion peut être considéré comme un certain volumede métal à l'état liquide, éventuellement alimenté par un apport de matière extérieur sedéplaçant linéairement entre les deux parties solides que sont les pièces à joindre. Il estlimité à l'avant par la surface isotherme de fusion du métal de base et à l'arrière parl'interface liquide/solide résultant de son avancement. Les transferts de chaleur parconduction et convection pilotent la géométrie de ce bain de fusion.
Le passage d'un courant à travers le bain de fusion induit une augmentation du champ deforce électromagnétique et intéragit avec le champ magnétique induit. Ce champ de forceproduit un courant de circulation dans le bain. Plus précisément, les mouvements du bainrésultent de la combinaison des deux forces volumiques. En surface de la zone fondue, legradient de tension de surface et la force de poussée exercée par l'impact du plasmacontribuent également aux écoulements dans le bain. Dans certains cas extrêmes, le gradientde tension de surface et la poussée d'arc peuvent être aussi à l'origine d'une déformation dela surface libre. A ces phénomènes, s'ajoutent des effets secondaires sous la forme de pertesde chaleur soit par conduction, convection et/ou radiation ou bien de pertes massiques parévaporation à l'interface arc/bain (figure 2-3)
1 9
' Cathode(-Colonne d'arcraatndulaa
pertes radiatives AjEpreaatives et évaporation
convection
fusion - solidificationcon duction
Anode (+)perles radia tiveset convectives
figure 2-3 principaux mécanismes de conversion de l'énergie en procédé TIG
2.3 Représentation de l'apport d'énergie
La grande majorité des procédés de soudage fait intervenir une source de chaleur concentrée,le plus souvent en mouvement, dont la nature et la puissance spécifique vont déterminer lespossibilités pratiques d'utilisation. On peut montrer que le processus de diffusion de lachaleur dans la pièce soudée dépend directement des caractéristiques de la source de chaleur,de la puissance calorifique transmise et de sa répartition à la surface.
Dans cette partie, nous rassemblons les différentes écritures mathématiques susceptibles dereprésenter l'apport énergétique à la pièce, et qui sont utilisables comme conditions auxlimites d'une simulation thermique.
2.3.1 Distribution énergétique de la source à la surface de la pièce
Le flux de chaleur atteint sa plus grande densité dans la partie centrale de la zone chauffée(tache anodique ou cathodique) où se produit un dégagement direct de l'énergie calorifiquedans les couches superficielles du métal par suite du bombardement électronique ou ionique.
Dans la région voisine de cette zone active, le métal est chauffé principalement parrayonnement de la colonne d'arc et par échange convectif avec les gaz chauds de l'arc. Ladensité du flux calorifique diminue alors avec l'éloignement du centre de la tache. On peutsupposer que la densité de flux calorifique suit en fait la loi de répartition des probabilités deGauss [RYK61IJ. Pour la suite. nous prenons la convention d'appeler « source gaussienne »une source thermique axisymétrique dont la répartition radiale d'énergie suit une loigaussienne.
2.3. 1. 1 Distribution de la densité d'énergie
Pour un milieu monodimensionnel, et dans le cas d'une source perpendiculaire à la piècechauffée, l'expression mathématique générale de la densité de probabilité (ou densité derépartition) de la loi de Gauss est de la forme
f(x)= 1 k 1 X _M (2-1)
où les paramètres m et o sont respectivement la moyenne et l'écart-type la fonction f(x) surl'intervalle [-c +ce].
En généralisant l'expression précédente à un milieu à deux dimensions, la densité derépartition d'une source gaussienne axisymétrique (de moyenne nulle, m=O) et continue peuts'écrire, en posant a = 2
Q,(*) (aK) Rx~ R*j (2-2)
avecQla quantité de chaleur totale reçue par la pièce
R *, la distance à l'origine (R *2 X 2 + Y-')
a, le paramètre de répartition de la source homogène à une longueur (a-'= 2 o-2).
2.3.1.2 Caractéristiques d'une source à répartition gaussienne
2.3.1.2.1 Coefficient de concentration k
Dans la littérature, la densité de répartition d'une source gaussienne peut se retrouverexprimée d'une manière différente selon les auteurs. Ainsi, divers paramètres peuvent êtreemployés pour caractériser la distribution de la source calorifique. On définit par exemple lecoefficient de concentration de la source k tel que la distribution de énergie s'écrit sous laforme :
RYKALIN RYK57] a démontré que le flux thermique maximal s'écrit:
q ~max = -q(247r
21
où le terme q représente la puissance efficace de la source, telle que
q = î7,r.Ul (2-5)
La combinaison des expressions (2-2), (2-3) et (2-4) permet de déduire une relation simpleentre le coefficient de concentration k et le paramètre de répartition CC
k (2-6)
RYKALIN [RYK71 ] propose quelques valeurs numériques du coefficient de concentration kcorrespondant à différentes configurations de soudage. Notons, par exemple :
• Electrode carbone/tôle acier/soudage à l'air libre k = 1 à 3.5 cm-2
• TG/tôle acier k=6 à 14 cm- 2
• MIG/tôle acier et aluminium k = .26 à 1.32 cm-2
2.3.1 .2.2 Rayon conventionnel rb
La répartition gaussierme étant mathématiquement infinie, il est d'usage de se fixer un rayonlimite rb, également appelé rayon conventionnel de la tache calorifique, tel que ce rayondéfinisse un cercle limite dans lequel l'existence réelle du flux thermique puisse être mise enévidence. Par convention, la distance limite rb est fixée telle que le flux thermique q'rb)représente 5 %du flux maximal qs.max situé au centre de la tache calorifique.
Ainsi :
Or, nous avons vu également à l'équation (2-3Î) que la répartition du flux peut s'écrire:
q, (rb)= qs maxexp(- k. ',) (2-8)
Par identification de ces deux expressions, le rayon r prend finalement la valeur:
_ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2-9)
22
La répartition énergétique de la source en fonction du rayon limite rb s'écrit alors
q~~(x,) -3q ________YI (2-10)
2.3.1.2.3 Rayon de la source circulaire équivalente ro
Une source à répartition gaussienne peut être assimilée à une source circulaire« équivalente » définie par son rayon r et sa densité qs.max constante sur le diamètre(figure 2-4).
Is Max
q Max*eXp(-1)
2 r, ~ 2r
figure 2-4 représentation d'une source surfacique à répartition gaussienne
Par définition, la densité de flux, s'écrit :
q = qs. max Surface =qs. max z ro (2-11)
Or. d'après l'équation (2-4):
qa =k (2-12)
23
Le rayon r s'exprime alors en fonction du coefficient de concentration par la relation :
r,> - ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~(2 13)
2.3.1.2.4 Constante de temps t0
Il est courant de définir la répartition du flux calorifique à partir d'une constante de tempsque nous notons dans la suite t. En effet, une source calorifique ponctuelle impulsionnelleQ appliquée à l'instant z - au solide semi-infini engendre, à l'instant t O . le champ detempérature défini par l'équation
T(x, y, z, t - To - ~ 1exp- ~ j (-4
Il lui correspond une densité de répartition calorifique Q5 (R), telle que
QI)=(4ra >/2exÇ-Q~ (2-15)
On constate que les expressions (2-15) et (2-2) sont identiques, dans un milieutridimensionnel, si l'on pose
a = 4at, (2-16)
La constante de temps t est donc définie par l'expression suivante
a 2 ~~~~~~~~~~~~~~~~~(2-17)4a
A partir de la relation (2-6) on peut également exprimer la constante de temps en fonction ducoefficient de concentration k
10 a (2-18)
24
2.3.1.3 Validation de la représentation gaussienne
TSAI et EAGER [TSA83] ont étudié précisément le problème de la concentration de lasource et de son influence. Leurs résultats expérimentaux ont été obtenus grâce à l'utilisationde la méthode établie par NESTOR [NES67] SCI-63].
La procédure consiste à réaliser un arc électrique sur une anode en cuivre refroidie par eau età mesurer le flux de chaleur dans différentes sections. Il est apparu que la distributionobtenue au cours de ces essais n'était pas tout à fait gaussienne. Une régression par laméthode des moindres carrés en imposant la conservation de la quantité de chaleur totale, apermis cependant de remonter à une distribution gaussienne et à un paramètre de distributionnoté O*.
Ce paramètre de distribution opeut être relié au rayon moyen ro par la relation:
(Y (2-19)
La figure 2-5 montre l'évolution du rayon en fonction de la hauteur d'arc obtenue pour uneintensité de soudage de 1 00 A. Il apparaît que le coefficient de distribution u7 évoluelinéairement avec la hauteur d'arc entre 1.6 mm à 4 mm.
4
3.5 - . .
E 3
0 G-
~2
1.5
ii 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Hauteur d'arc (mm)
figure 2-5 évolution du paramètre de distribution cren fonction de la hauteur d'arcd'après [TSA83] (=100 A et angle d afûtage de l'électrode de 750)
25
A intensité constante, nous savons que la tension peut être reliée quasi linéairement à lahauteur d'arc, comme le montre la figure 2-6.
Hauteur (in)
8
7 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ..... ....... .. .
6~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ... .
5
4-
7 8 9 10 il12 13
Tension (V)
figure 2-6 évolution de la tension de soudage enfonction de la hauteur d'arc pour l'acier304L [CAL97]
Ces deux dernières figures nous indiquent que la concentration de la source de chaleur est unparamètre qui peut être relié linéairement à la tension de soudage. Dès lors, le rayon moyenro permet de distinguer le rôle de la tension dans l'apport de puissance P=UI . Ce point estabordé plus en détail dans le chapitre 5.
2.3.2 Rendement du procédé
Le rendement caractérise la part exacte de l'énergie, fournie par le générateur de soudage,qui est reçue par la pièce soudée. C'est un facteur très controversé dans la littérature. Lerendement dépend de nombreux paramètres métal de base, longueur de l'arc, nature etintensité du courant, vitesse de soudage, nature du gaz de protection,...
26
Les valeurs trouvées dans la littérature sont souvent différentes. Dans le cas du soudaged'acier doux, en procédé TIG continu, les valeurs du rendement sont comprises dans lesintervalles 0.3Î2 - 0.46 [CHR65], 0.45 - 0.75 [RYK57I et 0.55 - 0.70 LGHE79].
Les valeurs obtenues dépendent fortement des hypothèses adoptées dans l'expérimentationou dans les calculs. BSARINI [BSA89] observe que toutes les études qui considèrent lasource thermique comme ponctuelle donnent un rendement inférieur à 50 %. comme c'est lecas pour CHRISTENSEN CHR65] et NILES [NIL75]. Par contre, une source dont ladistribution est gaussienne aboutit à un rendement plus élevé, souvent compris entre 60 % et90 %.
Toutefois, dans le cadre d'un modèle de connaissance développé dans le contexte ducontrôle du procédé, la connaissance exacte du rendement n'est pas essentielle. Les lois decomportement du bain sont étudiées autour d'un point de fonctionnement parfaitementconnu tant du point de vue des conditions de soudage que de la géométrie du bain fondu.Aussi, un calcul inverse, réalisé sur la largeur du bain au niveau du point de fonctionnement,permet d'estimer une valeur de la puissance efficace. On admet alors que le « rendement »,ainsi estimé, reste constant pour de petites variations des paramètres de soudage autour dupoint de fonctionnement.
2.4 Diffusion de la chaleur par conduction thermique
2.4.1 Etude dans un cas simplIifié
De manière à simplifier le problème, plaçons-nous dans le schéma idéal d'un bainhémisphérique (figure 2-7), correspondant à la configuration du solide semi-infini avec unevitesse d'avance nulle ou très faible.
Dans le cas d'une source stationnaire, pour une tension de 9 volts et une intensité de120 ampères, appliquées sur une pièce de forte épaisseur en acier inoxydable, le bain liquidea un diamètre d'environ 8 mm. Nous admettrons ici que la puissance transmise à la piècecorrespond à 40 % de la puissance électrique fournie P=Ul, soit une puissance efficace de450 W.
27
Propriétés 304L (à 2000'C)1KJM751 Pefiace 450 W
Cp = 750 J.kg'.'C-p =6420 kg.rn' rayon 4mm
a3.986.10' m2.sI1
y- 0.006 kg.m-'.s-1p3= 10-4 001
Pr = 0.23
figure 2-7 modélisaion simplifiée d'un bain hémisphérique
2.4.2 Ecart de température maximal dans le bain
Les évolutions de température correspondant à un transfert par conduction pure dans le bainpeuvent être évaluées à partir de la loi de Fourier (un rappel théorique de la loi de Fourierainsi que de l'équation de la chaleur par conduction thermique est présenté en annexe 2-A).
En supposant un transfert de chaleur monodimensionnel, la puissance traversant l'enveloppedu bain liquide peut s'écrire
2)AT (-0q = -~,(27rr2 )(-0
r
Ce qui entraîne une variation de température de
AT= q (2-21)2 ?-ir
En adoptant une conductivité thermique de l'acier de 19Wm.C, la variation detempérature maximale dans le bain est de l'ordre de 950'C. Si l'on admet que l'enveloppedu bain est à la température liquidus de 1450'C, cela conduit à une température maximale aupoint d'application de la source de 2400'C.
2.4.3 Temps caractéristique de diffusion de la chaleur par conduction thermique
Il s'agit d'évaluer le temps nécessaire à un point, initialement à température ambiante etsitué à 4 mm de la source, pour atteindre la température de 1450'C. lorsqu'est appliquéeponctuellement au centre du bain une température de 2400'C.
En considérant le transfert de chaleur suivant une seule dimension, l'équation différentielle àrésoudre est de la forme suivante
ao- V2 (2-22)at
oÙ O = T - Tffl,/
La solution de l'équation est exprimée à l'aide de la fonction d'erreur. Elle s'écrit sous laforme :
T - T ( rle er (2-23)
En inversant cette solution, on obtient une expression du temps caractéristique deconduction:
udca r 2(2-24)
ar2.erf T T fajTiliale Tfiliale
Application numérique:.
Les paramètres utiles prennent les valeurs numériques suivantes:
T = 14500 CTiiiale - 20 0CTfnae = 24000 Cr = .004 ma = 4. 1 04M2.S-1
Le temps caractéristique du transfert par conduct un est de 7.3 secondes.
On peut obtenir une estimation plus rapide du temps caractéristique par conductionthermique en appliquant la relation simple
r2- (2-25)a
Cette expression est effectivement identique à la solution précédente (2-24) si la températureconsidérée Test égale à la moitié de la température finale Tfina/e.
29q
Application numérique:.
Pour une valeur de diffusivité thermique de 4.106 m2.sI., le temps caractéristique deconduction est de 4.0 secondes.
2.5 Diffusion de la chaleur par convection dans le bain fondu
2.5.1 Convection gravitationnelle
Les phénomènes de diffusion de l'énergie dans le bain de soudage sont décrits par leséquations de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de lénergie. Lesmouvements de convection contribuent au transport de l'énergie.
D'une manière générale. en convection libre, le mouvement est causé par la variation demasse volumique du fluide soumis à un champ de force (le champ gravitationnel, parexemple). On peut déterminer dans un premier temps la force JE (« poussée d'Archimède »)qui s<exerce sur une particule fluide de volume Si5' sous l'effet de la variation de massevolumique caractérisée par la relation
p= p41l-P(T- Tj] (2-26)
où flest le coefficient de dilatation volumique du métal.
Le module de la force 8F est donné par:
68F1 = (p - p.6.V. g (2-27)
Compte tenu de l'expression (2-26) il peut s'écrire
16FI =3p, T -T,,).5V.g (2-28)
On peut en déduire l'accélération prise par la particule fluide
y (T - T,,jg (2-29)
ainsi que le temps caractéristique associe
30
r r (-0gr(ivaiwiliI y - >, -3g. (T'- T )
Soit:
T gaviatinneler (2-31)graîiîimn'Ie 3.g.( T -T.
La vitesse correspondante peut alors s'exprimer par la relation:
Application numérique
Dans le cas de la configuration simplifiée évoquée au 2.4.1, l'apport d'énergie est réaliséponctuellement en surface du bain. En l'absence de tout mouvement convectif, lesisothermes sont de forme hémisphérique. La présence d'un gradient horizontal detempérature introduit un mouvement de convection libre.
Lorsque les particules fluides les plus chaudes sont amenées, par d'autres processus - laconvection Marangoni, par exemple (voir paragraphe 2.5.3) - à se déplacer vers le « bas »du bain, la convection gravitationnelle joue un rôle moteur supplémentaire pour« remonter » ces particules. Les temps et vitesse caractéristiques peuvent alors être estiméspar les relations (2-3 )1) et (2-3 2).
Plaçons-nous dans un plan horizontal situé au milieu du bain, à 2 mm sous la surface. Si l'onsuppose une variation linéaire de la température le long de l'axe vertical, au centre du bain,la variation de température AT à considérer vaut la moitié de l'écart maximal soit 45 0 C.L'application numérique avec les données du paragraphe 2.4.1 conduit alors à un tempscaractéristique de 0. 1 seconde.
2.5.2 Mouvements dus aux forces électromagnétiques
Le courant électrique entre dans le bain par sa surface ;, il est accompagné d'un champmagnétique. L'interaction du champ électrique et du champ magnétique engendre une forceélectromagnétique (force de Lorentz) qui agit sur les particules du métal liquide en créant unflux mobile.
L'influence des forces électromagnétiques engendrées par l'interaction entre l'inductionlocale et la densité de courant a été étudiée expérimentalement et théoriquement par denombreux auteurs AND78, CRA80, 0RE83Î, LAW7 , W007 1 . Le brassage engendré par
ces forces peut avoir une vitesse de déplacement importante : quelques centimètres parseconde pour des intensités de soudage de 1 00 à 200 A.
Une échelle des vitesses peut être obtenue à partir de l'équilibre forces d'inertie/forcesélectromagnétiques [SHE71]. Dans le cas d'un bain hémisphérique, les vitesses engendréespar les forces électromagnétiques seules peuvent être estimées par la relation
Ve 1rr ~2 (2-33)
oÙùPun etop sont respectivement la perméabilité magnétique et la masse volumique du métal.
Application numérique:.
Dans le cas de l'acier inoxydable, FAUTRELLE FAU85] propose une valeur de laperméabilité magnétique de 47.1- SI. En appliquant les valeurs numériques de laconfiguration du bain hémisphérique (paragraphe 2.4. 1), on obtient une vitesse Ve de l'ordrede 0.5 mm.s-1 , ce qui représente un temps caractéristique de 7.8 secondes.
2.5.3 Convection Marangoni
2.5.3.1 Tension de surface
La tension superficielle est à l'origine d'écarts de comportement d'un liquide ou d'un gazpar rapport aux lois de l'hydrostatique. Elle est liée à la cohésion de la matière (cohésioninterne et adhérence) et se caractérise par un accroissement de pression du côté de laconcavité.
Un gradient de tension de surface peut engendrer des mouvements de convection. Dans lecas où ce gradient de tension superficielle est le résultat des gradients de température, onparle de convection thermocapillaire. Si ce gradient de tension est du à la présence d'espèceschimiques avec des gradients de concentration, la convection est dite chimique.
Les mouvements du métal liquide par leurs effets de convection modifient la répartitionthermique dans le bain de fusion et donc la forme géométrique du cordon (en particulier lerapport entre la pénétration et la largeur). La bibliographie fait apparaître l'importance desmouvements du métal liquide sous l'effet des tensions superficielles et de leurs variationsspatiales (effet Marangoni) sur les caractéristiques géométriques de la zone fondue [HEI8 1,HE192, MIL90, BUR92, MAR93].
La figure 2-8 montre de quelle façon la tension superficielle du métal et le gradientthermique régissent la morphologie de la zone fondue.
3 2
dcy r->0 <__
dT dT<
T T T T T T
Tempqrature
Tension sperfÎcie11e
Mouvements du bain
forme de la zone fondue
figure 2-8 Influence du gradient de tension superficielle sur la forme du bain, d'après[B1N85]
Dans le premier cas, à droite de la figure, le gradient thermique de tension superficielle étantnégatif, le mouvement du liquide a lieu depuis le centre du bain de fusion vers les bords dela zone fondue ce qui entraîne la formation d'un bain large et peu profond. La températuredans l'axe central de l'arc étant plus élevée que sur les bords, le métal liquide situé dans cetaxe est alors doté d'une tension superficielle inférieure à celle du métal avoisinant, d'où unmouvement dc convection forcé avec transport de chaleur vers les bords du bain de fusion.
Dans le second cas, à gauche de la figure, le gradient thermique de la tension superficielleétant positif, le mouvement du métal liquide s'effectue depuis les bords vers le centre de lazone fondue et ce pour des considérations inverses à celles décrites précédemment. Un telmouvement du liquide sous l'influence de la tension superficielle favorise le transport de lachaleur générée dans l'arc vers la partie inférieure de la zone fondue, ce qui conduit à descordons plus profonds et moins larges.
Le gradient thermique de tension superficielle d'un élément est généralement négatif. Parcontre, en présence de certains éléments dits tenso-actifs, tels que le soufre par exemple, latension superficielle devient intimement tributaire de l'activité surfacique des élémentstenso-actifs et de leur tendance à ségréger préférentiellement à la surface. Une telleségrégation surfacique conduit à l'abaissement de la tension superficielle, car aux éléments
tenso-actifs sont associées des tensions superficielles inférieures, comme par exemple lesoufre par rapport au fer LSAH88]. Avec une augmentation de la température, les contraintesthermnodynamiques deviennent moins importantes, d'où une diminution de la tensionsuperficielle. Les mesures de la teneur en soufre effectuées sur un acier inoxydableconfirment que la tension superficielle est inversement proportionnelle à la teneur en soufre.(figure 2-9)
=2000 Dyne/cm
4\.
N.-s-
1200O Unités multipliées par 1000 35
Soufre
figure 2-9 relation entre la teneur en soufre et la tension superficielle du métal fondud'après BIN85]
2.5.3.2 Validation expérimentale
Une étude expérimentale détaillée, apriiqu~', au soudage TIG, a été réalisée par BINARD) etCHABENAT BlN85J afin de déterminer notamment le rôle de la tension superficielle sur lagéométrie du bain et plus particulièrement sur le rapport profondeur de pénétration surlargeur. Les essais ont été réalisés sur différentes nuances dacier inoxydable (304, 316 et
17LN), chaque nuance provenant elle même de différentes coulées. La mesure de la tensionsuperficielle est réalisée par la méthode dite de la « goutte posée ».
Les résultats obtenus (figure 2-9) montrent une étroite corrélation entre la valeur de latension superficielle et la teneur en soufre du métal testé ainsi qu'un effet très net de latension superficielle sur le comportement du bain en soudage TG plus la tensionsuperficielle est faible, meilleure est la pénétration.
34
2.5.3.3 Temps caractéristique du transfert de chaleur par con vection
Dans le cas d'une surface libre horizontale, les vitesses sont engendrées par la force decisaillement d'origine capillaire. Si l'on néglige la contribution de l'air ambiant, à l'interfacemétal liquide/air ambiant, le mouvement est décrit par l'équation différentielle suivante
aU,0 _ Td&Y (2-34)
az ôr dT
A partir de l'étude des contraintes de frottement créées par les variations de tensionsuperficielle, on estime la vitesse du métal liquide U,,0 par la relation [AND74, CRA82]
dcT êT ~~~~~~~~~~~~~~~(2-35)
Dans le cas du bain hémisphérique évoqué précédemment, on peut estimer l'ordre degrandeur de cette vitesse par la relation
AT ~~~~~~~~~~~~~(2-36)
VM'>IranPgoin ~_ r0 = Tp. r
On lui fait correspondre le temps caractéristique
Tlr (2-37)
Dans le cas de l'acier inoxydable de type 304L, le gradient de tension de surface prend la%,aleur dc&dT = -0.3>5.10--N.m-'.OC' ZAC801 Vri upplication numérique directe conduit àune vitesse Vmarangoni de 4. 102 m.S-1 et à un temps caractéristique de 0. 1 seconde. Le brassagedu métal liquide tend à homogénéiser la température dans la bain ce qui diminue fortementle gradient de température à considérer dans l'approximation. On montre cependant quel'influence du gradient de température est faible sur le temps caractéristique (0.3 s pour ungradient de 200'C)
2.6 Changement de phase
2.6.1 Effet de la chaleur latente
Lorsque la température de fusion est atteinte, il se crée une interface solide/liquide qui est lesiège d'absorption ou de libération d'une certaine quantité d'énergie (modification del'énergie de liaison inter-atomique entre la phase solide et la phase liquide). Cet échange
3 5
d'énergie se traduit par une discontinuité de l'enthalpie du matériau. Dans le cas de métauxpurs, cette évolution de 'enthalpie peut être très importante. Dans le cas d'alliagesmétalliques, cette transformation se déroule entre les températures de solidus et de liquidus.On rappelle que l'enthalpie d'un corps est reliée à la capacité calorifique par la relation
dH =CpdT~ dQ dT(2-38)dTi
MALMUTH [MAL74] a été l'un des premiers à étudier l'effet de la chaleur latente sur laforme du bain. Il précise que, dans le cas de l'acier, la chaleur latente représente entre 3 et50 % de l'énergie sensible nécessaire pour amener le métal à la température de fusion. Ilprécise que l'effet du changement de phase semble être négligeable sur la largeur del'isotherme de fusion, du moins lorsque le niveau de puissance est faible, alors qu'elle estplus importante sur la longueur du bain (figure 2-1 0).
NOLATENT 'T
TLEk. 0.O394
,\TORCH
figure 2-10: effet de la chaleur latente sur le bain de fusion d'après [MAL 74]
2.6.2 Estimation de la puissance échangée au cours du changement de phase
On peut estimer l'ordre de grandeur de la quantité d'énergie échangée au cours duchangement de phase afin de la rapprocher de la quantité totale d'énergie reçue par la piècesoudée.
Considérons une ligne de fusion au sein d'une tôle de 2 mm d'épaisseur en acier inoxydable.On adopte les conditions suivantes =75 A, U=9 volts, V=l0 cm/min, rendement de 50 00.
Les propriétés thermo-physiques du métal sont les suivantes p=776O kg/m3 etLXHia=247000 J/kg.
Dans de telles conditions, la largeur du cordon est de 6 mm. En admettant que la section dubain est droite (les largeurs envers et endroit sont quasiment identiques) et en supposant que
3 6
l'état quasi-stationnaire est atteint très rapidement après l'amorçage, on peut donner uneapproximation de la masse totale de matière fondue par unité de temps
Mtotale = px(Largeur x Epaisseur) x Vitesse
Soit un débit massique de :
MmoaIe = 7760 x (6. 10-3x 2.10-3) x .67.l0 i ~.55.O-4̀ kg.s-'
La puissance consommée au cours de la fusion du matériau sous forme de chaleur latentepeut s'écrire
Plaiente = Motale x AH,,,= 1. 55. 1 0`x 24700~t3 8.4 W
On peut rapprocher cette valeur à celle de la puissance calorifique reçue par la tôle.
Pefficace = U = 0.50 x9 x75 zz315 W
Finalement, la part de l'énergie absorbée puis restituée au cours du changement de phasereprésente environ 12% de l'énergie transmise à la pièce soudée.
2.7 Echanges avec l'environnement
2.7.1 Modification de l'équation de la chaleur
En général, la complexité des conditions aux limites sur la surface extérieure de la piècesoudée (les flux entrant ou sortant par convection et par rayonnement dépendent à la fois dela température superficielle et des conditions extérieures locales) ne permet pas de lesdéterminer exactement. Dans la pratique, on se contente d'admettre la loi approximative deNewton :
q PerIc H global, (T - T7, (2-39)
Dans l'hypothèse d'une tôle mince, l'équation de la chaleur s'écrit alors:
aT A -Tl0(2-40)pCp- -(X.VT) - q LHgl,b -(T ~
avec
Hg1obal coefficient global d'échange par la surface (W.m'.oC-')
A/8v surface d'échange par unité de volume (m-1)Tc ~température extérieure locale fictive (C)
3 7
Selon DENNERY et GUENOT [DEN62], l'influence des pertes surfaciques est très faiblepour des vitesses de soudage usuelles de 0.3 à cm.s-' dans le cas du soudage de l'acier.Pour une épaisseur supérieure à mm, les pertes peuvent généralement être négligées. Pourl'aluminium, cette épaisseur critique est d'environ 10 mm. KOU [K0U83] précise que pourl'aluminium et ses alliages, qui possèdent de bas points de fusion et de fortes valeurs deconductivité thermique, les pertes surfaciques sont inférieures à % de l'énergie fournie, cequi les rend négligeables.
2.7.2 Coefficients d'échange par convection gravitationnelle
La configuration de soudage étudiée se rapproche du cas d'une tôle horizontale portée à latempérature Tm placée dans l'air ambiant à 20'C. Lorsqu'il s'agit de la torche qui se déplaceà la surface de la tôle, le transfert de chaleur avec l'environnement se fait par rayonnement etpar convection naturelle.
D'une manière générale, la valeur du coefficient d'échange H par convection naturelle estdonnée par la relation:
H u. Â(2-41)L
où Nu est le nombre de NUSSELT, la conductivité thermique du milieu ambiant et L lalongueur caractéristique. Dans le cas d'une tôle rectangulaire placée en position horizontale,la règle est de prendre comme longueur caractéristique le quart du périmètre [MAS97].
Dans notre cas, nous allons distinguer deux coefficients d'échange différents selon que l'onconsidère le flux de chaleur ascendant ou le flux descendant.
Dans le cas du flux de chaleur ascendant, Mc ADAMS propose les corrélations suivantes[ADA61I]
Nu = 0.54(Gr. Pr)'/' si 105< <Gr < 2.10O7 (2-42)
et
Nu = 0.14(Gr.Pr)"3 si Gr < 05 (2-43)
Dans le cas du flux descendant, on a:
Nu.= 0.27(Gr. Pr)' (2-44)
38
où Pr est le nombre de PRANDTL, donné par la relation:
vPr = - (2-45)
a
avec a la diffusivité thermique du fluide et v sa viscosité dynamique.
Gr est le nombre de GRASHOFF. Il est donné par la relation:
13g(T,,, - TJ~L' (2-46)Gr=
où /3 est le coefficient de dilatation volumique du fluide, g est l'accélération terrestre, Tm estla température de la tôle, T. est la température du fluide, v est la viscosité dynamique et Lest la longueur caractéristique du problème.
La puissance calorifique évacuée par les faces supérieure et inférieure de la tôle est donnéepar les relations suivantes
qsp= -spsu(" iL) (2-47)
et
qinf H IffSiff(7 - i) (2-48)
où Sspet Sinf sont les surfaces d'échange supérieure et inférieure de la tôle.
2.7.3 Coefficient d'échange par rayonnement
Le coefficient d'échange par rayonnement peut être évalué à partir de l'expression de lapuissance évacuée
qrai S..OJ.S.( - T) = Hrai .S. (T,, - T) (2-49)
où S est la surface d'échange, Tm est la température de la tôle, T est la température dumilieu ambiant, est lémissivité du matériau, Hray est le coefficient d'échange parrayonnement et w) est la constante de Stefan-Boltzmann.
2.7.4 Coefficient d'échange global
Le transfert d'énergie global avec le milieu extérieur par rayonnement et convectionnaturelle peut s'écrire
= Hg/ObUIST,,- ) H, + 2 + 2in )S(T - T) (2-50)
2.7.5 Estimation d'une vitesse de refroidissement
On peut estimer la vitesse de refroidissement moyenne (chute de température par unité detemps) correspondant aux échanges avec le milieu extérieur à partir du bilan énergétiquesuivant :
dT ~~~~~~~~~~~~~~~(2-51)q'-"'= MC~ dt
où Mt est la masse de la tôle soudée, c'est à dire
M, p. S. E (2-52)
pO et CPsont respectivement la masse volumique et la chaleur massique du métal. Epestl'épaisseur de la tôle.
L'expression de la vitesse de refroidissement s'écrit alors
dT Hgiohjî.(Tii - T,) (2-53)
dt PcP.Ep
2.7.6 Alication numérigue
Nous adoptons les données suivantes:
Matériau acier 304LDimensions de la tôle 200x75x2 MM3Longueur caractéristique 140 mm (L=0.25xpérimètre)Coefficient d'émissivité 0.5
Les propriétés thermodynamiques de l'air sont choisies à la température moyenne entre latempérature de la tôle et la température du milieu environnant. Elles sont présentées enannexe 2-B. Les propriétés thermiques de l'acier sont choisies à la température moyenne dela tôle K1M751 (voir annexe 2-C).
40
Les résultats du calcul sont présentés dans le tableau 2-1 pour différentes valeurs de latempérature moyenne de la tôle
tableau 2-1 :résultats du calcul du transfert de chaleur avec le milieu extérieur
Les résultats présentés ici ne donnent qu'une estimation des coefficients d'échanges avec lemilieu ambiant. Il apparaît toutefois que l'échange radiatif est plus important que le transfertpar convection naturelle (2 à 4 fois supérieur selon la température moyenne considérée). Lecalcul est réalisé pour une température uniforme sur toute la géométrie considérée. Dans laréalité, compte tenu des niveaux de température atteints en cours de soudage, les pertes parrayonnement sont, localement, beaucoup plus importantes que les valeurs obtenues par cecalcul très simplifié.
Dans le cas du bain hémisphérique précédent (paragraphe 2.4. 1), un calcul rapide permet decomparer l'échange de chaleur par rayonnement avec le milieu ambiant au transfert dechaleur par conduction thermique dans le bain fondu.
Le flux de chaleur évacué par rayonnement à la surface du bain s'écrit
où Tm (exprimée en K) est la température moyenne du métal liquide, soit environ 2 100 K etTo la température ambiante prise à 300 K.
On obtient alors un flux évacué par rayonnement de qsray = 5.5. 1O5 W.M-,.
Le flux transféré par conduction thermique dans le bain peut être estimé par la loi de Fourierappliquée à une analyse monodimensionnelle (voir annexe 2-A)
- A\T (2-55)r
où AT est l'écart de température considéré déterminé par l'équation (2-21).
On obtient un flux évacué par conduction de qSconduction 4.5. 106 W.M-2.
41
Ce calcul simplifié (on néglige notamment la quantité de chaleur évacuée par le gaz deprotection) montre que même en se plaçant à un niveau de pertes maximal (zone detempératures très élevées), la diffusion de la chaleur dans la pièce soudée est encore 10 foissupérieure au transfert avec le milieu ambiant.
2.7.7 Comparaison des différents processus de transfert de chaleur
Le tableau 2-2 ci-dessous compare les différents processus de transfert de chaleur enrappelant les temps caractéristiques calculés dans le cas de la configuration simplifiée dubain hémisphérique.
Du point de vue du transfert de chaleur, il apparaît que l'effet dominant est engendré par laconvection quelle soit libre ou quelle soit due au gradient de tension de surface (40 fois plusimportant que la conduction thermique). Les effets électromagnétiques peuvent être négligésdans le cadre de notre étude.
expression considérée temps caractéristique
conduction thermique r 2 4.0 s'cotiducilin = a
convection gravitationnelle r0.1
-F3.g. (T - 7L)
effet électromagnétique r 8.0 sTélecironlo. I
convection marangoni r 0.1 s
~dT
tableau 2-2: configuration du bain hémisphérique: comparaison des tempscaractéristiques des différents processus de transfert de chaleur
42
2.8 Mise en équations des phénomènes retenus pour la modélisation
numérique (code MARCUS)
2.8.1 Mise en équations
Le métal liquide étant considéré incompressible, les équations gouvernantes sont l'équationde conservation de la quantité de mouvement dans laquelle est négligée la résistancevisqueuse qu'oppose le fluide au mouvement de compression ou de dilatation et l'équationde continuité (conservation de la masse : divU = O):
p au (Ü.V- =-V+ div(2~t(T). D) -pg(î - (-T! (2-56)
avec
D= 1(( Ù) + (VÙ)T (2-57)
Pour prendre en compte les effets induits par la gravité, on retient la modélisation simplifiéede Boussinesq dans laquelle la variation de densité n'est considérée qu'au niveau des forcesvolumiques de l'équation de Navier-Stokes. L'expression de cette force est:
,1 p,, [ - (TI-;, )]g (2-58)
A l'interface, l'équilibre des forces s'écrit
- o. do. dT (-9f IJcdTdZ--.-tg -9
où a représente la tension superficielle.
Pour l'étude des échanges thermiques, le domaine d'étude s'étend à la totalité du domaine. Ilconvient dès lors de considérer deux zones correspondant à des matériaux de propriétésphysiques différentes : le métal liquide et le métal solide. Cependant, l'équation de lachaleur demeure identique quel que soit le milieu considéré, car l'étude se fait dans le repèrede la source de chaleur
pC,- _+U.VT =div(X.(T). VT) + (-0
Qv est un terme combinant sources et puits de chaleur. La masse volumique et la chaleurmassique sont supposées être les mêmes pour les deux phases.
43
2.8.2 Adimensionnement des équations
Dans une approche numérique de la modélisation, il est préférable, pour améliorer laconvergence des résultats, d'adimensionner les équations à partir de grandeurs de référence(longueur, température et vitesse) choisies en fonction des paramètres prédominants duproblème.
Longueur de référence Lref
C'est la distance caractéristique du problème.
Température de référence .- Tref
La température de référence est choisie à la température solidus du matériau. On définitégalement un écart de température de référence à partir de l'écart maximal supposé dans lebain liquide: ATj. = Tmax- Tref,
r - T,,fOn définit alors la variable adimensionnée , telle que
Vitesse de référence
Les deux moteurs principaux de l'écoulement sont l'effet thermo-capillaire (convectionMarangoni) et l'effet gravitationnel (convection naturelle). Nous avons comparé l'effetrespectif de ces deux processus au paragraphe 2.7.7. On a montré que l'effet Marangoni etl'effet gravitationnel sont du même ordre de grandeur. Pour l'adimensionnement, nous avonssélectionné comme grandeur de référence, la vitesse Marangoni, définie par la relation
Fief = Pl(dcl dT).SAT,,Vrj larangoffi=r0 P. L'ef~~~'
44
La correspondance des paramètres avec les grandeurs adimensionrnées est résumée dans letableau 2-3 suivant
PARAMETRES Notation [unités] correspondance en grandeurs
~~p2- ~~adimensionnées
grandeur géométrique L mL
Lref
vitesse V m.s'] v
temperature T ocT - Te
A Tf
masse volumique pkg.m- 3 Re=p.Vref Lf
conductivité thermique W.m'].oC1 l
chaleur massique CP J.kg-l.C'1Pr=
viscosité dynamique kg.mL.0CL
densité de puissance qs W m21 q. -L 1e
coefficient d'échange extérieur He,-i W m 2.C- H, .Lre
.A Tf
gradient de tension de surface d ld T N.'~'(dG/ IdT). A 1
L'écriture adimensionnée des équations (2-56) (2-59) et (2-60) est alors la suivante
PeC DT ' diCTo -'I L2,~Q (2-62)
- (y da dO. (2-63)
LrjfR 'dT dlg
Ces écritures font apparaître les nombres sans dimensions Re, Pe, Pr, St et Gr dont on peutrappeler ici les définitions
Le nombre de REYNOLDS compare les effets inertiels à la dissipation visqueuse
effets inertiel _ Vrf LrjRe = _ _ __
effets visqueux v
Le Nombre de PRANDLT compare les effets visqueux aux effets conductifs
P=effets visqueux veffets cntis-s
Le nombre de GRASHOF compare les forces d'Archimède aux frottements visqueux:
force d'Archimède f3AJ .g. L-reGr = frottement visqueux v2
Le nombre de STANTON compare les forces de gravité au frottement visqueux:
forces de gravité g.LfSt frottement visqueux 'v. f
46
Le nombre de PECLET compare les effets conductifs aux effets convectifs:
effets convectifsPe=effets conductifs=ReP
2.9 Conclusion
La première partie de ce chapitre a permis de décrire la manière d'envisager dans un modèlel'apport énergétique, aussi bien du point de vue de la distribution de l'énergie dans la sourceque du rendement du transfert énergétique. La bibliographie montre que la distribution del'énergie dans la source peut être schématisée par une distribution gaussienne dont laconcentration peut être caractérisée par différents paramètres. La connaissance précise durendement n'apparaît pas essentielle dans le cadre d'une étude des lois de comportement dubain autour d'un point de fonctionnement donné. La puissance efficace à prendre en comptedans le modèle doit être adaptée à partir de la largeur, ou d'une autre grandeur géométriquereprésentative du bain, au niveau du point de fonctionnement.
Dans le cas du soudage d'un acier inoxydable de type 04L (AISI), l'analyse des différentsprocessus de transferts de chaleur dans un bain hémisphérique laisse envisager une fortedomination du transfert de chaleur par convection Marangoni. Les vitesses engendrées dansle bain par le gradient de tension de surface sont importantes ( 40 mmls) contribuant ainsi àdéformer l'enveloppe du bain. A l'inverse, les mouvements engendrés par les forcesélectromagnétiques peuvent être négligés. La contribution de la conduction thermique dansle bain est relativement faible devant les phénomènes convectifs. Mais ce processus ne peutévidemment pas être négligé car la diffusion de la chaleur dans la partie solide estentièrement réalisée par conduction thermique.
Du point de vue des échanges de chaleur, la chaleur latente de changement de phase estégalement un élément important à prendre en compte dans le modèle. Toutefois, labibliographie montre une influence de ce paramètre essentiellement sur la longueur et nonsur la largeur du bain de soudage. Une étude spécifique doit montrer quelle est influence dela prise en compte de la chaleur latente sur l'évolution de la largeur autour d'un point defonctionnement.
Un calcul de pertes a permis d'évaluer l'ordre de grandeur des échanges thermiques avec lemilieu ambiant. Localement, dans les zones de température élevée, les pertes parrayonnement sont importantes mais le transfert d'énergie avec le milieu ambiant reste faibledevant le transfert d'énergie par diffusion dans le pièce soudée.
Après avoir dégagé les principaux phénomènes à prendre en compte, les différentessolutions envisageables pour établir le modèle vont être maintenant abordées.
A -7
3. MODELISATION THERMIQUE DU SOUDAGE
3.1 Introduction
Le procédé TIG met en jeu des interactions complexes entre différents phénomènesphysiques, thermiques, mécaniques et électromagnétiques. Du point de vue du contrôle duprocédé, l'équilibre thermique du bain fondu peut être ramené à une opération de fusion etde solidification d'une certaine quantité de matière sous l'action d'une source de chaleur sedéplaçant à la surface d'une pièce.
Dès lors, l'étude du transfert d'énergie entre l'arc électrique et la pièce soudée et la diffusionde la chaleur au sein de celle-ci va permettre de définir un modèle thermique tenant comptede certains paramètres de soudage (puissance fournie, rendement du procédé, vitessed'avance), des caractéristiques du matériau soudé (masse volumique, conductivité thermiqueet chaleur massique) et du type de pièce considérée (tôle mince ou pièce épaisse).
Dans ce troisième chapitre, nous evoquons les différentes solutions permettant de décrire lechamp de température en cours de soudage. Dans la première partie, nous nous attachons àrassembler et expliquer les différentes expressions analytiques de la température que nouspropose la littérature. Dans la seconde, nous présentons quelles solutions nous offrel'approche numérique du problème.
3.2 Approche analytique du champ de température
3.2.1 Historique
3.2. 1. 1 Méthodes analytiques de base
Les processus de chauffage et de refroidissement du métal en cours de soudage sontdéterminés par l'action d'une source de chaleur concentrée, ainsi que par les lois depropagation de l'énergie calorifique à partir de l'endroit où agit la source. La résolution del'équation gouvernant le transfert de chaleur par conduction dans un solide soumis à l'actiond'une source en mouvement semble avoir été effectuée la première fois par WILSONLWIL04] en 1904 et, indépendamment, par ROBERTS en 1923 [R0B323]. A la fin desannées 30, ROSENTHAL du Massachusetts Institute of Technology [R0S35 RS41,R0S46], MARTIN et BOULTON [B0U36, B0U37], BRUCE [BRU39] et MALHA[MALA41] ont repris le problème de la source mobile mais en l'adaptant plusspécifiquement au domaine du soudage. Indépendamment de ces travaux. RYKALIN[RYK57, RYK61, RYK67, RYK71, RYK74] en URSS, NAKA [NAK41] et TANAKA[TAN43] au Japon obtenaient également des solutions analytiques pour la distribution destempératures dans une pièce soudée. On notera que ROSENTHAL et RYKALIN, dont lestravaux ont été les plus importants et les plus complets, sont actuellement toujours cités enréférence sur ce sujet.
La majeure partie des auteurs précités ont effectué leur analyse sur des modèles concernantprincipalement le régime établi, et dont 'application se limite à des configurations de piècesschématisées soit par un solide semi-infini ou soit par une tôle mince infinie. La source de
48
chaleur est supposée ponctuelle ou linéaire et se déplace avec une vitesse constante, tandisque les pertes calorifiques à la surface de la pièce soudée sont très souvent négligées. Cemodèle analytique appliqué au régime quasi-stationnaire a fait l'objet de plusieursprocédures de validations expérimentales. Citons notamment les travaux de ROSENTHALet SCHEMRBER [ROS381 ainsi que ceux de HESS et ai LHES43] du Rennslaer PolytechnicInstitute qui ont introduit dans la formulation initiale des corrections empiriques en tenantcompte notamment de l'épaisseur de la tôle, de la composition chimique du matériau, descaractéristiques de l'électrode, de la nature du courant électrique et de la chaleur latenteinduite par les transformations métallurgiques.
3.2.1.2 Applications des modèles analyiques
Les modèles analytiques de la distribution de la température dans une pièce ont été utiliséspour évaluer différents paramètres caractéristiques de l'opération de soudage. Ainsi, dans lesannées 50, SUZUKI et al LSUZ62, K1H571 ont conduit, à partir des modèles analytiques, uneétude sur la structure métallurgique de la Zone Affectée Thermiquement, développant uneméthode analytique et empirique permettant de déterminer les effets des paramètres desoudage sur la structure métallurgique du matériau. Un résumé des résultats obtenus dans cestravaux est présenté dans l'ouvrage de MASUBUCHI MAS81]. Dans la même période,WELLS [WEL52] a utilisé les expressions obtenues par ROSENTHAL comme outils deprédiction de la morphologie du bain de fusion. En rapprochant ses résultats aux donnéesexpérimentales de JACKSON et SCHRUBSALL [JAC50], obtenues pour des tôles en acier,WELLS a pu démontrer que la théorie permettait de prévoir de façon satisfaisante la largeurdu bain de fusion et la forme des rides à partir d'une puissance calorifique utile. Inversement,DENNERY DEN54] a utilisé le modèle analytique pour déterminer le rendement et lescaractéristiques des arcs de soudage en comparant la largeur mesurée sur des coupesmacrographiques transversales à celle obtenue par le modèle. A partir du modèle deROSENTHAL, ADAMS Jr [ADA58] a étudié plus particulièrement l'évaluation des vitessesd'échauffement et de refroidissement, ainsi que la prédiction de la température maximaleatteinte. Les résultats obtenus ont indiqué une erreur moyenne de 5% avec l'expérience. Lestravaux d'ADAMS Jr ont été repris par JHAVERI et al [JHA62J afin de déterminerl'influence de l'épaisseur de la tôle et des pertes de chaleur par la surface. Les vitesses derefroidissement de la zone thermiquement affectée avaient été préalablement étudiées parNIPPES et SAVAGE [NIP49, NIP57]. La comparaison des résultats obtenus par le modèlede ROSENTHAL avec une procédure expérimentale n'avait alors pas montré de bonnescorrespondances.
3.2.1.3 Modèles dérivés
De nombreux chercheurs se sont attachés à améliorer le modèle analytique deROSENTHAL. Ainsi, GROSH et TRABANT GRO55, GR056] ont introduit dans lemodèle initial l'effet de la dépendance à la température des propriétés thermo-physiques dumatériau. La méthode employée, qui suppose néanmoins la diffusivité thermique constante,constitue en fait un cas particulier de la méthode générale décrite par DENNERY etGUENOT [DEN62]. La comparaison avec l'expérience, effectuée sur des tôles d'acier,épaisses et minces, a montré que leur modèle présentait un très bon accord avec la réalité. Lerapprochement avec des résultats obtenus par le modèle général de ROSENTHAL a permis
49
d'observer des écarts importants, notamment sur la température maximale atteinte. Ladifférence, favorable au modèle de GROSH, est particulièrement sensible pour les pointssitués près de la source dans le cas d'une tôle mince, on relève des différences d'environ200'C pour les points disposés à 2 mm de l'axe.
CHRISTENSEN et a [CHR65] ont introduit dans le modèle de ROSENTHAL desparamètres sans dimension permettant de comparer le calcul à des mesures expérimentalesquels que soient le matériau et la configuration de soudage considérés. Les résultats obtenusont montré une bonne correspondance dans la morphologie de la surface du bain (largeur etlongueur) entre le modèle analytique et l'expérience. A l'inverse, la prédiction de lapénétration par le calcul n'a pas été satisfaisante. Les travaux de CHRISTENSEN ont étérepris par EAGAR et TSAI [EAG831 et adaptés aux configurations de sources à répartitiongaussienne.
MALMUTH et al [MAL74] ont pris en compte dans leur modèle analytique l'influence de lachaleur latente de fusion. Leurs recherches ont démontré que la chaleur latente de fusion n'apas d'effet significatif sur le champ de température lorsque la vitesse de soudage est lente,mais ses conséquences sur la géométrie du bain sont importantes si la vitesse est élevée.
Une introduction, dans le modèle analytique, d'une source répartie suivant la loi de Gauss aété réalisée par RYKALIN [RYK57]. Dans ces travaux, repris plus tard par PAVELIC et al[PAV69], RYKALIN détermine le champ de température engendré par une sourcecalorifique gaussienne radiale et symétrique. SAI C.L TSAI-CL77, TSAI-CL93] aapprofondi cette démarche en adoptant une source gaussienne décalée. La validationeffectuée sur des tôles d'acier 304L a montré que ce modèle mathématique présentait unetrès bonne concordance avec l'expérience.
Les travaux publiés par ROSENTHAL [ROS41] n'abordent pas véritablement le problèmedu régime variable. L'analyse thermique du régime transitoire semble avoir été étudiée lapremière fois par NAK-A [NAK41I]. ndépendamment, RYKALIN [RYK5 7], MASUBUCHIet KUSUDA LMAS53] ont également développé un modèle analytique adapté à ce régime defonctionnement. Comme dans le cas de l'état quasi-stationnaire, différentes sourcescalorifiques ont été intégrées (source ponctuelle, linéaire ou gaussienne). TSAI C.L [TSAI-CL83] a étendu le modèle instationnaire au soudage en mode pulsé. De la même manière,VISH-NU et a [VIS91] ont à leur tour établi des expressions analytiques particulièrementadaptées au soudage laser en mode pulsé.
3.2.2 Généralités
La recherche bibliographique a montré que l'on peut distinguer deux types d'équationsdifférentes
Les expressions utilisées spécifiquement pour l'étude dans le régime permanent(généralement appelé « état quasi-stationnaire »). Elles permettent de disposer d'uneexpression du champ thermique directement applicable dans l'état quasi-stationnaire. Cesmodèles sont dits statiques puisqu'ils ne dépendent pas de l'instant considéré.
50
Les expressions instationnaires, concernant l'étude du régime transitoire, sont obtenues parintégration de la réponse impulsionnelle tirée de la théorie des sources instantanées, etdéveloppée essentiellement par CARSLAW et JEAGER [CAR59]. S'exprimant en fonctiondu temps, ces modèles sont dits dynamiques. Au-delà de l'étude du régime transitoire, cetype d'éq uation est utilisé dans l'étude du régime permanent en faisant alors tendre letemps vers l'infini lorsque la source de chaleur est à distribution gaussienne.
Dans le cas du soudage d'une tôle, deux configurations différentes peuvent être envisagées
La première solution consiste à se limiter à une analyse bdimensionnelle du problème, enadmettant que le champ thermique reste constant dans toute l'épaisseur de la pièce. La sourcede chaleur est alors imposée comme étant une source linéaire, c'est à dire régulièrementrépartie dans l'épaisseur. Cette simplification du champ thermique est plus particulièrementfondée dans le cas de tôles de faible épaisseur, appelées « tôles minces », ou tout du moinslorsque l'épaisseur de la tôle est faible devant la puissance fournie. De la même manière,lorsque la vitesse d'avance de la source de chaleur est très élevée, on peut se limiter àl'analyse monodimensionnelle en supposant que le champ de température ne varie pas lelong de l'axe d'avance dans un repère lié à la source.
Lorsque le champ de température varie dans les trois dimensions de l'espace-configuration dite « tôle épaisse » -. l'information sur la pénétration de l'énergie dans
l'épaisseur de la tôle est fournie par une analyse tridimensionnelle développée à partir del'équation du solide semi-infini à laquelle est appliquée la méthode des sources-images.Cette solution permet de tenir compte des dimensions finies de la pièce en considérant sessurfaces comme des miroirs réfléchissant le flux de chaleur, contribuant ainsi à élever latempérature au sein de la pièce soudée. La méthode des sources-images peut également êtreappliquée le long des axes transversal et longitudinal de manière à tenir compte desdimensions finies de la tôle dans les trois dimensions de l'espace.
3.2.3 Expressions de la température en régime guasi-stationnaire
3.2.3. 1 Introduction du régime quasi-stationnaire
Dans le cas des sources mobiles, et afin de simplifier l'analyse mathématique, il estintéressant d'introduire le concept du régime quasi-stationnaire. Cet état résulte du fait qu'àpar-tir d'une certaine distance parcourue, l'énergie dépensée par conductibilité dans la pièceest à chaque instant compensée par l'énergie fournie au niveau de la source de chaleur. Ainsi,pour un observateur qui serait fixé sur la source, les isothermes apparaissent identiques àelles-mêmes et se déplacent avec la source.
L'état quasi-stationnaire s'obtient en remplaçant le repère cartésien d'origine (o,x,yz) par unrepère mobile (,X, YZ) dont l'origine se déplace avec la source (figure 3- 1). Par conséquent,cela revient à effectuer le changement de variables suivant
{;'y-vt
IZ z ~ ~ Z
relation suivante (voir la démonstration en annexe 3-A):~~~~~~~~~~~~~c, seui i
Laimodéisatio duersetto chapnhemiune prla métoden dun repère mobile dsun papproepurement conductivers e ramè e insi ge la suione d'e utio iféetilee4
réisamnt l'difusiondecnuto de la chaleurnsld dsl'étatim qasi-staionnre oie teantl
rég absencl deffsioure det depresitrnsd chaleur (psu oid asJéastd chsisatngement e d'tat) n
Dans l'état quasi-stationnaire, la distribution de température engendrée par une sourcecalorifique linéaire se déplaçant à une vitesse constante au sein d'une tôle mince est donnée.dans le repère mobile (X, Y), par la relation suivante (la démonstration de cette équation estprésentée en annexe 3-B)
T(XflY)- To±+ - ex i Ko( rV27tXE,,ex 2a) 2a)
où Ko(u) est la fonction de Bessel d'un argument imaginaire de seconde espèce et d'ordre nulet r est la distance radiale définie par r2 = X2 + Y'
3.2.3.3 Cas du solide semi-intini
Dans l'état quasi-stationnaire, la distribution de température engendrée par une sourcecalorifique ponctuelle se déplaçant à une vitesse constante à la surface d'une pièce massiveest donnée, dans le repère mobile (XYZ), par la relation suivante (la démonstration estprésentée en annexe 3-C)
T(X, Y, Z) =To± +/a e x~-I exp(- V 3 22.'r2R 2a) ~2 a32
où R est la distance radiale du point de coordonnées (X, YZ) définie par R' = X 2 + Y + Z 2.
3.2.3.4 Cas de la tôle épaisse
Dans l'état quasi-stationnaire, la distribution de température engendrée par une sourcecalorifique ponctuelle se déplaçant à une vitesse constante à la surface d'une tôle épaisse estobtenue en appliquant la méthode des sources-images dans l'équation (3-2). La distributionde la température est ainsi donnée dans le repère mobile (X, YZ) par la relation
T(XYZ) = To + flar exp *X exp ' + ia n~ IexpÇ Xjex(~'27c>. 2a R 27rk 2R,,
,, 2 nxxP _2a) R,,
(3-3)
53
avec
Rz =[X2 ± Y 2 + Z 2 R n = jX + Y +(2nEp -Z)2 et R = X2 +(2nEp+)
Après mise en facteur des termes communs, l'expression du champ de température peuts'écrire sous la forme simplifiée
F ( VR (VR'n'~____ ( v.x exp( -) e exp(- VRa ex~ - a»
T(X, Y, Z) =To+ 77ac 2 exp- 2aXi R R + R*
L ~~~~~~~~~~~n
(3-4)
En théorie, la succession des sources-images est infinie. Cependant, on peut observer que latempérature d'un point décroît rapidement avec la distance la séparant de la source. Il suffitalors de superposer un nombre limité de sources pour obtenir le champ de températurecorrespondant. Entre 5 et 3 super-positions peuvent être nécessaires selon lescaractéristiques thermiques du matériau étudié.
3.2.4 Expressions de la température en régime dynamique
3.2.4. 1 Etude de la fonction de saturation
Lorsque le champ de température varie en fonction du -bmps, RYKALIN introduit dans leséquations quasi-stationnaires un processus de saturation caractérisé par le coefficient Y. Cecoefficient, compris entre et 1, est fonction de la position du point étudié et de l'instantconsidéré.
L'expression du coefficient de saturation (ou fonction de saturation) est obtenue à partir deséquations relatives aux sources instantanées. Ne pouvant s'exprimer sous une forme simple,la valeur du coefficient de saturation est généralement présentée dans des abaques adaptés àla configuration de pièce considérée.
54
Ainsi, la température au sein d'une tôle mince soumise à l'action d'une source linéaire estdécrite, dans le repère mobile, par la relation
T(X, YJ)= To + ~acIexp(-VXJ *K !ZJ(5
L'expression analytique du coefficient ', dans le cas de l'analyse bidimensionnelle, s'écritsous la forme
2
22K,( ) fexp (w + d) (3-6)
wp et sont respectivement la distance réduite et le temps réduit. En l'absence de perte, ilssont définis par
rV tV 2
et 2a ~~~4a
Du point de vue de la programmation, cette solution est intéressante car le temps de calculnécessaire est très rapide le coefficient Y- étant tabulé une fois pour toute (sous réserve dedisposer de l'expression analytique du coefficient de saturation, ce qui n'est pas le cas pourla configuration de la tôle épaisse), la résolution de l'intégrale n'est pas réalisée pour chaquenoeud de la grille de calcul.
Il peut être toutefois préférable de rechercher une solution différente afin d'obtenir unmodèle qui soit d'une part plus facilement programmable et, d'autre part, qui puisse êtreégalement appliqué aux autres configurations de pièces considérées (pièces massives outôles épaisses).
3.2.4.2 Etude de la réponse impulsionnelle
L'origine des expressions du champ de température engendré par une source de chaleurinstantanée (ou source impulsionnelle) est décrite précisément dans l'ouvrage deCARSLAW et JEAGER [CAR59].
Indépendamment de ces travaux, RYKALIN a appliqué au soudage les équations relativesaux sources impulsionnelles et développa à partir de là des équations directement applicablesdans l'état quasi-stationnaire lorsque la source de chaleur est ponctuelle ou linéaire. Pour
55
bien comprendre la démarche adoptée, il est nécessaire de rappeler brièvement lesdifférentes expressions liées aux sources instantanées.
3.2.4.2.1 Théorie des sources instantanées
a) Cas du solide semi-infini
Dans le repère fixe (x,y,z), la distribution de la température engendrée par une sourced'énergie ponctuelle ôj émise instantanément, à t = O, à la surface d'une pièce massive, aupoint de coordonnées (xs,ys, O), suit la relation
T(x, y, z,t) To 3/26 exp((x s+(-) 2 z) (3 -7)
b) Cas de la tôle mince
La distribution de température engendrée à l'instant t par une quantité d'énergie linéaireSQ/Ep émise instantanément (à t = O), au point de coordonnées (xs,ys), au sein d'une tôlemince, est donnée par la relation
T(x, y, t) To + 47ÔQ, exp(- (X XS) 2 + (y -ySj2 (3-8)
c) Cas de la tôle épaisse
Comme dans le cas des modèles quasi-stationnaires, l'application de la méthode des sources-images permet d'obtenir la répar-tItIIo', de la température dans l'épaisseur d'une tôle. Ladistribution thermique est alors définie par la relation (pour simplifier l'expression, la sourceest située au centre du repère mobile)
T(x, y, zt) =To+ 2Q ,.exp -~ + exp __
(3-9)
avec
R x x 2 +y 2 ±:+2 R,, C£2 +y 2 ± (2 nEp -z) 2 e t R x x 2 + y' +( 2 nEp±z)2
3.2.4.2.2 Application aux sources mobiles
Quelle que soit la configuration de pièce considérée, la transposition à la source continue sedéplaçant en surface est réalisée en intégrant par rapport au temps dans le repère mobilel'expression de la réponse impulsionnelle. Le passage dans le repère mobile s'effectue parun changement de variable, en posant X = x -r Vt, Y = y et Z=7
Ainsi, dans le cas de la tôle mince par exemple, le champ de température dans le repèremobile s'obtient en intégrant par rapport au temps l'équation (3-8).
Après avoir posé
l'expression de la température devient
T(X, Y, t) -To=Ur exp~-(+~)~ ~ jdTr(-04irEpk 0 (t-T) k ~ 4aiT
En posant le changement de variable t' = t - r, l'équation (-1 0) devient finalement
'flrc Uï 1 ((X +Vt' ) 2 2
T(X,Y,t) - To = 4EX f- exp\ dt' (3-11)
3.2.4.2.3 Sources à répartition gaussienne
Différents travaux ont montré que l'introduction d'une source de chaleur à répartitiongaussienne - qui est une configuration plus proche de la réalité que la source ponctuelle-permet d'améliorer sensiblement la précision et la validité des résultats obtenus, notammentlorsque le matériau présente une mauvaise conductivité thermique LKIM84].
Comme nous l'avons vu au chapitre 2, l'expression de la répartition de densité dans le planhorizontal [xy] d'une source gaussienne peut secrire sous la forme générale suivante
qs(x,y) q,max exp[- k(x2 +f2] (3-12)
57
où q, smax est le flux thermique maximum (en W/rn2). Il est défini par:
k.%nx= 1iirUJ 7 3-3
Le paramètre k représente le coefficient de concentration de la source. Il s'exprimegénéralement en [m-2 ]. Il est directement fonction de l'étalement de la source. Plus la valeurdu coefficient k est élevée, plus la source est concentrée.
Certains auteurs, comme RYKALIN, caractérisent la source gaussienne par des paramètresplus explicites. Ainsi, on introduit le rayon de la source circulaire équivalente ro et le tempscaractéristique de la source gaussienne to.
Les paramètres to, ro et k sont reliés entre eux par les relations
2
to=4k et - O. (3-14) et (3-15)
et
r0 = -p ~~~~~~~~~~~~~~~(3-16)
Dans le cas de la source linéaire, on peut observer que le champ de température produit à uninstant t par une source à répartition gaussienrne est identique à celui qui est produit par unesource ponctuelle à l'instant t+to. Autrement dit, il apparaît que le champ de températurerapporté au système de coordonnées mobiles peut s'obi.enir au moyen d'une sourceponctuelle fictive décalée de V/to en avant du centre de la source réelle [RYK57].
a) Cas du solide semi-infini
La prise en compte d'une source à répartition gaussienne se fait en intégrant dans le plantxy], l'équation du champ thermique (3-7). En posant Q, la quantité d'énergie libérée aucours d'une impulsion telle que Q=qsdldx'dy', l'expression du champ de températures' écrit
2qdt (X X')2 + (y-_ y')2 + Z21 ,T(x, y, z,t) = To + C34iaî' 2 exp 4ary'
(3- 17)
En remplaçant le terme qs(x,y) par son expression (3-12) et en introduisant le tempscaractéristique to, l'équation (3- 17) devient :
Après simplification, et en remplaçant le terme qmax par son expression (3 - 13). le champ detempérature engendré par une source gaussienne impulsionnelle à la surface d'un solidesemi-infini, s'exprime finalement par la relation suivante (la démonstration illustrant lepassage de l'équation (3-18) à l'équation (3-19) est présenté en annexe 3-D)
Comme dans les cas précédents, la transposition à une source continue mobile s'effectue parintégration par rapport au temps de la réponse impulsionnelle dans le repère mobile. Pourréaliser le passage dans le repère mobile, deux solutions peuvent être envisagées
* le centre du repère mobile est situé au centre de la source gaussienne (approche de TSAIdans TSA83]). Le changement de repère s'effectue alors en posant x =X + V, y = Y etz =Z.
T(XYZ, ) = To+2lrUI 'r12 ep-X-4+Y- dt
(31-20)
* le centre du repère mobile est situé au niveau de la source ponctuelle fictive située en avantde la source gaussienne (approche de RYKALIN dans LRYK57]). On pose dans ce derniercas x= X+ V(t+to), y= Y et z =Z.
2(fl,,~U) _________ ( LXv(t±t) +Y 2 Z 2 ÀT(X, YZ, t) =To exp lx - ( f - d
(3-21)
59
a) Cas de la tle mince
De la même manière que dans les cas précédents, on détermine le champ de températureproduit par une source linéaire impulsionnelle à répartition gaussienne en intégrant dansl'espace la réponse de la source impulsionnelle linéaire. Puis, le passage à la source mobilecontinue est effectué par l'intégration par rapport au temps. L'expression de la réponse à unesource impulsionnelle à répartition gaussienne s'écrit alors de la manière suivante
T(x, y, t) =To+ iarUIt exp - 2 y2(3-22)
pC. 47ia(t + t) Ep k 4a(t t))
Le champ de température produit par la source continue mobile devient:
T(X, Y, t) = To + ________ exXp @+ ) dt (3-23)pCP 47za(f+ t)EP ex~[ 4a(t +t 0 ) d
b) Cas de la tôle épaisse
L'application dans l'expression (3-20) de la méthode des sources-images sur l'axe verticalpermet d'exprimer le champ de température dans l'épaisseur d'une tôle comme lasuperposition des champs thermiques engendrés par chaque source fictive. La températureest alors donnée par la relation
T(X.YZ.t) To+2u~~I) (X - )2+ z2 <(2nEp -Z 2 (2flEp + Z)2fdT(X. Y, pGi) = T + -t e+ 4a(z + ) ex 4al L4at + j)d
(3-25)
L'application de la méthode des sources-images sur l'axe transversal permet de tenir comptede la largeur finie de la tôle. Dans ce cas, l'expression du champ de température s'écrit sousla forme:
60
pC2T,,,, Ul /1 ((x - 't)2 Y Z2 r(2,E. Z)' (2nE, + Z)2 dt2Cr4t'1 2 j. 4a( + ~ 4atL 4al -lat d
2 qUI I (X- PIY-t-(mL, + Z2 (2(2np - )2 Z(+pCt-(47ra)
11 ~2 -t 1 ~)Py( 4a(i + 1) nep 4aî 4at ' flaÇ)
(3-26)
3.3 Simulation numérique du soudage
3.3.1 Introduction
La modélisation du transfert de chaleur en cours de soudage par l'utilisation de méthodesnumériques est intéressante, notamment du point de vue des différents processusphénoménologiques qu'il est possible de prendre en compte dans le modèle (mouvements deconvection dans le bain, prise en compte de la chaleur latente de changement de phase, priseen compte de la dépendance en température des propriétés thermophysiques du matériau).De plus, basée sur la résolution des équations « classiques » de la physiquethermohydraulique (équation de Navier-Stokes, équation de la chaleur, ... ), la solutionnumérique est parfaitement envisageable dans le cadre du développement d'un modèle deconnaissance.
En contrepartie des nombreux avantages qu'elle peut apporter, l'approche numériquedemande une capacité de calcul très supérieure à l'approche analytique. La résolution d'unproblème tridimensionnel complet implique des temps de calculs incompatibles avec uneapplication directe au contrôle du procédé en temps réel. Dès lors, si l'on souhaite resterdans une approche « tout numérique », une évolution vers la solution des modèles réduitsdoit être envisagée.
Dans notre cas, la solution numérique est abordée comme un complément à la solutionanalytique. La modélisation numérique est utilisée pour étudier l'effet des hypothèsesadoptées dans le modèle analytique sur les lois de comportement du bain, et notamment dela largeur, autour d'un point de fonctionnement donné. Dans le cadre d'une collaborationavec l'Institut Universitaire des Systèmes Thermiques Industriels de Marseille, les calculsréalisés au cours de ce travail ont été effectués avec le code MARCUS.
3.3.2 Différentes approches de la littérature
Une étude bibliographique détaillée a été réalisée sur « l'état de l'art » en modélisation dusoudage par fusion [T0S95]. . TOSELLO s'est principalement intéressée aux travauxréalisés à partir du début des années 1980, par trois équipes nord américaines duMassachusetts Institute of Technology (équipe MIMOSA), du Laboratoire National d'OakRidge (équipe OAK) et de l'Université du Wisconsin (équipe WIND). Les différentes
61
approches de modélisation présentées concernent le comportement du bain de soudage dansses phases transitoires et établies.
Les démarches mises en place par chacune des équipes se basent sur le constat que lesmodèles analytiques conductifs du transfert de chaleur présentent des hypothèses tropéloignées de la réalité et ne rendent pas compte des écoulements d'origine convective dans lebain et de la solidification.
La prise en compte de la convection dans le bain complexifie la modélisation de part ladiversité des phénomènes rencontrés (convection due aux forces gravitationnelles,électromagnétiques, capillaires, de poussée d'arc). Rappelons qu'expérimnentalement lacaractérisation des écoulements se limite uniquement aux mesures des vitesses surfaciques.particulièrement difficiles pour le soudage à l'arc compte tenu de la présence de l'arc. Il estclair que pour améliorer les connaissances phénomnénologiques du comportement du bain desoudage, une approche numérique est essentielle.
La démarche a été progressive. Au début des années 80, une tentative a été réalisée parl'équipe WIND en introduisant dans un modèle analytique, une conductivité thermniqueeffective pour le liquide afin de simuler la convection dans le bain LKOU8I1]. Cette approcheconstituait une amélioration par rapport au modèle analytique de ROSENTHAL ROS41].Les résultats obtenus semblaient corrects lorsque ce modèle était appliqué aux alliagesd'aluminium, mais se révélaient faux pour le cas des aciers dont le caractère convectif estbien marqué. La génération suivante de modèles proposée par l'équipe WIND KOU85],était basée sur la résolution par des méthodes numériques des équations de conservation dela mécanique des fluides. Les hypothèses considérées pour la résolution étaient plusréalistes. Ce modèle a permis de hiérarchiser les forces convectives au sein du bain. Asavoir, un rôle prépondérant sur les écoulements dans le bain a été attribué aux forcescapillaires et électromagnétiques par rapport à celui des forces gravitationnelles.
Parallèlement, vers 1982, l'équipe MIMOSA a développé un modèle théorique relatif audéveloppement transitoire du bain de soudage ORE84]. Ce modèle quantitatif appliqué auprocédé TIG statique (pas de mouvement de la source de chaleur), a permnis de caractériserles facteurs significatifs influant sur le bain. En particulier suivant la forme de l'arcconsidérée, la convection n'a pas le même rôle. D'autre part, la convection est d'un cJfet plusfaible pour les bons conducteurs en faible épaisseur. Jusqu'alors les phénomènes considérésintéressaient uniquement le bain, or les phénomènes d'interface, comme l'évaporation ou lapression d'arc, sont susceptibles dans certaines conditions d'avoir des effets non négligeablessur le comportement du bain. Des évolutions au modèle ont donc été apportées. Cela apermis de montrer que de négliger l'évaporation conduit à des erreurs sur la répartition deschamps de température superficiels et donc à une erreur sur l'évaluation des écoulementsconvectifs capillaires CH092]. D'autre part, pour des conditions de forte intensité desoudage, les effets de l'arc sur le bain ne peuvent plus êtres négligés car is conduisent à detrès fortes déformations de la surface et à des formes d'écoulement très complexes [CHO90].
Dans le milieu des années 80, l'équipe OAK, qui a suivi en parallèle ces différentsdéveloppements, a estimé que ces approches étaient incomplètes car considérant des castransitoires bidimensionnel, ou bien stationnaires tridimensionnel. En plus, les hypothèses
62
considérées étaient non représentatives de la réalité physique comme, par exemple, le faitque l'on impose une surface non déformable, ou qu'il n'y ait pas d'échange massique(addition de métal d'apport ou vaporisation, par exemple). Pour palier à ces faits, l'équipeOAK a mis au point un code de calcul tri-dimensionnel et transitoire : le code WELDER[ERA86]. Ce code permet de simuler les transferts de chaleur et les écoulements dans desconditions proches de celles d'une opération de soudage, en prenant en compte le couplageentre conduction et convection naturelle ou forcée. La formulation mathématique etl'algorithme de calcul permettent d'éliminer les hypothèses non réalistes des modèlesconventionnels. Les résultats numériques obtenus par ce code ont été comparés à desrésultats expérimentaux dans le cas de l'acier inoxydable 304L. Le comparaison entre lesdeux approches s'est avérée fort concluante pour l'étude du comportement du bain.
D'un point de vue des conditions de calcul, la complexification des phénomènes considérésconduit à des temps de calcul élevés pour simuler une seconde réelle de soudage (plusieursheures par seconde effective sur station de travail). Plus le modèle est complet, plus il estsophistiqué et, donc, plus il nécessite des moyens de calcul puissants pour la résolution desdiverses équations mathématiques afférentes au modèle.
3.3.3 Approche retenue
Le logiciel MARCUS [MED97. JAE96] est un code par éléments finis développé à InstitutUniversitaires des Systèmes Thermiques Industriels de Marseille (IUSTI) pour la rechercheen mécanique des fluides avec transferts thermiques (écoulements incompressibles de fluidesnewtoniens).
Son architecture permet de coupler de nombreux modèles physiques (écoulement, transfertsthermiques, ... ), tout en conservant lavantage d'un développement indépendant de chaquemodèle. L'algorithme de résolution adopte une philosophie multi-problèmes en effectuantdes cycles de résolutions séquentielles de chacun des problèmes physiques impliqués.
Les modèles physiques développés dans le logiciel permettent de simuler numériquement lesécoulements incompressibles et visqueux laminaires 2D/3 D/Axisymétriques, lesécoulements thenrio-convectifs en convection forcée, naturelle ou par thermocapillarité, etles écoulements de luides non-miscibles avec suivi de l'interface et transferts thermiques.
Le système déquations résolues par le code MARCUS est présenté au chapitre 2. Pouréviter des problèmes de non-convergence numérique dans la résolution du champ de vitesseengendré par la prise compte du gradient de tension superficielle (non-linéarité dansl'équation de Navier-Stokes), une solution de chargement progressif de la valeur du gradientde tension superficielle est utilisée combinée à une approche « time-marching » (recherchede la solution stationnaire en passant par le transitoire).
L'étude du transfert de chaleur en cours de soudage est modélisée par une source de chaleurmobile se déplaçant à la surface d'une pièce. Le problème à résoudre est caractérisé par lesentrées suivantes
63
Données caractérisant le matériau
• masse volumique* Viscosité dynamique (liquide)• chaleur latente de changement de phase• gradient de tension superficielle• conductivité thermique• coefficient de dilatation volumique• chaleur massique• température solidus et liquidus
Données caractérisant l'environnement
• vitesse d'avance• pertes de chaleur avec l'extérieur• densité de puissance (source)• température du milieu extérieur
3.4 Conclusion
Ce chapitre présente différentes solutions envisageables pour modéliser le transfert dechaleur en cours de soudage. La résolution analytique de l'équation de la chaleur permet dedisposer d'expressions simples de la température adaptées aux configurations de soudage lesplus courantes (tôle mince, solide semi-infini, régime permanent ou transitoire, sourceponctuelle ou gaussienne, ... ).
Un modèle de connaissance est développé, basé sur une expression de la température danslaquelle la source de chaleur est assimilée à une succession de sources impulsionnellesdécalées dans le temps et dans l'espace. Une approche numérique (code MARCUS) estégalement retenue afin de déterminer l'influence des principales hypothèses adoptées dansl'approche analytique sur les lois de comportement du bain de soudage.
En final, la validité des hypothèses adoptées dans les modèles est évaluée en confrontant lesrésultats de calculs à des mesures expérimentales issues de différentes séries d'essais réalisésessentiellement sur des tôles de faible épaisseur en acier inoxydable.
64
4. ETUDE EXPERIMENTALE
4.1 Introduction
La confrontation avec des mesures expérimentales est, en final, le seul garant de la validité deshypothèses adoptées dans un modèle qu'il soit analytique ou numérique. Aussi, avant d'aborderla validation proprement dite du modèle, ce chapitre est consacré aux différentes campagnesd'essais engagées et présente les différents résultats expérimentaux sur lesquels la modélisationdoit être validée.
Les essais expérimentaux sont regroupés selon quatre objectifs distincts
1. Etude de la morphologie du bain et des lois de comportement du bain : dans le cadred'une application spécifique au contrôle du procédé, le modèle est essentiellementévalué sur ses capacités à calculer la géométrie de la zone fondue dans le régimepermanent et à prédire les lois de comportement du bain autour d'un point defonctionnement, tant dans le régime transitoire que dans le régime permanent.
2. Etude du champ thermique, mesure de températures : dans le cadre d'une applicationplus générale du modèle, une validation des résultats obtenus dans une zone éloignée dubain de fusion est également réalisée. Il s'agit ici de confronter le champ thermiquecalculé sur l'ensemble de la tôle à des mesures de températures en cours de soudage.
3. Essais avec perturbation : une validation du modèle est réalisée pour une configurationcomprenant une perturbation géométrique, introduite sous la forme d'une ou plusieursvariations d'épaisseur de l'éprouvette. L'intérêt de ce type d'essais est double. Il permettout d'abord de mettre en évidence l'apport d'un système de contrôle du procédé pourmaintenir un certain niveau de qualité du cordon de soudure. Du point de vue de lamodélisation proprement dite, il permet de vérifier la capacité du modèle thermique àgérer une variation de l'épaisseur de l'éprouvette d'essai.
4. Essais complémentaires : une série d'essais supplémentaires est engagée de manière àévaluer une relation entre la valeur du coefficient de concentration de la source dechaleur prer1dre en compte dans le calcul et la tension de oudage. L'objectif final estde pouvoir mettre en évidence, par la modélisation, l'effet dissocié de la tension et del'intensité de soudage.
4.2 Matériaux de l'étude
Les essais de validation du modèle ont été principalement réalisés sur un cas de référence définipar une tôle de faible épaisseur en acier inoxydable Z2 CN 810 (AISI 304L). Dans la suite durapport, cet acier est désigné sous l'appellation simplifiée « 3 04L ».
Différents approvisionnements ont été utilisés. La composition de chaque coulée employée aucours de ce travail est présentée dans le tableau 4-1 ci-dessous
Référence/CEA parc 236 parc 237 parc 256
Nuance Z2 CN 181O Z2 CN 181O Z2 CN 181O
Epaisseur 2 mm 2 et 3mm 5 mm
Composition C 0.027 S 0.006 C 0.018 Ni 9.1 C 0.021 0.006
(en %/) Cr 18.18 si 0.41 Cr 18.2 pD 0.029 Cr 18.51 Si 0.47
Pour compléter la validation du modèle sur d'autres matériaux, des résultats d'essais, déjàréalisés au laboratoire dans le cadre d'études différentes [DIN95], sont repris ici
* alliage d'aluminium de type 2219, épaisseur 4 mm* zirconium, épaisseur 4 mm* base nickel inconel 718, épaisseur 1.2 mm• base titane T40. épaisseur .6 mm
Les compositions chimiques de ces différents matériaux sont présentées en annexe 4-A
4.3 Conditions générales des essais
4.3.1 Le Système SYLVARC
4.3. 1. 1 Description générale du système
Nous avons évoqué dans l'introduction de ce rapport que les exigences de qualité de plus en plusrigoureuses et le souhait d'élargir les capacités d'adaptation des moyens de soudage automatique,ont conduit le laboratoire à développer le concept de Soudage Assisté par Ordinateur [DIL89,PRU90, CHA92] (figure 4-1).
du procédé robot, arc~~~~~~~~d éti ro-ctobouleneérajectoire soudagrchvag
orrections )r~~~~~~~~~cqis iton e
boucle d procédétraitemetBAlarm
boulede raeLoisre cmad
du procédé
figure 4-1 principe du système SYL VARC
Ce concept est particulièrement adapté aux situations difficiles où les conditions nominales desoudage doivent réagir face à des perturbations : défauts d'accostage de pièces, conditionsthermiques variables.
Le système SYLVARC est un système qui permet le contrôle du procédé TIG. Il est basé sur lavision en face endroit et l'analyse en temps réel de la scène de soudage. Un système industrieltraite, en temps réel. les informations provenant d'une caméra, complétée d'un aispositif laser, etdialogue avec le générateur de soudage et le système de commande de la position de la torche.
SYLVARC exploite les données classiques telles que la tension, le courant, les vitesses desoudage et de fil d'apport. et surtout les résultats des mesures issue s de l'analyse de la scène desoudage. Cette analyse sopère aux travers de à 6 fenêtres de mesure : 2 fenêtres de mesure delargeur et de position (bain, cordon, chanfrein), 1 fenêtre de mesure de joint bord à bord(position, jeu) ou de fil d'apport (position), et 3fenêtres de mesure de hauteur par dispositif laseradditionnel (hauteur de vol, dénivelé, relief).
L'analyse de l'image fournit des informations de nature géométrique avec une précision de0. 1 mm, à des fréquences comprises entre 1 0 et 25 Hz.
La régulation en boucle fermnée est gérée par un contrôleur de type Proportionnel Intégral (PI),auquel peut lui être associé un système d'autoréglage.
4.3.1.2 Réglage du régulateur Pl
D'une manière générale, la sortie u(î) d'un régulateur Pl est de la forme
u(t) UO + K e) + - fe(t)dt~
où K., est le gain proportionnel et r la constante de temps intégrale.
La fonction de transfert du régulateur P s'obtient en prenant la transformée de Laplace del'équation précédente
U(p) ( c()=E(p) "K p Tp)
Des méthodes simples (méthode de ZIEGLER-NICHOLS [ZIE42], COHEN-COON COH-53],TAKAHASHI [TAK71I], ... ) permettent de déterminer les paramètres de réglage du régulateur Kpet r à partir de la réponse à un échelon. Ces méthodes, plus ou moins empiriques, sont basées surune représentation du système par un modèle approximatif du type premier or dre avec retard.Elles sont largement appliquées dans le monde industriel où elles sont suffisantes la plupart dutemps. Elle supposent toutefois que la réponse soit apériodique, de type premier ordre avecretard, et ne permettent pas un réglage fin [FLA94J.
Dans le cas où la réponse peut être assimilée à celle d'un modèle de type premier ordre et comptetenu des simplifications adoptées dans le modèle analytique, la méthode de ZIEGLER-NICHOLS est suffisante pour donner une estimation des paramètres de réglage Kp et r à partirdu calcul de la réponse de la largeur du bain à un échelon de puissance (équivalent ici à unéchelon de l'intensité de soudage).
4.3.2 Matériel utilisé
Les mesures lu champ de température sont réalisées sur un banc de soudage spécifique, désignépar l'appeliat;on « banc modélisation », pouvant être instrumenté, selon les besoins, de différentscapteurs de mesure et de vision (figure 4-2). Il se compose des éléments suivants
• Un générateur de soudage TG ASTROARC 3P-300-PE-4 équipé d'une torcheWELDCRAFT WP27 refroidie par eau
* Une régulation de tension CYCLOMATIC AVC-3)* Une table motorisée par motoréducteur et coffret de commande assurant une vitesse de
déplacement constante des échantillons sous la torche.
Iigure 4-2 /'anc I<(diIi
I es essais relatilk à l'étude des lois dec comportement ont été réalisés sur unt banc de soudaLuCaumionatisé. désigné par l'appellation . banc maquette .. équipé du sstème d contrôle duprocédé SIVR gre4-3). Il se comipose des éléments suivants
* Un uénérateur de soudage MlESSliR25>.(-)t'I ne régulation de hauteur. composée dnt positionneur 2 axes. d'tit calculateurprogrammable F'RIC) NIC2 et d'unt capteur de mesure dle haitiutur'I SA
*Le sstèmec de contrôle du procédé SI.\'A-R s composant dune tête spécilitiuc(torche llJX.\I caméra C) se déplaçant àt vitesse constante au dessus (leleéchatillon souder et du logiciel de contrôle temps réel par commande d.u courant alugénérateur
* I.n, dispositil'iikwnlatitltit de commande des paramètres dle régulation et dacquisition(les mesures.
figure 4-3 : him miuquelfle
4.3.3 Mode opératoire et conditions de soudage
Les conditions énérales de soudage des essais sont rappelées dans le tableau 4-2, suiv ant
Banc de « Banc modélisation » « Banc Maquette »soudage
Paramètres Intensité 40 à 10 A Intensité 40 à 1 20 A
v itesse de soudage 1 0 cmi/in v itesse de soudage 1 0 ciii iii i
tension 9 volts hauteur d'arc 2. .5 et I .2 i
Préchauffage aîibiant ambiant
Gaz Argon Li (torche et protectioîî Argoîi U (torche et protectioîienv\ers) débit 1 2 /m ni (torche) et envers) débit 1 2 1/i ii i (torche) et15 I/min (protection envers) 15 I/min (protection env\ers)
tableau 4-2 conditions opeératoires des essaLs e)pi~erntlux
4.4 Résultats expérimentaux
4.4.1 Géométrie du bain de fusion
L'objectif est de mesurer la morphologie du bain de soudage au niveau des faces endroit etenvers, dans les conditions de soudage correspondant au point de fonctionnement.
Pour obtenir une visualisation de la géométrie du bain. larc électrique est éteint instantaîîémentune fois le régi nie permanent atteint de manière à conser-ver la éomnétrie du bain aprèssol id ifi cati on.
La géométrie du bain est définie par sa largeur endroit Lncix. sa longueur endroit Long. salargeur en\'ers lnax. et sa longueur envers on g.
Les mesures de largeurs du cordon de soudure sont réalisées à la binoculaire à fort grossissement.
L'intérêt de cette solution est d'effectuer une moyenne visuelle de la largeur sur toute la ongueurdu réticule ce qui permet de s'affranchir en partie des fluctuations du bain. Des essais de
reproductibilité ont permis d'évaluer l'incertitude sur la valeur de la largeur présentée ±0. 15 mm (tableau 4-4).
Le point de fonctionnement est fixé aux conditions suivantes
matériau 304L (parc 236)
épaisseur 2 mm
intensité 75 ampères
tension 9 volts
vitesse de soudage 1 0 cm/Min
tableau 4-3 acier 304L 2 mm .-conditions de soudage aut point de
fonictionnement
Lniar, endroit Long endroit l'max envers long envers
lé"e essai 6.1 mm 1 1.0 mm 5.2 mm 9.8 mm
2eile essai 6.2 mm 10.9 mm 5.4 mm 9.8 mm-,eine
.,essai 6.4 mm 1 1.0 mm 5.2 mm 9.9 mm
4ejn essai 6.4 mm 10.8 mm 5.4 mm 9.7 mm
moyenne 6.28 mm 10.93 mm 5.3 mm 9.8 mm
tableau 4-4 acier 304L 2 mm. géométrie du bain en régimne permanent
au point de fonctionnement
La figure 4-4 représente le bain solidifié en face endroit pour le quatrième essai. La figure 4-5visualise le bain solidifié en face envers. Une coupe métallographique réalisée sur laxe d'avanceest présentée en figure 4-6.
figure 4-6 acier 304L 2mni. coupe on giludinale sur l'axe d avance
4.4.2 Etude comportementale dans le régime permanent
4.4.2. 1 Application dans le cas de référence .-acier 304L
Dans un système stable, le régime permanent est complètement caractérisé par le gain statiquequi peut être défini comme étant le rapport entre la sortie stabilisée et l'entrée choisie constante.Dans le cadre de la solution adoptée pour le système SYLVARC, l'évolution temporelle de lalargeur maximale du bain en réponse à un échelon de courant Dl détermine la valeur du gainstatique, défini tel que
lim Lmx(t)
Gain Statique DI - DI
L'asservissement sur la largeur du bain, tel qu'il est réalisé dans le système SYLVARC,nécessite que le gain statique reste constant sur tout le domaine d'évolution du courant desoudage autour du point de fonctionnement ; autrement dit, l'évolution de la largeur maximale dubain en fonction de l'intensité du courant de soudage, dans le régime permanent, doit êtrelinéaire.
L'objectif de ces essais est donc de déterminer l'évolution expérimentale de la largeur du bain enfonction de l'intensité du courant de soudage, une fois le régime établi, autour d'un point defonctionnement.
Le domaine de variation du courant se situe entre 50 A et 90 A, ce qui représente une variationde -33 % à +20 % autour de la valeur nominale fixée à 75 ampères. Cet intervalle de variation ducourant est plus élevé que celui dans lequel doit évoluer le courant en configuration de contrôledu procédé (entre ±5 et ±10 % [DEL95]), mais cela permet de couvrir un domaine plus largepour la validation du modèle.
Quelle que soit le valeur du courant de soudage, la tension est maintenwt caiw'tante à 9 volts parune régulation. La vitesse d'avance est fixée à une valeur constante de 10 cm/min.
Les mesures de largeur en face endroit sont réalisées de deux manières différentes
* mesures en temps réel sur le film vidéo à partir du traitement d'image du systèmeSYLVARC. La valeur présentée est la moyenne des mesures réalisées sur la durée del'essai, une fois le régime établi. La fréquence d'acquisition est de 25 Hz.
* mesures post-mortem à la binoculaire. La valeur présentée est la moyenne de la largeurdu cordon mesurée en début, milieu et fin de l'essai.
Dans le premier cas, l'incertitude sur la mesure en elle même est très faible - c'est au pixelprès -, mais la valeur des résultats dépend directement de la qualité de l'image obtenue. Dans ledeuxième cas, 'incertitude pour une mesure à la binoculaire est évaluée à ±0. 15 mm.
Les conditions de soudage sont résumées dans le tableau 4-5 suivant
matériau 304L (parc 236)
épaisseur 2 mm
intensité 50 A à 90 A
tension 9 V
vitesse de soudage 1 0 cm/min
énergie moyenne de 377 J/mmsoudage
tableau 4-5 acier 304L 2mm: étude comportementale dans le régimepermanent: conditions de soudage
L'évolution de la largeur endroit en fonction de l'intensité de soudage est tracée sur la figure 4-7.Ces essais indiquent une évolution linéaire de la largeur en fonction du courant de soudage dansle domaine de variation du courant de soudage considéré. Le gradient DL/Dl correspondant estde 0.08 mm/A. L'incertitude de ±0.15 mm sur la mesure de la largeur se traduit par uneincertitude de ±0. 0l mm/A sur la pente DL/Dl soit une incertitude relative de ±1 0
7.25-
6.75--6.5-
6E2 -6 -
5.75 -5.5 -K
5~ .75
4.75 4.5-
45
-j3.75-
o points exp4rimentaux (mesures post-mortem>- - droite de tegression (post-mortem) DUIDI=0.084 mm/AX points expérimentaux (mesures temps réel>- - droite de régression (temps réel): DI-DI=0.080 mm/A
45 50 5 5 60 65 70 75 80 85 90 95Intensité (A)
figure 4-7 acier 304L 2mm, loi Lmax=f(I) dans le régime permanent
Les deux méthodes de mesures sont comparées entre elles. On constate une différence d'environ0.5 mm sur la mesure de la largeur en faveur de la solution en temps réel. Cet écart ne variepratiquement pas dans l'intervalle courant considéré. Cette différence est due principalement auretrait de solidification, aux effets de contraintes résiduelles en traction autour du cordon de
soudure ainsi qu'aux effets thermophysiques provocant la dilatation puis la contraction del'ensemble au refroidissement.
4.4.2.2 Application à d'autres configurations
Les résultats présentés ici sont issus des bases de données réalisées par le laboratoire [D1N951.L'utilisation de ces résultats permet de compléter la validation du modèle sur des configurationsdifférentes tant au niveau des propriétés thermiques du matériau que de l'épaisseur de la tôle etde la vitesse d'avance adoptée.
Les évolutions de la largeur en fonction du courant de soudage sont représentées par les mesuresexpérimentales réalisées à la binoculaire et par les droites de régressions correspondantes.
4.4.2.2.1 Cas d'un alliage d'aluminium de type 2219
Du point de vue de la modélisation, cette configuration est intéressante car, contrairement au casde l'acier 304L, elle concerne un matériau fortement conducteur de la chaleur (conductivitéthermique de 176 W/m'C contre 19 W/mC pour l'acier 304L).
Les propriétés thermophysiques de l'alliage d'aluminium de type 2219 (à la température de20'C) sont les suivantes [PER63]
Les conditions de soudage adoptées dans cette série d'essais sont résumées dans le tableau 4-6suivant:
matériau alliage de type 2219
épaisseur 4 mm
intensité 70 - 1 10 A
tension 15 V
vitesse de soudage 30 cm/min
énergie de soudage 202 J/mmmoyenne 1
tableau 4-6 alliage d'aluminium de type 2219:- étude comportementaledans le régime permanent, conditions de soudage
La figure 4-8 représente l'évolution de la largeur maximale du bain en fonction du courant desoudage. Le gradient DL/DI correspondant est de 0. 10±0.0l1 mmIA
alliage d'aluminium 2219 - Ep=4 mm - 30 cm/min - 15 V10.5 i 1 I 1
figure 4-8 alliage d'aluminium de type 2219, loi Lmax=f(I) dans lerégime permanent
4.4.2.2.2 Cas d'un alliage base nickel inconel 718
Cette configuration se distingue du cas de référence par une épaisseur de tôle très faible (1 .2 mm)et une vitesse d'avance élevée (40 cm/min). Les propriétés thermophysiques de 'inconel 718 (àla température de 20'C) sont les suivantes [PER63]
Les conditions cet essai sont résumées dans le tableau 4-7 suivant
matériau inconel 718
épaisseur 1 .2 mm
intensité 70 - 120 A
tension 9 V
vitesse de soudage 40 cm/min
énergie moyenne de 128 J/mmnsoudage
tableau 4-7 : alliage base nickel inconel 718:- étude comportementaledans le régime permanent:. conditions de soudage
La figure 4-9 représente l'évolution de la largeur maximale du bain en fonction du courant desoudage. Le gradient DL/Dl correspondant est de 0.06±0.01 mm/A.
figure 4-9 alliage base nickel inconel 718, loi Lmax=f() dans le régimepermanent
4.4.2.2.3 Cas d'un alliage base titane T40
Cette configuration se distingue du cas de référence par une vitesse d'avance deux fois plusélevée (20 cm/min). Les propriétés thermnophysiques de l'alliage T40 (à la température de 2'C)sont les suivantes [PER63]
• conductivité thermique, À = 7 W/m'C• chaleur massique, Cp = 543 J/kg0 C• masse volumique. p = 4520 k g/M3
• diffusivité thermique, a = 2.85106m/• température de fusion, Tf = 15000 C
Les conditions de ces essais sont résumées dans le tableau 4-8 suivant
matériau T40
épaisseur 1 .6 mm
intensité 70 - 10A
tension 8.5 V
vitesse de soudage 20 cm/min
énergie moyenne de 229 J/mmsoudage
tableau 4-8 alliage base titane T40.: étude comportementale dans lerégime permanent:. conditions de soudage
La figure 4-10 représente l'évolution de la largeur maximale du bain en fonction du courant desoudage. Le gradient DL/Dl correspondant est de 0.10±0.01 mm/A.
6.75 -
6.5
6.25 {É6 5.75-
5.25 ,
5 -
-J4.75-
4.25 pois expérimentaux mesures post-mortemr)
- droite de régression: DL/DI=0. 102 mm/A
4 -60 65 70 75 80O 85 90 95
Intensité (A)
figure 4-10 alliage base titane T, loi Lmax=f() dans le régimepermanent
4.4.2.2.4 Cas du zirconium
Cette configuration se distingue du cas de référence par une épaisseur de tôle deux fois plusgrande (4 mm). Les propriétés thermophysiques du zirconium (à la température de 20'C) sont les
suivantes [T0U67]
• conductivité thermique, Â = 1 W/m'C• chaleur massique, Cp, = 284 J/kg0 C• masse volumique,po= 6500 kg/m'* diffusivité thermique, a = 1.68 I 0-5 M2/S
• température de fusion, Tf = 18520 C
Les conditions de soudage des essais sont résumées dans le tableau 4-9 suivant
matériau Zirconium
épaisseur 4 mm
intensité 70 - 1 10 A
tension 1il V
vitesse de soudage 1 0 cm/Min
énergie de soudage 593 J/mm
moyenne 1
tableau 4-9 zirconium: étude comportementale dans le régimepermanent .-conditions de soudage
La figure 4-11I représente l'évolution de la largeur maximale du bain en fonction du courant desoudage. Le gradient DL/Dl correspondant est de 0. 0±0.0l1 mrnIA
1 5
14.5-14-
13.5 -
12.5
~12-E 11.5
(t il. -
2 10 U -
c9.5
9 -,
21 8.5 -
-8 87.5 -
7-
6.5 -- _____________________6 O points expérimentaux (mesures post-mortem)
5.5 - - droite de régression DUDI=0. 103 mm/A5 I I I I I -I I- I
100 110 120 130 140 150 160 170 180Intensité <A)
figure 4-11 alliage :-ircalloy, loi Lmax =ffJ) dans le régime permanent
4.4.3 Etude comportementale dans le régime transitoire
D'une manière générale, le comportement dynamique d'un système peut être caractérisé par saréponse à une entrée de type échelon, appelée également « réponse indicielle ». La partietransitoire de la réponse peut être caractérisée par le temps de montée tm qui est le tempsnécessaire pour passer de 1 0% à 90% de la valeur finale, le temps de réponse Ir, qui représente letemps nécessaire pour que la réponse se stabilise à plus ou moins 5% de la valeur finale.
Dans le cas d'un système du premier ordre, la réponse à un échelon unitaire peut se calculer àpar-tir de la fonction de transfert G(p), définie par:
KG(p) = -~
1+TP
où K est le gain statique et est la constante de temps.
La réponse à un échelon unitaire E(p)= I /p s'écrit
Y(p) =G(p)E(p)=- Kp(1±+Tp)
d'où y(t) = KP(l - exp(- IjJ
La constante de temps est telle que y(T)=0.63)2.K.
L'objectif de cette série d'essais est donc de tracer l'évolution temporelle de la largeur maximaledu bain en réponse à différents échelons de courant.
La mesure de largeur est effectuée à partir du traitement d'images appliqué au film vidéo de lascène de soudage. La caméra CCD n'est pas solidaire du support de torche de soudage, ce quipermet de conserver une correspondance pixels/mm constante quel que soit le niveau de courantconsidéré.
Ces essais ont été réalisés dans les conditions de soudage suivantes
matériau 304L (parc 236)
épaisseur 2 mm
intensité 65-75-85 A
tension 9 V
vitesse de soudage I0 cm/Min
tableau 4-10 acier 304LL: étude comportementale dans le régimetransitoire
Les résultats obtenus au cours de ces essais sont présentés aux figure 4-12 à figure 4-1 5.
1 Gi 9.75-
9.5 ~9.25-
28.75-8.5
~5 8.25-2> 8 -
7.75 r)H i~57.25 -iI
E 6.75-
~65
525 -
O 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160temps (s)
figure 4-12 acier 304L étude comportementale dans le régimetransitoire: échelon 65-75-85 65-85 A
8
7.8-
E7.6-
7.4-
0>7.2-
6.8-
cL6.4-0>
(D6.2
0>
figure 1 te2 0~ 25 30 35 40
fiue4-13 acier 30-IL : étude comportementale dans le régimetransitoire:. évolution de la largeur enionction du temps en réponse à un
échelon de 65 - 715 A
8.8
-8.6
E8.42EE8
7.8-
217.6-
co 7.4-'a~ 7.2-
.7
E.68 -
5D .4-
E 6
5.8
110 115 120 125 130 135 140 145 150 155temps (s)
figure 4-14 acier 304L étude comportementale dans le régimetransitoire évolution de la largeur enfonction du temps en réponse à un
échelon de 65 - 85 A
8.8
E8.6-
~8.4-
QI8.2-
21 8~~~~~~~~~~~~~~~~~~l
7.2
7
6.8
6.6
40 45 50 55 60 65 70 75temps (s)
figure 4-15 acier 304IL étude comportementale dans le régimetransitoire. évolution de la largeur enfonction du temps en réponse à un
échelon de 75 - 85 A
4.4.4 Mesure de la distribution des tempjératures
La capacité du modèle à reproduire le champ de température en cours de soudage est validée surle cas de soudage de référence (acier '104L, parc 236, 2 mm d'épaisseur). Le champ detempérature est évalué à partir de la réponse de thermocouples disposés sur la pièce soudée.
La position des thermocouples sur la tôle est décrite sur le schéma présenté en figure 4-16. Pourêtre à l'abris du rayonnement de l'arc électrique, les thermocouples sont enchâssés à partir del'envers de la tôle dans des trous de 0.5 mm de diamètre, percés sur une profondeur de .7 mm.Le contact thermique entre les thermocouples et la pièce est assuré par une pâte thermo-contact.
vue de dessuscoupe transversale
1.7 m
3 10 1520 25
figure 4-16: mesures de température positions des thermoco up/es
Compte tenu des niveaux de température élevés, les mesures sont réalisées à partir dethermocouples de type K. L'enregistrement des mesures est effectué sur un enregistreurSEFR-AM 8400 à 8 voies. Les principales caractéristiques des thermocouples sont données dansle tableau 4-1 suivant :
type K (chromel-alumel)
gaine acier inoxydable
diamètre 0.5 mm
gamme de T 20 -1 OC
précision 0.20C
compensé oui
tableau 4-11 :caractéristiques des thermocouples K
Les conditions de soudage adoptées au cours de ces essais sont présentées dans le tableau 4-12suivant
matériau 304L (parc 23 6)
épaisseur 2 mm
intensité 75 A
tension 9 V
vitesse de soudage 1 0 cm/Min
tableau 4-12 mesures de températures:. conditions de soucdage
Trois séries dessais identiques sont réalisées de manière à vérifier la reproductibilité desmesures de température. Il apparaît que la reproductibilité de la mesure de température estsatisfaisante : l'écart sur la température maximum atteint par chaque thermocouple ne dépassepas 300 C entre chaque séries d'essais pour des températures maximales atteintes de 200'C à1 0000c.
Les réponses des différents thermnocouples sont présentées dans les figures suivantes
1000
950 900
850
800-
750-700-650-
~)600-550 500 450-
E 400-
350-
300-250-
200-
150 100
50
O 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260temps (s)
figure 4-17 t hermoco up/es situés à 5 mm de 'axe d'avance
comporte deux marches de mm;, l'épaisseur passe de 2 mm à 3 mm puis de nouveau à 2mmsur la longueur de la tôle (figure 4-22).
FACE ENVERS~~~FAE NDOI
figure 4-22 étude d'une variation d'épaisseur: géométrie deséprouvettes
Les paramètres de réglage du contrôleur P sont obtenus à partir de passes d'autoréglage sur destôles de même approvisionnement à épaisseur constante de 2 mm.
Les conditions de soudage sont présentées dans le tableau 4-13 suivant
matériau 304L (parc 237)
épaisseur 2 - - 2mm
intensité 75 A
tension 9 V
vitesse de soudage 1 0 cm/Min
tableau 4-13 étude d'une variation d'épaisseur: conditions de soudage
Un système d'acquisition de données permet de retracer les évolutions des paramètres desoudage au cours de l'essai (intensité, largeur du bain, tension, hauteur d'arc)
Les figures 4-23 et 4-24 retracent l'évolution du courant de soudage et de la largeur du bain encours d'essai sans et avec contrôle par le système SYLVARC. Dans le premier cas, le courant de
soudage est maintenu constant à 80 A, la largeur chute de 175 pixels à 120 pixels au passage dela marche montante, puis retrouve sa valeur initiale après le passage de la marche descendante.Dans le deuxième cas (essai avec contrôle du procédé), la largeur est maintenue au niveau deconsigne de 160 pixels par une augmentation du courant de soudage de 75 à I OS A.
variation d'épaisseur de la tôle essai SANS contrôle du procédé
E 12-
o10
a,
6
O 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280temps (s)
15C
125-
100
75, 7
c50-25 ___________________________________c 0 r r ii
o 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280temps (s)
figure 4-23 évolution de la largeur endroit et du courant de soudage enfonction du temps, essais réalisé sans contrôle du procédé
variation d'épaisseur de la tôle essai AVEC contrôle du procédé16
o 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280temps (s)
figure 4-24 : évolution de la largeur endroit et du courant de soudage enfonction du temps, essais réalisé avec contrôle du procédé
Les figures 4-25 et 4-26 illustrent bien l'apport du SAO dans ce type de perturbation le maintiede la largeur en face endroit par une augmentation du courant de soudage se traduit par unepénétration de bain beaucoup plus importante et régulière (figure 4-25).
-. Q ~ ~ ~ ~ ~ 1. 'IW
10 mm
L endroit - 9.1 mm L endroit - 6.7 mm L endroit - 9 7 mm
Ep= mm iEp=3 mm Ep2m
envers - 88mm Ievrs25m envers6- .Bmm
sens de déplacement de la torche
~~~~j4 ~ ~ ~ ~ ~ m
figure 4-25 apport du contrôle du procédé sur la qualité du cor-don desoudure visualisation du cordon en face endroit et enface envers pour
un essai réalisé sans contrôle du procédé
.. e~~2.~ et 4 \1S0?S.
L endroit - 9.2 mm L endroit 9.2 mm L endroit - 92 mn
envers -Sl mm envers - 50mm envers -Bl 1mm
sens de déplacement de la torche
figure 4-26 apport d contrôle d procédé sur la qualité d cor-don desoudure .-visualisation du cordon enface endroit et enjâèce envers pour
un essai réalisé avec contrôle du procédé
4.4.6 Essais complémentaires
1-obje cif poursuivi1 au cours de ces essais est d'évaluer une relation entre la concentration de la
source de chaleur 'a prendre eni compte dans le calcul et la tension de soudage de manière à mettre
en é idence l'effet dissocié de la tension et de l'intensité de soudane.
Le principe des essais consiste à réaliser des lignes de fusion pour différentes valeurs de coupleIntensité-Tension tels que la puissance théorique (produit UT) reste constante. La modélisation
est utilisée de manière à recaler le rax on mioyen de la source aussîenne sur- la pénétration
obtenue expérimentalement.
Les essais sont réalisés sur des tles dcLacier 30-4L (parc 2156) de 5 ni d'épaisseur.
La mesure de la pénétration est réalisée à la binoculaire sur des coupes transversales à partir de(coupes métal lographiques présentées eni anniexe 4-B).
Deux séries d'essais sot réalisées. Les conditions de soudage sont présentées dans les tableau 4-
1.4 et tableau 4-15
a) Première série puissance théorique de 990 N\atts
matériau 304L (parc 256>
épaisseur 5 miii1
intensité 125-1 1 0-99-90-82.5 A
tension 8-9-1 0-1 -12 V
vitesse de soudage I O cmn/min1
tableau 4-14 c' sxuAbi.s comnplèmeniair-e.s concliiion.s di .liÉlcie c lapwn;el Wlte s pi i Cllciheoïicij uc 990 niÉm~
b) xumcserie puissance théorique de 1 120 w~\atts
miatériaui 3'04L (parc 256>
épaisseur 5 mmn
intensité 140-1 24-1 1- 102-93 A
tension 8-9-1 0-Il1 - 12 V
itesse de sotndag-e 1 0 cm min
tableau 4-15 e ssis coi?îlléewiaiire,% conciffon.% te souidage tc lt
cleuxic'mnc sér-ie Wulissane hé,oriqiuue c 10 au.
Les figures 4-27 à 4-30 représentent l'évolution de la profondeur de pénétration et de la largeurdu cordon en fonction des paramètres intensité et tension pour les deux niveaux de puissanceconsidérés. Pour les deux séries, dans le cas de la tension la plus élevée (U=12 volts), onn'observe pas de zone fondue, la densité d'énergie étant trop faible pour permettre d'atteindre latempérature de fusion de l'acier (1400 0 C).
A puissance théorique constante, l'évolution de la profondeur de pénétration en fonction de latension et en fonction de l'intensité semble être linéaire. Les deux séries présentent desévolutions parallèles. Dans les deux cas, la profondeur maximale du bain est atteinte pour latension de soudage la plus faible.
A l'inverse de la profondeur de pénétration, l'évolution de la largeur nest pas linéaire avec latension ou l'intensité de soudage. Au niveau de puissance supérieure (1 120 W), la largeurmaximale n'est pas atteinte pour la valeur minimale de la tension de soudage.
-2 2W théorique3.5 -- 990 W théorique
3 -
E
-
0.5
'7.5 8 8.5 9 9.5 lO 10.5 i'l 11.5 12tension M
figure 4-27 évolution de la profondeur de pénétration enfonction de latension
4
3.5 ,11
3 -1
2.5 -l
2 l
1.5 ,1 {
0.5 I--l20W théoriqu- 990gW théoriu
80 90 100 110 120 130 140 150intensité (A)
figure 4-28 évolution de la profondeur de pénétration enfonction del'intensité
7
6-
5 -
3 -
2-
1 ll~~~~~~~~~1120 Wthéonique
-- 990 W théorique
07.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 Il 11.5 12
tension <y>
figure 4-29: évolution de la largeur endroit enionction de la tension
6 - . ~ .
5- ~ ~ ~ ~ ~ - -
E4 -
c
3 -
2
1 I -- ~~~~~~~~~~~~~ l20oWthéornqueI - ~~~~~~~~~~990 W théorique
80 90 100 110 120 130 140 150intensité <A)
figure 4-30 : évolution de la largeur endroit enfonciion de l'intensité
Ces résultats expérimentaux sont repris au chapitre suivant (paragraphe 5.4.4) afin de déterminerune relation semi-empirique entre le rayon moyen de la source gaussienne et la tension desoudage (figure 5-15).
4.5 Conclusion
Ce chapitre p:sn ies résultats expérimentaux sur lesquels la -nIodé1:Lation sera validée. Pourl'essentiel, ces résultats concernent le cas de l'acier inoxydable 304L de 2 mm d'épaisseur. Lesessais ont permis d'étudier la géométrie du bain de fusion dans le régime permanent au niveaud'un point de fonctionnement, l'évolution de la largeur maximale du bain en fonction du courantde soudage dans le régime permnanent et, enfin, lévolution temporelle de la largeur en réponse àdifférents échelons de courant. Ces différents résultats concernent l'application du modèle aucontrôle du procédé. Dans un contexte plus général, des essais de mesures de température encours de soudage ont été réalisés de manière à pouvoir valider le modèle dans une zone éloignéedu bain de fusion.
Enfin, des essais réalisés avec et sans contrôle du procédé sur une configuration comprenant uneperturbation géométrique. introduite sous la formne d'une ou plusieurs variations d'épaisseur del'éprouvette ont été réalis és. Les résultats obtenus mettent en évidence l'apport d'un système decontrôle pour maintenir un certain niveau de qualité du cordon de soudure.
5. MODELISATION ADAPTEE AU CONTROLE DU PROCEDE
5.1 Introduction
Pour compléter l'approche expérimentale, nous avons évoqué en introduction la nécessitéd'établir un modèle de connaissance de manière à reproduire, aussi précisément quepossible, les lois de comportement du bain de fusion autour d'un point de fonctionnementdonné. Le comportement du bain est étudié à partir de l'étude du transfert de chaleur entrel'arc électrique et la pièce soudée. Cette analyse peut tre simplifiée en se limitant autransfert de chaleur par conduction ce qui autorise l'emploi d'expressions analytiquesfacilement exploitables.
L'application du principe de superposition des sources de chaleur permet de développer unmodèle transitoire tridimensionnel à partir des expressions issues de la théorie des sourcesimpulsionnelles. L'utilisation de ce modèle implique de définir préalablement des règlesconcernant les variables d'entrées du calcul. Si certains de ces paramètres ne sont a prioripas discutables (tension, intensité, vitesse, épaisseur de la tôle et température initiale), tousles autres peuvent se prêter à un certain niveau d'interprétation (isotherme de fusion,rendement du procédé, nombre de sources-images, intervalle d'intégration). Le niveau deconcentration de la source de chaleur et la température à laquelle les propriétésthermophysiques du matériau sont choisies sont également deux paramètres essentiels qui nesont pas maîtrisés complètement et dont il est nécessaire de préciser l'influence sur lesrésultats.
Une première partie de ce chapitre présente les différents objectifs de la modélisation entermes de résultats attendus. Une discussion sur les conditions d'utilisation du modèle faitl'objet d'une seconde partie de ce chapitre, avant d'aborder plus précisément l'influence dela distribution de la source et de la température de sélection des propriétés du matériau surles lois de comportement du bain. La confrontation avec les résultats expérimentauxprésentés au chapitre 4 du rapport, est exposée dans une troisième partie de ce chapitre,permettant de préciser finalement les modalités d'utilisation du modèle.
Cette analyse est complétée en étndiant l'effet des principales hypothèses adoptée.- dansl'approche analytique, concernant les mouvements de convection dans le bain de soudage, lachaleur latente de changement de phase et la dépendance en température des propriétésthermophysiques, sur la géométrie du bain et sur les lois de comportement dans le régimepermanent. Dans cette quatrième partie, une solution numérique est employée;, les calculssont réalisés avec le code éléments finis MARCUS développé par l'USTI.
Dans une dernière partie de ce chapitre, le modèle est appliqué dans un cas de soudage avecune perturbation géométrique introduite sous la forme d'une variation de l'épaisseur de latôle. Une confrontation avec des mesures expérimentales est réalisée afin de valider lemodèle dans cette configuration particulière. Enfin, un exemple d'utilisation du modèle entant qu'outil de simulation est présenté. Il s'agit ici de rechercher des paramètresobservables, autres que la largeur du bain, dont le maintien à une valeur de consigne permetde conserver le niveau de pénétration du cordon en réponse à une perturbation de typevariation d'épaisseur.
5.2 Objectifs du modèle
5.2.1 Etude de la géométrie du bain dans le régime permanent
Le premier résultat recherché concerne la géométrie du bain de fusion dans le régime quasi-stationnaire au niveau des faces endroit et envers. L'enveloppe du bain est schématisée parune isothermne dite de « fusion » que nous définissons au paragraphe 5.3Î.1.
Le calcul est réalisé à un instant t suffisamment grand et au delà duquel la géométrie du bainn'évolue plus l'état quasi-stationnaire est alors atteint. Ce temps est déterminé à partir desdimensions du problème. Dans le cas où le procédé évolue comme un système de premierordre, le régime permanent est considéré comme atteint pour un temps supérieur à 3 fois laconstante de temps, c'est à dire lorsque la largeur a atteint 95 % de sa valeur finale (figure5-1).
Largeur
0.63Lfinale
T 3T temps
figure 5-1 caractérisation d'une réponse du premier ordre
Il est intéressant de rappeler que l'on peut estimer rapidement la valeur de cette constante àpartir du temps caractéristique défini tel que
a
où L est la dimension caractéristique du problème (dans notre cas, la largeur) et a ladiffusivité thermique du matériau.
D'une manière générale, la géométrie du bain en face endroit est caractérisée essentiellementpar sa largeur, sa longueur ainsi que le rapport de forme largeur/longueur. L'information
97
dans l'épaisseur est donnée par la valeur de la largeur envers lorsque le cordon de soudureest débouchant et par la profondeur de pénétration dans le cas contraire.
5.2.2 Etude du comportement du bain dans le régime permanent
L'étude de l'évolution de la largeur en fonction du courant de soudage dans le régimepermanent a pour but de vérifier la linéarité de la réponse du procédé autour d'un point defonctionnement.
Les calculs sont réalisés dans un domaine de courant limité entre -'30% et +2000 autour de lavaleur nominale du courant de soudage. On admet l'hypothèse que le rendement resteconstant sur cet intervalle.
Dans le cas d'une évolution linéaire, la loi d'évolution dans le régime établi est caractériséepar la pente DL/DL.
5.2.3 Etude du comportement du bain dans le régime transitoire
En théorie, les paramètres de réglage d'un contrôleur de type Pl que sont le gain statique etla constante de temps peuvent être identifiés à partir de la réponse impulsionnelle ou de laréponse indicielle (réponse à un échelon de position) en utilisant les méthodes de typeZIEGLER-NICHOLS [FLA94].
Bien que limitée au transfert purement conductif, la modélisation permet de fournir uneestimation de ces paramètres à partir du calcul de l'évolution temporelle de la largeur dubain en réponse à un échelon de courant (dans le cas où l'on ne dissocie pas l'effet delFintensité et de la tension. le terme « échelon de courant » correspond en fait à un échelonde la puissance efficace). Dans cette approche, le rendement du procédé est supposé resterconstant avant et après l'échelon.
Comme nous l'avons vu au chapitre 4, si on identifie la réponse obtenue à une réponse dupremier ordre, elle peut être caractérisée par la constante de temps à 63 0% définie comme letemps correspondant à 63 % de la valeur finale (figure 5-1).
On peut rappeler ici que la réponse du premier ordre à un échelon unité s'écrit sous laforme
S(t) = Kpkl - exp( ]
où Kp est le gain et fI a constante de temps à 63 )0/
Remarque dans le cas d'une étude paramnétrique dans le régime transitoire, on simplifie laprogrammation de manière à réduire le temps de calcul, en se limitant à l'étude del'évolution d'une largeur particulière, notée Lx, située à une abscisse constante dans le repère
mobile plutôt que la largeur maximale du bain qui se déplace sur l'axe d'avance lorsque lapuissance varie (figure 5-2)
Isotherme liquidus après échelon
Sens de déplacement du bain
Isotherme liquidusavant échelonÀ
Isotherme liquidusaprès échelon -
figure 5-2 représentation dans le repère mobile des largeursLmax et Lx
5.2.4 Etude du champ de température
Il s'agit ici de déterminer la distribution de la température en cours de soudage dansl'ensemble de la pièce. La confrontation avec IFexpérience est réalisée à partir de la réponsede thermocouples disposés au sein de la pièce soudée (voir chapitre 4).
Il faut noter que le calcul ne peut pas rendre compte du processus de démarrage d'un essaiexpérimental (amorçage à faible courant pendant 3 à 4 secondes, mise en mouvement unefois le bain établi, ... ). Dès lors, pour effectuer une comparaison des réponses théoriques etexpérimentales, on fait correspondre les instants des températures maximales atteintes auniveau du thermocouple le plus proche de l'axe de soudage. Cette correction (un simpledécalage sur l'axe des temps) est conservée pour la réponse des autres thermocouples d'unmême essai.
5.3 Conditions d'utilisation du modèle
5.3.1 Expression de la température
La solution adoptée dans ce travail repose sur l'équation (3-26) qui représente uneexpression générale du champ de température. Cette expression permet de déterminer latempérature en tout lieu et à chaque instant au cours de l'opération de soudage.
Les principales caractéristiques de ce modèle sont les suivantes
99
* solution transitoire et stationnaire• approche tridimensionnelle (application aux tôles de largeur et d'épaisseur finies)• source de chaleur à répartition gaussienne appliquée en surface
On peut remarquer que cette équation est utilisée dans de nombreux travaux [EAG83,TSA83, MARY97]. Elle est généralement connue sous l'appellation de « modèle de TSAI etFAGER » bien qu'elle ne soit qu'une application directe des équations de CARSLAW etJEAGER.
5.3.2 Hypothèses adoptées
Le calcul de la température en cours de soudage par une approche analytique implique unesimplification des phénomènes physiques mis en jeu. On peut rappeler ici quelles sont lesprincipales hypothèses adoptées
• Le transfert de chaleur par convection naturelle ou par convection Marangoni dansle bain de fusion est négligé. Seul le transfert d'énergie par conduction thermiqueest considéré.
• Les propriétés thermophysiques du matériau (masse volumique, conductivitéthermique, chaleur massique et diffusivité thermique) sont supposées constantes de
manère à rendre linéaire l'équation de conduction de la chaleur.• La source de chaleur est schématisée par une géométrie simplifiée à répartition
gaussienne. Celle-ci se déplace linéairement avec une vitesse constante à la surfacede la pièce soudée qui est placée horizontalement (soudage à plat).
• La chaleur absorbée puis restituée au cours des changements de phase solide/liquideet liquide/solide est négligée.
• Les échanges de chaleur avec le milieu ambiant, par rayonnement et convection,sont négligés.
• La morphologie du bain fondu est approximée par la forme de l'isotherme defusion.
Certaines hypothèses peuvent a priori apparaître comme très contraignantes dans le cadred'une étude ciblée sur le bain liquide (hypothèses sur la convection et sur la chaleur latente,notamment dont on sait par la littérature l'influence importante sur la morphologie du bain).On peut toutefois supposer, dans un premier temps, que l'effet de ces hypothèses sur lagéométrie du bain est constant pour de petites variations autour du point de fonctionnement.
5.3.3 Définition de l'isotherme de fusion
Dans le calcul thermique, la morphologie du bain de soudage est représentée par l'isothermede fusion du matériau. Dans le cas d'un alliage métallique, le changement de phasesolide/liquide ne s'effectue pas à température constante mais entre la température solidus(apparition de la première goutte de liquide) et la température liquidus (disparition de ladernière fraction solide). Cet intervalle de température constitue la zone pâteuse.
D'une manière générale, les températures liquidus et solidus que l'on peut trouver dans lalittérature sont des valeurs théoriques, obtenues à par-tir dun chauffage lent et régulier dumatériau. Dans le cadre du soudage, les dynamiques de chauffage sont beaucoup plusrapides et brutales. Dès lors, les températures caractéristiques des transformations
1 [(%[\
métallurgiques dans la partie solide et jusqu'à la fusion (transformation ox<->y, y<-*é,.<>, .. ) sont décalées vers un niveau supérieur à la valeur théorique [GRA84].
DADIAN [DAD85] précise que compte tenu de ces écarts de température entretransformations à l'échauffement et au refroidissement, les fronts ne peuvent pas êtreassimilés à des isothermes (sauf aux très faibles vitesses de soudage). Il faut s'attendre à ceque. en réalité, les interfaces liquide/solide et solide/liquide se déploient plutôt dans unintervalle de température variable, suivant la vitesse de soudage et le lieu. Cet intervalle esttoutefois pratiquement nul aux points de raccordement des deux fronts et maximal sur l'axed'avance.
De plus, du fait des agitations intenses et des mouvements d'oscillations diverses du bain, ilest difficile de conserver des conditions d'élaboration rigoureusement constantes dans letemps. Dès lors, le bain de fusion est soumis à des fluctuations volumiques permanentesentraînant successivement ralentissement et accélération des fronts de fusion etsolidification.
Malgré tout, compte tenu de l'importance des différentes hypothèses simplificatrices de lasimulation analytique, il ne paraît pas nécessaire de tenir compte dans le modèle de cesobservations sur la fusion du matériau. Nous admettons donc que l'enveloppe du bain peutêtre représentée par une isotherme, laquelle est choisie à une valeur de température prochedu liquidus (1450'C dans le cas de l'acier 304L, par exemple).
5.3.4 Etude des effets de bord
L'application de la méthode des sources-images (figure 5-3) permet d'évaluer la distributionde température dans l'épaisseur d'une tôle. Cette solution permet de tenir compte desdimensions finies de la pièce en considérant ses surfaces comme des miroirs réfléchissant leflux de chaleur.
figure 5-3 principe de la méthode des sources-images
101
Dans son principe, cette méthode consiste à superposer des sources de puissance identique àcelle de la source principale, disposées symétriquement de part et d'autres des surfaces de latôle, de manière à annuler le flux à travers ces surfaces (on fait dans ce cas l'hypothèsed'adiabacité des parois). En théorie, la succession des sources-images est infinie. Cependant,on peut observer que la température d'un point décroît rapidement avec la distance laséparant de la source et il suffit alors de superposer un nombre limité de sources pour obtenirle champ de température correspondant.
Un nombre fini de sources-images permet de prendre en compte un certain niveau d'échangede chaleur avec le milieu extérieur le flux de chaleur passant à travers les parois étantdirectement fonction du nombre de sources adoptées. Un calcul inverse permet de remonter,à partir du champ de température, à une estimation des pertes et à une valeur du coefficientd'échange global équivalent correspondant (voir chapitre 2).
Le calcul des pertes à partir d'une distribution de la température est réalisé en appliquant laloi de Fourier au niveau des surfaces inférieure et supérieure de la pièce (on admet ici que lespertes par les côtés sont négligeables). Le modèle permet de déterminer le champ detempérature au niveau des surfaces ainsi que dans un plan parallèle situé à une petitedistance dz. En admettant une conduction monodimensionnelle et en appliquant sur chaquepoint de la grille de calcul la loi de Fourier, on peut évaluer la densité de puissance évacuéelocalement. L'intégration sur la surface considérée aboutit à la puissance totale perdue. Apartir de la valeur moyenne de la température atteinte sur la surface considérée, on remonteaisément à la valeur du coefficient d'échange global équivalent prenant en compte leséchanges par rayonnement et convection naturelle.
La figure 5-4 ci-dessous montre l'évolution du coefficient d'échange équivalent Hgloba enfonction du nombre de sources intégrées dans le calcul, dans le cas d'une tôle en acierd'épaisseur 2 mm. On observe qu'au delà de 1 0 sources-images (1 0 sources au niveausupérieur et 1 0 sources au niveau inférieur), les pertes sont négligeables (paroisadiabatiques). Les valeurs du coefficient d'échange équivalent présentées sur ce tracé sont àrapprocher des estimations obtenues au chapitre 2. Compte tenu des approximationseffectuées dans le calcul d'estimation des pertes, il apparaît que, dans ce cas d'applicationprécis, un nombre de sources-iàages si]tué entre 5 et 10 correspond aux niveaux dX: pertescalculés (coefficient d'échange é\,alue entre 10 et 50 W/m20 C selon la température iroyenneconsidérée).
I (Yl
300 I
250 -.. . . . . .
~200- n
cma-)
-a 10 ~~100 O~~
50O
o OD
i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ilNombre de sources-images
figure 5-4 : évolution du coefficient d'échange équivalent enf onction du nombre de sources-images
Ce résultat est confirmé à la figure 5-5 qui représente l'évolution de la largeur du bain enfonction du nombre de sources-images au delà de 5 sources-images, la largeur n'augmenteplus.
7
6.8 - .... .. o
6.6 -
E6.4-E
6.2-
5.8
-JIl5.6 - O
5.4-
5.2-
o i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 il 12 13 14 15Nombre de sources-images
figure 5-5 :évolution de la largeur du bain en fonction dunombre de sources-images
103
5.3.5 Résolution de l'intégrale dans l'expression de la température
Dans la programmation du modèle, l'intégrale est résolue par la méthode des trapèzes. Cetteméthode présente un bon compromis entre temps de calcul et précision. Cette solutionconsiste simplement à diviser, régulièrement ou non. le domaine d'intégration en un certainnombre de points Xi, X2 . Xn auxquels correspondent les valeurs y 1=f(x]),Y2=f(X9-),. ..,Yn=f(XJ), puis de sommer l'aire de chaque trapèze ainsi cree.
Toutefois, la précision des résultats est directement fonction de l'intervalle d'intégration dtlchoisi. Ce paramètre doit être déterminé en fonction des dimensions caractéristiques duproblème. Nous avons vu au chapitre 2 que le problème du transfert de chaleur parconduction peut être caractérisé d'une manière simple par la constante de temps définie telleque :
L2rcoliduciion,
a
où L est la grandeur caractéristique du problème et a la diffusivité thermique du matériau.
De manière à assurer un bon compromis entre temps de calcul et précision, nous avonschoisi arbitrairement un intervalle d'intégration constant fixé à 1/5 0eme de la constante detemps, ce qui correspond, pour une largeur L = 4 mm, à un intervalle de 0. 1 seconde dans lecas d'un acier de type 304L (diffusivité de l'ordre de 3.10-6 m2/s) et de 0.005 seconde dans lecas d'un alliage d'aluminium (diffusivité de l'ordre de 7.lO m2/s
L'effet de l'intervalle d'intégration sur la largeur du bain est visualisé sur la figure 5-6. Ilapparaît que jusqu'à seconde, l'influence sur la largeur est très faible. Au delà de seconde, la largeur du bain chute progressivement. L'allure non-monotone de l'évolution dela largeur s'explique par la présence de points d'inflexion dans la réponse impulsionnelle àintégrer qui, selon la valeur de l'intervalle adoptée, entraîne une surestimation (allureconvexe) ou une sous-estimation (allure concave) de la température.
figure 5-6 influence de l'intervalle d'intégrati on sur la largeur
du bain
5.3.6 Rendement du transfert énergétique
Une manière de s'affranchir du problème posé par la méconnaissance du rendement consisteà réaliser les calculs en recalant le terme puissance dans l'expression analytique à partir de lalargeur expérimentale du bain mesurée au point de fonctionnement. Cela revient donc àdéterminer le niveau de puissance nécessaire au modèle pour obtenir une largeur identique àl'expérience.
Cette solution ne permet évidemment plus d'utiliser la simulation comme u outil deprédiction pure. Néanmoins, elle reste tout à fait satisfaisante dans le cadre de l'etude deslois de comportement du bain autour d'un point de fonctionnement donné. Nous admettonsalors l'hypothèse que le rendement du transfert d'énergie ne varie pas pour de petitesvariations des paramètres de soudage autour de ce point de fonctionnement.
Le choix de cette stratégie de calcul est directement lié à l'application du modèle pour lesétudes de contrôle du procédé, dans lesquelles la largeur du bain est le paramètre essentiel.La valeur de la puissance efficace ainsi obtenue permet de remonter à une estimation d'unrendement, lequel ne peut toutefois pas tre considéré comme le véritable rendement duprocédé.
105
5.3.7 Prise en compte de la chaleur latente dans un modèle analytique
Le principe de superposition des sources peut être appliqué pour prendre en compte dans lemodèle l'effet de la chaleur latente de changement de phase. L'effet thermique duchangement de phase se traduit par une absorption d'énergie au niveau de l'interfacesolide/liquide en avant du bain et par une restitution de cette même quantité d'énergie à'interface liquide/solide à l'arrière du bain.
Dès lors, la prise en compte du changement de phase dans le modèle analytique peut êtreréalisée simplement par la superposition de deux sources supplémentaires (figure 5-7), demodules identiques mais de signes opposés, positionnées lune en avant (puits thermique) etl'autre en arrière (source positive). Une telle solution a semble-t-il été développée pour lapremière fois par NUNES [NT.N83]. Bien que très prometteuse, elle nécessitait toutefois undegré d'empirisme important au niveau du signe, du module et de l'emplacement dessources et des puits supplémentaires [BAT85].
Nous pouvons cependant réduire le degré d'empirisme en admettant que la puissance de cessources est directement proportionnelle à la masse de métal fondu/solidifié par unité detemps. Le volume solidifié par unité de temps est alors obtenu à partir de la géométriecalculée de l'isotherme de fusion. L'utilisation d'une procédure itérative permnet dedéterminer précisément le module des sources supplémentaires à intégrer finalement dans lecalcul (figure 5-7). Lemplacement de ces sources se fait en fonction de la géométrie dubain une solution consiste à disposer les sources supplémentaires au niveau des centres degravité des volumes fondus et solidifiés par unité de temps.
106
distance parcouruepar unité de temps
Volume solidifié par
figure 5-7: intégration de la chaleur latente dans le modèle.schéma de principe
5.4 Dépôt d'énergie : influence de la concentration de la source
Dans cette partie, nous étudions l'effet de la concentration de la source de chaleur sur les loisde comportement du bain de soudage.
Cette étude est réalisée pour un cas de référence défini aux conditions suivantes
matériau acier 304Lépaisseur 2 mmtension 9 Vintensité 75 ampèresvitesse 1 O cm/m in
larg-eutr de référence 6.8 mm
tableau 5-1 : étude de 'effet de la concentration de la source dechaleur: conditions de calcul
107
D'une manière générale, deux méthodes différentes peuvent être envisagées pour étudierl'effet d'un paramètre
1. la puissance efficace est identique entre chaque cas de calcul. L'effet du paramètreconsidéré est alors directement visible sur les résultats bruts de la modélisationthermnique.
2. la puissance efficace est adaptée de manière à ce que la largeur du bain calculée soitidentique à la largeur de référence. L'effet du paramètre est alors étudié d'unemanière indirecte en prenant en compte la finalité du modèle.
La distribution de l'énergie dans la source de chaleur est un paramètre essentiel du calcul.Nous avons vu au chapitre 2 que le paramètre caractérisant la concentration de la sourcepeut, dans une approche simplifiée, être considéré comme proportionnel à la tension desoudage par l'intermédiaire de la hauteur d'arc. L'influence de ce paramètre sur lecomportement traduit ainsi en grande partie l'effet de la tension de soudage. Une étude semi-empirique a permis d'estimer une loi reliant la concentration de la source à la tension desoudage. La description de cette étude ainsi que les résultats obtenus sont présentés auparagraphe 5.4.4.
L'étalement de la source de chaleur intervient dans les équations par l'intermédiaire dutemps caractéristique t, également appelé retard de la source ou constante de temps de lasource. En pratique, il apparaît plus commode de fixer la valeur du rayon moyen r, car ilreprésente une grandeur beaucoup plus facile à appréhender (figure 2-4).
Il reste néanmoins que la valeur du rayon moyen de la source est un paramètre difficile àdéterminer avec précision. Comme nous l'avons vu au chapitre 2, TSAI [TSA83 a étudiéprécisément le problème de la concentration de la source et de son influence. Il indique unordre de grandeur du paramètre de distribution J situé entre et 4 mm, ce qui représente unrayon moyen ro entre 1.4 et 5.6 mm (la relation entre J7et ro est donnée par l'équation 2-19.
5.4.1 Effet sur la géométrie du bain en face endroit
A puissance efficace identique, une augmentation du rayon moyen de à 2.5 mm n'apratiquement aucune influence sur la largeur du bain. A partir de 2.5 mm, l'augmentation durayon se traduit par une diminution de plus en plus rapide de la largeur du bain (figure 5-8).Cela sexplique par une densité d'énergie de plus en plus faible avec l'augmentation durayon, avec pour conséquence une distribution de température beaucoup plus homogène, desgradients moins élevés et une température maximale atteinte plus faible.
108
6.5 o~ o
E
.o 5.5 c~~~~~~~~~~~~
a,
4-
3.5 r r rI
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5rayon ro (mm)
figure 5-8: influence du rayon moyen ro sur la largeur du bainenface endroit
A largeur endroit constante (figure 5-9), une augmentation du rayon moyen de la source setraduit par une diminution de la longueur du bain. Cette diminution nest cependant pasrégulière. Pour maintenir la largeur en face endroit à la valeur de 6.8 mm, la puissanceefficace évolue entre chaque cas de calcul. Cette évolution de la puissance est représentée enfigure 5-1 0.
1 2 - . . . . .. . . . . .
(D 11.5 -.. . . .o
(D
CDo~~~~~~~~
rayon ro (mm)
figure 5-9 : influence du rayon moyen ro sur la longueur du bain(calcul à largeur endroit constante)
460 Q0
450-0
440 0
c, ~~~~~~~~~0,430
(D ~~~~~~~~0
n420 -o- 0
410 . 0 00 0
400 j
O 0.5 i 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5rayon ro (mm)
figu re 5-1 0 évolution de la puissance efficace en fonction du rayonmoyen ro correspondant à une largeur endroit constante de 6.8 mm
5.4.2 Effet du rayon moyen de la source dans le régime permanent
Dans cette partie, pour chaque valeur du rayon moyen, la puissance efficace est adaptée àpartir de la largeur au niveau du point de fonctionnement. Le coefficient de correction ainsiobtenu est conservé sur tout l'intervalle de puissance considéré.
Sur la figure 5- 1 nous avons représenté l'évolution de la largeur cn face endroit en fonctionde l'intensité de soudage pour des valeurs du rayon moyen ro variant de à 5 mm. On peutobserver une évolution sensible du comportement du bain. Pour les valeurs faibles du rayon(jusqu'à 2 - 2.5 mm), l'évolution est quasiment linéaire. Au delà de cette valeur F évolutionne peut plus être considérée comme linéaire sur l'intervalle de courant considéré.
10variation du rayoni moyen ro de O à 5 mm (tous le O 5
9
E8
-o-
4--
40 50 60 70 80 90 100 110Intensité (A)
figure 5-11 évolution de la largeur du bain enface endroit enfonctiondu courant pour des valeurs du rayon moyen ro variant de à 5 mm
L'augmentation du rayon moyen de la source sur l'évolution de la largeur en fonction ducourant de soudage se traduit par une augmentation de la pente DL/Dl (figure 5-12).
0.24 I
0 .2 2.. . .. . .. ... .. . .. .
~0.2...E-0.18-
E 0.16 -o....
C"0.14 -O. . . . . . .
0.12 Q 0
0.1 I
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5rayon ro (mm)
figure 5-12 influence du rayon moyen ro sur la pente DL/DI
Pour les valeurs de rayon élevées, l'évolution n'est plus linéaire dans le domaine de courantconsidéré. La densité d'énergie déposée est faible, ce qui se traduit par un bain non ou peudébouchant. Cela signifie que dans le cas d'une tension de soudage élevée (rayon moyenélevé), l'évolution de la largeur en fonction du courant n'est linéaire qu'au delà d'une valeurélevée de l'intensité correspondant à un bain nettement débouchant (largeurs endroit etenvers similaires).
5.4.3 Effet dans le régime transitoire
L'effet de la concentration de la source dans le régime transitoire est étudié à travers laréponse de la largeur Lx=-2 mm à un échelon de courant de 75 à 90 A. La réponse estcaractérisée par la constante de temps à 630 (assimilation à un premier ordre).,La puissanceefficace reçue par la tôle est supposée rester constante avant et après l'échelon.
A puissance constante, une augmentation du rayon moyen de la source entre et 5 mmentraîne une diminution progressive de la constante de temps de 3.2 à 2.3 s. Cela traduit uneréponse du procédé plus rapide de 2800 (figure 5-1 3).
Réponse indicielle (75A ->90A) sur la largeur en X=-2 mm (calcul à puissance Cte)
cn
CL
26-
-2.46
2.4
2
O 0.5 i 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5rayon ro (mm)
figure 5-13 :influence du rayon moyen ro sur la constante detemps T63 (calcul à puissance constante)
A largeur endroit constante, l'évolution de la constante de temps en fonction du rayonmoyen n'est plus monotone. Sur l'intervalle 0-5 mm, elle évolue entre 3.2 et 2.9 secondes.ce qui représente un écart maximum de 8 % (figure 5-14).
Réponse indicielle (75A ->90A) sur la largeur en X=-2 mm (calcul à largeur Cte)
3.25-
3.2(Co
.cm 3.15(n
E3.1a>
a> 3.05 - -. . . .
3 -
2.95
2.90 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
rayon ro (mm)
figure 5-14: influence du rayon moyen ro sur la constante detemps r-63 (calcul à largeur endroit constante)
Au vu de ces résultats, il apparaît que l'influence de la concentration de la source de chaleurn'est pas très significative sur le comportement de la largeur du bain dans le régimetransitoire.
5.4.4 Estimation d'une loi reliant le rayon moyen à la tension de soudage
Les résultats expérimentaux utilisés dans cette partie sont issus des essais complémentairesdécrits au paragraphe 4.4.6.
La démarche consiste à rechercher une valeur du rayon moyen ro permettant au modèle deretrouver la pénétration expérimentale. La relation obtenue dans le cas de la première série(puissance théorique de 990 watts) montre une évolution linéaire du rayon en fonction de latension (figure 5-15) ce que confirment les résultats expérimentaux de TSAI [TSA83] déjàévoqués précédemment.
estimation de la loi ro=f(tension) ro = 1.59*tension - 12.437
Cas d'application n'l puissance théorique 990 W- -- -
figure 5-15 évolution du rayon moyen ro enfonction de latension de soudage obtenue par une méthode semi-empirique (essais
réalisés sur des éprouvettes en acier 304IL de 5 mm d'épaisseur,vitesse de 10 cm/min)
Nous pouvons essayer d'aller plus loin en introduisant la loi ro=f(0 dans le modèle, ce quinous permet d'éliminer le rayon moyen des variables d'entrée. Une validation est effectuéeà partir des résultats expérimentaux de la deuxième série (puissance théorique de 1120watts). La profondeur de pénétration (figure 5-16) calculée présente un écart absolu avec lesvaleurs expérimentales de 0.5 mm pour les points situés aux tensions de 8 et 9 volts (soit une
113
erreur de -15% et +20%). Pour les valeurs de tension de 10 et il1 volts, les profondeurs depénétration calculées sont identiques aux valeurs expérimentales.
Application au cas n02 puissance théorique 1 120 W4
3.5
3
.22.5-
.1.5-
0.5 o mesures expérimentales (P=l 120 W)*K modélisation (avec la loi ro=1.59U-12.43)
c . . 0 10I 1 1I
tension de soudage (V)
figure 5-16 intégration de la loi ro=f(U) dans le modèle
analytique comparaison ca/cul/expérience sur l'évolution de laprofondeur de pénétration
La démarche adoptée ici montre des résultats intéressants qui permettent d'envisager, àpartir d'une analyse plus complète élargie à différentes conditions de uûe ledéveloppement d'un modèle dans lequel le rayon moyen n'est plus un paramètre d'entrée ducalcul. Cette solution permet en final de dissocier l'effet de la tension et de l'intensité desoudage dans la modélisation.
5.5 Conséquences de l'hypothèse relative aux propriétés thermophysiques
Dans cette partie, nous étudions l'effet de la température de sélection des propriétésthermophysiques du matériau sur les résultats de la modélisation.
Pour rendre l'équation de conduction (2-26) linéaire, on a supposé que les propriétésthermophysiques du matériau ne dépendent pas de la température. Dans l'utilisation dumodèle, cette hypothèse se traduit par un choix à effectuer quant à la température à laquelleil faut choisir ces propriétés. D'une manière générale, RADAJ [RAD92] indique que chaque
14
propriété doit être prise à une valeur moyenne dans l'intervalle de température défini par lazone d'étude.
Dans notre cas, les évolutions en fonction de la température des propriétés thermophysiquesde l'acier inoxydable AISI 304L sont issues de [KIM75] (figure 5-17). Pour ce matériau. lesvariations de la conductivité thermique sont importantes la valeur de la conductivitéaugmente de 150 % entre 20'C et 1400'C puis chute de 1 00% entre les températures soliduset liquidus.
Acier 304L - Données de [K1M75] Acier 304L - Données de [K1M75]~40 8000
figure 5-17 évolution des propriétés thermophysiques de l'acierAISI 304L enfonction de lai température d'après K1M75J
Cette étude est réalisée pour le cas de référence défini aux conditions suivantes
matériau acier 304Lépaisseur 2 mmtension 9 voltsintensité 75 ampéresvitesse 1 0 cm/minlargeur de référence 6.8 mm
tableau 5-2 étude de l'influence de de la température de
sélection des propriétés thermophysiques du matériau:. conditionsde calcul
115
Comme dans le cas précédent, deux démarches différentes sont envisagées
• la puissance efficace est identique entre chaque cas de calcul.* la largeur du bain est constante pour chaque cas de calcul.
5.5.1 Estimation de la température moyenne
Si on considère l'ensemble de la tôle comme domaine d'étude, les propriétésthermophysiques peuvent être choisies à la température moyenne de la tôle. Un calcul simplepermet d'estimer cette température moyenne en cours de soudage.
Prenons le cas d'une éprouvette d'épaisseur 2 mm et de largeur L = 75 mm, en acierinoxydable, avec les conditions de soudage suivantes : I = 80 A, U = 9 volts etV = 1 0 cm/min. Le rendement supposé est de 50%. Du fait de la vitesse d'avance, lesisothermes sont très resserrées en avant du bain. On peut considérer que la zone chauffée àl'avant ne dépasse pas 20 mm au-delà de l'axe de la source. Si on ne considère que la massede métal chauffé, le bilan d'énergie peut s'écrire
d'où une expression de la température moyenne dans le cas de l'acier:
T.= To + î7arcUIPOCP.E p LT(Vdt + 0.02)
Dans cette expression, les propriétés thermophysiques devant être choisies à la températuremoyenne, une procédure itérative est utilisée. Après une minute de soudage, la températuremoyenne obtenue est de 3 )05 C.
5.5.2 Effets de la température de sélection des propriétés thermophysigues
La prise en compte des propriétés à la température moyenne traduit un compromis surl'ensemble de la tôle soudée. Toutefois, dans le cadre d'une zone d'étude ciblée sur le bainde fusion, cette solution nest peut être pas la meilleure. Une optimisation dans la zoned'étude peut être intéressante du point de vue de la qualité des résultats obtenus.
De manière à bien comprendre l'influence du paramètre « matériau » dans les équations, lescalculs sont réalisés pour différentes valeurs de la température de sélection variant entre20c0 C et 230001C.
5.5.2. 1 Effet sur la géométrie du bain
A puissance constante (figure 5-18), la température de sélection des propriétésthermophysiques de l'acier 304L conduit à une diminution quasi-linéaire de la largeurendroit entre la température ambiante et la température solidus. Sur cet intervalle, la largeurendroit chute de 50 % alors que la conductivité augmente de 150 %. Au delà de ladiscontinuité caractérisant le changement de phase, la largeur endroit augmente trèslégèrement (+1.5 0)
température de sélection des propriétés thermophysiques (C)
figure 5-18: influence de la température Tséleclion sur lalargeur endroit du bain (calcul à puissance constante)
A largeur endroit constante (figure 5-19), la longueur du bain diminue avec la températurede sélection (chute de 24 %o entre 20'C et 1400'C et chute de 12 0% entre 1450 0C et 23000IC).Comme on peut s'y attendre, plus la conductivité est élevée, plus le bain tend vers une formecirculaire. car l'effet de la vitesse d'avance est moindre devant la vitesse de diffusion d lachaleur.
117
12.5-
12-
Eîî.5-
w o~~~~ 10.5
~~10 o~~~
9.5
0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500
température de sélection des propriétés thermophysiques (C)
figure 5-19 influence de la température Tsélection sur lalongueur du bain (calcul à largeur endroit constant e)
5.5.2.2 Effet sur la loi Lmax=f(l) dans le régime permanent
Quelle que soit la température de sélection, l'évolution de la largeur endroit en fonction del'intensité de soudage est linéaire. L'évolution du rapport DL/DI en fonction de latempérature de sélection des propriétés thermophysiques est représentée en figure 5-20. Lerapport DL/DI augmente avec la température de sélection (+30 % entre 20'C et 140001C et+15 % entre 1450 0C et 2300'C).
0.15 i
0.14 O O
O
EO0.13
0J.12 000
- O~~0O~~0.11 O OC0
0.1 .
0.09 I
O 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500
température de sélection des propriétés thermophysiques (C)
figure 5-20 : influence de la température Tsélection sur la pente DL/Dl
Au vu de ces résultats, l'effet de la température de sélection des propriétés thermophysiquessur l'évolution de la largeur en fonction du courant de soudage semble significatif.Toutefois, l'évolution en température des propriétés a un effet moindre sur la pente DL/DI(écart de 30% entre la valeur minimale et la valeur maximale de la pente DL/Dl contre unevariation de 150% de la conductivité thermique et de 1 5% de la diffusivité thermique).
5.5.2.3 Effet dans le régime transitoire
L'effet de la température de sélection des propriétés thermophysiques dans le régimetransitoire est étudié à travers la réponse de la largeur Lx=-2 mm à un échelon de courant de75 à 90 A. La réponse est caractérisée par la constante de temps à 63% (assimilation à unpremier ordre). Le rendement du transfert énergétique est supposé rester constant avant etaprès l'échelon.
A puissance constante (figure 5-21), l'évolution de la constante de temps nest pasmonotone. Elle diminue de 3.6 à 2.8 secondes (-22 %) entre la température ambiante et latempérature solidus et augmente de 3.15 à 3.4 secondes (+8 %) sur l'intervalle allant de latempérature liquidus à 230O0 C.
réponse indicielle, 75A-90A, largeur en X=-2mm, calcul à puissance constante3.8 I
Co
<D 3.4-
CI-~3.2
02.6
O 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500température de sélection des propriétés thermophysiques (C)
figure 5-21 influence de la température Tsélection sur laconstante de temps 1-63 (calcul à puissance constante)
119
A aru-euir endroitcnsat (finure la constante de temps augmente aec latempérature de sélection. Elle arie de 3.1 à 3.7 secondes (-19 %) entre la températureambiante et la température du soliduis puis de 3'.2 à 3.4 secondes (--6 %) entre la températuredut liquidus et 213 00W.
réponse indicielle, 75A-90A, largeur en X=-2mm, calcul à largeur constante
3.6-
Co
.3.4-
E 3.2
E 3
2.8
O 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500température de sélection des propriétés thermophysiques (C)
figure 5-22 influience de lai empérature 7~1cij sur laiconsianie de teps' T-63 (calcul à largeur endroit cons/an/e)
Au vu de ces résultats. il apparaît que la constante de temps ne varie pas linéairement aecles propriétés thermophysiques (écart maximal de 1 9% de la constante de temps pour unevariation de IS 0 o de la conductivi]té thermique et de 15% de la diffusivité thermique).
5.6 Lois de comportement : validation expérimentale
La confrontation du modèle anal t ique avec les résultats expérimentaux est réalisée avec lesparamètres de calcul suivan-ts
tableau 5-3 validiation expéri;neniale condiiions de calcult
La température de sélection et le rayon moyen sont choisis de manière à ce que le bainobtenu par le calcul ait un rapport longueur/largeur le plus proche possible de la aleurexpérimentale Long/L,~jay = I1.74 (voir paragraphe 4.4.1). Les résultats précédents (fleures--9 et 5-19) montrent que ce rapport longueur/largeur est atteint pour une température desélection proche de 1450'C (liquidus) et un rayon ro de 2 mmn.
1 20
5.6.1 Géométrie du bain en face endroit
Les résultats expérimentaux présentés ici sont issus de la série d'essais décrite au paragraphe4.4.1.
Dans les conditions du calcul évoquées ci-dessus, le modèle analytique ne permet pas deretrouver complètement la géométrie réelle du bain en face endroit (figure 5-23). A largeuridentique, le bain calculé est sensiblement moins long que celui obtenu expérimentalement(écart de 1 0 O% sur la longueur du bain). Nous verrons au paragraphe 5.7 que les hypothèsesréalisées sur la chaleur latente et la convection Marangoni expliquent en grande partie l'écartobservé sur la longueur.
figure 5-23 validaition expérim2entale géonmétrie du bain en}Qice endroit
5.6.2 Loi de comportement dans le régime permanent
Les résultats expérimentaux présentés ici sont issus de la série d'essais décrite au paragraphe4.4.2.
La comparaison des lois calculées et expérimentales est représentée sur la figure 5-24. Ilapparaît que, avec les conditions de calcul adoptées, l'erreur effectuée par le modèle sur lecalcul de la pente DL/DI est d'environ 20 % ce qui est légèrement supérieur à incertitudede la valeur expérimentale (± 1 00)
10
-- droite de régression exp. DI/DI=0.084 mmn/AO points expérimentaux
9 -- calcul analytique DL/DI=O. 102 mm/A
8 -
7 -
-J
5
4-
40 50 60 70 80 90 100 110intensité (A)
figure 5-24 validation expérimentale :-évolution de la largeur enfonction de 'intensité de soudage dans le régime permanent (acier 30-IL)
Afin de compléter cette analyse, une étude sur des configurations de soudage différentes estréalisée (figure 5-25 à figure 5-28). A la différence de l'acier 304L, on ne dispose pas desévolutions des propriétés thermophysiques pour les différents matériaux considérés. Aussi,celles-ci sont choisies à la température ambiante (20'C). Les valeurs des propriétés sontprésentées au chapitre 4 (paragraphe 4.4.2.2).
figure 5-28: validation expérimentale .-évolution de la largeurenfonction du courant de soudage dans le régime permanent
(zirconium)
La comparaison du calcul avec les résultats expérimentaux est satisfaisante, compte tenu deshypothèses, dans le cas du zirconium (écart sur la pente DL/DI de +23 %),' de l'alliage basetitane T40 (écart de -20 %) et de l'alliage base nickel inconel 718 (écart de -7 %). Pour cestrois configurations, l'écart obtenu par le modèle est légèrement supérieur à l'incertitude desvaleurs expérimentales. Dans le cas de l'alliage d'aluminium 2219, l'erreur effectuée par lemodèle sur la pente DL/Dl est très importante (écart de +82 %). Du point de vue de lamodélisation, cela s'explique par la forte conductivité thermique du matériau (=1l76W/m'C), qui engendre une valeur élevée du rapport DL/Dl de 0.20 mm/A. Nous avons vu auparagraphe 5.5.2.2 que le rapport DLI'DI augmente avec la conductivité thermique.Toutefois, les résultats expérimentaux présentés ici ne confirment pas complètement cetteanalyse le rapport DL/Dl est de 0. 10 mm/A. Cette valeur est légèrement supérieure à celleobtenue dans le cas de l'acier 304L (DL/DI=0.08 mm/A).
5.6.3 Comportement dans le régime transitoire
Dans cette partie, le modèle est confronté aux résultats expérimentaux issus de la séried'essais décrite au paragraphe 4.4.3. L'évolution temporelle de la largeur endroit en réponseà un échelon de courant permet d'obtenir une estimation de la constante de temps du procédéà asservir. Les résultats obtenus dans les conditions de calcul définies en début duparagraphe 5.6 sont présentés par les figures 5-29 à 5-3 1.
8
7.5-
E 7
6.5 -~~~~~~~~
~Ae eperiencecalcul
6-
O 5 10 15 20 25 30 35 40temps (s)
figure 5-29 validation expérimentale: évolution de la largeur
endroit à un échelon de courant de 65 A /75 A
8.5 -
Eo .o
1*
7 ~~~~~~~~~~~~4expériencecalcul
6.5 I
40 45 50 55 60 65 70 75temps (s)
figure 5-30: validation expérimentale: évolution de la largeur
endroit à un échelon de courant de 75 A / 85 A
125
échelon de courant 65-85 A
8.5-
8
E
7, -
.4,expérience6.5 - calcul
6
110 115 120 125 130 135 140 145 150 155temps (s)
figure 5-31 validation expérimentale évolution de la largeurendroit à un échelon de courant de 65 A/85 A
En identifiant les évolutions temporelles à des réponses du premier ordre, on peut estimer lesvaleurs des constantes de temps 6 3 correspondantes (tableau 5-4)
échelon T63 (expérience) tC63 (modèle)
65 A -75A 19 S 3. s
65 A -85A 1.9 3.4 s
tableau 5-4 réponse à un échelon de courant, comparaisoncalcul/expérience sur la constante de temps à 63 %
Quel que soit l'échelon de courant considéré, le modèle présente une réponse plus lente quela réponse expérimentale (écarts de .5 à 2.3 secondes sur la constante de temps t163.). Onpeut expliquer cet écart par le fait que le modèle conductif, tel qu'il est construit> ne peutsimuler avec une dynamique correcte l'effet d'une augmentation quasi instantanée durayonnement de l'arc électrique au cours de l'échelon d'intensité.
L'écart entre le modèle et l'expérience peut également s'expliquer par une difficulté liée à lamesure expérimentale la fenêtre de mesure utilisée par le traitement d'image doit suivre ledéplacement de la largeur maximale vers l'arrière (dans un repère mobile) lorsque l'intensitéde soudage augmente au cours de l'échelon (figure 5-32).
126
4
2
EEa>
-1
-2
-3
-4-
-il -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2
axe d'avance X (mm)
figure 5-32 géométrie du bain enlace endroit avant et aprèsl 'échelon 65A - 75A (dans le régime permanent)
Si le déplacement de la fenêtre de mesure n'est pas assez rapide, la mesure s'effectue sur unelargeur située en avant de la largeur maximale. Plus la largeur mesurée est positionnée enavant du bain, plus la réponse à un échelon de courant est rapide. La modélisation permet detracer l'évolution de la constante de temps en fonction de la position sur l'axe d'avance, dansle repère mobile, de la largeur Lx (figure 5-33). Pour une position variant entre -5 et mm,la constante de temps diminue linéairement de 4 à 2 secondes. La réponse dynamique duprocédé apparaît finalement comme étant très sensible à la position, par rapport à la scène desoudage, de la fenêtre de mesure.
E
(D 3~-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1 5 -1 -0.5 0
abscisse de la largeur dans le repere mobile (mm)
figure 5-33 évolution de la constante de temps 63 enfonction
de la position sur il'axe d'avsance de la largeur Lx, dans le cas d 'unéchelon de courant de 65 à 75 A
127
5.6.4 Etude du champ thermique
Il sagit ici d'évaluer la capacité du modèle à reproduire le champ de température en coursde soudage. Le champ de température est mesuré expérimentalement à partir de différentsthermocouples disposés sur la pièce soudée. Les résultats expérimentaux présentés ici sontissus de la série d'essais décrite au paragraphe 4.4.4.
Dans un premier temps. la confrontation du modèle analytique avec les résultatsexpérimentaux est réalisée avec les paramètres de calcul suivants
matériau acier inoxydable 304LTsélection 14500 C
rayon moyen ro 2 mmnb sources (axe vertical) 5dtl 0.1 Largeur de référence 15.85 mm
tableau 5-5 étude du champ thermique:. conditions de calculs
La comparaison des réponses expérimentales et calculées pour les différents thermocouplesest présentée sur la figure 5-34.
Il apparaît clairement que. dans les conditions de calcul adoptées, le modèle ne retrouve pascorrectement la distribution thermique sur la température maximale atteinte par chaquethermocouple, le modèle commet une erreur absolue entre 1 000 C et I150'C. ce qui représenteune erreur relative entre 1 0% et 50% selon le thermocouple considéré.
Cet écart du modèle dans le calcul de la distribution thermique peut s'expliquer dedifférentes manieres
On peut penser tout d'abord que la température de sélection des propriétés thermophysiqueschoisie à T,,d,,,=14500 C n'est pas le meilleur compromis envisageable dans le cas d'undomaine d'étude s'étendant à toute la tôle soudée. La figure 5-35 représente la réponse ducalcul dans le cas où les propriétés sont choisies, non pas à la température du liquidus mais à300'C, qui est l'estimation de la température moyenne de la tôle en cours de soudagecalculée au paragraphe 5.5. 1.
45 ue50 vldto eprmnae-éos n eprtre hr00pssté à5 0 5.2 t2 m el-e uac
350 - o3O 0 tryn oe o2 m fiac 3I-W
Dans ce cas le-rer omssprl oèesn paiumn us lve u aslcas prcédent Le fespout a ecagmntdsporéé hrohsqe ldiffusivité 0 thriu as e331em/ .06m/ nr 40Ce 0 0 ,si naugmntaion e 0 o)sn opnéspruedmntond apisneefcc nr e
100 -~ ~~~~~~~~~~~~~~~2
deux cas (diminution de 1200/ de la puissance efficace pour maintenir la largeur du bain à lavaleur de référence de 5.85 mm).
Une deuxième explication de l'écart observé entre l'expérience et le calcul concernedirectement le niveau de puissance introduit dans l'équation. Nous savons que cettepuissance est déterminée en fonction de la largeur expérimentale choisie comme valeur deréférence. La puissance ainsi obtenue peut-être sous-estimée par rapport au niveau depuissance réel injecté dans la pièce. Le même principe appliqué non pas sur la largeur maissur la longueur du bain par exemple, fourni une puissance efficace supérieure, puisquecomme nous l'avons vu dans les paragraphes précédents, à largeur identique, le modèle àtendance à sous-estimer la longueur du bain par rapport à l'expérience.
De la même manière, une valeur plus importante du rayon moyen de la source gaussienne,associé à une largeur de référence identique, permet d'obtenir une puissance efficacesupérieure. Ainsi, par exemple, pour un rayon moyen de 5 mm, la puissance nécessaire pourobtenir une largeur de 5.85 mm est supérieure de 23% à celle obtenue dans le cas d'un rayonmoyen de 2 mm. Dans ce dernier cas, le champ thermique calculé est beaucoup plus prochede la mesure expérimentale (figure 5-36).
5.7 Discussion sur la validité des hypothèses adoptées dans le modèle
analytique
5.7.1 Introduction
Dans cette partie, nous étudions l'influence des hypothèses adoptées dans le modèleanalytique sur la géométrie du bain ainsi que sur le comportement de la largeur maximale dubain en face endroit dans le régime permnanent. Les calculs sont réalisés avec le codeéléments finis ARCUS dont les spécificités ont été évoquées au chapitre 3.
Le code MARCUS permet de prendre en compte notamment les phénomènes suivants:
• variation des propriétés thermophysiques en fonction de la température* haleur latente de fusion et de solidification• mouvements de convection dans le bain (gravitationnelle et Marangoni)
L'objectif poursuivi ici est d'évaluer l'influence respective de ces trois phénomènes sur laloi Lmax f(]) dans le régime permanent. Les calculs sont réalisés en grandeursadimensionnées sur une station de travail SUN Ultra Sparc 2 selon la procédure explicitéeprécédemment au chapitre 3. Le maillage est réalisé avec le malleur MOSAIC.
Plusieurs séries de calculs différentes sont réalisées
• calcul thermique simple 3D (modélisation purement conductive analogue à lasolution analytique)
• calcul thermique 3D + chaleur latente• calcul thermique 3D + conductivité thermique = f(T)• calcul thermique 3D + chaleur latente + conductivité thermique f(T)• calcul thermique 2D coupe longitudinale• calcul thermique 2D coupe longitudinale + chaleur latente• calcul thermique + calcul de vitesse (convection) 2D coupe longitudinale• calcul thermique + calcul de vitesse (convection) 2D coupe longitudinale + chaleur
latente
A ce stade, on peut effectuer plusieurs remarques
• La réduction du problème à une approche bidimensionnelle en coupe longitudinalesur l'axe d'avance nous est imposée par les moyens de calcul dont nous disposons.Une approche 3D dans laquelle sont couplés le problème d'écoulement dans le bainde fusion et le problème de température demande en effet une capacité de calcul trèsélevée et ne peut être réalisée que sur une machine puissante.
• La représentation 2D de la source de chaleur ne permet pas de simuler correctementl'apport d'énergie dans le cas du soudage TIG (figure 5-37). Aussi, de la mêmemanière que pour le modèle analytique, le flux de chaleur est adapté dans le calculthermique simple, de manière à obtenir une longueur proche de la valeurexpérimentale.
1 31
MODELISATION 3D
ueur ~~~~MODELISATION 2DCoupe TRANSVERSALE
MODELISATION 2)Coupe LONGITUDINALE
1 m tre longueur,._~~~~~~~~~~~12 areu
figure 5-37 schématisation de l'apport d 'énergie dans le casd'une analyse 2D et d'une analyse 3D
5.7.2 Simulation 2D coupe longitudinale
Le problème 2D se caractérise par le calcul du champ de température et cie vitesse au seind'une plaque de 2 mm d'épaisseur, défilant à vitesse constante sous une source de chaleur encréneau (figure 5-38). La résolution se fait dans le repère mobile, ce qui permet de réduire lemaillage à une zone entourant la source de chaleur.
1 ni2
Flux surfacique flux radiatifsource créneau (ongueur1.6 mm) et convectif
Les forces en présence sont d'origine gravitationnelle et d'origine thermocapillaire.L'écoulement en surface supérieure et inférieure (dans le cas d'un bain débouchant) est àl'origine de contraintes de cisaillement transmises en profondeur par l'effet de la viscosité.
La géométrie de la source de chaleur est un créneau de longueur 1 .6 mm. La densité depuissance appliquée est de 2.10v W/m 2 . Cette valeur correspond à environ à 1/10 eme de lavaleur théorique de .7.108 W/M2 (puissance de 360 W, soit 80A x 9V x 0.5, appliquée surune surface circulaire de .6 mm de diamètre).
La température en entrée de la tôle est imposée à 00OC (cette valeur est estimée à partir desrésultats de la modélisation analytique). La chaleur est évacuée par l'arrière du domaine parun flux convectif engendré par le défilement de la tôle. Aux vitesses calculées est retranchée,en chaque noeud, la vitesse de défilement de la plaque afin de ne présenter que les vitessesdues au phénomène de convection.
Les échanges entre la tôle et le milieu ambiant sont pris en compte. Ils se font sous la formede rayonnement (émissivité de 0.5) et de convection naturelle (coefficient d'échange moyende 10 W/m20 C).
Le matériau considéré est de l'acier inoxydable 304L. Les propriétés thermophysiques sontsupposées constantes. Elles sont choisies à la température de liquidus à 1450'C.
Les paramètres d'entrée du calcul sont résumés dans le tableau 5-6 suivant :
paramètres de calcul valeur en grandeurs réelles
écart de température de référence AT,,, 800'Ctempérature de référence Tref = 1400'Clongueur de référence Lref = 0.00 1 mvitesse de référence V,,, = 6.236 m/svitesse de déplacement V = 10 cm/min
densité de puissance qs - 2.10O' W/m2
conductivité ~.= 15 W/m0Cmasse volumique p = 7200 kg/m-'chaleur massique C, 750 Jkg0Ccoefficient de dilatation volumique = 10--K-'chaleur latente AH - 27000J/kgviscosité cinématique p= 6.10- k/s.mgradient de tension de surface dcy'dT =-0.35. 104'N/m'C
coefficient d 'échange par convection ~ .. 1 0 W/IM 20Cnaturelleaccélération terrestre g=9.81 /s2
Pour faciliter la convergence du calcul, la résolution est réalisée en grandeursadimensionnées (voir chapitre 2). Dans le même objectif, la solution stationnaire n'est lancéequ'après plusieurs pas de calcul transitoire.
134
5.7.3 Simulation 3D : approche conductive
Le problème 3D se réduit au seul calcul du champ de température. La source de chaleur estcirculaire. Comme précédemment, la résolution se fait dans le repère mobile, ce qui permetde réduire le maillage. Du fait de la symétrie du problème, seule une demi-tôle est maillée(figure 5-40).
Le problème traité peut être schématisé de la façon suivante
fritesse t
flux entrant C~~e)
~~~~ ~~flux convectif et radliatif
source circulaire (diamètre 6 mm)
2
figure 5 40 representation du probleme tridimensionnel
La discrétisation spatiale du problème de thermique est obtenue à l'aide d'éléments finisbriques à huit noeuds (H8) et d'éléments quadrilatères (Q4) à quatre noeuds pour la prise encompte des échanges par rayonnement et convection naturelle. Le maillage, raffiné dans lazone proche de la source, comprend 9866 éléments H8 et 1 1 3 85 noeuds (figure 5-4 1).
1 35
figure 5-41 analyse 3D:- maillage
La source de chaleur est circulaire de diamètre 1.6 mm. Le flux appliqué est de1.98.lIO' W/m2 . Il correspond à une puissance de 360 W appliquée sur une surface de 2.1 06
MI. Une corcinde +10% etapportée de manière à compenser l'erreur commise par ladiscrétisation géométrique de la surface de la source (figure 5-42).
déficit de surface lié au maillage
diamètre 1.6 mmn
figure 5-42 discrétisation géométrique de la surface de lasource de chaleur
1 36
De manière à ne pas dépendre de la température en entrée de la tôle. nous choisissonsd'imposer une condition de flux. Le flux d'entrée est imposé à la valeurpV(Trnrée-Tx).
Dans cette approche, la conductivité thermique est fonction de la température. Les lois devariation des propriétés thermophysiques de l'acier 304L sont issues de KIM75] (figure 5-17). Entre 20'C et 1400'C, la conductivité thermique augmente de 150%. la massevolumique diminue de 30% et la chaleur massique augmente de 50%/. Ces deux dernièresgrandeurs interviennent dans les équations sous la forme de leur produit Pcp. Dès lors, afinde simplifier le problème, seule la variation de la conductivité thermnique en fonction de latempérature est considérée les variations de la chaleur massique et de la masse volumiquese compensent mutuellement.
De la même manière que précédemment, les échanges entre la tôle et le milieu ambiant sontpris en compte. Ils se font sous la forme de rayonnement (émissivité prise à 0.5) et deconvection naturelle (coefficient d'échange moyen de 1 0 W/m 20 C).
Comme pour l'analyse bidimensionnelle, pour faciliter la convergence du calcul, larésolution des équations est réalisée en grandeurs adimrensionnées.
Les paramètres d'entrée sont résumés dans le tableau 5-7 suivant
paramètres de calcul valeurs en grandeurs réelles
écart de température de référence z\T,,, = 8000Ctempérature de référence Tef = 1400 0Clongueur de référence L,,f 0.00 1 mvitesse de référence V,,, 6.236 m/svitesse de déplacement V 1 10cm/mindensité de puissance qs =1.98. IO' W/m2
conductivité X=-0.0 171 T(0 C)- 12 (W/m'C)masse volumique p = 7200 kc,/m"chaleur massique cp= 750 J/kg0 Ccoefficient de dilatation volumique f3 = 1 O' K-'chaleur latente AHa = 247000 J/kgviscosité cinématique ~.t = 6.10-3 kg-/M.Sgradient de tension de surface dcy/dT =-0.3 5. 1-' N/m'Ccoefficient d 'échange par convection H n = 0 W/M 21Cnaturel leaccélération terrestre g9.81 m/s2
émissivité =0.5
tableau 5-7 : analyse 3D:- données du ca/cul
5.7.4 Effet de la chaleur latente sur la géométrie du bain
L'étude de l'influence sur la forme du bain de la prise en compte de la chaleur latente estréalisée à partir de l'approche 'CD purement conductive.
La figure 5-43 représente une vue du bain en face endroit. La prise en compte de la chaleurlatente dans le calcul allonge le bain sur la partie arrière (+ 19 %) alors que la largeur varie
13')7
peu (-7 %). Ces résultats confirment les travaux de NIALMUTH [AL74] (figure 2-1 0).L'effet de la chaleur latente est important et explique en grande partie l'écart entre le calculanalytique et lexpérience (figure 5-23).
continu AVEC chaleur latente. poinft SANS chaleur latente
4.
2 -
>-2.
.4.
-12 -10 -8 -6 -4 -2 O 2Axe X (mm)
figure 5-43 : mise en évidence de I'influence de la chaleur latente sur lagéométrie du bain dans le régime permanent par une modélisation numérique
Nous avons présenté au paragraphe 5.3.7 une soluton pour permettre de prendre en comptela chaleur latente dan~ un mnodèle analytique. La figure 5-44 compare les solutions obtenuessans et avec prise en compte de la chaleur latente dans le modèle et confronte ces résultats àune image expérimentale du bain obtenue dans les conditions de soudage définies dans letableau 4-3. Comme dans le cas précédent. on montre un effet de la chaleur latente sur lalongueur du bain (augmentation de 13 % de la longueur pour une largeur identique).
1 3 8
ni ni tTlrfrf ~T t f [I il~
figure 5-44 mise en evidence de influence de ci chaleur latente suir lagéométrie dii bain dans le régime permanent par uine modélisation analytique
5.7.5 Effet de la chaleur latente sur le gradient DL/Dl
Le calcul précédent est réalisé pour différentes valeurs de la densité de puissance variantdans un intervalle de -20 o à --20 1o autour de la valeur nominale. La figure 5-45 représentel'évolution de la largeur endroit en fonction de la densité de puissance relative. Il apparaitclairement que l'effet de la chaleur latente reste constant autour du point de fonctionnement,ce qui confirme la légitimité de cette- 'hyp-thèse adoptée dans le modèle analytique.
30 -
20 r
a)
O)
> -20 ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~__Analytique 30
Numérique 3D sans CL-- Numérique 3D avec CL
-20 -15 -10 -5 O 5 10 15 20Variation de puissance (en %)
figure 5-45: influence de la chaleur latente sur il'évolution de lalargeur endroit enfonction de l'intensité dans le régime permanent
(exprimées en variations relatives)
5.7.6 Effet de l'hypothèse relative aux propriétés thermophysiques
5.7.6. 1 Effet sur la géométrie du bain en face endroit
L'effet de la1 prise en compte dans le modèle d'une conductivité thermique fonction de latempérature se traduit par une diminution sensible de la surface fondue (-47 % sur lalongueur et -22 % sur la largeur) (figure 5-46). Cet écart s'explique aisément par le fait quedans le cas où la conductivité reste constante, elle est choisie à la température du liquidus,donc à une valeur faible (=l 5 W/m'C). Inversement, dans le calcul avec conductivitévariable, celle-ci prend une valeur constamment supérieure à 15 W/m'C. A puissance égale,le volume fondu est d'autant plus grand que la conductivité est faible (il y a une moinsbonne évacuation de la chaleur dans l'ensemble de la tôle).
140
comparaison conductivité=Cte et conductivité=f(température>
4H
3h
2F condth=)5VVIm2 0 C
X ~~~~~~~~~~cdth=f(T)
-3v
-10 -8 -6 -4 -2 O 2Axe X (mm)
figure 5-46 effet sur la géométrie du bain de la dépendance entempérature de la conductivité thermique
5.7.6.2 Effet sur le gradient DL/Dl
Compte tenu du résultat précédent, l'influence sur la pente DL/DI de lhypothèse sur lespropriétés thermophysiques ne peut pas être évaluée pour un même niveau de puissance. Leflux de chaleur est donc adapté en conséquence de manière à ce que dans les deuxconfigurations, la kiargeur du bain soit identique. A partir de là. la figure 5-47 retracel'évolution de la largeur endroit en fonction de la densité de puissance relative. Ces résultatsne montrent pas une variation significativ de la pente entre les deux configurations. Commedans le cas de la chaleur latente, cela nous conduit à considérer que l'hypothèse sur lespropriétés thermophysiques a des effets constants autour du point de fonctionnement.
141
30
20 --
-1 10
-,
c
>
-20 ~ ~ ~~~~~~__Analytique 3D-- Numérique 3D Condth = Cte*---Numérique 3D Condth = f(T)
-20 -15 -10 -5 O 5 10 15 20Variation de puissance (en %>
figure 5-47 effet de la dépendance en température de la
conductivité thermique sur la loi d'évolution de la largeur endroitdans le régime permanent
5.7.7 Effet de la convection dans le bain
Les effets de la convection gravitationnelle dans le bain sont visualisés sur la coupelongitudinale (analyse 2D) présentée en figure 5-48. Il apparaît clairement que la convectiongra-vitat.c-i;L1iclle est très faible et ne modifie pas la forme de lï zone fondue.
Les effets du gradient de tension d surface se traduisent par la présence de deux rouleauxcontrarotatifs (un très petit en avant de la source. l'autre beaucoup plus important en arrièredu bain). Ces mouvements de métal liquide favorisent un allongement important du bain(+43 O% en face endroit et + 1 00 en face envers). Les niveaux de vitesse atteints dans le bainliquide sont importants. La vitesse maximale en surface est de 0. 16 m/s soit une valeur 1 00fois supérieure à la vitesse de déplacement de la source (figure 5-49).
142
probieme de thermique (sans crhaleur latente)
3 I2.
-
10 12 14 16 18 20 22 24 26
pro blem e thermique etonale(sans chaleur latente )
-1
10 12 14 16 18 20 22 24 26
probleme thermiquvte sans chaleur latente
-
10 12 14 16 18 20 22 24 26
axe X (mm)
figure 5-49 effet de la conv~ection Marangoni sur le bain de/ts ion (analyse 2D)
La représentation 2D ne permet pas de simuler correctement l'apport d'énergie (la densité depuissance est 1 0 fois inférieure à la valeur théorique pour obtenir une longueur similaire). Dece fait. la vitesse d'avance étant identique, le front de fusion en avant du bain est très penché,et ne représente pas du tout la forme avant du bain réel (figure 4-6).
Le gradient de tension superficielle en face envers doit en théorie entraîner un mouvementdu liquide vers l'arrière du bain. Il apparaît que le gradient de température est cependant tropfaible pour visualiser cet effet. Le rouleau engendré par le gradient de tension en facesupérieure (où les gradients de température sont beaucoup plus élevés) est très importantdevant le rouleau engendré à l'envers.
5.8 Utilisation du modèle analytique
A partir des différents résultats présentés dans les paragraphes précédents, on peutmaintenant résumer les principales conditions d'utilisation d'un modèle analytiquecon duc tif.
Dans le cadre d'une application au contrôle du procédé (étude des lois de comportement dubain autour d'un point de fonctionnement)
• le rendement peut être calculé à partir de la largeur expérimentale obtenue dans lesconditions du point de fonctionnement,
• l'isotherme de fusion est choisie à la température du liquidus,• les propriétés du matériau sont choisies à la température du liquidus,• le rayon moyen de la source dépend de la tension de soudage (entre et 2 mm pour
une tension de 8 à 9 volts). Dans cet intervalle, la valeur du rayon n'a que très peud'influence sur les lois de comportement du bain,
• le nombre de sources-images est déterminé en fonction du niveau de pertes avec lemilieu environnant, de l'épaisseur de la tôle et du matériau considéré. L'adiabacitédes parois est atteinte rapidement dans le cas d'un matériau faiblement conducteurde la chaleur (entre 5 et 1 0 niveaux de sources-images pour un acier inoxydable, parexemple) et plus long dans le cas d'un matériau fortement conducteur (entre 20 et30 niveaux de sources pour un alliage d'aluminium, par exemple),
• l'intervalle d'intégration est choisi en fonction du matériau, et des dimensions duproblèrre çdtI=0 .02L ma, '/a, où L ma, est la largeur du bain),
• le régime permanent est atteint rapidement (tq,= 3L n 2/a).
Dans le cadre d'une application élargie à l'étude globale du champ de température
• le rendement calculé à partir de la largeur expérimentale obtenue dans lesconditions du point de fonctionnement semble être sous-estimé par rapport à savaleur réelle,
• les propriétés du matériau sont choisies à une température moyenne de la zoned'étude,
• le rayon moyen de la source dépend de la tension de soudage (entre et 2 mm pourune tension de 8 à 9 volts),
• le nombre de sources-images est déterminé en fonction du niveau de pertes avec lemilieu environnant, de l'épaisseur de la tôle et du matériau considéré. Dans le casd'un domaine d'étude élargi à l'ensemble de la tôle, il est nécessaire de placer unesérie de sources-images sur l'axe transversal,
144
• l'intervalle d'intégration est choisi en fonction du matériau et des dimensionscaractéristiques du problème (dtl=O.02L 2/a, où L est la largeur de la tôle, parexemple),
• le régime permanent est atteint après un temps élevé (tq3=,LI/a, où L est la largeurde la tôle, par exemple).
5.9 Application du modèle analytique dans une configuration avec
perturbation
5.9.1 Introduction
Une validation du modèle est réalisée pour une configuration comprenant une perturbationgéométrique, introduite sous la forme d'une ou plusieurs variations d'épaisseur del'éprouvette. L'intérêt de ce type d'essai est double. Il permet tout d'abord de mettre enévidence l'apport d'un système de contrôle du procédé pour maintenir un niveaupréalablement défini de qualité du cordon de soudure. Du point de vue de la modélisationproprement dite, il permet de vérifier la capacité du modèle thermique à gérer une variationd'épaisseur de tôle.
5.9.2 Modélisation de la variation d'épaisseur
Une application particulière de la méthode des sources-images permet de prendre en comptela variation de l'épaisseur de l'éprouvette.
L'épaisseur intervient dans l'expression du champ de la température à travers la position dessources-images de part et d'autre des surfaces de la tôle.
La variation de l'épaisseur peut alors se simuler de la manière suivante au passage de lamarche, les sources-images relatives à l'épaisseur 2 mm sont activées alors que les sources-images relativclz à l'épaisseur 3 mm sont désactivées Il est important de rappeler ici, qu'enapplication du principe de superposition des sources, on peut « désactiver » une source aubout d'un instant donné en lui superposant à partir d e ce même instant un puits thermique(source négative) de module identique (figure 5-50).
145
Puissance
a) ti ~~~~~~~tempsPuissance
+'p
b)-
c)ti ~~~temps
figure 5-50 simulation de 'extinction d'une source de chaleur:a) représentation d'une source continue entre les instants et ti, b) représentation
de la superposition d'une source négative de même module (puits thermique) à
partir du temps ti c) représentation de l'effet sur la température
L'utilisation de cette solution dans le cadre d'une variation d'épaisseur sous-entend toutefoisune hypothèse arbitraire quant à l'instant précis de déclenchement (extinction des sources« épaisseur initiale » et allumage des sources « épaisseur finale ») par rapport aufranchissement de la marche par le bain de soudage. Dans notre cas, nous avons choisi deprendre en compte la variation d'épaisseur lorsque l'axe de l'électrode franchit la marche.
5.9.3 Validation expérimentale
La confrontation du modèle analytique avec les rsultats expérimentaux est réalisée avec lesparamètres de calculs suivants
matériau acier inoxydable 304LTsélection 14500Crayon moyen ro 2 mmnb sources (axe vertical) 5dtl 0.1 Largeur de référence 9.7 mm
tableau 5-8 variation d'épaisseur : conditions de calcul
146
Les figures 5-51 et 5-52 comparent les résultats obtenus à partir du modèle analytique sur laréponse dynamique de la largeur endroit du bain au passage de la marche montante 2-31 mm,de la marche descendante 3-2 mm, avec les mesures expérimentales. Cette confrontationmontre une très bonne cohérence du modèle compte tenu des nombreuses hypothèseseffectuées et du bruit de mesure observé sur les résultats expérimentaux.
12
Mesures expérimentales-- Modélisation analytique
E 10 -
a
-J
7~~~~~~~~~~
10 20 30 40 50 60 70temps (s>
figure 5-51 validation expérimentale: évolution de la largeurendroit au passage de la marche montante 2-3 mm
12 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
__expérience (M7AO91 0)-- calcul analytique
E 1
E -
7-
6I 20 25 30 35 40 45 50 55 60
temps s)
figure 5-52 validation expérimentale .- évolution de la largeurendroit au passage de la marche descendante 3-2 mm
147
5.9.4 Recherche de nouveaux aramètres observables
Dans cette partie. le modèle analytique est utilisé ici eni tant qu'outil de simulation duns\ stèrme de contrôle du procédé. L'objectif recherché est d'étudier le comportement du baindans le ré(Yimle permanent dans le cas d'une petite variation de l'épaisseur autour d'une valeurnominale de 3.2 mmii. La perturbation introduite ici permet d'é\aluer différents paramètresobservables eni face endroit sur lesquels on pourrait éentuellement rguler le procédé desouda-e (figutre 5-53>. A titre d'exemples. nous étudions les paramètres suiv.ants
*larn2,eur maximale (Linacx)*distance au front a\anli (Front1).
*largeur de lisotherme 10000C (L]ùOOO).*abscisse de la lar-eur maximale du bain (~u)
isotherme 1 0000C
Licoo Lm--ax- -- --…
Xmax' Front
figure 5-53 recher-che de paramèt res obs ervable, S n /uil c
endroli
Nous utilisons la modélisation pour rechercher une loi reliant le paramètre observable surlequel on souhaite régul er le procédé. à la largeur envers qui représente ici le critère « de
qualité » du cordon de soudure.
Chaque paramètre peut être caractérisé, dans le régime établi, par une loi d'évolution de lalargeur env ers en fonction de l'épaisseur de la tôle. Mloins la largeur env ers est sensible à lavariation dépaisseur. plus le paramètre observable est intéressant du point de vue ducontrôle du procédé.
La démarche consiste donc à réaliser le calcul de la éométrie du bain] pour des points defonctionnement correspondant à différentes épaisseurs de la tôle. Entre chaque cas. le
paramètre observable dont on cherche à évaluer l'intérêt est maintenu constant en ajustant leniveau de puissance introduit dans la pièce.
Le rendement est supposé constant quelle que soit J'épaisseur considérée. Il est calctulé enfonction de la largeur envers obtenue expérimentalement dans le cas de l'épaisseur nominalede 3.2 mm.
Les conditions de calculs sont rappelées dans le tableau suivant
tableau 5-9 recherche de paramètres observables conditionsde calcul
Les lois d'évolution sont présentées sur la figure 5-54.
Acier 304L - épaisseur nominale 3.2 mm6
4F~~
È 3 r. .N
21~~~
2 - - - - - -
pussnc nat(sncorôe
Fotcntn-L-ma conant
L100 contant
Xmax constant
~~~3r <N~~éassu (m
l'é.pissanc e coate (ans conrogiepraet ordféetparontrcostant e nac. ndotmanenscnsat
peut caractériser la loi d'évolution de la largeur envers en fonction de l'épaisseur par lapente locale au point correspondant à l'épaisseur nominale de 3.2 mm. Les résultats obtenussont présentés dans le tableau suivant
paramètre observable en pente dlenvers/dEp Ecart/référenceface endroit (à Ep=3.2 m m) _______
sans (puissance constante) 5.5 +3Lmax (reférence) _____0_____
Front 42+0,1
Xmax~ ______5 ___
LIOOO1. -
tableau 5-1 0 comparaison de différents paramètres observables
Cette simulation montre que les deux paramètres Xmax et LIOOO présentent un résultat plusintéressant que la largeur du bain (Lmax), alors que la distance au front avant (Front)apparaît comme un paramètre moins performant. Cette conclusion reste cependant purementthéorique. D'une manière générale, l'apport d'un paramètre que l'on évaluer par cetteméthode doit être relativisé car on ne peut dissocier le choix d'un paramètre observable de lafaisabilité technique de la régulation et des performances du capteur de mesurecorrespondant.
5.10 Conclusion
Un modèle de connaissance basé sur le transfert de chaleur au sein de la pièce soudée estréalisé de manière à reproduire les lois de comportement du bain de fusion autour d'un pointde fonctionnement donné. Ce modèle est basé sur l'équation du transfert de chaleur parconduction thermique. Dans un premier temps, une solution analytique est utilisée. Uneconfrontation du modèle avec l'expérience est réalisée sur un cas d'application de référence(tôle de 2 mm d'épaisseur en acier inoxydable AISI 304L).
Avant d'aborder la validation expérimentale, les modalités d'utilisation du modèle sontdiscutées. Il -s'ugit dudier et de définir une méthodologie qual:t au choix des valeursnumériques à adopter pour certains paramètres du calcul nombre de sources-images,intervalle d'intégration, rendement du transfert énergétique, concentration de la source dechaleur et température de sélection des propriétés thermophysiques du matériau.
eL'application dans le modèle de la méthode des sources-images permet de tenircompte des dimensions finies de la tôle. On montre que le nombre de sources-images à adopter est déterminé à partir du niveau de pertes à considérer par lessurfaces de la tôle plus le nombre de sources est important, plus le flux traversantles faces de la tôle est faible (une « infinité » de sources-images conduit à rendre lesparois adiabatiques). Dans le cas d'un matériau peu conducteur de la chaleur (acierinoxydable, par exemple), le nombre de sources-images nécessaires pour annuler leflux au niveau des parois est faible (à partir de 10 sources, dans le cas d'uneépaisseur de 2 mm). Inversement, dans le cas d'un matériau fortement conducteur
1 Zn.
de la chaleur (alliage d'aluminium, par exemple), le nombre de sources est plusélevé (à partir de 30 sources).
• Le modèle analytique utilisé est basé sur la théorie des sources impulsionnelles etsur l'application du principe de superposition qui permet de discrétiser la source dechaleur en une succession de sources impulsionnelles. La démarche consiste donc àintégrer dans le temps l'expression de la température engendrée par une sourceimpulsionnelle. La résolution numérique de l'intégrale est réalisée par la méthodedes trapèzes. Nous avons montré comment choisir la valeur de l'intervalled'intégration en fonction des dimensions caractéristiques du problème (dimensionsgéométriques et diffusivité thermique du matériau).
• Le rendement du transfert énergétique entre la source de chaleur et la pièce soudéeest généralement un paramètre inconnu. Dès lors, la valeur de la puissance efficaceintroduite dans l'expression de la température est recalée à partir de la largeur dubain de fusion observée expérimentalement au niveau du point de fonctionnementconsidéré. Le « rendement » ainsi obtenu est alors supposé rester constant lors desvariations des conditions de soudage.
• Dans le modèle, la source de chaleur est supposée avoir une distributionénergétique gaussienne. On montre que le niveau de concentration de la source esten grande partie fonction de la tension de soudage. Une méthodologie semi-empirique est présentée pour estimer une loi reliant la concentration de la source àla tension de soudage. L'influence de la concentration sur les lois de comportementdu bain autour du point de fonctionnement est étudiée. Il apparaît que dans le cas del'application de référence considérée (acier 304L de 2 mm d'épaisseur), l'influencedu rayon moyen de la source, caractérisant le niveau de concentration, n'est passignificatif sur la valeur du gain statique (rapport DL/Dl) et de la constante detemps Tr63 pour des valeurs du rayon inférieure à 2 mm. Au-delà, l'évolution de lalargeur endroit en fonction du courant de soudage n'étant plus linéaire, on sort ducadre d'application du système de contrôle.
• Dans une modélisation analytique du transfert de chaleur par conduction thermique,les propriétés thenrmophysiques du matériau sont supposées indépendantes de latempérature. Le choix de la température de sélection des propriétés est discuté pourle cas d'application de référence (acier 304L, épaisseur 2 mm). Il apparaît que lagéométrie du bain ainsi que ses lois de comportement sont influencées par ceparamètre. Selon la température de sélection adoptée, la rapport longueur/largeur enface endroit varie de 310% , le rapport DL/Dl de 33% et la constante de temps de16%.
Le modèle est confronté aux mesures expérimentales. La validation est réalisée sur lagéométrie du bain au niveau du point de fonctionnement, lévolution dans le régimepermanent de la largeur endroit en fonction du courant de soudage autour du point defonctionnement, sur l'évolution temporelle de la largeur endroit en réponse à un échelon decourant et enfin, sur le champ de température mesuré dans l'ensemble de la tôle.
Il apparaît que le modèle analytique ne retrouve pas complètement la géométrie du bain auniveau du point de fonctionnement. A largeur identique, le modèle sous-estime le longueur
151
du bain avec un écart d'environ 10 %. Cette erreur est due aux hypothèses adoptéesconcernant les mouvements de convection dans le bain et concernant la chaleur latente dechangement de phase. Une approche numérique du problème montre en effet que ces deuxhypothèses ont un effet significatif sur l'allongement du bain.
La confrontation à la loi expérimentale caractérisant le comportement du bain dans le régimepermanent montre une bonne cohérence du modèle. En général, l'écart observé entre lecalcul et l'expérience est légèrement supérieur à l'incertitude expérimentale. Cette analyseest confirmée sur d'autres configurations de soudage. Dans le régime transitoire, le modèletraduit une réponse du procédé plus lente que la réponse expérimentale. Toutefois, ce constatdoit être réservé compte tenu de l'incertitude de la mesure expérimentale.
Une validation du champ thermique calculé est réalisée à partir des mesures expérimentalesfournies de différents thermocouples répartis au sein de la tôle. La confrontation des résultatsmontre des niveaux de température calculés plus faibles devant les températures mesurées.Ces écarts signifient que le recalage de la puissance efficace sur la largeur expérimentale estune solution qui sous-estime l'apport énergétique. Une majoration de la puissance permetd'obtenir des évolutions modélisées plus cohérentes avec lexpérience.
Une application du modèle à une configuration comprenant une variation d'épaisseur de latôle est réalisée (marche montante et marche descendante). La confrontation avec lesmesures expérimentales montre une très bonne cohérence du modèle quant à sa capacité àreproduire l'évolution de la largeur endroit du bain au passage d'une marche.
Enfin, un exemple d'utilisation du modèle en tant qu'outil de simulation pour la recherchede nouveaux paramètres observables est présenté. Les facilités d'exploitation d'un modèleanalytique permettent en effet d'évaluer rapidement la pertinence de différents paramètresobservables en face endroit à partir de l'étude de la relation entre la variation de cesparamètres observables et la variation de la largeur envers.
152
6. CONCLUSION GENERALE
Le Laboratoire Moderne de Soudage du CEA poursuit actuellement le développement detechnologies visant à asservir e procédé de soudage. Appliqué au procédé TIG, le système« SYLVARC » permet de compenser en temps réel les effets d'éventuelles perturbations oudérives pouvant intervenir au cours de l'opération de soudage. Le principe defonctionnement de ce système est basé sur la mesure de la largeur du bain à partir de lavisualisation de la scène de soudage en face endroit. Un régulateur de type ProportionnelIntégral commande en temps réel l'intensité du courant de soudage délivrée par le générateurafin de maintenir la largeur du bain à un niveau de consigne fixé. Les paramètres de réglagedu régulateur sont déterminés pour chaque cas de soudage d'après les évolutions empiriquesde la largeur du bain autour d'un point de fonctionnement, en réponse à une modification desconditions de soudage.
Toutefois, une approche purement expérimentale des lois de comportement ne permet pasd'interpréter ni d'expliquer les phénomènes mis en jeu. Il apparaît alors indispensable decoupler l'approche expérimentale à une modélisation théorique du comportement du bain.L'objectif poursuivi est alors d'établir un modèle de connaissance adapté à une applicationau contrôle du procédé qui puisse décrire aussi précisément que possible le comportement dubain dans les régimes permanent et transitoire, de manière à fournir une aide dans ladétermination des paramètres de réglage du contrôleur de régulation. Le modèle doitégalement constituer un outil de simulation du procédé pour évaluer rapidement divers axesde développement du système de contrôle (recherche de nouveaux paramètres observables,par exemple).
Dans ce contexte, un modèle de connaissance est développé à partir des équations régissantle transfert de chaleur par conduction thermnique. Il est basé sur l'expression analytique duchamp de température dans laquelle la source de chaleur est assimilée à une superposition desources impulsionnelles décalées dans le temps et dans l'espace.
Parallèlement à l'approche analytique, une résolution numérique du problème est réalisée surle code de calcul MARCUS, développé par l'IUSTI de Marseille, afin de discuterprécisément l'influence des principales hypothèses adoptées dans l'approche analytique snles lois de comportement du bain de soudage. Ce travail a montré que l'approche numériquepermet de modéliser de manière plus précise le transfert de chaleur, en intégrant une grandepartie des phénomènes mis en eu (mouvements de convection, chaleur latente dechangement de phase, dépendance en température des propriétés thermophysiques, ... ). Mais,la complexité de mise en oeuvre et les puissances de calculs nécessaires ne permettent pas deconsidérer aujourd'hui l'approche numérique comme étant la solution idéale dans le cadred'une application au contrôle du procédé de soudage.
Quelle que soit l'approche considérée, analytique ou numérique, la connaissance précise durendement du transfert énergétique n'est pas essentielle dans le cadre de l'étude des lois decomportement autour d'un point de fonctionnement donné. La puissance efficace à prendreen compte est recalée à partir de la largeur maximale du bain en face endroit obtenueexpérimentalement dans les conditions du point de fonctionnement.
La comparaison des temps caractéristiques associés aux différents modes de transfertd'énergie montre que le transfert de chaleur dans le bain liquide est dominé par laconvection Marangoni. Les vitesses engendrées dans le bain par le gradient de tension desurface sont élevées devant la vitesse de soudage et contribuent de manière importante à ladéformation du bain de fusion. Les phénomènes convectifs ne peuvent toutefois être pris encompte dans l'approche analytique. On admet alors l'hypothèse que l'effet de la convectionMarangoni sur la largeur du bain est constant pour de petites variations des conditions desoudage autour du point de fonctionnement.
L'énergie échangée à la fusion et à la solidification sous forme de chaleur latente semble êtreégalement un élément important à prendre en compte dans un modèle. On montre cependantque l'influence de la chaleur latente porte essentiellement sur la longueur du bain de soudageet non sur la largeur, sur laquelle est réalisée la régulation. Cela permet, dans un premiertemps, de négliger ce paramètre dans le modèle analytique. De la même manière, on montreque l'hypothèse adoptée dans le modèle analytique concernant les propriétésthermnophysiques, considérées comme indépendantes de la température, n'influence pas demanière significative le comportement du bain autour du point de fonctionnement.
La validité des hypothèses adoptées est évaluée en confrontant les résultats obtenus à desmesures expérimentales. La validation est réalisée essentiellement pour un cas d'applicationde référence (acier inoxydable 304L de 2 mm d'épaisseur). Il apparaît que le modèleanalytique ne reproduit pas complètement la géométrie du bain au niveau du point defonctionnement. A largeur identique, le modèle sous-estime la longueur du bain de 10 %environ. Cette écart est dû aux hypothèses adoptées concernant les mouvements deconvection dans le bain et concernant la chaleur latente de changement de phase, comme lemontre l'approche numérique réalisée sur le code MARCUS.
La confrontation à la loi expérimentale caractérisant le comportement du bain dans le régimepermanent montre une bonne cohérence du modèle. Dans le régime transitoire, le modèlesemble donner une réponse simulée légèrement plus lente que la réponse expérimentale,malgré l'incertitude de la mesure expérimentale.
Le calcul du champ de température global indique des températures calculées plus faiblesdevant les mesures. Ces écarts observés semblent indiquer que le réglage de la puissanceefficace d'après la largeur expérimentale sous-estime l'apport énergétique. Pour compléter lavalidation expérimentale, le modèle analytique est appliqué à une configuration particulièrecomportant une variation brusque d'épaisseur de la tôle (une marche montante et une marchedescendante). La confrontation avec les mesures expérimentales montre une très bonnecohérence des résultats obtenus et la capacité à reproduire l'évolution temporelle de lalargeur endroit du bain au passage d'une marche.
L'ensemble de ce travail montre tout l'intérêt d'envisager la modélisation du soudage parune approche analytique. La simplicité et la facilité d'exploitation du modèle en font un outilparticulièrement intéressant pour aborder, sinon quantitativement, du moins qualitativementles lois de comportement du bain de soudage autour d'un point de fonctionnement. Unexemple d'utilisation en tant qu'outil de simulation du système de contrôle a montré les
1 riA
possibilités offertes par le modèle analytique pour dégager de nouveaux axes dedéveloppement (évaluation de différents paramètres observables, par exemple).
Les limites d'utilisation du modèle analytique sont directement imposées par les hypothèsesadoptées. A titre d'exemple, concernant l'hypothèse sur la convection, le modèle présenteglobalement de meilleurs résultats dans le cas d'un matériau dont le gradient de tension desurface est positif, c'est à dire dont les mouvements convectifs en profondeur du bain liquideont tendance à favoriser la pénétration devant la largeur (mouvements allant, en surface, dubord du bain vers le centre). De la même manière, le comportement d'un matériau dont lespropriétés thermophysiques varient peu avec la température est mieux évalué par le modèle.
Différents axes de développement sont envisagés pour permettre d'améliorer la précision dumodèle analytique, notamment pour simuler plus correctement la géométrie globale du bainau point de fonctionnement. En particulier, il est possible d'optimiser la solution développéepour permettre de prendre en compte la chaleur latente en optimisant les paramètres ducalcul (nombre, position, répartition et intensité des sources fictives équivalentes). Dansl'absolu, le principe de superposition des sources pourrait être appliqué jusqu'à obtenir lagéométrie exacte du bain, mais cela reviendrait à introduire un certain degré d'empirismedans les équations et nous éloignerait donc du modèle de connaissance recherché.
Une amélioration du modèle analytique est également envisageable sur la distinction du rôlerespectif de l'intensité et de la tension de soudage sur la forme du bain de fusion. Unecampagne expérimentale devra alors permnettre de déterminer une loi reliant la concentrationde la source de chaleur (paramètre ro) à la tension de soudage. Enfin, concernant les casd'utilisation du modèle, une application optimisée du principe de superposition des sourcesdevrait permettre de pouvoir exploiter le modèle analytique dans des configurationsgéométriques plus complexes (pièces chanfreinées ou tubes, par exemples)
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163
ANNEXE S
ANNEXE 2-A: Transfert de chaleur par conduction thermique
2A-1. Loi de la conduction thermiqueConsidérons une surface isotherme A à la température T à l'instant t et d un élément de cettesurface. On appelle flux de chaleur la puissance thermique instantanée dq (en Watt) traversantl'élément dA4. On notera qs la densité de flux de chaleur en (en W/rn2 ), définie telle que :
dq (A2-l1)q5 d
La puissance thermique est le plus souvent répartie continûment dans un volume fini dV dusolide à l'intérieur duquel sa distribution peut se caractériser par une densité de répartition oupuissance volumique en (W/m3'), définie par:
q,=dq (A2-2)
q-dV
On introduit le vecteur densité de flux de chaleur qs qui a pour direction et sens la direction et lesens de l'écoulement de la chaleur et pour module la densité du flux de chaleur. La loifondamentale de la conduction de la chaleur au sein d'un matériau isotrope de conductivitéthermique ? à la température considérée, établie par Fourier, exprime le vecteur de densité deflux chaleur par la relation
=s -. gaT(A2-3)
2A-2. Equation de la chaleur dans un solideConsidérons un élément de volume v = 8x8y8z situé au sein d'un solide de conductivitéthermique À, de chaleur massique Cp et de masse volumique . Le principe de conservation del'énergie nous indique que, durant un temps t, la chaleur pénétrant dans l'élément considéréaugmentée de la chaleur produite par d'éventuelles sources internes (énergie libérée durant unchangement d'état, par exemple), est égale à la chaleur sortant de l'élément additionnée de lachaleur absorbée par un éventuel puits thermique interne, auxquelles s'ajoute la chaleur stockéedans l'élément et servant à augmenter sa température par variation de son énergie interne.Le bilan d'énergie peut donc s écrire
Lénergie entrant] + production ]_[énergie stockée 1 + énergie sortant] pe rtes[par conduction Hinterne d'énergie dans l'élément vj par conduction int ernes d'éeg]
Par souci de simplification, limitons-nous au cas de la conduction monodlimensionnelle, enprésence d'une source interne et en absence de pertes. Dès lors, le bilan précédent devient
Lénergie entrant1-[énergie sortantl production 1 [ énergie stockée[par conduction] iLpar conduction] L [interne d'énergie] dans l'élémnt
Soit :
a8 (aT ôyz ÔT ~j8 ,fi=PPT ô&(A2-4)ax ax~~~~ ôt
En divisant tous les termes par le produit ôvôt, l'équation (A2-4) s'écrit:
_;~~~~~~aT~~~~~~~~ ~(A2-5)ôx + ar x . T
+ q,.= PC y
L'application du théorème des accroissements finis, limité à la première dérivée spatiale. permetde simplifier cette expression en l'écrivant sous la forme
D'une manière plus générale, en considérant le transfert conductif dans les trois dimensions del'espace, l'équation de la chaleur dans un solide s'écrit :
57) ~~~~L ~ = ÔT (A2-7
Cette relation se note également
p Cp -V(X~VT) -q, = (A2-8)
ou bien
at aT êx) ~~Y ( \21
L'établissement de l'équation générale de conduction à partir du bilan thermique impose plusieurshypothèses non explicitées précédemment, permettant de négliger certains phénomènesphysiques (mémoire thermique du matériau, variation de l'énergie de déformation, travail desforces extérieures, ... ) [VR189]. De la même manière, l'application du théorème desaccroissements finis, qui permet de décrire l'équation de conduction sous une for-medifférentielle, suppose la linéarité du gradient de température autour de chaque point du solide.VERNOTTE [VER49] et MARTINET [MAR89] précisent que certains phénomènes, au régimedynamique important, n'admettent pas cette hypothèse aux voisinages des frontières.
Dans une première approximation, nous admettrons que la conductivité thermique X, estindépendante de la température. Dès lors, si le terme q est également indépendant de la
température (ou tout au moins fonction linéaire de la température), l'équation de conduction (A2-8) peut se ramener à une équation différentielle linéaire
p Cp -XAT - q = 0 (A2-1 0)
En introduisant la diffusivité thermique a du matériau, définie par:
a- p= (A2- 1)
L'équation (A2-l 0) s'écrit
AT--1a - q A-2a t
Dans le cas où le terme source qv est nul, l'équation (A2-12) devient
AT- 1 aT = 0 ~~~~~~~~~~~(A2-1 3)a t
Cette équation est appelée généralement « équation de Fourier ».
De plus, si le régime est permanent. on obtient « l'équation de Laplace », qui se notesimplement
AT= O (A2-14)
Dans le cas du régime permanent, mais où qv=qv(x,y,z) est non nul, l'équation (A2-12) devient:
A+q (x,y,z) 0(A2-15)
Cette équation est appelée généralement « équation de Poisson ».
ANNEXE 2-B données thermodynamiques de l'air
T (K) T (C) masse Cp viscosité conductivité Diffusivité Prvolumique (J/kg'C) dynamique (W/m'C) (M2 /S)
ANNEXE 3-A : Etablissemnent de l'équation de conduction de la chaleur dansl'état quasi-stationnaire
L'état quasi-stationnaire s'obtient en remplaçant le repère cartésien d'origine (x,y,z)par un repère mobile (X, Y, Z) dont l'origine se déplace avec la source.
Ainsi, le repère (xy,z, t) devient (X, Y, Z, ) en posant:
X=x- ViY=yZ =zt' = t
Ce changement de variable entraîne pour les dérivées premières de la température
ai' a a aT aY aT aZ ai'ax aX ax aY ax azëz &'iax
ax
De la même manière, on a:
ai' ai'ay Yai a'az az
et
aiT ai'ax a a ai'aZ a ai'îai ax ai a at az at ai ai
-VaT O O a Tax ai'
Les dérivées premières et les dérivées secondes deviennent finalement
En appliquant ces changements de variables à l'équation de Fourier:
i êTAT---=0OA31
a t
On obtient dans le repère mobile (X~ Y, Z, t)
a2 T 2 T 2T 1 aT aT(aX + Y2+ )---y5a -V' a)=0(3
Or, par définition de l'état quasi-stationnaire, on a:
aT
Il reste finalement l'équation
a2T a2T a2T V S'T
53<2 SF2 aZ2 a aX(A) 4
171
ANNEXE 3-B : Etablissement du champ thermique dans la configuration tlemince infinie et source linéaire, d'après [SCH551
Nous avons vu précédemment (annexe 3-A) que l'équation différentielle linéairerégissant le transfert de chaleur par conduction dans l'état quasi-stationnaire s'écritdans le repère mobile (les pertes par la surface étant négligées)
a2T a2 T è 2T V T
Dans le cas d'une tôle mince parcourue par une source linéaire, cette équation sesimplifie
ô2 T a32 T V iDT+ - -- (B3-2)
aX2 aY2 aa
Pour résoudre l'équation (B3-2), on exprime la température sous la forme
T(X,fl)= To +exp(- 2 .F(X,Y) (B3-3)
F(X, Y), appelée température fictive, étant une fonction à déterminer.
En reportant l'expression (B3-3) dans l'équation (B3-2), on obtient aprèssimplification
SF+ F=0(B3-4)ax2 ay
En coordonnées cylindriques (r,O), telles que r=X+Y' et tanO=-(Y/X), l'équation(B3 )-4) devient :
a2F+êFôr 1rO -' Y ,I 2F =O (B3-5)
Selon DENNERY et GUENOT DEN62], les différents auteurs aant utilisé laméthode du repère mobile pour obtenir les équations du champ thermique ont, defaçon générale, passé sous silence une difficulté de principe relative à la radialitédes solutions. La plupart de ces auteurs semblent avoir admis implicitement et sansjustification que la distribution de la température fictive F était radiale au voisinaged'une source isolée dans un milieu limité. DENNERY et GUENOT démontrentdans leur ouvrage la légitimité de cette hypothèse.
De ce fait. la fonction F étant symétrique autours de r=O , on a
172
Dès lors, l'équation (B')-5) devient
a2F 15aF (V +r -r5 - Y2a F =0 (B-3-7)
(B' -7) est une équation de Bessel dont la solution générale est de la forme
F-=Ci O(;r) +CKO(V.r (B3)-8)
Cl et C2 sont des constantes d'intégration, qui sont à déterminer.
10 (u) et K0 (u) sont respectivement les fonctions de Bessel modifiées de première et
seconde espèces et d'ordre nul.
(B3C-3) va donc s écrire:
T(X, Y) = To +exÇ- +[kii~~ ±CK 0 Çj»r (B3-9)
Cette solution générale doit satisfaire les conditions aux limites imposées
quand r -cc, T= To (B3-1 0)
quand r-~>, qs = -gradT donc q, = -k-.2irr.Ep5 rBO (B3-l
Connaissant les évolutions des fonctions de Bessel I 0(u) et K0 (u), la condition (B3-
10) implique
C1 =o.
Il reste donc
T(Xfl Y) To±+exp 2 ~C, KJ 2 r (BC--12)
Or. on sait que:
+L K~ OE.r)] -. K (.r)
173
et
K rr- r
Dès lors, (B3-1 1) devient
q = ~ eXPa 2 a)* 2 aJJ= B-3
De plus, lorsque r = , on a X= . (B3-13) peut donc se simplifier en:
2a q =-Xk.27r. EpÎ -- a) C, V r(B3-14)
Il reste donc
C2= q2 2iX. Ep
La distribution de la température dans une tôle mince prend finalement la forme
T(X, Y) =To±+ exp -X)K(V (B3-15)
174
ANNEXE 3-C : Etablissement du champ thermique dans la configurationsolide semi-infini et source ponctuelle, d'après ROS41]
Dans le cas d'une source ponctuelle évoluant à la surface d'une pièce massive semi-infinie, nous retrouvons l'équation différentielle qui caractérise le transfert dechaleur par conduction, dans l'état quasi stationnaire.
a2 T a2 T 52 T V STSA2 + 52+ 5 - 5<(C3-1)
Comme précédemment, on exprime la température sous la forme
T(X, Y, Z)= To +exp{ - 2 .F(X, Y, Z) (C3-2)
L'équation (C3-1) peut alors s'ecrire
a2F a2F 52F vV+ + _I - F=0 (C3-3)
5X 2 5Y 2 5Z2 ( 2a)
En coordonnées cylindriques (Xr, O) telles que r=Y2+Z et tanO=-Y/Z, l'équation(C3-3) devient:
5'F 52F I SF I 2 F+ + -- + - F=0(C3-4)
aX 2 5r 2 r r r 2 50l
Comme dans le cas de la tôle, la température fictive F étant symétrique autours der=0O, on retrouve:
aF-= 050
(C3-4) devient alors
52F ô2F 1SaF (
+ + -- -IIF =0 (C3-5)aX2 5r 2 rSir2a
175
Cette équation différentielle a une solution générale de la forme
F(, , ) C3 ex (VR) C3R k2a
avec R 2 r2 ±+X2C 3 =Constante d'intégration
La relation (C'3-2) va donc s écrire
T(XYZ=To+-F-expÇ- ~ exp( - X(C -7)
Cette solution doit satisfaire aux conditions aux limites imposées, soit
quand R ->,T= To (C3-8)
quand R-->O, qs -À.gradT donc q' = -k.27TR 2-- (C-)arR=O
On peut donc écrire:
q = CI ~___ V(X + R)~270XR.[( R2
-xp 2 R (C-1O
Cette expression peut se simplifier lorsque R tend vers O, par
q = -27t4- (_ CJ (C3-l 1)
On en déduit aisément:
C3 q (C3-12)27rtX
La distribution de température dans une pièce massive s'exprime finalement par larelation
q j"V(X +R)'T(X Y, Z) =To± 2~ exp~ (C3-13)
176
T(x, y, z,t) To + 2q -~ ex :2I4t 0 a - (D 3 -11)pC,, (47tat) 3/2 eP-4at) 4a(t +t,)' exy 4aQt+t,)
En remplaçant le termne de densité maximale de puissance qmacx, et en introduisant le
coefficient de concentration k en fonction du temps caractéristique o tel que
i1 eUJ (D- 12)qmax 47zira
La distribution de température s'écrit finalement sous la forme de l'équation (-19)
2(~lrU)dtexp- Z exp-x±yT(x, y, z, ) = To +2(q, Id a)4(t + t, (D3-1
179
ANNEXE 4-A : Compositions chimiques des matériaux étudiés
A- Acier inoxydable (AISI 304L)
Référence/CEA parc 236 parc 237 parc 256
Nuance Z2 CN 1810 Z2 CN 81O Z2 CN 18IO
Composition C 0.027 S 0.006 C 0.018 Ni 9.1 C 0.021 S 0.006
(en %) Cr 18.18 Si 0.41 Cr 18.2 p 0.029 Cr 18.51 Si 0.47
MVn 1.38 CU 0.12 S 0.003 Mn'f. 1.62 Co 0.05
Ni 10.2 Mn 1.54 Si 0.44 Ni 10.21 CU 0.09
p 0.03 N 0.044 p 02
B- Matériaux divers
matériau alliage d'aluminium alliage base nickel2219 inconel 718
