Date post: | 16-Nov-2023 |
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Cours de robotiquefondamental
David.Daney sophia.inria.fr
Projet CoprinINRIA Sophia Antipolis
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 1 / 165
Outline
1 IntroductionHistoriqueLes robotsDomaines d’expertisesDomaînes d’applications
2 Représentation des transformations et des mouvements rigides
Notion de degrés de liberté
Un exemple simpleReprésentation des transformations rigides
3 Les manipulateursNotion de liaisonsLes chaînes cinématiquesLes robot sériesLes robots parallèles
4 Les modèles des robots manipulateursLe Modèle Géométrique Direct/InverseLes Modèles Cinématiques Direct/InverseLe Modèle StatiqueLes Modèles Dynamiques
5 Notions complementaires des robots
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 2 / 165
Être artificiel et corvéable :
Talos
Aristote
Il y a 4000 ans, Talos, l’homme decuivre, option catapultes et lanceflamme. Le Dieu Héphaïtos l’a forgé etoffert au roi Minos en Crète pourdéfendre cette île des envahisseurs.
Selon le chant XVIII de l’Iliade (Homère,IXe siècle avant J.C.) Héphaïstos(Vulcain) fut le premier fabricant decréatures artificielles "techniques".
Mythe de Pigmalion, jeune roi deChypre, un homme "crée" la vie.
384-322 av JC Aristote, Machines pouraccomplir nos tâches
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 3 / 165
Les premières réalisationsAvant IXèmes siècle (entre mythe et réalité):
Automate, Heron
En Égypte, mâchoire articulé d’unmasque Anubis, le bras de Amonbouge pour designer le nouveaupharaon.
Ctébios et Heron d’Alexandrie,fontaines avec des figures animéeset des oiseaux qui chantent.Systèmes hydrauliques oupneumatiques (270 av. J-C).Champs d’application : ludique, maispourquoi pas militaire
En Chine, les sphères armillaireséquatoriales (assemblage d’anneauxou de globes figurant lesmouvements célestes) de GuoShouchang (52 av. J-C)
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Les premiers automates (Horloges et fontaines)IXèmes - XIIIèmes siècle:
Fontaine, Al-Jazari
809, le sultan Haroun Al-Rachid offreà Charlemagne le premier automatemécanique (horloge).
fin 12ième, les fontaines d’Al-Jazaripour le confort de l’homme. (systèmepouvant nous rappeler la chassed’eau de nos toilettes)
1193-1280 L’évêque Albert le Grandaurait passé trente ans à construireun robot fait de métal et de bois queson élève, le futur saint Thomasd’Aquin, persuadé que cela avaitquelque chose à voir avec le démon,envoya au feu
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 5 / 165
Les premiers automates (Horloges et fontaines)XIIIèmes - XVIIèmes siècle:
Horloge, Venise
13ième-15ième Automatesmécaniques, hydrauliques etc. En1350, on a érigé sur la Cathédrale deStrasbourg un coq mécanique quibattait ses ailes et chantait tous lesjours à midi. Les jacquemarts, cesfigurines frappant les heures enenchaînant toutes sortes demouvement.
1496-1499 La tour de l’horloge,Venise.
1452-1519 Léonard de Vinci(1452-1519), développe un lionarticulé qu’il fait marcher à l’aide deroues et d’engrenagesdevant le roiFrançois Ier. "La science desautomates doit s’inspirer à la fois dela mécanique et de l’anatomie.
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Les premiers automates programmable(Horloges et fontaines)IXèmes - XVIIèmes siècle:
Automate hydraulique,Salomon de Caus
La Pascaline
1576-1626 Salomon de Caus,mécanismes hydrauliques et lapremière machine programmable.
1642 Pascal invente la Pascaline,première calculatrice.
fin XVII Thomas Hobbes estime quepenser et calculer ne font qu’un.René Descartes assimile le corpsdes animaux à un automate.
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Les automates XVIIIème siècleImitation des mouvement de l’humain
La joueuse de tympanon
1721-1790 Pierre Jacquet-Droz, Unécrivain, un dessinateur et unejoueuse de tympanon (pianosimplifié)."Sa poitrine se soulève ets’abaisse comme dans larespiration, sa tête remue, sesyeux regardent tantôt ses mains,tantôt la musique, et tantôt lesauditeurs ; elle se penche sur lapartition comme pour mieux lireou écouter, et à la fin de lapartition elle salue poliment"
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Les automates XVIIIème siècleImitation des mouvement de l’humain
Le joueur d’échecs (1770, Wolfgang von Kempelen)
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Les automates XVIIIème siècleImitation des mouvement de l’humain
Le canard
1709-1782 Jacques deVaucanson,Le Flûtiste, dont les lèvreset les doigts jouent unedouzaine de mélodies à laflûte traversière ;le Canard, qui peut picorerdu grain, boire et éjecterdes crottes (dixitVaucanson) ;un joueur de tambourin et deflageolet (genre de flûte àbec) reproduisant 20 airsdiffèrents.Un système deprogrammation de l’automate.Le programme est constituépar un cylindre à picots,comme ceux qui équipentencore, de nos jours,certaines boites àmusique, picots agissantssur leviers mobiles,transmettant le mouvementpar l’intermédiaire de fils.
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Les automates XIXème siècleUtilisation industrielle
Machine à tisser
1709-1782 Jacques deVaucanson,nommé inspecteur desmanufactures de soie, a l’idéed’utiliser son cylindre à picotpour programmer les métiersà tisser. C’est le premierautomate utile.
1805 Joseph-Marie Jacquard,programmation par cartesperforées.Charles Babbage adaptel’idée pour les calculatices.1943, dans le premierordinateur, le Mark I, utilisépar la marine américaine pourcalculer la trajectoire desobus.
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Les automates XIXème siècleUtilisation industrielle
Bateau télécommandé
1890 Thomas Edison,une poupée parle grace à unephonograghe.
1898 Nikola Tesla,bateau controlé sans fils
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La notion de robotique au XXème siècle
RUR
1816 Mary Shelley, le docteurFrankenstein
1921 Karel Capek (écrivaintchéque, 1890-1938) inventele mot "Robot" (Robota, travailforcé , tâche pénible ,servitude).La pièce RUR, les RobotsUniversels de Rossum décritla révolte de robots !
1926 Fritz Lang, Metropolis
1941 Isaac Asimov, invente leterme "Robotique", préditl’augmentation de la robotiqueindustrielle. Il recadre lesrobots en temps que machineservant l’homme etnon-dangeureuse.
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Les Robots du XXème siècle
Enigma
1935 Machine de Turing ,Alan Mathison Turing.
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Les Robots du XXème siècle
1961 Unimate ,General Motors
1968 Walking Truck ,General Electric
1970 Shakey ,Stanford Research Institute.
1947 premier manipulateur électrique téléopéré.
1954 premier robot programmable.
1961 apparition d’un robot sur une chaîne demontage de General Motors.
1961 premier robot avec contrôle en effort.
1963 : utilisation de la vision pour commander unrobot.
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Outline
1 IntroductionHistoriqueLes robotsDomaines d’expertisesDomaînes d’applications
2 Représentation des transformations et des mouvements rigides
Notion de degrés de liberté
Un exemple simpleReprésentation des transformations rigides
3 Les manipulateursNotion de liaisonsLes chaînes cinématiquesLes robot sériesLes robots parallèles
4 Les modèles des robots manipulateursLe Modèle Géométrique Direct/InverseLes Modèles Cinématiques Direct/InverseLe Modèle StatiqueLes Modèles Dynamiques
5 Notions complementaires des robots
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 16 / 165
Définitons
Un robot est un système mécanique poly-articulé mû par des actionneurs etcommandé par un calculateur qui est destiné à effectuer une grande variété detâches.
"Un appareil automatique qui peut effectuer des fonctions normalementeffectuer par des humains." Traduit du dictionnaire Webster’s
"Appareil automatique capable de manipuler des objets ou d’exécuter desopérations selon un programme fixe ou modifiable." Petit Larousse
"Un manipulateur reprogrammable multifonctionnel concu pour deplacer desmatériaux,des outils, des pièces ou des composantes spécialisés à traversune série de mouvements programmés pour effectuer une tache précise."Robot Institut de robotique d’Amérique,1979
"A robot is a machine designed to execute one or more tasks repeatedly,with speed and precision." whatis.com
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Définitons
"Manipulateur commandé en position, reprogrammable, polyvalent, àplusieurs degrés de liberté, capable de manipuler des matériaux, despièces, des outils et des dispositifs spécialisés, au cours de mouvementsvariables et programmés pour l’exécution d’une variété de tâches. Il asouvent l’apparence d’un ou plusieurs bras se terminant par un poignet. Sonunité de commande utilise, notamment, un dispositif de mémoire etéventuellement de perception et d’adaptation à l’environnement et auxcirconstances. Ces machines polyvalentes ont généralement étudiées poureffectuer la même fonction de façon cyclique et peuvent être adaptées àd’autres fonctions sans modification permanente du matériel." AFNORAssociation Française de Normalisation
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DéfinitionGénération 3
JoystickBoite à boutonClavier...
Environnement
Système de commande
Systéme de décision
Systéme de communication
propriocétifsActionneursStructure mécanique
Robot
Informationsexteroceptifs
Capteurs
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Robotique mobile
Robots mobiles
Anis, Icare, INRIA
Robots sous-marins
TAIPAN, Lirmm, CNRS
Robots volants
AirRobot GmbH & Co.KG
Problèmes de commande
Intégration des informations fourniespar des capteurs
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 20 / 165
Robotique bio-inspirée
Bipéde 15 dll
Bipéde oiseau
Hexapode
Quadipode
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 21 / 165
Micro-, Mano- robotique
Robot mobile
Nano moteur
Nano robot parallèle
Interaction avec le sang
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Robotique des manipulateurs
Robots séries
Kuka
Robots parallèles
Delta, ABB
Robots Hybrides (parallèle/série)
Tricept, Neos
Robots à câbles
Système à retour d’effort (Haptic)
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1 IntroductionHistoriqueLes robotsDomaines d’expertisesDomaînes d’applications
2 Représentation des transformations et des mouvements rigides
Notion de degrés de liberté
Un exemple simpleReprésentation des transformations rigides
3 Les manipulateursNotion de liaisonsLes chaînes cinématiquesLes robot sériesLes robots parallèles
4 Les modèles des robots manipulateursLe Modèle Géométrique Direct/InverseLes Modèles Cinématiques Direct/InverseLe Modèle StatiqueLes Modèles Dynamiques
5 Notions complementaires des robots
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Domaines d’expertises
Mécanique
Automatique
Informatique
Mathématique appliquée
Analyse numérique, Optimisation,
Géométrie algérique, Algorithmique,
Vision par ordinateur, Traitementd’images,
Intelligence artificielle,
CAO,
Mécatronique,
Psychologie , Expertise Médicale
. . .
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1 IntroductionHistoriqueLes robotsDomaines d’expertisesDomaînes d’applications
2 Représentation des transformations et des mouvements rigides
Notion de degrés de liberté
Un exemple simpleReprésentation des transformations rigides
3 Les manipulateursNotion de liaisonsLes chaînes cinématiquesLes robot sériesLes robots parallèles
4 Les modèles des robots manipulateursLe Modèle Géométrique Direct/InverseLes Modèles Cinématiques Direct/InverseLe Modèle StatiqueLes Modèles Dynamiques
5 Notions complementaires des robots
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Domaînes d’applicationsde la robotique industrielle à la robotique de service
Pour une grande majorité des robots ...
tâche simple
tâche répétitive (grande série)
qualité sur la tâche (vitesse, précision)
pénibilité de la tâche (peinture, charge lourde, environnement hostile, ...).
L’avenir est à l’autonomie ...
tâche complexe
interaction avec l’environement (+ utilisateur)
module de décision (+ sécurité)
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La robotique industrielleAutomobile
Robot soudeur
Chaîne d’assemblage
Robot peintre
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 28 / 165
La robotique industrielleChaîne de production (industrie)
Chaine de production (ABB)
Manipulateur fonderie (ABB)
Manipulateur rapide (ABB)
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Environnement hostileNucléaire
Figure: Robot décontamineur
Figure: Robot adapté au milieunucléaire
Figure: Téléopération
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Environnement hostileExploration spatiale
Spirit, NASA, 2003 sur Mars
Sojourner, NASA, 1997 sur Mars
Canadarm 1 et 2
Beagle 2D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 31 / 165
Environnement hostileExploration sous-marine
Scorpio 2000, France Télécom
Robot sous-marin
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 32 / 165
Agriculture
Tracteur autonome
Récolte de concombre
Robot pour planter les melons
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 33 / 165
Sécurité, Militaire
Robot reconnaissance Irak 2003
Drone Predator General atomics
Demineur
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 34 / 165
Service à la clientèle
Aspirateur CyCab
Laveur de vitres (C. Pompidou) - Robosoft
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 35 / 165
Humnoïde
Robot visage
Expression du visage
P3 et Asimo, Honda
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 37 / 165
Médicale
Manipulateur hospitalié
Manipulateur pharmacetique
Manipulateur pharmacetique
Mélangeur pharmacetique
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 38 / 165
Chirurgie
da Vinci
Physik Instrumente
Endoscope MIPS, Inria
Simulation, Chir, Inria
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 39 / 165
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1 IntroductionHistoriqueLes robotsDomaines d’expertisesDomaînes d’applications
2 Représentation des transformations et des mouvements rigides
Notion de degrés de liberté
Un exemple simpleReprésentation des transformations rigides
3 Les manipulateursNotion de liaisonsLes chaînes cinématiquesLes robot sériesLes robots parallèles
4 Les modèles des robots manipulateursLe Modèle Géométrique Direct/InverseLes Modèles Cinématiques Direct/InverseLe Modèle StatiqueLes Modèles Dynamiques
5 Notions complementaires des robots
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Degrés de libertédans l’espace
Combien de degrés de libertés a un solide dans l’espace ?ou encore... Combien de paramètres indépendants (nombre minimal)sont-ils nécessaires pour définir la situation (positionnement) du solidedans l’espace (par rapport à un repère de référence) ?
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 41 / 165
Degrés de libertédans l’espace
6 3 en position
3 en orientation
Y
Z
X
P
Y
Z
X
P
γ
β
α
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 42 / 165
Degrés de libertédans l’espace
6 3 en position
3 en orientation
Y
Z
X
P
Y
Z
X
P
γ
β
α
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 42 / 165
Degrés de libertédans l’espace
6 3 en position
3 en orientation
Y
Z
X
P
Y
Z
X
P
γ
β
α
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 42 / 165
DDL d’un solidedans le plan
Quels sont les degrés de liberté de la "brosse à effacer" sedéplaçant sur le tableau ?
Y
X
θ
2 en position (X,Y), 1 en orientation (θ)
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 44 / 165
DDL d’un solidedans le plan
Quels sont les degrés de liberté de la "brosse à effacer" sedéplaçant sur le tableau ?
Y
X
θ
2 en position (X,Y), 1 en orientation (θ)
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 44 / 165
Outline
1 IntroductionHistoriqueLes robotsDomaines d’expertisesDomaînes d’applications
2 Représentation des transformations et des mouvements rigides
Notion de degrés de liberté
Un exemple simpleReprésentation des transformations rigides
3 Les manipulateursNotion de liaisonsLes chaînes cinématiquesLes robot sériesLes robots parallèles
4 Les modèles des robots manipulateursLe Modèle Géométrique Direct/InverseLes Modèles Cinématiques Direct/InverseLe Modèle StatiqueLes Modèles Dynamiques
5 Notions complementaires des robots
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 45 / 165
Un exemple simpleToto le petit robot
Vue de haut Vue de profile
Roues
Toto le petit robot.
t
Il tourne Il se deplace en ligne droite
θX
Y
Déplacements de Toto.
Questions :
Dans le plan, quel sont les coordonnées d’un solide ?
Quel sont les degrés de liberté du robot ?
Est-ce équivalent ?
I Le robot avance de t puis tourne de θ.I Le robot tourne de θ puis avance de t .
Donner les coordonnées du robot.
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 46 / 165
Un exemple simplePositionnement d’un objet
X
YPosition initiale
A partir d’une position initiale, le robottourne de θ puis avance de t . Donner sanouvelle position
θ
X
Yt
Position initiale
X = t × cos(θ)
Y = t × sin(θ)
Θ = θ
ou bien
X =
0@t . cos(θ)t . sin(θ)
θ
1A
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 47 / 165
Un exemple simplePositionnement d’un objet
X
YPosition initiale
A partir d’une position initiale, le robottourne de θ puis avance de t . Donner sanouvelle position
θ
X
Yt
Position initiale
X = t × cos(θ)
Y = t × sin(θ)
Θ = θ
ou bien
X =
0@t . cos(θ)t . sin(θ)
θ
1A
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 47 / 165
Un exemple simpleDéplacement d’un robot
Question:
A partir d’une position initiale, le robot tourne de θ puis avance de t puistourne de α puis avant de d . Donner son positionement.
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 48 / 165
Un exemple simpleDéplacement d’un robot
θ
x
y
j
i
α
v
u
p
q
O
C
t
d
T
D
Le robot tourne de θ puis avance det .Dans le repère ΩO = (O,
−→i ,−→j )
−→T ΩO
=
„uv
«= t .
„cos θsin θ
«(1)
Puis , le robot tourne de αpuis avance de d .Dans le repère ΩC = (C,−→x ,−→y )
−→D ΩC
=
„pq
«= d .
„cosαsinα
«(2)
Question : Déterminer la position du robot dans ΩO .
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 49 / 165
Un exemple simpleDéplacement d’un robot
x
y
j
iO
C
T
V
θ+α
D
Solution :
la position du robot est égale à :
−→V =
−→T ΩO
+−→D ΩO
(3)
Sous-problème :Déterminer
−→D dans ΩO
l’orientation de Toto est égale à θ+α.
0@t . cos θ + pΩO
t . sin θ + qΩO
θ + α
1A (4)
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 50 / 165
Déterminer−→D dans ΩO
1/2
x
y
j
iO
C
V
DDans ΩO le vecteur
−→D peut s’exprimer en
fonction des axes de −→x et −→y .
−→D ΩO
= p.−→x ΩO+ q.−→y ΩO
(5)
i
j
x
y cos
sin
−sin
cos
θ
θθ
θθ
Exprimons les axes −→x et −→y dans ΩO
−→x ΩO=
„cos θsin θ
«−→y ΩO
=
„− sin θcos θ
«(6)
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 51 / 165
Déterminer−→D dans ΩO
2/2
eq. (6) → eq. (5) → eq. (3)
−→V =
−→T ΩO
+−→D ΩO
= t .„
cos θsin θ
«+ p.
„cos θsin θ
«+ q.
„− sin θcos θ
«(7)
eq. (2) → eq. (7)
−→V = t .
„cos θsin θ
«+ d . cosα.
„cos θsin θ
«+ d . sinα.
„− sin θcos θ
«(8)
= t .„
cos θsin θ
«+ d .
„cos (θ + α)sin (θ + α)
«(9)
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 52 / 165
Déterminer−→D dans ΩO
Forme matricielle
x
y
j
iO
C
V
D
i
j
x
y cos
sin
−sin
cos
θ
θθ
θθ
Dans ΩO le vecteur−→D peut s’exprimer en
fonction des axes de −→x et −→y .
−→D ΩO
= p.−→x ΩO+ q.−→y ΩO
Exprimons les axes −→x et −→y dans ΩO
−→x ΩO=
„cos θsin θ
«−→y ΩO
=
„− sin θcos θ
«
−→D ΩO
= p.−→x ΩO+ q.−→y ΩO
= p.„
cos θsin θ
«+ q.
„− sin θcos θ
«=
„cos θ − sin θsin θ cos θ
« „pq
«=
„cos θ − sin θsin θ cos θ
«−→D ΩC
=“−→x ΩO
−→y ΩO
”−→D ΩC
= R.−→D ΩC
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 53 / 165
Déterminer−→D dans ΩO
Forme matricielle
x
y
j
iO
C
V
D
i
j
x
y cos
sin
−sin
cos
θ
θθ
θθ
Dans ΩO le vecteur−→D peut s’exprimer en
fonction des axes de −→x et −→y .
−→D ΩO
= p.−→x ΩO+ q.−→y ΩO
Exprimons les axes −→x et −→y dans ΩO
−→x ΩO=
„cos θsin θ
«−→y ΩO
=
„− sin θcos θ
«
−→D ΩO
= p.−→x ΩO+ q.−→y ΩO
= p.„
cos θsin θ
«+ q.
„− sin θcos θ
«=
„cos θ − sin θsin θ cos θ
« „pq
«=
„cos θ − sin θsin θ cos θ
«−→D ΩC
=“−→x ΩO
−→y ΩO
”−→D ΩC
= R.−→D ΩC
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 53 / 165
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1 IntroductionHistoriqueLes robotsDomaines d’expertisesDomaînes d’applications
2 Représentation des transformations et des mouvements rigides
Notion de degrés de liberté
Un exemple simpleReprésentation des transformations rigides
3 Les manipulateursNotion de liaisonsLes chaînes cinématiquesLes robot sériesLes robots parallèles
4 Les modèles des robots manipulateursLe Modèle Géométrique Direct/InverseLes Modèles Cinématiques Direct/InverseLe Modèle StatiqueLes Modèles Dynamiques
5 Notions complementaires des robots
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 54 / 165
Changement de repèreCas plan
O i
jy
x
C
Figure: Deux repères dans le plan
Soit le repère de base Ω0 = (O,−→Oi,
−→Oj) et le repère ΩC = (C,
−→Cx ,
−→Cy).
La position P du repère ΩC par rapport à Ω0 est donné par le vecteur−→OC.
(C exprimé dans Ω0)
La matrice d’orientation R du repère ΩC par rapport à Ω0 est donné par
R =“−→
Cx−→Cy”
(C, x , y exprimés dans Ω0)
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 55 / 165
Changement de repèreCas plan
Remarque :
La matrice R est une matrice orthogonal qui a des propriété:
det(R) = 1 (10)
R−1 = Rt (11)
R =
„cos θ − sin θsin θ cos θ
«(12)
Soit VC un vecteur exprimé dans ΩC et VO sa valeur dans ΩO .
VO = R.VC + P (13)
VC = Rt .VO − Rt .P (14)
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 56 / 165
Changement de repèreCas plan
Remarque :
La matrice R est une matrice orthogonal qui a des propriété:
det(R) = 1 (10)
R−1 = Rt (11)
R =
„cos θ − sin θsin θ cos θ
«(12)
Soit VC un vecteur exprimé dans ΩC et VO sa valeur dans ΩO .
VO = R.VC + P (13)
VC = Rt .VO − Rt .P (14)
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 56 / 165
Changement de repèreCas Spatial
Soit le repère de base Ω0 et le repère ΩC .
La position P du repère ΩC par rapport à Ω0.
La matrice d’orientation R du repère ΩC par rapport à Ω0.
Soit VC un vecteur exprimé dans ΩC et VO sa valeur dans ΩO .
VO = R.VC + P (15)
VC = Rt .VO − Rt .P (16)
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 57 / 165
Une paramétrisation de la matrice d’orientation
Rx(θx) =
0@1 0 00 cos θx − sin θx
0 sin θx cos θx
1ARy (θy ) =
0@ cos θx 0 sin θx
0 1 0− sin θx 0 cos θx
1ARz(θz) =
0@cos θz − sin θz 0sin θx cos θx 0
0 0 1
1AR = Rx(θx).Ry (θy ).Rz(θz) Angles de Bryant
R = Rz(θz1).Rx(θx).Rz(θz2) Angles d’Euler
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 58 / 165
Une paramétrisation de la matrice d’orientation
Rx(θx) =
0@1 0 00 cos θx − sin θx
0 sin θx cos θx
1ARy (θy ) =
0@ cos θx 0 sin θx
0 1 0− sin θx 0 cos θx
1ARz(θz) =
0@cos θz − sin θz 0sin θx cos θx 0
0 0 1
1AR = Rx(θx).Ry (θy ).Rz(θz) Angles de Bryant
R = Rz(θz1).Rx(θx).Rz(θz2) Angles d’Euler
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 58 / 165
Matrice d’orientation représenté par les angles deBryant
R = Rx(φ).Ry (θ).Rz(ψ)
R =
cos θ cosψ − cos θ sinψ sin θ
sinφ sin θ cosψ + cosφ sinψ cosφ cosψ − sinφ sin θ sinψ − sinφ cos θ− cosφ sin θ cosψ + sinφ sinψ cosφ sin θ sinψ + sinφ cosψ cosφ cos θ
!
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 59 / 165
Matrice d’orientation représenté par un vecteurnormalisé et un angle
R : Rotation d’un angle θ autour de l’axe
0@ux
uy
uz
1A.
R =
u2x .a + cos θ ux .uy .a− uz . sin θ ux .uz .a + uy . sin θ
ux .uy .a + uz . sin θ u2y .a + cos θ uy .uz .a− ux . sin θ
ux .uz .a− uy . sin θ uy .uz .a + ux . sin θ u2z .a + cos θ
avec a = 1− cos θ
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 60 / 165
Matrice d’orientation représenté par les paramètres deRodrigues
R =1
1 +Q21 +Q2
2 +Q23
0@1 +Q21 −Q
22 −Q
23 2(Q1Q2 −Q3) 2(Q1Q3 +Q2)
2(Q1Q2 +Q3) 1−Q21 +Q2
2 −Q23 2(Q2Q3 −Q1)
2(Q3Q1 −Q2) 2(Q2Q3 +Q1) 1−Q21 −Q
22 +Q2
3
1A
R : Rotation d’un angle θ autour de l’axe
0@uxuyuz
1A.
Q1 = ux tanθ
2
Q2 = uy tanθ
2
Q3 = uz tanθ
2
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 61 / 165
Matrice d’orientation représenté par les paramètres deEuler normalisés
R =
Q0 +Q21 −Q2
2 −Q23 2(Q1Q2 −Q0Q3) 2(Q1Q3 +Q0Q2)
2(Q1Q2 +Q0Q3) Q0 −Q21 +Q2
2 −Q23 2(Q2Q3 −Q0Q1)
2(Q3Q1 −Q0Q2) 2(Q2Q3 +Q0Q1) Q0 −Q21 −Q2
2 +Q23
R : Rotation d’un angle θ autour de l’axe
ux
uy
uz
.
Q0 = cosθ
2
Q1 = ux sinθ
2
Q2 = uy sinθ
2
Q3 = uz sinθ
2
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 62 / 165
Représentation d’un positionnement d’un solide dansl’espace
Nous avons déjà vue que nous pouvons le représenter par ...
6 paramètres (3 pour la position Tx ,Ty ,Tz , 3 pour l’orientation Rx ,Ry ,Rz ),
12 paramètres (3 pour la position Tx ,Ty ,Tz , 9 pour représenter la matriced’orientation R).
7 parametres (3 pour la position Tx ,Ty ,Tz + un vecteur et un angle)
mais aussi
9 paramètres (3× 3 coordonnées de 3 points sur le solide)
...
Mais il n’y en a que 6 indépendantsdans les autres cas un certain nombre sont liés par des équations
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 63 / 165
Représentation d’un positionnement d’un solide dansl’espace
Nous avons déjà vue que nous pouvons le représenter par ...
6 paramètres (3 pour la position Tx ,Ty ,Tz , 3 pour l’orientation Rx ,Ry ,Rz ),
12 paramètres (3 pour la position Tx ,Ty ,Tz , 9 pour représenter la matriced’orientation R).
7 parametres (3 pour la position Tx ,Ty ,Tz + un vecteur et un angle)
mais aussi
9 paramètres (3× 3 coordonnées de 3 points sur le solide)
...
Mais il n’y en a que 6 indépendantsdans les autres cas un certain nombre sont liés par des équations
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 63 / 165
Représentation d’un positionnement d’un solide dansl’espace
Nous avons déjà vue que nous pouvons le représenter par ...
6 paramètres (3 pour la position Tx ,Ty ,Tz , 3 pour l’orientation Rx ,Ry ,Rz ),
12 paramètres (3 pour la position Tx ,Ty ,Tz , 9 pour représenter la matriced’orientation R).
7 parametres (3 pour la position Tx ,Ty ,Tz + un vecteur et un angle)
mais aussi
9 paramètres (3× 3 coordonnées de 3 points sur le solide)
...
Mais il n’y en a que 6 indépendantsdans les autres cas un certain nombre sont liés par des équations
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 63 / 165
Représentation d’un positionnement d’un solide dansl’espace
Plusieurs changements de repères successifs
R ,P 01 01
0
12
3
4
R ,P
R ,P
R ,P
12 12
23 23
34 34
V
V3 = R34.V + P34
V2 = R23.V3 + P23 = R23.(R34.V + P34) + P23
V1 = R12.(R23.(R34.V + P34) + P23) + P12
V0 = R01.(R12.(R23.(R34.V + P34) + P23) + P12) + P01
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 64 / 165
Représentation d’un positionnement d’un solide dansl’espace
Coordonnées Homogène
P =
0BB@w .px
w .py
w .pz
w
1CCA (17)
Représentation d’un point, w = 1
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 65 / 165
Représentation d’un positionnement d’un solide dansl’espace
Transformations Homogènes
Hi,j =
0BB@R1,1 R1,2 R1,3 P1
R2,1 R2,2 R2,3 P2
R3,1 R3,2 R3,3 P3
0 0 0 1
1CCA4×4
H0,4 = H0,1.H1,2.H2,3.H3,4
Hi,i = I
„Vi
1
«4×1
= Hi,j .
„Vj
1
«4×1
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 66 / 165
Représentation d’un positionnement d’un solide dansl’espace
Transformations Homogènes
Hi,j =
0BB@R1,1 R1,2 R1,3 P1
R2,1 R2,2 R2,3 P2
R3,1 R3,2 R3,3 P3
0 0 0 1
1CCA4×4
H0,4 = H0,1.H1,2.H2,3.H3,4
Hi,i = I
„Vi
1
«4×1
= Hi,j .
„Vj
1
«4×1
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 66 / 165
Représentation d’un positionnement d’un solide dansl’espace
Transformations Homogènes
Hi,j =
0BB@R1,1 R1,2 R1,3 P1
R2,1 R2,2 R2,3 P2
R3,1 R3,2 R3,3 P3
0 0 0 1
1CCA4×4
H0,4 = H0,1.H1,2.H2,3.H3,4
Hi,i = I
„Vi
1
«4×1
= Hi,j .
„Vj
1
«4×1
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 66 / 165
Matrices homogènes
R(θ)
P
V’V V
′= R(θ)V + P
Matrice Homogène:
Hi,j =
0@ R1,1 R1,2 P1
R2,1 R2,2 P2
0 0 1
1A3×3
=
0@ cos θ − sin θ P1
sin θ cos θ P2
0 0 1
1A
Utilisation de la matrice homogène.„V′
1
«=
„R P
0 0 1
«.
„V1
«=
„R.V + P
1
«
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 67 / 165
Matrices homogènes
R(θ)
P
V’V V
′= R(θ)V + P
Matrice Homogène:
Hi,j =
0@ R1,1 R1,2 P1
R2,1 R2,2 P2
0 0 1
1A3×3
=
0@ cos θ − sin θ P1
sin θ cos θ P2
0 0 1
1A
Utilisation de la matrice homogène.„V′
1
«=
„R P
0 0 1
«.
„V1
«=
„R.V + P
1
«
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 67 / 165
Matrices homogènesPlusieurs changements de repères successifs
R ,P 01 01
R ,P 12 12
R ,P 23 23 R ,P 34 34
0
3
4
21
H
H23H12
0134H
V0
V
V3 = R34.V + P34
V2 = R23.V3 + P23 = R23.(R34.V + P34) + P23
V1 = R12.(R23.(R34.V + P34) + P23) + P12
V0 = R01.(R12.(R23.(R34.V + P34) + P23) + P12) + P01
ou alors „V0
1
«= H01.H12.H23.H34.
„V1
«D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 68 / 165
Matrices homogènesPlusieurs changements de repères successifs
R ,P 01 01
R ,P 12 12
R ,P 23 23 R ,P 34 34
0
3
4
21
H
H23H12
0134H
V0
V
V3 = R34.V + P34
V2 = R23.V3 + P23 = R23.(R34.V + P34) + P23
V1 = R12.(R23.(R34.V + P34) + P23) + P12
V0 = R01.(R12.(R23.(R34.V + P34) + P23) + P12) + P01
ou alors „V0
1
«= H01.H12.H23.H34.
„V1
«D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 68 / 165
Outline
1 IntroductionHistoriqueLes robotsDomaines d’expertisesDomaînes d’applications
2 Représentation des transformations et des mouvements rigides
Notion de degrés de liberté
Un exemple simpleReprésentation des transformations rigides
3 Les manipulateursNotion de liaisonsLes chaînes cinématiquesLes robot sériesLes robots parallèles
4 Les modèles des robots manipulateursLe Modèle Géométrique Direct/InverseLes Modèles Cinématiques Direct/InverseLe Modèle StatiqueLes Modèles Dynamiques
5 Notions complementaires des robots
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 69 / 165
Liaisons entre deux solides
Une liaison entre deux solides est une relation de contact entre deux solides.
Degrés de liberté d’une liaison : C’est le nombre de déplacementsélémentaires indépendants autorisés par cette liaison.
Classe d’une liaison : C’est le nombre de déplacements élémentairesinterdits. On notera que pour une liaison, la somme des degrés de liberté etde la classe de la liaisons est égale à 6.
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 70 / 165
Liaisons entre deux solides : exempleContact Plan/Plan
1 ddl, Rx
Décomposition des contacts
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 71 / 165
Les différents types de contact
contact ponctuel contact linéique contact linéique
contact surfacique contact surfacique
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 72 / 165
Les différents types de contact
contact ponctuel contact linéique contact linéique
contact surfacique contact surfacique
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 72 / 165
Les différents types de contact
contact ponctuel contact linéique contact linéique
contact surfacique contact surfacique
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 72 / 165
Tableau des liaisons usuelles
Nom de la Représentations Perspective Degrés de liberté mobilitésliaison planes Trans Ori
Encastrement de centre B
0@000
1A 0@000
1A Anim
Glissière de centre A et d’axe X
0@Tx00
1A 0@000
1A Anim
Pivot de centre A et d’axe X
0@000
1A 0@Rx00
1A Anim
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 73 / 165
Tableau des liaisons usuelles
Nom de la Représentations Perspective Degrés de liberté mobilitésliaison planes Trans Ori
Encastrement de centre B
0@000
1A 0@000
1A Anim
Glissière de centre A et d’axe X
0@Tx00
1A 0@000
1A Anim
Pivot de centre A et d’axe X
0@000
1A 0@Rx00
1A Anim
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 73 / 165
Tableau des liaisons usuelles
Nom de la Représentations Perspective Degrés de liberté mobilitésliaison planes Trans Ori
Encastrement de centre B
0@000
1A 0@000
1A Anim
Glissière de centre A et d’axe X
0@Tx00
1A 0@000
1A Anim
Pivot de centre A et d’axe X
0@000
1A 0@Rx00
1A Anim
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 73 / 165
Tableau des liaisons usuelles
Nom de la Représentations Perspective Degrés de liberté mobilitésliaison planes Trans Ori
Pivot glissant de centre C etd’axe X
0@Tx00
1A 0@Rx00
1A Anim
Hélicoïdale de centre B et d’axeY
0@ 0Ty0
1A 0@ 0Ty ∗ 2p/p
0
1A Anim
Appui Plan de centre D et denormale Z
0@TxTy0
1A 0@ 00
Rz
1A Anim
Rotule de centre O
0@000
1A 0@RxRyRz
1A Anim
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 74 / 165
Tableau des liaisons usuelles
Nom de la Représentations Perspective Degrés de liberté mobilitésliaison planes Trans Ori
Pivot glissant de centre C etd’axe X
0@Tx00
1A 0@Rx00
1A Anim
Hélicoïdale de centre B et d’axeY
0@ 0Ty0
1A 0@ 0Ty ∗ 2p/p
0
1A Anim
Appui Plan de centre D et denormale Z
0@TxTy0
1A 0@ 00
Rz
1A Anim
Rotule de centre O
0@000
1A 0@RxRyRz
1A Anim
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 74 / 165
Tableau des liaisons usuelles
Nom de la Représentations Perspective Degrés de liberté mobilitésliaison planes Trans Ori
Pivot glissant de centre C etd’axe X
0@Tx00
1A 0@Rx00
1A Anim
Hélicoïdale de centre B et d’axeY
0@ 0Ty0
1A 0@ 0Ty ∗ 2p/p
0
1A Anim
Appui Plan de centre D et denormale Z
0@TxTy0
1A 0@ 00
Rz
1A Anim
Rotule de centre O
0@000
1A 0@RxRyRz
1A Anim
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 74 / 165
Tableau des liaisons usuelles
Nom de la Représentations Perspective Degrés de liberté mobilitésliaison planes Trans Ori
Pivot glissant de centre C etd’axe X
0@Tx00
1A 0@Rx00
1A Anim
Hélicoïdale de centre B et d’axeY
0@ 0Ty0
1A 0@ 0Ty ∗ 2p/p
0
1A Anim
Appui Plan de centre D et denormale Z
0@TxTy0
1A 0@ 00
Rz
1A Anim
Rotule de centre O
0@000
1A 0@RxRyRz
1A Anim
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 74 / 165
Tableau des liaisons usuelles
Nom de la Représentations Perspective Degrés de liberté mobilitésliaison planes Trans Ori
rotule à doigt de centre O d’axeX
0@000
1A 0@ 0RyRz
1A Anim
Linéaire annulaire de centre Bet d’axe X
0@Tx00
1A 0@RxRyRz
1A Anim
Linéïque rectiligne de centre C,d’axe X et de normale Z
0@TxTy0
1A 0@Rx0
Rz
1A Anim
Ponctuelle de centre O et denormale Z
0@TxTy0
1A 0@RxRyRz
1A Anim
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 75 / 165
Tableau des liaisons usuelles
Nom de la Représentations Perspective Degrés de liberté mobilitésliaison planes Trans Ori
rotule à doigt de centre O d’axeX
0@000
1A 0@ 0RyRz
1A Anim
Linéaire annulaire de centre Bet d’axe X
0@Tx00
1A 0@RxRyRz
1A Anim
Linéïque rectiligne de centre C,d’axe X et de normale Z
0@TxTy0
1A 0@Rx0
Rz
1A Anim
Ponctuelle de centre O et denormale Z
0@TxTy0
1A 0@RxRyRz
1A Anim
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 75 / 165
Tableau des liaisons usuelles
Nom de la Représentations Perspective Degrés de liberté mobilitésliaison planes Trans Ori
rotule à doigt de centre O d’axeX
0@000
1A 0@ 0RyRz
1A Anim
Linéaire annulaire de centre Bet d’axe X
0@Tx00
1A 0@RxRyRz
1A Anim
Linéïque rectiligne de centre C,d’axe X et de normale Z
0@TxTy0
1A 0@Rx0
Rz
1A Anim
Ponctuelle de centre O et denormale Z
0@TxTy0
1A 0@RxRyRz
1A Anim
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 75 / 165
Tableau des liaisons usuelles
Nom de la Représentations Perspective Degrés de liberté mobilitésliaison planes Trans Ori
rotule à doigt de centre O d’axeX
0@000
1A 0@ 0RyRz
1A Anim
Linéaire annulaire de centre Bet d’axe X
0@Tx00
1A 0@RxRyRz
1A Anim
Linéïque rectiligne de centre C,d’axe X et de normale Z
0@TxTy0
1A 0@Rx0
Rz
1A Anim
Ponctuelle de centre O et denormale Z
0@TxTy0
1A 0@RxRyRz
1A Anim
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 75 / 165
Outline
1 IntroductionHistoriqueLes robotsDomaines d’expertisesDomaînes d’applications
2 Représentation des transformations et des mouvements rigides
Notion de degrés de liberté
Un exemple simpleReprésentation des transformations rigides
3 Les manipulateursNotion de liaisonsLes chaînes cinématiquesLes robot sériesLes robots parallèles
4 Les modèles des robots manipulateursLe Modèle Géométrique Direct/InverseLes Modèles Cinématiques Direct/InverseLe Modèle StatiqueLes Modèles Dynamiques
5 Notions complementaires des robots
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 76 / 165
Les articulations des robots
Articulation prismatique, noté P
1 ddl en translation Tz .Valeur articulaire q = longueur [m].
Articulation rotoïde, noté R
1 ddl en rotation Rz .Valeur articulaire q = angle [rad ], [].
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 77 / 165
Les articulations des robots
Articulation prismatique, noté P
1 ddl en translation Tz .Valeur articulaire q = longueur [m].
Articulation rotoïde, noté R
1 ddl en rotation Rz .Valeur articulaire q = angle [rad ], [].
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 77 / 165
Articulation de ddl ≥ 2
Dans la plupart des cas, pour modéliser une articulation de ddl ≥ 2, nousnous ramenerons à une succession d’articulations P ou R.Exemples :
Articulation cardan RR (2 ddl) Articulation rotule RRR=S (3 ddl)
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 78 / 165
Articulation de ddl ≥ 2
Dans la plupart des cas, pour modéliser une articulation de ddl ≥ 2, nousnous ramenerons à une succession d’articulations P ou R.Exemples :
Articulation cardan RR (2 ddl) Articulation rotule RRR=S (3 ddl)
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 78 / 165
Les chaînes cinématiques
Figure: Chaîne cinématique RPRP
Une chaîne cinématique sera définie par une succession d’articulationsrotoïdes ou prismatiques.
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 79 / 165
Outline
1 IntroductionHistoriqueLes robotsDomaines d’expertisesDomaînes d’applications
2 Représentation des transformations et des mouvements rigides
Notion de degrés de liberté
Un exemple simpleReprésentation des transformations rigides
3 Les manipulateursNotion de liaisonsLes chaînes cinématiquesLes robot sériesLes robots parallèles
4 Les modèles des robots manipulateursLe Modèle Géométrique Direct/InverseLes Modèles Cinématiques Direct/InverseLe Modèle StatiqueLes Modèles Dynamiques
5 Notions complementaires des robots
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 80 / 165
Les Robots Séries
Base
Mobile
Description GénéraleUn exemple
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 81 / 165
Vocabulaire
Actionneur, moteur
Axe, articulation
Corps, segment
Organe terminal
Effecteur, outil
Base
Danse avec les robots
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 82 / 165
Vocabulaire
Coordonnées généralisé X = [P, R](position P / orientation R)
Coordonnées articulaire q(consignes données aux moteurs : soit rotation autour d’un axe soittranslation suivant un axe)
Paramètres géométriques ζqui définissent de façon statique les dimension du robot
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 83 / 165
Indice de mobilité et ddl d’un robot série à n corps
Définition : L’ indice de mobilité M est le nombre de paramètresvariables qui déterminent la configuration du manipulateurM = nSi
La chaîne cinématique est simple (chaque articulation a, au plus, unsuccesseur et un prédécesseur)
Chaque articulation est de classe 5
En géneral, le degré de liberté du robot (DLr ) est égal à M sauf si le robotest redondant. Dans tous les cas ...
DLr ≤ M
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 84 / 165
Robot redondant
le nombre de degrés de liberté de l’organe terminal < nombre variablesarticulaires actives (d’articulations motorisées).
plus de 6 articulations
plus de trois articulations rotoïdes d’axes concourants
plus de trois articulations rotoïdes d’axes parallèles
plus de trois articulations prismatiques
deux axes d’articulations prismatiques parallèles
deux axes d’articulations rotoïdes confondus
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 85 / 165
Robot redondant
le nombre de degrés de liberté de l’organe terminal < nombre variablesarticulaires actives (d’articulations motorisées).
plus de 6 articulations
plus de trois articulations rotoïdes d’axes concourants
plus de trois articulations rotoïdes d’axes parallèles
plus de trois articulations prismatiques
deux axes d’articulations prismatiques parallèles
deux axes d’articulations rotoïdes confondus
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 85 / 165
Configurations singulières (localement redondant)
Quelque soit le robot (redondant ou non), il se peut qu’il existe certainesconfigurations dites singulières telle que le nombre de degrés de libertéde l’organe terminal soit inférieur à la dimension de l’espace opérationnel(espace dans lequel on représente les ddl de l’OT).
deux axes d’articulations prismatiques se retrouvent parallèles
deux axes d’articulations rotoïdes se retrouvent confondus
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 86 / 165
Configurations singulières (localement redondant)
Quelque soit le robot (redondant ou non), il se peut qu’il existe certainesconfigurations dites singulières telle que le nombre de degrés de libertéde l’organe terminal soit inférieur à la dimension de l’espace opérationnel(espace dans lequel on représente les ddl de l’OT).
deux axes d’articulations prismatiques se retrouvent parallèles
deux axes d’articulations rotoïdes se retrouvent confondus
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 86 / 165
Nombre de morphologies possibles vs nombre de ddldu robot
2 possibilités d’angle entre deux articulations successives : 0 et 90
ddl nb structure2 83 364 1685 7766 3508
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 87 / 165
Type de robot
Scara RRP
Cylindrique RPP
Sphérique RRP
Cartésien PPP
Anthropomorphique 6R
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 89 / 165
Propriétés des robots
Précision : positionnement absolu imprécis (>1 mm):
Répétabilité : la répétabilité d’un robot est l’erreur maximale depositionnement répété de l’outil en tout point de son espace detravail (< 0.1 mm)
Vitesse maximale de translation ou de rotation de chaque axe, detranslation maximale de l’organe terminal
Accélération maximaleI Est donnée pour chaque axe dans la configuration la plus
défavorable (inertie maximale, charge maximale).I Dépend fortement de l’inertie donc de la position du robot
Charge utile :I C’est la charge maximale que peut porter le robot sans
dégrader la répétabilité et les performances dynamiques.I La charge utile est nettement inférieure à la charge maximale
que peut porter le robot qui est directement dépendante desactionneurs.
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 90 / 165
Outline
1 IntroductionHistoriqueLes robotsDomaines d’expertisesDomaînes d’applications
2 Représentation des transformations et des mouvements rigides
Notion de degrés de liberté
Un exemple simpleReprésentation des transformations rigides
3 Les manipulateursNotion de liaisonsLes chaînes cinématiquesLes robot sériesLes robots parallèles
4 Les modèles des robots manipulateursLe Modèle Géométrique Direct/InverseLes Modèles Cinématiques Direct/InverseLe Modèle StatiqueLes Modèles Dynamiques
5 Notions complementaires des robots
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 92 / 165
Les Robots Parallèles
Description Générale, chaîne ferméeUn exemple
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 93 / 165
Exemples Robots Parallèles
Différents types d’architectures
La plate-forme de Gough
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 94 / 165
La plate-forme de Gough
Li
Bi
C
O
li
AiBase
Mobile
Segments
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 95 / 165
Exemple de déplacement
DDL Gough
Cercles, Poignet actif (INRIA)
Hexapode CMW
Alcatel Déploiement
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 96 / 165
Caractéristiques
Il a une meilleure précision (rigidité, accumulation des erreurs)
Il peut transporter de lourdes charges
Il a de bonnes performances dynamiques
Son espace de travail est plus limité (que pour les robots série)
Son étude est Complexe
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 97 / 165
Outline
1 IntroductionHistoriqueLes robotsDomaines d’expertisesDomaînes d’applications
2 Représentation des transformations et des mouvements rigides
Notion de degrés de liberté
Un exemple simpleReprésentation des transformations rigides
3 Les manipulateursNotion de liaisonsLes chaînes cinématiquesLes robot sériesLes robots parallèles
4 Les modèles des robots manipulateursLe Modèle Géométrique Direct/InverseLes Modèles Cinématiques Direct/InverseLe Modèle StatiqueLes Modèles Dynamiques
5 Notions complementaires des robots
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 98 / 165
Le Modèle Géométrique DirectDes robots (séries ou parallèles)
Déterminer: Les coordonnées généralisées (X ) en fonction descoordonnées articulaire (q):
X = FMGD(q1, q2, . . . , qi , ζ)
avec ζ les paramètres géométriques (paramètres qui définissent lagéométrie du robot série).
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 99 / 165
Le MGDexemple
t3
t2
t1
θ1
θ2
θ3
Repère base
Repère mobile
mécanisme 3R plan
Quels sont les degrés de liberté de cemécanisme plan 3R ?
Identifier les coordonnées articulaires
Identifier les paramètres géométriquesqui définissent le mécanisme
Associer à chacune des articulations unrepère
Déterminer le positionnement (matrice R,vecteur P) de chaque repères par rapportau précedent.
Metter ces changements de repères sousla forme de matrice homogène
Montrer comment calculer le MGD de cemécanisme
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 100 / 165
Le MGDexemple
t3
t2
t1
θ1
θ2
θ3
Repère base
Repère mobile
mécanisme 3R plan
Quels sont les degrés de liberté de cemécanisme plan 3R ?
Identifier les coordonnées articulaires
Identifier les paramètres géométriquesqui définissent le mécanisme
Associer à chacune des articulations unrepère
Déterminer le positionnement (matrice R,vecteur P) de chaque repères par rapportau précedent.
Metter ces changements de repères sousla forme de matrice homogène
Montrer comment calculer le MGD de cemécanisme
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 100 / 165
Le MGDsolution
Identifier les coordonnées articulaires
Solution: q1 = θ1, q2 = θ2, q3 = θ3
Identifier les paramètres géométriques qui définissent le mécanisme
Solution: ζ = t1, t2, t3
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 101 / 165
Le MGDsolution
Identifier les coordonnées articulaires
Solution: q1 = θ1, q2 = θ2, q3 = θ3
Identifier les paramètres géométriques qui définissent le mécanisme
Solution: ζ = t1, t2, t3
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 101 / 165
Le MGDSolution
Associer à chacune des articulations un repère
t3
t1
t2 θ2
θ3
θ1 Repère base
Repère mobile
mécanisme 3R plan
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 102 / 165
Le MGDSolution
t3
t1
t2 θ2
θ3
θ1 Repère base
Repère mobile
0
1
2
3
R0,1
R1,2
R2,3
2,3
1,2
0,1T
T
T
mécanisme 3R plan
Déterminer le positionnement(matrice R, vecteur P) de chaquerepères par rapport auprécedent.
Ri,j =
(cos θj − sin θj
sin θj cos θj
)Ti,j =
(tj . cos θj
tj . sin θj
)i ∈ 0, 1, 2, j ∈ 1, 2, 3
Mettre ces changements derepères sous la forme de matricehomogène
Hi,j =
(Ri,j Ti,j
0 0 1
)D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 103 / 165
Le MGDSolution
t3
t1
t2 θ2
θ3
θ1 Repère base
Repère mobile
0
1
2
3
R0,1
R1,2
R2,3
2,3
1,2
0,1T
T
T
mécanisme 3R plan
Déterminer le positionnement(matrice R, vecteur P) de chaquerepères par rapport auprécedent.
Ri,j =
(cos θj − sin θj
sin θj cos θj
)Ti,j =
(tj . cos θj
tj . sin θj
)i ∈ 0, 1, 2, j ∈ 1, 2, 3
Mettre ces changements derepères sous la forme de matricehomogène
Hi,j =
(Ri,j Ti,j
0 0 1
)D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 103 / 165
Le MGDSolution
t3
t1
t2 θ2
θ3
θ1 Repère base
Repère mobile
0
1
2
3
R0,1
R1,2
R2,3
2,3
1,2
0,1T
T
T
Montrer comment calculer le MGD dece mécanisme
H0,3 =
0@cos θ1 − sin θ1 t1. cos θ1sin θ1 cos θ1 t1. sin θ1
0 0 1
1A× . . .
0@cos θ2 − sin θ2 t2. cos θ2sin θ2 cos θ2 t2. sin θ2
0 0 1
1A 0@cos θ3 − sin θ3 t3. cos θ3sin θ3 cos θ3 t3. sin θ3
0 0 1
1A=
„cos (θ1 + θ2 + θ3) − sin (θ1 + θ2 + θ3) t1. cos θ1 + t2. cos (θ1 + θ2) + t3. cos (θ1 + θ2 + θ3)sin (θ1 + θ2 + θ3) cos (θ1 + θ2 + θ3) t1. sin θ1 + t2. sin (θ1 + θ2) + t3. sin (θ1 + θ2 + θ3)
0 0 1
«
X =
0@t1. cos θ1 + t2. cos (θ1 + θ2) + t3. cos (θ1 + θ2 + θ3)t1. sin θ1 + t2. sin (θ1 + θ2) + t3. sin (θ1 + θ2 + θ3)
θ1 + θ2 + θ3
1AD. Daney INRIA Cours Robotique 200x 104 / 165
Le MGDSolution
t3
t1
t2 θ2
θ3
θ1 Repère base
Repère mobile
0
1
2
3
R0,1
R1,2
R2,3
2,3
1,2
0,1T
T
T
Montrer comment calculer le MGD dece mécanisme
H0,3 =
0@cos θ1 − sin θ1 t1. cos θ1sin θ1 cos θ1 t1. sin θ1
0 0 1
1A× . . .
0@cos θ2 − sin θ2 t2. cos θ2sin θ2 cos θ2 t2. sin θ2
0 0 1
1A 0@cos θ3 − sin θ3 t3. cos θ3sin θ3 cos θ3 t3. sin θ3
0 0 1
1A=
„cos (θ1 + θ2 + θ3) − sin (θ1 + θ2 + θ3) t1. cos θ1 + t2. cos (θ1 + θ2) + t3. cos (θ1 + θ2 + θ3)sin (θ1 + θ2 + θ3) cos (θ1 + θ2 + θ3) t1. sin θ1 + t2. sin (θ1 + θ2) + t3. sin (θ1 + θ2 + θ3)
0 0 1
«
X =
0@t1. cos θ1 + t2. cos (θ1 + θ2) + t3. cos (θ1 + θ2 + θ3)t1. sin θ1 + t2. sin (θ1 + θ2) + t3. sin (θ1 + θ2 + θ3)
θ1 + θ2 + θ3
1AD. Daney INRIA Cours Robotique 200x 104 / 165
Le Modèle Géométrique Directdes robots séries
R 0 0 0 1X=( )P
1
2
3
4Repère mobile
Repère de base
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 105 / 165
Le Modèle Géométrique Directcomment modéliser systèmatiquement une chaîne cinématique
Dans l’espace, nous utiliserons le formalisme de Denavit-Hartenberg
1 Placer les repères
2 Définir les variables articulaires et les paramètres géométriques
3 Définir les matrices de transformées homogènes
4 Multiplier ces matrices
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 106 / 165
La modélisation des chaînes cinématiquesPlacement des repères utilisant le formalisme de Denavit-Hartenberg
Formalisation de Khalil 96
Li une liaison rotoïde ou prismatique parfaite c’est-à-dire suivant unseul axe, donc représentée par un seul paramètre.
(Oi , xi , yi , zi) le repère lié à la liaison i .
Oi−1 est le pied de la perpendiculaire commune avec l’axe desliaisons Li−1 et Li sur l’axe Li .
xi−1 est le vecteur unitaire de cette perpendiculaire communeorientée de Li−1 à Li .
zi−1 le vecteur unitaire porté par l’axe de la liaison Li−1 orientéarbitrairement.
yi−1 est déduit de xi−1 et zi−1.
Pour i = 0, z0 verticalement ascendant et x0 perpendiculaire à l’axeL1.
Pour i = n, On sur l’axe Ln et zn porté par l’axe de la liaison n.
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 107 / 165
La modélisation des chaînes cinématiquesUn exemple
xi+1
ai
θi
xi+1
zi
zi−1
bi
zi+1zi
zi+1
xi
xi−1
xi
αi
a PRPkinematic chain : ai , bi , αi , θi Denavit-Hartenberg parametersassociated with the revolute joint i
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 108 / 165
Matrice de transformation de Denavit-Hartenberg
Hi = R(θi , zi).T (bi , zi).T (ai , xi+1).R(αi , xi+1)
xi+1
ai
θi
xi+1
zi
zi−1
bi
zi+1zi
zi+1
xi
xi−1
xi
αi
Figure: a PRPkinematic chain : ai , bi , αi , θi Denavit-Hartenbergparameters associated with the revolute joint i
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 109 / 165
La modélisation des chaînes cinématiquesMatrice de transformation de Denavit-Hartenberg
An homogeneous matrix (Hi ) describe the transformation(position/orientation) between two consecutive frames Ωi and Ωi+1. This
matrix is define by four DH-parameters ai , bi , αi , θi such that:
Hi = R(θi , zi).T (bi , zi).T (ai , xi+1).R(αi , xi+1)
=
(Ri p i
0 0 0 1
)with the orientation matrix :
Ri =
cos(θi) − cos(αi). sin(θi) sin(αi). sin(θi)sin(θi) cos(αi). cos(θi) − sin(αi). cos(θi)
0 sin(αi) cos(αi)
and the position vector:
p i =
ai . cos(θi)ai . sin(θi)
bi
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 110 / 165
Calculer le MDG
R 0 0 0 1X=( )P
1
2
3
4Repère mobile
Repère de base
Déterminer:
X = FMGD(q1, q2, . . . , qi , ζ)
La transformation homogène entre lerepère Ω0 et le repère mobile Ωn estobtenue telle que :
HCK = H0.H1 . . . Hn
Il faut projeter HCK sur X = [Tx , Ty , Tz , Rx , Ry , Rz ]
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 111 / 165
De la matrice DH vers 6 parametersTx , Ty , Tz , Rx , Ry , RZ
Nous souhaitons obtenir X = [Tx , Ty , Tz , Rx , Ry , Rz ] en fonction de desélément de la matrice HCK.
Pour la position ...
Tx
Ty
Tz
=
HCK1,4HCK2,4HCK3,4
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 112 / 165
De la matrice DH vers 6 parametersTx , Ty , Tz , Rx , Ry , RZ
Nous souhaitons obtenir X = [Tx , Ty , Tz , Rx , Ry , Rz ] en fonction de desélément de la matrice HCK.
Pour l’orientation ...Sachant que :
R =
(cos θ cosψ − cos θ sinψ sin θ
sinφ sin θ cosψ + cosφ sinψ cosφ cosψ − sinφ sin θ sinψ − sinφ cos θ− cosφ sin θ cosψ + sinφ sinψ cosφ sin θ sinψ + sinφ cosψ cosφ cos θ
)
Rx = arctanHCK3,2.HCK1,1 − HCK3,1.HCK1,2
HCK1,1.HCK2,2 − HCK1,2.HCK2,1
Ry = arctanHCK1,3√
HCK21,1 + HCK
21,2 + HCK
22,3 + HCK
23,3
Rz = arctanHCK2,3.HCK3,1 − HCK2,1.HCK3,3
HCK2,3.HCK3,2 − HCK2,2.HCK3,3
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 113 / 165
Le Modèle Géométrique Inversedes robots séries
R 0 0 0 1X=( )P
1
2
3
4Repère mobile
Repère de base
Déterminer:
[q1, q2, . . . , qn] = FMGI(X , ζ)
avec ζ les paramètres géométriques (paramètres qui définissent lagéométrie du robot série).
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 114 / 165
Le MGIexemple
t3
t1
t2 θ2
θ3
θ1 Repère base
Repère mobile
0
1
2
3
R0,1
R1,2
R2,3
2,3
1,2
0,1T
T
T
mécanisme 3Rplan
X = . . .0@t1. cos θ1 + t2. cos (θ1 + θ2) + t3. cos (θ1 + θ2 + θ3)t1. sin θ1 + t2. sin (θ1 + θ2) + t3. sin (θ1 + θ2 + θ3)
θ1 + θ2 + θ3
1ACalculer le MGI, c’est déterminer:
[θ1, θ2, θ3] = FMGI(X1,X2,X3, ζ)
avec ζ = [t1, t2, t3]
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 115 / 165
Le MGI exemplerésolution Géométrique 1/2
t3θ3
Repère base
Repère mobile
t3θ3
t2
t1
Repère base
Repère mobile
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 116 / 165
Le MGI exemplerésolution Géométrique 1/2
t3θ3
Repère base
Repère mobile
t3θ3
t2
t1
Repère base
Repère mobile
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 116 / 165
Le MGI exemplerésolution Géométrique 2/2
θ2
θ3
θ1
θ1
θ2θ3
Repère base
Repère mobile
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 117 / 165
Le MGI exemplerésolution Algébrique 1
t1. cos θ1 + t2. cos (θ1 + θ2) + t3. cos (θ1 + θ2 + θ3)− X1 = 0
t1. sin θ1 + t2. sin (θ1 + θ2) + t3. sin (θ1 + θ2 + θ3)− X2 = 0
θ1 + θ2 + θ3 = X3
t1. cos θ1 + t2. cos (θ1 + θ2) + t3. cos X3 − X1 = 0
t1. sin θ1 + t2. sin (θ1 + θ2) + t3. sin X3 − X2 = 0
t1. cos θ1 + t2. cos (θ1 + θ2) = u1 (18)
t1. sin θ1 + t2. sin (θ1 + θ2) = u2
On sait que
cos2 (θ1 + θ2) + sin2 (θ1 + θ2) = 1 (19)
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 118 / 165
Le MGI exemplerésolution Algébrique 2
En reportant, les équations 18 dans l’équation 19.
(u1 − t1. cos θ1)2 + (u2 − t1. sin θ1)
2 = t22
Nous obtenons
u1. cos θ1 + u2. sin θ1 =t21 − t2
2 + u21 + u2
2
2.t1
sachant que pour l’équation X . sin α + Y . cos α = Z :
cos α =YZ − εX
√X 2 + Y 2 − Z 2
X 2 + Y 2
sin α =XZ + εY
√X 2 + Y 2 − Z 2
X 2 + Y 2
avec ε = +/− 1.On en déduit donc θ1 puis θ1 + θ2 → θ2 (en utilisant eq. (18)), puis enfin
θ3.
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 119 / 165
Le MGI des robot sérieRésolution numérique
Méthode de Newton ∼ 1670
x
f(x)
f(y)
y
f’(x)
limh→∞f (x)−f (x+h)
h = f′(x)
Nous cherchons à déterminer x telque f (x) = 0, Nous connaissons uneapproximation de x noté x0.Nous avonsf (x0)− f (x) = f
′(x0).(x0 − x) avec
f (x) = 0 nous obtenons :
x = x0 −f (x0)
f ′(x0)Le schéma de Newton est donc :
xk+1 = xk −f (xk )
f ′(xk )
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 120 / 165
Le MGI des robot sérieRésolution numérique
Méthode de Newton ∼ 1670
x
f(x)
f(y)
y
f’(x)
limh→∞f (x)−f (x+h)
h = f′(x)
Nous cherchons à déterminer x telque f (x) = 0, Nous connaissons uneapproximation de x noté x0.Nous avonsf (x0)− f (x) = f
′(x0).(x0 − x) avec
f (x) = 0 nous obtenons :
x = x0 −f (x0)
f ′(x0)Le schéma de Newton est donc :
xk+1 = xk −f (xk )
f ′(xk )
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 120 / 165
Le MGI des robot sérieRésolution numérique
Méthode de Newton ∼ 1670
x
f(x)
f(y)
y
f’(x)
limh→∞f (x)−f (x+h)
h = f′(x)
Nous cherchons à déterminer x telque f (x) = 0, Nous connaissons uneapproximation de x noté x0.Nous avonsf (x0)− f (x) = f
′(x0).(x0 − x) avec
f (x) = 0 nous obtenons :
x = x0 −f (x0)
f ′(x0)Le schéma de Newton est donc :
xk+1 = xk −f (xk )
f ′(xk )
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 120 / 165
Résolution numériqueNewton
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
–1 –0.5 0.5 1x
x3 − 0.5× x + 0.1 = 0
f (x) = x3 − 0.5× x + 0.1
f′(x) = 3.x2 − 0.5
xk+1 = xk − x3−0.5×x+0.13×x2−0.5
x0 0 1 -0.5 -0.4x1 0.2 0.76 -1.4 11.4x2 0.2211 0.6310 -1.0387 7.6095x3 0.2218 0.5796 -0.8555 5.0871x4 0.5699 -0.7975 3.4121x5 0.5696 -0.7915 2.3048x6 -0.7914 1.5799x7 1.1143x8 0.8270x9 0.6645x10 0.5903x11 0.5710x12 0.5696
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 121 / 165
Résolution numériqueNewton
Calculer√
3 en utilisant +,×,÷, 5 et 2.Solution :
Résoudre l’équation x2 − N = 0
xk+1 = xk − x2−N2.x
xk+1 = 12 (xk + N
xk)
x0 = 5, x1 = 2.8, x2 = 1.9357, x3 = 1.7428, x4 = 1.7321.
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 122 / 165
Résolution numériqueNewton
Calculer√
3 en utilisant +,×,÷, 5 et 2.Solution :
Résoudre l’équation x2 − N = 0
xk+1 = xk − x2−N2.x
xk+1 = 12 (xk + N
xk)
x0 = 5, x1 = 2.8, x2 = 1.9357, x3 = 1.7428, x4 = 1.7321.
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 122 / 165
Résolution numériqueNewton
Calculer√
3 en utilisant +,×,÷, 5 et 2.Solution :
Résoudre l’équation x2 − N = 0
xk+1 = xk − x2−N2.x
xk+1 = 12 (xk + N
xk)
x0 = 5, x1 = 2.8, x2 = 1.9357, x3 = 1.7428, x4 = 1.7321.
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 122 / 165
Résolution numériqueNewton
Calculer√
3 en utilisant +,×,÷, 5 et 2.Solution :
Résoudre l’équation x2 − N = 0
xk+1 = xk − x2−N2.x
xk+1 = 12 (xk + N
xk)
x0 = 5, x1 = 2.8, x2 = 1.9357, x3 = 1.7428, x4 = 1.7321.
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 122 / 165
Résolution numériqueNewton
Calculer√
3 en utilisant +,×,÷, 5 et 2.Solution :
Résoudre l’équation x2 − N = 0
xk+1 = xk − x2−N2.x
xk+1 = 12 (xk + N
xk)
x0 = 5, x1 = 2.8, x2 = 1.9357, x3 = 1.7428, x4 = 1.7321.
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 122 / 165
Le MGI des robot sérieTechniques utilisées
Méthode classique (1970-1980)
I Utilisable par la plupart des robots industrielsI Résolution simple, utilisation de modèle de résolution
Méthode algébrique (Raghavan et Roth 1990)
I Technique de l’élimination dyalitique
Méthode numérique (Newton)
I Quand on ne sait pas faireI Problème de l’unicité des solutions
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 123 / 165
Le MGI des robot sérieMéthode classique
1 Développer l’ensemble des équations possibles
HX = H0,1.H1,2.H2,3.H3,4.H4,5.H5,6
H1,0.HX = H1,2.H2,3.H3,4.H4,5.H5,6
H2,1.H1,0.HX = H2,3.H3,4.H4,5.H5,6
H3,2.H2,1.H1,0.HX = H3,4.H4,5.H5,6
H4,3.H3,2.H2,1.H1,0.HX = H4,5.H5,6
H5,4.H4,3.H3,2.H2,1.H1,0.HX = H5,6
avec H−1i,j = Hj,i
2 On constate que beaucoup d’équations ont la même forme
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 124 / 165
Le MGI des robot sérieMéthode classique
3 On utilise des formules de type ci-après pour résoudrePour l’équation X . sin α + Y . cos α = Z :
cos α =YZ − εX
pX2 + Y 2 − Z 2
X2 + Y 2
sin α =XZ + εY
pX2 + Y 2 − Z 2
X2 + Y 2
avec ε = +/− 1
Remarques
Si le poignet est d’axes concourants (rotule), la résolution est plussimple.
De la même façon, si la chaîne cinématique possède 3R à axesconcourants ou 3 articulations prismatiques (qqsoit leurs positions)le MGI est simplifié
Le nombre de solutions du MGI d’un robot à 6 liaisons varie mais≤ 16. (16 pour RRRRRR)
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 125 / 165
Le MGI des robot sérieMéthode Algébrique, Générale pour un robot à 6 liaisons
1 On utilise les formules suivantes pour obtenir des équationsalgébriques
cos α =1 − tan2 α
2
1 + tan2 α2
sin α =2.tan α
2
1 + tan2 α2
2 On utilise une méthode d’élimination algébrique pour éliminer 5variables parmi les 6
3 On obtient un polynôme de degré 16
4 Les racines de ce polynômes nous fournissent les solutions
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 126 / 165
Le MGI des robot sérieMéthode Numérique (pour les cas à problèmes)
On utilise un schéma de Newton multivarié :
Xk+1 = Xk − J−1(XK )F (Xk )
Avec F = [f1, . . . , fn]T , X = [x1, . . . , xn]T et J la jacobienne du système
définie par :
J =
∂f1∂x1
∂f1∂x2
. . . ∂f1∂xn
∂f2∂x1
∂f2∂x2
. . . ∂f2∂xn
... . . . . . ....
∂fn−1
∂x1. . .
∂fn−1
∂xn−1
∂fn−1
∂xn∂fn∂x1
. . . ∂fn∂xn−1
∂fn∂xn
Attention ! ne fournit qu’une seule solution
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Le cas des robots parallèlesLe MGI
ai
R.bi
P
ρ = ‖P + R.bi − ai‖
Modèle Géométrique Inverse
ρi = Li + li = MGI(P,R, ξi)
ρi2 = ‖P + R.bi − ai‖2
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Le cas des robots parallèlesLe MGD
X =
„PR
«= MGD(ρ, ξ)
Résoudre le système en P,R :
ρ12 − ‖P + R.b1 + a1‖2 = 0
ρ22 − ‖P + R.b2 + a2‖2 = 0
ρ32 − ‖P + R.b3 + a3‖2 = 0
ρ42 − ‖P + R.b4 + a4‖2 = 0
ρ52 − ‖P + R.b5 + a5‖2 = 0
ρ62 − ‖P + R.b6 + a6‖2 = 0
Méthodes numériques [Newton, continuation, analyse par interval]
Méthodes algébriques [Groebner, resultant]
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 129 / 165
Le cas des robots parallèlesLe MGD
X =
„PR
«= MGD(ρ, ξ)
Résoudre le système en P,R :
ρ12 − ‖P + R.b1 + a1‖2 = 0
ρ22 − ‖P + R.b2 + a2‖2 = 0
ρ32 − ‖P + R.b3 + a3‖2 = 0
ρ42 − ‖P + R.b4 + a4‖2 = 0
ρ52 − ‖P + R.b5 + a5‖2 = 0
ρ62 − ‖P + R.b6 + a6‖2 = 0
Méthodes numériques [Newton, continuation, analyse par interval]
Méthodes algébriques [Groebner, resultant]
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Le cas des robots parallèlesLe MGD
X =
„PR
«= MGD(ρ, ξ)
Résoudre le système en P,R :
ρ12 − ‖P + R.b1 + a1‖2 = 0
ρ22 − ‖P + R.b2 + a2‖2 = 0
ρ32 − ‖P + R.b3 + a3‖2 = 0
ρ42 − ‖P + R.b4 + a4‖2 = 0
ρ52 − ‖P + R.b5 + a5‖2 = 0
ρ62 − ‖P + R.b6 + a6‖2 = 0
Méthodes numériques [Newton, continuation, analyse par interval]
Méthodes algébriques [Groebner, resultant]
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Outline
1 IntroductionHistoriqueLes robotsDomaines d’expertisesDomaînes d’applications
2 Représentation des transformations et des mouvements rigides
Notion de degrés de liberté
Un exemple simpleReprésentation des transformations rigides
3 Les manipulateursNotion de liaisonsLes chaînes cinématiquesLes robot sériesLes robots parallèles
4 Les modèles des robots manipulateursLe Modèle Géométrique Direct/InverseLes Modèles Cinématiques Direct/InverseLe Modèle StatiqueLes Modèles Dynamiques
5 Notions complementaires des robots
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Le Modèle Cinématique Direct
Le MCD décrit les vitesses des coordonnées opérationnelles X enfonction des vitesses articulaires q :
X = J(q)q
avec J(q) la jacobienne du mécanisme donnée par
J =
∂f1∂x1
∂f1∂x2
. . . ∂f1∂xn
∂f2∂x1
∂f2∂x2
. . . ∂f2∂xn
... . . . . . ....
∂fn−1
∂x1. . .
∂fn−1
∂xn−1
∂fn−1
∂xn∂fn∂x1
. . . ∂fn∂xn−1
∂fn∂xn
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 131 / 165
Le Modèle Différentiel Direct
Le MDD décrit les variations élémentaires dX des coordonnéesopérationnelles en fonction des variations élémentaires des coordonnées
articulaires dq:
dX = J(q)dq
avec J(q) la jacobienne du mécanisme donnée par
J =
∂f1∂x1
∂f1∂x2
. . . ∂f1∂xn
∂f2∂x1
∂f2∂x2
. . . ∂f2∂xn
... . . . . . ....
∂fn−1
∂x1. . .
∂fn−1
∂xn−1
∂fn−1
∂xn∂fn∂x1
. . . ∂fn∂xn−1
∂fn∂xn
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 132 / 165
Comment obtenir cette jacobienne ?3RRR plan
t3
t1
t2 θ2
θ3
θ1 Repère base
Repère mobile
0
1
2
3
R0,1
R1,2
R2,3
2,3
1,2
0,1T
T
T
mécanisme 3R plan
X =
0@Px
Py
Θ
1A =
0@t1. cos θ1 + t2. cos (θ1 + θ2) + t3. cos (θ1 + θ2 + θ3)t1. sin θ1 + t2. sin (θ1 + θ2) + t3. sin (θ1 + θ2 + θ3)
θ1 + θ2 + θ3
1ANous obtenons cette matrice en dérivant les équations du MGD.
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 133 / 165
Comment obtenir cette jacobienne ?3RRR plan
X =
0@Px
Py
Θ
1A =
0@t1. cos θ1 + t2. cos (θ1 + θ2) + t3. cos (θ1 + θ2 + θ3)t1. sin θ1 + t2. sin (θ1 + θ2) + t3. sin (θ1 + θ2 + θ3)
θ1 + θ2 + θ3
1ANous obtenons cette matrice en dérivant les équations du MGD.
J =
0B@∂Px∂θ1
∂Px∂θ2
∂Px∂θ3
∂Py∂θ1
∂Py∂θ2
∂Py∂θ3
∂Θ∂θ1
∂Θ∂θ2
∂Θ∂θ3
1CA
=
0@ −t1. sin θ1 − t2. sin (θ1 + θ2)− t3. sin (θ1 + θ2 + θ3) −t2. sin (θ1 + θ2)− t3. sin (θ1 + θ2 + θ3) ...t1. cos θ1 + t2. cos (θ1 + θ2) + t3. cos (θ1 + θ2 + θ3) t2. cos (θ1 + θ2) + t3. cos (θ1 + θ2 + θ3) ...
1 1 ...
... −t3. sin (θ1 + θ2 + θ3)
... t3. cos (θ1 + θ2 + θ3)
... 1
1A (20)
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Comment obtenir cette jacobienne ?cas spatiale
Pour les robots séries , cette dérivation peut être très compliquée et difficile àmanipuler.
Il existe une méthode systématique pour calculer une jacobienne ditecinématique .
X = Jc(q)q (21)
avec X , torseur cinématique du repère terminal Ωn.Une projection permet de passer des vitesses des coordonnées opérationnelles
aux vitesses de translation, rotation.
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 135 / 165
Comment obtenir la jacobienne cinématique ?cas spatiale
Elle passe par les calculs des vitesses de translation Vk,n et de rotation wk,n
induites sur le repère terminal Ωn par la vitesse qk de l’articulation k ,X = [Vk,n,wk,n]
T
Prismatique Vk,n = ak qk
wk,n = 0 (22)
Rotoïde Vk,n = (ak ∧ Lk,n)qk
wk,n = ak qk (23)
avec ak le vecteur unitaire porté par l’axe zk de l’articulation k et Lk,n le vecteurd’origine Ok et d’extrémité On.
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 136 / 165
Le cas des robots parallèlesLa jacobienne inverse cinematique
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 139 / 165
Ddl d’un manipulateur
Le nombre de degrés de liberté de l’organe terminal d’un manipulateur est égaleau rang de la jacobienne cinématique.
(rang = dimension de la plus grande sous-matrice carré inversible)
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 140 / 165
Notion de singularités, type I
Pour les robots séries X = J(q)qSi pour une configuration det(J(q)) = 0, alors il y a singularité. Le robot perd
localement la possibilité d’engendrer une vitesse le long ou autour de certainesdirection.
ou
Le robot est en limite de l’espace de travail. (limite structurel)
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 141 / 165
Notion de singularités, type II
Pour la plate-forme de Gough q = Jinv(X )XSi pour une configuration det(Jinv(X )) = 0, il y a singularité. Il existera des
vitesses X non nulles pour lesquelles les vitesse articulaires q sont nulles. Auvoisinnage de telle configuration le robot peut effectuer des mouvements
infinitésimaux sans modification de commande. en conséquence certains ddldeviennent non commandables.
ou
Sachant que F = JTinvτ si det(Jinv) → 0 alors τ →∞.
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 142 / 165
Notion de singularitésPour les robots parallèles (générale)
Figure: mécanisme 3R plan parallèle
U_X + V_q = 0 (24)
si det V = 0 singularité de Type I
si det U = 0 singularité de Type II
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 143 / 165
Outline
1 IntroductionHistoriqueLes robotsDomaines d’expertisesDomaînes d’applications
2 Représentation des transformations et des mouvements rigides
Notion de degrés de liberté
Un exemple simpleReprésentation des transformations rigides
3 Les manipulateursNotion de liaisonsLes chaînes cinématiquesLes robot sériesLes robots parallèles
4 Les modèles des robots manipulateursLe Modèle Géométrique Direct/InverseLes Modèles Cinématiques Direct/InverseLe Modèle StatiqueLes Modèles Dynamiques
5 Notions complementaires des robots
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Modéle statique
Le modèle statique décrit les couples et forces τ que doivent fournir lesactionneurs d’un robot pour que l’organe terminal puisse exercer un effort statique
F sur son environement :
Pour les robots série , nous obtiendrons facilement le modèle directe:
τ = JTF
avec J la jacobienne cinématique du mécanisme.
Pour les robots parallèles , nous obtiendrons facilement le modèle inverse :
F = J−T τ
avec J1 la jacobienne inverse cinématique du mécanisme.
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 145 / 165
Modéle statique
Afin d’obtenir le modèle
inverse pour les robots séries
directe pour les robots parallèles
Le probléme revient à inverser la matrice JT ou bien J−T .
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 146 / 165
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1 IntroductionHistoriqueLes robotsDomaines d’expertisesDomaînes d’applications
2 Représentation des transformations et des mouvements rigides
Notion de degrés de liberté
Un exemple simpleReprésentation des transformations rigides
3 Les manipulateursNotion de liaisonsLes chaînes cinématiquesLes robot sériesLes robots parallèles
4 Les modèles des robots manipulateursLe Modèle Géométrique Direct/InverseLes Modèles Cinématiques Direct/InverseLe Modèle StatiqueLes Modèles Dynamiques
5 Notions complementaires des robots
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Modéle dynamiquerobot série
Forme générale des équations dynamiques
Γ = A(q)q + C(q, q)q + Q(q) + F (q)− H signe(q)
Γ, efforts actionneurs
A, matrice d’inertie
C, efforts centrifuges et de coriolis
Q(p), couple/forces de gravité
F (q), frottements visqueux
H signe(q) frottements secs
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 148 / 165
Formalisme de Lagrange
Décrit les équations du mouvemement entermes de travail et d’énergie du système.
(détermine A, C, Q, F et H)
Très couteux (40000 opérations pour unRRPRRR).
Formalisme de Newton-Euler
Il est basé sur l’expression des torseursdynamiques (forces et moments)
appliqués aux centres de gravités dechaque articulation.
Un algorithme itératif permet alorsd’exprimer le modèles dynamique.
Moins couteux (400 opérations pour unRRPRRR).
Attention, une identification des paramètres dynamiques est souvent nécessaire.
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 149 / 165
Espace de travail, définitions et problématique
Définitions
Soit, Q, l’espace articulaire définie par :
Q = q = [q1, . . . , qn]|qi Min ≤ qi ≤ qi Max,∀i = 1, . . . , n
L’espace de travail (W ) d’un robot est l’image de Q par le modélegéométrique direct :
W = FMGD(Q)
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Espace de travail, définitions et problématique
Définitions
Soit, Q, l’espace articulaire définie par :
Q = q = [q1, . . . , qn]|qi Min ≤ qi ≤ qi Max,∀i = 1, . . . , n
L’espace de travail (W ) d’un robot est l’image de Q par le modélegéométrique direct :
W = FMGD(Q)
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 150 / 165
Espace de travail, définitions et problématique
Intérêts
Définition d’une trajectoire
conception
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 151 / 165
Espace de travail, définitions et problématique
Intérêts
Définition d’une trajectoire
conception
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 151 / 165
Espace de travail, définitions et problématique
Problèmes
Difficile à représenter. Répresentation à orientation constante
Difficile à obtenir. En pratique, il est nécessaire d’ajouter des contraintes(débattements articulaires, singularités, obstacles, ...). Exemple : définirune trajectoire où tous les positionnemnt successifs sont possibles
I débattement articulaires passif et actifI collisionI sans singularité (pas forcement à la frontière de W)I orientation possible (toutes orientations : espace dextre)I précision
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Espace de travail, définitions et problématique
Problèmes
Difficile à représenter. Répresentation à orientation constante
Difficile à obtenir. En pratique, il est nécessaire d’ajouter des contraintes(débattements articulaires, singularités, obstacles, ...). Exemple : définirune trajectoire où tous les positionnemnt successifs sont possibles
I débattement articulaires passif et actifI collisionI sans singularité (pas forcement à la frontière de W)I orientation possible (toutes orientations : espace dextre)I précision
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 152 / 165
Calcul de l’espace de travail
Géométrie algorithmique, intersection de volumes
Recherche de points particuliers
+ Segmentation de l’espace de travail
Utilisation des courbes de singularités
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 153 / 165
Propriété des robots
De nombreuses propriétés associées aux robots sont quantifié à traversl’évaluation de valeurs propres (solution de det(J − σ.I) = 0 → [σ1 . . . σn] )
q.
1
.q
2
q∆11
qdX.
1
... ...
J
σ
σ2
1
Singularité, Précision , Isotropie → dextérité ...
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 154 / 165
Notion de conception
Déterminer les paramètres géométriques tel que les propriétés des robots soientoptimisés :
maxζC
avec ζ paramètres géométriques et un ou plusieurs critères de conception
C = FEspace de travail, localisation des singularité, rigidité, précision, etc
Utilisation de l’optimisation numérique.
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 155 / 165
Étalonnage des robots
"Étalonnage" 6= "Calibration" 6= "Calibrage"Problème : ζRéel 6= ζThéorique
Causes : Erreurs de fabrication et d’assemblage du manipulateurConséquences : Déterioration de la commande
But : Améliorer de la précision de positionnementComment : Étalonnage du robot
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 156 / 165
Étalonnage des robots
"Étalonnage" 6= "Calibration" 6= "Calibrage"Problème : ζRéel 6= ζThéorique
Causes : Erreurs de fabrication et d’assemblage du manipulateurConséquences : Déterioration de la commande
But : Améliorer de la précision de positionnementComment : Étalonnage du robot
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 156 / 165
Étalonnage des robots
"Étalonnage" 6= "Calibration" 6= "Calibrage"Problème : ζRéel 6= ζThéorique
Causes : Erreurs de fabrication et d’assemblage du manipulateurConséquences : Déterioration de la commande
But : Améliorer de la précision de positionnementComment : Étalonnage du robot
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 156 / 165
Étalonnage des robots
"Étalonnage" 6= "Calibration" 6= "Calibrage"Problème : ζRéel 6= ζThéorique
Causes : Erreurs de fabrication et d’assemblage du manipulateurConséquences : Déterioration de la commande
But : Améliorer de la précision de positionnementComment : Étalonnage du robot
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 156 / 165
Étalonnage des robots
"Étalonnage" 6= "Calibration" 6= "Calibrage"Problème : ζRéel 6= ζThéorique
Causes : Erreurs de fabrication et d’assemblage du manipulateurConséquences : Déterioration de la commande
But : Améliorer de la précision de positionnementComment : Étalonnage du robot
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 156 / 165
Étalonnage des robots
"Étalonnage" 6= "Calibration" 6= "Calibrage"Problème : ζRéel 6= ζThéorique
Causes : Erreurs de fabrication et d’assemblage du manipulateurConséquences : Déterioration de la commande
But : Améliorer de la précision de positionnementComment : Étalonnage du robot
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 156 / 165
Étalonnage des robots
"Étalonnage" 6= "Calibration" 6= "Calibrage"Problème : ζRéel 6= ζThéorique
Causes : Erreurs de fabrication et d’assemblage du manipulateurConséquences : Déterioration de la commande
But : Améliorer de la précision de positionnementComment : Étalonnage du robot
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 156 / 165
Étalonnage classique des robots
Données (mesures)Inconnues
ζGéométriques
Paramètres
R
PXq
MGD
ζGéométriques
Paramètres
R
PXq
MGIDonnées Inconnues
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 157 / 165
Étalonnage classique des robots
Pour une configuration de mesures
ζParamètres
R
PX
InconnuesDonnées (mesures)
qGéométriques
avec mesures externesÉtalonnage
Figure: 6 informations supplementaires
Pour M paramètres géométriques il faudra que N configurations de mesures avec6 ∗ N ≤ M.
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 158 / 165
Étalonnage redondant des robots
Pour une configuration de mesures
Données (mesures)Inconnues
ζGéométriques
Paramètres
R
PXq
avec mesures redondantesÉtalonnage
Figure: 1 informations supplementaires
Pour M paramètres géométriques il faudra que N configurations de mesures avecN ≤ M.
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 159 / 165
Étalonnage sous contraintes des robots
Pour une configuration de mesures
Données (mesures)Inconnues
ζGéométriques
Paramètres
R
PXq
Étalonnagesous contraintes
Figure: 3 informations supplementaires
Pour M paramètres géométriques il faudra que N configurations de mesures avec3 ∗ N ≤ M.
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 160 / 165
Étalonnage des robots
Problèmes :
Identifiabilité
Recherche de points particuliers
+ Segmentation de l’espace de travail
Utilisation des courbes de singularités
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 161 / 165
Génération de mouvements
Asservissementde mouvementGénération
en
de mouvementGénération
enAsservissement
+−X
X(t)d
X qMGI
MGD
d(t)f
Xi
+−
qi
qi
q f q d(t)
q
Figure: Génération de mouvement, espace articulaire Vs. opérationnel
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 163 / 165
Génération de mouvements
Espace articulaire
+ Peu de calculs (pas de MGI, MDG)+ Pas de problème de singularités+ les contraintes de vitesses et de
couples maximaux directementdéductibles des limites physiquesdes actionneurs
− Peu de contrôle sur la trajectoire del’OT (collisions)
Pour déplacements rapides sansobstacles
Espace opérationnel
+ Contrôle sur la trajectoire de l’OT(collisions)
− calculs lourds (MGI, MDG)− problème de singularités− Vérification de la trajectoire (dans
l’espace de travail)− les contraintes de vitesse et de
couples varient en fonction de latrajec. : on utilise des valeursmoyennes (peu efficaces)
Pour déplacements précis, avecobstacles
D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 164 / 165