De cuong toan 2014-2015

UBND T NH B C NINH GIÁO D C VÀ ÀO T O

C NGÔN THI THPT QU C GIA MÔN TOÁN

m h c 2014 - 2015

c Ninh, tháng 11 n m 2014

hoctoancapba.com

GD& Ninh ng ôn thi THPT qu gia 2014-2015

CHUYÊN 1. KH O SÁT HÀM S VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUANBiên so n và s u t m: Ngô V n Khánh – GV tr ng THPT Nguy n V n C

1. Ch 1: Bài toán v ti p tuy n1.1. D ng 1: Ti p tuy n c a th hàm s t i m t m

0 0M( , ) ( ) : ( )x y C y f xÎ =

* Tính ' '( )y f x= ; tính '0

( )k f x= (h s góc c a ti p tuy n)

* Ti p tuy n c a th hàm s ( )y f x= t i m ( )0 0;M x y có ph ng trình

( )'0 0 0

( )y y f x x x- = - v i0 0

( )y f x=

Ví d 1: Cho hàm s 3 3 5y x x= - + (C). Vi t ph ng trình ti p tuy n c a th (C):a) i m A (-1; 7).b) i m có hoành x = 2.c) i m có tung y =5.

Gi i:a) Ph ng trình ti p tuy n c a (C) t i m

0 0 0( ; )M x y có d ng:

0 0 0'( )( )y y f x x x- = -

Ta có 2' 3 3y x= - '( 1) 0yÞ - = .

Do ó ph ng trình ti p tuy n c a (C) t i m A(-1; 7) là: 7 0y - = hay y = 7.b) T 2 7x y= Þ = .

y’(2) = 9. Do ó ph ng trình ti p tuy n c a (C) t i m có hoành x = 2 là:7 9( 2) 7 9 18 9 11y x y x y x- = - Û - = - Û = -

c) Ta có: 3 3

0

5 3 5 5 3 0 3

3

x

y x x x x x

x

é =êê

= Û - + = Û - = Û = -êêê =êë

+) Ph ng trình ti p tuy n t i c a (C) t i m (0; 5).Ta có y’(0) = -3.Do ó ph ng trình ti p tuy n là: 5 3( 0)y x- = - - hay y = -3x +5.

+) Ph ng trình ti p tuy n t i c a (C) t i m ( 3;5)- .2'( 3) 3( 3) 3 6y - = - - =

Do ó ph ng trình ti p tuy n là: 5 6( 3)y x- = + hay 6 6 3 5y x= + + .

+) T ng t ph ng trình ti p tuy n c a (C) t i ( 3;5)- là: 6 6 3 5y x= - + .

Ví d 2: Cho th (C) c a hàm s 3 22 2 4y x x x= - + - .a) Vi t ph ng trình ti p tuy n v i (C) t i giao m c a (C) v i tr c hoành.

hoctoancapba.com


b) Vi t ph ng trình ti p tuy n v i (C) t i giao m c a (C) v i tr c tung. c) Vi t ph ng trình ti p tuy n v i (C) t i m x0 th a mãn y”(x0) = 0.Gi i:

Ta có 2' 3 4 2y x x= - + . G i ( )0 0;M x y là ti p m thì ti p tuy n có ph ng trình:

0 0 0 0 0 0'( )( ) '( )( ) (1)y y y x x x y y x x x y- = - Û = - +

a) Khi ( )M C Ox= thì y0 = 0 và x0 là nghi m ph ng trình:3 22 2 4 0 2x x x x- + - = Û = ; y’(2) = 6, thay các giá tr ã bi t vào (1) ta c ph ng

trình ti p tuy n: 6( 2)y x= -

b) Khi ( )M C Oy= thì x0 = 00

(0) 4y yÞ = = - và0

'( ) '(0) 2y x y= = , thay cácgiá tr ãbi t vào (1) ta c ph ng trình ti p tuy n: 2 4y x= - .

c) Khi x0 là nghi m ph ng trình y”= 0. Ta có: y” = 6x – 4.

y” = 00 0

2 2 886 4 0

3 3 27x x x y y

æ ö÷ç ÷Û - = Û = = Þ = = -ç ÷ç ÷çè ø ;

0

2 2'( ) '

3 3y x y

æ ö÷ç ÷= =ç ÷ç ÷çè ø

Thay các giá tr ã bi t vào (1) ta c ph ng trình ti p tuy n: 2 1003 27

y x= -

Ví d 3: Cho hàm s 3 3 1y x x= - + (C) a) Vi t ph ng trình ti p tuy n d v i (C) tai m có hoành x=2. b)Ti p tuy n d c t l i th (C) t i m N, tìm t a c a m N.Gi i

a) Ti p tuy n d t i m M c a th (C) có hoành 0 0

2 3x y= Þ =

Ta có 20

'( ) 3 3 '( ) '(2) 9y x x y x y= - Þ = =

Ph ng trình ti p tuy n d t i m M c a th (C) là

0 0 0'( )( ) 9( 2) 3 9 15y y x x x y y x y x= - + Þ = - + Þ = -

y ph ng trình ti p tuy n d t i m M c a th (C) là 9 15y x= -b) Gi s ti p tuy n d c t (C) t i N

Xét ph ng trình

( )( )3 3 22

3 1 9 15 12 16 0 2 2 8 04

xx x x x x x x x

x

é =ê- + = - Û - + = Û - + - = Û ê = -êëy ( )4; 51N - - là m c n tìm

Ví d 4: Cho hàm s 3 3 1 ( )y x x C= - + và m0 0

( , )A x y Î (C), ti p tuy n c a th

(C) t i m A c t (C) t i m B khác m A. tìm hoành m B theo0

x

hoctoancapba.com


i gi i: Vì m

0 0( , )A x y Î (C) 3

0 0 03 1y x xÞ = - + , ' 2 ' 2

0 03 3 ( ) 3 3y x y x x= - Þ = -

Ti p tuy n c a th hàm có d ng:' 2 3

0 0 0 0 0 0 02 30 0 0

( )( ) (3 3)( ) 3 1

(3 3)( ) 2 1 ( )

y y x x x y y x x x x x

y x x x x d

= - + Û = - - + - +

Û = - - - +

Ph ng trình hoành giao m c a (d) và (C):3 2 3 3 2 3 2

0 0 0 0 0 0 0

200

000

3 1 (3 3)( ) 2 1 3 2 0 ( ) ( 2 ) 0

( ) 0( 0)

22 0

x x x x x x x x x x x x x x

x xx xx

x xx x

- + = - - - + Û - + = Û - + =é é =- =ê êÛ Û ¹ê ê = -+ =ê êëë

y m B có hoành 0

2B

x x= -

Ví d 5: Cho hàm s 3 212 3

3y x x x= - + (C). Vi t ph ng trình ti p tuy n d c a th

(C) t i iêm có hoành 0

x th a mãn ''0

( ) 0y x = và ch ng minh d là ti p tuy n c a (C) có s góc nh nh t.

Gi iTa có ' 2 ''4 3 2 4y x x y x= - + Þ = -

0 0 0

2''( ) 0 2 4 0 2 (2; )

3y x x x M= Û - = Û = Þ

Khi ó ti p tuy n t i M có h s góc0

k = ' '0

( ) (2) 1y x y= = -

y ti p tuy n d c a th (C) t i m 22;

3M

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø có ph ng trình ( )'

0 0 0( )y y f x x x- = -

suy ra ( )21 2

3y x- = - - hay 8

3y x= - +

Ti p tuy n d có h s góc0

k = -1t khác ti p tuy n c a thi (C) t i m b y k trên (C) có h s góc

( )2' 20

( ) 4 3 2 1 1k y x x x x k= = - + = - - ³ - =

Dâu “=” x y ra 1xÛ = nên t a ti p iêm trùng v i 22;

3M

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø

y ti p tuy n d c a (C) t i m 22;

3M

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø có h s góc nh nh t.

hoctoancapba.com


Ví d 6: Vi t ph ng trình ti p tuy n v i th (C): 21

xy

x+

=-

t i các giao m c a (C)

i ng th ng (d): 3 2y x= - .+ Ph ng trình hoành giao m c a (d) và (C):

23 2 2 (3 2)( 1)

1x

x x x xx

+= - Û + = - -

- (x = 1 không ph i là nghi m ph ng trình)

23 6 0 0 ( 2) 2 ( 4)x x x y x yÛ - = Û = = - Ú = =

y có hai giao m là: M1(0; -2) và M2(2; 4)

+ Ta có:2

3'

( 1)y

x

-=

-.

+ T i ti p m M1(0; -2) thì y’(0) = -3 nên ti p tuy n có ph ng trình: 3 2y x= - -+ T i ti p m M2(2; 4) thì y’(2) = -3 nên ti p tuy n có ph ng trình: 3 10y x= - +Tóm l i có hai ti p tuy n th a mãn yêu c u bài toán là: 3 2y x= - - và 3 10y x= - + .

Ví d 7: Cho hàm s 3 21 13 2 3

my x x= - + (Cm). i M là m thu c th (Cm) có hoành

b ng -1. Tìm m ti p tuy n v i (Cm) t i M song song v i ng th ng d: 5x-y=0Gi i

Ta có ' 2y x mx= -ng th ng d: 5x-y=0 có h s góc b ng 5, nên ti p tuy n t i M song song v i ng

th ng d tr c h t ta c n có '( 1) 5 1 5 4y m m- = Û + = Û =

Khi 4m = ta có hàm s 3 21 12

3 3y x x= - + ta có

01x = - thì

02y = -

Ph ng trình ti p tuy n có d ng '0 0 0

( )( ) 5( 1) 2 5 3y y x x x y y x y x= - + Þ = + - Û = +

Rõ ràng ti p tuy n song song v i ng th ng dy 4m = là giá tr c n tìm.

Ví d 8: Cho hàm s 3 23y x x m= - + (1).Tìm m ti p tuy n c a th (1) t i m có hoành b ng 1 c t các tr c Ox, Oy l n

t t i các m A và B sao cho di n tích tam giác OAB b ng 32

.

Gi ii

0 01 2x y m= Þ = - Þ M(1 ; m – 2)

- Ti p tuy n t i M là d: 20 0 0

(3 6 )( ) 2y x x x x m= - - + -

Þ d: y = -3x + m + 2.

hoctoancapba.com


- d c t tr c Ox t i A: 2 20 3 2 ; 0

3 3A A

m mx m x A

æ ö+ + ÷ç ÷= - + + Û = Þ ç ÷ç ÷çè ø

- d c t tr c Oy t i B: 2 (0 ; 2)B

y m B m= + Þ +

- 23 1 3 2| || | | || | 3 2 3 ( 2) 9

2 2 2 3OAB

mS OA OB OA OB m m

+= Û = Û = Û + = Û + =

2 3 1

2 3 5

m m

m m

é é+ = =ê êÛ Ûê ê+ = - = -ê êë ëy m = 1 và m = - 5

1.2. D ng 2: Vi t ti p tuy n c a thi hàm s ( )y f x= (C) khi bi t tr c h s góc c a nó

+ G i0 0

( , )M x y là ti p m, gi i ph ng trình '0 0

( )f x k x x= Þ = ,0 0

( )y f x=

+ n ây tr v ng 1,ta dê dàng l p c ti p tuy n c a th :

0 0( )y k x x y= - +

Các d ng bi u di n h s góc k:

*) Cho tr c ti p: 35; 1; 3; ...

7k k k k= = ± = ± = ±

*) Ti p tuy n t o v i chi u d ng c a tr c Ox m t góc a , v i 0 0 0 215 ;30 ;45 ; ; .... .

3 3p p

aì üï ïï ïÎ í ýï ïï ïî þ

Khi ó h s góc k = tan a .*) Ti p tuy n song song v i ng th ng (d): y = ax + b. Khi ó h s góc k = a.

*) Ti p tuy n vuông góc v i ng th ng (d): y = ax + b 11ka k

a-

Þ = - Û = .

*) Ti p tuy n t o v i ng th ng (d): y = ax + b m t góc a . Khi ó: tan1k a

kaa

-=

+.

Ví d 9: Cho hàm s 3 23y x x= - (C). Vi t ph ng trình ti p tuy n c a th (C) bi t h góc c a ti p tuy n k = -3.

Gi i:Ta có: 2' 3 6y x x= -

i0 0

( ; )M x y là ti p iêm Þ Ti p tuy n t i M có h s góc ' 20 0 0

( ) 3 6k f x x x= = -

Theo gi thi t, h s góc c a ti p tuy n k = - 3 nên:2 20 0 0 0 0

3 6 3 2 1 0 1x x x x x- = - Û - + = Û =

Vì0 0

1 2 (1; 2)x y M= Þ = - Þ - .

hoctoancapba.com


Ph ng trinh ti p tuy n c n tìm là 3( 1) 2 3 1y x y x= - - - Û = - +

Ví d 10: Vi t ph ng trình ti p tuy n c a th hàm s 3 23 1y x x= - + (C). Bi t ti ptuy n ó song song v i ng th ng y = 9x + 6.Gi i:

Ta có: 2' 3 6y x x= -

i0 0

( ; )M x y là ti p m Þ Ti p tuy n t i M có h s góc ' 20 0 0

( ) 3 6k f x x x= = -

Theo gi thi t, ti p tuy n ó song song v i ng th ng y = 9x + +6 Þ ti p tuy n có h

góc k = 9 Þ 02 20 0 0 0

0

1 ( 1; 3)3 6 9 2 3 0

3 (3;1)

x Mx x x x

x M

é = - Þ - -ê- = Û - - = Û ê = ÞêëPh ng trinh ti p tuy n c a (C) t i M(-1;-3) là: 9( 1) 3 9 6y x y x= + - Û = + (lo i)Ph ng trinh ti p tuy n c a (C) t i M(3;1) là: 9( 3) 1 9 26y x y x= - + Û = -

Ví d 11: Cho hàm s 3 3 2y x x= - + (C). Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C) bi t ti p

tuy n ó vuông góc v i ng th ng 19

y x-

= .

Gi i:Ta có 2' 3 3y x= - . Do ti p tuy n c a (C) bi t ti p tuy n ó vuông góc v i ng

th ng 19

y x-

= nên h s góc c a ti p tuy n k = 9.

Do ó 2 2' 3 3 9 4 2.y k x x x= Û - = Û = Û = ±+) V i x = 2 4yÞ = . Pttt t i m có hoành x = 2 là:

9( 2) 4 9 14.y x y x= - + Û = -

+) V i 2 0x y= - Þ = . Pttt t i m có hoành x = - 2 là:9( 2) 0 9 18y x y x= + + Û = + .

V y có hai ti p tuy n c (C) vuông góc v i ng th ng 19

y x-

= là:

y =9x - 14 và y = 9x + 18.

Ví d 12: L p ph ng trình ti p tuy n v i th (C) c a hàm s : 4 212

4y x x= + ,

bi t ti p tuy n vuông góc v i ng th ng (d): 5 2010 0x y+ - = .

Gi i:

(d) có ph ng trình: 1402

5y x= - + nên (d) có h s góc là - 1

5.

hoctoancapba.com


i D là ti p tuy n c n tìm có h s góc k thì 1. 1 5 ( ( ))

5k k do d- = - Û = D ^ .

Ta có: 3' 4y x x= + nên hoành ti p m là nghi m ph ng trình: 3 4 5x x+ =

3 2 94 5 0 ( 1)( 5) 0 1 0 1

4x x x x x x x yÛ + - = Û - + + = Û - = Û = Þ =

y ti p m M có t a là 91;

4M


Ti p tuy n có ph ng trình: 9 115( 1) 5

4 4y x y x- = - Û = -

y ti p tuy n c n tìm có ph ng trình: 115

4y x= - .

Ví d 13: Cho hàm s 22 3x

yx

+=

+ (C). Vi t ph ng trình ti p tuy n v i (C) bi t r ng ti p

tuy n c t tr c hoành t i A, tr c tung t i B sao cho tam giác OAB vuông cân t i O, ây Olà góc t a .Gi i

Ta có: '2

1

(2 3)y

x

-=

+

Vì ti p tuy n t o v i hai tr c t a m t tam giác vuông cân nên h s góc c a ti p tuy nlà: 1k = ±

Khi ó g i ( )0 0;M x y là ti p m c a ti p tuy n v i th (C) ta có '

0( ) 1y x = ±

0

200

211

1(2 3)

x

xx

é = -- êÛ = ± Û ê = -+ êëi

01x = - thì

01y = lúc ó ti p tuy n có d ng y x= - (tr ng h p này lo i vì ti p

tuy n i qua góc t a , nên không t o thành tam giác OAB)i

02x = - thì

04y = - lúc ó ti p tuy n có d ng 2y x= - -

y ti p tuy n c n tìm là 2y x= - -

Ví d 14: Cho hàm s y = 2 11

xx

--

có th (C).

L p ph ng trình ti p tuy n c a th (C) sao cho ti p tuy n này c t các tr c Ox, Oy l nt t i các m A và B th a mãn OA = 4OB.

Gi iGi s ti p tuy n d c a (C) t i

0 0( ; ) ( )M x y CÎ c t Ox t i A, Oy t i B sao cho

4OOA B= .

hoctoancapba.com


Do OAB vuông t i O nên 1tan

4OB

AOA

= = H s góc c a d b ng 14

ho c 14

- .

s góc c a d là0 2 2

0 0

1 1 1( ) 0

4( 1) ( 1)y x

x x¢ = - < Þ - = -

- -

0 0

0 0

31 ( )

25

3 ( )2

x y

x y

éê = - =êêê = =êë

Khi ó có 2 ti p tuy n th a mãn là:

1 3 1 5( 1)

4 2 4 41 5 1 13

( 3)4 2 4 4

y x y x

y x y x

é éê ê= - + + = - +ê êÛê êê ê= - - + = - +ê êë ë

.

1.3. D ng 3: Ti p tuy n i qua iêmCho th (C): y = f(x). Vi t ph ng trình ti p tuy n v i (C) bi t ti p tuy n i qua

m ( ; )A a b .Cách gi i

+ Ti p tuy n có ph ng trình d ng:0 0 0

( ) '( )( )y f x f x x x- = - , (v i x0 là hoành ti p m).

+ Ti p tuy n qua ( ; )A a b nên0 0 0

( ) '( )( ) (*)f x f x xb a- = -

+ Gi i ph ng trình (*) tìm x0 r i suy ra ph ng trình ti p tuy n.Ví d 15: Cho th (C): 3 3 1y x x= - + , vi t ph ng trình ti p tuy n v i (C) bi tti p tuy n i qua m A(-2; -1).Gi i:

Ta có: 2' 3 3y x= -

i M( )30 0 0; 3 1x x x- + là ti p m. H s góc c a ti p tuy n là 2

0 0'( ) 3 3y x x= - .

Ph ng trình ti p tuy n v i (C) t i M là D : ( )3 20 0 0 0

3 1 (3 3)( )y x x x x x- - + = - -

D qua A(-2;-1) nên ta có: ( )3 20 0 0 0

1 3 1 (3 3)( 2 )x x x x- - - + = - - - 3 20 0

3 4 0x xÛ + - =

0 020 0 0

0 0

1 1( 1)( 4 4) 0

2 1

x yx x x

x y

é = Þ = -êÛ - + + = Û ê = - Þ = -êëy có hai ti p tuy n c n tìm có ph ng trình là: : 1 ; : 9 17y y xD = - D = +

1.4. D ng 4. M t s bài toán ti p tuy n nâng cao.Ví d 16: Tìm hai m A, B thu c th (C) c a hàm s : 3 3 2y x x= - + sao cho

ti p tuy n c a (C) t i A và B song song v i nhau và dài n AB = 4 2 .Gi i:

hoctoancapba.com


i 3 3( ; 3 2) , ( ; 3 2) ,A a a a B b b b a b- + - + ¹ là hai m phân bi t trên (C).

Ta có: 2' 3 3y x= - nên các ti p tuy n v i (C) t i A và B có h s góc l n l t là:2 2'( ) 3 3 à '( ) 3 3y a a v y b b= - = - .

Ti p tuy n t i A và B song song v i nhau khi:2 2'( ) '( ) 3 3 3 3 ( )( ) 0 ( ì 0)y a y b a b a b a b a b v a b a b= Û - = - Û - + = Û = - ¹ Û - ¹

22 2 3 34 2 32 ( ) ( 3 2) ( 3 2) 32AB AB a b a a b bé ù= Û = Û - + - + - - + =ê úë û

2 22 3 3 2 2 2( ) ( ) 3( ) 32 ( ) ( )( ) 3( ) 32a b a b a b a b a b a ab b a bé ù é ùÛ - + - - - = Û - + - + + - - =ê ú ê úë û ë û

22 2 2 2( ) ( ) ( ) 3 32a b a b a ab bé ùÛ - + - + + - =ê úë û , thay a = -b ta c:

( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 6 4 24 4 3 32 3 8 0 6 10 8 0b b b b b b b b b+ - = Û + - - = Û - + - =

2 4 2 22 2

( 4)( 2 2) 0 4 02 2

b ab b b b

b a

é = Þ = -êÛ - - + = Û - = Û ê = - Þ =êë- i 2 à 2a v b= - = Þ ( 2;0) , (2;4)A B-

- i 2 à 2a v b= = - Þ (2;4) , ( 2;0)A B -

Tóm l i c p m A, B c n tìm có t a là: ( 2; 0) à (2; 4)v-

Ví d 17: Tìm hai m A, B thu c th (C) c a hàm s : 2 11

xy

x-

=+

sao cho ti p

tuy n c a (C) t i A và B song song v i nhau và dài n AB = 2 10 .Gi i:

Hàm s c vi t l i: 32

1y

x= -

+

i 3 3;2 , ;2

1 1A a B b

a b

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷- -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç+ +è ø è ø là c p m trên th (C) th a mãn yêu c u bài toán.

i u ki n: , 1, 1a b a b¹ ¹ - ¹ - .

Ta có:2

3'

( 1)y

x=

+ nên h s góc c a các ti p tuy n v i (C) t i A và B là:

2 2

3 3'( ) à '( )

( 1) ( 1)y a v y b

a b= =

+ +

hoctoancapba.com


10

Ti p tuy n t i A và B song song khi:2 2

3 3'( ) '( )

( 1) ( 1)y a y b

a b= Û =

+ +

1 12

1 1 2

a b a ba b

a b a b

é é+ = + =ê êÛ Û Û = - -ê ê+ = - - = - -ê êë ë (1) (do a b¹ )

2

2 2 3 32 10 40 ( ) 40

1 1AB AB a b

b a

æ ö÷ç ÷= Û = Û - + - =ç ÷ç ÷ç + +è ø2 2

2 23 3 6( 2 2) 40 4( 1) 40

1 1 1b b

b b b

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷Û - - + - = Û + + =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç+ - - +è ø è ø ( do thay a (1) )

24 2

2

( 1) 1 1 1 1 1( 1) 10( 1) 9 0

1 3 1 3( 1) 9

b b bb b

b bb

é é+ = + = Ú + = -ê êÛ + - + + = Û Ûê ê + = Ú + = -+ =ê êëë

0 2

2 0

2 4

4 2

b a

b a

b a

b a

é = Þ = -êê = - Þ =êÛ ê = Þ = -êê = - Þ =êëp m A và B c n tìm có t a là: ( 2;5) à (0; 1) ; (2;1) à ( 4;3)v v- - -

Ví d 18: Cho hàm s : y = x3 + 3x2 + mx + 1 có (Cm); (m là tham s ). Xác nh m (Cm) c t ng th ng y = 1 t i 3 m phân bi t C(0, 1), D, E sao cho các ti p tuy n c a(Cm) t i D và E vuông góc v i nhau.Gi i

Ph ng trình hoành giao m c a (Cm) và ng th ng y = 1 là:

x3 + 3x2 + mx + 1 = 1 x(x2 + 3x + m) = 0 2

0

3 0 (2)

x

x x m

é =êê + + =êë

* (Cm) c t ng th ng y = 1 t i C(0, 1), D, E phân bi t: Ph ng trình (2) có 2 nghi m xD, xE 0.

2

09 4 040 3 0 09

mm

m m

ìï ¹ìï ïD = - >ï ïï Ûí íï ï+ ´ + ¹ <ï ïïî ïîLúc ó ti p tuy n t i D, E có h s góc l n l t là:

kD = y’(xD) = 23 6 ( 2 );D D D

x x m x m+ + = - +

kE = y’(xE) = 23 6 ( 2 ).E E E

x x m x m+ + = - +

Các ti p tuy n t i D, E vuông góc khi và ch khi: kDkE = –1. (3xD + 2m)(3xE + 2m) = 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1

hoctoancapba.com


11

9m + 6m ´(–3) + 4m2 = –1; (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo nh lý Vi-t).

4m2 – 9m + 1 = 0 m = ( )19 65

8

S: m = ( ) ( )1 19 65 9 65

8 8hay m- =

Ví d 19: p ph ng trình ti p tuy n v i th (C) c a hàm s : 2 21

xy

x-

=+

, bi t

ng kho ng cách t m I(-1; 2) n ti p tuy n là l n nh t.Gi i:

i D là ti p tuy n c a th (C) t i ti p m M ( )2 2; , ( )

1a

a M Ca

æ ö- ÷ç ÷ Îç ÷ç ÷ç +è ø.

Ta có: ( )2 2

4 4' '( ) , 1

( 1) ( 1)y y a a

x a= Þ = ¹ -

+ +

y 2 22

2 2 4: ( ) 4 ( 1) 2 4 2 0 (*)

1 ( 1)

ay x a x a y a a

a a

-D - = - Û - + + - - =

+ +

( )2 2

4 4

4( 1) ( 1) .2 2 4 2 8 1;

4 ( 1) 4 ( 1)

a a a ad I

a a

- - + + - - +D = =

+ + + +.

Ta có:2

4 2 2 2 4 24 ( 1) 2 ( 1) 2.2( 1) 4 ( 1) 2.2( 1) 2 1a a a a a aé ù+ + = + + ³ + Þ + + ³ + = +ê úë û

( )8 1

; 42 1

ad I

a

+Þ D £ =

+. V y ( );d I D l n nh t khi ( );d I D = 4

2 21 2 1

2 ( 1)1 2 3

a aa

a a

é é+ = =ê êÛ = + Û Ûê ê+ = - = -ê êë ë. C hai giá tr u th a mãn 1a ¹

+ V i a = 1 thay vào (*) ta c ph ng trình ti p tuy n là:4 4 4 0 1 0x y x y- - = Û - - =+ V i a = -3 thay vào (*) ta c ph ng trình ti p tuy n là:4 4 28 0 7 0x y x y- + = Û - + =Tóm l i: Có hai ti p tuy n c n tìm có ph ng trình là: 1 0 ; 7 0x y x y- - = - - =

Ví d 20: Cho (C) là th hàm s 12 1x

yx

+=

+. Vi t ph ng trình ti p tuy n v i (C),

bi t ti p tuy n ó c t tr c hoành, tr c tung t ng ng t i các m A, B th a mãnD OAB vuông cân t i g c t a O.Gi i:

hoctoancapba.com


12

i ( )0 0;M x y là ti p m. Ti p tuy n v i (C) t i M ph i th a mãn song song v i các

ng th ng y = x ho c y = -x.

Ta có:2

1'

(2 1)y

x= -

+ nên ti p tuy n v i (C) t i M có h s góc là:

0 20

1'( ) 0

(2 1)y x

x= - <

+

y ti p tuy n v i (C) t i M song song v i ng th ng d: y = -x

Do ó, 202

0

11 (2 1) 1

(2 1)x

x- = - Û + =

+ ; (

0

12

x = - không là nghi m ph ng trình)

0 0 0

0 0 0

2 1 1 0 1

2 1 1 1 0

x x y

x x y

é é+ = = Þ =ê êÛ Ûê ê+ = - = - Þ =ê êë ë. V y có hai ti p m là:

1 2(0;1) , ( 1;0)M M - .

+ T i m M1(0; 1) ta có ph ng trình ti p tuy n là: y = - x + 1: th a mãn song song v i d+ T i m M2(-1; ) ta có ph ng trình ti p tuy n là: y = - x - 1: th a mãn song song v i d

y có hai ti p tuy n c n tìm có ph ng trình là: 1 ; 1y x y x= - + = - -

Ví d 21: Cho hàm s 31

xy

x+

=-

.

a) Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s . b) Cho m ( ; )

o o oM x y thu c th (C). Ti p tuy n c a (C) t i M0 c t các ti m c n c a

(C) t i các m A và B. Ch ng minh Mo là trung m c a n th ng AB.Gi i

a) làm

b) ( ; )o o o

M x y (C)0

0

41

1y

x= +

-.

Ph ng trình ti p tuy n (d) t i M0: 0 020

4( )

( 1)y y x x

x- = - -

-

Giao m c a (d) v i các ti m c n là:0 0

(2 1;1), (1;2 1)A x B y- - .

0 0;

2 2A B A B

x x y yx y

+ += = M0 là trung m AB.

Ví d 22: Cho hàm s : 21

xy

x+

=-

(C)

a) Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s .b) Ch ng minh r ng m i ti p tuy n c a th (C) u l p v i hai ng ti m c n

t tam giác có di n tích không i.Gi i

hoctoancapba.com


13

a) làm

b) Gi s M 2;

1a

aa

æ ö+ ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç -è ø (C).

PTTT (d) c a (C) t i M: 2( ).( )

1a

y y a x aa

+¢= - +-

2

2 2

3 4 2

( 1) ( 1)

a ay x

a a

- + -= +

- -

Các giao m c a (d) v i các ti m c n là: 51;

1a

Aa

æ ö+ ÷ç ÷ç ÷çè ø-, (2 1;1)B a - .

60;

1IA

a

® æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç -è øÞ 6

1IA

a=

- ; (2 2;0)IB a

®

= - Þ 2 1IB a= -

Di n tích IABD : SIABD

= 1.

2IAIB = 6 ( vdt) Þ PCM.

Ví d 23: Cho hàm s 2 32

xy

x-

=-

.

1) Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s . 2) Cho M là m b t kì trên (C). Ti p tuy n c a (C) t i M t các ng ti m c n c a(C) t i A và B. G i I là giao m c a các ng ti m c n. Tìm t a m M sao cho

ng tròn ngo i ti p tam giác IAB có di n tích nh nh t.Gi i

Gi s 00 0

0

2 3; , 2

2

xM x x

x

æ ö- ÷ç ÷ ¹ç ÷ç ÷÷ç -è ø,

( )0 2

0

1'( )

2y x

x

-=

-

Ph ng trình ti p tuy n ( ) v i (C) t i M:( )

002

00

2 31( )

22

xy x x

xx

--= - +

--

a giao m A, B c a ( ) v i hai ti m c n là: ( )00

0

2 22; ; 2 2;2

2

xA B x

x

æ ö- ÷ç ÷ -ç ÷ç ÷÷ç -è ø

Ta th y 00

2 2 2

2 2A B

M

x x xx x

+ + -= = = , 0

0

2 3

2 2A B

M

y y xy

x

+ -= =

- suy ra M là trung

m c a AB.t khác I(2; 2) và IAB vuông t i I nên ng tròn ngo i ti p tam giác IAB có di n tích

S =2

2 2 200 0 2

0 0

2 3 1( 2) 2 ( 2) 2

2 ( 2)

xIM x x

x xp p p p

é ù é ùæ ö-ê ú÷ç ê ú÷= - + - = - + ³çê ú÷ ê úç ÷÷ç -ê ú -è ø ê úë ûê úë û

u “=” x y ra khi 020 2

00

11( 2)

3( 2)

xx

xx

é =ê- = Û ê =- êë

hoctoancapba.com


14

Do ó m M c n tìm là M(1; 1) ho c M(3; 3)


xy

x-

=+

. Tìm t a m M sao cho kho ng cách t m ( 1;2)I -

i ti p tuy n c a (C) t i M là l n nh t.Gi i.

u0

0

3;2 ( )

1M x C

x

æ ö÷ç ÷- Îç ÷ç ÷÷ç +è ø thì ti p tuy n t i M có ph ng trình

020 0

3 32 ( )

1 ( 1)y x x

x x- + = -

+ + hay 2

0 0 03( ) ( 1) ( 2) 3( 1) 0x x x y x- - + - - + =

Kho ng cách t ( 1;2)I - t i ti p tuy n là

( )0 0 0

4 4200 02

0

3( 1 ) 3( 1) 6 1 6

99 ( 1)9 1 ( 1)( 1)

x x xd

xx xx

- - - + += = =

+ ++ + + ++

.

Theo b t ng th c Côsi 202

0

9( 1) 2 9 6

( 1)x

x+ + ³ =

+, vây 6d £ .

Kho ng cách d l n nh t b ng 6 khi

( )220 0 02

0

9( 1) 1 3 1 3

( 1)x x x

x= + Û + = Û = - ±

+.

y có hai m M: ( )1 3;2 3M - + - ho c ( )1 3;2 3M - - +


xy

x+

=+

. Vi t ph ng trình ti p tuy n c a th (C), bi t r ng

ti p tuy n cách u hai m A(2; 4), B( 4; 2).Gi i G i x0 là hoành ti p m (

01x ¹ - ).

PTTT (d) là 002

00

2 11( )

1( 1)

xy x x

xx

+= - +

++2 2

0 0 0( 1) 2 2 1 0x x y x x- + + + + =

Ta có: ( , ) ( , )d A d d B d= 2 2 2 20 0 0 0 0 0

2 4( 1) 2 2 1 4 2( 1) 2 2 1x x x x x x- + + + + = - + + + + +

0 0 01 0 2x x x= Ú = Ú = -

y có ba ph ng trình ti p tuy n: 1 5; 1; 5

4 4y x y x y x= + = + = +

Chú ý: Bài toán này có thê gi i b ng cách sau: Ti p tuy n cách u A, B nên có 2 kh n ng:

hoctoancapba.com


15

Ti p tuy n song song (trùng )AB ho c ti p tuy n i qua trung iêm c a AB

Ví d 26: Cho hàm s 2( )

1x

y Cx

=+

tìm m M ( )CÎ sao cho ti p tuy n c a th hàm

t i M c t hai tr c t a t i A, B sao cho tam giác OAB có di n tích b ng 14

Gi i:

i 00 0 0

0

2( , ) ( )

1

xM x y C y

xÎ ® =

+ ,

2

2'

( 1)y

x=

+

Ti p tuy n t i M có d ng:2

0 00 0 0 02 2 2

00 0 0

2 22 2'( )( ) ( ) ( )

1( 1) ( 1) ( 1)

x xy y x x x y y x x y x d

xx x x= - + Û = - + Û = +

++ + +

i ( ) oxA d= Ç Þ t a m A là nghi m c a h :

220

202 200 0

22( , 0)( 1) ( 1)

00

xx xy x

A xx xy

y

ìïï ìï = -= +ï ïï ïÛ Þ -+ +í íï ï =ï ïïî=ïïîi ( ) oyB d= Ç Þ t a m B là nghi m c a h :

22 200 02 2

2 20 00 0

22 0 2 2(0, )( 1) ( 1)

( 1) ( 1)0

xxy x x x

Bx xy x x

x

ìïï ìï == +ï ïï Û Þ+ +í íï ï = + +ï ïî=ïïî

Tam giác OAB vuông t i O ; OA = 2 20 0

x x- = ; OB =2 20 0

2 20 0

2 2

( 1) ( 1)

x x

x x=

+ +

Di n tích tam giác OAB:

S = 12

OA.OB =40

20

21 1.

2 4( 1)

x

x=

+

2 20 0 0 04 2 0 02 20 00 0 0 0

0 0

12 1 2 1 0 24 ( 1) 2

2 1 2 1 1 ( ) 1 1

x x x x x yx x

x x x x vn x y

éé é= + - - = ê = - Þ = -ê ê êÛ = + Û Û Ûê ê ê= - - + +ê ê = Þ =êë ë ë

y tìm c hai m M th a mãn yêu c u bài toán:1 2

1( ; 2) ; (1,1)

2M M- -

Bài t p t luy nBài 1. Cho hàm s 3 23 2 5 ( )y x x x C= - + - . Vi t ph ng trình ti p tuy n t i m có

hoành x = 1

hoctoancapba.com


16

Bài 2. Cho hàm s 31 23 3

y x x= - + , vi t ph ng trình ti p tuy n bi t ti p tuy n vuông

góc v i ng th ng 1 2( )

3 3y x d= - +

Bài 3. Cho hàm s 3 23 9 5 ( )y x x x C= + - + . trong t t c các ti p tuy n c a (C ) tìm

ti p tuy n có h s góc nh nh t

Bài 4. Cho hàm s : 4 21

xy

x-

=+

(C). Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i (C), tr c Oy

và ti p tuy n c a (C) t i m có hoành x = 3.Bài 5. Cho hàm s 4 2 6y x x= - - + . Vi t ph ng trình ti p tuy n c a th (C) bi t ti p

tuy n ó vuông góc v i ng th ng d: 11

6y x= -

Bài 6. p ph ng trình ti p tuy n v i th (C) c a hàm s 2 11

xy

x+

=+

. Bi t ti p tuy n

i qua m A(-1; 3).

Bài 7. Cho hàm s : y = 22

xx

+-

có th (C). Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C) i qua

A(-6,5)Bài 8. p ph ng trình ti p tuy n c a th (C) c a hàm s y = 2x3 + 3x2 - 12x - 1 k t

m 23; 2

9A

æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø

Bài 9. Cho hàm s 2 32

xy

x-

=-

có th (C).

a) Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s (C)b) Tìm trên (C) nh ng m M sao cho ti p tuy n t i M c a (C) c t hai ti m c n c a

(C) t i A, B sao cho AB ng n nh t

Bài 10. Cho hàm s : 11

xy

x+

=-

. CMR:

a) N u ti p tuy n c a ths c t hai ng ti m c n t i A và B thì ti p m là trungm c a AB.

b) M i ti p tuy n c a th u t o v i hai ng ti m c n m t tam giác có di ntích không i.

c) Tìm t t c các m thu c th hàm s sao cho ti p tuy n t i ó t o v i haing ti m c n m t tam giác có chu vi nh nh t.

Bài 11. Cho hàm s 3 1 ( 1)y x m x= + - + ( )m

C .Tìm m ti p tuy n c a ( )m

C t i giao ma nó v i tr c tung t o v i hai tr c t a m t tam giác có di n tích b ng 8.

hoctoancapba.com


17

Bài 12. Cho hàm s : 12( 1)x

yx

-=

+

a) Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s .b) Tìm nh ng m M trên (C) sao cho ti p tuy n v i (C) t i M t o v i hai tr c t a

m t tam giác có tr ng tâm n m trên ng th ng 4x + y = 0.

2. Ch 2: C c tr c a hàm s .2.1. Ki n th c c b n2.1.1. Các quy t c tìm các m c c tr c a hàm s :

QUY T C I QUY T C IIc 1: Tìm TXc 2: Tính ( )/f x . Xác nh các m t i

n.c 3: L p b ng bi n thiên. K t lu n.

c 1: Tìm TXc 2: Tính ( )/f x . Gi i ph ng trình

( )/ 0f x = và kí hi ui

x ( 1, 2,...i = ) là các

nghi m c a nó.c 3: Tính ( )//f x và ( )//

if x . K t lu n

2.1.2. S t n t i c c tra/ u ki n hàm s có c c tr t i x = x0:

0

0

'( ) 0

' dôi dau qua x

y x

y

ìï =ïíïïî ho c

0)(''0)('

0

0

xyxy

b/ u ki n hàm s có c c i t i x0:

0

0

'( ) 0

' doi dau tu .

y x

y sang qua x

ìï =ïïíï + -ïïî ho c

0)(''0)('

0

0

xyxy

c/ u ki n hàm s có c c t u t i x0:

0

0

'( ) 0

' doi dau tu .

y x

y sang qua x

ìï =ïïíï - +ïïî ho c 0

0

y '(x ) 0y ''( x ) 0

d/ u ki n hàm b c 3 có c c tr (có c c i, c c ti u):

y’= 0 có hai nghi m phân bi t a 00

e/ u ki n hàm b c 4 có 3 c c tr : y/ = 0 có 3 nghi m phân bi t. 2.1.3. Tìm u ki n các m c c tr c a hàm s th a mãn u ki n cho tr c.

hoctoancapba.com


18

Ph ng pháp:Tìm u ki n hàm s có c c tr

Bi u di n u ki n c a bài toán qua t a các m c c tr c a th hàm s ,ó a ra u ki n c a tham s .

2.2. Ví d và bài t p

Vi d 1: Tìm c c tr c a c a hàm s 3 21 1 2 23 2

y x x x .

Gi iCách 1.

* T p xác nh:R.

Ta có: .

* B ng bi n thiên:x – 1 2

y’ + 0 – 0 +y

y hàm s t c c i t i x = -1 và giá tr c c i y ( ) 191

6y= - =

Hàm s t c c ti u t i x = 2 và giá tr c c ti u yCT ( ) 42

3y

-= = .

Cách 2. (S d ng quy t c 2)* T p xác nh:D = .

Ta có: .

* ( )'' 2 1, '' 1 3 0y x y= - - = - < nên hàm s t c c i t i m x = -1 và giá tr c c i

y ( ) 191

6y= - =

* ( )'' 2 3 0y = > nên hàm s t c c ti u t i x = 2 và giá tr c c ti u yCT ( ) 42

3y

-= = .

Vi d 2: Tìm c c tr c a các hàm s sau:

a) 1cos os2 12

y x c x= + - b) 2 13 s inx cos2

xy x += + +

(?) Ta th y hàm s này r t khó xét d u c a y’, do ó hãy s d ng quy t c 2 tìm c c tr ?

2 1' 2; ' 0

2x

y x x yx

2 1' 2; ' 0

2x

y x x yx

hoctoancapba.com


19

Gi ia) TX : D=R

* ' s inx sin2y x= - -

s inx 0' 0 s inx(1 2cos ) 0 1 2cos 2

2 3

x ky x

x x n

pp p

é éê êê êê êê êë ë

= == Û + = Û Û

= - = ± +

* " cos 2 os2y x c x= - -

Ta có "( ) os( ) 2 os( 2 ) 1 2 0y k c k c kp p p= - - = ± - <Þ Hàm s t c c ti u t i: ( )x k kp= Î Z

1 31 0

2 22 2 4" 2 os - 2cos3 3 3

y n cp p ppæ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ = + = >ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø± + = - ± ±

Þ Hàm s t c c ti u t i: 2 2 ( )3

x n n Zp p= ± + Î

b) TX : D=R.

* ' 3 cos s inx 1y x= - +

' 0 3 cos s inx 1y x= Û - = -

3 1 1cos s inx2 2 2

xÛ - = - 1s in x sin3 2 6p pæ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

Û - = =2

27 26

x k

x k

p p

p p

éêêÛ êêêêë

= +

= +

* " 3 s inx cosy x= - -Ta có:

+ " 2 3 s in cos 3 02 2 2

y kp p ppæ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

= + = - - = - <

+ 7" 2 3 06

y kp pæ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

+ = >

y hàm s t c c i t i 22

x kp p= +

Hàm s t c c ti u t i 7 26

x kp p= +

* Giáo viên c n làm cho h c sinh hi u rõ th m nh c a vi c s d ng quy t c 1 và quy t c 2.Chú ý: Quy t c 1 có u m là ch c n tính o hàm c p m t r i xét d u y’ và l p

ng xét d u y’, t ó suy ra các m c c tr . Nh ng quy t c 1 có nh c m là nó òi h iph i xét d u y’, u này không ph i bao gi c ng n gi n.

hoctoancapba.com


20

u bài toán không yêu c u tìm m c c tr thì quy t c 1 là h i th a, khi ó ta s d ngquy t c 2. Song quy t c 2 c ng có nh c m là nhi u khi vi c tính y” là r t ph c t p, cbi t khi không s d ng c trong tr ng h p ,

0( )f x = ,,

0( )f x =0.

Quy t c 1 th ng c dùng cho các hàm a th c, hàm phân th c và tích các l yth a. Quy t c 2 th ng c s d ng cho các hàm l ng giác.

Vi d 3: Tìm m hàm s : ( ) ( )3 2 2 21 2 3 1 53

y x m m x m x m= + - + + + + - t c c ti u

i x 2.Gi i:

( ) ( )2 2 22 2 3 1y x x m m x m¢ = + - + + + ( ) ( )22 2 2y x x m m¢¢ = + - +

hàm s t c c ti u t i x 2 thì( )( )

( )( )( )

2

2

2 0 4 3 0 1 3 03

02 0 1 0

y m m m mm

m my m m

ì ììï ïï¢ - = - + - = - - =ï ïïï ï ïÛ Û Û =í í íï ï ï¢¢ - >- > - >ï ï ïïï ïîî î

Vi d 4: Cho hàm s : 3 23( 1) 9y x m x x m= - + + - , v i m là tham s th c.Xác nh m

hàm s ã cho t c c tr t i1 2,x x sao cho

1 2 2x x- £ .

Gi i Ta có 2' 3 6( 1) 9.y x m x= - + +

Hàm s có c c i, c c ti u x1, x2. Û PT y’ = 0 có hai nghi m phân bi t là x1, x2.Û 2 2( 1) 3 0x m x- + + = có hai nghi m phân bi t là

1 2,x x .

2' ( 1) 3 0 1 3 1 3m m mÛ D = + - > Û > - + Ú < - - (1)

Theo ta có: ( )2

1 2 1 2 1 22 4 4 (*)x x x x x x- £ Û + - £

Theo nh lý Viet ta có:1 2 1 2

2( 1); 3.x x m x x+ = + =

( )2(*) 4 1 12 4mÛ + - £ 2( 1) 4 3 1 (2)m mÛ + £ Û - £ £

(1) và (2) suy ra giá tr m c n tìm là: 3 1 3m- £ < - - ho c 1 3 1.m- + < £

Vi d 5: Cho hàm s ( )3 2( ) 3 1 1y f x mx mx m x= = + - - - , m là tham s . Xác nh các giá

tr c a m hàm s ( )y f x= không có c c tr .

Gi i+ Khi m = 0 1y xÞ = - , nên hàm s không có c c tr .

+ Khi 0m ¹ ( )2' 3 6 1y mx mx mÞ = + - -

Hàm s không có c c tr khi và ch khi ' 0y = không có nghi m ho c có nghi m kép

hoctoancapba.com


21

( )2 2' 9 3 1 12 3 0m m m m mÛ D = + - = - £1

04

mÛ £ £

y 0 4m£ £ là gtct

Vi d 6: Cho hàm s 3 2 2(2 1) ( 3 2) 4y x m x m m x= - + + - - + - (m là tham s ) có th là(Cm). Xác nh m (Cm) có các m c c i và c c ti u n m v hai phía c a tr c tung.Gi i

2 23 2(2 1) ( 3 2)y x m x m m¢= - + + - - + .

(Cm) có các m C và CT n m v hai phía c a tr c tung PT 0y ¢ = có 2 nghi m trái

u 23( 3 2) 0m m- + < 1 2m< < .

Vi d 7: Tìm m hàm s ( ) ( ) ( )3 21 11 3 23 3

f x mx m x m x= - - + - + t c c tr t i x1, x2

th a mãn1 2

2 1x x+ = .

Gi i:Hàm s có C , CT ( ) ( ) ( )2 2 1 3 2 0f x mx m x m¢ = - - + - = có 2 nghi m phân

bi t ( ) ( )20

1 3 2 0m

m m mìï ¹ïí ¢D = - - - >ïïî

6 61 0 12 2

m- < ¹ < + (*)

i u ki n (*) thì ( ) 0f x¢ = có 2 nghi m phân bi t x1, x2 và hàm s f (x) t c c tr t i x1,

x2. Theo nh lý Viet ta có: ( ) ( )1 2 1 2

2 1 3 2;m mx x x xm m

- -+ = =

Ta có: ( ) ( )1 2 2 1

2 1 2 12 2 3 42 1 1 ;m mm m mx x x xm m m m m

- -- - -+ = Û = - = = - =

( ) ( )( ) ( )3 22 3 4 2 3 4 3 2mm m m m m mm m m

-- -Þ × = Û - - = -223

mmé =êÛ ê =êë

2 giá tr này u th a mãn u ki n (*). V y1 2

2 1x x+ = 223

m mÛ = Ú =

Ví d 8. Cho hàm s 3 2 33 4y x mx m= - + (m là tham s ) có th là (Cm). Xác nh m(Cm) có các m c c i và c c ti u i x ng nhau qua ng th ng y = x.

Gi i

Ta có: y’ = 3x2 6mx = 00

2

x

x m

é =êê =êë

hàm s có c c i và c c ti u thì m 0.

hoctoancapba.com


22

Gi s hàm s có hai m c c tr là: A(0; 4m3), B(2m; 0) 3(2 ; 4 )AB m m= -

Trung m c a n AB là I(m; 2m3)u ki n AB i x ng nhau qua ng th ng y = x là AB vuông góc v i ng th ng y

= x và I thu c ng th ng y = x3

3

2 4 0

2

m m

m m

ìï - =ïïÛ íï =ïïî

Gi i h ph ng trình ta c 22

m = ± ; m = 0

t h p v i u ki n ta có: 22

m = ±

Ví d 9. Cho hàm s 3 2 2 33 3( 1)y x mx m x m m= - + - - + (1). Tìm m hàm s (1) có

c tr ng th i kho ng cách t m c c i c a th hàm s n g c t a O b ng 2n kho ng cách t m c c ti u c a th hàm s n g c t a O.

Gi i

Ta có 2 23 6 3( 1)y x mx m¢= - + -

Hàm s (1) có c c tr thì PT 0y ¢= có 2 nghi m phân bi t2 22 1 0x mx mÛ - + - = có 2 nhi m phân bi t 1 0, mÛ D = > "

Khi ó, m c c i ( 1;2 2 )A m m- - và m c c ti u ( 1; 2 2 )B m m+ - -

Ta có 23 2 2

2 6 1 03 2 2

mOA OB m m

m

é = - +ê= Û + + = Û êê = - -ë

.

Ví d 10. Cho hàm s ( )4 2 22 1 my x m x C= - + (1). Tìm m d hàm s (1) có ba m c c

tr là ba nh c a m t tam giác vuông cân.Gi i

Ta có: ( )3 2 2 22 2

0' 4 4 4 0 0 (*)

xy x m x x x m m

x m

é =ê= - = - = Û Þ ¹ê =êëi u ki n (*) thì hàm s (1) có ba m c c tr . G i ba m c c tr là:

( ) ( ) ( )4 40;1 ; ;1 ; ;1A B m m C m m- - - . Do ó n u ba m c c tr t o thành m t tam giác

vuông cân, thì nh s là A.Do tính ch t c a hàm s trùng ph ng, tam giác ABC ã là tam giác cân r i, cho nên th a mãn u ki n tam giác là vuông, thì AB vuông góc v i AC.

hoctoancapba.com


23

( ) ( ) ( )4 4; ; ; ; 2 ;0AB m m AC m m BC mÛ = - - = - =

Tam giác ABC vuông khi: ( )2 2 2 2 2 8 2 84BC AB AC m m m m m= + Û = + + +

( )2 4 42 1 0; 1 1m m m mÛ - = Þ = Û = ±

y v i m = -1 và m = 1 thì th a mãn yêu c u bài toán.Ví d 11. Cho hàm s 4 2 22 1y x m x= - + (1).Tìm t t c các giá tr m th hàm s (1)có ba m c c tr A, B, C và di n tích tam giác ABC b ng 32 ( n v di n tích).Gi i

+) Ta có y’ = 4x3 – 4m2x ; y’ = 0 Û 2 2

0x

x m

é =êê =êë

; K có 3 m c c tr : m ¹ 0

+) T a ba m c c tr : A(0 ; 1), B(- m ; 1 – m4), C(m ; 1 – m4) ;+) CM tam giác ABC cân nh A. T a trung m I c a BC là I(0 ; 1 – m4).

+)541

. 32 22ABC

S AI BC m m m m= = = = Û = ± (tm)

Ví d 12. Cho hàm s 4 22 1y x mx= - + (1). Tìm các giá tr c a tham s m thi hàm (1) có ba m c c tr và ng tròn i qua ba m này có bán kính b ng 1.

Gi iTa có 3' 4 4y x mx= -

2

0' 0

xy

x m

é =ê= Û ê =êëHàm s có 3 c c tr Û y’ i d u 3 l nÛ ph ng trình y’ = 0 có 3 nghi m phân bi t Û m > 0Khi m > 0, th hàm s (1) có 3 m c c tr là

2 2( ; 1 ) , ( ; 1 ) , (0 ; 1)A m m B m m C- - -

i I là tâm và R là bán kính c a ng tròn i qua 3 m A, B, C.Vì 2 m A, B i x ng qua tr c tung nên I n m trên tr c tung.

t I(0 ; y0). Ta có: IC = R 020

0

0(1 ) 1

2

yy

y

é =êÛ - = Û ê =êë(0 ; 0)I OÞ º ho c (0 ; 2)I

* V i (0 ; 0)I Oº

hoctoancapba.com


24

IA = R 2 2 4 2

0

1

1 5(1 ) 1 2 02

1 52

m

m

m m m m m m

m

é =êê =êê

- -êÛ + - = Û - + = Û =êêê - +ê =êë

So sánh u ki n m > 0, ta c m = 1 và m = 1 52

- +

* V i I(0 ; 2)

IA = R 2 2 4 2( 1 ) 1 2 0m m m m mÛ + - - = Û + + = (*)

Ph ng trình (*) vô nghi m khi m > 0

y bài toán th a mãn khi m = 1 và m = 1 52

- +

Ví d 13. Cho hàm s 4 22 1y x mx m= - + - (1), v i m là tham s th c. Xác nh mhàm s (1) có ba m c c tr , ng th i các m c c tr c a th t o thành m t tam giáccó bán kính ng tròn ngo i ti p b ng 1 .Gi i

( )' 3 22

04 4 4 0

xy x mx x x m

x m

é =ê= - = - = Û ê =êëHàm s ã cho có ba m c c tr Û pt ' 0y = có ba nghi m phân bi t và 'y i d u khi x

i qua các nghi m ó 0mÛ >

Khi ó ba m c c tr c a th hàm s là:

( ) ( ) ( )2 20; 1 , ; 1 , ; 1A m B m m m C m m m- - - + - - + -

21.

2ABC B A C BS y y x x m m= - - = ; 4 , 2AB AC m m BC m= = + =

( )4

3

2

12. .1 1 2 1 0 5 14 4

2ABC

mm m mAB AC BCR m m

S mm m

é =+ êê= = Û = Û - + = Û -ê =êë

Bài t p t luy nBài 1. Cho hàm s ( )3 22 3 1 6y x m x mx= - + + .

a) Tìm m hàm s có c c tr .

hoctoancapba.com


25

b) Tìm m hàm s có hai c c tr trên ( )0;+¥ .

c) Tìm m th hàm s có hai m c c tr n m v hai phía tr c tung.d) Tìm m th hàm s có hai m c c tr n m v hai phía tr c hoành

Bài 2. Cho hàm s ( ) ( )3 21 11 3 2

3 3y mx m x m x= - - + - + . Tìm m hàm s t c c i

i 0x = .

Bài 3. Tìm m hàm s ( )3 2 22 22 3 1

3 3y x mx m x= - - - + có hai m c c tr

1x và

2x sao

cho: ( )1 2 1 22 1x x x x+ + =

Bài 4. Tìm t t c các giá tr c a m hàm s ( )3 2 21 13

3 2y x mx m x= - + - có c c i t i

x c c ti u t iCT

x sao cho x ,CT

x là dài các c nh góc vuông t i m t tam giác vuông

có dài c nh huy n b ng 52

.

Bài 5. Xác nh m hàm s ( )3 22 1 1y mx m x x= - - - + t c c tr t i1 2,x x sao cho

1 2

169

x x- = .

Bài 6. Xác nh m hàm s ( )3 23 1 9y x m x x m= - + + - t c c tr t i1 2,x x sao cho

1 2 2x x- = .

Bài 7. Tìm m th hàm s ( )3 22 3 1 6y x m x mx= - + + có hai m c c tr A và B sao

cho ng th ng AB vuông góc v i ng.

Bài 8. Tìm m th hàm s 3 2 33 3y x mx m= - + có hai m c c tr A và B sao chotam giác OAB có di n tích b ng 48.

Bài 9. Cho hàm s 3 2 33 4y x mx m= - + (1), v i m là tham s th c. Tìm m th hàm

(1) có hai m c c tr A và B sao cho 2 2 20OA OB+ = .

Bài 10. Cho hàm s 3 212 3

3y x x x= - + (1).

1. Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s (1).2. G i A, B l n l t là các m c c i, c c ti u c a th hàm s (1). Tìm m M thu ctr c hoành sao cho tam giác MAB có di n tích b ng 2.

Bài 11. Cho hàm s 3 2 33 12 2

y x mx m= - + Tìm m th hàm s có hai m c c i,

hoctoancapba.com


26

c ti u i x ng qua ng th ng y = x.

Bài 12. Cho hàm s : 3 2y = x 3mx + 2- (1), m là tham s Tìm m ng th ng quahai m c c tr c a th hàm s (1) t o v i các tr c t a m t tam giác có di n tích

ng 4.

Bài 13. Cho hàm s ( ) ( )3 2 2 23 3 1 3 1 1y x x m x m= - + + - - - Tìm m hàm s (1) có

c i, c c ti u, ng th i các m c c i và c c ti u cùng v i g c t a O t o thànht tam giác vuông t i O.

Bài 14. Cho hàm s y = 2x3 + 9mx2 + 12m2x + 1, trong ó m là tham s .Tìm t t c cácgiá tr c a m hàm s có c c i t i x , c c ti u t i xCT th a mãn: x2 = xCT.

Bài 15. Cho hàm s ( ) ( )3 23 3 1 1 3 my x x m x m C= - + - + + Tìm m hàm s có c c

i, c c ti u, ng th i các m c c i và c c ti u cùng v i g c t a O t o thành m ttam giác có di n tích b ng 4.

Bài 16. Cho hàm s 3 2 2 23 3(1 ) 2 2 1y x x m x m m= - + - + - - (m là tham s )Tìm t t ccác giá tr c a tham s th c m hàm s ã cho có c c i, c c ti u; ng th i hai m c ctr c a th hàm s i x ng nhau qua ng th ng : 4 5 0.d x y- - =

Bài 17. Cho hàm s 3 23( 2) 3( 1) 1

2y x m x m x= - - - - + (1), m là tham s .

a) Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s (1) khi 2m = - .b) Tìm 0m > th hàm s (1) có giá tr c c i, giá tr c c ti u l n l t là ,

C CTy y

th a mãn 2 4C CT

y y+ = .

Bài 18. Cho hàm s 3 21 54 4 ( )

3 2y x mx mx C= - - - . Tìm m hàm s t c c tr t i

1 2,x x

sao cho bi u th c22

2 12 2

1 2

5 12

5 12

x mx mmA

x mx m m

+ += +

+ +t giá tr nh nh t.

Bài 19. Tìm m hàm s ( ) ( )3 21 11 3 2

3 3y mx m x m x= - - + - + t c c tr t i x1, x2 th a

mãn x1 + 2x2 = 1.Bài 20. Tìm m hàm s ( )4 2 29 10y mx m x= + - + có 3 m c c tr .

Bài 21. Tìm m th hàm s y = -x4 +2(m+2)x2 –2m –3 ch có c c i, không có c cti u.

Bài 22. Tìm m (C): ( ) ( )4 213 1 2 1

4y x m x m= - + + + có 3 m c c tr l p thành m t

tam giác có tr ng tâm là g c t a .

Bài 23. Cho hàm s 4 22( 1)y x m x m= - + + (1), m là tham s .

hoctoancapba.com


27

a) Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s (1) khi m = 1.b) Tìm m th hàm s (1) có ba m c c tr A, B, C sao cho OA = BC, O là g c

a , A là c c tr thu c tr c tung, B và C là hai m c c tr còn l i.Bài 24. Cho hàm s 4 22 4y x mx= - + - có th ( )mC . (m là tham s th c)

Tìm t t c các giá tr c a m các m c c tr c a th ( )mC m trên các tr c t a .

Bài 25. Cho hàm s ( )4 2 2 42 1y x m x m m= - + + , m là tham s th c.

Tìm m th hàm s ( )1 có ba m c c tr l p thành m t tam giác có di n tích b ng 1

Bài 26. Cho hàm s 4 22 2 1y x mx m= - + - + (1), m là tham s .

a) Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s (1) khi 2m = . b) Tìm m THS (1) có ba m c c tr n m trên m t ng tròn có bán kính b ng 1.

Bài 27. Cho hàm s ( )4 24 1 2 1y x m x m= - - + - có th ( )mC

a) Kh o sát s bi n thiên và v th ( )C c a hàm s khi 32

m = .

b) Xác nh tham s m hàm s có 3 c c tr t o thành 3 nh c a m t tam giác uBài 28. Cho hàm s 4 2 2 42 1(1).y x m x m= - + + Tìm m th c a hàm s (1) có ba

m c c tr , ,A B C sao cho các m , ,A B C và m O n m trên m t ng tròn, trong ó

O là g c t a .

Bài 29. Cho hàm s ( )4 2 2 42 1y x m x m m= - + + , m là tham s th c.

a) Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s khi 1m = - . b) Tìm m th hàm s ( )1 có ba m c c tr l p thành m t tam giác có di n tích

ng 32.Bài 30. Cho hàm s 4 22 1y x mx m= - + - có th ( )mC .Tìm các giá tr th c c a tham

m th ( )mC có ba m c c tr n m trên ng tròn có bán kính b ng 1.

Bài 31. Cho hàm s 4 212 2 (1)

3y x mx= - + , v i m là tham s . Tìm m th c a hàm

(1) có ba m c c tr t o thành m t tam giác có tâm ng tròn ngo i ti p trùng v i g ca .

Bài 32. Cho hàm s ( ) ( )4 2 22 2 5 5y f x x m x m m= = + - + - +

a) Kh o sát s bi n thiên và v th (C ) hàm s v i m = 1.b) Tìm các giá tr c a m th hàm s có các m c c i, c c ti u t o thành 1

tam giác vuông cân.

hoctoancapba.com


28

3. Ch 3: Bài toán t ng giao3.1. Ki n th c c b n3.1.1. Bài toán t ng giao t ng quát:Cho hai th hàm s : y = f(x, m) và y = g(x,m). Hoành giao m c a hai th lànghi m c a ph ng trình

f(x, m) = g(x,m) (1). Nh n xét: S nghi m c a (1) chính là s giao m c a hai th hàm s .

Sau ó l p ph ng trình t ng giao c a d và (C).3.1.2. Bài toán c b n:Cho hai th hàm s : y = f(x, m) và d: y =ax+bHoành giao m c a hai th là nghi m c a ph ng trình f(x,m) = ax+b. (1)Chú ý:

+ u ng th ng d i qua m M(x0; y0) và có h s góc k thì ph ng trình d cóng: y – y0 = k(x – x0).

+ Khai thác t a giao iêm ( ( ; )M M

M x y a (C) và d, ta c n chú ý:M

x là nghi m

a (1);M thu c d nênM M

y ax b= +

+ N u (1) dân ên m t ph ng trinh bâc hai, ta có thê s d ng nh lý Viet Ph ng pháp nh m nghi m h u t

Cho ph ng trình: 11 1 0

( ) ... 0n nn n

f x a x a x a x a--

= + + + + = .

u ph ng trình có nghi m h u t px

q= (p, q)=1 thì \

nq a và

0\p a .

Ph ng pháp hàm sChuy n ph ng trình hoành t ng giao v : g(x) = m.Khi ó s nghi m chính là s giao m c a th y = g(x) và ng th ng y = m.3.2. Ví d và bài t p

Vi d 1. Cho hàm s 3 23 1y x x= - + -

a) Kh o sát và v th hàm s trên. b) D a vào th bi n lu n theo m s nghi m c a ph ng trình 3 23 0x x m- + = .

Gi ia)

TX : D = R.2' 3x 6xy = - +

20

' 0 3x 6x=02

xy

x

é =ê= Û - + Û ê =êë

hoctoancapba.com


29

Gi i h n: lim , limx x

y y®-¥ ®+¥

= +¥ = -¥

ng bi n thiên:

Hàm s ng bi n trên (0 ; 2); hàm s ngh ch bi n trên ( ;0)-¥ và (2; )+¥ .Hàm s t c c i t i x = 2, y = 3; hàm s t c c ti u t i x = 0, yCT = -1.

th : m c bi t: (0;-1), (-1; 3), (3; -1), (1; 1)

b)3 2 3 23 0 3 1 1x x m x x m- + = Û - + - = - nghi m c a ph ng trình là s giao m c a th hàm s 3 23 1y x x= - + -

i ng th ng y = m – 1.y

1 3 4m m- > Û > : Ph ng trình có 1 nghi m.1 3 4m m- = Û = : Ph ng trình có 2 nghi m.

3 1 1 4 0m m> - > - Û > > : Ph ng trình có 3 nghi m.1 1 0m m- = - Û = : Ph ng trình có 2 nghi m.1 1 0m m- < - Û < : Ph ng trình có 1 nghi m.

Vi d 2.Cho hàm s 4 23x 1y x= - + + có th (C)a) Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s (C).b) a vào th (C) tìm m ph ng trình 4 2x 3x 0m- + = có 4 nghi m phân bi t.

Gi ia)

hoctoancapba.com


30

Th c hi n các b c t ng t nh bài t p 2, ta c th hàm s sau:

b)4 2 4 2x 3x 0 3 1 1m x x m- + = Û - + + = + nghi m c a ph ng trình là s giao m c a th (C) v i ng th ng y=m+1.a vào th , ph ng trình có 4 nghi m phân bi t

13 91 1 0

4 4m mÛ < + < Û < <

Vi d 3. Cho hàm s 2 12

xy

x-

=-

có th (C).

a) Kh o sát s bi n thiên và v th (C).b) Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a m, ng th ng y = x – m luôn c t th (C)

i hai m phân bi t.Gi ia) HS t trình bày.b)

ng th ng y = x – m c t th (C) t i hai m phân bi t khi và ch khi ph ng

trình 2 12

xx m

x-

= --

có hai nghi m phân bi t.

Xét ph ng trình: 2 1( 2)

2x

x m xx

-= - ¹

-

2

2

2 1 ( )( 2)

4 1 2 0

(4 ) 1 2 0

x x m x

x x mx m

x m x m

Û - = - -

Û - - + + =

Û - + + + =

Có 2(4 ) 4(1 2 )m mD = + - +2

2

8 16 4 8

12 0

m m m

m m

= + + - -

= + > "

hoctoancapba.com


31

y v i m i m thì ng th ng y = x – m c t th (C) t i hai m phân bi t.

Ví d 4.Cho hàm s ( )3 23 4y x x C= - + .G i d là ng th ng i qua m A(- 1; 0) v i

s góc là k ( k thu c R). Tìm k ng th ng d c t (C) t i ba m phân bi t và haigiao m B, C (B, C khác A ) cùng v i g c t a O t o thành m t tam giác có di n tích

ng 1.Gi i

ng th ng d i qua A(-1; 0) v i h s góc là k, có ph ng trình là: y = k(x+1) = kx+ k.

u d c t (C) t i ba m phân bi t thì ph ng trình: x3 – 3x2 + 4 = kx + kÛ x3 – 3x2 – kx + 4 – k = 0 Û (x + 1)( x2 – 4x + 4 – k ) = 0

Û 2

1

( ) 4 4 0

x

g x x x k

é = -êê = - + - =êë

có ba nghi m phân bi t Û g(x) = x2 – 4x + 4 – k = 0 có hai

nghi m phân bi t khác - 1' 0 0

0 9 (*)( 1) 0 9 0

kk

g k

ì ìï ïD > >ï ïÛ Û Û < ¹í íï ï- ¹ - ¹ï ïî îi u ki n: (*) thì d c t (C) t i ba m phân bi t A, B, C.V i A(-1;0), do ó B,C có

hoành là hai nghi m c a ph ng trình g(x) = 0.i ( ) ( )1 1 2 2; ; ;B x y C x y i

1 2;x x là hai nghi m c a ph ng trình: 2 4 4 0x x k- + - = . Còn

1 1 2 2;y kx k y kx k= + = + .

Ta có: ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1 2 1 2 1

; 1 1BC x x k x x BC x x k x x k= - - Þ = - + = - +

Kho ng cách t O n ng th ng d:21

kh

k=

+y theo gi thi t:

2 3 3 3

32

1 1 1 1 1. . 2 1 2 1

2 2 2 4 41

kS h BC k k k k k k

k= = + = = Þ = Û = Þ =

+

Ví d 5. Cho hàm s ( )2 11

xy C

x+

=+

Tìm tham s m ng th ng d: y = - 2x + m c t

th t i hai m phân bi t A, B sao cho di n tích tam giác OAB b ng 3 .Gi i

Xét ph ng trinh hoành giao iêm c a d và (C):

22 12 ( 1) ( ) 2 ( 4) 1 0 (1)

1x

x m x g x x m x mx

+= - + ¹ - Û = - - + - =

+

hoctoancapba.com


32

D c t (C) t i 2 iêm phân bi tÛ (1) có hai nghi m phân bi t khác -1.2 2( 4) 8(1 ) 0 8 0

( 1) 0 ( 1) 1 0

m m m

g g

ì ìï ïD = - - - > + >ï ïï ïÛ Ûí íï ï- ¹ - = - ¹ï ïï ïî î

2 8 0m m RÛ + > Þ Î .

Ch ng t v i m i m d luôn c t (C) t i hai m phân bi t A, Bi ( ) ( )1 1 2 2; 2 ; ; 2A x x m B x x m- + - + . V i:

1 2,x x là hai nghi m c a ph ng trình (1)

Ta có ( )( ) ( ) ( )1

2 2

2 1 2 2 1 2 1 2 1;2 4 5AB x x x x AB x x x x x x= - - Þ = - + - = - .

i H là hình chi u vuông góc c a O trên d, thì kho ng cách t O n d là h:

2 52 1

m mhÞ = =

+

Theo gi thi t: 2 1 21 1 1 1. 5 . . 8 3

2 2 2 2 45

x xS AB h m

- D= = = = + =

y: 2 2 2 2 28 4 .3 8 4 .3 40 2 10 (*)m m m m+ = Û + = Þ = Û =

i m th a mãn u ki n (*) thì d c t (C) t i A, B th a mãn yêu c u bài toán.

Ví d 6. Cho hàm s ( )3 22 3 4y x mx m x= + + + + (1). Tìm m ng th ng d: y = x + 4

t th hàm s (1) t i ba m phân bi t A, B, C sao cho tam giác MBC có di n tíchng 4. ( m B, C có hoành khác không ; M(1;3) ).

Gi i th (1) c t d t i ba m A, B, C có hoành là nghi m c a ph ng trình:

( )3 2 22

02 3 4 4; 2 2 0

2 2 0

xx mx m x x x x mx m

x mx m

é =êé ùÛ + + + + = + Û + + + = Þ êê úë û + + + =êë2' 2 0 1 2 (*)m m m mÛ D = - - > Û < - Ú >

i m th a mãn (*) thì d c t (1) t i ba m A(0; 4), còn hai m B,C có hoành là hainghi m c a ph ng trình:

22 ' 2 0

2 2 0 1 2; 22 0

m mx mx m m m m

m

ìïD = - - >ïïÛ + + + = Þ Û < - Ú > ¹ -íï + ¹ïïî

- Ta có ( ) ( ) ( )1 1 2 2 2 1 2 1; 4 ; ; 4 ;B x x C x x BC x x x x+ + Þ = - -

( ) ( )2 2

2 1 2 1 2 12BC x x x x x xÞ = - + - = -

-G i H là hình chi u vuông góc c a M trên d. h là kho ng cách t M n d thì:

2 1 2 1

1 3 4 1 12 . 2. 2

2 22h S BC h x x x x

- +Þ = = Þ = = - = -

hoctoancapba.com


33

- Theo gi thi t: S = 4 2 22 1

4; 2 ' 4; 2 4 6 0x x m m m mÛ - = Û D = Þ - - = Þ - - =

t lu n: v i m th a mãn: 2 3 3m m m= - Ú = Þ = (ch n ).

Ví d 7. Cho hàm s ( ) ( )4 21 my x m x m C= - + + . Xác nh 1m > th ( )mC c t

tr c Ox t i 4 m phân bi t sao cho hình ph ng gi i h n b i ( )mC và tr c Ox có di n tích

ph n phía trên tr c Ox b ng di n tích ph n phía d i tr c Ox.Gi i th hàm s c t Ox t i 4 m phân bi t ( )4 21 0x m x mÛ - + + = (1) có 4 nghi m

phân bi t

( )2 1 0t m t mÛ - + + = (2) có 2 nghi m d ng phân bi t

( )21 4 0

1 0 0& 1

0

m m

m m m

m

ìïïD = + - >ïïïÛ + > Û > ¹íïï >ïïïîHai nghi m c a (2) là 1,t t m= = , do 1m > nên 4 nghi m phân bi t c a (1) theo th t

ng là: , 1,1,m m- -

Hàm s là ch n nên hình ph ng trong bài toán nh n Oy làmtr c i x ng. Khi ó th có d ng nh hình bên.Bài toán th a mãn

( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( )

1 2

14 2 4 2

0 11

4 2 4 2

0 1

4 2

0

1 1

1 1

1 0

H H

m

m

m

S S

x m x m dx x m x m dx

x m x m dx x m x m dx

x m x m dx

=

Û - + + = - + +

Û - + + = - - + +

Û - + + =

ò ò

ò ò

ò

( )5 3

0

11 0 1 0 5

5 3 5 3

m

x x m mm mx m

æ ö +÷ç ÷- + + = Û - + = Û =ç ÷ç ÷çè ø.

KL: 5m = th a mãn yêu c u

Ví d 8. G i ( )mC là th c a hàm s ( )4 22 1 2 2y x m x m= - + + + . Tìm m ng

th ng 1y = t ( )mC i b n m phân bi t A, B, C, D sao cho

4 2 2OA OB OC OD+ + + = +

hoctoancapba.com


34

Gi iXét ph ng trình hoành giao m

( ) ( )4 2 4 22 1 2 2 1 2 1 2 1 0x m x m x m x m- + + + = Û - + + + =

t ( )2 0t x t= ³ , ta có ph ng trình ( ) ( )2 2 1 2 1 0, *t m t m- + + + =

có 4 giao m phân bi t thì ph ng trình (*) ph i có 2 nghi m d ng phân bi t

( ) ( )

( )

20 1 2 1 0 00 2 1 0 10 2 1 0 2

m m mP m

mS m

ìïìï ¢D > ìï + - + > ï ¹ï ï ïï ï ïï ïÛ > Û + > Ûí í íï ï ï > -ï ï ï>ï ï ï+ > îï ïî ïîi u ki n trên ph ng trình (*) có hai nghi m d ng

1 2,t t . Theo Vi-et ta có,

( )1 2 1 22 1 , 2 1t t m t t m+ = + = +

2 21 1 2 2

;t x x t t x x t= Þ = ± = Þ = ±

t1 1 2 2, , ,

A B C Dx t x t x t x t= = - = = -

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2;1 , ;1 , ;1 , ;1A t B t C t D tÞ - -

1 12 1 2 1OA OB OC OD t tÞ + + + = + + +

Theo 1 22 1 2 1 4 2 2t tÞ + + + = +

( )1 2

2

1 2

1 1 2 2

1 1 6 4 2

t t

t t

Û + + + = +

Û + + + = +

1 2 1 2 1 22 1 4 4 2t t t t t tÛ + + + + + = +

( ) ( )2 1 2 2 1 2 1 1 4 4 2

4 4 1 2 2

m m m

m m

Þ + + + + + + = +

Û + = + -

( )2

1 2 2 0

4 4 1 2 2

m

m m

ìï + - ³ïïïÛ íï + = + -ïïïî( )2

1 2 2

2 3 2 2 5 4 2 0

m

m m

ìï £ +ïïÛ íï - + + + =ïïî

1mÛ =

y u ki n ph i tìm là 1m =

Ví d 9. Cho hàm s ( )4 22 1 2 1y x m x m= - + + + có th là ( )mC . nh m th

( )mC c t tr c hoành t i 4 m phân bi t có hoành l p thành c p s c ng.

Gi i Xét ph ng trình hoành giao m: ( )4 22 1 2 1 0x m x m- + + + = (1)

hoctoancapba.com


35

t 2, 0t x t= ³ thì (1) tr thành: ( )2( ) 2 1 2 1 0f t t m t m= - + + + = .

(Cm) c t Ox t i 4 m phân bi t thì ( ) 0f t = ph i có 2 nghi m d ng phân bi t

( )2' 0 1

2 1 0 202 1 0

mm

S mmP m

ìïD = > ìïï ïï > -ïïÛ = + > Ûí íï ïï ï ¹= + >ï ïîïî

(*)

i (*), g i1 2t t< là 2 nghi m c a ( ) 0f t = , khi ó hoành giao m c a (Cm) v i Ox l n

t là: 1 2 2 1 3 1 4 2; ; ;x t x t x t x t= - = - = =

1 2 3 4, , ,x x x x l p thành c p s c ng

2 1 3 2 4 3 2 19x x x x x x t tÛ - = - = - Û =

( ) ( )45 4 4

1 9 1 5 4 1 45 4 49

mm mm m m m m m

m m m

é =é = + êê êÛ + + = + - Û = + Û Ûê ê- = + = -êë êë

y 44;

9m

ì üï ïï ï= -í ýï ïï ïî þVí d 10.Tìm m ng th ng 1y = - c t th (Cm) t i 4 m phân bi t u có hoành

nh h n 2.Gi i Ph ng trình hoành giao m c a (Cm) và ng th ng 1y = - :

4 2(3 2) 3 1x m x m+ + = - 4 2(3 2) 3 1 0x m x m+ + + = 2

1

3 1 (*)

x

x m

é = ±êê = +êë

ng th ng 1y = - t (Cm) t i 4 m phân bi t có hoành nh h n 2 khi và ch khiph ng trình (*) có hai nghi m phân bi t khác 1 và nh h n 2

0 3 1 4

3 1 1

m

m

ìï < + <ïïíï + ¹ïïî

11

3

0

m

m

ìïï- < <ïïíïï ¹ïïîBài tâp ngh .

Bài 1. (Cho hàm s 3 23( 1) 3 2y x m x mx= + - - + và ng th ng : 5 1.d y x= - Tìm mng th ng d c t th (C) t i ba m phân bi t

a) có hoành d ng

b) có hoành l n h n 2

c) có hoành 1 2 3; ;x x x th a mãn 2 2 2

1 2 321x x x+ + =

hoctoancapba.com


36

Bài 2. Cho hàm s 3 23 3 3 2y x mx x m= - - + + và ng th ng : 5 1.d y x= - Tìm mng th ng d c t th (C) t i ba m phân bi t

a) có hoành l n h n –1

b) có hoành 1 2 3; ;x x x th a mãn 2 2 2

1 2 315x x x+ + >

Bài 3. Cho hàm s 3 23 ( 1) 1y x mx m x m= - + - + + và ng th ng : 2 1.d y x m= - -

Tìm m ng th ng d c t th (C) t i ba m phân bi t có hoành l n h n ho cng 1.

Bài 4. Cho hàm s 3 2 2 23 3( 1) ( 1)y x mx m x m= - + - - -

Tìm m th (C) c t Ox t i ba m phân bi t có hoành d ng.Bài 5. Cho hàm s y = 2x3 – 3x2 – 1, có th là (C). G i (dk) là ng th ng i qua A(0; –1)và có h s góc b ng k. Tìm k ng th ng dk c t (C) t i

a) 3 m phân bi t.b) 3 m phân bi t, trong ó hai m có hoành d ng.

Bài 6. Cho hàm s y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4, có th (Cm).a) Kh o sát và v th c a hàm s khi m = 1.b) Cho d là ng th ng có ph ng trình y = x + 4 và m K(1 ; 3). Tìm m d c t

(Cm) t i ba m phân bi t A(0 ; 4), B, Csao cho tam giác KBC có di n tích b ng 8 2 .

Bài 7. Cho hàm s 3 22 3( 1) 2y x mx m x= + + - + (1), m là tham s th ca) Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s khi 0m = .b) Tìm m th hàm s c t ng th ng : 2y xD = - + t i 3 m phân bi t

(0;2)A ; B; C sao cho tam giác MBC có di n tích 2 2 , v i (3;1).M

Bài 8. Cho hàm s 3 26 9 3y x x x= + + + có th là (C) và hai m A( 1;3), B(1; 1)- -

a) Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s .b) Tìm các m M thu c (C) sao cho tam giác ABM cân t i M

Bài 9. Cho hàm s : 3 3 1y x x= - -

a) Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s .b) Vi t ph ng trình ng th ng d t (C) t i 3 m phân bi t A, M, N sao cho

2A

x = và 2 2MN =

Bài 10. Cho hàm s 3 3 2.y x x= - +

a)Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s ã cho.b)G i A, B là hai m c c tr c a th (C). Tìm t a các m M thu c (C) sao

cho tam giác MAB cân t i M.

hoctoancapba.com


37

Bài 11. Cho hàm s : 3 21 12 3

3 3y x x x= - + -

a) Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s .

b) Tìm m ng th ng 1:

3y mxD = - c t (C) t i ba m phân bi t A, B, C sao

cho A c nh và di n tích tam giác OBC g p hai l n di n tích tam giác OAB

Bài 12. Cho hàm s 3 22 ( 3) 4y x mx m x= - + + + có th là (Cm).Tìm m ng

th ng (d): y = x + 4 c t (Cm) t i ba m phân bi t A(0; 4), B, C sao cho 2 2BCD

SD

=

i D(1; 3).

Bài 13. Cho hàm s ( ) ( )3 23 1 1 1y x x m x= - + + + có th ( )mC v i m là tham s

a) Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s (1) khi 1m = -

b) Tìm m ng th ng ( ) : 1d y x= + c t th ( )mC t i 3 m phân bi t

( )0,1 , ,P M N sao cho bán kính ng tròn ngo i ti p tam giác OMN b ng 5 22

v i ( )0;0O

Bài 14. Cho hàm s : 3 23 (3 1) 6y x mx m x m= - + - + (C)

a) Kh o sát và v th (C) khi m=1b) Tìm m th hàm s (C) c t tr c hoành t i ba m phân bi t có hoành

1 2 3, ,x x x th a mãn u ki n 2 2 2

1 2 3 1 2 320x x x x x x+ + + =

Bài 15. Cho hàm s y = x3 + 3x2 + mx + 1 có th là (Cm); (m là tham s ) Xác nh m (Cm) c t ng th ng y = 1 t i ba m phân bi t C(0;1), D, E sao cho các ti p tuy n c a(Cm) t i D và E vuông góc v i nhauBài 16. Cho hàm s y = x3- (m+1)x2 + (m - 1)x + 1Ch ng t r ng v i m i giá tr khác 0

a m, th c a hàm s c t tr c hoành t i ba m phân bi t A, B, C trong ó B, C cóhoành ph thu c tham s m. Tìm giá tr c a m các ti p tuy n t i B, C song song

i nhau.Bài 17. Cho hàm s ( )4 22 1 2 1y x m x m= - + + + có th là (Cm), m là tham s .

a) Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s khi m = 0. b) Tìm m th (Cm) c t tr c hoành t i 3 m phân bi t u có hoành nh h n 3.Bài 18. Cho y =x4 -2(m+1)x2 +2m+1Tìm m th hàm s c t tr c hoành t i 4 m

phân bi t có hoành l p thành c p s c ng

Bài 19. Cho hàm s : 2 32

xy

x+

=-

có th ( C ).

a) Kh o sát s bi n thiên và v th ( C ).

hoctoancapba.com


38

b)Xác nh m ng th ng (d): y x m= + c t th (C) t i hai m phân bi t

A, B sao cho tam giác OAB có di n tích b ng 2 3 (v i O là g c t a ).

Bài 20. (KB-2010) Cho hàm s : y = 2 11

xx

++

a) Kh o sát s bi n thiên và v th ( C ).b) Tìm m ng th ng y = -2x + m c t th (C) t i hai m phân bi t A, B

sao cho tam giác OAB có di n tích b ng 3 (O là g c t a ).

Bài 21. Cho hàm s ( )2 41x

y Cx

+=

-.

a) Kh o sát hàm s b) G i (d) là ng th ng qua A( 1; 1 ) và có h s góc k. Tìm k sao cho (d) c t ( C )

i hai m M, N và 3 10MN = .


xy

x-

=-

có th (C).

a) Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s .b) Tìm m ng th ng y x m= + t (C) t i hai m A, B sao cho 4AB = .


xy

x+

=+

có th là (C). Ch ng minh ng th ng d: y = -x + m

luôn luôn c t th (C) t i hai m phân bi t A, B. Tìm m n AB có dài nh nh t.


xy

x+

=-

có th là (C).

a) Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s b) Tìm m ng th ng (d): y = mx+3 c t (C) t i hai m phân bi t A, B saocho tam giác OAB vuông t i O.

Bài 25. Cho hàm s 22 1x

yx-

=-

( C )

a) Kh o sát và v th ( C ) c a hàm s .b) Tìm m (dm) c t (C) t i hai m phân bi t thu c cùng m t nhánh c a (C).

Bài 26. Cho hàm s y = 2 42

xx

+-

(1). Tìm m ng th ng dm: y = mx + 2 - 2m c t

th c a hàm s (1) t i hai m phân bi t thu c hai nhánh khác nhau.

Bài 27. Cho hàm s :2

2

xy

x

+=

-.

a) Kh o sát s bi n thiên và v th (C).

hoctoancapba.com


39

b) Ch ng minh r ng v i m i giá tr m thì trên (C) luôn có c p m A, B n m v hai

nhánh c a (C) th a mãn0

0A A

B B

x y m

x y m

ìï - + =ïíï - + =ïî

Bài 28. Cho hàm s y = 21

xx

+-

(C) và ng th ng d: y = x+m c t th ( )C t i các m

A vàB sao cho tam giác IAB nh n m ( )4; 2H - làm tr c tâm. V i I là giao m c a

hai ng ti m c n

Bài 29. Cho hàm s2

x my

x- +

=+

(C). Tìm s th c d ng m ng th ng

( ) : 2 2 1 0d x y+ - = c t (C) t i hai m A và B sao cho tam giác OAB có di n tích b ng

1 trong ó O là g c t a .


xy

x- +

=-

. Tìm nh ng m trên (C) sao cho ti p tuy n v i (C) t i

m ó t o v i hai tr c t a m t tam giác có tr ng tâm cách tr c hoành m t kho ng

ng 53

.


xy

x+

=-

(1).G i I là giao m hai ti m c n c a (C), ng th ng

( ) : 2 5 0d x y- + = t ( )C t i hai m A, B v i A có hoành d ng. Vi t ph ng trìnhcác ti p tuy n c a( )C vuông góc v i IA.


xy

x-

=-

(C).

a) Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s .b) Tìm m ng th ng d: y x m= + c t (C) t i hai m phân bi t A, B sao cho

OAB vuông t i O.

Bài 33. Cho hàm s 11

xy

x-

=+

.Tìm a và b ng th ng (d): y ax b= + c t (C) t i hai

m phân bi t i x ng nhau qua ng th ng (D ): 2 3 0x y- + = .

hoctoancapba.com


40

4. Phép bi n i th4.1. Ki n th c liên quan

th ch a d u tr tuy t iy = f(x) có th (C) ( )y f x= có th (C’) ( )y f x= có th (C’’)

( ) 0,y f x x D= ³ " Î .

Ta cã: y = f( x ) =

( ) 0.

( ) 0.

f x khi x

f x khi x

ìï ³ïíï - <ïîDo ó:+Ta ph i gi nguyên ph n (C)phía trên tr c Ox+L y i x ng qua Ox v iph n phía d i tr c Ox.+B i ph n (C) n m phia

i Ox

( )y f x= có

( ) ( )f x f x- = , x D" Î

nên ây là hàm s ch n doó có th i x ng qua

tr c tung Oy.Do ó:+) Ta ph i gi nguy nph n (C) bên ph i Oy+B i ph n (C) n m bên trái Oy+Lây i x ng qua Oy v iph n th (C) b n ph iOy

x

y

(C)

x

y

(C')

x

y

(C '')

4.2. Ví d và bài t pVi d 1: Cho hàm s : y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 (C)

1) Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s thi i h c kh i A- 2006)2) D a vào th (C) v th các hàm s :

a) y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4b) y = 2 x 3 – 9x2 + 12 x – 4

Gi i1) Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s : y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 (C)*) Kh o sát s bi n thiên:

(B n c t gi i)Ta có: y’ = 6x2 – 18x + 12.

y’’ = 12x - 18

hoctoancapba.com


41

1

x

y

o 2

-4

1

.. .

.

..

.

.-1-2

1

x

y

o 2

-4

1

.. .

.

.

xy’

y

0- +1 2

0+ +-

-

+1

0

(1; 1) ; CT(2; 0) *) B ng bi n thiên

2) D a vào th (C) v th các hàm s :a) y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 ( t f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 4) Ta có y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 = f(x)Do ó th hàm s : y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 g m:+) Ph n t tr c hoành tr lên c a th hàm s y = f(x).+) i x ng ph n th phía d i tr c hoành c a thhàm s y = f(x) qua tr c hoànhb) y = 2 x 3 – 9x2 + 12 x – 4

t f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 4)

Ta có: y = 2 x 3 – 9x2 + 12 x – 4

= f( x ) =( ) 0.

( ) 0.

f x khi x

f x khi x

ìï ³ïíï - <ïîVà y = f( x ) là hàm s ch n nên th

có tr c i x ng là Oy.

hoctoancapba.com


42

Do ó th hàm s : y = f( x ) = 2 x 3 – 9x2 + 12 x – 4 g m:

+) Ph n bên ph i Oy c a th hàm s y = f(x).+) i x ng ph n th trên qua Oy

Vi du 2. Cho hàm s 11

xy

x+

=- +

có th (C)

1. Kh o sát s bi n thiên và v th ( )C c a hàm s .

2. Bi n lu n theo m s nghi m c a ph ng trình1

.1

xm

x

+=

- +

Gi i* p xác nh: D=R\{1}* bi n thiên:

( )( ) ( )2

2' 0, ;1 1;

1y x

x= > " Î -¥ È +¥

-

Þ Hàm s ng bi n trên các kho ng ( ) ( );1 và 1;+-¥ ¥ .

c tr : Hàm s không có c c tr .Gi i h n, ti m c n:

1 1 1 1

1 1lim lim ; lim lim

1 1x x x x

x xy y

x x- - + +® ® ® ®

+ += = +¥ = = -¥

- + - +Do ó ng th ng x = 1 là ti m c n ng.

1 1lim lim 1; lim lim 1

1 1x x x x

x xy y

x x®-¥ ®-¥ ®+¥ ®+¥

+ += = - = = -

- + - +Do ó ng th ng y = - 1 là ti m c n ngang.

ng bi n thiên:

* th : th c t tr c Oy t i m (0; 1) và c t tr c hoành t i m (-1; 0).

++-1

-1

1

-

+

+-

y

y'

x

hoctoancapba.com


43

th có tâm i x ng là giao m I(1; -1) c a hai ti m c n.

b)Bi n lu n theo m s nghi m c a ph ng trình ( )1

. 11

xm

x

+=

- +

p lu n suy t th (C) sang th ( )1

' .1

xy C

x

+=

- +

nghi m c a pt (1) b ng s giao m c a th1

1

xy

x

+=

- + và g th ng y = m.

Suy ra áp s : 1; 1 :m m< - > ph ng trình có 2 nghi m phân bi t.1 :m = ph ng trình có 1 nghi m.

1 1 :m- £ < ph ng trình vô nghi m.

Bài t p t luy nBài 1 a) Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s : y = x3 – 3x2 + 2

b) Bi n lu n theo m s nghi m c a ph ng trình: 2 2 21

mx x

x- - =

-

hoctoancapba.com


44

Bài 2 Cho hàm s : 3 23y x x= -a) Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a.

b) Bi n lu n theo m s nghi m c a ph ng trình x =2 3

m

x x-

Bài 3 Cho hàm s y = (x+1)2(x-2). (C) a) Kh o sát và v th (C) c a hàm s . b) Bi n lu n theo m s nghi m c a ph ng trình 22 ( 1)x x m- + =

Bài 4. a) Kh o sát và v th hàm s 34 3y x x= -

b) Bi n lu n theo m s nghi m c a ph ng trình3

4 3x x m- =

Bài 5. a) V th hàm s 3 23 6y x x= - - (C)

b) Bi n lu n theo m s nghi m c a ph ng trình 3 23 6x x m- - =

hoctoancapba.com


45

CHUYÊN 2. PH NG TRÌNH, B T PH NG TRÌNH M – LOGARITBiên so n và s u t m: Nguy n Quang Tu n – GV Tr ng THPT Hàn Thuyên

1. Ki n th c c n nh1.1. Công th c l y th aCho 0, 0a b> > và ,m n Î . Khi ó:

.m n m na a a += .( )m n m na a= ( ) .n n nab a b=

mm n

n

aa

a-=

mn m na a=

m m

m

a ab b

æ ö÷ç ÷ =ç ÷ç ÷çè ø

1 nn

aa

-=1n

na

a-=

n na bb a

-æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷=ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

1.2. Công th c lôgariti các u ki n thích h p ta có:

logab a baa= Û = log 1 0

a=

log 1aa = log

aaa a=

loga ba b= log loga ab ba a=

1log log

aab ba a

= log logm

naa

nb b

m=

log ( . ) log loga a a

m n m n= + log log loga a a

mm n

n= -

loglog

logc

ac

bb

a=

1log

logab

ba

=

2. Ph ng trình và b t ph ng trình m2.1. Ph ng pháp a v cùng c s :Cho a là m t s d ng khác 1. Ta có:

a) ( ) ( )( ) ( )f x g xa a f x g xÛ= =

b) ( )

( )0

logxf

a

ba b

f x b

ìï >ïï= Û íï =ïïî* L u ý: V i 0b < thì ph ng trình vô nghi m.

c) ( ) ( )(*)xf g xa a>

- V i 1a > thì ( ) ( ) ( )( )xf g x fa g xa x> Û >

- V i 0 1a< < thì ( ) ( ) ( )( )xf g x fa g xa x> Û <

hoctoancapba.com


46

d) ( )f xa b>

- V i 0,b £ b t ph ng trình nghi m úng v i m i ,x D DÎ là t p xác nh c a

( )f x .

- V i 0 :b >

+ 1a > : ( ) ( ) logf x

aa b f x b> Û >

+ 0 1a< < : ( ) ( ) logf x

aa b f x b> Û < .

Bài 1 (TN). Gi i các ph ng trình sau:2 3x)5 625xa + =

2 3 6) 2 16x xb - - = 1) 2 .5 200x xc + =

i gi i2 23 3 4 2

2

)5 625 5 5 3 4

13 4 0

4

x x x xa x x

xx x

x

+ += Û = Û + =é =êÛ + - = Û ê = -êë

y ph ng trình có nghi m x = 1 và x = -4.2 23 6 3 6 4 2

2

) 2 16 2 2 3 6 4

53 10 0

2

x x x xb x x

xx x

x

- - - -= Û = Û - - =é =êÛ - - = Û ê = -êë

y ph ng trình có nghi m x = 5 và x = -2.1) 2 .5 200 2.2 .5 200

10 100 2

x x x x

x

c

x

+ = Û =

Û = Û =

y ph ng trình có nghi m x = 2.Bài 2. (TN) Gi i các b t ph ng trình sau:

26 3 7) 7 49x xa + - £

2 7 23 9

)5 25

x x

b- + +æ ö÷ç ÷ >ç ÷ç ÷çè ø

i gi i2 26 3 7 6 3 7 2 2 2) 7 49 7 7 6 3 7 2 6 3 9 0x x x xa x x x x+ - + -£ Û £ Û + - £ Û + - £

21

0 6 3 9 03

xVT x x

x

é =ê= Û + - = Û ê = -êëXét d u VT ta c t p nghi m c a b t ph ng trình S = [-3; 1].

2 27 2 7 2 2

2 23 9 3 3) 7 2 2 7 0

5 25 5 5

x x x x

b x x x x- + + - + +æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷> Û > Û - + + < Û - + <ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø

hoctoancapba.com


47

p nghi m c a b t ph ng trình ( ) ( ); 0 7;S = -¥ È +¥

Bài 3 ( H). Gi i ph ng trình:2 2 23 10 4 22 4 2 16 0x x x x x x- - - - + ++ - - = .

i gi iPh ng trình t ng ng:

2 2 2 2 2 23 10 2 2 8 2 3 14 2 2 12 22 2 2 16 0 2 2 2 1 0x x x x x x x x x x x x- - - - + + - - - - + -+ - - = Û + - - =2 2 22 2 12 2 2 2 12(2 1)(2 1) 0 2 1 0x x x x x x- - + - - -Û - + = Û - =

22 2 12 0 22

2 2 2 2 12 03

x xx

x xx

- -é = -êÛ = Û - - = Û ê =êë

y ph ng trình có 2 nghi m 2, 3.x x= - =BÀI T P T LUY NGi i ph ng trình, b t ph ng trình:

1)3 32 2 2 2 4 44 2 4 2 ( )x x x x x x x+ + + + + -+ = + Î 3) 1 2 1 22 2 2 3 3 3x x x x x x- - - -+ + = - +

2)5 177 332 0,25.128

x xx x

+ +- -= 4)

2 2 23 2 6 5 2 3 74 4 4 1x x x x x x- + + + + ++ = +

5)2

1

2

12

2

x

x x

-

-£ 6)

22 2( 10 3) ( 10 3)

xx x

-- ++ > -

7)2 25 6 1 6 52 2 2.2 1x x x x- + - -+ = + 8)

1 12 12 24 3 3 2

x xx x- + -- = -

9)1 2 1 29 9 9 4 4 4x x x x x x+ + + ++ + < + + 10) ( ) ( )

11

15 2 5 2x

xx

--

++ ³ -

11)( )

15

2 14 102.0, 5 16 0

xx

++ - = 12)

13 3x2 4 .0,125 4 2x x =

2.2. Ph ng pháp t n ph :t , 0xt a t= > .

Thay vào ph ng trình ho c b t ph ng trình bi n i ph ng trình theo t.Gi i ph ng trình, b t ph ng trình tìm t, i chi u u ki n.

u có nghi m th a thì thay xt a= tìm x và k t lu n.Bài 1. (TN) Gi i các ph ng trình sau:) 9 10.3 9 0x xa - + = ) 25 3.5 10 0x xb + - =

3) 2 2 2 0x xc -- - = ) 6.9 13.6 6.4 0x x xd - + =

i gi i2) 9 10.3 9 0 3 10.3 9 0x x x xa - + = Û - + =

hoctoancapba.com


48

t 3 , 0xt t= > .

Ph ng trình tr thành: 21 ( )

10 9 09 ( )

t nhant t

t nhan

é =ê- + = Û ê =êë1 3 1 0

9 9 2

x

x

t x

t x x

= Û = Û =

= Û = Û =y ph ng trình có hai nghi m x = 0 và x = 2.

2) 25 3.5 10 0 5 3.5 10 0x x x xb + - = Û + - =

t 5 , 0xt t= >

Ph ng trình tr thành: 22( )

3 10 05( )

t nhant t

t loai

é =ê+ - = Û ê = -êë

52 5 2 log 2xt x= Û = Û =

y ph ng trình ã cho có nghi m5

log 2x = .

3 28) 2 2 2 0 2 2 0 2 2.2 8 0

2x x x x x

xc -- - = Û - - = Û - - =

t 2 , 0xt t= >

Ph ng trình tr thành: 24 ( )

2. 8 02 ( )

t nhant t

t loai

é =ê- - = Û ê = -êë

4 2 4 2xt x= Û = Û =y ph ng trình có nghi m x = 2.

29 6 3 3

) 6.9 13.6 6.4 0 6 13 6 0 6 13 6 04 4 2 2

x x x x

x x xdæ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷- + = Û - + = Û - + =ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø

t 3, 0

2

x

t tæ ö÷ç ÷= >ç ÷ç ÷çè ø

. Ph ng trình tr thành 2

3( )

26 13 6 02

( )3

t nhant t

t nhan

éê =ê- + = Û êê =êë

3 3 31

2 2 2

2 3 21

3 2 3

x

x

t x

t x

æ ö÷ç ÷= Û = Û =ç ÷ç ÷çè øæ ö÷ç ÷= Û = Û = -ç ÷ç ÷çè ø

y ph ng trình có nghi m x = -1 và x = 1.

hoctoancapba.com


49

Bài 2 (TN). Gi i các b t ph ng trình:4 3.2 2 0x x- + <i gi it ph ng trình 24 3.2 2 0 2 3.2 2 0x x x x- + < Û - + <

t 2 , 0xt t= >

t ph ng trình tr thành: 2 3 2 0t t- + < Û 1 2 1 2 2 0 1xt x< < Û < < Û < <y b t ph ng trình có nghi m S = (0; 1).

Bài 3 ( H). Gi i ph ng trình: ( ) ( )3 3log log 210 1 10 1

3

x x x+ - - = .

i gi iu ki n: x > 0

Ta có ph ng trinhg t ng ng v i: ( ) ( )3 33

log loglog2

10 1 10 1 .33

x xx+ - - =

3 3log log

10 1 10 1 23 3 3

x xæ ö æ ö+ -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çÛ - =÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø. t

3log

10 13

x

tæ ö+ ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷çè ø

(t > 0).

Ph ng trình tr thành: 21 23 2 3 0

3t t t

t- = Û - - =

1 103

1 103

t

t

é +ê =êêÛê -ê =êë

(lo i)

i t = 1 103

+ ta gi i c x = 3

V y ph ng trình ã cho có nghi m duy nh t x =3.Bài 4 ( H). Gi i các b t ph ng trình

a)2

22log 2 log2 20 0

x xx+ - £

b)2 22 1 2 1 4

(2 3) (2 3)2 3

x x x x- + - -+ + - £-i gi i

u ki n: x> 0 ; BPT22 24 log 2 log2 20 0x xx+ - £

t2

logt x= . Khi ó 2tx = .

BPT tr thành2 22 24 2 20 0t t+ - £ . t

222 ty = ; y 1.BPT tr thành y2 + y - 20 0 - 5 y 4.

i chi u u ki n ta có:22 2 22 4 2 2 1t t t£ Û £ Û £ - 1 t 1.

hoctoancapba.com


50

Do ó - 12

log x 1 12

2x£ £ .

b) Bpt ( ) ( )2 22 2

2 3 2 3 4x x x x- -

Û + + - £

t ( )2 2

2 3 ( 0)x x

t t-

= + >

BPTTT: 214 4 1 0 2 3 2 3t t t t

t+ £ Û - + £ Û - £ £ + (tm)

( )2 2

2 3 2 3 2 3x x-

- £ + £ + 21 2 1x xÛ - £ - £

Û 2 2 1 0 1 2 1 2x x x- - £ Û - £ £ +BÀI T P T LUY NGi i ph ng trình và b t ph ng trình:

1)2 25 1 54 12.2 8 0x x x x- - - - -- + = 2) ( ) ( )7 4 3 3 2 3 2 0

x x

+ - - + =

3) 3(3 5) 16.(3 5) 2x x x++ + - = 4)2 2 22 1 2 1 225 9 34.15x x x x x x- + - + -+ =

5) 1 1 14 5.2 16 0x x x x+ - + - +- + ³ 6) 1 2 1 23 2 12 0x

x x+ +- - <

7) ( ) ( )2 2

22 2

1 23 5 3 5 2 0x x x x

x x- -

+ -+ + - - £ 8)4 4 18.3 9 9x x x x+ ++ ³

9)

2

2

2

2 19 2 3

3

x x

x x

-

-æ ö÷ç ÷- £ç ÷ç ÷çè ø

10) ( ) ( )5 21 7. 5 21 8.2x x

x- + + ³

11) 1

1 1

3 1 1 3x x+³

- -12) (5 2 6) (5 2 6) 10x x+ + - £

2.3. Ph ng pháp lô ga rít hóa:Bài 1 (TN). Gi i các ph ng trình:

1)2

9 .7 1x x = 2)4 1 3 2

2 15 7

x x+ +æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷=ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø3)

1

5 8 500x

x x-

=

2.4. Ph ng pháp hàm s :Tính ch t 1: N u hàm f t ng (ho c gi m) trên kho ng (a;b) thì ph ng trình f(x)=k (k R)có không quá m t nghi m trong kho ng (a;b).Tính ch t 2: N u hàm f t ng (ho c gi m) trên kho ng (a;b) thì u, v (a,b) ta có

( )( )f u f v u v= Û = .

Tính ch t 3: N u hàm f t ng và g là hàm h ng ho c gi m trong kho ng (a;b) thì ph ngtrình f(x)=g(x) có nhi u nh t m t nghi m thu c kho ng (a;b).

hoctoancapba.com


51

BÀI T P T LUY NGi i ph ng trình và b t ph ng trình:1) 2 23 4 25x x x+ = 2) ( )2 23.16 3 10 .4 3 0x xx x- -+ - + - =

3)2

2 2

1 1 22

2 22

x x

x xx

x

- --

- = 4)12 2 1

02 1

x

x

x- - +<

-5) 12 2x x- < - 6) 16 3 4 9x x x x- £ +

7) 2 5 1 1 1

2 5 1

x xe e

x x

- -- = -- -

8) 2 3 3 2x x x+ = +

9) 242 6 9.

3

x

x xæ ö÷ç ÷ = - +ç ÷ç ÷çè ø

10) ( ) ( )1

2 3 7 4 3 1x x

x+

+ - + = -

3. Ph ng trình và b t ph ng trình lôgarít:3.1. Ph ng pháp a v cùng c s :

* N u 0 1a< ¹ thì log ( ) log ( ) ( ) ( ) 0a af x g x f x g x= Û = > .

* N u a > 1 thì log ( ) log ( ) 0 ( ) ( )a af x g x f x g x< Û < < .

* N u 0 < a < 1 thì log ( ) log ( ) ( ) ( ) 0a af x g x f x g x< Û > >

Bài 1.(TN) Gi i các ph ng trình sau

2 4 8) log log log 11a x x x+ + =

5 25 0,2

1) log log log

3b x x+ =

22 2) log log 6 0c x x- - = 2

2 2) 4 log log 2d x x+ =

23 3) 3 log 10 log 3e x x= - 2) ln( 6 7) ln( 3)f x x x- + = -

i gi i

2 4 8) log log log 11a x x x+ + = (1)

u ki n: x > 0.

2 32 2 2(1) log log log 11x x xÛ + + =

2 2 2

2

62

1 1log log log 11

2 311

log 116log 6 2 64 ( )

x x x

x

x x nhan

Û + + =

Û =

Û = Û = =

y ph ng trình có nghi m x = 64.

hoctoancapba.com


52

5 25 0,2

1) log log log

3b x x+ = (2)

u ki n: x > 0.

( )2 1

1

5 5 5(2) log log log 3x x -

-

Û + =5 5 5

1log log log 3

2x xÛ + =

( )5 5 5 5

23 3

5 5 5 5

3

3 2log log 3 log log 3

2 3

log log 3 log log 3

3

x x

x x

x

Û = Û =

Û = Û =

Û =

y ph ng trình có nghi m 3 3x = .22 2) log log 6 0c x x- - = (3)

u ki n: x > 0.

t2

logt x= . PT (3) tr thành 23

6 02

tt t

t

é =ê- - = Û ê =êë3

23 log 3 2 8t x x= Û = Û = = (th a mãn)

22

2 log 2 2 4t x x= Û = Û = = (th a mãn)

y ph ng trình có nghi m x = 4 và x = 8.22 2

) 4 log log 2d x x+ = (4)

u ki n x > 0.

1

2

2 22 2 2

2

(4) 4 log log 2 4 log 2 log 2 0x x x xÛ + = Û + - = (4’)

t2

logt x= . PT (4’) tr thành 21

4 2 2 0 12

tt t

t

é = -êê+ - = Ûê =êë

12

11 log 1 2 ( / )

2t x x t m-= - Û = - Û = =

1

2

2

1 1log 2 2 ( / )

2 2t x x t m= Û = Û = =

y ph ng trình có nghi m 12

x = và 2x =

23 3) 3 log 10 log 3e x x= - (5)

u ki n x > 0

hoctoancapba.com


53

t3

logt x= ta c 2 23

3 10 3 3 10 3 0 13

tt t t t

t

é =êê= - Û - + = Ûê =êë

333 log 3 3 27 ( )t x x nhan= Û = Û = =

133

3

1 1log 3 3 ( )

3 3t x x nhan= Û = Û = =

y ph ng trình có hai nghi m x = 27 và 3 3x = .2) ln( 6 7) ln( 3)f x x x- + = - (6)

u ki n2 6 7 0

3 0

x x

x

ìï - + >ïïíï - >ïïî

2 22 ( )

(6) 6 7 3 7 10 05 ( )

x loaix x x x x

x nhan

é =êÛ - + = - Û - + = Û ê =êëy ph ng trình có nghi m x = 5.

Bài 2. (TN) Gi i các b t ph ng trình sau:

3) log (4 3) 2a x - < 2

0,5) log ( 5 6) 1b x x- + ³ -

21 13 3

) log (2 4) log ( 6)c x x x+ £ - - 2) lg(7 1) lg(10 11 1)d x x x+ ³ - +

i gi i

3) log (4 3) 2a x - <

u ki n 34 3 0

4x x- > Û >

23

log (4 3) 2 4 3 3 4 12 3x x x x- < Û - < Û < Û <

t h p u ki n, b t ph ng trình có nghi m 3;3

4S

æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè ø2

0,5) log ( 5 6) 1b x x- + ³ -

u ki n 22

5 6 03

xx x

x

é <ê- + > Û ê >êë

( ) 12 2 20,5

log ( 5 6) 1 5 6 0,5 5 4 0 1 4x x x x x x x-

- + ³ - Û - + £ Û - + £ Û £ £

t h p u ki n b t ph ng trình có nghi m ) (1;2 3;4S é ù= Èê úë û2

1 13 3

) log (2 4) log ( 6)c x x x+ £ - -

hoctoancapba.com


54

u ki n: 2

22 4 0

2 36 0

3

xx

x xx x

x

ìï > -ïìï ï+ >ï ïï é < -Û Û >í íêï ï- - >ï ïêïî >ïêïëî2 2

1 13 3

2

log (2 4) log ( 6) 2 4 6

3 10 0 2 5

x x x x x x

x x x

+ £ - - Û + ³ - -

Û - - £ Û - £ £

t h p v i u ki n, b t ph ng trình có nghi m (3;5S ù= úû2) lg(7 1) lg(10 11 1)d x x x+ ³ - +

u ki n: ( )2

177 1 0 1 1

1 ; 1;10 11 1 0 7 10

101

xx

xxx x

x

ìïï > -ïïìï ï æ ö+ > -ï ï ÷ï çé ÷Û Û Î È +¥çí í ÷ê ç< ÷çï ï- + > è øï ïêïî ïêï >ïêïëî2 2

2

lg(7 1) lg(10 11 1) 7 1 10 11 1

910 18 0 0

5

x x x x x x

x x x

+ ³ - + Û + ³ - +

Û - £ Û £ £

t h p u ki n, b t ph ng trình có nghi m 1 90; 1;

10 5S

é ö æ ù÷ çê ú÷= È ç÷ çê ú÷ çø èë ûBài 3 ( H). Gi i các ph ng trình:

a) ( ) ( )2

3 3log 1 log 2 1 2x x- + - =

b) ( ) ( )2 3

4 82log 1 2 log 4 log 4x x x+ + = - + + (2)

i gi i

u ki n: 1 12

x< ¹

( )3 32 log 1 2 log 2 1 2x xÛ - + - = ( )3 3log 1 log 2 1 1x xÛ - + - =

( )3 3log 1 2 1 log 3x xÛ - - = ( )1 2 1 3x xÛ - - = Û2

2

11

22 3 4 0( )

1

2 3 2 0

x

x x vn

x

x x

éìïïê < <ïïêíêïï - + =êïïîêìêï >ïïêíêï - - =ïêïîë

2xÛ =

hoctoancapba.com


55

b) u ki n:1 0

4 44 0

14 0

xx

xx

x

ìï + ¹ï ìïï - < <ïï - > Ûí íï ï ¹ -ï ïî+ >ïïî

( ) ( ) ( )( )

22 2 2 2 2

2 22 2

(2) log 1 2 log 4 log 4 log 1 2 log 16

log 4 1 log 16 4 1 16

x x x x x

x x x x

Û + + = - + + Û + + = -

Û + = - Û + = -

+ V i 1 4x- < < ta có ph ng trình 2 4 12 0 (3)x x+ - = ;

( )lo¹i

2(3)

6

x

x

é =êÛ ê = -êë

+ V i 4 1x- < < - ta có ph ng trình 2 4 20 0x x- - = (4);

( )( )lo¹i

2 244

2 24

x

x

é = -êÛ êê = +ë

y ph ng trình ã cho có hai nghi m là 2x = ho c ( )2 1 6x = - .

Bài 4 ( H). Gi i các b t ph ng trình:

a) ( )23 1 1

3 3

1log 5 6 log 2 log 3

2x x x x- + + - > +

b) ( ) ( )2 21 5 3 13 5

log log 1 log log 1x x x x+ + > + -

i gi iu ki n: 3x >

t ph ng trình ã cho t ng ng:

( ) ( ) ( )1 1

23 3 3

1 1 1log 5 6 log 2 log 3

2 2 2x x x x- -- + + - > +

( ) ( ) ( )23 3 3

1 1 1log 5 6 log 2 log 3

2 2 2x x x xÛ - + - - > - +

( )( ) ( ) ( )3 3 3log 2 3 log 2 log 3x x x xé ùÛ - - > - - +ê úë û

( )( )3 3

2log 2 3 log

3x

x xx

æ ö- ÷é ù ç ÷Û - - > ç ÷ê ú çë û ÷ç +è ø( )( ) 2

2 33

xx x

x-

Û - - >+

210

9 110

xx

x

é < -êÛ - > Û êê >ë

hoctoancapba.com


56

Giao v i u ki n, ta c nghi m c a ph ng trình ã cho là 10x > .b) k: 0x >

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

2 23 1 3 5

5

2 23 1 5

5

2 25

1 log log 1 log log 1 0

log log 1 . log 1 0

log 1 1

x x x x

x x x x

x x

Û + - + + + <

æ ö÷ç ÷çÛ + - + + <÷ç ÷÷çè ø

Û + + <

( )250 log 1 1x xÛ < + + <

*) ( )250 log 1 0x x x< + + Û >

*) ( )2 2 25

12log 1 1 1 5 1 5 ...

5x x x x x x x+ + < Û + + < Û + < - Û Û <

y BPT có nghi m 120;

5x

æ ö÷ç ÷Î ç ÷ç ÷çè ø

BÀI T P T LUY NGi i các ph ng trình, b t ph ng trình

1) 5 25 0,2log log log 3x x+ = 2) ( )1 1 2

2 4

log 2 log 1 log 6 0x x+ - + £

3) 2 21 2 2 1 2 2 22

log (5 2 ) log (5 2 ). log (5 2 ) log (2 5) log (2 1). log (5 2 )x

x x x x x x+

- + - - = - + + -

4) 31 822

log 1 log (3 ) log ( 1) 0x x x+ - - - - =

5)3 9 27 81

2log . log . log . log

3x x x x = 6)

1log(5 4) log 1 2 log 0,18

2x x- + + = +

7) ( )( )3log log 9 172x

x£ 8)

244

1 1log ( 3)log 4 3 xx x

<-- +

9) 21 55

log ( 6 8) 2 log ( 4) 0x x x- + + - < 10)( )2

1133

1 1

log 1log 2 3 1 xx x>

+- +

11) 225 5 1

5

12 log ( 1) log . log ( 1)

2 1 1x x

x- ³ -

- -12)

2 7 2 7log 2 log 2 log . logx x x x+ = +

hoctoancapba.com


57

3.2. Ph ng pháp t n ph :t log

at x= .

Thay t vào ph ng trình và bi n i ph ng trình theo t.Gi i ph ng trình tìm t.Thay log

at x= tìm.

Bài 1 (TN): Gi i ph ng trình: 2 23 3

log log 1 5 0x x+ + - =

i gi iu ki n: 0.x >

t 23

log 1, 1.t x t= + ³

Ph ng trình tr thành ( )2

26 0

3

tt t

t loai

é =ê+ = Û ê = -êë

i t = 2 thì 23

log 1 2x + = Û 2 3

3

3

log 3

lo

gg 3

ol

3

xx

x

é =

= -= Û ê

êêë

3

3

3

3

x

x -

é =êÛ ê=êë

(tm k).

y ph ng trình có hai nghi m 33x = và 33x -=Bài 2 ( H). Gi i các ph ng trình:

a) ( )3 93

42 log log 3 1

1 logxx

x- - =

-

b) 2 316 4

2

log 14 log 40. log 0x x xx x x- + =

i gi iu ki n 0, 3, 1/ 9x x x> ¹ ¹

Ph ng trình ( )33 3

1 42 log 1

log 9 1 logx

x xÛ - - =

-3

3 3

2 log 41

2 log 1 log

x

x x

-Û - =

+ -

t:3

logt x= , thành 22 41 3 4 0

2 1t

t tt t

-- = Û - - =

+ - (vì t = -2, t = 1 không là

nghi m)1 4t hay tÛ = - =

Do ó, (1)3

1log 1 4 81

3x hay x x hay xÛ = - = Û = = .

b) 2 316 4

2

log 14 log 40. log 0x x xx x x- + = (1)

k: 0, 1/ 4, 1 / 16, 2x x x x> ¹ ¹ ¹ (*)

hoctoancapba.com


58

Khi ó, ph ng trình t ng ng v i16 4

2

2. log 42. log 20.log 0x x xx x x- + = (2)

Nh n th y x =1 luôn là nghi m c a pt.

i 0 < x 1, pt (2) Û2 42 20

0log 16 log 4

log2

x xx

x x x- + =

t t = logx2, ph ng trình trên tr thành 2 42 200

1 1 4 1 2t t t- + =

- + + (3)

(3) Û 2t2 + 3t – 2 = 0 Û t = 1/2 ho c t = -2(tm k)

* V i t = -2 thì logx2 = -2 Û1

2x = ±

* V i t = 1/2 thì logx2 = 1/2 Û x = 4.

t h p k ta c nghi m c a ph ng trình là x = 4, x = 1

2

Bài 3 ( H). Gi i b t ph ng trình3

4 2 22 1 2 12

2 2

32log log 9 log 4 log

8x

x xx

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷- + <ç ç÷ ÷ç ç ÷÷ çç è øè ø

i gi iu ki n x > 0.

t ph ng trình2

4 3 2 22 2 2 2 2 2

log ( ) log log 8 9 log 32 log 4 log ( )x x x xé ù é ùÛ - - + - <ê ú ê úë û ë û24 2

2 2 2 2log ( ) 3 log 3 9 5 2 log 4 log ( )x x x xé ù é ùÛ - - + - <ê ú ê úë û ë û

t t = log2(x), b t ph ng trình trên t ng ng v i

t4 - 13t2 + 36 < 0 22

2

1 13 2 3 log 24 9 8 42 3 2 log 3 4 8

t x xt

t x x

é é éê ê- < < - - < < - ê < <ê ê êÛ < < Û Û Ûê ê ê< < < < < <ê ê êëëë

y b t ph ng trình có nghi m ( )1 1, 4, 8

8 4

æ ö÷ç ÷ Èç ÷ç ÷çè ø.

BÀI T P T LUY NGi i ph ng trình, b t ph ng trình

1) 3 32 2

log 3 2 3 log 2x x= + + . 2) ( ) ( )2 34 2log 1 log 1 25x x+ =

3)216

1log 2. log 2

log 6x x x>

- 4) 2

1 15 55 25

log ( 5) 3 log ( 5) 6 log ( 5) 2 0x x x- + - + - - £

5) ( ) ( )2 2log 5 1 . log 2.5 2 2x x- - = 6) 2

2 2log log 1

8x

xx

æ ö÷ç ÷ + ³ç ÷ç ÷çè ø

hoctoancapba.com


59

7)5

2 log log 125 1x

x - < 8)2 1

2

1 21

5 log 1 logx x+ <

- -

9) ( ) ( )3 2log 2 log 1x x+ = + 10) ( ) ( )2 2

log 5 1 . log 2.5 2 2x x- - =

3.3. Ph ng pháp ánh giá, hàm s :

Bài 1 ( H). Gi i ph ng trình2

23 2

1log 3 2

2 2 3

x xx x

x x

+ += - +

- +i gi i

t ( )2 21; 2 2 3 0, 0u x x v x x u v= + + = - + > > suy ra 2 3 2.v u x x= - +

PT ã cho tr thành3 3 33 3

lolo g log log log gu vu

v u v u u u vv

v- = - Û += =- +Û

(1). Xét hàm c tr ng: ( ) 3log , 0f t t t t= + > .

Ta có ' 1( ) 1 0, 0

. ln 3f t t

t= + > " > nên hàm s ng bi n khi t > 0.

(1) ta có f(u) = f(v), suy ra u = v hay v-u=0, t c là x2-3x+2=0.Ph ng trình có nghi m 1, 2x x= = .

u ý: V i ph ng trình d ng loga

uv u

v= - i u > 0, v > 0 và 1 < a, ta th ng bi n i

logau - logav = v – u Û logau + u = logav. Vì hàm s f(t) = logat + t ng bi n khi t > 0, suy ra u = v.

Bài 2 ( H). Gi i b t ph ng trình 22 1

2

1log (4 4 1) 2 2 ( 2)log

2x x x x x

æ ö÷ç ÷- + - > - + -ç ÷ç ÷çè ø

i gi i

K: ( )2 2

11 10 12 *2 2 1 24 4 1 0 (2 1) 0

2

xx xx

x x x x

ìïì ìï ï ï <ï ï ï- > <ï ï ïï ï ïÛ Û Û <í í íï ï ïï ï ï- + > - > ¹ï ï ïï ïî î ïïîi u ki n (*) b t ph ng trình t ng ng v i:

2 22 log (1 2 ) 2 2 ( 2) log (1 2 ) 1x x x xé ù- - > + + - -ê úë û 2log (1 2 ) 1 0x xé ùÛ - + <ê úë û

2 2

2 2

0 0 01log (1 2 ) 1 0 log 2(1 2 ) 0 2(1 2 ) 14

0 0 0 0log (1 2 ) 1 0 log 2(1 2 ) 0 2(1 2 ) 1

x x x

x x x xx x x x

x x x

é é éì ì ìï ï ï> > >ï ï ïê ê ê éí í íê ê êï ï ï- + < - < - < ê >ê ê êï ï ïî î î êÛ Û Û Ûê ê êì ì ì êï ï ï< < <ê ê êï ï ï <êê ê êí í í ëï ï ïê ê ê- + > - > - >ï ï ïî î îë ë ë

hoctoancapba.com


60

t h p v i u ki n (*) ta có: 1 14 2

x< < ho c x < 0.

Bài 3 ( H). Gi i b t ph ng trình2 2

(3 log 2) 9 log 2x x x- > -

i gi iu ki n: 0x > t ph ng trình Û 2

3( 3)log 2( 1)x x x- > -

Nh n th y x=3 không là nghi m c a b t ph ng trình.

TH1 N u 3x > BPT Û 2

3 1log

2 3x

xx

->

-

Xét hàm s :2

3( ) log

2f x x= ng bi n trên kho ng ( )0;+¥

1( )

3x

g xx

-=

- ngh ch bi n

trên kho ng ( )3;+¥ *V i 4x > :Ta có( ) (4) 3

( ) (4) 3

f x f

g x g

üï> = ïýï< = ïþÞ Bpt có nghi m 4x > * V i

4x < :Ta có( ) (4) 3

( ) (4) 3

f x f

g x g

üï< = ïýï> = ïþÞ Bpt vô nghi m

TH 2:N u 0 3x< < BPT Û 2

3 1log

2 3x

xx

-<

- 2

3( ) log

2f x x= ng bi n trên ( )0;+¥ ;

1( )

3x

g xx

-=

- ngh ch bi n trên ( )0;3 *V i 1x > :Ta có

( ) (1) 0

( ) (1) 0

f x f

g x g

üï> = ïýï< = ïþÞ Bpt vô

nghi m

* V i 1x < :Ta có( ) (1) 0

( ) (1) 0

f x f

g x g

üï< = ïýï> = ïþÞ Bpt có nghi m 0 1x< < V y Bpt có ngh

4

0 1

x

x

é >êê < <êë

BÀI T P T LUY NGi i ph ng trình, b t ph ng trình:

1) ( )32 7

log 1 logx x+ = 2) ( ) ( )20,5 0,51 log 2 5 log 6 0x x x x+ + + + ³

3)2

22 2

1log 3 2

2 4 3

x xx x

x x

- += - +

- + 4)

5log

5 02 3 1x

xx

x

+- <

- +

5)5

log ( 3) 3x x+ = - 6) ( ) ( ) ( ) ( )23 32 log 1 4 1 log 1 16 0x x x x+ + + + + - =

7)2

23 2

3log 7 21 14

2 4 5

x xx x

x x

æ ö+ + ÷ç ÷ = + +ç ÷ç ÷ç + +è ø 8) ( ) ( ) ( )2

3 3log 1 5 log 1 2 6 0x x x x+ + - + - + =

hoctoancapba.com


61

CHUYÊN 3. PH NG TRÌNH L NG GIÁCBiên so n và s u t m: Nguy n Minh Nhiên – S GD& T

1. Ph ng trình a v d ng tích1.1. Ph ng trình s d ng các công th c bi n i l ng giác: công th c bi n tích thành t ng, t ngthành tích, công th c h b c,…Ví d 1. Gi i ph ng trình: sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x=0 (1)Gi i

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 sin 6 sin sin 5 sin 2 sin 4 sin 3 0

7 5 3 7 3 2 sin cos cos cos 0 4 sin cos 2 cos 1 0

2 2 2 2 2 2

27sin 0

723 2

cos 0 ;2 3 3

2 cos 1 0 22

3

x x x x x x

x x x x x xx

kxx

x kx k Z

xx k

p

p p

pp

Û + + + + + =é ùæ ö÷çê ú÷Û + + = Û + =ç ÷ê úç ÷çè øê úë û

ééêê == êêêêêêÛ = Û = + Îêêêêêê + =

= ± +êêêêë ë

* u ý: Khi ghép c p ra t ng ( ho c hi u ) sin ( ho c cos ) c n ý n góc sao cho t ng ho chi u các góc b ng nhau

Ví d 2. Gi i ph ng trình: 3 3 2 3 2cos 3 cos sin 3 sin

8x x x x

-- = (2)

Gi i

( ) ( ) ( )2 21 1 2 3 22 cos cos 4 cos2 sin cos2 cos 4

2 2 8x x x x x x

-Û + - - =

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2 22 3 2 2 3 2cos 4 cos sin cos 2 cos sin cos 4 cos 2

4 42

4 cos 4 2 1 cos 4 2 3 2 cos 42 16 2

x x x x x x x x

kx x x x k Z

p p

- -Û + + - = Û + =

Û + + = - Û = Û = ± + Î

* u ý: Vi c khéo léo s d ng công th c bi n tích thành t ng có th giúp ta tránh c vi c sng công th c nhân 3

Ví d 3. Gi i ph ng trình : 2 22 cos 2 3 cos 4 4 cos 14

x x xpæ ö÷ç ÷- + = -ç ÷ç ÷çè ø

(3)

Gi i

( ) ( )2 23 1 cos 4 3 cos 4 4 cos 1 sin 4 3 cos 4 2 2 cos 12

x x x x x xpæ ö÷ç ÷Û + - + = - Û + = -ç ÷ç ÷çè ø

1 3sin 4 cos 4 cos2 cos 4 cos2

2 2 6x x x x x

pæ ö÷ç ÷Û + = Û - =ç ÷ç ÷çè ø

hoctoancapba.com


62

,12 36 3

kx k x k

p p ppÛ = + Ú = + Î

1.2. Ph ng trình s d ng m t s bi n i khácVi c a ph ng trình v d ng tích u quan tr ng nh t v n là làm sao phát hi n ra

nhân t chung nhanh nh t, sau ây là m t s bi n i có th giúp ta làm c u ó

( )( ) ( )( )( )( )

( )( )

2 2

2

2

sin 1 cos 1 cos , cos 1 sin 1 sin

cos2 cos sin cos sin1 cos 2 sin 2 2 cos (sin cos )

1 sin 2 sin cos1 cos 2 sin 2 2 sin (sin cos )

1 sin 2 sin cos

sin cos1 tan

cos

2 sin

x x x x x x

x x x x xx x x x x

x x xx x x x x

x x x

x xx

x

x

Å = - + = - +

= - ++ + = +

Å + = +- + = +

- = -

+Å + =

Å sin cos4

x xpæ ö÷ç ÷+ = +ç ÷ç ÷çè ø

Ví d 4. Gi i ph ng trình: 2 sin (1 cos2 ) sin2 1 2 cosx x x x+ + = + (4)

Gi iCách 1: ( ) ( )( )24 2 sin .2 cos 2 sin cos 1 2 cos 2 cos 1 2 sin cos 1 0x x x x x x x xÛ + = + Û + - =

1cos

2sin 2 1

x

x

éê = -êÛê =êë

ph n còn l i dành cho b n c

Cách 2: ( )4 2 sin cos 2 (1 sin2 ) 2(cos sin ) 0x x x x xÛ - - - - =

( )( ) ( ) ( )22sin x cos sin cos sin cos sin 2 cos sin 0x x x x x x x xÛ - + - - - - =

( )( )2cos sin 2 sin x cos 2 sin cos sin 2 0x x x x x xÛ - + - + - =

( )( )2cos sin 2 sin cos 2 cos cos sin 0x x x x x x xÛ - - - + = (ph n còn l i HS t

làm)Ví d 5.Gi i ph ng trình: cos2 3 sin2 5 sin 3 cos 3x x x x+ + - = (5)Gi i

( ) 25 (6 sin cos 3 cos ) (2 sin 5 sin 2) 0

3 cos (2 sin 1) (2 sin 1)(sin 2) 0

(2 sin 1)(3 cos sin 2) 0

x x x x x

x x x x

x x x

Û - - - + =Û - - - - =Û - - + =

Ph ng trình này t ng ng v i 2 ph ng trình c b n (HS t làm)2. Ph ng trình ch a n m u

i lo i ph ng trình này khi gi i r t d d n n th a ho c thi u nghi m, u quan tr ngnh t c a d ng này là t u ki n và ki m tra u ki n xác nh.Thông th ng ta hay dùng

hoctoancapba.com


63

ng tròn l ng giác lo i nghi m. Ngoài ra, ta c ng g p nhi u ph ng trình ch a tan, cot. Khió, có th s d ng m t s công th c

( ) ( )

( ) ( )

sin sintan tan cota cotb=

cos cos cos cosos os

tan cot tana-cotb=cos sin cos sin

2tan cot c

sin 2

a b b aa b

a b a bc a b c a b

a ba b a b

a aa

± ±Å ± = Å ±

- - +Å + = Å

Å + = Å

( ) ( )ot tan 2 cot2

os os1 tan tan 1 tana tan

cos cos cos cos

a a a

c a b c a ba b b

a b a b

- =

- - +Å + = Å - =

n l u ý các u ki n xác nh c a t ng công th c

Ví d 6. Gi i ph ng trình:2 cos 4

cot tansin 2

xx x

x= + (6)

Gi i.

K:sin 0

cos 0 sin2 0 ,2

sin 2 0

xk

x x x k Z

x

pìï ¹ïïï ¹ Û ¹ Û ¹ Îíïï ¹ïïî

( ) 2 os4 2 cos2 2 os46 cot tan os4 os2 ,

sin 2 sin2 sin 23

x lc x x c x

x x c x c x l Zlx x x x

pp

é =êêÛ - = Û = Û = Û Îê =êë

Ki m tra u ki n ta c ,3

x l l Zp

p= ± + Î

Ví d 7. Gi i ph ng trình:( ) ( )3 2

2

4 os 2 os 2 sin 1 sin 2 2 sin cos0

2 sin 1

c x c x x x x x

x

+ - - - +=

- (7)

Gi i.

K: 22 sin 1 0 os2 0 ,4 2

kx c x x k Z

p p- ¹ Û ¹ Û ¹ + Î

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )

27 4 os sin cos 2 cos sin cos 2 sin cos 0

42 sin cos cos 1 2 cos 1 0 2 ,

22

3

c x x x x x x x x

x m

x x x x x m m Z

x m

pp

pp

p

Û + - + - + =éê = - +êê

Û + - + = Û = Îêêê = ± +êêë

Ki m tra u ki n ta c nghi m2

,3

mx m Z

p= Î

hoctoancapba.com


64

Ví d 8. Gi i ph ng trình:2

3 tan 3 cot2 2 tansin 4

x x xx

+ = + (8)

Gi i

K:

os3x 0

sin2x 0 6 3 ,cos 0

4sin 4 0

ck

xk Z

x kx

x

p p

p

ìï ¹ ìï ïï ïï ¹ +ï¹ï ïï ïÛ Îí íï ï¹ï ï ¹ï ïï ïïî¹ïïî

(*)

( ) ( ) ( )

( )

2 2 sin2 cos 28 2 tan 3 tan tan 3 cot2

sin 4 os3 cos os3 sin 2 sin 44 sin 4 sin 2 os2 cos 2 os3 4 sin 4 sin os3 cos 2 os3

4 sin 4 sin os3 cos 8 sin 2 os2 sin 2 sin 2 sin (*)

os2

x xx x x x

x c x x c x x xx x c x x c x x x c x x c x

x x c x x xc x x x x do

c x

Û - + + = Û + =

Û + = Û + + =

Û = - Û = -

Û =1 1 1

arccos ,4 2 4

x m m Zpæ ö- ÷ç ÷- Û = ± + Îç ÷ç ÷çè ø

Nghi m này th a mãn KBÀI T P T LUY N

2

1) os3 os2 cos 1 0 2) 2 2 sin cos 112

1 13)(1 tan )(1 sin 2 ) 1 tan 4)sin 2 sin 2 cot2

sin 2 2 sin5)sin 2 os2 3 sin cos 2 0

6) tan cos cos sin

c x c x x x x

x x x x x xx x

x c x x x

x x x x

pæ ö÷ç ÷+ - - = - =ç ÷ç ÷çè ø

- + = + + - - =

+ + - - =

+ - =

( )3

3 3

1 tan tan2

2 cos sin17)2 2 os 3 cos sin 0 8)

4 tan cot2 cot 11

9)cos cos2 os3 sin sin 2 sin 32

10)sin os os2 tan tan4 4

11) tan

xx

x xc x x x

x x x

x xc x x x x

x c x c x x x

p

p p

æ ö÷ç ÷+ç ÷ç ÷çè øæ ö -÷ç ÷- - - = =ç ÷ç ÷ç + -è ø

+ =

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷- = + -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

( )

2 2

2 2

22 3 3 2

tan2 sin 3 cos2

712)sin cos 4 sin 2 4 sin

4 2 2

13)sin sin cos sin 1 2 cos2 2 4 2

14)2 sin cot 2 sin 2 1

sin 315)sin cos 3 sin sin 3 cos sin sin 3

3 sin 4

x x x x

xx x x

x x xx x

x x x

xx x x x x x x

x

p

p

+ = -æ ö÷ç ÷- = - -ç ÷ç ÷çè ø

æ ö÷ç ÷- + = -ç ÷ç ÷çè ø+ = +

+ + =

hoctoancapba.com


65

CHUYÊN 4: S PH CBiên so n và s u t m: Ngô V n Khánh – GV tr ng THPT Nguy n V n C

1. Ki n th c c b n.1.1. Các khái ni m

1.2. Các phép toán trên s ph c.* Phép c ng và phép tr , nhân hai s ph c.

Cho hai s ph c z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta nh ngh a:' ( ') ( ')

' ( ') ( ')

z z a a b b i

z z a a b b i

ìï + = + + +ïíï - = - + -ïî' ' ' ( ' ' )zz aa bb ab a b i= - + -

* Phép chia s ph c khác 0.Cho s ph c z = a + bi 0 (t c là a2+b2 > 0 )Ta nh ngh a s ngh ch o z-1 c a s ph c z 0 là s

z-1=2 2 2

1 1z z

a b z=

+

Th ng 'zz

a phép chia s ph c z’ cho s ph c z 0 c xác nh nh sau:

1

2

' ' ..

z z zz z

z z

-= =

2. Các d ng bài t p.2.1. D ng 1: Các phép toán trên s ph c.

Ví d 1: Cho s ph c z = . Tính các s ph c sau: ; z2; ( )3; 1 + z + z23 12 2

i z z

hoctoancapba.com


66

Gi i:

*Vì z = =

*Ta có z2 = = =

( )2 =

( )3 =( )2. =

Ta có: 1 + z + z2 =

Ví d 2: Tìm s ph c liên h p c a:

Gi i:

Ta có .

Suy ra s ph c liên h p c a z là:

Ví d 3: Tìm ph n o c a s ph c z bi t ( ) ( )2

2 1 2z i i= + -

Gi i:

( )( )1 2 2 1 2 5 2z i i i= + - = + . Suy ra, 5 2z i= -

Ph n o c a s ph c 2z = -

Ví d 4: Tìm mô un c a s ph c

Gi i: Ta có:

y mô un c a z b ng:

Ví d 5: Cho s ph c z th a mãn( )

3

1 3

1

iz

i

-=

-. Tìm mô un c a s ph c .z iz+

Gi i:

3 12 2

i z3 1

2 2i

23 1

2 2i 23 1 3

4 4 2i i 1 3

2 2i

z2

23 1 3 1 3 1 32 2 4 4 2 2 2

i i i i

z z z1 3 3 1 3 1 3 32 2 2 2 4 2 4 4

i i i i i

3 1 1 3 3 3 1 312 2 2 2 2 2

i i i

1(1 )(3 2 )3

z i ii

3 35 5(3 )(3 ) 10

i iz i ii i

53 910 10

z i

(1 )(2 )1 2i iz

i

5 115 5

iz i

21 2615 5

z

hoctoancapba.com


67

Ta có: ( )3

1 3 8i- = - Do ó 84 4 4 4

1z i z i

i-

= = - - Þ = - +-

( )4 4 4 4 8 8z iz i i i iÞ + = - - + - + = - - V y 8 2.z iz+ =

Ví d 6: Tìm các s th c ,x y th a mãn ng th c:

a) 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)ib) (2x + 3y + 1) + ( –x + 2y)i = (3x – 2y + 2) + (4x – y – 3) i.

c) ( ) ( )33 5 1 2 35 23x i y i i+ + - = - +

Gi i: a) Theo gi thi t: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i

b) Theo gi thi t ta có:

92 3 1 3 2 2 5 1 11

2 4 3 5 3 3 411

xx y x y x y

x y x y x yy

ìïï =ì ì ïï ï+ + = - + - + = ïï ï ïÛ Ûí í íï ï ï- + = - - - + = -ï ï ïî î =ïïïî

c) Ta có ( ) ( ) ( ) ( )( )3 21 2 1 2 1 2 3 4 1 2 2 11i i i i i i- = - - = - - - = - .

Suy ra ( ) ( )33 5 1 2 35 23x i y i i+ + - = - + ( ) ( )3 5 2 11 35 23x i y i iÛ + + - = - +

( ) ( )3 11 35 3

3 11 5 2 35 235 2 23 4

x y xx y x y i i

x y y

ì ìï ï- = - =ï ïÛ - + + = - + Û Ûí íï ï+ = =ï ïî îBài t p t luy nBài 1. Tìm các s th c x, y bi t:

a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i;b) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i;

Bài 2. Ch ng minh z = (1+2i)(2 - 3i)(2+i) (3-2i ) là m t s th c

Bài 3. Tìm các s th c x, y th a mãn ng th c: 3(3 2 )(1 2 ) 11 4

2 3x i

y i ii

-+ - = +

+

Bài 4. Cho hai s ph c:1 2

z 2 5 ; z 3 4i i= + = - . Xác nh ph n th c, ph n o c a s

ph c1 2.z z

Bài 5. Tìm ph n th c, ph n o và mô un c a s ph c:a) z (2 3 )(1 ) 4i i i= + - - b) 3(2 2 )(3 2 )(5 4 ) (2 3 )z i i i i= - + - - +

3 2 15

x y yx x y

17

47

x

y

hoctoancapba.com


68

c) z = 2i(3 + i)(2 + 4i)

d) z = 2 5(1 3 )( 2 )(1 )

ii i i

- ++ - - +

e) z = (1 2 )( 4 )(1 )(4 3 )

i ii i

+ - +- +

Bài 6. Tìm các s ph c: 2z z+ và 25iz

, bi t z 3 4i= - .

Bài 7. Cho s ph c z = 2 + 3i.Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c1

z iw

iz+

=-

Bài 8. Cho s ph c 1 7(3 2 )( 1 3 )

1 2i

z i ii

+= + - - +

+ Tính mô un c a z và tìm t a

m bi u di n hình h c c a z trong h t a Oxy.

Bài 9. Cho z th a mãn (2 + i)z + 2(1 2 )7 8

1i

ii

+= +

+. Tìm mô un c a s ph c w = z + 1

+ iBài 10. ph c z th a mãn (1+i)2(2 i)z=8+i+(1+2i)z. Tìm ph n th c, ph n o c a z.

Bài 11. Cho s ph c z th a mãn ( ) ( )21 2 3

1i

i z i zi

-- - = -

+.Tìm t a m bi u di n

a z trong m t ph ng t a Oxy.Bài 12. Tim s ph c z bi t z3 = 18 + 26i, trong ó z = x + yi (x,y Z)

2.2. D ng 2: Tinh ni và áp d ng

Chú ý:i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i; n N* y in {-1;1;-i;i}, n N*

2(1 ) 2i i+ = ;( )21 2i i- = -

D ;3

D

Ví d 1: Tính: i105 + i23 + i20 – i34

Gi i:Ta có i105 + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + 1 + 1 = 2

Ví d 2: Tính s ph c sau:

a) z = (1+i)15 b) z =16 8

1 11 1

i ii i

æ ö æ ö+ -÷ ÷ç ç÷ ÷+ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- +è ø è ø

Gi i:

a) Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i

hoctoancapba.com


69

nên z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i.

b) Ta có: 1 (1 )(1 ) 21 2 2

i i i ii

i+ + +

= = =-

11

ii

i-

= -+

. V y16 8

1 11 1

i ii i

æ ö æ ö+ -÷ ÷ç ç÷ ÷+ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- +è ø è ø=i16 +(-i)8 = 2

Ví d 3: Tìm ph n th c, ph n o c a s ph c sau:

( ) ( ) ( ) ( )2 3 201 1 1 1 ... 1i i i i+ + + + + + + + +

Gi i:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

21

2 20

2021 2 10 10

10

10 10

1 11 1 1 ... 1

1 1 1 2 1 2 1

2 1 12 2 1

iP i i i

i

i i i i i i

iP i

i

+ -= + + + + + + + =

é ù+ = + + = + = - +ê úê úë û

- + -Þ = = - + +

y ph n th c là 102- và ph n o là 102 1+Bài t p t luy n

Bài 1. Tìm ph n th c, ph n o c a các s ph c sau:

z = ( ) ( )( )2

101 11 2 3 2 3

1i

i i ii i

æ ö+ ÷ç ÷ + - + + - +ç ÷ç ÷ç -è ø

Bài 2. Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c z th a mãn: ( )( ) 20112 3 1 (1 )z i i i+ - - = + .

Bài 3. Tìm ph n th c, ph n o c a s ph c z = 19(1 )i+

2.3. D ng 3: Tim s ph c d a vào D ng i s c a s ph c.

u trong h th c tim s ph c z xuât hi n 2 hay nhi u i l ng sau: , , ,...z z z ta se

d ng D ng i s c a z là z x yi= + v i ,x y RÎ

Ví d 1: Tìm s ph c z bi t ( )2 3 1 9z i z i- + = -

Gi i:i z= a+ bi (a,b RÎ ) ta có:

( ) ( )( )2 3 1 9 2 3 1 9z i z i a bi i a bi i- + = - Û + - + - = -

( )3 1 2

3 3 3 1 93 3 9 1

a b aa b a b i i

a b b

ì ìï ï- - = =ï ïÛ - - - - = - Û Ûí íï ï- = = -ï ïî î

hoctoancapba.com


70

y z= 2-i

Ví d 2: Tính mô un c a s ph c z bi t r ng: ( )( ) ( )( )2 1 1 1 1 2 2z i z i i- + + + - = -

Gi i:i z= a+ bi (a, b RÎ )

Ta có

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 1 1 1 1 2 2

2 1 2 1 1 1 2 2

2 2 1 2 2 1 1 1 2 2

13 3 2 33 3 2 2 2

2 2 13

z i z i i

a bi i a bi i i

a b a b i a b a b i i

aa ba b a b i i

a bb

- + + + - = -

é ù é ùÛ - + + + + - - = -ê ú ê úë û ë ûÛ - - + + - + - + - + + = -

ìïï =ì ïï - = ïï ïÛ - + + - = - Û Ûí íï ï+ - = -ï ïî = -ïïïî

Suy ra mô un: 2 2 23

z a b= + =

Ví d 3: Tìm s ph c z th a mãn:22

2 . 8z z z z+ + = và 2z z+ = .

Gi i

i z = x + iy (x, yÎR), ta có22 2 2;z x iy z z zz x y= - = = = +

22 2 2 2 22 . 8 4( ) 8 ( ) 2 (1)z z z z x y x y+ + = Û + = Û + =

2 2 2 1 (2)z z x x+ = Û = Û =

(1) và (2) tìm c x = 1 ; y = 1±y các s ph c c n tìm là 1 + i và 1 - i

Ví d 4: Tìm s ph c z th a mãn hai u ki n: 1 2 3 4z i z i+ - = + + và 2z i

z i

-

+là m t s

thu n o.Gi i

t z= x+ yi (x,y RÎ )Theo bài ra ta có

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

1 2 3 4

1 2 3 4 5

x y i x y i

x y x y y x

+ + - = + + -

Û + + - = + + - Û = +

hoctoancapba.com


71

ph c( )( )

( )( ) ( )( )

2

22

2 2 1 2 32w

1 1

x y i x y y x y iz i

x y iz i x y

+ - - - - + --= = =

+ -+ + -

w là m t s o khi và ch khi

( )( )( )

2

22

2 1 0 1271 0

235

7

x y yx

x yyy x

ìï ì- - - = ïï ïï = -ïï ïï ï+ - > Ûí íï ïï ï == +ï ïï ïïîïî

y 12 237 7

z i= - +

Ví d 5: Tìm t t c các s ph c z bi t22z z z= +

Gi i: G i z= a+ bi (a, b RÎ ) ta có:

( )

( )

2 22 2 2

2 2 2 2

22 2 2 2

2

02 1 1

;2 2 1 0 2 2

1 1;

2 2

z z z a bi a b a bi

a b abi a b a bi

a ba ba b a b a

a bab b b a

a b

+ + Û + = + + -

Û - + = + + -éê = =êìì ïï ê= -- = + + ïïï ï êÛ Û Û = - =í í êï ï= - + =ï ï êïî ïî -ê = - =êë

y z=0; 1 1 1 1;

2 2 2 2z i z i= - + = - -

Ví d 6: Tìm s ph c z th a mãn 2z = và z2 là s thu n o.

Gi i:

G i z= a+ bi (a, b RÎ ) Ta có 2 2z a b= + và 2 2 2 2z a b abi= - +

Yêu c u bài toán th a mãn khi và ch khi2 2 2

2 2 2

2 1 1

10 1

a b a a

ba b b

ì ì ìï ï ï+ = = = ±ï ï ïï ïÛ Ûí í íï ï ï = ±- = =ï ï ïîï ïî îy các s ph c c n tìm là 1+i; 1-i; -1+i; -1-i

Ví d 7: Tìm s ph c z bi t 5 31 0

iz

z+

- - =

Gi i: G i z= a+ bi (a, b RÎ ) và 2 2 0a b+ ¹ ta có

2 25 3 5 31 0 1 0 5 3 0

i iz a bi a b i a bi

z a bi+ +

- - = Û - - - = Û + - - - - =+

hoctoancapba.com


72

( ) ( )2 2

2 25 0

5 3 03 0

a b aa b a b i

b

ìï + - - =ïïÛ + - - - + = Û íï + =ïïî2 2 0 1; 3

3 2 2; 3

a a a b

b a b

éìï - - = = - = -ï êïÛ Ûí êï = - ê = = = -ïïî ë

y 1 3z i= - - ho c 2 3z i= +

Ví d 8: Tìm s ph c z th a mãn 2z i- = và ( )( )1z z i- + là s th c

Gi i:Gi s z= x+ yi (x, y RÎ )

Khi ó,

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

222 1 2 1

1 1 1 1 1 1

z i x y

z z i x yi x y i x x y y x y i

- = Û + - =

- + = - + - - = - + - + + -

( )( ) ( )1 1 0 2z z i R x y- + Î Û + - =

(1) và (2) ta có x=1; y=0 ho c x=-1; y=2y z=1; z=-1+ 2iBài t p t luy n

Bài 1. Tìm s ph c z th a mãn: 2 2z i- + = . Bi t ph n o nh h n ph n th c 3 n v .

Bài 2. Tìm s ph c z th a mãn: | z | - iz = 1 – 2i

Bài 3. Tìm s ph c z th a mãn: ( )2 10z i- + = và . 25z z = .

Bài 4. Tìm s ph c z th a mãn ( )1 2 26z i- + = và . 25z z = .

Bài 5. Tìm s ph c z th a mãn t ng tr ng h p:a) 2z = và z là s thu n o. b) 5z = và ph n th c c a z b ng hai l n ph n o c a nó.

Bài 6. Tim s ph c z tho mãn 2z = và z2 là s thu n o.

Bài 7. Gi i ph ng trình:

a) 2 0z z+ = . b) 2z z z+ =

Bài 8. Tìm s ph c z bi t 21( 1)(1 ) | | .

1z

z i zi

-+ + + =

-

Bài 9. Tìm s ph c z bi t: 1 1z - = và (1 )( 1)i z+ - có ph n o b ng 1.

Bài 10. Tìm s ph c z th a mãn: 1 5z - = và_ _

17( ) 5z z z z+ = .

hoctoancapba.com


73

Bài 11. Tìm s ph c z th a mãn

( ) ( )

5

5 22

42 1

z

zi

i

ìï =ïïïïíï - + =ïï +ïïî

.

2.4. D ng 4: Biêu diên hinh h c m t s ph c. Tim tâp h p iêm biêu diên s ph c z.Trong d ng này, ta g p các bài toán bi u di n hình h c c a s ph c hay còn g i là

tìm t p h p m bi u di n m t s ph c z trong ó s ph c z th a mãn m t h th c nào ó(th ng là h th c liên quan n mô un c a s ph c). Khi ó ta gi i bài toán này nh sau:

Gi s z = x+yi (x, y R). Khi ó s ph c z bi u di n trên m t ph ng ph c b i mM(x;y). S d ng d ki n c a bài tìm m i liên h gi a x và y t ó suy ra t p h p mM.Ví d 1: Gi s M(z) là m trên m t ph ng ph c bi u di n s ph c z. Tìm t p h p các

m M(z) th a mãn m t trong các u ki n sau ây: a) =2 b) c)

Gi i:t z = x +yi (x, y R) c biêu diên b i iêm M(x;y)

a) Xét h th c: =2 (1)

t z = x +yi (x, y R) z – 1 + i = (x – 1) + (y + 1)i.

Khi ó (1)

(x-1)2 + (y + 1)2 = 4. T p h p các m M(z) trên m t ph ng t a bi udi n s ph c z th a mãn (1) là ng tròn có tâm t i I(1;-1) và bán kính R = 2.b) Xét h th c |(x+2) +yi| = |-x+(1-y)i|

(x+2)2 + y2 = x2 + (1-y)2 4x + 2y + 3 = 0.y t p h p các m M là ng th ng 4x + 2y + 3 = 0.

Nh n xét: ng th ng 4x + 2y + 3 = 0 chính làng trung tr c c a n AB.

c) Xét h th c:

Xét F1, F2 t ng ng bi u di n các m 4i và -4i t c là F1 (0;4) và F2 =(0;-4). Do ó: MF1 + MF2 = 10

Ta có F1F2 = 8 T p h p t t c các m M n m trên (E) có hai tiêu m là F1 và F2 vàcó dài tr c l n b ng 10.

Ph ng trình c a (E) là:

1z i 2 1z i 4 4 10z i z i

1z i

2 2( 1) ( 1) 2x y

2 z z i

4 4 10z i z i

4 4 10z i z i

2 2

19 16x y

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

x

y

A

B

O

hoctoancapba.com


74

Ví d 2: Trong m t ph ng Oxy, tìm t p h p m bi u di n các s ph c z th a mãn

( )1z i i z- = +

Gi i:t z= x+ yi (x,y RÎ )

Ta có:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 22

1 1

1

z i i z x y i x y x y i

x y x y x y

- = + Û + - = - + +

Û + - = - + +

( )22 2 22 1 0 1 2x y xy x yÛ + + - = Û + + =

y t p h p các m M bi u di n các s ph c z là ng tròn có ph ng trình

( )22 1 2x y+ + =

Ví d 3: Cho s ph c( )

3

1 5

1 3

(1 )

iz

i

+=

+. Tìm t p h p m bi u di n 2A z iz= + , bi t r ng

1 0x y- - = .Gi i

20

4 04

tt t

t

é =êÛ - = Û ê =êë

( ) ( )0 0; 1 , 4; 1t B C= Þ - -

( ) ( )4 4; 1 , 0; 1t B C= Þ - -

Gi s2

z x yi= + ,x y RÎ bi u di n b i m M(x;y). Khi ó ta có:

( ) 2 2 2, , , 0P

n a b c a b c= + + ¹

y t p h p m bi u di n cho s ph c2

z là ng tròn tâm O, bán kính 2

Ví d 4: Trong các s ph c z th a mãn u ki n 2 4 2z i z i- - = - .Tìm s ph c z có

mô un nh nh t.Gi s s ph c z c n tìm có d ng z = x + yi (x,y R) c biêu diên b i iêm M(x;y).

Ta có 2 ( 4) ( 2)x y i x y i- + - = + - (1) 2 2 2 2( 2) ( 4) ( 2)x y x yÛ - + - = + -

4y xÛ = - + . Do ó t p h p các m M bi u di n cho các s ph c z th a mãn (1) là

ng th ng x + y = 4. M t khác 2 2 2 2 28 16 2 8 16z x y x x x x x= + = + - + = - +

Hay ( )22 2 8 2 2z x= - + ³

hoctoancapba.com


75

Do ómin

2 2z x yÛ = Þ = . V y 2 2z i= +

Ví d 5: Bi t r ng s ph c z th a mãn ( )( )3 1 3u z i z i= + - + + là m t s th c. Tìm giá tr

nh nh t c a z .

Gi it z= x+ yi (x, y RÎ ) ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 23 1 1 3 4 4 6 2 4u x y i x y i x y x y x y ié ù é ù= + + - + - - = + + - + + - - -ê ú ê úë û ë ûTa có: 4 0u R x yÎ Û - - =

p h p các m bi u di n c a z là ng th ng d: x-y-4=0, M(x;y) là m bi u di n c az thì mô un c a z nh nh t khi và ch khi dài OM nh nh t OM dÛ ^ Tìm c M(-2;2) suy ra z=-2+2i.

Ví d 6: Tìm s ph c Z có mô un l n nh t và th a mãn u ki n ( ) 131 3 2

2Z i i+ - + =

Gi ii ( , )z x yi x y R z x yi= + Î Þ = -

2 213 39(1 ) 3 2 5 0

2 8z i i x y x y+ - + = Û + - - + =

i M (x;y) là m bi u di n c a z trong m t ph ng t a Oxy ( )M CÞ Î là ng tròn

có tâm 1 5( ; )2 2

I và bán kính 264

R =

i d là ng th ng i qua O và I : 5d y xÞ =

i M1, M2 là hai giao m c a d và (C)1

3 15( ; )4 4

MÞ và2

1 5( ; )4 4

M

Ta th y 1 2

1( ( ))

OM OM

OM OI R OM M C

ìï >ïíï = + ³ Îïî

Þ ph c c n tìm ng v i m bi u di n M1 hay 3 154 4

z i= +

Ví d 7: Tìm t p h p các m bi u di n c a s ph c z sao cho 2 3z iu

z i+ +

=-

là m t s

thu n o.Gi i

t z= x+ yi (x, y RÎ ), khi ó:

hoctoancapba.com


76

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )22

2 3 12 3

1 1

x y i x y ix y iu

x y i x y

é ù é ù+ + + - -+ + + ê ú ê úë û ë û= =+ - + -

( ) ( )( )

2 2

22

2 2 3 2 2 1

1

x y x y x y i

x y

+ + + - + - +=

+ -

u là s thu n o khi và ch khi( )

( ) ( )( ) ( )

2 22 2

22

2 2 3 0 1 1 5

1 0 ; 0;1

x y x y x y

x y x y

ìì ïï + + + - = ï + + + =ïï ïÛí íï ï+ - > ¹ï ïï ïî î

y t p h p các m bi u di n c a z là ng tròn tâm I(-1;-1), bán kính 5 tr m(0;1)

Bài t p t luy nBài 1. Gi s M(z) là m trên m t ph ng t a ô bi u di n s ph c z. Tìm t p h p

nh ng m M(z) th a mãn u ki n sau

a) (1 3 ) 3 2z i z i+ - = + - b) 2 2z i z z i- = - + c) ( )3 4 2z i- - =

Bài 2. Trong các s ph c th a mãn 32 3

2z i- + = . Tìm s ph c z có mô un nh nh t.

Bài 3. Trong m t ph ng t a . Tìm t p h p m bi u di n các s ph c z th a mãn

u ki n: 3 2z i z i- = - - . Trong các s ph c th a mãn u ki n trên, tìm s

ph c có môdun nh nh tBài 4. Trong các s ph c z th a mãn u ki n 2 4 2z i z i- - = - .Tìm s ph c z có

mô un nh nh t.

Bài 5. Trong các s ph c z th a mãn u ki n 1 5 3z i z i+ - = + - . Tìm s ph c z có

mô un nh nh t.

Bài 6. Trong các s ph c z th a mãn 2 52z i- - = , tìm s ph c z mà 4 2z i- + là

nh nh t.Bài 7. Tìm s ph c Z có mô un l n nh t và th a mãn u ki n Trong t t c các s

ph c z th a mãn 2 2 1z i- + = , hãy tìm s ph c có z nh nh t

Bài 8. Trong các s ph c z th a mãn u ki n( )1

2 11

i z

i

++ =

-.Tìm s ph c có mô un

nh nh t, l n nh t.

hoctoancapba.com


77

2.5. D ng 5. Ph ng trinh bâc hai trên tâp s ph c2.5.1. V n 1. Tìm c n b c hai c a m t s ph c. ( c thêm)

Cho s ph c w = a + bi. Tìm c n b c hai c a s ph c này.Ph ng pháp:

+) N u w = 0 w có m t c n b c hai là 0+) N u w = a > 0 (a R) w có hai c n b c hai là và -+) N u w = a < 0 (a R) w có hai c n b c hai là và -+) N u w = a + bi (b 0)Gi s z = x +yi (x, y thu c R) là m t c n b c hai c a w z2 = w (x+yi)2 = a +

bi

tìm c n b c hai c a w ta c n gi i h này tìm x, y. M i c p (x, y) nghi m úngph ng trình ó cho ta m t c n b c hai c a w.

Nh n xét: M i s ph c khác 0 có hai c n b c hai là hai s i nhau.Ví d : Tìm các c n b c hai c a m i s ph c sau:

a) 4 + 6 i b) -1-2 iGi i:1) Gi s z = x +yi (x, y thu c R) là m t c n b c hai c a w = 4 + 6 i

Khi ó: z2 = w (x+yi)2 = 4 + 6 i

(2) x4 – 4x2 – 45 = 0 x2 = 9 x = ± 3.x = 3 y =x = -3 y = -

y s ph c w = 4 + 6 i có hai c n b c hai là: z1 = 3 + i và z2 = -3 - i2) Gi s z = x +yi (x, y thu c R) là m t c n b c hai c a w = -1-2 i

Khi ó: z2 = w (x+yi)2 = -1-2 i

(2) x4 + x2 – 6 = 0 x2 = 2 x = ± .x = y = -x = - y =

y s ph c w = 4 + 6 i có hai c n b c hai là: z1 = - i và z2 = - + i

a a

ai ai

2 2

2x y a

xy b

5 6

5

52 2

22

3 5 (1)4

452 6 5 4 (2)

yx y xxy x

x

5

5

5 5 5

6

62 2

22

6 (1)1

62 2 6 1 (2)

yx y xxy x

x

22 3

2 3

5 2 3 2 3

hoctoancapba.com


78

2.5.2. V n 2: Gi i ph ng trình b c haiCho ph ng trình b c hai: Az2 +Bz +C = 0 (1) (A, B, C C, A 0)

Ph ng pháp:Tính = B2 – 4AC

*) N u 0 thì ph ng trình (1) có hai nghi m phân bi t z1 = , z2 =

(trong ó là m t c n b c hai c a ).

*) N u = 0 thì ph ng trình (1) có nghi m kép: z1 = z2 =

Ví d 1: Gi i các ph ng trình sau trên t p s ph c2) 1 0a z z- + = 2) 2 5 0b x x+ + = 4 2) 2 3 0c z z+ - =

Gi i:2) 1 0a z z- + =

21 4 3 3iD = - = - =

n b c hai c a D là 3i±

Ph ng trình có nghi m: 1 2

1 3 1 3 1 3,

2 2 2 2 2i

z i z i+

= = + = -

2) 2 5 0b x x+ + =

24 20 16 16iD = - = - =n b c hai c a D là 4i± .

Ph ng trình có nghi m:1 2

1 2 , 1 2x i x i= - - = - +

4 2) 2 3 0c z z+ - =

t t = z2.Ph ng trình tr thành:

22

2

11 12 3 0

3 3 3

zt zt t

t z z i

ééé = ±= = êêê+ - = Û Û Û êêê = - = - = ±êêêë ë ë

y ph ng trình có 4 nghi m: -1, 1, 3, 3i i-

Ví d 2: Gi i các ph ng trình b c hai sau:a) z2 + 2z + 5 = 0b) z2 + (1-3i)z – 2(1 + i) = 0 (tham kh o)Gi i:a) Xét ph ng trình: z2 + 2z + 5 = 0

Ta có: = -4 = 4i2 ph ng trình có hai nghi m: z1 = -1 +2i và z2 = -1 – 2i. b) Ta có: = (1-3i)2 +8(1+i) = 2i = (1+i)2

2B

A 2B

A

2BA

hoctoancapba.com


79

nên 1+i là m t c n bâc hai c a s ph c 2i

Ph ng trình có hai nghi m là: z1 = ; z2 =

Ví d 3: G i z1 và z2 là hai nghi m ph c c a ph ng trình 2 2 10 0z z+ + = Tính giá tr bi u

th c2 2

1 2A z z= +

Gi i:Ta có

( ) ( ) ( )2 2 22 2 10 0 1 9 1 3

1 3

1 3

z z z z i

z i

z i

+ + = Û + = - Û + =é = - +êÛ ê = - -êë

( )2 21 1

2 2

1 3 1 3 10

1 3 10

z i z

z i z

= - + Þ = - + =

= - - Þ =

y2 2

1 220A z z= + =

Ví d 4: Cho s ph c z th a mãn 2 6 13 0z z- + = Tính 6z

z i+

+

Gi i:

( ) ( ) ( )2 2 223 2

6 13 0 3 4 3 23 2

z iz z z z i

z i

é = +ê- + = Û - = - Û - = Û ê = -êë

i 3 2z i= + ta có 6 63 2 4 17

3 3z i i

z i i+ = + + = + =

+ +

i 3 2z i= - ta có 6 6 13 2 24 7 5

3 5z i i

z i i+ = - + = - =

+ -

Ví d 5: Gi i ph ng trình sau trên t p h p các s ph c: 4 3 72

z iz i

z i- +

= --

(tham kh o)

Gi i

u ki n: 1z ¹ -

Ph ng trình ã cho t ng ng v i ( )2 4 3 1 7 0z i z i- + + + =

Ph ng trình có bi t th c ( ) ( )24 3 4 1 7 3 4i i iD = + - + = - ( )2

2 i= -

Ph ng trình có hai nghi m là: 1 2z i= + và 3 .z i= +

3 1 1 22

i i i 3 1 1 12

i i i

hoctoancapba.com


80

Bài t p t luy nBài 1. Cho

1z ,

2z là các nghi m ph c c a ph ng trình 22 4 11 0z z- + = . Tính giá tr

a bi u th c A =2 2

1 2

21 2( )

z z

z z

+

+.

Bài 2. Gi i ph ng trình:2009

2

2008

(1 )2. 2 0

(1 )

iz z i

i

+- + =

- trên t p s ph c. (Tham kh o)

Bài 3. i1 2;z z là các nghi m ph c c a ph ng trình: 2 4 5 0z z- + = .Tính:

2011 20111 2

( 1) ( 1)z z- + -

2.5.3. V n 3: Ph ng trình quy v b c hai- i v i d ng này ta th ng g p ph ng trình b c 3 ho c ph ng trình b c 4 d ng

c bi t có th quy c v b c hai.- i v i ph ng trình b c 3 (ho c cao h n), v nguyên t c ta c g ng phân tích v

trái thành nhân t ( a v ph ng trình tích) t ó d n n vi c gi i ph ng trình b cnh t và b c hai.

- i v i m t s ph ng trình khác, ta có th t n ph quy v ph ng trình b chai mà ta ã bi t cách gi i.a. Ph ng pháp phân tích thành nhân t .

Ví d 1: Gi i các ph ng trình: z3 – 27 = 0

Gi i: z3 – 27 = 0 (z – 1) (z2 + 3z + 9) = 0

y ph ng trình ã cho có 3 nghi m.

Ví d 2: Gi i ph ng trình trên t p h p s ph c: 4 3 26 6 16 0z z z z- + - - =Gi i:Nh n bi t c hai nghi m z=-1 và z=2

Ph ng trình ã cho t ng ng v i ( )( )( )22 1 8 0z z z- + + =

Gi i ra ta c b n nghi m: 1; 2; 2 2z z z i= - = = ±

Ví d 3: Cho ph ng trình sau: z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = 0 (1)bi t r ng ph ngtrinh có nghi m thu n o. (Tham kh o)Gi i:

t z = yi v i y R

22,3

113 3 33 9 0

2

zziz z z

hoctoancapba.com


81

Ph ng trình (1) có d ng: (iy)3 + (2i-2)(yi)2 + (5-4i)(yi) – 10i = 0 -iy3 – 2y2 + 2iy2 + 5iy + 4y – 10i = 0 = 0 + 0ing nh t hoá hai v ta c:

gi i h này ta c nghi m duy nh t y = 2

Suy ra ph ng trình (1) có nghi m thu n o z = 2i.* Vì ph ng trình (1) nh n nghi m 2i

v trái c a (1) có th phân tích d i d ng:z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = (z – 2i)(z2 +az + b) (a, b R)

ng nh t hoá hai v ta gi i c a = 2 và b = 5.

(1) (z – 2i)(z2 +2z + 5) = 0

y ph ng trình (1) có 3 nghi m.

Ví d 4: Gi i ph ng trình ( ) ( )3 23 2 16 2 0z i z i z i- - - - + - = bi t r ng ph ng trình có

1 nghi m th c. (Tham kh o)Gi i G i nghi m th c là z0 ta có:

( ) ( )3 20 0 0

3 20 0 02 0

0

3 2 16 2 0

3 2 16 02

2 0o

z i z i z i

z z zz

z z

- - - - + - =ìï - - + =ïïÛ Û = -íï + - =ïïî

Khi ó ta có ph ng trình ( ) ( )( )22 5 8 0z z i z i+ - - + - =

Tìm c các nghi m c a ph ng trình là z= -2; z= 2+ i; z= 3- 2i

Ví d 5: Gi i ph ng trình ( ) ( )3 22 3 3 1 2 9 0z i z i z i- - + - + = bi t r ng ph ng trình có

t nghi m thu n o. (tham kh o)Gi iGi s ph ng trình có nghi m thu n o là bi, b RÎ

Thay vào ph ng trình ta c:

( ) ( )( ) ( )( )

( )

23

22 3 2

3 2

2 3 3 1 2 9 0

2 6 02 6 3 3 9 0 3

3 3 9 0

3

bi i bi i bi i

b bb b b b b i b

b b b

z i

- - + - + =ìï + =ïïÛ + + - - + + = Û Û = -íï- - + + =ïïî

Þ = -

2

3 2

2 4 02 5 10 0

y yy y y

2

22

1 22 5 0

1 2

z iz i

z iz z

z i

hoctoancapba.com


82

Ph ng trình có th phân tích thành ( )( )23 2 3 0z i z z+ - + =

Các nghi m c a ph ng trình là z= -3i; 1 2z i= ±b. Ph ng pháp t n ph .

Ví d 1: Gi i ph ng trình sau trên t p s ph c (z2 + z)2 + 4(z2 + z) -12 = 0Gi i:

t t = z2 + z, khi ó ph ng trình ã cho có d ng:

t2 + 4t – 12 = 0


Ví d 2: Gi i ph ng trình sau trên t p s ph c (z2 + 3z +6)2 + 2z(z2 + 3z +6) – 3z2 = 0Gi i:

t t = z2 + 3z +6 ph ng trình ã cho có dang:

t2 +2zt – 3z2 = 0 (t – z)(t+3z) = 0

+ V i t = z z2 + 3z +6 –z = 0 z2 + 2z + 6 = 0

+ V i t = -3z z2 + 3z +6 +3z = 0 z2 + 6z + 6 = 0


Ví d 3: Gi i ph ng trình: 2( )( 3)( 2) 10z z z z- + + = ,z ÎC.

Gi i:PT Û ( 2)( 1)( 3) 10z z z z+ - + = Û 2 2( 2 )( 2 3) 0z z z z+ + - =

t 2 2t z z= + . Khi ó ph ng trình (8) tr thành:t 2 2t z z= + . Khi ó ph ng trình (8) tr thành

2 3 10 0t t- - =12

5 1 6

z it

t z

éé = - ±= - êêÛ Þ êê = = - ±êêë ë

2

2

1 232

6 6 0 1 232 2 0 2

12

iz

t z z izt z zzz

3t zt z

1 5

1 5

z i

z i

3 3

3 3

z

z

hoctoancapba.com


83

y ph ng trình có các nghi m: 1 6z = - ± ; 1z i= - ±

Ví d 4: Gi i ph ng trình sau trên t p s ph c2

4 3 1 02z

z z z- + + + = (tham kh o)

Gi i:Nh n xét z=0 không là nghi m c a ph ng trình (1) v y z 0¹

Chia hai v PT (1) cho z2 ta c: ( 22

1 1 1) ( ) 0

2z z

zz+ - - + = (2)

t t=z- 1z

Khi ó 2 22

12t z

z= + - 2 2

2

12z t

zÛ + = +

Ph ng trình (2) có d ng: t2-t+ 50

2= (3)

251 4. 9 9

2iD = - = - =

PT (3) có 2 nghi m t=1 32

i+ ,t= 1 32

i-

i t=1 32

i+ ta có 21 1 32 (1 3 ) 2 0

2i

z z i zz

+- = Û - + - = (4)

Có 2 2 2(1 3 ) 16 8 6 9 6 (3 )i i i i iD = + + = + = + + = +

PT(4) có 2 nghi m: z= (1 3 ) (3 )1

4i i

i+ + +

= + ,z= (1 3 ) (3 ) 14 2

i i i+ - + -=

i t=1 32

i- ta có 21 1 32 (1 3 ) 2 0

2i

z z i zz

-- = Û - - - = (4)

Có 2 2 2(1 3 ) 16 8 6 9 6 (3 )i i i i iD = - + = - = - + = -

PT(4) có 2 nghi m: z= (1 3 ) (3 )1

4i i

i- + -

= - ,z= (1 3 ) (3 ) 14 2

i i i- - - - -=

y PT ã cho có 4 nghi m: z=1+i; z=1-i ; z= 12

i - ; z= 12

i- -

Bài t p t luy n

Bài 1. Gi i ph ng trình z3 + (1 – 2i)z2 + (1 – i)z – 2i = 0., bi t r ng ph ng trình có

t nghi m thu n o.(tham kh o)

Bài 2. Cho ph ng trình: z3 – (4 + i)z2 + (3 + 8i)z – 15i = 0. Bi t ph ng trình có m t

nghi m th c. G i z1, z2, z3 là các nghi m c a ph ng trình. Hãy tính2 2 2

1 2 3z z z+ +

hoctoancapba.com


84

Bài 3. i1 2 3 4, , ,z z z z là b n nghi m c a ph ng trình 4 3 22 6 4 0z z z z- - + - = trên

p s ph c tính t ng2 2 2 21 2 3 4

1 1 1 1S

z z z z= + + +

Bài 4. Gi i các ph ng trinh trên t p s ph c:

a)3

1z ii z

æ ö+ ÷ç ÷ =ç ÷ç ÷ç -è ø

b) (z2+1)2+(z+3)2=0 c) z4 – 4z3 +7z2 – 16z + 12 = 0

hoctoancapba.com


85

CHUYÊN 5: I S T H P, XÁC SU TBiên so n và s u t m: Nguy n Quang Tu n – GV tr ng THPT Hàn Thuyên

1. Ki n th c c b n1.1. i s t h p1.1.1. Quy t c c ng:

Có n1 cách ch n i t ng A1. n2 cách ch n i t ng A2. A1 A2 =

Có n1 + n2 cách ch n m t trong các i t ng A1, A2.1.1.2. Quy t c nhân:

Có n1 cách ch n i t ng A1. ng v i m i cách ch n A1, có n2 cách ch n i t ngA2.

Có n1.n2 cách ch n dãy i t ng A1, A2.1.1.3. Hoán v :

M i cách s p th t n ph n t g i là m t hoán v c a n ph n t . S hoán v : Pn = n!.

1.1.4. Ch nh h p: M i cách l y ra k ph n t t n ph n t (0 < k n) và s p th t c a chúng g i là

t ch nh h p ch p k c a n ph n t .

S các ch nh h p: !( )!

kn

nA

n k=

-

1.1.5. T h p: M i cách l y ra k ph n t t n ph n t (0 k n) g i là m t t h p ch p k c a n

ph n t .

S các t h p: !!( )!

kn

nC

k n k=

-

Hai tính ch t: k n kn n

C C -= , 11 1

k k kn n n

C C C-- -

+ =

1.1.6. Nh th c Newton

0 1 1

0

( ) ...n

n k n k k n n n nn n n n

k

a b C a b C a C a b C b- -

=

+ = = + + +å

S h ng t ng quát (S h ng th k + 1): 1k n k k

k nT C a b-+ =

c bi t: 0 1 2 2(1 ) ...n n nn n n n

x C xC x C x C+ = + + + +

1.2. Xác su t

1.2.1. Tính xác su t b ng nh ngh a c n: ( ) AP A =W

W

hoctoancapba.com


86

+ 0 P(A) 1 + ( ) 1P W = , ( ) 0P Æ =

1.2.2. Tính xác su t theo các quy t c:a) Quy t c c ng xác su t

u A và B là hai bi n c xung kh c, thì:

( ) ( ) ( )P A B P A P BÈ = +

c) Quy t c nhân xác su tu hai bi n c A và B c l p v i nhau thì:

( ) ( ) ( )P AB P A P B=

2. Các d ng toán

2.1. Bài toán m:

Ví d 1. Cho t p { }0;1;2; 3;4;5A = , t A có th l p c bao nhiêu s t nhiên g m 5 ch

khác nhau, trong ó nh t thi t ph i có ch s 0 và 3.i gi i

i s c n tìm là ( )0abcde a ¹

Tìm s các s có 5 ch s khác nhau mà có m t 0 và 3 không xét n v trí a.p 0 và 3 vào 5 v trí có: 2

5A cách

3 v trí còn l i có 34

A cách

Suy ra có 2 35 4

A A sTìm s các s có 5 ch s khác nhau mà có m t 0 và 3 v i a = 0.

p 3 có 4 cách3 v trí còn l i có 3

4A cách

Suy ra có 34

4.A s

y s các s c n tìm tmycbt là: 2 3 35 4 4

4.A A A- = 384

Ví d 2. Có bao nhiêu s t nhiên có 5 ch s khác nhau mà trong m i s luôn luôn có m thai ch s ch n và ba ch s l .

i gi i gi thi t bài toán ta th y có 2

510C = cách ch n 2 ch s ch n (k c s có ch s

0 ng u) và 35

C =10 cách ch n 2 ch s l => có 25

C . 35

C = 100 b 5 s c ch n.

i b 5 s nh th có 5! s c thành l p => có t t c 25

C . 35

C .5! = 12000 s .

t khác s các s c l p nh trên mà có ch s 0 ng u là 1 34 5. .4 ! 960C C = .

y có t t c 12000 – 960 = 11040 s th a mãn bài toán.

hoctoancapba.com


87

Ví d 3. Có 12 h c sinh gi i g m 3 h c sinh kh i 12, 4 h c sinh kh i 11, 5 h c sinh kh i 10.i có bao nhiêu cách ch n ra 6 h c sinh sao cho m i kh i có ít nh t 1 h c sinh.i gi i

ng s cách ch n 6 h c sinh trong 12 h c sinh là 612

C

h c sinh c ch n ph i thu c ít nh t 2 kh i cách ch n ch có h c sinh kh i 12 và kh i 11 là: 6

7C

cách ch n ch có h c sinh kh i 11 và kh i 10 là: 69

C

cách ch n ch có h c sinh kh i 12 và kh i 10 là: 68

C

cách ch n tho mãn bài là: 6 6 6 612 7 9 8

805C C C C- - - = (cách)

Ví d 4. Trên các c nh AB, BC, CD, DA c a hình vuông ABCD l n l t cho 1, 2, 3 và nm phân bi t khác A, B, C, D. Tìm n bi t s tam giác có ba nh l y t n + 6 m ã cho

là 439.i gi i

N u n 2 thì n + 6 8. Do ó s tam giác có ba nh c l y t n + 6 m ókhông v t qua 3

856 439C = < (lo i). V y n 3

Vì m i tam giác c t o thành ng v i 1 t h p 3 ch p n + 6 ph n t . Nh ng trênnh CD có 3 nh, trên c nh DA có n nh nên s tam giác t o thành là:

( )( )( ) ( )( )3 3 36 3

4 5 6 2 11 439

6 6n n

n n n n n nC C C

+

+ + + - -- - = - - =

(n + 4)(n + 5)(n + 6) – (n – 2)(n – 1)n = 2540 n2 + 4n – 140 = 0

ó tìm c n = 10.BÀI T P T LUY N1) Có bao nhiêu s t nhiên g m b n ch s khác nhau mà m i s u l n h n 2010.2) Cho hai ng th ng song song d1 và d2. Trên ng th ng d1 có 10 m phân bi t, trên

ng th ng d2 có n m phân bi t ( 2n ³ ). Bi t r ng có 2800 tam giác có nh là các mã cho. Tìm n.

3) Cho t p { }0;1;2; 3;4;5A = , t A có th l p c bao nhiêu s t nhiên g m 5 ch s khác

nhau, trong ó nh t thi t ph i có ch s 0 và 3.

2.2. Nh th c Newton:

Ví d 1. Tìm s h ng không ch a x trong khai tri n nh th c 12.

n

xx

æ ö÷ç ÷+ç ÷ç ÷çè ø, bi t r ng

2 11 4 6n

n nA C n-+- = +

hoctoancapba.com


88

i gi iGi i ph ng trình 2 1

1 4 6nn nA C n-

+- = + ; u ki n: n 2 ; n N.

Ph ng trình t ng ng v i ( 1)!( 1) 4 6

2!( 1)!n

n n nn+

- - = +-

( 1)( 1) 4 6

2n n

n n n+

- - = +

n2 – 11n – 12 = 0 n = - 1 (Lo i) v n = 12.

i n = 12 ta có nh th c Niut n:12

12x

x

æ ö÷ç ÷+ç ÷ç ÷çè ø.

h ng th k + 1 trong khai tri n là: Tk +1 = 1212

1(2 )

k

k kC xx

-æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø

; k N, 0 k 12

Hay Tk+ 1 = ( )122

122 .

kkkC x x

-- =

24 312 2

12.2 .

kk kC x

-- .

h ng này không ch a x khi, 0 12

824 3 0

k N kk

k

ìï Î £ £ï Û =íï - =ïî.

y s h ng th 9 không ch a x là T9 = 8 412

2 7920C =

Ví d 2. Tìm h s c a x8 trong khai tri n (x2 + 2)n, bi t: 3 2 18 49n n n

A C C- + = .

i gi i

u ki n n 4

Ta có ( )2 2

0

2 2nn

k k n kn

k

x C x -

=

+ = å

s c a s h ng ch a x8 là 4 42nn

C -

s c a s h ng ch a x8 là 4 42nn

C -

Ta có: 3 2 18 49n n n

A C C- + =

(n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49 n3 – 7n2 + 7n – 49 = 0 (n – 7)(n2 + 7) = 0 n = 7

Nên h s c a x8 là 4 372 280C =

Ví d 3 ( H). Cho khai tri n a th c: ( )2013 2 20131 2 2013

1 2 . ... .o

x a a x a x a x- = + + + +

Tính t ng:0 1 2 2013

2 3 ... 2014S a a a a= + + + +

i gi i

hoctoancapba.com


89

Ta có: ( )2013 2 20130 1 2 2014

(1 2 ) 2 3 ... 2014 .x x a a x a x a x¢- = + + + +

2013 1012 2 20130 1 2 2013

(1 2 ) 4026 (1 2 ) 2 3 ... 2014x x x a a x a x a xÛ - - - = + + + + (*).

Nh n th y: ( )k kk k

a x a x= - do ó thay 1x = - vào c hai v c a (*) ta có:2213

0 1 2 20132 3 ... 2014 1343.3S a a a a= + + + + =

Ví d 4 ( H). Cho khai tri n: ( ) ( )210 2 2 141 2 14

1 2 1 ...o

x x x a a x a x a x+ + + = + + + + . Hãy tìm

giá tr c a6

a .

i gi i

Ta có 2 21 31 (2 1)

4 4x x x+ + = + + nên

( )10 2 2 14 12 101 3 91 2 ( 1) (1 2 ) (1 2 ) (1 2 )

16 8 16x x x x x x+ + + = + + + + +

Trong khai tri n ( )141 2x+ h s c a 6x là: 6 6

142 C ; Trong khai tri n ( )12

1 2x+ h s c a 6x

là: 6 612

2 C

Trong khai tri n ( )101 2x+ h s c a 6x là: 6 6

102 C

y h s 6 6 6 6 6 66 14 12 10

1 3 92 2 2 41748.

16 8 16a C C C= + + =

Ví d 5 ( H). Tính giá tr bi u th c: 2 4 6 100100 100 100 100

4 8 12 ... 200A C C C C= + + + + .

i gi i

Ta có:( )100 0 1 2 2 100 100100 100 100 100

1 ...x C C x C x C x+ = + + + + (1)

( )100 0 1 2 2 3 3 100 100100 100 100 100 100

1 ...x C C x C x C x C x- = - + - + + (2)

y (1)+(2) ta c: ( ) ( )100 100 0 2 2 4 4 100 100100 100 100 100

1 1 2 2 2 ... 2x x C C x C x C x+ + - = + + + +

y o hàm hai v theo n x ta c:

( ) ( )99 99 2 4 3 100 99100 100 100

100 1 100 1 4 8 ... 200x x C x C x C x+ - - = + + +

Thay x=1 vào => 99 2 4 100100 100 100

100.2 4 8 ... 200A C C C= = + + +

BÀI T P T LUY N

1) Tìm s h ng không ch a x trong khai tri n10

31x

x

æ ö÷ç ÷+ç ÷ç ÷çè ø v i x > 0.

hoctoancapba.com


90

2) Tính t ng:0 1 2 20122012 2012 2012 2012

1 2 3 2013

C C C CT = + + + +

3) Tính t ng0 1 2 2 3 3 2012 20122012 2012 2012 2012 2012

2 2 2 2...

1.2 2.3 3.4 4.5 2013.2014

C C C C CS = - + - + + .

2.3. Xác su t:

Ví d 1. M t h p ch a 4 qu c u màu , 5 qu c u màu xanh và 7 qu c u màu vàng.y ng u nhiên cùng lúc ra 4 qu c u t h p ó. Tính xác su t sao cho 4 qu c u c l y

ra có úng m t qu c u màu và không quá hai qu c u màu vàng.i gi i

ph n t c a không gian m u là 416

1820CW = = .

i B là bi n c “ 4 qu l y c có úng m t qu c u màu và không quá hai qu màuvàng”. Ta xét ba kh n ng sau: - S cách l y 1 qu , 3 qu xanh là: 1 3

4 5C C

- S cách l y 1 qu , 2 qu xanh, 1 qu vàng là: 1 2 14 5 7

C C C

- S cách l y 1 qu , 1 qu xanh, 2 qu vàng là: 1 1 24 5 7

C C C

Khi ó 1 3 1 1 2 1 2 14 5 4 7 5 4 7 5

740B

C C C C C C C CW = + + = .

Xác su t c a bi n c B là ( ) 740 371820 91

BP BW

= = =W

.

Ví d 2. Ch n ng u nhiên 5 con bài trong b tú l kh . Tính xác su t sao cho trong 5 quânbài ó có úng 3 quân bài thu c 1 b (ví d 3 con K).

i gi i cách ch n 5 quân bài trong b bài tú l kh là: 52

52598960C =

cách ch n 5 quân bài trong b bài tú l kh mà trong 5 quân bài ó có úng 3 quân bàithu c 1 b là: 13. 4

352C =

Xác su t ch n 5 quân bài trong b bài tú l kh mà trong 5 quân bài ó có úng 3 quân

bài thu c 1 b là: 522598960

= 13649740

.

Ví d 3. Cho E là t p các s t nhiên g m 5 ch s khác nhau c l p t các ch s :0,1,2,3,4,5,6,7. L y ng u nhiên m t s trong E. Tính xác su t l y c s chia h t cho 5.

i gi iGi s 0 ó 7 cách chon a;abcde E a cÎ Þ ¹ Þ

Ch n 4 47 7

có A ( ) 7 A 5880bcde n EÞ = =

hoctoancapba.com


91

4 37 6

5( ) 5880; và 5 có : A 6A 1560

0

en abcde E abcde Trong E

e

é =êÞ W = Î Û Þ + =ê =êë chia h t cho 5. G i A là bi n c ch n dc s chia h t cho 5 thì n(A)=1560

1560 13( )

5880 49P A = =

Ví d 4. Cho t p { }1,2, 3, 4, 5E = . Vi t ng u nhiên lên b ng hai s t nhiên, m i s g m 3

ch s ôi m t khác nhau thu c t p E. Tính xác su t trong hai s ó có úng m t s cóch s 5.

i gi i các s t nhiên có 3 ch s ôi m t khác nhau thu c t p E là: 5.4.3 60=

Trong ó s các s không có m t ch s 5 là 4.3.2=24, và s các s có m t ch s 5 là60 24 36- = .

i A là bi n c “hai s c vi t lên b ng u có m t ch s 5”, B là bi n c “hai s vi tlên b ng u không có m t ch s 5”. Rõ ràng A,B xung kh c. Do ó áp d ng qui t c c ngxác su t ta có:

( ) ( ) ( )1 1 1 136 36 24 241 1 1 160 60 60 60

1325

C C C CP A B P A P B

C C C CÈ = + = + = .

Suy ra xác su t trong hai s ó có úng m t s có ch s 5 là

( ) 13 121 1

25 25P P A B= - È = - = .

Ví d 5. Trong m t kì thi. Thí sinh c phép thi 3 l n. Xác su t l n u v t qua kì thi là0,9. N u tr t l n u thì xác su t v t qua kì thi l n hai là 0,7. N u tr t c hai l n thìxác su t v t qua kì thi l n th ba là 0,3. Tính xác su t thí sinh thi u.

i gi i G i Ai là bi n c thí sinh thi u l n th i (i = 1;2;3). G i B là bi n c thí sinh thi

u.Ta có:

Suy ra:

Trong ó:

y:BÀI T P T LUY N1) T các ch s c a t p { }0;1;2; 3; 4;5T = , ng i ta ghi ng u nhiên hai s t nhiên có ba

ch s khác nhau lên hai t m th . Tính xác su t hai s ghi trên hai t m th ó có ít nh t

1 1 21 2 3B A (A A ) (A A A )

1 1 21 2 3P(B) P(A ) P(A A ) P(A A A )

1

1 1 12 2

1 2 1 2 1 1 23 3

P(A ) 0,9

P(A A ) P(A ).P(A / A ) 0,1.0,7

P(A A A ) P(A ).P(A / A ).P(A / A A ) 0,1.0,3.0,3

P(B) 0,9 0,1.0,7 0,1.0,3.0,3 0,979

hoctoancapba.com


92

t s chia h t cho 5.2) Có 10 h c sinh l p A; 9 h c sinh l p B và 8 h c sinh l p C. Ch n ng u nhiên 5 h c sinh t các

c sinh trên. Tính xác su t sao cho l p nào c ng có h c sinh c ch n và có ít nh t 2 h c sinhp A.

3) M t h p ng 11 viên bi c ánh s t 1 n 11. L y ng u nhiên 4 viên bi r i c ng các trên viên bi l i v i nhau. Tính xác su t k t qu thu c là m t s l .

4) M t chi c h p ng 6 cái bút màu xanh, 6 cái bút màu en, 5 cái bút màu tím và 3 cáibút màu . L y ng u nhiên ra 4 cái bút. Tính xác su t l y c ít nh t 2 bút cùng màu.

hoctoancapba.com


93

CHUYÊN 6: TÍCH PHÂN VÀ NG D NG C A TÍCH PHÂNBiên so n và s u t m: Hoàng V n Quý – GV tr ng THPT L ng Tài s 2

1. Ki n th c liên quan1.1. Công th c nguyên hàm c b n

Nguyên hàm c a hàm s cn

Nguyên hàm m r ng

dx x C= +ò . , aa dx ax C= + Îò1

, 11

xx dx C

aa a

a

+

= + ¹ -+ò

11 ( )( ) .

1ax b

ax b dx Ca

aa

a

+++ = +

+ò

ln , x 0dx

x Cx

= + ¹ò1

. lndx

ax b Cax b a

= + ++ò

x xe dx e C= +ò 1.ax b ax be dx e C

a+ += +ò

ln

xx a

a dx Ca

= +ò1

.ln

xx a

a dx Ca

a ba b

a

++ = +ò

cos sinxdx x C= +ò 1cos( ) .sin( )ax b dx ax b C

a+ = + +ò

sin cosxdx x C= - +ò 1sin( ) .cos( )ax b dx ax b C

a+ = - + +ò

2

1tan

cosdx x C

x= +ò 2

1 1tan( )

cos ( )dx ax b C

aax b= + +

+ò

2

1

sindx cotx C

x= - +ò 2

1 1( )

sin ( )dx cot ax b C

aax b= - + +

+ò1.2. Công th c tích phân

F(x) là m t nguyên hàm c a hàm s f(x) trên n [a;b] thì

( ) ( ) ( ) ( )b

b

aa

f x dx F x F b F a= = -ò1.3. Ph ng pháp i bi n s

1.3.1. D ng 1 : Tính I = '( ) ( )b

a

f x x dxj jé ùê úë ûò

+ t t = ( )xj '( ).dt x dxjÞ =

+ i c n : x a bt ( )aj ( )bj

hoctoancapba.com


94

Þ I =( )

( )

( )( ). ( )

( )

b

a

bf t dt F t

a

j

j

jj

=ò

1.3.2. D ng 2 : Tính I = ( )b

a

f x dxò b ng cách t x = ( )tj

D ng ch a 2 2a x- : t x = asint, t ;2 2p pé ù

ê úÎ -ê úë û(a>0)

1.4. Ph ng pháp tích phân t ng ph n

* Công th c tính : ( )b b b

b

aa a a

f x dx udv uv vdu= = -ò ò ò

t

Ta th ng g p hai lo i tích phân nh sau:* Lo i 1:

( )

( ).sin ( ).

( ).cos ( ). ( )

( ). .

b

ab

ab

f x

a

P x f x dx

P x f x dx u P x

P x e dx

ìïïïïïïïïï Þ =íïïïïïïïïïî

ò

ò

ò

, trong ó ( )P x là a th c b c n.

*Lo i 2: ( ). ln ( ). ln ( )b

a

P x f x dx u f xÞ =ò1.5. Tính ch t tích phân

Tính ch t 1: ( ) ( )b b

a a

kf x dx k f x dx=ò ò , k: h ng s

Tính ch t 2: ( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dxé ù± = ±ê úë ûò ò ò

Tính ch t 3: ( ) ( ) ( ) ( )b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx a c b= + < <ò ò ò

1.6. Di n tích hình ph ng1.6.1. D ng 1: Cho hàm s y = f(x) liên t c trên [a; b]. khi ó di n tích hình ph ng gi i h n

i th hàm s y = f(x), tr c Ox và hai ng th ng x = a và x = b là:

)(...)(...

......

hamnguyenlayvhamdaolaydxdu

dvu

hoctoancapba.com


95

( )b

a

S f x dx= ò (*)

u ý:( ) 0f x = vô nghi m trên (a;b) thì

( ) ( )b b

a a

S f x dx f x dx= =ò ò

( ) 0f x = có 1 nghi m ( ; )c a bÎ thì

( ) ( ) ( )b c b

a a c

S f x dx f x dx f x dx= = +ò ò ò

1.6.2. D ng 2: Cho hai hàm s y = f1(x) và y = f2(x) liên t c trên [a; b]. Khi ó di n tích c ahình ph ng gi i h n b i th hai hàm s f1(x), f2(x) và hai ng th ng x = a, x = b là:

1 2( ) ( )

b

a

S f x f x dx= -ò (**)

u ý: Kh d u giá tr tuy t i c a công th c (**) th c hi n t ng t i v i côngth c (*).1.7. Th tích v t th tròn xoay

Th tích c a kh i tròn xoay khi cho hình ph ng gi i h n b i các ngy = f(x), tr c Ox và hai ng th ng x = a, x = b quay xung quanh tr c Ox là:

2( )b

a

V f x dxp= òu ý: Di n tích, th tích u là nh ng giá tr d ng.

2. Ví d minh h aVí d 1: Tính các tích phân sau

( ) ( )

( )

1 1

0 0 04 2

31 0

1/ (2x+e ) x 2 / 2 3 3 / s inx+cos

2 34 / 5 / sin 2

x x xA d B e dx C x dx

x xD dx E x x dx

x

p

p

= = + =

æ ö+ + ÷ç ÷ç= = -÷ç ÷ç ÷çè ø

ò ò ò

ò ò

i gi i

( )1 1 1

1 12

0 00 0 0

1 / 2 2 1 0 1x x xA x e dx xdx e dx x e e e= + = + = + = - + - =ò ò ò

( ) ( ) ( )1

11 1 1

0 0 0 00

2 2 2 1 32 / 2 3 2 3 2 3

ln 2 ln 2 ln 2 ln 2

xx

xx x xe e

B e dx e dx dxe e

æ ö- ÷ç ÷= + = + = + = +ç ÷ç ÷çè øò ò ò

hoctoancapba.com


96

( )0 0

0 0 0

3 / s inx cos s inx cos cos sin 2C x dx dx xdx x xp p p

p p= + = + = - + =ò ò ò

44 4 5 34 43 22 2

3 3 111 1 1

1 3 1 2 34 / 3 ln

3 2x

D dx x x dx x x xx xx x

- -- -æ ö æ ö÷ç ÷ç÷ ÷ç ç= + + = + + = - + =÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ç -÷ç è øè ø

ò ò

( )2

2

0 0 0 0 0

1 15 / sin2 sin2 cos2

2 2 2E x x dx xdx xdx x x

p pp p p p= - = - = + =ò ò ò

Ví d 2. Tính các tích phân sau

( )

6 1

1 0ln 2

1 0

2 11/ 3 x 2 / x

1 3 1

1 2 ln 1 13 / 4 /

2 1ln 1

e

x

xI x x d J d

x

xK dx L x dx

ex xx

+= + =

+ +æ ö æ ö÷ç + ÷÷ çç ÷= + = +÷ çç ÷÷ çç ÷ç÷ ++ è ø÷çè ø

ò ò

ò ò

i gi i6

1

1 / 3I x x dx= +ò

t 3x t+ = ta c 23 2x t dx tdt+ = Þ =i c n: 1 2; 6 3x t x t= Þ = = Þ =

Khi ó ( )33

4 2 5 3

2 2

2 2322 6 2

5 5I t t dt t t

æ ö÷ç ÷= - = - =ç ÷ç ÷çè øò1

0

2 12 /

1 3 1

xJ dx

x

+=

+ +ò

t 3 1x t+ = ta c2 1 23 3

tx dx tdt

-= Þ =

i c n 0 1; 1 2x t x t= Þ = = Þ =

Khi ó2 23

2

1 1

2 2 2 3 28 2 32 2 3 ln

9 1 9 1 27 3 2t t

J dt t t dtt t

æ ö+ ÷ç ÷= = - + - = -ç ÷ç ÷ç+ +è øò ò

( )1

1 2 ln 13 /

ln 1

ex

K dxx xx

æ ö÷ç + ÷ç= + ÷ç ÷ç ÷+ ÷çè øò

Tính1

1

1e

K dxx

= ò ta c k t qu ( )12 1K e= -

t ln x t= ta c dxdt

x=

i c n 1 0; 1x t x e t= Þ = = Þ =

hoctoancapba.com


97

Khi ó ( )( )1 1

20

0

2 12 ln 1 2 ln 2

1t

K dt t tt

+= = - + = -

+ò

y ta c1 2

2 ln 2K K K e= + = -ln 2

0

14 /

2 1xL x dx

e

æ ö÷ç ÷= +ç ÷ç ÷ç +è øò

Tínhln 2

10

L xdx= ò ta c k t qu 21ln 2

2I =

Tínhln 2

20

1

2 1xL dx

e=

+òt xe t= ta c xe dx dt=i c n 0 1; ln2 2x t x t= Þ = = Þ =

Khi ó( ) ( )( )

2 2

21

1

5 6ln ln 2 1 ln 2 ln ln

3 52 1

dtL t t

t t= = - + = - =

+ò

y ta c 21 2

1 6ln 2 ln

2 5L L L= + = +

Ví d 3. Tính các tích phân sau

( ) ( )4

3

2 40 0

6

11/ 1 sin cos 2 / 3 / s inx sin

sin cosI x xdx J dx K x xdx

x x

pp p

p

= - = = +ò ò ò

i gi i

( )2

3

0

1/ 1 sin cosI x xdx

p

= -òt sin cosx t dt xdx= Þ =

i c n 0 0; 12

x t x tp

= Þ = = Þ =

Khi ó ( )11 4

3

0 0

31

4 4t

I t dt tæ ö÷ç ÷= - = - =ç ÷ç ÷çè øò

4

2 4

6

12 /

sin cosJ dx

x x

p

p

= ò

t2

1cot

sinx t dt dx

x

-= Þ =

hoctoancapba.com


98

i c n 3; 16 4

x t x tp p

= Þ = = Þ =

Khi ó323 3

2 2 4 31 1 1

1 2 1 2 1 8 3 41 1

27 33J dt dt t

tt t t t

æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= + = + + = - - = +ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è øò ò

( ) 2

0 0 0

3 / s inx sin sin sinK x xdx xdx x xdxp p p

= + = +ò ò ò

t 21

0 0

1 cos 2 1sin

2 2x

K xdx dxp p

p-

= = =ò ò

20

sinK x xdxp

= ò

sin cos

u x du dx

dv xdx v x

ì ìï ï= =ï ïÞí íï ï= = -ï ïî î

2 0 00

cos cos s inxK x x xdxp

p pp p= - + = + =ò

* Chú ý: Ta th ng t t là c n, m , m u. - N u hàm có ch a d u ngo c kèm theo lu th a thì t t là ph n bên trong d u ngo cnào có lu th a cao nh t. - N u hàm ch a m u s thì t t là m u s . - N u hàm s ch a c n th c thì t t = c n th c.

- N u tích phân ch a dxx

thì t lnt x= .

- N u tích phân ch a xe thì t xt e= .

- N u tích phân ch a dx

x thì t t x= .

- N u tích phân ch a2

dx

x thì t 1

tx

= .

- N u tích phân ch a cosxdx thì t sint x= . - N u tích phân ch a sin xdx thì t cost x= .

- N u tích phân ch a2cos

dx

x thì t tant x= .

- N u tích phân ch a2sin

dx

x thì t cott x= .

hoctoancapba.com


99

Ví d 3. Tính các tích phân

a)2

0

sinI x xdx

p

= ò1

) lne

b J x xdx= ò1

0

) xc K xe dx= òi gi i

a)2

0

sinI x xdx

p

= ò

sin cos

u x du dx

dv xdx v x

ì ìï ï= =ï ïÞí íï ï= = -ï ïî î

2

2 20 0

0

cos cos 0 0 s inx 1I x x xdx

pp p

= - + = - + =ò

1

) lne

b J x xdx= ò

2

1ln

2

du dxu x xdv xdx x

v

ìïï =ì ïï = ïï ïÞí íï ï=ï ïî =ïïïî2 2 2 2

11 1 1

1ln ln

2 2 2 4 4

e e eex x x x e

J x dx x+

= - = - =ò1

0

) xc K xe dx= ò

x x

u x du dx

dv e dx v e

ì ìï ï= =ï ïï ïÞí íï ï= =ï ïï ïî î1

1 1

0 00

1x x xK xe e dx e e= - = - =ò

Ví d 4. Tính các tích phân sau2 ln 4 22 2

2

3 21 0 1

1 1 11 / 2 / 3 / ln

2

x

x

x xI x dx J e dx K xdx

x x xe

æ öæ ö- -÷÷ çç ÷÷ ç= + = + =ç ÷÷ çç ÷÷ç ÷ç+è ø è ø+ò ò ò

i gi i

hoctoancapba.com


100

2 2 22 22 2

3 21 1 1

1 11 /

x xI x dx x dx dx

x x x x

æ ö- -÷ç ÷= + = +ç ÷ç ÷ç + +è øò ò ò

Tính22

2 31

1 1

1 73 3

I x dx x= = =ò

22 2 22 2

2 31 1 1 1

1111 1 4

ln ln1 1 5

d xxx xI dx dx dx x

xx x x xx x

æ ö÷ç ÷+ç- ÷ç æ ö÷ç- è ø ÷ç ÷= = = - = - + =ç ÷ç ÷ç+ è ø+ +ò ò ò

y1 2

7 4ln

3 5I I I= + = +

ln 4 ln 4 ln 4

0 0 0

1 12 /

2 2

x x

x xJ e dx e dx dx

e e

æ ö÷ç ÷ç= + = +÷ç ÷÷çè ø+ +ò ò ò

ln 4ln 4

1 00

3x xJ e dx e= = =ò

( )

ln 42

20

22

21 1

1 2; 2

2

2 3ln ln

2 22

x x x

xJ dx t e t e tdt e dx dx dt

te

tJ dt

tt t

= = Þ = Þ = Þ =+

æ ö÷ç ÷Þ = = =ç ÷ç ÷ç ++ è ø

ò

ò

y1 2

33 ln

2J J J= + = +

2 2

21

13 / ln

xK xdx

x

-= ò

t2 2

2

112

1ln1 1 1

ln1 1

u x du dxx K x x x dxx x x xdv dx v xx x

ìïìï ï= =ï ï æ ö æ öï ï ÷ ÷ï ï ç ç÷ ÷Þ Þ = + - +ç çí í- ÷ ÷ç ç÷ ÷ç çï ï è ø è ø=ï ï = +ï ïïî ïïî

ò

2 2

1 1

1 1 5 3ln ln 2

2 2K x x x

x x

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷Þ = + - - = -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

Ví d 5. Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các ng saua) 2y x= , tr c hoành và hai ng th ng x=0, x=2.

hoctoancapba.com


101

b) 2y x= , 2 3y x= - + và hai ng th ng x =0, x=2.

c) 2, 2y x y x= = +

i gi ia) 2y x= , tr c hoành và hai ng th ng x= 0, x=2.

Trên [0; 2] ta có 2 0 0 [0;2]x x= Û = Î

Di n tích c a hình ph ng ã cho:22

2 3

0 0

1 83 3

S x dx x= = =ò

b) t 21 2( ) , ( ) 2 3f x x f x x= = - +

Ta có: 2 21 2

1 [0;2]( ) ( ) 0 ( 2 3) 0 2 3 0

3 [0;2]

xf x f x x x x x

x

é = Îê- = Û - - + = Û + - = Û ê = - ÏêëDi n tích hình ph ng ã cho

22

0

| 2 3 |S x x dx= + -ò1 2

2 2

0 1

1 23 3

2 2

0 1

( 2 3) ( 2 3)

3 33 3

1 8 1 5 72 4 6 1 3 4

3 3 3 3 3

x x dx x x dx

x xx x x x

= + - + + -

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷= + - + + -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

= - + + - - - + = + =

ò ò

c) Ta có: 2 21

( 2) 0 2 02

xx x x x

x

é = -ê- + = Û - - = Û ê =êëDi n tích hình ph ng

22 3 22

1 1

8 1 1 9| 2 | x 2x 2 4 2

3 2 3 3 2 2x x

S x x d- -

æ ö÷ç ÷= - - = - - = - - + + - =ç ÷ç ÷çè øò

Ví d 6. Tính th tích v t th tròn xoay sinh ra khi quay hình (D) quanh tr c Ox bi t (D)gi i h n b i 21 , 0y x y= - =

i gi iTa có: 21 0 1x x- = Û = ±

hoctoancapba.com


102

Áp d ng công th c: 2( )b

a

V f x dxp= ò

Ta có:1

2 2

1

(1 )V x dxp-

= -ò ( )11 3 5

2 4

1 1

2x1 2x

3 5x

x dx xp p- -

æ ö÷ç ÷= - + = - +ç ÷ç ÷çè øò

2 1 2 1 4 2 161 1 2

3 5 3 5 3 5 15p

p pé ùæ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç çê ú÷ ÷ ÷= - + - - + - = - + =ç ç ç÷ ÷ ÷ê úç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è øê úë û

Bài T p t luy nBài 1: Tính các tích phân sau

1.1

3

0

( 1)x x dx+ +ò 2. 2

21

1 1( )

e

x x dxx x

+ + +ò 3.2

1

1x dx+ò

4.2

3

(2 sin 3 )x cosx x dx

p

p

+ +ò 5.1

0

( )xe x dx+ò 6.1

3

0

( )x x x dx+ò

7.2

1

( 1)( 1)x x x dx+ - +ò 8.2

3

1(3 sin 2 )x cosx dx

x

p

p

+ +ò 9.1

2

0

( 1)xe x dx+ +ò

10.3

3

1

( 1).x dx-

+ò 11.2

1

7 2 5e

x xdx

x- -

ò 12.2

2

( 3)x x dx-

-ò

13.4

2

3

( 4)x dx-

-ò 14.2

2 31

1 1dx

x x

æ ö÷ç ÷+ç ÷ç ÷çè øò 15.2 2

31

2x xdx

x

-ò

16.8

3 21

14

3x dx

x

æ ö÷ç ÷ç - ÷ç ÷÷çè øò

Bài 2: Tính các tích phân sau

1.2

3 2

3

sin xcos xdx

p

pò 2.

6

0

1 4 sin xcosxdx

p

+ò 3.1

2

0

1x x dx+ò

4.1

2

0

1x x dx-ò 5.1 2

30 1

xdx

x +ò 6.

1

2 20 (1 3 )

xdx

x+ò

hoctoancapba.com


103

7.2

sin

4

xe cosxdx

p

pò 8.

22 3

0

sin 2 (1 sin )x x dx

p

+ò 9.1

5 3 6

0

(1 )x x dx-ò

12.6

20

cos

6 5 sin sin

xdx

x x

p

- +ò 11.9

4 1

xdx

x -ò 12.

6

0

1 4 sin .cosx xdx

p

+ò

13.2

12

0

xe xdx+ò 14.1

1 lne

xdx

x+

ò 15.1

sin(ln )e

xdx

xò

16.1

0

1x x dx+ò 17.1

2 3

0

5x x dx+ò 18.8

23

1

1dx

x x +ò

19.ln 5

ln 3 2 3x x

dx

e e-+ -ò 20.1

0

xe dx-ò 21.3

30

sinx

cos

xd

x

p

ò

22.1

2

0

1 x dx-ò 23.1

20

1

4dx

x-ò 24.

1

20

1

1dx

x+òBài 3: Tính các tích phân sau

1.2

2

0

cosx xdx

p

ò 2.1

0

sinxe xdxò 3.2

0

(2 1) osxx c dx

p

-ò

4.1

0

xxe dxò 5.1

lne

x xdxò 6.2

2

0

( 1)sin xx dx

p

+ò

7.2

2

0

( os )sin xx c x dx

p

+ò 8.2

2

0

sin 3xxe dx

p

ò 9.1

2

0

( 2) xx e dx-ò

10.1

2

0

ln(1 )x x dx+ò 11.1

(2 2) lne

x xdx+ò 12.2

0

cosx x dx

p

ò

13.2

0

(2 7) ln( 1)x x dx+ +ò 14.1

2

0

( 2) xx e dx-òBài 4: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các ng sau:

a) 3 21 23 3

y x x= - + - , tr c hoành, x = 0 và x = 2.

b) 2 1, 1, 2y x x x= + = - = và tr c hoành.

hoctoancapba.com


104

c) 3 212 ,y x x y x= - =

d) 3 1y x= - và ti p tuy n c a nó t i m có tung b ng -2.

e) 2 4 , 0, 0, 3y x x y x x= - = = =

f) 3s inx, y=0, x=0, x=

2y

p=

g) , Ox, 0, 3xy e x x= = =

Bài 5: Tính th tích v t tròn xoay khi quay các hình ph ng gi i h n b i các ng sauquanh tr c hoành:a) 2 4 , 0, 0, 3y x x y x x= - = = =

b) cos , 0, 0,y x y x x p= = = =

c) tan , 0, 0,4

y x y x xp

= = = =

d) 22 , 1y x y= - =

e) 1ln , , , 0y x x x e y

e= = = =

hoctoancapba.com


105

CHUYÊN 7: PH NG PHÁP T A TRONG KHÔNG GIANBiên so n và s u t m: Hoàng V n Quý – GV tr ng THPT L ng Tài s 2

1. Ki n th c liên quan1.1. M t s phép toán vect

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

2 2 2

1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3

2 2 21 2 3

1 1

2 2

3 3

1

1. ( , , )

2.

3. , , a , , , b , ,

4. k.a , ,

5. a

6. a

7. a.

B A B A B A

B A B A B A

AB x x y y z z

AB AB x x y y z z

a b a b a b a b a a a b b b

ka ka ka

a a a

a b

b a b

a b

b a

= - - -

= = - + - + -

± = ± ± ± = =

=

= + +

ìï =ïïï= Û =íïï =ïïî=

1 2 2 3 3

1 2 3

1 2 3

1 1 2 2 3 3

2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

. . .

8. a .

9. a . 0 . . . 0

10. [a, ] , ,

b a b a b

a a acp b a k b

b b b

b a b a b a b a b

a a a a a ab

b b b b b b

+ +

Û = Û = =

^ Û = Û + + =æ ö÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷çè ø

11. M là trung m AB

, ,2 2 2

A B A B A Bx x y y z z

Mæ ö+ + + ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

12. G là tr ng tâm tam giác ABC

, , ,3 3 3

A B C A B C A B Cx x x y y y z z z

Gæ ö+ + + + + + ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

1.2. Ph ng trình m t ph ng*) Ph ng trình mp( ) qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt = (A;B;C)

A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0 ( ) : Ax + By + Cz + D = 0 thì ta có vtpt = (A; B; C)*) Ph ng trình m t ph ng theo n ch n i qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) là

1x y za b c

+ + =

n

n

hoctoancapba.com


106

Chú ý : Mu n vi t ph ng trình m t ph ng ta c n xác nh t a m i qua và 1 véct pháptuy n.*) trí t ng i c a hai mp ( 1) và ( 2) : ° ( )a c t

1 1 1 2 2 2( ) : : : :A B C A B Cb Û ¹

° 1 1 1 1

2 2 2 2

( )/ /( )A B C D

A B C Da b Û = = ¹

° 1 1 1 1

2 2 2 2

( ) ( )A B C D

A B C Da bº Û = = =

°1 2 1 2 1 2

( ) ( ) 0AA B B C Ca b^ Û + + =

*) Kho ng cách t M(x0,y0,z0) n ( ) : Ax + By + Cz + D = 0

o o o

2 2 2

Ax By Cz D

A B Ca

+ + +=

+ +d(M, )

*) Góc gi a hai m t ph ng : 1 2

1 2

.) )

.

n n

n na b =cos(( ,( )

1.3. Ph ng trình ng th ng*) Ph ng trình tham s c a ng th ng d qua M(xo ;yo ;zo) có vtcp a = (a1;a2;a3)

: (

ìï = +ïïï = + Îíïï = +ïïî

o 1

o 2

o 3

x x a td y y a t t )

z z a t

*) Ph ng trình chính t c c a d :

0:- -

= =2 3

o o

1

z - zx x y yd

a a a

*) trí t ng i c a 2 ng th ng d , d’ : Ta th c hi n hai b c

+ Tìm quan h gi a 2 vtcpd

a , /da

+ Tìm m chung c a d , d’ ng cách xét h :0 1 0 1

0 2 0 2

0 3 0 3

x + a t = x' + a' t'

y + a t = y' + a' t' (I)

z + a t = z' + a' t'

ìïïïïíïïïïî

(I) Quan h gi ad

a , /da trí gi a d , d’

Vô s nghi mCùng ph ng

'd dºVô nghi m '/ /d d

Có 1 nghi mKhông cùng ph ng

d c t d’

Vô nghi m d , d’ chéo nhau

hoctoancapba.com


107

*). Góc gi a 2 ng th ng : G i j là góc gi a d và d’

/

/

.(0 90 )

.

d d

d d

a a

a aj j= £ £cos

1.4. M t s d ng toán th ng g png 1: Các bài toán c b n( các y u t ã cho s n)

Vi t ph ng trình m t ph ng i qua ba m, i qua m t m và song song v i m tph ng cho tr c...Vi t ph ng trình ng th ng i qua hai m, song song v i ng th ng chotr c...Ch ng minh ABCD là m t t di n, tính di n tích tam giác bi t t a ba m...Tìm t a hình chi u c a m trên ng th ng, m t ph ng...Vi t ph ng trình m t c u bi t tâm và bán kính, i qua 4 m ã cho...

ng 2: Bài toán v ph ng trình m t ph ng và các v n liên quanVi t ph ng trình m t ph ng b ng cách xác nh VTPTVi t ph ng trình m t ph ng liên quan n kho ng cáchVi t ph ng trình m t ph ng d ng n ch nVi t ph ng trình m t ph ng liên quan n gócVi t ph ng trình m t ph ng liên quan n m t c uCác d ng toán khác v m t ph ng

ng 3: Bài toán v ph ng trình ng th ng và các v n liên quanVi t ph ng trình ng th ng b ng cách xác nh VTCPVi t ph ng trình ng th ng liên quan n ng th ng khácVi t ph ng trình ng th ng liên quan n kho ng cáchVi t ph ng trình ng th ng liên quan n gócVi t ph ng trình ng th ng liên quan n diên tích tam giác

ng 4 Các bài toán t ng h p1.5. Ph ng trình m t c u1.5.1. Ph ng trình m t c u tâm I(a ; b ; c), bán kính R

( ) ( ) ( ) 2r- + - + - =2 2 2

(S) : x a y b z c (1)

+/ + + - - - + =2 2 2(S) : x y z 2ax 2by 2cz d 0 (2) ( + + - >2 2 2vôùi a b c d 0 )

+/Ta có: Tâm I(a ; b ; c) và 2 2 2r = + + -a b c d

1.5.2. V trí t ng i c a m t ph ng và m t c u

Cho ( ) ( ) ( ) 2r- + - + - =2 2 2

(S) : x a y b z c và ( ) : Ax + By + Cz + D = 0

hoctoancapba.com


108

G i d = d(I,( )) : kho ng cách t tâm m t c u (S) n mp( ).d > r : (S) ( ) = Æd = r : ( ) ti p xúc (S) t i H (H: ti p m, ( ): ti p di n)

*Tìm ti p m H (là hình chi u vuông góc c a tâm I trên mp( ) )

+ Vi t ph ng trình ng th ng d qua I và vuông góc mp( ) : ta có ( )da n a=

+ H = d Ç ( )i H (theo t) Îd

HÎ( ) Þ t = ? Þ a H

d < r : ( ) c t (S) theo ng tròn (C): ( ) ( ) ( ) 2

( )

r

a

ìïï - + - + - =ïíï + + + =ïïî

2 2 2(S) : x a y b z c

: Ax By Cz D 0

*Tìm bán kính R và tâm H c a ng tròn giao tuy n:

+ Bán kính 2 2( ,( ))R r I a= -d

+ Tìm tâm H ( là hình chi u vuông góc c a tâm I trên mp( ) )1.5.3. Các d ng toán c b n v m t c u

Vi t ph ng trình m t c u b ng cách xác nh tâm và bán kính.Vi t ph ng trình m t c u b ng cách xác nh h s c a ph ng trình t ng quát.Bài toán khác liên quan n m t c u.

2. VÍ D MINH H AVí d 1. Trong không gian v i h t a Oxyz, cho hai ng th ng

( )1 2

2 2 2: & : 1 2

2 4 2

x tx y z

d d y t t R

z t

ìï =ïï- - - ï= = = + Îíïï =ïïîCh ng minh hai ng th ng song song. Vi t ph ng trình mp(P) ch a 2 ng th ng trên

i gi i

Ta có ( ) ( )1 22;4;2 ; 1;2;1u u= = suy ra hai véc t cùng ph ng.

Ta có ( ) 12;2;2M dÎ và ( ) 2

2;2;2M dÏ

Suy ra hai ng th ng song song

Ta có ( ) ( ) ( )1 12;4;2 ; 2; 1; 2 , 6; 0;6u MN u MNé ù= = - - - Þ =ê úë û

i N(0;1;0)

Ph ng trình mp(P): x+z-4=0Ví d 2. Trong không gian v i h t a Oxyz, cho m t ph ng (P): 3x-2y-3z+1=0 và m tph ng (Q): 5x+2y+5z-1=0. Vi t ph ng trình m t ph ng (R) vuông góc v i mp(P) vàmp(Q) ng th i bi t kho ng cách t g c t a n mp(R) b ng 1.

hoctoancapba.com


109

i gi i

Ta có ( ), 4; 30;16R P Q

n n né ù= = - -ê úë ûSuy ra ph ng trình (R) là: -4x-30y+16z+D=0

Ta có ( )( ); 12 293

Dd O R = =

y ph ng trình mp(R) là: 2 15 8 293 0x y z- - + ± =

Ví d 3: Trong không gian v i h t a Oxyz, cho ba m A(0,1,2), B(2,-2,1), C(-2;0;1)1. Vi t ph ng trình m t ph ng i qua ba m A, B, C

2. Tìm t a m M thu c m t ph ng 2x+2y+z-3=0 sao cho MA=MB=MCi gi i

1.Vi t ph ng trình m t ph ng i qua ba m A, B, C

Ta có ( ) ( ) ( )2; 3; 1 ; 2; 1; 1 , 2; 4; 8AB AC n AB ACé ù= - - = - - - Þ = = -ê úë ûPh ng trình m t ph ng(ABC) : x+2y-4z+6=0

2. Tìm t a m M thu c m t ph ng 2x+2y+z-3=0 sao cho MA=MB=MC

Ta có . 0AB AC = nên M thu c ng th ng vuông góc v i (ABC) t i trung m

I(0;-1;1) c a n BCa m M th a mãn h ph ng trình

2 2 3 0

1 11 2 4

x y z

x y z

ìï + + - =ïïí + -ï = =ïï -î

Suy ra t a M(2;3;-7)

Ví d 4: Trong không gian t a Oxyz, cho A(1;2;3) B(2;2;2) C(1;2;0) Vi t ph ng trình

t ph ng i qua A, B sao cho kho ng cách t C n m t ph ng ó b ng 3.

i gi i

i ( ); ; . 0 0n a b c n AB a c= Þ = Þ - =

Ph ng trình mp có d ng ax+by+cz-a-2b-3c=0

Ta có ( )( )2 2 2

3; 3

cd C P

a b c

-= =

+ +

Suy ra a=b=c=1 ho c a=c=1, b=-1

Ph ng trình mp(P) là x+y+z-6=0 ho c x-y+z-2=0

hoctoancapba.com


110

Ví d 5: Trong không gian t a Oxyz, cho các m A(1;0;0), B(0;b;0), C( 0;0;c), trong ób,c d ng và m t ph ng (P): y-z+1=0. Xác nh b và c, bi t m t ph ng (ABC) vuông góc

i m t ph ng (P) và kho ng cách t O n (ABC) b ng 13

i gi i

Ta có ph ng trình (ABC) là 11x y z

b c+ + =

Ta có . 0ABC P

n n b c= Û =

Ta có ( )( )2 2 2 2

1;

3

bcd O ABC

b c b c

-=

+ +

Suy ra12

b c= =

Ví d 6 Trong không gian t a Oxyz, cho 2 ng th ng

( )1 2

21 1 1

: & : 1 21 3 2

x tx y z

d d y t t R

z t

ìï = +ïï+ + - ï= = = - Îíï- ï = -ïïîVi t ph ng trình ng th ng d c t c 2 ng th ng

1d và

2d ng th i vuông góc v i

mp(P): 2x+y-5=0i gi iTa có

( )( )

( )

1

2

1 ; 1 3 ;1 2

2 ;1 2 ;

3; 2 3 2; 2 1

d d A A u u u

d d B B t t t

AB t u t u t u

Ç = Þ - - - + +

Ç = Þ + - -

Þ = + + - - + - - -

T a có ( )3

2P

td P AB kn

u

ìï =ï^ Û = Þ íï = -ïî

Suy ra ph ng trình ng th ng d là ( )1 2 '

7 ' '

5

x t

y t t R

z

ìï = +ïïï = - + Îíïï = -ïïî

Ví d 7: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2), B(-3;1;4), C(1;-2;-1). Vi t ph ng trình tham c a ng th ng d bi t:a) d qua m A và trung m I c a n th ng BC.b) d qua C và vuông góc v i mp(ABC).

hoctoancapba.com


111

i gi i

a) I là trung m BC nên 1 31; ;

2 2I

æ ö÷ç ÷- -ç ÷ç ÷çè ø.

VTCP: 3 11; ;

2 2AI

æ ö÷ç ÷= - - -ç ÷ç ÷çè ø.

Ph ng trình tham s ng th ng d:0 1

0 2

0 3

31

21

22

x tx x a t

y y a t y t

z z a tz t

ìïï = -ïìï ï= +ï ïï ïï ï= + Û = -í íï ïï ï= +ï ïï ïî ï = -ïïî

b) ( 3;0;2), (4; 3; 5)AB BC= - = - -

VTCP: (6; 7;9)n AB BC= Ù = -

Ph ng trình ng th ng d c n tìm:

0 1

0 2

0 3

1 6

2 7

1 9

x x a t x t

y y a t y t

z z a t z t

ì ìï ï= + = +ï ïï ïï ï= + Û = - -í íï ïï ï= + = - +ï ïï ïî î

Ví d 8: Xét v trí t ng i c a d1

3

3

x t

y t

z t

ìï = - +ïïï = -íïï =ïïî

v i các ng th ng:

a)1

1 2

: 2

3 6

x t

y t

z t

ìï = +ïïïD = -íïï = +ïïî

b)2

2

: 8 2

1 4

x t

y t

z t

ìï = +ïïïD = -íïï = +ïïî

c)3

1 2

: 4

1 3

x t

y t

z t

ìï = - -ïïïD = +íïï = - +ïïîi gi i

a) d có VTCP (1; 1;3)u = - .

1D có VTCP

1(2; 2;6)u = - .

Xét h ph ng trình:1 2 1 ' 2 ' 2

2 3 ' 2 ' 3

3 6 3 ' 6 3 ' 3

t t t t

t t t t

t t t t

ì ìï ï+ = - + - = -ï ïï ïï ï- = - Û - + =í íï ïï ï+ = - = -ï ïï ïî î

vô nghi m.

Và1

(2; 2;6) 2u u= - =

Suy ra: d //1

D .

hoctoancapba.com


112

b) Th c hi n t ng t : d và2

D c t nhau.

c) Th c hi n t ng t : d và3

D chéo nhau.

Ví d 9. Trong không gian v i h t a Oxyz , cho m t ph ng (P): x-2y-3z+5=0. Vi tph ng trình m t ph ng vuông góc v i (P) ng th i ch a Oy

i gi i

Ta có ( ), 3;0;1P

n n j na aé ù= Þ =ê úë û

Ph ng trình m t ph ng là: 3x+z=0Ví d 10. Trong không gian v i h t a Oxyz , cho hai ng th ng

1 2 '

: 1 2 ' : 1 '

2 3 '

x t x t

d y t d y t

z t z t

ì ìï ï= + = +ï ïï ïï ï= - = - +í íï ïï ï= + = +ï ïï ïî î

Vi t ph ng trình m t ph ng ch a hai ng th ng trêni gi i

Ta có h ph ng trình có nghi m duy nh t1

' 0

t

t

ìï =ïíï =ïî suy ra d c t d’ t i I(2;-1;3)

Ta có ( ), ' 3; 0; 3P P

n u u né ù= Þ = -ê úë ûPh ng trình m t ph ng là: -x+z-1=0

Ví d 11: Cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2;-6) và mp(P) 2 2 1 0x y z- + + =a) Vi t ph ng trình m t c u tâm B qua A.b) Vi t ph ng trình m t c u ng kính BC.c) Vi t ph ng trình m t c u tâm C, ti p xúc mp(P).

i gi ia) M t c u tâm B, qua A nên có bán kính r = AB.

1 4 1 6AB = + + =

Ph ng trình m t c u c n tìm: 2 2 2( 1) ( 3) ( 1) 6x y z- + - + - = .b) G i I là trung m BC

Khi ó, 3 1 691; ; 2 ,

2 2 2I BC

æ ö÷ç ÷- =ç ÷ç ÷çè ø

t c u ng kính BC có tâm 31; ; 2

2I

æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø, bán kính r = 69

2 có ph ng trình:

hoctoancapba.com


113

2 2 23 69( 1) ( ) ( 2)

2 4x y z- + - + + =

c) M t c u tâm C ti p xúc v i (P) nên có bán kính0 4 12 1

( ,( )) 51 4 4

r d C P- - +

= = =+ +

Ph ng trình m t c u c n tìm: 2 2 2( 2) ( 6) 25x y z+ - + + =

Ví d 12: Cho m t c u (S): 2 2 2 2 6 8 1 0x y z x y z+ + - + - + = .a) Xác nh t a tâm I và bán kính r c a m t c u (S).

b) Vi t ph ng trình mp(P) ti p xúc v i m t c u t i M(1;1;1).i gi i

a) T ph ng trình m t c u ta có:

2 2 1

2 6 3

2 8 4

1 1

a a

b b

c c

d d

ì ìï ï- = - =ï ïï ïï ï- = = -ï ïï ïÛí íï ï- = - =ï ïï ïï ï= =ï ïï ïî îa tâm I(1; -3; 4).

Bán kính: 1 9 16 1 5r = + + - =b) M t ph ng ti p xúc m t c u t i M nên IM vuông v i mp.

(0; 4; 3)IM = -

Mp(P) qua M(1;1;1), có VTPT (0; 4; 3)IM = - có ph ng trình:0( 1) 4( 1) 3( 1) 0 4 3 1 0x y z y z- + - - - = Û - - =

3. BÀI T P T LUY NBài 1. Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;3) và mp(P) x+y+z-3=0. Tìm t a hình chi u

a A lên (P)

Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;3) và ( ): 1 2

x t

d y t t R

z t

ìï =ïïï = + Îíïï =ïïî

Tìm t a hình

chi u c a A lên d, m x c a A qua d.

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho (P): x+y+z-1=0 và ( ): 1 2

x t

d y t t R

z t

ìï =ïïï = + Îíïï =ïïî

Tìm M trên d

sao cho kho ng cách t M n mp(P) b ng 3.Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho 2 ng th ng

hoctoancapba.com


114

( )1 2

2 2 2: & : 1 2

2 4 2

x tx y z

d d y t t R

z t

ìï =ïï- - - ï= = = + Îíïï =ïïîXét v trí c a hai ng th ng. Vi t ptmp ch a 2 ng th ng trên.Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho 2 ng th ng

( )1 2

2 1 1: & : 1 2

1 1 2

x tx y z

d d y t t R

z t

ìï =ïï- - - ï= = = + Îíï- ï =ïïîXét v trí c a 2 ng th ng. Vi t ptmp i qua ch a ng th ng

1d ng th i //

2.d

Bài 6. Trong không gian Oxyz, cho b n m A(1 ; -2 ; 2), B(1 ; 0 ; 0), C(0 ; 2 ; 0),D(0 ; 0 ; 3).

a) Vi t ph ng trình m t ph ng (BCD). Suy ra ABCD là m t t di n.b) Tìm m A’ sao cho mp(BCD) là m t ph ng trung tr c c a an AA’.

Bài 7. Trong không gian v i h t a Oxyz,cho hai m A(2 ; 1 ; 1), B(2 ; -1 ; 5).a) Vi t ph ng trình m t c u (S) ng kính AB.b) Vi t ph ng trình m t ph ng qua ti p m v i m t c u (S) t i A.c) Tìm m M trên ng th ng AB sao cho tam giác MOA vuông t i O.

Bài 8. Trong không gian v i h t a Oxyz, cho hai m A(3 ; 0 ; -2), B(1 ; -2 ; 4).a) Vi t ph ng trình ng th ng AB và ph ng trình m t ph ng trung tr c c a n

th ng AB.b) Vi t ph ng trình m t c u tâm A và i qua m B. Tìm m i x ng c a B qua

m A.Bài 9. Cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2)

a) Vi t ph ng trình mp i qua I(2;1;1) và song song v i mp (ABC).b) Vi t ph ng trình mp qua A và song song v i mp (P):2x- y- 3z- 2 = 0.c) Vi t ptmp qua hai m A ,B và vuông góc v i mp (Q):2x- y+2z- 2 = 0.d) Vi t ptmp qua A, song song v i Oy và vuông góc v i mp (R):3x – y-3z-1=0.e) Vi t ph ng trình mp qua C song song v i mp Oyz.f) Vi t pt mp(P) qua các m là hình chi u c a m M(2;-3;4) lên các tr c t a .

Bài 10. Cho hai ng th ng (d): 1 1 22 3 1

x y z+ - -= = và (d’): 2 2

1 5 2x y z- +

= =-

.

a) Ch ng t r ng (d) và (d’) chéo nhau.Tính kho ng cách gi a (d) và (d’).b) Vi t ph ng trình ng vuông góc chung c a chúng.c) Tính góc gi a (d1) và (d2).

Bài 11. Trong không gian Oxyz cho b n m A(-2;1;-1), B(0,2,-1), C(0,3,0), D(1,0,1).a) Vi t ph ng trình ng th ng BC.b) Ch ng minh 4 m A, B, C, D không ng ph ng. Tính th tích t di n ABCD.

hoctoancapba.com


115

Bài 12. Cho ( ) : 2 5 17 0x y za + + + = và ng th ng (d) là giao tuy n c a hai m t ph ng

3x – y + 4z – 27 = 0 và 6x + 3y – z + 7 = 0.a) Tìm giao m A c a (d) và ( )a .

b) Vi t ph ng trình ng th ng ( )D i qua A, vuông góc v i (d) và n m trong m t

ph ng ( )a .

Bài 13. Trong không gian Oxyz cho m A(1;4;2) và m t ph ng (P) có ph ng trình x + 2y + z –1= 0

a) Hãy tìm t a hình chi u vuông góc c a A trên (P).b) Vi t ph ng trình m t c u tâm A, ti p xúc v i (P).

Bài 14. Trong không gian v i h t a Oxyz , cho m M (4 ; -3 ; 2 ) và ng th ng

(d) có ph ng trình tham s2 3

2 2

x t

y t

z t

ìï = - +ïïï = - +íïï = -ïïî

.

a) Vi t ph ng trình mp(P) qua m M và ch a ng th ng (d).b) Vi t ph ng trình mp (Q), bi t mp(Q) qua M và vuông góc ng th ng (d).c) Tìm t a m H là hình chi u vuông góc c a M lên ng th ng (d).

Bài 15. Trong không gian v i h t a Oxyz cho m M(2;3;0), m t ph ng (P) : 2 1 0x y z+ + + = và m t c u (S) : 2 2 2 2 4 6 8 0x y z x y z+ + - + - + = .

a) Tìm m N là hình chi u c a m M lên m t ph ng (P). b) Vi t ph ng trình m t ph ng (Q) song song v i (P) và ti p xúc v i m t c u (S).

hoctoancapba.com


116

O H

M

b'c'h

a

c b

A

B CH M

ha

c b

a

A

B C

CHUYÊN 8: HÌNH H C KHÔNG GIANBiên so n và s u t m: Nguy n Minh Nhiên – S GD& T

1. TH TÍCH KH I A DI N1.1. Ki n th c liên quan1.1.1. T s l ng giác c a góc nh n

sinMHOM

a· =

cosOHOM

a· =

tanMHOH

a· =

cotOHMH

a· =

1.1.2. H th c l ng trong tam giác vuôngCho ABCD vuông A

nh lý Pitago: 2 2 2BC AB AC= + hay 2 2 2a b c= +

2 2. ; .BA BH BC CA CH CB= = hay 2 2. ', . 'b a b c a c= =

. .AB AC BC AH= hay bc ah=

2 2 2

1 1 1

AH AB AC= + hay

2 2 2

1 1 1

h b c= +

2BC AM=1.1.3. H th c l ng trong tam giác th ng

nh lý hàm s Côsin: 2 2 2 2 .cosa b c bc A= + -

nh lý hàm s Sin: 2sin sin sin

a b cR

A B C= = =

1.1.4. Các công th c tính di n tích.a. Công th c tính di n tích tam giác.

1 1 1.

2 2 2a b cS a h bh ch= = =

1 1 1sin sin sin

2 2 2S ab C bc A ca B= = =

3

.

183.

8ABC A B C ABC

aV S AA¢ ¢ ¢

¢= =

S = pr

hoctoancapba.com


117

H.4H.3H.2H.1a

hnm

b

ab

a

a

G

MCB

A

a

aa

a

H.5 H.6 H.7

( )( )( )S p p a p b p c= - - - v i2

a b cp

+ += (Công th c Hê-rông)

c bi t:

ABCD vuông A: 1.

2S AB AC=

ABCD u c nh a:2 34

aS =

b. Di n tích hình vuông c nh a: 2S a= (H.1)c. Di n tích hình ch nh t: .S a b= (H.2)

d. Di n tích hình thoi: 1.

2S m n= (H.3)

e. Di n tích hình thang: ( )12

S h a b= + (H.4)

1.1.5. M t s tính ch t c bi t th ng s d ng

ng chéo hình vuông c nh a là 2d a= (H.5)

ng cao tam giác u c nh a là 32

ah = (H.6)

m G là tr ng tâm tam giác ABC thì 23

AG AM= (H.7)

1.1.6. Th tích kh i a di na. Th tích kh i l ng tr

Th tích kh i l ng tr : V Bh= , v i B là di n tích áy ; h là chi u caoTh tích kh i h p ch nh t: V abc= , v i a, b, c là chi u dài, r ng, caoTh tích kh i l p ph ng: 3V a= v i a là c nh

hoctoancapba.com


118

h h

BB

a

a

cb a

a

h

B

b.Th tích kh i chóp

Th tích kh i chóp: 13

V Bh= , v i B là di n tích áy, h là chi u cao

1.2.Ph ng pháp tính th tích kh i a di n1.2.1.Ph ng pháp tính tr c ti p b ng vi c s d ng công th c th tích

Khi tính th tích kh i a di n u tiên c n quan tâm hai y u t quan tr ng xác nhth tích là: chi u cao và di n tích áy d a trên các công c ã h c nh các h th c l ngtrong tam giác th ng, h th c l ng trong tam giác vuông,…

a. Th tích kh i chóp.

Ví d 1. ( thi TS H Kh i A n m 2010)Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông c nh a. G i M và N l n l t làtrung m c a các c nh AB và AD; H là giao m c a CN và DM. Bi t SH vuông góc

i m t ph ng (ABCD) và SH = 3a . Tính th tích kh i chóp S.CDNM theo a.i gi i.

Vì ( )SH ABCD^ nên

( ). D

2 3

1 1. .

3 31 5 5 3

33 8 24

S CDMN CDMN ABC BCM AMNV SH S SH S S S

a a a

= = - -

= =

*Nh n xét: Trong nhi u bài toán y u t quan tr ng chính là chi u cao. V i kh i chóp c nchính xác hóa ng cao (chân ng cao) c a hình chóp. ây ta có th li t kê m t str ng h p th ng g p sau:Ví d 2.Tính th tích kh i chóp t giác u S.ABCD có dài t t c các c nh b ng a.

i gi i G i H là tâm c a hình vuông

HD C

AB

S

M

N

hoctoancapba.com


119

HA D

B C

S

600A

C

B

S

MH

Vì .S ABCD là hình chóp u nên ( )SH ABCD^

Do ó,.

1.

3S ABCD ABCDV SH S=

Vì ABCD là hình vuông nên 2 2ABCD

S AB a= = vdt)

Ta có 2 2 2 2 2 22SA SC AB BC AC a+ = + = =nên SACD vuông t i S, mà H là trung m c a AC nên

22 2

AC aSH = =

2 3.

1 1 2 2. . .

3 3 2 6S ABCD ABCD

aV SH S a aÞ = = = vtt)

*Nh n xét: V i kh i chóp u, chi u cao chính là n th ng n i nh và tâm c a áyVí d 3.

Tính th tích kh i chóp tam giác u S.ABC, bi t c nh áy b ng a và các c nhbên h p áy góc 060 .

i gi i G i H là tâm c a tam giác ABC , M là trung m c a BCVì .S ABC là hình chóp u nên ( )SH ABC^

Do ó,.

1.

3S ABC ABCV SH S=

Vì ABC là tam giác u nên AM BC^Trong tam giác vuông ACM ,

2 22 2 2 2 3 3

4 4 2a a

AM AC CM a AM a= - = - = Þ = (1)

21 3.

2 4ABCS AM BC aÞ = = vdt) (2)

Mà ta l i có ,AM BC SH BC^ ^ nên SM BC^ . Do ó, Góc gi a m t ph ng ( )SBC và

t ph ng ( )ABC b ng góc gi a SM và AM hay góc 060SMA = .

Do H là tr ng tâm tam giác ABC nên 1 33 6

HM AM a= =

Trong tam giác vuông SHM , 0tan . tan 602

SH aSMH SH HM

HM= Þ = =

2 3.

1 1 3.

324

. .3 3 2 4S ABC ABC

aV SH S a aÞ = = = vtt)

*Ghi nh :

hoctoancapba.com


120

d

b

ad'

d

B

D

C

A

H

+ Cách xác nh góc gi a t d và m t ph ng ( )a :

-N u ( )d a^ thì góc gi a d và ( )a ng 090

-N u ( )d a^ thì góc gi a d và ( )a ng góc gi a d và d’ là hình chi u c a d trên ( )a

+Cách xác nh góc gi a hai m t ph ng ( )a và ( )b

-Cách 1: Xác nh hai t A, B sao cho ( ) ( ),a ba b^ ^ thì góc gi a ( )a và ( )b là góc gi a

a và b -Cách 2: N u giao tuy n c a ( )a và ( )b là d thì xác nh hai t A, B l n l t n m trong

( )a và ( )b sao cho ,a d b d^ ^ thì thì góc gi a ( )a và ( )b là góc gi a a và b

Ví d 6.Cho t di n ABCD có ABC là tam giác u c nh a,BCD là tam giác vuông cân

i D, m t ph ng 2rp . Tính th tích kh i t di n ABCD.

i gi i G i H là trung m c a BC.Ta có tam giác ABC u nên AH BC^ mà ( ) ( )ABC BCD^ ,( ) ( )ABC BCD BCÇ =

Þ AH ( )BCD^ .

Ta có ABCD là tam giác u c nh a nên 32

aAH =

Mà BCDD là tam giác vuông cân nên

1 22

2 2 2a

DH BC BD DH a= = Þ = =

221

2 4BCD

aS BDÞ = = ( vdt)

231 1 3 3

. .3 3 4 2 24ABCD BCD

aV AH S a aÞ = = = vtt)

*Nh n xét:

hoctoancapba.com


121

600

D C

AB

S

B

A

C

S

H

Hình chóp có m t m t bên ho c m t chéo vuông góc v i áy góc thì chân ng caothu c giao tuy n m t ó v i áy, ng cao n m trong m t bên ho c m t chéo ó.

*Ghi nh :( ) ( )( ) ( )

( )( )

,

d a

a a d

a b

a b b

a

ìï ^ïïï Ç = Þ ^íïïï Ì ^ïîVí d 7. Cho hình chóp .S ABCD có áyABCD là hình ch nh t, AB = a, BC = 2a. Hai

t bên (SAB) và (SAD) vuông góc v i áy, c nh SC h p v i áy m t góc 600. Tính thtích kh i chóp S.ABCD.

i gi i

Ta có:( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )SAB ABCD

SAD ABCD SA ABCD

SAB SAD SA

ìï ^ïïï ^ Þ ^íïïï Ç =ïî

Do ó,.

1.

3S ABCD ABCDV SAS=

Di n tích áy ABCD là: 2. 2ABCD

S AB BC a= =

Do AC là hình chi u c a SC trên m t ph ng ( )ABCD nên góc gi a SC và m t ph ng

( )ABCD là góc 060SCA =

Ta có: 2 2 05 . tan 5. tan 60 15AC AB BC a SA AC SCA a a= + = Þ = = =

y th tích kh i chóp là:3

.

2 153S ABCD

aV = ( vtt)

*Nh n xét:Hình chóp có hai m t bên k nhau cùng vuông góc v i áy thì ng

cao là giao tuy n c a hai m t ó.

Ví d 8. Cho hình chóp .S ABC có áy ABC là tam giác vuông t i A, , 2AB a BC a= = .Các c nh bên 2SA SB SC a= = = . Tính th tích kh i chóp .S ABC .

i gi ii H là hình chi u c a S trên m t ph ng ( )ABC

vì các ng xiên SA SB SC= = nên các hình chi ung ng HA HB HC= =

Do ó, H là tâm ng tròn ngo i ti p tam giác

hoctoancapba.com


122

600

A B

D C

S

I

H

ABC mà tam giác ABC vuông t i A nên H là trung m c a BC.

Vì SBC là tam giác u c nh 2a nên ng cao 32 . 3

2SH a a= =

Theo nh lí Pitago,2

2 2 2 1 33 3 .

2 2ABC

aAC BC AB a AC a S AB AC= - = Þ = Þ = =

vdt)

Nên th tích kh i chóp là:3

.

1.

3 2S ABC ABC

aV SH S= = ( vtt)

*Nh n xét:Hình chóp có các c nh bên b ng nhau (ho c h p áy góc b ng nhau) thì chân ngcao là tâm ng tròn ngo i ti p áy.

Ví d 9. ( TS H kh i A n m 2009)Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thang vuông t i A,D; AB=AD=2a,CD=a, góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (ABCD) b ng 600. g i I là trung m c a AD.Bi t hai m t ph ng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABCD). Tính

.S ABCDV

i gi i.i H là hình chi u c a I trên BC

gi thi t suy ra SI vuông góc v i m t áy. Ta có th d dàng tính c:

2, 5IC a IB BC a= = = ,

( ) 21. 3

2ABCDS AD AB CD a= + =

Ta có 1.

2 IBC ABCD ABI CDIIH BC S S S S= = - -

2 22 2 3

32 2a a

a a= - - =

nên2 3 3

5BCI

SIH a

BC= = .

ó tìm c 3.

3 155S ABCD

V a= vtt)

Ví d 10.

Hai c nh i di n c a m t t di n có dài b ng x, các c nh khác u có dàing 1. V i giá tr nào c a x th tích c a t di n t giá tr l n nh t ?i gi i

hoctoancapba.com


123

450

C B

D A

C'

D' A'

B'

Gi s SA = BC = x, các c nh khác c a t di n có dài b ng 1. G i I, D l n l t làtrung m c a BC & SA.

Ta có: SA ^(BCD). Do ó:

1 1. . .

3 6V dt BCD SA BC ID SA= D =

mà ID = CD2 – CI2 = SC2 – SD2 – CI2 = 1 –2

2x

Suy ra,2

2 2 21 11 4 2

6 2 12x

V x x x= - = -

Vì v y, 2

9 3MaxV = t t i x = 2 3

3

b. Th tích kh i l ng tr . V i th tích kh i l ng tr ta v n s d ng nh ng h ng trên làm ó là tìm cách xác

nh ng cao và di n tích áy là c.Ví d 1.Cho hình h p ch nh t . ' ' ' 'ABCD A B C D có 4 , 5AB a AC a= = m t ph ng

( )' 'ABC D h p áy góc 045 . Tính th tích kh i h p ch nh t ó.

i gi i

Theo L Pitago ta có: 2 2 23 . 12ABCD

BC AC AB a S AB BC a= - = Þ = = vdt)

Do( ) ( )

( )( )

' '

,

' ' ' , '

ABCD ABC D AB

BC ABCD BC AB

BC ABC D BC AB

ìï Ç =ïïï Ì ^íïïï Ì ^ïî

Nên góc gi a m t ph ng ( )' 'ABC D và áy là góc 0' 45CBC =

Suy ra, tam giác vuông cân nên ' 3CC BC a= =

y th tích kh i h p ch nh t là 3. ' ' ' '

' . 36ABCD A B C D ABCD

V CC S a= = vtt)

*Nh n xét: i kh i l ng tr và kh i a di n khác ta có th s d ng m t s h ng sau:+S d ng tr c ti p các công th c ã bi t v th tích kh i l ng tr+Quy v tính th tích m t kh i chóp c bi t.+ Chia nh thành nhi u kh i chóp tính+Bù thêm vào kh i a di n ph c t p c kh i a di n d tính th tích.

HI

A

B

C

S

D

hoctoancapba.com


124

a600

300

A

B

C

A'

B'

C'

C

B

A

C'

B'

A'

I

Ví d 2.Cho l ng tr ng tam giác . ' ' 'ABC A B C , áy là tam giác u c nh a và di n tích tamgiác 'A BC b ng 22a . Tính th tích kh i l ng tr .

i gi i G i I là trung m c a BC.

Ta có ABCD u nên33

2 2

aABAI = =

Vì AI là hình chi u c a A’I trên m t ph ng ( )ABC ,

AI BC A I BC¢^ Þ ^ L ba ng vuông góc)21

. 42

A BCA BC

SS BC A I A I a

BC¢

¢¢ ¢= Þ = =

Do tam giác AIA’ vuông t i A nên 2 2 612

AA A I AI a¢ ¢= - =

3

.

183.

8ABC A B C ABC

aV S AA¢ ¢ ¢

¢= = ( vtt)

Ví d 3.Cho l ng tr ng tam giác . ' ' 'ABC A B C có áy ABC là tam giác vuông t i A i AC

= a, 060ACB = , bi t BC' h p v i ( )' 'AA C C m t góc 300. Tính AC' và th tích kh i

ng tr .i gi i

Ta cóABC là tam giác vuông t i A v i AC = a, 060ACB =

. tan60 3oAB AC aÞ = = .Ta có: ; ( )AB AC AB AA AB AA C C¢ ¢ ¢^ ^ Þ ^ nên AC' là hình chi u c a BC' trên

( )' 'AA C C . V y góc gi a BC’ và m t ph ng ( )' 'AA C C là góc 0' 30AC B =

3tan 30o

ABAC a¢Þ = =

Trong tam giác vuông ' 'AC A ,2 2 2' ' ' ' 8 2 2AA AC A C a a= - = =

Trong tam giác vuông ABC ,

tan 3 3AB

ACB AB aAC

= = Þ =

21 3.

2 2ABC

aS AB ACÞ = = vdt)

hoctoancapba.com


125

600300

A D

B C

A'

B' C'

D'

600

a 3

A

C

B

A'

C'

B'

y 3. ' ' '

' . 6ABC A B C ABC

V AA S a= = vtt)

Ví d 4.Cho hình h p ng . ' ' ' 'ABCD A B C D có áy ABCD là hình thoi c nh a và

060BAD = , bi t AB' p v i áy ( )ABCD m t góc 030 .Tính th tích c a kh i h p

. ' ' ' 'ABCD A B C D .i gi i

Vì ABDD u c nh a nên22 3

23

4 2ABCD ABDABD

aSS

aS == Þ =

ABB ¢D vuông t i B tan 30 3oBB AB a¢Þ = =

y. ' ' ' '

33.

2ABCDABCD A B C D

aV S BB¢= = vtt)

Ví d 5. Cho l ng tr tam giác . ' ' 'ABC A B C có áy ABC là tam giác u c nh a, bi t

nh bên là 3a và h p v i áy ABC m t góc 060 . Tính th tích kh i l ng tr .i gi i

Ta có ( )C H ABC CH¢ ^ Þ là hình chi u c a CC' trên (ABC)

Nên góc gi a CC’ và m t ph ng ( )ABC ng 060 0 3.sin 60

2a

C H CC¢ ¢Þ = =

2 34ABC

aS =

y33 3

.8ABC

aV S C H¢= =

Ví d 6. Cho hình h p . ' ' 'ABCD A B C D có áy là hình ch nh t v i

3, 7AB a AD a= = . Hai m t bên ( )ABB A và ( )ADD A l n l t t o v i áy các

góc 0 045 , 60 . Tính th tích kh i h p n u bi t c nh bên b ng a.i gi i

G i H là hình chi u c a A’ trên m t ph ng ( )ABCD , M,N l n l t là hình chi u c a

trên AD,AB.

hoctoancapba.com


126

7

3

1

A D

BC

A'

B' C'

D'

HN

M

F

E

M

O

O'

B A

B'A'

D'

D

C'

C

K

th y, góc gi a các m t ( )ABB A và ( )ADD A và áy l n l t là

0 045 , 60ANH AMH= =

t AH x= ta có: ' cotNH A H ANH x= =

' . cot3

xMH A H AMH= =

Vì AMHN là hình ch nh t nên2 2

2 2 2 2 43 3x x

AH AM AN x= + = + =

mà2 2

2 2 2 2 2 4 7 3' '

3 3 7x x

AA AH A H a x x a= + Þ = + = Þ =

y 3. ' ' '

3. ' 3. 7. 3

7ABCD A B C D ABCDV S A H a a a a= = = ( vtt)

Ví d 7.

Cho hình l p ph ng ABCD.A’B’C’D’ c nh b ng a, K CC ¢Î sao cho 23

CK a= .

t ph ng ( ) qua A,K và song song v i BD chia kh i l p ph ng trình hai ph n. Tính s th tích hai ph n ó.i gi i.

i O,O’ là tâm c a hình vuông ABCD,A’B’C’D’, OOM AK ¢= ÇQua M k ng th ng song song v i BD t BB’,DD’ l n l t t i E,FKhi ó, thi t di n t o b i ( ) và hình l p ph ng chính là hình bình hànhAEKF.

Có OM là ng trung bình tam giác ACK nên 12 3

aOM CK= =

Do ó,3a

BE DF= = . t1 2

,ABEKFDC AEKFA B C D

V V V V ¢ ¢ ¢ ¢= =

ý r ng t giác BCKF=C’B’EK, m t ph ng (AA’C’C) chia kh i ABEKFDCthành hai ph n b ng nhau nên

3

1 .

3 33

2 . 1

1 2 12 2. . . . . ,

3 3 2 32

3 3

A BCKE BCKE BCC B

ABCD A B C D

aV V AB S a S

a aV V V a

¢ ¢

¢ ¢ ¢ ¢

= = = =

= - = - =

y 1

2

12

V

V=

hoctoancapba.com


127

2a

a 7600

600

B

A

D

C

B'

C'

D'

H

A'

JK

Ví d 8.

Cho hình h pABCD ABC D có các m t bên h p và m t ( )'A BD v i áy góc 060 ,

bi t góc 060 ,BAD = 2 , 7AB a BD a= = . TínhABCD A B C D

V

i gi i.i H là hình chi u c a A’ trên ( )ABD ,

J,K là hình chi u c a H trên ,AB AD

Áp d ng L cosin cho ABDD2 2 2

2 2

2

2 . .cos

2 . 3 0 3

1 3 3. .sin

2 2ABD

BD AB AD AB AD BAD

AD a AD a AD a

aS AB AD BAD

D

= + -

Þ - - = Û =

Þ = =

gi thi t suy ra hình chóp ' .A ABD có các m t bên h p áy góc 060Nên H là cách u các c nh c a ABDD*TH1: N u H n m trong ABDD thì H là tâm ng tròn n i ti p ABDD .

Góc gi a m t bên ( )' 'ABB A và áy b ng 0' 60A JH =

i r là bán kính ng tròn n i ti p ABDD thì

03 3 9' . tan 60

5 7 5 7ABDS a a

r A H rp

D= = Þ = =+ +

ó,3

. ' ' ' ' ' .

1 27 36 6. ' .

3 5 7ABCD A B C D A ABD ABD

aV V A H S

D= = =

+*TH2: N u H n m ngoài ABDD thì H là tâm ng tròn bàng ti p ABDD .

u H n m trong góc BAD , g iar là bán kính ng tròn bàng ti p ABDD t ng ng thì

03 3 9' . tan 60

5 7 5 7ABD

a

S a ar A H r

p BDD= = Þ = =- - -

ó,3

. ' ' ' ' ' .

1 27 36 6. ' .

3 5 7ABCD A B C D A ABD ABD

aV V A H S

D= = =

-

ng t hai TH còn l i ta c các k t qu :3 327 3 27 3,

1 7 7 1

a a

+ -Ví d 9.( d b H kh i A n m 2006)

Cho hình h p ng .ABCD A B C D¢ ¢ ¢ ¢ có các c nh 3, '

2a

AB AD a AA= = = và

hoctoancapba.com


128

600

a 32

aa

O'MA' D'

AD

B'C'

CB

N H

60oBAD = . G i M và N l n l t là trung m c a các c nh A D và A B .a) Ch ng minh r ng ( )'AC BDMN^ .

b) Tính th tích kh i chóp A.BDMNi gi i.a) Ta có AC là hình chi u c a AC’ trên m t ph ng ( )ABCD

và AC BD^ nên 'AC BD^ (1)

Mà ( ) 1'. ' '

2AC BN AB AD AA AA AB

æ ö÷ç ÷= + + -ç ÷ç ÷çè ø2 2

2 2 2 01 1 3 1' . cos 60 0 '

2 2 4 2 2a a

AA AB AB AD a AC BN= - - = - - = Þ ^ (2)

(1) và (2) suy ra, ( )'AC BDMN^

b) Cách 1: d a theo câu a) tính chi u cao vàBDMN

S

Cách 2:

. . ' ' ' . ' . ' . ' 'A BDMN ABD A B D A A MN B B MN M BDD BV V V V V= - - -

32 0

. ' ' '

3 1 3' . . sin 60

2 2 8ABD A B D ABD

a aV AA S a= = = ( vtt)

2 30

. ' . ' '

1 1 3 1' . . . sin 60

3 3 2 2 4 32A A MN B B MN A MN

a a aV V AA S= = = = vtt)

i ' ' ' ' 'O A C B D= Ç , k / / ' 'MH A C . D th y ( ) ( )' ' ' ' ' 'A C BDD B MH BDD B^ Þ ^

3

. ' ' ' '

1 1 1 3 3. . . .

3 3 2 2 2 8M BDD B BDD B

a a aV MH S a= = = vtt)

3

.

316A BDMN

aVÞ = ( vtt)

Bài t p t luy nBài 1. ( TN-THPT PB 2007 L n 2) Cho hình chóp t giác .S ABCD có áy là hình vuông

nh a, c nh bên SA vuông góc v i áy và SA AC= . Tính th tích kh i chóp .S ABCD .

áp s : 3.

23S ABCD

V a=

Bài 2. ( thi TN THPT 2009) Cho hình chóp .S ABC có m t bên SBC là tam giác unh a, c nh bên SA vuông góc v i m t áy và góc A a tam giác ABC b ng 0120 . Tính

th tích c a kh i chóp .S ABC theo a.

áp s : 3.

236S ABC

V a=

hoctoancapba.com


129

Bài 3. (Trích thi H kh i D – 2011) Cho hình chóp S.ABC có áy ABC là tam giácvuông t i B, BA = 3a, BC = 4a; M t ph ng (SBC) vuông góc v i m t ph ng (ABC).

Bi t B = 2 3a và 30oSBC = . Tính th tích kh i chóp S.ABC.

áp s : 32 3V a=

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình thang vuông t i A và B. AB = SD = 3a, AD= SB = 4a, a > 0. ng chéo AC^(SBD). Tính th tích kh i chóp S.ABCD.

áp s : 3152

V a=

Bài 5. (Trích thi tuy n sinh H kh i A – 2009) Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCDlà hình thang vuông t i A và D, AB = AD = 2a, CD = a; Góc gi a hai m t ph ng (SBC)và (ABCD) b ng 60o. G i I là trung m c a c nh AB. Bi t (SBI) và (SCI) cùng vuônggóc v i m t ph ng (ABCD). Tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a.

áp s : 32 155

V a=

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thang cân, AB//CD, AB = 2CD =

4a, 10BC a= , bi t m t ph ng (SAC) và m t ph ng (SBD) cùng vuông góc v i m tph ng áy; m t bên (SAB) là tam giác u. Tính th tích kh i chóp S.ABCD.

áp s : VS.ABCD36 2a= .

Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thoi, c nh 2a, SA = SB = SC = 2a.i V là th tích kh i chóp S.ABCD, ch ng minh 32 .V a£

Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các m t bên SAB, SBC,SCA t o v i áy m t góc 60o. Tính th tích kh i chóp.

áp s : 38 3 .SABC

V a=

Bài 9. Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình thang vuông t i A và B. Hai m tph ng (SAB) và (SCD) cùng vuông góc v i m t ph ng áy. Bi t AB = 2a, SA = BC =

a, CD = 2a 5. Tính th tích kh i chóp SABCD.

Bài 10. Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình bình hành, AD = 4a, các c nh bên

ng nhau và b ng 6a . Tính cosin c a góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (SCD) khi thtích kh i chóp SABCD là l n nh t.

Bài 11. Cho hình chóp SABCD có m t ph ng (SBC) và (SDC) cùng vuông góc v i m t

ph ng (ABCD), áy ABCD là hình thoi có c nh 3a , 120oABC = , góc gi a m t ph ng(SAB) và m t ph ng (ABCD) b ng 45o. Tính th tích kh i chóp SABCD.

hoctoancapba.com


130

A

BC

B'C'

Bài 12. Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông c nh a, m t bên (SAB) vuônggóc v i m t áy. Tam giác SAB vuông t i S, góc gi a SB và m t ph ng (ABCD) b ng30o. Tính theo a th tích kh i chóp SABCD.

Bài 13. Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang vuông c nh 3a , tam giác SBCvuông t i S và n m trong m t ph ng vuông góc v i m t ph ng áy, ng th ng SD t o

i m t ph ng (SBC) m t góc 60o. Tính th tích kh i chóp SABCD.

Bài 14. Cho hình chóp SABC có áy ABC là tam giác cân, 5AB AC a= = , BC = 6a,các m t bên t o v i áy m t góc 60o. Tính th tích kh i chóp SABC.

1.2.2. Ph ng pháp s d ng t s di n tích, th tích và tính ch t kho ng cáchThông th ng, khi tính di n tích áy ta có th linh ho t s d ng các h th c l ng

trong tam giác hay tính toán d a trên vi c thêm b t các a giác d tính di n tích. Ngoài ra,ta có th s d ng thêm tính ch t v t s di n tích. C th :

Cho ABC, ' , 'B AB C ACÎ Î . Khi ó,

'

' '

'

' '.

B BC

ABC

AB C

ABC

S B BS ABS AB ACS AB AC

Å =

Å =

a. S d ng tính ch t kho ng cách trong tính th tíchKhi tính th tích, vi c linh ho t s d ng các tính ch t v kho ng cách

giúp ta có th gi i quy t bài toán khá nhanh g n. Công c th ng dùng là các tính ch tkho ng cách ó là:

Cho hình chóp .

.

. , M ABC

S ABC

V MAS ABC M SA

V SAÎ Þ =

Cho hình chóp ( ) . .. , , / /

M ABC S ABCS ABC S M d ABC V VÎ Þ =

t qu c m r ng cho kh i chóp a giác

Ví d 1.( TS H kh i D n m 2010) Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông c nh a, c nh bên SA = a;

hình chi u vuông góc c a nh S trên m t ph ng (ABCD) là iêm H thuôc n AC,

4AC

AH = . i CM là ng cao c a tam giác SAC. Ch ng minh M là trung iêm c a

SA và tính thê tích khôi t di n SMBC theo a.i gi i.

hoctoancapba.com


131

600

a 32

aa

I

MA'

D'

AD

B'C'

CB

N

D C

A B

S

H

M

Trong tam giác vuông SAH và SCH

Ta có2

2 2 2 2 144 4

a aSH SA AH a

æ ö÷ç ÷ç= - = - =÷ç ÷ç ÷çè ø

22

2 2

2

14 3 216 4

322

16

a aSC SH HC

aa AC

æ ö÷ç ÷çÞ = + = + ÷ç ÷ç ÷çè ø

= = =

y SACD cân t i C mà CM là ng cao h t C c a SACD nên M là trung iêm c aSA.

32

. .

1 1 1 1 14 14. .

2 2 3 2 4 48SMBC A MBC S ABC

a aV V V a

æ ö÷ç ÷Þ = = = =ç ÷ç ÷çè ø

Bây gi ta l i quay tr l i Ví d 9 ph n 2.1.b v i cách làm s d ng k thu t kho ng cáchvà cách bù thêm kh i a di n.Ví d 2. Xem l i bài Ví d 9 ph n 2.1.b

i gi i.i 'I AA DM= Ç d dàng ch ng minh c A’ là trung m c a AI nên

2 3

.

1 1 3. . 3 .

3 3 4 4I ABD ABD

a aV IAS a= = = vtt)

. ' . ' '

1' .

3A A MN I A MN A MNV V AA S= =

2 31 3 1 1 3. . .

3 2 2 4 4 32a a a

= = vtt)

3

. . . ' . '

316A BDMN I ABD A A MN I A MN

aV V V V= - - = vtt)

Ví d 3.( TS H kh i D n m 2009)Cho hình l ng tr ng ABC.A’B’C’ có áy ABC là tam giác vuông t i B, AB = a, AA’= 2a, A’C = 3a. G i M là trung m c a n th ng A’C’, I là giao m c a AM vàA’C. Tính theo a th tích kh i t di n IABC.

i gi i.

dàng tính c 5, 2AC a BC a= =

hoctoancapba.com


132

A

C

B

S

A'

C'

B'

C

B

A

S

E

D

FG

3a2a

I

B

A

C

B'

A'

C'MTa có I là tr ng tâm tam giác AA’C’ nên

23

IA AM=

nên .

.

23

I ABC

M ABC

V

V=

3. . ' .

2 2 2 1 4. . .2 .2

3 3 3 6 9I ABC M ABC A ABCV V V a a a aÞ = = = =

Ví d 4.

Trên c nh ,SA SB a hình chóp SABC l n l t l y m D và E sao cho 12

SD SEDA EB

= =

. M t ph ng qua DE và song song v i SC chia kh i chóp SABC thành hai ph n. Tính t th tích c a hai ph n ó.i gi i. d ng xác nh c thi t di n t o b i m t ph ng qua DE, song song v i SC và hình

chóp SABC chính là hình bình hành DEFG .

Ta có. .ABDEFG A DFG B DEF ABDF

V V V V= + +

Do ( ) . ./ / ,

DEF DFG A DFG B DEFAB DEFG S S V V= Þ =

( )( )( )( )( )( )

. . .

2 2 1. , .

3 3 32 1 2

. , .3 3 32 1 2 1 4

. , . .3 3 3 3 27

B DEF F BDE C BDE BDE

SBD

SAB SABC

V V V d C SAB S

d C SAB S

d C SAB S V

= = =

=

= =

( )( ) ( )( ). .

2 2 1 2 1 2 4. , . . , .

3 3 3 3 3 3 9ABDF F ABD C ABD ABD SAB SABCV V V d C SAB S d C SAB S V= = = = =

. .

2027ABDEFG A DFG B DEF ABDF SABC

V V V V VÞ = + + =

Do ó, t s th tích c a hai ph n là: 207

b. S d ng t s th tíchCho hình chóp S.ABC có ' , ' , 'A SA B SB C SCÎ Î Î . Khi ó,

' ' ' ' ' '. .SA B C

SABC

V SA SB SCV SA SB SC

=

hoctoancapba.com


133

B

M

N

A

H

DC

M

N

A'

B'

C'

A

B

C

u ý: Công th c trên ch c áp d ng cho kh i chóp tam giác,còn v i kh i chóp a giác khiáp d ng c n chia nh kh i a di n thành nhi u kh i chóp tam giác tính t s

Ví d 1.Cho t di n ABCD có , 2 , 3 , 3, 10,AB a AC a AD a BC a BD a= = = = =

19CD a= . TínhABCD

V

i gi i. d ng nh lý Cosin cho các tam giác , ,ABC ABD ACD ta c

0 0 060 , 120 , 90BAC CAD BAD= = =

y ,M AC N ADÎ Î sao cho AM=AN=a

Ta có1

, 2,2

BM AC a BN a= = =

2 2 2 22 . .cos 3 3MN AM AN AM AN MAN a MN a= + - = Þ =Do ó, tam giác BMN vuông t i B.Vì AB=AM=AN nên hình chi u c a Atrên (BMN) là tâm H c a ng trònngo i ti p BMN , H c ngchính là trung m c a MN

Có 1. .

6ABMN

ABCD

V AB AM ANV AB AC AD

= =

32 2

.

1 1 3 1 2. . . 2

3 3 4 2 12A BMN BMN

aV AH S a a a a= = - =

3 22ABCD

aVÞ = vtt)

Ví d 2.

Cho kh i l ng tr tam giác u . ' ' 'ABC A B C . Các m t ph ng

( ) ( )' , ' 'ABC A B C chia l ng tr thành 4 ph n. Tính t s th tích c a 4 ph n ó.

i gi i.i

1 . ' 2 ' . ' ' 3 . 4 ' '; ; ;

C MNC C MNB A C MNBA MNABB AV V V V V V V V= = = =

V là th tích c a l ng tr . Ta có. ' ' ' 1 2C A B C

V V V= +

t khác:

1

.

. . 1. . 4

C A B C

V CM CN CCV CA CB CC¢ ¢ ¢

¢= =

¢ ¢ ¢

1

1. ;

4 3 12V V

VÞ = =2

1.

3 12 4V V

V V= - =

hoctoancapba.com


134

KQ

H I

B

C

D

A

MN

P

3 ' ' ' ' ' ' 2 3 4; ;

C ABC CMNC CA B C CMNC

VV V V V V V V= - = - = =

4 1 2 3

512V

V V V V V= - - - =

y1 2 3 4: : : 1 : 3 : 3 : 5V V V V =

Ví d 3. ( thi d b H kh i D n m 2008)Cho t di n , , ,ABCD M N P n l t thu c , ,BC BD AC sao cho4 , 2 ,BC BM BD BN= = 3AC AP= , m t ph ng (MNP) c t AD t i Q. Tính t s

th tích hai ph n kh i t di n ABCD b chia b i m t ph ng (MNP).i gi i.

i ,I MN CD Q PI AD= Ç = Ç , k ( ) ( )/ / , / /DH BC H IM DK AC K IPÎ Î

13

ID DH BMNMB NDH

IC CM CMD = D Þ = = =

1 1 23 2 3 3

IK DK ID DK DKIP CP IC AP AP

= = = Þ = Þ =

APQD ng d ng DKQD

3 32 5

AQ AP AQDQ DK AD

Þ = = Þ =

tABCD

V V= Ta có:

1 1 1. ,

5 2 10ANPQ ANCD DACN

ANPQANCD ABCD DABC

V V VAP AQ DNV V

V AC AD V V DB= = = = = Þ =

( ).

1 1 1 1 1.

2 2 2 2 4CDMP

CDMP N ABMP DABMP CDMPCDBA

V CM CPV V V V V V V

V CB CA= = Þ = Þ = = - =

.

7 720 13

ABMNQPABMNQP ANPQ N ABMP

CDMNQP

VV V V V

VÞ = + = Þ =

y m t ph ng ( )MNP chia kh i chóp thành hai ph n v i t l th tích 713

Bài t p t luy n

Bài 1. (Trích thi kh i A – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuôngnh a, m t bên SAD là tam giác u và n m trong m t ph ng vuông góc v i áy. G i M,

N, P l n l t là trung m c a các c nh SB, SC, SD. Tính th tích kh i t di n CMNPtheo a.

áp s :3 3

.96CMNP

aV =

hoctoancapba.com


135

Bài 2. ( thi H kh i B - 2006) Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình ch nh t

i AB = a, 2AD a= , SA = a và SA ^ (ABCD). G i M, N l n l t là trung m c aAD và SC, I là giao m c a BM và AC. Tính th tích kh i t di n ANIB.

áp s :3 2

.72ABIN

aV =

Bài 3. (Trích kh i A - 2011) Cho hình chóp S.ABC có áy ABC là tam giác vuông câni B, AB = BC = 2a; Hai m t ph ng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc v i m t ph ng

(ABC). G i M là trung m c a AB, m t ph ng qua SM và song song v i BC c t AC t iN. Bi t góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (ABC) b ng 60o. Tính VSBCNM.

áp s : 33 .SBCNM

V a=

Bài 4. (Trích kh i B - 2008) Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thangvuông t i A và B; AB = BC = a, AD = 2a, SA ^ (ABCD) và SA = 2a. G i M, N l n l tlà trung m c a SA và SD. Tính VSBCNM.

áp s : VSBCNM

3

.3a

=

Bài 5. Cho hình chóp u S.ABCD,trên c nh CD kéo dài l y m M sao cho 3MC DC= ,t ph ng (P) i qua M,B và trung m c a SC chia kh i chóp S.ABCD thành hai ph n.

Tính t s th tích c a hai ph n ó.Bài 6. Cho kh i chóp S.ABCD, trong ó ABCD là hình thang có các c nh áy AB, CD saocho CD=4.AB, m t m t ph ng qua CD c t SA, SB t i các m t ng ng M, N. Hãy xác

nh v trí m M trên SA sao cho thi t di n MNCD chia kh i chóp ã cho thành hai ph nng ng (có th tích b ng nhau).

Bài 7. Cho hình l p ph ng ABCD.A’B’C’D’ c nh b ng a, g i M,N,P l n thu c các nAA’,BC,CD sao choAA ' 3 ' , 3 , 3A M BC BN CD DP= = = t ph ng (MNP) chia kh i l pph ng thành hai ph n tính th tích t ng ph n

2. QUAN H VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN2.1. Các bài toán v ch ng minh tính vuông góc2.1.1. Ki n th c c b n c n bi ta. Tiêu chu n vuông góc

+ ng th ng (d) vuông góc m t ph ng (P) khi (d)vuông góc v i hai ng th ng giao nhau c a (P).

+ Hai m t ph ng (P) và (Q) vuông góc v i nhau khi góc t o b i hai m t ph ng óng 900.

b. Các nh lý v tính vuông góc

b

a

d

P

hoctoancapba.com


136

+ nh lý ba ng vuông góc: Gi s ( )d PÌ và d không vuông góc (P), ( )PD Ì ,

d’ là hình chi u c a d lên (P). Khi ó D ^d 'dÛ D ^+ Gi s (P) và (Q) là hai m t ph ng vuông góc v i nhau, ( ) ( )P QÇ = D . N u

( ),a P aÌ ^ D thì ( )a Q^

+ N u ( )PD ^ thì s vuông góc v i m i ng th ng ch a trong mp(P).

+ Gi s (P) và (Q) cùng vuông góc v i (R) trong ó ( ) ( )P QÇ = D thì ( )RD ^

+ N u ( )a Q^ và ( )P aÉ thì ( ) ( )P Q^

2.1.2. Các d ng toán th ng g p* Ch ng minh ng th ng a và b vuông góc:- Cách 1: Ta ch ng minh góc gi a hai t ó b ng 090 .- Cách 2: Ta ch ng minh a//c mà c^b.

- Cách 3: Ta ch ng minh tích vô h ng c a hai vect ch ph ng . 0u v = .- Cách 4: Ta ch ng minh a vuông góc v i m t mp(a ) ch a ng th ng b. (hay dùng)- Cách 5: S d ng nh lí ba ng vuông góc* Ch ng minh ng th ng d vuông góc v i mp(a ):- Cách 1: Ta ch ng minh d vuông góc v i hai ng th ng a và b c t nhau n m trong (a ).- Cách 2: Ta ch ng minh d song song v i m t ng th ng d’ vuông góc v i (a ).- Cách 3: N u hai mp cùng vuông góc v i m t m t ph ng th ba thì giao tuy n (n u có) c achúng c ng vuông góc v i m t ph ng này.- Cách 4: u hai mp vuông góc v i nhau, m t ng th ng n m trong mp này mà vuônggóc v i giao tuy n thì vuông góc v i mp kia.Ch ng minh hai m t ph ng vuông góc v i nhau:- Cách 1: Ta ch ng minh mp này ch a m t ng th ng vuông góc v i mp kia.( ng nào

ây ta??)- Cách 2: Ta ch ng minh góc gi a chúng là 090 .

Ví d 1. ( H Kh i A n m 2007)Cho hình chóp t giác S.ABCD có áy là hình vuông c nh a. M t bên SAD là

tam giác u và trong m t ph ng vuông góc v i áy. G i M, N, P l n l t là trungm c a SB, BC, CD. Ch ng minh AM^BP.i gi i

d'

d

PR

Q P a

Q

P

hoctoancapba.com


137

P

N

M

E

H

D

CB

A

S

a 2

aI

M D

CB

A

S

i H là trung m AD, do tam giác SAD u nên SH^AD

Vì (SAD)^(ABCD), suy ra SH ^(ABCD) suy ra SH ^BP(1)

th y hai tam giác vuông BPC và CHD b ng nhau, nên ta

có 090CBP DCH CBP HCB BP CH= Þ + = Þ ^ (2) (1) và (2) suy ra: ( )BP SHC^ (3)

Do HC // AN, MN // SC ( ) ( )/ /SHC MANÞ (4)

(3) và (4) suy ra: ( )BP MAN AM BP^ Þ ^ ( pcm)

Ví d 2. ( H kh i B n m 2007)Cho hình chóp t giác u S.ABCD c nh áy b ng a. G i E là m i x ng

a m D qua trung m c a SA. G i M, N l n l t là trung m c a AE, BC.Ch ng minh MN BD^ .

i gi iTa có SEAD là hình bình hành / /SE DAÞ và SE = DA

Þ SEBC c ng là hình bình hành / /SC EBÞ

i P là trung m c a AB. Khi ó trong các tam giác EAB và ABCta có MP // EB, PN // AC.

ó suy ra (MNP) // (SAC) (1)Ta có DB AC^ và ( ) SH (ABCD)BD SH do^ ^ ( )BD SACÞ ^

(2) (1) và (2) suy ra: ( )DB MNP BD MN^ Þ ^ ( pcm)

Ví d 3. ( H Kh i B n m 2006)

Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình ch nh t v i AB = a, AD = 2a ,SA = a và ( )SA ABCD^ . G i M là trung m c a AD. Ch ng minh ( ) ( )SAC SMB^ .

i gi iGi s I là giao m c a AC và MB

Ta có MA = MD và AD // BC

nên theo nh lý Talet suy ra 12

AI IC=

22 2 2 2 2 21

3 ,9 3

aAC AD DC a AI AC= + = = =

H

M

NP

A

C

B

D

S

hoctoancapba.com


138

22

2 2 21 1 29 9 2 6

a aMI MB a

é ùæ öê ú÷ç ÷çê ú= = + =÷ç ÷ê úç ÷çè øê úë û

ó suy ra2

2 22 2 22

3 6 2a a a

AI MI MAæ ö÷ç ÷ç+ = + = =÷ç ÷ç ÷çè ø

y AMI là tam giác vuông t i I MB ACÞ ^ (1)t khác ( )SA ABCD SA MB^ Þ ^ (2) (1), (2) suy ra ( ) ( ) ( )MB SAC SMB SAC^ Þ ^ Þ pcm

Bài t p t luy n.Bài 1. ( H Kh i D n m 2007) Cho hình chóp t giác S.ABCD có áy ABCD là hình thang,

trong ó 090 ,ABC BAD= = , 2BA BC a AD a= = = . Gi s 2, ( )SA a SA ABCD= ^ .Ch ng minh SC SD^ .Bài 2. (Cao ng kh i A n m 2008) Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thang,

i 090 , ( )ABC BAD SA ABCD= = ^ , BA = BC = a, AD = 2a. G i M, N l n l t làtrung m c a SA, SD. Ch ng minh BCNM là hình ch nh t.Bài 3. (Cao ng kh i A, B, D n m 2009) Cho hình chóp t giác u S.ABCD, c nh áy

ng a.C nh bên b ng 2a . G i M, N, P l n l t là trung m c a SA, SD, DC.Ch ngminh r ng MN SP^ .Bài 4. Cho hình chóp S.ABC trong ó áy ABC là tam giác vuông t i C, hai m t bên(SAC) và (SAB) cùng vuông góc v i áy. G i D, E l n l t là hình chi u c a A trên SC vàSB. Ch ng minh (SAB) (ADE)^ .Bài 5. Trong m t ph ng (P) cho hình vuông ABCD c nh a. n SA c nh vuông góc v i(P) t i A, M và N là hai m t ng ng di ng trên các c nh BC và CD. t BM = u, DN= v. Ch ng minh r ng 2 2a(u + v) = a u+ là u ki n c n và (SAM) ^ (SMN).Bài 6. Trong m t ph ng (P) cho hình vuông ABCD c nh a. Hai n a ng th ng Bx và Dyvuông góc v i (P) và v cùng m t phía i v i (P), M và N là hai m di ng t ng ngtrên Bx, Dy. t BM = u, DN = v.

a. Tìm m i liên h gi a u, v (MAC) (NAC)^

b. Gi s ta có u ki n câu 1, ch ng minh (AMN) (CMN)^ .áp s : a. (MAC) (NAC) 2uv = a^ Û

Bài 7. ( H kh i A n m 2003) Cho hình h p ch nh t ABCD,A’B’C’D’ áy là hình vuông

ABCD c nh a, AA’ = b. G i M là trung m c a CC’. Xác nh t s ab

hai m t ph ng

(A’BD) và (MBD) vuông góc v i nhau.

hoctoancapba.com


139

Bài 8. Cho hình chóp tam giác S.ABC áy ABC là tam giác u c nh a, SA = 2a và SAvuông góc v i m t ph ng áy (ABC). G i I là trung m c a BC. Ch ng minh hai m tph ng (SAI) và (SBC) vuông góc v i nhau.Bài 10. ( H Kh i B n m 2002) Cho hình l p ph ng ABCD.A’B’C’D’.G i M, N, P l n l tlà trung m c a BB’, CD, A’D’. Ch ng minh ' .MP C N^

2.2. Bài toán v kho ng cách2.2.1. Tìm kho ng cách t m t m n m t m t ph ng.

Cách 1. Ph ng pháp tính tr c ti p

Tìm hình chi u H c a A lên m t ph ng (P). Khi ó, AH = d(A; (P)).

ê tìm hình chi u c a iêm A lên m t ph ng (P) có 2 ph ng pháp th ng dùng:

Ph ng pháp 1: D ng ng th ng qua A và ^ (P) (n u có), khi ó ( )H P= D Ç

Ph ng pháp 2: D ng m t ph ng (Q) qua A và (Q) ^ (P), g i là giao tuy n c a (P)và (Q), t A h AH ^ t i H. Khi ó, H là hình chi u c a A lên m t ph ng (P).

Cách 2. Ph ng pháp tính gián ti p

Vi c tính gián ti p thông qua iêm khác d a vào các tính ch t hình h c sau:

a) N u ng th ng qua A và // (P) thì d(A; (P)) = d(B; (P)) v i B" Î D .

b) N u qua A c t m t ph ng (P) t i I, khi ó B A" Î , ta có: ( ;( ))( ;( ))

AI d A PBI d B P

= .

c) M t ph ng (Q) qua A và (Q) // (P) thì d(A; (P)) = d(B; (P)) v i ( )B Q" Î .

Cách 3. ê tính kho ng cách t A n m t ph ng (P), ta có thê d a vào công th c tínhthê tích khôi chóp v i nh là A và áy n m trên m t ph ng (P) có di n tích S. Khi ó,

3( ;( ))

Vd A P

S= .

Cách 4. D a vào bài toán c b n: Cho t di n OABC trong ó OA, OB, OC ôi m t vuông

góc v i nhau. K OH (ABC)^ . Khi ó,2 2 2 2

1 1 1 1

OH OA OB OC= + + .

Ví d 1. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông c nh a, SA ^ (ABCD),

3SA a= , g i G là tr ng tâm SAB. Tính kho ng cách t G n m t ph ng (SAC).

i gi i

hoctoancapba.com


140

i gi i 1: Tính tr c ti p

Tìm hình chi u H c a G lên m t ph ng (SAC).

Phân tích l i gi i: Vi c tìm môt ng th ng qua G và^ m t ph ng (SAC) là r t khó. V y, ê tìm hình chi uH c a A lên m t ph ng (SAC) ta dùng cách 2: D ng m tph ng (P) qua A và vuông góc v i m t ph ng (SAC).

Cách d ng m t ph ng (P): Vì SA ^ (ABCD) nên SAvuông góc v i m i ng th ng n m trong m t ph ng(P). SG c t AB t i E nên t E h EF ^ AC Þ EF ^(SAC)

Þ (SEF) ^ (SAC) Þ (SEF) º (P).

G h GH ^ SF t i H ® GH = d(G; (SAC)). Ta có 2 1 23 3 6

aGH EF BO= = = .

i gi i 2: Tính gián ti p

Nh n xét: EG c t (SAC) t i S và 23

ESGS

= Þ d(G;(SAC)) =

2 2 2( ;( ))

3 3 6a

d E SAC EF= = .

GB c t SA t i N và 3BNGN

= Þ1 1 2

( ;( )) ( ;( ))3 3 6

ad G SAC d B SAC BO= = =

G d ng ng th ng song song v i SA c t AB t i P. T P h PJ ^ AC t i J ® PJ

= d(P;(SAC)) = 2( ;( ))

6a

d G SAC = .

Ta có3

( ;( )) GSAC

ASC

Vd G SAC

SD

= . Ta có 1( ;( ))

3SABC

GSAC BASCASC

VV V d G SAC

SD

= ® =

31 3.

3 2SABC ABC

aV SAS

D= = ,

21 2.

2 6ASC

aS SAAC

D= =

2( ;( ))

6a

d G SACÞ = .

Ví d 2. (Trích thi H kh i D – 2011) Cho hình chóp S.ABC có áy ABC là tam giácvuông t i B, BA = 3a, BC = 4a; M t ph ng (SBC) vuông góc v i m t ph ng (ABC).

Bi t SB = 2 3a , 30oSBC = . Tính kho ng cách t B n m t ph ng (SAC) theo a.

L i gi i 1:

hoctoancapba.com


141

3 ,SH a= HB = 3a, HC = a. T H h HI ^ AC t i I Þ3

.5

HI a=

i K là hình chi u vuông góc c a H lên SI Þ HK = d(H;(SAC))

Þ HK = 3

2 7

aÞ d(B;(SAC)) = 4.HK = 6

.7

a

L i gi i 2:

Ta dê dàng tính c 32 3 .SABC

V a=

i có SB ^ AB Þ 2 2 21.SA SB BA a= + =

CA = 5a; SC = 2 2 2 .SH CH a+ =

ó ta tính c ( )( )( )SAC

S p p SA p CA p SCD

= - - -

Trong ó,( )7 21

21 .2 SAC

ap S a

D

+= Þ =

y d(B;(SAC)) =3 6

.7

SABC

SAC

V aSD

=

Ví d 3. Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình vuông c nh a, ,SA a= SA ^ (ABCD).Tính kho ng cách gi a SB và AC.

i gi i 1:

Trong m t ph ng (ABCD) d ng D qua B song songi AC.

t (P) = (D , SB).

Khi ó, AC // (P) và d(AC; SB) = d(AC; (P)) = d(A;(P)).

A h AI ^ D t i I; T A h AH ^ SI t i H suy ra AH

= d(A; (P)). Ta có AI = 3.

32

a aAH® =

i gi i 2: D ng hình bình hành ABEC.

Ta có ;SABC SBEC

V = V AC // BE ® AC // (SBE)

hoctoancapba.com


142

Þ d(AC; SB) = d(AC; (SBE)) = d(A; (SBE)) =3

SABC

SBE

V

SD

Ta có: BE = AC = 2a , SB = 2a , 3,AE a=

6.SE a=

2

2 2 6 6 2 2 6. .

2 2 2SBE

aS a a

D

æ ö æ ö æ ö+ -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç= ÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø

= ( ) ( )2 2 3

6 2 2 6 . 2 2 6 .4 3a a

+ - =

3 31 1 3. ( ;( )) .

3 2 6 3SABC

SABCSBE

Va aV SA BABC d A SBE

SD

= = ® = =

i gi i 3:

,AC BD OÇ = I là trung iêm c a SD.

d(AC; SB) = d(SB; (ACI)) = d(B; (ACI)3.3 2 SABC

BACI

ACI ACI

VV

S SD D

= = .

TínhACI

dtD

: Ta có2 34ACI

aS

D=

3( ; ) .

3a

d AC SBÞ =

Bài t p t luy n

Bài 1. (Trích thi kh i A – 2012) Cho hình chóp S.ABC có áy là tam giác êu c nh a.Hình chi u vuông góc c a S lên m t ph ng (ABC) là iêm h thuôc c nh AB sao cho HA= 2HB. Góc gi a SC và m t ph ng (ABC) b ng 60o. Tính thê tích khôi chóp SABC vàkho ng cách gi a hai ng th ng SA và BC theo a.

áp s : d(BC; SA) 428

a= .

Bài 2. ( H kh i D n m 2002) Cho hình t di n ABCD có c nh AD vuông góc v i m tph ng (ABC), ngoài ra AD = AC = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tìm kho ng cách t A

n (BCD).

áp s : 6 3417

hoctoancapba.com


143

IH

NM

D'

C'B'

A'

D

CB

A

Bài 3. ( H kh i D n m 2008) Cho l ng tr ng tam giác ABC.A’B’C’ có áy ABC là tam

giác vuông có BA = BC = a, c nh bên AA’ = 2a . G i M là trung m c a BC. Tínhkho ng cách gi a hai ng th ng AM và B’C.

áp s : 7( , ' )

7a

d AM B C =

2.2.2. Tính kho ng cách gi a hai ng th ng chéo nhau:

Cách 1: D ng và tính ô dài ng vuông góc chung.

Cách 2: D ng m t ph ng (P) ch a1

D và song song v i2

D . Khi ó, kho ng cách gi a1

D

và2

D b ng kho ng cách t2

D n m t ph ng (P) và b ng kho ng cách t2

A Î D nt ph ng (P).

Ví d 1. ( thi tuy n sinh H kh i A – 2006) Cho hình l p ph ng ABCD.A’B’C’D’ c nh b ng 1. G i M, N l n l t là trung

m c a AB và CD. Tìm kho ng cách gi a hai ng th ng A’C và MN.i gi i:

Ta có BC // MNÞ MN // (A’BC)Þ d(MN,A’C) = d(MN,(A’BC)) = d(M,(A’BC)) (1)Ta có AI A'B ( AB' A'B = I)^ Ç

i có BC (BAA'B') BC AI^ Þ ^

ó AI (A'BC)^ .Vì th n u k MH // AI (H A'B)Î

thì MH (A'BC)^ và 1 2d(M,(A'BC)) = MH = AI =

2 4a (2)

(1), (2) suy ra 2d(MN,A'C) =

4

Ví d 2. Cho hình t di n u ABCD c nh a = 6 2 cm. Hãy xác nh và tính dàin vuông góc chung c a hai ng th ng AB và CD.

i gi i:i M và N t ng ng là các trung m c a AB và CD.

Do ABCD là t di n u, nên ta có CM ^ AB và DM ^ ABÞ AB ^ (MCD) Þ AN ^ MNLý lu n t ng t ta có: CD ^ (ANB) Þ CD ^ MN.

y MN là ng vuông góc chung c a AB và CD.

Ta có: MC = MD = 6 2. 33 6

2= .

N

M

D

C

B

A

hoctoancapba.com


144

y 2 2 2 2 2(3 6) (3 2) 36 6MN MC CN MN cm= - = - = Þ =

Bài t p t luy nBài 1. ( H kh i B n m 2007) Cho hình chóp t giác u S.ABCD c nh áy b ng a. G i E là

m i x ng c a D qua trung m c a SA. G i M, N l n l t là trung m c a AE vàBC. Tìm kho ng cách gi a hai ng th ng MN, AC theo a.

áp s : d(MN, AC) 24

a=

Bài 2. ( H kh i B n m 2002) Cho hình l p ph ng ABCD.A1B1C1D1 c nh a. Tìm kho ngcách gi a hai ng th ng A1B và B1D.

áp s :1 1

6( , )

6a

d AB B D =

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có SA = 3a, SA (ABCD)^ .Gi s AB = AC = 2a,0120 .ABC = Tìm kho ng cách t A n m t ph ng (SBC).

áp s : 3d(A,(SBC)) =

2a

Bài 4. ( H kh i A n m 2004) Cho hình chóp t giác S.ABCD có áy là hình thoi c nh b ng

5 , ng chéo AC = 4, SO = 2 2 và SO ^ (ABCD), v i O là giao m c a AC và BD.i M là trung m c nh SC. Tìm kho ng cách gi a hai ng th ng SA và BM.

áp s : d(SA, BM) = 2 63

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABC là tam giác vuông t i B, AB = a, BC = 2a,nh SA vuông góc v i áy và SA = 2a. Tính kho ng cách gi a hai ng th ng AB và SC.

áp s : 2aBài 6. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông c nh a, SA = h và SA vuônggóc v i m t ph ng (ABCD). D ng và tính dài n vuông góc chung c a hai ngth ng SC và AB.

hoctoancapba.com


145

CHUYÊN 9: PH NG PHÁP T A TRONG M T PH NGBiên so n và s u t m: ào V n Thái – GV tr ng THPT Nguy n ng o

1. PH NG TRÌNH NG TH NG TRONG M T PH NG1.1. Lý Thuy t1.1.1. Ph ng trình ng th nga.Vect ch ph ng và ph ng trình tham s c a ng th ng

*Vect u là VTCP c a ng th ng (d) n u 0u ¹ và giá c a u song song ho c trùng v i(d)

* N u ng th ng (d) bi t0 0

( ; )

qua M(x ;y )

vtcp u a bìï =ïï ÞíïïïîPh ng trình tham s c a (d) là:

0

0

x x at

y y bt

ìï = +ïíï = +ïîb. Vect pháp tuy n và ph ng trình t ng quát c a ng th ng

* Vect n là VTPT c a ng th ng (d) n u 0n ¹ và giá c a n vuông góc v i (d)

*N u ng th ng (d) bi t0 0

( ; )

qua M(x ;y )

vtpt n a bìï =ïï ÞíïïïîPh ng trình t ng quát c a (d) là:

0 0( ) ( ) 0a x x b y y- + - =

- N u (d) có VTCP ( ; )u a b= thì (d) có VTPT là ( ; )n b a= -

- N u (d) có VTPT là ( ; )n A B= thì (d) có VTCP ( ; )u B A= -

*) Mu n l p ph ng trình ng th ng i qua 1 m và nh n 1 vtpt ho c 1 vtcpc. ng th ng (d) có ph ng trình 2 20; 0Ax By C A B+ + = + ¹

Þ VTPT ( ; )n A B= , VTCP ( ; )u B A= - và nhi u m mà (d) i quad. Ph ng trình ng th ng theo n ch n (d) c t Ox, oy l n l t t i hai m A(a;0) vàB(0;b):

1( 0; 0)x y

a ba b

+ = ¹ ¹

e. N u ng th ng (d) có ph ng trình tham s 0

0

x x at

y y bt

ìï = +ïíï = +ïî v i 0; 0a b¹ ¹ thì ta có

ph ng trình chính t c c a (d) là: 0 0x x y y

a b

- -=

Trong tr ng h p a=0 ho c b=0 ng th ng không có ph ng trình chính t c

hoctoancapba.com


146

1.1.2. V trí t ng i c a hai ng th ng: Cho (d1):

1 1 10a x b y c+ + =

(d2):2 2 2

0a x b y c+ + =

a giao m c a (d1) và (d2) là nghi m h ph ng trình:

1 1 1

2 2 2

a x+b y+c =0( )

a x+b y+c =0I

ìïïíïïî- (I) có 1 nghi m (x0;y0) Û (d1)c t (d2) t i m M(x0;y0)- (I) vô s nghi m Û (d1) trùng (d2)- (I) vô nghi mÛ (d1)// (d2). ((d1) và (d2) không có m chung )

1.2. Các d ng bài t p c b n:

1.2.1.D ng 1: Vi t ph ng trình c a ng th ng qua0 0 0( ; )M x y có VTPT ( ; )n A B=

Ph ng pháp: (d) 0 0 0 ( ; )

VTPT ( ; )

qua M x y

n A B

ìïïïíï =ïïî

Ví d 1: Vi t ph ng trình ng th ng d qua A(-3;2) và song song v i ( ) : 2 1 0x yD - - =

i gi i

D có VTPT là (2; 1)n = -

d//D nên d có VTPT là (2; 1)n = - A( 3;2)

( )VTPT (2; 1)

quad

n

ìï -ïïÞ íï = -ïïîd có ph ng trình t ng quát là: 2(x+3)-1(y-2)=0Û 2x-y+8=01.2.2. D ng 2: Ph ng trình ng th ng qua 2 m

1 1 1( ; )M x y và

2 2 2( ; )M x y

Ph ng pháp: (d) 1 1 1

1 2 2 1 2 1

( ; )

VTCP ( ; )

qua M x y

M M x x y y

ìïïïíï = - -ïïî

1 1 1

1 2 2 1

( ; )( )

VTPT ( ; )

qua M x yd

n y y x x

ìïïïÞ íï = - -ïïî

Ví d 2: Vi t ph ng trình ng th ng d bi t: Qua A(1;2); B(3;4)i gi i

Do (d) i qua A và B nên (d): A(1;2)

AB(2;2)

qua

vtcp

ìïïïíïïïî

Þ Ph ng trình tham s c a (d) là1 2

2 2

x t

y t

ìï = +ïíï = +ïî

hoctoancapba.com


147

(d): A(1;2)

(2; 2)

qua

vtpt n

ìïïï Þíï -ïïîPh ng trình t ng quát c a (d): 2(x-1)-2(y-2)=0 2 2 2 0x yÛ - + =

1 0x yÛ - + =

1.2.3. D ng 3: Vi t ph ng trình c a ng th ng qua0 0 0( ; )M x y có VTCP ( ; )u a b=

Ph ng pháp: (d) 0 0 0 ( ; )

VTCP ( ; )

qua M x y

u a b

ìïïïíï =ïïî

0 0 0 ( ; )( )

VTPT ( ; )

qua M x yd

n a b

ìïïïÞ íï = -ïïîVí d 3: Vi t ph ng trình t ng quát, ph ng trình tham s , ph ng trình chính t c (n ucó) c a ng th ng (d) trong các tr ng h p sau:

a) (d) i qua m M(1;-2) và có vtcp u =(2;-1).b) (d) i qua m A(3;2) và vuông góc v i (d1):5x+2y-1=0

L i gi i:a) Ta có:

(d): (1; 2)

(2; 1)

qua M

vtcp u

ìï -ïï Þíï -ïïî Ph ng trình tham s c a (d) là:

1 2

2

x t

y t

ìï = +ïíï = - -ïî

(d): (1; 2)

(1;2)

qua M

vtpt n

ìï -ïï Þíïïïî Ph ng trình t ng quát c a (d): 1(x-1)+2(y+2)=0 (d):

x+2y+3=0

Ph ng trình chính t c c a (d) là: 1 22 1

x y- +=

-

b) (d):1

A(3;2)qua

d

ìïï Þíï^ïî 1

A(3;2)

(5;2)d

qua

vtcp n

ìïïï Þíïïïî ph ng trình tham s c a (d):

3 5

2 2

x t

y t

ìï = +ïíï = +ïî

(d) A(3;2)

(2; 5)

qua

vtpt n

ìïïï Þíï -ïïî Ph ng trình t ng quát c a (d): 2(x-3)-5(y-2)=0 2 5 4 0x yÛ - + =

Ph ng trình chính t c c a (d): 3 25 2

x y- -=

*Mu n l p ph ng trình ng th ng (d) ta c n bi t (d):- Qua 1 m và bi t 1 VTCP- Qua 1 m và bi t 1 VTPT- Qua 2 m phân bi t

Bài t p t luy nBài 1: Vi t ph ng trình t ng quát c a các ng th ng sau:

hoctoancapba.com


148

a)1 2

3

x t

y t

ìï = -ïíï = +ïî b)

1 2

2 3

x t

y t

ìï = +ïíï = - +ïî c)

3

6 2

x

y t

ìï = -ïíï = -ïî d)

5 2

2

x t

y

ìï = +ïíï = -ïîBài 2: Vi t ph ng trình tham s c a các ng th ng sau:a) 2 3 0x y- + = b) 2 4 0x y- + - = c) 2 0x - = d) 4 0y + =

Bài 3: Cho m M(3;0) và ng th ng1: 2 2 0d x y- - = và

2: 3 0d x y+ + = . Vi t

ph ng trình ng th ng d qua M c t1

d ,2

d n l t t i A, B sao cho MA MB=

Bài 4: Cho tam giác ABC, A(2;2), B(-1;6), C(-5;3)a) Vi t ph ng trình các c nh c a tam giác ABCb) CMR tam giác ABC vuông cân

Bài 5: Cho tam giác ABC, M(2;1).N(5;3), P(3;-4) l n l t là trung m c a AB, BC, CAa tam giác ABC.a) Vi t ph ng trình các c nh c a tam giác ABCb) Vi t ph ng trình các ng trung tr c

Bài 6: Cho A(1;2). Tìm t a m 'A i x ng v i A qua d: 2 1 0x y+ - =Bài 7:Tam giác ABC, M(0;4) là trung m c a BC,

: 2 11 0, : 4 2 0AB x y AC x y+ - = + - = . Tìm t a c a A, B, C.

Bài 8: Cho1 2: 2 3 1 0; : 4 5 0d x y d x y- + = + - = , g i

1 2A d d= Ç . Tìm t a

1 2;B d C dÎ Î tam giác ABC có tr ng tâm G(3;5)

áp s : 61 43 5 55( ; ); ( ; )7 7 7 7

B C -

1.3. Các bài toán liên quan n góc và kho ng cách1.3.1. Ki n th c liên quana. Góc gi a hai ng th ng:

nh ngh a: Hai ng th ng (d1), (d2) c t nhau t o thành 4 góc. S o nh nh t c a cácgóc ó là góc gi a 2 ng th ng (d1) và (d2). Kí hi u (d1, d2)Suy ra, góc gi a hai ng th ng luôn b ng ho c k bù v i góc gi a hai VTPT (ho c gócgi a hai VTCP).

u (d1):1 1 1

0a x b y c+ + = , (d2):2 2 2

0a x b y c+ + = thì

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 2 2 2 21 1 2 21 2

.cos( , ) cos( , )

..

n n a a bbd d n n

a b a bn n

+= = =

+ +.

Chú ý:

* (d1)^(d2) 1 2 1 2 1 20n n a a b bÛ ^ Û + =

* N u (d1) và (d2) l n l t có d ng1 1

y k x m= + và2 2

y k x m= + thì (d1)^(d2) 1 2. 1k kÛ = -

hoctoancapba.com


149

b. Kho ng cách t m t m t i m t ng th ngCho (d): ax+by+c=0 và m

0 0( ; )M x y . Khi ó kho ng cách t m M t i ng

th ng (d):

0 0

2 2

ax +by +c( , )d M d

a b=

+Chú ý:* Kho ng cách t m M n ng th ng (d) là:

- Là kho ng cách t M n M , là hình chi u c a M lên (d)- Là kho ng cách ng n nh t t M n 1 m b t k thu c (d)

* Cho (d):ax+by+c=0 và hai m0 0

( ; )M x y ,1 1

( ; )N x y . t t =0 0 1 1

(ax +by +c)(ax +by +c)

- N u t < 0 thì M, N n m v hai phía c a (d).- N u t>0 thì M, N n m cùng m t phía v i (d).

1.3.2. Ví d minh h aVí d 1:

a) Tìm góc gi a 2 ng th ng1

3:

2

x td

y t

ìï =ïíï = -ïî và

2: 2 4 0d x y- - =

b) Tính kho ng cách t M(-2;3) n3 2

:1

x td

y t

ìï = -ïíï = +ïîi gi i

a)1

d có VTCP (3; 1)u = - Þ VTPT1

(1;3)n =

2d VTPT

2(1; 2)n = -

1 2

1 2

1 2

. 1.1+3.(-2) 5 1os(d ,d )=

1 9. 1 4 50 2.

n nc

n n= = = =

+ +

01 2

( , ) 45d dÞ =

b) d A(3;1)

(1;2)

qua

VTPT n

ìïïïíï =ïïî: 1( 3) 2( 1) 0 2 5 0d x y x yÞ - + - = Û + - =

2 2.3 5 1( , )

1 4 5d M d

- + -= =

+

Ví d 2: Vi t ph ng trình ng th ng d qua M(0;1) và t o v i d: 2 3 0x y+ + = m t góc045i gi i

hoctoancapba.com


150

(Có 2 ng th ng nh v y. l p lu n b ng hình v )

D là ng th ng2 2

(0;1)

=(A;B), A +B 0

qua M

VTPT n

ìïïïíï ¹ïïî

d có VTPT là1

(1;2)n =

0 0

2 2 2 2

.1 .2 2 1cos( , ) os45 os45

2. 1 4 . 5

A B A Bd c c

A B A B

+ +D = Û = Û =

+ + +2 2 2 2 25( ) 2( 2 ) 3 8 3 0 ( 3 )(3 ) 0A B A B A AB B A B A BÛ + = + Û - - = Û - + =

3

3

A B

A B

é =êÛ ê = -êë*) A=3B: ch n A=3 Þ B=1Þ : 3( 0) 1( 1) 0 3 1 0x y x yD - + - = Û + - =

*) 3A=-B: ch n A=1 Þ B=-3Þ : 1( 0) 3( 1) 0 3 3 0x y x yD - - - = Û - + =

y có 2 ng th ng:3 1 0

3 3 0

x y

x y

é + - =êê - + =êë

Ví d 3: Cho hai ng th ng1: 2 5 0d x y- + = ;

2: 3 6 1 0d x y+ - = . L p ph ng trình

ng th ng qua P(2;-1), d c t1 2;d d t o thành 1 tam giác cân t i giao m

1d và

2d .

i gi i

Gi s d có VTPT 2 2=(A;B), A +B 0n ¹

d là ng th ng2 2

P(2; 1)

=(A;B), A +B 0

qua

VTPT n

ìï -ïïíï ¹ïïî: ( 2) ( 1) 0d A x B yÞ - + + =

Tam giác cân t i giao m c a1

d và2

d nên1 2

( ; ) ( ; )d d d d=

1 2os( , ) os( , )c d d c d d=

2 2 2 2

.2 .( 1) 3. 6.3 2 3 6 2 2

. 4 1 9 36.

A B A BA B A B A B A B

A B A B

+ - +Û = Û - = + Û - = +

+ + + +

2 2 3

2 ( 2 ) 3

A B A B A B

A B A B A B

é é- = + =ê êÛ Ûê ê- = - + = -ê êë ë*) A=3B Ch n A=3 thì B=1 : 3( 2) 1( 1) 0 3 5 0d x y x yÞ - + + = Û + - =

*) 3A=-B ch n A=1 thì B=-3 : 1( 2) 3( 1) 0 3 5 0d x y x yÞ - - + = Û - - =

Ví d 4: Cho hình vuông, 1 nh có t a (-4; 5) và ng chéo có ph ng trình 7x-y+8=0.p ph ng trình các c nh.

hoctoancapba.com


151

i gi ii A(-4; 5) và d: 7x-y+8=0 , do A : 7 8 0d BD x yÏ Þ - + =

p ph ng trình ng th ng D qua A t o v i BD 1 góc 45 0

a s D có VTPT ( ; )n A B= v i 2 2 0A B+ ¹

0

2 2 2 2

7. 71os45

2. 49 1 . 50

A B A BC

A B A B

- -= Û =

+ + +

( ) ( )2 2 2 2 27 25 12 7 12 0A B A B A AB BÛ - = + Û - - =

( )( )3 4 4 3 0

3 4

4 3

A B A B

A B

A B

Û - + =é =êÛ ê = -êë

*) 3A=4B, ch n A=4 thì B=3 ( ): 4( 4) 3 5 0 4 3 1 0x y x yÞ D + + - = Û + + =

*) 4A=-3B, ch n A=3 thì B=-4 ( ) ( ): 3 4 4 5 0 3 4 32 0x y x yÞ D + - - = Û - + =

Ch n AB: 4 3 1 0x y+ + = AD: 3 4 32 0x y- + =

( )1;1B AB BD B= Ç Þ -

( )0;8D AD BD D= Ç Þ Þ Tâm I( 1 9;

2 2- )

I là trung m c a AC nên:( )

( )1

2. 4 32 3;4

92. 5 4

2

C

C

xC

y

ì æ öï ÷ï ç ÷= - - - =ï ç ÷çï ÷çï è ø Þíïïï = - =ïïî

CD: C(3;4) C(3;4)

:/ / AB (4;3)

quaquaCD

VTPT n

ìì ïï ïï ïÞí íï ï =ï ïî ïîCD: ( ) ( )4 3 3 4 0 4 3 24 0x y x y- + - = Û + - =

BC: 3x-4y+7=0y ph ng trình các c nh: 4x+3y+1=0 3x-4y+32=0

4x+3y-24=0 3x-4y+7=0Ví d 5: Cho tam giác ABC, A(3;2), B(1;6), C(-5;3). Tính chi u cao

ah

i gi i( , )

ah d A BC=

hoctoancapba.com


152

B(1;6):

( 6; 3)

quaBC

VTCP BC

ìïïïíï = - -ïïî

B(1;6):

(1; 2)

quaBC

VTPT n

ìïïïÞ íï = -ïïî

( ) ( ): 1 1 2 6 0 2 11 0BC x y x yÞ - - - = Û - + =

3 2.2 11( , ) 2 5

1 4a

h d A BC- +

= = =+

Ví d 6: Tìm M thu c1

:3

x

y t

ìï =ïD íï = +ïî

'( , ) 2d M D = v i ' : 1 0x yD + + =

i gi i( )1;3M M tÎ D Þ +

'( , ) 2d M D =1 3 1 5 2 3

2 5 25 2 71 1

t t tt

t t

é é+ + + + = = -ê êÛ = Û + = Û Ûê ê+ = - = -+ ê êë ë*) ( )3 1;0t M= - Þ

*) ( )7 1; 4t M= - Þ -

Ví d 7: Cho tam giác ABC, A(2;-3), B(3;-2), tr ng tâm G thu c : 3 8 0x yD - - = . Tìm

a C 32ABC

S =

i gi iVì ( ); 3 8G G a aÎ D Þ -

G là tr ng tâm tam giác ABC3 3 3 2 3

3 3 9 24 3 2A B C G C G A B

A B C G C G A B

x x x x x x x x a

y y y y y y y y a

ì ìï ï+ + = = - - = - -ï ïÛ Ûí íï ï+ + = = - - = - + +ï ïî îC(3a-5;9a-19)

32ABC

S =1 3. . ( , ). 3

2 2CH AB d C AB ABÛ = Û = (1)

( )1;1 1 1 2AB AB= Þ = + =

A(2;-3) A(2;-3): :

(1;1) (1; 1)

qua quaAB AB

VTCP AB VTPT n

ì ìï ïï ïï ïÛí íï ï= = -ï ïï ïî î

( ) ( ): 1 2 1 3 0 5 0AB x y x y- - + = Û - - =

hoctoancapba.com


153

( )3 5 9 19 5 6 9( , )

1 1 2

a a ad C AB

- - - - - += =

+

(1)6 9 2 3 1 2

. 2 3 6 9 3 2 3 12 3 1 12

a a aa a

a a

é é- + - = =ê êÛ = Û - = Û - = Û Ûê ê- = - =ê êë ëy có 2 m: ( ) ( )1 2

1; 1 ; 2; 10C C- - -

BÀI T P T LUY NTrong m t ph ng v i h t a Oxy1) Tính kho ng cách t A n ng th ng (d):

a)A(3;5) và (d): 2 13 5

x y- -=

b) A(1;3) và (d):3x-4y-2=02) Tính góc gi a 2 ng th ng

1d ;

2d

a)1

d :2

4

x t

y t

ìï =ïíï = +ïî;

2d :

,

,

x t

y t

ìï =ïïíï =ïïî

b)1

d :2

1

x t

y t

ìï =ïíï = -ïî;

2d : x+3y-2=0

3) Chuy n các ph ng trình sau v d ng tham s : a) x+3y-4=0; b) 3x-y-5=0; c) x=3; d) y=-84) Chuy n các ph ng trình sau v d ng t ng quát

a)1 3

2 2

x t

y t

ìï = -ïíï = +ïî; b)

5

1

x t

y t

ìï = -ïíï = +ïî c)

3

1 2

x

y t

ìï =ïíï = - -ïî5) Cho tam giác ABC có ( )( 1; 1); (1;9); 9;1M N P- - l n l t là trung m c a AB, BC, CA

a) Vi t ph ng trình các c nh c a tam giác ABC. b) Vi t ph ng trình các ng trung tr c c a tam giác ABC.6) Cho tam giác ABC có ( )( 2;6); (6;2); 1; 3A B C- -

a) Vi t ph ng trình các c nh c a tam giác ABC. b) Vi t ph ng trình các ng trung tuy n CM. c) Vi t ph ng trình ng th ng (d) i qua A và vuông góc v i CM.7) Cho ( )1;2 ,M 1

d : x-y-1=0;2

d 3x-y+1=0. Vi t ph ng trình ng th ng (d) i qua M c t

1d ;

2d l n l t t i A, B sao cho MA=2MB.

8) Cho ( )1;1M 1d : x+y=0 ;

2d x-y+1=0. Vi t ph ng trình ng th ng i(d) qua M c t

1d ;

2d l n l t t i A, B sao cho 2MA=MB.

hoctoancapba.com


154

9) Cho ( )2;1 ,M 1d : x+y+1=0;

2:d 2x+y-1=0. Vi t ph ng trình ng th ng i qua M c t

1d ;

2d l n l t t i A, B sao cho MA=MB.

10) ( )2;2 ,M 1d :2x+9y-18=0;

2:d 2x+y-1=0. Vi t ph ng trình ng th ng i qua M c t

1d ;

2d l n l t t i A, B sao cho MA=MB.

11) Cho m ( )2;3A tìm t a m ,A i x ng v i A qua (d):

a) (d):x+2y-1=0 b) (d):x-1=0; c) (d) là tr c Ox.12) Cho ( )(5; 1); 3;7A B- . Vi t ph ng trình ng th ng (d) i qua I(-2;3) và cách u A

và B13) Cho ( )(1;2); 1;2A B - , (d): x-2y+1=0. Tìm C thu c (d)

a) CA=CB b) AB=AC14) Cho ( )(1;1); 1; 3 ,A B - (d): x+y+4=0

a) Tìm C thu c (d) C cách u A, B. b) V i C tìm c trên, tìm D ABCD là hình bình hành.15) Cho ( )(1;1); 4; 3A B - , (d): x-2y-1=0. Tìm C thu c (d) kho ng cách t C n AB b ng

6.16) Cho

1d : x+y+3=0;

2d : x-y-4=0;

3d : x-2y=0. Tìm M thu c

3d kho ng cách t M n

1d b ng 2 l n kho ng cách t M n

2.d

17) Tìm M a) MÎOx và cách ( ) : 4 3 1 0x yD + + = m t kho ng cách b ng 5.

b) MÎOy và cách ( ) : 4 1 0x yD + + = m t kho ng cách b ng 17.

18) Cho1

d : 3x-4y+6=0;2

d : 4 x-3y-9=0.Tìm MÎOy kho ng cách t M n1

d b ng

kho ng cách t M n2.d

19) Cho ( )(1;2); 5; 4A B - , (d): x+3y-2=0. Tìm M thu c (d) MA MB+ nh nh t.

20) Cho tam giác ABC có ( )(1;0); 3; 1A B - , (d): x-2y-1=0. Tìm CÎ(d) 6.ABC

S =

21) Cho tam giác ABC có ( )(2; 4); 0; 2A B- - , (d): 3x-y+1=0. Tìm CÎ(d) 1.ABC

S =

22) Cho1

d : x-2y-3=0;2

d : x+y+1=0. Tìm MÎ 1d kho ng cách t M n

2d b ng 1

2

23) Cho ( )(1; 0); 2;4A B - ; ( )( 1; 4); 3;5C D- . Tìm t p h p m M .MAB MCD

S S=

hoctoancapba.com


155

24) Cho tam giác ABC có ( )(2; 1); 1; 2A B- - , tr ng tâm G thu c ng th ng d: x+y-2=0.

Tìm C 3.

2ABCS =

25) Cho tam giác ABC có ( )(4;0); 0; 3A B , 452ABC

S = , tr ng tâm G thu c ng th ng d: x-

y-2=0. Tìm t a C.26) a) Cho tam giác ABC có ( )(3;1); 1; 3A B - , 3

ABCS = , tr ng tâm G thu c tr c hoành.

Tìm t a C. b) Cho tam giác ABC có ( )(1; 2); 2; 3A B- - , 4

ABCS = , tr ng tâm G thu c ng th ng d:

x-y-2=0. Tìm t a C.

c) Cho tam giác ABC có ( )(2; 5); 3;7A B- - , 692ABC

S = , tr ng tâm G thu c ng th ng d:

5x-3y+1=0. Tìm t a C27) Cho tam giác ABC có ( )(2; 1); 3; 2A B- - , tr ng tâm G thu c ng th ng d: 2x+5y-

3=0,CÎ ,d :x+y+3=0. Vi t ph ng trình các c nh c a tam giác ABC.28) Cho hình vuông nh A(0;5) ng chéo y-2x=0. Tìm t a tâm và các nh còn l i.29) Cho tam giác ABC, M(-1;1) là trung m c a BC, AB: x+y-2=0, AC: 2x+6y+3=0.Tìm t a c a A, B, C.30) Cho

1d : 2x-y+1=0;

2d : x+2y-7=0, vi t ph ng trình ng th ng d i qua g c t a

sao cho d t o v i1

d ,2

d m t tam giác cân t i giao m c a1

d và2.d

31) Cho1

d : x-3y+5=0;2

d : 3x-y-2=0, vi t ph ng trình ng th ng d i qua P(2;-1) sao

cho d t o v i1

d ,2

d m t tam giác cân t i giao m c a1

d và2.d

32) Cho1

d : 2x-3y+5=0;2

d : x+3y-2=0, A là giao m c a1

d và2

d . Tìm BÎ 1d , CÎ 2

d

tam giác ABC có tr ng tâm G(2;1).

1.4. Các ng, m c bi t trong tam giác1.4.1. ng cao và tr c tâma. Ki n th c c n s d ng: Tính ch t vuông gócb. Ví d minh h aVí d 1: Cho tam giác ABC, A(2;2), B(-1;6),C(5;5). Vi t ph ng trình các ng cao vàtìm t a tr c tâm H.

i gi i

*) A(2;2)

: (6; 1)

quaAH

VTPT BC

ìïïïíï = -ïïî

hoctoancapba.com


156

( ) ( ): 6 2 1 2 0 6 10 0AH x y x yÞ - - - = Û - - =

*) ( ) ( ) B(-1;6)

: : 3 1 3 6 0 5 0 (3;3)

quaBH BH x y x y

VTPT AC

ìïïï Þ + + - = Û + - =íï =ïïî *) : 3 4 5 0CH x y- + - =

*) 15 20;

7 7H AH BH H

æ ö÷ç ÷= Ç Þ ç ÷ç ÷çè ø

Ví d 2: Tam giác ABC, A(4;1), 2 ng cao xu t phát t nh B và C l n l t có ph ngtrình là: 2 8 0;2 3 6 0x y x y- + + = + - = . Vi t ph ng trình ng cao AH, tìm t a B,C.

i gi iA(4;1) không thu c -2x+y+8=0 do -2.4+1+8¹ 0

A(4;1) không thu c 2x+3y-6=0 do 2.4+3.1-6¹ 0i BI: -2x+y+8=0; CK: 2x+3y-6=0

15 1;

4 2H BI CK H

æ ö÷ç ÷= Ç Þ -ç ÷ç ÷çè ø

A(4;1) A(4;1): :1 3

(6; 1) ( ; )4 2 AH

qua quaAH AH

VTPT nVTCP AH

ìï ìïï ïï ïÞí íï ï = -= - -ï ïïîïî( ) ( ): 6 4 1 1 0 6 23 0AH x y x yÞ - - - = Û - - =

*) AB: A(4;1) A(4;1) A

: : CK (2;3) (3; 2)

CK

qua quaquaAB AB

VTCP n VTPT n

ì ìì ï ïï ï ïï ï ïÞ Þí í íï ï ï^ = = -ï ï ïî ï ïî î

( ) ( ): 3 4 2 1 0 3 2 10 0AB x y x y- - - = Û - - =

( )6;4B AB BI B= Ç Þ

*) AC:1

A(4;1) A(4;1) A: :

BI ( 2;1) (1;2)BI

qua quaquaAC AC

VTCP n VTPT n

ì ìì ï ïï ï ïï ï ïÞ Þí í íï ï ï^ = - =ï ï ïî ï ïî î

( ) ( ): 1 4 2 1 0 2 6 0AB x y x y- + - = Û + - =

( )6;6C AC CK C= Ç Þ -

Ví d 3: Cho tam giác ABC có A(2;2), hai ng cao xu t phát t nh B và C l n l t cóph ng trình là: 9 3 4 0; 2 0x y x y- - = + - = . Vi t ph ng trình ng các c nh và tínhdi n tích c a tam giác.

i gi iPh ng trình các c nh AB: x-y=0, BC: 7x+5y-8=0, CA: x+3y-8=0

hoctoancapba.com


157

1. ( , )

2S AC d B AC= ; 2 2

( ; )3 3

B AB BH B= Ç Þ ; C(-1;3)

2 2( 3;1) ( 3) 1 10AC AC- Þ = - + =

2 23. 8

3 3 16( , )

1 9 3 10d B AC

+ -= =

+

1 1 16 8. ( , ) . 10.

2 2 33 10S AC d B AC= = =

Ví d 4: Cho tam giác ABC, AB: 5x-3y+2=0, các ng cao qua nh A, B l n l t là

1 2: 4 3 1 0; : 7 2 22 0d x y d x y- + = + - = . Vi t ph ng trình c nh AC, BC và ng cao

th 3.i gi i

t AH1

dº , BH2

dº

( )1; 1A AB AH A= Ç Þ - -

( )2;4B AB BH B= Ç Þ

*) AC1

A(-1;-1) A:

BH (2; 7)

quaquaAC

VTPT n

ìì ïï ïï ïÞí íï ï^ = -ï ïî ïî

( ) ( ): 2 1 7 1 0 2 7 5 0AC x y x yÞ + - + = Û - - =

*) BC2

B(2;4) B:

AH (3;4)

quaquaBC

VTPT n

ìì ïï ïï ïÞí íï ï^ =ï ïî ïî

( ) ( ): 3 2 4 4 0 3 4 22 0BC x y x yÞ - + - = Û + - =

*) ( )6;1C AC BC C= Ç Þ

CH3

C(6;1) C:

AB (3;5)

quaquaCH

VTPT n

ìì ïï ïï ïÞí íï ï^ =ï ïî ïî

( ) ( ): 3 6 5 1 0 3 5 23 0CH x y x yÞ - + - = Û + - =

Ví d 5: Cho tam giác ABC có ph ng trình hai c nh là 3 1 0;2 4 0x y x y- + = + - = , tr ctâm H(1;-2). Vi t ph ng trình các c nh còn l i c a tam giác.

i gi it : 3 1 0; : 2 4 0AB x y AC x y- + = + - =

hoctoancapba.com


158

3 14;

5 5A AB AC A

æ ö÷ç ÷= Ç Þ ç ÷ç ÷çè ø

*) BH: H(1;-2) H

: AC (1; 2)

quaquaBH

VTPT n


( ) ( ): 1 1 2 2 0 2 5 0BH x y x y- - + = Û - - =

7 16;

5 5B AB BH B

æ ö÷ç ÷= Ç Þ - -ç ÷ç ÷çè ø

*)1

7 16 7 16 B(- ;- ) B(- ;- )5 5: : 5 52 24

(1; 12) ( ; )5 5

qua quaBC BC

VTPT nVTPT AH

ìï ìïï ïï ïïï ïÛí íï ïï ï = -= -ï ïïîïïî

7 16: 1 12 0 12 37 0

5 5BC x y x y

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷+ - + = Û - - =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

Ví d 6: Cho tam giác ABC có nh A(-1;-3), ng trung tr c c a n AB là:3x+2y-4=0.Tr ng tâm G(4;-2). Tìm t a B, C.

i gi i

AB A(-1;-3) A

: d (2; 3)AB

quaquaAB

VTPT n


( ) ( ): 2 1 3 3 0 2 3 7 0AB x y x y+ - + = Û - - =

( )2; 1AB

M AB d M= Ç Þ -

M là trung m c a AB nên B(2.2+1;2.(-1)+3)Þ B(5;1)

Ta có 3MC MG= (*)i C(x;y)

( 2; 1)

(2; 1)

MC x y

MG

- +

-

(*)2 3.2 8

(8; 4)1 3.( 1) 4

x xC

y y

ì ìï ï- = =ï ïÛ Þ Þ -í íï ï+ = - = -ï ïî î

Ví d 7: Cho tam giác ABC có A(-1;1), Tr c tâm H(2;2), D 5 5;

2 2

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø là trung m c a BC.

Tìm t a B, C.i gi i

hoctoancapba.com


159

5 5 D( ; )

: 2 2 (3;1)

quaBC

VTPT AH

ìïïïïíïï =ïïî

5 5: 3 1 0 3 10 0

2 2BC x y x y

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷- + - = Û + - =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

( ; 3 10)

( ; 3 10);

B BC B b b

C BC C c c b c

Î Þ - +Î Þ - + ¹

D là trung m c a BC nên5 5

53 10 3 10 5 3 3 15

b c b cb c

b c b c

ì ìï ï+ = + =ï ïÛ Û + =í íï ï- + - + = - - = -ï ïî î(1)

Ta có

. 0(*)

( 2; 3 8)

( 1; 3 9)

HB AC

HB b b

AC c c

=

= - - +

= + - +

( ) ( )( ) ( )( )* 2 1 3 8 3 9 0 2 2 9 27 24 72 0b c b c bc b c bc b cÛ - + + - + - + = Û + - - + - - + =

10 26 26 70 0 10 26( ) 70 0 6bc b c bc b c bcÛ - - + = Û - + + = Û = (2) (1) và (2) ta có (b;c)=(2;3);(3;2)

y(2;4); (3;1)

(3;1); (2;4)

B C

B C

éêêêë

Ví d 8: Cho tam giác ABC có A thu c d: x-4y-2=0; BC//d; ng cao BH:x+y+3=0,M(1;1) là trung m c a AC. Tìm t a c a A, B, C.

i gi i

AC M(1;1) M(1;1)

: BH (1; 1)

AC

quaquaAC

VTPT n


( ) ( ): 1 1 1 1 0 0AC x y x y- - - = Û - =

2 2;

3 3A AC d A

æ ö÷ç ÷= Ç Þ - -ç ÷ç ÷çè ø

M là trung m c a AC nên 2 2 8 8(2.1 ;2.1 ) ;

3 3 3 3C C

æ ö÷ç ÷+ + Þ ç ÷ç ÷çè ø

BC8 8

C C( ; ): 3 3

/ / d (1; 4)d

qua quaBC

VTPT n

ìïì ïï ïï ïÞí íï ïï ï = -î ïïî

hoctoancapba.com


160

8 8: 1 4 0 4 8 0

3 3BC x y x y

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷- - - = Û - + =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

( )4;1B BC BH B= Ç Þ -

BÀI T P T LUY NTrong m t ph ng v i h t a Oxy1) Tìm t a tr c tâm H c a tam giác ABC, v i A(-1;2); B(5;7); C(4;-3)

2) Cho tam giác ABC có 3 nh thu c th hàm s 1y

x= (C). Ch ng minh r ng tr c tâm

H thu c (C).3) Cho tam giác ABC ph ng trình các c nh AB: x+y-3=0; BC: 3x-y-3=0; CA: 3x-2y-6=0.Tìm t a tr c tâm H.4) Cho tam giác ABC ph ng trình các c nh BC: 7x+5y-8=0. Hai ng cao k t B và C

n l t: 9x-3y-4=0 và x+y-2=0. Vi t ph ng trình các c nh còn l i c a tam giác ABC.5) Cho tam giác ABC tr c tâm H, AB: x+y-9=0; AH: x+2y-13=0; BH: 7x+5y-49=0. a) Tìm t a tr c tâm H. Vi t ph ng trình ng cao CH. b) Vi t ph ng trình c nh BC.6) Cho tam giác ABC, ( )1; 3A - - , các ng cao BH: 5x+3y-25=0; CK: 3x+8y-12=0. Tìm

a B, C.7) Cho tam giác ABC, ( )0;1A , các ng cao BH: 2x-y-1=0; CK: x+3y-1=0. Tính di n tích

tam giác ABC.8) Cho tam giác ABC, ( )2;3A , các ng cao

1d : x+y-2=0;

2d : 9x+3y+4=0. Vi t ph ng

trình các c nh.9) Cho tam giác ABC, ( )1;1A , các ng cao BH: -2x+y-8=0; CK: 2x+3y-6=0. Vi t

ph ng trình ng cao AH, tìm t a B, C10) Cho tam giác ABC, ( )2; 1A - , các ng cao

1d : 2x-y+1=0;

2d : x+3y+2=0. Vi t

ph ng trình ng trung tuy n AM.11) Cho tam giác ABC, ( )2;5B , các ng cao: 2x+3y+7=0;

2d : x-11y+3=0. Vi t ph ng

trình các c nh.12) Cho tam giác ABC, ( )4; 5C - - , các ng cao: 5x+3y-4=0;

2d : 3x+8y+13=0. Vi t

ph ng trình các c nh.13) Cho ph ng trình hai c nh c a 1 tam giác là 5x-2y+6=0; 4x+7y-21=0. Vi t ph ngtrình c nh th 3 bi t tr c tâm trùng v i g c t a .14) Cho ph ng trình hai c nh c a 1 tam giác là 3x-y+24=0; 3x+4y-96=0. Vi t ph ng

trình c nh th 3 bi t tr c tâm H(0; 323

).

hoctoancapba.com


161

15) Cho tam giác ABC, A(-3;6), tr c tâm H(2;1), tr ng tâm G 4 7;

3 3

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø. Tìm t a B, C.

16) Cho tam giác ABC, tr c tâm H 13 13;

5 5

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø, AB: 4x-y-3=0; AC: x+y-7=0. Vi t ph ng

trình c nh BC.17) Cho tam giác ABC, A(5;2), ng trung tr c c a n BC là x+y-6=0, ng th ngqua C là (d): 2x-y+3=0. Tìm t a c a B, C.18) Cho tam giác ABC, C(3;-2) tr c tâm H(0;-1). Tìm t a c a A thu c

1d : x+y+7=0; B

thu c2

d : 5x+y-1=0.19) Cho tam giác ABC, A(1;2), B(2;7).Tìm t a nh C bi t dài ng cao h t A

ng 1, và C thu c ng th ng y-3=0.20) Cho tam giác ABC, A(3;1), B(1;-5), tr c tâm H(1;0). Tìm t a C.21) Cho tam giác ABC, ( ) : 2 3 14 0A x yÎ D - + = , BC//(D ); ng cao CH: x-2y-1=0.

M(-3;0) là trung m c a AB. Tìm t a c a A, B,C.22) Cho tam giác ABC, tr c tâm H(1;-1), E(-1;2) là trung m c a AC, BC: 2x-y+1=0.Tìm t a c a A, B, C.Hd: ( ;2 1) ( 2 ;3 2 )C BC C c c A c cÎ Þ + Þ - - - , AH A CÞ Þ

23) (Trích thi H kh i D 2010). Trong m t ph ng to ô Oxy, cho tam giác ABC có nhA(3;-7), tr c tâm là H(3;-1), tâm ng tron ngo i ti p là I(-2;0). Xác nh to ô nh C,bi t C có hoành ô d ng.

1.4.2. ng trung tuy n và tr ng tâma. Ki n th c: C n s d ng gi thi t c a trung m M

l trung iêm cua BC l trung iêm cua BC l trung iêm cua BC

M AMM AM BC M AM

M BCM à M à

M à

ìï Îïì ìï ïï= Ç Îï ïïÛ Î Ûí í íï ï ïï ï ïî îïïî“Trung m thu c vào trung tuy n”b. Các bài t pVí d 1. Cho tam giác ABC, C(-4;1), ph ng trình các ng trung tuy n AM: 2x-y+3=0;BN:x+y-6=0. Vi t ph ng trình các c nh c a tam giác.

i gi i( ; 6)B BN B b bÎ Þ - +

M là trung m c a BC 4 7( ; )

2 2b b

M- - +

Þ

4 72. 3 0 2 8 7 6 0 3 9 3

2 2b b

M AM b b b b- - +

Î Û - + = Û - + - + = Û = Û =

hoctoancapba.com


162

B(3;3), ( ;2 3)A AM A a aÎ Þ +

N là trung m c a AC 4 2 4( ; )

2 2a a

N- +

Þ

4 2 46 0 4 2 4 12 0 3 12 4

2 2a a

N BN a a a a- +

Î Û + - = Û - + + - = Û = Û =

A(4;11)Cách 2: t t a c a G và M ta có t a c a AAB: 8 21 0x y- - = ; BC: 2 7 15 0x y- + = ; CA: 5 4 24 0x y- + =

Ví d 2. Cho tam giác ABC, ph ng trình c nh AB:x-2y+7=0, ph ng trình các ngtrung tuy n AM: x+y-5=0; BN:2x+y-11=0. Vi t ph ng trình các c nh AC,BC c a tamgiác.

i gi i( )1;4A AB AM A= Ç Þ

( )3;5B AB BN B= Ç Þ

( )6; 1G AM BN G= Ç Þ -

G là tr ng tâm tam giác ABC nênC(3.6-1-3;3.(-1)-4-5)Þ C(14;-12)AC: 16 13 68 0x y+ - = ; BC: 17 11 106 0x y+ - =

Ví d 3. Cho tam giác ABC, tr ng tâm G, nh A(3;9), hai ng trung tuy n BM:3x-4y+9=0; CN: y-6=0. Vi t ph ng trình trung tuy n AG, tìm t a B,C?

i gi i( )5;6G BM CN G= Ç Þ

AG: A(3;9) A(3;9)

: (2; 3) (3;2)

qua quaAG

VTCP AG VTPT n

ì ìï ïï ïï ïÞí íï ï= - =ï ïï ïî î

( ) ( ): 3 3 2 9 0 3 2 27 0AG x y x y- + - = Û + - =

( ;6)C CN C cÎ Þ

M là trung m c a AC 3 15( ; )

2 2c

M+

Þ

3 153. 4. 9 0 3 9 60 18 0 3 33 11

2 2c

M BM c c c+

Î Û - + = Û + - + = Û = Û =

C(11;6);B(3.5-3-11;3.6-9-6)Þ B(1;3)Ví d 4. Cho tam giác A(4;3), ng cao BH:3x-y+11=0, ng trung tuy n CM:x+y-1=0.Vi t ph ng trình các c nh c a tam giác.

i gi i

hoctoancapba.com


163

AC Aqua

BH

ìïïíï^ïîACÞ

A(4;3)

(1;3)

qua

VTPT n

ìïïïíï =ïïîACÞ :

1( 4) 3( 3) 0 3 13 0x y x y- + - = Û + - =

( )5;6C AC CM C= Ç Þ -

4 3 14( ;3 11) ( ; )

2 2b b

B BH B b b M+ +

Î Þ + Þ

4 3 141 0 4 3 14 2 0 4 16 4

2 2b b

M CM b b b b+ +

Î Û + - = Û + + + - = Û = - Û = - Þ

B(-4;-1)AB: 2 2 0x y- + = ; BC: 7 29 0x y+ + = ; CA: 3 13 0x y+ - =

Ví d 5. Cho tam giác ABC, C(4;-1), ng cao và trung tuy n xu t phát t 1 nh cóph ng trình l n l t là: 2x-3y+12=0: 2x+3y=0. Vi t ph ng trình các c nh c a tam giác.

i gi iC(4;-1) 2 3 12 0x yÏ - + = do 2.4-3.(-1)+12¹ 0

C(4;-1) 2 3 0x yÏ + = do 2.4+3.(-1)¹ 0i AH: 2 3 12 0x y- + =

AM: 2 3 0x y+ = ( )3;2A AH AM A= Ç Þ -

CB Cqua

AH

ìïïíï^ïîBCÞ

C(-4;1)

(3;2)

qua

VTPT n

ìïïïíï =ïïîBCÞ :3( 4) 2( 1) 0 3 2 10 0x y x y- + + = Û + - =

( )6; 4M BC AM M= Ç Þ -

M là trung m c a BC nên B(2.6-4;2.(-4)+1)Þ B(8;-7)AB: 9 11 5 0x y+ + = AC: 3 7 5 0x y+ - =

Ví d 6. Cho tam giác ABC, M(2;0) là trung m c a AB, ng trung tuy n AD:7x-2y-3=0; ng cao AH: 6x-y-4=0. Vi t ph ng trình c nh AC

i gi i( )1;2A AD AH A= Ç Þ

M là trung m c a BC nên B(2.2-1;2.0-2)Þ B(3;-2)

CB B(3;-2)qua

AH

ìïïíï^ïîBCÞ

B(-3;2)

(1;6)

qua

VTPT n

ìïïïíï =ïïîBCÞ :1( 3) 6( 2) 0 6 9 0x y x y- + + = Û + + =

30;

2D AD BC D

æ ö÷ç ÷= Ç Þ -ç ÷ç ÷çè ø

D là trung m c a BC nên C(-3;-1)AC: 3 4 5 0x y- + =

hoctoancapba.com


164

Ví d 7. Cho tam giác ABC, tr ng tâm G(-2;-1); ph ng trình c nh AB: 4x+y+15=0; AC:2x+5y+3=0. Tìm t a A, B, M là trung m c a BC, vi t ph ng trình c nh BC.

i gi i( )4;1A AB AC A= Ç Þ -

2AG GM= (*). G i M(x;y) (2; 2)AG = -

( 2; 1)GM x y+ +

(*)2 2( 2) 1

( 1; 2)2 2.( 1) 2

x xM

y y

ì ìï ï= + = -ï ïÛ Û Þ - -í íï ï- = + = -ï ïî î( ; 4 15)B AB B b bÎ Þ - -

M là trung m c a BC (2.( 1) ;2.( 2) 4 15) ( 2;4 11)C b b C b bÞ - - - + + Þ - - +

2( 2) 5(4 11) 3 0 18 54 0 3 ( 3; 3)C AC b b b b BÎ Û - - + + + = Û + = Û = - Þ - - ;C(1;-1)BC: 2 3 0x y- - =

Ví d 8. Cho tam giác ABC, vuông t i A; BC:x-y-2=0, A, B thu c Ox, bán kính ng tròni ti p tam giác r=3. Tìm t a tr ng tâm G.i gi i

AB: y=0

( )2;0B AB BC B= Ç Þ

( ; 2)C BC C c cÎ Þ - ; Ox ( ;0)A A aÎ Þ ; a 2¹

( )( ) ( ). 0 2 2 .0 0CA AB CAAB a c a c a c^ Û = Û - - + - = Û =2 2 2

( ; )3 3

c cG

+ -Þ

( )1 1. . .

2 2S p r AC AB AB BC CA r= Û = + + (1)

( ) ( )2 22 ; 2 ; 2 2 2 . 2AC c AB c BC c c c= - = - = - + - = -

(1) ( )2 . 2 2 2 2 . 2 .3c c c c cÛ - - = - + - + -

( ) ( )2 20

2 2 .3 3 2 2 06 3 2

tt t t t

t

é =êÛ = + Û - + = Û ê = +êë*)t=0 2 0 2c cÛ - = Û = lo i (do c=a 2¹ )

*)8 3 2 (6 2 2;2 2)

6 3 2 2 6 3 24 3 2 ( 2 2 2; 2 2)

c Gt c

c G

é = + Þ + +ê= + Û - = + Û êê = - - Þ - - - -ë

Ví d 9. Cho tam giác ABC, M(-1;3) là trung m c a AB, trung tuy n BN: x-3y+5=0;ng cao AH: 2x-y+5=0. Tìm t a A, B, C.

hoctoancapba.com


165

i gi i( ;2 5)A AH A a aÎ Þ +

M là trung m c a AB nên B(2.(-1)-a;2.3-2a-5) ( 2; 2 1)B a aÞ - - - +

2 6 3 5 0 5 0 0 (0;5); ( 2;1)B NB a a a a A BÎ Û - - + - + = Û = Û = Þ -

BC: 1( 2) 2( 1) 0 2 0x y x y+ + - = Û + =

( 2 ; )C BC C c cÎ Þ - ; N là trung m c a AC 5( ; )

2c

N c+

Þ -

53. 5 0 2 3 5 10 0

2c

N NB c c c+

Î Û - - + = Û - - - + =

5 5 1 ( 2;1)c c CÛ - = - Û = Þ -

BÀI T P T LUY NTrong m t ph ng v i h t a Oxy,1) Cho tam giác ABC, A(1;3) và hai ng trung tuy n x-2y+1=0; y-1=0. Vi t ph ngtrình các c nh c a tam giác.2) Cho tam giác ABC, A(3;1) và hai ng trung tuy n 2x-y+1=0; x-1=0. Vi t ph ngtrình các c nh.3) Cho tam giác ABC, A(1;3) và hai ng trung tuy n 2x-3y+6=0; 5x+2y-2=0. Vi tph ng trình các c nh.4) Cho tam giác ABC,B(2;-7) ng cao AH:3x+y+11=0; ng trung tuy n CM:x+2y+7=0. Vi t ph ng trình các c nh.5) Cho tam giác ABC,C(3;5), ng cao và ng trung tuy n xu t phát t 1 nh cóph ng trình:

1d : 5x+4y-1=0;

2d : 8x+y-7=0. Vi t ph ng trình các c nh.

6) Cho tam giác ABC,A(4;-3), ng cao và ng trung tuy n xu t phát t 2 nh khácnhau có ph ng trình:

1d : x-2y+1=0;

2d : x+y-5=0. Vi t ph ng trình các c nh.

7) Cho tam giác ABC, B(2;-1), ng cao AH: x-2y+3=0, ng trung tuy n AM: x-1=0.Vi t ph ng trình các c nh.8) Cho tam giác ABC, B(3;5), ng cao AH: 2x-5y+3=0, ng trung tuy n CM: x+y-5=0. Vi t ph ng trình các c nh9) Cho tam giác ABC, A(-1;-3), tr ng tâm G(4;-2), trung tr c n AB là 3x+2y-4=0. Tìm

a c a B, C.10) Cho tam giác ABC, A(-1;2), trung tuy n CM: 5x+7y-20=0; ng cao BK: 5x-2y-4=0.Vi t ph ng trình c nh AC, CB.11) Cho tam giác ABC, C(-1;-2), trung tuy n AM: 5x+y-9=0; ng cao BK: x+3y-5=0.Tìm t a c a A, B.12) Cho tam giác ABC, C(4;4), ng cao AH: 2x-3y+12=0, ng trung tuy n AM:2x+3y=0. Vi t ph ng trình các c nh.13) Cho tam giác ABC, B(1;3), ng cao AH: x-2y+3=0, ng trung tuy n AM: y=1.Vi t ph ng trình các c nh.

hoctoancapba.com


166

14) Cho tam giác ABC, A(4;3) và hai ng trung tuy n x+y-5=0; 2x-y-1=0. Vi t ph ngtrình các c nh.

15) Cho tam giác ABC, AB: y=2x; AC: 1 94 4

y x= - + tr ng tâm G( 8 7;

3 3). Tính di n tích

tam giác.16) Cho tam giác ABC, A(4;6), ph ng trình ng cao và ng trung tuy n k t C cóph ng trình: 2x-y+13=0, 6x-13y+29=0. Tìm t a c a B, C.17) Cho tam giác ABC, tr ng tâm G(-2;-1), AB: 4x+y+15=0;AC:2x+5y+3=0. Tìm t a

a A, B, C.18) Cho tam giác ABC, tr ng tâm G(-2;0), AB: 4x+y+14=0; AC:2x+5y-2=0. Tìm t a

a A, B, C.

19) Cho tam giác ABC, tr ng tâm G(0; 13

), AB: x-y+3=0;BC:3x-5y+9=0. Vi t ph ng

trình c nh AC.20) Cho tam giác ABC, A(0;1), hai ng trung tuy n xu t phát t B và C l n l t là 2x-y-1=0; x+3y-1=0. Tìm t a c a B, C.21) Cho tam giác ABC, M(-1;1) là trung m c a AB, ng trung tuy n BN: x-6y-3=0,

ng cao AH: 4x-y-1=0. Vi t ph ng trình các c nh.1.4.3. ng phân giác và tâm ng tròn n i ti p tam giác*Bài toán ph : Cho tam giác ABC, BK là ng phân giác trong c a góc ABC,

1A là m

i x ng v i A qua BK. Ch ng minh r ng:1

A BCÎ

Xét ( )1 1. .ABI ABI C GC IBA IBAD = D Þ Ð = Ð

Mà ( ) 1 1IBA IBC gt IBA IBC A BCÐ = Ð Þ Ð = Ð Þ Î

a. K n ng: L y i x ng nh c a tam giác qua ng phân giác trong (ngoài)b. Ví d minh h aVí d 1. Cho tam giác ABC, ph ng trình c nh AB: 2x+y-5=0; BC: x+2y+2=0; CA: 2x-y+9=0.Vi t ph ng trình các ng phân giác trong c a A, B và tìm tâm, bán kính ngtròn n i ti p tam giác.

i gi i( )1;7A AB AC A= Ç Þ -

( )4; 3B AB BC B= Ç Þ -

( )4;1C BC AC C= Ç Þ -

*) Các ng phân giác c a góc B

hoctoancapba.com


167

2 5 2 2

4 1 1 4

x y x y+ - + +=

+ +

( )( )

1

2

2 5 2 2 7 0

2 5 2 2 1 0

x y x y x y l

x y x y x y l

éé + - = + + - - =êêÛ Û êê + - = - - - + - =êêë ëi ( )1

l : ( )( )1 7 7 4 1 7 0- - - - - - >

Þ ng phân giác trong c a góc B là ( )2: 1 0l x y+ - =

*) Các ng phân giác c a góc A

2 5 2 9

4 1 4 1

x y x y+ - - +=

+ +

( )( )

3

4

2 5 2 9 7 0

2 5 2 9 1 0

x y x y y l

x y x y x l

éé + - = - + - =êêÛ Û êê + - = - + - + =êêë ëi ( )3

l : ( )( )3 7 1 7 0- - - >

Þ ng phân giác trong c a góc A là ( )4: 1 0l x + =

( ) ( ) ( )2 41;2I l l I= Ç Þ -

( )2.( 1) 2 5

, 54 1

r d I AB- + -

= = =+

Ví d 2. Cho tam giác ABC, ph ng trình c nh BC: 4x-y-3=0; các ng phân giác trong t B,C l n l t có ph ng trình: : 2 1 0; : 3 0

B Cd x y d x y- + = + + = . Vi t ph ng

trình c nh AB, AC.i gi i

( ) ( )1;1B

B BC d B= Ç Þ

( ) ( )0; 3C

B BC d C= Ç Þ -

*) G i1

B là m i x ng v i B quaC

d , E là trung m c a1

BB

1BB

B

C

qua

d

ìïïíï^ïî1

BBÞ1

B(1;1)

(1; 1)BB

qua

VTPT n

ìïïïíï = -ïïî1

BBÞ :1( 1) 1( 1) 0 0x y x y- - - = Û - =

( )1

3 3;

2 2CE BB d E

æ ö÷ç ÷= Ç Þ - -ç ÷ç ÷çè ø

E là trung m c a1

BB ( )1 1

3 32.( ) 1;2.( ) 1 4; 4

2 2B B

æ ö÷ç ÷Þ - - - - Þ - -ç ÷ç ÷çè ø

( )( )

( )1 1

C 0; 3 C 0; 3

B 4; 4 ( 4; 1)

quaquaAC AC

qua VTCP CB

ìì ïï -- ïïï ïÞí íï ï- - = - -ï ïïî ïîAC: 1(x-0)-4(y+3)=0Û x-4y-12=0*) G i

1C là m i x ng v i C qua

Bd , F là trung m c a

1CC

hoctoancapba.com


168

1CCÞ :2( 0) 1( 3) 0 2 3 0x y x y- + + = Û + + =

( )1

7 1;

5 5BF CC d F

æ ö÷ç ÷= Ç Þ - -ç ÷ç ÷çè ø

Vì F là trung m c a1

CC1 1

7 1 14 132.( ) 0;2.( ) 3 ;

5 5 5 5C C

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷Þ - - - + Þ -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

AB: 8x+19y-27=0Ví d 3. Cho tam giác ABC, A(2;-4), các ng phân giác trong k t B,C l n l t cóph ng trình: : 2 0; : 3 6 0

B Cd x y d x y+ - = - - = . Vi t ph ng trình c nh BC.

i gi i*) G i G i

1A là m i x ng v i A qua

Bd , D là trung m c a

1AA

1AAÞ : 6 0x y- - =

( ) ( ) ( )1 1AA 4; 2 6;0

BD d D A= Ç Þ - Þ

*) G i2

A là m i x ng v i A quaC

d , E là trung m c a2

AA

2AAÞ :3 2 0x y+ - =

( )2 2

6 8 2 4AA ; ;

5 5 5 5CE d D A

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷= Ç Þ - Þç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

( ) ( )1

2 1 2

A 6;0 C 6;02 4 28 4 A ; ( ; )5 5 5 5

qua quaBC BC

qua VTCP AA

ìï ìïï ïï ïï ïæ ö Þí í÷çï ï÷ç = -ï ï÷ç ÷çï ïè ø ïîïîBC: 1( 6) 7( 0) 0 7 6 0x y x y- + - = Û + - =

Ví d 4. Cho tam giác ABC, A(-1;3), ng cao BH: y=x, ng phân giác trong CD cóph ng trình: 3 2 0x y+ + = . Vi t ph ng trình c nh BC.

i gi i

AC A(-1;3)qua

BH

ìïïíï^ïîACÞ

A(-1;3)

(1;1)

qua

VTPT n

ìïïïíï =ïïîACÞ :1( 1) 1( 3) 0 2 0x y x y+ + - = Û + - =

( )4; 2C CD AC C= Ç Þ -

*) G i G i1

A là m i x ng v i A qua CD , D là trung m c a1

AA

1AAÞ :3 6 0x y- + =

( ) ( )1 1AA 2;0 3; 3D CD D A= Ç Þ - Þ - -

( )( )1

C 4; 2

A 3; 3

quaBC

qua

ìï -ïïíï - -ïïî

hoctoancapba.com


169

BC: 7 18 0x y- - =

Ví d 5. Cho tam giác ABC, B(3;5),C(4;-3), ng phân giác trong AD có ph ng trình:2 8 0x y+ - = . Vi t ph ng trình các c nh c a tam giác ABC.

i gi i

( )( )

( ) B 3;5 C 4; 3

B 3;5 (1; 8)

quaquaBC BC

qua VTCP BC

ìì ïï - ïïï ïÞí íï ï = -ï ïïî ïîBC: 8( 3) 1( 5) 0 8 29 0x y x y- + - = Û + - =

*) G i1

B là m i x ng v i B qua AD , D là trung m c a1

BB

1BBÞ :2( 3) 1( 5) 0 2 1 0x y x y- - - = Û - - =

( )12;3D BB AD D= Ç Þ

D là trung m c a1

BB ( ) ( )1 12.2 3;2.3 5 1;1B BÞ - - Þ

( )( )

( )1

1 1

B 1;1 C 4; 3

B 1;1 ( 3;4)

quaquaAC AC

qua VTCP CB

ìì ïï - ïïï ïÞí íï ï = -ï ïïî ïîAC: 4(x-1)+3(y-1)=0Û 4x+3y-7=0*) G i

1C là m i x ng v i C qua AD , E là trung m c a

1CC

1CCÞ :2( 4) 1( 3) 0 2 11 0x y x y- - + = Û - - =

( )16;1E CC AD E= Ç Þ

E là trung m c a1

CC ( ) ( )1 12.6 4;2.1 3 8;5C CÞ - + Þ

( )( )

( )1 1

B 3;5 B 3;5

C 8;5 (5;0)

quaquaAB AB

qua VTCP BC

ìì ïï ïïï ïÞí íï ï =ï ïïî ïîAB: 1(y-5)=0 Û y-5=0Ví d 6. Cho tam giác ABC, C(-3;1), ng phân giác trong AD: 3 12 0x y+ + = , ngcao AH: 7 32 0x y+ + = . Vi t ph ng trình các c nh c a tam giác ABC.

i gi i( )3; 5A AD AH A= Ç Þ -

BC C(-3;1)qua

AH

ìïïíï^ïîBCÞ :7( 3) 1( 1) 0 7 22 0x y x y+ - - = Û - + =

( ) C 3;1 C

A ( 6;6)

quaquaAC AB

qua VTCP AC

ìì ï -ï ïï ïÞí íï ï = -ï ïî ïîACÞ :1( 3) 1( 1) 0 2 0x y x y+ + - = Û + + =

hoctoancapba.com


170

*) G i1

C là m i x ng v i C qua AD , E là trung m c a1

CC

1CCÞ :3( 3) 1( 1) 0 3 10 0x y x y+ - - = Û - + =

1

21 13;

5 5E CC AD E

æ ö÷ç ÷= Ç Þ - -ç ÷ç ÷çè ø

E là trung m c a1

CC1 1

21 13 27 312.( ) 3;2.( ) 1 ;

5 5 5 5C C

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷Þ - + - - Þ - -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

( ) ( )1 1

A 3; 5 A 3; 527 31 42 6 ; ( ; )5 5 5 5

qua quaAB AB

qua C VTCP C A

ìï ì- ï -ï ïï ïï ïæ ö Þí í÷çï ï÷- -ç =ï ï÷ç ÷çï ïè ø ïîïîAB: 1( 3) 7( 5) 0 7 38 0x y x y- - + = Û - - =

Ví d 7. Cho tam giác ABC, C(4;3), ng phân giác trong AD: 2 5 0x y+ - = , ngtrung tuy n AM: 4 13 10 0x y+ - = . Vi t ph ng trình các c nh c a tam giác ABC.

i gi i( )9; 2A AD AM A= Ç Þ -

( ) C 4;3

( 5;5)

quaAC

VTCP AC

ìïïïíï = -ïïîAC: 1( 4) 1( 3) 0 7 0x y x y- + - = Û + - =

*) G i1

C là m i x ng v i C qua AD , D là trung m c a1

CC

1CCÞ :2( 4) 1( 3) 0 2 5 0x y x y- - - = Û - - =

( )13;1D CC AD D= Ç Þ

D là trung m c a1

CC ( ) ( )1 12.3 4;2.1 3 2; 1C CÞ - - Þ -

( )( )

( )1 1

C 2; 1 A 9; 2

2; 1 (7; 1)

quaquaAB AB

qua C VTCP C A

ìì ïï -- ïïï ïÞí íï ï- = -ï ïïî ïîAB: 1( 2) 7( 1) 0 7 5 0x y x y- + + = Û + + =

( 7 5; )B AB B b bÎ Þ - -

M là trung m c a BC 7 1 3( ; )

2 2b b

M- - +

Þ

7 1 34. 13. 10 0 28 4 13 39 20 0

2 2b b

M AM b bæ ö- - +÷ç ÷Î Þ + - = Û - - + + - =ç ÷ç ÷çè ø

1 ( 12;1)b BÛ = Þ -

hoctoancapba.com


171

( )( )

( ) C 4;3 C 4;3

B 12;1 ( 16; 2)

quaquaBC AB

qua VTCP CB

ìì ïï ïïï ïÞí íï ï- = - -ï ïïî ïîBC: 1( 4) 8( 3) 0 8 20 0x y x y- - - = Û - + =

Ví d 8. Cho tam giác ABC, ng phân giác trong AD: 0x y- = , ng cao CH:2 3 0x y+ + = , AC qua M(0;-1) bi t AB=2AM. Vi t ph ng trình các c nh c a tam giácABC.

i gi i*) G i

1M là m i x ng v i M qua AD , E là trung m c a

1MM

1MMÞ :1( 0) 1( 1) 0 1 0x y x y- + + = Û + + =

1

1 1;

2 2E MM AD E

æ ö÷ç ÷= Ç Þ - -ç ÷ç ÷çè ø

E là trung m c a1

MM ( ) ( )1 11 0; 1 1 1; 0M MÞ - - - + Þ -

( )1 M 1;0qua

ABCH

ìï -ïïíï^ïïîAB: 1( 1) 2( 0) 0 2 1 0x y x y+ - - = Û - + =

( )1;1A AB AD A= Ç Þ

TH1: M thu c c nh AC1

MÞ là trung m c a AB ( 2 1;0 1) ( 3; 1)B BÞ - - - Þ - -

*) G i1

B là m i x ng v i B qua AD , F là trung m c a1

BB

1BBÞ :1( 3) 1( 1) 0 4 0x y x y+ + + = Û + + =

( )12; 2F BB AD F= Ç Þ - -

F là trung m c a1

BB1 1( 4 3; 4 1) ( 1; 3)B BÞ - + - + Þ - -

( )( )

( )1 1

M 0; 1 M 0; 1

B 1; 3 ( 1; 2)

quaquaAC AC

qua VTCP MB

ìì ïï -- ïïï ïÞí íï ï- - = - -ï ïïî ïîAC: 2( 0) 1( 1) 0 2 1 0x y x y- - + = Û - - =

1 5; 2 ( ; 1) : 2( 3) 5( 1) 0

2 2C AC CH C BC BC x y

æ ö÷ç ÷= Ç Þ - - Þ = - Þ + + + =ç ÷ç ÷çè ø

BC: 2x+5y+11=0

TH2: (h ng d n v nhà) M không thu c c nh AC nên1

2 ; ( ; )BA AM B x y=

1

(1 ;1 )

( 2; 1)

BA x y

AM

= - -

= - -

hoctoancapba.com


172

1 2.( 2) 5(5;3)

1 2.( 1) 3

x xB

y y

ì ìï ï- = - =ï ïÛ Û Þí íï ï- = - =ï ïî î*) G i

2B là m i x ng v i B qua AD , G là trung m c a

2BB

2BBÞ :1( 5) 1( 3) 0 8 0x y x y- + - = Û + - =

( )24;4G BB AD G= Ç Þ

G là trung m c a2

BB2 2(8 5;8 3) (3;5)B BÞ - - Þ

( )( )

( )2 2

M 0; 1 M 0; 1

B 3;5 (3;6)

quaquaAC AC

qua VTCP MB

ìì ïï -- ïïï ïÞí íï ï =ï ïïî ïîAC: 2( 0) 1( 1) 0 2 1 0x y x y- - + = Û - - =

1 11; 2 ( ; 5) : 10( 3) 11( 5) 0

2 2C AC CH C BC BC x y

æ ö÷ç ÷= Ç Þ - - Þ = - - Þ - - - =ç ÷ç ÷çè ø

BC: 10x-11y+25=0

BÀI T P T LUY NTrong m t ph ng v i h t a Oxy,1) Cho tam giác ABC, A(3;-3) và 2 ng phân giác trong k t B và C l n l t có pt

: 2 1 0; : 2 6 3 0B C

d x y d x y+ - = + + = . Tìm t a c a B và C.2) Cho tam giác ABC, A(-1;3) và 2 ng phân giác trong có pt là:

2 1 0; 3 0x y x y- + = + + = . Vi t pt c nh BC.3) Cho tam giác ABC, : 4 3 1 0; : 3 4 6 0; : 0AB x y AC x y BC y+ - = + - = = a)Vi t pt các ng phân giác trong c a góc A và B. b) Tìm t a tâm và bán kính ng tròn n i ti p tam giác ABC.4) Cho tam giác (2;0); (4;1); (1;2)A B C . Tìm t a tâm và bán kính ng tròn n i ti p tamgiác ABC.5) Cho tam giác ( 6; 3); ( 4;3); (9;2)A B C- - - . Vi t pt các ng phân giác trong c a góc A6) Cho tam giác ABC, A(0;-1), 2 ng phân giác trong

: 3 4 7; : 5 3 8B C

d x y d x y- + = + = - . Vi t pt ng phân giác trong còn l i.7) Cho tam giác ABC, A(2;4), ng cao và ng phân giác trong k t 1 nh l n l t cópt: 3 4 1 0;2 3 0x y x y- + = + - = .Vi t pt các c nh c a tam giác ABC8) Cho tam giác MNP, N(2;-1), ng cao MH: 3 4 27 0x y- + = , ng phân giác trongPD: 2 5 0x y+ - = . Vi t pt các c nh c a tam giác MNP

9) Cho tam giác ABC, A(4;-1), 2 ng phân giác trong : 2 3 12 0;B

d x y- + =

: 2 3 0C

d x y+ = . Vi t pt các c nh c a tam giác ABC

hoctoancapba.com


173

10) Cho tam giác ABC, BC: 9 11 5 0x y+ + = , 2 ng phân giác trong

: 2 3 12 0; : 2 3 0B C

d x y d x y- + = + = . Vi t pt các c nh AB, AC.11) Cho hình chi u c a C lên AB là H(-1;-1). Phân giác trong AD: 2 0x y- + = , ng caoBH: 4 3 1 0x y+ - = . Tìm t a C.12) Cho tam giác ABC, A(7;9),trung tuy n CM: 3 15 0x y+ - = ng phân giác trongBD: 7 20 0x y+ - = . Vi t pt các c nh c a tam giác ABC.13) Cho tam giác ABC, A(2;-3), phân giác trong và ng trung tuy n k t 2 nh khácnhau l n l t có pt

1: 2 1 0; : 3 2 0

Cd x y d x y+ - = + + = . Vi t pt các c nh c a tam giác

ABC.14) Cho tam giác ABC, ng phân giác trong AD: 0x y- = , ng cao CH:2 0x y+ = ,

ng th ng AC qua M(1;0) sao cho AB=2AM. Vi t pt các c nh c a tam giác ABC.15) Cho tam giác ABC, A(1;2) ng cao k t B, : 1 0

Bh x y+ + = , phân giác trong k t

C, : 3 1 0Cl x y+ - = . Vi t pt các c nh c a tam giác ABC.

16) Cho tam giác ABC, A(1;2) ng trung tuy n, : 2 1 0BM x y+ + = , phân giác trong k C, : 1 0CD x y+ - = . Vi t pt c nh BC.

17) Cho tam giác ABC, B(-4;3) ng cao k t A, : 3 15 0A

h x y+ - = , phân giác trong

t C, : 3 0Cl x y- + = . Vi t pt các c nh c a tam giác ABC

18) Cho tam giác ABC, B(2;-1) ng cao k t A, : 3 4 27 0A

h x y- + = ; phân giác ngoài

a góc C là ( ) : 2 5 0x yD + - = . Vi t pt các c nh c a tam giác ABC.

19) L p pt các c nh tam giác ABC bi t nh B(-1;-1) và pt phân giác ngoài góc B, ngtrung tuy n xu t phát t C l n l t là: (d): x-3y+1=0 và (d'): 2x+y-4=0.20) L p ph ng trình các c nh tam giác ABC bi t nh A(-3;4), ph ng trình trung tr cBC và phân giác ngoài góc B l n l t là: (d): x+2y-4=0 và (d'): 2x+y-4=0.21) L p ph ng trình các c nh tam giác ABC bi t: nh C(4;-3), phân giác trong góc A là(d): 2x-3y+6=0, phân giác ngoài góc B là (d'): 2x+3y+6=0.22) L p ph ng trình các c nh c a tam giác ABC bi t nh A(-3;1), ph ng trình ngcao và phân giác ngoài xu t phát t nh B l n l t là (d): x+3y+12=0 và (d'): x-6y+18=0.23) Cho tam giác ABC, A(4;2), B(1;2), tâm ng tròn n i ti p tam giác I(2;3). Tìm t a C.

1.4.4. Hình h c gi i tích trong tam giác c bi tVí d 1. Cho tam giác ABC có A(-1;3); B(1;1); (d): 2y x=

a) Tìm t a C thu c (d) tam giác ABC cân t i A.b) Tìm t a C thu c (d) tam giác ABC u.

i gi i

hoctoancapba.com


174

a) ( ) ( ;2 )C C c cÎ D Þ

(2; 2) 4 4 8AB AB= - Þ = + =

( ) ( )2 2( 1;2 3) 1 2 3AC c c AC c c= + - Þ = + + -

AB=AC ( ) ( )2 2 2 5 151 2 3 8 5 10 2 0

5c c c c c

±Û + + - = Û - + = Û =

y 1 2

5 15 10 2 15 5 15 10 2 15; , ;

5 5 5 5C C

æ ö æ ö+ + - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

b) ( ) ( )2 2( 1;2 1) 1 2 1BC c c BC c c= - - Þ = - + -

tam giác ABC là tam giác u

2 2 2

2 2 2

5 155 10 2 0 55 6 6 0 3 39

5

cAB AC AB AC c cvn

AB BC AB BC c cc

ìï ±ïïì ì =ì ï ïï = = - + = ïï ïï ï ï ïÛ Û Û Û Ûí í í íï ï ï ï= = - - = ±ï ï ï ïî ï ïî î ï =ïïîy không t n t i m C tam giác ABC u

Ví d 2. nh bên và c nh áy c a 1 tam giác cân l t là 2 1 0x y+ - = ;3 5 0x y- + = .Vi t ph ng trình c nh còn l i c a tam giác bi t nó i qua M(1;-3).

i gi iGi s tam giác ABC cân t i A và ph ng trình BC: 3 5 0,x y- + = AB:

2 1 0x y+ - =

Gi s AC có VTPT 2 2( ; ); 0n m n m n= + ¹

AC: 2 2( 1) ( 3) 0; 0m x n y m n- + + = + ¹

ABCD cân t i A B CÞ = ( , ) ( , )AB BC AC BCÞ =

2 2

1.3 2.( 1) 3. 1.

1 4 9 1 9 1

m n

m n

+ - -Û =

+ + + +

2 2 2 2 2

2 2

315 3 5(3 )

50 10.

m nm n m n m n m n

m n

-Û = Û + = - Û + = -

+2 2 2 2 2 2 2 245 30 5 44 30 4 0 22 15 2 0m n m mn n m mn n m mn nÛ + = - + Û - + = Û - + =

( )( )2 11 2 0m n m nÛ - - =

*) 2 0 2m n m n- = Û = ch n m=1 2nÞ =: 1( 1) 2( 3) 0 2 5 0AC x y x yÞ - + + = Û + + = (lo i do AC//AB)

hoctoancapba.com


175

*) 11 2 0 11 2m n m n- = Û = ch n m=2 11nÞ =: 2( 1) 11( 3) 0 2 11 31 0AC x y x yÞ - + + = Û + + =

y AC: 2x+11y+31=0Ví d 3. Tìm C thu c 2 0x y- + = tam giác ABC vuông t i C bi t A(1;-2); B(-3;3).

i gi iC Î ng th ng 2 0x y- + = ( ; 2)C c cÞ +

( 1; 4),AC c cÞ = - + ( 3; 1)BC c c= + -

YCBT ( )( ) ( )( ). 0 1 3 4 1 0AC BC c c c cÛ = Û - + + + - =

( )( )21

2 5 7 0 1 2 7 0 72

cc c c c

c

é =êêÛ + - = Û - + = Ûê = -êë

1 (1;3)

7 7 3( ; )

2 2 2

c C

c C

= Þ

= - Þ - -

Ví d 4. Cho tam giác ABC, vuông t i A, BC: 3 3 0x y- - = :, A, B thu c Ox, bán kínhng tròn n i ti p tam giác r=2. Tìm t a tr ng tâm G.

i gi iOx; Ox : 0A B AB yÎ Î Þ =

(1;0)B AB BC B= Ç Þ

Ox ( ;0); 1A A a aÎ Þ ¹

* OxC A

CA x x a^ Þ = =

Mà ( ; 3 3)C BC C a aÎ Þ - Þ2 1 3 3

( ; )3 3

a aG

+ -

* 1 12 .2 . ( ).2 . 2( )

2 2r S p AB AC AB BC CA AB AC AB BC CA= Þ = Û = + + Û = + + (1)

(1 ; 0) 1

( 1; 3 3) 2 1

(0; 3 3) 3 1

AB a AB a

BC a a BC a

AC a AC a

= - Þ = -

= - - Þ = -

= - Þ = -

(1) 1 . 3 1 2( 1 2 1 3 1)a a a a aÛ - - = - + - + -

hoctoancapba.com


176

3 1 . 1 2(3 3) 1

7 4 3 6 2 33 2 3 ( ; )1 2( 3 1) 3 31 2( 3 1)

1 2( 3 1) 1 4 3 6 2 31 2 3 ( ; )

3 3

a a a

a Gaa

aa G

Û - - = + -é + +êé = + Þ- = + êê êÛ - = + Û Ûê êê - = - + - - - -êë = - - Þêë

Ví d 5. Cho tam giác ABC, vuông cân t i A; M(1;-1) là trung m c a BC, tr ng tâm G(2

;03

). Tìm t a A, B, C.

i gi ii A(x;y)

Ta có 3MA MG= (1)

( 1; 1)MA x y= - +

1( ;1)

3MG = -

(1)1 1 0

(0;2)1 3 2

x xA

y y

ì ìï ï- = - =ï ïÛ Û Þí íï ï+ = =ï ïî îã s d ng gt G là tr ng tâm tam giác ABC)

BC:( ) M 1; 1

1 ( ;1)

3

qua

VTPT MG

ìï -ïïïíï = -ïïïî: 1( 1) 3( 1) 0 3 4 0BC x y x yÞ - - + + = Û - + + =

(3 4; ) (2 3 4; 2 ) ( 3 2; 2)B BC B b b C b b C b bÎ Þ + Þ - - - - Þ - - - -

ã s d ng gt tam giác cân t i A)

Tam giác ABC vuông t i A . 0AC ABÛ = (2)

( 3 2; 4)

(3 4; 2)

AC b b

AB b b

= - - - -

= + -

(2) ( )( ) ( )( )3 2 3 4 4 2 0b b b bÛ - - + + - - - =

20

10 20 02

bb b

b

é =êÛ - - = Û ê = -êë*) b=0 (4;0); ( 2; 2)B CÞ - -

*) 2 ( 2; 2); (4;0)b B C= - Þ - -

hoctoancapba.com


177

Ví d 6. Cho tam giác ABC, A(2;2),1:d 2 0x y+ - = ;

2:d 8 0x y+ - = .Tìm

1 2;B d C dÎ Î

tam giác ABC vuông cân t i A.i gi i

2( ;2 );B d B b bÎ Þ -

2( ; 8 )C d C c cÎ Þ -

Tam giác ABC vuông cân t i A2 2

. 0. 0 AB ACAB AC

AB AC AB AC

ìì ïï == ïïï ïÛ Ûí íï ï= =ï ïïî ïî(1)

( 2; ); ( 2;6 )AB b b AC c c= - - = - -

(1)( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 6 0

2 2 6

b c b c

b b c c

ìï - - + - - =ïïÛ íï - + = - + -ïïî

( )( )( ) ( )2 2

1 4 2(1)

1 4 3

b c

b c

ìï - - =ïïÛ íï - - - =ïïî

(1) 21

4b

cÛ - =

- thay vào (2) ta c:

( )( ) ( ) ( )

22 4 2

22

( 4) 144 3 4 3 4 4 0

( 4) 4( )4

4 1 5 (3; 1); (5; 3)

4 1 3 ( 1;3); (3;5)

cc c c

c lc

c c B C

c c B C

é - =ê- - = Û - + - - = Û ê - = -ê- ëé é- = = Þ -ê êÛ Ûê ê- = - = Þ -ê êë ë

Ví d 7. Cho tam giác u ABC bi t A(2;6); BC: 3 3 6 0.x y- + = Vi t ph ng trình cácnh AB, AC c a tam giác.i gi i

AB,AC là các ng th ng qua A t o v i BC 1 góc 060

i d là ng th ng qua A t o v i BC 1 góc 060 .

Gi s d có VTPT 2 2( ; ); 0n m n m n= + ¹

(d): 2 2( 2) ( 6) 0; 0m x n y m n- + - = + ¹

BC có VTPT1

( 3; 3)n = -

d có VTPT ( ; )n m n=

( ) ( )2

0 2 2

2 2 2 2

3 3 3 33os60 3 3

23 9. 2 3.

m n m nc m n m n

m n m n

- -= Û = Û + = -

+ + +

20

2 2 3 03 0

mm mn

m n

é =êÛ + = Û ê + =êë*) V i m=0 ch n n=1 : 6 0d yÞ - =

hoctoancapba.com


178

*) V i m+ 3 n=0 ch n n=1

23 : 3( 2) 1( 6) 0 3 2 3 6 0m d x y x yÞ = - Þ - - + - = Û - + + - =

Ch n AB: 6 0y - =

AC: 3 2 3 6 0x y- + + - =BÀI T P T LUY N1) Cho 2 m A(3;1), B(-1;2), ng th ng d: x-2y+1=0. Tìm C thu c d tam giác ABC a) Cân t i A b) Vuông t i C

2) Cho tam giác ABC cân t i A, AB: 3 7 3 7 0x y- - = , B, C thu c Ox, A thu c gócph n t th nh t. a) Tìm t a A, B, C bi t r ng chu vi tam giác b ng 9 b) Tìm M thu c AB, N thu c BC MN ng th i chia ôi chu vi và di n tích tam giácABC3) Cho tam giác ABC cân t i B, A(1;-1), C(3;5), B thu c ng th ng d: 2x-y=0. Vi t pt

nh AB, BC4) Cho tam giác ABC cân t i A, A(-1;4), B,C thu c ( )D : x-y-4=0. Tìm t a B,C bi t

18ABC

S =

5) Cho tam giác ABC cân, áy BC: x-3y-1=0, c nh bên AB: x-y-5=0, ng th ng AC quaM(-4;1).Tìm t a C6) Cho tam giác ABC cân, áy BC: x+3y+1=0, c nh bên AB: x-y+5=0, ng th ng ACqua M(-4;1). Tìm t a C7) Cho tam giác cân, c nh áy có pt 4x+3y+2=0, c nh bên có pt x-2y+6=0. Vi t pt c nhbên còn l i bi t nó qua M(2;-1).8) Cho 2 m A(3;4), B(-1;1), ng th ng d: 2x-y+3=0. Tìm C thu c d tam giác ABCvuông t i C9) Cho 2 m A(5;-2), B(-3;4), ng th ng d: x-2y+1=0. Tìm C thu c d tam giác ABCvuông t i C10) Cho tam giác ABC vuông t i A, BC: x-y-2=0, A, BÎOx, bán kính ng tròn n i ti ptam giác 3r = . Tìm t a tr ng tâm G c a tam giác

11) Cho tam giác ABC vuông t i A, B(-3;0), C(7;0), 2 10 5r = - . Tìm t a tâm Ing tròn n i ti p tam giác ABC, bi t tung c a I d ng.

12) Vi t ng th ng qua M(3;1) c t Ox, Oy l n l t t i B,C tam giác ABC cân t i A,bi t A(2;-2)13) Cho tam giác ABC vuông t i C, A(-2;0), B(2;0), kho ng cách t tr ng tâm G n Ox là13

. Tìm t a C

hoctoancapba.com


179

14) Cho 2 m A(1;2), M(-1;1),1

d : x-y+1=0;2

d : 2x+y-3=0. Tìm BÎ 1d , CÎ 2

d tam giácABC vuông t i A và M là trung m c a BC

15) Cho tam giác ABC vuông cân t i A, tr ng tâm G(0; 23

), trung m c a BC là m

M( 1 1;

2 2- ). Tìm t a A, B, C.

16) Cho tam giác ABC, A(0;3). Tìm BÎOx, CÎd: y-4=0 tam giác ABC vuông cân t iA.17) Cho tam giác ABC, A(1;1). Tìm BÎ d: y=3, CÎOx tam giác ABC u.18) Tam giác ABC vuông cân t i A, c nh huy n d: x+7y-31=0, N(7;7)ÎAC, M(2;-3) ÎABvà n m ngoài n AB. Tìm t a A, B,C.19) Trong m t ph ng to Oxy cho tam giác ABC cân t i A. G i G là tr ng tâm c a tamgiác ó, bi t BC và BG l n l t có ph ng trình là: x-2y-4=0; 7x-4y-8=0, và ng th ngCG i qua m E(-4;1). Vi t ph ng trình ng cao AH. ( áp s G(4/3;1/3), 2x+y-3=0)20) (A10) Trong m t ph ng to Oxy, cho tam giác ABC cân t i A có nh A(6; 6);

ng th ng i qua trung m c a các c nh AB và AC có ph ng trình x + y 4 = 0. Tìmto các nh B và C, bi t m E(1; 3) n m trên ng cao i qua nh C a tam giác

ã cho.

21) (A10) Trong m t ph ng t a Oxy, cho hai ng th ng d1: 3 0x y+ = và d

2:

3 0x y- = i (T) là ng tròn ti p xúc v i d1

i A, c t d2

i hai m B và C sao cho

tam giác ABC vuông t i B. Vi t ph ng trình c a (T), bi t tam giác ABC có di n tích b ng

32

và m A có hoành d ng.

22) (B10) Trong m t ph ng to Oxy, cho tam giác ABC vuông t i A, có nh C 4; 1),phân giác trong góc A có ph ng trình x + y 5 = 0. Vi t ph ng trình ng th ng BC,bi t di n tích tam giác ABC ng 24 và nh A có hoành d ng.1.4.5. Các bài toán v t giáca. Ki n th c liên quani) Hình bình hành

*) AB DC=

*) 1. .sin

2ABCDS AC BD I= ( úng v i t giác l i b t kì)

*) AC, BD chia hình bình hành thành 4 tam giác có di n tích b ng nhau*) N u M thu c AB và N là m i x ng v i M qua tâm I c a hình bình hành thì N thu cCDii) Hình thoi

hoctoancapba.com


180

Hình thoi là Hình bình hành có:*) AB=AD*)AC BD^*) AC là ng phân giác c a góc ÐDAB, và góc ÐDCB BD là ng phân giác c a góc ÐABC, và góc ÐADCiii) Hình ch nh tLà Hình bình hành có: *)AB AD^

*)AC=BD

*) ( , ) ( , )( , ) ( , )

d I AB AD d M ABd I AD AB d N AD

= =

(S d ng tính ch t này khi bi t t l 2 c nh c a Hình ch nh t ví d : AB=2AD) *)IH AB^ Û H là trung di m c a AB *) Các góc b ng nhau:

1 1 1 1A B C D= = = ;...

*) IA=IB=IC=IDiv) Hình vuông

*) Là t giác có

AB DC

AB AD

AC BD

ìï =ïïïï ^íïïï ^ïïî*) d(P,AB)=d(Q,AD); (AB=AD)

u ý: V i m t s bài toán ta có th gi i b ng cách d a vào d ng hình.

b. Bài t p t luy nHÌNH THANG CÂN

1) Cho A(10;5);B(15;-5);D(-20;0) là 3 nh c a hình thang cân ABCD áy là AB và CD.Tìm t a c a C

/S: C(-7;-26)2) Cho A(1;2); B(3;3). Tìm t a c a C t giác OABC là hình thang cân, AB//OC

/S: C 26 13;

5 5


HÌNH BÌNH HÀNH3.1) Hình bình hành ABCD, có di n tích b ng 4, A(1;0), B(2;0), I là giao m c a 2 ngchéo và I thu c (D ): y=x. Tìm t a c a C,D

/S: TH1: C(3;4), D(2;4) TH2: C(-5;-4), D(-6;-4)

hoctoancapba.com


181

3) Hình bình hành ABCD, có di n tích b ng 4, A(1;2), B(5;-1), I là giao m c a 2 ngchéo và I thu c (D ): x+y-1=0. Tìm t a c a C,D

/S: TH1: C( -11;10), D(-15;13) TH2: C(-19;18), D(-23;21)4) Hình bình hành ABCD, AB: x+2y-7=0; AD: x-y+2=0, tâm I(1;1). Vi t ph ng trìnhcác c nh BC, CD

/S: BC: x-y-2=0; CD: x+2y+1=0

HÌNH THOI5) Cho hình thoi ABCD, ph ng trình : 7 11 83 0AB x y- + = ; : 7 11 53 0CD x y- - = ;

: 5 3 1 0BD x y- + = . Tìm t a B, D. Vi t ph ng trình ng chéo AC, r i suy ra t a A, C

/S: B(7;12);D(-5;-8); : 3 5 13 0AC x y+ - = ,C(6;-1);A(-4;5)6) Hình thoi ABCD, A(1;3), B(4;-1).a) Cho AD //Ox, 0

Dx < . Tìm t a c a C, D.

b) Vi t ph ng trình ng tròn n i ti p hình thoi ABCD.

/S: a)C(-1;-1); D(-4;3) b) ( )22 1 4x y+ - =

7) Cho A(0;1); B(-2;5); C(4;9). L p ph ng trình các c nh c a hình thoi AMNP, sao choM, N, P l n l t thu c các c nh AC, AB, BC.

/S: M 4 11;

3 3

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø; N 4 11

;3 3

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø;P 19

0;3


8) Hình thoi ABCD, A(1;3); B(-1;-1). Tìm t a c a C, D bi t ng th ng CD i quaM(6;7).

/S: TH1: C(3;1); D(5;5)

TH2: C 1 27;

5 5

æ ö÷ç ÷- -ç ÷ç ÷çè ø; D 9 7

;5 5

æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø

9) Hình thoi ABCD, B(1;-3); D(0;4); Â= 060 . Tìm t a c a A, C.

/S: TH1: A(4 7 3+ ;1 3+ );C( 7 3 3- - ; 3- )

TH2: A(4 7 3- ;1 3- );C(7 3 3- ; 3 )10) Hình thoi ABCD có 1 ng chéo BD: x+2y-7=0, 1 c nh AB: x+3y-3=0, nh A(0;1).Vi t ph ng trình các c nh còn l i.

/S: C(2;5); D(-13;10)11) d: x+y-1=0, A(0;-1); B(2;1). T giác ABCD là hình thoi có tâm thu c d. Tìm t a C,D.

/S: TH1: C(0;3); D(-2;1) TH2: C(4;-1);D(2;-3)

hoctoancapba.com


182

HÌNH CH NH T

12) Hình ch nh t tâm I( 12

;0), ph ng trình : 2 2 0AB x y- + = ;AB=2AD. Tìm t a 4

nh c a hình ch nh t, bi t hoành c a A là âm./S:A(-2;0);B(2;2);C(3;0);D(-1;-2)

13) Hình ch nh t ABCD, : 2 1 0AB x y- - = ; : 7 14 0BD x y- + = , ng th ng AC quaM(2;1). Tìm t a các nh c a Hình ch nh t.

/S:A(1;0);B(7;3);C(6;5);D(0;2)14) Hình ch nh t ABCD, bi t 2 c nh

1: 3 2 5 0d x y- - = ;

2: 2 3 7 0d x y+ + = , A(-2;1).

Tìm t a B, C, D và I là tâm hình ch nh t.

/S: B(1;-1);C 1 31;

13 13

æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø;D 38 5

;13 13

æ ö÷ç ÷- -ç ÷ç ÷çè ø;I 25 9

;26 13

æ ö÷ç ÷- -ç ÷ç ÷çè ø

15) Hình ch nh t ABCD, I là giao di m c a AC và BD, I(6;2), M(1;5) thu c ng th ngAB và trung m E c a CD thu c D :x+y-5=0. Vi t ph ng trình c nh AB.

/S: TH1:y-5=0 TH2: x-4y+19=016) Tam giác ABC, A(1;6);B(8;3);C(1;-4), MNPQ là Hình ch nh t tâm B. M, N thu c

ng cao AH c a tam giác ABC, 0M

y > và 2MN=NP. Tìm t a M, N, P, Q/S:TH1:M(5;2);N(7;0);P(11;4);Q(9;6)

TH2:M(7;0);N(5;2);P(9;6);Q(11;4)17) Hình ch nh t ABCD, A(0;-2); C(1;5); 24

ABCDS = . Tìm t a c a B, D bi t

Bx

nguyên/S: TH1: B(4;2); D( -3;1)

TH2: B(-3;1);D(4;2)18) Hình ch nh t có 2 nh i nhau (5;1); (0;6); 1 c nh có ph ng trình: x+2y-12=0. Vi tph ng trình các c nh c a Hình ch nh t

/S: AB: 2x-y-9=0; CD:2x-y+6=0;DA: x+2y-7=019) Hình ch nh t ABCD, có di n tích b ng 12, tâm I : 3 0d x yÎ - - = , có hoành b ng

92

, trung m c a AB là giao di m c a d và Ox. Tìm t a các nh c a Hình ch nh t

/S:TH1:A(4;-1);B(2;1);C(5;4);D(7;2) TH1:A(2;1);B(4;-1);C(7;2);D(5;4)20) Trong m t ph ng v i h to Oxy, cho hình ch nh t ABCD có m I(6;2) là giao

m c a hai ng chéo AC và BD. m M(1;5) thu c ng th ng AB và trung m Ea c nh CD thu c ng th ng : 5 0x yD + - = . Vi t ph ng trình ng th ng AB.

HÌNH VUÔNG

hoctoancapba.com


183

21) Trong m t ph ng t a Oxy, cho1: 0d x y- = ;

2: 2 1 0d x y+ - = .Tìm t a 4 nh

a hình vuông ABCD, bi t1

A dÎ ;2

C dÎ ; , OxB D Î

/S: TH1: A(1;1);B(0;0);C(1;-1);D(2;0) TH2: A(1;1);B(2;0);C(1;-1);D(0;0)22) Trong m t ph ng t a Oxy, cho

1: 3 0d x y- + = ;

2: 3 5 0d x y+ + = .Tìm t a 4

nh c a hình vuông ABCD, bi t1

B dÎ ;2

D dÎ ; , OxA C Î ; 2A

y >

/S: A(0;3);B(1;2);C(0;1);D(-1;2) b) Trong m t ph ng t a Oxy, cho

1: 3 0d x y+ - = ;

2: 2 0d x y+ = .Tìm t a 4

nh c a hình vuông ABCD, bi t1

B dÎ ;2

D dÎ ; , OyA C Î

/S: TH1:A(-3;0);B(-1;2);C(1;0);D(-1;-2) TH2: A(1;0);B(-1;2);C(-3;0);D(-1;-2)23) L p ph ng trình các c nh c a hình vuông ABCD, bi t nh A(-4;5), và 1 ng chéo

: 7 8 0d x y- + = ./S: 3 4 32 0x y- + = ;4 3 24 0x y+ - = ;3 4 7 0x y- + = ;4 3 1 0x y+ + =

24) Cho A(0;0),B(2;4);C(6;0). Hãy xác nh t o c a các m M, N, P, Q v i M thu cnh AB, N thu c c nh BC và P, Q thu c c nh AC MNPQ là hình vuông.

/S: M( 65

; 125

);N 18 12;

5 5

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø;P 18

;05

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè øQ 6

;05


25) Vi t ph ng trình các c nh c a hình vuông ABCD, bi t ng th ng AB,CD, BC, ADn l t i qua các m P(2;1);Q(3;5);R(0;1);S(-3;-1)/S: TH1: : 7 15 0AB x y+ - = ; : 7 7 0BC x y- + = ; : 7 26 0CD x y+ - = ;

: 7 4 0DA x y- - = TH2: : 3 1 0AB x y- + = ; : 3 1 0BC x y+ - = ; : 3 12 0CD x y- + = ;

: 3 10 0DA x y+ + =26) Tìm t a các nh c a hình vuông ABCD, bi t A(1;1);M(4;2) là trung m c a BC.

/S: TH1: B(3;3); C(5;1); D(3;-1)

TH2: B 19 3;

5 5

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø; C 21 17

;5 5

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø; D 7 19

;5 5


27) Cho1: 3 4 0d x y- - = ;

2: 6 0d x y+ - = ;

3: 3 0d x - = . Tìm các nh c a hình vuông

ABCD, bi t A,C3

dÎ ; B1

dÎ ;C2

dÎ

/S:TH1:A(3;1);B(2;2);C(3;3);D(4;2) TH2:A(3;3);B(2;2);C(3;1);D(4;2)28) Cho A(1;-1); B(3;0) là 2 nh c a hình vuông ABCD. Tìm t a c a C, D.

/S: TH1: C(2;4); D(0;1) TH2: C(4;-2); D(2;-3)

hoctoancapba.com


184

29) Cho hình vuông ABCD, AB: 2x-y+1=0, tâm I(0;-1). Vi t ph ng trình các c nh c ahình vuông.

/S:TH1: BC: x+2y+4=0; CD: 2x-y-3=0; DA: x+2y=0 TH2: BC: x+2y=0; CD: 2x-y-3=0; DA: x+2y+4=030) Cho A(3;1). Tìm t a B, C OABC là hình vuông và B thu c góc ph n t th nh t

/S: B(2;4);C(-1;3)31) Hình vuông ABCD, A(1;2), BD: x-2y+1=0. Vi t ph ng trình các c nh c a hìnhvuông.

/S: x+3y-7=0; 3x-y-1=0; x+3y-3=0; 3x-y-5=032) Cho hình vuông ABCD, AC: x+2y-3=0, DÎ : 2 0d x y- - = , ng th ng BC quaM(7;-7). Tìm t a tâm c a hình vuông

/S: TH1: I(1;1); TH2:I(5;-1)

2. BÀI T P PH NG TRÌNH NG TRÒN2.1. D ng 1. Bài toán v tâm và bán kínhBài 1: Xác nh tâm và bán kính ng tròn sau

a) 2 2 2 2 7 0x y x y+ - + - =

b) 2 2 4 6 3 0x y x y+ + - - =

c) 2 2 3 2 0x y x y+ + - + =

d) 2 22 2 3 4 1 0x y x y+ + - + =

Bài 2: Cho ng (C): 2 2 2 2( 1) 3 2 0x y mx m y m+ - + - + - =

a) Tìm m (C) là ng trònb) Tìm qu tích tâm

Bài 3: Cho ng (a

C ): 2 2 2( 1) 4( 1) 5 0x y a x a y a+ - + - - + - =

a) Tìm a (a

C ) là ng tròn

b) Tìm a (a

C ) ti p xúc v i ng th ng y=x

Bài 4: Cho (m

C ): 2 2 22( 1) 2( 2) 8 13 0x y m x m y m m+ + - - - + - + =

c) Tìm m (Cm

) là ng trònd) Tìm qu tích tâm

Bài 5: Cho (m

C ): 2 2 2 6 4 0x y mx y m+ + - + - =

a) Ch ng minh r ng (m

C ) là ng tròn v i m i mb) Tìm qu tích tâm khi m thay i

Bài 6: Cho (m

C ): 2 2 2 2( 1) 2 1 0x y mx m y m+ - - + + - =


C ) là ng tròn v i m i mb) Tìm qu tích tâm khi m thay i

hoctoancapba.com


185

c) Tìm ng tròn có bán kính nh nh td) Tìm m c nh mà ng tròn luôn i qua

Bài 7: Cho (m

C ): 2 2 ( 2) ( 4) 1 0x y m x m y m+ + + - + + + =


C ) là ng tròn v i m i mb) Tìm qu tích tâm khi m thay ic) Tìm ng tròn có bán kính nh nh td) Tìm m c nh mà ng tròn luôn i qua

Bài 8: Yêu c u gi ng Ví d 2 v i các ng tròn sau(

mC ): 2 2 2( 1) 2( 2) 6 7 0x y m x m y m+ - + - + + + =

(m

C ): 2 2 22( 1) 4 1 0x y m x my m+ - - + + + =

(m

C ): 2 2 ( 2) 0x y m x m+ - - + =

2.2. D ng 2: Vi t ph ng trình ng trònBài 1: Vi t ph ng trình ng tròn (C) bi t

1) Qua A(2;4) và tâm là I(-1;3)2) ng kính AB v i: A(1;-3); B(3;1)

A(1;1); B(7;5)

3) Tâm I(5;6) và ti p xúc v i ng th ng d2 4

3

x t

y t

ìï = +ïíï =ïî4) Ti p xúc v i d: x-y-2=0 t i M(1;-1) có bán kính R=35) Ti p xúc v i d: 3x-4y-31=0 t i M(1;-7) có bán kính R=56) Ti p xúc v i ng th ng d: x-y-2=0 t i M(3;1) và tâm I thu c d ' : 2x-y-2=0Ti p xúc v i ng th ng d: x-y-1=0 t i A(2;1) và tâm I thu c d ' : x-2y-6=07) Qua A(-1;3);B(1;-5) và tâm I thu c tr c tung8) Qua A(3;1);B(-1;3) và tâm I thu c d: 3x-y-2=09) Qua A(1;0) ti p xúc v i

1 2: 4 0; : 2 0d x y d x y+ - = + + =

10) Qua A(1;1);B(3;3) ti p xúc v i d: y=511) Qua A(1;2);B(3;4) ti p xúc v i d: y=3(1-x)12) Ti p xúc v i

1d : 1 0x y- + = t i M(0;1), và ti p xúc v i

2d : 7 3 0x y+ + =

Ti p xúc v i1

d : 7 5 0x y- - = t i A(1;2), và ti p xúc v i2

d : 13 0x y+ + =

13) Ti p xúc v i1 2 3: 3 4 35 0; : 3 4 35 0; : 1 0d x y d x y d x+ - = - - = - =

14) Tâm I thu c d: 3x-5y-8=0; ti p xúc v i Ox,oyTâm I thu c d: 2x-y-4=0; ti p xúc v i Ox,oyTâm I thu c d: 4x-5y-3=0; ti p xúc v i

1 2: 2 3 10 0; : 3 2 5 0d x y d x y- - = - + =

Tâm I thu c d: x-6y-10=0; ti p xúc v i1 2: 3 4 5 0; : 4 3 5 0d x y d x y+ + = - - =

15) Qua A(3;2) ti p xúc v i Ox t i B(-1;0)

hoctoancapba.com


186

Qua A(3;3) ti p xúc v i d: 2x+y-3=0 t i B(1;1)16) Bán kính R=1, ti p xúc v i Ox, tâm I thu c d: x+y-3=017) Ti p xúc v i

1 2: 3 3 0; : 3 9 0d x y d x y- + = - + = tâm I thu c

3: 5d x =

18) Cho A(2;0); B(6;4). Vi t ph ng trình ng tròn C ti p xúc v i Ox t i A, kho ngcách t tâm I n B là 5

19) Qua 2 m A(5;0);B(1;4) tâm I thu c : 3 0x yD + - =Qua 2 m A(1;0);B(0;1) tâm I thu c : 2 0x yD + + =Qua 2 m A(-1;2);B(3;0) tâm I thu c : 7 8 0x yD + - =

Qua 2 m A(0;1);B(2;5) tâm I thu c : OxDQua 2 m A(1;2);B(4;1) tâm I thu c : 2 5 0x yD - - =20) Qua A(2;-1) ti p xúc v i Ox,OyQua A(4;2) ti p xúc v i Ox,Oy

21) Tâm I thu c ng tròn (C): 2 2 4( 2)

5x y- + = ti p xúc v i hai ng th ng

1 2: 0; : 7 0d x y d x y- = - =

22) Tâm I thu c ng th ng d: x-y-1=0; ti p xúc v i

1 2: 2 1 0; : 2 2 0d x y d x y+ - = - + =

23) Tâm I thu c d: 3x+5y-8=0; ti p xúc v i Ox;Oy24) Tâm I thu c Ox; ti p xúc v i

1 2: 2 2 0; : 2 1 0d x y d x y+ + = + - =

25) Tâm I thu c d: 2x+y=0 ti p xúc v i d: x-7y+10=0 t i A(4;2)26) Qua A(3;2) ti p xúc v i Ox t i B(-1;0)27) Cho d: 2x-2y+1=0; (C): 2 2 4 0x y x+ - = ; CMR d c t (C) t i 2 m phân bi t.

p ph ng trình ng tròn (C ' ) qua 2 giao m và ti p xúc v i x+y=028) Qua A(1;1) ti p xúc v i

1 2: 7 3 0; : 7 3 0d x y d x y+ - = + - =

Bài 2: Vi t ph ng trình ng tròn ngo i ti p1) Qua 3 ma) A(-2;0); B( 0;4); C(0;0) d) A(1;4); B(-4;0); C(-2;-2)b) A(-1;2); B(2;3); C(2;-1) d) A(1;1); B(3;-2); C(4;3)c) A(1;2); B(5;2); C(1;-3) d) A(4;1); B(4;-7); C(-5;2)

2) Ngo i ti p tam giác ABC có 3 c nh: 2; 2; 8

5 5x

y y x y x= - = + = -

3) A(1;0); B(0;2). Tìm m M i x ng v i O qua AB,Vi t ph ng trình ng trònngo i ti p tam giác ABM

4) Tam giác ABC nh n, A(5;4); B(2;7), AE, BF là các ng cao. Vi t ph ng trìnhng tròn ngo i ti p ABEF

5) ng tròn qua A(3;5) c t Oy t i B(0;4); C(0;-2)Bài 3: ng tròn n i ti p

hoctoancapba.com


187

1) Vi t ph ng trình ng tròn n i ti p tam giác ABC:a) A(0;0); B(8;0); C(0;6) b)A(-1;7); B(4;-3); C(-4;1)2)

1 2: 4 3 12 0; : 4 3 12 0d x y d x y- - = + - = . Vi t ph ng trình ng tròn n i ti p

tam giác có 3 c nh thu c Oy;1 2

d ;d

Bài 4: Tr c ng ph ng. Qua 1 m và giao m c a 2 ng tròn1) Qua M(-1;-2) và giao m c a d: x+7y+10=0 và (C): 2 2 4 20 0x y x+ + - =

2) Qua M(1;-2) và giao m c a d: x-7y+10=0 và (C): 2 2 2 4 20 0x y x y+ - + - =

3) Qua giao m c a (C): 2 2 10 0x y x+ - = và (C ' ): 2 2 4 2 20 0x y x y+ + - - = vàtâm I thu c d: x+6y-6=0

4) Qua giao m c a (C): 2 2( 3) ( 2) 4x y- + - = và (C ' ): 2 2( 4) 1x y- + = và tâm Ithu c d: y=x+2

5) Cho 2 ng tròn (C): 2 2 2 4 4 0x y x y+ - + - = và (C ' ):2 2 2 2 14 0x y x y+ + - - =

a) Xác nh giao m (C) và (C ' )b) Vi t ph ng trình ng tròn qua A(0;1) và giao m (C) và (C ' )c) Vi t ph ng trình ng tròn ti p xúc v i d: x+5=0 và giao m (C) và (C ' )6) Qua A(1;1); B(0;2) ti p xúc v i (C): 2 2 10 10 34 0x y x y+ - - + =

7) (C): 2 2 6 4 12 0x y x y+ - - + = và (C ' ): 2 2 8 2 12 0x y x y+ - - + = . Vi t ph n

trình ng tròn qua 2 giao m c a (C) và (C ' ) và có bán kính là R= 132.3. Ti p tuy n c a ng tròn2.3.1. Ti p tuy n t i m t mBài 1: Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C): 2 2 8 4 5 0x y x y+ + - - = t i A(0;-1)

Bài 2: Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C): 2 2 2 2 3 0x y x y+ + + - = t i A(2;3)

Bài 3: Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C): 2 2 6 8 25 0x y x y+ - - - = t i A(3;-2)

Bài 4: Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C): 2 2 7 0x y x y+ - - = t i giao m c a (C) vàd: 3x+4y-3=0Bài 5: Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C): 2 2( 2) ( 1) 4x y- + - = t i m có hoành

ng 2Bài 6: Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C): 2 2( 1) ( 1) 9x y- + - = t i m có tung

ng 2Bài 7: Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C): 2 2 4 2 0x y x y+ - + = t i giao m c a (C)và Ox; Oy

hoctoancapba.com


188

2.3.2. Ti p tuy n bi t h s gócBài 1: Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C): 2 2 2 8 1 0x y x y+ - + + = bi t ti p tuy n //d: 5x+12y-6=0Bài 2: Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C): 2 2( 1) ( 2) 4x y- + - = bi t ti p tuy n // d:2x-y=0Bài 3: Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C): 2 2 2 8 8 0x y x y+ - - - = bi t ti p tuy n //d: 3x-4y+1=0Bài 4: Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C): 2 2 6 2 0x y x y+ - + = bi t ti p tuy n ^ d:3x-y+6=0Bài 5: Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C): 2 2 2 4 20 0x y x y+ + - - = bi t ti p tuy n ^d: x+y=0Bài 6: Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C): 2 2 8x y+ = ti p tuy n t o v i Ox 1 góc 045

Bài 7: Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C): 2 2 2 2 1 0x y x y+ - - + = bi t ti p tuy n t o

i d: x+y+3=0 góc 45 0

2.3.3. Ti p tuy n i qua m t mBài 1:a) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C): 2 2 4 6 12 0x y x y+ - - - = bi t ti p tuy n quaA(-2;-1)b) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C): 2 2 8 6 0x y x y+ - - = bi t ti p tuy n qua O(0;0)

c) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C): 2 2 4 2 0x y x y+ - - = bi t ti p tuy n qua A(3;-2)

d) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C): 2 2 2 8 8 0x y x y+ - - - = bi t ti p tuy n qua A(-4;-6)Bài 2: A(2;-1);(C): 2 2( 1) ( 2) 9x y+ + - = . CMR v c 2 ti p tuy n n (C). Vi t ph ngtrình 2 ti p tuy n yBài 3: A(3;5);(C): 2 2 2 4 4 0x y x y+ + - - = ti p tuy n k t A n (C) t i 2 ti p m M,N. Vi t ph ng trình ng th ng qua MNBài 4: M(-3;1); );(C): 2 2 2 6 6 0x y x y+ - - + = . Vi t ph ng trình qua 2 ti p m c a 2ti p tuy n qua MBài 5: A(2;5); );(C): 2 2 2 4 4 0x y x y+ + - - =

a) Vi t ph ng trình ti p tuy n k t A n (C)b) i 2 ti p m là I, J. Tính dài n IJ

Bài 6: A(2;1) ; );(C): 2 2 13 0

4x y x y+ - + + = . G i 2 ti p m c a 2 ti p tuy n k t A n

(C) là I, J. Vi t ph ng trình qua I, JBài 7: Yêu c u gi ng Ví d 6 v i

hoctoancapba.com


189

a) A(0;-1) ; (C): 2 2 8 4 5 0x y x y+ + - - =

b) A(0;0) ; (C): 2 2 12 6 44 0x y x y+ + - + =

Bài 8: A(8;-1);(C): 2 2 6 4 4 0x y x y+ - - + = . Tính IJ,AIJ

S v i I, J là 2 ti p m c a 2 ti p

tuy n qua A n (C)Bài 9: Yêu c u gi ng Ví d 8 v ia)A(4;0);(C): 2 2 2 8 8 0x y x y+ - - - = .

b)A(-2;2);(C): 2 2 2 4 4 0x y x y+ - - - = .

c)A(1;0);(C): 2 2 2 4 4 0x y x y+ - - + = .

Bài 10: A(5;4);(C): 2 2 2 0x y my+ + = . Tìm m dài 2 ti p m là 1

Bài 11: (C): 2 2 2 4 4 0x y x y+ - - + = ; d: x-y-1=0. Tìm m thu c d k 2 ti p tuy n, CMR ptqua 2 ti p m I, J luôn i qua 1 m c nhBài 12: (C): 2 2( 2) ( 1) 4x y+ + - = . Tìm qu tích m qua ó k 2 ti p tuy n vuông gócBài 13: I(-2;1); d: 3x-4y=0

a) Vi t ph ng trình ng tròn (C) tâm I và ti p xúc v i db) Tìm qu tích các m mà v 2 ti p tuy n vuông góc t i (C)

Bài 14: Cho d: x-y+1=0; (C): 2 2 2 4 0x y x y+ + - = . Xác nh M thu c d t ó k 2 ti p

tuy n n (C) và 2 ti p tuy n ó t o v i nhau góc 060

Bài 15: Cho (C): 2 2 6 5 0x y x+ - + = . Tìm M thu c Oy sao cho 2 ti p tuy n t M t i C t o

i nhau góc 060

S: M(0; 7± )Bài 16: (C): 2 2 4 2 1 0x y x y+ - - - = ; d: x+y+1=0. Tìm M thu c d sao cho t M k c 2ti p tuy n vuông góc t i (C)Bài 17: (C): 2 2 9x y+ = ; d: y=m; Tìm m trên d có 4 m k c 2 ti p tuy n t o nhau

1 góc 045

Bài 18: Cho ng tròn (C): 2 2( 1) ( 2) 9x y- + + = và d: 3x-4y+m=0a) Tìm qu tích nh ng m P sao cho tam giác PAB u tron ó PA, PB là các ti p

tuy nb) Tìm m t n t i duy nh t P thu c d k 2 ti p tuy n PA, PB sao cho tam giác PAB

u2.3.4. Ph ng trình ti p tuy n chung c a hai ng trònBài 1: (C): 2 2 2 2 2 0x y x y+ - - - = và (C ' ): 2 2 4 8 11 0x y x y+ - + + =

Bài 2: (C): 2 2 1x y+ = và (C ' ): 2 2 4 5 0x y y+ - - =

Bài 3: (C): 2 2 4 3 0x y x+ + + = và (C ' ): 2 2 8 12 0x y x+ - + =

Bài 4: (C): 2 2 2 0x y x+ - = và (C ' ): 2 2 8 12 0x y x+ - + =

hoctoancapba.com


190

Bài 5: (C): 2 2 2 2 2 0x y x y+ - + - = và (C ' ): 2 2 6 2 9 0x y x y+ - - + =

Bài 6: (C): 2 2 6 5 0x y x+ - + = và (C ' ): 2 2 12 6 44 0x y x y+ - - + =

Bài 7: (C): 2 2 2 4 4 0x y x y+ - + - = và (C ' ): 2 2 4 4 56 0x y x y+ + - - =2.4. D ng 4: V trí t ng i c a hai ngBài 1: Xét v trí t ng i c a 2 ng tròn:a) (C): 2 2 8 6 0x y x y+ - - = và (C ' ): 2 2 32 24 300 0x y x y+ - - + =

b) (C): 2 2 16x y+ = và (C ' ): 2 2( 3) 1x y+ - =

c) (C): 2 2 6x y+ = và (C ' ): 2 2( 1) ( 2) 4x y- + - =

Bài 2: (C): 2 2 2 2 1 0x y x y+ - - + = ; d: x-y+3=0. Tìm M thu c d ng tròn tâm M cóbán kính g p ôi ng tròn (C) và ti p xúc v i (C)2.5. D ng 5: Cát tuy n, dài dây cungBài 1: (C): 2 2 2 6 6 0x y x y+ - - + = ; M(2;4). L p ph ng trình ng th ng qua M c t(C) t i A, B sao cho M là trung m c a ABBài 2:L p ph ng trình ng th ng qua O(0;0) c t (C): 2 2( 1) ( 3) 25x y- + - = thành dâycung có dài là 8Bài 3: 2 2( ) : 8 6 0C x y x y+ + - = . Vi t ph ng trình ng th ng d vuông góc v i

: 3 4 10 0x yD - + = và c t ( )C t i 2 m A, B th a mãn AB=6

Bài 4: 2 2( ) : 2 4 0C x y x y+ + - = . Vi t ph ng trình ng th ng d //: 3 4 10 0x yD - + = và c t ( )C t i 2 m A, B th a mãn AB=2

Bài 5: K(0;2); 2 2( ) : 2 2 2 0C x y x y+ - - - = ng th ng d i qua K c t ( )C t i M, N.Vi t ph ng trình ng th ng d trong tr ng h p MN ng n nh tBài 6: A(1;2); 2 2( ) : 9C x y+ = . L p ph ng trình ng th ng qua A c t ( )C theo dâycung ng n nh tBài 7: 2 2( ) : 4 6 11 0C x y x y+ - - + =

a) Tìm M thu c ( )C kho ng cách t M n A t GTNN, GTLN v i*) A(3;2) *) A(0;1)b) Tìm M thu c ( )C kho ng cách t M n d t GTNN, GTLN v i*) d: x-y-2=0 *) d: x+y-7=0 *) d : y-1=0

Bài 8 : 2 2( ) : ( 3) ( 2) 5C x y- + - = . Tìm E thu c ( )C tam giác OEF vuông t i E v i O làc t a , F(4 ;-2)

Bài 9 : d : x+y-2=0 ; 2 2( ) : 4 4 4 0C x y x y+ - - + =

a) Tìm t a giao m c a d và ( )C

b) Tìm C thu c ( )C

hoctoancapba.com


191

*) 2ABC

S = *)ABC

S t GTLN *) ABCD cân *) ABCD có chu vi l n nh t *)

ABCD vuôngBài 10 :

1 2: 2 4 0; : 1 0d x y d x y+ - = - - = . Vi t ph ng trình ng tròn ( )C qua M(1 ;-

1), tâm I thu c1

d c t2

d t i 2 m A, B sao cho AB=2 7

Bài 11 : 2 2( ) : 4 4 0C x y x y+ - - = . Vi t ph ng trình ng th ng d ti p xúc v i ( )C t iM và c t 2 tr c t a t i A, B sao cho M là trung m c a ABBài 12 : 2 2( ) : 1C x y+ = ; d : x+y+m=0. Tìm m d c t ( )C i 2 m A, B sao cho

OABS

t GTLN S : m= 1±

BÀI C THÊM3. S d ng phép bi n hình trong các bài toán t a trong hình h c ph ng.3.1. Ki n th c liên quan3.1.1. Phép t nh ti n

vT

Trong m t ph ng t a Oxy, phép t nh ti nv

T theo Vect ( );v a b= bi n m i m

M(x;y) thành m M’(x+a;y+b)3.1.2. Phép i x ng tâm

Trong m t ph ng t a Oxy, phép i x ng tâm I(a;b) bi n m M(x;y) thànhm M’(2a-x;2b-y)

3.1.3. Phép i x ng tr cTrong m t ph ng t a Oxy, phép i x ng tr c D là bi n m M(x;y) thành m

M’sao cho D là ng trung tr c c a MM’+) N u D là tr c Ox thì M’(x;-y)+) N u D là tr c Oy thì M’(-x;y)+) N u D là ng phân giác c a góc ph n t th I và th III thì M’(y;x)+) N u D là ng phân giác c a góc ph n t th II và th IV thì M’(-y;-x)+) N u D là ng th ng ax+by+c=0, t

0 0 0=axc by+ v i ( )0 0

;M x y thì t a

a M’ là:

( )

( )

0

' 0 2 2

0

0 2 2

2

2

M

M

a c cx x

a bb c c

y ya b

ìï +ïï = -ïïï +íï +ïï = -ïï +ïî3.1.4. Phép quay

Trong m t ph ng t a Oxy, phép quay tâm I(a;b) góc quay j bi n m M thànhm M’(x’;y’)

+) N u tâm quay là g c t a và góc quay 090 thì M’(-y;x)+) N u tâm quay là g c t a và góc quay - 090 thì M’(y;-x)

hoctoancapba.com


192

+) N u tâm quay là g c t a và góc quay j thì t a c a M’ th a mãn:

' cos sin

' sin cos

x x y

y x y

j jj j

ìï = -ïíï = +ïî3.1.5. Phép v t

Trong m t ph ng t a Oxy, phép v t tâm I(a;b), t s k bi n m M(x;y) thành

M’(x’;y’) th a mãn: 'IM kIM=

a c a M’ th a mãn( )( )

'

y'

x a k x a

b k y a

ìï = + -ïïíï = + -ïïî3.2. Các ví d minh h a

Ví d 1: Cho ng tròn (T): ( ) ( )2 21 3 9x y- + + = và hai m A(-1;1); B(2;-2). Tìm

a các m C; D trên ng tròn (T) sao cho t giác ABCD là hình bình hành.i gi iCách 1: ng tròn (T) có tâm I(1;-3) và bán kính R=3

Ph ng trình CD có VTCP ( ) ( )3; 3 3 1; 1AB = - = - Þ VTPT ( )1;1n =

: 0CD x y mÞ + + =

giác ABCD là hình bình hành 3 2AB CDÞ = =

( )2

2 18 3; 9

4 4 2

CDd I CD IH RÞ = = - = - =

Mà ( )1 3 2 53

;12 2 2

m m md I CD

m

é- + - =ê= = = Û ê = -êë+)m=5 : 5 0CD x yÞ + + =

a c a C, D th a mãn h ph ng trình:( ) ( )2 2

5 0

1 3 9

x y

x y

ìï + + =ïïíï - + + =ïïî

( ) ( )2 2 21 6

5 1 2 9 2 2 4 02 3

x yy x x x x x

x y

é = Þ = -êÞ = - - Þ - + - - = Û + - = Û ê = - Þ = -êëC(1;-6); D(-2;-3)+)m=-1 : 1 0CD x yÞ + - =

a c a C, D th a mãn h ph ng trình:( ) ( )2 2

1 0

1 3 9

x y

x y

ìï + - =ïïíï - + + =ïïî

( ) ( )2 2 21 0

1 1 4 9 2 10 8 04 3

x yy x x x x x

x y

é = Þ =êÞ = - Þ - + - = Û - + = Û ê = Þ = -êë

hoctoancapba.com


193

C(1;0); D(4;-3)Cách 2: S d ng t nh ti n:

Ta có (3; 3).AB = - Phép :AB

T D C®

(I) (I')®

'

'

3 1 4'(4; 6);R' R 3

3 3 6I

I

xI

y

ìï = + =ïÞ Þ - = =íï = - - = -ïî

Ph ng trình ng tròn (T’): ( ) ( )2 24 6 9x y- + + =

a

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )2 2 2 2

2 2

4

34 6 9 4 6 9(T) (T')

171 3 96

x

yx y x yC

xx yx yy

éìï =ïêíì êï ìï ï = -ï - + + = ï - + + = êïï ï î= Ç Þ Û Þí í êìï ï ï =ê= +- + + =ï ï ïïîï êî íïê = -ïîë

+) C(4;-3) ( )1;0AB DC DÞ = Þ

+) C(1;-6) ( )2; 3AB DC DÞ = Þ - -

y c p m C(4;-3); D(1;0) ho c C(1;-6); D(-2;-3)Ví d 2: Tìm t a c a các nh c a hình vuông ABCD bi t tâm I(1;1), m J(-2;2)

thu c ng th ng AB và m K(2;-2) thu c ng th ng CD.i gi iVì I(1;1) là tâm i x ng c a hình vuông: ' J'(2.1 2;2.1 2) J'(4;0) CD CD :

IJ J® Þ + - Þ Î Þ qua K(2;-2) có VTCP

( ) ( ) ( )1 1 4

' 2; 2 2 1;1 : 4 0 ; 2 22

J K CD x y d I CD- -

= - - = - Þ - - = Þ = =

2 2. 2 4ICÞ = =

Å Mà C(t;t-4) ( ) ( ) ( )2 2 21; 5 1 5 16 2 12 10 0IC t t t t t tÞ = - - Þ - + - = Û - + =

1

5

t

t

é =êÛ ê =êë

( ) ( )1 1; 3 1;5t C A= Þ - Þ

Do ( )1

; 45

aD CD D a a

a

é =êÎ Þ - Þ ê =êëÞ Vai trò A, B là nh nhau

hoctoancapba.com


194

Å i( ) ( )( ) ( )1;5 3;1

1; 3 5;1

A B

C D

ìï Þ -ïïíï - Þïïî ho c ng c l i

Ví d 3: (Trích thi kh i A n m 2009) Cho hình ch nh t ABCD có m I(6;2) là giaom hai ng chéo AC và BD. m M(1;5) thu c ng th ng AB và trung m E c a

nh CD thu c ng th ng : 5 0x yD + - = . Vi t ph ng trình ng th ng ABi gi i

Do m I(6;2) là tâm i x ng c a hình ch nh tXét phép i x ng:

: M ' '(2.6 1;2.2 5) '(11; 1) CDI

M M M® Þ - - Þ - Î

Mà ( ) ( ) ( );5 6;3 ; 'E 11;6 tE E t t IE t t M tÎ D Þ - Þ = - - = - -

Vì ' . ' 0M E IE IE M E^ Þ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6

6 . 11 3 . 6 0 6 . 2 17 0 172

tt t t t t t

t

é =êêÞ - - + - - = Û - - = Ûê =êë

Ví d 4: Tìm t a các nh c a hình bình hành ABCD bi t tâm 1;2

2I

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø và các m M(-

1;2); N(5;2); P(1;1); Q(4;-2) l n l t n m trên các ng th ng AB, BC, CD, DA.i gi i

Vì t giác ABCD là hình bình hành, do ó I là tâm i x ng nên: M ' '(2;2) CD

IM M® Þ Î

Do ó ' : 0CD M P CD x yº Þ - =Vì AB//CD : 3 0AB x yÞ - + =

Xét : N ' '( 4;2) D AD QN' : x 2 y 0I

N N A® Þ - Î Þ º + =

t khác: BC//AD : 2 9 0BC x yÞ + - = ph ng trình 4 c nh c a hình bình hành ABCD ta xác nh c t a các nh là

A(1;4); B(3;3); C(0;0); D(-2;1)

Ví d 5: Cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) và AC=2BD. m 10;

3M

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø thu c ng

th ng B, m N(0;7) thu c ng th ng CD. Tìm t a m B, bi t hoành m Bng.

i gi iVì I là tâm i x ng c a hình thoi

( ): N ' '(4 0;2 7) N' 4; 5 AB N' : 4 x 3 y 1 0I

N N AB M® Þ - - Þ - Î Þ º + - =

hoctoancapba.com


195

K

I

H

ED

A

C

B

( )4.2 3.1 1

; 25

d I AB IH+ -

Þ = = =

Theo AC=2BD 2IA IBÞ =

Mà trong tam giác vuông ABI có 22 2 2 2 2

1 1 1 1 1 15

4 4IB

IH IA IB IB IB= + Û = + Û =

Do ( ) ( )2

221 4 4 2; , 0 2 5 1 1; 1

3 3b b

B AB B b b IB b b Bæ ö æ ö- +÷ ÷ç ç÷ ÷Î Þ > Þ = - + = Þ = Þ -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

Nh n xét: Các hình bình hành, hình thoi, hình ch nh t, hình vuông n u gi thi t cho bi ta giao m c a hai ng chéo thì bi t t a tâm i x ng nên ta s d ng phép ing tâm.

Ví d 6: (Trích thi kh i B n m 2008) Xác nh t a nh C c a tam giác ABC bi t r nghình chi u vuông góc c a C trên ng th ng AB là m H(-1;-1), ng phân giác trong

a góc A có ph ng trình: x-y+2=0 và ng cao qua B là: 4x+3y-1=0i gi iXét phép i x ng tr c AD: : '

ADH H®

HK vuông góc v i ng phân giác góc A c t phân giácgóc A t i I, K thu c BC AKHÞ D cân t i AHK có ph ng trình:

0 1 1 0 2x y m m m+ + = Þ - - + = Û =

To ( ) ( )2 0 2

: 2;0 3;12 0 0

x y xI I K

x y y

ì ìï ï+ + = = -ï ïÛ Þ - Þ -í íï ï- + = =ï ïî îi ; ;BE AC E AC AK BE^ Î ^ Þ ph ng trình AK có d ng:

3 4 0 3.3 4.1 0 13 : 3 4 13 0x y n n n AK x y- + = Þ - - + = Þ = Þ - + = Þ to nhA là:

( ) ( ) ( )3 4 13 0 5

5;7 6; 8 2 3;42 0 7

x y xA AH

x y y

ì ìï ï+ + = =ï ïÛ Þ Þ = - - = -í íï ï- + = =ï ïî î

3 13 3 13 3 17; 1 ; 1 1 ;

4 4 4t t t

C AK C t CH t tæ ö æ ö æ ö+ - - - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷Î Þ Þ = - - - = - -ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø

( ) 10 10 3. 3 1 3 17 0 ;

3 3 4AH CH t t t C

æ ö÷ç ÷Û + + + = Û = - Þ -ç ÷ç ÷çè ø

hoctoancapba.com


196

Ví d 7: (Trích thi kh i B n m 2007) Cho ( )2;2A và 2 ng th ng1: 2 0;x yD + - =

2: 8 0x yD + - = . Tìm to B và C n l t thu c

1 2;D D sao cho ABCD vuông cân t i

Ai gi i:

Cách 1: ( )1;2B B b bÎ D Þ -

( )2; 8C C c cÎ D Þ -

( ) ( )2; ; 2;6AB b b AC c cÞ = - - = - -

ABCD vuông cân t i A( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( )2 2 22 2 2

2 2 6 0. 01

2 2 6

b c c bAB AC

AB AC b b c c

ìì ïï - - + - - == ïïï ïÛ Ûí íï ï= - + = - + -ï ïïî ïîGi i h ph ng trình trên khó! i v i h c sinh

Cách 2: Ta có ( )2;AB b b= - - . u ki n c n và ABCD vuông cân t i A là

( )( )

; 2

;2

AC b b

AC b b

é = -êêê = - -êë

( ) ( ) 2

2 2; 2 2;

2 2C C

C C

x b x bAC b b C b b

y b y b

ì ìï ï- = = +ï ï= - Þ Û Þ + Î Dí íï ï- = - =ï ïî î

( ) ( )2 8 0 3 3; 1 ; 5; 3b b b B CÞ + + - = Þ = Þ -

( ) ( ) 2

2;2 2 ;4

4C

C

x bAC b b C b b

y b

ìï = -ï= - - Þ Þ - - Î Díï = -ïî

( ) ( )2 4 8 0 1 1;3 ; 3;5b b b B CÞ - + - - = Þ = - Þ -

u ý. V i phép quay ta có k t qu quan tr ng sau: Cho ABCD v i 0AB ¹

b) u ki n c n và ABCD vuông cân t i A là ( )0 0;AC y x= - ho c

( )0 0;AC y x= -

c) u ki n c n và ABCD u là

0 0 00

0 0 00

33;

2 2 2 2

33;

2 2 2 2

x x yAC y

x x yAC y

é æ ö÷çê ÷ç= - + ÷ê ç ÷ç ÷ê ÷çè øêæ öê ÷çê ÷ç= + - + ÷çê ÷ç ÷÷çê è øë

Ch ng minh: Suy ra tr c ti p t công th c:

hoctoancapba.com


197

cos sin

sin cos

x x y

y x y

a aa a

ì ¢ï = -ïí ¢ï = +ïî

Ví d 8. Cho ( )2;2A . Tìm m B thu c ng th ng : 3d y = và m C thu c tr c 0x

sao cho ABCD u.i gi i:

Cách 1: Do ( ) ( )3 ;3 1;2B y B b AB bÎ = Þ Þ = -

( ) ( ) ( )0 ;0 1; 1 ; ; 3C x C c AC c BC c bÎ Þ Þ = - - = - -

ABCD u( ) ( )( ) ( )

( )2 22 2

2 2 2 2

1 4 1 11

1 4 9

AB AC b c

AB BC b c b

ìïìï ï= - + = - +ïï ïÛ Ûí íï ï= - + = - +ï ïïî ïîGi i h ph ng trình trên r t khó! i v i h c sinh

Cách 2: G i ( ); 3B b . Ta có ( )1;2AB b= - . Mà ABCD u Û

( )

( )

3 113; 1

2 2

3 113; 1

2 2

bbAC

bbAC

é æ ö- ÷çê - ÷ç ÷= - +ê ç ÷ç ÷ê ç ÷÷çè øêê æ ö- ÷ê ç - ÷çê ÷= + - +ç ÷çê ÷ç ÷÷çê è øë

( )3 113; 2

2 2

bbC

æ ö- ÷ç + ÷ç ÷Þ - +ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø ho c

( )3 113; 2

2 2

bbC

æ ö- ÷ç + ÷ç ÷+ - +ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

i( ) ( )3 1 3 11 4

3; 2 0 2 0 12 2 2 3

b bbC x b

æ ö- -÷ç + -÷ç ÷- + Î Þ + = Û = +ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

4 51;3 ; 1 ;0

3 3B C

æ ö æ ö- ÷ ÷ç ç÷ ÷Þ + -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

i( ) ( )3 1 3 11 4

3; 2 0 2 0 12 2 2 3

b bbC x b

æ ö- -÷ç + ÷ç ÷+ - + Î Þ - + = Û = +ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

4 51;3 ; 1 ;0

3 3B C

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷Þ + +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

hoctoancapba.com


198

Ví d 9: (Trích thi kh i D n m 2011) Cho ng tròn ( ) 2 2: 2 4 5 0C x y x y+ - + - = và

m ( )1;0 .A Vi t ph ng trình ng th ng D c t ( )C t i 2 m ;M N sao cho AMND

vuông cân t i A .i gi i:

Cách 1: áp án c a b giáo d c và ào t o

ng tròn ( )C có tâm ( )1; 2I - , bán kính b ng 10

Ta có:IM IN= và AM AN AI MN= Þ ^ Þ ph ngtrình D có d ng: y m=Hoành ;M N là nghi m c a ph ng trình:

( )2 22 4 5 0 1x x m m- + + - =

( )1 có 2 nghi m ( )21 2; 4 6 0 *x x m mÛ + - < . Khi ó ta

có: ( ) ( )1 2; ; ;M x m N x m

( )( ) ( )2 21 2 1 2 1 2

. 0 1 1 0 1 0AM AN AM AN x x m x x x x m^ Û = Û - - + = Û - + + + =

áp d ng nh lí viét i v i ( )1 2 m 12m 4m 6 0 t / m *

m 3y ph ng trình là y 1 ho c y 3

Cách 2: Do vai trò c a M;N nh nhau nên ta có th gi s góc l ng giác: 0AM;AN 90

i 2 20 0 0 0 0 0M x ; y C x y 2x 4y 5 0 1

Ta có: 0 0 0 0 0 0AM x 1; y AN y ;x 1 N 1 y ;x 1

mà 2 20 0 0 0N C 1 y x 1 2 1 y 4 x 1 5 0 2 2

0 0 0x y 2x 9 0

Ta có h ph ng trình:2 2

0 00 0 0 02 22 20 0 00 0 0

x y 1 0x y 2x 4y 5 0x y 2x 9 0x y 2x 9 0

0

0

0

0

x 2y 1

x 2y 3

u 0

0

x 2M 2;1 ; N 0;1 : y 1

y 1

u 0

0

x 2M 2; 3 ; N 4; 3 : y 3

y 3

x

y

-3

-2

N

1

I

B

0

A

A

M

hoctoancapba.com


199

KL: : y 1 ho c y 3

Ví d 10: (Trích thi kh i D n m 2009) Cho 2 2C : x 1 y 1. G i I là tâm, xác nh

to m M C sao cho 0IM0 30

i gi i:Cách 1: áp án c a b giáo d c và ào t o

i 2 2M a;b C a 1 b 1; 0 C I0 IM 1

IM0 có 0 2 2 2 0 2 20IM 120 0M I0 IM 2I0.IM.cos120 a b 3

To c a M là nghi m c a h :2 2

2 2

3aa 1 b 1 2

3a b 3 b2

V y 3 3M ;2 2

Cách 2: ng tròn C có tâm I 1;0 , bán kính R 1

th y 0 C . 0MI cân t i I nên 0 0IM 0 30 MI0 120

Do I0 1;0 nên 0 0 1 3 3 3IM cos120 ; sin120 ; M ;2 2 2 2

Ho c 0 0 1 3 3 3IM cos 120 ; sin 120 ; M ;2 2 2 2

KL: 3 3M ;2 2

ho c 3 3M ;2 2

Ví d 11: (Trích thi kh i A n m 2005) Cho hai ng th ng 1 2d : x y 0; d : 2x y 1 0. Tìm t a các nh c a hình vuông ABCD , bi t r ng A;C l n l t thu c 1 2d ;d và B;Dthu c Ox.

i gi i:Cách 1: áp án c a B giáo d c và ào t oVì 1A d A t; t

Vì A và C i x ng nhau qua BD và B;D 0x C t; t

Vì 2C d 2t t 1 0 t 1 A 1;1 ;C 1; 1

Trung m c a AC là I 1;0 . Vì I là tâm c a hình vuông nênIB IA 1ID IA 1

b 1 1B b;0B 0x b 0;b 2B 0;0 ;D 2;0

D 0x d 0;d 2D d;0 d 1 1 ho c B 2;0 ;D 0;0

hoctoancapba.com


200

y b n nh c a hình vuông làA 1;1 ;B 0;0 ;C 1; 1 ;D 2;0 ho c A 1;1 ;B 2;0 ;C 1; 1 ;D 0;0

Cách 2:AD a;b a

A a;a ;B b;0 AB b a; aAD a; b a

+) AD a;b a D 2a;b 0x b 0; D 2a;0

2B 0;0 ;D 2a;0 I a;0 C a; a d 2a a 1 0 a 1

A 1;1 ;D 2;0 ;C 1; 1

hoctoancapba.com


201

CHUYÊN 10: PH NG TRÌNH, B T PH NG TRÌNH, PH NG TRÌNH VÔ T

Biên so n và s u t m: Hoàng ng H ng – GV tr ng THPT Lê V n Th nh

1. S d ng ph ng pháp bi n i: bi n i t ng ng, phân tích thành ph ng trìnhng tích, nhân chia bi u th c liên h p…

Ví d 1. (Trích thi H Kh i A - 2004) Gi i b t ph ng trinh:22( 16) 7

33 3

x xx

x x

- -+ - >

- -.

i gi i

K: 4x ³

Bpt

2

2 2

2 2

16 0

10 2 02( 16) 3 7 2( 16) 10 2

10 2 0

2( 16) (10 2 )

x

xx x x x x

x

x x

é ìï - ³ïê ïíê ï - <ê ïïîÛ - + - > - Û - > - Û êìï - ³êïïêíêï - > -ïêïîë

510 34

10 34 5

xx

x

é >êÛ Û > -ê - < £êë

VT(*) < 0 (do 2)

3x ³ nên (*) vô nghi m

Ví d 2. Gi i bât ph ng trinh sau: 2 2( 3 ) 2 3 2 0x x x x- - - ³ (2)

i gi i

Ta xet hai tr ng h p:

TH 1: 22

2 3 2 0 12

xx x

x

é =êê- - = Ûê = -êë

, khi ó bpt luôn úng.

TH 2: BPT( )

( ))

2

2

12 3 2 0 ; 2; 1

2 ; 3; .3 0 2

;0 3;

x x xx

x xx

ì ì æ öï ïï ÷ï ç æ ö÷- - > Î -¥ - È +¥ï ï ç ÷ ÷ï ï çç é÷ç ÷Û Û Û Î -¥ - È +¥è ø çí í ê÷ ëç ÷çï ï- ³ è øï ï ù éÎ -¥ È +¥ï ï ú êû ëï ïîî

.

hoctoancapba.com


202

Vây t p nghi m c a bpt ã cho là: 1( ; ] {2} [3; )

2T = -¥ - È È +¥ .

Ví d 3. Gi i h ph ng trình:2 22 2 2 (1)

1 2. (2)

x xy y y x

y x y x

ìï + + = +ïïíï - + + =ïïî.

i gi iK: 1 0.x y- + ³

2 2 2 (3)

(1) 2 2 0 ( )( 2 2) 02 2 (4)

x yx y xy y y x x y x y

x y

é =êÛ - + - + - = Û - + - = Û ê = -êë (3) & (2) ta có x=y=1.

(4) & (2) ta có0; 22 2

1 83 3 2 ; .3 3

y xx y

y y y y x

é = =ìï = - êïï êÛí êï - = = - =ï êïî ë

y h ph ng trình ã cho có 3 nghi m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 1; 1;1 ; ; 2;0 ; ; ; .

3 3x y x y x y

æ ö÷ç ÷= = = -ç ÷ç ÷çè ø

Ví d 4. (Trích Báo TH&TT) Gi i h ph ng trình:2 2

2

21 (1)

(2)

xyx y

x yx y x y

ìïï + + =ïï +íïï + = -ïïîi gi i

K: 0.x y+ >

Ta có 2 2 22 1(1) 2 2 1 ( ) 1 2 . 0

xy x yx xy y xy x y xy

x y x y+ -

Û + + + - = Û + - - =+ +

2 2

1 (3)2

( 1) 1 00 (4)

x yxy

x y x y x y x yx y

x y

é = -êæ ö÷ç ê÷Û + - + + - = Ûç + + +÷ç ê÷ç + =è ø ê +ë Vì 0x y+ > nên ph ng trình (4) vô nghi m.

T (3) và (2) ta có 20; 1

3 03; 2

y xy y

y x

é = =ê- = Þ ê = = -êë.

y h ph ng trình ã cho có 2 nghi m ( ) ( ) ( ) ( ); 1; 0 ; ; 2;3 .x y x y= = -

hoctoancapba.com


203

Ví d 5. (Trích thi HSG QG 1996) Gi i h ph ng trình:

13 (1 ) 2 (1)

17 (1 ) 4 2 (2)

xx y

yx y

ìïï + =ïï +ïíïï - =ïï +ïîi gi i

K 0; 0.x y³ ³ th y x = 0 ho c y = 0 không thõa mãn h .i x >0, y >0 ta có

1 2 1 2 21 1

1 1 83 3 71 4 2 3 71 1 2 21

7 3 7

x y x x yx y x y

x y x yy x y

ìïìï ïï ï+ = = +ï ïï + ïïï ïÛ Þ = -í íï ï +ï ï- =ï ï = -ï ï+ +ï ïïî ïî

( nhân v v i v )

2 221 (7 24 )( ) 24 38 7 0 6xy y x x y x xy y y xÞ = - + Þ + - = Þ = (vì x, y d ng).

Thay vào ph ng trình (1) ta c 1 2 1 1 1 2. 1 0 7 .

7 3 3 21x x x

æ ö÷ç ÷- + = Û = ±ç ÷ç ÷çè ø

ó suy ra x và y.

Bài t p t ng t :

4

4

212

4

211

4

x yx

x y

x yy

x y

ì æ öï + ÷ï ç ÷ï ç + =÷çï ÷çï + ÷çè øïïí æ öï + ÷çï ÷çï - =÷çï ÷çï + ÷çè øïïî

( Trích thi HSG C n Th – 2012)

Ví d 6. Gi i b t ph ng trình: 3 22 (1 2 3 ). 2 1x x x x£ + - + .

i gi i

t 2 1y x= + 2

0

2 1

y

y x

ìï ³ïïÞ íï = +ïïî, ta c b t ph ng trình

( )3 2 22 3 .x y x y£ - 3 2 32 3 0x x y yÛ + - £ (2)

*TH1: Xét y = 0 khi ó 12

xÞ = - thay vào BPT th a mãn 12

xÞ = - là nghi m

*TH2: Xét y > 0 khi ó BPT (2)3 2

2 3 1 0x xy y

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷Û + - £ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

2

2 1 1 0x xy y

æ öæ ö÷ ÷ç ç÷ ÷Û - + £ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè øè ø

12

2x

y xy

Þ £ Û ³

hoctoancapba.com


204

suy ra 2 1 2x x+ ³

2

01

02 1 0 2 .0 1 5

042 1 4

xxx

xx

x x

éìï £ éïêí êê - £ £ï + ³ êêïîÛ Û êêìï > ê +êïï < £êêí êêï ë+ ³ïêïîë

y t p nghi m c a BPT là S = 1 1 5;

2 2

é ù+ê ú-ê úê úë û

.

Ví d 7. Gi i h ph ng trình ( )3 2

2

2 2, .

12 12 3 3 2 1

x x x y yx y

x x y y x

ìï + = +ïï Îíï + + + = - -ïïîi gi i

K: 0; 0x y³ ³ .

Ph ng trình (1) ( ) ( ) ( )( )2 2 22 1 2 1 2 1 0x x y x x y x x yÛ + = + Û - + = Û =

(Vì 22 1 0,x x+ > " Î ).

Th vào ph ng trình (2) ta có

( ) ( )2

2 212 12 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1x x x x x x x x x+ + + = - - Û + + = - +

t 2 1, 1a x a= + ³ , ta có ph ng trình 2 23 3x a x a+ = -

2 2 2 23 9 6x a x ax aÞ + = - +

2 2 2 23 9 6x a x ax aÞ + = - + ( )2 28 6 2 0

4

a xx ax a

a x L

é =êÛ - - = Û ê = -êë

Khi a x= , ta có( )

1 22 1 2 1 0 3 2 2

1 2

xx x x x x

x L

é = +ê= + Û - - = Û Û = +êê = -ë

3 2 2yÞ = + . Th l i th y th a mãn.

y h ph ng trình có nghi m ( ) ( ); 3 2 2;3 2 2 .x y = + +

Bài t p luy n t p:

Bài 1. Gi i ph ng trình: ( )2 210 3 1 1 6 1x x x x+ + = + + ( thi HSG L ng S n 2012)

Bài 2. Gi i b t ph ng trình: ( )33 23 2 2 6 0x x x x- + + - ³ ( thi HSG Ngh An 2012)

Bài 3. Gi i b t ph ng trình 2 4 26( 3 1) 1 0x x x x- + + + + £

hoctoancapba.com


205

Bài 4. Gi i ph ng trình: ( ) ( ) ( )2 2 34 2 1 3 2 2 1 2 5 .x x x x x x+ + - - = +

Bài 5. Gi i ph ng trình: ( )2 32 6 5 8x x x- + = +

Bài 6. Gi i ph ng trình 2 22 5 2 1x x x+ = - + .

Bài 7. Gi i h ph ng trình:( )

( )

3 2 2

2 33

2 2 1

2 2 1 14 2 2

x y x y xy

x y y x

ìï + = +ïïíï - - + - = -ïïî

Bài 8. Gi i h ph ng trình:( )

( )

2

3

2 22 3 2 1 11

yx x y

x y

x y x

ìïï - + =ïï -íïï + - - =ïïî

Bài 9. Gi i ph ng trình: 27 10 2 66 0x x x x+ - - + - - =

Bài 10. Gi i ph ng trình: 23 1 5 4 3 3x x x x+ + + = - +

Bài 11. Gi i ph ng trình: 33 2 311 8 2 20

2x x x x x= + + - - + -

Bài 12. Gi i h ph ng trình:( )2

1 1 4 3

32

2

x y x y x y

x y

ìïï + + + = + + +ïïíï - =ïïïîng d n gi i

Bài 6.

Ph ng trình ã cho 2 22 5 6 2 1 2 4x x xÛ + - = - - + -

2

2

4 22 2 ( 2)( 2)

1 15 3

x xx x

xx

- -Û = + - +

- ++ +

2

2

2( 2) 22 (1)

1 15 3

x

xx

xx

é =êêÛ +ê = + +ê - ++ +êë

Ta có ph ng trình (1) ( )2

2 22 1 0

1 1 5 3x

x x

æ ö÷ç ÷çÛ + + - =÷ç ÷ç ÷ç- + è ø+ + nên (1) vô nghi m.

y h ph ng trình ã cho có nghi m ( ) ( ); 2;2 .x y =

Bài 7. K 2 2 1 0x y- - ³ (1) ta có x=y ho c x2 = 2y (Lo i)

x = y, thay vào ph ng trình ta có: 32 32 2 1 14 2x x x x- - + - = -

hoctoancapba.com


206

( )

( ) ( ) ( )

32 3

22

2 233 33

2 2 1 14 2 0

3 2 12 2 1 1 0

14 14 2 2

x x x x

x xx x

x x x x

Û - - + - - - =æ ö÷ç ÷ç ÷- -ç ÷çÛ - - + =÷ç ÷ç ÷ç ÷- + - - + - ÷ç ÷çè ø

21 2

2 1 01 2

xx x

x

é = +êÛ - - = Û êê = -ë

.

y h ph ng trình ã cho có nghi m ( ) ( ) ( ); 1 2;1 2 ; 1 2;1 2 .x y = + + - -

Bài 8. ã cho t ng ng v i( ) ( )

( ) ( )

2 3

2 2

1

2 3 2 1 11 2

x x y x y y

x y x

ìï - + - =ïïíï + - - =ïïî (1) suy ra 0y ³ , vì n u y<0 thì x-y>0, do ó VT(1) > VP( 1)

( ) ( )( ) ( )( )2 231 1 0x x y x y x x y yÛ - + - - + - + - =

( )( )

2 22

2 233

10

1

x y x x y yx x y

x x y yx y x y

- - - - -Û - + + =

- - +- + - +

( )( )

( )

2

2 233

1 0 1 01

x x y x yx y x y

x x y yx y x y

é ùê ú- + +ê úÛ - - + = Û - - =ê ú

- - +ê ú- + - +ê úë ûTh 1y x= - vào ph ng trình (2) ta c:

( )234 4 2 3 2 1 11 2 1 3 2 1 10 0x x x x x- + - - = Û - - - - =

t 2 1, 0t x t= - ³ , ta có 4 3 10 0t t- - = ( )( )3 22 2 4 5 0t t t tÛ - + + + = 2tÛ =

Khi ó 5 32 1 2

2 2x x y- = Û = Þ = . V y h ph ng trình có nghi m ( ) 5 3

; ; .2 2

x yæ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè ø

2. Ph ng pháp t n ph

Ví d 1. Gi i h ph ng trình:2 2

2 2

1 4 (1)

( ) 2 7 2 (2)

x y xy y

y x y x y

ìï + + + =ïïíï + = + +ïïîi gi i:

Nh n th y y=0 không th a mãn h .

hoctoancapba.com


207

i y khác không, chia c hai v c a (1) và (2) cho y ta c:

2

22

14

1( ) 2 7

xx y

yx

x yy

ìï +ï + + =ïïïíï +ï + = +ïïïî

t 2 1

a x y

xb

y

ìï = +ïïïí +ï =ïïïî

ta có

2 2 2

4 4 4 5, 9

3, 12 7 2(4 ) 7 2 - 15 0

a b b a b a a b

a ba b a a a a

ì ì ì éï ï ï+ = = - = - = - =ï ï ïï ï ï êÛ Û Ûí í í êï ï ï = == + = - + + = êï ï ï ëï ï ïî î î.

ây ta tìm c x và y.

Ví d 2. Gi i h ph ng trình:2 3 2

4 2

54

5(1 2 )

4

x y x y xy xy

x y xy x

ìïï + + + + = -ïïïíïï + + + = -ïïïîi gi i:

ã cho t ng ng v i2 2

2 2

5( )

45

( )4

x y xy x y xy

x y xy

ìïï + + + + = -ïïïíïï + + = -ïïïî

t2x y a

xy b

ìï + =ïïíï =ïïî , ta c h m i

2

2 3 2

5 54 4

5 5 5 54 4 4 4

a ab b b a

a b a a a a

ì ìï ïï ï+ + = - = - -ï ïï ïï ïÛí íï ïï ï+ = - - - - - = -ï ïï ïï ïî î

3 2

2

50 0;

4 45 1 3

;4 2 2

aa a a b

b a a b

ì éïï ê+ + = = = -ï êïïÛ Ûí êï êï = - - = - = -ï êïïî ëó ta tìm c x, y.

Ví d 3. thi HSG V nh Long 2012) Gi i ph ng trình:2 2 3 44 1 1 5 4 2x x x x x x+ + = + + - -

i gi i:

t 2 31,

2t x x t= + + ³ . Khi ó ph ng trình tr thành:

( )4 2 4 2 24 7 5 6 9 4 4 0t t t t t t t= - + - Û - + - - + =

hoctoancapba.com


208

( ) ( ) ( )( )2 22 2 23 2 0 1 5 0t t t t t tÛ - - - = Û - - + - = (*)

(*)2

2

1 0

5 0

t t

t t

é - - =êÛ ê + - =êë

V i 32

t ³ thì 2 1 0t t- - = có m t nghi m là 1 52

t+

=

V i 32

t ³ thì 2 5 0t t+ - = có m t nghi m là 1 212

t- +

=

Khi 1 52

t+

= thì2

2 21 51 2 2 1 5 0

2x x x x

æ ö+ ÷ç ÷ç+ + = Û + - - =÷ç ÷ç ÷çè ø

1 3 2 52

x- - +

Û = ho c 1 3 2 52

x- + +

= .

Khi 1 212

t- +

= thì2

2 21 211 2 2 9 21 0

2x x x x

æ ö- + ÷ç ÷ç+ + = Û + - + =÷ç ÷ç ÷çè ø

1 19 2 212

x- - -

Û = ho c 1 19 2 212

x- + -

= .

y ph ng trình ã cho có nghi m 1 19 2 212

x- - -

Û = ; 1 19 2 212

x- + -

= .

Bài t p luy n t p: Gi i ph ng trình, h ph ng trình sau

( )

2 2

2 2

2 2 2

1 15

1)

1 2

x yx y

xy x y

ìïï + + + =ïïíïï - = - +ïïî

2

2

( 4) 02) .

( )( ) 4

x y xy x y

x y x y xy

ìï + + + - =ïïíï + + =ïïî

( )( )

2

2

1 4 03)

2 2 0

x y x y y

x x y x

ìï + + + - =ïïíï + - + - =ïïî

( )( )( )( )

22 24 4 4 51 3 04)

2 7 1 0

x xy y x y

x x y

ìïï - + - - + =ïíï - - + =ïïî

2 2 2

2 2 2

2 16 115)

2 12 3

x y y xy

x y y xy

ìï + + =ïïíï + + =ïïî3.Ph ng pháp hàm s .

Ph ng pháp hàm s là m t trong nh ng ph ng pháp quan tr ng gi i ph ngtrình, b t ph ng trình, h ph ng trình. Mu n làm t t ph ng pháp này ngoài vi c n mch c các k thu t s d ng hàm s còn c n ph i chú ý nh ng sai l m th ng g p trong ph ngpháp này. Khi gi i các bài toán này th ng s d ng m t trong các tính ch t sau:

hoctoancapba.com


209

Cho K là m t kho ng ( ho c là n a kho ng, ho c là n)Tính ch t 1: Cho hàm s ( )y f x= liên t c trên K, n u hàm s ( )y f x= luôn ng bi n

ho c luôn ngh ch bi n trên K thì ph ng trình ( )f x c= (c là h ng s ) có nhi u nh t m t

nghi m trên K.Tính ch t 2: Cho hàm s ( ) ( );y f x y g x= = liên t c trên K, n u hàm s ( )y f x= luôn

ng bi n trên K, ( )y g x= luôn ngh ch bi n trên K thì ph ng trình ( ) ( )f x g x= có nhi u

nh t m t nghi m trên K.Tính ch t 3: Cho hàm s ( )y f x= liên t c trên K, n u hàm s ( )y f x= luôn ng bi n

ho c luôn ngh ch bi n trên K thì v i ,u v KÎ ta có ( ) ( )f u f v u v= Û = .

Tính ch t 4: Cho hàm s ( )y f x= liên t c và có o hàm trên K, n u ph ng trình

( )' 0f x = có nhi u nh t n nghi m trên K thì ph ng trình ( ) 0f x = có nhi u nh t n+1

nghi m trên K.Tính ch t 5: Cho hàm s ( )y f x= liên t c trên K, n u hàm s ( )y f x= luôn ng bi n trên

K thì v i ,u v KÎ ta có ( ) ( )f u f v u v£ Û £ .

Ví d 1. (Trích thi HSG Ngh An 2012) Gi i ph ng trình:

( )( )32 2 5 2 2 5 3 1 ( )x x x x x- + + - = - Î .

i gi i

u ki n xác nh: 52

x ³ .

Ph ng trình ã cho t ng ng:

3 3 15 2 2 5

2 4x

x xx

-+ + - =

-Û 3 3 1

5 2 2 5 02 4x

x xx

-+ + - - =

-

t 3 3 1( ) 5 2 2 5

2 4x

f x x xx

-= + + - -

- v i x thu c 5

;2

é ö÷ê ÷-¥÷ê ÷øë

( ) ( )223

1 2 10'( ) 0

2 5 2 43 5f x

x xxÞ = + + >

- -+ v i 5

2x" >

Þ hàm s ( )f x ng bi n trên 5;

2

é ö÷ê ÷-¥÷ê ÷øë.

Þ ph ng trình ( ) 0f x = có t i a m t nghi m (1)Ta có (3) 0f = (2)

hoctoancapba.com


210

(1) và (2) suy ra ph ng trình ã cho có nghi m duy nh t 3x =Nh n xét: Ngoài vi c n m rõ tính ch t 1, gi i c bài t p trên c n ph i l u ch n únghàm s c n kh o sát. Ta xét ti p bài t p sau:Ví d 2. (Trích thi HSG t nh B c Ninh 2012) Gi i ph ng trình:

( )3 2 2 .3 1 .x xx x x+ - = Î

i gi i

TH1: 3 2 2 .3 1 (3 1)(1 2 ) 0x x xx x x+ - = Û - - =03 112 12

x x

x x

é =é ê=ê êÛ Ûê ê= =êë êë

TH2: 2 1 13 2 2 .3 1 3 0( )

2 1 2x x x x

x x xx

++ - = - Û - = ¹

-(1)

Xét hàm s ( ) 2 1 1 13 , ; ;

2 1 2 2x x

f x xx

æ ö æ ö+ ÷ ÷ç ç÷ ÷= - Î -¥ È +¥ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- è ø è ø

( )( )2

4 1' 3 ln 3 0,

22 1

xf x xx

= + > " ¹-

.

Suy ra, ( )f x ng bi n trên t ng kho ng 1 1; ; ;2 2

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷-¥ +¥ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

Nên trên m i kho ng 1 1; ; ;2 2

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷-¥ +¥ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø PT (1) có nhi u nh t m t nghi m

Mà ( ) ( )1 1 0f f= - = . Suy ra, (1) có 2 nghi m 1x = ± .

y ph ng trình ã cho có t p nghi m là: 11;0; ;1

2

ì üï ïï ï-í ýï ïï ïî þNh n xét: N u không n m ch c các tính ch t c b n h c sinh r t hay m c sai l m là:

khi kh ng nh c ( )f x ng bi n trên t ng kho ng 1 1; ; ;2 2

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷-¥ +¥ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø v i vàng k t lu n

ph ng trình có nhi u nh t m t nghiêm trên 1 1; ;2 2

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷-¥ È +¥ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø.

Ví d 3. (Trích thi th i h c t nh B c Ninh 2013- 2014) Gi i h ph ng trình:

( )( )

( )2 2 2

2 3 3

1 1 3 9 3, .

3 1 5 4 3 7 0

xy x y yx y

x x y xy x x y x

ìï + + = + +ïï Îíïï - + - - + - =ïîi gi i:

K: 2 5x y xy+ ³

hoctoancapba.com


211

Xét ph ng trình (1) 23 9 3 3 3 0,y y y y y+ + > + ³ " ;

( )2 2 1 0, ; 0y x x x y x+ + ³ " Þ >

Mà ( )2 25 5 0x y xy y x x y+ ³ Û + > Þ > .

Khi ó ta có: ( )2

2 3 3 31 1 1x x x a

y y y

æ ö÷ç ÷+ + = + +ç ÷ç ÷çè ø

Xét hàm s ( ) ( )2 1 , 0;f t t t t t= + + Î +¥

( ) ( )2

2

2' 1 1 0, 0;

1

tf t t t

tÞ = + + + > " Î +¥

+

Þ Hàm s ( )f t ng bi n trên( )0; .+¥

Do ó ph ng trình ( ) ( ) 3 3 31 .a f x f x y

y y x

æ ö÷ç ÷Û = Û = Û =ç ÷ç ÷çè ø

Thay 3y

x= vào ph ng trình (2) ta có

( ) ( )( )3 2 3 23 1 3 2 4 9 7 0 3 1 3 2 4 12 8x x x x x x x x x x x- - - + - = Û - - - = - +

( ) ( )2

3 2 23 2 3 13 1 4 12 8 3 2 0

3 2 3 2

x x xx x x x x x x

x x x x

æ ö- + - - ÷ç ÷Û - = - + Û - + + =ç ÷ç ÷çè ø- + - +

21

3 2 02

xx x

x

é =êÛ - + = Û ê =êë( Vì 3 1 2

0,33 2

xx x

x x

-+ > " ³

- +)

y h ph ng trình có nghi m ( ) 31;3 ; 2;

2

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø.

Ví d 4. Gi i b t ph ng trình: ( )2 23 (2 9 3) (4 2)(1 1 ) 0 1x x x x x+ + + + + + + ³

i gi i:Vi t l i ph ng trình d i d ng:

2 23 (2 (3 ) 3) (2 1)(2 [ (2 1) ] 3x x x x+ + ³ - + + - + +

Xét hàm s ( ) ( )2

2 ' 2

2(2 3), ; ( ) 2 3 0

3

tf t t t t f t t

t= + + Î = + + + >

+

hàm s ( )f t luôn ng bi n

hoctoancapba.com


212

Do ó (1) Û ( ) ( ) 13 2 1 3 2 1 .

5f x f x x x x³ - - Û ³ - - Û ³ -

y t p nghi m c a b t ph ng trình là 1; .

5T

é ö÷ê ÷= - +¥÷ê ÷øëVí d 5. (Trích thi HSG t nh B c Ninh 2013) Gi i h ph ng trình:

( )( )

2 2

22 2 2

log log 2 .2.

2 log 6 log 1 log 3 3 0

x xx x y

x y x x y

ìï + = +ïïíï - + - + + =ïïîi gi i:

K: 0; 1x y> > -

Ph ng trình

( ) ( ) ( )2 2 2 21 log log 2 1 log log 1 1xx x y x x x y x yé ùÛ + = + Û + = + + Û = +ê úë û

Th vào (2) ta có 22 2 2

2 log 6 log log 3 0x x x x x- - + =

( )( ) ( )( )

22 2

2

log 3 0 3log 3 2 log 0

2 log 0 4

xx x x

x x

é - =ê- - = Û ê - =êë

Gi i (4), xét ( ) ( ) ( )2

22 log 0 ' 1

ln 2f x x x x f x

x= - > Þ = -

( ) 2' 0

ln 2f x x= Û = .

p BBT, t ó suy ra ph ng trình (4) có nhi u nh t hai nghi m.Mà ( ) ( ) ( )2 4 0 4f f= = Þ có hai nghi m 2; 4x x= =

y h ph ng trình ã cho có ba nghi m ( ) ( ) ( ) ( ); : 8;7 ; 2;1 ; 4;3x y

Bài t p luy n t p: Gi i ph ng trình, h ph ng trình sau

( )3 21) 3 4 2 3 2 3 1x x x x x+ + + = + +5

2)3 3 2 2 62 1

x xx

- + - £-

33 2 2 33) 2 10 17 8 2 5x x x x x x- + - + = - 2 24) 15 3 2 8x x x+ < - + +

( ) ( )( )( )

2

2

2 1 115)

4 1 8 4 4 3 1

xx y x y

xx y x x x x

ìïï + = + + +ïï +íïï + + = - - +ïïî

( ) ( )3 3 2 2

3

3 2 3 5 2 6 06)

3 2 2 4 3

x y x y x y

x y

ìï - + + + - + =ïïíï - + - =ïïî

hoctoancapba.com


213

3

1 2 17)

22 1 3

xxx

+ -=

++ -2 3

2

1 9 18)2 1

8 8x x

xx- - = + -

6 3 2 22 9 33 299)

2 3

x y x y y

x x y

ìï - + - - =ïïíï + + =ïïî

( ) ( )( )

3 2 2

2 2 2

4 1 2 1 610)

2 2 4 1 1

x y x x

x y y x x

ìï + + + =ïïíï + + = + +ïïî

4. Ph ng pháp ánh giá.

Ví d 1. Gi i h ph ng trình:( )( ) ( )2 2

24

3 5 1 3 6, , .

2 1 3 4

x x y x x yx y

y y y x

ìï - - = + - -ïï Îíï - - + = - +ïïî

(x; y R).

i gi iu ki n : 2 2 1 0y y- - + ³

( ) ( )2 23 5 1 1 3( ) ( ) 5x x y x x yé ù- - = - + -ê úë û-

( ) 22( )

3 53 5 1 0

1

y xx y x y

y x

é = -ê- - - - = Û= -ë

Û êê

i y = 3x - 5 thay vào (2) ta c 24 2 1 1 0y y- - + = - < vô nghi m

i 2 1y x= - thay vào (2) ta c 4 4 22 3 3x x x- = - + (*)

u ki n 4 42 2x- £ £ .

Áp d ng b t ng th c Cauchy ta có4

4 4 51.1.1. 2

4x

x-

- £

(3) ta có:4

2 4 253 3 4 12 7 0

4x

x x x x x-

- + £ Û + - + £

( ) ( )2 21 2 7 0 1x x x xÛ - + + £ Û =

Th l i x = 1 th a mãn (*). V y h ã cho có nghi m là (1; 0)

Ví d 2. Gi i h ph ng trình: ( ) ( )( )

32 2 2 2

2 2 3

2

76 20 2 4 8 1

x x y x x y

x y x x

ìïï - + = -ïïíïï - + = +ïïî

.

i gi i:u ki n: 2x y³

Pt Û ( ) ( )32 3 22 0x x y x x y- + - - =

( ) ( )( )2 2 2 22 0x x x y x y x x yé ùÛ - - + - - - =ê úë û

hoctoancapba.com


214

( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 2

2 0x x y x x x y x y

x x y y x x

é ùÛ - - + - + - =ê úê úë ûÛ = - Û = -

Khi ó pt (2) tr thành: ( )2 396 20 2 4 8 1x x x x- + = +

( ) ( )23

8 18 13 28 1 4 8 1

2 3

xx

x x x

++ +

Û - + = +

dung B T Cô si cho 3 sô ta tim c nghi m duy nhât c a ph ng trinh 18

x =

y h ph ng trình có nghi m ( ) 1 7 1 7; ; ; ; .

8 8 8 8x y

ì üæ ö æ öï ï-÷ ÷ï ïç çï ï÷ ÷ç çÎ í ÷ ÷ýç ç÷ ÷ï ïç ç÷ ÷ç çè ø è øï ïï ïî þVí d 3. thi i h c kh i A – n m 2014) Gi i h ph ng trình

2

3

12 (12 ) 12

8 1 2 2

x y y x

x x y

ìï - + - =ïïíï - - = -ïïîi gi i:

Ta có ( )( )2 2 212 (12 ) 12 12 12x y x y x x y y- + - £ + - - + =

u “=” x y ra2

12

12

yx

yy

-Û =

-2(12 )(12 )x y y xÛ = - - (3)

Khi ó (1) t ng ng v i (3)

(3) 2 2 2 2 2

0 0 0

144 12 12 12 144 12 12 (4)

x x x

x y x y x y y x y x

ì ì ìï ï ï³ ³ ³ï ï ïï ï ïÛ Û Ûí í íï ï ï= - - + = - = -ï ï ïï ï ïî î îTh (4) vào (2) ta có

3 2 3 2(2) 8 1 2 10 8 1 2 10 0x x x x x xÛ - - = - Û - - - - =

( )3 28 3 2 1 10 0x x xÛ - - + - - = ( )( )2

2

2

1 (10 )3 3 1 2. 0

1 10

xx x x

x

- -Û - + + + =

+ -

( )( )2

2

2

93 3 1 2. 0

1 10

xx x x

x

-Û - + + + =

+ -( ) 2

2

2( 3)3 3 1 0

1 10

xx x x

x

é ù+ê úÛ - + + + =ê úê ú+ -ë û

2

2

3

2( 3)3 1 0

1 10

x

xx x

x

é =êêÛ +ê + + + =êê + -ë

3 3x yÛ = Þ =

hoctoancapba.com


215

y3

3

x

y

ìï =ïíï =ïî5. M t s bài t p khác.

Bài 1. Gi i ph ng trình ( )322 15 34 3 4 8 1 .x x x- + = -

i gi i:

Ta có 322 15 34 0 3 4 8 0 2x x x x- + > Þ - > Þ >

Cách 1:(Liên h p thành ph n)

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

32

2 33

12 41 2 15 28 3 4 8 2 4 2 7

4 8 2 4 8 4

xx x x x x

x x

-Û - + = - - Û - - =

- + - +

( )( )

( )2 33

4

12 *2 7 04 8 2 4 8 4

x

xx x

é =êê

Û ê - - =êê - + - +êë

+ N u ( )4 * 0x VT> Þ > Þ ph ng trình (*) vô nghi m

+ N u ( )4 * 0x VT< Þ < Þ ph ng trình (*) vô nghi m

+ N u 4x = . Th a mãn ph ng trình (*)y ph ng trình ã cho có nghi m duy nh t 4x = .

Cách 2:(Liên h p hoàn toàn)

( ) ( )321 2 16 32 3 4 8 2x x x xÛ - + = - - +

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

2

2 233

4 142 4 0

9 4 8 3 4 8 2 2

x xx

x x x x

- +Û - + =

- + - + + +

( )( ) ( ) ( )

( )2 233

4

14 *2 09 4 8 3 4 8 2 2

x

x

x x x x

é =êê +êÛ + =êê - + - + + +êëy ph ng trình ã cho có nghi m duy nh t 4x = .

Cách 3:(Ph ng pháp ánh giá)

Ta có: ( ) ( )3 33 4 8 .8.8 4 8 4 8 2x x x x- £ + Þ - £ + ( Theo b t ng th c Cô si)

Do ó ( )222 15 34 2 2 4 0 4x x x x x- + £ + Û - £ Û = . Th l i th y th a mãn.

y ph ng trình ã cho có nghi m duy nh t 4x = .

hoctoancapba.com


216

Bài 2. (Trích thi th i h c kh i A t nh B c Ninh n m h c 2012 – 2013)

Gi i h ph ng trình( )

3 2 2

3 2 23

1.

9 6 3 15 3 6 2

x x y x x y

x y x y x

ìï - = - + +ïïíï - + - - = +ïïîi gi i:

( ) ( ) ( ) ( )( )3 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1x x y x x y x x y x y x x y x xÛ - = - + + Û - + - = + Û - + = +

1 0x yÛ - - = (vì 2 1 0,x x+ > " )

Th vào ph ng trình (2) ta có 3 2 239 6 6 3 6 2x x x x- + - = +

( ) ( ) ( ) ( )3 2 231 3 1 6 2 3 6 2 3x x x x- + - = + + +

Xét hàm s ( ) ( ) ( ) ( )3 23 ' 3 3 0f t t t f t t t f t= + Þ = + > " Î Þ ng bi n trên .

Ph ng trình (3) ( ) ( )2 23 31 6 2 1 6 2f x f x x xÛ - = + Û - = + .

3 29 3 3 0x x xÛ - + - = ( ) ( )3 31 2 1x xÛ + = - . ( )

33

3

2 11 2 1

2 1x x x

+Û + = - Û =

-Þ

3

2

2 1y =

-.

y h ph ng trình có nghi m ( )3

3 3

2 1 2; ;

2 1 2 1x y

æ ö+ ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷ç - -è ø.

Bài 3. Gi i h ph ng trình: ( ) ( )2 2 2

3 4 2

5 .

9 6 1 0

x x y x y x y

y x x

ìï + = + +ïïíï - - + =ïïîi gi i:

( ) ( ) ( ) ( )3

3 2 2 3 2 21 5 0 4 2 0x xy x y x y x x x y x yÛ + - + + = Û + + - + =

22

02

3

xx x y

y x

ìï ³ïïÛ = + Û íï =ïïî ( Vì x =y =0 không là nghi m c a h )

Th vào pt (2) ta có 3 2 2 1 0y y y- - + = (*)Ta gi i ph ng trình (*) trên t p .

Th t v y: xét ( )2;2y Î - , t 2 sin , ;2 2

y t tp pæ ö÷ç ÷= Î -ç ÷ç ÷çè ø

,

Pt(*) tr thành: 3 28 sin 4 sin 2 sin 1 0t t t- - + =

( )2 2 24 sin 1 2 sin 1 4 sin 4 sin .cos2 4 cos 3t t t t t tÛ - = - Û = -

hoctoancapba.com


217

sin 4 os3t c tÛ = ( Do cos 0t = không là nghi m c a pt)

( )2

14 7sin 4 sin 32 2

2

kt

t t kt k

p pp

pp

éê = +æ ö ê÷ç ÷Û = - Û Îç ê÷ç ÷çè ø ê = - +êë

Vì 5 3 5 3; ; ; 2 sin ;2 sin ; 2 sin

2 2 14 14 14 14 14 14t t y

p p p p p p p pæ ö ì ü ì üï ï ï ï÷ ï ï ï ïç ÷Î - Þ Î - Þ Î -ç í ý í ý÷ç ÷ç ï ï ï ïè ø ï ï ï ïî þ î þMà ph ng trình b c 3 có t i a 3 nghi m nên pt(*) có 3 nghi m nh trên

t h p v i u ki n 0y ³ ta có

2 sin142 sin

14 33

2 sin5 142 sin14 3

y x

y x

pp

pp

éêêê = Þ =êêêêê = Þ =êë

ó tìm c nghi m c a h ph ng trình.Bài 4. (Trích ki m tra n ng l c giáo viên THPT t nh B c Ninh n m h c 2012-2013)

Gi i h ph ng trình:( )

( )

22

2

1 1

3 1

1

2 13 174 26 42

.62 13 19

( 1)y x

y yx xx x

x xyx

+ --

ìï + +ï - +ï - + - + =ïïí - +ïïï = +ïïîi gi i:

K:

24 26 42 0 73

1 0 211 0

x xx

yyx

ìï- + - ³ ìïï ïï £ £ïï + > Ûí íï ïï ï > -- >ï ïîïî

Ta có 2 217 74 26 42 0, 2 13 19 2, 3;

8 2x x x x x

é ùê ú- + - ³ - £ - + £ - " Î ê úë û

22 2

2 2

2 13 17 24 26 42 4 26 42 1 2

2 13 19 2 13 19

x xx x x x

x x x x

- +- + - + = - + - + - ³

- + - +

Do ó, ( ) ( )3

3 1 12 1 2 1 12 0 1 2 3y y y y y y+ + ³ Þ + + + - ³ Þ + ³ Þ ³

i 3y ³ ta có ( ) ( ) ( )ln 1 ln 12

1 1

x y

x y

- +Û =

- +

Xét hàm s ( ) ( )ln, 0;

ag a a

a= Î +¥

hoctoancapba.com


218

( ) ( )2

1 ln' , ' 0

ag a g a a e

a

-= = Û =

Do ( ) ( ) ( ) ( )5 ln2 ln21 2; 1 2 ; 1 4 1 4

2 2 2x g x g y g y g

é ùê ú- Î Þ - ³ = + ³ Þ + £ =ê úë û

ó suy ra 3, 3x y= =

Th l i 3, 3x y= = th a mãn h ph ng trình.

Bài 5: Gi i h ph ng trình ( )3 2

3 2

3 4 3 4 0,

3 1 8 3

x y x x yx y

x y x

ìï + - + + - =ïï Îíï - + = -ïïî

.

i gi i:

K 4 8 4;

3 3 3x y- £ £ ³ - .

Nh n xét: ( ) 4 4; ;

3 3x y

æ ö÷ç ÷= - -ç ÷ç ÷çè ø không là nghi m c a h . Do ó 3

4x ¹ - ho c 3

4y ¹ -

( ) ( ) ( ) ( )2 23 3

1 0 03 4 3 4 3 4 3 4

x yx x y x y x

x y x y

æ ö- ÷ç ÷çÛ + - = Û - + =÷ç ÷ç ÷ç+ + + + + +è ø

Thay x y= vào ph ng trình (2) ta có.

( ) ( )3 2 3 23 1 8 3 2 1 2 8 3 0x x x x x x x- + = - Û - - + - - - =

( )( )

2

2

41 1 0

2 8 3x x x

x x

æ ö÷ç ÷ç ÷çÛ - - + + =÷ç ÷ç ÷- + - ÷çè ø, Vì ( ) 23

1 0,3 4 3 4

xx y

+ >+ + +

Ta có( )

( )2 2

2 2

6 1 8 341

2 8 3 2 8 3

x x x xx

x x x x

- + + + + -+ + =

- + - - + -

( ) ( ) ( )( )

( )( )

22 22 2

2 2

1 8 3 31 2 1 8 3 8 3 30

2 2 8 3 2 2 8 3

x xx x x x

x x x x

+ + - ++ + + - + - += = >

- + - - + -, v i

4 83 3

x- £ £

Do ó ta có 2

1 521 0

1 52

xx x

x

é +ê =êêÛ - - = Ûê +ê =êë

hoctoancapba.com


219

y h ph ng trình có nghi m ( ) 1 5 1 5 1 5 1 5; ; ; ;

2 2 2 2x y

æ ö æ ö+ + - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= ÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø.

Bài 6: Gi i h ph ng trình ( )3 2 3 23 2 3

,14 2 48 5 3

x x y yx y

x y x x

ìï - + = +ïï Îíï - + + + = + -ïïî

.

i gi i:K 3; 0; 14 2 48 0x y x y³ ³ - + + ³ .

Ta có:

( ) ( )( )3 3 3 2 3 1 3 2 0 3 1 4x x x x x x x x+ - = - + - - = - - - + ³ Þ - ³ Þ ³

Mà 14 2 48 0 2 14 48 8 4x y y x y- + + ³ Þ ³ - ³ Þ ³

( ) ( ) ( ) ( )33

1 1 3 1 3 3 3x x y yÛ - - - = + - +

Xét hàm s ( ) ( ) ( ) ( )3 23 , 1; ' 3 3 0 1;f t t t t f t t t= - Î +¥ Þ = - > " Î +¥

( )f tÞ ng bi n trên ( )1;+¥

Khi ó ph ng trình ( ) ( ) ( )1 1 3 1 3f x f y x yÛ - = + Û - = +

Th vào ph ng trình (2) ta có

( ) ( ) ( )222 18 44 5 3 2 5 2 3 5 3x x x x x x x x- + + = + - Û - + - = - + -

( )2

5 3 0 5 3 7x x x x xé ùÛ - - - = Û - = - Û =ê úë û

y h ph ng trình có nghi m ( ) ( ); 7; 33 .x y = .

7. M t s bài t p tham kh oGi i ph ng trình, b t ph ng trình, h ph ng trình sau:

1) 33 2 311 8 2 20

2x x x x x= + + - - + -

2) 2 24( 1) (2 10)(1 3 2 )x x x+ ³ + - +

3) ( )22 24 1 2 4 40.x x x- + - =

4) 2 4 1 7x x x+ - = + ( Trích thi HSG c L c 2013)

5) ( )2 8 3 1 22 7 0x x x x- + - + - = (Trích thi HSG TP HCM 2013)

6) 2 3( 4) 6 3 13x x x+ - + =

hoctoancapba.com


220

7) ( ) ( )33 2 21 2 1x x x x+ - = -

8) ( )( )5 3 1 5 3x x x x+ - - - < - + + - -

9)

22

32

22 2

1 2 1 1

yy x x

xy x

ìï +ïï - = -ïíïï + + - =ïïî

10) 3 25 1 9 2 3 1x x x x- + - = + -

11) ( 2)(2 1) 3 6 4 ( 6)(2 1) 3 2x x x x x x+ - - + = - + - + +

12)2

1 51

61

xxx

-+ =

-

13)2 2

2 2

2 2 1

8 1 0

x y xy y xy x

x y xy

ìï + + = + +ïïíï - - - =ïïî 14)

( )( )( ) ( )

2

2

3 2 6 1

2 1 3 2

x x y y x

x y x y

ìï + = + +ïïíï - - = -ïïî

15)( ) ( )

2 22 3 8 1 0

8 3 13 0

x y y x

x x y y

ìï + - + - =ïïíï + + + - =ïïî 16)

12 3 4 16

4 5 5 6

x y xy

x y

ìï + - =ïïíï + + + =ïïî

17)2 2

2 2 4 2

( )

4 3

x y x y x

y x y y x

ìï - + + =ïïíï - - =ïïî 18)

1 ( 2)

( 2) 1

x x y y xy

x y x xy

+ + - =

+ - + =

ìïïïíïïïî

19)2

2 2

2 6 1

7

x x y

x xy y

ìï + + - =ïïíï + + =ïïî 20) ( )2

2 21 5 2 4x x x+ = - +

21)2

2 1 24

2 3 ( 2013)(5 )

2 log 2 log ( 2) log (3 3)

y x x x

x x y y

ìï - = + - +ïïïí - - + = +ïïïïî

22)( )

2

2 2 2

2 2

2 1 2 3 2 4

xy y x

y x x x x x

ìï + = +ïïíï + + + + = -ïïî

( Trích thi HSG Nam nh 2013)

23)3 32 3 2 4 13 ( 3 1)3 3x x x x xx x+ + - ++ - + = (Trích thi HSG Ninh Bình 2012)

24)

2

2

2

11

6 1

xy y xx

xy y

x y y yx

ìï + -ï =ïï + +ïíïï + + = -ïïïî

(Trích thi HSG TP HCM 2013)

hoctoancapba.com


221

25)

( )2

1 23 3 2

2 2 2 6

x yxx y x y

x y x y

ìï +ïï + =ïï +íïï + = + -ïïïî

( Trích thi ch n i tuy n QG – Hà N i)

26) ( )2 2( 2) 2 4 6 2 1 2 6 7x x x x x x+ + + + - - = + +

(Trích thi ch n i tuy n QG – Kon Tum 2013)

27)( )1

22

2

1

2 9 64 18 20 1

2 9 8

xyx y

x xx x y

x x

+ìïï = +ïïí - +ï - + - + = +ïï - +ïî(Trích thi ch n i tuy n QG – TP HCM 2013)

28)( ) ( ) ( )

2

2 2

3 0

1 3 1 2 2 0

x xy x

x y xy x y y

ìï + + + =ïïíï + + + + - + =ïïî

29)3 2 3

3 4 2 2

2 0

4 4 3

x xy y

x x y y

ìï + + =ïïíï - + = +ïïî

hoctoancapba.com


222

CHUYÊN 11: PH NG PHÁP HÀM S V I CÁC BÀI TOÁN C C TRBiên so n và s u t m: Nguy n Minh Nhiên – S GD& T

Trong nh ng n m g n ây, bài toán c c tr trong các thi tuy n sinh i h c aph n là bài toán khó nh t thi. gi i quy t các bài toán này òi h i thí sinh ph i có nhi u

này quan tr ng khi gi i các bài toán c c tr . Chuyên này a ra m t s cách ti p c nbài toán c c tr b ng ph ng pháp hàm s .

1. Ph ng pháp kh o sát hàm c tr ngVí d 1. Ch ng minh r ng

a)2

12,

1

xx

x x

+£ "

- +

b) 2 2 21 1 1 3, , ,x x y y z z x y z- + + - + + - + ³ " th a mãn x + y + z =

3.i gi i:

a) Xét hàm s ( )2

1,

1

xf x x

x x

+= Î

- +. Ta có ( ) ( )

( )2 2

3 1

2 1 1

xf x

x x x x

-¢ =

- + - +

và ( ) ( ) ( )0 1; lim 1, lim 1x x

f x x f x f x®+¥ ®-¥

¢ = Û = = = -

Ta có b ng bi n thiênx -¥ 1

+¥f’(x) + 0 -f(x) 2

-1 1

b ng bi n thiên suy ra ( ) ( )1 2,f x f x£ = " .

b) Áp d ng câu a ta có ( )2

2

1 12, 1 1 (1)

21

xx x x x

x x

+£ " Û - + ³ +

- +

ng t ( ) ( ) ( ) ( )2 21 11 1 2 ; 1 1 3

2 2y y y z z z- + ³ + - + ³ +

ng t ng v các B T (1), (2) và (3) ta có

( )2 2 2 11 1 1 3 3

2x x y y z z x y z- + + - + + - + ³ + + + ³ ( pcm).

hoctoancapba.com


223

Ví d 2. Cho a + b + c = 0. Ch ng minh r ng 8 8 8 2 2 2a b c a b c+ + ³ + + .i gi i:

Xét hàm s ( ) ( )32 2 2 ln 2x xf x x= - - trên R. Ta có

( ) ( ) ( )( )23. 2 . ln2 2 . ln 2 2 ln 2 2 1 3.2 2 ln 2x x x xf x¢ = - - = - +

và ( ) 0 2 1 0xf x x¢ = Û = Û = .

Ta có b ng bi n thiênx -¥ 0

+¥f’(x) - 0 +f(x) +¥

+¥

0

Suy ra ( ) ( ) ( ) ( )0, 0f x x R f a f b f c³ " Î Þ + + ³

( )8 8 8 (2 2 2 ) 2 ln 2 0 8 8 8 2 2 2a b c a b c a b c a b ca b cÞ + + - + + - + + ³ Þ + + ³ + +

Ví d 3. (Trích thi i h c kh i D n m 2006)

Ch ng minh r ng 1 12 2 , 0

2 2

b a

a ba b

a bæ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷+ £ + " ³ >ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

.

i gi i:

Ta có 1 1 1 4 1 42 2

2 2 2 2

b ab a a ba b

a b a b

æ ö æ öæ ö æ ö + +÷ ÷÷ ÷ ç çç ç ÷ ÷÷ ÷+ £ + Û £ç çç ç ÷ ÷÷ ÷ ç çç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ln 1 4 ln 1 41 4 1 4 ln 1 4 ln 1 4

a bb a b a

a b a b

a b

+ +Û + £ + Û + £ + Û £

Xét hàm s ( )( )ln 1 4x

f xx

+= v i x > 0. Ta có

( ) ( ) ( )( )2

4 ln 4 1 4 ln 1 40

1 4

x x x x

xf x

x

- + +¢ = <

+,

nên f là hàm ngh ch bi n trên ( )0;+¥ . Do ó ( ) ( )f a f b£ ( pcm).

hoctoancapba.com


224

Bài t p t luy nBài 1: Cho a, b, c là ba s d ng th a mãn 2 2 2 1a b c+ + = . Ch ng minh r ng

2 2 2

3 321 1 1

a b c

a b c+ + ³

- - -.

Bài 2: Ch ng minh r ng v i m i ( ), 0;1 ,x y x yÎ ¹ ta có 1ln ln 4

1 1y x

y x y x

æ ö÷ç ÷- >ç ÷ç ÷ç- - -è ø.

Bài 3: Ch ng minh r ng ( ) ( )2 3 2 3 , 0y x

x y y x x y+ < + " > > .

ng quát: V i a, b > 0 và x > y > 0 ta có ( ) ( )y xx y y xa b a b+ < + .

Bài 4: Cho 3 3, 0; 1x y x y³ + = . Tìm GTLN c a 2A x y= + .

Bài 5: (VMO, 2004) Cho x, y, z là các s th c d ng th a mãn ( )332x y z xyz+ + = . Tìm

GTLN và GTNN c a bi u th c( )

4 4 4

4

x y zP

x y z

+ +=

+ +.

Bài 6: Cho các s không âm x, y, z th a mãn u ki n: xy + yz + xyz = 4. CMR:x y z xy yz zx+ + ³ + + .

2. Ph ng pháp d n d n v m t bi ni v i các bài toán c c tr nhi u bi n, ta th ng ph i h p v i ph ng pháp ch n các bi n

ng cách: s d ng B T AM-GM, B T Cauchy-Schwarz, B T ph ho c s d ng hàm,.... a d n v m t bi n kh o sát.

Ví d 1. Cho ba s th c d ng , ,a b c th a mãn 1a b c+ + = . Tìm giá tr nh nh t c abi u th c

3 3 314

P a b c= + +

i gi iNhìn bi u th c c a P ta th y có s xu t hi n c a c ba bi n s , ,a b c mà ta không th

quy tr c ti p v m t bi n s ngay n u ch s d ng gi thi t. Nh ng ta l i th y P là bi uth c có i x ng v i ,a b , do ó ta d oán giá tr nh nh t t c khi hai bi n ,a b b ng

nhau. Ta ch ng minh và s d ng b t ng th c33 3

2 2a b a bæ ö+ + ÷ç ÷³ ç ÷ç ÷çè ø

, ng th c x y ra khi

hai bi n s a và b ng nhau. Khi ó ta có

hoctoancapba.com


225

( )3 3 3 2

3 31 1 1 3 3 12 4 2 4 8

a b c c c cP c c f c

æ ö æ ö+ - + - +÷ ÷ç ç÷ ÷³ + = + = =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø. Bây gi thì vi c gi i quy t

bài toán khá là d dàng b ng cách kh o sát hàm s ( ) ( )8.g c f c= trên kho ng ( )0;1 .

Ta có ( ) 2' 3 6 3g c c c= + - , ( ) 1 2' 0 1 2, 1 2g c c c= Û = - - = - + . L p b ng bi n

thiên c a hàm s ( )g c trên kho ng ( )0;1 ta có:

( ) ( ) ( )21 2 6 4 2g c g c g³ = - + = - , suy ra ( ) ( )1

3 2 24

P f c³ ³ - .

y ( )min

13 2 2

4P = - khi và ch khi ( )1

2 1, 2 22

c a b= - = = - .

Ví d 2. Ch ng minh r ng n u a, b, c là dài ba c nh c a m t tam giác có chu vi b ng 3thì

( )2 2 23 3 3 4 13 1a b c abc+ + + ³ .

i gi it 2 2 23 3 3 4T a b c abc= + + + . Do vai trò c a a, b, c bình ng nên không ngh ch bi n

ng quát ta có th gi s 0 a b c< £ £ .

a + b + c = 3 và a + b > c suy ra 31

2c£ < (2).

Ta bi n i

( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 23( ) 3 4 3 2 3 4 3 3 3 2 3 2T a b c abc a b ab c abc c c ab cé ù

= + + + = + - + + = - + - -ê úê úë û

Do 2 – 3c > 0 và ( )2

32

a bab

æ ö+ ÷ç ÷£ ç ÷ç ÷çè ø, suy ra

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 22 2 2

3 2

1 13 3 3 3 2 3 6 9 3 3 3 2

2 23 272 2

T c c a b c c c c c c

c c f c

³ - + - + - = - + + - - -

= - + =

Ta có ( ) 23 3f c c c¢ = - , nên f(c) ng bi n trên 31;

2

é ùê úê úë û

. Vì v y, ( ) ( )1 13T f c f³ ³ = .

ng th i 13 1T c= Û = . V i gi thi t 0 a b c< £ £ và a + b + c = 3 và (3) suy ra a =b = 1, t c là tam giác ABC u.Ví d 3. (Trích thi th H kh i B t nh B c Ninh n m 2013)Cho hai s th c ,x y v i 1y > - . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c

hoctoancapba.com


226

4 4 4 424 5 8 4 12 9

2 2 2 21

x y x yy y x y

Sy

+ - + + + + - - +=

+.

i gi i

Ta có4 4

2 21 1,

2 2 2 2x y

x y+ ³ + ³ d u b ng x y ra khi 2 2 1x y= =

( ) ( ) ( )2 2 222 2 2 2 2 2 3 24 4 9 4 12 81 1

x y x yx y y x y x yS

y y

+ - + - + -+ - + + + - - +=

+Þ ³

+

y ( ) ( ); 2 , 2 ;2 3u x y v x y= - = - - . Vì u v u v+ ³ + nên

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 22 2 2 3 2 2 2 3 2 1u v x y x y x x y y y+ = + - + - + - ³ + - + - + - = +

u b ng x y ra khi2

02 2 3

x yx y

-= >

- - (v i 2x = ho c

23

y = không x y ra d u b ng)

Bây gi ta i tìm GTNN c a ( )22 1

; 11

yS f y y

y+

= = > -+

Mà ( ) ( )( )

2 2 12 12

1 2 1

yyf y

y y

++= ³ =

+ +. V y 2MinS = t c khi 1x y= = .

Ví d 4. (Trích thi kh i A n m 2011) Cho x, y, z là các s th c thu c n [1; 4] và ,x y x z³ ³ . Tìm GTNN c a bi uth c

2 3x y z

Px y y z z x

= + ++ + +

.

i gi i Tr c h t ta ch ng minh v i m i a, b d ng, 1ab ³ thì

1 1 21 1 1a b ab

+ ³+ + +

(*)

Th t v y, ta có 2(*) ( 1)( ) 0ab a bÛ - - ³ luôn úng do a, b d ng và 1ab ³ .u b ng x y ra khi và ch khi a = b ho c ab = 1.

Áp d ng (*) v i x, y thu c n [1; 4] và ,x y x z³ ³ ta có

hoctoancapba.com


227

1 1 1 12 3 3

1 1 2 1

xP

x y x x y xy z x y

= + + ³ ++

+ + + +

.

u b ng x y ra khi và ch khi z xy z

= ho c 1xy

= (1)

t , 1;2x

t ty

é ù= Î ê úë û , khi ó2

2

212 3

tP

tt³ +

++.

Xét hàm2

2

2( ) , 1;2

12 3

tf t t

tté ù= + Î ê úë û++

ta có( ) ( )( ) ( )

3

2 22

2 4 3 3 2 1 9'( ) 0

2 3 1

t t tf t

t t

é ù- + + - +ê úë û= <+ +

.

Suy ra, 34( ) (2)

33f t f³ = .

u b ng x y ra khi và ch khi 2 4 4; 1x

t x yy

= Û = Û = = (2)

Do ó 3433

P ³ . T (1) và (2) suy ra d u b ng x y ra khi và ch khi x = 9, y =1, z = 2.

Ví d 5. (Trích thi kh i A n m 2014)Cho x, y, z là các s th c không âm và th a mãn u ki n 2 2 2 2x y z+ + = .

Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c2

2

11 91

x y z yzP

x y zx yz x

+ += + -

+ + ++ + +

i gi i

Ta có2 2

2 1 2 1 2 1 1

x x x

x yz x x yz x yz£ =

+ + + + + + +, d u b ng x y ra khi

2 1.x yz= +Ta l i có

( ) ( ) ( ) ( )2

2 22 2 22 2 2 22

x y zx y z x y z x y z yz x y z yz

+ += + + = + + - + - ³ + + - -

( ) ( )24 1 2 1 .x y z yz x y z yzÞ + + £ + Þ + + £ +

1 11 1

1 1 2 1 1

y z x xx y z x y z yz

+ + +Þ = - £ -

+ + + + + + + +

Do ó,

hoctoancapba.com


228

1 1 1 11 1

9 92 1 1 2 1 1 2 1 11 1 11 1 3 11 2 5

11 1 1 9 9 3 9 9 3 9

x x yz yzP

yz yz yzyz yz

yz yz

+ + +£ + - - = - -

+ + + + + +æ ö+ + ÷ç ÷£ - - = - + £ - =ç ÷ç ÷ç+ + + +è ø

u b ng x y ra khi 1, 1, 0x y z= = = ho c 1, 0, 1x y z= = = .Ví d 6. ( thi ch n HSG QG THPT b ng B, 1999)

Xét ph ng trình 3 2 1 0ax x bx- + - = v i a, b là các s th c, 0a ¹ , a b¹ sao

cho các nghi m u là s th c d ng. Tìm GTNN c a( )

2

2

5 3 2a abP

a b a

- +=

-.

i gi ii u, v, s là ba nghi m th c d ng c a a th c 3 2 1ax x bx- + - . Theo nh lý Viete ta

có

( )1 1; ; 1

bu v s uv vs su uvs

a a a+ + = + + = = .

ó suy ra a > 0, b > 0.

t 1c

a= . Áp d ng B T Cauchy cho ba s d ng ta có

( )3 3 33 3 27 3 3 2c uvs u v s uvs c c c c= = + + ³ = Þ ³ Þ ³ .

t khác, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 213 0

2u v s uv vs su u v v s s u

æ ö÷ç+ + - + + = - + - + - ³÷ç ÷è ø.

Do ó ( ) ( ) ( )22 3 3 3c u v s uv vs su bc= + + ³ + + =

(1), (2) và (3) ta có

( )( )

( ) ( ) ( )

22 3

2

2 2 2

2 2

15 3 2 5 3 25 3 2 1

.1

1

5 2 5 54

31

3

bc bc ca ab a aP

a b bca b aa

c c c c c

c c

- + - +- += = =

-- -

- + +³ =

--

Xét hàm s ( )( )2

2

5 5

3

c cf c

c

+=

- v i 3 3c ³ .

Ta c ( ) 12 3f c ³ . D u b ng x y ra khi 3 3c = . Suy ra 12 3P ³ .

ng th c x y ra khi 3u v s= = = , t c là 1, 3

3 3a b= = . V y min 12 3P = .

hoctoancapba.com


229

Bài t p t luy nBài 1. Cho các s d ng a, b, c v i 1a b c+ + £ .Ch ng minh r ng

( ) 1 1 13 2 21a b c

a b c

æ ö÷ç ÷+ + + + + ³ç ÷ç ÷çè ø.

Bài 2. Cho a, b, c > 0 th a mãn 2 2 2 1a b c+ + = . Ch ng minh r ng

( )1 1 12 3a b c

a b c+ + - + + ³

Bài 3. Cho các s x, y, z thay i trên n [0; 1] và th a mãn 32

x y z+ + = . Tìm GTLN

và GTNN c a ( )2 2 2osA c x y z= + + .

Bài 4. (IMO, 1984) Cho x, y , z > 0 th a mãn x + y + z = 1. Ch ng minh r ng7

0 227

xy yz zx xyz< + + - £ .

Bài 5. Cho x, y , z > 0 th a mãn x + y + z = 1. Tìm GTNN c a2 2 2 4A x y z xyz= + + + .

Bài 6. (Trích kh i B n m 2012) Cho các s th c x, y, z th a mãn các u ki n0x y z+ + = và 2 2 2 1.x y z+ + = Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c 5 5 5.P x y z= + +

Bài 7. Cho các s ( ), , 0;1x y z Î th a mãn ( )( )( )1 1 1xyz x y z= - - - . Ch ng minh r ng

2 2 2 34

x y z+ + ³ .

Bài 8. Cho ba s th c không âm , ,a b c th a mãn 1a b c+ + = . Ch ng minh r ng

72

27ab bc ca abc+ + - £ .

Bài 9. Cho a, b, c là các s th c th a mãn 2 2 2 1a b c+ + = . Tìm GTLN c a bi u th c

( )3 22S a b c abc= + + - .

Bài 10. Ch ng minh r ng n u , ,a b c là dài các c nh c a m t tam giác thì

3 12 2

a b c a c bb c a c b a

æ ö÷ç ÷+ + ³ + + +ç ÷ç ÷çè ø.

3. Ph ng pháp kh o sát hàm s theo t ng bi ni v i bài toán c c tr nhi u bi n, ta có th ch n m t bi n là bi n s bi n thiên và c

nh các bi n còn l i, bài toán a v vi c kh o sát hàm m t bi n.Ví d 1. Cho ba s th c , , 0x y z ³ , ch ng minh r ng:

( ) ( ) ( )3 3 3 2 2 23x y z xyz x y z y z x z x y+ + + ³ + + + + +

i gi i

hoctoancapba.com


230

Bài toán hoàn toàn i x ng v i ba bi n s , nên không m t tính t ng quát, ta gi s0x y z³ ³ ³ , coi x là bi n s và coi ,y z là tham s trong hàm s

( ) ( )3 2 2 2 2 2 3 33f x x x y z xyz xy xz y z z y y z= - + + - - - - + +

Ta có ( ) ( )2 2 2' 3 2 3f x x x y z yz y z= - + + - -

và ( ) ( ) ( )'' 6 2 2 3 0f x x y z x y z= - + = - - ³ v i m i , , 0x y z ³ và x y z³ ³ .

u ó ch ng t ( )'f x là hàm s ng bi n, suy ra

( ) ( ) ( )2 2 2 2' ' 3 2 3 0f x f y y y y z yz y z yz z³ = - + + - - = - ³ ( do x y z³ ³ ).

n ây ta suy ra ( )f x là hàm s ng bi n, nh v y ( ) ( ) ( )20f x f y z z y³ = - ³ .

y bài toán ã ch ng minh xong!

Ví d 2. Cho 1, , ; 3

3a b c

é ùê úÎ ê úë û

. Tìm GTLN c a bi u th c a b cS

a b b c c a= + +

+ + +.

i gi i

t ( ) a b cf a

a b b c c a= + +

+ + +. Xét hai tr ng h p sau:

* TH1: a b c³ ³ . Ta có

( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

2

2 2 2 20

b c a bcb cf a

a b a c a b a c

- -¢ = - = ³

+ + + +

Suy ra, ( ) ( ) ( )33

3 3b c

f a f g cb b c c

£ = + + =+ + +

.

t khác, ( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

2

2 2 2 2

3 330

3 3

b b cbg c

c b c c b c

- --¢ = + = £+ + + +

Suy ra, ( ) ( )1 3 3 13 3 3 1 10

bg c g h b

b b

æ ö÷ç ÷£ = + + =ç ÷ç ÷ç + +è ø

Ta có, ( )( ) ( )

( )( )( )( )2 2

1 13 30

3 1 33 1 3

b bh b

b bb b

- +¢ = - = £

+ ++ +

ng bi n thiên b 1

3- 1 3

13; ;

3f b

æ ö÷ç¢ ÷ç ÷ç ÷çè ø + -

hoctoancapba.com


231

13; ;

3f b


85

b ng bi n thiên suy ra ( ) 1 8; ; 3;1;

3 5f a b c f

æ ö÷ç ÷£ =ç ÷ç ÷çè ø.

* TH2: c b a³ ³ . T TH1 ta có ( ) 8; ;

5f c b a £ . M t khác

( ) ( ) ( )( )( )( )( )( )

; ; ; ; 0a b b a a c

f a b c f c b aa b b a a c

- - -- = £

+ + +.

Suy ra , ( ) 8; ;

5f a b c £ .

y 8max

5S = , t c khi và ch khi ( ) 1 1 1

, , 3,1, , , 3,1 , 1, , 33 3 3

a b cì üæ ö æ ö æ öï ï÷ ÷ ÷ï ïç ç ç÷ ÷ ÷Î ç ç çí ý÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çï ïè ø è ø è øï ïî þ

.

Ví d 3. Cho , , 0;1a b c é ùÎ ê úë û . Tìm GTLN c a bi u th c

3 3 3 3 3 36 6 6

a b cS

b c c a a b= + +

+ + + + + +.

i gi i

t ( ) 3 3 3 3 3 36 6 6

a b cf c

b c c a a b= + +

+ + + + + +. Ta có

( )( ) ( )

2 2

3 3 2 23 3 3 3

1 3 3

6 6 6

ac cf c

a b b c a c¢ = - -

+ + + + + +

( )( )

( )( )

( )

3 3 3 3

2 23 3 3 3

6 6 2 6 6 20

6 6

ac b c bc a cf c

b c a c

+ - + -¢¢ = - - £

+ + + +và ( )''f c liên t c trên 0;1é ùê úë û

Nên f’(c) ngh ch bi n trên [0; 1]. Suy ra

( ) ( )( ) ( )3 3 2 2

3 3

1 3 3 1 31 2. 0

8 496 7 7

a bf c f

a b b a¢ ¢³ = - - ³ - >

+ + + +

Suy ra, f(c) ng bi n trên [0; 1]. Do ó

( ) ( ) 3 3 3 3

11 ( )

7 7 6

a bS f c f g a

b a a b= £ = + + =

+ + + +.

hoctoancapba.com


232

Ta có ( )( ) ( )

2 2

3 2 23 3 3

1 2 3,

7 7 7

a b ag a

b a a b¢ = - -

+ + + +

( )( )

( )( )

( )

3 3 3

3 33 3 3

6 7 2 6 6 20

7 7

ab a a b ag a

a a b

- + -¢¢ = - - £

+ + +

Nên g’(a) ngh ch bi n trên [0; 1]. Suy ra,

( ) ( )( )3 2 3 3

3

1 3 3 1 1 5 3 5 31 0

64 8 8 647 7 77

b bg a g

b b bb

æ öæ ö -÷ ÷ç ç¢ ¢ ÷ ÷³ = - - = - - + >ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç+ + +è øè ø+

Suy ra g(a) ng bi n trên [0; 1]. Do ó, ( ) ( ) 3

21 ( )

87

bS g a g h b

b= £ = + =

+.

Ta có ( )( )

( )( )

23 22

2 23 3

7 481 60, 0;1

8 7 8 7

b bbh b b

b b

+ -é ù¢ = - - > " Î ê úë û

+ +.

Suy ra h(b) ng bi n trên [0; 1], nên ( ) ( ) 3 31

8 8h b h S£ = Þ £ .

i a = b = c = 1 thì 3max

8S = .

Ví d 4. ( thi VMO b ng A 1999)Xét các s th c d ng a, b, c th a mãn abc + a + c = b. Tìm GTLN c a bi u th c

2 2 2

2 2 3

1 1 1P

a b c= - +

+ + +.

i gi i

Bi n i gi thi t thành a + c = b(1 - ac) > 0. suy ra ( )1, 1

1a c

a bc ac

+< =

-

Thay (1) vào bi u th c P và bi n i c( )

( )( ) ( )2

2 2 2 2

22 32 2

1 1 1 1

a cP

a c a b

+= + + -

+ + + +

Xét hàm s ( ) ( )( )( )

2

2 2 2

21

1 1 1

x cf x P

x x c

+= = +

+ + + v i 0 < x < 1

2 và coi c là tham s (c > 0).

Ta có ( )( )

( )( )

2

22 2

2 2 1

1 1

c x cxf x

c x

- + -¢ =

+ +

hoctoancapba.com


233

Trên 10,

c

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø thì ( ) 0f x¢ = có nghi m duy nh t là 2

01x c c= - + + (3) v i

0

10 x

c< < .

Qua0

x thì f’(x) i d u t d ng sang âm nên f(x) t c c i t i0

x nên

( ) ( )0 21

1

cf x f x

c£ = +

+

ó theo (2) ta có ( ) ( )2 22

3 2 32 2

1 11

cP f x g c

c cc= - + £ + =

+ ++.

Xét hàm s g(c) v i c > 0. Ta có ( )( )( )

2

2 2

2(1 8 )

1 3 1

cg c

c c c

-¢ =+ + +

.

i c > 0, thì g’(c) = 0 t i0

1

8c = va qua

0c thì g’(c) i d u t d ng sang âm nên g(

0c )

là giá tr c c i, suy ra 1 1038

P gæ ö÷ç ÷£ =ç ÷ç ÷çè ø

.

Giá tr 103

P = t c khi 1 1, , 2

8 2c a b= = = theo (1) và (3).

Ví d 5. ( thi VMO n m 2001) Xét các s th c d ng x, y, z th a mãn h u ki n

{ } ( ) ( ) ( )2 4 1min , 1 ; 2 ; 3

5 15 5z x y xz yz£ £ ³ ³

Hãy tìm GTLN c a bi u th c ( ) 1 2 3, ,P x y z

x y z= + + .

i gi i

u ki n (1) và (2) suy ra 4ax ,

15x m z

z

ì üï ïï ï³ í ýï ïï ïî þ (4)

a) Xét hàm s ( ) 1 1f x

x z= + v i x > 0 và tham s 2

5z ³ . Xét hai tr ng h p

* N u 2

15z ³ thì 4

15x z

z³ ³ theo (4) nên ( ) 1 1 2

15f xz z z

£ + = £ (5)

* N u 2 25 15

z£ £ thì 415

x zz

³ ³ theo (4) nên ( ) ( )15 14z

f x g zz

£ + = .

Xét hàm s g(z) v i 2 25 15

z£ £ . Ta có ( ) 2

15 1 20

4 15g z z

z¢ = - < Û < .

hoctoancapba.com


234

Do ó g(z) là hàm ngh ch bi n và ( ) ( ) 24

5f z g z g

æ ö÷ç ÷£ £ =ç ÷ç ÷çè ø (6)

So sánh (5) và (6) ta có 1 14

x z+ £ và 1 1 2 2

4 ,3 5

x zx z

+ = Û = = (7)

b) Xét hàm s ( ) 1 1h y

y z= + v i tham s 2

5z ³

u ki n (1) và (3) suy ra 1ax ,

5y m z

z

ì üï ïï ï³ í ýï ïï ïî þ (8)

p lu n t ng t ph n a) ta c

* N u 1

5z ³ thì ( ) 2 5h y £ (9)

* N u 2 15 5

z£ £ thì ( ) 92

h y £ (10)

So sánh (9) và (10) ta có 1 1 92y z

+ £ và 1 1 9 2 1,

2 5 2x y

x z+ = Û = = (11)

So sánh k t qu ph n a) và b) ta có ( ) 1 1 1 1 9, , 2 4 2. 13

2P x y z

x y y z

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷= + + + £ + =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

ng th c x y ra khi và ch khi 2 1 2, ,

3 2 5x y z= = =

y maxP = 13.

Ví d 6. Ch ng minh r ng n u , , 1;2a b c é ùÎ ê úë û thì 10 11 12 692

a b cbc ca ab

+ + £ .

i gi iTa coi m t trong ba s , ,a b c là m t bi n s c a hàm s , ch ng h n là a , khi ó ta t

, 1;2x a x é ù= Î ê úë û và ta i xét hàm s ( ) 1 11 12 10.

b cf x x

x c b bc

æ ö÷ç ÷= + +ç ÷ç ÷çè ø,

t2 211 12 11 12 10

,b c b c

c b bc bca b

+= + = = .

Khi ó ( )2

2 2'

xf x

x x

a b ab

-= - + = , ( )' 0f x x

ab

= Û = .

Ta có2 211 12 33 10

3. 3 1b c

xbc bc bc

aa b

b+

= ³ > = Þ = >

Nh v y, ta luôn có ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }max 1 , 2 max ,f x f f g b h b£ = ,

hoctoancapba.com


235

trong ó ( ) ( ) 10 11 121

b cg b f

bc c b= = + + và ( ) ( ) 20 11 6

22b c

h b fbc c b

= = + + .

Ta xét ti p ( )g b trên n 1;2é ùê úë û có ( ) 2 2

1 10 11 1' 12g b c A B

c cb b

æ ö -÷ç ÷= - + + = +ç ÷ç ÷çè ø,

trong ó210 10 12 11

12 ,c

A c Bc c c

+= + = = và có ( )' 0 1

Ag b b

B= Û = >

Nh v y, ( ) ( ) ( ){ } 21 27max 1 , 2 max 12 , 6g b g g c c

c c

ì üï ïï ï£ = + +í ýï ïï ïî þ

Xét l n n a ( ) 2112c c

cj = + và ( ) 27

6c cc

f = + trên n 1;2é ùê úë û có

( ) ( ){ }1;2

69 69max , max , 33

2 2c cj f

é ùê úë û

ì üï ïï ï£ =í ýï ïï ïî þ, t ó suy ra ( ) 69

2g b £ v i m i , 1;2b c é ùÎ ê úë û .

Xét t ng t i v i ( )h b trên n 1;2é ùê úë û ta c ng có

( ) ( ) ( ){ } 51 21 63 63max 1 , 2 6 , 3 ,24

2 2 2h b h h c c

c c

ì ü ì üï ï ï ïï ï ï ï£ = + + £ =í ý í ýï ï ï ïï ï ï ïî þ î þ.

y 10 11 12 692

a b cbc ca ab

+ + £ , ng th c x y ra khi và ch khi 1, 2a b c= = = .

Bài t p t luy n

Bài 1: Ch ng minh r ng ( ) ( )3 3 3 2 2 22 3, , , 0;1x y z x y y z z x x y z é ù+ + - + + £ " Î ê úë û .

Bài 2: Cho a, b, c là dài ba c nh c a m t tam giác. Ch ng minh r ng

( ) ( ) ( )2 2 2 3 3 34a b c b c a c a b abc a b c- + - + - + > + + .

Bài 3: Cho a, b, c là dài ba c nh c a m t tam giác (có th suy bi n). t

( )( )( )( )( )( )a b b a a c

Ta b b a a c

- - -=

+ + +.

Tìm maxT và ch ng minh r ng 1max

21T < .

Bài 4: ( ng A, 2001) Cho hàm s ( ), , 2f x y z xy yz zx xyz= + + - trên mi n

( ){ }, , | 0 , , 1, 1D x y z x y z x y z= £ £ + + = .

Bài 5: ( B ng A, 2001) Xét các s th c d ng x, y, z th a mãn h u ki n

2 2 2 2

3 2 18 4 180 3; 1; 3z y x

xy y x y y z z x< £ £ £ + ³ + + ³

hoctoancapba.com


236

Hãy tìm GTLN c a bi u th c ( ) 3 31 80 18, ,

2 27 8P x y z xyz x y= + + .

Bài 6: ( thi ch n TQG, 2001) Xét các s th c d ng a, b, c th a mãn 21ab + 2bc + 8ac

12£ . Tìm GTNN c a bi u th c ( ) 1 2 3, ,P a b c

a b c= + + .

4. Ph ng pháp i bi nVí d 1. (Trích thi kh i D n m 2012)Cho các s th c x, y th a mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy 32. Tìm giá tr nh nh t c abi u th c

A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2).i gi i

Ta có2 2( 4) ( 4) 2 32x y xy- + - + £ 2( ) 8( ) 0x y x yÛ + - + £ 0 8x yÛ £ + £

24 ( )xy x y£ + 236 ( )

2xy x yÞ- ³ - +

A = 3 3 3( 1)( 2)x y xy x y+ + - + - = 3( ) 6 3( ) 6x y xy x y+ - - + +

A 3 23( ) ( ) 3( ) 6

2x y x y x y³ + - + - + +

t t = x + y (0 8t£ £ ), xét f(t) = 3 233 6

2t t t- - + Þ f’(t) = 23 3 3t t- -

f’(t) = 0 khi t = 1 52

+ ; f(0) = 6, f(8) = 398, f(1 52

+ ) = 17 5 54

-

y giá tr nh nh t c a f(t) là 17 5 54

- x y ra khi t = 1 52

+

A ³ f(t) ³17 5 5

4- . D u b ng x y ra khi x = y và x + y = 1 5

2+ hay x = y = 1 5

4+

Ví d 2. (Trích thi kh i B n m 2011) Cho a và b là các s th c d ng th a mãn 2(a2 + b2) + ab = (a + b)(ab + 2). Tìm

giá tr nh nh t c a bi u th c P =3 3 2 2

3 3 2 24 9

a b a b

b a b a

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷+ - +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø.

i gi iTheo gi thi t ta có ( ) ( )( )2 22 2a b ab a b ab+ + = + + . T ây suy ra:

( )1 12 1 2

a bab

b a a b

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷+ + = + +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø hay 2 2

2 1a b

a bb a b a

æ ö÷ç ÷+ + = + + +ç ÷ç ÷çè ø

hoctoancapba.com


237

Áp d ng b t ng th c Cauchy, ta có: 2 22 2

a ba b

b a b a

æ ö÷ç ÷ç+ + + ³ + ÷ç ÷ç ÷çè ø

t t = a bb a

+ , ta suy ra: 2t + 1 2 2 2t + 4t2 – 4t – 15 0 t 52

t khác: P =3 3 2 2

3 3 2 24 9

a b a b

b a b a

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷+ - +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø = 4(t3 – 3t) – 9(t2 – 2) = 4t3 – 9t2 – 12t + 18 = f(t)

f’(t) = 12t2 – 18t – 12, f’(t) = 0 t = 12

- hay t = 2

Min f(t) = 234

- khi t = 52

y min P = 234

- khi a = 1 và b = 2 hay a = 2 và b = 1.

Ví d 3. Cho ba s th c , , 1a b c ³ và th a mãn 1 1 11

1 1 1a b c+ + =

+ + +. Ch ng minh

ng8 1 1

21 1 1ab bc ca

+ + ³- - -

.

i gi i

t 1 1 1, ,

1 1 1x y z

a b c= = =

+ + +. Khi ó 1

, ,2

x y z £ và 1x y z+ + = .

Ta có 1 , 1 , 1z x y

ab bc acxy yz zx

- = - = - = , khi ó b t ng th c c n ch ng minh có d ng

82

xy yz zxz x y

+ + ³ v i u ki n 10 , ,

2x y z< £ và 1x y z+ + = .

i nh n xét bài toán i x ng v i bi n ,x y nên ta có th a bài toán t ba bi n v hai

bi n b ng cách t ,x y s xy p+ = = , khi ó 11

2s£ < và

2

04s

p< £ .

Ta có( ) ( ) ( )

2 2 28 8 8 21

1

z x yxy yz zx xy p s pP s f p

z x y z xy s p

+ -= + + = + = + - =

-

Bây gi xét hàm s ( ) ( )28 2

11

p s pf p s

s p-

= + --

có ( ) ( )2

2

18'

1

s sf p

s p

-= -

-,

( )' 0f p = Û( )1

2 2

s sp

-= .

hoctoancapba.com


238

p b ng bi n thiên, bi n lu n so sánh( )1

2 2

s s- v i

2

4s có: N u

( ) 212 2

42 2

s s ss

-£ Û ³ -

ta có ( ) ( ) ( )14 2 2 2 6 2 6 2

2 2

s sf p f s

æ ö- ÷ç ÷ç³ = + - ³ - >÷ç ÷ç ÷÷çè ø

u( ) 21

2 242 2

s s ss

-³ Û £ - ta có: ( ) ( )

2 24

4 1s

f p f s g ss

æ ö÷ç ÷³ = - =ç ÷ç ÷ç -è ø

Kh o sát ( )g s trên 1;2 2

2

é ùê ú-ê úë û

có ( )( )2

2' 4

1g s

s= - +

-, t ó ( ) 1

22

g s gæ ö÷ç ÷³ =ç ÷ç ÷çè ø

.

ng th c x y ra khi và ch khi 14

x y= = và 12

z = , t c là 3, 1a b c= = = .

Ví d 4. (Trích thi kh i A n m 2012) Cho các s th c , ,x y z th a mãn 0x y z+ + = .

Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c | | | | | | 2 2 23 3 3 6 6 6x y y z z xP x y z- - -= + + - + + .

i gi i.Cách 1

t | | 0, | | 0, | | 0a y z b z x c x y= - ³ = - ³ = - ³ . Khi ó ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 3 3xa b c x y z xy yz z x y z x y z x y z+ + + + - + + = + + - + + = + +=

.

Ta l i có, ( )2 22 3 9a b y z z x x y z z a b z+ = - + - ³ + - = Þ + ³

ng t ( ) ( )2 22 29 , 9a c y b c x+ ³ + ³ nên ta có:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

9

9

6

a b a c b c x y z

a b c a b c x y z

a b c x y z

+ + + + + ³ + +

Û + + + + + ³ + +

Û + + ³ + +

Khi ó, ta có ( )3 3 3a b cP a b c³ + + - + +

Xét hàm s : ( ) )3 , 0;tf t t t é= - Î +¥êë

( ) )' 3 ln 3 1 0, 0;tf t t é= - > " Î +¥êë

Do ó, ( )f t ng bi n trên ( )0;+¥ nên ( ) ( ) )0 3 1, 0;tf t f t t é³ Û ³ + " Î +¥êë

Nên ( )3 3P a b c a b c³ + + + - + + =

u b ng x y ra khi và ch khi 0x y z= = = .

hoctoancapba.com


239

Cách 2.Do vai trò c a , ,x y z nh nhau nên có th gi s : x y z³ ³ . Thay z x y= - - vào P

ta c

( ) ( ) ( )22 2 22 x 223 3 3 6 6 3 3 3 12 xx y y z x z x y x y yP x y x xy yy- - - - + += + + - + + + = +- ++ +

ng t nh cách (1) ta có:

( ) ( )2 2 2 22x 2 3 12 4x 2 3 12P x y y y x x xy y y x xy y³ - + + + + + - + + = + + - + +

Ta ch c n ch ng minh:

( ) ( )( ) ( )( )2 2 2 24x 2 12 4x 4x 8 0 4 2 0 4 0y x xy y y y x y x y x y y z+ ³ + + Û + - ³ Û - + ³ Û - - ³

úng theo gi thi t)Do ó, 3P ³ .Ví d 5. (Trích thi kh i A n m 2009) CMR v i m i s d ng x,y,z th a mãn:

x(x+y+z)=3yz, ta có ( ) ( ) ( )( )( ) ( )3 3 35x y x z x y y z x z y z+ + + + + + + £ +

i gi i.Cách 1.

t , ,a y z b z x c x y= + = + = + thì a,b,c d ng và

b c a c a b a b cx , y , z

2 2 2+ - + - + -

= = = u ki n bài toán tr thành

( ) ( )2 224 3a b c b c= + + - (1) , ta ph i ch ng minh: 3 3 33 5b c abc a+ + £

(1) ta có: ( )224 2a b c a b c³ + Þ ³ +

và 2 2 2 22a b c bc bc bc a bc= + - ³ - Þ ³

Có ( )( )3 3 2 2 2 2 33 3 . 2 . 3 . 5b c abc b c b bc c a bc a a a a a+ + = + - + + £ + =

u b ng x y ra khi a=b=c hay x=y=zCách 2.

t y=ax,z=by ( a,b>0). Khi ó , ta có bài toán t ng ng:“ Cho a,b d ng a+b+1=3ab (1).CMR

( ) ( ) ( )( )( ) ( )3 3 31 1 3 1 1 5a b a b a b a b+ + + + + + + £ + (2) ”

(1) ta có:

( ) ( ) ( ) ( )2

231 3 3 4 4 0 2 0

4

a ba b ab a b a b a b do a b

++ + = £ Û + - + - ³ Û + ³ + > (3)

hoctoancapba.com


240

( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

3 3

3 3

3 3

3 3

(2) 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 5

2 6 1 1 5

2 2 3 3 3 3 5

2 8 1 5 (1)

a b a b a b a b a b a b

a b a b a b

a b ab a b a b

a b a b a b do

Û + + + - + + + + + + + + + £ +

Û + + - + + £ +

Û + + - + + + £ +

Û + + - + + £ +

t t=a+b t (3) ta có t 2

suy ra , ( ) ( ) ( ) ( )( )3 3 22 8 1 5 2 2 3 2 0 2 2 1 2 0t t t t t t t t t+ - + £ Û - - ³ Û + - ³ úng v i m i

2u = x y ra khi x=y=z

5. Ph ng pháp ti p tuy nTrong ph n này chúng ta xét bài toán t ng quát: “Cho

1 2 3, , ,...,

na a a a DÎ tho mãn

1 2 3...

na a a a na+ + + + = , v i Da Î , c n ch ng minh b t ng th c

( ) ( ) ( ) ( )1 2 ... nf a f a f a nf a+ + + ³ , ng th c x y ra khi1 2 3

...n

a a a a a= = = = = ”.

Bài toán này có tính ch t n i b t v i v trái là bi u th c i x ng c a các bi n

1 2 3, , ,...,

na a a a và vi t c d i d ng t ng c a m t hàm s v i các bi n s khác nhau. D n

n suy ngh m t cách t nhiên gi i quy t bài toán này là ta xét hàm s ( )y f x= , sau

ó ch ng minh ( )f x Ax B³ + v i m i x DÎ , trong ó A, B th a mãn

( ) ( )1 2 ... nA a a a nB nf a+ + + + = (hay ( )A B fa a+ = ). D th y y Ax B= + chính là

ti p tuy n c a th hàm s ( )y f x= t i m x a= .

Nh v y qua phân tích, chúng ta có th a ra c l i gi i cho bài toán t ng quáttrên nh sau: Xét hàm s ( )y f x= , x DÎ , vi t ph ng trình ti p tuy n c a th hàm s

i x a= là y Ax B= + . Ta ch ng minh ( )f x Ax B³ + v i m i x DÎ , t ó suy ra:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 ... nf a f a f a nf a+ + + ³ ( pcm).

Sau ây chúng ta xét m t s bài toán n hình th hi n rõ h n cho ph ng phápnày.Ví d 1. Cho b n s d ng , , ,a b c d tho mãn 1a b c d+ + + = . Ch ng minh r ng

( )3 3 3 3 2 2 2 2 16

8a b c d a b c d+ + + ³ + + + + .

i gi i

hoctoancapba.com


241

gi thi t ta có ( ), , , 0;1a b c d Î và b t ng th c c vi t d i d ng

( ) ( ) ( ) ( ) 18

f a f b f c f d+ + + ³ v i ( ) 3 26f x x x= - , ng th c x y ra khi

14

a b c d= = = = . Ta xét hàm s ( ) 3 26f x x x= - trên kho ng ( )0;1 , ph ng trình ti p

tuy n c a th hàm s này t i m có hoành 0

14

x = là 5 18 8

y x= - .

Xét ( ) ( ) ( )25 1 14 1 3 1 0

8 8 8f x x x x

æ ö÷ç ÷- - = - + ³ç ÷ç ÷çè ø, ( )0;1x" Î , suy ra ( ) 5 1

8 8f x x³ - ,

( )0;1x" Î .

ó ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 1 14.

8 8 8f a f b f c f d a b c d+ + + ³ + + + - = , ng th c x y ra khi

14

a b c d= = = = .

Ví d 2. Cho ba s th c d ng , ,a b c tho mãn 3a b c+ + = . Ch ng minh r ng

2 2 22 2 2

1 1 1a b c

a b c+ + ³ + + .

i gi i

Ta có nh n xét, n u có m t trong ba s , ,a b c thu c kho ng 10;

3

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø, ch ng h n

10

3a< < thì ta có ( )2 2 2 2

2 2 2

1 1 19 a b c a b c

a b c+ + > = + + > + + nên bài toán c ch ng

minh, do v y ta ch xét 1 7, , ;

3 3a b c

é ùê úÎ ê úë û

. Ta xét hàm s ( ) 22

1f x x

x= - trên n 1 7

;3 3


,

ph ng trình ti p tuy n c a th ( )f x t i m có hoành 0

1x = là 4 4y x= - + . Ta

có ( )( ) ( )2 2

2

1 2 1( 4 4) 0

x xf x x

x

é ù- - -ê úê úë û- - + = ³

1 7;

3 3x

é ùê ú" Î ê úë û

, suy ra ( ) 4 4f x x³ - + ,

1 7;

3 3x

é ùê ú" Î ê úë û

.

T ó ta có: ( ) ( ) ( ) ( )4 16 0f a f b f c a b c d+ + ³ - + + + + = , ng th c x y ra khi

1a b c= = = .Ví d 3. Cho ba s th c d ng , ,a b c tho mãn 1a b c+ + = . Ch ng minh r ng

hoctoancapba.com


242

( ) ( )3 3 3 5 5 510 9 1a b c a b c+ + - + + ³ .

i gi iNh các bài toán trên, ta xét hàm s ( ) 3 510 9f x x x= - trên kho ng ( )0;1 , ph ng

trình ti p tuy n c a th t i m có hoành 0

13

x = là 25 169 27

y x= - .

Xét ( ) ( ) ( )2 3 225 16 13 1 27 18 21 16

9 27 27f x x x x x x

æ ö÷ç ÷- - = - - - + +ç ÷ç ÷çè ø, bây gi ta ch a th

kh ng nh c ( ) 25 169 27

f x x³ - v i m i ( )0;1x Î , nên ta t

( ) 3 227 18 21 16g x x x x= - - + + và xét hàm s ( )g x trên kho ng ( )0;1 , ta th y ( )g x không

luôn d ng trên ( )0;1 , nên ta ph i tìm cách chia kho ng xác nh c a x t t nh t có th sao

cho trên kho ng ó thì ( ) 0g x > . B ng cách l p b ng bi n thiên c a hàm s ( )g x trên

kho ng ( )0;1 , ta suy ra ( ) 0g x > v i m i 90;

10x

æ ö÷ç ÷Î ç ÷ç ÷çè ø, t ó ta có ( ) 25 16

9 27f x x³ - v i m i

90;

10x

æ ö÷ç ÷Î ç ÷ç ÷çè ø. Nh v y bài toán ã ch ng minh xong khi 9

, , 0;10

a b cæ ö÷ç ÷Î ç ÷ç ÷çè ø

và 1a b c+ + = . Bây

gi ta xét tr ng h p có ít nh t m t trong ba s , ,a b c thu c n a kho ng 9;1

10

é ö÷ê ÷÷ê ÷øë, gi s

9;1

10a

é ö÷ê ÷Î ÷ê ÷øë do , ,a b c u d ng và có t ng b ng 1 nên 1

, 0;10

b cæ ùç úÎ çç úçè û

, d th y hàm s ( )f x

ngh ch bi n trên 9;1

10


và ng bi n trên 10;

10


, suy ra ( ) ( )1 1f a f> = ,

( ) ( )(0) 0, 0f b f f c> = > , ( ) ( ) ( ) 1f a f b f c+ + >

y ( ) ( ) ( ) 1f a f b f c+ + ³ v i m i s th c d ng , ,a b c tho mãn 1a b c+ + = .

ng th c x y ra khi 13

a b c= = = .

Thông qua bài toán này, ta có th th y c khi nào c n phân kho ng ang xét thànhhai hay nhi u kho ng có nh ng b c i ti p theo mà không h m t t nhiên!Ví d 4. Cho ba s th c d ng , ,a b c tho mãn 1a b c+ + = . Ch ng minh r ng

1 1 1 271 1 1 8ab bc ca

+ + £- - -

.

hoctoancapba.com


243

i gi iNhìn bài toán ta khó có th th y c vi c s d ng ph ng pháp ti p tuy n, tuy nhiên

ý m t chút( ) ( )2 2

1

4 4

a b cab

+ -£ = suy ra

2

1 41 3 2ab c c

£- + -

nên ta ã a c bài

toán ã cho v bài toán quen thu c: Ch ng minh r ng

2 2 2

1 1 1 27323 2 3 2 3 2a a b b c c

+ + £+ - + - + -

v i u ki n , ,a b c d ng và 1a b c+ + = .

Bây gi xét hàm s ( ) 2

1

3 2f x

x x=

+ - trên kho ng ( )0;1 , ph ng trình ti p tuy n

a th hàm s t i m có hoành b ng 13

là 27 81256 256

y x-

= + .

Xét ( ) ( ) ( )( )

2

2 2

3 1 13 327 81 1 27 810

256 256 256 2563 2 256 3 2

x xf x x x

x x x x

æ ö - -- ÷ç ÷- + = + - = £ç ÷ç ÷ç + -è ø + - v i

i ( )0;1x Î , do ó ( ) 27 81256 256

f x x£ - + v i m i ( )0;1x Î . T ó ta có

( )2 2 2

1 1 1 27 81 273.

256 256 323 2 3 2 3 2a b c

a a b b c c+ + £ - + + + =

+ - + - + -, ng th c x y ra

khi 13

a b c= = = .

Ví d 5. Cho ba s th c d ng , ,a b c tho mãn 4 4 4 3a b c+ + = . Ch ng minh r ng

1 1 11

4 4 4ab bc ca+ + £

- - -.

i gi i

Áp d ng b t ng th c2 2

2a b

ab+

£ ta có

1 1 14 4 4ab bc ca

+ +- - - ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2

2 2 2

8 8 8a b b c c a£ + +

- + - + - +.

Ti p theo t ( )22 2x b c= + , ( )2

2 2y c a= + , ( )22 2z a b= + khi ó

( )4 4 44 12x y z a b c+ + £ + + = .

Bây gi bài toán tr thành: Cho ba s th c d ng , ,x y z th a mãn 12x y z+ + £ . Ch ng

minh r ng 1 1 1 128 8 8x y z

+ + £- - -

.

hoctoancapba.com


244

Xét hàm s ( ) 1

8f x

x=

- trên kho ng ( )0;12 và ph ng trình ti p tuy n c a th hàm

t i m có hoành 0

4x = là ( )1 14

144 6y x= - + .

Xét ( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )

2

2

4 41 1 4 14 4

144 6 1446 2 8 144 2 8

x xxf x x x

x x x x

- --- - - = - - =

+ - + -

Trên kho ng ( )0;12 thì ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 14 0 4

144 6 144 6f x x f x x- - - £ Û £ - + .

Do ó ( )1 1 1 1 1 112 3.

144 6 28 8 8x y z

x y z+ + £ + + - + £

- - -.

ng th c x y ra khi 4x y z= = = hay 1a b c= = = .

Bài t p t luy nBài 1. Cho , , 0;1x y z é ùÎ ê úë û . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c

( ) ( )3 3 3 2 2 22Q x y z x y y z z x= + + - + + .

Bài 2. Cho , ,x y z là các s th c d ng th a mãn u ki n 2 4 7 2x y z xyz+ + = . Tìm giá trnh nh t c a bi u th c P x y z= + + .Bài 3. Ch ng minh r ng n u , ,a b c là dài ba c nh c a m t tam giác thì

3 12 2

a b c a c bb c a c b a

æ ö÷ç ÷+ + ³ + + +ç ÷ç ÷çè ø

Bài 4. Cho ba s th c không âm , ,a b c th a mãn 1a b c+ + = .Ch ng minh r ng

( ) ( ) ( )3 3 3 164

ab bc ca+ + £

Bài 5. Cho ba s th c d ng , ,x y z . Ch ng minh r ng

( ) ( )3 3 3 2 2 22 3 3x y z xyz x y y z z x+ + + ³ + + .

Bài 6. Cho , ,x y z là nh ng s th c d ng. Ch ng minh r ng:

11 1 1

x y zxy x yz y zx z

+ + £+ + + + + +

Bài 7. Cho , ,x y z là các s th c không âm th a mãn 1x y z+ + = . Tìm giá tr l n nh t c a2 2 2P x y y z z x= + + .

hoctoancapba.com


245

Bài 8. Cho các s th c , , 0x y z > tho mãn u ki n ( )332x y z xyz+ + = . Tìm GTLN –

GTNN c a bi u th c( )

4 4 4

4

x y zP

x y z

+ +=

+ +

Bài 9. Cho ba s th c d ng , ,a b c . Ch ng minh r ng( ) ( )

( )

23 3 3

2 2 2

2 933

a b c a b c

abc a b c

+ + + ++ ³

+ +

Bài 10. Cho b n s th c d ng , , ,a b c d th a mãn 4a b c d+ + + = , ch ng minh r ng

2 2 2 2

125 3 5 3 5 3 5 3

a b c d

a b c d+ + + £

+ + + +.

Bài 11. Cho b n s th c d ng , , ,a b c d th a mãn 1a b c d+ + + = , ch ng minh r ng

( )3 3 3 3 2 2 2 2 34

16a b c d a b c d+ + + ³ + + + + .

Bài 12. Cho , ,a b c là các s th c d ng.

Ch ng minh r ng:( )

( )( )

( )( )

( )

2 2 2

2 2 22 2 2

35

a b c a c b c b a

c b a b a c a b c

+ - + - + -+ + ³

+ + + + + +

hoctoancapba.com


246

Câu 1. (2,0 m) Cho hàm s2 1

1x

yx

+=

- có th (H).

a) Kh o sát s bi n thiên và v th (H) c a hàm s .b) G i I là giao m hai ng ti m c n c a (H). Ti p tuy n t i mM có hoành

ng thu c (H) c t hai ng ti m c n c a (H) t i A, B sao cho 2 10AB = .

Câu 2. (1,0 m) Gi i ph ng trình 2 13 4.3 1 0.x x+ - + =Câu 3. (1,0 m)

a) Tính mô un c a s ph c 2(1 2 )(2 )z i i= - + .

b) Cho t p { }1,2,3,...,2015A = , t t p A ch n ng u nhiên hai s . Tìm xác su t giá

tr tuy t i c a hi u hai s c ch n b ng 1.

Câu 4. (1,0 m) Tính tích phân( )4

1

ln 1x xI dx

x

+ += ò .

Câu 5. (1,0 m) Trong không gian v i h t a Oxyz, cho m t ph ng

( ) : 2 2 1 0P x y z- + + = và ng th ng d:1 3

2

1

x t

y t

z t

ìï = +ïïï = -íïï = +ïïî

. Tìm t a m M trên ng

th ng d sao cho kho ng cách t M n m t ph ng (P) b ng 3.Câu 6. (1,0 m) Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a= = = ng th i SA, SB, SC ôi m t

vuông góc v i nhau t i S. G i H, I, K l n l t là trung m các c nh AB, AC, BC. G i D là

m i x ng c a S qua K; E là giao m c a ng th ng AD v i m t ph ng (SHI). Ch ng

minh r ng AD vuông góc v i SE và tính th tích c a kh i t di n SEBH theo a.

Câu 7. (1,0 m) Trong m t ph ng v i h t a Oxy, cho tam giác ABC ngo i ti p ng tròntâm I, các ng th ng AI, BI, CI l n l t c t ng tròn ngo i ti p tam giác ABC t i các m

( )1; 5 ,M -7 5

; ,2 2

Næ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø

13 5;

2 2P

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø(M, N, P không trùng v i A, B, C). Tìm t a c a A, B, C

bi t ng th ng ch a c nh AB i qua ( )1;1Q - và m A có hoành d ng.

Câu 8. (1,0 m) Gi i h ph ng trình

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )3

2 2 3

8 13 1 3 2 7 , .

1 8 7 12 1 3 2

x y x y xx y

y x y x y y x y

ìï - = + - -ïï Îíï - + + = + + + -ïïîCâu 9. (1,0 m) Cho , ,a b c là các s th c d ng th a mãn 2 0a b c+ - > và

2 2 2 2a b c ab bc ca+ + = + + + .

Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:2 1

( ) 1 ( )( 2 )a c a b

Pa b c a b a c a b c

+ + + += -

+ + + + + + -.

---------- H T ----------


THI TH THPT QU C GIA S 1 N M H C 2014-2015Môn thi: Toán

Th i gian làm bài: 180 phút (không k th i gian phát )

hoctoancapba.com


247


NG D N CH MTHI TH THPT QU C GIA S 1 N M H C 2014-2015

Môn thi: Toán

Câu áp án m1.a 1,0

p xác nh: { }\ 1D =

bi n thiên

( ),

2

30, 1

1y x

x

-= < " ¹

-.

0,25

+ Hàm s ngh ch bi n trên m i kho ng( ;1)-¥ và (1; )+¥ .+ Hàm s không có c c tr+ Gi i h n: * lim 2; lim 2

x xy y

®-¥ ®+¥= = Þ ng th ng y=2 là ti m c n ngang c a th hàm s .

*1 1

lim ; limx x

y y- +® ®

= -¥ = +¥ Þ ng th ng x = 1 là ti m c n ng c a th

hàm s .

0,25

ng bi n thiên:

0,25

th : Giao m c a (H) v i Ox là1;0

2

æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø, giao m c a (H) v i Oy là ( )0; 1-

th nh n ( )1;2I làm tâm i x ng

0,25

1.b 1,0

1

2 2y

y'x

hoctoancapba.com


248

i ( ) ( )00 0

0

2 1; ; 0 1

1

xM x H x

x

æ ö+ ÷ç ÷ Î < ¹ç ÷ç ÷÷ç -è ø

Ph ng trình ti p tuy n c a ( )H t i M là ( )( )

( ) 002

00

2 13:

11

xd y x x

xx

+-= - +

--

0,25

(d) c t ti m c n ng (x=1) t i 0

0

2 41;

1

xA

x

æ ö+ ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç -è ø

(d) c t ti m c n ngang (y=2) t i ( )02 1;2B x -

0,25

( )( )

2

0 2

0

362 10 4 1 40

1AB x

x= Û - + =

-0,25

0

0

2

4

x

x

é =êÞ ê =êë (do

00 x< )

y có hai m M th a mãn yêu c u bài toán ( )2;5M và ( )4;3M

0,25

2 1,0

2 13 1 0

3 4.3 1 0 1 133

x

x x

x

x

x+

é = éê =êê- + = Û Û êê = -= êëêë

1,0

3a 0,52 2 2(1 2 )(2 ) (1 2 )(4 4 ) (1 2 )(3 4 ) 3 4 6 8 11 2z i i i i i i i i i i i= - + = - + + = - + = + - - = -

y 2 211 2 11 2 5 5z i z= - Þ = + =3b 0,5

i A là bi n c : “Hi u hai s c ch n b ng 1”. ph n t c a không gian m u: 2

2015n C

W= 0,25

c p s có hi u b ng 1 (là c p hai s liên ti p) là 2014A

n = .

y xác su t “Hi u hai s c ch n b ng 1” là ( ) 22015

2014An

P An CW

= =0,25

4 1,0

Ta có:( ) ( )4 4 4

1 21 1 1

x ln 1 ln 1 . .

x xI dx x dx I I

x x

+ + += = + = +ò ò ò 0,25

4 4

111

2 14.

3 3I xdx x x= = =ò 0,25

4

21

ln(1 )xI dx

x

+= ò , t

1ln(1 ) .2 .(1 )

2 2

u x du dxx xdx

dvv xx

ìì ïï = + ïï =ïïï ïÞ +í íï ï=ï ï = +ï ïï ïî î

0,25

hoctoancapba.com


249

( ) ( )44 4

21 11

12 2 . ln 1 | . 6 ln 3 4 ln 2 2 | 6 ln 3 4 ln 2 2I x x dx x

xÞ = + + - = - - = - -ò

Khi ó1 2

I I I= + =14 8

6 ln 3 4 ln 2 2 6 ln 3 4 ln 23 3

+ - - = - + 0,25

5 1,0M(1+3t, 2 – t, 1 + t)Îd. 0,25

Ta có d(M,(P)) = 3 Û2(1 3 ) 2(2 ) 1 1

33

t t t+ - - + + += Û t = ±1 0,5

Suy ra, có hai m th a bài toán là M1(4, 1, 2) và M2( – 2, 3, 0) 0,256 1,0

i ,HI AK J SJ AD EÇ = Ç =

( )E AD SHIÞ = Ç

Ta có J là trung m c a AK, kFK//SE

( ) 33 3

AD aF AD AE EF FDÎ Þ = = = =

.Trong tam giác vuông cân SBC,

1 22

2 2a

SK BC SD a= = Þ =

0,25

Trong tam giác vuông SAD,

2 2 2 23, . . 3 .

3a

SA a AE AD a a SA AE AD SE AD= = = Þ = Þ ^0,25

Tam giác SAB cân t i S nên SH AB^Ta l i có

( ) ( ) (, / / ( )SC SAB SC BD BD SAB BD SH SH ABD SH HBE^ Þ ^ Þ ^ Þ ^ Þ ^

22

aSH = ,

HEB EAHS S=

0,25

Mà2 2. 1 1 2 2

, .. 6 2 2 12

EAHDAB HEB

DAB

S AH AE a aS AB BD S

S AB AD= = = = Þ =

31. .

3 36SHBE HBE

aV SH S= = ( vtt)

0,25

7 1,0ng tròn ngo i ti p ABCD chính là ng tròn ngo i ti p MNPD có ph ng trình

là 2 2 3 29 0x y x+ + - = có tâm là3;0

2K

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø0,25

F

E

J K

I

H

D

C

B

A

S

hoctoancapba.com


250

Vì P là m chính gi a cung AB nên ng th ng ch a AB i qua ( )1;1Q - vuông góc

i KPPT c a AB: 2 3 0x y- + = .

a A, B là th a mãn h

( )22 2 2

2 32 32 3 0

13 29 0 2 3 3 29 0 4

y xy xx y

xx y x x x x x

ìï = +ïìì ï = +ï ï- + = ïï ïï ï é =Û Ûí í íêï ï ï+ + - = + + + - =ï ï ïêïî = -ïî ïêïëîó, tìm c ( ) ( )1;3 , 4; 5A B - -

Ta l i có AC i qua A, vuông góc v i KN có ph ng trình 2 7 0x y+ - =

0,5

Nên t a m C th a mãn

( ) ( )22 2 2

7 27 22 7 0

1 4; 13 29 0 7 2 3 29 0 4

y xy xx y

x Cx y x x x x x

ìï = -ïìì ï = -ï ï+ - = ïï ïï ï é =Û Û Þ -í í íêï ï ï+ + - = + - + - =ï ï ïêïî =ïî ïêïëî

0,25

8 1,0

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

3

2 2 3

8 13 1 3 2 7 1

1 8 7 12 1 3 2 2

x y x y x

y x y x y y x y

ìï - = + - -ïïíï - + + = + + + -ïïîTr v v i v c a (1) và (2) ta c

( ) 2 22

11 0

yy x y y

y x

é =ê- - + = Û ê =êëi 1y = thay vào (1) ta c 8 13 1 7 1x x x x- = + - Û =

0,25

i 2y x= thay vào (1) ta c

( ) ( ) ( ) ( ) ( )(333 2 2 2 238 13 7 1 3 2 2 1 1 1 1 2 1 1x x x x x x x x x x x x x- + = + - Û - - - - = + + - + - -

t 3 22 1, 3 2a x b x= - = - ta c

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

3 23 3

3 2

1 11 0

1 1

a x x x ba b a b x

b x x x a

ìï - - - = +ïï Þ - + - + =íï - - - = +ïïî

2 2 1 0

a b

a ab b x

é =êÛ ê + + + + =êë

0,25

3 2 3 21 1

2 1 3 2 8 15 6 1 0 1 18 64

x ya b x x x x x

x y

é = Þ =êê= Þ - = - Û - + + = Ûê = - Þ =êë

( )2 2

22 2 23 71 2 1 1 3 2 0,

2 4 2 4a a

a ab b x b x x b x x xæ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷+ + + + = + + - + + = + + - + > "ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

0,5

hoctoancapba.com


251

y h có nghi m ( ) ( ) 1 1; 1;1 , ;

8 64x y

æ ö- ÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè ø9 1,0

Áp d ng B T AM - GM ta có :

2 2 2 2 22 2 2 2 2ab bc ac a b c a bc ab ac a bc ab ac+ + + = + + ³ + Û + + ³ + + +Khi ó,

( ) ( )( ) ( ) ( )( )22 2 1

2

a b a cab ac a b a c a b c a b

+ + ++ + ³ + + Û + + + + ³

( )2 2

1

a ca ba b c a b

+ +Û £

++ + + +

t khác,

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) (21 1 1

2 24 2

a b a ba c a b c a c a b c a b

a c a b c a b

+ + + ++ + - £ + + + - = + Þ ³

+ + - +

0,5

Do ó,( ) ( )

2

2 2

2 1 1 1 1 1 1 14 2 4

a bP

a b a b a ba b a b

æ ö+ + ÷ç ÷£ - = - = - - £ç ÷ç ÷ç+ + +è ø+ +

y GTLN c a P b ng14

.

0,5

hoctoancapba.com


252




thi xu t c a tr ng THPT Qu Võ s 1

Câu 1. (2,0 m) Cho ham sô ( )2 22 1x

y Cx

-=

+a) Khao sat s biên thiên va ve ô thi (C ) cua ham sô.b) Tim m ê ng th ng : 2 1d y mx m= + + t (C) tai hai iêm phân biêt A va B sao

cho biêu th c P = OA2 + OB2 at gia tri nho nhât ( v i O la gôc toa ô).Câu 2. (1,0 m)

a) Gi i ph ng trình: ( )cos 2 cos sin 1 0x x x+ - =

b) Gi i ph ng trình: 9 5.3 6 0x x- + =Câu 3. (1,0 m)

a) Gi i ph ng trình sau trên t p s ph c: 2 3 0z z+ + =

b) Cho khai tri n ( )82 x+ tìm h s c a s h ng ch a 6x trong khai tri n ó

Câu 4. (1,0 m) Tính tích phân 3

1

1 ln2 ln

ex

I x dxx x

æ ö+ ÷ç ÷= +ç ÷ç ÷ç +è øò .

Câu 5. (1,0 m) Cho m ( )1;3; 2M - - , ( )1;2;3n và ng th ng2

:

2

x t

d y t t

z t

ìï =ïïï = Îíïï = +ïïî

Vi t ph ng trình m t ph ng (P) ch a m M và nh n vecto n làm vect pháp tuy n. Tìm t a giao m c a (P) và ng th ng (d).

Câu 6. (1,0 m) Cho hình chóp t giác u .S ABCD có O là tâm c a áy kho ng cách t O

n m t ph ng ( )SBC ng 1 và góc gi a m t bên và m t áy b ng a . Tính th tích kh i chóp

.S ABCD theo .a Xác nh a th tích kh i chóp t giá tr nh nh t.Câu 7. (1,0 m) Trong m t ph ng Oxy, cho hình thoi ABCD có ng chéo AC n m trên

ng th ng : 1 0d x y+ - = . m ( )9;4E n m trên ng th ng ch a c nh AB, m

( )2; 5F - - n m trên ng th ng ch a c nh AD, 2 2AC = . Xác nh t a các nh hình

thoi ABCD bi t m C có hoành âm.

Câu 8. (1,0 m) Gi i h ph ng trình ( ) ( )2 2

4 2 2

4 1 1 2 2 1 , .

1

y x y xx y

x x y y

ìï - + - = +ïï Îíï + + =ïïîCâu 9. (1,0 m) Cho , ,a b c là các s th c không ng th i b ng 0 th a mãn u ki n

( ) ( )2 2 2 22a b c a b c+ + = + + . Tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a bi u th c

( )( )3 3 3a b c

Pa b c ab bc ca

+ +=

+ + + +.

---------- H T ----------

hoctoancapba.com


253



Môn thi: ToánCâu áp án m1.a 1,0

*TX : \ *SBT:

5 (1;3); ( 3;1)I d c A BÞ Î Þ = Þ -

0,25

Ham sô nghich biên trên cac khoang va

Tinh gi i han va tiêm cân0,25

Lâp bang biên thiên 0,25ô thi: Giao Ox: (- 1; 0); Giao Oy: (0; 2) Ve ung ô thi 0,25

1.b 0,5

PT hoanh ô giao iêm:

, (1); t0,25

* (d) c t (C ) tai hai iêm phân biêt PT (1) co hai nghiêm phân biêt khac -1/2

0,25

*Goi hoanh ô cac giao iêm A va B la thi la cac nghiêm cua PT (1)

Co: OA2+OB2 =

=

=

0,25

= (Ap dung B T cô si vi m d ng)

Dâu b ng xay ra ( thoa man);KL: la gia tri cân tim0,25

2.a 0,5

12 2

2 1' 0,22 1

y xx

1;2

1 ;2

2 2 12 1;2 1 2x mx m xx

24 4 1 0mx mx m 24 4 1g x mx mx m

0' 4 0 0

1 02

mm m

g

1 2,x x 1 2,x x

1 2

1 2

11.

4

x xmx x

m2 22 2

1 1 2 22 1 2 1x mx m x mx m22 2 2

1 2 1 24 1 4 1 2 1m x x m m x x m

22 14 1 1 4 1 2 12

mm m m mm

5 122 2

mm

5 922 2

12

m 12

m

hoctoancapba.com


254

( )cos 2 cos sin 1 0x x x+ - =

cos2 0

1sin

4 2

x

xp

é =êê æ öÛ ÷çê ÷+ =ç ÷ê ç ÷çè øêë

0,25

+) V i ( )cos 2 04 2

kx x k

p p= Û = + Î

+) V i2

1sin ( )

4 222

x kx k

x k

pp

pp

é =æ ö ê÷ç ê÷+ = Û Îç ÷ç ÷ êçè ø = +êë

0,25

2.b 0,5

9 5.3 6 0x x- + = ( )23 5.3 6 0x xÛ - + =

t 3xt = ( )0t > Ph ng trình tr thành 2 5 6 0t t+ + =0,25

3

2

t

t

é =êÛ ê =êë 3

1

log 2

x

x

é =êÞ ê =êë0,25

3a 0,5Ta có, 11 0D = - < 0,25

Suy ra ph ng trình có hai nghi m là:1 2

1 11 1 11;

2 2i i

z z- + - -

= = 0,25

3b 0,5

Ta có khai tri n sau: ( )88 8

80

2 2k

k k k

k

x C x=

-

=

+ = å 0,25

ó suy ra h s c a 6x là 6 282 112C = 0,25

4 1,0

3

1 1

1 ln;

2 ln

e ex

I x dx dxx x

+= +

+ò ò 0,5

y

0,5

5 1,0

Ph ng trình m t ph ng (P) ch a m M và nh n vecto n làm vecto pháp tuy n là:

( ) ( ) ( )1 1 2 3 3 2 0 2 3 1 0x y z x y z+ + - + + = Û + + + =

y ph ng trình (P) là: 2 3 1 0x y z+ + + =

0,5

Thay x, y, z t ph ng trình ng th ng (d) vào m t ph ng (P) ta c:2 2 3(2 t) 1 0 t 1 x 2, y 1, z 1t t+ + + + = Û = - Þ = - = - = 0,5

4 43

1 1

14 4

ee x ex dx

11 1

2 ln1 ln ln 2 ln2 ln 2 ln

e eed x xx dx x x

x x x x2ln 2 ln 2 ln

2ee

4 1 2ln4 2

e eI

hoctoancapba.com


255

MOA B

D C

S

H

y t a giao m c a ng th ng và m t ph ng là ( )2; 1;1I - -

6 1,0i M là trung m BC

Trong ( )mp SOM k OH SM^ (1)

.S ABCD là hình chóp u nên ,SM BC OM BC^ ^

Suy ra ( )BC SOM OH BC^ Þ ^ (2)

(1) và (2) suy ra ( )OH SBC^ 1OHÞ =

(1) và (2) ta c ng có

( ) ( )( ), .SBC ABCD SMO a= =

Xét OHMD vuông t i H ta có1

sin sinOH

OMa a

= =

0,25

Xét SOMD vuông t i O ta có1 1

tan . tansin cos

SO OM a aa a

= = =

Ta có2

2sin

AB OMa

= = 2D 2

4

sinABCS AB

aÞ = =

Suy ra. D D 2 2

1 1 4 1 4. . .

3 3 cossin 3 sin cosS ABC ABCV S SO

aa a a= = = ( vtt)

0,25

t 2sin .c osP a a=

Ta có 2 3sin .c os c os c osP a a a a= = -

t ( )cos , 0;1t ta = Î

Suy ra 3P t t= -

Ta có 21 3P t¢ = - ,

1 2

3 30

3 3P t t¢ = Û = - Ú =

p b ng bi n thiên

. DS ABCV nh nh t khi P l Û

3 3 3cos arccos

3 3 3t a a= Û = Û =

t 033

1

P ¢ + 0 -

P

2 39

y. DS ABC

V nh nh t b ng 2 3 ( vtt) khi3

arccos3

a = .

0,5

7 1,0

hoctoancapba.com


256

JI

E'F

E

D

C

B

A

+) G i E’ là m i x ng v i E qua ACÞ E’ thu c AD.

Vì EE’ vuông góc v i AC và qua m ( )9;4E

Þ ph ng trình EE’: 5 0x y- - = .

i I = ACÇ EE’, t a I

là nghi m h ( )5 0 33; 2

1 0 2

x y xI

x y y

ì ìï ï- - = =ï ïÛ Þ -í íï ï+ - = = -ï ïî îVì I là trung m c a EE’ '( 3; 8)EÞ - -

AD qua '( 3; 8)E - - và ( 2; 5)F - - Þ ph ng trình AD: 3 1 0x y- + = 0,25(0;1)A AC AD A= Ç Þ . Gi s ( ;1 )C c c- .

Vì 22 2 4 2; 2AC c c c= Û = Û = = - Þ ( 2;3)C -0,25

i J là trung m AC Þ ( 1;2)J - Þ ph ng trình BD: 3 0x y- + = .

Do (1;4) ( 3;0)D AD BD D B= Ç Þ Þ - . V y (0;1)A ,

( 3;0), ( 2;3), (1;4).B C D- -0,25

8 1,0

( ) 2 2

4 2 2

4 1 1 2 2 1 (1)( )

1 (2)

y x y xI

x x y y

ìï - + - = +ïïíï + + =ïïî

t 2 1 1x t+ = ³ Þ ph ng trình (1) có d ng: ( )22 4 1 2 1 0t y t y- - + - =

0,25

( ) ( ) ( )2 24 1 8 2 1 4 3y y yD = - - - = -

2 1

1( )

2

t y

t l

é = -êêÞê =êë

0,25

+) V i 22 2

12 1 1 1 2 1

4 4

yt y x y

x y y

ìï ³ïï= - ³ Û + = - Û íï = -ïïî thay vào (2) ta c 0,25

( ) ( )22 2 216 1 4 1 1 0 1y y y y y y- + - + - = Û = (do 1y ³ ) 0xÞ = . V y, h (I) có

nghi m (0;1) .0,25

9 1,0

( ) ( ) ( )2 22 2 21 12 4

gtab bc ca a b c a b c ab bc ca a b cé ù

+ + = + + - + + ¾¾¾® + + = + +ê úê úë û

Do ó

( )( )

3 3 33 3 3

3

4 1 4 4 416

a b c a b cP

a b c a b c a b ca b c

é ù+ + æ ö æ ö æ öê ú÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= = + +ç ç çê ú÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç+ + + + + +è ø è ø è øê ú+ + ë û

0,25

hoctoancapba.com


257

t

4 4 4, ,

a b cx y z

a b c a b c a b c= = =

+ + + + + +

Thì

2

44

4 4 4

y z xx y z

xy yz zx yz x x

ìì ïï + = -+ + = ïï ïÛí íï ï+ + = = - +ï ïî ïî

Vì ( )24y z yz+ ³ nên

80

3x£ £

0,25

Ta có

( ) ( )33 3 3 3 3 21 1 13 ( ) (3 12 12 6)

16 16 16P x y z x y z yz y z x x x

æ ö÷ç= + + = + + - + = - + +÷ç ÷è ø

Xét hàm s 3 2( ) 3 12 12 6f x x x x= - + + v i8

0;3

xé ùê úÎ ê úë û

0,25

176min ( ) 16,max ( )

9f x f x= = 0,25

hoctoancapba.com


258




thi xu t c a tr ng THPT Ngô Gia TCâu 1. (2,0 m)

Cho hàm s 4 22 1y x mx= - + (1)

a) Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s (1) ng v i m = 1.

b) Tìm các giá tr c a m th hàm s (1) có ba m c c tr A, B, C sao cho BC = 4

và A là m c c tr thu c tr c tung.

Câu 2. (1,0 m) Gi i ph ng trình 22 2

log log 2 0x+ - =

Câu 3. (1,0 m)

a) Gi i ph ng trình ( )cos 2 cos 3 sin 2 sinx x x x- = +

b) G i A là t p h p t t c các s t nhiên g m ba ch s ôi m t khác nhau và u khác

0. Ch n ng u nhiên m t s t t p h p A. Tính xác su t ch n c s chia h t cho 3.

Câu 4. (1,0 m) Tính tích phân

12

20 4

dtI

t=

-ò .

Câu 5. (1,0 m) Trong không gian v i h t a Oxyz, cho ng th ng

1 2:

2 1 3x y z- -

D = =-

và m t ph ng ( ) : 2 2 1 0P x y z- - + = . Vi t ph ng trình ng

th ng d i qua m ( )3; 1;2A - , c t ng th ng D và song song v i m t ph ng (P).

Câu 6. (1,0 m) Cho hình chóp tam giác u S.ABC có c nh áy b ng a, góc gi a c nh bên và

t áy b ng 60° . G i M, N l n l t là trung m AB, BC. Tính th tích kh i chóp S.ABC và

kho ng cách t C n m t ph ng (SMN).

Câu 7. (1,0 m) Trong m t ph ng v i h t a Oxy, cho hình ch nh t ABCD có

2AB AD= , tâm ( )1; 2I - . G i M là trung m c nh CD, ( )2; 1H - là giao m c a hai

ng th ng AC và BM. Tìm t a các m A, B.

Câu 8. (1,0 m) Gi i b t ph ng trình 2 21 2 3 4 .x x x x+ - ³ - -

Câu 9. (1,0 m) Gi s a, b, c là các s th c d ng th a mãn 1.a b c+ + = Tìm giá tr nh

nh t c a bi u th c2 2

22 2

3( ) .

4( ) 5 ( ) 5

a bP a b

b c bc c a ca= + - +

+ + + +

----------------H t----------------

hoctoancapba.com


259



Môn thi: ToánCâu áp án m1.a 1,0

i m = 1 hàm s tr thành : 4 22 1y x x= - +TX : R ; lim

xy

®±¥= +¥

Có 3' 4 4y x x= - ;0

' 01

xy

x

é =ê= Û ê = ±êë

0,25

BBT (l p úng và y ) 0,25Hàm s ng bi n trên ( )1;0- và ( )1;+¥

Hàm s ngh ch bi n trên ( ); 1-¥ - và ( )0;1

y =1 t i x = 0; yCT = 0 t i 1x = ±

0,25

th : (V úng và chính xác) 0,251.b 0,5

Ta có ( )3 2' 4 4 4y x mx x x m= - = - ; ( )2

0' 0

*

xy

x m

é =ê= Û ê =êë0,25

hàm s có ba c c tr thì y’=0 có ba nghi m phân bi t và y’ i d u qua ba nghi m óÛ (*) có hai nghi m phân bi t khác 0 0mÛ > (**) 0,25

Khi ó( )

( ) ( )2 2

0 0;1' 0

;1 , ;1

x Ay

x m B m m C m m

é = Þê= Û ê

= ± Þ - - -êêë

0,25

Do ó 4 2 4 4BC m m= Û = Û = (t/m (**)) 0,25

2 1,0

222 2

2

log 1log log 2 0

log 2

xx

x

é =ê+ - = Û ê = -êë0,5

2

14

x

x

é =êêÛê =êë

0,5

3a 0,5

cos2 3 sin2 3 sin cosx x x xÛ - = +

1 3 3 1cos2 sin 2 sin cos

2 2 2 2x x x xÛ - = +

0,25

22 2 2

3 3 3cos 2 cos ,23 3 2 2

3 3 3

x x k x kx x k

x x k x k

p p pp pp p

p p pp

é éê ê+ = - + = - +æ ö æ ö ê ê÷ ÷ç ç÷ ÷Û + = - Û Û Î Zç ç ê ê÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø ê ê+ = - + + =ê êë ë

0,25

3b 0,5

hoctoancapba.com


260

Các s g m ba ch s ôi m t khác nhau và u khác 0 l p c là 39

504A =

( ) 504n AÞ =

Ch n ng u nhiên m t s t A có 84 cách nên ( ) 84n W =

i B: “S ch n c chia h t cho 3”

0,25

l p c chia h t cho 3 c l p t các b s sau:{ } { } { } { } { } { } { } { } { } { }1;2;3 , 1;2;6 , 1;2;9 , 1;3;5 , 1;3;8 , 1;4;7 , 1;5;6 , 1;5;9 , 1;6;8 , 1;8;9

{ } { } { } { } { } { } { } { } { }2;3;4 , 2;3;7 , 2;4;6 , 2;4;9 , 2;5;8 , 2;6;7 , 2;7; 9 , 3;4;5 , 3;4;8

{ } { } { } { } { } { } { } { }{ } { }3;5;7 , 3;6;9 , 3;7;8 , 4;5;6 , 4;5;9 , 4;6;8 , 5;6; 7 , 5;7;9 ,

6;7;8 , 7;8;9

i b s l p c 3!=6 s nên có t t c 29.6=174 s .Ch n m t s trong các s ó có 174 cách ( ) 174n BÞ =

y xác su t là ( ) ( )( )

174 29504 84

n BP B

n= = =

W

0,25

4 1,01 12 2

20 0

1 1 14 2 24

dtI dt

t tt

æ ö÷ç ÷= = +ç ÷ç ÷ç - +- è øò ò 0,5

12

0

1 2 1 5 = ln ln

4 2 4 3tt

+=

-0,5

5 1,0i B d B= Ç D Þ Î D nên gi s ( )1 2 ;2 ;3B t t t+ -

Khi ó ( )2 2 ;3 ;3 2AB t t t= - - - - là vtcp c a d.

t ph ng (P) có vtpt ( )2; 1; 2n = - -

0,5

Vì d//(P) nên ( ) ( ) ( ) 1. 0 2 2 2 3 2 3 2 0

3AB n t t t t= Û - - - - - - = Û = -

4 10; ; 3

3 3AB

æ ö÷ç ÷Þ = - -ç ÷ç ÷çè ø hay ( )4; 10;9u = - là vtcp c a d.

y ph ng trình d:3 4

1 10 ,

2 9

x t

y t t

z t

ìï = +ïïï = - - Îíïï = +ïïî

0,5

6 1,0

*)Vì S.ABC là hình chóp u nên ABC là tam giác u tâm G và ( )SG ABC^

.

1.

3S ABC ABCV SG SÞ =

0,25

hoctoancapba.com


261

Tam giác ABC u c nh a nên23 3

2 4ABC

a aAN S= Þ =

Có AG là hình chi u c a AS trên (ABC) nên góc gi a

nh bên SA v i áy là (SA,AG) = 60SAG = °(vì

SG AG SAG^ Þ nh n)

Vì G là tr ng tâm tam giác ABC nên2 33 3

aAG AN= =

Trong tam giác SAG có . tan 60SG AG a= ° =

y2 3

.

1 3 3. .

3 4 12S ABC

a aV a= =

0,25

Do G là tr ng tâm tam giác ABC nên C, G, M th ng hàng và CM = 3GM mà MÎ (SMN)nên ( )( ) ( )( ), ,

3C SMN G SMN

d d=

Ta có tam giác ABC u nên t i K( )SG ABC SG MN^ Þ ^

( )MN SGKÞ ^ .

Trong (GKH), k ( )GH SK GH MN GH SMN^ Þ ^ Þ ^ , H SKÎ

( )( ),G SMNd GHÞ =

0,25

Ta có1 2 2 1 1 3

;2 3 3 2 6 12

aBK AN BG AG AN GK AN AN AN= = = Þ = - = =

Trong tam giác vuông SGK có GH là ng cao nên

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 48 497a

GHGH SG GK a a a

= + = + = Þ =

y ( )( ),

33

7C SMN

ad GH= =

0,5

7 1,0

Theo gi thi t ta có H là tr ng tâm tam giác

BCD nên 3IC IH=

Mà ( )1;1IH = , gi s

( ) ( )1 3.1 4

; 4;12 3.1 1

x xC x y C

y y

ì ìï ï- = =ï ïÞ Û Þí íï ï+ = =ï ïî î

hoctoancapba.com


262

Do I là trung m AC nên A(-2;-5)

i có 2AB AD= nên1

2

CM BCMBC BAC

BC AB= = Þ =

Mà 90 90BAC BCA MBC BCA AC BM+ = ° Þ + = ° Þ ^

0,25

ng th ng BM i qua H(2;-1), có vtpt ( )1;1IH =

Þ pt BM: x + y – 1 = 0 ( );1B t tÞ -

Có ( ) ( )2;6 ; 4;AB t t CB t t= + - = - -

0,25

Vì ( )( ) ( ). 0 2 4 6 0AB BC ABCB t t t t^ Þ = Û + - - - =

2 2tÛ = ± ( )2 2; 1 2BÞ + - - ho c ( )2 2; 1 2B - - +0,25

8 1,0i u ki n:

2

2

0 0 13 41

1 0 0 .3 41 3 41 82 3 4 0 8 8

x xx x

xx x

ìï ì³ ï £ £ï ïï - +ïï ï- ³ Û Û £ £í í- - - +ï ï £ £ï ïï ï- - ³ ïîïî

(*)

t ph ng trình ã cho t ng ng v i2 2 21 2 (1 ) 2 3 4x x x x x x+ - + - ³ - -

2 23( ) (1 ) 2 ( )(1 ) 0x x x x x xÛ + - - + + - ³

0,25

2 2 221

3 2 1 0 9 10 1 01 1 1 3

5 349

5 34.

9

x x x x x xx x

x x x

x

x

+ + +Û + - ³ Û ³ Û + - ³

- - -é - +ê ³êêÛê - -ê £êët h p u ki n (*), ta suy ra nghi m c a b t ph ng trình là

5 34 3 41.

9 8x

- + - +£ £

0,5

9 1,0Áp d ng b t ng th c Côsi, ta có

2 2 2

2 22 2

4.

5( ) 5 9( )( ) ( )4

a a a

b c bc b cb c b c³ =

+ + ++ + +ng t , ta có

2 2

2 2

4.

( ) 5 9( )

b b

c a ca c a³

+ + +Suy ra

22 2 2 2

2 2 2 2

4 29 9( ) 5 ( ) 5 ( ) ( )

a b a b a bb c c ab c bc c a ca b c c a

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷+ ³ + ³ +ç ç÷ ÷ç ç ÷÷ çç + ++ + + + + + è øè ø

0,25

hoctoancapba.com


263

22

2 22 2 2

2 2 2 22

( )( )2 ( ) 2 2 2( ) 4 ( )2

9 9 9( ) ( ) ( ) 4 ( ) 4( )

4

a bc a ba b c a b a b c a b

ab c a b c a b a b c a b cc a b c

æ ö+ ÷ç ÷+ +çæ ö æ ö÷ç+ + + + + +÷÷ ÷ç çç ÷÷ ÷= ³ =ç çç ÷÷ ÷ç çç ÷÷ ÷ç ç+ + + + + + + +è ø è øç ÷÷ç + + + ÷÷çè ø

Vì 1 1a b c a b c+ + = Û + = - nên2 22

2 22 2

2 2(1 ) 4 (1 ) 3 8 2 3(1 ) 1 (1 ) .

9 4 9 1 4(1 ) 4 (1 ) 4

c c cP c c

cc c c c

æ ö æ ö- + - ÷ ÷ç ç÷ ÷³ - - = - - -ç ç÷ ÷ç ç ÷÷ çç +- + - + è øè ø(1)

Xét hàm s2

28 2 3( ) 1 (1 )

9 1 4f c c

c

æ ö÷ç ÷= - - -ç ÷ç ÷ç +è ø v i (0; 1).c Î

Ta có2

16 2 2 3'( ) 1 . ( 1);

9 1 2( 1)f c c

c c

æ ö÷ç ÷= - - -ç ÷ç ÷ç + +è ø

( )3 1'( ) 0 ( 1) 64 (3 3) 0 .

3f c c c c= Û - - + = Û =

ng bi n thiên:

a vào b ng bi n thiên ta có1

( )9

f c ³ - v i m i (0; 1).c Î (2)

(1) và (2) suy ra1,

9P ³ - d u ng th c x y ra khi

1.

3a b c= = =

y giá tr nh nh t c a P là1,

9- t khi

1.

3a b c= = =

0,5

c

0 +–

0 1

hoctoancapba.com

Date post:	01-May-2023
Category:	Documents
Upload:	dhsptn
View:	0 times
Download:	0 times

De cuong toan 2014-2015

Documents