Dedicatoria

A Dios, por su inconmensurable bondad divina.

A mis padres, Rosalıa y Miguel por todo lo que me

dieron y me siguen dando.

A mi familia, Olga Juana, Andres Fernando, Marıa

Fernanda y Jose Antonio por su comprension, apoyo y

todo el carino que me ofrecen.

A mis hermanos, Ana Marıa y Marco Antonio por su

amor fraternal.

A todos mis amigos y colegas que siempre me alentaron

para seguir adelante.

Julio Cesar Villalta P.

Agradecimientos

A la Universidad Nacional de San Agustın, por darme la

educacion y la profesion que me hace desenvolver.

A la Universidad Nacional del Altiplano, por darme la

oportunidad de realizar este trabajo y de prestar mis servicios

como profesional.

A todas las personas que contribuyeron a la realizacion de esta

investigacion, en especial a mi asesor Dr. Yvan Delgado S.

Julio Cesar Villalta P.

ResumenEsta investigacion tiene el proposito de desarrollar una propuesta practica, didactica, formal

e interactiva bajo la cual el software educativo The Geometer’s Sketchpad permite que los

estudiantes tanto de las Instituciones Educativas primarias y secundarias del ambito educativo

escolar, ası como los estudiantes de las universidades, obtengan aprendizajes significativos en

el eje tematico de la Geometrıa, especıficamente, en la unidad: Geometrıa Transformacional

del Plano.

El diseno metodologico desarrollado, utiliza un modelo cuasi experimental transversal pos-

tratamiento con un grupo experimental y otro de control. Este fue desarrollado en la Escuela

Profesional de Ciencias Fısico Matematicas de la Universidad Nacional del Altiplano, tomando

como grupo experimental a los estudiantes del Primer Ciclo 2019-I y como grupo de control

a los estudiantes del Primer Ciclo 2018-I, ya que ambos grupos desarrollaron el tema Geo-

metrıa Transformacional del Plano en la segunda unidad didactica de la componente curricular:

Geometrıa Analıtica.

Con el grupo experimental, se abordaron los contenidos de la unidad vinculando actividades

exploratorias con el uso del software educativo The Geometer’s Sketchpad; mientras que el

grupo de control, desarrollo de manera tradicional estos contenidos, esto es, la transmision

de los conocimientos sin el uso de un software. En ambos grupos, se administraron test de

comprension parciales y un solo postest.

El proyecto se implemento entre los meses de mayo y agosto de 2019. En esta propues-

ta se pretende proporcionar una alternativa visual concreta al enfoque puramente axiomatico.

El software dinamico The Geometer’s Sketchpad es una herramienta que soporta este tipo de

aprendizaje de investigacion. La Geometrıa Transformacional es una ciencia visual; por con-

siguiente, se hace uso de este software educativo, el cual ofrece a los estudiantes de todos los

niveles, una forma tangible y visual de aprender matematicas. Sketchpad es la herramienta

optima para encontrar nuevas relaciones geometricas, investigar su comportamiento, descubrir

simetrıas y patrones. Lo anterior, en un ambiente de trabajo colaborativo, donde la exploracion,

sistematizacion, estructuracion y formalizacion (modelo de Van Hiele) son etapas claves.

Palabras clave:

Propuesta didactica, Software The Geometer’s Sketchpad, Geometrıa Transformacional del

Plano.

IV

AbstractThis research has the purpose of developing a practical, didactic, formal and interactive

proposal under which the educational software The Geometer’s Sketchpad allows students from

both the primary and secondary school education, as well as students from universities , obtain

significant learning in the thematic axis of geometry, specifically, in the unit: Transformational

Geometry of the Plane.

The methodological design developed uses a quasi-experimental cross-sectional post-treatment

model with an experimental group and a control group. This was developed at the Professional

School of Mathematical Physical Sciences of the National University of the Altiplano, taking

the students of the First Cycle 2019-I as an experimental group and as the control group the

students of the First Cycle 2018-I, since both groups they developed the topic Transformatio-

nal Geometry of the Plane in the second didactic unit of the curricular component: Analytical

Geometry.

With the experimental group, the contents of the unit were discussed linking exploratory

activities with the use of The Geometer’s Sketchpad educational software; while the control

group developed these contents in a traditional way, that is, the transmission of knowledge

without the use of software. In both groups, partial comprehension tests and a single posttest

were administered.

The project was implemented between May and August 2019. In this proposal the intention

is to concrete visual alternative to the purely axiomatic approach. The Geometer’s Sketchpad

dynamic software is a tool that supports this type of research learning. Transformational Geo-

metry is a visual science; Therefore, it does use of this educational software, which offers stu-

dents of all levels a tangible and visual way of learning mathematics. Sketchpad is the optimal

tool to find new geometric relationships, investigate their behavior, discover symmetries and

patterns. The above, in a collaborative work environment, where exploration, systematization,

structuring and formalization (Van Hiele model) are key stages.

Keywords:

Teaching proposal, The Geometer’s Sketchpad Software, Transformational Plane Geometry.

V

Indice General

Dedicatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II

Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III

Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V

Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIII

I Marco Teorico 1

1.1 Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Internacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Nacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Ensenanza y Aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 El proceso de ensenanza y aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 ¿Como funciona el proceso de ensenanza y aprendizaje? . . . . . . . . 7

1.3 El Proceso de Ensenanza y Aprendizaje en e-Learning . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 La Pedagogıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 La Didactica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6 La Tecnologıa en la Educacion Matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6.1 Importancia del docente en el uso de la tecnologıa . . . . . . . . . . . 13

1.6.2 Punto de vista institucional: estandares TIC . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7 La Geometrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8 El Objeto de la Geometrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.8.1 El espacio intuitivo habitual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8.2 El espacio fısico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8.3 Los espacios abstractos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.9 La Geometrıa Transformacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.10 Pedagogıa de la Geometrıa Transformacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

II Marco Operativo 28

2.1 Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.1 Fundamentacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.2 Problema General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.3 Problemas Especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.4 Justificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.5 Limitaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.1 Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.2 Objetivo Especifico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 Hipotesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.1 Identificacion y Operacionalizacion de Variables . . . . . . . . . . . . 33

2.3.2 Definicion conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.3 Definicion operacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.4 Operacionalizacion de las variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4 Aspecto Operativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.1 Tipo de Investigacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.2 Diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.3 Metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.4 Poblacion, Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.5 Muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.6 Muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4.7 Instrumentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4.8 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

VII

III Propuesta Didactica 41

3.1 Uso de The Geometer’s Sketchpad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1.1 El Inicio con Sketchpad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Actividades Para el Uso de The Geometer’s Sketchpad . . . . . . . . . . . . . 47

3.3 Web Sketchpad (WSP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4 Transformaciones, Isometrıas y Similaridades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4.1 Transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4.2 Isometrıas y Similaridades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.5 Traslaciones, Rotaciones y Reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.5.1 Traslaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.5.2 Rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.5.3 Reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.6 Algebra de Isometrıas: Composicion de Traslaciones, Rotaciones y Reflexiones 86

3.6.1 El Teorema de los Tres Puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.6.2 Rotaciones como Composicion de dos Reflexiones . . . . . . . . . . . 87

3.6.3 Traslaciones como Composicion de dos Semivueltas o dos Reflexiones 92

3.6.4 El Teorema de la Adicion de Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.6.5 Reflexiones Deslizantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.7 Clasificacion de las Isometrıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.7.1 El Teorema Fundamental de la Geometrıa Transformacional y Con-

gruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.7.2 Clasificacion de las Isometrıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.8 Aplicaciones de las Isometrıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Conclusiones 120

Recomendaciones 122

Bibliografıa 129

Anexos 130

VIII

Indice de Figuras

1. 1 Cortes en partes iguales. Fuente: Construccion propia . . . . . . . . . . . . . . 19

2. 1 Resumen estadıstico y grafico de la media POST TEST. Fuente: Construccion

propia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2. 2 Pruebas de Shapiro-Wilk y Kolmogorov-Smirnov. Fuente: Construccion propia. 39

2. 3 Ninguno de los grupos satisface la normalidad. Fuente: Construccion propia. . 39

2. 4 Fuente: Construccion propia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2. 5 Grafico de cajas y bigotes. Fuente: Construccion propia. . . . . . . . . . . . . 40

3. 1 Entorno de The Geometer’s Sketchpad. Fuente: [(Sketchpad, )]. . . . . . . . . 44

3. 2 Las herramientas de Segment Straightedge. Fuente: [(Sketchpad, )]. . . . . . . 45

3. 3 Herramientas de Web Sketchpad. Fuente: [(ENHANCING, )]. . . . . . . . . . 54

3. 4 WebSketch Viewer. Fuente: [(ENHANCING, )]. . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3. 5 Proposicion 79. Fuente: Elaboracion propia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3. 6 Una similaridad α de razon 2. Fuente:[(Umble and Han, 2014)]. . . . . . . . . 64

3. 7 Una vez que se determine el punto inicial P , el vector ~PQ queda completamente

determinado. Fuente: Elaboracion propia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3. 8 �PQB′B y �AA′B′B. son paralelogramos. Fuente:[(Umble and Han, 2014)]. 67

3. 9 Suma de vectores. Fuente: Elaboracion propia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3. 10 τ~v(~w) = ~w. Fuente: Elaboracion propia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3. 11 Definicion de la rotacion ρC,θ. Fuente: Elaboracion propia. . . . . . . . . . . . 73

3. 12 ~OE ′1 =~e′1 = ρO,θ (~e1), ~OE ′2 =

~e′2 = ρO,θ+90 (~e1). Fuente: Elaboracion propia. . 74

3. 13 ρC,θ = τ ~OC ◦ ρO,θ ◦ τ−1~OC . Fuente: Elaboracion propia. . . . . . . . . . . . . . . 76

3. 14 La recta l es la bisectriz perpendicular de PP ′. Fuente:[(Umble and Han, 2014)]. 80

3. 15 Proy~u~v = (~v · ~u) ~u = ~v + [(~v · ~u) ~u− ~v]. Fuente: Elaboracion Propia. . . . . . 84

3. 16 σl (~v) = ~v + 2 [(~v · ~u) ~u− ~v] = 2 (~v · ~u) ~u− ~v. Fuente: Elaboracion propia. . . 84

3. 17 ~P ′Q′ = σl

(~PQ)= 2 (~v · ~u) ~u− ~v. Fuente: Elaboracion propia. . . . . . . . . 85

3. 18 Los angulos de l a m. Fuente: Elaboracion propia. . . . . . . . . . . . . . . . 88

3. 19 CL = CL′, m∠LCL′ = 2θ en la prueba de σm ◦ σl = ρC,2θ. Fuente:[(Umble

and Han, 2014)]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3. 20 La composicion de dos semivueltas: ϕB ◦ ϕA = τ2 ~AB. Fuente:[(Umble and

Han, 2014)]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3. 21 σm ◦ σl = τ~v. Fuente:[(Umble and Han, 2014)]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3. 22 ϕC ◦ ϕB ◦ ϕA = ϕD. Fuente:[(Umble and Han, 2014)]. . . . . . . . . . . . . . 95

3. 23 ρC,270 = ρB,180 ◦ ρA,90. Fuente: Elaboracion propia. . . . . . . . . . . . . . . . 98

3. 24 ρB,90 ◦ ρA,270 = τ2 ~OB. Fuente: Elaboracion propia. . . . . . . . . . . . . . . . 99

3. 25 Huellas fijadas por una reflexion deslizante. Fuente:(Sketchpad, ). . . . . . . . 101

3. 26 Configuraciones de rectas representando reflexiones, traslaciones, rotaciones y

reflexiones deslizantes. Fuente:[(Umble and Han, 2014)]. . . . . . . . . . . . . 107

3. 27 El pastel de la motivacion. Fuente: Elaboracion propia. . . . . . . . . . . . . . 108

3. 28 Vista superior de un pedazo de pastel completo. Fuente: Elaboracion propia. . 109

3. 29 Dividiendo el pastel del modo mas simple. Fuente: Elaboracion propia. . . . . 109

3. 30 Solucion al problema (un giro de 45◦ alrededor del centro). Fuente: Elabora-

cion propia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3. 31 Polıgonos de la Aplicacion 1. Fuente:[(Leonard et al., 2014b)]. . . . . . . . . . 110

3. 32 Soluciones del problema de la Aplicacion 1. Fuente: Elaboracion propia. . . . 111

3. 33 Planteamiento geometrico del problema en la Aplicacion 2. Fuente:[(Leonard

et al., 2014b)]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3. 34 Posiciones diversas para Y en l. Fuente:[(Leonard et al., 2014b)]. . . . . . . . 112

3. 35 ρP,180(l) = l′. Fuente:[(Leonard et al., 2014b)]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3. 36 Planteamiento geometrico del problema en la Aplicacion 3. Fuente:[(Leonard

et al., 2014b)]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

X

3. 37 C ′ ∈ F ′ es tal que C ′ = σl(C). Fuente:[(Leonard et al., 2014b)]. . . . . . . . . 114

3. 38 Solucion del problema planteado en la Aplicacion 3. Fuente:[(Leonard et al.,

2014b)]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3. 39 Planteamiento geometrico del problema en la Aplicacion 4. Fuente: Construc-

cion propia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3. 40 τ ~AB(R) = R′, Q ∈ m ∩ CR′, τ ~AB(Q) = P . Fuente:[(Leonard et al., 2014b)]. . 115

3. 41 Planteamiento geometrico del problema en la Aplicacion 5. Fuente: Construc-

cion propia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3. 42 Solucion geometrica del problema planteado en la Aplicacion 5. Fuente: Cons-

truccion propia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3. 43 Planteamiento geometrico del problema en la Aplicacion 6. Fuente:[(Leonard

et al., 2014b)]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3. 44 Solucion geometrica del problema planteado en la Aplicacion 6. Fuente:[(Leonard

et al., 2014b)]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

XI

Indice de Cuadros

2. 1 Operacionalizacion de las variables. Fuente: Construccion propia. . . . . . . . 35

Introduccion

El impacto de la tecnologıa se deja sentir en todas las esferas de la actividad humana. En

particular, en la esfera educativa. Estos avances tecnologicos supuestamente tendrıan que hacer

reflexionar a las autoridades educativas-pero mas que nada a los docentes-de una manera seria

y responsable sobre las implicaciones que pueden tener sobre los procesos educativos, y del

apoyo que brindan en la ensenanza y aprendizaje de la Matematica. Serıa ingenuo pensar que

el uso de la informatica y la tecnologıa en educacion, por si mismos, representan una mejora

en el aprendizaje y ensenanza de la Matematica: es el profesor, con su labor, quien tendra la

responsabilidad de plantear las actividades en funcion del curso que desarrolla a fin de utilizar

racionalmente esta herramienta, es decir, depende del docente el exito o fracaso de su uso.

La ensenanza y aprendizaje de la Matematica, no ha sido tarea facil a traves de los anos,

y muchos docentes hemos llegado a tener el concepto o la sensacion de que carecemos de

una metodologıa apropiada o de recursos didacticos que faciliten los procesos de ensenanza y

aprendizaje a nuestros estudiantes. Por otra parte, puede deberse tambien al caracter abstracto

que se le confiere a la misma ciencia, o bien a la forma en la cual el estudiante recibe las

ensenanzas, basada muchas veces en enfoques tradicionales que solo despiertan el desanimo y

la desmotivacion.

Una herramienta de apoyo a los procesos de ensenanza y aprendizaje de la Matematica se

presenta en el software educativo; el cual si esta bien elaborado y se hace un uso adecuado de

el, puede mejorar notablemente el interes y la construccion de conocimiento matematico en

los estudiantes. No obstante, es necesario que todo docente conozca algunas normas y criterios

para la seleccion de un buen software de Matematica, puesto que de ello dependera que se

fortalezca el proceso de ensenanza-aprendizaje.

El uso del software educativo en Matematica, en sus diversas modalidades, ofrece, tanto

a docente como a estudiantes, ciertas fortalezas sobre otros metodos de ensenanza, como por

ejemplo:

Conecta la Matematica con otras areas del conocimiento.

Posibilita la creacion de micromundos que le permiten al estudiante explorar y conjeturar.

Permite el desarrollo cognitivo del estudiante, la atencion individual, el control del tiem-

po y la secuencia del aprendizaje, fomentando el trabajo individual o grupal, la partici-

pacion activa en la construccion del conocimiento, estableciendo una interesante fase de

interaccion entre el usuario y el ordenador.

Admite que el estudiante pueda aprender de sus errores, a traves de una retroalimentacion

inmediata y efectiva.

En este sentido, se propone el uso del Software Educativo The Geometer’s Sketchapad para

la ensenanza y aprendizaje de la Geometrıa Transformacional del Plano. Esta propuesta, como

plan piloto, se ejecuta con los estudiantes del Primer Ciclo 2019-I de la Escuela Profesional

de Ciencias Fısico Matematicas de la Universidad Nacional del Altiplano. Se pudo determinar

que hubo una mejora significativa en el rendimiento academico de estos estudiantes con el uso

de este software dinamico.

Los estandares nacionales educativos tienen como objetivo proporcionar a todos estudiantes

una solida base matematica, centrandose en la comprension conceptual, la velocidad y exactitud

de los calculos y la aplicacion del conocimiento matematico en situaciones diversas del mundo

real. Los estandares nacionales tienen un impacto directo en las estrategias instructivas, ya que

ellas establecen el plan de estudios, el orden del contenido y el enfasis en los topicos. Dada

la curva de aprendizaje y el periodo de ajuste que sigue a la implementacion de las normas

nacionales, tanto los actuales educadores como los futuros docentes deben ser conscientes de

las implicaciones educativas.

La Geometrıa Transformacional del Plano ayuda a formar a los futuros profesores en ese

sentido, motivando y desarrollando las habilidades del pensamiento analıtico para las matemati-

cas.

XIV

El trabajo se ha estructurado en tres capıtulos que, resumıdamente tratan de lo siguiente:

En el capıtulo 1, se expone el marco teorico que da pie al presente trabajo. Se definen

y analizan los conceptos de ensenanza, aprendizaje, ensenanza y aprendizaje en e-learning,

la tecnologıa en la Educacion Matematica, el concepto de Geometrıa y el objeto de la Geo-

metrıa. Tambien, se definen la Geometrıa Transformacional y la pedagogıa de la Geometrıa de

la Transformacion del Plano.

En el capıtulo 2, se analiza el planteamiento operativo de este trabajo de investigacion y se

ofrecen los resultados obtenidos de este plan piloto.

En el capıtulo 3, se ofrece la propuesta pedagogica que es la razon de ser de este trabajo de

investigacion. Inicialmente se da a conocer el software educativo The Geometer’s Sketchpad, y

se propone algunas actividades exploratorias que ayudan a manejar el software. Seguidamente,

se pesenta la plataforma Web Sketchpad que es lo ultimo que ofrece la editorial McGraw-

Hill para trabajar con este software dinamico. Finalmente, se ofrece el uso del software The

Geometer’s Sketchpad como motivacion de un desarrollo sistematico, formal y estructurado de

la Geometrıa Transformacional del Plano. Se presenta algunas aplicaciones practicas de esta

teorıa como cuspide del trabajo.

Luego se presenta las conclusiones, sugerencias, las referencias bibliograficas y los anexos.

XV

Capıtulo I

Marco Teorico

1.1. Antecedentes

No se encontraron antecedentes nacionales ni tampoco internacionales relacionados direc-

tamente al presente tema de investigacion. Cito aquellos que guardan cierta relacion con este

trabajo de investigacion, donde el software que se usa no es el The Geometer’s Sketchpad.

1.1.1. Internacionales

“Propuesta didactica para la ensenanza de los movimientos del plano. Perspectiva histori-

ca”[(Rubio, 2018)].

Trabajo final del Master Universitario de Profesor en Educacion Secundaria Obligatoria

y Bachillerato. Especialidad de Matematicas.

Universidad de Valladolid, Dpto.de Matematica Aplicada.

Alumno: Covadonga Santos Rubio.

En este trabajo se construye una unidad didactica para lo cual es fundamental conocer

los contenidos mınimos que se establecen para el tema desarrollado en los documentos

institucionales, ası como los objetivos que se plantea para la Educacion Secundaria en

general y para el tema tratado en particular. Cabe recordar que el trabajo corresponde a

Espana. Ası mismo, en esta investigacion se hace notar que para la realizacion de una

propuesta didactica se debe tener conocimiento del sistema educativo y del modelo edu-

cacional que impone la legislacion, basado en competencias, al que hay que acogerse y

cumplir. De igual modo, en este trabajo se hace saber que el docente debe poseer conoci-

mientos de mayor nivel que el tratado en las aulas de Secundaria y Bachillerato; de este

modo, los profesores pueden transmitir mejor los conocimientos y sentir seguridad sobre

ellos cuanto mas informados esten. Ası mismo, en este trabajo, el uso de herramientas in-

formaticas esta muy presente y el enfoque que se da a la propuesta didactica es historico;

por tanto, se tiene en cuenta la evolucion de los Movimientos en el Plano de la Historia.

“La ensenanza y aprendizaje de la Geometrıa en ensenanza media. Un procesador Geometri-

co como medio didactico”[(Galaz, 2005)].

Tesis para optar el grado de Magister.

Universidad de Chile. Facultad de Ciencias Sociales. Escuela de Postgrado. Programa de

Magıster. 2005.

Alumno: Manuel Alejandro Galaz Perez.

Este trabajo tuvo por objeto estudiar las condiciones pedagogicas bajo las cuales un pro-

cesador geometrico, como Cabri Geometre II, permite que estudiantes de primer ano de

ensenanza media, obtengan aprendizajes significativos en Geometrıa, especıficamente en

la Unidad ”Transformaciones Isometricas”. En esta propuesta, se establece una sintonıa

entre el Laboratorio de Computacion y el aula tradicional. Luego de ello, se concluye,

que debe existir un accionar entre el docente, los alumnos y el contenido que se desea

abordar. En esa perspectiva, se articulan actividades pedagogicas que son la columna

vertebral de la experiencia, en donde se ponen en sintonıa los recursos didacticos; guıas

de aprendizaje, Cabri Geometre y todos los recursos que se utilicen con el proposito de

facilitar el acercamiento de los alumnos al conocimiento geometrico. Lo anterior, en un

ambiente de trabajo colaborativo donde la exploracion, sistematizacion, estructuracion

y formalizacion son etapas claves. Se concluye, tambien, que los resultados cuantitati-

vos de la exploracion realizada, no son argumentos que empanen las posibilidades de

la propuesta. En cambio, los resultados cualitativos son los que alientan a senalar en

que se debe continuar con un estilo de trabajo con los establecimientos subvencionados,

con el objeto de embarcarse en una empresa que es de suma importancia: apoyar a los

2

establecimientos municipalizados para mejorar sus resultados en matematica utilizando

tecnologıa.

“Geometrıa Dibujada. Analisis Crıtico y Comparado de Metodologıas de su Ensenan-

za”[(Recreo, 2015)].

Tesis Doctoral 2015.

Universidad de Granada. Programa de Doctorado: Dibujo, Diseno y Nuevas Tecnologıas.

Alumna: Victoria Recreo Gimenez.

El objeto de este trabajo de investigacion, es la situacion de su ensenanza en la actualidad,

de la Geometrıa Dibujada, reflejada en los libros de texto de que disponen los alumnos,

en el ambito de la Comunidad de Madrid y en el periodo de los ultimos veinte anos.

El presente trabajo de investigacion es de aplicacion al estudio de la geometrıa y a la

creacion de material didactico eficaz de un modo detallado no presente en los medios

y metodos actuales, para todos los demas alumnos y para los propios profesores como

instrumento de trabajo en el aula, tanto en su version digital para ser mostrada con canon,

como su version en acetatos superpuestos para ser inspeccionada y estudiada.

“Propuesta didactica para la ensenanza de la geometrıa en la educacion media, mediante

el aprendizaje cooperativo”[(Labarrera, 2016)].

Tesis para optar el Tıtulo de Profesor de Matematicas, 2016.

Universidad Austral de Chile. Sede Puerto Montt, Escuela de Pedagogıa en Matematicas.

Alumna: Katherine NInoshka Labarrera Mondaca.

Esta investigacion tiene como proposito el diseno, implementacion y valoracion de una

propuesta didactica para la ensenanza de la Geometrıa, mediante el aprendizaje coope-

rativo, con la finalidad de contribuir al desarrollo de las habilidades geometricas en los

estudiantes de primero medio de un colegio de Puerto Montt. Para este fin, se considero

el contenido particular Congruencia de figuras planas”. La planeacion de las actividades

se dividio en dos partes: Congruencia de figuras planas y criterios de congruencia de

triangulos.

Se concluye que a raız de las evidencias presentadas durante y al final del estudio, que

el aprendizaje cooperativo es un modelo educativo innovador, que propone una manera

distinta de organizar el proceso de ensenanza y aprendizaje y mejora el conocimiento

metacognitivo de los estudiantes.

3

“Estrategia didactica para la ensenanza y aprendizaje de las transformaciones en el plano

cartesiano en el grado sexto”[(Salazar, 2017)].

Alumna: Amparo Salazar Dıaz.

Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar el tıtulo de: Magıster en

Ensenanza de las Ciencias Exactas y Naturales.

Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ciencias, Bogota, Colombia, 2017.

En este trabajo se presenta una estrategia didactica dirigida a estudiantes del grado sexto,

para aproximarlos a los conceptos de congruencia, semejanza y area por recubrimiento a

traves del estudio de las transformaciones geometricas en el plano cartesiano y emplean-

do el software de geometrıa dinamica GeoGebra. Esta investigacion pretende devolver el

origen activo y dinamico de los conceptos geometricos que usualmente se han reducido

a sus componentes, tales como puntos, rectas, planos y en general objetos geometricos

estaticos que han hecho a un lado a las transformaciones.

1.1.2. Nacionales

“Aplicacion de GeoGebra para mejorar el aprendizaje de transformaciones en el plano de

los estudiantes del nivel secundario - Lima, 2017”(Contreras, 2017).

Tesis para Optar el Grado Academico de Maestra en Educacion con Mencion en Docen-

cia y Gestion Educativa.

Escuela de Posgrado, Universidad Cesar Vallejo.

Br. Contreras Joaquin, Connie Jackeline.

Esta investigacion tuvo como objetivo demostrar que la aplicacion de GeoGebra permite

mejorar el nivel de aprendizaje en transformaciones del plano por parte de estudiantes

del nivel de educacion secundaria.

La investigacion fue de tipo aplicado y diseno cuasiexperimental. La muestra estuvo con-

formada por 40 estudiantes del segundo grado del nivel secundario de la I.E.P. Monsenor

Marcos Libardoni - La Victoria. Los resultados concluyen que la aplicacion de GeoGebra

mejora el aprendizaje de transformaciones en el plano de los estudiantes del mencionado

centro educativo.

“Transformaciones Lineales con GeoGebra, una Propuesta para Profesores en Formacion

Continua”[(Contreras, 2017)].

4

Tesis para Optar el Grado de Magıster en Ensenanza de las Matematicas.

Pontificia Universidad Catolica del Peru. Escuela de Posgrado. 2017.

Alumno: Palomino Hernandez Jose Alonso.

En este trabajo de investigacion se presentan actividades con el uso del software ma-

tematico GeoGebra, con la finalidad de reforzar el aprendizaje y la comprension de las

Transformaciones Lineales, y a la vez superar la dificultad que tienen los profesores en

formacion continua, con respecto al formalismo de este objeto matematico. Se formulo

como objetivo principal de esta investigacion, analizar el efecto que tiene en los alum-

nos de maestrıa en Ensenanza de las Matematicas, el uso del software GeoGebra para su

aprendizaje y ensenanza del contenido matematico. Para conseguir dicho objetivo se uso

dos actividades y el software GeoGebra, siguiendo los procesos que indica la Ingenierıa

Didactica como metodologıa de investigacion.

1.2. Ensenanza y Aprendizaje

El proceso de ensenanza y aprendizaje, mediante el cual se transmiten conocimientos es-

peciales o generales sobre una materia y sus dimensiones en el fenomeno del rendimiento

academico a partir de los factores que determinan su comportamiento.

En las ultimas decadas, el proceso hacia la educacion de calidad se ha realizado mediante la

aplicacion de reformas estructurales. Sin embargo, todavıa hay una necesidad de estar atentos

al proceso de aprendizaje y ensenanza. Tomado de (EcuRed, 2019).

European University Association (EUA) cree que las universidades deben impulsar la

evolucion del aprendizaje y la ensenanza y esto requiere una estrecha colaboracion con los

principales grupos de interes, incluidos los encargados de formular polıticas nacionales. Para

apoyar el esfuerzo, EUA esta llevando a cabo varias iniciativas encaminadas a establecer una

dimension europea en el aprendizaje y la ensenanza de la educacion superior. Las iniciativas

incluyen actividades de creacion de conocimientos y estudios, desarrollo institucional y apren-

dizaje entre pares, ası como declaraciones y recomendaciones relacionadas con las polıticas.

Las actividades de EUA tienen como objetivo mejorar la calidad y la relevancia de la pro-

vision de educacion superior, subrayar la importancia del aprendizaje y la ensenanza como una

mision fundamental y abogar por las actividades de aprendizaje y ensenanza orientadas hacia

el aprendizaje y exito estudiantil. El Comite Directivo de Educacion y Ensenanza de la EUA

5

orienta este trabajo, en particular, proporcionando supervision para los grupos tematicos de

pares.

1.2.1. El proceso de ensenanza y aprendizaje

Probablemente, como docentes en algun momento se ha escuchado en educacion sobre el

proceso de ensenanza y aprendizaje, pero, ¿se sabe lo que es exactamente?. Se empezara por

definir los terminos que la componen:

Proceso de ensenanza: en esta parte del proceso, la tarea mas importante del docente es

acompanar el aprendizaje del estudiante. La ensenanza debe ser vista como el resultado de una

relacion personal del docente con el estudiante.

El docente debe tomar en cuenta el contenido, la aplicacion de tecnicas y estrategias didacti-

cas para ensenar a aprender y a formar valores en el estudiante.

Proceso de aprendizaje: de acuerdo a la teorıa de Piaget (1969), el pensamiento es la base

en la que se asienta el aprendizaje, es la manera en la que se manifiesta la inteligencia.

La inteligencia desarrolla una estructura y un funcionamiento, ese mismo funcionamiento

va modificando la estructura. La construccion se hace mediante la interaccion del organismo

con el medio ambiente.

En este proceso de aprendizaje, las ideas principales que plantea esta teorıa son:

1. El encargado del aprendizaje es el estudiante, es el profesor un orientador y/o facilitador.

2. El aprendizaje de cualquier asunto o tema requiere una continuidad o secuencia logica y

psicologica.

3. las diferencias individuales entre los estudiantes deben ser respetadas.

Como docentes, es necesario comprender que el aprendizaje es personal, centrado en obje-

tivos y que necesita una continua y constante retroalimentacion. Principalmente, el aprendizaje

debe estar basado en una buena relacion entre los elementos que participan en el proceso: do-

cente, estudiante y companeros. Referencia (EcuRed, 2019).

6

1.2.2. ¿Como funciona el proceso de ensenanza y aprendizaje?

La educacion del siglo XXI esta experimentando, desde hace algun tiempo, una serie de

transformaciones tanto dentro como fuera del salon de clases. A pesar de los cambios en el

campo educativo, conocer y entender el proceso de ensenanza y aprendizaje es clave para crear

una efectiva accion pedagogica.

Para construir un aprendizaje significativo en los estudiantes, los docentes deben dar res-

puesta a tres cuestiones claves: ¿quien aprende? ,¿como aprende? y ¿que, cuando y como eva-

luar?. Un adecuado proceso de ensenanza y aprendizaje ayudara a responder y actuar ante estos

retos educativos.

El aprendizaje y la ensenanza son procesos que se dan continuamente en la vida de todo ser

humano, por eso no se puede hablar de uno sin hablar del otro. Ambos procesos se reunen en

torno a un eje central, el proceso de ensenanza y aprendizaje, que los estructura en una unidad

de sentido.

El proceso de ensenanza y aprendizaje esta compuesto por cuatro elementos: el profesor, el

estudiante, el contenido y las variables ambientales (caracterısticas de la escuela / aula). Cada

uno de estos elementos influencia en mayor o menor grado, dependiendo de la forma en que se

relacionan en un determinado contexto.

Al analizar cada uno de estos cuatro elementos, se identifican las principales variables de

influencia del proceso ensenanza y aprendizaje:

1. Estudiante: capacidad (inteligencia, velocidad de aprendizaje); motivacion para apren-

der; experiencia anterior (conocimientos previos); disposicion; interes y estructura so-

cioeconomica.

2. Conocimiento: significado/valor, aplicabilidad practica.

3. Escuela/aula: Comprension de la esencia del proceso educativo.

4. Docente: relacion docente - estudiante, dimension cognoscitiva (aspectos intelectuales y

tecnico-didacticos); actitud del docente; capacidad innovadora; compromiso en el proce-

so de ensenanza y aprendizaje. Referencia (EcuRed, 2019).

7

1.3. El Proceso de Ensenanza y Aprendizaje en e-Learning

Las Tecnologıas de la Informacion y Comunicacion (TIC) son un elemento que en el

campo de la educacion incrementan las posibilidades educativas en el proceso de ensenanza

y aprendizaje, algunas de ellas son: construir entornos virtuales de formacion, aportes a los

sistemas convencionales del aula, facilitar la comunicacion educativa, entre otros.

Esta dinamica entre las TIC y educacion, caracteriza nuevos escenarios formativos en e-

learning que plantea nuevas modalidades dentro del proceso de ensenanza y aprendizaje brin-

dando espacios que facilitan la interaccion docente - alumno y alumno - alumno.

El proceso de ensenanza y aprendizaje por medio de las TIC presenta la posibilidad de

adaptacion de la informacion a las necesidades y caracterısticas de los estudiantes, lo que le

permite elegir cuando, como y donde estudiar.

En e-learning el proceso de ensenanza y aprendizaje es mas personalizado planteando la

posibilidad de desarrollar nuevas experiencias formativas, expresivas y educativas para el estu-

diante.

Aprender y ensenar son dos acciones distintas, pero en el campo educativo se comple-

mentan para formar y consolidar conocimientos en el estudiante en el proceso de ensenanza y

aprendizaje.

El papel del docente es el de ser facilitador de aprendizaje para el estudiantes, por lo que el

compromiso no debe centrarse en ensenar sino en apoyar al estudiante a aprender. Tomado de

ICME -13 Tropical Surveys

1.4. La Pedagogıa

La palabra pedagogıa tiene su origen en el griego antiguo paidagogos. Este termino esta-

ba compuesto por paidos (nino) y gogıa (conducir o llevar). Por lo tanto, el concepto hacıa

referencia al esclavo que llevaba a los ninos a la escuela.

En la actualidad, la pedagogıa es el conjunto de los saberes que estan orientados hacia la

educacion, entendida como un fenomeno que pertenece intrınsecamente a la especie humana

y que se desarrolla de manera social.

La pedagogıa, por lo tanto, es una ciencia aplicada con caracterısticas psicosociales que

tiene la educacion como principal interes de estudio.

8

En este aspecto es tan importante la mencionada disciplina que en todos los centros edu-

cativos publicos y privados que forman parte de la red de ensenanza del paıs debe existir un

pedagogo o pedagoga que no solo se encargue de respaldar el trabajo de los profesores sino que

tambien ayude a los estudiantes que lo necesitan en determinadas areas.

Mas concretamente esta figura tiene en cualquier escuela o instituto unas funciones cla-

ramente delimitadas como son las siguientes: servicio de orientacion y organizacion escolar,

programacion de metodologıas especıficas, asesoramiento al profesor, elaboracion de terapias

especıficas, tecnicas de estudio, diagnostico del discente,etc.

Es importante destacar que la Pedagogıa se nutre de los aportes de diversas ciencias y

disciplinas, como la antropologıa, la psicologıa, la filosofıa, la medicina y la sociologıa.

De todas formas, cabe destacar que hay autores que sostienen que la Pedagogıa no es una

ciencia, sino que es un arte o un tipo de conocimiento.

Muchos han sido los pedagogos que a lo largo de la historia han planteado sus teorıas acerca

de la educacion, no obstante, entre todos ellos destacan figuras como la de Paulo Freire. Este

fue un educador de origen brasilero que se ha convertido en un referente dentro de esta citada

ciencia.

En concreto, el establecio una serie de veinte maximas fundamentales en el ambito de la

Pedagogıa bajo su punto de vista, por ejemplo, a que ensenar exige siempre saber escuchar, que

todos siempre aprendan, o que estudiar no es un proceso mediante el cual se consumen ideas

sino que estudiar es crear precisamente esas citadas ideas.

No obstante, junto a dicha figura habrıa que destacar la de otros muchos companeros que

como el han expuesto sus teorıas y visiones acerca de esta ciencia basada en la educacion. Este

serıa el caso de Robert Gagne, Jurgen Habermas o Ivan Petrovich Pavlov.

La Pedagogıa puede ser categorizada de acuerdo a diversos criterios. Suele hablarse de

la pedagogıa general (vinculada a aquello mas amplio dentro del ambito de la educacion) o

de pedagogıas especıficas (desarrolladas en distintas estructuras de conocimiento segun los

acontecimientos percibidos a lo largo de la historia).

Es importante distinguir entre la Pedagogıa como la ciencia que estudia la educacion y la

didactica como la disciplina o el grupo de tecnicas que favorecen el aprendizaje. Ası puede

decirse que la didactica es apenas una disciplina que forma parte de una dimension mas amplia

como la pedagogıa.

La Pedagogıa tambien ha sido vinculada con la andragogıa, que es la disciplina de la

9

educacion que se dedica a formar al ser humano de manera permanente, en todas las etapas de

desarrollo de acuerdo a sus vivencias sociales y culturales. Referencia [(Definicion.de, 2019b)].

1.5. La Didactica

Es usual encontrar productos y actividades para ninos donde aparece el termino de Didacti-

ca. “Contenidos didacticos”, “Material didactico” y “Juegos didacticos” son, por citar algunos

casos a modo de ejemplo, frases que resuenan con frecuencia en la mente de numerosos adul-

tos. Sin embargo, muchas veces se pierde de vista las definiciones teoricas y uno se queda sin

identificar entonces que significan, en concreto, palabras como la mencionada. Por esa razon,

se intentara aportar datos interesantes que permitan descubrir que es, exactamente, la Didactica.

En terminos mas tecnicistas la Didactica es la rama de la Pedagogıa que se encarga de

buscar metodos y tecnicas para mejorar la ensenanza, definiendo las pautas para conseguir que

los conocimientos lleguen de una forma mas eficaz a los educados.

Dicen los expertos que por Didactica se entiende a aquella disciplina de caracter cientıfico

- pedagogica que se focaliza en cada una de las etapas del aprendizaje. En otras palabras,

es la rama de la Pedagogıa que permite abordar, analizar y disenar los esquemas y planes

destinados a plasmar las bases de cada teorıa pedagogica.

Esta disciplina que sienta los principios de la educacion y sirve a los docentes a la hora de

seleccionar y desarrollar contenidos, persigue el proposito de ordenar y respaldar tanto los mo-

delos de ensenanza como el plan de aprendizaje. Se le llama acto didactico a la circunstancia de

la ensenanza para la cual se necesitan ciertos elementos: el docente (quien ensena), el discente

(quien aprende) y el contexto de aprendizaje.

En cuanto a la calificacion de la didactica, puede ser entendida de diversas formas: exclu-

sivamente como una tecnica, como una ciencia aplicada, simplemente como una teorıa o bien

como una ciencia basica de la instruccion. Los modelos didacticos, por su parte, pueden es-

tar caracterizados por un perfil teorico (descriptivos, explicativos y predictivos) o tecnologico

(prescriptivos y normativos).

Cabe resaltar que, a lo largo de la historia, la educacion ha progresado y, en el marco de

esos avances, las referencias didacticas se han modernizado.

En un primer momento, por ejemplo, existio un modelo que hacıa hincapie tanto en el pro-

fesorado como en el tipo de contenido proporcionado al estudiante (modelo proceso producto),

10

sin tomar en cuenta el metodo elegido, el marco de la ensenanza ni al educando.

Con los anos, se adopto un sistema de mayor actividad donde se intenta estimular las

habilidades creativas y la capacidad de comprension valiendose de la practica y los ensayos

personales. Por otra parte, el denominado modelo mediacional busca generar y potenciar las

destrezas individuales para llegar a una autoformacion. Con las ciencias cognitivas al servicio

de la didactica, los sistemas didacticos de los ultimos anos han ganado en flexibilidad y poseen

un alcance mayor.

En la actualidad existen tres modelos didacticos bien diferenciados: el normativo (centrado

en el contenido), el incitativo (focalizado en el alumno) y el aproximativo (para quien prima

la construccion que el alumno haga de los nuevos conocimientos).

La educacion, ası como el resto del mundo fue cambiando y adaptandose a los tiempos,

por esa razon sus modelos didacticos fueron cambiando. Lo que hace veinte anos era recomen-

dable y se aplicaba en todas las escuelas, hoy en dıa no solo no se usa sino que se considera

negativo para la educacion.

En sus comienzos, la educacion se regıa por un modelo didactico tradicional, que se cen-

traba en ensenar sin importar demasiado como, no se estudiaban los metodos a fondo, ni los

contextos en los que se intentaba impartir el conocimiento o la situacion de cada individuo;

actualmente a la hora de intentar ensenar es muy importante utilizar una didactica que incluya

un analisis previo del contexto de los estudiantes en general y de cada individuo, que bus-

que acercarse a cada uno y desarrollar las capacidades de autoformacion, imprescindibles para

que los conocimientos alcanzados puedan ser aplicados en la vida cotidiana de los individuos.

Tomado de (Definicion.de, 2019a).

1.6. La Tecnologıa en la Educacion Matematica

La tecnologıa a menudo despierta entusiasmo ası como la renuencia entre los maestros y

educadores de Matematica. Por lo tanto, fue necesario comenzar este estudio con un analisis

teorico de las caracterısticas de las tecnologıas digitales desde una perspectiva epistemologi-

ca y cognitiva. Una caracterıstica epistemologica unica de las Matematicas es su dimension

simbolica. Es imposible obtener acceso directo a objetos matematicos como a objetos fısicos.

La unica forma de acceder a ellos es a traves de representaciones. Las tecnologıas digitales in-

tervienen en las matematicas y algunas de ellas ofrecen nuevos tipos de representaciones, como

11

representaciones dinamicas y socialmente distribuidas. Basado en una perspectiva Vygostkia-

na y en un enfoque de instrumentacion, el uso de las tecnologıas digitales se analiza como una

coaccion o una interaccion creativa entre la herramienta y la accion humana y/o social con la

tecnologıa socialmente distribuida.

Parte del rol de las nuevas tecnologıas es cambiar el proceso hacia un resultado para el

aprendizaje. Este proceso incluye desarrollar un discurso matematico, brindar oportunidades

para conjeturar y probar, mas aun obtener un aprendizaje activo y no pasivo. Las nuevas tec-

nologıas pueden agregarse a estos procesos al conectar a los estudiante de diferentes maneras

entre si y con los fenomenos en estudio, mediando el aprendizaje de diferentes maneras y pue-

den ofrecer la oportunidad para que los estudiantes desarrollen el trabajo unos a otros a traves

de la capacidad de compartir productos o estrategias de resolucion de problemas. En particular,

las tecnologıas que ofrecen movilidad, multimodalidad (utilizando diversas modalidades sen-

soriales: vista, tacto, sonido) y conectividad pueden apoyar el aprendizaje de los estudiantes.

El conocimiento y las practicas que resultan del proceso de aprendizaje utilizando tecnologıas

digitales pueden ser nuevos.

Se utilizan diversos marcos teoricos de investigacion para analizar los procesos de apren-

dizaje y ensenanza. Algunos de ellos tratan con las nuevas formas en que la tecnologıa digital

media los objetos y las relaciones Matematicas y consideran la interaccion de estudiantes y

profesores con la tecnologıa (coaccion, humanos - con - medios). El enfoque instrumental se

utiliza para analizar los procesos mediante los cuales los estudiantes construyen estrategias de

resolucion haciendo uso de la tecnologıa y los procesos de ensenanza. Se requiere una doble

genesis instrumental de los maestros para hacer Matematicas utilizando la tecnologıa y para

organizar las condiciones de aprendizaje a traves del uso de la tecnologıa para sus estudiantes,

en particular mediante el diseno de tareas apropiadas aprovechando la tecnologıa.

Se presentan nuevas formas de aprender, operar e interactuar con tecnologıas dinamicas y

distribuidas.

Los estudios de investigacion muestran que estas tecnologıas ofrecen un potencial para

que los estudiantes interactuen con estructuras matematicas, en particular mejoran el ciclo de

exploracion, conjetura, explicacion y justificacion. Tambien puede ofrecer la oportunidad para

que los estudiantes desarrollen el trabajo de otro a traves de la capacidad de compartir productos

y estrategias de resolucion de problemas. Estas tecnologıas dinamicas y distribuidas tienen el

potencial de democratizar el acceso a poderosas ideas matematicas y formas de operar con

12

sımbolos y estructuras matematicas.

Un punto final y significativo es el impacto de las “nuevas” tecnologıas de aprendizaje ope-

racionalizadas a traves de como interactuamos en un entorno de aprendizaje en la mentalidad

de los maestros. Como han senalado Hegedus y Tall (2015), un problema crıtico a largo pla-

zo sera el desarrollo profesional de los docentes para comprender como utilizar estas nuevas

nuevas herramientas, aprovechar los recursos y posibilidades y comprender las implicaciones

pedagogicas. Los maestros pueden enfrentarse a repensar como las tecnologıas pueden mejorar

el entorno de aprendizaje o incluso transformar la naturaleza misma del aula.

Las tecnologıas digitales pueden cambiar el enfasis en algunas actividades Matematicas

y hacer que otras sean menos importantes. El modelado, la interpretacion de representaciones

graficas, las actividades experimentales, los procesos de verificacion adquieren una importancia

que puede llevar al pensamiento crıtico y la actuacion creativa. Referencia [(Drijvers et al.,

2016)].

1.6.1. Importancia del docente en el uso de la tecnologıa

El papel del profesor sigue siendo crıtico como antes en ausencia de las tecnologıas descri-

tas. Sin embargo, el uso de la tecnologıa puede requerir diferentes habilidades y competencias

como, por ejemplo, encontrar nuevas formas de introducir conceptos con tecnologıa, disenar

nuevos tipos de tareas, comprender a los nuevos estudiantes explorando y resolviendo procesos

permitidos por la tecnologıa y usar las TIC para desarrollar capacidades de razonamiento en

sus estudiantes.

En la practica, para los maestros en el aula: ¿existe o podrıa existir una taxonomıa para

organizar el trabajo digital de los estudiantes? ¿como puede el maestro hacer el mejor uso de las

contribuciones creadas por los estudiantes? ¿que nuevas oportunidades de interaccion existen

entre el maestro y los estudiantes y cual es el papel del maestro dentro de estas nuevas formas

de interaccion? ¿como puede el maestro mediar en las interacciones provechosas entre los

estudiantes y el contenido a traves de (o en conjunto con) la tecnologıa para utilizar plenamente

la infraestructura de representacion y comunicacion del aula?

La brecha entre las necesidades de los docentes y los contenidos de los programas de forma-

cion docente: los programas de formacion docente deben incluir mas las habilidades y compe-

tencias necesarias que, segun la investigacion, los docentes necesitan para integrar la tecnologıa

digital en la practica docente habitual.

13

Los maestros de conocimientos y habilidades necesitan usar la tecnologıa de manera efi-

ciente en las clases de matematicas. Referencia [(Drijvers et al., 2016)].

1.6.2. Punto de vista institucional: estandares TIC

Los estandares - T(2008) de la International Society for Technology in Education, https://

iste.org., definen cinco habilidades que los docentes “necesitan para ensenar, trabajar y aprender

en la era digital”. Son mas bien generales relacionados con varios aspectos de una profesion

docente:

1. “los maestros usan sus conocimientos de la materia, la ensenanza, aprendizaje y la tec-

nologıa para facilitar experiencias que promuevan el aprendizaje, la creatividad y la in-

novacion de los estudiante”

2. “los maestros disenan, desarrollan y evaluan experiencias y evoluciones de aprendizaje

autenticas incorporando herramientas y recursos contemporaneos ”

3. “los profesores exhiben conocimientos, habilidades y procesos de trabajo representativos

de un profesional innovador”

4. “los maestros exhiben un comportamiento legal y etico en sus practicas profesionales”

5. “los maestros mejoran continuamente su practica profesional, exhiben liderazgo en su

escuela y comunidad profesional al promover y demostrar el uso efectivo de las herra-

mientas y recursos digitales”

La National Council of Teachers of Mathematics NCTM(2011) afirma que los programas

de formacion docente y desarrollo profesional deben actualizar continuamente el conocimiento

de la tecnologıa de los profesionales y su aplicacion para apoyar el aprendizaje. Este trabajo

con profesionales debe incluir el desarrollo de lecciones de matematicas que aprovechen los

entornos ricos en tecnologıa y la integracion de herramientas digitales en la instruccion diaria,

inculcando un aprecio por el poder de la tecnologıa y su impacto potencial en la comprension

y el uso de las matematicas por parte de los estudiantes.

Esta posicion del NCTM enfatiza tres condiciones para una integracion eficiente de la tec-

nologıa, que debe guiar el desarrollo de los programas de formacion docente: la conciencia de

14

los docentes sobre el valor anadido de la tecnologıa en terminos de comprension de los estu-

diantes de matematicas, la actualizacion continua de los docentes sobre su conocimiento de la

tecnologıa y su uso en la ensenanza y el diseno de recursos de ensenanza que aprovechan las

posibilidades de las herramientas digitales.

El marco de competencias para profesores (2011) de las TIC de la UNESCO establece “las

competencias necesarias para ensenar de manera efectiva con las TIC” y destaca que: no es

suficiente que los profesores tengan competencias en TIC y puedan ensenarles a sus estudiantes.

Los maestros deben poder ayudar a los estudiantes a ser aprendices creativos, de solucion de

problemas y de colaboracion mediante el uso de las TIC para que sean ciudadanos y miembros

de la fuerza laboral.

1.7. La Geometrıa

La palabra Griega para la geometrıa, γεωµετρια, que significa medicion de la tierra, fue usada

por el historiador Herodotus (484dc–425ac), quien escribio que en el antiguo Egipto la gente

usaba la geometrıa para restaurar sus tierras despues de la inundacion del Nilo. Ası, el uso teori-

co de figuras para fines practicos se remonta a la antiguedad pre - Griega. La tradicion sostiene

que Thales of Milet (639 dc–546 ac) conocıa algunas propiedades de triangulos congruentes

y usaba ellas para la medicion indirecta y que Pythagoras (572–492 ac) junto con su escuela

tuvo la idea de sistematizar este conocimiento por medio de pruebas.

Ası los Griegos, hicieron dos contribuciones vitales a la Geometrıa: hicieron geometrıa

abstracta y deductiva. Partiendo de premisas incuestionables (o axiomas) y leyes basicas del

pensamiento, razonaron y demostraron este conocimiento previamente injustificado. Todo este

proceso fue codificado por Euclid (300 ac) en su libro, los Elementos (Elements), el libro de

texto cientıfico mas exitoso jamas escrito. En este trabajo, podemos apreciar el conocimiento

todo de la matematica de aquel tiempo, presentado como un sistema logico.

La Geometrıa, con el uso actual, significa la rama de las Matematicas que trata con figuras

espaciales. Dentro de las Matematicas, desarrolla un rol significativo. La Geometrıa consiste de

una variedad de estructuras intelectuales, estrechamente relacionadas entre sı y con las expe-

riencias originales de espacio y movimiento. Un breve relato historico del desarrollo posterior

de esta “ciencia del espacio” desde sus raıces Griegas hasta los tiempos modernos se da ahora.

En la antigua Grecia, sin embargo, todas las Matematicas eran consideradas como Geo-

15

metrıa. El Algebra se introdujo en Europa desde el Oriente Medio hacia el final de la Edad

Media y se desarrollo aun mas durante el Renacimiento. En los siglos XVII y XVIII, con el

desarrollo del Analisis, la Geometrıa alcanzaba la paridad con el Algebra y el Analisis.

Sin embargo, como senalo Rene Descartes (1596–1650) las figuras y los numeros estan es-

trechamente relacionadas. Las figuras geometricas se pueden tratar algebraicamente (o analıti-

camente) por medio de coordenadas; recıprocamente, hechos algebraicos pueden ser expresa-

dos geometricamente.

La geometrıa analıtica fue desarrollada en el siglo XVIII, especialmente por Leonhard

Euler (1707–1783), quien por primera vez establecio una teorıa algebraica completa de curvas

de segundo orden. Anteriormente, estas curvas habıan sido estudiadas por Apollonius of Perga

(262 dc–200 ac) como secciones conicas.

La idea de Descartes fue fundamental para el desarrollo del analisis en el siglo XVIII.

Hacia fines de ese siglo, se aplico nuevamente el analisis a la Geometrıa. Gaspard Monge

(1746–1818) puede considerarse como un precursor de la geometrıa diferencial. Carl Gauss

(1777–1855) fundo la teorıa de las superficies mediante la introduccion de conceptos de la

geometrıa de las superficies. La influencia que las investigaciones geometricas diferenciales de

curvas y superficies han ejercido sobre las ramas de la Matematica, Fısica e ingenierıa ha sido

profundo.

Sin embargo, no podemos decir que el metodo analıtico es siempre la mejor manera de tratar

con problemas geometricos. El metodo de considerar figuras directamente sin usar coordenadas

es llamado geometrıa sintetica. En este sentido, un nuevo campo llamado geometrıa proyectiva

fue creado por Gerard Desargues (1593–1662) y Blaise Pascal (1623–1662) en el siglo XVII.

Este campo alcanzo su desarrollo en el siglo XIX.

Por otro lado, el axioma de las paralelas en los Elementos de Euclides ha sido un objeto

de crıtica desde la antiguedad. En el siglo XIX, negando la validez a priori de la Geometrıa

Euclidiana, Janos Bolyai (1802–1860) y Nikolai Lobachevsky (1793–1856) formularon la

Geometrıa no-Euclidiana.

En Geometrıa Analıtica, los espacios fısicos y planos, como se conoce, son representados

como espacios Euclidianos tridimensionales o bidimensionales. Es facil generalizar estos es-

pacios al espacio Euclidiano n-dimensional. La Geometrıa de este nuevo espacio es llamada

la Geometrıa Euclideana n-dimensional. Obtenemos geometrıas proyectivas y no-Euclidianas

n-dimensionales de modo similar. Felix Klein (1849–1925) propuso sistematizar todas estas

16

geometrıas en terminos teorico grupales: llamo “espacio” a un conjunto S en el cual opera un

grupo G y “geometrıa” al estudio de las propiedades de S invariantes bajo las operaciones de

G. La idea de Klein no solo sintetizaba las geometrıas conocidas en ese momento, sino que

tambien se convertia en un principio rector para el desarrollo de nuevas geometrıas.

Bernhard Riemann (1826–1866) inicio otra direccion en las investigaciones geometricas

cuando el investigo las variedades n-dimensionales, en particular, las variedades Riemannia-

nas y sus geometrıas. Algunos aspectos de la Geometrıa Riemanniana se encuentran fuera de

la geometrıa en el sentido de Klein. Este fue el punto de inicio para el amplio campo de la

geometrıa diferencial moderna, esto es, la geometrıa de las variedades diferenciales de varios

tipos. Se hizo necesario establecer una teorıa que reconcilie las ideas de Klein y Riemann;

Elie Cartan (1869–1951) logro esto introduciendo la nocion de conexion.

La reexaminacion del sistema de axiomas de los Elementos de Euclides llevo a David

Hilbert (1862–1943) a establecer los fundamentos de la Geometrıa y la tendencia axiomatica

de la Matematica actual. El estudio de las curvas algebraicas, el cual comenzo con el estudio

de las secciones conicas, se desarrollo en la geometrıa algebraica.

Otra rama de la Geometrıa es la topologıa, que se ha desarrollado desde fines del siglo XIX.

Su influencia en toda la Matematica de hoy es considerable.

La Geometrıa, hoy en dıa a incursionado en todas las ramas de la Matematica, y algunas

veces es difıcil distinguirla del Algebra o el Analisis. Por lo tanto, la Geometrıa no es solo

una subdivision o una materia dentro de las matematicas, sino un medio de tornar imagenes

visuales en herramientas formales para la comprension de otros fenomenos matematicos.

La importancia de la intuicion geometrica, sin embargo, no ha disminuido desde la an-

tiguedad hasta hoy. Referencia [(Remsing, 2006)].

1.8. El Objeto de la Geometrıa

En un artıculo, sobre los principios de la geometrıa publicado en la Enciclopedia de las

Matematicas [(Enriques, 1991)], F. Enriques senalaba, que el objetivo de la Geometrıa es el

estudio del espacio, pero distinguıa tres espacios distintos:

17

1.8.1. El espacio intuitivo habitual

Es el constituido por objetos ideales, puntos, rectas, planos, etc. tal como los concibe nues-

tra imaginacion. Dichos objetos han de ser definidos y su comportamiento ha de ser regulado

por medio de unas reglas o axiomas. Una vez hecho esto, el metodo de la Geometrıa es esen-

cialmente deductivo, limitandose a aplicar las reglas de la logica para obtener propiedades de

esos objetos, propiedades que son consecuencias mas o menos difıciles de obtener de las defi-

niciones y axiomas, pero que no corresponden necesariamente a hechos observables.

1.8.2. El espacio fısico

Constituido por objetos reales cuyas propiedades no son conocidas por experiencia. La

Geometrıa, obtiene por un proceso deductivo nuevas propiedades que se pueden comprobar

despues experimentalmente, y es capaz de justificar hechos observados.

1.8.3. Los espacios abstractos

Es decir, espacios mas generales que podemos obtener de los espacios fısicos, por procesos

de abstraccion o generalizacion, los objetos que conforman estos espacios no son idealizacion

de objetos reales, son objetos inventados y en un inicio su estudio tiene solo interes por si

mismo.

Resulta imposible separar con claridad las tres categorıas, lo mas que se puede hacer es

apreciar si una determinada manera de concebir el espacio tiene mas de una que de otra. En

principio, el primer objetivo de las geometrıas es dar un modelo mas o menos ideal del mundo

fısico y el segundo que sus resultados sean aplicables, la distancia entre el objeto fısico y su

modelo marca el grado de generalidad de la Geometrıa, pero cuanto mas quiere abarcar una

Geometrıa menos puede decir, ya que al aumentar el numero de objetos a considerar disminu-

yen sus propiedades comunes, ası tenemos el riesgo de construir una teorıa tan general que no

tiene casos particulares (G. Ancoechea). Desde un punto de vista logico, es razonable pensar

que los primeros modelos de la Geometrıa corresponden a descripciones del espacio fısico;

luego, se deberıa pasar por una face de idealizacion para concluir con un proceso de abstrac-

cion. Sin embargo, el origen de la Geometrıa como ciencia se situa generalmente despues de un

proceso sistematico de idealizacion, el de Euclides, de modo que se comenzara por el primero

de los espacios, es decir, el espacio descrito por una serie de definiciones y axiomas, irrepro-

18

chables desde un punto de vista logico, pero que no corresponden exactamente a objetos reales

aunque permiten crear una ciencia, la geometrıa, cuya existencia real nadie puede discutir.

El paradigma de la Geometrıa como estudio de los espacios ideales es Euclides, con sus

Elementos de Geometrıa. Para P. Abellanas, la Geometrıa, como toda entidad dotada de vida

propia, tiene un codigo genetico y una historia, y su porvenir es consecuencia de ambos. Los

genes de la Geometrıa son los Elementos y su historia es una espiral que retorna periodicamente

a ellos.

El primer libro de los Elementos comienza con veintitres definiciones, cinco postulados y

cinco axiomas. Las definiciones son a veces simples descripciones, no demasiado precisas, de

conceptos primitivos, ası por ejemplo:

Un punto es un objeto indivisible.

Una lınea es una longitud sin anchura.

Una superficie es un objeto que solo tiene longitud y anchura.

Para Euclides, los lımites de las lıneas son puntos y los de las superficies lıneas. De entre

las lıneas destacan las lıneas rectas y las circunferencias, definiendolas de un modo, a primera

vista, impreciso y alejado de nuestra forma actual de expresarnos, pero difıcilmente mejorable:

la recta es la lınea que se extiende igualmente respecto a todos sus puntos (es decir, la lınea que

es dividida por cualquiera de sus puntos en dos partes iguales). El cırculo es una figura plana

encerrada por una lınea tal que todas las rectas que pasan por un determinado punto (el centro)

que se encuentra dentro de la figura, la cortan en partes iguales entre si (ver Figura 1. 1a y 1.

1b)

(a) Cualquiera de sus puntos divide a la rectaen dos partes iguales

(b) Cualquier diametro lo hace con la circunfe-rencia

Figura 1. 1: Cortes en partes iguales. Fuente: Construccion propia

19

No se va a entrar en todas las definiciones de los Elementos que no son sino las de los

objetos comunes de la Geometrıa Metrica. Se senalara unicamente que Euclides no define ni

utiliza los grados como medida de angulos, y define el angulo recto como el angulo formado

por una recta y otra a la que corta de modo que los angulos que se forman a ambos lados son

iguales.

Resulta interesante enunciar los axiomas (hechos comunes) y postulados tomados de la

version de los Elementos hecha por Heath [(Heath, 1967)]

Axiomas

1. Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sı.

2. Si se anaden iguales a iguales, los todos son iguales.

3. Si se sustraen iguales a iguales, los restos son iguales.

4. Las cosas que coinciden una con la otra son iguales entre sı.

5. El todo es mayor que la parte.

Postulados

1. Se puede trazar una unica recta de cualquier punto a cualquier punto.

2. Se puede prolongar un segmento de recta continuamente en lınea recta.

3. Se puede trazar una circunferencia con cualquier centro y radio.

4. Todos los angulos rectos son iguales entre sı.

5. Si una recta corta a otras dos, contenida en un mismo plano, de modo que la suma de

los angulos interiores situados a un mismo lado es menor que dos rectos, las dos rectas,

prolongadas suficientemente, se cortan en el lado en que la suma es inferior a dos rectos.

Como puede apreciarse, los axiomas expresan verdades que dependen unicamente de los

conceptos que figuran en su enunciado, es decir, son lo que Kant llamaba juicios analıticos, y

se refieren a un dominio mas amplio que la geometrıa, el de la logica.

Los postulados afirman la posibilidad de efectuar determinadas construcciones primitivas,

son de naturaleza puramente geometrica y anaden algo a los conceptos que figuran en su enun-

ciado, son juicios sinteticos en la terminologıa de Kant.

20

De entre los postulados del primer libro de los Elementos, el que ha tenido mas repercusion

es el quinto postulado, que se ha hecho celebre con un enunciado ligeramente diferente al

inicialmente propuesto por Euclides, aunque equivalente a el.

Si se definen las lıneas paralelas como aquellas que prolongadas indefinidamente no se

cortan (definicion 23 de Euclides), el quinto postulado es equivalente a la afirmacion: por un

punto exterior a una recta, solo se puede trazar una paralela a ella. Tambien es equivalente a

la afirmacion de que la suma de los tres angulos interiores de un triangulo es de dos rectos.

Muchos geometras anteriores a Euclides admitıan el quinto postulado, pero otros, tanto

anteriores como posteriores, pensaron que deberıa ser un teorema, es decir, que podıa ser de-

mostrado como consecuencia de los restantes axiomas y postulados. Fueron necesarios dos mil

anos para llegar a la conclusion de que el quinto postulado es realmente independiente de los

restantes axiomas y postulados de la geometrıa Euclıdea.

La axiomatica de Euclides no es unica. En vez de intentar que nuestras definiciones des-

criban objetos reales de modo mas o menos aproximado, podemos renunciar a ello y aplicar

un proceso de abstraccion en lugar de la idealizacion; en este proceso los objetos basicos no

se presentan como modelos de objetos fısicos, sino como conjuntos que verifican unas ciertas

propiedades. Ası, se podra describir algunos espacios de un modo muy simple:

El espacio sera simplemente un conjunto, a cuyos elementos se llamaran puntos y las rec-

tas y planos seran ahora subconjuntos del espacio que verificaran, por ejemplo, los postulados

siguientes (cuyo origen es indudablemente fruto de un proceso de observacion de rectas y pla-

nos como objetos fısicos, pero que son lo bastante poco exigentes como para que los cumplan

objetos muy generales):

1. Dos puntos distintos pertenecen a una recta y solo a una.

2. Tres puntos no situados en una misma recta, pertenecen a un plano y a uno solo.

3. La recta determinada por dos puntos de un plano esta contenida en el plano.

4. Dos planos que tienen un punto comun, necesariamente tienen un segundo punto comun.

El ejemplo mas simple de un espacio que verifica estos postulados es el conjunto de cuatro

puntos:

E = {A,B,C,D}

21

con las rectas:

R = {{A,B}, {A,C}, {A,D}, {B,C}, {B,D}, {C,D}}

y los planos:

P = {{A,B,C}, {A,B,D}, {A,C,D}, {B,C,D}}

Ası, se puede ver a que extremos conduce la sustitucion de un objeto por su modelo ideal;

las condiciones que se exigen al modelo (axiomas) no son necesariamente las que describen

el objeto modelizado y solo a este, se exigen solamente las condiciones mınimas que permiten

manejar el modelo. De este modo, la teorıa elaborada es aplicable no solo a los objetos de

partida, sino a otros que verifiquen las condiciones iniciales, y como se senala al principio,

cuanto menores sean las exigencias mayor sera el numero de objetos que las cumplan, y mas

lejos estaran de los que la intuicion reconoce como Geometrıa; este proceso de generalizacion,

algunas veces es esteril, pero otras lleva al desarrollo de sistemas formales cuyas aplicaciones

se descubren con posterioridad a su elaboracion, de modo que, como dice P. Griffiths: Uno de

los misterios profundos de la vida es la forma en la cual la mejor matematica pura, interesante

por si misma, inexplicablemente e imprediciblemente resulta ser util.

Y en el caso de la Geometrıa, esta utilidad no es privativa de la Geometrıa construida con

un sistema de axiomas proveniente de nuestra intuicion del espacio, tambien ramas tan aleja-

das de la intuicion como las geometrias finitas, han resultado tener interesantes aplicaciones a

problemas practicos como es el de codificacion.

Hemos elegido la Geometrıa de Euclides como ejemplo de Geometrıa del espacio ideal.

Para presentar la Geometrıa como ciencia del mundo fısico el mejor ejemplo es probablemente

la geometrıa de Hemholtz (1821 - 1894 ). Fısico, fisiologo y especialista en optica, Hemholtz

se situa en una linea de identificacion de la Geometrıa con la descripcion del mundo fısico, que

comienza en Galileo y Newton. Hemholtz considera la Geometrıa como el lenguaje exacto de

la naturaleza, como una teorıa que, gracias al caracter abstracto y logico de sus conceptos y

metodos, proporciona la garantıa de una aplicabilidad efectiva de las matematicas al estudio

del mundo real (Texto recogido en [(Boi, 1995)]).

El trabajo de Hemholtz es coetaneo e independiente del de B. Riemann, que afronta el

problema de describir el espacio fısico desde una optica puramente Matematica, es decir, desde

el punto de vista que antes se ha llamado ideal, pero tratando de describir la realidad, por

22

una parte de un modo mas preciso que Euclides y por otra de modo que abarque tambien la

posibilidad de un universo no Euclıdeo.

Son muy significativos los tıtulos de las publicaciones que ambos dedican al problema

del espacio, la de Hemholtz se titula: Sobre los hechos que estan en los fundamentos de la

geometrıa (Helmholtz, 1987), mientras que el tıtulo de la de Riemann (Riemann, 1923) es:

Sobre las hipotesis que estan en los fundamentos de la Geometrıa.

Segun Hemholtz resulta claro que se perciben cosas; ademas, el origen de las sensaciones

es independiente de la actividad mental y exterior a las personas. Las percepciones pueden

originarse en algo que simplemente esta, la materia, o en algo que actua sobre las personas o

produce cambios, las fuerzas. El espacio no es mas que una relacion entre los distintos objetos

y el movimiento es el cambio de esta relacion. El espacio comprende todos los cambios que

pueden producirse en la materia, es decir, los movimientos. Ası, Hemholtz introduce en la

Geometrıa las transformaciones, y tambien introduce las funciones, ligadas a los grados de

libertad (dimension). Para Hemholtz:

El espacio se extiende hasta el infinito y es infinitamente divisible.

Se admiten infinitas determinaciones del espacio diferenciadas por la dimension; en un

espacio de dimension n se puede fijar la presencia de un punto material mediante n

cantidades independientes (coordenadas) que varıan de forma continua (diferenciable) al

moverse el punto.

En el espacio hay subespacios de todas las dimensiones, cada subespacio de dimension t

esta dado por (n− t) ecuaciones, la lınea es el subespacio de dimension uno.

La longitud de la lınea mas corta entre dos puntos se llama distancia; si la distancia entre

dos puntos A y B es a y la distancia entre B y C es b, la distancia entre A y C no puede

ser menor que a− b ni mayor que a+ b.

Existen en el espacio sistemas de puntos y solidos rıgidos, que se pueden desplazar libre-

mente por el.

Si un cuerpo material de desplaza, todas sus partes mantienen inalterada su posicion

relativa. Si dos segmentos tienen la misma longitud se puede desplazar uno de ellos hasta

hacerlo coincidir con el otro.

23

Si un cuerpo se desplaza, las coordenadas de sus puntos varıan continuamente.

El planteamiento del Hemholtz presenta algunas lagunas logicas, y fue discutido por mu-

chos de sus coetaneos, pero desde el punto de vista de hoy presenta claras novedades respecto

a su epoca; la primera es la introduccion de los movimientos como elemento fundamental de la

geometrıa, la segunda la admision de la existencia fısica de los espacios de dimension arbitra-

ria y la tercera, aunque no es el primero que propone la idea, es la consideracion de la metrica

como un objeto local, ya que la distancia se presenta como solucion de un problema variacional

(un problema de mınima longitud de las curvas que unen dos puntos).

Esa es precisamente la idea de Riemann, para medir longitudes de curvas basta con medir

vectores en cada espacio tangente, y que los coeficientes de la metrica varıen diferenciablemen-

te con el punto. A la metrica de cada espacio tangente se le exige que verifique el Teorema de

Pitagoras, es decir, que sea definida positiva.

Un proceso de integracion permite medir curvas, y la distancia, como se ha dicho, es el

mınimo de las longitudes de las curvas que unen dos puntos. Ası, las rectas son las lıneas de

mınima distancia, las geodesicas, y no hay problema para definirlas. En esencia el metodo de

trabajo con los espacios abstractos es el mismo que usaba Gauss con las superficies, pero para

dar el salto entre la geometrıa de las superficies y la geometrıa de los espacios abstractos, es

decir, encontrar la relacion entre metrica y forma, todavıa fue necesario algun tiempo mas.

La relacion de la Geometrıa del mundo fısico con la Geometrıa ideal, o mas precisamente la

determinacion de cuales de los resultados de la geometrıa corresponden a hechos comprobables

experimentalmente y cuales son sımplemente definiciones, es el primer problema a resolver ya

que:

Las figuras de la Geometrıa son objetos ideales, a los que las figuras materiales del mundo

real solo pueden aproximarse, sin verificar nunca plenamente las propiedades que las caracte-

rizan. Ademas, para comprobar experimentalmente la invariabilidad de la forma de un cuerpo,

y la presencia en el mismo de rectas y planos, nos hace falta utilizar proposiciones relativas a

ellas, de modo que se hace necesario encontrar una suerte de demostracion experimental de

estas proposiciones (Helmholtz, 1987).

El merito de este planteamiento es que, junto con las geometrıas no Euclıdeas de Lobat-

chewski y Bolyai, abre la puerta a las dos formas actuales de concebir el tercer objeto de la

geometrıa, los espacios abstractos.

La primera se inicia en Riemann (1826–1866) como hemos dicho de modo simultaneo e

24

independiente del trabajo de Hemholtz. Riemann se fija unicamente en las funciones que de-

finen las coordenadas, el espacio para el era los que hoy en dıa se conoce por una variedad

diferenciable Remanniana de curvatura nula [(Laugwitz, 2014)]. La segunda se fija en los mo-

vimientos y alcanza su culminacion en el Programa de Erlangen de Klein [(Klein, 1872)], para

este, una Geometrıa es una conjunto, junto con un grupo que actua sobre el de modo transitivo,

las propiedades geometricas son aquellas que son invariantes por la accion del grupo. La Geo-

metrıa de Hemholtz encaja en este modelo; S. Lie caracterizo los grupos que corresponden en

el contexto de Klein a los espacios fısicos de Hemholtz, y para ello desarrollo la teorıa de los

llamados hoy en dıa grupos de Lie, [(Freudenthal, 1955)].

Esta seccion fue tomada del texto de J.M. Aroca y M.J. Fernandez Bermejo, Geometrıa

Proyectiva, [(Aroca and Bermejo, 2009)].

1.9. La Geometrıa Transformacional

La Geometrıa Transformacional o la Geometrıa de la Transformacion, es un enfoque mo-

derno de la Geometrıa Plana Euclidiana, la cual entre otros hechos, se centra en el estudio

de los movimientos rıgidos, esto es, en el estudio de las traslaciones, rotaciones, reflexiones,

reflexiones deslizantes y como estas se relacionan con la congruencia.

La Geometrıa de la Transformacion es una ciencia visual que se puede ensenar a traves de

ejercicios graficos atractivos y creativos.

En Matematicas, la Geometrıa Transformacional, es el nombre de una parte Matematica y

Pedagogica en el estudio de la Geometrıa al centrarse en grupos de transformaciones geometri-

cas y propiedades que son invariantes bajo ellas. Se opone al enfoque clasico de la Geometrıa

Sintetica de la Geometrıa Euclidiana, que se centra en demostrar teoremas.

Por ejemplo, en la Geometrıa Transformacional, las propiedades de un triangulo isosceles

se deducen del hecho de que este triangulo es transformado en si mismo por una reflexion

con respecto a una cierta recta. Esto contrasta con las pruebas clasicas segun el criterio de la

congruencia de triangulos.

El primer esfuerzo sistematico para utilizar las transformaciones como el fundamento de la

geometrıa fue realizado por Felix Klein en el siglo XIX, bajo el nombre Programa de Erlan-

gen [(Klein, 1872)]. Durante casi un siglo este enfoque permanecio confinado a los cırculos

de investigacion Matematica. En el sigo XX se hicieron esfuerzos para aplicar esta teorıa en la

25

Educacion Matematica.

Andrei Kolmogorov incluyo este enfoque (junto con la teorıa de conjuntos) como parte

de una propuesta para la reforma de la ensenanza de la geometrıa en Rusia. Estos esfuerzos

culminaron en 1960 con la reforma general de la ensenanza de las matematicas conocida como

el movimiento New Math. Referencia [(Wikipedia, 2019)].

1.10. Pedagogıa de la Geometrıa Transformacional

Una exploracion de la Geometrıa Transformacional frecuentemente se inicia con el estudio

de la simetrıa de reflexion que se encuentra en la vida diaria. La primera transformacion real es

la reflexion en una recta o la reflexion en contra de un eje. La composicion de dos reflexiones

en rectas que se intersecan resulta ser una rotacion o bien una traslacion cuando ellas son

paralelas.

Ası, a traves de las transformaciones, los estudiantes aprenden acerca de las isometrıas del

plano Euclidiano. Por ejemplo, considere la reflexion en una recta vertical y en una recta in-

clinada en 45 grados con respecto a la horizontal. Se puede observar que una composicion

ofrece un cuarto de giro (90 grados) en sentido antihorario, mientras que la composicion in-

versa ofrece un cuarto de giro en sentido horario. Tales resultados muestran que la Geometrıa

Transformacional incluye procesos no conmutativos.

Otra transformacion introducida a los jovenes estudiantes es la dilatacion. Sin embargo, la

reflexion como una transformacion del cırculo parece ser inapropiada para los grados inferiores.

Ası, la Geometrıa Inversiva, que es un estudio mas amplio de la GeometrıaTtransformacional

de la secundaria, suele reservarse para estudiantes universitarios.

Los experimentos con grupos de simetrıa concretos dan lugar a la Teorıa de Grupos. Otras

actividades concretas utilizan calculos con numeros complejos, numeros hipercomplejos o ma-

trices para expresar la Geometrıa Transformacional.

Estas lecciones de la Geometrıa Transformacional presentan una vision alternativa que con-

trasta con la Geometrıa Sintetica Clasica. Cuando los estudiantes se encuentran con la Geo-

metrıa Analıtica, las ideas de rotacion y reflexion de coordenadas se siguen facilmente. Todos

estos conceptos nos preparan para el Algebra Lineal donde se amplıa el concepto de reflexion.

Los educadores han mostrado cierto interes y han descrito proyectos y experiencias con

la Geometrıa Transformacional para ninos y adolescentes desde la primaria (inicial) hasta la

26

escuela secundaria. En el caso de los ninos de muy corta edad, para evitar la introduccion de

una nueva terminologıa y establecer vınculos con la experiencia cotidiana de los estudiantes

con objetos concretos, a veces se recomienda usar palabras con las que estan familiarizados,

como voltereta para las reflexiones a traves de rectas, resbalar para las traslaciones y giros

para las rotaciones, aunque no sea un lenguaje matematico preciso. En algunas propuestas, los

estudiantes comienzan con objetos concretos antes de realizar las transformaciones abstractas

a traves de sus definiciones de mapear cada punto de la figura.

En un intento por reestructurar los cursos de Geometrıa en Rusia, Kolmogorov surgirio pre-

sentarlos bajo el punto de vista de las transformaciones, por lo que los cursos de Geometrıa

se estructuraron basados en la Teorıa de Conjuntos. Esto condujo a la aparicion del termino

congruente en los colegios (escuelas) para figuras que antes se llamaban “iguales”: puesto que

una figura fue vista como un conjunto de puntos, por ende, solo podıa ser igual a sı misma, y

dos triangulos que podıan superponerse se decıa que eran congruentes. Segun The Free Ency-

clopedia, [(Wikipedia, 2019)].

27

Capıtulo II

Marco Operativo

2.1. Problema

2.1.1. Fundamentacion

En el contexto mundial, segun el informe de la evaluacion Pisa, el Peru participo en las

evaluaciones del 2001 y 2009 quedando en el penultimo lugar en matematica en todas las cate-

gorıas. En la evaluacion del 2013, ocupo el ultimo lugar con un puntaje de 368 superado por los

otros 64 paıses participantes de la evaluacion. En la evaluacion del 2015, Peru obtuvo un pun-

taje de 387 trepando al puesto 62, en esta ocasion por primera vez se utilizaron computadoras

para la prueba. En la evaluacion del 2018 no se tiene mayor informacion al respecto, pero es

claro que nuestra situacion no debio de cambiar mucho, [(Contreras, 2017)]. Estos resultados

causaron una gran preocupacion al Ministerio de Educacion, afirmando este que: se necesitan

cambios dramaticos en el sistema educativo peruano.

En la actualidad, si bien es cierto que se hacen algunos esfuerzos por parte del gobierno

central para mejorar esta situacion, esto no es suficiente y la educacion, en particular la edu-

cacion matematica en el paıs, se encuentra en una situacion crıtica. Causas de esta situacion,

existen muchas, por ejemplo, los bajos presupuestos educativos, maestros poco dedicados o

mal preparados, falta de infraestructura, ausencia de voluntad polıtica, entre otros. Se buscan

soluciones en el profesorado y la metodologıa educativa. Uno de los aspectos mas elementales

es el de la capacitacion y mejoras en las condiciones laborales de los profesores, incluyendo

salarios. Pero, por supuesto, brindar capacitaciones, infraestructura y aumentos de sueldo no

ayudara mucho si es que el maestro no esta motivado por su profesion, y por el deseo de dejar

atras esta crisis que se presenta en la educacion peruana. En este contexto educativo, tratando de

aportar en la mejora de esta situacion en el aspecto de la metodologıa educativa, es que se desa-

rrolla esta propuesta didactica. La cual propone el uso de las Tecnologıas de la Informacion

y Comunicacion (TIC) y las transforma en las Tecnologıas del Aprendizaje y Conocimiento

(TAC).

El objeto de estudio es la Geometrıa Transformacional que es un enfoque moderno de la

Geometrıa Plana Euclidiana [(Remsing, 2006)], la cual entre otros hechos, se centra en el estu-

dio de los movimientos rıgidos, esto es, en el estudio de las traslaciones, rotaciones, reflexiones,

reflexiones deslizantes y como estas se relacionan con la congruencia. La Geometrıa Transfor-

macional es una ciencia visual que se puede ensenar a traves de ejercicios graficos atractivos y

creativos, [(Remsing, 2006)].

Puesto que es una ciencia visual, se hace uso del software educativo The Geometer’s

Sketchpad, el cual ofrece a los estudiantes de todos los niveles, una forma tangible y visual

de aprender matematicas. El software The Geometer’s Sketchpad es la herramienta optima pa-

ra las pizarras interactivas. Los profesores pueden usarlo diariamente para ilustrar e iluminar

ideas matematicas.

Esta propuesta educativa, como plan piloto, se realiza en la Escuela Profesional de Ciencias

Fısico Matematicas de la Universidad Nacional del Altiplano. Es claro que esta propuesta edu-

cativa, puede ser puesta en marcha en cualquier institucion educativa basica regular o superior.

2.1.2. Problema General

¿Es posible formular una propuesta didactica, haciendo uso de las Tecnologıas de la

Informacion y Comunicacion, para mejorar la ensenanza y aprendizaje de la Geometrıa

Transformacional del Plano?

29

2.1.3. Problemas Especıficos

¿Los estudiantes del primer ciclo 2019-I de la Escuela Profesional de Ciencias Fısico Ma-

tematicas de la Universidad Nacional del Altiplano mejoraron su rendimiento academico

con la puesta en marcha de esta propuesta didactica?

¿El software educativo The Geometer’s Sketchpad es la TIC que mejor se presta para tal

proposito?

¿Cual es el efecto y la propuesta didactica de la aplicacion del software The Geometer’s

Sketchpad en la ensenanza y aprendizaje de la Geometrıa Transformacional del Plano

a los estudiantes del primer ciclo 2019-I de la Escuela Profesional de Ciencias Fısico

Matematicas de la Universidad Nacional del Altiplano?

2.1.4. Justificacion

La estrategia metodologica mas adecuada para abordar el estudio de la Geometrıa en gene-

ral, debe estar basada en la utilizacion de recursos dinamicos que permitan a los estudiamtes

interactuar con los objetos matematicos y, a los profesores, mostrar con rapidez los conceptos

[(Galaz, 2005)].

Las TIC hacen posible crear ambientes dinamicos a la vez que ayudan a los estudiantes a

posicionarse en situaciones de “querer descubrir”, aspectos que de por si ya conforman unas

buenas condiciones iniciales para el aprendizaje. El software de matematicas dinamicas puede

hacer una diferencia significativa en el aprendizaje y compresion de los estudiantes [(Mason,

2013)]; ası mismo, puede mejorar la capacidad de un maestro para demostrar conceptos ma-

tematicos.

Para alcanzar estos objetivos, el software debe ser matematicamente preciso, facil de usar

y pedagogicamente bien disenado [(Mason, 2013)]. En este sentido el software educativo The

Geometer’s Sketchpad destaca de los demas (por ejemplo, de GeoGebra) porque precisamen-

te cumple las tres condiciones mencionadas anteriormente. Por ejemplo, las construcciones

de Sketchpad se ajustan a las normas Euclidianas y a la Geometrıa que se ensena; GeoGe-

bra, difiere significativamente de esas normas en varios aspectos. Por otro lado, la Geometrıa

Transformacional del Plano se centra en el estudio de los movimientos rıgidos, es una ciencia

visual que se puede ensenar a traves de ejercicios graficos atractivos y creativos, es divertida de

30

aprender y ensenar. El espıritu que direcciona este trabajo para la practica matematica, cambia

el enfoque de la ensenanza puramente axiomatico de Euclides a la transformacion mas visual y

conceptual de Felix Klein.

La propuesta didactica que se formula es que, mediante la motivacion del software educa-

tivo The Geometer’s Sketchpad, se espera mejorar la capacidad del estudiante para visualizar y

razonar sobre ideas geometricas.

Esta propuesta se manifiesta en actividades exploratorias al inicio de cada tema objeto de

estudio. Con estas actividades se pretende explorar ideas matematicas y descubrir relaciones

entre ellas.

Con esta propuesta didactica se pretende beneficiar a los estudiantes del primer ciclo 2019-

I de la Escuela Profesional de Ciencias Fısico Matematicas de la Universidad Nacional del

Altiplano.

2.1.5. Limitaciones

A continuacion, se presentan las limitaciones que se encontraron durante el desarrollo de la

investigacion.

El tema de la Geometrıa Transformacional del Plano que corresponde a un curso de

Geometrıa Analıtica o Geometrıa Euclidiana, pocas veces se dicta o si se hace ello, se

toca el tema muy superficialmente; por consiguiente, este tema que es muy importante

en la formacion academica del estudiante, no desarrolla mayor trascendencia en el co-

nocimiento educativo. Esto se cumple tanto en el nivel secundario como tambien en el

nivel universitario donde, generalmente, en el area de ingenierıas, se lleva un curso de

Geometrıa Analıtica. Cabe indicar, que por la amplitud del tema y por la repercusion que

tiene en otras areas del conocimiento, la Geometrıa Transformacional del Plano puede

ser desarrollada como un curso.

Desconocimiento en el sistema educativo de la existencia del software educativo The

Geometer’s Sketchpad. Esto puede corroborarse en el documento “25 herramientas TIC

para el aula de matematicas”[70], distribuido por el Ministerio de Educacion del Peru a

todas las Instituciones Educativas estatales del paıs. Este desconocimiento, puede deberse

a que la licencia para el uso de este software no es gratuita. Sin embargo, se tiene una ver-

sion libre (con algunas restricciones) de este software que muy bien puede ser aprovecha-

31

do por el sistema educativo. Esta version libre puede ser encontrada en la pagina web de

McGraw Hill Education, The Geometer’s Sketchpad (info.mheducation.com/Sketchpad.Download.html).

Es posible, a partir de este ano 2019, acceder libremente a la version web de este softwa-

re, WSP (geometricfunctions.org/fc/tools/).

Poco tiempo para la aplicacion de las actividades de la propuesta.

Falta de conocimientos geometricos previos de los estudiantes del primer ciclo 2019-I de

la Escuela Profesional de Ciencias Fısico Matematicas de la Universidad Nacional del

Altiplano. En general, esta escasez de conocimientos previos, es un grave problema de

nuestro sistema educativo. Es dura la realidad academica de la mayorıa de los estudiantes

que egresan de los colegios. Los profesores tienen que hacer mucho al respecto, queda

en sus manos y en el sistema educativo del paıs dar solucion a este crıtico problema.

2.2. Objetivos

2.2.1. Objetivo General

Ofrecer una propuesta didactica con el uso del software educativo The Geometer’s Sketch-

pad para la ensenanza y aprendizaje de la Geometrıa Transformacional del Plano, a los estu-

diantes del primer ciclo 2019-I de la Escuela Profesional de Ciencias Fısico Matematicas de la

Universidad Nacional del Altiplano.

2.2.2. Objetivo Especifico

Obtener mejoras en el rendimiento academico de los estudiantes del primer ciclo 2019 - I

de la Escuela Profesional de Ciencias Fısico Matematicas de la UNA - Puno, en la ensenanza y

aprendizaje de la Geometrıa Transformacional del plano con el uso de software The Geometer’s

Sketchpad.

2.3. Hipotesis

Con una adecuada motivacion metodologica que es el uso del software educativo The Geo-

meter’s Sketchpad, se eleva el rendimiento academico en la ensenanza y aprendizaje de la

32

Geometrıa Transformacional del Plano de los estudiantes del primer ciclo de la Escuela Profe-

sional de Ciencias Fısico Matematicas de la Universidad Nacional del Altiplano durante el ano

academico 2019-I.

2.3.1. Identificacion y Operacionalizacion de Variables

Variable Dependiente: Elevar el rendimiento academico en la ensenanza y aprendizaje de la

Geometrıa Transformacional del Plano.

Variable Independiente: Uso adecuado del software educativo The Geometer’s Sketchpad.

2.3.2. Definicion conceptual

Ensenanza y aprendizaje de la Geometrıa Transformacional del Plano.

El proceso de ensenanza-aprendizaje de la Geometrıa Transformacional del Plano, es el

procedimiento mediante el cual se transmiten y evaluan conocimientos, se desarrollan

destrezas y habilidades, se incorporan y asimilan resultados relacionados con las trans-

formaciones isometricas del plano: traslaciones, rotaciones, reflexiones y simetrıas.

Uso del software educativo The Geometer’s Sketchpad.

Es un software educativo, disenado para crear, explorar y analizar una amplia gama de

conocimientos matematicos; en particular, permite la exploracion y aprendizaje de la

geometrıa Euclidia y transformacional de forma interactiva y dinamica.

2.3.3. Definicion operacional

Ensenanza y aprendizaje de la Geometrıa Transformacional del Plano.

Es la capacidad para:

1. caracterizar las traslaciones, rotaciones, reflexiones y las composiciones que se rea-

lizan entre ellas.

2. describir los cambios observados entre una figura y su imagen de cualquiera de las

transformaciones antes mencionadas.

3. relacionar y analizar propiedades de las figuras geometricas del plano, cuando estas

son trasladadas, rotadas y/o reflejadas.

33

4. construir, utilizando escuadra y compas o un software geometrico adecuado, figuras

simetricas, trasladadas, rotadas y/o reflejadas.

5. disenar composiciones sencillas que incorporen las transformaciones antes citadas

como, por ejemplo, teselaciones.

6. reconocer simetrıas, rotaciones, traslaciones y reflexiones en la naturaleza, en las

obras de arte, en las artesanıas, etc.

7. describir patrones que se observan durante la aplicacion de las transformaciones

isometricas en un sistema de coordenadas.

Uso del software educativo The Geometer’s Sketchpad.

Es un software dinamico que permite:

1. construir puntos, lıneas triangulos, polıgonos, cırculos y otros objetos geometricos.

2. construir modelos matematicos interactivos que van desde investigaciones basicas

sobre formas y numeros hasta ilustraciones avanzadas y animadas de sistemas com-

plejos.

3. construir y explorar transformaciones isometricas.

4. explorar las ideas matematicas en Geometrıa, Algebra, Trigonometrıa, Calculo y

otras areas.

5. presentar un entorno atractivo en el aula, para definir conceptos matematicos, mo-

delar preguntas y animar a los estudiantes a conjeturar, esto es, a plantear los “ex-

perimentos del pensamiento . . . ¿que pasarıa, si . . . ?”.

6. ayudar a probar las propiedades de las construcciones geometricas y descubrir nue-

vos resultados.

2.3.4. Operacionalizacion de las variables

34

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35

2.4. Aspecto Operativo

2.4.1. Tipo de Investigacion

Aplicada.

2.4.2. Diseno

Cuasi experimental, transversal post tratamiento con grupo experimental y grupo de control.

Se utilizo este diseno porque no se pudo utilizar la aleatorizacion para la asignacion de unidades

de analisis a los grupos experimental y de control. El tratamiento se administro a un grupo

experimental de estudiantes del primer ciclo 2019-I de la Escuela Profesional de Ciencias Fısico

Matematicas de la Universidad Nacional del Altiplano, tomandose el colectivo del primer ciclo

2018-I de la misma Escuela Profesional como el grupo de control.

2.4.3. Metodo

Hipotetico-deductivo.

Se describe el comportamiento de la variable rendimiento academico en la ensenanza y apren-

dizaje de la Geometrıa Transformacional del Plano, utilizando graficas como el histograma

y medidas estadısticas descriptivas de resumen. Posteriormente, se utilizan otros metodos es-

tadısticos para comprobar las hipotesis planteadas en la presente investigacion.

2.4.4. Poblacion, Universo

40 estudiantes del primer cic 2019-I y 54 estudiantes del primer ciclo 2018-I de la Escuela

Profesional de Ciencias Fısico Matematicas de la Universidad Nacional del Altiplano.

2.4.5. Muestra

27 estudiantes del grupo experimental del primer ciclo 2019-I y 54 estudiantes del grupo de

control del primer ciclo 2018-I de la Escuela Profesional de Ciencias Fısico Matematicas de la

Universidad Nacional del Altiplano.

36

2.4.6. Muestreo

No probabilıstico por conveniencia (intencionado).

2.4.7. Instrumentos

Variable 1

Uso del software educativo The Geometer’s Sketchpad para ser aplicado en la ensenanza y

aprendizaje de la Geometrıa Transformacional del Plano.

Aplicacion: 02 veces por semana:

26 de junio de 2019, en el horario de 15:00 - 17:00 horas.

27 de junio de 2019, en el horario de 09:00 – 11:00 horas.

Ambas sesiones, dictadas en el Centro de Computo de la Escuela Profesional de Ciencias Fısico

Matematicas.

Forma de administracion: Colectivo e interactivo. Actividades Exploratorias. Uso del Soft-

ware con el proyector multimedia.

Variable 2

Rendimiento academico en la ensenanza y aprendizaje de la Geometrıa Transformacional

del Plano, motivado con el uso del software The Geometer’s Sketchpad.

Aplicacion: 02 veces por semana:

10 de julio de 2019, en el horario de 11:00 - 14:00 horas.

12 de julio de 2019, en el horario de 11:00 - 14:00 horas.

Ambas sesiones dictadas en el aula 203 de la Escuela Profesional de Ciencias Fısico Matemati-

cas.

Forma de administracion (Instrumento): Hojas de trabajo. Test de comprension. Exame-

nes de comprension.

37

Procedimiento: Se utilizo la prueba de Shapiro Wilk (Kolmorov Smirnov) para poder de-

terminar si se cumple la condicion de normalidad (hipotesis) y la prueba de homocedasticidad

(varianzas iguales). Si se cumplen estas condiciones se usaran pruebas parametricas, como t

de student o ANOVA. De lo contrario, si no se cumple al menos una de ellas, se utilizaran

las pruebas no parametricas de U de Mann Whitney y Rangos-signos de Wilconxon para los

contrastes de hipotesis que estan relacionados a los objetivos de la presente investigacion.

2.4.8. Resultados

Para obtener los resultados de esta investigacion se aplicaron dos Test y un Examen de

Comprension que se citan en los anexos de este trabajo.

Para realizar el analisis estadıstico se utilizo el software IBM SPSS version 22.

Se realizo un analisis descriptivo, mostrando los principales estadısticos, media y desviacion

estandar para ambos grupos.

Figura 2. 1: Resumen estadıstico y grafico de la media POST TEST. Fuente: Construccionpropia.

Como se observa en la tabla del resumen estadıstico y el grafico correspondiente, hay di-

ferencias entre la media de los puntajes obtenidos en ambos grupos, pero las variaciones son

similares.

Para responder a las hipotesis de la presente investigacion, se utilizara la prueba de Sha-

piro Wilk, para poder determinar si se cumple la condicion de normalidad, a continuacion, se

muestran los resultados:

En el caso de utilizar la prueba Shapiro Wilk, para el grupo total (control y experimental), el

p−valor = 0, 02. Como p−valor = 0, 02 > 0, 05, entonces no se puede asumir la normalidad.

38

(a)

(b)

Figura 2. 2: Pruebas de Shapiro-Wilk y Kolmogorov-Smirnov. Fuente: Construccion propia.

En este caso se utiliza la prueba no parametrica U de Mann Whitney.

En el caso del grupo de control el p − valor = 0, 194 > 0, 05 y en el grupo experimental el

p− valor = 0, 024 < 0, 05.

Como no se cumple en ambos casos, entonces no se puede asumir la normalidad. En este

caso se utiliza la prueba no parametrica U de Mann Whitney. La prueba no parametrica U de

Figura 2. 3: Ninguno de los grupos satisface la normalidad. Fuente: Construccion propia.

Mann Whitney, se utiliza para poder determinar si hay un efecto significativo en el rendimiento

academico con el uso del software The Geometer’s Sketchpad. A continuacion, se muestran los

resultados:

Figura 2. 4: Fuente: Construccion propia.

Como p− valor = 0, 018 < 0, 05, entonces existe una diferencia significativa en la mejora

39

del rendimiento academico de la Geometrıa Transformacional del Plano motivado con el uso

del software educativo The Geometer’s Sketchpad.

Figura 2. 5: Grafico de cajas y bigotes. Fuente: Construccion propia.

El grafico de cajas y bigotes (box-plot), muestra las diferencias entre la media de los pun-

tajes obtenidos en ambos grupos, siendo las variaciones similares.

40

Capıtulo III

Propuesta Didactica

En este capıtulo, se ofrece la propuesta didactica para una correcta y satisfactoria ensenan-

za de la Geometrıa Transformacional del Plano. Se basa esta propuesta en el uso del softwa-

re dinamico The Geometer’s Sketchpad, software que permitira construir, explorar y analizar

construcciones geometricas, para luego conjeturar propiedades y relaciones de dichas construc-

ciones. Seguidamente, una vez que se esta lo suficientemente motivados, se pasa al desarrollo

formal del tema. En este nivel del desarrollo formal, se presenta una gran deficiencia en el siste-

ma educativo: no se ensena lo que se debe ensenar. Factores de esta situacion, existen varios,

por ejemplo, la falta de tiempo, la escasez de bibliografıa, etc, pero el factor principal de esta

situacion es que el docente del tema esta poco instruido, tiene escazo conocimiento de la teorıa

formal. En esta propuesta, se desarrolla una teorıa formal de la Geometrıa Transformacional del

Plano. Basamos este desarrollo en los textos [(Leonard et al., 2014b; Umble and Han, 2014;

Brown, 1989)].

El esquema empleado en esta propuesta es la siguiente:

una explicacion suscinta del software The Geometer’s Sketchpad,

desarrollo de actividades exploratorias para el manejo del software,

una explicacion suscinta de Web Sketchpad, que es una pagina web donde se trabaja con

el software de un modo directo,

desarrollo formal de la Geometrıa Transformacional del Plano. Motivamos cada tema de

este desarrollo con el uso del software a traves de una actividad exploratoria,

se aplica la teorıa desarrollada de la Geometrıa Transformacional del Plano a la resolu-

cion de ciertos problemas practicos que se presentan ordinariamente en Matematicas.

3.1. Uso de The Geometer’s Sketchpad

Las Matematicas a menudo se ven como una lista estatica de hechos y procedimientos. Esto

es desafortunado, ya que esta perspectiva no deja espacio para la emocion y la satisfaccion que

puedan surgir al explorar ideas Matematicas y descubrir relaciones Matematicas.

Incluimos esta parte de hacer Matematicas en el estudio de la Geometrıa. Se espera mejorar

la capacidad, para visualizar y razonar sobre ideas geometricas. The Geometer Sketchpad, un

dinamico y poderoso paquete de software de geometrıa, hara que sea mas facil ver, literalmen-

te, lo que sucede con varios objetos geometricos (puntos, lıneas, segmentos, cırculos, etc.) y

las relaciones entre ellos a medida que se mueven uno con respecto al otro. Mientras que se

desarrollan las actividades de esta seccion, se piensa en lo que significa crear una construccion

dinamica y en que se diferencia de un dibujo estatico. Al final de esta seccion, se espera estar

familiarizados con algunas de las construcciones basicas disponibles en Sketchpad.

Al iniciar el estudiante, su estudio de la Geometrıa universitaria y/o escolar, se le invitara

a observar muchos ejemplos y explorar muchas ideas, utilizando Sketchpad como herramienta

para sus exploraciones. Se le pedira que haga muchas observaciones y que formule conjeturas

basadas en sus observaciones. En general, una conjetura es una afirmacion expresada en la

forma: si . . . (hipotesis) . . . entonces, . . . (conclusion) . . . .

La hipotesis incluye los supuestos que esta haciendo y los hechos o condiciones dados

en el problema. La conclusion es lo que se afirma que siempre ocurrira si se cumplen las

condiciones mencionadas en la hipotesis. A medida que el estudiante crezca en su madurez

Matematica, puede expresar sus conjeturas sin usar: si . . . entonces, . . . , pero por ahora se le

recomienda utilizar este formato. Debido a que la conclusion debe seguirse de la hipotesis,

escribir sus conjeturas en este formato hace que su hipotesis sea explicita y clara, y esto le

ayudara a desarrollar pruebas claras y solidas. Una vez que haya desarrollado una prueba para

42

una conjetura y la haya probado haciendo que sus colegas y/o companeros la critiquen junto

con el docente, puede llamarlo teorema.

Se espera que la participacion en el conjunto de actividades a desarrollar, despierte la curio-

sidad del estudiante acerca de algunas ideas importantes en Geometrıa. Se debe de aprovechar

al maximo esta propuesta de actividades realizando un esfuerzo serio en estas exploraciones y

pensando en las ideas subyacentes que se presentan a traves de ellas. Despues de esta serie de

actividades, se presenta la teorıa formal sobre estas ideas importantes. En el desarrollo de la

teorıa, se da respuesta a muchas de las preguntas planteadas en las actividades.

Las construcciones geometricas introducidas en las actividades, se utilizaran a lo largo de

esta propuesta. Por lo tanto, se debe prestar atencion a las herramientas de Sketchpad mientras

se trabaja en las actividades. Sin embargo, el objetivo en este punto, es explorar ciertas confi-

guraciones geometricas para luego hacer conjeturas sobre lo que se observa. No se prueba nada

en esta parte, pero se deberıa preguntar si se puede explicar lo que esta pasando. Se deben hacer

preguntas tales como: ¿Que esta pasando aquı?, ¿Por que esta sucediendo?. . . ¿Que propieda-

des de las figuras podrıan llevar a los resultados aparentes?. . . En esta parte del trabajo, se les

inculca un poco de curiosidad geometrica.

3.1.1. El Inicio con Sketchpad

The Geoemeter’s Sketchpad, es una herramienta dinamica para la Geometrıa, que el profesor y

estudiante pueden usar para crear figuras muy elaboradas. Afortunadamente, incluso un prin-

cipiante puede hacer muchas cosas interesantes de inmediato. A medida que se practique, se

volvera mas y mas sofisticado con Sketchpad. Al igual que con cualquier buena herramienta

de software, hay varias formas de realizar la mayorıa de las tareas. En poco tiempo, se puede

incluso, descubrir que es posible ensenar algunos trucos utiles a los companeros y/o profesor.

En esta seccion, se experimenta con algunas de las capacidades de The Geometer’s Sketchpad.

Primeramente debe sentarse frente a una computadora y ejecutar Sketchpad. En la parte

superior de la pantalla se encuentran los comandos para los menus que Sketchpad tiene dis-

ponibles. Se utilizan solo algunos de estos menus y se guardan lo mas especializados para el

trabajo propiamente dicho (ver Figura 3. 2).

A menudo, es util tener una pagina separada para cada actividad a desarrollar. En lugar de

utilizar muchos archivos individuales, puede crear un solo documento con varias paginas. Haga

clic en el menu File y elija Document Options para configurar un documento de Sketchpad

43

Figura 3. 1: Entorno de The Geometer’s Sketchpad. Fuente: [(Sketchpad, )].

de varias paginas que guarde su trabajo. Agregue varias paginas en blanco a este documento,

asegurese de que Mostrar Pestanas de la pagina este marcado y haga clic en Aceptar. A veces,

puede elegir agregar una pagina copiando un diseno de una actividad anterior. Use las pestanas

de la pagina para ir a la pagina uno de este documento.

En el lado izquierdo de la pantalla se encuentra el cuadro de herramientas, que contiene

las herramientas basicas que utilizara una y otra vez. Vale la pena tratar cada una de estas

herramientas individualmente. Algunos de los ıconos se pueden utilizar para realizar diferentes

construcciones geometricas. Se empieza con las herramientas Flecha, Punto, Regla y Marcador.

Use la herramienta Flecha para seleccionar y mover objetos en el bosquejo. Haga

clic en cualquier objeto (un punto, una lınea, un segmento, un cırculo, un arco)

para seleccionarlo, el objeto sera resaltado. Vuelva a hacer clic en el objeto para

deseleccionarlo o haga clic en una region abierta (espacio en blanco) en cualquier

44

lugar del boceto para deseleccionar todos los objetos. Puede arrastrar los objetos seleccionados

a traves del boceto, o puede eliminarlos. Ademas, el color y el grosor de un objeto seleccionado

se puede cambiar mediante el uso de comandos en el menu Display. (Nota: si se mantiene

presionada la herramienta Flecha, se debe apreciar tres opciones. Por ahora, se utilizara solo la

flecha de selecciona basica).

Use la herramienta Point para construir puntos en el boceto. El nuevo punto se

mostrara al final de una flecha. Cuando mueva o construya un punto sobre otro

objeto, observe el objeto se resalta, lo que indica que puede construir el nuevo

punto en este objeto. Esto restringe el punto a estar en el objeto, y es util para

colocar puntos en rectas o cırculos. Si un punto se construye en una region abierta, entonces es

libre de moverse sobre todo el plano.

Las herramientas de Straightedge se usan para construir objetos rectos: segmentos, rayos

o rectas. Si mantiene presionado este boton, se veran las tres opciones disponibles.

Figura 3. 2: Las herramientas de Segment Straightedge. Fuente: [(Sketchpad, )].

La herramienta Marker tambien se conoce como Ink Tools. Su icono parece un

lapiz. Esta herramienta se puede usar para escribir o dibujar a mano alzada, como

lo harıa con un marcador de punta. La tinta vertida por este marcador se visualiza

como un objeto o una imagen mediante Sketchpad; se puede deslizar este objeto,

cambiar su tamano, transformarlo, etc. La herramienta Marker tambien se puede usar para

marcar angulos y segmentos. Una vez que se marca un angulo con esta herramienta, se puede

medir facilmente el tamano del angulo con una opcion en el menu Measure.

Se usa la herramienta Text para escribir observaciones y conjeturas en la hoja de

trabajo. Seleccione la herramienta Text y haga doble clic en un espacio en blanco

(area blanca del diagrama) para crear un cuadro de texto o titulo. Observe que la

paleta del texto aparece en la parte inferior del bosquejo y le brinda opciones que

le permiten cambiar la fuente, el tamano, el color y el estilo del texto en una leyenda. Tam-

bien existe un boton en la paleta del texto que le permite utilizar notacion Matematica, como

subındices y sımbolos especiales en la leyenda.

La herramienta Text, tambien se usa para etiquetar objetos en el bosquejo. Simplemente

45

haga clic en el objeto y aparecera una etiqueta. Si hace doble clic (en una Mac) o hace clic de-

recho (en una Pc) y selecciona Properties, puede cambiar la etiqueta. Las etiquetas se mueven

para quedarse con sus objetos.

Otra forma de dibujar un cuadrilatero es usar la herramienta Polygon. Si se man-

tiene presionado este boton, se veran las tres opciones disponibles. Haga clic para

construir cada vertice, luego haga doble clic en el ultimo vertice o haga clic nueva-

mente en el primer vertice para completar el polıgono.

Se usa la herramienta Compass para construir cırculos. Haga clic para seleccionar

el centro y deslice para construir el cırculo. Esto creara un circulo con un punto

central y un punto en el cırculo. Estos dos puntos definen el cırculo; el movimiento

de cualquiera de ellos alterara el cırculo.

Para completar la discusion de las opciones disponibles en Toolbox en el margen

izquierdo de la pantalla, se observa el ıcono de la herramienta Objet Information.

Si selecciona la herramienta Object Information y hace clic en cualquier objeto en

la ventana de Sketchapad, se obtendra informacion en una ventana de globo acerca

de como fue construido el objeto.

En la parte inferior de la caja de herramientas, se encuentra el ıcono de la herramien-

ta Custom. A veces es posible que necesite herramientas personalizadas especia-

les, ya sea herramientas proporcionadas por Sketchpad o herramientas creadas por

el usuario. Esta opcion le permite seleccionar cualquier herramienta personalizada

que se haya creado o abierto para su diseno actual.

Mientras se trabaja en las actividades de Sketchpad, probablemente note que despues de

construir un objeto y seleccionarlo, las opciones disponibles en los menus en la parte superior

de la pantalla son las apropiadas para los objetos que ha seleccionado. Si la opcion que desea

esta en gris, verifique que haya seleccionado solo los objetos necesarios para la accion que

pretende hacer.

Una de las elecciones ofrecidas en el menu Number es una calculadora, en ella se puede

ingresar valores para ser calculados; o puede seleccionar objetos que son el resultado de una

medicion, tal como el tamano de un angulo o la longitud de un segmento de recta y usar estas

medidas en sus calculos.

Algunas veces se debe imprimir el trabajo que se realizo usando Sketchpad. Antes de im-

primir su trabajo, debe siempre elegir Print Preview del menu File. A veces, un diagrama, de

46

tamano considerable, de Sketchpad se imprimira en dos o mas paginas. Si usa Print Preview,

estara disponible la eleccion Scale o bien Fit To Page. A veces, la parte mas interesante del

diseno de Sketchpad caera sobre el salto de pagina; escalando el diagrama para que se ajuste

en una sola pagina, ahorrara la frustracion de volver a imprimir las paginas que no aparecen tal

como se esperaba.

Usar diferentes colores puede ayudar a centrar su atencion en ciertas partes de una figu-

ra, mientras experimenta con una construccion. Por ejemplo, seleccione los cuatro segmentos

de recta que unen los puntos medios de un cuadrilatero original y vaya al menu Display. El

comando Color le ofrece muchas opciones. Elija un nuevo color. Fıjese de nuevo en el cua-

drilatero que se construyo conectando los puntos medios. Debido a que este cuadrilatero de los

puntos medios tiene ahora un color de contraste, puede ser mas facil ver porque es interesante

el uso de los colores. Use la herramienta Arrow para arrastrar uno de los vertices originales

alrededor del boceto y observe que el cuadrilatero construido con los puntos medios y que tiene

un color de contraste, es un paralelogramo.

3.2. Actividades Para el Uso de The Geometer’s Sketchpad

Realice las siguientes actividades, prestando atencion a cualquier cosa que observe mientras

construye cada diagrama. podra responder muchas de las preguntas planteadas aquı, escribien-

do una o dos afirmaciones directamente en el diagrama de Sketchpad. Escriba sus observa-

ciones claramente mediante afirmaciones completas. Intente pensar en explicaciones para las

cosas que observa.

Guarde el trabajo de cada actividad, ya que el trabajo posterior a veces se basa en el trabajo

anterior. Use Document Options en el menu File, para configurar y guardar su trabajo de estas

actividades en un documento de Sketchpad de varias paginas.

Todas estas actividades han sido elaboradas por el autor de este trabajo.

Actividad exploratoria 1. Uso de The Geometer’s Sketchpad

1. Use las herramientas Punto y Regla para construir un cuadrilatero. Compruebe si

su bosquejo es consistente (dinamico) moviendo uno de los vertices y viendo si la

figura sigue siendo un cuadrilatero.

2. Use la opcion Midpoint (Punto Medio) y Construct para construir los puntos me-

47

dios de los lados del cuadrilatero. Conecte estos puntos medios en orden. ¿Que tipo

de figura se forma?. Complete la siguiente proposicion:

“Si los puntos medios de un cuadrilatero arbitrario estan conec-

tados en orden, el cuadrilatero resultante de los puntos medios es

................................”.

Deslice los vertices del cuadrilatero original para ayudarle a decidir si su conjetura

es siempre correcta.

3. Use la herramienta Marcador para marcar los angulos de los puntos medios de

este cuadrilatero y una opcion en el menu Measure para medir estos angulos. ¿Que

observa acerca de estos angulos?.

4. Puede medir el area de un polıgono haciendo clic en cada uno de sus vertices,

construyendo su interior usando una opcion en el menu Construct, y luego usando

la opcion apropiada en el menu Measure. Mida las areas del cuadrilatero original y

del cuadrilatero de sus puntos medios. ¿Que observa acerca de estas areas?. Exprese

esta observacion como una conjetura, completando la siguiente proposicion:

“Si los puntos medios de un cuadrilatero arbitrario estan conectados

en el sentido de las agujas del reloj, el area del cuadrilatero resultante de

los puntos medios sera ..........................”.

Deslice los vertices del cuadrilatero original. ¿La conjetura sigue siendo valida?.

Actividad exploratoria 2. Uso de The Geometer’s Sketchpad

1. En la siguiente pagina de su documento de Sketchpad, construya y etiquete un cua-

drilatero arbitrario, WXY Z. Dibuje las diagonales WY y XZ. El diagrama sera

mas facil de analizar, si usa una opcion en el menu Display para elegir diferentes

colores para algunas de las lıneas.

2. Trate de manipular el cuadrilatero para que las diagonales no se crucen entre sı.

¿Que observa acerca de la forma del cuadrilatero?.

3. Escriba algunas conjeturas sobre sus observaciones, para resumir lo que observa,

48

al completar las siguientes proposiciones:

“Si las diagonales de un cuadrilatero se intersecan, entonces el cua-

drilatero es .................”.

“Si las diagonales de un cuadrilatero no se intersecan, entonces

.................”.

4. ¿Y si las diagonales se bisecan? (Dos segmentos de recta se bisecan, si se inter-

secan entre sı en sus puntos medios). ¿Puede construir un cuadrilatero con esta

propiedad?.

Escriba una conjetura para resumir lo que aprendio en esta exploracion, comple-

tando la proposicion:

“Si las diagonales de cuadrilatero se bisecan, entonces

..........................”.

5. Lo contrario de una conjetura es una proposicion que intercambia el papel de la

hipotesis (la parte del si) y la conclusion (la parte del entonces) de la proposicion.

Escriba lo contrario (inversa) de una o mas de las conjeturas que ha formulado en

esta actividad. ¿La inversa (contrario) dice lo mismo que la proposicion original?.

Actividad exploratoria 3. Uso de The Geometer’s Sketchpad

1. Construya un triangulo arbitrario y mida sus angulos interiores.

2. Use la opcion en el menu Number para calcular la suma de estas medidas de

angulo. Complete la siguiente proposicion:

“La suma de las medidas de los angulos interiores de un triangulo

arbitrario es ..................”.

Deslice los vertices del triangulo para ayudarle a decidir si su conjetura es siempre

correcta.

3. Repita este experimento para un cuadrilatero arbitrario y escriba una conjetura so-

bre la suma de angulos de un cuadrilatero. Deslice los vertices para ver si su con-

jetura se mantiene siempre.

49

4. ¿Las conjeturas sobre la suma de angulos para triangulos y la suma de angulos para

cuadrilateros estan relacionadas entre sı? ¿Por que sı, o por que no?.

Actividad exploratoria 4. Uso de The Geometer’s Sketchpad

1. Construya un cırculo con punto central C. Luego, construya tres puntos P , Q y R

en el cırculo. Asegurese de que ninguno de estos puntos son puntos de definicion

del cırculo.

2. Construya las cuerdas PR, PQ y QR. Mida ∠PQR. El angulo PQR es llamado

angulo inscrito del cırculo. Deslice el punto Q alrededor del cırculo, o use una

opcion en el menu Display para animar (Animate) Q. ¿Que observa acerca de la

medida de ∠PQR?. ¿Que sucede cuando Q se mueve y pasa a ser el punto R?.

¿Que sucede si cambia el radio del cırculo?. La familia de angulos que esta apre-

ciando cuando Q se mueve alrededor de la circunferencia del cırculo son angulos

subtendidos por la cuerda PR. Exprese su observacion en la forma de una con-

jetura:

“Si PR es una cuerda fija de un cırculo y Q es un punto en ese

cırculo, entonces la medida de ∠PQR es .........................”.

3. Ahora, construya los radios CP y CR. Mida ∠PCR, el cual es llamado un angulo

central del cırculo. (El uso de diferentes colores, puede hacer que su diagrama sea

mas facil de analizar). ¿Que observa acerca de las medidas de un angulo central y

del angulo inscrito correspondiente de un cırculo?

4. Varie los puntos P , Q y R deslizandolos alrededor del cırculo para que exami-

nes muchos angulos diferentes. ¿Su observacion sigue siendo valida?. Exprese su

observacion en una conjetura al completar esta proposicion:

“Si∠PQR es un angulo inscrito de un cırculo centrado en C, enton-

ces la medida de ∠PQR sera ..................... (comparado con) la medida

de ∠PCR”.

Actividad exploratoria 5. Uso de The Geometer’s Sketchapad

1. Construya un cırculo con diametro PR. Asegurese de construir el cırculo de tal

50

manera que PR sea el diametro, no simplemente una cuerda del cırculo.

2. Construya un punto Q en el cırculo y mida ∠PQR. Mueva el punto Q, ¿que se

observa?. ¿Que pasa si Q se mueve mas alla del punto R?.

3. Realiza una conjetura acerca de esta situacion. ¿Como se relaciona esta conjetura

con las que realizo en la Actividad 4?.

Actividad exploratoria 6. Uso de The Geometer’s Sketchpad

1. Construya un triangulo equilatero usando Sketchpad. (No solo haga una estima-

cion; use cırculos y puntos de interseccion para garantizar que su triangulo sea

equilatero). Una vez que haya construido este triangulo, elija Hide del menu Dis-

play para borrar cualquier objeto de construccion auxiliar de la pantalla, dejando

solo el triangulo equilatero.

2. Construya el punto P en el interior del triangulo. Construya segmentos de recta

a partir de P que son perpendiculares a cada lado. Luego, borre los objetos extra

que se uso para hacer esto. Mida las longitudes de los tres segmentos y haga que

Sketchpad calcule la suma.

3. Deslice P alrededor del grafico. Los segmentos deben permanecer perpendiculares

a los tres lados. ¿Que se observa?. Deslice P a uno de los vertices del triangulo.

¿Que se observa?.

4. Realice una conjetura sobre esta situacion, completando la siguiente proposicion:

“Si P es un punto interior de un triangulo equilatero, entonces la

suma de las longitudes de los tres segmentos perpendiculares de P a los

lados del triangulo es ...........................”.

5. Dibuje otro triangulo que no sea equilatero y repita este experimento. ¿Que se

observa?. ¿Ocurre algo diferente cuando el triangulo es agudo u obtuso?.

Actividad exploratoria 7. Uso de The Geometer’s Sketchpad

1. Un rectangulo puede ser definido como un cuadrilatero con cuatro angulos rectos.

Construya un rectangulo en Sketchpad. ¿Su construccion uso la definicion dada

51

aquı, o uso alguna propiedad adicional de un rectangulo?.

2. Construya las diagonales de este rectangulo y observe como ellas se intersecan.

Exprese su observacion como una conjetura, completando la siguiente proposicion:

“Si un cuadrilatero es un rectangulo, entonces sus diagonales

..........................”.

3. Escriba la afirmacion inversa de su conjetura. Investigue cuando la inversa parece

ser verdad.

Actividad exploratoria 8. Uso de The Geometer’s Sketchapad

1. Un cuadrado se puede definir como un cuadrilatero regular. Un polıgono se dice

ser regular, si todos sus lados tienen la misma longitud y todos sus angulos tienen

la misma medida.

Construya un cuadrado en Sketchpad. ¿Su construccion, uso la definicion dada aquı

o usa alguna propiedad adicional de un cuadrado?.

2. ¿Todo rectangulo es un cuadrado o todo cuadrado es un rectangulo?. Exprese su

respuesta a esta pregunta como una conjetura, completando la siguiente proposi-

cion:

“Si un cuadrilatero es un ............................, entonces es un

.......................”.

3. Escriba la inversa de esta conjetura. ¿La inversa, ofrece la misma idea que la pro-

posicion original?.

52

3.3. Web Sketchpad (WSP)

Web Sketchpad (WSP), es una nueva tecnologıa producida por McGraw-Hill Education y

deriva de The Geometer’s Sketchpad. WSP admite una interfaz de usuario simple pero poderosa

al permitir que el disenador de actividades proporcione herramientas que son faciles de usar y

estan dirigidas con precision a una actividad especıfica.

Las actividades de WSP son compatibles con cualquier navegador web moderno y no re-

quieren ningun otro software o licencia. Mc Graw-Hill Education hace que WSP sea gratuito

para uso no comercial. Aunque SWP aun esta en desarrollo y no se ha lanzado oficialmente,

tiene un programa de prueba beta activo que nos permite organizar las actividades de funciones

geometricas para el profesor y sus estudiantes.

El pasado enero 2019, Scott y Daniel Scher, creadores de WSP, anunciaron la presentacion

de dos paginas web de prueba beta de Web Sketchpad, la Biblioteca de Herramientas y el Visor.

La Biblioteca de Herramientas es una coleccion de mas de 60 herramientas matematicas para

personalizar un modelo de Web Sketchpad, lo que hace posible que los profesores decidan que

herramientas basicas disponibles tienen los estudiantes para cada actividad. El Visor es un lugar

para que los estudiantes participen en actividades de Web Sketchpad y un espacio para que los

profesores recopilen el trabajo de Web Sketchpad de toda una clase en una sola pagina web,

listo para su revision o para presentaciones a toda la clase. En resumen, estas dos paginas web,

le permiten al profesor y a sus estudiantes crear y compartir bocetos web entre ellos.

La mejor manera de conocer estas paginas es mirar los tres videos introductorios que se en-

cuentran en la direccion WelcometoWebSketchpad, que proporcionan una vision general

de la Biblioteca de Herramientas y el Visor.

Se ofrece una descripcion general para ver como estas paginas funcionan. La Biblioteca de

Herramientas vienen con mas de 60 herramientas, (ver Figura 3. 3), que van desde herramien-

tas basicas de Geometrıa (punto, compas y regla) hasta herramientas mas amplias (calculadora,

graficador de funciones, secciones conicas). Al hacer clic en cualquiera de los ıconos de las

herramientas, se agrega esa herramienta en su boceto web. El profesor puede adaptar las he-

rramientas que proporciona a los estudiantes de actividad en actividad e incluso especificar el

orden en que aparecen las herramientas en la caja de herramientas que acompana a su boceto

web.

Con las herramientas en su lugar, puede agregar contenido a su boceto web. Si, por ejemplo,

53

Figura 3. 3: Herramientas de Web Sketchpad. Fuente: [(ENHANCING, )].

desea que los estudiantes construyan cuadrados a los lados de un triangulo rectangulo, puede

construir el triangulo para que venga preconstruido para ellos.

Una funcion de descarga, le permite guardar su boceto web construido en su computadora.

Luego, puede compartirlo con los estudiantes usando, tal vez, Google Drive o correo electroni-

co (a largo plazo, se planea que los bocetos web se almacenen en la nube para que no tenga que

descargarlos y cargarlos). Para abrir e interactuar con los bocetos web, los estudiantes usan la

pagina WebSketch Viewer. Cuando terminan sus trabajos, descargan sus bocetos web completos

y los comparten con el profesor.

Con The Geometer’s Sketchpad de escritorio, la unica forma de ver las construcciones

completas de los estudiantes era abrirlas una por una. Web Sketchpad mejora enormemente este

proceso, permitiendole seleccionar multiples archivos y abrirlos simultaneamente en la pagina

WebSketch Viewer. A continuacion, por ejemplo, hay una imagen de cuatro construcciones de la

figura geometrica rombo, presentadas por Daniel, Nan, Sara y Scott, todas en la misma pagina

web (ver Figura 3. 4).

54

Figura 3. 4: WebSketch Viewer. Fuente: [(ENHANCING, )].

Estos bocetos web son completamente interactivos: puede probar los rombos de los estu-

diantes, arrastrando sus vertices. Puede intercambiar el orden de los bocetos web y utilizar las

herramientas en cualquiera de las cuatro cajas de herramientas para agregar nuevos elementos

de construccion al trabajo de los estudiantes. Aunque WebSketch Viewer es perfecto para revi-

sar el trabajo de los estudiantes, se cree que es aun mejor cuando se utiliza para presentaciones

secuenciales de los bocetos web presentados por los estudiantes.

Por estas razones, donde la tecnologıa esta al alcance de los profesores y estudiantes, se hace

imperiosa la necesidad de utilizar alguna herramienta informatica que ayude en la motivacion,

exploracion y conjetura para la ensenanza y aprendizaje de la Geometrıa. Que mejor que utilizar

Web Sketchpad en su aula, donde podemos utilizar libremente la Biblioteca de Herramientas y

el Visor de WebSketch para sus construcciones, controles y presentaciones.

55

3.4. Transformaciones, Isometrıas y Similaridades

Despues de la motivacion, la exploracion y la conjetura mediante el uso del software dinami-

co The Geometer’s Sketchpad, se pasa a la presentacion formal de de la propuesta pedagogica

acerca de la Geometrıa Transformacional del Plano. Cada una de las isometrıas que se tratara

a continuacion es motivada, tambien, por una actividad exploratoria a ser desarrollada en The

Geometer’s Sketchpad o bien en WSP. Se ha tratado de ser bastante riguroso, como es la Ma-

tematica, en el desarrollo de esta propuesta; sin embargo, se han obviado algunas pruebas de los

resultados que se citan, esto con el fin de que no se haga tedioso el estudio de esta Geometrıa,

sobre todo, para los estudiantes y profesores de las Instituciones Educativas secundarias del

paıs. La referencia bibliografica para el desarrollo de esta propuesta se encuentra en [(Leonard

et al., 2014b; Umble and Han, 2014)]

Inicialmente, se presentan las transformaciones del plano Euclidiano R2 que preservan lon-

gitudes y radio longitudes.

3.4.1. Transformaciones

Las funciones de R2 a R2 son denotadas por las letras griegas minusculas: α, β, γ, · · · A

continuacion, se definen las transformaciones de R2 y se revisan algunas de sus propiedades

basicas.

Definicion 1. Una transformacion del plano es una funcion α : R2 → R2 cuyo dominio

es R2.

Ejemplo 1. La transformacion identidad i : R2 → R2 es definida por i(P ) = P para

cada punto P ∈ R2.

Definicion 2. Una transformacion α : R2 → R2 es inyectiva, si puntos distintos en el

dominio tienen imagenes distintas, es decir, si P 6= Q entonces α (P ) 6= α (Q).

Ejemplo 2. La transformacion

β

xy

=

x

2

y

56

no es inyectiva, ya que

β

−1

1

=

1

1

= β

1

1

El siguiente ejemplo ilustra como verificar la inyectividad usando la condicion contraposi-

tiva: si α (P ) = α (Q), entonces P = Q.

Ejemplo 3. Para mostrar que la transformacion

γ

xy

=

x+ 2y

2x− y

es inyectiva, supongamos que

γ

ab

= γ

cd

Entonces a+ 2b

2a− b

=

c+ 2d

2c− d

igualando coordenadas, obtenemos

a+ 2b = c+ 2d

2a− b = 2c− d

De ello, se sigue que b = d y a = c, esto es,

ab

=

cd

Esto muestra que la transformacion γ es inyectiva.

Definicion 3. Una transformacion α : R2 → R2 es sobreyectiva, si el rango de α es R2;

es decir, dado cualquier punto Q ∈ R2, existe algun punto P ∈ R2 tal que α (P ) = Q.

57

Ejemplo 4. La transformacion

β

xy

=

x

2

y

no es sobreyectiva, ya que por ejemplo, no existe un punto

xy

∈ R2 tal que

β

xy

=

−1

0

Ejemplo 5. Para determinar si la transformacion inyectiva

γ

xy

=

x+ 2y

2x− y

vista en el Ejemplo 3 es tambien sobreyectiva, debemos verificar que dado cualquier

punto Q =

cd

, debe existir un punto P =

xy

tal que

γ

xy

=

x+ 2y

2x− y

=

cd

Para que esto ocurra, el siguiente sistema lineal de ecuaciones debe tener una solucion:

x+ 2y = c

2x− y = d

Puesto que el determinante ∣∣∣∣∣∣1 2

2 −1

∣∣∣∣∣∣= −5 6= 0

58

, dicho sistema tiene solucion. Resolviendo, hallamos que

x = c

5+ 2d

5

y = 2c5− d

5

Por consiguiente,

γ

c5+ 2d

5

2c5− d

5

=

cd

y γ es sobreyectiva.

Definicion 4. Una transformacion del plano que es inyectiva y sobreyectiva, es llamada

biyectiva.

Ejemplo 6. La transformacion γ vista en los Ejemplos 3 y 5 es biyectiva.

Definicion 5. Sea α una transformacion biyectiva. La inversa de α es la funcion α−1

definida de la siguiente forma: si P es cualquier punto y Q es el unico punto tal que

α (Q) = P , entonces α−1 (P ) = Q.

Se verifica que la inversa de una transformacion biyectiva, es una transformacion biyectiva.

Usando este hecho se cumple el siguiente resultado:

Proposicion 6. Sean α y β transformaciones biyectivas. Entonces β = α−1 si, y solo si,

α ◦ β = β ◦ α = i.

3.4.2. Isometrıas y Similaridades

Uno de los objetivos principales de esta propuesta pedagogica es hallar y clasificar las

isometrıas del plano. Seguidamente, se definen estas transformaciones y se establecen algunas

de sus propiedades basicas.

Sean P y Q puntos. Se sabe que PQ denota la distancia de P a Q. En lo que sigue, PQ

denota la distancia Euclidiana, esto es, en terminos de coordenadas, si P =

x1y1

y Q =

59

x2y2

, entonces

PQ =

√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

Definicion 7. Sea α : R2 → R2 una transformacion y sean P , Q puntos con P ′ = α (P )

y Q′ = α (Q). Entonces α es una isometrıa, si P ′Q′ = PQ.

Ası, una isometrıa es una transformacion del plano que preserva distancias.

Ejemplo 7. La transformacion identidad i es una isometrıa, por cuanto P ′ = i (P ) =

P y Q′ = i (Q) = Q para todo P,Q ∈ R2. Luego, P ′Q′ = PQ. Por otro lado, la

transformacion biyectiva

γ

xy

=

x+ 2y

2x− y

vista en los Ejemplos 3 y 5, no es una isometrıa.

Para ver ello, se consideran los puntos

O =

0

0

, E =

1

0

y sus imagenes

O′ = γ(O) =

0

0

, E ′ = γ(E) =

1

2

Entonces, O′E ′ =√5 6= 1 = OE.

Se tiene el siguiente resultado:

Proposicion 8. Las isometrıas son transformaciones inyectivas y sobreyectivas.

Definicion 9. Sean los puntos A,B y C tales que B 6= A y C 6= A. Si A,B y C no son

colineales, sea s ∈ 〈0, π〉 la longitud del arco subtendido por ∠BAC y dirigido de−→AB a

60

−→AC. La medida del angulo dirigido ∠BAC es el numero real

α =

0, si−→AB =

−→AC

π, si B − A− C

s, si el arco subtendido es dirigido en sentido antihorario

−s, si el arco subtendido es dirigido en sentido horario

La medida en grados del angulo dirigido ∠BAC, denotado por m∠BAC, es el numero

real

θ =180 · απ

∈ 〈−180, 180]

En este trabajo se usara solamente la medida en grados. Notar que m∠BAC = −m∠CABcuando A,B y C no son colineales. Es claro que ]BAC = |m∠BAC| satisface todas las

condiciones del Postulado del Transportador y ∠ABC ∼= ∠DEF si, y solo si, |m∠ABC| =|m∠DEF |.

Definicion 10. Los numeros reales θ y φ son congruentes modulo 360 si θ − φ = 360k

para algun k ∈ Z, en cuyo caso escribimos θ ≡ φ. El sımbolo θ◦ denota la clase de

congruencia de θ, es decir,

θ◦ = {φ ∈ R : θ − φ = 360k, para algun k ∈ Z}

Notar que la clase de congruencia θ◦ contiene exactamente un numero real en el intervalo

〈−180, 180]. Por ejemplo, 370◦ ∩ 〈−180, 180] = 10. Cuando θ ≡ φ, las clases de congruencia

θ◦ y φ◦ son conjuntos iguales, esto es, θ◦ = φ◦. Ası, 370◦ = 10◦

Definicion 11. Sean m∠ABC = θ y m∠DEF = φ. Se define la suma de angulos θ+ φ

siendo el unico numero real ψ ∈ 〈−180, 180] tal que ψ ≡ θ + φ. Se define, tambien,

−θ◦ := (−θ)◦ y θ◦ + φ◦ := (θ + φ)◦.

Por ejemplo, −10◦ = (−10)◦ y 370◦ + 10◦ = 20◦. Si m∠ABC = m∠CBD = 120,

entonces m∠ABC +m∠CBD = 240, mientras que m∠ABD = −120. Esto es consistente

con el hecho de que la clase de congruencia 2 (120)◦ = (2 (120))◦ = 240◦ es representada por

−120 ∈ 〈−180, 180].Puesto que elementos distintos de 〈−180, 180] no son congruentes modulo 360, se tiene que

61

m∠ABC ≡ m∠A′B′C ′ si, y solo si, m∠ABC = m∠A′B′C ′. Sin embargo, m∠ABC ≡m∠A′B′C ′ implica que ∠ABC ∼= ∠A′B′C ′ pero no se cumple el resultado recıproco.

Definicion 12. Sean P y Q puntos distintos. El cırculo (circunferencia) centrado en P

conteniendo Q es el conjunto de puntos

PQ := {X/PX = PQ}

El radio de PQ es la distancia PQ. Si R es un punto en PQ tal que R− P −Q, entonces

RQ es llamado el diametro de PQ.

El siguiente resultado afirma que un triangulo inscrito en una circunferencia es un triangulo

recto cuando uno de sus lados es un diametro.

Proposicion 13. Si B, C y D son puntos distintos en un cırculo centrado en A, entonces

m∠BAC ≡ 2m∠BDC (ver Figura 3. 5).

Figura 3. 5: Proposicion 79. Fuente: Elaboracion propia.

Definicion 14. Sea P un punto. Dos o mas rectas o cırculos son concurrentes en P , si

cada recta o cırculo pasa a traves de P .

Proposicion 15. Sean α y β isometrıas.

1. La composicion α ◦ β es una isometrıa.

2. α ◦ i = i ◦ α = α, es decir, la transformacion identidad actua como elemento

identidad.

3. α−1 es una isometrıa, es decir, la inversa de una isometrıa es una isometrıa.

62

Definicion 16. Una transformacion biyectiva φ : R2 → R2 es una colineacion si ella

transforma rectas en rectas.

Suponiendo que la transformacion α es una colineacion, dada la ecuacion de una recta l se

desea calcular la ecuacion de la recta imagen l′. Una buena estrategia es elegir arbitrariamente

dos puntos distintos en l y usar las ecuaciones de α para calcular las coordenadas de los puntos

imagenes. Puesto que estos puntos imagenes estan en l′, se puede hallar la ecuacion de l′ usando

la formula de los dos puntos para la ecuacion de una recta. Por otro lado, cuando sea facil

resolver las ecuaciones de α para x e y en terminos de x′ e y′, una estrategia mas eficiente es

asumir

x

′

y′

∈ l′, entonces se resuelve para x e y, y se sustituye en la ecuacion de l. Este

procedimiento ofrece de inmediato la ecuacion de l′. El siguiente ejemplo demuestra ambos

metodos.

Ejemplo 8. La transformacion α

xy

=

y + 1

2− x

es una colineacion. Sea l la

recta con ecuacion X + 2Y − 6 = 0. Se eligen dos puntos arbitrarios en l, por decir,6

0

y

0

3

. Usando las ecuaciones de α, se encuentra que α

6

0

=

1

−4

y

α

0

3

=

4

2

. Ası, la ecuacion de l′ es 2X−Y −6 = 0. Por otro lado, se tiene que

x′ = y + 1 =⇒ y = x′ − 1

y′ = 2− x =⇒ x = 2− y′

Puesto que

xy

∈ l, se tiene x+ 2y − 6 = 0. Sustituyendo 2− y′ para x y x′ − 1 para

y, se tiene que (2− y′) + 2 (x′ − 1)− 6 = 0 =⇒ 2x′ − y′ − 6 = 0.

Ası, la ecuacion de l′ es 2X − Y − 6 = 0 que coincide con el calculo previo.

Proposicion 17. Sea α una isometrıa. Dados los puntos distintos A, B y C, sean A′ =

α (A), B′ = α (B) y C ′ = α (C). Entonces,

1. α es una colineacion.

2. α preserva la intermediacion, esto es, si A−B − C, entonces A′ −B′ − C ′.

63

3. α preserva la medida de angulos salvo el signo, esto es, ∠A′B′C ′ ∼= ∠ABC.

4. α transforma cırculos en cırculos, esto es, α (AB) = A′B′ .

Definicion 18. Sea r > 0. Una similaridad de razon r es una transformacion α : R2 →R2 que preserva distancias de razon r, esto es, si P y Q son puntos tales que P ′ = α (P )

y Q′ = α (Q), entonces P ′Q′ = rPQ (ver Figura 3. 6).

Figura 3. 6: Una similaridad α de razon 2. Fuente:[(Umble and Han, 2014)].

Ejemplo 9. Si α es una isometrıa y P , Q son puntos tales que P ′ = α (P ), Q′ =

α (Q), entonces P ′Q′ = PQ. De ello, se sigue que una isometrıa es una similaridad de

razon r = 1. Se verifica, tambien, que para cada r > 0, la transformacion definida por

β

xy

=

rxry

es una similaridad de razon r.

Proposicion 19. Similaridades son transformaciones biyectivas.

3.5. Traslaciones, Rotaciones y Reflexiones

Se consideran tres familias importantes de isometrıas e investigamos algunas de sus propie-

dades. Se motiva el estudio de cada transformacion con una actividad exploratoria. El Software

The Geometer’s Sketchpad es el paquete que permitira abordar estas actividades exploratorias

64

que motivan al estudiante para que ellos mismos vayan descubriendo y explorando las propie-

dades que caracterizan estas transformaciones.

3.5.1. Traslaciones

Una traslacion del plano es una transformacion que desplaza el plano una distancia finita

en alguna direccion. La Actividad Exploratoria 1, que sigue a continuacion, usa la notacion

vectorial de la siguiente definicion.

Definicion 20. Un vector ~v =

ab

es un objeto matematico con norma (magnitud)

‖~v‖ :=√a2 + b2 y direccion θ definida por las ecuaciones a = ‖~v‖ cos θ y b = ‖~v‖ sen θ.

El vector ~0 =

0

0

es llamado el vector cero, tiene magnitud 0 y direccion arbitraria.

Dados los vectores ~v =

ab

y ~w =

cd

, el producto punto es definido por ~v · ~w :=

ac + bd. Ası, ~v · ~v = a2 + b2 = ‖~v‖2. Si P =

xy

y Q =

x

′

y′

son puntos, el vector

~PQ =

x

′ − xy′ − y

es llamado el vector posicion de P a Q, y P , Q son llamados, en ese

orden, punto inicial y terminal de ~PQ. Un vector cuyo punto inicial es el origen O se

encuentra en posicion estandar.

Graficamente, se represena un vector posicion ~PQ como una flecha en el plano. Puesto

que un vector ~v =

ab

se encuentra completamente determinado por sus componentes, se

puede ubicar el vector ~v en cualquier parte del plano. Sin embargo, una vez que el punto inicial

P =

xy

este determinado, el punto terminal se determina unicamente por Q =

x+ a

y + b

(ver Figura 3. 7).

65

Figura 3. 7: Una vez que se determine el punto inicial P , el vector ~PQ queda completamentedeterminado. Fuente: Elaboracion propia.

Actividad exploratoria 9. La Accion de una Traslacion. Fuente:Elaboracion propia.

1. Construya dos puntos distintos y los etiqueta con P y Q.

2. Seleccione primero P y luego Q.

3. Marque el vector ~PQ.

4. Construya la recta←→PQ y un punto A en

←→PQ tal que P − A−Q.

5. Seleccione el punto A, efectue la traslacion de A por ~PQ y etiquete la imagen por

A′.

6. Construya un punto B fuera de la recta←→PQ.

7. Seleccione el punto B, traslade B por ~PQ y etiquete la imagen por B′.

8. Construya �PQB′B. Mida PQ, BB′, PB, QB′, ∠APB, ∠A′QB′ y ∠QB′B.

¿Que tipo especial de cuadrilatero es este? ¿Por que?

9. Construya �AA′B′B. Mida AA′, BB′, A′B′, AB, ∠ABB′, ∠BAP y ∠B′A′Q.

¿Que tipo especial de cuadrilatero es este? ¿Por que?

10. Pruebe que AB = A′B′.

(Ver desarrollo de la Actividad en el Anexo 3.8)

Estas observaciones indican que si A′ es la imagen de un punto A bajo la traslacion por el

66

vector ~PQ, entonces ~AA′ = ~PQ. Esto motiva la definicion de una traslacion.

Definicion 21. Sean los puntos P y Q. La traslacion de P a Q es la transformacion

τP,Q : R2 → R2, con las siguientes propiedades:

1. Q = τP,Q (P ).

2. Si P = Q, entonces τP,Q = i.

3. Si P 6= Q y A es cualquier punto en←→PQ y B es cualquier punto fuera de

←→PQ,

ademas A′ = τP,Q (A) y B′ = τP,Q (B), entonces los cuadrilateros �PQB′B y

�AA′B′B son paralelogramos (ver Figura 3. 8).

Figura 3. 8: �PQB′B y �AA′B′B. son paralelogramos. Fuente:[(Umble and Han, 2014)].

Sea ~v un vector y sean P , Q puntos tales que ~PQ = ~v. La traslacion por el vector ~v, es

la trasnformacion τ~v = τP,Q. El vector traslacion de τ~v es el vector ~v y la longitud de τ~v es la

norma ‖~v‖.

Una traslacion puede ser expresada en terminos de un “vector suma”. Para ello se necesita

la siguiente definicion.

Definicion 22. Sean k ∈ R y los vectores ~u =

u1u2

, ~v =

v1v2

. Se define el producto

de un escalar por un vector

k~u :=

ku1ku2

67

la suma de vectores

~u+ ~v :=

u1 + v1

u2 + v2

y la diferencia de vectores

~u− ~v := ~u+ (−1)~v =

u1 − v1u2 − v2

(ver Figura 3. 9).

(a) ~v + ~u (b) ~PQ+ ~RS

Figura 3. 9: Suma de vectores. Fuente: Elaboracion propia.

Se identifican los puntos de R2 con los puntos terminales de los vectores en posicion estan-

dar. Siendo ası, una transformacion φ lleva un vector ~OP al vector ~O′P ′ donde O′ = φ (O) y

P ′ = φ (P ).

Definicion 23. Una transformacion φ : R2 → R2 es lineal, si para todos los vectoresst

y

uv

en R2 y para todos los escalares a, b ∈ R, se tiene:

1. φ

a

st

= aφ

st

,

2. φ

st

+

uv

= φ

st

+ φ

uv

.

Proposicion 24. Una isometrıa es lineal si, y solo si, fija el origen.

Proposicion 25. Sea ~v un vector, sea O el origen y sea P un punto. Entonces Q = τ~v(P )

si, y solo si, ~OQ = ~OP + ~v.

68

Demostracion. Por definicion de traslacion por el vector ~v,Q = τ~v (P ) si, y solo si, ~v = ~PQ =

~OQ− ~OP si, y solo si, ~OQ = ~OP + ~v.

Una traslacion τ~v actua en un vector ~w como la identidad, esto es, τ~v (~w) = ~w, lo cual es

intuitivamente obvio puesto que se usa el mismo vector ~v para trasladar los puntos inicial y

terminal de un vector cualquiera (ver Figura 3. 10).

Figura 3. 10: τ~v(~w) = ~w. Fuente: Elaboracion propia.

Teorema 26. Las traslaciones son isometrıas.

Demostracion. Sea ~v un vector. Dados los puntos P y Q, sean P ′ = τ~v(P ) y Q′ = τ~v(Q).

Entonces por la observacion anterior τ~v(~PQ)

= ~P ′Q′ = ~PQ. Luego, PQ =∥∥∥ ~PQ

∥∥∥ =∥∥∥ ~P ′Q′∥∥∥ = P ′Q′. Por consiguiente, τ~v es una isometrıa.

Por definicion, una traslacion esta determinado de modo unico por un punto y su imagen.

Cuando se necesita el vector traslacion ~v, se evalua τ en cualquier punto

xy

para obtener el

punto imagen

x

′

y′

. De este modo, se obtienen las componentes a = x′−x y b = y′− y de ~v.

Las ecuaciones de una transformacion α : R2 → R2 son las funciones coordenadas x′ =

α1 (x, y) y y′ = α2 (x, y), tales que

x

′

y′

= α

xy

.

Ası, si ~v =

ab

es un vector y X , X ′ = τ~v (X) se identifican con los vectores posicion ~OX

69

y ~OX ′ respectivamente, entonces la Proposicion 25 ofrece

x

′

y′

= ~OX ′ = ~OX + ~v =

xy

+

ab

=

x+ a

y + b

y por igualdad de componentes, se obtiene:

Proposicion 27. Sea ~v =

ab

un vector. Las ecuaciones de τ~v son

x′ = x+ a, y′ = y + b

Ejemplo 10. Sean P =

4

5

y Q =

−1

3

. Entonces ~PQ =

−5−2

y las ecuaciones

para τ ~PQ son x′ = x− 5

y′ = y − 2

En particular,

τ ~PQ

7

−5

=

2

−7

Proposicion 28. Sean los vectores ~v y ~w. Entonces,

1. La composicion de traslaciones es una traslacion. Mas aun,

τ~w ◦ τ~v = τ~v+~w

2. La composicion de traslaciones es conmutativa, esto es,

τ~v ◦ τ~w = τ~w ◦ τ~v

3. La inversa de una traslacion es una traslacion. Mas aun,

τ−1~v = τ−~v

70

Demostracion. 1. Sea A un punto y sea A′ = τ~v (A). Sea A′′ = τ~w (A′). Entonces

A′′ = τ~w (τ~v (A)) = (τ~w ◦ τ~v) (A) .

Por otro lado, por la Proposicion 25 se tiene que

~OA′′ = ~OA′ + ~w =(~OA+ ~v

)+ ~w = ~OA+ (~v + ~w)

ası que A′′ = τ~v+~w (A). Por consiguiente,

τ~w ◦ τ~v = τ~v+~w

2. Por la Parte 1 y el hecho de que la adicion vectorial es conmutativa, se tiene

τ~v ◦ τ~w = τ~w+~v = τ~v+~w = τ~w ◦ τ~v

3. Por la Parte 1 y la definicion de una traslacion trivial: τ~0 = i, se tiene

τ~v ◦ τ−~v = τ−~v ◦ τ~v = τ~v+(−~v) = τ~0 = i

Se sigue

(τ~v)−1 = τ−~v ⇐⇒ τ−1~v = τ−~v.

Definicion 29. Una colineacion α es una dilatacion, si α (l) ‖ l para cada recta l.

Teorema 30. Las traslaciones son dilataciones.

Seguidamente, se establece una definicion clave que permitira distinguir entre las distintas

familias de isometrıas.

Definicion 31. Una transformacion α fija un conjunto S, si α (S) = S.

Una transformacion α fija un conjunto S puntualmente, si α (P ) = P para cada punto

P ∈ S.

71

Teorema 32. Sean los puntos distintos P y Q. La traslacion τ ~PQ no tiene puntos fijos,

pero fija cada recta paralela a←→PQ.

Demostracion. Sea A un punto y A′ = τ ~PQ (A). Puesto que ~AA′ = ~PQ y P , Q son puntos

distintos, entonces ~AA′ 6= ~0. De donde, A 6= A′. Por consiguiente, τ ~PQ no tiene puntos fijos.

Por otro lado, sea l una recta paralela a←→PQ. Sea B ∈ l. Entonces

←−→BB′ ‖ ←→PQ ‖ l, donde

B′ = τ ~PQ(B). Puesto que B ∈ ←−→BB′ ∩ l, entonces←→BB′ = l. Se sigue que B′ ∈ l. Por

consiguiente, τ ~PQ (l) = l ya que traslaciones son colineaciones.

3.5.2. Rotaciones

Seguidamente, se define una rotacion, se derivan sus ecuaciones y se investigan algunas de

sus propiedades fundamentales.

Actividad exploratoria 10. La Accion de una Rotacion. Fuente: Elaboracion propia.

1. Construya dos puntos distintos y los etiqueta con C y P .

2. Construya el cırculo CP .

3. Construya el rayo−→CP .

4. Rote el rayo−→CP alrededor de C a traves de un angulo de 72◦.

5. Construya el punto de interseccion de CP y la imagen del rayo−→CP en el Paso 4 y

lo etiqueta con P ′ (P ′ es imagen de P bajo una rotacion de 72◦ alrededor de C).

6. Mida el angulo ∠PCP ′.

7. Construya un punto fuera del cırculo CP y lo etiqueta con Q.

8. Siguiendo los pasos 2-5 de arriba, construya la imagen de Q bajo una rotacion de

72◦ alrededor de C y lo etiqueta con Q′.

9. Mida el angulo ∠QCQ′.

10. Construya los segmentos PQ, P ′Q′ y mida sus longitudes. ¿Que es lo que se ob-

serva?

11. Pruebe que PQ = P ′Q′.

72

(Ver desarrollo de la Actividad en el Anexo 3.8)

Esta actividad demuestra que la imagen de un punto X bajo una rotacion de 72◦ alrededor

del punto C, es el punto X ′ tal que CX = CX ′ y m∠XCX ′ = 72◦. Esto motiva la definicion

de una rotacion. Mas aun, la prueba en el Paso 11 esencialmente establece que las rotaciones

son isometrıas.

Definicion 33. Sean los puntos C, P y sea θ ∈ R. La rotacion alrededor de C de θ◦ es la

transformacion ρC,θ : R2 → R2 con las siguientes propiedades:

1. ρC,θ (C) = C.

2. Si P 6= C y P ′ = ρC,θ (P ), entonces CP ′ = CP y m∠PCP ′ ≡ θ. El punto C es

el centro de la rotacion ρC,θ y θ es el angulo de rotacion (ver Figura 3. 11).

Figura 3. 11: Definicion de la rotacion ρC,θ. Fuente: Elaboracion propia.

Es claro que, ρC,θ1 = ρC,θ2 si, y solo si, θ1 ≡ θ2.

Teorema 34. Las rotaciones son isometrıas.

Demostracion. Sean C, P y Q puntos tales que P 6= Q. Sea ρC,θ una rotacion y P ′ = ρC,θ (P ),

Q′ = ρC,θ (Q). Si P = C, entonces por definicion, PQ = CQ = CQ′ = P ′Q′ y similarmente

para Q = C. Ahora, sean C, P y Q todos distintos. Si C, P y Q no son colineales, entonces

4PCQ ∼= 4P ′CQ′ por LAL, y PQ = P ′Q′ por PCTCC. Si C, P y Q son colineales con

C − P − Q, entonces PQ = CQ − CP = CQ′ − CP ′ = P ′Q′, puesto que por definicion

CP = CP ′ y CQ = CQ′. Un resultado similar se consigue cuando C − Q − P . Pero si

P −C −Q, entonces P ′ −C −Q′ puesto que m∠PCP ′ = m∠QCQ′ ≡ θ. Por consiguiente,

PQ = CP + CQ = CP ′ + CQ′ = P ′Q′

Antes de derivar las ecuaciones de una rotacion general, se considera el caso especial de las

rotaciones ρO,θ alrededor del origen.

73

Puesto que ρO,θ es una isometrıa que fija el origen, esto es, ρO,θ (O) = O, entonces es lineal

por la Proposicion 24. Sean ~e1 =

1

0

y ~e2 =

0

1

los vectores unitarios. Sean ~e′1 = ρO,θ (~e1)

y ~e′2 = ρO,θ (~e2). Entonces,

ρO,θ

xy

= ρO,θ (x~e1 + y~e2) = xρO,θ (~e1) + yρO,θ (~e2) = x~e′1 + y~e′2

y ρO,θ se encuentra completamente determinado por su accion en ~e1 y ~e2.

SeanE1 yE2 los puntos terminales de ~e1 y ~e2 en posicion estandar. Puesto quem∠E1OE′1 =

θ, se tiene que

~e′1 =

cos θ

sen θ

Mas aun, puesto que m∠E1OE2 = 90 y m∠E2OE′2 = θ, entonces m∠E1OE

′2 = θ + 90 y

~e′2 = ρO,θ+90 (~e1) =

cos(θ + 90)

sen(θ + 90)

=

− sen θ

cos θ

(ver Figura 3. 12).

Figura 3. 12: ~OE ′1 =~e′1 = ρO,θ (~e1), ~OE ′2 =

~e′2 = ρO,θ+90 (~e1). Fuente: Elaboracion propia.

Por lo tanto,

x

′

y′

= ρO,θ

xy

= ρO,θ (x~e1 + y~e2) = xρO,θ (~e1) + yρO,θ (~e2) = x~e′1 + y~e′2

= x

cos θ

sen θ

+ y

− sen θ

cos θ

=

x cos θ − y sen θx sen θ + y cos θ

74

y se ha probado el siguiente resultado.

Teorema 35. Sea θ ∈ R. Las ecuaciones de la rotacion ρO,θ son:

x′ = x cos θ − y sen θ

y′ = x sen θ + y cos θ

(III.1)

Las ecuaciones III.1 pueden ser expresadas en terminos de multiplicacion de matrices:

x

′

y′

=

cos θ − sen θ

sen θ cos θ

xy

Se sigue que la accion de ρO,θ en un vector ~v =

xy

es dada por:

ρO,θ (~v) =

cos θ − sen θ

sen θ cos θ

~v.

Se considera una rotacion general ρC,θ alrededor del punto C =

ab

como la composicion de

las siguientes tres isometrıas (ver Figura 3. 13):

1. Traslacion por el vector ~CO.

2. Rotacion alrededor de O a traves de un angulo de θ◦.

3. Traslacion por el vector ~OC.

Entonces,

ρC,θ = τ ~OC ◦ ρO,θ ◦ τ ~CO = τ ~OC ◦ ρO,θ ◦ τ−1~OC .

De esta forma, las ecuaciones de ρC,θ son dadas mediante la composicion de las ecuaciones

75

Figura 3. 13: ρC,θ = τ ~OC ◦ ρO,θ ◦ τ−1~OC . Fuente: Elaboracion propia.

de las isometrıas citadas anteriormente:

x

′

y′

= (τ ~OC ◦ ρO,θ ◦ τ ~CO)

xy

= τ ~OC

ρO,θ

x− ay − b

= τ ~OC

(x− a) cos θ − (y − b) sen θ(x− a) sen θ + (y − b) cos θ

=

(x− a) cos θ − (y − b) sen θ + a

(x− a) sen θ + (y − b) cos θ + b

.

Puesto que las traslaciones actuan en vectores como la identidad, una rotacion general actua

en un vector ~v rotando ~v alrededor del origen:

ρC,θ (~v) =(τ ~OC ◦ ρO,θ ◦ τ−1~OC

)(~v) = ρO,θ (~v) .

De este modo, la accion de una rotacion en un vector depende solo del angulo de rotacion

y no del centro de rotacion. Pero para puntos se tiene el siguiente resultado.

Teorema 36. Sean C =(ab

)y θ ∈ R. Las ecuaciones de ρC,θ son:

x′ = (x− a) cos θ − (y − b) sen θ + a

y′ = (x− a) sen θ + (y − b) cos θ + b

76

Ejemplo 11. Sea C =

2

−3

. Entonces las ecuaciones de ρC,90 son:

x′ = (x− 2) cos 90− (y + 3) sen 90 + 2 = −y − 1

y′ = (x− 2) sen 90 + (y + 3) cos 90− 3 = x− 5

Esto es, x′ = −y − 1

y′ = x− 5

En particular,

ρC,90

5

−1

=

0

0

.

A continuacion, se citan algunas propiedades importantes de la rotacion.

Proposicion 37. Sean C un punto y θ, φ ∈ R.

1. La composicion de rotaciones alrededor de C es una rotacion. Mas aun,

ρC,θ ◦ ρC,φ = ρC,θ+φ.

2. La composicion de rotaciones alrededor de C es conmutativa, esto es,

ρC,θ ◦ ρC,φ = ρC,φ ◦ ρC,θ.

3. La inversa de una rotacion alrededor de C es una rotacion alrededor de C. Mas aun,

ρ−1C,θ = ρC,−θ.

Proposicion 38. Una rotacion no trivial ρC,θ fija cada cırculo con centro en C y tiene

exactamente un punto fijo que es C.

Se asume que una rotacion trivial es aquella donde el angulo de rotacion es θ = 0. Esto es,

ρC,0 = i. Puesto que una rotacion no trivial tiene exactamente un punto fijo y una traslacion no

77

trivial no tiene ninguno, se tiene el siguiente resultado.

Corollary 39. Una rotacion no trivial no es una traslacion.

Las rotaciones de 180◦ son llamadas semivueltas; ellas desempenan un rol teorico impor-

tante.

Definicion 40. Sea C un punto. La semivuelta alrededor de C es la transformacion

ϕC : R2 → R2 definida por ϕC := ρC,180. El punto C es el centro de la semivuelta ϕC .

Las semivueltas se caracterizan de la siguiente forma:

Proposicion 41. Sea C un punto y sea α : R2 → R2 una transformacion. Entonces,

α = ϕC si, y solo si,

1. α (C) = C.

2. Si P es un punto distinto de C y P ′ = α (P ), entonces C es el punto medio de

PP ′.

Las ecuaciones de la semivuelta alrededor de C =

ab

se siguen inmediatamente del

Teorema 36:

x′ = (x− a) cos 180− (y − b) sen 180 + a = 2a− x

y′ = (x− a) sen 180 + (y − b) cos 180 + b = 2b− y.

Corollary 42. Si C =

ab

, entonces las ecuaciones de ϕc son:

x′ = 2a− x

y′ = 2b− y.

Ejemplo 12. Si O denota el origen, entonces las ecuaciones de la semivuelta ϕO, alrede-

dor del origen, son: x′ = −x

y′ = −y.

78

Se sabe que una funcion f : R→ R es impar, si f (−x) = −f (x). Por ejemplo, la funcion

f (x) = senx es impar. Sea f una funcion impar y P =

x

f(x)

un punto en la grafica de f .

La imagen de P bajo la semivuelta ϕO es

ϕO

x

f(x)

=

−x−f(x)

=

−xf(−x)

,

el cual es tambien un punto en la grafica de f . Ası, ϕO fija la grafica de f .

Proposicion 43. Una recta l es fijada por ϕC si, y solo si, C se encuentra en l.

Definicion 44. Una transformacion no trivial α es una involucion, si α2 = i.

Notar que que una involucion α tiene la propiedad: α−1 = α.

Proposicion 45. Una semivuelta es una involucion y una dilatacion.

3.5.3. Reflexiones

La reflexion del plano en una recta l envıa cada punto P a su imagen reflejada P ′, actuando

la recta l como espejo.

Actividad exploratoria 11. La Accion de una Reflexion. Fuente: Elaboracion propia.

1. Abra un nuevo diseno, construya una recta y lo etiqueta con l.

2. Marque la recta l como un espejo.

3. Construya un punto fuera de la recta l y lo etiqueta con P .

4. Refleje el punto P en la recta l y etiquete el punto imagen con P ′.

5. Construya el segmento PP ′ y el punto de interseccion l ∩ PP ′.Etiquete el punto de interseccion con M .

6. Mida las distancias MP y MP ′. ¿Que es lo que se observa?.

7. Construya un punto en la recta l distinto de M y lo etiqueta con A.

8. Mida ∠AMP . ¿Que tipo especial de angulo es este?.

79

9. Construya un punto fuera de la recta l distinto de P y en el mismo lado de l donde

se encuentra P , lo etiqueta con Q.

10. Refleje el punto Q en la recta l y etiquete el punto imagen con Q′.

11. Mida las distancias PQ y P ′Q′. ¿Que es lo que se observa?.

12. Pruebe que PQ = P ′Q′.

(Ver desarrollo de la Actividad en el Anexo 3.8)

Estas observaciones afirman que la linea de espejo l, es la bisectriz perpendicular del seg-

mento que conecta el punto P y su imagen reflejada P ′. Este hecho motiva la definicion de una

reflexion. Mas aun, la observacion en el Paso 12 esencialmente prueba que las reflexiones son

isometrıas.

Definicion 46. Sea l una recta. La reflexion en la recta l es la transformacion σl : R2 →R2 con las siguientes propiedades:

1. Si P es un punto en l, entonces σl (P ) = P , es decir, σl fija la recta l puntualmente.

2. Si P es un punto fuera de l y P ′ = σl (P ), entonces l es la bisectriz perpendicular

de PP ′.

La recta l es llamada el eje de reflexion (ver Figura 3. 14).

Figura 3. 14: La recta l es la bisectriz perpendicular de PP ′. Fuente:[(Umble and Han, 2014)].

Para hallar las ecuaciones de σl, sea l una recta con ecuacion:

aX + bY + c = 0 tal que a2 + b2 > 0.

80

Se consideran los puntos P =

xy

y P ′ =

x

′

y′

tal que P ′ = σl (P ). Se supone por

el momento que P esta fuera de l. Por definicion,←→PP ′ ⊥ l. Asumiendo que ni l ni

←→PP ′ es

vertical, el producto de sus respectivas pendientes es:

−ab

y′ − yx′ − x = −1 ⇐⇒ y′ − y

x′ − x =b

a⇐⇒ a (y′ − y) = b (x′ − x) (III.2)

Se observa que la ultima ecuacion en (III.2) se cumple tambien cuando l es vertical u horizontal.

En efecto, si l es vertical su ecuacion esX+c = 0, en cuyo caso a = 1 y b = 0. Pero la reflexion

en una recta vertical preserva la y-coordenada, ası que y = y′. Por otro lado, si l es horizontal

su ecuacion es Y + c = 0, en cuyo caso a = 0 y b = 1. Pero la reflexion en una recta horizontal

preserva la x-coordenada, ası que x = x′. En cualquier caso, estos estan dados por la ultima

ecuacion en (III.2).

Ahora, el punto medio M de P y P ′ tiene coordenadas

M =

x+ x′

2y + y′

2

Puesto que M se encuentra en l, sus coordenadas satisfacen la ecuacion de l:

aX + bY + c = 0.

Por consiguiente,

a

(x+ x′

2

)+ b

(y + y′

2

)+ c = 0 (III.3)

Reescribiendo las Ecuaciones (III.2 ) y (III.3), se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones

lineales en x′ y y′: bx′ − ay′ = s

ax′ + by′ = t

donde s = bx− ay y t = −2c− ax− by. Se escribe este sistema en forma matricial como:

b −aa b

x

′

y′

=

st

. (III.4)

81

Puesto que a2 + b2 > 0, la matriz de coeficientes es inversible y se puede resolver para x′, y′:

x

′

y′

=

b −aa b

−1st

=1

a2 + b2

b a

−a b

st

=1

a2 + b2

bs+ at

bt− as

Sustituyendo los valores de s y t, se obtiene

x′ =1

a2 + b2[b (bx− ay) + a (−2c− ax− by)]

=1

a2 + b2(b2x− bay − 2ac− a2x− aby

)

=1

a2 + b2[b2x+

(a2x− a2x

)− a2x− 2aby − 2ac

]

Desarrollando se obtiene,

x′ = x− 2a

a2 + b2(ax+ by + c) (III.5)

Similarmente,

y′ = y − 2b

a2 + b2(ax+ by + c) (III.6)

Finalmente, si P =

xy

esta en l, entonces ax+ by + c = 0 y las Ecuaciones (III.5) y (III.6)

se reducen a

x′ = x, y′ = y,

en cuyo caso, P es un punto fijo tal como se requiere en la definicion de σl. Se ha probado:

Teorema 47. Sea l una recta con ecuacion aX + bY + c = 0, donde a2 + b2 > 0. Las

ecuaciones de σl son:

x′ = x− 2a

a2 + b2(ax+ by + c)

y′ = y − 2b

a2 + b2(ax+ by + c)

(III.7)

82

Ejemplo 13. Sea l la recta dada por X − Y + 5 = 0. Las ecuaciones de σl son:

x′ = x− (x− y + 5) = y − 5

y′ = y − (−1) (x− y + 5) = x+ 5

⇐⇒

x′ = y − 5

y′ = x+ 5

Por ejemplo,

σl

0

0

=

−5

5

y σl

5

5

=

0

10

La reflexion de un vector ~v =

xy

en la recta l : aX + bY + c = 0 es el mismo vector

para todo c y depende solo de la direccion de l. En particular, suponga que ~v es un vector en

posicion estandar, su reflexion en la recta l : aX + bY = 0 es:

σl (~v) =

x− 2a

a2 + b2(ax+ by)

y − 2b

a2 + b2(ax+ by)

(III.8)

Entonces por un calculo directo, se puede escribir la Ecuacion (III.8) en forma matricial:

σl (~v) =1

a2 + b2

b

2 − a2 −2ab−2ab a2 − b2

~v

Mas aun, si ~u =

u1u2

es un vector unitario paralelo a l, la proyeccion de ~v en ~u es el vector

(~v · ~u) ~u, donde ~v · ~u es el producto punto en R2.

Se nota que (~v · ~u) ~u− ~v es ortogonal a ~u, ya que

[(~v · ~u) ~u− ~v] · ~u = (~v · ~u) (~u · ~u)− ~v · ~u = 0,

ademas,

(~v · ~u) ~u = ~v + [(~v · ~u) ~u− ~v]

(ver Figura 3. 15).

83

Figura 3. 15: Proy~u~v = (~v · ~u) ~u = ~v + [(~v · ~u) ~u− ~v]. Fuente: Elaboracion Propia.

Asi, la Ecuacion (III.8) se expresa en forma vectorial como

σl (~v) = ~v + 2 [(~v · ~u) ~u− ~v] = 2 (~v · ~u) ~u− ~v

(ver Figura 3. 16).

Figura 3. 16: σl (~v) = ~v + 2 [(~v · ~u) ~u− ~v] = 2 (~v · ~u) ~u− ~v. Fuente: Elaboracion propia.

Teorema 48. Las reflexiones son isometrıas.

Demostracion. Sean l una recta, ~u un vector unitario paralelo a l y P , Q puntos cualesquiera.

84

Ademas, P ′ = σl (P ), Q′ = σl (Q) y ~v = ~PQ. Entonces

P ′Q′ =∥∥∥ ~P ′Q′

∥∥∥ =∥∥∥σl(~PQ)∥∥∥ = ‖2 (~v · ~u) ~u− ~v‖

(ver Figura 3. 17).

Luego,

‖2 (~v · ~u) ~u− ~v‖2 = [2 (~v · ~u) ~u− ~v] · [2 (~v · ~u) ~u− ~v]

= 4 (~v · ~u)2 (~u · ~u)− 4 (~v · ~u)2 + ~v · ~v = ‖~v‖2

=∥∥∥ ~PQ

∥∥∥2

.

Tomando raices cuadradas, se obtiene

P ′Q′ =∥∥∥ ~PQ

∥∥∥ = PQ.

Por consiguiente, la reflexion σl es una isometrıa.

Figura 3. 17: ~P ′Q′ = σl

(~PQ)= 2 (~v · ~u) ~u− ~v. Fuente: Elaboracion propia.

Proposicion 49. Las reflexiones son involuciones.

Puesto que una reflexion σl fija su eje l puntualmente, una rotacion no trivial ρC,θ fija solo

su centro C y una traslacion no trivial no tiene puntos fijos, entonces se obtiene el siguiente

resultado.

85

Corollary 50. Los conjuntos de las traslaciones, de las rotaciones no triviales y de las

reflexiones son mutuamente disjuntos.

3.6. Algebra de Isometrıas: Composicion de Traslaciones, Ro-

taciones y Reflexiones

De acuerdo a la Proposicion 15, parte 1, la composicion de isometrıas es una isometrıa. Por

consiguiente, es natural el estudio de las propiedades que tiene una composicion de isometrıas.

Se observara que la composicion de dos reflexiones es una rotacion o bien una traslacion, la

composicion de rotaciones es una rotacion o una traslacion y la composicion de una rotacion

no trivial y una traslacion es una rotacion no trivial. Seguidamente, se pasa a la discusion de

las reflexiones deslizantes, las cuales son composiciones de una traslacion y una reflexion en

un eje paralelo a la direccion de la traslacion.

3.6.1. El Teorema de los Tres Puntos

Se establece el teorema de los tres puntos, el cual afirma que una isometrıa esta completa-

mente determinada por su accion en tres puntos no colineales. Este resultado se aplicara para

caracterizar rotaciones y traslaciones como composicion de dos reflexiones. Inicialmente, se

citan dos resultados preliminares.

Teorema 51. Una isometrıa con puntos fijos distintos P y Q, fija la recta←→PQ puntual-

mente.

Teorema 52. Una isometrıa con tres puntos fijos no colineales, es la identidad.

Demostracion. Sean P , Q y R puntos fijos no colineales de una isometrıa α, ası que

α(P ) = P, α(Q) = Q, α(R) = R.

Se quiere mostrar que α(X) = X para cada punto X en el plano. Suponga que este no es el

86

caso. Entonces existe un punto A tal que

A′ = α(A) 6= A.

Puesto que α es una isometrıa con α(P ) = P y α(A) = A′, se tiene que

PA = dist(P,A) = dist(α(P ), α(A)) = dist(P ′, A′) = PA′

Esto significa que P se encuentra en la bisectriz perpendicular de AA′. Similarmente, Q y R

deben encontrarse en la bisectriz perpendicular deAA′, lo cual contradice el hecho de que P ,Q

y R no son colineales. Esta contradiccion muestra que el supuesto de que α no es la identidad

debe ser falso y esto completa la prueba.

Teorema 53. (Teorema de los tres puntos) Una isometrıa del plano queda completamente

determinada por su accion en tres puntos no colineales.

Demostracion. Sean P , Q y R tres puntos no colineales en el plano y α, β dos isometrıas tales

que

α(P ) = β(P ), α(Q) = β(Q), α(R) = β(R) (III.9)

Se quiere probar que α = β. Para ello, se aplica α−1 a ambos lados de cada ecuacion en (III.9),

de donde

P = (α−1 ◦ β)(P ), Q = (α−1 ◦ β)(Q), R = (α−1 ◦ β)(R).

Entonces, α−1 ◦ β es una isometrıa que fija tres puntos no colineales y por el Teorema 118,

α−1 ◦ β = i. Aplicando α a ambos lados de esta ecuacion, se obtiene β = α.

3.6.2. Rotaciones como Composicion de dos Reflexiones

Antes de todo, se requiere de la siguiente definicion.

Definicion 54. Sean l y m rectas. Sea C ∈ l ∩m y sean A, B puntos distintos de C en

l y m, respectivamente. Suponga que A′ = ϕC(A) y B′ = ϕC(B). Entonces, ∠ACB,

∠ACB′, ∠A′CB y ∠A′CB′ son los angulos de l a m.

87

Mas aun, dos veces la medida de los angulos de l a m son congruentes modulo 360◦. Por

ejemplo, los angulos ∠ACB y ∠ACB′ de l a m en la Definicion 54 son suplementarios.

Puesto que las medidas de los angulos dirigidos son signados, se tiene

m∠ACB −m∠ACB′ = m∠B′CA+m∠ACB = m∠B′CB = ±180,

ası, 2m∠ACB − 2m∠ACB′ = ±360 y 2m∠ACB ≡ 2m∠ACB′ (ver Figura 3. 18).

Figura 3. 18: Los angulos de l a m. Fuente: Elaboracion propia.

Se motivan las ideas de los resultados a tratar, con la siguiente actividad exploratoria.

Actividad exploratoria 12. Rotaciones como Composicion de dos Reflexiones. Fuente:

Elaboracion propia.

1. Construya cuatro puntos distintos no colineales. Etiquete los dos mas alejados con

C y D y los otros dos restantes con E y F .

2. Construya el triangulo4DEF y marque el punto C como el centro de rotacion.

3. Rote 4DEF alrededor de C a traves de un angulo de 72◦ y etiquete los vertices

correspondientes del triangulo imagen con D′, E ′ y F ′.

4. Construya la recta←→CD y la bisectriz perpendicular de DD′. Etiquete estas rectas

con m y n, respectivamente. ¿Donde la rectas m y n se intersecan?, ofrezca una

explicacion.

88

5. Construya un punto N en la recta n y mida el angulo ∠DCN de m a n. ¿Como es

2m∠DCN relativo al angulo de rotacion de 72◦?

6. Construya el punto N ′ = ϕC(N) y mida el angulo ∠DCN ′ de m a n. Se observa

que m∠DCN y m∠DCN ′ tienen signos opuestos. ¿Como es 2m∠DCN ′ relativo

al angulo de rotacion de 72◦? ¿Como es 2m∠DCN relativo a 2m∠DCN ′?

7. Marque la recta m como un espejo, refleje 4DEF en la recta m y etiquete los

vertices correspondientes de la imagen con P , Q y R.

8. Marque la recta n como un espejo y refleje 4PQR en la recta n. Describa la

imagen del4PQR.

9. Complete la siguiente proposicion:

“la rotacion ρC,72 es una composicion de reflexiones: σn ◦σm, donde

los ejes m y n .............................. en C y dos veces la medida de un

angulo de m a n es congruente a ........................”

(Ver desarrollo de la Actividad en el Anexo 3.8)

Teorema 55. Dadas la rectas l y m, sea C ∈ l ∩m y sea θ la medida de un angulo de l

a m. Entonces

σm ◦ σl = ρC,2θ

Demostracion. Si l = m, entonces θ = 0 y σm ◦ σl = i = ρC,2θ. Si l 6= m, se observa

inicialmente que

(σm ◦ σl)(C) = σm(σl(C)) = σm(C) = C = ρC,2θ(C) (III.10)

Sea L un punto en l distinto de C y se considera el cırculo CL. Sea M ∈ m ∩ CL tal que

m∠LCM = θ y sea L′ = σm(L). Entonces m es la bisectriz perpendicular de LL′, por de-

finicion de σm; ası que, CL = CL′ y m∠LCL′ = 2θ (ver Figura 3. 19). Por consiguiente,

L′ = ρC,2θ(L) por definicion de ρC,2θ y

(σm ◦ σl)(L) = σm(σl(L)) = σm(L) = L′ = ρC,2θ(L) (III.11)

89

Figura 3. 19: CL = CL′, m∠LCL′ = 2θ en la prueba de σm ◦ σl = ρC,2θ. Fuente:[(Umbleand Han, 2014)].

Sea M ′ = σl(M); entonces l es la bisectriz perpendicular de MM ′, por definicion de σl.

Ası que, CM ′ = CM y m∠M ′CM = 2θ. Por consiguiente, M = ρC,2θ(M′) por definicion de

ρC,2θ y

(σm ◦ σl)(M ′) = σm(σl(M′)) = σm(M) =M = ρC,2θ(M

′) (III.12)

De todo ello, las isometrıas σm ◦ σl y ρC,2θ coinciden en los puntos no colineales C,L y M ′

por las ecuaciones Ec. III.10, Ec. III.11 y Ec. III.12. Por consiguiente, σm ◦ σl = ρC,2θ por el

Teorema 53.

Mas aun, cada rotacion es una composicion de dos reflexiones:

Teorema 56. Una isometrıa α es una rotacion si, y solo si, α es la composicion de dos

reflexiones en rectas que se intersecan o son iguales.

Ejemplo 14. Considere las rectas

l : X − Y = 0 y m : X = 0.

Las ecuaciones para las reflexiones en l y m son

σl :

x′ = y

y′ = x

, σm :

x′ = −x

y′ = y

90

y las ecuaciones para la composicion σm ◦ σl son

σm ◦ σl :

x′ = −y

y′ = x

Se observa que la medida del angulo positivo de l a m es 45 y las ecuaciones

ρO,90 :

x′ = x cos 90− y sen 90 = −y

y′ = x sen 90 + y cos 90 = x

coinciden con aquellas de σm ◦σl. Mas aun,−270 = 2(−135) es dos veces la medida del

angulo negativo de l a m, pero es claro que 90 ≡ −270.

Teorema 57. Si las rectas l,m y n son concurrentes en C, entonces existen rectas unicas

p y q que pasan a traves de C tales que

σm ◦ σl = σn ◦ σp = σq ◦ σn

Corollary 58. Sea n una recta que pasa a traves del punto C. Sean p y q rectas unicas

que pasan a traves de C tales que un angulo de p a n y un angulo de n a q es congruente

a 12θ. Entonces

ρC,θ = σq ◦ σn = σn ◦ σp

Corollary 59. Sean l y m rectas que se interesan en el punto C. Entonces l ⊥ m si, y

solo si,

ϕC = σm ◦ σl = σl ◦ σm

La Proposicion 43 afirma que una semivuelta ϕC fija una recta l si, y solo si, C esta en l.

Teorema 60. Una rotacion no trivial que fija una recta, es una semivuelta.

Las semivueltas, en general, no conmutan. En efecto, ϕA ◦ ϕB = ϕB ◦ ϕA si, y solo si,

A = B. De este modo, la unica semivuelta que conmuta con ϕA es ella misma.

91

3.6.3. Traslaciones como Composicion de dos Semivueltas o dos Reflexio-

nes

Se motivan las ideas de esta seccion con una actividad exploratoria.

Actividad exploratoria 13. Traslaciones como Composicion de dos Reflexiones. Fuente:

Elaboracion propia.

1. Construya cuatro puntos distintos no colineales. Etiquete los dos puntos mas aleja-

dos con C y D y los otros dos con E y F .

2. Construya el triangulo4DEF y marque el vector ~CD como el vector traslacion.

3. Traslade el 4DEF por el vector ~CD y etiquete los vertices correspondientes del

triangulo imagen con D′, E ′ y F ′.

4. Construya la recta←−→DD′, la recta a traves de D perpendicular a

←−→DD′ y la bisectriz

perpendicular de DD′. Etiquete estas rectas con l, m y n respectivamente. ¿Como

se relacionan las rectas l, m y n?

5. Mida la distanciaCD y la distancia dem a n. ¿Como se comparan estas distancias?

6. Marque la recta m como un espejo, refleje el 4DEF en la recta m y etiquete los

vertices correspondientes de la imagen con P , Q y R.

7. Marque la recta n como un espejo y refleje el 4PQR en la recta n. Describa la

imagen del4PQR.

8. Complete la siguiente proposicion:

“Una traslacion τ~v es una composicion de dos reflexiones:

σn ◦ σm, donde los ejes m y n son ..................................................

a la direccion de ~v y dos veces la distancia de m a n es

..................................................”

(Ver desarrollo de la Actividad en el Anexo 3.8)

El siguiente resultado afirma que la composicion de dos rotaciones cuya suma de los angu-

los de rotacion es un multiplo de 360, es una traslacion. El Corolario 62 se sigue inmediata-

92

mente del Teorema 61 e identifica una composicion de dos reflexiones en rectas paralelas con

una traslacion.

Teorema 61. La composicion de dos semivueltas es una traslacion. Esto es, dados los

puntos cualesquiera A y B,

ϕB ◦ ϕA = τ2 ~AB.

Demostracion. Dados los puntos A =

ab

y B =

cd

, se sigue que 2 ~AB =

2(c− a)2(d− b)

.

Las ecuaciones de ϕA son:

x′ = 2a− x, y′ = 2b− y

y las ecuaciones de ϕB son:

x′ = 2c− x, y′ = 2d− y.

Luego,

(ϕB ◦ ϕA)

xy

= ϕB

2a− x2b− y

=

2c− (2a− x)2d− (2b− y)

=

x+ 2(c− a)y + 2(d− b)

= τ2 ~AB

xy

De ello, se sigue que ϕB ◦ ϕA = τ2 ~AB.

Cuando A y B son distintos, el Teorema 61 asegura que ϕB ◦ ϕA traslada una distancia

2AB en la direccion de A a B (ver Figura 3. 20).

Corollary 62. Dadas las rectas paralelas l y m, sea ~v el vector perpendicular a estas

rectas que va de l a m y cuya magnitud es dos veces la distancia de l a m. Entonces

σm ◦ σl = τ~v

Demostracion. Si l = m, entonces ~v = O y σm◦σl = i = τ~v. Si l 6= m, sea n una perpendicular

comun, sea L = l ∩ n y M = m∩ n (ver Figura 3. 21). Entonces, ~v = 2 ~LM y por el Corolario

93

Figura 3. 20: La composicion de dos semivueltas: ϕB ◦ ϕA = τ2 ~AB. Fuente:[(Umble and Han,2014)].

59 y el Teorema 61, se tiene que

σm ◦ σl = (σm ◦ σn) ◦ (σn ◦ σl) = ϕM ◦ ϕL = τ2 ~LM = τ~v

Figura 3. 21: σm ◦ σl = τ~v. Fuente:[(Umble and Han, 2014)].

Mas aun, cada traslacion es una composicion de dos reflexiones:

Teorema 63. Una isometrıa α es una traslacion si, y solo si, α es una composicion de

dos reflexiones en rectas paralelas.

94

Asumiendo que la composicion de dos semivueltas es una traslacion, el siguiente resultado

es un caso especial del Teorema de la Adicion de Angulos, partes 3 y 4 para semivueltas, el

cual afirma que la composicion de una traslacion y una rotacion de θ◦ (en cualquier orden) es

una rotacion de θ◦.

Teorema 64. La composicion de tres semivueltas es una semivuelta. En efecto, dados

los puntos A,B y C, sea D el unico punto tal que ~AB = ~DC. Entonces

ϕC ◦ ϕB ◦ ϕA = ϕD. (III.13)

Demostracion. Sean los puntos A,B, C y sea D el unico punto tal que ~AB = ~DC. Por el

Teorema 61, se tiene

ϕB ◦ ϕA = τ2 ~AB = τ2 ~DC = ϕC ◦ ϕD.

Puesto que ϕC es una involucion, aplicando ϕC a ambos lados de la relacion anterior, se tiene

que

ϕC ◦ ϕB ◦ ϕA = ϕC ◦ ϕC ◦ ϕD = i ◦ ϕD = ϕD.

Notar que si A,B y C no son colineales, el punto central D de la semivuelta ϕD = ϕC ◦ϕB ◦ϕA es el unico punto tal que�ABCD es un paralelogramo (ver Figura. 3. 22). Este hecho

ofrece una forma simple de construir el punto central D.

Figura 3. 22: ϕC ◦ ϕB ◦ ϕA = ϕD. Fuente:[(Umble and Han, 2014)].

El tenor del Teorema 65 es un resultado analogo del Teorema 57 para traslaciones.

95

Teorema 65. Si l, m y n son rectas paralelas, entonces existen rectas unicas p y q

paralelas a l tales que

σm ◦ σl = σn ◦ σp = σq ◦ σn.

Corollary 66. Sean P y Q puntos distintos y sea n una recta perpendicular a←→PQ.

Entonces existen rectas unicas p y q paralelas a n tales que

τ ~PQ = σq ◦ σn = σn ◦ σp.

Se reunen estos resultados en el siguiente teorema.

Teorema 67. Una composicion de dos reflexiones es una traslacion o una rotacion.

Solamente la identidad es tanto una traslacion como una rotacion.

El Teorema 67 da lugar a una interesante e importante pregunta: ¿cual es el resultado de

componer mas de dos reflexiones?. Se dara respuesta a ello posteriormente.

3.6.4. El Teorema de la Adicion de Angulos

Las cinco proposiciones en el Teorema de la Adicion de Angulos, determinan comple-

tamente todas las composiciones de rotaciones y traslaciones. Se motiva la parte 1 de este

teorema con una actividad exploratoria.

Actividad exploratoria 14. Composicion de Rotaciones cuya Suma de Angulos de Rota-

cion no es Multiplo de 360. Fuente: Elaboracion propia.

1. Construya los puntos distintos A, B y el segmento de recta AB.

2. Marque B como centro de rotacion y rote A a traves de los angulos 90◦ y 180◦

alrededor de B; etiquete los puntos imagenes con C y D, respectivamente.

3. Marque C como centro de rotacion. Rote 60◦ alrededor de C, el segmento AB;

etiquete las imagenes de los puntos extremos con A′ y B′ tal que A′ corresponde a

A y B′ corresponde a B.

4. Marque D como centro de rotacion. Rote 40◦ alrededor de D, el segmento A′B′;

etiquete las imagenes de los puntos extremos con A′′ y B′′ tal que A′′ corresponde

a A′ y B′′ a B′.

96

5. Construya los segmentos AA′′, BB′′ y sus bisectrices perpendiculares. Etiquete la

interseccion de las bisectrices perpendiculares con E.

6. Esconda los segmentos AA′′, BB′′, sus puntos medios y las bisectrices perpendi-

culares.

7. Marque E como centro de rotacion y rote 20◦ alrededor de E, el segmento AB.

8. Rote 20◦ alrededor de E, la imagen de AB en el Paso 7.

9. Rote 20◦ alrededor de E, la imagen en el Paso 8 y continue rotando de esta manera

dos iteraciones mas, hasta que el angulo total de rotacion alrededor de E sea 100◦.

¿Que es lo que se observa?

10. Complete la siguiente conjetura:

“La rotacion ρC,60 seguida por la rotacion ρD,40, es la rotacion

.....................................................................”

(Ver desarrollo de la Actividad en el Anexo 3.8)

El Teorema de la Adicion de Angulos transforma una composicion de dos rotaciones o una

composicion de una rotacion y una traslacion en una composicion de dos reflexiones, la cual es

una rotacion o una traslacion.

Primeramente, se considera una composicion de dos rotaciones cuya suma de angulos de

rotacion no es un multiplo de 360.

Teorema 68. (Teorema de la Adicion de Angulos, Parte 1) Sean A , B puntos y θ , φ

numeros reales tales que θ + φ /∈ 0◦. Entonces existe un unico punto C tal que

ρB,φ ◦ ρA,θ = ρC,θ+φ.

Ejemplo 15. Sean A =

2

2

y B =

−2

2

. Para determinar ρB,180 ◦ ρA,90, sean

m =←→AB : Y = 2, l : Y = −X + 4 y n : X = −2. Entonces l y n son las unicas rectas

97

tales que un angulo de l a m mide 45 y un angulo de m a n mide 90. Ası,

ρA,90 = σm ◦ σl, ρB,180 = σn ◦ σm.

El centro de rotacion es C = l ∩ n =

−2

6

y

ρB,180 ◦ ρA,90 = (σn ◦ σm) ◦ (σm ◦ σl) = σn ◦ σl = ρC,−90 = ρC,270

(ver Figura 3. 23).

Figura 3. 23: ρC,270 = ρB,180 ◦ ρA,90. Fuente: Elaboracion propia.

Seguidamente, se considera una composicion de rotaciones cuya suma de angulos de rota-

cion es un multiplo de 360.

Teorema 69. (Teorema de la Adicion de Angulos, Parte 2) Sean A , B puntos y θ , φ

numeros reales tales que θ + φ ∈ 0◦. Entonces

ρB,φ ◦ ρA,θ

es una traslacion.

Ejemplo 16. Sean A =

2

2

y B =

−2

2

. Para determinar ρB,90 ◦ ρA,270, sean

98

m =←→AB : Y = 2, l : Y = X y n : Y = X +4. Entonces l y n son las unicas rectas tales

que un angulo de l a m mide 135 y un angulo de m a n mide 45. De este modo,

l ‖ n, ρB,90 = σn ◦ σm, ρA,270 = σm ◦ σl,

y el vector en la direccion perpendicular de l a n es ~OB. Por consiguiente,

ρB,90 ◦ ρA,270 = (σn ◦ σm) ◦ (σm ◦ σl) = σn ◦ σl = τ2 ~OB

(ver Figura 3. 24).

Figura 3. 24: ρB,90 ◦ ρA,270 = τ2 ~OB. Fuente: Elaboracion propia.

En tercer lugar, se considera la composicion de una traslacion y una rotacion no trivial (en

cualquier orden).

Teorema 70. (Teorema de la Adicion de Angulos, Partes 3 y 4) La composicion de una

rotacion no trivial de θ◦ y una traslacion (en cualquier orden) es una rotacion de θ◦.

Se resume las distintas partes del Teorema de la Adicion de Angulos junto con la Parte 1 de

la Proposicion 28 en el siguiente resultado.

Teorema 71. (Teorema de la Adicion de Angulos) Sean θ, φ ∈ R.

1. Si θ + φ /∈ 0◦, entonces una rotacion de θ◦ seguida por una rotacion de φ◦ es una

rotacion de (θ + φ)◦.

2. Si θ + φ ∈ 0◦, entonces una rotacion de θ◦ seguida por una rotacion de φ◦ es una

traslacion.

99

3. Una rotacion no trivial de θ◦ seguida por una traslacion es una rotacion de θ◦.

4. Una traslacion seguida por una rotacion no trivial de θ◦ es una rotacion de θ◦.

5. Una traslacion seguida por una traslacion es una traslacion.

3.6.5. Reflexiones Deslizantes

Proposicion 72. Las rectas l,m y n son concurrentes o mutuamente paralelas si, y solo

si, existe una unica recta p tal que

σn ◦ σm ◦ σl = σp.

¿Que resulta de componer tres reflexiones en tres rectas l,m y n que no son concurrentes

ni mutuamente paralelas?. La Proposicion 72 asegura que σn ◦ σm ◦ σl no es una reflexion. Le

queda ser una rotacion o una traslacion o alguna otra transformacion que no se haya visto hasta

el momento.

Proposicion 73. Si las rectas l,m y n no son concurrentes ni mutuamente paralelas,

entonces la composicion

σn ◦ σm ◦ σl

no es una reflexion, no es una rotacion ni una traslacion.

La composicion σn ◦ σm ◦ σl de la Proposicion 73 es una reflexion deslizante, la cual es una

isometrıa que no se ha tratado hasta el momento.

Definicion 74. Sea l una recta y sea ~v un vector distinto de cero. La transformacion

γl,~v : R2 → R2 es una reflexion deslizante con eje l y vector de deslizamiento ~v, si:

1. γl,~v = σl ◦ τ~v,

2. τ~v(l) = l.

La longitud de γl,~v es la norma ||~v||.

Las reflexiones deslizantes son isometrıas, puesto que las traslaciones y las reflexiones son

isometrıas y la composicion de isometrıas es una isometrıa. Considere el patron de huellas que

se deja al caminar en la arena de la playa e imagine una recta l situada simetricamente entre las

100

huellas izquierda y derecha, este es el resultado real de una reflexion deslizante (ver Figura 3.

25).

Figura 3. 25: Huellas fijadas por una reflexion deslizante. Fuente:(Sketchpad, ).

Se citan algunas propiedades importantes de una reflexion deslizante.

Proposicion 75. Sea l una recta y ~v un vector distinto de cero.

1. γl,~v intercambia los semiplanos de l.

2. γl,~v no tiene puntos fijos.

3. Sea P un punto y P ′ = γl,~v(P ). Entonces el punto medio de PP ′ se encuentra en

l.

4. γl,~v fija exactamente una recta, su eje l.

Una reflexion deslizante puede expresarse como una composicion de tres reflexiones.

Teorema 76. Una transformacion γ es una reflexion deslizante con eje l si, y solo si,

existen rectas paralelas distintas p y q perpendiculares a l tales que

γ = σl ◦ σp ◦ σq.

Una reflexion deslizante puede expresarse, tambien, como una reflexion en alguna recta l

seguida por una semivuelta con centro fuera de l.

Teorema 77. Sea γ : R2 → R2 una transformacion, sea l una recta y sea ~v un vector

distinto de cero. Las siguientes afirmaciones son equivalentes.

1. γ es una reflexion deslizante con eje l y vector de deslizamiento ~v.

2. γ = σl ◦ τ~v y τ~v(l) = l.

101

3. Existe una recta p ortogonal a l y un punto B en l y fuera de p tal que

γ = ϕB ◦ σp.

4. Existe una recta q ortogonal a l y un punto A en l y fuera de q tal que

γ = σq ◦ ϕA.

5. γ = τ~v ◦ σl y τ~v(l) = l.

Teorema 78. Sean l,m y n rectas distintas. Entonces γ = σn ◦ σm ◦ σl es una reflexion

deslizante si, y solo si, l, m y n no son concurrentes ni mutuamente paralelas.

Las ecuaciones de una reflexion deslizante se siguen del Teorema 77.

Corollary 79. Sea γ una reflexion deslizante con el eje l : aX + bY + c = 0 tal que

a2+ b2 > 0 y vector de deslizamiento ~v =

de

. Entonces ad+ be = 0 y las ecuaciones

de γ son dadas por:

x′ = x− 2a

a2 + b2(ax+ by + c) + d

y′ = y − 2b

a2 + b2(ax+ by + c) + e.

Demostracion. Usando el Teorema 77, Parte 5, se escribe γ = τ~v ◦ σl. Entonces τ~v con ~v =de

fija el eje l : aX + bY + c = 0 si, y solo si, l tiene la direccion de ~v si, y solo si,

ab

·

de

= 0

si, y solo si, ad+be = 0. Las ecuaciones de γ son las ecuaciones de la composicion τ~v ◦σl.

Ejemplo 17. Se considera la recta l : 3X−4Y +1 = 0 y la traslacion τ~v donde ~v =

4

3

.

Puesto que ad+ be = (3)(4) + (−4)(3) = 0, la recta l esta en la direccion de ~v. De ello,

102

se sigue que γ = σl ◦ τ~v es una reflexion deslizante con ecuaciones

x′ =

1

25(7x+ 24y + 94)

y′ =1

25(24x− 7y + 83).

Por ejemplo, sea P =

0

19

. Entonces

P ′ =

22

−2

= γ

0

19

.

El punto medio M =

11

17/2

de PP ′ se encuentra en l.

Algunos hechos utiles de las reflexiones deslizantes se enuncian a continuacion.

Teorema 80. Sea γl,~v una reflexion deslizante. Entonces,

1. γ−1l,~v es una reflexion deslizante con eje l y vector de deslizamiento −~v. Ası,

γ−1l,~v = γl,−~v.

2. Si τ es cualquier traslacion tal que τ(l) = l, entonces τ ◦ γl,~v = γl,~v ◦ τ .

3. γ2l,~v = τ2~v 6= i.

3.7. Clasificacion de las Isometrıas

Hasta el momento se ha encontrado cuatro familias de isometrıas, a saber, traslaciones,

rotaciones, reflexiones y reflexiones deslizantes. ¿Son estas todas las isometrıas del plano o

faltan algunas?. Se responde esta pregunta en lo que sigue.

103

3.7.1. El Teorema Fundamental de la Geometrıa Transformacional y Con-

gruencias

Se establece el Teorema Fundamental de la Geometrıa Transformacional, el cual afirma el

hecho notable de que una isometrıa puede expresarse como una composicion de tres o menos

reflexiones. Antes de todo, se citan algunos resultados acerca de puntos fijos.

Teorema 81. Una isometrıa que fija dos puntos distintos, es una reflexion o la aplicacion

identidad.

Teorema 82. Una isometrıa que fija exactamente un punto, es una rotacion no trivial.

Considerando a la identidad como una rotacion trivial, resumimos los Teoremas 81 y 82 en

el siguiente resultado.

Teorema 83. Una isometrıa con un punto fijo es una reflexion o una rotacion. Una

isometrıa que tiene exactamente un punto fijo, es una rotacion no trivial.

Se han establecido los resultados necesarios para probar uno de los resultados principales

de esta propuesta didactica, el cual caracteriza una isometrıa como una composicion de tres o

menos reflexiones.

Teorema 84. (Teorema Fundamental de la Geometrıa Transformacional del Plano) Una

transformacion α es una isometrıa si, y solo si, α se expresa como una composicion de

tres o menos reflexiones.

Demostracion. Sea α una transformacion del plano.

Suponga que α es una isometrıa. Si α = i, se elije cualquier recta l y se tendra i = σl ◦ σl.Si α 6= i, se elije un punto P tal que P ′ = α(P ) 6= P . Sea l la bisectriz perpendicular de PP ′.

Entonces

(σl ◦ α)(P ) = σl(α(P )) = σl(P′) = P

y β = σl ◦ α fija el punto P . Por el Teorema 83, β es una reflexion o una rotacion y esta ultima

puede expresarse como una composicion de dos reflexiones. En consecuencia, α = σl ◦ β se

expresa como una composicion de tres o menos reflexiones.

104

Suponga que α es una composicion de tres o menos reflexiones. Puesto que las reflexio-

nes son isometrıas por el Teorema 48 y la composicion de isometrıas es una isometrıa por la

Proposicion 15, Parte1, entonces una composicion de reflexiones es una isometrıa.

El siguiente resultado expresa la congruencia de triangulos en terminos de isometrıas.

Teorema 85. Los triangulos4PQR y4ABC son congruentes si, y solo si, existe una

isometrıa α tal que4ABC = α(4PQR). Mas aun, α es unica si, y solo si,4PQR es

escaleno.

Corollary 86. Dos segmentos o dos angulos son congruentes si, y solo si, existe iso-

metrıa que aplica uno sobre otro.

Seguidamente, se define una nocion general de congruencia para figuras planas arbitrarias.

Notar que una figura plana es sımplemente un subconjunto no vacıo del plano.

Definicion 87. Dos figuras planas S1 y S2 son congruentes si, existe una isometrıa α tal

que

S2 = α(S1).

3.7.2. Clasificacion de las Isometrıas

Se ofrece una solucion completa del problema de la clasificacion de isometrıas. Se definen

las nociones de isometrıa par e impar, esto es, la composicion de un numero par o impar

de reflexiones, y se observa que las isometrıas pares son las traslaciones o rotaciones y las

isometrıas impares son las reflexiones o reflexiones deslizantes.

Teorema 88. (Clasificacion de las Isometrıas) Una isometrıa es exactamente uno de los

siguiente tipos: una reflexion, una reflexion deslizante, una rotacion, o una traslacion no

trivial.

Demostracion. Se recopila los diversos resultado establecidos a lo largo de este trabajo.

Cada isometrıa es una composicion de tres o menos reflexiones.

La composicion de dos reflexiones en rectas paralelas distintas, es una traslacion no tri-

vial.

105

La composicion de dos reflexiones en rectas paralelas distintas que se intersecan, es una

rotacion no trivial.

La identidad, es tanto una traslacion trivial como una rotacion trivial.

Traslaciones no triviales no tienen puntos fijos, pero fijan cada recta en la direccion de la

traslacion.

Por definicion, una rotacion no trivial fija exactamente un punto, a saber, su centro. Una

reflexion fija cada punto que se encuentra en su eje.

De ello, traslaciones, rotaciones no triviales y reflexiones, forman familias de isometrıas

mutuamente exclusivas.

Una composicion de tres reflexiones en rectas concurrentes o mutuamente paralelas, es

una reflexion.

Una composicion de tres reflexiones en rectas no concurrentes ni mutuamente paralelas,

es una reflexion deslizante.

Una reflexion deslizante no tiene puntos fijos; en consecuencia, una reflexion deslizante

no es una rotacion ni es una reflexion.

Una reflexion deslizante fija exactamente una recta, a saber, su eje; en consecuencia, una

reflexion deslizante no es una traslacion.

Las imagenes en la Figura 3. 26 representan la variedad de formas en que tres o menos

rectas pueden configurarse. Reflejando sucesivamente en estas rectas, se obtienen las diversas

maneras de expresar las isometrıas en el Teorema 88 como composicion de reflexiones. Re-

flejando exactamente una vez en cada recta de la configuracion, las primeras tres representan

reflexiones, la cuarta y la quinta representan reflexiones deslizantes, la sexta representa una

rotacion no trivial y la septima representa una traslacion no trivial. Si se permiten multiples

reflexiones en la misma recta, composiciones de la forma σa ◦ σb ◦ σa representan, tambien,

reflexiones, puesto que los tres ejes de reflexion son paralelos (cuando a ‖ b) o concurrentes

(cuando a ∦ b).

106

Figura 3. 26: Configuraciones de rectas representando reflexiones, traslaciones, rotaciones yreflexiones deslizantes. Fuente:[(Umble and Han, 2014)].

La Clasificacion de Isometrıas es Matematica por excelencia, una joya de la corona de

la Geometrıa Transformacional del Plano. En efecto, el objetivo ultimo de cada esfuerzo ma-

tematico es hallar y clasificar los objetos estudiados. Esto es, tıpicamente, un problema profun-

damente difıcil y raramente resuelto. De este modo, una solucion completa de un problema de

clasificacion, conlleva a una celebracion y la Clasificacion de Isometrıas no es la excepcion.

Se debe recordar que el Teorema Fundamental de la Geometrıa Transformacional del Plano

(Teorema 84), afirma que una isometrıa puede ser expresada como una composicion de tres o

menos reflexiones. ¿Como se puede reducir una composicion de cuatro reflexiones, la cual es

una isometrıa, a una composicion de tres o menos reflexiones?. El siguiente teorema responde

a esta cuestion.

Teorema 89. Una composicion de cuatro reflexiones se reduce a una composicion de

dos reflexiones, es decir, dadas las rectas p, q, r y s , existen rectas l y m tales que

σs ◦ σr ◦ σq ◦ σp = σm ◦ σl

Repetidas aplicaciones del Teorema 89, reducen una composicion de un numero impar de

reflexiones a una o tres reflexiones, pero nunca a una composicion de dos reflexiones. De igual

107

modo, una composicion de un numero par de reflexiones se reduce a dos reflexiones o bien a la

identidad, pero nunca a una composicion de una o tres reflexiones. Puesto que cada isometrıa es

una composicion de tres o menos reflexiones, cada isometrıa se encuentra en una sola familia

de las dos mutuamente excluyentes:

isometrıas que pueden expresarse como una composicion de un numero par de reflexio-

nes: traslaciones y rotaciones,

isometrıas que pueden expresarse como una composicion de un numero impar de refle-

xiones: reflexiones y reflexiones deslizantes.

Definicion 90. Una isometrıa α es par, si α se expresa como una composicion de un

numero par de reflexiones; de otro modo, α es impar.

Teorema 91. Una isometrıa α es par si, y solo si, α es una traslacion o una rotacion

(la identidad es una rotacion trivial); α es impar si, y solo si, α es una reflexion o una

reflexion deslizante.

3.8. Aplicaciones de las Isometrıas

Motivacion: Dos ninos desean compartir un pedazo de pastel, de una forma inusual, como

se muestra en la Figura 3. 27, donde BCDE es un cuadrado, la curva AE es un arco circular

con centro en C y los puntos A,B y E son colineales.

(a) El pedazo del pastel. (b) Vista superior del pastel.

Figura 3. 27: El pastel de la motivacion. Fuente: Elaboracion propia.

108

Siendo ninos, no les entusiasma recibir pedazos de pastel que difieren en la forma. En otras

palabras, quieren cortar el pastel en dos pedazos congruentes. ¿Como se puede hacer esto?

Si el pastel incluyera el espacio cuadrado debajo de BCDE, de modo que tuviera la forma

de la Figura 3. 28, la tarea serıa muy simple. El pastel podrıa cortarse por la mitad a lo largo de

la recta l. El pastel en la Figura 3. 28 tiene simetrıa de reflexion sobre la recta l: si se sostiene

Figura 3. 28: Vista superior de un pedazo de pastel completo. Fuente: Elaboracion propia.

un espejo vertical a la pagina con un borde del espejo a lo largo de l, el reflejo de la mitad de la

figura coincidira con la otra mitad.

Cuando se desea dividir pasteles y tortas en partes iguales, tendemos a buscar simetrıa

reflexiva y a menudo se pasa por alto otras posibilidades.

Esta podrıa ser la razon por la cual muchas personas intentan dividir el pastel cortandolo en

dos pedazos y luego dividiendo cada uno de ellos a lo largo de un eje de simetrica de reflexion,

como en la Figura 3. 29.

(a) (b)

Figura 3. 29: Dividiendo el pastel del modo mas simple. Fuente: Elaboracion propia.

Aunque se puede cortar en dos pedazos, cada uno de los cuales tiene simetrıa de reflexion,

109

el pastel en sı no tiene simetrıa de reflexion. Pero esto no significa que no haya solucion para el

problema original: !los ninos quieren dos pedazos de pastel iguales!

El pastel fue probablemente un cuarto de un pastel circular, como se muestra en la Figura 3.

30. Un giro alrededor del centro C a traves de un angulo de 45◦ muestra como cortar el pastel

en dos pedazos congruentes.

(a) (b)

Figura 3. 30: Solucion al problema (un giro de 45◦ alrededor del centro). Fuente: Elaboracionpropia.

Aplicaciones de las Rotaciones, Traslaciones y Reflexiones

Aplicacion 1.

Corte cada una de las siguientes figuras en dos partes congruentes, usando un unico corte.

(a) (b)

Figura 3. 31: Polıgonos de la Aplicacion 1. Fuente:[(Leonard et al., 2014b)].

110

Desarrollo.

Despues del corte se debe conseguir dos piezas que sean congruentes entre sı. Esto significa

que una de las piezas debe obtenerse de la otra mediante una isometrıa, ya sea una traslacion,

una rotacion, una reflexion o alguna combinacion de ellas.

Una forma de atacar el problema es usar el metodo de trazar y ajustar, el cual consiste en

trazar la figura en un papel calco y situar la figura trazada en la original en varias posiciones

hasta que las dos figuras superpuestas creen el contorno de las dos formas congruentes.

Cuando se hace ello, se puede observar que la solucion para el polıgono ABCDEFGH se

obtiene aplicando la rotacion ρO,90, donde O es el punto medio del lado EF , ver Figura 3. 32a.

Mientras que la solucion para el polıgono PQRSTUVW puede ser obtenida vıa la traslacion

τ ~UM , donde M es el punto medio de UT . Ver Figura 3. 32b.

(a) Solucion para el polıgonoABCDEFGH .

(b) Solucion para el polıgonoPQRSTUVW .

Figura 3. 32: Soluciones del problema de la Aplicacion 1. Fuente: Elaboracion propia.

(Ver la solucion en Sketchpad en el Anexo 3.8)

Aplicacion 2.

Dado un cuadrado ABCD, una recta l y un punto P . Halle todos los puntos X e Y con X

en un lado de �ABCD, Y en l y con P siendo el punto medio del segmento XY .

Desarrollo.

Para la solucion, se utiliza el enfoque de prueba y error. Sea Y en l. Halle el punto corres-

pondiente Y ′ de modo que Y Y ′ tenga a P como su punto medio. Si Y ′ se ubica en un lado

111

Figura 3. 33: Planteamiento geometrico del problema en la Aplicacion 2. Fuente:[(Leonardet al., 2014b)].

del cuadrado, se tendra una solucion. Es mas probable que Y ′ no se encuentre en un lado del

cuadrado; ası, se probaran varias posiciones para Y y se vera que le sucede a Y ′, como en la

Figura 3. 34.

Figura 3. 34: Posiciones diversas para Y en l. Fuente:[(Leonard et al., 2014b)].

Note que Y ′ se obtiene de Y mediante una rotacion de 180◦ alrededor de P . Ası, se obtiene

la solucion al problema, aplicando la rotacion ρP,180 a la recta l. Los puntos X , si ellos existen,

son los puntos donde la recta imagen l′ interseca al cuadrado ABCD , como en la Figura 3. 35.

(Ver la solucion en Sketchpad en el Anexo 3.8)

112

Figura 3. 35: ρP,180(l) = l′. Fuente:[(Leonard et al., 2014b)].

Aplicacion 3.

Dados los cırculos E y F separados por una recta l, halle todos los cuadrados �ABCD

con el vertice A en E, el vertice opuesto C en F y los vertices restantes en l.

Figura 3. 36: Planteamiento geometrico del problema en la Aplicacion 3. Fuente:[(Leonardet al., 2014b)].

Desarrollo.

Usando nuevamente un enfoque de prueba y error, sea C un punto en el cırculo F , halle

el punto correspondiente C ′ de modo que C y C ′ son los vertices opuestos de un cuadrado

cuyos otros dos vertices se encuentran en l. Se observa que l es la bisectriz perpendicular de la

113

diagonal CC ′ del cuadrado. Como C toma diferentes posiciones en F , C ′ debe ser un punto en

el circulo F ′ que se obtiene reflejando F a traves de la recta l, como en la Figura 3. 37.

Figura 3. 37: C ′ ∈ F ′ es tal que C ′ = σl(C). Fuente:[(Leonard et al., 2014b)].

De este modo, se obtiene la solucion aplicando la reflexion σl al cırculo F y los puntos

donde la imagen F ′ interseca a E ofrecen los puntos A del cuadrado buscado. Habiendo en-

contrado A, se puede construir el cuadrado que completa la solucion como en la siguiente

figura. Ver Figura 3. 38.

Figura 3. 38: Solucion del problema planteado en la Aplicacion 3. Fuente:[(Leonard et al.,2014b)].

(Ver la solucion en Sketchpad en el Anexo 3.8)

114

Aplicacion 4.

Una carretera esta limitada por las rectas paralelas l y m. Un caballo y su jinete que se

encuentran en el punto R desean retornar al campamento que se encuentran en el punto C al

otro lado de la carretera y el jinete desea cruzar la carretera perpendicularmente. ¿Cual es la

ruta mas corta que satisface ambas aspiraciones?

Figura 3. 39: Planteamiento geometrico del problema en la Aplicacion 4. Fuente: Construccionpropia.

Desarrollo.

Sea ~AB el vector cuya magnitud es igual a la distancia entre l y m y cuya direccion que va

de l a m es perpendicular a dichas rectas. Sea R′ la imagen de R bajo la traslacion τ ~AB, y sea

Q la interseccion de m con CR′. Sea P el pie de la perpendicular de Q a l, note, ademas, que

Q es la imagen de P bajo τ ~AB, esto es, τ ~AB(P ) = Q. Ver Figura 3. 40.

Figura 3. 40: τ ~AB(R) = R′, Q ∈ m ∩ CR′, τ ~AB(Q) = P . Fuente:[(Leonard et al., 2014b)].

115

El caballo y el jinete deben ir deR a P , cruzar la carretera haciaQ y continuar haciaC. Esta

es la ruta mas corta. En efecto, sea S cualquier otro punto en l y sea T el pie de la perpendicular

de S a m. Se sigue que,

τ ~AB(S) = T

y

RS + ST + TC = R′T + PQ+ TC

> PQ+R′C (por la desigualdad triangular)

= PQ+R′Q+QC

= PQ+RP +QC

= RP + PQ+QC,

puesto que R′Q = RP .

El problema anterior es lo que se conoce como un problema extremal, es decir, es un pro-

blema donde el objetivo es hallar el valor maximo o mınimo de alguna cantidad.

(Ver la solucion en Sketchpad en el Anexo 3.8)

Aplicacion 5.

Un caballo y un jinete que se encuentran en un punto R, desean retornar al campamento

que se encuentra en un punto C, pero el caballo desea tomar un trago de un rio recto l antes

de hacerlo. Si C y R estan del mismo lado de l, ¿cual es la ruta mas corta que cumplira ambos

deseos?

Figura 3. 41: Planteamiento geometrico del problema en la Aplicacion 5. Fuente: Construccionpropia.

116

Desarrollo.

Sea C ′ la imagen de C bajo la reflexion σl, esto es, σl(C) = C ′. Se traza el segmento C ′R.

Sea P el punto donde este segmento corta a l. Se afirma que si el caballo y el jinete van de R a

P y de P a C, entonces esta es la ruta mas corta. En efecto, si Q es cualquier otro punto en l,

entonces por la desigualdad triangular se tiene que

RQ+QC = RQ+QC ′ > RC ′ = RP + PC ′ = RP + PC,

lo cual prueba nuestra hipotesis. Ver Figura 3. 42.

Figura 3. 42: Solucion geometrica del problema planteado en la Aplicacion 5. Fuente: Cons-truccion propia.

(Ver la solucion en Sketchpad en el Anexo 3.8)

117

Aplicacion 6.

Sean A y B los centros de dos cırculos que se encuentran en el mismo lado de una recta l.

Construir una recta m paralela a l, tal que los cırculos corten segmentos de igual longitud de la

recta m.

Figura 3. 43: Planteamiento geometrico del problema en la Aplicacion 6. Fuente:[(Leonardet al., 2014b)].

Desarrollo.

Sea α y β los cırculos centrados en A y B, respectivamente. Sean P y Q los pies de las

perpendiculares de A y B sobre l, respectivamente. La solucion de este problema se obtiene

usando la traslacion τ ~PQ. Bajo esta traslacion, el circulo α es mapeando al circulo α′ centrado

en A′, como en la Figura 3. 44.

Puesto que τ ~PQ(P ) = Q, se tiene que AA′ = PQ y ası A′APQ es un rectangulo. De este

modo, A′ debe encontrarse en BQ. Sean E y F los puntos en los cuales el cırculo trasladado

interseca a β y sea m la recta←→EF , la cual corta a α en C y D. Entonces E = C ′ = τ ~PQ(C) y

F = D′ = τ ~PQ(D), de modo que, EF = C ′D′ = CD.

(Ver la solucion en Sketchpad en Anexo 3.8)

118

Figura 3. 44: Solucion geometrica del problema planteado en la Aplicacion 6. Fuen-te:[(Leonard et al., 2014b)].

119

Conclusiones

Primera Se ofrece una propuesta didactica con el uso del software educativo The Geometer’s

Sketchpad para la ensenanza y aprendizaje de la Geometrıa Transformacional del Plano

a los estudiantes del primer ciclo 2019-I de la Escuela Profesional de Ciencias Fısico

Matematicas de la Universidad Nacional del Altiplano.

Segunda La aplicacion del software The Geometer’s Sketchpad mejora significativamente la en-

senanza y aprendizaje de la geometrıa, en particular, de la Geometrıa Transformacional

del Plano, como se evidencia en los resultados de este trabajo de investigacion donde se

usa la prueba no parametrica U de Mann Whitney para comparar el rendimiento academi-

co de los estudiantes del primer ciclo 2019-I de la Escuela Profesional de Ciencias Fısico-

Matematicas de la Universidad Nacional del Altiplano que recibieron el curso con el uso

del software y los estudiantes del primer ciclo 2018-I de la misma Escuela Profesional

que recibieron el curso tradicionalmente sin el uso de este software.

Tercera Usando el software dinamico The Geometer’s Sketchpad como una de las estrategias

didacticas en el aula, se facilita la ensenanza y aprendizaje de la matematica en general y

de la Geometrıa en particular puesto que ayuda relevantemente a construir el aprendizaje

de la Geometrıa segun el modelo de Van Hiele, el cual propone cinco faces secuenciales

de aprendizaje:

Nivel 0: Visualizacion o reconocimiento,

Nivel 1: Analisis,

Nivel 2: Ordenacion o clasificacion,

Nivel 3: Deduccion formal,

Nivel 4: Rigor o abstraccion.

Dicho sea de paso, es este modelo de Van Hiele el que se sigue en general para construir

la Ciencia Matematica.

Cuarta La implementacion del software educativo The Geometer’s Sketchapad en la practica

pedagogica, incorporado en un contexto curricular, metodologico y de modo sistematico

permite que los estudiantes sean mas activos, creativos, participativos y autonomos en la

adquisicion de conocimientos de la Geometrıa.

121

Recomendaciones

Primera La visualizacion y el analisis, que son los dos primeros niveles del modelo de Van Hiele,

deben ser desarrollados y practicados imperiosamente desde la formacion inicial o pre

escolar. Esto conlleva a que los estudiantes de la universidad o instituto que van a dedi-

carse a la ensenanza deben conocer y practicar estos niveles de pensamiento ya que en un

futuro proximo ellos deben llevar a cabo estos procesos de visualizacion y analisis. Una

herramienta o recurso tecnologico debe desarrollar un papel significativo en este proceso.

Segunda Una herramienta tecnologica, como, por ejemplo, The Geometer’s Sketchpad o Geo-

Gebra, desempena un rol sobre todo motivacional en la ensenanza y aprendizaje de la

geometrıa y en general, de la matematica. Ayuda considerablemente en la visualizacion

y el razonamiento matematico. El profesor debe tener el suficiente conocimiento ma-

tematico o geometrico para complementar rigurosamente la componente curricular que

esta desarrollando, de tal modo que el proceso de ensenanza y aprendizaje sea ıntegro.

Tercera Se debe aprovechar el software educativos para:

a) Construir conocimientos,

b) Generar conocimientos mas profundos,

pero se debe evitar la dependencia de la tecnologıa. Es siempre mucho mas util el uso del

lapiz y el papel, de la regla y el compas para formalizar una idea matematica.

Cuarta El docente debe ser consciente de que la tecnologıa, que ahora mas que nunca esta al

alcance nuestro, es una herramienta fundamental para la ensenanza y aprendizaje de la

Geometrıa, en particular, de la Geometrıa Transformacional del Plano, y se puede hacer

uso de ella para apoyar las investigaciones de los estudiantes en todas las areas de la

matematica y permitirles focalizar su atencion en tomar decisiones, reflexionar, razonar

y resolver problemas. En estos tiempos, es practicamente imposible que el docente del

curso de Geometrıa no tenga el soporte tecnologico para una adecuada ensenanza de la

asignatura.

Quinta Las actividades exploratorias que inician cada sesion de clase son una introduccion a

los conceptos que se tratan en la sesion. Tomese el tiempo necesario para preparar y

desarrollar sistematicamente estas actividades, ademas de reflexionar en sus observacio-

nes. Recuerde que el exito de la sesion de clase dependera de una buena motivacion. El

proposito de las actividades es preparar al estudiante para que comprenda los conceptos

formales que el docente explicara posteriormente.

Sexta A lo largo de este trabajo de investigacion se usa el poder dinamico del software The

Geometer’s Sketchpad para involucrar a los estudiantes en exploraciones que conducen

a conjeturas. Para construir un diagrama, que es una hoja de trabajo de Sketchpad, los

estudiantes deben pensar en ciertas ideas geometricas. La experiencia a lo largo de es-

te trabajo ha sido que, si los estudiantes comprenden lo que ocurre en una situacion

geometrica particular, si ven las relaciones visibles en su diagrama de Sketchpad y si

participan en discusiones sobre lo que ven en el diagrama, encontraran palabras para ex-

presar lo que observan. A traves de discusiones tanto en grupos pequenos como de toda la

clase, se conduce a los estudiantes hacia el lenguaje matematico aceptado para expresar

estas ideas. Se recomienda fomentar la discusion en clase para enfatizar las conexiones

entre los conceptos matematicos subyacentes.

Septima En este trabajo de investigacion se usa el software The Geometer’s Sketchpad para me-

jorar la ensenanza y aprendizaje de la Geometrıa Transformacional del Plano. Se sugiere

usar este mismo software con el mismo proposito para otras ramas de la Geometrıa como

por ejemplo, Geometrıa Euclidiana, Geometrıa Analıtica, Geometrıa Proyectiva, Geo-

metrıa Inversiva, Etc.

Octava Se recomienda el uso de la Web Sketchpad (WSP) para las actividades exploratorias en

123

el aula. WSP es una nueva tecnologıa producida por Mc Graw-Hill Eduation lanzada este

ano 2019 y deriva de The Geometer’s Sketchapad. WSP admite una interfaz de usuario

simple pero poderosa al permitir que el disenador de actividades proporcione herramien-

tas que son faciles de usar y estan dirigidas con precision a una actividad especıfica. Mc

Graw-Hill Education hace que WSP sea gratuito para uso educacional, se encuentra en

https://www.geometricfunctions.org/fc/tools/#welcome.

124

Bibliografıa

Armstrong, M. (1997). Groups and Symmetry. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer

New York.

Aroca, J. and Bermejo, M. F. (2009). Geometrıa proyectiva.

Boi, L. (1995). Le probleme mathematique de l’espace. Springer Berlin.

Brown, R. (1989). Transformational Geometry. Dale Seymour Publications.

Cannon, J. (2017). Geometry of Lengths, Areas, and Volumes. Miscellaneous Books. American

Mathematical Society.

Chen, E. (2016). Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. MAA Problem Books.

Mathematical Association of America.

Clark-Wilson, A., Robutti, O., and Sinclair, N. (2013). The Mathematics Teacher in the Digi-

tal Era: An International Perspective on Technology Focused Professional Development.

Mathematics Education in the Digital Era. Springer Netherlands.

Clemens, C. (2019). Two-Dimensional Geometries: A Problem-Solving Approach. Pure and

Applied Undergraduate Texts. American Mathematical Society.

Contreras, C. I. (2017). Aplicacion de geogebra para mejorar el aprendizaje de transformacio-

nes en el plano de los estudiantes del nivle secundario. Master’s thesis, Universidad Cesar

Vallejo, Lima.

De Villiers, M. (2006). Rethinking Proof: With the Geometer’s Sketchpad. Key Curriculum

Press.

Definicion.de (2019a). Concepto de didactica: Recuperado: 14 Junio 2019 de

https://definicion.de/didactica/.

Definicion.de (2019b). Concepto de pedagogia, Recuperado el 15 de julio del 2019 de

https://definicion.de/pedagogia/ .

del Moral, A. M. and Gomez, J. L. L. (2000). Principios y estandares para la educacion ma-

tematica: una vision de las matematicas escolares.

Dillon, M. (2018). Geometry Through History: Euclidean, Hyperbolic, and Projective Geome-

tries. Springer International Publishing.

Drijvers, P. H. M., Ball, L., Barzel, B., Heid, M. K., Cao, Y., and Maschietto, M. (2016). Uses of

technology in lower secondary mathematics education: ICM-13 A concise topical survey.

NY: Springer.

Dynamicgeometry.com. Welcome to the geometer’s sketchpad® resource center, recuperado

el 13 de agosto de 2019 de https://www.dynamicgeometry.com.

Eccles, F. (1971). An Introduction to Transformational Geometry. Addison-Wesley.

EcuRed (2019). Proceso de ensenanza-aprendizaje.

ENHANCING. Enhancing web sketchpad: Recuperado de: 15 Agosto 2019 de

http://www.sineofthetimes.org/enhancing-web-sketchpad/.

Enriques, F. (1991). Encyclopedie des sciences mathematiques pures et appliquees. tome iii.

vol. 3. fasc. 1. principes de la geometria. Livres, pages Pgs. 1–147.

Freudenthal, H. (1955). Neuere fassungen des riemann-helmholtz-lieschen raumproblems.

Mathematische Zeitschrift, 63(1):374–405.

126

Galaz, M. A. (2005). La ensenanza y aprendizaje de la geometria en ensenanza media. un

procesador como medio didactico. Master’s thesis, Universidad de Chile.

Geometry for Young Learners, t. Geometry for young learners.

Gueudet, G., Bosch, M., Disessa, A., Kwon, O. N., and Verschaffel, L. (2016). Transitions in

mathematics education.

Heath, T. L. (1967). The Thirteen Books of Euclid’s Elements., volume 3. Dover, New York.

Hegedus, S., Laborde, C., Armella, L. M., Siller, H.-S., and Tabach, M. (2017). Topic study

group no. 43: Uses of technology in upper secondary education (age 14–19). In Pro-

ceedings of the 13th International Congress on Mathematical Education, pages 579–582.

Springer, Cham.

Hegedus, S., Laborde, C., Brady, C., Dalton, S., Siller, H.-S., Tabach, M., Trgalova, J., and

Moreno-Armella, L. (2016). Uses of technology in upper secondary mathematics educa-

tion. Springer.

Helmholtz, H. v. (1987). Uber die tatsachlichen grundlagen der geometrie [1866]. Helmholtz.

Abhandlungen zur Philosophie der Geometrie. Cuxhaven: Junghans, 4:197–202.

Herrmann, D. and Sally, P. (2012). Number, Shape, & Symmetry: An Introduction to Number

Theory, Geometry, and Group Theory. Taylor & Francis.

Klein, F. (1872). Vergleichende betrachtungen uber neuere geometrische forsuchungen. A.

Deichert, 1893 reedicion corregida del progrma de erlangen de 1872. edition.

Labarrera, K. N. (2016). Propuesta didactica para la ensenanza de la geometria en la educacion

media, mediante el aprendizaje cooperativo.

Laugwitz, D. (2014). Differential and Riemannian geometry. Academic press, New York.

Lee, J. (2013). Axiomatic Geometry. Pure and Applied Undergraduate Texts. American Mat-

hematical Society.

Leonard, I., Lewis, J., Liu, A., and Tokarsky, G. (2014a). Solutions Manual to Accompany

Classical Geometry: Euclidean, Transformational, Inversive, and Projective. Wiley.

127

Leonard, I. E., Lewis, J. E., Liu, A. C.-F., and Tokarsky, G. (2014b). Classical geometry:

Euclidean, transformational, inversive, and projective. John Wiley & Sons.

Martin, G. (1996). Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry. Undergraduate

Texts in Mathematics. Springer New York.

Martinovic, D., Freiman, V., and Karadag, Z. (2012). Visual Mathematics and Cyberlearning.

Mathematics Education in the Digital Era. Springer Netherlands.

Mason, J. (2013). Interaction between teacher, student, software and mathematics: Getting

a purchase on learning with technology. In Clark-Wilson, A., Robutti, O., and Sinclair,

N., editors, The Mathematics Teacher in the Digital Era: An International Perspective on

Technology Focused Professional Development, pages 11–42.

McGraw-Hill. The geometer’s sketchpad® (software).

National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). Web sketchpad interactives.

Neto, A. (2018). An Excursion through Elementary Mathematics, Volume II: Euclidean Geo-

metry. Problem Books in Mathematics. Springer International Publishing.

Recreo, V. (2015). Geometria Dibujada. Analisis Critico y Comparado de Metodologias de su

Ensenanza. PhD thesis, Univerdad de Granada.

Remsing, C. C. (2006). Transformation geometry. In Lectures Notes. Rhodes University,

Grahamstown 6140 South Africa.

Reynolds, B. and Fenton, W. (2011). College Geometry: Using the Geometer’s Sketchpad, 1st

Edition: Using the Geometer’s Sketchpad. Wiley.

Riemann, B. (1923). Uber die hypothesen, welche der geometrie zugrunde liegen 1867.

Rubio, C. S. (2018). Propuesta didactica para la ensenanza de los movimientos del plano.

perspectiva hitorica. Master’s thesis, Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias.

Salazar, A. (2017). Estrategia didactica para la ensenanza y aprendizaje de las transformaciones

en el plano cartesiano en el grado sexto.

Sally, J. and Sally, P. (2011). Geometry: A Guide for Teachers. MSRI mathematical circles

library. Mathematical Sciences Research Institute.

128

Sketchpad, T. G. The Geometer’s Sketchpad™ (GSP), Recuperado el 20 Septiembre 2019 de

http://www.edugains.ca/newsite/math/geometerskechpad.html.

Specht, E., Jones, H., Calkins, K., and Rhoads, D. (2015). Euclidean Geometry and its Sub-

geometries. Springer International Publishing.

Stillwell, J. (2005). The Four Pillars of Geometry. Undergraduate Texts in Mathematics.

Springer New York.

Swoboda, E. and Vighi, P. (2016). Early geometrical thinking in the environment of patterns,

mosaics and isometries. In Early Geometrical Thinking in the Environment of Patterns,

Mosaics and Isometries, pages 1–50. Springer, Cham.

Tondeur, P. (1993). Vectors and transformations in plane geometry. Publish or Perish.

Umble, R. and Han, Z. (2014). Transformational Plane Geometry. Textbooks in Mathematics.

CRC Press.

WebSketch. Websketch tool library, recuperado el 15 agosto 2019 de

https://geometricfunctions.org/fc/tools/library/.

Wikipedia (2019). Transformation geometry — Wikipedia, the free encyclopedia. [Online;

accessed 24-October-2019].

Yaglom, I. and Shenitzer, A. (2009). Geometric Transformations IV: Circular Transformations.

Anneli Lax New Mathematical Library. Mathematical Association of America.

129

Anexos

130

Solucion con Sketchpad de las

Aplicaciones de las Isometrıas

Se ofrece las soluciones con el software The Geometer’s Sketchpad de las 06 Aplicaciones

de las Isometrıas presentadas en la Propuesta Pedagogica. Fuente: Construccion propia.

Solucion de la Aplicacion 1a en Sketchpad:

Solucion de la Aplicacion 1b en Sketchpad:

Solucion de la Aplicacion 2 en Sketchpad:

Solucion de la Aplicacion 3 en Sketchpad:

Solucion de la Aplicacion 4 en Sketchpad:

Solucion de la Aplicacion 5 en Sketchpad:

Solucion de la Aplicacion 6 en Sketchpad:

Desarrollo con Sketchpad de las

Actividades Exploratorias para Abordar

las Transformaciones Isometricas

Se presenta el desarrollo con el software The Geometer’s Sketchpad de las Actividades

Exploratorias formuladas antes del inicio del estudio formal de las Transformaciones Isometri-

cas. Es decir, el desarrollo de la Actividad Exploratoria 09 hasta la Actividad Exploratoria 14.

Fuente: Construccion propia.

Desarrollo de la Actividad Exploratoria 9. en Sketchpad:

Desarrollo de la Actividad Exploratoria 10. en Sketchpad:

Desarrollo de la Actividad Exploratoria 11. en Sketchpad:

Desarrollo de la Actividad Exploratoria 12. en Sketchpad:

Desarrollo de la Actividad Exploratoria 13. en Sketchpad:

Desarrollo de la Actividad Exploratoria 14. en Sketchpad:

Herramientas de Evaluacion: evidencias

de resultados

Se anexa el Examen de Comprension, ası como los Test de Comprension que desarrollaron

los estudiantes del Primer Ciclo 2019-I de la Escuela Profesional de Ciencias Fısico Matemati-

cas de la Universidad Nacional del Altiplano. Esto con el fın de obtener resultados de la presente

investigacion. Fuente: Elaboracion propia.

EXAMEN DE COMPRENSION A LOS

ESTUDIANTES DEL PRIMER CICLO DE LA

ESCUELA PROFESIONAL DE CIENCIAS FISICO

MATEMATICAS DE LA UNIVERSIDAD

NACIONAL DEL ALTIPLANO

Geometrıa Transformacional del Plano: Traslaciones, Rotaciones,Reflexiones, Reflexiones Deslizantes y Composicion de Transfor-maciones, asistida con el Software Geometer’s Sketchpad.

Apellidos y Nombres :.............................................................................................................

Fecha:............................

1. Defina los siguientes conceptos:

(a) Transformacion del Plano:

(b) Isometrıa:

2. Defina el concepto de traslacion del plano. Cite las propiedades mas importantes de unatraslacion.

3. Sea τ la traslacion talque τ

[(−13

)]=

(52

)

(a) Halle el vector traslacion de τ

(b) Halle las ecuaciones de τ

(c) Halle τ

[(00

)]y τ

[(3−7

)]

4. Defina el concepto de rotacion del plano. Cite las propiedades mas importantes de unarotacion.

5. (a) Halle las coordenadas del punto ρ0,30

[(36

)]

(b) Sea Q =

(−35

). Halle las coordenadas del punto ρQ,45

[(36

)]

6. Defina el concepto de reflexion del plano. Cite las propiedades mas importantes de unareflexion.

7. Completa lo que falta en cada fila de la siguiente tabla:

Ecuacion de l P σl(P ) Ecuacion de l P σl(P )

X=0

(xy

)Y=-3

(xy

)

Y=0

(xy

) (53

) (−83

)

Y=X

(32

) (03

) (−30

)

Y=X

(xy

) (−y−x

) (xy

)

X=2

(63

)Y=2X

(05

)

8. Identifique las siguientes transformaciones. La figura en negrita es la preimagen.

a)b)

c)

d)e)

f)

g)

TEST DE COMPRENSION

TRANSFORMACIONES DEL PLANO: TRASLACIONES, ROTA-CIONES, REFLEXIONES y REFLEXIONES DESLIZANTES

Apellidos y Nombres :.............................................................................................................

Fecha:............................

1. Para realizar la traslacion de un objeto en el plano,¿que elemento (o elementos) es nece-sario especificar?

2. ¿Que propiedad caracteriza una traslacion?

3. Para realizar la rotacion de un objeto en el plano, ¿que elemento (o elementos) es nece-sario especificar?

4. ¿Que propiedad (o propiedades ) caracteriza una rotacion?

5. Para realizar la reflexion de un objeto en el plano, ¿que elemento (o elementos) es nece-sario especificar?

6. ¿Que propiedad (o propiedades) caracteriza una rotacion ?

7. Para realizar la reflexion deslizante de un objeto en el plano, ¿que elemento (o elementos)es necesario especificar?

8. La reflexion deslizante es composicion de que transformaciones del plano.

9. ¿Que te parecio el software Geometer’s Sketchpad para el uso de transformaciones en elplano?

10. ¿Crees que este software induce a la creatividad, a la exploracion?

TEST DE COMPRENSION

CONSTRUYENDO CUADRADOS Y TRIANGULOS RECTANGULOS:EL TEOREMA DE PITAGORAS

Apellidos y Nombres:................................................................................................

Fecha:............................

1. Para efectuar la rotacion de un objeto, dos elementos son importantes, ¿ cuales son estoselementos necesarios para efectuar una rotacion?

2. ¿Como se define un cuadrado?

3. En un triangulo cualquiera, ¿se cumple el Teorema de Pitagoras?

4. ¿Como se define un triangulo rectangulo?

5. ¿Cual es el area del cuadrado? ¿Cual es el area de un triangulo rectangulo?

6. ¿Que te parecio el software Geometer’s Sketchpad?

7. ¿Crees que este software te induce a la creatividad, a la exploracion?

8. Mediante el criterio del arrastre, ¿se pueden hacer conjeturas de una determinada propiedad?

9. ¿Sera suficiente el criterio del arrastre, para concluir que un resultado matematico estaprobado y forma parte de una Proposicion o Teorema?

Actividades Desarrolladas en el Aula para

el Aprendizaje del Software y la

Motivacion para el Desarrollo del Curso

Se anexa 03 Hojas de Trabajo de las 08 que se prepararon para que el estudiante pueda

familiarizarse con el software educativo The Geometer’s Sketchpad. Ası mismo, la finalidad

de estas Hojas de Trabajo es que el estudiante explore, analice y conjeture acerca de resultados

matematicos relacionados con la Geometrıa Transformacional del Plano. Fuente: Construccion

propia.

Trasladar y Reflejar: Defina una Trans-formacion Personalizada

Prof. Julio Villalta

Junio de 2019

Apellidos y Nombres:

HOJA DE TRABAJO 4

En esta actividad, usaras una combinacion de transformaciones para crear unpatron de huellas. Comenzaras con tan solo una huella de pie y aplicando trasla-ciones y reflexiones obtendras un conjunto de huellas similar al que podemos dejarcuando caminamos sobre la arena o tierra suelta.

Traslaci´

on a una figura o imagen, la figura se mueveuna cierta distancia en una cierta direccion. Un vector es un objeto geometrico queespecifica una distancia y una direccion, ası que usaremos un vector para trasladaruna huella de pie.

1. Abra Sketchpad y elija Help | Picture Gallery.

2. Haga clic en el enlace Transformation y encuentre la figura de una huellade pie. Arrastre y suelte (o copie y pegue) la imagen de la huella en su diseno.(ver Figura 1)

Figura 1

Cuando se aplica una traslaci´

on mediante un vector

Hoja de trabajo 4

3. Construya un segmento vertical a la izquierda de la huella. (Mantenga presio-nado la tecla SHIFT cuando construya su segmento para que su construccionsea vertical).

4. Etiquete los extremos del segmento por A y B.

5. Seleccione los puntosA yB y elija Transform |Mark Vector. Una pequena

animacion se muestra. Al hacer ello, estamos confirmando que el vector−→AB

es el vector traslacion.

6. Seleccione la imagen y elija Transform | Translate. En la caja de dialo-go haga clic en Translate. Significa que estamos trasladando la huella con

respecto al vector−→AB.

7. Deje la nueva huella de pie seleccionada y traslade ella nuevamente. Repitaeste proceso algunas veces mas, hasta conseguir una serie de huellas.

8. Arrastre los puntos extremos de AB y observe como el conjunto de huellas secomporta. ¿Como se relacionan la longitud y la direccion del segmento conel patron de las huellas?. En la vida real, ¿como podrıas crear este patron dehuellas con tus pies?

Note que los objetos en un documento de Sketchpad pueden ser usados paramodelar situaciones del mundo real.

Reflejar a traves de una linea de espejo

Ahora que se tiene una coleccion de huellas del pie derecho, vamos a reflejarellas con respecto a una linea de espejo para obtener el correspondiente conjuntode huellas del pie izquierdo.

9. Elija la herramienta Line, para ello, presione y mantenga presionado la he-rramienta Segment hasta que aparezca el menu desplegable, mueva el cursoral icono de linea y suelte.

10. Clic en los puntos A y B para construir←→AB. Deje la recta seleccionada y

elija Display | Line Style Dashed. Esto permite que la recta se muestrediscontinua. (ver Figura 2)

11. Mueva←→AB a la izquierda de tus huellas. Doble clic a la recta para marcarla

como un espejo (o seleccione la recta y elija Transform | Mark Mirror).

12. Seleccione las huellas (clic en cada una, o use un rectangulo de seleccion) yelija Tranform | Reflect. Lo cual significa que el conjunto de huellas derecho

se ha reflejado con respecto a la linea de espejo←→AB y se ha conseguido el

correspondiente conjunto de huellas izquierdo.

Hoja de trabajo 4

Figura 2

13. Arrastre la linea de espejo y observe el comportamiento de las huellas refle-jadas. En la vida real, ¿como puedes crear este patron de huellas?

Herramientas personalizadas

Las herramientas personalizadas son herramientas que las creas tu u otrosusuarios de Sketchpad y que estan disponibles para ser utilizadas. Generalmente,las herramientas personalizadas que se crean son para construir figuras de algunacierta complejidad.

Defina una transformacion: reflexion deslizante

Ahora, combinaras la reflexion y la traslacion en una unica transformacionpersonalizada llamada reflexion deslizante. Por una aplicacion repetida de estareflexion deslizante podras crear una sucesion de huellas de pie que representan untıpico patron de huellas que uno deja al caminar.

14. Seleccione todas las imagenes excepto la imagen original y elija Edit | ClearPitures (o presione DELETE en su teclado). Esto con el fin de borrar estashuellas. Si no estas seguro de cual es la imagen original, puedes usar laherramienta Information para hallar la que buscas.

15. Construya un punto cerca de←→AB. Etiquetelo por C.

16. Seleccione el punto C y trasladelo como en el paso 6. Etiquete el nuevo puntoimagen por C ′.

17. Deje el punto C ′ seleccionado y reflelo como en el paso 12. Etiquete el nuevopunto imagen por C ′′.

18. Deseleccione todos los objetos. Seleccione solo los puntos C y C ′′ y elijaTransform | Define Custom Transform.

Hoja de trabajo 4

Nombre a su nueva transformacion Reflexion Deslizante y haga clic enOK.

Observe que definiendo su propia transformacion personalizada, puede anadirnuevas transformaciones al menu Transform.

19. Seleccione los puntos C, C ′ y C ′′ y elija Display | Hide Points. Estoocultara dichos puntos y etiquetas.

20. Seleccione la huella y elija Transform | Reflexion Deslizante.

21. Deje la nueva imagen seleccionada y nuevamente elija Transform | Refle-xion Deslizante. Repita este proceso algunas veces mas (o use el modoabreviado del teclado que se muestra a continuacion de Reflexion Desli-zante en el menu Tranform) para obtener una serie de huellas.

22. Arrastre los puntos A y B ası como←→AB y observe como las huellas se com-

portan.

Siga explorando

23. Repita esta actividad, pero esta vez en el paso 9, construye una linea deespejo que este separado de los puntos A y B.

¿Que sucede con el patron de las huellas cuando la direccion del vector tras-lacion no es paralela a la linea de espejo?

Girar y Contraer: Rotar y Dilatar unaImagen

Prof. Julio Villalta

Junio de 2019

Apellidos y Nombres:

HOJA DE TRABAJO 5

En esta actividad, notaras una imagen mediante un angulo marcando y dila-taras una imagen a traves de un factor de escala. Seguidamente, combinaras ambastransformaciones en una unica transformacion que viene a ser la composicion delas anteriores que rota una imagen y a continuacion dilata el resultado. Repitiendoeste proceso, crearas un resultado espectacular.

Rotar una imagen

Empezaras fijando una imagen, midiendo un angulo y rotando la imagen.

1. En un nuevo diseno, elija Help | Picture Gallery.

2. Encuentre una imagen que le interese, arrastre ella a su diseno (o copie ypegue en su diseno)

3. Construya dos segmentos que comparten un punto extremo comun.

4. Clic, arrastre y suelte para formar un rectangulo de seleccion alrededor delvertice del angulo (ver Figura 1). Elija Measure | Angle. Los puntos sonautomaticamente etiquetados. Esto con el fin de medir en grados el anguloformado.

Figura 1

5. Seleccione el punto B (el vertice) y elija Transform | Mark Center. Estocon el fin de marcar el punto B como centro de rotacion.

Hoja de trabajo 5

6. Seleccione su imagen y elija Transform | Rotate. Con la caja de dialogoabierta, haga clic en el angulo medido que esta en el diseno. Entonces clic enRotate. Significa que la imagen seleccionada rota en sentido antihorario unangulo igual al angulo medido anteriormente.

7. Arrastre los puntos A y C. ¿Que tipo de movimiento hace que la imagengirada se mueva? ¿Que tipo de movimiento lo mantiene casi estable? ¿Porque?

8. ¿Cuantos grados se necesita para girar la imagen y darle la vuelta?

Dilatar una imagen

Para dilatar la imagen, mediras la posicion de un punto a lo largo de un seg-mento y marcaras esta medida como un factor de escala.

9. Construye un segmento.

10. Construye un punto en el segmento. (ver Figura 2)

Figura 2

11. Seleccione el punto en el segmento y elija Measure | Value of Point (lospuntos son automaticamente etiquetados). Arrastre el punto F hacia ade-lante y hacia atras.

El comando Value of Point mide la posicion del punto F a lo largo delsegmento donde los puntos extremos son definidos como 0 y 1.

12. Clic en un espacio vacıo para deseleccionar todos los objetos. Seleccione lamedida F en DE y elija Transform | Mark Scale Factor. Esto significaque la imagen se dilatara precisamente con respecto a ese factor de escalaque se encuentra entre 0 y 1 incluyendo los extremos. Por ejemplo, 1 significaque su tamano es el mismo que el original y 0,5 significa que la imagen sedilata a la mitad del tamano original.

Hoja de trabajo 5

13. Seleccione la imagen original y elija Transform | Dilate. En la caja dedialogo, haga clic en Dilate.

14. Arrastre el punto F a lo largo del segmento. ¿Que efecto tiene el punto Fcuando se mueve en la imagen dilatada? ¿Que sucede cuando el unto F seaproxima a cualquiera de los puntos extremos?

Marcar (fijar) angulos y factores de escala nos permite el control de otrosobjetos en nuestro diseno (como las imagenes). Podemos variar el angulo derotacion o el factor de escala e inmediatamente vemos los resultados en elobjeto que esta siendo transformado.

Definir una transformacion personalizada

Ahora combinaras la rotacion y la dilatacion en una unica transformacion quepermite rotar la imagen y dilatar la imagen rotada.

15. Borre todas las imagenes, excepto la imagen original.

16. Construya un punto y etiquetelo por G.

17. Seleccione el punto G, elija Transform | Rotate y seguidamente haga clicen Rotate. Etiquete el punto rotado por G′.

18. Seleccione el punto G′, elija Transform | Dilate y seguidamente haga clicen Dilate. Etiquete el punto dilatado por G′′.

19. Seleccione los puntos G, G′′ y elija Transform | Define Custom Trans-form. Llama a tu transformacion Girar y Dilatar y haga clic en Ok.

Una transformacion personalizada es siempre definida por una transformacionque involucra dos puntos: una preimagen y una imagen.

20. Seleccione los puntos G, G′ y G′′ y elija Display | Hide Points.

21. Seleccione la imagen y elija Transform | Girar y Dilatar. Con la nuevaimagen seleccionada, elija nuevamente Transform | Girar y Dilatar. Sisigues repitiendo esta transformacion, ¿como predices que se vera el resulta-do?

22. Aplique Transform | Girar y Dilatar repetidas veces hasta crear al menos30 imagenes transformadas. Utilice el modo abreviado del teclado para estatransformacion (que se muestra en el menu Transform) para la rapidez delproceso.

Hoja de trabajo 5

23. Arrastre los puntos en su diseno para cambiar el angulo y el factor de es-cala en su transformacion personalizada. Busca combinaciones de angulos yfactores de escala que hagan espirales interesantes.

24. Arrastre el punto A para hacer 6 ABC cada vez mas pequeno. Explica porque las imagenes transformadas se dirigen hacia el punto B.

25. ¿Que combinaciones de angulos y factores se escala hacen que aparezcanimagenes en lineas rectas desde el punto B? ¿Puedes explicar la razon?

Siga explorando

26. Abra la galerıa de imagenes (Picture Gallery), encuentre una nueva imagen ycopiela. Seguidamente, seleccione cualquier imagen en su espiral y elija Edit| Paste Replacement Picture para crear una nueva espiral.

27. Si usas un punto en un rayo en lugar de un punto en un segmento, el valordel punto puede ser cualquier numero positivo.

Si usas un punto en una recta, el valor del punto puede ser cualquier numeropositivo o negativo. Cambia tu modelo de modo que un punto en una rectadetermina el factor de escala. ¿Que sucede cuando el factor de escala es mayorque uno o menor que cero?

Construyendo Cuadrados y TriangulosRectangulos: El Teorema de Pitagoras

Prof. Julio Villalta

Junio de 2019

Apellidos y Nombres:

HOJA DE TRABAJO 6

En esta actividad construiras un cuadrado y un triangulo rectangulo para in-vestigar cuadrados en los lados de un triangulo rectangulo y de este modo verificarvisualmente el famoso Teorema de Pitagoras.

Construyendo cuadrados: crear una herramienta perso-

nalizada

Construiras un cuadrado usando rotaciones y lo guardaras como una herramien-ta personalizada. Esta herramienta personalizada cuadrado le permitira construirnuevos cuadrados de manera facil y rapida cuando los necesite.

1. En un nuevo diseno, construye un segmento. los puntos extremos del segmen-to son los primeros dos vertices de tu cuadrado. Etiquete los puntos extremosdel segmento por A y B.

A continuacion, rotaras AB en 90 grados para crear el segundo lado de sucuadrado. Para realizar tal rotacion, Sketchpad necesita saber dos datos: el centrode rotacion y el objeto a ser rotado.

2. Clic en un espacio en blanco para deseleccionar todos los objetos. Doble clical punto A (o seleccione el punto y elija Transform | Mark Center). Unapequena animacion se muestra. Este paso selecciona el punto A como centrode rotacion.

3. Seleccione el punto B y el segmento. Elija Transform | Rotate. En la cajade dialogo, ingrese un angulo de 90 grados alrededor del centro A y haga clicen Rotate. Estos dos objetos, el punto y el segmento son rotados en sentidoantihorario en un angulo de 90 grados.

4. Etiquete el tercer vertice del cuadrado por C. (ver Figura 1)

5. Ahora tienes dos lados adyacentes del cuadrado. Use el comando Rotatenuevamente, para construir el otro lado y el cuarto vertice del cuadrado.Recuerde marcar un centro para la rotacion y elegir solo un punto y unsegmento a rotar.

Hoja de trabajo 6

Figura 1

6. Construya el ultimo lado entre los dos vertices que faltan unir para completarel cuadrado. Etiquete el ultimo vertice por D.

7. Construya el cuadrado interior.

8. Arrastre las diferentes partes de tu construccion, asegurase de que el cua-drilatero permanece siendo un cuadrado cuando efectues el arrastre.

Ahora que hemos construido un cuadrado, podemos guardar este trabajo, algotedioso, y construir mas cuadrados sin tener que empezar desde cero cada vez. Laherramienta de Sketchpad Custom (personalizada) le permite ensenarle a Sketch-pad como hacer un cuadrado (o cualquier otra construccion que puedas realizar).

9. Seleccione solo los cuatro vertices de su cuadrado y elija Display | HideLabels. Esto permite esconder las etiquetas de los vertices.

10. Trace un rectangulo de seleccion alrededor del cuadrado todo, para seleccio-narlo. (ver Figura 2).

11. Presione y mantenga presionado el ıcono de la herramienta Custom y elijaCreate New Tool del menu que aparece. Llame a la herramienta cuadradoy haga clic en Ok.

Figura 2

12. Presione el ıcono de la herramienta Custom para seleccionar su nueva he-rramienta. Mueva el puntero a la ventana de su diseno, presione, arrastrey suelte (o haga clic y nuevamente clic) para formar un cuadrado. Use estanueva herramienta para formar nuevos cuadrados.

Ahora que tienes una herramienta cuadrado, puedes guardar ella para futurosusos. Elija File | Save y dele a su documento de Sketchpad un nombre.

Hoja de trabajo 6

Construyendo un triangulo rectangulo

Ahora, construiras un triangulo rectangulo.

13. Elija File | Document Options. En la caja de dialogo, clic en Add Page(anadir pagina) y elegir Blank Page del menu desplegable. Dele un nombrea la pagina y clic Ok.

14. Construya un segmento.

15. Seleccione el segmento y un punto extremo. Elija Construct | Perpendi-cular Line.

16. Construya un punto en la recta perpendicular.

17. Seleccione solo la recta y eliga Display | Hide Perpendicular Line. Estopermite esconder la recta perpendicular construida antes.

18. Conecte los tres vertices.

19. Aplique el criterio del arrastre, esto es, arrastre las diferentes partes deltriangulo y asegurase de que se comporta como un triangulo rectangulo.

uso de tu herramienta personalizada: cuadrado

Ahora, construiras cuadrados en cada lado del triangulo rectangulo e investi-garas el comportamiento de sus areas.

20. Presione y mantenga presionado el ıcono de la herramienta Custom y elija laherramienta cuadrado anteriormente construida. Clic en uno de los verticesdel triangulo rectangulo y luego en el otro. Un cuadrado aparece.

Figura 3

Si el cuadrado que aparece se encuentra en el interior del triangulo rectangulo,elija Edit | Undo y haga clic ahora en los vertices en el orden opuesto.

21. Construye cuadrados en los otros lados del triangulo rectangulo. Todos estoscuadrados deben encontrarse en el exterior del triangulo. (ver Figura 3)

22. Clic en un espacio en blanco para deseleccionar todos los objetos. Seleccioneel interior de los tres cuadrados y elija Measure | Areas.

Hoja de trabajo 6

Seguidamente, hallaras la suma de las areas de los cuadrados mas pequenos.

23. Elija Number | Calculate para abrir la calculadora de Sketchpad.

24. Haga clic en una de las dos menores areas medidas en el diseno para ingresarlaen la calculadora. Seguidamente, haga clic en la tecla + y luego clic en lamedida de la otra area menor en el diseno y finalmente clic en Ok.

25. Arrastre los vertices del triangulo rectangulo.

¿Como es la suma de las areas de los cuadrados pequenos comparada con elarea del cuadrado mayor?

26. Esta propiedad se consigna en el llamado Teorema de Pitagoras. Use unaleyenda con texto vivo, en el mismo diseno, para establecer este teoremausando el vocabulario matematico apropiado. ¿Cual serıa el texto que vas aescribir?

Siga explorando

27. Halle otro metodo para construir un cuadrado.

28. Crea herramientas personalizadas para otros tipos de cuadrilateros, talescomo rectangulos, paralelogramos o rombos.

29. Construye un triangulo arbitrario y usa tu herramienta personalizada cua-drado para construir cuadrados en los tres lados del triangulo. Halle lasareas de los tres cuadrados. Calcule la suma de dos de las areas y arrastrelos vertices.

¿Como luce el triangulo cuando la suma es mayor que la tercera area? ¿Comoluce el triangulo cuando la suma es menor que la tercera area? ¿Como podrıasusar una medida de angulos para confirmar tus observaciones?

Documentos Oficiales para la Obtencion

del Resultado de la Investigacion

Se anexa los resultados academicos y documentos necesarisos para el desarrollo de esta

investigacion :

1. Silabo del curso de Geometrıa Analıtica, donde se aborda el tema de Geometrıa de la

transformacion del plano, de la E.P. de Ciencias Fısico Matematicas de la UNA, 2019-I.

El tema se aborda en la unidad 02.

2. Acta de Evaluacon Regular del curso de Geometrıa Analıtica del Ano Academico 2018-I

de la E.P. de Ciencias Fısico Matematicas de la UNA. Este colectivo ofrece el GRUPO

DE CONTROL en la presente investigacion.

3. Notas obtenidas por el GRUPO EXPERIMENTAL despues de haber formulado la pre-

sente Propuesta Pedagogica. El Grupo Experimental estuvo conformado por el colectivo

de estudiantes que llevan el curso de Geometrıa Analıtica en la E.P. de Ciencias Fısico

Matematicas de la UNA, 2019-I.

4. Solicitud de permiso para implementar esta investigacion.