Equações Diferenciais Lineares

Equações Diferenciais Lineares 1 Propriedades Gerais ........................................................................................................................................1

2 Equações diferenciais com coeficientes constantes .......................................................................................4

3 Solução geral da equação diferencial homogênea de primeira ordem...........................................................5

4 Solução geral da equação diferencial homogênea..........................................................................................6

4.1 Exemplos de solução geral da equação diferencial homogênea .............................................................13

5 Solução particular da equação não-homogênea ...........................................................................................17

5.1 Exemplos de solução particular da equação diferencial não-homogênea...............................................20

6 Solução geral da equação não-homogênea...................................................................................................24

6.1 Exemplos de solução geral da equação diferencial não-homogênea ......................................................25

7 Estudo do Efeito da Linearização sobre o Comportamento Dinâmico ........................................................30

8 Exemplo 1 de Análise de um Sistema Dinâmico .........................................................................................35

9 Exemplo 2 de Análise de um Sistema Dinâmico .........................................................................................41

EA616 − Prof. Von Zuben DCA/FEEC/Unicamp

Tópico 5 –Equações Diferenciais Lineares 1

1 Propriedades Gerais

• uma equação diferencial ordinária linear de ordem n pode ser escrita como:

)()()()(...)()( 011

1

1 tutxtadt

dxta

dt

xdta

dt

xdta

n

n

nn

n

n =++++ −

−

− (1)

onde os coeficientes ai, i=0,...,n, e a entrada u são funções da variável

independente t.

• a equação (1) é chamada de homogênea se u(t) = 0 ∀ t. Para funções u(t) que não

atendem a esta condição, ela é chamada de não-homogênea.

• a equação (1) pode também ser expressa em uma forma condensada:

)()(][ tutxDLn = (2)

onde Ln[D] é um operador diferencial linear atuando sobre a função x(t), e tendo a

forma:



)()(...)()(][ 01

11

1 taDtaDtaDtaDL nn

nnn ++++= −

−∆ , com

i

ii

dt

dD ∆= (3)

Propriedade 1

Se xhj(t), j=1,...,m, são soluções da equação homogênea 0)(][ =txDLn , ou seja, se

0)(][ =txDL hjn , j=1,...,m, então para quaisquer constantes cj ∈ ℜ , j=1,...,m, a função

∑=

=m

jhjjh txctX

1

)()(

também é solução, pois:

0)(][)(][)(][11

==

= ∑∑

==

m

jhjnj

m

jhjjnhn txDLctxcDLtXDL .

• para m ≥ 2, as funções no tempo xhj(t), j=1,...,m, são linearmente independentes se

nenhuma delas puder ser expressa como combinação linear das demais.



Propriedade 2

Suponha que existam n funções linearmente independentes no tempo xhj(t), j=1,...,n,

tais que 0)(][ =txDL hjn , j=1,...,n. Então

)(...)()()()( 22111

txctxctxctxctx hnnhh

n

jhjjh +++== ∑

=

com cj ∈ ℜ , j=1,...,n, é solução geral da equação diferencial ordinária linear

homogênea de ordem n, dada por 0)(][ =txDLn .

Propriedade 3

Se xp(t) é uma solução particular da equação não-homogênea )()(][ tutxDLn = e xh(t)

é a solução geral da equação homogênea 0)(][ =txDLn , então a solução geral da

equação não-homogênea )()(][ tutxDLn = é dada na forma:

)()()()()(1

txtxctxtxtx p

n

jhjjph +=+= ∑

=

Os coeficientes cj ∈ ℜ , j=1,...,n, vão depender das n condições iniciais.



2 Equações diferenciais com coeficientes constantes

• uma equação diferencial ordinária linear de ordem n e com coeficientes constantes

pode ser escrita como:

)()(... 011

1

1 tutxadt

dxa

dt

xda

dt

xda

n

n

nn

n

n =++++ −

−

− (4)

onde 0≠na e a entrada u é função da variável independente t.

• a equação (4) é chamada de homogênea se u(t) = 0 ∀ t. Para funções u(t) que não

atendem a esta condição, ela é chamada de não-homogênea.

• a equação (4) pode também ser expressa em uma forma condensada:

)()(][ tutxDLn = (5)

onde Ln[D] é um operador diferencial linear atuando sobre a função x(t), e tendo a

forma:

01

11

1 ...][ aDaDaDaDL nn

nnn ++++= −

−∆ , com

i

ii

dt

dD ∆= (6)



• a solução geral da equação (4), ou equação (5), na forma compacta, é dada por:

)()()()()(1

txtxctxtxtx p

n

jhjjph +=+= ∑

=

onde

∑=

=n

jhjjh txctx

1

)()( é solução geral da equação homogênea associada

0)(][ =txDLn , sendo que os coeficientes cj ∈ ℜ , j=1,...,n, vão depender das n

condições iniciais )0(),...,0(),0( 110 xDxDxD n− .

xp(t) é uma solução particular da equação não-homogênea )()(][ tutxDLn = .

3 Solução geral da equação diferencial homogênea de

primeira ordem

• equação diferencial homogênea de primeira ordem: 0)(01 =+ txadt

dxa



• solução por separação de variáveis, supondo x(t) > 0 ∀ t:

∫ ∫−=⇒−=x

x

t

tdt

a

a

x

dxdt

a

a

x

dx0 01

0

1

0

)()ln()ln()()ln()ln( 01

000

1

00 tt

a

axxtt

a

axx −−=⇒−−=−

−−

−−==

)()ln(

)()ln()ln(

01

0

00

1

00 tt

a

a

xtt

a

ax

x eeee

• a solução assume então a forma:

−−=

)(

0

01

0 tta

a

exx

4 Solução geral da equação diferencial homogênea

Resultado 1

• para j=1,...,n, funções da forma:

thj

jcetxλ=)(

são soluções da equação diferencial homogênea 0)(][ =txDLn , onde



c é uma constante arbitrária;

λj, com j=1,...,n, são raízes da equação

0...0][ 011

1 =+λ++λ+λ⇒=λ −− aaaaL n

nn

nn .

Verificação

• para n = 1, já está demonstrado na seção anterior.

• falta provar para n qualquer:

0)()(...)()()(][ 01

11

1 =++++= −− txatxDatxDatxDatxDL hjhjhj

nnhj

nnhjn

t

hjjcetx

λ=)(

)()(1 txectxD hjjt

jhjj λ=λ= λ

)()( 222 txectxD hjjt

jhjj λ=λ= λ

M M M

)()( txectxD hjnj

tnjhj

n j λ=λ= λ



• substituindo estes termos na equação acima resulta:

0)()(...)()( 011

1 =+λ++λ+λ −− txatxatxatxa hjhjjhj

njnhj

njn

[ ] 0)(... 011

1 =+λ++λ+λ −− txaaaa hjj

njn

njn

• como )(txhj pode assumir valores diferentes de zero, então:

0][... 011

1 =λ=+λ++λ+λ −− jnj

njn

njn Laaaa

Resultado 2

• funções da forma:

tkkh

jecttxλ−

− = 1)1( )(

tkkh

jecttxλ−

− = 2)2( )(

M t

hjcetx

λ=)(0

são soluções da equação diferencial homogênea 0)(][ =txDLn , onde



c é uma constante arbitrária;

λj é raiz com multiplicidade k da equação

0...0][ 011

1 =+λ++λ+λ⇒=λ −− aaaaL j

njn

njnjn .

Verificação

• se a equação acima possui uma raiz λj com multiplicidade k, então

( )( ) 0... 01

1 =λ−λ′++λ′+λ′ −−−−

−−

kj

knjkn

knjkn aaa

( ) 0][ =λ−λλ−k

jjknL

• resulta então uma equação diferencial homogênea na forma:

( ) 0)(][ =λ−− txDDL kjkn

• agora, basta mostrar que ( ) 0)( =λ− txD kj para

tm jecttxλ=)( , com m = 0, ..., k−1.

para m = 0: tjcetx

λ=)(



( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0

)(

1

1

=λ−λλ−

=λ−λ−=λ−=λ−λλ−

λ−λ

tj

tj

kj

tj

kj

tkj

kj

jj

jj

ececD

ceDDceDtxD

antes de apresentar o desenvolvimento para os demais valores de m, observe

que:

( ) tmtj

mtj

mtmtmj

jjjjj etcectectemctectDλ−λλλ−λ ′=λ−λ+=λ− 11

para tjctetx

λ=)( :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0

)(

21

1

=′λ−λ−=′λ−

=λ−λ−=λ−=λ−λ−λ−

λ−λ

tj

kj

tkj

tj

kj

tkj

kj

jj

jj

ecDDecD

cteDDcteDtxD

M

para tk jecttx

λ−= 1)( :

( ) ( ) ( )( )( ) 0

)( 111

=′λ−

=λ−λ−=λ−=λ−λ

λ−−λ−

tj

tkkjj

tkkj

kj

j

jj

ecD

ectDDectDtxD



Conclusão

• já se sabia, das seções anteriores, que a solução geral da equação homogênea

0)(][ =txDLn

é dada por )(...)()()()( 22111

txctxctxctxctx hnnhh

n

jhjjh +++== ∑

=, sendo que as

funções )(txhj , com j=1,...,n, são linearmente independentes.

• agora, já estamos em condições de encontrar as funções )(txhj , com j=1,...,n.

• se a equação 0...0][ 011

1 =+λ++λ+λ⇒=λ −− aaaaL n

nn

nn , denominada equação

característica, possuir n raízes distintas, então:

∑=

λ=n

j

tjh

jectx1

)(

• se a equação característica possuir raízes com multiplicidade maior do que 1,

então é preciso utilizar as funções tm jet

λ, com m=1,...,k−1 e λj uma raiz com



multiplicidade k, para completar as n funções linearmente independentes

necessárias para expressar a solução geral.

• considere, então, que as raízes da equação característica 0][ =λnL são em número

de m, com 1 ≤ m ≤ n, ou seja, λj, j=1,...,m.

• considere também que a multiplicidade de cada uma delas é dada por kj, j = 1, ...,

m, tal que ∑=

=m

jj nk

1

.

• logo, a solução geral da equação diferencial ordinária linear homogênea de ordem

n e com coeficientes constantes assume a seguinte forma:

∑ ∑=

−

=

λ=m

j

k

m

tmjmh

jjetctx

1

1

0

)(



4.1 Exemplos de solução geral da equação diferencial

homogênea

Exemplo 1

• 0)(1 =λ− txdt

dx

• ( ) 0)()(][ 11 =λ−= txDtxDL

• equação característica: 0][ 11 =λ−λ=λL

• solução geral: th ectx 1

10)( λ=

Exemplo 2

• ( )( ) ( ) 0)()(][ 32

214 =λ−λ−λ−= txDDDtxDL , com 321 λ≠λ≠λ

• equação característica: ( )( ) ( ) 0][ 32

214 =λ−λλ−λλ−λ=λL

• solução geral: tttth ectececectx 3221

30212010)( λλλλ +++=



Exemplo 3

• 0)()(][ 33 == txDtxDL

• equação característica: 00][ 33 =λ⇒=λ=λL com multiplicidade 3

• solução geral: 2121110)( tctcctxh ++=

Exemplo 4

• ( )( ) 0)(242)(][ 23 =+++= txDDDtxDL

• equação característica: ( )( ) 0242][ 23 =+λ+λ+λ=λL

21 −=λ

312

16422 j+−=−+−=λ

312

16423 j−−=−−−=λ

• solução geral: ( ) ( )tjtjth ececectx 31

3031

202

10)( −−+−− ++=



• como xh(t) deve assumir valores no eixo dos reais, então ( )tjec 3120

+− e

( )tjec 3130

−− devem ser complexos conjugados.

• para que isso ocorra, é necessário que c20 e c30 também sejam complexos

conjugados, como se pode verificar a seguir.

• as fórmulas de Euler a seguir devem ser empregadas neste ponto:

)(sen)cos( xjxe jx += )(sen)cos( xjxe jx −=−

• outra expressão útil é a relação trigonométrica:

++=+

BA

arctanzsen)(sen)cos( 22 BAzBzA

• com isso, temos:

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]

++

=+=++− −+

b

adteba

dtbdtaeejbaejba

ct

cttjdctjdc

arctansen2

)(sen)cos(2

22



• logo, a solução geral ( ) ( )tjtjth ececectx 31

3031

202

10)( −−+−− ++= assume a forma:

( )φ++= −− tceectx tth 3sen)( 2

10

Exemplo 5

• ( ) ( )( ) 0)(24342)(][ 2227 =+++++= txDDDDDtxDL

• equação característica: ( ) ( )( ) 024342)(][ 2227 =+λ+λ+λ+λ+λ=λ txL

−−=λ

+−=λ

31

31

4,2

3,1

j

j com multiplicidade 2

27

23

5 j+−=λ 27

23

6 j−−=λ 27 −=λ

• solução geral:

( ) ( ) tttth ectecttectectx 2

432

3

32211 2

7sen3sen3sen)( −−−− +

φ++φ++φ+=



5 Solução particular da equação não-homogênea

• uma equação diferencial ordinária linear não-homogênea de ordem n e com

coeficientes constantes pode ser escrita como:

)()(... 011

1

1 tutxadt

dxa

dt

xda

dt

xda

n

n

nn

n

n =++++ −

−

− (7)

onde a entrada u é função da variável independente t. Esta equação também pode

ser expressa em uma forma condensada:

)()(][ tutxDLn = (8)

• da Propriedade 3, é sabido que a solução geral desta equação assume a forma:

)()()()()(1

txtxctxtxtx p

n

jhjjph +=+= ∑

=

onde os coeficientes cj ∈ ℜ , j=1,...,n, vão depender das n condições iniciais.

• já sabemos como encontrar as funções )(txhj , com j=1,...,n, sendo que iremos nos

ocupar agora com a determinação da solução particular xp(t).



• existem vários métodos para se determinar a solução particular xp(t). Utilizaremos

aqui o método dos coeficientes a determinar.

• no entanto, devemos estar cientes de que este método não se aplica a todos os

tipos de funções de entrada u(t), pois é necessário que u(t) possa ser representada

por uma expressão matemática conhecida.

• para a aplicação do método, esta expressão matemática deve ser dada por uma

única função conhecida ou por uma combinação linear de funções conhecidas.

• felizmente, muitas funções de entrada que encontramos na prática podem ser

representadas por combinações lineares de funções conhecidas.

• dada a entrada u(t), o método dos coeficientes a determinar propõe como solução

particular uma forma parametrizada que inclui termos que podem aparecer em x(t)

e em suas derivadas no tempo.

• na tabela 1 a seguir, estão listadas as funções de entrada com as respectivas formas

parametrizadas das soluções particulares.



Tabela 1 – Forma das soluções particulares para aplicação

do método dos coeficientes a determinar

Função de entrada: u(t) Solução Particular: xp(t)

c a

kct , com k um inteiro positivo 012

21

1 ... atatatata kk

kk +++++ −

−

tceγ taeγ

( )tc ωcos ( ) ( )tata ω+ω sencos 21

( )tc ωsen ( ) ( )tata ω+ω sencos 21

• Observação: modificações são necessárias quando a forma da solução particular

possui termos iguais aos da solução geral da equação homogênea.



• se a função de entrada é a soma ou o produto de 2 ou mais termos do tipo listado

na primeira coluna da tabela 1, então a forma da solução particular será também a

soma ou o produto de uma ou mais das soluções particulares indicadas na segunda

coluna da tabela 1.

5.1 Exemplos de solução particular da equação diferencial não-homogênea

Exemplo 1

• entrada: ( )tecttu t ω= γ cos)( 3

• solução particular candidata (pode necessitar de modificações):

( ) ( ) ( ) ( )tebtbtbtbteatatatatx ttp ω++++ω+++= γγ sencos)( 01

22

3301

22

33

Exemplo 2

• determine a solução particular da equação não-homogênea: ctxdt

dx =+ )(2



• a solução particular candidata é do tipo: atxp =)(

• no entanto, dependendo das funções que compõem a solução geral da equação

homogênea associada, pode ser necessário realizar modificações na proposta de

solução particular acima.

• expressando a equação diferencial homogênea associada usando o operador

diferencial, resulta:

( ) 0)(2)(][1 =+= txDtxDL

• com isso, a equação característica assume a forma: 202 −=λ⇒=+λ

• solução da equação homogênea: th ectx 2

1)( −= .

• logo, não há necessidade de realizar modificações na solução particular, a qual

pode ser determinada por substituição direta na equação diferencial, como segue:

2)(

220)(2

ctx

cacactx

dt

dxpp

p =⇒=⇒=+⇒=+



Exemplo 3

• determine a solução particular da equação não-homogênea: cdt

dx

dt

xd =+ 22

2

• a solução particular candidata é do tipo: atxp =)(

• no entanto, dependendo das funções que compõem a solução geral da equação

homogênea associada, pode ser necessário realizar modificações na proposta de

solução particular acima.

• expressando a equação diferencial homogênea associada usando o operador

diferencial, resulta:

( ) 0)()2()(2)(][ 22 =+=+= txDDtxDDtxDL

• com isso, a equação característica assume a forma:

−=λ=λ

⇒=+λλ2

00)2(

• solução da equação homogênea: th ecctx 2

21)( −+= .



• logo, há necessidade de realizar modificações na solução particular, pois uma das

funções que compõem a solução geral da equação homogênea já inclui aquela que

seria a solução particular. Neste caso, temos o que é convencionado chamar de

ressonância da entrada com a solução da equação homogênea.

• para se obter a forma da solução particular, multiplica-se a forma original por t até

se obter uma expressão que não encontre correspondência com nenhuma das

funções que compõem a solução da equação homogênea.

• sendo assim, a solução particular candidata vai ser do tipo attxp =)( , a qual pode

ser determinada por substituição direta na equação diferencial, como segue:

tc

txc

acacdt

dx

dt

xdp

pp

2)(

22022

2

=⇒=⇒=+⇒=+



6 Solução geral da equação não-homogênea

• equação diferencial ordinária linear não-homogênea de ordem n e com

coeficientes constantes:

)()(... 011

1

1 tutxadt

dxa

dt

xda

dt

xda

n

n

nn

n

n =++++ −

−

− (9)

• forma condensada:

)()(][ tutxDLn = (10)

• solução geral:

)()()()()(1

txtxctxtxtx p

n

jhjjph +=+= ∑

=

onde os coeficientes cj ∈ ℜ , j=1,...,n, vão depender das n condições iniciais

)0(),...,0(),0( 110 xDxDxD n− .



6.1 Exemplos de solução geral da equação diferencial não-

homogênea

Exemplo 1

• achar a solução geral da equação 4)( =+ txdt

dx, com x(0) = 2

• forma condensada: 4)()1()(][1 =+= txDtxDL

• equação característica: 101 −=λ⇒=+λ

• solução da equação homogênea: th ectx −= 1)(

• solução particular: atxp =)(

• substituindo xp(t) na equação diferencial, resulta: 4)( =txp

• solução geral: 4)()()( 1 +=+= −tph ectxtxtx

• aplicando a condição inicial x(0) = 2 à solução geral: 224 11 −=⇒=+ cc

• solução geral: 42)( +−= −tetx



• comportamento da solução geral no tempo:

Programa do Matlab

clear all;

passo = 0.01;

tlim = 8;

ind = 1;

for t=0:passo:tlim,

x(ind) = t;

y(ind) = -2*exp(-t)+4;

ind = ind+1;

end

plot(x,y);

title('Comportamento no tempo da

solução geral do Exemplo 1');

xlabel('t');

ylabel('x(t)');

axis([0 8 0 5]);

grid;

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5Comportamento no tempo da solução geral do Exemplo 1

t

x(t)



Exemplo 2

• achar a solução geral da equação )3(sen2)( ttxdt

dx =+ , com x(0) = 2

• forma condensada: )3(sen2)()1()(][1 ttxDtxDL =+=

• equação característica: 101 −=λ⇒=+λ

• solução da equação homogênea: th ectx −= 1)(

• solução particular: )3(sen)3cos()( 21 tatatxp +=

• derivada da solução particular: )3cos(3)3(sen3 21 tatadt

dxp +−=

• substituindo xp(t) na equação diferencial, resulta:

)3(sen2)3(sen)3cos()3cos(3)3(sen3)( 2121 ttatatatatxdt

dxp

p =+++−=+

( ) ( ) )3(sen2)3cos(3)3(sen3 1221 ttaataa =+++−

=−=

⇒

=+=+−

2,0

6,0

03

23

2

1

12

21

a

a

aa

aa



)3(sen*2,0)3cos(*6,0)( tttxp +−=

• geralmente, é mais interessante expressar xp(t) na forma:

( )φ+= tctxp 3sen)( 2 , com c2 > 0

[ ])(sen)3cos()cos()3(sen)( 2 φ+φ= ttctxp

=φ−=φ

2,0)cos(

6,0)(sen

2

2

c

c

rad 25,1)3arctan(3)tan()cos()(sen −≅−=φ⇒−=φ=

φφ

[ ] [ ] ( ) ( ) 0,634,02,06,0)cos()(sen 222

2222

22 ≅⇒=⇒+−=φ+φ cccc

• com isso, xp(t) fica sendo: )25,13(sen*63,0)( −≅ ttxp

• solução geral: )25,13(sen*63,0)()()( 1 −+≅+= − tectxtxtx tph

• aplicando a condição inicial x(0) = 2 à solução geral:

60,22)25,1(sen*63,0 11 ≅⇒≅−+ cc



• solução geral: ( )25,13sen*63,0*60,2)( −+≅ − tetx t • comportamento da solução geral no tempo:

Programa do Matlab

clear all;

passo = 0.01;

tlim = 8;

ind = 1;

for t=0:passo:tlim,

x(ind) = t;

y(ind) = 2.6*exp(-t) +

sqrt(0.4)*sin(3*t+atan(-3));

ind = ind+1;

end

plot(x,y);

title('Comportamento no tempo da solução geral do Exemplo 2');

xlabel('t');

ylabel('x(t)');

axis([0 8 -1 2.5]);

grid;

0 1 2 3 4 5 6 7 8-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Comportamento no tempo da solução geral do Exemplo 2

t

x(t)



7 Estudo do Efeito da Linearização sobre o

Comportamento Dinâmico

• integre numericamente a equação diferencial homogênea do pêndulo, em suas

versões linear (em torno de θ = 0) e não-linear, para as seguintes condições

iniciais: 12π=θ e 0=θ& ;

4

π=θ e 0=θ& ; 11

5π=θ e 0=θ& .

• o objetivo aqui é verificar o efeito causado pela linearização em torno de θ = 0 no

comportamento dinâmico do modelo matemático.

• a integração numérica pode se dar empregando o Método de Euler, embora

procedimentos de integração muito mais precisos já existam (Exemplo: Runge-

Kutta de quarta ordem).

• suponha g = 9,81 e l = 0,6.



Solução:

• equação do pêndulo: ml

u

l

g =θ+θ )(sen&& , com u(t) = 0

• equação linearizada em torno de θ = 0: ml

u

l

g =θ+θ&& , com u(t) = 0

• programa auxiliar do Matlab, usando o método de Euler: clear all;

g = 9.81;

l = 0.6;

passo = 0.001;

t(1) = 0;

teta(1) = pi/12;

tetap(1) = 0;

teta1(1) = pi/12;

tetap1(1) = 0;

for i=2:5000,

t(i,1) = t(i-1,1)+passo;

tetap(i,1) = tetap(i-1,1)+passo*((-g/l)*sin(teta(i-1,1)));

teta(i,1) = teta(i-1,1)+passo*tetap(i-1,1);

tetap1(i,1) = tetap1(i-1,1)+passo*((-g/l)*teta1(i-1,1));

teta1(i,1) = teta1(i-1,1)+passo*tetap1(i-1,1);

end

figure(1);

subplot(111);

plot(t,teta);hold on;

plot(t,teta1,'r');

title('Comportamento no tempo de um

pêndulo');

xlabel('t');

ylabel('teta(t)');

grid;



Condição inicial: 12π=θ e 0=θ&

0 1 2 3 4 5-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3Comportamento no tempo de um pêndulo

t

teta(t)




0 1 2 3 4 5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Comportamento no tempo de um pêndulo

t

teta(t)




0 1 2 3 4 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Comportamento no tempo de um pêndulo

t

teta(t)



8 Exemplo 1 de Análise de um Sistema Dinâmico

• considerando o modelo de suspensão de um automóvel, conforme apresentado em

aula:

a) expresse o sistema de equações diferenciais lineares acopladas resultante:

=−+−+

=+−+−+

0)()(

)()(

22

1111

xym

kxy

m

by

rm

kx

m

kyx

m

kyx

m

bx

s

wws

&&&&

&&&&

na representação por espaço de estados (equação de estado e equação de saída),

tomando como estados )()(1 txtz = ; )()(2 txtz &= ; )()(3 tytz = e )()(4 tytz &= . As

saídas são dadas por: )()()(1 tytxts −= e )()(2 tyts = .

note que o sistema de equações diferenciais acima apresenta acoplamento entre as

variáveis, impedindo que se resolva cada equação isoladamente.



representação por espaço de estados:

−=

+

−−

−

+−=

)(

)(

)(

)(

0100

0101

)(

0

0

0

)(

)(

)(

)(

1000

0010

4

3

2

1

2

1

1

4

3

2

1

2222

1111

4

3

2

1

tz

tz

tz

tz

s

s

trm

k

tz

tz

tz

tz

m

b

m

k

m

b

m

k

m

b

m

k

m

b

m

kk

z

z

z

zw

ss

sws

&

&

&

&

b) em seguida, implemente este sistema no Simulink, com os seguintes parâmetros:

251 =m ; 3002 =m ; 30=b ; 5,7=sk e 50=wk . Tome ( )

7

10 2

10

1)(

−−=

t

etr , obtenha a

evolução no tempo de s1(t) e s2(t) no intervalo de tempo [0, 50] e interprete o resultado.

c) tome os parâmetros do item (a), faça b = 0, execute novamente o programa e interprete o resultado.

d) tome os parâmetros do item (a), faça ks = 30 (4 vezes o seu valor inicial), execute novamente o programa e interprete o resultado.



( )7

10 2

10

1)(

−−=

t

etr

0 10 20 30 40 50-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2Entrada para o Exercício 2 da Lista 1

t

r(t)



s1 s2



s1 s2



• programação usando Simulink

diagrama de blocos:

t r(t)Sistema Dinâmico

na Representação

por Espaço de Estados

u

Gráfico

t × s1

Gráfico

t × s2

s1

s2

conteúdo dos blocos:

( )7

10 2

101

)(−−

=t

etr

−−

−

+−

=

300

30

300

5.7

300

30

300

5.710002530

255.7

2530

25505.7

0010

A

=

0

025500

B

−=

0100

0101C

=0

0D + condições iniciais nulas



9 Exemplo 2 de Análise de um Sistema Dinâmico

• para várias condições iniciais e sendo constante a temperatura ambiental Tamb,

observando a evolução no tempo da temperatura de um corpo rígido que não

possui internamente nenhuma fonte de calor, obtém-se os seguintes

comportamentos:

T (t)

t

T am b



• com base nos comportamentos observados, o objetivo aqui é formular a Lei de

Resfriamento de Newton.

Solução:

• observa-se que a temperatura T(t) converge assintoticamente para a temperatura

ambiente, o que pode ser apropriadamente descrito na forma: ambt TeatT += γ−

1)( ,

com γ > 0.

• logo, se a solução no tempo para T(t) pode ser expressa pela composição aditiva

de uma exponencial e uma constante, então existe uma equação diferencial não-

homogênea de 1a ordem que tem ambt TeatT += γ−

1)( como solução. Esta equação

é dada por:

ambTatTdt

dT2)( =γ+ , com T(0) = T0.

• para encontrar a2, basta verificar que a temperatura do corpo não varia se

ambTtT =)( , ou seja:



0=dt

dT para ambTtT =)( .

Sendo assim, da ED resulta )(2 tTTadt

dTamb γ−= , e quando ambTtT =)( :

( ) γ=⇒=γ−⇒=γ− 222 00 aTaTTa ambambamb .

• para encontrar a1, vamos resolver a equação diferencial ambTtTdt

dT γ=γ+ )( , com

T(0) = T0:

forma condensada: ambTtTDtTDL γ=γ+= )()()(][1

equação característica: γ−=λ⇒=γ+λ 0

solução da equação homogênea: th ectT γ−= 1)(

solução particular: 2)( ctTp =

substituindo Tp(t) na equação diferencial, resulta:

ambpambpp

TtTTctTdt

dT=⇒γ=γ=γ+ )()( 2



solução geral: ambt

ph TectTtTtT +=+= γ−1)()()(

aplicando a condição inicial T(0) = T0 à solução geral, resulta:

ambamb TTcTTc −=⇒=+ 0101

solução geral: ( ) ambt

amb TeTTtT +−= γ−0)(

• portanto, com ambTTa −= 01 , prova-se que a dedução está correta. Isto implica

que a equação diferencial ambTtTdt

dT γ=γ+ )( , com T(0) = T0, descreve

completamente o comportamento observado.

• esta equação pode também ser expressa como segue:

( ))(tTTdt

dTamb −γ=

e com isso se chega à Lei de Resfriamento de Newton que afirma que a taxa de

variação da temperatura de um corpo sem fonte interna de calor é

diretamente proporcional à diferença entre a temperatura ambiente e a

temperatura do próprio corpo.

Date post:	07-Feb-2023
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Equações Diferenciais Lineares

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