EQUIPO DE DOCENTES

PROPÓSITO

• Calcular e interpretar las medidas de posición y de asimetría.

• Construir e interpretar el diagrama de cajas.

MEDIDAS DE POSICIÓN

• Las medidas de posición o cuantiles son los valores que determinan la posición de un dato respecto a todos los demás datos de una serie y que previamente ha sido ordenada de menor a mayor.

• Los cuantiles más importantes dividen a los datos ordenados de menor a mayor en 100, 10 y 4 cantidades iguales de datos, denominados centiles, deciles y cuartiles.

Aplicaciones

Se puede comprobar que una niña de 24 meses con un peso de 13 kg estaría en el percentil 75, esto es su peso superior al 75% de las niñas de su edad.

Tabla real de Percentiles usada en pediatría

Se puede observar que el sujeto A tiene 15 años de edad y con un peso de 70 kg se encuentra en el percentil 90, esto señala que su peso es superior al 90% de las personas de su edad.

A diferencia del sujeto B que tiene un peso corporal de 46 kg y su edad es de 16 años, esto indica que su peso es inferior en 3% al de las personas que tienen dicha edad.

Percentiles de Estándares Longitudinales

Percentiles o Centil

• Los Percentiles dividen un conjunto de datos en 100 partes porcentualmente iguales.

Dado un percentil Pk, el K% de los datos son menores o iguales al valor de Pk y el otro (100-k)% superiores al valor de Pk

Decil

• Se denomina así a cada uno de los nueve centiles:

P10 , P20 , P30 , … P90

• Se denota como D1, D2, D3, …, D9

respectivamente.

Cuartil

• Se denomina así a cada uno de los tres centiles:

P25 , P50 , P75

• Se denota como Q1 , Q2 , Q3

respectivamente.

Rango intercuartil

• Además, se define la medida de dispersión rango intercuartil (llamado también propagación media) como la diferencia entre el tercer cuartil y el primer cuartil en una serie de datos, es decir, es el rango del 50% de los datos centrales:

Rango intercuartil = RIC = Q3 – Q1

PERCENTILES PARA DATOS NO AGRUPADOS

• Los cálculos se centrarán en encontrar los valores de los centiles.

• Para hallar valores de deciles o cuartiles simplemente encontraremos el valor del centiles correspondientes.

• Si tenemos n datos ordenados de menor a mayor y queremos determinar el valor del centil Pk.

• La posición que ocupa el centil Pk en la lista de datos ordenados está determinada por la expresión:

k: Percentil buscadon : Número de valores𝑃𝑘 = 𝑋 𝑘

100.𝑛

PERCENTILES PARA DATOS AGRUPADOS

• Si tenemos n datos agrupados en clases y queremos determinar el valor del centil Pk.

𝑃𝑘 = 𝐿𝑖 + 𝐴

𝑘𝑛100 − 𝐹𝑗−1

𝑓𝑗

donde: k : Percentil buscadoLi : límite inferior de la clase del centil. f : frecuencia absoluta de la clase del centil. F : frecuencia acumulada de la clase que precede a la clase del centil. A : amplitud de clase. n : número de datos.

• Las líneas antes y después de las cajas se llaman bigotes, setraza desde los extremos de la caja hasta el mínimo ymáximo dentro de los límites inferior y superior.

• Se marcan con un asterisco los valores fuera de los límites(valores atípicos).

bigote

DIAGRAMA DE CAJAS

Construcción

• Se calcula: Q1, Q2 , Q3 , RIC y 1,5RIC.

• Se traza una línea de referencia horizontal o vertical(para la escala)

• Se traza un rectángulo con los extremos en el primer ytercer cuartil y se traza una recta vertical en lamediana.

• Se dibujan los límites a 1,5 rango intercuartil de loscuartiles 1 y 3, Se considera que los datos fuera deestos límites son atípicos:

)(5.11 RICQLi )(5.13 RICQLs

Edad de un colectivo de 20 personas de la facultad de Ciencias espaciales:

36 25 37 24 39 20 36

31 39 24 29 23 41 40

34 40 31 24 45 33

Realice un diagrama de cajas con esta información, comente el resultado.

Ejemplo

Ordenando los datos:

20 23 24 24 24 25 29 31 31 33 34 36 36 37 39 39 40 40 41 45

Localización e identificación

dE

nki ,

100

1

)(*,0 )()1()( EEEk XXdXP

25,5

100

120251

Q

25,24)2425(*25,02425 P

5,10

100

120502

Q

75,15

100

120753

Q

5,33)3334(*5,03350 P

39)3939(*75,03975 P

El bigote de la izquierda representa al colectivo de edades ( Xmín, Q1)La primera parte de la caja a (Q1, Q2),La segunda parte de la caja a (Q2, Q3)El bigote de la derecha viene dado por (Q3, Xmáx).

Dibujar la Caja y los Bigotes

Xmín Q1 Q2 Q3 XMáx

20 24,25 33,5 39 45

Interpretación del diagrama:

• La parte izquierda de la caja es mayor que la de la derecha; ello quiere decir que las edades comprendidas entre el 25% y el 50% de la población está más dispersa que entre el 50% y el 75%.

• El bigote de la izquierda (Xmím, Q1) es más corto que el de la derecha; por ello el 25% de los más jóvenes están más concentrados que el 25% de los mayores.

• El rango intercuartílico = Q3 - Q1 = 14,75; es decir, el 50% de la población está comprendido en 15 años.

Xmín Q1 Q2 Q3 XMáx

20 24,25 33,5 39 45

COEFICIENTE DE CURTOSIS

las medidas de curtosis tratan de estudiar la proporción de la varianza que se explica por la combinación de datos extremos respecto a la media en contraposición con datos poco alejados de la misma.

Leptocúrtica

Mesocúrtica

Platicúrtica

Curtosis: Basado en percentiles (K)

Para calcularlo utilizaremos la expresión:

Si K > 0,263 la distribución será leptocúrtica o apuntada

Si K = 0 la distribución será mesocúrtica o normal

Si K < 0,263 la distribución será platicúrtica o menos apuntada.

𝐾 =𝑃75 − 𝑃25

2(𝑃90 − 𝑃10)

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