Date post: | 26-Apr-2023 |
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Suites
Exercice 1 :
Dans cet exercice toutes les rรฉcurrences devront รชtre faites sans considรฉrer quโelles sont รฉvidentes ;
Soit (๐ข๐)๐โฅ0 la suite de nombres rรฉels dรฉfinie par ๐ข0 โ ]0,1] et par la relation de rรฉcurrence
๐ข๐+1 =๐ข๐2+(๐ข๐)
2
4
1. Montrer que : โ๐ โ โ, ๐ข๐ > 0.
2. Montrer que : โ๐ โ โ, ๐ข๐ โค 1.
3. Montrer que la suite est monotone. En dรฉduire que la suite est convergente.
4. Dรฉterminer la limite de la suite (๐ข๐)๐โฅ0.
Allez ร : Correction exercice 1 :
Exercice 2 :
Dans cet exercice toutes les rรฉcurrences devront รชtre faites sans considรฉrer quโelles sont รฉvidentes ;
Soit (๐ข๐)๐โฅ0 la suite de nombres rรฉels dรฉfinie par ๐ข0 โ ]1,2] et par la relation de rรฉcurrence
๐ข๐+1 =(๐ข๐)
2
4+3
4
1. Montrer que : โ๐ โ โ, ๐ข๐ > 1.
2. Montrer que : โ๐ โ โ, ๐ข๐ โค 2.
3. Montrer que la suite est monotone. En dรฉduire que la suite est convergente.
4. Dรฉterminer la limite de la suite (๐ข๐)๐โฅ0.
Allez ร : Correction exercice 2 :
Exercice 3 :
Soient ๐ข0, ๐ et ๐ trois rรฉels. On considรจre la suite (๐ข๐)๐โฅ0 de nombres rรฉels dรฉfinie par ๐ข0 et la relation
de rรฉcurrence :
๐ข๐+1 = ๐๐ข๐ + ๐
1. Comment appelle-t-on la suite (๐ข๐)๐โฅ0 lorsque ๐ = 1 ? Lorsque que ๐ = 0 et ๐ โ 1 ?
2. Exprimer ๐ข๐ dans les deux cas particulier de la question 1.
3. Dans le cas gรฉnรฉral, calculer ๐ข1, ๐ข2 et ๐ข3 en fonction de ๐ข0, ๐ et ๐.
4. Dรฉmontrer par rรฉcurrence que le terme gรฉnรฉral de la suite est donnรฉ par :
๐ข๐ = ๐๐๐ข0 + ๐โ๐๐โ๐
๐
๐=1
, ๐ โ โโ
5. On suppose que ๐ โ 1. Dรฉmontrer que
โ๐๐โ๐๐
๐=1
=๐๐ โ 1
๐ โ 1
6. Dรฉduire de ce qui prรฉcรจde que pour tout ๐ โ โโ.
๐ข๐ =๐๐(๐ข1 โ ๐ข0) โ ๐
๐ โ 1
7. On suppose dans cette question que ๐ > 1 et que ๐๐ข0 + ๐ > ๐ข0. Montrer que la limite de la suite
(๐ข๐)๐โโ a pour limite +โ.
8. On suppose dans cette question que 0 < ๐ < 1, montrer que (๐ข๐)๐โฅ0 converge et que sa limite ne
dรฉpend pas de ๐ข0.
Allez ร : Correction exercice 3 :
Exercice 4 :
Soit (๐ข๐) une suite dรฉfinie par la relation de rรฉcurrence
๐ข๐+1 =1
2๐ข๐ + 1
Et la donnรฉe de ๐ข0
1.
1.1. Montrer que si ๐ข0 โค 2 alors pour tout ๐ โฅ 0, ๐ข๐ โค 2 et que la suite est monotone.
1.2. En dรฉduire que la suite est convergente et dรฉterminer sa limite.
2.
2.1. Montrer que si ๐ข0 โฅ 2 alors pour tout ๐ โฅ 0, ๐ข๐ โฅ 2 et que la suite est monotone.
2.2. En dรฉduire que la suite est convergente et dรฉterminer sa limite.
3.
3.1. On pose ๐ฃ๐ = ๐ข๐ โ 2. Montrer que la suite (๐ฃ๐) est une suite gรฉomรฉtrique de raison 1
2.
3.2. En dรฉduire une expression de ๐ข๐ en fonction de ๐ et ๐ข0. Retrouver le rรฉsultat des deux
premiรจres questions.
3.3. En dรฉduire
lim๐โ+โ
โ ๐ข๐๐๐=0
๐
Allez ร : Correction exercice 4 :
Exercice 5 :
1. Dรฉterminer la limite de la suite (๐ข๐)๐โโ dont le terme gรฉnรฉral est dรฉfini par
๐ข๐ =2๐ + โ4๐2 + 1
๐ + โ๐2 + 1
2. En dรฉduire la limite de la suite de terme gรฉnรฉral ๐ฃ๐ dรฉfini par
๐ฃ๐ =2๐ โ โ4๐2 + 1
๐ โ โ๐2 + 1
Allez ร : Correction exercice 5 :
Exercice 6 :
1. On pose que ๐ข๐ =๐ธ(โ๐)
๐ ; pour tout ๐ โ โโ, montrer que
lim๐โ+โ
๐ข๐ = 0
2. On pose que ๐ฃ๐ =(๐ธ(โ๐))
2
๐ ; pour tout ๐ โ โโ, montrer que la suite (๐ฃ๐)๐โโโ converge et
dรฉterminer sa limite.
Allez ร : Correction exercice 6 :
Exercice 7 :
On considรจre la suite (๐ข๐)๐โโ dรฉfinie par ๐ข0 = 0 et par la relation de rรฉcurrence
๐ข๐+1 =1
6๐ข๐2 +
3
2
1. Montrer que pour tout ๐ โ โโ, ๐ข๐ > 0.
2. Calculer la limite รฉventuelle de la suite (๐ข๐)๐โโ.
3. Montrer que pour tout ๐ โ โ, ๐ข๐ < 3.
4. Montrer que la suite est croissante, que peut-on en conclure ?
Allez ร : Correction exercice 7 :
Exercice 8 :
On considรจre la suite de nombre rรฉel dรฉfinie par son premier terme ๐ข0 = 0 et par la relation de
rรฉcurrence :
๐ข๐+1 = 2๐ข๐2 +
1
8
Montrer que la suite (๐ข๐)๐โโ est convergente et dรฉterminer sa limite.
Allez ร : Correction exercice 8 :
Exercice 9 :
Montrer que la suite (๐ข๐)๐โโ de terme gรฉnรฉral ๐ข๐ dรฉfinie par :
๐ข๐ =2๐ + 1
3๐2 + 1+2๐ + 1
3๐2 + 2+ โฏ+
2๐ + 1
3๐2 + ๐
Est convergente et dรฉterminer sa limite.
Allez ร : Correction exercice 9 :
Exercice 10 :
Montrer que la suite (๐ข๐)๐โโ de terme gรฉnรฉral ๐ข๐ dรฉfinie par :
๐ข๐ =1 ร 3 ร โฆร (2๐ + 1)
3 ร 6 ร โฆร (3๐ + 3)
Est convergente et dรฉterminer sa limite.
Allez ร : Correction exercice 10 :
Exercice 11 :
1. Montrer que pour tout ๐ โ โโ 1
๐(๐ + 1)=1
๐โ
1
๐ + 1
2. Soit (๐ข๐)๐โโโ la suite rรฉelle dรฉfinie pour tout ๐ > 0 par
๐ข๐ =โ1
๐(๐ + 1)
๐
๐=1
=1
1 ร 2+
1
2 ร 3+ โฏ+
1
๐(๐ + 1)
A lโaide de la question 1. Montrer que (๐ข๐)๐โโโ est convergente et dรฉterminer sa limite.
Allez ร : Correction exercice 11 :
Exercice 12 :
Soit (๐ข๐)๐โโ la suite ร valeurs rรฉelles dรฉfinie par la donnรฉe de ๐ข0, ๐ข1 et la relation de rรฉcurrence
โ๐ โ โ, 2๐ข๐+2 โ 5๐ข๐+1 + 2๐ข๐ = 0
Soient (๐ฃ๐)๐โโ et (๐ค๐)๐โโ les suite ร valeurs rรฉelles dรฉfinies, pour tout ๐ โ โ, par
๐ฃ๐ = 3๐ข๐ โ3
2๐ข๐+1 et ๐ค๐ = โ
3
4๐ข๐ +
3
2๐ข๐+1
1. Montrer que (๐ฃ๐)๐โโ est une suite gรฉomรฉtrique de raison 1
2. En dรฉduire une expression de ๐ฃ๐ en
fonction de ๐, de ๐ข0 et de ๐ข1.
2. Montrer que (๐ค๐)๐โโ est une suite gรฉomรฉtrique de raison 2. En dรฉduire une expression de ๐ค๐ en
fonction de ๐, de ๐ข0 et de ๐ข1.
3. Calculer ๐ฃ๐ +๐ค๐ de deux faรงons diffรฉrentes et en dรฉduire ๐ข๐ en fonction de ๐, de ๐ข0 et de ๐ข1.
4. Selon les valeurs de ๐ข0 et de ๐ข1 dรฉterminer si la suite (๐ข๐)๐โโ converge et le cas รฉchรฉant dรฉterminer
sa limite.
Allez ร : Correction exercice 12 :
Exercice 13 :
On considรจre la suite de nombres rรฉels dรฉfinie par son premier terme ๐ข0 =11
4 et par la relation de
rรฉcurrence :
๐ข๐+1 =5
2+ โ๐ข๐ โ
7
4
Montrer que la suite (๐ข๐)๐โโ est bien dรฉfinie, convergente et dรฉterminer sa limite.
Allez ร : Correction exercice 13 :
Exercice 14 :
1. Calculer, si cette limite existe.
lim๐โ+โ
โ๐ โ ๐ + 1
2โ๐ + ๐ + 2
2. Etudier la suite (๐ข๐)๐โโ de nombres rรฉels dรฉfinie par la donnรฉe de :
0 < ๐ข0 < 1 et ๐ข๐ = ๐ข๐โ1 โ (๐ข๐โ1)2
Allez ร : Correction exercice 14 :
Exercice 15 :
Calculer, si elle existe, la limite, lorsque ๐ tend vers lโinfini, de lโexpression
โ๐2 + ๐ + 1 โ โ๐2 โ ๐ + 1
Allez ร : Correction exercice 15 :
Exercice 16 :
Calculer
1.
lim๐โ+โ
๐ln(๐)
ln๐(๐)
2.
lim๐โ+โ
โ๐2 + ๐ + 1 โ ๐
Allez ร : Correction exercice 16 :
Exercice 17 :
On considรจre les suites (๐ข๐)๐โฅ1 et (๐ฃ๐)๐โฅ1 de nombres rรฉels dรฉfinies pour tout ๐ โฅ 1 par
๐ข๐ = 1 +1
23+1
33+โฏ+
1
๐3 et ๐ฃ๐ = ๐ข๐ +
1
๐2
Montrer que ces deux suites sont convergentes et ont la mรชme limite (que lโon ne cherchera pas ร
calculer).
Allez ร : Correction exercice 17 :
Exercice 18 :
Soient ๐0 et ๐0 deux rรฉels tels que ๐0 < ๐0. On dรฉfinit par rรฉcurrence les suites (๐๐)๐โโ et (๐๐)๐โโ par
{๐๐+1 =
2๐๐ + ๐๐3
๐๐+1 =๐๐ + 2๐๐
3
1. Montrer que la suite (๐๐ โ ๐๐)๐โโ est une suite gรฉomรฉtrique, et lโexprimer en fonction de ๐, ๐0 et ๐0.
2. Montrer que ces suites sont adjacentes.
3. En calculant ๐๐ + ๐๐, montrer quโelles convergent vers ๐0+๐0
2.
Allez ร : Correction exercice 18 :
Exercice 19 :
On considรจre la suite (๐ข๐)๐โฅ0 de nombres rรฉels dont le terme gรฉnรฉral est dรฉfini par rรฉcurrence en
posant :
๐ข0 = 2 et ๐ข๐+1 = โ2๐ข๐ โ 1
1. Montrer que, pour tout ๐ โ โ, 1 โค ๐ข๐.
2. Montrer que la suite (๐ข๐)๐โฅ0 est dรฉcroissante.
3. En dรฉduire que la suite (๐ข๐)๐โฅ0 est convergente et dรฉterminer sa limite.
Allez ร : Correction exercice 19 :
Exercice 20 :
On considรจre la suite (๐ข๐)๐โฅ1 de nombres rรฉels dรฉfinie pour tout ๐ โฅ 1 par :
๐ข๐ =1
โ๐๐ธ(โ๐)
Montrer quโelle est convergente et prรฉciser sa limite.
Allez ร : Correction exercice 20 :
Exercice 21 :
1. Montrer que la relation de rรฉcurrence ๐ข๐+1 =1
5(1 โ โ1 โ ๐ข๐) et la donnรฉe initiale ๐ข0 =
1
5
permet de dรฉfinir une suite (๐ข๐)๐โโ de nombres rรฉels appartement ร lโintervalle ]0,1[.
2. Montrer que la suite est dรฉcroissante.
3. Montrer que la suite est convergente et dรฉterminer sa limite.
Allez ร : Correction exercice 21 :
Exercice 22 :
Soit ๐ โ ]0,1[ un rรฉel. On considรจre la suite (๐ข๐) dรฉfinie par ๐ข0 = ๐, et pour tout ๐ โฅ 0,
๐ข๐+1 =๐ + ๐ข๐๐ + 1
1. Montrer que pour tout ๐ โ โ, 0 < ๐ข๐ < 1.
2. Montrer que la suite est croissante.
3. Montrer que pour tout ๐ โ โ,
๐ข๐+1 โ 1 =๐ข๐ โ 1
๐ + 1
4. Montrer que pour tout ๐ โ โ,
๐ข๐ = 1 +๐ โ 1
๐!
On rappelle que 0! = 1
Allez ร : Correction exercice 22 :
Exercice 23 :
Pour tout entier ๐ > 0, on considรจre la fonction ๐๐: [0,1] โ โ dรฉfinie par ๐๐(๐ฅ) = ๐ฅ๐ โ (1 โ ๐ฅ)2
1. Dans cette question, lโentier ๐ est fixรฉ.
a) La fonction ๐๐ est-elle strictement monotone ?
b) Montrer quโil existe un unique ๐ผ๐ โ ]0,1[ tel que ๐๐(๐ผ๐) = 0.
c) Quel est le signe de ๐๐+1(๐ผ๐) ?
2. On considรจre la suite de terme gรฉnรฉral (๐ผ๐)๐โฅ1.
a) Montrer ร lโaide de la question prรฉcรฉdente que la suite (๐ผ๐)๐โฅ1 est croissante.
b) En dรฉduire que la suite est convergente, on notera ๐ผ sa limite.
c) supposons que ๐ผ < 1.
i) Montrer quโalors
lim๐โ+โ
(๐ผ๐)๐ = 0
ii) A lโaide de la relation ๐๐(๐ผ๐) = 0, en dรฉduire que 1 โ ๐ผ = 0, conclure.
Allez ร : Correction exercice 23 :
Exercice 24 :
Soit (๐ข๐)๐โโโ la suite de nombres rรฉels dรฉfinie par
๐ข๐ = ๐(โ1 +1
๐โ 1)
Montrer que la suite (๐ข๐)๐โโโ converge et que sa limite est 1
2.
Allez ร : Correction exercice 24 :
Exercice 25 :
On considรจre la suite (๐ข๐)๐โโโ de nombres rรฉels dรฉfinie par
๐ข๐ =1
๐ + 1+
1
๐ + 2+
1
๐ + 3+โฏ+
1
2๐
1. Montrer que la suite (๐ข๐)๐โโโ est croissante.
2. Montrer que la suite (๐ข๐)๐โโโ est convergente et que sa limite ๐ vรฉrifie
1
2โค ๐ โค 1
Allez ร : Correction exercice 25 :
Exercice 26 :
On considรจre la suite (๐ข๐)๐โโโ de nombres rรฉels dรฉfinie par
๐ข๐ =1
3 + |sin(1)|โ1+
1
3 + |sin(2)|โ2+โฏ+
1
3 + |sin(๐)|โ๐
Montrer que
lim๐โ+โ
๐ข๐ = +โ
Allez ร : Correction exercice 26 :
Exercice 27 :
On considรจre la suite (๐ข๐)๐โโ de nombres rรฉels dรฉfinie par la donnรฉe de son premier terme ๐ข0 = 0 et
par la relation de rรฉcurrence
๐ข๐+1 =1
16+ 4๐ข๐
2
Montrer quโelle est croissante, convergente et dรฉterminer sa limite.
Allez ร : Correction exercice 27 :
Exercice 28 :
On considรจre la suite (๐ข๐)๐โโโ de nombres rรฉels dรฉfinie par
๐ข๐ = ((โ1)๐
๐+sin(๐2)
2)
๐
1. Montrer quโil existe un entier naturel ๐0, tel que pour tout ๐ โฅ ๐0, on ait :
|(โ1)๐
๐+sin(๐2)
2| <
3
4
2. Montrer que la suite converge et dรฉterminer sa limite.
Allez ร : Correction exercice 28 :
Exercice 29 :
Montrer que la suite (๐ข๐)๐โโ dรฉfinie par la donnรฉe de ๐ข0 โ โ et par la relation de rรฉcurrence
๐ข๐+1 =๐
๐2 + 2๐โ๐ข๐
Est convergente et dรฉterminer sa limite.
Allez ร : Correction exercice 29 :
Exercice 30 :
Montrer que la suite (๐ข๐)๐โโ dรฉfinie par la donnรฉe de ๐ข0 = 1 et par la relation de rรฉcurrence
๐ข๐+1 = ๐ข๐ โ 3 + ๐๐ข๐
1. Montrer que la suite (๐ข๐)๐โโ est strictement dรฉcroissante.
2. Montrer que la suite (๐ข๐)๐โโ est divergente.
3. Montrer que
lim๐โ+โ
๐ข๐ = โโ
Allez ร : Correction exercice 30 :
Exercice 31 :
Soit (๐ข๐)๐โโ la suite dรฉfinie par ๐ข0 > 1 un rรฉel et par la relation de rรฉcurrence ๐ข๐+1 = 1 + ln(๐ข๐)
1. Montrer que pour tout ๐ โ โ, ๐ข๐ > 1
2. Etudier la fonction dรฉfinie sur [1, +โ[ par ๐(๐ฅ) = ln(๐ฅ) โ ๐ฅ + 1 et en dรฉduire son signe sur ]1,+โ[.
3. Montrer que la suite (๐ข๐)๐โโ est monotone.
4. En dรฉduire quโelle converge, et dรฉterminer sa limite.
Allez ร : Correction exercice 31 :
Exercice 32 :
Pour chacune des assertions ci-dessus :
Si vous estimez quโelle est vraie, donner en justification.
Si vous estimez quโelle est fausse, justifiez-le en exhibant un contre-exemple.
1. Si une partie ๐ต de โ est non vide et minorรฉe, sa borne infรฉrieure est un รฉlรฉment de ๐ต
2. Si (๐ข๐)๐โโ est une suite de nombres rรฉels telle que la limite de ๐ข๐ en +โ est +โ, alors elle est
croissante ร partir dโun certain rang.
3. Si (๐ข๐)๐โโ est une suite de Cauchy de nombres rรฉels, alors est bornรฉe.
4. Si (๐ข๐)๐โโ est une suite de nombres rรฉels ne vรฉrifiant pas
lim๐โ+โ
|๐ข๐| = +โ
Alors elle est bornรฉe.
Allez ร : Correction exercice 32 :
Exercice 33 :
On considรจre la suite (๐ข๐)๐โฅ2 la suite de nombres rรฉels dont le terme gรฉnรฉral ๐ข๐ est dรฉfini pour ๐ โฅ 2
par :
๐ข๐ =1
2+1
3+โฏ+
1
๐
Montrer que
lim๐โ+โ
๐ข๐ = +โ
On pourra montrer que (๐ข๐)๐โฅ2 nโest pas une suite de Cauchy.
Allez ร : Correction exercice 33 :
Exercice 34 :
Pour tout ๐ โ โโ, on pose :
๐ข๐ = 1 +1
โ2+1
โ3+โฏ+
1
โ๐
1. Montrer que (๐ข๐)๐โฅ1 est une suite divergente.
2. Pour tout ๐ โ โโ, on pose :
๐ฃ๐ =1
โ๐๐ข๐
a) Montrer que,
Pour tout ๐ โ โโ :
1
โ๐ + 1โค 2(โ๐ + 1 โ โ๐) โค
1
โ๐
b) En dรฉduire que, pour tout ๐ โ โโ :
2โ๐ + 1 โ 2 โค ๐ข๐ โค 2โ๐ โ 1
c) Montrer que (๐ฃ๐)๐โฅ1 est convergente et prรฉcisez sa limite.
Allez ร : Correction exercice 34 :
Exercice 35 :
1. Soit (๐ป๐) la proposition suivante.
โ๐ โ โ, โ๐ โ โโ,1
(๐ + 1)2+โฏ+
1
(๐ + ๐)2<1
๐โ
1
๐ + ๐
Montrer (๐ป๐) par rรฉcurrence sur ๐.
2. Soit (๐ข๐)๐โฅ1 la suite dรฉfinie par :
๐ข๐ =โ1
๐2
๐
๐=1
= 1 +1
22+1
32+โฏ+
1
๐2
Montrer que la suite (๐ข๐)๐โฅ1 est convergente et on ne cherchera pas ร dรฉterminer la limite de cette suite.
On pourra montrer que cette suite une suite de Cauchy.
Allez ร : Correction exercice 35 :
CORRECTIONS
Correction exercice 1 :
1. Faisons un raisonnement par rรฉcurrence, ๐ข0 โ ]0,1] donc ๐ข0 > 0. Montrons que ๐ข๐ > 0 entraine
que ๐ข๐+1 > 0.
๐ข๐+1 =๐ข๐2+(๐ข๐)
2
4> 0
Donc pour tout ๐ โ โ, ๐ข๐ > 0.
2. Faisons un raisonnement par rรฉcurrence, ๐ข0 โ [0,1] donc ๐ข0 โค 1. Montrons que ๐ข๐ โค 1 entraine
que ๐ข๐+1 โค 1.
๐ข๐+1 =๐ข๐2+(๐ข๐)
2
4โค1
2+(1)2
4=3
4โค 1
Donc pour tout ๐ โ โ, ๐ข๐ โค 1.
3. Calculons
๐ข๐+1 โ ๐ข๐ =๐ข๐2+(๐ข๐)
2
4โ ๐ข๐ = โ
๐ข๐2+(๐ข๐)
2
4=๐ข๐4(โ2 + ๐ข๐)
Comme 0 < ๐ข๐ โค 1, on a โ2 โค โ2 + ๐ข๐ โค โ1 < 0, par consรฉquent
๐ข๐+1 โ ๐ข๐ =๐ข๐4(โ2 + ๐ข๐) < 0
Ce qui montre que la suite est strictement dรฉcroissante.
Autre mรฉthode, comme la suite est ร valeur strictement positive, on peut regarder le quotient de
๐ข๐+1 par ๐ข๐ :
๐ข๐+1๐ข๐
=
๐ข๐2 +
(๐ข๐)2
4๐ข๐
=1
2+๐ข๐4โค1
2+1
4< 1
Ce qui montre aussi que la suite est strictement dรฉcroissante.
4. La suite est strictement dรฉcroissante et minorรฉe par 0 donc elle converge vers une limite notรฉe ๐,
cette limite appartient ร [0,1] et cette valeur vรฉrifie
๐ =๐
2+๐2
4โ 0 = โ
๐
2+๐2
4โ โ2๐ + ๐2 = 0 โ ๐(โ2 + ๐) = 0 โ {
๐ = 0ou๐ = 2
Par consรฉquent ๐ = 0.
Allez ร : Exercice 1 :
Correction exercice 2 :
1. Faisons un raisonnement par rรฉcurrence, ๐ข0 โ ]1,2] donc ๐ข0 โฅ 1. Montrons que ๐ข๐ > 1 entraine
que ๐ข๐+1 > 1.
๐ข๐+1 =(๐ข๐)
2
4+3
4>1
4+3
4= 1
Donc pour tout ๐ โ โ, ๐ข๐ > 1.
2. Faisons un raisonnement par rรฉcurrence, ๐ข0 โ ]1,2] donc ๐ข0 โค 2. Montrons que ๐ข๐ โค 2 entraine
que ๐ข๐+1 โค 2.
๐ข๐+1 =(๐ข๐)
2
4+3
4โค(2)2
4+3
4=7
4โค 2
Donc pour tout ๐ โ โ, ๐ข๐ โค 2.
3. Calculons
๐ข๐+1 โ ๐ข๐ =(๐ข๐)
2
4+3
4โ ๐ข๐ =
1
4(๐ข๐2 โ 4๐ข๐ + 3) =
1
4(๐ข๐ โ 1)(๐ข๐ โ 3)
Comme 1 < ๐ข๐ โค 2, on a ๐ข๐ โ 1 > 0 et ๐ข๐ โ 2 โค โ1 < 0, par consรฉquent
๐ข๐+1 โ ๐ข๐ =1
4(๐ข๐ โ 1)(๐ข๐ โ 3) < 0
Ce qui montre que la suite est strictement dรฉcroissante. De plus elle est minorรฉe par 1 donc elle converge.
Autre mรฉthode, comme la suite est ร valeur strictement positive, on peut regarder le quotient de ๐ข๐+1 par
๐ข๐ :
๐ข๐+1๐ข๐
=
(๐ข๐)2
4+34
๐ข๐=๐ข๐4+
3
4๐ข๐
Il faut alors รฉtudier la fonction ๐: ]1,2] โ โ dรฉfinie par
๐(๐ฅ) =๐ฅ
4+3
4๐ฅ
๐โฒ(๐ฅ) =1
4โ
3
4๐ฅ2=๐ฅ2 โ 3
4
๐ฅ 1 โ3 2
๐โฒ(๐ฅ) โ 0 +
๐(๐ฅ) 1 7
8
โ3
2
Cela montre que
โ๐ข๐ โ ]1,2], ๐(๐ข๐) < 1
Et que donc
โ๐ โ โ,๐ข๐+1๐ข๐
< 1
Ce qui montre aussi que la suite est strictement dรฉcroissante. De plus elle est minorรฉe par 1 donc elle
converge.
4. On note ๐ cette limite, elle appartient ร [1,2] et cette valeur vรฉrifie
๐ =๐2
4+3
4โ 0 =
๐2
4โ ๐ +
3
4โ ๐2 โ 4๐ + 3 = 0 โ {
๐ = 1ou๐ = 2
Par consรฉquent ๐ = 1
Allez ร : Exercice 2 :
Correction exercice 3 :
1. Lorsque ๐ = 1 alors ๐ข๐+1 = ๐ข๐ + ๐, la suite (๐ข๐)๐โโ est une suite arithmรฉtique de raison ๐.
Lorsque ๐ = 0 et ๐ โ 1 alors ๐ข๐+1 = ๐๐ข๐, la suite (๐ข๐)๐โโ est une suite gรฉomรฉtrique de raison ๐,
2. Lorsque ๐ = 1 alors ๐ข๐ = ๐ข0 + ๐๐
Lorsque ๐ = 0 et ๐ โ 1 alors ๐ข๐ = ๐๐๐ข0(remarque, si ๐ = 1 cela ne change rien).
3.
๐ข1 = ๐๐ข0 + ๐
๐ข2 = ๐๐ข1 + ๐ = ๐(๐๐ข0 + ๐) + ๐ = ๐2๐ข0 + (๐ + 1)๐
๐ข3 = ๐๐ข2 + ๐ = ๐(๐2๐ข0 + (๐ + 1)๐ + ๐ = ๐
3๐ข0 + (๐2 + ๐ + 1)๐
4. Pour ๐ = 1 lโรฉgalitรฉ est vรฉrifiรฉe (cโest mรชme la dรฉfinition de ๐ข1), on peut aussi remarquรฉ que la
relation est aussi vรฉrifiรฉe pour ๐ = 2 et ๐ = 3 dโaprรจs 3.
Montrer que lโรฉgalitรฉ au rang ๐ entraine celle au rang ๐ = 1
๐ข๐+1 = ๐๐ข๐ + ๐ = ๐ (๐๐๐ข0 + ๐โ๐๐โ๐
๐
๐=0
) + ๐ = ๐(๐๐๐ข0 + ๐(๐๐ + ๐๐โ1 +โฏ+ ๐ + 1)) + ๐
= ๐๐+1๐ข0 + ๐(๐๐+1 + ๐๐ +โฏ+ ๐2 + ๐) + ๐
= ๐๐+1๐ข0 + ๐(๐๐+1 + ๐๐ +โฏ+ ๐2 + ๐ + 1) = ๐๐+1๐ข0 + ๐โ๐๐+1โ๐
๐+1
๐=0
Donc pour tout ๐ โ โโ, on a
๐ข๐ = ๐๐๐ข0 + ๐โ๐๐โ๐
๐
๐=0
5.
โ๐๐โ๐๐
๐=1
= ๐๐โ1 + ๐๐โ1 +โฏ+ ๐ + 1 = 1 + ๐ + โฏ+ ๐๐โ1 =1 โ ๐๐
1 โ ๐=๐๐ โ 1
๐ โ 1
Autre mรฉthode, on pose ๐โฒ = ๐ โ ๐, si ๐ = 1 alors ๐โฒ = ๐ โ 1 et si ๐ = ๐ alors ๐โฒ = 0
โ๐๐โ๐๐
๐=1
= โ ๐๐โฒ
๐โ1
๐โฒ=0
=1 โ ๐๐
1 โ ๐=๐๐ โ 1
๐ โ 1
6. Dโaprรจs 4. Pour tout ๐ โฅ 1
๐ข๐ = ๐๐๐ข0 + ๐โ๐๐โ๐
๐
๐=0
= ๐๐๐ข0 + ๐๐๐ โ 1
๐ โ 1=๐๐๐ข0(๐ โ 1) + ๐(๐
๐ โ 1)
๐ โ 1
=๐๐(๐ข0๐ โ ๐ข0 + ๐) โ ๐
๐ โ 1=๐๐(๐ข1 โ ๐ข0) โ ๐
๐ โ 1
7. Comme ๐ > 1, ๐๐ โ +โ lorsque ๐ โ +โ et ๐๐ข0 + ๐ > ๐ข0 รฉquivaut ร ๐ข1 โ ๐ข0 > 0, on reprend
lโexpression du 7. Il est clair que ๐ข๐ โ +โ
8. Comme 0 < ๐ < 1, ๐๐ โ 0 donc ๐๐(๐ข1 โ ๐ข0) โ ๐ โ โ๐ lorsque ๐ โ +โ par consรฉquent
lim๐โ+โ
๐ข๐ = โ๐
๐ โ 1
Et effectivement cette limite ne dรฉpend pas de ๐ข0.
Allez ร : Exercice 3 :
Correction exercice 4 :
1.
1.1. Par rรฉcurrence ๐ข0 โค 2 et montrons que ๐ข๐ โค 2 entraine ๐ข๐+1 โค 2
๐ข๐+1 =1
2๐ข๐ + 1 โค
1
2ร 2 + 1 = 2
Donc pour tout ๐ โฅ 0, ๐ข๐ โค 2
๐ข๐+1 โ ๐ข๐ =1
2๐ข๐ + 1 โ ๐ข๐ = 1 โ
1
2๐ข๐ =
2 โ ๐ข๐2
โฅ 0
Donc la suite (๐ข๐) est croissante.
1.2. La suite est croissante et majorรฉe par 2 donc elle converge vers une limite ๐ qui vรฉrifie
๐ =1
2๐ + 1 โ
1
2๐ = 1 โ ๐ = 2
2.
2.1 Par rรฉcurrence ๐ข0 โฅ 2 et montrons que ๐ข๐ โฅ 2 entraine ๐ข๐+1 โฅ 2
๐ข๐+1 =1
2๐ข๐ + 1 โฅ
1
2ร 2 + 1 = 2
Donc pour tout ๐ โฅ 0, ๐ข๐ โฅ 2
๐ข๐+1 โ ๐ข๐ =1
2๐ข๐ + 1 โ ๐ข๐ = 1 โ
1
2๐ข๐ =
2 โ ๐ข๐2
โค 0
Donc la suite (๐ข๐) est dรฉcroissante.
2.2 La suite est dรฉcroissante et minorรฉe par 2 donc elle converge vers une limite ๐ qui vรฉrifie
๐ =1
2๐ + 1 โ
1
2๐ = 1 โ ๐ = 2
3.
3.1
๐ฃ๐+1 = ๐ข๐+1 โ 2 =1
2๐ข๐ + 1 โ 2 =
1
2๐ข๐ โ 1 =
1
2(๐ข๐ โ 2) =
1
2๐ฃ๐
Donc (๐ฃ๐) est une suite gรฉomรฉtrique de raison 1
2.
3.2
On dรฉduit de 3.1. que pour tout ๐ โฅ 0 :
๐ฃ๐ =1
2๐๐ฃ0 =
1
2๐(๐ข0 โ 2)
Alors pour tout ๐ โฅ 0 :
๐ข๐ = ๐ฃ๐ + 2 =๐ข02๐โ
1
2๐โ1+ 2
lim๐โ+โ
(๐ข02๐โ
1
2๐โ1) = 0 โ lim
๐โ+โ๐ข๐ = 2
3.3
โ๐ข๐
๐
๐=0
=โ(๐ฃ๐ + 2)
๐
๐=0
= (๐ฃ0 + 2) + (๐ฃ1 + 2) +โฏ+ (๐ฃ๐ + 2) = ๐ฃ0 + ๐ฃ1 +โฏ+ ๐ฃ๐ + 2(๐ + 1)
= ๐ฃ0 +1
2๐ฃ0 +
1
22๐ฃ0 +โฏ+
1
2๐๐ฃ0 + 2(๐ + 1)
= ๐ฃ0 (1 +1
2+โฏ+
1
2๐) + 2(๐ + 1) = ๐ฃ0
1 โ12๐+1
1 โ12
+ 2(๐ + 1)
= 2๐ฃ0 (1 โ1
2๐+1) + 2(๐ + 1) = 2๐ฃ0 โ
๐ฃ02๐+ 2(๐ + 1)
Ce qui entraine que
โ ๐ข๐๐๐=0
๐=2๐ฃ0 โ
๐ฃ02๐ + 2
(๐ + 1)
๐=2๐ฃ0 โ
๐ฃ02๐
๐+2(๐ + 1)
๐โ 0 + 2 = 2
Allez ร : Exercice 4 :
Correction exercice 5 :
1. Le numรฉrateur et le dรฉnominateur tendent tous les deux vers +โ, il sโagit donc dโune forme
indรฉterminรฉe.
Premiรจre mรฉthode
On va multiplier en haut et en bas par la quantitรฉ conjuguรฉe
๐ข๐ =2๐ + โ4๐2 + 1
๐ + โ๐2 + 1=(2๐ + โ4๐2 + 1)(2๐ โ โ4๐2 + 1)(๐ โ โ๐2 + 1)
(๐ + โ๐2 + 1)(๐ โ โ๐2 + 1)(2๐ โ โ4๐2 + 1)
=(4๐2 โ (4๐2 + 1))(๐ โ โ๐2 + 1)
(๐2 โ (๐2 + 1))(2๐ โ โ4๐2 + 1)=
โ(๐ โ โ๐2 + 1)
โ(2๐ โ โ4๐2 + 1)=
โ๐ + โ๐2 + 1
โ2๐ + โ4๐2 + 1
Il sโagit dโune forme encore plus indรฉterminรฉe que la prรฉcรฉdente, il sโagit donc dโune mauvaise idรฉe.
Deuxiรจme mรฉthode
๐ข๐ =2๐ + โ4๐2 + 1
๐ + โ๐2 + 1=2๐ + โ4๐2 (1 +
14๐2
)
๐ + โ๐2 (1 +1๐2)
=2๐ + 2๐โ1 +
14๐2
๐ + ๐โ1 +1๐2
=
2๐ (1 + โ1 +14๐2
)
๐ (1 + โ1 +1๐2)
= 21 + โ1 +
14๐2
1 + โ1 +1๐2
lim๐โ+โ
๐ข๐ = lim๐โ+โ
21 + โ1 +
14๐2
1 + โ1 +1๐2
= 2
2. Le numรฉrateur est une forme indรฉterminรฉe +โโโ et le dรฉnominateur est une forme indรฉterminรฉe
+โโโ, donc ๐ฃ๐ est une forme indรฉterminรฉe.
Premiรจre mรฉthode
On va multiplier en haut et en bas par la quantitรฉ conjuguรฉe
๐ฃ๐ =2๐ โ โ4๐2 + 1
๐ โ โ๐2 + 1=(2๐ โ โ4๐2 + 1)(2๐ + โ4๐2 + 1)(๐ + โ๐2 + 1)
(๐ โ โ๐2 + 1)(๐ + โ๐2 + 1)(2๐ + โ4๐2 + 1)
=(4๐2 โ (4๐2 + 1))(๐ + โ๐2 + 1)
(๐2 โ (๐2 + 1))(2๐ + โ4๐2 + 1)=
โ(๐ + โ๐2 + 1)
โ(2๐ + โ4๐2 + 1)=
๐ + โ๐2 + 1
2๐ + โ4๐2 + 1=1
๐ข๐
Donc la limite de ๐ฃ๐ est 1
2
Deuxiรจme mรฉthode
๐ข๐ =2๐ โ โ4๐2 + 1
๐ โ โ๐2 + 1=2๐ โ โ4๐2 (1 +
14๐2
)
๐ โ โ๐2 (1 +1๐2)
=2๐ โ 2๐โ1 +
14๐2
๐ โ ๐โ1 +1๐2
=
2๐ (1 โ โ1 +14๐2
)
๐ (1 โ โ1 +1๐2)
= 21 โ โ1 +
14๐2
1 โ โ1 +1๐2
Le numรฉrateur et le dรฉnominateur tendent vers 0 donc il sโagit dโune forme indรฉterminรฉe, cโest une
mauvaise idรฉe.
Allez ร : Exercice 5 :
Correction exercice 6 :
1. Pour tout ๐ โ โโ il existe un unique ๐ = ๐ธ(โ๐) tel que
๐ โค โ๐ < ๐ + 1
Donc
๐2 โค ๐ < (๐ + 1)2
Dโoรน lโon dรฉduit que
1
(๐ + 1)2<1
๐โค1
๐2
On multiplie ces derniรจres inรฉgalitรฉs par ๐ = ๐ธ(โ๐) > 0, car ๐ โฅ 1
๐
(๐ + 1)2<๐
๐โค๐
๐2โ
๐ธ(โ๐)
(๐ธ(โ๐) + 1)2 <
๐ธ(โ๐)
๐โค
1
๐ธ(โ๐)2
Lorsque ๐ โ +โ, ๐ธ(โ๐) โ +โ donc
lim๐โ+โ
๐ธ(โ๐)
๐= 0
Puisque les limites des expressions de gauche et de droite tendent vers 0.
2. Avec les mรชmes notations on multiplie les inรฉgalitรฉs
1
(๐ + 1)2<1
๐โค1
๐2
Par ๐2 = ๐ธ(โ๐)2โฅ 0
๐2
(๐ + 1)2<๐2
๐โค๐2
๐2โ
๐ธ(โ๐)2
(๐ธ(โ๐) + 1)2 <
๐ธ(โ๐)2
๐โค 1
Lorsque ๐ โ +โ, ๐ธ(โ๐) โ +โ donc
lim๐โ+โ
๐ธ(โ๐)2
๐= 1
Puisque les limites des expressions de gauche et de droite tendent vers 1.
Allez ร : Exercice 6 :
Correction exercice 7 :
1. ๐ข1 =1
6๐ข02 +
3
2=3
2
On va montrer que pour tout ๐ โฅ 1, ๐ข๐ > 0 entraine que ๐ข๐+1 > 0.
๐ข๐+1 =1
6๐ข๐2 +
3
2>3
2> 0
Cโest bien le cas. Donc pour tout ๐ โ โโ, ๐ข๐ > 0
2. Si la suite (๐ข๐)๐โโ admet une limite ๐ alors
๐ =1
6๐2 +
3
2โ ๐2 โ 6๐ + 9 = 0 โ (๐ โ 3)2 = 0 โ ๐ = 3
3. Encore une fois, faisons un raisonnement par rรฉcurrence, ๐ข0 = 0 < 3, montrons que ๐ข๐ < 3
entraine que ๐ข๐+1 < 3.
๐ข๐+1 =1
6๐ข๐2 +
3
2<1
6ร 9 +
3
2=3
2+3
2= 3
Donc pour tout ๐ โ โ, ๐ข๐ < 3.
4. Calculons ๐ข๐+1 โ ๐ข๐
๐ข๐+1 โ ๐ข๐ =1
6๐ข๐2 +
3
2โ ๐ข๐ =
1
6(๐ข๐2 โ 6๐ข๐ + 9) =
1
6(๐ข๐ โ 3)
2 > 0
La suite (๐ข๐)๐โโ est strictement croissante, comme elle est bornรฉe par 3, elle convergente vers
la seule valeur qui vรฉrifie ๐ =1
6๐2 +
3
2, cโest-ร -dire ๐ = 3.
Allez ร : Exercice 7 :
Correction exercice 8 :
On va dโabord voir si la suite est monotone :
๐ข๐+1 โ ๐ข๐ = 2๐ข๐2 โ ๐ข๐ +
1
8
Lโรฉquation 2๐2 โ ๐ +1
8 a pour discriminant ฮ = 1 โ 4 ร 2 ร
1
8= 0, il sโagit donc, ร un coefficient prรจs
dโune identitรฉ remarquable
2๐2 โ ๐ +1
8= 2(๐2 โ
1
2๐ +
1
16) = 2(๐ โ
1
4)2
Donc
๐ข๐+1 โ ๐ข๐ = 2๐ข๐2 โ ๐ข๐ +
1
8= 2 (๐ข๐ โ
1
4)2
โฅ 0
La suite est croissante, montrons par rรฉcurrence, quโelle est majorรฉe par 1
4
๐ข0 = 0 <1
4
Montrons que ๐ข๐ <1
4 entraine que ๐ข๐+1 <
1
4
๐ข๐+1 = 2๐ข๐2 +
1
8< 2 ร (
1
4)2
+1
8=1
8+1
8=1
4
La suite est croissante et majorรฉe, elle converge vers une limite ๐ qui vรฉrifie
๐ = 2๐2 +1
8โ 2๐2 โ ๐ +
1
8= 0 โ 2(๐ โ
1
4)2
= 0 โ ๐ =1
4
Allez ร : Exercice 8 :
Correction exercice 9 :
Il suffit dโimaginer la tรชte de ๐ข๐+1 pour รชtre dรฉcourager ร lโavance de calculer ๐ข๐+1 โ ๐ข๐ pour essayer
de montrer la monotonie de cette suite. On va faire autrement, pour tout ๐ โ {1,2, โฆ , ๐} 1
3๐2 + ๐โค
1
3๐2 + ๐โค
1
3๐2 + 1
Donc
2๐ + 1
3๐2 + ๐+2๐ + 1
3๐2 + ๐+โฏ+
2๐ + 1
3๐2 + ๐โค2๐ + 1
3๐2 + 1+2๐ + 1
3๐2 + 2+โฏ+
2๐ + 1
3๐2 + ๐
โค2๐ + 1
3๐2 + 1+2๐ + 1
3๐2 + 1+โฏ+
2๐ + 1
3๐2 + 1
Les ๐ termes dans le premier membre sont tous รฉgaux ร 2๐+1
3๐2+๐. Les ๐ termes dans le dernier membre
sont tous รฉgaux ร 2๐+1
3๐2+1, on en dรฉduit que
๐ ร2๐ + 1
3๐2 + ๐โค ๐ข๐ โค ๐ ร
2๐ + 1
3๐2 + 1
lim๐โ+โ
๐ ร2๐ + 1
3๐2 + ๐= lim๐โ+โ
2๐2 + ๐
3๐2 + ๐=2
3
lim๐โ+โ
๐ ร2๐ + 1
3๐2 + 1= lim๐โ+โ
2๐2 + ๐
3๐2 + 1=2
3
On en dรฉduit que
lim๐โ+โ
๐ข๐ =2
3
Allez ร : Exercice 9 :
Correction exercice 10 :
Ce genre dโexercice ce traite toujours de la mรชme faรงon, il faut ยซ sentir ยป que lโon peut exprimer ๐ข๐+1
en fonction de ๐ข๐ :
๐ข๐+1 =1 ร 3 ร โฆร (2๐ + 1) ร (2๐ + 3)
3 ร 6 ร โฆร (3๐ + 3)(3๐ + 6)=1 ร 3 ร โฆร (2๐ + 1)
3 ร 6 ร โฆร (3๐ + 3)ร2๐ + 3
3๐ + 6= ๐ข๐ ร
2๐ + 3
3๐ + 6
Sโil y a une limite ๐ elle vรฉrifie
๐ = ๐ ร2
3โ (1 โ
2
3) ๐ = 0 โ ๐ = 0
Il reste ร montrer que la suite de terme gรฉnรฉral ๐ข๐ converge.
Il est plus que clair que ๐ข๐ > 0, la suite est minorรฉe, de plus il suffit de regarder le quotient ๐ข๐+1
๐ข๐ pour
savoir si la suite est monotone (dรฉcroissante nous arrangerait bien)
๐ข๐+1๐ข๐
=2๐ + 3
3๐ + 6<2๐ + 4
3๐ + 6=2(๐ + 2)
3(๐ + 2)=2
3< 1
Donc la suite de terme gรฉnรฉral ๐ข๐ est dรฉcroissante et minorรฉe donc elle converge, comme on lโa vu plus
haut la seule limite possible est 0.
Allez ร : Exercice 10 :
Correction exercice 11 :
1.
1
๐โ
1
๐ + 1=๐ + 1 โ ๐
๐(๐ + 1)=
1
๐(๐ + 1)
2. Premiรจre mรฉthode
๐ข๐ =โ1
๐(๐ + 1)
๐
๐=1
=โ(1
๐โ
1
๐ + 1)
๐
๐=1
=โ1
๐
๐
๐=1
โโ1
๐ + 1
๐
๐=1
Dans la seconde somme on pose ๐โฒ = ๐ + 1, alors ๐ = 1 โ ๐โฒ = 2 et ๐ = ๐ โ ๐โฒ = ๐ + 1
๐ข๐ =โ1
๐
๐
๐=1
โ โ1
๐โฒ
๐+1
๐โฒ=2
Ensuite on change ๐โฒ en ๐
๐ข๐ =โ1
๐
๐
๐=1
โโ1
๐
๐+1
๐=2
= 1 โ1
๐ + 1
Car tous les autres termes se simplifient
Par consรฉquent (๐ข๐)๐โโโ converge et sa limite est 1.
Deuxiรจme mรฉthode
๐ข๐ =1
1 ร 2+
1
2 ร 3+โฏ+
1
๐(๐ + 1)= (
1
1โ1
2) + (
1
2โ1
3) +โฏ+ (
1
๐ โ 1โ1
๐) + (
1
๐โ
1
๐ + 1)
= 1 โ1
๐ + 1
Car tous les autres termes se simplifient
Par consรฉquent (๐ข๐)๐โโโ converge et sa limite est 1.
Allez ร : Exercice 11 :
Correction exercice 12 :
1.
๐ฃ๐+1 = 3๐ข๐+1 โ3
2๐ข๐+2 = 3๐ข๐+1 โ
3
2(5
2๐ข๐+1 โ ๐ข๐) = (3 โ
15
4)๐ข๐+1 +
3
2๐ข๐ = โ
3
4๐ข๐+1 +
3
2๐ข๐
=1
2(3๐ข๐ โ
3
2๐ข๐+1) =
1
2๐ฃ๐
Donc (๐ฃ๐)๐โโ est une suite gรฉomรฉtrique de raison 1
2
Donc
๐ฃ๐ = (1
2)๐
๐ฃ0 = (1
2)๐
(3๐ข0 โ3
2๐ข1)
2.
๐ค๐+1 = โ3
4๐ข๐+1 +
3
2๐ข๐+2 = โ
3
4๐ข๐+1 +
3
2(5
2๐ข๐+1 โ ๐ข๐) = (
15
4โ3
4) ๐ข๐+1 โ
3
2๐ข๐
= 3๐ข๐+1 โ3
2๐ข๐ = 2(
3
2๐ข๐+1 โ
3
4๐ข๐) = 2๐ค๐
Donc (๐ค๐)๐โโ est une suite gรฉomรฉtrique de raison 2
Donc
๐ค๐ = 2๐๐ค0 = 2
๐ (โ3
4๐ข0 +
3
2๐ข1)
3. Dโune part
๐ฃ๐ +๐ค๐ = 3๐ข๐ โ3
2๐ข๐+1 โ
3
4๐ข๐ +
3
2๐ข๐+1 =
9
4๐ข๐
Dโautre part
๐ฃ๐ +๐ค๐ = (1
2)๐
(3๐ข0 โ3
2๐ข1) + 2
๐ (โ3
4๐ข0 +
3
2๐ข1)
Donc
๐ข๐ =4
9((1
2)๐
(3๐ข0 โ3
2๐ข1) + 2
๐ (โ3
4๐ข0 +
3
2๐ข1)) = (
1
2)๐
(4
3๐ข0 โ
1
3๐ข1) + 2
๐ (โ1
3๐ข0 +
2
3๐ข1)
4. Comme 2๐ tend vers lโinfini si โ1
3๐ข0 +
2
3๐ข1 โ 0 alors ๐ข๐ tend vers lโinfini donc ne converge pas.
Supposons que โ1
3๐ข0 +
2
3๐ข1 = 0, comme (
1
2)๐
tend vers 0, alors pour toutes valeurs de 4
3๐ข0 โ
1
3๐ข1
๐ข๐ tend vers 0.
Allez ร : Exercice 12 :
Correction exercice 13 :
Si la suite de terme gรฉnรฉral ๐ข๐ converge vers une limite ๐ alors
๐ =5
2+ โ๐ โ
7
4
Il est clair quโil va falloir รฉlever au carrรฉ quelque chose, mais si on รฉlรจve au carrรฉ ces deux expressions
on va avoir un double produit oรน il y aura encore une racine alors il faut modifier lรฉgรจrement cette
รฉgalitรฉ
๐ โ5
2= โ๐ โ
7
4
On y va
(๐ โ5
2)2
= ๐ โ7
4
Mais attention, il faudra faire une rรฉciproque des fois que ๐ โ5
2 soit nรฉgatif.
๐2 โ 5๐ +25
4= ๐ โ
7
4โ ๐2 โ 6๐ + 8 = 0
Cette รฉquation du second degrรฉ a pour discriminant
ฮ = 36 โ 4 ร 8 = 4
Et donc comme racines
๐1 =6 โ 2
2= 2 et ๐2 =
6 + 2
2= 4
La solution ๐ = 2 ne convient pas car
2 โ5
2โ โ2 โ
7
4
La solution ๐ = 4 est la seule possible.
Comme ๐ข0 < 4, ce qui nous arrangerait maintenant cโest que la suite de terme gรฉnรฉral ๐ข๐ soit croissante
et majorรฉe par 4, on pourrait alors conclure que la suite de terme gรฉnรฉral ๐ข๐ est convergente et de limite
4. Montrons ce rรฉsultat par rรฉcurrence.
Pour ๐ข0 =11
4 cโest clair
11
4< 4.
Montrons que ๐ข๐ < 4 entraine que ๐ข๐+1 < 4
๐ข๐+1 =5
2+ โ๐ข๐ โ
7
4<5
2+ โ4 โ
7
4=5
2+ โ
9
4=5
2+3
2= 4
La suite (๐ข๐)๐โโ est majorรฉe par 4.
Pour montrer que la suite (๐ข๐)๐โโ est croissante on aura besoin de montrer, au prรฉalable que pour tout โ
โ ๐ข๐ >5
2, pour ce genre de rรฉcurrence on peut dire que cโest trivial, on vรฉrifie au passage que la suite de
terme gรฉnรฉral ๐ข๐ est dรฉfinie pour tout ๐ โ โ car ๐ข๐ >5
2โ ๐ข๐ โ
7
4> 0
Regardons maintenant si la suite est monotone :
๐ข๐+1 โ ๐ข๐ =5
2+ โ๐ข๐ โ
7
4โ ๐ข๐ =
5
2โ ๐ข๐ +โ๐ข๐ โ
7
4=
(52 โ ๐ข๐ +
โ๐ข๐ โ74)(
52 โ ๐ข๐ โ
โ๐ข๐ โ74)
52 โ ๐ข๐ โ
โ๐ข๐ โ74
=(52 โ ๐ข๐)
2
โ (๐ข๐ โ74)
52 โ ๐ข๐ โ
โ๐ข๐ โ74
=๐ข๐2 โ 6๐ข๐ + 8
52 โ ๐ข๐ โ
โ๐ข๐ โ74
=(๐ข๐ โ 2)(๐ข๐ โ 4)
52 โ ๐ข๐ โ
โ๐ข๐ โ74
5
2< ๐ข๐ โ ๐ข๐ โ 2 > 0
๐ข๐ < 4 โ ๐ข๐ โ 4 < 0
5
2< ๐ข๐ โ
5
2โ ๐ข๐ < 0 โ
5
2โ ๐ข๐ โโ๐ข๐ โ
7
4< 0
Par consรฉquent ๐ข๐+1 โ ๐ข๐ > 0, la suite est croissante
Cโest fait, la suite (๐ข๐)๐โโ est croissante et majorรฉe donc elle converge vers la seule limite possible ๐ =
4.
Allez ร : Exercice 13 :
Correction exercice 14 :
1. Il sโagit dโune forme indรฉterminรฉe, on mettre en facteur, au numรฉrateur et au dรฉnominateur les
termes qui tendent le plus vite vers lโinfini
โ๐ โ ๐ + 1
2โ๐ + ๐ + 2=
๐ (1
โ๐โ 1 +
1๐)
๐ (2
โ๐+ 1 +
2๐)=
1
โ๐โ 1 +
1๐
2
โ๐+ 1 +
2๐
lim๐โ+โ
โ๐ โ ๐ + 1
2โ๐ + ๐ + 2= lim๐โ+โ
1
โ๐โ 1 +
1๐
2
โ๐+ 1 +
2๐
= โ1
1= โ1
2. Si (๐ข๐)๐โโ admet une limite ๐, celle-ci vรฉrifie
๐ = ๐ โ ๐2โ ๐ = 0
Regardons si la suite est monotone, pour tout ๐ โฅ 1
๐ข๐ โ ๐ข๐โ1 = โ(๐ข๐โ1)2 โค 0
Donc la suite est dรฉcroissante.
Montrons par rรฉcurrence que pour tout ๐ โฅ 0. 0 < ๐ข0 < 1, puis montrons que pour tout ๐ โฅ 1
0 < ๐ข๐โ1 < 1 entraine que 0 < ๐ข๐ < 1.
๐ข๐ = ๐ข๐โ1 โ (๐ข๐โ1)2 = ๐ข๐โ1(1 โ ๐ข๐โ1)
0 < ๐ข๐โ1 < 1 entraine que 0 < 1 โ ๐ข๐โ1 < 1 et le produit de deux nombres compris entre 0 et
1 est compris entre 0 et 1, donc 0 < ๐ข๐ < 1. En particulier (๐ข๐)๐โโ est minorรฉe par 0, comme
elle est dรฉcroissante, elle converge vers la seule limite possible ๐ = 0.
Allez ร : Exercice 14 :
Correction exercice 15 :
โ๐2 + ๐ + 1 โ โ๐2 โ ๐ + 1 =๐2 + ๐ + 1 โ (๐2 โ ๐ + 1)
โ๐2 + ๐ + 1 + โ๐2 โ ๐ + 1=
2๐
โ๐2 (1 +1๐ +
1๐2) + โ๐2 (1 โ
1๐ +
1๐2)
=2๐
๐โ1 +1๐ +
1๐2+ ๐โ1 โ
1๐ +
1๐2
=2
โ1 +1๐ +
1๐2+โ1 โ
1๐ +
1๐2
Donc cette expression admet une limite et
lim๐โ+โ
(โ๐2 + ๐ + 1 โ โ๐2 โ ๐ + 1) = lim๐โ+โ
2
โ1 +1๐ +
1๐2+โ1 โ
1๐ +
1๐2
=2
2= 1
Allez ร : Exercice 15 :
Correction exercice 16 :
1.
๐ln(๐)
ln๐(๐)=๐ln(๐)รln(๐)
๐๐รln(๐๐(๐))= ๐ln(๐)รln(๐)โ๐รln(๐๐(๐)) = ๐
๐((ln(๐))2
๐ โ ln(๐๐(๐)))
(ln(๐))2
๐โ 0 et ln(๐๐(๐)) โ +โ
Donc
๐ ((ln(๐))2
๐ โ ln(๐๐(๐))) โ โโ
Et
lim๐โ+โ
๐ln(๐)
ln๐(๐)= 0
2.
โ๐2 + ๐ + 1 โ ๐ =(๐2 + ๐ + 1) โ ๐2
โ๐2 + ๐ + 1 + ๐=
๐ + 1
โ๐2 + ๐ + 1 + ๐=
๐ (1 +1๐)
โ๐2 (1 +1๐+1๐2) + ๐
=๐ (1 +
1๐)
๐ (โ1 +1๐+1๐2+ 1)
=1 +
1๐
โ1 +1๐+1๐2+ 1
โ1
2
Allez ร : Exercice 16 :
Correction exercice 17 :
Nous allons utiliser le thรฉorรจme sur les suites adjacentes
๐ข๐+1 โ ๐ข๐ = 1 +1
23+1
33+โฏ+
1
๐3+
1
(๐ + 1)3โ (1 +
1
23+1
33+โฏ+
1
๐3) =
1
(๐ + 1)3> 0
Donc la suite (๐ข๐)๐โฅ1 est croissante
๐ฃ๐+1 โ ๐ฃ๐ = ๐ข๐+1 +1
(๐ + 1)2โ ๐ข๐ โ
1
๐2=
1
(๐ + 1)3+
1
(๐ + 1)2โ1
๐2=๐2 + ๐2(๐ + 1) โ (๐ + 1)3
(๐ + 1)3๐2
=๐2 + ๐3 + ๐2 โ (๐3 + 3๐2 + 3๐ + 1)
(๐ + 1)3๐2= โ
๐2 + 3๐ + 1
(๐ + 1)3๐2< 0
Donc la suite (๐ฃ๐)๐โฅ1 est dรฉcroissante
๐ฃ๐ โ ๐ข๐ =1
๐2โ 0
Donc les deux suites convergent vers une mรชme limite.
Allez ร : Exercice 17 :
Correction exercice 18 :
1.
๐๐+1 โ ๐๐+1 =2๐๐ + ๐๐
3โ๐๐ + 2๐๐
3=๐๐ โ ๐๐3
=1
3(๐๐ โ ๐๐)
Donc la suite (๐๐ โ ๐๐)๐โโ est une suite gรฉomรฉtrique de raison 1
3, par consรฉquent
๐๐ โ ๐๐ =1
3๐(๐0 โ ๐0)
2.
๐๐+1 โ ๐๐ =2๐๐ + ๐๐
3โ ๐๐ =
2๐๐ + ๐๐ โ 3๐๐3
= โ๐๐ โ ๐๐3
= โ1
3๐+1(๐0 โ ๐0) > 0
Car ๐0 < ๐0
Donc la suite (๐๐)๐โโ est croissante.
๐๐+1 โ ๐๐ =๐๐ + 2๐๐
3โ ๐๐ =
๐๐ โ ๐๐3
=1
3๐+1(๐0 โ ๐0) < 0
Car ๐0 < ๐0
Donc la suite (๐๐)๐โโ est dรฉcroissante.
lim๐โ+โ
(๐๐ โ ๐๐) = lim๐โ+โ
1
3๐(๐0 โ ๐0) = 0
En appliquant le thรฉorรจme des suites adjacentes on en conclut que ces deux suites convergent vers une
mรชme limite notรฉ ๐.
3.
๐๐+1 + ๐๐+1 =2๐๐ + ๐๐
3+๐๐ + 2๐๐
3=3๐๐ + 3๐๐
3= ๐๐ + ๐๐
La suite (๐๐ + ๐๐)๐โโ est constante donc, pour tout ๐ โ โ
๐๐ + ๐๐ = ๐0 + ๐0
En faisant tendre ๐ vers lโinfini dans cette expression, on trouve que
๐ + ๐ = ๐0 + ๐0
Ce qui implique que
๐ =๐0 + ๐02
Allez ร : Exercice 18 :
Correction exercice 19 :
1. 1 < ๐ข0, montrons que 1 < ๐ข๐ entraine que 1 < ๐ข๐+1
๐ข๐+1 = โ2๐ข๐ โ 1 > โ2 ร 1 โ 1 = 1
Cela montre que la suite est bien dรฉfinie car si ๐ข๐ <1
2 alors ๐ข๐+1 nโest pas dรฉfini.
2.
๐ข๐+1 โ ๐ข๐ = โ2๐ข๐ โ 1 โ ๐ข๐ =2๐ข๐ โ 1 โ ๐ข๐
2
โ2๐ข๐ โ 1 + ๐ข๐= โ
๐ข๐2 + 2๐ข๐ + 1
โ2๐ข๐ โ 1 + ๐ข๐โ
(๐ข๐ + 1)2
โ2๐ข๐ โ 1 + ๐ข๐< 0
Donc la suite (๐ข๐)๐โโ est dรฉcroissante.
3. La suite est dรฉcroissante et minorรฉe par 1 donc elle converge vers une limite ๐ qui vรฉrifie
๐ = โ2๐ โ 1
๐ > 0 et โ2๐ โ 1 > 0 donc
๐ = โ2๐ โ 1 โ ๐2 = 2๐ โ 1 โ ๐2 โ 2๐ + 1 = 0 โ (๐ โ 1)2 = 0 โ ๐ = 1
Allez ร : Exercice 19 :
Correction exercice 20 :
On a
๐ธ(โ๐) โค โ๐ < ๐ธ(โ๐) + 1
Donc
โ๐ โ 1 < ๐ธ(โ๐) โค โ๐
On divise par โ๐ > 0
โ๐ โ 1
โ๐<๐ธ(โ๐)
โ๐โคโ๐
โ๐โ 1โ
1
โ๐<๐ธ(โ๐)
โ๐โค 1
Dโaprรจs le thรฉorรจme des gendarmes
lim๐โ+โ
๐ธ(โ๐)
โ๐= 1
Allez ร : Exercice 20 :
Correction exercice 21 :
1. Montrons par rรฉcurrence que โ๐ โฅ 0, 0 < ๐ข๐ < 1, cela montrer au passage que la suite ๐ข๐ est
bien dรฉfinie pour tout ๐ (en effet si ๐ข๐ โ [0,1] ๐ข๐+1 nโest pas dรฉfini.
๐ข0 โ ]0,1[, montrons maintenant que ๐ข๐ โ ]0,1[ entraine que ๐ข๐+1 โ ]0,1[
โ๐ โ โ, 0 < ๐ข๐ < 1 โ 0 < 1 โ ๐ข๐ < 1 โ 0 < โ1 โ ๐ข๐ < 1 โ 0 < 1 โ โ1 โ ๐ข๐ < 1
โ 0 <1
5(1 โ โ1 โ ๐ข๐) <
1
5โ 0 < ๐ข๐+1 < 1
Donc โ๐ โ โ, ๐ข๐ โ ]0,1[.
2. Nous allons employer la mรฉthode ยซ normale ยป
๐ข๐+1 โ ๐ข๐ =1
5(1 โ โ1 โ ๐ข๐) โ ๐ข๐ =
1
5โ ๐ข๐ โ
1
5โ1 โ ๐ข๐
=(15โ ๐ข๐ โ
15โ
1 โ ๐ข๐) (15โ ๐ข๐ +
15โ
1 โ ๐ข๐)
15 โ ๐ข๐ +
15โ1 โ ๐ข๐
=(15โ ๐ข๐)
2
โ125(1 โ ๐ข๐)
15 โ ๐ข๐ +
15โ1 โ ๐ข๐
=
125โ25๐ข๐ + ๐ข๐
2 โ125+125๐ข๐
15 โ ๐ข๐ +
15โ1 โ ๐ข๐
=๐ข๐2 โ
925๐ข๐
15 โ ๐ข๐ +
15โ1 โ ๐ข๐
=๐ข๐ (๐ข๐ โ
925)
15 โ ๐ข๐ +
15โ1 โ ๐ข๐
Et lร cela coince, au numรฉrateur, on connait bien le signe de ๐ข๐ mais pas celui de ๐ข๐ โ9
25 et au
dรฉnominateur, rien ne nous permet dโaffirmer que 1
5โ ๐ข๐ โฅ 0 (cela nous aurait arranger parce
que dans ce cas on aurait pu conclure que le dรฉnominateur est positif). Bref il doit y avoir un
ยซ truc ยป.
๐ข๐+1 =1
5(1 โ โ1 โ ๐ข๐) =
1
5
(1 โ โ1 โ ๐ข๐)(1 + โ1 โ ๐ข๐)
1 + โ1 โ ๐ข๐=1
5ร1 โ (1 โ ๐ข๐)
1 + โ1 โ ๐ข๐
=1
5ร
๐ข๐
1 + โ1 โ ๐ข๐<1
5ร
๐ข๐1 + 0
< ๐ข๐
Et voilร le travail, la suite (๐ข๐)๐โโ est dรฉcroissante.
3. La suite est dรฉcroissante et minorรฉe par 0 donc elle est convergente vers une limite ๐ qui vรฉrifie
๐ =1
5(1 โ โ1 โ ๐) โ 5๐ = 1 โ โ1 โ ๐ โ 5๐ โ 1 = โโ1 โ ๐
Maintenant on peut รฉlever au carrรฉ mais on nโaura quโune implication parce que rien ne garantit
que 5๐ โ 1 soit du mรชme signe que โโ1 โ ๐, cโest-ร -dire nรฉgatif (en fait si parce que ๐ข0 =1
5 et la
suite est dรฉcroissante donc ๐ <1
5, mettons que lโon ait rien vu).
(5๐ โ 1)2 = 1 โ ๐ โ 25๐2 โ 10๐ + 1 = 1 โ ๐ โ 25๐2 โ 9๐ = 0 โ 25๐ (๐ โ9
25) = 0
Il y a deux limites possibles, ๐ = 0 convient car 5 ร 0 โ 1 = โโ1 โ 0, par contre ๐ =9
25 ne
convient pas car 5 ร9
25โ 1 =
4
5 et โโ1 โ
9
25= โโ
16
25= โ
4
5
Finalement la suite est dรฉcroissante, minorรฉe par 0, elle converge vers la seule limite possible
๐ = 0.
Allez ร : Exercice 21 :
Correction exercice 22 :
1. On appelle (๐ป๐) 0 < ๐ข๐ < 1
(๐ป0) est vraie, il reste ร montrer que (๐ป๐) entraine (๐ป๐+1)
0 < ๐ข๐ < 1 โ 0 < ๐ข๐ + ๐ < ๐ + 1 โ 0 <๐ + ๐ข๐๐ + 1
< 1
Ce qui montre que 0 < ๐ข๐+1 < 1
2.
๐ข๐+1 โ ๐ข๐ =๐ + ๐ข๐๐ + 1
โ ๐ข๐ =๐ + ๐ข๐ โ (๐ + 1)๐ข๐
๐ + 1=๐ + ๐ข๐ โ ๐๐ข๐ โ ๐ข๐
๐ + 1=๐ โ ๐๐ข๐๐ + 1
=๐(1 โ ๐ข๐)
๐ + 1> 0
Car 1 โ ๐ข๐ > 0
Donc la suite (๐ข๐) est croissante.
3.
๐ข๐+1 โ 1 =๐ + ๐ข๐๐ + 1
โ 1 =๐ + ๐ข๐ โ ๐ โ 1
๐ + 1=๐ข๐ โ 1
๐ + 1
4. On appelle (๐ป๐) : ๐ข๐ = 1 +๐โ1
๐!
1 +๐ โ 1
0!= 1 + ๐ โ 1 = ๐ = ๐ข0
Donc (๐ป0) est vraie. Il reste ร montrer que (๐ป๐) entraine (๐ป๐+1)
๐ข๐+1 โ 1 =๐ข๐ โ 1
๐ + 1โ ๐ข๐+1 = 1 +
๐ข๐ โ 1
๐ + 1= 1 +
1 +๐ โ 1๐! โ 1
๐ + 1= 1 +
๐ โ 1๐!
๐ + 1= 1 +
๐ โ 1
(๐ + 1)๐!
= 1 +๐ โ 1
(๐ + 1)!
Ce qui montre (๐ป๐+1)
Allez ร : Exercice 22 :
Correction exercice 23 :
1. a) ๐๐ est dรฉfinie, continue et dรฉrivable ร dรฉrivรฉe continue sur [0,1].
๐๐โฒ(๐ฅ) = ๐๐ฅ๐โ1 โ 2(1 โ ๐ฅ)(โ1) = ๐๐ฅ๐โ1 + 2(1 โ ๐ฅ)
Pour ๐ฅ โ ]0,1[, ๐ฅ๐โ1 > 0 et 1 โ ๐ฅ > 0 donc ๐๐ est strictement croissante. On pourrait vรฉrifier
que ๐๐โฒ(0) > 0 et que ๐๐
โฒ(1) > 0 mais mรชme si ces dรฉrivรฉes avaient รฉtรฉ nulle cela nโaura pas
changer la conclusion.
b) ๐๐(0) = โ1 et ๐๐(1) = 1, dโaprรจs 1.a) ๐๐ est une bijection croissante de ]0,1[ sur ]โ1,1[,
donc 0 โ ]โ1,1[ admet un unique antรฉcรฉdent ๐ผ๐ โ ]0,1[, cโest-ร -dire tel que ๐๐(๐ผ๐) = 0.
c)
๐๐(๐ผ๐) = 0 โ ๐ผ๐๐ โ (1 โ ๐ผ๐)
2 = 0 โ ๐ผ๐๐ = (1 โ ๐ผ๐)
2
๐๐+1(๐ผ๐) = ๐ผ๐๐+1 โ (1 โ ๐ผ๐)
2 = ๐ผ๐๐+1 โ ๐ผ๐
๐ = ๐ผ๐๐(๐ผ๐ โ 1) < 0
Car ๐ผ๐๐ > 0 et 1 โ ๐ผ๐ < 0.
2. a) La fonction ๐๐+1 est une bijection croissante donc
0 = ๐๐+1(๐ผ๐+1) > ๐๐+1(๐ผ๐) โ ๐ผ๐+1 > ๐ผ๐
Par consรฉquent la suite (๐ผ๐)๐โโ est croissante.
b) la suite est croissante et majorรฉe par 1, donc elle converge.
c) i) La suite est croissante alors
0 < ๐ผ๐ โค ๐ผ
Cela entraine que
0 < ๐ผ๐๐ โค ๐ผ๐
Or, si 0 โค ๐ผ < 1 alors la limite de ๐ผ๐ est nulle, on en dรฉduit, dโaprรจs le thรฉorรจme des gendarmes
que
lim๐โ+โ
๐ผ๐๐ = 0
ii) On a vu au 1. c) que
๐๐(๐ผ๐) = 0 โ ๐ผ๐๐ = (1 โ ๐ผ๐)
2
Ce qui entraine, dโaprรจs 2. c) i) que
lim๐โ+โ
(1 โ ๐ผ๐)2 = 0
Autrement dit que
lim๐โ+โ
๐ผ๐ = 1
Ce qui signifie que ๐ผ = 1, (comme 0 < ๐ผ๐ < 1 et que (๐ผ๐)๐โ+โ admet une limite ๐ผ entraine
que 0 โค ๐ผ โค 1), il y a une contradiction avec lโhypothรจse ๐ผ < 1, par consรฉquent ๐ผ = 1.
Allez ร : Exercice 23 :
Correction exercice 24 :
๐ข๐ =โ1 +
1๐ โ 1
1๐
= ๐ (1
๐)
Avec
๐(๐ฅ) =โ1 + ๐ฅ โ 1
๐ฅ
Si ๐ admet une limite lorsque ๐ฅ โ 0, avec ๐ฅ โ 0 alors cette limite est la mรชme que celle de ๐ข๐.
Il sโagit dโune forme indรฉterminรฉe.
Premiรจre mรฉthode
Rรจgle de LโHospital, on pose
๐(๐ฅ) = โ1 + ๐ฅ โ 1 et โ(๐ฅ) = ๐ฅ
Alors
๐โฒ(๐ฅ) =1
2โ1 + ๐ฅ et โโฒ(๐ฅ) = 1
๐โฒ(๐ฅ)
โโฒ(๐ฅ)=
1
2โ1 + ๐ฅ
lim๐ฅโ0๐ฅโ 0
๐โฒ(๐ฅ)
โโฒ(๐ฅ)= lim๐ฅโ0๐ฅโ 0
1
2โ1 + ๐ฅ=1
2
On en dรฉduit que
lim๐ฅโ0๐ฅโ 0
โ1 + ๐ฅ โ 1
๐ฅ= lim๐ฅโ0๐ฅโ 0
๐โฒ(๐ฅ)
โโฒ(๐ฅ)=1
2
Et alors
lim๐โ+โ
๐ข๐ =1
2
Deuxiรจme mรฉthode
On pose
๐(๐ฅ) = โ1 + ๐ฅ
โ1 + ๐ฅ โ 1
๐ฅ=๐(๐ฅ) โ ๐(0)
๐ฅ โ 0
Il sโagit du taux de variation, en 0, de la fonction ๐, sa limite est ๐โฒ(0). Comme ๐โฒ(๐ฅ) =1
2โ1+๐ฅ :
lim๐ฅโ0๐ฅโ 0
โ1 + ๐ฅ โ 1
๐ฅ= ๐โฒ(0) =
1
2
Et alors
lim๐โ+โ
๐ข๐ =1
2
Troisiรจme mรฉthode
๐(โ1 +1
๐โ 1) = ๐
(โ1 +1๐ โ 1)(
โ1 +1๐ + 1)
โ1 +1๐ + 1
= ๐1 +
1๐ โ 1
โ1 +1๐ + 1
= ๐
1๐
โ1 +1๐ + 1
=1
โ1 +1๐ + 1
lim๐โ+โ
๐ข๐ = lim๐โ+โ
1
โ1 +1๐ + 1
=1
2
Allez ร : Exercice 24 :
Correction exercice 25 :
1.
๐ข๐+1 โ ๐ข๐ =1
๐ + 2+
1
๐ + 3+
1
๐ + 4+โฏ+
1
2๐+
1
2๐ + 1+
1
2๐ + 2
โ (1
๐ + 1+
1
๐ + 2+
1
๐ + 3+โฏ+
1
2๐) =
1
2๐ + 1+
1
2๐ + 2โ
1
๐ + 1
=2(๐ + 1) + 2๐ + 1 โ 2(2๐ + 1)
2(2๐ + 1)(๐ + 1)=
1
2(2๐ + 1)(๐ + 1)< 0
Donc la suite (๐ข๐)๐โโ est croissante.
2. โ๐ โ {1,2, โฆ , ๐} 1
2๐โค
1
๐ + ๐<
1
๐ + 1
Donc
1
2๐+โฏ+
1
2๐โ ร๐
โค1
๐ + 1+
1
๐ + 2+
1
๐ + 3+โฏ+
1
2๐<
1
๐ + 1+โฏ+
1
๐ + 1โ ร๐
Autrement dit ๐
2๐โค ๐ข๐ <
๐
๐ + 1
Ce qui entraine que
1
2โค ๐ข๐ < 1
La suite (๐ข๐)๐โโ est majorรฉe par 1 et croissante donc elle converge vers une limite ๐.
Et on a 1
2โค ๐ โค 1.
Allez ร : Exercice 25 :
Correction exercice 26 :
On va minorer ๐ข๐ par une suite qui tend vers +โ
โ๐ โ {1,โฆ , ๐}, 3 + |sin (๐)|โ๐ < 3 + โ๐ โค 3 + โ๐
Ce qui entraine que
โ๐ โ {1,โฆ , ๐},1
3 + |sin (๐)|โ๐โฅ
1
3 + โ๐
Donc
๐ข๐ โฅ1
3 + โ๐+โฏ+
1
3 + โ๐โ ร๐
=๐
3 + โ๐โ +โ
On en dรฉduit que
lim๐โ+โ
๐ข๐ = +โ
Allez ร : Exercice 26 :
Correction exercice 27 :
๐ข๐+1 โ ๐ข๐ = 4๐ข๐2 โ ๐ข๐ +
1
16
Transformons le polynรดme 4๐2 โ ๐ +1
16
Son discriminant est
ฮ = 1 โ 4 ร 4 ร1
16= 0
Donc, ร un coefficient prรจs, il sโagit dโune identitรฉ remarquable
4๐2 โ ๐ +1
16= 4 (๐2 โ
1
4๐ +
1
64) = 4(๐ โ
1
8)2
Alors
๐ข๐+1 โ ๐ข๐ = 4๐ข๐2 โ ๐ข๐ +
1
16= 4(๐ข๐ โ
1
8)2
โฅ 0
La suite (๐ข๐)๐โโ est croissante.
Montrons par rรฉcurrence quโelle est majorรฉe par 1
8.
Pour ๐ข0 = 0 cโest vrai. Montrons que ๐ข๐ <1
8 entraine que ๐ข๐+1 <
1
8.
๐ข๐+1 =1
16+ 4๐ข๐
2 <1
16+ 4 ร (
1
8)2
=1
16+4
64=1
16+1
16=1
8
Donc โ๐ โ โ, ๐ข๐ <1
8, (๐ข๐)๐โโ est croissante et majorรฉe par
1
8 donc elle converge vers une limite ๐ qui
vรฉrifie
๐ =1
16+ 4๐2 โ 4๐2 โ ๐ +
1
16= 0 โ 4(๐ โ
1
8)2
= 0 โ ๐ =1
8
(๐ข๐)๐โโ converge vers la seule limite possible 1
8.
Allez ร : Exercice 27 :
Correction exercice 28 :
1.
|(โ1)๐
๐+sin(๐2)
2| โค |
(โ1)๐
๐| + |
sin(๐2)
2| =
1
๐+ |sin(๐2)
2| โค
1
๐+1
2
La suite de terme gรฉnรฉral 1
๐ est dรฉcroissante et pour tout ๐ โฅ 5
1
๐โค1
5<1
4
Donc pour tout ๐ โฅ 5
|(โ1)๐
๐+sin(๐2)
2| โค
1
4+1
2=3
4
2. Pour tout ๐ โฅ 5
0 < ๐ข๐ โค (3
4)๐
โ 0
Donc dโaprรจs le thรฉorรจme des gendarmes :
lim๐โ+โ
๐ข๐ = 0
Allez ร : Exercice 28 :
Correction exercice 29 :
๐ข1 =1
3๐โ๐ข0 > 0
Montrons par rรฉcurrence que pour tout ๐ โฅ 1 que ๐ข๐ > 0
Pour ๐ = 1 cโest vrai. Montrons que ๐ข๐ > 0 entraine que ๐ข๐+1 > 0
๐ข๐+1 =๐
๐2 + 2๐โ๐ข๐ > 0
Cโest une grosse รฉvidence.
On en dรฉduit que pour tout ๐ โฅ 1
0 < ๐ข๐+1 =๐
๐2 + 2๐โ๐ข๐ <
๐
๐2 + 2
Comme
lim๐โ+โ
๐
๐2 + 2= 0
Dโaprรจs le thรฉorรจme des gendarmes
lim๐โ+โ
๐ข๐+1 = 0 โ lim๐โ+โ
๐ข๐ = 0
Allez ร : Exercice 29 :
Correction exercice 30 :
1.
๐ข๐+1 โ ๐ข๐ = โ3 + ๐๐ข๐
Pour montrer que (๐ข๐)๐โโ est dรฉcroissante il va falloir montrer que
โ3 + ๐๐ข๐ < 0 โ ๐๐ข๐ < 3 โ ๐ข๐ < ln(3)
Montrons cela par rรฉcurrence que ๐ข๐ < ln(3)
๐ < 3 โ ln(๐) < ln(3) โ ๐ข0 = 1 < ln(3) pour ๐ = 0 cโest vrai.
Montrons que ๐ข๐ < ln(3) entraine que ๐ข๐+1 < ln(3)
๐ข๐+1 = ๐ข๐ โ 3 + ๐๐ข๐ < ln(3) โ 3 + ๐ln(3) = ln(3) โ 3 + 3 = ln(3)
Donc pour tout ๐ โ โ, ๐ข๐ < ln(3)
Cela montre que ๐ข๐+1 โ ๐ข๐ < 0 et que la suite (๐ข๐)๐โโ est dรฉcroissante.
2. Si la suite (๐ข๐)๐โโ est convergente vers une limite ๐ alors
๐ = ๐ โ 3 + ๐๐ โ 0 = โ3 + ๐๐ โ ๐๐ = 3 โ ๐ = ln(3)
Or la suite (๐ข๐)๐โโ est dรฉcroissante et ๐ข0 < ln(3) donc elle ne peut pas converger vers ln(3).
3. La suite (๐ข๐)๐โโ est dรฉcroissante, si cette suite est minorรฉe, elle converge or ce nโest pas le cas,
donc elle nโest pas minorรฉe. Une suite dรฉcroissante et non minorรฉe tend vers โโ.
Allez ร : Exercice 30 :
Correction exercice 31 :
1. On pose (๐ป๐), ๐ข๐ > 1, (๐ป0) est vraie, il reste ร montrer que (๐ป๐) entraine (๐ป๐+1)
๐ข๐ > 1 โ ln(๐ข๐) > 0 โ ๐ข๐+1 = 1 + ln(๐ข๐) > 1
2.
โ๐ฅ โฅ 1, ๐โฒ(๐ฅ) =1
๐ฅโ 1 =
1 โ ๐ฅ
๐ฅโค 0
Car ๐ฅ โฅ 1
La fonction est strictement dรฉcroissante, de plus ๐(1) = ln(1) โ 1 + 1 = 0 donc pour tout ๐ฅ > 1,
๐(๐ฅ) < 0.
3.
๐ข๐+1 โ ๐ข๐ = 1 + ln(๐ข๐) โ ๐ข๐ = ๐(๐ข๐) < 0
Car pour tout ๐ โ โ, ๐ข๐ > 1. Ce qui montre que la suite (๐ข๐) est dรฉcroissante.
4. La suite est dรฉcroissante et minorรฉe par 1 donc elle converge vers ๐ โฅ 1 telle que
๐ = 1 + ln(๐) โ ๐(๐) = 0
Or pour tout ๐ฅ > 1 ๐(๐ฅ) < 0 et ๐(1) = 0 donc la seule limite possible est ๐ = 1.
Allez ร : Exercice 31 :
Correction exercice 32 :
1. Cโest faux, par exemple ๐ต = ]0,1] est minorรฉe, sa borne infรฉrieure est 0 et 0 โ ]0,1].
2. Cโest faux, par exemple la suite (๐ข๐)๐โฅ0 la suite de nombres rรฉels dรฉfinit par :
๐ข๐ = ๐ + (โ1)๐โ๐
En transformant ๐ข๐, pour ๐ > 0 :
๐ข๐ = ๐ (1 +(โ1)๐
โ๐)
Il est clair que
lim๐โ+โ
๐ข๐ = +โ
๐ข๐+1 โ ๐ข๐ = ๐ + 1 + (โ1)๐+1โ๐ + 1 โ (๐ + (โ1)๐โ๐) = 1 + (โ1)๐+1(โ๐ + โ๐ + 1)
Donc pour ๐ = 2๐, ๐ข2๐+1 < ๐ข2๐, ce qui montre que la suite nโest pas croissante mรชme ร partir dโun
certain rang. En fait la suite augmente entre ๐ข2๐โ1 et ๐ข2๐ et elle diminue un peu moins entre ๐ข2๐ et
๐ข2๐+1.
3. Une suite de Cauchy ร valeurs rรฉelle converge vers une limite ๐ donc
โ๐ > 0, โ๐ โ โ, โ๐ > ๐, |๐ข๐ โ ๐| < ๐
Prenons ๐ = 1 (nโimporte quelle valeur convient) alors |๐ข๐ โ ๐| < 1 ce qui รฉquivaut ร
โ๐ โ โ, โ๐ > ๐,โ1 < ๐ข๐ โ ๐ < 1
Ou encore ร
โ๐ โ โ, โ๐ > ๐, ๐ โ 1 < ๐ข๐ < ๐ + 1
Ensuite lโensemble {๐ข0, ๐ข1, โฆ , ๐ข๐} est un ensemble fini, il admet donc un minimum et un maximum,
notons les respectivement ๐ข๐0 et ๐ข๐1, ce qui signifie que
โ๐ โ {0,1,โฆ ,๐}, ๐ข๐0 โค ๐ข๐ โค ๐ข๐1
Par consรฉquent
โ๐ โ โ,min(๐ โ 1, ๐ข๐0) โค ๐ข๐ โค max(๐ + 1, ๐ข๐1)
Donc la suite (๐ข๐)๐โโ est bornรฉe.
Remarque : cela signifie nullement que lโensemble {๐ข๐, ๐ โ โ} admet un maximum et un minimum,
cela peut รชtre le cas ou pas.
4. On fait comme si on nโavait rien vu.
Commenรงons par รฉcrire ce que signifie :
lim๐โ+โ
|๐ข๐| = +โ
โ๐ด โ โ, โ๐ โ โ, โ๐ โ โ, ๐ > ๐ โ |๐ข๐| > ๐ด
Puis รฉcrivons la nรฉgation de cette proposition, attention, il y a un piรจge, la nรฉgation de
ยซ๐ > ๐, |๐ข๐| > ๐ด ยป est ยซ ๐ โค ๐ ou |๐ข๐| โค ๐ด ยป
โ๐ด โ โ, โ๐ โ โ, โ๐ โ โ, ๐ > ๐ et |๐ข๐| โค ๐ด (1)
Car la nรฉgation de (๐) โ (๐) est : (๐) et non(๐)
Lร , il ne faut pas sโenthousiasmer en se disant que |๐ข๐| โค ๐ด veut bien dire que (๐ข๐)๐โโ est bornรฉe.
Rappelons ce que signifie quโune suite est bornรฉe
โ๐ด โ โ, โ๐ โ โ, |๐ข๐| โค ๐ด (2)
Ou strictement infรฉrieure ร ๐ด si on veut.
Dans (1) il y a un ยซ โ๐ โ โ ยป et dans (2) il y a un ยซ โ๐ โ โ ยป, cela pose problรจme parce que lโon
ne voit pas bien comment on pourrait faire pour transformer le ยซ il existe ยป en ยซ pour tout ยป. Il y a
sans doute un truc que lโon a pas vu, et si la proposition 4 รฉtait fausse malgrรฉ les apparences
trompeuses. Si par exemple (๐ข๐)๐โโ admettait une sous-suite tendant vers lโinfini et que les autres
termes restent bornรฉs, on serait dans le cadre de la proposition 4 et pourtant la suite nโest pas bornรฉe,
donnons un exemple dโune telle suite : pour tout ๐ โ โ
๐ข2๐ = ๐ et ๐ข2๐+1 = 0
La limite de la suite (|๐ข๐|)๐โโ = (๐ข๐)๐โโ cette suite nโest pas +โ car il existe une sous-suite
constante (et รฉgale ร 0) et pourtant (๐ข๐)๐โโ nโest pas bornรฉe car il existe une sous-suite tendant vers
lโinfini. Et voilร !
Allez ร : Exercice 32 :
Correction exercice 33 :
On rappelle quโune suite (๐ข๐)๐โโ est une suite de Cauchy si elle vรฉrifie
โ๐ > 0, โ๐ โ โ, โ๐ โ โ, โ๐ โ โ,๐ โฅ ๐ โฅ ๐ โ |๐ข๐ โ ๐ข๐| < ๐
Ou encore
โ๐ > 0, โ๐ โ โ, โ๐ โ โ, โ๐ โ โ, ๐ โฅ ๐ et ๐ โฅ 0 โ |๐ข๐+๐ โ ๐ข๐| < ๐
Nions cette proposition
โ๐ > 0, โ๐ โ โ, โ๐ โ โ, โ๐ โ โ, ๐ โฅ ๐ et ๐ โฅ 0 et |๐ข๐+๐ โ ๐ข๐| > ๐ (1)
๐ข๐+๐ โ ๐ข๐ =1
2+1
3+ โฏ+
1
๐+
1
๐ + 1+โฏ+
1
๐ + ๐โ (
1
2+1
3+โฏ+
1
๐) =
1
๐ + 1+โฏ+
1
๐ + ๐
|๐ข๐+๐ โ ๐ข๐| =1
๐ + 1+โฏ+
1
๐ + ๐>
1
๐ + ๐+โฏ+
1
๐ + ๐โ ร๐
=๐
๐ + ๐
Ensuite on choisit ๐ de faรงon ร ce que |๐ข๐+๐ โ ๐ข๐| ne tende pas vers 0, ๐ = ๐ convient
Revenons ร (1), prenons ๐ =1
2, ๐ quelconque (ici il nโy a pas besoin dโen prendre un en particulier, cela
marche avec tous !) et ๐ = ๐, cela montre que (1) est vrai, autrement dit que (๐ข๐)๐โฅ2 nโest pas une suite
de Cauchy.
Malheureusement cela ne suffit pas pour montrer que (๐ข๐)๐โฅ2 tend vers lโinfini, par exemple la suite de
terme gรฉnรฉral (โ1)๐ nโest pas une suite de Cauchy et elle ne tend pas vers โ.
Il faut rajouter que la suite (๐ข๐)๐โฅ2 est croissante. Pour tout ๐ โฅ 2
๐ข๐+1 =1
2+1
3+โฏ+
1
๐+
1
๐ + 1= ๐ข๐ +
1
๐ + 1
Ce qui entraine que
๐ข๐+1 > ๐ข๐
La suite est croissante et elle nโest pas de Cauchy donc elle tend vers +โ.
Remarque :
Si ce rรฉsultat ne vous parait pas รฉvident, dรฉmontrons-le, nous savons que si
(๐ข๐)๐โฅ2 est croissante et majorรฉe alors elle converge, donc cโest une suite de Cauchy.
La contraposรฉe de cette phrase mathรฉmatique est
Si (๐ข๐)๐โฅ2 nโest pas de Cauchy alors elle nโest pas croissante ou elle nโest pas majorรฉe.
Comme elle est croissante, elle nโest pas majorรฉe.
Allez ร : Exercice 33 :
Correction exercice 34 :
1. Nous allons montrer que (๐ข๐)๐โฅ1 nโest pas une suite de Cauchy.
Pour montrer que la suite (๐ข๐)๐โฅ1 nโest pas une suite de Cauchy on va montrer
โ๐ > 0, โ๐ โ โ, โ๐ โ โ, โ๐ โ โ, ๐ โฅ ๐ et ๐ โฅ 0 et |๐ข๐+๐ โ ๐ข๐| > ๐ (1)
|๐ข๐+๐ โ ๐ข๐| = |1 +1
โ2+1
โ3+ โฏ+
1
โ๐+
1
โ๐ + 1+ โฏ+
1
โ๐ + ๐โ (1 +
1
โ2+1
โ3+โฏ+
1
โ๐)|
= |1
โ๐ + 1+โฏ+
1
โ๐ + ๐| =
1
โ๐ + 1+โฏ+
1
โ๐ + ๐>
1
โ๐ + ๐+ โฏ+
1
โ๐ + ๐โ ร๐
=๐
โ๐ + ๐
Ensuite on choisit ๐ de faรงon ร ce que |๐ข๐+๐ โ ๐ข๐| ne tende pas vers 0, ๐ = ๐ convient
|๐ข๐+๐ โ ๐ข๐| >๐
โ๐ + ๐= โ
๐
2>1
โ2
Revenons ร (1), prenons ๐ =1
โ2, ๐ quelconque (ici il nโy a pas besoin dโen prendre un en particulier,
cela marche avec tous !) et ๐ = ๐, cela montre que (1) est vrai, autrement dit que (๐ข๐)๐โฅ1 nโest pas une
suite de Cauchy. Par consรฉquent
lim๐โ+โ
๐ข๐ = +โ
2.
a)
โ๐ + 1 โ โ๐ =(โ๐ + 1 โ โ๐)(โ๐ + 1 + โ๐)
โ๐ + 1 + โ๐=
๐ + 1 โ ๐
โ๐ + 1 + โ๐=
1
โ๐ + 1 + โ๐
Dโautre part
โ๐ < โ๐ + 1 โ 2โ๐ < โ๐ + 1 + โ๐ < 2โ๐ + 1 โ1
2โ๐ + 1<
1
โ๐ + 1 + โ๐<
1
2โ๐
Ce qui entraine que
1
โ๐ + 1< 2(โ๐ + 1 โ โ๐) =
2
โ๐ + 1 + โ๐<1
โ๐
b) On applique le 2.a pour tout ๐ โ {1,2,โฆ , ๐}
Premiรจre mรฉthode 1
โ๐ + 1< 2(โ๐ + 1 โ โ๐) <
1
โ๐
1
โ1 + 1< 2(โ1 + 1 โ โ1) <
1
โ11
โ2 + 1< 2(โ2 + 1 โ โ2) <
1
โ2โฎ
1
โ(๐ โ 1) + 1< 2(โ(๐ โ 1) + 1 โ โ๐ โ 1) <
1
โ๐ โ 1
1
โ๐ + 1< 2(โ๐ + 1 โ โ๐) <
1
โ๐
Puis on fait la somme de ces ๐ lignes
๐ข๐ โ 1 +1
โ๐ + 1< 2(โ๐ + 1 โ โ1) < ๐ข๐
En simplifiant tous les termes qui se simplifient
Lโinรฉgalitรฉ de droite donne lโinรฉgalitรฉ de gauche demandรฉe 2(โ๐ + 1 โ โ1) < ๐ข๐
Et lโinรฉgalitรฉ de gauche
๐ข๐ โ 1 +1
โ๐ + 1< 2(โ๐ + 1 โ โ1) โ ๐ข๐ < 1 โ
1
โ๐ + 1+ 2โ๐ + 1 โ 2
=โ1 + 2(๐ + 1)
โ๐ + 1โ 1 =
2๐ + 1
โ๐ + 1โ 1
Il faudrait montrer que pour tout ๐ โ โ,
2๐ + 1
โ๐ + 1< 2โ๐ โ 2๐ + 1 < 2โ๐(๐ + 1) โ (2๐ + 1)2 < 4๐2 + 4๐
Seulement voilร , cโest faux !
Alors au lieu de faire la somme des ๐ premiรจres lignes on va faire la somme des ๐ โ 1
premiรจres lignes en ne gardant que lโinรฉgalitรฉ de gauche.
๐ข๐ โ 1 < 2(โ๐ โ 1)
Ce qui entraine que
๐ข๐ < 2โ๐ โ 1
Et voilร . On a bien pour tout ๐ โฅ 1.
2โ๐ + 1 โ 2 โค ๐ข๐ โค 2โ๐ โ 1
c) On divise ces inรฉgalitรฉs par โ๐
2โ๐ + 1 โ 2
โ๐โค๐ข๐
โ๐โค2โ๐ โ 1
โ๐
Ce qui entraine que
2โ๐ + 1
๐โ2
โ๐โค ๐ฃ๐ โค 2 โ
1
โ๐
Dโaprรจs le thรฉorรจme des gendarmes
lim๐โ+โ
๐ฃ๐ = 2
Allez ร : Exercice 34 :
Correction exercice 35 :
1. Pour ๐ = 1,
(๐ป1) โ๐ โ โ,1
(๐ + 1)2<1
๐โ
1
๐ + 1
Pour montrer cela on va calculer
1
๐โ
1
๐ + 1โ
1
(๐ + 1)2=(๐ + 1)2 โ ๐(๐ + 1) โ ๐
๐(๐ + 1)2=๐2 + 2๐ + 1 โ ๐2 โ ๐ โ ๐
๐(๐ + 1)2=
1
๐(๐ + 1)2> 0
Ce qui montre que
โ๐ โ โ,1
(๐ + 1)2<1
๐โ
1
๐ + 1
Montrons que (๐ป๐) entraine (๐ป๐+1)
1
(๐ + 1)2+โฏ+
1
(๐ + ๐)2+
1
(๐ + ๐ + 1)2<1
๐โ
1
๐ + ๐+
1
(๐ + ๐ + 1)2
Il faut montrer que cette expression est majorรฉe par
1
๐โ
1
๐ + ๐ + 1
Pour cela nous allons calculer la diffรฉrence
1
๐โ
1
๐ + ๐ + 1โ (
1
๐โ
1
๐ + ๐+
1
(๐ + ๐ + 1)2) = โ
1
๐ + ๐ + 1+
1
๐ + ๐โ
1
(๐ + ๐ + 1)2
=โ(๐ + ๐ + 1)(๐ + ๐) + (๐ + ๐ + 1)2 โ (๐ + ๐)
(๐ + ๐)(๐ + ๐ + 1)2
=(๐ + ๐ + 1)[โ(๐ + ๐) + (๐ + ๐ + 1)] โ (๐ + ๐)
(๐ + ๐)(๐ + ๐ + 1)2=(๐ + ๐ + 1) โ (๐ + ๐)
(๐ + ๐)(๐ + ๐ + 1)2
=1
(๐ + ๐)(๐ + ๐ + 1)2> 0
Donc
1
๐โ
1
๐ + ๐+
1
(๐ + ๐ + 1)2<1
๐โ
1
๐ + ๐ + 1
En fait on aurait pu utiliser (๐ป1) en changeant ๐ en (๐ + ๐)
Par consรฉquent
1
(๐ + 1)2+โฏ+
1
(๐ + ๐)2+
1
(๐ + ๐ + 1)2<1
๐โ
1
๐ + ๐ + 1
Ce qui montre que (๐ป๐) entraine (๐ป๐+1),
Et finalement
โ๐ โ โ, โ๐ โ โโ,1
(๐ + 1)2+โฏ+
1
(๐ + ๐)2<1
๐โ
1
๐ + ๐
2.
On rappelle que (๐ข๐)๐โฅ1 est une suite de Cauchy si
โ๐ > 0, โ๐ โ โ, โ๐ โ โ, โ๐ โ โ, ๐ โฅ ๐ et ๐ โฅ 0 โ |๐ข๐+๐ โ ๐ข๐| < ๐
On choisit un ๐ > 0 quelconque, et ๐ tel que 1
๐< ๐
Pour tout ๐ โ โ, ๐ โฅ ๐ et pour tout ๐ โ โ+
|๐ข๐+๐ โ ๐ข๐| = |1 +1
22+1
32+โฏ+
1
๐2+
1
(๐ + 1)2+โฏ+
1
(๐ + ๐)2โ (1 +
1
22+1
32+โฏ+
1
๐2)|
= |1
(๐ + 1)2+โฏ+
1
(๐ + ๐)2| =
1
(๐ + 1)2+โฏ+
1
(๐ + ๐)2โค1
๐โ
1
๐ + ๐<1
๐โค1
๐< ๐
Ce qui montre que cette est une suite de Cauchy, comme il sโagit dโune suite rรฉelle elle converge.
On verra en L2 que sa limite est ๐2
6.
Allez ร : Exercice 35 :