TUGAS 4KONDENSASI HELIUM MENURUT DISTRIBUSI BOSE-

EINSTEIN

Disusun Oleh :

1. Mohamad Itsnan

2. Mustofa Ali Yafi

3. Nurmalita Sari (K2311056)

4. Pratiwi Restu Murti (K2311061)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2014

Statistik Bose-Einstein

Pembicaraan berikut ini masih di sekitar partikelyang tak berinteraksi satu sama lain dan tunduk padaaturan kuantum. Kita akan menurunkan distribusistatistik untuk boson, suatu sistem yang momentumsudutnya merupakan kelipatan bilangan bulat dari dan juga tidak memenuhi larangan Pauli.

Dari kacamata mekanika statistik perbedaanmendasar antara sistem boson dan sistim klasik adalahbahwa dua buah boson identik dan tidak dapat dibedakan.Dalam sistem klasik, pertukaran dua sistem akanmenghasilkan susunan yang berbeda, sedangkan dalamsistem boson tidak. Perbedaan tersebut menyebabkanadanya hasil yang berbeda dalam perhitungan distribusienergi dengan peluang terbesar dalam sistem.

Perbedaan lain antara sistem kuantum dengan sistemklasik adalah sifat diskrit keadaan energi yangtersedia. Dalam statistik klasik, energi dibagi dalamtingkatan yang diskrit. Dalam kasus mekanika kuantumkeadaan energi diskrit tetap diperlukan denganmenganggap bahwa tiap keadaan yang tersedia menempativolume tertentu dalam sebuah ruang fase.

DISTRIBUSI BOSE-EINSTEIN

Metode perhitungan distribusi energi denganpeluang terbesar dalam sebuah assembly untuk partikelidentik seperti halnya boson sama dengan yang telahdilakukan untuk assembly klasik. Konfigurasi assemblytetap ditandai dengan pita energi s, mengandung gs

keadaan dengan selang energi antara dan ,mengandung sistem. Pembatasan tetap dilakukan padajumlah sistem yang ditempatkan dalam kaitannya denganenergi total E dan jumlah total sistem N melaluihubungan

Semarang yang akan hitung hádala jumlah susunanyang berbeda dari sistem apabila disebar dalamtingkatan energi. Oleh karena sistemnya tidak dapatdibedakan maka pertukaran dua sistem tidak akanmenghasilkan susunan yang baru.

Misalkan terdapat keadaan dari pita yangditunjukkan dengan kotak dalam gambar. Sejumlah sistem dapat disusun atau disebar diatara keadaan.Jika pengisian dimulai dari kiri. Jika pada sisi palingkiri ditempatkan sebuah sistem, maka pada sisiselanjutnya terdapat keadaan. Banyaknya caramemilih sistem adalah . Dan banyaknya caramenempatkan sistem diantara keadaan estelakeadaan pertama adalah !. Jadi banyaknyacara menempatkan sistem diantara keadaan adalah

!

Ingat bahwa sistemnya tak terbedakan, sehinggabanyaknya susunan yang berbeda dari sistem denganjumlah pita s adalah :

Penyusunan sistem dalam suatu pita tak bergantung padapenyusunan sistem lain dalam pita yang lain. Tetapikita dapat menyatukan susunan-susunan tersebut untukmembentuk assembly, dengan bobot W yangkonfiguarasinya merupakan perkalian jumlah susunanberbeda dari masing-masing sistem. Jadi

Seperti halnya dalam statistik Maxwell-Bolzmann,konfigurasi dengan peluang terbesar dapat ditentukandengan mencari nilai yang memberikan nilai maksimumuntuk W. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakanmetode pengali tak tentu Lagrange

Oleh karena pada nilai maksimum persamaan di atas tetap berlaku untuk semua nilai yang kecil, maka nilai yang ada dalam tanda kurung harus sama dengan noluntuk setiap harga . Jadi

Kita asumsikan bahwa nilia dan cukup besaruntuk memungkinkan kita menggunakan pendekatanStriling, sehingga dapat ditulis

Dari persamaan di atas diperoleh

Oleh karena dan jauh lebih besar dari pada satu,maka :

Substitusi persamaan 4.7 ke dalam persamaan 4.5 diperoleh

Jadi

yang secara umum dikenal dengan distribusi Bose-Einstein untuk assembly boson. Seperti hasil yangdiperoleh dalam Bab sebelumnya .

GAS BOSE-EINSTEIN

Jika molekul gas yang dibicarakan memilikimomentum sudut dalam satuan maka gas tersebutdikategorikan sebagai boson dan memenuhi aturanstatistik Bose-Einstein. Distribusi molekul gasterhadap pita-pita energi dengan harga bervariasimemenuhi persamaan 4.9

Oleh karena setiap keadaan yang diizinkan beradadalam volume pada ruang fase, maka bobot suatu pitayang berada dalam volume dalam ruang fase

Jumlah keadaan energi yang tersedia dalam interval energi dan dalam ruang dengan volume V adalah

dimana menyatakan rapat keadaan.Jumlah molekul yang memiliki energi dalam interval

dan dalam ruang dengan volume V adalah

Nilai A dalam persamaan di atas dapat dicari melaluihubungan

RADIASI BENDA HITAM

Radiasi gelombang elektromagnetik yang beradadalam suatu temperatur sekeliling konstan T dapatdipandang sebagai assembly foton dengan energibervariasi. Oleh karena foton memiliki momentum sudutdalam satuan , maka secara alami berperilakuseperti boson dan distribusi energinya mengikutidistribusi statistik Bose-Einstein. Namun terdapatbeberapa hal yang perlu diperhatikan, sebagai berikut :

(i). Karena foton dapat dipancarkan dan diserap kembalioleh dinding di sekitarnya, maka jumlah foton di dalamruang tidak tetap (menentu). Pembatasan atau

tidak berlaku lagi dan pengali sama dengannol (dalam hal ini A = ).

(ii). Energi tiap foton adalah , dimana adalahfrekwensi radiasi, oleh karena itu lebih mudah kitanyatakan energi sebagai fungsi frekwensi atau panjanggelombang foton. Jumlah modus gelombang yang independendengan panjang gelombang berada diantara dan adalah per satuan volume dalam ruang. Olehkarena foton memiliki dua arah polarisasi, makamodusnya dikali dua. Jadi jumlah keadaan yang diizinkanatau modus dalam interval dan adalah

persatuan volume dimana adalah rapat keadaan yang dinayatakan sebagai fungsi panjang gelombang. Jadi

jumlah foton dalam suatu pita energi pada temperatur adalah

Jumlah foton dengan panjang gelombang diantara dan diperoleh dengan jalan mensubstitusi dengan serta menyatakan . Jadi

c adalah kelajuan cahaya.Distribusi spektrum energi gas foton dapat

dinayatakan dalam bentuk , yakni energi yangdiradiasi persatuan volume persatuan panjang gelombangpada panjang gelombang . Karena ,maka energi radiasi dalam interval panjang gelombangtersebut adalah

Persamaan di atas dikenal dengan Hukum Radiasi Planckuntuk spektrum energi radiasi dalam suatu ruangbertemperatur sekeliling T. Bentuk kurva sebagaifungsi panjang gelombang ditunjukkan pada gambar.

Beberapa hasil eksperimen, pengamatan maupun teoriyang diungkapkan para ahli memiliki kaitan dan ternyatacocok dengan hukum ini.

(a). Ungkapan dalam bentuk adalahsesuai dengan apa yang diramalkan oleh Wien dalam HukumRadiasi Wien berdasarkan teori termodinamika.

(b). Pada nilai panjang gelombang yang cukup besar,dimana persamaan 4.21 dapatdireduksi menjadi

yang cocok dengan rumus Rayleigh-Jeans klasik yangditurunkan dari asumsi bahwa tiap fotonmemiliki energi osilator harmonik klasik sebesar .

(c). Pada panjang gelombang yang pendek, yaknimaka persamaan 4.21 menjadi

1/Panjang Gelombang (

tak lain adalah Rumus Distribusi Wien yang secaraempiris merupakan hasil eksperimen pada daerah denganpanjang gelombang yang pendek. (d). Jika sebuah lubang kecil dibuat di pada sisidimana di sekitarnya bertemperatur konstan, energielektromagnetik akan dipancarkan keluar dari sisi. Dariteori kinetik diketahui bahwa jika gas mengandungsejumlah molekul per satuan volume, jumlah molekulyang menumbuk pada satu satuan luas per satuan waktuadalah , dimana adalah kecepatan rata-ratamolekul. Jumlah foton yang dipancarkan dengan panjanggelombang diantara dan per satuan luas lubangper satuan waktu adalah

Dengan menggunakan persamaan 4.20, maka

Energi yang dipancarkan per satuan luas per satuanwaktu dalam interval panjang gelombang tertentu adalahenergi tiap foton dikalikan jumlah foton yang dapat ditulis dengan

(e). Energi total E per satuan volume diperoleh denganmegintegrasi persamaan 4.21 ke seluruh jangkauanpanjang gelombang

=

dalam hal ini . Nilai sehingga :

yang sama dengan rapat energi yang dinayatakan olehhukum Stefan-Boltzmann.

Hukum Stefan-Boltzmann dalam bentuk energi yangdiradiasi per satuan luas per satuan waktu dari bendabertemperatur mutlak T adalah

dalam hal ini adalah tetapan Stefan. Ungkapan ini dapat diperoleh dengan mengintegrasi langsung persamaan4.25 atau mengalikan persamaan 4.28 dengan , sehingadiperoleh