Formulario Final Diseños parte 1-2 sin corregir

MODELOS DE REGRESIÓN

1- Modelo nulo: yi = β0 + ei (Ecuación general) y i=¿ β0 (Ecuación predictiva)

Estimación de los parámetros del modeloVariable dependiente:

Parámetro BError Típico t P > │t│

IC 95 %Inferior Superior

Intersección β0 σ β0 t < 0.05 Li Ls

t = β0

σ β0

β0= t σ β0 σ β0 = β0

t

Análisis de la Varianza del modeloVariable dependiente:Fuente SC tipo III Gl MC F PModelo 0 0 0 . .Residual SCR N-p-1 MCR= SCR / glPTotal SCT = SCR N-1

Ajuste global (absoluto): SR = √MCR Ajuste global (relativo): R2 = SCM/SCT

2- Regresión Lineal Simple: yi = β0 + β1 X1 + ei (Ec.general) y i = β0 + β1X1 (Ec.predictiva)




Intersección β0 σ β0 t < 0.05 Li LsX1 β1 σ β1 t < 0.05 Li Ls

t = βσ β

β= t σ β σ β = βt

Análisis de Varianza del ModeloVariable dependiente:Fuente SC tipo III Gl MC F PModelo SCM 1 MCM=SCM/1 MCM / MCR <0.05X1 SC X1 1 SC X1 / 1 MC X1 / MCR <0.05Residual SCR N-p-1 MCR=SCR / glRTotal SCT = SCR + SCM N-1 MCT=SCT/N-1R2 = SCM/SCT = 1- [SCR/SCT] R2

aj= 1 – [MCR/MCT]

SCR = SCT – SCM, SCT = ∑ y2, SCM = ∑ (xy)2 / ∑ x2, (t)2 = F (con 1 gl num.), p = nº predictores“Rechácese la H0 si F obs. > F crítica”Ajuste global absoluto: SR = √MCRAjuste global relativo: R2 = SCM/SCT = 1- [SCR/SCT] o bien R2

aj= 1 – [MCR/MCT]

Formulario Diseños Investigación elaborado por Guillermo Moñino Frutos (curso 2010-2011)

Cálculo de F mediante coeficiente de determinación: F=RY μ

2 /glM(1−RY μ

2 )/ glR

3- Regresión Lineal Múltiple (p ≥ 2): yi = β0 + β1 x1 + β2 x2 + ei (Ecuación general)

y i= β0 + β1 x1 + β2 x2 (Ecuación predictiva)




Intersección β0 σ β0 t < 0.05 Li LsX1 β1 σ β1 t < 0.05 Li LsX2 β2 σ β2 t < 0.05 Li Ls

t = βσ β


Análisis de Varianza del modeloVariable dependiente:Fuente SC tipo III Gl MC F PModelo SCM p SCM/glM MCM / MCR <0.05X1 SCX1 1 SCX1 / 1 MCX1 / MCR <0.05X2 SCX2 1 SCX2 / 1 MCX2 / MCR <0.05Residual SCR N-p-1 SCR / glRTotal SCT = SCR + SCM N-1 MCT=SCT/N-1R2 = SCM/SCT = 1- [SCR/SCT] R2

aj= 1 – [MCR/MCT]

SCR = SCT – SCM, SCT = ∑ y2, SCM = ∑ (xy)2 / ∑ x2, p = nº predictores“Rechácese la H0 si F obs. > F crítica”Ajuste global absoluto: SR = √MCRAjuste global relativo: R2 = SCM/SCT = 1- [SCR/SCT]

R2aj= 1 – [MCR/MCT]

Ajuste relativo de cada componente: Δ R2 = SC componente / SCT

Coeficientes estandarizados (para cada Xj): β¿ = β √∑x

2

√∑ y2= βsxs y

Ajuste Condicional: Comparación de modelos.

Modelo 1: Y = B0 + B1 X1

Modelo 2: Y = B0 + B1 X1 + B2 X2

Modelo SCR glR Δ SCR Δ gl F p1 SCR1 glR1

2 SCR2 glR2 SCR1 – SCR2 glR1 – glR2

Δ SCRΔglSCR 2glR 2

< 0.05

2


Se acepta Modelo 1 (más simple) si las diferencias entre modelos no son significativas ( P < .05); en caso contrario se acepta Modelo 2 (más complejo)

Estimación pendiente de regresión: β1=b1=√RY μ(SY2 /SX2 )

Estimación intercepción: β0=b0= y− β1 x

4- Modelos de Regresión con Predictores Categóricos:

4.1- Codificación tipo Regresión: y=¿ β0 + β1 [grupo=A] + β2 [grupo=B]

CÓDIGOS Variable: Ngrupo=A grupo=B Medias Varianzas

CATE

GO

RÍAS A 1 0 Y A S2

A n

B 0 1 Y B S2B n

C 0 0 Y C S2C n

Total Restricción: Ck = 0 Y T S2T N




Intersección Y C σ β0 t < 0.05 Li Lsgrupo=A Y A - Y C σ β1 t < 0.05 Li Lsgrupo=B Y B - Y C σ β2 t < 0.05 Li Ls

t = βσ β


β = Li+Ls

2

Análisis de Varianza del modeloVariable dependiente:Fuente SC tipo I Gl MC F PModelo SCM a - 1 SCM/glM MCM / MCR <0.05grupo=A SC gA 1 SCgA / 1 MCgA / MCR <0.05grupo=B SC gB 1 SCgB / 1 MCgB / MCR <0.05Residual SCR N-a-1 =

a(n-1) SCR / glR

Total SCT = SCR + SCM N-1 MCT = SCT/N-1R2 = SCM/SCT = 1- [SCR/SCT] R2

aj= 1 – [MCR/MCT]

SCR = SCT – SCM SCT = ∑ y2 SCM = ∑ (xy)2 / ∑ x2 (t)2 = F“Rechácese la H0 si F obs. > F crítica”

3


Ajuste global absoluto: SR = √MCRAjuste global relativo: R2 = SCM/SCT = 1- [SCR/SCT]



4.2- Codificación tipo ANOVA:

CÓDIGOS Variable: Ngrupo=A grupo=B Medias Varianzas

CATE

GO

RÍAS A 1 0 Y A S2

A n

B 0 1 Y B S2B n

C -1 -1 Y C S2C n

Total Restricción: ∑ Cj = 0 Y T S2T N




Intersección Y T σ β0 t < 0.05 Li Lsgrupo=A Y A - Y T σ β1 t < 0.05 Li Lsgrupo=B Y B - Y T σ β2 t < 0.05 Li Ls

MODELO: Variable dependiente = y + (yA - y ) [grupo=A] + ( yB - y) [grupo=B]

Análisis de Varianza del modeloVariable dependiente:Fuente SC tipo I Gl MC F PModelo SCM a - 1 SCM/glM MCM / MCR <0.05grupo=A SCgA 1 SCgA / 1 MC NA / MCR <0.05grupo=B SCgB 1 SCgB / 1 MC NB / MCR <0.05Residual SCR N-a MCR = SCR / glRTotal SCT = SCR + SCM N-1 MCT = SCT/N-1R2 = SCM/SCT = 1- [SCR/SCT] R2

aj= 1 – [MCR/MCT]

SCR = SCT – SCM SCT = ∑ y2 SCM = ∑ (xy)2 / ∑ x2 a = nº categorías (A,B,C)“Rechácese la H0 si F obs. > F crítica”Ajuste global absoluto: SR = √MCR

4


Ajuste global relativo: R2 = SCM/SCT = 1- [SCR/SCT] R2

aj= 1 – [MCR/MCT]Ajuste relativo de cada componente: Δ R2 = SC componente / SCT

4.3- Codificación Polinómica Ortogonal (L=Pol.Lineal, Q=Pol.Cuadrático, C=Pol.cúbico)

Si se no muestran, los códigos se consultan en la TABLA HCÓDIGOS Productos

CruzadosVariable: NL Q Medias Varianzas

CATE

GO

RÍAS A -1 1 -1 Y A S2

A n

B 0 -2 0 Y B S2B n

C 1 1 1 Y C S2C n

Total ∑cj = 0 ∑cjcj´ = 0 Y T S2T N

Restricciones: ∑Cj = 0; ∑CjCj´ = 0; Número de códigos requerido: nº niveles factor - 1Modelo: μi = β0 + β1L + β2Q




Intersección Y Tσ β0 t < 0.05 Li Ls

L (Lineal) β1 σ β1 t < 0.05 Li LsQ (Cuadrático) β2 σ β2 t < 0.05 Li Ls

β contraste L = -1Y A + 0 Y B + 1 Y C /√∑ c j2 (∑ c j

2es la SC de los códigos)

β contraste Q = 1Y A -2Y B + 1 Y C /√∑ c j2 (∑ c j

2es la SC de los códigos)

Análisis de Varianza del modelo (Análisis de TENDENCIAS)Variable dependiente:Fuente SC tipo I gl MC F PModelo SCM a - 1 SCM/glM MCM / MCR <0.05Contr. Lineal SC L 1 SC L / 1 MC L / MCR <0.05Contr. Cuadrático SC Q 1 SC Q / 1 MC Q / MCR <0.05Residual SCR N-a SCR / glR

5


Total SCT = SCR + SCM N-1 Ajustar hasta que todo contraste tenga p < 0.05

R2 = SCM/SCT = 1- [SCR/SCT] R2aj= 1 – [MCR/MCT]

SCL=¿n β contraste L

SCQ=¿n β contraste Q

Ajuste global absoluto: SR = √MCRAjuste global relativo: R2 = SCM/SCT = 1- [SCR/SCT]



5- Multicolinealidad:

a. Detección de la multicolinealidad a partir de las SC tipo I:El orden de entrada determina la magnitud de las SCLa ∑ SC de cada componente = SCM

b. Detección de la multicolinealidad a partir de las SC tipo III:El orden de entrada no determina la magnitud de las SCLa ∑ SC de cada componente ≠ SCM

5.1- Índice de Tolerancia (TOL):

TOL = MCR

(n−1 )S j2 ¿¿

S j2 = Varianza predictor j ; SE j = Error Típico del predictor j

TOL ≤ 0.10 = Multicolinealidad grave (se presenta sesgo e ineficiencia en la estimación de los parámetros)

TOL > 0.10 = Multicolinealidad tolerable (los parámetros no presentan sesgo y son relativamente eficientes)

5.2- Factor de Inflación de la Varianza (FIV):

FIV = 1TOL

FIV ≥ 10 = Multicolinealidad grave (sesgo e ineficiencia parámetros)

FIV <10 = Multicolinealidad tolerable

5.3- Correlación parcial y semiparcial

6


rY 1.2=rY 1−rY 2 r12

√1−rY 22 √1−r 12

2 (correlación parcial)

rY (1.2)=rY 1−rY 2 r12

√1−r122 (correlación semiparcial)

rY (1.2)2 =ΔR j

2 (Incremento coeficiente determinación predictor j)

MODELOS ANOVA/ANCOVA DE EFECTOS FIJOS

1- ANOVA un factor: yij = μ + αj + eij (Ecuación general) y= μ + αj (Ecuación predictiva) Efecto de tratamiento (factor A): α j=Y j−Y

Análisis DescriptivoFactor A Media Suma Varianza nNivel a1 a1 ∑a1 σ2a1 n réplicasNivel a2 a2 ∑a2 σ2a2 n réplicasNivel a3 a3 ∑a3 σ2a3 n réplicas

… a… ∑a… σ2a… N

Análisis de Varianza del modeloVariable dependiente:Fuente SC tipo III gl MC F PModelo SCM a-1 SCM/glM MCM / MCR <0.05

Residual SCR a (n-1) SCR / glR

Total SCT = SCR + SCM an-1“Rechácese Ho si Fobs ≥ F crítica

1.1-Esperanzas de las medias cuadráticas:

E(MCA) = E(MCM) = σ2e + nθ2

A (observa que (a−1)a

θ2A = δ 2

A)

E(MCR) = σ2e

1.2-Magnitud del efecto/asociación:1.2.1- Estimador sesgado: η2

A = SCA / SCT1.2.2- Estimador insesgado:

7


ω2A = SCA−(a−1 )(MCR)SCT+MCR =

(a−1)(F−1)(a .1)(F−1)+na

(no recomendado)

δ 2A =

(a−1 )(MCA−MCR)N

o bien δ 2A =

(a−1)a

MCA−MCRn

σ T2= δ2

A + σ2e (varianza total)

ω2A = δ 2

A / σ2T (magnitud efecto A)

Si ω2A≥.05(pequeña),ω2

A≥.10 (moderada), ω2A≥.25 (importante)

1.3-Parámetro de NO CENTRALIDAD y potencia: λ A = SCA / MCR (parámetro de no centralidad)

Si ϕA > 0.75 (potencia aceptable)

La potencia se determina en la tabla G, con grados de libertad de numerador y denominador de la razón F y parámetro de no centralidad λA

1.4-Ajuste condicional:

Modelo 1: y= 1 (solo intercepción)Modelo 2: y = 1 + α (intercepción y factor)Modelo SCR glR Δ SCR Δ gl F p

1 SCR 1 glR 1

2 SCR 2 glR 2 SCR 1 – SCR 2 glR 1 – glR 2


< 0.05

SCR (Modelo Nulo) = SCT (ANOVA un factor)glR (Modelo Nulo) = glT (ANOVA un factor)

1.5-Supuesto de Normalidad:

Kolmogorov – Smirnov; N > 50 Shaphiro – Wilk; N <= 50Estadístico gl p Estadístico gl p

A >.05 >.05H0: Normalidad H0: Normalidad

1.6-Supuesto de Homoscedasticidad:

Prueba de Levene F gl1 gl2 p>FBasado en la media >.05Basado en la mediana >.05

H0: Homoscedasticidad

Si no hay prueba de Levene, pero se aportan las varianzas, se aplica la prueba Fmax de Hartley:8


Fmax = σmayor

2

σmenor2

Decisión: Rechácese la Ho homogeneidad si F observada ≥ F crítica con los grados de libertad de modelo y residual.

2. ANOVA dos factores (Efectos Fijos)

2.1- Modelo: yijkl = μ + αj + βk + (αβ)jk + eijk (modelo interactivo o no aditivo)

Tabla básica de 2 factores con Efectos FijosFuentes de Variación

Suma de Cuadrados

Grados de Libertad

Medias Cuadráticas Razón F

A SCA (a – 1) MCA MCA / MCRB SCB (b – 1) MCB MCB / MCR

AB SCAB (a – 1)(b – 1) MCAB MCAB / MCRResidual SCR ab (n – 1) MCR

Total SCT abn - 1N = abn glT = N – 1 gl M = glA + glB + glAB = (ab – 1)

2.2- Esperanzas de las Medias Cuadráticas:

E (MCA) = σ2e + nbθ2

A θ2A = ∑ α2/(a−1)

E (MCB) = σ2e + naθ2

B θ2B = ∑ β2 /(b−1)

E (MCAB) = σ2e + nθ2

AB θ2AB = ∑ (αβ )2/(a−1)(b−1)

E (MCR) = σ2e

2.3- Estimación de las varianzas de los componentes del modelo:

δ 2A =


9


δ 2B =

(b−1)(MCB−MCR)N

δ 2AB =

(a−1 )(b−1)(MCAB−MCR)N

σ2R = MCR

σ2T = Varianza total (Suma de las varianzas de todos los componentes)

2.4- Cálculo de las razones F:

FA = MCA / MCR FB = MCB / MCR FAB = MCAB / MCR

2.5- Tabla Resumen de Resultados:

Análisis de Varianza del ModeloVariable dependiente:Fuente SC tipo III gl MC F P

Modelo SCM glT - glR SCM/gl M MCM / MCR <0.05

A SCA a-1 MCA MCA / MCR <0.05

B SCB b-1 MCB MCB / MCR <0.05

AB SCAB (a-1)(b-1) MCAB MCAB / MCR <0.05

Residual SCR ab (n-1) MCR=SCR / gl R

Total SCT = SCR + SCM abn-1 MCT


Modelo 1: y = 1 + A + B (aditivo)Modelo 2: y= 1 + A + B + AB (interactivo)Modelo SCR glR Δ SCR Δ gl F p

1 SCR 1 glR 1



< 0.05

2.7-Tamaño del efecto:2.7.1- Estimador sesgado: η2

A = SCA / SCT; η2B = SCB / SCT; η2

AB = SCAB / SCT2.7.2- Estimador insesgado:

ω2A = SCA−( (a−1 )(MCR))

SCT+MCR (no recomendado) ω2

A = δ 2A / σ2

T (recomendable)

ω2B = SCB−((b−1 )(MCR))

SCT+MCR (no recomendado) ω2

B = δ 2B / σ2

T (recomendable)

10


ω2AB = SCAB−¿¿ (no recomendado) ω2

AB = δ 2AB / σ2

T (recomendable)

2.8-Parámetro de NO CENTRALIDAD: λ A = SC efecto / MCR (para cada efecto factorial)

ϕA > 0.75 (potencia aceptable)2.9-Supuesto de Normalidad:

Kolmogorov – Smirnov; n>50 Shapiro – Wilk; n<=50Estadístico gl p Estadístico gl p

A >.05 >.05B >.05 >.05

H0: Normalidad H0: Normalidad

2.10- Supuesto de Homoscedasticidad:Prueba de Levene F gl1 gl2 p>FBasado en la media >.05Basado en la mediana >.05

H0: Homoscedasticidad

Si no hay prueba de Levene, pero se aportan las varianzas, se aplica la prueba Fmax de Hartley:

Fmax = σmayor

2

σmenor2

Rechácese Ho homogeneidad si F observada ≥ F crítica con grados de libertad de modelo y residual.

3. ANOVA con más de dos factores (Efectos Fijos)

Análisis de Varianza del ModeloVariable dependiente:Fuente SC tipo III gl MC F PModelo SCM glM = glT - glR MCM MCM / MCR <0.05

A SCA a-1 MCA MCA / MCR <0.05

B SCB b-1 MCB MCB / MCR <0.05

C SCC c-1 MCC MCC / MCR <0.05

AB SCAB (a-1)(b-1) MCAB MCAB / MCR <0.05

AC SCAC (a-1)(c-1) MCAC MCAC / MCR <0.05

BC SCBC (b-1)(c-1) MCBC MCBC / MCR <0.05

ABC SCABC (a-1)(b-1)(c-1) MCABC MCABC / MCR <0.05

Residual SCR abc (n-1) MCR

Total SCT = SCR + SCM abcn-1 = N - 1

11


- Parámetro de NO CENTRALIDAD: λ A = SC efecto / MCR (para cada efecto factorial)

- Pruebas de Rango:

Procedimiento Niveles del Factor NSubconjunto para α = .05

1 2HSD TUKEY a1 n XXX

XXX XXXXXX

a2 na3 n

Probabilidad P > 0.05 P > 0.05SCHEFFE a1 n XXX

XXX XXXXXX

a2 na3 n

Probabilidad P > 0.05 P > 0.05

Número de combinaciones posibles entre pares de medias: m!

n! (m−n ) !

4. MODELOS ANCOVA

Solución 1 -> Estrategia de análisis de Milliken y Johnson:

Paso 1: Hipótesis de pendientes nulas (modelo incompleto sin intercepción)

Comprobar significación interacción factor x covariante en tabla sin la covariante.

Si se acepta hipótesis, se aplica modelo ANOVA; en caso contrario, se aplica paso 2.

Paso 2: Hipótesis de pendientes homogéneas o paralelas (modelo completo con intercepción)

Comprobar significación interacción factor x covariante en tabla completa.

Si se acepta hipótesis, se aplica modelo ANCOVA; en caso contrario, se aplica el

modelo ANCOVA con pendientes heterogéneas (técnica de Neyman-Johnson).

Paso 3: Interpretación del ANCOVA (modelo aditivo con factor y covariante). Solamente

12


se interpreta en el modelo ANCOVA el factor (y opcionalmente la covariante).

Después se obtienen las medias ajustadas si el número de niveles es mayor de 2.

Solución 2 -> Estrategia de ajuste condicional

Paso 1 – prueba de pendientes nulas (modelo incompleto sin intercepción)

Modelo 1:Y = -1 + AModelo 2:Y = -1 + A + AXModelo SCR glR Δ SCR Δgl F p

1 SCR 1 glR 1



< 0.05

Paso 2 – prueba de pendientes homogéneas/paralelas (modelo completo con intercepción)

Modelo 3:Y = 1+ A + XModelo 4:Y = 1 + A + X + AXModelo SCR glR Δ SCR Δgl F p

3 SCR 1 glR 1



> 0.05

Cálculo de las medias ajustadas: yaj= y j−bR( x j−x ), donde bR es la pendiente de regresión común.

MODELOS ANOVA EFECTOS ALEATORIOS Y MIXTOS

4. ANOVA un factor, Efectos Aleatorios

4.1- Modelo: yij = μ + aj + eij

4.2- Hipótesis: H0: σ2a = 0; H1: σ2

a ≠ 0

Análisis DescriptivoFactor A Media Suma VarianzaNivel a1 a1 ∑a1 σ2a1 RéplicasNivel a2 a2 ∑a2 σ2a2 RéplicasNivel a3 a3 ∑a3 σ2a3 Réplicas

… a… ∑a… σ2a… N

Análisis de Varianza del ModeloVariable dependiente:

13


Fuente SC tipo III gl MC F PModelo SCM a-1 SCM/glM MCM / MCR <0.05

Residual SCR a (n-1) SCR / glRa

Total SCT = SCR + SCM an-1a A pié de tabla se indican las MC correspondientes al denominador de la razón F

4.3-Esperanza de las medias cuadráticas:

E(MCA) = E(MCM) = σ2e + n σ2

a

E(MCR) = σ2e

4.4-Estimación de los componentes de la varianza:

σ 2a = a(MCA−MCR)

N σ 2

e = MCR σ 2T = σ 2

a + σ 2e

4.5-Tamaño del efecto:4.5.1- Correlación Intraclase: ρA = σ2

a / σ2T

4.5.2- Correlación Intraclase (estimación): RAI = σ 2

a / σ 2+ σ 2e

4.6-Parámetro de No Centralidad: λ A = SC efecto / MC denominador razón F del efecto


Modelo 1: y = 1Modelo 2: y = 1 + aModelo SCR glR Δ SCR Δ gl F p

1 SCR1 glR1

2 SCR2 glR2 SCR1 – SCR2 glR1 – glR2


< 0.05

SCR (Modelo Nulo) = SCT (ANOVA 1F)glR (Modelo Nulo) = glT (ANOVA 1F)

4.8-Supuesto de Normalidad:

Kolmogorov – Smirnov; n>50 Shaphiro – Wilk; n<=50Estadístico gl p Estadístico gl p

A >.05 >.05H0: Normalidad H0: Normalidad

4.9-Supuesto de Homoscedasticidad:

Prueba de Levene F gl1 gl2 p>FBasado en la media >.05

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Basado en la mediana >.05H0: Homoscedasticidad

Nota. Si no se aporta prueba de Levene, pero se conocen las varianzas de cada nivel de factor, puede aplicarse la prueba Fmax de Hartley.

5. ANOVA factorial, dos factores con efectos aleatorios

5.1- Modelo II: yijk = μ + aj + bk + (ab)jk + eijk

5.2- Planteamiento de las hipótesis y construcción de las razones F:H0: σ2

a = 0 H0: σ2b = 0 H0: σ2

ab = 0H1: σ2

a ≠ 0 H1: σ2b ≠ 0 H1: σ2

ab ≠ 0FA = MCA / MCABFB = MCB / MCAB FAB = MCAB / MCR

5.3- Componentes de la Varianza:- Varianza Residual: σ2

e σ 2e = MCR

- Varianza Efectos Tratamiento A: σ2a σ 2

a = a(MCA – MCAB) / N- Varianza Efectos Tratamiento B: σ2

b σ 2b = b(MCB – MCAB) / N

- Varianza Efectos Interactivos: σ2ab σ 2

ab = ab(MCAB – MCR) / N- Varianza Total: σ2

T = σ2a + σ2

b + σ2ab + σ2

e

- Fórmula general σ 2i = niveles i (Numerador Razón F – Denominador Razón F) / N

5.4- Esperanza de las Medias Cuadráticas:- E (MCA) = σ2

e + n σ2ab + nb σ2

a

- E (MCB) = σ2e + n σ2

ab + na σ2b

- E (MC AB) = σ2e + n σ2

ab

- E (MCR) = σ2e

Análisis de Varianza del ModeloVariable dependiente:Fuente SC tipo III gl MC F P

Modelo SCM glA + glB + glAB SCM/glM MCM / MCR <0.05

A SCA a-1 MCA MCA / MC a <0.05

B SCB b-1 MCB MCB / MC a <0.05

AB SCAB (a-1)(b-1) MCAB MCAB / MC b <0.05

Residual SCR glT - glM SCR / glR

Total SCT = SCR + SCM N-1

15


a MCAB b MCR“Rechácese Ho si Fobs ≥ F críticaSi no se aporta información a pié de tabla, calcular E(MC) según algoritmo desarrollado más abajo

5.5- Correlación Intraclase (proporción de varianza explicada)

RAI = σ 2

a / σ 2T

RBI = σ 2

b / σ 2T

RABI = σ 2

ab / σ 2T

5.6- Parámetro de No Centralidad:

λ = SC efecto / MC denominador razón F (para cada efecto)

5.7- Pruebas de normalidad y de homogeneidad de las varianzas igual que en el caso general

6. ANOVA factorial, tres factores efectos mixtos (asumiendo A y C fijos y B aleatorio)

6.1- Modelo III: yijkl = μ + αj + bk + ϒl + (αb)jk + (αϒ)jl + (bϒ)kl +(αbϒ)jkl + eijkl

6.2- Efectos del modelo:

EFECTO TIPO EFECTO TIPO EFECTO TIPOA Fijo AB Aleatorio ABC AleatorioB Aleatorio AC Fijo Error Residual AleatorioC Fijo BC Aleatorio

6.3- Cálculo de razones F cuando hay más de un factor:

F efecto = MC del efectoque sequiere probar

MC /sque depende /n de lasesperanzas de lasmedias cuadráticasdelmodelo

Algunas salidas SPSS aportan a pié de tabla la/s MC/s del denominador

6.3.1- Aproximación de Satterthwaite para calcular los gl denominador de una razón cuasi-F:

gl2 = (Componentes del denominador de larazón F )2

∑ (cadacomponentedel denominador )2

gl del componente

16


p.ej, siendo FA = MCA

MCAB+MCAC−MC ABC glA2 =

(MCAB+MCAC−MC ABC)2

MCAB2

(a−1 )(b−1)+ MCAC 2

(a−1 )(c−1)+ MCABC2

(a−1 ) (b−1 )(c−1)

6.4- Cálculo de los componentes de la varianza:

δ 2A =

(a−1 )(MCA−MCAB)N

= gl(Numerador – Denominador RazónF)

N

σ 2b = b(MCB –MCAB –MCBC+MCABC )

N = niveles (Numerador – Denominador RazónF )

N

δ 2C ¿

(c−1 )(MCA−MCAB)N

= gl(Numerador – Denominador RazónF)

N

σ 2Ab = ab(MCAB –MCABC )

N = producto deniveles (Numerador – Denominador RazónF )

N

δ 2AC =

(a−1 )(c−1)(MCAC−MCABC )N

= gl(Num.−Den. RazónF)

N

σ 2bC = bc (MCBC−MCABC )

N = producto deniveles (Num.−Den .RazónF )

N

σ 2AbC =

abc (MCABC−MCR)N

= producto deniveles (Num.−Den .RazónF )

N

σ 2e = MCR

6.5- Tamaño del efecto o proporción de varianza explicada:

RBI = σ 2

b / σ 2T

ω2A = δ 2

A / σ2T

ω2C = δ 2

C / σ2T

ω2AC = δ 2

AC / σ2T

RABI = σ 2

Ab / σ 2T

RBCI = σ 2

bC / σ 2T

RABCI = σ 2

AbC / σ 2T

17


6.6- Parámetros necesarios para estimar el modelo de efectos mixtos.

Regla general: un efecto fijo requiere tantos parámetros como número de niveles tenga el efecto menos uno; un efecto aleatorio en cambio requiere solo un parámetro.

NIVELES TIPO PARÁMETRO NIVELES TIPO PARÁMETRO NIVELES TIPO PARÁMETROIntercepción constante 1 AB aleatorio 1 ABC aleatorio 1

A fijo a-1 AC fijo (a-1)(c-1) Residual aleatorio 1B aleatorio 1 BC aleatorio 1C fijo c-1

6.7- Esperanzas de las medias cuadráticas modelos ANOVA de dos factores

ESPERANZAS DE LAS MEDIAS CUADRÁTICAS EN ANOVA DE 2 FACTORESMODELO I MODELO II MODELO III (no restrictivo)A y B fijos A y B aleatorios A fijo; B aleatorio A aleatorio; B fijo

E (MCA) σ2e + nbθ2

α σ2e + n σ2

ab + nb σ2a σ2

e + n σ2ab + nb θ2

α σ2e + n σ2

ab + nb σ2a

E (MCB) σ2e + naθ2

β σ2e + n σ2

ab + na σ2b σ2

e + + n σ2ab + na σ2

b σ2e + n σ2

ab + na θ2β

E (MC AB) σ2e + nθ2

αβ σ2e + n σ2

ab σ2e + n σ2

ab σ2e + n σ2

ab

E (MCR) σ2e σ2

e σ2e σ2

e

RAZONES F APROPIADAS PARA MODELOS ANOVA CON DOS FACTORESMODELO I MODELO II MODELO III no restrictivoA y B = EF A y B = EA A = EF; B = EA A = EA; B = EF

FA MCA / MCR MCA / MC AB MCA / MC AB MCA / MCAB

FB MCB / MCR MCB / MC AB MCB / MCAB MCB / MC AB

FAB MC AB / MCR MC AB / MCR MC AB / MCR MC AB / MCR

CÁLCULO DE LOS GRADOS DE LIBERTAD (ejemplo: 3 factores)glA (a-1) glAB (a-1)(b-1) glABC (a-1)(b-1)(c-1)

glB (b-1) glAC (a-1)(c-1) glR abc (n-1)

glC (c-1) glBC (b-1)(c-1) glT abcn - 1

Algoritmo para calcular las E(MC) en cualquier modelo con efectos aleatorios o mixtos

1) Especifica todas las fuentes de variación del modelo y determina para cada una si es un componente fijo o aleatorio

2) Incluye para todas las fuentes de variación el componente común σ2e

3) Incluye para cada fuente (excepto el Error residual) su componente específico4) Comenzando con la primera fuente de variación, incluye como componente adicional todos aquellos

componentes específicos de fuentes jerárquicamente superiores que incluyan la fuente objeto de prueba y sean aleatorios.

5) Continuar con la segunda y siguientes fuentes hasta agotar todas las fuentes de variación del modelo.

DISEÑOS COMPLETAMENTE ALEATORIOS (DCA)18


Estructura de los tratamientos – sencilla (1 factor) o factorial (2 o más factores)

Estructura del control – experimental mediante aleatorización completa

Estructura del error – única (un tamaño de unidad experimental)

1) DCA sencillo equilibrado: yij = μ + αj + eij

Fuentes de variación Notación Grados de LibertadModelo a - 1

A A (a – 1 )Residual S(A) a(n-1)

Total an – 1 = N - 1 Nota: Modelo y Total NO SON fuentes de variación naturales

2) DCA factorial equilibrado yijk = μ + αj + βk + (αβ)jk + eijk

Fuentes de variación Notación Grados de LibertadModelo ab - 1

A A (a – 1 )B B (b – 1)

AxB AB (a-1)(b-1)Residual S(AB) ab(n-1)

Total abn – 1 = N - 1

Componentes de la varianza (asumiendo A fijo y B aleatorio)

δ 2A =


= gl(Num.−Denom.Razón F)

N


N = nº niveles(Num.−Denom .Razón F)

N

σ 2Ab = ab(MCAB –MCABC )

N = nº niveles(Num.−Denom .Razón F)

N

δ 2AC =

(a−1 )(c−1)(MCAC−MCABC )N

= gl(Num.−Denom.Razón F)

N

Tamaño del efecto:

RBI = σ 2

b / σ 2T

ω2α = δ 2

α / σ2T

3) DCA no equilibrado

SC tipo I ≠ SC tipo III (multicolinealidad) y se plantean problemas de interpretación si la naturaleza de las réplicas perdidas no son imputables al azar. En un DCA no equilibrado no suele aplicarse el principio de marginalidad, pero sí es posible el ajuste condicional de modelos. También puede simplificarse buscando componentes de la tabla susceptibles de eliminación. Pero solo es posible aplicar esta simplificación cuando UN efecto principal y TODAS sus interacciones asociadas no sean estadísticamente significativos.

19


DISEÑOS JERÁRQUICOS (DJE)

Estructura de los tratamientos – factorial (2 o más factores)Estructura del control – experimental mediante aleatorización completa

Estructura del error – múltiple (dos o más tamaños de unidad experimental)

1) DJE sencillo equilibrado: B(A) yijk = μ + αj + bk(j) + eijk

Componentes de la varianza (se asume A fijo y B aleatorio)

δ 2A =



N


N = nº niveles(Num.−Den. RazónF )

N

σ 2b(A) =

ab(MCB (A )–MCABC )N

= nº niveles(Num.−Den. RazónF )

N

Tamaño del efecto:

RB(A)I = σ 2

b(A) / σ 2T

ω2A = δ 2

A / σ2T

2) DJE no equilibrado

Fuentes de variación Grados de LibertadModelo nº efectos factoriales – 1

A a – 1B(A) ab - a

Residual - S[B(A)] ó S(A,B) N - abTotal N-1

20

Fuentes de variación Grados de Libertad E(MC); A fijo y B aleatorioModelo (ab-1)

A (a – 1 ) σ2e + nbθ2

A + nσ2B(A)

B(A) a(b-1) σ2e + nσ2

B(A)

Residual [S(B(A)) ó S(A,B)] ab(n-1) σ2e

Total abn - 1 = N - 1


DISEÑO DE BLOQUES ALEATORIOS (DBA)

Estructura de los tratamientos – sencilla (1 factor) o factorial (2 o más factores)Estructura del control/diseño – experimental mediante aleatorización restringida (bloqueo)


1) DBA no replicado, un factor de tratamiento y un factor de clasificación (que se asume aleatorio)

yjk = μ + αj + bk + ejk

Fuentes de variación SC Grados de Libertad E(MC); A fijo E(MC); A aleatorioTratamientos SCA (a – 1 ) σ2

e + bθ2A σ2

e + bσ2A

Bloques (B) SCB (b - 1) σ2e + aθ2

B σ2e + aθ2

B

Residual SCR (a -1)(b-1) σ2e σ2

e

Total SCT ab - 1

2) DBA no replicado, dos factores de tratamiento y un factor de clasificación (que se asume aleatorio)

yjk = μ + αj + βk + (αβ)jk + ϒl + ejkl

Fuentes de variación SC Grados de Libertad E(MC); A y B fijo A fijo; B aleatorioFactor A SCA (a – 1) σ2

e + bcθ2A σ2

e + bcσ2A + cσ2

AB

Factor B SCB (b - 1) σ2e + acθ2

B σ2e + acσ2

B

Interacción AB SCAB (a – 1)(b - 1) σ2e + cθAB σ2

e + cσ2AB

Bloques (C) SCC (c – 1) σ2e + ab σ2

C σ2e + ab σ2

C

Residual SCR (ab – 1)(c – 1) σ2e σ2

e

Total SCT N - 1

3) DBA replicado, dos factores de tratamiento y un factor de clasificación

yijk = μ + αj + βk + (αβ)jk + ϒl + eijkl

Fuentes de variación SC Grados de LibertadFactor A SCA (a – 1)Factor B SCB (b - 1)

Interacción AB SCAB (a – 1)(b - 1)Bloques (C) SCC (c – 1)

Residual SCR (ab-1)(c-1) =abcn – ab – c + 1

Total SCT N – 1 = abcn – 1

21


4) Este principio puede generalizarse con facilidad a DBA replicados y no replicados con 2 o más factores de tratamiento y 2 o más factores de clasificación.

Componentes de la varianza DBA factorial no replicado (asumiendo bloques aleatorios)

δ 2A =


δ 2B =

(b−1)(MCB– MCR)N

δ 2AB =


σ 2c = c (MCC –MCR)

N

Tamaño del efecto:RC

I = σ 2c / σ 2

T

ω2A = δ 2

A / σ2T

ω2B = δ 2

B / σ2T

ω2AB = δ 2

AB / σ2T

Suma Cuadrados No Aditividad (ajuste condicional)

SCNA = [∑k βk∑ jY jk α j ]

2

(∑k βk2 ) (∑ jα j2 )

SCNA = (Suma1 º)2

¿¿ (véase tabla esquema de cálculo)

Tabla del esquema de cálculo del componente de No Aditividad

a1 a2 a3 Medias βk βk2 ∑ jY jkα j βk∑jY jkα j

b1

b2

b3

Medias Suma 2º Suma 1ºα jα j

2 Suma 3º

Ajuste condicional prueba de no aditividad:

Modelo 1: A + BModelo 2: A + B + NA

22


Modelo SCR glR ΔSCR ΔglR F P1 SCR (Modelo1) glR (Modelo 1)

2 SCR (Modelo1) – SCNA glR (Modelo 1) - 1 SCNA 1 > .05

Decisión: Si la prueba no es significativa se acepta hipótesis de no aditividad.

DISEÑO CON VARIABLES CONCOMITANTES (DVC)

Estructura de los tratamientos – sencilla (1 factor) o factorial (2 factores)Estructura del control/diseño – estadístico, con 1 variable concomitante


1) DISEÑO SENCILLO CON UNA VARIABLE CONCOMITANTEyij = μ + αj + β x + eij (modelo ANCOVA con un factor) Ajuste mediante estrategia de Milliken y Johnson o bien mediante ajuste condicional.Paso 1: Rechazo hipótesis de pendientes nulas.Paso 2: Aceptación hipótesis de pendientes homogéneas/paralelas.Paso 3: Análisis e interpretación del modelo ANCOVA

Fuentes de variación SC Grados de LibertadFactor A SCA a - 1

Covariante (X) SCX 1Residual SCR an - a - 1

Total SCT N – 1 = an – 1

Cálculo medias de factor ajustadas: yaj= y j−bR( x j−x )Potencia efecto de tratamiento: λ = SC efecto factorial / MC Residual (para cada efecto)

Consultar tabla G para evaluar la potencia observadaEn general, el DVC es mejor que el DBA equivalente cuando la relación entre covariante y variable de respuesta está dentro del rango 0.60-0.80. Si está dentro del rango 0.45-0.59 es DBA es usualmente mejor que el DVC. Si la relación entre covariante y variable de respuesta es menor de 0.45, la covariante puede resultar irrelevante y entonces es más viable el DCA sencillo.

2) DISEÑO FACTORIAL CON UNA VARIABLE CONCOMITANTEyijk = μ + αj + βk + αβjk + γ x + eijk (modelo ANCOVA con dos factores)Para cada factor, ajuste mediante estrategia de Milliken y Johnson o mediante ajuste condicional.Paso 1: Rechazo hipótesis de pendientes nulas.Paso 2: Aceptación hipótesis de pendientes homogéneas/paralelas.Paso 3: Análisis e interpretación del modelo ANCOVA (similar al modelo ANCOVA sencillo)

Fuentes de variación SC Grados de LibertadFactor A SCA a - 1Factor B SCB b - 1

Interacción AB SCAB (a-1)(b-1)Covariante (X) SCX 1

Residual SCR abn - ab - 1Total SCT N – 1 = abn – 1

23


Nota: El modelo ANCOVA propiamente dicho (sencillo o factorial) requiere factores de tratamiento, pero muchas investigaciones utilizan en su lugar uno o más factores de clasificación.

DISEÑO DE MEDIDAS TOTALMENTE REPETIDAS (DMTR)

Estructura de los tratamientos – sencilla (1 factor) o factorial (2 o más factores)Estructura del control/diseño – experimental mediante control intrasujeto (bloqueo intrasujeto)

Estructura del error – múltiple (más de un tamaño de unidad experimental)

1) DMTR SENCILLO (DMTR: [f]; u) - ENFOQUE UNIVARIANTE (asume esfericidad/simetría compuesta)

Modelo: Yij = μ + si + αj + eij (ET = μ + αj ; EC = si ; EE = si y eij )

Fuentes de variación SC Grados de

LibertadE(MC)aditivo

E(MC)no aditivo Razón F

A SCA (a – 1) σ2e + nθ2

A σ2e + σ2

As + nθ2A MCA/MCR

S SCS (n - 1) σ2e + aσ2

s σ2e + σ2

As + aσ2s No tiene interés

AS (Residual) SCR (a – 1)(n – 1) σ2e σ2

e + σ2As

Total SCT an - 1

Prueba de Tukey de no aditividad (se asume conocida SCNA) para probar supuesto de no interacción:

F= SCNA /1SCR−SCNA /(glR−1)

Se consulta tabla F con 1 y (a-1)(n-1)-1 grados de libertad.

Si P > 0.05 se concluye que el modelo es aditivo y el supuesto de no interacción se acepta.

Componentes de la varianza

σ2e = MCR

σ2S = n(MCS−MCR)

N (distinción entre n = nº sujetos y N = nº observaciones)

Representación alternativa de la tabla ANOVA:

Fuente SC tipo III gl MC F pModelo SCM MCM

IntersujetosS(Sujetos) SCS n-1 MCS No tiene interés sustantivo

IntrasujetosA SCA a-1 MCA MCA/MCR

Residual SCR (a – 1)(n – 1) MCRTotal SCT N - 1

24


Matriz de Simetría Compuesta (asumiendo un factor con tres niveles)

VSC = [ σ 12 σ 12 σ13

σ21 σ22 σ23

σ31 σ 32 σ 32 ]

donde: σ 12= σ 2

2=σ32=σ S

2+σe2 y σ12= σ 13=σ23=σS

2 (triángulo superior igual al inferior por simetría)

VSC = [σe2+σ S

2 σ S2 σ S

2

σS2 σe

2+σ S2 σ S

2

σS2 σ S

2 σ e2+σS

2] VSC = (σ2e + σ2

S )[1 ρ ρρ 1 ρρ ρ 1 ] donde ρ =

σS2

σe2+σ S

2

Componentes de la varianza (asumiendo A fijo):

δ 2α =



N

Tamaño del efecto:

ω2A = δ 2

A / σ2T

2) DMTR [A]: ENFOQUE MULTIVARIANTE

Criterio Valor F gl num gl den P > FTraza de Pillai gl del factor INTRASUJETO n – a

Lambda de Wilks gl del factor INTRASUJETO n – aTraza de Hotelling gl del factor INTRASUJETO n – aRaiz mayor de Roy gl del factor INTRASUJETO n – a

Cada criterio mide el efecto factorial del diseño, pero su interpretación es muy compleja (utilizar F en su lugar)

Efecto intrasujetos

W de Mauchly

Chi cuadrado

aprox.gl P

Epsilon (ε )Greenhouse

– Geisser Huynh–Feld Límite Inferior

a(a−1)2

−1 GG HF LI

Si X2aprox > X2

crítico, P<0.05 No se asume esfericidad Si X2aprox < X2

crítico, p>0.05 Se asume esfericidad

25


Fuente SC tipo III gl MC F pEsfericidad asumida gl del factor INTRASUJETOGreenhouse-Geisser gl del factor INTRASUJETO x GG

Huynh-Feldt gl del factor INTRASUJETO x HFLímite Inferior gl del factor INTRASUJETO x LI

Análisis de tendencias (se analiza/n únicamente la/s tendencia/s significativa/s)Fuentes de variación SC tipo III gl MC F p

Factor ALineal (a – 1)

Cuadrático (a – 1)Cúbico (a – 1)

ResidualLineal a(n – 1)

Cuadrático a(n – 1)Cúbico a(n – 1)

3) DMTR [A]: ENFOQUE MIXTO con matriz de covarianzas de SIMETRÍA COMPUESTA

Efectos Niveles Estructura de Covarianza Parámetros Variables

Sujetos Sujetos

FijosIntersección 1 1

Factor A a (a – 1)Repetidos a Simetría

Compuesta 2 Sujetos nFactor A

Total 1 + a + a 1 + (a – 1) + 2

Criterios de información Valor-2 log de la verosimilitud (desv. residual) …Criterio AIC Mejor

cuanto más pequeño

… otros criteriosCriterio BIC

Efectos FijosOrigen gl num gl den F pIntersección 1 glS (Tabla resumen ANOVA)Factor A (a – 1) glR (Tabla resumen ANOVA)

Efectos AleatoriosOrigen Estimación Error TípicoMedidas Repetidas

Varianza SC σ2e = MCR

Covarianza SC σ2S

Matriz de Simetría Compuesta (Suponiendo un factor con tres niveles)

26


VSC = [ σ 12 σ 12 σ13

σ21 σ22 σ23

σ31 σ 32 σ 32 ]

donde: σ 12= σ 2

2=σ32=σ S

2+σe2 y σ12= σ 13=σ23=σS

2 (triángulo superior igual al inferior por simetría)

VSC = [σe2+σ S

2 σ S2 σ S

2

σS2 σe

2+σ S2 σ S

2

σS2 σ S

2 σ e2+σS

2] VSC = (σ2e + σ2

S )[1 ρ ρρ 1 ρρ ρ 1 ] de donde ρ =

σS2

σe2+σ S

2

Componentes de la varianza (véase tabla de Efectos Aleatorios)

Tamaño del efecto:

ω2A = δ 2

A / σ2T

4) DMTR [A]: ENFOQUE MIXTO con matriz de covarianzas SIN ESTRUCTURA

Efectos NivelesEstructura

de Covarianza

Parámetros Variables Sujetos Sujetos

FijosInteracción 1 1

Factor A a (a – 1)Repetidos Sin

Estructuraa(a+1)

2Sujetos nFactor A a

Total 1 + a + a Suma parámetros

Criterios de información Valor-2 log de la verosimilitud (desv. residual) …Criterio AIC Mejor cuanto

más pequeñoCriterio BIC

Efectos AleatoriosOrigen Estimación Error Típico

27

Efectos FijosOrigen gl num gl den F pIntersección 1 dependeFactor A (a – 1) depende


Medidas Repetidas

SE (1, 1)SE (2, 1)SE (2, 2)SE (3, 1)SE (3, 2)SE (3, 3)

Valores concretos de la Matriz

MATRIZ SIN ESTRUCTURA (SE) (Requiere a(a+1)

2 parámetros)

VSE = [ σ 12 σ 12 σ13

σ21 σ22 σ23

σ31 σ 32 σ 32 ]

Tamaño del efecto factor intrasujeto A:

ω2A = δ 2

A / σ2T

Ajuste condicional de modelos:Modelo 1: DMTR con matriz de simetría compuestaModelo 2: DMTR con matriz sin estructuraModelo Desvianza Nº parámetros Test ΔD ΔglR X2 p

1 -2 log de la verosimilitud restringida

Parámetros de la matriz de covarianzas

2 -2 log de la verosimilitud restringida

Parámetros de la matriz de covarianzas 1 vs 2 (+) (+)

P < α: modelo 2 (el más amplio); p > α: modelo 1 (el más parsimonioso)

5) Generalización del DMTR a más de un factor intrasujetos.

5.1 Dos factores intrasujeto: DMTR [AB]

Modelo: yij = μ + si + αj + βk + αβjk + eij (ET = μ + αj + βk + αβjk ; EC = si ; EE = si y eij )

Fuentes devariación SC gl E(MC)

(1) A,B fijosE(MC)

(2) A fijo, B aleatorioRazón F

(2)A SCA (a – 1) σ2

e + nbθ2A σ2

e + nσ 2αb + nbθ2

A MCA/MCABB SCB (b – 1) σ2

e + naθ2B σ2

e + nσ 2αb + naσ2

B MCB/MCABAB SCAB (a – 1) (b – 1) σ2

e + nθ2AB σ2

e + nσ2αb MCAB/MCR

S SCS (n - 1) σ2e + abσ2

S σ2e + abσ2

S

ABS (Residual) SCR (ab – 1)(n – 1) σ2e σ2

e

Total SCT abn – 1 = N - 1

Prueba de no aditividad de Tukey (asumiendo SCNA conocida) para probar supuesto de no interacción

28


F= SCNA /1SCR−SCNA /(glR−1)

Consultar tabla F con 1 y (ab-1)(n-1)-1 grados de libertad.

Si P > 0.05 se concluye que el modelo es aditivo y se acepta el supuesto de no interacción. Las E(MC) de la tabla ANOVA anterior asumen que el supuesto de no interacción se ha aceptado.

5.2 Tres factores intrasujeto: DMTR [ABC]

Modelo: yijkl = μ + si + αj + βk + ϒl + (αβ)jk + (αϒ)jl + (βϒ)kl +(αβϒ)jkl + eijkl

ET = μ + αj + βk + ϒl + (αβ)jk + (αϒ)jl + (βϒ)kl +(αβϒ)jkl ; EC = si ; EE = si y eijkl

Se procede con todos los efectos factoriales, de forma similar al anterior, pasando de 5 fuentes de variación del DMTR con 2 factores a 9 fuentes de variación del DMTR con 3 factores.

DISEÑO DE MEDIDAS PARCIALMENTE REPETIDAS (DMPR)

Caso 1: DMPR con 1 factor intersujetos y 1 factor intrasujeto

Modelos posibles (factor A intersujetos y factor B intrasujetos):

No aditivo (interacción significativa): Yijk = μ + si(j) + αj + βk + (αβ)jk + eijk

Aditivo (Interacción no significativa): Yijk = μ + si(j) + αj + βk + eijk

Si factor intersujeto es No Significativo (DMTR): Yijk = μ + si(j) + βk + eijk

Si factor intrasujeto es No Significativo (DCA): Yijk = μ + si(j) + αj + eijk

Si ningún factor es significativo (modelo nulo): Yijk = μ + eijk

Asumiendo modelo no aditivo (prueba de no aditividad no significativa):

ET = μ + αj + βk + (αβ)jk; EC = Experimental con bloqueo intrasujeto, término si(j); EE = si(j) + eij

Notación DMPR: niveles inter x [niveles intra]; u

1) DMPR A[B], ENFOQUE UNIVARIANTE


Libertad E(MC) Razón F

A SCA (a – 1) σ2e + bσ2

S(A) + nbθ2A MCA/MCS(A)

IntersujetosS(A) (σ2

S) SCS(A) a(n - 1) σ2e + bσ2

S(A)

B SCB (b – 1) σ2e + naθ2

B MCB/MCR

Intrasujeto A x B SCAB (a – 1)(b – 1) σ2e + nθ2

AB MCAB/MCR

B x S(A) (σ2e)

SCBxS(A) a(b – 1)(n – 1) σ2

e

29


σ2e = MCR σ2

S = n(MCS−MCR)

N donde n = nº sujetos y N = nº observaciones

Fuentes SC tipo III gl MC F pModelo SCM (N – 1)- glR MCM

IntersujetosA SCA (a – 1) MCA MCA/MCS(A) < .05

S(A) SCS a(n – 1) MCS(A)Intrasujetos

BAB

SCBSCAB

(b – 1)(a – 1)(b – 1)

MCBMCAB

MCB/MCRMCAB/MCR

< .05<.05

Residual SCR a(b – 1)(n – 1) MCRTotal SCT N - 1

Componentes de la varianza: (válido para los tres enfoques)

δ 2A =

(a−1 )(MCA−MCS(A))N

δ 2B =

(a−1 )(MCB−MCR)N

δ 2AB =


Tamaño del efecto:

ω2A = δ 2

A / σ2T ω2

B = δ 2B / σ2

T ω2AB = δ 2

AB / σ2T

2) DMPR A[B], ENFOQUE MULTIVARIANTETabla 1: Criterios multivariantesEfecto Valor F gl num gl den p B Traza de Pillai

gl del factor intrasujetos Los gl del

denominadoren ambos casos son:

n – glA - glAB

Lambda de WilksTraza de Hoteling

Raíz Mayor de RoyA x B Traza de Pillai

gl de la interacción

Lambda de WilksTraza de Hoteling

Raíz Mayor de Roy

Tabla 2: Prueba de esfericidad (factor intrasujetos)

Efecto intrasujetos

W de Mauchly

Chi cuadrado aproximado gl P

Epsilon (ε )Geisser-

Greenhouse Huynh-Feld Límite Inferior

30


B X2aprox

b(b−1)2

−1 >.05 GG HF LI

Si X2aprox > X2

crítico, P < 0.05, no se asume esfericidad Si X2aprox < X2

crítico, P > 0.05, se asume esfericidad

Tabla 3: ANOVA efectos intrasujetosFuente SC tipo III gl MC F P

Factor B Esfericidad asumida gl B (intrasujeto)Greenhouse-Geisser gl del factor INTRASUJETO x GG

Huynh-Feldt gl del factor INTRASUJETO x HFLímite Inferior gl del factor INTRASUJETO x LI

Factor A x B Esfericidad asumida gl ABGreenhouse-Geisser gl AB x GG

Huynh-Feldt gl AB x HFLímite Inferior gl AB x LI

Error (SxAxB) gl R

Tabla 4: Análisis de TendenciasFuente SC tipo III gl MC F P

Factor B Lineal (b – 1)Cuadrático (b – 1)

Cúbico (b – 1)A x B Lineal (a – 1)(b – 1)

Cuadrático (a – 1)(b – 1)Cúbico (a – 1)(b – 1)

Residual Lineal a(b – 1)(n – 1)Cuadrático a(b – 1)(n – 1)

Cúbico a(b – 1)(n – 1)

Grados de libertad (a utizar cuando no hay el mismo número de sujetos en cada nivel del factor A)Porción intersujetos Porción intrasujetos

Fuente gl Fuente glA a – 1 B b – 1 an = nº total de sujetos

S(A) an – a A x B (a – 1)(b – 1) ab = nº de combinacionesB x S(A) abn – ab – an + a abn = sujetos x combinaciones = observaciones

3) DMPR A[B], ENFOQUE MIXTO (matriz de covarianzas Sin Estructura)


Sujetos Sujetos

Fijos Intersección 1 1A a (a – 1)

(b – 1)(a – 1)(b – 1)

BA x B

bab

Repetidosb Sin

Estructurab(b+1)

2Sujetos n (*)B

Total Suma Suma(*) = número de sujetos en cada combinación de A x B

31

Efectos FijosOrigen gl num gl den F PIntersección 1 *** ***Factor A (a – 1) *** ***Factor B (b – 1) *** ***A x B (a – 1)(b – 1) *** ***

no coincide con los datos de tabla resumen ANOVA


MATRIZ SIN ESTRUCTURA (SE) - Requiere b(b+1)

2 parámetros -

VSE = [(1,1) (1,2) (1,3)(2,2) ¿ (3,3)]

Componentes de la varianza (solamente válido para matrices de simetría compuesta):

δ 2A =


= gl (Num.−Den. RazónF)

N

δ 2B =



N

δ 2AB =



N

Tamaño del efecto (asumiendo efectos fijos):

ω2A = δ 2

A / σ2T ω2

B = δ 2B / σ2

T ω2AB = δ 2

αβ / σ2T

4) DMPR A[B], ENFOQUE MIXTO (matriz de Simetría Compuesta)


Sujetos Sujetos

Fijos Intersección 1 1A a (a – 1)

(b – 1)(a – 1)(b – 1)

BA x B

bab

Repetidos SimetríaCompuesta 2 Sujetos n (*)B b

Total (Suma) (Suma)n = nº de sujetos en cada combinación A x B

32

Efectos AleatoriosOrigen Estimación Error TípicoMedidas Repetidas

SE (1, 1)SE (2, 1)SE (2, 2)SE (3, 1)SE (3, 2)SE (3, 3)

Valores concretos de la Matriz

Efectos FijosOrigen gl num gl den F PIntersección 1 gl S(A)Factor A (a – 1) gl S(A)Factor B (b – 1) gl RA x B (a – 1)(b – 1) gl R


Efectos AleatoriosOrigen Estimación Error Típico

Medidas Repetidas

Diagonal SCCovarianza SC

σ2e

σ2S

Composición de la Matriz:

VSC = [ σ 12 σ 12 σ13

σ21 σ22 σ23

σ31 σ 32 σ 32 ] VSC = [σe

2+σ S2 σ S

2 σ S2

σS2 σe

2+σ S2 σ S

2

σS2 σ S

2 σ e2+σS

2] VSC = (σ2e + σ2

S )[1 ρ ρρ 1 ρρ ρ 1 ] ρ =

σS2

σe2+σ S

2

Componentes de la varianza (solo válido con matrices de simetría compuesta):

δ 2α =



N

δ 2β =



N

δ 2αβ =



N

Tamaño del efecto:ω2

A = δ 2A / σ2

T

ω2B = δ 2

B / σ2T

ω2AB = δ 2

AB / σ2T

Ajuste Condicional:Modelo 1: DMPR con matriz de simetría compuestaModelo 2: DMPR con matriz sin estructuraModel

o Desvianza Nº parámetros Test ΔD ΔglR X2 p

1 -2 log de la verosimilitud restringida Parámetros de la estructura de covarianza

2 -2 log de la verosimilitud restringida Parámetros de la estructura de covarianza 1 vs 2 (+) (+)

P < α: modelo 2 (el más complejo); P > α: modelo 1 (el más parsimonioso)

Caso 2: DMPR con 2 factores intersujetos y 1 factor intrasujeto

33


DMPR: AB[C] – ENFOQUE CLÁSICO

Asumiendo un modelo no aditivo (no hay interacción entre estructura de tratamientos y de control) y efectos fijos, la ecuación general es:

Yijkl = μ + si(jk) + αj + βk + Υl + (αβ)jk + (αΥ)jl + (βΥ)kl + (αβΥ)jkl + eijkl

ET = μ + αj + βk + Υl + (αβ)jk + (αΥ)jl + (βΥ)kl + (αβΥ)jkl

EC = Experimental con bloqueo intrasujeto, con término de control s i(jk)

EE = Múltiple, 2 niveles: si(jk) y eijkl


LibertadRazón F

(A, B y C fijos) A SCA (a – 1) MCA/MCS(AB)

VariaciónIntersujetos

B SCB (b – 1) MCB/MCS(AB) AB SCAB (a – 1) (b – 1) MCAB/MCS(AB) S(AB) (σ2

S) SCS(AB) ab(n - 1) C SCC (c – 1) MCC/MCR

VariaciónIntrasujetos

AC SCAC (a – 1)(c – 1) MCAC/MCR BC SCBC (b – 1)(c – 1) MCBC/MCR ABC SCABC (a–1)(b–1) (c–1) MCABC/MCR

C x S(AB) (σ2e)

SCCxS(AB) a(b – 1)(n – 1)

DMPR: AB[C] – ENFOQUE MULTIVARIANTE

Se procede de forma similar al DMPR: A[B]

DMPR: AB[C] – ENFOQUE MIXTO


Caso 3: DMPR con 1 factor intersujetos y 2 factores intrasujeto

DMPR: A[BC] – ENFOQUE CLÁSICO

Asumiendo un modelo no aditivo (no hay interacción entre estructura de tratamientos y de control) y efectos fijos, la ecuación general es:

Yijkl = μ + si(j) + αj + βk + Υl + (αβ)jk + (αΥ)jl + (βΥ)kl + (αβΥ)jkl + eijkl

ET = μ + αj + βk + Υl + (αβ)jk + (αΥ)jl + (βΥ)kl + (αβΥ)jkl

EC = Experimental con bloqueo intrasujeto, con término de control s i(j)

34


EE = Múltiple, 2 niveles: si(j) y eijkl

Fuentes de variación SC Grados de Libertad Razón F

(A, B y C fijos) A SCA (a – 1) MCA/MCS(A) Variación

Intersujetos S(A) (σ2S) SCS(A) a(n - 1)

B SCB (b – 1) MCB/MCR

VariaciónIntrasujetos

C SCC (c – 1) MCC/MCR AB SCAB (a – 1)(b – 1) MCAB/MCR AC SCAC (a – 1)(c – 1) MCAC/MCR BC SCBC (b – 1)(c – 1) MCBC/MCR ABC SCABC (a–1)(b–1) (c–1) MCABC/MCR BC x S(A) (σ2

e) SCCxS(AB) a(b – 1)(c-1)(n – 1)

DMPR: AB[C] – ENFOQUE MULTIVARIANTE


DMPR: AB[C] – ENFOQUE MIXTO


Caso 3: Otros diseños con la misma estructura del DMPR

[1] El Diseño de Parcela Dividida (DPD).

Diseño similar al DMPR pero donde las combinaciones de tratamiento del factor (o factores) intrasujeto se administran de forma aleatoria, y no siguiendo un patrón longitudinal temporal. El análisis estadístico es igual.

[2] Diseño CrossOver o conmutativo (DCO).

El factor intersujetos se divide en grupos, cada uno de los cuales recibe al azar una de las secuencias posibles de recepción los tratamientos del factor (o factores) intrasujeto. Así, siendo B el factor intersujetos con b = 2, se establecerán 2 grupos de sujetos, uno con la secuencia b1-b2 y otro con la secuencia b2-b1.

MATRICES QUE REPRESENTAN ESTRUCTURAS DE VARIANZA Y COVARIANZA (un factor intra A con 3 niveles)

1- MATRIZ DE IDENTIDAD ESCALADA (IE) (Requiere 1 parámetro)

VIE = [σe2 0 0

0 σe2 0

0 0 σ e2] VIE = σ e

2 [1 0 00 1 00 0 1 ] VIE = σ e

2I

2- MATRIZ DE SIMETRÍA COMPUESTA (SC) (Requiere 2 parámetros)

35


VSC = [ σ 12 σ 12 σ13

σ21 σ22 σ23

σ31 σ 32 σ 32 ] VSC = [σe

2+σ S2 σ S

2 σ S2

σS2 σe

2+σ S2 σ S

2

σS2 σ S

2 σ e2+σS

2]VSC = (σ2

e + σ2S )[1 ρ ρρ 1 ρρ ρ 1 ] de donde ρ =

σS2

σe2+σ S

2

3- MATRIZ AUTORREGRESIVA DE GRADO1 (ARH1) (Requiere (a+1) parámetros)

VARH1 = [ σ12 σ 1σ 2ρ σ1σ3 ρ

2

σ 2σ 1ρ σ22 σ 2σ 3ρ

σ3σ1 ρ2 σ 3σ 2ρ σ3

2 ]4- MATRIZ DE HUYNH FELD (HF) (Requiere (a + 1) parámetros)

VHF = [ σ12 σ1

2+σ 22

2 −λσ1

2+σ 32

2 −λ

σ22+σ1

2

2−λ σ2

2 σ22+σ 3

2

2−λ

σ32+σ1

2

2−λ

σ32+σ 2

2

2− λ σ3

2 ]5- MATRIZ SIN ESTRUCTURA (SE) (Requiere

a(a+1)2

parámetros)

VSE = [ σ 12 σ 12 σ13

σ21 σ22 σ23

σ31 σ 32 σ 32 ]

MATRICES DE COVARIANZA PARA EL DMR factorial (2 factores A y B)

1- Matriz de identidad escalada (VIE) 1 parámetro (σ e2¿

2- Matriz de simetría compuesta (VSC) 2 parámetros (σ2e y σ2

S)3- Matriz autorregresiva de grado 1 (VARH1) ab + 1 parámetros4- Matriz de Huynh-Feld (VHF) ab + 1 parámetros

5- Matriz sin estructura o no estructurada (VSE) ab(ab+1)

2 parámetros

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